被覆空間
定義
位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p⁻¹(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
底空間の点 x における逆像 p⁻¹(x) は x 上のファイバーと呼ばれ、離散空間となる。
定義中に現れる点 x の特別な開近傍 U は、均一被覆近傍と言う。均一被覆近傍は、空間 X の開被覆となる。均一被覆近傍 U の C における同相なコピーを、U 上のシートと言う。一般に図示するときには、被覆空間 C は底空間 X 上に「浮いて」いて、 p が「下向き」に写像し、U 上のシートは、U の「真上方向に水平に積み重なって」いて、x 上のファイバーは、x の「真上」にある C の点であることが多い。特に、被覆写像は局所的には自明である。このことは局所的には、均一被覆近傍 U の前像 p⁻¹(U) の U × F の上への準同型 h が、各々の被覆写像が射影と同型であることを意味する。ここに F はファイバーであり、局所自明化条件、つまり、U の上への U × F から U の上への射影 π : U × F → U に対して、射影 π と準同型 h との合成は、前像 p⁻¹(U) から U 上への写像 π ∘ h であり、従って、導かれた合成 π ∘ h は p に局所的に（p⁻¹(U) の中では）等しい。
他の定義
被覆写像の定義では位相空間 C と X にある種の連結性を課すこともある。特に弧状連結や局所弧状連結を要請することが多い。実際、多くの定理はこれらの条件の下でしか成り立たない。被覆写像の全射性を要請しない場合もあるが、もし C が弧状連結で空でないならば全射性は他の公理から従う。
ファイバーの準同型
すべての x ∈ X に対し、x 上のファイバーは C の離散部分集合である。X 上の連結成分上で、ファイバーは準同型である。
X 連結であれば、離散空間 F が存在し、すべての x ∈ X に対し、x 上のファイバーは F に準同型であり、さらにすべての x ∈ X に対し、x の近傍 U が存在し、その全前イメージ p⁻¹(U) は U × F と同相である。特に、x 上のファイバーの数値密度（点の数）は、F の点の数に等しく、被覆写像 p : C → X の次数と呼ぶ。このように、すべてのファイバーが n 個の元を持つと、n-重の被覆と呼ぶ（n = 1 のときは自明な被覆といい、n = 2 のときは二重被覆といい、n = 3 のときは三重被覆と言う）。
持ち上げ
p : C → X が被覆で γ が X 内の経路（つまり、単位区間 [0,1] から X の中への連続写像）であり、c ∈ C が γ(0) の上の点（つまり、p(c) = γ(0)）ならば、γ 上の C のある経路 ρ （つまり、p o ρ = γ）が一意に存在し、ρ(0) = c である。ρ は、γ の持ち上げ（あるいは、リフト）と呼ぶ。x と y が X の連結な経路で結ばれている場合、この経路は、持ち上げの性質を通して、x 上のファイバーと y 上のファイバーの間の全単射を与える。
さらに一般的には、f : Z → X を 弧状連結で局所弧状連結な空間 Z への X からの連続写像として、基点 z ∈ Z を固定し、f(z) の上にある点 c ∈ C（つまり、p(c) = f(z)）をとる。このとき、f の持ち上げ（つまり、連続写像 g : Z → C であって、p ∘ g = f, g(z) = c を満たす）が存在することは、基本群の間の誘導準同型(induced homomorphism) f# : π₁(Z, z) → π₁(X, f(z)) と p# : π₁(C, c) → π₁(X, f(z)) が、
(♠)
を満たすことと同値である。
さらに、そのような f の持ち上げ g が存在する場合は、一意的である。
同値性
p₁ : C₁ → X と p₂ : C₂ → X が 2 つの被覆だとする。 (p₁, C₁) と (p₂, C₂) は、ある同相写像 p₂₁ : C₂ → C₁ が存在し、p₂ = p₁op₂₁ のとき、同値であると言う。これは同値関係である。被覆の同値類は、共役類に対応する。p₂₁ が同相写像でなく被覆の場合には、 (p₂, C₂) は (p₁, C₁) を支配する(dominate)と言う。ここに、p₂ = p₁op₂₁ である。
多様体の被覆
被覆は局所同相であるので、n-次元位相多様体の被覆は n-次元多様体である。（被覆空間が第二可算であることは、多様体の基本群がいつも可算であるという事実より証明することができる。）しかし、n-次元多様体で覆われた空間は、非ハウスドルフ空間かもしれない。例えば、C を原点を取り去った平面とし、X を全ての点 (x, y) を (2x, y/2) で同一視する。p : C → X が商写像とすると、f(x, y) = (2x, y/2) で生成される C への Z の作用は固有不連続(properly discontinuous)であるので、被覆である。点 p(1, 0) と p(0, 1) は X の中では切り離されるような近傍を持たない。
微分可能多様体の任意の被覆空間は、p （問題の被覆写像）を局所微分同相、つまり、ランク(rank)へ変えるような自然な微分構造を持っているかもしれない。
G-被覆
G を位相空間 X 上の離散群(discrete group)の群作用とする。どのような条件のときに X から軌道 X/G への射影が被覆写像となるかとの問いは自然である。作用は不動点を持っているかもしれないので、これはいつの正しいとは限らない。例えば、(x, y) ↦ (y, x) というツイスト作用により、積 X × X 上への作用が、恒等元ではない位数 2 の巡回群が例である。このように X と X/G の基本群の間の関係の研究は、そうまっすぐには進めない。
しかしながら、群 G は X の基本グルーポイド(groupoid)上へ作用し、グルーポイド上への対応する群と対応する軌道を考えることで、最もうまく扱える。この理論は、以下の書籍 Topology and groupoids の第 11 章で定式化され、主要な結果は、普遍被覆を持つハウスドルフ空間 X 上の群 G の離散的作用に対し、軌道空間 X/G の基本グルーポイドは、X の基本グルーポイドの軌道グルーポイド、つまり、群 G の作用によるグルーポイドの商空間と同型ということである。これは計算を明確化し、例えば、空間の対称的な二乗積空間の基本群の計算に使われる。
被覆変換
被覆 p : C → X の被覆変換、もしくは、自己同型とは、p ∘ f = p であるような C 上の自己同相写像 f : C → C のことを言う。被覆 p の被覆変換の全体は、写像の合成に関して群を成し、被覆変換群(covering transformation group) Aut(p) と呼ばれる。被覆変換(covering transformations)はデック変換(deck transformation)とも呼ばれる。全ての被覆変換は、各々のファイバーの元を置き換える。このことは、各々のファイバー上で被覆変換の群作用を定義する。リフト（持ち上げ）の一意性により、f が恒等写像でなく C が弧状連結であれば、f は不動点を持たない。
ここで、p : C → X が被覆写像で、C が連結かつ局所弧状連結であるとする（従って、X もそのようになる）。各々のファイバーの上での Aut(p) の作用は、自由である。この作用があるファイバー上で推移的であれば、すべてのファイバー上で推移的であり、この場合を被覆は正規(regular)や正則(normal)、ガロア的と呼ばれる。全てのそのような正規な被覆は、主 G-バンドルであり、G = Aut(p) は離散位相群と考えられる。
全ての普遍被覆 p : D → X は正規であり、被覆変換群は基本群 π₁(X) に同型である。
上記の p(z) = zⁿ の例 p : C× → C× は、正規被覆であり、被覆変換は 1の n-乗根による乗法であり、従って、被覆変換群は巡回群 Cₙ に同型である。
他の例として、上記の p(z) = zn! の例 p : C* → C* も正規被覆であり、変換群の階層を持っている。実際、Cx! は、1 ≤ x ≤ y ≤ n に対し Cy! の部分群である。
モノドロミー作用
再び、p : C → X を被覆写像とし、C （と、従って X も）連結で局所弧状連結であるとする。x が X の点で c が x 上のファイバーに属し（つまり、p(c) = x）、γ : [0, 1] → X が γ(0) = γ(1) = x である経路とすると、この経路は出発点を c にもつ C の一意の経路へ持ち上げることができる。この持ち上げられた経路の終点は、c である必要はないが、x 上のファイバーの中に属す必要がある。この終点は基本群 π₁(X, x) の中の γ のクラスにのみ依存することが判明している。この形で、x 上のファイバーに π₁(X, x) の右からの群作用を得る。これはモノドロミー作用(monodromy action)として知られている。
ファイバー上には 2つの作用が存在し、x : Aut(p) は左側より作用し、π₁(X, x) は右側より作用する。これらの 2つの作用は次の意味で整合性を持っている。Aut(p) の中の全ての f と p⁻¹(x) の中の全ての c と、π₁(X, x)の中の全ての γ に対して、  となる。
p が普遍被覆であれば、Aut(p) は自然に π₁(X, x) の双対(dual)群と同一視できるので、π₁(X, x) の双対群の作用は、x 上のファイバー上への Aut(p) の作用に一致する。Aut(p) と π₁(X, x) とは、この場合は自然に同型となる（群はいつも自然に g ↦ g⁻¹) を通して、双対と同型となる）。
p が正規被覆であれば、Aut(p) は自然に π₁(X, x) の商に同型である。
一般に、（適切な空間に対しては、） Aut(p) は、p*(π₁(C, c)) 上で π₁(X, x) の中で p*(π₁(C, c)) の正規化による商と、自然に同型となり、そこでは p(c) = x となる。
一般化
ホモトピー論として、被覆空間の考えは、デック変換群が離散的である場合、あるいは同じことであるが、空間が局所連結空間の場合に、有益である。しかし、デック変換群は離散的ではない位相群なので、問題が発生する。ハワイアンリング(Hawaiian earring)のような、より複雑な空間を作る発展もあった。さらに詳細は、参考文献を参照。
これらの問題の多くは、ジェレミー・ズラザス(Jeremy Brazas)による半被覆(semicovering)の考えにより解決された（以下の参考文献中の論文を参照）。