位相幾何学
歴史
ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーやガウスに始まる位相幾何学は高々 250 年の歴史であり、大きな差がある。オイラーは、いわゆるオイラーの多面体定理において球面に連続的に変形できるような多面体の辺・頂点・面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが、これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である。
多面体の頂点、辺、面の数を各々 n₀, n₁, n₂ とおくと、これらが n₀ − n₁ + n₂ = 2 の関係にあるとするオイラーの定理は、18 世紀当時の解析学、代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは絡み目数を線積分により表示する公式を与え、また後半紀にリーマンが現在リーマン面と呼ばれる概念を提出し、ロッホは曲面の上の 2 つの偏微分方程式の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するリーマン・ロッホの定理をまとめた。これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のポワンカレの一連の研究による。
ポワンカレは 1895 年の論文「Analysis Situs」の中で、ホモトピーおよびホモロジーの概念を導入した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。
現代的な位相幾何学は 19 世紀に後半に確立された集合論を大きな基盤として成り立っている。集合論の祖のひとりであるゲオルク・カントールはフーリエ級数の研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している。
カントール、ボルテラ、アルツェラ、アダマール、アスコリ、らの研究を取りまとめる形で（今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている）距離空間の概念を確立したのはフレシェで、1906 年のことである。「位相空間」という用語を導入したのはハウスドルフで、1914 年に今日ではハウスドルフ空間と呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年、クラトフスキーの手による。
連続写像と同相写像
位相空間から別の位相空間への写像が連続であるとは、任意の開集合の逆像が開であるときに言う。これは、実数を実数へ写す写像（ただし実数直線の位相は通常の位相を入れる）の場合には、初等解析学における連続函数の定義と同値である。連続写像が単射かつ全射であって、その逆写像もまた連続となるならば、その写像は同相写像（あるいは単に同相）と呼ばれ、また写像の定義域はその像と同相であると言う。これはこの写像が位相の間の写像を自然に引き起こすということもできる。互いに同相な二つの空間は、同一の位相的性質を持ち、従って位相的には同じ空間と考えることができる。例えば立方体と球面は同相であり、同様にコーヒーカップとドーナツは同相だが、他方円とドーナツは同相でない。
多様体
位相空間は極めて多様であり風変わりなものも多く存在する裏で、位相幾何学の多くの分野では多様体と呼ばれるより馴染みやすい位相空間のクラスが注目される。多様体は各点の近くではユークリッド空間のように見える位相空間を総称して言う。より明確に言えば、n-次元多様体の各点は n-次元ユークリッド空間に同相な近傍を持つ。直線や円周は一次元多様体だがレムニスケートはそうでない。二次元多様体は曲面と呼ばれ、例えば平面や球面やトーラスは三次元空間内に実現することができるが、クラインの壺や実射影平面はそうでない。
一般位相
位相空間論（一般位相）は位相に関する集合論的定義と構成を扱う位相幾何学の分野である。位相空間論は微分位相幾何学、幾何学的位相幾何学および代数的位相幾何学を含む位相幾何学の他の分野の大部分の基礎となる。点集合位相とも呼ばれる。
点集合位相における基本概念は連続性、コンパクト性、連結性である。直観的に言えば、連続写像は近くの点を近くに写す、コンパクト集合は任意に小さな有限個の集合で被覆できる、連結集合は分離された二つの部分に分割されない、ということである。ここで用いた「近く」「任意に小さい」「分離した」といった表現は何れも開集合を用いて明確な言葉に表される。「開集合」の選び方を変更すれば、それにともなって連続写像やコンパクト集合や連結集合の意味するものも変更される。そのような「開集合」の決め方のそれぞれを位相と呼ぶ。位相を備えた集合は位相空間と呼ばれる。
距離空間は位相空間の重要なクラスであり、そこでは距離函数が任意の二点間に距離と呼ばれる数を割り当てることができる。距離を持つことで多くの証明が簡明になり、またよく知られた位相空間の多くが距離空間になる。
代数的位相幾何学
代数的位相幾何学は位相空間を調べるのに抽象代数学由来の道具を用いる数学の一分野である。その基本的な最終目的は同相を除いて位相空間を分類する代数的不変量を求めることであるが、普通はホモトピー同値を除いて大まかな分類を得ることが目的となる。
そのような不変量として最も重要なのがホモトピー群、ホモロジー群およびコホモロジー群である。
代数的位相幾何学では位相的問題を調べるのに代数学を用いることが主だけれども、位相を用いて代数的問題を解くということも時には可能である。例えば代数的位相幾何学で「自由群の任意の部分群がまた自由となること」を簡便に示すことができる。
微分位相幾何学
微分位相幾何学は可微分多様体上の可微分写像を扱う分野である。微分幾何学とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。
より精確に述べれば、微分位相幾何学は多様体上に可微分構造が定義されることのみを必要とする性質や構造を考察する。滑らかな多様体はほかに余計な幾何学的構造（これらは微分位相幾何学において存在するある種の同値性や変形の妨げとなる）を持つ多様体よりは「柔らかい」。例えば、体積やリーマン曲率は同一の滑らかな多様体上で相異なる幾何学的構造を区別することのできる不変量である。つまり、ある種の多様体を滑らかに「平坦にする」("flatten out") ことができたとしても、それには空間を歪める必要があるかもしれないし、その結果として曲率や体積が変わってしまうかもしれない。
幾何学的位相幾何学
幾何学的位相幾何学は主に低次元（二、三、四次元）の多様体に焦点を当ててその形状を調べる位相幾何学の分野であるが、より高次元の位相幾何学も一部には含む。幾何学的位相幾何学の主題には例えば向き付け可能性、ハンドル分解、局所平坦性および（平面および高次元の）シェーンフリースの定理などがある。
高次元の位相幾何学において、特性類は基本的な不変量であり、手術理論は鍵となる理論である。
低次元位相幾何学は、二次元における一意化定理（任意の曲面が一定曲率計量をもつ、幾何学的に言えば正曲率（球面的）、零曲率（平坦）、負曲率（双曲的）の三種類の何れかになる）や三次元における幾何化予想（任意の三次元多様体は、各々は可能な八種類の幾何の何れかであるような小片に切り分けることができる）に現れているように、極めて幾何学的である。
二次元の位相幾何学は一変数の複素幾何として調べることができる（リーマン面は複素曲線である）。一意化定理により、計量の任意の共形類は一意な複素計量に同値である。また四次元位相幾何学は二変数の複素幾何（複素曲面）の観点から調べることができるが、任意の余次元多様体が複素構造を持つわけではない。
一般化
場合によっては、位相幾何学の道具が必要だが「点集合」は使えないという場面に遭遇することもある。点なし位相（非点集合的位相空間論）では理論の基本概念として開集合の束を考える。一方、グロタンディーク位相は任意の圏上に定義される構造で、それら圏上に層を定義することが可能になり、一般コホモロジー論の定義を持ち込むことができる。