高階関数
高階関数（こうかいかんすう、英: higher-order function）とは、第一級関数をサポートしているプログラミング言語において、関数（手続き）を引数にしたり、あるいは関数（手続き）を戻り値とするような関数のことである。
概要
高階関数は厳密には第一級関数をサポートしているプログラミング言語において定義される。C言語やPascalでは、関数へのポインタを利用して高階関数を模倣することができるが、関数ポインタによって第一級関数をサポートしているとみなされてはいない。
高階関数は関数を引数にしたり、あるいは関数を戻り値とするものであり、引数や戻り値の関数もまた高階関数となり得る。高階関数は主に関数型言語やその背景理論であるラムダ計算において多用される。
また、ある関数（手続き）の引数となる関数（手続き）のことを関数引数や手続き引数と呼ぶこともある。
関数を呼び出す関数
以下に示す(apply_2_3 f)は与えられた演算を行い値を返すものである。遅延評価されるため、f は評価されずに (apply_2_3 add) や (apply_2_3 mul) のように関数そのものを引数とすることができる。
(define (add x y) (+ x y))(define (mul x y) (* x y))(define (apply_2_3 f) (f 2 3))(apply_2_3 add) ; => (add 2 3) => 5(apply_2_3 mul) ; => (mul 2 3) => 6
カリー化
複数の引数をとる関数を1変数関数に置き換えることをカリー化と呼ぶ。例えば二つの数を足し合わせる関数 add は以下のようになる。
; 通常の定義,呼び出し(define (add x y) (+ x y))(add 2 3) ;=> 5; カリー化を施した定義,呼び出し(define (add x) (lambda (y) (+ x y)))((add 2) 3) ;=> 5
ほとんどの型付き関数型言語においては、関数は最初からカリー化して与えるのが一般的である（つまり n 引数関数を、n 個の引数の直積を取る関数とするのではなく、1 引数の高階関数を n 個並べたような型で定義する。）
例えば Haskell において、
(2 +)
と記述すると、これは先ほどの (add 2) と同じく、2を足す関数になる。加算演算子（+）が既にカリー化されているため、1 引数を適用するだけで関数として機能するのである。以下は実行例。
Prelude> 2 + 35Prelude> (2 +) 35
filter
リストの各要素に対して与えられた条件式を適用し、真であるものだけをリストにまとめて返すものである。単純な条件式の代わりに真偽値を与える関数を指定したとき、高階関数であると言える。
(filter func list1)
例えば、リスト'(1 2 -3 -4 5)から、正の数のみを抽出するには以下のようにする。
(filter  positive? '(1 2 -3 -4 5));=> '(1 2 5)
zip
複数のリストからタプルを要素とする1つのリストを生成する。
(zip list1 list2 ... listn)
例えば、'(1 2 3)と'(a b c)に対してzipを行うと以下のようになる。
(zip '(1 2 3) '(a b c));=> '((1 a) (2 b) (3 c))
unzip
zipの逆操作。タプルを要素とする1つのリストから複数のリストを生成する。
(unzip list)
schemeには実装されていないが実装されていれば以下のように動作する:
(unzip '((1 a) (2 b) (3 c)));=> '(1 2 3) '(a b c)
ただし、実際には単一の戻り値しか返せない処理系・言語の場合、この戻り値のタプルとして返すことがある。その場合は以下のようになる。
(unzip '((a b c) (s t u) (x y z) (1 2 3)));=> ((a s x 1) (b t y 2) (c u z 3))(unzip '((a s x 1) (b t y 2) (c u z 3)));=> ((a b c) (s t u) (x y z) (1 2 3))
map
map関数はリスト構造の各要素に対して順々に与えられた関数を処理していくものである。関数プログラミングではないパラダイムの言語でも実装されていることがある。
(map func list0 list1 ... listN)
例えば、リスト'(1 2 3)の各要素に対して1を足したリストを得たい場合は以下のようにすれば良い。
(map (lambda (n) (+ 1 n)) '(1 2 3));=> '(2 3 4)
unfold
foldの逆変換。すなわち初期値から何らかの動作を行なってリストを生成する関数である。例えるならば漸化式を数列に直す操作に相当する。
(unfold condition func iterate-update seed)
seedにfuncを適用しfuncの戻り値をリストへ格納し、seedをiterate-updateで更新してfuncを適用しfuncの戻り値をリストへ格納し、…といった操作をseedがconditionを真にするまで繰り返す。
例えば、要素4からリスト'(3 2 1)を生成するには、以下のようにする。
(unfold zero? (lambda(x)x) (lambda (n) (- n 1)) 3);=> '(3 2 1)
直積
複数のリストそれぞれを要素とするタプルを返す関数と見た時、直積集合を求める演算も高階関数と考えられる。R言語のouter関数などで実装されている。
prefix scan
prefix scan（あるいは単にscan）とは、リストの各要素に対して繰り返し演算を行い累積した計算結果のリストを返す高階関数である。schemeでの実装例は以下のようになる。
(define scan
  (lambda (func seq)
    (reverse 
      (fold-left 
       (lambda (l e) (cons (func e (car l)) l))
       (list (car seq))
       (cdr seq)))))
prefix scanの中で、特に和の演算はprefix sum, cumulative sumとも呼ばれる。ここでは先ほど定義したscanを使用して'(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)のprefix sumを求める例を示す。
(scan + '(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10));=> '(1 3 6 10 15 21 28 36 45 55)
prefix scanは並列アルゴリズム、GPGPUの分野で研究される。またprefix sumの特殊系としてsegmented scanもある。
手続き型言語における高階関数
手続き型言語や、手続き型をベースにしたオブジェクト指向言語でも、同等かそれに近い機能を実現させる機構を備えているものがある。CやFortranにおける関数ポインタなどがその一例である。ただし、言語にカリー化の機能やクロージャの機能はない。
例えばCで関数を引数にとる関数を書くと次のようになる。
typedef int (*Function) (int, int) ;int foldl (int values [], int values_length, Function f, int identityElement)
  {
  int folded = identityElement ;
  for (int i=0 ; i<values_length ; ++i)
    {folded = (*f) (folded, values [i]) ;} /* 左結合 */
  return folded ;
  }int foldr (int values [], int values_length, Function f, int identityElement)
  {
  int folded = identityElement ;
  for (int i=values_length-1 ; 0<=i ; --i)
    {folded = (*f) (values [i], folded) ;} /* 右結合 */
  return folded ;
  }/* 加算する関数 */int add (int x, int y) {return x + y ;}/* 乗算する関数 */int mul (int x, int y) {return x * y ;}/* 使用例 */int main (void)
  {
  int values [5] = {31, 4, 159, 26, 53} ;
  int sum     = foldl (values, sizeof values/sizeof (int), add, 0) ;
  int product = foldl (values, sizeof values/sizeof (int), mul, 1) ;
  return 0;
  }
一方、関数を戻り値とする関数を書くことは難しい。これはクロージャと呼ばれる戻り値となる関数の実行時にその関数を定義した時点での環境が必要になるためである。