関孝和
関 孝和（せき たかかず／こうわ、生年不明 - 宝永5年10月24日（1708年12月5日））は、日本の江戸時代の和算家（数学者）である。本姓は藤原氏。旧姓は内山氏、通称は新助。字は子豹、自由亭と号した。
生涯と業績
生年は寛永12（1635年）- 20年（1643年）の間で諸説あり、はっきりしない。生誕地は上野国藤岡（現在の群馬県藤岡市）と江戸の2説ある。実父が寛永16年（1639年）に藤岡から江戸に移っているので、生年がそれ以前ならば生地は藤岡、それ以後なら生地は江戸と推測される。関の生涯については、あまり多くが伝わっていない。養子の関新七郎久之が重追放になり、家が断絶したことが理由の一つである。
若くして関家の養子となり、また、吉田光由の『塵劫記』を独学し、さらに高度な数学を学ぶ。甲斐国甲府藩（山梨県甲府市）の徳川綱重・綱豊（徳川家宣）に仕え、勘定吟味役となる。綱豊が6代将軍となると直参として江戸詰めとなり、西の丸御納戸組頭に任じられた。孝和は甲府藩における国絵図（甲斐国絵図）の作成に関わり、また授時暦を深く研究して改暦の機会をうかがっていたが、その後渋川春海に貞享暦が作られ、暦学において功績を挙げることはかなわなかった。
関は和算が中国の模倣を超えて独自の発展を始めるにあたって、重要な役割を果たした。特に宋金元時代に大きく発展した天元術を深く研究し、根本的な改良を加えた。延宝2年（1674年）に『発微算法』を著し、点竄術（てんざんじゅつ）すなわち筆算による代数の計算法を発明して、和算が高等数学として発展するための基礎を作った。世界で最も早い時期に行列式・終結式の概念を提案したことはよく知られる。
また暦の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、1681年頃に正131072角形を使って小数第11位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.14159265359微弱」だったが、エイトケンのΔ2乗加速法を用いた途中計算では小数点以下第16位まで正確に求めている。これは世界的に見ても、数値的加速法の最も早い適用例の一つである（西洋でエイトケンのΔ2乗加速法が再発見されたのは1876年、H.von.Nägelsbachによってである）。ヤコブ・ベルヌーイとは独立かつやや早くにベルヌーイ数を発見していたことも知られている。
西洋の微分積分学の発展とは独立に、方程式の求根の際に導関数に相当するものを計算したり、求長・求積に関する業績を挙げている。これをもってアイザック・ニュートンやゴットフリート・ライプニッツよりも前に微分積分学を創始したとするのは誤りで、関が微分法と積分法を結びつけた（言い換えれば微分積分学の基本定理を発見した）事実はなく、これは妥当な評価ではない。
宝永5年10月24日（1708年12月5日）、病に倒れて死去した。牛込弁天町（現在の東京都新宿区）の浄輪寺に葬られている。弟子に建部賢弘や荒木村英がいる。関の死後もその学統（関流）はめざましく発展し、山路主住に至り免許制度などを整え、和算の圧倒的な中心勢力になる。有力な和算家はほとんどが関流に属するようになっていった。
関孝和は関流の始祖として、算聖とあがめられた。明治以後、和算が西洋数学にとって代わられた後も、日本数学史上最高の英雄的人物とされた。上毛かるたでも「和算の大家 関孝和」と詠われている。
点竄術
関の最大の業績は、天元術を革新して傍書法・点竄術を確立したことである。これは記号法の改良と理論の前進の双方を含み、後に和算で高度な数学が展開するための基礎を提供した。
天元術は中国で発達した代数的解法である。求める数を未知数（天元の一と呼ぶ）とし、演算を施して方程式を立てる。問題を1元方程式に帰着できれば、次数に拘わらず算木によるホーナー法で近似的に解けた。しかし明代に入ると中国では天元術は衰え、もっぱら李氏朝鮮で継承されてゆく。朝鮮での発展や日本への流入の過程は今日でも不明な点が多い。日本では17世紀に入ってから、主に京阪の和算家の橋本正数・沢口一之らによって熱心に研究された。沢口の『古今算法記』（寛文10年、1670年）は、天元術の学習がほぼ完了したことを示している。
天元術には多変数の高次方程式を扱えない欠点があった。これは未知数を記号ではなく算木を置く場所で表現しているからで、例えば (1 3 4) の配置は1変数の多項式  または多変数の1次式  のいずれかを表す。したがって2個目以降の未知数を文章による議論で消去してから、天元術を用いねばならなかった。
『古今算法記』巻末の15問の未解決問題（遺題）はまさに多変数の方程式を必要とした。関は『発微算法』（延宝2年、1674年）でそれらすべての解を与えている。それは傍書法、すなわち算木による数ではなく紙の上の文字によって算式を論じる代数筆算を用い、2個目以降の未知数を文字で表して多変数の方程式を表現し、それを点竄術で処理して求めた。
ただし『発微算法』には変数を消去した後の1元方程式が書かれているだけで（それすらも詳細を端折った解答もあった）、その背景にある傍書法は一切表に現れていない。加えて初期の版では若干の誤りがあったため、正当性に疑いを持つ者も現れた。例えば佐治一平は15の回答のうち12が誤りだと主張した（実際には佐治の指摘のほとんどは的外れだった）。また佐治の師にあたる田中由真は『算法明解』（延宝7年、1679年）で、別の解答を関とは独立に発明した点竄術・傍書法を用いて与えた。
これに対して建部賢弘が『発微算法演段諺解』（貞享2年、1685年）で点竄術とそれを用いた解法の詳細を公開し、併せて若干の誤りを（場合によっては注記せずに）訂正している。さらに『解伏題之法』（天和3年、1683年）では終結式を用いた消去の一般的な理論を示し、加えて終結式を表現するために行列式に相当するものを導入した。ただし関は3次・4次の行列式は正しい表示を与えているが、5次については符号の誤りがあり、常に0になってしまう。これが単純な誤記の類であるか否かは不明である。やや後の1710年以前に完成した『大成算経』（建部賢明・建部賢弘との共著）で、第1列についての余因子展開を一般の行列について正しく与えている。
類似の結果は田中の『算学紛解』（1690年?）や、大阪の井関知辰による『算法発揮』（元禄3年、1690年）にも見られる。『解伏題之法』も『大成算経』も公刊されていないので、これらの研究は独自になされたと思われる。関と京阪の和算家との交流には不明な点が多い。また『大成算経』の存在にもかかわらず、後の関流の有力な和算家たちが『解伏題之法』を訂正して正しい展開式を得る研究を続けていて、この理由も今のところ不明である。
なおゴットフリート・ライプニッツが行列式を導入したのは関と同じ1683年ころだが、『解伏題之法』に比較して一般性に劣る。一般の行列式の公式や終結式の理論が発見されるのは18世紀の中ごろだった。先立って楊輝（中国、1238年? - 1298年）は『詳解九章算術』で、ジェロラモ・カルダーノは『偉大なる術』（Ars magna de Rebus Algebraicis, 1580年）で、数字係数の二元一次連立方程式の解を行列式と同様の計算式で与えている。
この一連の研究により、数学の問題は多元の代数方程式に表現できれば、原理的には解けることになった。また中国数学以来の伝統で、幾何の問題はピタゴラスの定理などを用い機械的に代数に落として処理していたので、これで実に広範な問題が原理的には解けるようになった。
ただしこの解法を実際に実行するのは多くの場合、計算量が膨大で現実的ではない。そのため『発微算法』でも方程式のみを求めていて、数値解の計算には進まなかった。ある問題は最終的に得られる方程式の次数が1458次にもなってしまい、方程式を具体的に書き下すことすらできなかった。しかし以後、連立高次方程式に帰着される問題は、和算の中心的課題ではなくなった。
また数値解析で数値解を求めるには、実数根の定性的な性質（存在範囲・重根・個数）を解明し、効率的なアルゴリズムを確立しなけらばならない。関はホーナー法の収束を改善するため、ある精度から先は高次の項を省略する、ニュートン法と同値の方法を提案した。また重根の存在条件を示した。これは元の方程式とその導多項式が共通解を持つための条件にほかならず、先の消去の理論の応用である。