汎函数行列式
函数空間 V からそれ自身への線型写像を "S" とすると、行列式の無限次元への一般化が可能なことがしばしばある。この量 det("S") を "S" の 汎函数行列式 ()と言う。
汎函数行列式の公式がいくつかあり、それらは皆、対角化可能な有限次元の行列に対しては行列式が固有値の積に等しいという事実を基礎としている。数学的には、作用素のゼータ函数を通して厳密に定義される。
ここに tr は汎函数のトレースを意味し、従って汎函数行列式は、
で定義される。ここに "s" = 0 でのゼータ函数は解析接続により定義される。別な一般化された方法も可能であり、物理学者が量子場理論でファインマンの経路積分の定式化に用いる、の方法がある。
この経路積分は、ある発散する乗数因子の差を除いたときのみ、うまく定義できる。この厳密な意味を与えるために、他の汎函数行列式で割る必要があり、見せかけの定数の打ち消しがなされる。
現在は、これらが表現上は2つの異なる汎函数行列式で、一方は量子場理論に由来を持つもので、他方はスペクトル理論に由来を持つものである。どちらも正規化の一種で、物理で普通に行われる定義は、2つの行列式を単に比較することができるということを意味しているが、数学ではゼータ函数が使われる。 は、量子場理論で定式化された2つの汎函数行列式が、ゼータ函数正規化によって得られた結果に一致するということを示した。