次元 (数学)
 
数学における対象（図形）の次元（じげん、）は、（やや不正確だが）その対象に属する点を特定するのに必要な座標の数の最小値として定まる。次元はその対象の内在的性質であって、その対象が「どのような空間に埋め込まれるか」ということとは無関係であることに注意すべきである。例えば、平面における単位円上の点は、平面上の点として二つの成分を持つ直交座標系によって特定することもできるけれども、極座標の偏角としての一つの座標のみによっても特定することができるので、単位円は（二次元の平面上に存在するものであるけれども）一次元の対象である。このような内在的な次取り扱いは、日常的な意味で用いられる「次元」とは異なる、数学的な意味での次元の概念を峻別するための根本的な観点である。
-次元ユークリッド空間 の次元は である。このことを別な種類の空間に対して一般化しようとするとき、「 を -次元たらしめるところのものはいったい何であるか」という問題に直面する。その一つの答えとして、 における球体を固定し、それを小さい半径 の球によって被覆するとき、被覆に必要な小さい球の数のオーダーが であることが挙げられる。この観点からはミンコフスキー次元あるいはより精緻なハウスドルフ次元の概念が導かれる。しかし、先ほどの問いの別な答えとして、例えば における球体の境界が局所的に と見なせることを挙げれば、帰納次元の概念が導かれる。これらの次元の概念は 上では一致するけれども、もっと一般の空間で考えたときには異なるということが起こりうる。
正八胞体（テッセラクト）は四次元図形の例である。数学と関係ない文脈では「正八胞体は四つの次元を持つ」というような「次元」の語の用例が見られるものの、数学用語としての用法では「正八胞体は次元 4 を持つ」とか「正八胞体の次元は 4 である」といったような表現になる。
高次元の概念自体はルネ・デカルトまで遡れるかもしれないけれども、実質的な高次元幾何学が形成され始めるのは19世紀に入ってから、ケイリー、ハミルトン、シュレーフリ、リーマンらの研究を通じてである。1854年にリーマンの "Habilitationsschrift"、1852年にシュレーフリの "Theorie der vielfachen Kontinuität"、1843年にハミルトンの四元数の発見、ケイリー数の構成などによって、高次元幾何学の幕は開かれた。
以下、いくつか数学的に重要な次元の定義を説明する。