単純リー群
群論において、単純リー群 (simple Lie group) は連結非可換リー群 "G" であって非自明な連結正規部分群を持たないものである。
単純リー環 (simple Lie algebra) は非可換リー環であってイデアルが 0 と自身しかないものである。単純リー環の直和は半単純リー環と呼ばれる。
単純リー群の同値な定義がから従う：連結リー群はリー環が単純であれば単純である。重要な技術的点は、単純リー群は"離散的な"正規部分群を含むかもしれず、したがって単純リー群であることは抽象群として単純であることとは異なるということである。
単純リー群は多くのを含む。古典型リー群は球面幾何学、射影幾何学、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味で関連する幾何学の群論的支柱を提供する。どんなよく知られた幾何学にも対応しない可能性もいくつか存在することが単純リー群のの過程で現れた。これらの"例外群" (exceptional group) により数学の他の分野や当時の理論物理学の多くの特別な例や configuration が説明される。
単純リー群の概念は公理的観点からは十分であるが、の理論のようなリー理論の応用において、幾分一般的な概念である半単純および簡約リー群がもっと有用であることが証明されている。とくに、すべての連結は簡約であり、一般の簡約群の表現の研究は表現論の主要な分野である。