ハウスドルフ＝ヤングの不等式
数学におけるハウスドルフ＝ヤングの不等式（ハウスドルフ＝ヤングのふとうしき、）は、周期函数のフーリエ係数の"L""q"-ノルム（"q" ≥ 2）評価を与える不等式である。はじめに は、特別な値の "q" に対してこの不等式を証明し、その後 は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は R"n" のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるを発見している。
ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 formula_1 に対して、そのフーリエ係数の列
を返す作用素 "T" を考える。パーセバルの定理によれば、"T" は formula_3 から formula_4 への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに
であるため、"T" は formula_6 から formula_7 へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース＝ソリンの定理により、任意の 1 &lt; "p" &lt; 2 に対して、formula_8 から formula_9 への作用素として "T" はノルム 1 で有界である。ここで
である。すなわち次が得られる。
これが有名なハウスドルフ＝ヤングの不等式である。"p" &gt; 2 に対して、この不等式の自然な拡張は成り立たず、ある函数が formula_8 に属するという事実は、それが formula_4 に属するという事実を意味するのみであり、そのフーリエ級数の成長の次数についての他の情報は得られない。