ケージ (グラフ理論)
グラフ理論において、ケージとは与えられた与えられた内周を満たす正則グラフのうち、頂点数が最小のものである。
厳密に述べると次のようになる。("r","g")-グラフとは任意の頂点が相異なる"r"個の頂点と隣接し、かつグラフに含まれる最小のサイクルの長さが"g"に一致するものを指す。任意の"r" ≥ 2、"g" ≥ 3に対して(r,g)-グラフは存在することが知られている。("r","g")-ケージとは("r","g")-グラフのうちもっとも頂点数が少ないグラフのことである。
次数"r"、内周gのムーアグラフは存在すれば、ケージとなる。ムーアグラフの頂点数を表す式はケージに対して一般化することができる。すなわち奇内周gをもつグラフの頂点数は
以上となる。任意の(r,g)-グラフが上述の式を満たすと、定義からムーアグラフとなり、またケージとなる。同様に偶内周の場合は頂点数は
以上となる。また"r"と"g"の組み合わせによっては複数の同型でないケージが存在しうる。例えば、頂点数70となる(3,10)-ケージはバラバン10-ケージ、Harries graphとHarries-Wong graphの同型でない三つが存在する。一方で (3,11)-ケージは頂点数が112となるバラバン11-ケージのみである。