ラグランジアン (場の理論)
ラグランジアン場の理論 () は、古典場理論のひとつの定式化であり、ラグランジュ力学を場の理論に拡大したものである。ラグランジュ力学がそれぞれが有限の自由度を持つ離散的な粒子を扱うのに対し、ラグランジアン場の理論は自由度が無限である連続体や場に適用される。
本記事では、ラグランジアン密度を formula_1 と記し、ラグランジアンは "L" と記すこととする。
ラグランジュ力学の定式化を拡張し、場の理論を扱うことができるようになった。場の理論では、独立変数は、時空の中の事象 ("x", "y", "z", "t")、あるいはもっと一般的には多様体上の点 "s" へ置き換えて考える。従属変数 ("q") は、時空でのその点での場の値 "φ"("x", "y", "z", "t") へ置き換わり、運動方程式は、作用原理によって、
となる。ここで、「作用」
は微分可能な従属変数 φ"i"("s")、その導関数および "s" 自身の汎函数である。添え字は"α" = 1, 2, 3,…, "n"であり、中カッコは｛・∀α｝を表す。"s" = { "sα"} は "n" 個の独立変数がなす集合を表し、これには時間変数も含む。筆書体のformula_1 は体積密度を表す場合に用い、体積は場の定義域の積分測度つまりformula_5 による。