部分環
数学における部分環（ぶぶんかん、）は、環 "R" の部分集合 "S" で、"R" の加法と乗法をそこに制限するときそれ自身が環となり、かつ "R" の単位元を含むものを言う。単位元を持つことを仮定しない場合には、"R" の演算の制限で "S" が環を成すことのみを以って部分環を定義する（この場合も自動的に "S" は "R" の加法単位元を含む）。後者は前者よりも弱い条件であり、例えば任意のイデアルは（たとえ乗法的単位元を持つ環においても）後者の意味の部分環になる（この部分環が、もとの環とは異なる乗法単位元を持つ場合もあり得る）。（本項で扱う）単位元の存在を定義に含める場合には、"R" の部分環となるようなイデアルは "R" 自身に限る。