放物型偏微分方程式
放物型偏微分方程式（ほうぶつがたへんびぶんほうていしき、）とは、二階の偏微分方程式（PDE）の一種で、熱拡散やなどを含む様々な科学の問題に現れるものである。
次の形式で記述される偏微分方程式
は、次の条件を満たすとき放物型であると言われる：
この定義は、平面の放物線の定義と似たものである。
放物型偏微分方程式の簡単な例として、一次元の熱方程式
が挙げられる。ここで、formula_4 は時間 formula_5 における位置 formula_6 の温度を表し、formula_7 は定数とする。formula_8 は、時間変数 formula_5 に関する formula_10 の偏微分を表し、formula_11 は同様に空間変数 formula_6 に関する formula_10 の二階の偏微分を表す。
この方程式は、大雑把に言うと、ある与えられた点のある時間における温度は、その点の温度と、その周辺の点の温度の平均の差に比例して、上昇あるいは低下する、ということを意味している。formula_11 は、調和関数の平均値の性質を満たす状態から、どのくらい温度が離れているか、ということを示す量となっている。
熱方程式の一般化は、次のように表される：
ここで formula_16 は二階の楕円型作用素である（formula_16 はまた正作用素でなければならない。非正であるような場合については、下で述べられている）。このような系は、次の形式で表される方程式の中に含まれている：
ただし、行列値関数 formula_19 の核は次元 1 であるとする。