ヒルベルト変換
数学および信号処理におけるヒルベルト変換（ヒルベルトへんかん、）は、実変数関数 を別の実変数関数 へ写すある特定の線型作用素を言う。具体的にこの作用素は との畳み込み: formula_1 で与えられる。ただし、現れる広義積分はコーシー主値の意味でとる。このヒルベルト変換は周波数領域において特に単純な表現 —引数となる函数の各フーリエ成分に (90°) の位相ずれ (phase shift) を生じさせる— を持つ。例えば、余弦函数 のヒルベルト変換は となる。
信号処理におけるヒルベルト変換は、それが実数値信号 のを導くという点において重要である。具体的に、 のヒルベルト変換を とすれば、 は のとなる。すなわち、 は実変数 の函数であって、複素数値函数 がコーシー–リーマン方程式を満足するように複素上半平面まで延長可能となる。この設定でヒルベルト変換を最初に導入したのはダフィット・ヒルベルトで、解析函数に対するの特別の場合を解決するためであった。