極大トーラス
コンパクトリー群の数学的理論において特別な役割はトーラス部分群によって、とくに極大トーラス (maximal torus) 部分群によって果たされる。
コンパクトリー群 "G" のトーラス (torus) とは "G" のコンパクト連結可換部分リー群（したがって標準的なトーラス T"n" に同型）である。極大トーラス (maximal torus) はそのような部分群の中で極大なものである。すなわち、"T" を含む任意のトーラス "T"′ に対して "T" = "T"′ が成り立つとき "T" は極大トーラスである。どんなトーラスもある極大トーラスに含まれている。これは単純に次元を考えることによってわかる。非コンパクトリー群は非自明なトーラスを持つとは限らない（例えば R"n" は持たない）。
"G" の極大トーラスの次元を "G" の階数 (rank) と呼ぶ。すべての極大トーラスは共役であることが分かるから階数は well-defined である。半単純群に対しては階数は付随するディンキン図形のノードの個数に等しい。