アフィンリー代数
数学において、アフィン・リー環（）は、有限次元単純リー環から自然な方法で構成される無限次元のリー環である。アフィン・リー環は一般カルタン行列が半正定値で余階数が 1 のカッツ・ムーディ・リー環である。純粋数学的な視点からは、アフィン・リー環は面白い理由は、その表現論が、有限次元半単純リー環の表現論のように、一般のカッツ・ムーディ・リー環の表現論よりもはるかによく理解されているからである。ヴィクトル・カッツによって発見されたように、アフィン・リー環の表現に対する指標公式から、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式が導かれる。
アフィンリー環はそのつくり方により弦理論や共形場理論において重要な役割を果たす。つくり方は、単純リー環 formula_1 からはじめて、円（閉弦と解釈される）上の formula_1 値関数からなる点ごとの交換子によるループ代数 formula_3 を考える。アフィンリー環 formula_4 はループ代数に1次元付け加えて交換子を非自明な方法で修正することによって得られる。これは物理学者が量子アノマリー（この場合WZWモデルのアノマリー）と、数学者が中心拡大と呼ぶものである。より一般に、 が単純Lie環 formula_1 のディンキン図形の自己同型に伴う自己同型であるとき、twisted loop algebra formula_6 は実数直線上の formula_1 値関数 で twisted periodicity condition を満たすものからなる。その中心拡大がまさに twisted アフィンリー環である。弦理論の視点はアフィンリー環の多くの深い性質、例えばそれらの表現のはモジュラー群の下でそれらの中で変換すること、を理解する助けとなる。