リーマンの写像定理
複素解析においてリーマンの写像定理 () は、formula_1 が空でない単連結な開集合（単連結な領域）のとき、"U" から単位開円板
への双正則な写像（全単射な正則写像）"f" が存在することを言っている定理である。
この写像はリーマンの写像 () として知られている。
直感的には、"U" が単連結であることは "U" には「穴」があいていないことを意味する。"f" が双正則であることは、それが等角写像であり、従って角度を保つことを意味する。直感的には、そのような写像は、回転したり拡大・縮小したりはする（ただし折り返してはいけない）が、十分に小さな形を保存する。
アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) は、写像 "f" が本質的に一意的であることを証明した。"z"0 を "U" の元とし、φ を任意の角度とすると、ちょうど一つだけ以下を満たす上記のような "f" が存在する。"f"("z"0) = 0 であり、かつ点 "z"0 における "f" の微分の偏角が φ に等しくなる。この一意性はシュワルツの補題より容易に導ける。
この定理の系として、リーマン球面の少なくとも 2 点を取り除いた任意の 2つの単連結な開部分集合は、互いに共形的に写像することができる（理由は共形同値は同値関係だからである）。