ラングランズ双対
数学の一分野である表現論では、簡約代数群 のラングランズ双対 (Langlands dual) （また、 の -群 とも言う）は、 の表現論を制御する群である。 を体 上の群とすると、 は の絶対ガロア群の (complex Lie group) による拡大である。また、-群のヴェイユ形式と呼ばれる変形もあり、そこではガロア群はヴェイユ群に置き換わる。ラングランズ双対群も、-群と呼ばれることもある。ここの文字 は -函数の理論、特に保型形式の -函数の理論との関係を示している。
-群はロバート・ラングランズ (Robert Langlands) のラングランズ予想で、重要な要素として使われている。これを使い、 が大域体のとき、保型形式が群 の中で (functorial) を持つことを詳細に記述することができる。正確には、保型形式と表現が函手的であるという に対してではなく、 に対してである。このことは多くの現象で意味をもっている。例えば、ひとつの群から別のより大きな群への（保型）形式のリフティング(lifting)や、体の拡大の後にも同型であるような群は保型表現に関係しているという一般的な事実がある。