クレイン＝ミルマンの定理
数学の函数解析学の分野において、クレイン＝ミルマンの定理（クレイン＝ミルマンのていり、）とは、位相ベクトル空間内の凸集合に関するある命題である。この定理の容易に可視化できる特別な場合では、与えられた凸多角形に対し、その角の部分だけで全体の形を復元できるということが述べられている。しかしその多角形が凸でない場合には、角として与えられた点から多角形を描く方法が多く存在し得るため、この定理の内容は偽となる。
正式には、formula_1 を（ハウスドルフと仮定される）局所凸位相ベクトル空間とし、formula_2 を formula_1 のコンパクトな凸部分集合とするとき、formula_2 はその極点の閉凸包となることが、この定理では主張されている。
上述の閉凸包は、formula_2 を含むすべての formula_1 の閉部分集合の共通部分として定義される。そしてそれは、位相ベクトル空間内の凸包の閉包と等しいことが知られている。定理の証明は、ある部分では容易であるが、「十分な」極点の存在を示すという点に主な難しさがある。
マルク・クレインとによって証明された元の定理の内容は、ここで述べたものより若干一般性に欠けるものとなっている。
その定理より以前に、ヘルマン・ミンコフスキーは、formula_1 が有限次元であるなら formula_2 はその極点の集合の凸包と等しいことを示していた。クレイン＝ミルマンの定理は、その結果を任意の局所凸空間 formula_1 に対して一般化するものであったが、閉包が必要となり得るという注意も付されていた。