演算子の優先順位
演算子の優先順位 (えんざんしのゆうせんじゅんい、) とは、演算子を利用しているような数式などが、どのように結び付いてグループ化されるべきであるかを、優先順位すなわち構文における優先度の強弱によって、あらかじめ暗黙に定めた規則である。数学ではしばしば、目的のために新しい演算子を導入することがあるが、そういう場合に優先順位があるのなら共通の暗黙の諒解は無いのだから規則を明示する必要がある。また、プログラミング言語では以下に述べるような規則の場合もあるが、APLのように優先順位は無く常に右から左に計算する、というような言語もあるといったように、その言語の設計者の考え方次第である。
算数（初等教育での数学）などが採用している規則では、乗除の演算子は加減の演算子より優先順位が高い。この規則により、2 + 3 × 4 という式における結び付きは、括弧で明示すると 2 + (3 × 4) となる。優先順位があることで、グループ化の明示のための記号である ( と )、{ と }、[ と ] などといった括弧の多用がある程度緩和される。
例えば、一般に多項式は、
といったような形で暗黙の優先順位を利用して書かれるが、もし優先順位が無かったら、
と書かねばならない。
一方で、演算子の優先順位があるために、括弧の多用が必要になる場合もある。前述の多項式をホーナー法で計算する場合、次の式のように変形するのであるが、
もし、演算子の優先順位が無く、左から右に計算するという規則だけだったならばこの式には括弧は不要である。
以上のように、演算子の優先順位というものは、そのような規則があったほうが良い場合のほうが比較的多いため、広く使われている暗黙の規則、という程度のものである。
数学史的には、代数学的記法が導入された際、乗法が加法より優先されるようになった。したがって、3 + 4 × 5 = 4 × 5 + 3 = 23 となる。冪乗が16世紀から17世紀に導入されたとき、加法と乗法より優先されるとされ、底の右肩に冪指数を記述するようになった。したがって 3 + 52 = 28 であり、3 × 52 = 75 となる。演算順序を変えたい場合、かつては（オーバーラインまたは下線）を使っていた。今日では括弧を使って、先に評価すべき式の部分を明示的に囲む。したがって、乗法の前に加法を行うなら (2 + 3) × 4 = 20 などとし、冪乗の前に加法を行うなら (3 + 5)2 = 64 などとする。