部分群
群 "G" の部分集合 "H" が "G" の部分群（）であるとは、 "H" が "G" の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 "H" が "G" の部分群であるとは、"G" 上の演算を制限して得られる "H" 上の演算に関して "H" が群になることである。この関係は通常、
という記号で表現され、「 "H" は "G" の部分群である」と読む。
"G" の真部分群（）とは、部分群 "H" が "G" の真部分集合である（つまり "H" ≠ "G" である）ことであり、この関係は "H" &lt; "G" という記号で表現される。任意の群 "G" に対し、"G" 自身と単位元のみからなる集合 {"e"} は常に "G" の部分群である。 "H" が "G" の部分群であるとき、 "G" は "H" の拡大群であると表現する場合がある。
"G" が任意の半群であるときも、"G" の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 "G" は順序対 ("G", ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、"G" を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。
以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 "a" ∗ "b" を単に "ab" と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。