ヤコビ法
ヤコビ法（ヤコビほう）とはformula_1元の連立一次方程式formula_2を反復法で解く手法の1つである。ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの名前にちなむ。
formula_1次正方行列formula_4は、上三角行列formula_5、下三角行列formula_6、対角行列をformula_7とすると、"formula_8"と書ける。このようにすると、まず以下のような変形ができる。
formula_9
この式を満たす"formula_10"を求める。初期値formula_11に対して、
formula_12回目の反復で得られたformula_13の値をformula_14と書くと、
以下のような反復法の漸化式ができる。
formula_15
この式は以下のように変形できる。
formula_16
もし、解が収束した場合、その場合はformula_17とformula_14は共通の値formula_19を持つことになる。このとき、
formula_20
となり、変形していくと元の連立方程式の形に戻る。
したがって、ヤコビ法で解が収束した場合、その解は連立方程式の解となる。
また、その収束の十分条件は、係数行列の対角要素の絶対値が非対角要素の絶対値よりも相対的に大きい場合、すなわち対角優位な行列である場合に収束する。これはガウス＝ザイデル法も同様である。
ヤコビ法の式はベクトルformula_21の各成分ごとに次のような式で書くことができ、数値解析ではこの式が用いられる。
formula_22
ガウス＝ザイデル法とヤコビ法を加速する方法としてはSOR法が知られている。