局所体
局所体(きょくしょたい、)とは、離散付値に対して完備であり、剰余体が有限体である付値体のことである。
局所体の定義としては、上に挙げたもの以外にもいくつかあり、そのうちの代表的なものを挙げる。これらは互いに同値な定義である。
応用上、局所体を"p"進体もしくは有限体係数の1変数ベキ級数体の有限次代数拡大体に限定することも多い。
その場合、局所体を
と定義されることもある。このとき、大域体から局所体を得ることを局所化という。
上記の定義の他に、実数体や複素数体も局所体に含めることもある。これらが
と、上記局所体の定義とよく似た性質を持っているからである。
この場合、非アルキメデス付値による局所体を非アルキメデス的局所体、アルキメデス付値による局所体をアルキメデス的局所体という。
しかし実数体(複素数体)と "p"進体または1変数ベキ級数体とでは性質の異なる部分が多いので、ここでは当初の定義通り、特に断らない限り局所体といった場合、実数体や複素数体は含まれないとする。しかし、局所体との類似点や相違点を知るために、局所体の性質に対応する実数体や複素数体の結果も記述することにする。
なお、この項では局所体としての性質を記述し、"p"進体もしくはベキ級数体固有の性質については述べない。それらに対する詳細は個々の記事を参照のこと。