短時間フーリエ変換
短時間フーリエ変換（たんじかんフーリエへんかん、short-time Fourier transform、short-term Fourier transform、STFT）とは、関数に窓関数をずらしながら掛けて、それにフーリエ変換すること。音声など時間変化する信号の周波数と位相（の変化）を解析するためによく使われる。
理論上フーリエ係数を求めるには無限の区間に渡って積分を行わなければならないが、実験値等からフーリエ係数を求めるには範囲を区切らなければならない。そのために、ある範囲の実験値のフーリエ係数を求めるには、このある範囲の実験値が周期的に無限に繰り返されていると仮定して計算するのが一般的である。だがここで問題なのは、ある範囲の最初の値と最後の値を無理やりつなげることによって発生する不連続な要素である。これを解決するため、中央が 1 付近の値でその範囲外で 0 に収束する関数を掛けて、不連続な要素を極力排除することが行われる。これが短時間フーリエ変換である。このとき、この掛け合わせる関数を窓関数と言う。
STFTは以下のように数式表現できる（formula_1は虚数単位）：
ここでformula_2は窓関数であり、普通formula_3付近に中心をもつ山の概形をしていて、formula_3の付近から離れると 0 になる関数である。またformula_5は変換される関数（信号）である。そして、formula_6は時刻formula_7角周波数formula_8のスペクトルを表現する複素数である。
離散時間に関するSTFTは次のようになる：
連続時間での式と同様にformula_9は窓関数、formula_10は変換される関数である。この式ではformula_11が離散値であるがformula_8が連続でもよい。しかし通常高速フーリエ変換を用いて計算機で計算されるので、formula_8も離散化される。
STFTの絶対値を2乗することで、パワースペクトルの時間変化が得られる：
また、位相スペクトルの時間変化は、STFTの偏角で得られる：