ラムゼーの定理
ラムゼーの定理（ラムゼーのていり）とは、数学の組合せ論における次の二つの定理のことである(フランク・ラムゼイ, 1930)。
以下、これを満たす最小の"R" を"R""r" ("s"; "k"1, "k"2, ..., "k""r")とおく。
有限ラムゼーの定理は無限ラムゼーの定理から従う。その証明は英語版を参照のこと。
鳩の巣原理から、"s"=1のとき、"R""r" (1; "k", "k", ..., "k" )=("k" -1)"r" +1ととれる。つまり、ラムゼーの定理は鳩の巣原理の一般化といえる。また、"R"2 (3, 3)=6は「6人いれば、互いに知り合いである3人組か、互いに知り合いでない3人組が存在する」として有名である。
"s"=2 とするとき、次の結果が得られる。この結果がラムゼーの定理として言及されることも多い。
"r", "k"1, "k"2, ..., "k""r"を2以上の整数とする。このとき、次の性質を満たす"R""r" ("k"1, "k"2, ..., "k""r")が存在する："n"≥ "R" ("k"1, "k"2, ..., "k""r")ならば、"n" 個の点からなる完全グラフの辺をどの様に"r" 色に彩色してもある"i" に対して、"k""i"個の点からなる色"i" の完全グラフが存在する。
ラムゼーの定理に類似した定理として、ファン・デル・ヴェルデンの定理など多くの種類の定理が知られている。最近になって、これらの一般化であるHales-Jewettの定理が発見され、これにより、一連の類似した定理は一つの理論として確立した。