四维矢量

在相对论里，四维向量（four-vector）是实值四维向量空间里的矢量。这四维向量空间称为闵考斯基时空。四维向量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵考斯基时空内的任何一点，都代表一个「事件」，可以用四维向量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维向量，通过劳仑兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维向量。
本文章只思考在狭义相对论范围内的四维向量，尽管四维向量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。
数学性质.
在闵考斯基时空内的任何一点，都可以用四维向量（一组标准基底的四个坐标） formula_1 来表示；其中，上标 formula_2 标记时空的维数次序。称这四维向量为「坐标四维向量」，又称「四维坐标」，定义为
其中，formula_4 是光速，formula_5 是时间，formula_6 是位置的三维直角坐标。
为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 formula_7 。
「四维位移」定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 formula_8 表示为
带有上标的四维向量 formula_10 称为反变矢量，其分量标记为
假若，标号是下标，则称四维向量 formula_12 为协变矢量。其分量标记为
在这里，闵考斯基度规 formula_14 被设定为
采用爱因斯坦求和约定，则四维向量的协变坐标和反变坐标之间的关系为
闵考斯基度规与它的「共轭度规张量」 formula_17 相等：
劳仑兹变换.
给予两个惯性参考系 formula_19、 formula_20 ；相对于参考系 formula_19，参考系 formula_20 以速度 formula_23 移动。对于这两个参考系，相关的「劳仑兹变换矩阵」 formula_24 是
其中，formula_26 是劳仑兹因子，formula_27是「贝塔因子」。
对于这两个参考系 formula_19、 formula_20 ，假设一个事件的四维坐标分别为 formula_30、 formula_31 。那么，这两个四维坐标之间的关系为
其中，formula_34 是 formula_35 的反矩阵，
将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到
因此，可以找到劳仑兹变换矩阵的一个特性：
其中，formula_39 是克罗内克函数。
另外一个很有用的特性为
给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过劳仑兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维向量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程式表示，对于两个参考系 formula_19、 formula_20，具有这种有用性质的四维向量 formula_10 、formula_44 满足
在计算这四维向量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维向量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。
假设一个物体运动于闵考斯基时空。在「实验室参考系」里，物体运动的速度随著时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为「瞬间共动参考系」（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的「瞬间静止参考系」。随著物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。随著这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 formula_47 。这就好像给物体挂戴一只手表，随著物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。
这物体的运动可以用一条世界线 formula_48 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 formula_49 与从别的惯性参考系 formula_19 所观测到的微小时间间隔 formula_51 的关系为
所以，固有时 formula_47 对于其它时间 formula_5 的导数为
闵考斯基内积.
在闵考斯基空间里，两个四维向量 formula_56 与 formula_57 的内积，称为闵考斯基内积，以方程式表示为：
由于这内积并不具正定性，即
可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。
许多学者喜欢使用相反正负号的 formula_60：
这样，formula_56 与 formula_57 的内积改变为
其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。
从参考系 formula_19 改换至另一参考系 formula_66 ，formula_56 与 formula_57 的内积为
所以，在闵考斯基时空内，两个四维向量的内积是个不变量：
四维向量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：
动力学实例.
四维速度.
设想一个物体运动于闵考斯基时空，则其世界线的任意事件 formula_74 的四维速度 formula_56 定义为
其中，formula_77 是三维速度，或经典速度矢量。
formula_56 的空间部分与经典速度 formula_79 的关系为
四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：
在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为
其方向与瞬间共动参考系的第零个基底向量 formula_83 同向；
其中，formula_84 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。
四维加速度.
四维加速度 formula_85 定义为 
经过一番运算，可以得到劳仑兹因子对于时间的导数：
其中，formula_88 是经典加速度。
所以，四维加速度 formula_85 可以表示为
由于 formula_91 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵考斯基内积等于零：
对于每一条世界线，这计算结果都成立。
注意到在瞬间共动参考系里， formula_93 只有时间分量不等于零，所以， formula_85 为的时间分量为零：
四维动量.
一个静止质量为 formula_96 的粒子的四维动量 formula_97 定义为
经典动量 formula_99 定义为
其中，formula_101 是相对论性质量。
所以，formula_97 的空间部分等于经典动量 formula_99 ：
四维力.
作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：
提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：
因此，四维力可以表示为
经典力 formula_108 定义为
所以，formula_110的空间部分等于 formula_111 ：
物理内涵.
在四维向量的表述里，存在著许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。
质能方程式.
假设，在微小时间间隔 formula_113 ，一个运动于时空的粒子，感受到作用力 formula_108 的施加，而这粒子的微小位移为 formula_115 。那么，作用力 formula_108 对于这粒子所做的微小机械功 formula_117 为
因此，这粒子的动能的改变 formula_119 为
粒子的动能 formula_121 对于时间的导数为
将前面经典力和经典速度的公式带入，可以得到
这公式的反微分为
当粒子静止时，动能等于零。所以，
这公式的右手边第二个项目就是静止能量 formula_126 。动能 formula_121 加上静止能量 formula_128 等于总能量 formula_129 ：
再加简化，以相对论性质量 formula_101 表示：
这方程式称为质能方程式。
能量-动量关系式.
使用质能方程式 formula_133 ，四维动量可以表示为
四维动量与自己的内积为
改以四维速度来计算内积：
所以，能量-动量关系式为
电磁学实例.
四维电流密度.
在电磁学里，四维电流密度 formula_138 是一个四维向量，定义为
其中，formula_140 是电荷密度，formula_141 是三维电流密度。
在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度 formula_142 。四维电流密度与四维速度的关系为
电荷守恒定律能以三维矢量表示为
这定律也能以四维电流密度表示为
从这方程式，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。
电磁四维势.
电磁四维势是由电势 formula_146 与矢量势 formula_147 共同形成的，定义为
黎曼-索末菲方程式表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系：
其中，formula_150 是磁常数，formula_151 是达朗贝尔算符，又称为四维拉普拉斯算符。
四维频率和四维波矢量.
一个平面电磁波的四维频率 formula_152 定义为
其中，formula_154 是电磁波的频率，formula_155 是朝著电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零：
一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 formula_157 来描述：
其中，formula_159 是三维波矢量。
四维波矢量与四维频率之间的关系为