商群

在数学中，商群（quotient group）或因子群（factor group）是通过保持群结构的等价关系来把较大群中的类似元素聚类而产生的群。例如，加法模 formula_1 的循环群是由在整数加法群中将相差 formula_1 倍的整数定义为一类（称为同余类）得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。
给定一个群 formula_3 和 formula_3 的一个正规子群 formula_5 formula_3 在 formula_5 上的商群或因子群，直观上是把正规子群 formula_5 「萎缩」为单位元的群。商群写为 formula_9 ，念作 formula_3 模 formula_5（「模」对应英文 mod，是 module 的简称）。
商群的重要性很大程度上源自他们与同态的关系。第一同构定理指出，任意群 formula_3 在同态下的像总是同构于 formula_3 的商。具体而言，同态 formula_14 下 formula_3 的像同构于 formula_16 ，其中 formula_17 代表 formula_18 的核。
如果 formula_5 不是正规子群，仍可定义 formula_3 关于 formula_5 的商，但 formula_9 将不是群，而是一个齐性空间。
群的子集的乘积.
在随后的讨论中，我们将使用在 formula_3 的子集上的二元运算：如果给出 formula_3 的两个子集 formula_25 和 formula_26 ，我们定义它们的乘积为 formula_27 。这个运算符合结合律，并有单元素集合 formula_28 作为单位元，这里 formula_29 是群 formula_3 的单位元。因此，由 formula_3 的所有子集构成的集合和这个运算构成一个幺半群。
凭借这个运算我们可以首先解释商群及正规子群的定义：
它完全由包含 formula_28 的子集所确定。 formula_3 的正规子群是在任何这种划分中包含 formula_29 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。
群 formula_3 的子群 formula_5 是正规子群当且仅当陪集等式 formula_39 对于所有 formula_3 中的元素 formula_41 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算， formula_3 的正规子群是交换于 formula_3 的所有子集的子群，记作 formula_44 。置换于 formula_3 的所有子群的子群叫做可置换子群。
定义.
设 formula_5 是群 formula_3 的正规子群。我们定义集合 formula_9 是 formula_5 在 formula_3 中的所有左陪集所构成的集合，即 formula_51 。群 formula_9 上的群运算定义如上。换句话说，对于每个 formula_9 中的元素 formula_54 和 formula_55 ， formula_54 和 formula_55 的乘积是 formula_58 。这个运算是闭合的，因为 formula_58 是一个左陪集：
上述等式用到了 formula_5 的正规性。因为 formula_5 
是正规子群， formula_5 在 formula_3 中的左陪集和右陪集相等，所以 formula_65 也可以定义为 formula_5 在 formula_3 中所有的右陪集的集合。因为运算是从 formula_3 的子集的乘积得出的，这个运算有良好定义（不依赖于表示的特定选择），符合结合律，并有 formula_5 作为单位元。 formula_9 的元素 formula_54 的逆元是 formula_72 ，其中 formula_73 是 formula_41 在群 formula_3 中的逆元。
定义的动机.
formula_9 被称为商群的契机来自整数的除法。 formula_77 除以 formula_78 时之所以会得到 formula_79 是因为我们可以把 formula_77 个对象重新分组为各含 formula_78 个对象的 formula_79 个子集。商群的诞生出于同样的想法，但用一个群作为最终结果而非一个整数，因为比起任意对象构成的集合，群有更严密的结构。
更细致的说，当 formula_5 是 formula_3 的正规子群时， formula_9 这一群结构形成了一种自然的「重新分组」。它们是 formula_5 在 formula_3 中陪集。因为这种运算涉及一个群和它的正规子群，最终我们得到的商不只是陪集的（正常除法所产生的）数目，还包含更多的信息，得到了一个群结构。
性质.
商群 formula_90 同构于平凡群（只有一个元素的群），而 formula_3 关于平凡群的商群 formula_92 同构于 formula_3 。
formula_9 的阶定义为 formula_95 ，它是 formula_5 在 formula_3 中的子群的指标（index）。如果 formula_3 是有限群，指标等于 formula_3 的阶除以 formula_5 的阶。注意 formula_3 和 formula_5 都是无限群的时候 formula_9 可以是有限的（比如 formula_104 的阶是 formula_105 ）。
有一个“自然”满射群同态 formula_106 ，把每个 formula_3 的元素 formula_108 映射到 formula_108 所属于的 formula_5 的陪集上，即 formula_111 。映射 formula_112 有时叫做「 formula_3 到 formula_9 上的规范投影」。它的核是 formula_5 。 
在包含 formula_5 的 formula_3 的子群和 formula_9 的子群之间有一个双射映射；如果 formula_119 是 formula_3 中一个包含 formula_5 的子群，则对应的 formula_122 的子群是 formula_123 。这个映射对于 formula_3 的正规子群和 formula_122 也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。
如果 formula_3 是阿贝尔群、幂零群或可解群，则 formula_9 也是。
如果 formula_3 是循环群或有限生成群，则 formula_9 也是。
如果 formula_5 被包含在 formula_3 的中心内，则 formula_3 也叫做这个商群的中心扩张。
如果 formula_119 是在有限群 formula_3 中的子群，并且 formula_119 的阶等于 formula_3 的阶的一半，则 formula_119 必然是正规子群，因此 formula_122 存在并同构于 formula_139 。这个结果还可以陈述为“任何指标为 formula_105 的子群都是正规子群”。这一结论也适用于无限群。
所有群都同构于一个自由群的商。
有时但非必然的，群 formula_3 可以从 formula_9 和 formula_5 重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。 formula_144 同构于 formula_145 ，并且还同构于 formula_146 ，但是其唯一的半直积是直积，因为 formula_145 只有一个平凡的自同构。所以 formula_148 不同于 formula_149 ，它不能被重构。