动力系统

动力系统（dynamical system），是数学中用函数描述环绕空间中某点随时间的变化情况的系统，例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。对时空测量的不同选择中，最一般的定义统一了数学中的数个概念，如常微分方程和遍历理论。时间可用整数、实数或复数甚至更一般的代数对象来度量；空间可以是流形，也可以是集合，无需在其上定义光滑的时空结构。
在动力系统中有所谓「状态」的概念，是一组可确定的实数。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规律，描述了当前状态会如何产生未来状态。这种规则是确定的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。不过也有随机的系统，因为随机事件也会影响状态变量的演化。
若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态，则这个动力系统为离散动力系统；若时间连续，就得到一个连续动力系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间，我们就称它为一个光滑动力系统。
物理学中的动力系统被描述为“状态随时间变化，并因此服从涉及时间导数的微分方程的粒子（群）”。要预测系统未来的行为，需要通过计算机模拟实现这些方程式的分析求解或随时间积分。
对动力系统的研究是动力系统理论的重点，其在数学、物理学、生物学、化学、工程学、经济学、历史学和医学等众多领域都有应用。动力系统是混沌理论、逻辑斯谛映射动力学、分岔理论、自组装和自组织过程与混沌边缘概念的基本组成。
概览.
动力系统的概念源于牛顿力学。与其他自然科学和工程学科一样，动力系统的演化规则是一种蕴含关系，只给出系统在未来很短时间内的状态（这关系可能是微分方程、递推方程或其他时标微积分）。要确定未来所有时刻的状态，就要多次迭代这关系，每次前进一小步。迭代过程称为“求解系统”或“积分系统”。若系统可解，则给定初点，便可能确定未来所有时刻的位置，其集合称作轨迹（trajectory）或轨道（orbit）。
在计算机发明之前，寻找轨道需要复杂的数学技术，且只能针对一小类动力系统。电子计算机上实现的数值方法大大简化了确定轨迹的过程。
对简单动力系统来说，有轨迹就够用了。但大多数动力系统都过于复杂，无法用单个轨迹求解。出现困难的原因主要有：
历史.
许多人视法国数学家及物理学家庞加莱为动态系统的创始者。他发行了两份现在被誉为经典的专著：天体力学的新方法《天体力学的新方法》（New Methods of Celestial Mechanics，1892–1899）、《天体力学讲义》（Lectures on Celestial Mechanics，1905–1910）。专著中，他成功将研究结果应用在三体问题，并详细研究其状态（频率，稳定性等）。作品中也包含庞加莱复现定理（Poincaré recurrence theorem），该定理指出某些系统在经过足够长但有限的时间之后，将返回到非常接近初始状态的状态。
俄罗斯数学家李亚普诺夫发展许多重要的近似方法。他在1899年发展出的方法，使得定义常微分方程组的稳定性是可行的。 他也创造了动态系统稳定性的现代理论。
美国数学家伯克霍夫在1913年证明了庞加莱的（Last Geometric Theorem），一个三体问题的特殊形况。在1927年，他则发行了《动态系统》（"Dynamical Systems"）。在1931年，伯克霍夫发现了最使他名留青史的结果，现在称作遍历定理。
美国数学家斯梅尔也对动态系统作出重大贡献。他的贡献马蹄映射推动了动态系统重要研究，此外他还勾划出研究计划，让很多研究者实行。
乌克兰数学家在1964年给出关于离散动力系统的，此定理的一个含义是，如果实数轴上的离散动态系统具有周期为3的周期点，那么它必定具有任意周期的周期点。
正式定义.
在最一般的意义上，动力系统是多元组("T", "X", Φ)，其中"T" 是幺半群，"X"是非空集，Φ是函数
其中
formula_4:
令formula_7，formula_8、formula_9。
特别地，若formula_10，则formula_4：formula_12，因此Φ定义了T在X上的幺半群作用。
Φ("t","x")是动力系统的演化函数，将集合X中的点x与唯一的像联系起来，取决于变量t，即演化参数。X称作相空间或状态空间，而变量x则代表系统的初始状态。
一般记
两个变量之一往往取常数。函数
称为过x的流，其图形称为过x的轨迹。集合
称为过x的轨道。
注意，过x的轨道是过x的流的像。
若formula_17：
则状态空间X的子集S称为Φ-不变量，特别地，若"S"是Φ-不变量，那么formula_19。也就是说，对S中每个元素，过x的流必须在所有时刻都有定义。
更常见的动力系统定义有两类：一种受常微分方程启发，具有几何性质；另一种受遍历理论启发，具有测度论性质。
几何定义.
几何定义中，动力系统是多元组formula_20。formula_21是时域——有很多选择，一般是实数或复数，可能限制为非负。formula_22的连续情形是流形，即局部为巴拿赫空间或欧氏空间，离散情形是图。"f"是演化规则"t" → "f" "t"（formula_23），使"f t"是流形到自身的微分同胚。所以，f是时域formula_24到流形到自身的微分同胚空间的“光滑”映射。换句话说，对时域formula_24内的每一时刻t，"f"("t")都是微分同胚。
实动力系统.
实动力系统、实时动力系统、连续时间动力系统或流是多元组("T", "M", Φ)，其中formula_26是开区间，"M"是局部微分同胚于巴拿赫空间的流形，Φ是连续函数。若Φ还可微，则称系统是可微动力系统。若流形"M"局部微分同胚于R"n"，则称系统有限维；否则称系统无限维。注意，这并不假定存在辛结构。"T"取实数时，系统称为流；若"T"还限制为非负，则系统是半流（semi-flow）。
离散动力系统.
离散动力系统、离散时间动力系统是多元组("T", "M", Φ)，其中"M"是局部微分同胚于巴拿赫空间的流形，Φ是函数。"T"取整数时，系统称为级（cascade）或映射（map）；若"T"还限制为非负，则系统是半级（semi-cascade）。
元胞自动机.
元胞自动机是多元组("T", "M", Φ)，其中"T"是格子，如整数或更高维的整格；"M"是从整格到有限集的函数；Φ是（局部定义的）演化函数。这样，元胞自动机也是动力系统。"M"中的格子代表“空间”格，"T"中的格子代表“时间”格。
多维推广.
动力系统通常定义在时间这一单一自变量上。更普遍的一类系统定义在多个自变量上，称为多维系统，适用于建模，例如数字图像处理。
动力系统的紧化.
给定局部紧豪斯多夫拓扑空间X上的全局动力系统(R, "X", Φ)，研究Φ到X的单点紧化X*的连续扩张Φ*通常是有用的。虽然失去了原系统的微分结构，但现在我们可以利用紧性来分析新系统(R, "X*", Φ*)。
在紧动力系统中，任何轨道的极限集都是非空单连通紧空间。
测度论定义.
动力系统可正式定义为一个测度空间的保测变换，即三元组("T", ("X", Σ, "μ"), Φ)。其中"T"是幺半群（往往是非负整数），"X"是集合，("X", Σ, "μ")是概率空间，即Σ是X上的σ-代数，μ是("X", Σ)上的有限测度。现有映射Φ: "X" → "X"，当且仅当formula_27都有formula_28，称Φ是Σ-可测函数。当且仅当formula_27都有formula_30，称映射Φ保测。综上所述，映射Φ是"X" 的保测变换，若它是"X"到自身的Σ-可测、保测变换。三元组("T", ("X", Σ, "μ"), Φ)中的Φ有这样的性质时，形成了动力系统。
映射Φ体现了动力系统随时间的演化。因此，离散动力系统研究了每个整数n的迭代函数formula_31；连续动力系统的映射Φ被理解为有限时间演化映射，构造更为复杂。
与几何定义的关系.
测度论定义假定存在保测变换。任一演化规则可能都关联于许多不同的不变测度。若动力系统由微分方程给出，则必须确定适当的测度，这使得由微分方程出发发展遍历理论变得困难。因此，在遍历理论中给出以动力系统为动机的定义就变得很方便，这可以避开选择测度，假定测度已选好。简单的构造（有时称为克雷洛夫–博戈柳博夫定理）表明，对一大类系统来说，总可以构造出一类测，使动力系统的演化规则成为保测变换。在构造中，状态空间的给定测度是轨迹所有未来点的总和，从而确保了不变性。
部分系统有自然测度，如哈密顿系统中的刘维尔定理，是在其他不变测度（如哈密顿系统周期轨道支持的测度）的基础上选出的。对于混沌耗散系统，不变测度的选择在技术上更有挑战性：测度需在吸引子上得到支持，但吸引子的勒贝格测度为0，因此不变测度必须是关于勒贝格测度的奇异测度。这意味着，在演化过程中，相空间的小片区域会收缩。
对于双曲动力系统，西奈–吕埃勒–鲍恩测度似乎是自然的选择。它们建立在动力系统稳定流形与不稳定流形的几何结构上；在微扰下具有物理行为；可以解释许多观察到的双曲系统统计量。
动力系统的构建.
正如前几节所述，“随时间演化”的思想是动力系统理论的核心，因为理论的初始动机来自经典力学系统的时间行为研究。但常微分方程系统在成为动力系统之前要先求解，例如，考虑以下初值问题：
其中
方程中不需要高阶导数，也不需要"v"("t","x")中的参数t，因为它们都可通过考虑更高维的系统来消除。
根据这一向量场的特性，动力系统可称为
解可用标准常微分方程技术求得，并表为上述演化函数
则动力系统就是("T", "M", Φ)。
对上述微分方程系进行一些形式化处理，可得到动力系统必须满足的更一般的方程形式
其中<math>\mathfrak{G}: