作用量

在物理学里，作用量（英语：action）是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用来分析物理系统的运动，所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态，然后，经过求解作用量的平稳值，就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。
历史.
皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。
戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。
1744年，皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值；他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。
莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是formula_1。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到连心力作用时，正确的抛射体运动。
在此以后，许多物理学家，包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理查德·费曼等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
概念.
微分方程式时常被用来表述物理定律。微分方程式指定出，随著极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。
作用量方法是一种全然不同的方法，它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变数在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算，可以得到，此变数在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程式方法所得到的答案完全相同。
哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程式，也可以用一个等价的积分方程式来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。
用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何微扰必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程式。
作用量形式.
在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
作用量（泛函）.
最常见的作用量是一个泛函formula_2，输入是参数为时间与空间的函数，输出是一个纯量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点formula_3，formula_4之间广义座标formula_5的演变。
作用量formula_2定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量formula_7对于时间的积分：
根据哈密顿原理，正确的演化formula_9要求平稳的作用量formula_2（最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程式。
简略作用量（泛函）.
简略作用量也是一个泛函，通常标记为formula_11。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量formula_11定义为广义动量formula_13沿著路径的积分：
其中，formula_15是广义座标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量formula_11是平稳的。
哈密顿主函数.
哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程式定义的。哈密顿-雅可比方程式是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数formula_17与泛涵formula_2有密切的关系。固定住初始时间formula_3和其对应的座标点formula_20；而准许时间上限formula_4和其对应的座标点formula_22的改变。取formula_4和formula_22为函数formula_17的参数。换句话说，作用量函数formula_17是拉格朗日量对于时间的不定积分：
更加地，可以证明formula_28是某常数向量formula_29。所以，
哈密顿特征函数.
假若，哈密顿量formula_31是守恒的；
其中，formula_33是常数。
设定哈密顿特征函数formula_34为
则哈密顿特征函数formula_34是一个作用量。
更加地，
对于时间积分：
这正是简略作用量的方程式。
哈密顿-雅可比方程的其他解.
哈密顿-雅可比方程式是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程式是完全可分的；则哈密顿主函数formula_39分出的每一个项目formula_40也称为"作用量"。
作用量-角度座标.
这变数formula_41称为广义座标formula_44的作用量；相应的正则座标是角度formula_45。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量；这里，只有一个纯量变数formula_44被用来积分。作用量formula_41等于，随著formula_44沿著闭路径，formula_49的改变。应用于几个有趣的物理系统，formula_41或者是常数，或者改变非常地慢。因此，formula_41时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。
哈密顿流作用量.
参阅重言1形式。
数学导引.
哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点formula_3、formula_4的运动是正确运动，则作用量泛函formula_2的一次变分formula_55为零。用数学方程式表示，定义作用量为 
其中，formula_57是系统的拉格朗日函数，广义座标formula_58是时间的函数。
假若，formula_5是系统的正确运动，则formula_60。
从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程式．假设formula_5是系统的正确运动，让formula_62成为一个微扰formula_63；微扰在轨道两个端点的值是零：
取至formula_62的一阶微扰，作用量泛函的一次变分为
这里，将拉格朗日量formula_7展开至formula_62的一阶微扰。
应用分部积分法于最右边项目，
边界条件formula_70使第一个项目归零。所以，
要求作用量泛函formula_2平稳。这意味著，对于正确运动的任意微扰formula_62，一次变分formula_74必须等于零：
请注意，还没有对广义座标formula_5做任何要求。现在，要求所有的广义座标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：
在各个物理学领域，拉格朗日方程式都被认为是非常重要的方程式，能够用来精确地理论分析许多物理系统。
对应于广义座标formula_44的广义动量formula_79，又称为共轭动量，定义为
假设formula_7不显性地跟广义座标formula_44有关，
则广义动量formula_84是常数。在此种状况，座标formula_44称为循环座标。举例而言，如果用极座标系formula_86来描述一个粒子的平面运动，而formula_7与formula_88无关，则广义动量是守恒的角动量。