彼得-魏尔定理

彼得-魏尔定理（Peter–Weyl theorem）是调和分析和群表示论中的一组重要定理，于1927年由赫尔曼·魏尔和他的学生证明。该定理刻画了紧群不可约表示的完备性，可以视作有限群表示理论中弗罗贝尼乌斯定理的推广。定理分为三部分：第一部分指出，紧群formula_1的所有有限维不可约的，在formula_1上所有复值连续群函数构成、配备了的空间中稠密。第二部分指出，formula_1在任何一个可分希尔伯特空间上的酉表示都完全可约。第三部分断言，formula_1的所有有限维不可约酉表示的矩阵元构成了formula_1上平方可积的复值函数空间的一组标准正交基。
背景.
20世纪20年代，魏尔在研究广义相对论的数学基础时，对连续群的表示理论产生了兴趣。在研究中，他试图将有限群表示理论中的弗罗贝尼乌斯定理（即有限群可以约化为其所有不可约表示的直和）推广到连续群，尤其是特殊线性群。与此同时，等其它数学家的工作也为研究群表示提供了更强有力的工具。1927年，魏尔在其学生彼得的协助下证明了本定理，断言了紧群不可约表示的完备性。然而，因为魏尔在当时并不知道如何在除紧李群之外的一般紧群上定义群作用下不变的积分，他在证明中不必要地假定了群运算的可微性。这一问题直至1933年才由建立的哈尔测度理论彻底解决。
彼得-魏尔定理在抽象调和分析理论中扮演了重要的角色。正如所述：“现代调和分析发轫于20世纪20年代...她诞生于1927年，而彼得和魏尔的论文是她的出生证明。”此外，冯诺依曼于1933年利用该定理的一个推论，解决了紧群版本的希尔伯特第五问题。
定理的陈述和证明.
定理I.
设formula_1为紧群，formula_7是formula_1上所有复值连续函数构成、配备了一致范数的赋范线性空间，formula_9是formula_1的所有有限维不可约酉表示的矩阵元张成的线性空间，则formula_9在formula_7中稠密。
证明概要.
对formula_13，可以定义卷积算子formula_14：
利用阿尔泽拉引理可以证明，该算子是formula_16上的紧算子。
设formula_17，由formula_1的紧性可知formula_19在formula_1上一致连续。即对任意formula_21，存在群单位元formula_22的邻域的formula_23，使得任意formula_24，都有formula_25。不失一般性，可以假设formula_26。
设formula_27是定义在formula_1上，且支集formula_29的连续实值函数。由乌雷松引理，这样的函数总是存在的。不失一般性，可以假设formula_30且formula_31，因为对任意formula_27总可以通过如下的变换使其满足上述条件：
此时，可以证明formula_34为formula_16上的紧自伴算子。利用紧自伴算子的谱定理，可知：
其中formula_37为算子formula_34本征值为formula_39的有限维本征子空间，formula_40是formula_34的核。因此，formula_42可以写成一列绝对一致收敛的函数项级数和：
故而存在formula_44，使得formula_45，formula_46。
另一方面：
因此：
设formula_49是formula_1的左正则表示，不难证明算子formula_51与formula_34对易，因此本征子空间formula_37也是左正则表示的有限维不变子空间。由于有限维表示完全可约，formula_37可以写成formula_1的有限维不可约酉表示的表示空间的直和。在每个这样的空间formula_56上：
其中formula_58是该不可约表示的矩阵元。这意味着formula_59，进而formula_60。总之，对于任意formula_17，formula_62，都存在formula_9中的某个元素，使得其与formula_19之差的一致范数小于formula_65。这意味着formula_9在formula_7中稠密。
以上证明的思路来自彼得和魏尔的原始论文。实际上，利用和魏尔斯特拉斯逼近定理亦可直接推出本定理。
定理II.
设formula_68是紧群formula_1在可分希尔伯特空间formula_70上的任意酉表示，则formula_70可分解为formula_68的有限维不变子空间的直和，其中每个子空间都承载了formula_1的不可约表示。
证明概要.
设formula_74是formula_70上定义的内积。对任意formula_76，定义算子formula_77：
可证formula_79是formula_70上的非零紧自伴算子，且与formula_81对易。利用紧自伴算子的谱定理，可对formula_70作如下分解：
其中，formula_79的每个有限维特征子空间formula_85又是群表示formula_68的不变子空间，故其可进一步分解为承载formula_1的有限维不可约表示的子空间的直和。
设formula_88是formula_70中可以分解为承载有限维不可约表示的子空间的直和的最大子空间，formula_88是formula_91的正交补。（由佐恩引理，这样做是合法的。）显然formula_91也是formula_68的不变子空间，若formula_91不是零空间，formula_68在formula_91上的限制也是formula_1的酉表示。因此，将以上的论证中的formula_70用formula_91代替，则可立即推出formula_91也有承载formula_1的有限维不可约表示的子空间。这与formula_88的定义矛盾。因此formula_103，定理得证。
定理III.
设formula_1是紧群，则formula_1的所有不等价不可约酉表示的矩阵元的集合formula_106构成formula_16的标准正交基。
证明概要.
注意到formula_7在formula_109中稠密，利用舒尔正交关系和定理I即可得到本定理。
推论.
点分离推论.
由彼得-魏尔定理可以推出如下结论：
设formula_110是紧群formula_1任意非恒等元，则存在formula_1的不可约表示formula_68，使得formula_81不是单位矩阵。换言之，如果formula_110和formula_116属于紧群formula_1，对formula_1的一切不可约表示，formula_110和formula_116的表示矩阵都相同，则formula_121。证明如下：
对任意formula_122，由乌雷松引理，存在formula_1上连续函数formula_19使得formula_125。由彼得-魏尔定理，formula_19可以写成一列绝对一致收敛的矩阵元formula_127的级数和。若对一切不可约表示formula_68，formula_81都是单位阵，则前述级数展开的每一项，都满足formula_130，因此formula_131。这一矛盾意味着必然存在某个不可约表示formula_68，使得formula_81不是单位矩阵。
该推论最早出现在彼得和魏尔的原始论文中，并在相关理论日后的发展过程中发挥了重要的作用。冯诺依曼解决紧群版本的希尔伯特第五问题时，就用到了这一推论。
特征标完备性.
紧群formula_1上群共轭不变的函数构成formula_109的子空间类函数空间。利用彼得-魏尔定理可以推出，formula_1的所有不可约表示的特征标张成的线性空间在类函数空间稠密：
设formula_19是任意共轭不变的函数。由彼得-魏尔定理，对任意formula_62，存在formula_139，使得formula_140。记formula_141为如下积分：
由于formula_139，formula_144，且formula_145。利用舒尔正交关系可证，formula_146可以写成特征标的线性组合。此外，因formula_19共轭不变，注意到以下事实本推论即证：
该推论在连通紧李群表示的分类理论中扮演着重要的角色。