周环

代数几何中，代数簇的周环（得名于周炜良）是簇作为拓扑空间的上同调环的替代品：子簇（所谓代数圈）构成了它的元素，而其乘法结构来自子簇的相交。事实上，两环间有一自然映射，它保持了二者都有的几何概念（例如陈类、相交配对以及庞加莱对偶）。周环的优势在于其几何定义不需使用非代数概念。并且，使用了纯拓扑情况下不可用的代数工具后，某些两环都有的构造在周环中更简单。
有理等价.
定义周环前，我们需先定义“有理等价”。如名字所暗示，它是一个等价关系。假定X是一代数簇，Y、Z是其子簇，若存在一包含于积族P1×X中，且以P1参数化的平坦族，使得Y和Z是它的两个纤维，我们就称Y和Z有理等价。用古典语言来说，我们想要一个积族的子簇，Y和Z是其两纤维，且其所有纤维有相同的希尔伯特多项式。若我们将P1当作一条线，则此概念就是配边的代数模拟。
周环的定义.
有理等价的定义隐含了有理等价的两子簇维数相同。为了构造周环，我们将采用余维数（X本身与子簇的维数差），这样乘积才运行良好。对满足formula_1的整数"k"，我们定义群"A""k"(X)为余维数k的子簇的形式和，再模掉有理等价。
周环自身是它们的直和，即：
环的结构以簇的相交给出：如果两个等价类formula_3和formula_3分别在"A""k"("X")和"A""l"("X")中，我们定义它们的积为
此定义有一系列技术细节，我们将在下面讨论。可以肯定地说，在最好的情形（在有理等价下总成立），此交有余维数"k" + "l"，因而在"A""k" + "l"("X")中。这使得周环成为分次环。周环的元素常被称为“圈”
几何解释.
周环的几何内涵混合了有理等价和相交积，这使得似乎形式的数字系数得以被解释为子簇的度。例如，射影空间P"n"的周环是
formula_7是超平面（单个线性函数的零点轨迹）的有理等价类。更进一步，任何度为d而余维数为k的子簇都有理等价于formula_8。这意味著，如果有两个子簇有互补的维数（它们维数和为n）且度数分别为d、e，则它们的积就是
formula_10是单点的等价类。至少在"Y"和"Z"横截相交时（参见此处），这说明它们恰有de个交点。这实则是贝祖定理。类似于此的观察被极大地推广，产生了计数几何。
函子性.
圈的函子性，即定义在代数圈群"Z*(X)"层面上的平坦拉回和适当前推可扩展至周环，这给出群同态
事实上,formula_13给出在整个周环上的环同态（遵从相交积，至少在集合论层面上这是显然的），但formula_14不行（因为集合论层面上它就不行：我们并不总有formula_14）。但是我们有所谓“投影公式”：对"X"的子簇"Y"和"X′"的子簇"Y′"，
上同调联系.
周环非常像X上的整值上同调。事实上，有显然的映射
（以上记号代表在偶维数生成的上同调环）。它将每个有理等价类formula_3先送到由闭子簇"Y"决定的同调类，再送到它的庞加莱对偶（这解释了偶维数：复代数簇总有偶实维数，因此决定了偶维数的同调类）。可以证明，同一个有理等价类被送到同一个上同调类。更进一步，庞加莱对偶性的一部分说明同调类的相交积对应于上同调类的杯积，因此这映射是环同态。
有不少事实对周环和上同调环有完全相同的形式。例如推拉公式在同调和上同调中都成立。进一步，一基本结果声称，Pn的上同调环和以上给出的周环是一样的，乃至formula_7的解释都一样（这说明，对射影空间，实际上上一段定义的映射formula_7是同构）。但是对此结果，上同调证明技巧性颇高。相反，对周环我们给出一个相当简单的几何证明：
首先，设H为一超平面，从而同构于P"n" − 1。任何另外的超平面"J"有理等价与它，因为若它们分别由线性形式"L"和"M"定义，我们可以把它们当成Pn中的点（通过其系数），由此可得它们间唯一的线。线上的点都是线性形式，从而定义了一族超平面，且由构造"H"和"J"皆在其中。formula_21是"H"中的超平面，且由定义它的等价类为formula_22。这样我们便有一族超平面，其中每个都嵌在前一个中，依次同构与对应的射影空间且等价于formula_7的幂。
鉴于这些发现，我们考察任意余维数"k"度数"d"的子簇。如果"k"=0，那么"Y"必须等于P"n"本身，因为射影空间不可约。如果"k"不是0，不妨假定H由令最后一个座标为0定义，且formula_24不在"Y"中。对每个P1中不是formula_25的点formula_26，定义映射
"Y"在这些映射下的像形成了一个在P1除去一点上的簇族。我们在 P1 × Pn中取闭包来得到"Y"的有理等价（这是一个等价关系得自一个非平凡但标准的事实：取闭包对应于取“平坦极限”）。如此，无穷远点处的纤维就是"Y"到超平面"H"上的投影，因此有与"Y"相同的度和维数。因为"H"本身就是射影空间，我们可重复此过程直到"Y"维数过大不能继续。由此可得"Y"有理等价与formula_8，而且我们已经找到了积结构。
一个类似的证明建立此定理的推广，在上同调中以勒雷-赫希定理闻名。它用对应纤维丛的陈类和底空间的周环计算了射影空间丛的周环。上同调的证明则要用到谱序列。
某些事实在周环中不成立，但在上同调环中成立。尤其是Künneth公式不成立，尽管勒雷-赫希定理对射影空间的积重建了它。进一步，尽管周环在簇上有逆变函子性，但在代数拓扑的意义下它构不成上同调理论，因为没有“相对周群”的概念。的确，在代数簇中，没有边界的概念，因此正面考虑替代品是无望的。
构造的细节.
上面所给"A"k("X")的构造需要一些关于“模掉有理等价”的说明。相关的技术细节是，就像在计算射影空间周环时一样，有时两个并非簇对应的圈有理等价，尽管有理等价似乎仅仅与集合结构有关。解法是由概形理论而来，即一个由理想层定义的子簇可以被认为有重数"d"如果我们代理想formula_29以formula_30。这样有理等价的古典陈述便不够了，且我们必须密切关注平坦族的细节。最后，等价类的形式和，例如"aY" + "bZ"，应该被认为是“有度的簇”"aY"和"bZ"的不交并，一旦建立了这些约定，我们就可借有理等价为圈的自由阿贝尔群上的等价关系来得到周环。
相交积的定义有点更加复杂。主要问题是在相交中保持正确的维数。如果"Y"和"Z"是两个余维数为"k"和"l"的子簇，它们的交并非总有余维数"k"+"l"。就如平凡的例子，两簇可能完全相同。为了克服此难处，我们可以证明“移动引理”。它断定在任何两个有理等价类中，我们总可以找到一般横截的两代表元，此时它们的交表现良好。子簇的横截性定义类似于流形的：先定义子簇的扎利斯基切空间，它们自然是"X"的切空间的子空间。如果这些子空间张成"X"的切空间，那么此交是横截的。如果横截性在它的一个稠密子集上成立，那么它是一般横截的。
某种意义上，对于可对上同调环证明的事实，声称周环可给出更简单的证明有些狡猾。特别是概形论的构造、平坦族和平坦极限，以及移动引理都解决了大量隐藏于周环下的技术困难。但是，这些技术细节大都是理论的基础，一旦它们被建立，几何上的优势就很明显了。
发展.
周群被拓展至高阶周群，这平行于从"K"0 (零阶代数K-理论)到高阶代数K-理论的拓展。
算术周群是Q上代数簇的周群与记录阿基洛夫理论信息——即有关复流形结构的信息——部分的混合。
历史.
有理等价和环A*在20世纪初由意大利代数几何学派定义，且被Severi和他的学派使用(可参考Severi的论文，他本质上研究了代数曲面S的群A0(S)；也可参阅芒福德论文开头的评论）。
Serge在他1930年的论文中用了对奇异曲线的环A0更精细的研究来描述P2中代数曲面的支线。在1956年周炜良写了一篇重要的论文后，环A*被称作周环。有些几何学家坚持是格罗滕迪克提出将此环命名为周环。