拉格朗日量

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（Lagrangian），又称拉格朗日函数，简称“拉氏量”，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程式表示为
其中，formula_2为拉格朗日量，formula_3为动能，formula_4为势能。
在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加运算，即可求得此系统的运动方程式。
拉格朗日量是因数学家和天文学家约瑟夫·拉格朗日而命名。
在场论，若
formula_5
是作用量，则拉格朗日方程是
formula_6
概念.
拉格朗日量是动能formula_3与势能formula_4的差值：
通常，动能的参数为广义速度formula_10（符号上方的点号表示对于时间formula_11的全导数），而势能的参数为广义座标formula_12，所以，拉格朗日量的参数为formula_13。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定这些参数（广义座标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程式来求得系统的运动方程式。
假设一个物理系统的拉格朗日量为formula_2，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程式表示为
其中，formula_11是时间，formula_17是广义坐标，formula_18是广义速度。
拉格朗日量与作用量的关系.
一个物理系统的作用量formula_19是一种泛函，以数学方程式定义为 
其中，formula_21是系统的拉格朗日量，广义坐标formula_22是时间formula_11的函数，formula_24和formula_25分别为初始时间和终结时间。
假若，作用量的一次变分formula_26，作用量formula_19为平稳值，则formula_28正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算，可以推导出拉格朗日方程式
详尽相关导引，请参阅拉格朗日方程式。
对称性与守恒量.
根据诺特定理，根据物理系统的对称性可以通过拉格朗日量导出守恒量。如果物理系统具有时间平移不变性则可以导出能量守恒。导出过程如下，思考拉格朗日量对于时间的全导数：
将拉格朗日方程式代入，可以得到
定义能量函数formula_31为
则能量函数与拉格朗日量有以下含时关系式：
假若系统具有时间平移不变性，即拉格朗日量显性地与时间无关，formula_34，则能量函数是个常数：formula_35。称这常数formula_36为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。如果系统具有空间平移不变性，这个系统为动量守恒，守恒量动量为 formula_37。
拉格朗日量的逆问题.
1941年杰西·道格拉斯指出，对于任意常微分方程组formula_38，存在作用量formula_39使得其欧拉-拉格朗日方程为方程组formula_40的充分必要条件为：
formula_41
formula_42
formula_43
这一条件又称为亥姆霍兹条件。需要注意的是，这里formula_9不一定成立，作用量中的formula_2可以是经典拉格朗日的变形。例如：方程formula_46，对应的拉格朗日量为formula_47
拉格朗日表述.
重要性.
拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法，他用来推导拉格朗日方程式的平稳作用量原理，现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。
可略坐标和守恒定律.
拉格朗日量有一个优良的性质，那就是守恒定律可以很容易地从它的表达式读出来。例如，假设拉格朗日量formula_2跟某广义速度formula_49有关，而跟广义坐标formula_50无关，则对应的广义动量formula_51是一个守恒量。这种坐标称为「可略坐标」，或「循环坐标」。更详细地说，拉格朗日量的形式为
直接检视，就可以发觉formula_2跟formula_50无关，因此可以推断formula_51是一个守恒量。
以此类推，假设，时间formula_11不在formula_2的表达式里面，则哈密顿量守恒，即能量守恒。这种物理行为是诺特定理的一个特别案例。关于能量守恒问题，稍后会有更详细解说。
经典力学实例.
假设，在三维空间里，一个运动中的粒子的动能为formula_58，势能为formula_59，则拉格朗日量是
其中，formula_61是粒子质量，formula_62是位置向量，formula_63是粒子的速度。
直角坐标系.
采用直角坐标系。那么，拉格朗日方程式就是
其中，formula_65是位置向量formula_62的第formula_67个直角坐标分量。
那么，
这物理系统的运动方程式为
由于势能对于位置的负梯度是作用力：formula_71，所以，
这方程式与牛顿第二定律方程式完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。
能量函数formula_73为
由于拉格朗日量显性地与时间无关，能量函数formula_73是个常数formula_36。
球坐标系.
假设选择球坐标系，则拉格朗日量是
其中，formula_78是径向距离，formula_79是天顶角，formula_80是方位角。
稍加运算，得到运动方程式为：
特别注意，formula_2跟formula_80无关。所以，formula_80是可略坐标，角动量的z-分量formula_87是常数。
检验粒子的拉格朗日量.
假定检验粒子的质量和电荷超小，其对于外在系统的影响可以忽略。检验粒子时常可以想像为简单的质点粒子，只拥有质量和电荷性质。像电子或上夸克一类的真实粒子具有更复杂的性质，它们的拉格朗日量含有更多项目。
狭义相对论里的拉格朗日量.
在狭义相对论的四维空间里，一个移动中的粒子的相对论性拉格朗日量可以写为
其中，formula_61是粒子的静质量，formula_90是光速，formula_63是粒子的速度。
其拉格朗日方程式为
其中，formula_93是劳仑兹因子。
注意到动量formula_94、作用力formula_95。将这些公式代入拉格朗日方程式，就可复制牛顿第二定律的方程式：
因此，这拉格朗日量被认定为正确无误。
这粒子的广义动量formula_97定义为
电动力学里的相对论性拉格朗日量.
一个移动于电磁场的带电粒子的相对论性拉格朗日量可以写为
其中，formula_105是带电粒子的电荷量，formula_106是电势，formula_107是磁向量势。
其拉格朗日方程式为
所以，
注意到作用力formula_110，电场formula_111，磁场formula_112。将这些公式代入上述方程式，经过一番运算，就可以得到劳仑兹力方程式：
这拉格朗日量可以复制出劳仑兹力方程式。因此，这拉格朗日量被认定为正确无误。
协变的拉格朗日量.
前面这些拉格朗日量都不具有协变形式，当变换坐标系时，拉格朗日量的形式可能会有所改变。为了确保这形式不会改变，必须将拉格朗日量写为协变形式。
对于自由粒子，作用量formula_114为
其中，formula_116和formula_117分别是初始时间和终结时间。
为了要使得拉格朗日量具有协变形式，必须引用张量来表达。采用爱因斯坦求和约定，注意到四维速度与自己的内积：
其中，formula_119是四维速度，是四维坐标formula_120对于固有时formula_121的导数（撇号表示对于固有时formula_121的导数）。
将积分元素从微小时间元素formula_123改变为微小固有时元素formula_124，由于formula_125，协变的作用量可以写为
协变的拉格朗日量formula_127变为
其中，formula_129是闵可夫斯基度规。
其拉格朗日方程式为
注意到约束formula_131，这粒子只能运动于四维速度空间内的特定的三维曲面。将这约束代入上述方程式，可以正确地复制自由粒子的运动方程式。
电动力学里的相对论性拉格朗日量的协变表述.
现在假设这粒子是移动于电磁场的带电粒子。电磁场的协变位势可以写为
其中，formula_134是电磁四维势。
协变的拉格朗日量formula_127是
其拉格朗日方程式为
经过一番运算，可以得到
其中，formula_139是电磁张量。
这正是劳仑兹力方程式的协变形式。总结，协变的拉格朗日方程式可以复制出协变的劳仑兹力方程式。
场论例子.
电磁学.
formula_140
formula_141
formula_142
量子电动力学.
formula_143
量子色动力学.
formula_144
杨-米尔斯场论.
包括QED、量子色动力学、等
广义相对论.
广义相对论中拉格朗日量密度为：
formula_145
其中，formula_146为宇宙学常数，formula_147是里奇曲率张量和度规张量的缩并。formula_148被称为爱因斯坦-希尔伯特作用量。广义相对论的拉格朗日量可以写成类似于杨-米尔斯方程的形式，这被称为爱因斯坦-杨-米尔斯作用量。这是注意到大多数微分几何在具有仿射联络和李群的纤维丛上表现得很好后得到的结果。通过加入对称群formula_149就可以得到上面的结果。
通过对formula_150变分得到相应的欧拉-拉格朗日方程：
formula_151
这也被称为爱因斯坦场方程。
formula_152是能动张量，定义如下：
formula_153
其中，formula_154为度规张量的行列式。在广义相对论中，拉格朗日密度积分时的提及元变为formula_155。这使得积分和坐标无关，因为这个平方根就是雅可比行列式。负号是为了使根号下为正。
相对论.
在广义相对论下，包含爱因斯坦-希尔伯特作用量电磁场的拉格朗日密度为：
formula_156
纯的电磁场拉格朗日密度正是物质的拉格朗日量formula_157。将弯曲时空formula_158替换闵氏时空拉格朗日量中的闵可夫斯基矩阵可以简单得到这个形式。我们可以得到在电磁场中的爱因斯坦场方程。能动张量为：
formula_159
能动张量是无迹的：
formula_160
如果同时对爱因斯坦场方程两边同时缩并：
formula_161
这意味着曲率张量也是无迹的，方程可以化简为：
formula_162
另外，弯曲时空的麦克斯韦方程组为：
formula_163
其中，formula_164为协变导数。对于四维时空来说，我们可以假设四维电流为0, formula_165。在自由空间球对称物质分布条件下同时解这两个方程，得到的解是赖斯纳-努德斯特伦度规，在自然单位制下带有电荷量为formula_166的黑洞度规可以写成下面的形式：
formula_167
一个可能的统一电磁场和引力场的理论是卡鲁扎-克莱因理论。卡鲁扎-克莱因理论考虑了一个类似于杨-米尔斯方程的仿射丛，作用量可以分为4维部分和1维部分。不幸的是该理论未能包含全部的标准模型。