特殊酉群

在数学中，formula_1 阶特殊酉群（special unitary group），记作 formula_2，是行列式为 1 的 formula_3 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 formula_3 酉矩阵组成的酉群 formula_5 的一个子群，酉群又是一般线性群 formula_6) 的一个子群。
群 formula_2 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 formula_8 在电弱相互作用与 formula_9 在量子色动力学中。
最简单的情形 formula_10，是平凡群，只有一个元素。群 formula_8 同构于范数为 formula_12 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 formula_8 到旋转群 formula_14，其核为 formula_15。
性质.
特殊酉群 SU("n") 是一个 "n"2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU("n") 的中心同构于循环群 Z"n"。当 "n" ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。
SU("n") 代数由 "n"2 个算子生成，满足交换关系（对 "i", "j", "k", "l" = 1, 2, ..., n）：
另外，算子
满足
这意味着 SU("n") 独立的生成元个数是 "n"2-1。
生成元.
一般地，SU("n") 的无穷小生成元（infinitesimal generator） "T"，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即
以及
基本表示.
在定义或基本表示中，由 formula_3 矩阵表示的生成元是：
从而
我们也有
作为一个正规化约定。
伴随表示.
在伴随表示中，生成元表示由 formula_28 矩阵表示，其元素由结构常数定义：
SU(2).
formula_30 一个一般矩阵元素形如
这里 formula_32 使得 formula_33。我们考虑如下映射 formula_34，（这里 formula_35 表示 2×2 复矩阵集合），定义为
考虑到 formula_37 微分同胚于 formula_38 和 formula_35 同胚于 formula_40，我们可看到 formula_41 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 formula_41 限制在三维球面上，记作 formula_43，我们可发现这是三维球面到 formula_35 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 formula_45，作为一个流形微分同胚于 formula_30，使 formula_30 成为一个紧连通李群。
现在考虑李代数 formula_48，一个一般元素形如
这里 formula_50 以及 formula_51。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成
易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 formula_53 和 formula_54。从而交换子括号由
确定。上述生成元与泡利矩阵有关，formula_56, formula_57 及 formula_58。
SU(3).
SU(3) 的生成元 "T"，在定义表示中为
这里 formula_60 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：
注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。
它们服从关系
"d" 的取值：
李代数.
formula_68 对应的李代数记作 formula_69。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 formula_70 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 formula_71，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 formula_69 是 formula_73 上一个李代数。
例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 formula_74 在 formula_73 上的一组基：
（这里 formula_71 是虚数单位。）
这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。
注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 formula_71）一起
它们也是 formula_74 的生成元。
当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。
注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 formula_83，而在交换子括号下生成李代数 formula_74。
回到一般的 formula_68：
如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 formula_70 矩阵子空间组成一个 formula_87 维嘉当子代数。
将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 formula_70 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 formula_89 只是 formula_87 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 formula_71 个基向量是在第 formula_71 个对角元素为 formula_12 而在其它处为零的矩阵。则权由 formula_1 个坐标给出，而且在所有 formula_1 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。
故 formula_68 的秩是 formula_87，它的邓肯图由 formula_98 给出，有 formula_87 个顶点的链。
它的根系由 formula_100 个根组成，生成一个 formula_87 欧几里得空间。这里，我们使用 formula_1 冗余坐标而不是 formula_87 坐标来强调根系的对称（formula_1 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 formula_87 维向量空间嵌入 formula_1-维中。则根由所有 formula_100 置换 formula_108。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为
它的嘉当矩阵是
它的外尔群或考克斯特群是对称群 formula_113，formula_114-单形的对称群。
广义特殊酉群.
对一个域 "F"，"F" 上广义特殊酉群 SU("p","q";"F")，"F" 上一个秩为 "n"="p"+"q" 的向量空间上使得一个符号为 ("p","q") 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 "F" 上符号为 ("p","q") 的特殊酉群。域 "F" 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。
特别地，固定 GL("n",R) 中一个符号为 ("p","q") 的埃尔米特矩阵，则所有
满足
经常可以见到记号 formula_118 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 "F"=C 时，"A" 的标准选取是
对某些维数 "A" 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。
例子.
这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z["i"])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 formula_120 上作用的基本-{域}-，参见 [https://web.archive.org/web/20090830220526/http://www.esi.ac.at/Preprint-shadows/esi1273.html]。
另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。
重要子群.
在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 "p">1，"n"-"p">1：
为了完整性，还有正交与辛子群：
因为 SU("n") 的秩是 "n"-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU("n") 是多个其它李群的子群：
有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。
最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重复叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。