小世界网路

在网络理论中，小世界网络是指一类特殊的复杂网络结构，在这种网络中大部份的节点彼此并不相连，但绝大部份节点之间经过少数几步就可到达。
在日常生活中，人们或会发现，某些令人认为与自身相隔甚为“遥远”的人，其实与自己甚为“接近”。而小世界网络就是对此种现象（也称为小世界现象）的数学描述。就数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。除社会人际网络外，小世界网络的例子也可见于生物学、物理学、计算机科学等领域中。许多经验中的图可以由小世界网路来作为模型。万维网、公路交通网、脑神经网络和基因网路都呈现小世界网路的特征。
小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）在1998年引进的，将高集聚系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS模型），这也是最典型的小世界网络的模型。
源起.
小世界网络的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。这样的网络会出现在简单网络中没有的特殊拓扑特性。
自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER随机图。ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有formula_1个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数formula_2出发，经过与它相连的节点，逐步“走”到另一个节点formula_3所经过的路途，称为两点间的路径。其中最短的路径也称为两点间的距离，记作formula_4。而平均路径长度定义为：
formula_5
这其中formula_6是节点数目，并定义节点到自身的最短路径长度为0。如果不计算到自身的距离，那么平均路径长度的定义就变成：
formula_7
集聚系数.
集聚系数（也称群聚系数、集群系数）是用来描述图或网络中的顶点（节点）之间结集成团的程度的系数。具体来说，是一个点的邻接点之间相互连接的程度。例如在社交网络中，你的朋友之间相互认识的程度。一个节点formula_8 的集聚系数 formula_9 等于所有与它相连的顶点相互之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。显然 formula_9 是一个介于0与1之间的数。formula_9 越接近1，表示这个节点附近的点越有“抱团”的趋势。
介于随机与规则之间.
对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。例如完全耦合网络（即完全图），每两个节点之间都相连，所以集聚系数是1，平均路径长度是1。然而，现实中的复杂网络是稀疏的，连接的个数只是节点数的若干倍（formula_12），远远不到饱和。如果考虑将节点排列成正多边形，每各节点都只与距离它最近的 formula_13 个节点相连，那么在formula_14比较大，但仍然保证formula_15时，其集聚系数为：
formula_16
虽然能保持高集聚系数，但平均路径长度为：
formula_17
平均路径长度与节点数成正比。
纯粹的随机网络（如ER随机网络模型）有着很小的平均路径长度，但同时集聚系数也很小。可是现实中的不少网路虽然有很小的平均路径长度，但却也有著比随机网路高出相当多的集聚系数。因此瓦茨和斯特罗加茨认为，现实中的复杂网络是一种介于规则网络和随机网络之间的网络。他们把这种特性称为现实网络的小世界特性，就是：
瓦茨-斯特罗加茨模型.
在1998年的同一篇论文中，瓦茨和斯特罗加茨提出了一个模型来解释小世界网络，后来被称为瓦茨-斯特罗加茨模型（简称WS模型）。WS模型是基于两人的一个假设：小世界模型是介于规则网络和随机网络之间的网络。因此模型从一个完全的规则网络出发，以一定的概率将网络中的连接打乱重连。具体的构造如下：
如果概率formula_25，那么重连永远不会发生，最后得到的是原来的规则网络。如果概率formula_26，那么所有的连接都被重连了一次，最后得到的是一个完全的随机网络。而对于概率formula_27的关系，将这两者看作是关于formula_28的函数：集聚系数formula_29，平均路径长度formula_30。他们发现，在formula_28从0变到1的过程中，formula_32下降得很快，而formula_33下降的比较慢。右侧是演示这个关系的一个示意图。图中的横轴是formula_28（使用对数坐标轴表示），纵轴是比值（介乎0与1之间）。蓝色曲线表示formula_32与formula_36之比，红色曲线表示formula_33与formula_38之比。从右图可以看到，蓝色曲线很快就逐渐下降到0.2以下，而红色曲线则直到超过formula_39后才开始有显著下降。当formula_39的时候，formula_33大概还有formula_38八成左右，但formula_32只占formula_36的不到百分之5了。所以对于很小的formula_28，formula_32可以很小，但formula_33可以很大。这正是小世界网络的特征。
更精确的计算指出WS模型的集聚系数是：
而平均路径长度则尚未有精确表达式。
纽曼-瓦茨模型.
不久之后，瓦茨又与英国物理学家提出了另一个稍有不同的模型，称为纽曼-瓦茨模型（NW模型）。其中将重连变成添加链接。具体的构造方法是：第一步与WS模型相同，都是先建立一个规则网络；然后随机选择一对尚未连接的节点，设定有<math>0的概率产生连接。这样重复一定次数，但不允许两节点之间有多于一条连接，也不允许节点与自身相连。
纽曼-瓦茨模型在理论分析上比瓦茨-斯特罗加茨模型要简单一点。当 formula_28 很小而 formula_6 很大的时候，这两个模型本质上是一样的。
小世界网路的性质.
由于小世界网络具有高集聚系数，它的结构中不可避免地会有许多团（彼此之间两两相连的一小群节点）以及只比团差几个连接的节点群。另一方面，任两个结点大多会以至少一条短路径连接著。这是要求有小的最短路径长度平均值的结果。此外，小世界网路常连带地具有一些性质，不过这些性质并不是作为这类网路非有不可的。很典型的是这类网路常常会出现“枢纽”（与很多节点都相连的节点）。
应用.
社会学的应用.
对于社会运动团体来说，小世界网络的优势在于其由于使用高连接节点的过滤装置而具有抗变化的能力，在将连接网络所需的链路数量降到最低的同时，其在信息中转方面也具有更好的效果。
小世界网络模型直接适用于以威廉-菲尼根为代表的社会学论点中的亲和群体理论。亲和群体是指以一个较大的目标或功能为承诺的小型半独立的社会运动群体。虽然在节点层面上基本没有亲和力，但少数高连通性的成员却发挥着连通性节点的功能，通过网络将不同群体联系起来。这种小世界模式已经被证明是一种极其有效的抗议组织策略，反对警察行动Clay Shirky认为，通过小世界网络建立的社会网络越大，网络内高连通性的节点就越有价值，亲和力团体模式也是如此，每个团体内的少数人与外部团体相连，可以进行大量的动员和调整。威廉-芬尼根在提到1999年西雅图WTO抗议活动时概述的通过亲和群体建立的小世界网络就是一个实际的例子。
地球科学的应用.
地质学和地球物理学中研究的许多网络已被证明具有小世界网络的特征。在断裂系统和多孔物质中定义的网络已经证明了这些特征.南加州地区的地震网络可能是一个小世界网络.上述例子发生在非常不同的空间尺度上，证明了地球科学中现象的尺度不变性. 气候网络可以看作是小世界网络，其中各环节的长度尺度不同。
计算机的应用.
小世界网络已经被用来估计存储在大型数据库中的信息的可用性。这种测量方法被称为 "小世界数据转换测量法"（Small World Data Transformation Measure），数据库链接与小世界网络对齐的程度越高，用户在未来提取信息的可能性就越大。这种可用性通常是以能够存储在同一个库中的信息量为代价的。
Freenet点对点网络已经在模拟中被证明可以形成一个小世界网络，使得信息的存储和检索可以随着网络的增长而扩展效率。
大脑中的小世界神经网络.
大脑的解剖连接和皮质神经元的同步网络都表现出小世界拓扑结构。
小世界的神经元网络可以表现出短期记忆。Solla等人开发的计算机模型有两个稳定的状态，这种属性（称为双稳态）被认为在记忆存储中很重要。一个激活脉冲在神经元之间产生了自我维持的通信活动回路。第二个脉冲结束这种活动。脉冲使系统在稳定的状态之间切换：流动（记录 "记忆"）和静止（保持记忆）。小世界神经元网络也被用作理解癫痫发作的模型。
在更普遍的层面上，大脑中许多大规模的神经网络，如视觉系统和脑干，都表现出小世界的特性。