量子场论

在理论物理学里，量子场论（Quantum field theory，简称：QFT）是结合了量子力学、狭义相对论和经典场论的一套自洽的概念和工具。在粒子物理学和凝聚态物理学中，量子场论可以分别为亚原子粒子和准粒子建立量子力学模型。量子场论将粒子视为更基础的场上的激发态，即所谓的量子，而粒子之间的交互作用则是以相应的场之间的交互项来描述。每个交互作用都可以用费曼图来表示，这些图不但是一种直观视化的方法，而且还是相对论性协变微扰理论中用于计算粒子交互过程的一个重要的数学工具。
历史.
量子场论的发展并非一蹴而就，而是在整个二十世纪期间，经多代理论物理学家的逐步推进，一波三折，才成为今天完整的理论框架。最早的量子场论是描述光和电子之间相互作用的量子电动力学，在1920年代逐步建成。之后，由于在计算中有各种无限大的出现，量子场论进入了第一个低谷；1950年左右，重整化程序的发明使它走出低谷。由于无法用来解释弱相互作用和强相互作用，量子场论又进入了第二个低谷，落入近乎被舍弃的境况。1970年代规范场论的完善和基本粒子标准模型的建成，使它再次复兴。
理论背景.
今天的量子场论是量子力学、狭义相对论与经典场论共同结合的成果，所以它的历史起源，必须从这几条线索说起。
最早成功建立的经典场论是基于牛顿万有引力定律。然而，在巨著《自然哲学的数学原理》里，艾萨克·牛顿并没有提到任何关于场的论述，他的万有引力定律所描述的引力是一种超距作用，具有瞬时性质，不管距离有多远。可是，在一封写给剑桥大学三一学院院长的信里，牛顿表示，他不认为物质会作用或影响于别的不与其接触的物质，如果没有通过任何其它非物质的媒介。后来，到了18世纪，数学物理学者发现，万有引力的影响可以很方便地用一个「数学场」来描述，即在空间的每一个位置给定一个数量来展示作用于那位置的引力。但是，他们并没有赋予这数学场任何实在的物理意义。
19世纪电磁理论的发展真正地开启了场的概念。麦可·法拉第于1845年11月7日最早使用「场」（field）一词。他主张，形成场的磁力线是空间的物理状况，而这空间可以是虚无一物的空间。倚赖满布于空间的磁力线，作用力可以从一个物体经过一段时间传递到另一个物体；这不是一种瞬时现象，不会出现超距作用。直到今日，这仍旧是对于场的标准描述，即场是空间的物理状况。
1862年，詹姆斯·麦克斯韦以完整的麦克斯韦方程组建成电磁学理论。通过麦克斯韦方程组，电场、磁场、电荷与电流这四种物理量彼此之间的关系被确定。从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波的存在，即电磁波是电场与磁场从空间的某一点传播至另一点的现象，并且给出电磁波以有限速度传播于空间，即光速。这些结果严格地反驳了超距作用的物理确据。经典电磁理论的功能很强大，它能够描述电荷与电流怎样产生电场与磁场，怎样感受到电场与磁场的作用，但是，它无法被应用于原子辐射，因为人们不清楚在原子里电荷与电流的物理性质。它无法解释原子谱线的离散性质，它也不能正确地计算出黑体所发射出的电磁辐射能量按照不同波长的分布。这些问题的解答都必须等待量子力学的来临。
量子力学之始，可追溯至1900年马克斯·普朗克对黑体辐射的研究。普朗克将在物体里发射与吸收辐射的原子视为微小的量子谐振子，并且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，而是离散的数值，并且单独量子谐振子吸收和发射的辐射能是量子化的。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对光电效应给出解释，光是由一个个分开的能量团所组成，这些能量团被称为光子，是光的量子。这意味著电磁辐射是以粒子的形式存在。
1913年，尼尔斯·玻尔提出描述原子结构的波尔模型，其中电子在原子中所具有的能量并不是一个连续的值，而是限制在一系列离散的特殊能量值上。这是量子化现象的又一例。波尔模型可以被用来解释原子谱线的离散性质。1924年，路易·德布罗意提出波粒二象性假说，即微观粒子在不同情况下会分别呈现波和粒子的性质。早期的量子理论是由很多类似上述的粗略运算与直觉猜测共同构成，它的成功是建立于它能够解释一些先前无法解释的实验结果。1925至1926年间，由于德布罗意、维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩、埃尔温·薛定谔、保罗·狄拉克、华夫冈·鲍利等人的宝贵贡献，量子理论被发展成为一套自洽的学术理论，称为「量子力学」，其能为早期的提供量子理论给出更为精致的论述。
就在发表光电效应论文的同年，爱因斯坦又在麦克斯韦电磁学的基础上建成狭义相对论，摒弃了时间和空间之间划清界限的观点，并提出所有物理定律必须在劳仑兹变换下相同。狭义相对论意味著以太是多余的装饰，电磁波的传播不需要以太为媒介，电磁波只需要空间的存在就可以进行传播的动作。爱因斯坦认同法拉第对于场的看法，即场是空间的物理状况
这时的难题至少有两处。在观测验证方面，量子力学的薛定谔方程可以解释受激发射，即原子中的电子在外在电磁场作用下释放一个新光子，但无法解释自发发射，即电子在完全没有外在电磁场作用之下，仍然自发性地降低能级并释放光子。在理论方面，薛定谔方程无法描述光子；而且，量子力学并不符合相对论，因为它把时间视为一个普通数值，却把粒子在空间上的位置提升为一个线性算符。
量子电动力学.
1920年代，电磁场是唯一已知的场。因此，很自然的，量子场论开启于对于电磁相互作用的量子化研究。
1925至1926年，马克斯·玻恩、海森堡和帕斯库尔·约当利用正则量子化程序，将电磁场视为一组量子谐振子，建立了自由电磁场（即不与物质相互作用）的量子理论。由于此理论不含任何相互作用，因此无法做出有用的量化预测。
在1927年论文《描述辐射的发射和吸收的量子理论》中，狄拉克首先给出「量子电动力学」一词（Quantum electrodynamics，简称QED）。他将在真空中的辐射场也描述为一组量子谐振子，又创意地给出辐射场与在原子中的带电粒子的耦合项，然后一并将辐射场、带电粒子与耦合项共同纳入考量，应用第一阶微扰理论来处理这耦合项，狄拉克成功地对自发发射现象给出解释。按照量子力学的不确定性原理，量子谐振子不能完全停止不动，而是必须不断的振动，即使是处于最低能量态，否则量子谐振子的动能会变得无穷大，因此，在真空中，处于真空态的电磁场仍旧会进行零点能量的振动，这也是最低能量态。自发发射现象其实就是电磁场在真空中的量子涨落对电子所引起的受激发射。狄拉克的理论极具功能，可以对于所有原子的发射与吸收电磁辐射给出合理解释，应用第二阶微扰理论，狄拉克的理论还可以解释光子散射、、非相对论性康普顿散射等现象。然而，更高阶的微扰理论计算却遇到了无限大值的难题。
1928年，狄拉克给出描述相对论性电子的波动方程──狄拉克方程，成功解释光子和相对论性电子之间的相互作用。这方程立刻给出四个成果，第一是计算出电子的自旋为1/2、第二是计算出电子的g因子为2、第三是推导出描述氢原子光学谱精确结构的索莫菲公式、第四是推导出克莱因-仁科公式，其能够描述相对论性康普顿散射与穆勒散射等等结果。虽然硕果累累，但这一理论却有著诸多问题。例如，它似乎需要负能量态的存在，意味著所有原子都不具稳定性，它们可以通过辐射从普通态跃迁至负能量态。
当时的普遍观点，仍然是把构成宇宙的物质粒子（如电子）和量子场（如光子）看作是截然不同的概念。物质粒子具有永久性，物质粒子的量子态可以给出物质粒子处于空间某个位置的机率。光子不具有永久性，是电磁场经量子化后的激发态，光子可以被衍生或湮灭。直到1928至1930年，约当、尤金·维格纳、海森堡、鲍利和费米发现物质粒子也同样可以视为量子场上的激发态，就如光子是电磁场的激发态，且每一种粒子都有其对应的量子场：电子有电子场，质子有质子场等等。
在此基础上，恩里科·费米在1932年提出解释β衰变的：原子核本身虽不含电子，但在衰变的过程中，会在其周边的电子场中激发出一个电子，就像光子可以在电磁场中被激发出来一样。
1929年，狄拉克等人发现，要解决狄拉克方程解中有负能量态的问题，必须假设某种电荷和电子相反但质量相同的粒子──正电子。这不但在理论上确保了原子的稳定性，而且首次提出了反物质的存在。1932年，卡尔·戴维·安德森在宇宙射线中发现了正电子存在的证据。只要有足够能量（例如吸收光子），就可以产生一对电子和正电子；电子和正电子还可以互相湮灭，产生光子。这点证明，粒子数目在相互作用中没有必要是固定的。正电子在最初并不被视为一种新粒子，而是在无限电子海中的空穴，因此这一理论也称为「狄拉克空穴理论」。量子场论很自然地描述了这一现象。
无限大与重整化.
罗伯特·欧本海默在1930年证明量子电动力学的高阶微扰计算必定会得出无限大值，如电子以及电子和光子的真空零点能量，意味著当时的理论方法无法正确处理极高动量光子的相互作用。从意识到无限大值的理论难题，至发展出系统性的解决方法，花了整整二十年的时间。
1934至1938年间，厄恩斯特·斯蒂克尔堡发表了几篇重要的论文，建立了相对论性不变的量子场论表述。1947年，他还独立发展出一套完整的重整化程序。不幸的是，其他理论学家并没有明白斯蒂克尔堡的概念。
约翰·阿奇博尔德·惠勒和海森堡分别在1937年和1943年提出，以所谓的S矩阵理论取代困难重重的量子场论。前者的大意是，既然现实中无法观察到微观相互作用的具体细节，那么理论就应该只描述相互作用中少数可观察量（如原子的能量等）之间的关系，而不在乎微观细节。1945年，理查德·费曼和惠勒甚至提出完全抛弃量子场论，以粒子间的超距作用作为相互作用的原理。
1947年，威利斯·兰姆和测量出氢原子2"S"1/2和2"P"1/2能级之间的细微差异，即兰姆位移。汉斯·贝特利用量子场论，通过忽视所有能量高于电子质量的光子的作用，成功估算出这一能级差异的数值。之后，、兰姆、詹姆斯·布鲁斯·弗伦奇（James Bruce French）和维克托·魏斯科普夫利用一种无限大和无限大相互抵消的方法，再次证实了兰姆位移的值。不过，这种方法并不可靠，也不可推广至其他计算。
在1950年前后，朱利安·施温格、费曼、弗里曼·戴森和朝永振一郎终于建立起去除无限大值的更可靠方法。大意是，理论中的最初参数（所谓的「裸值」：质量、电荷等）并没有实际物理意义；在计算中，须做重新定义，用测量所得的有限数值取代这些裸值。为了抵消表面上无限大的参数，须要加入无限大的「抵消项」。这种系统性的计算程序称为重整化，可以应用于微扰理论的任何一阶。
重整化程序能够解释电子异常磁矩、电子"g"因子和真空极化，计算结果和高精度实验之间的吻合程度在当时是空前的。重整化成功攻破了量子电动力学中无限大的难题。
与此同时，费曼发明了费曼图和路径积分表述。费曼图可以用于很直观地整理和计算微扰级数的各个项：每个图可以视为相互作用过程中粒子路径的示意图，其中每个节点和每条线都有相对应的数学表达式，结合后可得出图所表达的相互作用的。
在重整化程序和费曼图方法出现之后，量子场论终于成为了一个完整的、成熟的理论框架。
第二次低潮.
1950年代初，在量子电动力学成功的基础上，许多理论学家都相信量子场论最终可以描述和解释所有微观物理现象，并不仅限于电子、正子和光子间的相互作用。然而，这时量子场论进入了又一个低谷，足足持续近二十年。
难题之一，是重整化程序无法放诸四海通用。量子电动力学微扰计算中的所有无限大值，都可以通过重新定义少数几个物理量（电子的质量和电荷）来去除。戴森在1949年证明，具有这样良好属性的理论（即所谓的可重整化理论）只占少数，大多数理论反而是不可重整化的。其中一例，就是描述弱相互作用的费米相互作用。此理论在量子场论框架下，任何高于第一阶的微扰计算都会产生无限大值，而且仅仅重新定义物理量是无法移除这些无限大值的。
第二个难题在于费曼图方法的适用范围。由于费曼图建立在微扰理论级数展开的基础上，所以理论中描述相互作用强度的耦合常数必须是一个很小的数值。费曼图之所以适用于量子电动力学，是因为其耦合常数为精细结构常数。这使得在实际计算中，只须要考虑最简单的（低阶）费曼图。不过，强相互作用，顾名思义，有著较大的耦合常数（约等于1），因此极为复杂的（高阶）费曼图与最简单的费曼图重要性相近，计算中不能够再忽略复杂的图。
在这些理论难题的困扰下，不少理论学家开始对量子场论失去信心。有的以对称性原则和守恒定律为理论重点，有的则重拾惠勒和海森堡的S矩阵理论。虽然量子场论概念在这些探索方向中起到了启发性的作用，但它并没有被用到确切的计算当中。
标准模型.
1954年，杨振宁和罗伯特·米尔斯对量子电动力学的局域对称性进行推广，从纯粹理论的角度建立了基于更复杂的对称性的理论──非阿贝尔规范场论（又称杨-米尔斯理论）。在量子电动力学中，带电荷粒子之间的相互作用是由光子传递的；同样，在非阿贝尔规范场论中，带某种新的「荷」的粒子之间的相互作用则是由无质量的规范玻色子传递的。与光子不同的是，这些规范玻色子自身也带荷。
谢尔登·格拉肖在1960年利用规范场论，建立了一个统合电磁相互作用和弱相互作用的理论；阿卜杜勒·萨拉姆和则在1964年从另一条思路达到了同一个理论。不过，该理论是不可重整化的。
彼得·希格斯、罗伯特·布绕特和弗朗索瓦·恩格勒在1964年提出，杨-米尔斯理论中的规范对称性是可以被破坏的，使得原本无质量的规范玻色子获得质量，是为自发对称破缺机制。
1967年，史蒂文·温伯格和萨拉姆在先前的理论上加以希格斯玻色子的自发对称破缺机制，建成描述轻子之间电弱相互作用的理论。起初，人们对此理论置若罔闻。直到1971年，杰拉德·特·胡夫特证明非阿贝尔规范场论是可重整化的，才把电弱相互作用理论从深渊中拯救出来。1970年，格拉肖、约翰·李尔普罗斯和卢西恩·梅安尼把温伯格和萨拉姆的轻子电弱相互作用理论推广至夸克上，电弱相互作用理论终于变得完善。
1971年，哈拉尔德·弗里奇、默里·盖尔曼和海因里希·洛伊特维勒发现非阿贝尔规范场论还可以解释一些强相互作用现象，就这样建立了量子色动力学。两年后，大卫·格罗斯、弗朗克·韦尔切克和休·波利策证明非阿贝尔规范场论具有渐进自由的特性，即在重整化后，强相互作用耦合常数在高能量下会变得很小。因此，至少在高能量相互作用中，可以对量子色动力学进行微扰级数展开，做实际的量化预测。
这些理论成果使量子场论摆脱了前二十年的阴霾并进入了又一次复兴。电弱相互作用理论和量子色动力学形成的整体，称为基本粒子标准模型。标准模型非常成功地解释了除引力以外的所有基本相互作用，其理论预测也相继得到实验的证实：电弱相互作用中自发对称破缺机制所需的希格斯玻色子也在2012年于欧洲核子研究组织发现，这是最后证实存在的标准模型组成粒子。
其他发展.
1970年代见证了非阿贝尔规范场论非微扰方法的发展：特·胡夫特和亚历山大·泊里雅科夫发现，和波尔·奥勒森（Poul Olesen）发现流量管，泊里雅科夫等人发现瞬子。这些概念都是无法用微扰理论方法来描述的。
超对称概念也在同一段时期出现。1970年，尤里·阿布拉莫维奇·高尔方和叶夫根尼·利希特曼（Evgeny Likhtman）建成首个具有超对称性的四维量子场论。但由于铁幕的隔阂，这项研究并没有得到广泛的重视。要到1973年，朱利斯·外斯和布鲁诺·朱米诺建立一类四维超对称量子场论，才把超对称概念推向理论界。
在四个基本相互作用之中，引力是唯一一个无法一致地用量子场论来描述的。理论学家在量子引力方面的各种尝试，促使了1970年代弦理论的发展。（弦理论本身是一种具有共形对称性的二维量子场论。）和约翰·施瓦茨在1974年首次提出，弦理论有望成为解释引力的量子理论。
凝聚态物理学.
量子场论最早源于对基本粒子相互作用的研究，但其中的各种方法还可以推广至其他的物理系统，在凝聚态物理学等研究多体系统的范畴上应用成果尤其丰盛。
从历史的角度，南部阳一郎将超导体理论应用于基本粒子，最终发展出希格斯自发对称破缺机制；重整化群概念也出自对物质第二阶相变的研究。
在提出光子概念后不久，爱因斯坦提出对晶体中的振动进行量子化，这最终发展成第一个准粒子概念──声子。列夫·朗道主张，各种各样凝聚态系统的低能量激发态都可以用一组准粒子之间的相互作用来描述。理论学家发现，量子场论中的费曼图方法能够很自然地描述凝聚态系统的各种现象。
规范场论可以描述超导体的磁通量量子化、量子霍尔效应中的电阻率以及交流电约瑟夫森效应中频率和电压之间的关系。
原理.
为简化公式，本节采用自然单位制，设约化普朗克常数和光速为1。
经典场与量子场.
经典场是在时间和空间上定义的函数。例子包括：牛顿万有引力中的引力场，以及经典电磁学中的电场和磁场。经典场在空间上的每一个点都有一个随时间变动的数值，所以它们具有无限自由度。
然而，经典场论无法解释具有量子力学性质的物理现象。例如，一些物理现象（包括光电效应）必须以一颗颗独立的粒子──光子──来描述，而非在空间上连续的场。「量子」场论的目的，是既要以场为基础，又要能够解释各种量子力学现象。
量子场论的两种常用表述分别是正则量子化和路径积分表述。为了展示量子场论的基础原理，以下先简述经典场论。
以最简易的经典场为例，假设在空间上每一个点都有一个可以随时间变动的实数，记作，其中是位置矢量，是时间。这就是实纯量场。又假设这个场的拉格朗日量为
其中formula_2是场的时间导数，是散度算符，是一个参数（可视为场的「质量」）。在此拉格朗日量上应用适用于场论的欧拉-拉格朗日方程
可得出场的运动方程，描述其在时间和空间上的变动：
这就是克莱恩-戈登方程式。
克莱恩-戈登方程式是一条波动方程，因此它的解可以表示为简正模之和（可用傅里叶变换所得）：
其中为复数，星号代表复共轭，则是简正模的频率：
其中，是协变导数。
由此可见，根据固定背景时空几何的不同，拉格朗日量也会随之改变，理论的种种计算和预测也会不同。
拓扑量子场论.
一般来说，对于不同的时空度规，量子场论的相关函数乃至物理预测也会不同。有一类量子场论的所有相关函数都不随时空度规的值改变，此类理论称为拓扑量子场论。一般的弯曲时空量子场论会随时空的几何改变而改变，而拓扑量子场论则在一切微分同胚对时空的作用下不变，但对时空的拓扑敏感。这意味著，拓扑量子场论的所有计算结果，都是其底下时空的拓扑不变量。陈-西蒙斯理论就是拓扑量子场论的一例，可用于构建各种量子重力模型。拓扑量子场论可以应用在分数量子霍尔效应和上。。
微扰与非微扰方法.
通过量子场论的微扰方法，可以用一个以参与相互作用的粒子总数所展开的级数，一阶一阶地近似相互作用项的整个效应。展开中的每一项都可以理解为粒子间通过其他虚粒子传递相互作用的一种可能途径，可以用非常形象的费曼图来表达。两个电子间的电磁力在量子电动力学中（在第一阶微扰）是以光子的传递来表达的。同样，W和Z玻色子传递弱相互作用，胶子传递强相互作用。这种把相互作用的中间态视为各种粒子交换过程的总和的看法，只有在微扰理论的框架下才有意义；非微扰方法则把相互作用项视为一个整体来对待，不进行级数展开，因此也没有虚粒子传递相互作用一说。取而代之描述相互作用的，是、、流量管、瞬子等概念。具有非微扰完全解的量子场论包括一类称为的共形场论和等等。
数学严格性.
虽然量子场论在粒子物理学和凝聚态物理学上的应用成果丰盛，其理论预测和实验之间的吻合程度极高，物理学家们也大胆地在量子场论框架下作出新的量化预测，但是量子场论本身却仍然缺乏严格的数学基础。比如，根据，并不存在一个良好定义的量子场论交互作用绘景，意味著费曼图方法的基石──微扰理论──在量子场论上的应用是并不严格的。
从1950年代开始，有理论物理学家和数学家尝试把量子场论总结为一组公理，并从数学严格的角度证明相对论性量子力学模型的确切存在。这种研究称为，属于数学物理的范畴。其成果包括：CPT定理、自旋统计定理、戈德斯通定理等等。
拓扑量子场论和共形场论相比一般的量子场论来说，有更稳固的数学基础：两者都可以在对的框架中进行分类。
另一条公理化方法称为代数量子场论，它以局域算符之间的代数关系为理论的根本结构。在这方面的公理系统有：和。构建符合怀特曼公理的理论之其中一种方法，是利用奥斯特瓦德-施拉德尔公理（Osterwalder–Schrader axioms）。这组公理给出能够从虚数时间理论解析延拓至实数时间理论（威克转动）的必要和充分条件。
一旦证实现实的物理模型符合以上的公理，在物理学和数学上将有重要意义。例如，杨-米尔斯存在性与质量间隙是千禧年大奖难题之一，其表述如下：