集合 (数学)

集合（set）简称集，是一个基本的数学模型，指若干不同物件（object）形成的总体。集合里的物件称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若formula_1是集合formula_2的元素，记作formula_3。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。
集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。
导言.
定义.
简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：
符号.
元素通常用formula_4等小写字母来表示；而集合通常用formula_5等大写字母来表示。
当元素formula_6属于集合formula_7时，记作formula_8。
当元素formula_6不属于集合formula_7时，记作formula_11。
如果formula_12两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作formula_13。
特性.
无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
表示.
尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，formula_22而formula_23，因为它们正好有相同的元素。
元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同与否没有关系。比如：这三个集合formula_24，formula_25和formula_26是相同的，因为它们有相同的元素。
集合间的关系.
子集与包含关系.
定义.
集合formula_2、formula_28，若formula_29，有formula_30。则称formula_2是formula_28的子集，亦称formula_2包含于formula_28，或formula_28包含formula_2，记作formula_37或formula_38，否则称formula_2不是formula_28的子集，记作formula_41或formula_42。
若formula_37，且formula_44，则称formula_2是formula_28的真子集，亦称formula_2真包含于formula_28，或formula_28真包含formula_2，记作formula_51或formula_52（有时也记作formula_53或formula_54）。
运算.
并.
两个集合可以相"加"。formula_2和formula_28的联集是将formula_2和formula_28的元素放到一起构成的新集合。
定义.
给定集合formula_2，formula_28，定义运算formula_84如下：formula_85或formula_86。formula_87称为formula_2和formula_28的联集。
基本性质.
作为集合间的二元运算，formula_84运算具有以下性质。
交.
一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。formula_2和formula_28的交集，写作formula_115，是既属于formula_2的、又属于formula_28的所有元素组成的集合。
若formula_118，则formula_2和formula_28称作不相交。
定义.
给定集合formula_2、formula_28，定义运算formula_123如下：formula_124且formula_86。formula_115称为formula_2和formula_28的交集。
基本性质.
作为集合间的二元运算，formula_123运算具有以下性质。
其它性质还有：
补集.
两个集合也可以相"减"。formula_2在formula_28中的相对补集，国际上通常写作 formula_151，中文教材中有时也会写作formula_152。表示属于formula_28的、但不属于formula_2的所有元素组成的集合。
在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集formula_155的子集。这样， formula_156称作formula_2的绝对补集，或简称补集（余集），写作formula_158或formula_159。
补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。
定义.
给定集合formula_2，formula_28，定义运算-如下：formula_162且formula_163。formula_164称为formula_28对于formula_2的差集，相对补集或相对余集。
在上下文确定了全集formula_155时，对于formula_155的某个子集formula_2，一般称formula_156为formula_2（对于formula_155）的补集或余集，通常记为formula_158或formula_174，也有记为formula_175, formula_158, formula_177，以及formula_178的。
基本性质.
作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：
对称差.
定义.
给定集合formula_2，formula_28，定义对称差运算formula_202如下：formula_203。
基本性质.
作为集合间的二元运算，formula_202运算具有如下基本性质：
运算性质.
集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：
集合的元素个数.
上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 "A" 有三个元素、而集合 "B" 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: formula_217。
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 formula_218 或符号formula_70表示。比如：集合formula_2是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则formula_221。在数学上，空集非常重要。更多资讯请参阅空集。
如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。
集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。
公理化集合论.
若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。
类.
在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。
定义 类A如果满足条件“formula_222”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为formula_223。否则称为本性类。
这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。