考拉兹猜想

考拉兹猜想（Collatz conjecture），又称为奇偶归一猜想、3n+1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
埃尔德什·帕尔在谈到考拉兹猜想时说：“数学还没准备好应对这样的问题。”指出，考拉兹猜想“是个异常困难的问题，完全超出了当今数学的范围”。
问题表述.
对任意正整数进行以下运算；
这可以定义为模算术函数：
formula_2
现重复执行该运算，形成一个序列，从任意正整数开始，把每步的结果作为下一步的输入。可记作：
formula_3
（即：是递归次应用于的值；）。
考拉兹猜想是：所有正整数最终都会到达1，即存在i使得。
若猜想为假，表示存在某个初值产生一个不含1的循环数列，或朝无穷大发散的数列，目前尚未发现这样的数列。
最小的使的称为的停止时间，相似地，使的最小的称为的总停止时间。若索引或的其中一个不存在，就称停止时间或总停止时间分别不存在。
考拉兹猜想认为，所有的总停止时间都是有限的，即所有都有有限的停止时间。
只要是奇数，就是偶数，所以可以使用考拉兹函数的“快捷”形式：
formula_4
这个定义可在过程整体动态不变的前提下，获得较小的停止时间和总停止时间值。
经验数据.
取一个正整数：
奇偶归一猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1。
数目少于1万的，有著最高步骤数的是6171，共有261个步骤；数目少于10万的，有著最高步骤数的是77031，共有350个步骤；数目少于100万的，有著最高步骤数的是837799，共有524个步骤；数目少于1亿的，有著最高步骤数的是63728127，共有949个步骤；数目少于10亿的，有著最高步骤数的是670617279，共有986个步骤。
总停止时间长于任何较小起始值的数字构成如下序列：
最大轨迹点大于任何较小起始值的起始值构成如下序列
达到1的步数为
总停止时间最长，且
这些数字也是具有指定步数的最低数字，但不一定是唯一的，例如经历1132步的有，还有。
与位数（以2为基）相关的总停止时间最小的起始值是2的幂，因为经历次减半才达到1，且永远不会增加。
支持论据.
虽然猜想尚未得到证实，但大多数数学家都认为它是真的，因为实验证据和启发式论证都支持这一猜想。
实验证据.
截至2020年，已经用计算机验证了268 ≈ 之前的所有初始值，最终都以周期为3的循环作结。
显然，这不能证明猜想对所有初始值都正确，因为非常大的正整数可能会出现反例，例如希尔伯特－波利亚猜想的反例。不过，这种验证可能会产生其他影响，例如我们可以推导出关于非平凡周期和结构形式的额外约束。
概率启发式.
若只考虑考拉兹过程产生序列中的奇数，那么每个奇数平均都是前一个的。（更准确地说，结果的几何均值是。）这就产生了启发式论证：每个考拉兹序列从长期来看都倾向于减小，虽然这不能证明不存在其他的周期。这个论证不是证明，因为它假定考拉兹序列是由不相关的概率事件组合而成的。（确实严格证明了考拉兹过程的2进数推广在几乎所有初始值的每个乘法步骤都对应两个除法步骤）
停止时间.
正如Riho Terras证明，几乎每个正整数都有有限的停止时间。换句话说，几乎每个考拉兹序列都会到达严格低于其初值的点。该证明基于奇偶向量的分布，并利用了中心极限定理。
2019年，陶哲轩利用概率密度函数改进了这一结果，证明几乎所有（对数密度意义上的）考拉兹轨道都在起点的任意发散函数之下。《量子杂志》在回应这项工作时写道，陶哲轩“获得了几十年来关于考拉兹猜想的最重要成果之一”。
下界.
Krasikov & Lagarias在一份计算机辅助证明中证明，对所有足够大的，区间中最终达到1的整数个数至少等于。
循环.
在这一节中，考虑考拉兹函数的快捷形式
formula_8
循环是由不同正整数组成的序列，其中, , ..., 。
唯一已知的循环是周期为2的，称作平凡循环。
周期长度.
非平凡周期的长度至少为。若能证明对所有小于formula_9的正整数，考拉兹序列都收敛到1，则这个下界就会提高到。实际上，Eliahou (1993)证明了任何非平凡循环的周期的形式为
formula_10
其中、、为非负整数，，。这个结果是基于的连分数展开。
循环.
循环是可分为段连续子列的循环，每个子列由奇数的递增序列和偶数的递减序列组成。例如，若循环由1个奇数的递增序列和偶数的递减序列组成，则称为"1循环"。
Steiner (1977)证明，除平凡循环外不存在其他1循环。Simons (2005)用Steiner的方法证明没有2循环。 Simons & de Weger (2005)将这一证明推广到68循环，即以下不存在循环。Hercher进一步推广了这一方法，证明不存在的k循环。随着计算机穷举搜索的继续，可能会排除更大的值。
猜想的其他表述.
反向.
还有另一种方法可证明这猜想：采用自下而上的方法构造所谓"考拉兹图"，由逆关系定义：
formula_11
因此，与其证明所有正整数都指向1，我们可以尝试证明1指向所有正整数。对任意整数，当且仅当。等价地，当且仅当。根据猜想，除了1-2-3循环之外，这个逆关系构成一棵树。
函数的关系式可用“快捷”关系式代替，则考拉兹图由逆关系定义：
formula_12
对任意整数，当且仅当。等价地，当且仅当。根据猜想，除了1-2循环之外，这个逆关系构成一棵树。
或者，把换成，其中、是整除的最大的2的幂，得到的函数将从奇数映射到奇数。现假设对某个奇数，进行次运算会得到数字1（即）。则数字在二进制中可写为字符串，其中每个都是从的表示中提取的有限连续字符串。因此，的表示包含了除的重复尾数，每个重复尾数可以选择旋转，再复制到有限位数。只有二进制会出现这种情况。根据猜想，每个以“1”结尾的二进制字符串都可用这种形式表示（可以添加或删除的前导0）。
作为以二进制计算的抽象机.
考拉兹函数的重复应用可用处理比特串的抽象机表示。它会对任何奇数执行以下3步，直到只剩一个1:
示例.
起始值为7，以二进制写作。得到的考拉兹序列为：
作为奇偶序列.
本节中，考虑略微修改的考拉兹函数
formula_13
这样做是因为为奇数时，总是偶数。
若表示某数的奇偶性，例如、，则可定义一个数的考拉兹奇偶序列，其中；。
执行还是的哪种运算取决于奇偶性，序列与运算序列相同。
利用的这种形式，可证明两个数、的奇偶性序列在前项上一致，当且仅当、是等价的模。这意味着每个数都能通过奇偶性序列唯一识别，此外若存在多个考拉兹循环，则它们对应的奇偶性循环也一定是不同的。
对数应用次函数，得到，其中是对应用次函数的结果，是在序列中增加的次数。例如，对于，1依次上升到2、1、2、1，最后上升到2时有3次上升，因此结果是；对于只有一次上升：1、2、1，所以结果是。是时，会有次上升，结果是。3的幂乘与无关，只取决于的行为，这使我们可以预测，某些形式的数在迭代一定次数后总会到达更小的数字，例如在应用两次后会变成，应用4次会变成。不过，这些小数是否继续下降到1则取决于的值。
作为标记系统.
对于形式为
formula_14
的考拉兹函数，考拉兹序列可通过2标记系统计算，生成规则为
系统中，正整数由包含份的字符串表示，标签操作的迭代在热河长度小于2的词上停止（改编自De Mol）。
考拉兹猜想等价地指出，以任意有限的字符串作为初值，标记系统最终会停止。
推广.
在所有整数上迭代.
考拉兹猜想的扩展是包含所有整数，而不仅仅是正整数。撇开无法从外部进入的0→0循环，已知循环共有4个，所有非零整数似乎都会在的迭代下陷入其中：
奇数值用大粗体表示，每个循环以其绝对值最小的成员（总是奇数）为先列出。
推广的考拉兹猜想：在的迭代下，所有整数最终都会落入上述4个循环或0→0循环中的一个。
奇分母有理数的迭代.
考拉兹映射可扩展到奇分母的有理数。根据分子的奇偶，可将有理数分奇偶，然后映射公式与域为整数时完全相同：偶有理数除以2，奇有理数乘以3再加1。一个密切相关的事实是，考拉兹猜想可推广到2进整数，其中包含作为子环的奇分母有理数环。
运用“快捷”函数时，已知任何周期的奇偶性序列都恰好由一个有理数生成。相反，有人猜想，每个奇分母有理数都有最终循环的奇偶性序列（周期性猜想)）。
若奇偶循环长为，且在处包含了次奇数，那么立即周期性地产生奇偶循环的唯一有理数：
例如，奇偶循环长度为7，4个奇数项分别位于0、2、3、6处。它由分数
formula_15
因为后者可产生有理循环
formula_16
的任何循环排列都与上述分数之一相关。例如，循环可由下面的分数产生
formula_17
为实现一一对应，奇偶循环应是不可还原的，即无法分割成相同的子循环。例如，奇偶循环及其子循环在化为最小项时与相同的分数相关。
这时，假设考拉兹猜想成立，就意味着、是唯一由正整数（1、2）产生的奇偶性循环。
若有理数的奇分母不是3的倍数，则所有迭代数都将有相同的分母，通过应用考拉兹函数的推广，可得考拉兹函数
formula_18
2进数推广.
函数
formula_19
在2进整环formula_20上有精确定义，是连续的，且关于2进度量是保测的。另外，已知其动态是遍历的。
定义作用于formula_20的奇偶矢量函数：
formula_22
函数是2进等距同构。因此，每个无限奇偶性序列都恰好出现一恶搞2进整数，所以几乎所有轨迹在formula_20中都是非循环的。
考拉兹猜想的等价表述是
formula_24
在实数、复数上的迭代.
formula_25为整偶数时formula_26、为整奇数时formula_27或formula_28（“快捷”版本）的函数，可将考拉兹映射推广到实数，这就是所谓的插值函数。一个简单方法是选取两个函数formula_29、formula_30，其中
并将它们作为我们所需值的开关：
其中一个选择是formula_34、formula_35。这映射的迭代产生了动力系统，Marc Chamberland对其进行了进一步研究。他证明这个猜想对于正实数不成立，因为存在无穷多个不动点与无穷多单调发散到无穷的轨道。函数formula_36有2个周期为formula_37的吸引子循环：formula_38、formula_39。此外，我们猜想无界轨道集的勒贝格测度为formula_40。
Letherman、Schleicher和Wood将研究推广到复平面，用张伯伦函数求解复正余弦，并添加了额外项formula_41
formula_42，其中formula_43是任意整函数。由于该式对整实数求值为零，所以推广函数
是考拉兹映射到复平面的插值。添加额外项将所有整数都变为formula_36的临界点，于是可证明没有一个整数位于Baker域中，意味着任何整数或者是周期性的，或者属于游荡域。他们猜想后者不成立，也就可以导出，所有整数轨都是有限的。
大部分点的轨道发散，根据发散速度为其着色，便产生左边的图像（formula_46）。内部黑色区域和外部是法图元素，之间的边界是formula_36的朱利亚集，有时称为“考拉兹分形”。
还有许多方法可以定义复插值函数，如用复指数而非正余弦：
它呈现出不同的动态。例如若formula_49，则formula_50。对应的朱利亚集（如右图）由不可数多的曲线组成，称为“毛”或“线”。
优化.
时空权衡.
（或更好的）、的值可针对所有可能的位数预先计算，其中是对应用次函数的结果，是迭代过程中遇到的奇数个数。例如，若，那么每次迭代都可以向前跳5步，方法是分理出数字的5个最小有效位，并使用
这需要的预计算和存储，以将计算速度提高倍，是时空权衡。
模限制.
对于寻找考拉兹猜想反例，这种预计算带来了更重要的加速。Tomás Oliveira e Silva在计算证实考拉兹猜想时，使用了这种加速，直到很大的值。对给定的、，若不等式
对所有都成立，那么第一个反例（若存在）不是模。例如，第一个反例一定是奇数，因为小于；且一定是3 mod 4，因为，小于。对每个不是考拉兹猜想反例的初值，都存在使不等式成立的，因此检查起始值的考拉兹猜想，相当于检查整个同余类。随着增加，只需搜索没有被较小的消除的残差，将只剩极少数。例如，32模的残差只有7、15、27、31。
锡拉丘兹函数.
若为奇整数，则是偶数，所以，是奇数且。锡拉丘兹函数是从正整奇数集指向自身的函数，其中 。
锡拉丘兹函数的性质有：
考拉兹猜想等价于：对中所有，存在整数使。
不可判定的推广.
1972年，约翰·康威证明了考拉兹猜想的一个自然推广在算法上是不可判定的。
具体来说，他考虑了以下形式的函数
formula_51
其中是有理数，其选择使总是整数。标准考拉兹函数为、、, 、。康威证明
是不可判定的，可以转化为停机问题。
与考拉兹猜想更接近的是下面这个普遍量化问题：
以这种方式修改条件，可以使问题变得更难或更易解决（直观地说，正面答案更难证明，但反面答案可能更容易）。Kurtz & Simon证明，普遍量化问题事实上是不可判定的，在算术阶层中甚至更高；具体地说，它是完全的。即使将模数限制在6840以限制函数的类别，这难度结果也成立。
这种形式的简化迭代（所有formula_52都为零）在一种名为FFRACTRAN的编程语言中得到了正式化。
研究历史.
在1930年代，德国汉堡大学的学生洛萨·考拉兹曾经研究过这个猜想。在1960年，也研究过这个猜想。但这猜想到目前，仍没有任何进展。
保罗·艾狄胥就曾称，数学上尚未为此类问题提供答案。他并称会替找出答案的人奖赏500元。
目前已经有分布式计算在进行验证。到2020年，已验证正整数到formula_53，也仍未有找到例外的情况。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
有的数学家认为，该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的formula_54”、“formula_55”、“formula_56”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。
2019年12月，陶哲轩证明只要formula_57是一个趋于正无穷的实数列，那么几乎对所有的正整数formula_5（在对数密度意义下） ，有formula_59。