基 (线性代数)

在线性代数中，基（basis，又称基底）是向量空间里某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或线性组合的极限）。
通过基底可以直接地描述向量空间 formula_1 上定义的线性映射 formula_2 ，详请参见线性映射#矩阵一节。
定义.
Hamel基.
上面的第二个条件，也可以等价地改写为以下两条：
等价性来自于线性无关：
若有第二组相异 formula_3 基向量和第二组标量 formula_4 也满足 formula_5 的话，把这住两组基向量合并，并重新排列，于两组间重复的记为 formula_6 ，其他不重复的部分，第一组的记为 formula_7 ；而第二组的记为 formula_8 ；然后设 formula_6 于原来第一组对应的标量系数是 formula_10 ；原第二组则是对应 formula_11 。另外 formula_7 对应的标量系数则为 formula_13 ；formula_8 对应的标量系数则为 formula_15 ； 这样把 formula_16 的第一组线性组合表达式减去第二组会有
这样依据线性无关，就有
这就确保任意 formula_16 的线性组合表达式都是用同一组的基向量，且其标量系数也是唯一的。
Schauder基.
除了上小节单以线性组合定义的Hamel基，也有以无穷级数展开任意向量为动机来定义基：
_{i\in\mathbb{N}}</math>]] 满足：
那向量序列 formula_24 则被称为是向量空间 formula_1 的一组Schauder基。
第二项条件通常会简写为
甚至写为
例子.
在傅立叶级数的研究中，函数formula_38是所有的在区间2π上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数formula_39满足
函数族formula_38是线性无关的，所有在2π上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上
对于适合的（实数或复数）系数"a""k", "b""k"。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。
维度.
如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，并将元素的个数称作向量空间的维度。如果原本的基底为：
那时也可依据元素个数的数数是以一对一对应来定义的本质，反过来用基向量序列 formula_44 来间接代表formula_45。
事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。
性质.
设formula_45是向量空间formula_1的子集。则formula_45是基，当且仅当满足了下列任一条件：
如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。
标准基.
在行向量空间formula_61中有单位行向量
formula_62
那么在该空间中，任意向量formula_63,都可以唯一表示成formula_64.然后我们可以看出，formula_61可以由它的向量子空间构成
formula_61formula_67.
同样的，单位列向量就可以表达为formula_61formula_69.
线性无关的单位行向量formula_70生成formula_61. 那么formula_72是formula_61的基，称这个基为标准基.
基的扩张.
如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果formula_74是在向量空间formula_1中的一个线性无关集合而集合formula_76是一个包含formula_74而且能够生成formula_1的集合，则存在formula_1的一组基formula_45，它包含了formula_74而且是formula_76的子集：formula_83。
以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。
有序基和坐标.
基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：formula_84写成有序向量组：formula_85。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。
设formula_1是在域formula_87上的"n"维向量空间。在formula_1上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间formula_89到formula_1的一个选定线性同构formula_91。
"证明"：这个证明利用了formula_89的标准基是有序基的事实。
首先假设
其中的formula_97是formula_89的标准基。
反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射
这里的"x" = "x"1e1 + "x"2e2 + ... + "x""n"e"n"是F"n"的一个元素。不难检查出"φ"是线性同构。
这两个构造明显互逆。所以"V"的有序基一一对应于线性同构F"n" → "V"。
确定自有序基{"v""i"}线性映射"φ"的逆映射为"V"装备了坐标：如果对于向量"v" ∈ "V", "φ"-1("v") = ("a"1, "a"2...,"a""n") ∈ F"n"，则"a""j" = "a""j"("v")的分量是"v"的坐标，在"v" = "a"1("v") "v"1 + "a"2("v") "v"2 + ... + "a""n"("v") "v""n"的意义上。
从向量"v"到分量"a""j"("v")的映射是从"V"到F的线性映射，因为"φ"-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成"V"的对偶空间的基，叫做对偶基。