滥用符号

数学中，滥用符号（Abusing notation）虽然不严格，并非按数学符号的字面定义来运用，但有时能使数学论证更清晰，或引导读者明白其，同时减少犯错和增进理解。不过，符号是否严格使用，或上是否正确，很视乎时代和学科背景。某些用法，在某些场合算为滥用，在另一种背景下却是严格正确。某理论在严格化前，若已引入新的符号，则该些符号是否属滥用，就可能取决于时代，因为有时该理论发展后，逻辑根基得到巩固，统一符号用法，而使符号变成严格正确。滥用符号不等于误用符号，因为前者是表意与严格性两方面的取舍，而后者则仅是错误，应当避免。误用积分常数为后者一例。
相似的概念是滥用语文（abusing language）或滥用术语（abusing terminology），此时滥用的是词语，而非符号。例如，「表示」的正式含义，是由某个群 formula_1 到某向量空间 formula_2 上的一般线性群 formula_3 的群同态，但经常会将 formula_2 称为 formula_1 的表示。另一个常见滥用，是称两个但不相等的物件为等同。类似还有：视常数函数与其值等同、视群（一个基集与其上二元运算组成的二元组）与其基集等同、视集合笛卡儿积formula_6与三维欧氏空间（配备几何结构）等同。
集合与映射例子.
函数写法.
许多教科书中，会写「设函数 formula_7 为⋯⋯（填入关于 formula_8 的式子）」。此为滥用符号，因为函数的名称应为 formula_9，而 formula_7 应表示函数 formula_9 在其定义域中某处 formula_8 的取值。严格的写法为：「设 formula_9 为函数，在 formula_8 处取值为⋯⋯」或「设 formula_9 为函数 formula_16」此种滥用非常广泛，因为可简化写法，而严格的写法可能显得过于执着细节。
类似的滥用尚有「考虑函数 formula_17⋯⋯」，因为 formula_18 并非函数，真正的函数是将 formula_8 对应到 formula_20 的运算，用匿名函数的写法可将该函数写成 formula_21。同样，此种滥用亦广泛出现，因为避免拘泥小节，同时一般不会造成混淆。
数学结构.
许多数学物件是由一个集合（通常称为基集，underlying set）及其上的额外结构组成。此种结构可以是数学运算、关系或拓扑结构。经常滥用同一个符号，同时表示基集及整个数学结构（此现象称为「压参数」，suppression of parameters）。举例，formula_22 表示整数集，但同时可以表示整数集与加法组成的群，还可以是整数集连同加法、乘法组成的环。一般而言，此类用法中，若所指的物件为所熟知，则不会引起读者混淆；若刻意避免滥用，反而可能略嫌冗余，使数学论述更难理解。实在混淆时，可以写出整个结构以作区分，即以 formula_23 表示整数的加法群，formula_24 表示整数环。
同理，拓扑空间由基集 formula_25 与拓扑结构 formula_26 两部分构成，后者是 formula_25 若干子集构成的族，该些子集称为开集。通常，只考虑 formula_25 上某一个拓扑，于是一经指定，就无需再次提及，可用同一个符号 formula_25 同时表示基集及 formula_25 与拓扑结构 formula_26 组成的二元组，而不引起混淆，即使严格而言，两者为不同的数学物件。不过，有时要同时考虑同一个基集上的两个拓扑（如拓扑向量空间上的和，或实数线上的欧氏拓扑和下限拓扑），此时则须当心使用结构的全写，如 formula_32 和 formula_33，以作区分。
等价类.
等价关系中，元素 formula_8 所在等价类严格地可记为 <math>formula_8。此处等价类的意思是，若集合 formula_25 分划成等价关系 formula_37 的等价类，则对每个 formula_38，等价类 formula_39 记为 formula_40。但实用上，若取商集后，余下讨论仅关心等价类，而非原集合的元素，则常会弃用方括号。
例如，模算术中，有等价关系 formula_37，其定义中，formula_42 当且仅当 formula_43。将整数集按 formula_37 划分，可以得到等价类 formula_45，关于加法组成一个 formula_46 阶循环群，但实用上，该群的元素常简记为 formula_47。
另一个例子是，某测度空间上，可测函数（类）组成的向量空间，或勒贝格可积函数（类）组成的向量空间。此处等价关系为「几乎处处相等」。
相等抑或同构.
许多数学构造是以某性质来刻划其定义（经常是泛性质），如直积、张量积、自由积。选定所需性质后，可能有多种方法构造出具该性质的结构，各结构严格而言，固然是不同的物件，但因为性质完全一样（「同构」），不能藉其性质区分各同构物件，即使实际不等亦常迳称「相等」。
以笛卡儿积为例，常以为可结合：
实则不然，因为若 formula_49，则有序对之间的等式 formula_50 会推出 formula_51 和 formula_52，而 formula_53 甚至不合式，是句法错误。不过，在范畴论中，得以自然变换的概念，将上述「结合律」修正。
类似滥用亦常见于谈论结构「个数」的句子。举例「恰有两个8阶非交换群」严格而言可写作「8阶非交换群的恰有两个」或「不别同构之异，恰有两种8阶非交换群」。
微积分例子.
导数.
数学分析中，导函数的莱布尼兹记法formula_54，算是滥用了分数符号。此种写法的好处是，形式上得以沿用分数的运算法则，方便计算，例如复合函数求导的连锁律，按莱布尼兹记法为：
状似分数乘法。
类似滥用出现于解微分方程的分离变数法，常将方程 formula_56 左边的导数，如分数般「移项」写成 formula_57，然后两边积分。还有积分记号中，将 formula_58 的 formula_59 看成因子，与 formula_60 的分子相乘，写成
但在微分形式理论中，有 formula_62 和 formula_59 的严格定义，此时，上述写法不再是滥用。
向量叉积.
设实向量 formula_64，formula_65，则两者的叉积可用形式行列式定义为：
其中顶行的三项是三个方向的单位向量，沿该行用余子式展开可得结果。此种滥用有助记忆，实际计算亦有用。其所以为滥用，是因为一般仅定义环上某矩阵的行列式，但向量 formula_67 与纯量 formula_68 等不在同一环内（除非考虑几何代数）。
倒三角算子.
倒三角算子 formula_69 是将偏微分算子组装成类似向量的形式：
以便用向量运算表示梯度 formula_71、散度 formula_72、旋度 formula_73。但是，倒三角算子并未齐备向量的全部性质，例如与其他向量的内积不可换。此观点下，是滥用向量符号。
大O记号.
使用大O符号时，常以 formula_74 表示「当 formula_8 时，formula_7 至多为 formula_77 的常数倍」。这可以看成滥用了等号，因为如所言，formula_78 但 formula_79。
主观性.
一种用法是否属滥用符号，视乎学科背景和上下文。大部分数学科目中，以 formula_80 表示，皆算为滥用，但范畴论中则不一定，因为 formula_9 在集合和偏函数构成的范畴中，确实是态射。
评价.
尼古拉·布尔巴基在《数学原本》起首的「本书用法」中，称任何数学书若不滥用语文或符号，则易拘于小节（pédantesque）甚至不堪卒读（illisible）。陶哲轩认为，论文的严格论证中，所用符号应当明确而不含糊，但即使如此，仍允许一定程度的滥用符号。