幂

在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂（mathematical power，power）；由此，若 formula_1 为正整数，formula_1 个相同的数 formula_3 连续相乘（即 formula_3 自乘 formula_1 次），就可将 formula_6 看作乘方的结果 ——“幂”。
幂运算（exponentiation）又称指数运算、取幂，是数学运算，表达式为 formula_6，读作「formula_3 的 formula_1 次方」或「formula_3 的 formula_1 次幂」。其中，formula_3 称为底数，而 formula_1 称为指数，通常指数写成上标，放在底数的右边。在纯文字格式等不能用上标的情况，例如在编程语言或电子邮件中，formula_6 通常写成 b^n 或 b**n；也可视为超运算，记为 bn；亦可以用高德纳箭号表示法，写成 b↑n。
当指数为 1 时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；指数为 2 时，可以读作“formula_3 的平方”；指数为 3 时，可以读作“formula_3 的立方”。
由于在十进制中，十的幂很容易计算，只需在后面加零即可，所以科学记数法借此简化记录的数字；二的幂则在计算机科学中相当重要。
。这样定义了后，很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况：指数是零时，底数不为零，幂均为一（即除 0 外，所有数的 0 次方都是 1 ）；指数是负数时，就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即：
若以分数为指数的幂，则定义：
formula_20，
即 formula_3 的 formula_1 次方再开 formula_23 次方根。
0的0次方（formula_24）目前没有数学家给予正式的定义；在部分数学领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为 1 。
此外，当 formula_1 是复数，且 formula_3 是正实数时，
formula_27
exp 是指数函数，而 ln 是自然对数。
运算律.
加法和乘法存在交换律，比如：formula_37，formula_38，但是幂的运算不存在交换律，formula_39，但是formula_40。
同样，加法和乘法存在结合律，比如：formula_41，formula_42。不过，幂运算没有结合律：formula_43，而formula_44，所以formula_45。
但是幂运算仍然有其运算律，称为指数律：
整数指数幂.
整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。
正整数指数幂.
表达式formula_52被称作formula_53的平方，因为边长为"formula_53"的正方形面积是formula_55。
表达式formula_56被称作"formula_53"的立方，因为边长为"formula_53"的正方体体积是formula_59。
所以formula_60读作「3的平方」，formula_61读作「2的立方」。
指数表示的是底数反复相乘多少次。比如formula_62，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。
或者，整数指数幂可以递归地定义成：
指数是1或者0.
注意formula_64表示仅仅1个3的乘积，就等于3。
注意formula_65，formula_66，formula_67，formula_68，
继续，得到formula_69，所以formula_70
另一个得到此结论的方法是：通过运算法则formula_71
当formula_72时，formula_73
零的零次方.
formula_74 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是formula_75 ，在程式语言中（python） formula_76 
在这里给出这一种极限的看法
formula_77
于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图
负数指数.
我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。
对于非零formula_53定义
而formula_81时分母为 0 没有意义。
证法一：
根据定义formula_82，当formula_83时
得formula_85, 所以formula_86。
证法二：
通过运算法则formula_87
当formula_88时，可得formula_89
负数指数formula_90还可以表示成1连续除以formula_1个formula_53。比如：
特殊数的幂.
10的幂.
在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：formula_94
因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 formula_95，近似值 formula_96 或 formula_97
国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 formula_98，词头“毫”就是 formula_99
1的幂.
1的任何次幂都为1。
0的幂.
0的正数幂都等于0。
0的负数幂没有定义。
任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是悬而未决的，某些领域下常用的惯例是约定为1。但某些教科书表示0的0次方为无意义。也有人主张定义为1。
负1的幂.
-1的奇数幂等于-1
-1的偶数幂等于1
指数非常大时的幂.
一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大
一个绝对值小于1的数的幂趋于0
1的幂永远都是1
如果数"a"趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：
参见e的幂
其他指数的极限参见幂的极限
正实数的实数幂.
一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。
N次方根.
一个数formula_53的formula_1次方根是formula_116，"formula_116"使formula_118。
如果"formula_53"是一个正实数，"formula_1"是正整数，那么方程formula_118只有一个正实数根。
这个根被称为"formula_53"的"formula_1"次方根，记作：formula_124，其中formula_125叫做根号。或者，"formula_53"的"formula_1"次方根也可以写成formula_128.
例如formula_129
当指数是formula_130时根号上的2可以省略，如：formula_131
有理数幂.
有理数指数幂定义为
e的幂.
这个重要的数学常数"e"，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。
它是从以下极限定义的：
指数函数的定义是： 
可以很简单地证明"e"的正整数"k"次方formula_135是：
实数指数幂.
因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数"x"可以定义成：
例如：
于是
实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。
自然对数formula_143是指数函数formula_144的反函数。
它的定义是：对于任意formula_145，满足
根据对数和指数运算的规则：
这就是实数指数幂的定义：
实数指数幂formula_149的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。
负实数的实数幂.
如果formula_53是负数且formula_1是偶数，那么formula_152是正数。如果"formula_53"是负数且"formula_1"是奇数，那么formula_152是负数。
使用对数和有理数指数都不能将formula_156（其中"formula_53"是负实数，formula_158实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于formula_159（formula_1是奇数）可以使用"formula_1"次方根来计算，但是因为没有实数formula_116使formula_163，对于formula_159（"formula_1"是偶数）时必须使用虚数单位formula_166。
使用对数的方法不能定义formula_167时的formula_156为实数。实际上，formula_144对于任何实数"formula_116"都是正的，所以formula_171对于负数没有意义。
使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数formula_53因为它依赖于连续性。函数formula_173对于任何正的有理数formula_53是连续的，但是对于负数"formula_53"，函数formula_176在有些有理数formula_177上甚至不是连续的。 
例如：当formula_178，它的奇数次根等于-1。所以如果"formula_1"是正奇数整数，formula_180当formula_23是奇数，formula_182当"formula_23"是偶数。虽然有理数formula_184使formula_185的集合是稠密集，但是有理数formula_184使formula_187的集合也是。所以函数formula_188在有理数域不是连续的。
因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成复数，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。
正实数的复数幂.
e的虚数次幂.
复数运算的几何意义和"e"的幂可以帮助我们理解formula_189（"formula_116"是实数），即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形formula_191（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的formula_1，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于formula_193弧度。对于所有formula_158，三角形formula_195互为相似三角形。所以当"formula_1"足够大时formula_197的极限是复数平面上的单位圆上formula_116弧度的点。这个点的极坐标是formula_199，直角坐标是formula_200。所以formula_201，而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。
等式formula_202的解是一个整数乘以formula_203：
更一般地，如果formula_205，那么formula_206的每一个解都可以通过将formula_203的整数倍加上formula_3得到：
这个复指数函数是一个有周期formula_203的周期函数。
更简单的：formula_211。
三角函数.
根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是： 
历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程 
使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。
e的复数指数幂.
formula_214可以分解成formula_215。其中formula_144是formula_214的模，formula_218决定了formula_214的方向
正实数的复数幂.
如果formula_53是一个正实数，formula_221是任何复数，formula_222定义成formula_223，其中formula_224是方程formula_225的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。
例如：
复数的复数幂.
复数的虚数幂.
让我们从一个简单的例子开始：计算formula_228。
formula_229
其中formula_230的得法参见上文正实数的复数幂
复数的复数幂.
类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算formula_231：
formula_232
一般情况.
复数的复数幂必须首先化为底数为formula_233的形式：
formula_234
又，由复数的极坐标表示法：
formula_235
故
formula_236。
然后，使用欧拉公式处理即可。
由于复数的极坐标表示法中，辐角formula_237的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。
在函数中.
当函数名后有上标的数（即函数的指数），一般指要重复它的运算。例如formula_238即formula_239。特别地，formula_240指formula_241的反函数。
但三角函数的情况有所不同，一个正指数应用于函数的名字时，指答案要进行乘方运算，而指数为-1时则表示其反函数。例如：formula_242表示formula_243。因此在三角函数时，使用formula_244来表示formula_245的反函数formula_246。
计算自然数（正整数）"formula_1"的formula_248的算法.
最快的方式计算formula_248，当formula_1是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。
在C/C++语言中，你可以写如下算法：
<syntaxhighlight lang="c" line="1">
double power(double a, unsigned int n)
</syntaxhighlight>
此算法的时间复杂度为formula_251，比普通算法快（a自乘100次，时间复杂度为formula_252），在formula_1较大的时候更为显著。
例如计算formula_254，普通算法需要算100次，上述算法则只需要算7次。若要计算formula_255可先以上述算法计算formula_256，再作倒数。