三维点群

几何学中，三维点群是三维空间中，任何一个固定原点的对称群。等价的说法是，其为球面的对称群。此类群皆为正交群formula_1的子群，即固定原点的全体等距同构组成的群，亦可视为全体正交矩阵的乘法群。formula_1本身则是全体等距同构的欧氏群formula_3的子群。
立体的对称群必由等距同构组成，反之，要分析等距对称构成的群，就是分析所有可能的对称。有界三维立体的全体等距同构，必存在共同的不动点，不妨设其中之一为原点。
立体的对称群，有时称为全体对称群作强调，用以突显与旋转群（或真对称群）的分别。立体的旋转群是其全体对称群与三维空间本身的旋转群formula_4之交。立体的旋转群等于全体对称群，当且仅当立体具。
三维点群在化学广泛用于描述分子的对称，及组成共价键的分子轨域的对称。此背景下，也称分子对称群。
有限考克斯特群是一族特殊的点群，仅由过原点的若干个镜射生成。formula_5阶考克斯特群是由formula_5个镜射生成，可以表示。则改为用方括号和数字描述，并设有其他标记，用以表示旋转群或其他子群。
群结构.
formula_4是直接欧氏群formula_8的子群，其元素皆是直接等距同构，即保持定向的等距变换。formula_4仅含保持原点不变的直接等距同构。
formula_1则是formula_4与点反演生成的群formula_12的直积：（此处点反演以其矩阵formula_13表示，即单位矩阵formula_14乘上formula_15。）
所以，三维空间中，藉点反演，可以得到直接与间接等距变换之间的一一对应，此外，formula_1中仅由直接等距变换组成的子群formula_18（必包含在formula_4中，亦与formula_1中含有点反演的子群formula_21一一对应。对应关系如下：
例如，若formula_18为formula_25，则formula_21为formula_27；若formula_18为formula_29，则formula_21为formula_31。（定义载于下文。）
若直接等距同构群formula_18有为formula_33的子群formula_34，则除以上含点反演的子群外，还有另一个对应的子群
含有间接等距变换，但不含点反演。式中formula_36与formula_37视为等同。举例formula_18为formula_39，而formula_40为formula_41。
换言之，formula_40是将formula_43中的变换，乘上formula_13得到。此群formula_40作为抽象群与formula_18同构。反之，任意对称群，若有间接等距变换，但无点反演，则可以将所有间接变换反演，而变成旋转群。等距群的分类（见下文）中，可以用此性质化简问题。
二维情况下，formula_47重旋转的循环群formula_48皆是formula_49和formula_50的正规子群。在三维中，固定旋转轴，则相应有绕该轴的formula_47重循环群formula_48，是绕该轴的全体旋转群的正规子群。此外，由于指数为formula_33的子群必正规，formula_54在formula_55中正规，也在formula_56中正规。此处formula_55是向formula_54添加过旋转轴的反射面生成，而formula_56则是向formula_54添加与轴垂直的反射面生成。
固定原点的三维等距变换.
formula_61的等距变换中，固定原点的变换，组成正交群formula_62，简记为formula_1。其元素分类如下：
后三种元素又称瑕旋转。（视乎定义，末一种未必算。）
连同平移变换的简介，见欧几里得群。
共轭.
比较两件立体的对称类时，原点可以分别选取，即两件立体的中心不必相同。更甚者，两件立体具有相同对称类，意思是其对称群formula_70在formula_1中为共轭子群，即存在formula_72，使formula_73。
举例：
若立体的对称群有多条旋转轴或多个镜面，或两者皆有，则两个对称群同属一类，当且仅当有另一个旋转formula_74，将前一个对称群的整个结构，变换成后一个对称群。（此种旋转会多于一个，但不会是无穷多个。仅有一条旋转轴或一个镜面时，此种旋转方会有无穷多个。）按定义，上文的formula_74不必为旋转，也可以为镜射，然而，由于对称群的结构不具手性，祇需取formula_74为旋转。（但空间群则不然，有formula_77对空间群具有手性，因为有螺旋变换。）
无穷等距变换群.
有许多无穷等距变换群，如绕任意轴转任意无理角度（即圈数或度数为无理数，或弧度数为formula_78的无理数倍）的旋转，所生成的无穷循环群；若加入绕同一轴的其他旋转，还可以组成许多非循环的交换群。取不共轴的旋转，则生成非交换群。，此等非交换群皆为自由群。仅有特别选取的旋转，方能得到有限群，否则一般皆是无穷群。
作为拓扑群formula_1的子群，上述无穷子群皆非闭子群。以下讨论formula_1的拓扑闭子群：
添加过轴的各镜面反射的群，不论有否添加过原点与轴垂射的镜面反射，称为两种圆柱对称性。注意若物理实体有无穷旋转对称，则亦必关于过轴的镜面对称。
此七个连续群，称为极限点群或居里极限群，得名自最早研究此种群的皮埃尔·居里。轴向群可以分成七列无穷序列，其极限给出五个轴向极限群（有两个重复），而formula_1、formula_4则不是轴向群的极限。国际记号中，此七个群记为formula_86，次序在下文明确给出。
有限等距变换群.
三维空间的对称中，保持原点不动，等价于保持以原点为球心的球面。关于有限的三维点群，亦可参见。
不别共轭之异，三维有限点群只有：
根据晶体学限制定理，仅得很少点群与离散相容：七列轴向点群中，有formula_94个；七个其他点群中，有formula_95个，合共formula_96个，称为晶体学点群。
七类轴向点群.
有七列轴向点群。每列有无穷多个群，各可用正整数formula_5标示。每列第formula_5个群，含绕某轴的formula_5重旋转，即旋转formula_100，故formula_101对应转一整圈，即不旋转。七列轴向点群中，四列无其他旋转轴（称'），另三列有其他二重旋转轴（称'）。该些群可以视为添加轴向坐标和关于轴的反射而成，也与相关。 可以将轴向点群理解为带群的图案在绕柱面恰好重复formula_5次。
下表列出点群的几种记号：晶体学的赫尔曼–莫甘记号、分子对称性的、、。后三者不仅方便读出群的性质，还与群的阶数密切相关。轨形记号同时通用于与。晶体群的formula_5仅能取formula_104（晶体学限制定理），而若移除该限制，则formula_5可取任意正整数。七列轴向点群为：
对奇数formula_5，有抽象群同构formula_107及formula_108。
群formula_54（包括平凡群formula_110）及formula_111有手性，其他则无手性。
术语水平（horizontal, h）与竖直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋转轴为竖直，故反射面水平即垂直于与旋转轴，反射面竖直即包含为旋转轴。相应下标用字母h和v。
最简单的非平凡轴向群皆同构于抽象群formula_112，但是formula_1的不同子群（即不共轭）：
第一组单轴循环群中，formula_54的阶为formula_5（二维情况同样适用），是由单一个角度为formula_100的旋转生成。若向此群加入一个与轴垂直的镜面（的反射），则生成formula_123，阶为formula_124。若不加入与轴垂直的镜面，但加入formula_5块通过轴的镜面，则得到formula_126，阶亦为formula_124。后者是正formula_5棱锥的对称群。具formula_54或formula_111的典型物体是螺旋桨。
若上述两种镜面皆加入，则水平镜面与竖直镜面相交得到formula_5条轴，而镜射的复合生成绕该些轴的formula_65旋转，故群不再单轴。新群的阶为formula_133，记为formula_134。其旋转子群为formula_124个元素的二面体群formula_111，仍有与主（formula_5重）旋转轴垂直的二重旋转轴，但不再有镜面。
注意，在二维，formula_111包括镜射，但镜射也可以视为将不辨前后之别的扁平物体翻转得到。但在三维，镜射与翻转不再相同：群formula_111有翻转但无镜射。
余下一类是formula_140（或formula_141），其有包含主旋转轴的竖直镜面，但没有水平镜面，取而代之的操作是先水平镜射，再旋转formula_142。formula_134是正formula_5棱柱和双棱锥的对称群。formula_145则是正formula_5角反棱柱的对称群，亦是正formula_5方偏方面体的对称群。最后，formula_111是稍稍扭过的正formula_5棱柱的对称群。
formula_150及formula_151较特殊，因为并无特别的主旋转轴：三条互相垂直的旋转轴皆为二重轴。formula_150是下节所有多面体对称群的子群，而formula_151则是多面体群formula_154与formula_155的子群。formula_150可以作为下列化学品的对称群：
formula_150的元素，与的可逆元表示的旋转，有一对二的关系。
群formula_158由「先关于水平面作镜射，再旋转formula_100」生成。对于奇数formula_5，是等于前述两个操作分开执行，生成的群formula_123，阶为formula_124，故不必用到记号formula_158。然而，对偶数formula_5，两个群有差异，且formula_158仅有formula_5个元素。与formula_140类似，其包含若干瑕旋转，但不包含对应的旋转。
七列轴向群的元素仅有下列四对重复：
formula_115是由独一个点反演生成的formula_33阶群，又记为formula_114。
此处「重复」是指作为formula_1的子群共轭，是强于作为抽象群代数同构的条件。例如，前一种意义下，有三个不同的formula_33阶群，但祇有一个formula_33阶抽象群。类似，也有formula_190与formula_191抽象同构。
群的构造亦可描述如下：
取formula_5趋向formula_231的极限，则得到连续轴向群（或无穷阶轴向群）：
七个其他点群.
余下七个点群又称为高度对称或多面体对称，因为有多于一条旋转轴的重数大于二。下表中，formula_54表示一条formula_5重轴，即旋转角为formula_234，formula_158则表示同样旋转角的瑕旋转轴。所用记号，首先是字母表示的，然后括号内为，然后为及图，最后是赫尔曼–莫甘记号及倘有的简写。
相关的连续群有：
如无穷等距变换群一节所言，任何物理实体，若有formula_21对称性，则必有formula_241对称性。
轨形记号与阶.
若已知群的轨形记号，则可计算其阶数，等于formula_33除以轨形的欧拉示性数。轨形的欧拉示性数是将formula_33减去轨形记号中，各符号特征数的总和：
此公式同样适用于与：对该等群，特征数之和为formula_33，所以阶数是无穷大。亦见条目。
反射考克斯特群.
三维反射点群又称为考克斯特群，能以表示，是交于同一个中心点的若干镜面反射生成的群。该些镜面将球面分割成球面三角形区域。若考克斯特群能以少于三个镜射生成，则该球面三角形退化，变成或半球面。在，该些群是formula_257、formula_258、formula_259、formula_260。不可约群的镜面数是formula_261，其中formula_262是群的，而formula_5是反射方向的秩（维数），等于符号的下标。
旋转群.
有限旋转群，即formula_4的有限子群，仅有：循环群formula_54（正棱锥的旋转群）、二面体群formula_111（正棱柱或双锥体的旋转群）、formula_267（正四面体的旋转群）、formula_268（正八面体或正六面体的旋转群）、formula_14（正二十面体或正十二面体的旋转群）。
特别地，二面体群formula_270、formula_271等，是平面正多边形嵌入到三维空间后的旋转群。此种薄片也可以视为退化的正棱柱，或称为二面体，二面体群因而得名。
当且仅当物体有时，其旋转群等于整个对称群。换言之，手性物体就是对称群在旋转群列表中的物体。
用、，及括号内的表示，旋转群是：
旋转群与其他群的对应.
下列群有点反演：
如上文所述，此种群与所有旋转群之间，有一一对应：
下列群具有间接（不保定向）的等距变换，但无点反演：
上述各群分别对应一个旋转群formula_18及其指标formula_33的子群formula_34，使得该群是由formula_18的元素，加上formula_43经点反演后的元素得到，如上文所述：
极大对称群.
离散点群中，formula_155和formula_334并非任何其他离散点群的真子群，故谓极大。其公共子群中，最大的是formula_335。由此，可以将二重旋转对称改成四重而得formula_336，亦可加入五重旋转对称而得formula_334。
类似地，有两个晶体学点群并非任何其他晶体学点体的真子群：formula_155与formula_339。视乎方向，其极大公共子群为formula_340或formula_341。
按抽象群同构分类.
下列若干个表，将前述诸群，按抽象群同构分类。
最小几个不能表示成三维对称群的抽象群为：formula_342阶的四元群、formula_343阶的formula_344、formula_345阶的formula_346，以及十四个formula_347阶群的其中十个。
下表中，「formula_33阶元素数」一列，数算formula_349三类等距变换子群的总数，是有助分辨抽象群类型的特征数，而该总数之内，各类等距变换子群的数目，则有助辨别属同一类抽象群的不同等距变换群。
循环群.
formula_5重旋转对称的对称群为formula_54。其抽象同构类是循环群formula_352，亦可记作formula_54。然而，另有两列对称群同构于循环群：
故可总结出下表：（十个循环晶体学点群以粗体标出，其满足晶体学限制。）
二面群.
二维二面体群formula_111有旋转和反射，但二维反射亦可视为在三维空间中，将不区分正反面的薄片翻转。
然而在三维，反射与翻转须作区分。以formula_111表示的对称群，有formula_5条二重轴，与formula_5重的主旋转轴垂直，但无反射。formula_111是正formula_5棱柱、正双formula_5角锥、正formula_5角反棱柱、formula_5方偏方面体的旋转群。若略作改动，如在每面加上相同的标记，或稍为改变形状，则可以使物体具有手性，从而令formula_111为其全对称群。
相应的抽象群类型是二面体群formula_376，亦可照样记为formula_111。但除formula_111外，还有三个无穷序列的对称群，同构于二面体群：
注意有以下同构：
于是可以整理出下表：（有formula_345个晶体学点群用粗体标示，另formula_393写成等价的formula_181）
其他.
formula_395的阶数为formula_133，同构于抽象群formula_397。在formula_388时，formula_395等同formula_400，已于上小节讨论，故本小节仅考虑formula_401的情况。
此系列的群可以整理成下表：（其中两个晶体学点群以粗体强调）
formula_134的阶数为formula_133，同构于抽象群formula_404。对于奇数formula_5，已于上小节讨论，故此处仅考虑阶数为formula_406的群formula_407，其抽象群类别为formula_408。（formula_409）
此系列的群可以整理成下表：（其中三个晶体学点群以粗体强调）
余下七个多面体群是：（其中五个晶体学点群以粗体强调）
基本域.
点群的基本域是锥体。若物体有给定的对称群，则指明物体的某一个基本域变换至哪个基本域，就足以确定该变换。另外，仅从该件物体在一个基本域内的形状，就足以确定整件物体的形状。若物体是曲面，则可由其被一个基本域截得的部分确定，该部分亦是（有边界的）曲面，下称「基本面」，延伸至基本域的径向边界面（即锥体的侧面）。但是，若基本面与其他基本面（即基本面在其他基本域的复制），两者的边界未能贴合，则需要添加径向的面或其他曲面，以使各基本面连接成一个整体。若基本面以反射面为界，则必然贴合。
基本面可以取为任意平面被基本域所截的部分，如此得到一个多面体，具有给定的对称群，如四角化菱形三十面体的每一个面，即为全的一个基本面。若调整该面的方向，则有时可以使相邻的若干个基本面共面，而合并成同一个面，得到具同样对称群的其他多面体，如正十二面体和正二十面体。若基本面的边界能够贴合，且基本面的法向量是在基本域内，则所得的多面体为凸多面体。
基本面也可以取为其他形状，不必在同一平面内，例如可取为若干个不同平面的区域连接而成的曲面。
二元多面体群.
考虑三维旋量群formula_410到旋转群formula_4的二重复叠投映。由于formula_410已是单连通，故为formula_4仅有的非平凡连通覆叠。
由，formula_410与formula_4的子群（即旋转点群）之间有伽罗瓦连接：formula_410子群投映到formula_4，必为旋转子群，而反之，旋转子群的原像亦必为是formula_410的子群。注意formula_410可以等价描述成特殊酉群formula_420，或是单位四元数群，亦属李群，拓扑上同胚于三维球面formula_421。
有限点群的原像称为二元多面体群，记作formula_422，与多面体群formula_423对应，而名称则是相应点群的名称加上「二元」前缀，阶数为点群阶数的两倍。例如，formula_424的原像，便是formula_425。
二元多面体群为：
该些群能按，而formula_442在二元多面体群作用下的商空间，是。
对于不保定向的点群，情况较复杂，因为有两个Pin群，所以对应给定的点群，有两个可能的二元群。
注意前述「覆叠」仅是群的覆叠，而不是多面体空间的覆叠：球面本身单连通，并无非平凡覆叠。所以，并无所谓「二元多面体」覆叠原有的多面体。二元多面体群是旋量群的离散子群，所以若选定旋量群的表示，作用于一个向量空间，则该二元多面体群在该表示下，可能将某个多面体映到自身，例如在formula_443映射下，二元多面体群作用为旋转，与底下的（非二元）群是同一个多面体的等距变换，然而，在或其他表示下，二元多面体群可以作用在不同的多面体上。
二元多面体群不是的对称群。球面确实覆叠射影空间（以及），故可以考虑射影空间的密铺，视之为另一种「多面体」，即射影多面体，但是，考虑二元多面体群时，并非取多面体所覆叠的空间，而是取覆叠对称群的群，所以两件事不相同。