根系 (数学)

在数学中，根系是欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群、李代数与代数群理论中格外重要；而根系分类的主要工具──邓肯图，也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。
定义.
设 formula_1 为有限维实向量空间，并赋予标准的内积 formula_2。formula_1 中的根系是有限个向量（称为根）构成的集合 formula_4，满足下述条件：
根据性质三，整性等价于：对任意 formula_19，formula_20 与 formula_15 仅差 formula_12 的整数倍。此外，注意到性质四定义的尖积
并非一个内积，它未必对称，而且只对第一个参数是线性的。
根系 formula_4 的秩定义为 formula_1 的维度。
给定两个根系 formula_26，可考虑其正交直和 formula_27，则 formula_28 自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合（当然，假设 formula_29），则称之为不可约的。
对两个根系 formula_30，若存在其间的线性同构，使得 formula_31 映至 formula_32，则称它们为同构的根系。
对于根系 formula_33，对根的反射生成一个群，称为该根系的外尔群。可证明此群在 formula_4 上忠实地作用，因此必为有限群。
秩一与秩二的例子.
秩为1的例子.
在同构的意义下，秩一的根系仅有一种，由两个非零向量 formula_35 组成。此根系记作 formula_36。
秩为2的例子.
秩二的根系有四种可能，对应于formula_37，其中formula_38的情况。注意根系并不由它生成的格所决定：formula_39 和formula_40均生成正方形格，而 formula_41和formula_42 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。
图解如下：
当 formula_4 是 formula_1 中的根系，而 formula_45 是 formula_46 在 formula_45 中生成的子空间，则 formula_48 是 formula_45 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系，例如：任意两根的交角仅可能是 formula_50 或 formula_51 度。
正根与单根.
对于根系 formula_4，可以取定满足下述条件的正根子集 formula_53：
正根的取法并不唯一。取定一组正根后，formula_60 的元素被称为负根。
正根的选取等价於单根的选取。单根集是 formula_4 中满足下述条件的子集 formula_62：
选定一组单根后，可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。
以邓肯图分类根系.
不可约根系与某类被称为邓肯图的图间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题，由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下：
给定一个不可约根系，选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 formula_65 若不垂直，则有 formula_66 个边相连：若只有一个边，则不取定向，否则则取自长度 formula_67 长者（称为长根）指向短者（称为短根）的有向边。
一个根系可以取多种不同的单根。然而，由于外尔群在这些选取上的作用是传递的，邓肯图的构造与单根的选取无关，它是根系内在的不变量。反之，给定具有相同邓肯图的两个不可约根系，可以按图配对单根及其间的内积，从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一，但至多差一个正常数倍，因而得到的根系是同构的 。
借此，可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系，则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的；配上这个条件后，即可解决根系的分类。
邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数，亦即相应根系的秩。
不可约根系的性质.
不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系：formula_68，其下标分别取遍 formula_69 的正整数，称为典型根系；剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中， formula_70 表示短根的个数（若诸根同长，则皆视为长根），formula_71 表示其嘉当矩阵的行列式，而 formula_72 表示外尔群之阶。
不可约根系的构造方法及描述.
A"n".
取 formula_1 为 formula_74 中满足 formula_75 的点 formula_76 所成之子空间。令 formula_4 为 formula_1 中长度为 formula_79 的格子点。取 formula_74 的标准基 formula_81，则根具有 formula_82 的形式，共有 formula_83 个根。通常取单根为 formula_84。
对垂直于 formula_85 的超平面的镜射在 formula_4 上的作用是交换第 formula_87 个座标。因此 formula_88 的外尔群不外就是对称群 formula_89。
formula_88 是李代数 formula_91 的根系。
B"n".
取 formula_92，并令 formula_4 为 formula_1 中长度为 formula_95 的格子点。共有 formula_96 个根。通常取单根为 formula_97 及 formula_98（短根）。
对短根 formula_99 的反射即 formula_100。
formula_101 跟 formula_36 仅差一个缩放，因此通常仅考虑 formula_103 的情形。formula_104 是李代数 formula_105 的根系。
C"n".
取 formula_92，formula_4 为 formula_1 中所有长度 formula_79 的格子点与形如 formula_110的点，其中 formula_111 是长度为一的格子点。共有 formula_96 个根。通常取单根为 formula_113及 formula_114（长根）。
formula_115 与 formula_40 仅差一个缩放加上旋转 45 度，因此通常仅考虑 formula_117 的情形。formula_118 是李代数 formula_119 的根系。
D"n".
取 formula_120，formula_4 为 formula_1 中长度 formula_79 的格子点。共有 formula_124 个根。通常取单根为 formula_125 及 formula_126。
formula_127 同构于 formula_128，故通常仅考虑 formula_129 的情形。formula_130 是李代数 formula_131 的根系。
E8, E7, E6.
formula_132 是较为特殊的根系。首先定义 formula_133 中满足下述条件的点集 formula_134：
定义 formula_132 为 formula_134 中长度为 formula_79 的向量，即：
定义 formula_139 为 formula_132 与超平面 formula_141 之交， 其中 formula_142 是任取的根。同样步骤施于 formula_139，得到更小的根系 formula_144。根系 formula_145 分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤，则会得到典型根系 formula_146。
另一种等价的描述是取 formula_147 为：
formula_134 与 formula_147 同构。将任意偶数个座标乘以负一，便可在两者间转换。formula_134 称为 formula_132 的偶坐标系，formula_147 称为奇坐标系。
在偶坐标下，通常取单根为
在奇坐标下，通常取单根为
（在上述定义中，若改取 formula_159，将得到同构的结果。若改取 formula_160，将得到 formula_161 或 formula_162。至于 formula_163，其坐标和为零，而 formula_164 亦然，所以张出的向量空间维度不合所求。
删去 formula_165 可得到 formula_139 的一组单根；再删去 formula_167，可得 formula_144 的单根。
由于对 formula_165 垂直等价于前两个坐标相等，而对 formula_170 垂直等价于前三个座标相等，不难导出 formula_171 的明确定义：
E"7" = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2，∑αi + α1 ∈ 2Z),
E"6" = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2，∑αi + 2α1 ∈ 2Z)
F4.
对于 formula_172，取 formula_173，并令 formula_4 为满足下述条件的向量：
此根系有 formula_177 个根。通常取单根为 formula_178 的单根再加上 formula_179。
G2.
formula_42 有 12 个根，构成一个六边形的顶点，详如秩二的例子一节所示。通常取单根为
在此沿用了之前的符号： formula_183。
根系与李群、李代数.
不可约根系的分类可用于研究下述对象：