正交频分复用

正交频分多工（Orthogonal frequency-division multiplexing, OFDM）有时又称为分离复频调变技术（discrete multitone modulation, DMT），可视为多载波传输的一个特例，具备高速率资料传输的能力，加上能有效对抗频率选择性衰减，而逐渐获得重视与采用。
OFDM使用大量紧邻的正交子载波（Orthogonal sub-carrier），每个子载波采用传统的调变方案，进行低符号率调制。可以视为一调变技术与多工技术的结合。
定义.
调变是将传送资料对应于载波变化的动作，可以是载波的相位、频率、振幅，或是其组合。正交频分复用之基本观念为将一高速资料流程，分割成数个低速资料流程，并将这数个低速资料流程同时调制在数个彼此相互正交载波上传送。由于每个子载波频宽较小，更接近于相干频宽，故可以有效对抗频率选择性衰弱，因此现今以大量采用于无线通讯。
正交频分复用属于多载波（multi-carrier）传输技术，所谓多载波传输技术指的是将可用的频谱分割成多个子载波，每个子载波可以载送一低速资料流程。
运作模式.
传统的数位调变和分工使用频率分频分工，透过不同频段传输不同的资讯，OFDM将一整段频段分割成数个子载波（sub-carrier），而且让每个子载波相互正交，使得他们在频谱上并不互相重叠，可以降低干扰，其运作方式在传输端将讯号摆置在频域（frequency domain）上，透过反傅利叶转换（IDFT）转换至时域（time domain）上，并透过增加循环前缀（cyclic prefix）之后传送出去，而接收端则是将讯号去除循环前缀，再将时域讯号透过傅利叶转换（DFT）将讯息转回频域，解出原传递讯号。
OFDM技术提高载波的频谱利用率，它的特点是各子载波相互正交，使扩频调制后的频谱不再相互重叠，从而减小了子载波间的相互干扰。在对每个载波完成调制以后，为了增加数据的吞吐量、提高数据传输的速度。OFDM的另一个优点，它可以利用离散傅立叶反变换/离散傅立叶变换（IDFT/DFT）代替多载波调制和解调。
OFDM原理说明.
在一般的无线通道来说，因为有多路径问题（multipath problem），将它等价于离散的基频模型可视为：
输入：formula_1
输出：formula_2
其中formula_3是过去的讯号对现在所得讯号的干扰，也就是所谓的符元间干扰（Inter-symbol Interference），formula_4是杂讯。L 可以视为线性非时变系统下tap的个数。
传统上，我们可以透过维特比演算法（Viterbi Algorithm），一种动态规划的演算法，来找寻最有可能序列探测可能性（Maximum Likelihood Sequence Detection），但这种演算法的时间复杂度为formula_5，在现在宽频的系统下，L的大小大约从100至400，这样的复杂度对于现在系统并不是非常经济的。为此，我们引进了OFDM系统。
数学推导.
OFDM是一个避免ISI的数学架构，以下说明他如何避免ISI，在一个OFDM系统下
formula_6
我们希望可以做到
formula_7
，这样就是一个ISI-free的架构
若我们考虑线性旋积（linear convolution），我们想要证明时域上的线性旋积是频域上的乘法，我们可以用
formula_8
formula_9
formula_10
formula_11
从推导我们可以发现证明时域上线性旋积等价于频域上的乘法，是构筑在积分范围从formula_12至formula_13，但在离散时间的傅立叶转换中，其积分范围为有限值，但我们仍然想要保有时域上的旋积等价于频域上的乘法，故为此我们引进了环旋积（circular convolution）。
formula_14
我们可以透过输入、线性非时变系统脉冲响应的离散傅立叶转换以及环旋积的定义：
formula_15
formula_16
formula_17
来导出对于离散傅立叶转换下，时域上的环旋积等价于频域上的乘法。
formula_18
因此，我们可以将架构看成：
formula_19
此时，我们只要考虑如何将环旋积实践在线性非时变系统下。
为此，我们引进了循环前缀（cyclic prefix）也就是将原长度为N的时间讯息，取最后L项放置在原来时间讯息的前面，为此就可以在通过通道，做线性旋积，却拥有环旋积的效果，进而避免ISI的发生。
物理理解.
OFDM系统与传统分频多工（Frequency Division Multiplexing，FDM）不同之处为：OFDM系统的每个子载波（Sub-Carrier）之间具有正交性（Orthogonality），此为OFDM系统之主要特点。子载波彼此之间不会产生干扰，且频谱可以相互重叠；而传统分频多工系统之不同载波之间频谱没有重叠，因此 OFDM系统比传统分频多工系统具有较好的频宽效益（Bandwidth Efficiency）。
那我们如何得出子载波彼此之间都相互正交的性质呢？
OFDM引进了快速傅里叶逆变换（IFFT）和快速傅里叶变换（FFT），他们两个都是正交转换（orthogonal transfrom），所以我们可以视为在频谱上先摆好资讯，而这些资讯们因为透过IFFT转换成时域，而他使用的载波（carrier）必定正交，因为IFFT的每个基（basis）都相互正交，可以视为其他子载波（subcarrier）对自己子载波没有影响，这样的优点在于频谱可以重叠而不互相干扰，是OFDM优点之一。
正交.
从概念上来说，OFDM是一种使用传统分频多工（Frequency Division Multiplexing, FDM）方法，其附加的限制是通信通道中的所有附载波信号彼此正交。
在OFDM中，选择子载波频率使得子载波彼此正交，这意味著子通道之间的干扰被消除并且不需要载波间的保护频带。这大幅的简化了发射端和接收端的设计。与传统的FDM不同，不需要为每个子通道使用单独的滤波器。
正交要求子载波间距为formula_20，其中formula_21秒是符号持续时间（接收器窗口大小），并且k是正整数，通常等于1。因此，对于N个子载波而言，总带通频宽是formula_22。
正交还允许高效率频谱，对于等效基带信号（即接近双边物理带通讯号的Nyquist效率的一半），总符号速率接近Nyquist速率。几乎可以利用整个可用频段。OFDM通常具有接近"白色"的频谱，使其对于其他同频道用户具有良好的电磁干扰特性。
一个简单的例子：一个有用的符号持续时间formula_21 = 1 ms将需要formula_24的子载波间隔（或其整数倍）的正交。N = 1000个子载波将导致formula_25的总带通频宽。对于这个符号时间，理论上根据Nyquist所需的频宽为formula_26（要求实现一半的频宽），其中 R 是通过FFT，位元率和每个符号N = 1000个样本。如果应用保护间隔，则Nyquist频宽要求会更低。FFT将导致每个符号N = 1000个样本。如果没有应用保护间隔，这将导致基带复数讯号的采样速率为1 MHz，根据Nyquist，这将需要0.5 MHz的基带频宽。然而，带通RF讯号是通过将基带信号与载波波形（即是双边带正交幅度调变）相乘而产生的，从而产生1M Hz的带通频宽。对于相同的符号速率，单边带（SSB）或是残留边带（VSB）将实现几乎一半的频宽（即是对于相同的符号字母长度，两倍高的频谱效率）。但是对于多路径干扰（Multipath interference）更敏感。
OFDM要求接收端和发射端之间非常准确的频率同步；在频率偏差的情况下，子载波将不再正交，从而引起载波间干扰（ICI）。频率偏移通常由不匹配的发射端和接收端振荡器或由于移动引起的都卜勒频移引起。虽然都卜勒频移本身可以被接收端补偿回来，但当与多路径结合时，情况恶化，因为反射将出现在各种频率偏移处，这很难纠正。这种效应通常会随著速度的增加而恶化，并且是限制在高速车辆中使用OFDM的重要因素。为了减轻这种情况下的载波间干扰（ICI），可以对每个子载波进行整形，以便最小化导致非正交附载波重叠的干扰。例如，被称为WCP-OFDM（加权循环前缀正交频分复用）的低复杂度包括在发射端输出使用短滤波器，以便执行潜在的非矩形脉冲整形和近似完美的重建。每个子载波的等化。其他ICI抑制技术通常会大大增加接收端的复杂度。
使用FFT演算法实现.
正交允许在接收端使用FFT演算法实现有效的调变器和解调器，并且在发射端使用反FFT。尽管自20世纪60年代以来已经知道了原理和一些益处，但OFDM现在透过可以有效地计算FFT的低成本数字信号处理元件在宽频通讯中流行。
计算反FFT或FFT变换的时间必须少于每个符号的时间，例如对于DVB-T（FFT 8k）意味著计算必须在896 formula_27 或更短的时间内完成。
对于8192点FFT，这可以近似为：
formula_28
formula_29
formula_30 
计算时间大致与FFT大小成线性关系，因此双倍大小的FFT需要两倍的时间，反之亦然。作为比较，1.266 GHZ的Intel Pentium III CPU能够使用FFTW在576formula_27计算出8192点FFT。1.6 GHz的Intel Pentium M可以在387formula_27内完成。Intel Core Duo 3.0 GHz可以在96.8formula_27内完成。
保护间隔消除符号间干扰.
OFDM的一个关键原则是由于低符号速率调变（也就是，其中符号相对于通道时间特性相对较长）受多路径传播引起的符号间干扰影响较小，所以传输多个低速率并行而不是单个高速率。由于每个符号的持续时间很长，因此在OFDM符号之间插入保护间隔是可行的，因此消除了符号间干扰。
保护间隔也消除了对脉冲整形滤波器的需求，并降低了对时间同步问题的敏感度。
一个简单的例子：如果在无线通道上使用传统的单载波调变每秒传送一百万个符号，那么每个符号的持续时间将是1微秒或更短。这对同步施加了严格的限制，并且需要消除多路径干扰。如果每千个符号每秒在一千个子通道中分布，则对于具有近似相同频宽的正交，每个符号的持续时间可以延长一千倍（也就是一毫秒）。假设在每个符号之间插入符号长度的1/8的保护间隔。如果多路径时间扩张（第一次和最后一次的接收之间的时间）短于保护间隔（也就是125微秒），则可以避免符号间干扰。这对应于路径长度之间的最大差异3.75公里。
在保护间隔期间所发送的循环前缀由复制到保护间隔中的ODFM讯号的结尾组成，保护间隔随后是OFDM符号。保护间隔由OFDM符号结尾的副本组成的原因是当FFT执行OFDM解调时，接收端将对每个多路径的整数个正弦波周期进行积分。在诸多超频宽的一些标准中，为了发送功率的效益，在保护间隔期间跳过循环前缀并且不发送任何讯息。接收端将不得不通过复制OFDM符号的末端部分并将其添加到开始部份来模仿循环前缀功能。
简化等化.
如果子通道足够窄，则可以将频率选择性通道条件的影响（例如由多路径传播引起的衰减）视为在OFDM子通道上恒定（平坦）（也就是，如果子通道的数量足够大）。这使得接收端的频域等化成为可能，这比用于传统单载波调变的时域等化要简单得多。在OFDM中，等化器只需要将每个OFDM符号中的每个检测到的子载波（每个傅立叶系数）乘以恒定的复数或者很少改变的值。在基本层面上，更简单的数位等化器更好，因为他们需要更少的操作，这转化为等化器中更少的舍入误差。这些误差可被视为杂讯，并且是不可避免的。
一个简单的例子：上述数值例子中的OFDM等化需要每个子载波和符号一个复数值乘法（也就是，每个OFDM符号N = 1000次复数乘法；也就是在接收端每秒一百万次乘法）FFT算法需要formula_34[这是不精确的：这些复杂的一半以上乘法是微不足道的，也就是等于不在软体中实现]。每个OFDM符号的复数值乘法（也就是每秒一千万次乘法），在接收端和发射端。这应该与此例中提到的相应的100万符号/秒单载波调变情况进行比较，其中使用FIR滤波器进行125微秒时间扩张的等化在初始实现中需要每个符号125次乘法（也就是每秒1.25亿次乘法）。FFT技术可以用于将基于FIR滤波器的时域等化器的乘法数量减少到与OFDM相当的数量，其代价是接收和解码之间的延迟也与OFDM相当。
如果将差分调变（例如DPSK或DQPSK）应用于每个子载波，则可以完全省略等化，因为这些对缓慢变化的幅度和相位失真不敏感。
从某种意义上来说，使用FFT或部分FFT的FIR等化的改进在数学上更接近于OFDM，但是OFDM技术更容易理解和实现，并且子通道可以除以变化等化系数以外的其他方式独立的应用。例如在不同的QAM星座图和纠错之间切换以匹配单独的子通道杂讯和干扰特性。
一些OFDM符号中的一些子载波可携带用于测量通道条件的引示讯号（也就是每个子载波的等化器增益和相移）。引示讯号和训练符号（前置讯号）也可以用于时间同步（以避免符号间干扰，ISI）和频率同步（以避免由都卜勒频移引起的载波间干扰，ICI）。
OFDM最初用于有线和固定无线通讯。然而，随著在高度移动环境中运行的应用越来越多，由多路径传播和都卜勒频移的组合引起的强度衰减的影响更为显著。在过去的十年中，如何在双选择通道上等化OFDM传输已经做了研究。
通道编码和交错.
OFDM总是与通道编码（前向更正）一起使用，并且几乎总是使用频率和/或时间交错。
频率（子载波）交错增加了对频率选择性通道条件（如衰减）的抵抗。例如，当通道频宽的一部分消失时，频率交错确保了将由频宽的衰减部分中的那些子载波产生的位元错误在位元中扩散而不是集中。类似地，时间交错确保在位元中最初靠近在一起的位元在时间上远距离传输，从而减​​轻在高速行进时发生的严重衰减。
然而，时间交错在缓慢衰减的通道中几乎没有益处，例如对于固定接收，并且频率交错对于遭受平坦衰减（其中整个通道频宽同时衰减）的窄带通道几乎没有益处。
在OFDM上使用交错的原因是尝试将错误扩散到呈现给更正解码器的位元中，因为当这样的解码器呈现高度集中的错误时，解码器无法更正所有位元错误，并发生一连串未更正的错误。音频数据编码的类似设计使得唱片（CD）播放流畅。
与基于OFDM的系统一起使用的经典类型的更正编码是卷积编码，通常与Reed-Solomon编码连接。通常，在两层编码之间实现额外的交错（在上述时间和频率交错之上）。Reed-Solomon编码作为外部更正码的选择是基于这样一种观察：当存在高度集中的错误时，用于内部卷积解码的Viterbi解码器产生短的错误突发，并且Reed-Solomon码本身非常适合于更正错误的爆发。
然而，较新的系统现在通常采用接近最佳类型的更正码，其使用turbo解码原理，其中解码器朝期望的解决方案迭代。这种更正编码类型的范例包括turbo码和LDPC码，其执行接近可加性高斯白杂讯（AWGN）通道的Shannon极限。一些已经实现这些系统已经将它们与Reed-Solomon（例如在MediaFLO系统上）或BCH代码（在DVB-S2系统上）连接，以改善这些在高讯噪比。
自适应传输.
如果有关通道的信息是透过来回通道发送的，则可以进一步增强对严格通道条件的适应能力。基于该反馈讯号，自适应调变，通道编码和功率分配可以跨所有子载波应用，或者单独应用于每个子载波。在后者情况下，如果特定频率范围遭受干扰或衰减，则可以通过对这些子载波应用更棒的调变或错误编码来禁用该范围内的载波或使其运行得更慢。
分离复频调变技术（DMT）表示通过所谓的位元加载将传输适应于每个子载波的通道条件的基于OFDM的通信系统。例如ADSL和VDSL。
通过为每个目的分配更多或更少的载波，可以改变上传和下载速度。某些形式的速率自适应DSL使用此功能，因此位元率适应于同通道干扰，并且频宽被分配给最需要的使用者。
以多重连接的OFDM延伸.
作为主要形式的OFDM被认为是数位调变技术，而不是多使用者通道连接方法，因为其被用于使用一个OFDM符号序列在一个通讯通道上传送一个位元。然而，OFDM可以与使用时间，频率或编码分离的多路径连接相结合。
在正交频分多址（OFDMA）中，通过为不同的使用者分配不同的OFDM子通道来实现频分多址。OFDMA透过以与CDMA中类似的方式向不同使用者分配不同数量的子载波来支持差异化服务质量，因此可以避免复杂的分组调变或媒体访问控制。OFDMA用于：
OFDMA也是IEEE 802.22无线区域网路（WRAN）的候选连接方法。该项目在设计第一个在VHF低UHF频谱（电视频谱）中运行的基于认知无线电的标准。
在也称为OFDM-CDMA的多载波码分多址（MC-CDMA）中，OFDM与CDMA扩张通讯相结合以用于使用者的编码分离。可以减轻同频干扰，这意味著简化了手动固定通道分配（FCA）频率规划，或避免了复杂的动态通道分配（DCA）。
空间多样性.
在基于OFDM的广域广播中，接收端可以同时接收来自几个空间上分散的发射端的信号，因为发射端将仅在有限数量的子载波上相互干扰，而通常它们实际上将增强覆盖范围广泛的领域。这在许多国家是非常有益的，因为它允许运行国家单频网路（SFN），许多发射端在相同的频道频率上同时发送相同的信号。SFN比传统的多频率广播网络（MFN）更有效地利用可用频谱，其中节目内容被复制在不同的载波频率上。SFN也可以在位于发射端之间的接收端中获得分集增益。由于在所有附载波上平均的接收讯号强度增加，覆盖区域增加并且与MFN相比中断机率降低。
尽管保护间隔仅包含冗余数据，这意味著它减小了容量，但是一些基于OFDM的系统（例如一些广播系统）故意使用长保护间隔，以允许发射端在SFN和更长的保护间隔允许更大的SFN蜂窝大小。SFN中发射端之间的最大距离的经验法则等于信号在保护间隔期间行进的距离——例如，200微秒的保护间隔将允许发射端间隔60km。
单频网路是发射端分集的一种形式。该概念可以进一步用于动态单频网路（DSFN），其中SFN分组从时隙变为时隙。
OFDM可以与其他形式的空间分集相结合，例如天线阵列和MIMO通道。这在IEEE 802.11无线LAN标准中完成。
线性发射器功率放大器.
OFDM讯号表现出高的峰均功率比（PAPR），因为子载波的独立相位意味著它们将经常以建设性方式组合。处理这种高PAPR需要：
信号链中的任何非线性都会导致失真
线性要求非常高，特别是对于发射机RF输出电路而言，放大器通常设计为非线性以最大限度地降低功耗。在实际的OFDM系统中，允许少量峰值限幅以限制PAPR，与上述结果进行明智的权衡。然而，需要将out-of-band spurs到法定级别的发射机输出滤波器具有恢复被削波的峰值的效果，因此限幅并不是降低PAPR的有效方法。
尽管OFDM的频谱效率对于地面和空间通讯都很有吸引力，但至今为止，高PAPR要求限制了OFDM应用到地面系统。
子载波间的正交性（Orthogonality）.
∫х(t)*y(t)dt=0 ⇔ ∫Х(f)Y(f)df=0……① 
为了避免子载波间互相干扰，多载波系统对于子载波间的正交性要求相当高。为了满足子载波间彼此正交，子载波的频率间隔需要有一定要求来满足①式
在此可以由下述的有限频带的带通讯号来进行说明解释此一要求：
formula_35
假定我们目前要分析两子载波频率{f1, f2}之间的间隔Δf，我们先计算其交互相关性（cross-correlation） 
formula_36
其中Δf=formula_37表两个载波间的频率间隔，在上式中若ΔfT = n其中n为一个非零整数，如：Δf=n/T则此时R=0即代表这两个子载波在符元周期内为正交。
系统架构特性.
OFDM系统方块图如上图所示
FFT的应用.
formula_38
对t=Nformula_39取样formula_40
取f=formula_41,formula_42=kf得formula_43:IDFT
由上式得OFDM可以用DFT FFT技术实现
通道估计及等化器.
由于在信号传输时，接收端收到的信号是传送信号和通道响应作用过的结果，所以为了解出传送信号势必要得到通道回应，所以要作通道估计。在高速移动环境时变通道估计更是重要，不好的通道估计会造成误码率上升；通道估计常见的方法就是加入测试信号，由测试信号得到测试信号那些点的通道回应对通道其它点作估计，进而求出整个通道回应。等化器由通道估计的结果对接收信号作通道补偿，降低错误率。由于OFDM将频宽切割成数个小频带，故更接近通道的相干频宽，所以信号受到通道失真变小，故可以用简单的一阶等化器补偿。
遇到的问题.
各种同步问题.
在正交分频多工技术的接收机对每个子载波做正确的解调之前，至少有几个同步的任务必须完成。首先，必须找到符元（symbol）的正确边界处，使得快速傅立叶转换（Fast Fourier Transform, FFT）运算能够抓到正确的符元区间，以减少符元间干扰效应（Inter-Symbol Interference, ISI）和子载波间的（Inter-Carrier Interference, ICI）的干扰。第二，必须估计和矫正载波频率的偏差（Carrier Frequency Offset, CFO），因为任何频率的偏差都会引起子载波间的的干扰。第三，对于一个同调的接收机而言，除了频率必须同步外，相位亦须达到同步，因此必须去矫正因振荡器不完美而引起的相位杂讯，以避免造成整个星座图的旋转，而使得位元错误率大幅增加。
峰均比（Peak-to-average power ratio）.
由于OFDM信号是由多个调制后的子载波信号的线性叠加，因此可能会造成比平均讯号准位高的瞬间尖峰讯号，进而产生高峰值对均值功率比效应，在正交频分复用系统中，高峰均比会造成的问题主要有下列两个：
OFDM系统最主要的缺点是具有较大的峰值平均功率比（PAPR），它直接影响著整个系统的运行成本和效率。当系统产生很大的峰值时，要求功率放大器、A/D、D/A转换器具有很大的线性动态范围，否则当信号峰值进入放大器的非线性区域时，就会使信号产生畸变，产生子载波间的互调干扰和带外辐射，破坏子载波间的正交性，降低系统性能。
近年来研究人员通过分析，提出很多有效降低PAPR的方法，主要分为以下三类：
（1）限幅滤波技术，由于OFDM系统较大峰值出现的机率非常小，它是一种非常直接和有效的降低PAPR的方法。然而，它将导致带内干扰和带外噪声。
（2）编码类技术，降低PAPR为线性过程，它不会使信号产生畸变，但其计算复杂度较高，编解码较麻烦，且系统信息速率低，应用该算法的系统不适合用QAM调制和子载波数多的情况。
（3）机率类技术，包括通过部分传输序列（PTS）和选择映射（SLM）两种方法，这类算法属于非畸变减小PAPR的方法，可减少大峰值功率信号出现的机率。该方法需要一定的系统带宽发送冗余信息，如果传输出错，系统会出现地板效应。
应用.
目前OFDM技术已经被广泛应用于广播式的音频、视频领域和民用通信系统，主要的应用包括：非对称的数字用户环路（ADSL）、ETSI标准的数字音频广播（DAB）、数字视频广播（DVB）、高清晰度电视（HDTV）、无线局域网（WLAN）等。