1 − 2 + 3 − 4 + …

在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整数，依次加后又减、减后又加，如此反复所构成的无穷级数。它是交错级数，若以Σ符号表示前"m"项之和，可写作：
此无穷级数发散，即其部分和的序列不会趋近于任一有穷极限。也就是说，单从极限的角度看的话，不存在和。不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式：
该等式的严谨解释在很久以后才出现。自1890年起，恩纳斯托·切萨罗、埃米尔·博雷尔与其他一些数学家就在研究有哪些定义良好的方法，可以给发散级数赋予广义和——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定的“和”为1⁄4。切萨罗求和是少数几种不能计算出之和的方法，因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和。
级数与格兰迪级数有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了我们现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。
发散性.
级数项（1, −2, 3, −4, …）不趋近于0，因此通过项测试便可确定发散。不过作为后文的参考，此处也以基础的方法去证明此级数发散。首先，从定义可知，无穷级数的敛散性是由其部分和的敛散性所确定的，的部分和为：
此部分和序列的一个显著特点是每个整数都恰好出现一次——如果将空部分和计入还包括0——因此它还说明了整数集formula_3是可数的。很明显的，不可能让变化的结果收敛到一个确定的数，因此发散。
求和的启发.
稳定性与线性.
由于各项 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一种简单模式排列，级数可以透过移项以及逐项求和（平均值），再透过解方程得出一数值。暂时假设这样的写法有意义——其中的"s"为常数，那么以下的计算将说明"s" = 1⁄4：
因此，"s" = 1⁄4，如右图所示。
尽管1 − 2 + 3 − 4 + …没有通常意义的和，等式 1⁄4却可被赋予另外一种意义。发散级数之“和”的一种普遍定义被称为一种求和法或可和法——通常是对于符合特定条件的一类级数可求和。求和法有许多种（部分将在下文中有所描述），这些方法跟普通求和也许有着一些共同的特性，例如：
因此，以上的计算实际上证明的是下面的内容：给出任意的线性且稳定的可和法，并能对级数求和，则结果必为1⁄4。此外，由于：
故此方法也一定能对格兰迪级数求和（平均值），并得结果为formula_6
柯西乘积.
1891年，恩纳斯托·切萨罗在他的一篇论文中指出有可能将发散级数严谨地纳入微积分学，并写道：
对切萨罗而言，这个等式是他前一年发表的一个定理的应用，该定理可说是在历史上关于可求和发散级数的第一个定理。关于此求和法的详细内容请见下文；其中心思想是：是对的柯西乘积。
两个无穷级数的柯西乘积可被定义，即使在它们都发散的时候。例如，若Σ"a""n"= Σ"b""n"= Σ(−1)"n"，柯西乘积的项由有穷对角线求和的方式给出：
积级数为：
所以，如果有一种求和法可以保持两个级数的柯西乘积，并能得出formula_9的结果，那么它也能够求出formula_10。由前一节的结果可知，当方法是线性、稳定并保持柯西乘积的时候，与的可求和之间是等价的。
切萨罗的定理是一个微妙的例子。级数在最弱的意义上是切萨罗可求和，称作，然而则需要切萨罗的定理的一个更强的形式，它是的。由于切萨罗的定理的所有形式均为线性且稳定的，所得的值正是此前计算所得的。
特殊方法.
切萨罗与赫尔德.
若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切萨罗和存在，要找到其数值就需要计算该级数部分和的算术平均值。
部分和为：
这些部分和的算术平均值为：
此平均值序列不收敛，因此不是切萨罗可求和。
切萨罗求和有两种有名的广义化：让这些在概念上更简单的是(H, "n")法的序列，其中"n"为自然数。(H, 1)和为切萨罗求和，更高的方法则重复平均值的计算。在上文中，偶数项平均值趋近于1⁄2，奇数项平均值则全部等于0，所以平均值"的"平均值趋近于 0 与1⁄2的平均数，即1⁄4。因此，是(H, 2)-可求和，其值为1⁄4。
符号“H”代表奥图·赫尔德。1882年，他第一次证明了被现在数学家们所看作的在阿贝耳求和与(H, "n")求和之间的关系；是他给的第一个例子。1⁄4是的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和；这些都将在下文直接予以证明。
另外一个常用的切萨罗求和的广义化，是(C, "n")法的序列。已经证明了(C, "n")求和与(H, "n")求和均能给出相同的结果，但是它们却有不同的历史背景。在1887年，切萨罗已经接近于陈述出(C, "n")求和的定义了，但是他只给出了少量的例子。特别的，他在计算为1⁄4时所采用的方法可能是(C, "n")的另一种描述，但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, "n")法，以陈述他的定理：一个(C, "n")-可求和级数与一个(C, "m")-可求和级数的柯西乘积是(C, "m" + "n" + 1)-可求和。
阿贝耳求和.
在一份1749年的报告中，莱昂哈德·欧拉承认级数是发散的，但还是决定要对其求和：
欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化。在的情况下，他的设想与现在所知的阿贝耳求和相似：
至少在当绝对值 |"x"| < 1 时，有许多方式去验证欧拉的下列等式正确：
可以对右边作泰勒展开，或使用正规的多项式长除。从左方开始，可采用上文的一般启发式，并尝试乘以两次(1+"x")，或对几何级数求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求导。
以现代的观点看，级数 1 − 2"x" + 3"x"2 − 4"x"3 + … 并没有定义一个在时的函数，因此不能简单地把值代入到其相应的表达式。不过由于此级数在时定义了一个函数，所以仍可取"x"趋近于1时的极限，而这就是阿贝耳和的定义：
欧拉与波莱尔.
欧拉对该级数还使用了另外一种技巧：欧拉变换，这是他自己的发明。要计算欧拉变换，首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为。将此序列中的首项标示为 "a"0。
下一步需要的前向差分序列；这恰好是。将该序列的首项标示为 Δ"a"0。欧拉变换也基于差分的差分，以及更高的迭代，但是在各项之间的前向差分均为0。的欧拉变换便可定义为：
用现代术语来说，是欧拉可求和且其值为1⁄4。
欧拉可求和也蕴涵了另一种可求和性。将表示为：
就有了相关的处处收敛级数：
因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波莱尔和为：
尺度分离.
赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了，这两个原理分别是：无穷小松弛（"infinitesimal relaxation"）与尺度分离（"separation of scales"）。为求表达准确，这些原理促使了他们去定义一系列的“"φ"-求和法”，所有这些方法都可以将级数求和得1⁄4：
该结果推广了阿贝耳求和，当取"φ"("x") = exp(−"x")时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于"m"的级数中的项配对，并将表达式变换为黎曼积分的形式予以证明。在后一步中，对的运用了中值定理，但在这里需要泰勒公式中更强的拉格朗日形式。
广义化.
的三重柯西乘积为，为三角形数的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为1⁄8。的四重柯西乘积为，为四面体数的交错级数，其阿贝耳和为1⁄16。
另一个在略微不同的方向的广义化是一般级数。对正整数"n"来说，此级数有下列的阿贝耳和：
其中"B""n"是伯努利数。对大于0的偶数"n"，则化约为：
后一个和成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔特别嘲笑的对象，在1826年时他说：
切萨罗的老师欧仁·查理·卡塔兰也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下，切萨罗早期提出的“习用式”是“荒谬的等式”；而在1883年，切萨罗表明了当时的一个典型看法：这些公式是错的，不过在某些场合在形式上是有用的。最后，在他1890年的书《"Sur la multiplication des séries"》中，切萨罗从定义开始采用了一个现代的做法。
此级数在"n"为非整数值的情况亦有所研究；这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究相关级数的部分动机是η函数的函数方程，这直接导向了黎曼ζ函数的函数方程。欧拉在正偶数（包括在巴塞尔问题中）时找到这些函数值的建树已让他闻名，他也试图找到正奇数（包括在阿培里常数中）时的值，但这个问题直到今天仍是难以解决的。η函数通过欧拉的方法解决会比较简单，因为它的狄利克雷级数是处处阿贝耳可求和；而ζ函数的狄利克雷级数则非常难以对发散的部分求和。例如，在η函数中的相似级数是非交错级数，该级数在现代物理学上有很深的应用，不过需要非常强的方法才能求和。