Z转换

在数学和信号处理中，Z转换（Z-transform）把离散的实数或复数时间讯号从时域转为复频域（z域或z平面）表示。
可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。
历史.
现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的和查德称其为“Z变换”。
后来发展并推广了改进或高级Z变换。
Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。
从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。
定义.
像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。
双边Z变换.
"双边"Z转换把离散时域信号formula_1转为形式幂级数formula_2。
当中 formula_4 是整数，formula_5 是复数变量，其表示方式为
其中 "A" 为 "z" 的模，"j" 为虚数单位，而 ɸ 为"辐角"（也叫"相位角"），用弧度表示。
单边Z变换.
另外，只对 "n" ≥ 0 定义的 "x"，"单边"Z变换定义为
在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。
单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 "x" 部分是离散随机变量取 "n" 值时的概率，而函数 "X(z)" 通常写作 "X(s)"，用 "s" = "z"−1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。
地球物理学定义.
地球物理中的Z变换，通常的定义是 "z" 的幂级数而非 "z"−1 的。例如，和都使用这个惯例。地球物理定义为：
这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。
因此，需要注意特定作者使用的定义。
逆Z变换.
"逆"Z变换为
其中 "C" 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 "C" 必须包围 "X(z)" 的所有极点。
这个曲线积分的一个特殊情形出现在 "C" 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 "X(z)" 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：
有限范围 "n" 和有限数量的均匀间隔的 "z" 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 "z" 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。
收敛域.
收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。
例1（收敛域不存在）.
令 formula_12。在区间 formula_13上展开 "formula_14" 成为
观察上面的和
因此，没有一个 "formula_5" 值可以满足这个条件。
例2（因果的收敛域）.
令 formula_18（其中 "u" 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x" 得到
观察这个和
最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5"z"−1| < 1 时成立，可以以 "z" 为变量写成 |"z"| > 0.5。因此，收敛域为 |"z"| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。
例3（非因果的收敛域）.
令 formula_21（其中 "u" 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x" 得到
观察这个和
再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5−1"z"| < 1 时成立，可以用 "z" 为变量写成 |"z"| < 0.5。因此，收敛域为 |"z"| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。
本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。
实例结论.
实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，formula_1 的Z变换 "X(z)" 才是唯一的。画因果和非因果情形的表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域"永远不会"包含极点。
在例2中，因果系统产生一个包含 |"z"| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 formula_25 的收敛域。
在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |"z"| = ∞ 也不包含 |"z"| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，
的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |"z"| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)"n""u"["n"] 和一个非因果项 −(0.75)"n""u"[−"n"−1]。
一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |"z"| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |"z"| > 0.5 包含单位圆。
如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 <math>xformula_14 满足下列：
如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
通过这种方法可以找到唯一的 "formula_1"。
性质.
帕塞瓦尔定理
初值定理：如果 "x"["n"] 为因果的，那么
终值定理：如果 ("z"−1)"X"("z") 的极点在单位圆内，则
常见的Z变换对表.
这里：
是单位阶跃函数而
是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 "n" = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 "n" = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 "n" = 0 处为 1。
与傅里叶级数和傅里叶变换的关系.
对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：
也被称作 x序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n 序列相等。于是 x 序列的DTFT可以写作：
若T的单位是秒，formula_35的单位即为赫兹。比较两个数列可得 formula_36 为，单位是radians per sample。数值ω=2π对应formula_37 Hz. ，而且在替换 formula_38后，  可以表示为傅里叶变换X(•):
若数列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，这些函数也称为频率响应，当x(nT)是周期性数列，其DTFT在一或多个共振频率发散，在其他频率均为零。这一般会用在共振频率，振幅可变的狄拉克δ函数表示。因为其周期性，只会有有限个振幅，可以用较简单许多的离散傅里叶变换来计算。（参照离散傅立叶变换#周期性）
和拉氏变换的关系.
双线性变换.
双线性变换可以用在连续时间滤波器（用拉氏域表示）和离散时间滤波器（用Z域表示）之间的转换，其转换关系如下：
将一个拉氏域的函数formula_41转换为Z域下的formula_42，或是
从Z域转换到拉氏域。借由双线性变换，复数的s平面（拉氏变换）可以映射到复数的z平面（Z转换）。这个转换是非线性的，可以将S平面的整个"j"Ω轴映射到Z平面的单位圆内。因此，傅立叶变换（在"j"Ω axis计算的拉氏变换）变成离散时间傅立叶变换，前提是假设其傅立叶变换存在，也就是拉氏变换的收敛区域包括"j"Ω轴。
线性常系数差分方程.
线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。
上面等式两边可以同时除以 α0，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成
LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 "y是过去输出 "y[n−p"、当前输入 "x与之前输入 "x[n−q" 的一个函数。
传递函数.
对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到
整理结果
零点和极点.
由代数基本定理得知分子有 "M" 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为
其中 "qk" 为 "k" 阶零点，"pk" 为 "k" 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为。
此外，在 "z" = 0 和 "z" = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的话，零点和极点的数目总会相等。
通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。
输出响应.
如果一个系统 "H(z)" 由信号 "X(z)" 驱动，那么输出为 "Y(z)" = "H(z)X(z)"。通过对 "Y(z)" 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 "y"。在实际运用中，在分式分解 formula_49 之后再乘 "z" 产生 "Y(z)" 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。