黎曼级数定理

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关于无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列后，重新排列后的级数收敛的值可以收敛到任何一个给定的值，甚至发散。
许多有限项级数具有的性质，在一般的无穷级数不一定满足，例如一般的有限项级数可以重新排列各项，其级数和不会改变，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各项而不改变收敛值。
相关定义.
给定无穷级数formula_1，其部分和为：formula_2。如果部分和的数列 
收敛于某个数值：formula_4，则级数收敛。也就是说，如果对于任何的formula_5，总存在一个整数"N"，使得如果formula_6，则
那么级数formula_1收敛。如果级数formula_1收敛，但级数formula_10发散，则称此级数是条件收敛的。
定理的陈述.
假设formula_1是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数formula_12，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列formula_13，使得
此外，也存在另一种排列formula_15，使得
类似地，也可以有办法使它的部分和趋于formula_17，或没有任何极限。
反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。
例子.
交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子：
收敛，而
是调和级数，它是发散的。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式，
可以看出，它的和是原来的和的一半。
趋近任一个实数.
用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数formula_22是发散的，它的部分和可以近似估计为：
其中formula_24表示一个当N趋于无穷大时的无穷小，formula_25指欧拉常数。如果将调和级数formula_26中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是：
它的部分和是：
因此所有正项相加的级数formula_29的部分和是：
这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数formula_12，可以使用以下的算法来构造出趋向formula_12的重排级数formula_33的每一项：
交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和formula_47保持在formula_12上下，而因为formula_47是重复第k步时首次“跨过”formula_12时候的值，因而它与formula_12的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是formula_52。随着formula_53越来越大，formula_47与formula_12的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数formula_33最终会收敛于formula_12。
证明.
对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值formula_12以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值formula_12；其次，调和级数是由formula_60相加而成，而随着formula_61趋向无穷，formula_60趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质：
就能证明黎曼级数定理成立了。
性质一：
设有给定的条件收敛级数formula_63，级数和为formula_64。为了简便起见，假设formula_65中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。formula_65中的正项和负项必定都有无穷多个。将formula_65中所有大于0的项按照它们原来在formula_65中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数formula_69。同样可以建立由所有负项排列而成的级数formula_70。
formula_71是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设formula_71收敛到某个定值formula_73，那么可以证明formula_74也是收敛级数，级数和为formula_75。因而可以证明，级数formula_76也是收敛级数，这与formula_65是条件收敛级数的设定矛盾。所以，formula_71发散到正无穷大。同理可证，formula_74发散到负无穷大。
性质二：
设formula_63是一个条件收敛的级数，级数和为formula_64。这说明，级数formula_65的部分和formula_83趋向极限formula_64。所以对任意formula_5，存在自然数formula_86使得对任意formula_87，都有：
所以对任意formula_89，
这说明当formula_91趋于无穷大时，formula_92趋于0.
证明了性质一与性质二后，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数formula_12，不妨假设formula_94. 首先将formula_71的项按顺序累加，直到部分和超过formula_12为止，然后再将formula_74的项按顺序累加在其后，直到部分和小于formula_12为止，接着再将formula_71剩余的项按顺序累加在其后，直到部分和超过formula_12为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一，formula_71和formula_74都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与formula_12会越来越接近。因为无论是在部分和低于formula_12，逐项增加到超过formula_12的过程中，还是在部分和超过了formula_12，逐项减少到低于formula_12的过程中，部分和与formula_12的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越”formula_12值的那一刻，部分和与formula_12的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”formula_12值时的“步长”。假设第formula_112次“跨越”的是在累加第formula_53项的时候发生的，那么直到第formula_114次“跨越”时，部分和与formula_12的差距都小于等于formula_116。随着formula_112趋于无穷大，formula_53也趋于无穷大，因而根据性质二，formula_116趋于0，也就是说部分和与formula_12的差距趋于0。这等价于说重排后的级数formula_121收敛于formula_12。
如果formula_123，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第formula_112次累加正项要超越的值从formula_12改为formula_126，然后累加负项直到低于formula_126，再开始第formula_114次累加正项直到超越formula_129，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。
推广.
此定理可推广至。给定一个复数收敛级数，则重排后的级数之和有以下几种可能：
更一般的说，给定一个有限维度实向量空间"E"，考虑其向量组成的收敛级数，则重排级数之和的集合为"E"的仿射子空间。