卡西米尔不变量

在数学里，卡西米尔不变量（又称卡西米尔元或卡希米尔算子）是李代数的泛包络代数中心的一个特别的元素。典型的例子是角动量算符的平方 "J" 2, 一个三维旋转群的卡西米尔不变量。
卡西米尔元以亨德里克·卡西米尔命名。1931年，他确立了这个概念，以用在他对刚体动力学的描述当中。
定义.
最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义，因此先在下文给出。然而，也有更高次的卡西米尔不变量，其对应高次的对称齐次多项式，这些不变量在最后定义。
二次卡西米尔元.
设 formula_1 为一个 formula_2 维半单李代数。设 "B" 为 formula_1 上非奇异的二次型，并要求 "B" 在 formula_1 的伴随作用下不变，即对 formula_1 中的任意 "X,Y,Z," 都有 formula_6 （例如，可取 "B" 为基灵型。）
设
为 formula_1 的基，以及
为 formula_1 关于 "B" 的对偶基，则 "B" 的卡西米尔不变量 formula_11 是泛包络代数 formula_12 的元素
尽管上述定义取决于选取的基，可以证明所得的 "Ω" 与所选的基无关。另一方面，不同的二次型 "B" 可以给出不同的 "Ω". "B" 的不变性，说明卡西米尔元与李代数 formula_1 的任何元素都可交换，因此是泛包络代数 formula_12 的中心的元素。
线性表示和光滑作用的卡西米尔元.
给定 formula_1 在向量空间 "V" 上的 "ρ" （允许无穷维），将 ρ(Ω) 称为 "ρ" 的卡西米尔不变量，其为 V 上的线性算子，且由下式给出：
此处假定了 "B" 为基灵型，否则必须指明 "B".
该构造的特定形式，在微分几何和中有重要作用。假设连通李群 "G" 的李代数 formula_1 作用在微分流形 "M" 上，则在 "M" 的连续函数空间上，有 "G" 相应的表示 "ρ". formula_1 的元素均由 "M" 上的一阶微分算子表示，于是，上式给出 "ρ" 的卡西米尔元，其为 "M" 上的二阶微分算子，且在 "G" 的作用下不变。
更进一步，若 "M" 有度量张量，使得 "G" 的元素作为 "M" 的保距变换，可递地作用在 "M" 上，且一点的稳定子 "G"x 不可约地作用在切空间 "TxM" 上，则 "ρ" 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。
也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于研究伪微分算子时用到。
一般情况.
每个卡西米尔算子，都对应伴随表示的 formula_20 的对称齐次多项式。换言之，任何一个卡西米尔算子都具有下列形式：
其中 是对称张量 formula_22 的阶，且 formula_23 组成 formula_1 的基。域 上的多项式环 formula_25 内，有 元对称齐次多项式
与该卡西米尔算子对应。给出了泛包络代数的显式构造，由此可以证明上述的对应关系。
然而，"并非"每个对应张量（或对称齐次多项式）都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换，即对每个基向量 formula_23, 都满足
考虑结构常数 "fijk"，其满足
于是对于满足上述条件的对称多项式，可得
此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。 由该交换关系，可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换，从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此，能以其卡西米尔元的特征值来分类。
注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者，诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 即其嘉当子代数的维数为 则其恰有 个卡西米尔元。
性质.
唯一性.
一个单李代数中，每个不变二次型皆为基灵型的倍数，所以对应的卡西米尔元唯一（允许相差一个常数的意义下）。对于一般的半单李代数，考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和，因此该二次型空间中，对应每个单分量，恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中，也对应每个单分量，恰有一个基向量。
与 G 上拉普拉斯算子的关系.
若 formula_31 为李群，且其李代数为 formula_1, 则 formula_1 上的不变二次型对应 formula_31 上的双不变黎曼度量。并且， formula_1 的泛包络代数等同于 formula_31 上的左不变微分算子空间。在此等同关系下，formula_1 上双线性型的卡西米尔元，对应 formula_31 关于双不变度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。
推广.
卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之，卡西米尔算子是一个微分算子，其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里，每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而，中心内可以有其他（非二次）的元素。
由拉卡定理，半单李代数的泛包络代数中心的维数，等于该李代数的秩。在任意的半单李群（即其李代数为半单李代数）上，可以利用卡西米尔元，定义群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述关于秩的结论，当秩大于 1 时，无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。
根据定义，泛包络代数的中心内，任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理，任何中，卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类（也就适用于李群表示的分类）。物理上，质量和自旋均属该种常数，并且量子力学中许多量子数亦然。
例：formula_39.
考虑三维欧几里得空间的旋转群 SO(3). 其李代数 formula_39 的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元 formula_41 的平方和。换言之，卡西米尔元由等式
给出。
考虑 formula_39 的一个不可约表示。记其中 formula_44 的最大特征值为 formula_45, 则 formula_45 的可能取值为 formula_47 卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 "I" 的倍数。该常数可以具体计算出，即：
在量子力学中，常数 formula_45 称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示，formula_45 总为整数或半整数（奇数的一半）。倘为整数，则该表示称为玻色子表示（bosonic representation)，否则称为费米子表示（fermionic representation)。 
给定 formula_45, 得到的矩阵表示是 formula_52 维的。例如 formula_39 的三维表示对应于 formula_54, 由下列的生成元给出：
其中照物理学常用的约定加入了 formula_56 因子，使得诸生成元皆为自伴算子。
由此，可以手算二次卡西米尔元，结果为
当 formula_54时，formula_59, 故此例子与前段的一般结果一致。类似地，二维的表示以泡利矩阵作基，对应物理上自旋为 1/2 的粒子。
特征值.
由于卡西米尔元 formula_11 在泛包络代数的中心内，其在一个单模（该代数的直和分解的一个分量）上的作用是乘上一个常数。设 formula_61 为 formula_11 定义采用的对称非退化二次型。记 formula_63 为具有最高权 formula_64 的元素组成的有限维模（称为该表示的最高权模）。则卡西米尔元 formula_11 在 formula_63 的作用为乘常数 
其中 formula_68 为所有正根之和之半。 
若 formula_63 非平凡（即 formula_70), 则上述常数非零。原因是，由于 formula_64 是优控的（dominant, 即与任意正根的内积皆非负），若 formula_70，则 formula_73, 且 formula_74, 故 formula_75. 此结果适用于的证明。亦可不使用上述公式，而采用更抽象的证明该常数非零。