球对称位势

球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙交互作用的基本位势，像重力势、电势，都是球对称位势。这条目只讲述，在量子力学里，运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为，可以用薛丁格方程式表达为
其中，formula_2是普朗克常数，formula_3是粒子的质量，formula_4是粒子的波函数，formula_5是位势，formula_6是径向距离，formula_7是能量。
由于球对称位势formula_8只与径向距离有关，与天顶角formula_9、方位角formula_10无关，为了便利分析，可以采用球坐标formula_11来表达这问题的薛丁格方程式。然后，使用分离变数法，可以将薛丁格方程式分为两部分，径向部分与角部分。
薛丁格方程式.
采用球坐标formula_11，将拉普拉斯算子formula_13展开：
满足薛丁格方程式的本征函数formula_4的形式为：
其中，formula_17，formula_18，formula_19，都是函数。formula_18与formula_19时常会合并为一个函数，称为球谐函数，formula_22。这样，本征函数formula_4的形式变为：
角部分解答.
参数为天顶角formula_9、方位角formula_10的球谐函数formula_27，满足角部分方程式 
其中，非负整数formula_29是角动量的角量子数。formula_30（满足formula_31）是角动量对于z-轴的（量子化的）投影。不同的formula_29与formula_30给予不同的球谐函数解答formula_27：
其中，formula_36是虚数单位，formula_37是伴随勒让德多项式，用方程式定义为
而formula_39是formula_29阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为
径向部分解答.
将角部分解答代入薛丁格方程式，则可得到一个一维的二阶微分方程式：
设定函数formula_43。代入方程式(1)。经过一番繁杂的运算，可以得到
径向方程式变为
其中，有效位势formula_46。
这正是函数为formula_47，有效位势为formula_48的薛丁格方程式。径向距离formula_6的定义域是从formula_50到formula_51。新加入有效位势的项目，称为离心位势。
为了要更进一步解析方程式(2)，必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。
实例.
在这里，有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点，那就是，它们的位势都是球对称的。因此，它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是：
真空状况实例.
思考formula_52的状况，设定formula_60，在设定无因次的变数 
代入方程式(2)，定义formula_62，就会得到贝塞尔方程式，一个二阶常微分方程式： 
贝塞尔方程式的解答是第一类贝塞尔函数formula_64；而formula_17是第一类球贝塞尔函数（真空解的边界条件要求原点的函数值有限，因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零）：
在真空里，一个粒子的薛丁格方程（即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程）的解，以球坐标来表达，是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积：
其中，归一常数formula_68，formula_29是非负整数，formula_30是整数，formula_71，formula_72是实数，formula_73。
这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。
波函数归一化导引.
波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为
根据球贝塞尔函数的封闭方程式，
其中，formula_76，formula_77为克罗内克δ。
所以，formula_78。取平方根，归一常数formula_68。
球对称的三维无限深方形位势阱.
思考一个球对称的无限深方形阱，阱内位势为0，阱外位势为无限大。用方程式表达：
其中，formula_81是球对称阱的半径。
立刻，可以察觉，阱外的波函数是0；而由于阱内的薛丁格方程式与真空状况的薛丁格方程式相同，波函数是球贝塞尔函数formula_82。为了满足边界条件，波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数，球贝塞尔函数在径向坐标formula_83之处必须等于0：
设定formula_85为formula_29阶球贝塞尔函数formula_87的第formula_88个0点，则formula_89。
那么，离散的能级formula_90为
薛丁格方程式的整个解答是
其中，归一常数formula_93。
波函数归一化导引.
波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为
将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程式(4)代入积分：
设定变数formula_96，代入积分：
根据贝塞尔函数的正交归一性方程式，
其中，formula_99，formula_100为克罗内克δ，formula_101表示formula_102的第formula_88个0点。
注意到formula_104的第formula_88个0点formula_85也是formula_107的第formula_88个0点。所以，
取平方根，归一常数formula_110。
三维均向谐振子.
三维均向谐振子的位势为
其中，formula_112是角频率。
用阶梯算符的方法，可以证明N维谐振子的能量是
所以，三维均向谐振子的径向薛丁格方程式是
设定常数formula_115，
回想formula_117，则径向薛丁格方程式有一个归一化的解答：
其中，函数formula_119是广义拉盖尔多项式，formula_120是归一化常数：
本征能级formula_122的本征函数formula_123，乘以球谐函数formula_124，就是薛丁格方程式的整个解答：
其中formula_126。假若formula_88是偶数，设定formula_128；否则，设定formula_129。
导引.
在这导引里，径向方程式会被转换为广义拉盖尔微分方程式。这方程式的解是广义拉盖尔多项式。再将广义拉盖尔多项式归一化以后，就是所要的答案。
首先，将径向坐标无因次化，设定变数formula_130；其中，formula_116。则方程式(5)变为
其中，formula_133是新的函数。
当formula_134接近0时，方程式(6)最显著的项目是
所以，formula_136与formula_137成正比。
又当formula_134无穷远时，方程式(6)最显著的项目是
因此，formula_136与formula_141成正比。
为了除去formula_136在原点与无穷远的极限性态，达到孤立解答函数的形式的目的，必须使用formula_136的替换方程式：
经过一番运算，这个替换将微分方程式(6)转换为
转换为广义拉盖尔方程式.
设定变数formula_146，则微分算子为
代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：
其中，函数formula_150。
假若，formula_151是一个非负整数，则广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：
因为formula_72是非负整数，要求
波函数归一化.
回忆到formula_117，径向函数可以表达为
其中，formula_120是归一常数。
formula_161的归一条件是
设定formula_163。将formula_123与formula_165代入积分方程式：
应用广义拉盖尔多项式的正交归一性，这方程式简化为
因此，归一常数可以表达为
应用伽玛函数的数学特性，同时注意formula_88与formula_29的奇偶性相同，可以导引出其它形式的归一常数。伽玛函数变为
在这里用到了双阶乘 (double factorial)的定义。
所以，归一常数等于
类氢原子.
类氢原子只含有一个原子核与一个电子，是个简单的二体系统。两个物体之间，互相作用的位势遵守库仑定律：
其中，formula_174是真空电容率，formula_175是原子序，formula_176是单位电荷量，formula_6是电子离原子核的径向距离。
将位势代入方程式(1)，
这方程式的解答是
其中，formula_180。formula_181近似于波耳半径formula_182。假若，原子核的质量是无限大的，则formula_183，并且，约化质量等于电子的质量，formula_184。formula_185是广义拉盖尔多项式，定义为
其中，formula_187是拉盖尔多项式，可用罗德里格公式表示为
为了满足formula_161的边界条件，formula_88必须是正值整数，能量也离散为能级formula_191。随著量子数的不同，函数formula_161与formula_27都会有对应的改变。为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系，必须要求formula_194。
知道径向函数formula_161与球谐函数formula_27的形式，就可以写出整个类氢原子量子态的波函数，也就是薛丁格方程式的整个解答：
导引.
为了要简化薛丁格方程式，设定能量与长度的原子单位 (atomic unit)
将变数formula_200与formula_201代入径向薛丁格方程式(2)：
这方程式有两类解答：
这条目只讲述第(1)类解答。设定正实数formula_206与formula_207。代入方程式(8)：
当formula_209接近0时，方程式(9)最显著的项目是
所以，formula_211与formula_212成正比。
又当formula_209无穷远时，方程式(9)最显著的项目是
因此，formula_211与formula_216成正比。
为了除去formula_211在原点与无穷远的极限性态，达到孤立解答函数的形式的目的，必须使用formula_211的替换方程式：
经过一番运算，得到formula_220的方程式：
其中，formula_222。
假若，formula_223是个非负整数formula_72 ，则这方程式的解答是广义拉盖尔多项式
采用Abramowitz and Stegun的惯例。无因次的能量是
其中，主量子数formula_227满足formula_228，或formula_229。
由于formula_230，径向波函数是
能量是