冯·诺伊曼代数

数学中，冯·诺伊曼代数或W*-代数是希尔伯特空间上有界算子的*-代数，在弱算子拓扑中封闭，并包含恒等算子，是一类特殊的C*-代数。
冯·诺伊曼代数由约翰·冯·诺依曼提出，源于对单算子、群表示论、遍历理论和量子力学的研究。冯·诺伊曼双连续定理表明，解析定义等同于作为对称性代数的纯代数定义。
冯·诺伊曼代数的两个基本例子：
在1929年首次研究了冯·诺伊曼代数，他和Francis Murray在20世纪30、40年代撰写的一系列论文中（、）称之为算子环，发展了冯·诺伊曼代数的基本理论，重印于。
关于冯·诺伊曼代数的介绍见、的注，及、、、等书。的系列著作对冯·诺伊曼代数进行了百科全书式阐述。讨论了更高级的主题。
定义.
冯·诺伊曼代数有3种常见定义。
术语.
冯·诺伊曼代数中一些术语可能令人困惑，且在本理论之外往往有不同含义。
遗忘冯·诺伊曼代数上的拓扑，就可将其看做（含幺）*-代数，或就只是一个环。冯·诺伊曼代数是半遗传的：射影模的每个有限生成子模也是射影的。冯·诺伊曼代数的底环有多次公理化尝试，如贝尔*-环、AW*-代数等。有限冯·诺伊曼代数的隶属算子的*-代数是冯·诺伊曼正则环。（冯·诺伊曼代数本身一般不是冯·诺伊曼正则的）
交换冯·诺伊曼代数.
交换冯·诺伊曼代数和测度空间的关系类似于交换C*-代数和局部紧豪斯多夫空间的关系。对度量空间formula_7，交换冯·诺伊曼代数都同构于formula_8；反之，对σ-有限度量空间，*-代数formula_8都是冯·诺伊曼代数。
于是，冯·诺伊曼代数理论也称作非交换测度论，C*-代数理论也称作非交换拓扑。
投影.
冯·诺伊曼代数中，满足formula_10的算子"E"称作投影，是"H"在某闭子空间上的正交投影算子。若希尔伯特空间"H"的子空间是"M"中某投影的像，则称其属于冯·诺伊曼代数"M"，这建立了"M"的投影和属于"M"的子空间之间建立了一一对应关系。非正式地说，子空间是可用"M"的元素来描述的闭空间。
可以证明，"M"中任意算子的像的闭包和"M"中任意算子的核都属于"M"；另外，属于"M"的任何子空间在"M"的算子下的像的闭包也属于"M"（这些是极分解的结果）。
投影比较理论.
投影的基本理论由提出。属于"M"的两子空间若存在属于冯·诺伊曼代数的部分等距映射，将一者同构地映射到另一者，则称它们（穆雷-冯·诺伊曼）等价。若相应子空间等价，或有"H"的部分等距，将"E"的像同构映射到"F"的像，且是冯·诺伊曼代数的元素，则称"E"等价于"F"。另一种说法是，若对"M"中某部分等距"u"，满足formula_11，则称"E"等价于"F"。
由此定义的等价关系~是可加的：设formula_12。若formula_13，则formula_14。若在~的定义中要求酉等价（对幺元"u"，若formula_15，则formula_16），那么可加性一般不成立。薛定谔-伯恩斯坦定理给出了穆雷-冯·诺伊曼等价的充分条件。
属于"M"的子空间通过包含而部分有序，产生了投影的偏序≤。在投影的等价类集上还有一个自然偏序，来自投影的偏序≤。若"M"是因子，则≤是投影等价类上的总阶，下详。
若不存在等价于"E"的投影"F" < "E"（即formula_17），则称投影（或属于"M"的子空间）"E"为有限投影。例如，有限维投影（或子空间）都有限（因为希尔伯特空间之间的等距性使维数固定不变），而无限维希尔伯特空间上的恒等算子在其上所有有界算子的冯·诺伊曼代中并不是有限的，因为其与自身的一个适当子集同构。不过，无限维子空间也有可能有限。
正交投影是formula_18中指示函数的非交换类似物。formula_18是由指示函数生成的子空间的formula_20闭包。同样，冯·诺伊曼代数有其投影生成，这是自伴算子谱定理的结果。
有限因子的投影形成连续几何。
因子.
冯·诺伊曼代数"N"的中心只由恒等算子的倍数组成，称作因子。证明，可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数都同构于因子的直积分，这一分解是本质唯一的。因此，可分希尔伯特空间上冯·诺伊曼代数同构类的分类可转化为因子同构类的分类问题。
指出，因子可分3类。类型分类可推广到非因子的冯·诺伊曼代数。若冯·诺伊曼代数可分解为X型因子的直积分，则就是X型的，例如交换冯·诺伊曼代数都是I1类。冯·诺伊曼代数都可唯一地写成I、II、III类冯·诺伊曼代数之和。
还有其他几种分类因子的方法：
I类因子.
若存在最小的投影formula_21，使得不存在投影"F"满足formula_22，则称其为I类因子。I类因子都同构于某希尔伯特空间上所有有界算子的冯·诺伊曼代数，因为每个基数都有希尔伯特空间，I类因子的同构类是与基数完全对应的。很多学者只考虑可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数，因此习惯上把有限"n"维希尔伯特空间上的有界算子称作formula_23型因子，可分无限维希尔伯特空间上的有界算子则是formula_24型因子。
II类因子.
若不存在最小投影，但存在非零有限投影，则称其为II类因子。这意味着每个投影"E"都可以“平分”，即有两个穆雷-冯·诺伊曼等价的投影"F"、"G"，且满足formula_25。若II类因子中的恒等算子有限，则是formula_26型因子；否则是formula_27型因子。最易理解的II型因子是发现的超无限formula_26型因子、超无限formula_27型因子，是formula_26、formula_27型中唯一的超无限因子。这类因子还有很多，都值得深入研究。证明了一个基本结果：formula_26型因子具有唯一的有限迹态，投影的迹集为[0,1]。
formula_27型因子具有半无限迹，在缩放意义上唯一，投影的迹集为[0,∞]。formula_27型因子的基本群是实数λ集合，使得存在自同态，缩放迹λ倍。
formula_26型因子与无限I型因子的张量积是formula_27型，反之，任何formula_27型因子都可这样构造。formula_26型因子的基本群是因子与I型无限（可分）因子的张量积的基本群。多年来，人们一直在寻找基本群不是正实数群的II型因子，阿兰·科纳随后证明，具有卡日丹性质 (T)的可数离散群（平凡表示在对偶空间中孤立）（如formula_39）的冯·诺伊曼群代数具有可数基本群。后来，索林·波帕证明，特定群的基本群可能是平凡的，如formula_40对formula_41的半直积。
formula_26型因子的一个例子是可数无限离散群的冯·诺伊曼群代数，使每个非平凡共轭类都无限。
发现了一个具有非同构冯·诺伊曼群代数的不可数族，从而显示了不可数多个可分formula_26型因子的存在。
III型因子.
不含任何非零有限投影的因子是III型因子。在第一篇论文中无法确定是否存在，发现了第一个例子。由于恒等算子在这些因子中总是无限的，因此过去也称作formula_44，最近改做formula_45，其中"λ"是1中的实数。更确切地说，若（其模群的）科纳谱是1，则是formula_46型因子；若科纳谱为"λ"（formula_47）的所有整数幂，则是formula_45型；若科纳谱是所有正实数，则是formula_49型（科纳谱是正实数的闭子群，因此只有这些可能）。III型因子的唯一迹在所有正元素上取值为∞，任何两个非零投影都等价。III型因子曾一度被认为是很棘手的对象，但富田–竹崎理论带来了很好的结构理论。特别是，任何III型因子都可用正规方式写成formula_27型因子与实数的叉积。
预对偶.
冯·诺伊曼代数"M"都有预对偶formula_51，是"M"上所有超弱连续线性泛函的巴拿赫空间。顾名思义，"M"（作为巴拿赫空间）是其预对偶的对偶。预对偶是唯一的，因为对偶为"M"的任何其他巴拿赫空间都与formula_51同构。证明了预对偶的存在是C*-代数中冯·诺伊曼代数的特征。
上文给出的预对偶定义似乎取决于"M"作用于的希尔伯特空间的选择，因为它决定了超弱拓扑。 不过也可定义为"M"上所有正正规线性泛函生成的空间（此处“正规”指应用于自伴算子的递增网时保上界；或等价于投影的递增序列）。
预对偶formula_51是对偶formula_54的闭子空间（包含"M"上所有范数连续线性泛函），通常小些。formula_51不同于formula_54的证明是非构造性的，用很重要的方式使用了选择公理。要展示在formula_54而不在formula_51中的元素非常困难，例如，冯·诺伊曼代数formula_59上的奇特正线性形式由自由超滤子给出，对应于进入"C"的奇特*-同态，并描述了"Z"的斯通-切赫紧化。
例子：
权、状态、迹.
权、特殊状态与迹在中有详细讨论。
因子都有迹，即非零投影的迹也非零，并且当且仅当投影无限时，投影的迹才是无限的。这样的迹在重缩放的意义上是唯一的。对可分或有限的因子，当且仅当两投影具有相同的迹时，它们等价。因子类型可从迹在因子投影上的可能值获得，如下：
若冯·诺伊曼代数作用于含范数为1的向量"v"的希尔伯特空间，则泛函formula_85是正规状态。这种构造可反过来从正规状态给出对希尔伯特空间的作用，就是正规状态的GNS构造。
因子上的模.
给定抽象可分因子，可要求对其模（即其所作用的可分希尔伯特空间）进行分类。结果如下：每个模"H"都可给定一个"M"维的formula_86（而非作为复向量空间的维度），这样，当且仅当它们有同样的"M"维时，模相互同构。"M"维是可加的，当且仅当一个模"m"的"M"维不大于另一模"n"时，"m"与"n"的子空间同构。
若模有循环可分向量，则称其是标准的。因子都有标准表示，在同构意义上唯一。标准表示有反线性对合"J"使formula_87。对有限因子，标准模由应用于唯一正规迹态的GNS构造给出，"M"维被归一化，因此标准模的"M"维为1，而对无限因子，标准模是"M"维无穷大的模。
模的可能"M"维数如下：
可均冯·诺伊曼代数.
等人证明，可分希尔伯特空间"H"上的冯·诺伊曼代数"M"的下列条件等价：
上面这类代数没有公认的术语，科纳建议用可均。
可均因子已被分类：在formula_98的条件下，formula_99各有一个，formula_46的对应某些遍历流。（对formula_46型，称其为分类有点误导，因为众所周知，并没有简单的遍历流分类方法。）I型与formula_26型由分类，formula_49由Haagerup分类，其余的由分类。
所有可均因子都能用穆雷和冯·诺伊曼对单一遍历变换的群测度空间构造得到。事实上，它们正是"Z"或"Z/nZ"在阿贝尔冯·诺伊曼代数formula_8上的自由遍历作用的叉积产生的因子。测度空间"X"是原子的，且作用是传递的，则出现I型因子；"X"是扩散的或非原子的，则等价于[0,1]的测度空间。"X"具有等价有限（formula_26）或无限（formula_27）测度，且在"Z"的作用下不变时，出现II型因子；若无不变测度，只有不变测度类，则出现III型因子，称作克里格因子（Krieger factor）。
冯·诺伊曼代数的张量积.
两希尔伯特空间的张量积是其代数张量积的完备化。可定义冯·诺伊曼代数的张量积（代数视作环的代数张量积的完备化），所得也是冯·诺伊曼代数，并作用于对应希尔伯特空间的张量积。两有限代数的张量积有限，无限代数和非零代数的张量积无限。冯·诺伊曼代数张量积的类型取较大值。张量积交换定理指出
其中"M' "表示"M"的交换子。
无穷多冯·诺伊曼代数的张量积通常是个大得离谱的不可分代数。指出，应在每个冯·诺伊曼代数上选取一个状态，以定义代数张量积上的一个状态，从而产生希尔伯特空间与（较小的）冯·诺伊曼代数。研究了所有因子都是有闲矩阵代数的情形，这些因子称作Araki–Woods因子或ITPFI因子（ITPFI表示“有限I型因子的无限张量积”）。无限张量积的类型可随着状态改变发生巨大变化，如无限多formula_108型因子的无限张量积可具有任意类型，取决于状态的选择。特别是对formula_108型因子进行无限张量积，发现了formula_47时不可数的非同构超无限formula_45型因子不可数族，称作Powers因子，每个因子的状态如下：
所有不是formula_46的超无限冯·诺伊曼代数都同构于Araki–Woods因子，有不可数多的formula_46型超无限冯·诺伊曼代数不同构。
双模与子因子.
双模（或对应）是有两个交换冯·诺伊曼代数的模作用的希尔伯特空间"H"。双模的结构比模丰富得多。两因子上的双模总给出子因子，因为其中一因子总包含于另一因子的交换子中。此外，科纳在双模上发现了一种微妙的相对张量积运算。沃恩·琼斯提出的子因子理论调和了这两种看似迥异的观点。
双模对离散群Γ的冯·诺伊曼群代数"M"也很重要。事实上，若"V"是Γ的任意酉表示，将Γ视作Γ × Γ的对角子群，formula_115上相应的诱导表示自然就是"M"的两个交换副本的双模。Γ的重要表示论性质完全可用双模表述，因此对冯·诺伊曼代数本身也有意义。例如，科纳和琼斯以这种方式给出了冯·诺伊曼代数的卡日丹性质 (T)的类似定义。
不可均因子.
I型冯·诺伊曼代数可均，其他类型则有不可数多种不可均因子，似乎很难分类，甚至很难相互区分。Voiculescu证明，来自群测度空间构造的不可均因子类与来自自由群的冯·诺伊曼代数群不相交。后来小泽登高证明，双曲群的冯·诺伊曼代数群会产生素的formula_26型因子，即不能作为formula_26型因子的张量积进行分解，这结果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的自由熵，对自由群因子进行了证明。波帕关于不可均因子基本群的研究是另一项重大进展。目前“超无限之外”的因子理论正在迅速扩展，并取得了许多令人惊讶的成果，与几何群论和遍历理论中的刚性现象有密切关系。
应用.
冯·诺伊曼代数在纽结理论、统计力学、量子场论、局部量子力学、自由概率、非交换几何、表示论、微分几何与动力系统等领域都有应用。
例如，C*-代数为概率论提供了另一种公理化方法，称作GNS构造。这类似于测度和积分的两种方法，可以先构造集合的测度，再定义积分；或者先构造积分，再将集合度量定义为特征函数的积分。