霍尔婚配定理

数学上，霍尔婚配定理（Hall's marriage theorem）是菲利浦·霍尔最先证明的图论定理，又称霍尔定理，描述二分图中，能将一侧全部顶点牵线匹配到另一侧的充要条件。定理另有一个等价的组合敍述，确定一族有限集合在何种充要条件下，可自每个集合各拣选一个元素，而使所选元素两两互异（即没有元素是重复的）。
集族表述.
设 formula_1 为 formula_2 的有限子集组成的有限多重族。
formula_1 的一个是 formula_1 至 formula_2 的单射，且该单射 formula_6 将族中任意集合 formula_7 映至该集合的某元素 formula_8。换言之，formula_6 从 formula_1 中每个集合，选出一个代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「单射」之义）。代表系又称为「截面」或「遍历」（transversal）。
族 formula_1 满足霍尔条件，意思是对每个子族 formula_12，有
用文字复述，该条件断言对于 formula_1 的每个子族，其各集合一共拥有的不同成员数，不小于该子族的集合数。若不满足该条件，则不存在代表系，因为在某子族 formula_15（设有 formula_16 个集合）中，各集合一共衹有少于 formula_16 个互异元素，如此由鸽巢原理，为 formula_16 个集合所选的 formula_16 个代表元之中，必有两者相等。霍尔定理说明，前述命题的否命题也成立，即若满足霍尔条件，则必存在代表系。
霍尔定理：一族有限集有代表系，当且仅当其满足霍尔条件，即其任意子族皆满足以上不等式。
证明见。
例.
例一：考虑集族 formula_20，其中
合适的代表系有 formula_22，但并不唯一，例如 formula_23 亦可。
例二：考虑 formula_24，其中
此时，无合适的代表系。子族 formula_26 违反霍尔条件，因为该族有 formula_27 个集合，但该三个集之并为 formula_28，仅得两个元素。
例三：同样设 formula_24，但换成
此时，formula_31 与 formula_32 的代表必为 formula_33 或逆序，从而 formula_34 的代表须为 formula_35。所以，合适的代表系有且衹有 formula_36 或 formula_37。
命名.
定理命名为「婚配」（marriage），是与以下例子有关。设有两组人，一组 formula_38 男，一组 formula_38 女。每名女士心目中皆有一份名单（若干男士组成的子集），会接受名单中的男士的求婚，但会拒绝其他人。而该些男士别无所求，愿意向任何女士求婚。媒人希望判断是否存在方案，在尊重诸位女士的意愿的前提下，将该两组人撮合成 formula_38 对夫妻。
以 formula_41 表示第 formula_42 名女士愿意接受的男士集合，则霍尔定理讲述，存在方案使每位女士与心仪对象结婚，且无重婚，当且仅当对于任意若干位女士组成的集合 formula_43，愿意与其中至少一位女士结婚的男士数 formula_44，不小于该集合的女士数 formula_45。
后一个条件为必要，否则该 formula_45 名女士根本无法找到足够的配偶。较不明显的是，该条件亦为充分，此即霍尔定理的肯綮。
图论表述.
设 formula_47 为有限二部图，顶点集分为 formula_2、formula_49 两部，以符号记为 formula_50。formula_2 完美匹配是图上若干条边组成的匹配，其两两无公共端点，且 formula_2 的每个顶点各有一条边在该匹配中。
对于 formula_2 的任意子集 formula_15，设 formula_55 为 formula_15 在 formula_47 中的，即 formula_49 中与 formula_15 至少一点有连边的全体顶点之集。霍尔定理断言，存在 formula_2 完美匹配，当且仅当对 formula_2 的每个子集 formula_15，皆有：
换言之，与 formula_15 相邻的顶点，不少于 formula_15 的顶点。上述不等式称为霍尔条件。
证明.
「formula_66」：假设有匹配 formula_67，覆盖顶点集 formula_2。欲证霍尔条件对全部 formula_69 成立。记 formula_70 为 formula_15 经 formula_67 匹配到的顶点集，其为 formula_49 的子集。由匹配的定义，必有 formula_74，同时 formula_75，因为 formula_70 的元素皆为 formula_15 的邻舍。故 formula_78，即 formula_79。
「formula_80」：假设无 formula_2 完美匹配，欲证有某子集 formula_82 违反霍尔条件。设 formula_67 为极大匹配，换言之，若再添加任何一条边，则不再为匹配。设 formula_84 为 formula_2 中未获覆盖的顶点。考虑由 formula_84 出发的全体「交错路径」，即图 formula_47 中的路径，其首边不属 formula_67，次边属于 formula_67，第三边又不属 formula_67，如此交错排列。formula_84 藉该些交错路径，与 formula_49 中若干顶点相连，该些顶点组成的子集记为 formula_93；又与 formula_2 中若干顶点相连（此处 formula_84 亦视为与自己相连），得子集 formula_15。极长的交错路径不能终于 formula_49，否则其首尾皆不属 formula_67，故为「增广路径」：翻转路径上所有边的状态，将不属 formula_67 者加入 formula_67，属 formula_67 者移走，则得到严格比 formula_67 多边的匹配，此为不可能。至此，已证 formula_93 中每个顶点，皆经 formula_67 匹配到 formula_105 中某顶点。反之，formula_105 中任意一个顶点，亦有 formula_93 中某顶点与之匹配，即沿 formula_84 至 formula_109 的交错路径，formula_109 的前一顶点。所以，formula_67 给出 formula_105 与 formula_93 之间的一一对应，所以 formula_114。另一方面，将证明 formula_115。设 formula_116 是与某顶点 formula_117 邻接。若边 formula_118 在 formula_67 中，则自 formula_84 至 formula_121 的一切交错路径中，formula_109 皆在 formula_121 以先，故有 formula_84 至 formula_109 的交错路径。否则 formula_118 不属 formula_67，但已知有 formula_84 至 formula_121 的交错路径，末边属于 formula_67，故可续以 formula_118，亦得自 formula_84 至 formula_109 的交错路径。证毕 formula_115，故 formula_135，违反霍尔条件。
算法.
若 formula_2 的子集 formula_15 满足 formula_138，则定义 formula_15 为。若 formula_15 为霍尔犯，则无匹配能覆盖 formula_15 的全部顶点。所以，也无匹配覆盖 formula_2。霍尔定理断言，二部图有 formula_2 完美匹配，当且仅当其不含任何霍尔犯。以下算法验证定理较难的方向：输入一幅二部图，算法或输出一个 formula_2 完美匹配，或输出一个霍尔犯。
该算法调用以下子程序：输入匹配 formula_67 及未匹配的某顶点 formula_146，或输出一条 formula_67 增广路径，或输出一个霍尔犯。该子程序可以深度优先搜索实作。
以下敍述算法的步骤：
每次找到增广路径，都会使 formula_67 多一条边。所以，前述算法的回圈至多执行 formula_159 次，就会停机。每次寻找增广路径需时 formula_160。总时间复杂度与不加权的的福特-富尔克森算法相约。
两种表述等价.
设 formula_161，其中 formula_41 皆为有限集，不必相异。相应地，构造二部图 formula_47，一侧顶点集 formula_164 对应该 formula_38 个集合，另一侧顶点集 formula_49 为该些集合之并。若 formula_41 有元素 formula_168，则在图中连一条边 formula_169。如此，族 formula_1 的代表系即是 formula_47 的 formula_2 完美匹配，覆盖 formula_2 的全部顶点。所以，以集族表述的霍尔问题，容易化成图论表述的霍尔问题。反之亦然：给定二部图 formula_50，formula_2 完美匹配相当于族 formula_176 的代表系。
其他证明.
利用的，可得霍尔定理的非构造性证明。
应用.
定理有许多「非婚」应用。例如，取一叠啤牌（无鬼牌），洗匀后，派成13磴，每磴4张。由霍尔定理可证，必能从每磴拣选一张牌，使所选13张牌恰好出齐各点数（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正则二部图（允许重边）皆有完美匹配。
较抽象的应用有双边陪集遍历。设 formula_47 为群，formula_178 为其有限指数子群，则霍尔定理适用于证明存在集合 formula_179，既是 formula_178 各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。
霍尔定理亦用于证明，若 formula_181，则任意 formula_182 皆可扩展成 formula_183 拉丁矩阵，并可重复，直至得到完整的拉丁方阵。
相关定理.
本定理可归类到组合学的一列强力定理，其彼此关联。若假设任何一条，则较易证得其他各条，但若要从头开始，则较难证得任何一条。总括而言，该类定理各自断言某类组合优化问题具有。该些定理包括：
欲要更具体描述各定理的关系，下列各等价关系有简单证明：
迪尔沃思定理 ⇔ 霍尔定理 ⇔ 克尼格-艾盖瓦里定理 ⇔ 克尼格定理。
加强.
无穷族.
细察菲利浦·霍尔原先的证明，发现可以将结论修改成对（有限集组成的）无穷族 formula_1 仍成立。该证明直接使用佐恩引理。此外，也有较简短的证明，用到命题逻辑的紧致性定理：
设 formula_185。对每个 formula_186 和 formula_187，以命题 formula_188 表示「formula_189 选为 formula_41 的代表」。可以列出代表系须满足的条件如下：
如此，代表系即等价于同时满足以上各命题的赋值。由有限族的霍尔定理，对 formula_43 的任意有限子集 formula_198，相应的有限子族有代表系，故以上命题中，任意有限条皆可同时满足。所以，由紧致性定理，全部命题可同时满足，即有整个无穷族的代表系。
以上一般情况的证明中，选择公理（或等价命题如佐恩引理）为必须，因为给定一族无穷多个非空集（无额外条件），欲从每个集合中，选出一个代表（而无须相异），已需要选择公理。
无穷集.
马歇尔·霍尔给出下列反例，表明若允许有无穷集，则所组成的无穷族，即使满足霍尔条件，亦不保证有代表系。
设族 formula_1 由可数多个集合 formula_200 构成。该族满足霍尔条件，但无法选出代表系。
若妥为敍述，则的确可将霍尔定理推广至适用于无穷集。给定二部图，两侧顶点集为 formula_201，若由 formula_202 的子集 formula_203 出发，在图中找到单射（意思是衹能用二部图的边），射向 formula_204 的子集 formula_205，则称 formula_206，而若更甚者，图中没有反向的，由 formula_205 至 formula_203 的单射，则称 formula_209。前述定义中，若忽略「在图中」三字，则所得大小的概念等同一般基数的大小比较。无穷集的婚配定理断言：
图中有 formula_204 至 formula_202 的单射，当且仅当对每个 formula_212，皆有其邻域 formula_213。
代表系的数目.
马歇尔·霍尔也计算出给定有限族 formula_1 的代表系数目的下界，从而加强婚配定理。其敍述为：
设有一列有限集 formula_215，不必相异，但满足霍尔条件，又设 formula_216 对 formula_217 成立。则当 formula_218 时，该族有限集至少有 formula_219 个不同的代表系，而当 formula_220 时，至少有 formula_221 个。
此处即使两个代表系的元素一样，衹要其次序不同，亦视为不同。例如，若 formula_222，formula_223，则 formula_224 和 formula_225 为两个不同的代表系。
分数匹配.
图的分数匹配（fractional matching）是对各边赋予非负权值，使每个顶点所连各边的权值和不超逾 formula_35。所谓 formula_2 完美的分数匹配，即是使 formula_2 中的每一顶点处，各边权之和恰为 formula_35。对于二部图 formula_230，下列各项等价：
亏缺.
假如霍尔条件不成立，则原定理仅断言不存在完美匹配，但并未说明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考虑。对于二部图 formula_50，formula_47 关于 formula_2 的亏度（deficiency）是 formula_248 的最大值，其中 formula_15 可取 formula_2 的任意子集。亏度越大，则图离霍尔条件越远。
用霍尔定理可证，若二部图的亏度为 formula_251，则有大小为 formula_252 的匹配。（考虑在 formula_49 侧添加 formula_251 个辅助点，与 formula_2 所有顶点连边。新图将满足霍尔条件。）