基数 (数学)

在日常交流中，基数（cardinal number，cardinal）或量数，是对应量词的数，例如「一颗苹果」中的「一」。与序数相对，序数是对应排列的数，例如「第一名」中的「一」及「二年级」中的「二」。
在数学集合论中，基数或势，即集合中包含的元素的「个数」（参见势的比较），是日常交流中基数的概念在数学上的精确化（并使之不再受限于有限情形）。有限集合的基数，其意义与日常用语中的「基数」相同，例如formula_1的基数是3。无限集合的基数，其意义在于比较两个集的大小，例如整数集和有理数集的基数相同；整数集的基数比实数集的小。
历史.
康托尔在1874年－1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时，首次引入基数概念。
他最先考虑的是集合formula_2和formula_3，它们并非"相同"，但有"相同的基数"。骤眼看来，这是显而易见，但究竟何谓两个集合有相同数目的元素？
康托尔的答案，是-{zh-hans:通过; zh-hant:透过;}-所谓的一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合的大小，包括无穷集合。
最先被考虑的无穷集合是自然数集formula_4及其无限子集。他把所有与formula_5能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是，原来formula_5的所有无限子集都能与formula_5一一对应。他把formula_5的基数称为formula_9，是最小的艾礼富数。
康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证，而在他1891年的论文中，他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数，记作c，代表连续统。
接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。
康托尔随后提出连续统假设：c就是第二个超穷基数formula_10，即継formula_9之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。
动机.
在非正式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于formula_12的自然数（就是formula_13）。计数可以形式化地定义为有限基数，而无限基数-{只}-出现在高等数学和逻辑中。
更正式地，一个非零的数可以用于两个目的：描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有正好大小的集合，比如3描述了formula_14在序列formula_15中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合formula_16。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念，而大小则被这里描述的基数所广义化。
在基数的形式定义背后的直观想法是，可以构造一个记号来指明集合的相对大小，而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的：只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小，得借助更加巧妙的概念。
一个集合formula_17至少等大小于（或称大于等于）一个集合formula_18，如果有从formula_18到formula_17的一个单射（一一映射）。一一映射对集合formula_18的每个元素确定了一个唯一的集合formula_17的元素。通过例子就最易理解了；假设有集合formula_23和formula_24，我们可以注意到有一个映射：
这是一对一的，使用上述的大小概念，我们因此总结出formula_17有大于等于formula_18的势。注意元素formula_30没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一-{}-并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。
我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合formula_18和formula_17被称为有相同的"势"，如果存在formula_18和formula_17之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从formula_18到formula_17和从formula_17到formula_18的两个一一映射。我们接着记之为 formula_39。formula_18的基数自身经常被定义为有着 formula_41 的最小序数formula_42。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而即使不给集合的势指派一个名字，讨论集合之间相对的势还是可以的。
一个经典例子是无限旅馆悖论，也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2，房间2的客人转移到房间3，以此类推，腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段：
在这种方式下我们可以看出集合formula_47和集合formula_48有相同的势，因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义，即是与自身某个真子集有著相同的势的任何集合；在上面的例子中formula_48是formula_47的真子集。
当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在，它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数的形式概念，它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现，势和序（ordinality）的概念对于无限的情况是有分歧的。
可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势，透过对角论证法可以一目了然。跟势相关的经典问题（比如连续统假设）主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。
因为基数是数学中如此常用的概念，有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。
定义.
首先，给出集合formula_18和formula_17，我们称formula_18的势小于等于formula_17，记作 formula_55，当且仅当存在由formula_18到formula_17的单射；称formula_18的势与formula_17相等，记作 formula_39， 当且仅当存在由formula_18到formula_17的双射（即一一对应）。
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 formula_55 及 formula_64 则 formula_39。 
假设选择公理，所有集合都可良序，且对于所有集合formula_18与formula_17，有 formula_55 或 formula_64。因此，我们可以定义序数，而
集合formula_18的基数则是与formula_18等势的最小序数formula_72。 
（若不接受选择公理，我们也可对非良序集formula_18定义基数，就是所有与formula_18等势的集的阶中下确界。）
有限集的基数.
自然数的一种定义是formula_75。可以见到，与数formula_76等势的集必有formula_76个元素。如集合formula_78的基数为formula_79。
以下是有限集的三个等价定义：它与某自然数等势；它只有一个等势的序数，就是它的基数；它没有等势的真子集。
无限集的基数.
最小的无限集合是自然数集。formula_80与formula_81基数相同，因为可以让前一集合的formula_82与后一集合的formula_83一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。
以下是无限集的四个等价定义：它不与任何自然数等势；它有超过一个等势的序数；它有至少一个真子集和它等势；存在由自然数集到它的单射。
基数算术.
我们可在基数上定义-{若干}-算术运算，这是对自然数运算的推广。
给出集合formula_18与formula_17，定义 formula_86，则基数和是
若formula_18与formula_17不相交，则 formula_90。
基数积是
其中formula_92是formula_18和formula_17的笛卡儿积。
基数指数是
其中formula_96是所有由formula_17到formula_18的函数的集合。
在有限集时，这些运算与自然数无异。一般地，它们亦有普通算术运算的性质：
无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单。若formula_18与formula_17皆非空而其中之一为无限集，则
基数序列及连续统假设.
对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是formula_9，康托尔称下一个为formula_10，相类似的，还定义了如下一个序列：formula_112。
设formula_113。连续统假设猜想，就是formula_114。
连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理）是独立的。
更一般的假设，即formula_115。
广义连续统假设，就是对所有无穷基数formula_116，都不存在介乎formula_117与formula_118之间的基数。