正则变换

在哈密顿力学里，正则变换（canonical transformation）是一种正则坐标的改变，formula_1，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程式与刘维尔定理的基础。
定义.
点变换（point transformation）将广义坐标formula_2变换成广义坐标formula_3，点变换方程式的形式为
其中，formula_5是时间。
在哈密顿力学里，由于广义坐标与广义动量formula_6同样地都是自变量（independent variable），点变换的定义可以加以延伸，使变换方程式成为
其中，formula_9是新的广义动量。
为了分辨这两种不同的点变换，称前一种点变换为位形空间点变换，而后一种为相空间点变换。
在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标formula_10变换为一组新的正则坐标formula_11，而同时维持哈密顿方程式的形式（称为形式不变性）。原本的哈密顿方程式为
新的哈密顿方程式为
其中，formula_16、formula_17分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。
实际用处.
思考一个物理系统的哈密顿量
假设哈密顿量跟其中一个广义坐标formula_19无关，则称formula_19为可略坐标（ignorable coordinate），或循环坐标（cyclic coordinate）：
在哈密顿方程式中，广义动量对于时间的导数是
所以，广义动量formula_23是常数formula_24。
假设一个系统里有formula_25个广义坐标是可略坐标。找出这formula_25个可略坐标，则可以使这系统减少formula_27个变数；使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。
生成函数方法.
采取一种间接的方法，称为生成函数方法，从formula_28变换到formula_29。为了要保证正则变换的正确性，第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理
那么，必须令
其中，formula_33是标度因子，formula_34是生成函数。
假若一个变换涉及标度因子，则称此变换为标度变换（scale transformation）。一般而言，标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1，则称此正则变换为延伸正则变换（extended canonical transformation）；假若标度因子等于1，则称为正则变换。
任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个formula_35的延伸正则变换表示为
则可以设定另外一组变数与哈密顿量：
formula_37、
formula_38、
formula_39、
formula_40；其中，formula_41是用来删除formula_33的常数，formula_43。经过一番运算，可以得到
显然地，这变换符合哈密顿方程式。所以，任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。
假若正则变换不显性含时间，则称为设限正则变换（restricted canonical transformation）。
生成函数formula_34的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换formula_1保证是正则变换。
第一型生成函数.
第一型生成函数formula_49只跟旧广义坐标、新广义坐标有关，
代入方程式（1）。展开生成函数对于时间的全导数，
新广义坐标formula_52和旧广义坐标formula_53都是自变量，其对于时间的全导数formula_54和formula_55互相无关，所以，以下formula_56个方程式都必须成立：
这formula_56个方程式设定了变换formula_1，步骤如下：
第一组的formula_62个方程式（2），设定了formula_63的formula_62个函数方程式
在理想情况下，这些方程式可以逆算出formula_52的formula_62个函数方程式
第二组的formula_62个方程式（3），设定了formula_70的formula_62个函数方程式
代入函数方程式（5），可以算出formula_70的formula_62个函数方程式
从formula_76个函数方程式（5）、（6），可以逆算出formula_76个函数方程式
代入新哈密顿量formula_80的方程式（4），可以得到
第二型生成函数.
第二型生成函数formula_82的参数是旧广义坐标formula_53、新广义动量formula_70 与时间：
以下formula_56方程式设定了变换formula_1：
第三型生成函数.
第三型生成函数formula_91 的参数是旧广义动量formula_63、新广义坐标formula_52与时间： 
以下formula_56方程式设定了变换formula_1：
第四型生成函数.
第四型生成函数formula_100的参数是旧广义动量formula_63、新广义动量formula_70与时间：
以下formula_56方程式设定了变换formula_1：
实例1.
第一型生成函数有一个特别简易案例：
生成函数的导数分别为
旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同：
实例2.
再擧一个比较复杂的例子。让
这里，formula_114是一组formula_62个函数。
答案是一个广义坐标的点变换，
不变量.
正则变换必须满足哈密顿方程式不变；哈密顿方程式为正则变换的一个不变式。另外，正则变换也有几个重要的不变量。
辛条件.
辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程式及数学运算。设定一个formula_117的竖矩阵formula_118 :
变数向量formula_118将formula_53与formula_63包装在一起。这样，哈密顿方程式可以简易的表示为
这里，formula_124是辛连结矩阵、formula_125是哈密顿量。
应用辛标记于正则变换，正则坐标会从旧正则坐标formula_118改变成新正则坐标formula_127，formula_128；哈密顿量也从旧的哈密顿量formula_125改变成新的哈密顿量formula_80，formula_131；但是，哈密顿方程式的形式仍旧维持不变：
这里，formula_133。
用第一型生成函数formula_134，则formula_135。
取formula_136关于时间formula_5的导数，
这里，formula_139是亚可比矩阵，formula_140。
代入哈密顿方程式，
假若限制正则变换为设限正则变换，也就是说，显性地不含时间，解答会简单许多。假若正则变换显性地含时间，则仍旧能得到与下述同样的答案，这是一个很好的偏导数习题。现在，限制这正则变换为设限正则变换，则简化后的方程式为
而formula_143，所以，
代回前一个方程式，取formula_145的系数，则可以得到
经过一番运算，
可以求出辛条件：
在这里，得到了正则变换的辛条件：一个变换是正则变换，若且唯若辛条件成立。
基本帕松括号不变量.
在相空间里，两个函数formula_150关于正则坐标formula_151的帕松括号定义为
用辛标记，
立刻，可以得到下述关系：
定义基本帕松括号formula_156为一个方矩阵，其中，元素formula_157的值是formula_158。那么，
思考一个变换formula_160。新坐标的基本帕松括号为
这两个正则坐标的亚可比矩阵formula_162是
代入前一个方程式，则
假若这变换是正则变换，辛条件formula_149必须成立，
相反地，假若formula_166，则辛条件成立，这变换是正则变换。
所以，一个变换是正则变换，若且唯若基本帕松括号关于任何正则坐标的值不变。当表示基本帕松括号时，我们可以忽略下标符号，直接表示为formula_156，而认定这基本帕松括号是关于正则坐标计算的值。
帕松括号不变量.
思考两个函数formula_169对于正则坐标formula_118的泊松括号
假若这变换是正则变换，辛条件formula_149必须成立，
所以，任何两个函数关于正则坐标的帕松括号，都是正则变换的不变量。当表示帕松括号时，可以忽略下标符号，直接表示为formula_174，而认定这帕松括号是关于正则坐标计算的值。