离散余弦变换

离散余弦变换（discrete cosine transform, DCT）是与傅里叶变换相关的一种变换，类似于离散傅里叶变换，但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位（DCT有8种标准类型，其中4种是常见的）。
最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为「反离散余弦变换」，「逆离散余弦变换」或者「IDCT」。
有两个相关的变换，一个是离散正弦变换，它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换，它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。
应用.
离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的「能量集中」特性：大多数的信号资讯（包括声音和图像）往往集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换（Karhunen-Loève变换——它具有最优的去相关性）的性能。
例如，在图像编码标准JPEG与视讯编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的"n"通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中（0,0）位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。
一个类似的变换，改进的离散余弦变换被用在高级音频编码、Vorbis和MP3音频压缩当中。
离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
形式化定义.
形式上来看，离散余弦变换是一个线性的可逆函数formula_1其中R是实数集，或者等价的说一个formula_2的方阵。离散余弦变换有几种变形的形式， 它们都是根据下面的某一个公式把formula_3个实数formula_4变换到另外formula_3个实数formula_6的操作。
DCT-I.
有些人认为应该将formula_8和formula_9乘以formula_10，相应的将formula_11和formula_12乘以formula_13。这样做的结果是这种DCT-I矩阵变为了正交矩阵（再乘一个系数的话），但是这样就不能直接和一个实偶离散傅里叶变换对应了。
一个formula_14的对实数"abcde"的DCT-I型变换等价于一个8点的对实数"abcdedcb"（偶对称）的DFT变换，结果再除以2（对应的，DCT-II~DCT-IV相对等价的DFT有一个半个抽样的位移）。需要指出的是，DCT-I不适用于formula_15的情况（其它的DCT类型都适用于所有的整数"n"）。
所以，DCT-I暗示的边界条件是：formula_16相对于formula_17点偶对称，并且相对于formula_18点偶对称； 对formula_19的情况也类似。
DCT-II.
DCT-II大概是最常用的一种形式，通常直接被称为DCT。
有些人更进一步的将formula_11再乘以formula_13（参见下面的DCT-III型的对应修改）。这将使得DCT-II成为正交矩阵（再乘一个系数的话），但是这样就不能直接和一个有半个抽样位移的实偶离散傅里叶变换对应了。
所以，DCT-II暗示的边界条件是：formula_16相对于formula_24点偶对称，并且相对于formula_25点奇对称； 对formula_19相对于formula_27点偶对称，并且相对于formula_28点奇对称。
DCT-III.
因为这是DCT-II的逆变换（再乘一个系数的话），这种变形通常被简单的称为逆离散余弦变换。
有些人更进一步的将formula_8再乘以formula_10（参见上面的DCT-II型的对应修改），这将使得DCT-III成为正交矩阵（再乘一个系数的话），但是这样就不能直接和一个结果有半个抽样位移的实偶离散傅里叶变换对应了。
所以，DCT-III暗示的边界条件是：formula_16相对于formula_17点偶对称，并且相对于formula_34点奇对称； 对formula_19相对于formula_36点偶对称，并且相对于formula_37点偶对称。
DCT-IV.
DCT-IV对应的矩阵是正交矩阵（再乘一个系数的话）。
一种DCT-IV的变形，将不同的变换的数据重叠起来，被称为改进的离散余弦变换。
DCT-IV暗示的边界条件是：formula_16相对于formula_24点偶对称，并且相对于formula_25点奇对称；对formula_19类似。
DCT V~VIII.
上面提到的DCT I~IV是和偶数阶的实偶DFT对应的。原则上，还有四种DCT变换（Martucci, 1994）是和奇数阶的实偶DFT对应的，它们在分母中都有一个formula_43的系数。但是在实际应用中，这几种变型很少被用到。
最平凡的和奇数阶的实偶DFT对应的DCT是1阶的DCT（1也是奇数），可以说变换-{}-只是乘上一个系数formula_44而已，对应于DCT-V的长度为1的状况。
反变换.
DCT-I的反变换是把DCT-I乘以系数formula_45。
DCT-IV的反变换是把DCT-IV乘以系数formula_46。
DCT-II的反变换是把DCT-III乘以系数formula_46，反之亦然。
和离散傅里叶变换类似，变化前面的归一化系数仅仅是常规而已，改变这个系数并不改变变换的性质。例如，有些人喜欢在DCT-II变换的前面乘以formula_48，这样反变换从形式上就和变换更相似，而不需要另外的归一化系数。
计算.
尽管直接使用公式进行变换需要进行formula_49次操作，但是和快速傅里叶变换类似，我们有复杂度为formula_50的快速算法，这就是常常被称做蝶形变换的一种分解算法。另外一种方法是通过快速傅里叶变换来计算DCT，这时候需要formula_51的预操作和后操作。
以下简单介绍两种利用DFT来计算DCT-II的方法
方法一.
令输入信号为formula_52
并将formula_53以formula_54在formula_55处对称表示
即formula_56
此时令formula_57 表示 formula_58
则formula_53之DFT为
formula_60
将formula_61 做以下化简
formula_62
此时两侧同乘 formula_63
可得formula_64
此时右式即为欲求之DCT转换，而左式可借由2N点数的DFT来计算，使用快速演算法的情况下，运算之时间复杂度为formula_65
方法二.
第二个方法由Narasimha与Peterson在1978年提出，此方法系借由巧妙的编排formula_53来达成，首先令
formula_67 并且 formula_68
此时X(m)可化简为
formula_69
令第二项之formula_3改为 formula_71，则两式可合并为
formula_72
右侧为对formula_53之N点的scaled DFT
因此，formula_74，其中
formula_75
其中formula_76 是对formula_53之N点的DFT，并且可以简单的验证formula_78具有如下性质
formula_79
而因formula_80 为实数输入，
因此欲求之formula_81 ，formula_82 
在使用FFT快速演算法的情况下，运算之时间复杂度同样为formula_65
但此方法较方法一直接运算2N点数的DFT快上约2倍。