辛流形

微分几何中，辛流形是装备了闭非退化2-形式ω的光滑流形"M"，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学中流形的余切丛自然出现，例如在经典力学的哈密顿表述中（这该领域的主要动机之一），系统所有可能构型的空间可以用流形建模，流形的余切丛描述了该系统的相空间。
一个辛流形上的任何实值可微函数"H"可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。
动机.
辛流形来自经典力学，是封闭系统相空间的推广。哈密顿方程可从微分方程组推导系统的时间演化，辛形式也可从哈密顿函数"H"的微分d"H"得到描述系统流的向量场。因此需要线性映射formula_1，从切流形formula_2到余切流形formula_3；或等价地，formula_4的元素。令formula_5表示formula_6的截面，formula_5非退化的要求确保了对每个微分formula_8，都有唯一对应的向量场formula_9使formula_10。由于我们希望哈密顿量沿流线是常值，所以应有formula_11，说明formula_5是交替形式，因此是2形式。最后，我们要求formula_5在流线作用下不变，即formula_5沿formula_9的李导数为零。应用嘉当同伦公式，这相当于（此处formula_16表示内积）：
这样，当对不同光滑函数"H"重复这过程，使相应的formula_9在每点上张成切空间，便能发现任意光滑的"H"对应的formula_9流的李导数为零，等同于说"ω"是闭的。
定义.
光滑流形"M"上的辛形式是闭非退化微分2形式formula_20。当中，非退化是指对每个点formula_21，由formula_5定义的切空间formula_23中的斜对称对非退化。也就是说，若formula_24，使得formula_25，则formula_26。奇数维度下，斜对称矩阵总是奇异的，所以formula_20非退化意味着"M"只能是偶数维。闭条件意味着formula_20的外导数为零。辛流形是一对formula_29，其中"M"是光滑流形，formula_20是辛形式。赋予"M"以辛形式，称作赋予"M"辛结构。
体积形式.
从定义可以直接得到每个辛流形"M"都是偶数维2"n"，这是因为formula_31是无处为0的形式，"辛体积形式"。由此可以得到，每个辛流形是有一个标准的定向的，并且有一个标准的测度，刘维尔测度（经常重整为formula_32）。
例子.
辛向量空间.
令formula_33为formula_34的基，在其上定义辛形式"ω"：
这样，辛形式简化为二次型。用formula_36表示"n"阶单位矩阵，则二次型矩阵Ω将由2"n"阶方阵给出：
余切丛.
令"Q"为"n"维光滑流形，则余切丛formula_38的总空间具有自然辛形式，称作庞加莱2形式，或正规辛形式
其中formula_40是"Q"上的任意局部坐标，formula_41是关于切向量formula_42的纤维坐标。余切丛是经典力学的自然相空间。区分上下索引的关键在于流形有没有度量张量，黎曼流形就是这种情况。上下索引在坐标系变换下进行反变与协变变换。“关于切向量的纤维坐标”是说，动量formula_43与速度formula_44“焊接”在一起，表达了速度与动量共线的概念，并相差标量因子。
凯勒流形.
凯勒流形是具有相容可积复结构的辛流形，构成一类特殊的复流形，复代数几何中有一大类例子。光滑复射影簇formula_45都有辛形式，是射影空间formula_46上的富比尼–施图迪形式的限制。
殆复流形.
具有与formula_5相容的殆复结构的黎曼流形称作殆复流形，推广了凯勒流形，因为其不一定可积。也就是说，它们不一定来自流形上的复结构。
拉格朗日及其他子流形.
辛流形formula_29的子流形有几个自然的几何概念：
辛同胚的图像在积辛流形formula_55上是拉格朗日子流形。其交显示出光滑流形所不具备的刚性，阿诺德猜想给出了子流形的贝蒂数之和作为光滑拉格朗日子流形自交数的下界，而非光滑情形下的欧拉示性数。
例子.
令formula_56有全局坐标formula_57，则可将formula_58赋以规范辛形式
有formula_60给出的标准拉格朗日子流形。形式formula_5在formula_62为零，因为给定任一对切向量formula_63都有formula_64考虑formula_65情形，则formula_66。注意，把它展开时
项都有因子formula_68，由定义等于0。
例子：余切丛.
流形的余切丛局部建模在与第一例类似的空间上。可以证明，我们可以粘合这些仿射辛形式，因此该丛形成了辛流形。拉格朗日子流形的一个不太平凡的例子是流形余切丛的零截面。例如，令
然后可以把formula_70表为
其中我们将符号formula_72视作formula_73的坐标。可以考虑坐标formula_74、formula_75的子集，从而得到零截面。这个例子可重复用于由光滑函数formula_76及其微分formula_77的零轨迹（vanishing locus）定义的流形。
例子：参数子流形.
考虑坐标为formula_78的规范空间formula_34。formula_34的参数子流形是由坐标formula_81参数化的曲面，使
若拉格朗日括号formula_83都为零，则是拉格朗日子流形。即，是拉格朗日子流形的等价条件是
这可以通过在拉格朗日子流形"L"的条件中展开
来看到。即，辛形式在切流形formula_86（所有切向量）上必须为零：
利用formula_34上的规范辛形式简化结果：
而其他的都为零。
由于辛流形上的局部坐标图具有规范形式，此例表明拉格朗日子流形相对来说不受约束。辛流形的分类由弗洛尔同调完成，这是莫尔斯理论在拉格朗日子流形间的映射的作用泛函中的应用。物理学中，作用量描述了物理系统的时间演化；这里，它可视作对膜动力的描述。
例子：莫尔斯理论.
另一类有用的拉格朗日子流形出现于莫尔斯理论。给定莫尔斯函数formula_90，且对足够小的formula_91，可以构造拉格朗日子流形，其由零轨迹formula_92给出。对一般莫尔斯函数，有拉格朗日交，由formula_93给出。
特殊拉格朗日子流形.
凯勒流形或卡拉比-丘流形的情形下，可以在"M"上选择formula_94作为全纯n形式，其中formula_95是实部，formula_96是虚部。若对拉格朗日子流形"L"的formula_96为零，则"L"是特殊的。也就是说，限制在"L"上实部formula_95的条件引导了"L"上的体积形式。以下例子称作特殊拉格朗日子流形：
SYZ猜想涉及镜像对称中特殊拉格朗日子流形的研究，见。
托马斯-丘猜想预言，在拉格朗日量的哈密顿迷向类中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形，这等价于流形的深谷范畴上的布里奇兰稳定性条件。
拉格朗日纤维.
线性辛流形.
有一个标准“局部”模型，也就是formula_99，其中formula_100。这是一个"线性"辛空间的例子。参看辛向量空间。一个称为达布定理的命题表明局部来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。
拉格朗日纤维.
辛流形"M"的拉格朗日纤维是指所有纤维都是拉格朗日子流形的纤维。由于"M"是偶数维，所以可取局部坐标formula_101，由达布定理，辛形式"ω"（至少局部地）可以写成formula_102，其中d表示外微分，∧表示外积。这种形式称作庞加莱2形式或规范2形式。利用这种设置，我们可以局部地将"M"看成余切丛formula_103，拉格朗日纤维则是平凡纤维formula_104这便是规范图像。
拉格朗日映射.
令"L"为辛流形formula_105的由浸入formula_106（"i"是拉格朗日浸入）给出的拉格朗日子流形。令formula_107给出"K"的一个拉格朗日纤维，则formula_108是拉格朗日映射。formula_109的临界值集称作焦散线。
两拉格朗日映射formula_110，若有微分同胚formula_111使两式右图交换、"τ"保留辛形式，则称它们拉格朗日等价。用符号表示：
其中formula_113表示formula_114对"τ"的拉回。
切触流形.
和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形，称为切触流形。每个"2n+1"维切触流形formula_118给出一个"2n+2"维辛流形formula_119