安培环路定律

安培环路定律（Ampère's circuital law）常直接简称为“安培定律”，是由安德烈-马里·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。
安培环路定律表明了：在真空中载流导线所载有的稳恒电流，与磁感应强度沿著环绕导线的任意闭合回路（环路，closed loop）的路径积分（环场积），两者之间的关系为
其中，formula_2是环绕著导线的闭合回路，formula_3是磁感应强度（又称为B场），formula_4是微小线元素向量，formula_5是磁常数，formula_6是闭合回路formula_2所围住的电流。
亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。
1861年，詹姆斯·马克士威又将这方程式重新推导一遍，使得符合电动力学条件，并且发表结果于论文《论物理力线》内。马克士威认为，含时电场会生成磁场，假若电场含时间，则前述安培定律方程式不成立，必须加以修正。经过修正后，新的方程式称为马克士威-安培方程式，是马克士威方程组中的一个方程式，以积分形式表示为
其中，formula_9是边缘为formula_2的任意曲面，formula_11是穿过曲面formula_9的电流的电流密度，formula_13是电位移，formula_14是微小面元素向量。
右手定则.
载流回圈所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向，则拇指所指的方向即为电流的方向。
右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法，右手定则称为「安培右手定则」，或「安培定则」。如右图，安培右手定则表明，假若将右手的大拇指朝著电线的电流方向指去，再将四根手指握紧电线，则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。
原版安培环路定律.
安培环路定律的历史原版形式，连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式，积分形式和微分形式。根据克耳文－斯托克斯定理（即上的斯托克斯公式），对于任意向量formula_15，
所以，这两种形式是等价的。
积分形式.
电流formula_17在一个曲面formula_9上的通量，等于磁场formula_3沿著formula_9的边缘闭合回路formula_2的路径积分。采用国际单位制（后面会讲述CGS单位制版本），原版安培环路定律的积分形式可以写为：
请注意到这方程式有些模糊之处，需要特别澄清：
安培环路定律可由必欧-沙伐定律和磁场的叠加性证明（请参阅必欧-沙伐定律）。在静磁学中，安培环路定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。
微分形式.
根据克耳文－斯托克斯定理，这方程式也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程式才成立。采用国际单位制，这方程式表示为
磁场formula_29的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度formula_30。
电流分类.
电流可以细分为自由电流和束缚电流，而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程式表示，总电流密度formula_11是
其中，formula_33是自由电流密度或传导电流密度，formula_34是磁化电流密度，formula_35是电极化电流密度。
从微观而言，所有的电流基本上是一样的。但是，由于实用原因，物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流，对于每一类电流有不同的处理方式。例如，束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此，较微观的安培定律，以B场formula_3和微观电流（包括自由电流和束缚电流）来表达的定律，有时候会被替代为等价的形式，以附属磁场（又称为H场）formula_37和自由电流来表达的形式。后面证明段落，会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义，与两种表述等价的证明。
自由电流.
通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字，都是指的自由电流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同，后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里（每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化）。
磁化电流.
当一个物质被磁化的时候（例如，将此物质置入外磁场），电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是，它们的物理行为会有所改变（会与感受到的磁场耦合），产生微观电流。将这些电流总合在一起，会有如同宏观电流一般的效应，环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流，是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为「体磁化电流密度」formula_34，用方程式定义为
其中，formula_40是磁化强度（单位体积的磁偶极矩）。
电极化电流.
束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用，可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随著时间而变化，束缚电荷也会随著时间而移动，因而产生「电极化电流」，称其密度为「电极化电流密度」formula_41，用方程式定义为
其中，formula_43是电极化强度。
注意到电极化强度的定义式
其中，formula_45是「体束缚电荷密度」。
取电极化电流密度的散度：
所以，电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为
原版安培环路定律的不足处.
原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程式，
其中，formula_3是B场，formula_5是磁常数，formula_51是总电流。
取散度于这方程式，则会得到
应用一个向量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以，
这意味著电流密度的散度等于零：
在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。
举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随著时间分别累积异性电荷。设定表面formula_55的边缘为闭合回路formula_2。应用安培定律，
在这里，formula_6是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路formula_2。所以，这任意曲面可以是表面formula_55，而formula_6是formula_17；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面formula_63，而由于通过这任意曲面的电流是formula_64，formula_6是formula_64。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。
为了解决上述难题，安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，马克士威摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，马克士威将位移电流项目加入了安培定律。
位移电流.
在自由空间内，位移电流跟电场随著时间的变化率有关；而在电介质内，上述贡献仍旧存在，但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化的增加，这可以用变量电极化强度formula_67来表达。电极化强度随著时间的变化所产生的效应就是电极化电流。
位移电流密度formula_68定义为
其中，formula_70是电位移，定义为
其中，formula_72是电常数，formula_73是电极化强度。
所以，位移电流密度分为两个部分：
这方程式右手边的第一个项目是马克士威修正项目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。马克士威修正项目并不涉及任何真实的电荷运动，但是，它描述一个含时电场的物理行为，就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。
原本定律的延伸：马克士威-安培方程式.
将马克士威修正项目加入安培方程式：
或者，使用H场formula_37和位移电流formula_77来表达，
这就是马克士威-安培方程式，可以补救原本安培环路定律的限制。
假若使用B场formula_3的马克士威-安培方程式，由于习惯，时常会称formula_80项目为位移电流密度。由于增添了位移电流，马克士威能够推论（正确地）光波是一种电磁波（请参阅电磁波条目）。
CGS单位制的安培方程式.
采用CGS单位制，安培方程式的积分形式，包括马克士威修正项目，可以写为
其中，formula_82是光速。
其微分形式可以写为