类氢原子

似氢原子模型（Hydrogen-like atom）是只拥有一个电子的原子，与氢原子同为等电子体，例如，He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子，又称为「类氢离子」。类氢原子只含有一个原子核与一个电子，是个简单的二体系统，系统内的作用力只跟二体之间的距离有关，是反平方连心力。这反平方连心力二体系统不需再加理想化，简单化。描述这系统的（非相对论性的）薛丁格方程式有解析解，也就是说，解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛丁格方程式的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里，类氢原子问题是一个很简单，很实用，而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论，又可以用简单的实验来核对。所以，类氢原子问题是个很重要的问题。
称满足上述系统的薛丁格方程式的波函数为单电子波函数，或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符 formula_1 与其 z-轴分量算符 formula_2 的本征函数。由于能量本征值 formula_3 跟量子数 formula_4 ，formula_5 无关，而只跟主量子数 formula_6 有关。所以，类氢原子波函数可以由主量子数 formula_6 、角量子数 formula_4 、磁量子数 formula_5 ，独特地决定。因为构造原理，还必须加上自旋量子数 formula_10 。对于多电子原子，这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子，所有简并的轨域形成了一个电子层；每一个电子层都有其独特的主量子数 formula_6 ．这主量子数决定了电子层的能量。主量子数也限制了角量子数 formula_4 、磁量子数 formula_5 、自旋量子数 formula_14 的值域。
除了氢原子（电中性）以外，类氢原子都是离子，都带有正电荷量 formula_15 ；其中，formula_16 是单位电荷量，formula_17 是原子序数。离子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等，都是类氢原子。
在元素周期表中，第 IA 族的碱金属元素，其原子的最外电子层都有一个电子，而第二外层电子层的亚层，不论是 s 亚层或 p 亚层，凡是内中有电子的亚层．都已被填满。例如，钠元素有11个电子。电子排布为 formula_18 。最外层只有一个电子。第二外层的 formula_19 与 formula_20 亚层都已填满。钾元素有19个电子。电子排布为 formula_21 。第二外层的 formula_22 与 formula_23 亚层都已填满。由于 formula_23 亚层的轨域的能量较高，最外层唯一的一个电子的轨域是 formula_25 。受到内层电子的紧密屏蔽，这最外层的电子只能感受到大约为一个质子的存在。有效原子序数是 1 。所以，这碱金属的单电子系统可以视为一个类氢原子系统。可以用原子序数为 1 的类氢原子波函数，来近似地表达这电子的量子态。
因为电子与电子之间的库仑相互作用，拥有多个电子的原子或离子没有解析解，必须用数值法来做量子力学计算，才能求得近似的波函数以及其它有关性质。由于哈密顿量的球对称性，一个原子的角动量 formula_1 守恒。许多数值程序，开始於单电子算符 formula_27 与 formula_2 的本征函数的乘积。所计算出来的波函数的径向部分 有时会是数值列表或斯莱特轨域 (Slater orbitals) 。应用角动量偶合方法 (angular momentum coupling) ，可以设定 formula_1 （或许也可以设定 formula_30 ）的多电子本征函数。
薛丁格方程式解答.
类氢原子问题的薛丁格方程式为
其中，formula_32 是约化普朗克常数，formula_33 是电子与原子核的约化质量，formula_34 是量子态的波函数，formula_35 是能量，formula_36 是库仑位势：
其中，formula_38 是真空电容率，formula_17 是原子序，formula_16 是单位电荷量，formula_41 是电子离原子核的距离。
采用球坐标 formula_42，将拉普拉斯算子展开：
猜想这薛丁格方程式的波函数解 formula_44 是径向函数 formula_45 与球谐函数 formula_46 的乘积：
角部分解答.
参数为天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程式 
其中，非负整数 formula_4 是轨角动量的角量子数。磁量子数 formula_5 （满足 formula_51 ）是轨角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 formula_4 与 formula_5 给予不同的轨角动量函数解答 formula_54 ：
其中，formula_56 是虚数单位，formula_57 是伴随勒让德多项式，用方程式定义为
formula_59 的不确定性与 formula_60 的不确定性的乘积 formula_61 ，必定大于或等于 formula_62 。
类似地，formula_59 与 formula_2 之间，formula_60 与 formula_2 之间，也有同样的特性。
自旋-轨道作用.
电子的总角动量必须包括电子的自旋。在一个真实的原子里，因为电子环绕著原子核移动，会感受到磁场。电子的自旋与磁场产生作用 ，这现象称为自旋-轨道作用。当将这现象纳入计算，自旋与角动量不再是保守的，可以将此想像为电子的进动。为了维持保守性，必须取代量子数 formula_4 、formula_5 与自旋的投影 formula_14 ，而以量子数 formula_70，formula_71 来计算总角动量。
精细结构.
在原子物理学里，因为一阶相对论性效应，与自旋-轨道耦合，而产生的原子谱线分裂，称为精细结构。
非相对论性，无自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只跟主量子数 formula_6 有关。可是，更精确的模型，考虑到相对论效应与自旋-轨道效应，能够分解能级的简并，使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构，精细结构是一个 formula_73 效应；其中，formula_17 是原子序数，formula_75 是精细结构常数。
在相对论量子力学里，狄拉克方程式可以用来计算电子的波函数。用这方法，能阶跟主量子数 formula_6 、总量子数 formula_70 有关，容许的能量为
稳定性.
思考类氢原子稳定性问题，应用经典电动力学来分析，则由于库仑力作用，束缚电子会被原子核吸引，呈螺线运动掉入原子核，同时辐射出无穷大能量，因此原子不具有稳定性。但是，在大自然里这虚拟现象实际并不会发生。那么，为什么类氢原子的束缚电子不会掉入原子核里？应用量子力学，可以计算出类氢原子系统的基态能量大于某有限值，称这结果为满足「第一种稳定性条件」，即类氢原子的基态能量 formula_79 大于某有限值：
量子力学的海森堡不确定性原理 formula_81 可以用来启发性地说明这问题，电子越接近原子核，电子动能越大。但是海森堡不确定性原理不能严格给出数学证明，有些特别案例不能满足第一种稳定性条件，因为 formula_82 量度的是波函数的半宽度，而不是波函数集聚于原子核附近的程度，所以波函数可以拥有一定的半宽度，并且极度集聚于原子核附近，造成库仑势能趋于 formula_83 ，同时维持有限的动能。
更详细分析起见，只考虑类氢原子系统，给定原子的原子序 formula_17 ，原子的能量 formula_35 为
其中，formula_87 为动能，formula_88 为势能，formula_89 为描述类氢原子系统的波函数，formula_90 为位置坐标，formula_91 为积分体积。
应用索博列夫不等式，经过一番运算，可以得到能量最大下界为。
其中，formula_93 是能量单位里德伯，大约为13.6eV。
总结，类氢原子满足第一种稳定性条件这结果。