二项式系数

在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言，二项式系数由两个非负整数formula_1和formula_2为参数决定，写作 formula_3，定义为 formula_4的多项式展开式中，formula_5项的系数，因此一定是非负整数。如果将二项式系数 formula_6写成一行，再依照 formula_7顺序由上往下排列，则构成帕斯卡三角形。
二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，formula_8可以被理解为从formula_1个相异元素中取出formula_2个元素的方法数，所以 formula_8大多读作「formula_1取formula_2」。二项式系数 formula_8的定义可以推广至formula_1是复数的情况，而且仍然被称为二项式系数。
历史及记号.
虽然二项式系数在西元10世纪就已经被发现（见帕斯卡三角形），但表达式 formula_8却是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探讨二项式系数的论述是十世纪的 写的印度教典籍《宾伽罗的计量圣典》（chandaḥśāstra）。约1150年，印度数学家婆什迦罗第二于其著作《Lilavati》 中给出一个简单的描述。
二项式系数亦有不同的符号表达方式，包括：formula_17、formula_18、formula_19、formula_20、formula_21，其中的 C 代表组合（combinations）或选择（choices）。很多计算机使用含有 C 的变种记号，使得算式只占一行的空间，相同理由也发生在置换数 formula_22，例如写作 P("n", "k")。
定义及概念.
对于非负整数formula_1和formula_2，二项式系数formula_8定义为formula_4的多项式展开式(又称为二项式系数的生成函数)中，formula_5项的系数，即
事实上，若formula_29、formula_30为交换环上的元素，则
此数的另一出处在组合数学，表达了从"formula_1"物中，不计较次序取"formula_2"物有多少方式，亦即从一"formula_1"元素集合中所能组成"formula_2"元素子集的数量。此定义与上述定义相同，理由如下：若将幂formula_36的"formula_1"个因数逐一标记为formula_38（从1至"formula_1"），则任一"formula_2"元素子集则建构成展式中的一个formula_41项，故此该单项的系数等如此种子集的数量。亦因此，就任何自然数"formula_1"和"formula_2"而言，formula_8亦为自然数。此外，二项式系数亦见于很多组合问题的解答中，如由"formula_1"个位元（如数字0或1）组成的所有序列中，其和为"formula_2"的数目为formula_8，又如算式formula_48，其中每一formula_49均为非负整数，则有formula_50种写法。这些例子中，大部分可视作等同于点算"formula_2"个元素的组合的数量。
计算二项式系数.
除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算formula_8的值。
递归公式.
以下递归公式可计算二项式系数：
其中特别指定：
此公式可由计算formula_56中的"formula_5"项，或点算集合formula_58的"formula_2"个元素组合中包含"formula_1"与不包含"formula_1"的数量得出。
显然，如果formula_62，则formula_63。而且对所有"formula_1"，formula_65，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。
乘数公式.
个别二项式系数可用以下公式计算：
上式中第一个分数的分子是一阶乘幂。此公式可以二项式系数在计算组合数量的意义理解：分子为从"formula_1"个元素中取出"formula_2"个元素的序列之数量，当中包含同样的元素但不同排列次序的序列。分母则计算同样的"formula_2"个元素可有多少种排序方式。
阶乘公式.
二项式系数最简洁的表达式是阶乘:
其中「formula_71」是"formula_1"的阶乘，此公式从上述乘数公式中分子分母各乘以formula_73取得，所以此公式中的分子分母有众同共同因子。除非先行抵销两边中的共同因子，否则以此公式进行计算时较率欠佳，尤因阶乘的数值增长特快。惟此公式展示了二项式系数的对称特性：
一般化形式及其与二项式级数的关系.
若将"formula_1"换成任意数值（负数、实数或复数）formula_75，甚至是在任何能为正整数给出逆元素的交换环中的一元素，则二项式系数可籍乘数公式扩展：
此定义能使二项式公式一般化（其中一单项为1），故formula_77仍能相称地称作二项式系数：
此公式对任何复数"formula_75"及formula_79，formula_80时成立，故此亦可视作formula_79的幂级数的恒等式，即系数为常数1，任意幂之级数定义，且在此定义下，对于幂的恒等式成立，例如
若"formula_75"是一非负整数"formula_1"，则所有formula_62的项为零，此无穷级数变成有限项的和，还原为二项式公式，但对于"formula_75"的其他值，包括负数和有理数，此级数为无穷级数。
帕斯卡三角形 (杨辉三角).
帕斯卡法则是一重要的递归等式：
此式可以用于数学归纳法，以证明formula_87对于所有"formula_1"和"formula_2"均为自然数（等同于证明formula_90为所有"formula_2"个连续整数之积的因数），此特性并不易从公式(1)中得出。
帕斯卡法则建构出帕斯卡三角形:
第"formula_1"横行列出formula_87的formula_94项，其建构方法为在外边填上1，然后将上一行中每两个相邻数相加的和填在其下，此方法可快速地计算二项式系数而不涉及乘法或分数，例如从第5横行可马上得出
在斜线上相邻项的差就是上一斜线上的数值，此乃上述递归等式()的延伸意义。
组合数学和统计学.
二项式系数是组合数学中的重要课题，因其可用于众多常见的点算问题中，例如
以多项式表达二项式系数.
就任就非负整数"formula_2"，formula_111可表达为一多项式除以formula_90：
此为带有理数系数，变量是formula_114的多项式，可对任意实数或复数"formula_114"运算以得出二项式系数，此「广义二项式系数」见于牛顿广义二项式定理。
就任意"formula_2"，多项式formula_117可看成是惟一的"formula_2"次多项式formula_119满足formula_120及formula_121.
其系数可以第一类斯特灵数表示，即：
formula_117之导数可以对数微分计算：
以二项式系数为多项式空间之基底.
在任何包含Q的域中，最多formula_125阶的多项式有惟一的线性组合formula_126。系数formula_127是数列formula_128的第"k"差分，亦即：
整数值多项式.
每一多项式formula_117在整数参数时均是整数值（可在"formula_2"上，用帕斯卡法则以归纳法证明）。故此，二项式系数多项式的整数线性组合亦为整数值。反之，()表达了任何整数值的多项式均是二项式系数多项式的整数线性组合。一般而言，对于一个特征0域"formula_2"的任何子环formula_132，在formula_133内的多项式在整数参数时之值均在"formula_132"内当且仅当该多项式是一二项式系数多项式的"formula_132"-线性组合。
整数值多项式formula_136可表达作：
从formula_138时formula_139用帕斯卡矩阵的逆可算出：
这种二项式系数多项式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。
有关二项式系数的恒等式.
关系式.
阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在"formula_2"是正整数时，对任意"formula_1"有：
两个组合数相乘可作变换：