三角形

三角形，又称三边形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少边的多边形。
一般用大写英语字母formula_1、formula_2和formula_3为三角形的顶点标号；用小写英语字母formula_4、formula_5和formula_6表示边；用formula_7、formula_8和formula_9给角标号，又或者以formula_10这样的顶点标号来表示。
分类.
以角度分类.
锐角三角形.
锐角三角形的所有内角均为锐角。
钝角三角形.
钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。
直角三角形.
有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」（cathetus），直角所对的边是「斜边」（hypotenuse）；或最长的边称为「弦」，底部的一边称作「勾」（又作「句」），另一边称为「股」。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）
三角函数.
直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。
以边长分类.
不等边三角形.
三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。
等边三角形.
等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 formula_4 ，则其面积公式为 formula_12 。
等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。
三角形的对边.
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。
等腰三角形.
等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。
等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是 formula_5 ，腰是 formula_4，则其面积公式为 formula_15
等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。
退化三角形.
退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。
勒洛三角形.
勒洛三角形（Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师命名。
一般性质.
勾股定理.
勾股定理，又称毕氏定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边 formula_6 为斜边，即 formula_6 的对角 formula_18 ，则
勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形满足
则
正弦定理.
设 formula_22 为三角形外接圆半径，则
余弦定理.
对于任意三角形：
勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 formula_27 时， formula_28 ，于是 formula_29 化简为 formula_30 。
全等及相似.
全等三角形.
三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种：
SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。
特殊线段.
三角形中有著一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。
以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。
中线长度.
设在formula_31中，若三边formula_4、formula_5、formula_34的中线分别为formula_35、formula_36、formula_37，则：
高线长度.
设在formula_31中，连接三个顶点formula_1、formula_2、formula_3上的高分别记作formula_45、formula_46、formula_47，则：
其中 formula_51 。
角平分线长度.
设在formula_31中，若三个角formula_1、formula_2、formula_3的角平分线分别为formula_56、formula_57、formula_58，则：
三角形的心.
三角形的内心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心，定义如下：
关于三角形的四心，有这样的一首诗：
垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。
连同以下的旁心，合称为三角形的五心：
外接圆和内切圆半径.
设外接圆半径为formula_22 ， 内切圆半径为formula_63 ，则：
其中formula_66为三角形面积；formula_67为三角形半周长，formula_51
面积.
基本公式.
三角形的面积 formula_1 是底边 formula_70 与高 formula_71 乘积的一半，即：
其中的高是指底边与对角的垂直距离。
从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 formula_73 的长方形。因此原来的三角形面积为
证毕。
已知两边及其夹角.
设 formula_4 formula_5 为已知的两边， formula_9 为该两边的夹角，则三角形面积是：
观察右图，根据正弦的定义：
因此：
将此式代入基本公式，可得：
证毕。
已知两角及其夹边.
formula_8 、 formula_9 为已知的两角， formula_4 为该两角的夹边，则三角形面积是：
从正弦定理可知：
代入 formula_87 ，得：
注意到formula_89，因此：
证毕。
已知三边长.
海伦公式，其表示形式为：
其中 formula_67 等于三角形的半周长，即：
秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：
也有用幂和来表示的公式：
将海伦公式略为变形，知
多次使用平方-{}-差公式，得
等号两边开根号，再同除以4，得
亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：
基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 formula_100 ，三角形面积为：
设 formula_4 、 formula_5、formula_6为三角形三条边， formula_7 、 formula_8 、 formula_9 为相应边的对角。从余弦定理可知：
以毕氏三角恒等式可得：
将此式代入formula_78，得：
因式分解及简化后可得：
代入formula_51，即可证毕。
已知坐标系中三顶点坐标.
由 formula_114 、 formula_115 及 formula_116 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：
无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。
若三个顶点设在三维坐标系上，即由 formula_118 、 formula_119 及 formula_120 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：
已知周界及内切圆或外接圆半径.
设三角形三边边长分别为 formula_4 、 formula_5 及 formula_6 ，三角形半周长（ formula_125 ）为 formula_67 ，内切圆半径为 formula_63，则：
若设外接圆半径为 formula_22 ，则：
内切圆半径公式
根据右图，设 formula_131 ， formula_132 ， formula_133 ，则三角形面积可表示为：
外接圆半径公式
根据正弦定理：
因此：
已知两边向量.
设从一角出发，引出两边的向量为 formula_137 及 formula_138 ，三角形的面积为：
根据向量积定义，formula_140，
其中 formula_141 是两支向量的夹角。
因此：
证毕。
半角定理.
在三角形formula_143中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：
以正弦及余弦之比表示正切：
因为
所以
而
所以
同理可得