代数基本定理

代数基本定理（fundamental theorem of algebra）说明，任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。
有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根（重根视为多个根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。
尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。
高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。
同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。
证明.
所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。
定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式"p"("z")，以下的多项式
就是一个实系数多项式，如果"z"是"q"("z")的根，那么"z"或它的共轭复数就是"p"("z")的根。
许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|"z"|足够大时，首系数为1的"n"次多项式函数"p"("z")的表现如同"zn"。一个更确切的表述是：存在某个正实数"R"，使得当|"z"| > "R"时，就有：
复分析证明.
证明一.
寻找一个中心为原点，半径为"r"的闭圆盘"D"，使得当|"z"| ≥ "r"时，就有|"p"("z")| > |"p"(0)|。因此，|"p"("z")|在"D"内的最小值（一定存在，因为"D"是紧致的），是在"D"的内部的某个点"z"0取得，但不能在边界上取得。于是，根据最大模原理，"p"("z"0) = 0。也就是说，"z"0是"p"("z")的一个零点（根）。
证明二.
由于在"D"之外，有|"p"("z")| > |"p"(0)|，因此在整个复平面上，|"p"("z")|的最小值在"z"0取得。如果|"p"("z"0)| > 0，那么1/"p"在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数"z"，都有|1/"p"("z")| ≤ |1/"p"("z"0)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/"p"是常数，因此"p"是常数。于是得出矛盾，所以"p"("z"0) = 0。
证明三.
这个证明用到了辐角原理。设"R"为足够大的正实数，使得"p"("z")的每一个根的绝对值都小于"R"；这个数一定存在，因为"n"次多项式函数最多有"n"个根。对于每一个"r" > "R"，考虑以下的数：
其中"c"("r")是中心为0，半径为"r"的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是"p"("z")在中心为0、半径为"r"的开圆盘内的零点的数目"N"，由于"r" > "R"，所以它也是"p"("z")的零点的总数目。另一方面，"n"/"z"沿着"c"("r")的积分除以2π"i"，等于"n"。但这两个数的差为：
被积分的有理表达式中的分子，次数最多是"n" − 1，而分母的次数是"n" + 1。因此，当"r"趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于"N" − "n"，因此有"N" = "n"。
证明四.
这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个"n" > 0次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。
设"A"为大小"n" > 0的方块矩阵，并设"In"为相同大小的单位矩阵。假设"A"没有特征值。考虑预解函数
它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。"A"的特征值正好是"R(z)"的极点。根据假设，"A"没有特征值，因此函数"R(z)"是整函数，根据柯西积分定理可知：
另一方面，把"R(z)"展开为几何级数，可得：
这个公式在半径为||"A"||的闭圆盘的外部（"A"的算子范数）成立。设"r" > ||"A"||。那么：
（仅当"k" = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此"A"一定有一个特征值。
拓扑学证明.
设"z"0 ∈ C为使|"p"("z")|在"z"0取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把"p"("z")写成"z" − "z"0的多项式：存在某个自然数"k"和一些复数"ck"、"c""k" + 1、…、"cn"，使得"ck" ≠ 0，以及：
可推出如果"a"是("p"("z")-"p"("z"0))/"ck"的一个"k"重根，且"t"是足够小的正数，那么|"p"("z"0 + "ta")| < |"p"("z"0)|，这是不可能的，因为|"p"("z"0)|是|"p"|在"D"内的最小值。
对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设"p"("z")没有根。选择一个足够大的正数"R"，使得对于|"z"| = "R"，"p"("z")的第一项"zn"大于所有其它的项的和；也就是说，|"z"|"n" > |"a""n" − 1"z""n" −1 + ··· + "a"0|。当"z"依逆时针方向绕过方程为|"z"| = "R"的圆一次时，"p"("z")，像"zn"那样，依逆时针方向绕过零"n"次。在另外一个极端，|"z"| = 0时，“曲线” "p"("z")仅仅是一个（非零的）点"p"(0)，它的卷绕数显然是0。如果"z"所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么"p"("z")的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为formula_10，其中"t"大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量"t"视为时间，那么在时间为零时，曲线为"p(z)"，时间为1时，曲线为"p(0)"。显然在每一个点"t"，根据原先的假设"p(z)"都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是"n"，结束时是0，因此得出矛盾。所以，"p"("z")至少有一个根。
代数证明.
这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在formula_11上有实平方根，以及任何奇次多项式在formula_11上有一个根（这可以用介值定理证明）。
首先formula_13。经过简单的计算可以证明formula_14在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合formula_15。得出formula_14不存在二阶扩张。
由于formula_17，于是任何formula_11的扩张都是可分的，从而任何formula_11的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设formula_20、formula_21都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群formula_22的西罗2-子群"H"。那么formula_23是奇数。由本原元定理得出，"KH"存在本原元formula_24，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇数次且次数>1的不可分多项式。于是formula_25是2的幂次。
假设formula_26并且"r>0"，再次利用西罗定理，"G"存在一个阶为"2r-1"的子群"N"。这时formula_27。这和先前formula_14不存在二阶扩张矛盾。因此formula_14的任何代数扩张都是formula_14本身，代数基本定理得证。
推论.
由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与复数域之间的关系的：
韦达公式.
韦达公式把多项式的系数formula_31与它的根formula_32的和与积联系起来。
这可以直接从以下等式的展开式推出：
formula_33