黎曼积分

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。
概念.
让函数 formula_1 为定义在区间 formula_2 的非负函数，我们想要计算 formula_3所代表的曲线与 formula_4坐标轴跟两条垂直线 formula_5 跟 formula_6 所夹图形的面积（既右图区域 formula_7 的面积），可将区域 formula_7 的面积以下面符号表示：
黎曼积分的基本概念就是对 "x"-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 formula_7 的面积（参考右方第二张图）。同时请注意，如函数为负函数， formula_11，则其面积亦为负值。
定义.
区间的分割.
一个闭区间formula_2的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列formula_13。(由a至b内的所有x)
每个闭区间formula_14叫做一个子区间。定义formula_15为这些子区间长度的最大值：formula_16，其中formula_17。
再定义取样分割。一个闭区间formula_18后，于每一个子区间中formula_19取出一点formula_20。formula_15的定义同上。
精细化分割：设formula_22以及formula_23构成了闭区间formula_2的一个取样分割，formula_25和formula_26是另一个分割。如果对于任意formula_27，都存在formula_28使得formula_29，并存在formula_30使得formula_31，那么就把分割：formula_25、formula_26称作分割formula_22、formula_23的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。
于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。
黎曼和.
对一个在闭区间formula_2有定义的实值函数formula_1，formula_1关于取样分割formula_22、formula_23的黎曼和（积分和）定义为以下和式：
和式中的每一项是子区间长度formula_42与在formula_43处的函数值formula_44的乘积。直观地说，就是以标记点formula_43到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。
黎曼积分.
不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。
要使得“越来越‘精细’”有效，需要把formula_15趋于0。如此formula_14中的函数值才会与formula_44接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。
严格定义如下：formula_7是函数formula_1在闭区间formula_2上的黎曼积分，当且仅当对于任意的formula_52，都存在formula_53，使得对于任意的取样分割formula_22、formula_23，只要它的子区间长度最大值formula_56，就有：
也就是说，对于一个函数formula_1，如果在闭区间formula_2上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数formula_1的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么formula_1在闭区间formula_2上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数formula_1为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有formula_56的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。
另一个定义: formula_7是函数formula_1在闭区间formula_2上的黎曼积分，当且仅当对于任意的formula_52，都存在一个取样分割formula_22、formula_23，使得对于任何比其“精细”的分割formula_25 and formula_26，都有：
这两个定义是等价的。如果有一个formula_7满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个formula_7满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值formula_56的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于formula_77，于是满足 
其次证明满足第二个定义的formula_7也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割formula_22使得它的上达布和与下达布和都与formula_7相差不超过formula_82。令formula_83等于formula_84，其中formula_85和formula_86是formula_1在formula_88上的上确界和下确界。再令formula_77是formula_90和formula_91中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于formula_77时，formula_1关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差formula_82，所以和formula_7至多相差formula_96。
由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
黎曼积分的性质.
由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间formula_2后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射formula_104是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。
无论"a"、"b"、"c"之间的大小关系如何，以上关系式都成立。
黎曼积分的推广.
黎曼积分可推广到值属于formula_126维空间formula_127的函数。积分是线性定义的，即如果formula_128，则formula_129。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。
黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令
不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令formula_131若formula_132，formula_133，formula_134若formula_135。则对所有formula_4
但如果我们将formula_3向右平移一个单位得到formula_139，则对所有formula_140，我们得到
由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：
此时，如果尝试对上面的formula_1积分，我们得到formula_144，因为我们先使用了极限formula_145。如果使用相反的极限顺序，我们得到formula_146。
这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令formula_147在formula_148上，其它域上等于0。对所有formula_126，formula_150。但formula_151一致收敛于0，因此formula_152的积分是0。因此formula_153。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。
一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。
事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。
扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子formula_154，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。