地平坐标系

地平坐标系（英语：Horizontal coordinate system），是天球坐标系统中的一种，以观测者所在地为中心点，所在地的地平线作为基础平面，将天球适当的分成能看见的上半球和看不见（被地球本身遮蔽）的下半球。上半球的顶点（最高点）称为天顶，下半球的顶点（最低点）称为地底。
地平坐标系统由两个夹角来定义一个天体位置的极座标：
因此地平坐标系有时也被称为高度/方位（Alt/Az）坐标系统。
简略的观测.
地平坐标系统是固定在地球上而不是恒星，所以天体出现在天球上的高度和方位会随著时间，在天球上不停的改变。另一方面，因为基础平面是观测者所在地的地平面，所以相同的天体在相同的时间从不同的位置观察，也会有不同的高度和方位。
地平坐标系在测量天体的出没上非常的好用，当一个天体的高度为0°，就表示他位于地平线上。此时若其高度增加，就代表上升；若高度减少，便是下降。然而天球上所有天体的运动都受到由西向东的周日运动支配，所以与其笨拙的去观察高度是增加或减少，不如改为观察天体的方位更容易来判断是上升或是下降：
但在下面的特殊位置则例外：
需要注意的是：前面所考虑的衹是理论上的"几何地平"，即不考虑地球大气层对天体位置的影响，让观测者的地平线完全以理想的海平面构成。因为地球有弧度，实际上看见的"视地平面"会随著观测者的高度增加而降低（出现负值）。另一方面大气层也会将地平线下半度的天体折射到地平线上。
与赤道坐标系的互换.
只要知道观测者的地理坐标与时间，就可以将地平坐标转换成赤道坐标，或是反过来将赤道坐标转换成地平坐标。
在以下公式中，以formula_3代表方位，formula_4代表高度。
以formula_5表示赤经，formula_6表示赤纬，formula_7表示时角。
φ为观测者所在地的纬度。
不管赤纬或地理纬度, 都是以北极点为+90°，在赤道是0°，南极点是-90°。
天体时角与本地恒星时.
在地平座标转换前一般会先计算天体的本地时角 (Local Hour Angle, LHA) (或称地方时角)。天体的本地时角formula_7为观测时通过本地子午圈的天球经线的赤经值formula_9 与天体赤经 formula_5的差值 (formula_11), 也代表星体所在的赤经线与南方子午线在赤道面的夹角. 由于方位角是以南方(或北方)为基准, 所以用时角来转换到方位角颇为直觉. 上述的 formula_9 正式名称为本地恒星时 (Local Sidereal Time, LST, formula_13). 想像当地球以稳定的自转速度旋转时, 在每个恒星日, 南方子午线上会陆续通过赤经为 formula_14, ..., formula_15, ..., formula_16 东升西落的星星, 就可想像 formula_9 可以当成观测本地的一个时钟, 上面显示的时钟刻度就是本地恒星时 (formula_18), 换算成一小时 15 度, 也就是观测地经线相对于天球赤道起点 (春分点, formula_19) 的旋转角度. 而天体的时角就代表从天体中天时刻到观测时刻所经历的时间或转动的角度. 显然, 本地恒星时由观测时间formula_20及观测地经度formula_21决定 (formula_22). 所以, 天体的时角也由天体的赤经formula_5及formula_24共同决定，故formula_7有时也会写成formula_26 或 formula_27, 代表赤经在特定观测时地的替代表示方式. 这也是为什么在空间座标转换时, (星体座标)会用去除时地标志的天体时角(及赤纬)来代替其赤经(及赤纬)的原因. 总结上述说明, 星体的时角与本地恒星时的关系及计算公式为:
如上所示, LST 可由 GST 加计本地地理经度求得. 其中, GST 为格林威治恒星时, 亦即 0 度经线上之观测站的 LST. 上述公式中, formula_29241.3872 (度)代表在参考历元 formula_30 2440000.5 JD (儒略日, Julian Date) (相当于1968/5/24.0) 时, 经过格林威治本初子午线的遥远恒星的赤经.
formula_31360.9856091 (度/太阳日)代表一天 (一个平太阳日) 之内地球转动的度数. 乘以 formula_20 (用儒略日 jd 表示) 与 formula_33 的差值, 代表至观测时间 formula_20 总共新增的转动度数.
当然, 这些角度都要调整到 360 或 [-180, +180] 的范围. 由 LST 就可以知道观测时通过本地子午线的星体的赤经了.
一般导航用的天文年鉴或历书 (almanac), 并无法把主要天文导航天体(如太阳, 月亮, 行星, 及约 57 颗导航用亮星), 在所有城市的本地时角, 都刊印出来, 仅能列印他们在格林威治所观测到的天体时角, 即格林威治时角 (Greenwich Hour Angle, GHA), 再由领航员从 formula_35 的关系中加计经度推算出 formula_36. 因此, 上列公式也把 GHA 的相关式子列出来做为参考.
此外, 对同一观测目标 (formula_5), 在同一观测地 (formula_21)而言:
也就时说, 在同一观测地, 恒星时差(formula_46)与天体时角差(formula_47)是相同的, 且都跟观测时间差(formula_48)成正比. 只不过恒星时钟与太阳时钟的时间长度及速度不一样, 地球公转一周看到远处恒星的次数比看到近处太阳的次数正好多1次. 所以, 恒星时钟比太阳时钟走得快一点. 若要把恒星时差换算成手表上的时差(平太阳时), 就必须多除以 formula_49 这个系数 (formula_50). 在许多有关天文事件时间 (jd1) 或时差(duration) (Δ "t") 的计算问题上 (如日出时刻、日落时刻、星体中天时刻、曙暮光始末时刻、日照时间或白天长度)
, 要记得用这个比例常数来调整两种不同时间的刻度. 例如, 1 恒星日 (formula_51) 的时间长度大约相当于 formula_52 (平太阳时), 与一天(太阳日)的长度差了约 4 分钟.
赤道坐标转为地平坐标.
赤道坐标转为地平坐标时, 可以透过以下的关系, 由天体的赤经 (formula_5) 及赤纬 (formula_6), 求得天体的方位角(formula_3) 及高度角 (formula_4)。 
根据以上关系式, formula_58. formula_3 则可由 formula_60 求得.
有种方式是把 formula_61 相除后消去formula_62项，而化简为formula_63, 再用 formula_64 来求 formula_3。但是, formula_66 使用的反正切函数的值域只在[-90, 90] 度之间, 无法完整涵盖 360 (或 [-180,+180]) 度的方位角. 而在 0 到 360 (或 [-180,+180]) 度之间, formula_67 值相同的角度有两个 (formula_68). 例如45°和225°是完全不同的方位, 但正切值相同。因此, 必须根据formula_69 及 formula_70 的正负符号, 决定方位角落在哪个象限. 如果这些同值的角度落在非值域的第二及第三象限, 即 X 值为负时, formula_71 必须 +/-180 度, 才会得到正确的 formula_3. 若为 X=0 (Y/X 为无限大) 的特殊状况, 则依 formula_70 的正负符号, 定义其方位角为 +90 或 -90 度。若 X, Y 皆为 0 (即天体在天顶), 则可依习惯定义方位。
其实不少程式语言(如 C, C++, Java, Python) 都有提供一个叫做 ATAN2(Y,X) (或 ATAN2(X,Y)) 的反三角函数 (atan2是已将象限纳入考量的反正切函数), 可算出 formula_71 的值, 并根据 (X,Y) 的正负号判断所属象限, 从而决定 (X, Y) 向量与 X 轴的夹角, 让他的值域涵盖 360 度角. 这对决定方位角非常方便, 省掉自己编写程式码来判断象限的麻烦. 至于高度角 formula_4 的求解, 可令第一个公式等号右边的值为 formula_77, 用 formula_78 求 formula_4 值即可, 不必再做调整. 因为, formula_80 的值域为正负 90 度, 正好对应地平线上下夹角 (这状况同样适用于之后在计算赤经赤纬时对应北南半球纬度).
两种方位角.
需要特别注意的是, 上面计算出来的方位角 formula_3 其实指的是以南方为0度向西递增的方位角, 而不是一般文献指称的, 以北方为0度, 向东递增的方位角. 这种一般文献上所称的 "(北)方位角" 若表示成formula_1, 则与上列计算出来的 formula_3, 或特意表示成 formula_2 的 "南方位角", 两者相差正好 180 度, 可以用 formula_85 计算出来, 并调整到 0～360 度即可. 由于很多人不明白其间的差异, 因此由其他文献上抄录来的公式, 常因公式中某些项目的正负符号与其他来源(如维基网页)不同, 而误以为错误, 甚至错误更改维基百科的公式而不自知 (可察看本页历史编辑纪录). 其算出的结果也可能与预期有 180 度的差异. 所以, 参照不同来源公式时, 必须小心. 而之所以会有人定义这种南方为零的"南方向角", 主要是一些北半球的观星者平时观测的星体以南方星体为主. 因此, 以南方为零度方位, 有其方便性.
赤平座标转换之矩阵转换式.
上列公式并不容易理解其来由, 若移项重新整理, 并刻意以 formula_86 提醒此方位角为南方位角, 则可得:
其矩阵形式则为:
formula_89, formula_90
其中, 最右边要被转换的行向量表示赤道极座标 formula_91 或 formula_92 (formula_93) 投影在赤道面某选定直角座标的三个分量 formula_94, 等号左边的转换后所得行向量表示地平极座标 formula_95 投影在地平面某选定直角座标的三个分量 formula_96. 中间的转换矩阵代表将赤道座标沿著子午线由天球北极 (Z 轴) 转向赤道面 (X轴) 转动 90-formula_97 度角的座标旋转矩阵. 这样的矩阵式说明了原公式的直觉意义, 对于需要时常计算的观星者,航海家或天文计算程式员而言比较不必硬记, 也较不容易弄错.
地平坐标转为赤道坐标.
上列矩阵转换公式, 也让地平座标转赤道座标变得容易. 事实上, 只要把转换对象调换, 并进行逆转换即可. 换句话说, 前式的两个行向量只要互相调换, 并把原来的转换矩阵变成他的逆矩阵 (inverse matrix) 即可得到反向转换公式. 有趣的是, 座标转换的逆矩阵也是他的转置矩阵 (transpose matrix), 也就是行列互换的矩阵, 因此并不需要费力去求原转换矩阵的逆矩阵. 因此, 我们可以轻易得到:
亦即
formula_100, formula_101, formula_102.
其中, formula_103 为观测者所在经度 formula_21 于观测时间 formula_20 的本地恒星时.
方位角以北为零时的赤平座标相互转换.
前面已提到, 实用上有两种方位角, 前面计算的其实是南方位角 formula_2. 一般官方文献所提的方位角为北方位角 formula_1. 为了避免混淆, 以下将使用 formula_1时的座标转换公式也一并列出, 以便相互对照.
赤道转北地平.
赤道转地平, 求 formula_1 的方法除了用先前方法算出 formula_2 再加 180 度之外, 也可以将原来的转换公式中的 formula_69 跟 formula_70等号右侧方程式都加负号, 并把等号左侧的 formula_2 改成 formula_1 即可. 其结果是:
formula_116, formula_117, 或者
formula_118, formula_119.
同时:
两者相除后，除正负号的区别外，形式完全一样，已无法区分这里的方位角是南方位角或北方位角。且已失去判断象限的讯息，必须由分子分母的正负来辅助判断。这跟之前讨论如何由 formula_121 (即 formula_122) 求 formula_3 的情况一样。
有兴趣者可以把他转成矩阵转换式, 会发现这样的转换是经过两道转换手续, 即先转成原先的南地平, 再把 X 轴转 180 度, 也就是 X 值跟 Y 值都取负号.
北地平转赤道.
要得到使用 formula_1 时的地平转赤道座标转换公式, 只要将 formula_126代入原来的南地平转赤道的转换公式即可. 此代换会得出, formula_127, formula_128, 因此, 有以下转换公式:
formula_130, formula_101, formula_132.
其中, formula_103 为观测者所在经度 formula_21 于观测时间 formula_20 的本地恒星时.
注意，formula_136 其实与 formula_137 是相同的两组赤道座标，只是以 formula_2 及 formula_1 表达时，形式不同而已。
比较 formula_136 跟 formula_141 会发现, 两者的转换公式长得完全一样, 不同的只是符号的代换. 把 formula_7 跟 formula_6 分别与 formula_1 跟 formula_4 互相代换就会得到另一组转换公式. 这是因为赤道转北地平的转换矩阵(即矩阵式中的两个矩阵相乘)是对称矩阵, 所以它的逆矩阵 (已知等于转置矩阵) 跟原转换矩阵是一样的. 所以, 除了符号互相替换之外, 公式的形式完全相同. 这个有趣的结果可以有两个应用. 第一,是可以由两个方向的转换矩阵或转换公式的形式是否一样来判断公式里的方位角到底是不是以北方为零度的方位角. 第二,如果采用 formula_1 为方位角, 则撰写转换程式码时其实只需要写一个函数.
赤道座标与地平座标转换之应用.
赤道座标与地平座标之转换, 牵涉到观测时间 formula_20 或 formula_148 或 formula_149, 观测位置(formula_150), 观测天体座标 (formula_151) 或 (formula_152 和观测者地面量测的视角及数据formula_153. 透过这些相依关系, 只要固定某些变数或进行相关测量, 就可以求得其他感兴趣的变数, 进行预测或量测. 这在天体追踪, 观测活动规划, 个人位置定位, 天文导航 (celestial navigation) 等方面, 应用极为广泛. 举例而言:
日出方程式.
天体的出没及持续时间，可以由前述formula_174中的高度角formula_4及时角formula_195的关系推导出来。其中, 时角隐藏时间(formula_196)、观测地经度(formula_21)、观测天体赤经(formula_5), 是计算与时间相关的问题时，会被检视的变数。
天体出没高度的修正因素.
天体出没时，按理说其高度角formula_199应该为formula_200。但由于不同天体视直径(formula_201)及观测地的气候条件(如大气折射效应, Refraction)或周遭地理状况之不同(如海拔及障碍物)，formula_199未必为零。
所以，计算天体(含太阳)的实体或虚像出现或隐没时，高度角一般由以下几个可选的参数决定：
其中，
曙暮光的标准并非依据客观的太阳物理数据，而是依据不同人群受日光出现之影响程度所订定的经验标准。因此有民用曙暮光 (civil twilight)、航海曙暮光 (nautical twilight) 及天文曙暮光 (astronomical twilight) 的订定。天文观测一般不愿受日光影响，所以希望太阳于地平线下 18 度以下的期间才进行观测。船只航行只要清楚看得到海天之交的弧线就可以安心航行，所以用较宽松的海平面下 12 度，作为航海曙暮光的标准。至于一般人民，只要天将亮夜未深之际进行作息即可，所以民用曙暮光的标准是更宽松的海平面下 6 度。
天体出没的时间计算.
给定出没时的天体高度角formula_199后，假设formula_225 为对应的时角，则计算日(星)出、日(星)落、曙暮光等事件的时间可摘要如下：
此处, 天体出现时的天体时角为formula_227，隐没时的时角为formula_228。由于formula_229 且 formula_230 且在 formula_231 [-180,180 或 [0,360] 的角度有两个, 即 formula_232。因此，其中一个为天体出现时的时角，另一个为隐没时的时角。
若无永昼永夜之类的极端情况，则可由formula_225分别先求出星体出没的本地恒星时，及格林威治恒星时。并以当日子夜零点的GST (formula_238) 为基准，求恒星时差异。当然也可以由两个 LST 求恒星时差异。随后将恒星时差异调为太阳时差异。必要时将以日为单位的太阳时差异，以每日24小时换算为时:分:秒，就可求出星体出没的时间。以下公式概括所有步骤：
白昼时间长短及天体可观测时间.
天体出现在地平线上的时间formula_241，即从上升到下沉所经历的时间，其实就是相当于两倍 formula_225 的时间。如果天体是指太阳的话，这就是白天的时间或日照时间。对其他天体而言，就是最长可观测的时间 (不考虑曙暮光的影响的话)。
天体出没的方位计算.
天体出没的方位角，显然只跟天体所在的赤纬平行圈及观测地纬度有关，与出没时间无关。所有赤纬相同的天体都在同一天球赤纬平行圈上，该平行圈与地平线交于相同的两点，其方位即天体出或没时的方位。给定出没时的天体高度角formula_199 及观测地纬度 formula_97，假设formula_246 及 formula_247 分别为对应的南方位角及北方位角，则该方位角可计算如下 (如果有出没状况的话)：
另外, 也可以直接由 formula_1 的公式, 求解日出日落时的北方位角,
天体导航截距法.
以上，formula_251 的公式，不只可以求解日升日落(星升星落)(即 formula_252) 的状况，也可以求一般状况下的天体高度及方位角。
这时常应用在天文航海或天体导航 (Celestial Navigation) 中的截距法 (Intercept Method)。在此法中，领航员为了确定自身的经纬度，必须计算在某个假设的地理位置 (AP, Assumed Position) 上，导航天体会被观测到的计算高度 (通常记为 formula_253, 相当于公式中的 formula_199) 及方位角 (北方位角通常记为 formula_255, 相当于公式中的 formula_247)，再与实际观测到的高度角 (通常记为 formula_257) 比较，来决定应该将 AP 往天体的地理位置 (GP, Geographic Position, 即天体在地球表面的星下点位置) 方向前进或后退若干海里，以得到航行器本身实际的经纬度。
如果观测到的高度角大于在 AP 的计算高度 (formula_258)，代表航行器比假设位置更靠近天体。这就好像面对远方导航的灯塔(天体)时，越靠近灯塔，所测量到的塔顶高度角越大。在此情况下，就应把 AP 的座标点，沿计算方位角 Zn 的方向，往天体(GP)方向推进，以推得航行器本身的位置。反之，若 formula_259，就应把 AP 的座标往 Zn 的相反方向后退，远离天体，来推得航行器本身的位置。这种直观的位置修正法则，一般简记为 HoMoTo 法则 (if HO is MOre than Hc, move AP TOward GP for a fix.)
以上所选的 AP 通常是利用其他航位推测法 (如航速及水流/风的速度) 所获得的大略位置，故与实际位置所推算的导航天体方位角及高度角不会相差太多。但透过星体导航，可以得到更精确的位置，因为星体的位置可以精密推算得到，变成所有航行器都可以参考的 '灯塔'。至于 AP 往前推进(或后退)的距离，称为截距距离 (intercept distance)，可以由 formula_260 推得。这是因为观测地与 GP 的角距离为 formula_261, 等于天体的天顶距 (ZD, Zenith Distance)。所以，观测地与 AP 的角距离为 formula_262。而 1 海里 (nautical mile, nm) 的定义为地表航行 1 分角的平均距离 (约 1.852 km)。故可换算截距距离为高度角差距乘以每一分角度一海里(或每一度60海里)。
恒星追踪仪与弹道飞弹导航.
火箭、人造卫星、弹道飞弹、太空梭、太空船也可以用明亮的恒星执行导航任务。执行此类导航的装置通常称为 (Star Tracker)，或恒星追踪器、跟星仪、星象仪、星光探测器等等。多数的恒星追踪仪内部存有已知位置的亮星赤经赤纬资料库。航行途中，追踪仪透过一个或一个以上的相机镜头或望远镜获取视野内的星空影像，并将所拍摄的影像与资料库里的亮星比对，辨识出视野内的恒星或星座。并从镜头感光器上的恒星亮点与镜头的相对角度，求出飞行器的姿态(altitude)及定位。就像人类从天空辨识到北斗七星及相对高度方位，从而了解所在位置一样。
对于固定轨道的弹道飞弹而言，则可预先计算每个预订时刻在预定位置可以观察到的亮星，及其相对于飞行路径的假想地平面的高度角及方位角。并从实际的观测值与计算值的差距，产生错误修正讯号，以修正其飞行轨迹，最终将飞弹导引至目的地。 其原理类似前述的截距法。但所有修正都由飞行电脑及导航机构自动完成。
在实际运用上，天体导航有时会与其他导航系统结合，截长补短，以提高导航的精确度。例如，恒星追踪仪可能跟惯性导航系统 (INS, Inertial Navigation System) 结合，形成所谓的星光惯性导航系统 (Stellar Inertial Navigation Systems)。
太阳的位置.
在地平坐标系统中，有好几种方法可以计算太阳的视位置。
完整和精确的计算方法可以参考比利时天文学家简米斯的天文计算（Astronomical Algorithms）
下面是一种简单的近似计算法的例子：
已知：
以下的公式可以算出太阳的赤纬：
天体的位置.
其他移动的天体，如行星、彗星、小行星、月亮、行星的卫星、人造卫星、太空船等，也可以透过解克卜勒方程式，求得它们在其轨道面的即时位置，再透过适当的座标转换，将轨道面座标转换到赤道座标，再转换到水平座标。这样就可以预测它们的方位角及高度角，再以人工或自动的方式，加以追踪。(太阳系行星位置计算及行星轨道要素
可参考 NASA 外部链结.)