主成分回归

统计学中，主成分回归（PCR）是一种基于主成分分析（PCA）的回归分析方法。更确切地说，PCR用于估计标准线性回归模型中的未知参数。
PCR不是直接将因变量与解释变量进行回归，而是将解释变量的主成分作为回归量。一般只使用所有主成分的一个子集用于回归，因此PCR是一种正则化过程，也是一种收缩估计量。
方差更高的主成分（基于解释变量样本方差-协方差矩阵对应更大特征值的特征向量）被选为回归量。不过，要预测结果，低方差的主成分可能也很重要，在某些情况下甚至更重要。
PCR的主要用途之一是克服多重共线性问题，这是说多个解释变量接近共线。PCR可在回归步骤中排除一些低方差主成分，从而恰当地处理这种情况。另外，由于通常只对所有主成分的一个子集进行回归，PCR可大幅降低基础模型的参数数，从而降维。这在使用高维协变量时尤为有用。通过适当选择用于回归的主成分，PCR还可根据假定模型有效地预测输出。
原理.
PCR法可总结为三步：
方法细节.
数据表示：令formula_4表示观测的输出，formula_5表示测得协变量对应的设计矩阵，其中formula_6、formula_7表示测得样本的大小和协变量数量。formula_8的每行formula_6表示formula_10维协变量的一组观测值，formula_11的相应项表示相应的观测结果。
数据预处理：假设formula_11及formula_8的formula_10列已经中心化，经验均值均为0。中心化这步至关重要（至少对formula_8的列而言），因为PCR将对formula_8使用的PCA on formula_8对数据是否中心化十分敏感。
基础模型：在中心化之后，对formula_8上的formula_11的标准高斯-马尔可夫线性回归模型可表为：formula_20其中formula_21表示回归系数的未知参数向量，formula_22表示随机误差向量，formula_23、formula_24则表示未知方差参数formula_25
目标：主要目标是根据数据，为参数formula_26获得有效估计量formula_27。一种常用方法是普通最小二乘法，假设formula_8的列满秩，从而有formula_29的无偏估计量：formula_30。PCR是另一种估计formula_29的方法。
PCA步骤：PCR首先要对中心化矩阵formula_8进行PCA。为此，令formula_33表示formula_8的奇异值分解，其中formula_35表示formula_8的非负奇异值，formula_37、formula_38都是正交规范集向量，列向量分别表示formula_8的左右奇异向量。
主成分：formula_40给出了formula_41的谱分解，其中formula_42表示formula_41的非负特征值（也叫做主值），formula_44的列则表示对应的特征向量的正交规范集。接着，formula_45、formula_46分别表示第formula_47个主成分与跟第formula_47大的主成分值formula_49 相对应的第formula_47个主成分方向（或PCA负载）。
衍生协变量：formula_51，记formula_52为formula_53矩阵，其正交列包含formula_44的前formula_55列。记formula_56为以前formula_55个主成分为列的formula_58矩阵。formula_59可看做是用变换后的协变量formula_60得到的设计矩阵，而非原始协变量formula_61。
PCR估计量：记formula_62表示 响应向量formula_11在设计矩阵formula_64上用普通最小二乘法得到的估计回归系数向量。那么，formula_51都有基于前formula_55个主成分的formula_29的最终PCR估计量：formula_68
PCR估计量的基本特征与应用.
两个基本性质.
得到PCR估计量的拟合过程包括将响应向量在导出设计矩阵formula_64上回归。后者formula_51都有正交列，因为主成分互相正交。因此在回归中，对作为协变量的formula_55个选定主成分联合进行多元线性回归，相当于对作为协变量的formula_55个选定主成分分别进行独立单变量线性回归。
当选择所有主成分回归（formula_73），PCR估计量便等同于普通最小二乘法估计量。因此formula_74。从formula_75和formula_44是正交矩阵的观测事实，不难看出这点。
方差降低.
formula_77，formula_78的方差由下式给出：
特别地：
因此formula_81都有：
因此formula_83都有：
其中formula_85，表明对称方阵formula_86是非负定的。于是，与普通最小二乘估计的线性形式相比，任何给定PCR估计量的线性形式都有更低的方差。
解决多重共线性问题.
多重共线性条件下，指多个协变量高度相关，因此可从其他协变量以非平凡的精度进行线性预测。因此，设计矩阵formula_8与这些协变量对应的列趋于线性相关，于是formula_8趋于秩亏，失去列满秩结构。更定量地讲，这时formula_89的较小特征值会非常接近formula_90。上述方差表达式表明，极小特征值对最小二乘估计量产生最大的方差扩大效应，因此在接近0时会严重破坏估计量的稳定性。这可以通过排除极小特征值对应的主成分得到的PCR估计，得到有效解决。
降维.
PCR也可用于降维：记formula_91为任意列正交的formula_92矩阵。假设现在我们想通过秩formula_55线性变换formula_94（formula_95）来近似每个协变量观测值formula_96，那么可以证明
在formula_98（前formula_99个主成分方向为列组成的矩阵）和formula_100（对应的formula_99维衍生协变量）时取最小值。因此formula_99维主成分提供了观测设计矩阵formula_8的秩为formula_55的最佳线性近似，对应的重建误差为
因此，可通过选择formula_55值（即要使用的主成分数），通过对formula_106的特征值累积和进行适当阈值处理，实现降维。由于较小特征值对累积和的贡献并不大，因此只要不超过所需的阈值限制，便可放弃相应的主成分。同样标准也可用于解决多重共线性问题：只要保持阈值限制，就可忽略较小特征值对应的主成分。
正则化效应.
由于PCR估计量通常只使用一部分主成分进行回归，因此可视作某种正则化。更具体地说，formula_107都可表示以下约束最小化问题的正则化解：
约束可等价写作
其中
因此，当择一部分主成分回归时，所得PCR估计量是基于硬形式的正则化，将所得解约束在选定主成分方向的列空间，因此限制其与被排除方向正交。
一类正则化估计量中PCR的最优性.
给定如上述的约束最小化问题，考虑下面的推广：
其中formula_112表示任何阶为formula_113表示对应的解，则
则约束矩阵formula_115的最优选择就是相应估计量formula_116达到最小预测误差：
其中
很明显，由此得到的最优估计量formula_119就是基于前formula_55个主成分的PCR估计量formula_121。
效率.
由于普通最小二乘估计量对formula_29无偏，所以有
其中MSE表示均方误差。现在，若对某个formula_124，我们还有formula_125，那么对应的formula_126也将是formula_127的无偏估计量，就有
我们已经知道
这就意味着对特定的formula_99有：
所以，用均方误差为标准的话，对应的formula_132是比formula_133更有效的formula_134的估计量。另外，与formula_135的相同线性形式相比，对应formula_132的任何给定线性形式的均方误差也更小。
现在假设，对给定的formula_137，那么对应的formula_126对formula_29就是有偏的。但由于
formula_141仍然是可能的，尤其是当formula_55使被排除主成分对应较小特征值时，从而导致较小的偏。
为确保PCR作为formula_143估计值的效率与性能，Park (1981) 提出了以下用于回归的主成分选择标准：当且仅当formula_144时，排除第formula_47个主成分。在实际应用中，还需要估计未知的模型参数formula_146与formula_29。总的来说，可以用从原始完整模型得到的无约束最小二乘法进行估计。Park (1981)提供了一套稍加修改的估计值，可能更适合这一目的。 
与基于formula_148特征值累积和的标准不同，上述标准可能更适合解决多重共线性问题与降维，实际上是试图让输出和协变量都参与到回归的主成分选择之中，以提高PCR估计值的预测与估计效率。其他目的相似的选择主成分方法基于交叉验证，或马洛斯CP值等。通常，主成分的选择还基于其与输出的相关程度。
PCR的收缩效应.
总的来说，PCR本质上是收缩估计量，通常保留了高方差主成分（对应formula_148的较大特征值）作为模型中的协变量，并舍弃剩余的低方差成分（对应formula_148的较小特征值）。这就对低方差成分产生了分离收缩，清除了其在原始模型中的贡献。相对地，岭回归估计量则通过其构造中固有的正则化参数，产生平滑收缩。虽然它不会舍弃任何一个成分，但会以连续的方式对所有成分产生收缩效应，因此低方差成分的收缩程度高于高方差成分。Frank & Friedman (1993)认为，就预测本身而言，与具有离散收缩效应的PCR估计量相比，岭估计量具有平滑收缩效应，可能是更好的选择。
此外，主成分是从formula_8的特征分解中得到的，只涉及解释变量的观测值。因此，以这些主成分为协变量得到的PCR估计量不一定具有令人满意的预测性能。偏最小二乘回归（PLS）估计量与之比较相似，试图通过自身的构造解决这问题。PLS也用低维的衍生协变量，但是在输出和协变量中获得的。PCR在协变量空间中寻找高方差方向，而PLS则寻找对预测结果最有用的方向。
2006年，有人提出了经典PCR的一种变体，即监督PCR。这种方法的精神与PLS类似，试图根据结果和协变量标准，获得低维衍生协变量。首先进行简单线性回归（单变量回归），其中结果向量分别对formula_10个协变量逐一回归。然后，对某个formula_153，选择与结果最相关的formula_154个协变量（基于对应估计回归系数的显著程度）供进一步使用。然后进行上述传统PCR，但只基于与选定协变量观测值对应的formula_155设计矩阵。使用的协变量数：formula_153及随后使用的主成分数：formula_157一般通过交叉验证选择。
核设置的推广.
上述经典PCR法基于经典PCA，并考虑了根据协变量的线性回归结果预测模型。这方法可以很容易地推广到核机设置，即回归函数不一定是协变量的线性函数，而可以属于与任意（可以非线性）对称正定核有关的再⽣核希尔伯特空间。核函数选为线性核时便有线性回归模型，是这种设置的特例。
总的来说，在核机设置下，协变量向量首先被映射到所选核函数的高维（可能是无限维）特征空间中。这样得到的映射叫做特征映射，每个坐标（也叫做特征元）对应协变量的一个特征（无所谓线性与否）。然后，假设回归函数是这些特征元的线性组合，则核机设置依赖的回归模型本质上是线性的，但前提是预测量不再是原始协变量集，而由特征映射所得协变量的特征元的向量（可能是无限维）给出。
但核技巧实际上可以让我们在特征空间中操作，而无需明确计算特征映射。事实证明，只需计算观测协变量向量的特征映射之间的逐对内积即可，是由在相应协变量向量对上估值的核函数值简单给出的。因此，得到的逐对内积可用formula_158对称非负定矩阵（也称为核矩阵）表示。
核机设置中的PCR现在可用以下方式实现：首先将核矩阵（如K）相对于特征空间适当中心化，再对中心化核矩阵（如K'）进行核主成分分析，得到K'的特征分解。然后，核PCR（通常）会从获得的所有特征向量中（一般通过交叉验证）选择一子集，在其上进行结果向量的标准线性回归。估计的回归系数（维度与选定特征向量数相同）与响应所选特征向量一起用于预测未来的观测结果。机器学习中，这技巧也被称为“谱回归”。
显然，核PCR对K'的特征向量具有离散收缩，与前面讨论过的经典PCR对主成分的离散收缩十分相似。然而，与核相关的特征映射可能是无限维的，因此相应的主成分及其方向也可能是无限维的。所以，在核机设置下，这些量实际上往往难以处理。核PCR基本上是基于相关核矩阵的谱分解，以考虑等效的对偶表述，来解决这一问题。在线性回归模型下（对应于选择核函数为线性核），这相当于考虑对应的formula_158核矩阵formula_160的谱分解，然后将结果向量回归到得到的formula_160的选定特征向量子集上。很容易看出，这等同于将结果向量回归到相应主成分上（这时是有限维），正如经典PCR定义的那样。因此，对线性核，基于对偶表示的核PCR完全等同于基于原始公式的经典PCR。然而，对任意（可能非线性）核，由于相关特征映射可能的无限维，这种原始公式可能会变得难以处理。因此，这时经典PCR实际上不可行，但基于对偶表示的核PCR仍有效，且在计算上可推广。