最大流最小割定理

最大流最小割定理是最优化理论的定理。根据该定理，在一个网络流中，从源点到汇点的最大的流量，等于它的最小割中每一条边的容量之和。“割”指的是一种边的集合，如果移除这个集合的全部边，就会断开源点和汇点的连接。
最大流最小割定理是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导门格尔定理和König–Egerváry定理。
定义.
最大流和最小割定理是图论的一部分，因此为了准确定义，我们需要先定义图、流、割，然后再定义这个定理。
图.
设 formula_1 为一个有向图，其中有一个起源点 formula_2 和一个超汇点 formula_3，代表 formula_2 是所有流的源头，formula_3 是所有流的终点。这个图的每一条边都有一个容量 ，记做 formula_6 或者 formula_7，代表着能通过边 formula_8 的最大流量。
最大流.
定义： 流量代表一种映射 formula_9，记做formula_10 或者 formula_11，代表通过边 formula_8 的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：
规定在一个图中，流的值是
也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。
最大流问题：计算formula_16的最大值，即从formula_2到formula_3的最大流量。
最小割.
定义： s-t割 formula_19 将图 formula_20 完全划分为两部分，使得 formula_21 也就是一侧有源，一侧有汇。formula_22 的割集 formula_23 是 formula_24 也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那么它包含在 formula_23 里。因此如果 formula_22 的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，则 formula_27。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。
规定在一个图中，s-t割的容量是
通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。
最小 s-t 割问题： 计算 formula_33 的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。
主定理.
可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。
线性规划公式.
最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划对偶问题。
最大流的线性规划公式是容易理解的，对于最小割的线性规划公式的理解如下：
最小化目标是使在割中的边最小。
下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。
需要注意的是，这是一个最小化问题，我们不需要确保一条边不在割里，我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。
注意到在给定的 s-t 割 formula_43 中，如果 formula_44 那么 formula_45 并且 0 反之。 所以 formula_46 应该等于 1 并且 formula_47 应该等于0。由线性规划中的强对偶定理推得最大流最小割问题中的等式，也就是说如果原问题有一个最优解 "x"*，则对应问题也有一个最优解 "y"* ，并且两个解相等。
举例.
上图是一个网络，上有流量为 7 的流。令 S 集合和 T 集合分别包含所有白色和灰色的点， 从而形成了一个割集包含图中虚线的 s-t 割，并且其容量为 7，与流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流与 s-t 割皆达到流量及容量的极值。
应用.
广义最大流最小割定理.
额外规定映射 formula_48为点的容量，记做 c(v)，使得一个流 f 不只要满足边的流量限制与流量守恒，还要满足点的流量限制，即
换句话说，流过 v 点的总流量不能超过 v 的容量 c(v)。一个 "s-t 割" 的定义为一个包含一些点和边的集合，满足与任一条由 s 到 t 的路径皆不互斥。并且 s-t 割的"容量" 定义成所有点和边的容量总和。
在此定义之下，广义最大流最小割定理的叙仍为流量的最大值等于所有 s-t 割的容量最小值。
门格尔定理.
不共边路径问题为给定无向图 formula_1 及两顶点 s、t，求从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值。
门格尔定理的叙述为从 s 到 t 彼此没有共同边的路径数量的最大值等于在所有 G 的 s-t 割(以原本的定义)中，顶点分别在不同集合的边数的最小值。
计划选择问题.
计划选择问题叙述如下：当下有 n 个计划 formula_51可以被实施、m 种设备 formula_52 可以被购买，要执行计划必须拥有该计划要求的设备，执行计划 formula_53可获得 formula_54 的收益，但购买设备 formula_55 要支付 formula_56 的费用。如何选择执行计划并购买所需设备以获得净利的最大值？
设 P 为不被执行的计划的集合，Q 为所购买的设备，则问题变成求最大值
注意到 formula_58与 P、Q 的选择无关，故只需求后两项和的最小值，即
现在考虑一个网络，起源点 s 连接到 n 个点 formula_51，边的容量分别为 formula_54，超汇点 t 连接到 m 个点 formula_52，边的容量分别为 formula_56，若执行任务 formula_53需购买设备 formula_55 ，则在 formula_53、formula_55 之间连上一条容量为无限大的边，若不需购买设备，则不连上边。则 formula_68 对应到一个 s-t 割的容量，其中的两个集合是要执行的计划与要购买的设备和它的余集，也就是
在此，formula_70，formula_71。于是，原问题转成求该图的最大流问题，并且可以借由各种算法求得其极值。
以下给出一个计划选择问题的例子，右图是该问题对应到的网络。
该网络的最小 s-t 割是选择计划 、 与设备 、，容量为 250。三个计划的总收益是 450，因此最大净利为 450 − 250 = 200。
以上解法可以理解为将计划所给予的收益流过所需设备，如果无法流满设备至 t 的边，代表执行计划不合成本，最小割将选择穿过 s 到计划的边而非穿过设备到 t 的边。
影像分割问题.
设原图有 n 像素，想要把该图分割为前景和背景，并且将 i 像素归类为前景有效益 ，归类为背景有效益 ，但是若 i、j 像素相邻且被归类为不同块，则会减少 的效益。求将该图分割为前后景的最有效益方法。
令 P 为前景的集合，Q 为背景的集合，于是问题转化成求最大值
因为 、 的总合是与 P、Q的选取无关，因此等价于求以下最小值
以上的最小值问题可以被描述为一个网络的最小割问题，其中该网络如右图，以橘点为起源点；紫点为超汇点。各个像素被描述为网络的顶点，起源点至第 i 个像素连上一条容量为 的有向边；第 i 个像素至超汇点连上一条容量为 的有向边。相邻的像素 i、j 之间连上来回两条容量为 的有向边。则一个 s-t 割代表一种将部分像素归类为前景 P、其余归类为背景 Q 的安排。
历史.
最大流最小割问题最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 证明， 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理。
证明.
同之前的设定， 是一个网络(有向图) ，s 点和 t 点分别为 G 的起源点和超汇点。
将所有流考虑成一个欧式空间的有界闭子集，满足流量限制与流量守恒，而流量是一个连续函数，因此有极大值 |f| 。
设 f 达到最大流，令 是 f 的残留网络，定义
换句话说，v∈A 若且唯若 s 可以流出更多流量到 v。
我们宣称 formula_74，其中该 s-t 割的容量定义为 
由于 formula_16 的大小等于所有流出集合 "A" 的流量总和减所有流入集合 "A" 的流量总和，故 formula_77，并且等号成立若且唯若
我们用反证法分别证明以上两点：
于是，声称得证。
由于流量恒不超过容量，|f| 是容量的下界，所以 formula_82 是容量的最小值，由声称知，最大流最小割定理得证。