C*-代数

泛函分析中，C*-代数（或读作“C星代数”）是配备了满足伴随性质的对合的巴拿赫代数。典型例子是满足以下两个性质的复希尔伯特空间上连续线性算子的复代数"A"：
另一类非常重要的C*-代数包括"X"上的复值连续函数代数formula_1，其中"X"是局部紧豪斯多夫空间。
一般认为C*-代数主要是应用在量子力学中可观察量的模型代数中。这方面的研究始于1933年左右维尔纳·海森堡创立的矩阵力学以及帕斯库尔·约当研究的更接近数学的形式。之后冯·诺依曼在他的一系列关于算子环的论文中尝试建立更广泛的架构。这些论文可看做是一类特殊的C*-代数，现在称为冯诺依曼代数。
1943年前后，伊斯拉埃尔·盖尔范德和马克·奈马克对C*-代数建立了不依赖于希尔伯特空间算子的抽象刻画。
在当代数学研究中，C*-代数是局部紧群的酉表示理论的重要工具，在量子力学的代数架构中也有应用。另一个活跃的研究领域是对可分单核C*-代数的分类以及确定分类的详细可能性。
抽象刻画.
此处给出盖尔范德和奈马克1943年给出的定义。
C*-代数"A"是复数域上的巴拿赫代数以及映射formula_2的组合。"A"中元素"x"关于映射* 的像记作"x"*。映射拥有下列性质
备注 前四条等式表示"A"是*-代数。最后一条叫做C*恒等式，等价于
formula_13
有时也称作B*-恒等式。这是很强的约束，举例来说，结合谱半径公式可以推出C*–范数由以下代数结构唯一确定：
给定的从C*-代数"A"到"B"的有界线性算子 formula_16被称为*-同态，如果
在C*-代数的情形中，任何*-同态都是压缩，即范数 ≤ 1而有界。此外，C*-代数之间的单射*-同态都等距。这些都来自C*恒等式。
双射*-同态"π"称作C*-同构，其中称"A"、"B'同构。
历史：B*-代数与C*-代数.
B*-代数由C. E. Rickart于1946年引入，用于描述满足以下条件的巴拿赫*-代数：
这条件意味着*-对合等距，即formula_22。于是，formula_23，B*-代数也是C*-代数。反过来看，C*-条件能推出B*-条件。这不是平凡的，但无需用formula_24即可证明。于是，B*-代数在目前术语已很少使用，取而代之是C*-代数。
C*-代数由I. E. Segal于1947年引入，用于描述formula_25的在范数拓扑下闭的子代数，即某希尔伯特空间"H"上有界算子的空间。C代表封闭（Closed）。Segal在论文中将C*-代数定义为“希尔伯特空间上有界算子的一致闭自伴代数”。
C*-代数的结构.
C*-代数有大量技术上很方便的性质，其中一些可通过连续泛函微积分或还原为交换C*-代数来建立。后者时，我们可以利用其结构由盖尔范德同构决定这一事实。
自伴元.
自伴元是满足formula_26的元素。形式为formula_27的C*-代数"A"的元素集形成闭凸锥，与formula_28形式元素相同。锥的元素被称作非负元（或正元素，与ℝ中元素的术语相冲突）。
C*-代数"A"的自伴元集自然具有偏序向量空间结构，通常用formula_29表示。其中，自伴元素formula_30，当且仅当"x"的谱非负，当且仅当formula_31，有formula_32，能满足formula_33。两自伴元formula_34若满足formula_35，则formula_36。
这个偏序子空间允许在C*-代数上定义正线性泛函，进而定义C*-代数的态，进而利用GNS构造，构造C*-代数的谱。
商与近似单位.
C*-代数"A"都有近似单位。"A"有自伴元有向族formula_37使得
运用近似单位，可证明C*-代数对具有自然范数的闭紧合双侧理想的代数商仍是C*-代数。
同样，C*-代数的闭双侧理想也是C*-代数。
谱.
C*-代数"A"的谱记作formula_41，是"A"的不可还原*-表示。"A"在希尔伯特空间"H"上的*-表示formula_42，当且仅当"H"与formula_43之外没有闭子集"K"（即非平凡闭子集）能在formula_44下不变时，称formula_42是不可还原的。我们隐式地假定，不可还原表示指非空的不可还原表示，从而排除了1维空间上的平凡表示（恒为0）。如下所述，谱formula_41自然也是拓扑空间，这与环的谱类似。
这概念最重要的应用之一是为局部紧群提供对偶对象的概念。这种对偶对象适用于为I型幺模可分局部紧群应用傅里叶变换和普朗歇尔定理，以及为I型可分局部紧群的任意表示提出分解定理。然而由此产生的局部紧群对偶理论比紧拓扑群的淡中–克莱因对偶性或局部紧阿贝尔群的庞特里亚金对偶性更弱，后两者都是完全不变量。由于任何有限维全矩阵代数formula_47的对偶都由一个点组成，因此对偶不是完全不变量也就不难理解了。
主谱.
formula_41的拓扑可有多种等价的定义方式。首先用主谱定义。
"A"的主谱是"A"的主理想集formula_49，主理想指非零不可还原*-表示的核。主理想集是具有壳-核拓扑（hull-kernel topology，或雅各布森拓扑）的拓扑空间，定义如下：若"X"是主理想集，其壳-核闭包是
很容易证明壳-核闭包是一种幂等运算，即
可以证明其满足库拉托夫斯基闭包公理，因此可以证明formula_49上有唯一的拓扑formula_53，使得关于formula_53的集合"X"的闭包与"X"的壳-核闭包完全相同。
由于幺正等价表示具有相同的核，所以映射formula_55通过满射
分解。我们用"k"来定义formula_41的拓扑：
定义. formula_41的开集是formula_49的开子集"U"的逆像formula_60。这便是拓扑。
壳-核拓扑是交换环的扎里斯基拓扑在非交换环上的类似物。壳-核拓扑诱导的formula_41上的拓扑还可用'A"的态描述。
例子.
交换C*-代数.
交换C*-代数"A"的谱与"A"的盖尔范德对偶（注意不要与巴拿赫空间"A"的对偶"A'"混淆）重合。具体来说，设"X"是紧豪斯多夫空间，则有自然同胚
此映射的定义是
其中formula_64是formula_65中的闭最大理想，也是主理想。对交换C*-代数，
有界算子的C*-代数.
令"H"维可分无穷维希尔伯特空间。formula_67有两个对范封闭的*-理想：formula_68与紧算子的formula_69。因此作为集合，formula_70。现在
因此formula_72是非豪斯多夫空间。
另一方面，formula_67的谱要大得多。有很多核为formula_77或formula_43的不等价不可还原表示。
有限维C*-代数.
设"A" 是有限维C*-代数。已知"A"同构于全矩阵代数的有限直和：
其中formula_80是"A"的最小中心投影。"A"的谱与formula_80在离散拓扑上规范同构。对有限维C*-代数，也有同构
谱的其他特征.
壳-核拓扑很容易抽象表述，但实际上，对与局部紧拓扑群相关联的C*-代数，需要用正定函数描述谱上拓扑的其他特征。实际上，formula_41上的拓扑与表示的弱包含密切相关，如下：
第二个条件意味着formula_42弱包含于"S"中。
GNS构造将C*-代数"A"的态与"A"的表示相关联。据与GNS构造相关的基本定理之一，对态"f"，当且仅当相关表示formula_92不可约，"f"才是纯的。此外，由formula_93定义的映射formula_94是满射。
根据前面的定理，很容易证明下面的内容：
formula_96空间.
formula_41上的拓扑还有一种描述，即将表示空间视作具有具有适当点收敛拓扑的拓扑空间。详细点说，令"n"是基数，令formula_98是"n"维规范希尔伯特空间。
formula_96是"A"在formula_98中的不可约*-表示空间，具有点弱拓扑。就网的收敛性而言，此拓扑的定义是formula_101；当且仅当
事实证明，formula_96上的这种拓扑，结构与点强拓扑相同，即当且仅当
有formula_101。
备注. 将不同的formula_106拼凑在一起可能相当复杂。
麦基–博雷尔结构.
formula_41是拓扑空间，因此也可视作博雷尔空间。乔治·麦基（G. Mackey）提出了一个著名猜想：当且仅当博雷尔空间是标准的，即（在博雷尔空间范畴中）与完全可分度量空间的底博雷尔空间同构时，称可分局部紧群是I型的。麦基称具有这一性质的博雷尔空间为光滑空间。詹姆斯·格利姆在1961年证明了此猜想。
定义. 可分C*-代数"A"的非退化*-表示formula_42，当且仅当formula_114生成的冯诺依曼代数中心是1维时，称其是因子表示（factor representation）。当且仅当C*-代数"A"的任意可分因子表示是不可还原因子表示的有限倍或可数倍时，称其属于I型。
formula_115为I型的可分局部紧群"G"的例子如连通（实）幂零李群和连通实半单李群。因此，海森堡群都是I型的。紧群和阿贝尔群也都是I型的。
这个结果对可分I型C*-代数及相应的可分I型局部紧群的表示结构进行了意义深远的概括。
代数主谱.
由于C*-代数"A"是环，所以也可考虑"A"的主理想集。对一个环，当且仅当理想是单模的零化子时，此理想才是主理想。对C*-代数"A"，当且仅当一个理想是上述定义意义上的主理想时，它才是代数上的主理想。
若"G"是局部紧群，则"G"的群C*-代数formula_117的对偶空间上的拓扑称作费尔拓扑，得名于J. M. G. Fell。
例子.
有限维C*-代数.
formula_118上"n"阶方阵的代数formula_119，若将方阵看做欧氏空间formula_120上的算子，并在方阵上使用算子范数||·||，则formula_119就变成了C*-代数；对合由共轭转置给出。更一般地，可以考虑矩阵代数的有限直和。事实上，所有作为向量空间有限维的C*-代数在同构的意义上都是这种形式。自伴要求意味着有限维C*-代数是半单代数，由此可推出下面的阿廷-韦德伯恩定理：
定理 有限维C*-代数"A"规范地同构于有限直和
其中min "A"是"A"的最小非零自伴中心投影集。
C*-代数"Ae"与全矩阵代数formula_123同构（非规范）。<math>\