零知识证明

密码学中，零知识证明（zero-knowledge proof）或零知识协议（zero-knowledge protocol）是一方（证明者）向另一方（检验者）证明某命题的方法，特点是过程中除「该命题为真」之事外，不泄露任何资讯。因此，可理解成「零泄密证明」。例如，欲向人证明自己拥有某情报，则直接公开该情报即可，但如此则会将该细节亦一并泄露；零知识证明的精粹在于，如何证明自己拥有该情报而不必透露情报内容。这也是零知识证明的难点。
若该命题的证明，需要知悉某秘密方能作出，则检验者单凭目睹证明，而未获悉该秘密，仍无法向第三方证明该命题（即单单转述不足以证明）。待证的命题中，必定包含证明者宣称自己知道该秘密，但过程中不能传达该秘密本身。否则，协议完结时，已给予检验者有关命题的额外的资讯。此类「知识的零知识证明」是零知识证明的特例，其中待证命题仅有「证明者知道某事」。
交互式零知识证明中，需要各方互动，靠通讯过程证明某方具备某知识，而另一方检验该证明是否成立。
也有某种，但证明之所以成立，依赖计算假设（典型假设是理想的密码杂凑函数）。
生活范例.
以下有一个熟知的故事，总结零知识证明的若干重要概念。故事最早由及同事发表于。设有小静（证明者）和阿严（验证者）两人。
故事中，小静发现洞穴中某扇魔法门的开门暗号。洞穴呈环形，入口在一侧，对侧则有魔法门隔断。阿严想知小静是否已知该暗号，但小静很注重隐私，不希望泄露暗号予阿严，也不想全世界知道她有暗号之事。
两人分别将入口左右两条通道标示为A路、B路。首先，阿严在洞口外，待小静进入洞内。小静自行选择行A路或B路，但阿严不准窥视小静所选为何。然后，阿严行入洞穴，均匀随机喊出A路或B路，表明希望小静由该方向返回。假若小静确实知道暗号，则很易达成，因为即使起初所选不是同一条路，她也可以开门通过，从另一条路返回。
然而，若她其实不知道暗号，则祗有一半概率能从阿严所选的方向返回，因为阿严随机选A路和B路，恰有一半机会选中起初小静进入的方向。若两人重复以上过程，比如连续20次，则小静靠运气全部碰巧从正确方向返回的概率极小，为220分之1。
所以，若小静连续多次从阿严所选的方向返回，则阿严可以推断，小静很可能知道暗号。
以下考虑第三方的观点。即使假设阿严佩戴隐蔽的镜头，录影所见的整个过程，镜头所见亦只有阿严喊「A！」小静从A路返回；或阿严喊「B！」小静从B路返回。此种片段极易由两人共谋伪造（祗需小静与阿严事前商讨多次验证中阿严将选该串A、B的次序），从而对第三方而言，不具说服力，即阿严无法借此向第三方证明小静知道暗号。事实上，即使录影换成现场在阿严身旁监视亦同，因为两人可能一早已协调彩排好。
但是，若阿严在镜头前掷硬币，然后按该硬币喊A或B，则协议不再零知识。该段录影可能足以说服第三方，两人无法伪造，因为阿严难以准确掷出预定的AB次序。于是，虽然证明过程没有泄露暗号予阿严，但是阿严可借此说服世人，证明小静知道暗号，与小静起初的意欲完全相反。不过，数码的密码学中，「掷硬币」以伪随机数生成器实作，类似于一枚结果已预定好的硬币，但该结果（由其决定）仅有硬币主人知道。若阿严的硬币实际是以此法运作，则协议又回复为零知识协议，因为两人又有可能共同伪造「实验」结果，所以使用伪随机数生成器与掷真硬币不同，前者不会向世人泄露小静知道暗号。
还有另一种做法，小静以独一次实验已可向阿严证明自己知道暗号，而不泄漏。方法是，两人一同走入洞口，然后阿严目送小静沿A路走，没有原路折返，但从B路返回。如此，小静必然已向阿严证明自己知道暗号，而没有告知阿严暗号。不过此种证明亦非零知识：若第三方观察到过程，或阿严有录影，则该证明对第三方具说服力。换言之，小静无法宣称自己与阿严串通，所以无法向第三方说该证明无效。如此，小静无法控制何人得知她拥有暗号之事。
定义.
零知识证明要具备下列三种性质：
前两种性质，更广义的交互式证明系统亦应具备。第三种性质使该交互证明称为零知识。
零知识证明不算数学证明，因为尚允许有很少（但非零）概率，令作弊证明者能向验证者「证明」假命题。该概率称为可靠度误差（soundness error）。换言之，零知识证明是概率「证明」，而非决定性。不过，也有技巧将可靠度误差压到忽略不计。
零知识的严格定义，需要抽象计算模型，如常见的图灵机。设formula_1、formula_2、formula_3为三部图灵机。某语言formula_4的交互式证明系统formula_5为零知识，意思是对任意概率多项式时间（PPT）验证者formula_6，皆有PPT模拟器formula_3使得：
其中formula_9是formula_10与formula_11间交互的全记录。证明者formula_1通常假设具无限计算能力（实践上，常为机率图灵机）。直观理解，某交互证明系formula_5为零知识，即对任意验证者formula_6，皆存在某高效模拟器formula_3（视乎formula_16而定），给定任何输入，可以重现formula_1与formula_6间的对话。定义中的辅助串formula_19，是用作放置任何「前备知识」（包括预知formula_16运行时掷得的硬币结果）。定义推出，formula_6不能利用预知串formula_19从与formula_1的对话中发掘出资讯，因为若给予formula_3该串，则也同样可以重现formula_6与formula_1间的对话。
以上为完美零知识的定义。若将定义中，验证者formula_6的视角（view）与模拟相等之要求，改为仅要求，则得到计算零知识的定义。
计算范例.
离散对数.
前段概念适用于较实际的密码学场景。设小静欲向阿严证明，自己知道某群某指定元素的离散对数。
例如，给定数formula_28、质数formula_29、生成元formula_30，小静希望证明自己知道某数formula_31使formula_32，而不泄漏formula_31。事实上，知晓formula_31之事，本身可用作身份证明，即小静可借此证明该formula_28值是由她先暗中选某随机值formula_31，再计算formula_37，公诸所有潜在的验证者。如此，若某人证明自己知道formula_31，则相当于证明自己即小静，因为学者相信离散对数很难计算，即其他人无法从formula_28倒推出formula_31值。
证明协议如下：每轮，小静预备随机数formula_41，计算formula_42，将该值传予阿严。收到formula_43后，阿严随机请求下列两者之一：小静公开formula_41值，或formula_45值。单独看任何一个值，其分布皆是均匀随机，所以协议每轮皆不泄露任何机密。
阿严可以验证所得回应。若问formula_41，则可以计算formula_47，检查是否等于formula_43。若问formula_45，则可以计算formula_50，而该值应当等于formula_51，所以亦验证formula_43值是否满足该条件。若小静确实知道formula_31值，理应很易回答阿严的任一条问题。
若小静预知阿严采用何种盘问，则很易作弊，在不知formula_31的情况下，向阿严假装自己知道formula_31：若她知道阿严将要问formula_41，则如常继续，选formula_41，计算formula_42，告知阿严formula_43值；她可以答出formula_41值。另一方面，若她知道阿严将问formula_45，则取随机一个formula_62值，计算formula_63，然后发送formula_64值予阿严（阿严会以为该值为formula_43值）。当阿严要求公开formula_45值时，小静公开formula_62，但这足以让阿严验证结果，因为他计算的值实为formula_68，是等于formula_69，因为formula_64正是小静一早乘上formula_28的逆元而计出。
然而，若有某轮验证中，阿严的问题与小静预估的有出入，则小静无法计算出要答的结果（假定该群的离散对数问题难解）。若她拣选formula_41并公开formula_42，则无法作弊给出服众的formula_45值来通过阿严的检查，因为不知道formula_31。又若她拣选formula_62值，伪装成formula_45，则要回答公开值的离散对数，但她无法回答，因为该值是由已知值乘出，而非某已知值以formula_30为底的幂，所以她不能计出其离散对数
所以，作弊的证明者仅得formula_79概率通过某轮验证。重复足够多轮，成功作弊的概率可压到任意小。
撮要.
小静要证知道formula_31值（如其密码）。
formula_92之值，可视为formula_93的加密。若formula_41确为随机，在formula_95至formula_96间均匀分布，则formula_88也同样均匀分布，所以不会泄漏任何关于formula_31的资讯（见一次性密码本）。
大图的哈密顿环.
下列方案是曼纽尔·布卢姆提出。
此场境中，小静知道某大图formula_99的哈密顿环。阿严知道formula_99但不知该环（比如说小静将该图列印给阿严）。一般相信，找大图的哈密顿环，在计算上并不可行，因为相应的决定问题已证为NP完全。小静欲证自己知道该环，但不想泄漏出去，原因可能是阿严打算向小静买，但付款前希望先验证小静知道；也可能是全世界只得小静知道该环，所以小静向阿严证明此事，是为向阿严核实自己身份。
小静为证明自己知道哈密顿环，与阿严作若干轮验证。每轮中：
秘诺一步必须使阿严在第二种情况能验证该环确实由formula_101的边构成。一种做法是，逐条边分别秘诺。
完备.
若小静确知formula_99中的哈密顿环，则阿严询问同构时，她很易回答（该同构为她所选），而阿严问formula_101中的哈密顿环时，她同样很易回答（formula_99有哈密顿环，formula_99与formula_101间的同构为所她选，所以可以找到formula_101中对应的环）。
健全.
若小静不知哈密顿环，则衹能预先猜测阿严会问何种问题，相应准备某个与formula_99同构的图，或另一个不相关的哈密顿图。然而，因为她不知formula_99的哈密顿环，所以无法同时做两件事。于是，若以上验证重复formula_131次，则小静蒙混过关的概率仅得formula_132，从而实际意义上，衹需合理多轮验证，已使造假者寸步难行。
零知识.
小静的回答不泄漏原图formula_99的哈密顿环，因为每一轮，阿严衹会得悉formula_101与formula_99的同构，或是formula_101的哈密顿环，两者之一，但他需要对同一个formula_101同时得知两者，才能构造出formula_99中的哈密顿环。如此，衹要小静每轮预备一幅不同的图formula_101，就能保密。若小静不知formula_99的哈密顿环，但不知为何已事前得知阿严每轮会问的问题，则她可以作弊。例如，若小静预知阿严该轮会问formula_101的哈密顿图，则大可以秘诺一幅与formula_99无关的哈密顿图。与之类似，若小静预知阿严会问同构表，则她可以随便预备一幅与formula_99同构的图formula_101（其中她不知道任何哈密顿图）。阿严根本无需小静在场，亦可独自想像出自己将见的场面，因为他清楚自己将会问甚么，将见的仅是一个环（而不显示图的其他部分）或一幅与formula_99同构的图，即阿严可以自行模拟该协议。因此，阿严从每一轮验证揭露之事，无法得到任何关于formula_99哈密顿环的资讯。
零知识条件的变式.
「零知识」的定义有若干变形，分别在于如何严谨定义模拟结果「看似」真实的交互记录：
应用.
身份验证.
零知识证明的研究，是受身份验证系统启发。验证时，一方要向另一方证明自己身份，通常藉赖证明自己持有某种袐密（如通行密码），但不希望对方知悉该袐密，称为零知识。不过，通行密码一般不是太短，就是不够随机，不能用于许多零知识知识证明方案。就是有考量密码长度限制的一类零知识知识证明。
2015年4月，Sigma协议（「其中之一」证明，one-out-of-many proofs）面世。2021年8月，美国网络基建、安全公司Cloudflare采用该种证明机制，以为私人网络提供验证服务。
道德行为.
密码学协议之中使用零知识证明，可以在不退让隐私的情况下，确保各方诚实。粗略言之，方法是迫用户零知识地证明，其所作所为是依足协议。由健全性，用户必先确实跟从协议，才能服众。又由于证明是零知识，此过程并无犠牲用户的隐私。
核裁军.
2016年，普林斯顿电浆物理实际室与普林斯顿大学展示一个技巧，或许适用于未来的核裁军谈判。其特点是，无需揭露某物件内部的机密构造，亦可允许督查员判断该物件是否核武器。
区块链.
零知识证明用于与大零币协议中，最终于2016年发展成（2020年改称）和大零币两种加密货币。小零币内置有混币模型，以确保匿名，且该模型无需信任任何对等用户或中央集权混币者。用户可以用另一种基准币交易，也可以将该币卖出买入小零币。大零币协议的模型也类似（该变式称为），而且可以掩盖交易额，但小零币则不能。大零币的交易数据如此隐密，所以与小零币相比，较不易受到隐私。不过，此层额外隐私，可能导致不能追踪假币，倘因此造成大零币供给的超通涨，可能无法侦测到。
2018年，防弹证明（bulletproofs）面世。其改进自非交互式零知识证明，不再需要可信的安装环境。其后，实作成「结舌」协议（Mimblewimble protocol，Grin和Beam两种加密币皆出自该协议）和门罗币。2019年，飞熔币实作，是对应小零币协议无可信环境的改进。同年，飞熔币引入莱兰托斯协议（Lelantus protocol），更自Sigma协议改进，隐去交易的源头与金额。
沿革.
零知识证明最早由莎菲·戈德瓦塞尔、希尔维奥·米卡利、三人于1985年发表，论文题为。该论文引入交互式证明系统的，并构想出「知识复杂度」概念，衡量证明过程中，由证明者传递予验证者的知识量。三人亦给出首个具体问题的零知识证明，即零知识地证明某数不是模 "m" 的二次剩余。连同与的另一篇论文，戈-米-拉三氏的论文发明了交互式证明系统。为此，五人同获1993年首届哥德尔奖。
引述戈-米-拉三氏：
该额外知识基本为0的情况尤其值得关注。我等证明，可以交互地证明某数非模 "m" 的二次剩余，而释出零额外知识。其出奇之处是，若不给定 "m" 的分解，则无高效算法判别某数是否模 "m" 的二次剩余。更甚者，任何已知的NP证明皆要表明 "m" 的质因数分解。这就表明，在证明过程中添加互动，可能减少证明某定理所必须交流的知识。
二次非剩余问题既有NP算法又有反NP算法，故位处NP与反NP两类之交集中。其后找到有零知识证明的若干个问题，亦具同样的性质，例如未经正式出版的证明系统，可以验证某数（为两个未知质数之积）不是，即并非两个模4余3的质数之积。
、希尔维奥·米卡利、阿维·威格森更进一步证明，假定存在无懈可击的加密法，则可以造出三色图着色问题的零知识证明系统，而该问题本身为NP完全。又因为每个NP问题都可以高效化归成该NP完全问题，所以在前述假定下，所有NP问题皆有零知识证明。需要该假定的原因是，正如前节范例，需要有秘诺的手段。若存在单向函数，则的确有牢不可破的加密法。此为广泛引用的充分条件。另外也可能有物理方法实作。
更上一层楼，他们亦证明，，即之，有零知识证明。该问题已知属于反NP，但未知是否属于NP或其他实际可行的复杂度类。更一般地，、二人，与米高·本-奥尔（Michael Ben-Or）及同事，两组证明：同样假设存在单向函数或牢不可破的加密，则任何属于IP（已证等于PSPACE）的问题，皆有零知识证明。换言之，任何命题若可藉交互系统证明，则可零知识证明。
许多理论家不希望假设不必要的条件，所以试图在不假定单向函数的条件之下，证明同样的结论。有种做法称为「多证明者交互式证明系统」（见交互式证明系统），即有多个独立的证明者，而非仅得一个。验证者可以将证明者逐个孤立，然后诘问，以免被作弊证明者误导。无需任何难解假设，已可证明在此系统中，任何NP问题皆有零知识证明。
后来发现，互联网等同时执行多个协议的环境中，较难构造零知识证明。研究并行零知识证明的先驱是、、。此类研究之中，重要成果有协议。与零知识相比，其性质较弱：可能有多种证据供证明者选择采用何者作证，此时仅要求验证者无法分辨证明者选择为何，但证明者可以泄漏部分资讯，如全体证据组成的集合。尽管失去零知识性质，但此类协议的好处是，并行时不会遇到此前提及的问题。
变式尚有。曼纽尔·布卢姆、保罗·费尔德曼（Paul Feldman）、米卡利证明，若证明者与验证者共有一条随机字串，则可以达成计算零知识，而毋须交互。