质数间隙

质数间隙是指两个相邻质数间的差值。第"n"个质数间隙，标记为"g""n" 或"g"("p""n")，指第"n"个质数和第"n"+1个质数间的差值，即
可知，"g"1 = 1、"g"2 = "g"3 = 2，以及"g"4 = 4。由质数间隙组成的数列("g""n") 已被广泛地研究，但仍有许多问题及猜想尚未获得解答。
前30个质数间隙为：
由"g"n 的定义，可得"g"n 及第"n"+1个质数的关系式如下：
张益唐在2013年证明：存在有无限多对质数，其间隙小于七千万；之后于同年十一月，詹姆斯·梅纳德用精进版的GPY筛法将间隙改进至600，而由陶哲轩发起的Polymath计划将这数字降到246。
简单观察.
第1个、最小，且唯一为奇数的质数间隙为1，是在「唯一一个偶质数2」与「第一个奇质数3」之间的质数间隙。剩下的其他质数间隙均为偶数。在3个相邻的质数间的1对质数间隙均为质数，只有在质数3、5及7之间的"g"2 及"g"3 一种而已。
对任一质数"P"，可定义一质数乘积"P"#，为所有小于等于"P"的质数之乘积。若"Q"为"P"之后的质数，则数列
为由相邻的"Q"-2个合数组成的数列，亦即存在一个长度至少为"Q"-1的质数间隙。因此，质数间的间隙可以是任意大的，亦即对任一质数"P"，总存在一个整数"n"，使得"g""n" ≥ "P"。（可选定"n"，使得"p""n"为小于"P"# + 2 的最大质数）另外，依据《质数定理》，质数的密度会随著数值增大而趋近于0，亦可知存在任意大的质数间隙。实际上，依《质数定理》，"P"# 的值约略为 exp("P")的大小，且于 exp("P")附近，相邻质数的「平均」间隙为 "P"。
实际上，质数间隙为"P" 的数可能会远小于"P"#。例如，由71个相邻合数组成的最小数列介于31398至31468间，但71#有「27个数位」，其完整的十进位表示为 557940830126698960967415390。
孪生质数猜想主张存在无限多个整数"n"，使得 。
数值结果.
一般将formula_4给称作formula_5的努力值（merit）。非正式地，一个质数间隙formula_5的努力值可视为一个质数间隙和formula_7附近的平均间隙大小之间的比值。
目前最大的、和一个可能质数相关的间隙，其大小为16,045,848，和一个385,713位的可能质数有关，而其努力值formula_8。这数由Andreas Höglund在2024年3月发现。而最大的和确认的质数相关的质数间隙，其大小为1,113,106，努力值为25.90，和一个18,662位的质数有关，发现者是P. Cami, M. Jansen和J. K. Andersen。
为止，已知最大的及第一个超过40的努力值由Gapcoin网路所发现，其数值为41.93878373，和一个87位的质数有关，这个质数和下一个质数之间的间隙的大小为8350。
Cramér–Shanks–Granville比值指的是formula_9这个比值。若不计2、3及7的异常高的值的话，那目这比值已知最大的数值是1693182318746371的0.9206386。其他已知的数值可见。
若对于所有的formula_10而言，都有formula_11，则称formula_5是最大间隙。，已知最大的最大间隙其值是1676，发现者为Brian Kehrig。这是第83个最大间隙，出现于20733746510561442863这质数之后。
其他已知的最大间隙可见于，而与之相关的质数formula_7可见于，相关的则可见于。目前猜想，不大于第个质数的最大间隙组成的数列大约有formula_14 项。
更多结果.
上界.
1852年得到证明的伯特兰-切比雪夫定理显示，在formula_15跟formula_16之间，总有一个质数，特别地，formula_17，因此formula_18。
1896年得证的质数定理显示说对足够大的质数而言，一个质数formula_19和下一个质数之间的间隙，会非病态地接近formula_20，也就是formula_19的自然对数，而实际的质数间隙可能远大或远小于此；
然而我们可以从质数定理推出说质数间隙跟质数的比会变得任意小，如下式所示：
以极限的定义来说，对于任意的formula_23，存在一个数formula_24，使得对于所有的formula_25而言，有
在1930年首次证明了以下的非线性关系，他证明了说，存在一个常数formula_27，使得下式成立：
由此他证明了，对于的，有以下关系：
何海赛尔证明说formula_30小于等于32999/33000；之后将之给改进到249/250；而证明了说对于任意的formula_31而言，formula_32。
一个主要的改进由做出，他证明了说存在一个正的常数formula_33，使得下式成立：
此处，formula_37代表大O符号，formula_38代表黎曼ζ函数，而formula_39是质数计数函数。由于formula_40是可行的数之故，因此可知formula_30可以是任何大于formula_42的数。
英厄姆结果的一个立即的推论是，在足够大时，在formula_43及formula_44之间总有一个质数；而从林德勒夫猜想可推出，英厄姆的公式对于任意正数formula_33都成立；然而这两者都不足以推出勒让德猜想，也就是在formula_46及formula_47之间总有一个质数这猜想。要证明这点，像是克拉梅尔猜想等更强的结果会是必要的。
在1972年证明说，formula_48是可能的。
贝克、和在2001年正明说formula_49可以缩小到0.525。
上述的结果适用于「所有的」间隙，而人们对「最小的」间隙也感兴趣。孪生质数猜想说，有无限多的质数，其间隙为2。在2005年，、和三氏证明了以下关系：
两年后他们又将之改进如下： to
2013年，张益唐证明了以下关系：
这表示说，有无限多的质数间隙，其大小不超过七千万。之后的集体努力，在2013年7月20日，将张益唐界限给降到了4680。
在2013年11月，詹姆斯·梅纳德改进了GPY筛法，并以之将上界给降到600，并证明了说两个彼此间隔formula_53个质数的质数，其间隙有上限。也就是说，对于任意的正整数formula_53，总存在一个界限formula_55，使得对于无穷多的而言，formula_56。利用梅纳德的想法，Polymath计划将上界给降到了246，并证明了说在假定和其推广的状况下，分别可将上界给降到12和6。
下界.
1931年，埃里克·韦斯钦蒂乌斯（Erik Westzynthius）证明质数间隙成长速度快过对数，也就是说，
在1938年改进了韦斯钦蒂乌斯和艾狄胥·帕尔的结果，证明了说存在一个常数formula_58，使得以下不等式对无限多个成立：
之后他又证明了说上式对任何的formula_60都成立，其中formula_61是欧拉-马斯刻若尼常数。常数formula_33的值在1997年改进至formula_63。
艾狄胥·帕尔提供了10,000美元的奖金给任何能证明或否证上述的常数formula_33可以任意大的人。这点在2014年由、、和陶哲轩四人组以及詹姆斯·梅纳德分别独立证出。
之后这结果被上述五人改进成对无限多个而言，以下不等式成立：
做为向艾狄胥原始奖金精神的致意，陶哲轩提供了10,000美元的奖金给任何能证明或否证上述的常数formula_33可以任意大的人。
目前也已知关于质数链的下界。
关于质数间隙的猜想.
如上所言，目前已知最好的关于质数间隙的结果是对于足够大的而言，formula_67（因此诸如formula_68或formula_69这样的情况是不考虑的）但目前观察到的结果是，即使最大的间隙，也远小于此，也因此生出了一系列未证明的猜想。
首先，有猜想认为，对于上述何海赛尔的结果，有formula_70。
勒让德猜想认为，在两个完全平方数之间，都总有一个质数，而这意味著说，formula_71；安德里卡猜想则指出说：
奥珀曼猜想意味著更强的结果，就是对于任意足够大的而言（或许对任何的formula_73而言），总有以下关系：
上述的关系都未得证明，而哈拉尔德·克拉梅尔证明了说若黎曼猜想成立，那在用大O符号表述的状况下，质数间隙formula_5会满足以下关系：
（实际上，如果允许任意大的指数的话，这结果只需要较弱的林德勒夫猜想）
与此同时，克拉梅尔也猜想说质数间隙远小于此，而他的猜想即是克拉梅尔猜想，克拉梅尔猜想表示说：
也就是说，其成长率是一个小于任何指数formula_78的多对数函数。
克拉梅尔猜想符合观察到的质数间隙，此外也有其他类似的猜想。菲鲁兹巴赫特猜想稍强于此，菲鲁兹巴赫特猜想认为，formula_79是个对的严格递减函数，也就是说，对于任意的formula_80而言，有以下关系：
若这猜想成立，就表示说对于任意的formula_82而言，有formula_83从该猜想可推出强克拉梅尔猜想，而这与、等人的猜测不一致。他们的猜测认为，对于formula_84而言，有无限多质数间隙，使得formula_85，其中formula_61是欧拉-马斯刻若尼常数。
波利尼亚克猜想表示说，对于任何的正偶数k，都总有无限多个质数间隙等于k。的情况即孪生质数猜想。目前尚未对这猜想任何特定的k成立或不成立，但如上所言，由于张益唐以及随后的改进，目前已知这猜想对至少一个formula_87成立。
作为数论函数.
表示第n个质数及其之后的质数间隙的formula_5是数论函数的一个例子，在将之视为数论函数的状况下，一般都把质数间隙给记做formula_89并称之为质数差函数。这函数非积性函数，也非加性函数。