标量场论

理论物理学中，标量场论可以指相对论不变的经典或量子的标量场理论。标量场在任何洛伦兹变换下都是不变的。
自然界中唯一观测到的基本标量量子场是希格斯场。标量量子场也出现在很多物理现象的有效场论描述中，例如π介子，实际上是伪标量。
由于不涉及极化的复杂问题，标量场往往最容易理解二次量子化。所以，标量场论常用于介绍新概念和新技术。
下面所用的度量的符号为。
经典标量场论.
本节的一般参考文献是Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. , Ch 1.
线性（自由）理论.
最基本的标量场论是线性理论。通过场的傅立叶分解，可表示无穷多耦合谐振子的简正模，其中谐振子的序号"i"的缩放极限现表示为。则，相对论不变的标量场论的作用量可写作
其中formula_2称作拉格朗日密度；formula_3表示三个空间坐标；formula_4是克罗内克δ函数；formula_5表示第formula_6个坐标formula_7。
这是二次作用量的一个例子，因为每项都是场的二次项。与formula_8成比例的项有时称作质量项，这是因为它在量子化版本中被解作粒子质量。
理论的运动方程由极限化上述作用得到，形式如下，与呈线性关系：
其中∇2是拉普拉斯算子。这就是克莱因-戈尔登方程，被解释为经典场方程，而非量子力学波动方程。
非线性（相互作用）理论.
上述线性理论最常见的推广是在拉格朗日量中加入标量势formula_10，通常除了质量项之外，"V"还是formula_11的多项式。这种理论有时被称作相互作用理论，因为欧拉-拉格朗日方程现在是非线性的，意味着自相互作用。最一般的此类理论的作用量是
如下所述，在量子理论的费曼图展开中，引入"n"!因子是有用的。
相应的欧拉-拉格朗日方程是
维度分析与缩放.
这些标量场论中的物理量可能具有长度、时间或质量维度，或三者的某种组合。
不过，相对论中，任何具有时间维度的量"t"都可用光速"c"轻易转换为长度formula_14；任何长度"l"也可由普朗克常数formula_15表示为formula_16。自然单位制中，可以将时间看做长度，将它们看做质量的倒数。
总之可以认为，任何物理量的维度都由一个独立的维度定义，而非由所有三个维度定义，这通常称为物理量的质量维。知道了每个量的维度，就可从自然单位表达式中唯一地恢复常规维度，重新插入维度一致所需的formula_15与"c"的幂即可。
可以预想反对意见：这理论是经典理论，因此普朗克常数的地位不明显。我们确实可以无质量维地重构它，但这会稍微模糊语量子标量场的关系。鉴于有质量维，普朗克常数这里被认为是本质上随机地固定的作用参考量（不一定与量子化有关），于是其维度适于在质量和逆长度之间转换。
缩放维度.
的经典缩放维度或质量维度描述了坐标缩放变换下的场变换：
作用量单位与的单位相同，因此作用量本身的质量维为零。这就将场的缩放维度固定为
标度不变性.
某些标量场论在某种意义上是标度不变的。虽然上述作用都被构造为零质量维，但并非所有作用都在缩放变换
下不变。
并非所有作用量都不变，这是因为人们常把参数"m"、formula_23视作定值，在上述变换下不变。因此，标量场论具有标度不变性的条件非常明显：作用量的所有参数都应是无量纲量。 即，标度不变理论就是没有任何固定尺度的理论。
对"D"维时空的标量场论，唯一的无量纲参数formula_23满足formula_25。例如，"D"=4维时空中，只有formula_26是经典无量纲的，因此"D"=4时空中唯一经典标度不变的标准标量场论是无质量的4理论。
不过，由于涉及重整化群，经典标度不变通常不意味着量子标度不变，详见下文贝塔函数的讨论。
共形不变性.
变换
若对某函数formula_28，满足
则称作共形的。
共形群包含度量formula_30的等距子群（庞加莱群），以及上文提到的标度变换（或标度不变性）。事实上，前述标度不变理论也是共形不变的。
4理论.
4理论说明了标量场论中的许多有趣现象。拉格朗日密度为
自发对称破缺.
这拉格朗日量在变换formula_32下有formula_33对称性。这是内部对称性的一个例子，与时空对称性不同。
若formula_8为正，势
在原点有单一极小值。解formula_36在formula_33对称下显然是不变的。
反之，若formula_8为负，则很容易看到势
有两个极小值。这就是所谓双阱势，这种理论中，最低能态（量子场论称作空穴）在formula_33对称下并不是不变的（实际上会将两个空穴映射到对方）。这时，formula_33对称发生自发破缺。
扭状解.
具有负formula_8的4理论也有扭状解（kink solution），是孤波的典型例子。这种解的形式为
其中"x"是空间变量之一（、"t"及其他空间变量彼此无关）。解在双阱势的两个不同空穴之间插值。若没有能量无穷大的解，就无法将扭变形为恒定解，因此扭状解也称作稳定解。对"D">2（即具有多个空间维度的理论），这种解称作畴壁（domain wall）。
另一个具有扭状解的标量场论的著名例子是正弦-戈尔登方程理论。
复标量场论.
在复标量场论中，标量场在复数中取值。复标量场表示自旋为零的粒子和带点和的反粒子。通常考虑的作用形式为
具有U(1)对称性，等价于O(2)对称性，对场空间的作用是旋转formula_45，相角为实数。
而实标量场，若formula_8为负，就会发生自发对称破缺。这产生了戈德斯通的墨西哥帽势，是实标量场的双阱势绕formula_47轴旋转2π弧度。对称性破缺发生在更高维度，即空穴的选择，打破了连续的"U"(1)对称性，而非离散的。标量场的两分量被重构为大规模模型（massive mode）与无质量戈德斯通玻色子。
"O"("N")理论.
可用两个实场表示复标量场论：formula_48，在"U"(1) = "O"(2)内部对称的向量表示下进行变换。虽然这些场在内部对称下转换为向量，但仍是洛伦兹标量。
这可以推广到在"O"("N")对称的向量表示下变换的N个标量场。"O"("N")不变的标量场论的拉格朗日量通常是以下形式的：
内积需要是适当"O"("N")不变的。该理论也可用复向量场表示，即formula_50，这时对称群是李群SU(N)。
规范场耦合.
标量场论以一种规范不变的方式与杨-米尔斯作用耦合，就得到了超导的金兹堡-朗道方程。这理论的拓扑孤子对应超导体中的涡流；墨西哥帽势的极小值对应超导体的阶参数。
量子标量场论.
本节的一般参考文献为Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. , Ch. 4
量子场论中，场与所有可观测量都表示为希尔伯特空间上的量子算子。这希尔伯特空间建立在真空态上，动力学受到量子哈密顿算符支配，是湮灭真空的正定算符。量子标量场的构造详见正则量子化条目，依赖于场之间的正则对易关系。根本上，在标量场中作为其（解耦）简正模组合成的经典谐振子现在以标准方式进行了量子化，于是相应的量子算符场描述了作用于相应福克空间的量子谐振子。
总之，基本变量是量子场及其正则动量。这两个算子值场都是厄米的。在空间点formula_51、时间相等时，其正则对易关系为
而自由哈密顿算符则与之相似，
空间傅立叶变换产生动量空间场
解析为湮灭与创生算子
其中formula_56。
算子满足对易关系
被所有算子"a"湮灭的状态formula_58称作裸真空，对真空施加formula_59就会产生动量为formula_60的粒子。
将所有可能创生算子组合应用于真空，就能构建出相关的希尔伯特空间：这种构造称作福克空间。真空由哈密顿算符
湮灭，其中零点能被Wick排序消除。（见正则量子化）
相互作用可由相互作用哈密顿量实现。对"φ"4理论，这相当于给哈密顿量添加Wick有序项formula_62，并对"x"积分。散射振幅可用相互作用绘景中的哈密顿量计算，是由戴森级数在微扰理论中构建的，戴森级数给出了时间有序积或"n"粒子格林函数formula_63。格林函数也可从求解施温格-戴森方程所构建的生成函数中获得。
费曼路径积分.
费曼图展开也可从费曼路径积分表述中获得。多项式的时序真空期望值，即"n"粒子格林函数，是对所有可能的场进行积分，并以无外场时的真空期望值归一化得到的：
所有这些格林函数都可通过扩展生成函数中formula_65的指数来获得：
可用威克转动将时间变为虚数。将符号变为(++++)后，费曼积分即变为欧氏空间中的配分函数：
通常，这适于定动量粒子的散射，这时傅立叶变换往往有用，可得
其中formula_69是狄拉克δ函数。
评估这泛函积分的标准技巧是将其写成指数因子之积，即
后两个指数因子可展开为幂级数，这种展开的组合可用四次相互作用的费曼图表示。
g = 0的积分可视作无穷多基本高斯积分之积：结果可用费曼图之和表示，计算时使用以下费曼法则：
最后一条规则考虑了除以formula_74的影响。闵氏空间的费曼法则与此类似，只是顶点用"−ig"表示，内线用传播子formula_75表示，formula_76项代表使{闵氏空间高斯积分收敛的微小威克旋转。
重整化.
费曼图中对无约束动量的积分（称为“环路积分”，loop integral）通常会发散。这一般用重整化处理，即在拉格朗日量中加入发散的相反项，从而使原拉格朗日量和反项构建的图收敛。这过程中必须引入重整化标度， 耦合常数与质量都取决于它。
耦合常数"g"在标度formula_77上的依赖由β函数formula_78编码，定义是
这种对能量标度的依赖称作“耦合参数的运行”，量子场论中这种系统标度依赖的理论由重整化群描述。
β函数通常用近似方法计算，最常见的是微扰理论，即假定耦合常数很小。然后，便可以对耦合参数进行幂级数展开，并截去高阶项（也称为高环贡献。与相应费曼图的环数有关）。
4理论的一环β函数（第一微扰贡献）是
最低阶项前面的符号为正，表明耦合常数随着能量增加。这种行为在大规模耦合时若也存在，将表明在有限能量下存在朗道极点，是由量子平凡性引起的。然而，这问题只能以非微扰形式回答，因为涉及强耦合。
当由β函数计算得重整化耦合在紫外截止被移除后归零时，称相应的量子场论是平凡的。这样，传播子变成了自由粒子的，场不再相互作用。
Michael Aizenman证明，在时空维度"D" ≥ 5的情形下，4相互作用理论是平凡的。
对"D" = 4，平凡性尚未得到严格证明，但晶格计算为此提供了有力证据。这一事实非常重要，因为量子平凡性可用于约束、甚至预测希格斯玻色子质量等量的参数。这也可以导致在渐进安全情形下的可预测希格斯玻色子质量。