层上同调

数学中，层上同调是运用同调代数分析拓扑空间上层的全局截面的领域。广义地说，层上同调描述了几何问题能在局部解决时，全局解决问题遇到的障碍。层上同调的核心著作是亚历山大·格罗滕迪克1957年发表在《东北数学杂志》上的论文。
层、层上同调与谱序列是让·勒雷在奥地利战俘营Oflag XVII-A中提出的。勒雷在1940年到1945年与其他人在集中营组织了“狱中大学”。
1950年代，勒雷的定义得到了简化与澄清。很明显，层上同调不仅是代数拓扑中一种新的上同调方法，也是复解析几何与代数几何中一种强有力的方法。这些课题通常涉及构建具有特定局部性质的全局函数，层上同调非常适合。黎曼-罗赫定理、霍奇定理等很多早期结果都通过层上同调得到推广或有了更好理解。
定义.
拓扑空间"X"上阿贝尔群的层范畴是阿贝尔范畴，因此问层的态射formula_1是单态射还是满态射的问题有意义。答案之一是：对"X"中每个点"x"，当且仅当相关的茎上同态formula_2是单射（或满射），"f"才是单射（或满射）。由此可知，对"X"中每个开集"U"，当且仅当"U"上截面的同态formula_3是单射时，"f"才是单射。而满射则更微妙：对"X"中每个开集"U"、"U"上"C"的每个截面"s"与"U"中每一点"x"，当且仅当存在"U"中"x"的开邻域"V"使限制于"V"的"s"是"V"上某截面"B"的像（即："C"的每个截面都局部提升到"B"的截面），"f"才是满射。
于是问题来了：给定层的满射formula_4与"X"上"C"的截面"s"，"s"满足什么条件时是"B"在"X"上某截面的像？这是几何中各种局部与全局问题的模型。层上同调给出了令人满意的一般答案：令"A"是满射formula_4的核，给定"X"上层的短正合列
则有阿贝尔群长正合列，称作层上同调群：
其中formula_8是"X"上"A"的全局截面群formula_9。例如，若群formula_10为零，则此正合列可以说明，"C"的每个全局截面都提升到"B"的全局截面。更一般地，正合列使高阶上同调群的知识成为理解层截面的基本工具。
亚历山大·格罗滕迪克对层上同调的定义已成为标准定义，使用的是同调代数的语言。其要点是，固定拓扑空间"X"，将上同调看做"X"上阿贝尔群层映射到阿贝尔群的函子。更精确地说，从"X"上阿贝尔群层到阿贝尔群的函子formula_11开始。这是左正合函子，但一般不是右正合的。那么，群formula_12（"i"是整数）可定义为函子formula_11的导出函子，这样"i" < 0时，formula_12自动为零，formula_15是全局截面群formula_16。上述长正合列也是直接的。
任何拓扑空间"X"上阿贝尔群层范畴都有足量单射，即对层"E"，都有具备formula_17的单射层"I"。导出函子的定义运用了这一点。由此可见，层"E"都有单射消解：
则，层上同调群formula_12是阿贝尔群链复形上同调群（同态的核模了前一个的像）：
同调代数中的标准论证表明，这些上同调群独立于"E"的单射消解的选择。
此定义很少直接用于计算层上同调，不过还是很强大的，因为具有很强的一般性（任何拓扑空间上阿贝尔群的任何层），且很容易隐含层上同调的形式属性，如上述长正合列。对特定类别的空间或层，有很多计算层上同调的工具，下详。
函子性.
对拓扑空间的任意连续映射formula_21、"Y"上阿贝尔群任何层"E"，对任何整数"j"都有拉回同态
其中formula_23表示拉回层。若"f"是"Y"的子空间"X"的含入，formula_23是"E"到"X"的限制，通常就只称作"E"，截面"s"的"Y"到"X"的拉回称作限制formula_25。
拉回同态在迈尔–维托里斯正合列有应用，这是一个重要的计算结果。即，设"X"是拓扑空间，是两开子集"U"、"V"的并，且令"E"是"X"上的层，则有阿贝尔群的长正合列：
常系数层上同调.
对拓扑空间"X"与阿贝尔群"A"，常层formula_27是值在"A"中的局部常值函数的层。具有常系数的层上同调群formula_28通常简写为formula_29，除非这会导致与奇异上同调之类相混。
对连续映射formula_21与阿贝尔群"A"，拉回层formula_31同构于formula_27。因此，拉回同态使得常系数层上同调变为拓扑空间到阿贝尔群的反变函子。
对任意空间"X"、"Y"与任意阿贝尔群"A"，"X"到"Y"的两同伦映射"f"、"g"在层上同调上导出相同的同态：
由此可见，两同伦等价空间有同构的常系数层上同调。
令"X"是仿紧豪斯多夫空间，是局部可收缩空间，甚至在弱意义上，点"x"的开邻域"U"都包含"x"的开邻域"V"，使得含入formula_34同伦于常值映射。则，"x"的奇异上同调群（系数在阿贝尔群"A"中）同构于常系数层上同调formula_35。例如，对"X"是拓扑流形或CW复形的情形，这一点是成立的。
因此，很多常系数层上同调的许多基本计算与奇异上同调的计算相同，球面、射影空间、环面与曲面的上同调见余调#例子。
对任意拓扑空间，奇异上同调与层上同调（常系数）可能是不同的，formula_36也可能发生：formula_37是"X"的路径分量集到整数formula_38的函数群的奇异上同调，而层上同调formula_39是"X"到formula_38的局部常值函数群层上同调。例如，当"X"是康托尔集时，情形就不同了。事实上，在这种情况下，层上同调formula_39是可数阿贝尔群，而奇异上同调formula_37是"x"到formula_38所有函数的群，其势为
对仿紧豪斯多夫空间"X"、"X"上阿贝尔群的任意层"E"，上同调群formula_45对大于"X"的拓扑维数的"j"都是零（对奇异上同调来说在一般情形下不成立，例如有欧氏空间formula_46的紧子集，其在无限多度上具有非零的奇异上同调）。拓扑维数与拓扑流形或CW复形的通常维度概念一致。
弛层与软层.
拓扑空间"X"上阿贝尔群的层"E" 若对formula_47，则称作无环的（acyclic）。根据层上同调的长正合列，任何层的上同调都可从"E"的任何无环消解（而非单射消解）计算得来。单射层是无环的，但对计算来说，有其他无环层的例子很有用。
"X"上层"E"，若"E"在"X"某开子集上的每个截面都延伸到"E"在"X"全体上的某截面，就称"E"是弛（英语：flabby，法语：flasque）的。弛层无环。Godement通过任何层上的规范弛消解，定义了任何层的层上同调。由于弛层无环，Godement的定义与上述层上同调定义一致。
仿紧豪斯多夫空间"X"上的层"E"，若"E"到"X"闭子集的限制的每个截面都延伸到"E"在"X"全体上的某截面，就称"E"是软的。软层无环。
软层的一些例子如仿紧豪斯多夫空间上实值连续函数层、光滑流形上光滑（formula_48）函数层。更一般地，交换环软层上的模层还是软的，例如光滑流形上向量丛的光滑截面层是软的。
例如，这些结果形成了德拉姆定理证明的一部分。对光滑流形"X"，庞加莱引理指出，德拉姆复形是常层formula_49的消解：
其中formula_51是光滑"j"形式的层，映射formula_52是外微分formula_53。根据上面的结果，层formula_51是软的，因此是无环的。可知，"X"的实系数层上同调同构于"X"的德拉姆上同调，后者定义为实向量空间复形的上同调：
德拉姆定理的另一部分是识别"X"的实系数层上同调、奇异上同调；如上所述，这在更大的推广上成立。
切赫上同调.
切赫上同调是层上同调的近似，常用于计算。即，令formula_56为拓扑空间"X"的开覆盖，令"E"为"X"上阿贝尔群的层。记覆盖中的开集为formula_57，其中"i"属于集合"I"，且"I"的顺序固定，则切赫上同调formula_58可定义为有"j"个群的阿贝尔群显式复形的上同调：
有自然同构formula_60，因此切赫上同调是层上同调的近似，仅使用在开集formula_57的有限交上的"E"的截面。
若formula_56中开集的每个有限交"V"都没有系数在"E"中的高阶上同调，即对formula_63，则切赫上同调formula_58到层上同调的同态是同构。
将切赫上同调与层上同调相联系的另一种方法如下。切赫上同调群formula_65定义为formula_58在"X"所有开覆盖formula_56上的直极限（其中开覆盖由加细排序）。有切赫上同调到层上同调的同态formula_68，对formula_69是同构。对任意拓扑空间，切赫上同调与层上同调在更高的度上会有不同，但方便地说，对仿紧豪斯多夫空间上的任何层，切赫上同调都同构于层上同调。
同构formula_70隐含着对拓扑空间"X"上阿贝尔群任何层"E"的formula_71的描述：此群在同构意义上分类了"X"上的"E"扭子（也叫主"E"丛）（通过非阿贝尔上同调集formula_72，这论述可推广到群"G"（不必阿贝尔）的任何层）。由定义，"X"上的"E"扭子是集合的层"S"以及"E"在"X"上的群作用，使"X"中每点都有"S"同构于"E"的开邻域，"E"通过平移（translation）作用于自身。例如，赋环空间formula_73上，"X"上可逆层的皮卡德群同构于层上同调群formula_74，其中formula_75是formula_76中可逆元的层。
相对上同调.
对整数"j"、拓扑空间"X"的子集"Y"与"X"上阿贝尔群的层"E"，可以定义相对上同调群：
还可称作在"Y"中有支持的"X"的上同调，或（"Y"对"X"封闭时）局部上同调。长正合列可在通常意义上将相对上同调与层上同调关联：
"Y"对"X"封闭时，在"Y"中有支持的上同调可定义为函子
的导出函子，即在"Y"上有支持的"E"的截面群。
有几种同构称作切除。例如，若"X"是拓扑空间，其子空间"Y"、"U"使"Y"的闭包在"U"内部，"E"是"X"上的层，则约束
是同构（因此，在闭子集"Y"中具有支持的上同调只取决于空间"X"与层"E"在"Y"附近的行为）。另外，若"X"是仿紧豪斯多夫空间、是闭子集"A"、"B"的并、"E"是"X"上的层，则约束
是同构。
具有紧支持的上同调.
令"X"是局部紧拓扑空间（本文将局部紧空间理解为豪斯多夫空间）。对"X"上阿贝尔群的层"E"，可定义有紧支持的上同调formula_82。这些群被定义为紧支持截面的函子的导出函子：
有自然同构formula_84，是"X"紧的同构。
对局部紧空间"X"上的层"E"，formula_85的系数在"E"的拉回中的紧支持上同调是"X"的紧支持上同调的移位（shift）：
举例来说，若formula_87，则formula_88同构于formula_38，否则为零。
就任意连续映射而言，紧支持上同调不是函子性的。而对局部紧空间上的紧合映射formula_90与"X"上的层"E"，紧支持上同调上有拉回同态
另外，对局部紧空间"X"的开子集"U"与"X"上的层"E"，有称作零点扩张（extension by zero）的前推同态：
对局部紧空间"X"与闭子集"Y"，这两个同态都见于紧支持上同调的长正合局部化列中：
上积.
对所有"i"、"j"以及拓扑空间"X"上阿贝尔群的任意层"A"、"B"，有双射——上积
当中formula_95表示在formula_38上的张量积，但若"A"、"B"是交换环的某层formula_76上的模层，则可进一步从formula_98映射到formula_99。特别是，对交换环的层formula_76，上积使得直和
变为分次交换环，即对formula_102
层复形.
层上同调是导出函子的定义可进行扩展，定义拓扑空间"X"的上同调，且系数在层的任何复形"E"中：
特别地，若复形"E"有下界（对足够负的"j"，层formula_105为零），则"E"像单层一样有单射消解"I"（由定义，"I"是有下界的单射层复形，其链映射formula_17是拟同构）。则上同调群formula_45定义为阿贝尔群复形的上同调
空间的系数在层复形中的上同调，早先被称作超同调，现在一般只叫“上同调”。
更一般地，对空间"X"上层"E"（不必有下界）的任意复形，上同调群formula_45定义为"X"上层的导出范畴中态射的群：
其中formula_111是与整数相关联的常层，formula_112表示向左移动"j"步的复形"E"。
庞加莱对偶性与推广.
庞加来对偶性定理是拓扑学的一个核心成果：对"n"维闭有向连通拓扑流形"X"、域"k"，群formula_113同构于"k"，上积
是所有整数"j"的完美配对。即，从formula_115到对偶空间formula_116的映射是同构，特别是，向量空间formula_115与formula_116有相同的（有限）维数。
运用层上同调的语言，可以进行很多推广。若"X"是有向"n"维流形（不必紧或连通），"k"是域，则上同调就是有紧支持的上同调的对偶：
对任意流形"X"、域"k"，有"X"上的层formula_120——方向层，局部（可能不是全局）同构于常层"k"。庞加莱对偶关于任意"n"维流形"X"的一个版本是同构：
更一般地，若"E"是"n"维流形上"k"维向量空间的局部常层，且"E"的茎有限维，则有同构
系数在任意交换环而非域中时，庞加莱对偶性可以很自然地表述为上同调到博雷尔–摩尔同调的同构。
韦迪耶对偶是很广的推广。对任意有限维局部紧空间"X"与任意域"k"，在"X"上层的导出范畴formula_123中有对象formula_124，称作对偶化复形（dualizing complex，系数位于"k"中）。韦迪耶对偶的一种情形是同构：
对"n"维流形"X"，对偶化复形formula_124同构于方向层的移位formula_120。因此，庞加莱对偶是韦迪耶对偶的特例。
亚历山大对偶是另一种有用的推广。对有向"n"维流形"M"的任意闭子集"X"与任意域"k"，有同构：
对formula_129的紧子集"X"来说这已经很有趣了，因为它说（粗略地），formula_130的上同调是"X"的层上同调的对偶。当中，必须考虑层上同调而非奇异上同调，除非对"X"有额外假设，如局部可收缩性。
高阶直像与勒雷谱序列.
令formula_21维拓扑空间的连续映射，"E"为"X"上阿贝尔群的层。前推层formula_132是"Y"上的层，对"Y"的任意开子集"U"定义为
例如，若"f"是"X"到点的映射，则formula_132是与"E"的全局截面群formula_16对应的点上的层。
"X"上的层到"Y"上的层的函子formula_136是左正合的，但一般不是右正合的。"Y"上的高阶直像层formula_137定义为函子formula_136的右导出函子。另一种描述是，formula_137是与"Y"上预层相关联的层
因此，粗略地说，高阶直像层描述了"Y"中小开集的逆像的上同调。
勒雷谱序列将"X"上的上同调与"Y"上的上同调相关联，即对任何连续映射formula_21、"X"上任何层"E"，有谱序列
这是一个非常一般的结果。"f"是纤维化、"E"是常层的特例在同伦论中扮演着重要角色，这种情形称作塞尔谱序列。当中，高阶直像层是局部常的，其茎是"f"的纤维"F"的上同调群，因此塞尔谱序列对阿贝尔群"A"，可写作
勒雷谱序列的一个简单而有用的情形是，对拓扑空间"Y"的任意闭子集"X"和"X"上任意层"E"，用formula_21表示包含，有同构
因此，关于闭子空间上层上同调的问题都可转化为关于环境空间上直像层的问题。
上同调的有限性.
有个关于层上同调的强有限性结果。令"X"是紧豪斯多夫空间，"R"是主理想域，例如域或整数环formula_38。令"E"为"X"上"R"模的层，并假定"E"有“局部有限生成上同调”，即对"X"中每点"x"、整数"j"、"x"的所有开邻域"U"，都有"x"的开邻域formula_147，使得formula_148的像是有限生成"R"模，则上同调群formula_45是有限生成"R"模。
例如，对局部可收缩紧豪斯多夫空间"X"（在上文所述的弱意义上），层上同调群formula_150对整数"j"是有限生成的。
有限性结果适用于可构造层的一种情形。令"X"为拓扑层化空间。具体来说，"X"有闭子集序列
使每个差分formula_152是维数为"i"的拓扑流形。 若"E"对每层formula_152的限制是局部常的，且茎是有限生成"R"模，则"X"上的层"E"或"R"模在给定分层下是可构造的。关于给定分层的"X"上可构造层"E"具有局部有限的生成上同调。若"X"是紧的，则"X"的上同调群formula_45（系数在可构造层中）是有限生成的。
更一般地，假设"X'是可紧的，即有紧层化空间"W"，包含"X"为开子集，"W"–"X"是层的连通分量的并，则对"X"上"R"模的任意可构造层"E"，"R"模formula_45与formula_82都是有限生成的。例如，任何具有经典（欧氏）拓扑的复代数簇"X"在此意义上都是可紧的。
凝聚层上同调.
代数几何与复解析几何中，凝聚层是一类有特殊几何意义的层。例如，（局部诺特概形上的）代数向量丛或（复解析空间上的）全纯向量丛可视作凝聚层，而凝聚层比向量丛更有优势，因为凝聚层构成了阿贝尔范畴。在概形上，考虑准凝聚层也是有用的，其中包括秩无限的局部自由层。
关于系数在凝聚层中的概形或复解析空间的上同调群，我们已了解了很多。这一理论是代数几何中的重要技术工具，主要定理包括在各种情况下上同调变为零、上同调有限维、凝聚层上同调与奇异上同调的比较（如霍奇理论）与凝聚层上同调中欧拉示性数的公式（如黎曼-罗赫定理）等。
景上的层.
1960年代，格罗滕迪克定义了景（site），即具备了格罗滕迪克拓扑的范畴。景"C"公理化了这样一个概念："C"中的态射formula_157集合是"U"的覆盖。拓扑空间"X"以自然的方式确定了景：范畴"C"的对象是"X"的开子集，态射是包含，当且仅当"U"是开子集formula_158的并时，态射formula_157的集合称作"U"的覆盖。此外，格罗滕迪克拓扑的激励性例子是概形上的平展拓扑。此后，代数几何中还是用了很多其他的格罗滕迪克拓扑：fpqc拓扑、尼斯涅维奇拓扑等等。
层的定义适用于任何景，所以可以谈论景上的集合层，景上的阿贝尔群层，等等。层上同调作为导出函子的定义同样适于景，因此，对于景上的任何对象"X"、阿贝尔群的任何层"E"，都有层上同调群formula_45。对于平展拓扑，这给出了平展上同调的概念，并由此证明了韦伊猜想。代数几何中晶体上同调等其他上同调论也被定义为适当的景上的层上同调。