欧拉函数

在数论中，对正整数"n"，欧拉函数formula_1是小于等于"n"的正整数中与"n"互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。
例如，因为1、3、5和7均与8互质。
欧拉函数实际上是模"n"的同余类所构成的乘法群（即环formula_2的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。
历史：欧拉函数与费马小定理.
1736年，欧拉证明了费马小定理：
然后欧拉予以一般化：
其中 formula_1 即为欧拉总计函数。如果 formula_8 为质数，那么 formula_14，因此，有高斯的版本：
欧拉函数的值.
以下为formula_8 为formula_22至formula_23时，对应formula_1 的值
若formula_8有标准分解formula_26（其中各formula_27为互异的质因子，各formula_28为质因子的次数），则欧拉函数在该处的值为
亦可等价地写成
此结果可由formula_31在质数幂处的取值，以及其积性得到。
质数幂处取值.
最简单的情况有formula_32（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。
一般地，若"n"是质数"p"的"k"次幂，则formula_33，因为除了"p"的倍数外，其他数都跟"n"互质。
积性.
欧拉函数是积性函数，即是说若"m","n"互质，则formula_34。使用中国剩余定理有较简略的证明：设"A", "B", "C"是跟"m", "n", "mn"互质的数的集，据中国剩余定理，formula_35和formula_36可建立双射（一一对应）关系，因此两者元素个数相等。
较详细的证明如下：
设formula_37，且formula_38。若formula_39与formula_40互质，则formula_39与formula_42、formula_8均互质。又因为formula_44，若formula_45分别与formula_46互质，则formula_39一定和formula_40互质。反之亦然，即若formula_39与formula_40互质，则亦有formula_45分别与formula_46互质。
由中国剩余定理，方程组
的通解可以写成formula_54 其中formula_55为固定的整数，故二元组formula_56（要满足<math>0 ）与小于formula_40且与formula_40互质的正整数formula_39一一对应。
由formula_31的定义（和乘法原理），前一种数对formula_56的个数为formula_62。而后一种数formula_39的个数为formula_64。
所以，formula_65
公式的证明.
结合以上两小节的结果可得：若formula_8有质因数分解式formula_67，则
-{zh-hant:
formula_68;
zh-hans:
formula_69;
例子.
计算formula_70的欧拉函数值：
性质.
"n"的欧拉函数formula_1 也是循环群 "C""n" 的生成元的个数（也是"n"阶分圆多项式的次数）。"C""n" 中每个元素都能生成 "C""n" 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， "C""n" 的所有子群都具有 "C""d" 的形式，其中"d"整除"n"（记作"d" | "n"）。因此只要考察"n"的所有因数"d"，将 "C""d" 的生成元个数相加，就将得到 "C""n" 的元素总个数："n"。也就是说：
其中的"d"为"n"的正约数。
运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于formula_1的公式：
其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。
对任何两个互质的正整数"a", "m"（即 gcd("a","m") = 1），formula_76，有
即欧拉定理。
这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与"m"互质的"a"都属于环 formula_2 的单位元组成的乘法群formula_79
当"m"是质数"p"时，此式则为：
即费马小定理。
欧拉商数.
欧拉商数（totient number）指的是欧拉函数的值，也就是说，若是一个欧拉商数，那至少存在一个，使得。而欧拉商数的「重复度」（valency或multiplicity），指的是这等式的解数。相对地，一个非欧拉商数指的是不是欧拉商数的自然数。显然所有大于1的奇数都是非欧拉商数，此外也存有无限多的偶数是非欧拉商数，且所有的正整数都有一个倍数是非欧拉商数。
不大于的欧拉商数个数可由以下公式给出：
其中。
考虑重复度，那么不大于的欧拉商数个数可由以下公式给出：
其中对任意正数而言，误差项至多与成比例。
目前已知对于任意的而言，有无限多个，其重复度超过。
Ford定理.
证明说对于任意整数而言，总存在一个欧拉商数，其重复度为，也就是说总有数字使得这等式有刚好个解。这结果由瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基所猜测，且是的一个结果。事实上，对于任何出现的重复度而言，该重复度会出现无限多次。
然而，没有任何数字的重复度为。讲的是没有的重复度为。
完全欧拉商数.
完全欧拉商数（perfect totient number）是一个等同于其欧拉函数迭代总和的整数，也就是说，如果将欧拉函数套用在一个正整数formula_8之后，并将欧拉函数套用在如此所得的结果上，如此下去，直到最后得到1为止，并将这一系列的数给加总起来。若这总和为formula_8，那么formula_8就是一个完全欧拉商数。
生成函数.
以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：formula_86。
由formula_31("n")生成的狄利克雷级数是：
其中ζ("s")是黎曼ζ函数。推导过程如下：
欧拉函数生成的朗贝级数如下：
其对于满足 |"q"|<1 的"q"收敛。
推导如下：
后者等价于：
欧拉函数的走势.
随着"n"变大，估计formula_1 的值是一件很难的事。当"n"为质数时，formula_98，但有时formula_1又与"n"差得很远。
在"n"足够大时，有估计：
如果考虑比值：
由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似formula_102的项的乘积。因此，使比值小的"n"将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：
formula_31就平均值的意义上来说是与"n"很相近的，因为：
其中的"O"表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., "n"} 中随机选取两个数，则当"n"趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 formula_106 。一个相关的结果是比值formula_107的平均值：
未解决问题.
莱默的欧拉函数问题.
若是质数，则有。1932年，德里克·亨利·莱默问说是否有合成数使得整除。目前未知是否有这样的数存在。
1933年莱默证明说若有这样的formula_8，那么formula_8必然是奇数、必然是无平方因子数，且必然有至少七个不同的质因数（formula_127）。1980年，Cohen和Hagis证明了说，若这样的formula_8存在，则formula_129且formula_8有至少14个不同的质因数（formula_131）；此外，Hagis证明了说若这样的formula_8存在且可被3除尽，那么formula_133且formula_8有至少298848个不同的质因数（formula_135）。
卡迈克尔猜想的欧拉函数猜想.
此猜想认为说不存在正整数，使得对于所有其他的而言，在的状况下必有。可见上述Ford定理一节的说明。
若有一个如此的反例存在，就必有无限多的反例存在，而最小的可能反例，在十进位下，其位数超过一百亿。
黎曼猜想.
黎曼猜想成立，当且仅当以下不等式对所有的成立。此处的是最初的个质数的乘积：
此处的是欧拉常数。
程式代码.
C++.
<syntaxhighlight lang="c++" line="1">
template <typename T>
inline T phi(T n) {
</syntaxhighlight>