最大似然估计

在统计学中，最大似然估计（maximum likelihood estimation，简作MLE），也称极大似然估计，是用来估计一个概率模型的参数的一种方法。
预备知识.
下方的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。读者还须先熟悉连续实函数的基本性质，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。
同时，读者须先拥有似然函数的背景知识，以了解最大似然估计的出发点及应用目的。
最大似然估计的原理.
给定一个概率分布formula_1，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分布）为formula_2，以及一个分布参数formula_3，我们可以从这个分布中抽出一个具有formula_4个值的采样formula_5，利用formula_2计算出其似然函数：
若formula_1是离散分布，formula_9即是在参数为formula_3时观测到这一采样的概率；若其是连续分布，formula_9则为formula_5联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得formula_5，我们就能求得一个关于formula_3的估计。最大似然估计会寻找关于formula_3的最可能的值（即，在所有可能的formula_3取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。从数学上来说，我们可以在formula_3的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的formula_18值即称为formula_3的最大似然估计。由定义，最大似然估计是样本的函数。
推导.
最大似然估计可以从相对熵推导而来。相对熵衡量了使用一个给定分布formula_22来近似另一个分布formula_23时的信息损失，对于离散型随机变量，可以用以下公式：
formula_24
其中，formula_23是真实分布，formula_22是近似分布。在最大似然估计的情景下，假设分布拥有一系列参数formula_3，我们希望通过样本得到参数的估计值formula_28。我们可以利用相对熵来评判估计的好坏：
formula_29
根据期望的定义，我们可以将上式改写为：
formula_30
KL值越大，参数估计越坏，因此，需要通过改变估计参数formula_28的值来获得最小的值，所对应的参数极为最佳估计参数。即：
formula_32
假设有formula_4个样本，根据大数定理，可以进行替换：
formula_34
即，可以通过下式评估：
formula_35
对于一个已知的分布，其参数formula_3是确定的。因此，formula_37为常数。因此，我们可以通过最小化KL值获得最佳估计参数：
formula_38
因此，要得到最佳参数估计值，只需要最大化formula_39，这就是最大似然函数。对于连续型随机变量，有相同的结论。
例子.
离散分布，离散有限参数空间.
考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样formula_40并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为formula_41，抛出一个反面的概率记为formula_42（因此，这里的formula_41即相当于上方的formula_3）。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为formula_45, formula_46, formula_47，这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个：
我们可以看到当formula_49时，似然函数取得最大值。
显然地，这硬币的公平性和那种抛出后正面的机率是2/3的硬币是最接近的。这就是formula_41的最大似然估计。
离散分布，连续参数空间.
现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于formula_51中的任何一个formula_41， 都有一个抛出正面概率为formula_41的硬币对应，我们来求其似然函数的最大值：
其中formula_51.
我们可以使用微分法来求极值。方程两边同时对formula_41取微分，并使其为零。
其解为formula_58, formula_59，以及formula_60.使可能性最大的解显然是formula_60（因为formula_58和formula_59这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为formula_64.
这个结果很容易一般化。只需要用一个字母formula_65代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的“成功”次数，用另一个字母formula_4代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:
对于任何成功次数为formula_65，试验总数为formula_4的伯努利试验。
连续分布，连续参数空间.
最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：
现在有formula_4个正态随机变量的采样点，要求的是一个这样的正态分布，这些采样点分布到这个正态分布可能性最大（也就是概率密度积最大，每个点更靠近中心点），其formula_4个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：
也可以写为：
这个分布有两个参数：formula_75.有人可能会担心两个参数与上方的讨论的例子不同，上方的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性formula_76在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上方例子同样的符号，我们有formula_77.
最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凹函数。[注意：可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及费雪讯息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到：
这个方程的解是formula_79.这的确是这个函数的最大值，因为它是formula_80里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。
同理，我们对formula_81求导，并使其为零。
这个方程的解是formula_83.
因此，其关于formula_77的"最大似然估计"为：
性质.
泛函不变性（Functional invariance）.
如果formula_28是formula_3的一个最大似然估计，那么formula_88的最大似然估计是formula_89。函数"g"无需是一个双射。
渐近线行为.
最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差，其证明可见于。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。
对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。
偏差.
最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有formula_90到formula_91的formula_91张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果formula_91是未知的话，那么formula_91的最大似然估计值就是抽出的票上标有的formula_91，尽管其期望值的只有formula_96.为了估计出最高的formula_4值，我们能确定的只能是formula_91值不小于抽出来的票上的值。
历史.
最大似然估计最早是由罗纳德·费雪在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。（虽然以前高斯、拉普拉斯、托瓦尔·尼古拉·蒂勒和F. Y. 埃奇沃思也使用过）。 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。
大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展，并被后来的作者简化。