迭代幂次

在数学里面，迭代幂次 （亦作超-4运算或四级运算），或可理解为迭代乘方、幂塔运算和超幂运算等等，是专指幂的下一个超运算级别，用以表示极大的数字。以下列举了首四个超运算级别，其中迭代幂次为第四级，（后继函数，例如formula_1即将formula_2加上一，可理解为第零级运算，相关解释参见皮亚诺公理）。范例如下：
以上每一个运算级别皆被定义为对上一运算级别的迭代（迭代幂次的下一个运算级别为五级运算（超-5运算））。迭代幂次跟首三个超运算级别的一大不同之处在于首三个超运算级别中的"n" 可以是任意复数，而"n" 为任意复数的迭代幂次目前则未有一个概括的定义。另外，迭代幂次不属于初等函数。
加法("a" + "n")是最基本的运算级别；乘法("a" × "n")亦是其中一种初等函数，在自然数的域当中，它可被视为"a" 的"n" 次链式加法；幂("formula_7")则可被视为"a" 的"n" 次链式乘法。如此类推，迭代幂次("formula_8")可被视为"a" 的"n" 次链式幂。当中，变量"a" 将会在下文被称为底数，而变量"n" 则是此函数的"高度值"，在下文有时会被称为上标数（早段提及的上标数皆为整数，而后则会扩展到分数、实数以及复数，如下所示）。
定义.
对于任何正实数"a" (formula_9)及非负整数"n" (formula_10)，formula_11被定义为：
迭代乘方.
从上述定义中可见，当计算被表达成幂塔的迭代幂次时，幂运算是先由最深层（以符号来表示，则最高级）的上标数做起。例子如下：
要注意，幂是不遵从结合律的，因此以其他顺序来计算上述表达式将会出现不一样的答案，例如：
因此，幂塔一定要从上而下（或从右至左）来运算。在电脑程式中，此制式称为右结合律。
当"a"与"n"为互质时，我们可以透过欧拉定理来计算formula_15的最后"m"个小数位值。
专门用语.
迭代幂次在英文里面称作"tetration"，有时亦会被称为"superexponentiation"及"hyperpower"（中文意译超幂）等，这些词语也可被用来表示这种运算模式。
迭代幂次有时会跟一些相关的函数及表达式混淆，这是因为在这些函数及表达式当中的大部分专门用语均适用于迭代幂次。以下列举了一些相关用语：
在首两种表达式当中的"a" 是"底数"，而"a" 出现的数目则是"高度值"（"x" 的出现使"高度值" 加1）。在第三种表达式当中，"n" 是"高度值"，但每一个底皆不相同。
要注意的是，迭代指数的形式有时也会被称为迭代幂次。这是模棱两可的，因为这可以指迭代乘方或迭代指数。
符号标示法.
可以用来表示迭代幂次的符号有很多，当中有一些符号可用来表示更高级的迭代运算（hyper-5、hyper-6 等等）。
上述的迭代指数表示法中使用的迭代指数记号，一般被定义成：
以下是一些用以表示迭代指数的符号：
例子.
在下表，大部分数值大得连科学记数法也难以表示，因此使用了迭代指数记号，设底数为10来表示。包含小数点的数值是近似值。
以较原始的函数来作逼近法.
多项式"逼近法".
线性逼近法.
以下是对迭代幂次函数的"线性逼近法"（以满足连续函数的需要性，逼近法基于此函数的可微性质）的定义：
由此可得：
及其他逼近值。不过，这个函数只是分段可微的；在x为整数的时候，函数的导数要乘以formula_18。
例子.
formula_19
Hooshmand的手稿中有一个重要定理：设formula_20 是连续的并满足以下条件：
由此，formula_22 可于以下方程式中独特地定义出来：
当中，formula_29 标示x的分数部分，以及formula_30 是函数formula_31 的formula_32-迭代函数。
以上四个条件中的第二个条件仅当formula_22 在[-1, 0]之上是线性函数，由此可作为上述对formula_22 的定义的证明。
对自然迭代幂次函数formula_35 的线性逼近法是连续可微的，但其二阶导数的辐角并不是整数值。Hooshmand为此导出了以下的这一个独特定理：
若formula_36
是一个连续函数并满足以下条件:
那么formula_41。（这里的formula_41 是Hooshmand给予自然迭代幂次函数的线性逼近法的名称。）
这个定理的证明跟之前提到的证明法十分相似；递回方程式保证了formula_43 ，而formula_22 的凸函数的性质仅当formula_22 在(-1, 0)之上是线性的。
所以，自然迭代函数的线性逼近法是凸于formula_46 之上的方程式formula_47 的唯一解。所有其他充足可微的解在区间(-1, 0)之上必定存在一个拐点。
更高次的逼近法.
以下是对a ≠ e的迭代幂次函数的"二次逼近法"（逼近法基于此函数的可微性质）的定义：
这对所有formula_49 可微，但并不二次可微。若formula_50，应采用线性逼近法。
有关于三次逼近法，以及一个能归纳出"n" 次逼近法的方法，详见：。
推广.
迭代幂次能被推广至定义formula_51 乃至其他定义域。
对底数定义域的推广.
推广至底数为0.
指数formula_52 是不连续定义的。所以，迭代幂次formula_53 于早期提出的公式中亦并不被清晰定义。不过，formula_54 是定义良好的，并存在：
所以我们能连续地定义formula_56。这等价于定义formula_57。
在这推广之下，formula_58，所以最初定义出来的法则formula_59 依然成立。
推广至复数底.
由于复数可以作为指数，迭代幂次的底数可以为formula_60 的形式，当中的formula_61 是−1的平方根。举例来说，设formula_62，对于formula_63，其迭代幂次可由自然对数中的来达成，并用欧拉公式得出以下关系：
这表明了formula_65 在任何formula_66 的情况下的递回定义为：
从而导出以下的逼近值：
根据上一部分对于迭代幂次的逆向关系的定义，可得formula_68 及formula_69，当中负值的"n" 在虚数轴上会得出无穷的结果。在复平面当中，整个序列成螺旋形地趋向于极限formula_70，这个极限可理解为"n" 为无穷时，函数相对应的值。
这样的迭代幂次序列由欧拉时期已开始被研究，但是由于序列的杂乱性而难以被理解。历史上大部分有正式发表的研究皆集中于幂塔函数的收歛性。高运算效率电脑连同计算机代数系统和分形几何系统的出现大大地促进了近代对于"迭代幂次"的研究。现时对迭代幂次的研究均建基于复动力学的普遍知识及对指数映射的专门研究。
对高度值定义域的推广.
推广至无穷高.
迭代幂次可被推广至无穷高（formula_71 当中的"n"）。这是因为当底数在一个特定的区间之内而高度值趋向于无穷时，迭代幂次会收歛于一个有限的数值。举例来说，formula_72 收歛于2，因此可以说是等于2。对2的趋向性可从对以下小型有限幂塔的计算而看出来：
一般来说，有限幂塔formula_74 （定义为当"n" 趋向于无穷时formula_75 的极限）收歛于"e"−"e" ≤ "x" ≤ "e"1/"e"，大约是位于0.066和1.44之间的区间，这是由莱昂哈德·欧拉所证明的。如果存在一个极限，这会是一个对于方程式"y" = "x""y" 的正实数解。所以，"x" = "y"1/"y"。根据这个极限的定义，当"x" > "e"1/"e" 时，"x" 的无穷迭代幂次不具收歛性，因为"y"1/"y" 的最大值为"e"1/"e"。
以上特性可以被推广至复数底"z"，定义如下：
当中的"W"（"z"）表示朗伯W函数。
由于极限"y" = ∞"x" （如果存在的话，即当"e"−"e" < "x" < "e"1/"e"）必定满足"x""y" = "y"，因而得出"x" ↦ "y" = ∞"x" 是"y" ↦ "x" = "y"1/"y" 的反函数（较低枝）。
（有限地）推广至负高.
为了维持原有法则：
当formula_78 为负值时，必须用到以下的递回关系：
所以：
不过，当高度值为更小的负值时就不能以此方法良好地定义出来了，因为
这是定义不良好的。
更要注意的是，当formula_82 时，任何根据法则对于formula_83 的定义都是一致的，因为
推广至实高.
当前还未有对于推广迭代幂次至formula_86 为实数或复数值的共识解。以下提到了两种不同的逼近法。
一般来说，问题在于对任何实数"a" > 0，找出一个能满足以下条件的"超幂函数" formula_87 ，当中formula_88 并为实数：
对于第四个条件，不同的编者有不同的说法，而且亦视乎于采用何种逼近法。对于把迭代幂次推广至实高，有两种主要的逼近法，一种是建基于"规律性" 需要，另一种则建基于"可微性" 需要。这两种逼近法似乎十分相异，皆因它们所得出的结果并不相符。
幸运地，任何在一段长度的区间内满足到其中一种逼近法的解，皆能被推广为一个对于所有正实数高度值的迭代幂次的通解。当formula_96 在一段长度的区间内被定义，对任何formula_88，整个函数的后续将能被轻易地定义出来。
其中一个简单的推广方式为：
formula_98 
当且仅当formula_99 。可以判断，当formula_100、formula_101时，乘法和幂次成立：formula_102 当且仅当formula_103;formula_104 当且仅当formula_105
举例，当formula_106 时, 计算 formula_107 和 formula_108 ：
formula_109, 则 formula_110。
formula_111,则formula_112；
由 256= 16^2 = 16^(16^^(1/3)) = 16^^(1+1/3) = 16^^(4/3) 得 256^^(3/4) = 16。
推广至复高.
以下为有关猜想：函数"F" 为方程式 的解并满足以下附加条件：当"z"逼近于±"i" ∞及"F" 在整个复数"z" 平面当中为全纯函数，"F"(0)=1 及"F"("z")逼近于对数的不动点 （大约为 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890"i"）。
n" and "βn" approach 0 fast enough it will be analytic on a neighborhood of the positive real axis. However, if some elements of {"α"} or {"β"} are not zero, then function "S" has multitudes of additional singularities and cutlines in the complex plane, due to the exponential growth of sin and cos along the imaginary axis; the smaller the coefficients {"α"} and {"β"} are, the further away these singularities are from the real axis.
The extension of tetration into the complex plane is thus essential for the uniqueness; the real-analytic tetration is not unique.
-->