富比尼–施图迪度量

在数学中，富比尼–施图迪度量（Fubini–Study metric）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CP"n"。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 
向量空间 C"n"+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL("n"+1,C) 中一个酉子群 U("n"+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U("n"+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，CP"n" 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2"n"+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中，利用一个正规化使 CP"n" 成为一个霍奇流形。
构造.
富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。
具体地，可以定义 CP"n" 由 C"n"+1 中复直线组成的空间，即 C"n"+1 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同：
这个商将 C"n"+1 实现为底空间 CP"n" 上的复线丛（事实上这就是 CP"n" 上所谓的重言丛）。CP"n" 中的一点等同于 ("n"+1)-元组 ["Z"0...,"Z""n"] 模去非零复缩放的一个等价类；这些 "Z""i" 称为这个点的齐次坐标。
进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 "z" = "R" "e"iθ 可以惟一地想成一个以模长 "R" 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 formula_2 的复合，商 C"n"+1→CP"n" 分成两块。
其中第 (a) 步以正实数乘法群 R+ 的缩放 Z ~ "R"Z，这里 "R" ∈R+，作商；步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ "e"iθZ 的商。
第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |"Z"0|2 + ... + |"Z""n"|2 = 1 所定义的实超球面 "S"2"n"+1。第 (b) 步的商实现为 CP"n" = "S"2"n"+1/"S"1，这里 "S"1 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化"S"1 → "S"2"n"+1 → CP"n"实现 ，纤维属于 formula_4 中的大圆。
作为度量商.
当取一个黎曼流形（或一般的度量空间）的商时，必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如，如果群 "G" 作用在黎曼流形 ("X","g")上，则为了是轨道空间 "X"/"G" 拥有一个诱导度量，formula_5 沿着 "G"-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 "h" ∈ "G" 以及一对向量场 formula_6 必须有 "g"("Xh","Yh") = "g"("X","Y")。
'"C""n"+1 上标准埃尔米特度量在标准基下为
它的实化是 R2"n" 上标准欧几里得度量。这个度量在 C* 的作用下没有不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 CPn 中。但是，这个度量在旋转群 "S"1 = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。 
富比尼–施图迪度量是在商CP"n" = "S"2"n"+1/"S"1 上诱导的度量, 其中 formula_4 带着所谓的“圆度量”，是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。
在局部仿射坐标中.
对应于 CP"n" 中具有齐次坐标("Z"0...,"Z""n") 的一点，只要 "Z"0 ≠ 0，存在惟一 "n" 个坐标集合 ("z"1,…,"z""n") 使得
特别地 "z""j" = "Z""j"/"Z"0。这个 ("z"1,…,"z""n") 组成 CP"n" 在坐标片 "U"0 = {"Z"0 ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 "U""i"={"Z""i"≠0} 上通过除以 "Z""i"，得到一个仿射坐标系。这 "n"+1 个坐标片 "U""i" 盖住了 CP"n"，在 "U""i" 上可以利用仿射坐标系 ("z"1,…,"z""n") 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CP"n" 全纯切丛的一个标架 formula_10，利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量
这里|z|2 = "z"12+...+"z""n"2。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是
注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用 formula_13 不会改变这个矩阵。
对应地，线元素为
在最后的表达式中，使用了爱因斯坦求和约定，拉丁字母指标 "i" 和 "j" 从 1 求到 "n"。
在齐次坐标中.
在齐次坐标 Z = ["Z"0...,"Z""n"] 中也有相应的表达式。形式上，我们有
上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 "n"，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：
现在，d"s"2 的这个表达式显然在重言丛 C"n"+1\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CP"n" 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CP"n" 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。
差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为
其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|2 是 CP"n" 的凯勒数量。
"n" = 1 情形.
当 "n" = 1，有由球极投影给出的微分同胚 formula_18。这导致了特殊的霍普夫纤维化 "S"1→"S"3→"S"2。当在 CP1 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 "S"2 上半径 1/2 的通常圆度量。
具体地，如果 "z" = "x" + i"y" 是黎曼球面 CP1 上标准仿射坐标卡，且"x"="r"cosθ, "y" = "r"sinθ 是 C 上的极坐标，则一个简单的计算表明
这里 formula_20 是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 "r" tan(φ/2) = 1, tanθ = "y"/"x" 给出的 "S"2 “数学家的”球坐标（许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换）。
曲率性质.
在 "n" = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 "R" 球面的数量曲率是 formula_21）。但是，对 "n" > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出
这里 formula_23 是 2-维平面 σ 的一个标准正交基，"J" : "T"CP"n" → "T"CP"n" 是 CP"n" 上的复结构，而 formula_24 是富比尼–施图迪度量。
这个公式的一个推论是任何 2-维平面 formula_25 的截面曲率满足 formula_26。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 "J"(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 "J"(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。
这使 CP"n" 成为一个（非严格的）；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 "n"-流形一定同胚于球面。
富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有 "i","j" 我们有
除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 
CP"n" 与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。
量子力学.
富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令
这里 formula_29 是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合，formula_30 是复数，而 formula_31 是射影空间 formula_32 中一点在齐次坐标中的标准记号。那么，给定空间中两点 formula_33 与 formula_34，它们之间的距离是
或等价地，在射影簇记号中，
这里 formula_37 是 formula_38 的复共轭。分母中出现的 formula_39 提醒了 formula_40 以及类似的 formula_41 不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为量子角（quantum angle）。这个角度是实值的，取值于零到 formula_42。
通过取 formula_43，或等价地 formula_44，马上可以等到这个度量的无穷小形式
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;