谱序列

在同调代数中，谱序列是一种藉著逐步逼近以计算同调或上同调群的技术，由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑、群上同调与同伦理论。
动机.
让·勒雷当初为了研究代数拓扑学，而引入层的概念，从而面临计算层上同调的问题。为此，勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法，它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。
人们很快就发现：勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题；更抽象地说，对合成函子取导函子也会得到谱序列，称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架，谱序列仍是最有效的计算工具。
由于谱序列包含大量的项，实际计算时往往会陷入带（至少）三重指标的群或模的迷阵。在许多实际状况中，谱序列最后会「塌陷」，此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷，则须靠一些窍门取得有用的资讯。
形式定义.
以下固定一个阿贝尔范畴 formula_1，常见例子是一个环上的模范畴。谱序列是一个非负整数 formula_2 及下述资料：
通常省去 formula_7 与 formula_8 的同构，而写成等式。
最基本的例子是链复形 formula_11，它带有一个微分 formula_12。取 formula_13，并令 formula_14，于是必有 formula_15；这个新链复形上的微分只有一个自然的选择，就是零映射。于是有 formula_16。综之，我们得到一个链复形范畴上的谱序列：
由于只有 formula_19 时微分映射才可能非零，此序列在第一步后就不含任何新资讯。
较常见的是双分次模（或层）范畴上的谱序列，表作 formula_20，此时的微分映射次数与 formula_21 有关：对于上同调谱序列，formula_5 的次数是 formula_23。对于同调谱序列，通常将各项写成 formula_4，微分映射 formula_25 的次数是 formula_26。
谱序列之间的态射 formula_27 定义为一族态射 formula_28，使之与同构 formula_29 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。
正合偶.
交换代数中大部分的谱序列来自链复形，而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见，此时对于许多谱序列，正合偶是唯一已知的构造法。事实上，正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。
同样固定一个阿贝尔范畴（通常取一个环上的双分次模）formula_1，一个正合偶是：
使之满足下述正合条件：
将这组资料简记为 formula_35。正合偶通常以三角形表示。formula_36 对应到谱序列的 formula_37 项，而 formula_38 是一些辅助资料。
为了得到谱序列的后续项，以下将构造导出偶。令：
现在可以验证 formula_54 构成正合偶。formula_52 对应到谱序列的 formula_56 项。续行此法，可以得到一族正合偶 formula_57。相应的谱序列定义为 formula_58，formula_59。
图解.
一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯，不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 formula_60。对每个 formula_21，设想有一张方格纸，分别让 formula_62 对应于横、纵轴。每一个格子点 formula_63 对应到对象 formula_20。微分 formula_65 的次数为 formula_66，方向如图所示。
收敛与退化.
在第一个简单的例子中，谱序列在 formula_67 后的微分映射皆为零，故不再改变。这时可定义该谱序列的极限为 formula_68。对于一般的谱序列，也往往存在一个极限，极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。
定义：若谱序列 formula_20 对每个 formula_63 都存在 formula_71，使得当 formula_72 时，formula_73 及 formula_74 皆为零，则称 formula_20 之极限项为 formula_76（取充分大的 formula_21）。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列，此时极限项恒存在。
其中的指标 formula_78 指涉过滤结构。
若存在对象 formula_79、过滤结构 formula_80，及一族同构 formula_81，满足 formula_82（这种过滤称为「正则过滤」），则称 formula_20 收敛到 formula_79，通常表为下述符号：
习惯上，人们也常将左式写成 formula_86，因为谱序列中最重要的页往往是 formula_86。
最简单的收敛特例是退化：
定义：固定 formula_88，若对每个 formula_89，微分映射 formula_90 都是零，则称该谱序列在第 formula_21 页退化。
退化性保证了 formula_92，此时 formula_4 即其极限。如果一个双分次谱序列 formula_20 的非零项集中于某一条水平或垂直线上，则必在 formula_95 时退化。
例子.
过滤结构导出的谱序列.
最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象，通常是链复形或上链复形。这是一个对象 formula_36 及微分映射 formula_97 ，使之满足 formula_98，以及
同调群上也有相应的过滤
对此，定义相应的分次对象
取微分映射为零，可视之为复形。
以下式定义谱序列：
此时有 formula_106，且谱序列收敛：
通常也写成 formula_108。
取 formula_1 为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 formula_36 是个上链复形 formula_111，formula_12 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 formula_113，并可进一步化成下述形式：
双复形的谱序列.
以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形，即一组对象 formula_117，及两组微分映射 formula_118 及 formula_119，满足
对一个双复形，可定义其全复形 formula_122（也记为 formula_123 或 formula_124） 为
formula_36 上有两组过滤，分别是：
它们给出两个谱序列 formula_130 与 formula_131。首先计算 formula_132 项：
同理可计算 formula_136：
这两个谱序列通常是不同的，但随著 formula_21 增大，它们都收敛到 formula_141，由此可以得到一些有趣的比较定理。
例子.
Tor函子的交换性.
利用谱序列，可以迅速导出Tor函子的交换性，即一自然同构：
取定平坦分解 formula_143 及 formula_144。视之为集中于正项的复形，其微分映射分别记为 formula_145。考虑双复形 formula_146，其微分映射定义为 formula_147（以使微分映射满足反交换性）。取其谱序列，遂得到：
由于复形 formula_150 是平坦分解，其同调群只集中在零次项，此时其表示式为：
故 formula_153 只在 formula_154 上有非零项，而 formula_155 只在 formula_156 上有非零项，这保证了谱序列在第二页退化，由此导出同构：
当 formula_159 时，上述等式的右项同构（虽然其分次结构不同），由此得到 Tor 的交换性。
示性数.
运用谱序列时，通常会假设某些项为零，或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知，仍可从谱序列中萃取资讯，最简单的例子是示性数：固定一个阿贝尔范畴 formula_1 及一个交换群 formula_36，所谓示性数是一个函数 formula_162，满足：
例如：取 formula_1 为某个域 formula_166 上的有限维向量空间范畴，则 formula_167 是一个示性数。
对任一 formula_1 上的有限复形 formula_169，定义
容易证明 formula_171。考虑任一在 formula_1 上的收敛谱序列 formula_173，由于谱序列的每一页都是前一页的同调，遂得到
然而
于是得到