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牛顿法

牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数formula_1的泰勒级数的前面几项来寻找方程formula_2的根。
起源.
牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（"Method of Fluxions"，1671年完成，在牛顿去世后于1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
方法说明.
首先，选择一个接近函数formula_1零点的formula_4，计算相应的formula_5和切线斜率formula_6（这里formula_7表示函数formula_8的导数）。然后我们计算穿过点formula_9并且斜率为formula_6的直线和formula_11轴的交点的formula_11坐标，也就是求如下方程的解：
我们将新求得的点的formula_11坐标命名为formula_15，通常formula_15会比formula_4更接近方程formula_2的解。因此我们现在可以利用formula_15开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：
已有证明牛顿迭代法的二次收敛必须满足以下条件：<br>
formula_21; 对于所有formula_22，其中formula_23为区间，且formula_4在区间其中formula_23内，即 formula_26 的; <br>
对于所有formula_22，formula_28是连续的; <br>
formula_4足够接近根。<br>
然而当formula_30在formula_31处有m重根时，这时牛顿法会降为线性收敛，虽然使用牛顿法也可以继续算下去，但收敛速度会减慢。
其它例子.
第一个例子.
求方程formula_32的根。令formula_33，两边求导，得formula_34。由于formula_35，则formula_36，即formula_37，可知方程的根位于formula_38和formula_39之间。我们从formula_40开始。
第二个例子.
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。
求formula_42的formula_43次方根。
formula_44
设formula_45，formula_46
而a的m次方根，亦是x的解，
以牛顿法来迭代：
formula_20
formula_48
formula_49
（或 formula_50）
应用.
求解极值问题.
牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零，故可用牛顿法求导函数的零点，其叠代式为
求拐点的公式以此类推
电脑程式.
可以用程式写出牛顿法:
例题:formula_52 求x
用Python:<syntaxhighlight lang="python3" line="1">
from math import pow
def f(x):
def dx(x):
x = 1
for i in range(1000):
print(x)
</syntaxhighlight>用C语言:<syntaxhighlight lang="c" line="1">
double x = 1.0;
double f(double x){
double dx(double x){
int main (){
</syntaxhighlight>只要修改f(x)和dx(x)函数就可以解其他方程式
图像压缩技术

图像压缩技术是计算机科学中数据压缩技术的一个分支。因为大多图像来自照相机或录像机，数据不规则，传统无损压缩算法做不好，所以图像压缩技术一般是有损压缩。学科分为：
有限域

在数学中，有限域（finite field）或伽罗瓦域（Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 为素数时，整数对 取模。
有限域的元素个数称为它的阶。
有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽罗瓦理论、有限几何学、密码学和编码理论。
存在性与唯一性.
设 为质数幂， 为多项式
于质数域 上的分裂域。换言之， 是最低阶的有限域，使得 在 内有 个互异的根（注意 的为 formula_6 ，因此 无重根）。
利用二项式定理，可证恒等式
在特征为 的域上成立（中一新生之梦）。此恒等式说明 任两根之和或积仍为 的根。同时， 的根的乘法逆元仍是根，因此 的根构成一个 阶的域。由 的最小性，可知此域即为 。
由于分裂域在同构意义下唯一， 阶域也在同构意义下唯一（已证其为 formula_5 的分裂域）。而且，若域 有一个阶为 formula_9 的子域，则其元素恰为 formula_10 的 个根，所以 不能包含另一个阶为 的子域。
E·H·摩尔于 1893 年证明了以下的分类定理，可作为本节的总结：
由此可知， 有同构于 的子域当且仅当 整除 ；该情况下，仅有唯一的子域与 同构。多项式 整除 也是当且仅当 整除 
弗罗贝尼乌斯自同构和伽罗瓦理论.
设 为质数， 为质数幂。
在 中，恒等式 说明映射
是 上 -线性的域自同构，其保持子域 的元素。该映射称为弗罗贝尼乌斯自同构，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。
记 为 的 次叠代，则
此前已证明 为恒同映射。若 , 则自同构 并非恒同映射，否则多项式
就有多于 个根，矛盾。
此外 并无其他 -自同构。换言之， 恰有 个 -自同构，其为 
以伽罗瓦理论观之， 是 的伽罗瓦扩展，且其伽罗瓦群为循环群。
弗罗贝尼乌斯映射为满射，因此任意一个有限域都是。
一些小型的有限域.
F2:
F3:
F4: 考虑formula_17 方程的根不在F2中。记其中一根为"A", 则formula_18且另一根为
formula_19
浙菜

浙菜起源于中国浙江，是中国八大菜系之一，由杭帮菜、宁波菜、绍兴菜、瓯菜（即温州菜）组成。部分人认为，苏南菜也是浙菜的组成部分之一。
浙菜的四方风味既各有特长，又具有共同的四个特点：选料讲究，烹饪独到，注重本味，制作精细。菜式小巧精致，菜品鲜美、脆软清爽。主要代表性酱料有黄酒、葱油等，总体口味偏清淡，北部偏甜，东部偏咸，西部偏辣。烹调技法擅长于炒、炸、烩、溜、蒸、烧。
2020年代随着新荣记的成功经营，台州菜逐渐流行，并进入高端中餐市场。
杭州菜.
以爆、炒、烩、炸等烹调技法见长，菜肴清鲜爽脆、淡雅精致。代表菜肴有龙井虾仁、西湖醋鱼、宋嫂鱼羮、东坡肉、生爆鳝片、西湖莼菜汤、薄片火腿、八宝豆腐、叫化童鸡、荷叶粉蒸肉等。 
宁波菜.
擅长烹制海鲜，口味鲜咸合一，烹调技法以蒸、烤、炖见长，讲究鲜嫩软滑，注重保持原味，色泽较浓。代表菜肴有雪菜大汤黄鱼、苔菜拖黄鱼、目鱼大烤、冰糖甲鱼、锅烧鳗、溜黄青蟹、三丝拌蛏、宁波烧鹅等。
绍兴菜.
富有江南水乡风味，作料以鱼虾河鲜和鸡鸭家禽、豆类、笋类为主，讲究香酥绵糯、原汤原汁，轻油忌辣，汁浓味重。其烹调常用鲜料配腌腊食品同蒸或炖，且多用绍兴酒烹制，故香味浓烈。代表菜肴有糟溜虾仁、干菜焖肉、绍虾球、头肚醋鱼、鉴湖鱼味、清蒸桂鱼等。
温州菜.
又称“瓯菜”，以擅烹海鲜闻名，菜品口味清鲜，淡而不薄，烹调讲究轻油、轻芡、重刀工。代表菜肴有爆墨鱼花、锦绣鱼丝、马铃黄鱼、双味梭子蟹、纲油黄鱼、炸溜黄鱼，蒜子鱼皮等。
闽菜

闽菜，又称福建菜，是中国八大菜系之一。根据地域分为福州菜、闽西菜、莆田菜、闽北菜和闽南菜五种类型，其中以省城福州菜为闽菜的代表。
福建地处东南沿海、盛产多种海鲜，使闽人长于烹饪海鲜，而福建境内山峦起伏，丛林茂密，气候温暖，故山珍，蔬果，野味也极为丰富，加以地形复杂多变，使得闽菜极为多元化。
福建的福州、泉州、厦门等地长期为东洋、南洋乃至西亚与东亚海上交通的枢纽，故闽菜的食材和技术都深受这些海外地区的影响。而福建历史上长期地狭人稠，种植茶 、甘蔗、烟草、水果等经济作物的历史也长，主粮稻米、 小麦多无法自给，也在一定程度上决定了闽菜，特别是小吃的面貌。
闽菜除了一般调味料外，还有虾油、虾酱、酸杏等；又较突出『糟』味，有红糟、白糟、糟等之别，味道方面，注重清鲜、酸、甜、咸、香，在宴席中最后一道菜一般都是时令青菜，取“清菜”之意。制汤则有『一汤十变』之誉，烹调方法上以溜、蒸、炒、煨、-{zh-hans:炖; zh-hant:炖;}-最为常见，著名的菜肴有佛跳墙、扁肉燕、福州鱼丸、醉排骨、荔枝肉、红糟鸡、闽生果、淡糟香螺片、鸡汤汆海蚌等。
由于闽人数百年来向海外的持续移民，闽菜为中国菜里在海外影响力最大的菜系之一，特别是对台湾料理的创建有著卓越贡献，亦影响了日本料理、新加坡菜和马来西亚菜的发展。
特色.
福州菜.
总体来讲选料精细，刀工严谨，清爽淡雅，偏于酸甜、咸香，汤鲜味美。一大特色是善于用红糟作配料，具有防变质及去腥的作用。另外也好用鱼露（福州话称“虾油”）。
闽北菜.
因受江西菜影响，辣味菜式较多，但也有许多口味清淡的传统菜色。食材以河鲜，野味，蔬果菌菇为主，善用草药和蒸，炖技法，乡土气息浓厚。
莆田菜.
以味多、味广、味浓为特色，又以清鲜淡雅、略带甜味见长，风味介于福州菜和闽南菜之间。尤以小吃种类丰富多彩著称。
闽南菜.
讲究佐料丰富，尤其使用酱料沾食的菜色较多，亦善于搭配香料和药膳。闽南菜对台湾菜、潮州菜与东南亚华裔社区的各菜系影响很深，台湾人和南洋华裔爱沾酱或卤味的吃法，即是受此影响。反过来也受到南洋的影响，如沙茶酱的广泛使用。
闽西菜.
客家菜的一个分支，稍偏咸辣，具有浓厚的山区风味。客家菜一大特征是对于肉类食材的使用并无忌讳，其菜肴中就包括有不少其它类型闽菜一般不会用到的狗肉、猫肉、鼠肉等食材。对豆腐的烹法也独具一格，有酿豆腐，焖豆腐，豆腐丸，豆腐饺等多种名菜。
调味品.
福建的独特调味品包括鱼露、虾酱、糖、沙茶酱和杏脯。生产米酒的酒糟也常用于该地区菜肴的各个方面。红曲也常用于福建菜中，给食物带来玫瑰红色的色调，香气宜人，味道略甜。
福建也以其“醉酒”（葡萄酒腌制）菜肴而闻名，并以其用于为菜肴、汤和炖菜调味的汤料和底料而闻名。
徽菜

徽菜起源于徽州，而不能等同于安徽菜，是中国八大菜系之一。徽州，今安徽黄山市、绩溪县及江西婺源县。因处于两种气候交接地带，雨量较多、气候适中，物产特别丰富。黄山的植物就有1470多种，其中不少可以食用。徽州是山区，山珍野味构成了徽菜主佐料的独到之处。主要名菜有"火腿炖甲鱼"，"红烧果子狸"、"腌鲜鳜鱼"、"黄山炖鸽"、“徽州毛豆腐”、“徽州桃脂烧肉”等上百种。
徽菜的主要特点：烹调方法上擅长烧、炖、蒸，而爆、炒菜少，重油、重色，重火功。
历史.
徽菜发端于唐宋，兴盛于明清，民国间继续发展。徽菜起源于歙县（古徽州）。后来，由于新安江畔的屯溪小镇成为"祁红"、"屯绿"等名茶和徽墨、歙砚等土特产品的集散中心，商业兴起，饮食业发达，徽菜也随之转移到了屯溪，并得到了进一步发展。
宋高宗曾问歙味于学士汪藻，汪藻举梅圣俞诗对答“雪天牛尾狸，沙地马蹄鳖”。牛尾狸即果子狸，又名白额。据《徽州府志》记载，早在南宋间，用徽州山区特产"沙地马蹄鳖，雪天牛尾狸"做菜已闻名各地。
徽菜的形成与江南古徽州独特的地理环境、人文环境、饮食习俗密切相关。徽州食材独特丰富名目繁多的风俗礼仪、时节活动，也促进徽菜的形成和发展。在绩溪，民间宴席中，县城有六大盘、十碗细点四，岭北有吃四盘、一品锅，岭南有九碗六、十碗八等。
关于徽菜的传播与发展有以下几种说法：
特色.
徽菜的红烧是一大类，而红烧的"红"，表现在使用酱油上。徽州的酱油是黄豆制成的，保存本色。炒菜用油是自种自榨的菜籽油，并使用大量木材作燃料：有炭火的温炖，有柴禾的急烧，有树块的缓烧。传统中的重油、重色、重火功，有徽州的特殊条件。
徽菜之重火工是历来的优良传统，其擅长烧、炖、熏、蒸等功夫菜上，不同菜肴使用不同的控火技术，形成酥、嫩、香、鲜独特风格的基本手段，其中最能体现徽式特色的是滑烧、清炖和生熏法。
名菜.
徽菜历史上有五六百个品种，经过挑选巩固和创新，如今确定的有120多个新老品种。其最有代表性的莱肴有：
泰勒级数

在数学中，泰勒级数（Taylor series，Taylor expansion）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。，以苏格兰数学家科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）的名字命名。
拉格朗日在1797年之前，最先提出带有余项的现在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。
定义.
在数学上，对于一个在实数或复数formula_1邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数formula_2，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：
这里，formula_4表示formula_5的阶乘，而formula_6表示函数formula_7在点formula_1处的formula_5阶导数。如果formula_10，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。
解析函数.
如果泰勒级数对于区间formula_11中的所有formula_12都收敛并且级数的和等于formula_2，那么我们就称函数formula_2为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的余项，这样就能够确定级数是否收敛于formula_2。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：
对于一些无穷的可以被微分函数formula_2，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于formula_2。例如，分段函数formula_18，如果formula_19并且formula_20，则formula_21时所有的导数都为零，所以这个formula_2的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数formula_2仅在formula_21处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当formula_25沿虚轴趋于零，formula_26并不趋于零。
如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量formula_12是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在formula_21的时候，formula_18会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。
最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——。用皮卡反复运算便可以推导出这个方法。
常用的函数:麦克劳林级数.
下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量formula_12是复数时，这些等式依然成立。
几何级数.
由无穷递缩等比数列求和式:formula_31
指数函数和自然对数.
以formula_35为底数的指数函数的麦克劳林级数是
以formula_35为底数的自然对数的麦克劳林级数是
三角函数.
常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林级数：
多元函数的展开.
泰勒级数可以推广到有多个变量的函数：
formula_50
历史.
希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。
进入14世纪，最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。
到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。
麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。
与牛顿插值公式的渊源.
牛顿插值公式也叫做牛顿级数，由“牛顿前向差分方程”的项组成，得名于伊萨克·牛顿爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续“泰勒展开”的离散对应。
差分.
对于x值间隔为非一致步长，牛顿计算均差，对"x"值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况，计算差分，前向差分的定义为：
插值公式.
牛顿前向差分插值公式为：
这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。
无穷级数.
牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了formula_53的无穷级数，在1666年得出了formula_54和formula_55的无穷级数，在1669年的《分析学》中发表了formula_56、formula_57、formula_54和formula_59的无穷级数；莱布尼茨在1673年大概也得出了formula_56、formula_57和formula_55的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa 》中研讨了有限差分方法，其中论述了他在1712年得出的泰勒定理，这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出，而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。
他对牛顿的均差分的步长取趋于formula_63的极限，得出：
二叉堆

二叉堆（Binary heap）是一种特殊的堆，二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。二叉堆满足堆特性：父节点的键值总是保持固定的序关系于任何一个子节点的键值，且每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆。
当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为「最大堆」。当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为「最小堆」。
存储.
二叉堆一般用数组来表示。如果根节点在数组中的位置是1，第"n"个位置的子节点分别在2"n"和 2"n"+1。因此，第1个位置的子节点在2和3，第2个位置的子节点在4和5。以此类推。这种基于1的数组存储方式便于寻找父节点和子节点。
如果存储数组的下标基于0，那么下标为i的节点的子节点是2"i" + 1与2"i" + 2；其父节点的下标是⌊"floor"(("i" − 1) ∕ 2)⌋。函数"floor"("x")的功能是“向下取整”，或者说“向下舍入”，即取不大于"x"的最大整数（与“四舍五入”不同，向下取整是直接取按照数轴上最接近要求值的左边值，即不大于要求值的最大的那个值）。比如"floor"(1.1)、"floor"(1.9)都返回1。
如下图的两个堆：
将这两个堆保存在以1开始的数组中：
对于一个很大的堆，这种存储是低效的。因为节点的子节点很可能在另外一个内存页中。B-heap是一种效率更高的存储方式，把每个子树放到同一内存页。
如果用指针链表存储堆，那么需要能访问叶节点的方法。可以对二叉树“穿线”(threading)方式，来依序遍历这些节点。
基本操作.
在二叉堆上可以进行插入节点、删除节点、取出值最小的节点、减小节点的值等基本操作。
插入节点.
在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点（称作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比较当前节点与父节点，不满足「堆性质」则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为formula_1。
删除根节点.
删除根节点用于堆排序。
对于最大堆，删除根节点就是删除最大值；对于最小堆，是删除最小值。然后，把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点：对于最大堆，父节点如果小于具有最大值的子节点，则交换二者。这一操作称作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至当前节点与它的子节点满足「堆性质」为止。
下属对最大堆的自上而下调整堆的伪代码中，数组A的下标索引值是从1开始：
Max-Heapify ("A", "i"):
"left" ← 2"i"
"right" ← 2"i" + 1
"largest" ← "i"
if "left" ≤ "heap_length"["A"] and "A"["left"] > A["largest"] then:
"largest" ← "left"
if "right" ≤ "heap_length"["A"] and "A"["right"] > "A"["largest"] then:
"largest" ← "right"
if "largest" ≠ "i" then:
swap "A["i"] ↔ "A"["largest"]
Max-Heapify("A", "largest")
构造二叉堆.
一个直观办法是从单节点的二叉堆开始，每次插入一个节点。其时间复杂度为formula_2。
最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始，自底向上对每一个子树执行删除根节点时的Max-Heapify算法（这是对最大堆而言）使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言，假设高度为h的子树均已完成二叉堆化，那么对于高度为h+1的子树，把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整，最多需要h步完成二叉堆化。可以证明，这个算法的时间复杂度为formula_3。
建造最大堆的伪代码：
Build-Max-Heap ("A"):
"heap_length"["A"] ← "length"["A"]
for "i" ← "floor"("length"["A"]/2) downto 1 do
Max-Heapify("A", "i")
合并两个二叉堆.
最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中，然后构造新的二叉堆。时间复杂度为formula_4，其中n、k为两个堆的元素数目。
如果经常需要合并两个堆的操作，那么使用二项式堆更好，其时间复杂度为formula_1。
三纲五常

三纲五常，又简称纲常，中国儒家伦理架构，起源先王之学，经“思孟学派”“五行”阐发，历经汉朝，并盛行于宋、明、清三代。三纲即三伦理：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲。五常即五人伦：仁、义、礼、智、信
起源.
三纲之观念原存于法家，在《韩非子·忠孝》中，首次提出：“臣事君，子事父，妻事夫，三者顺，天下治；三者逆，天下乱。”儒家的孟子提出「恻隐之心」、「羞恶之心」、「辞让之心」、「是非之心」，分别为「仁」、「义」、「礼」、「智」的源头，并列「四端」。
而“三纲、五常”的说法来源于西汉董仲舒的《春秋繁露》一书。董仲舒从天人关系出发，根据“天尊地卑”思想，明辨了三纲五常，称“惟天子受命于天，天下受命于天子”；又循“阴阳五行”说，确立了“纲常”理论，孔子曰：“天数右阳而不右阴”。(董仲舒)又说:“君臣父子夫妇之义皆取诸阴阳之道，君为阳，臣为阴；父为阳，子为阴；夫为阳，妇为阴。”<春秋繁露: 基义>
后汉章帝召开白虎观会议，定“三纲”之说。《白虎通义·三纲六纪》称“三纲者何﹖……君为臣纲﹑夫为妻纲﹑父为子纲。”这种名教（名份与教化）观念是儒家政治思想的重要组成，即通过上定名份来教化天下，以维护社会的伦理纲常、政治制度。
隋代王通与宋代朱熹均联用过三纲五常。朱熹提出“存天理，灭人欲”，“人欲”即指一切违背三纲五常的动机与行为。朱熹认为：“宇宙之间一理而已。天得之而为天，地得之而为地，而凡生于天地之间者，又各得之以为性；其张之为三纲，其纪之为五常，盖皆此理之流行，无所适而不在。若其消息盈虚，循环不已，则自未始有物之前，以至人消物尽之后，终则复始，始复有终，又未尝有顷刻之或停也。”三纲五常本指天理人事的应对进退，但后被设立为封建“道统”，甚至导致「礼教杀人」的状况发生.
说文解字记载「玉，石之美者有五德。润泽以温，仁之方也；䚡理自外，可以知中，义之方也;其声舒扬，专以远闻，智之方也；不挠而折，勇之方也；锐廉而不忮，洁之方也。」孔子曰：「君子比德于玉」。君子无故玉不去身，玉有五德，润泽以温是谓仁，廉而不刿是谓义，垂而坠不飞扬是谓礼，缜密坚实是谓智，质地明晰是谓信。」
子贡问于孔子曰：「敢问君子贵玉而贱玟者何也？为玉之寡而玟之多与？」孔子曰：「非为玟之多故贱之也、玉之寡故贵之也。夫昔者君子比德于玉焉：温润而泽，仁也；缜密以栗，知也；廉而不刿，义也；垂之如队，礼也；叩之其声清越以长，其终诎然，乐也；瑕不掩瑜、瑜不掩瑕，忠也；孚尹旁达，信也；气如白虹，天也；精神见于山川，地也；圭璋特达，德也。天下莫不贵者，道也。《诗》云：『言念君子，温其如玉。』故君子贵之也。」
影响.
三纲五常既有儒家的观念，也有法家观念。东汉马融将“三纲”同“五常”相提并论，合称为“三纲五常”，造成了人们对孔孟之道的误解。孔子从没要求“君要臣死，臣不得不死；父要子亡，子不得不亡”，孔子有言：“君使臣以礼，臣事君以忠”，“士有诤友，则身不离于令名；父有诤子，则身不陷于不义。故当不义，则子不可以不诤于父，臣不可以不诤于君。故当不义，则诤之，从父之令，又焉得为孝乎？”。孟子则更进一步阐述：“君之视臣如手足，则臣视君如腹心；君之视臣如犬马，则臣视君如国人；君之视臣如土芥，则臣视君如寇雠。”
应用科学大学

应用技术大学（，缩写：FH/FHS，University of Applied Sciences），也译应用科学大学。应用技术大学提供多样化的专业，包含工程科学，自然科学，社会科学，经济学，法律等。当前应用科学大学的专业设置正朝着多专业化的方向发展。应用科学大学相对普通大学的教学来说更注重学生的实践和专业能力而普通大学会较注重学术能力。而在科研和技术改进的的角度来说应用技术大学更加扮演了知识转移、技术研习和信息转播的角色。应用科技大学提供企业与业界紧密合作，采用学校与企业紧密结合的双元合作教育模式。应用科技大学学生拥有以实务为导向的特质，以及业界所需最新的专业领域知识，深受业界青睐，因此应用科技大学毕业生起薪薪资与普通大学毕业生相当，相对而言应用科技大学毕业生学术能力稍有不及但就业机会却远高于普通大学毕业生。
各地情况.
德国.
应用科学大学依德语直译为高等专科学校，是欧洲德语区的一种高校形式，在德国、奥地利、瑞士、列支敦士登、芬兰等国存在。
德国高校大致可分为大学（Universität）和高等专科学校（Fachhochschule）两类。两者相比，高等专科学校的教学强调结合实际，实行固定学期制。而大学的学科设置更加全面，目的以教学和科研、培养科学人才为主。有许多高等专科学校增设专业，更加综合化，为此德国教育界有人主张将Fachhochschule改名为Hochschule（高等学校，去掉意为专科的“Fach”），或者把“高等专科学校”（Fachhochschule）按英译（University of Applied Sciences）改为“应用科学大学”（Hochschule für angewandte Wissenschaft）。巴登符腾堡州在2005年通过法律，要求全州的Fachhochschule改名为Hochschule。这一举动引发了争议。有人认为，Hochschule不能授予博士学位，也几乎没有科研项目，原名Fachhochschule更能反映其办学特点，“高等学校”（Hochschule）之名过于宽泛。也有人指出，改名只是为了吸引生源而已。
入学条件.
由于德国是由各邦州自主教育，因此应用科技大学入学条件各略有不同。一般学生在高中生毕业后参加高中会考，依据成绩高低申请就读应用科技大学。一般而言，只要是高级职业学校毕业，或经同等学历认证亦可申请就读应用科技大学；此外也有针对在职者再进修，或没有中等学历毕业证明者，可依各邦州规定不同，另行通过不同管道入学。此外，为因应国际化需求，针对外国学生，只要在德国或本国国内取得相同或同等学历证明，以及适当之德语能力证明者，均可申请入学。若是没有同等学历亦可参加检定考试；通常会让学生参加所谓的大学先修班（Studienkolleg）修业两学期；语言能力部分则是需具有二级语言证明书（deutsche Sprachdiplom Stufe II）。
学制.
四至五年，少数情况下也有四年以下的。其中包括寒暑假期间实习或一至二个实习学期。相较一般大学，应用科技大学的课程安排比较精简，学生修业年限比一般大学短。
学位.
以往的学制下，学生毕业后即可取得“应用科学大学文凭”（Diplom FH）。但现在为要适应国际市场的需要，在波隆那协议的规范下，许多应用科技大学已引进英美的学士以及硕士学位制度，应用科技大学的硕士毕业生可以在其他一般大学攻读博士学位。
于《2023年度香港行政长官施政报告》中提出发展香港成为国际专上教育枢纽，并推动成立应用科学大学。其后教育局委任香港学术及职业资历评审局为顾问，订立成为应用科学大学的条件，范畴涵盖管治、管理、质素保证、学习环境及学生支援，以及业界合作和认受性。经评审局进行机构评审，香港都会大学于2024年3月21日获教育局批准成为首间应用科学大学。圣方济各大学于同年11月1日获批准成为香港第二所应用科学大学。
2024年11月11日，香港政府宣布应用科学大学联盟在教育局的推动下正式成立，其创会成员共有四所专上院校，其中香港都会大学和圣方济各大学为正式成员，而东华学院和香港高等教育科技学院则为附属成员。
胶原蛋白

胶原蛋白（collagen）又称胶原，是动物细胞外基质和结缔组织的主要结构蛋白质成分，由成纤维细胞分泌，而本身又由原胶原蛋白分子组成，多形成纤维状结构。胶原纤维（collagen fiber）又称白纤维（white fiber），则是由构成，也是疏松结缔组织中的主要纤维成分，新鲜时呈白色。
胶原蛋白为哺乳类动物体内含量最多的一类蛋白质，占哺乳类总蛋白质量的20%~30%，广泛存在于从低等脊椎动物的体表面到哺乳动物机体的一切组织中，也是人体的一种非常重要的蛋白质，主要存在于结缔组织中，且植物组织中无此蛋白。它有很强的伸张能力，是韧带的主要成份，胶原蛋白也是细胞外基质的主要组成成分。它使皮肤保持弹性，而胶原蛋白的老化，则使皮肤出现皱纹。胶原蛋白亦是眼睛角膜的主要成份，但以结晶形式组成。胶原蛋白无法被人体直接吸收，口服会被分解为氨基酸。
胶原蛋白的名称来自希腊语κόλλα（kólla），意思是“胶水”，后缀-γέν，-gen表示“生产”。这得来于早期，人们煮沸马匹和其他动物的皮肤和肌腱里的胶原蛋白以获得胶水的过程。
胶原蛋白构造.
构成胶原的氨基酸序列非常有特色。首先，它富含甘氨酸和脯氨酸残基，前者的含量达到总氨基酸残基的1/3后者则接近1/4；其次，序列中含有胺基酸的衍生物和羟脯氨酸，这两种氨基酸是在蛋白质一级结构序列形成之后由特定的酶作用于序列中的赖氨酸和脯氨酸形成的；最后，它的序列中只含有很少的酪氨酸残基，并且不含有色氨酸和半胱氨酸残基。胶原蛋白一级结构的另一个特点是它的氨基酸的排列。这些氨基酸一般以-甘氨酸-脯氨酸-羟脯氨酸-三联交替出现的顺序排列。只有很少的蛋白质有这样规则的氨基酸排列。
在空间结构上，胶原蛋白显示出特殊的三股螺旋缠绕的结构，三条相互独立的胶原蛋白肽链依靠甘氨酸之间形成的氢键维系三股螺旋相互缠绕的结构。胶原蛋白肽链的三股螺旋结构不同于普通的α螺旋结构，它的螺距更大，但每一圈螺旋所包含的氨基酸残基数却很小，仅为3.3个，因此胶原蛋白的三股螺旋显得细而长，螺旋中间的空间很小，仅能容纳一个氢原子，只有甘氨酸能够胜任这个位置。另外脯氨酸所特有的肽平面夹角也是形成这种特殊螺旋结构的必须因素。这也是胶原蛋白肽链中-甘氨酸-脯氨酸-羟脯氨酸-三联序列交替出现的原因。胶原蛋白这种特殊的三股螺旋结构保证了它的机械强度。这种三股螺旋被称为原胶原（procollagen）。
若干个原胶原横向堆积，序列中所含有的羟赖氨酸和羟脯氨酸侧链在酶作用下氧化生成醛，相互之间发生羟醛缩合反应形成原胶原之间的共价链接，这种结构被称为胶原微纤维。许多胶原微纤维横向堆积，以相同的方式通过共价键链接，形成胶原纤维。胶原纤维是胶原蛋白行使生理作用的基本形态，在生物体内胶原纤维交织成富有机械强度和弹性的网状结构成为结缔组织最基本的组成成分。
类型.
至今约有28型不同的胶原蛋白被发现，但仍均有三股螺旋缠绕的结构。在人体超过90%的胶原蛋白是I型胶原蛋白，软骨的主要胶原成分则为II型胶原蛋白。
口服及外用争议.
对口服的胶原蛋白产品，在消化过程中也和其他蛋白质一样：由于人体很难直接吸收蛋白质或多肽，口服蛋白质、多肽后，几乎都会在消化道消化成氨基酸后才被人体吸收，据组织需求再重新合成的蛋白质，与原本口服的胶原蛋白无关。
对外用的胶原蛋白产品，在涂抹于皮肤后也与其他蛋白质一样：分子过大而无法渗透至真皮层，仅有覆盖保湿的作用。
实际上，口服或外用胶原蛋白，目前都没有证据显示额外补充胶原蛋白对延缓衰老和除皱有特殊功效。
研究指出口服胶原蛋白可以提升皮肤弹性、湿度，以及皮肤胶原蛋白密度。
宝瓶座

宝瓶座（Aquarius，Aquarius，天文符号：♒），又叫水瓶座，星座日期1/20~2/19，是黄道带星座之一，面积为979.85平方度，占全天面积的2.375%，在全天88个星座中排行第十位。宝瓶座中亮于5.5等的恒星有56颗，最亮星为虚宿一（宝瓶座β），视星等为2.90。每年8月25日子夜，宝瓶座中心上中天。
特征.
宝瓶座是一个大但暗的星座，位于黄道带摩羯座与双鱼座之间，东北面是飞马座、小马座、海豚座和天鹰座，西南边是南鱼座、玉夫座和鲸鱼座。
神话和历史.
星座神话.
宝瓶座的神话有四个说法：
历史.
1846年9月23日，德国天文学家加勒根据法国天文学家勒威耶的计算，在宝瓶座ι附近发现海王星。海王星也因此被称为「在笔尖下发现的行星」。
恒星.
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重要主星表.
"主词条：宝瓶座恒星列表"
深空天体.
流星雨.
主要有三个流星雨的辐射点位于宝瓶座内：宝瓶座η流星雨、宝瓶座δ流星雨和宝瓶座ι流星雨。
宝瓶座η流星雨是辐射点在宝瓶座内最大的流星雨，它的尖峰时间出现在5月5-6日，每小时约可见35颗流星。早在西元前401年，中国天文学家就已经发现这个流星雨，从4月21日迄5月12日都可以看见宝瓶座η流星雨出没在瓶口附近。这个流星雨的母天体是哈雷彗星，是一颗周期彗星。在高峰期之后有短暂的时间，大约在5月9日至11日，常会出现火球，流星痕通常会出现黄色。
宝瓶座δ流星雨有两个辐射点，分别位于星座的南边和北边靠近双鱼座的一个圆圈状的小星群。它的两个高峰分别出现在7月29日和8月6日。南辐射点的高峰期每小时约有20颗流星，北辐射点的高峰期大约有10颗流星。
宝瓶座ι流星雨比较微弱，高峰期在8月6日，每小时约有8颗流星。
中国星官.
中国古代传统中宝瓶座天区包括女宿的女，虚宿的虚、哭、泣、天垒城、司禄、司命，危宿的危、坟墓、虚梁、盖屋和室宿的羽林军、垒壁阵、𫓧钺等星官。
内陆国家

[[File:Landlocked_countries.svg|350px|thumb|right|《世界概况》（"The World Factbook"）定义的内陆国家。
内陆国家（英语：Landlocked country）指四面均与陆地接壤而完全没有海岸线的国家。目前，世界上有44个内陆国家，其中两个是双重内陆国家（列支敦士登和乌兹别克斯坦），还有三个事实上的内陆国家。哈萨克斯坦是世界上最大的内陆国家，而埃塞俄比亚是世界上人口最多的内陆国家。两个双重内陆国家，即本国是内陆国家而且周围邻国也均为内陆国家的国家。岛屿国家是内陆国家的相对概念，意指一个国家的四周皆邻靠海洋而完全不与其他陆地接壤。
内陆国家的英语名称中，「Landlocked country」解作「陆地封锁的国家」。
历史.
1990年，全世界只有30个内陆国家。然而，苏联和捷克斯洛伐克解体，南斯拉夫解体，南奥塞梯（事实上的国家）、厄立特里亚、黑山、南苏丹和卢甘斯克人民共和国（事实上的国家）的独立公投，以及科索沃（事实上的国家）单方面宣布的独立，产生了15个新的内陆国家和5个事实上的内陆国家，而原内陆国家捷克斯洛伐克于1993年1月1日不复存在。
2022年9月30日，卢甘斯克人民共和国（事实上的国家）被俄罗斯吞并，不再作为内陆事实上的国家存在。
2023年9月19日，阿塞拜疆对阿尔察赫共和国（事实上的国家）发动了新的攻势并取得决定性胜利。 阿尔察赫共和国政府于2024年1月1日正式解散。结果，阿尔察赫不复存在作为内陆事实上的国家，纳戈尔诺-卡拉巴赫地区重新并入阿塞拜疆。
截至2024年4月1日，世界上共有44个内陆国家和三个事实上的内陆国家（科索沃、南奥塞梯和德涅斯特河沿岸）。
缺点.
对于一个现代国家而言，没有海岸线传统上被认为是一种缺点，因为不靠海除了让该国无法利用如渔业之类的海洋资源之外，最重要的是这样的国家无法发展海运。这样的缺点在以往的海权时代，代表这国家很难在海外探索与殖民方面占有优势，而在今日则代表它缺乏发展航海贸易的空间，而影响到国家的国际贸易能力。
进入海洋的通路.
第六任美国总统约翰·昆西·亚当斯首先提出“一切国家都有与海洋交往的权利”的概念。内陆国家有三种方法与海洋取得联系：一、利用国际性江河；二、取得沿海邻国的过境权；三、获得通往海洋的领土走廊。其中只有第三种方法在实际上可以结束一个国家的内陆国状态。
根据国际公法，内陆国家在临海邻国拥有过境权，即其人员、运输工具和货物拥有不受阻挠地通过邻国领土的权利。内陆国家利用国际性江河通往海洋的情况则需要取决于该国境内是否具备可以通航的国际性河流。1919年，《凡尔赛和约》规定捷克斯洛伐克可以自由利用易北河航道和汉堡港口。奥地利和匈牙利则通过国际性条约获准使用多瑙河航道进行江海航运。此外，根据1986年《联合国船舶登记条件公约》，每个国家，不论是沿海国或内陆国，均有权使悬挂其国旗的船舶在公海上行驶。
内陆国家类型.
依照内陆国家与邻国之间的地理关系，内陆国家有几种不同的类型，其中有几种较为特殊的分布：
准内陆国家.
虽然不算是内陆国家，但这类国家因海岸线太短、占不到5%的国界长度，特性类似于完全没有海岸线的内陆国家：
内陆国家和部分承认的内陆国列表.
下表列出的是世界上各内陆国家与具有内陆国家特性但受到有限承认的政治实体名单，与各国/地区的面积与人口。
它们可以按以下方式分组为“连续”组：
注:#如果德涅斯特河沿岸（有限承认国家）被包括在内，那么摩尔多瓦和德涅斯特河沿岸就组成了自己的东欧集群。
有以下14个“单一”内陆国家（每个国家都不与其他内陆国家接壤）：
注释:
椭圆曲线

在数学上，椭圆曲线（Elliptic curve，缩写为EC）为一平面代数曲线，由如下形式的方程定义
且满足其是无奇点的；亦即，其图形没有尖点或自相交。（当的特征为2或3时，上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线；见下面的#一般域上的椭圆曲线。）
正式地，椭圆曲线是、、亏格为1的代数曲线，其上有一个特定的点"O"。椭圆曲线是 – 也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 "O"即为单位元。
若formula_2，其中P为任一没有重根的三次或四次多项式，然后可得到一亏格1的无奇点平面曲线，其通常亦被称为椭圆曲线。更一般化地，一亏格1的代数曲线，如两个三维二次曲面相交，即称为椭圆曲线。
运用椭圆函数理论，可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。
椭圆曲线的形状不是椭圆。命名为椭圆曲线的原因是此曲线原来和椭圆函数有关。在拓扑学上，复数的椭圆曲线是环面，而复数的椭圆会是球面。
实数域.
尽管椭圆曲线的正式定义需要一定的代数几何背景，在实数上的椭圆曲线的一些特征可以使用入门级别的代数与几何来描绘。
这种情况下，椭圆曲线是由下列方程定义的平面曲线：
其中"a"和"b"为实数。这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程。
椭圆曲线的定义也要求曲线是。几何上来说，这意味着图像里面没有尖点、自相交或孤立点。代数上来说，这成立当且仅当判别式
不等于0。（尽管这里的因子−16与曲线是否是非奇异的无关，这样定义判别式在对椭圆曲线进行更深入的研究时有用。）
非奇异椭圆曲线的（实）图像在判别式为正的时候有两个连通分量，在判别式为负时则有一个连通分量。例如，在本小节的图像中，第一个曲线的判别式为64，而第二个曲线的判别式为−368。
群律.
在射影平面上，可以定义任意光滑三次曲线的群结构。若以Weierstrass正规式表示，曲线会多一个无穷远点"O"，其齐次坐标 [0:1:0]，也是群的单位元。.
因为曲线的对称轴是X轴，假定任意点"P"，可以在相对X轴的位置找到点−"P"，令−"O"即为"O"。
若"P"和"Q"是曲线上的二点，可以用以下的方式定义唯一的第三点"P" + "Q"。先划出通过"P"和"Q"的直线，大多数的情形下，此直线会和曲线交于第三点"R"，令为−"R"，是"R"相对X轴的对应点。
在少数的情形下，以上的定义会不适用，分别是有关无穷远点的情形，以及两点重合的情形。若其中有一点是无穷远点"O"，则定义，因此"O"是群的单位元，若"P"和"Q"是以X轴为对称轴的对称点，则定义。若，只有一个点，无法定义通过两点的线，则改用通过该点的切线代替。大部份的心情形下，切线会和曲线有另一个交点"R"，因此可以找到-"R"。若"P"恰好是曲率符号改变的拐点，切线和曲线没有其他交点，则令"R"等于"P"，因此"P" + "P"就是-"P"。
若曲线不是Weierstrass正规式，可以定义群结构，指定九个拐点中的一个为单位元"O"。在射影平面上，每一条线都会和曲线有三个交点。对于一点"P"，−"P"就是通过"O"和"P"的直线，和曲线相交的第三点。对于任意"P"和"Q"，"P" + "Q"定义为−"R"，而"R"是通过"P"和"Q"的直线，和曲线相交的第三点。
令"K"是曲线定义所在的域，且令曲线为"E"，则"E"的"K"-是曲线"E"上的点，且座标在"K"的域内，包括无穷远点。"K"-有理点的集合是"E"("K")，本身也是一个群，因为根据多项方程式的性质可得：若"P"在"E"("K")内，则−"P"也在"E"("K")内，若"P", "Q"和"R"中有两点在"E"("K")内，则第三点也一样。而且，若"K"是"L"的子域，则"E"("K")就是"E"("L")的子群。
上面的群可以用代数方式定义。给定域formula_5（其中formula_5的特征值非2或者3）上的曲线formula_7，及非无穷远点formula_8。先假设formula_9，设formula_10（因formula_5是域，formula_12有定义）。定义formula_13。
因为formula_14共线，令该直线formula_15的方程为formula_16。直线formula_15与曲线formula_18相交，有：
展开后可以得到：
formula_14是两个方程式的交点，即方程的解：
替换系数后可得：
若formula_25：
一般域.
椭圆曲线可以被定义在任意域 "K"上；椭圆曲线的正式定义是"K"上的亏格为1的非奇异射影代数曲线，并具有一个定义在"K"特殊的点。
如果"K"的特征不等于2或3，那么"K"上每个椭圆曲线都能写成如下形式
其中"p"和"q"为"K"中的元素，使得右手边的多项式"x"3 − "px" − "q"没有二重根。如果特征等于2或3，那么需要保留更多项：在特征为3的情况下，最一般的方程具有如下形式
这里常数"b"2, "b"4, "b"6可以任取，但需满足使得右手边的多项式无重根（写成这个形式有历史原因）。在特征为2的情况下，即使是这种形式也不够，其最一般的方程为
需满足所定义的簇是非奇异的。
双曲函数

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数formula_1和双曲余弦函数formula_2，从它们可以导出双曲正切函数formula_3等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
基本定义.
最简单的几种双曲函数为：
函数formula_12是关于y轴对称的偶函数。函数formula_13是奇函数。
如同当formula_14遍历实数集formula_15时，点（formula_16, formula_17）的轨迹是一个圆formula_18一样，当formula_14遍历实数集formula_15时，点（formula_21, formula_22）的轨迹是单位双曲线formula_23的右半边。这是因为有以下的恒等式：
参数"t"不是圆角而是双曲角，它表示在"x"轴和连接原点和双曲线上的点（formula_21, formula_22）的直线之间的面积的两倍。
历史.
在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双曲线formula_27下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线formula_28上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角formula_29，在渐近线即x或y轴上需要有的formula_30或formula_31的值。显见这里的底边是formula_32，垂线是formula_33。
通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：
单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线formula_27下双曲角的formula_37。
虚数圆角定义.
双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果formula_30是实数而formula_39，则
所以双曲函数formula_2和formula_1可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成formula_2函数，后者形成了formula_1函数。formula_46函数的无穷级数可从formula_2得出，通过把它变为交错级数，而formula_48函数可来自将formula_1变为交错级数。上面的恒等式使用虚数formula_50，从三角函数的级数的项中去掉交错因子formula_51，来恢复为指数函数的那两部份级数。
双曲函数可以通过虚数圆角定义为：
这些复数形式的定义得出自欧拉公式。
与三角函数的类比.
奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。
给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角formula_60得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:
恒等式.
与双曲函数有关的恒等式如下:
formula_75
由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个formula_1的积的项（包括formula_81）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式。如
双曲函数的导数.
formula_87
双曲函数的泰勒展开式.
双曲函数也可以以泰勒级数展开:
其中
无限积与连续分数形式.
下列的扩展在整个复数平面上成立：
与指数函数的关系.
从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:
和
复数的双曲函数.
因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数formula_109和formula_110是全纯函数。
指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：
所以:
因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为formula_115（对双曲正切和余切是formula_116）。
反双曲函数.
反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：
正方形

在平面几何学中，正方形是四边相等且四个角是直角的四边形。正方形是正多边形的一种：正四边形。四个顶点为ABCD的正方形可以记为正方形 ABCD。
正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。
性质.
正方形是正四边形，是特殊的矩形、对称四边形、平行四边形。其四个内角为直角。除了四边四角相等的性质，正方形还有以下性质：
面积和周长.
正方形的周长是它的边长的4倍。如果边长为"a"，那么周长formula_2。正方形的面积是其边长的平方。如果边长为"a"，那么面积formula_3。如果我们知道正方形的对角线长"d"，那么我们也可以之计算面积formula_4，如果正方形边心距为r，外接圆半径是R，那么formula_5。，formula_6。
若正方形的边长为整数，其面积就是一个完全平方数。在周长固定时，正方形的面积一定大于其他非正方形的四边形的面积。
对称性.
正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个群，是二面体群中的一个，记作D4。
正方形与无理数.
公元前五世纪时，毕达哥拉斯学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例：formula_7，是无法表示为两个自然数的公比的。
平面镶嵌.
用同一种多边形不重叠地将平面“铺满”，称为平面的正镶嵌图。正方形是能够组成平面的正镶嵌图的三种正多边形之一（另外两种分别是正三角形和正六边形）。
流转的王妃·最后的皇弟

，是日本朝日电视台开播45周年的纪念大戏，由日本和中国大陆多位著名演员主演。故事根据嵯峨浩和溥杰的自传改编而成。播放日期为2003年11月29日、11月30日两天。
故事.
故事由溥杰于日本陆军士官学校留学讲起，讲到二人如何相识，继而成婚。不过，溥仪的反日立场使二人的婚姻备受考验……
概要.
由于朝日电视台卯足全力制作，因此本作从大道具、舞台装置到一些小道具都忠实重现了当时满洲国的风景。而且还特地到了中国紫禁城（北京故宫博物院）拍摄外景，制成了逼真的影像。饰演溥杰的竹野内丰的演技也颇受到赞赏；而溥仪一角为中国大陆著名演员王伯昭所饰，他为本剧展现了逼真的演技。
本剧为常盘贵子第二次以汉语演出，但是普通话还是第一次。因和先前挑战过的粤语有著微妙的不同，因此她十分努力练习。
竹野内丰为了本作而剪发、努力学说汉语，一心试著将溥杰一角饰演完美，展现了他的专业演员精神。
穿帮镜头.
第一话开头出现东风4型柴油机车，时间是1961年，地点是中国广州市，事实上该机车在1974年才少量投入运营，主要配属在京山铁路上，1982年代才开始大量运营，当时在广州绝对不可能出现该车。
他他拉贵人的台词.
他他拉贵人的台词（她为溥仪读书的场面）经常被懂汉语的人评说十分难听懂，字幕也未显示它的日语翻译，但其实是出自白居易的诗《池上闲吟二首》第一首的一部分。
高卧闲行自在身，池边六见柳条新。
幸逢尧舜无为日，得作羲皇向上人。
四皓再除犹且健，三州罢守未全贫。（台词到此）
莫愁客到无供给，家酝香浓野菜春。
黎瑞恩

黎瑞恩（Vivian Lai Shui Yan，），暱称小恩子，香港女歌手。代表歌曲包括《一人有一个梦想》、《雨季不再来》、《阳光路上》以及与张学友合唱的《长流不息》，《一人有一个梦想》是1993年十大劲歌金曲之一，与刘小慧、汤宝如并称「宝丽金三小花」。而其「小恩子」一名由张学润所改。
背景.
早年生活.
黎瑞恩早年在香港仔生活，4至5岁与家人迁往屯门大兴邨，有一名胞弟。曾就读台山商会小学（1985年小六）、迦密唐宾南纪念中学（1988年中三）以及洪水桥柏雨中学。入读小学时参加过田径校队及校外游泳比赛。既是少年警讯成员，又于小学五年级至六年级担任风纪。另一方面，喜欢音乐和唱歌的她在8岁时已加入屯门儿童合唱团，更常常参加歌唱比赛。1989年，本来被家人安排到加拿大升学的她由朋友介绍参加尖沙咀Canton Disco歌唱比赛，从中得到冠军，并在香港著名音乐人安格斯赏识及安向黎的家人游说下，与BMG签约。1990年，推出了一首合辑单曲《问候》。
事业发展.
1991年，黎瑞恩转投宝丽金唱片，以一曲《发誓》正式出道，并于同年11月15日推出首张个人专辑《我从这里开始》，惟首年发展未算突出，竞争激烈下未能赢得任何新人奖项。1992年10月2日推出专辑《雨季不再来》，同名主打歌邀得歌手黄凯芹为她创作曲词，让她初次受到听众注意；同年与张学友合唱卡拉OK热门歌曲《长流不息》，并开始参与电视节目演出及担任主持。
1993年，黎瑞恩推出主打歌曲《一人有一个梦想》，一炮而红，歌曲派台后即全城热播，迅速进占各大流行榜成为三台冠军歌以及卡拉OK排行榜热门歌曲，可谓街知巷闻，亦真正让普罗大众认识她的歌曲。其他主打歌如《多情》、《爱你这样傻》、《自动消失lonely days》都深受年青乐迷喜爱。全年推出两张粤语专辑《我是不是真的恋爱了》及《不知不觉想起你》皆冲破白金销量。《一人有一个梦想》更为她赢得多个乐坛奖项，包括首次夺得1993年度十大劲歌金曲颁奖典礼「十大金曲奖」。
1994年5月，推出专辑《阳光路上》获得白金销量，同名主打歌曲《阳光路上》成为她另一首热播歌曲、另一主打《爱你一定快乐》也流行一时。9月，宝丽金为她推出《黎瑞恩94精选》得到热卖，更停留在ifpi唱片销量榜多个星期。1995年，一连推出两张粤语专辑《你爱我甚么》及《你是我生命中一切》皆冲破白金销量。下半年她到台湾发展，推出首张国语专辑《秘密》，当地传媒更曾以「小邓丽君」来形容她的声线。
1996年，她与宝丽金因续约问题而被雪藏了一段长时间，已完成的粤语专辑《恩想》在几乎无声无息的情况下推出，导致销售反应不佳，声势下跌。同年8月，推出了她第二张国语专辑《我知道你在说再见》后，黎瑞恩决定约满离开。当时传闻宝丽金计划1997年初为她推出一张新曲加精选辑亦因此作罢。
1997年，黎瑞恩加盟力图唱片，沉寂了一年多的她，10月再度推出全新专辑《认真》，成功获得白金销量。然而，1998年力图唱片因经营不善突然倒闭，致使原定为她推出下一张大碟的计划流产。之后，她因爱情决定暂别乐坛，获黄宝欣邀请转职保险行业5至6年，先后于盈科保险以及瑞士丰泰人寿任职，是达到百万圆桌级别的保险从业员。
2002年，黎瑞恩应邀复出，加盟百代唱片，同期宣布即将结婚，3月20日推出告别乐坛前推出最后一张专辑《Dreams Come True》。4月，在红磡香港体育馆举行其首个个人演唱会「黎瑞恩梦成真演唱会」后正式退出乐坛。
2008年5月17日，她为无线电视的赈灾节目《众志成城抗震救灾》担任演出嘉宾，演唱了歌曲《爱是不保留》。2012年12月22日担任好友汤宝如《20年零一夜狂欢演唱会》个人演唱会嘉宾。
慈善方面，黎瑞恩在2013年11月为榕光社筹款，在香港会议展览中心举行两场慈善演唱会——《黎瑞恩 ALL FOR LOVE 慈善演唱会》，其复出的演唱会嘉宾阵容鼎盛，包括张学友、汤宝如、刘小慧、周慧敏、关淑怡、苏永康、郑敬基、草蜢等。2015年8月，她被证实患有无法割除的良性胰脏瘤，因而大幅减少工作量，并休养一年。休养完毕后决定与手工艺创作有限公司解约。2016年8月签约星娱乐，准备复出乐坛出版唱片和举行演唱会。亦首次亮相无线电视《星光熠熠耀保良》节目献唱名作《一人有一个梦想》及《长流不息》。
2018年2月，黎瑞恩推出全新派台歌曲《剩下光年》，这是她自2002年《云上的日子》后再次推出的个人歌曲。同年4月5至6日，黎瑞恩在香港体育馆举行《感恩有你演唱会》，相隔十六年后再次在红馆举行个唱，同时再推出另一首新歌《大个唱》作为演唱会主题曲。。同年首次与影后鲍起静合作的微电影《骨肉香》入围海外影展。
个人生活.
2002年，黎瑞恩与曾宪梓三儿子曾智明结婚，结束七年的爱情长跑，两人育有一女一子。退出乐坛后的黎瑞恩，除了与家人一起出席公开活动以外，甚少公开露面。2014年年初，传出其夫在广州包养小三逾两年，对方比黎瑞恩年轻约20年，两人传陷婚变危机。2014年6月，黎瑞恩接受传媒的电话访问，亲证自己与丈夫已离婚，而她亦会独力抚养子女。
其他事件.
黎瑞恩于1984年7月因目睹有街童潜入屯门大兴邨兴盛楼的幼稚园内纵火而向警方举报，并于1985年获屯门区扑灭罪行委员会颁发「模范市民奖」。
2020年10月，黎瑞恩被人偷相作头像冒认，在作曲家伍仲衡的社交平台直播下留言，恶意抨击歌手吴业坤，她其后回应事件：「我闹人都唔会摆自己个样出嚟啦，死蠢！」
事件.
2021年12月，黎瑞恩因为一篇送别爱女曾凯栭到国外留学的贴文，被网民怼她为何不送女儿到中国读书。黎瑞恩解释，是因为中国没有女儿要报读的科目，作为父母只可以引领女儿走正确的方向，让她选择自己的道路，再次激起一些爱国网民怼她「中国缺乏什么科目」，并质疑她没有引导女儿和指责她是「汉奸」。黎瑞恩不料网民的反应如此激烈，无奈表示是因为中国没有这些科目，所以才会送去外国学习，然后才能回馈祖国。黎瑞恩随后要求愤怒的网民别再回复她，并停止继续留言。