曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。
从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。
曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。
定义.
设 formula_1 是一个正整数，formula_2 是正整数或 formula_3，formula_4 是实数非空区间，formula_5 属于 formula_4。一个formula_7 类（即 formula_8 为 formula_2 次连续可微）向量值函数
称为一条 formula_7 类参数曲线或曲线 formula_8 的一个 formula_7 参数化，formula_5 称为曲线 formula_8 的参数，formula_16 称为曲线的像。将参数曲线 formula_8 和它的像 formula_16 区别开来是非常重要的，因为一个给定的formula_19的子集可以是许多不同的参数曲线的像。
可以想象参数 formula_5 代表时间，而曲线 formula_21 作为空间中一个运动粒子轨迹。
如果 "I" 是闭区间 ["a", "b"]，我们称 γ("a") 为曲线 γ 的起点而 γ("b") 为终点。
如果 formula_22，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线，如果 γ("k")(a) = γ("k")("b") 对所有 "k" ≤ "r"。
如果 formula_23 为单射，我们称为简单曲线。
如果参数曲线 formula_8 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 formula_25 类。
记号 -formula_8 表示朝相反的方向运动的曲线。
一条 formula_27-曲线
称为 formula_29 阶正则当且仅当对任何 formula_5 属于formula_4
在 formula_33 中线性无关。
特别地，一条 formula_34-曲线 formula_8 是正则的如果 
重新参数化与等价关系.
给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 Cr 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。
两个 "C""r" 参数曲线
与
要称为等价，就要存在一个 "C""r" 双射
使得
和
γ2 称为 γ1 的重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 "C""r" 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。
对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'("t") > 0。
等价的 "C""r" 曲线有相同的像；等价的定向 "C""r" 曲线有相同的运动方向。
长度与自然参数化.
"C"1 曲线 γ : ["a", "b"] → R"n" 的长度 "l" 可以定义为
曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。
对任何正则 "C""r" （"r" 至少为 1）曲线 γ: ["a", "b"] → R"n" 我们可以定义一个函数
写成
这里 "t"("s") 是 "s"("t") 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 formula_46，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 "s"("t") 称为 γ 的自然参数。
我们偏爱这个参数，因为自然参数 "s"("t") 以单位速度转动 γ 的像，所以
在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。
给定一条参数化曲线 γ("t") 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。
数量
经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。
Frenet 标架.
一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ("t") 局部性质的"n" 个正交向量 "e""i"("t") 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。
给定 R"n" 中一条 "n" 阶正则 "C""n"+1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量
称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ("t") 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：
实值函数 χ"i"("t") 称为 广义曲率，定义为
Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。
特殊 Frenet 向量和广义曲率.
最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。
切向量.
如果曲线 γ 表示一个质点的轨迹，那么质点在给定点 "P" 的瞬时速度用一个向量表示，称为曲线在 "P" 的切向量。
数学表述为，给定一条曲线 γ = γ("t")，对参数 "t" 的任何值： "t" = "t0"，
向量：
是点 "P" = γ("t0") 的切向量。一般说，切向量可以为零向量。
切向量的长度：
是在时间 "t"0 的速率。
第一个 Frenet 向量 "e1"("t") 是在同一方向的单位切向量，在 γ 的每个正则点有定义：
如果 "t" = "s" 是自然参数则切向量有单位长，从而公式化简为：
单位切向量确定了曲线的定向，或随著参数增长的前进方向。
法向量.
法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。
法向量定义为
其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 "e"2("t")，定义为
"t" 点的切向量和法向量张成 "t" 点的密切平面。
曲率.
第一个广义曲率 χ1("t") 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为
称为 γ 在点 "t" 的曲率。
曲率的倒数
称为曲率半径。
半径为 "r" 的圆周有常曲率
但一条直线的曲率是 0 。
次法向量.
次法向量是第三个 Frenet 向量 "e"3("t") ，
总是正交于 "t" 点的单位切向量和单位法向量。其定义为
在 3 维空间中等式简化为
挠率.
第二广义曲率 χ2("t") 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 "t" 都在这一个平面内）。
称为 γ 在点 "t" 的挠率。
曲线论主要定理.
给定 "n" 个函数
满足
那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） "n" 阶正则 "C""n"+1-曲线 γ，具有如下性质
这里集合
是曲面的 Frenet 标架。
再附加起始 "t"0 ∈ "I"，起始点 "p"0 ∈ R"n" 以及一个初始正交标架 {"e"1, ..., "e""n"-1} 满足
那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。
Frenet-Serret 公式.
Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χ"i" 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。