伯特兰定理

在经典力学里，伯特兰定理阐明，只有两种位势formula_1可以给出闭合轨道：
其中，formula_4是径向座标，formula_5是正值常数。假若物体从某位置移动，经过一段路径后，又回到原先位置，则称此路径为闭合轨道。
1687年，物理学家艾萨克·牛顿在著作《自然哲学的数学原理》里提出了万有引力定律，解释了行星绕著太阳的公转为何遵守克卜勒定律。此后许多科学家开始研究，当行星的运动稍许偏离了这轨道时，可能会发生的状况。其中一个问题为轨道是否仍旧闭合。但经过多年的探讨亦无法给出合理的解答。直到1873年，法国数学家约瑟·伯特兰发表伯特兰定理，才正确解析此问题。该定理对于经典天体力学研究非常重要，伯特兰定理给予实验者一个精确的方法，来测试万有引力的平方反比性质。
在现代物理学里，理论物理学家发现由于广义相对论效应，引力与距离不再成精确的平方反比关系，因此轨道是非闭合的。天文学家作实验观测到，水星绕著太阳公转的椭圆轨道，其近拱点呈缓慢进动状态。
前论.
所有吸引性连心力都可以产生圆形的公转轨道；这圆形轨道当然是闭合轨道；其形成的唯一条件是连心力恰巧地与离心力等值；后者决定了维持某圆形半径所需的角速度。本篇文章不研究非连心力。一般而言，非连心力不会产生圆形的公转轨道。
采用极坐标formula_6，一个移动于连心势formula_7的粒子，其拉格朗日量formula_8是
其中，formula_10是粒子质量，formula_11、formula_12分别表示formula_4、formula_14对于时间formula_15的导数。
这粒子的拉格朗日方程式为
由于角坐标formula_14显性地跟拉格朗日量无关，formula_14是个可略坐标，其共轭动量（角动量）formula_20守恒，formula_20是个常数：
将角动量的方程式代入径向拉格朗日方程式，可以得到一个formula_4的二次微分方程式，
假设轨道是圆形轨道，方程式左手边第一个项目是零，则如同期待的，连心力formula_25等值于离心力formula_26。
对于时间的导数与对于角变数的导数之间关系为
将这公式代入，可推导出一个跟角度有关，跟时间无关的轨道方程式：
设定变数formula_29，改换方程式的变数为formula_30，同时将方程式两边乘以formula_31，可以得到一个常系数非齐次线性全微分方程式：
导引.
如同前面所说，给予粒子适当的初始速度，任何连心力都能产生标准圆形轨道。可是，假设给予粒子某径向速度，则这些轨道可能不稳定（稳定在这里定义为长久地公转于同一条轨道），也可能不闭合。本段落会证明，稳定的闭合轨道只发生于平方反比连心势或径向谐振子势（一个必要条件）。下一个段落会证明，这些位势的确会产生稳定的闭合轨道（一个充分条件）。
为了简化标记，设定 
其中，formula_34是连心力函数。
则轨道方程式为
如果要得到半径为formula_36的圆形运动轨道，必要条件是轨道方程式左边第一项等于零，方程式变为
思考对于标准圆形运动轨道的变数formula_30的微扰formula_39，函数formula_40在formula_41的泰勒级数为
将此展开示代入轨道方程式：
设定常数formula_44（formula_45的解答为标准圆形运动轨道）：
取至formula_47的1次方：
formula_49必须是个非负数；否则，轨道的半径会呈指数方式递增。一阶微扰解答为
其中，振幅formula_51是个积分常数。
假若这轨道是闭合轨道，则formula_52必须是有理数。继续运算，从方程式(1)，取对于formula_30的导数：
这方程式对于任意formula_41值都必须成立，因此可以将formula_41认定为函数formula_57的参数。用符号formula_30来代替formula_41，
将方程式的变数换回为formula_4，
这意味著作用力必须遵守幂定律：
代入方程式 (1) , formula_64的一般形式为
假设实际轨道与圆形有更大的差别（也就是说，不能忽略formula_64函数的泰勒级数的更高次方项目），则可以用傅立叶级数来展开formula_47：
因为高频率项目的系数太小，傅立叶级数只取至formula_69项目。方程式 (2)也只取至formula_47的三次方。注意到formula_71与formula_72的数量级为formula_73，超小于formula_51；formula_75的数量级为formula_76，超小于formula_71与formula_72。将上述傅立叶级数代入方程式 (2)，匹配方程式两边同频率项目的系数。这样，可以得到一系列方程式：
求formula_40在formula_41对于formula_30的微分：
将方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：
再将方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，经过一番运算，可以得到伯特兰定理的重要结果：
解答formula_45是标准圆形轨道。只有平方反比连心势 (formula_92)与径向谐振子势 (formula_93)能够造成稳定的，闭合的，非圆形的公转轨道。
平方反比力（克卜勒问题）.
平方反比连心力给出的连心势，像重力势或静电势，以方程式表示为 
处于这种连心势的粒子，其一般轨道方程式写为
其解答为轨道函数formula_96： 
其中，formula_98是椭圆轨道的离心率，formula_99是相位差，是一个积分常数。
这是焦点位于原点的圆锥曲线的一般方程式。当formula_100时，这轨道对应于圆形轨道；
当formula_101时，这轨道是椭圆形轨道；当formula_102时，这轨道是抛物线轨道；当formula_103时，这轨道是双曲线轨道。
离心率与粒子能量formula_104的关系为
所以，当formula_106时，这轨道是圆形轨道；
当formula_107时，这轨道是椭圆形轨道；当formula_108时，这轨道是抛物线轨道；当formula_109时，这轨道是双曲线轨道。
径向谐振子.
为了方便解析这问题，采用直角坐标formula_110。势能可以写为
处于径向谐振子位势的粒子，其拉格朗日量formula_8是
这粒子的拉格朗日方程式为
其中，formula_117是振动频率。
常数formula_5必须为正值；否则，粒子会朝著无穷远飞离。这些微分方程式的解答为
其中，formula_122、formula_123、formula_124分别为x、y、z方向的振幅，formula_125、formula_126、formula_127分别为其相位
由于上述方程式经过整整一周期formula_128后，会重复自己，轨道解答formula_129是闭合轨道。
牛顿旋转轨道定理.
牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子formula_130是有理数，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据牛顿旋转轨道定理的方程式，增添的立方反比力formula_131为
其中，formula_133是粒子原本的角动量，formula_10是粒子的质量。
所以，formula_135。 
由于formula_130是有理数，formula_130可以写为分数formula_138；其中，formula_10和formula_140都是整数。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成formula_10圈公转的时间等于原本完成formula_140圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理，因为，增添的立方反比力与粒子的原本角动量有关。