谱 (泛函分析)

在数学中，特别是在泛函分析中，有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说，对于有界线性算子"T"，如果"T"-λ"I"不可逆，其中"I"是恒等算子，则复数λ会被认为属于"T"的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论，其具有许多应用，最值得注意的是量子力学的数学表述。
有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑希尔伯特空间ℓ2上的右移算子"R"，
该算子没有特征值，因为如果"Rx"=λ"x"，则通过展开表达式可以得到"x"1=0，"x"2=0……另一方面，0在谱中，因为算子"R"-0（即"R"自身）不可逆：因为第一项非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是满射。事实上，复巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。
谱的概念可以扩展到稠定无界算子。在这种情况下，复数λ被认为是在算子"T":"D"→"X"（其中"D"在"X"中稠密）的谱中，如果没有有界逆(λ"I"-"T")−1:"X"→"D"。如果T是闭算子（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。
巴拿赫空间"X"上的有界线性算子"B"("X")是有单位的巴拿赫代数的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外，谱的定义没有涉及"B"("X")的任何性质，所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。
有界算子的谱.
定义.
作用在巴拿赫空间formula_2上的formula_3是标量域formula_4上的有界线性算子，且formula_5是formula_2上的恒等算子。formula_3的谱是所有使得算子formula_8没有有界线性逆的formula_9的集合。
由于formula_8是一个线性算子，所以如果它的逆存在，则一定是线性的；并且，通过有界逆定理可知，它的逆是有界的。 因此，谱正好由那些使得formula_11不是双射的标量formula_12组成。
给定算子formula_3的谱通常记为formula_14，而它的补集，也即预解集，记为 formula_15。
谱和特征值.
如果formula_12是formula_3的特征值，则算子formula_18不是一一映射，因此其逆formula_19没有定义。但否命题是不对的：即使formula_12不是特征值,算子formula_21可能也没有逆。因此，算子的谱总是包含其所有特征值，但却不限于此。
例如考虑希尔伯特空间formula_22，它由所有双向无限实数序列
构成，这些序列须满足平方和formula_24有限。双向移位算子formula_3简单地将序列的每个元素移动一个位置；即如果formula_26则对所有整数formula_27有formula_28。特征值方程formula_29在该空间中无解，因为如果有解则意味着所有formula_30拥有相同的绝对值（如果 formula_31）或者是等比数列（如果 formula_32）；无论哪种情形，它们的平方和都不可能有限。然而，算子formula_18在formula_34时不可逆。例如满足formula_35的序列formula_36属于formula_22 ；但是不存在formula_22中的序列formula_39使得formula_40（即对所有formula_27有formula_42）。
基本性质.
有界算子"T"的谱总是复平面的非空闭有界子集。
如果谱是空的，那么预解函数
在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明，预解函数"R"在其定义域是全纯的。通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零，所以恒为零。产生矛盾。 
谱的有界性由关于"λ"的诺伊曼级数展开得出；频谱"σ"("T")有界||"T"||。类似的，可以证出谱是闭集。
谱的界||"T"||可以稍作改进。"T"的谱半径"r"("T")是复平面上最小的包含谱σ("T")以原点为圆心的圆的半径，即 
谱半径公式指出，对于巴拿赫代数的任何元素"T"有
算子谱点分类.
巴拿赫空间上的有界算子"T"可逆（即有有界逆），当且仅当"T"有正下界且值域稠密。 因此，T的谱可以分为以下部分：
注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交（但点谱和剩余谱不相交）。
以下小节提供了关于上述σ("T")分类的更多细节。
点谱.
如果一个算子不是单射（因此有某个非零的"x"满足"T"("x")=0），那它显然是不可逆的。 因此，如果λ是"T"的特征值，则必有λ∈σ("T")。"T"的特征值集合被称为"T"的点谱，记为σp("T")。
近似点谱.
更一般地，"T"如果没有正下界，则不可逆； 也就是说，不存在"c">0满足||"Tx"||≥"c"||"x"||对所有 "x" ∈ "X" 。因此，谱包括近似特征值集合，即使得 "T" -λ"I"  没有正下界的λ； 等价地，它是满足如下条件的λ的集合，存在单位向量"x"1, "x"2, ...使得
近似特征值集合被称为近似点谱，记为σap("T")。
容易看出特征值属于近似点谱。
例子 考虑"l"2(Z)上双向移位算子"T"定义如下
其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知"T"没有特征值，但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值；令"x""n"表示向量
则对所有"n"有||"x""n"||=1，但
由于"T"是酉算子，所以它的谱位于单位圆上。 因此"T"的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。 
酉算子是正规的。由谱定理可知，希尔伯特空间H上的有界算子是正规的，当且仅当其等价于（将H等价为L^2空间）乘法算子。 可以证出，有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。
剩余谱.
算子可以是单射甚至有正下界，但不可逆。"l" 2(N)上的单向移位算子就是一例。这个移位算子是一个等距同构，因此下界为1。但是它不可逆，因为它不是满射。满足λ"I"-"T"是单射但值域不稠密的λ的集合被称为剩余谱，记为σr("T")。
连续谱.
满足λ"I"-"T"是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合，被称为"T"的连续谱，记为σc("T")。 因此，连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即
边缘谱.
算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。
例子.
氢原子提供了这种分解的例子。氢原子的哈密顿算子的特征函数被称为本征态，并被分为两类。 氢原子的束缚态对应于谱的离散部分（它们具有离散的特征值集合，可由里德伯公式计算得到），而电离过程的最终结果由连续部分描述（碰撞/电离的能量不是“量子化的”）。
进一步结果.
如果"T"是一个紧算子，则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说，这种算子的谱，被定义为特征值概念的推广，在这种情形下仅包括通常的特征值和0（可能有）。
如果"X"是希尔伯特空间且"T"是正规算子，则有被称为谱定理的显着结果，给出了正规有限维算子的对角化定理的类比（例如埃尔米特矩阵）。
无界算子的谱.
可以推广谱的定义用于巴拿赫空间"X"上的无界算子，这些算子不再是巴拿赫代数"B"(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在预解集中，即线性算子"T"
的谱的补集，如果算子
有有界逆，即如果存在有界算子
使得
如果该性质不满足，则复数λ在谱中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。 
无界算子的谱通常是复平面的闭子集，可能为空集。
对于预解集中的"λ"（即不在谱中），与有界情形相同，λ"I"-"T" 必须是双射，因为它必须有双边逆。 如前所述，如果逆存在，则其线性直接可得，但一般来说，它可能无界，因此必须单独检验该条件。
然而如果引入了"T"是闭算子的附加假设，由闭图像定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此，与有界情情形相同，复数"λ"位于闭算子"T"的谱中，当且仅当λ"I"-"T"不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。
通过其谱测度，可以定义任何自伴算子的谱分解，有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。
有单位的巴拿赫代数的谱.
令"B"为包含单位"e"的复巴拿赫代数。我们定义"B"的元素"x"的谱σ("x")（或更明确地σ"B"("x")）为使λ"e"-"x"在"B"中不可逆的那些复数λ的集合。这推广了巴拿赫空间"X"上有界线性算子"B"("X")的谱的定义，因为"B"("X")是一个巴拿赫代数。