有限单群分类

在数学中，有限单群分类是群论中的一大成果，表明了所有有限单群要么是循环群，要么是交错群，要么属于一个无限类，称为李型群，要么是 26 个或 27 个特别类型之一，称作散在单群。其证明涵盖共计上万页的由上百位作者撰写的数百篇期刊文章，这些文章的发表时间跨越了从 1955 年到 2004 年近半个世纪之久。
单群可以被视作所有有限群的 “基本建筑单元”，性质上近似素数之于整数的关系。Jordan–Hölder 定理是一个说明有限群本质的更精确的途径。然而，和整数分解工作的一个重要区别在于，这种 “建筑单元” 并不一定确定某个唯一的群，因为可能具有许多非同构群具有相同的合成群列，换言之，扩张问题并不存在唯一解。
D. E. Gorenstein (卒于1992年)、R. N. Lyons 和 R. M. Solomon 正在逐步发表简化以及修订版的证明。
分类定理的陈述.
关于有限单群分类研究的最终成果如下：
这一分类定理在许多数学分支均有应用，如有限群的（及其于其他数学对象上的作用的）结构问题有时可转化为有限单群的问题。通过分类定理，这样的一些问题有时可以仅仅通过检查所有单群族和所有散在单群来解决。
Daniel Gorenstein 于 1983 年宣称有限单群业已完成分类，然而这为时过早，他被的分类的证明所误导了。在 Aschbacher 和 Smith 于 2004 年为遗漏的拟薄群情况发表了一篇长达 1221 页的证明后，有限单群分类工作正式宣告完成。
散在单群.
散在单群中，有五个被 Emile Mathieu 于 19 世纪 60 年代所发现，其余 21 个则于 1965 年 到 1975 年间陆续被找到。这其中有一部分群在它们构造出来之前就被预言存在了。这些群大部分由首个预测其存在的数学家的名字命名。完整的列表如下，其中用“或”连接的两个名称指称相同对象：
除魔群外，所有散在单群于有限体上的矩阵表示业已算得。
所有 26 个散在单群中，有 20 个可看作魔群的（非正规）子群或子群的商，被 Robert Griess 称作幸福家庭 (Happy Family)。在此之外的 6 个为 formula_6、formula_9、formula_11、formula_27、formula_24 和 formula_31，被称作 (pariahs)。
分类定理证明概览.
Gorenstein 写过两卷文章，概述了证明的低秩和奇特征域的部分，Michael Aschbacher，Richard Lyons 以及 D. Smith等人则写了第三卷以涵盖特征为 2 的情形。这份证明可分为如下几个主要部分：
小的 2-秩群.
低阶的 2-秩单群，大多数是奇特征域上的低秩 Lie 型群，此外有 5 个交错群，7个特征 2 型群和 9 个散在群。
小 2-秩单群有：
小 2-秩群，尤其是 2-秩至多 2 的群的分类工作，大量使用了普通特征理论和模块特征理论，而这一理论几乎从未直接用于分类工作的他处。
所有不是小 2-秩群的群可归为两大类：组件型群或特征 2 型群。这是因为，对于截面 2-秩至少为 5 的群，MacWilliams 证明了其 Sylow 2-子群连通，且平衡定理蕴含任意具连通 Sylow 2-子群的单群，或为组件型，或为特征 2 型。
组件型群.
一群为组件型群，当且仅当对某个对合的中心化子 formula_55，formula_56 有一个组件，其中 formula_57 为 formula_55 的中心。这些群或多或少都是大秩奇特征 Lie 型群、交错群及一些散在群。这些情况下，一个重要的步骤是剔除对合中心的阻碍，这个步骤由 完成，其指出 formula_56 的每个组件都是 formula_55 的组件的像。
其想法是，这些群有一个对合的中心化子，其组件为一个较小的拟单群，不妨假设该群是通过归纳已知的。从而，为了对这些群进行分类，我们需要所有已知有限单群的所有中心扩张，并找到所有单群及其。这提出了相当大量不同的亟待检查的情形：不只是有 26 个散在单群和 16 类 Lie 型群以及交错群需要处理，许多低阶或基于小域上的群，其行为与一般情形并不相通，须特别对待，同时须说明，偶特征和奇特征的 Lie 型群之间也有很大不同。
特征 2 型群.
一群为特征 2 型群，若其每个 2- formula_61 的广义 formula_62 均为 2-群。顾名思义，其大致为在特征 2 域上的 Lie 型群，外加其让一些交错群、散在群或是奇特征群。它们的分类被归为大秩和小秩两种情况，其中，秩指的是正规化非平凡 2-子群的奇 Abel 子群的最大秩，当群是特征 2 Lie 型群时，通常（但不绝对）与 Cartan 子代数的秩等同。
秩 1 的群是薄群，由 Aschbacher 分类；秩 2 的群则是前文提到的拟薄群，由 Aschbacher 与 Smith 一同分类。这些大致对应着特征 2 域上的秩 1 或 2 的 Lie 型群。
秩至少 3 的群由进一步地细分为三类，秩 3 的情形由 Aschbacher 完成证明，而秩至少为 4 的情形则由 Gorenstein 和 Lyons 完成。这三种类型分别是
总-{}-体而言，较高秩情形涵盖绝大多数秩至少 3 或 4 的特征 2 域上的 Lie 型群。
单群存在唯一性.
分类定理的主要部分刻画了每一个单群的特征，那么现在验证对于每个特征总唯一存在一个单群就尤为重要了。这抛出了大量独立的问题，比如说，魔群存在唯一性的原始证明有着约 200 页，Thompson 和 Bombieri 对 的鉴定是分类定理最艰巨的一部分。很多存在性证明和一些散在群的唯一性证明在原始论文里就援引了计算机辅助证明，其中的大多数现在已被更简洁的人工证明所替代。
证明历程.
Gorenstein 的程序化证明.
在 1972 年，Gorenstein 宣布了一个用于完成有限单群分类定理的程序，涵盖以下 16 个步骤：
证明的时间线.
下面表格中的大部分条目来源于 。所提供的年份通常是作为结果的完整证明的发表时间，有时会迟于结果的证明或首次宣布时间，所以其中一些条目将会以 “错误” 的顺序出现。
第二代分类证明.
这个定理于 1985 年左右的证明版本被称作"第一代分类证明"，由于它令人瞠目结舌的长度，人们将注意力放在了寻找一个更简洁的证明上，称作第二代分类证明。这部分被称作 “修正主义” 的工作最开始由·Daniel Gorenstein 所牵头进行。
到 2023 年为止，已经有数十卷的第二代证明被发表（Gorenstein，Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023）。在 2012 年， Solomon 估计这项工程还需要另外的五卷，但表示进展缓慢。估计上，新的证明将最终写满近 5000 张纸。然而，随着关于 GLS 系列，同时包含 Aschbacher-Smith 组件的第 9 卷的发表，这一估计已经被打破了，而更多的几卷仍在计划中。Aschbacher 和 Smith 稍早些写就的两卷，因为其对拟薄群的情形有足够大的贡献，因为被容纳作为第二代证明的一部分。
Gorenstein 和他的同事已经给出几点原因，用以说明一个更简洁的证明存在可能。
Aschbacher (2004) 将 Ulrich Meierfrankendeld，Bernd Stellmacher，Gernot Stroth以及其它一些人在分类问题上的工作称作第三代分类问题。其目标之一是使用合并法统一处理所有特征 2 型群。
除去对特例的简化，一些新的方法和工具也被应用到简化上，数学家最近使用计算群论和范畴论的理论方法实现 Aschbacher 在Fusion Theory提出的简化计划，现在的具体方法是通过 
MAGMA 算法解决较小阶的p群问题。
证明的长度.
Gorenstein 给出过一些原因，解释为什么分类定理可能没有一个像紧 Lie 群分类工作那样的简短的证明。