无限深方形阱

在物理学里，无限深方形阱（infinite square potential），又称为无限深位势阱（infinite potential well），是一个阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子，永远地束缚于无限深位势阱内，无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题，称为无限深方形阱问题，又称为无限深位势阱问题，盒中粒子问题（particle in a box problem），是一个理论问题。假若，阱内只有一个粒子，则称为单粒子无限深方形阱问题。假若，阱内有两个粒子，则称为双粒子无限深方形阱问题。假若，这两个粒子是完全相同的粒子，则问题又复杂许多，称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里，只讨论单粒子无限深方形阱问题。
在经典力学里，应用牛顿运动定律，可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞，粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动，碰撞来，碰撞去，而速率始终保持不变。在任意时间，粒子在阱内各个位置的机率是均匀的。
在量子力学里，这问题突然变得很有意思。许多基要的概念，在这问题的解析中，呈现了出来。由于问题的理想化与简易化，应用薛丁格方程，可以很容易地，虽然并不是很直觉地，求得解答。满足这薛丁格方程的能量本征函数，是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量，只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是，离散能级谱中最小的能级不是 0 ，而是一个有限值，称为零点能量！这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。
更加地，假若测量粒子的位置，则会发现粒子在阱内各个位置的机率大不相同。在有些位置，找到粒子的机率是 0 ，绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是，这些结果所根据的原理，早已在许多精心设计的实验中，广泛地证明是正确无误的。
简介.
在量子力学里，无限深方形阱问题是一个简单化的，理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。在阱内，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移动于阱内。可是，阱壁是无限的高，粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简，先从一维问题开始，研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后，可推广至二维与三维空间。
这问题的薛丁格方程解答，明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合；可是，与经典力学的理论预测，有很大的冲突。特别令人注目地是，这量子行为是自然地从边界条件产生的，而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；与平常的想法恰恰相反，量子行为不是像变魔术一般变出来的。
无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括：
不论这问题有多么地简单，由于能够完全地解析其薛丁格方程，这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上，这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如，一个导电电子在一根直的，极细的奈米金属丝内的量子行为。更详细内容，请参阅条目奈米线。
一维阱.
一个粒子束缚于一维无限深方形阱内，阱宽为 formula_1 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（ formula_2 方向）。如图示，一维无限深方形阱的本征函数 formula_3 与本征值 formula_4 分别为
其中，formula_7 是正值的整数，formula_8 是普朗克常数，formula_9 是粒子质量。
导引.
一维不含时薛丁格方程可以表达为
其中，formula_12 是复值的、不含时间的波函数，formula_13 是跟位置有关的位势，formula_14 是正值的能量。
在阱内，位势 formula_15 。一维不含时薛丁格方程约化为
这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 formula_12 与本征值 formula_14 是
其中，formula_24 与 formula_25 是常数，可以是复值，formula_26 是实值的波数（因为 formula_14 是正值的，所以，formula_26 必须是实数。）。
为了求得一般解 formula_12 的常数 formula_24 ， formula_25 ，与波数 formula_26 的值，必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的机率 formula_33 越小。在 formula_34 ， formula_35 两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的机率是微乎其微：formula_36 。所以，边界条件是
代入方程 (3a) 。在 formula_34 ，可以得到
在 formula_35 ，可以得到
方程 (6) 的一个简易解是 formula_42 。可是，这样，波函数是 formula_43 。这意味著一个不可能的物理答案：粒子不在阱内！所以，不能接受这简易解。设定 formula_44 ，则 formula_45 。那么，必须要求
其中，整数 formula_47 。
注意到 formula_48 状况必须被排除，因为，不能容许波函数是 formula_43 的物理答案：粒子不在阱内！
为了求得 formula_24 值，波函数需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：
常数 formula_24 的值为
常数 formula_24 可以是任何复数，只要绝对值等于formula_55 ；可是，这些不同值的 formula_24 都对应于同样的物理状态。所以，为了方便计算，选择 formula_57 。
最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值（能级）是
启发导引.
能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想，两个阱壁必定是波函数的波节。这意味著，阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍：
其中，formula_62 是波长，formula_7 是正值的整数。
应用德布罗意假说，粒子的动量 formula_64 是
代入联系能量与动量的经典公式，则可以得到系统的能量本征值。
二维阱.
一个粒子束缚于二维无限深方形阱内，阱宽在 formula_2 与 formula_68 方向，分别为 formula_69 ，formula_70 。阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向（ formula_2 与 formula_68 方向）。二维无限深方形阱的本征函数 formula_73 与本征值 formula_74 分别为
其中，formula_77 与 formula_78 是正值的整数。
导引.
在这二维的问题里，粒子束缚于一个二维位势阱内，在阱内，二维的解答方程与方程 (2) 类似，是一个二阶偏微分方程：
应用分离变数法 。首先，假设 formula_80 是两个不相关的函数 formula_81 与 formula_82 的乘积，formula_81 只含有变数 formula_2 ，formula_82 只含有变数 formula_68 ：
将 formula_80 的假设方程代入二维方程，则可得到
将这方程两边都除以 formula_90 ，则可得到
由于方程左边圆括号内的两个项目 formula_92 、formula_93 分别只跟 formula_2 、formula_68 有关，两个项目分别都必须等于常数：
其中，formula_98 与 formula_99 都是常数，formula_100 。
这样，可以得到两个约化的一维薛丁格方程：
前面，已经解析了同样形式的一维薛丁格方程（方程 (2) ）。将那里的答案移接到这里，
其中，整数 formula_105 ，formula_106 。
将两个方程合并，可以得到解答：
三维阱.
同样地，应用分离变数法于三维阱问题，可以得到能量本征函数与能量本征值：
其中，formula_111 。
当两个以上的阱宽相等的时候，对应于同样的总能量，会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并，是由物理系统的对称性造成的。例如，假设 一个三维阱的 formula_112 ，则 formula_113 ，formula_114 ，formula_115 的波函数与 formula_116 ，formula_117 ，formula_115 的波函数，两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里，有两个阱宽相等，这物理系统对称于绕著 z-轴的 formula_119 旋转。