群

在数学中，群是指配备二元运算的集合，其二元运算需要具有结合律、单位元和逆元素。因为众多数学结构都是群（如整数系配备上加法就形成一个群），因而可以简洁地从不同的数学结构归纳出共通的结果，这使群成为当代数学的核心概念。
很多自然界的变换（如平移、镜射）的汇总都符合群的定义，而某群变换下保持不变的某种性质被称为对称性；如在空间对称群的哪些变换下，面积或角度会保持不变，就是在研究立体几何的对称性。
历史.
抽象群的现代概念是从多个数学领域发展出来的。群论的最初动机是为了求解高于4次的多项式方程。十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，扩展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依据特定多项式方程的根（解）的对称群给出了对它的可解性的判别准则。这个伽罗瓦群的元素对应于根的特定置换。伽罗瓦的想法最初被同代人所拒绝，只在死后才出版。更一般的置换群由奥古斯丁·路易·柯西专门研究。阿瑟·凯莱的“On the theory of groups, as depending on the symbolic equation formula_1”（1854 年）给出有限群的第一个抽象定义。
几何是第二个系统性的使用群，特别是对称群的领域。这类群是菲利克斯·克莱因 1872 年的爱尔兰根纲领的一部分。在新型的几何如双曲几何和射影几何形成之后，克莱因利用群论以更连贯的方式来组织它们。索菲斯·李进一步发展了这些想法，在 1884 年创立了李群的研究。
对群论有贡献的第三个领域是数论。一些阿贝尔群结构在卡尔·弗里德里希·高斯的数论著作《算术研究》（1798 年）中被隐含地用到，并被利奥波德·克罗内克更明显地用到。 1847 年，恩斯特·库默尔发展了描述用素数做因数分解的理想类群，使证明费马大定理的早期尝试达到了高潮。
把上述各种来源融合成一个群的统一理论是从卡米尔·若尔当的“Traité des substitutions et des équations algébriques” (1870 年）开始的。 瓦尔特·冯·迪克（1882年）给出了第一个抽象群的现代定义的陈述。在二十世纪，群在费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和威廉·伯恩赛德的开拓性著作中获得了广泛的认识，他们研究有限群的表示理论，还有理查德·布劳尔的模表示论和 Issai Schur 的论文。 赫尔曼·外尔、埃利·嘉当和很多其他人推进了李群和更一般的局部紧群的理论。它的代数对应者——代数群的理论，由克劳德·舍瓦莱（从 1930 年代晚期开始）和后来阿尔曼德·波莱尔和雅克·蒂茨的重要著作奠基。
芝加哥大学于 1960-61 年举办的“群论年”活动促使群论家们以丹尼尔·戈伦斯坦，约翰·格里格斯·汤普森和瓦尔特·法伊特为基础展开合作。在大量其他数学家的帮助下，他们完成了有限单群的分类。这项工程，不论是从证明长度来说还是从参与人数来说，其浩大程度超越了之前一切的数学成果。简化此证明的研究还在进行中。群论在当下仍是一个活跃的数学分支，并仍在对其他分支产生重大影响。
正式定义.
给定集合 formula_2 ，且它配备的二元运算 formula_3 满足（其中运算结果 formula_4 被简记为 formula_5 ）：
的话，称 formula_6 是一个群。当其配备的二元运算 formula_7 不是那么重要时， formula_6 也常常简记为 formula_2。单位元常称作幺元。
群运算的次序很重要，也就是说，等式 formula_10（交换律）不一定成立。满足交换律的群称为交换群（或阿贝尔群，以尼尔斯·阿贝尔命名），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。如以下面举例一节的二面体群就不是交换群。
等价的定义.
上面关於单位元和逆元素的部分也可以改为：
因为不管原来的淡紫色定义，还是淡黄色的替代性定义，配上结合律都会等价于以下的定义： 
举例.
整数加法群.
整数系 formula_11 是由所有整数所组成：
可以看出，整数系和整数的加法是可以构成群的：
实数乘法群.
实数集去掉 formula_26，即 formula_32，在实数乘法下构成群，验证如下：
二面体群.
以下是正方形的 8 个旋转和翻转：
如果 formula_13 和 formula_14 是上述 8 个「操作」的其中一个，「操作的复合」 formula_5 定义为先对正方形操作 formula_13 之后再操作 formula_14 。比如说，右旋 270° ( formula_43 ) 然后水平翻转（ formula_44 ），等同于沿对角线的反射（ formula_45 ），这样就可以表示为 formula_46 。
下面的群表列出了这种「操作的复合」的所有可能结果。
如果取
那么根据以上的群表， formula_48 的确是个二元运算，而且 formula_49 为群（其中 formula_50 符合单位元的要求），它被称为二面体群。注意到上表淡紫色的部分破坏了交换律，所以二面体群不是交换群。
基本性质.
单位元的唯一性.
若群 "formula_51" 同时有两个单位元 "formula_52" 和 "formula_53" ，那根据定义里对单位元的定义，对于任意 "formula_54" 有：
这样的话，把 formula_57 分别代换为 formula_58 和 formula_59 就有
所以
所以群的单位元是唯一的，这样根据函数符号与唯一性间的关系，可以添加新的三元函数符号 formula_63 与以下的新公理（以下的合式公式 formula_64 是 「formula_7 是 formula_2 上的一个二元运算，且存在 formula_7 的单位元」的正式逻辑表述）
这条公理直观上表示，只要「formula_7 是 formula_2 上的一个二元运算，且存在 formula_7 的单位元」，就可以用 formula_63 这个符号简记 「"formula_51" 上的那个唯一单位元」，否则取 formula_63 为空集。
为了简便起见， formula_63 通常记为 formula_76 甚至是 formula_59 。
逆元的唯一性.
在增添以上的新函数符号 formula_63 和新公理的情况下，就可以证明逆元素的唯一性。
若群 "formula_51" 的某元素 "formula_54" 有两个逆元 "formula_81" 和 "formula_82" ，那根据定义和 formula_63 的新公理有
那这样的话，依据定义里的结合律和 formula_63 的新公理有
所以任意 "formula_54" 只有一个逆元。这样根据函数符号与唯一性间的关系，可以添加一个三元函数符号 formula_89 与以下的新公理（以下的合式公式 formula_90 是 「 "formula_51" 为一群，且 "formula_54" 」的正式逻辑表述）
这条公理直观上表示，只要「"formula_51" 为一群，且 "formula_54"」，就可以用 formula_89 简记 「"formula_57 "在" formula_51" 上对应的那个唯一逆元素」，否则取 formula_89 为空集。
简便起见， formula_89 通常记为 "formula_101"。
群的幂.
若 "formula_51" 为一群，可以仿造整数指数，对任意 formula_54 作如下关于符号简写的递归定义
除法与减法.
有时，某个群的运算可以跟直观上的加法联想在一起，这个运算也可以改记为「 "formula_111" 」或「 "formula_112" 」，这时也会把 formula_113 改记为 formula_114 或 formula_115 ，这时会暱称 formula_114 为减法。更有甚者，formula_101 会被记为 formula_118 。
类似的，如果群的运算可以跟直观上的乘法联想在一起而改记为「 "formula_119" 」或「 "formula_120" 」，这时会把 formula_121 改记为 formula_122 或 formula_123 ，并暱称为除法；更有甚者，formula_101 会被记为 formula_125 。
注意以上都是为了直观理解方便所规定的简写，并不是断定群的运算必然跟一般实数的加减乘除一模一样。
群论术语.
本章节罗列一些群论涉及到的概念，其并非群本身的固有性质，但其与群的应用息息相关。本章节使用了数学符号如 formula_126 以示集合 formula_127 包含元素 formula_128 和 formula_129，或以 formula_130 表记 formula_131 是 formula_127 的一个元素，而记号 formula_133 意指 formula_134 为将 formula_127 的所有元各自唯一指定到 formula_136 的某个元的函数。
要超越上述纯粹符号操作水平去理解群，必须采用更加结构性的概念。有一个概念性原理位于所有下列概念的底层：要发挥群提供的结构（而无结构的集合就没有）的优势，与群有关的构造必须与群运算"兼容"。下列概念中以各种方式表现了这种兼容性。例如，群可以通过叫做群同态的函数相互关联。根据上述这个原理，要求它们以精确的意义照顾到群结构。群的结构还可以通过把它们分解成子群和商群来理解。“保持结构”的原理是在数学中反复出现的一个主题，它是靠范畴来工作的一个实例，在这里的情况下靠群范畴。
群同态.
群同态是保持群结构的映射。称两群之间的映射 formula_137 为群同态，当且仅当
对 formula_2 的所有元 formula_140 均成立。上式同样蕴含了 formula_141 与 formula_142。因此说：群同态保持了群的所有结构。
两群 formula_143 被称作同构的，当且仅当存在群同态 formula_144，使得 formula_145，也就是说，其复合分别得到了 formula_2 和 formula_147 上的恒等变换，此时也记 formula_148。从抽象的观点来看，同构的一类群携带了完全相同的信息，或者说，在「模去」群结构以外的性质后，所有同构的群可以视作唯一的单个对象。例如，对群 formula_2 中的某个元 formula_13 已经证实了 formula_151，如果另一群 formula_147 由映射 formula_153 同构于该群，则相当于证明了 formula_154。
此外，一个群可以拥有非恒等变换的自同态或自同构，如果以映射为元，映射复合为群乘法，则任意群 formula_2 拥有其自同态群和自同构群，分别记作 formula_156 和 formula_157。
子群.
非正式地说，子群是包含在更大的群内的一个群。
具体而论，对群 formula_2 与其子集 formula_159，如果 formula_147 对 formula_2 的群乘法 formula_162 和幺元 formula_163 亦构成群，则称 formula_147 为 formula_2 的一个子群，常记之为 formula_166。
可以证明，可通过以下判据校验群 formula_2 的子集 formula_147 是否为其子群：formula_169。
前文所述的例子中，幺元与旋转构成其一个子群 formula_170，在上面的表格中突出为红色：任意两个旋转，其复合仍为旋转，且任意旋转可被一个相反方向上的旋转所抵消。
了解子群族对于作为一个整体来理解群是重要的。
给定群 formula_2 的任意子集 formula_172，称由 formula_173 生成的子群为 formula_174，其中 formula_175。这是包含 formula_173 的 formula_2 的最小子群，由 formula_173 本身的元素与其逆元的所有可能的有限乘积组成。
同样在前文所述的二面体群中存在例子：由 formula_179 生成的子群为 formula_180。这一集合的确构成群，验证时需要注意，在该群内有 formula_181，这也意味著所有元都是自身的逆元，也就是说该群的方次数为 2，关于这一性质，见后文所述之阶。
陪集.
在很多情况下，需要认为两个元是等同的，如果它们只相差一个给定子群中的元素。例如，在上述 formula_182 中，一旦进行了翻转，再只进行旋转而不再进行翻转，正方形就永远不能回到 formula_183 的构型，此时可以认为，旋转运算对于是否已经进行了翻转的问题是无关紧要的。陪集可用来把这种现象形式化：子群 formula_147 定义了左陪集和右陪集，它们可以认为是把 formula_147 平移了一个任意群元素 formula_57。用符号表示，formula_147 的包含 formula_57 的左和右陪集分别构成集合
其中
同时也可以定义双陪集为
显然，左右陪集为双陪集之特例，取某一侧子群为 formula_194 即可。
任何子群 formula_147 的陪集形成了 formula_196 的一个划分，换言之，
考虑左右陪集。formula_147 的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它们相等，就是说对于所有 formula_2 中的 formula_57 有 formula_204，则 formula_147 被称为正规子群。
在前面介绍的对称群 formula_182 中，由旋转构成的子群 formula_207 的左陪集 formula_208 
此处的子群 formula_207 还是对 formula_182 正规的，因为有 formula_214，且对于任何 formula_215 以外的元素也类似。
商群.
有时，在由陪集形成的集合上可以赋予一个满足群公理的运算，使之成为"商群"或"因子群"。这仅在子群正规时可行。给定任何对 formula_216 正规的子群 formula_217，定义由 formula_217 决定的商群为
这个定义是由关联任何元素 formula_57 到它的陪集 formula_222 的映射 formula_223 是群同态的想法（自身是上面提出的一般结构性考虑的一个实例）所激发的，或者是叫做泛性质的一般抽象考虑。陪集 formula_224充当了这个群的单位元，在商群中 formula_222 的逆元是 formula_226。
商群 formula_227 的元素是代表单位元的 formula_207 自身和 formula_229。商群上的群运算如右侧所示。例如，formula_230。子群 formula_170 与其构造的商群 formula_227 均交换，而 formula_182 本身并不交换。通过较小的群构造较大的群，例如从子群 formula_207 和商群 formula_227 构造 formula_182，被抽象为叫做半直积的概念。
商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一种方法：任何群都是这个群的生成元上的自由群模以“关系”子群得到的商群。例如，二面体群 formula_182 可以由两个元素 formula_238 和 formula_134 生成（比如 formula_240 右旋，和 formula_241 垂直，或任何其他翻转），这意味著正方形的所有对称变换都是这两个对称或它们的逆元的有限复合。与
关系在一起，这个群就完全描述出来了。群的表示还可以被用来构造凯莱图，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。
此外，子群与商群以下列方式联系起来：formula_2 之子集 formula_147 可视作由单射 formula_245 构造，而 formula_2 对正规子群 formula_217 之商群 formula_248，则由一个满射，即典范同态 formula_249 汇出。需要指出，一般意义上的同态既不一定单，亦不一定满。
共轭.
如果同一个群中的两个元素"p" 和"q "满足关系："p = x−1qx"，其中"x" 也是同一个群中的元素，则称元素"p" 和"q" 共轭。共轭关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共轭是自反的、对称的和传递的。
在群中可以找到一个集合，这个集合中每一个元素都相互共轭，而在这个集合以外群的其他部分已经没有任何元素与他们具有共轭关系了。称这种集合为群中的一个共轭类。同一个群的两个类之间一定没有共同的元素。群中一个元素一定属于且仅属于一个类。如果群中没有元素与该元素共轭，则该元素自成一类。
阶.
群中元素个数称为群"G"的"阶"，记为|"G"|
子群的阶能整除这个群的阶
应用.
群的例子和应用大量存在。起点是上面介绍过的整数的群 Z 带有加法作为群运算。如果把加法替代为乘法，就得到了乘法群。这些群是抽象代数中重要概念的前身。
群应用于很多数学领域中。数学物件的性质经常是通过将群关联与数学对象关联，并研究相应的群的性质来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通过引入基本群创立了现在所谓的代数拓扑。通过这种连接方式，拓扑性质比如临近和连续转换成了群的性质。例如，右侧的图像描绘了平面减去一个点的基本群的元素。这个群的元素给出为在这个区域内的环路。蓝色环路被认为是零同伦（因此是无关紧要的），因为它可以收缩为一个点。圆孔的存在防止了橙色环路被收缩。橙色环路（或任何环绕这个圆孔一次的其他环路）所生成的，去掉了一个点的平面的基本群是无限循环群。基本群以这种方式探测到了这个圆孔。
在更新近的应用中，影响已经被倒转过来，由群论背景来激发几何结构了。在类似的脉络下，几何群论采用了几何概念，比如在双曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代数几何和数论。例如，典型群和皮卡德群在代数几何上有重要应用；参见
除了上述理论应用之外，还存在很多群的实践应用。密码学依赖于抽象群论方式和从计算群论中特别是实现于有限群上的时候所得到的算法知识的结合。群论的应用不限于数学；科学如物理、化学和计算机科学都受益于这个概念。
数.
很多数系统，比如整数和有理数享有自然给予的群结构。在某些情况下比如对于有理数，加法和乘法运算二者都引发群结构。这种系统是叫做环和-{zh-cn:域; zh-tw:体;}-的更一般的代数结构的前身。
整数.
整数Z在加法下的群记为（Z, +），它在上面已经描述了。整数带有用乘法替代加法的运算，(Z, ·)不形成群。闭合、结合律和单位元公理满足，但逆元不存在：例如，"a" = 2是整数，但方程"a·b" = 1的唯一解在这种情况下是"b" = 1/2，它是有理数而非整数。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。
有理数.
对乘法逆元存在的要求建议了考虑分式
整数的分式（要求"b"非零）叫做有理数。所有这种分数的集合通常记为Q。对于有理数带有乘法成为群仍有一个小障碍：因为有理数0没有乘法逆元（就是说没有"x"使得"x"·0 = 1），(Q, ·)仍然不是群。
但是，所有非零有理数的集合Q\{0} = {"q" ∈ Q, "q" ≠ 0}形成一个在乘法下的阿贝尔群，记为。结合律和单位元公理从整数的性质中得出。闭合要求在去掉零之后仍成立，因为任何两个非零有理数的乘积永远不是零。最后，"a"/"b"的逆元是"b"/"a"，所以逆元公理也满足。
有理数（包括0）在加法下也形成群。同时带有加法和乘法运算产生更复杂的结构叫做环—如果同时除法总是可能的话（如在Q中）就是域，它在抽象代数中占据中心位置。群论理论因此位于这些实体的理论的底层部分。
非零整数模以素数.
对于任何素数"p"，模算术提供了整数模以"p"的乘法群。群的元素是不能被"p"整除的整数模"p"的同余类，就是说两个数被认为是等价的如果它们的差被"p"整除。例如，如果"p" = 5，则精确地有四个群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍数而6和−4都等价于1。群运算给出为乘法。因此4·4 = 1，因为通常意义下的乘积16等价于1,而5整除16 − 1 = 15。以上事实记为
"p"的首要作用是确保了两个都不被"p"整除的整数的乘积也不被"p"整除，因此指示的同馀类的集合在乘法下闭合。单位元如平常的乘法群一样是1，而结合律可以从整数的相应性质得出。最后，逆元公理要求给定不整除于"p"的整数"a"，存在一个整数"b"使得
逆元"b"可以使用贝祖等式和最大公约数等于1的事实找到。在上述"p" = 5的情况下，4的逆元是4，3的逆元是2，因为3·2 = 6 ≡ 1 (mod 5)。所有的群公理都满足。实际上，这个例子类似于上述（Q\{0},·），因为它是在有限域F"p"中非零元素的乘法群，记为F"p"×。这些群对于公开密钥加密是至关重要的。
循环群.
"循环群"是其所有元素都是特定元素"a"的幂的群（在群运算被写为加法的时候使用术语倍数）。在乘法符号下，群的元素是：
这里的"a"2意味著"a"·"a"，而"a−3"表示"a"−1·"a"−1·"a"−1=("a"·"a"·"a")−1等等。这个元素"a"叫做这个群的生成元或本原元。
这类群的典型例子是单位一的"n"次复数根，由满足"z""n" = 1的复数"z"给出，其运算为乘法。任何有"n"个元素的循环群同构于这个群。使用某些域论，群F"p"×可以被证明为是循环群：对于"p" = 5, 3是生成元因为31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2,而34 ≡ 1。无限循环群同构于（Z, +），它是前面介绍的整数在加法下的群。因为这两个原型都是阿贝尔群，所以任何循环群都是。
阿贝尔群包括有限生成阿贝尔群的基本定理的研究是非常成熟的；对这个事态的反映是很多有关群论的概念，比如中心和交换子，描述了一个给定群不是阿贝尔群的程度。
对称群.
"对称群"是由给定数学对象的对称组成的群，对称源于它们的几何本性（比如前面介绍的正方形的对称群）或源于代数本性（比如多项式方程和它们的解）。概念上说，群论可以被认为是对称性的研究。 数学中的对称性极大的简化了几何或分析对象的研究。群被称为作用于另一个数学对象"X"上，如果所有群元素进行某个在"X"上的运算兼容于群定律。在下面最右侧例子中，7阶的（2,3,7）三角群的一个元素通过置换突出的弯曲的三角形作用在镶嵌上（其他的元素也是）。通过群作用，群模式被连接到了所作用到的对象的结构上。
在化学领域中，比如晶体学、空间群和点群描述分子对称性和晶体对称性。这些对称性位于这些系统的化学和物理表现的底层，而群论使简化对这些性质的量子力学分析成为可能。例如，群论被用来证实在特定量子级别间不出现光学跃迁简单的因为涉及到了状态的对称性。
群不只对评定在分子中蕴含的对称性有用，而且令人惊奇的它们还可以预测出分子的对称性有时候可以改变。姜-泰勒效应是高对称的分子的变形，此时，在通过分子的对称运算相互关联的一组可能基态中，该分子将采纳一个特定的低对称的基态。
同样的，群论还可以帮助预测在物质经历相变的时候出现的物理性质的变更，比如晶体形式从立方体变为四面体。一个例子是铁电物质，这里从顺电到铁电状态的变更出现在居里温度时，与从高对称顺电状态到低对称铁电状态的变更有关，并伴随著所谓的软声子模式，它是在变化时转到零频率的振动晶格模式。
这种自发对称性破缺在基本粒子物理中找到了进一步应用，这里它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。
有限对称群比如马蒂厄群被用于编码理论中，它又用于传输数据的纠错和CD播放器中。另一个应用是微分伽罗瓦理论，它刻画有已知形式的不定积分的函数，给出何时特定微分方程的解有良好表现的群论判定标准。在群作用下保持稳定的几何性质在几何不变量理论中研究。
一般线性群和表示理论.
矩阵群由矩阵加上矩阵乘法一起构成。一般线性群"GL"("n", R)由所有可逆的"n"乘"n"的带有实数元素的矩阵构成。它的子群被称为矩阵群或线性群。上面提及的二面体群例子可以被看作（非常小的）矩阵群。另一个重要矩阵群是特殊正交群"SO"("n")。它描述了"n"维的所有可能旋转。通过欧拉角，旋转矩阵被用于计算机图形学中。
表示理论是对群概念的应用并且对深入理解群是很重要的。它通过群作用于其他空间来研究群。一类广泛的群表示是线性表示，就是说群作用在线性空间中，比如三维欧几里得空间R3。"G"在"n"-维实向量空间上的表示简单的是从群到一般线性群的群同态
以这种方式，抽象给出的群运算被转换成用明确的计算可触及到的矩阵乘法。
给定一个群作用，这给出了研究所作用的对象的进一步方法。在另一方面，它还产生了关于群的信息。群表示是在有限群、李群、代数群和拓扑群特别是（局部）紧群理论中的起组织作用的原则。
伽罗瓦群.
"伽罗瓦群"是通过对求解多项式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。例如，二次方程"ax"2 + "bx" + "c" = 0的解给出为
对换表达式中的"+"和"−"，也就是置换方程的两个解可以被看作（非常简单的）群运算。类似的公式对于三次方程和四次方程也有，但是对于五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。与多项式相关联的伽罗瓦群的抽象性质（特别是它们的可解性）给出了那些多项式的所有解都可用根式表达的判定标准，就是说这些解可以类似上面公式那样只使用加法、乘法和方根来表达。
这个问题可以使用域论来处理：考虑一个多项式的分裂域就把问题转移到了域论的领域中了。现代伽罗瓦理论把上述类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立了在-{zh-cn:域; zh-tw:体;}-和群之间的严格关联，再次凸显了群在数学中无所不在。
有限群.
一个群被称为有限群，如果它有有限个元素。元素的数目叫做群"G"的阶。一类重要的有限群是n次对称群"S""N"，它是"N"个字母的置换的群。例如，在3个字母上的n次对称群"S"3是由三个字母"ABC"的所有可能置换构成的群，就是说它包含元素"ABC", "ACB", ...,直到"CBA"，总共有6（或3的阶乘）个元素。这类群是基础性的，因为任何有限群都可以表达为"n"次对称群"S""N"在适合的整数"N"下的子群（凯莱定理）。相似于上述正方形的对称的群，"S"3还可以解释为等边三角形的对称的群。
在群"G"中的一个元素"a"的阶是最小的使得"an = e"的正整数"n"，这里的 "an"表示formula_252，就是应用运算·于"a"的"n"个复本上。（如果·代表乘法则"a""n"对应于"a"的"n"次幂）。在无限群中，这个"n"可能不存在，在这种情况下"a"的阶被称为无限的。一个元素的阶等于这个元素生成的循环子群的阶。
更复杂的计数技术例如计数陪集，产生关于有限群的更精确陈述：拉格朗日定理声称有限群"G"的任何有限子群"H"的阶整除"G"的阶。西罗定理证明了它的部分逆命题。
上面讨论的二面体群是8阶有限群。r1的阶为4，这是它生成的子群"R"（见上）的阶。反射元素fv等的阶是2。如拉格朗日定理所述这两个阶都整除8。上面的群F"p"×有阶。
有限单群分类.
数学家们常常为寻求一种数学对象的完备的分类（或列表）而努力。并且这种分类是十分有用的: 如果有限群有一个完备的列表, 假设我们需要证明定理"P"时, 如果可以一步一步证明定理对列表中给出的群成立, 那我们即可证明定理"P"在有限群的领域内成立。这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。<br>
根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔群）群Z"p"。<br>
"p"2阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到"p"3阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群 formula_253 所示，其中 8 = 23。可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。 一个中间步骤是有限单群分类。如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。合成列说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。 有限单群分类是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查德·博赫兹成功地证明了怪兽月光理论。该猜想指出了有限单群中分类中的最大的散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。
带有额外结构的群.
很多群同时是群和其他数学结构的例子。用范畴论的语言来说，它们是在范畴中的“群”物件，这意味著它们是带著模仿群公理的（叫做态射的）变换的对象（可以是其他代数/数学结构）。例如，所有群（如上面定义的）也是一个集合，所以群是在集合范畴中的群物件。
拓扑群.
某些拓扑空间可以配备上群结构。为了让群公理与拓扑交织良好，群运算必须是连续函数，就是说如果"g"和"h"只变化很小，那么和"g"−1必须变化不大。这种群叫做拓扑群，并且它们是在拓扑空间范畴内的群对象。最基本的例子是实数R在加法之下，任何其他拓扑-{zh-cn:域; zh-tw:体;}-比如复数或p进数也是类似。所有这些群都是局部紧拓扑群，所以它们有哈尔测度并可以通过调和分析来研究。前者提供了不变积分的抽象形式化。以实数情况为例，不变性意味着有：
对于任何常数"c"成立。在这些-{zh-cn:域; zh-tw:体;}-上的矩阵群也属于这种结构下，赋值向量环和赋值向量代数群也是如此，它们对数论是基础性的。无限域扩张的伽罗瓦群比如绝对伽罗瓦群也可以配备上拓扑，叫做Krull拓扑，它又是推广上面概述的-{zh-cn:域; zh-tw:体;}-和群的连接到无限域扩张的中心概念。适应代数几何需要的这个想法的高级推广是étale基本群。
李群.
李群（为纪念索菲斯·李而命名）是具有流形结构的群，就是说它们是局部上看起来像某个适当维度的欧几里得空间的空间。这里，作为额外结构的流形结构也必须是兼容的，就是说对应于乘法和求逆的映射必须是光滑的。
标准例子是上面介绍的一般线性群：它是所有formula_255矩阵的空间的开子集，因为它由不等式
给出。这里的"A"指示formula_255矩阵。
李群在物理中是基础性的：诺特定理把连续对称与守恒定律关联起来。在空间和时间中旋转和平移不变性是力学定律的基本对称。它们可以被用来构造简单的模型——比如在一种状况下实施轴对称常常会导致在解用来提供物理描述的方程上的重大简化。另一个例子是-{zh-hans:洛伦兹变换;zh-hant:劳仑兹变换;}-，它有关于两个相互运动的观察者的时间和速度的测量。它们可以用纯群论方式推演，通过把变换表达为闵可夫斯基时空的旋转对称。在忽略万有引力的情况下，后者充当了狭义相对论的时空模型。闵可夫斯基时空的完全对称群，就是说包括了平移，叫做庞加莱群。通过上述联系，它在狭义相对论中扮演了关键角色，并隐含地用于量子场论。 随位置变化的对称与规范场论一起构成现代物理对相互作用的描述的中心。
推广.
在抽象代数中，通过放松定义群的某个公理可定义出更多的一般结构。例如，如果省略所有元素都逆元的要求，结果的代数结构就叫做幺半群。自然数集N（包括0）在加法下形成了幺半群，还有非零整数在乘法下也是。有一种一般方法用来向任何（阿贝尔的）幺半群正式的增加元素的逆元，非常类似于从得出的方式，这叫做格罗滕迪克群。广群非常类似于群，除了复合"a" · "b"不必须在所有的"a"和"b"上有定义之外。它们由更加复杂形式的对称的研究所引发，常见于拓扑和分析结构比如基本广群中。表格给出一些推广群的结构。