自然对数

自然对数（Natural logarithm）为以数学常数e为底数的对数函数，标记作formula_1或formula_2，其反函数为指数函数formula_3。
自然对数积分定义为对任何正实数formula_4，由formula_5到formula_4所围成，formula_7曲线下的面积。如果formula_4小于1，则计算面积为负数。
formula_10则定义为唯一的实数formula_4使得formula_12。
历史.
十七世纪.
约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数。当时还没出现有理数幂的概念，按后世的观点，约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近formula_15，而约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数formula_10。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。
形如formula_17的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况formula_18对应于双曲线的，即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年将对数联系于双曲线formula_7的弓形面积，他发现x轴上formula_20时面积相同，这指出了双曲线从formula_21到formula_22的积分formula_23满足：
1649年，将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将formula_25展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。
十八世纪.
大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为, section 9-3, p. 484, 489</ref>：
1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念。
形式定义.
欧拉定义自然对数为序列的极限：
formula_29正式定义为积分，
这个函数为对数是因满足对数的基本性质:
这可以通过将定义了formula_32的积分拆分为两部份，并在第二部份中进行换元formula_33来证实:
幂公式formula_36可如下推出:
第二个等式使用了换元formula_38。
自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：
导数.
自然对数的导数为
证明一（微积分第一基本定理）:formula_48
证明二：按此影片
设formula_53
设formula_58
用自然对数定义的更一般的对数函数，formula_63，根据其逆函数即一般指数函数的性质，它的导数为：
根据链式法则，以formula_65为参数的自然对数的导数为
右手端的商叫做formula_67的，通过formula_68的导数的方法计算formula_69叫做对数微分。
幂级数.
自然对数的导数性质导致了formula_70在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：
把formula_74代入formula_4中，可得到formula_76自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换，可以得到对绝对值大于1的任何formula_4有效的如下级数:
这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。
还要注意到formula_79是自身的逆函数，所以要生成特定数formula_80的自然对数，简单把formula_79代入"formula_4"中。
自然数的倒数的总和
叫做调和级数。它与自然对数有密切联系：当formula_86趋于无穷的时候，差
收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。
积分.
自然对数通过分部积分法积分:
假设:
所以:
自然对数可以简化形如formula_92的函数的积分：formula_93的一个原函数给出为formula_94。这是基于链式法则和如下事实:
换句话说，
且
例子.
下面是formula_98的例子：
设formula_100且formula_101：
与双曲函数的关系.
在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数，并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线formula_7下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线formula_104上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角formula_105，在渐近线即x或y轴上需要有的formula_4或formula_80的值。显见这里的底边是formula_108，垂线是formula_109。
通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：
单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线formula_7下双曲角的formula_113。
连分数.
尽管自然对数没有简单的连分数，但有一些广义连分数如:
这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。
例如，因为formula_116，2的自然对数可以计算为:
进而，因为formula_118，10的自然对数可以计算为:
复数对数.
指数函数可以扩展为对任何复数formula_4得出复数值为formula_3的函数，只需要简单使用"formula_4"为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难：不存在"formula_4"使得formula_124；并且有著formula_125。因为乘法性质仍适用于复数指数函数，formula_126，对于所有复数formula_127和整数formula_86。
所以对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数，就是说任何复数对数都可以增加formula_129的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如，formula_130或formula_131或formula_132等等；尽管formula_133，formula_134不能定义为formula_129或formula_136或formula_137，以此类推。
主值定义.
对于每个非0复数formula_138，主值formula_139是虚部位于区间formula_140内的对数。表达式formula_141不做定义，因为没有复数formula_142满足formula_143。 
要对formula_139给出一个公式，可以先将formula_127表达为极坐标形式，formula_146。给定formula_127，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向formula_148增加formula_149的整数倍，所以为了保证唯一性而要求"formula_148"位于区间formula_140内；这个"formula_148"叫做幅角的主值，有时写为formula_153或formula_154。则对数的主值可以定义为 ：
例如，formula_156。
科学应用.
自然指数有应用于表达放射衰变（放射性）之类关于衰减的过程，如放射性原子数目的微分方程formula_157随时间变化率formula_158，常数formula_159为原子衰变概率，积分得formula_160。