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自然数

自然数（natural numbers）按ISO 80000-2和ISO 2382定义，指非负整数 formula_1；此定义相同于集合论和计算机科学领域中，认为0属于自然数。但在数论领域中，认为0不属于自然数，因而按数论描述，自然数会同义于正整数。为免歧义，可直接以术语“非负整数”代替自然数称之。
数学中，一般以formula_2代表以自然数组成的集合。自然数集是一个可数的，无上界的无穷集合。非零自然数即指正整数formula_3。
自然数可用于计数（如：桌子上有“三”个苹果）和定序（如：国内“第三”大城市）。
符号.
数学家们使用formula_4或formula_2来表示所有自然数的集合。较早的教科书也有使用formula_6来表示这一集合的情况。
为了消除是否包含0的歧义，有时通过上、下标的形式表示集合中是否包含0：
定义.
基于序数理论.
基于序数理论提出的皮亚诺公理可以得到自然数的许多特性，这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。
基于基数理论.
在基数理论中，集合论的一般做法是将0定义为空集后，将任一非零自然数看作是所有比该数小的自然数组成的集合，即
通过无穷公理，可以得到存在一个只包含全体自然数的自然数集formula_2。
另外，在此定义下，在集合formula_11内就有formula_11个元素；而若formula_11小于formula_14，则formula_11会是 formula_14的子集。
性质.
无限性.
自然数的集合是无限集。根据定义，这种无限称为可数无限。可以与自然数建立双射关系的所有集合都具有这种无限性，称作，这个集合的势为formula_17。
可加性.
自然数加法可经formula_18及formula_19递归定义而成。因而得出交换幺半群formula_20，是由formula_21生出的自由幺半群，其中幺元为formula_22。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。
可乘性.
同理，自然数乘法formula_23可经formula_24及formula_25 得出。
加乘关系.
而formula_26亦是交换幺半群；formula_23和formula_28符合分配律：
有序性.
我们说formula_30当且仅当有自然数formula_31使得formula_32。formula_33是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。 
此序也和加法及乘法兼容，即若formula_34，formula_35和formula_31都是自然数且formula_30，则formula_38及formula_39。
可除性.
给定两个自然数formula_34和formula_35，其中formula_42，可找到唯一的两个自然数formula_43及formula_44使得
formula_43称为“商数”而formula_44称为“余数”。 若formula_48，则称formula_34可被formula_35整除，记为formula_51。
相关概念有辗转相除、质数及其它数论概念。
历史与0的争议.
自然数由数数而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯主义更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。
零早于公元前400年被巴比伦人用作数字使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人一开始仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。不过历史上也有人把0包括在自然数之内，例如这两本18世纪的法国书籍。
19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及计算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。
在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。
在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。
认为自然数不包含零的其中一个理由是自然数所指为自然界中存在的数，例如一棵大树、两条鱼、十亿个细胞等等，而鲜少有人说零个物品。
国际标准《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被取代）中，从集合论角度规定：符号 formula_2 所表示的自然数集是包括正整数和0。
中国大陆于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11规定：formula_2表示“非负整数集；自然数集”，formula_54。但自2017年3月23日起，该标准转化为推荐性标准，不再强制执行。
推广.
自然数用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。基数用于判定集合的大小，序数用作排列。
对于有限序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。
代数数域

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域formula_1的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作formula_1上的有限维向量空间。
对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。
定义.
预备知识.
代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域formula_1。
域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域中加入不属于此域的元素（一般以集合记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域称为“（添加中元素得到）的扩域”。称是的子域。一般将“到的域扩张”记作⊂或/。
另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域为系数域的向量空间（通常称作上的向量空间或向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以中元素组成的有序数组：formula_4。其中的是基中向量的个数，也称为空间的维数。
设是域的一个扩域。将中的元素看作向量，以作为系数域，可以证明是一个向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称是的有限扩张。作为向量空间的维数，称为扩张的次数，记作 : 。
定义.
若域是有理数域formula_1的有限扩张，则称之为代数数域。
例子.
最小最基本的代数数域是有理数域formula_1。因为formula_1自身是formula_1向量空间，维数是1。因此formula_1是formula_1自身的域扩张，formula_11
高斯有理数formula_12（为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：
的数构成的集合。可以证明，formula_12是域，而且是formula_1向量空间，以formula_16为基，空间维数是2。所以formula_12是formula_1的二次扩张，formula_19
给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数，二次域formula_20在formula_1中添加的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明formula_20是formula_1向量空间，以formula_24为基，空间维数是2，即formula_25
考虑多项式方程formula_26的个复根formula_27，它们被称做次单位根，具体可以写作：
在formula_1中添加formula_27得到的扩域称为次分圆域，记作formula_31。可以证明formula_31是有限维formula_1向量空间，维数为formula_34（formula_35是数论中的欧拉函数），即formula_36
实数域formula_37、复数域formula_38和进数域formula_39都不是formula_1的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是formula_1的扩域，因此也不是代数数域。
全体规矩数构成的域formula_42和全体代数数构成的域formula_43（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是formula_1的有限扩张，因此都不是代数数域。
代数数域与代数数.
代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域，依定义，域扩张formula_45是有限扩张。设其次数为正整数。将看作是维formula_1向量空间，在中任意选一个不属于formula_1的数，它可以被看作是维formula_1向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的 + 1个向量：
它们都属于。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的 + 1个有理数：formula_50，使得：
考虑非零多项式formula_52，formula_53，即是多项式formula_54的根。所以是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。
代数整数.
代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数都是一次整系数多项式的根，因此是代数整数。给定代数数域，中所有代数整数构成一个环，称作中的（代数）整数环，也称为整数环，记作formula_55。例如formula_1上的代数整数环就是formula_57，因此在代数数域研究中formula_57也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。
代数数域中的整数环formula_55与formula_57有不同的代数性质。formula_55不一定是唯一分解整环。举例来说，设formula_62，中的整数环是formula_63。formula_64都是formula_55中的“素数”。正整数6，作为formula_55中的元素，它的素因数分解有两种方式：
有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：formula_55的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。
代数数域的基.
整数基.
设为次代数数域，的整数基是任一由个整数组成的集合：
使得任一个整数都能唯一地表示为这个整数的整线性组合，即：
换句话说，整数基是formula_55作为自由formula_57模的基。给定的一组整数基，可以证明，所有中元素都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：
这说明是作为维formula_1向量空间的一组基。而且由于中元素都是整数，故名为整数基。此外可以证明，是整数当且仅当所有formula_77都是有理整数。
乘幂基.
设为次代数数域。作为维formula_1向量空间，包含如下形式的基：
其中每个元素都是某个特定的数的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的一定存在，称为域扩张formula_80的本原元。如果不仅是本原元，还是整数，那么这时也是整数基，称作乘幂整数基，称为单衍域（monogenic field）。
数域

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域formula_1的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。
定义.
设formula_2是复数域formula_1的子集。若formula_2中包含0与1，并且formula_2中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在formula_2中，就称formula_2为一个数域。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域。
任何数域都包括有理数域formula_8，但并不一定是formula_8的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域formula_10和复数域formula_1都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。
例子.
除了常见的实数域formula_10和复数域formula_1以外，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：
的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成formula_15的形式，故仍然在集合之中。这个集合记作formula_16，是有理数域formula_8的二次扩域。
可构造数.
可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为formula_18，是一个数域。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。formula_18是formula_8的扩域，次数为无限大，是实数域formula_10的子域。
代数数.
代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作formula_22，是一个数域。formula_22也常被称为代数数域，但与定义为“formula_8的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个formula_8的有限扩张生成的域都可看作是formula_8中加入某个代数数扩成的，所以都是formula_22的子域。可构造数构成的数域formula_18也是formula_22的子域。由于虚数单位也是代数数，所以formula_22不是formula_10的子域。另一方面，自然对数的底以及圆周率都不是代数数，所以formula_10也不是formula_22的子域。
数论

数论（number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，被称为「最纯」的数学领域。
简介.
正整数按乘法性质划分，可以分成质数、合数、1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想、孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。
整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（如黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
历史.
古代.
数论早期也称为「算术」（arithmetic），而算术一词则表示「基本运算」，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容：
中世纪.
在中世纪早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（"Arithmetica"）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
近代.
费马.
皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以及书旁的空白处。费马的贡献几乎没有数论上的证明，不过费马重复的使用数学归纳法，并引入无穷递降法。
费马最早的兴趣是在完全数及相亲数，因此开始研究整数因数，这也开始1636年之后的数学研究，也接触到当时的数学社群。他已在1643年研读过版本的丢番图著作，他的兴趣开始转向丢番图方程和平方数的和。
费马在数论上的贡献有：
费马在1637年声称（费马最后定理）证明了对于大于2的任意整数formula_10，不存在
formula_11的非寻常的正整数解（目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1994年完成的证明），但只在一本丢番图著作的旁边写到，而且他没有向别人宣称他已有了证明。
欧拉.
欧拉（1707–1783）对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发，让他开始专注在费马的一些研究上，在费马没有使当代的数学家注意此一主题后，欧拉的出现称为「现代数论的重生」。欧拉数论的贡献包括以下几项：
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历史.
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透明格式.
「透明格式」是个较为复杂的概念。它要求文档的格式必须是「广泛使用的软体」可以编辑的。文档的透明格式相当于程式的源码。这个概念是为了确保文档可以易于被修改。该许可证也举出了一些「透明格式」的例子：没有标记的纯ASCII、Texinfo输入格式、LaTeX输入格式、使用可以公开取得其DTD的SGML或XML、合乎标准的简单HTML、PostScript或PDF。「透明影像格式」的例子有PNG、XCF和JPG。
亚洲历史

亚洲历史描述一个由欧亚草原连接的几个不同海岸地区（东亚、南亚和西亚）的集合体的历史。
这几个海岸地区是世界上最早诞生文明的地区。美索不达米亚、印度河流域文明和华夏文明具有相似的技术和想法，诸如车轮和算术。
史前时期.
在公元前1万年，今土耳其东南部的哥贝克力山丘可以视为新石器文化的开端。
在中国河北省的易县的北福地史前文化连同磁山文化、兴隆洼文化和太行山东部文化填补了中国史前文化的空缺。
青铜时期.
铜石并用时代开始于约公元前4500年，青铜时代开始于约公元前3500年。
印度河流域文明是一个存在青铜器时期的文明，它处于印度次大陆的西部。通常认为，早期的印度教在这个文明中进行。
中国和越南同样也被认为是金属使用的中心。
铁器时期.
在亚洲的几大主要文明中，铁器时代伴随着使用铁制武器、盔甲的大量使用。
中东.
在公元前6至4世纪期间，由居鲁士二世建立的波斯帝国阿契美尼德王朝统治从希腊土耳其至印度河流域和中亚地区。
亚历山大大帝于公元前4世纪征服了波斯帝国。创建了短暂的希腊化时代。他并不能建立持久的稳定。在他死后，波斯分裂成弱小的王朝。其中包括塞琉古帝国，以及之后的安息帝国。至古典时期结束时，波斯地区重新融合成了萨珊王朝。有时也被认为第二波斯帝国。
罗马帝国在塞琉古帝国之后控制了亚洲西部部分地区。
印度.
孔雀王朝和笈多王朝是印度的黄金时期。在科学、技术、艺术和宗教上的大量发明和发现成为印度文化上一个重要部分。始于印度次大陆的印度教和佛教，对南亚、东亚和东南亚产生重要的影响。
中国.
约公元前1029年起，周朝开始出现并一直持续至约公元前258年。周朝使用一种分封制。他将权力给予地区诸侯，并且通过他们的忠诚来控制广大的领土。结果，此时的中国往往是非中央集权化并且非常虚弱。周天子对于解决诸侯之间的纷争，能起的作用很少。
秦始皇推翻了周朝最后的天子，统一了六国，建立秦王朝。秦王朝是第一个统一王朝。统治时期是公元前221年至前207年。新皇帝废除了分封制并且建立了一套在他直接统治下的官僚机构。
汉朝是继秦朝之后，又一个大的帝国。在4个世纪中，汉朝被认为是中国历史上黄金时期。
中世纪.
在这个时代，东方世界随着贸易、移民和征服不断扩张。
伊斯兰的中东.
在7世纪，伊斯兰哈里发国家和其他伊斯兰国家控制中东、高加索和中亚地区。
印度.
南部印度的朱罗王朝在10世纪征服大部分东南亚地区。穆斯林侵入印度次大陆主要发生在12世纪。
穆斯林征服印度次大陆大致发生在12世纪后，不过早期的穆斯林征服在该地区仅造成有限的侵袭。
中世纪中国.
古典时代后的中国经历隋、唐、宋和元、明的兴起和衰落。在这段时间，佛教传至、儒家革新，官僚机构改善。
一个新的王朝于580年开始形成。杨坚自称隋朝皇帝。不久他攻克了南方的陈朝，统一了中国。文帝被其儿子杨广谋杀。他夺得帝位为隋炀帝。炀帝复兴了儒家和官僚制度，因此得罪了贵族和游牧部落。之后，隋炀帝成为一位极度奢侈的皇帝，他因个人的奢迷生活以及征伐高句丽而过度消耗中国的资源。
隋朝重要的大臣李渊开始崛起。他于618年建立唐朝。唐朝建立了一个具有广大疆域的帝国。自唐玄宗起，唐朝开始衰落。
至960年开始，中国大部分地区重新统一在宋朝之下。尽管宋失去了北方的领土并且未能击败北方的辽朝。他们是高度汉化的契丹人。宋朝以宋明理学的形式恢复了儒家。
蒙古帝国.
13世纪，蒙古帝国征服亚洲大部分地区，从中国至欧洲。中世纪的亚洲是大汗的王国。从未有人像成吉思汗那样控制这么多的土地。
近代.
17世纪，俄国开始扩张进入亚洲。他们最终控制整个西伯利亚以及于19世纪占领大部分中亚地区。自16世纪起，奥斯曼帝国控制安纳托利亚、中东、北非和巴尔干。16世纪，莫卧儿帝国控制印度大部分，开始印度第二个黄金时代。
明朝.
1368年，朱元璋建立明朝。他和之后的皇帝将蒙古人和他们的文化赶出中原地区。
近现代.
清朝.
1644年，东北部的满洲人开始征服整个中国。满清皇帝，其中尤其典型的康熙帝维持一个保守的国家，其中含有强大的官僚机构和学者。
当代.
19世纪，俄国和英国在中亚地区互相争夺。1916年，西伯利亚铁路贯通。
在20世纪初期，欧洲殖民者占领部分亚洲地区，其中包括英属印度，英属香港，法属印度支那和葡属澳门和果阿。尽管没有影响力，但是部分亚洲地区保持独立。其中有波斯、泰国和中国。
20世纪亚洲重要人物：光绪帝、慈禧太后、溥仪、孙中山、袁世凯、蒋介石、蒋经国、李登辉、毛泽东、周恩来、邓小平、赵紫阳、江泽民、李鹏、伊藤博文、东条英机、昭和天皇、甘地、穆罕默德·阿里·真纳、金日成、金正日、李光耀、东姑阿都拉曼、马哈迪·莫哈末、苏加诺、苏哈托、保大帝、胡志明、李承晚、朴正熙、费迪南德·马科斯、科拉松·阿基诺、诺罗敦·西哈努克、波尔布特等等。
开放内容

开放内容（open content或OpenContent）是个新词，于1998年由大卫·威立（David Wiley）创立，指他人可以复制或修改的原创作品。该名词源自于开放源码与软体相关的概念。
威立第一次使用开放内容这个词时，指的是采用开放内容授权（一个非自由的相同方式共享许可，参见下面的“自由内容”）或其他类似授权的作品内容的开放性可以根据“5R框架"，在不违反著作权法的前提下，基于内容的再利用、修改、混合及再散布的程度来评估。。开放内容与开放源码或自由内容的不同之处为，一件作品想要具有开放内容的资格没有明确的门槛。
虽然，开放内容被视为著作权的对立面，开放内容许可证依赖著作权人许可他人使用其作品的权力。
定义.
OpenContent网站曾经将开放内容定义为“在一个类似开源与自由软件社区使用的许可证下，可供修改、使用和再分发（的内容）”。然而，这样的定义会把开放内容许可证（OPL）自身排除在外，因为该许可证禁止“对自身收费”，但此权利是自由和开源软件许可证的要求。
因此这个词改变了定义。开放内容协议“给用户提供自由、永久地从事5R活动的许可”。
OpenContent网站上提出了5R，作为评估什么内容是开放的一个框架。
这个更广泛的定义将开放内容和开源软件区分开来，因为后者必须可供公开商业使用。但它和一些开放教育资源的定义相似，开放教育资源包括非商业和逐字复制许可证下的资源。
开放定义旨在定义开放内容和开放知识，大量借鉴开源定义；它保留开放内容狭义上作为自由内容。
开放获取.
“开放获取”（open access）是指对内容的免费访问，主要包括经过同行评审的学术期刊文章。一些开放获取作品也许可用于再利用和再分发，这将使他们的开放内容。
开放内容与教育.
过去十年来，开放内容已经成为高等教育的另一条路。传统大学的费用昂贵，且仍不断在调涨之中。开放内容提供免费获取高等教育的管道，且「聚焦于集体知识以及学习与学术内容的分享与再利用」。现在全世界有许多推广开放内容学习的专案与组织，例如开放式课程导入计划、谢勒基金会以及可汗学院。部分大学，例如麻省理工学院、耶鲁大学以及塔夫茨大学正在规划在网路上免费开放她们的学校课程。
教科书.
教科书产业是开放内容在教育产业中可以造成最大影响的一块。在过去，因为出版商习惯不断推出更新版本，教科书价格不但昂贵，同时资讯内容也很容易过时或不便对照。因为其在网路上容易更新的特质，可以协助解决这类问题。同时使用开放授权以及维持线上也对老师们的帮助很大，因为这样一来老师便可以依照自己的课程需求来编修教学资源。目前也有许多组织正在推广开放授权教科书的产出，例如开放教科书计划、, 谢勒基金会开放教科书大挑战 以及维基教科书。
想了解更多与教育或教科书的开放内容相关资讯，可参考以下条目：开放教育资源。
许可协议.
根据OpenContent网站上开放内容目前的定义，任何一般的免版税的版权许可证将有资格作为一个开放许可证，因为它“为用户提供的权利种类比通常法律允许的更多。这些权限免费授予用户。”
然而，狭义定义有效地将开放内容限制到了自由内容的范畴；任何自由内容许可证都有资格作为开放内容许可证。根据这个狭义标准，以下仍在维护的许可证具有资格：
世界政区索引

世界政区索引列出世界各个国家（或地区），其范围既包括被国际普遍承认的国家，也包括未被国际普遍承认的国家和属地。
本索引中，所有国家（或地区）均按照英文字母排序，并罗列其中文简称、全称，英文简称及ISO 3166-1代码（格式为二位代码-三位代码-数字代码）。
其中有争议且未被普遍承认的国家使用绿色进行标注；而属地则使用蓝色进行标注。
收录标准.
本列表参照了1933年《蒙特维多国家权利义务公约》对主权国家的定义。根据定义，一个主权国家应符合如下标准：
其中，第四点是一个政治实体被其他国家承认为主权国家的决定性因素，因为这意味着其被国际社会所接纳。
根据以上标准，本表收录了205个政治实体与38个属地：
此外，该列表亦收录38个拥有永久居留人口的属地，不过该列表并不收录如下政治实体:
按英文字母排序的国家和地区列表.
以下索引依据其英文简称的首字母进行排序：
按英文字母排序的属地列表.
下表列出了38个属地。
非洲历史

非洲的历史悠久，是人类的发源地，在公元前4000年的埃及有非洲最早的文字记载。以下几个阶段的发展中，有一些是在尼罗河流域以外的地区.不过，另一方面，非洲很多地方一直缺乏文字记载和信史，也可以算是历史最短的一洲。欧洲人在维多利亚时期因为对非洲感到神秘和蛮荒而称其为黑暗大陆。
非洲的英文名字来自古罗马时期。罗马征服迦太基（今突尼斯）之后，称这个省份为“Africa”。名字的意思一直有争议。
史前史.
人类演化.
非洲是人类发源地，有最古老的人类化石。
史前文明.
玛雅文明 约前2000年
埃及文明 约前4000年
印度河文明 约前4500年
古代非洲.
北非的古代历史和古代西亚密不可分，对古埃及（Egypt）和努比亚（Nubia）文明而言这点尤其真切。在非洲之角，阿克苏姆王国 （Aksum）统治今日厄利垂亚、北衣索比亚，和阿拉伯半岛西侧沿岸的地带。在公元2300年前，古代的埃及人和邦特之地有所往来，邦特（Punt）是古埃及的贸易伙伴，位于今日的索马利亚、索马利兰、吉布地或厄利垂亚。迦太基（Carthage）等腓尼基城邦控制住地中海沿岸，建立起迦太基帝国。
漠南非洲在这段期间发生班图人扩张的民族迁移事件。另外，考古挖掘显示，西非尼日河河谷的杰内古城（Djenné-Djenno）和北奈及利亚的诺克文化曾繁盛一时。
古埃及.
埃及文明大约有六千年历史。公元前3500年，这一地区出现很多小村落，后来它们形成上、下埃及王国。公元前3100年，上埃及国王米尼斯(Menes)征服下埃及，成为埃及统治者。埃及国王称为法老，他被认为是天神化身，有至高无上的权力。
埃及被分为古王朝时期，中王朝时期，新王朝时期和后王朝时期。古王朝时期的埃及被米尼斯统一。中王朝时期是埃及最繁盛时期，大部分金字塔都建在这王朝。新王朝时期的埃及被分为上、下埃及，发生内战。
自公元前12世纪起，埃及势力逐渐衰弱，努比亚、波斯、迦南和利比亚人入侵埃及。公元前332年，埃及被马其顿的亚历山大大帝征服，后被罗马人征服，埃及已经衰落，古埃及文明结束。
埃及文字称为象形文字。1822年，商博良破解了埃及文字，认出上面的象形文字是发音和字母的字形，不是一些实物。通常使用的象形文字多达700种，能从左往右，从右到左写，或从上往下写。
木乃伊是古埃及人一项了不起的医学成就。他们已懂得把尸体长期保存。当国王或贵族死后，他的尸体就会被制成木乃伊，把他的内脏液进特殊的药物，然后用布把尸体包好，装在棺材里,以求得到永生。
班图的扩张.
班图人原来住在赤道以北喀麦隆高原，公元初由于受到北方民族的压力，开始向赤道及其以南地区迁徙。由于班图人的迁徙，迫使原来住在这里的俾格米人退入森林，布须曼人和霍屯督人则被迫徙居非洲西南端。班图人的迁徙，大体分为三支。向东迁徙的班图人，一部分在坦噶尼喀境内定居下来，成为当地的主要民族。另一部分，于11世纪到达东非沿海地区，由于受阿拉伯文化的影响，后来形成斯瓦希里人。向西迁徙的一支，除一部分停留于西非并与当地居民融合外，大部在西赤道非洲定居下来，占据了北起刚果河以北和喀麦隆南部，南至纳米比亚（西南非洲）北部的辽阔地区。中间的一支分布在南部非洲的大部分地区。
班图人的大迁徙，一直持续到19世纪才最后结束。大迁徙导致民族大融合，加快了中、南非洲各民族的的社会发展进程，尤其居住在沿海的班图人与外部接触较多，便利吸收先进文化，先后形成了一些文明国家，重要的有刚果和津巴布韦。
迦太基.
迦太基意为「新的城市」坐落于非洲北海岸（今突尼西亚），与罗马隔海相望。
在西元前8世纪~前146年，迦太基帝国（Carthage）是腓尼基人在北非建立的城市国家。迦太基帝国强势时疆土辽阔，势力最大曾囊括今天北非沿岸、今西班牙中部、科西嘉岛、萨丁尼亚岛、西西里岛和马尔他岛，首都迦太基富极一时，其基础是农业与商业，在外贸易居民善航海与贸易，在国内居民又是出色的农民，很早就出现了奴隶占有制庄园，因此在当时地中海地区成为最有活力的经济强国。
最后因为在三次布匿战争中均被罗马共和国打败而灭亡。
500～1800.
在中世纪，伊斯兰教从阿拉伯半岛传播至埃及，横跨马格里布（Maghreb）和萨赫尔（Sahel），建立起强大的阿拉伯帝国。欧洲列强殖民时期之前，非洲大陆延续古代的非洲文明，建立起许多显赫的国家和社会，例如：
阿拉伯帝国.
阿拉伯帝国（632年—1258年）是阿拉伯半岛上的阿拉伯人于中世纪创建的一系列伊斯兰穆斯林王朝。唐代以来的中国史书，如《经行记》、《旧唐书》、《新唐书》、《宋史》、《辽史》等，均称之为大食国（波斯语Tazi或Taziks的译音），而西欧则习惯将其称作萨拉森帝国（在拉丁文中意指“东方人们的帝国”）。帝国存在了600多年，主要有神权共和时期和伍麦叶王朝、阿拔斯王朝两个世袭王朝。帝国最强盛的时候，疆域东起印度河和中国边境，西至大西洋沿岸，北达里海，南接阿拉伯海，是继阿契美尼德王朝、亚历山大帝国、罗马帝国、拜占庭帝国和萨珊王朝之后又一个地跨亚、欧、非三洲的大帝国。由于其独特的地理位置，阿拉伯帝国的兴起改变了周边许多民族的发展进程，在中世纪的历史上产生了非常重要的影响。
19世纪.
19世纪80年代，欧洲力量将几乎整个非洲瓜分。他们一直统治非洲直至20世纪第二次世界大战之后。
作为瓜分非洲的一部分，法国以建立非洲东西线作为目标。与此对应的是英国的南北线。在多个节点战争都是随时爆发，但是结果却并没有。其中最为严重的事件是1898年法绍达事件。
英国统治：
法国统治：
西班牙统治：
葡萄牙统治：
德国统治：
意大利统治：
奥斯曼帝国统治：
比利时统治：
20世纪.
非殖民化.
第二次世界大战之后，独立浪潮席卷非洲。20世纪50年代至60年代，殖民地纷纷成为独立国家。独立的过程大多数都是和平进行，但也有诸如阿尔及利亚和肯尼亚等例外。
现代.
北非革命.
2010年，北非陆续发生反对领袖的革命，部分国家领袖被推翻，甚至殒命。
黑客

黑客（Hacker）是指对设计、编程和计算机科学方面具高度理解的人，此群体包含了下列人物：
词义与分类.
骇客词义.
黑客（Hacker）当中的中文音译「-{zh-hans:黑;zh-hk:黑;zh-tw:骇}-」字总使人对黑客有所误解，真实的黑客主要是指技术高超的程序员，而「溃客」（Cracker）才是专指对计算机系统及网路进行恶意破坏的人。除了精通编程与作业系统运作的人可以被视作黑客，对硬件设备进行创新的工程师通常也被认为是黑客，另外现在精通网络入侵的人也被看作是黑客。然而在媒体的推波助澜下，「黑客」这一词早已被污名化，由于影视作品、媒体报导通常描述他们进行违法行为，使主流社会一般把黑客看作为「计算机犯罪分子」（Cybercriminal）。
尽管在流行文化中，黑客这个词已经与计算机犯罪分子联结在一起，即指利用系统漏洞的技术知识来执行侵入并访问原本无法获得之数据的人，但黑客技术也可以被合法人物在合法情况下使用。例如，执法机构有时会使用黑客技术来收集有关罪犯和其他恶意行为者的证据，这可能包括使用匿名工具（如VPN或暗网）来掩盖执法者他们在网上的身份，即自称为犯罪分子本身。同样，可以在合法行为中采用黑客技术。另一方面，执法机构和安全机构（通常被允许进行无需许可的活动的机构）以及也通过额外和非法的手段使用黑客技术进行网络攻击，并将其作为合法或非法战争的武器。
骇客分类.
「Hacker」（黑客）一般是指：
这一群人试图破解某个程序、系统或网络，依目的大致可分为3个类型：白帽黑客（White Hat）、灰帽黑客（Grey Hat）、黑帽黑客（Black Hat），该名称取自美国电影西部片中，正派往往戴白帽，反派往往戴黑帽。
白帽黑客以「改善」为目标，破解某个程序做出（往往是好的）修改，而增强（或改变）该程序之用途，或者透过入侵去提醒设备的系统管理者其安全漏洞，有时甚至主动予以修补，故又称「道德骇客」（Ethical Hacker）。灰帽黑客以「昭告」为目标，透过破解、入侵去炫耀自己拥有高超的技术，或者宣扬某种理念。黑帽黑客以「利欲」为目标，透过破解、入侵去获取不法利益，或者发泄负面情绪。其中，白帽黑客大多是电脑安全公司的雇员，抑或响应招测单位的悬赏，通常是在合法的情况下攻击某系统，而黑帽黑客同时也被称作「Cracker」（溃客）。
刽客.
除了 Hacker 之外，Cracker 一词也常被误译成「黑客」，但实际上 Cracker 应该翻译成「溃客」。它之相异其他黑客是在于：
Hacker 和 Cracker 这两个词，在英文里意思是有所差异的，但在中文里经常被当作同一个概念，共同以「Hacker」进行翻译，于是在香港和澳门依粤语皆被音译为「黑-{}-客」，而中国大陆也延用了该译法（但以普通话发音），在台湾则皆被音译为「骇-{}-客」，另外新加坡和马来西亚所采用的是前者。换言之，「黑客」一词既指对编程语言有足够了解并喜欢编程的人，在误解下也有可能指恶意破坏者。除了存在 Hacker 和 Cracker 不分之情形外，在对 Hacker 采用「黑-{}-客」之译法的地区，很多人即使将其视为两种概念，也经常错误地把 Hacker 的另一个音译「骇-{}-客」当成 Cracker 使用。
脚本小子.
公众通常不知「脚本小子」（Script Kiddie）和黑帽黑客的区分。脚本小子是利用他人所撰写的程序发起攻击的网络闹事者。他们通常不懂得攻击目标的设计和攻击程序的原理，不能自己对系统进行调试、找出漏洞，实际专业知识远远不如他们通常冒充的黑帽黑客。然而，有不少青少年借由网络入侵传播病毒、木马，进行瘫痪、破坏、偷窃，因此犯上计算机犯罪。
主义与精神.
黑客精神.
在黑客世界里，各组织的精神与文化都是不尽相同的，但有一个共同点，就是对技术的崇拜与对创新的不断追求。于是黑客们最为热爱：推动开源软硬件运动，找出漏洞并通知、协助管理员进行修补，从而缔造完美无暇的软硬件。
中华人民共和国省级行政区土地面积列表

中华人民共和国分为34个省级行政区，包括23个省、5个自治区、4个直辖市和2个特别行政区。此外，1949年以来两岸分治，中华人民共和国宣称台湾地区是其领土并在行政区划中设置了台湾省，并未实际统治。台湾地区一直由中华民国政府实际控制至今。
省、市、自治区和直辖市（不含港澳台）.
据2009年中华人民共和国第二次全国土地调查，中国31个省、市和自治区（不含香港特别行政区、澳门特别行政区及台湾省）土地面积为9,478,057平方公里。
特别行政区.
香港、澳门的计算基准不同，异于中国内地，故另列表统计。
台湾省.
因中华人民共和国从未实际统治，故采用中华民国内政部公布之数据。
中华人民共和国各省级行政区人口列表

中华人民-{}-共和国是世界上人口第二多的国家。根据2020年中华人民共和国第七次全国人口普查的统计结果，中华人民共和国大陆地区的人口有14.11亿人。
以下是中国大陆地区于2010年底，省级行政区总人口的排名表，港澳台不列入。大陆各省数据不包括现役军人（但百分比基底包括），大陆数据依照2010第6次人口普查、2005 1%抽样人口普查及户籍资料推算。
中华人民共和国各省级行政区人口密度列表

以下中华人民共和国各个一级行政区根据人口密度的排名-{表}-。资料是利用中国省级行政区面积列表及中国省级行政区人口列表的资料所计算出的。单位是「每平方公里人数」。
人口密度：
注： 紫色部份的台湾地区和藏南地区目前并非中华人民共和国（ 有时候称为中国大陆 ）实际管辖。
青海省

青海省，简称青，为中国一级行政区，位于中国西部、青藏高原东北部。因境内有全中国最大的内陆咸水湖——青海湖而得名，省会是西宁。青海是长江、黄河、澜沧江的发源地，故被称为“三江源”。省人民政府驻西宁市城中区西大街12号。
历史.
早在2万年前青海就有人居住。早在西周时期，就与中原地区发生政治、经济联系。并且与秦朝来往密切。到了汉初，又分裂成分为先零、烧当、发羌、党项等部。
古代青海东部属于中原王朝统治，汉时曾设西海郡、河源郡、湟源郡、金城郡，控制了今天的青海贵南、贵德以及西宁和湟源等地，还设立护羌校尉。 两晋时期，鲜卑慕容部的一支率所部1700户从辽东前燕西迁，建立吐谷浑汗国，除了青海以外，还控制了甘肃一些地区，统治了青海足足300年。在吐谷浑帝国的南部还有占据白兰道数百年的丁零人和古羌族的国家白兰国。
隋朝时，公元607年（隋炀帝大业三年）改鄯州为西平郡，辖湟水、化隆二县，今西宁为西平郡湟水县的辖地。大业初又改廓州为浇河郡，治所在河津县（今贵德县境）。在大业五年（609年）隋炀帝击溃吐谷浑，生擒吐谷浑首领，设置河源郡、西海郡、且末郡、鄯善郡四郡，从此隋朝控制了青海全境。公元618年唐朝建立后，在青海东部设鄯、廓二州。鄯州辖龙支、湟水二县，今西宁为湟水县辖地。后吐蕃灭吐谷浑，安史之乱后，吐蕃从唐军手中夺取了鄯州(今西宁)，改称青唐城。11世纪初，青海东部拥立吐蕃普约后裔为王，称唃厮啰，号为宗喀王，建都青唐（今西宁）。史称青唐王国。
12世纪初，北宋力量到达河湟地区，并将鄯州改为西宁州，于是西宁名称开始使用。13世纪初，成吉思汗率大军经临洮进占西宁州，并在河州（今临夏县）设置元帅府，当时牧区推行土司制度。这时，在蒙古帝国的支持下，藏传佛教在青海逐渐盛行起来，并建立了许多寺院。元朝时期，青海大部归吐蕃等处宣慰司都元帅府管辖，隶属于宣政院。
青海蒙古族在明代由新疆迁来，其首领顾实汗，牧于青海湖周围、柴达木盆地及黄河河曲一带，势颇强盛。17世纪，顾实汗控制青海，对西藏也有强大的影响。清朝政府派员册封顾实汗为遵行文义敏慧顾实汗，使顾实汗在青、藏的统治地位强化。清雍正帝平息顾实之孙和硕亲王罗布藏丹津后，改西宁卫为府，设西宁县、碾伯县和大通卫，属甘肃省。青海地区由西宁办事大臣直辖管理。这项措施为后来青海建省铺平了道路。
清末时，回族商人马海晏起兵反清，创立了马家军，后归顺清朝，马海晏在庚子拳乱，八国联军袭来时为了保护慈禧太后与光绪皇帝，忧劳而卒，朝廷荫袭马海晏之子马麒为总兵。中华民国北洋政府时马麒升任青海蒙番宣慰使，成为军阀，逐渐统治青海，马麒死后，其子马步芳势力更是深入青海，期间青海省于1928年成立。青马军阀在青海统治了四十年，1949年后由中华人民共和国接管。
1949年9月5日，中国人民解放军进入西宁。9月26日，青海省人民军政委员会宣告成立。1950年1月1日青海省人民政府正式组成，以西宁为省会。
文化大革命期间（1966年—1976年），青海曾发生大规模政治冲突。1967年2月23日，中国人民解放军青海省军区与地方造反派经过九天的对峙后，以13个连的兵力攻入造反派占据的《青海日报》社，一天内打死造反派169人，打伤178人；而解放军中有4人死亡，另有46人受伤。此外，据海外统计，该事件后共有13,414名群众被逮捕，其中4,279人参与集中劳动。
2010年4月14日上午，玉树州发生7.1级地震，地震造成2698人死亡，失踪270人，12135人受伤。自治州政府所在地结古镇全部停电，由于大部分建筑都是土木结构，重灾区结古镇附近西杭村的民屋几乎全倒塌。此外整个玉树州的学校房屋大量垮塌。
2021年5月22日凌晨2时04分，青海省果洛州玛多县发生黎克特制7.4级地震。青海省立刻启动特别重大地震二级应急响应，派出多支救援队及人员赴震区救援。
地理.
青海位于青藏高原东北部，全省均属高原范围之内。地形复杂，地貌多样。全省平均海拔3000多米，最高点昆仑山的布喀达板峰为6860米，最低点在民和下川口村，海拔为1650米。境内山脉高耸，地形多样，河流纵横，湖泊棋布。巍巍昆仑山横贯中部，唐古拉山峙立于南，祁连山矗立于北，茫茫草原起伏绵延，柴达木盆地浩瀚无限。长江、黄河及澜沧江（湄公河）（因此被称作“三江源”）之源头在青海。巴颜喀拉山为长江和黄河的分水岭。
青海属于高原大陆性气候，有太阳辐射强、光照充足；平均气温低，在-5.7℃～8.5℃之间；降水量少，绝大部分地区年降水量在400毫米以下；地域差异大；雨热同期等特点。
接邻省区有四川省、甘肃省、新疆维吾尔自治区、西藏自治区。
矿产资源.
石油， 主要在柴达木盆地。柴达木盆地石油勘探开采在1954年就进行，1955年第一口油井开钻。至今，青海石油的油气年产量已达459万吨。
金属矿产，包括锂矿等
行政区划.
青海省现辖2个地级市、6个自治州，下设7个市辖区、5个县级市、25个县、7个自治县。
人口.
2010年末青海省总人口共5,626,722人。汉族人口共2,983,516人，占53.02％；少数民族共2,643,206人，占46.98％，这一比重仅低于西藏和新疆，居中国各省第三位。截止到2017年末，青海省的总人口为598万人。少数民族：
宗教.
青海的汉族主要信仰中国民间宗教（包括道教和儒教）和佛教。藏族信仰藏传佛教或苯教，回族多数信仰伊斯兰教。根据2004年的中国综合社会调查，基督徒占青海人口的0.76％。2010年的一项调查，青海有17.51％的人口信仰伊斯兰教。
2022年末，全省常住人口595万人，比上年末增加1万人。 其中少数民族人口294.35万人，占常住人口的比重为49.47%。
文化.
国家历史文化名城：同仁
旅游.
青海旅游资源丰富，环青海湖国际公路自行车赛、民族文化旅游节、三江源国际摄影节、青海湖国际诗歌节是当地政府为吸引旅游业主要举办的官方活动。
Wiki软体

Wiki引擎，或称为Wiki软体，是指用来架设Wiki的软体。广义来说，即是一种软体能作为网路共笔，供网友自行编辑，并最终集合成完整的资料库。狭义来说，即是能达成维基百科样式的软体。
由于维基百科的影响力，部分学者和媒体把Wiki引擎称为维基引擎。
不同Wiki引擎的介绍.
以下主要介绍一些较为著名的Wiki引擎。
Wiki引擎的优势.
作为简单易用的Wiki引擎，通常会具有以下共通点：
使用局限.
共笔型网站百科全书在质素与立场上，会受到笔者及管理员影响，一般资料来源大多依赖互联网连结及政府认同的出版社书籍。
埃里克·雷蒙

埃里克·斯蒂芬·雷蒙（Eric Steven Raymond|label=none，），是一名程序员、黑客，《大教堂与市集》的作者、《新黑客词典》（"Jargon File"）的维护人。作为《新黑客词典》的主要编撰人以及维护者，雷蒙很早就被认为是黑客文化的历史学家以及人类学家。但是在1997年以后，雷蒙被广泛公认为是开放源代码运动的主要领导者之一，并且是最为大众所知道（并最具争议性）的黑客。
生平.
雷蒙1957年出生于美国马萨诸塞州的波士顿，从小就跟随父母在世界各地东奔西走，曾在地球上三块大陆居住，在13岁之前已经忘掉了两种语言。1971年他回到美国宾夕法尼亚州，从1976年起开始接触黑客文化，1982年完成了他的第一个开放源代码软件项目。
他以他姓名的缩写ESR作为黑客代号。
雷蒙管理着30多个开源软件以及10多个主要的FAQ。他还是重要的作家和网志作者。他是INTERCAL编程语言的主要创作者之一，还曾经为EMACS编辑器的发展作出贡献。雷蒙还是Fetchmail程序的作者。最近他还编写了一个最初用于Linux内核设置的设置程序。
雷蒙的名言，“足够多的眼睛，就可让所有问题浮现。”，对开放源代码运动影响很大，这亦即是著名的林纳斯定律。
1997年以后，雷蒙成为了开放源代码运动的主要理论家，以及开放源代码促进会的主要创办人之一。他还担任了开放源代码运动对媒体、商界以及主流文化的形象大使。他是一名优秀的演说家，并曾经到过六大洲的15个国家进行演说。
雷蒙的策略获得了很大的成功。一般认为，1998年Mozilla的发布主要归功于他。大多数黑客和主流观察家也同意，正是雷蒙将开放源代码的理念成功地带到了华尔街。但是也有批评他的声音：有一些黑客认为他利用这些机会为自己打广告，而他对理查德·斯托曼和自由软件基金会的理想主义所进行的批评，以及所采取的更务实、更符合市场口味的路线，也曾经在黑客社群里掀起了不小的政治对立。
他对科幻小说十分感兴趣，是一名出色的业余音乐家，还是空手道黑带选手。雷蒙是自由党人，坚持美国宪法第二修正案中关于公民持枪械的自由。
作品《Unix编程艺术》是一部很好的Unix程序设计的风格书籍。
数理逻辑

数理逻辑（Mathematical logic）是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。主要的子研究领域有模型论，证明论，集合论和可计算性理论。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学。数理逻辑一般着重于研究公理系统的推断能力和表达能力。它也包括分析正确的数学推断来构筑数学基础。
研究内容.
数理逻辑的主要分支包括：
有时候计算复杂性理论也会被认为是数理逻辑的一部分。
每个分支都有着重研究的方向,但是很多结论是共享的,分支和分支之间的界限不是非常严格。<br>
比如哥德尔不完备定理不仅仅是证明论和递归论的重大成果,它还直接影响了模型论中的勒布定理(Löb's theorem). 因为都基于公理化集合论,数理逻辑的不同分支的证明方法也有相通之处，比如力迫可以用来研究模型论,递归论和证明论。<br>
范畴论也是和数理逻辑有关的数学分支，范畴论的证明方法使用许多公理化的证明方式，但因为其在数学中的广阔应用范围，往往被认为是一个独立的分支。这两个学科的直接联系是范畴逻辑. 但也有范畴论方面的数学家，桑德斯·麦克莱恩认为范畴论独立于集合论也构成了数学基础。这个观点基于拓扑斯理论。
与计算机科学的关系.
数理逻辑和计算机科学尤其是理论计算机科学有许多重合之处，许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，如哥德尔、艾伦·图灵、邱奇、克劳德·香农、斯蒂芬·科尔·克莱尼等。
计算机科学中的程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证中的模型检测则从模型论衍生而来。
柯里－霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉主义逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算和组合子逻辑的演算属于理想的程序语言。
与之相应的，计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了反哺，比如说自动定理证明、计算机辅助证明、计算群论和逻辑编程的应用。
历史.
早期历史.
逻辑史
十八世纪.
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）。莱布尼茨的，很能让人想起符号逻辑，可以被看作使这种计算成为可行的一种方式。但他们的工作鲜为人知，后继无人。
十九世纪.
数理逻辑的概念在十九世纪中期出现了，它是两个古老的学科：数学和哲学逻辑的交汇。 数理逻辑被称之为符号逻辑或形式逻辑或者逻辑代数。“数理逻辑”的名称是由皮亚诺首先给出，数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但相比于古典哲学中只运用修辞学，直言三段论和哲学的方法，数理逻辑使用更为严格的推断和借用了很多抽象代数的符号来记述。
十九世纪初，乔治·布尔和稍后的奥古斯都·德·摩根都提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法，但没有使用量化 (数理逻辑)。
戈特洛布·弗雷格1879年出版了一本关于逻辑学的书《概念文字》。书的完整标题为《模仿算术的纯思维的形式语言》。这本书被认为无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对“”的渴望。演算加入了量词，因而本质上是经典的谓词逻辑。
在逻辑中，算术一词指的是关于自然数的理论。朱塞佩·皮亚诺提出了一套以他的名字命名的算术公理皮亚诺公理。这套公理系统使用布尔和薛定谔逻辑系统的变体，并且添加了量化 (数理逻辑)的概念。皮亚诺当时并不知道戈特洛布·弗雷格所做的相似工作。
大约在同一时间，理查德·戴德金证明了自然数具有归纳的独特特征。戴德金提出了一种不同的证明思路，这种证明缺乏皮亚诺公理的形式逻辑特征。然而，戴德金的工作证明了皮亚诺系统中无法证明的定理，包括自然数集合的唯一性（考虑同构的情况下）以及函数和数学归纳的加法和乘法的递归定义。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，数学家也由此得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
二十世纪.
二十世纪前叶，因为关于数学基础的几次大辩论，数理逻辑迎来了基础理论学术产出的大爆炸。
二十一世纪.
传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
一些基本结果.
一些重要结果是：
相关书籍.
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
中华人民共和国元帅

中华人民共和国元帅（又称开国元帅、十大元帅，也可简称元帅）是中华人民共和国成立后于1955年授予第一次国共内战、中国抗日战争、第二次国共内战中贡献良多的十位中国共产党军事领导人的最高军衔，依序为朱德、彭德怀、林彪、刘伯承、贺龙、陈毅、罗荣桓、徐向前、聂荣臻和叶剑英十人。同时授予的还有十名大将。1955年9月23日，第一届全国人民代表大会常务委员会第二十二次会议通过了《》，27日，时任中共中央主席、国家主席、中央军委主席毛泽东在北京中南海怀仁堂颁发命令状，授予10人中华人民共和国元帅军衔，中国人民解放军历史上的「十大元帅」由此确立。每位元帅均授予中华人民共和国一级八一勋章、一级独立自由勋章、一级解放勋章。
十大元帅并不是十位大元帅，在评定高级军衔的初步方案中，毛泽东应授“中华人民共和国大元帅”，除了后来被授予的十大元帅和十大将外，被评为元帅的还有周恩来、刘少奇、邓小平，被评为大将的还有李先念、谭震林、邓子恢、张鼎丞等人，但最终他们拒绝授衔。十大元帅自确定实施军衔制后即开始遴选，直至1954年6月增补7位中央人民政府人民革命军事委员会副主席后，十大元帅的人选和顺序实际上已确定。1965年军衔制取消，1988年恢复军衔制后未再设立元帅和大将军衔。十大元帅实质上享受国家级正职的政治待遇，如逝世后天安门等地降半旗、诞辰一百周年座谈会有时任最高领导人出席。
元帅军衔授衔的依据是1955年2月8日第一届全国人民代表大会常务委员会第六次会议通过的《》，条例的第九条第二款规定：对创建和领导人民武装力量或领导战役军团作战、立有卓越功勋的高级将领，授予中华人民共和国元帅军衔。
歴任职务.
十大元帅于1954年6月同时在任中央人民政府人民革命军事委员会副主席、9月同时被任命为中华人民共和国国防委员会副主席，并曾顺序当选为中共中央政治局委员。
官方评价.
叶剑英《在中国人民解放军建军五十周年庆祝大会上的讲话》中说：“…我们无限怀念我们党、我们军队、我们人民共和国的缔造者，伟大的领袖和导师毛泽东主席！我们无限怀念为中国人民革命事业鞠躬尽瘁的敬爱的周恩来总理、朱德委员长，无限怀念同毛主席一起建党的敬爱的董必武副委员长，无限怀念对创建和发展我军卓著功绩的贺龙同志、陈毅同志、罗荣桓同志、叶挺同志和方志敏同志、刘志丹同志等老一辈的无产阶级革命家！…”
杨尚昆《在庆祝中国人民解放军建军六十周年大会上的讲话》中说：“…我代表党中央、国务院、中央军委，向已故的毛泽东、周恩来、朱德、刘少奇、彭德怀、刘伯承、贺龙、陈毅、罗荣桓、叶剑英等同志，表示深切的怀念！…”
江泽民《在庆祝中国人民解放军建军七十周年大会上的讲话》中说：“…我们深切怀念敬爱的毛泽东同志和邓小平同志，深切怀念周恩来、刘少奇、朱德同志和彭德怀、刘伯承、贺龙、陈毅、罗荣桓、徐向前、聂荣臻、叶剑英同志等老一辈无产阶级革命家和军事家，…”
胡锦涛《在庆祝中国人民解放军建军八十周年暨全军英雄模范代表大会上的讲话》中说：“…我们更加怀念敬爱的毛泽东、周恩来、刘少奇、朱德、邓小平同志和彭德怀、刘伯承、贺龙、陈毅、罗荣桓、徐向前、聂荣臻、叶剑英同志等老一辈无产阶级革命家和军事家，他们创建和培育了人民军队，为人民军队发展壮大建立了彪炳史册的功勋。…”
习近平《在庆祝中国人民解放军建军九十周年大会上的讲话》中说：“…我们深切怀念创建和培育了人民军队的毛泽东、周恩来、刘少奇、朱德、邓小平同志和彭德怀、刘伯承、贺龙、陈毅、罗荣桓、徐向前、聂荣臻、叶剑英同志等老一辈革命家和军事家。他们的丰功伟绩，永远镌刻在中华民族史册上！…”
同等军衔.
本军衔俄语对应称为“Маршал КНР”，相当于美国的特级上将（英语：General of the Armies（GAS）），对应北约的Special grade和中华民国的特级上将（全部已废止）。
平方千米

平方公里（符号为km²，square kilometre）是面积的公制单位（SI Unit），其定义是「边长为1公里的正方形的面积」。