代数曲线

在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面formula_1上由一个齐次多项式formula_2定义的零点。
仿射曲线.
定义在域formula_3上的仿射代数曲线可以看作是formula_4中由若干个formula_5-元多项式formula_6定义的公共零点，使得其维数为一。
利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线formula_7，其中formula_8，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。
射影曲线.
射影空间中的曲线可视作仿射曲线的紧化，它们带有更好的几何性质。在以上考虑的方程formula_9（formula_10）中，我们作代换：
遂得到formula_12个齐次多项式，它们在射影空间formula_13中定义一条曲线，此射影曲线与开集formula_14的交集同构于原曲线。射影曲线的例子包括formula_15中的费马曲线formula_16，其上的有理点对应到费马方程formula_17的互素整数解。
代数函数域.
代数曲线之研究可化约为不可约代数曲线之研究，后者的范畴在双有理等价之意义下等价于代数函数域范畴。域formula_3上的函数域formula_19是超越次数为一的有限型域扩张，换言之：存在元素formula_20使得formula_21在formula_3上超越，而且formula_23是有限扩张。
以复数域formula_24为例，我们可以定义复系数有理函数域formula_25。变元formula_26对代数关系formula_27生成的域formula_28是一个椭圆函数域，代数曲线formula_29 给出它的一个几何模型。
若基域formula_3非代数封闭域，则函数域无法只由多项式的零点描述，因为此时存在无点的曲线。例如可取实数域formula_31并考虑其上的代数曲线formula_32，此方程定义了一个formula_33的有限扩张，因而定义了一个函数域，然而
代数封闭域上的代数曲线可以用代数簇完整地描述，对于一般的基域或者环上的曲线论，概形论能提供较合适的框架。
复代数曲线与黎曼曲面.
复射影曲线可以嵌入formula_5维复射影空间formula_36。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。
于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与formula_24上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。
奇点.
判断方式.
曲线在一点formula_38的平滑性可以用雅可比矩阵判断。以下考虑嵌于formula_39中的曲线：设该曲线由formula_12个formula_41个变元的齐次多项式formula_42定义，若其雅可比矩阵formula_43在区线上一点formula_38满秩，则称它formula_38点光滑；反之则称为奇点。在一点的平滑性与多项式formula_42的选取无关，也与曲线的嵌入方式无关。
在平面射影曲线的例子，假设曲线formula_47由齐次方程式formula_48定义，则formula_47的奇点恰为formula_47上使得formula_51为零的点，即：
在特征非零的域上，一条代数曲线仅有有限个奇点；无奇点的曲线即平滑曲线。奇点在双有理映射下可能映为光滑点；事实上，奇点总是可藉著平面的拉开映射或正规化解消，由此得到的新平滑曲线仍双有理等价于原曲线；然而对代数封闭域上的射影曲线，其奇点总数则关系到曲线的几何亏格，后者是个双有理不变量。
奇点分类.
曲线的奇点包括多重点（这是曲线的自交点）及尖点（如仿射曲线formula_53之于原点formula_54，见右图）等等。一般来说，仿射平面曲线formula_7在一点formula_38的奇点性质可以透过下述方式理解：
透过平移，不妨假设formula_57。将多项式formula_58写成
其中formula_60是formula_5次齐次多项式。直观地想像，formula_7在原点附近的性状仅决定于最低次的非零项，设之为formula_63。根据齐次性可以将之分解成
换言之，曲线在原点附近将近似于formula_65条（含重复）直线formula_66的联集。上式中相异的直线数formula_67称作分支数，正整数formula_65称作平面曲线在该点的重数，此外还有一个内在的不变量formula_69，其中formula_70是该曲线的正规化态射。资料δ, r能够被用来分类奇点。例如"一般尖点"对应到formula_5。
各奇点的不变量δP决定平面曲线formula_7的亏格：设formula_73，则有
对于在复数域上的平面曲线，John Milnor以拓扑方式定义了不变量μ，称为Milnor数：同样假设formula_57，在原点附近够小的四维球formula_76内有formula_77，此时有连续映射
由于formula_79 同伦等价于三维球面formula_80，于是可定义μ为此映射的拓扑次数。μ与前述不变量的关系由下式表明：
事实上，formula_82在ε够小时是formula_83中的一个环圈，称作奇点环圈，它具有复杂的拓扑性质。例如：formula_53在尖点附近的奇点环圈是三叶结。
曲线的例子.
有理曲线.
域formula_3上的有理曲线是双有理等价于射影直线formula_86的曲线，换言之，其函数域同构於单变元有理函数域formula_87。当formula_3代数封闭时，这也等价于该曲线之亏格为零，对一般的域则不然；实数域上由formula_89给出的函数域亏格为零，而非有理函数域。
具体地说，一条有理曲线是能以有理函数参数化的曲线，例子请见条目有理正规曲线。
任何formula_3上有有理点的圆锥曲线都是有理曲线。参数化的过程如下：过给定有理点formula_38而斜率为formula_92的直线交平面上一条二次曲线于两点，就x坐标来说，交点的x坐标是一个二次多项式的根，其中一个属于formula_3的根已知，即formula_38的x坐标；因此透过根与系数的关系得知另一根也属于formula_3，而且能表作formula_92在formula_3上的有理函数。y坐标的作法相同。
例。考虑斜椭圆formula_98，其中formula_99是有理点。画一条过该点且斜率为t之直线formula_100，并带入E的等式，于是得到：
这就给出E的有理参数化，于是证明了E是有理曲线。
将此结果置于射影几何的框架下，则能导出若干数论的结论。例如我们可在E中加入无穷远点，得到射影曲线
以上参数化遂表为
若取formula_92为整数，对应的formula_106是不定方程formula_107的整数解；若将formula_108代以formula_109，则此方程诠释为θ=60°时的余弦定理，借此能描述所有一角为 60°且边长均为整数的三角形，例如取formula_110，就得到边长分别为X=3, Y=8, Z=7的三角形。
椭圆曲线.
椭圆曲线可以定义为任意亏格等于一且给定一个有理点的代数曲线，它们都同构于平面上的三次曲线。此时通常取无穷远处的反曲点为给定的有理点，这时该曲线可以写作射影版本的Tate-魏尔施特拉斯形式：
椭圆曲线带有唯一的阿贝尔群结构，使得给定有理点为单位元素，且加法为代数簇的态射，因而椭圆曲线构成一个阿贝尔簇。在三次平面曲线的情形，三点和为零若且唯若它们共线。对于复数域上的椭圆曲线，此阿贝尔簇同构于formula_112，其中的formula_113由相应的椭圆函数给出。
亏格大于一的曲线.
对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据法尔廷斯定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括、与一开始提到的在formula_114的情形。