幺半群

在抽象代数中，幺半群，又称为单群、亚群、独异点、具幺半群或四分之三群（Monoid）是指一个带有可结合二元运算和单位元的代数结构。
么半群在许多的数学分支中都会出现。在几何学中，幺半群捉取了函数复合的概念；更确切地，此一概念是从范畴论中抽象出来的，之中的幺半群是个带有一个物件的范畴。幺半群也常被用来当做电脑科学的坚固代数基础；在此，变换幺半群和语法幺半群被用来描述有限状态自动机，而和则是做为进程演算和并行计算的基础。幺半群的研究中一些较重要的结论有克罗恩-罗德斯定理和。
定义.
幺半群是一个带有二元运算 *: "M" × "M" → "M" 的集合 "M" ，其符合下列公理：
通常也会多加上另一个公理：
但这不是必要的，因为在二元运算中即内含了此一公理。
另外，幺半群也可以说是带有单位元的半群。
幺半群除了没有逆元素之外，满足其他所有群的公理。因此，一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。
生成元和子幺半群.
幺半群 "M" 的 子幺半群是指一个在 "M" 内包含著单位元且具封闭性（即若"x","y"∈"N" ，则 "x"*"y"∈"N" ）的子集 "N"。很明显地， "N" 自身会是个幺半群，在导自 "M" 的二元运算之下。等价地说，子幺半群是一个子集 "N" ，其中 "N"="N"* ，且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 "M" 内的子集 "N" 而言，子幺半群 "N"* 会是包含著 "N" 的最小幺半群。
子集 "N" 被称之为 "M" 的生成元，若且唯若 "M"="N"*。若 "N" 是有限的， "M" 即被称为是有限生成的。
可交换幺半群.
运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群（或称为阿贝尔幺半群）。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤ ，定义为下： "x ≤ y" 若且唯若存在 "z" 使得 "x+z=y" 。可交换幺半群 "M" 的序单位是一个在 "M" 内的元素 "u" ，其中对任一在 "M" 内的元素 "x" 而言，总会存在一个正整数 "n" 使得 "x ≤ nu"。这经常用在 "M" 是偏序阿贝尔群 "G" 的正锥体的情况，在这种情况下我们称 "u" 是 "G" 的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格罗滕迪克群。
部分可交换幺半群.
运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群；迹幺半群通常出现在并发计算理论中。
例子.
某些固定字母Σ的有限字元串所组成的集合，会是个以字元串串接为运算的幺半群。空字元串当成单位元。这个幺半群标记为Σ*，并称为在Σ内的自由幺半群。
此外，"f"也可以想成在点formula_4上的函数，给定如下
或等价地表示成
formula_7元素间的乘法即由复合函数给定。
注意当formula_8时，函数"f"是formula_9的置换，并给出个数为"n"的唯一循环群。
性质.
在一幺半群内，可以定义一元素"x"的正整数幂："x"1="x" 及 "x"n="x"*...*"x" (乘上"n"次)，其中"n">1。幂的规则"x"n+p="x"n*"x"p则是很明显的。
由定义可以证明其单位元"e"是唯一的。然后，对任一"x"，可以设"x"0为"e"，则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。
"逆元素"：一元素"x"称为可逆，若存在一元素"y"，使得"x"*"y" = "e"且"y"*"x" = "e"。此一元素"y"便称做"x"的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。
若 "y"是"x"的逆元素，则可以定义"x"的负幂，以"x"−1="y"及 "x"−n="y"*...*"y" (乘上"n"次)，其中"n">1。如此幂的规则在所有整数就都成立了，这也是为什么"x"的逆元素通常会写做"x"−1。所有在幺半群"M"内的可逆元素，和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下，每个幺半群都含有一个群。
但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如，绝对可能有一个幺半群，其两个元素"a"和"b"会有"a"*"b"="a"的关系，即使"b"不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的，
因为在群里，两边一同乘"a"的逆元素，就会得到"b" = "e"的结果，但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性，即表示对任何在"M"内的"a"、"b"、"c"，"a"*"b" = "a"*"c"永远意指"b" = "c"且"b"*"a" = "c"*"a"也永远意指"b" = "c"。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。
若一幺半群有消去性且是有限的，它会是一个群。
一可逆幺半群为一幺半群，其任一在"M"内的"a"，总存在一唯一在"M"内的a-1，使得a=aa-1a且a-1=a-1aa-1。
一幺半群"G"的子幺半群是"G"的子集"H"，其包含有单位元，且若"x"、"y"属于"H"，则"xy"属于"H"。很清楚地，"H"本身也是个幺半群，在"G"的二元运算之下。
作用和算子幺半群.
算子幺半群是一作用在集合"X"上的幺半群"M"。亦即，存在一运算$ : "M" × "X" → "X"符合幺半群的运算。
运算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。
幺半群同态.
两个幺半群("M", *)和("M"′, @)之间的同态是一个函数"f" : "M" → "M"′，会有如下两个性质：
其中"e"和"e"′分别是"M"和"M"′的单位元。
不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态，因为它不一定会维持单位元。和上述不同，群同态的情况则会成立：群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群，这不是永远成立的，而必须有另外的要求。
双射幺半群同态称做幺半群同构。
幺半群同余和商幺半群.
幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集
使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 formula_11 且 formula_12 对于所有 "M" 中的 formula_13 和 formula_14，则有 formula_15 的性质。
幺半群同余引发同余类
而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 formula_17: 
它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群，可以写为
一些额外的符号是公用的。给定子集 formula_20，写
对于引发自 "L" 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 formula_22。但是一般的说，formula_23 不是幺半群。走相反的方向，如果 formula_24 是商幺半群的子集，写
当然这只是 "X" 的成员的并集。一般的说，formula_26 不是幺半群。
明显的有 formula_27。
和范畴论的关系.
幺半群可视之为一类特殊的范畴。幺半群运算满足的公理同于范畴中从一个对象到自身的态射。换言之：
精确地说，给定一个幺半群 ("M",*)，可构造一个只有单个对象的小范畴，使得其态射由 "M" 的元素给出，而其合成则由 幺半群的运算 * 给出。
同理，幺半群之间的同态不外是这些范畴间的函子。就此意义来说，范畴论可视为是幺半群概念的延伸。许多关于幺半群的定义及定理皆可推广至小范畴。
幺半群一如其它代数结构，本身也形成一个范畴，记作 Mon，其对象是幺半群而态射是幺半群的同态。
范畴论中也有么半对象的概念，它抽象地定义了何谓一个范畴中的幺半群。