狄拉克δ函数

在科学和数学中，狄拉克函数或简称函数（译名德尔塔函数、得耳他函数）是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。函数有时可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰，在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。
从纯数学的观点来看，狄拉克函数并非严格意义上的函数，因为任何在扩展实数线上定义的函数，如果在一个点以外的地方都等于零，其总积分必须为零。函数只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点，函数一般可以当做普通函数一样使用。
狄拉克函数得名自物理学家保罗·狄拉克，其形式上所遵守的规则属于的一部分，是物理学和工程学的标准工具。包括函数在内的运算微积分方法，在20世纪初受到数学家的质疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才发展出一套令人满意的严谨理论。严谨地来说，函数必须定义为一个分布，对应于支撑集为原点的概率测度。
在许多应用中，均将视为由在原点处有尖峰的函数所组成的序列的极限，而序列中的函数则可作为对函数的近似。在讯号处理上，函数常称为单位脉冲符号或单位脉冲函数。克罗内克函数是对应于狄拉克函数的离散函数，其定义域为离散集，值域可以是0或者1。
概述.
"δ"函数的图形通常可以视为整条"x"轴和正"y"轴。虽然称为函数，但"δ"函数并非真正的函数，至少它的值域不在实数以内。例如，和这两个数学物件除了在以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论，若"f"和"g"为函数，使得几乎处处成立，则"f"可积当且仅当"g"可积且"f"和"g"的积分相同。要严谨处理"δ"函数，须用到测度论或分布。
"δ"函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数（脉冲），用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说，要描述球杆击球的动力学问题，可以用"δ"函数描述击球那一刻的力。不但各种方程式会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。
在应用数学中，"δ"函数往往能看作是某函数序列的极限（弱极限），该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰，例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。
历史.
约瑟夫·傅利叶在他的《热分析理论》（"Théorie analytique de la chaleur"）中呈现了以下的方程式，今天称为傅里叶积分定理：
这相当于以这种方式引入了"δ"函数：
之后，奥古斯丁·路易·柯西用指数函数表达了这一定理：
柯西指出，在某些情况下，积分的计算顺序会影响计算结果。
分布理论允许重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里叶的方程式：
其中"δ"函数可表达为：
在接下来的几个世纪，数学家才逐渐理解这一指数形式的严谨含义，以及方程式中的函数"f"所需的条件。用旧有的数学观念来理解，会有以下的问题：
之后，米歇尔·普朗歇尔（Michel Plancherel）开创性的"L"2理论（1910年）、诺伯特·维纳和（Salomon Bochner）的贡献（1930年前后）以及最后洛朗·施瓦茨归纳这一切的分布理论（1945年）进一步推广了傅里叶积分，并建立了狄拉克"δ"函数的严格定义。
1827年，柯西首次明确写下一个无限高的单位脉冲函数（柯西分布的无限小版本）。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基尔霍夫之后在研究波传播的时候，考虑过这一函数。基尔霍夫与赫尔曼·冯·亥姆霍兹将单位脉冲描述为高斯分布的极限，这也符合开尔文勋爵对点热源的描述。19世纪末，奥利弗·黑维塞利用形式上的傅里叶级数对单位脉冲进行操作。1930年，保罗·狄拉克在影响深远的《量子力学原理》中引入了"δ"函数作为一种「方便的记号」，故此该函数今天以他命名。
定义.
笼统地来说，"δ"函数是在实数线上的一个函数，在原点上无限，在所有其他点上为零，
并同时满足以下条件
这只是一个概略的表述："δ"函数并不是一个严格意义上的函数，没有任何定义在实数线上的函数能满足以上的条件。更严谨地来说，"δ"函数可以定义为分布或测度。
测度.
测度是其中一种严谨定义"δ"函数的方法。作为一个测度，"δ"函数取一个实线R的子集"A"，当时输出，否则。如果把"δ"函数想象成位于0的一个理想化的质点，则"δ"("A")代表集合"A"所包含的质量。一个函数相对于"δ"的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数"f"，这一积分满足：
测度"δ"相对于勒贝格测度不绝对连续，它其实是一个。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数"δ"：
虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。
作为R上的概率测度，狄拉克测度可以通过它的累积分布函数──单位阶跃函数──来定义：
换句话说，"H"("x")是积累指示函数相对于测度"δ"的积分：
"δ"函数相对于一个连续函数的积分可以通过黎曼－斯蒂尔杰斯积分严格定义：
"δ"函数的所有更高矩都是零。其特征函数和矩母函数都等于1。
分布.
在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿著这条思路，只须定义"δ"函数相对某个足够「良好」的测试函数的「积分」就足够了。如果"δ"函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这"δ"测度的勒贝格积分。
测试函数空间一般可包括所有formula_13上的紧支撑光滑函数。作为一个分布，"δ"函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为
若要使"δ"成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的。在测试函数空间上的线性泛函formula_14要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数formula_15，有整数formula_16和常数formula_17，使得对每个测试函数formula_18，以下不等式都成立：
当formula_14就是"δ"分布时，对所有的formula_15取formula_22，就能满足这条不等式。因此，"δ"是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是formula_23。
δ分布有几种等价的定义。例如，它是黑维塞阶跃函数的分布导数，也就是说，对于任何测试函数formula_18，
直观而言，如果允许分部积分法，以上的积分就会简化为
而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到
在测度论中，狄拉克测度通过积分产生分布。相反，公式()在所有紧支撑连续函数formula_18空间上定义了一个，且根据里斯表示定理，该积分可以表示为formula_18相对于某拉东测度的勒贝格积分。
当讲到「狄拉克"δ"函数」时，一般指的是分布，而不是测度。因此一些文献也会称之为「狄拉克"δ"分布」。测度论中相对应的概念则称为。
推广.
在"n"维欧几里得空间R"n"中，狄拉克"δ"函数可以定义为一个测度，使得对于所有紧支撑连续函数"f"，满足
作为一个测度，"n"维"δ"函数是每个独立变量的1维"δ"函数的积测度。也就是说，若，则
上文的1维"δ"分布也存在"n"维推广。尽管在物理学和工程学中应用广泛，公式()还是必须小心使用，因为多个分布的积只有在较狭窄的条件下才有良好的定义。
狄拉克测度这个概念可以定义在任何集合上。设"X"是集合，，Σ为"X"子集上的任何σ-代数，则对每个集合可以定义测度：
这就是单位质量集中在"x"0处的狄拉克测度。
"δ"函数也可以推广至微分流形，由于具有微分结构，因此能保留它作为分布的一些性质。流形"M"上以为中心的"δ"函数可定义为以下分布：
对于所有"M"上的紧支撑光滑实数值函数"φ"。一个常见的特殊情况是，"M"是欧几里得空间R"n"中的一个开集。
在局部紧豪斯多夫空间"X"中，集中在点"x"的狄拉克测度是对应于对紧支撑连续函数"φ"的Daniell积分()的拉东测度。推广到这一层次，已经无法进行普通的微积分，不过仍然可以使用抽象分析中的许多工具。例如，映射formula_32是把"X"嵌入到包含所有在"X"上的有限拉东测度的空间（具有淡拓扑）的一个连续函数。而且，"X"在这一嵌入下的值域的凸包，在在"X"上的概率测度空间中是一个稠密集。
性质.
缩放与对称.
对非零纯量formula_33，"δ"函数有以下缩放性质：
要取得"δ"，对相对球体测度dω积分，再对积分施用拉普拉斯算子的幂，其中"ξ"属於单位球面"S""n"−1：
此处的拉普拉斯算子理解为弱导数，所以上式的意思是，对于任何测试函数"φ"，
这一结果来自牛顿位势公式（牛顿位势是帕松方程的基本解）。这实际上是拉东变换的逆转公式，因为它能够从"φ"("x")在超曲面上的积分取回"φ"("x")的值。例如，若"n"是奇数，而，则右边的积分等于
其中是"φ"的拉东变换：
平面波分解的另一个等价表达式是
对于偶数"n"，且
对于奇数"n"。
傅里叶核.
在对傅里叶级数的研究当中，一个重要的问题是须要判断，和某周期函数相关的傅里叶级数是否收敛到该函数，以及从何种意义上收敛。周期为2π的函数"f"的傅里叶级数的第"n"部分和，定义是与狄利克雷核在区间[−π,π]上的卷积：
因此
其中
傅里叶级数的一个基础结果说明，当，狄利克雷核趋向于"δ"函数的倍数。收敛指的是从分布意义上的收敛，即
对于一切紧支撑光滑函数"f"。从而，在区间[−π,π]上有
尽管如此，但这并不对所有紧支撑连续函数成立，换言之，"DN"从测度意义上并不弱收敛。鉴于傅里叶级数无法收敛，因此数学家建立了各种可和性方法来达到收敛。从切萨罗求和法发展出费耶核
费耶核从一种更强的意义向"δ"函数收敛：
对于一切紧支撑连续函数"f"。结果是，所有连续函数的傅里叶级数在每一点上都是切萨罗可和的，且和的值等于该函数的值。
希尔伯特空间理论.
狄拉克"δ"分布是在包含所有平方可积函数的希尔伯特空间"L"2上所稠密定义的一个无界线性泛函。紧支撑光滑函数在"L"2中是一个稠密集，且"δ"分布对于紧支撑光滑函数有良好定义。在许多应用中，可以对"L"2的某个子空间赋予更强的拓扑，使得"δ"函数能够定义一个有界线性算子。
应用在实数线R上的索伯列夫空间上时，意味著任何平方可积函数"f"，只要满足
就必定是连续的，而且满足
从而"δ"是一个在索伯列夫空间"H"1上的有界线性泛函。另一个等价的说法是，"δ"是"H"1的连续对偶空间"H"−1的元素。更一般地说，在"n"维中，有，条件是。
全纯函数空间.
在复分析中，"δ"函数出现在柯西积分公式中，公式说明，若"D"是复数平面上一个具有光滑边缘的域，则
对于一切在"D"的闭包内连续的全纯函数。从而，对于此类全纯函数，"δ"函数"δ""z"可以以柯西积分表示：
更一般地来说，设"H"2(∂"D")是一个哈代空间，它是所有在"D"中直到"D"的边缘都是连续的全纯函数，在"L"2(∂"D")中的凸包。"H"2(∂"D")中的函数可以唯一地延续成"D"上的全纯函数，而且柯西积分公式仍然成立。特别是对于，"δ"函数"δ""z"是一个"H"2(∂"D")上的连续线性泛函。这是多复数变量函数中的特殊情况：对于光滑域"D"，代替了柯西积分的角色。
单位分解.
在可分希尔伯特空间中，给定一个由函数{"φ""n"}组成的标准正交基（如一个紧自伴算子的归一化特征向量），那么任何向量"f"都可以表达成：
系数{"α""n"}可以如下得出：
也可以写为
这是狄拉克符号的一种。在这种写法下，"f"以并矢方式展开：
设"I"是该希尔伯特空间上的恒等算子，则表达式
称为单位分解。当希尔伯特空间是"L"2("D")，包含所有在域"D"上的平方可积函数，那么
就是一个积分算子，而"f"可以重新表达为：
右边的级数是在"L"2当中向"f"收敛。就算"f"是连续函数，点收敛极限也不一定存在。尽管如此，往往可以滥用符号，写
如此来表示"δ"函数：
在适当的中，其中包含所有紧支撑光滑函数，视乎基"φ""n"的性质，上方的级数有可能在Φ*中收敛。在大多数实际情况下，标准正交基来自于某个积分或微分算子，这时候级数会从分布的意义上收敛。
无限小"δ"函数.
1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时，用到了一个无限小数"α"，使得函数"δα"满足
formula_61
他（以及拉扎尔·卡诺）把无限小数定义为一个趋向于零的序列。
非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言，狄拉克"δ"函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达，详见论文所列出的相关书目。这样定义的"δ"函数是真正意义上的函数，使得对于每个实函数"F"，都有
formula_62
结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。
狄拉克梳子.
由一系列狄拉克测度组成的均匀脉冲串叫做，亦以西里尔字母Ш相形称为Ш分布，是一个取样函数，常用在数码讯号处理和离散时间讯号分析中。狄拉克梳子是许多单个"δ"函数的无限和，和的极限是分布意义上的极限：
这可以理解为，在每个整数处都有一个单位质点。
狄拉克梳子是其自身的傅里叶变换（或乘以某个归一常数）。其重要性在于，若"f"是速降函数，则"f"在周期化后的结果以以下卷积表示：
特别有，
这正是帕松求和公式。
索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理.
索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理是量子力学中重要的定理，它把"δ"函数和分布p.v.1/"x"联系起来，后者是函数1/"x"的柯西主值，定义是
索霍茨基公式说明，
此处的极限是分布意义上的极限，就是说对于一切紧支撑光滑函数"f"，
与克罗内克"δ"函数的关系.
克罗内克"δ"函数"δij"的定义是，
对于所有整数"i"、"j"。它满足以下的筛选性质：若formula_70是一个两头无限的序列，则
这和狄拉克"δ"函数的筛选性质十分相似：对于任何R上的实函数或复函数"f"，有
也就是说，克罗内克"δ"函数可以看作是与狄拉克"δ"函数对应的离散函数。
应用.
概率论.
在概率论和统计学中，狄拉克函数往往以概率密度函数的身份，来代表一个离散分布或部分离散、部分连续的分布（概率密度函数一般只用作描述完全连续分布）。例如，设一组点x = {"x"1, ..., "xn"}，对应概率为"p"1, ..., "pn"；由这些点所组成的离散分布的概率密度函数可以写作
又举一例，设一个分布，其中十分之六的情况下输出标准正态分布，而十分之四的情况下输出单个数值3.5，这是一个部分连续、部分离散的混合分布。其密度函数是
也可以以完全不同的方法，用"δ"函数表示扩散过程（如布朗运动）中的。一个随机过程的局部时的表达式为
这代表了该过程在某特定区间内，在点"x"所花的时间。更准确地说，当只有一个维度时，上面的积分可以写成
其中是区间的指示函数。
量子力学.
以下举一个例子，展示"δ"函数如何在量子力学中派上用场。一个粒子的波函数所给出的，是粒子出现在特定空间范围内的机率幅。波函数假定属于希尔伯特空间"L"2（平方可积函数空间），且粒子在某空间范围内出现的总概率，等于波函数的绝对值平方在该范围内的积分。一组波函数{"φ""n"}叫做标准正交，如果
其中"δ"指的是克罗内克"δ"函数，而不是狄拉克"δ"函数。一组标准正交波函数叫做在平方可积函数空间中完备，如果任何波函数"ψ"都可以表达为一些"φ""n"的线性组合：
其中formula_79。量子力学中的哈密顿算符量度的是（束缚态的）能级，而算符的所有本征函数正正就组成了波函数完备标准正交系统，每个本征函数所对应的特征值等于能量值。这组能量值叫做这个哈密尔顿算符的光谱。利用狄拉克符号（如上），上式所表达的就是单位分解：
此处，特征值都是离散的，但一个可观察量的特征值也可以是连续的，就如位置算符。位置（在一维当中）的光谱是整条实数线，所以称作连续光谱。不过，和哈密顿算符不同的是，位置算符并没有正式的本征函数。为了解决这一困局，通常会扩大所允许使用的函数，从普通的函数到所有分布。换言之，量子力学的希尔伯特空间要由合适的取代。这样一来，位置算符就有了一套完备的本征分布，对应于实数线上的每个点"y"：
位置的本征函数（分布）用狄拉克符号记作formula_82，亦称为位置本征态。
这种处理方法同样可以应用于动量算符，以及一切希尔伯特空间上的自伴无界算子"P"，前提是"P"具有连续光谱，且不存在退化特征值。更确切地说，有一个实数的子集Ω（即算子的光谱）和一组分布"φ""y"，对应于Ω的每个元素"y"，使得
也就是说，"φ""y"是"P"的特征向量（本征分布）。如果这些特征向量（作为分布）都满足归一化条件：
那么对于一切测试函数ψ，就有
其中
此处所得出的单位分解和离散的情况比较，有相似之处：
其中以算子为值的积分同样理解为弱积分。若"P"的光谱同时含有连续和离散部分，则它的单位分解须包含跑遍所有离散态的和，再加上跑遍所有连续态的积分。
"δ"函数在量子力学中还有众多特殊应用，例如"δ"位势阱。
结构力学.
在结构力学中，"δ"函数可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在"t"=0时突然受到冲量为"I"的力的冲击，其演变可以如下描述：
其中"m"是质量，ξ是挠度，而"k"是弹簧常数。
根据欧拉﹣伯努力理论，一条细长的梁的静力负荷挠度是
其中"EI"是梁的弯曲刚度，"w"是挠度，"x"是空间坐标，而"q"("x")则是负荷分布。如果栋梁在"x" = "x"0处受到点力"F"的负荷，那么负荷分布可以写作
由于"δ"函数的积分是黑维塞阶跃函数，因此细长栋梁在多个点受到点力负荷时的静力负荷挠度，可以用一组分段多项式来表示。
"δ"函数还可以描述作用在一条梁上的点。设两个相距"d"的相反方向的点力"F"，它们在栋梁上所产生的弯矩为"M" = "Fd"。在保持"M"不变的情况下，使"d"趋向于零。假设所产生的弯矩位于"x" = 0，方向是顺时针，那么对栋梁的负荷分布就是
因此点弯矩可以用"δ"函数的导数来描述。对栋梁方程积分，得出的挠度一样是分段多项式。