标架丛

数学中，标架丛（Frame bundle）是一个与任何向量丛 "E" 相伴的主丛。F("E") 在一点 "x" 的纤维是 "E""x" 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F("E") 上，给出标架丛一个主 GL"k"(R)-丛结构，这里 "k" 是 "E" 的秩。
一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为切标架丛（tangent frame bundle）。
定义与构造.
设 "E" → "X" 是拓扑空间 "X" 上一个 "k" 阶实向量丛。在点 "x" ∈ "X" 的一个标架是向量空间 "E""x" 的一个有序基。等价地，一个标架可以视为线性同构
在 "x" 的所有标架集合，记作 "F""x"，所有可逆 "k"×"k" 矩阵组成的一般线性群 GL"k"(R) 在它上面有一个自然右作用：一个群元素 "g" ∈ GL"k"(R) 通过复合作用在 "p" 的标架上给出一个新标架
GL"k"(R) 在 "F""x" 上这个作用是自由传递的（这是标准线性代数结论：存在惟一可逆线性变换将一个基变为另一个）。作为一个拓扑空间 "F""x" 同胚于 GL"k"(R)，但它没有群结构，因为没有“优先的标架”。空间 "F""x" 称为一个 GL"k"(R)-torsor。
"E" 的标架丛，记作 F("E") 或 FGL("E")，是所有 "F""x" 的不交并：
F("E") 中每个点是一个二元组 ("x", "p")，其中 "x" 是 "X" 中一点而 "p" 是 "x" 处一个标架。存在自然投影 "π" : F("E") → "X" 将 ("x", "p") 送到 "x"。群 GL"k"(R) 如上右作用在 F("E") 上。这个作用显然是自由的且轨道恰是 "π" 的纤维。
标架丛 F("E") 可给一个自然的拓扑，其丛结构由 "E" 确定。设 ("U""i", "φ""i") 是 "E" 的一个局部平凡化。则对每个 "x" ∈ "U""i" 有一个线性同构 "φ""i","x" : "E""x" → R"k"。这个数据决定了一个双射
由下式给出
有了这个双射后，每个 "π"−1("U""i") 可赋予 "U""i" × GL"k"(R) 的拓扑。则 F("E") 上的拓扑是由包含映射 "π"−1("U""i") → F("E") 余诱导的最终拓扑。
有了上面所有数据后，标架丛 F("E") 成为 "X" 上一个结构群为 GL"k"(R) 的主纤维丛，具有局部平凡化 ({"U""i"}, {"ψ""i"})，可以验证 F("E") 的转移函数与 "E" 的相同。
上面所有工作对光滑范畴也成立：如果 "E" 是光滑流形 "M" 上一个光滑向量丛，则 "E" 的标架丛可赋予 "M" 上光滑主丛结构。
相伴向量丛.
向量丛 "E" 与它的标架丛 F("E") 是相伴丛。每一个决定了另一个。标架丛 F("E") 可如上由 "E" 构造出来，或更抽象地利用。在后一个方法中，F("E") 与 "E" 有同样底、平凡化邻域以及转移函数，但有抽象纤维 GL"k"(R)，这里结构群 GL"k"(R) 作用在纤维 GL"k"(R) 上是左乘。
给定一个线性表示 "ρ" : GL"k"(R) → "V"，有一个向量丛相伴与 F("E")
它由乘积 F("E") × "V" 模去等价关系 ("pg","v") ~ ("p","ρ"("g")"v")，对所有 "g" 属于 GL"k"(R)，给出。记等价类为 ["p","v"]。
向量丛 "E" 自然同构于丛 F("E") ×"ρ" R"k"，这里 "ρ" 是 GL"k"(R) 在 R"k" 上的基本表示。同构由
给出，这里 "v" 是 R"k" 中一个向量而 "p" : R"k" → "E""x" 是 "x" 处一个标架。容易验证这个映射是良定义的。
任何相伴与 "E" 的向量丛可由如上构造给出。例如，"E" 的对偶丛由 F("E") ×"ρ"* (R"k")* 给出，这里 "ρ"* 是基本表示的对偶。"E" 的张量丛可类似地构造。
切标架丛.
一个光滑流形 "M" 的切标架丛（或简称标架丛）是与 "M" 的切丛相伴的标架丛。 "M" 的标架丛通常记作 F"M" 或 GL("M") 而不是 F("TM")。如果 "M" 是 "n"-维的则切丛的秩为 "n"，所以 "M" 的标架丛是 "M" 上一个主 GL"n"(R) 丛。
光滑标架.
"M" 的标架丛的局部截面称为 "M" 上的光滑标架。主丛横截定理说 "M" 中任何有光滑标架的开集 "U" 上标架丛是平凡的。给定一个光滑标架 "s" : "U" → F"U"，平凡化 "ψ" : F"U" → "U" × GL"n"(R) 由
给出，这里 "p" 是 "x" 处一个标架。从而一个流形是可平行化的当且仅当 "M" 的标架丛有一个整体截面。
因为 "M" 的切丛在 "M" 的任何坐标邻域是可平凡化的，故标架丛也是。事实上，给定任何坐标邻域 "U" 带有坐标 ("x"1,…,"x""n")，坐标向量场
定义了 "U" 上一个光滑标架。在标架丛上工作的一个好处是它们允许我们处理标架而不是坐标架；我们可选取对手中问题合适的标架。这有时称为活动标架法。
焊接形式.
流形 "M" 的标架丛是一类特殊的主丛，它的几何本质上系于 "M" 的几何。这种关系可用 F"M" 上一个称之为焊接形式（或称基本或重言 1-形式）向量值 1-形式表示。设 "x" 是流形 "M" 上一点，"p" 是 "x" 处一个标架，故
是 R"n" 与 "M" 在 "x" 处切丛的一个线性同构。F"M" 的焊接形式是一个 R"n"-值 1-形式 "θ"，定义为
这里 "ξ" 与 F"M" 相切于 ("x","p")，"p"-1:T"x""M" → R"n" 是标架映射的逆，d"π" 是投影映射 "π": F"M" → "M" 的微分。焊接形式是水平的，它在与 "π" 的纤维相切的向量上为零，以及右等变，即
这里 "R""g" 是由 "g" ∈ GL"n"(R) 的左平移。F"M" 上这样性质的形式称为基本或张量性形式。这样的形式与 "TM"-值 1-形式一一对应，从而与 "M" 上光滑丛映射 "TM" → "TM" 一一对应。这样看来，"θ" 恰好是 "TM" 上恒等映射。
标准正交标架丛.
如果向量丛 "E" 配有一个黎曼丛度量，则每个纤维 "E""x" 不仅是一个向量空间而且是一个内积空间。这样便可以讨论 "E""x" 的所有标准正交标架集合。"E""x" 的一个标准正交标架是 "E""x" 的一个有序标准正交基，或等价地，一个等距线性同构
这里 R"k" 配有标准欧几里得度量。正交群 O("k") 通过右复合自由传递作用在所有标准正交标架上。换句话说，所有标准正交标架集合是一个右 O("k")-torsor。
"E" 的标准正交标架丛，记作 FO("E")，是在底空间 "X" 上每一点 "x" 处的所有标准正交标架集合。它可用完全类似于通常标架丛的方法构造出来。秩 "k" 的黎曼向量丛 "E" → "X" 的标准正交标架是 "X" 上一个主 O("k")-丛。同样，此构造在光滑范畴一样成立。
如果向量丛 "E" 可定向，则我们可定义 "E" 的定向标准正交标架丛，记作 FSO("E")，是所有正定向标准正交标架丛，这是一个主 SO("k")-丛。
如果 "M" 是一个 "n"-维黎曼流形，则 "M" 的标准正交标架丛，记作 FO"M" 或 O("M")，是与 "M" 的切丛（由定义它配有一个黎曼度量）相伴的标准正交标架丛。如果 "M" 可定向，则也有定向标准正交标架丛 FSO"M"。
给定一个黎曼向量丛 "E"，标准正交标架丛是一般线性标架丛的 O("k")-子丛。换句话说，包含映射
是一个主丛映射。我们说 FO("E") 是 FGL("E") 的结构群从 GL"k"(R) 到 O("k") 的约化。
"G"-结构.
如果光滑流形 "M" 有额外的结构，通常自然地考虑 "M" 全标架丛的一个适应于给定结构的子丛。例如，如果 "M" 是一个黎曼流形，我们从上面看到自然地去考虑 "M" 的标准正交标架丛。标准正交标架丛只不过是 
FGL("M") 的结构群到正交群 O("n") 的约化。
一般地，如果 "M" 是一个光滑 "n"-流形，"G" 是 GL"n"(R) 的一个子李群，我们定义 "M" 上一个 G-结构为 FGL("M") 结构群到 "G" 的一个约化。具体地说，这是 "M" 上一个主 "G"-丛 F"G"("M")，以及 "M" 上一个 "G"-等变丛映射
在这种语言中，"M" 上一个黎曼度量给出 "M" 上一个 O("n")-结构。下面是其它一些例子。
在某些例子中，"M" 上一个 "G"-结构惟一确定了 "M" 上对应的结构。例如 "M" 上一个 SL"n"(R)-结构确定了 "M" 上一个体积形式。但是，在某些情形，比如辛与复流形，需要一个可积性条件。"M" 上一个 Sp2"n"(R)-结构惟一确定了 "M" 上一个非退化 2-形式，但对 "M" 是辛的，这个 2-形式必须也是闭的。