广群

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：
在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的formula_1、formula_2。于是组合是全函数：formula_3，于是formula_4。
广群的特例包括：
广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。
定义.
广群指的是代数结构formula_5，包含非空集"G"与定义在"G"上的二元偏函数'formula_6'。
代数定义.
广群是具备一元运算formula_7与偏函数formula_8的集合"G"，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在"G"中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。
运算*、−1有以下公理性质：formula_9：
从中可得到两个简单方便的性质：
范畴论定义.
广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群"G"是对象集合formula_19，其中
若formula_31则称"x"为"f"的源，记作formula_32；"y"称作"f"的目标，记作formula_33。广群"G"有时记作formula_34，当中formula_35是所有态射的集合，两个箭头formula_36代表源和目标。
更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。
定义比较.
代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令"G"为所有集合formula_20的不交并（即"x"到"y"的态射的集合）；则formula_38、formula_39就成了"G"上的偏运算，而formula_39事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为formula_38、−1为formula_39，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及formula_19（及formula_44）。
反过来，给定代数定义的广群"G"，用formula_45定义其元素上的等价关系：
formula_46，若formula_47令"G"0为formula_45的等价类集合，即formula_49。若formula_50且formula_51，用formula_52记"a" ∗ "a"−1。
现在定义formula_53为所有使formula_54存在的"f"的集合。给定formula_55其组合定义为formula_56这是良定义的，因为可观察到formula_57、formula_58都存在，formula_59也存在。这样，"x"的恒等态射就是formula_52，"f"的范畴论逆是"f"−1。
上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。
顶点群与轨道.
给定广群"G"，其中的顶点群或迷向群或轨道群是formula_61的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。
广群"G"在点formula_62处的轨道由集合formula_63给出，当中包含了可用"G"中的态射连接到x的每个点。若"x"、"y"两点在相同的轨道上，则它们的顶点群"G(x)"、"G(y)"群同构：若formula_64，则同构由formula_65给出。
轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为传递的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。
子广群与态射.
formula_66的子广群是子范畴formula_67，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即formula_68都有formula_69或formula_70，则也称其为宽或满。
广群映射简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。
有几种特殊的广群态射值得关注。若formula_71都有formula_72，使得formula_73，则广群的态射formula_74称作纤维化。若这样的"e"是唯一的，则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。
同样，给点广群"B"的覆盖态射范畴，等同于广群"B"对对集合的作用范畴。
例子.
拓扑.
给定拓扑空间"X"，令formula_19为集合"X"。从点"p"到点"q"的态射是"p"到"q"的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。
先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作"X"的基本广群，记作formula_76（有时是formula_77）。通常的基本群formula_78于是就是点x的顶点群。
基本广群formula_76的轨道是"X"的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。
这一思想的重要推广是考虑基本广群formula_80，其中formula_81是选定的基点集合。当中formula_80是formula_76的（宽）子广群，这里只考虑端点属于"A"的路径。集合"A"可据当前情况的几何形状来选择。
等价关系.
若"X"是集合体，即具有等价关系formula_45的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：
这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：
切赫广群.
切赫广群是一类特殊的广群，与某个流形"X"的开覆盖formula_99所给出的等价关系相关联。其对象由不交并
formula_100
给出，其箭头是相交
formula_101.
源映射与目标映射由诱导映射给出formula_102包含映射formula_103则给出了广群的结构。实际上，还可设置formula_104为"n"次迭代的纤维积来进一步扩展，其中formula_105表示"n"个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为formula_106是笛卡儿图，其中到formula_107的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环formula_108对某个阿贝尔群之常数层可表为函数formula_109给出了上同调类的明确表示。
群作用.
若群"G"作用于集合"X"，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群：
更明确地说，"作用广群"是小范畴formula_114、formula_115，源映射和目标映射分别为formula_116、formula_117。通常表示为formula_118（对于右作用记为formula_119）。广群中的乘法（或组合）就是formula_120，定义条件是formula_121。
formula_122，顶点群由formula_123的formula_124组成，这只是给定作用在"x"处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。
另一种描述"G"集合的方法是函子范畴formula_125，当中formula_126是1个元素的广群（范畴），同构于群"G"。事实上，这个范畴的每个函子"F"都定义了集合formula_127（即对formula_126中的每个态射）诱导了双射formula_129：formula_130。函子"F"的范畴结构保证了"F"定义了集合"G"上的"G"作用。（唯一）可表函子"F"：formula_131是"G"的凯莱表示。事实上，这个函子与formula_132同构，因此将formula_133送到集合formula_134，后者的定义就是“集合”"G"和formula_126的态射"g"（即"G"的元素"g"）到集合"G"的置换formula_129。由米田嵌入推导出：群"G"同构于"G"的置换群的子群formula_137。
有限集.
考虑formula_138在有限集formula_139上的群作用，其将每个数取负，于是formula_140、formula_141。商广群formula_142是这个群作用的等价类集合formula_143，formula_144在其上有群作用formula_138。
商簇.
任何映射到formula_146的有限群"G"都会在仿射空间formula_147上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是formula_148，有一点的稳定子"G"位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间formula_149及其子空间，如卡拉比-丘轨形。
广群的纤维积.
给定具有广群态射的广群图
其中formula_151、formula_152，可组成广群formula_153，其对象为三元组formula_154，其中formula_155。态射可定义为一对态射formula_156，其中formula_157，使得对三元组formula_158中有formula_159的交换图。
同调代数.
具体阿贝尔范畴中对象的二项复形
可形成广群。其对象是集合formula_161，箭头是集合formula_162；源映射只是到formula_161的映射，目标映射是对formula_164与"d"的组合跟到formula_161的映射的加法。也就是说，给定formula_166，有
当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。
游戏.
魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。
数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。
马蒂厄广群.
马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。
与群的关系.
若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。
每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）formula_168同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。
注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象formula_169、群同构formula_170、formula_171态射formula_172。
若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其连通成分（每个连通成分可能具有不同的群"G"与集合"X"）。
用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合"X"，而只需指定群"G"。例如，
即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个formula_174，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个"p"点到每个"q"点。
一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。
广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群"G"的子群"H"会产生‘’G"对"G"中"H"的陪集集的作用，从而产生"K"到"G"的覆盖态射"p"，其中"K"是顶点群与"H"同构的广群。这样，群"G"的表示就可以“提升”到广群"K"的表示，这是获取子群"H"的表现信息的有用方法。
广群范畴.
对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴，记作Grpd。
Grpd与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群formula_175，我们都可以构造广群formula_176，其对象是态射formula_177、箭头是态射的自然等价。于是，若formula_178只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群formula_179都有自然双射
formula_180
即使所有广群formula_179都只是群，这个结果也有意义。
Grpd既是完全范畴，又是余完全范畴。
与Cat的关系.
包含态射formula_182有左右伴随函子：
当中，formula_185表示反转每个态射的范畴局部化，formula_186表示所有同构的子范畴。
与sSet的关系.
神经函子formula_187将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。
神经有左伴随
当中formula_76表示单纯集"X"的基本广群。
Grpd中的广群.
广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子formula_190的广群formula_191，以及由恒等函子formula_192给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块formula_193与formula_194其中formula_195是同一个态射，则可以垂直相连，得到图formula_196可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。
具有几何结构的广群.
研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。
从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。