量子谐振子

在量子力学里，量子谐振子（quantum harmonic oscillator）是古典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。
一维谐振子.
哈密顿算符与能量本征态.
在一维谐振子问题中，一个质量为"m"的粒子，受到一位势formula_1。此粒子的哈密顿算符为
其中"x"为位置算符，而"p"为动量算符formula_3。第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的位能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，必须解所谓的「定态薛丁格方程式」：
在座标基底下可以解这个微分方程式，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：
前8个解（"n" = 0到7）如右图。函数formula_7为埃尔米特多项式：
注意到不应将之与哈密顿算符搞混，尽管哈密顿算符也标作"H"。相应的能阶为
值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有离散的值——即formula_10乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的「阶梯算符」段落，将对此现象做更详细的检视。再者，可有的最低能量（当"n" = 0）不为零，而是formula_11，被称为「基态能量」或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的「零振动」（null oscillations）且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子重力。最后一个理由为能阶值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子问题那样。
注意到基态的机率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时，机率密度变成集中在「古典转向点」（classical turning points），其中状态能量等同于势能。这样的结果与古典谐振子相一致；古典的描述下，粒子多数时间处在（而更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。
阶梯算符方法.
前述的幂级数解虽然直观，但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克，允许抽像求得能量本征值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推广到更复杂的问题，尤其是在量子场论中。跟从此方法，定义算符"a"与其伴随算符（adjoint）"a"†：
算符"a"并非厄米算符（Hermitian），因其与伴随算符"a"†并不相同。
算符"a"与"a"†有如下性质：
在推导"a"†形式的过程中，已用到算符"x"与"p"（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：
利用上面关系，可以证明如下等式：
现在，让formula_17代表带有能量"E"的能量本征态。任何右括向量（ket）与自身的内积必须是非负值，因此
将"a"†"a"以哈密顿算符表示：
因此formula_20。注意到当（formula_21）为零右括向量（亦即：长度为零的右括向量），则不等式饱和而formula_22。很直观地，可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态（"n" = 0）。
利用上面等式，可以指出"a"及"a"†与"H"的对易关系：
因此要是（formula_21）并非零右括向量，
类似地，也可以指出
换句话说，"a"作用在能量为"E"的本征态，而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为 
formula_27的本征态，而"a"†作用在能量为"E"的本征态，产生出另一个能量为formula_28的本征态。因为这样，"a"称作降算符而"a"†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中，"a"与"a"†也分别称作消灭算符与创生算符，以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。
给定任何能量本征态，可以拿降算符"a"作用在其上，产生了另一个能量少了formula_29的本征态。重复使用降算符，似乎可以产生能量本征态其能量低到"E" = −∞。不过这样就就与早先的要求formula_20相违背。因此，必须有一最底的能量本征态——基态，标示作formula_31（勿与零右括向量混淆），使得
在这情况下，继续使用降算符只会产生零右括向量，而不是产生额外的能量本征态。此外，还指出了
最后，透过将升算符作用在formula_31上，并且乘上适当的归一化因子，可以产生出一个能量本征态的无限集合formula_36使得
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态，formula_38变为
所以，
这个方程式的解为，经过归一化，
自然长度与能量尺度.
量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简化问题。这可以透过无因次化来得到。结果是如果以formula_29为单位来测量能量，以及formula_43为单位来测量距离，则薛丁格方程式变成：
且能量本征态与本征值变成
为了避免混淆，在此文中不采用这些自然单位。不过，这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。
案例：双原子分子.
在双原子分子中，自然频率可以发现为[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html] ：
其中
N维谐振子.
一维谐振子很容易地推广到formula_50维。在一维中，粒子的位置是由单一座标"x"来指定的。在formula_50维中，这由formula_50个位置座标所取代，以formula_53标示。对应每个位置座标有个动量，标示为"p"1, ..., "p""N"。这些算符之间的正则对易关系为
系统的哈密顿算符为
从这个哈密顿量的形式，可以发觉，formula_50维谐振子明确地可比拟为formula_50个质量相同，弹性常数相同，独立的一维谐振子。在这案例里，变数formula_53是formula_50个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性，允许位势被分离为formula_50个项目，每一个项目只跟一个位置坐标有关。
这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数formula_61，一个formula_50维谐振子的能量本征函数formula_63等于formula_50个一维本征函数formula_65的乘积：
采用阶梯算符方法，定义formula_50组阶梯算符，
类似前面所述的一维谐振子案例，可以证明每一个formula_70与formula_71算符将能量分别降低或升高formula_10。哈密顿量是
这量子系统的能阶formula_74是
其中，正整数formula_76是formula_77的量子数。
如同一维案例，能量是量子化的。formula_50维基态能阶是一维基态能阶的formula_50倍。只有一点不同，在一维案例里，每一个能阶对应于一个单独的量子态。在formula_50维案例里，除了底态能阶以外，每一个能阶都是简并的，都对应于多个量子态。
简并度可以很容易地计算出来。例如，思考三维案例，设定formula_81。每一个formula_82相同的量子态，都会拥有相同的能量。给予formula_82，首先选择一个formula_84。那么，formula_85，有formula_86个值，从formula_87到formula_88，可以选择为formula_89的值。formula_90的值自动的设定为formula_91。因此，简并度是
对于formula_50维案例，
案例：三维均向谐振子.
球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法，只有球对称位势不一样：
其中，formula_96是这问题的质量。由于formula_97会被用来标记磁量子数，所以，用formula_96来标记质量。
这问题的薛丁格方程式为
薛丁格方程式的全部解答写为
其中，
能量本征值是
能量通常可以用一个量子数formula_82来描述：
由于formula_104是个正整数，假若formula_82是偶数，那么，角量子数也是偶数：
假若formula_82是奇数，那么，角量子数也是奇数：
磁量子数formula_97满足不等式
对于每一个formula_82与formula_119，存在formula_120个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数formula_97。因此，formula_82的兼并度是
其中，总和的指数formula_119的初始值是formula_125。
这结果与先前的方程式相同。
耦合谐振子.
设想formula_50个相同质量的质点，以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为formula_53（也就是说，假若一个质点formula_104位于其平衡点，则formula_129）。整个系统的哈密顿量是
其中，formula_131。
这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子，每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质，称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固态物理学里，这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。