李群

李群（Lie group，）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其为连续变换群奠定基础。1893年，法文名词"groupes de Lie"首次出现在李的学生亚瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的论文第三页中。
粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。
总览.
李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。
李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中"G"是流形"局部"对称性形成的李群。
李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)（或其双覆盖特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。
定义与样例.
实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性
意味着"formula_5"是一个从积流形"formula_6"到"formula_1"的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射
是一个从积流形"formula_6"到"formula_1"的光滑映射。
反例.
现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：
其中formula_23是一个"固定的"无理数。这是一个环面 formula_24 的子群，它在子空间拓扑下不是李群。 比如说，如果我们取formula_25中的一个点formula_26的任意小邻域formula_27，那么formula_25在 formula_27中的部分是不连通的。群formula_25在环面上反复缠绕，形成了一个formula_24的稠密子群。
另一方面，我们可以给群formula_25指定另一个拓扑，使得两点formula_33之间的距离被定义为"群H中"连结 formula_34和formula_35的最短路径长度。在这个拓扑下，formula_25通过其元素中对应的formula_37与实直线同胚。在这种拓扑下，formula_25仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。
群formula_25是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。
矩阵李群.
用表示复数域上的可逆矩阵。的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。
由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall以及 Rossmann等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：
以上列举的群均为经典群。
相关概念.
与实李群相对应，复李群是在复流形上定义的（例如）。类似地，使用一种Q的度量完备化我们可以在 "p"-进数上定义"p"-进数李群，一种满足每个点都有一个"p"-进数邻域的拓扑群。
更多李群的样例.
李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。
一维李群.
一维情况下唯二的连通李群是实直线formula_44 （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群 formula_45 （其群操作为乘法）。 formula_45也常被记作formula_47，即formula_48酉群。
二维李群.
在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是formula_49（其群操作为向量加法）以及一维仿射群（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。
解析李群与光滑李群.
部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为formula_50）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：
定理.任意formula_50李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。
同态和同构.
formula_52均为李群，二者之间的一个同态：formula_53为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。
两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。
李代数.
李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状；借助指数映射或源自李代数的叶状结构，可以将李代数的性质提升到李群的层次。
设formula_1为李群，其李代数formula_55定义为formula_1在单位元的切空间。formula_55自然具备了矢量空间结构，formula_55上的李括积formula_59定义如下：
不难验证formula_69满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质，例如：连通李群formula_1是交换群若且唯若formula_55是交换李代数。
李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义，或者取定局部坐标，用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。
李群对应李代数.
若formula_1是李群，formula_73是其子群，并带有李群结构，使得包含映射formula_74为浸入（不一定是闭的），则可得到子李代数formula_75。反之，任意子李代数formula_76透过左平移定义了formula_1上的叶状结构，取含单位元的极大积分流形，便得到满足前述条件的子群formula_73。此子群未必是闭子群，它可能是formula_1的稠密子集（考虑环面的例子）。
李代数的映射formula_80未必能提升至李群的映射formula_81，但可提升至映射formula_82，其中formula_83是formula_84的万有覆叠空间。
指数映射.
对于任意矢量formula_85，根据常微分方程式的基本理论，存在formula_1中的单参数子群formula_87使得formula_88。由此得到的映射
称为指数映射。它总是解析映射。
若formula_1为formula_92的子群，则formula_93，这是指数映射一词的缘由。
当formula_1连通且非交换时，指数映射formula_95并非同态；局部上，formula_96可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。
一般体上的李群.
在任意体、环乃至于概形上，都可以定义群概形；这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义，然而李群未必是代数簇。
另一方面，若域formula_97对某个绝对值是完备域，其特征为零，则可照搬解析李群的定义以定义体formula_97上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是formula_99；至于数论方面，特别涉及自守表示的研究上，则须用到formula_97为p进数体的情形。