拓扑空间

拓扑空间（Topological space）是一种赋予「一点附近」这个概念的抽象数学结构；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
定义动机.
拓扑结构最实用的动机，在于怎么去定义「一点的附近」，用以定义函数极限。
对于度量空间 formula_1 内的任一点 formula_2，可定义中心为 formula_2，半径为 formula_4 的开球
然后把开球视为点 formula_2 附近的「开放边界区域」。但考虑到「区域」应该是有任意形状的，那一般的「开放边界区域」，应该是任取里面的点 formula_2 ，都会有一个够小的开球 formula_8 完全落在这个区域里，也就是说，可以定义 formula_1 的开子集 formula_10 为满足如下条件的子集合
这样定义的开集有一些有趣的性质：
(1) 任二开集的交集也是开集 
任取两个 formula_1 的开子集 formula_13 ，若 formula_14 ，根据定义存在 formula_15 使得 
这样若取 formula_18 ，则会有：
也就是说， formula_20 也是个开集。
(2) 任意个开集的并集也会是开集 
若 formula_21 是一群开集所构成的集合，也就是说 
如果取
换句话说：
这样的话，显然有
所以 formula_26 也会是一个开集。
以上的性质促使人们在不依托度量情况下，去定义一个描述「一点的附近」的结构，换句话说，去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合，任二开集的交集是开的且任意开集的联集也是开的。
正式定义.
开集系，闭集系，邻域系，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价结构，但大部分书籍都以开集系为准。
开集系.
根据定义动机一节可以作如下的定义：
 formula_27 的子集族 formula_28 若满足以下开集公理
则称 formula_29 为 formula_27 的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑，formula_31 则被称为一拓扑空间，formula_27 内的元素 formula_33 则称为拓扑空间 formula_31 的点。
开集系的代号 formula_29 是字母「O」的德文尖角体，取名自德语形容词「」（开的）。
从开集系出发定义其它概念：（formula_36 为 formula_27 的子集）
闭集系.
formula_27 的子集族 formula_49 若满足如下闭集公理：
则称 formula_50 为 formula_27 的闭集系（其中的元素称为闭集）。
开集系的代号 formula_50 是字母「 F」 的德文尖角体，取名自法语动词「」（关闭）的过去分词「」（封闭的）。
根据德摩根定理和量词符号的意义，以下的子集族
为开集系，类似地，对于开集系 formula_29 ，以下的子集族
为闭集系，所以闭集系跟拓扑是等价的结构。
从闭集系出发定义其它概念：（formula_36 为 formula_27 的子集）
邻域系.
函数 formula_63（ formula_64 指 formula_27 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所构成的集合）若对任意 formula_33 满足如下邻域公理：
这样任意 formula_67 被称为 formula_2 的邻域系， formula_67 里的元素 formula_70 则称为 formula_2 的邻域。
换句话说，函数 formula_72 将 formula_27 的每个点 formula_33 映射至 formula_67 ，而 formula_67 则是所有 formula_2 的邻域所构成的集族。
邻域系的代号 formula_72 是字母「 U」 的德文尖角体，取名自德语动词「 」（环绕）的名词化「」（周围、环境）。
若取以下的子集族
因为 formula_27 包含任意邻域， formula_27 本身显然为任意 formula_33 的领域，故 formula_83 ；另外空集合 formula_84 没有任何属于它的点，所以根据实质条件的意义，formula_85。
若取 formula_86 ，根据邻域公理的第二项有 formula_87 ；若取 formula_88 ，且 formula_89 ，那换句话说
这样的话有
那这样根据邻域公理第三项，formula_92，所以 formula_93 的确是个开集合系。
类似地对于开集系 formula_29 ，若对任意 formula_33 取
那 formula_67 也会符合上面四款邻域系公理（注意到第四项取 formula_98 ），所以对所有 formula_33 定义了邻域系等同于定义了一个拓扑。
从邻域系出发定义其它概念：（formula_36 为 formula_27 的子集）
闭包公理.
formula_27的幂集formula_110上的一元运算formula_111（即将formula_27的子集A映射为formula_27的子集formula_114）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算formula_115满足下述的闭包公理：
集合formula_39的闭包通常记为formula_61。
从闭包出发定义其它概念：
开核公理.
formula_27的幂集formula_110上的一元运算formula_134（即将formula_27的子集A映射为formula_27的子集formula_137）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算formula_138满足如下开核公理：
集合formula_39的开核通常记为formula_45。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。
从开核出发定义其它概念：
导集公理.
formula_27的幂集formula_156上的一元运算formula_157（即将formula_27的子集formula_39映射为formula_27的子集formula_161）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当formula_162满足以下导集公理：
从导集出发定义其它概念：
拓扑之间的关系.
同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑formula_170的每一个开集都是拓扑formula_171的开集时，称拓扑formula_171比拓扑formula_170更细，或称拓扑formula_170比拓扑formula_171更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。
在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
连续映射与同胚.
类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。
拓扑空间范畴.
拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。
相关概念.
基本概念.
给定拓扑空间formula_188，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：
网.
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集formula_189。
空间formula_27上的一个网formula_191是从有向集合formula_39映至formula_27的映射。
若存在formula_33，使得对每个formula_2的邻域formula_129都存在formula_197，使得formula_198，则称网formula_191收敛至formula_2。
几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网
拓扑空间的例子.
例子.
3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：
拓扑空间的分类.
依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设X为一个拓扑空间。
分离公理.
详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。
紧性.
（详细资料请参照紧集）
可度量化.
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
拥有代数结构的拓扑空间.
对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群formula_204乃是一个拓扑空间配上连续映射formula_205（群乘法）及formula_206（反元素），使之具备群结构。
同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。
拥有序结构的拓扑空间.
拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：
外部链接.
n个元素的集上总拓扑数规律