作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程式，就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程式（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照著角度，卷绕于环面。
在量子力学早期，波动力学发展成功之前，波耳-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。
在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于微扰理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形微扰，混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明，对于微小微扰，环面不变量是稳定的。
作用量-角度坐标，对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析，对于 Lax pairs 的定义，更广义地，对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。
导引.
保守的哈密顿量系统.
假设，在一个物理系统里，哈密顿量是保守的，也就是说，哈密顿量 formula_1 不显含时间；
其中，formula_3 是运动常数，formula_4 是广义坐标，formula_5 是广义动量。
采用哈密顿特征函数 formula_6 为正则变换的第二型生成函数。变换方程式为
其中，formula_9 是新广义坐标，formula_10 是新广义动量。
新哈密顿量 formula_11 与旧哈密顿量 formula_1 相等：
新广义动量的哈密顿方程式为
所以，新广义动量是常数 formula_15 ：
假设，这物理系统的哈密顿-亚可比方程式 formula_17 为完全可分的，则哈密顿特征函数 formula_6 可以分离为 formula_19 个函数 formula_20 ：
哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是
周期性运动.
假若，粒子的运动是周期性运动，最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动，则可以设计一个新正则坐标－作用量-角度坐标 formula_24 。定义作用量为
这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。
由于广义动量 formula_26 只跟 formula_27 、formula_15 有关，经过积分，作用量formula_29 只跟 formula_15 有关。所以，作用量向量 formula_31 只是个常数向量。哈密顿特征函数可以表达为
虽然是同样的物理量，函数的参数不同，形式也不同。
定义角度 formula_33 为
由于所有的广义坐标 formula_27 都相互独立，所有的广义动量 formula_26 也都相互独立，所以，所有的作用量 formula_37 都相互独立，作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样，哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为
新哈密顿量 formula_39 与旧哈密顿量 formula_1 相等：
因为作用量 formula_42 只是常数向量，所以，
新哈密顿量 formula_44 ，只跟作用量 formula_31 有关，跟角度 formula_33 无关。
角度 formula_47 随时间的导数 formula_48 ，可以用哈密顿方程式决定：
每一个 formula_37 都是常数，所以，formula_51 也是常数：
其中，formula_53 是积分常数。
运动频率.
假设原本广义坐标 formula_54 的振荡或旋转的运动周期为 formula_55 ，则其对应的角度变数 formula_56 的改变是 formula_57 。进一步了解物理量 formula_48 的性质，猜想 formula_48 与广义坐标 formula_54 周期性运动的频率有关。可是，因为角度 formula_56 是广义座标 formula_4 与作用量 formula_31 的函数，无法确定前面的猜想。为了证实这论点，计算周期 formula_55 ：
新哈密顿量 formula_66 与旧哈密顿量 formula_1 相等。所以，
假若 formula_69 是个循环坐标，那么，其共轭动量 formula_70 必是个常数，可以从作用量的定义积分内提出来：
其中，formula_72 是 formula_69 运动一周期的值。
这样，
代入周期 formula_55 的公式，
肯定地，formula_48 是广义坐标 formula_27 的频率。
假若 formula_69 不是循环坐标，则不能将其共轭动量 formula_70 从作用量的定义积分内提出来，必须采用另外一个方法计算。从角度的定义，可以察觉角度 formula_56 跟广义坐标 formula_4 、作用量 formula_31 有关： 
保持作用量不变，角度的虚位移 formula_85 是：
在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标 formula_27 都有它运动的周期 formula_55 。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期不同 formula_89 、formula_90 。在做闭路径积分的时候，就必须使用使用一个新的周期 formula_91 ，让闭路径积分能够开始与结束于同一点．假若，两个周期的比例是个有理数，则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为
其中，formula_93 、formula_94 、formula_95 、formula_96 ，都是正值的整数。
同样地，在多重周期性物理系统里，假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。那么，新周期 formula_91 为
其中，formula_99 、formula_100 ，都是正值的整数。
经过一个周期 formula_91 ，角度 formula_56 的变化是：
由于作用量 formula_29 是个常数，可以将它从积分内提出： 
所以，频率是 
假若，有任何两个互相不可通约的广义坐标 formula_27 、formula_108 ，其周期 formula_55 、formula_110 的比例是无理数。那么，formula_27 不可能与 formula_108 同时回到同一点。虽然如此，有理论证明，formula_113 、formula_113 仍旧分别是 formula_27 、formula_108 的频率。
傅立叶级数.
角度 formula_33 是一组互相独立的广义坐标。所以，一般而言，每一个广义坐标 formula_118 可以用角度的傅立叶级数表示：
其中， formula_120 是傅立叶级数系数。
在大多数实际案例，物理系统的哈密顿-亚可比方程式 formula_17 为完全可分的。那么，一个原本广义坐标 formula_118 只需用其相应的角度变数的傅立叶级数表示：
基本规则总结.
一般程序有三个步骤：
简并度.
在有些案例，两个不同的广义坐标会有相同的频率；也就是说，formula_126 for formula_127 。称这些案例的运动状态为简并。
简并的运动给出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒问题的频率是简并的，这对应于拉普拉斯-龙格-冷次向量的恒定性。
简并的运动还给出暗示，在多于一种坐标系统里，哈密顿-亚可比方程式会是完全可分的。例如，克卜勒问题在球坐标系与抛物线坐标系，都是完全可分的。