波函数

在量子力学里，量子系统的量子态可以用波函数（Wave function）来描述。薛丁格方程式设定波函数如何随著时间流逝而演化。
波函数 formula_1 是一种复值函数，表示粒子在位置 formula_2 、时间 formula_3 的机率幅，它的绝对值平方 formula_4 是在位置 formula_2 、时间 formula_3 找到粒子的机率密度。以另一种角度诠释，波函数formula_1是「在某时间、某位置发生相互作用的概率幅」。
历史.
在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛丁格等等，他们使用的数学工具是微积分，他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等，使用线性代数，他们建立了矩阵力学。后来，薛丁格证明这两种方法完全等价。
德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程式，这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示，他因此开始寻找这波动方程式。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零波长极限，物理光学趋向于几何光学；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为，在零波长极限，波传播趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程式来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程式。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程式。他又用自己设计的方程式来计算氢原子的谱线，得到的答案与用波耳模型计算出的答案相同。他将这波动方程式与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛丁格给出的薛定谔方程式能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻恩提出机率幅的概念，成功地解释了波函数的物理意义。可是，薛定谔本人不赞同这种统计或机率方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩，如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。
1927年，道格拉斯·哈特里与弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步，他们发展出哈特里－福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合包立不相容原理的要求。
薛定谔方程式不具有劳仑兹不变性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试著用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程式，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程式给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果，又会给出违背量子力学的负机率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。
1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相对作用纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程式后来称为克莱因-戈尔登方程式。
1928年，保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学，他推导出狄拉克方程式，适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程式的波函数是一个旋量，拥有自旋性质。
概述.
位置空间波函数.
假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 formula_8 ；其中，formula_9 是位置，formula_3 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的位置 formula_9 在区间 formula_12 （即 formula_13 ）的机率formula_14为
其中，formula_3 是对于粒子位置做测量的时间。
换句话说，formula_17 是粒子在位置 formula_9 、时间 formula_3 的机率密度。
这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的机率为100%：
动量空间波函数.
在动量空间，粒子的波函数表示为 formula_21 ；其中，formula_22 是一维动量，值域从 formula_23 至 formula_24 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的动量 formula_22 在区间 formula_12 （即 formula_27 ）的机率为
动量空间波函数的归一化条件也类似：
两种波函数之间的关系.
位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅立叶变换。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为
波函数实质.
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的 formula_32 矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。
波函数 formula_33 实际上是 formula_32 在坐标本征函数为基上展开的formula_9“分量”：
（这里基矢量 formula_37 对应于本征值为 formula_9 的算符 formula_39 的本征函数）。
动量空间波函数 formula_40 是 formula_32 用动量本征函数的基展开时的展开系数:
（这里基矢量 formula_43 对应于属于本征值 formula_22 的 formula_45 的本征函数） \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar}</math>}} 。
我们也可以把 formula_46 用能量本征函数的基展开（简单起见，假设谱是分立的）：
（这里基矢量 formula_48 对应属于 formula_49 的第 formula_50 个本征函数：formula_51) 。
波函数 formula_52 与 formula_53 和系数的集合 formula_54 ，所有这些所表示的都是同一个状态，包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已：
薛丁格方程式.
在一维空间里，运动于位势 formula_56 的单独粒子，其波函数满足含时薛丁格方程式
其中，formula_58 是质量，formula_59 是约化普朗克常数。
不含时薛丁格方程式与时间无关，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法，猜想 formula_60 的函数形式为
其中，formula_62 是分离常数，稍加推导可以论定 formula_62 就是能量，formula_64 是对应于 formula_62 的本征函数。
代入这猜想解，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛丁格方程式：
波函数的概率诠释.
波函数 formula_1 是概率波。其模的平方 formula_68 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。
波函数的本征值和本征态.
在量子力学中，可观察量 formula_70 以算符 formula_71 的形式出现。formula_71 代表对于波函数的一种运算。例如，在位置空间里，动量算符 formula_73 的形式为
可观察量 formula_70 的本征方程式为
对应的 formula_77 称为算符 formula_71 的本征值，formula_79 称为算符 formula_71 的本征态。假设对于 formula_71 的本征态 formula_79 再测量可观察量 formula_70 ，则得到的结果是本征值 formula_77 。
态叠加原理.
假设对于某量子系统测量可观察量 formula_70 ，而可观察量 formula_70 的本征态 formula_87 、formula_88 分别拥有本征值 formula_89 、formula_90 ，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态 formula_91 也可以是这量子系统的量子态：
其中， formula_93 、formula_94 分别为叠加态处于本征态 formula_87 、formula_88 的机率幅。
假设对这叠加态系统测量可观察量 formula_70 ，则测量获得数值是 formula_98 或 formula_99 的机率分别为 formula_100 、formula_101 ，期望值为
定态.
在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 formula_49 不含时间的情况。对于这问题，应用分离变数法，可以将波函数 formula_1 分离成一个只与位置有关的函数 formula_105 和一个只与时间有关的函数 formula_106 ：
将这公式代入薛定谔方程，就会得到
而 formula_109 则满足本征能量薛丁格方程式：
例子.
自由粒子.
3D空间中的自由粒子，其波矢 为 ， 角频率 为，其波函数为：
无限深方形阱.
粒子被限制在和之间的1D空间中，其波函数为:
其中，formula_113是能量本征值，formula_50是正整数，formula_58是质量。
有限位势垒.
在1D情况下，粒子处于如下势垒中：
量子点.
量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。