幻方

幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从formula_1到formula_2的连续整数组成，其中formula_3为正方形的行或列的数目。因此formula_3阶幻方有formula_3行formula_3列，并且所填充的数为从formula_1到formula_2。
幻方可以使用formula_3阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数formula_10，如果填充数为formula_11，那么有
幻方简史.
《系辞》云：「河出图，洛出书，圣人则之。」在宋朝之前，洛书的记述只有文字。
九宫图实物最早发现于西汉，1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年（前173年）的太乙九宫占盘，乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。
后来陈抟以降认为河图洛书的洛书代表九宫图，为formula_13这formula_14个数，而formula_15行、formula_15列以及两对角线上各自的数之和均为15。
杨辉纵横图.
南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
构造法.
根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、formula_17阶幻方和formula_18阶幻方，其中formula_19为自然数，formula_20阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。
奇数阶幻方构造法.
右斜角降位法1.
假设要建构n阶幻方，n为奇数。
以下图formula_21阶幻方为例，formula_1填写在formula_23（第一行第三列）的位置上；formula_20应当填写在其右上方格即formula_25中，由于formula_25超出顶边界，所以从最底行进入，即formula_27；formula_15填写在formula_27的右上方格formula_30中；formula_31填写在formula_30的右上方格formula_33中，由于formula_33超出右边界，所以从最左列进入，即formula_35；formula_21填写在formula_35的右上方格formula_38中；formula_39应该填写的方格formula_23已经被formula_1所占据，因此填写在formula_38的正下方格formula_43中；按照上面的步骤直到所有数填入。
魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：
右斜角降位法2.
假设要建构n阶幻方，n为奇数。
右斜角升位法.
假设要建构n阶幻方，n为奇数。
菱形法.
假设要建构n阶幻方，n为奇数。
偶数阶幻方构造法.
formula_17阶幻方构造法.
保留对角线法.
假设要建构n阶幻方，n为4的倍数。
如4阶幻方的排列法：
formula_45
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
formula_46
八阶幻方构造如下
formula_47
即：
formula_48
formula_18阶幻方构造法.
LUX法.
在(4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上「L」；在第M+1行的中间格点标上「U」，其余格点标上「L」；在第M+2行的中间格点标上「L」，其余格点标上「U」；在余下的M-1行的格点全部标上「X」。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：
例子：
任何阶数的幻方都适用的构造法.
艾歆缇雅法.
此方法可用来建构任何阶数的幻方，当要建构n阶幻方时，使用两个方阵，一个填入正整数1到n各n次，另一个则填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，尽管奇数阶幻方与偶数阶幻方的填入方式有所不同。
对于奇数阶幻方：
第一个方阵：在第一横列中央的方格填入1，并且往左下角不断填入1，若超出方阵外，则向右平移n格，直到每一横列都有一个方格填入1为止，再把所有填入1的方格右边的格子填入2（若超出方阵外，则向左平移n格），再把所有填入2的方格右边的格子填入3，一直到填入n为止。
第二个方阵：在第一直行中央的方格填入0，并且往右下角不断填入1，若超出方阵外，则向上平移n格，直到每一直行都有一个方格填入0为止，再把所有填入0的方格右边的格子填入n（若超出方阵外，则向上平移n格）。再把所有填入n的方格右边的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n为止。
再把两个方阵中的数相加。
事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的n个数字都仍然各出现n次即可，唯一的条件是第一个方阵中(n+1)/2这个数字，以及第二个方阵中(n-1)*n/2这个数字，不能被替换。
对于偶数阶幻方：
第一个方阵：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行与第二直行相同，第四直行与第一直行相同，若超过四直行，则重复第一到第四直行的步骤。
第二个方阵：第一横列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二横列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三横列与第二横列相同，第四横列与第一横列相同，若超过四横列，则重复第一到第四横列的步骤。
此方法暂时只适用于4k阶的幻方。
事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的n个数字都仍然各出现n次即可，唯一的条件是第一个方阵中每个直行相对的两个数字之和必须是n+1，以及第二个方阵中每个横列相对的两个数字之和必须是n*(n-1)。
如果是4k+2阶的幻方，就必须在第二个方阵中，检查每个直行相对的两个数字之和为n*(n-1)的格子，对于这些格子，第一个方阵的对应格子。
加边法.
当n为大于等于5的正整数时，此方法可由n-2阶幻方外围加上一圈来构造n阶幻方。
以formula_39阶为例子，先排出formula_31阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上formula_52，有下图：
formula_53
在外围加上一圈格子，把formula_54和formula_55这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于formula_56。对于formula_57这些数是：formula_58；formula_59。结果如下：
formula_60
方阵合成法.
当n可以分解成两个大于等于3的正整数a与b的乘积时，此方法可由a阶幻方与b阶幻方来构造n阶幻方。
编程语言参考实现.
int a,b,m;
void s(int i)
int main(void)
四阶幻方全解搜索(C/C++).
<syntaxhighlight lang="C">
int a,b,m;
void s(int i)
int main(void)
</syntaxhighlight>
奇数阶幻方算法的Java语言实现.
<syntaxhighlight lang="java">
public class magic_squre_odd {
</syntaxhighlight>
formula_31阶幻方算法的Java语言实现.
<syntaxhighlight lang="java">
研究价值.
知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。
对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。