吉洪诺夫正则化

吉洪诺夫正则化得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫，是在自变量高度相关的情景下估计多元回归模型系数的方法。它已被用于许多领域，包括计量经济学、化学和工程学。吉洪诺夫正则化为非适定性问题的正则化中最常见的方法。在统计学中，本方法被称为脊回归回归或岭回归（ridge regression）；在机器学习领域则称为权重衰减或权值衰减（weight decay）。因为有不同的数学家独立发现此方法，此方法又称做吉洪诺夫－米勒法（Tikhonov–Miller method）、菲利浦斯－图米法（Phillips–Twomey method）、受限线性反演（constrained linear inversion method），或线性正规化（linear regularization）。此方法亦和用在非线性最小二乘法的莱文伯格-马夸特方法相关。它对于缓解线性回归中的多重共线性问题特别有用，这常见于有大量参数的模型中。总的来说，这种方法提高了参数估计的效率，但也有可容忍的偏差（见偏差-方差权衡）。
该理论于 1970 年由 Hoerl 与 Kennard 发表在《技术计量学》上的文章《岭回归：非正交问题的偏估计》及《岭回归：非正交问题中的应用》中首次提出。这是对脊分析领域进行十年研究的结果。
岭回归是通过创建岭回归估计量（RR）实现的。当线性回归模型具有多重共线（高度相关）的自变量时，岭回归对于最小二乘估计的不精确性是一种可能的解决方案。这提供了更精确的岭参数估计，因为它的方差和均方估计量通常小于先前推导的最小二乘估计量。
当求解超定问题（即 formula_1）时， 矩阵 formula_2 的协方差矩阵 formula_3 奇异或接近奇异时，利用最小二乘方法求出的结果 formula_4 会出现发散或对 formula_5 不合理的逼近。为了解决这一问题，吉洪诺夫于 1963 年提出了利用正则化项修改最小二乘的代价函数的方法，修改后的代价函数如下：
formula_6
式中 formula_7 称为正则化参数，这种方法被称为吉洪诺夫正则化。
概览.
在最简单的情况下，向主对角线添加正元素可以缓解近奇异矩量矩阵 formula_8 问题，减少条件数。类似于最小二乘估计量，简单岭估计量可定义为
其中 formula_10 是回归子，formula_11 是设计矩阵，formula_12 是单位矩阵，岭参数 formula_13 则是矩量矩阵对角线的恒定位移。可以证明这个估计量是约束为 formula_14 的最小二乘问题的解，可表达为拉格朗日形式：
其说明，formula_16 不过是约束的拉格朗日乘数。通常要根据启发式准则选择 formula_16，以便不完全满足约束。特别是在约束 formula_18，即非约束约束（non-binding constrain），岭估计量退化为普通最小二乘法。下面讨论一种更通用的吉洪诺夫正则化方法。
历史.
吉洪诺夫正则化是在许多不同背景下独立发明的。安德烈·吉洪诺夫和 David L. Phillips 最早使用了这种方法。有限维情形由采用统计方法的 Arthur E. Hoerl 和 Manus Foster 完成，后者将其解释为克里金法滤子。自 Hoerl 之后，这种方法在统计学文献中被称为岭回归，以沿单位矩阵对角线的形状命名。
吉洪诺夫正则化.
假设对已知矩阵 formula_19 和向量 formula_20，我们希望找到向量 formula_21 使
标准方法是普通最小二乘法线性回归。但若没有 formula_21 满足方程或超过一个 formula_21 满足（即解不唯一），则待研究问题为不适定问题，普通最小二乘估计会导致方程组过定或欠定。大多数现实世界的现象在前向问题中都具有低通滤性质，其中 formula_19 将 formula_21 映射到 formula_20。因此在解决逆问题时，逆映射作为高通滤波器，具有放大噪声的不良趋势（特征值/奇异值在逆映射中最大，在正映射中最小）。此外，普通最小二乘隐式地消除了位于 formula_19 的零空间的 formula_21 的重建版本的每个元素，而非允许将模型用作 formula_21 的先验。普通最小二乘寻找最小化残差平方和，可以紧凑地写作
其中 formula_32 是欧几里得范数。
为优先选择具有所需性质的特定解，可在最小化中包含正则化项：
其中吉洪诺夫矩阵 formula_34 需要适当选取，许多时候选为单位矩阵的标量倍数（formula_35），并优先考虑范数较小的解；这叫做 正则化。这之外，若认为基础向量几乎连续，则可使用高通运算（如递推关系式或加权离散傅里叶变换）以实现平滑。这种正则化改进了问题条件，从而实现了直接的数值求解。显式解表示为 formula_36，是这样得到：
正则化的效果可能因矩阵 formula_38 的尺度而异。若择 formula_39，如 formula_40 存在，则简化为非正则化最小二乘解。
除线性回归外， 正则化还有许多应用场景，如逻辑斯谛回归或支持向量机分类，以及矩阵分解。
广义吉洪诺夫正则化.
对于 formula_41 和数据误差的多元正态分布，可以应用变量的变换来简化上述情况。等价地，可以寻求最小化 formula_41：
其中 formula_44 表示加权范数平方 formula_45（比较马哈拉诺比斯距离）。在贝叶斯解释中，formula_46 是 formula_47 的逆协方差矩阵；formula_48 是 formula_41 的期望；formula_50 是 formula_41 的逆协方差矩阵。吉洪诺夫矩阵为矩阵 formula_52 的分解（如科列斯基分解），可视作白化变换器。
这个推广问题有最优解 formula_53，可以使用公式显式地写为
或等效地，当 formula_50 非空：
拉夫连季耶夫正则化.
有时可以避免使用 formula_57，这由米哈伊尔·拉夫连季耶夫指出。例如，若 formula_19 是对称正定矩阵，即 formula_59，则其逆 formula_60 可以用来在广义吉洪诺夫正则化中构造加权范数平方 formula_61，则有最小化
或等价地由常数项，
该最小化问题有最优解 formula_53，可以紧凑地写作公式
是广义吉洪诺夫问题的解，其中 formula_66。
拉夫连季耶夫正则化对原吉洪诺夫正则化有利，因为拉夫连季耶夫矩阵 formula_67 的条件数比吉洪诺夫矩阵 formula_68 小。
希尔伯特空间中的正则化.
典型的离散线性非适定问题由积分方程的离散化引起，可以在原始的无穷维背景中实现吉洪诺夫正则化。上面，我们可以将 formula_19 解释为希尔伯特空间上的紧算子，formula_41、formula_47 为 formula_19 的域与范围上的元素。formula_73 是自伴随有界可逆运算。
与奇异值分解和维纳滤波器的关系.
有 formula_35 这个最小二乘解可用奇异值分解以特殊的方式分析。给定奇异值分解
，奇异值 formula_76，则吉洪诺夫正则解可表为
其中 formula_78 的对角值为
其余地方都是 0。这表明吉洪诺夫参数对正则化问题条件数的影响。对于广义情况，可以使用广义奇异值分解推导出类似的表示。
最后，其与维纳滤波有关：
其中维纳权为 formula_81；formula_82 是 formula_19 的秩。
确定吉洪诺夫因子.
最佳正则化参数 formula_84 一般未知，在实践中常常临时确定。一种可能的方法依赖于下面描述的贝叶斯解释。其他方法包括偏差原理、交叉验证、L 曲线法、约束最大似然法和无偏预测风险估计。Grace Wahba 证明，这种最优参数用留一交叉验证最小
其中 formula_86 是残差平方和，formula_87 是自由度。
用前面的 SVD 分解，可以简化上述表达式：
与概率表述的关系.
逆问题的概率公式引入了（当所有不确定量都为正态量时）表示模型参数先验不确定性的协方差矩阵 formula_91，以及表示观测参数不确定性的协方差矩阵 formula_92。当它们都是对角各向同性矩阵（formula_93），且 formula_94，则逆理论方程简化为上述方程，且 formula_95。
贝叶斯解释.
虽然选择这个正则化问题的解可能看起来是人为的，而且矩阵 formula_38 似乎相当武断，但从贝叶斯的角度来看，这个过程是合理的。注意，不适定问题必须引入额外假设才能得到唯一解。在统计学中，formula_41 的先验分布有时被认为是多元正态分布。为简单起见，此处做出以下假设：均值为零；组分独立；组分标准差均为 formula_98。数据也受误差影响，并且假设 formula_47 中的误差独立，均值为零，标准差为 formula_100。在这些假设下，根据贝叶斯定理，吉洪诺夫正则化解是给定数据和 formula_41 的先验分布的最可能的解。
若正态性假设被同方差和无关误差假设代替，且若假设均值仍是零，则高斯-马尔可夫定理意味着解是最小无偏线性估计量。