线性映射

线性映射（linear map）是向量空间之间，保持向量加法和纯量乘法的函数。线性映射也是向量空间作为模的同态。
线性算子（linear operator）与线性转换（linear transformation，又称线性变换）是与线性映射相关的惯用名词，但其实际意义存在许多分歧，详见相关名词一节。
正式定义.
设 formula_1 和 formula_2 都是系数体为 formula_3 的向量空间， formula_4 是一个从 formula_1 送到 formula_2 的一个映射。如果 formula_7 具有以下两个性质：
则称 formula_7 是一个 formula_3-线性映射。在系数体不致混淆的情况下也经常简称线性映射。
这等价于要求 formula_7 对任意向量 formula_19 和任意纯量 formula_20 ：formula_21
线性泛函.
任何的体 formula_3 本身就是一维的（系数为自身的）向量空间，所以可以考虑任何从系数体同样为 formula_3 的向量空间 formula_1 送往 formula_3 的线性映射，这类线性映射被称为线性泛函。研究线性泛函的学科是线性泛函分析，是泛函分析最成熟的分支。
相关名词.
线性变换和线性算子这两个名词，与本条目的线性映射密切相关，但不同作者有不同的定义。而这种定义分歧的根源在于，如 formula_29 这样，定义域和值域落在同个向量空间的特殊线性映射，有些人为了凸显而予之不同的称呼。
比如Axler和龚升就称这种特殊线性映射为线性算子，但另一方面将线性映射和线性变换视为同义词；李尚志则将这种特殊线性映射称为线性变换；而泛函分析的书籍一般将三者都视为本条目所定义的「线性映射」，其他细节以函数的符号传达。
本条目采用泛函分析的习惯。
矩阵.
若 "formula_1" 和 "formula_2" 是有限维的、有相同的系数体 formula_3 的向量空间，则从 "formula_1" 到 "formula_2" 的线性映射可以用矩阵表示。
以矩阵表示线性映射.
假设 formula_59 是个线性映射，且
分别是 "formula_1" 和 "formula_2" 的基底。
根据基底 formula_64 的基本定义，对于每个基向量 formula_65 ，存在唯一一组纯量 formula_66 使得
直观上，纯量 formula_66 就是对基向量 formula_65 的作用结果 formula_70 ，在基底 formula_64 下的诸分量。
现在任取一个 "formula_1" 里的向量 "formula_73" ，因为基底 formula_74 的基本定义，存在唯一一组纯量 formula_75 使得
这样根据求和符号的性质，可以得到
然后考虑到 formula_78 ，所以根据基底 formula_64 的基本定义，存在唯一一组纯量 formula_80 使得
因为这样的纯量 formula_82 是唯一存在的，所以对 formula_83 有
考虑到矩阵乘法的定义，上式可以改写为
也就是说，只要知道 formula_86 在 formula_64 下的诸分量 formula_88 ，任意向量 "formula_73 "的作用结果 formula_90 ，都可以表示为矩阵 formula_91 与行向量 formula_92 的乘积。更直观的来说，矩阵 formula_93 就是把 formula_86 的诸分量沿行（column）摆放所构成的。
由上面的推导可以知道，不同的基底 formula_74 和 formula_64 下，矩阵 formula_93 也不同，为了强调这点，也会将矩阵 formula_98 记为
来强调这种关联性。
若 formula_100 ，在同个向量空间 "formula_1" 通常没有取不同基底的必要，那上面的推导可以在 formula_102 的前提下进行。这时上式可以进一步简写为
以线性映射表示矩阵.
若有由 formula_104 个纯量构成的矩阵 formula_105 ，如果取 formula_106 为
其中
因为矩阵乘法只有唯一的结果，上面的定义的确符合函数定义的基本要求。然后考虑 formula_109 和 formula_110 都可以视为定义在同个纯量体 formula_3 上的向量空间，而且矩阵乘法是线性的，所以上述定义的函数 formula_7 的确符合线性映射的基本定义。
用泛性质做矩阵表示.
根据积和余积的泛性质，我们有
在 formula_3-线性空间构成的范畴中，有限个线性空间的余积和积是一回事。对于 formula_115 的基 formula_116，取 formula_117，我们有 formula_118，所以左边的线性映射 formula_119 就被拆解为了 formula_120 个 formula_3 中的元素，这就是线性映射的矩阵表示。
线性映射的矩阵的例子.
二维空间formula_127的线性变换的一些特殊情况有：
从给定线性映射构造新的线性映射.
两个线性映射的覆合映射是线性的：如果formula_47和formula_137是线性的，则formula_138也是线性的。 
若线性映射可逆，则该线性映射的逆也是线性映射。
如果formula_139和formula_140是线性的，则它们的和formula_141也是线性的(这是由formula_142定义的)。
如果formula_47是线性的，而"a"是基础体"K"的一个元素，则定义自 ("af")("x") = "a" ("f"("x"))的映射"af"也是线性的。
所以从formula_1到formula_2的线性映射的集合formula_146自身形成在formula_3上的向量空间，有时指示为formula_148。进一步的说，在formula_149的情况中，这个向量空间(指示为formula_150)是在映射复合下的结合代数，因为两个线性映射的覆合再次是线性映射，所以映射的覆合总是结合律的。
给定有限维的情况，如果基已经选择好了，则线性映射的覆合对应于矩阵乘法，线性映射的加法对应于矩阵加法，而线性映射与纯量的乘法对应于矩阵与纯量的乘法。
自同态线性映射.
自同态的线性映射在泛函分析和量子力学中都有很重要的地位。按前文约定，我们用“线性算子”来简称它。（注意泛函分析中所说的“线性算子”不一定是自同态(endomorphism)映射，但我们为了照顾不同书籍的差异以及叙述的方便，暂用“线性算子”来称呼这种自同态。）
自同态和自同构.
自同态是一个数学对象到它本身的保持结构的映射（同态），例如群formula_151的自同态则是群同态formula_152。对于向量空间formula_1，其自同态是线性算子formula_29；所有这种自同态的集合formula_150与如上定义的加法、覆合和纯量乘法一起形成一个结合代数，带有在体formula_3上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射formula_157。
若"formula_1"的自同态也刚好是同构则称之为自同构。两个自同构的覆合再次是自同构，所以"formula_1"的所有的自同构的集合形成一个群，"formula_1"的自同构群可表为formula_161或formula_162。因为自同构正好是那些在覆合运算下拥有逆元的自同态，所以formula_161也就是在环formula_150中的可逆元群。
如果"formula_1"之维度formula_125有限formula_150同构于带有在"formula_3"中元素的所有formula_169矩阵构成的结合代数，且"formula_1"的自同态群同构于带有在"formula_3"中元素的所有formula_169可逆矩阵构成的一般线性群formula_173。
自同态在基下矩阵的分类.
若尔当标准型叙述了代数闭域 formula_3 上的线性空间 formula_1 上的自同态 formula_176 在 formula_1 的基上的矩阵表示的表现，有理标准型是将其推广到任意域上的方法。
核、像和秩-零化度定理.
对于一个线性映射 formula_47 ，可以考虑以下两个：
那么 formula_181 是 "formula_1" 的子空间，而 formula_183 是 "formula_2" 的子空间。下面的叫做秩-零化度定理的维度公式经常是有用的：
formula_185
formula_186这个数称做「 formula_7 的秩」（ rank ）并写成 formula_188 ，有时也写成 formula_189 ；而 formula_190 这个数则称做「 formula_7 的零化度」（ nullity ）并写成 formula_192 。如果 "formula_1" 和 "formula_2" 是有限维的，那么 "formula_7" 的秩和零化度就是 "formula_7" 的矩阵形式的秩和零化度。
这个定理在抽象代数的推广是同构定理。
推广.
多重线性映射是线性映射最重要的推广，它也是格拉斯曼代数和张量分析的数学基础。其特例为双线性映射。