方程

数学中，方程式（equation）或等式，是两个表达式以等号结合这样的形式。
方程式有两种情形，一种是恒等式（identity）跟数学公式（formula），未知数可以是其定义域内的任意值，等号依然成立；另一种是特定条件方程式（conditional equation），用来求解未知数的值，通常解为特定几个数值，而不是未知数定义域的所有数值。
数学公式在给定应变数时，自变数的解有特定数值，此时从数学公式变为特定条件方程式。
例如以下是特定条件方程式：
formula_1
其中的formula_2为未知数。formula_3以及formula_4都是数学表达式，并且以等号formula_5连接。
如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个数到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。
求出方程的解或说明方程无解这一过程叫做「方程求解」。可以用方程的解的存在状况为方程分类，例如，恒等式即恒成立的方程，例如formula_6，在所指定的某个集合（比如复数集）中的全部元素都是它的解；矛盾式即矛盾的方程，如formula_7，在所指定的某个集合（比如复数集）中没有元素满足这个等式。
等式中的等号则是16世纪英国科学教育家罗伯特·雷科德发明。
「-{方程}-」一词的来历.
-{方程}-一词出现在中国早期的数学专著《九章算术》中，其「卷第八」即名「-{方程}-」。卷第八（一）为：
翻成白话即为：
现在这里有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？
其「-{方程}-术」用阿拉伯数字表示即为：
formula_8
《九章算术》采用直除法即以一行首项系数乘另一行再对减消元来解方程。
若设可打出黍的斗数分别为1捆上等黍formula_2斗、1捆中等黍formula_10斗、1捆下等黍formula_11斗，可列方程组如下：
formula_12解得formula_13
由此可知，此时的「-{方程}-」指的是包含多个未知量的联立一次-{方程}-组，即现在的线性-{方程}-组(直线方程式)。
到了魏晋时期，大数学家刘徽注《九章算术》时，给这种「-{方程}-」下的定义是：
这里所谓的「课程」指的是按不同物品的数量关系列出的式子。「实」就是式中的常数项。「令每行为率」，就是由一个条件列一行式子，横列代表一个未知量。「如物数程之」，就是有几个未知数就必须列出几个等式。「方」的本义是并，将两条船并起来，船头拴在一起，谓之方。故而列出的一系列式子称「方程」。
已知数及未知数.
方程常用来表示一些已知的量和未知的量之间的关系，前者称为已知数，后者称为未知数。一般表示未知数的符号会用英文字母最后的几个，如formula_14等，而已知数若以符号表示时，会用英文字母前面的几个，如formula_15等。将未知数用已知数来表示的过程称为解方程。若方程只有一个未知数，使方程成立的未知数数值称为方程的根或是解。方程组是由几个方程所组成，其中也有数个未知数，此时方程的解是一组未知数的值，使得所有方程均成立。
若方程的解可以由有限次常见运算的组合，这种解称为解析解，较复杂的方程式不一定可以找出解析解，或解析解根本不存在，但仍可以利用数值分析的方式解方程，此时得到的解称为数值解。
用天平来类比方程.
天平或翘翘板可以用来类比方程。
天平的两边对应方程等号的两侧，可以放不同的表示式数值。若天平两侧平衡，表示等号两侧的数值相等。若天平两侧不平衡，此情形可以用不等式表示。
在图示中，formula_2、formula_10和formula_11都表示不同的量（例如实数），方程两侧同加一数对应在天平两侧加等重重物，同减一数对应在天平两侧移去等重重物，只要等式成立，就表示二侧的数值相等。
方程组.
方程组也称为联合方程式，是指两个或两个以上的方程式，一般也会有多个未知数。方程组的解是指一组未知数的值可以使这几个方程式同时成立。例如以下的系统
formula_19
有唯一解formula_20
方程的种类.
方程可以依其中用到的运算及未知数的条件加以分类，以下是一些重要的种类：
整式方程与分式方程统称“有理方程”。 
有理方程与无理方程统称“代数方程”。
整式方程.
整式方程为等式两边均为多项式的方程，若以formula_21表示多项式，则以下的方程即为整式方程：
formula_22
多项式formula_23的零点即为代数方程的解，整式方程还可以依多项式的次数细分为一次方程、二次方程等。
四次方程及次数较低的一元整式方程，其所有根都可以用多项式系数的有限次的四则运算及开方来表示。为了解决高次方程的根能否用上述方式表示，引进伽罗瓦理论，也证明五次方程及更高次的方程无法用公式求解，这也是19世纪代数学的重大发现。
数学史上许多重大的发现都和一元整式方程有关，例如边长为1的正方数，其对角线为无理数formula_24，也就是二次方程formula_25的解。而在三次方程formula_26的一个解可用以下公式求得
三次方程的计算过程中有时需要为负数开平方，因此需导入复数的概念及相关计算。
函数方程.
函数方程是指未知量为一函数的方程。常见的是方程中出现函数导数的微分方程，微分方程在物理学中有许多的应用，微分方程又可以分为常微分方程及偏微分方程。
离散系统下的差分方程可以对应连续系统的微分方程。在数值分析中也会用差分方程来近似微分方程的解。
函数方程解的种类.
微分方程及差分方程的解，可以分为一般解（general solution）及奇解（singular solution）二种：
例如以下的克莱罗方程
formula_28
其一般解为 
formula_29
而其奇解为
formula_30
不定方程和丢番图方程.
不定方程是不止有一个解的方程式或方程组，例如formula_31有无限多组解，就是一种简单的不定方程。
若不定方程中有多个未知数，有时其解可以用参数方程来表示。例如上式的解可以表示为以下的
参数方程：
formula_32
丢番图方程属于不定方程，是变数仅容许是整数的整数系数多项式等式；即形式如formula_33
的等式，并且其中所有的formula_34、formula_35和formula_36均是整数，若其中能找到一组整数解formula_37者则称之有整数解。
丢番图问题一般可以有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。用另一种语言来说，丢番图问题定义代数曲线或者代数曲面，或更为一般的几何形，要求找出其中的栅格点。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。线性丢番图方程为线性整数系数多项式等式，即此多项式为次数为0或1的单项式的和。
丢番图方程的名字来源于3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图，他曾对这些方程进行研究，并且是第一个将符号引入代数的数学家。
关于丢番图方程的理论的形成和发展是二十世纪数学一个很重要的发展。丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。
性质.
对一方程进行以下的处理，处理后的方程和原方程会有相同的解：
上述的性质1至4，表示在抽象代数中，方程是体的一种同余关系。
最常见可进行上述运算的数体是实数，不过若方程式的数体是自然数，则不能进行减法及除法的运算，因为会产生负数或非整数等不是自然数的数。若方程式的数体是整数，则不能进行除法的运算，但可以进行减法的运算。
若一不是单射函数的函数套用在等式两侧，原方程的解也是新方程的解，但新方程的解会比原方程多（即增根），新方程的用处较少，上述性质1、2和4是单射函数，性质3在不乘以0时也符合单射函数的条件，一些广义的乘积（如内积）就不是单射函数。
上述性质可以用在代数方程的求解。