初等群论

在数学中，群 <"G",*> 定义为集合 "G" 和叫做“乘积”并指示为中缀 "*" 的 "G" 上的二元运算。乘积服从下列规则(也叫做公理)。设 "a", "b" 和 "c" 是 "G" 的任意元素。则:
阿贝尔群还服从额外的规则:
封闭性是二元运算定义的一部分，因此 A1 经常省略。
例子.
"G" = {1,-1} 是乘法下的一个群，因为对于所有 "G" 中的元素 "a", "b", "c":
整数集 Z 和实数集 R 是在加法 '+' 下的群，对于所有 Z 或者 R 中的元素 "a", "b" 和 "c":
实数集 R 不是乘法 '*' 下的群。对于所有 R 中的 "a", "b" 和 "c":
实数集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。
可替代的公理.
A3 和 A4 可以被替代为:
还可以替代为:
这些看起来更弱的公理对天然的蕴含于 A3 和 A4 中。我们现在证明逆过来也是真的。
定理: A1 和 A2 ，A3’ 和 A4’ 蕴含 A3 和 A4。
"证明"。假设给出了左单位元 "e" 和 "G" 中的 "a"，根据 A4’存在一个 "x" 使得 "x"*"a" = "e"。
我们欲证明的是 "a"*"x" = "e"。
根据 A4’存在 "G" 中的一个 "y" 有著:
所以:
这确立了 A4。
这确立了 A3。
定理: A1 和 A2，A3’’和 A4’’蕴含 A3 和 A4。
"证明"。类似上述。
基本定理.
单位元唯一.
定理 1.4: 群 <"G",*> 的单位元是唯一的。
"证明": 假设 "e" 和 "f" 是 "G" 的两个单位元。则
在讨论和比较不同的群的时候，"e""G" 指示特定群 <"G",*> 的唯一单位元。
逆元唯一.
定理 1.5: <"G",*> 中每个元素的逆元是唯一的。
"证明": 假设 "h" 和 "k" 是 "G" 的元素 "g" 的两个逆元。则
没有歧义性的，对于所有 "G" 中的"a"，我们指示 "a" 的唯一逆元为 "a" -1。
拉丁方阵性质.
定理 1.3: 对于所有 "G" 中元素 "a","b"，存在唯一的 "G" 中的 "x" 使得 "a"*"x" = "b"。
"证明"。的确存在至少一个这种 "x"，因为如果我们设 "x" = "a" -1*"b"，则 "x" 在 "G" 中(通过 A1，闭包)并且:
为了证明这是唯一性的，如果 "a"*"x" = "b"，则
类似的，对于所有 "G" 中的 "a","b"，存在唯一的一个 "G" 中的 "y" 使得 "y"*"a" = "b"。
两次逆换回到起点.
定理 1.6: 对于所有群 "G" 中的元素 "a"，("a" -1) -1 = "a"。
"证明"。"a" -1*"a" = "a" -1*("a" -1) -1="e"。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
"ab"的逆元.
定理 1.7: 对于所有群 "G" 中元素 "a","b"，("a"*"b") -1 = "b" -1*"a" -1。
"证明"。("a"*"b")*("b" -1*"a" -1) = "a"*("b"*"b" -1)*"a" -1 = "a"*e*"a" -1 = "a"*"a" -1 = "e"。结论得出自定理 1.4。
消除.
定理 1.8: 对于所有群 "G" 中的元素 "a","x" 和 "y"，如果 "a"*"x" = "a"*"y"，则 "x" = "y"；并且如果 "x"*"a" = "y"*"a"，则 "x" = "y"。
"证明"。如果 "a"*"x" = "a"*"y" 则:
如果 "x"*"a" = "y"*"a" 则
幂.
对于 formula_2 和 formula_3 我们定义:
定理 1.9: 对于所有群 <"G",*> 中的 "a"，formula_5:
类似的如果 "G" 使用了加法符号，我们有:
并且:
阶.
群元素的阶.
群 "G" 中的元素 "a" 的阶是最小正整数 "n" 使得 "an = e"。有些它写为“o("a")="n"”。"n" 可以是无限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 阶的群是阿贝尔群。换句话说，如果所有群 "G" 中的元素 "g" 都有 "g"*"g"="e" 成立，则对于所有 "G" 中的 "a","b"，"a"*"b" = "b"*"a"。
"证明 1"。设 "a", "b" 是群 "G" 中任何 2 个元素。
由 公理 A1 可知 ("a"*"b") 是群 "G" 的元素，所以 ("a"*"b") 是群 "G" 的 2 阶元素
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
"证明 2"。设 "a", "h" 是群 "G" 中任何 2 个元素。通过 A1，"a"*"h" 也是 "G" 的成员。使用给定条件，我们知道 ("a"*"h")*("a"*"h") = "e"。因此:
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
群的阶.
群 "G" 的阶，通常指示为 |"G"| 或偶尔指示为 o("G")，在 <"G",*> 是有限群的情况下是集合 "G" 中元素的数目。如果 "G" 是无限集合，则群 <"G",*> 有等于 "G" 的势的阶，而且是无限群。
子群.
"G" 的子集 "H" 被称为群 <"G",*> 的子群，如果使用相同的算子 "*"，并限制于子集 "H" 内，"H" 满足群公理。因此如果 "H" 是 <"G",*> 的子群，则 <"H",*> 也是群，并在限制于 "H" 内，满足上述定理。子群 "H" 的阶是 "H" 中元素的数目。
群 "G" 的真子群是不同于 "G" 的子群。"G" 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 "e" 的元素的 "G" 的真子集。
定理 2.1: 如果 "H" 是 <"G",*> 的子群，则 在 "H" 中的单位元 "e""H" 同一于 ("G",*) 中的单位元 "e"。
"证明"。如果 "h" 在 "H" 中，则 "h"*"e""H" = "h"；因为 "h" 必定也在 "G" 中，"h"*"e" = "h"；所以通过定理 1.4，"e""H" = "e"。
定理 2.2: 如果 "H" 是 "G" 的子群，并且 "h" 是 "H" 的元素，则 "h" 在 "H" 中的逆元同一于 "h" 在 "G" 中的逆元。
"证明"。设 "h" 和 "k" 是 "H" 的元素，使得 "h"*"k" = "e"；因为 "h" 必定也在 "G" 中，"h"*"h" -1 = "e"；所以通过定理 1.5，"k" = "h" -1。
给定 "G" 的子集 "S"，我们经常想要确定 "S" 是否也是 "G" 的子群。一个手头的定理对无限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 "S" 是 "G" 的非空子集，则 "S" 是 "G" 的子群，当且仅当对于所有 "S" 中的 "a","b"，"a"*"b" -1 在 "S" 中。
"证明"。如果对于所有 "S" 中的 "a", "b"，"a"*"b" -1 在 "S" 中，则
因此，满足了闭包、单位元和逆元公理，而结合律是继承来的，所以 "S" 是子群。
反过来说，如果 "S" 是 "G" 的子群，则它满足群公理。
两个或更多个子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 "G" 的子群的任何非空集合的交集是子群。
"证明"。设 {"H""i"} 是 "G" 的子群的集合，并设 K = ∩{"H""i"}。通过定理 2.1，"e" 是所有 "H""i" 的成员；因此 "K" 非空。如果 "h" 和 "k" 是 "K" 的两个元素，则对于所有 "i"， 
因此对于 "K" 中的所有 "h", "k"，"h"*"k" -1 在 "K" 中。接著通过前面的定理，"K"=∩{"H""i"} 是 "G" 的子群；并且事实上 "K" 是每个 "H""i" 的子群。
给定一个群 <"G",*>，定义 "x"*"x" 为 "x"², "x"*"x"*"x"*...*"x" ("n" 次)为 "x""n"，并定义 "x"0 = "e"。类似的，定义 "x" -"n" 为 ("x" -1)"n"。则我们有:
定理 2.5: 设 "a" 是群 ("G",*) 的元素。则集合 { "a""n": "n" 是整数 } 是 "G" 的子群。
"证明"。这种类型的子群叫做循环子群；"a" 的幂的子群经常写为 <"a">，并称为 "a" 生成 <"a">。
陪集.
如果 "S" 和 "T" 是 "G" 的子集，并且 "a" 是 "G" 的元素，我们写“"a"*"S"”来提及形如 "a"*"s" 的所有元素构成的 "G" 的子集，这里的 "s" 是 "S" 的元素；类似的，我们写“"S"*"a"”来指示形如 "s"*"a" 的元素的集合。我们写 "S"*"T" 表示形如 "s"*"t" 的元素构成的 "G" 的子集，这里的 "s" 是 "S" 的元素而 "t" 是 "T" 的元素。
如果 "H" 是 "G" 的子群，则 "H" 对于某个 "G" 中的 "a" 的左陪集是集合 "a"*"H"。右陪集是集合 "H"*"a"。
如果 "H" 是 "G" 的子群，则下面陈述而不带证明的有用定理对所有陪集都成立:
定义群 "G" 的子群 "H" 的指标(写为“["G":"H"]”)为 "H" 在 "G" 中不同的左陪集的数目。
从这些定理，我们可以推导出重要的拉格朗日定理，它有关于群的子群的阶:
对于有限群，它可以重申为: