磁矩

磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁，会感受到力矩，促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用向量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路、电子、分子或行星等等，都具有磁矩。
科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场，其泰勒展开的多极展开式，由于磁单极子项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子项、第二个项目是磁四极子（quadrupole）项，以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随著距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同。
概述.
一个载流回圈的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积：
其中，formula_2为磁偶极矩，formula_3为电流，formula_4为面积向量。磁偶极矩、面积向量的方向是由右手定则决定。
处于外磁场的载流回圈，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：
其中，formula_7为力矩，formula_8为磁场，formula_9为势能。
许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为「磁子」（magneton）。例如，电子自旋的磁矩与波耳磁子的关系式为：
其中，formula_11为电子自旋的磁矩，电子自旋g因子formula_12是一项比例常数，formula_13为波耳磁子，formula_14为电子的自旋，formula_15是约化普朗克常数。
单位.
采用国际单位制，磁偶极矩的因次是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：
CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（electrostatic units），电磁单位制（electromagnetic units）、高斯单位制。
磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等於单位为公分／秒的光速。
在这篇文章内，所有的方程式都采用国际单位制。
两种磁源.
在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：
整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的向量和：
再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的向量和，是条形磁铁的磁矩。
计算磁矩的方程式.
平面回圈.
对于最简单的案例，平面载流回圈的磁偶极矩formula_2是
其中，formula_3是回圈所载有的恒定电流，formula_4是平面回圈的面积向量。
面积向量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝著电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积向量的方向，也是磁偶极矩的方向。
这有限面积的载流回圈还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流回圈的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持formula_1不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流回圈趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。
任意回路.
对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流formula_3，则其磁偶极矩为
其中，formula_23是积分曲面，formula_24是formula_23边缘的闭合回路，formula_26是微小面积元素，formula_27是微小线元素，formula_28是formula_27的位置。
引用向量恒等式
即可得到磁偶极矩的路径积分方程式
任意电流分布.
对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为
其中，formula_33是积分体积，formula_28是源电流位置，formula_35是电流密度，formula_36是微小体积元素。
任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程式计算出其磁偶极矩。
基本粒子.
在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为formula_37，通常测量单位为波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：
欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。
载流回路产生的磁场.
载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随著距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。
思考一个载有恒定电流formula_3的任意局域回路formula_24，其磁矢势formula_40为
其中，formula_28是检验位置，formula_43是源头位置，是微小线元素formula_44的位置，formula_45是磁常数。
假设检验位置足够远，formula_46，则表达式formula_47可以泰勒展开为
其中，formula_49是勒让德多项式，formula_50是formula_28与formula_43之间的夹角。
所以，磁矢势展开为
思考formula_54项目，也就是磁单极子项目：
由于闭合回路的向量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。
再思考formula_56项目，也就是磁偶极子项目：
注意到磁偶极矩为formula_58，偶极磁矢势可以写为
偶极磁场formula_60为
由于磁偶极子的向量势有一个奇点在它所处的位置（原点formula_62），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为
其中，formula_64是狄拉克δ函数。
偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（hyperfine structure）。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21公分谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（recombination）至再电离纪元（reionization）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。
给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总向量和。
处于外磁场的磁偶极子.
磁偶极子感受到的磁力矩.
如图右，假设载有电流formula_3的一个方形回圈处于外磁场formula_66。方形回圈四个边的边长为formula_67，其中两个与formula_68平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为formula_69。
垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为
另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这回圈的磁偶极矩为 formula_71。所以，这回圈感受到的磁力矩为
令载流回圈的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持formula_1不变，则这载流回圈趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。
当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值formula_74；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。
磁偶极子的势能.
将载流回圈从角弧formula_75扭转到角弧formula_76，磁场所做的机械功formula_77为
注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而formula_79是朝著顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设定formula_80，则 
对抗这磁场的磁力矩，将载流回圈从角弧formula_82扭转到角弧formula_76，所做的机械功formula_84为
定义载流回圈的势能formula_9等于这机械功formula_84，以方程式表示为
与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程式表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值formula_89；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值formula_74。
非均匀磁场.
假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路formula_91的磁场力等于零：
假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同。采用常见的「电流模型」，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为
另外一种采用「磁荷模型」。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为
两者之间的差别为
假设，电流等于零，电场不含时间，则根据马克士威-安培方程式，
两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合。
范例.
圆形载流回圈的磁偶极矩.
一个载流回圈的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径formula_97为0.05公尺的单匝圆形载流回圈，其磁偶极矩为：
磁偶极矩垂直于载流回圈的平面。载流回圈的磁矩，可以用来建立以下几点论据：
螺线管的磁矩.
一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的向量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。
假设螺线管的匝数为formula_111，每一匝线圈面积为formula_112，通过电流为formula_3，则其磁矩为
载电粒子圆周运动的磁矩.
假设，一个点电荷formula_115以等速formula_116绕著z-轴，移动于半径为formula_99的平面圆形路径，则其电流为 
其磁矩为
其角动量formula_35为
其中，formula_122是载电粒子的质量。
所以，磁矩与角动量的经典关系为
对于电子，这经典关系为
其中，formula_125是电子的质量，formula_126是电子的绝对电量。
假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，
其中，formula_128是电常数。
现在施加外磁场formula_129于此氢原子，则会有额外的劳仑兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为formula_130，则
所以，
假设，两个速度的差别formula_133超小，则
所以，由于施加外磁场formula_8，磁矩的变化为
注意到formula_137与formula_8呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。
为了简略计算，使用半经典方法，可以求出磁矩的变化为
其中，formula_140是半径平方的期望值。
电子的磁矩.
电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（electron magnetic dipole moment）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。
电子的磁矩是
其中，formula_142是电子的朗德g因子，formula_143是波耳磁子，formula_14是电子的自旋角动量。
按照前面计算的经典结果，formula_145；但是，在狄拉克力学里，formula_146；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些，formula_147。
请注意，由于这方程式内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕著某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。
原子的磁矩.
在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（angular momentum coupling）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩formula_37与总角动量formula_35的关系为
其中，formula_151是原子独特的朗德g因子。
磁矩对于磁场方向的分量formula_152是
其中，formula_154是总角动量对于磁场方向的分量，formula_155是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。
因为电子带有负电荷，所以formula_152是负值。
处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程式表达为
其中，formula_158是回转磁比率（gyromagnetic ratio） ，formula_159是磁场。
注意到这方程式的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：
其中，formula_161是有效磁场（外磁场加上任何自身场），formula_162是阻尼系数。
这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：
方程式右边第一个项目描述磁偶极子绕著有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程式是研究磁化动力学最基本的方程式之一。
原子核的磁矩.
核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。
虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。
分子的磁矩.
任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：