图同态

数学分支图论中，图同态（graph homomorphism）是两幅图之间保结构的映射。具体而言，该映射将某图的各顶点映至另一图的顶点，且若两顶点相邻，则其像仍然相邻。
同态是若干种图着色概念的推广，适用于表达一类重要的约束满足问题，如排程、问题。同态可以复合，为全体图组成的类赋予丰富的代数结构：其上的预序关系、分配格结构、范畴结构（分为无向图范畴与有向图范畴两种）。欲寻找任意两图间的同态，而无额外条件，则现时所知的高得不切实际，但对于某些特定类别的图，已知有多项式时间算法。此类问题易解与否，两者的分野，是活跃的研究方向。
定义.
本条目中，除非另有声明，否则「图」皆为有限无向图，允许自环，但无重边（两点间连多于一条边）。自formula_1至另一图formula_2的图同态formula_3，记作
是顶点集formula_5至formula_6的函数，其将formula_7每条边的两端分别映至formula_8某边的两端。以符号表示：对formula_5中每对顶点formula_10，若formula_11，则formula_12。若存在formula_7至formula_8的同态，则称formula_7同态于（homomorphic to）formula_8，或可染formula_8色（formula_8-colourable），常简记为：
上述定义可引伸至有向图，此时，formula_20为同态的条件是，formula_7中每条有向边formula_22的像formula_23，仍是formula_8的有向边。
自formula_7至formula_8有单同态（将不同顶点映至不同顶点），当且仅当formula_7为formula_8的子图。若同态formula_20为双射（两图顶点集的一一对应），且其逆formula_30亦是图同态，则formula_3为图同构。
是一类特殊的图同态，相当于将图时，拓扑学上的覆叠映射，其定义及性质亦是类似：图覆叠是满同态（即作为陪域的图，其每个顶点皆为定义域某顶点的像），且局部为双射，即若限制到每个顶点的，则为双射。举例，图的，是将每点formula_32分裂为formula_33两点，并将原图每条边formula_34换成交叉的两条边formula_35、formula_36。如此，可以定义函数将formula_37和formula_38皆映至formula_32，既是图同态，也是覆叠映射。
图同胚是另一个概念，不一定是同态。粗略而言，同胚要求是单射，但不必将边映至边，允许映至路径。图子式的要求更松。
核与回缩.
若两幅图formula_7和formula_8有同态formula_42及formula_43，则称两者同态等价（homomorphically equivalent）。该些映射不必单，也不必满。例如，完全二部图formula_44与formula_45同态等价，因为可将formula_44左部两个顶点映到formula_45左部同一个顶点，其右部的两个顶点映到formula_45右部一个顶点，同样有formula_49的同态。
收缩映射（retraction）是自图formula_7至其子图formula_8的同态formula_52，且对formula_8中每个顶点formula_32有formula_55。若有此种映射，则formula_8称为formula_7的收缩核（retract）。
核图（core）没有到任何真子图的同态。亦可等价定义成无法收缩到任何真子图的图。每幅图formula_7皆同态等价于唯一的核图（不辨同构之别），称为formula_7的核（the core of formula_7）。此结论对无穷图不一定成立，但对（有限的）有向图可以照套用同样的定义，每幅有向图同态等价于唯一的核图。图（或有向图）的核，必为原图某个收缩核，以及某个导出子图。
举例，完全图formula_61及奇环（奇数条边的循环图）皆属核图。若formula_7可染三色，且有三角形（即子图formula_63），则formula_7同态等价于formula_63，原因是formula_7的三染色，下节将说明相当于同态formula_67，且另一方面，任意子图皆有同态嵌入到formula_7，故有formula_69。如此，证毕formula_63为所有此种formula_7的核。与之相似，每幅非空二部图（有至少一条边）皆等价于formula_72。
与染色的关联.
对正整数formula_73，图formula_7的formula_73染色是将每个顶点涂formula_73色之一，使每条边的两端都不同色。此种染色，与自formula_7至完全图formula_78的同态，两类物件一一对应，因为formula_78的各顶点对应formula_73种色，且若formula_81为颜色，则其于图formula_78相邻当且仅当formula_83。于是，某函数是formula_7至formula_78的同态，当且仅当该函数将formula_7中相邻的顶点映至不同颜色（即formula_73染色的定义）。换言之，formula_7可染formula_73色等价于可染formula_78色。
若有同态formula_91及formula_92，则两者复合可得同态formula_93。所以，若formula_8可染formula_73色，且有同态formula_91，则formula_7同样可染formula_73色。因此，formula_91推出formula_100，其中formula_101表示图的色数。
变式.
其他同态亦可视作特殊的染色。给定图formula_8，其顶点视为可用的颜色，每条边表示某两色「可兼容」，则formula_7的formula_8染色就是将相邻顶点染成相容颜色的方案。此框架可容纳许多图染色的概念，将其表述为射向各类图的同态。举例如下：
无长路径的定向.
图同态与也有关。无向图formula_7的定向是赋予每边一个方向（二选一），所得的有向图。同一幅无向图可以有多种不同的定向。举例，完全图formula_78可定向成「递移」formula_111，其顶点为formula_112，对所有formula_113有（有向）边自formula_114指向formula_115。给定formula_7的定向与formula_8的定向之间的同态，忘掉定向即得本来无向图之间的同态。另一方面，给定无向图同态formula_91，formula_8任何定向formula_120可以拉回到formula_7的定向formula_122，使原同态亦是formula_123的有向图同态。综上，无向图formula_7可染formula_73色（即有同态至formula_78），当且仅当formula_7有某定向，具有至formula_111的同态。
有定理流传，对每个formula_73，有向图formula_7有同态至formula_111，当且仅当formula_132个顶点的有向formula_133无同态至formula_7。
因此，某图可formula_73染色，当且仅当其有某定向，不容任何自formula_133至该定向的同态。此命题可加强成
：某图可formula_73染色，当且仅当该图有某定向，其中无长为formula_73的有向路径（即formula_133作为子图）。
与前一命题的分别在于，自formula_133至某图的同态允许将两顶点映至同处，但「长为formula_73的有向路径」不允许重复顶点。
与约束满足问题的关联.
范例.
某些排程问题可用图同态建模。设学校已知各学生所选科目，要编排今学期各专题讨论班的时间，使同一学生所选的讨论班时间不致太近。考虑图formula_7以各科为顶点，若两科有共同学生则连边，而图formula_8以各课节为顶点，若两个时段隔足够远则连边。举例若限制时间表须每周循环，且每个学生所选的讨论班须相隔一日，则对应的formula_8是环formula_145的补图。如此，formula_91的图同态，就是讨论班对应到课节的合适方案。欲添加额外条件，如禁止学生同时于周五与周一有讨论班，衹需从formula_8删掉相应的边。
问题简述如下：无线网络中，有若干发讯机，要为每部机配置一个频率，供其发讯。为免干扰，地理位置较近的发讯机应选用相差较远的频率。若将条件中「地理较近」与「频率较远」简化至非黑即白，则合适的分配方案又可视为图同态formula_91。图formula_7的顶点为各发讯机，边表示两机地理上接近；图formula_8以各频段为顶点，边则表示两频段相隔够远。虽然此模型甚为简化，但是尚有保留一点弹性：若有两机相隔较远，但仍因地形导致可能-{}-干扰，则在formula_7中加边即可。反之，若有两机永不在同一时段发讯，则不论其地理位置是否靠近，皆可从formula_7中删去该边。同样，或许有某些频率相差颇远，但是互为谐波，导致干扰，则将该边自formula_8移除即可
前述模型经简化，若要实际应用，许多问题仍待解决。约束满足问题是图同态问题的推广，能表达更多种条件（例如个体偏好，或重复分配次数有上限），从而建立更实际的数学模型。
抽象观点.
数理逻辑或泛代数中，图与有向图属关系结构的特例，即集合配备若干关系。有向图就是基集（顶点集）之上有独一个二元关系（邻接关系）。如是观之，图作为关系结构的同态，按抽象代数的同态定义，等同于本文的图同态。一般而言，欲寻找自某关系结构至另一关系结构的同态，属于约束满足问题（constraint satisfaction problem, CSP）。图的特例可作为第一步，帮助理解更复杂的CSP。许多寻找图同构的算法，包括回溯、、，通用于各种CSP。
给定图formula_7、formula_8，问是否有同态formula_91，相当于仅得一类约束的CSP实例：CSP的「变量」是formula_7的顶点，每个变量的「域」（可取值的范围）是formula_8的顶点集。「赋值」是一个函数，将逐个变量映至域的元素，即函数formula_159。formula_7的每条边（或有向边）formula_22对应一个「约束」formula_162，限制赋值函数将边formula_22映至关系formula_164中，即映至formula_8的某边。CSP的「解」是满足全体约束的赋值，故前述CSP的解正是自formula_7至formula_8的同态。
同态的结构.
同态的复合仍是同态，故可知图的formula_168关系具递移性，又显然自反，所以其为图之间的预序。同态等价意义下，记formula_7所属等价类为formula_170，每个等价类有唯一的核图为其代表。关系formula_171定义该些等价类之间的偏序，即同态等价类构成一个偏序集。
以formula_172表示formula_7有同态至formula_8，但反之则不然。如此定义的序formula_175，即对任意（无向）图formula_176，若formula_172，则存在第三幅图formula_178使formula_179，除非是平凡反例formula_180或formula_181。例如，任意两幅整数阶完全图（除formula_182外）之间，必有无穷多幅，相当于整阶数之间的有理数阶数。
同态等价类的偏序集是分配格，并formula_183，而交formula_184是formula_8，其定义不取决于等价类中所选的代表formula_176。此格中，正好是连通图，证明方式是留意同态衹会将连通图映到目标的一个连通分支中。正好是（multiplicative graphs），此种图formula_178的特性是，若乘积formula_188有同态至formula_8，则formula_7或formula_8两者之一有同态至formula_8。如何识别积性图是的关键。
图与同态还组成范畴：图是物件，而同态是态射。范畴的始物件是空图formula_193，终物件有一个顶点和一个自环。是范畴论积，是该范畴的。换言之，自formula_194的同态与formula_195的同态自然地一一对应。由于对任意图formula_176，张量积formula_188与幂formula_198总有定义，图范畴是笛卡儿闭范畴。同理，同态等价类组成的格实际上是海廷代数：按海廷代数的语言，前述的积称为交运算formula_199，而前述的指数运算称为蕴涵formula_200。
对于有向图，适用同样的定义。同样有formula_201是有向图同态等价类之间的偏序，其与无向图等价类的偏序formula_201有别，但后者是前者的子序，因为无向图亦可视为有向图，衹是其中每条有向边formula_22皆与其反向formula_204成对出现。换言之，无向图同态的定义，与双向有向图的同态并无区别。有向图的formula_168序仍是分配格和海延代数，交与并的定义亦同上，但分别在于，该序并不稠密。亦有以有向图为物件、同态为态射的范畴，照样笛卡儿闭。
不可比图.
同态预序下，许多图不可比较。两幅不可比图（incomparable graphs）之间，并无自任意一幅至另一幅的同态。欲构造此种图，可考虑图的奇围长，即最短的奇环长度。奇围长可等价地说成最小的奇数formula_206，使formula_206个顶点的循环图formula_208有同态至formula_7。由此定义，若formula_91，则formula_7的奇围长大于或等于formula_8的奇围长。
另一方面，前节已证若formula_91，则formula_7的色数小于或等于formula_8的色数。所以，若formula_7的奇围长及色数皆严格大于formula_8，则formula_7和formula_8不可比较。
举例，色数为formula_220，且无三角形（围长formula_220，奇围长formula_222），所以与三角形formula_63不可比。
有几类图的奇围长和色数可取任意大，如与。如此一类图，若使其两参数同时递增，排成一列，则有无穷多幅不可比图（同态预序下的反链）。
同态预序等其他性质，亦可利用此类图证明。此外，可构造同时具大色数和大围长（不仅是奇围长）的图，但较复杂，见。
有向图之中，更易找到不可比图。例如，考虑有向环formula_224，顶点为formula_225，有向边自formula_114至formula_227（对formula_228各一），及自formula_229至formula_230。对于formula_231，formula_224至formula_233有同态当且仅当formula_229为formula_73的倍数。所以，当formula_236取质数值时，formula_237两两不可比。
计算复杂度.
图同态问题是给定一对图formula_238，求自formula_7至formula_8的图同态。对应的决定性问题问是否存在此种解。一般情况下，即询问的实例formula_238不受额外限制的情况下，此决定性问题为NP完全。若限制询问的范围，衹限从某类图中选出formula_7或formula_8，则可得多种不同的问题，其中有些较易求解。限制左边formula_7和限制右边formula_8相比，适用的方法相去甚远，但两者似乎有一共同特点：难易情况之间似乎有明确的分界，此分界或者已获证，或有论文猜想如此。
至给定图的同态.
图同态问题若固定右边的图formula_8不变，则称为染formula_8色问题。formula_8为完全图formula_78时，化成染"k"色问题，在formula_250时，可于多项式时间内求解，但其余情况则是NP完全。formula_251的情况相当于问图formula_7可否染formula_72色，即是否二部图，此问题可在线性时间内求解。更一般地，衹要formula_8是二部图就有同一结论：可染formula_8色等价于可染formula_72色，即可染二色，故此种情况同样易判断。可染formula_193色和可染formula_258色分别等价于无顶点和无边，亦易判断。和证明，对无向图而言，无其他情况可驯顺：
（黑尔-内舍特日尔定理，1990年）若formula_8为二部图，则染formula_8色问题属于P，但其余情况则为NP完全。
上述定理又称为无向图同态的「对分定理」（dichotomy theorem），因为将染formula_8色问题分成NP完全与P两类，而无情况。有向图情况较复杂，此时问题等价于刻画看似更一般的：有向图的染formula_8色问题，与允许各种约束条件的CSP相比，同样多姿多彩，而不失一般性。严格而言，定义（有限）约束语言（constraint language，或称模板template）formula_263为一个有限的取值域，其上配备有限多种关系，然后以formula_264表示约束衹能选自formula_263的一类约束满足问题，则有以下定理：
（费德、，1998年）对任意约束语言formula_263，必有某幅有向图formula_8，使formula_264在多项式时间归约意义下等价于染formula_8色问题。
直观理解，定理意味着任何算法技巧或复杂度结论，若适用于一般有向图formula_8的染formula_8色问题，则可套用至一般CSP。考虑将黑尔-内舍特日尔定理扩展至有向图。由上述定理，该推广等价于有关CSP对分的费德-瓦迪猜想（又称CSP猜想、对分猜想），即断言对任意约束语言formula_263，formula_264或属NP完全，或属P。此猜想于2017年由德米特里·祖克（Dmitry Zhuk）与安德烈·布拉托夫（Andrei Bulatov）分别独立证出，故有以下推论：
（布拉托夫2017年；祖克2017年）给定formula_8时，有向图的染formula_8色问题或属P，或属NP完全。
自给定族的同态.
若左输入formula_7为给定，则图同态问题有暴力解法，即穷举formula_7的各个顶点在formula_8中的像，复杂度仅为formula_279，已是输入formula_8的多项式函数。换言之，限制formula_7的大小时，问题显然属P，但仍可改为研究另一课题：除大小之外，是否其他限制可施加于formula_7，使图同态问题可于多项式时间内求解？
研究表明，关键性质是，此参数衡量一幅图有多似一棵树。若formula_7的树阔至多为formula_73，而formula_8为任意图，则利用标准的动态规划方法，可于formula_286时间内求解图同态问题。实际甚至衹需假设formula_7的核的树阔不逾formula_73，而无需知道其核为何。
该formula_286算法中，复杂度的指数可能无法再压低太多：若（ETH）为真，则不存在时间复杂度为formula_290的算法。即使限制formula_7衹能取值为某一族图，衹要该族图的树阔无上界，则仍有同样结论。同样假设下，几乎没有其他性质使问题可于多项式时间内求解，具体含义如下：
假定ETH，并给定由图组成的可计算族formula_292。考虑输入为formula_293，且formula_294的图同态问题。此问题属P当且仅当formula_292中各图之核的树阔有界。
或考虑有所取舍，允许复杂度高度依赖formula_7，换取复杂度与formula_8的关系仅为固定的多项式。与前段类似，若formula_7的取值范围中，核的树阔有界，则此目标可以实现，但若formula_7的取值范围不满足该条件，则无法达成。利用术语，上述成果可覆述为：formula_292中的同态问题，以formula_7的边数为参数，呈现对分现象。若formula_292中各图之核的树阔有上界，则该问题为，否则为完全。
同一命题对其他关系结构亦成立。换言之，其适用于一般的约束满足问题，不过需要限制各项约束涉及的变量数有上界，即关系的元数有上界（以图为例，仅得元数为2的关系）。此时，关键参数为的树阔。