完整群

微分几何中，一个微分流形上的联络的完整（holonomy，又译和乐），描述向量绕闭圈平行移动一周回到起点后，与原先相异的现象。平联络的和乐是一种单值性现象，其于全域有定义。曲联络的和乐则有非平凡的局域和全域特点。
流形上任意一种联络，都可由其平行移动映射给出相应的和乐。常见的和乐由具有特定对称的联络给出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和乐（称为黎曼和乐）。向量丛联络的和乐、嘉当联络的和乐，以及主丛联络的和乐。在该些例子中，联络的和乐可用一个李群描述，称为和乐群。联络的和乐与其曲率密切相关，见安布罗斯-辛格定理。
对黎曼和乐的研究导致了若干重要的发现。其最早由引入，以用于的分类上。然而，很久以后，和乐群才用于更一般的黎曼几何上。1952年， 乔治·德拉姆证明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间，则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后，于1953年， 给出所有不可约和乐的分类。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。
定义.
向量丛联络的和乐.
设 "M" 为光滑流形，"E" 为其上的 "k" 维向量丛，∇ 为 "E" 上的联络。给定 "M" 上一点 "x" 和以 "x" 为基点的分段光滑环圈 "γ" : [0,1] → "M", 该联络定义了一个平行移动映射 "P""γ" : "Ex" → "Ex". 该映射是可逆线性映射，因此是一般线性群 GL("Ex") 的元素。∇ 以 "x" 为基点的和乐群定义为
以 "x" 为基点的限制和乐群是由环圈 "γ" 给出的子群formula_2.
若 "M" 连通，则不同基点 "x" 的和乐群 仅相差 GL("k", R) 的共轭作用。更具体说，若 "γ" 为 "M" 中由 "x" 到 "y" 的路径，则
选取 "Ex" 的另一组基（即以另一种方式将 "Ex" 视为与 R"k" 等同）同样会使和乐群变成 GL("k", R) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中（下同），可将基点略去，但倘如此行，则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的重要性质包括：
在物理学中，威尔森回圈是 tr("P")（特征标理论的迹）。
主丛联络的和乐.
主丛联络的和乐与向量丛相倣。设 "G" 为李群，"P" 为仿紧光滑流形 "M" 上的主 "G" 丛。设 "ω" 为 "P" 上的联络。给定 "M" 中一点 "x", 以 "x" 为基点的分段光滑环圈 "γ" : → "M", 以及 "x" 纤维上一点 "p", 该联络定义了唯一的"水平提升" formula_13 使得 formula_14 水平提升的终点 formula_15 未必是 "p", 因为其可为 "x" 纤维上的另一点 "p"·"g". 若两点 "p" 和 "q" 之间有分段光滑的水平提升路径连接，则称 "p" ~ "q". 如此，~ 是 "P" 上的等价关系。
"ω" 以 "p" 为基点的和乐群定义为
若在定义中仅允许环圈 "γ" 的水平提升，则得到以 "p" 为基点的受限和乐群 formula_17. 其为和乐群formula_18 的子群。
若 "M" 和 "P" 皆连通，则不同基点 "p" 的和乐群仅在 "G" 互为共轭。更具体说，若 "q" 是另一个基点，则有唯一的 "g" ∈ "G" 使得 "q" ~ "p"·"g". 于是，
特别地，
再者，若 "p" ~ "q", 则 formula_21 因此，有时可省略基点不写，但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的若干性质包括：
和乐丛.
同上，设 "M" 为连通仿紧流形，"P" 为其上的主 "G" 丛，"ω" 为 "P" 上的联络。设 "p" ∈ "P" 为主丛上的任意一点。以 "H" ("p") 表示 "P" 中可与 "p" 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 "H" ("p") 连同其到 "M" 的投影也构成 "M" 上的主丛，且具有结构群 formula_28（即 "H" ("p") 是主 formula_28 丛）。 此主丛称为该联络 "ω" 经过 "p" 的和乐丛。"ω" 限制到 "H" ("p") 上也是一个联络，因为其平行移动映射保持 "H" ("p") 不变。故 "H" ("p") 是该联络的约化主丛。此外，"H" ("p") 任何真子丛都不被平行移动保持，所以其在该类约化主丛之中为最小。
与和乐群类似，和乐丛在环绕它的主丛 "P" 中等变。具体说，若 "q" ∈ "P" 是另一个基点，则有 "g" ∈ "G" 使得 "q" ~ "p" "g"（按假设，"M" 是路连通的）。故 "H" ("q") = "H" ("p") "g". 于是，两者在和乐丛上导出的联络是相容的，即：两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 "g".
单延拓群.
和乐丛 "H" ("p") 是主 formula_18 丛，因此受限和乐群 formula_17（作为全个和乐群的正规子群）也作用在 "H" ("p") 上。离散群 formula_32 称为联络的群。其作用在商丛 formula_33 上。存在满同态formula_34 使得 formula_35 作用在 formula_33 上。基本群的这个群作用称为基本群的单延拓表示。
局域及无穷小和乐.
若 π: "P" → "M" 为主丛，ω 为 "P" 的联络，则 ω 的和乐可限制到 "M" 的开集的纤维上。若 "U" 为 "M" 的连通开集，则将 ω 限制到 "U" 上可得丛 π−1"U" 的联络。该丛的和乐群记为 formula_37 而受限和乐群则记为 formula_38 其中 "p" 为满足 π("p") ∈ "U" 的点。
若 "U" ⊂ "V" 为包含 π("p") 的两个开集，则有包含关系
"p" 点的局域和乐群定义为
其中 "U""k" 为任意一族满足 formula_41 的递降（即 formula_42 ）连通开集。
局域和乐群有以下性质：
局域和乐群不一定有全域的良好性质，例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而，有以下的定理：
词源.
英文Holonomy与「全纯」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一词由柯西的两个学生（1817–1882）和（1819–1895）引入，来自希腊文（"holos"）和（"morphē"），意思分别是「全」、「形态」。
"Holonomy"与"holomorphic"的前半（"holos"）一样。至于后半：
非常难在网络上找出holonomic（或holonomy）的词源。我找到（鸣谢普林斯顿的约翰·康威）：
我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中，若某种意义下，能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯，就叫一个和乐的 （"holonomic"）系统，所以它的意思「整体法则」（"entire-law"）很贴切。球在桌上滚动并不和乐，因为沿不同的路径滚到同一点，可以使球的方向不同。然而，将「和乐」理解成「整体法则」恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思，可能更多时解「数算」（counting）。它与我们的词数字"number"来自同一个印欧词根。
——S. Golwala
参见（"nomos"）和。
安布罗斯－辛格定理.
安布罗斯－辛格定理（得名自）描述主丛联络的和乐与该联络的曲率形式之间的关系。为理解此定理，先考虑较熟知的情况，如仿射联络、切丛联络（或其特例列维－奇维塔联络）。沿无穷小平行四边形的边界走一圈，就会感受到曲率。
引入更多细节，若formula_47是formula_48中某曲面的坐标表示，则向量formula_49可以沿formula_50的边界平行移动，由原点出发，先沿formula_51，再沿formula_52，再formula_53（formula_54反方向，即由formula_55递减至formula_56），最后formula_57，回到原点。此为和乐环圈的特例，因为向量formula_49沿该圈平行移动的结果，相当于formula_50边界的提升，对应的和乐群元素，作用在formula_49上。当平行四边形缩至无穷小时（即沿更小的平行四边形圈，对应formula_50坐标中的区域formula_62，而formula_63趋向于formula_56），就会明确得到曲率。换言之，取平行移动映射于formula_65处的导数：
其中formula_67为曲率张量。所以，粗略而言，曲率给出闭环圈（无穷小平行四边形）上的无穷小和乐。更严格地，曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之，formula_68是formula_18的李代数的元素。
一般来说，考虑结构群为formula_70的主丛formula_71某联络的和乐。以formula_72表示formula_70的李代数，则联络的曲率形式是formula_74上的formula_72值2-形式formula_76。安布罗斯－辛格定理断言：
formula_18的李代数，是由formula_72中所有形如formula_79的元素线性张成，其中formula_80取遍所有可以用水平曲线formula_81与formula_82连接的点，而formula_83皆是formula_80处的水平切向量。
亦可用和乐丛的说法，复述如下：
formula_18的李代数，是formula_72中形如formula_87的元素张成的线性子空间，其中formula_80取遍formula_89的元素，而formula_83取遍formula_80处的水平向量。
黎曼和乐.
可约和乐与德拉姆分解.
设formula_92为任意一点，则和乐群formula_93作用在切空间formula_94上。视之为群的表示，则可能不可约，亦可能可约，即可以将formula_94分解成正交子空间的直和
而两个子空间皆在formula_93作用下不变。此时亦称formula_48可约。
设formula_48为可约流形。上式说明，在每一点formula_54处，切空间可以约化分解成formula_101和formula_102，所以当formula_54变动时，就定义出向量丛formula_104和formula_105，两者皆光滑分布，且是弗比尼斯可积。两个分布的皆为子流形，换言之，子流形的测地线皆为原流形的测地线。所以局部观察formula_48，是笛卡尔积formula_107。重复上述分解，直到切空间完全约化，则得到（局部）德拉姆同构：
设formula_48为单连通黎曼流形，又设在和乐群的作用下，formula_109为切丛的完全约化分解，而和乐群在formula_110上的作用平凡（恒等映射），则formula_48局部等距同构于乘积
其中formula_113是欧氏开集，而每个formula_114是formula_115的积分流形。更甚者，formula_93是formula_117的直积（formula_118是formula_119过某点的极大积分流形）。
若同时假设formula_48（每点每个方向的测地线皆可无限延伸），则定理不仅局部成立，而是全域成立，且各formula_118本身也是测地完备流形。
伯格分类.
1955年，将不可约（并非局部等同积空间）、非对称（并非局部地）、单连通的黎曼流形，可能具有的和乐群，完全分类。伯格分类表如下：
1965年，及Vivian Yoh Kraines同时研究和乐群为formula_122的流形，构造出其平行4形式。
于1966年最早引入和乐群为formula_123或formula_124的流形，他构造出全部平行形式，并证明该些流形皆为里奇平。
伯格原先的表中，未排除formula_125（作为formula_126的子群）。后来，迪米特里·阿列克谢耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，与布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称，即与formula_127局部等距同构，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现，见和。
注意formula_128，故必为卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必为凯勒，而凯勒流形必可定向。
以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的证明解释。另有一个简单几何证明，由卡洛斯·奥尔莫斯（Carlos E. Olmos）于2005年给出。第一步要证，若黎曼流形并非，而约化和乐在切空间上的作用不可约，则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群递移作用于球面：上表所列各项，以及两个额外情况，分别是formula_125（作用于formula_130），以及formula_131（作用于formula_132）。最后，要验证前者只能作为局部对称空间（局部同构于的）的和乐群，而后者则根本不能作为和乐群出现。
伯格的原分类，尚有涵盖非正定的伪黎曼度量，其给出非局部对称和乐的可能列表为：
但是，标formula_133的两种和乐群（分裂formula_125及复化formula_125），如同正定的情况，只能在局部对称空间出现，故应予删去。至于复化和乐群formula_136三种，可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为formula_137子群的流形，R. McLean证明其为局部平。 
对称黎曼空间，因为局部与齐性空间formula_138同构，其局部和乐群同构于formula_139，经已分类完毕。
最后，伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络的流形的可能和乐群，见下节。
特殊和乐及旋量.
一些流形具特殊的和乐，该性质亦可藉平行旋量是否存在来刻划（平行旋量即协变导数为零的旋量场），尤其有以下各项命题成立：
么正与特殊么正和乐经常连带扭量理论、殆复流形一同研究。
应用.
弦论.
具特殊和乐的黎曼流形，对弦论紧化很重要。原因是，特殊和乐流形上，存在共变常值（即平行）旋量，于是保一部分超对称。较重要的紧化是在具formula_152或formula_153和乐的卡拉比–丘流形上，以及上。
机器学习.
在机器学习，尤其方面，曾有人提出，藉计算黎曼流形的和乐，得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构，其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限，无法完全准确计算出和乐群，但利用来自谱图论的思想（类似向量），有可能构造出数值近似。所得的算法「几何流形分量估计量」（Geometric Manifold Component Estimator，简写「探地者」），能给出德拉姆分解的数值近似，并应用于现实数据。
仿射和乐.
仿射和乐群（affine holonomy groups），是无挠仿射联络的和乐群；其中一些不能作为（伪）黎曼和乐群出现，称为非度量和乐群（non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群，所以离完成分类尚有很远，但仍可以将不可约的仿射和乐分类。
伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中，发现对于的无挠仿射联络而言，和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则（Berger's first criterion）是安布罗斯－辛格定理（即曲率张量生成和乐的李代数，见前节）的后果；而第二准则，来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则，且作用不可约的群，可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。
但伯格的列表，其后证实并未齐全。（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有时称为「怪和乐」（exotic holonomies）。努力搜索例子之后，最终由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可约仿射和乐群的分类，而反方向的结果则由布莱恩特（2000年）证明，即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。
观察到表中的群和、之间有联系之后，Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确，见于Schwachhöfer（2001）。
设formula_49为有限维复向量空间，formula_155为不可约半单复连通李子群，又设formula_156为极大紧子群。
上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群，例外仅有：
利用埃尔米特对称空间的分类，第一族的复仿射和乐群有：
其中formula_172可取平凡群，亦可取为formula_173。
同样，用四元数凯勒对称空间的分类，第二族复辛和乐群有：
（第二行中，formula_172必须取为平凡群，除非formula_176，此时可取为formula_173。）
从以上各列表，可以观察出一个结论，类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面：复和乐表示皆为。但是，未知此事实的概念性证明。
不可约实仿射和乐的分类，用「实仿射和乐复化成复仿射和乐」此结论，结合上表，仔细分析便得。