珠算

珠算，指的是用算盘进行计算，一般特指用中式算盘进行计算。珠算领域对四则运算统整出了一套系统的计算规则，统称"珠算法则"。其源于中国筹算，在东汉徐岳所著《数术记遗》记载上古十四种算法，珠算为其一。不过，当时尚无现在的算盘，是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。
2013年，联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录。
术语.
珠算已发展成一系统，亦衍生出许多相关术语，为便于说明，参考国珠联的《珠算统一用语表》略简述之：
运珠.
有两种方式：
一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：
（或一五珠算盘）：两个手指的基本分工是：
两个手指的基本分工是：
算法.
布数.
布数是指表现数字的算珠摆放方式。
加算.
方法为同位值相加，逢十进一，计算时由又高位档向低位档依次相加。
（例）1937+284
可辅助学习，熟练后亦可不用。
以 +3 为例:
其中，「三下五去二」亦是成语中「三下五除二」的由来。
减算.
方法为同位值相减，不够借位，计算时由高位档向低位档依次相减。
（例）2756-957
可辅助学习，熟练后亦可不用。
以 -3 为例:
「三去三」是指「（若下珠够减）直接拨去三颗」(=-3)。
「三上二去五」是指「（若下珠不够减，且有上珠），则拨去上珠，并加上二颗下珠」（=-5＋2）。
「三退一还七」是指「（若下珠不够减，且没有上珠），则更高一位减一，并加上七」（=-10+7）。
遇到小数减大数时，可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁，也不靠框。其观念同计算机中的二补数。
乘算.
基本原则就是，将乘数分解为每分数，分别乘上被乘数后相加。如：要计算 32×97
更进一步分解，
计算时，不用考虑位值，则只需计算"一位×一位"，如：30×90 ，只需计算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先将每个"一位×一位"的结果先计算出来，此即为乘法口诀——九九歌。
而使用珠算计算时，因为数字都在盘面上，所以要考虑是否要将实（被乘数）、法（乘数）放置盘面上，放的位置（因计算结果会愈来愈长，可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响）、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法，主要有两大类：
此外，另有一种技巧 凑倍乘法，古称金蝉脱壳，又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算，从而不需要九九乘法。
其基本想法为：「因为将每个乘数分解成多个一位数，最多只有 9 种可能（0 不用计算）」，而这 9 种可能，都可以改为「"×1"、"×2"、"×5"的某种组合」如：被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而「"×1"、"×2"、"×5"」这三种运算是容易心算的。
（例）32×97
除算.
方法跟长除法类似，即逐位（由高位向低位）来决定适合的商。计算方式主要分两步骤估商（或试商）和减积。
计算方法有：商除法、归除法、凑倍除法。
商除法.
以约率为例。为简单起见，先以两个算盘（一个记录商，一个记录余）说明之。
（例）formula_11
得到 formula_12。
而实际在计算时，会使用一个算盘同时放置商数和余数，就是分区放。要如何有效利用有限的档位，又不影响计算，其规律就是够除，隔位置商；不够除，挨位置商。
以密率为例，说明完整的商除法。
以 formula_13 为例
得 formula_14
计算过程中，若发现所估的商过大，则要退商；若估商太小，则要补商。
归除法.
其基本想法是，将一些可能的除算先计算出结果，并将商与除数化作口诀，来加速计算除法。
除数为一位的称为单归法，除数为多位的，则为归除法。
九归诀.
目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》：「
一归如一进、见一进成十；<br>
二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十；<br>
三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十；<br>
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十；<br>
五归添一倍、逢五进成十；<br>
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十；<br>
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十；<br>
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十；<br>
九归随身下、逢九进成十<br>
」<br>
整个歌诀的作用为，「罗列所有被除数及除数的首数的可能，得出商数和余数」。<br>
以三一三十一为例，第一个数字为三，是"除数的首数为三"，第二个数字为一，是"被除数首数为一"，数字虽为 1，但计算的是 formula_15 。
而三十一意指商为 3 ，余为 1。同样的，三二六十二是指formula_16。逢三进成十是指formula_17。<br>
有些语句是用下加几来表示，是指商数不变（与被除数首数相同），余数则为那个几。以七二下加六为例，formula_18。
五归添一倍是指「用 5 去除一个数，相当于此数加倍」（如：formula_19）<br>
其中，部分口诀，也成了成语。如二一添作五意味两者平分，三一三十一意味三者平分。<br>
也有几种不同的版本，如简化版：「<br>
一归如一进，见一进成十；<br>
二一添作五，逢二进成十；<br>
三一三十一，三二六十二，逢三进成十；<br>
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十；<br>
五归添一倍，逢五进成十；<br>
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十；<br>
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十；<br>
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十；<br>
九归随身下，逢九进成十。<br>
或者，改为更易理解的语句，如将「三一三十一」改为「三一三余一」，「逢三进成十」改为「逢三进一」。如：「<br>
一归：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。<br>
二归：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五。<br>
三归：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三余一，三二六余二。<br>
四归：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二余二，四三七余二。<br>
五归：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。<br>
六归：逢六进一，逢十二进二，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二。<br>
七归：逢七进一，逢十四进二，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四。<br>
八归：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六。<br>
九归：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。<br>
单归法（除数为一位）.
以约率为例。
（例） formula_11
得 formula_12
归除法（除数为多位）.
跟单归法类似，也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。
以 formula_22 为例，可以先用 300 来估商，因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积（如「三一三余一」中，余一的部分已加入下一档）。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念：除数的首数称为归，除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话，称作3归21除，意味著用 3归求商及其减积，再以 21 来完成乘下的减积。
减积后，有可能发现的估商需要调整。若过小，需要增商，这部分口诀中已包含「逢 n 进为十」；若过大，则需退商，则有退商口诀：
这口诀有明显规律：「无除起（也有作「退」）一下还 n」，无需特别记忆。
另外，也有可能发现在某些情况（即除数、被除数差不多大，却又不够除时）下，无法估商，则使用撞归口诀：
这口诀也有明显规律：「见 n 无除撞（也有作「作」）九 n」，无需特别记忆。它的意思是，在「除数、被除数的首数同为 n，却又不够除，直接估商为 9，下一档要 +n」时。当首数相同，却又无法进 1 （代表 10），则估商就从 9 开始。减积后，需要在下一档 +n 。
以密率为例，因为除数为 formula_23，故称之为「一归十三除」，相关口诀如下：
（例）formula_13
得 formula_14。
凑倍除法.
或称累减除法、大扒皮，首见于《九章详注比类算法大全》，是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。
开平方.
开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅
验算.
一、交换律
二、逆运算
三、尾错复尾
只能验加法,减法,乘法和乘幂
范例一、 123+456=599
范例二、 123*456=68934
范例三、 22*68*53=369780
范例四、 23^4=367981
珠算竞技.
珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类，心算竞技是运用珠算式心算技巧。