控制理论

控制理论是工程学与数学的跨领域分支，主要处理在有输入信号的动力系统的行为。系统的外部输入称为「参考值」，系统中的一个或多个变数需随著参考值变化，控制器处理系统的输入，使系统输出得到预期的效果。
控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。设定值一般维持不变的控制称为调节，设定值快速变化，要求跟踪速度加速度等的控制称为伺服。
连续系统一般会用微分方程来表示。若微分方程是线性常系数，可以将微分方程取拉普拉斯转换，将其输入和输出之间的关系用传递函数表示。若微分方程为非线性，已找到其解，可以将非线性方程在此解附近进行线性化。若所得的线性化微分方程是常系数的，也可以用拉普拉斯转换得到传递函数。对于不能线性化的非线性（如继电器）可以使用相平面法求解系统响应，也可使用描述函数法近似求解极限环的频率与振幅。
传递函数也称为系统函数或网路函数，是一个数学表示法，用时间或是空间的频率来表示一个线性常系数系统中，输入和输出之间的关系。
控制理论中常用方块图来说明控制理论的内容。
简介.
控制理论是
控制系统可以视为具有四种机能的系统：量测、比较、计算及修正。这四个机能可以用五种元素来实现：感测器、换能器、发送器、控制器及最终控制元件。量测机能是由感测器、换能器及发送器执行，在实务应用上，这三个元素会整合在一个单体内，像是电阻温度计。比较和计算的机能是由控制器执行，可能是电子式的比例控制（P控制）、PI控制、PID控制、双稳态的迟滞控制，也可能是可编程逻辑控制器（PLC）。早期的控制器也可能是机械式的，像是离心式调速器或是化油器。修正机能是由最终控制元件执行，最终控制元件改变系统的输出，因此影响操纵或控制的变量。
范例.
车辆的巡航定速系统是让车辆维持在由驾驶者设定的固定参考速度。此时控制器为巡航定速系统，车辆为受控体（plant），而系统是由控制器和车辆所组成，而控制变数是引擎节流阀的位置．会决定引擎可以产生的功率。
一种最单纯的作法是当驾驶者启动巡航定速系统时，固定引擎节流阀的位置。但是若驾驶者在平坦的路面启动巡航定速系统，车辆在上坡时速度会较慢，车辆在下坡时速度又会较快。这种的控制器称为开回路控制器，因为没有去量测系统输出（车辆速度）并且影响控制变数（节流阀位置），因此此系统无法去针对车辆遇到的变化（像路面坡度的变动）去进行调整。
在闭回路控制系统中，利用感测器量测系统输出（车辆速度），并将资料送入控制器中，控制器依资料调整控制变数（节流阀位置），来达到维持理想系统输出（使车辆速度和驾驶者设定的参考速度一致）。此时若车辆在上坡时，感测器会量到车辆的速度变慢，因此会调整节流阀位置，加大引擎输出功率，使马达加速。因为有量测车辆速度的回授，因此控制器可以配合车辆速度的变化进行动态调整。因此产生了控制系统中的「回路」范式：控制变数影响系统输出，而再根据量测到的系统输出去调整控制变数。
历史.
虽然许多控制系统在古代时就有了，但此领域较正式的分析是从离心式调速器的动态分析开始的，物理学家詹姆斯·马克士威在1868年为此撰写了论文《论调速器》（On Governors） ，其中描述了自激振荡的现象－由于系统时间延迟，使得系统过度补偿及不稳定的情形。因此也使得得许多科学家对此议题产生兴趣，其中马克士威的同学将马克士威的研究结果抽象化，应用在一般的线性系统中，阿道夫·霍维茨在1877年也独立均分析微分方程的稳定性，其结果即为今日的。
动态系统控制的显著成就是载人的飞行，人类首次成功的载人飞行是由莱特兄弟在1903年12月17日达成的，其卓越之处不只是可以使机翼产生升力（这对当时的研究者是已知的），而是在于可以长时间控制其飞行。若要使飞行时间超过几秒钟，对飞机连续、可靠的控制是重要条件之一。
在二次大战时，控制系统是火控系统、及相关电子设备的重要组成之一。
有时会用机械的方式来增加系统的稳定性．例如就是安装在船舶吃水线以下．横向张开的鳍片。现在的船舶有用陀螺仪控制的活动鳍片，可以调整攻角，抵抗风或浪作用在船上产生的横摇。
AIM-9响尾蛇飞弹在飞弹后方有一个小的控制-{表面}-，其外面是一个旋转的圆盘，称为或滚转安定翼。圆盘后的气流会以高速旋转，若飞弹开始横摇，圆盘的陀螺力会使控制-{表面}-对正气流，减少横摇的影响。因此响尾蛇飞弹用一个简单的机械组件代替一个可能非常复杂的控制系统。
太空竞赛也和精准的航天控制有关，而许多领域也越来越常用到控制理论，例如经济学。
对控制理论有重要贡献的科学家.
许多科学家对控制理论有重要贡献，包括以下这几位：
目标和任务.
控制的目的是有目标的改变系统行为，使之达到预想的特性。这些特性可能是各种各样的，如：
根据不同的目标，决定控制器是需要不同的方法的。控制的任务已经超出了控制的范畴之外。常见的有：
为了解决这些问题，数学中的系统理论是必需的。这些方法有可分为，控制器，补偿器，和检测装置的设计，以及控制环节及整个系统的分析。
自动控制理论的基础-数学.
控制系统的研究非常需要依赖应用数学的使用，在理论分析过程中，数学扮演了一个相当重要的角色。实际上在自动控制系统在发展过程中，必须先作理论的分析与研究，然后才作最后的设计，如此才能够获得合理的预期及可靠的结果。因此，在学习自动控制系统之前，必须需要具备相当的数学基础，方能获得学习上的突破。
在控制系统的研究中，所需具备的数学基础包括有微分方程式、线性代数、拉普拉斯变换、复变函数、z变换等等。另一方面，由过去的单一输入单一输出（SISO）简单系统，发展至多输入多输出（MIMO）复杂系统，因此，现代控制的发展则需要更精深的数学基础，除了上述的数学外，现代控制理论是建立在矩阵理论、集合理论等等的高等数学基础之上。
系统模型.
在控制系统的分析与设计中，建立模型是首要的步骤。模型可以是一个物理模型，也可以是一个数学模型，或是一个图示模型。
通常一般只有在工程实务系统中才可能使用物理模型，例如，风动实验室中的缩小比率之汽车或飞机模型均属于静态物理模型，而飞行模拟实验室中的六自由度飞行模拟器则属于动态物理模型。至于数学模型或是图示模型则是建立于系统的理论基础上，以方便系统的分析与设计。
线性常微分方程是时域内的基础的连续模型。通过引入一些变量，我们可以得到状态空间模型（只含有一阶求导），状态空间模型描述了系统的所有动力学特性，包括其内部无法测得，而且也不是输出值的量。
对开始的常微分方程和状态空间模型进行拉普拉斯变换，我们可以得到传递函数。这是一个频域内的表述，只给出了输出和输入的关系，但没有描述系统内部的量。通过拉普拉斯变换，我们有了处理系统的一般方法，这比解微分方程要容易。在自动控制中传递函数通常用G(s)表示。在多值系统中它是一个矩阵。
开环系统的传递函数有所有器件的传递函数组成（区间G(s)，控制器K(s)）。
formula_1
导向传递函数formula_2来自于输出通过测量器（formula_3）对控制器的反馈。
formula_4
若我们考察小频率时的formula_2，这时存在控制差。如果formula_6，则控制差formula_7为零。
伯德图可使传递函数显而易见。
控制方法.
以下的内容是介绍一些可以实现上面控制要求的控制方法：
经典控制理论.
经典控制理论从系统的输入输出入手，建立二者之间的微分方程关系，再借由拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程进行分析。经典理论将系统看作黑箱的做法使得它的控制效果受到限制。为了满足控制要求常常要引入校正模块。
为了克服开回路控制器的限制，在控制理论中导入了回馈。闭回路的控制器利用回授来控制动态系统的状态或输出。其名称来自系统中的讯息路径：程序输入（例如马达的电压）影响程序输出（例如马达的电流或转矩），利用感测器量测输出，再将量测资料送到控制器中处理，结果送回控制器作为输入信号之一，因此成为一闭回路。
相对于开回路控制器，闭回路控制器有以下的优点：
有些系统中，同时出现开回路及闭回路的控制，此时的开回路会称为前馈，目的是为了提升命令追随的性能。
PID控制器是常见的闭回路控制器架构。
闭回路传递函数.
系统的输出"y(t)"借由感测器"F"量测后，和参考值"r(t)"相减，控制器"C"根据参考值和输出值的误差"e"调整受控体"P"的输入"u"，如图所示，这类的控制器称为闭回路控制器。
由于只有一个输入和输出，此系统会称为SISO（单一输入单一输出）控制系统。MIMO（多重输入多重输出）控制系统是指输入或输出不只一个，在实际应用上也很常见，其输入变数和输出变数会用表示，而不是单一数值的纯量。在分布参量系统中，向量可能是无限维的，即一般的函数。
若假设控制器"C"、受控体"P"及感测器"F"都是线性及非时变的（各模组输入和输出的关系不随时间改变），可以将上述系统用拉普拉斯转换来分析，因此可以得到以下的关系：
其中formula_11为拉普拉斯转换中的复变数，若要求解"Y"("s")用"R"("s")表示，可得：
表示式formula_13即为系统的闭回路传递函数，分子是从"r"到"y"的前馈（开回路）增益，分母是1加上经过回馈回路的增益．即闭回路增益，若 formula_14，也就是说在各"s"下，其范数都很大，且formula_15，则"Y(s)"近似于"R(s)"，此时输出会紧密的追随参考输入。
PID控制器.
PID控制器可能是最常用到的控制器，PID的三个字母分别代表比例、积分和微分三个由误差值产生控制信号的方式。若"u(t)"为控制信号，"y(t)"为量测到的输出，"r(t)"为参考输入，误差为formula_16，则PID控制器可以表示为以下的形式：
可以用调整formula_18, formula_19 及 formula_20三个参数的方式，来达到较理想的控制器特性，调整参数的过程一般是用试误法，不太需要对于系统架构的了解。一般只用比例可以让系统稳定，积分项可以抑制步阶扰动（常常是程序控制的重要规格），也可以修正稳态误差，微分项一般是用来调整系统的阻尼系数。PID控制器是最广为人知的控制方式，但不适用在一些太过于复杂的系统，尤其是MIMO的系统。
将PID控制器的方程式进行拉普拉斯转换，可得：
因此PID控制器的传递函数如下：
需注意在实务上，PID控制器中不会使用纯微分器，一方面在实务上不可行，而且会放大高频杂讯，容易造成共振。一般会用相位超前的补偿器，或是有低通的微分器。
现代控制理论.
经典控制理论以频域分析为主，而现代控制理论利用时域的状态空间表示法，将系统中的输入、输出及状态变数之间的关系用一阶的微分方程表示。为了抽象化输入、输出及状态变数的数量，这些变数一般会用向量来表示，而微分方程或代数方程（当系统是线性时）则会以矩阵形式表示。状态空间表示法也称为时域分析，提供一个方便且简洁的方式针对多重输入及输出的系统建模及分析，在有输入和输出时，也可以利用拉氏转换，将系统所有的资料包括在其中。现代控制理论不同于频域分析，可以分析非线性或不是零初始条件的系统。状态空间就是指座标轴为状态变数的空间，系统的状态可以表示为状态空间中的一个向量。
控制理论主题.
稳定性.
在控制理论中的稳定性是指控制系统的状态在特定条件下，可以维持在一定的范围内，不会发散，而在什么范围内才算是稳定则依系统种类而不同。
为了简单起见，以下的说明是针对连续时间及离散时间的线性非时变系统。
在数学上，一个因果性的系统若要稳定．其传递函数的所有极点的实部都要为负值。考量不同的控制系统，稳定的条件是极点满足以下的条件：
两者的差异是因为拉普拉斯转换的左半平面，在共形映射后会对应单位圆内的区域。
若满足上述的条件，一系统即为渐近稳定的系统：渐近稳定控制系统中的变数会由其初值开始，持续的趋近于0，而且不会有一直持续的振荡。一直持续的振荡会出现在极点在虚轴上（连续时间系统）或是其极点大小为1（离散时间系统）。若一个简单的稳定系统，其响应不会递减也不是随时间变大，也不会震荡，此为临界稳定：系统的传递函数在复数平面原点处有不重复的极点。若传递函数中，实部为零的极点，其虚部不为零，表示系统在震荡，也是临界稳定。
若一离散系统的冲激响应为
则其Z转换后的传递函数为
在formula_28处有一个极点．因为极点在单位圆内，系统为BIBO（渐近）稳定。
若其冲激响应为
则其Z转换后的传递函数为
在formula_31处有一个极点．因为极点在单位圆外，因此系统没有BIBO稳定性。
许多数学工具可以分析系统的极点，其中也有一些是配合图表分析，像根轨迹、波德图及奈奎斯特图。
机械上的调整可以提升设备（及控制系统）的稳定性。水手会加入压舱水来提升船的稳定性，邮轮会加入防侧倾的鳍，从船舷往外延伸10公尺，而持续的绕著其中心轴旋转，产生一个和侧倾相反的力。
可控制性及可观测性.
可控制性和可观测性分别是输入和状态，输出和状态之间的性质。是在分析控制系统，决定控制策略或判断是否可以使系统稳定时所需要的重要性质。
可控制性是指是可以用适当的控制信号作为输入，使特定状态变数的数值变成０，可控性与利用输入信号控制状态向量的能力有关，若一个状态变数是不可控制的，表示没有输入可以调整这一个状态，若一系统中所有不可控制的状态向量，其动态特性都是稳定的，则此系统称为可稳定的（stabilizable）。可观测性是指可以用输出的量测及计算得到状态变数的值，若一个状态变数是不可观测的，表示无法确认此一状态是否稳定，也就无法用此状态来稳定整个系统。若一系统中所有不可控制的观测变数都是稳定的，则此系统称为可检测的（detectable）。
若以几何观点来看，若要控制系统中所有的状态，那些「不好」的状态都需是可控制且可观测的，才能确保闭回路系统的良好特性。若系统中有一个状态不是可控制且可观测的，无法在闭回路系统中调整其动态特性。若此状态的动态特性是不稳定的，此特性也会出现在闭回路系统中，因此整个系统也是不稳定的。在状态空间转换到传递函数时，不可观测的极点不会出现在传递函数中，因此在一些动力系统分析时，会选择使用状态空间表示法。
不可控制或不可观察的系统，可以用加入致动器或感测器的方式改善。
控制规格.
在控制原理的基础下，已发展出许多不同的控制策略，从非常通用的（PID控制器），到针对特殊系统的控制，尤其是机器人或是航空器的巡航定速控制。
一个控制问题会有许多的规格，其中稳定性是必要条件的，不论系统开回路稳定性如何，控制器需确保在闭回路下是稳定的。性能不佳或是调整不当的控制器可能使系统变的不稳定，甚至可能比开回路还要不稳定，这是应尽量要避免的。
有时会希望在闭回路下有较快的动态特性，若是线性时不变系统，其稳定性及动态特性可以用传递函数极点的位置来表示，极点的实部越小，表示有更快的动态特性，一个稳定系统，其极点formula_32会符合formula_33的条件，但再加上动态特性的需求时，系统极点formula_32会符合formula_35的条件，其中formula_36为一个大于零的定值。
另一个常见的规格是对步阶扰动的抑制能力，在受控系统前加入积分器即可达到此一需求，其他种类扰动的抑制能力也可以透过其他的子系统才能达成。
其他「经典」的控制系统规格有些和闭回路系统的时域响应有关：包括上升时间（控制系统在扰动后，输出第一次到达理想数值的时间）、峰值过冲（控制系统在扰动后，稳定之前，输出的最大值）、安定时间（控制系统输出维持在理想数值范围的时间）在扰动后，稳定之前，输出的最大值）、四分之一衰减响应（quarter-decay）或其他规格。频域规格一般会和系统的鲁棒性（强健性）有关。
现在的性能指标也包括一些用积分量或其变体表示的追随误差，像绝对误差积分（IAE）、绝对时间误差积分（ITAE）、平方误差积分（IAE）、惯量中心（COI）等。
模型识别及强健性.
控制系统一定会有一定程度的强健性。控制器一般是依照一个假设的受控系统模组再进行设计，强健性是指一控制器配合的受控系统和原来假设的系统有一点不同，控制器的特性不会有太大的变化。这个规格在实际的控制器中相当重要，因为很少实际系统会完全符合描述它的微分方程，在选择系统数学模型时，一般会进行简化，否则数学模型会非常复杂，甚至无法求得一个完整的模型。
确认受控系统的程序称为系统识别。系统识别可以在离线（off-line）时进行，也就是在不是一般运作的情形下进行，例如可以执行一系列的量测程序，计算系统近似数学模型的参数，一般会是系统的传递函数或是矩阵。系统识别是利用系统的输入和输出进行，因此无法考虑没有观测性的系统动态。有时数学模型会直接由已知的物理方程式开始，例如针对有质量、弹簧及阻尼的系统，其数学方程为formula_37。不过即使在设计控制器时已经使用受控系统完整的数学模型，其中用到的参数（称为标称参数）也无法绝对的精确，因此当受控系统的参数和标称参数有少许变化时，控制系统也需动作正常。
有些先进的控制技术会有在线（on-line）的系统识别，也就是在一般运作，控制器正常运作的条件下去计算系统模型的参数，当系统参数发生较大的变化（如机械人手臂释放一重物，负载变轻），控制器可以自动调整，仍然有正常的性能。
有关SISO（单一输入单一输出）系统的强健性分析，可以利用频域分析，考虑系统的传递函数，利用奈奎斯特图及波德图来达到，相关主题包括增益裕度及相位裕度及幅值裕度（amplitude margin）。但针对MIMO（多重输入多重输出）系统及较复杂的控制系统．需考虑由各控制策略可得到的理论结果，若是需要某一种特别的强健性性质，需考虑可以具有此性筫的控制技术。
在强健性需求中有一个较特别的，就是要求在输入变数及输出变数均有限制的情形下，控制系统可以正常运作。在真实世界中的信号都是有限的．但有可能控制系统送出的信号超过实际系统的限制，例如要使一个阀以超过其极限速度的速度旋转，这可能会让闭回路系统出现不想要的特性，甚至会使致动器或感测器受损或毁坏。有些特殊的控制技术可以解决此问题，像模型预测控制及反终结（anti-wind up system），后者包括一个特殊的控制方块，可以确保控制信号不会超过限制值，以避免积分终结的情形。
系统分类.
线性系统控制.
针对MIMO的系统，极点的指定可以用开回路系统的状态空间，再将极点放在指定位置，计算对应的回授矩阵。若在复杂的系统中，上述的程序需要用电脑辅助计算才能达到，而且不保证其强健性。而且一般而言无法量到所有的系统状态，在极点指定的设计时需加入观测器（observer）的设计。
非线性系统控制.
像机器人学及航天产业中的程序一般都有高度非线性的动态，在控制理论中有时可以用线性化的方式转换为线性系统，再依线性系统的方式控制。但有时需要用一些可以配合非线性系统使用的非线性控制理论，例如回授线性化、反推控制、滑动模式控制等。轨迹线性化控制一般利用李亚普诺夫稳定性的基础。微分几何用做为一数学工具，将许多广为人知的线性控制概念扩展到非线性控制中，但其中又有其微妙之处，因此变成一个更有挑战性的问题。
分散式系统.
是指一个系统由多个控制器来控制。分散控制有几个好处，例如可以控制一个位在广大地理区域的系统，各控制器之间可以用通讯网路彼此交换资料，并协调彼此的行动。
主要控制策略.
每一个控制系统首先都要保证其闭回路特性的稳定性。线性系统可以用极点指定的方式达到。非线性系统一般会根据亚历山大·李亚普诺夫的理论，来确保系统的稳定性和内部动态无关。控制系统有许多不同的控制规格，是否可以符合所有控制规格则和考虑的系统模型及选择的控制策略有关。以下是一些主要控制策略的列表：
适应控制会在线识别程序中的参数，或修改控制器的增益，使系统有较佳的强性。适应控制最早在1950年代用在航天产业中，而且应用的非常成功。
分层控制系统是一种设备及控制软体皆依分层树方式规划的控制系统。当树中的连结用电脑网路来实现时，分层控制系统也可以视为是一种网路控制系统。
智能控制会使用许多人工智慧的方法来控制动态系统，会用到的方式包括人工神经网络、贝叶斯概率、模糊逻辑、机器学习、进化计算及遗传算法等。
最优控制是一种特别的控制技术，控制器产生的控制信号需使某特定「成本指数」最佳化。以太空船为例，喷射引擎需在消耗油量最小的情形下将太空船带到期望的轨道。有二种最优控制的设计方式广泛的用在工业应用中，而且已证明这二个方式可以确闭回路的稳定性。这二种方式分别是模式预测控制（MPC）及线性二次高斯控制（LQG）。第一个方式很明确的考虑系统中信号的限制条件，这是很多工业系统都有的重要特征，但其中的最佳控制只是作为满足所有限制的一个方式，不是最优化闭回路系统中的实际性能指标。配合PID控制器的模式预测控制系统常用在程序控制中。
鲁棒控制明确的在控制器设计时考虑其不确定性。鲁棒控制的控制器可以克服分析用理想系统和实际系统之间的小误差。亨德里克·韦德·波德和其他早期提出的控制方式有一些鲁棒性。而1960到1970年代提出的状态空间法则较没有鲁棒性。现代控制中，由英国剑桥大学的 Duncan McFarlane 和Keith Glover提出的"H"∞回路函数整形是一种鲁棒控制。鲁棒控制的目的是要在存在小的模型误差的情形下达到鲁棒性的性能以及稳定性。
随机控制是在模型有不确定性的情形下进行控制。在典型的统计控制问题中，会假设在模型及控制器中存在随机的杂讯及扰动，控制器设计时需考虑这些随机的变异。
能量整型控制将控制器及受控系统视为是能量转换的元件，其控制策略是以能量保持的方式互连，以达到所需的特性。
可定义为试图用自组织系统耗散能量的方式来影响流程。
延伸阅读.
For Chemical Engineering