算符

在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、运算子，有别于数学的算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程式来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。
对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。
对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。
一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为「函数算符」。在量子力学里的算符称为「量子算符」，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。
经典力学.
在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量formula_1或哈密顿量formula_2决定；其中，formula_3、formula_4分别是广义坐标、广义速度，formula_5是共轭动量，formula_6是时间。
假设拉格朗日量formula_7或哈密顿量formula_8与某广义坐标formula_9无关，则当formula_9有所改变时，formula_7或formula_8仍旧会保持不变，这意味著粒子的动力行为也会保持不变，对应于formula_9的共轭动量formula_14守恒。对于广义坐标formula_9的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。
特别而言，假设对于某种群formula_16的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设formula_17，
在这案例里，所有formula_16的元素formula_20都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管formula_20作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。
举一个关于平移于空间的简单例子。「平移算符」formula_22能够将粒子从坐标为formula_9移动至坐标为formula_24，以方程式表示：
其中，formula_26是描述一群粒子的密度函数。
给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管formula_22的作用，这物理系统的哈密顿量formula_8是个不变量，对应于坐标formula_9的动量formula_14守恒。
生成元概念.
对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为 
其中，formula_35是「单位算符」──变换群的单位元，formula_36是微小参数，formula_37是专门用来设定平移变换群的生成元。
为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符formula_38作用于函数formula_39：
由于formula_36很微小，可以泰勒近似formula_42为
重写平移算符的方程式为
其中，导数算符formula_45是平移群的生成元。
总结，平移群的生成元是导数算符。
指数映射.
在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做formula_46次微小平移变换formula_47，来代替一个有限值为formula_48的平移变换formula_22 ：
现在，让formula_46变得无穷大，则因子formula_52趋于无穷小：
这表达式的极限为指数函数：
核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：
这方程式的右手边可以重写为
这正是formula_57的泰勒级数，也是formula_58的原本表达式结果。
物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。
量子力学.
在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定，态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。
物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈机率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。
量子算符.
假设，物理量formula_59是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符formula_60可能有很多不同的本征值formula_61与对应的本征态formula_62，这些本征态formula_63，形成了具有正交归一性的基底：
其中，formula_65是克罗内克函数。
假设，某量子系统的量子态为
其中，formula_67是复系数，是在formula_62里找到formula_69的机率幅。
测量这动作将量子态formula_70改变为本征态formula_62的机率为formula_72，测量结果是本征值formula_61的机率也为formula_14。
期望值.
在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。
采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态formula_70，可观察量formula_59的期望值formula_77定义为
其中，formula_60是对应于可观察量formula_59的算符。
将算符formula_60作用于量子态formula_70，会形成新量子态formula_83：
从左边乘以量子态formula_85，经过一番运算，可以得到
所以，每一个本征值与其机率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量formula_59的期望值：
将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数formula_89的期望值：
例如，formula_91可以是formula_92，即重复施加算符formula_93两次：
对易算符.
假设两种可观察量formula_37、formula_96的算符分别为formula_97、formula_98，它们的对易算符定义为
对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态formula_70时，会给出
假设formula_102，则称这两种可观察量为「相容可观察量」，否则，formula_103，称这两种可观察量为「不相容可观察量」。
假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。
厄米算符.
每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量formula_59的期望值是实值： 
对于任意量子态formula_70，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设formula_108是formula_60的伴随算符，则formula_110。因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。
矩阵力学.
应用基底的完备性，添加单位算符formula_112于算符formula_60的两旁，可以得到
其中，formula_115是求和式内每一个项目的系数。
所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：
算符formula_60与它的伴随算符formula_108彼此之间的关系为
所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。
用矩阵代数来计算算符formula_60怎样作用于量子态formula_70，假设系统因此变换为量子态formula_83：
从左边乘以本征态formula_124，应用基底的完备性，添加单位算符formula_125于算符的右边，可以得到
右矢formula_83、formula_70分别用竖矩阵来代表
两个竖矩阵彼此之间的关系为
假设算符formula_60是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值formula_133：
量子算符表格.
在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程式会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位向量。
范例.
位置算符.
只思考一维问题，将位置算符formula_135施加于位置本征态formula_136，可以得到本征值formula_137，即粒子的位置：
由于位置基底具有完整性，formula_139，任意量子态formula_70可以按著位置本征态形成的基底展开：
将位置算符formula_135施加于量子态formula_70，由于算符formula_135只作用于右矢formula_145，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：
左矢formula_85与这方程式的内积为
设定量子态formula_149。由于位置基底具有完整性，formula_150，量子态formula_85与formula_152的内积，可以按著位置本征态形成的基底展开为
将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式
设定量子态formula_155。量子态formula_156、formula_70的位置空间表现，即波函数，分别定义为
两个波函数formula_160、formula_161之间的关系为
总结，位置算符formula_135作用于量子态formula_70的结果formula_156，表现于位置空间，等价于波函数formula_161与formula_137的乘积formula_160。
动量算符.
表现于位置空间，一维动量算符为
将动量算符formula_170施加于量子态formula_70，可以得到类似前一节得到的结果：
应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态formula_83，可以得到更广义的结果：
其中，formula_175、formula_176分别是量子态formula_83、formula_70表现于位置空间的波函数。
假设formula_70是formula_170的本征态，本征值为formula_181，则可得到
将formula_70改写为本征值为formula_181的本征态formula_185，方程式改写为
这微分方程式的解析解为
所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛丁格方程式，就可以推导求得这出结果。