斐波那契数

-{zh-hant:费波那契数;zh-hans:斐波那契数}-（意大利语：Numero di Fibonacci），又译为菲波拿契数、菲波那西数、斐氏数、黄金分割数、费氏数列。所形成的数列称为-{zh-hant:费波那契数列;zh-hans:斐波那契数列}-（意大利语：Successione di Fibonacci），又译为菲波拿契数列、菲波那西数列、斐氏数列、黄金分割数列、费氏数列。这个数列是由意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出。
在数学上，斐波那契数是以递归的方法来定义：
用白话文来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。首几个斐波那契数是：
特别指出：0 不是第一项，而是第零项（formula_5）。
起源.
公元1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的李奥纳多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci, 1175－1250），他描述兔子生长的数目时用上了这数列：
假设在formula_6月有兔子总共formula_7对，formula_8月总共有formula_9对。在formula_10月必定总共有formula_11对：因为在formula_10月的时候，前一月（formula_8月）的formula_9对兔子可以存留至第formula_10月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于所有在formula_6月就已存在的formula_7对
斐波纳契数也是杨辉三角形（即帕斯卡三角形）的每一条红色对角线上数字的和。
表达式.
为求得斐波那契数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。
初等代数解法.
已知：
首先构建等比数列.
设formula_21化简得formula_22
比较系数可得：
formula_23
不妨设formula_24
解得：
formula_25
又因为有formula_21，
即formula_27为等比数列。
求出数列formula_28.
由以上可得：
formula_29
变形得：
formula_30。
令formula_31
求数列formula_32进而得到formula_33.
formula_34
设formula_35，解得formula_36。
故数列formula_37为等比数列
即formula_38。而formula_39，
故有formula_40
又有formula_25
和formula_31
可得formula_43
得出formula_44表达式
formula_43
用数学归纳法证明表达式.
因此，根据数学归纳法原理，此表达式对于任意整数formula_6皆成立
线性代数解法.
formula_72
formula_73
构建一个矩阵方程.
设formula_74为第formula_6个月有生育能力的兔子数量，formula_76为这一月份的兔子数量。
上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，formula_78的表达式。
求矩阵的特征值：formula_79.
根据特征值的计算公式，我们需要算出来 formula_80 所对应的解。
展开行列式有：formula_81。
故当行列式的值为 0，解得 formula_82 或 formula_83。
特征向量.
将两个特征值代入
求特征向量formula_85得
formula_86=formula_87
formula_88=formula_89
分解首向量.
第一个月的情况是兔子一对，新生0对。
将它分解为用特征向量表示。
用数学归纳法证明.
从
可得到
化简矩阵方程.
将（4） 代入 （5）
根据3
求A的表达式.
现在在6的基础上，可以很快求出formula_78的表达式，将两个特征值代入6中
（7）即为formula_78的表达式
数论解法.
实际上，如果将斐波那契数列的通项公式写成formula_102，即可利用解二阶线性齐次递回关系式的方法，写出其特征多项式formula_103（该式和表达斐波那契数列的矩阵的特征多项式一致），然后解出formula_104=formula_105，formula_106=formula_107，即有formula_108，其中formula_109为常数。我们知道formula_110，因此formula_111，解得formula_112。
组合数解法.
formula_113
黄金比例恒等式解法.
设formula_47为黄金比例formula_48，则有恒等式formula_117与formula_118，其中formula_6为任意整数，则
formula_120
因此得到formula_121的一般式：
formula_122
此一般式对任意整数formula_6成立
近似值.
当formula_6为足够大的正整数时，则
用计算机求解.
可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。
可通过递归递推的算法解决此两个问题。
事实上当formula_6相当巨大的时候，O（n）的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵快速幂这一技巧，可以使递回加速到O(logn)。
和黄金分割的关系.
开普勒发现数列前、后两项之比formula_128，也组成了一个数列，会趋近黄金分割：
斐波那契数亦可以用连分数来表示：
formula_130
formula_131
而黄金分割数亦可以用无限连分数表示：
而黄金分割数也可以用无限多重根号表示：
和自然的关系.
斐氏数列见于不同的生物学现象，如树的分枝、、菠萝聚花果上小单果的排列、雅枝竹的花蕾、正在舒展的蕨叶、松毬的鳞的排列、蜜蜂的家族树。开普勒曾指出斐氏数列存在于自然界，并以此解释某些花的五边形形态（与黄金分割率相关）。法国菊的「瓣」（舌状花）数通常为斐氏数。1830年，K. F. Schimper和A. Braun发现植物的旋生叶序中，连续两块叶之间转过的角度与周角之比，约成整数比时，常出现斐氏数，如formula_134或formula_135。
恒等式.
资料来源：
证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证明。
不失一般性，我们假设formula_138，formula_139是计算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加数是1，有formula_121种方法来完成对formula_141的计算；若第一个被加数是2，有formula_142来完成对formula_143的计算。因此，共有formula_144种方法来计算n的值。
计算用多个1和多个2相加令其和等于formula_8的方法的数目，同时至少一个加数是2的情况。
如前所述，当formula_147，有formula_148种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2，就即formula_149　（formula_8项），于是我们从formula_148减去1。
若该数式包含2为被加数，2的首次出现位置必然在第1和formula_8的被加数之间。2在不同位置的情况都考虑到后，得出formula_159为要求的数目。
数论性质.
斐波那契质数.
在斐波那契数列中，有质数：
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917……
截至2015年，已知最大的斐波那契质数是第104911个斐波那契数，一共有21925个十进制位。不过，人们仍不知道是不是有无限个斐波那契质数。
如所述，formula_191总能被formula_121整除，故除formula_193之外，任何斐氏质数的下标必同为质数。由于存在的一列连续合数，斐氏数列中亦能找到连续任意多项全为合数。
大于formula_194的斐氏数，必不等于质数加一或减一。
与其他数列的交集.
斐波那契数列中，只有3个平方数：0、1、144。2001年，证明，斐氏数中的次方数衹有有限多个。2006年，Y. Bugeaud、M. Mignotte、S. Siksek三人证明，斐波那契数中的次方数只有0、1、8、144。
1、3、21、55为仅有的斐氏三角形数。曾猜想此结论，后来由罗明证明。
斐波那契数不能为完全数。推而广之，除1之外，其他斐氏数皆非多重完全数，任两个斐氏数之比亦不能是完全数。
模"n"的周期性.
斐波那契数列各项模formula_6的余数构成，其最小正周期称为皮萨诺周期，至多为formula_196。皮萨诺周期对不同formula_6值的通项公式仍是未解问题，其中一步需要求出某个整数（同余意义下）或二次有限域元素的。不过，对固定的formula_6，求解模formula_6的皮萨诺周期是问题的特例。
推广.
斐波那西数列是斐波那西n步数列步数为2的特殊情况，也和卢卡斯数列有关。
反费波那西数列.
反费波那西数列的递归公式如下：
如果它以1,-1开始，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
即是formula_202，
亦可写成formula_203，其中formula_186是非负整数。
反费波那西数列两项之间的比会趋近formula_205。
证明关系式.
证明formula_206，其中formula_186是非负整数
巴都万数列.
费波那西数列可以用一个接一个的正方形来表现，巴都万数列则是用一个接一个的等边三角形来表现，它有formula_213的关系。
佩尔数列.
佩尔数列的递归公式为formula_214，前几项为0,1,2,5,12,29,70,169,408...
应用.
1970年，尤里·马季亚谢维奇指出了偶角标的斐波那契函数
正是满足Julia Robison假设的丢番图函数，因而证明了希尔伯特第十问题是不可解的。