级数

级数（Series）代表某序列之和，例如序列formula_1的级数formula_2可以表示成formula_3，如果被取和的序列是有穷序列，相对应的级数被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。
级数本身也是一种序列（代表加到第formula_4项）。就跟普通序列一样，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定义相应级数，前提是必须要有加法（如实数加法、向量加法与矩阵加法等等）。
如果某级数来自于对常数序列取和，则称之为常数（项）级数，如果来自于函数序列，则称之为函数（项）级数。
无穷级数不像有穷级数可以加到最后一项，所以作为替代，通常会尝试将项数趋近于无穷大来取「最终的和」，具体来说，也就是对级数formula_2取极限formula_6。如果这个极限存在，会仿造数列极限，将这个无穷级数称为收敛的；反之称为发散的。（而且要能定义极限还需要距离来比较远近）
正式定义.
_{i \in \N}</math> ，存在唯一的序列 formula_7满足：
这个唯一存在的序列被称为 formula_11 的级数。
也就是说，只要 formula_12 上有定义一种有交换律的「运算」，那定义在 formula_12 的序列formula_11都可以「取和」，而它的「部分和」可以构成某个唯一的序列formula_7。也就是说，一般会将 formula_16 视为加法「formula_17」 ，而将formula_18更加直观的记为：
然后把formula_18直观地称为部分和。
通常会做以下的符号定义：
而将　formula_7　记为　formula_23甚至是更直观的 formula_24
有穷级数.
以上定义的级数，在直观上被理解成「无穷级数」；但所谓的「有穷序列」，也只是从某个正整数 formula_25 开始，只要正整数 formula_26 就有 formula_27 （formula_28的单位元，可直观理解成一般加法的「零」）。所以「有穷序列」取部分和而得到的「有穷级数」，事实上包含在上述定义中；换句话说，有穷级数是对从某项 formula_25 开始为零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎么加，部分和最大都只能到 formula_30。
无穷级数的敛散性.
对于级数formula_31，如果当formula_4趋于正无穷大时，formula_18趋向一个有限的极限：formula_34，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，formula_35叫做级数formula_31的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和"formula_35"。这时可以定义级数formula_38的余项和：formula_39。
任意项级数.
如果级数formula_31中的各项可以是正数，负数或零，则级数formula_31称为任意项级数。
将任意项级数各项formula_42取绝对值，得到正项级数。
formula_43
绝对收敛.
定理：如果任意项级数formula_31的各项的绝对值所组成的正项级数formula_45收敛，则级数formula_31收敛。
收敛级数的性质.
这两个级数的敛散性是一样的。
无穷级数的研究历史.
将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。
17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
对审敛法的研究.
14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。
然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数
的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。
1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数
的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。
柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效）
，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。
对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
对一致连续性的研究.
1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。
类别.
几何级数.
几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：
一般来说，几何级数formula_70收敛当且仅当formula_71。
调和级数.
调和级数是指通项为formula_72的级数：
它是发散的。
formula_74-级数.
"formula_74"-级数是指通项为formula_76的级数：
对于实数值的"formula_74"，当formula_79时收敛，当formula_80时发散。这可以由积分比较审敛法得出。
函数formula_81是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼formula_82函数有著名的黎曼猜想。
特别地，当formula_83时，formula_74-级数即为调和级数。
裂项级数.
收敛当且仅当数列formula_86收敛到某个极限formula_87，并且这时级数的和是formula_88。
泰勒级数.
泰勒级数是关于一个光滑函数formula_89在一点formula_53附近取值的级数。泰勒函数由函数在点formula_53的各阶导数值构成，具体形式为：
这是一个幂级数。如果它在formula_53附近收敛，那么就称函数formula_89在点formula_53上是解析的。
交错级数.
具有以下形式的级数
其中所有的formula_97非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。
幂级数.
形同formula_98的函数项无穷级数称为formula_99的幂级数。它的收敛与否和系数formula_97有关。
傅里叶级数.
任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
例如，周期为formula_101的周期函数formula_102可以表示为：
其中，formula_104，formula_105，特别的，formula_106
常数项无穷级数审敛法.
正项级数.
若通项为实数的无穷级数formula_38每一项formula_42都大于等于零，则称formula_38是一正项级数。
如果无穷级数 formula_38 是正项级数，则部分和formula_2是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列"Sn"有界，formula_38收敛，且formula_113 ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。
比较判别法.
设formula_38 和 formula_115是正项级数。
比如，我们已知级数：formula_131收敛，则级数：formula_132也收敛，因为对任意的formula_4，formula_134。
比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：formula_135作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当formula_136时，formula_137发散，当formula_138时，formula_137收敛。
达朗贝尔判别法.
在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：
这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
柯西收敛准则.
这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
交错级数.
具有以下形式的级数
其中所有的formula_97非负，被称作交错级数。
莱布尼茨判别法.
在上述的级数formula_96中，如果当formula_4趋于无穷时, 数列formula_97的极限存在且等于 0，并且每个formula_97小于formula_162（即, 数列formula_97是单调递减的），那么级数收敛。
任意项级数.
对于通项为任意实数的无穷级数formula_38，将级数formula_165称为它的绝对值级数。可以证明，如果formula_165收敛，那么 formula_38也收敛，这时称 formula_38绝对收敛。如果formula_38收敛，但是formula_165发散，则称formula_38条件收敛。比如说，级数formula_172绝对收敛，因为前面已经证明 formula_173收敛。而级数formula_174是条件收敛的。它自身收敛到formula_175，但是它的绝对值级数formula_176是发散的。
黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数formula_38条件收敛，那么对于任意的实数formula_178，存在一个正整数到正整数的双射formula_179，使得级数formula_180收敛到 formula_178。对于正负无穷大，上述双射也存在。
函数项级数.
设formula_182为定义在区间formula_183上的函数列，则表达式：formula_184称为函数项级数，简记为formula_185。对函数项级数的主要研究是：
收敛域.
对区间formula_183上的每个 formula_190，级数 formula_191是常数项级数。若
formula_191收敛，则称formula_190是formula_185的一个收敛点，formula_185全体收敛点的集合称为它的收敛域。若
formula_191发散，则称formula_190是formula_185的一个发散点，formula_185全体发散点的集合称为它的发散域。formula_185在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为formula_185的和函数，记为formula_202。按照定义，formula_203，其中formula_204为函数项级数在formula_190点上的部分和。
一致收敛.
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数formula_185中的每一项formula_207在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：
然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数formula_185在某个区间formula_183内（关于某个范数formula_226）一致收敛的定义是它的部分和函数formula_2 在区间formula_183上一致收敛到和函数formula_229，
可以证明：
进一步的，如果导函数级数的每一项都是formula_232函数（formula_74阶连续可微函数），并且各阶导函数级数formula_234在区间formula_183内都一致收敛，那么级数和函数formula_236 也是formula_232函数，并且：
绝对收敛.
函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间formula_183和范数formula_241，函数项级数formula_185在区间formula_183内绝对收敛，当且仅当常数级数formula_244收敛。
绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间formula_183内一致收敛。
幂级数.
形同formula_98的函数项无穷级数称为formula_99的幂级数。一般只需讨论形同formula_248的幂级数。
幂函数的收敛域.
根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为formula_249（可开可闭）的形式。这个正数formula_250（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：
设幂级数formula_248满足formula_252，则：
幂级数的和函数.
求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。
渐进级数.
渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。
发散级数的和.
发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。
推广.
级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。