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确实是描述起来有点麻烦,我来试着解答一下:

先画一个 函数图像,比如 y=x^2 的偶函数。

我们知道,导数其实就是变化率的意思。在物理中的意义就是速度(速率),在函数图像中的意义就是切线,这个切线和X轴平行的时候,定位变化率为0,就是导数=0,和X轴在第一象限的角度越大,变化率就越大,导数就越大,你可以想象成逆时针旋转的切线和导数成正比。

如果理解了上面的话,后面就好办了,现在你想象一下用切线做一个滑板,沿着上面的图像从左到右滑动一遍,你会发现这个切线在逆时针旋转,这说明函数y=x^2的一阶导数是递增的。从图上也很容易看到,驻点(即反弯点,一阶导数=0处)就是函数的极小值点。

那么现在我们来说二阶导数,二阶导数反映的是一阶导数的变化率,如同一阶导数相对于原函数。此时,如果二阶导数在某一点>0,说明他相对的一阶导数在该点上从左到右是一个递增的状态,再回到上一段话,如果 一阶导数是递增的,那驻点就是极小值点。

总结:

二阶导数用来 判断一阶导数的变化率,二阶导数>0时,一阶导数递增。(这个是函数的单调性定理)

一阶导数递增,则驻点是极小值点。(仔细观察图像)

以上函数用数学的方式来解答:

f(x) = x^2

f'(x) = 2x

令 f'(x) = 0, 得 x = 0. 则 x = 0 处是函数的驻点.

f''(x) = 2,f''(0) = 2 > 0,所以 x = 0 处是函数的极小值点

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