Revista de navegación y comercio (1893-08-15 00:00:00), página 5

Se quiere saber el movimiento del cronómetro

\[
m = \frac{1440 \times 3,17}{8618,53} = +00^{\circ} 53'
\]

Como los cronómetros no son instrumentos sumamente perfectos y las observaciones no dejan de ser susceptibles de algunos errores, es indispensable multiplicar los resultados. Para esto se determinarán, durante diez ó doce días consecutivos, varios estados absolutos y se compararán éstos dos á dos, tomándolos al menos con dos ó tres días de intervalo para que las variaciones sean más sensibles; se obtendrán así cierto número de valores, y el medio aritmético de todos ellos se adoptará como movimiento definitivo.

Ejemplo II.—Estando de recalada en Angers del 6 al 11 de Mayo, se determinaron los estados absolutos siguientes:

    R. medias del primer meridiano.
    Estados absolutos.

    El 6 de Mayo á 20h —13m—17s
    EA = +2h —58m—36s .5

    7
    19 —50 —26 EA = +2 —58 —17 .1

    9
    3 —19 —51 EA = +2 —57 —51 .9

    9
    21 —30 —44 EA = +2 —57 —35 .3

    11
    20 —11 —35 EA = +2 —56 —56 .8

Se quiere saber el movimiento del cronómetro:

Del 6 al 9 se halla m = —19° 86
* 6 al 9 — m = —19 .98
* 6 al 11 — m = —20 .03
* 7 al 9 — m = —19 .90
* 7 al 11 — m = —20 .00
* 9 al 11 — m = —20 .17

Suma……= —119,94

Movimiento m = \(\frac{-119,94}{6} = -19^{\circ}, 99'\)

Aplicación del teorema de mínimos cuadrados á la determinación del movimiento del cronómetro.

El modo con que deben combinarse entre sí los diferentes estados absolutos observados para hallar el movimiento del cronómetro, ha de ser con la condición de que las irregularidades inevitables del cronómetro y los errores cometidos en las experiencias puedan influir lo menos posible en los resultados. Existe para las operaciones de este género, un teorema notable debido á Legendre y Gauss, y conocido bajo el nombre de teorema de mínimos cuadrados, del que presentaremos la aplicación de este método para la determinación del movimiento.

Supongamos que en diversas fechas del primer meridiano, que designaremos por

H₀, H₁, H₂, H₃,.......

se han obtenido los estados absolutos

E₀, E₁, E₂, E₃,........

Si llamamos E al estado absoluto del cronómetro á la hora H que nosotros elegimos arbitrariamente ó conforme con nuestras necesidades, y m al movimiento del cronómetro en 24 horas medias, podremos establecer las ecuaciones siguientes:

\[
\begin{align*}
E &= E₀ + m (H-H₀) \\
E &= E₁ + m (H-H₁) \\
E &= E₂ + m (H-H₂) \\
E &= E₃ + m (H-H₃)
\end{align*}
\]

en las cuales las diferencias de la forma \( (H-H₀) \) estarán expresadas en días y fracción de día, y m en segundos y fracción de segundo.

Restando la primera de estas ecuaciones de cada una de las siguientes, obtendremos el nuevo sistema

\[
\begin{align*}
E₁ - E₀ + m (H₀-H₁) &= 0 \\
E₂ - E₀ + m (H₀-H₂) &= 0 \\
E₃ - E₀ + m (H₀-H₃) &= 0
\end{align*}
\]

y la ecuación normal será

\[
\sum (H₀-H₁) + \sum (E₁-E₀)(H₀-H₁) = 0
\]

Aplicando esta ecuación al ejemplo anterior, tendremos

\[
\begin{align*}
H₀ - H₁ &= 00d - 23h - 7m - 9s = 0d, 96 \\
H₀ - H₂ &= 2 - 00 - 36 - 34 = 3 - 27 \\
H₀ - H₃ &= 3 - 00 - 47 - 27 = 3 - 03 \\
H₀ - H₄ &= 4 - 23 - 28 - 18 = 4 - 98 \\
E₁ - E₀ &= -19^{\circ} 4 \\
E₂ - E₀ &= -45^{\circ} 2 \\
E₃ - E₀ &= -60^{\circ} 6 \\
E₄ - E₀ &= -99^{\circ} 7
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
(H₀ - H₁)₁ &= (0,96)₁ = 0,92 \\
(H₀ - H₁)₂ &= (2,27)₂ = 5,15 \\
(H₀ - H₁)₃ &= (3,03)₃ = 9,18 \\
(H₀ - H₁)₄ &= (4,98)₄ = 24,80
\end{align*}
\]

\[
\sum (H₀ - H₁) = 40,05
\]

\[
\begin{align*}
(E₁ - E₀)(H₀ - H₁) &= -19,4 \times 0,96 = -18,62 \\
(E₂ - E₀)(H₀ - H₁) &= -45,2 \times 2,27 = -102,60 \\
(E₃ - E₀)(H₀ - H₁) &= -60,6 \times 3,03 = -183,62 \\
(E₄ - E₀)(H₀ - H₁) &= -99,7 \times 4,98 = -496,51
\end{align*}
\]

\[
\sum (E₁ - E₀)(H₀ - H₁) = -801,35
\]

Así es que la ecuación normal será

\[
40,05 m + 801,35 = 0
\]

\[
m = \frac{-801,35}{40,05} = -20^{\circ}, 01'
\]

cuyo resultado es sin duda el mejor partido que ha podido sacarse de las observaciones.

2.º Por dos pasos de un astro por el mismo vertical.

Se puede determinar el movimiento de un cronómetro sin necesidad de conocer su estado absoluto, valiéndose de los pasos de un astro por el mismo vertical.

1.º Por el Sol.—Si suponemos que el astro observado es el Sol, será entonces indispensable observarlo en el meridiano, porque en atención á su movimiento propio, el meridiano es el sólo vertical por el cual el Sol pasa siempre á la misma hora, contándose medio día verdadero en el lugar.

Siendo C y C' las horas del cronómetro en el momento de los pasos, e y e' las ecuaciones de tiempo para las épocas correspondientes de San Fernando, y n el número exacto de días verdaderos transcurrido de un paso al otro, tendremos llamando m al movimiento

\[
m = \frac{(C' - C) - (e' - e)}{n}
\]

Ejemplo.—Se han observado dos pasos del centro del Sol por el meridiano de un lugar cuya longitud era de 36° —52' —00" O.

\[
\begin{align*}
C &= 2h - 22m - 41s 6 \text{ el 12 de Septiembre} \\
C &= 8 - 22 - 53, 8 \text{ el 17 idem}
\end{align*}
\]

Se quiere saber el movimiento del cronómetro.

1.º Hora reducida. 2.º Efemérides.

\[
\begin{align*}
\text{H.º del lugar el 12 y 17}=00h:00m:00s & E de T corregida el 12=3m:45s:41 \\
\text{Longitud Oeste} & -3-23-2 \\
\text{Hora reducida} & -2-21-29
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
e' - e & = -1 - 45, 91
\end{align*}
\]