Revista de navegación y comercio (1892-04-30 00:00:00), página 10

si fuera compuesta será la demora esférica del punto á donde se dirija su primer trozo, que en situación astronómica precisa habremos fijado dicho punto en el Océano, según convenga para aprovechar vientos corrientes, etc., ó porque diferentes circunstancias impiden que la derrota sea simple, y como dicha demora esférica, va variando por razón de la esferoidalidad nuestro planeta, según se va navegando por el arco de máximo, el hallar esta demora cada día es lo que constituye el problema que nos ocupa.

Sabemos que el arco menor del círculo máximo entre dos puntos del globo, es el tercer lado de un triángulo esférico cuyos vértices están situados en el polo elevado, ó el depreso, y puntos de salida y llegada, siendo los otros dos lados los complementos de las latitudes de dichos puntos; el ángulo en el polo es la diferencia en longitud de estos puntos, y los otros dos ángulos son los rumbos iniciales.

Y como en todo triángulo esférico, conocidas tres de sus partes, se hallan cada una de las otras tres en función directa de las conocidas, si llamamos A, B y C á los tres ángulos y a, b y c á los tres lados, y haciendo á los datos conocidos, siendo los puntos del globo A y B.

a = complemento de latitud del punto B.
b = idem idem idem del punto A.
c = ángulo en el polo, ó diferencia en longitud entre los puntos A y B.

Serán las incógnitas:
c = distancia total del arco de máximo.
A = rumbo inicial, primer elemento necesario.
Para hallar estas incógnitas el tercer teorema de la trigonometría esférica nos presenta las siguientes fórmulas:

(1) \( \tan x = \tan a \cos C \)
(2) \( \cot A = \frac{\cot C \sin (b - x)}{\sin x} \) Rumbo.

Y el primer teorema, con la misma que nos dá (1), el lado x auxiliar anterior, nos resuelve la distancia conforme á la fórmula

(3) \( \cos c = \frac{\cos a \cos (b - x)}{\cos x} \)

Restableciendo el radio en estas tres fórmulas y reduciéndolas á expresiones logarítmicas, serán

(4) \( \log \tan x = \log \tan a + \log \cos C - 10 \).
(5) \( \log \cot A = \log \cot C + \log \sin (b - x) + \log \sec x - 20 \).
(6) \( \log \cos c = \log \cos a + \log \cos (b - x) + \log \sec x - 20 \).

Y para evitarnos el trabajo de hallar los complementos de las dos latitudes salida y llegada, llamaremos:

a' = complemento de a = latitud de B, llegada.
b' = complemento de b = latitud de A, salidas.
x' = complemento del lado auxiliar x que nos dá la fórmula (1), resuelto por la expresión logarítmica (4) y las fórmulas (1) (2) y (3) se convierten en las siguientes:

(7) \( \cot x' = \cot a' \cos C \)
(8) \( \cot A = \frac{\cot C \sin (b' - x')}{\cos x'} \) Rumbo.
(9) \( \cos c = \frac{\sin a' \cos (b' - x')}{\sin x'} \) Distancia.

Cuyas fórmulas reducidas á expresiones logarítmicas, serán:

(10) \( \log \cot x' = \log \cot a' + \log \cos C - 10 \).
(11) \( \log \cot A = \log \cot C + \log \sin (b' - x') + \log \sec x' - 20 \).
(12) \( \log \cos C = \log \sin a' + \log \cos (b' - x') + \log \cos x' - 20 \).

Consideraremos dos separaciones del cálculo, el primero que la diferencia en longitud sea aguda, y el segundo que sea obtusa.

Perteneciendo la resolución del triángulo expresado, al caso de que dados dos lados y el ángulo comprendido hallar las otras tres partes, de las que sólo necesitamos dos, que son el rumbo inicial A, y la distancia total c, hallamos éstas dos por medio de las expresiones (10) (11) y (12), en el caso de que los dos puntos extremos de la derrota se hallen en el mismo hemisferio; tenemos constante el log cot a', de la latitud llegada, y cuando se desee hallar la distancia que falta también tenemos constante el sen a' del mismo arco en la igualdad (12). Para este caso fijaremos los principios siguientes, todos ellos demostrables. Suponemos el ángulo C, situado en el polo próximo.

1.º Cuando el arco auxiliar x' sea mayor que b', latitud salida, el rumbo se cuenta desde el polo próximo, hacia el E. ó el O., según demore el punto de destino.

2.º Cuando el arco auxiliar x' sea igual á b', latitud salida, el rumbo valdrá 90°, entonces se pasa el vértice.

3.º Cuando dicho arco auxiliar x' sea menor que b', el rumbo se contará desde el polo lejano, por ser en este caso obtuso el ángulo que resultaría en el triángulo fundamental, contado desde el polo próximo.

Al emprender el viaje por primera vez, se tendrán con anterioridad calculados los resultados de las igualdades logarítmicas (10) (11) y (12), que nos dan el primer rumbo inicial, y la distancia. Navegando el arco con la precisión posible, todos los días, hallaremos los resultados de las (10) y (11), pero usando los logaritmos con sólo la característica y tres cifras de su mantisa obtenemos el rumbo con suficiente precisión, en nada más que dos minutos de tiempo, teniendo ordenada la operación logarítmica. La distancia contraída se rebajará de la total, ó de la del día anterior, y sólo habrá que calcularla de nuevo en el caso de verse obligado á extraviar la derrota.

Por ejemplo, de Cádiz á Puerto Rico resultan por el cálculo x' = 33°-39'. Rumbo inicial S. 88°-1° O., y la distancia entre las bocas de los puertos 3 307 millas.

Si el vapor que va á hacer el recorrido es de una marcha de 12'5 millas, suponiendo la salida al mediodía, si se fuera á navegar toda la singladura al primer rumbo inicial, para la siguiente sería este de S. 84°-09' O., diferencia con el anterior de 4° más al S., y lo que haremos, repartir 3.º entre las horas de la singladura que se recorre, gobernando 6 horas al S. 88° O., 6 horas al S. 87° O., 6 horas al S. 88° O., y las últimas al S. 85° O.; con lo cual el resultado del rumbo que aparezca del cálculo para la segunda singladura, será próximo al grado del que se va navegando.

Para recorrer el arco con la precisión posible, calculado el primitivo rumbo inicial, si suponemos navegada toda la singladura á este rumbo, podemos averiguar