El Mundo naval ilustrado (1897-06-01 00:00:00), página 20

SEGUNDA SOLUCIÓN

Si se da una elipse y dos puntos en su plano:
1.º Trazar otra elipse que pase por los dos puntos dados.
2.º Que sea semejante á la dada y semejantemente dispuesta.
3.º Que si corta á la dada, el triángulo que se forme por los puntos de corte y el centro de la elipse dada, tenga un área también dada \( K^2 \).

Solución dada por J. A. Barreda.

Con obtener la segunda parte del enunciado, claro es que está obtenida la primera, pues esta sola condición no es problema de importancia, dado que podemos tomar un punto cualquiera del plano como centro de la elipse que se pide, y resolver el problema inmediatamente.

Vamos, pues, á ocuparnos de la segunda parte.

Sean M N P Q la elipse dada, de somijes a y b y centro E, y sean A y B los dos puntos también dados. Si unimos estos dos puntos por una recta, la que corta á la elipse dada, que es lo que se pide y como sabemos que en conicas semejantes y semejantemente dispuestas, los diámetros correspondientes á cuerdas paralelas son paralelos, y los diámetros semejantes á la elipse dada, trazaremos una recta a B paralela á la recta AB, y como el diámetro MN; por el punto medio m de A B trazaremos una paralela á E N, que en X, será el lugar de los centros de las infinitas elipses semejantes á la dada y semejantemente dispuestas que pasen por A B. La segunda parte del problema tiene, pues, igualdad satisfecha, y si queremos una curva que corte á la elipse dada, uniremos es puntas con un punto cualquiera de la elipse dada, y como el mismo procedimiento por que se traza el K S, tendremos en el punto de encuentro de este diámetro con el nuevo, el centro de la elipse que desdibujamos cortando á la dada y siendo semejante á ella y semejantemente dispuesta.

Teniendo el centro E de la elipse que se pide, claro es que puede construirse ésta por cualquiera de los procedimientos conocidos. Uno de estos puede ser, por ejemplo, el siguiente: Se trazan por el punto E, centro de la menor elipse, dos rectas paralelas á los ejes de la dada y éstas han de ser las direcciones de los ejes de la nueva, pero como en cónicas semejantes los diámetros correspondientes á cuerdas paralelas, las cuerdas paralelas son proporcionales, los nuevos ejes han de estar en la relación \( \frac{a}{b} \) y por consiguiente, si bajamos desde los puntos A y B, las ordenadas AA' y BB' correspondientes á esos ejes y tomamos sobre ellas una parte AC' y BD' que estén con AA' y BB' en la relación \( \frac{a}{b} \), tendremos en E C' el valor del semieje mayor de la elipse que se pide, y describiendo un círculo de radio E C' desde E como centro, ya sabemos cómo se puede construir toda la elipse por puntos.

En cuanto á la tercera parte del problema, sabemos que cuando dos conicas se tocan en un doble contacto con una tercera, las cuerdas de contacto concurren en un único punto, llamado centro de las dos conicas; por consiguiente, si tenemos en un' una elipse dada, contacta con la elipse dada en el punto E, en el punto de encuentro de esta con la prolongación de la AB coinciden las cuerdas intersección de todas las cónicas que teniendo su centro en el centro de las dos elipses dados, por lo cual queda reducido el problema á trazar desde O el diámetro que pase por el centro E, que intercepte en ella una cuerda tal que el área del triángulo formado por los extremos de esta cuerda y el centro de la elipse dada tenga un área determinada.

Ahora bien: toda elipse se puede proyectar sobre un plano que pase por una recta paralela al eje menor, según un círculo de radio b, siempre que el coseno del ángulo de los planos sea igual á \( \frac{b}{a} \), y como sabemos que el área de toda figura plana está con el área de su proyección sobre un plano, en la relación del coseno del ángulo que forman los dos planos, y como el área de la elipse ha de tener el triángulo que se forme en la proyección con el centro del círculo de radio b y los extremos de la cuerda que este círculo que se proyecta se ha trazado desde O á la elipse dada.

Supongamos que el plano de proyección que ha de pasar por una línea recta paralela al eje menor de la elipse dada para por este mismo eje menor.

Efectuemos un rebatimiento del plano de proyección sobre el de la elipse, cuyos planos sabemos que han de formar un ángulo cuyo coseno sea \( -\frac{b}{a} \). El círculo proyección de la a la eje, rebatido sobre el plano de esta, es el descrito con b como diámetro, ó sea el M P N Q. Como la elipse que se trata de trazar está semejantemente dispuesta á la dada, también se proyectará sobre el mismo plano formará un círculo de radio igual á su semieje menor y este círculo pasará por las proyecciones de A y B, y el plano de que se trata.

Estas proyecciones se encuentran sobre las perpendiculares trazadas desde A y H al eje de rebatimiento PQ y á una distancia ZA' y XII' de él representada por la misma relación \( \frac{b}{a} \). De igual manera la proyección del punto O será el punto O' una vez efectuado el rebatimiento sobre el plano PQ como chaldea. Queda, pues, reducido el problema dirigiéndose O' hacia el centro del círculo M P N Q que intercepte en este una cuerda tal que unido sus extremos con el centro E revuelva un triángulo de área igual á \( K^2 \times \frac{b}{a} \). Problema ya conocido. Supongamos que OCD sea la cuerda que resuelve el problema en el círculo. Por los cuatro puntos A', B', C y D pasa una circunferencia tal que corta al círculo M' P' N' Q según una cuerda que el triángulo ECD tiene un área igual á \( K^2 \times \frac{b}{a} \) y dicha circunferencia será la proyección de la elipse que pasando por A y B corta á la dada en el plano de esta según la cuerda que partiendo de O satisface á las condiciones del problema; por consiguiente, hallando el centro E' de este nuevo círculo que pasa por A', B', C y D y debiendo el rebatimiento tendremos que la posición que ocupa E' después de efectuado el rebatimiento será la posición del centro E' de la elipse que se pide.

Claro es que para hallar el centro de la circunferencia que pasa por A', B', C y D no tendremos más que trazar una perpendicular á A'B' por el punto medio de A' B' y otra perpendicular á C D por su punto medio K' y el centro de estas perpendiculares será el centro de la circunferencia citada.

A bordo de la Escuela Naval 14 Mayo 1897
José A. BARREDA
Tentente de Navio.

TERCERA SOLUCIÓN

Dada la elipse O E V (fig. 1°) y los puntos A y B, por donde ha de pasar la otra elipse semejante á la propuesta y teniendo como en la primera dos puntos que unidos con el centro formen un triángulo de área dada \( n^2 \); es evidente que se las puede mirar como la intersección de un plano oblicuo, de dos cilindros circulares rectos, cuyas bases se cortan en el punto, y que giran el plano de la elipse alrededor del eje menor b, como chaldea, un ángulo cuyo coseno sea \( -\frac{b}{a} \) (a y b semiejes de la elipse), y que, como tomará la forma de un círculo, y la recta A' B' tendrá el ángulo que es fijo por estar en la chaldea, E' viene á R, luego y viene á E': se puede ya trazar la recta C' y reforzar los puntos A y B á A' y B'.

Queda ahora reducido el problema á trazar por A' y B' un círculo, (cuyo centro estará en la perpendicular á MN en su punto medio), que corte al dado en dos puntos, que unidos con el centro, formen un triángulo