El Porvenir de la industria (1875-08-06 00:00:00), página 8

El momento máximo del empuje con relación á una arista de vuelco situada en el plano horizontal G C (fig. n. 4.) se obtendrá sustituyendo en la ecuación (4) z, altura contada desde la coronación en vez de h diferenciando con relación á z, multiplicando la diferencial por su brazo de palanca H—z, é integrando entre los límites z=H y z=0.

Hechas estas operaciones, resulta:

\[
M = \frac{1}{6} \delta \frac{(\tg \alpha - \tg w') \tg \theta \tg w'}{(1 + \tg \theta \tg w')} (\tg \theta - \tg w') H^3
\] (5)

Sustituyendo los valores conocidos de δ, α, θ y w' resulta:
\[
M = 93,813 H^3
\] (6)

Esta fórmula será aplicable á todos los muros cuya altura no exceda del valor siguiente:

\[
H = \frac{\tg \theta - \tg w'}{\tg w'}
\] (7)

porque al llegar á este punto la línea tirada por el pié del muro formando un ángulo w' con la vertical, pasa por la arista del terraplén. Si el muro tuviese más altura, el prisma de tierra de máximo empuje no tendría por base un triángulo, sino un cuadrilátero para el cual debe entrar otro orden de consideraciones.

Sustituyendo valores, tendremos que podrá usarse la fórmula (6) siempre que la relación \( \frac{a}{H} \), sea igual ó exceda á 0,8716.

III.

Momento en el caso de sobrecarga limitada. (\( \frac{a}{H} < 0,8716 \))

(Fig. n. 5.) Tirando por la arista C del terraplén una línea que forme con el muro un ángulo—w' que dará la altura del mismo dividida en dos partes. Llamaremos cómo de costumbre H á la altura total y á la parte B A la llamaremos h'. Ya hemos visto el valor de h' en la ecuación. (7)

El momento máximo total se encontrará suiviendo el máximo correspondiente á la porción h' con el máximo que corresponde á la porción H—h' ó AC.

El primero se obtendrá tomando la ecuación (4), sustituyendo z, altura contada á partir de la coronación, en vez de h' diferenciando con relación á z, multiplicando la diferencial por su brazo de palanca H—z é integrando entre los límites z=h' y z=0.

Hechas estas operaciones, resulta:

\[
M_1 = \frac{1}{6} \delta \frac{(\tg \alpha - \tg w') \tg w' \tg \theta}{(1 + \tg \theta \tg w')} h'^2 (3H - 2h')
\] (8)

Para el momento máximo correspondiente al trozo inferior, tomarémos la ecuación (A) (Damant, página 488) que es exacta desde el punto A al pié del muro C.

\[
P_m = \frac{\delta}{2 \sen^2 \alpha} \left\{ (a+H) - \cos \alpha \sqrt{(a+H)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha} \right\}^2
\] (A)

Sustituyendo, en vez de la altura H, una porción cualquiera z, de la misma, contada desde la coronación, diferenciando P_m, multiplicando la diferencial por el brazo de palanca H—z, é integrando entre los límites z=H y z=h' se obtendrá el máximo momento que corresponde á la porción AC.

He aquí el resumen de estas operaciones para facilitar su comprobación.

\[
P_z = \frac{\delta}{2 \sen^2 \alpha} \left\{ (a+z) - \cos \alpha \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha} \right\}^2
\]

Diferenciando d.P = \( \frac{\delta}{2 \sen^2 \alpha} \left\{ (a+z) - \cos \alpha \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha} \right\} \left\{ dz - \frac{(a+z) \cos \alpha}{\sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha}} \right\} d\tau \)

El momento máximo diferencial se encontrará multiplicando por H—z.

\[
dM_2 = \frac{\delta}{\sen^2 \alpha} \left\{ (a+z) - \cos \alpha \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha} \right\} \left\{ dz - \frac{(a+z) \cos \alpha}{\sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha}} \right\} (H-z)
\]

Efectuando operaciones:

\[
dM_2 = \frac{\delta}{\sen^2 \alpha} \left\{ (a+z) Hdz - \cos \alpha \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg \theta \tg \alpha} \times dx - (a+z) zdz \right\}
\]