El Porvenir de la industria (1875-08-06 00:00:00), página 7

EL PORVENIR DE LA INDUSTRIA

\[
M = 2726,56H^2 \left\{ 0,23553(1+3n) + 0,3577656(3+2,78808n)n^2 \right. \\
\left. - 0,214263 \frac{(1+n)^2 + 4,78808n^2}{(1+n)^2 + 1,78808n^2} \right\}
\]

Dando diferentes valores á \( \frac{a}{H} \), se encuentran los siguientes resultados:

    n=0
    M=58H^2

    0.25
    83H^2

    0.50
    89H^2

    0.75
    87H^2

    1.00
    83H^2

    1.25
    70H^2

    1.50
    59H^2

    1.75
    47H^2

    2.00
    34H^2

Unidos estos puntos forman la curva de momentos trazada en el diagrama y que lleva el nombre de Mr. Audoy.

Como se ve, los errores que se producirían usando la fórmula encontrada por este último y recomendada por Mr. De nanet, podrían ser de una trascendencia tal que comprometerían la estabilidad de los muros y causarían la ruina de una empresa. Conviene, pues, dar la voz de alerta, y encontrado el origen del error, rectificar los cálculos, buscando al propio tiempo una solución fácil que dé instantáneamente los momentos y espesores que se necesitan.

Encontrado el mal, facil ha sido hallar la causa y el remedio.

La causa estriba en la expresión que trata de representar, en general, el peso de un prisma de tierras situado detrás del muro.

Esta fórmula es la siguiente: (copiada de la página 488).

\[
Q = \frac{3}{2} \left\{ (a+H)^2 tgw - a^2 tg^2 \theta \right\} = \text{peso del prisma A B C E (fig. a 1.ª)}, \text{o mejor dicho (y aquí se cometió el error)}, \text{diferencia entre el peso del prisma triangular variable A D E y el constante B C D. Claro está que en el caso de la fig. a 1.ª cumple perfectamente con su objeto; pero si la sobrecarga se eleva o aumenta la relación } \frac{a}{H} \text{ (fig.as 2.ª y 3.ª) llegaría á un límite (fig a 2.ª) pasado el cual dará un peso menor que el verdadero y después negativo. Podría creerse á primera vista que cuando menos la fórmula (B) serviría desde la relación } \frac{a}{H} = 0 \text{ á otra de tal naturaleza que la arista del prisma de máximo empuje pasara por C arista del terraplén; pero tampoco puede en rigor utilizarse, porque las diferenciales de los empujes máximos superiores ó inmediatos á la coronación son falsas y falsa ha de ser por consiguiente la integral definitiva expresada en (B).}

II.

Momento en el caso de sobrecarga ilimitada (\( \frac{a}{H} > 0,8716 \))

(Fig. a 4.ª) El empuje P de un prisma de tierras cuyo plano posterior forma un ángulo w con la vertical, tiene por expresión:

\[
P = \frac{tg \alpha - tgw}{1 + tg \alpha tgw} Q \quad (1) \quad Q = \text{peso del prisma.}
\]

La superficie del triángulo B C D es \( \frac{1}{2} \frac{tg \theta tgw}{tg \theta - tgw} h^2 \) siendo h = la altura del muro.

Multiplicando por \( \delta \) y sustituyendo en (1)

\[
P = \frac{1}{2} \frac{(tg \alpha - tgw) tg \theta tgw}{(1 + tg \alpha tgw)(tg \theta - tgw)} h^2 \quad (2)
\]

Diferenciando P con relación á la variable w, igualando á cero el coeficiente diferencial de 1.º orden y despejando tgw, para encontrar el máximo de P, se obtiene:

\[
tg \theta - \sqrt{tg \theta (1 + tg^2 \alpha) (tg \theta - tg \alpha)}.
\]

\[
tg w' = \frac{tg \theta - \sqrt{tg \theta (1 + tg^2 \alpha) (tg \theta - tg \alpha)}}{1 + tg^2 \alpha - tg \alpha tg \theta}
\]

El ángulo w' es, pues, constante e independiente de la altura del muro. Adoptando los valores de \( \theta \) y \( \alpha \) expresados anteriormente, resulta:

\[
tgw' = 0,6987 \quad w' = 34^0 56' 30''
\]

Luego el valor del empuje máximo será

\[
P_m = \frac{1}{2} \frac{(tg \alpha - tgw') tg \theta tgw'}{(1 + tg \alpha tgw')(tg \theta - tgw')} h^2 \quad (4)
\]