El Porvenir de la industria (1875-08-13 00:00:00), página 5

Integral del 3.º término. \( \int (a+z) z dz = \frac{1}{2} az^2 + \frac{1}{3} z^3 \)

Integral del 4.º término
\[
\int \cos \alpha \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} \times zdz = \cos \alpha \left\{ \frac{1}{3} [(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x]^{3/2} / \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} \right.
\]
\[
- a \int dz \left[ \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} \right]
\]
\[
= \cos \alpha \left\{ \frac{1}{3} [(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x]^{3/2} / \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} - a \left[ \frac{1}{2}(a+z) \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} + \frac{1}{2} a^2 \tg^2 \tg x \lg 2 \right. \right.
\]
\[
\times (a+z + \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}) \left. \right] \}
\]

Integral del 5.º término.
\[
\int \frac{\cos \alpha (a+z)^2}{\sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}} dz = \text{II} \cos \alpha \left\{ \frac{1}{2} (a+z) \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} - \frac{1}{2} a^2 \tg^2 \tg x \int \frac{dz}{\sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}} \right\}
\]
\[
= \text{II} \cos \alpha \left\{ \frac{1}{2} (a+z) \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} - \frac{1}{2} a^2 \tg^2 \tg x \lg 2 (a+z + \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}) \right\}
\]

Integral del 6.º término \( \int \cos^2 \alpha (a+z) dz = \text{II} \cos^2 \alpha (az + \frac{1}{2} z^2) \)

Integral del 7.º término.
\[
\int \cos \alpha \frac{(a+z) z dz}{\sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}} = \cos \alpha \left\{ \int zdz \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} - a^2 \tg^2 \tg x \int \frac{zdz}{\sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}} \right\}
\]
\[
= \cos \alpha \left\{ \frac{1}{3} [(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x]^{3/2} / \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} - a \left[ \frac{1}{2}(a+z) \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} + \frac{1}{2} a^2 \tg^2 \tg x \lg 2 \right. \right.
\]
\[
\times (a+z + \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x}) \left. \right] - a^2 \tg^2 \tg x \left[ \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} + a^2 \tg^2 \tg x \lg 2 (a+z) \right.
\]
\[
+ \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} \left. \right] \}
\]

Integral del 8.º término \( \int \cos^2 \alpha (a+z) dz = \frac{1}{2} az^2 \cos^2 \alpha + \frac{1}{3} z^3 \cos^2 \alpha \)

Sumando todos los términos, reduciendo y multiplicando por \( \frac{\delta}{\sen^2 \alpha} \), resulta:
\[
M = \frac{\delta}{2 \sen^2 \alpha} \left\{ \frac{1+\cos^2 \alpha}{6} [6\text{II}a+3(\text{II}-a)z-2^2z] - [\text{II}(a+z)-\frac{2}{3} (a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x] \right.
\]
\[
+ a(a+z)+a^2 \tg^2 \tg x \cos^2 \alpha \times \sqrt{(a+z)^2 + a^2 \tg^2 \tg x} \}

Esta función de z se ha de integrar entre los límites z = H y z = h'
Efectuándolo y reduciendo,
\[
M = \frac{\delta}{2 \sen^2 \alpha} \left\{ \frac{1+\cos^2 \alpha}{6} [\text{II}^2 (\text{II}+3a)+h^2 (3a+2h'-3\text{II})-6\text{II}ah'] + \frac{\cos \alpha}{3} [(a+h') (3\text{II}-h')-h'^2+a^2 \right.
\]
\[
\times (1+\tg^2 \tg x)] \times \sqrt{(a+h')^2 + a^2 \tg^2 \tg x} - \frac{\cos \alpha}{3} [(a+\text{II})^2 + a^2 \tg^2 \tg x] / \sqrt{(a+\text{II})^2 + a^2 \tg^2 \tg x} \}
\]
El momento total se obtendrá sumando los valores (8) y (9)
\[
M = M_1 + M_2
\]
El valor de M será aplicable desde \( \frac{a}{\text{II}} = 0 \) hasta \( \frac{a}{\text{II}} = 1 \)
\[
\frac{1}{\tg^2 \theta - \tg^2 w}
\]
A partir de esta última relación debe usarse el valor M exclusivamente, valor que como puede verse es independiente de la altura del terraplén.