La Gaceta industrial (1885-05-25 00:00:00), página 13

aritméticas, por largas y complicadas que sean. Montfoula, en la historia que sobre este tema escribió en 1754, refiere las varias demostraciones ideadas por Vieta, Gregory y Newton, adicionadas con algo de su propio ingenio; pero en todas ellas se echa de ver algún paralogismo, y concluyen por dejar gran vacío en el ánimo. Por un momento pareció que resolvía la dificultad la fórmula de Juan Bernouilli,

\[
\log(-1) = \frac{\pi}{\sqrt{-1}}
\]

y más tarde creyó haber terminado definitivamente el litigio del célebre Wronski con su expresión

\[
\frac{1}{2} \pi = \frac{\infty}{\sqrt{-1}} \times \left[ (1 + \sqrt{-1})^{\infty} - (1 - \sqrt{-1})^{\infty} \right]
\]

de cuyo sentir es también su ilustre comentador y propagandista Montfourier. Pero, más bien que fórmulas, tales expresiones no son más que aparatos o símbolos analíticos, en los cuales se distingue á primera vista la compensación que resulta entre los ceros y los infinitos, del mismo modo que entre los términos imaginarios de numerador y denominador, condición que explícitamente aparece, si se quisiera utilizar el método de Snellio para calcular el lado de un polígono, y que daría

\[
\pi = 2^{\infty} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 ...}}}
\]

Cierto es que los desarrollos en serie de fracciones decrecientes que, á partir de la de Gregory, se han dado bajo tan multiplicadas formas, así como las no menos diversas fracciones continuas que han seguido á la encontrada por Brouncker, é igualmente la relación de producidas continuas de Wallis, y las raíces cuadradas sucesivas ó indefinidas de Vieta, conducen á pensar que el valor de \( \pi \) no puede ser raíz de ninguna ecuación de grado finito, y que es imposible obtenerlo por ningún procedimiento de generación ó construcción inmediata. Mas si queremos atenernos á las demostraciones rigurosas, nos encontramos tan atrasados, que en realidad no se puede contestar, en nombre de la ciencia, que cierto genio de investigaciones sea totalmente absurdo. En 1764, Lambert demostró que la relación de la circunferencia al diámetro no podía ser un número racional, y después Legendre extendió el mismo razonamiento para demostrar que tampoco podía ser la raíz cuadrada de un número racional; pero ahí concluye lo que positivamente se puede asegurar. Por el mismo método de Legendre se conoce que el número discutido no es raíz de una ecuación de segundo grado, lo cual también indica la forma no periódica de los diversos valores desenvueltos en fracción continua; pero más allá nada se puede asegurar, y queda la duda, por remota que sea, de si habrá alguna singular combinación de sumas ó productos de radicales diversamente agrupados, y de grados muy altos, ó construcciones geométricas, que satisfagan con exactitud al problema. La factorial de exponente fraccionario

\[
\frac{1}{2} \sqrt{\pi} = 1^{1/2} 1/1
\]

que dió ya hace más de un siglo Vandermonde, si bien demuestra que el citado valor no es ni racional ni de forma irracional sencilla, parece indicar que se aproxima mucho á las irracionales algebraicas, tanto como las factoriales se acercan á las potencias.

En vista de todo esto, la Academia no puede tomar resolución alguna que aparte la turba de los cuadradores del círculo, y tiene que resignarse por ahora á examinar con paciencia cuantas singularidades se les ocurra presentar, limitándose á rechazar con una sola palabra aquellas que pretendan resolver el problema con un numero racional ó con una sola raíz cuadrada, así como las que conduzcan á valores definitivos menos aproximados que el conocido, y con tanta solidez y tantas garantías de exactitud ya calculado.

Publicado este informe en el Anuario de la Academia del año anterior, advirtió el catedrático del Instituto de Alicante D. Faustino Pérez y Ortiz que la demostración definitiva, en el interior informe deseada, se hallaba en las notas de la 5.a edición de la Geometría elemental de Rouché y Combesrousse, publicada en 1883, y que no había llegado á mis manos cuando redacté dicho informe en los últimos meses del mismo año.

Rouché es quien se da, en los Annales de Mathematiques, como único autor de la nota en la cual desenvuelve, la demostración; cuya originalidad corresponde al distinguido matemático alemán Lindemann. La exposición de Rouché dis- ta mucho de tener toda la precisión y claridad que fueran de desear, pero es concluyente, y la Academia podrá desde ahora, y con un fundamento científico que faltó á la de París, negarse á examinar en adelante mas memorias sobre el asunto.

El arteficio de la demostración consiste en hacer ver que si \( z \) es raíz de una ecuación entera con coeficientes racionales, \( ez \) no puede ser nunca un número racional, y como quiera que existe la relación

\[
\frac{\pi \sqrt{-1}}{e} = -1,
\]

resulta evidentemente que \( \pi \) no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Esto basta para demostrar que el valor de \( \pi \) no se puede construir con la regla y el compás, único objeto que Rouché se propone como propio de un libro de geometría, por más que el método de demostración es muy sutil y fuera del alcance de los estudiantes de matemáticas elementales. Pero la demostración de que la relación de la circunferencia al diámetro es un número trascendente, ó lo que es lo mismo, que no puede ser raíz de ninguna clase de ecuación algebraica, la ha dado Lindemann en una carta dirigida al eminente matemático M. Hermite, y cuyo extracto se imprimió en la página 72 de los Comptes rendus de la Academia de Ciencias de París, correspondientes al segundo semestre de 1882.

No queda, pues, la menor esperanza de que haya solución fácil ni difícil, sencilla ni complicada para el famoso problema de la cuadratura del círculo, y se pueden rechazar sin escrúpulo de conciencia cuantas proposiciones vengan á importunarnos con pretensiones de haberlo resuelto.

EDUARDO SAAVEDRA.

BIBLIOGRAFÍA.

Diccionario Enciclopédico de Agricultura, Ganadería e Industrias Rurales, bajo la dirección de los Sres. D. M. López Martínez, D. J. Hidalgo Tablado y D. M. Prieto y Prieto, con la colaboración de los más distinguidos y reputados agrónomos y demás personas que en España y sus colonias se consagran al estudio y á la práctica de todos los ramos que con la agricultura se relacionan.—Cadenaro, 4.a—Madrid. Vinda é hijos de J. Cuesta, Carretas, 9: 1883.

Nuestros lectores habrán observado seguramente la frecuencia con que en esta sección damos cuenta de Tratados, Manuales ó Monografías sobre las diversas ramas de la industria y de la agricultura, artes y oficios, que publica la co-