La Gaceta industrial (1870-11-10 00:00:00), página 21

Con el freno de Bergue la destrucción de material de que antes hablamos desaparece; desaparecen el rozamiento de las zapatas de los frenos sobre las llantas de las ruedas y el resbalamiento de las últimas sobre los rails.

Estas últimas circunstancias hacen que el empleo del freno de Bergue sea de un valor incomparable para regularizar la marcha de los trenes cuando desciende, por su propio peso, sobre pendientes fuertes.

En pocas palabras: con un mecanismo no muy complicado, de fácil manejo, de una instalación poco difícil y no muy costosa, el freno de Bergue ofrece un medio muy perfecto para asegurar la parada de los trenes con las mejores condiciones que pueden desearse:
1.º Con rapidez y con energía.
2.º Sin desperfectos en los vehículos.
3.º Sin ejercer acción destructiva sobre los rails.

Los experimentos hechos en el freno de Bergue, acerca de la manera de funcionar, han sido completamente satisfactorios, según consta en un informe dado por distinguidos ingenieros franceses.

Es indudable que un largo empleo hará patentes las ventajas que hemos indicado relativas á la conservación de los vehículos y á la mayor duración de los rails en la proximidad de las estaciones, en las pendientes de gran inclinación y en todos aquellos sitios en que con frecuencia se recurre al empleo de los frenos.

Al consignar la importancia del freno del Sr. de Bergue y sus grandes ventajas comparativamente á los frenos generalmente en uso, experimentamos una verdadera satisfacción, y con gran complacencia emitimos el presente informe, llamando á la atención de las personas competentes sobre tan notable invento.

Barcelona 10 de Junio de 1868.—El Ingeniero mecánico, ex-ingéniero jefe del material y de la tracción en los ferro-carriles de Almansa á Valencia y Tarragona y de otros ferro-carriles, A. Perelló.—El Ingeniero industrial y catedrático, Francisco de P. Rojas.—El Ingeniero mecánico y catedrático de la Escuela de Ingenieros industriales, Antonio Traver.

SECCION CIENTÍFICA.

APROXIMACIÓN DE LAS RAICES DE LAS ECUACIONES NUMÉRICAS.

Uno de los métodos mas socorridos para aproximar las raíces incommensurables de las ecuaciones numéricas, es el de Newton, sobre todo ayudándose de la representación geométrica, por medio de una curva, de la ecuación \( f(x) = 0 \) que se trata de resolver. Se sabe que si hay dos raíces aproximadas \( a \) y \( A \), entre las cuales está comprendida la verdadera, se tiene dos límites más aproximados aún—salvo algunos casos excepcionales—haciendo

\[
a' = a - \frac{f(a)}{f'(a)}, \quad A' = A - \frac{f(A)}{f'(A)}
\]

La aproximación producida por este método, es bastante rápida; pero Mr. Meyer ha creído aumentarla del modo que vamos á indicar, salvando al propio tiempo algunos de los casos en que no es aplicable el método directo de Newton.

Propone al efecto servirse de una conocida propiedad de la función cuya derivada es la ecuación propuesta, que si bien se ha utilizado para resultados análogos, presenta, sin embargo, alguna novedad, tal como la plantea el citado ingeniero.

Hagamos, al efecto,

\[
\int f(x)\, dx = F(x) + C;
\]

y consideremos la curva

\[
y = F(x) + C;
\]

la cual tendrá sus puntos máximos y mínimos, correspondiéndose con las abscisas de los puntos en que la curva \( f(x) = 0 \) cortaba al eje de las mismas, ó sea, á las raíces de esta ecuación. Esto sufre una excepción cuando fuera \( f'(x) = 0 \), en cuyo caso habría inflexión y ni máximo ni mínimo en la curva \( F(x) + C \); pero este caso no ocurrirá si la ecuación primitiva carece de raíces iguales, lo cual suponemos, y de no ser así, la trasformaremos en otra u en otras que tengan cada una todas sus raíces desiguales.

Ahora bien, tiremos por los puntos de la curva \( y = F(x) + C \), cuyas abscisas son \( a \) y \( A \), dos tangentes; sus ecuaciones serán:

\[
Y = F(a) - C = f(a)(X - a),
\]
\[
Y = F(A) - C = f(A)(X - A).
\]

Tiremos una paralela al eje de abscisas por el punto de la curva cuya abscisa es

\[
\frac{a + A}{2};
\]

y hallemos las abscisas de los puntos de intersección de esta recta con las dos tangentes anteriores, para lo cual basta hacer en estas

\[
Y = F\left( \frac{a + A}{2} \right) + C;
\]

lo cual dá, llamando \( b \) y \( B \), las abscisas de los puntos de interseccion

\[
b = a + \frac{F\left( \frac{a + A}{2} \right) - F(a)}{f(a)}, \quad B = A + \frac{F\left( \frac{a + A}{2} \right) - F(A)}{f(A)}
\]

La simple comparación sobre una figura de este principio del método de Meyer, con el de Newton, hace ver la mayor rapidez de aquél, pues la recta paralela al eje de abscisas corta á las tangentes citadas en puntos muy próximos al máximo ó al mínimo (pues es indiferente), cuya abscisa es la raíz buscada. Aunque esta primera aproximación es considerable, pueden hacerse otras sucesivas, que se justificarán de una manera análoga á la indicada. Así la inmediata dará los dos nuevos límites más aproximados,

\[
c = b + \frac{F\left( \frac{b + B}{2} \right) - F(b)}{f(b)}, \quad C = B + \frac{F\left( \frac{b + B}{2} \right) - F(B)}{f(B)}
\]

Un inconveniente puede, sin embargo, presentar este método en algunos casos, cuando

\[
F\left( \frac{a + A}{2} \right) < F(a).
\]

Se salva tomando para límites nuevos en este caso los siguientes:

\[
b = a;
\]
\[
B = A + \frac{F(a) - F(A)}{f(A)}
\]