La Gaceta industrial (1870-05-30 00:00:00), página 10

positivo, y el móvil estará en la parte superior del eje de abscisas, al paso que cuando se verifique lo contrario será negativo y estará debajo de dicha línea. Por último, cuando ambos términos sean iguales, se tendrá \( y = 0 \).

Amplitud del tiro. Vamos á determinar en qué punto corta la trayectoria al eje de las \( x \), á cuyo fin bastará hacer \( y = 0 \) en la ecuación (7)

\[
x \tan^2 x - \frac{g x^2}{2 V_0^2 \cos^2 x} = 0
\]

de la cual se deduce:

\[
x^2 - \frac{2 V_0^2 \tan x \cos^2 x}{g} = 0
\]

Despejando \( x \) en esta ecuación de segundo grado incompleta se obtiene:

\[
x = \frac{V_0^2 \cos^2 x \tan x}{g} \pm \frac{V_0^2 \cos^2 x \tan x}{g}
\]

cuyas dos raíces evidentemente son:

\[
x' = 0 \qquad x'' = \frac{2 V_0^2 \cos^2 x \tan x}{g}
\]

La primera \( x' = 0 \) nos manifiesta que la curva pasa por el origen de coordenadas, lo cual sabíamos ya, y la segunda \( x'' \) nos da la distancia en que la trayectoria corta otra vez al eje de las abscisas y que puede simplificarse ateniéndolo á que \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Verificando esta transformación resulta:

\[
x'' = \frac{2 V_0^2 \sin x \cos x}{g}
\]

Este valor de \( x'' \), que se llama amplitud del tiro, y que, como puede verse, varía proporcionalmente al producto \( \sin x \cos x \) (conservándose constante \( V_0 \)). Dedúcese de aquí que habrá una infinidad de direcciones á las cuales corresponderá una misma amplitud de tiro, pues \( x \) puede hacerse variar sin que el producto \( V_0^2 \sin x \cos x \), que es la superficie del rectángulo formado sobre las componentes de \( V_0 \), sufra alteración.

Máxima amplitud del tiro. Podemos determinar el valor que corresponde á \( x \) para que la amplitud del tiro sea un máximo. Bastará para ello que lo sea el valor de \( x'' \) (8) que podemos antes trasformar fácilmente en atención á que:

\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]

en la siguiente expresión:

\[
x'' = \frac{V_0^2 \sin 2x}{g}
\]

en la que no hay más variable que \( \sin 2x \).

Ahora bien: haciendo que \( \sin 2x \) sea un máximo, también lo será \( x'' \), y como el mayor valor de un seno es la unidad, tendremos

\[
\sin 2x = 1 \qquad 2x = 90^\circ \qquad x = 45^\circ
\]

La máxima amplitud del tiro tendrá, pues, lugar cuando la dirección de la velocidad inicial ó sea el eje de la pieza que lanza el proyectil, forme con el horizonte un ángulo de \( 45^\circ \).

Velocidad en un punto cualquiera de la trayectoria. Al recorrer el móvil la trayectoria es claro que se moverá con una velocidad que será la resultante de la velocidad inicial y de la vertical \( gt \) que le imprime la gravedad.

La velocidad inicial puede descomponerse en dos, una horizontal \( b = V_0 \cos x \) y otra vertical obrando de abajo hacia arriba, cuyo valor es \( a = V_0 \sen x \). Por consiguiente, el móvil está solicitado por dos velocidades verticales desiguales y obrando en sentido contrario, cuyo resultante es:

\[
V_0 \sen x - gt
\]

y por otra horizontal \( V_0 \cos x \); luego la resultante \( w \), ó sea la velocidad del móvil, será:

\[
w^2 = V_0^2 \cos^2 x + (V_0 \sen x - gt)^2
\]
\[
w^2 = V_0^2 \cos^2 x + V_0^2 \sen^2 x - 2 V_0 gt \sen x + g^2 t^2
\]

y como la Trigonometría nos da \( \sen^2 x + \cos^2 x = 1 \) resulta:

\[
w^2 = V_0^2 - (2 V_0 gt \sen x - g^2 t^2)
\]

Tomemos ahora la expresión (6) que multiplicada por \( 2g \) da:

\[
2gy = 2g/4 - g^2 t^2
\]

y teniendo en cuenta que \( a = V_0 \sen x \), tendremos

\[
2gy = 2g/4 \sen x - g^2 t^2
\]

valor que sustituido en el de \( w \) antes hallado produce la fórmula:

\[
w = \sqrt{V_0^2 - 2gy}
\]

(9)

que es la más sencilla expresión de la velocidad en un punto de la trayectoria.

Alcance del tiro. Otra cuestión de importancia es la determinación, la máxima ordenada de la curva, ó sea lo que en balística se denomina altura del tiro. Para determinarla, basta observar que hasta llegar á aquel punto el móvil habrá ascendido, después del que empezará descender; luego en el punto más alto la tangente á la trayectoria será horizontal, siendo por consiguiente esta la dirección de la velocidad que quedará reducida á su componente \( V_0 \cos x \), mientras que la vertical será cero, esto es

\[
V_0 \sen x - gt = 0
\]

de donde

\[
t = \frac{V_0 \sen x}{g}
\]

(10)

expresión del tiempo que tarda el móvil en llegar al punto más alto de la curva. Determinemos ahora la abscisa de este punto, á cuyo efecto bastará poner el valor de \( t \) que acabamos de hallar, en la fórmula general de la abscisa (5) se tendrá:

\[
x = V_0 t \cos x \qquad x = \frac{V_0^2 \cos x \sen x}{g}
\]

(11)

fórmula que comparada con la (8) nos manifiesta que la