La Gaceta industrial (1870-07-30 00:00:00), página 8

de eje á eje de las pilas; \( p \) será la carga máxima uniformemente repartida por metro corriente lineal.

El momento de ruptura sobre la pila, es \( \frac{p l^2}{8} \), á no ser que el tramo contiguo dé en este lugar un momento mayor, en cuyo caso este es el que prevalece; pero se trata siempre de calcular la longitud de los tramos de manera que esa diferencia no exista.

El momento de ruptura á una distancia \( \frac{3}{8} l \), del estribo, es
\[
\frac{9}{128} p l^2
\]
Estos momentos son máximos, y desde este último punto van disminuyendo hasta el estribo donde se reduce á 0; y del otro lado, ó sea el de la pila, disminuye también hasta ser nulo á la distancia \( \frac{3}{4} l \). En este punto aumenta gradualmente el momento hasta el centro de la pila.

Las especiales condiciones prácticas de esta clase de trabajos, obligan muchas veces á aumentar considerablemente las secciones de los hierros necesarios para resistir los momentos de ruptura mínima.

Cuando el tramo está encastrado en las dos puntas, el momento en el eje de los apoyos es \( \frac{p l^2}{12} \) y en el medio del tramo \( \frac{p l^2}{24} \).

Estos momentos son máximos y van disminuyendo desde el medio de las pilas hasta un punto distante de las mismas de la cantidad
\[
\frac{1}{2} l \left( 1 - \sqrt{\frac{1}{3}} \right);
\]
y partiendo de estos puntos, donde el valor es mínimo, van aumentando hasta el medio del tramo. Las mismas observaciones que más arriba hemos indicado, debemos hacer aquí con respecto á las secciones de los hierros en los puntos donde el momento de ruptura es mínimo.

Algunas modificaciones tendríamos que introducir en estas fórmulas si los tramos fueran de diferentes longitudes; pero en la práctica y, sobre todo, en puentes importantes, estas dificultades se presentan muy raramente.

Para profundizar más esta materia, sigamos las operaciones siguientes:

Supondremos que todos los tramos soportan un peso uniformemente repartido, compuesto, ya sea de la carga permanente, ya sea de esta sumada con las sobre-cargas accidentales. Cada tramo será considerado aisladamente como empotrado en un extremo y libre en el otro cuando descanse sobre una pila y un estribo; pero empotrado en las dos puntas cuando se apoye sobre dos pilas. Resultarán, pues, generalmente momentos de ruptura desiguales para las dos secciones que se reunen sobre un mismo apoyo. El mayor de estos dos momentos será necesariamente el que ejercerá su acción sobre todo el sistema. De manera que en los sistemas semejantes á este se puede decir que hay tramos pasivos y tramos activos. Estos dan los mayores momentos de ruptura sobre los apoyos, y en aquellos el equilibrio se restablece empleando la resistencia de estos momentos.

La ecuación diferencial del eje de un sólido prismático, apoyado por sus dos extremos y cargado uniformemente, es:
\[
z = \frac{d y^2}{dx^2} = \frac{1}{2} p x^2 - \left( \frac{1}{2} p l^2 + z_0 - z_1 \right) \frac{x}{l} + z_0 \tag{1}
\]
En la cual \( z_0 \) y \( z_1 \) representan los momentos trasversales ó momentos de ruptura; \( z \) el momento de ruptura en un punto cualquiera del eje del prisma; \( p \) la carga repartida uniformemente por cada metro lineal de la longitud \( l \) del prisma; \( z \) el producto del momento de inercia \( I \) por el coeficiente de elasticidad \( E \). Estas dos últimas cantidades son constantes en una viga prismática homogénea; por consiguiente, lo mismo sucederá con \( z \).

En fin, \( x \) y \( y \) son las abscisas y ordenadas del eje del sólido después de la flexión. El origen de las coordenadas está en uno de los extremos del eje.

La primera integral de la relación (1) es:
\[
\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6} p x^2 - \left( \frac{1}{2} p l^2 + z_0 - z_1 \right) \frac{x}{2 l} + z_0 + c \tag{2}
\]
y la segunda
\[
y = \frac{1}{24} p x^4 - \left( \frac{1}{2} p l^2 + z_0 - z_1 \right) \frac{x^3}{6 l} + \frac{z_0}{2} x^2 + e x + e^1 \tag{3}
\]
cuando \( x = 0 \) se tiene \( y = 0 \); por consiguiente \( e^1 = 0 \).

Si se trata de una viga empotrada por sus dos extremidades, cuando
\[
x = 0, \quad \frac{d y}{d x} = 0,
\]
la ecuación (2) dá pues \( e = 0 \).

Supongamos \( x = l \) en las ecuaciones (2) y (3), la primera dá
\[
\frac{d y}{d x} = 0;
\]
después de la simplificación tendremos
\[
p l^3 - 6 (z_0 + z_1) = 0 \quad \text{y} \quad -p l^3 + 8 z_0 + 4 z_1 = 0
\]
de donde se deduce:
\[
z_0 - z_1 = \frac{p l^2}{12}.
\]
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (3) encontramos:
\[
2 z = p \left( x^2 - l x + \frac{l^2}{6} \right) \quad \text{y} \quad y = \frac{p x^4 (x - l)^2}{24};
\]
cuando \( x = -l \), estas dos relaciones se trasforman en
\[
z = \frac{p l^2}{24} \quad y = \frac{p l^4}{384 \varepsilon}.
\]
Estos son los valores del momento de ruptura y de la flecha en el punto medio del tramo; este último, en la hi-