La Gaceta industrial (1870-06-10 00:00:00), página 8

SECCION CIENTÍFICA.

GEOMETRIA INDUSTRIAL.

TRISECCION GRÁFICA DEL ÁNGULO.

(Fig. 1.)

Sea \( ACB \) (fig. 1.) el ángulo que se trata de dividir en tres partes iguales: Si conseguimos trazar una circunferencia, que teniendo el centro en la bisectriz del ángulo dado, cumple además con la condición de interceptar los lados prolongados del mismo, de tal modo que el arco \( AB \) sea doble del arco \( DE \), no tendremos más que unir el punto \( A \) con el \( D \), quedando así formado el ángulo \( DAE \), tercera parte del propuesto. En efecto, la medida del ángulo propuesto \( ACB \) es igual a \( \frac{AB + DE}{2} = \frac{3}{2} \cdot DE \). La medida del ángulo \( DAR \) es igual a \( \frac{DE}{2} \); y siendo este último resultado la tercera parte del anterior, claro es que sus ángulos respectivos se encontrarán en la misma relación. Queda, pues, probado, que el ángulo \( DAR \) es la tercera parte del \( ACB \). La cuestión está, pues, reducida á encontrar el centro y radio, que oblique á la circunferencia, que por medio de ellos se trace, á cumplir con la condición anteriormente expresada. Para eso nos valdremos de una escuadra, representada en la (fig. 2.), que reúne las dos condiciones siguientes: \( mp \) perpendicular á \( nq \), y \( mn = np \).

(Fig. 2.)

Para dividir prácticamente, por medio de dicha escuadra, el ángulo \( ACB \) en tres partes iguales, colocaremos el lado \( nq \) sobre el vértice \( C \) de dicho ángulo, y le haremos tomar una posición conveniente para que sin separarse la regla \( nq \) del punto \( C \), los puntos \( m \) y \( p \) coincidan con los lados prolongados \( CD \) y \( CE \) en los puntos \( D \) y \( E \); fija en esta posición la escuadra, se marcarán los puntos \( D \) y \( E \) y la línea \( FG \), que será bisectriz del ángulo \( ACB \).

Detengámonos un momento sobre la figura, y observaremos que el arco \( AF \) es igual al \( DB \), luego la perpendicular levantada en el punto medio de la cuerda \( AF \), además de pasar por el centro de la circunferencia, tendrá que pasar necesariamente por el punto \( B \). Guiados, pues, por estas circunstancias, coloquemos una regla sobre el lado \( AC \), de modo que el extremo de ella coincida con el punto \( B \), marcado anteriormente, y haciendo resbalar la escuadra de manera que el punto \( m \) roce á lo largo de la regla \( AE \), y que el lado \( nq \) pase constantemente por el extremo \( B \), claro es que llegará un momento en que el punto \( p \) coincida con la bisectriz \( FG \) anteriormente trazada. Llegado que sea dicho momento, el problema ha quedado resuelto, pues la intersección del brazo \( nq \) con la bisectriz, determina el centro \( o \) de la circunferencia, que con el radio \( r = oE = oD = oA = oF \), cumplirá con la condición que se buscaba.

(Fig. 3.)

El lugar geométrico de las diferentes posiciones que el punto \( p \) de la escuadra toma, durante la marcha á lo largo de la regla, está representado por la curva trazada en la (fig. 3.). Vamos á encontrar la ecuación de esta curva, referida á los ejes \( Y o X \), teniendo presente que la \( oc \) de la (fig. 3.) es la \( AC \) de la (fig. 2.), y el punto \( C \) es el punto \( B \): el sistema es rectangular.

Por la construcción de la (fig. 3.) se tiene

\[
\overline{oA^2} = \overline{AB^2} + \overline{oB^2} = x^2 + y^2
\]

además

\[
oA = oC = oB\ B + c = x + \sqrt{a^2 - y^2}
\]

habiendo hecho \( AC = a \) que es el lado \( mp \) de la escuadra. De la igualdad anterior se saca

\[
\overline{oA^2} = (x + \sqrt{a^2 - y^2})^2 = x^2 + 2x\sqrt{a^2 - y^2} + a^2 - y^2
\]

luego

\[
x^2 + y^2 = x^2 + a^2 - y^2 + 2x\sqrt{a^2 - y^2}
\]

ó bien

\[
2y^2 = a^2 + 2x\sqrt{a^2 - y^2}
\]

que es la ecuación de la curva. Si en ella se hace \( y = 0 \) se obtiene \( x = - \frac{1}{2} a \) como ya lo demostraba la figura. Si se hace \( y = a \) se obtiene \( x = \infty \) lo cual nos dice que una