La Gaceta industrial (1870-06-10 00:00:00), página 9

paralela al eje de las x y á la distancia a, será una asíntota de la curva.

(Fig. 4.)

Para encontrar las coordenadas del punto de intersección H con la bisectriz, tra sladaremos la ecuación de la curva, del sistema coordenada XoY' á que está referida, al XoY', y haciendo en ella y = o nos dará el valor de x ó sea la distancia oH. Supongamos que oB = q  BC = p  oC = r y por consiguiente a = 2p, y después de hechas todas las operaciones correspondientes á la geometría analítica (que omito por no creerlas necesarias), y de hacer y = o, se obtendrá la ecuación en x de 4.º grado.

\[
x^4 + 2q \cdot x^3 + \frac{a^2 q^2 + p^2 r^2 - a^2 p^2}{p^2} \cdot x^2 -
\frac{2a^3 q r^2}{p^2} \cdot x - \frac{r^2(a^4 - 4a^2 r^2)}{4p^2} = 0
\]

Esta ecuación, por ser de grado par, y tener el último término negativo, tendrá dos raíces reales, una positiva y otra negativa, y como el punto H está situado hacia el lado de las x positivas, sólo el valor positivo de x satisfará á un mismo tiempo á la ecuación y al problema.

Para resolver esta ecuación de 4.º grado principiaremos por hacer desaparecer el segundo término, lo que se conseguirá cambiando x por \( x - \frac{2q}{4} = m \), quedando entonces la ecuación trasformada en esta otra

\[
m^4 + \frac{a^2 q^2 + p^2 r^2 - a^2 p^2}{p^2} \cdot m^2 - \frac{2a^3 q r^2}{p^2} \cdot m -
\frac{r^2(a^4 - 4a^2 r^2)}{4p^2} = 0
\]

Esta ecuación puede provenir del producto de dos factores en la forma

\[
x^2 + A x + B \quad y \quad x^2 + A' x + B'
\]

puesto que dicha ecuación en forma general será

\[
x^4 + p x^3 + q x^2 + r x = x^4 + (A + A') x^3 + (B + B' + AA') x^2 + (A'B + B'A) x + BB'.
\]

Para que esto se verifique, se hace preciso que \( A + A' = 0 \).

\[
B + B' + AA' = p, \quad A' B + B' A = q, \quad BB' = r.
\]

de donde se saca

\[
B = \frac{1}{2} \left( A^2 + p - \frac{q}{A} \right) \quad y \quad B' = \frac{1}{2} \left( A'^2 + p + \frac{q}{A} \right)
\]

sustituyendo estos valores de B y B' en BB' = r tendremos

\[
A^6 + 2p A^4 + (p^2 - 4r) A^2 - q^2 = 0
\]

si hacemos \( A^2 = z \) quedará la ecuación de tercer grado siguiente

\[
z^3 + 2p z^2 + (p^2 - 4r) z - q^2 = 0
\]

Sustituyendo, pues, en vez de p, q y r, los valores correspondientes de nuestra última ecuación, quedará

\[
z^3 + z^2 \times \frac{2(a^2 q^2 + p^2 r^2 - a^2 p^2)}{p^2} +
z \left( \frac{(a^2 q^2 + p^2 r^2 - a^2 p^2)^2}{p^4} + \frac{r^2(a^4 - 4a^2 r^2)}{p^2} \right) -
\frac{4a^4 q^2 r^4}{p^4} = 0
\]

Esta ecuación, por ser de grado impar y de último término negativo, tendrá por precisión una raíz real y positiva, y para resolverla haremos desaparecer el segundo término, cambiando z por

\[
z - \frac{2(a^2 q^2 + p^2 r^2 - a^2 p^2)}{3p^2} = z'
\]

quedando entonces la ecuación

\[
z'^3 + z' \left( \frac{(a^2 q^2 + p^2 r^2 - a^2 p^2)^2}{p^4} + \frac{r^2(a^4 - 4a^2 r^2)}{p^2} \right) -
\frac{4a^4 q^2 r^4}{p^4} = 0
\]

La fórmula del valor de z' es

\[
z' = \sqrt[3]{-\frac{1}{2} q + \sqrt{\frac{1}{4} q^2 + \frac{1}{27} p^3}} +
\sqrt[3]{-\frac{1}{2} q - \sqrt{\frac{1}{4} q^2 + \frac{1}{27} p^3}}
\]

siendo p el coeficiente lineal y q el término constante. Sustituyendo, pues, dichos valores en esta fórmula se tendrá el valor de z' y por consiguiente el de z.

Hemos dicho antes que la ecuación propuesta después de hacerle desaparecer el segundo término, es susceptible de ser representada por la forma siguiente

\[
(x^2 + A x + B) \times (x^2 + A' x + B') = 0
\]

dicha forma podrá ser satisfecha con ser

\[
x^2 + A x + B = 0
\]

ó bien

\[
x^2 + A' x + B' = 0
\]

de donde

\[
x = -\frac{1}{2} A \pm \frac{1}{2} \sqrt{A^2 - 4B}
\]

y