La Gaceta industrial (1869-09-10 00:00:00), página 10

nica, y zanjado la difícil cuestión del caso irreducible. Por último, el Dr. Juan Augusto Grunert, profesor de la Universidad de Greiswald, ha publicado en 1883 un método muy original para resolver la ecuación

\[
x^3 - 3ax^2 + 3bx - c = 0,
\]

por medio de su comparación con la identidad:

\[
(u + v + w)^3 - 3u(u + v + w) + 3(u^2vw)(u + v + w) - (u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw) = 0.
\]

El examen detenido de todos estos métodos, no me ha dejado duda acerca de la novedad del que voy á exponer. Ahora, rístame solo decir de qué modo he conseguido hallarlo.

Ocupado en algunos problemas sobre la trasformación de las ecuaciones, traté de hallar qué condiciones debía tener un sistema de ecuaciones de primer grado, cuyas incógnitas fuesen las raíces de una ecuación propuesta, para que las cantidades constantes que en dicho sistema de ecuaciones entran, tomadas como indeterminadas, fuesen á su vez las raíces de otra ecuación más fácil de resolver que la propuesta, y directamente derivable de ella.

Entre otros resultados menos importantes, hallé que de la ecuación

\[
x^3 + px^2 + qx + r = 0,
\]

se podía derivar otra ecuación más fácil de resolver

\[
y^3 + xy^2 + xy + c = 0,
\]

cuyas raíces \(a, \delta\) y \(\gamma\), eran las constantes del sistema de ecuaciones de primer grado

\[
\begin{align*}
a &= \frac{a+b+c}{a+m} \\
\delta &= \frac{a+b+c}{b+m} \\
\gamma &= \frac{a+b+c}{c+m}
\end{align*}
\]

cuyas tres incógnitas son \(a, b\) y \(c\), y á su vez raíces de la ecuación:

\[
x^3 + px^2 + qx + r = 0,
\]

siempre que \(m\) fuese igual á

\[
m = \frac{pq - 9r \pm \sqrt{(9r - pq)^2 - 4(p^2 - 3q)(q^2 - 3pr)}}{2(p^2 - 3q)}.
\]

De este resultado, fácil me fué deducir el método que presento.

Que sea del agrado de la ilustre Academia de Ciencias, es mi mayor deseo, siendo para mí satisfacción bastante el saber si, al ocuparme en esta cuestión, he aprovechado ó perdido el tiempo.

EXPOSICIÓN DEL MÉTODO.

Sea la ecuación de tercer grado

\[
x^3 + px^2 + qx + r = 0; \tag{1}
\]

si sustituimos en esta ecuación, en vez de \(x\), una nueva incógnita \(y\), ligada con la primitiva por medio de la ecuación

\[
x = \frac{1}{y} - m; \tag{2}
\]

en que \(m\) representa una cierta cantidad no determinada to-

davía, obtendremos una primera transformada de la ecuación (1), que será en general

\[
y^3 + xy^2 + xy + c = 0, \tag{3}
\]

siendo \(\pi, x\) y \(z\) coeficientes que hay que hallar en función de los de la ecuación (1) y de \(m\).

Para obtener estos coeficientes, y por consiguiente la trasformada (3) (*) observaremos que en virtud de la ecuación (2),

\[
y = \frac{1}{x + m};
\]

sean ahora \(a, b\) y \(c\) las raíces de la ecuación (1), y \(a, \delta\) y \(\gamma\) las de su trasformada (3); tendremos:

\[
\begin{align*}
a &= \frac{1}{a+m} \\
\delta &= \frac{1}{b+m} \\
\gamma &= \frac{1}{c+m}
\end{align*}
\] \tag{4}

Los coeficientes que buscamos cumplen con las siguientes relaciones:

\[
\begin{align*}
-\pi &= a + \delta + \gamma \\
\pi &= a + \delta + \gamma a + \delta \gamma \\
-\rho &= 2 \delta \gamma
\end{align*}
\] \tag{5}

sustituyamos en ellas los valores (4), y resultará:

\[
-\pi = \frac{1}{a+m} + \frac{1}{b+m} + \frac{1}{c+m}
\]
\[
-\pi = \frac{(b+m)(c+m)+(a+m)(c+m)+(a+m)(b+m)}{(a+m)(b+m)(c+m)}
\]
\[
-\pi = \frac{(m^2+(b+c)m+bc)+(m^2+(a+c)m+ac)+(m^2+(a+b)m+ab)}{(a+m)(b+m)(c+m)}
\]
\[
-\pi = \frac{1}{F} \left( 3m^2 + 2(a+b+c)m + (ab+ac+bc) \right) \tag{6}
\]
\[
x = \frac{1}{F} \left( 3m + (a+b+c) \right) \tag{7}
\]
\[
-\rho = \frac{1}{F} \tag{8}
\]

en cuyos resultados

\[
F = (a+m)(b+m)(c+m). \tag{9}
\]

A causa de las relaciones que ligan los coeficientes de la ecuación (1) con sus raíces, tendremos finalmente:

\[
\pi = -\frac{1}{F}(3m^2 - 2pm + q)
\]
\[
x = \frac{1}{F}(3m - p)
\]
\[
\rho = -\frac{1}{F}
\]

(*) Véase la nota 1.a