La Gaceta industrial (1869-10-20 00:00:00), página 10

Nada importa que al concluirse las t unidades cambie \( f(t) \) de valor, pues si continúa aun constante en otro plazo, tendremos otra fórmula análoga á la anterior, y así sucesivamente.

Pero si \( f(t) \) es variable para cada uno de los elementos de \( t \), entonces el crecimiento acumulado me dará en vez de la fórmula (7), la siguiente,

\[
A_t = A_0 \left(1 + f_1(t)\right) \left(1 + f_2(t)\right) \left(1 + f_3(t)\right) ... \left(1 + f_t(t)\right)
\] (8)

Si efectuamos el producto en la (8) y despreciamos como antes (d), los términos en que entre más de un factor \( f_i(t) \), tendremos

\[
A_t = A_0 \left(1 + f_1(t) + f_2(t) + ... + f_t(t)\right)
\] (9)

Esta fórmula tiene \( t+1 \) términos; \( t \) es un número entero positivo ó negativo.

(b). Supongamos que \( t \) es entero en la fórmula (7), y aumentemos \( t \), en cuyo caso (e) disminuirá \( z \), de tal modo que su producto sea siempre constante, expresado por la ecuación

\[
at = i
\] (10)

Por tanto, si hago á \( t \) un número entero \( K \) veces mayor, tendré

\[
A_0 \left(1 + \frac{a}{K}\right)^{Kt}
\] (11)

Con estas condiciones resulta mayor que el (7), pues desarrollando por el binomio de Newton los segundos miembros de las ecuaciones (7) y (11), acusan esta desigualdad, la cual aumenta á medida que crece \( K \), pero con menor rapidez que este número.

(i). Si \( f(t) \) que era constante en los intervalos de \( t, (g) \), lo sigue siendo en los \( \frac{t}{K} \), en cuyo caso valdrá para uno de estos \( \frac{f(t)}{K} \), tendrá aplicado á las expresiones

\[
A_0 \left(1 + f(t)\right)^{\frac{Kt}{K}}; \quad A_0 \left(1 + \frac{f(t)}{K}\right)^{Kt};
\]

todo lo dicho, (h). Esta hipótesis segunda debe admitirse, concedida la primera, pues si los crecimientos en los intervalos de \( t \) se consideran constantes, con más razon podrá suponerse de los intervalos menores aún que \( \frac{t}{K} \).

Mas aún, habrá casos en que \( f(t) \) variará en los intervalos \( t \) y habrá necesidad de aplicarlas fórmulas (g); pero que disminuyendo aquellos, sobre todo si \( K \) es grande, podrán mirarse sin error sensible como constantes los valores \( \frac{f_1(t)}{K}; \frac{f_2(t)}{K} ... \), y tomarse uno de ellos para aplicar la fórmula (7).

Si no es posible conseguir esto, se podrá aumentar el número de intervalos y se continuará aplicando la fórmula (g), que en vez de \( t+1 \) términos, tendrá ahora \( Kt+1 \).

(j). Si en la fórmula (11) se hace \( K \) infinitamente grande, se sabe que entonces tenemos

\[
\left(1 + \frac{a}{K}\right)^{Kt} = e^{\frac{at}{K}}; (*)
\]

siendo \( e = 2,71828... \) la base del sistema neperiano de Logaritmos. Tendré, pues, que la fórmula (11) se convertirá en

\[
A_t = A_0 e^{\frac{at}{K}}
\] (12)

ó bien

\[
A_{t'} = A_0 e^{\frac{at'}{K}}
\]

Para otro valor de \( t \), por ejemplo para \( t'' \), tendré

\[
A_{t''} = A_0 e^{\frac{at''}{K}}
\]

luego

\[
A_{t'''} = A_{t''} e^{\frac{a(t''' - t'')}{K}}
\] (19)

sobre cuya fórmula llamamos la atención, porque será la base de ulteriores desarrollos, y además puede significar el trabajo del vapor por expansión y otras aplicaciones físicas.

(Se continuará.)
G. VICUÑA.

CRÓNICA CIENTÍFICO-INDUSTRIAL.

1. Máquina para reparar las partículas de cobre y hierro.—2. Laminador de tres cilindros.—3. Correas de acero.—4. Máquina auxiliar de los hornos de coke.

1. En ciertos minerales de hierro cuyo estado de división es considerable, se encuentran pedacitos de cobre, y su separación subsana los gastos necesarios para efectuarla. Quitando por un lavado previo la arena, tier-

(*) La demostración elemental y corriente es la siguiente:

\[
\left(1 + \frac{1}{K}\right)^K = 1 + 1 + \frac{K(K-1)}{1.2} \cdot \frac{1}{K^2} + \frac{K(K-1)(K-2)}{1.2.3} \cdot \frac{1}{K^3} + ...
\]

Cuando \( K = \infty \) tengo que \( K-1; K-2; ... \) son también \( \infty \) y por tanto

\[
\left(1 + \frac{1}{\infty}\right)^{\infty} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1.2} + \frac{1}{1.2.3} ... = e = 2,71828...
\]

Pero \( e = 1 + \frac{t}{1} + \frac{t^2}{1.2} + .... \) luego \( \left(1 + \frac{1}{\infty}\right)^{\infty} = e \).

Además \( \left(1 + \frac{a}{\infty}\right)^{\infty} = 1 + \frac{a}{1} + \frac{a^2}{1.2} + .... = e \)

luego finalmente \( \left(1 + \frac{a}{\infty}\right)^{\infty} = e^{\frac{at}{\infty}} \)

Se demuestra también en los autores de Álgebra y Cálculos que las fórmulas son ciertas para valores fraccionarios y negativos del exponente.