La Gaceta industrial (1869-12-10 00:00:00), página 9

a \((1+x)^{p-1} + (1+x)^{p-2} + \ldots + (1+x) + 1\)=A_0(1+x)^p;

ó sea

\[
A_0(1+x)^p = a \frac{(1+x)^p - 1}{x}
\] (8')

Esta ecuación resuelve el problema propuesto, despejando \(a\), y da una relación entre las cuatro cantidades \(A_0, x, p,\) y \(a\) tal, que dadas tres queda determinada la cuarta. Así el valor de \(a\) es

\[
a = \frac{A_0 x (1+x)^p}{(1+x)^p - 1} = \frac{A_0 x}{1 - \frac{1}{(1+x)^p}}
\]

Se demuestra (véase Arit. de Paque) que esta fórmula es cierta, aun cuando \(p\) sea fraccionario.

Hay otros métodos expuestos, así como el anterior, en los autores, para llegar á la misma fórmula.

Si es á interés mensual tengo

\[
a = \frac{A_0 x}{1 - \frac{x}{(1+\frac{x}{12})^{12p}}}
\]

valor mayor que el anterior.

(m') Si suponemos que la operación anterior se verifica con interés verdadero, tengo que el capital incrementado \(A_0 e^{ap}\) debe sufrir por efecto de la primera anualidad entregada al fin del primer año de la imposición, una disminución de \(ae^{a(p-1)}\); y repitiendo este razonamiento como antes, llegamos á la fórmula siguiente, notando que la última anualidad obra á interés verdadero en un año:

\[
A_0 e^{ap} = a \left( e^{a(p-1)} + e^{a(p-2)} + \ldots + e^a \right)
\]

sto es

\[
a = \frac{A_0 e^{xp}}{e^{a(p-1)} + e^{a(p-2)} + \ldots + e^a}
\] (9')

De ella deducimos llamando \(S_1, S_2, \ldots\) las sumas de los números naturales, sus cuadrados etc., desde 1 hasta \(p-1\)

\[
a = \frac{A_0 e^{ap}}{(p-1)! + S_1 x + S_2 \frac{x^2}{2} + \ldots} \quad (p-1)! + a \left( S_1 + S_2 \frac{x}{2} + S_3 \frac{x^2}{2.3} + \ldots \right)
\]

Se verá que la anualidad obtenida por este sistema es menor que la del interés compuesto (\(k'\)), lo cual está en conformidad con la naturaleza del problema, por efecto de la mayor acumulación en el segundo caso. Los banqueros salen, pues, perjudicados con la fórmula (8') respecto de la (9') que es la verdadera matemática, al contrario de lo que sucede en el interés, y aun en el descuento cuando \(x\) es negativo (\(i'\)).

(n') Llámase renta vitalicia la cantidad constante que ha de cobrar por año un imponente de un capital \(A_0\), hasta la hora de su muerte. Sea \(p\) el número de años que hayan de trascurrir desde la imposición hasta la muerte del individuo; tendremos las fórmulas (8') y (9'). La primera es la única usada por las sociedades de seguros sobre la vida, con perjuicio de sus intereses, como hemos probado, si se atiende á la naturaleza íntima del problema.

La determinación del número \(p\) se dá por tablas de mortalidad, en las cuales se fija por datos estadísticos, en relación con la edad del individuo. La vida probable \(p\) depende, pues, de la edad. Bastará encontrar \(p\) en las tablas y sustituirlo en las fórmulas.

Si la renta vitalicia se hace sobre varias personas, dando á las supervivientes la misma cantidad que corresponde á todas, tendremos un problema, cuya resolución por interés verdadero (\(V\)) no es fácil de determinar, y da una solución más ó menos exacta partiendo del compuesto (\(k'\)). Hay otros problemas de seguros y ahorros que pudieran resolverse por ambos métodos, pero su complicación hace que sean de difícil comparación.

III.

APLICACION Á LA DILATACION DE LOS CUERPOS POR EL CALOR.

(Véanse los artículos publicados en LA GACETA INDUSTRIAL, números 163, 164, 165, 166 y 167, en los cuales expusimos algunos principios de la teoría general; pero que estaría mejor detallada á haberse dado en este sitio: como allí quedaron señalados los puntos principales, omitimos entrar aquí en más menores, fáciles de comprender después de lo que llevamos dicho en la aplicación al interés.)

IV.

OTRAS APLICACIONES.

El problema del crecimiento continuamente acumulado puede servir de base á algunos otros casos de la física, además del anterior.

Sea, por ejemplo, una barra vertical de cuyo extremo cuelga un peso. Si suponemos que la dilatación producida por este peso en la unidad de tiempo es \(x\) y para cuerpos perfectamente elásticos en un tiempo pequeño \(t\) tendremos, siendo \(A_0\) la longitud primitiva, y \(A_t\) la nueva

\[
A_t = A_0 (1+xt)
\]

Pero al mismo tiempo que la longitud aumenta, disminuye la sección y por consiguiente el aumento de aquella no es proporcional al tiempo, toda vez que la ecuación anterior supone constante dicha sección. Si, pues, el volumen permaneciera constante habría que hallar la