La Gaceta industrial (1869-09-20 00:00:00), página 8

SECCION CIENTÍFICA.

NUEVO MÉTODO GENERAL
PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE TERCER GRADO.

(Continuación.)

Discusión.

Hemos obtenido para m dos valores distintos, correspondientes á las dos distintas raíces de la ecuación de segundo grado (11). Es evidente que estos dos valores pueden servir para hallar el valor x en la ecuación general propuesta (1); pero sería un absurdo, una vez decidido cual de esos dos valores hemos de emplear, el emplear el otro para hallar todas las raíces de (1), en la creencia de que habiéndonos dado el primer valor tres distintas raíces, correspondientes á los tres valores de x de la fórmula final (19), el otro nos da otras tres. En efecto; por medio de uno cualquiera de los dos valores de m se logra reducir la transformada (10) á ecuación binomial, y de este modo resolver la ecuación (1) de un modo completo, porque para admitir que la ecuación (1) no había sido resuelta de un modo completo, sería necesario admitir también que su reducida binomia tampoco lo había sido, lo que es absurdo.

Ahora bien: si uno solo de los dos valores de m resuelve completamente la ecuación (1), el otro debe también por su parte, é independientemente del primero, resolverla. De aquí se deduce que los dos valores de m nos dan á conocer, no distintas raíces, sino dos distintas soluciones completas de la ecuación (1); soluciones que nos dan, cada una por su parte, todas las raíces. Esto además es bien evidente; pues de admitir que cada una de estas soluciones nos da distintas raíces, como cada solución nos da tres raíces correspondientes á los tres valores de x, deduciríamos el absurdo de que la propuesta (1), que es de tercer grado, tiene más de tres raíces.

También es notorio, que los tres valores de x que nos da la fórmula (19), correspondientes á cualquiera de los dos valores de m, son los tres raíces de la ecuación (1). En efecto: una vez elegido m (y esta elección es completamente arbitraria, pues m no tiene que cumplir con más condiciones que la de ser raíz de la ecuación (11), y los dos valores lo son), los valores de x sólo dependen de z. Si hubiera algún valor de z, que sustituido en (19), no nos diera una raíz de la ecuación (1), la causa de esto sería que el valor de x, tendría que cumplir con alguna condición, en algún caso incompatible, con la de ser raíz cúbica de la unidad; pero esta condición no existe, porque los tres valores de x nos dan una de las tres raíces de la ecuación (13), y esta es la única condición á que están sujetos; condición que siempre cumplen para que la fórmula (19) nos dé las raíces de la ecuación propuesta (1).

El valor de m (12) será real ó imaginario, según sea

\[(9r-pq)^2-4(p^3-3pq)(q^2-3pr)\geq 0\]

Probemos ahora, que para que m sea imaginario, es preciso, y basta, que las tres raíces de la ecuación (1) sean reales, y reciprocamente.

Para que esto último sea cierto, es condición indispensable que

\[3(9r-pq)^2+4p^3r-4pq^2+4q^3<0.\] (20)

Esto supuesto, si probamos que la condición

\[(9r-pq)^2-4(p^3-3pq)(q^2-3pr)<0\] (21)

es la misma condición (20), quedará probada nuestra proposición.

Desarrollemos la desigualdad (20): tendremos:

\[27r^2+4p^3r-18pq^2-p^2q^2+4q^3<0.\] (22)

Desarrollando también la condición (21) resulta:

\[81r^2+12p^3r-54pq^2-3p^2q^2+12q^3<0.\]

Multiplicando la desigualdad (22) por 3, hallaremos:

\[81r^2+12p^3r-54pq^2-3p^2q^2+12q^3<0;\]

desigualdad que evidentemente es la misma que la (21). Queda probado, pues, lo que pretendíamos demostrar.

Vemos, pues, que cuando las tres raíces de la ecuación general de tercer grado son reales, m es imaginario, y x no es susceptible de recibir una determinación bajo forma finita, en que solo entren cantidades reales ligadas entre sí por medio de los algoritmos ordinarios, si nos valemos, para resolver la ecuación, del presente método.

Esta singularidad algebraica es completamente semejante al caso irreducible señalado por Cardan en el método que se le atribuye para resolver las ecuaciones de tercer grado, desprovistas de segundo término. Y como nuestro método es completamente diferente del de Cardan, tanto en sus resultados como en el camino que á ellos conduce, no deja de ser notable que la misma causa que con respecto al actual punto de vista, la obtención de las raíces bajo forma real y finita, inutiliza el método de Cardan, inutilice también el nuestro. Esto nos induce á creer, que la causa de esta singularidad no reside en el procedimiento ó método resolutivo y en sus finales fórmulas, sino en una verdadera imposibilidad, demostrada por la resolución trigonométrica del caso irreducible de Cardan.

Pero si notable es este caso irreducible, mucho más lo es el caso en que:

\[(9r-pq)^2-4(p^3-3pq)(q^2-3pr)=0;\] (23)

tendremos entonces:

\[\frac{m=9r-pq}{2(p^3-3pq)}\] (24)

Si p, q y r son reales, como es posible en este caso, m lo será también, y entonces la ecuación (1) tendrá una raíz real y dos imaginarias, pues 0 y Φ serán también reales; pero esto es imposible, por más que á primera vista parezca posible, pues es sabido que cuando la condición (23) se verifica, la ecuación (1) tiene todas sus raíces reales, de las cuales dos son iguales. ¿De qué procede esta contradicción? He aquí la respuesta.

Si admitimos que en este caso m es real, como á primera vista aparece la contradicción es forzosa; y como sólo esta suposición es la causa de la contradicción, no es posible admitirla. Luego m no puede ser real. Debe ser, pues, imaginario, no sólo porque esto es lo único que puede ser, no siendo real, sino porque siendo imaginario, pueden ser las raíces de (1) reales, á causa de que ya no son las raíces cúbicas de la unidad las únicas cantidades imaginarias que en ellas entran, y