La Gaceta industrial (1869-03-10 00:00:00), página 9

locidad \( V \) á la \( V_s \), se puede obtener, teniendo presente que

\[
V = \frac{dE}{dt} \quad 6 \frac{dE}{dt} = \frac{dE}{V}
\]

luego

\[
\frac{2P}{KM^2} \frac{dV}{V^2}
\]

é integrando

\[
t = \frac{2P}{KM^2} \left( \frac{1}{V} - \frac{1}{V_o} \right)
\] (2)

Determinemos ahora el valor de la aceleracion \( V_a \) correspondiente á una velocidad \( V \), sabemos que

\[
V = \frac{dV}{a \ dt}
\]

y poniendo en vez de \( dt \) su valor

\[
\frac{2P}{KM^2} \frac{dV}{V^2}
\]

tendremos

\[
V_a = \frac{KM^2}{2P} V^2
\] (3)

Para llegar á determinar el coeficiente \( K \), observemos que de la ecuacion (2) se deduce

\[
\frac{1}{V_s} - \frac{1}{V} = \frac{KM^2}{2P}
\]

ó bien

\[
V_s = \frac{2PV}{2P - KMV^2}
\]

Sustituyendo este valor de \( V_s \) en la (1), resulta

\[
E = \frac{2P}{KM^2} \frac{l}{2P - KMV^2}
\]

de donde puede deducirse fácilmente el valor de \( K \)

\[
K = \frac{2P}{MB^2} \frac{l}{1 - \frac{KMV^2}{2P}}
\] (4)

El coeficiente \( K \), como puede verse en la fórmula anterior, viene dado por una función logarítmica de su propio valor, que se deducirá por una serie de tanteos, dándole sucesivamente diferentes valores hasta que con el mismo, en uno y otro miembro, se verifique la ecuación (4).

(Se concluirá.)
F. ABASCAL.

DILATACION DE LOS CUERPOS POR EL CALOR. (1)

(Conclusion.)

(s) Examinemos el caso en que permaneciendo \( a \) constante, la temperatura \( t \) no es la misma en todos los puntos del cuerpo que se dilata. El problema es insolu-

ble si se desconoce la ley de variación de \( t \), pero no lo es supuesta conocida dicha ley.

Sea, por ejemplo, una barra de longitud limitada, cuyos dos extremos están á temperaturas conocidas \( T \) y \( T' \). Se sabe que la temperatura de los diversos puntos de la barra está dada en función de su distancia á los extremos de la misma, y siguiendo la notación de Fourier (prescindiendo de la de Lamé, más complicada y elegante) dicha temperatura es

\[
t = Te^{-bx} + T'e^{bx}
\]

siendo

\[
b = \sqrt{\frac{Kp}{Cs}},
\]

en la cual \( K \) es la conductibilidad exterior; \( p \) el perímetro de la barra; \( s \) su sección recta; \( C \) la conductibilidad interior. Además \( x \) es la distancia del punto cuya temperatura es \( t \) al extremo, cuya temperatura es \( T \), tal que \( T > T' \); el ambiente que rodea á la barra está á cero grados.

La dilatación de un elemento \( dx \), cuya temperatura es \( t \), será

\[
\frac{at}{dx} = dx e^{\left( \frac{-bx}{Te} + \frac{bx}{T'e} \right)}
\]

Luego la dilatación de toda la varilla, cuya longitud á cero grados era \( A \), será

\[
M'' = \int_{0}^{A} dx e^{\left( \frac{-bx}{Te} + \frac{bx}{T'e} \right)}
\]

expresión que aún pudiera simplificarse.

Si \( a \) es variable, será necesario poner

\[
a = \left( \frac{-bx}{Te} + \frac{bx}{T'e} \right)
\]

Si \( T' = 0 \), se sabe que la barra es de longitud infinita; pero en la práctica puede hacerse tal hipótesis cuando \( A \) es suficientemente grande, no siendo mucho \( T \).

(1) Si pasamos á las aplicaciones de la dilatación, sustituyendo á la fórmula (1) la (3), veremos algunas modificaciones más ó menos importantes. Se sabe, por ejemplo, que las leyes de Mariotte y Gay-Lussac, aplicadas á un gas cuyos volúmenes son \( v \) y \( v' \), las presiones \( p, p' \), y sus temperaturas \( t \) y \( t' \), dá

\[
\frac{v}{v'} = \frac{p' 1+at}{p 1+at'}
\] (22)

será por nuestra teoría

\[
\frac{v}{v'} = \frac{p' e^{at}}{p e^{at'}}
\]

Se sabe que en los gases, es \( a = \frac{1}{274} \) y por tanto, de la (22) dedujo (V. la Termodinámica de Saint-Robert).

\[
\frac{vp}{1+at} = \text{Constante}; \quad vp = R(274+t);
\]

siendo \( R \) una constante.