La Gaceta industrial (1869-10-31 00:00:00), página 8

los plazos en que se verifica, hasta \( A''_t \), que llamó el crecimiento continuamente acumulado, por verificarse en elementos infinitesimales; y que es el mayor de todos. Es además este último el único que, partiendo de nuestra hipótesis de incremento, satisfáce á la ley general de la naturaleza, que se sabe obra sin saltos en todas las variaciones de sus diversos elementos cuantitativos.

(a). También comparando las derivadas de las expresiones, se llega á los mismos resultados. Los \( A'_t \) y \( A''_t \) obedecen á una misma ley; pero siendo \( n \) un número entero, hay en general mayor diferencia entre ellos que entre \( A''_t \) y el último, cosa que á primera vista choca, pues las relaciones de los valores de \( t \) son respectivamente \( \left( \frac{t}{n} \right); \left( \frac{t}{n}:dt \right) \); pero que se comprueba examinando la mayor ó menor rapidez con que cada uno aumenta. Para ello basta, con objeto de evitar la resolución de ecuaciones trascendentas, comparar los términos de (21), y vemos por ejemplo que la diferencia entre el 3.º de \( A''_t \) y \( A'_t \) es \( \frac{n-1}{n} \cdot \frac{x^2}{1.2} \), y entre el del mismo lugar de \( A''_t \) y \( A'''_t \) es \( \frac{1}{n} \cdot \frac{x^2}{1.2} \); para los valores de \( n \) superiores á 2 la primera diferencia es mayor que la segunda. En los demás términos es más sensible aún esta diferencia. Podemos pues, decir, que para

\[
n > 2 \text{ es } A''_t - A'_t > A'''_t - A''_t;
\]

(b). Para \( t = 1 \), las dos primeras fórmulas (20) tienen iguales valores; la tercera algo mayor, y la cuarta mayor aún, suponiendo en todas el mismo de \( x \). Para \( t > 1 \) tenemos, según el cuadro (21), que

\[
A_t > A'_t
\]

De aquí deducimos la siguiente proposición: el crecimiento sencillo es mayor que el acumulado para un valor de la variable menor que la unidad.

La misma ley se cumplirá respecto de \( A''_t \), para un valor menor que su unidad \( \frac{t}{n} \), para el cual será

\[
A_t > A''_t.
\]

En cuanto al último, será siempre

\[
A''_t > A'_t;
\]

puesto que, siguiendo el razonamiento anterior, para conseguir este objeto se necesita que el valor de \( t \) sea menor que la unidad adoptada en \( A''_t \); esto es, menor que \( dt \), lo cual es imposible. El desarrollo (21) lo prueba asimismo.

(c). Si en las fórmulas (20) es \( x \) negativo, habrá decrecimiento. Si \( t \) es habrá también decrecimiento; en este caso las fórmulas \( A_t \) y \( A''_t \) dan el mismo resultado con ambas hipótesis, mientras que las \( A'_t \) y \( A'''_t \) dan valores que se diferencian algo, como es fácil comprender inspeccionando el cuadro (21), y tales que son mayores para \( t > 0, x < 0 \), que para \( t < 0, x > 0 \). Esta propiedad justifica por sí sola la existencia lógica de las fórmulas primera y cuarta, al par que hace desmerecer la segunda y tercera.

Si \( t \) es fraccionario se repiten todas las consideraciones anteriores.

(p). En las fórmulas (20) entran cuatro cantidades, además del número \( n \) de la \( A''_t \), que como hemos dicho (m) no hace diferenciar en esencia á esta de \( A'_t \). Podremos, pues, determinar una cualquiera de dichas cantidades en función de las otras tres; en la primera fórmula se hará con facilidad por ser una ecuación de primer grado; en las tres restantes se tomará con el auxilio de los logaritmos. Notemos que la última es más sencilla para dicho cálculo que las dos anteriores, de modo que la fórmula del crecimiento continuamente acumulado será en la práctica de uso más fácil que las del crecimiento acumulado en valores apreciables de \( t \).

(q). Supongamos que dadas \( x \) y \( A_0 \) se trate de determinar en las fórmulas (20) los valores respectivos de \( t \) capaces de hacer

\[
A_t = m A_0; \quad A'_t = m A_0; \quad A''_t = m A_0; \quad A'''_t = m A_0;
\]

siendo \( m \) un número entero. Tendré, para la primera,

\[
t = \frac{m-1}{x};
\]

para la segunda,

\[
t = \frac{\log m}{\log (1+x)};
\]

para la tercera,

\[
t = \frac{\log m}{n \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right)}
\]

y para la cuarta,

\[
t = \frac{l \cdot m}{x \cdot \log e} = 2.41... \frac{\log m}{x}
\]

(r). Si en las tres últimas fórmulas (20) tomamos las cantidades

\[
(1+x); \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n; e^x;
\]

por bases de logaritmos, nos encontramos que la primera contiene los dos primeros términos del desarrollo de la última, y que la segunda tiene un valor intermedio, el cual se acerca más al último, esto es, exige más términos de la serie, á medida que \( x \) crece. Si \( x = 1 \), el último sistema de logaritmos así formado se convierte en el neperiano y el primero en el que tiene 3 por base.

(s). Podrían aplicarse muchas de las consideraciones anteriores á las fórmulas que dan uno de los valores de \( t \) en función de otro para el cual esta no era o como en las (20). Las fórmulas son las (4), (6), (7) y (13).

Si \( x \) no es constante sino para ciertos límites, como dimos ya (2), (3), (6), (14) y (15), se repiten todos los desarrollos indicados considerando á \( f(t) \) como constante dentro de dichos límites.