La Gaceta industrial (1869-10-31 00:00:00), página 7

(l). Si por más que aumentemos el número K no puede considerarse sin error sensible en las fórmulas á \( \frac{f(t)}{K} \) como constante, habrá necesidad de partir de la fórmula (8), pues aun la (9) nos daría errores por ser solo aproximada. Efectuando, tengo

\[
A_t = A_0 \left( 1 + (f_1(t) + f_2(t) + \ldots) + (f_1(t)f_2(t) + f_1(t)f_3(t) + \ldots) + \ldots \right)
\]
\[
+ \left( f_1(t)f_2(t)f_3(t) + f_1(t)f_2(t)f_4(t) + \ldots \right)
\] (16)

Cada una de las cantidades \( f_i(t) \) es infinitamente pequeña de primer orden, y por tanto podrá hacer

\[
f_1(t) + f_2(t) + \ldots = \int_0^t f(t)dt.
\]

La suma de los factores binomios dará \( \frac{m(m-1)}{2} \) términos; pero como \( m = \infty \) resulta que

\[
f_1(t)f_2(t) + f_1(t)f_3(t) + \ldots = \frac{1}{2} \left( \int_0^t f(t)dt \right)^2;
\]

y del mismo modo

\[
f_1(t)f_2(t)f_3(t) + f_1(t)f_2(t)f_4(t) + \ldots = \frac{1}{2.3} \left( \int_0^t f(t)dt \right)^3;
\]

y así los demás; luego tengo en vez de la (16)

\[
A_t = A_0 \left( 1 + \int_0^t f(t)dt + \frac{1}{1.2} \left( \int_0^t f(t)dt \right)^2 \right.
\]
\[
\left. + \frac{1}{1.2.3} \left( \int_0^t f(t)dt \right)^3 + \ldots \right);
\]

ó sea (nota de (j))

\[
A_t = A_0 e^{\int_0^t f(t)dt}
\] (17)

Para dos valores especiales, será

\[
\int_0^{t'} f(t)dt \qquad ; \qquad A_{t''} = A_0 e^{\int_0^{t''} f(t)dt};
\]

luego

\[
\int_0^{t''} f(t)dt - \int_0^{t'} f(t)dt \qquad ; \qquad A_{t''} = A_{t'} e^{\int_0^{t''} f(t)dt}
\] (18)

(II). Esta última fórmula puede demostrarse aun de otro modo más directo y mucho más elegante. La cantidad \( A \), que es la función variable que va tomando los valores \( A_0, A_{t'}, A_{t''}, \ldots \) tendrá un incremento infinitesimal por unidad,

\[
\frac{dA}{A};
\]

cuando \( t \) haya crecido en \( dt \). Pero \( x \) debe ser aquí el crecimiento finito variable por unidad, ó sea el \( i \) (10); luego tendré la ecuación

\[
\frac{dA}{A} = f(t)dt
\] (19)

También puede obtenerse viéndole que \( \frac{dA}{dt} \) es la velocidad del crecimiento de \( A \), y como \( f(t) \) lo es para la unidad será

\[
\frac{dA}{dt} = Af(t); \text{ ó sea } \frac{dA}{A} = f(t)dt.
\]

Integrando la (19) tengo

\[
I. A_{t''} - I. A_{t'} = \int_{t'}^{t''} f(t)dt;
\]

ó sea

\[
\int_{t'}^{t''} f(t)dt
\]

\[
A_{t''} = A_{t'} e^{\int_{t'}^{t''} f(t)dt}
\]

que es la fórmula (18).

De esta última podrá deducir ahora como caso particular la (13), haciendo constantemente \( f(t) = x \).

(m). Reuniendo las fórmulas principales en que \( x \) es constante, y son las de más aplicación, tengo

\[
A_t = A_0 (1 + xt); A'_t = A_0 (1 + x); \qquad A''_t = A_0 \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{nt};
\]
\[
A'''_t = A_0 e^{xt}
\] (20)

La primera indica la ley de crecimiento efectuado en una sola vez; la segunda el acumulado durante el número de unidades expresado por \( t \); la tercera el análogo, pero en unidades \( n \) veces menores; y la última en instantes infinitesimales.

En todas \( A_0 \) es la primitiva magnitud, y \( x \) el incremento constante por unidad de \( A_0 \) para la misma unidad de \( t \), de tal suerte que (10), \( xt = i \) es constante.

Trátase ahora de comparar estas cuatro expresiones cuya única variable es \( t \), ó bien suponer á esta el mismo valor en las cuatro y estudiar en lo que se convierten los segundos miembros, ó sea \( A_t, A'_t, A''_t, A'''_t \). Si desarrollo en serie los tres últimos, tengo

\[
A_t = A_0 (1 + xt);
\]
\[
A'_t = A_0 \left( 1 + xt + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^3}{1.2.3} (t-1)(t-2) + \ldots \right)
\]
\[
A''_t = A_0 \left( 1 + xt + \frac{1}{n} \frac{x^2}{1.2} + \frac{1}{n} (t-1) \frac{x^3}{1.2.3} + \ldots \right)
\]
\[
A'''_t = A_0 \left( 1 + xt + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^3}{1.2.3} + \ldots \right)
\] (21)

Con estos desarrollos se ve el orden de aumento desde el \( A_t \) que llamo sencillo, el \( A'_t \) que llamo acumulado, así como el \( A''_t \), cuya acumulación es mayor por ser menores