La Gaceta industrial (1869-05-10 00:00:00), página 12

que permite determinar un sistema de ecuaciones, de la que con suma facilidad se obtienen los valores de dichos momentos; y conocidos estos, la determinacion de los esfuerzos trasversales y la de las reacciones, es sencillísima.

Consideremos un sólido ó viga recta indefinida, apoyada en diferentes puntos colocados en la misma horizontal, cargada de pesos situados en el plano de simetría longitudinal de la viga, con el objeto de que la deformación sea plana, siendo la sección trasversal de dicha viga simétrica con respecto á sus dos ejes principales de inercia, y que la sección es constante en toda la extensión de la viga, y representemos por
\( X' \ X'' \ X''' \ldots \ldots \) los momentos de todas las fuerzas exteriores tomados con respecto á los apoyos \( O \ R \ S \).
\( er^2 \) el momento de inflexibilidad de la sección trasversal de la viga, que suponemos constante.
\( a \ a' \ a'' \ldots \) las distancias entre los apoyos consecutivos.
\( p \ p' \ p'' \ldots \) las cargas uniformemente repartidas sobre los tramos \( a \ a' \ a'' \ldots \)
\( P \ P' \ P'' \ldots \) pesos aislados situados á las distancias \( b, b', b'' \) de los respectivos apoyos, como indica la figura.

En el caso que no actúan sobre la viga más que pesos uniformemente repartidos á lo largo de su fibra media, la relación entre los momentos de las fuerzas exteriores tomadas con respecto á tres apoyos consecutivos, es
\[
\frac{1}{6}X'a + \frac{1}{3}X''(a-a') + X'''a' - \frac{1}{24}pa + \frac{1}{24}p'a' = 0
\]
con esta relación, que se encuentra demostrada en todos los autores, y la observación de que dichos momentos tienen un valor nulo en los apoyos extremos, se obtiene el número de ecuaciones necesarias para determinar \( X' \ X'' \ X''' \ldots \ldots \).

El objeto del presente escrito es generalizar la anterior relación, añadiendo pesos aislados en diferentes puntos de la viga, pues en muchas aplicaciones á las vigas de los puentes, pares de las armaduras, etc., es necesario apelar á la relación en el caso más general.

Para obtener la relación que buscamos, emplearemos una marcha análoga á la que sigue Bresse para llegar á la relación que ántes hemos citado.

La ecuación diferencial de la elástica entre los puntos \( O \) y \( m \) correspondientes á las abcisas \( o \) y \( b \), es
\[
er^2 \frac{d^2y}{dx^2} = A + Bx - P(b-x) - \frac{1}{2}px^2
\]
siendo el segundo miembro la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan desde el punto cuya abcisa es \( x \), hasta el extremo libre de la viga, tomados con respecto á la sección trasversal situada en \( x \); \( A \) y \( B \) son constantes, que es preciso determinar mientras que las cantidades \( P, p \) y \( b \), son completamente conocidas.

Integrando la ecuación anterior resulta
\[
(1) \quad er^2 \left( \frac{dy}{dx} - K' \right) = Ax + \frac{1}{2}Bx^2 - P\left( bx - \frac{x^3}{2} \right) - \frac{1}{6}px^2
\]
volviendo á integrar
\[
(2) \quad er^2(y - K'x) = \frac{1}{2}Ax^2 + \frac{1}{6}Bx^3 - P\left( \frac{bx^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right) - \frac{1}{24}px^4
\]
La ecuación diferencial de la elástica entre los puntos \( m \) y \( R \) correspondiente á las abcisas \( b \) y \( a \) es
\[
er^2 \frac{d^2y}{dx^2} = A + Bx - \frac{1}{2}px^2
\]
que integrada entre los límites \( b \) y \( x \) da
\[
(3) \quad er^2 \left( \frac{dy}{dx} - K \right) = A(x-b) + \frac{1}{2}B(x^2-b^2) - \frac{1}{6}p(x^3-b^3)
\]
y volviendo á integrar
\[
(4) \quad er^2(y - Kx) = A\left( \frac{x^2}{2} - bx \right) + \frac{1}{2}B\left( \frac{x^3}{3} - b^2x \right) - \frac{1}{6}p\left( \frac{x^4}{4} - b^3x \right)
\]
representando por \( K' \) el valor que toma \( \frac{dy}{dx} \) para un valor cualquiera de \( x \) comprendido entre \( o \) y \( b \) y \( K \), el valor correspondiente de \( \frac{dy}{dx} \) para \( x=b \).

Si en la ecuación (1) hacemos \( x=b \), tendremos
\[
er^2(K' - K'') = Ab + \frac{1}{2}Bb^2 - Pb^3 - \frac{1}{6}pb^3
\]
si en la (2) hacemos igualmente \( x=b \) y llamamos al valor que toma \( y \) ó sea la ordenada de la elástica, tendremos
\[
er^2(-K' - K'') = \frac{1}{2}Ab' + \frac{1}{6}Bb'^2 - \frac{1}{6}Pb'^3 - \frac{1}{24}pb'^4
\]
haciendo igualmente \( x=a \) en la (3) y representando por \( K'' \) el valor de \( \frac{dy}{dx} \) correspondiente, resulta
\[
er^2(K'' - K) = A(a-b) + \frac{1}{2}B(a^2-b^2) - \frac{1}{6}p(a^3-b^3)
\]
(Se continuará).

E. Corominas.

CRÓNICA CIENTÍFICO-INDUSTRIAL.

1. Buques de vapor con cuatro ruedas de paletas.—2. Accion de la luz sobre el cloruro de plata.—3. Velocígrafos.—4. Obras industriales que acaban de publicarse.

1. Sucede con los buques de vapor algo parecido á lo que se observa en las locomotoras ordinarias, respecto de la traccion. En vano aumentamos, para estas