La Gaceta industrial (1869-11-30 00:00:00), página 9

los notables y excelentes aparatos de Mr. Chretien, tenemos la satisfacción de anunciar que no tardarán en ser conocidos prácticamente en España, y sería de desear que se ensayaran en algunos de nuestros puertos, donde sólo se conoce un sistema de grúas inglesas, merced al pliego de condiciones estereotipado que sirve de norma para todas las subastas. Tratándose del Cuerpo de Ingenieros de Caminos, no comprendemos la indiferencia con que se mira un servicio tan importante como el que prestan las grúas en los puertos, pues no podemos creer que los ingenieros citados desconozcan los aparatos más modernos de este género.

A.

SECCION CIENTÍFICA.

DEL CRECIMIENTO CONTINUAMENTE ACUMULADO

II.

APLICACION Á LOS PROBLEMAS DEL INTERÉS. (*)

(Continuación.)

(g') Si el tanto por ciento es variable, habrá que apelar á las fórmulas (8) (9) para el interés compuesto y á la (18) para el verdadero. Si en el primer caso suponemos que \( \alpha \) disminuye una cierta cantidad por año, hasta convertirse al cabo de \( p \) años en \( \alpha - (\rho - 1)\), tendré la fórmula (22). En ella \( N' \) representa el capital incrementado al cabo de los \( p \) años, \( \alpha \) es igual al tanto por uno primitivo aumentado en 1, \( p \) el número de años que dura la imposición, \( \delta \) lo que disminuye \( \alpha \) en cada año, de tal modo que el tanto por uno el último año es \( \alpha - (\rho - 1)\).

Este problema puede ser de aplicación práctica; así cuando se impusiera á interés compuesto durante 100 años, de modo que el tanto por ciento el primer año fuera 6 y el último 2, tendríamos entonces,

\[
p = 100 ; \alpha = 0,06 ; \alpha - (\rho - 1)\delta = 0,02 ;
\]

de donde

\[
\delta = \frac{0,04}{99} = 0,0004040 ...
\]

\[
B_1 = 1+2+...+dd; B_2 = 1+2+...+2.3.+2.4+...
+3.4.+3.5+...; B_{p-1} = 1.2.3. .....99.
\]

Si se tratara de resolver el mismo problema con interés verdadero, tendríamos (23)

\[
N''' = A = A_0 e^{p(\alpha-(\rho-1)\delta)}
\]

Para el ejemplo anterior sería

\[
N''' = A_0 e^{100 \times 0,04} = A_0 e^4
= A_0 \left(1+4+8+\frac{32}{3}+\frac{32}{3}+\frac{128}{15}+...\right);
\]

(*) Véase el número anterior.

cuya sencillez y exactitud la hacen muy superior á la del interés compuesto anual que acabamos de estudiar.

Si el tanto por uno aumenta en iguales condiciones, bastará cambiar el signo de \( \delta \); este problema no suele ocurrir ordinariamente en esta cuestión.

(h') Las cuatro fórmulas (20) dan lugar cada una á cuatro problemas diferentes. Son estos: Primero averiguar en lo que se convierte un capital \( A_0 \) al tanto por uno anual \( \alpha \), durante \( t \) años siendo \( t \) entero ó fraccionario positivo ó negativo; este problema se resuelve por las fórmulas (20) tal como están escritas. El segundo es hallar el capital primitivo \( A_0 \) dado el correspondiente al cabo de \( t \) años sea cualquiera \( t \); tendremos

\[
A_0 = A_t (1+\alpha t)^{-1} ; \quad A_0 = A'_t (1+\alpha)^{-t}
\]
\[
A_0 = A''_t \left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{-nt} ; \quad A_0 = A'''_t e^{-ut}
\]

(3')

Notemos que las tres últimas fórmulas son las (20) con exponente negativo; pero la primera es una nueva logaritmica, y sobre ella insistiremos en breve. El problema tercero es determinar el tiempo necesario para que un capital \( A_0 \) se convierta en \( A_t \) al rédito \( \alpha \); tendremos

\[
t = \frac{A_t - A_0}{\alpha A_0}; \quad t = \frac{\log A'_t - \log A_0}{\log (1+\alpha)}; \quad t = \frac{\log A''_t - \log A_0}{n \log \left(1+\frac{\alpha}{n}\right)}
\]
\[
t = \frac{\log A'''_t - \log A_0}{t \cdot \log e}
\]

(4')

El cuarto problema es averiguar el rédito \( \alpha \) necesario para que un capital \( A_0 \) se convierta al cabo del tiempo \( t \), en \( A_t \); tendremos

\[
\alpha = \frac{A_t - A_0}{t}; \log (1+\alpha) = \frac{\log A'_t - \log A_0}{t};
\]
\[
\log \left(1+\frac{\alpha}{n}\right) = \frac{\log A''_t - \log A_0}{nt}; \alpha = \frac{\log A'''_t - \log A_0}{t \cdot \log e}.
\]

De estas fórmulas sólo la primera y cuarta dan inmediatamente el valor de \( \alpha \), mientras que la segunda y tercera exigen series, ó emplear la regla de falsa posición para llegar pronto á un valor suficientemente exacto de \( \alpha \). Esta coincidencia de sencillez y generalidad la venimos notando en varios otros puntos.

De estas fórmulas debe emplearse una de cada clase en cada problema, y no hacer como los banqueros que en el interés compuesto cuentan por la segunda al número entero de años que dura la imposición, y por la primera la fracción de año que puede haber, con perjuicio de los intereses del imponente.

Los valores negativos de \( t \) y \( \alpha \) merecen aquí especial atención, por referirse al problema del descuento, que es de tanta aplicación. Se conoce bajo este nombre á la operación numérica que tiene por objeto averiguar el valor actual en un tiempo \( t' \) de un capital cuando se conoce su