La Gaceta industrial (1869-10-20 00:00:00), página 9

mado simple de un capital \( A_0 \), siendo \( x \) el tanto por uno, y \( t \) el tiempo que dura la imposición. También se emplea dicha fórmula para la dilatación de los cuerpos por el calor, según la ley de Gay-Lussac.

(c). La constante \( x \) pudiera ser una cantidad que variara en función de la variable \( t \), directa ó implicitamente. Haciendo pues \( x = f(t) \) la fórmula (1) subsistiría, toda vez que el incremento de la expresión sería, como antes, \( A_0 f(t) t \); luego

\[
A_t = A_0 (1 + f(t) t)
\] (2)

Tanto la fórmula (1) como la (2) convienen á un valor de \( t \) de cualquiera especie, positivo ó negativo, entero ó fraccionario, pero tal que se cuente desde otro valor suyo, para el cual toda la expresión se convierte en \( A_0 \). Así generalmente \( A_0 \) es el valor correspondiente á \( t = 0 \), y de aquél la notación adoptada.

(d). Si damos á \( t \) dos valores particulares \( t', t'' \), tendremos

\[
A_{t'} = A_0 (1 + f(t') t'); \quad A_{t''} = A_0 (1 + f(t'') t'')
\]

De donde eliminando \( A_0 \), se deduce

\[
A_{t''} = \frac{1 + f(t'') t''}{1 + f(t') t'}
\]

\[
A_{t''} \left( 1 - f(t') t' + f(t'') t'' - f(t') t' f(t'') t'' + (f(t') t')^2 + \ldots \right)
\] (3)

Si volviendo á la (1) suponemos \( f(t) = x \), esto es, constante, tendré, repitiendo el cálculo anterior,

\[
A_{t''} = \frac{1 + x t''}{1 + x t'} = A_0 \left( 1 - x t' + x t'' - x^2 t' t'' + x^2 t'^2 - \ldots \right)
\] (4)

En las aplicaciones, \( f(t) \) y \( x \) suelen ser generalmente cantidades fraccionarias, cuyas potencias de segundo grado y grados superiores son despreciables al sumarlas con números enteros y aun con sus mismas primeras potencias; por tanto, las fórmulas (3) y (4) se convierten en las siguientes:

\[
A_{t''} = A_0 (1 + f(t'') t'' - f(t') t')
\] (5)

\[
A_{t''} = A_0 (1 + x (t'' - t'))
\] (6)

(e). Supongamos ahora que el incremento no se hace de una sola vez como anteriormente (b) y (c), sino que consideramos la cantidad \( t \) dividida en \( t \) partes iguales. Para la primera de estas, que tomo por unidad, en cuyo caso \( x \) se habrá hecho \( t \) veces menor, tendré un crecimiento (1)

\[
A_1 = A_0 (1 + x).
\]

Para la segunda supongo que el incremento se verifica, no ya sobre \( A_0 \) sino sobre \( A_1 \), y según la propia fórmula tendré que multiplicar esta cantidad por el incremento \( x t \), ó sea

\[
A_2 = A_0 (1 + x) + A_0 (1 + x)x = A_0 (1 + x)^2
\]

Repetiendo este razonamiento se llega á

\[
A_t = A_0 (1 + x)^t
\] (7)

que es la fórmula del crecimiento acumulado en \( t \) unidades. Para dos valores \( t', t'' \) tengo

\[
A_{t'} = A_0 (1 + x)^{t'} ; \quad A_{t''} = A_0 (1 + x)^{t''}
\]

luego

\[
A_{t''} = A_{t'} (1 + x)^{t'' - t'}
\] (7 bis)

(f). Esto supone que \( t \) es entero y positivo; pero se demuestra que la fórmula es cierta (*) cuando \( t = \frac{p}{q} \). En efecto, así como \( x \) es el incremento por unidad, supongamos que \( 6 \) lo sea para \( \frac{1}{q} \) que es una nueva unidad. Tendré, pues, por ser \( q \) entero,

\[
A_0 (1 + 6)^{\frac{q}{q}} = A_0 (1 + x);
\]

luego

\[
A_0 (1 + 6) = A_0 (1 + x)^q
\]

Pero el incremento total para el primer miembro es por ser \( p \) entero,

\[
A_t = A_0 (1 + 6)^{\frac{p}{q}};
\]

luego también por la anterior ecuación tengo

\[
A_t = A_0 (1 + x)^{\frac{p}{q}}
\]

Si \( t \) es negativo, la fórmula es también cierta e indica un decrecimiento. Se concibe en efecto que siempre puede hacerse, sin error sensible,

\[
1 + x = (1 + \gamma)^t;
\]

siendo \( t \) positivo, y \( \gamma \) una indeterminada positiva ó negativa; luego

\[
(1 + x)^{-t} = 1 + \gamma.
\]

El segundo miembro es el decrecimiento para un valor desde \( t \) hasta 1, luego el primero lo será también.

La fórmula (7) es la ordinaria del interés compuesto de un capital; \( x \) representa el interés por unidad de capital; \( t \) es el número de unidades de tiempo, entero ó fraccionario, durante el cual está impuesto el capital dado; si \( t \) es negativo, tenemos el problema del descuento en su acepción matemática.

(g). Si el incremento en la primera unidad (e) no es \( x \) sino \( f(t) \), y en las sucesivas hasta contar \( t \) de estas, continúa siendo \( f(t) \), puedo considerar á esta cantidad como constante y aplicarla todas las últimas consideraciones (e), (f). Así tendré:

\[
A_t = A_0 (1 + f(t))^t
\]

(*) Esta demostración se debe en esencia al Sr. Cortazar, que la dió en su Memoria sobre el Cálculo del interés, publicada en 1843.