La Gaceta industrial (1869-09-10 00:00:00), página 11

La ecuación trasformada (3) tomará por consecuencia la forma siguiente:

\[
y^2 - (3m^2 - 2pm + q) \frac{y^2}{F} + (3m - p) \frac{y}{F} - \frac{1}{F} = 0.
\] (10)

Ya nos hallamos en estado de resolver la ecuación propuesta (1), lo cual se conseguirá si logramos resolver su trasformada (10). Esta quedará resuelta si, por medio de un artificio de cálculo, logramos hacer desaparecer el segundo y tercer término. La desaparición del segundo no ofrece dificultad alguna, mediante un cambio de incógnita bien conocido; pero si determinamos convenientemente el valor de \( m \), podrá, como vamos á ver, desaparecer el tercero á la par que el segundo término, por el mero cambio de incógnita, que haría desaparecer, en todo caso, el segundo término. En efecto: en virtud de un teorema general, en las ecuaciones de tercer grado, para que el segundo término desaparezca á la par que el tercero, es necesario que el cuadrado del coeficiente del segundo término, sea igual al triple de el del tercero. Esta condición, en la ecuación (10), será consiguientemente:

\[
(3m^2 - 2pm + q)^2 = 3F(3m - p);
\]

ecuación que indudablemente, si podemos resolverla, nos dará el valor de \( m \) que necesitamos. Suprimiendo en ella los factores comunes, tendremos:

\[
(3m^2 - 2pm + q)^2 = 3F(3m - p),
\]

y poniendo en vez de \( F \) su valor (9),

\[
(3m^2 - 2pm + q)^2 = 3(m^2 - pm^2 + qm - r)(3m - p),
\]

y efectuando las operaciones indicadas,

\[
\begin{align*}
9m^4 - 6p^2m^2 + 4pqm &+ \\
-12pm^3 + 6qm^2 - 4pqm &\left\{ \begin{array}{l}
9m^4 - 9pm^2 + 9qm^2 - mr + \\
-8pm^3 + 3p^2m^2 - 3pqm + 3pr,
\end{array} \right.
\end{align*}
\]

ó bien

\[
q^2m^2 + q^2 - pqm = 3qm^2 - 9mr + 3pr,
\]

que reducida á la forma general nos da

\[
(p^2 - 3q)m^2 + (9r - pq)m + (q^2 - 3pr) = 0,
\] (11)

ecuación de segundo grado, de cuya solución depende la del problema. Resolviendo, pues, esta ecuación, tendremos:

\[
m = \frac{-(9r - pq) \pm \sqrt{(9r - pq)^2 - 4(p - 3q)(q^2 - 3pr)}}{2(p^2 - 3q)}
\] (12)

Vemos, pues, que se puede hacer depender la solución de la ecuación (10), y por consiguiente la de la propuesta (1) de la ecuación

\[
z^n + \Phi = 0,
\] (13)

obtenida haciendo en la ecuación (10)

\[
y = z + \frac{3m - 2pm + q}{3F} = z + 0
\] (14)

Para obtener el valor de \( \Phi \), bastará evidentemente sustituir en la ecuación (10), en vez de \( y \), el valor

\[
0 = \frac{3m^2 - 2pm + q}{3F}
\] (15)

y esto nos dará:

\[
\Phi = 0^6 - (3m^2 - 2pm + q) \frac{0^2}{F} + (3m - p) \frac{0}{F} - \frac{1}{F}.
\] (16)

obtenido el valor de \( \Phi \) en función de los coeficientes de la propuesta (1), para lo cual nos servirá el valor de \( m \) hallado más arriba, podremos resolver la ecuación (13), la cual nos dará:

\[
z = -a \sqrt[3]{\Phi};
\] (17)

siendo \( a \) una de las tres raíces cúbicas de la unidad.

Sustituido este valor en (14) tendremos:

\[
y = 0 - a \sqrt[3]{\Phi};
\] (18)

que sustituido á su vez en (2), nos dará como resultado final del problema:

\[
x = \frac{1}{\theta - a \sqrt[3]{\Phi}} - m.
\] (19)

Crecemos inútil desarrollar esta expresión en función de los coeficientes de la ecuación propuesta, porque además de dar un resultado complicadísimo, es más breve el cálculo de la incógnita en función de los argumentos \( \theta, m, z \) y \( \Phi \), que se obtienen sencillamente por separado.

(Se continuará.)

L. Sánchez de la Campa.

CRÓNICA CIENTÍFICO-INDUSTRIAL.

1. Plateado del vidrio.—2. Lavado de los precipitados.—3. Boya de salvación para los naufragos.—4. Desincrustación de las calderas de vapor.

1. Para determinar la reducción de la plata metálica sobre el vidrio, el Sr. Odilid emplea una mezcla de amonio-nitrato de plata en disolución y de aldéhida fórmica de Hoffmann. Con este líquido se llena un frasco apropiado; se calienta con precaución, y bien pronto se ven depositar contra las paredes del frasco una capa de plata pura, blanca y brillante.

Para obtener la aldéhida fórmica, se hace pasar una corriente de aire á través de un frasco de Wolff que contenga una cantidad suficiente de alcohol metílico (espiritu de madera purificado), y se somete la atmósfera encerrada en el frasco, enchufa del alcohol, á la acción de hilo de platino calentado al rojo; los vapores de aldéhida se forman gradualmente, y se pueden recoger en un condensador en estado de líquido volátil.

2. El profesor Bunsen, de Heidelberg, ha publicado una Memoria sobre el lavado de los precipitados, de la cual se deduce el mucho tiempo que se pierde en esta manipulación, para que el líquido atraviese el filtro en que está el precipitado.

El indicado profesor ha encontrado que la velocidad de la filtración, es poco más ó menos, proporcional, á la diferencia entre las presiones sobre las superficies superior e inferior del líquido. De suerte que si se fija el embudo sobre el gollete de un frasco por medio de un tapón agujereado, y si se pone el vacío en aquel, el líquido atraviesará el filtro tanto más á prisa cuanto más pequeña sea la presión en el referido frasco.

Los experimentos comparativos hechos, los unos con