La Gaceta industrial (1869-11-10 00:00:00), página 10

da una de las curvas, cuya ordenada vale m veces la del origen.

(u) Si para un punto cuya abscisa es t tiramos las tangentes á las cuatro líneas, sus coeficientes angulares son

\[
\frac{dA_t}{dt} = A_0 x; \quad \frac{dA'_t}{dt} = A_0 (1+x); \quad \frac{dA''_t}{dt} = A_0 \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n n! (1 + \frac{x}{n}); \quad \frac{dA'''_t}{dt} = A_0 e^{\frac{at}{x}} \cdot x
\]

Los cuatro están escritos en orden de su magnitud para \( t > 0 \). Esto indica la mayor rapidez sucesiva con que van creciendo respectivamente dichas líneas. Los coeficientes diferenciales de segundo orden son constantemente positivos, lo cual significa continuidad en la curva y convexidad respecto del eje de las abscisas.

Para el punto común de las cuatro curvas en que cortan al eje de las ordenadas, tengo

\[
\frac{dA_t}{dt} = A_0 x; \quad \frac{dA'_t}{dt} = A_0 t (1+x); \quad \frac{dA''_t}{dt} = A_0 n! (1 + \frac{x}{n}); \quad \frac{dA'''_t}{dt} = A_0 x
\]

Esto nos dice que la curva \( A'''_t \) ó sea \( M''' \) tiene por tangente en este punto á la recta \( A_t \) ó sea \( M'(\bar{n}) \); que la \( A'_t \) tiene una tangente cuyo coeficiente angular es menor que el de la citada recta; y el de la \( A''_t \) está comprendido entre los de \( A'''_t \) y \( A'_t \).

(v) Estudiamos ahora las ramas colocadas á la izquierda del origen para las cuales \( t < 0 \). En este caso vemos (21) que se verifica:

\[
A_t < A'''_t < A''_t < A'_t;
\]

conforme lo indica la figura.

Para \( t = -\infty \) las tres últimas fórmulas (20) se convierten en cero ó sea tienen por asíntota el eje de las t ó sea de las x. Para \( t = -\frac{1}{x} \) es \( A_t = e \); tales el punto d en que la recta \( A_t \) corta al eje de las t. Para este valor tengo en las tres funciones últimas,

\[
A'_t = \frac{A_0}{(1+\alpha)^{\frac{1}{x}}}; \quad A''_t = \frac{A_0}{\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n}; \quad A'''_t = \frac{A_0}{e^{\frac{at}{x}}}
\]

Notemos que de estos tres valores solo el último es singular, indicando por tanto una nueva particularidad de la ley que nos ocupa.

La propiedad característica de los logaritmos es que su subtangente es constante, y por tanto la de \( A'''_t \) es \( -\frac{1}{x} \), deducida de lo anterior, sin necesidad de determinarla directamente. Pero esta abscisa es la misma que necesita el crecimiento sencillo para pasar (9) de \( A_0 \) á \( 2 A_0 \), como lo indica su naturaleza; luego podremos decir que la subtangente de la curva que expresa el crecimiento continuamente acumulado, es en valor absoluto igual al aumento necesario de la variable independiente, para que una canti-

dad se duplique con el crecimiento sencillo, todo refiriéndose á un mismo coeficiente de crecimiento \( x \).

(w) Si \( x \) es negativa, la recta \( A_t \) formará con la parte superior de la derecha del eje de las t un ángulo suplementario del anterior. Las curvas se cortan todas en el mismo punto \( f \), pero la \( A'_t \) será (suponiendo \( x < 1 \)) tal, que para \( t = 1 \) cortará á la recta, y para \( t > 1 \) dará ordenadas mayores que las correspondientes á la recta. La \( A''_t \) dará, para valores positivos de \( t \), ordenadas superiores á las de \( A'_t \). La \( A'''_t \) tendrá por tangente, en el punto en que corta al eje, á la recta \( A_t \), y dará para valores positivos de \( t \) lo mismo que en el caso anterior daba para los negativos. De modo que representando estas curvas, tendré que la rama derecha de \( A'''_t \) (y por tanto toda la curva) es la misma que la izquierda en el caso anterior para el mismo valor de \( x \), cosa que se repite para \( A_t \), y no sucede para \( A'_t \) y \( A''_t \) (10). Si ahora tomamos en estas expresiones un valor negativo de \( t \), las fórmulas \( A_t \) y \( A'''_t \) (21) conservan el mismo valor que anteriormente, pero las otras aumentan, siendo

\[
A'_t > A''_t > A'''_t > A_t;
\]

con orden distinto, como se ve, del anterior (t), pero igual al (v). En efecto, tendremos por ejemplo, poniendo patentes los signos,

\[
A'_t = A_0 \left(1 + x + t(t-1) \frac{x^2}{1.2} - t(t+1)(t+2) \frac{x^3}{1.2.3} + \ldots \right);
\]

y como \( x < 1 \) y las series (21) son convergentes, tendremos probado nuestro aserto.

(x) Conforme á lo dicho (1) podría aplicarse á las fórmulas que dan los crecimientos para la variable \( t^n \) en función de los de \( x \), así como los casos en que \( x \) no es constante, la representación analítica que hemos indicado; pero no lo juzgamos tan útil como lo anterior, y habría que hacer algunas modificaciones en los resultados. Notemos que lo dicho para \( A_t \) necesita modificarse para las (3) y (4). Pero no sucede esto entre las \( A'_t, A''_t \) con la (7 bis), ni entre \( A'''_t \) y la (13), pues obedecen á la misma ley, y son, por tanto, representables en una misma curva.

Si \( x = f(t) \) no es constante ni aun entre los límites de la expresión, entonces desaparece la representación análoga entre \( A'_t \) y (7 bis), puesto que esta última no puede existir; pero continúa aplicable la que había para \( A'''_t \) y la (14) con ligeras modificaciones.

Este es otro carácter distintivo de la ley del crecimiento acumulado, el cual subsiste, sea cualquiera la función del incremento \( f(t) \).

(y) Veamos el caso particular en que \( f(t) \) es una cantidad que disminuye con t según una función lineal de dicha variable. Tendríamos el caso de la ecuación (8), en la que \( f'_t(t) > f'_t(t) > f'_t(t) \).... Supongamos que esta va á tener p factores, porque la disminución se va á efectuar durante p unidades, acumulándose al propio tiempo el crecimiento. Así, por ejemplo, \( f'_t(t) \) es \( x \), cont tal que esta disminuya \( \varepsilon \) por cada unidad de t; será pues

\[
f'_t(t) = x; f'_t(t) = x - \varepsilon; f'_t(t) = x - 2\varepsilon; \ldots; f'_t(t) = x - (p-1)\varepsilon;
\]