La Gaceta industrial (1870-02-10 00:00:00), página 7

Fácil es determinar el valor de la integral, pues

\[
\int \frac{dv}{v} = \log v;
\]
que definida entre los límites \( V' \) y \( V \) da:

\[
\int_{V}^{V'} \frac{v'}{v} dv = \log V' - \log V = \log \frac{V'}{V}
\]

y por consiguiente:

\[
T = PV \left( 1 + \log \frac{V'}{V} \right)
\] (2)

será la expresión general del trabajo desarrollado por el vapor.

III.

Ya hemos dicho que la fórmula (2) que acabamos de deducir, se funda en una hipótesis falsa; por consiguiente no es de extrañar que sus resultados sean bastante inexactos, en especial cuando la expansión es llevada muy lejos, y que sean necesarias correcciones que no siempre dan el resultado apetecido. La fórmula que ahora vamos á desarrollar y que luego compararemos con la (2), nos parece más racional, puesto que no se apoya en la inaplicable ley de Mariotte, y de más fácil uso, por no exigir el empleo de los logaritmos.

Sabido es que, cuando un gas ó vapor se dilata conservando la misma cantidad de calor total, y bajando, por lo tanto, su temperatura, la ley que guardan las presiones con relación á los volúmenes puede representarse por:

\[
\frac{P}{p} = \left( \frac{v}{V} \right)^{\alpha}
\]

siendo \( P \) y \( p \) las presiones correspondientes á los volúmenes \( V \) y \( v \), y \( \alpha \) una cantidad constante para cada especie de fluido, y que para el vapor de agua vale, según Dulong, 1.5; lo que convierte la relación en

\[
\frac{P}{p} = \left( \frac{v}{V} \right)^{3/2}
\]

siendo de aquí de donde sacaremos \( p = P \left( \frac{V}{v} \right)^{5/2} \) para sustituir en la fórmula general del trabajo (1) que así se convierte en:

\[
T = PV + \int_{V}^{V'} P \left( \frac{V}{v} \right)^{5/2} dv
\]

ó bien en:

\[
T = PV + PV^{\frac{5}{2}} \int_{V}^{V'} \frac{v}{v^{\frac{5}{2}}} dv
\]

Hallando el valor de la integral y definiéndola entre los límites indicados, resulta:

\[
\int_{V}^{V'} \frac{v}{v^{\frac{5}{2}}} dv = 2 \left( V^{\frac{1}{2}} - V'^{\frac{1}{2}} \right)
\]

y por consiguiente el valor de \( T \) será:

\[
T = PV + 2PV^{\frac{5}{2}} \left( V^{\frac{1}{2}} - V'^{\frac{1}{2}} \right)
\]

\[
T = PV + 2PV \left( 1 - V^{\frac{1}{2}} V'^{-\frac{1}{2}} \right)
\]

y haciendo todas las reducciones posibles resulta;

\[
T = PV \left( 3 - 2 \sqrt{\frac{V'}{V}} \right)
\] (3)

Tal es la expresión general del trabajo del vapor obrando con expansión, susceptible de reemplazar á la (2), con la cual vamos ahora á compararla.

IV.

Con mucha facilidad podemos ahora comparar las fórmulas (2) y (3) para deducir cuál de ellas dá resultados más satisfactorios. Para simplificar los razonamientos representaremos por \( x \) la relación entre el volumen del vapor después de la expansión y el primitivo, ó sea el que tenían antes de haberse dilatado, tendremos pues:

\[
x = \frac{V'}{V} \qquad \frac{1}{x} = \frac{V}{V'}
\]

mediante cual convención las fórmulas (2) y (3) pueden escribirse así:

\[
T = PV (1 + \log x)
\] (4)

\[
Tm = PV \left( 3 - 2 \sqrt{\frac{1}{x}} \right)
\] (5)

Atendiendo ahora á que las dos fórmulas vienen dadas por un producto de dos factores, de los que el primero es igual en ambas, resulta que bastará comparar los segundos, para tenerlo hecho con los valores de \( T \). A este fin construiremos dos curvas dadas por las ecuaciones:

\[
y' = 1 + \log x \tag{6}
\]
\[
y'' = 3 - 2 \sqrt{\frac{1}{x}} \tag{7}
\]

Dando diferentes valores á \( x \) se ha formado la siguiente tabla de los correspondientes á \( y' \), \( y'' \), con los que se pueden construir dos líneas que designaremos respectivamente por \( M' N' \) y \( M'' N'' \).

    x = \( \frac{V'}{V} \)
    y' = 1 + \log x
    y'' = 3 - 2 \sqrt{\frac{1}{x}}
    DIFERENCIA.

  1	1'000000	1'000000	0'000000

  2	1'693147	1'585786	0'107361

  3	2'098612	1'908865	0'189747

  4	2'382694	2'000000	0'382694

  5	2'609488	2'106572	0'502866

  6	2'791759	2'183667	0'609092

  7	2'945910	2'254644	0'691266

  8	3'070441	2'329294	0'757147

  9	3'197244	2'393334	0'863890

  10	3'308835	2'457545	0'955040

  20	3'995732	2'552758	1'442944

  30	4'401107	2'634852	1'768345

  40	4'688879	2'683773	2'005106

  50	4'912023	2'717158	2'194865

  100	5'605170	2'800000	2'605170