La Gaceta industrial (1869-09-20 00:00:00), página 9

porque siendo m imaginario, siempre será x la suma de dos cantidades imaginarias, lo cual puede producir para x valores reales.

Este razonamiento, apoyado en la condición (23) y en la verdad de nuestro método, tiene la fuerza de una demostración. Admitiremos que m es imaginario desde luego.

Pero si m es imaginario, la ecuación (24) no puede darse su valor directamente, pues no contiene ningún radical: es preciso, por consecuencia, admitir que la ecuación (12) ó (24) nos da en este caso,

\[
m = \frac{0}{0}
\]

y necesariamente,

\[
p^2 - 3q = 0 \tag{25}
\]

y en virtud de la condición (23)

\[
9r - pq = 0. \tag{26}
\]

De las ecuaciones (25) y (26) deducimos las siguientes:

\[
p^2 = 3q \\
9r = pq;
\]

que multiplicadas miembro á miembro, nos darán

\[
9p^2 = 3pq^2
\]

ó bien:

\[
q^2 - 3pr = 0. \tag{27}
\]

Estas consecuencias de la hipótesis (23) nos bastan para hallar el verdadero valor de m. Hallémoslo.

La ecuación (12) nos da:

\[
m = \frac{9r - pq}{2(p^2 - 3q)} \pm \sqrt{\frac{(9r - pq)^2}{4(p^2 - 3q)^2} - \frac{q^2 - 3pr}{p^2 - 3q}} \tag{28}
\]

Por otra parte:

\[
\frac{9r - pq}{p^2 - 3q} = \frac{q}{p} + \frac{p}{p^2 - 3q};
\]

á causa de la ecuación (27)

\[
\frac{9r - pq}{p^2 - 3q} = \frac{q}{p} \tag{29}
\]

También tendremos:

\[
\frac{q^2 - 3pr}{p^2 - 3q} = \frac{-3pr + p^2q}{3} \tag{30}
\]

y en virtud de la ecuación (26)

\[
\frac{q^2 - 3pr}{p^2 - 3q} = \frac{q}{3} \tag{30}
\]

Por consiguiente (28), (29), (30) dan

\[
m = \frac{q}{2p} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4p^2} + \frac{q}{3}} \tag{31}
\]

y como m ha de ser imaginario,

\[
\frac{q^2}{4p^2} + \frac{q}{3} < 0 \tag{32}
\]

lo cual exige que (*):

\[
q < 0
\]

(*) Véase la nota 2.*

De las consideraciones precedentes se deduce el siguiente notable teorema:

«Cuando en la ecuación

\[(9r - pq)^2 - 4(p^2 - 3q)(q^2 - 3pr) = 0,\]

p, q y r son reales,

\[\frac{q^2}{4p^2} + \frac{q}{3} < 0; \quad q < 0;\]

ó bien:

\[\begin{cases}
3q + 4p^2 < 0 \\
q < 0
\end{cases}\]"

Aplicaciones.

Hemos creído conveniente aplicar nuestro método á algunos ejemplos numéricos. Siempre es bueno presentar una comprobación directa de la verdad de las consecuencias generales que del álgebra se deducen. Nada mejor para esto que las aplicaciones numéricas. Y como creamos deber nuestro el demostrar de todos modos la legitimidad del presente método, también creemos necesarias estas aplicaciones.

Sea la ecuación:

\[
x^2 + 2x^2 + 2x + 1 = 0;
\]

si la comparamos con la ecuación (1) tendremos:

\[
p = 2 \quad q = 2 \quad r = 1.
\]

Calculemos ahora el valor de m:

\[
9r - pq = 9 - 4 = 5; \quad p^2 - 3q = 4 - 6 = -2 \\
q^2 - 3pr = 4 - 6 = -2
\]

\[(9r - pq)^2 - 4(p^2 - 3q)(q^2 - 3pr) = 25 - 16 = 9\]

\[
m = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{-4} = \frac{-5 \pm 3}{-4};
\]

tomando el signo superior,

\[
m = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2};
\]

tomando el inferior,

\[
m = \frac{-8}{-4} = 2.
\]

(Se continuará.)

L. SANCHEZ DE LA CAMPA.

GRÓNICA CIENTÍFICO-INDUSTRIAL.

1. Debate científico-histórico.—2. Nuevo sistema de decoración.—3. Compositor electro-mecánico.—4. Trabajo del hilado.

1. Las últimas sesiones de la Academia de Ciencias de París han estado animadísimas, con la cuestión relativa á la prioridad del descubrimiento de las leyes de la atracción universal, que hasta la hora presente se atribuía á Newton. Anteriormente hemos hablado á nues-