La Gaceta industrial (1869-01-20 00:00:00), página 11

el fluido. Si los gastos del depósito y aparatos son menores que los de otro motor, la solución indicada es aceptable; los cálculos que exige son sencillos y seguro el resultado. En este problema campean los principios más elementales de la mecánica industrial, y con él se comprueba la gran importancia de unir los preceptos de la teoría á las lecciones de la experiencia, si se quiere caminar con seguro paso por el vasto terreno de la ciencia del ingeniero.

G. VICUÑA.

SECCION CIENTÍFICA.

INTEGRALES GRÁFICAS. (1)

(Continuación.)

Limitándonos por el momento al estudio de las curvas planas, supongamos que tenemos trazados dos ejes rectangulares y la curva, y que sobre el dibujo hemos medido la distancia a y las ordenadas y₀, y₁, y₂ ... yₙ₋₁, yₙ; con estos datos y la fórmula fundamental que nos ha servido de partida

\[
\int_{x_0}^{x'} y \, dx = a \left( \frac{y_0}{2} + y_1 + y_2 + \ldots y_{n-1} + \frac{y_n}{2} \right) (x')
\]

nos proponemos determinar, no ya el área, sino las coordenadas del centro de gravedad de las curvas, sus momentos de inercia con respecto á los ejes dados, y en general expresiones en las que entran integrales reducibles á formas determinadas y supongamos que la integral que tratamos de determinar es de la forma

\[
\int_{x_0}^{x'} F(x, x_1, y) \, dx \tag{3}
\]

en la que conocemos analíticamente \( F(x, y) \) y gráficamente \( y = f(x) \).

Si pudiésemos reducir la expresión (3) á la forma

\[
\int_{x_0}^{x'} y \, dx,
\]

podríamos inmediatamente aplicar la fórmula (x) y obtener el valor de la integral definida dada.

Para conseguir este objeto, hacemos

\[
S = \int_{x_0}^{x'} y \, dx; \quad S = \int_{x_0}^{x'} y \, dx
\]

Página 12, 1.a columna, línea 16, dice \( S = \), es, \( S = \)
Página 12, 2.a columna, línea 6, dice infinitamente; es, suficientemente.
Página 12, 2.a columna, línea 25, consecutivos al; es, consecutivos paralelos al.

\[
F(x \approx y) = z.
\]

y entonces tendremos

\[
\int_{x_0}^{x'} F(x, x_1, y) \, dx = \int_{x_0}^{x'} z \, dx
\]

expresión á la cual podemos aplicar la fórmula (x).

Si representamos por

\[
Z_0 = F(x_0, y_0) \quad \text{los valores que toma la función} \\
Z_1 = F(x_1, y_1) \quad F(x, y) \text{para los simultáneos } x_0, y_0, \\
Z_2 = F(x_2, y_2) \quad x_1, y_1; x_2, y_2; \ldots x_{n-1}, y_{n-1}; x_n, y_n;
\]
valores fáciles de calcular toda vez
\( Z_{n-1} = F(x_{n-1}, y_{n-1}) \) que se conocen numéricamente las
\( Z_n = F(x_n, y_n) \) coordenadas \( x_0, y_0 \) ... etc., y la forma de \( G(x, y) \), y tendremos finalmente

\[
\int_{x_0}^{x_n} F(x, y) \, dx = a \left( \frac{1}{2} F(x_0, y_0) + F(x_1, y_1) + \ldots + F(x_{n-1}, y_{n-1}) + \frac{1}{2} F(x_n, y_n) \right)
\]

ó sea el valor numérico de la integral dada.

Así, siempre que la expresión que tratemos de hallar, sea reducible á la forma general

\[
\int_{x_0}^{x'} y \, dx,
\]

es fácil hallar su valor numérico sin otras operaciones gráficas que las mediciones antes citadas y que una vez hechas sustituyen, con la suficiente aproximación en la práctica, al conocimiento de la relación analítica \( y = f(x) \), pudiendo por medio de ella calcular las integrales reductibles á la forma general antes citada; esta manera de proceder constituye el método de las integrales gráficas, llamándose así á las integrales que dependen de una función conocida únicamente por su trazado.

Como aplicación de este método, tratamos de determinar las coordenadas del centro de gravedad del espacio comprendido entre una curva, las ordenadas extremas y el eje de las x, tomando como eje de las y una de las ordenadas extremas.

La expresión de la abscisa X del centro de gravedad se deduce de la expresión

\[
S X = \int_{x_0}^{x'} y \, dx.
\]

si en esta expresión hacemos \( x y = v \) resulta

\[
\int_{x_0}^{x'} y x \, dx = \int_{x_0}^{x'} u \, dx = a \left( \frac{1}{2} u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + \frac{1}{2} u_n \right)
\]

observando que para

\[
\begin{array}{ll}
x = x_0 = 0 & y = y_0, \quad y x_0 y_0 = 0 \\
x = x_1 = a & y = y_1, \quad x_1 y_1 = a y_1 \\
x = x_2 = 2a & y = y_2, \quad x_2 y_2 = 2a y_2 \\
\ldots & \ldots \\
x = x_{n-1} = (n-1)a & y = y_{n-1}, \quad x_{n-1} y_{n-1} = (n-1) y_{n-1} \\
x = x_n = n a & y = y_n, \quad x_n y_n = n y_n
\end{array}
\]

tendremos

\[
S X = a \left( \frac{1}{2} 0 y_0 + a y_1 + 2a y_2 + \ldots (n-1) y_{n-1} + \frac{1}{2} n y_n \right)
\]

y sustituyendo en vez de S su valor y sacando a factor común