La Gaceta industrial (1866-01-01 00:00:00), página 192

tangente real á una de sus dos curvas conjugadas. Entre estas dos hay tambien relaciones constantes, por ejemplo los diámetros imaginarios de una hipérbola corresponden á los reales de su compañera conjugada. Las consecuencias, pues, de estos hechos no son en favor de la teoría de la perpendicularidad, más bien quizás en pro de la sentada por Mr. Marie, y á nuestro juicio significan, además de la perfecta concordancia que hay entre los resultados analíticos y los geométricos, la existencia de curvas cuyas relaciones entre sí son tan íntimas y que solo varian en que las propiedades reales de la una son imaginarias en la otra. Generalizando más aun estos principios se ve que toda ellipse tiene dos hipérbolas conjugadas con los mismos ejes \( a \) y \( b \) de aquella, pero \( a \) es real y \( b \) imaginario en la primera, y \( b \) real y \( a \) imaginario en la segunda. Recíprocamente una hipérbola tiene por conjugada una ellipse, mientras que una parábola lo es de otra igual á ella pero dispuesta en sentido contrario, siendo su eje prolongación del de la primera y teniendo la tangente común en sus vértices.

Aquí encontramos un nuevo argumento en favor de la teoría sentada en el párrafo II, pues vemos que una ecuación de segundo grado real ó imaginaria representa siempre una curva de segundo grado, la cual se hace real en condiciones particulares; siendo por lo tanto el imaginariismo un concepto más general que el de la realidad.

IV.

Hemos examinado las cuestiones de que se ocupa en sus fundamentos y Libro I.º, la «Teoría transcendental de las cantidades imaginarias.» En el libro 2.º, estudia el algoritmo suma en relación con el objeto principal de que se ocupa, detallando la suma sincategoremática, esto es, por ambos conceptos de cantidad y cualidad; estableciendo principios especiales, lógicos desde el momento en que se admitan ambas categorías, falsos cuando no se tienen en cuenta. Las consecuencias á que llega son curiosas aunque de pequeña importancia relativa.

El Libro 3.º trata de la producción, ó sea la multiplicación, empezando por definir esta operación con Wronski, no como una consecuencia de la suma, sino como intermedia entre esta y la elevación á potencias. Las razones que emplea en esta parte el Sr. Rey son brillantes, y se ve en ellas al profundo pensador que aprovecha cuantas ocasiones se le presenten de tratar filosóficamente todas las cuestiones que se rozan con la principal que desarrolla.

La multiplicación binaria, según él, es lo que para nosotros la determinación de las áreas de los cuerpos, y fundado en esto, explica elegantemente la regla de los signos, que con tanta pobreza se dá á conocer ordinariamente en las primeras lecciones de Álgebra.

En el Libro 4.º y último se ocupa de la graduación, ó sea la elevación á potencias, y aquí es donde admiramos más el gran talento del Sr. Rey, y al mismo tiempo descubrimos mayores errores matemáticos. Siguiendo también á Wronski sostiene y prueba que este algoritmo no es una consecuencia de la multiplicación, pues falta la reciprocidad característica de este, y establece la perfecta diferencia entre ambas operaciones con una claridad y sencillez admirables. Sin citar aun la fórmula de Moivre llega á los mismos resultados que ella, como no podía menos de suceder, toda vez que según hemos dicho hay grande analogía entre los principios de la perpendicularidad y la representación trigonométrica de las expresiones imaginarias. Examina asimismo las cuatro únicas potencias de \( \sqrt{-1} \); halla las raíces imaginarias de la unidad positiva ó negativa sin decir nada verdaderamente nuevo, y dá los medios de resolver las ecuaciones binomias, pasando luego á exponer como consecuencia y sin transición alguna, la forma trigonométrica de las expresiones imaginarias y la fórmula de Moivre.

Examina en seguida con gran fuerza de raciocinio la inelutabilidad de la unidad bajo el aspecto cuantitativo, estableciendo el principio de tanta aplicación en la teoría de las funciones derivadas por el cuál se determina el número \( e = 2,718... \), base de los logaritmos neperianos ó naturales; y siguiendo un camino análogo deduce un símbolo cuyas propiedades son según él las mismas que las de \( e \), pero bajo el aspecto cualitativo. Manifiesta la forma exponencial que pueden afectar las expresiones imaginarias pasando desde la trigonométrica, para lo cual se vale de un método análogo al que empleó Euler, fundado en la fórmula de Moivre y en el valor de \( e \). Existen además otros dos caminos para llegar al mismo objeto; el primero es el simple desarrollo en serie de \( \sin x \) y \( \cos x \) y elevalo á \( x \sqrt{-1} \); el segundo, más lógico que los anteriores, fué empleado por Wronski y consiste en averiguar si hay algún exponente real que con el número \( e \) como base produzca \( -1 \), y deduce por la teoría de los logaritmos neperianos (1) que es la relación de la circunferencia al diámetro, y como \( -1 \) es igual á una expresión trigonométrica imaginaria cuyo arco es un número impar de semicircunferencias, se llega al resultado apetecido. Indudablemente que el Sr. Rey conocía todas estas especulaciones, pues en los desarrollos posteriores hace uso de todas ellas y las sabe compaginar perfectamente para ir deduciendo las consecuencias que desea, entre ellas la relación que acabamos de indicar.

Habiendo ya significado que las cantidades reales elevadas á exponentes imaginarios producen expresiones análogas á las que dan las imaginarias elevadas á potencias reales, ocurre al Sr. Rey lo que significa una cantidad imaginaria elevada á un exponente imaginario. Hemos indicado anteriormente que de esta como de todas las maneras posibles, no se producen más que las expresiones imaginarias comunes y en casos dados reales, según lo demostró por primera vez D'Alembert;

(1) Encyclopédie, etc., de Montferrier, tomo I, párrafo 239.