La Gaceta industrial (1869-02-10 00:00:00), página 11

(e) Podremos, por lo tanto, escribir estas fórmulas en orden ascendente:

\[
M' = A (1 + at); \quad M'' = A (1 + a)t;
\]
\[
M''' = A \left(1 + \frac{a}{m}\right)^{mt}; \quad M'''' = Ae^{at}....,(7)
\]

Convienen á los tres casos en que \(A\) sea una longitud, área ó volumen, tomando en cada uno el valor correspondiente de \(a\). Para hacer ver numéricamente los valores de estas cuatro fórmulas, que llamaremos la primera dilatación sencilla, las dos siguientes compuestas y la última verdadera, damos el siguiente cuadro hecho para el sólido más dilatable, que es el zinc, y respecto de la dilatación lineal. Suponemos además en todas \(A=1\), y en la tercera \(m=10\): tomamos \(a=0.000031\) para \(t=1\) de la escala centígrada y prescindimos de las irregularidades que pudiera haber en la práctica, así como de la fusión á cierta temperatura.

    t.
    M'''
    M''; m=10
    M''
    M'

    0
    1,000000000
    1,000000000
    1,000000000
    1,000000000

    1
    1,000031007
    1,000031007
    1,000031007
    1,000031007

    10
    1,000310499
    1,000310496
    1,000310007
    1,000310000

    20
    1,000620191
    1,000620185
    1,000620045
    1,000620000

    30
    1,000930423
    1,000930414
    1,000930207
    1,000930000

    40
    1,001240776
    1,001240760
    1,001240483
    1,001240000

    50
    1,001551200
    1,001551185
    1,001550839
    1,001550000

    100
    1,031048156
    1,031048185
    1,031048132
    1,031048000

    200
    1,062194266
    1,062194185
    1,062178809
    1,062178000

    300
    1,093453302
    1,093453202
    1,093409122
    1,093400000

    400
    1,012477183
    1,012477093
    1,012470043
    1,012440000

    500
    1,015620757
    1,015620667
    1,015610670
    1,015500000

    Infi.
    Infi.
    Infi.
    Infi.
    Infi.

(f) Este cuadro nos muestra que para cualquier valor de \(t\) la diferencia entre la dilatación verdadera \(M'''\) y la compuesta \(M'''\) es menor que la diferencia \(M''\) y \(M'\), lo cual á primera vista parece absurdo, puesto que la diferencia del elemento durante el cual se cuenta la acumulación (b) del incremento es infinitamente mayor entre \(M'''\) y \(M''\) que entre \(M''\) y \(M'\). La naturaleza logarítmica de las funciones explica esta contradicción aparente, y ya veremos más adelante su aclaración al indicar la representación geométrica de estas funciones. Esta proposición generalizada, esto es,
\[
M''' - M'' = M'' - M'; \quad \text{o sea}, \quad M''' + M'' < 2M'';\quad (8)
\]
requiere ligar el valor de \(m\) con el de \(a\), pero siendo por lo común este último muy pequeño se realiza generalmente para \(m\) poco mayor que 1.

(g) Si queremos que en las fórmulas (7) se determine \(t\) con la condición de que \(M\) sea \(p\) veces mayor que \(A\), tendré respectivamente;

\[
t = \frac{p-1}{a}; \qquad t = \frac{\log p}{\log (1+a)}; \tag{9}
\]
\[
t = \frac{\log p}{m \log \left(1 + \frac{a}{m}\right)}; \qquad t = \frac{\log m}{a \log e}
\]

Así, por ejemplo, para que una barra de zinc adquiera doble longitud que su primitiva á cero grados cuando \(m=10\), se necesita en los cuatro casos citados;

\[
t = \frac{1}{0,000031} = 32258^*,064;
\]
\[
t = \frac{\log 2}{\log 1,000031} = 22366^*,453;
\]
\[
t = \frac{\log 2}{10 \log 1,0000031} = 22360^*,246;
\]
\[
t = \frac{\log 2}{0,000031 \log e} = 22359^*,586.
\]

Excusamos decir que prescindimos, como anteriormente, de los fenómenos físicos producidos por tan elevadas temperaturas, atendiendo sólo á la dilatación su puesta regular y constante en todo el tránscurso. Los números anteriores indican la notable diferencia entre los casos de dilatación sencilla y la compuesta por grados; las más pequeñas entre las dos compuestas, y sobre todo entre la última de aquellas y la verdadera.

(h) Antes de pasar á otras cuestiones, convendrá conocer la manera de determinar en las fórmulas (7) el valor de \(M\) correspondiente á uno de \(t = t'\), en función de \(P\) que corresponde á \(t = t''\). Tendré los dos siguientes grupos,

\[
M' = A (1 + at'); \quad M'' = A (1 + a)t'; \quad M''' = A \left(1 + \frac{a}{m}\right)^{mt'};
\]
\[
M'''' = Ae^{at'};
\]
\[
P' = A (1 + at''); \quad P'' = A (1 + a)t''; \quad P''' = A \left(1 + \frac{a}{m}\right)^{mt''};
\]
\[
P'''' = Ae^{at''};
\]

De las dos primeras fórmulas de cada grupo deduzco:
\[
P' = M' \frac{1+at''}{1+at'} = M' (1 + a (t'' - t')) - a^2 t' (t'' - t') +
\]
\[
+ a^3 t' (t'' - t') + \ldots;
\]
que generalmente suele tomarse con los tres primeros términos del paréntesis por la pequeña de \(a\), y por tanto
\[
P' = M' (1 + a (t'' - t')) \tag{11}
\]
De las dos segundas fórmulas anteriores deduzco
\[
P'' = M'' (1 + a)t'' - t''
\]
De las dos terceras,
\[
P''' = M''' \left(1 + \frac{a}{m}\right)^{m (t'' - t')}
\]
y de las dos cuartas
\[
P'''' = M'''' e^{a (t'' - t')}
\]
(i) Si \(a\) es el coeficiente de la dilatación lineal en la fórmula (1), elevándola al cuadrado nos dará la dilatación en dos sentidos perpendiculares, ó sea la dilatación por área; se tiene así,
\[
M^2 = A^2 (1 + 2 a t + a^2 t^2)
\]
Pero como \(a\) es pequeño se desprecia el último término, y queda,
\[
M^2 = A^2 (1 + 2 a t);
\]
en la cual \(2 a\), coeficiente numérico de \(t\), es por tanto el de la dilatación superficial. Análogamente se demuestra