La Gaceta industrial (1869-01-20 00:00:00), página 12

\( X = \frac{a}{2} (1/2\ y_1 + 2y_2 + 3y_3 + \ldots (n-1)\ y_{n-1} + 1/2\ y_n ) \)

\( 1/2\ y_0 + y_1 + y_2 + \ldots y_{n-1} + 1/2\ y_n \)

de una manera análoga calcularíamos

\[
S Y = \frac{a}{2} (1/2\ y_0^2 + y_1^2 + y_2^2 + \ldots y_{n-1}^2 + 1/2\ y_n^2 )
\]

ó sea

\[
Y = \frac{1/2\ y_0^2 + y_1^2 + y_2^2 + \ldots y_{n-1}^2 + 1/2\ y_n^2 }{2}
\]

\( 1/2\ y_0 + y_1 + y_2 + \ldots y_{n-1} + 1/2\ y_n \)

En cuanto á los momentos de inercia, la misma marcha nos permitirá obtenerlos, y fijándonos, por ejemplo, en el momento de la inercia con respecto al eje de las \( y \) tendremos

\[
\int_{x_0}^{x_u} y\ x^2 dx = a (1/4\ n_1 + u_1 + u_2 + \ldots u_{n-1} + 1/4\ u_n )
\]

y haciendo las sustituciones necesarias, se llega á

\[
\int_{x_0}^{x_u} y\ x^2 dx = a^2 (y_1 + 4y_2 + 9y_3 + \ldots (n-1)^2 y_{n-1} + 1/4\ n^2\ y_n )
\]

Con lo expuesto basta para adquirir un conocimiento exacto de la sencillez de este método y poderlo aplicar en la práctica á cuantas cuestiones puedan presentarse acerca de las curvas planas, gráficamente definidas.

Una marcha análoga á la que hemos expuesto permite determinar las coordenadas del centro de gravedad de un sólido y su momento de inercia, con respecto á los planos elegidos, puesto que se trata de expresiones de la forma antes citada.

Así, la ordenada \( Z \), del centro de gravedad, satisface á

\[
UZ = \int_{z_0}^{z_u} S' zdz
\]

de donde se deduce fácilmente

\[
Z = \frac{c (S_1 + 2S_2 + 3S_3 + \ldots S_{n-1} + 1/2\ S_n )}{1/2\ S_0 + S_1 + S_2 + \ldots S_{n-1} + 1/2\ S_n }
\]

de igual suerte podríamos determinar

\[
X = \frac{a (S_1 + 2S_2 + 3S_3 + \ldots S_{n-1} + 1/2\ S_n )}{1/2\ S_0' + S_1' + 2S_2' + \ldots S_{n-1}' + S_n'}
\]

representado por \( S_0', S_1', \ldots \) etc. las áreas de las secciones producidas en el sólido por los planos paralelos al de la \( xy \), equidistantes de la cantidad \( a \); expresiones fáciles de hallar, pues dependen de las ordenadas medias \( y_0, y_1, y_0', \ldots, y_1', y_1'' \) aunque agrupadas de distinta manera, pues antes teníamos

\[
S = a \left( \frac{y_0}{2} + y_1 + y_2 + \ldots \frac{y_n}{2} \right)
\]

mientras que ahora tenemos

\[
S' = c \left( \frac{y_0'}{2} + y_0' + y_1' + \ldots \frac{y_n'}{2} \right)
\]

De la misma manera determinaríamos el momento del sólido con respecto á uno de los planos de proyección, por ejemplo el \( x \) y, representando por \( M \) dicho momento, tendríamos

\[
M = \int_{z_0}^{z_u} z^2 S' dz
\]

si hacemos \( z^2 S = u \)

la fórmula \( M = c (1/4\ u_0 + u_1 + u_2 + \ldots 1/4\ u_n ) \)

nos dará

\[
M = c^2 (S_1 + 4S_2 + 9S_3 + 16S_4 + \ldots (n-1)^2 S_{n-1} + n^2\ S_n )
\]

teniendo presente que para

\[
\begin{align*}
z = z_0 &\quad \text{se tiene } S = S_0 \quad y\ u_0 = 0.S_0 \\
z = z_1 &\quad S_1 \quad u_1 = c^2 S_1 \\
z = z_2 &\quad S_2 \quad u_2 = 4c^2 S_2 \\
z = z_{n-1} &\quad (n-1)^2 S_{n-1} \quad u_{n-1} = (n-1)^2 c^2 S_{n-1} \\
z = z_n &\quad n^2 S_n \quad u_n = n^2 c^2 S_n
\end{align*}
\]

Todos estos valores son fáciles de determinar, puesto que dependen de las ordenadas ya medidas.

Así, en resumen, cuando queramos estudiar geométricamente una superficie curva gráficamente representada, respecto á dos ó tres planos de proyección, hallaremos las secciones producidas por una serie de planos horizontales distantes entre sí de la cantidad \( c \), hallaremos igualmente las secciones producidas por una serie de planos de proyección y distantes entre sí de la cantidad \( a \) y si suponemos que el plano vertical de proyección es el de las \( x \) y el horizontal el de las \( y \), se podrán medir las ordenadas

    y_0, y_1, y_2
    de la sección S_0

    y_0', y_1', y_2'
    S_1

    y_0'', y_1'', y_2''
    S_2

y una vez medidas es fácil obtener numéricamente las integrales correspondientes á las áreas, volúmenes, coordenadas de los centros de gravedad, momentos de inercia etc., sustituyendo en las fórmulas anteriores ó en las expresiones que queremos calcular.

La fórmula de que hemos partido

\[
S = a \left( \frac{y_0}{2} + y_1 + y_2 + \ldots y_{n-1} + \frac{y_n}{2} \right)
\]

es evidentemente el área del polígono inscrito á la curva trazada, cuyos vértices son los extremos de las ordenadas; igualmente podríamos haber empleado la verdadera fórmula de Simpson

\[
S = \frac{a}{3} \left( (y_0 + y_n) + 4(y_1 + y_3 + y_5 + \ldots y_{n-1}) + 2(y_2 + (y_4 + y_6 + \ldots y_{n-2})) \right)
\]

las expresiones hubiesen tenido más exactitud, pero hubieran perdido la sencillez que las hace de un uso preferente en algunos casos, y si se tiene cuidado en la representación de las superficies y en la medición de las ordenadas, no es difícil calcular las expresiones que se pidan con errores despreciables en la práctica, como hemos tenido ocasión de observar, las varias veces que hemos hecho aplicación de este método, que llegó á nuestro conocimiento en la escuela de ingenieros de la Armada.

E. Corominas.