La Gaceta industrial (1866-01-01 00:00:00), página 186

tos algun tanto sofisticos, cuando pretende definir las imaginarias como una manera de ser análoga en magnitud á las reales y distinta en cualidad, padece los errores consiguientes á su falso punto de partida. La explicacion de B es A, correspondiente á un concepto positivo; B no es A perteneciente á uno negativo; B es no A á uno indiferente ó sea imaginario positivo; y B no es no A á uno imaginario negativo, cae por tierra desde este momento, y solo es aceptable en todo caso el primer concepto B es A que expresa las cuatro condiciones mediante los valores cuantitativos de los dos elementos que en él entran.

Vemos pues que la teoría filosófica de la perpendicularidad es falsa; examinemos la representación geométrica toda vez que el Sr. Rey adopta la algebraica de \( a \pm b\sqrt{-1} \) que llama imaginaria afecta, en contraposición con \( c\sqrt{-1} \) á quien dice pura, y por \( \sqrt{-1} \) que significa el signo del imaginariismo, conceptos todos conformes con los hoy admitidos. Sea un circulo uno de cuyos diámetros está trazado horizontalmente; si consideramos que desde su centro y hacia la derecha sobre dicho diámetro contamos las cantidades positivas y hacia la izquierda las negativas, tirándole una perpendicular por el centro, la parte superior representa una línea indiferente entre la positiva y negativa ó sea la imaginaria pura positiva, la inferior la negativa; los radios comprendidos en el primer cuadrante de la derecha, que significan mezcla del elemento real positivo y del imaginario, pero también positivo, están simbolizados por \( a+b\sqrt{-1} \); los del superior de la izquierda por \( -a+b\sqrt{-1} \); los del inferior derecho por \( -a-b\sqrt{-1} \); y los del inferior izquierda por \( -a-b\sqrt{-1} \); todos tienen igual valor absoluto ó sea cuantitativo y no varian más que por su dirección ó cualidad. Hé aquí expuesta brevemente la teoría de la perpendicularidad.

Ante todo hagamos constar que esta representación no es nueva y se reduce simplemente á la traducción geométrica de la forma trigonométrica de que son susceptibles las cantidades imaginarias. La fórmula \( \cos n \pm \sen n \sqrt{-1} \) representa para valores distintos de \( n \) todas estas posiciones; pues para \( n = 0 \) ó \( n = 180^\circ \), produce \( \pm 1 \); para \( n = 90^\circ \) ó \( n = 270^\circ \) da \( \pm i \); y para valores intermedios las imaginarias afectas del Sr. Rey. La explicación pues de estos valores y el paso de unos á otros se hace cuantitativamente, y si bien á simple vista significan todos el radio, no pueden tener su valor, porque es un medio de representación en el cual entran elementos reales é imaginarios que no son comparables entre sí por ser de distinta naturaleza, y no nos dan por lo tanto idea clara de la magnitud representada. La fórmula general trigonométrica de las imaginarias tiene por coeficiente el módulo \( M \) (de que luego hablaremos) y \( n \) es un número par de semi-circunferencias para designar \( +a+b\sqrt{-1} \) é impar \( -a+b\sqrt{-1} \). La parte geométrica de la teoría de la perpendicularidad nada nos enseña por lo tanto, y su fundamento lejos de consistir en el aspecto cualitativo puede radicar tan solo sobre el cuantitativo, admitiéndola de todos modos como medio de representación y nunca como teoría matemática.

II.

Creemos haber demostrado que no es admisible la teoría de la perpendicularidad y oblicuidad como ex-aplicacion de lo imaginario, si bien tiene analogía con la representación geométrica de las expresiones imaginarias. Creemos además con el Sr. Rey, que no puede admitirse la significación de lo imaginario como lo absurdo, toda vez que operando sobre este elemento se llegan á obtener resultados de gran importancia, que conducirían á la paradoja de que lo absurdo es susceptible de producir algo que sea lógico. Estamos, pues, obligados, antes de pasar adelante, á indicar por lo menos la manera que tenemos de comprender los símbolos imaginarios.

Para nosotros, siguiendo en esto á algunos distinguidos pensadores, lo imaginario es el concepto más abstracto é ilimitado que podemos concebir acerca de la acepción eminentemente generalizada de la cantidad matemática; y proviene de la continuación lógica de una ley á pesar de su contradicción con alguna otra. En efecto, el origen de las expresiones imaginarias, consiste siempre en entender una ley algebraica en todos los casos; cuando tratamos de extraer las raíces de grado par de cantidades negativas, en contraposición con el principio de que todo número elevado á una potencia par, es positivo; cuando deseamos determinar los logaritmos de los números negativos, en oposición con la ley de que el menor de los números posibles, ó sea el infinito negativo, es logaritmo de cero; cuando tratamos de determinar las raíces ó valores reales de las ecuaciones, en contraposición con su naturaleza que las hace carecer de ellas; cuando queremos conocer todas las \( m \) raíces algebraicas de una cantidad, en contradicción con el solo valor aritmético real posible; cuando buscamos un coseno mayor que el radio, en antagonismo con su naturaleza geométrica; cuando en una curva cerrada referida á coordenadas que pasen por su centro tratamos de hallar las que tienen mayor valor que la mitad del diámetro real más grande, en pugna con la naturaleza de la Geometría Analítica, etc. etc.; se llega por estos y otros medios á producir símbolos especiales que gozan absolutamente todos de propiedades comunes, empezando por la fundamental de presentar una forma análoga. Sentimos no poder detenernos á demostrar en este sitio el aserto citado que ha sido probado en parte por Cauchy (1) y Montferrier (2), é indicaremos más adelante cuáles son las propiedades más notables de las cantidades que nos ocupan.

(1) Resumés analytiques.—(Paris 1833) pág. 401 y sig.
(2) Dictionnaire des Sciences Mathématiques: artículos Imaginaires-Logarithme y Sinus. Encyclopédie des Mathématiques: tomo I., página 210 y siguientes: 244 y siguiente: 331 y siguientes.