La Gaceta industrial (1866-01-01 00:00:00), página 191

SECCION CIENTÍFICA.

EXÁMEN CRÍTICO
DE LA OBRA
TEORÍA TRASCENDENTAL DE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS,
por don José María Rey y Heredia.

(Conclusion.) (1)

III.

Expuesta por el Sr. Rey su idea capital, pasa á deducir como consecuencias el concepto y representacion de las cantidades negativas é imaginarias, tratando de explicar el paralelismo y la oblicuidad de las líneas. Se ocupa luego de las raíces imaginarias bajo su forma ordinaria, sin separarse en esto notablemente de los principios hoy admitidos. No necesitamos nosotros de la teoría de la perpendicularidad al trasformar dicha forma en la general \( \pm b \sqrt{-4} \), para lo cual nos basa el desarrollo de la primera por el binomio de Newton, siempre que aceptemos las convenciones que sirven de base á la aplicación de las leyes algébricas á las expresiones imaginarias, convenciones que se encuentran en los autores elementales. Bajo esta forma analiza lo que significan el módulo y argumento. Por el módulo podemos comparar entre sí estas expresiones, y para que una se anule se ha de anular su módulo; esto es, pues, para nosotros la cantidad real que da idea y sirve para apreciar y medir una expresion imaginaria, tanto que es 1 para las raíces de la unidad: para el señor Rey es el valor cuantitativo de dicha expresion cuantitativa. El módulo ó la norma, como la llamaba Gauss, es común á cada dos expresiones que sólo varían en el signo de la parte imaginaria, ó sea á cada dos conjugadas, cuyo producto representa uno de los factores de segundo grado en que puede descomponerse toda ecuación. Ninguna propiedad nueva nos ha mostrado de este modo, y ha emitido la mayor parte de las grandes aplicaciones que reciben las imaginarias por medio del módulo. Recordemos entre otras muchas, el famoso teorema que sirve de base á la teoría general de ecuaciones, que toda ecuación tiene por lo menos una raíz, el cual ha sido demostrado por Cauchy fundándose en las propiedades del módulo de una expresion imaginaria; las series entre estas expresiones y sus propiedades, tan profundamente estudiadas por el mismo Cauchy; y la teoría tan poco conocida del máximo comun divisor entre las mismas y el número de operaciones necesarias, debida á Dupré (2). Nisiquiera se detiene á probar las propiedades elementales relativas á los módulos y que se encuentran en todos los autores, por ejemplo, que el módulo de un producto es el producto de los módulos, etc. En cuanto á la noción de argumento, esto es, de lo que constituye la esencia imaginaria de la expresión, es una idea nueva y cuyo estudio hará sin duda alguna aclarar más y más la teoría que es objeto de nuestro trabajo.

Siempre con igual fuerza de dialéctica, aunque con menor brillantez, pasa el Sr. Rey á ocuparse de la interpretación del imaginariismo en las secciones cónicas, y pretende deducir de dicha aplicación una comprobación para sus principios sucediendo, para el atento observador, precisamente lo contrario. La obra que ha tratado más, aunque con bastante difusión, de la cuestión actual, es la de Mr. Marie (1) discípulo de Mr. Comte, quien pretende por este medio, siguiendo á Carnot, asignar al imaginariismo un carácter de distinto modo de ser análogo al de la negatividad respecto de la positividad. Supongamos la ecuación del círculo referida á su centro: si en ella despejamos y en función de x resulta \( y = -\sqrt{r^2 - x^2} \), en la que \( x < r \); pero si \( x > r \) entonces la expresión es imaginaria, ó sea

\[
y = \pm \sqrt{-1} \cdot x^2 - r^2;
\]

construyamos \( y = \pm \sqrt{x^2 - r^2} \), prescindiendo del imaginariismo y produciríamos una hipérbola equilátera. Si hubiéramos despejado \( x \) y hecho las consideraciones anteriores respecto de \( y \), hubiéramos obtenido otra hipérbola equilátera igual á la anterior, colocada en el espacio que dejaba esta libre y perpendicularmente respecto de ella. Ahora bien: fijemos en un punto del espacio tres conos de revolución con sus dos hojas cada uno, cuyo ángulo en los vértices sea de 90°: dichos tres conos se tocarán dos á dos según dos generatrices, y cerrarán por decirlo así el espacio inmediato que rodea al punto. Cortemos una de sus hojas, por ejemplo la de delante, por un plano perpendicular á su eje y producirá en ella una circunferencia de círculo; en las dos hojas del inmediato á derecha é izquierda una hipérbola equilátera, toda vez que dicho plano de sección es paralelo al eje de este cono y sus asinotas se recortarán en ángulo recto; y finalmente, en las dos hojas del otro cono arriba y abajo, otra hipérbola equilátera igual á la anterior por las mismas razones. Estas curvas, dice el Sr. Rey, comprueban la teoría de la perpendicularidad porque son análogas á las producidas en el primitivo cono por planos perpendiculares al de la sección. Más natural parece la explicación de Mr. Marie: según él, las curvas producidas aumentando indefinidamente una de las coordenadas ó la otra son las conjugadas de la primera, porque á su vez se puede pasar de estas ó sea las imaginarias á la primera ó sea la real por hipótesis análogas, y gozan de la propiedad de que todo lo imaginario para la primera es real para la segunda y viceversa. Así, por ejemplo, se trata de construir una tangente á una circunferencia y usando de la fórmula analítica se llega á un resultado imaginario si el punto desde el cual se tira está dentro de ella, y en este caso corresponde precisamente á la

(1) Véase el número anterior.
(2) Journal des Mathematiques (de Lionville), tomo XIII (1848), pág. 333.

(1) Discours sur la nature des grandeurs negatives et imaginaires, (Paris, 1844).