La Energía eléctrica (1918-03-25 00:00:00), página 6

Como \( \rho, r \) y \( \varphi \) son conocidos, queda el problema reducido, como decíamos antes, a la resolución del caso dudoso de triángulos rectilíneos; la construcción gráfica no es menester decirla, por ser de todos conocida.

El problema admite una o dos soluciones, según que \( r > \rho \) sen \( 2\varphi \), y no admite ninguna si \( r < \rho \) sen \( 2\varphi \) (fig. 3.a).

Si tiene dos soluciones, los dos valores de \( \mu \) son complementarios, salvo el caso en que \( 2\varphi \) fuese obtuso o \( r \) fuera igual o mayor que \( \rho \), pues entonces sólo habría una solución, por ser los dos valores de \( \mu \) iguales.

Vamos a simplificar las condiciones de posibilidad: decíamos que \( r \) había de ser igual o mayor que \( \rho \) sen \( 2\varphi \); teniendo en cuenta que \( \operatorname{sen} \phi = \frac{L w i_1}{e} \), \( \cos \phi = \frac{r i_1}{e} \), tendremos

\[
\rho \operatorname{sen} 2\varphi = 2\rho \frac{L w r i_1^2}{e^2} = 2\rho \frac{L w r}{r^2 + L^2 w^2}.
\]

y la condición quedará reducida a la siguiente:

\[
r \geq 2\rho \frac{L w r}{r^2 + L^2 w^2}, \quad \text{o sea} \quad L^2 w^2 - 2\rho L w + r^2 \geq 0.
\]

Igualando a \( z \) el primer miembro y considerando a \( L w \) como variable independiente, la curva \( z = L^2 w^2 - 2\rho L w + r^2 \) representa una parábola de eje vertical (fig. 4.a), cuyo vértice tiene por coordenadas \( L w = \rho; z = r^2 - \rho^2 \).

Los valores de \( L w \) que hacen \( z = 0 \) son \( \rho \pm \sqrt{\rho^2 - r^2} \); ahora bien, si \( r \) es igual o mayor que \( \rho \), \( z \) no puede ser menor que cero, y por consiguiente el problema es siempre posible, y no tiene más que una solución, pues, como dijimos antes, los dos valores de \( \mu \) son iguales; si \( r > \rho \), la condición de posibilidad del problema será

\[
\rho - \sqrt{\rho^2 - r^2} > L w > \rho + \sqrt{\rho^2 - r^2},
\]

y el problema tendrá dos soluciones, siendo los dos valores de \( \mu \) complementarios.

Resumen.—Si \( \rho \) es igual o menor que \( r \), el problema tiene solución y sólo una; si \( \rho \) es mayor que \( r \) tomaremos en una escala conveniente la magnitud \( AC = \rho \) (fig. 5.a), y sobre ella, considerada como diámetro, describiremos una semicircunferencia; y siendo \( AE = r, EC \) será igual a \( \sqrt{\rho^2 - r^2} \), y en consecuencia, será posible el problema si \( L w \) es menor que \( AB \) o mayor que \( AD \).

Llegaremos a las mismas conclusiones tratando el problema desde otro punto de vista: Supongamos conocida la capacidad \( C \); en un diagrama de admitancias (fig. 6.a) dibujemos éstas por sus proyecciones sobre los dos ejes, que serán las susceptancias y conductancias de los dos circuitos derivados; en el triángulo \( OAB \) tendremos

\[
\frac{OB}{BA} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{\operatorname{sen} \mu}{\operatorname{sen} \varphi}, \quad \text{pero} \quad \frac{\rho}{z_1} = \frac{1}{z_2} \cos \mu, \quad \frac{\rho}{z_2} = \frac{\cos \mu}{z_1}, \quad \frac{z_2}{z_1} = \frac{\rho \cos \mu}{r \cos \varphi} = \frac{\operatorname{sen} \mu}{\operatorname{sen} \varphi};
\]
\[
\frac{r}{z_1^2} = \frac{1}{z_1} \cos \varphi, \quad \frac{r}{z_2} = \frac{r}{z_1} \cos \varphi
\]