La Energía eléctrica (1914-04-10 00:00:00), página 2

nua, varie también el módulo y el argumento de F de esta misma manera, ó en otros términos, siempre que, variando el módulo de \( \vec{F} \) de una manera continua, varie también continuamente el ángulo \( d \) que forma \( \vec{F} \) con \( a \), es decir, siempre que la línea de fuerza tenga una tangente única y real en todos sus puntos, ó que no tenga punto alguno de discontinuidad, como serían los de una superficie refringente, reflectora ó puntos de parada, etc.

Creo, pues, que el análisis hecho nos da derecho á establecer que existe un potencial y un flujo conservativo en todas y solas aquellas regiones del espacio donde existen líneas de fuerza continuas y con tangente única.

II

En este caso sabemos que aunque se deforme la línea, según la cual se integra el trabajo, el valor de éste no se altera y aunque se deforme la superficie cerrada sobre la cual se integra el flujo, el valor absoluto de éste no se altera. Pero este valor absoluto pudiera ser constantemente nulo ó infinito, y es preciso averiguar en qué condiciones mantendrá un valor finito.

Por lo que hace al flujo se ve á primera vista que la función

\[
\int \left( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} \right),
\]

integrada en todo el interior de una superficie cerrada donde \( V \) permanece función continua y finita de las coordenadas, es nula si ha de ser el flujo conservativo; luego en esta última hipótesis, para que el flujo sea distinto de cero, es preciso que la superficie de integración encierre por lo menos un punto de discontinuidad en donde la fuerza se haga infinita.

De una manera análoga, si por la línea de integración del trabajo podemos hacer pasar una superficie en cuyos puntos todos el módulo de la fuerza sea una función continua de las coordenadas, según el teorema de Stockes, la integral del trabajo es idénticamente nula, por ser igual al flujo del torbellino de la fuerza, cuyas tres componentes son constantemente nulas por tratarse de un campo donde existe un potencial. Luego para que éste tenga un valor distinto de cero, es preciso que por la línea de integración pueda hacerse pasar una superficie que no contenga algún punto de discontinuidad. Creo de importancia esta consideración que, si no me engaño, disminuye mucho la importancia del teorema de Stockes en el electromagnetismo, y aun hace imposible su aplicación al menos inmediata. En efecto, el teorema de Stockes demuestra que el potencial de una fuerza integrado á lo largo de una línea cerrada, es igual al flujo de su torbellino, pero á condición de que este flujo sea nulo.

Para que el teorema de Stockes sea aplicable al electromagnetismo, es preciso buscar el valor de la integral del trabajo á lo largo de una línea cerrada que envuelva á otra también cerrada de puntos de discontinuidad.

Como los teoremas de Green y de Stockes nos aseguran que ni la integral del flujo ni la del potencial varian cuando la superficie ó la línea de integración se deforma, á condición de que durante esta deformación no corten á punto alguno de discontinuidad, toda la cuestión queda reducida á hallar la integral del flujo sobre una esfera de radio infinitamente pequeño que envuelva á un punto de discontinuidad y la integral del potencial á lo largo de una circunferencia de radio infinitamente pequeño que abrace, á otra de discontinuidad y que tenga un plano normal á ella. Lo primero sólo es posible en campos de conexión sencilla; lo segundo en campos de conexión múltiple. Para resolver lo uno y lo otro y clasificar convenientemente los campos, comenzaremos por determinar la posición y número de los puntos de discontinuidad en un campo dado.