La Energía eléctrica (1914-05-25 00:00:00), página 4

una cantidad compleja, por determinar ésta un punto real que convendremos sea el extremo del vector. Como digimos al principio, llamaremos vector por extensión, no solamente á la cantidad física representada, sino al segmento rectilíneo comprendido entre dichos dos puntos que la representa y á la razón doble compleja \( z \) que determina el extremo de este segmento. Con esto es ya claro el significado de las operaciones calculatorias aplicadas á los vectores.

La cantidad \( s \) dada por la relación

\[
z_1 + z_2 = s
\]

ó sea la suma de dos vectores, no es sino el elemento conjugado del origen en una involución que tiene el punto límite \( A \) como uno de los dobles, y en que \( z_1 \) y \( z_2 \) son conjugados.

El producto

\[
z_1 z_2 = p
\]

no es sino el elemento conjugado del punto unidad en la involución en que \( z_1 \) y \( z_2 \) son elementos conjugados, así como también el origen y el infinito. En particular, la raíz cuadrada del vector \( p \), es el vector que determina los elementos dobles de la involución anterior. De aquí se deduce con toda facilidad cuál es el significado geométrico del vector \( i = \pm \sqrt{-1} \), el cual representa sencillamente los elementos dobles de una involución en que O y A son conjugados, y también los puntos B y B' (fig. 1.a), cuyas abscisas sean 1 y -1. Uniendo, pues, estos dos puntos con los M y N, quedan determinados los dos centros de perspectiva de las involuciones P y \( \sqrt{-1} \), que serán los J y J'.

Siendo O el conjugado armónico del A con respecto á B.B' y C el del mismo punto con respecto á MN, OJCJ', están en una misma línea recta, que es la diagonal del cuadrilátero completo BJB'J'. De suerte, que los puntos J y J' son los que realmente vienen dados por el vector \( \pm \sqrt{-1} \). Vamos á ver enseguida que á cada uno de ellos corresponde uno de los signos \( + \) ó \( - \).

Por de pronto, observaremos que todo el sistema de referencia queda definido cuando se nos da el triángulo AOC y los dos puntos B, J, representados por 1 y \( \sqrt{-1} \). Los puntos B' y J', son los conjugados armónicos de los B J con respecto á los vértices de triángulo de referencia, y la involución fundamental P queda determinada por el par de elementos conjugados AC y por las proyecciones de los puntos B B' desde J y V' como centros de perspectiva.

Eje imaginario.—La recta OC del triángulo de referencia, puede llamarse el eje imaginario del sistema de referencia, porque goza de la propiedad siguiente: Todo punto real S del eje OC, tiene por abscisa una razón doble oABS, que es una cantidad imaginaria pura.

En efecto, según un conocido teorema (1)

\[
(oABS) = (oABJ) (ocJS)
\]

y como hemos demostrado antes que \( oABJ = i \), llamando \( a \) á \( (ocJS) \), que indudablemente es una cantidad real, y \( z_s \) al vector \( oABC \), resulta:

\[
z_s = ia
\]

siendo \( i = \sqrt{-1} \) y \( a \) una cantidad real. Todos los puntos del plano colocados sobre oA tienen abscisas reales; los colocados sobre oC, abscisas imaginarias. Tomemos ahora un punto cualquiera T, no contenido en ninguno de estos dos ejes (fig. 2). Proyectémoslo desde los dos puntos límites A y C sobre los ejes. Entonces

\[
oABT = oABR + oABS
\]

(1) M. Vegas. «Discurso de recepción en la Real Academia», leído en 13 de Junio de 1909, pág. 46.