La Energía eléctrica (1914-04-10 00:00:00), página 3

Supongamos dado el campo por la ecuación

\[
V = \int \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz - C_1 = \varphi_1 (xyz),
\]

que, como vemos, nos representa una familia de superficies equipotenciales definida cada una de ellas para cada uno de los valores del parámetro \(C_1\) supuesto constante.

Las líneas de fuerza, es decir, las trayectorias ortogonales de esta familia, constituyen un conjunto doblemente indeterminado de líneas tangentes en todos sus puntos á las direcciones de las fuerzas: sean sus ecuaciones

\[
\varphi_1 (xyz) = C_2 \quad \varphi_2 (xyz) = C_3.
\]

Donde \(C_1, C_2, C_3\) son parámetros constantes dentro de una de las superficies, pero variables al pasar de una á otra. A cada punto del espacio de coordenadas \(x_1 y_1 z_1\) corresponde un sistema de los valores \(C_1, C_2, C_3\) que son, por consiguiente, las coordenadas curvilíneas del punto. Los planos tangentes á cada una de dichas superficies en el punto, son:

\[
\begin{align*}
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x} (x - x_1) + \frac{\partial \varphi_1}{\partial y} (y - y_1) + \frac{\partial \varphi_1}{\partial z} (z - z_1) &= 0 \\
\frac{\partial \varphi_2}{\partial x} (x - x_1) + \frac{\partial \varphi_2}{\partial y} (y - y_1) + \frac{\partial \varphi_2}{\partial z} (z - z_1) &= 0 \\
\frac{\partial \varphi_3}{\partial x} (x - x_1) + \frac{\partial \varphi_3}{\partial y} (y - y_1) + \frac{\partial \varphi_3}{\partial z} (z - z_1) &= 0
\end{align*}
\]

y en el caso de que estos tres planos sean ortogonales

\[
\begin{align*}
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x} \frac{\partial \varphi_2}{\partial x} + \frac{\partial \varphi_1}{\partial y} \frac{\partial \varphi_2}{\partial y} + \frac{\partial \varphi_1}{\partial z} \frac{\partial \varphi_2}{\partial z} &= 0 \\
\frac{\partial \varphi_2}{\partial x} \frac{\partial \varphi_3}{\partial x} + \frac{\partial \varphi_2}{\partial y} \frac{\partial \varphi_3}{\partial y} + \frac{\partial \varphi_2}{\partial z} \frac{\partial \varphi_3}{\partial z} &= 0 \\
\frac{\partial \varphi_3}{\partial x} \frac{\partial \varphi_1}{\partial x} + \frac{\partial \varphi_3}{\partial y} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y} + \frac{\partial \varphi_3}{\partial z} \frac{\partial \varphi_1}{\partial z} &= 0.
\end{align*}
\]

Pero elevando al cuadrado las tres ecuaciones

\[
\begin{align*}
dC_1 &= \frac{\partial \varphi_1}{\partial x} dx + \frac{\partial \varphi_1}{\partial y} dy + \frac{\partial \varphi_1}{\partial z} dz \\
dC_2 &= \frac{\partial \varphi_2}{\partial x} dx + \frac{\partial \varphi_2}{\partial y} dy + \frac{\partial \varphi_2}{\partial z} dz \\
dC_3 &= \frac{\partial \varphi_3}{\partial x} dx + \frac{\partial \varphi_3}{\partial y} dy + \frac{\partial \varphi_3}{\partial z} dz
\end{align*}
\]

dividiéndolas respectivamente por

\[
\Delta_i = \left( \frac{\partial \varphi_i}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_i}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_i}{\partial z} \right)^2 \quad (i = 1, 2, 3)
\]

Sumando y teniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad, se obtiene

\[
\frac{dc_1^2}{\Delta_1} + \frac{dc_2^2}{\Delta_2} + \frac{dc_3^2}{\Delta_3} = dx^2 + dy^2 + dz^2 = ds^2.
\]

Si en particular \(ds\) es un elemento de línea de fuerza

\[
dc_2 = dc_3 = 0
\]

y entonces \(ds\), elemento de línea de fuerza, tiene la expresión

\[
ds = \frac{dc_1}{\Lambda_1}
\]

y como

\[
\varphi_1 = Xdx + Ydy + Zdz = c_1
\]

y sus derivadas parciales son \(XYZ\)

\[
A_1 = X^2 + Y^2 + Z^2
\]