La Energía eléctrica (1914-04-10 00:00:00), página 4

luego

\[
ds^2 = \frac{dc_1^2}{F^2} = \frac{dc_1^2}{X^2 + Y^2 + Z^3}
\]

ó bien

\[
\frac{ds}{dc_1} = \frac{1}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} = \frac{1}{F},
\]

es decir, que el elemento de línea de fuerza comprendido entre dos superficies equipotenciales infinitamente próximas, es inversamente proporcional al módulo de la fuerza.

Luego la condición necesaria y suficiente para que \( F \) sea infinito, es que \( \frac{ds}{dc_1} \) sea nulo, pero para esto es necesario y basta que dos superficies equipotenciales dadas por las ecuaciones

\[
\varphi(xyz) = o \\
\varphi(xyzc + dc) = \varphi(xyzc) + \frac{\partial \varphi}{\partial c} dc + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial c^2} \frac{dc^2}{1.2} + .....
\]

se corten. La intersección de estas dos superficies viene dada por el sistema

\[
\varphi(xyzc) = o \quad \frac{\partial \varphi}{\partial c} dc + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial c^2} \frac{dc^2}{1.2} + .... = o
\]

y como en el límite \( dc = 0 \), estas ecuaciones son equivalentes á

\[
\varphi(xyzc) = o \quad \frac{\partial \varphi}{\partial c} = 0.
\]

Como véis, esta es la indicatriz y el lugar de todas las indicatrices, ó sea la envolvente de todas las superficies equipotenciales del campo; resulta ser el lugar geométrico de los puntos donde el módulo de \( F \) se hace infinito, es decir, de los puntos de discontinuidad del campo.

Ahora bien, siendo el ángulo de contingencia de una línea de fuerza, la variación infinitamente pequeña del argumento del vector fuerza, los puntos en que se anula el radio de curvatura, son también los puntos en donde se anula el elemento \( ds \) de líneas de fuerza, y habiendo de ser las líneas de fuerza normales á las superficies equipotenciales, y, por consiguiente, á sus envolventes, resulta que todas las líneas de fuerza tienen en la superficie envolvente de las equipotenciales un punto de retroceso.

Con esto podemos abordar ya el problema de determinar el flujo que atraviesa una superficie cerrada en un campo simplemente conexo, con un solo punto de discontinuidad contenido en el interior de la superficie. Hemos visto que el teorema de Green nos reduce este problema al caso de una esfera de radio infinitamente pequeño y cuyo centro sea el punto de discontinuidad. Sabemos que

\[
\varphi = \int \left( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} \right) dv = \int [Fr^2 \cos (Fr)] dv.
\]

Vamos á demostrar que \( \lim \cos (F, r) = 1 \).

En efecto, consideremos un campo cuyas superficies equipotenciales tengan una envolvente real cerrada. Por cada uno de los puntos de esta envolvente real pasa una línea de fuerza que tiene en él un punto de retroceso y una tangente única que es normal á la envolvente. Si reducimos ésta á un punto, todas aquellas normales constituyen la radiación de semirrayos cuyo vértice es dicho punto. Los planos osculadores de las líneas de fuerza en los puntos de retroceso, tienen por límite á todos los planos de dicha radiación. En cada uno de estos planos se verifica que el radio de curvatura de la línea de fuerzas en el punto de retroceso, es decir, en el vértice, es nulo, y como la expresión del radio de curvatura es

\[
R = \frac{ds^3}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

\[
A = dx d^2 y - dy d^2 x \quad B = dy dz^2 - dz dx^2 \quad C = dz dx^2 - dx dy^2
\]