La Energía eléctrica (1913-07-10 00:00:00), página 3

clásica del teorema de Stockes; ahora bien, aunque existiesen puntos de discontinuidad en los cuales la fuerza se hiciese infinita, siempre sería aplicable dicho teorema á todos los demás.

Clasificación de los campos de fuerza.—No solamente la fuerza puede hacerse infinita en uno ó más puntos del campo, sino que puede hacerse un infinitamente grande de orden n.; y los puntos de discontinuidad pueden estar agrupados en figuras de una, dos y tres dimensiones.

Así, por ejemplo, en el campo magnético engendrado por una corriente rectilínea ó circular los puntos del conductor (supuesto reducido á una línea) son puntos de discontinuidad de primer orden; y en el campo electrostático engendrado por un punto electrizado, éste es un punto de discontinuidad de segundo orden. Podemos, pues, ya clasificar los campos por el número y disposición de sus puntos de discontinuidad en campos simple, doble y en general, múltiplemente conexos.

Si la línea ACB que une dos puntos cualesquiera AB del campo, puede, por una serie de deformaciones continuas llegar á hacerse coincidir con otra cualquiera ADB que une á los mismos puntos sin que en todo su recorrido haya cortado punto alguno de discontinuidad, el campo es de conexidad simple; y la tendrá múltiple si pueden escogerse las líneas ACB y ADB de tal modo, que para pasar de una á otra haya de cortarse, por necesidad al menos, un punto de discontinuidad. Los campos electrostáticos desarrollados por conductores aislados son de conexidad simple; los campos electromagnéticos desarrollados por corrientes cerradas son doblemente conexos, y múltiplemente conexos los desarrollados por una red de conductores.

El teorema de Stockes en los campos con potencial.—Si la función \( Xdx + Ydy + Zdz \) es integrable, las tres componentes del torbellino de F son constantemente nulas para todos los puntos del campo en que este vector es función continua y finita de las coordenadas. De aquí se deduce que la integral del trabajo á lo largo de una línea continua cerrada por la cual pueda hacerse pasar una superficie en ninguno de cuyos puntos se haga infinito el vector F es idénticamente nula, puesto que, según el teorema de Stockes es igual á la integral del flujo de su torbellino á través de dicha superficie, y esta integral es idénticamente nula por serlo todas las componentes del vector torbellino.

Es fácil ver que este teorema prescinde de la conexidad del campo, á condición de que la línea de integración del trabajo no abrace ó encierre dentro de sí ninguna línea de discontinuidad y, por supuesto, tampoco la corte, pues á esta condición permanecen las funciones á que se refieren las integrales del teorema de Stockes, continuas y finitas dentro de los campos de integración.

Caso de líneas de integración que encierran líneas de discontinuidad en campos de conexidad doble.—En los campos doblemente conexos existe, por lo menos, una línea cerrada y continua de puntos de discontinuidad, caso á que por ahora limitaremos nuestra atención. Desde luego, podemos deducir del teorema anterior que la integral I del trabajo tomada á lo largo de una línea cerrada S que abrace á una línea TT' de discontinuidad, no varía cuando la línea S se mueve ó se deforma de cualquier manera, pero sin cortar en este movimiento punto alguno de discontinuidad. Supongamos, en efecto, que pasa á la posición S' y sea I' la integral del trabajo á lo largo de esta segunda línea (fig. 1.a).

Uniendo dos puntos cualesquiera A y B de ambas curvas y aplicando el teorema anterior á la línea cerrada SABS'BAS resulta que I—I' = 0 á condición de que la integración se verifique en ambas líneas en el mismo sentido.

Esta observación nos permite reducir el problema de hallar el valor I á hallar el de la integral del trabajo á lo largo de una circunferencia de radio infinitamente pequeño, cuyo centro estuviese sobre la línea T T' de discontinuidad y cuyo plano fuese normal á esta línea en el punto A (fig. 2.a).