La Energía eléctrica (1914-06-10 00:00:00), página 2

Si estos dos puntos fuesen imaginarios no por eso dejaría de quedar determinado un haz de cónicas que pasaría por los mismos cuatro puntos, pero las involuciones de puntos reales contenidas sobre cada una de las cónicas del haz no tendrían elementos dobles reales, y por consiguiente, la involución de rectas imaginarias que proyectan á los puntos reales del plano desde PP' carecerían de elementos dobles imaginarios, pero ambas involuciones quedarían del todo determinadas. En este caso \( z_1, z_1' \) no pueden ser cantidades complejas ni reales, puesto que si lo fuesen determinarían un punto real del plano. Por ahora nos contentaremos con designar á estas cantidades por el símbolo \( \epsilon \) sabiendo simplemente que son las raíces dobles de una ecuación bilineal de coeficientes complejos cuando no puede reducirse á una cantidad simplemente compleja dejando para más adelante la determinación de su forma analítica y quedando eso si perfectamente definido su significado geométrico.

Cada valor de \( \epsilon \) nos determina un par de puntos imaginarios de base \( \lambda \) por los cuales pasan todas las cónicas de un haz perteneciente á la red definida por los dos puntos imaginarios fundamentales PP' en el caso de que no pasen todas ellas por dos puntos reales y que por consiguiente las involuciones de puntos reales contenidos en las cónicas del haz no tengan elementos dobles. Esta clase de involuciones planas es la única realidad determinada por el símbolo \( \epsilon \) y atendiendo á que en realidad es una involución de rectas imaginarias de vértice PP' sin elementos imaginarios dobles la llamaremos por el momento una recta doblemente imaginaria de segunda categoría, correspondiente á otra involución de puntos imaginarios de la recta OA sin elementos imaginarios dobles á que llamaremos punto doblemente imaginario de primera categoría. Existen elementos doblemente imaginarios correlativos á éstos de primera y segunda categoría, y otros además, de tercera categoría por no contener elemento real ninguno los haces de elementos imaginarios que ellos relacionan involutivamente; pero no entraremos por el momento en su estudio por bastarnos los elementos que acabamos de definir para establecer la teoría geométrica de los vectores usuales.

Conforme á estas convenciones diremos que \( \epsilon \epsilon' \) son las abscisas de dos puntos imaginarios del plano OAC colocados sobre la base \( \lambda \), base que como es natural quedaría también en el mero hecho determinada. Más adelante veremos el modo práctico de hacerlo.

V

Representación geométrica de los vectores.

Sobre una recta cualquiera oA que pase por el origen del vector y por el plano OAC también arbitrario, establezcamos un sistema de abcisas \( z \), para lo cual nos basta establecer sobre una recta AC tomada como límite una involución PP' sin elementos dobles y supondremos que sea C el conjugado de A, sean O,A,H los elementos de referencia, de suerte que OAHO = 0, OAHH = 1, OAHHA = ∞. En estas condiciones todo valor real de la razón doble OAHR = z nos determina un punto de la recta oA (en la hipótesis que H esté sobre ella, lo cual no es necesario). Todo valor oAHF = z' complejo determina un punto del plano oAC ó, mejor, un par de puntos que ya sabemos determinar. Por último, todo valor doblemente imaginario oAHM = \( \epsilon \) nos representa un punto imaginario del plano oCA colocado sobre una base \( \lambda \) y determina una involución plana cuyos pares de puntos conjugados se hallan sobre las cónicas del haz que pasa por los cuatro puntos PP'\( \epsilon \epsilon' \). Por el punto C levantamos una recta cualquiera CB y sobre ella tomamos otros dos puntos imaginarios conjugados fundamentales NN' suponiendo que B sea el conjugado de C en esta involución, y supongamos que la base \( \lambda \) de los elementos imaginarios \( \epsilon \) pasa por el punto C. A estos valores de la abcisa \( \epsilon \) que evidentemente no son todos los que pueden darse los designaremos con la letra V. Cada valor V determina una cierta involución sobre una base \( \lambda \); v. gr. la CR, involución que es pers-