La Energía eléctrica (1914-04-25 00:00:00), página 2

siendo \( \varepsilon \) el ángulo que forma la fuerza con el plano del círculo, y \( a \) el ángulo entre dos radios infinitamente próximos.

En el caso de una línea única cerrada \( T \) de puntos de discontinuidad

\[
\Sigma = \frac{1}{2}
\]

En efecto, siendo como hemos demostrado la línea de discontinuidad envolvente de las superficies equipotenciales, puede ocurrir ó bien que éstas se corten todas en indicatrices imaginarias ó que se corten en indicatrices reales.

En el primer caso todas las superficies equipotenciales envuelven á la línea de discontinuidad, y en su límite constituyen un cilindro curvilíneo de radio infinitamente pequeño, cuya dirección sigue por consiguiente la fuerza, resultando

\[
\cos \varepsilon = 0.
\]

En este caso, que sería el del campo desarrollado por un conductor filiforme cerrado y cargado estáticamente, el potencial integrado á lo largo de una línea cualquiera cerrada es constantemente nulo.

Puede ocurrir en segundo lugar que las superficies equipotenciales se corten en indicatrices reales, y entonces todas éstas tienen que coincidir con la única línea de discontinuidad, que por hipótesis existe en el campo. Si por un punto de la línea de discontinuidad trazamos una tangente, los planos tangentes á las superficies equipotenciales en el punto O son todos los del haz cuya arista es dicha tangente, y siendo una línea de fuerzas la trayectoria ortogonal de las superficies equipotenciales, en su límite se confunde con la circunferencia normal al haz de sus planos tangentes. Luego en dicho límite la fuerza es normal al radio de dicha circunferencia y

\[
\cos \varepsilon = 1.
\]

Designando, pues por \( 2 I \) el límite de \( Fr \) cuando \( r \) se acerca á cero.

\[
V = \int \lim (Fr) d a = 4 \pi I
\]

la condición necesaria y suficiente para que el potencial sea finito y distinto de cero, es que lo sea \( I \), es decir, \( \lim Fr \). Resulta, pues, que la fuerza debe ser, en la línea de discontinuidad, un infinitamente grande de primer orden con respecto á la distancia, es decir, que en las inmediaciones de la línea de discontinuidad, las fuerzas están en razón inversa de las distancias á dicha línea, que es la ley de Biot y de Savart.

Si en lugar de una línea de discontinuidad existiesen \( n \) y fuesen todas abrazadas por la línea de integración, es fácil ver que la integral del trabajo sería

\[
I = \int 4 \pi n i.
\]

Existe un caso particularmente interesante: el de \( n \) líneas de discontinuidad formando un anillo. Las líneas de fuerza del campo se cerrarían por dentro de este anillo y supuesto simétrico, la fuerza sería constante en toda su longitud \( L \), luego el trabajo en una línea de discontinuidad sería;

\[
F L = 4 \pi n i \quad F = \frac{4 \pi n i}{L}.
\]

Expresión de la inducción magnética bien conocida en electrotecnia.

Vamos á demostrar, en tercer lugar, que si á las condiciones antedichas añadimos las leyes experimentales de Ampère y de Faraday, podemos establecer analíticamente las seis ecuaciones de Hertz y la integral de Poynting, que como decía al principio, sintetizan las propiedades todas de los campos electromagnéticos.