La Energía eléctrica (1914-06-10 00:00:00), página 5

Como se ve, además en el caso general \( x \ y \ z \) son las coordenadas proyectivas del punto M referidas al tetraedro OABC.

Cuaternios.—Cuando la base \( \lambda \) de la involución ó par de elementos imaginarios conjugados \( \theta \) y \( \theta' \) no pasa por el punto C ni por el punto A el haz \( h \) no es perspectivo del \( h' \) desde un punto real del espacio y mediante el haz de conos sobre que estaba colocada la involución radiada de rectas á que dimos el nombre de recta doblemente imaginaria de segunda categoría, pero lo son, mediante una recta imaginaria de segunda especie determinada por los dos pares de puntos PP' y \( \theta \) \( \theta' \) sobre las bases AC y \( \lambda \) que por no cortarse determinan uno de los hiperboloides alabeados que constituyen las cadenas de la recta imaginaria de segunda especie. Pero además, todas las directrices de ésta, que como se sabe forman un complejo de rectas por haber de ser también perspectivas con la involución NN' que corta á las bases \( \lambda \) y AC de las otras dos, quedan relacionadas involutivamente; de suerte que á una directriz corresponde otra, y por tanto, á los dos puntos imaginarios que contiene la primera, corresponden los dos que contiene la segunda. Los puntos están, pues, relacionados de cuatro en cuatro. Los dos ejes de las involuciones de directrices y por consiguiente los cuatro puntos imaginarios conjugados dos á dos que sobre ellas se hallan, son los elementos realmente determinados por el símbolo \( \theta \) \( \theta' \). Esto nos permite decir que en este caso las razones dobles de la ecuación bilineal

\[
A z z' + B (z + z') + C
\]

con coeficientes imaginarios representan dos pares de puntos imaginarios conjugados dos á dos y colocados sobre dos rectas reales del espacio \( \mu \), \( \nu \). A estos valores de las raíces dobles \( \theta \) \( \theta' \) les llamaremos cuaternios y los designaremos por Q para distinguirlos de los que determinan puntos reales y que hemos designado por V llamándoles vectores. Más adelante justificaremos el nombre de cuaternios dado á esta clase de razones dobles.

VI

Sistema vectorial de Hamilton.

Si tomamos por plano límite ABC el del infinito y por elemento absoluto la curva esférica situada en el las involuciones PP', NN' son respectivamente los puntos circulares de los planos OAC, OCB. Entonces los ejes OA, OB, OC forman un triedro trirectángulo y las razones dobles \( x \ y \ z \) son simplemente las distancias tomadas desde o sobre los tres ejes hasta R S T. Haciendo \( y = z = 0, x = 1 \) el vector \( V = + i \) representa los elementos dobles de una involución situada sobre el eje x dada por la ecuación \( x x' = - 1 \) y puede representar según vimos uno cualquiera de los puntos de un círculo de radio unidad y centro o colocado en el plano \( yz \).

Lo mismo podemos decir de los otros dos vectores \( j, k \). Resulta pues, que numéricamente estos tres vectores son iguales á \( \sqrt{-1} \) pero representan tres involuciones de elementos inversos colocados sobre los tres ejes.

Un punto real cualquiera del espacio determina tres involuciones sobre los tres planos coordenados que son simplemente las intersecciones de éstos con las tres involuciones rectangulares de rectas, que pasando por el punto M se hallan colocadas sobre los tres planos que este punto determina con los tres lados del triángulo autopolar A B C, es decir sobre los tres planos paralelos á los coordenados. Además, tres puntos cualquiera tomados sobre los tres ejes proyectan á un solo punto M. Por último, una involución de elementos reales colocada sobre una paralela á su eje en uno de los planos coordenados, determina sobre el plano normal un punto desde donde dicha involución es perspectiva con el haz rectangular que tiene por vértice á dicho punto, el cual, por consiguiente, queda determinado por aquella involución ó por el vector, que según hemos visto la determina.