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La Energía eléctrica (1914-05-25 00:00:00), página 3

imaginaria y en general compleja determina sobre OA una involución de elementos reales sin elementos dobles dada por la ecuación

\[
xx' - a(x + x') + (a^2 + b^2) = 0
\]

Basta pues para determinar dos pares de elementos tomar el origen y su conjugado cuya abscisa es \( \frac{a^2 + b^2}{a} \) y por otra parte, el punto unidad y su conjugado, cuya abscisa es \( \frac{a^2 + b^2 - a}{a - 1} \).

Ahora bien, sabemos (1) que esta involución da la por las dos cantidades imaginarias conjugadas, \( z \) y la involución P, fundamental tomada sobre At, son perspectivas desde dos centros fáciles de determinar uniendo los puntos M y N, que supondremos ser los dos conjugados de la involución P, separados armónicamente por los A y C con dos puntos conjugados, cuales quiera de la involución z. Sean estos, por ejemplo, los m y n. Cada par de puntos conjugados de la involución z, proyectado desde R ó desde S, nos da un par de elementos conjugados de P y viceversa. Resulta, pues, que el símbolo analítico \( z = a \pm ib \), nos determina dos puntos del plano referidos a los puntos O, A, B, P como elementos de referencia. En realidad, cada punto real del plano, determina con el punto P una recta imaginaria que corta al eje OA en un punto en general imaginario, pero que puede ser también real. Es decir, que los puntos reales del plano, vienen dados como los elementos reales del haz de rectas imaginarias cuyo vértice es P.

El conjunto de todos los valores reales e imaginarios de z, representa todos los elementos reales e imaginarios del eje OA, y, consiguientemente, todos los puntos reales de un semiplano, y es claro que podemos establecer una relación involutiva, no solamente entre los elementos del eje OA, sino también entre los imaginarios ó entre éstos y aquéllos. Para ello, basta darnos dos pares de valores de \( \bar{z} \), es decir, cuatro puntos reales del plano que hagamos corresponder dos á dos, como conjugados, constituyendo dos soluciones particulares de la ecuación

\[
Azz' + B(z + z') + C = 0
\]

con lo cual queda determinada esta ecuación, siendo, en general, sus coeficientes complejos. En esta clase de involuciones, no han de corresponderse necesariamente los elementos reales unos con otros (como en las involuciones estudiadas por von Standl) sino que á un punto real puede corresponder uno imaginario á y un imaginario otro también imaginario y no conjugado con el primero. Estas involuciones pueden considerarse en realidad como involuciones de rectas imaginarias de vértice A P, perspectivas con otras involuciones de puntos colocadas sobre el eje OA, y también con otras involuciones planas de los puntos reales del semiplano ACO.

Con lo dicho, es claro que todo vector cuyo origen es O, queda determinado por

(1) Véase Beiträge zur Geometrie der Lage.—I. Heft n.º 126. Dr. K. G. C. v. Standt.
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En efecto, en la involución plana en que R y S son conjugados, siendo A y C límites, o y T son también conjugados, lo cual demuestra la anterior igualdad, y como \( (oABS = (oABJ)(oCJS) \), designando por \( a \), las razones dobles reales de la forma \( oABR \), y por \( b \) las de la forma \( oCJS \), tenemos por último:

\[
z_r = a + ib
\]

Si observamos ahora que llamando \( S' \) al punto separado armónicamente de \( S \) por \( oc \)

\[
ocJS' = -ocJS = -b
\]

es evidente que

\[
z_r = a - ib
\]

y entonces determinaremos el punto \( T' \) dado por la abscisa conjugada de \( z_r \) uniendo el punto \( A \) con el \( S' \) y prolongan lo la recta \( CR \) hasta que corte á la \( AS' \) (fig. 3). Para ello basta proyectar desde \( o \) el punto \( T \) sobre \( AC \), y desde esta proyección \( h \), proyectar el punto \( R \) sobre \( oc \). Así obtenemos el punto \( S' \); mediante el cual se obtiene inmediatamente el \( T' \).

De lo dicho se desprende fácilmente el significado geométrico y el modo práctico de hallar la suma y el producto de dos vectores dados por sus abscisas complejas.

Coordenadas.—Desde luego se ve que lo que hemos llamado \( a \) y \( b \) son coordenadas xy proyectivas de un punto; en el caso particular de que la recta límite \( AC \) coincida con la del infinito del plano, las razones dobles \( OABx + OCJy \) coinciden con las distancias contadas en unidades de longitud \( OB \) y \( OJ \) que pudieran ser distintas si se exigen ejes oblicuos ó sea en el infinito un punto \( P \) imaginario elíptico. Pero si \( OB \) es la unidad de abscisas \( OB' \) es la misma unidad tomada en sentido negativo y si \( OJ \) es la unidad de ordenadas, \( OJ' \) es la misma unidad tomada en sentido contrario.

De todos modos, si una involución de elementos imaginarios viene determinada por los tres puntos

\[
\begin{align*}
& a_1 + ib_1 \\
& a_2 + ib_2 \\
& a_3 + ib_3
\end{align*}
\]

la razón doble de otro elemento variable \( x + iy \) á estos tres es

\[
r = \frac{a_1 + b_1 i - a_3 - b_3 i}{a_1 + b_1 i - x - y i} : \frac{a_2 + b_2 i - a_3 - b_3 i}{a_2 + b_2 i - x - y i}
\]

designando por \( PQRS \) la parte real y la parte imaginaria de los términos de este quebrado

\[
r = \frac{P + Qi}{R + Si} = \frac{PR + QS + (QR - PS)i}{R^2 + S^2}
\]

y por ser el denominador esencialmente positivo el signo de la parte imaginaria es el del polinomio que podemos escribir

\[
QR - PS = A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D
\]
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donde

\[
A = \begin{vmatrix}
b_1 & a_1 \\
b_2 & a_2 \\
b_3 & a_3
\end{vmatrix}
\]

Resulta, pues, que todos los puntos cuya razón doble á los tres dados es real, se hallan sobre una cónica de la red que tiene comunes los puntos imaginarios P contenidos sobre AC y en particular si estos son los puntos circulares del plano se halla sobre la circunferencia determinada por dichos tres puntos que pudiera ser una línea recta si \( A = 0 \).

En el caso particular de que escojamos AC en la recta del infinito del plano y por elemento P fundamental uno de los circulares del plano \( x e y \) son coordenadas cartesianas rectangulares: \( x = z \cos \theta \) \( y = z \sin \theta \) siendo \( \theta \) el ángulo que forma el segmento \( o \) llamado módulo del vector con el eje de las \( x \).

Este ángulo recibe el nombre de argumento del vector \( z \).

Entonces el vector \( z \) puede ponerse en la forma

\[
z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}
\]

En esta forma es fácil hallar analíticamente el significado de las operaciones algebraicas aplicado á los vectores planos.

Suma.—La suma tiene por objeto hallar el elemento conjugado de la unidad en la involución en que \( z_1 \) y \( z_2 \) son conjugados y es doble el infinito. El centro de la involución plana correspondiente es el punto medio \( m \) de la distancia entre los punto representativos de \( z_1 \) y de \( z_2 \) y el vector suma se hallará sobre la \( o m \) á una distancia \( m S = o m \) que es como se ve el extremo de la diagonal del paralelogramo construido sobre \( oz_1, oz_2 \).

Resta.—Para restar bastará buscar el elemento —\( z_a \) el cual es el conjugado de \( z_2 \) en la involución \( z + z' = o \) es decir, en que son dobles el origen y el infinito, ó sea, en que se halla en \( oz_2 \) al lado opuesto y á igual distancia que \( z_2 \).

Después basta sumar \( z_1 \) y \( -z_2 \) como se ha indicado.

Producto.

\[
z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}
\]

es decir, que basta buscar un vector que tenga por módulo el producto de los módulos de los factores y por argumento la suma de los argumentos ó tomar sobre la dirección de uno de ellos un segmento igual al producto de ambos y luego hacerle girar un ángulo \( \theta_2 \). En particular, multiplicar un vector por \( i = i \sin \frac{\pi}{2} \) es hacer girar el vector mismo 90° alrededor del origen.

Cociente.—Como corolario de lo dicho, el cociente de dos vectores planos tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos de los factores.
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Ferrocarriles eléctricos industriales.

(CONTINUACIÓN)

Cálculo de la instalación de convertidores.—Para transformar la corriente alterna trifásica, que es la generalmente producida en las centrales eléctricas, en corriente continua la Siemens-Schuckert se sirve en la actualidad principalmente de convertidores rotativos.

Los convertidores, que se construyen para 1.500 revoluciones por minuto, tienen

sobre los transformadores rotativos de motor y generador la ventaja del menor precio, poca ocupación de lugar para la instalación, mejor rendimiento y menos gasto de en

tiemiento, porque se reduce á la mitad el número de piezas móviles. Además, el rendimiento del convertidor es casi igual para diferencias muy grandes de carga, lo que es de gran importancia en el servicio de ferrocarriles; donde son inevitables las oscila-
La Energía eléctrica (1914-05-25 00:00:00), página 8

ciones de la corriente. Los convertidores pueden ser sobrecargados bastante, sin perjuicio alguno.

Los convertidores tienen un enrollamiento de amortiguación que sirve para prote-

gerlos contra el pendoleo, y están provistos de polos auxiliares para asegurar la marcha sin chispas, debiéndose a esto el que se pudiera elegir la velocidad tan elevada de 1.500 revoluciones por minuto y reducir de esta manera su tamaño.

El arranque se efectúa directamente en el lado de la corriente trifásica, sin necesi-

dad de un motor auxiliar, siendo por lo tanto extremadamente sencilla la conexión de toda la instalación, sin que sean necesarios dispositivos sincronizadores.

La tensión del lado de corriente continua se puede regular por medio de una resistencia en derivación de construcción usual.

¿Qué capacidad debe tener el convertidor?

La potencia de la locomotora calculada en el primer ejemplo fue de 57 caballos y la tensión de 500 voltios, de manera que la intensidad de la corriente en el conductor, cuando la locomotora marcha con carga, será

\[
\frac{57 \times 736}{500 \times 0.85} = \text{aprox. 100 amperios}
\]
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Como en la mayoría de los casos la locomotora vuelve con los vagones vacíos, la carga de la locomotora y del convertidor será menor que en el viaje de ida, y basta un convertidor que tenga una capacidad del 90 % de la potencia antedicha.

Significando E la tensión de servicio y J la corriente total que necesita la locomotora para un viaje con plena carga, se calcula la capacidad del convertidores en kilovatio.

\[
\frac{0.9 \cdot E \cdot J}{1000}
\]

en nuestro caso

\[
\frac{0.9 \times 500 \times 100}{1000} = 45 \text{ kv.}
\]

Para elegir el convertidor necesario se encuentra en la tabla de convertidores que va á continuación, un convertidor para 46 kv., el cual es apropiado para esta instalación. Su precio es de francos 8.200.—.

CONVERTIDOR Y SU CUADRO DE DISTRIBUCIÓN

    Tensión de la corriente trifásica
    5.000 voltios.

    Frecuencia
    50 períodos.

    Tensión de la corriente continua
    220 á 500 voltios.

    Número de revoluciones
    1.500 por minuto.
La Energía eléctrica (1914-06-10 00:00:00), página 1

La Energía Eléctrica.

REVISTA GENERAL DE ELECTRICIDAD Y SUS APLICACIONES

SE PUBLICA LOS DIAS 10 Y 25 DE CADA MES

SUMARIO
Vectores y cuaternios, por José A. P. del Pulgar.—Ferrocarriles eléctricos industriales.—Instrucciones prácticas sobre motores de tranvías.—Notas bibliográficas.—Crónica e información: Aguas.—Nuevas Sociedades.—Locomóviles Lanz.—Contadores de electricidad aprobados.—Metropolitano de Madrid.—Vacantes de verificadores de contadores.—La Central de Oroz-Betelu.—Talleres electro-mecánicos.—Emisión de obligaciones.—La fuerza motriz en Barcelona á centimo y medio caballo-hora.—El carbón produciendo directamente electricidad.—Calefacción y cocina eléctrica.—Sociedad de Electricidad del Mediodía.—Memorias de Sociedades.—Ofertas y demandas.

VECTORES Y CUATERNIOS

(CONCLUSIÓN)

IV
Involuciones de elementos imaginarios.

Hemos visto que una abscisa z real ó imaginaria determina un punto del plano. Luego si escogemos dos pares de elementos \( z_1 \), \( z_2 \) como conjugados, podemos determinar una ecuación

\[
Az^2 + B(z + z') + D = 0 \tag{1}
\]

bilineal y con coeficientes en general imaginarios, la cual nos representará una involución de rectas imaginarias del haz de vértice P. Vamos á examinar cómo se hallan colocados sobre el plano los elementos reales de estas rectas. Para ello llamemos \( z \), \( z' \) á las soluciones de la ecuación

\[
Az^2 + 2Bz + C = 0 \tag{2}.
\]

Si \( z \), \( z' \) son cantidades complejas ordinarias nos determinan dos puntos reales del plano, los cuales, con cada par de soluciones correspondientes de la ecuación (1) nos dan cuatro puntos reales que, como hemos visto, están sobre una de las cónicas de la red que pasa por el punto P.

Luego los pares de puntos reales de cada par de rectas conjugadas de esta involución están con los \( z_1 \), \( z_1' \) sobre una misma cónica de la red que pasa por PP'. Todas estas cónicas forman un haz que pasa por los dos puntos dobles determinados por las abscisas \( x_1 \), \( x_1' \). (1)

(1) Como caso particular puede observarse que si uno de los puntos \( z_1' \) v. g., se coloca sobre la recta límite la involución plana de puntos reales tiene cada dos puntos conjugados sobre una misma recta del haz de vértice e el cual es el centro de la involución siendo AC el eje.
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el número de toneladas de peso bruto que se transportan por kilómetro. En general se consumen de 50 á 60 vatios-hora por tonelada-kilómetro medidos en el lado de la co-

rriente trifásica del convertidor. Siendo conocido el costo del kilovatio-hora, es fácil calcular el costo de la energía.

El ejemplo puesto al principio de este trabajo puede servir para explicar la manera de hacer esta cuenta. Los datos dados o calculados son los siguientes:

Largo del recorrido, 1,500 metros.
Duración de la jornada, 10 horas.
Días de trabajo al año, 300.
Viajes de ida y vuelta cada día, 10.
Número de vagones que constituyen un tren, 8.
Peso propio de cada vagón, 7 toneladas.
Peso útil del vagón, 10 toneladas.
Peso bruto del vagón cargado, 17 toneladas.
Peso de la locomotora, 9 toneladas.

    Francos

    Precio de la locomotora
    15.170,-

    Precio del conductor aéreo con accesorios
    9.815,-

    Precio de la instalación del convertidor
    8.200,-

    Capital invertido
    33.185,-

ó en números redondos 33,200 francos.
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Locomotora para minas, con dos asientos para el conductor.

Locomotora para minas, con asiento central.
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Los gastos anuales de servicio son:

    Francos.

    1. Interés sobre el capital al 4 %
    1.328,

    2. Amortización al 4 % en veinte años 3,358 %
    1.115,

    3. Sueldo del maquinista
    1.500,

    4. Gastos de entretenimiento
      Locomotora el 7 % de francos 15.170,–
      Conductor aéreo 2 % » 0,815,–
      Convertidor el 3 % » 8,200,–

    1.062,–196,–246,–

    5. Gasto de la energía eléctrica
      El tren entero cargado pesa: Locomotora 9 t.
      8 vagones cargados (á 10 + 7 t.) 136 t.
      El tren entero vacío pesa: Locomotora 9 t.
      8 vagones vacíos á 7 t. 56 t.
      Cada día se hacen 10 viajes con carga y 10 viajes sin ella en un trayecto de 1,5 km., de manera que resultan 10 × 0,5 (145 + 65) = 3.150 toneladas-kilómetros diarios, ó sean 300 × 3.150 = 945.000 toneladas-kilómetros al año. Para los trabajos de cambio en los puntos finales supondremos que se gaste el 10 % más. Sumando esto resultan 945.005 + 94,500 = 1.030.500 toneladas kilómetros anuales, que deben ser acarreadas á razón de 50 vatios-hora por tonelada-kilómetro. Suponemos que el kilovatio-hora cuesta francos 0,12 encontramos el costo total de la energía eléctrica en 1.030.500 × 0,050 × 0,12 = 6.237,–

    145 t.65 t.11.684,–

TOTAL 11.684,–

Anualmente se transportan 80 = × 300 = 24.000 vagones cargados, de manera que cada vagón cuesta

\[
\frac{11.685}{24.600} = \text{aprox. francos 0,49}
\]

para ser transportado hasta la estación.

Instrucciones prácticas sobre motores de tranvías

(Continuación.)

Después de la presión, las partes longitudinales se pegan con lienzo aceitado y barnizado. Este lienzo no debe ser de material duro ni rígido, sino más bien al contrario, suave y flexible, de modo que al pegar se adhiera bien y no haya lugares huecos ó vejigas. El aislamiento de las partes del núcleo de los carretes con lienzo aceitado se verifica de la manera siguiente: El material en cuestión se corta en la medida necesaria y del modo más racional, en una cortadora mecánica, en longitudes que correspondan á la del núcleo del inducido + 20 – 30 mms. Lo último es absolutamente necesario, con objeto de que el lienzo sobresalga por lo menos 10 ó 15 mm, por cada lado de los carretes sobre el núcleo; pues los ángulos y cantos de éste han de asegurarse cuidadosamente, ya que el peligro de paso perjudicial de corriente, como es natural, es aquí
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pectiva con la fundamental NN' desde un punto real M, fácil de determinar uniendo los dos pares de elementos conjugados en las involuciones N y V separados armónicamente por BC y por CF, siendo F el conjugado de C en la involución V.

Resulta, pues, como se ve, que cada valor de la razón doble \( V = (OAHM) \) en el caso de que la base \( h \) del punto imaginario que ella determina en el plano OAC, pase por el punto C determina también un par de puntos del espacio MM'. Si designamos por \( h \) el haz de cónicas fundamental que en el plano ABC pasa por los puntos imaginarios PP' y NN' y por \( h' \) el haz también de cónicas que en el plano OAC pasa por los cuatro puntos PP', \( \delta \delta' \). Los puntos MM' son, como se ve fácilmente, los centros de perspectiva desde donde pueden ponerse en posición homológica los dos haces \( h \) \( h' \), ó de otro modo, dichos puntos son los vértices de los haces de conos que pasan por las cuatro generatrices imaginarias M (PP') y M (NN') ó por las cuatro M' (PP'), M' (NN'), haces de conos de segundo orden cuyas secciones por los planos ABC y oAC son los haces de cónicas \( h \) \( h' \) respectivamente.

Puesto que cada uno de estos haces de conos proyectantes del haz de cónicas fundamental \( h \) desde todos los puntos reales del espacio viene determinado por la razón doble \( V = oAHM \) de cuatro puntos, bien podemos considerarlos como elementos de una figura y aun establecer entre ellos una relación involutiva que nos permita dar un significado geométrico á las operaciones analíticas entre las cantidades vectoriales V. En especial la involución dada por la ecuación

\[
V + V' = \text{constante} = \delta
\]

significa que la suma S de dos vectores se hallará determinando el vector conjugado del origen en la involución en que siendo el plano límite doble son también conjugados los puntos reales dados por los vectores \( V, V' \); y desde luego si \( V_i, V_j \) son otros dos vectores conjugados de la misma involución es evidente que

\[
V_i + V_j' = V_j + V_i'.
\]

Además, la involución dada por la ecuación

\[
VV' = \rho = \text{constante}
\]

nos da el medio de determinar el producto de dos vectores que será el elemento conjugado del OAHH en la involución en que son conjugados los dos vectores VV' y al origen corresponde el plano límite, relación que también puede escribirse

\[
(OAHT) (OAHT') = (OAHH')
\]
La Energía eléctrica (1914-06-10 00:00:00), página 4

6 en la forma usual

\[(oAHT) (oATH') = (oAHH').\]

Donde, como hemos hecho notar, H es un elemento cualquiera que no solamente pudiera estar en cualquier punto del plano oAC, sino aun fuera de él á condición de que se hubiese tomado por elemento de referencia unidad en el sistema de abcisas en que se ha establecido la ecuación de la involución.

VI

Forma explícita de la razón doble \( \mathbf{V} = (OAHM) \)

En la involución del espacio en que M y S son conjugados G y F lo son también (supuesto que ABC sea el plano central de la involución) luego

\[ OAHM + OAHS = OAHF + OAHG, \]

pero en la involución asimismo con el plano ABC doble en que O y S son conjugados T y S lo son también, luego

\[ OAHG = OAHT + OAHS. \]

Por idéntica razón

\[ OAHF = OAHS + OAHR \]

sustituyendo y simplificando

\[ OAHM = OAHR + OAHS + OAHT \]

y como

\[
\begin{align*}
OAHR &= (OAI) \times (OAI) = i x \\
OAHS &= (OAHJ) (OAS) = j y \\
OAHT &= (OAHK) (OAKT) = k z
\end{align*}
\]

luego

\[ \mathbf{V} = OAHM = ix + jy + kz \]

donde \( x, y, z \) representan tres razones dobles reales tomadas con los elementos OAJ, OAI, OAK como elementos de referencia y por \( i, j, k \) representamos tres razones dobles imaginarias, pero que pudieran hacerse reales sucesivamente haciendo que el punto H cayese en uno de los tres ejes OA, OB, OC.

Recíprocamente todo punto del espacio determina tres razones dobles únicas \( x, y, z \) y además tres valores arbitrarios de éstos determinarán un punto único, como es fácil verificar determinando arbitrariamente tres puntos RST sobre los tres ejes y proyectándolos desde ABC. Las involuciones PP', NN' proyectadas desde el punto M determinan sobre CR y CT otras perspectivas, y es fácil ver que sobre el plano OCB queda determinado un haz de cónicas \( h'' \) perspectivo con los \( h, h' \) y podríamos haber tomado el eje oB como base del sistema primitivo de referencia.

Por último, el haz \( h \) determina sobre AB una involución perspectiva con los PP', NN', que á su vez es fundamental, y proyectada desde M sobre AS determina en ésta otra involución; lo cual prueba que también el eje oC puede tomarse como base del sistema de referencia.

Entre todas las cónicas del haz \( h \) existe una sola con respecto á la cual el triángulo ABC es autopolar. A esta cónica llamaremos elemento *absoluto* del sistema de referencia porque dada ella ó el sistema polar que la define queda determinado, no sólo el triángulo ABC, sino también las involuciones fundamentales PP', NN' y basta fijar el origen y el punto unidad, que son los elementos arbitrarios, para que queden completamente definidos todos los elementos de referencia.