La Energía eléctrica (1911-08-10 00:00:00), página 18

R₁, R₂, R₃...Rₙ, y capacidades C₁, C₂, C₃...Cₙ. Llamando V la tensión de la red con relación al neutro, sean V₁, V₂, V₃...Vₙ, las tensiones eficaces con relación á la tierra.

Si se monta un voltímetro ó cualquiera otra derivación de resistencia R y de autoinducción L entre el polo I y la tierra, v₁ será V₁, pudiendo hacer la lectura en el voltímetro.

El autor ha buscado las relaciones que ligan V₁, V₂... á las constantes de la red R₁, R₂..., C₁, C₂...

I. Aplicación del teorema de Thévenin á una red polifásica.—El teorema de Thévenin, establecido para la corriente continua, se escribe:

\[
\frac{V_1}{v_1} = \frac{R}{R + R'}
\]

con \( \frac{1}{R'} = \Sigma \frac{1}{r} \) que se aplican á todos los circuitos existentes entre los dos puntos I y la tierra antes del establecimiento de la derivación.

Este teorema es aplicable á la corriente alterna-tiva reemplazando las cantidades V y R por los vectores correspondientes y hecha esta substitución se obtiene la relación

\[
\frac{1}{m} = \left( \frac{V_1}{v_1} \right) = \frac{\frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2}}{\left( \frac{1}{\rho} + \cos \frac{2\pi}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{\gamma} - \frac{\sin \varphi \cos \varphi}{R} \right)^2}
\]

en la que

\[
\frac{1}{\rho} = \Sigma \frac{1}{R_i} + \frac{1}{R_n} \quad \text{y} \quad \frac{1}{\gamma} = \Sigma C_i \omega + C_n \omega
\]

relativas á todas las resistencias de fuga y á todas las capacidades, y

\[
\tan \varphi = \frac{L \omega}{R}
\]

relativa al voltímetro empleado. Se ve que m es independiente del polo experimentado.

II. Relación entre los potenciales y las constantes de la red.—Si se expresan entre los vectores de corriente y entre los vectores de los potenciales las leyes de Kirchhoff, así como la composición de los potenciales entre sí, y se eliminan las cantidades relativas á los vectores de corriente, se obtienen las relaciones siguientes:

1.a Corriente alternativa simple,

\[
\frac{v_{n_2}^2}{V^2} \left( \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2} \right) = \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right)^2 + \omega^2 (C_2 - C_1)^2
\]
\[
\frac{v_{n_2}^2}{V^2} \left( \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2} \right) = \left[ \frac{1}{\rho} + \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) \right]^2 +
\left[ \frac{1}{\gamma} + \omega (C_2 - C_1) \right]^2
\]

é igualmente \( v_2 \)

2.a Corriente trifásica:

\[
\frac{v_{n_2}^2}{V^2} \left( \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2} \right) = \frac{1}{2} \left[ \Sigma \left( \frac{1}{R_4} - \frac{1}{R_2} \right)^2 + \omega^2 (C_1 - C_3)^2 \right] +
2 \sqrt{3} \omega \Sigma (C_1 - C_3) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
\]
\[
\frac{v_{n_2}^2}{V^2} \left( \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2} \right) =
\frac{1}{4} \left[ \frac{2}{\rho} + \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) - \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) + \sqrt{3} \omega (C_1 - C_3) \right]^2
+
\frac{1}{4} \left[ \frac{2}{\gamma} + \omega (C_1 - C_3) - C_1 - C_3 \right] -
\sqrt{3} \left( \frac{1}{R_1^2} - \frac{1}{R_2^2} \right)
\]

é igualmente \( v_2 \) y \( v_3 \).

III. Caso en que las constantes de la red pueden determinarse y caso de indeterminación.—Fácilmente se ve que las ecuaciones precedentes pueden ser satisfechas con valores arbitrarios de Rₙ y Cₙ. La razón de esto es que basta conocer v₁ y v₂, para deducir v₃. Vₙ.

Se encuentra, en efecto,

\[
\Sigma v_i^2 = m (V^2 + v_{n_2}^2)
\]

y además, para la corriente trifásica

\[
\Sigma (v_i^2 - v_{n_2}^2)^2 = 18 V^2 v_{n_2}^2.
\]

No se podrá, pues, nunca por medio de voltímetros determinar la resistencia y la capacidad de cada uno de los polos de un sistema cuyo neutro no esté aislado; se podrá, por el contrario, hacerlo si está aislado.

IV. Cálculo de P y de R.—Combinando las ecuaciones [4] y [6], se encuentra

\[
\frac{\Sigma v_i^2 - n v_{n_2}^2}{n V^2} =
\]
\[
\frac{1}{m} = \left( \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2} \right) \left( \frac{1}{\rho} + \cos \frac{2\pi}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{\gamma} - \frac{\sin \varphi \cos \varphi}{R} \right)^2
\]

de segundo grado con relación á ρ y γ, pudiendo calcularse estos valores con dos voltímetros.

V. Cálculo de R₁, R₂,..., C₁, C₂,...—Forman las funciones.

\[
v_2^2 - v_1^2 \quad \text{y} \quad (v_2^2 - v_3^2) - (v_3^2 - v_1^2), \text{resulta:}
\]

1.a Corriente alternativa simple.

\[
\frac{v_2^2 - v_1^2}{V^2} \left( \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\gamma^2} \right) = \frac{4}{\rho} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) +
\frac{4 \omega}{\gamma} (C_1 - C_3).
\]