La Energía eléctrica (1908-08-10 00:00:00), página 9

Asimismo, el segundo lema de Kirchhoff, aplicado á las tres mallas de la figura á que venimos refiriéndonos, permite establecer:

\[
\begin{align*}
e_1 &= R i'_1 + r_1 i_1 - R i'_2 \\
e_2 &= R i'_2 + r_2 i_2 - R i'_3 \\
e_3 &= R i'_3 + r_3 i_3 - R i'_1
\end{align*}
\]

(3)

Substituyendo en estas últimas ecuaciones los valores de \(i'_1, i'_2, i'_3\) por los determinados en igual dades (2), resulta:

\[
\begin{align*}
e_1 &= R i_1 - R i_2 + r_1 i_1 - R i_3 + R i_1 \\
e_2 &= R i_2 - R i_1 + r_2 i_2 - R i_3 + R i_2 \\
e_3 &= R i_3 - R i_2 - r_3 i_3 - R i_1 + R i_3
\end{align*}
\]

(4)

Restando miembro á miembro, de cada una de estas ecuaciones el valor de la siguiente, se obtiene:

\[
\begin{align*}
e_1 - e_3 &= i_1 (3R + r_1) - i_3 (3R + r_3) \\
e_2 - e_3 &= i_2 (3R + r_2) - i_3 (5R + r_3) \\
e_3 - e_1 &= i_3 (3R + r_3) - i_1 (3R + r_1)
\end{align*}
\]

(5)

y representando para simplificar la escritura por

\[
a = \frac{3R + r_1}{r_1} ; \quad b = \frac{3R + r_2}{r_2} ; \quad c = \frac{3R + r_3}{r_3}
\]

el grupo de ecuaciones (5) toma la forma:

\[
\begin{align*}
e_1 - e_2 &= a r_1 i_1 - b r_2 i_2 \\
e_2 - e_3 &= b r_2 i_2 - c r_3 i_3 \\
e_3 - e_1 &= c r_3 i_3 - a r_1 i_1
\end{align*}
\]

las cuales, á su vez, teniendo en cuenta que

\[
e'_1 = r_1 i_1 ; \quad e'_2 = r_2 i_2 ; \quad e'_3 = r_3 i_3
\]

quedan finalmente transformadas en las siguientes:

\[
\begin{align*}
e_1 - e_2 &= a e'_1 - b e'_2 \\
e_2 - e_3 &= b e'_2 - c e'_3 \\
e_3 - e_1 &= c e'_3 - a e'_1
\end{align*}
\]

(7)

Interesa, por último, observar que el grupo de igualdades (3) puede asimismo adquirir esta disposición:

\[
\begin{align*}
e_1 &= e'_1 + R (i'_1 - i'_2) \\
e_2 &= e'_2 + R (i'_2 - i'_3) \\
e_3 &= e'_3 + R (i'_3 - i'_1)
\end{align*}
\]

(8)

ecuaciones de las cuales, sumadas miembro á miembro y recordando que por hipótesis

\[
e_1 + e_2 + e_3 = 0
\]

se deduce:

\[
e'_1 + e'_2 + e'_3 = 0
\]

(9)

Método gráfico.—El grupo de ecuaciones (7) juntamente con la (9) es bastante y suficiente para establecer un método gráfico, que entiendo se presta admirablemente, no tan sólo á la resolución de los distintos problemas inherentes á las canalizaciones trifásicas, si que también al estudio y determinación de las fórmulas matemáticas que rigen el cálculo de las canalizaciones de esta índole. El procedimiento que someto á vuestra consideración, ignoro haya sido empleado por autor alguno, pero ingenuamente me complazco en consignar que la idea de pretender desarrollarlo en la forma que adopto, me fué sugerida por la lectura de un importante artículo de M. Rusell, publicado en The Electrician, y en el cual se emplea método similar, si bien aplicado á la determinación de la energía gastada en circuitos trifásicos. Vosotros apreciaréis, con más conocimiento de causa, si este mi trabajo ofrece alguna ventaja positiva sobre los métodos que actualmente son de rigor en la exposición de fenómenos cuya perfecta comprensión resulta imposible, siempre y cuando no se domine suficientemente el análisis matemático.

Dicho método se funda en las siguientes consideraciones:

1.a Si se representan las tensiones en bornas de un generador trifásico por tres vectores \(E_1, E_2, E_3\), siendo éstos como es requerido, de igual magnitud y presentando entre sí una diferencia de fase de 120°, es de observar que las rectas AB, AC y BC que unen los extremos de dichos vectores, forman un triángulo equilátero A B C, cuyos lados serán representativos en magnitud y fase de las diferencias de tensiones. Así (fig. 2.ª):

\[
\begin{align*}
BA &= E_1 - E_2 \\
CB &= E_2 - E_3 \\
AC &= E_3 - E_1
\end{align*}
\]