La Energía eléctrica (1907-02-25 00:00:00), página 8

De (8) sacamos,

\[
F \frac{dS}{dr} dr + S \frac{dF}{dr} dr = 0
\]

es decir, tomando siempre \( r \) por variable independiente y única

\[
\frac{dF}{F} = - \frac{dS}{S}
\] (9)

Integrando, obtendremos á F en función del radio \( r \), siempre que nos sea conocida la forma de S, en función también de \( r \).

En el caso de la geometría euclidiana

\[
S = 4 \pi r^2 \quad ds = 8 \pi r dr
\]
\[
\frac{dF}{F} = - \frac{8 \pi r dr}{4 \pi r^2} = - \frac{2 dr}{r}
\]

Integrando

\[
\log F + \log Q = - 2 \log r = - \log r^2
\]
\[
FQ = \frac{1}{r^2} \qquad Q = \frac{1}{K mm'}
\] (10)

Que es la ley de Newton y de Coulomb (1)

Puede, pues, asegurarse que de la ley Newton, las de Coulomb y las demás análogas, son simplemente la aplicación del principio de la conservación de la energía á un espacio euclíadiano.

II

Si quisiésemos hallar la expresión de una fuerza central en un espacio no euclíadiano en función de la distancia, bastaría poner en (9) el valor de S y ds en dichos espacios. Hallémosle, v. g.: para el espacio riemanniano, y quedará también determinada para los lobatchevskianos, sin más que mudar las razones trigonométricas circulares en hiperbólicas.

Sabemos que

\[
S_R = 16 \pi k^2 \operatorname{sen}^2 \frac{r}{2k}
\] (*)

de donde

\[
dS = 16 \pi k \operatorname{sen} \frac{r}{2k} \cos \frac{r}{2k} dr,
\]

(1) Laplace hace notar en su Théorie du Système du Monde que «una de las propiedades notables de la ley de atracción newtoniana es que, si disminuyesen al mismo tiempo las dimensiones de todos los cuerpos del Universo, sus distancias y sus velocidades, las curvas descritas serían se mejantes á las actuales, de suerte que, el mundo, reducido al más pequeño espacio imaginable, ofrecería siempre el mismo aspecto al observador. La sencillez, pues, de las leyes de la Naturaleza, no nos permite apreciar más que relaciones. Esta proposición fue después (1823) atacada por Delboeuf, profesor de Filosofía de Gand, en su famosa Thesis Megamètres, á que siguió una discusión con M. Lechalas, en la Revue Philosophique, 1853-1854, quedando en pie la proposición de Laplace.

Si observáramos que el espacio euclíadiano es el único, entre todos los de curvatura constante y tres dimensiones, que admite figuras semejantes veríamos que la proposición, que acabamos de establecer, es la reciprocidad de la de Laplace. Podría también establecerse siguiendo un procedimiento recíproco al que usa Lechalas, en Rev. des O. Sc. 1904, I, pág. 397.

En la hipótesis que la aceleración \( j \) venga dada por

\[
j = \varphi(r), \quad F = m \varphi(r).
\] (a)

Cambiando de unidad lineal, lo que supone

\[
\frac{F}{F_1} = \frac{r}{r_1}, \quad \frac{m}{m_1} = \frac{r^2}{r_1^2},
\]

como siempre \( F_1 = m_1 \varphi(r_1) \) tendremos

\[
\frac{r}{r_1} = \frac{F}{F_1} = \frac{m \varphi(r)}{m_1 \varphi(r_1)} = \frac{r \varphi(r)}{r_1 \varphi(r_1)} \quad \text{y} \quad \frac{r_1^2}{r^2} = \frac{\varphi(r_1)}{\varphi(r)}.
\]

Aumentando en (a) la distancia (sin variar de unidad) hasta \( r_1 \)

\[
F_2 = m \varphi(r_1) = m \frac{r^2 \varphi(r)}{r_1^2}.
\]

Para

\[
F_2 = m = r_1 - r, \qquad \varphi(r) = \frac{1}{r^2}.
\]

(*) Newcomb, Elementary theorems relating to the geometry of a space of three dimensions, and uniforme courvature..... Journal..... von Crelle 1877, t. 82, pág. 293. No sigo la notación de Newcomb para la constante espacial, por razones que luego expondré, y en vez de llamar \( \Delta D \) á la longitud total de una recta, como hace dicho autor, la llamo \( 2 \pi k \). Con hacer \( k = \frac{D}{\pi} \) encontrará el lector las fórmulas de Newcomb.