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La Energía eléctrica (1907-03-25 00:00:00), página 2

de una recta de masa (véase el párrafo anterior) M atrai lo por otra masa M' y de igual radio de giro R en un espacio euclidiano, con tal que R tenga en ésta la misma medida que k tiene en aquél.

Tomemos, pues, en el problema del espacio euclidiano \( R = 1 \) y en su correspondiente del espacio no euclidiano \( k = 1 \). Todo movimiento de un punto sobre un plano riemanniano ó lobatchefskiano es imagen del movimiento de una recta en una radiación del espacio euclidiano.

El potencial (35) derivado con respecto á las tres variables, da

\[
\frac{dV}{dx} = \frac{mm'}{2} \cdot \frac{\cos \frac{1}{2} a}{dx} = -\frac{mm'}{4 \sen^2 \frac{1}{2} a} \cdot \frac{da}{dx}
\]
\[
\frac{dV}{dy} = \frac{mm'}{4 \sen^2 \frac{1}{2} a} \cdot \frac{da}{dx}
\]
\[
\frac{dV}{dz} = \frac{mm'}{4 \sen^2 \frac{1}{2} a} \cdot \frac{da}{dy}
\]

Pero
\[
a = \arccos (x_1 x + y_1 y + z_1 z)
\]
donde \( x_1, y_1, z_1 \) son las coordenadas de la recta OB fija, y \( x, y, z \) las de la OA móvil. Luego,
\[
\frac{da}{dx} = \frac{x_1}{\sqrt{1 - (x_1 x + y_1 y + z_1 z)^2}}
\]
\[
\frac{da}{dy} = \frac{y_1}{\sen a}
\]
\[
\frac{da}{dz} = \frac{z_1}{\sen a}
\]

Luego
\[
\frac{dV}{dx} = \frac{mm'}{4 \sen^2 \frac{1}{2} a} \cdot \frac{x_1}{\sen a} = \frac{F}{\sen a} \cdot \frac{x_1}{\sen a}
\]
\[
\frac{dV}{dy} = \frac{mm'}{4 \sen^2 \frac{1}{2} a} \cdot \frac{y_1}{\sen a} = \frac{F}{\sen a} \cdot \frac{y_1}{\sen a}
\]
\[
\frac{dV}{dz} = \frac{mm'}{4 \sen^2 \frac{1}{2} a} \cdot \frac{z_1}{\sen a} = \frac{F}{\sen a} \cdot \frac{z_1}{\sen a}
\]

Pero según las (32) si llamamos W á una rotación de eje OB capaz de producir en OA una fuerza igual á F aunque perpendicular á ella,
\[
\frac{F}{\sen a} = m \frac{dW}{dt} \quad (m \text{ es á la vez masa y el momento de OA})
\]
pero
\[
\frac{dW}{dt} x_1 = \frac{dW}{dt} x, \quad \frac{dW}{dt} y_1 = \frac{dW}{dt} y, \quad \frac{dW}{dt} z_1 = \frac{dW}{dt} z
\]
que son las aceleraciones de los tres componentes de W según los tres ejes. Y según la convención final del párrafo anterior,
\[
m \frac{dW}{dt} x = X, \quad m \frac{dW}{dt} y = Y, \quad m \frac{dW}{dt} z = Z
\]
La Energía eléctrica (1907-03-25 00:00:00), página 3

luego

\[
\frac{dV}{dx} = X \quad , \quad \frac{dV}{dy} = Y \quad , \quad \frac{dV}{dz} = Z
\]

(36)

y de aquí

\[
\frac{dV}{dx} dx + \frac{dV}{dy} dy + \frac{dV}{dz} dz = X dx + Y dy + Z dz.
\]

Integrando

\[
V_2 - V_1 = \int (X dx + Y dy + Z dz).
\]

Además

\[
\frac{dV}{dt} = \sqrt{\left( \frac{dW_x}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dW_y}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dW_z}{dt} \right)^2}
\]

multiplicando por \( m \) y substituyendo

\[
F = M \sin \alpha \sqrt{\left( \frac{dV}{dx} \right)^2 + \left( \frac{dV}{dy} \right)^2 + \left( \frac{dV}{dz} \right)^2}
\]

expresión que da la fuerza en función de las derivadas parciales del potencial y que es aplicable á puntos móviles sobre un plano no euclíadiano ó á rectas móviles en una radiación de primer orden del espacio euclíadiano.

Mediante estas consideraciones es fácil aplicar toda la mecánica riemanniana de movimientos y fuerzas situadas sobre un plano, á la resolución de problemas en el espacio euclíadiano. Cada teorema de aquélla nos dará, con sólo el cambio de las palabras punto recta, plano en recta, plano, punto respectivamente, un teorema de las rotaciones de cuerpos obligados á recorrer trayectorias circulares, ó á los movimientos de rectas de una radiación en el espacio euclíadiano.

Segunda aplicación.—Sea una rotación de W de eje OW (Fig. 5.a) la cual al tender á arrastrar en su movimiento toda la radiación, desarrolla en el punto M una fuerza que según las (32) viene dada por

\[
f' = M \frac{dW}{dt} \sin \varepsilon
\]

siendo \( f' \) la fuerza aplicada á la recta OM. Si la suponemos concentrada en el punto M á la distancia R del punto fijo ó vértice de la radiación el valor \( f \) que toma es igual, según lo dicho al establecer las (32), á

\[
f = \frac{M}{R^2} \frac{dW}{dt} \sin \varepsilon
\]

Fig. 5.a

Pero la rotación W está producida por una cierta fuerza que podemos suponer aplicada al eje OA, según un segmento de éste, \( ds \). Si suponemos que la intensidad de esta aceleración es proporcional á una cierta causa Q y á la longitud del segmento \( ds \), según el cual ésta se aplica á la radiación,

\[
\frac{dW}{dt} = Q ds
\]

y substituyendo en la ecuación anterior y englobando en Q todas las constantes

\[
f = \frac{MQ}{R^2} \sin \varepsilon ds
\]
La Energía eléctrica (1907-03-25 00:00:00), página 4

La identidad de esta ecuación con la de Laplace para la acción de un elemento de corriente sobre un polo magnético demuestra que

La acción ejercida por una corriente de intensidad Q sobre un polo magnético de masa M colocado á distancia R es igual á la que ejercería una rotación W le to la la radiación alrededor de la recta que contiene al elemento de corriente, sobre una masa mecánica colocada en el mismo punto que la magnética é invariablemente ligada á la radiación.

Esta consecuencia nos permite formular una teoría sobre el mecanismo físico de las acciones electromagnéticas á distancia del modo siguiente:

Las acciones electromagnéticas se verifican como si
a) El medio electromagnético fuese rígido en los dieléctricos, ó al menos transmitiese integra las presiones que se comunican á un punto, á todos los demás con arreglo á la ley de la conservación del flujo ó de la energía, y esto aun tratándose de presiones transversales.
b) Un imán, capaz de moverse en un medio dieléctrico, alrededor de un punto fijo de su eje desarrollara en éste un momento de inercia (para el movimiento del fluido e. m.) proporcional á su masa magnética é inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
c) Una corriente eléctrica imprime al medio electromagnético una fuerza de rotación alrededor de la recta según la cual se mueve la corriente y directamente proporcional á la intensidad de ésta.

En cuanto al sentido del desplazamiento que tiende á tomar M, es fácil ver que en ambos casos es perpendicular al plano Mds.

La coincidencia de esta teoría con la de Maxwell, es tanto más digna de señalarse cuanto que nosotros hemos llegado á ella por la simple aplicación del principio de la conservación de la energía á un espacio euclíiano.

Si en vez de la acción de un elemento ds de corriente, quisiésemos la de una porción finita OA bastaría integrar la (40) con respecto á ds desde O á OA, lo que nos daría por el procedimiento clásico bien conocido

\[
F = \frac{QM}{L} \cdot \epsilon \frac{1}{2} \varphi
\]

que es la ley de Biot y Savart aplicada al caso de rotaciones mecánicas alrededor de un punto.

Tercera aplicación.—Las consideraciones hechas nos permiten representar las oscilaciones de una balanza de torsión abandonada á sí misma, después de desviada de su posición de equilibrio, por los movimientos harmónicos de un punto sobre una recta riemanniana ó lobatchefskiana.

Sea, en efecto, AB (Fig. 6.a) la aguja de una balanza de torsión.

Supongamos todas las masas fijas á ella, concentradas en A, á la unidad de distancia del centro de oscilación O, que tomaremos por vértice de la radiación cuya imagen es un plano riemanniano P_R. Sea A'_R el punto que en este plano es imagen del rayo OA de la radiación O, A'_R el punto imagen del OA' que supondremos ser la posición de equilibrio de la balanza.

Sabemos que si designamos por F el par de torsión y por M' una constante, es

\[
F' = \pm M'
\]

tomando el signo negativo ó positivo, según que el semirrayo OA tenga por posición de equilibrio al OA' ó al OB'.
La Energía eléctrica (1907-03-25 00:00:00), página 5

Si, pues, damos al punto \( A_R \) la masa \( M \), la ecuación anterior nos da el valor de la fuerza que solicita al punto \( A_R \) hacia el \( A'_R \) en la recta riemanniana \( A_R A'_R \) imagen del ángulo plano \( AOA' \). Por consiguiente, el movimiento de la balanza de torsión OA tiene por imagen el movimiento harmónico de un punto sobre una recta riemanniana.

Llamando \( Q^2 d \) una cierta constante

\[
\frac{d^2 x}{dt^2} = \pm Q^2 x
\]

ecuación lineal de segundo orden bien conocida en acústica por ser la ecuación diferencial de las vibraciones transversales harmónicas de las cuerdas. Dos integraciones sucesivas por el método clásico nos dan después de determinadas las constantes,

\[
v = \frac{dx}{dt} = 2S \frac{\pi}{T} \cdot \operatorname{sen} \frac{2\pi t}{T}
\]
\[
\Sigma = S \cos \frac{2\pi t}{T}
\]

(42)

para el caso de signo negativo, y las mismas ecuaciones en los senos y cosenos hiperbólicos, en vez de circulares para el caso de signo positivo. Observemos que este segundo caso, que en el movimiento harmónico de un punto sobre una recta, no tiene sentido alguno, en el caso de la balanza de torsión, es precisamente equivalente al otro y sólo supone que en vez de contar un ángulo, se cuenta su suplementario. En este caso las razones trigonométricas hiperbólicas nos dicen que la imagen del semirrayo OA hay que buscarla sobre una recta lobatchefskiana; en el caso del signo negativo, la imagen del movimiento de OA es el movimiento de un punto sobre una recta riemanniana.

Cuarta aplicación.—Llevando adelante el mismo método nos es fácil ver que así como una recta riemanniana ó lobatchefskiana es la imagen de un plano de una radiación euclidiana, las vibraciones transversales de las cuerdas en un espacio no euclidiano son imagen de las vibraciones transversales de una placa indefinida OABCDEF .... A (Fig 7.ª) (en un espacio euclidiano) y una de cuyas rectas A vibra según AA' con el punto fijo, transmitiéndose esta vibración angular á los demás semirrayeros OB, OC .... Con una velocidad angular \( V_a \). Las ecuaciones del movimiento de un punto cualquiera de la cuerda no euclidiana representan también las vibraciones de un rayo cualquiera oc, vg , en función de S, T, t, e, \( V_a \) y de su distancia angular á OA, y viceversa. La posición de los nodos y de los vientos en un y otro caso viene dado por las mismas ecuaciones. Esto demuestra que en la vibración de una cuerda indefinida en un espacio esférico ó pseudoesférico comunicada en el punto \( A_R \), á la distancia \( \pi k \) de este punto, existe siempre un vientre, y la longitud total de una recta 2D (2) es un múltiplo exacto de la distancia entre dos nodos ó dos vientos consecutivos.

Los teoremas de equilibrio de balanza en un espacio no euclidiano demostrados al final del párrafo II, son imagen de las condiciones de equilibrio de la placa OABC .... cuando se fija un semirrayo oc y se supone que otros dos OB, OD tienen los momentos mm' normales á ella.

(1) Donde \( \Sigma \) = elongación \( S \) = amplitud
\( T \) = periodo \( 2\pi t \) = fase.

(2) Véase Newcomb, loc. cit.
La Energía eléctrica (1907-03-25 00:00:00), página 6

VI

Conclusión.

En resumen: al lado de toda una categoría de fenómenos físicos y mecánicos, cuya teoría matemática puede formularse reduciéndolos á acciones de puntos sobre otros puntos móviles, según líneas, contenidos aquéllos y éstas en un plano, existe otra categoría de fenómenos cuya teoría puede formularse reduciéndolos á acciones de rectas sobre otras rectas móviles, según superficies cónicas, pertenecientes aquéllas y éstas á una misma radiación de primer orden.

Ahora bien; designando aquellas teorías con el nombre de mecánica y física lineal plana, y éstas con el de mecánica y física angular radiada, las ligeras indicaciones hechas nos permiten establecer la proposición siguiente:

La mecánica y física lineal plana no euclidiana es igual á la mecánica y física angular radiada euclidiana, pudiendo pasarse de una teoría á otra por una simple substitución de palabras.

En el artículo citado al principio (y que completa las presentes notas) he establecido la existencia de una geometría angular de la radiación en el espacio euclidiano, idéntica á la geometría lineal plana de Lobatchefsky ó Riemann, que puede ser establecida con entera independencia de los postulados de las paralelas (1).

De estas dos observaciones se deduce que la importancia de las teorías no euclidianas es independiente de la solución que se dé al problema de la constitución del espacio, puesto que, aun en el caso de que, por un procedimiento de cualquier género, se llegase á demostrar que nuestro espacio es euclíadiano, y aún más, que las concepciones filosóficas de los espacios no euclidianos son absurdas, dichas teorías serían de todos modos la representación del espacio y del mundo real, y el complemento necesario de las teorías actualmente conocidas, y esto, no mediante una métrica lineal del plano, sino mediante una métrica angular de la radiación de primer orden; siendo estas dos métricas dos ciencias paralelas, iguales en importancia, susceptibles de ser establecidas con entera independencia una de otra. La aplicación exclusiva de la primera, hasta el día de hoy, no reconoce otra causa sino su relativa facilidad para un cierto orden de fenómenos. En cambio existe otro orden de fenómenos en cuya teoría, como hemos visto, la aplicación de la geometría angular introduciría simplificaciones notables.

Fácil sería multiplicar los ejemplos de aplicación de esta teoría que creo exacta y fecunda. Por ahora, basta lo dicho para dar una idea del principio general en que se apoya, sometiéndola así á la aprobación ó á la crítica de las personas inteligentes, cosas ambas que estimaría en extremo conocer, si es que se juzga la cuestión suficientemente importante para merecer los honores de la discusión.

José A. Pérez del Pulgar S. J.

Enghien 1.º Enero 1907.

(1) El Sr. Vegas, en su reciente y magnífica obra de Geometría analítica, ha desarrollado magistralmente esta geometría, aunque fundándose en los principios de geometría euclidiana.
La Energía eléctrica (1907-03-10 00:00:00), página 1

La Energía Eléctrica

REVISTA GENERAL DE ELECTRICIDAD Y SUS APLICACIONES

PUBLICACIÓN QUINCENAL ILUSTRADA

SUMARIO
La teoría del potencial y la curvatura del espacio, por José A. Pérez del Pulgar S. J.—Ventajas de la tracción eléctrica en los ferrocarriles, por Rafael Torres Maríño.—El Dinamófono, por Sancho López López.—Notas bibliográficas, por J. G. B.—Crónica e información: Nuevas centrales.—Comisión mixta de telegrafía sin hilos.—Ferrocarriles y Tranvías.—Real Escuela de Ingenieros electricistas.—Cuba y la telegrafía sin hilos.—Fallecimiento.—Tranvía eléctrico. Tranvías de Madrid.—Tranvías de Bilbao.—Los tranvías de Madrid, la Hacienda y el Ayuntamiento.—Valores.—Compañías de electricidad.—Vacantes de verificadores.—Concurso para una plaza de ingeniero.—Folletos recibidos. Libros y revistas.—Ofertas y demandas.

La teoría del potencial y la curvatura del espacio.

(CONTINUACIÓN)

III

Por ahora terminaré observando que, mediante la (12) y la (16), podríamos determinar el valor de \( 2k \) con toda la aproximación que se quiera. Para ello, haríamos dos medidas, v. g.: de F á distintas distancias. Su cociente vendría dado por

\[
Q = \frac{F}{F'} = \frac{\operatorname{sen}^2 \frac{r'}{2k}}{\operatorname{sen}^2 \frac{r}{2k}}
\]

si hacemos \( r' = 2r \)

\[
\operatorname{sen} 2 \frac{r}{2k} = 2 \operatorname{sen} \frac{r}{2k} \cos \frac{r}{2k}
\]

y

\[
Q = \frac{4 \operatorname{sen}^2 \frac{r}{2k} \cot^2 \frac{r}{2k}}{\operatorname{sen}^2 \frac{r}{2k}} = 4 \cos^2 \frac{r}{2k},
\]

de donde

\[
2k = \frac{r}{\operatorname{arccos} \sqrt{\frac{Q}{4}}}
\]

(19).

De un modo análogo, si preferíamos medir dos potenciales V, \( V' \) en distinto punto, tendríamos

\[
Q = \frac{V}{V'} = \frac{\cot \frac{r}{2k}}{\cot \frac{r'}{2k}} = \frac{\tan \frac{r'}{2k}}{\tan \frac{r}{2k}},
\]
La Energía eléctrica (1907-03-10 00:00:00), página 11

en la ópera o en el salón de conciertos y aun así hay la limitación del local en que la música se ejecuta. Como dice Mr. Ray Standard Baker en su notable artículo publicado en la Mr. Clures Magazine, de Nueva York, al describir el Dinamófono: En vez de llevar la gente á la música, el nuevo método lleva la música á la gente.

Que la música ejerce una alta misión educadora, es una verdad indiscutible y que está en el ánimo de todo el mundo; y al democratizarse la música con el nuevo invento, que industrialmente ya se explota en la gran ciudad de Nueva York, la cultura social dará un extraordinario avance y así como los grandes cuadros pueden contemplarse en los museos y galerías de pintura, en los certámenes de Bellas Artes que periódicamente se celebran en todas partes; del mismo modo que las bibliotecas públicas y gabinetes de lectura facilitan el estudio de los libros más raros y estimados á cualquiera que lo desee y tenga voluntad de estudiar, la invención del americano Cahill permitirá con sus hilos ex-

Fig. 1.—Conjunto del dinamófono. Primera máquina experimental tamaño pequeño. La instalación en Nueva York es mucho mayor.

Fig. 2.—Ocho inductores correspondientes á las ocho escalas de un piano. Los inductores mayores producen las notas bajas, los pequeños las altas. Están montados en el mismo árbol, giran juntos, de modo que el dinamófono no puede nunca estar fuera de tono.

tendidos por las calles de las ciudades, pueblos, aldeas y hasta las casas de campo, escuchar las sublimes producciones musicales á más de 100 millas de la estación central.

Al relatar Mr. Ray Standard Baker en la Mr. Clures Magazine, sus impresiones personales, cuando fué á Holyoke (Massachusetts) donde tiene el Dr. Cahill instalado su laboratorio y donde ha concluido su segunda máquina que se explota hoy en Nueva York, dice: que la impresión primera que produce la música, es su singular diferencia con cualquiera otra música que antes se haya oído, pero lo que todavía es más singular es que, teniendo tonos propios, puede perfectamente imitar otros instrumentos musicales. Además de esta particularidad notable, en el nuevo instrumento, si así quiere llamársele, se puede distinguir la individualidad del ejecutante, como sucede con el piano ó el violín. La máquina responde
La Energía eléctrica (1907-03-10 00:00:00), página 5

Nótese la semejanza de esta ley con la ley de la palanca (17) en un espacio de curvatura distinta de cero.

b) La velocidad W de la rotación resultante cumple con las condiciones

\[
\begin{align*}
\omega \sin \gamma &= W \sin \beta' \\
\omega' \sin \gamma &= W \sin \alpha
\end{align*}
\]

siendo \( \gamma \) el ángulo que forman los ejes de las rotaciones componentes: de donde

\[
W = \omega \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = \omega' \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}
\] (26)

Inversamente, toda rotación alrededor de un eje puede descomponerse en otras dos de ejes coplanarios con el suyo. Las velocidades de las componentes son

\[
\begin{align*}
\omega &= W \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} \\
\omega' &= W \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}
\end{align*}
\] (27)

Y en el caso particular que las dos componentes fuesen rectangulares:

\[
\begin{align*}
\omega &= W \cos \alpha \\
\omega' &= W \sin \alpha
\end{align*}
\] (28)

y lo mismo ha de entenderse de las aceleraciones.

Por consiguiente. Para obtener las componentes de una rotación, según dos ejes rectangulares coplanares del suyo, basta multiplicar su velocidad por el seno y coseno de los ángulos que éste forma con aquéllos, y esto en todo espacio de curvatura constante.

Sea, pues, una rotación W alrededor del eje oA; descompongámosla en dos, según OZ y oB y llamando \( p = zoA \)

\[
\begin{align*}
\omega_z &= W \cos A O Z = W \cos p \\
\omega_B &= W \sin A O Z = W \sin p
\end{align*}
\]

Descomponiendo esta última, según los ejes X e Y, resultan para componentes de W, según los tres ejes rectangulares XYZ

\[
\begin{align*}
\omega_x &= W \sin p \cos Y O B \\
\omega_y &= W \sin p \sin Y O B \\
\omega_z &= W \cos p
\end{align*}
\]

Es fácil ver que los factores de W en los segundos miembros son precisamente las coordenadas curvilíneas rectangulares x, y, z. (Véase Barbarin, núm. 5, pág. 16, haciendo la substitución, de palabras, indicada.) Luego las componentes son

\[
\begin{align*}
\omega_x &= W x_1 \\
\omega_y &= W y_1 \\
\omega_z &= W z_1
\end{align*}
\] (29)

siendo x, y, z las coordenadas del eje de la rotación W.

Elevando al cuadrado sumando, y teniendo en cuenta la (21)

\[
W = \sqrt{\omega_x^2 + \omega_y^2 + \omega_z^2}
\] (30)

Para hallar las relaciones que ligan las aceleraciones de rotación con la fuerza ó causa de estas rotaciones, es preciso recordar que cuando, hablamos de fuerza aplicada á una
La Energía eléctrica (1907-03-10 00:00:00), página 6

recta, esto quiere decir momento de dicha fuerza. Para recordar esto acentuaremos la letra mediante la cual representemos esta magnitud. Asimismo llamaremos masa de una recta la cantidad M, tal que

\[
M = \Sigma m_i r_i^2 = MR^2 \quad (i = 1, 2, 3, ...)
\]

siendo \( m_1, m_2, ... \) las masas ligadas invariablemente á la recta; \( r_1, r_2, ... \) sus distancias respectivas al punto fijo o, vértice de la radiación, y R la cantidad designada con el nombre de radio de giro. El momento no es, pues, más que la masa de la recta concentrada á la unidad de distancia.

Luego: para pasar de las expresiones que nos dan las fuerzas y masas de rectas á las de fuerzas y masas de puntos, basta dividir aquellas expresiones por los cuadrados de las distancias de estos puntos al vértice de la radiación.

Tenemos pues

\[
f' = M \frac{d^2 a}{dt^2}
\] (31)

siendo a como siempre el elemento de superficie cónica de revolución que describe la recta á que \( f' \) se halla aplicada.

Sea, pues, una rotación W de eje OW que tiende á arrastrar á la recta OA situada á la distancia angular \( \lambda \). Es claro que

\[
\frac{d^2 a}{dt^2} = \frac{d^2 r}{dt^2} \sin \lambda = \frac{dW}{dt} \sin \lambda = \frac{dW \sin \lambda}{dt}
\]

pero W sen \( \lambda \) es la componente de W según un eje OB perpendicular al OA, en el plano oAW y que designaremos por \( \omega \). Luego la fuerza aplicada á OA en virtud de la rotación OW tiene una de las dos expresiones:

\[
f' = M \frac{dW}{dt} \sin \alpha \\
f' = M \frac{d\omega}{dt}
\] (32)

La rotación \( \omega \) puede ser substituida por dos \( \omega_1, \omega_2 \) coplanares con ella y rectangulares entre sí, tales que

\[
\omega_1 = \omega \cos \mu \qquad \omega_2 = \omega \sen \mu
\]

Llamando componentes de \( f' \) según los ejes de estas dos nuevas rotaciones, las cantidades \( f'_1, f'_2 \) tales que

\[
f' = M \frac{d\omega_1}{dt} = M \frac{d\omega}{dt} \cos \mu \\
f' = M \frac{d\omega_2}{dt} = M \frac{d\omega}{dt} \sen \mu
\]

tendremos

\[
f'_1 = f \cos \lambda \qquad f'_2 = f \sen \lambda
\]

En este sentido las tres componentes de la fuerza que la rotación \( \omega \) desarrolla en la recta OA según los tres ejes son, supuesto que xyz sean las coordenadas, es decir, los cosenos directores de esta recta (1)

\[
\begin{cases}
X = F' x_1 \\
Y = F' y_1 \\
Z = F' z_1
\end{cases}
\]

\[
F = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}
\] (33)

José A. Pérez del Pulgar S. J.

(1) En la hipótesis de que las coordenadas de X sean 1, 0, 0, las de Y, 0, 1, 0, las de Z, 0, 0, 1, la (33) demuestra que las coordenadas esféricas rectangulares de una recta son iguales á sus cosenos directores.