La Energía eléctrica (1907-03-10 00:00:00), página 4

un círculo máximo y por consiguiente de su plano. Las llamaremos coordenadas de éste y satisfacen también á la condición

\[
\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = 1
\] (22)

El ángulo \( \theta \) comprendido entre dos rectas de la radiación ó el \( \tau \) entre dos planos, viene dado por la expresión

\[
\begin{align*}
\cos \theta &= x_1 x_2 + \eta_1 \eta_2 + z_1 z_2 \\
\cos \tau &= \xi_1 \xi_2 + \eta_1 \eta_2 + \zeta_1 \zeta_2
\end{align*}
\] (23)

que son también las ecuaciones de un cono de revolución en la hipótesis de \( \theta \), \( x \), \( y \), \( z \) constantes. \( \theta \) es el ángulo en el vértice; \( x \), \( y \), \( z \) las coordenadas del eje. La segunda ecuación nos da también un cono de revolución por el haz de segundo orden de sus planos tangentes. \( \tau \) es el ángulo que uno de éstos forma con el plano perpendicular al eje, y \( \xi \), \( \eta \), \( \zeta \) son las coordenadas de éste.

Por último, la expresión del desarrollo \( a \) de una porción de superficie cónica de revolución de ángulo \( \varphi \) en el vértice, comprendida entre dos planos del haz axial que forman un ángulo diedro \( \tau \) es

\[
a = \tau \sin \rho
\] (24)

Con estas proposiciones y con la advertencia general hecha, de que, á toda proposición de geometría plana riemanniana corresponde otra de geometría esférica, independiente ésta de la constante espacial, y, por tanto, una de geometría angular de la radiación de primer orden que pasa por el centro de la esfera, sin más que cambiar las palabras punto, recta, plano de la proposición riemanniana en las recta, plano, punto, respectivamente, tenemos todos los elementos necesarios para el estudio de las rotaciones que necesitamos hacer.

En efecto, de la (24) deducimos que la velocidad con que una generatriz de un cono de revolución recorre la superficie de éste, cuando es arrastrada por una rotación de toda la radiación alrededor del eje del cono, es

\[
\frac{da}{dt} = \frac{d\tau}{dt} \sin \rho
\]

Y la aceleración

\[
\frac{d^2a}{dt^2} = \frac{d^2\tau}{dt^2} \sin \rho
\]

Pero \( \frac{da}{dt} \) es la velocidad angular del plano que proyecta la generatriz desde el eje, ó sea la velocidad angular \( \omega \) de la rotación de toda la radiación: luego

\[
\begin{align*}
\frac{da}{dt} &= \omega \sin \rho \\
\frac{d^2a}{dt^2} &= \frac{d\omega}{dt} \sin \rho
\end{align*}
\] (25)

La ecuación de equilibrio de una recta OC, que se mueve simultáneamente en virtud de dos rotaciones \( \omega \) y \( \omega' \) alrededor de dos ejes, coplanares con ella OA y OB y distantes de ella ángulos \( \alpha \) y \( \beta \) es como en geometría vulgar

\[
\omega \sin \alpha = \omega' \sin \beta
\] (26)

independientemente del signo de \( \omega \) y \( \omega' \). Por consiguiente,

En todo espacio de curvatura constante dos rotaciones alrededor de un punto fijo y de dos ejes fijos que pasan por él, pueden substituirse por una sola alrededor de un eje instantáneo de rotación. La solución resultante está determinada por las propiedades siguientes:

a) Su eje es coplanario con los de las componentes y forma con éstos, ángulos, cuyos senos están en razón inversa de las velocidades angulares de las rotaciones componentes.