La Energía eléctrica (1903-09-10 00:00:00), página 12

Para hacer la integración de aquel segundo miembro de la [3] con relación á t, sería preciso conocer x, y, z, X, Y, Z,... ó las cantidades que en vez de éstas entrasen en él, en función de t. Pero si supiéramos esto, ¿para qué indagar más? Habría en todo ello una petición de principio; pedíamos lo mismo que vamos buscando.

No por eso es inútil la [3]. Habrá ocasiones en que con aparatos especiales totalizadores, con cuadraturas gráficas ó por otros medios, podamos obtener el valor del segundo miembro para tiempos distintos y, por consiguiente, deducir para esos mismos instantes el valor de v. De este modo podrá construirse la curva \( v = F(t) \) de velocidades, en función de tiempo, de la que por derivaciones ó integraciones gráficas podremos pasar á la de aceleración y á la curva de espacios ó ley gráfica del movimiento; con unas y otras se resuelven cuestiones interesantes.

Hay también muchos casos en que, como le ha pasado al primer miembro de la [3], puede el segundo miembro ser integrado independientemente del tiempo t, por ser X, Y, Z precisamente las derivadas parciales de primer orden de una función con relación á x, y, z, ó por ser H, ó sus componentes y las diferenciales que las acompañan, funciones de la distancia á un punto dado, etc. Entonces, fijándonos sólo, para mayor claridad, en el primer caso, esto es, que X, Y, Z sean las derivadas parciales de una función \( \varphi(x, y, z) \) respecto á las variables del mismo nombre, tendremos:

\[
\left[ \begin{array}{l}
X = \frac{\partial \varphi(x, y, z)}{\partial x}, \quad V = \frac{\partial \varphi(x, y, z)}{\partial y}, \quad Z = \frac{\partial \varphi(x, y, z)}{\partial z} \\
\end{array} \right]
\]

y siendo x, y, z las coordenadas del punto al tiempo t y \( x_0, y_0, z_0 \) al tiempo \( t_0 \), podremos escribir:

\[
\int_{1/2 m} (x^2 v_0^2) = \varphi(x, y, z) - \varphi(x_0, y_0, z_0).
\]

ecuación que expresará en el problema considerado una propiedad particular del movimiento, y nos dará en el primer miembro, como antes, la variación que ha sufrido la fuerza viva; en el segundo, el trabajo ejecutado por las fuerzas independientemente del camino recorrido y sólo en función de las coordenadas de partida y las de llegada.

En esa interesante función \( \varphi \) está la clave de lo que buscamos.

Alguien le dió el nombre de función de las fuerzas y de función potencial; pero como el primer nombre no es bien apropiado, por más que \( \varphi \) tiene con las fuerzas mucha conexión, y el segundo tampoco, porque no es lo que buscamos, aunque con el potencial vaya íntimamente unida, nos tomamos la libertad de dar á \( \varphi \) el nombre de función energética, porque indica un trabajo hecho, que es una de las formas de la energía, ó una fuerza viva ó una potencia viva, como quieran otros que se llame, que también es equivalente de aquella energía ó trabajo.

No es preciso que \( \varphi \) sea expresada en coordenadas cartesianas; podría estarlo en otras coordenadas; mas siempre que \( \varphi \) sea la integral general que nos dé el trabajo ejecutado, á falta sólo de la constante, será la función energética.

Hagamos una observación, insignificante quizá, pero que aclara conceptos: la función \( \varphi(x, y, z) \), así sola, sin igualar á nada, es una expresión que representa el espacio todo, un macizo, para el que se supone que \( \varphi \) da valores reales, que corresponden á otros de la misma especie atribuidos á x, y, z. Pero si la igualamos á una constante C, que podemos variar á nuestro gusto, será lo mismo que si dividiéramos aquel espacio en capas ó superficies que reúnan todos los puntos cuyas coordenadas, substituidas en la función energética dan el mismo resultado \( \varphi(x, y, z) = C \). Esas capas, esas superficies, son las superficies de nivel que se podrían numerar ó acotarse, según los valores que se dan á C.

Cortadas por un plano, darán las curvas contenidas en él que reúnen los puntos del