La Energía eléctrica (1903-08-25 00:00:00), página 12

caso á ecuaciones especiales que pudieran convenir para conocer algunas particularidades del movimiento que estudiásemos.

Haciéndolo así con las ecuaciones [1], en que están como sintetizados todos los casos de movimiento de un punto, que se nos pudieran presentar, se llega á notables resultados que expresan integrales ó propiedades generales, aplicables á toda clase de movimientos, con los cuales se resuelven muchos problemas y se enuncian notables teoremas, tales como los relativos á impulsiones (*) y cantidades de movimiento, á momentos de las mismas; los interesantes sobre areas descritas por el móvil y otros que de aquellas se originan, así como también el de trabajos y fuerzas vivas, tan fecundo en aplicaciones.

Todos ellos son aplicables también al movimiento de un sistema de puntos que al moverse en conjunto dan lugar á otra propiedad general, relativa al centro de inercia con valiosos corolarios.

Nos vamos á quedar sólo con el tan manoseado teorema debido á Huygens: el de trabajos y fuerzas vivas; precioso instrumento de investigación en unos casos, palanca poderosa para remover en otros dificultades prácticas, y en todos auxilio eficaz para resolver problemas variados y de mucha utilidad.

Los que andan en estos asuntos saben perfectamente cómo se obtiene; diremos sólo que basta sumar las ecuaciones [1] después de multiplicarlas respectivamente por \( dx \), \( dy \), \( dz \), y le tendremos para el punto material.

En efecto: el primer miembro (multiplicado y divido por \( dt \)) se convierte en la masa \( m \) multiplicada por una expresión, producto que bien á las claras es:

\[
m \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right] = \frac{1}{2} m \frac{d(v^2)}{dt}
\]

En el segundo quedará la suma de los tres trabajos elementales de las fuerzas proyección en sentido de los ejes, que no es otra cosa que el trabajo elemental de la resultante H, ó la suma de los trabajos de sus componentes. Podremos, pues, escribir:

\[
\frac{1}{2} m \frac{d(v^2)}{dt} = X dx + Y dy + Z dz
\]

que integrada entre los dos tiempos correspondientes al comienzo de la acción de las fuerzas sobre el punto y al fin de la misma será:

\[
\frac{1}{2} m \int_{t_0}^{t_1} \frac{d(v^2)}{dt} = \int_{t_0}^{t_1} (X dx + Y dy + Z dz)
\]

ó bien llamando \( v_0 \) y \( v \) las velocidades que al principio y al fin del tiempo considerado tuviera el punto:

\[
\frac{1}{2} m (v^2 - v_0^2) = \int_{t_0}^{t_1} (X dx + Y dy + Z dz)
\]

que podrá escribirse de varios modos, en su segundo miembro, en virtud de lo apuntado arriba, de poderse substituir el trabajo elemental de la resultante por el de la suma de los trabajos de sus componentes.

NICOLAS DE UGARTE
Coronel de Ingenieros

(Continuará.)

(*) Impulsión = producto de fuerza por tiempo; cantidad de movimiento = masa por velocidad; trabajo = fuerza por camino recorrido en dirección de ésta; fuerza viva = \( \frac{1}{2} \) de masa por cuadrado de velocidad. Otros toman \( mv^2 \). Nosotros siguiendo á Coriolis, y por varias razones, tomamos \( \frac{1}{2} mv^2 \). Esto es convencional.