La Energía eléctrica (1903-09-10 00:00:00), página 13

mismo valor ó cota energética C, algo así parecido á como se reúnen en topografía por curvas, los puntos de igual altura sobre un plano de comparación.

Pongamos un ejemplo: Si la resultante H que solicita al punto material, fuera proporcional á la distancia de él á otro, que tomaremos como origen de coordenadas, y para mayor sencillez hacemos igual á 2 el coeficiente de proporcionalidad, podremos escribir:
X = 2 x, Y = 2 y, Z = 2 z; por tanto,
\[
x dx + y dy + z dz = 2 x dx + 2 y dy + 2 z dz.
\]
La ecuación de fuerzas vivas será en este caso particular
\[
\frac{1}{2} m (v^2 - v_0^2) = 2 \int_{t_0}^{t} (x dx + y dy + z dz) = (x^2 + y^2 + z^2) - (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2).
\]
La función energética es ahora \( \varphi = (x^2 + y^2 + z^2) \), y así suelta es una expresión que representa el espacio todo en que según las condiciones mecánicas del problema pueda aplicarse esa expresión. Pero igualada á una constante C, tenemos ya esta otra \( x^2 + y^2 + z^2 = C \), que es tanto como dividir aquel espacio en capas esféricas cuyo radio será \( \sqrt{C} \). En una sección por un plano tirado por su centro podrían acotarse, con los valores numéricos de los radios correspondientes, las circunferencias resultantes de tal intersección.

Esas superficies gozan, como es natural, de propiedades especiales.

Todas son pertenecientes á la misma familia, si se considera como carácter distintivo de ésta el tener la misma ecuación diferencial, que es la que resulta de diferenciar \((x, y, z) = C\), esto es:
\[
x dx + y dy + z dz = 0.
\]
Si el punto móvil no sale de ella, tendrá siempre la misma velocidad; se moverá, por consiguiente, con movimiento uniforme, como se deduce de la ecuación [5] en que siendo todo constante tiene que serlo también v. Seguiría, por consiguiente, líneas geodésicas ó de más corta distancia.

Pero el punto, en problemas de movimiento, atraviesa esas divisiones hipotéticas ó superficies de nivel en que hemos dividido el espacio para facilitar el estudio y conocer con rapidez ciertos detalles.

Al llegar el punto á la misma superficie llega siempre con igual velocidad. El trabajo hecho por las fuerzas que le mueven dependerá sólo de la superficie de que el móvil parte y de aquella á que llega, independientemente del camino que recorra.

Si queremos saber cuál es la dirección de la fuerza y la intensidad de ésta en un momento dado, será también fácil, gracias á la consideración de la función \( \varphi \), porque sabida la situación del móvil por sus coordenadas \((a, b, c)\), \( \varphi(a, b, c) \) nos dará la constante C de la superficie de nivel que por él pasa y resultará conocida.

Una normal á ésta, trazada por el punto \((a, b, c)\), será la línea de acción que se nos pide, y su valor H será conocido porque substituyendo \((a, b, c)\) en las ecuaciones [4] tendremos las proyecciones de H sobre los ejes en ese instante (*). Si quisieramos saber cuál es la proyección de H sobre cualquiera dirección, bastaría también derivar \( \varphi \) con relación á la dirección pedida, lo que se hace buscando antes el valor de \( \varphi \) en función de la misma, porque los ejes pueden ser cualesquiera, y si respecto á ellos se verifica tal pro-

(*) Los cosenos de los ángulos que H hace con los ejes, son: \( \frac{X}{H}, \frac{Y}{H}, \frac{Z}{H} \), los que hacen con los mismos un elemento ds de curva contenida en la superficie \( \varphi \), serán: \( \frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds}, \frac{dz}{ds} \), luego el coseno del ángulo de H con s, será:
\[
\cos \widehat{Hds} = \frac{X}{H} \cdot \frac{dx}{ds} + \frac{Y}{H} \cdot \frac{dy}{ds} + \frac{Z}{H} \cdot \frac{dz}{ds} = \frac{X dx + Y dy + Z dz}{H ds},
\]
cuyo numerador es cero, según la ecuación [6], luego H es normal á ds.