La Energía eléctrica (1903-09-10 00:00:00), página 14

piedad, también tendrá lugar respecto á otra dirección. Derivando \( \varphi \) con relación á la normal á la superficie de nivel tendríamos H también. Si \( \varphi \) se materializara y contásemos obrando sobre el punto, además de H ó de sus componentes, la resistencia de la superficie, el punto estaría en equilibrio. No contando con tal resistencia puede haber también posiciones de equilibrio, por neutralizarse las fuerzas que sobre él obran. Entonces X = 0 Y = 0, Z = 0, y por tal concepto quedará satisfecha la [6]; el punto podrá hallarse en el cruce ó intersección de dos hojas distintas de una misma superficie de nivel, en que, si H existiera, no podrá á la vez ser normal á ambas; en esos cruces, H = 0 por necesidad.

Mas cuando se verifiquen esas condiciones, se reducirán á cero las tres derivadas parciales de \( \varphi \), las apuntadas en las ecuaciones [4], de las cuales podrán deducirse los valores \( x, y, z \) que las satisfagan y serán precisamente los puntos en que \( \varphi \) podrá ser un máximo ó un mínimo (*).

Si \( \varphi \) toma un valor máximo, el equilibrio será estable; si mínimo, inestable. En efecto: sea n una posición de equilibrio del móvil, y supongamos, para mejor entendermos, trazado por n un plano que corte á la superficie de nivel en que se halla y á las inmediatas según las tres curvas indicadas en la figura, que suponemos infinitamente próximas.

Sean también \( n', n'' \) dos puntos de las superficies que comprende la que contiene á n. Si para este punto \( \varphi \) toma un valor máximo, llevado á \( n' \) ó á \( n'' \), tenderá el punto material á ir hacia n, porque teniendo en aquéllos \( \varphi' \) y \( \varphi'' \) menos valor, y siendo \( \varphi \) como la expresión del trabajo hecho por las fuerzas hasta n, faltará uno positivo que añadir á aquéllas para que produzcan ésta. La resultante de las fuerzas tendrá, pues, la dirección de los valores crecientes de \( \varphi \) y en \( n' \) será \( n'n \) y en \( n'' \), \( n''n \). Una cosa análoga pasaría si en n, \( \varphi \) fuera mínimo; las direcciones de las fuerzas sería de n á \( n' \) y de n á \( n'' \) también en sentido de los \( \varphi \) crecientes; sacado n de su posición no volvería á ella.

Esos puntos especiales en que H se reduce por sí á cero, podrán ser muchos ó pocos, según el grado de las ecuaciones que dan los valores de \( x, y, z \).

Se comprende, por lo dicho, que en un problema de movimiento en que exista integral de fuerzas vivas, podrá muy bien haber varios máximos para \( \varphi \) y varios mínimos. El mayor de los máximos tendrá un valor constante y determinado M, y el menor de los mínimos otro m.

Esto quiere decir que el sistema sólo puede dar, como resultado total del trabajo hecho, M — m.

Para un punto N cualquiera del espacio, distinto del n en que tiene lugar el máximo de los máximos, las fuerzas que actúan sobre el punto material no habrán ejecutado al llegar á él todo el trabajo de que son susceptibles, y si en ese punto N la función energética alcanzó el valor M', aún les queda á las fuerzas la virtud, la posibilidad de ejecutar M — M'. Esta reserva queda al sistema como en potencia y se llama la energía potencial que posee al llegar el punto á N, á la que también se dice energía de posición.

Cualquiera que sea el punto del espacio á que alcance la acción del sistema, la expresión \( \varphi (x, y, z) \), tomada de un modo general será siempre menor que M, y por tanto, la expresión del potencial P será la siguiente para un punto (x, y, z):

\[
P = M - \varphi (x, y, z).
\]

Como se ve, P es bien distinta de la fuerza que sobre el punto obra y de la función energética. Es lo que vale el trabajo que aún resta ejecutar al sistema de fuerzas que

(*) Decimos que podrá ser, porque á veces no existen uno ni otro, lo cual depende de los valores que toman los siguientes coeficientes diferenciales.