La Energía eléctrica (1903-12-25 00:00:00), página 9

v = -E \operatorname{sen}(\omega t - \varphi) + e^{mt} \left\{ \frac{\operatorname{sen} \frac{t}{\sqrt{LC}}}{\sqrt{LC}} \left[ \frac{i_0 \left(4 \frac{L}{C} + r^2\right) + 2r v_0}{4 \sqrt{\frac{L}{C}}} + \right. \right. + \frac{E}{4 \sqrt{\frac{L}{C}}} \cdot (w \cdot \cos \varphi (4 L + r^2 C) - 2 r \cdot \operatorname{sen} \varphi) + \cos \frac{t}{\sqrt{LC}} (v_0 - E \operatorname{sen} \varphi) \left. \right] \right\}.

Se ve por estas igualdades, que las corrientes y tensiones oscilantes que se presentan, tienen un periodo completamente independiente del de la fuerza electromotriz de la generatriz y que depende sólo de las condiciones de la línea. La frecuencia de estas oscilaciones es igual á \( \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \).

Cuando existe un corto circuito, se tiene, antes de la ruptura

\[
v_o = 0 \qquad i = \frac{E}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} \operatorname{sen}(\omega t - \varphi - \varphi'')
\]
\[
\tan \varphi'' = \frac{L \omega}{r}
\]

y cuando se rompe el cortocircuito, es decir, para \( t = 0' \)

\[
v_o = v' \qquad i_0 = \frac{-E}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi'').
\]

Se tiene, pues, para los valores de \( i \) y \( v \) encontrados antes

\[
i = -E C \omega \cdot \operatorname{cos}(\omega t - \varphi) + e^{mt} \left\{ \frac{E \cdot \operatorname{cos} \frac{t}{\sqrt{LC}}}{\sqrt{LC}} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi'') + C \omega \cdot \operatorname{cos} \varphi \right) \right.
\]
\[
\left. \frac{E \operatorname{sen} \frac{t}{\sqrt{LC}}}{\sqrt{LC}} \left[ \frac{r \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi'')}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} \cdot 2 \sqrt{\frac{L}{C}} + \sqrt{\frac{L}{C}} \left( -\operatorname{sen} \varphi + \frac{2}{C \omega} \cdot \operatorname{cos} \varphi \right) \right] \right\}.
\]
\[
v = -E \operatorname{sen}(\omega t - \varphi) + e^{mt} \left\{ \frac{\operatorname{sen} \frac{t}{\sqrt{LC}}}{\sqrt{LC}} \cdot E \left[ \left( \sqrt{\frac{L}{C}} + \frac{r^2}{4 \sqrt{\frac{L}{C}}} \right) \cdot \frac{\operatorname{sen}(\varphi + \varphi'')}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} + \right. \right. + \frac{1}{4 \sqrt{\frac{L}{C}}} \cdot (w \cdot \cos \varphi (4 L + r^2 C) - 2 r \cdot \operatorname{sen} \varphi) \left. \right] \left. \frac{E \operatorname{sen} \varphi \cdot \operatorname{cos} \frac{t}{\sqrt{LC}}}{\sqrt{LC}} \right\}.
\]

En el supuesto que hemos dicho de que \( C \) es muy pequeño, examinando \( v \) se observa que durante un tiempo muy pequeño las amplitudes de las distintas oscilaciones son muy pequeñas con respecto á la amplitud \( \frac{E \operatorname{sen}(\varphi + \varphi'')}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} \cdot \sqrt{\frac{L}{C}} \).

podemos, pues, considerar, que aproximadamente la tensión en los bornes del condensador será durante ese tiempo igual á

\[
v = -E \cdot \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot \frac{\operatorname{sen}(\varphi + \varphi'')}{\sqrt{r^2 + L^2 \omega^2}} \cdot \operatorname{sen} \frac{t}{\sqrt{LC}} \cdot e.
\]

Esta amplitud será mínima cuando \( \varphi = -\varphi'' \), y como entonces se tiene \( i = 0 \), se ve pues, que si la ruptura del corto circuito se verifica en el instante preciso en que su corriente pasa por cero, la diferencia de potencial á que estará sometido el condensador no será muy grande con respecto á la \( E \) de la generatriz; pero supongamos ahora que dicha ruptura se verifique cuando \( \varphi + \varphi'' = 90^\circ \), es decir, cuando la corriente de corto circuito pasa por su máximo, entonces se tiene