La Energía eléctrica (1903-12-25 00:00:00), página 8

se tendrá, representando para simplificar

\[
\tan \varphi' = \frac{L \omega - \frac{1}{C \omega}}{r}
\]

\[
-\frac{r}{2 L} = m \sqrt{\frac{1}{CL} - \frac{r^2}{4L^2}} = \omega
\]

\[
R = \sqrt{r^2 + \left(1.\omega - \frac{1}{C \omega}\right)^2}
\]

\[
i = \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(at - \varphi - \varphi') + A_1 e^{mt} (m + n \sqrt{-1}) t + A_2 e^{mt} (m - n \sqrt{-1}) t
\]
\[
= \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(at - \varphi - \varphi') + A_1 e^{mt} (\cos nt + \sqrt{-1} \cdot \operatorname{sen} nt) + A_2 e^{mt} (\cos nt - \sqrt{-1} \cdot \operatorname{sen} nt)
\]
\[
= \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(at - \varphi - \varphi') + e^{mt} ((A_1 + A_2) \cdot \cos nt + \sqrt{-1} (A_1 - A_2) \cdot \operatorname{sen} nt)
\]
\[
= \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(at - \varphi - \varphi') + e^{mt} (A_3 \cos nt + A_4 \cdot \operatorname{sen} nt).
\]

La diferencia de potencial en los bornes del condensador, será

\[
v = \epsilon' - ri - L \cdot \frac{di}{dt} = E \left( \operatorname{sen}(at - \varphi) - \frac{r}{R} \cdot \operatorname{sen}(at - \varphi - \varphi') - \frac{L \omega}{R} \cdot \cos(at - \varphi - \varphi') \right)
\]
\[
+ e^{mt} \left( A_3 \left( L n \cdot \operatorname{sen} nt - \frac{r}{2} \cos nt \right) - A_4 \left( L n \cdot \cos nt + \frac{r}{2} \operatorname{sen} nt \right) \right)
\]

y teniendo presente que

\[
\frac{r}{R} = \cos \varphi' \qquad \frac{L \omega}{R} = \operatorname{sen} \varphi' + \frac{1}{KC \omega}
\]

se tendrá

\[
v = -\frac{E}{R C \omega} \cdot \cos(nt - \varphi - \varphi') + e^{mt} \left( A_3 \left( L n \cdot \operatorname{sen} nt - \frac{r}{2} \cos nt \right) - A_4 \left( L n \cdot \cos nt + \frac{r}{2} \operatorname{sen} nt \right) \right).
\]

Para determinar las constantes \(A_3\) y \(A_4\) representemos por \(i_0\) y \(v_0\), la corriente en la línea y la diferencia de potencial en los bornes, en el momento de la ruptura del circuito, es decir, al tiempo \(t = 0\), se deducirá:

\[
A_3 = i_0 + \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi') - A_4 = \frac{2 v_0 + i_0 r}{2 L n} + \frac{E}{R L n} \left( \frac{1}{C \omega} \cdot \cos(\varphi + \varphi') + \frac{r}{2} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi') \right)
\]

y substituyendo se tendrá

\[
i = \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(at - \varphi - \varphi') + e^{mt} \left\{ \cos nt \left( i_0 + \frac{E}{R} \operatorname{sen}(\varphi + \varphi') \right) - \operatorname{sen} nt \left( \frac{2 v_0 + i_0 r}{2 L n} + \frac{E}{L R n} \left( \frac{1}{C \omega} \cdot \cos(\varphi + \varphi') + \frac{r}{2} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi') \right) \right) \right\}
\]
\[
v = -\frac{E}{R C \omega} \cdot \cos(mt - \varphi - \varphi') + e^{mt} \left\{ \left( L n \cdot \operatorname{sen} nt - \frac{r}{2} \cos nt \right) \left( i_0 + \frac{E}{R} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi') \right) + \left( L n \cdot \cos nt + \frac{r}{2} \operatorname{sen} nt \right) \left[ \frac{2 v_0 + i_0 r}{2 L n} + \frac{E}{L R n} \left( \frac{1}{C \omega} \cdot \cos(\varphi + \varphi') + \frac{r}{2} \cdot \operatorname{sen}(\varphi + \varphi') \right) \right] \right\}.
\]

Si \(C\) es muy pequeño, se pueden simplificar estas ecuaciones, pues se tendrá aproximadamente

\[
R = \frac{C \omega}{r} \qquad L_n = \sqrt{\frac{L}{C}} \qquad \varphi' = \frac{\pi}{2}
\]

de donde

\[
i = -E C \omega \cdot \cos((at - \varphi) + e^{mt} \left\{ \cos \frac{t}{\sqrt{L C}} (i_0 + E C \omega \cdot \operatorname{cos} \varphi) - \operatorname{sen} \frac{t}{\sqrt{L C}} \left[ \frac{2 v_0 + i_0 r}{2 \sqrt{\frac{L}{C}}} + \frac{E}{\sqrt{\frac{L}{C}}} \left( -\operatorname{sen} \varphi + \frac{r C \omega}{2} \operatorname{cos} \varphi \right) \right] \right\}
\]