La Energía eléctrica (1903-09-10 00:00:00), página 15

obra sobre el punto, cuando éste pasa de la superficie de nivel en que está el punto \((x, y, z)\) á la que contiene el punto \(n\).

Diferenciando \(P\) con relación á \(x\), es decir, con relación á una dirección \(x\) determinada, tendremos:

\[
\frac{dP}{dx} = -\frac{d\varphi(x, y, z)}{dx} = -x
\]

ó bien

\[
x = -\frac{dP}{dx}
\]

Puede, pues, decirse que la fuerza que actúa sobre el punto, apreciada ó proyectada en una dirección cualquiera (aquí la de \(x\)), es igual y de signo contrario á la derivada del potencial en ese punto relativa á esa dirección.

Su sentido, que como vimos era el de los valores crecientes de \(\varphi\), podrá decirse también que es el de los potenciales decrecientes porque, como indica la ecuación [7], estos siguen necesariamente un orden inverso al de los valores de \(\varphi\).

Esa misma ecuación [7] puede escribirse así, indicando, por abreviar, con la letra \(\varphi\) e valor variable de la función energética

\[
P + \varphi = M
\]

y como el trabajo ejecutado por el sistema sería \(\varphi - m\), al llegar al punto \((x, y, z)\) y el máximo que puede dar \(M - m\) en realidad, aunque pusieramos éstos en vez de \(\varphi\) y de \(M\) tendríamos la misma expresión que nos dice: que la suma de la energía actual y la potencial es siempre constante para un sistema como el dado en que las acciones dependen de la posición, lo que por otra parte es evidente, porque si un sistema especial de fuerzas tiene virtud, poder para desarrollar un trabajo total conocido, y no ha llegado más que á uno determinado, sólo puede quedarle en reserva la diferencia, que es su potencial.

Si con la expresión [8] quisieramos significar solamente lo que sucede en un punto ó en la superficie de nivel que por él pasa (\(\varphi = C\)), en otro ó en los de otra superficie (\(\varphi' = C'\)), sucederá que \(P' + \varphi' = M\). Restando una de otra tendremos:

\[
P - P' - \varphi' - \varphi = - (\varphi - \varphi')
\]

lo que demuestra que la diferencia de dos funciones energéticas, ó sea el trabajo desarrollado al pasar de una superficie de nivel á otra, es igual y de signo contrario á la diferencia de los potenciales.

Las ecuaciones [7] y [8] son también la clave de la explicación de muchos fenómenos físicos y químicos que no son de este lugar.

No siempre existe la función energética en un problema dinámico; para que exista se ha visto que era preciso llegar á una integral que expresara el trabajo desarrollado dependiendo sólo de la posición y no del camino que el móvil recorra. Cuando se trata, por ejemplo, de problemas en que no haya otra fuerza que la de la gravedad, no habrá tal integral si interviniese el rozamiento, porque éste depende del camino recorrido; pero si se prescinde de él y se suponen concurrentes las acciones de la gravedad, así como en cualquier otro caso en que la resultante sea función de las distancias á un origen ó á un plano dado, podrá el trabajo elemental expresarse por \(f(r) d r\) en el primer caso, siendo \(r\) la distancia del móvil al origen, ó por \(f(z) d z\) en el segundo, siendo \(z\) la distancia variable al plano de comparación, y entonces podrá tener integral la ecuación de fuerzas vivas, aunque intervenga en la cuestión una superficie de apoyo para el punto material, porque tal superficie (dando por supuesto que no haya rozamiento) no hace otra cosa que introducir una fuerza más en la cuestión, su reacción normal, la cual, como perpendicular al camino que recorre el móvil, no produce trabajo que sumar con el de las otras fuerzas.