La Energía eléctrica (1901-11-10 00:00:00), página 10

b á la distancia M B.
c á la distancia M C.

Las corrientes en un punto O' del plano estarán representadas por los vectores I₁, I₂ é I₃ trazados en la figura 3.a y las distancias O' A = r₁, O' B = r₂ y O' C = r₃ representarán las diferencias de potencial entre los puntos A B y C del generador y el vértice de la estrella receptora.

Para que la resultante de las corrientes sea nula bastará que lo sea la suma de todas las proyecciones sobre cada uno de los ejes coordenados. Ahora bien, llamando θ₁, θ₂ y θ₃ á los ángulos señalados en la figura 2.a y designando por \( \frac{1}{K₁}, \frac{1}{K₂}, \frac{1}{K₃} \) las impedancias de cada una de las líneas, tendremos que la componente total en el sentido de cada uno de los ejes será:
\[
X = I₁ \cos(\theta₁ - \varphi₁) - I₂ \cos(\theta₂ - \varphi₂) - I₃ \cos(\theta₃ - \varphi₃) = K₁ r₁ \cos(\theta₁ - \varphi₁) - K₂ r₂ \cos(\theta₂ - \varphi₂) - K₃ r₃ \cos(\theta₃ - \varphi₃)
\]
\[
Y = I₁ \sin(\theta₁ - \varphi₁) - I₂ \sin(\theta₂ - \varphi₂) - I₃ \sin(\theta₃ - \varphi₃) = K₁ r₁ \sin(\theta₁ - \varphi₁) - K₂ r₂ \sin(\theta₂ - \varphi₂) - K₃ r₃ \sin(\theta₃ - \varphi₃)
\]

Desarrollando estas expresiones y teniendo en cuenta que si se llaman x é y las coordenadas del punto O' se tiene
\[
r₁ \cos \theta₁ = -x \qquad r₁ \sin \theta₁ = -a - y \\
r₂ \cos \theta₂ = -x - b \qquad r₂ \sin \theta₂ = y \\
r₃ \cos \theta₃ = c + x \qquad r₃ \sin \theta₃ = y
\]
las componentes X é Y se convertirán en
\[
X = -(K₁ \cos \varphi₁ + K₂ \cos \varphi₂ + K₃ \cos \varphi₃)x - (K₁ \sin \varphi₁ + K₂ \sin \varphi₂ + K₃ \sin \varphi₃)y + K₁ a \sin \varphi₁ \\
+ K₂ b \cos \varphi₂ - K₃ c \cos \varphi₃
\]
\[
Y = (K₁ \sin \varphi₁ + K₂ \sin \varphi₂ + K₃ \sin \varphi₃)x - (K₁ \cos \varphi₁ + K₂ \cos \varphi₂ + K₃ \cos \varphi₃)y + K₁ \cos \varphi₁ \\
- K₂ b \sin \varphi₂ + K₃ c \sin \varphi₃
\]

Igualando á cero estas componentes y resolviendo las dos ecuaciones que resultan respecto á x é y tendremos los valores de estas cantidades, que serán las coordenadas del punto O' que satisface á las condiciones requeridas, y una vez situado en el plano, no habrá más que medir en el dibujo todo lo que se pide en el enunciado.

El ejemplo práctico siguiente, tomado de la Electrical Review norteamericana y resuelto en ella por un procedimiento considerablemente más complicado que el que exponemos en estas líneas (1), servirá de aclaración al método.

Un generador trifásico en estrella desarrolla tres f. e. m. decaladas 120°; la primera E₁ = 1200 voltios, la segunda E₂ = 1100 voltios y la tercera E₃ = 1000 voltios. El receptor es también de estrella y la primera rama tiene una resistencia total R₁ = 15 ohmios y una reactancia ωL₁ = 15 ohmios; la segunda rama tiene 8,3 ohmios de resistencia y 16,6 ohmios de reactancia, y la tercera tiene 22,4 ohmios de resistencia por 11,2 de reactancia. Averiguar los datos todos que se pedían en el enunciado primero.

Procediendo con arreglo á lo indicado, trazaremos OA = 1200, OB = 1100 y OC = 1000. En la figura veremos que AB = 1993 , AC = 1908 , BC = 1819 , a = MA = 1723 , b = MB = 1000 , c = 819.

Ahora no tendremos más que substituir en las fórmulas (1) los valores particulares del problema y despejar á x é y. Para eso tenemos:

\[
\begin{array}{ll}
\text{tg } \varphi₁ = \frac{\omega L₁}{R₁} = \frac{15}{15} = 1 & \varphi₁ = 45° \qquad \cos \varphi₁ = 0,707 \qquad \sin \varphi₁ = 0,707 \\
\text{tg } \varphi₂ = \frac{\omega L₂}{R₂} = \frac{16,6}{8,3} = 2 & \text{de donde} \qquad \varphi₂ = 63° - 30' \qquad \cos \varphi₂ = 0,447 \qquad \sin \varphi₂ = 0,895 \\
\text{tg } \varphi₃ = \frac{\omega L₃}{R₃} = \frac{11,2}{22,4} = 0,5 & \varphi₃ = 26° - 30' \qquad \cos \varphi₃ = 0,895 \qquad \sin \varphi₃ = 0,447
\end{array}
\]

(1) Véanse los números del 31 de Agosto, 7 y 14 de Septiembre de 1901 de dicha Revista.