La Energía eléctrica (1902-05-10 00:00:00), página 6

estos valores y las potencias respectivamente desarrolladas por los dos alternadores, serán estos valores multiplicados por las intensidades

\[
E_1 \operatorname{sen} \omega_1 t
\]
y
\[
E_2 \operatorname{sen} (\omega_2 t + \beta).
\]

Transformado el valor de las potencias así obtenidas, según conocidas fórmulas trigonométricas (*), se harán más aptas para la integración.

Las integrales de estas potencias, durante un tiempo que comprenda números exactos de períodos en cada alternador, por ejemplo de \(0\) á \(2 \pi N\) en el primero y de \(0\) á \(2 \pi (N+1)\) en el otro, nos darán el trabajo que cada uno hace.

\[
\int_{t=0}^{t=2\pi N} P_1 dt = \left( \frac{m}{2} - \frac{m}{2 \omega_1} \operatorname{sen} \omega_1 t \cos \omega_1 t + \frac{n}{2 \omega_1} \operatorname{sen}^2 \omega_1 t \right) E_1^2 + \left( \frac{P}{2} \frac{\operatorname{sen} (\omega_1 t - \omega_2 t - \beta)}{\omega_1 - \omega_2} - \frac{P}{2} \frac{\operatorname{sen} (\omega_1 t + \omega_2 t + \beta)}{\omega_1 + \omega_2} \right) E_1 E_2 = \frac{m t}{2} E_1^2
\]
\[
\int_{t=0}^{t=2\pi (N+1)} P_2 dt = \left( \frac{m'}{2} \frac{\operatorname{sen} (\omega_1 t - \omega_2 t - \beta)}{\omega_1 + \omega_2} - \frac{m'}{2} \frac{\operatorname{sen} (\omega_1 t + \omega_2 t + \beta)}{\omega_1 + \omega_2} - \frac{n'}{2} \frac{\operatorname{cos} (\omega_1 t + \omega_2 t + \beta)}{\omega_1 + \omega_2} + \frac{n'}{2} \frac{\operatorname{cos} (\omega_1 t - \omega_2 t - \beta)}{\omega_1 - \omega_2} \right) E_1 E_2 + \left( \frac{p' t}{2} - \frac{p' t}{2 \omega_2} \operatorname{sen} (\omega_2 t + \beta) \operatorname{cos} (\omega_2 t + \beta) + \frac{q' t}{2 \omega_2} \operatorname{sen}^2 (\omega_2 t + \beta) \right) E_2^2 = \frac{p' t}{2} E_2^2
\]

y las potencias medias, que se obtienen dividiendo por \(t\), quedan reducidas á
\[
\frac{1}{t} \int P_1 dt = \frac{m}{2} E_1^2 \qquad \frac{1}{t} \int P_2 dt = \frac{p'}{2} E_2^2
\]
cuyas expresiones se transforman, poniendo de manifiesto las (9) de \(m\) y \(p'\) en
\[
\begin{align*}
\frac{E_1^2}{2} &\left( \frac{2 R + r}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + l)^2 \omega_1^2} + \frac{r}{2 (r^2 + l^2 \omega_1^2)} \right) \\
\frac{E_2^2}{2} &\left( \frac{2 R + r}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + l)^2 \omega_2^2} - \frac{r}{2 (r^2 + l^2 \omega_2^2)} \right)
\end{align*}
\]
pero siendo las fuerzas electromotrices proporcionales á las velocidades, e idénticos los elementos de ambas máquinas, podemos cacer \(E_1 = K \omega_1\), \(E_2 = K \omega_2\), convirtiéndose las anteriores fórmulas en
\[
\frac{K^2}{2} \left( \frac{(2 R + r) \omega_1^2}{2 (2 R + r)^2 + (2 L + l)^2 \omega_1^2} + \frac{r \omega_1^2}{2 (r^2 + l^2 \omega_1^2)} \right)
\]
\[
\frac{K^2}{2} \left( \frac{(2 R + r) \omega_2^2}{2 (2 R + r)^2 + (2 L + l)^2 \omega_2^2} + \frac{r \omega_2^2}{2 (r^2 + l^2 \omega_2^2)} \right).
\]

Las potencias son, pues, proporcionales á las velocidades, y la máquina que gire más velozmente desarrollará mayor trabajo, tendiendo, por consiguiente, á sincronizarse mutuamente.

Si las velocidades fuesen iguales (\(\omega_1 = \omega_2\)) los coeficientes (9) se igualan dos á dos, es decir, \(m = m'\), \(n = q'\), \(p = n'\), \(q = n'\), así como las fuerzas electromotrices \(E_1 = E_2\) y los trabajos efectuados serían iguales siempre que hubiese coincidencia de fase, (\(\beta = 0\)); pero no en el caso de que, siendo perfecto el sincronismo, las fases de las máquinas difieren en un valor efectivo de \(\beta\). En tal caso, las potencias resultan haciendo \(\omega_1 = \omega_2\), es decir:
\[
P_1 = \left( \frac{m}{2} - \frac{m}{2} \cos 2 \omega t + \frac{n}{2} \operatorname{sen} 2 \omega t + \frac{q}{2} \operatorname{sen} (2 \omega t + \beta) - \frac{q}{2} \operatorname{sen} \beta \right) E^2
\]
\[
P_2 = \left( \frac{p}{2} \operatorname{cos} \beta - \frac{p}{2} \operatorname{cos} (2 \omega t + \beta) + \frac{q}{2} \operatorname{sen} (2 \omega t + \beta) + \frac{q}{2} \operatorname{sen} \beta + \frac{m}{2} - \frac{m}{2} \operatorname{cos} (2 \omega t + \beta) + \frac{n}{2} \operatorname{sen} (2 \omega t + \beta) \right) E^2
\]

(*) Véase el tratado de trigonometría de Serret, párrafo 18, pág. 28.