La Energía eléctrica (1901-02-10 00:00:00), página 20

\[
X = H \left( \sin \varphi + \sin \left( \varphi + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \frac{2 \pi}{3} + \sin \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \cos \frac{4 \pi}{3} \right)
\]
\[
Y = H \left( \sin \left( \varphi + \frac{2 \pi}{3} \right) \sin \frac{2 \pi}{3} + \sin \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \sin \frac{4 \pi}{3} \right)
\]
pero sabemos por unas conocidas fórmulas trigonométricas, que
\[
\begin{align*}
\sin \left( \varphi + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \frac{2 \pi}{3} &= \frac{1}{2} \left( \sin \varphi + \sin \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \right) \\
\sin \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \cos \frac{4 \pi}{3} &= \frac{1}{2} \left( \sin \varphi + \sin \left( \varphi + \frac{8 \pi}{3} \right) \right) \\
\sin \left( \varphi + \frac{2 \pi}{3} \right) \sin \frac{2 \pi}{3} &= \frac{1}{2} \left( \cos \varphi - \cos \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \right) \\
\sin \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \sin \frac{4 \pi}{3} &= \frac{1}{2} \left( \cos \varphi - \cos \left( \varphi + \frac{8 \pi}{3} \right) \right)
\end{align*}
\]
luego substituyendo estos valores en las (24)
\[
X = H \left( \sin \varphi + \frac{1}{2} \left( \sin \varphi + \sin \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \right) + \frac{1}{2} \left( \sin \varphi + \sin \left( \varphi + \frac{8 \pi}{3} \right) \right) \right)
\]
\[
Y = H \left( \frac{1}{2} \left( \cos \varphi - \cos \left( \varphi + \frac{4 \pi}{3} \right) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos \varphi - \cos \left( \varphi + \frac{8 \pi}{3} \right) \right) \right)
\]
y desarrollando los senos y cosenos de las sumas
\[
\begin{align*}
X &= H \sin \varphi + \frac{H}{2} \left( \sin \varphi + \sin \varphi \cos \frac{4 \pi}{3} + \cos \varphi \sin \frac{4 \pi}{3} + \sin \varphi \cos \frac{8 \pi}{3} + \cos \varphi \sin \frac{8 \pi}{3} \right) \\
&= H \sin \varphi + \frac{H}{2} \sin \varphi \left( 2 + \cos \frac{4 \pi}{3} + \cos \frac{8 \pi}{3} \right) + \frac{H}{2} \cos \varphi \left( \sin \frac{4 \pi}{3} + \sin \frac{8 \pi}{3} \right) \\
Y &= \frac{H}{2} \left( \cos \varphi - \cos \varphi \cos \frac{4 \pi}{3} + \sin \varphi \sin \frac{4 \pi}{3} + \cos \varphi \cos \frac{8 \pi}{3} + \sin \varphi \sin \frac{8 \pi}{3} \right) \\
&= \frac{H}{2} \left( 2 \cos \varphi - \cos \varphi \left( \cos \frac{4 \pi}{3} + \cos \frac{8 \pi}{3} \right) + \sin \varphi \left( \sin \frac{4 \pi}{3} + \sin \frac{8 \pi}{3} \right) \right)
\end{align*}
\]
pero
\[
\cos \frac{4 \pi}{3} + \cos \frac{8 \pi}{3} = -1 \quad \text{y} \quad \sin \frac{4 \pi}{3} + \sin \frac{8 \pi}{3} = 0
\]
luego las anteriores expresiones de X e Y se reducen a
\[
\begin{align*}
X &= H \sin \varphi + 2 \frac{H}{2} \sin \varphi - \frac{H}{2} \sin \varphi = \frac{3H}{2} \sin \varphi \\
Y &= 2 \frac{H}{2} \cos \varphi + \frac{H}{2} \cos \varphi = \frac{3H}{2} \cos \varphi
\end{align*}
\]
que son las coordenadas rectangulares del flujo magnético total circulante por el transformador, que estará determinado en magnitud por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de X e Y, ó sea
\[
B = \sqrt{\left( \frac{3H}{2} \right)^2 (\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi)} = \frac{3H}{2} = 1,50\ H
\]
y hemos dicho determinado en magnitud, porque la dirección será constantemente variable, como tendremos ocasión de ver más tarde (*) al estudiar los campos magnéticos rotatorios. Esta variación de dirección es la que cuando se halla constituido el transformador por un solo circuito magnético, como en el sistema Schuckert, produce la inducción en el circuito secundario.

En los transformadores sistema Brown suceden las cosas de diferente manera. Los circuitos magnéticos son hasta cierto punto independientes entre sí, aun cuando el flujo total cerrándose sobre las coronas se anule en éstas en virtud de la diferencia de fases que da una ecuación análoga á la (22) y que puede expresarse por
\[
h_1 + h_2 + h_3 = 0
\]

(*) Téngase presente que este estudio forma parte de una obra general de Electricidad, cuya publicación no está decidida.