La Energía eléctrica (1901-03-10 00:00:00), página 17

de Ohm nos da ahora la fórmula de la resistencia en la derivación. Si queremos, pues, que la pérdida por tierra ó por contactos sea de \( \frac{1}{m} \) de la potencia EI, la resistencia del aislamiento debe ser m veces mayor que la del conductor, es decir, \( r = m \frac{E}{I} \) ohmios, porque entonces la intensidad I se ramifica en dos circuitos con intensidad i é i' inversamente proporcionales á las resistencias.

\[
i' = \frac{r}{R} - \frac{m}{m} \frac{E}{R} = m
\]

ó \( i = m i' \)

siendo siempre

\[
i + i' = I.
\]

La condición de mínimo aislamiento depende de la pérdida que se conceda como admisible ó más económica, que no sería difícil calcular por un procedimiento parecido al de Thomson, para determinar la sección más económica que debe darse al cobre, y una vez acordada esa pérdida, que llamamos \( \frac{1}{m} \) de la energía total suministrada por las máquinas, debemos multiplicar por m la resistencia del conductor y obtendremos la que debe darse al aislamiento, sea de aire, sea de una sustancia cualquiera que lo envuelva uniformemente.

Ahora bien; la resistencia de las sustancias aisladoras, aunque sujeta á alteraciones poco conocidas (sobre todo la de la gutapercha), lo está generalmente á la ley de Davy, que se expresa por \( r = \rho \frac{1}{s} \), siendo \( \rho \) la resistencia específica, l la longitud, en nuestro caso espesor de la capa aislante, y s la sección recta, que aquí, para abreviar, consideraremos como la superficie de un cilindro cuyo diámetro sea el promedio entre el exterior d y el interior d' de aquella capa, y que, por consiguiente, teniendo presente la fórmula geométrica que da las dimensiones de la superficie del cilindro de diámetro \( \frac{d + d'}{2} \) y longitud igual á la del conductor L, será

\[
s = 2 \pi \frac{d + d'}{2} L = 2 \pi d_1 L
\]

llamando \( d_1 \) al diámetro medio \( \frac{d + d'}{2} \).

Podemos, pues, expresar ya

\[
r = \rho \frac{1}{2 \pi d_1 L}
\]

en que substituyendo l por su valor \( \frac{d - d'}{2} \) y d' por el diámetro interior d', con lo que el error cometido será prácticamente despreciable ante las dimensiones L de la transmisión, tendremos

\[
r = \rho \frac{d - d'}{4 \pi d' L}.
\]

Esta ecuación y la \( r = m R \) hallada más arriba, nos permiten solucionar todos los problemas que se compendian en la primera pregunta, con suficiente aproximación para la práctica industrial, exceptuando los que se refieren á las condiciones climatológicas, de cuya influencia, que no afecta más que á la resistencia específica \( \rho \) hablaremos después; pero no es, al parecer, un valor aproximado lo que se solicita, sino uno de exactitud teórica y convincente. Para eso debemos considerar la fórmula hallada como aplicada á una capa cilíndrica de espesor infinitamente pequeño d x y suponiendo la envolvente dieléctrica constituida de capas análogas, integrar entre las superficies \( \frac{d}{2} \) y \( \frac{d'}{2} \); tendremos, pues,

\[
dr = \rho \frac{dx}{4 \pi x L} \qquad r = \int dr = \int_{\frac{d}{2}}^{\frac{d'}{2}} \rho \frac{dx}{4 \pi x L} = \frac{\rho}{4 \pi L} \int_{\frac{d}{2}}^{\frac{d'}{2}} \frac{dx}{x} = \frac{\rho}{4 \pi L} \log \operatorname{nep} \frac{d}{d'}
\]