La Energía eléctrica (1902-05-10 00:00:00), página 7

y las integrales serán:

\[
\int_{t=0}^{t=\pi N} P_1 dt = \left( \frac{mt}{2} - \frac{m}{2\omega} \sin \omega t \cos \beta t + \frac{n}{2\omega} \sin^2 \omega t + \frac{pt}{2} \cos \beta - \frac{p}{2} \frac{\sin (2\omega t + \beta)}{2\omega} - \frac{q}{2} \frac{\cos (2\omega t + \beta)}{2\omega} - \frac{qt}{2} \sin \beta \right) E^2 = \left( \frac{mt}{2} + \frac{pt}{2} \cos \beta - \frac{qt}{2} \sin \beta \right) E^2
\]

\[
\int_{t=0}^{t=\pi (N+1)} P_2 dt = \left( \frac{pt}{2} \cos \beta - \frac{p}{2} \frac{\sin (2\omega t + \beta)}{2\omega} + \frac{q}{2} \frac{\cos (2\omega t + \beta)}{2\omega} + \frac{qt}{2} \sin \beta + \frac{mt}{2} - \frac{m}{2\omega} \sin (\omega t + \beta) \cos (\omega t + \beta) - \frac{n}{2} \frac{\cos (2\omega t + \beta)}{2\omega} \right) E^2 = \left( \frac{mt}{2} + \frac{pt}{2} \cos \beta + \frac{qt}{2} \sin \beta \right) E^2
\]

Y para potencias medias tendremos, dividiendo por \( t \):

\[
(m + p \cos \beta - q \sin \beta) \frac{E^2}{2} \quad (m + p \cos \beta + q \sin \beta) \frac{E^2}{2}
\]

es decir, que cuando las máquinas marchan sincronizadas, aunque con una diferencia de fase efectiva \( \beta \), sus potencias se diferencian en

\[
2 q \sin \beta \frac{E^2}{2} = E^2 q \sin \beta
\]

y poniendo en evidencia el valor (9) de \( q \), dicha diferencia será:

\[
\left( -\frac{(2L+1)\omega}{2(2R+r)^2 + 2(2L+1)^2 \omega^2} + \frac{1}{2(r^2 + 1^2 \omega^2)} \right) E^2 \sin \beta
\]

M. Boucherot, después de evidenciar en una sencillísima y elegante discusión la necesidad que existe para que haciendo más trabajo la máquina avanzada se establezca la superposición de fases, de que el valor de \( q \) comprendido entre paréntesis sea positivo, lo que se consigue acoplando las máquinas de vacío, porque \( \alpha R = \infty \), corresponde \( q = \frac{1}{2(r^2 + 1^2 \omega^2)} \), cantidad evidentemente positiva, discute la fórmula de la potencia total

\[
P_{\text{total}} = E^2 (m + p \cos \beta)
\]

para venir á concluir en la conveniencia de montar los alternadores sobre motores de vapor independientes, no contando, como se hace frecuentemente, con la elasticidad y resbalamiento de las correas, que, efectivamente, son muy problemáticos cuando se hallan suficientemente tensas para que, en la transmisión, no se pierda una considerable parte de la energía empleada.

Pero del análisis de las condiciones de mayor estabilidad no basta aquella circunstancia, sino que, además, y para evitar en absoluto que las máquinas se desincronicen, han de emplearse motores incapaces de exceder las potencias máximas de cada uno de los alternadores.

Estas se determinan fácilmente en presencia de las potencias medias dadas en las fórmulas (14). En efecto, igualando á cero las derivadas de dichas potencias, se tiene:

\[
-p \sin \beta - q \cos \beta = 0 \qquad -p \sin \beta + q \cos \beta = 0
\]

de donde

\[
\tan \beta = -\frac{q}{p} \qquad \tan \beta = \frac{q}{p}
\]

ecuaciones condicionales para que los valores de las potencias sean máximo y mínimo, que lo serán, por lo tanto, en los límites

\[
\frac{E^2}{2} \left( m + \sqrt{p^2 + q^2} \right) \qquad \frac{E^2}{2} \left( m - \sqrt{p^2 + q^2} \right)
\]

que se diferencian de la potencial normal media \( \frac{E^2}{2} (m + p) \), en

\[
\frac{E^2}{2} \left( p + \sqrt{p^2 + q^2} \right) \qquad \frac{E^2}{2} \left( \sqrt{p^2 + q^2} - p \right)
\]