La Energía eléctrica (1902-05-10 00:00:00), página 5

El acoplamiento de alternadores.

(CONCLUSIÓN)

Identificando los coeficientes que en ambos términos tienen sen \( \omega_1 t \), sen \( \omega_2 t \), cos \( \omega_1 t \) y cos \( \omega_2 t \), obtendremos las cuatro ecuaciones:

\[
(2 L + 1) A \omega_1 + (2 R + r) B = 0 \\
(2 L + 1) B \omega_1 - (2 R + r) A = -E_1
\]
\[
(2 L + 1) C \omega_2 + (2 R + r) D = E_2 \sin \beta \\
(2 L + 1) D \omega_2 - (2 R + r) C = -E_2 \cos \beta
\]

de donde, en fin, se deduce, resolviendo estas ecuaciones dos á dos:

\[
A = \frac{(2 R + r) E_1}{(2 R + r)^2 + (2 L + 1)^2 \omega_1^2} \\
B = \frac{-(2 L + 1) E_1 \omega_1}{(2 R + r)^2 + (2 L + 1)^2 \omega_1^2} \\
C = \frac{((2 L + 1) \omega_2 \sin \beta + (2 R + r) \cos \beta) E_2}{(2 R + r)^2 + (2 L + 1)^2 \omega_2^2} \\
D = \frac{((2 R + r) \sin \beta - (2 L + 1) \omega_2 \cos \beta) E_2}{(2 R + r)^2 + (2 L + 1)^2 \omega_2^2}
\]

Conocidos ya los coeficientes indeterminados de la expresión (5) de I, podemos obtener este valor, que tras breves reducciones resulta:

\[
I = \frac{(2 R + r) \sin \omega_1 t - (2 L + 1) \omega_1 \cos \omega_1 t}{(2 R + r)^2 + (2 L + 1)^2 \omega_1^2} E_1 + \frac{(2 R + r) \sin (\omega_2 t + \beta) - (2 L + 1) \omega_2 \cos (\omega_2 t + \beta)}{(2 R + r)^2 + (2 L + 1)^2 \omega_2^2} E_2 \tag{6}
\]

Llamemos ahora J á la diferencia \( i_1 - i_2 \) de las intensidades parciales de los alternadores, y sentemos las ecuaciones (1) y (2), que nos dan

\[
E_1 \sin \omega_1 t - E_2 \sin (\omega_2 t + \beta) = 1 \frac{dJ}{dt} + rJ \tag{7}
\]

y por un procedimiento idéntico al que acabamos de seguir, tendremos para determinar los cuatro coeficientes A' B' C' D' de la expresión J, las cuatro ecuaciones:

\[
r A' - B' \omega_1 = E_1 \\
r B' - A' \omega_1 = 0 \\
r C' - D' \omega_2 = -E_2 \cos \beta \\
r D' + C' \omega_2 = E_2 \sin \beta
\]

que resueltas dos á dos, dan:

\[
A' = \frac{E_1 r}{r^2 + 1^2 \omega_1^2}, \quad B' = -\frac{1 \omega_1 E_1}{r^2 + 1^2 \omega_1^2}, \quad C' = -\frac{(1 \omega_2 \sin \beta - r \cos \beta) E_2}{r^2 + 1^2 \omega_2^2}, \quad D' = \frac{(1 \omega_2 \cos \beta - r \sin \beta) E_2}{r^2 + 1^2 \omega_2^2}
\]

y para J encontraremos:

\[
J = \frac{r \sin \omega_1 t - 1 \omega_1 \cos \omega_1 t}{r^2 + 1^2 \omega_1^2} E_1 - \frac{r \sin (\omega_2 t + \beta) - 1 \omega_2 \cos (\omega_2 t + \beta)}{r^2 + 1^2 \omega_2^2} E_2. \tag{8}
\]

De las expresiones (6) y (8), que dan, respectivamente, la suma I y la diferencia J de las intensidades instantáneas \( i_1 \) é \( i_2 \) de las corrientes en los alternadores, se deducen ya fácilmente los valores de \( i_1 \) é \( i_2 \), que serán, haciendo para simplificar:

\[
\begin{align*}
&\frac{2 R + r}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + 1)^2 \omega_1^2} + \frac{r}{2 (r^2 + 1^2 \omega_1^2)} = m \\
&\frac{r}{2 (r^2 + 1^2 \omega_1^2)} = p \\
&\frac{(2 L + 1) \omega_1}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + 1)^2 \omega_1^2} - \frac{1 \omega_1}{2 (r^2 + 1^2 \omega_1^2)} = n \\
&\frac{(2 L + 1) \omega_3}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + 1)^2 \omega_3^2} + \frac{1 \omega_3}{2 (r^2 + 1^2 \omega_3^2)} = q \\
&\frac{2 R + r}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + 1)^2 \omega_1^2} - \frac{r}{2 (r^2 + 1^2 \omega_1^2)} = m' \\
&\frac{r}{2 (r^2 + 1^2 \omega_1^2)} = p' \\
&\frac{(2 L + 1) \omega_1}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + 1)^2 \omega_1^2} + \frac{1 \omega_1}{2 (r^2 + 1^2 \omega_1^2)} = n' \\
&\frac{(2 L + 1) \omega_3}{2 (2 R + r)^2 + 2 (2 L + 1)^2 \omega_3^2} - \frac{1 \omega_3}{2 (r^2 + 1^2 \omega_3^2)} = q'
\end{align*}
\] (9)

los siguientes:

\[
i_1 = (m \sin \omega_1 t + n \cos \omega_1 t) E_1 + (p \sin (\omega_2 t + \beta) + q \cos (\omega_2 t + \beta)) E_2 \\
i_2 = (m' \sin \omega_1 t + n' \cos \omega_1 t) E_1 + (p' \sin (\omega_2 t + \beta) + q' \cos (\omega_2 t + \beta)) E_2
\]