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La Energía eléctrica (1900-11-01 00:00:00), página 5

tantas cuantas armónicas superpongamos, tantas veces quedarán sus ordenadas sumadas; la armónica resultante será de igual período y de amplitud múltiplo de las componentes.

La suma de funciones armónicas de periodos diferentes y sin relación determinada entre ellos, rara vez se emplea, por carecer de resultados prácticos su uso; sin embargo, sería fácil de encontrar en cada instante del tiempo, determinando en aquel momento las posiciones de los vectores sumandos y haciendo su composición, pero necesitaríamos proceder en igual forma por cada ordenada suma de ordenadas.

Si los períodos de las armónicas, aun siendo diferentes, guardarán entre sí una cierta relación de frecuencia ó pulsación, los resultados adquieren importancia grande y merecen detallarse.

Supongamos (fig. 4) dos armónicas, la una con período de duración triple que el de la otra, es decir, que el vector \( A \) da una vuelta á la circunferencia, mientras el vector \( B \) da tres vueltas; \( B \) será de frecuencia triple que \( A \).

\[
y = A \operatorname{sen} \omega t \\
y' = B \operatorname{sen} 3 \omega t
\]

Fácil será en cada instante del tiempo determinar el ángulo de los vectores que giran, partiendo los dos de la misma posición (igual origen de tiempos y de arcos).

El período de la función periódica suma será el mínimo común múltiplo de los períodos sumandos, y en este caso igual al período de \( A \); pues para que el vector de la suma vuelva á ocupar una posición ya ocupada, necesitarán volver á igual posición los vectores sumandos, lo que se verificará á cada vuelta del \( A \) y á cada tres vueltas del \( B \).

Si los períodos de \( A \) y de \( B \) fueran muy poco diferentes entre ellos, ó lo que es igual, sus velocidades de rotación casi iguales, irían separándose muy paulatinamente; y si suponemos que al terminar el de menor velocidad el recorrido de su círculo el otro se separa del primero en un ángulo \( \frac{1}{n} 2 \pi \), tardarán en volverse á unir tanto más tiempo cuanto mayor sea el número \( n \), de modo que por dos fenómenos periódicos de periodos muy poco diferentes podemos obtener otro fenómeno de periodo muy grande; tal es el fundamento del *procedimiento stroboscópico*, para el análisis de los fenómenos periódicos.

Analizada ya la suma de dos funciones armónicas de periodos múltiples, vamos a suponer en vez de dos, tres ó más funciones periódicas, también múltiples.

El estudio de la suma de funciones armónicas de frecuencias múltiples es el más interesante y de más frecuente aplicación, por lo que vamos á sumar armónicas de frecuencias uno, dos, tres y cuatro, es decir, que en el mismo intervalo de tiempo tienen uno, dos, tres y cuatro períodos (fig. 5).
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La suma será la curva X de frecuencia uno, y período mínimo común múltiplo de periodos.

Si dividimos la figura en dos mitades y las superponemos (fig. 6), las curvas de frecuencia 1 y 3 no múltiplos de 2 (partes en que hemos dividido la figura) se anulan al sumarse, convirtiéndose la curva X en la curva Y, que no tendrá ni ordenadas de frecuencia 1 ni ordenadas de frecuencia 3, y si solamente las ordenadas suma de las de frecuencia 2 y 4 (múltiplos de 2).

Y repitiendo nuevamente la operación, es decir, dividiendo en cuatro partes la fig. 5 y superponiéndolas, tendremos en la fig. 7 sólo la componente de frecuencia 4 de la curva X, única curva de frecuencia múltiple de 4.

Y en general, si el período de una función cualquiera se divide en n partes y se superponen estas n partes sumando sus ordenadas en la nueva curva así obtenida, no habrá más que armónicas de frecuencia n ó múltiplo de n, y como n puede ser un número entero tan grande como se quiera, llegaremos siempre á la descomposición de la curva periódica en armónicas componentes.

Vamos á demostrar con un cálculo sencillo esta curiosísima propiedad de la función periódica.

Supongamos que la curva periódica tiene entre sus componentes armónicas las de frecuencia n ó múltiplo de n.

\[
N = A_n \operatorname{sen} (n \varphi + \varphi_n)
\]

\[
N = A_n \operatorname{sen} (n \omega \cdot t + \varphi_n)
\]

\[
N = A_n \operatorname{sen} \left( n \frac{2 \pi}{T} t + \varphi_n \right)
\]

\[
N = A_n \operatorname{sen} n \frac{2 \pi}{T} (t + \psi_n)
\]
La Energía eléctrica (1900-11-01 00:00:00), página 8

y por ser un producto de senos pueden escribirse en la siguiente forma de suma:

\[
\frac{1}{2} \cos \left\{ (m+n)x + \varphi_m \right\} + \frac{1}{2} \cos \left\{ (m-n)x + \varphi_n \right\}
\]

y la integración dará

\[
\frac{\operatorname{sen} \left\{ (m+n)x + \varphi_m \right\}}{2(m+n)} + \frac{\operatorname{sen} \left\{ (m-n)x + \varphi_n \right\}}{2(m-n)} + C
\]

integral constantemente nula entre los límites de un período principal, siempre que \( m \) y \( n \) sean distintos entre sí.

Pero el término del orden \( n \), que es la curva armónica de frecuencia \( n \), no se anula al multiplicarlo como todos los demás por \( \operatorname{sen}\ n\ x \) ó \( \cos\ n\ x \).

En efecto

\[
A_n \int_0^{x_1} \operatorname{sen}(n\ x + \varphi_n) \operatorname{sen}\ n\ x \ d\ x = A_n \int_0^{x_1} (\operatorname{sen}^2 n\ x \cos \varphi_n + \cos n\ x \cdot \operatorname{sen}\ n\ x \cdot \operatorname{sen}\ \varphi_n) d\psi
\]

la integral del segundo sumando en un período es cero y la integración de \( \operatorname{sen}^2 n\ x \) durante un período \( x_1 \) será igual constantemente á \( \frac{1}{2} x_1 \), de modo que tendremos:

\[
\int_0^{x_1} f(x) \operatorname{sen}\ x\ d\ x = \frac{1}{2} A_1 \cos \varphi_1 = p_1 \\
\int_0^{x_1} f(x) \cos\ x\ d\ x = \frac{1}{2} A_1 \operatorname{sen}\ \varphi_1 = p_2
\]

\[
A_1 = 2 \sqrt{p_1 + p_2} \qquad \operatorname{tag}\ \varphi_1 = \frac{p_2}{p_1}
\]

Este es el método que á M. Boucherot sirve de base para el estudio de su analizador armónico, aparato integrador dispuesto para medir las superficies \( p_1 \) y \( p_2 \).

En la práctica de las corrientes alternativas, generalmente las curvas periódicas que suelen emplearse se componen de armónicas de órdenes 1, 3, 5... y entonces la descomposición de ella en sus armónicas fundamentales se efectúa rápidamente y sin necesidad de instrumento alguno analizador por el procedimiento de MM. Bouston y Kennelly que vamos á sintetizar.

Si en un sinusoidé tomamos un número impar de semiperíodos y los dividimos por paralelas al eje de los tiempos en un número de partes primo con el de semiperíodos, la diferencia entre las áreas determinadas por el sinusoidé el eje de los tiempos, y las paralelas trazadas, de orden impar y de orden par tomados con sus signos respectivos, es igual á o (fig. 8).

Pero si el número impar de semiperíodos armónicos ó alternancias se divide (á partir de o) en igual número primo de partes, la diferencia de áreas en iguales condiciones (fig. 9) será igual á tantas veces un semiperíodo como partes de la división.
La Energía eléctrica (1900-10-25 00:00:00), página 1

AÑO II. Madrid 25 Octubre 1900. Tomo III-Núm. 8.

LA ENERGIA ELECTRICA

REVISTA GENERAL DE ELECTRICIDAD Y SUS APLICACIONES

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Gaumersindo Villegas Ortega.

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MACRIC
La Energía eléctrica (1900-10-25 00:00:00), página 10

La difusión de los signos tiene, sin embargo, un grave inconveniente para la transmisión de los telegramas, pues aunque se emplee el lenguaje secreto, puede ser interceptada la comunicación, valiéndose de otro oscilador que mezcle las emisiones, haciendo imposible la inteligencia.

Otras pequeñas desventajas, entre las que figura la posibilidad de servir la antena como descargador de la electricidad atmosférica, son inherentes al sistema de telegrafía sin alambres, que, en suma, viene á ser un descubrimiento muy interesante, que podrá prestar muy buenos servicios en casos determinados, en que no sea posible emplear otro medio de comunicación, pero que, hoy por hoy, no puede reemplazar en manera alguna á los sistemas ordinarios de telegrafía que venimos empleando, no obstante las ilusionistas descripciones que constantemente nos comunica la prensa en general de experimentos realizados con grandes éxitos.

H. DELAROCHE.

APARATO DE SEGURIDAD
para tranvías eléctricos, sistema Schultz y Sintas.

En números anteriores dimos cuenta de las pruebas que se habían verificado en las cocheras de la Compañía anónima de Tranvías de esta ciudad de un aparato inventado por don Ernesto E. Schultz, ingeniero de la Compañía, y D. Conrado Sintas, ingeniero de la Inspección industrial del Ayuntamiento, para evitar los accidentes que con harta frecuencia tienen lugar en los tranvías y conducciones eléctricas de cable aéreo, ya sea por rotura del cable ó por ponerse éste en contacto con otros conductores telegráficos ó telefónicos.

En las conducciones eléctricas con cable aéreo, con ó sin hilo protector, puede suceder que aumente el número de amperios que circula por la línea, dando lugar á que el hilo de trabajo ó de línea se caldee y se rompa, ó bien que se rompa por un accidente cualquiera, produciéndose un corto circuito con tierra, ó que se rompa el hilo protector, quedando en contacto con el de trabajo ó caiga sobre éstos un hilo conductor, pudiendo ocasionar perjuicios y desgracias personales.

En todos estos casos se probó repetidas veces el aparato inventado por los señores Schultz y Sintas, dando siempre excelentes resultados; de modo que es indudable que con él se evitan con seguridad todos los accidentes.

El aparato interrumpe automáticamente la corriente que alimenta el hilo de trabajo cuando aumenta el número de amperios que han de circular por el mismo, cuando se rompe el hilo
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de trabajo ó el protector por un accidente cualquiera, ó cuando se ponen éstos en contacto de un tercer hilo conductor. Además, el aparato no sufre alteración cuando se interrumpe la corriente por atenciones del servicio.

En vista de los excelentes resultados prácticos del aparato, creemos conveniente darlo á conocer á nuestros lectores, y á este efecto representamos en esquema la disposición general

Fig. 3.a Interruptor visto por encima.

del aparato, y en detalle el interruptor y el conmutador, que son sus órganos principales. En el esquema de la fig. 1.a se considera la línea sin hilo protector, y con éste en la fig. 2.a

Las figs. 3.a, 4.a y 5.a representan en detalle el interruptor visto por encima, por un costado y de frente, y la fig. 6.a representa en detalle el conmutador.

Consta el aparato de un interruptor y un conmutador, ambos eléctricos y automáticos. El primero, figs. 1.a y 2.a, comprende un interruptor de resorte f (el resorte no está representado), montado sobre un brazo g, giratorio sobre el pasador e, combinado con un diente de retención l', que forma parte de la armadura l del electroimán v. Este tiene dos arrollamientos formados: uno por el hilo x, que alimenta la línea, y el otro por el hilo n", que procede del conmutador y va á unirse al r" que comunica con los carriles ó con tierra.

El conmutador adoptado en las pruebas consta de dos bobinas q p, de núcleo oscilante q' p', suspendidos los núcleos de los brazos h' de una balanza con un fiel ó palanca h que se mueve entre dos topes m m', y está en comunicación eléctrica con el hilo de alimentación x por medio del conductor n.

La bobina p tiene su arrollamiento formado por un hilo r' que termina en el r".

Cuando la línea no tiene hilo protector, el

Fig. 4.a Interruptor visto de costado.

hilo r' procede (fig. 1.a) del de línea x', partiendo del extremo opuesto al que recibe la alimentación x.

Si la línea tiene hilo protector y se alimenta por un extremo (fig. 2.a), el hilo r' parte del mismo extremo de hilo protector, y por el extremo opuesto comunican entre sí por medio
La Energía eléctrica (1900-10-25 00:00:00), página 12

de una resistencia \( x'' \) el hilo protector y el de línea.

Estos aparatos se sitúan en la caja de distribución de cada una de las secciones de la línea, combinándose con el cable \( a' \) de alimentación de las cajas y con el hilo \( x \) que alimenta la línea \( x' \).

La armadura \( l \) del electroimán \( v \) está graduada de modo que se mantenga en la posición indicada en las figs. 33 y 34, durante el funcionamiento normal. Al propio tiempo la bobina \( p \) está excitada por la corriente que, partiendo de la línea \( x' \), pasa por el conductor \( r' \) y va al \( r'' \). La bobina \( q \) está excitada por la corriente que, partiendo del hilo \( x \), sigue por el conductor \( r \), que termina en el \( r'' \). Igualmente excitadas ambas bobinas, resulta que la palanca \( h \) se mantendrá en la posición vertical.

Cuando aumenta el número de amperios de alimentación \( x \), aumenta la excitación del electroimán \( v \) y atrae la armadura \( l \), con lo cual el diente de retención \( l' \) deja libre el interruptor \( f \), y éste funciona automáticamente por efecto del resorte, separándose de los enchufes \( f \) e interrumpiendo el paso de la corriente.

Cuando no hay hilo protector y se rompe el de línea \( x' \), cesa la corriente que pasa por el arrollamiento de la bobina \( p \), quedando ésta sin excitación, siendo en consecuencia la acción de \( q \) la que atrae el núcleo \( q' \), poniendo la palanca \( h \) en contacto con \( m' \), y cerrando el circuito \( n, h, m', n'' \); se aumenta la excitación del electroimán \( v \), atrayendo la armadura \( l \), la que deja libre el interruptor automático.

Ésta se puede volver á colocar con suma facilidad en la posición de trabajo.

Si se aplica un aparato con esta combinación á una línea con hilo protector \( u \) (fig. 2.a), cuando éste se rompe ó se rompe el de línea \( x' \), cesa la corriente que pasa por el conductor \( r' \), funcionando el conmutador y el interruptor del modo indicado.

Si se pone en comunicación la línea \( x' \) y el protector \( u \) por medio de un hilo telefónico ó telegráfico ó por otro cualquiera, aumenta la corriente que circula por el conductor \( r' \) y, por lo tanto, aumenta la excitación de la bobina \( p \), atrayendo el núcleo \( p' \), hasta poner la palanca \( h \) en contacto con \( m \), funcionando el interruptor del modo indicado.

Al contrario, si cesa la corriente de alimentación, como sucede todos los días en los tranvías, el interruptor no se mueve, y queda en disposición de funcionar para cuando vuelva á establecerse la corriente.

Pasemos á estudiar en detalle el interruptor y el conmutador que se han construido para las pruebas, y que reúnen por completo condiciones prácticas.

Fig. 5.a Interruptor visto de frente.

Fig. 6.a Conmutador.
La Energía eléctrica (1900-10-25 00:00:00), página 2

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