La Energía eléctrica (1899-01-01 00:00:00), página 1

La ciencia pura y sus aplicaciones.

(NOTA)

En comprobación de las afirmaciones que hemos hecho en el artículo anterior, recordemos la teoría de las descargas, ya continuas, ya oscilantes, de los condensadores, o si se quiere del aparato elemental de Hertz.

Supongamos dos esferas metálicas é iguales, A y B.
De ambas esferas salen dos varillas, metálicas también, colocadas en la línea de los centros, dirigida una hacia otra, interrumpidas antes de unirse, y á muy pequeña distancia, y terminadas por dos pequeñas esferas, a b.
Este sistema, bien conocido, constituye realmente un condensador.
II. Supongamos en él una carga inicial Q, y designemos la resistencia, por R, la capacidad por C y la self-inducción del sistema por L.
Admitamos, además, que al empezar la experiencia, la carga está repartida desigualmente en ambas esferas, y que, por lo tanto, las potenciales son distintas.
Es evidente que el fluido eléctrico tenderá á pasar de la esfera de mayor potencial á la esfera de potencial menor. Sucederá lo mismo que si ponemos en comunicación por un tubo dos depósitos de agua que se hallen á distinto nivel.
Sólo que aquí, para que el paso del fluido eléctrico sea en cierto modo visible, hemos interrumpido el conductor entre las dos esferas A y B.
De este modo se verá saltar la chispa de a á b; y hasta recogiendo su imagen en un sistema óptico conveniente, se dibujará en cierto modo su marcha, y casi se verán sus oscilaciones, si es que oscila.
Más aún; si hubiera oscilación, al dar el salto se comunicaría al éter ambiente, y engendraría la onda hertziana, imitación de la onda luminosa, llegando de esta modo á la magnífica unidad de la electricidad y de la luz.
El modo de obtener en las dos esferas alternativamente cargas eléctricas distintas y distintos potenciales, es conocido de todos los electricistas, y no hay para qué insistir en este punto, ajeno al objeto de la presente nota.
Las dos esferas, decimos, tienen en un momento cualquiera cargas y potenciales diferentes. Esto suponemos y con esto nos basta.
Determinemos la ecuación del movimiento eléctrico de una á otra esfera.
La potencial en cada instante se puede expresar de dos maneras.
Llamando i á la corriente en un momento dado, y siendo R la resistencia, la ley de Ohm, da para la parte de fuerza electromotriz que le corresponde

pero al mismo tiempo, hay que tener en cuenta la fuerza electromotriz de la self-inducción, que, como sabemos, está representada por

\[
L \frac{di}{dt}
\]

De suerte, que la fuerza electromotriz efectiva, ó sea la diferencia de potenciales, será igual a

\[
i R + L \frac{di}{dt}
\]

Mas en cada momento, la carga es igual á la diferencia de potenciales por la capacidad; luego la potencial efectiva será, asemejando el sistema á un condensador y suponiendo la carga en el instante t igual á q,

\[
\frac{1}{C} q.
\]

Igualando ahora ambas expresiones de la fuerza electromotriz, resultará

\[
\frac{q}{C} = R i + L \frac{di}{dt};
\]

ecuación fundamental y conocida, por lo cual no entraremos en más pormenores.

Pero la corriente i es igual á \( -\frac{dq}{dt} \), y ponemos el signo — porque disminuye con un incremento de corriente positiva, la carga q.

Sustituyendo en la ecuación anterior y pasando todos los términos al primer miembro, resulta la ecuación diferencial de segundo orden

\[
L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0,
\]

que una vez integrada nos dará la carga en cada momento.

Para integrar esta ecuación hay que poner la exponencial \( e^{at} \) en vez de q, pues sabemos que esta es una solución particular, y resultará

\[
L a^2 + R a + \frac{1}{C} = 0.
\]

De donde deduciremos para la constante a los valores

\[
a_1 = -\frac{R}{2L} + \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{R^2}{4L} - \frac{1}{C} \right)}
\]
\[
a_2 = -\frac{R}{2L} - \sqrt{\frac{1}{L} \left( \frac{R^2}{4L} - \frac{1}{C} \right)}
\]

Si estos dos valores son reales la integral general

\[
q = A_1 e^{a_1 t} + A_2 e^{a_2 t},
\]

en que las constantes \( A_1 \) y \( A_2 \) se determinarán por las condiciones iniciales, contendrá exponenciales reales; es