La Energía eléctrica (1900-11-01 00:00:00), página 7

Y dividiendo el período T de la curva periódica en m partes, las m partes del término N tendrán por expresión:

\[
A_n \operatorname{sen} n \frac{2 \pi}{T} (t + \varphi_n)
\]
\[
A_n \operatorname{sen} n \frac{2 \pi}{T} \left( t + \frac{T}{m} + \varphi_n \right)
\]
\[
A_n \operatorname{sen} n \frac{2 \pi}{T} \left( t + \frac{m-1}{m} T + \varphi_n \right)
\]

Superpongamos estas partes, que no son otra cosa que m senos de otros tantos ángulos formando progresión aritmética, cuya razón es \( n \frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{m} = \frac{n}{m} \cdot 2 \pi \), de modo que su suma se anulará constantemente desapareciendo, por consecuencia, las curvas de frecuencia n siempre que se haga esa operación, excepto en el caso de que \( \frac{n}{m} \) sea un número entero; pues entonces recordaremos que los m senos se convierten en m \( A_n \operatorname{sen} n \frac{2 \pi}{T} (t + \varphi_n) \) resultando la curva suma, suma de todas las de frecuencia n y excluyendo á las demás.

Es decir, que por la división en m partes del período total de curva periódica primitiva y la suma de m partes la n \(\text{ésima}\) componente es siempre

\[
m \, A_n \operatorname{sen} n \frac{2 \pi}{T} (t + \varphi_n) \text{ ó nula}.
\]

Armónicas de una curva periódica.

Sumando armónicas de períodos múltiples, hemos obtenido periódicas de período mínimo común múltiplo de períodos, ó sea de frecuencia igual á la de menor frecuencia en este caso.

Recíprocamente, dada una función periódica, podremos siempre descomponerla en armónicas; pues hemos deducido que dividiendo en n partes el período de una función periódica y sumando estas n partes, desaparecen de la suma todas las que no sean de frecuencia n y quedan sólo éstas y sus múltiples, de modo que la curva primitiva se compondrá de dos sumandos; uno curva armónica de frecuencia n y otro curva periódica, que no tendrá armónicas de frecuencia n.

En esta curva, que carece de curva de frecuencia n', podemos dividir el período en un número n' de partes tal que n y n' sean primos entre sí, y sumando las n' partes obtendremos la curva armónica de frecuencia n' de la curva total, más otra curva periódica de frecuencias distintas á n y n'.

De este modo desarrollaremos en serie la función f(t); y procediendo con orden en la elección de los números de división n y n', á partir de la unidad, obtendremos el desarrollo de Fourier en serie convergente.

\[
f(t) = A_1 \operatorname{sen} (\omega t + \varphi_1) + A_2 \operatorname{sen} (2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_n \operatorname{sen} (n \omega t + \varphi_n) + \ldots
\]
\[
f(t) = A_1 \operatorname{sen} (\omega t + \varphi) + A_2 \operatorname{sen} (2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_n \operatorname{sen} (n \omega t + \varphi_n) + \ldots
\]
\[
f(t) = A_1 \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{T} (t + \varphi) + A_2 \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{T} 2 \pi (t + \varphi_2) + \ldots + A_n \operatorname{sen} \frac{n}{T} \cdot 2 \pi (t + \varphi_n) + \ldots
\]

Variadísimos han sido los procedimientos empleados para determinar los distintos parámetros \( A_1, A_2, A_3 \ldots \) de las series anteriores y los arcos correspondientes \( \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3, \ldots \varphi_n \); unos procedimientos gráficos más ó menos aproximados, otros procedimientos analíticos.

Fúndanse estos procedimientos en multiplicar todos los términos de la serie anterior por \( \operatorname{sen} n x \) y por cos n x, con lo cual anularemos todos los términos de la segunda serie, menos el término n \(\text{ésima}\) (que es lo que hacíamos antes gráficamente), integrando todos los términos durante un período de la curva total.

En efecto, al multiplicar por \( \operatorname{sen} n x \) un término cualquiera de la serie, por ejemplo el m, se convertirá en

\[
A_m \operatorname{sen} (m x + \varphi_m) \operatorname{sen} n x
\]