La Energía eléctrica (1900-01-01 00:00:00), página 2

VI
LÍNEA DIFÁSICA

Línea difásica de cuatro conductores.—Este caso debe tratarse como el de dos corrientes monofásicas discordantes en un cuarto de período, por lo que se refiere á la pérdida de voltaje. La disposición más conveniente para la línea sería la indicada en la figura 3.a, según ya queda demostrado.

Línea difásica de tres conductores.—Cuando se reducen á tres los conductores (1), en cuyo caso hay que dar, como es sabido, á uno de ellos, \(a_1\), por ejemplo una sección transversal \(s_1 = \sqrt{2} \cdot s\), en donde \(s\) representa la de los otros dos \(a_2\) y \(a_3\), se pueden escribir las ecuaciones siguientes, teniendo en cuenta que en un momento \(t\), \(i_1 = -(i_2 + i_3)\):

\[
e_2 = -L_2 \frac{d i_2}{dt} - M_1 \frac{d i_3}{dt} - M_5 \frac{d i_1}{dt} = -L_2 \frac{d i_2}{dt} - M_1 \frac{d i_3}{dt} -
- M_5 \frac{d(-i_2 - i_3)}{dt} = (M_9 - L_2) \frac{d i_2}{dt} + (M_9 - M_1) \times \frac{d i_3}{dt}
\]

\[
e_3 = -L_3 \frac{d i_3}{dt} - M_2 \frac{d i_1}{dt} - M_4 \frac{d i_2}{dt} = -L_3 \frac{d i_3}{dt} -
- M_2 \frac{d(-i_2 - i_3)}{dt} - M_1 \frac{d i_1}{dt} = (M_7 - L_3) \frac{d i_3}{dt} +
+ (M_2 - M_1) \frac{d i_2}{dt}.
\]

\[
e_1 = (L_1 - M_3) \frac{d i_2}{dt} + (L_1 - M_2) \frac{d i_3}{dt},
\]

siendo

\[
i_2 = I_0 \operatorname{sen.}(a t - \varphi)
\]
\[
i_3 = I_0 \operatorname{sen.}\left(a t - \varphi - \frac{\pi}{2}\right) = -I_0 \cos.(a t - \varphi)
\]
\[
i_1 = -(i_2 + i_3) = -I_0^2 \operatorname{sen.}\left(a t - \varphi - \frac{\pi}{4}\right)
\]
\[
\cos.\frac{\pi}{4} = -I_0^2 \operatorname{sen.}\left(a t - \varphi - \frac{\pi}{4}\right) \frac{\sqrt{2}}{2} =
= -I_0 \operatorname{sen.}\left(a t - \varphi - \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{2}
\]

Substituyendo en \(e_2\) y en \(e_3\) los valores de \(\frac{d i_2}{dt}\) y \(\frac{d i_3}{dt}\), se tiene

\[
e_2 = (M_9 - L_2) I_0 a \cos.(a t - \varphi) +
+ (M_9 - M_1) I_0 a \operatorname{sen.}(a t - \varphi) =
= I_0 a [(M_9 - L_2) \cos.(a t - \varphi) - (M_9 - M_1) \operatorname{sen.}(a t - \varphi)]
\]

que puede escribirse bajo la forma

\[
e_2 = I_0 a H_2 \cdot \cos.(a t - \varphi - \varepsilon_2)
\]

(1) Se supone para poder hacer esto, que el devanado es en estrella.

deduciéndose del mismo modo que en el caso de la corriente trifásica, que

\[
\tg. \varepsilon_2 = \frac{M_9 - M_1}{M_9 - L_2}, \quad H_2^2 = (M_9 - M_1)^2 + (M_9 - L_2)^2;
\]

y

\[
e_3 = (M_2 - L_3) I_0 a \operatorname{sen.}(a t - \varphi) +
+ (M_2 - M_1) I_0 a \operatorname{cos.}(a t - \varphi) = I_0 a H_3 \cdot \operatorname{sen.}(a t - \varphi - \varepsilon_3),
\]

siendo

\[
\tg. \varepsilon_3 = -\frac{M_2 - M_1}{M_2 - L_3}, \quad H_3^2 = (M_2 - M_1)^2 + (M_2 - L_3)^2.
\]

Del mismo modo se llega á tener

\[
e_1 = (L_1 - M_3) I_0 a \operatorname{cos.}(a t - \varphi) +
+ (L_1 - M_2) \operatorname{sen.}(a t - \varphi) = I_0 a H_1 \operatorname{cos.}(a t - \varphi - \varepsilon_1).
\]

en donde

\[
\tg. \varepsilon_1 = \frac{L_1 - M_3}{L_1 - M_2}, \quad H_1^2 = (L_1 - M_3)^2 + (L_1 - M_2)^2.
\]

Dedúcese de estas fórmulas que la fuerza electromotriz inducida \(e_2\) está retrasada con relación á la corriente \(i_2\) un ángulo \(\frac{\pi}{2} + \varepsilon_2\), que la \(e_3\) lo está un ángulo \(\frac{\pi}{2} + \varepsilon_3\) con respecto á la corriente \((-i_3)\), y que la \(e_1\) tiene con la \(i_4\) un retraso de \(\frac{\pi}{2} + \varepsilon_1\).

Apliquemos estos resultados al ejemplo numérico considerado en el estudio de una línea trifásica equilátera, y para ello partamos de la estación de término, tomando para valor del ángulo \(\varphi\) los 35° + 30' anteriormente deducidos. Siendo la potencia eléctrica útil la misma que entonces, igual es también la pérdida en la línea por el efecto joule, y la diferencia de potencia entre los conductores 2 y 1 y 3 y 1, se tiene:

\[
P_m = 2 \cdot \frac{V''}{\sqrt{2}} \cdot I \cdot \cos.\varphi = 1472.000w. - 76.64w =
= 1.395.326w,
\]

en donde \(V''\) es la diferencia de potencial eficaz entre los hilos 2, 3 y el 1, que vale, como hemos visto, 14.013° é \(I\) es la intensidad eficaz en los hilos 2 y 3 que se trata de deducir. Substituyendo se obtiene

\[
I = \frac{1.395.326}{16.083} = 87.4.
\]

Como se admite que la pérdida de potencia en la línea es de 76.674° que se tuvo con la corriente trifásica, llamando \(R\) y \(R'\) las resistencias óhmicas de los conductores (2, 3) y 1 respectivamente, se puede escribir, substituyendo y poniendo estas resistencias en función de la longitud y sección desconocida de