La Energía eléctrica (1900-11-10 00:00:00), página 16

La suma de senos ó cosenos de n ángulos formando progresión aritmética cuya razón sea \( \frac{1}{n} 2\pi \) es igual á 0.

En efecto:

\[
\text{sen } \alpha + \text{sen} \left( \alpha \pm \frac{1}{n} 2\pi \right) + \text{sen} \left( \alpha \pm \frac{2}{n} 2\pi \right) + \ldots \ldots
\]

es igual á

\[
\text{sen } \alpha \left[ 1 + \cos \frac{1}{n} 2\pi + \cos \frac{2}{n} 2\pi + \ldots + \cos \frac{n-1}{n} 2\pi \right] \pm \cos x \left[ \text{sen} \frac{1}{n} 2\pi + \ldots + \text{sen} \frac{1-n}{n} 2\pi \right]
\]

Pero el factor que afecta á cos \( \alpha \) es igual á 0 (fig. 3); por consecuencia, el segundo sumando se anula en todos casos, por ser iguales dos á dos, si \( n \) es impar, los senos y ser también o el seno medio en caso de ser \( n \) par.

El segundo sumando también se anula por ser igual á 0 el factor de sen \( \alpha \).

En efecto:

\[
\beta = 1 + \cos \frac{1}{n} 2\pi + \ldots = 1 + \cos \frac{1}{n} 2\pi + \cos \left( \frac{1}{n} 2\pi + \frac{1}{n} 2\pi \right) + \ldots \cos \left( \frac{1}{n} 2\pi + \frac{n-2}{n} 2\pi \right)
\]
\[
= 1 + \cos \frac{1}{n} 2\pi \left\{ 1 + \cos \frac{1}{n} 2\pi + \ldots + \cos \frac{n-2}{n} 2\pi \right\} - \text{sen} \frac{1}{n} 2\pi \left\{ \text{sen} \frac{1}{n} 2\pi + \ldots + \text{sen} \frac{n-2}{n} 2\pi \right\}
\]
\[
= 1 + \cos \frac{1}{n} 2\pi \left\{ \beta - \cos \left( \frac{1-n}{n} 2\pi \right) \right\} - \text{sen} \frac{1}{n} 2\pi \left\{ 0 - \text{sen} \frac{n-1}{n} 2\pi \right\}
\]
\[
\beta \left( 1 - \cos \frac{1}{n} 2\pi \right) = 1 \quad \cos \left\{ \frac{1}{n} 2\pi + \frac{n-1}{n} 2\pi \right\} = 0
\]

quedando demostrada la proposición.

Siempre que \( n \) sea un número entero, aunque el numerador de la razón \( \left( \frac{1}{n} \right) \) fuera distinto de la unidad y menor que \( n \), se seguirán anulando los factores que en el caso anterior hemos demostrado, son iguales á 0, es decir, que si los arcos de circunferencia cuyos senos forman la progresión se diferencian unos de otros en \( \frac{2}{n} 2\pi \), la proposición seguirá cumpliéndose.

Si sigue creciendo el numerador hasta igualarse al denominador, todos los arcos se diferenciarían en una circunferencia, y sus senos se sumarían, siendo entonces el valor de la progresión \( n \) sen \( \alpha \) (fig. 3).

Y si después de este crecimiento en el numerador nuevamente le agregamos una unidad, los arcos serán:

\[
\alpha, \frac{n+1}{n} 2\pi + \alpha, \frac{n+2}{n} 2\pi + \ldots
\]

cuyos senos, diferenciándose de los primitivos en números enteros de circunferencias, vuelven á ser iguales á aquéllos, y nuevamente se anula la suma de la progresión.

Por consecuencia, deducimos que la suma de los senos de n ángulos que forman progresión aritmética cuya razón es \( \frac{m}{n} \) se anulan siempre menos en los múltiplos de \( n \), pues entonces la suma es constantemente \( n \) sen \( \alpha \).

(JOSÉ G. BENÍTEZ.)

(Se continuará)

CRONICA CIENTIFICA

Nuevo freno eléctrico.

Algunas compañías de caminos de hierro de los Estados Unidos han adoptado un nuevo freno eléctrico, el cual ha dado al parecer buenos resultados. Consiste el nuevo freno en un electroimán, formado por un carrete de alambre de cobre, en el interior del cual pueden moverse en sentido longitudinal dos piezas de hierro unidas á las de maniobra de los frenos. Establece la corriente, las dos piezas de hierro son atraídas y los frenos apretados.

El perfeccionamiento de la luz incandescente.

El notable adelanto verificado en el campo