La Energía eléctrica (1900-01-01 00:00:00), página 1

Autoinducción en las líneas aéreas de corrientes alternas (1)

(Continuación)

III

LÍNEA TRIFÁSICA

Hagamos aplicación de estas fórmulas á algunos casos frecuentes en la práctica. Sea, en primer término, el de la línea trifásica triangular de la fig. 6.ª, cuyos aparatos generadores supongo devanados en estrella. Las corrientes en los tres conductores serán:

Fig. 6.ª

\[
i_1 = I_o \operatorname{sen} (a t - \varphi^1)
\]
\[
i_2 = I_o \operatorname{sen} \left( a t - \varphi^1 + \frac{2 \pi}{3} \right)
\]
\[
i_3 = I_o \operatorname{sen} \left( a t - \varphi^1 - \frac{2 \pi}{3} \right),
\]

en donde \( \varphi^1 \) es el ángulo de retraso de las corrientes con respecto á la diferencia de potencial de la estación de origen, \( I_o \) la intensidad máxima, y \( a \) vale, como siempre, \( \frac{2 \pi}{T} \), siendo \( T \) la duración del período.

Si se designan por \( M_1, M_2, M_3 \), los coeficientes de inducción mutua de los pares de conductores \( a_3 ... a_2, a_1 ... a_3 \) y \( a_1 ... a_2 \), y por \( L_1, L_2, L_3 \), los de autoinducción de cada uno de éstos, \( a_1, a_2 \) y \( a_3 \) respectivamente, las fuerzas electromotrices inducidas en ellos valdrán

\[
e_1 = -M_3 \cdot \frac{d i_2}{dt} - M_2 \cdot \frac{d i_3}{dt} - L_1 \cdot \frac{di_1}{dt}
\]
\[
e_2 = -M_1 \cdot \frac{d i_3}{dt} - M_3 \cdot \frac{d i_1}{dt} - L_2 \cdot \frac{d i_2}{dt}
\]
\[
e_3 = -M_2 \cdot \frac{d i_1}{dt} - M_1 \cdot \frac{d i_2}{dt} - L_3 \cdot \frac{d i_3}{dt}
\]

Substituyendo en la primera el valor de \( i_1 \), se tiene

\[
e_1 = -M_3 I_o a \cos \left( a t - \varphi^1 + \frac{2 \pi}{3} \right) -
- M_2 I_o a \cos \left( a t - \varphi^1 - \frac{2 \pi}{3} \right) - L_1 I_o a \cos (a t - \varphi^1) =
= -I_o a \left[ M_3 \left\{ \cos (a t - \varphi^1) \cdot \cos \frac{2 \pi}{3} - \right. \right.
- \left. \left. \operatorname{sen} (a t - \varphi^1) \cdot \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{3} \right\} + M_2 \left\{ \cos (a t - \varphi^1) \cos \frac{2 \pi}{3} + \right. \right.
+ \left. \left. \operatorname{sen} (a t - \varphi^1) \cdot \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{3} \right\} + L_1 \cos (a t - \varphi^1) \right] =
= -I_o a [A \cos (a t - \varphi^1) + B \operatorname{sen} (a t - \varphi^1)].
\]

Se ha representado por \( A \) el coeficiente de coseno (\( a t - \varphi^1 \)), ó sea la expresión

\[
L_1 + (M_3 + M_2) \cos \frac{2 \pi}{3},
\]

y por \( B \) el de sen. (\( a t - \varphi^1 \)), que es

\[
(M_3 - M_2) \cdot \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{3}.
\]

El binomio \( A \cos (a t - \varphi^1) + B \operatorname{sen} (a t - \varphi^1) \), puede ponerse bajo la forma \( H_1 \cos (a t - \varphi^1 - \varepsilon_1) \), siempre que \( H_1 \) y \( \varepsilon_1 \) se determinen con la condición de satisfacer, para cualquier valor de \( t \), á la ecuación anterior. Para determinar \( \varepsilon_1 \) hágase \( a t - \varphi^1 = 0 \), y entonces se tiene

\[
A = H_1 \cos \varepsilon_1
\]

y después, \( a t - \varphi^1 = \frac{\pi}{2} \), y será

\[
B = H_1 \operatorname{sen} \varepsilon_1,
\]

de donde teniendo presente que

\[
\operatorname{sen} \frac{2 \pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \text{y} \operatorname{cos} \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{2},
\]

se deduce

\[
\tg \varepsilon_1 = \frac{B}{A} = \frac{(M_3 - M_2) \sqrt{3}}{L_1 - \frac{M_3 + M_2}{2}} = \frac{(M_3 - M_2) \sqrt{3}}{2 L_1 - (M_3 + M_2)} =
= \frac{(L_1 - M_3) - (L_1 - M_2)}{(L_1 - M_4) + (L_1 - M_2)} \cdot \sqrt{3}.
\]

(1) Véanse el número anterior.