Gaceta de instrucción pública (1902-07-30 00:00:00), página 2

16. Dadas las líneas trigonométricas de un arco, hallar las del arco mitad: discusión de las fórmulas obtenidas.
17. Deducción de las analogías de Delambre y Napier.
18. Imaginarias bajo la forma módulo-argumental.—Pasar de esta fórmula á la compleja y á la trigonométrica, y al contrario. Operaciones con las imaginarias puestas bajo la forma módulo-argumental.—Hallar el valor de

\[
\pm \sqrt{\frac{1}{V-1}} \quad \text{y de} \quad \pm \sqrt{-\sqrt{-1}}
\]

19. Límites de

\[
\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \quad \text{y} \quad \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m
\]

al tender \( m \) hacia \( \infty \) y de

\[
\left(1 + s\right)^{\frac{1}{s}} \quad \text{y} \quad \frac{(1 + h)^n - 1}{h}
\]

al tender \( s \) á \( 0 \) y \( h \) á \( 0 \).

20. Demostrar las fórmulas:

\[
\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{x + y \sqrt{-1}}{m}\right)^m = e^x (\cos y + \sqrt{-1} \sin y);
\]

y

\[
\lim_{m \to \infty} 1 + \left(\frac{x + y \sqrt{-1}}{m}\right)^m = e^x + y \sqrt{-1},
\]

en que \( m \) tiende hacia \( \infty \), así como que

\[
e^{\sqrt{-1}} = (\cos x + y \sqrt{-1} \sin y)
\]

es el signo efectivo ó cualitativo que modula toda cantidad.

21. Fórmulas de Euler para cos \( x \) y sen \( x \) en función de \( e \pm \sqrt{-1} \); coseno y seno hiperbólicos.—Generalización de la fórmula de Moivre para cualquiera que sea el exponente y la variable argumento imaginario.—Realidad de

\[
\left(e^{i \omega}\right) \pm \sqrt{-1}.
\]

22. Principios fundamentales de la continuidad de las funciones.—Aplicarlos á la determinación de la continuidad de cualquiera función directa y de su inversa.

23. Funciones imaginarias: su continuidad.

24. Teoría infinitesimal de los órdenes cuantitativos y de las cantidades que difieren infinitesimalmente poco. Principios fundamentales respectivos de los cálculos diferencial e integral.

25. Derivadas de las funciones de función y compuestas de una variable. Aplicaciones á productos, cocientes y potencias.

26. Derivadas y diferenciaciones de las funciones explícitas de dos ó más variables.—Posible generalización de las derivaciones sucesivas.

27. Derivadas y diferenciaciones de las funciones implícitas de una variable, dados por una o más ecuaciones entre dos ó más variables.

28. Sistemas de ecuaciones diferenciales cartesianas de las derivadas y diferenciaciones primeras, de las funciones de una y de dos variables independientes.

29. Formación de las ecuaciones diferenciales ordinarias por eliminación de constantes; significación geométrica normal de una ecuación finita entre dos variables y un parámetro, y de la condición diferencial resultante de eliminar aquél.

30. Derivadas de las funciones de funciones, de las funciones compuestas y de las implícitas.—Teorema de Euler sobre las funciones homogéneas.

31. Teoría del cambio de variables, siendo una sola independiente. Aplicación á la inversión de variables y al cambio de coordenadas rectilíneas por polares planas, en el caso más sencillo.

32. Series imaginarias: su convergencia; círculo de convergencia.

33. Desarrollo de las funciones en series por los principales métodos que se emplean generalmente.

34. Generalización de la fórmula de Taylor: en término complementario en la forma general: forma de Lagrange y de Cauchy; serie de Mac-Laury.

35. Generalización de la fórmula del binomio á serie del binomio.

36. Fórmulas de Taylor y de Mac-Laury para funciones de dos ó más variables.

37. Desarrollo en serie de las funciones circulares directas ó inversas. Número e.

38. Desarrollo en serie de la función exponencial y de la logarítmica.

39. Máximos y mínimos de una función de una variable: interpretación de los símbolos de indeterminación.

40. Teorema de D'Alembert-Cauchy, fundamental en la teoría general de ecuaciones: sus consecuencias.

41. Relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación algebraica. ó teorema de Cardanico-Viete. Funciones simétricas de las raíces de una función algebraica. Orden y peso de una ecuación simétrica.

42. Condición de compatibilidad de dos ecuaciones con una incógnita por el máximo común divisor y por funciones simétricas.—Resultante é eliminante.

43. Condición de compatibilidad de \( n \) ecuaciones con \( n - 1 \) incógnitas por determinantes.—Resultado é eliminante de Cauchy.

44. Cálculo de las raíces comunes á dos ecuaciones con una incógnita por eliminante.

45. Métodos de eliminación y aplicaciones á hallar la conexión final en y en el sistema

\[
\begin{cases}
3y^2 + 4xy + 2x^2 - 3y - 16x = 0 \\
3y^2 - 2xy + x^2 + 3y - 10x = 0
\end{cases}
\]

46. Raíces iguales á múltiplos de una ecuación algebraica.—Teorema de Hudde y aplicación á investigar por eliminantes la condición para que una ecuación tenga una raíz doble, y calcular esta raíz.

47. Transformar una ecuación algebraica de coeficientes fraccionarios, en otra de coeficientes enteros, y hacer desaparecer un término de una ecuación.

48. Principales reglas para determinar un límite superior y otro inferior de las raíces de una ecuación.

49. Determinación de las raíces enteras y fraccionarias de una ecuación.—Hallar las raíces enteras y fraccionarias de la ecuación:

\[
x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 11x + 30 = 0.
\]

50. Separación de las raíces de una ecuación y aproximación de las incontenibles.

51. Cálculo de las raíces imaginarias de una ecuación.—Ejemplo:

\[
2z^4 - 2z^2 - 1 = 0.
\]

52. Resolución de las ecuaciones binomias y trinomias.

53. Resolución de la ecuación algebraica de tercer grado por el método de Hudde, indicando el método para resolver la algebraica de cuarto grado.

54. Teoría de la curvatura de las líneas planas en coordenadas rectangulares; evolutas.

55. Principales métodos de integración y ejemplos sencillos de cada uno.

56. Integración de los cuatro tipos de fracciones reales

\[
A \cdot \frac{dx}{x - a}, \quad A \cdot \frac{dx}{(x - a)^m}, \quad \frac{Mx + N}{(x - a)^m + c^2}, \quad \frac{Mx + N}{(x - a)^m + c^2} dx.
\]

57. Integración de

\[
\frac{dx}{\sqrt{a + bx + x^2}}, \quad \text{y de} \quad dx / \sqrt{a + bx + x^2}.
\]

58. Integración de las diferenciaciones binomias ó de la forma

\[
X^n (a + bx^n)^p dx.
\]

59. Integración de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Idem de las homogéneas también de primera orden.

60. Diferenciales e integrales para las cuadraturas planas en coordenadas rectangulares y polares.

61. Diferenciales e integrales para la rectificación de curvas en coordenadas rectangulares, polares y semipolareas.

62. Diferenciales e integrales para la cuadratura de superficies curvas en coordenadas rectangulares y polares.

63. Diferenciales e integrales para las correntinas en coordenadas rectangulares, polares y semipolareas.

64. Proporcionalidad de los segmentos interceptados en un sistema de rectas concurrentes del plano ó de la radiación por ciro de rectas ó de planos paralelos respectivamente, y en un sistema de rectas paralelas por otro de secantes.—Consecuencias.

65. Medidas de las diversas especies de ángulos cuyos lados son secantes ó tangentes á una circunferencia, en función de las de los arcos interceptados entre sus lados.—Consecuencias.

66. Hallar las expresiones del cuadrado de un lado de un triángulo en función de los de los otros y de la proyección de uno de éstos sobre el otro, cuando el ángulo opuesto es recto; ángulo obtuso.—Consecuencias.

67. Razones de los segmentos determinados sobre cada lado de un triángulo por la bisectriz de un ángulo opuesto y por la del adyacente de éste.—Consecuencias.

68. Productos de dos lados de un triángulo en función de las bisectrices de su ángulo y de los segmentos adyacentes ó contrarios que determinan en el tercer lado, ó en función del diámetro del círculo circunscrito.

69. Producto y razón de las diagonales de todo cuadrilátero inscriptible en función de sus lados.—Consecuencias.

Ministerio de Instrucción pública y Bellas Artes.

EXPOSICIÓN

Señor: El 1.º de Octubre próximo debe comenzar á regir en todas sus partes el Real decreto de 20 de Julio de 1900, que ha reformado los estudios de la Facultad de Filosofía y Letras, y constituye el plan vigente de sus enseñanzas. A este fin, es preciso adoptar varias resoluciones de carácter complementario para realizar en su totalidad la reforma efectuada. Las más importantes son: la autorización á los alumnos del antiguo plan para terminar sus estudios en el curso próximo por enseñanza no oficial, á fin de no gravar el Tesoro público con la enseñanza oficial de un plan que terminará en el actual curso académico; el abono justo y natural para las Secciones correspondientes de la Facultad de las asignaturas de la Escuela Superior Diplomática que han sido incorporadas á aquélla; el reconocer internamente el desempeño de estas enseñanzas hasta su provisión definitiva á personal idóneo y competente, al cual se exijan los títulos ó enseñanzas correspondientes á la Facultad y la suprimida Escuela Superior de Diplomáticos, y, por último, el dictamen que para optar por traslaciones, cursos y opciones á las Catorce de las Secciones de Letras y Belas Artes que pertenecían á la suprimida y ya citada Escuela Superior de Diplomáticos, será requisito indispensable para obtener los títulos de Doctor en Filosofía y Letras, y de Archivero, Bibliotecario y Arqueólogo, juntamente los de Licenciado y Doctor en las nuevas Secciones de Letras ó de Historia, según la asignatura de que se trate.

Fundado en estas consideraciones, el Ministro que asciere tiene el honor de someter á la aprobación de V. M. el siguiente proyecto de decreto.

Madrid 24 de Julio de 1902.—Señor: A. L. R. P. de V. M., Conde de Romanones.