Gaceta de instrucción pública (1889-05-05 00:00:00), página 3

Programas para el ingreso en la Escuela general preparatoria de Ingenieros y Arquitectos (continuación).

complemento algebraico de una menor ó de un elemento.

Desarrollo de una determinante.—Desarrollo de una determinante en suma de productos de menores.—Número de términos y su composición.

Transformaciones de las determinantes.—Valor de la determinante cuando se cambian las columnas en líneas y las líneas en columnas; cuando una línea ó columna cambia de lugar ó permite con otra; cuando a una línea ó columna se agregan una ó varias líneas ó columnas multiplicadas por un factor.

Resultado en la determinante del multiplicar ó dividir por un factor una columna ó línea.—Aplicación de los teoremas anteriores al cálculo de las determinantes.

23. Multiplicación y división de determinantes.—Determinantes recíprocas ó adjuntas.

Aplicación de las determinantes á la resolución de ecuaciones de primer grado.—Resultado de dos ecuaciones por el método dialítico de Silvestre.

Sustitución lineal.

24. Definición.—Módulo de la sustitución.—Sustitución unimodular.

Sustitución ortogonal: definición.—Suma de los cuadrados de los elementos de una columna del módulo y de los productos binarios de los de dos columnas.—Valores del módulo.—Suma de los cuadrados de los elementos de una línea y de los productos binarios de los de dos líneas.

Algoritmo de la forma.

25. Definición y clasificación de una forma.—Representaciones simbólicas.

Discriminantes: sus propiedades y aplicación á la resolución de ecuaciones.

forma canónica de la sustitución.—Toda forma binaria, cuadrática ó cúbica, tiene una invariante y sólo una.—Determinar dicha invariante.

Funciones hessiana y jacobiana.—Su definición.

Covariantes y contracovariantes.—Definición.—Las invariantes de las covariantes, son invariantes.—Las funciones hessiana y jacobiana, son covariantes de las formas correspondientes.

Formas canónicas.—Definición.—Transformación de una forma binaria, cuadrática ó cúbica, en forma canónica.

PROGRAMA DE TRIGONOMETRÍA

Notaciones fundamentales.

1. Líneas trigonométricas.—Definición y notación.—Variación de las líneas trigonométricas de un arco cuando éste varía desde —∞ hasta +∞.

Fórmulas que comprenden todos los arcos correspondientes á una línea trigonométrica dada.

Fórmulas que expresan las líneas trigonométricas en función de otra cualquiera del mismo arco.

Senos y cosenos de la suma y de la diferencia de dos arcos, en función de los senos y cosenos de estos arcos.—Discusión de las fórmulas.

Cotangentes de la suma y de la diferencia de dos arcos, en función de las tangentes de estos arcos.—Discusión de las fórmulas.

Senos y cosenos del doble de un arco, en función del seno y coseno de este arco.

Tangente de un arco doble en función de líneas trigonométricas del arco seno.

2. Transformar el producto ó cociente la suma ó diferencia de los senos ó cosenos, del seno y coseno ó de las tangentes y cotangentes de dos arcos.

Transformar en producto la diferencia de los cuadrados de los senos, de los cosenos ó del seno y el coseno de dos arcos.

Expresar la relación entre la suma de los senos de dos arcos y su diferencia, en función de las tangentes de la semisuma y de la semidiferencia de los mismos.

Líneas trigonométricas de la mitad de un arco en función: 1°, del coseno del arco; 2°, del seno; 3°, de la tangente.—Discusión de las fórmulas.

3. Operaciones con las cantidades complejas en su forma trigonométrica.

Teorema de Moivre y sus aplicaciones trigonométricas.

Resolución trigonométrica de las ecuaciones binares.

Definición de las funciones hiperbólicas.

Derivadas de las funciones circulares.

4. Derivadas del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de un arco y de las funciones inversas.

Tablas trigonométricas.

5. Tablas de líneas naturales.

Tablas de logaritmos de las líneas trigonométricas.—Disposición y uso de las de Callet ó sus análogas.

Transformación para el cálculo logarítmico de expresiones binomias de las formas a ± b y A sen x ± B cos x.

Resolución de triángulos rectilíneos.

6. Deducción de las fórmulas en que está fundada la resolución de los triángulos rectilíneos.

Resolución de los triángulos rectángulos, dándose los elementos suficientes, en lados y ángulos para resolverlos.

Los mismos problemas relativos á triángulos oblicuángulos.

Resolución de triángulos esféricos.

7. Deducción de las fórmulas en que se funda la resolución de los triángulos esféricos.

Resolución de los triángulos esféricos rectángulos, dándose los elementos suficientes en lados y ángulos para determinarlos.—Regla muemotécnica de Néper para recordar las fórmulas.

Resolución de los triángulos oblicuángulos, dándose los elementos suficientes para determinarlos.—Transformación de las fórmulas para el cálculo logarítmico, y manera de conocer el arco que debe tomarse.—Analogías de Néper.—Regla para conocer en el caso dudoso, el número de soluciones y su discusión.—Resolución de los triángulos oblicuángulos por su descomposición en otros rectilíneos.

Aplicaciones.

Hallar el área de un triángulo rectilíneo del que se conocen dos lados y el ángulo comprendido.

Hallar el área de un cuadrilátero rectilíneo, en función de sus diagonales.

Ejercicios prácticos.

Ejemplos sobre todos los puntos relativos á las teorías anteriores.

PROGRAMA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Preliminares.

Construcción de fórmulas y cálculos gráficos.

1. Homogeneidad de las funciones y de las ecuaciones.—Expresiones homogéneas: grado de homogeneidad.—Ecuaciones homogéneas.—Principio de la homogeneidad.—Ecuaciones que contienen cantidades conjugadas de especies diferentes.—Caso en que una misma cantidad depende de varias unidades.—Caso en que una de las cantidades está tomada como unidad.

Construcción de fórmulas.—Construcción de expresiones racionales.—Construcción de expresiones irracionales de segundo grado.—Construcción de las raíces de las ecuaciones de segundo grado.—Construcción de ángulos dados por una de sus líneas trigonométricas, expresada por una función cualquiera de grado cero.

Cálculo gráfico trigonométrico.—Suma y resta de líneas trigonométricas.—Multiplicación y división de líneas trigonométricas.—Potencias de una línea trigonométrica.

Geometría en el plano.

Coordenadas.

2. Definición general de un sistema de coordenadas.—Determinación de un punto en coordenadas cartesianas, polares, trilíneas y triangulars.

Transformación de coordenadas.—Método general.—Cambios dentro de un mismo sistema.—Paso de un sistema cartesiano á otro polar, y viceversa.

Ecuaciones de lugares geométricos.—Procedimiento general.—Casos particulares en coordenadas cartesianas—Polar de un punto.—Línea recta, circunferencia, ellipse, hipérbola, parábola, círculo, elipse y lemniscata.—Casos particulares en coordenadas polares.—Espiral de Arquímedes.—Epícloide y coincidente.

Construcción de lugares geométricos de las ecuaciones.—Método general para construir el lugar geométrico de una ecuación.—Casos particulares en coordenadas cartesianas, y=x sen x; y=x tan x; y=x^2; y=log x.—Casos particulares en coordenadas polares.

\[
\rho = a \theta; \quad q = \cos \frac{\theta}{2}
\]

Interpretación de las ocasiones que se descompone en factores.—Caso particular de la ecuación del grado 2 con una variable, ú homogénea del grado 2 con dos variables.

Determinación de los puntos comunes á dos curvas.—Interpretación de las soluciones imaginarias.—Resolución gráfica de las ecuaciones.—Procedimiento general y aplicación á las ecuaciones de tercero y cuarto grado.

Clasificación de líneas en coordenadas cartesianas.—División en algebraicas y trascendentales.—Ordenes de las algebraicas.

LÍNEA RECTA

En coordenadas cartesianas.

3. Construcción de la ecuación de primer grado en coordenadas oblicuas y rectangulares.—Significación de los coeficientes.—Recta en el infinito.—Coordenadas en el origen.—Detección de los ángulos que una recta forma con los ejes coordenados.

Hallar la ecuación general de las rectas que pasan por un punto.—Hallar la ecuación de una recta que pase por dos puntos.—Ecuación de las rectas en función de las coordenadas en el origen.—Hallar la ecuación de una recta que pase por un punto y sea paralela á otra recta dada por su ecuación.—Hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas.—Rectas imaginarias.—Rectas imaginarias conjugadas.—Coordenadas del punto de intersección.—Hallar la ecuación general de dos rectas que pasen por el punto de intersección de dos rectas dadas.—Hallar la condición para que tres rectas sean concurrentes en un mismo punto.—Hallar la condición para que tres puntos dados estén en línea recta.—Hallar el ángulo de dos rectas.—Condición de paralelismo.—Condición de perpendicularidad.—Hallar la ecuación de la perpendicular bajada de un punto á una recta, y calcular la magnitud de esta perpendicular.—Dadas las ecuaciones de dos rectas, hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman.—Hallar la ecuación