Gaceta de instrucción pública (1889-04-05 00:00:00), página 4

entre sí ó la determinante de los cuatro términos es igual á la unidad.

3. Fracciones continuas.—Desarrollo en fracción continua de una cantidad algebraica ó numérica.—Cocientes incompletos.—Fracciones integrantes y reducidas.—Cálculo de las restituciones.—Propiedades de las reducciones.—Operación de tomar en cada reducción.—Diferentes expresiones del error por exceso ó por defecto.—Definición de las fracciones continuas periódicas, puras y mixtas.—Teoremas relativos á las raíces de una ecuación de segundo grado.—Reducidas intercalares: sus propiedades.

Operaciones con cantidades irracionales y afectadas de exponentes negativos.

4. Multiplicación, división, elevación á potencias y extracción de raíces.

Transformación de los valores \( \sqrt{A} \pm \sqrt{B} \) en la suma ó la diferencia de los radicales sencillos de segundo grado.

Dada una forma fraccionaria de denominador irracional, transformarla en otra de denominador racional.

Operaciones con formas complejas

Valores conjugados.

Multiplicación y división.

Teoremas relativos á los módulos del resultado.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

5. Cantidades primas en Álgebra.—Determinación del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de monomios y polinomios.—Aplicación á las operaciones con fracciones.

PROGRESIONES

Teoría general.

6. Progresiones por diferencia ó aritméticas.—Expresión del término general.—Suma de un número cualquiera de términos.—Interpolación de un número dado de términos entre otros dos.

Progresiones por cociente ó geométricas.—Los mismos problemas que para las aritméticas.

Aplicación á los logaritmos.

7. Diferentes sistemas de logaritmos.—Base y módulo.—Explicación detallada del sistema decimal.—Características y mantisa.—Características negativas y complemento logarítmico.

Explicación y manejo de las tablas ordenadas, según el sistema adoptado en las de Callet.—Encontrar números y logaritmos de números que no se hallen en las tablas.—Calcúlalo logarítmico.

FUNCIÓNES

Funciones algebraicas y transcendentales.

8. Definición y clasificación.—Clasificación de las transcendentales elementales.—División en funciones de una ó de muchas variables.—Funciones de funciones.—Funciones compuestas.—Funciones implícitas.—Funciones inversas.

Continuidad de las funciones.—Manera de conocer si una función es continua ó discontinua para un valor dado de la variable ó variables.—Continuidad de las funciones algebraicas enteras y racionales, exponencial y logarítmica.

Derivadas.

9. Límite de una función.—Límite de una suma, un producto ó un cociente de variables.

Derivadas.—Derivada parcial, y total.

Derivadas de \( x^n \), \( e^x \), \( \log x \).

Derivadas de funciones de funciones, implícitas, compuestas e inversas.—Aplicación á la derivada de una suma, producto, cociente ó potencia de las funciones.—Teorema de Barrow relativo á las derivadas de funciones homogéneas.—Derivadas diversos órdenes de una función de una variable.—Derivada de orden cualquiera del producto de dos funciones.—Derivadas parciales de distintos órdenes de una función de muchas variables.

Desarrollo de una función entera y racional de una variable por la fórmula de Taylor.

SEGUNDA PARTE
Aplicación del algoritmo algebraico á la resolución de ecuaciones e inecuaciones.

PRELIMINARES

Igualdad y desigualdad.

10. Definiciones de la identidad, igualdad, equivalencia, ecuación e inecuación.—Ecuaciones de una ó de varias incógnitas.—Grado de una ecuación.

Ecuaciones equivalentes.—Transformaciones para reemplazar una ecuación por otra equivalente.—Desaparición de los términos fraccionarios.—Desaparición de los radicales de segundo grado.

Combinación de las ecuaciones.—Sistemas equivalentes.—Transformaciones de las inecuaciones.—Combinaciones de las inecuaciones.

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LAS ECUACIONES

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado.

Resolución de una ecuación ó de una inecuación de primer grado con una incógnita.—Interpretación de las soluciones.

Casos de varias ecuaciones.

11. Sistemas determinados.—Diferentes métodos de eliminación.

Discusión de los valores de las incógnitas.—Condiciones de incompatibilidad de las ecuaciones.

Ecuaciones homogéneas de primer grado.—Valores de las incógnitas y relaciones entre ellas.—Relaciones entre los coeficientes para que sean compatibles las ecuaciones.

Sistemas más que determinados.—Ecuaciones de condición entre los coeficientes.

Sistemas indeterminados.—Casos de una ó más ecuaciones.—Condiciones para la resolución en números enteros.—Resolución por el método general y de fracciones continuas.—Resolución de varias inecuaciones con varias incógnitas.

Aplicación á las reglas de tres simple y compuesta, de compañía, de interés simple y de descuento.

Ecuaciones de segundo grado.

12. Resolución de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita.—Discusión de las fórmulas y casos particulares.

Aplicación de las fórmulas á la discusión de un trinomio de segundo grado.

Resolución de las ecuaciones bicuadradas.

Sistemas determinados con dos incógnitas.

Preparación del sistema para facilitar la resolución.

Discusión de las fórmulas.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE LAS ECUACIONES

Casos de una sola ecuación.

Principios generales.—Teorema de D'Alembert.—Corolarios.—Funciones simétricas de las raíces.

Transformación de ecuaciones.—Dada una ecuación, hallar otra cuyas raíces tengan una relación dada con las de la propuesta.—Ecuación de los cuadrados de las diferencias, formada por el método de las funciones simétricas.

Teoría de las raíces iguales.—Condición para que una ecuación tenga raíces iguales.—Descomposición de una ecuación que tiene raíces múltiples en otras, cada una de las cuales tenga por raíces las de la propuesta de un mismo grado de multiplicidad.

Límites de las raíces de una ecuación.

Límite superior de las raíces positivas obtenido en función del mayor coeficiente negativo.—Caso en que el segundo término es el único negativo.—Límite su-

perior de las raíces positivas en función de los coeficientes del segundo y tercer término, cuando son los únicos negativos.

Determinación de otro límite superior en función del primer coeficiente negativo.—Límite superior que se obtiene en función del mayor coeficiente negativo y del mayor positivo.

Método de Bret.

Procedimiento de Newton para encontrar el límite superior de las raíces positivas.

Determinación del límite superior é inferior de las raíces negativas.

Límite de los módulos de las raíces imaginarias.

Investigación de las raíces de una ecuación.

Investigación de las raíces comensurables.

Separación de raíces.—Teoremas de Sturm, Boussau-Roulier, Rolle y Descartes.—Aplicación de estos teoremas á la separación de raíces y á la escisión de tercer grado en particular.

Aplicaciones en el cálculo de raíces incommensurables.—Métodos de Lagrange, Newton y de las medias aritméticas.

Investigación de las raíces imaginarias por uno cualquiera de los procedimientos usuales.

Ecuaciones reciprocas.

19. Reducción de su grado.—Aplicación á las ecuaciones binomias.

Ecuación exponencial.

Resolución de la ecuación exponencial por el método de las fracciones continuas. Condiciones para que la incógnita sea comensurable.

Exposición de las propiedades de los logaritmos, y cálculo de los mismos por la ecuación exponencial.

Problemas de interés compuesto y anualidades.

Casos de varias ecuaciones.

20. Sistemas de ecuaciones.—Definición de un sistema de ecuaciones.—Sistemas de ecuaciones en que entra una sola incógnita.—Definición de resultante.—Grado de la resultante de dos ecuaciones con relación á los coeficientes de aquellas.—Formación de la resultante por uno cualquiera de los procedimientos generalmente empleados.—Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.—Definición de la eliminante ó ecuación final.—Grado de la ecuación final.—Formación de la misma por el método de Descartes.

TERCERA PARTE
Algoritmo combinatorio y de la forma.

Cálculo combinatorio.

21. Inversiones y permanencias.—Alteración del número de inversiones y permanencias por el cambio de lugar de dos elementos y por la traslación de un elemento á un número dado de lugares.

Permutaciones, coordinaciones y combinaciones.—Maneras de formularlas.—Mutación circular.

Fórmulas que dan el número de permutaciones, coordinaciones y combinaciones de un número cualquiera de objetos sin repetición.—Si los objetos se combinan de manera que sólo entran en cada combinación, el número de ellas es el mismo que combinándolos de manera que entran \( n - a \).

Matrices.

Matrices.—Su definición y diferentes clases.—Elementos; filas y columnas de una matriz.—Notaciones. Matrices semejantes.—Diagonal principal y secundaria.—Filas y elementos conjugados.

Matrices regulares, simétricas, pseudosimétricas, hemisimétricas.

Determinantes.

22. Determinantes.—Definición.—Grado de la determinante.—Determinantes menores.—Característica y