Gaceta de instrucción pública (1889-04-05 00:00:00), página 3

Programas para el ingreso en la Escuela general preparatoria de Ingenieros y Arquitectos (continuación).

una recta perpendiculares ambos á una misma recta.—Lugar geométrico de las perpendiculares á una misma recta desde un punto.—Lugar geométrico de los puntos del espacio equidistantes de los extremos de una recta.—Comparación de las magnitudes de la perpendicular bajada desde un punto á un plano y á las oblicuas.

Proyección de una recta sobre un plano: ángulo de una recta y un plano: mínima distancia de dos rectas.—La proyección de una línea recta sobre un plano es una línea recta.—Proyección sobre un plano de dos rectas perpendiculares entre sí, y que una de ellas es paralela.—Ángulo de una recta y un plano.—Mínima distancia entre dos rectas.

24. Ángulos diédros.—Definiciones.—Determinación de un plano con la condición de contener á una recta situada en otro plano y ser perpendicular á él.—La relación de dos ángulos diédros es igual á la de sus ángulos planos.—Consecuencias que se deducen.—Línea de máxima pendiente de un plano con relación á otro.

Plano perpendicular.—La perpendicular á la intersección de dos planos perpendiculares contenida en uno de ellos es perpendicular al otro.—Posición relativa de dos planos tales, que el primero contiene una perpendicular al segundo.—Determinación de un plano con las condiciones de contener á una recta y ser perpendicular á otro plano.—Caso en que estas condiciones no determinan un plano.—Perpendicular á un plano considerado como intersección de dos planos perpendiculares al primero.

Relación aritmética de cuatro planos.—Su propiedad projectiva y consiguiente reducción de las propiedades de los haces de rectas y de series de puntos en su homografía de proyección.

25. Ángulos poliedros.—Definiciones.—Relación entre una cara de un ángulo poliedro á la suma de todas las demás.—Relación entre las caras de un triángulo y los ángulos opuestos.—En todo ángulo poliedro convexo, la suma de las caras es menor que cuatro rectos.—En todo ángulo triédrico, la suma de los ángulos es mayor que dos rectos y menor que seis.—En todo ángulo triédrico, la diferencia de dos ángulos es menor que el suplemento del tercero.

Poliedros.

26. Poliedros regulares.—Definiciones.—Demostrar que no pueden existir más que cinco poliedros regulares convexos.—Poliedros que se pueden formar respectivamente con el triángulo equilátero, con el cuadrado y con el pentágono.—Enunciado del teorema de Euler.—Desarrollo de los poliedros regulares sobre un plano.

Propiedades generales y área lateral del prisma.—Definiciones.—Igualdad entre las caras opuestas de un paralelepípedo.—Los cuatro diagonales de un paralelepípedo se cortan mutuamente en partes iguales.—Las secciones producidas en un prisma por dos planos paralelos son dos polígonos iguales.—Área lateral de un prisma.

27. Volumen del prisma.—Definición: de igualdad y equivalencia de poliedros.—Igualdad de prismas rectos que tienen por base la sección recta de dígit y por altura la arista lateral.—Equivalencia de los prismas triangulares obtenidos dividiendo un paralelepípedo por el plano que determinan las aristas laterales opuestas.—Igualdad de poliedros rectangulares de igual base y altura.—Comparación de volumen de paralelepipédo y de rectángulo que tienen la misma base y alturas diferentes.—Volumen del paralelepípedo rectangular.—Volumen del cubo.—Volumen de un paralelepípedo cualquiera.—Volumen de un prisma.

28. Propiedades generales y área lateral de la pirámide.—Definiciones.—Propiedades de simetría de las secciones producidas en la pirámide por planos paralelos á la base.—Relaciones entre los elementos de las pirámides diferentes entre sí y con los de la total.—Área lateral de una pirámide rectangular.—Área total de un tetraedro regular en función de la arista.

29. Volumen de la pirámide.—Igualdad de tetraedros, determinada por la igualdad de caras y ángulos en número suficiente.—Equivalencia de dos pirámides triangulares de igual altura y bases equivalentes.—Volumen de un prisma dividido en dos por un tetraedro regular en función de la arista.—Equivalencia de un tronco de pirámide triangular y la suma de tres pirámides, cuya base común es la inferior del tronco y sus vértices los de la base superior.—Volumen de un tronco de pirámides de bases paralelas.—Volumen del paralelepípedo.

FIGURAS SIMÉTRICAS
Propiedades y relaciones.

30. Simetría.—Igualdad de figuras simétricas á una tercera, respecto á dos centros diferentes.—Dos figuras simétricas respecto á un plano pueden colocarse de modo que sean simétricas respecto á un punto cualquiera del mismo plano.—Recíproca.—Figura simétrica de una recta.—Comparación entre la distancia de dos puntos y la de sus simétricos.—Figura simétrica de un polígono plano.—Comparación de polígonos simétricos.

POLIEDROS SEMIRJANTES

Definición.—Comparación de una pirámide con la parte determinada por un plano paralelo á la base.—Condiciones de semejanza de dos tetraedros.—Semejanza de dos poliedros.—Relación de rectas y caras homólogas en poliedros semejantes.—Relación de volúmenes de poliedros semejantes.

SUPERFICIES

31. Definición y clasificación general de las superficies.—Superficies cilíndricas y cónicas de revolución en particular.—Igualdad general de sus secciones planas.—Áreas y volúmenes limitados por las superficies anteriores en planos.

32. Esfera.—Definiciones.—Secciones planas de la esfera.—Polo de un círculo en la esfera.—Hallar el radio de una esfera sólida.—Plano tangente á la esfera.—Intersección de dos superficies esféricas.—Discusión de los diversos casos que pueden presentarse.—Por cuatro puntos no situados en un mismo plano se puede hacer pasar una superficie esférica y sólo una.

Propiedades de los triángulos esféricos.—Definiciones.—Medida del ángulo de dos arcos de círculo máximo.—Polígonos esféricos.—En todo polígono esférico convexo, un lado es menor que la suma de todos los demás, y la suma total de sus lados es menor que una circunferencia.

33. Triángulos esféricos polares.—Relación entre los lados y ángulos de un triángulo esférico y los lados y ángulos correspondientes del polar.—Igualdad de triángulos esféricos.—Mínima distancia sobre la esfera entre dos puntos.—Trazar por un punto dado de la superficie esférica un arco de círculo máximo perpendicular á otro lado.—Hallar el polo de un círculo menor determinado por tres puntos dados en la superficie de una esfera.—Por un punto situado en la superficie esférica, trazar una circunferencia de círculo máximo que forme un ángulo dado con otra circunferencia de círculo máximo.—Construir un triángulo esférico rectángulo, conocidos un cateto y la hipotenusa, ó un cateto y el cateto opuesto.—Construir un triángulo esférico, conociendo tres cualesquiera de sus elementos.

Áreas en la esfera.—Área engendrada por una recta que gira al rededor de un eje situado con ella en un mismo plano.—Área engendrada por una línea quebrada regular que gira al rededor de un diámetro que no la corta.—Área de una zona esférica y de un cuarto esférico.—Área de la superficie esférica.—Equivalencia de los triángulos esféricos simétricos.—Área de un hemiciclo esférico.

35. Volumen de la esfera.—Definiciones.—Volumen engendrado por un triángulo que gira al rededor de un eje situado en su plano y que pasa por un vértice.

Volumen engendrado por un sector poligonal regular que gira al rededor de su diámetro exterior á su superficie.—Volumen de un sector esférico.—Volumen de la esfera.—Volumen engendrado por un segmento que gira al rededor de un diámetro exterior á su superficie.—Volumen de un segmento esférico.—Volumen de una cuña esférica.—Hallar el volumen de una lente, dados el diámetro y el espesor.

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

36. Unidad lineal y base del sistema.—Nomenclatura de los múltiplos y submúltiplos de la unidad lineal.—Medidas superficiales: su derivación de la lineal.—Nomenclatura de los múltiplos y submúltiplos.

Medidas agrarias: su unidad lineal; múltiplos y submúltiplos.—Medidas de volumen y de capacidad y arqueo.—Unidades usuales: sus múltiplos y submúltiplos.—Relaciones entre unidades de volumen, de capacidad y de arqueo entre sí y con la unidad lineal.—Pesas.—Unidad de peso y su derivación de la unidad lineal.—Nomenclatura de sus múltiplos y submúltiplos.—Unidad usual.—Relación de las pesas con las medidas.

PROGRAMA DE ALGEBRA

PRIMERA PARTE
Algoritmo algebraico.

PRELIMINARES
Representación de la cantidad en Álgebra.

1. Formas enteras.—Monomios y polinomios homogéneos.
Formas fraccionarias.
Formas complejas.—Su representación geométrica.
Cantidades positivas y negativas.—Su interpretación en los cálculos.

OPERACIONES CON CANTIDADES ALGEBRAICAS
Operaciones con formas enteras.
Suma y resta de polinomios.
Multiplicación de monomios y polinomios.
División.—División de dos monomios.—Interpretación de exponentes cero y negativos.—División de polinomios.—División por \( x - a \) de un polinomio ordenado con arreglo á las potencias descendentes de \( x \).
Regla para formar los coeficientes de los términos del cociente y del resto.—Aplicación á la división de \( x^n + a \) por \( x + b \).

2. Potencias y raíces de monomios.—Elevación de un monomio entero á una potencia cualquiera, y extracción de una raíz de cualquier grado.
Potencias y raíces de polinomios.—Elevación de un binomio á una potencia entera. Ley de los coeficientes.
Elevación de un polinomio á una potencia entera.
Expresión del coeficiente de un término cualquiera.
Extracción de raíces de polinomios.

Operaciones con formas fraccionarias.
Fracciones.—Simplificación y reducción á un común denominador.—Operaciones con las fracciones.
Relación de la suma de los numeradores y denominadores de una serie de fracciones cuando son iguales y cuando son desiguales.
Investigación de una fracción comprendida entre otras dos y expresada por los números más sencillos.—Simplificaciones cuando los denominadores son primos