Gaceta de instrucción pública (1889-05-05 00:00:00), página 4

de una recta, dada la perpendicular bajada desde el origen sobre la recta y los ángulos que forma esta perpendicular con los ejes.

En coordenadas polares.

4. Ecación polar de la recta.—Ecación de las rectas que pasan por un punto cuyas coordenadas se conocen. Ecación de la recta que pasa por dos puntos dados.—Hallar la mínima distancia de un punto á una recta.

En coordenadas trilineales y triangulares.

Ecación de una recta en coordenadas trilineales ó triangulares.—Recta en el infinito.—Ecación de una recta que pasa por dos puntos.—Coordenadas del punto de intersección de dos rectas dadas por sus ecuaciones.—Hallar la ecación de una recta paralela á otra dada y que pase por un punto determinado por sus coordenadas.

LÍNEAS CURVAS
Teorías generales.

5. Ecación de la tangente á una curva en un punto dado en la curva, fuera de ella ó paralela á una recta dada.—Subtangente.—Normal.—Sutormal.—Asintotas rectilíneas.—Centros.—Diámetros rectilíneos.—Ejes.—Vértices.

Curvas de segundo grado.

6. Discusión de la ecación general de segundo grado con dos variables.—Género elipse.—Género hiperbola.—Género parábola.—Casos particulares.
Centros, diámetros y ejes de las curvas de segundo grado.—Determination del centro.—Diámetros.—Diámetros conjugados.
Reducción de la ecación de segundo grado á la forma más sencilla.
Focos y directrices.—Definiciones.—Su determinación.—Ecación local.
Número de condiciones necesarias y suficientes que determinan una curva de segundo grado.
Condiciones á que equivale fijar un punto, un vértice, un foco, una tangente, una asintota ó una directriz de la curva.

Circunferencia de circulo.

7. En coordenadas cartesianas.—Ecación de la circunferencia de circulo en coordenadas oblicuas y rectangulares.—Condiciones para que una ecación de segundo grado con dos variables represente una circunferencia de circulo.
Hallar la ecación de la circunferencia, dadas las coordenadas del centro y del radio.—Ecación de la circunferencia que pasa por tres puntos.—Puntos de intersección de una recta con una circunferencia de circulo.—Hallar las ecaciones de las tangentes á una circunferencia que pasa por un punto dado, cualquiera que sea la posición de éste respecto á la circunferencia.—Contacto de tangentes.—Hallar las ecaciones de las tangentes á una circunferencia de circulo paralelas á una dirección dada.—Polo y polar.—Ecación de la polar.
En coordenadas polares.—Hallar la ecación de una circunferencia de circulo en coordenadas polares.

Elipses.

8. En coordenadas cartesianas.—Ecación de la ellipse referida á sus ejes.—Ejes.—Vértices.—Propiedades principales de la ellipse.—Relación entre las ordenadas de la ellipse, sus ejes y los de las circunferencias descritas en estos ejes.
Focos y directrices.—Expresión analítica que determina la posición de los focos.—Excentricidad.—Ecaciones de las directrices.—Círculos directores.
Tangentes normales y diámetros.—Ecación de la tangente á la ellipse cuando la curva está referida á sus ejes.—Subtangente.—Coordenadas de las tangentes á la ellipse por un punto exterior ó paralelas á una dirección dada.—Coordenadas de los puntos de contacto.—Normal.—Propiedades de la normal.—Polar de un punto respecto de la ellipse.—Su ecación.
Diámetros y cuerdas suplementarias.—Ecación de un diámetro cualquiera.—Propiedades relativas de la tangente, diámetros y cuerdas.—El área del paralelogramo construido sobre dos diámetros conjugados es constante.—Diámetros conjugados iguales.—Ecación de la ellipse referida á dos diámetros conjugados.
Ecación de la ellipse referida al eje mayor y á la tangente en su vértice como eje menor.
Ecación de la ellipse en coordenadas polares referida al centro ó á uno de los focos como polo.

Problemas relativos á una ellipse.—Construcciones gráficas y principios en que se fundan.—Trazar una ellipse por puntos, dados los dos ejes, los focos y el eje mayor. Trazar una ellipse por movimiento de un punto sobre una recta de longitud constante, cuyas dos extremidades se apoyan sobre dos rectas perpendiculares entre sí.—Hallar los puntos de intersección de una recta con una ellipse determinada por sus ejes sin construir la curva.—Dado un eje y un punto de la ellipse, determinar el otro eje.—Determinada una ellipse por los ejes, por los dos focos y un punto, ó por dos diámetros conjugados, trazar las tangentes por un punto de la curva, por un punto exterior ó paralelas á una dirección dada.—Conocidos dos diámetros conjugados en magnitud y posición, construir los ejes.—Dada una ellipse, hallar los ejes.

Hipérbola.

9. En coordenadas cartesianas.—Ecación de la hipérbola referida á sus ejes.—Vértices.—Propiedades generales de la hipérbola.—Relación de las ordenadas de la hipérbola con los elementos del eje transverso.
Focos y directrices.—Expresión analítica que determina la posición de los focos.—Excentricidad.—Ecación de las directrices.
Tangentes, normales y diámetros.—Ecación de la tangente á la hipérbola cuando la curva está referida á sus ejes.—Subtangente.—Coordenadas de las tangentes á la hipérbola por un punto exterior ó paralelas á una recta dada.—Coordenadas de los puntos de contacto.—Ecación de la polar.—Normal.—Propiedades de la normal.
Diámetros y cuerdas suplementarias.—Ecación de un diámetro cualquiera.—Coordinadas suplementarias.—Diámetros transversos imaginarios.—Propiedades relativas de la tangente, diámetros, cuerdas suplementarias.—Diámetros conjugados.—Área del paralelogramo construido sobre los diámetros conjugados.—Ecación de la hipérbola referida á dos diámetros conjugados.—Ecación de la hipérbola referida á su vértice como origen de coordenadas.
Asintotas.—Propiedades principales de las asintotas.—Ecación de la hipérbola referida á sus asintotas.—Hipérbola equilátera.

En coordenadas polares.—Ecación de la hipérbola referida á su centro ó á uno de los focos como polo.

Problemas relativos á la hipérbola.—Construcciones gráficas y principios en que se fundan.—Construir una hipérbola por puntos, dados los dos ejes.—Dado un sistema de diámetros conjugados, construir los ejes.—Dados los ejes, trazar las tangentes á la hipérbola por un punto dado en la curva, por un punto exterior, ó paralelas á una recta dada.—Conocidas las asintotas y un punto de la hipérbola trazar la curva por puntos.—Trazado de la tangente en un punto dado, haciendo uso de las asintotas.

Parábola.

10. En coordenadas cartesianas.—Ecación de la parábola referida á su eje y á la tangente en el vértice.—Propiedades principales de la parábola, considerándola como caso particular de la ellipse.
Focos y directrices.—Expresión analítica que determina la posición de los focos y directrices finitos, y la posición relativa de éstos.
Tangentes, normales y diámetros.—Ecación de la tangente en un punto de la parábola, ó paralela á una dirección dada.—Subtangente.—Coordenadas de los puntos de contacto.—Ecación de la polar.—Normal.—Propiedades de la normal y de la subtangente.—Diámetros—Propiedades de los diámetros y cuerdas.

En coordenadas polares.—Ecación de la parábola referida al foco como polo.

Construcciones gráficas y principios en que se fundan.—Trazar la parábola por puntos, dados el foco y la directriz.—Trazar la tangente á la parábola por un punto conocido de la curva, ó por un punto exterior, ó paralela á una dirección dada.—Encuentrar los puntos de intersección de una recta con una parábola determinada por el foco y la directriz.—Dados el vértice, el eje y un punto de la parábola, hallar el foco y la tangente.

COORDENADAS TANGENCIALES

11. Coordenadas de una recta; sus relaciones con los parámetros de la ecación de la recta en coordenadas cartesianas y significado geométrico.
Significación geométrica de una ecación en que las variables son coordenadas tangenciales.—División en clases de las curvas algebraicas en coordenadas tangenciales.

NOTACIONES ABREVIADAS

12. Símbolo de una recta.—Símbolo de un punto.—Ecación de las rectas que pasan por el punto de intersección de otras dos y de los puntos en línea recta con otros dos.—Significación geométrica de dichas ecuaciones abreviadas.—Ecaciones abreviadas de las bisectrices de dos rectas dadas y de los puntos medios entre otros dos puntos.—Relación análogica de un haz de rectas ó sistema de puntos dados, por las ecuaciones abreviadas de sus elementos.
Ecación abreviada de las conicas que pasan por cuatro puntos.—Hallar la ecación de una curva de segundo grado que pase por cinco puntos.—Teoremas de Pascal y Brianchon.

DUALIDAD

13. Principio de la dualidad.—Fórmulas que sirven para determinarlo.—Aplicación del principio de la dualidad á las ecaciones de primer grado.—Polar de un punto respecto de un sistema de dos rectas, y punto polar de una recta respecto á un sistema de dos puntos.—Rectas que concurren en un punto.—Puntos en línea recta.

TRANSFORMACIÓN DE FIGURAS

14. Transformación correlative.—Definiciones.—Fórmulas de la transformación correlative.—Reciprocidad de formas en los dos sistemas correlativos.—Condiciones necesarias y suficientes para determinar la transformación.—La relación análoga de cuatro puntos en línea recta de un sistema es igual á la relación análoga del haz de las cuatro rectas concurrentes correlative.—Transformación por polares recíprocas.—Condición para que dos figuras correlativas sean además polares recíprocas.

15. Figuras homotéticas.—Definiciones.—Fórmulas de la transformación homotética.—Condiciones necesarias y suficientes para que dos figuras sean homotéticas.—Puntos dobles.

Figuras homológicas.—Definición.—Propiedades del centro y el eje de homología.—Fórmulas de transformación homológica.—Casos particulares.—Figuras homotéticas, semejantes e iguales.

Transformación por radicales recíprocos.—Definiciones.—Fórmulas de transformación para hallar la ecación de la curva inversa de otra dada por su ecación polar cuando se conoce el módulo de la transformación.—Fórmulas de transformación cuando la curva está dada por su ecación en coordenadas cartesianas rectangulares y el polo coincide con el origen de coordenadas.

Geometría en el espacio.

PRELIMINARES

Proyecciones en el espacio.

16. Proyecciones sobre una recta.—Proyecciones sobre un plano.
Relación entre la superficie ó línea proyectada y su proyección.

Coordenadas.

Sistemas de coordenadas.—Determinación de un punto en coordenadas cartesianas, polares ó esféricas, trilineales y tetraédricas.

(Si continúa.)