Gaceta de instrucción pública (1889-03-25 00:00:00), página 4

tos determinados en los lados de un triángulo por las tres rectas que se obtienen uniendo un punto cualquiera con los tres vértices.—Recíprocos.

Figuras homotéticas.

10. Homotecia.—Relaciones de posición y magnitud entre las rectas que unen dos puntos homólogos de dos figuras homotéticas.—Condiciones necesarias para que dos figuras situadas en un plano sean homotéticas.—Dos sistemas homotéticos á un tercero, son homotéticos entre sí.

Semijanaza.—Definiciones y principios generales.—Determinación del centro de semijanaza de dos figuras.

Relación anarmónica de cuatro puntos en línea recta y de cuatro rectas en haz.

11. Definición y notación de la relación anarmónica de cuatro puntos en línea recta.—Diversas relaciones anarmónicas de cuatro puntos, y correlación entre ellas.—Valores posibles de una relación anarmónica.—Dados tres puntos en una recta, determinar gráficamente en ella un cuarto punto conjugado con uno de los dados, conocida la relación anarmónica de los cuatro.

Propiedad proyectiva de la relación anarmónica de las divisiones de una recta y consiguiente relación, geométricamente demostrada, entre puntos y haces de rectas.—Dados tres rayos de un haz, determinar gráficamente un cuarto conjugado con uno de ellos, conocida su relación anarmónica.

Relación armónica de cuatro puntos en línea recta y de cuatro rectas en haz.

12. Definición.—Posición relativa de los cuatro puntos conjugados armónicamente.—Relación métrica de la mitad de un segmento armónicamente dividido por otros dos puntos.—Dados tres puntos en línea recta, determinar gráficamente el cuarto conjugado armónicamente con uno de ellos.

Propiedad proyectiva de la relación armónica.

Haz armónico.—Sus propiedades.—Determinación de un cuarto rayo de un haz armónico, dados los otros tres.

Ejemplos de relaciones armónicas, tomados de construcciones y propiedades geométricas.

Homografía e involución.

13. Igualdad de dos relaciones anarmónicas de sistemas de puntos y de haces de rectas.—Construcción geométrica de dos divisiones homográficas, dados tres pares de puntos homólogos.—Puntos límites: su determinación.—Valor constante en dos series homográficas del producto de las distancias de dos puntos conjugados cualesquiera á los puntos límites.—Series semejantes: series iguales.—Posición relativa de los puntos de intersección de los rayos de dos haces homográficos que tienen un rayo común.

Puntos dobles en dos series sobre una misma recta: su posición respecto del punto central.

Involución: Su definición: consecuencia coincidencia de los puntos límites en el caso de involución.—Valor constante del producto de las distancias de los puntos conjugados al centro de involución.—Puntos dobles.—División armónica del segmento de los puntos dobles por dos conjuntos cualesquiera.—Haces en involución: su reducción á las series de puntos en involución.

Construcciones geométricas de puntos en involución.

Cuadrilátero completo.

14. Definiciones y propiedades.

TRANSVERSALES EN EL CÍRCULO

Polo y polar.

15. Teorema fundamental.—Polares de los puntos de una recta.—Polos de las rectas que pasan por un punto.—Construcción para determinar la polar por medio de secantes que partan del punto dado.—Determinación de la polar por medio de las tangentes trazadas al círculo desde el polo.

Ejes radicales.

16. Lugar geométrico de los puntos de igual potencia respecto á dos círculos.—Propiedades de puntos y cuerdas antihomológicas.—Trazar un círculo tangente á tres círculos dados.—Casos particulares.

POLÍGONOS REGULARES

Principios generales.

17. Polígonos regulares.—En todo polígono regular se puede inscribir ó circunscribir una circunferencia.—Idea de los polígonos estrellados.—Dos polígonos regulares convexos del mismo número de lados son semejantes, y la relación de semejanza es la de los radios de las circunferencias inscritas ó de las circunscritas.

Polígonos regulares convexos.

Problemas.—Inscribir en una circunferencia de radio dado los polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis, ocho, diez ó quince lados.—Determinación numérica del lado.—Dada una cuerda en una circunferencia de radio conocido, determinar la del arco mitad.—Aplicación de este problema á los polígonos regulares.—Dado el radio y la apotema de un polígono regular, calcular el radio y la apotema de un polígono regular isoperimétrico de doble número de lados.—Dado el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio conocido, calcular el lado del polígono regular circunscribo de igual número de lados.—Dado el lado de un polígono regular circunscribo á una circunferencia de radio conocido, determinar el del circuncírculo de doble número de lados.—Dado los perimetros de dos polígonos regulares semejantes, uno mayor y otro menor á la misma circunferencia, calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de doble número de lados.

MEDIDA DE LA CIRCUNFERENCIA

Relaciones de la circunferencia y arcos del círculo con los diámetros.

18. Relaciones.—La relación entre las longitudes de las circunferencias de dos círculos es la de sus diámetros.—Conocido el radio, hallar la longitud de una circunferencia ó de un arco dado en grados.—Dada la longitud de un arco de graduación conocida, hallar el diámetro.—Determinar el número de grados de un arco cuya longitud es igual al radio.—Relación entre las longitudes de dos arcos semejantes.

Problemas.—Trazar una circunferencia cuyo desarrollo está en relación dada, con el de otra circunferencia conocida.—Dada la relación de los radios y el desarrollo de una circunferencia, calcular el de la otra.—Procedimientos elementales para calcular la relación de la circunferencia al diámetro.—Construcción gráfica para determinar aproximadamente el desarrollo en la circunferencia.

ÁREAS

Medidas de áreas de polígonos.

19. Áreas.—Relación entre las áreas de rectángulos que tienen la misma base.—Área de un rectángulo.—Área de un paralelogramo.—Área de un triángulo en función de la base y de la altura.—Área de un trapecio equilátero en función del lado.—Área de un triángulo en función de los tres lados.—Área de un polígono por descomposición en triángulos.—Área de un trapecio en función de las bases y de la altura.

Áreas de los polígonos regulares y del círculo.

20. Área de un polígono regular en función del perímetro y de la apotema.
Área de un sector poligonal regular.
Área del círculo.
Área del sector circular.
Área del segmento circular.
Áreas de figuras limitadas por un contorno cualquiera.

Comparación de áreas.

21. Relación de las áreas de polígonos semejantes.
Relación de las áreas de triángulos que tienen un ángulo del uno igual ó suplemento de un ángulo del otro.
Máximo y mínimo de áreas á igualdad de perímetros.

Problemas sobre áreas.

Problemas.—Construir un triángulo equivalente á un polígono dado.—Dividir una recta en dos segmentos que guarden entre sí la relación de las áreas de dos polígonos dados.—Sobre una recta dado como lado, construir un rectángulo equivalente á un polígono dado.—Construir un rectángulo de perímetro dado, y cuya área sea equivalente á la de un polígono.—Construir un polígono semejante á otro dado, conocida la relación de las dos áreas.—Dados dos polígonos, construir otro semejante al primero, y cuya área esté con la del segundo en una relación dada.—Dado un polígono, construir otros en número determinado que le sean semejantes, cuyas áreas guarden entre sí la relación de magnitudes conocidas, y cuya suma sea igual al área del polígono dado.—Transformar un triángulo en otro que tenga dos vértices en puntos dados y el tercero en una línea determinada.—Dividir un triángulo en partes proporcionales á números ó líneas dados, por medio de rectas que parten de los vértices y converjan en un punto interior.—Dividir un triángulo en partes proporcionales á líneas dadas por rectas trazadas de un mismo vértice ó por paralelas á sus lados.—Dividir un trapecio en partes proporcionales á líneas ó números dados por rectas paralelas á las bases.—Conocida el área de un triángulo y la relación que guardan entre sí los tres lados, encontrar éstos.—Dados varios polígonos semejantes, construir otro semejante y equivalente á su suma ó diferencia.—Construir un polígono dado por el perímetro y el polígono traza una recta que separe una parte equivalente á un polígono dado.—Describir un círculo cuya área esté con la de un círculo dado en una relación conocida.—Describir un círculo cuya área sea equivalente á la suma ó á la diferencia de las de dos círculos dados.—Dividir un círculo en partes proporcionales á líneas dadas por medio de radios ó circunferencias concéntricas.

SEGUNDA PARTE

Geometría en el espacio.

Rectas y planos.

22. Posiciones relativas de una recta y un plano. Determinación de un plano por rectas y puntos. Composición de rectas y superficies planas.

Rectas y planos paralelos.

Teoremas.—Si dos rectas son paralelas, todo plano que corté á una de ellas cortará también á la otra.—Si dos planos son paralelos, toda recta que corte el primero cortará el segundo, y todo plano que corte al primero cortará al segundo.—Un plano queda determinado con la condición de pasar por un punto y ser paralelo á otro plano.—Lugar geométrico de las rectas paralelas á un plano que pasan por un mismo punto.—Relación entre dos ángulos que tienen sus lados paralelos.—Ángulos de dos rectas que no están en un mismo plano.—Los segmentos de paralelas comprendidos entre planos paralelos son iguales.—Tres planos paralelos cortan á dos rectas cualesquiera en partes proporcionales.—Relación que unen los segmentos en que quedan divididos los lados de un cuadrilátero alzado por los puntos de intersección de estos lados con un plano.—Recíproco.

Rectas y planos perpendiculares.

23. Teoremas y propiedades de rectas y planos perpendiculares.—Condiciones para que una recta sea perpendicular á un plano.—Determinación de un plano con la condición de pasar por un punto y ser perpendicular á una recta.—Determinación de una recta con la condición de pasar por un punto y ser perpendicular á un plano.—Posición relativa de dos perpendiculares á un mismo plano.—Posición relativa de un plano y