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nor que la unidad. — El aparente y el impropio son iguales o mayores que la unidad. — Número mixto. — Significado de la palabra mixto. — ¿Qué signo corresponde entre la parte entera y la quebrada?

Demostrar prácticamente: 1.º De dos quebrados que tienen igual denominador... — 2.º De dos quebrados que tienen igual numerador... — 3.º De dos quebrados cuyos numeradores y denominadores sean números consecutivos, ¿cuál es mayor? (5/8 y 6/7).—Ejercicios variados y numerosos.

14.º Reducción de fracciones. — Reducir enteros a quebrados de un denominador dado.—Reducir mixtos a quebrados.—Reducir a un común denominador.—Ejercicios variados y numerosos.

Cuarto grado.

Primer término.

1.º Repaso de lectura y escritura de cualquier cantidad entera o decimal.— Escritura al dictado. — Escritura del nombre de cualquier cantidad.—Números consecutivos.

2.º Ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de enteros en los tiempos máximos fijados para tercer grado. — Término de la suma, resta, multiplicación y división.—Sumas parciales y totales.—División exacta e inexacta. — Multiplicación por una cifra en línea horizontal.—División por una cifra, poniendo directamente el resultado debajo. — Multiplicación abreviada por 9, 11, 20, 30, 40, etc., y 25.

3.º Ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de decimales. — Reglas.—Operaciones rápidas en los tiempos máximos fijados para tercer grado. — Importancia de la coma decimal.—Cálculo previo aproximado en la multiplicación y división de decimales.—Multiplicación y división por una cifra en línea horizontal. — Multiplicación y división de decimales por la unidad seguida de ceros.—Ídem por cifras significativas seguidas de ceros.—Multiplicación por 0,1 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001, 0,000001, etc. — División inexacta con aproximación de 0,1, 0,01.—Demostrar prácticamente (repaso) que en la multiplicación y división de decimales, los resultados serán mayores o menores que el multiplicando o dividendo, según sea el multiplicador o divisor.—Problemas de aplicación; cálculo pre-
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vio aproximado del resultado. — Enunciado, raciocinio verbal (escrito sólo en los problemas tipos), solución y respuesta.

4.º Repaso del sistema métrico. — El metro: su estudio; relación con el meridiano terrestre, múltiplos y submúltiplos, relaciones.—Nomenclatura.—Lectura y escritura de cantidades tomando como unidad el metro o cualquiera otra medida.—Ecritura de cantidades, tomando como unidad el metro e indicando las cifras que representan las otras medidas.

Ejercicios de reducción (ver programa de tercer grado).—Análogos ejercicios de reducción para las otras medidas.—Suma y resta.—Multiplicación y división por números abstractos.—Problemas de aplicación.

El litro y el gramo estudiados en la misma forma.—Problemas de aplicación.—Cálculo previo aproximado de los resultados.

5.º El metro, trazado en el patio, pizarrón, etc.—Múltiplos y submúltiplos.—Las medidas de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100.—Nomenclatura.—Dibujo del decímetro cuadrado en el pizarrón, del centímetro cuadrado y milímetro cuadrado en los cuadernos.—Ecritura de cantidades, tomando como unidad el metro cuadrado o cualquier otra medida.—Ecritura de cantidades tomando como unidad el metro cuadrado e indicando las cifras que representan las otras medidas.

Ejercicios de reducción análogos a los del metro lineal.—Ejercicios: ¿Cuál es mayor, ¿un cuadrado de medio metro de lado o medio metro cuadrado?—¿Cuál es mayor, ¿la décima parte del metro cuadrado o un decímetro cuadrado?—¿La centésima parte del metro cuadrado o el centímetro cuadrado?—¿Qué parte del metro cuadrado es el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado, etc.?—Ejercicios de esta clase en todas las condiciones posibles.—Suma, resta, multiplicación y división con estas medidas.

Problemas de aplicación: Superficie de terrenos de forma cuadrada, rectangular, triangular, romboidales, trapeciales del patio, salón, paredes, etc.—Cálculo previo aproximado del resultado.

6.º Concepto práctico del metro cúbico; con palos, piolines trazar un metro cúbico en el patio.—Demostrar prácticamente que el metro cúbico tiene 1000 decímetros cúbicos, y, en general, que las medidas cúbicas aumentan o disminuyen de 1000
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en 1000. — Mostrar en decímetros cúbicos del compendium métrico, o bien hecho con palitos, cartulinas, etc.—Dibujar el decímetro cúbico, etc.

Enumarar los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. — Nomenclatura. — El decímetro cúbico equivale a un litro de líquido.—El centímetro cúbico contiene 20 gotas de agua contadas con cuentagotas.

Ejercicios numerosos para fijar bien el conocimiento del tamaño de los submúltiplos del metro cúbico que más se usan.

Lectura y escritura de distintas cantidades tomando como unidad el metro cúbico e indicando las cifras que representan las otras medidas.

Problemas de aplicación; hallar volúmenes de recipientes prismáticos, rectangulares y cuadrados, y cuerpos de forma cúbica (producto de las tres dimensiones).

7.º Divisibilidad.—¿Cuándo se dice que un número es múltiplo de otro o es divisible por otro?—Ejemplos y ejercicios variados sobre esto.—Cifras pares e impares.—Divisibilidad por 2, 4, 5, 8 y 10 y la unidad seguida de ceros.

Ejercicios: Hacer una lista de números divisibles por 2, 4, 5, etc.—Una cantidad determinada, ¿por qué número es divisible?—Ejercicios de esta naturaleza en todas las variaciones posibles. — Valores absolutos y relativos de las cifras. — Casos como 33333.—Ejercicios variados.—Divisibilidad por 3, 6 y 9.—Ejercicios variados y numerosos.—Cómo puede abreviarse \(2 \times 2 \times 2\), etc. — Significado de \(2^8\), \(5^4\) y \(6^5\). — Números primos; primos entre sí. — Tabla de factores primos hasta 100. — Descomposición de un número en sus factores primos.—Dados los factores primos, recomponer la cantidad.—Ejercicios variados, concretos y abstractos.

8.º Fracciones.—Repaso de lectura y escritura de cualquier quebrado. — Numerador y denominador. — Quebrado propio, impropio y aparente. — Número mixto; signo que corresponde entre la parte entera y la quebrada.

Demostrar prácticamente: a) De dos quebrados que tienen igual denominador... — b) De dos quebrados que tienen igual numerador... — c) De dos quebrados que cuyos numeradores y denominadores sean número consecutivos... \(3/4\), \(4/5\), ¿cuál es mayor?—d) De dos quebrados cualesquiera, ¿cuál es mayor? — e) Si se aumenta o disminuye el numerador o denominador...—
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f) Si se multiplica o divide cualquiera de los dos términos...—
g) Si se multiplican o dividen los dos términos por el mismo número.—h) Un quebrado es una división indicada.—¿Cuántos \( \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{12} \) hay en una cosa?

Ejercicios variados y numerosos.—Reducción de un entero a quebrado de un denominador dado.—Un entero puede ponerse bajo forma fraccionaria.—Reducir mixto a quebrado y viceversa.—Reducir quebrado a decimal.—Reducir a un común denominador.—Simplificación de quebrados.—Ejercicios variados y numerosos.—Ejercicios de suma de quebrados entre sí, con enteros y con mixtos.

La suma de quebrados da siempre una cantidad mayor.—Resta de quebrados entre sí, con enteros y con mixtos.—La resta de quebrados da siempre una cantidad menor.—Grabar bien que es condición indispensable, para comparar dos quebrados, reducirlos previamente a común denominador.—Ejercicios variados y numerosos.—Multiplicación de quebrados por enteros y viceversa; de dos quebrados entre sí y con mixtos.—Ejercicios variados.—Quebrado de quebrado.—Signo que reemplaza a de en \( \frac{3}{5} \) de 80 pesos, por ejemplo.—Ejercicios variados y numerosos.—La multiplicación de quebrados puede dar por resultado un número mayor o menor, según sea el multiplicador.—Deducir la regla.—División de quebrados por un entero y viceversa.—División de quebrados entre sí y con mixtos.

Hacer resaltar que en la multiplicación y división los números mixtos conviene reducirlos previamente a quebrados.—Problemas de aplicación.—Cálculo previo.

Segundo término.

1.º Repaso de las medidas de superficie.—Múltiplos y submúltiplos.—Dictado de cantidades.—Ejercicios de reducción.—Problemas de aplicación.—Superficie del pizarrón, cuadernos, terrenos, patios, etc.—Cantidad de mosaicos que entran en una superficie dada; chapas de cinc para cubrir un techo, tejas, etc.
Área, hectárea y centíarea: su estudio.—Nomenclatura.—Ejercicios de reducción en todas las variaciones.—Aplicación a problemas.
2.º Repaso del metro cúbico.—Múltiplos y submúltiplos.—Relaciones.—Ejercicios prácticos indicados.—Hallar el volu-
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mena del cubo, prismas cuadrados y rectangulares.—Problemas de aplicación.

3.º Fracciones comunes.—Operaciones de suma, resta, multiplicación y división combinadas con enteros, mixtos y decimales.—Problemas de aplicación.—Reducción de fracciones comunes a decimales.—Fracción decimal, exacta y periódica.—Ejercicios diversos para distinguir bien los períodos.—Reducción de fracción decimal exacta a quebrado.—Ejercicios variados y numerosos.

4.º Medidas antiguas: la vara, su relación con el metro.—Ejercicios de reducción a metros y viceversa.—Múltiplos y submúltiplos de la vara.—Ejercicios de reducción en la misma forma que para el sistema métrico.—¿Qué cosas se miden por varas, por pies, por pulgadas, etc.?

La vara métrica estudiada en la misma forma.—La libra.—Cosas que se pesan por libras.—Su relación con el kilogramo.—La tonelada y el quintal.—La onza medicinal de 30 gramos.—Ejercicios prácticos.—Problemas de aplicación.

5.º Monedas argentinas.—Repaso de las de cobre y níquel.—Monedas de plata.—Monedas de oro.—Valor, forma, tamaño, peso y composición.—Reducir papel a oro y viceversa.—Ejercicios variados y numerosos.—Monedas extranjeras: libra, franco, marco, lira, dólar.—Ejercicios variados y numerosos de reducción.—Problemas de aplicación.

6.º Regla de tres simple.—Regla de tres simple resuelta por reducción á la unidad, directa, inversa, con enteros, quebrados y decimales.—Hallar el 2, 3, 4 por 100 de cualquier cantidad: el 2 y \( \frac{1}{2} \), el 4 y \( \frac{3}{4} \) el 5,25, el 6,87 por 100, etc.—Signo que se emplea.—Ejercicios: 8, ¿qué por 100 es el de 20?

¿Cuál es el 100 por 100 de una cantidad?—¿El 50, el 10, el 20 por 100?

7.º Interés simple.—Capital, interés, tiempo y rédito.—Hallar el interés en años, meses, días y combinados, con cantidades enteras y decimales.—Determinación de las fórmulas.—Su explicación y aplicación.

8.º Documentos comerciales.—Recibos, vales, cheques, pagarés y letras de cambio.—Presentación de modelos.—Requisitos indispensables en cada caso.—Ejercicios prácticos simulando ventas, cobro de cheques, endoso.—Pago de letras.—Pagarés á la vista, a plazo, etc.
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ellas en nuestra mente para evocar el recuerdo de las otras tres. En toda expresión del lenguaje de un hombre cuerdo notamos la presencia del concepto. En realidad, sin esta condición indispensable, podemos decir que la lectura completa no existe.

Lectura completa e incompleta.—A este respecto, cabe observar cuán frecuente es la ilusión de algunos padres y maestros al aprobar, por ejemplo, la lectura incompleta de un niño que no ha hecho otra cosa que una feliz aplicación de la palabra hablada para descifrar términos impresos aislados o periodos de lenguaje fuera de su alcance intelectual. Esta aberración de la enseñanza cuenta después gran pérdida de tiempo y esfuerzos sobrehumanos —en ciertos casos inútiles— para restablecer o crear el hábito de la lectura completa.

10.a El convencionalismo en la lectura.—El proceso de la lectura, en virtud de su artificialidad, da origen a una serie de nociones convencionales que el lector debe adquirir, inconscientemente o no. Tales son: 1.º Noción de forma de la letra.—2.º Noción de sonido o denominación de la letra.—3.º Noción de progresión o continuidad en la lectura.—4.º Dirección de la progresión de izquierda a derecha.—5.º Asociación de la imagen visual impresa con el concepto por ella representado.

No olvidemos, por otra parte, que la lectura se encuentra poderosamente auxiliada por la intuición lingüística, fenómeno psíquico común a todo lenguaje, que hace presentir la voz correlativa, el modo verbal, la entonación, el énfasis y hasta la forma exacta con que va a terminar una frase o periodo cuya primera parte ha sido percibida ya por la vista del lector.

11.a Los ojos durante la lectura.—Siempre que se lee una página completa, los ojos se mueven siguiendo la línea, de lado a lado, sin saltarse ninguna línea. Se observa además que los ojos no se mueven en forma continua de izquierda a derecha, sino que recorren la línea en una serie de movimientos rápidos y cortos, para volver en seguida a la izquierda en un movimiento rápido y comúnmente no interrumpido. Se encontrará que hay, por lo menos, dos pausas o puntos de fijación en cada línea, y más cuando la lectura avanza con lentitud. Los movimientos son tan rápidos que uno podría creer que el lector no tiene tiempo de ver nada durante el movimiento. Numerosos experimentos realizados para comprobar este hecho
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9.º Pagos al contado.—Descuento de un tanto por ciento.—Ejercicios variados.—Descuento comercial.—¿Qué se entiende por descuento comercial?—Valor nominal.—Valor real.—Determinación de las fórmulas.—Explicación y aplicación.—Ejercicios variados y numerosos.—Ejemplos: A los empleados nacionales les descuentan el 5 por 100, ¿cuál es el sueldo de un empleado que gana 171 pesos?

10.º Operaciones bancarias.—Depósito de fondos en cuenta corriente.—Libreta de cheques: sus ventajas en caja de ahorros y a plazo fijo.—Retiro de fondos.—Envío y cobro de giros.

Quinto grado.

Primer término.

1.º Repaso de lectura y escritura de cualquier cantidad entera, decimal y quebrada.—Escritura al dictado.
Números consecutivos.—Diferencia entre número decimal y fracción decimal.—Escritura del nombre de cualquier cantidad.—Fracciones decimales exactas y periódicas.
Ejercicios numerosos para distinguir los períodos.
2.º Ejercicios de suma, resta, multiplicación (con uno o más ceros intercalados) y división de enteros en los tiempos máximos fijados para tercer grado.
Términos de la suma, resta, multiplicación y división.—Sumas parciales y totales.—Productos parciales y totales.—División exacta e inexacta.—Multiplicación por una cifra en línea horizontal.
División por una cifra, poniendo directamente el resultado debajo.—Multiplicación abreviada por 9, 11, 15, 20, 30, etc., y 25.—Cálculo previo del número de cifras que tendrán los productos o cocientes: su demostración práctica.—Prueba de las operaciones.—Problemas de aplicación.
3.º Ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de decimales.—Reglas.—Operaciones rápidas en los tiempos máximos fijados para tercer grado.—Importancia de la coma decimal.—Cálculo previo aproximado en las multiplicaciones y divisiones de decimales.—Multiplicación y división por una cifra en línea horizontal.
Multiplicación y división de decimales por la unidad seguida de ceros y por toda cifra significativa seguida de ceros.
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Multiplicación y división por 0,1, 0,01, 0,001, etc. — Demostrar prácticamente que en las multiplicaciones y divisiones de decimales los resultados serán mayores o menores que el multiplicando o dividendo según sea el multiplicador o divisor. — Problemas de aplicación.

4.º Repaso de fracciones comunes. — Numerador, denominador. — Quebrado propio, impropio y aparente. — Número mixto. — Signo que corresponde entre la parte entera y la quebrada. — Quebrados homogéneos y heterogéneos.

Demostrar prácticamente: a) De dos quebrados que tienen igual denominador... — b) De dos quebrados que tienen igual numerador... — c) De dos quebrados cuyos numeradores y denominadores sean números consecutivos, ¿cuál es el mayor?— d) De dos quebrados cualesquiera, ¿cuál es el mayor?— e) Si se aumenta o disminuye el numerador... — f) Si se aumenta o disminuye el denominador... — g) Si se multiplica o divide el numerador... — h) Si se multiplica o divide el denominador... — i) Si se multiplica o divide el numerador y denominador por el mismo número... — j) ¿Cuántos \( \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6} \), etc., tiene cada cosa? — k) Un quebrado es una división indicada.

5.º Reducir enteros a quebrados de un denominador dado.— Todo entero puede afectar la forma de quebrado poniéndole como denominador la unidad. — Reducir mixtos a quebrados, que siempre serán impropios. — Reducir quebrado impropio a entero o mixto. — Invertir un quebrado. — Simplificación de quebrados. — Reducir quebrados a decimales. — Reducir fracción decimal exacta a quebrado. — Ídem periódica pura y periódica mixta a quebrado. — Reglas. — Ejercitación variada y numerosa.

(Concluirá.)
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LA FAMOSA DECADENCIA (1)

La idea de decadencia es antigua en España. Españoles y extranjeros han hablado largamente, desde hace tiempo, de la decadencia de España. Reaccionemos contra esta idea. No ha existido tal decadencia. ¿Cuándo se la quiere suponer existente? Se la supone precisamente en el tiempo mismo en que España descubre un mundo y lo puebla; en el tiempo mismo en que veinte naciones nuevas, de raza española, de habla española, pueblan un continente. La idea de decadencia es antigua, sí; han colaborado en la creación del concepto de decadencia hombres eminentes, eruditos, historiadores, literatos. Teniendo la idea siglos de antigüedad, ¿es ahora cuando vamos a rectificarla? ¿Es ahora cuando vamos a ver su falacia? Sí, ahora precisamente; porque ahora precisamente es cuando comenzamos a adquirir—puesta la vista en América—conciencia de la fortaleza y la fecundidad de España. Como es ahora precisamente, dicho sea de pasada, pero con pertinencia, cuando España adquiere la conciencia plena de su espléndida belleza, y la iniciación de este conocimiento —y el descubrimiento de Castilla— se debe, como tantas otras cosas, a los catalanes, a Parcerisa y sus amigos. La experiencia de América debe de ser decisiva para el hombre de acción y el hombre de pensamiento. Cuando después de muchos días pasados entre mapas y libros americanos de Geografía y viajes, volvemos a nuestros habituales pensamientos, experimentamos una sensación extraña. Hemos viajado por las inmensas extensiones de la Argentina, Bolivia, Perú, Chile, Colombia. Hemos estado en México. Hemos visitado otras naciones de más reducido ámbito. La variedad inmensa

(1) Del discurso leído por «Azorín», al ser recibido en la Real Academia Española el ilustre escritor.
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de paisajes nos ha deslumbrado. Ahora todo nos parece pequeño, reducido, exiguo. Sin haber estado en América sentimos la nostalgia de sus panoramas múltiples y esplendentes. Todo es ahora restricto y angosto: los espacios geográficos y los movimientos humanos. Al vernos, con el pensamiento, en una ciudad de la Argentina, del Perú, de México, de Chile, de Bolivia, de Colombia, una sensación misteriosa nos hace estreme- cer; nos parece que una íntima vibración baja desde lo pretérito hasta nosotros por una cadena de antecesores.

No ha existido la decadencia. Un mundo acaba de ser descubierto. Veinte naciones son creadas. Un solo idioma aloja a multitud de idiomas indígenas. Se construyen vastas obras de riego. Se trazan caminos. Se esclarecen bosques y se rompen y cultivan tierras. Montañas altísimas son escaladas, y ríos de una anchura inmensa surcados. Se adoctrina e instruye a las muchedumbres. Las mismas instituciones municipales son esparcidas por millares de villas y ciudades. La industria, el comercio, la navegación, la agricultura, el pastoreo surgen, en suma, en un nuevo pedazo del planeta y enriquecen a gentes y naciones. ¿Y quién ha realizado tan gigantesca obra? ¿Todas las naciones de Europa juntas? ¿Todas las naciones unidas en un supremo y titánico esfuerzo? ¿Francia, Inglaterra, Italia, Alemania, Austria, Rusia de consumo? No; una nación, una sola nación, sola, sin auxilio de nadie: España. ¿Y cuántos habitantes tenía España cuando fundó el mayor de los Imperios modernos? No limitemos la visión al área de España. España es la Península y los veinte pueblos americanos. España, con el descubrimiento y colonización de América, creaba una sucursal que había de ser más grande que la casa matriz. No se puede decir que un Banco esté en quiebra porque traslada sus fondos de una casa a otra casa. No teníamos, en ningún momento, que aprender nada de Europa. No necesitábamos para nada a Europa. Europa éramos nosotros y no los demás pue- blos, o por lo menos lo éramos tanto nosotros —y lo seguimos siendo— como las demás naciones. Nuestro ideal era tan elevado y legítimo como el ideal de los demás países europeos. Es falso que Descartes sea superior a Santa Teresa y Kant a San Juan de la Cruz.

La idea de decadencia irá desapareciendo a medida que el espacio espiritual existente entre España y América —la solu-
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ción de continuidad creada por dos o tres siglos de negligencia —vaya también desapareciendo. La génesis del concepto de decadencia es antigua. El ambiente, en siglos pasados, era adecuado para su desarrollo. La nación estaba saturada de doctrinas ascéticas. La vida es frágil y triste; los bienes terrenos son despreciables; el hombre es un compendio de miserias. El tránsito era fácil de lo genérico y sempiterno a lo circundante y accidental. La realidad española había de estar sujeta al mismo criterio de renunciación. Cuando se desdeñaba el Universo, ¿qué importaba un mundo nuevo? No era lo raro que se viera la merma de España en el ámbito peninsular, sino que no se viera, ni se haya comenzado a ver, hasta ahora el prodigio de la extravasación de España. Lo que se percibía con agudeza y dolor eran las lacras de casa: el ocio, la soberbia, la aridez, la incapacidad. La sensibilidad toda estaba polarizada en ese sentido. Mientras los extranjeros—singularmente en Francia y en Inglaterra—, por rivalidad política, por oposición de ideal, ahincaban en la idea de nuestra decadencia, nosotros reiterábamos nuestros plañidos. Y por encima de todo—para completar el desolado cuadro—se cernía la idea de que la decadencia es cosa fatal e inevitable. La idea venía de la antigüedad clásica. La idea estaba reñida con el libre albedrío. Pero, entre sutilezas de primeras y segundas causas, Gracián y Saavedra Fajardo, entre otros, expresaban esa opinión con palabras de un vigor y un colorido seductores. El uno habla de una «inquieta rueda», y el otro de los «telares de la eternidad», en que se teje la tela de los sucesos que no podemos romper.

José Martínez Ruiz.
(De la Real Academia Española.)