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LA INICIACIÓN DEL NIÑO EN ARITMÉTICA

I
Formación de las primeras ideas numéricas.

Los conceptos numéricos son de formación tardía. Esto quiere decir que el niño a quien hallamos en posesión de ideas que parecen más difíciles que las ideas de los números, a quien hallamos capaz de razonamientos más o menos complejos, nos sorprende a las veces por su escaso conocimiento de los números y sus relaciones. Los conceptos numéricos se forman, sin duda, en el curso de la evolución intelectual, a su tiempo; pero este tiempo se retrasa más de lo que se suele suponer. Sólo en este sentido resulta, pues, admisible la afirmación de que los conceptos numéricos son de formación tardía.

Este retraso de los conceptos de los números, en relación con lo que del niño se espera vulgarmente, se refleja en la conocida Escala métrica de la inteligencia, de Binet y Simón, en la cual al niño normal de cinco años no se le supone capaz de contar más que hasta cuatro, al de seis se le pide sólo que cuente hasta trece, y el contar de veinte a cero, es decir, en disminución, se presenta como prueba suficiente para el niño de ocho años (1). Tenemos en esto una muestra de que para poner de manifiesto la realidad de los hechos, que a menudo se aleja mucho de nuestras suposiciones a priori, es necesario observarlos cuidadosa, sistemáticamente.

Son muchos los niños a quienes se hace difícil el aprender a contar. Los ejercicios bien sistematizados e insistentes apresuran la llegada del momento en que el escolar sabe contar.

(1) Véase nuestro Compendio elemental de Pedagogía, págs. 265 y 266.
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Sin embargo, los ejercicios para dar el resultado que se trata de conseguir, necesitan que el cerebro infantil alcance una aptitud, que no depende exclusivamente de la repetición de ellos: la aptitud que le permite comprender la operación misma de contar, la manera como los números se forman; aptitud sin la cual los ejercicios carecen de sentido. Por eso, no hay que empeñarse en que los niños demasiado pequeños aprendan a contar a fuerza de ejercicios específicos. Estos ejercicios, si se dirigen bien, si el maestro mismo los comprende y conduce en ellos al discípulo en la forma conveniente, tienen valor de verdaderos reactivos que sirven para revelar el estado mental del niño: si puede o no comprender la operación que se le propone.

Sean buenas o malas las aptitudes del niño en este orden de ideas, la enseñanza de la Aritmética tiene que empezar por enseñar a contar. El acto de contar se aprende por imitación: el maestro cuenta ante el niño objetos cualesquiera y el niño procura repetir la operación: en el fondo, esta enseñanza no consiste en otra cosa, sean unos u otros los procedimientos que se empleen. El niño que al ingresar en la escuela sabe contar hasta cinco, diez o veinte, habrá aprendido así, por imitación, porque ha visto y oído contar, y seguirá aprendiendo del mismo modo.

Por los procedimientos más sencillos, el niño debe aprender a contar: primero hasta diez y después hasta veinte. Fijamos el diez y el veinte por la necesidad de determinar límites: lo mismo podría ser nueve u once, en lugar de diez, y el diez y nueve o el veintiuno, en lugar del veinte.

Aunque no nos detengamos a describir procedimientos, porque esto requeriría espacio mayor que el destinado a este artículo, debemos consignar, que el contar, si bien empieza por la serie ascendente de los números enteros, aumentando las unidades una a una, no debe darse con ésto por sabido; hay que lograr que el niño cuente en orden descendente, y que cuente: \(2 + 2 + 2\), etc.; \(1 + 2 + 2\), etc.; \(3 + 3 + 3\), etc., hasta 20, y que sepa decir el número de objetos que se le presentan dentro de los límites señalados: diez, primero, y veinte, después. No es necesario advertir que todos estos ejercicios han de efectuarse contando el niño objetos materiales que él mismo maneje. Sólo cuando cuente ya con facilidad y prontitud estos ob-
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jetos se le pedirá que cuente por imaginación, y después de ésto, números en abstracto.

Estas primeras adquisiciones son a menudo de formación lenta; el llegar a ellas más o menos pronto depende, no sólo del tiempo dedicado al ejercicio, sino también del estado mental del niño, determinado por su edad y sus disposiciones naturales, tan variables estas últimas de unos sujetos a otros.

II

Las ideas de adición y substracción.

Ya en los primeros ejercicios de contar van incluidas las dos ideas fundamentales de que depende todo el juego de los conceptos numéricos: adición y substracción, aumento y disminución. La clara distinción de estas dos operaciones se estimula proponiendo al niño sencillísimas cuestiones en que los números entren en juego, es decir, problemas que el pequeño comprenda fácilmente, y que le presenten el contraste entre la operación de suma y la de resta. Con estos primeros problemas, el fin que nos proponemos es, no el de ejercitarle en el cálculo, sino el de hacerle notar la índole diversa de las dos operaciones ¿ es decir, se trata de formar el concepto de suma y el de resta, y de distinguirlos y fijarlos bien. Por eso, en los primeros problemas que proponemos, el cálculo está por debajo de las posibilidades del niño, para que no le ofrezca la menor dificultad y pueda dirigir toda su atención a notar la clase de relación que ha de establecer entre los datos numéricos: adición en unos casos, substracción en otros.

Bien comprendidos los dos primeros problemas, la primera pareja de contraste, el niño asimilará los demás, ya al uno, ya al otro de estos dos primeros; esta asimilación no es sino un caso del reconocimiento de igualdad o desigualdad de relaciones. Es operación tan original, tan natural de la inteligencia, la de comprender la igualdad o desigualdad de dos objetos, como la de comprender la igualdad o desigualdad de dos relaciones; que una relación es de la misma especie que otra, o es de diferente especie. El maestro en esto, como cuando presenta dos objetos para la comparación, no puede hacer sino señalar los hechos, para que el alumno vea que se trata de relaciones iguales o de relaciones diferentes.
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Aunque cueste algún esfuerzo el conseguir del niño esta primera distinción de relaciones, el asunto bien lo merece: será una distinción que valdrá ya para siempre. Los números irán después siendo cada vez mayores, los cálculos más difíciles; pero el fondo de las relaciones permanecerá el mismo.

Por la importancia que tiene este primer paso, y para evitar al niño todo motivo de confusión, es mejor dejar para más adelante — aunque no, ciertamente, para muy tarde — las cuestiones de multiplicación y división. Por suma y resta es como más fácilmente se comprende al principio la formación y la descomposición de los números; y mientras el niño no tiene cierto hábito de las dos operaciones primeras, y cierta seguridad en la aplicación de los dos conceptos, el de suma y el de resta, es preferible no perturbarle conduciéndole a la formación de otros más complejos.

Al mismo tiempo se trabajará en afianzar los conceptos de los números hasta el 20, contándolos, y haciendo que el niño los lea y escriba, representados por cifras.

El empleo de los signos +, — e = debe comenzar en seguida. El niño puede leer y trazar cifras y signos antes de saber leer y escribir. Cuando haya aprendido a leer, encontrará en el libro los mismos ejercicios y el mismo lenguaje que estará habituado a usar; el libro le servirá para revisar sus conocimientos y afianzarlos más.

III

El estudio de las decenas.

Cuanto mejor sepa el niño calcular con los números del 1 al 20, más fácil le resultará el estudio de las decenas, es decir, del 1 al 100. Y mientras no llega a jugar ágilmente con aquellos primeros números, no se halla en buenas condiciones para ampliar la serie.

Presentado el asunto en la forma que propuemos en las páginas de iniciación, y con empleo de objetos materiales, la adquisición resultará fácil para el niño, si la inteligencia de éste se halla en condiciones adecuadas para efectuar los nuevos ejercicios, que no difieren esencialmente de los anteriores. Como objetos materiales pueden servir ahora bastante bien las bolas de los tableros contadores semanales, contra cuyo empleo,
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que algunos consideran como procedimiento anticuado, no vemos razones serias que oponer. Y no es juicioso rechazar un procedimiento de enseñanza por la sola razón de que sea antiguo.

En el aprendizaje de los cien primeros números y en los cálculos que con ellos son posibles, debemos detenernos todo el tiempo que podamos emplear útilmente. El afán de llegar cuanto antes al empleo de números de tres, cuatro y más cifras, es el mayor enemigo de la buena iniciación en Aritmética. Mientras el niño no está perfectamente habituado a la lectura, la escritura y el cálculo dentro del límite de los cien primeros números, es inoportuno tratar de enseñarle los de tres, cuatro y siete cifras. Hay que desechar la tradición profesional de empezar la enseñanza de la Aritmética por la del sistema completo de numeración; porque esta tradición envuelve grave error pedagógico.

Considérese lo mucho que cabe trabajar sin pasar de la primera centena. La facilidad en la suma y la resta, el estudio de la tabla de multiplicar, la iniciación en la operación de dividir, todo esto se puede y se debe realizar antes de ampliar el estudio de la numeración a las centenas, los millares y los millones. Mientras tengamos que hacer en el terreno del cálculo y de los problemas, con números que el niño comprende bien, ¿qué necesidad hay de hacerle calcular empleando números que no comprende?

Cuando el niño sepa todo lo que se puede hacer dentro de este límite, entonces aprenderá sin trabajo, y estará en condiciones de darse cuenta de ello, lo que naturalmente debe venir: la numeración con más de dos cifras y las operaciones con números cada vez mayores.

En las condiciones ordinarias de nuestra enseñanza primaria, los dos primeros cursos (niños de seis a ocho años), por lo menos, no se deben emplear números mayores de ciento. Binet, como hemos recordado, se contentaba con que el niño de ocho años supiese contar de 20 a 1, en orden descendente. Muchos maestros quieren que a esa edad el niño hable de millares y millones. Y lo consiguen; pero no que comprenda lo que dice. ¿Por qué no hemos de decidirnos a suprimir de la enseñanza estos contrasentidos que la hacen tan poco racional?

En cambio, es útil estudiar, al mismo tiempo que los núme-
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ros del 1 al 100, y en relación con ellos, las medidas, las monedas, las divisiones del tiempo, con lo cual el niño se habitúa a considerar las cosas a las cuales el cálculo suele aplicarse. El cálculo, referido a los valores de moneda, se presta a muy variados ejercicios, que el niño encontrará ocasión de practicar fuera de la escuela, y cuyo valor comprenderá por el uso que de ellos verá hacer constantemente en la vida doméstica. En el aprendizaje del cálculo aplicado a la moneda, el pequeño recibirá lecciones y se sentirá estimulado por dos lados: por el lado pedagógico en la labor escolar y por el lado social extraescolar; tendrá muchas ocasiones de aplicar sus conocimientos de valores monetarios. Todas estas circunstancias dan a los ejercicios de esta índole una importancia y oportunidad particulares.

IV

Los cálculos puramente numéricos, y las relaciones cuantitativas.

Podemos distinguir en la enseñanza de la Aritmética dos aspectos, como dos partes, que si bien están entre sí íntimamente enlazadas, pueden progresar muy desigualmente.

Es una de estas partes la que se dirige a conseguir que el niño conozca el sistema de numeración, y sepa efectuar correctamente las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, etc. La otra se dirige a conseguir que el alumno, ante una cuestión cualquiera, cuya resolución dependa de datos y de operaciones numéricas, comprenda las relaciones que debe establecer entre los diversos datos que se le ofrecen, en vista de la cuestión plantead, y que necesita resolver.

En la práctica, lo primero se efectúa al enseñar al niño la numeración y el juego de las operaciones, y lo segundo, en lo que se llama enseñanza de problemas.

Que el progreso en uno de estos aspectos no lleva del todo consigo el progreso en el otro, nos lo prueban los hechos: hay muchachos que saben sumar, restar, multiplicar y dividir correcta, rápida y fácilmente; pero que ante una cuestión, un problema que se les plantea, no saben cuáles son las operaciones que tienen que efectuar o no se dan cuenta del orden y la dependencia de estas operaciones, en relación con la pregunta
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que el problema contiene. Y también sucede, que un niño sepa la operación que tiene que efectuar, pero no sea capaz de efectuarla. No cabe dudar que la enseñanza de la Aritmética es defectuosa, si no atiende a estos dos aspectos. La gimnasia puramente numérica, crea una agilidad particular, en un terreno muy limitado, que queda sin enlace con el conjunto de la vida mental, que tiene escaso valor intelectual. La aptitud para comprender cuáles son las relaciones numéricas de que depende la resolución de un problema, cuáles son las operaciones que hay que efectuar, carece de valor práctico, si no se saben efectuar estas operaciones. Si se necesita determinar el haber diario de una persona que gana al año 20.800 pesetas, nada se conseguirá, si no se sabe efectuar la división necesaria, aunque se sepa que se trata de una división por 365.

Consideramos impropio el llamar a uno de estos aspectos Aritmética abstracta, y al otro, Aritmética concreta. La Aritmética es siempre abstracta, en seguida que los números exceden de ciertos límites, muy estrechos por cierto. Se calcula, no con números concretos, como se suele decir, sino con conceptos de carácter numérico. Cuando se habla, por ejemplo, de cien caballos, hay aquí dos ideas bien diferentes: la de cien y la de caballos. La segunda, aunque se refiere a objetos concretos, no quita el carácter abstracto de la primera. Cien envuelve el concepto de decena, y ésta el de unidad, en cierta relación; trátase de cien caballos o de cien metros, la idea de cien, es la misma. La asociación de las ideas numerales a objetos materiales es como empleo de una especie de andamiaje, necesario al principio, para que lleguen a constituirse los conceptos de los números; pero una vez constituidos estos conceptos, el andamiaje debe desaparecer. Y si no es conveniente suprimirlo prematuramente, tampoco es bueno tratar de conservarlo cuando es innecesario.

Cuando hablamos de cien hombres, no nos representamos el grupo que podrían formar. La palabra cien o las cifras que la representan—100—son símbolos, que nos sirven para pensar la idea, que nos bastan para pensarla, sin necesidad de ningún coadyuvante perceptivo ni imaginativo. Es un caso de nuestra manera, de la manera humana, de pensar conceptualmente, por símbolos cuyo valor está en lo que estos símbolos tienen bajo sí, en el terreno subconsciente; lo cual no se revela
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claramente en la conciencia, cada vez que la palabra se emplea, pero se revela de algún modo, de un modo sui generis, como una resonancia particular, que da a la palabra su valor conceptual. Cuando decimos que cuarenta y siete caballos, más diez caballos hacen cincuenta y siete, no desfilan en nuestra imaginación los caballos: la suma la efectuamos conceptualmente, lo mismo es, que se trate de hormigas que de elefantes. Para contar concretamente sobraría el sistema de numeración y sobraría la Aritmética. No hay que hablar de cálculos concretos; mejor sería decir cálculos aplicados, desde que el niño ha formado y posee bien los primeros conceptos numerales. No nos parece ocioso dar estas explicaciones de carácter psicológico, que si fuesen siempre tomadas en consideración, evitarían muchos errores de didáctica.

Señalado el hecho de que los dos aspectos indicados de la enseñanza de la Aritmética son igualmente importantes, y el de que los progresos del niño en uno de ellos no implica progresos equivalentes en el otro; queda establecido que el profesor tiene que atender a los dos; que no cumple su misión con que el niño sepa efectuar operaciones, si no comprende las cuestiones o problemas aritméticos, ni con que el niño comprenda los problemas, si no sabe efectuar los cálculos.

Y no insistimos en estos puntos por afán de teorizar, sino mirando a nuestra realidad escolar, por una parte, y a los consejos equivocados que algunos pedagogos dan a los maestros.

En las escuelas se suele trabajar más en los ejercicios de operaciones aritméticas que en los de problemas. A las veces, se llega a dejar el estudio de problemas para el período, siempre tardío, en que el niño conoce todo el sistema de numeración y sabe operar correcta y fácilmente en las cuatro formas llamadas fundamentales. Esto es inadmisible; este error pedagógico se enlaza con otros, graves también.

El niño no debe formar sus conceptos de suma, de resta, de multiplicación, de división, tomando como punto de partida definiciones más o menos precisas. Ha de formarlos primero sobre problemas. Así como todos estamos conformes en que las primeras ideas numéricas deben formarse contando objetos y hechos concretos, debemos de estarlo en que las primeras ideas de lo que es suma, resta, multiplicación y división, deben formarse también en el terreno de los objetos y los hechos con-
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El suponer que es posible crear para el desenvolvimiento de los organismos docentes una especie de régimen excepcional que aísla este desenvolvimiento, separándolo del conjunto de la vida política y social del país, nos parece por otra parte harto aventurado. Creemos que se tocan aquí los límites de una concepción demasiado imaginaria de la sociedad y de la vida.

Antes de llegar a una resolución de esta clase, hay muchos ensayos, muchas tentativas posibles que realizar aquí donde nada se ha ensayado ni intentado aún seriamente. Por eso, no nos explicamos el criterio exclusivista del Sr. del Prado y Palacio, al negar toda posibilidad de mejora pedagógica que no tenga como base la creación del Consejo autónomo que preconiza. No. Sin ese Consejo cabe realizar importantes obras, si hay Gobierno y Cortes que de veras lo quieran. Y si no lo quieren, menos querrán rendirse por anticipado a la proyectada Junta y entregarle amplios recursos e ilimitados poderes, para que con plena libertad haga lo que mejor le parezca.

La constitución de ese Consejo Supremo equivaldría a la supresión del Ministerio de Instrucción pública. No somos nosotros ciertamente, no lo hemos sido nunca, apologistas del Ministerio. Pero creemos que la obra propia del día de hoy no es la de suprimirlo, sino la de completarlo, dotándolo de la mitad que le falta: la mitad pedagógica, pues hoy es sólo un organismo administrativo, privado de todo cuanto debería caracterizarle como órgano directivo supremo de las instituciones públicas de educación.

Si hasta ahora tan poco se ha hecho, no es sólo por falta de ese Consejo. Han faltado, sobre todo, medios materiales, es decir, dinero, sin el cual no hay que pensar en enseñanza. Y han faltado, aun para obtener los mejores frutos de los elementos de que se ha podido disponer, disposiciones ministeriales acertadas, adaptadas a la situación real de las escuelas y de los maestros. No es que en las disposiciones oficiales (no en las de carácter administrativo, relativas a sueldos, Escalafones, con-
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cretos, antes de pasar a la enunciación de definiciones de carácter general y en términos abstractos. Sin duda, esto último se supone; pero en señalarlo no se insiste tanto como en señalar el origen concreto de las ideas de los números. Y las dos cuestiones tienen el mismo valor, y las mismas bases psicológicas.

Como a cada fin didáctico especial deben dedicarse trabajos especiales, el profesor ha de disponer, en la enseñanza de la Aritmética, dos clases de trabajos: unos, dirigidos principalmente a formar la aptitud de buen calculador, buen operador —si se permite la palabra—, y otros, dirigidos principalmente a formar las aptitudes del buen razonador, en el orden de las relaciones numéricas.

Por una parte, el niño ha de aprender a sumar, a restar, etc., correcta, rápida, habitualmente. Por otra, ha de aprender a darse cuenta correcta, rápida, habitualmente, de si una cuestión que se le plantea es de suma, de resta, etc., o comprende varias de estas operaciones.

Y no consideramos acertado el método de hacer al mismo tiempo los ejercicios destinados a conseguir estos dos fines. Cuando se trate de ejercicios de operaciones, de ejercitarse en sumar, por ejemplo, para adquirir facilidad en la suma, el problema no debe requerir ningún esfuerzo para ser comprendido; y cuando se trate de ejercicios de problemas, para la comprensión de las relaciones que en ellos juegan, los cálculos deben ser de aquellos que el niño sabe efectuar sin dificultad. Presentar, sobre todo, en los primeros momentos, varias dificultades a la vez es, en general, poco conveniente.

El horror a lo que se suele llamar cálculos abstractos es injustificado. El ejercicio en estos cálculos es necesario. Para llegar a sumar bien hay que ejercitarse, tanto como sea necesario, en sumas que, cualquiera que sea las cosas a que se quiera referirlas, son, en definitiva, sumas abstractas. En operaciones como la división con números de varias cifras, todo el juego de la operación tiene que efectuarse con números abstractamente considerados. ¿Para qué se ha de condenar aquello que es al fin indispensable?

El pecado escolar no está en hacer que el niño realice ejercicios de cálculos en la forma llamada abstracta—la Aritmética es esencialmente, repitámoslo, cálculo abstracto—. Está en
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que, al lado de los ejercicios de esta clase, no se ponen, en medida equivalente, los ejercicios prácticos o de problemas. A esta reprobación absoluta que los teorizantes oponen a los cálculos abstractos, nos referíamos al hablar hace poco de los consejos que algunos pedagogos dan a los maestros.

Consignemos, como un hecho de observación, que los niños se dedican a los ejercicios de cálculo—sumas, restas, etc.—, con la mayor espontaneidad, como a un juego que les agrada, desde el momento en que comprenden la clase de cálculos que tienen que efectuar, y saben hacerlo. Estos ejercicios valen mucho para alcanzar la necesaria facilidad y rapidez, la habituación, y es una gran ventaja que los niños los encuentren agradables, pues gracias a esto hacen por sí solos un trabajo que sería enojoso para el maestro, si éste tuviera que dirigirlo todo personalmente, dado el gran número de repeticiones que serían necesarias. No hay que advertir que tales ejercicios no resultarán agradables para el niño, si se le obliga a dedicarles mucho tiempo seguido.

Consecuentes con estas doctrinas, en los estudios que proponemos como materia de iniciación en la Aritmética, omitimos las definiciones, y presentamos desde el primer momento, tanto problemas, como ejercicios puramente numéricos, graduándolos en relación con las sucesivas ampliaciones de la serie de los números, que el niño debe ir aprendiendo poco a poco.

V

La graduación en la enseñanza de la Aritmética.

El determinar cuál debe ser la graduación en la formación de los conocimientos, constituye uno de los aspectos principales de todo método de enseñanza. Esto es importante sobre todo en la enseñanza de la Aritmética, materia en la cual la dependencia de unos conceptos respecto a otros es muy estrecha.

Los conceptos de los números mayores se constituyen como síntesis de los conceptos de números menores: la decena, como conjunto de unidades; la centena, como conjunto de decenas, etc.; ciertos números deben ser comprendidos como suma de otros menores, y todos como suma de unidades de cierto