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orden, o de unidades de diversos órdenes. Del concepto de adición se forma el de multiplicación, y del de substracción, el de división. La práctica de una operación de dividir exige el empleo de sumas, multiplicaciones y restas. El juego de todas las operaciones estriba en las leyes del sistema de numeración y no se puede comprender bien, si no se conoce suficientemente este sistema.

Esta dependencia de los conceptos de unos números, respecto a los de otros, y de los conceptos de las relaciones numéricas más complejas, respecto a los de relaciones más sencillas, es siempre más o menos respetada en la enseñanza; pero no suele serlo tanto como convendría, para que el niño no se vea obligado, o se vea lo menos posible obligado, a realizar ejercicios cuya significación no entiende bien. El profesor debe estar muy advertido de estas dependencias, fáciles de comprender para quien posee algunas nociones de Aritmética; con lo cual se sentirá más obligado a graduar con toda minuciosidad la enseñanza en cuestión.

Esta graduación puede considerarse, por una parte, con referencia a los números y los cálculos en sí mismos, y por otra, con referencia a la índole y la complejidad de las cuestiones que el niño ha de aprender a resolver por medio de las diversas operaciones.

En cuanto a los números en sí mismos, cada nuevo número que resulta de añadir la unidad al número anterior que se supone conocido, es como un nuevo conocimiento. La serie de los números, considerada de una manera absoluta, no se puede cortar por una parte mejor que por otra parte cualquiera. La misma distancia hay de 9 a 10 que de 10 a 11; de 98 a 99 que de 99 a 100 o de 100 a 101. Sin embargo, en relación con las conveniencias de la enseñanza, que atiende a las circunstancias del sistema de numeración, se pueden establecer ciertos cortes, y separar grupos de números, atendiendo a la situación de éstos en el sistema decimal, que es el que primero ha de aprender el niño. Estos primeros grupos, que se pueden considerar, aunque sea un poco arbitrariamente, como grados para la numeración y para el cálculo, son, en el orden metódico que proponemos, los siguientes: 1.º, del 1 al 10; 2.º, del 1 al 20; 3.º, del 1 al 100.

El primero comprende una serie de números que se prestan
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a cálculos verdaderamente concretos: diez dados, diez boias son conjuntos de objetos materiales, cuyas unidades el niño individualiza y cuenta con cierta facilidad, sobre todo si las ve en dos o tres grupos. Y nos detenemos en el número 10, por el valor que este número tiene como base del sistema, no por el que tenga en sí mismo. En algunos casos tal vez esta primera serie de números resulte demasiado larga; en general, el niño de seis años la aprende bien, y consigue sumar y restar dentro de ella, siempre con empicio de objetos materiales.

El segundo grado comprende la serie 1 a 20, que tiene una significación especial, por formarse del 10 ya conocido, con adición sucesiva de 10 unidades. En la serie primera, los números se representaban —en numeración escrita— cada uno por una cifra, excepto el 10. En esta nueva serie se inicia ya la sistematización: hay dos cifras, de las cuales una representa el diez, y otra las unidades que se le van añadiendo; se inicia la idea del valor relativo de las cifras. En la numeración oral, las palabras once, doce, trece, catorce y quince nada dicen que llame la atención hacia la base del sistema, el 10; pero al llegar al diez y seis, la composición del número se expresa claramente, lo mismo que en los números sucesivos, hasta el veinte. Todas estas circunstancias, que hay que hacer notar al discípulo, el aprender nombres nuevos para algunos números y la mayor cuantía de los números que se van formando, requieren por parte del niño, en este segundo grado, una especie de gimnasia mental más amplia y vigorosa que la que tuvo que hacer en el primer grado, bien que está facilitada por la aptitud adquirida; lo mismo que ocurrirá en el tercer grado, el cual le resultará tanto más fácilmente asequible, cuanto mejor domine el segundo.

No debe sorprendernos que el niño de seis, de siete años, encuentre cierta dificultad para comprender bien todo esto, y para aprender a calcular, primero en los límites 1 a 10, después en el campo más amplio, de 1 a 20. Esta dificultad es un hecho natural, con el cual el profesor debe contar; y no es permitido impacientarse por la lentitud de los progresos, los cuales, aunque cada día sean pequeños, tienen un valor fundamental muy grande.

Lo que importa es que el niño —salvo tal vez en casos excepcionales— no pase al segundo grado, sin dominar bien el primero, ni al tercero, sin dominar bien el segundo.
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Dominarlo es saber contar, en orden ascendente y descendente, y sumar y restar, dentro de los respectivos límites. Y no es sólo cuestión de comprensión, sino también de habituación, de calcular fácil y rápidamente.

Lo que decimos al hablar de segundo grado, en relación con el primero, es aplicable al tercero en relación con el segundo. Este tercer grado implica un juego amplio de los conceptos numéricos, que sólo es posible gracias a la aptitud adquirida en los grados primero y segundo. La idea del valor relativo de las dos cifras, se define y se afianza; ahora y sin pasar de ciento, hay una labor muy abundante de cálculo que realizar, para la cual proponemos algunos ejemplos de ejercicios, entre los innumerables que el niño debe practicar, hasta adquirir la soltura que necesita, antes de entrar en el empleo de números de tres, cuatro y más cifras.

La graduación, necesaria en el terreno de la numeración y del cálculo, de que acabamos de hablar, no lo es menos en el terreno de la formación de los conceptos de adición, substracción, multiplicación y división, que deben iniciarse, como ya se ha dicho, no mediante definiciones, sino por el planteamiento de cuestiones cuyos términos y cuyo sentido sea comprensible para el niño. Las ideas de adición y substracción, raíces de todas las combinaciones propias de las operaciones aritméticas aun las más complejas, deben nacer como las ideas primeras de los números, en el terreno de las cosas y de los hechos concretos; deben iniciarse en cuestiones de las más sencillas, de aquellas cuyo sentido pueda el niño comprender más fácilmente, sin necesidad de explicaciones, como operaciones de aumento y disminución, que es como decir de adición y substracción; como desenvolvimiento natural de las percepciones cuantitativas del más y del menos, que son originales, que van incluidas en el ejercicio mismo de los sentidos, y que el cálculo viene a determinar numéricamente. La evolución progresiva en esta materia se efectúa por el planteamiento de cuestiones de sentidos diversos, sobre realidades objetivas diferentes o consideradas en aspectos diferentes, pero en las cuales el niño ve una identidad o una diferencia de relaciones, y tiene la intuición del contraste del aumento y la disminución, de la reunión y la separación, de la adición y la substracción.

En los primeros problemas, el sentido de la cuestión debe
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estar expresado lo más claramente posible en los enunciados. Luego se irán presentando problemas en que el sentido de la cuestión requiera cierta penetración para ser comprendido, en lo cual hay un ejercicio que es a la vez ejercicio de Aritmética y de lenguaje.

Bien formado el hábito de descubrir estas relaciones, se amplía ya el concepto al de repetición de números, que es el de multiplicación por números enteros, y está abierto el camino para el estudio de la tabla de multiplicar.

El concepto de la división se puede iniciar como idea de reparto en partes iguales, y de mitad, tercio, etc., de un número. Pero las posibilidades de efectuar divisiones son precarias, no salen de un terreno de cálculo muy limitado sobre cosas materiales, mientras la división no puede ser considerada en relación con la multiplicación, como busca de uno de los dos factores de un producto, conocido el otro factor. Por eso no nos detenemos mucho, pedimos muy poco de esta operación en el período verdaderamente inicial, al cual limitamos este trabajo; y acaso es aún excesivo lo que proponemos al final de las lecciones, lo cual no puede hacerse ágilmente sino tras el estudio de la tabla de multiplicar. Si quedamos con esto un poco reñidos con los principios del método cíclico, creemos en cambio obrar de acuerdo con las verdaderas posibilidades de la enseñanza, sobre todo de la enseñanza como puede efectuarse en las escuelas. Si se quisiese reprocharnos esto, no vacilaríamos en contestar: ¡Sálvese la enseñanza, y perezcan los principios!

VI

El libro de iniciación en Aritmética.

Como páginas del primer libro en que el niño halle algo que leer, en materia de Aritmética, ofrecemos a continuación un ejemplo de lo que tales páginas pueden ser, en la forma que consideramos más adecuada a las aptitudes del sujeto de siete a ocho años, que empieza a dominar la lectura.

Lo que en estas páginas presentamos, debe constituir la materia de estudio del niño, en el período durante el cual no sabe aún leer. Los primeros sencillos elementos de cálculo deben empezar a enseñarse desde el primer día en que el niño
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asiste a la escuela, independientemente de los trabajos correspondientes a la enseñanza de la lectura, y siguiendo el orden que en estas páginas se señala. Estos primeros elementos tiene que adquirirlos el pequeño escolar independientemente de la lectura. A contar y calcular no se aprende leyendo, sino contando y calculando.

Así, pues, cuando los progresos alcanzados en la lectura permiten poner en manos del niño estas páginas, el lectorcillo encuentra en ellas lo que en gran parte sabe ya: nada completamente nuevo tendrá que leer. Al niño le agrada encontrar en su libro aquello que él conoce ya, tanto como le desconociera y le hace perder interés por la lectura el encontrarse, sobre todo al principio, con palabras y frases extrañas.

Un primer libro de Aritmética no puede componerse de definiciones de las que suelen darse a los niños para que las estudien literalmente, entendiéndolas sólo a medias, o sin entenderlas poco ni mucho. Debe contener cuestiones a que el niño pueda dar respuestas, números de que tenga idea, cálculos cuyo sentido comprenda. Sólo cumpliendo estas condiciones, será útilmente empleado un libro de iniciación, en el cual el principiante pueda ejercitarse como lector, y halle sugerencias que le inviten a pensar en números, a efectuar cálculos, a discernir diversas clases de relaciones cuantitativas. Pero el libro no puede contener todo lo que el alumno necesita hacer en esta materia. La lectura útil de las páginas de iniciación, supone ya formados ciertos conocimientos que tienen que ser adquiridos por otros procedimientos.

Con los comienzos de la numeración y de cálculo, debe simultanearse el empleo práctico de las unidades más usuales de peso y medida, preparación necesaria para el ulterior estudio completo del sistema métrico decimal.

De todo esto sabrá algo el niño cuando llegue a poder leer; puesto que ha pasado en la escuela muchos meses. Las páginas de iniciación en Aritmética servirán como medio de confirmación y de revisión de los conocimientos adquiridos, y por la manera como el niño los entiende y da satisfacción a lo que en ellos se le pide, advertirá el maestro cuáles son los puntos débiles en cuyo estudio hay necesidad de insistir, antes de conducir al alumno a más amplias ideas y más complejos ejercicios.
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Las páginas que damos a continuación, en la forma que estimamos adecuada para uso del niño pequeño — y las damos así, para aquellos de nuestros lectores que quieran hacer con ellas algún ensayo —, pueden tener dos empleos: uno, como programa de los trabajos del profesor con los niños mientras éstos no saben leer, y otro, como primer libro de Aritmética, para los niños capaces ya de leerlo.

Los detalles referentes a la manera de proceder en la enseñanza de la asignatura a que se refiere estas notas, han sido expuestos en nuestra obra Metodología didáctica de la Aritmética, publicada hace diez años.

No faltará quien opine que todo cuanto proponemos es tan sencillo, que no hay necesidad de hablar de ello. Es ciertamente muy sencillo; pero es también cierto que, ya que no se ignore, se olvida muy frecuentemente en la práctica; que hasta lo olvidan los autores de libros de iniciación, quienes suelen dar a sus trabajos de esta clase formas muy diferentes de la que nosotros damos al nuestro y creemos preferible, aunque bien pudiera ocurrir que fuésemos nosotros los equivocados.
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ARITMÉTICA

Las cifras.

0 cero, 1 uno, 2 dos, 3 tres, 4 cuatro, 5 cinco, 6 seis, 7 siete, 8 ocho, 9 nueve.

4  8  6  0  5  9  2  7  3  1

Primeros problemas.

Un problema:
Un niño tiene en una mano 4 caramelos y en la otra 3. Si los junta todos, ¿cuántos caramelos serán?
Lo que se hace para contestar al anterior problema es sumar los números.

Otro problema:
Un niño tiene 8 caramelos. Si da 3 a su hermanito, ¿cuántos le quedan?
Lo que se hace para contestar al anterior problema es restar los números.

Dos problemas:
Yo he comprado 6 naranjas a un vendedor. Después he comprado 3 naranjas, y las he juntado con las otras, y las tengo todas. ¿Cuántas naranjas tengo?
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A mi pequeño le han dado 7 nueces. Se ha comido 4. ¿Cuántas le quedan?
¿Cuál de estos dos problemas es el de sumar? ¿Cuál es el de restar?

Dos problemas:
Estábamos jugando 9 niños. Algunos se han marchado. Quedamos 5. ¿Cuántos se han marchado?
Estábamos jugando 3 niños. Han venido 5 más. ¿Cuántos somos ahora?
¿Cuál de estos problemas es el de sumar? ¿Cuál es el de restar?

Seis problemas:
En un gallinero en que no había ninguna gallina, he visto entrar 9 gallinas, y he visto salir 4. ¿Cuántas gallinas quedan dentro?
Yo tengo 8 plumas y mi compañero tiene 4. ¿Quién tiene más? ¿Cuántas más?
El día de mi cumpleaños me han regalado dinero. Mi padre me ha dado 2 pesetas; mi tío, 1 peseta; mi prima, 3; y un amigo de mi papá, 2. ¿Cuántas pesetas he reunido?
Yo iba a la tienda y llevaba en la mano 8 monedas de 10 céntimos. Se me cayeron algunas y me quedaron 4 en la mano. ¿Cuántas monedas tengo que encontrar, para que no se me pierda ninguna?
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cursos y cuestiones de esta índole, de las cuales no queremos ahora hablar, sino en las que se refieren al régimen escolar y al maestro en su actuación profesional) haya faltado un sentido pedagógico más o menos científico y elevado; es que falta generalmente el más elemental buen sentido, hasta el punto de que esas disposiciones no se cumplen más que formularia, aparentemente, porque el cumplimiento recto, efectivo y leal de ellas es imposible. Y esto no ha sucedido así, repetámoslo, por falta de un Consejo autónomo, sino por falta de verdadero interés de acierto. Y pudiera ocurrir que ese Consejo autónomo no tuviese mejores obras y resultase un nuevo manantial de engaños. ¡Aquí donde cada día vemos nacer Juntas que nada bueno llegan a hacer!

La realización de la idea del Sr. del Prado y Palacio habría de hallar graves, insuperables obstáculos. Es difícil que haya un Gobierno que se avenga a renunciar, o poco menos, a toda intervención en el régimen de la enseñanza nacional, entregando ésta por completo a una especie de Junta soberana, constituida no sabemos cómo. El mismo régimen podría ser reclamado por otras muchas parcelas de la Administración. Porque «la unidad de plan, facilidad de medios, persistente desenvolvimiento en los procedimientos, continuidad indefinida en la ejecución» no son exigencias privativas de los asuntos de educación y de enseñanza: son igualmente condiciones de toda obra seria de progreso.

Hay todavía consideraciones de otro orden que nos parece muy valiosas, y nos inclinan aún más a estimar como muy problemático el éxito favorable de esa «personalidad colectiva». Nosotros los españoles —y al hablar así no pretendemos decir que gentes de otros países no tengan estas mismas inclinaciones—, nosotros nos sentimos poco dispuestos a poner lo mejor de nuestros esfuerzos como colaboradores en una obra cualquiera, en la cual nuestra personalidad va a quedar desconocida. Un informe, una ponencia colectivamente formulada, re-
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En el palomar no había ninguna paloma. He visto entrar, primero 3 palomas, después 1, luego 4. Ninguna ha salido. ¿Cuántas palomas hay en el palomar?

Éramos 4 niños y teníamos, el mayor 2 bolas, otro 3, otro 1 y yo 4. Echamos todos las bolas en mi gorra. ¿Cuántas bolas se juntaron en la gorra?

El problema del gallinero, ¿es de sumar o de restar? ¿Y el de las plumas? ¿Y el del cumpleaños? ¿Y el de las monedas de 10 céntimos? ¿Y el del palomar? ¿Y el de las bolas?

Números ordinales.

Para indicar el orden en que están colocadas las cosas, se dice: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno, décimo. Y se escribe: 1.º, 2.º, 3.º, 4.º, 5.º, 6.º, 7.º, 8.º, 9.º, 10.º

Los números, del diez al veinte.

Diez se escribe con dos cifras, así: 10..
+ Este signo se lee: más.
- Este signo se lee: igual a.

    10 + 1
    = once.
    10 + 6
    = diez y seis.

    10 + 2
    = doce.
    10 + 7
    = diez y siete.

    10 + 3
    = trece.
    10 + 8
    = diez y ocho.

    10 + 4
    = catorce.
    10 + 9
    = diez y nueve.

    10 + 5
    = quince.
    10 + 10
    = veinte.
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once 11        diez y seis 16
doce 12        diez y siete 17
trece 13       diez y ocho 18
catorce 14     diez y nueve 19
quince 15      veinte 20

\[
\begin{align*}
11 &= 10 + 1 \\
12 &= 10 + 2 \\
13 &= 10 + 3 \\
14 &= 10 + 4 \\
15 &= 10 + 5 \\
16 &= 10 + 6 \\
17 &= 10 + 7 \\
18 &= 10 + 8 \\
19 &= 10 + 9 \\
20 &= 10 + 10
\end{align*}
\]

Suma y resta.

Conocemos este signo: \(+\), que se lee más. Este es el signo de sumar.
Conocemos este signo: \(=\), que se lee igual a. Este es el signo de igualdad de valores.
Hay otro signo, que es una rayita, así: \(-\), y se lee menos. Este es el signo de restar.

\[
\begin{align*}
4 + 2 + 3 &= 9 \\
5 + 2 &= 7 \\
8 + 4 + 1 + 2 &= 15 \\
5 - 2 &= 3 \\
6 - 1 &= 5 \\
8 - 8 &= 0
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
4 + 2 + 1 + 3 &= \text{¿Cuánto?} \\
3 + 3 + 2 + 4 &= \text{¿Cuánto?} \\
6 + 1 + 4 + 3 &= \text{¿Cuánto?} \\
9 + 4 + 2 + 1 &= \text{¿Cuánto?} \\
4 - 3 &= \text{¿Cuánto?} \\
8 - 6 &= \text{¿Cuánto?} \\
5 - 5 &= \text{¿Cuánto?} \\
7 - 4 &= \text{¿Cuánto?}
\end{align*}
\]

En la cuenta de sumar, los números que se suman se llaman sumandos y el resultado suma.
La Escuela moderna (Madrid) (1922-12-01 00:00:00), página 52

En la cuenta de restar, los números que se restan se llaman, el primero minuendo, el segundo substraendo y el resultado diferencia.

Los números que se suman pueden ser dos o más; una cuenta de sumar puede tener muchos sumandos.

Los números que se restan son sólo dos: minuendo y substraendo.

Cuando hay que sumar varios números, se escriben unos debajo de otros, y debajo del último una raya. Debajo de la raya se escribe el resultado. Lo mismo se hace cuando hay que restar dos números.

En la página que sigue hay varias cuentas muy fáciles de sumar y de restar. Estas cuentas hay que copiarlas, y sumar las del signo + y restar las del signo −, escribiendo debajo de cada una su resultado.
La Escuela moderna (Madrid) (1922-12-01 00:00:00), página 53

Cuentas fáciles de sumar y de restar:

3 +   2 +   4 +   1 +   2 +   4 +   4 +
3 +   4 +   4 +   2 +   1 +   2 +   4 +
4 +   2 +   3 +   3 +   2 +   4 +   3 +
2 +   1 +   4 +   2 +   4 +   3 +   4 +
3 +   2 +   2 +   1 +   2 +   3 +   3 +
4 =   3 =   3 =   3 =   3 =   2 =   2 =

3 +   2 +   4 +   2 +   4 +   4 +   4 +
3 +   1 +   4 +   1 +   4 +   3 +   2 +
2 +   2 +   1 +   2 +   2 +   2 +   4 +
1 +   4 +   3 +   3 +   3 +   1 +   3 +
4 +   3 +   2 +   3 +   4 +   3 +   3 +
3 =   2 =   4 =   1 =   2 =   4 =   2 =

11 -   13 -   15 -   20 -   11 -   9 -
7 =   11 =   12 =   17 =   10 =   6 =
____   ____   ____   ____   ____   ____

13 --   10 --   12 --   17 --   15 --   14 --
12 =   7 =   12 =   14 =   14 =   11 =
____   ____   ____   ____   ____   ____
La Escuela moderna (Madrid) (1922-12-01 00:00:00), página 54

Las monedas.

Las monedas de plata son: la pieza de 5 pesetas, la de 2 pesetas, la de 1 peseta y la de media peseta.

Las monedas de cobre son: la pieza de 10 céntimos de peseta, la de 5 céntimos, la de 2 céntimos y la de 1 céntimo.

¿Cuántas monedas de 10 céntimos hay que juntar para tener una peseta?
¿Cuántas monedas de 5 céntimos hay que juntar para tener una peseta?

El metro, el litro y el kilogramo.

El metro sirve para medir la longitud, la anchura o la altura de las cosas.
El litro sirve para medir los líquidos.
El kilogramo sirve para pesar las cosas.
¿Cómo ha de ser un niño para que tenga un metro de alto?
¿Cómo ha de ser una botella para que en ella quepa un litro de agua?
¿Qué cosa hay que pese un kilogramo?

Problemas.

1.º ¿Cuántos céntimos valen 2 monedas de 10 céntimos?
2.º ¿Cuántos céntimos valen 3 monedas de 5 céntimos?
La Escuela moderna (Madrid) (1922-12-01 00:00:00), página 55

3.º ¿Cuántos céntimos valen 6 monedas de 2 céntimos?
4.º Para tener 15 céntimos en monedas de 5 céntimos, ¿cuántas monedas hay que tener?
5.º Para tener 10 céntimos en monedas de 2 céntimos, ¿cuántas monedas hay que tener?
6.º Si 1 metro de tela cuesta 2 pesetas, ¿cuánto costarán 5 metros?
7.º Si por 8 pesetas me han dado dos toallas, ¿cuánto ha costado cada toalla?
8.º Si para hacer 1 vestido se han gastado 2 metros de tela, ¿cuántos metros se necesitarán para hacer 3 vestidos iguales?
9.º Si repartimos 10 naranjas entre 2 niños, a partes iguales, ¿cuántas naranjas tocan a cada niño?
10.º Si 1 kilogramo de carne ha costado 4 pesetas, ¿cuánto costarán 3 kilogramos?

Las decenas.

10 es una decena.

    1 decena, diez.
    6 decenas, sesenta.

    2 decenas, veinte.
    7 decenas, setenta.

    3 decenas, treinta.
    8 decenas, ochenta.

    4 decenas, cuarenta.
    9 decenas, noventa.

    5 decenas, cincuenta.
    10 decenas, ciento,

Estas decenas se escriben con dos cifras, poniendo el número de decenas y luego un cero. El cero se pone a la derecha de la cifra
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de decenas. La cifra de decenas ocupa el segundo lugar, así:

diez 10      sesenta 60
veinte 20    setenta 70
treinta 30   ochenta 80
cuarenta 40  noventa 90
cincuenta 50 ciento 100

Hay que saber leer estos números y escribirlos:

40  80  10  90  30  60  20  50  70  100

Números con decenas y unidades.

Ya sabemos contar hasta 20. Después de 20 se sigue contando, aumentando uno cada vez, así:

Veintiuno, veintidós, veintitrés, veinticuatro, veinticinco, veintiséis, veintisiete, veintiocho, veintinueve, treinta, treinta y uno, treinta y dos, treinta y tres, treinta y cuatro, ..., treinta y nueve, cuarenta, cuarenta y uno, ..., cuarenta y nueve, cincuenta, cincuenta y uno, ..., cincuenta y nueve, sesenta, sesenta y uno, ..., sesenta y nueve, setenta, setenta y uno, ..., setenta y nueve, ochenta, ochenta y uno, ..., ochenta y nueve, noventa, noventa y uno, ..., noventa y nueve, cien.

Los puntos que hay entre esas palabras indican donde faltan números, pues no se han puesto todos.