ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 27

LA INICIACIÓN DEL NIÑO EN GEOMETRÍA

I
Importancia de esta materia de estudio.

Las ideas de orden geométrico son de las más fundamentales de nuestra vida mental. Las personas más ignorantes emplean a cada momento expresiones que se refieren al aspecto geométrico de las cosas. Es natural que esto suceda, pues en nuestra constitución psíquica está el considerar el mundo en que vivimos como un conjunto de cosas extensas, de relaciones espaciales, de formas, de posiciones, de distancias, de tamaños.

Las ideas de esta clase son de aquellas que más primitivamente forma el niño en el curso de su evolución mental espontánea. El niño de seis años las tiene ya abundantes. Desde muy temprano distingue un círculo de un cuadrado; un ángulo obtuso, de un ángulo agudo; la posición vertical, de la horizontal; una línea larga, de una corta. En la capacidad del niño para distinguir estas cosas nos apoyamos, cuando empezamos con él la enseñanza de la Geometría, la cual sería imposible si faltase esta capacidad original, envuelta en el ejercicio normal de la vista y del tacto.

Más tarde, en la práctica de los oficios, en el estudio de las ciencias, las ideas geométricas siguen teniendo papel esencial. Los conocimientos geométricos deben adelantarse a otros muchos, que la enseñanza trata de ir formando, para evitar complicaciones, para no obligar al niño a que aprenda demasiadas cosas a un tiempo. Antes de hablarle de que la Tierra tiene forma esférica o poliédrica, conviene que esté familiarizado con las ideas de esfera y de poliedro. Antes de hablar al niño de
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 28

meridianos y paralelos, de zonas y de hemisferios terrestres, conviene hacerle comprender geométricamente la esfera. Antes de hacerle emprender el estudio de ciertas particularidades del movimiento, conviene hacerle poseer las ideas geométricas correspondientes al asunto. Cuando el niño comprende el cuadrado y el cubo y sus divisiones, encuentra fácil de comprender el sistema métrico decimal, en el cual de las medidas lineales salen las superficiales, las cúbicas, las de capacidad y de peso.

Basta iniciar estas consideraciones para que resalte toda la importancia que tiene el estudio de la Geometría, y la conveniencia de que su enseñanza comience cuanto antes, y preceda, en lo que sea necesario, a la de otras materias en que es obligado acudir a las ideas geométricas, que debe hallarlas formadas, para desenvolverse desembarazadamente.

El mundo es, en uno de sus aspectos esenciales, para nosotros, sabios o ignorantes, una realidad extensa. Y este hecho encierra consecuencias pedagógicas que no pueden ser desatendidas.

II

La materia y los métodos de iniciación en la enseñanza de la Geometría.

El estudio de las figuras, de las relaciones espaciales, conduce al niño a fijar su atención en ideas de un carácter particular, muy diferentes de las que constituyen el asunto de la Gramática, la Aritmética o la Fisiología, materias de enseñanza de las cuales hemos ya someramente tratado.

En la enseñanza de cada materia de estudio debemos preocuparnos, sobre todo, de que se mantenga y resalte aquello que la caracteriza y la diferencia esencialmente de las demás que constituyen el programa escolar. Para esto es necesario, como ya hemos dicho al hablar de otras asignaturas, dejar a un lado definiciones formales, sobre todo en los comienzos, y entrar, desde luego, por cualquiera parte accesible, en el estudio de los objetos mismos a que la materia que tratamos de enseñar se refiere. En Gramática, estudio de algún aspecto gramatical de las palabras; en Aritmética, problemas y números; en Fisiología, mirar y palpar y escuchar cómo es el cuerpo humano
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 29

y lo que en él ocurre; en Geometría, formas, posiciones, tamaños. Sólo así conseguiremos especificar la inteligencia, cultivando todas sus formas esenciales de actividad.

Con el predominio del verbalismo, estos fines no se consiguen. Cuando el trabajo didáctico se reduce casi exclusivamente a estudio verbomemorial de las páginas de un librito lleno de definiciones abstractas y de clasificaciones, todo resulta lo mismo para el niño: la palabra es como una gaza que lo vela y lo iguala todo; sólo ella es realmente objeto de estudio; lo mismo es aprender Gramática que aprender Zoología. Para el niño que estudia simplemente de memoria su manual, lo mismo es decir que las partes de la oración son: artículo, substantivo, adjetivo, etc., o que los insectos son arquípteros, ortópteros, neurópteros, etc.; todo es cuestión de palabras.

Y, sin embargo, no se puede prescindir de la palabra; ella es factor esencial en el estudio, como lo es en la formación de la inteligencia. Lo que hay que evitar es que la palabra quede nunca en el aire; lo que hay que lograr es que la palabra quede incorporada a la idea. Y esto se consigue naturalmente usando siempre la palabra —como nombre, como descripción de las cosas y los hechos, como expresión de relaciones— en concordancia con la impresión de la realidad misma a que se refiere y con las imágenes y las ideas correspondientes a esta realidad. Entonces la palabra no llega nunca a convertirse en fórmula puramente verbal sin contenido: queda indisolublemente unida a la idea y hasta al matiz emocional que a la idea corresponde, de modo que palabra, idea y matiz emotivo constituyen una verdadera síntesis psíquica de elementos apenas disociables.

Estas doctrinas todos los profesores las comprenden, mejor o peor, ¡pero ninguno las tiene bastante presentes en su labor didáctica; muchos las olvidan completamente!

** Empezar a enseñar Geometría empeñándose en que el niño comprenda y defina lo que es Geometría, lo que es extensión, lo que es cuerpo, lo que son, en abstracto, dimensiones, equivale a negar todo valor a las más sencillas normas pedagógicas: se obra así, generalmente, porque se ignoran estas normas.
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 3

miento regular, obedeciendo a leyes sencillas; no puede compararse con una fábrica, en que todos los obreros cumplen la misma tarea.

Al maestro, para su comodidad, le convendría hallarse frente a unidades idénticas; que todos los niños fuesen iguales. Mas la realidad escolar le ofrece todo lo contrario. No hay dos niños iguales. Los que se parecen en un aspecto, difieren acaso esencialmente en otro; cada uno tiene su manera propia de reaccionar frente a cada estímulo. Y sin embargo, la obra de la escuela es necesariamente la educación, la enseñanza en común, aunque el maestro se esfuerce en atender a cada personalidad y procure respetarla y cultivarla. He aquí un primer aspecto del talento de organización: efectuar la educación y la enseñanza en común, sin perder de vista que en esta comunidad hay personalidades distintas, que requieren individualmente un poco de atención.

El talento de organización habrá de aplicarse en los aspectos más diversos. En el sentido de ordenación y clasificación de los frutos que el niño debe ir poco a poco alcanzando (planes, programas); en el sentido de la graduación de los trabajos y ejercicios que el niño ha de efectuar, para alcanzar esos frutos o resultados. Y, completamente en el terreno práctico escolar, en la formación de grupos de niños semejantes, que habrán de realizar a la vez en un momento dado y bajo una dirección común, los mismos ejercicios; una agrupación circunstancial, que tendrá que deshacerse en seguida, para formar otra, en vista de otras relaciones y de otros fines. Y todo este movimiento ha de dirigirlo el maestro, suavemente, sin que se produzca desorden ni confusión, y de modo que en cada momento cada alumno haga lo que le conviene hacer, de la manera más natural, en cuanto sea posible, por propia iniciativa, y siempre sin que se sienta violentado.

La manera de realizar estas condiciones de organización, da a la escuela sus caracteres particulares. La teoría de dejar al
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 30

Hay que empezar la enseñanza de la Geometría poniendo al niño ante la realidad extensa, visible y tangible, cuyos caracteres geométricos más sencillos él percibe fácilmente.

La primera tarea —la tarea de iniciación— ha de limitar mucho sus aspiraciones, si quieren conseguir resultados bastante firmes para que puedan ser tomados como base de un programa ulterior más amplio y de conocimientos más precisos.

El niño de seis años tiene abundantes nociones geométricas; pero muchas de estas nociones son poco definidas. Además, carece de vocabulario geométrico y de formas correctas de expresión de las relaciones espaciales que él mismo comprende más o menos vagamente. Esta situación nos indica con toda claridad lo que una labor didáctica de iniciación debe primero y principalmente proponerse.

Tenemos que conseguir que el niño analice los objetos, en cuanto a los caracteres geométricos que presentan: el aspecto geométrico es el que ahora debemos hacerle interesante; como en otras ocasiones, procuraremos que se fije en otros aspectos de las cosas. En los objetos en que se presenten más ostensiblemente es donde le haremos percibir los puntos, las líneas, las superficies, las formas sólidas. Ciertas percepciones resultan más sugestivas cuando el contraste aparece bien marcado; por eso se presentan juntos la línea recta y la curva, la esfera y el cubo.

Facilita la enseñanza la presentación de figuras en que el concepto abstracto aparece sensiblemente realizado, como son las figuras trazadas en el encerado. Hay quien dice que una línea recta o un triángulo trazado en el encerado es una cosa abstracta, y que sólo en objetos materiales deben presentarse al niño las figuras geométricas. Lo primero no es exacto: una línea recta no es una cosa abstracta; es una cosa perfectamente concreta. Como que no hay cosas abstractas; abstractas son las ideas; todo lo que se percibe por los sentidos es concreto. Lo segundo no es más acertado: la línea trazada es también un objeto concreto, y los trazados permiten que se vea más fácilmente aquello que se desea hacer resaltar; constituyen la realidad geométrica de que podemos disponer más a nuestro gusto para ordenarla como convenga a nuestros fines didácticos de cada momento, presentando los contrastes y las dimensiones que sea oportuno poner claramente ante el niño. Luego, tras
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 31

los trazados hechos por el maestro, viene la imitación de ellos por parte del niño.

Un buen trabajo didáctico en esta materia empleará los tres recursos: estudio de las figuras en los objetos materiales, estudio de las figuras trazadas con unos u otros instrumentos gráficos, trazado y modelado o construcción de figuras por el mismo niño.

Esto último es muy interesante, pues significa el aprendizaje de la Geometría por la mano, por la sensibilidad muscular. El trazado imaginario de figuras en el aire con un dedo, de que a veces se habla, nos parece poco eficaz; es, desde luego, un ejercicio muy poco seguro. Hecho el trazado realmente con yeso en el encerado, resulta, sin duda, mucho más efectivo e instructivo el estudio de la formas. Pueden también efectuarse los trazados en las pizarritas manuales usuales, con pizarrín que no sea muy duro.

*

Es importante la cuestión de los nombres correspondientes a ideas geométricas, que el niño debe aprender en su primer período de iniciación. No hemos de pretender que el niño aprenda de una vez todos los nombres de esta clase, cuyo significado es capaz de comprender: constituyen un vocabulario demasiado numeroso, y llevaríamos la confusión a la mente del pequeño discípulo. Nos parece lo mejor reducir este vocabulario geométrico inicial a un pequeño número de términos, con los cuales el niño se familiarice, que se le hagan habituales. No importa que la primera parte de la base resulte un poco estrecha; lo que vale más, es que sea firme, y que a cada término, responda de manera automática la idea, y recíprocamente.

Estos primeros términos deben elegirse entre los más usuales y los que correspondan a ideas más interesantes. En la apreciación de estas circunstancias, caben sin duda muchas diferencias de opinión: un profesor incluirá nombres que a otro le parecerán menos importantes.

Nos parece que la palabra bisectriz, por ejemplo, debe incluirse en la iniciación, porque corresponde a una idea muy interesante, la de división de un ángulo en dos partes iguales; división muy importante, porque sirve para que el niño se penetre bien de lo que significa el valor de abertura de los ángu-
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 32

los, y le dispone para que comprenda la suma y resta de ángulos. En cambio, creemos que sería recargar mucho de momento la memoria, el obligarle a retener las denominaciones: equilátero, isósceles, escaleno, rectángulo, acutángulo, obtusángulo, aplicadas a las diversas clases de triángulos. Por otra parte, consideramos útil fijar la atención en las ideas a que esas denominaciones corresponden, lo cual constituye un útil trabajo de análisis de las figuras. En estos detalles caben variaciones de criterio, sin perjuicio de que haya conformidad en los puntos de vista esenciales de la doctrina pedagógica. Consignamos estos ejemplos para que se vea que en la formación de nuestro programa no hemos procedido arbitrariamente al poner unos nombres y omitir otros, sino que hemos procedido en todo con peso y medida, aunque no estemos a salvo de equivocaciones.

La cuestión de lenguaje no es sólo cuestión de denominaciones, sino también de maneras de decir, de expresar las relaciones geométricas. El lenguaje en general se adquiere originalmente, no por palabras sueltas, sino por frases. Lo mismo ocurre en el terreno del lenguaje geométrico. El niño al oír cómo se expresa el profesor, al leer lo que dice el libro, toma las frases oídas o leídas como modelos verbales que imita y aprende. Por eso, tanto en nuestras explicaciones, como en la redacción de páginas para la iniciación de estudios, debemos cuidar con el mayor esmero de que nuestras maneras de expresión sean las más adecuadas al asunto de que se trate, y una vez elegidas las mejores fórmulas verbales, no hemos de variarlas, en lo esencial, para facilitar al niño la imitación de lo más perfecto.

Un solo punto más queremos indicar, por considerarlo muy interesante. A causa de la preponderancia que se ha querido dar al dibujo del natural, libre y de memoria, ha quedado relegado a segundo término el dibujo geométrico con empleo de los instrumentos que le son propios. Las cosas nuevas se suelen introducir a costa de otras ya existentes, tan importantes, por lo menos, como aquellas.

El dibujo geométrico, con empleo del lapicero, de la regla, del compás, de la escuadra, del transportador, tiene gran im-
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 33

portancia educativa. Las ideas de medida y de precisión, la disciplina de los movimientos de la mano, la ponderación y coordinación del esfuerzo manual, tienen en el dibujo geométrico un magnífico campo de cultivo, que no debe ser sacrificado al dibujo de monigotes. Los mencionados instrumentos, son como pequeñas herramientas, cuyo uso hay que hacer comprender al niño. Los motivos para el manejo de estos útiles, las cuestiones que se pueden proponer, para que el niño las resuelva gráficamente, son abundantísimos.

Ya que los trabajos manuales no sean fáciles de implantar, de una manera sería, en las escuelas donde falta todo lo que se necesita para este objeto, desde los talleres, los materiales y las herramientas, hasta la preparación del personal docente; el dibujo geométrico, con instrumentos, debe ser, ya que no un verdadero y completo substitutivo de aquéllos, sí un elemento que es verdadero trabajo manual, bien delicado por cierto, y que produce algunos de los efectos que del trabajo manual completo se esperan.

En el periodo de iniciación, sería muy importante que el niño empezase a manejar los citados instrumentos, aplicándolos de la manera más sencilla: trazados de líneas rectas perpendiculares, paralelas, ángulos, cuadrados, circunferencias, arcos, etc., de dimensiones dadas. Los pequeños encuentran bastante dificultad para hacer todo esto: por eso es importante enseñarlos para que lo hagan.

Es muy bonito que cada niño tenga su cajita, y posea su doble decímetro, dividido en milímetros, su compás, su escuadra y hasta su transportador, y que aprenda a comprender y a usar estos instrumentos tan útiles.

III

Las páginas de iniciación.

Después de lo que hemos dicho, al hablar del empleo del libro de iniciación, en los artículos referentes a otras materias de enseñanza, de que nos hemos ocupado en los números anteriores de esta Revista, poco necesitamos añadir; pues las páginas de Geometría tienen una aplicación que ha de obedecer a principios e intenciones ya explicados.
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 34

Las ideas que exponemos en estas páginas, son muy sencillas. Sin embargo, no hay que pensar que sea demasiado fácil para el niño el comprender y menos el expresar algunas de ellas. Se debe notar que, a pesar de que el programa es limitadísimo, comprende muchas palabras nuevas, que el niño necesita aprender pronto y con seguridad, pues sólo así podrá entrar con paso firme en el estudio de otro programa más amplio, que tendría que desenvolverse trabajosa y lentamente, si el escolar careciese del más rudimentario vocabulario aunque poseyese las ideas geométricas, ya que es esta una materia en que los conocimientos se adelantan espontáneamente a la palabra.

En las páginas de iniciación en Geometría, las figuras no pueden faltar; ellas constituyen la realidad concreta propia de esta materia de estudio. Cada frase que el niño lea ha de referirla en el acto a la figura que tiene a la vista, y en ella ha de señalar los detalles que el texto enuncia: al hacerlo, da muestra de que ha comprendido lo que lee, repite la percepción y refuerza la idea; si no lo hiciese se incurriría en el defecto de verbalismo, que a toda costa debemos evitar.

Cuando el pequeño escolar empiece a usar su librito, le serán ya familiares las ideas, las figuras y las palabras todas con que se encuentra. La primera impresión en esta materia no ha de recibirla nunca el niño por el libro, sino por percepciones directas de las figuras, bajo la acción sugestiva del maestro. Nuestra idea es que estas páginas sirvan como programa para el profesor en el primer año escolar, en que el niño no puede leer; y de librito de lectura primero, y estudio, después.

El niño podrá copiar las figuras del libro, y trazar otras diferentes, que correspondan a los conceptos mismos que estos modelos expresan.

No hay que olvidar que se trata, a la vez que de renovar y repetir los conocimientos de Geometría, de aprender a leer, de habituarse a traducir los signos gráficos en palabras pronunciadas y en ideas, para lo cual es necesario que repita mucho sus lecturas. Al repetirlas, aprende las palabras y las frases, se apropiá las fórmulas de expresión verbal, amplía y desenvuelve su lenguaje. Por eso es tan interesante que no se ejercite sólo en textos de carácter puramente literario, sino que lea también—aunque el maestro tenga que sostenerle un poco en esta
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 35

tarea—páginas dedicadas a asuntos de todas clases. Y para este objeto, nada ofrece mayores ni más fundamentales diferencias típicas que una serie de iniciaciones referentes a las diversas ramas del saber humano, a cada una de las cuales corresponde un conjunto de ideas y de términos especiales, y de maneras especiales de hablar.

Veáse las diferencias de términos, de ideas y de fórmulas verbales que hay entre las páginas de iniciación en Geometría y las de Gramática, o entre éstas y las de Aritmética, o Fisiología; y se comprenderá la diversificación de la actitividad mental que el estudio de estas materias tiene que llevar consigo. Esta diversificación implica un enriquecimiento inicial, temprano, de la inteligencia y del lenguaje, que no puede producir sino los mejores frutos, y que no estará asegurado más que si clasificamos rigurosamente los asuntos de trabajo y dedicamos a cada uno atención especial, ejercicios particulares, sin mezclar ni confundir unas nociones con otras. A estas confusiones se prestan las lecciones de cosas, a menudo divagaciones insubstanciales, en que se habla de todo, y no se efectúa labor firme en ningún terreno, y se opone también el método llamado de concentración, que propende a llevarnos por el camino de la superficialidad, de la confusión y de la enseñanza difusa.
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 36

GEOMETRÍA

Las líneas.

Hay líneas rectas y líneas curvas. Un cordel tirante señala una línea recta. El borde de una rueda señala una línea curva.

Cojamos por una punta un cordelito delgado que tenga atada en la otra punta una piedrecilla u otra cosa pesada. Si dejamos que el peso cuelgue libremente, el cordel, al quedar quieto, señalará una línea recta en posición vertical. Un cordelito así es la plomada.

Plomada.

Si cogemos el cordel, una punta en una mano, la otra punta en la otra mano, y teniendo las dos manos a la misma altura lo ponemos tirante, el cordel señalará una línea recta en posición horizontal.

Si tenemos tirante el cordel en una posición que no sea vertical ni horizontal, señalará una línea recta en posición inclinada.
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 37

Son tres posiciones: vertical, horizontal e inclinada.

Una hoja de papel podemos ponerla también en posición vertical, horizontal o inclinada.

Debemos aprender a trazar líneas rectas en varias posiciones; así: Trácese de izquierda a derecha una línea recta horizontal. Trácesela de derecha a izquierda. Trácese de arriba a abajo una línea recta vertical. Trácesela de abajo a arriba. Trácese una línea recta inclinada hacia la derecha. Trácese una línea recta inclinada hacia la izquierda. Prolónguense estas líneas.

La línea que es en parte recta y en parte curva, es una línea mixta. La línea formada por

varias partes rectas de dirección diferente, es una línea quebrada.

El cubo.—La esfera.

Para saber el tamaño de una caja hay que medir el largo, el ancho y el grueso que tiene.
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 38

Así veremos cuántos decímetros, centímetros o milímetros mide por cada parte.

Una caja que mide un decímetro de largo, un decímetro de ancho y también un decímetro de grueso, tiene iguales sus tres dimensiones.

Una caja, sea grande o pequeña, que tiene iguales sus tres dimensiones, es un cubo.

Una bola o una pelota bien redonda es una esfera.

En el cubo hay varias cosas. Hay caras, hay aristas y hay vértices. Todas las caras son iguales. Todas las aristas son iguales. Todos los vértices son iguales.

Un cubo, ¿cuántas caras tiene? ¿Cuántas aristas? ¿Cuántos vértices?
La Escuela moderna (Madrid) (1923-02-01 00:00:00), página 39

Una cara del cubo es un cuadrado; una arista es una línea recta; un vértice es un punto.

Un cubo que es mayor que otro ocupa más sitio, más espacio, tiene mayor volumen. Una esfera que es mayor que otra ocupa más espacio, tiene mayor volumen.

La esfera, ¿tiene aristas? ¿Tiene vértices?

Las caras del cubo son superficies planas. La esfera tiene toda su superficie curva.

¿En qué cosas vemos superficies planas? ¿Dónde superficies curvas?

Dibujemos un cubo.

Ángulos. — Perpendiculares. — Oblicuas. Paralelas.

Dos líneas rectas que se tocan por sus extremos forman un ángulo. El ángulo tiene dos lados y vértice.

El ángulo mayor es el más abierto, aunque sus lados sean pequeños. Dos ángulos de igual abertura son iguales. Un ángulo puede tener el vértice hacia arriba, o hacia abajo, o hacia la derecha, o hacia la izquierda. Dos líneas rectas que se cortan, ¿cuántos ángulos forman?

Cuando una línea recta toca a otra, de modo que se forman dos ángulos; si estos dos ángu-