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los abstractos. De donde se sigue que los ejercicios de cálculo se ejecutarán siempre con números concretos y se presentarán en forma de problemas. El empleo de los números concretos es además indispensable para el estudio inteligente y razonado de las operaciones escritas.

En el estudio de la división hay ocasión de considerar la división-reparto (divisor-abstracto) y la división-comparación (cociente abstracto) y de efectuar ejercicios especiales respecto al asunto.

La resolución de problemas no puede hacerse por aplicación de reglas enunciadas; debe ser razonada. El maestro formará series graduadas de cada clase de problemas. En la resolución de problemas es necesario evitar las escrituras superfluas, que hacen perder el tiempo, sin provecho para la cultura; no se hará, pues, copiar razonamientos redactados extensamente.

Para los problemas de una sola operación el maestro se contentará con un razonamiento oral; para los problemas de dos o más operaciones, el razonamiento escrito se limitará a la indicación de los puntos que hay que hallar.

Se recomienda la formación de cuadros sinópticos en que aparezcan series de problemas de la misma clase.

Principios particulares del sistema métrico.

1. La enseñanza del sistema métrico debe ser esencialmente intuitiva y práctica.

El maestro presentará a los niños las medidas, las monedas, las pesas, que ellos mismos manejarán. Cada una de estas medidas será objeto de ejercicios de intuición y de análisis; los alumnos observarán las formas, las partes, las dimensiones, la materia, las inscripciones que en ellas se encuentran. El maestro imaginará numerosos ejercicios prácticos con la ayuda de estas medidas efectivas.

Conducirá a los alumnos a que comprendan que la forma dada a la medida, así como la materia de que está hecha, responden a las exigencias del uso.

2. El maestro no se dirigirá solamente a la vista para proporcionar las nociones fundamentales del programa, sino también al sentido muscular: los alumnos se ejercitarán en indicar las distancias, separando sus manos una de otra, alejándose de
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un punto dado, etc.; sopesarán los pesos efectivos, harán pesadas en la balanza, apreciarán el peso de diversos objetos sope- sándolos y comprobando luego su impresión mediante pesadas exactas.

3. Para las medidas itinerarias y las medidas agrarias, el maestro aprovechará las excursiones al campo: los alumnos medirán, con la cadena de agrimensor o una cuerda de un decámetro de largo, las distancias de los mojones hectométricos y kilométricos; contarán el número de pasos que hay que dar para recorrer un decámetro, un hectómetro, y el tiempo necesario para recorrer un kilómetro, una legua; observarán los postes indicadores, cuyas inscripciones leerán y explicarán; cuando empleen el mapa del Depósito de Guerra, calcularán las distancias por medio de la escala.

En el terreno señalarán con jalones superficies de un área, de una hectárea, etc.; se ejercitarán en apreciar a ojo la super- ficie de un campo dado, comprobando después su apreciación por medición del campo con la cadena métrica y calculando su área, etc.

4. Cada alumno recibirá un metro plegable, que utilizará para adquirir la noción de esta medida y de sus subdivisiones. El maestro hará que los alumnos construyan medidas tipos: un metro y un decámetro (por medio de un cordel); un decí- metro dividido en centímetros (trazado gráfico en el cuaderno, tira de papel fuerte); un decímetro cuadrado dividido en centí- metros cuadrados (papel fuerte); un metro cuadrado, un decá- metro cuadrado (hágalos trazar con clarón en el suelo de la clase, del patio, o marcar en el terreno de juegos fijando ja- lones o tendiendo cuerdas, etc.); un decímetro cúbico (papel fuerte, barro de modelar, patillos); el metro cúbico se figurará por medio de listones de madera, de metros-reglas o metros plegables; el kilogramo se hace echando arena seca en un sa- quito, etc.

5. Las aplicaciones a la medida del área de las figuras pla- nas, del volumen de los sólidos, de la capacidad de los re- cipientes, etc., no pueden consistir en ejercicios puramente teóricos; deben tener carácter práctico: los niños medirán las dimensiones de las figuras planas trazadas en el encerado; las de las superficies de los sólidos cuyas colecciones hay en la es- cuela, las de los suelos y paredes de la clase, pasillos, patio, etc.,
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y determinarán las áreas mediante el cálculo; calcularán también, después de efectuar las medidas, el volumen de los sólidos geométricos, el de la sala de clases; la capacidad de diversos recipientes la determinarán por mediciones reales con arena, agua, etc.

Al hallar las superficies, no se podrá enseñar, por ejemplo: \(5\ \mathrm{m} \times 4\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{m}^2\), sino \(5\ \mathrm{m}^2 \times 4 = 20\ \mathrm{m}^2\), siendo siempre abstracto el multiplicador, y el producto de la misma naturaleza que el multiplicando.

6. Se ejercitará a los alumnos en determinar el menor número posible de medidas efectivas o de piezas de moneda necesarias para medir cantidades dadas o formar sumas determinadas.

7. A los problemas de aplicación a datos teóricos, deben preceder problemas de datos prácticos. Así, antes de hacer calcular el precio del pintado de una sala cualquiera cuya forma y dimensiones se indican, se hará determinar el costo del pintado de la clase; del mismo modo, antes de hacer calcular, según datos numéricos, la producción de un campo, se hará medir efectivamente un verdadero campo y hallar su producción real; se procederá de manera análoga para la cubicación de un macizo de albañilería, de un montón de arena o de grava, de una viga, de una zanja, de un terraplén o de un desmonte, etc.

Los problemas teóricos deben examinarse cuidadosamente antes de proponerlos a los niños; importa que no contengan ninguna condición imposible de realizar, ningún detalle inexacto o que esté en contradicción con los hechos reales.

8. Los maestros harán representar los nombres de las medidas por las abreviaturas adoptadas por el Comité Internacional de Pesas y Medidas: Km, Hm, Dm, etc.
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PROGRAMA

CÁLCULO Y SISTEMA MÉTRICO

PRIMER GRADO

Primer año de estudios.

Cálculo.

1. Números enteros de 1 a 20.
   1.º De 1 a 10 (la decena).
   2.º De 10 a 20.
   Sumar, restar, multiplicar, dividir (repartir).

Las cifras arábigas.
Los signos +, −, ×, :, =.

2. Las fracciones por división de unidades completas en dos, cuatro, ocho partes iguales.
   Formación, denominación, representación intuitiva y cifrada.
3. Las cifras romanas. Lectura de la hora y de la media hora en la esfera del reloj de doce horas, y aplicación a la división de la jornada escolar.
4. Días de la semana.
5. Meses del año.
6. Problemas.

Sistema métrico.

1. El metro, el decímetro, el centímetro.
   Medir longitudes de 1 a 20 m.
   Ejercicios del sentido muscular, de la vista: apreciar longitudes, distancias.
2. Las piezas de moneda de 1 céntimo, de 2, 5, 10 céntimos.
   Comprar, vender, pagar, cambiar la moneda.
3. Los pesos de 1 kilo, de medio kilo, de 2 kilos.
   Pasar en la balanza, comprar, vender al peso.
   Ejercitarse en sopesar.
4. El litro, el medio litro, el doble litro.
   Medir líquidos, materias secas.
5. El medio litro, el medio kilo, considerados como fracción; división de unidades concretas.
   Ejercicios, medidas, pesadas, compras, ventas.
6. Problemas.
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Segundo año de estudios.

Cálculo.

1. Los números enteros de 20 a 100, por series progresivas.
   Composición y descomposición de productos.

   Las cuatro operaciones fundamentales.
   Multiplicador y divisor < 10.
   Tablas de multiplicar.

2. Las fracciones ordinarias cuyo denominador no pasa de 10.
   Formación, denominación y representación.

3. Lectura de la hora, de la media, del cuarto, de los tres cuartos (esfera de reloj de 12 horas).
   La fecha (día del mes) señálese diariamente, escribase en el aneorado y hágase inscribir en los cuadernos.

4. Problemas.

Sistema métrico.

1. El metro, el decámetro, el decímetro, el centímetro.
   Medir longitudes, distancias.
   Vender, comprar objetos por metros.

2. Las piezas de moneda de cobre, de níquel, la media peseta, la peseta.
   Comprar, vender, pagar, cambiar la moneda.

3. Las pesas de 1 kilo, de 2 kilos, de medio kilo.
   Pesar en la balanza, comprar vender por peso.
   Ejercitarse en sopesar.

4. El litro, el doble litro, el medio litro, el decilitro.
   Medir líquidos, materias secas.
   Apreciar la cabida de recipientes usuales.
   Comprar, vender por medidas de capacidad.

5. El decímetro.
   El centímetro (la décima parte del decímetro).
   La media peseta.
   La pieza de 25 cénts. (1/4 de la pieza de 1 pta.).
   La pieza de 10 cénts. (1/10 de la pieza de 1 pta.).
   La pieza de 1 céntimo (1/10 de la pieza de 10 cénts.).
   La pieza de 5 cénts. (1/2 de la pieza de 10 cénts.).
   La pieza de 2 cénts. (1/5 de la pieza de 10 cénts.).
   El medio kilo. El medio litro. El decilitro.

6. Problemas.
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SEGUNDO GRADO

Tercer año de estudios.

Cálculo.

1. Los números enteros de 100 a 1000.
   Numeración oral y escrita.
   Composición y descomposición de productos \( \leq 100 \).
   Las cuatro operaciones fundamentales.
   Multiplicadores \( \leq 100 \), productos \( \leq 1000 \); divisores \( \leq 10 \), dividendos \( \leq 1000 \).
   Casos de multiplicación y de división por 10, 100.
   Tablas de multiplicar.
   Numerosos ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo cifrado.

Sistema métrico.

1. a) El metro, el decámetro, el hectómetro, el decímetro, el centímetro, el milímetro.
   Medir longitudes.
   Apreciar longitudes y distancias.
   Vender, comprar por metros.
   Aplicaciones profesionales.
   b) Las piezas de moneda de cobre, de níquel, de plata.
   Comprar, vender, pagar, cambiar moneda.
   c) Las pesas de 1 gramo, de 2, de 5, 10, 50, 100, 500 gramos, de 1 y de 2 kilos.
   Pesar en la balanza, comprar, vender por peso.
   Ejercitarse en sopesar.
   d) El litro, el doble litro, el decalitro, el medio decalitro, el decilitro, el doble decilitro, el medio decilitro.
   Medir líquidos, materias secas.
   Apreciar la cabida de recipientes usuales.
   Comprar, vender por medidas de capacidad.
   e) El metro cuadrado, el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado.
   Medir áreas de superficies planas. (Véase Formas geométricas.)
   Apreciar las áreas de superficies dadas.
   Aplicaciones profesionales.
   Relaciones de unas medidas con otras.
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UN PROGRAMA BELGA DE ARITMÉTICA

2. Las fracciones decimales hasta centésimas inclusive.
   Numeración oral y escrita.
   Las cuatro operaciones fundamentales: multiplicadores y divisores enteros.
   Casos de la multiplicación y la división por 10, 100.
   Numerosos ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo escrito.

3. Fracciones ordinarias, denominadores \( \leq 20 \).
   Formación, denominación, representación, equivalencia.
   Relación entre las fracciones ordinarias y las fracciones decimales.

4. Lectura de la hora, de la media, del cuarto, de los tres cuartos, de los minutos (esfera de reloj de 12 horas).
   El año, el mes, los días de la semana, la fecha. (Véase 2.º, a.)
   Ejercicios de apreciación del tiempo: segundo, minuto, etc. (metrónomo de Galin).

5. Problemas tomados de la vida práctica.

2. Ejercicios de numeración oral y escrita, de cálculo mental y cifrado en los límites del programa adjunto sobre las fracciones decimales.

3. El decímetro.
   El centímetro (\( \frac{1}{10} \) del dm).
   El milímetro (\( \frac{1}{10} \) del cm).
   La pieza de 25 cénts.
   La pieza de 10 cénts.
   La pieza de 5 cénts.
   La pieza de 1 céntimo (\( \frac{1}{10} \) de la pieza de 10 cénts.
   La pieza de 2 cénts. (\( \frac{1}{5} \) de la pieza de 10 cénts).
   La pieza de 50 cénts.
   Pesa de 500 gramos.
   Pesa de 100 gramos.
   Pesa de 50 gramos.
   El decilitro.
   El doble decilitro.
   El medio decilitro.

4. .............................................

5. Problemas tomados de la vida práctica.
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aptitudes para este estudio de memoria, y otros pocos, víctimas de incesante vigilancia de padres y maestros, llegan a saber recitar correctamente un número considerable de páginas. Los pequeños se defienden bastante bien de la agresión pedagógica; el intento de recargo verbomemorista se frustra, no ciertamente por culpa de los profesores. Aun en esto del estudio de memoria, el mal—que es, sin duda, muy grande—es menor de lo que parece. Si a ello se refiere la frase enseñanza libresca, se trata, sin embargo, de un vicio que realmente existe, y que debe ser seriamente combatido.

**

Pero ¿es éste el único empleo escolar de los libros? Hay otro uso de ellos muy importante. El niño puede leer libros inteligibles para él, en los cuales aprenda muchas cosas. Si la frase subrayada se quiere referir a este otro empleo de los libros, no tiene aplicación, porque tal uso de los libros ha sido siempre muy limitado en nuestras escuelas: todo lo absorben los libritos dispuestos más o menos disimuladamente en preguntas y respuestas; libritos que por su estructura de resúmenes, de definiciones y clasificaciones escuetas, por su redacción en lenguaje que podríamos llamar académico, revelan bien claramente que están hechos más para ser estudiados de memoria, palabra por palabra, que para ser estudiados por lecturas atentas más o menos repetidas.

Los frutos que en muchas materias de enseñanza se pueden alcanzar por medio de la lectura —estudiando los libros por simples lecturas— son copiosísimos, insustituíbles, además, y no cuestan al maestro gran gasto de energías, las cuales debe él reservar para otras cosas: este punto de economizar las fuerzas del profesor tiene la mayor importancia.

Pretender que el niño utilice la lectura para adquirir diversas ideas, mientras no lee sino muy trabajosamente, es ir con-
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Cuarto año de estudios.

Cálculo.

1. Los números enteros hasta 10000; numeración oral y escrita; órdenes, clases; valor absoluto, valor relativo de las cifras.
Revisión por aplicaciones de la tabla de Pitágoras.
Las cuatro operaciones fundamentales: multiplicadores y divisores \( \leq 1000 \).
Casos de la multiplicación por 10, 100, 1000 y casos particulares de cálculo abreviado.
Numerosos ejercicios de cálculo en relación con el cálculo escrito.

2. Las fracciones decimales hasta las milésimas inclusive.
Numeración hablada y escrita.
Las cuatro operaciones fundamentales.

Sistema métrico.

1. a) El metro, el decímetro, e centímetro, el milímetro, el decámetro, el hectómetro, el kilómetro, la legua métrica.
Medir longitudes.
Apreciar longitudes, distancias.
Comprar, vender por metros.
Aplicaciones profesionales.
b) Las monedas de cobre, de níquel, de plata, de oro.
Comprar, vender, pagar, cambiar.
c) La serie de las pesas efectivas hasta 20 kilos.
Pesar en la balanza, comprar, vender por peso.
Ejercitarse en sopesar.
d) La serie de medidas de capacidad efectivas.
Medir líquidos, materias secas.
Apreciar la cabida de recipientes usuales.
Comprar, vender por medidas de capacidad.
e) El área, la centíarea. Sus relaciones con el metro cuadrado, el decámetro cuadrado, el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado.
Medir áreas de figuras planas.
(Véase Formas geométricas.)
Apreciar el área de superficies dadas.
Aplicaciones profesionales.
Relaciones de las medidas entre sí.
2. Ejercicios de numeración oral y escrita, de cálculo mental y cifrado en los límites del programa adjunto sobre las fracciones decimales.
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UN PROGRAMA BELGA DE ARITMÉTICA

Multiplicación y división de números decimales por números enteros.

Casos de multiplicación y de división por 10, 100, 1000, 0,1, 0,01, 0,001.

Numerosos ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo escrito.

3. Las fracciones ordinarias. Las fracciones equivalentes. Multiplicación y división de los dos términos por un mismo número. Simplificación.

4. Lectura de la hora y de sus divisiones en la esfera de reloj de 24 horas.

La división del tiempo: año, mes, trimestre, semestre, semana, la fecha, la hora, el minuto, el segundo.

Ejercicios de apreciación del tiempo (metrónomo de Galin).

5. Horario de los ferrocarriles. Ejercicios de cálculo de distancias, de tiempo y de velocidad.

6. Problemas tomados de la vida práctica.

3. El decímetro, el centímetro, el milímetro.

Las piezas de 50, 25, 10, 5, 2 céntimos y de 1 céntimo.

Las pesas de 500, 200, 100, 50, 20, 10, 5 gramos y de 1 gramo.

El medio litro, el decilitro, el doble decilitro, el medio decilitro, el doble centilitro, el centilitro.

El decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado, la centíarea.

Ejercicios en los límites del programa adjunto sobre las fracciones ordinarias.

4. .............................................

5. Velocidad de la marcha en excursión; velocidad de los trenes. Apreciaciones. Cálculos.

6. Problemas tomados de la vida práctica.

TERCER GRADO

Quinto año de estudios.

Cálculo.

1. Los números enteros hasta las centenas de millar.
Numeración oral y escrita.

Sistema métrico.

1. Aplicaciones del programa de cuarto año.
Y añádase:
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Las cuatro operaciones fundamentales.
Ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo escrito.

a) La hectárea; ejercicios en el curso de las excursiones.
Aplicaciones profesionales.
b) El metro cúbico, el decímetro cúbico, el centímetro cúbico. Medir volúmenes de sólidos.
(Véase Formas geométricas.)
Apreciar el volumen de cuerpos dados, de locales, etc.
Aplicaciones profesionales.
c) El estereó, el decastereó, el deciestereó.
Medir por estereos. Aplicaciones profesionales.
d) El litro, el decímetro cúbico. Los múltiplos y los submúltiplos del litro: valor en medidas de volumen.
Aplicaciones profesionales.
e) El peso de un decímetro cúbico de agua.
La serie de las pesas efectivas. La balanza-báscula. Ejercicios.
Aplicaciones profesionales.
Peso y densidad de los cuerpos. Su medida.
f) Las monedas. Su valor relativo. Su peso. Los billetes de Banco.
Aplicaciones al comercio, a la industria, etc.
2. Numeración oral y escrita, cálculo mental y cifrado en los límites del programa adjunto sobre las fracciones decimales.

2. Las fracciones decimales hasta cienmilésimas.
Numeración oral y escrita.
Las cuatro operaciones fundamentales.
Hallar el cociente aproximado en 0,1; 0,01; 0,001.
Ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo escrito.
3. Las fracciones ordinarias. Su formación por división de una unidad y por división de un número.
Fracciones equivalentes. Simplificación por 2, 5, 10, 4, 25, 8, 3, 9, 6, 12.

3. Ejercicios como en cuarto año, completados con las nociones nuevas indicadas en el número 1 y extendidas en los límites del programa adjunto sobre las fracciones ordinarias.
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Reducción de fracciones a un común denominador. (El denominador común es uno de los denominadores o el producto de los denominadores.)
Adición y sustracción de números fraccionarios. Multiplicación y división de fracciones ordinarias por números enteros.
Reducción de fracciones ordinarias a fracciones decimales, y recíprocamente.
Ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo escrito.
4. Estudio del calendario: fechas, estaciones, horas de salida y puesta del Sol, duración de los días y de las noches, periodos de las fases de la Luna, cálculos referentes a estos datos.
5. Horario de los ferrocarriles. Ejercicios de cálculo.
6. Problemas de aplicación, vida normal, oficios y profesiones, comercio.
Regla de tres; interés simple; ganancias y pérdidas evaluadas en tanto por ciento; descuento; cuentas, facturas, saldos de cuentas, memorias, recibos.

Sexto año de estudios.

Cálculo.

1. Numeración oral y escrita completa de los números enteros, de los números decimales.
Las cuatro operaciones fundamentales.
Ejercicios de cálculo mental en relación con el cálculo escrito.

Sistema métrico.

1. a) Origen del sistema métrico. El metro y el meridiano terrestre. El metro es la base del sistema; cómo todas las unidades de medida se derivan de él.
b) Aplicaciones a las formas geométricas, a los trabajos manuales. Cálculo de las áreas y de los volúmenes, aplicaciones a los oficios y
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profesiones, al comercio y a la industria.

c) La milla marina, el nudo. Velocidad de los navíos. (Ejercicios de cálculo de las distancias y de las velocidades en la esfera geográfica.)
d) Tonelada y quintal. Aplicaciones.
e) La ley de las monedas de oro y de plata. Problemas de aplicación.
f) Relaciones de las monedas belgas, alemanas, inglesas, neerlandesas; el dólar y el rublo.
g) Los pesos específicos. Nociones y aplicaciones.

2. Simplificaciones y reducción de fracciones ordinarias a un común denominador.
Operaciones fundamentales limitadas a la multiplicación y a la división de los factores por números enteros.
Cálculo mental en relación con el cálculo escrito.

3. Problemas de aplicación, vida usual, oficios y profesiones, comercio.
Regla de tres; interés simple; la Caja de Ahorros y de Retiros; ganancias y pérdidas evaluadas en tanto por 100; descuento; repartimientos proporcionales y regla de compañía; aligación; cálculo de términos medios.

4. Contabilidad aplicada a la economía doméstica.

2. Como en quinto año.

3. Problemas prácticos.

4. .........................
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El Instituto J. J. Rousseau de Ginebra.

INFORME SUCINTO ACERCA DE SU ACTIVIDAD DESDE 1912 A 1917, POR SU DIRECTOR, PIERRE BOVET

(Conclusión.)

2. — EL INSTITUTO, CENTRO DE INVESTIGACIONES.

Reunión, crítica, coordinación, comparación de documentos, centralización de experiencias, etc. En un sentido, hemos hecho todo esto para cada una de nuestras lecciones, y constantemente hemos proporcionado a nuestros alumnos ocasión y medio de hacerlo. Informaciones respecto al sueño de los niños, respecto a la idea que éstos se forman de la mentira, respecto a la edad en que las definiciones abstractas llegan a serles familiares, y otras (1) se han publicado en L'Intermédiaire des Éducateurs.

Sin embargo, aquí es donde manifiestamente queda más por hacer. Al disminuir nuestros recursos y nuestro personal, los difíciles tiempos que atravesamos han disminuido nuestra actividad, sobre todo en este campo.

Entre las investigaciones importantes a las cuales se nos ha propuesto que nos asociemos, mencionemos las que se refieren al dominio tan vasto y tan nuevo de la Psicología bibliológica y, en especial, del libro para niños.

Muy recientemente, los días 20 y 21 de octubre de 1916, un público muy numeroso asistía en nuestro establecimiento a dos sesiones de estudio y discusión, organizadas en común por la Oficina Internacional de Bibliografía de Bruselas y por nuestro Instituto y dedicadas a un

(1) Las más recientes constituyen el fondo de los últimos números (49-50) de nuestro Intermédiaire.