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que de ellas hizo Claparède, con un verdadero lujo de observaciones curiosísimas.

»No es cosa de relatarlas todas aquí. Se hicieron toda clase de pruebas, proponiendo a los caballos diversos problemas, que iban resolviendo, algunos sin tropiezo, otros a la segunda o tercera proposición. Por si existía trampantojo del adiestrador, el mismo Claparède hizo sus experiencias encerrándose a solas con los animalitos. Uno de los ejercicios era hacerles deletrear algunos nombres, ya escritos, ya pronunciados nada más, dando los caballos el equivalente de las letras en la clave ideada para la emisión o exteriorización de sus ideas.

»Evidentemente, no se trata aquí sino de un caso de prodigiosa paciencia por parte del domador y el de los pacientes animalitos, que han acabado por asociar la imagen del signo matemático, del sonido pronunciado en determinadas circunstancias, con determinado número de patadas, a las que se seguía el premio de unas cuantas zanahorias, que saboreaban después con sumo placer. Aun sin admitir trampa alguna en las experiencias y en los relatos, es inútil acudir a discusiones filosóficas para resolver la cuestión. Nada hay en lo sucedido que no encuentre su debida explicación en un pacienzudo y prolífico adiestramiento. No se ve en ninguno de los hechos aducidos el menor indicio de que el caballo abstraiga, universalice, deduzca una conclusión por medio de un razonamiento el más embrionario. Le basta el instinto animal para hacer todo lo que hace. Lo que aprende de su maestro es a repetir materialmente lo que enseña, sin que se haya visto nunca que por sí mismo haya dado un solo paso, ni prueba alguna de propia iniciativa.

»Sin entrar ahora en la explicación de cómo Krall ha llegado a grabar en el cerebro de sus cuadrúpedos discípulos las imágenes necesarias para obtener los resultados de espectáculos de circo, tan maravillosos a primera vista, como la resolución de una fórmula como ésta: \( \sqrt{4879681} \), y otras parecidas, son las que se presentan con carácter más sospechoso de juego de manos, de haber sido interpretada repetidas veces delante del paciente Muhamed como representación del número 47. A los problemas propuestos por Claparède en persona, el caballo no respondió cosa derecha, y lo más chocante es que anduvo de lo más flojo en resolver los más sencillos de suma y resta.

»Para resolver estos problemas más sencillos de suma y resta
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de números de dos cifras, la asociación de imágenes de formas enteras a determinados movimientos de casco, no supera en principio al hecho de que un caballo se vuelva a la derecha o a la izquierda con sólo escuchar la voz de mando del cochero. Ejercicios de división propiamente dicha no los ha presentado Krall. — P. L., S. J.»

**

Con la lectura del precedente articulito será fácil al lector darse cuenta del pitorreo científico que prodigaron al Dr. Claparède sus compañeros de la Sociedad Francesa de Filosofía cuando, celebrando sesión en la Sorbona, el sabio psicólogo habló de sus caballitos matemáticos.

Oigamos a La Gaceta del Norte (abril, 1913), que hace el relato, del cual espero sacar algo útil entre la parte jocosa o ridícula del asunto:

«LA RAÍZ CÚBICA.—M. Quinton halla una fórmula.—Se conocen los prodigios matemáticos de algunos calculadores célebres, como Inaudi, Diamandi, Vito Mangiamele, etc. Se sabe que basta enunciar ante ellos dos números de muchas cifras para que los multipliquen inmediatamente y anuncien, al cabo de unos segundos, el resultado de la operación.

»Su memoria y la rapidez de sus cálculos son estupendos. Inaudi, observado en el laboratorio de Psicología de la Sorbona por el profesor Binet, extrajo en tres segundos la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras, y Vito Mangiamele, en la célebre sesión en que fué presentado a la Academia de Ciencias, en treinta segundos extrajo la raíz cúbica del número 379416.

»Hace tres días tuvo sesión en la Sorbona la Sociedad Francesa de Filosofía. La orden del día era muy curiosa: «Los caballos calculadores de Elberfeld.»

»M. Claparède, profesor de la Facultad de Ciencias de Ginebra, daba cuenta de las experiencias a que acababa de asistir en Alemania. La cosa era realmente para tomada a risa. Sostenía muy formalmente M. Claparède que cinco caballos, instruidos durante varios años, habían llegado no solamente a conocer los números, sino ¡¡a sumarlos, multiplicarlos y extraer sus raíces cuadradas y cúbicas!!

»Zarandearon al profesor de Ginebra el Dr. Beredská, del
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Instituto Pasteur; Dumas, profesor de Psicología de la Sorbona, y otra porción de profesores.

»M. Quinton esperó a que acabase la tomadura de pelo, y después, naturalmente, de combatir científicamente las experiencias de Elberfeld, a las cuales negó todo valor, dió cuenta a la Asamblea de un medio que acababa de descubrir y que permite extraer instantáneamente las raíces cuadradas, cúbicas y quintas de un número cualquiera. La operación ordinaria, clásica, necesita de diez a veinte multiplicaciones, de cinco a diez substracciones, cuatro o cinco divisiones, etc. El procedimiento de M. Quinton reduce todo el cálculo a una simple operación, que se efectúa en menos de un segundo.

»Muchos matemáticos presentes en la sesión escogieron números; los multiplicaron tres veces por sí mismos para obtener su cubo, cinco para su quinta potencia, y propusieron la operación inversa a M. Quinton.

»M. Hadamard le dijo:
»— ¿Quiere usted extraer la raíz cúbica de 54872?
»— 38 — contestó M. Quinton.
»— ¿Y la raíz quinta de 229345007?
»— 47 — replicó M. Quinton, sin haberse tomado un segundo siquiera para pensarla.

»M. Lion (Javier), presidente de la Sociedad de Filosofía, y M. Milhand, profesor de la Sorbona, le propusieron algunas otras raíces cúbicas, que fueron extraídas en el acto.

»Al ser felicitado, M. Quinton se limitó a contestar modestamente que él no había hecho el menor descubrimiento, y declaró que bastarían algunos minutos a un matemático experimentado para encontrar su procedimiento.»

Se aclara el misterio. — Al día siguiente de ver la luz pública el artículo anterior, publicó el mismo periódico de donde tomó la información, este otro:

«LA RAÍZ CÚBICA. MÉTODO DE CÁLCULO. EL SECRETO DE QUINTON. — Dice Le Matin: «A consecuencia de nuestro artículo de ayer acerca del procedimiento que permite a M. Quinton extraer instantáneamente las raíces cuadrada, cúbica y quinta de un número, hemos recibido numerosísimas cartas proponiéndonos soluciones posibles.

»Algunas de ellas son muy ingeniosas. Uno de nuestros correspondentes nos escribe:
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«M. Quinton, sencillamente, suma los guarismos del número propuesto, añade a esta suma la mitad de la misma, y resta.»
»Ejemplos dados por Le Matin:
»1.º Primer número propuesto, 54872:
\[
5 + 4 + 8 + 7 + 2 = 26; \quad 26 + 13 = 39; \quad 39 - 1 = 38
\]
»38 es, en efecto, la raíz cúbica pedida.
»2.º Segundo número propuesto, 229345007:
\[
2 + 2 + 9 + 3 + 4 + 5 + 7 = 32; \quad 32 + 16 = 48; \quad 48 - 1 = 47
\]
»Y 47 es también la raíz quinta pedida.
»Esta solución, por otra parte muy elegante, no tiene valor. Para convencerse de ello, no hay más que aplicar el sistema a otros números elevados a las potencias cúbica o quinta, y se dará uno cuenta inmediatamente.
»Hemos estado a preguntar a M. Quinton si quería darnos su solución, a lo cual ha accedido de muy buena gana, insistiendo sobre la poca importancia que él daba al asunto.
»Elevar un número a la quinta potencia —nos dice M. Quinton— es multiplicarlo cuatro veces por sí mismo. Ahora bien: »cuando se multiplica un número cuatro veces por sí mismo, »el producto termina siempre por la cifra que termina el número inicial.
»Por ejemplo: la quinta potencia de 2 es 32, la de 4 es 1024, la de 9 es 59049, la de 47 es 229345007.
»Luego la última cifra de un número que se me propone me da ya la última cifra de su raíz quinta.
»Queda por buscar la primera cifra. Nada más fácil: basta saber de memoria las quintas potencias de las primeras cifras. »Cuando oigo las primeras cifras que constituyen el número que se me propone, estoy inmediatamente enterado de mi primera cifra.
»Ejemplo: M. Javier Lion me lee el número 229345007, y desde que oigo 220 millones ya sé que la primera cifra de mi raíz es 4; no tengo más que fijar la atención en la cifra que determine el número, es decir, en la cifra 7, y formar el 47, con lo cual he expresado la raíz.
»El mismo procedimiento me permite extraer con igual velocidad las raíces novena, trece, diez y siete, veintiuna, etc.
»Para la raíz cúbica, el método es el mismo, con una ligera
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variante. Solamente los números que terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9 tienen cubo que acaba por la misma cifra. Los que terminan en 2, 3, 7 u 8 tienen una cifra terminal de su cubo que es complementaria de 10. Por ejemplo: la raíz cúbica de 8 es 2; la de 27 es 3; la de 343 es 7; la de 512 es 8: sumemos 8 y 2, 7 y 3, 3 y 7, 2 y 8, y tendremos siempre 10.

El mismo procedimiento me permite aún extraer instantáneamente las raíces séptima, undécima, quince, diez y nueve, etc., etc.

El único hecho curioso de todo este asunto—añade con su habitual modestia M. Quinton—es que nadie haya caído en la cuenta hasta ahora de un procedimiento tan sencillo. Nosotros conocemos los métodos de cálculo que empleaban Inaudi, Diamandi, Vito Mangiamele, etc. Eran muy complejos, como lo prueba el tiempo relativamente largo que les exigían sus operaciones.

NOTA FINAL. Con motivo de citar el nombre de Inaudi en estos artículos, el notable calculista escribió a Le Matin una carta con apreciaciones que, bien leídas, son sólo un aplauso para su propio sistema (que no explica) y conceptos dirigidos a restar mérito al de M. Quinton, diciendo, entre otras cosas, que dicho procedimiento no puede aplicarse más que a raíces exactas (lo cual es cierto), mientras que, según Inaudi, el suyo se emplea con las inexactas, las cuales extrae, con la debida aproximación decimal.

Hasta aquí el contenido de ambos articulitos, y como supongo que el lector ha debido quedarse en ayunas al leer muchos puntos do lo tomado de La Gaceta del Norte, voy a permitirme poner algo de mi cosecha, con el propósito de aclararle lo que yo también encontré turbio.

No creo de necesidad saber de memoria las potencias de los números; por tanto, cuando precise conocerlas puede utilizarse la adjunta Tabla auxiliar, que comprende de la 2.a a la 9.a de los números dígitos.

Raíz quinta.—Número propuesto, 229315007.
Última cifra de la raíz, 7.
Para averiguar la anterior, con una coma separo del número propuesto sus cinco últimas cifras (de la derecha); cinco por
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ser quinta la raíz que he de averiguar. Queda, pues, 2293, cuyo número está comprendido entre \(4^5\) y \(5^5\). De estos dos números tomo el menor, 4, para primera cifra de la raíz. Luego la raíz buscada es 47.

Otro ejemplo. — Sea averiguar \( \sqrt{20511149} \).
Última cifra de la raíz, 9.
La anterior, separando las cinco últimas cifras, queda 205, cuyo número está comprendido entre \(2^5\) y \(3^5\). De estos dos números tomo el menor, 2, para primera cifra. Luego la raíz buscada es 29.

Raíz cúbica. — Número propuesto, 54872.
Última cifra de la raíz, \(10 - 2 = 8\).
Para averiguar la anterior, con una coma separo del número propuesto sus tres últimas cifras (de la derecha); tres por ser cúbica la raíz que he de averiguar. Queda, pues, 54, cuyo número está comprendido entre \(3^3\) y \(4^3\). De estos dos números tomo el menor, 3, para primera cifra de la raíz. Luego la raíz buscada es 38.

Otro ejemplo. — Sea averiguar \( \sqrt{9261} \).
Última cifra de la raíz, 1.
La anterior, separando las tres últimas cifras, queda 9, cuyo número está comprendido entre \(2^3\) y \(3^3\). De estos dos números tomo el menor, 2, para primera cifra. Luego la raíz buscada es 29.

Otras aplicaciones de la Tabla auxiliar.—Por lo que pueda valer, he aquí algunas de ellas, aunque sólo sea a título de curiosidad:
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TABLA AUXILIAR

    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9

    2
    4
    8
    16
    32
    64
    128
    256
    512

    3
    9
    27
    81
    243
    729
    2187
    6561
    19683

    4
    16
    64
    256
    1024
    4096
    16384
    65536
    262144

    5
    25
    125
    625
    3125
    15625
    78125
    390625
    1953125

    6
    36
    216
    1296
    7776
    46656
    279936
    1679616
    10077696

    7
    49
    343
    2401
    16807
    117649
    823543
    5764801
    40353607

    8
    64
    512
    4096
    32768
    262144
    2097152
    16777216
    134217728

    9
    81
    729
    6561
    59049
    531441
    4782969
    43046721
    387420489

Multiplicaciones.—Cada horizontal contiene el producto recíproco de las cantidades de la misma línea. Para encontrarlo, búsquense multiplicando y multiplicador en la misma horizontal, sumando los números que lleven a la cabeza ambas columnas; el producto estará en la columna de esta suma y en la misma horizontal, siempre que esta suma no pase de 9.

Ejemplos:
Sea \(27 \times 81\) en la 2.a horizontal.
Como 27 está en la columna 3.a y 81 en la 4.a, el producto 2187 está en la \(3 + 4 = 7\).a columna.
Averiguar el producto de 59049 \( \times \) 6561 en la 9.a horizontal.
El multiplicando 59049 está en la 5.a columna, y el multiplicador 6561 en la 4.a; el producto 387420489 en la 5.a \(+ 4 = 9\).a columna.

Divisiones.—Puesto que la división es operación inversa de la multiplicación, para utilizar la Tabla no hay más que invertir la regla que acabó de dar.
Ejemplos:
Sea 7776 : 216 en la 6.a horizontal.
Como 7776 está en la 5.a columna y 216 en la 3.a, el cociente está en la \(5 - 3 = 2\).a columna.
Averiguar el cociente de 262144 por 65536 en la 4.a horizontal.
El dividendo 262144 está en la 9.a columna, y el divisor 65536 en la 8.a; el cociente está en la \(9 - 8 = 1\).a columna.
La Escuela moderna (Madrid) (1918-08-01 00:00:00), página 4

como lo expresa claramente Wrouski, más que reglas subjetivas, reglas de nuestra especulación, y de ningún modo leyes de la realidad misma.» ¿Se ha rehabilitado a tus ojos?
M. — Considera que sí para acabar.

III

ESPIRITO. — El capítulo tercero se intitula: DE LO INFINITO CUALITATIVO.
MATRUVISIANO. — Materia delicada. Porque si no sabemos qué es el infinito, si nuestra imperfección no puede concebir lo que no tiene principio ni fin en tiempo ni espacio, ¿cómo vamos a discurrir cómo sea ese infinito? Será curioso este capítulo por los equilibrios filosóficos del autor.
E. — «La perfección—dice éste—se manifiesta, ya en el tiempo, ya en la eternidad. En el tiempo se llama la perfectibilidad o el progreso. Se muestra como tal en la vida de los seres que tienen la conciencia de sí mismos y la inteligencia de su fin por el desarrollo cada vez más completo de su naturaleza.» No me disgusta del todo este pensamiento.
M. — Lo que quiere decir que te satisface a medias. ¡Voto a Tiberghien, que a mí me huele a rancio y poco racional!
E. — ¿Por qué?
M. — Porque esa perfección en el tiempo no se refiere, no puede referirse a lo que, como hemos dicho, no tiene tiempo. ¿No es burdo que a lo infinito se le aplique el progreso como medio perfectible exactamente igual que al más torpe de los hombres? El progreso significa un proceso evolutivo que ha de tomar a la Pedagogía como órgano actuante, como dinamismo perfeccionador: esto es plenamente humano! Renegamos del antropomorfismo de nuestros mayores; si pensamos en krausista, ¿dejaremos nosotros de ver al hombre sentado en el solio de los dioses? ¿Seremos con la doctrina de Tiberghien menos antropomorfistas que los antiguos? Y ¡cuidado que para mí Tiberghien es el más concienzudo definidor krausista!
E. — Duro estás, amigo.
M. — Es imposible retener los juicios que espontáneamente brotan de razonamientos tan por lo finito. Por otra parte, ¿cómo concibe el autor la conciencia de sí mismo y su fin? ¿Adónde nos lleva filosóficamente por camino tan inseguro? La concien-
La Escuela moderna (Madrid) (1918-08-01 00:00:00), página 40

Potencias. — La Tabla comprende las potencias 2.ª a 9.ª de los números dígitos (cualquiera potencia de 1 es 1; por eso no se pone).

Cuadrados. — Para hallar cualquiera de ellos, multiplíquese por 2 el número que tiene a la cabeza la columna donde esté el número; el producto indica el de la columna donde se encuentra el cuadrado buscado.

Ejemplos:
Averiguar 25² en la 5.ª horizontal, 2.ª columna; la potencia 625 está en \(2 \times 2 = 4\).ª columna.
Sea encontrar 4096² en la 8.ª horizontal, 4.ª columna; la potencia 16777216 está en la \(4 \times 2 = 8\).ª columna.

Cubos. — Para hallar cualquiera de ellos, multiplíquese por 3 el número que tiene a la cabeza la columna donde esté, y el producto indica el de la columna donde se encuentra la tercera potencia buscada.

Ejemplos:
Averiguar 8³ en la 2.ª columna, 9.ª horizontal; la potencia 531441 está en \(2 \times 3 = 6\).ª columna.
Sea encontrar 512³ en la 8.ª horizontal, 3.ª columna; la potencia 131217728 está en la \(3 \times 3 = 9\).ª columna.

Raíces. — Siendo esta operación inversa de la potenciación, para utilizar la Tabla no hay más que invertir las reglas que acabó de dar.

Ejemplos:
Sea averiguar \( \sqrt{729} \) en la 6.ª columna, 2.ª línea; su raíz cuadrada 27 está en \(6 : 2 = 3\).ª columna.
Así como las ocho últimas columnas contienen las potencias 2.ª, 3.ª, 4.ª..., 9.ª, de los números contenidos en la primera, éstos son las raíces 2.ª, 3.ª, 4.ª..., 9.ª, de aquéllas.

Ejemplos:

\( \sqrt{6561} = 3;\quad \sqrt{46656} = 6;\quad \sqrt{4096} = 8 \)

La raíz cuadrada (aproximada) de un número cuya raíz no tenga más de dos, se averigua de la manera siguiente, por medio de la Tabla auxiliar:
Sea, por ejemplo, averiguar la \( \sqrt{576} \).
Primeramente sé que puede tener raíz cuadrada exacta, porque no termina en 2, 3, 7 ni 8.
La Escuela moderna (Madrid) (1918-08-01 00:00:00), página 41

El 6, en que termina el número, corresponde en la Tabla a 4 ó 6 (1.ª columna); luego una de estas cifras será la de las unidades de la raíz.

Separando dos cifras de la derecha del 576, queda 5, cuya cifra está comprendida entre los cuadrados de 2 y de 3. Tomo la menor de estas cifras, 2, y poniendo a su derecha una de las dos averiguadas para las unidades, obtendré 24 ó 26, como raíz cuadrada del número propuesto.

En efecto, \( 24^2 = 576 \).

Otro ejemplo:

Queriendo averiguar la \( \sqrt{284} \), consulto la Tabla y por ella veo que el 4 en que termina el número corresponde al 2 ó al 8 de la 1.ª columna; luego una de ellas será la de las unidades.

Separo dos cifras de la derecha del 284, y queda 2, cuya cifra está comprendida entre los cuadrados de 1 y 2. Tomo la menor de estas cifras, 1, y poniendo a su derecha una de las dos averiguadas para las unidades, obtendré 12 ó 18, como raíz cuadrada del número propuesto.

Finalmente, por el procedimiento indicado, con sus variaciones y auxiliándose de la Tabla, pueden hallarse las raíces (de dos cifras en la raíz) en esta forma:

Como la cuadrada, la 6.ª, 10.ª, 14.ª, 18.ª, 22.ª
Como la cúbica, la... 7.ª, 11.ª, 15.ª, 19.ª, 23.ª
Como la cuarta, la... 8.ª, 12.ª, 16.ª, 20.ª, 24.ª
Como la quinta, la... 9.ª, 13.ª, 17.ª, 21.ª, 25.ª

Si al curioso lector resultara útil en algo lo explicado (único propósito que me guió al publicarlo), amplíe lo necesario la Tabla auxiliar.

ENRIQUE HURTEBISE.
Valmaseda (Vizcaya).
(Maestro de escuela.)
La Escuela moderna (Madrid) (1918-08-01 00:00:00), página 42

POR NO VACUNARSE (1)

Narración de Higiene para niños.

Una conferencia.

Pronto se corrió por todo el pueblo la noticia de que D. Antonio Correas, el ilustrado médico amigo y condiscípulo de don Ramón, iba a pronunciar un discurso en el Casino, y todos, o la mayoría, prometían acudir a oírlo.

Llegada la hora, estaba el salón de fiestas repleto de familias, abundando las señoritas.

Principió la velada con unas piezas musicales, y al terminar su ejecución hizo el presidente la presentación del conferenciante.

En medio de religioso silencio del auditorio, y embargado por la emoción, pronunció Antonio el siguiente discurso:

«Señoras y señores: Una atenta invitación de la Junta directiva, que nunca agradeceré bastante, me ha proporcionado el honor de dirigiros la palabra y la ocasión oportuna de manifestar a esta población lo que estimo la hospitalidad que me ha dispensado.

»Vine a ella para abrazar a mi condiscípulo y amigo del alma, vuestro médico, con quien compartí mis tareas escolares, mis alegrías y sinsabores, que de todo hay en la vida, y tengo que marcharme estrechando vuestras manos, porque vuestra bondad ha multiplicado el número de mis amistades. Si otra prueba de aprecio no me hubierais dado, y me habéis dado muchas durante mi corta permanencia entre vosotros, sería bastante la que estoy recibiendo en este momento, al verme rodeado de un auditorio tan selecto como numeroso, y esto pro-

(1) Véase el número anterior.
La Escuela moderna (Madrid) (1918-08-01 00:00:00), página 43

duce en mí una mezcla de alegría y de tristeza. De alegría, porque veo que os han informado de una manera lisonjera respecto a mi escasa ciencia, informe dictado por el cariño; y de tristeza, porque debo reconocer la escasez de mis conocimientos y la falta de condiciones oratorias; lo que ha de producir una decepción, con la que mal puedo corresponder a la expectación que veo entre vosotros.

»La visita a vuestro pueblo me ha producido también, desde el punto de vista higiénico, una serie no interrumpida de impresiones agradables, que me complazco en manifestaros. Sus calles anchurosas y limpias, la blancura de las fachadas, el aseo de las casas, la abundancia de aguas cristalinas para beber y lavado, etc., etc., le dan el aspecto atrayente de los pueblos saludables. Y para que todo convide aquí a la alegría de vivir, resalta hasta la belleza de vuestras mujeres, de las que tan escogida representación se ha congregado en esta velada, y a ellas me vais a permitir que dedique principalmente esta conferencia. Porque la mujer, con decir que es nuestra madre, a quien debemos amor santo, está dicho que merece hasta nuestra veneración; ella es la que después de daros la existencia nos amamanta en su pecho, nos mece en su regazo, enjuga nuestras lágrimas, nos asiste en la enfermedad, cierra nuestros ojos en la muerte y reza en el templo por nuestras almas: ni nos abandona en la cuna ni nos olvida en la sepultura. Así debemos admirarla en el hospital, cuando cubre su cabeza con el blanco tocado de Hermana de la Caridad, como cuando vemos a la sencilla aldeana al lado del pariente enfermo: la dulzura de su alma la lleva siempre al alivio del dolor y al consuelo de la desgracia.

»Para cumplir estos sagrados deberes de enfermera debemos ilustrarla los médicos, dándole a conocer los consejos de la Ciencia, para que su labor resulte provechosa. Muchas veces una práctica sencilla de desinfección o de aislamiento, en un caso de enfermedad contagiosa, evita la explosión de una epidemia; en otras, una profilaxis tan inocente como la vacunación nos previene contra la terrible viruela durante varios años: la mujer debe saber todo esto. Precisamente por desconocer y desatender estas reglas de Higiene elemental he tropezado en este viaje con dos casos desgraciados que hubieran podido evitarse a bien poca costa y os voy a referir.