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La Escuela moderna (Madrid) (1918-04-01 00:00:00), página 5

LECTURAS IDEÓGENAS

de formas por existir distintos medios y divergencias hereditarias. La eternidad de las esencias y de los elementos transformativos ha de entenderse en el sentido de que ni unas ni otros han tenido comienzo en lo fundamental.

E. — Pero han podido aumentar y diversificarse las formas, ¿no es eso?

M. — Como hijas que son de los elementos evolutivos, que presuponen el cambio como una apodíctica necesidad. De aquí que el monismo tenga solidísimos cimientos, pues admite una substancia esencial dotada de poderes transformantes: ¿hay nada más sencillo, ni lógico, ni natural?

E. — No veo que ande de eso muy lejos el panenteísmo, ya que para Tiberghien «la unidad es, pues, según toda apariencia, el carácter primitivo de la concepción de las cosas, y esta unidad abraza a la vez lo finito y lo infinito». ¿No cabe este razonar en el mismo plano que tu descarnado materialismo?

M. — La coincidencia es aparente, no real: el panenteísmo es dualístico como todas las doctrinas que se basan en un Dios diferente del Cosmos y a él superior. Lo que sucede es que, como toda doctrina ecléctica, unas veces se inclina al materialismo y otras al espiritualismo: es una concepción sinuosa, que en ciertos momentos parece sintetizar las teorías que lleva a uno y otro lado; pero no te fies de estos términos medios, en general de poco fondo y mucho aparato.

E. — ¿Pues no me has dicho varias veces que el panenteísmo es una filosofía consciente superior a todas las espiritualistas? ¿Has cambiado de opinión?

M. — De ninguna manera, lo afirmado en otras ocasiones es para mí indiscutible; porque al fin y al cabo es la filosofía más cercana a la que lleva mi alma con inenarrables cariño y convicción desde hace muchos años. Pero es ecléctica en el sentido de situarse entre las dos que vienen batallando desde que el hombre discurre, y adolece de todos los defectos, o poco menos, de las doctrinas medias.

E. — No estorba esta aclaración. «Lo infinito —dice Tiberghien— no es nada de particular, de determinado, ni bajo el aspecto del fondo, ni bajo el de la forma: es una totalidad de esencia; este es su carácter más general. Así, pues, no hay limitación en su esencia: toda limitación en lo infinito es un ele-
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la coima y la jauría del potentado triunfan y derrochan, mientras seres humanos encuentran obstruidas las vías para ganar honradamente el pan de sus hijos.

De poco sirve que la ley moral repruebe, que la conciencia condene, que los preceptos religiosos, en nombre de Dios, reclamen otro modo de ser y otro estado de cosas; falta la adaptación educacional, y aunque se quisiera, ni se puede fácilmente reorganizar el engranaje social, que, después de todo, ninguno fuera intolerable si los hombres estuviesen humanizados, ni sería oportuno truncar de golpe tantos intereses creados, que, tal vez ilícitos por la forma de aprovechamiento, suponen fuente de producción. La ineducación nos descentra en nuestros procederes ciudadanos, quedándonos unas veces cobardemente sumisos por abulia e ignorancia, esperando otras traspasar la meta del equitativo merecimiento, turbados por sueños de una igualdad incondicionada que no existe en la capacidad ni en el esfuerzo, y por los espejismos de una libertad que tan frecuentemente decurre hacia el libertinaje.

Para el imperio de la ley moral no basta únicamente la actuación de la religiosidad, jardín agostado prematuramente, si no se le suma y coadyuva la educación, la que en sí misma, y como uno de sus contenidos o valores máspreciados, cuenta con el elemento religión, de la que muchos, sin la acción educativa, tomarían lo meramente externo, construyéndose una moral sin otro contenido que ritualismos de cómodo cumplimiento, con cuya observancia ostensible apaciguarian sus conciencias, disimulando ante las ajenas, llegando su loca pretensión hasta pretender atraerse propicia con tan amañada religiosidad la Justicia divina, como ocurre a los que, habiendo promovido la indigencia con acaparamientos desmedidos de riquezas, que por ser naturales debieran ser comunales, creen cohonestar sus iniquidades desprendiéndose de algunas migajas de sus bolsillos pletóricos en forma de limosnas, que contribuyen, no a atacar en su raigambre el cáncer del pauperismo, si que a sostener la vergüenza colectiva de la mendicidad. ¡Hipócrita y misero recurso el de revestirse aparentemente del espléndido manto de la caridad, llevando esta virtud de las relaciones privadas a la vida pública, en vez de organizar ésta de forma que fuese un hecho real el derecho a la vida mediante el trabajo, asegurando la independencia económica, base de
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toda independencia, sustentada en el ejercicio regulado de las profesiones, circunscribiendo la gestión benéfica al campo de los efectos interindividuales, donde siempre encontrará la excesa virtud lugar en que desarrollar su acción bienhechora, ya que nuestra pobre naturaleza nunca dejará de proporcionar desdichas y pesares que consolar, prójimos abatidos a quienes tender una mano amiga! Eso sí que sería sana religiosidad, organizadora de una sociedad inspirada en el verdadero espíritu cristiano, vibrando en el ambiente, hecho carne en nuestra carne, trascendiendo a leyes, corporaciones, instituciones y costumbres.

A implantar este sentido cristiano en el humano fenomenismo debemos aspirar, sosteniéndolo, si fuese preciso, por las bayonetas del pueblo, sobre las que brillaría cual el día de Mursa, triunfando decididamente de los infinitos Magencios y Tartufos, para desterrar por siempre el imperio del mal dominante, encubierto bajo antifaces de convencionalismos con que barnizan su podredumbre las actuales sociedades, efectivos sepulcros blanqueados. Pero hay que librar primero una batalla en el corazón humano, obtener decisiva victoria sobre las conciencias, para cuya consecución ni existen ni han existido jamás otras armas sino la educación integral generalizada, sin la cual todas las formas y artefactos son ineficaces. Por haberlo olvidado, por haberse prescindido de tan preeminente resorte mágico, marcha el progreso a paso de tortuga, y cuantas veces se ha creído tener asegurado el reinado del bien en virtud de renovadoras convulsiones, generatrices de encomiados sistemas, se ha esfumado de entre las manos, se ha visto con amargo desengaño que el avance, gigante quizás en el orden material, ha sido paso de pigmeo para asentar el ideal que late en las almas, respondiendo a un anhelo de razón, conveniencia y justicia.

ELOY MUNDI.
(Concluirá.)
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CASO... ¡DUDOSO!

Había prometido a los lectores de esta Revista (1) decirles el medio que empleé para complacer al Sr. Gallo, y ya tenía preparado el original para mandar a la imprenta, cuando fui sorprendido con varias cartas, en las cuales compañeros cariñosos me enviaban la resolución del problemita. Entonces cambié de idea, y sin abandonar la de la publicación prometida, decidí adelantar por lo menos una de las recibidas, esperando será del agrado de quien la lea.

**

Me dice el Sr. C. M. y M., de Cuenca:
«Según el enunciado, el dinero que gastó cada persona fué el cuadrado del número de objetos por ella comprados; y como la diferencia entre el gasto de cada hombre y el de su esposa es 63, 63 es la diferencia de los cuadrados de los números que expresan los objetos comprados por cada hombre y su esposa.
Se sabe, por otra parte, que la diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de la suma de éstos por la diferencia de los mismos; luego 63 es igual al producto de la suma de los objetos comprados entre marido y esposa de uno de los matrimonios, por la diferencia entre el número de objetos comprados por el primero y el de los comprados por la segunda.
La cuestión queda, pues, reducida a buscar dos números cuyo producto sea 63; los pares de números hallados nos darán resuelto el problema.

(1) Véase el número del mes de septiembre del año próximo pasado.
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Los factores simples y compuestos de 63, contando la unidad y el mismo número, son 63, 21, 9, 7, 3, 1, y los números pares de factores que multiplicados entre sí dan 63 son 63 y 1, 21 y 3, 9 y 7; luego éstos son los únicos números que resuelven la cuestión. Y como la diferencia de dos números enteros es menor que su suma, resulta que 63 es la suma de objetos comprados por un matrimonio, 21 la de los comprados por otro, y 9 la de los comprados por el otro; 1 será la diferencia de los comprados por marido y mujer del primer matrimonio, 3 la de los comprados por marido y mujer del segundo, y 7 la de los comprados por marido y mujer del tercero.

Si, pues, representamos por \( a, a', a'' \) el número de objetos comprados, respectivamente, por los hombres, y por \( b, b', b'' \) el de los comprados por las respectivas esposas, podremos escribir:

\[
\begin{array}{ll}
(1) & a + b = 63 \\
    & a - b = 1 \\
\end{array} \text{para un matrimonio.}
\]

\[
\begin{array}{ll}
(2) & a' + b' = 21 \\
    & a' - b' = 3 \\
\end{array} \text{para otro.}
\]

\[
\begin{array}{ll}
(3) & a'' + b'' = 9 \\
    & a'' - b'' = 7 \\
\end{array} \text{para el otro.}
\]

Sumando y restando ordenada y sucesivamente cada par de igualdades, tendremos:

Para (1) \( \begin{cases} 2a = 64; & \text{de donde } a = 32 \\ 2b = 62; & \text{de donde } b = 31 \end{cases} \)

Para (2) \( \begin{cases} 2a' = 24; & \text{de donde } a' = 12 \\ 2b' = 18; & \text{de donde } b' = 9 \end{cases} \)

Para (3) \( \begin{cases} 2a'' = 16; & \text{de donde } a'' = 8 \\ 2b'' = 2; & \text{de donde } b'' = 1 \end{cases} \)

Como se ve, los objetos comprados por los maridos son, respectivamente, 32, 12 y 8; los comprados por las respectivas esposas son 31, 9 y 1. Veamos cuántos compró cada hombre y cuántos cada mujer, fijándonos en los nombres.

Antonio compró 23 objetos más que Margarita; luego Antonio no pudo comprar 12 ni 8; luego compró 32, y, por tanto, Margarita compró 9.

José compró 11 más que Eloísa; luego José no pudo comprar 8; luego compró 12; por consiguiente, Eloísa compró 1.
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Siendo esto así, Luis compró 8, y Amalia 31.
Pero \( \left\{ \begin{array}{l} a = 32 \\ b = 31 \end{array} \right. \) representan los objetos comprados, respectivamente, por los cónyuges de un matrimonio; \( \left\{ \begin{array}{l} a' = 12 \\ b' = 9 \end{array} \right. \) los comprados por los cónyuges de otro matrimonio, y \( \left\{ \begin{array}{l} a'' = 8 \\ b'' = 1 \end{array} \right. \) los comprados por los cónyuges del otro matrimonio, y pues Antonio compró 32, su esposa es Amalia, que compró 31.
Por haber comprado José 12 objetos, su esposa es Margarita, que compró 9.
Y por haber comprado Luis 8, su esposa es Eloísa, que compró 1.
Y en efecto:

Antonio...... 32 \( 32^2 - 31^2 = 63 \)
Amalia....... 31
José......... 12 \( 12^2 - 9^2 = 63 \)
Margarita.... 9
Luis......... 8 \( 8^2 - 1^2 = 63 \)
Eloísa....... 1

lo que está conforme con el enunciado.

**

El problema propuesto es curioso; pero también es cierto que pertenece a la categoría de los que no se dejan resolver a la primera por los que tratamos las Matemáticas con mucho respeto.
Leí más de tres veces el enunciado, y no acertando con los principios en que descausa su resolución, me dediqué a obtenerla por tanteo, y en esta operación me sorprendió la visita de uno de los antiguos alumnos de mi escuela, el cual, una vez enterado de lo que se trataba, se me ofreció, diciendo que él se comprometía a resolverlo por principios; admití su cooperación, y al poco tiempo me entregó la siguiente resolución, que remiti muy gustoso a mi compañero de Arija, al propio tiempo que le explicaba la procedencia y daba por terminada mi misión.
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La solución que me entregaron y remitió dice así:
«Corolarios deducidos del cuadrado de la suma de dos números:
1.º La diferencia de los cuadrados de dos números que se diferencian en 1 es 2 veces el menor + 1.
2.º Si se diferencian en 2, será 4 veces el menor + 4.
3.º id. 3, id. 6 id. + 9.
4.º id. 4, id. 8 id. + 16.
5.º id. 5, id. 10 id. + 25.
6.º id. 6, id. 12 id. + 36.
7.º id. 7, id. 14 id. + 49.
8.º id. 8, id. 16 id. + 64.

Fundándome en los corolarios 1.º y 7.º, y como la diferencia entre lo gastado por cada marido y su mujer es 63 pesetas, el mayor número de objetos que compró cada marido no puede exceder (me refiero a números enteros) de 32, ni ser menor que 8, porque la diferencia entre los cuadrados de 32 y 31 es \(2 \times 31 + 1 = 63\), y la de 8² y 1² es 63, o sea \(14 \times 1 + 49\).

Si tomo un número mayor que 32, la diferencia de su cuadrado con el de otro número cualquiera será mayor que 63, lo que demuestra que no pueden ser más de 32 los objetos de cada marido, y si tomo menos de 8, su cuadrado no llega a 63; por esta razón no pueden ser menos de 8.

Veré ahora qué números, desde 1 a 32, tienen cuadrados que se diferencien en 63.

Necesariamente, los menores han de ser aquellos cuyo duplo más la mitad, o cuyo cuádruplo más 4, etc. (lo indicado en los corolarios), den 63. Veo que únicamente sucede esto en los siguientes: 31, pues \(2 \times 31 + 1 = 63\); 9, pues \(6 \times 9 + 9 = 63\), y 1, pues \(14 \times 1 + 49 = 63\).

Luego los números que se diferencian en 63 son: 31 y 31 + 1, o sea 32; 9 y 9 + 3, o sea 12, y 1 y 1 + 7, o sea 8.

Tenemos, pues, hasta ahora (solamente por razón de la diferencia entre el importe de los objetos del marido y de la mujer):
Un matrimonio o dos o los tres pudieron comprar 32 y 31 objetos; 12 y 9, y 8 y 1.

Por el enunciado se sabe que Antonio tuvo que comprar lo menos 23 + 1, o sea 24, y José 11 + 1, o sea 12. También se sabe que Antonio compró 23 más que Margarita; luego tuvo que comprar 32, porque no hay otro número que, superando
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a 23 su cuadrado, valga 63 más que el cuadrado de otro, y se ve que 9, que corresponde a Margarita, se encuentra entre los números cuyos cuadrados pueden diferenciarse 63 del cuadrado de otro y cumple con la diferencia de cuadrados.

También sé que José compró 11 más que Elvira; luego tuvo que comprar 12, porque no hay otro número que, superando a 11 su cuadrado, valga 63 más que el cuadrado de otro, excepto el 32; pero éste no puede ser, porque si se le rebajó 11, quedan 21, que serían los objetos que compró Elvira, y el cuadrado de este número no da con el cuadrado de otro la diferencia 63.

Por consiguiente, Antonio compró 32, y José 12. Margarita compró 23 menos que Antonio; luego compró \(32 - 23 = 9\), y su marido compró \(\sqrt{9^2 + 63} = \sqrt{144} = 12\).

Elvira compró 11 menos que José; luego compró 1, y su marido, \(\sqrt{11 + 63} = \sqrt{64} = 8\).

Resulta evidente que ni Margarita ni Elvira pueden ser mujeres de Antonio; luego lo es Amalia.

Igualmente, Elvira no puede ser la mujer de José; luego lo es Margarita; y finalmente queda Elvira, y como único a quien no he designado mujer, Luis; luego éste es marido de aquélla, y Elvira compró un objeto, Luis compró \(\sqrt{11 + 63} = \sqrt{64} = 8\).

En resumen y comprobación, tendremos:

Antonio compró 32 objetos, a 32 pesetas uno... 1024 pesetas.
Su mujer, 31 objetos, a 31 pesetas uno......... 961 —
    Diferencia........ 63 —
José compró 12 objetos, a 12 pesetas uno...... 144 pesetas.
Su mujer, 9 objetos, a 9 pesetas uno.......... 81 —
    Diferencia........ 63 —
Luís compró 8 objetos, a 8 pesetas uno....... 64 pesetas.
Su mujer, 1 objeto, a 1 peseta.................. 1 —
    Diferencia........ 63 —

* * *

Mi resolución:
Este problema tiene más picardía que ciencia en su enunciado. Prescindiré de todos los datos consignados en él, menos
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del importantísimo de que cada marido gastó 63 pesetas más que su mujer, y convénsase el solucionista de que la raíz cuadrada del gasto dará el número de objetos comprados por cada uno.

**

Si la diferencia entre lo gastado por cada marido y su mujer ha de ser igual a 63 pesetas, fácilmente se comprenderá que aquí se trata de encontrar dos números que reúnan ciertas condiciones, pero que restados den 63 de diferencia.

Los números más fáciles de ocurrirsele a cualquiera son \( 64 - 1 = 63 \); los supondremos representación del gasto hecho por uno de los matrimonios (según el enunciado, 64 pesetas el marido y una peseta la mujer).

Como ambas cantidades son cuadrados del número de objetos comprados por cada uno, este número de objetos será \( \sqrt{64} = 8 \) para el marido y \( \sqrt{1} = 1 \) para la mujer, si bien ignoramos los nombres de uno y de otra.

Para intentar averiguarlo, y fijándonos en la mujer, supongamos que ella sea Margarita (no hay datos en el enunciado más que sobre ella y Eloísa).

Como Antonio compró 23 objetos más que ella, éstos serían \( 23 + 1 = 24 \), que a 24 pesetas cada uno valen \( 24 \times 24 = 24^2 = 576 \) pesetas; la compra de la mujer de Antonio valdría 576 - 63 = 513 pesetas, y como 513 no tiene raíz cuadrada entera, todo lo supuesto es falso; luego Margarita no es la que compró un objeto.

Veamos si es Eloísa. Caso de serlo, José, según el enunciado, compró 11 objetos más que ella, o sea \( 1 + 11 = 12 \) objetos, que a 12 pesetas cada uno importan \( 12 \times 12 = 144 \) pesetas, y en este supuesto, su mujer gastó \( 144 - 63 = 81 \) pesetas, que equivalen a \( \sqrt{81} = 9 \) objetos.

De lo dicho hasta ahora se deduce que:
Eloísa compró un objeto, que valió ..... \( 1 \times 1 = 1 \) pesetas.
Su marido compró 8 objetos, que valieron \( 8 \times 8 = 64 \)

\[
\text{Diferencia} \ldots \ldots \ldots \ldots 63.
\]

José compró 12 objetos, que valieron \( 12 \times 12 = 144 \) pesetas.
Su mujer compró 9 objetos, que valieron \( 9 \times 9 = 81 \)

\[
\text{Diferencia} \ldots \ldots \ldots \ldots 63
\]
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No resultando el cálculo para Antonio haciéndolo sobre el número de objetos comprados por Eloísa, hagámoslo sobre el de los comprados por la mujer de José, en cuyo caso ha de ser la llamada Margarita.

Como Antonio compró 23 más que ella, los objetos de él serían \(9 + 23 = 32\), que a 82 pesetas cada uno valdrían \(32 \times 32 = 32^2 = 1024\) pesetas, y su mujer gastaría \(1024 - 63 = 961\) pesetas, que representan \( \sqrt{961} = 31 \) objetos.

De esto deduzco que la mujer de José se llama Margarita; que teniendo su esposo respectivo Margarita y Eloísa, la mujer de Antonio sólo puede serlo Amalia, y que por la misma razón, si Antonio es el marido de Amalia y José el de Margarita, resulta fuera de duda que Luis es el de Eloísa.

Réstame dar las gracias a todos los que me ayudaron a terminar mi «Caso... ¡dudoso!» y a los atentos compañeros que para el último problema se han molestado remitiéndome soluciones (alguna de ellas demuestra que el buen humor también se acomoda con el Magisterio).

ENRIQUE HURTEBISE.
(Maestro de escuela.)

Valmaseda (Vizcaya).

CURIOSIDADES

El árbol de caucho constituye una de las más valiosas riquezas naturales de Bolivia, que cuenta con innumerables bosques de este precioso producto vegetal. En los confines de la República boliviana con el territorio de Acre hay un caucho que mide 8,25 metros en la base y rinde, un día con otro, 10 kilogramos de caucho, cuyo valor representa una renta anual de 10.000 francos.

En varias islas del mar Pacífico son muy estimados los huevos de lagarto. En las Indias Occidentales se consideran como muy delicados los de guana. Los de aligator se comen también en algunas de las Antillas. Los de tortuga son estimadísimos, tanto por los europeos como por los de otros pueblos. Los indios del Orinoco sacan de estos huevos una especie de aceite claro y dulce que usan en vez de manteca.
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LA ORTOGRAFÍA ACTUAL

A los tipógrafos, periodistas y maestros.

I

Estudiando la Ortografía de las letras que existía en uso al crearse la Real Academia de la Lengua y comparándola con la que dominaba un siglo más tarde, se nota un avance tan notable que ensancha el ánimo y hace sentir la grata satisfacción de que aún no ha desaparecido en nuestro país el espíritu de reforma y de perfeccionamiento. Pero en seguida salta a la vista el hecho de que se estacionó el estudio de esa parte de la Gramática en el siglo xix, especialmente en su segunda mitad, hasta el punto de parecer que, habiendo llegado a la perfección completa, ya no cabe adelanto ni reforma de ninguna clase.

Ciertamente que no es así, pues está nuestra escritura ortográfica bien necesitada de que se la saque del sueño o sopor en que vegeta, lo que a voces reclaman el buen nombre de la lengua de Cervantes, la Lógica y la Pedagogía para bien de la enseñanza.

La mayor parte de la incultura gramatical que se observa en nuestro pueblo hay que atribuirla a la falta de reglas ortográficas para la escritura, asentadas en principios de sentido común y dictadas por el deseo de favorecer la sencillez y la claridad.

En los principios del siglo xix, a pesar de las guerras que asolaron a nuestra nación, y que tanto preocuparon a gobernantes, patricios e intelectuales, la Ortografía castellana progresó atrevida y floreciente. En el resto del siglo, quedó aban-
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mento en lo finito». ¿Qué tiene que objetar el señor materialista de este razonamiento?

M. — Absolutamente nada. Esa doctrina se confunde con la mía o poco menos. Nosotros empleamos ese mismo lenguaje, u otro similar a él muy parecido. Por eso llamé poco ha sistema ondulante o sinuoso al de Krause: unas veces parece tocar a tu filosofía; otras se le ve concordar con la mía...

E. — ¿Cómo hemos de entender que toda limitación en lo infinito es un elemento de lo finito?

M. — Eso ya te lo he explicado más de una vez discutiendo contigo el panteísmo.

E. — No me lleves a tu doctrina: quisiera que interpretases directamente la de Tiberghien: ¿es posible?

M. — ¿Y por qué no? Don Guillermo considera como integrando lo infinito la esencia del Cosmos, hállese difundida en el mismo de un modo inconcreto, o encuéntrese formando parte de los cuerpos naturales o de los objetos fabricados por el hombre o los animales (nido, caverna, etc.). Por consiguiente, el infinito llena todo el espacio menos lo mutable, lo que da carácter a los individuos; y como esto es lo único que queda fuera de lo infinito, sólo ello puede limitarlo. Pero ¿de qué manera? Como puntos negros que en su interior llevará lo infinito, como nonadas que sobrenadasen en lo que no tiene principio ni fin.

E. — No se trata, pues, de una limitación en el recto sentido de la palabra.

M. — Y ¿cómo había de limitarse en esa forma lo que de límites carece?

E. — De aquí mis dudas: lo infinito, me decía, jamás termina, ni en lo alto, ni en lo bajo, en ningún punto lateral: ¿de qué modo puede ser limitable? Ahora lo veo claro: de ninguno. La limitación de que Tiberghien habla no es ni puede ser otra que la insignificante de los seres finitos, y ésa reducida a lo metamorfoseable, dado que sus esencias quedan incluidas en lo infinito. Muchas veces parece extraña e inconcebible una teoría porque no se entiende. No acepto esta teoría krausista, pero considero que puede concebirse por cerebros para ella dispuestos, pues tiene un algo comprensible.

M. — El fondo es panteísta, y de aquí mi casi conformidad con él.