La Escuela moderna (Madrid) (1918-11-01 00:00:00), página 61

CLASE DE ARITMÉTICA

19.º Repartir 240 manzanas proporcionalmente a los números 3, 4 y 5 (*).

(*) SUPERFICIES Y VOLUMENES.—Tabla VIII.

Algunas fórmulas y datos que es conveniente recordar en la Geometría práctica.

Teorema de Pitágoras.—El cuadrado que puede construirse sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados que también pueden construirse sobre los catetos.

Si represento por h esa hipotenusa y por a, b los catetos, este teorema se expresará así: \( h^2 = a^2 + b^2 \), y extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros, \( \sqrt{h^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \), que, simplificada, se convierte en \( h = \sqrt{a^2 + b^2} \), y traducida, dice:

Para averiguar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se elevan al cuadrado sus dos catetos, se suman estos cuadrados y se extrae la raíz cuadrada de esta suma.

Si en la expresión general \( h^2 = a^2 + b^2 \) restamos \( b^2 \) de ambos miembros, tendremos \( h^2 - b^2 = a^2 \); simplificando \( h^2 - b^2 = a^2 \) y extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros, \( \sqrt{h^2 - b^2} = \sqrt{a^2} \), que, simplificada, se convierte en \( \sqrt{h^2 - b^2} = a \); igualmente se obtendrá \( h^2 - a^2 = b^2 \), o sea \( \sqrt{h^2 - a^2} = b \), fórmulas que, traducidas, dicen:

Para averiguar uno de los catetos del cuadrado de la hipotenusa, se resta el cuadrado del otro cateto y, finalmente, se extrae la raíz cuadrada de esta diferencia.

Diagonal del cuadrado.— Nótese que la diagonal en el cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales; por tanto, siendo d la diagonal, l uno de los lados, sustituyendo en la fórmula \( h^2 = a^2 + b^2 \), tendremos \( d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2 \); extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros \( \sqrt{d^2} = \sqrt{2l^2} \), o sea \( d = \sqrt{2l^2} \), y sacando \( l = d / \sqrt{2} \), y como \( \sqrt{2} = 1,4142 \), se tendrá \( d = l \times 1,4142 \), que significa: La diagonal del cuadrado es igual al producto de cualquiera de los lados por el factor fijo 1,4142.

Lado del cuadrado.—En la misma fórmula \( d = l \times 1,4142 \), dividiendo ambos miembros por 1,4142, se obtiene \( \frac{d}{1,4142} = l \), que significa: El lado de un cuadrado es igual al cociente de su diagonal por el divisor fijo 1,4142.

Escala de Dibujo.—Con razón dice muy bien el Sr. Adsuar en su Geometría práctica: «En las operaciones topográficas y geodésicas, la escala del plano es la razón de la semejanza entre las figuras del terreno y sus semejantes dibujadas en el papel.

»La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es el cuadrado de la razón de la semejanza; así, cuando un polígono tiene sus lados de longitud dobles, triples, cuádruples de otro semejante, el perímetro del primero será doble, triple o cuádruple que el del segundo, y su área será cuatro veces, nueve veces o diez y seis veces mayor que la del segundo.

»Esta propiedad da origen a la siguiente regla para ampliar o reducir un polígono o dibujo en una razón dada: La escala ampliada o reducida se obtiene extrayendo la raíz cuadrada de la razón dada; v. gr.: si se desea obtener un dibujo 9 veces mayor que otro dado, habrá que multiplicar cada línea de éste por la raíz cuadrada de 9, o sea 3; si se quisiera duplicar, se multiplicaría por \( \sqrt{2} \), etc.; análogamente, si se desea reducirlo a su centésima parte, cada línea sería la décima parte de su homóloga del dibujo dado, puesto que \( \sqrt{100} = 10 \), etc.»