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temer se debilite notablemente, si no perece, en la enseñanza normal. Don José enseñaba teórica y prácticamente que la disciplina es la tesorera del tiempo, nervio de los reglamentos y alma mater de la enseñanza. ¡A él podían ir a quejarse de los profesores los alumnos bigardos que pretenden conseguir la aprobación, que no merecen, con las armas de la calumnia y de la violencia!...

El carácter y la firmeza de voluntad de D. José Ruiz me enseñaron más que los libros; y como dato curioso citaré que en el Escalafón de profesores de Escuelas Normales abundan los hijos de la provincia de Cuenca.

Muy de veras celebraré que Cuenca pueda contar pronto con Escuelas Normales que continúen la obra, y la mejoren en lo posible, de aquellos dignos profesores que se llamaron Ruiz, Yeves, Gironés, Pesquero y otros, que supieron enaltecer su cargo y sacar maestros conquenses distinguidos, de cultura pedagógica y religiosa tan necesaria al mentor de la infancia.

LORENZO NIÑO Y VIÑAS.
(Profesor de la Escuela Normal de Salamanca.)

PENSAMIENTOS PEDAGÓGICOS

La vida del hombre es una lucha continuada; la escuela y el templo, los arsenales donde se arma para el combate.

Así como el diamante, sólido, duro, obra espléndida de la Naturaleza, no puede tallarse sino con otro diamante, de la misma manera el alma pura y noble no alcanza la perfección sino por el contacto con lo que es noble y puro.

Deben buscarse los mejores métodos, no tanto para obtener con ellos grandes resultados, cuanto para mostrar a los alumnos el camino que conduce a obtenerlos; de suerte que el método debe ser también una enseñanza.

¿Puede haber misión más elevada que la de habituar a la infancia, a la adolescencia y a la juventud, a la moral y al trabajo?
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¿ARITMÉTICA SERIA O ARITMÉTICA RECREATIVA?

El número mágico.

A fines de mayo último regresé de La Laguna de Tenerife, donde los deberes de mi cargo me habían retenido cerca de un mes, y me encontré con dos artículos de D. Vicente Pinedo, relativos al asunto del número 142857, insertos en LA ESCUELA MODERNA de los meses de marzo y abril.

Si el Sr. Pinedo se hubiese limitado a dar la solución de la cuestión que yo había propuesto sobre el expresado número, nada me tocaba que responder; pero el articulista aprovechó la ocasión para hacer un alarde inoportuno de erudición, sacar la cuestión de su quicio incurriendo en no pocos errores, hacer una exhibición aparatosas de su persona y tratarme de ignorante, imitando la conducta de aquellos desgraciados que creen que sólo pueden sobresalir deprimiendo a los demás.

Esta conducta me puso en el caso de escribir una contestación a dichos artículos, no sólo para rectificar los errores que contienen, sino también para rechazar los conceptos desfavorables que se emiten sobre mi persona.

Envíe mi artículo a LA ESCUELA MODERNA, en sobre cerrado y franqueado como carta, y a pesar de esto, he sabido después que mi artículo no ha llegado hasta el presente a la Redacción, por lo cual debe ya considerarse como perdido.

No conservando copia de la respuesta que entonces daba al Sr. Pinedo, me veo obligado a escribirla de nuevo, procurando reproducir aproximadamente mis ideas sobre el asunto.

Dos largos artículos empleó el autor de las disquisiciones que contesto, para dilucidar una cuestión que a lo sumo necesitaba tres o cuatro páginas; y si el articulista ha querido demostrar con ese alarde de erudición, que ha leído, expuesto por segunda mano en las obras de Salinas, Serrat o Sánchez Vidal,
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¿ARITMÉTICA SERIA O ARITMÉTICA RECREATIVA?

algo de las teorías de Fermat, Wronski, Gauss, Euler, Lagrange y Montierrier sobre las congruencias, puede desde luego darlo por demostrado; pero no nos salga diciendo que lo que expone «es fruto de un trabajo de investigación personal que el firmante preparaba para opositar cátedras de Normales», porque podría creerse, no sin fundamento, que el aspirante a opositor (1) se proponía aparecer en escena pomposamente engalanado con las vistosas plumas del pavo real.

Yo no veo en los dos artículos publicados por el Sr. Pinedo otro trabajo de investigación personal que el de averiguar el periodo que dan reducidas a decimal las fracciones comunes que tienen por denominador alguno de los números 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41 y 63; y esto, que, como todo el mundo sabe, se reduce a una mera división, es un trabajo de investigación personal que puede realizar un niño de nuestras escuelas primarias.

Pero, dejando aparte esos grados de suficiencia con que se exhibe el Sr. Pinedo, pretendiendo haber descubierto la pólvora, he de confesar que realmente ha acertado en la exposición de las causas de las raras propiedades del número 142857.

Ese mérito, que le reconozco con mucha satisfacción, está, sin embargo, deslucido por la poca fortuna con que en otros discurre.

Censura el articulista que yo haya llamado mágico al número 142857, y nos dice: «No hay tal magia, ni ese número es tan extraordinario como parece, ni el único que goza de las propiedades raras que ha visto con su perspicacia el Sr. Arnó; antes bien hay una infinidad de números de la misma familia del citado y con los mismos caracteres.»

Todos sabemos que nada sucede en el mundo que no tenga su razón de ser, porque es evidente que no hay efecto sin causa. Si sólo pudiéramos llamar mágico a lo que carece de causa o razón de ser, tal palabra no tendría aplicación alguna y holgaría completamente en nuestros diccionarios; pero esta palabra existe, y no puede haberse inventado sino para expresar algún concepto. Éste no puede ser otro que el de alguna cosa que nos sorprenda y de la cual ignoramos la razón o la causa.

(1) Si de oponer u oponerse se saca opositor, de opositor deberá sacarse opositor.
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Las observaciones que yo presenté acerca del número 142857 no las he visto en ningún libro, por lo menos de una manera explícita; y como la causa de los fenómenos que presenta dicho número no era conocida de la inmensa mayoría de los lectores, los cuales no han hecho profesión de investigadores para opositar cátedras de Normales, di a dicho número el calificativo de mágico, como se da a una suerte de un prestidigitador, cuando se ignoran los medios de que se vale para sorprendernos con sus hábiles escamoteos, por más que resultan hechos muy vulgares una vez conocidos los medios empleados para realizarlos.

Pero, en fin, no rifiamos por una cuestión de palabras, que es lo que menos importa, y vamos a lo substancial. Si al señor Pinedo no le cuadra la palabra «mágico», puede substituirla por otra cualquiera, que no por eso me he de incomodar.

Pretende el articulista que hay una familia muy extensa de números que gozan de las mismas propiedades que el número que he llamado mágico, y nos asegura que esa familia la componen todos los números formados por los períodos de las fracciones decimales periódicas puras, los cuales se obtienen al reducir a esta forma las fracciones ordinarias cuyo denominador es primo con 10.

Al hacer esta afirmación, el articulista, a pesar de su perspicacia, de sus investigaciones y de su seriedad, no se ha dado cuenta de una verdad sumamente sencilla; y es, que todos los números, absolutamente todos, desde el uno hasta el infinito, son períodos de dicha clase, y por consiguiente, que tales números no forman familia aparte.

Decir, pues, que todos los números de esa supuesta familia gozan de las mismas raras propiedades de que aparece dotado el número 142857, equivale a declarar que las tienen todos los números, y eso es sencilla y evidentemente absurdo.

Para comprobar mi afirmación, tómese un número cualquiera, póngasele por denominador un número de nueves igual al de cifras que contenga, reduzcase la fracción resultante a su menor expresión, y obtendremos, con reducción o sin ella, por período, el número de que se trata, si reducimos la fracción común a decimal.

Sea para el caso el número 24. Poniéndole dos nueves por denominador, se tiene \( \frac{24}{99} = \frac{8}{33} = 0'24,24 ... \) Lo mismo que
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¿ARITMÉTICA SERIA O ARITMÉTICA RECREATIVA?

digo de 24 puedo afirmar de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... 20 ... 856 ... 7538, etc., pues no tengo más que escribir \( \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{6}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}, \frac{20}{99}, \frac{856}{999}, \frac{7538}{9999} \) ...

Esto se lo habrían dicho al Sr. Pinedo las fórmulas que ha tomado de los libros, si las hubiera interpretado bien y las hubiese aplicado al caso; pero se conoce que las ha leído con alguna precipitación y no se ha fijado bien en su contenido.

Quedamos, pues, en que el investigador a que me refiero ha exagerado la nota al afirmar que hay una extensa familia de números que gozan de las propiedades del 142857, y que esa supuesta familia la componen los períodos de todas las fracciones decimales periódicas puras.

Vamos a otro punto. Como dice el Sr. Pinedo en fórmulas literales, y digo yo sin pretensiones científicas, el mayor número de cifras que puede tener el periodo de una fracción periódica pura, es tantas menos una como unidades tenga el denominador de la fracción común reducida de donde proviene; y eso lo saben todos los aritméticos, porque puede decirse que es de sentido común; pero al hacer la reducción, resulta que unas fracciones dan el máximo de cifras, o sea el período completo, y otras dan períodos muy variados de menor número de cifras.

¿Por qué sucede esto? Como no hay cosa en el mundo que no tenga su razón de ser, claro está que debe haber una teoría matemática que nos explique la causa o los principios científicos que rigen el fenómeno. Si el Sr. Pinedo hubiese dirigido sus trabajos en ese sentido, sin duda habría alcanzado mayor lucimiento. Esto habría sido un verdadero tema de investigación personal más propio, en verdad, de su talento que el de hacer divisiones y más divisiones para averiguar empiricamente cuántas cifras resultan en cada caso particular.

Desde luego puede asegurarse que el número de casos en que se obtiene período completo es muy exiguo, comparado con el número de aquellos en que el período resulta incompleto. En estos últimos casos los períodos no pueden ofrecernos las propiedades que nos presenta el originado por el denominador 7, y esto se explica fácilmente.

No siendo los períodos completos, al efectuar la división no
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se obtienen más que algunos de los residuos menores que el divisor, los cuales varían según el numerador que se atribuya a la fracción generatriz, y como consecuencia, serán distintas las cifras del cociente; luego multiplicando uno de los cocientes, o sea uno de periodos por los números sucesivos menores que el denominador, no podrán obtenerse constantemente las mismas cifras permutadas ni éstas serán complementarias a nueve.

En efecto; sea la fracción \( \frac{1}{3} \), que es la más sencilla de las que dan fracción decimal periódica pura incompleta. Su período consta de una sola cifra, que es 3, y este 3, multiplicado por 2, da 6. Sigue después por orden creciente de los numeradores \( \frac{1}{9} \) cuyo período es 1, el cual, multiplicado por 2, 3, 4, etc., da diversos productos, en ninguno de los cuales figura el 1. Luego nos encontramos con \( \frac{1}{11} \), cuyo período es 9, o si se quiere 09, que multiplicado por 2, 3, 4, 5, etc., nos da respectivamente 18, 27, 36, 45, etc., y estos productos se parecen entre sí y con el multiplicando como el día y la noche.

La fracción siguiente de la misma especie es \( \frac{1}{13} \), que da por período 76923, número que, multiplicado por 2, produce 153846.

Tomemos cualquiera otra fracción de la misma clase y se observará el mismo resultado. Así, \( \frac{1}{21} \) da 6 guarismos, \( \frac{1}{27} \) da 3, \( \frac{1}{31} \) da 15, \( \frac{1}{33} \) da 2, \( \frac{1}{37} \) da 3 y \( \frac{1}{81} \) da 9, y en ningún caso aparecen las mismas cifras permutadas y por el mismo orden, cuando el período se multiplica por los números 2, 3, 4, 5, etc. Se ve, pues, demostrado por la razón y por los hechos, que todos los períodos de esta clase de fracciones, que son la inmensa mayoría de los números, quedan eliminados de la gran familia inventada por el Sr. Pinedo.

Quedamos, por lo tanto, reducidos a examinar si tales condiciones se cumplen en aquellos que pueden ser el período completo de una fracción decimal periódica pura.

Dejando a un lado el denominador 7, del cual procede el período que he tomado por número mágico, el menor denominador que puede tener una fracción que produzca período com-
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pleto es \( \frac{1}{17} \). Si reducimos \( \frac{1}{17} \) a decimal, obtendremos toda la serie de residuos desde el 1 hasta el 16 inclusive, y por lo tanto, en el cociente figurarán necesariamente todas las cifras de nuestro sistema de numeración, y algunas de ellas repetidas. Por consecuencia, en las multiplicaciones que se hagan del periodo por los números 2, 3, 4, etc., resultarán forzosamente las mismas porque no disponemos de otras para representar los números. La variación es aquí imposible porque están agotadas todas las cifras.

Por el contrario, tratándose del número formado por el periodo del denominador 7, se observa que de las diez cifras de nuestro sistema de numeración tan sólo figuran seis, y que faltan las cifras 0, 3, 6 y 9. Esas cuatro cifras quedan excluidas de todos los productos de multiplicar el periodo por todos los números menores que el denominador, particularidad que no puede presentar el periodo de la fracción \( \frac{1}{17} \).

Todavía hay más. Al tratar de las raras propiedades que presenta mi número mágico, he hablado de números enteros y no de fracciones decimales incommensurables. Tomando, pues, el periodo de \( \frac{1}{17} \) como número entero, se tiene:

588235294117647

número que multiplicado por 2 produce

1176470588235294.

Comparando este número con el anterior, se ve que las cifras no son las mismas. En primer lugar, en el segundo hay una más que en el primero, y luego una de ellas no figura en el primero y sí en el segundo.

Si el Sr. Pinedo se empeña en sostener su tesis contra viento y marea, me objetará sin duda que bien podría haber colocado, para darle gusto, un cero antes del primero de los citados números, dando por razón que ese cero figura en el periodo decimal de \( \frac{1}{17} \).

A esta observación debo responder que no sólo uno, sino diez, veinte, treinta o mil ceros, pueden colocarse a la izquierda
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de un número entero si se quiere; pero los números enteros no se escriben con ceros a la izquierda, porque no se necesitan.

En las mismas fracciones decimales, los ceros a la izquierda no forman parte del período, esto es, del numerador. Son puramente un signo convencional que se añade para sobrentender el denominador que se omite.

Y, en efecto, si en una fracción decimal restablecemos el denominador, suprimimos siempre los ceros que llevaba a la izquierda. Así, en lugar de \(0,06\) nunca escribimos \(\frac{06}{100}\), sino simplemente \(\frac{6}{100}\); y en lugar de \(0,007\) pondremos siempre \(\frac{7}{1000}\).

Todo lo que acabo de exponer del período procedente de \(\frac{1}{17}\) puede decirse con mucha mayor razón de las demás fracciones de período completo, pues todas tienen el denominador mayor. Sus períodos contendrán todos los guarismos de nuestro sistema, y todos llevarán uno o más ceros a la izquierda.

En resumen: resulta que los números que son o pueden considerarse como períodos incompletos procedentes de fracciones comunes cuyo denominador es primo con 10, no presentan los fenómenos que nos ofrece el generado por \(\frac{1}{7}\); que los que pueden considerarse como períodos completos de la misma clase de fracciones tampoco los presentan; y como en esas dos especies está comprendida toda la serie de los números naturales desde uno hasta el infinito, se concluye que no hay ningún otro número que presente las propiedades que hice notar en el número 142857, período de la fracción \(\frac{1}{7}\).

Creo, pues, que el Sr. Pinedo no tenía razón alguna para hacer el alarde de superioridad y de suficiencia con que se ha exhibido en sus artículos, estampando, entre otras amenidades, el siguiente párrafo:

«Sin perjuicio de hacernos cargo de algunas observaciones de ambos aficionados, debemos empezar por decir que no hay tal magia, ni ese número es tan extraordinario como parece, ni el único que goza de las propiedades raras que ha visto en su perspicacia el Sr. Arnó; antes bien, hay infinidad de números de la misma familia del citado y con los mismos caracteres, sólo que su tamaño nada usual los hace desconocidos para quienes
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en sus cálculos aritméticos no pasaron de las milésimas en los decimales y de los millones en los enteros, límites entre los cuales se hallan comprendidos casi todos los números que se usan en la práctica de la vida comercial.»

Se ve, pues, que el Sr. Pinedo, a diferencia de los que califica de meros aficionados, es de los que han logrado pasar más allá de las milésimas en sus cálculos aritméticos.

Yo me quedo estupefacto y lleno de admiración al considerar los titánicos esfuerzos, la agudeza de ingenio y el prodigioso talento que habrá tenido que desplegar el insigne articulista para elevarse a tales alturas. Si no se ha vuelto calvo de tanto pensar, habrá sido sin duda por algún milagro.

Yo no sé que el Sr. Pinedo me haya examinado, ni que me conozca, ni que me haya visto nunca. Por otra parte, yo no lo aludía directa ni indirectamente en mi artículo; de modo que las frases que usa conmigo son enteramente gratuitas.

Cosa es por cierto bien singular, que uno que fué opositor a cátedras de Normales trate de semejante manera a un profesor que hace doce años lo es en propiedad de esas mismas Normales, donde enseña Matemáticas; que ha enseñado esa misma materia por largos años en los establecimientos oficiales de la América meridional y central, y que en igual ramo ha sido profesor de algunos ingenieros titulares de los Estados Unidos.

Por lo visto, el Gobierno español, varios (gobiernos americanos) y otras personas que entienden algo de esos asuntos, tienen de mí una opinión muy distinta que el aspirante a profesor, que en sus cálculos aritméticos ha hecho el prodigio de llegar más allá de las milésimas.

Y si quiere el Sr. Pinedo cerciorarse de ello, no tiene más que pasar la vista por la siguiente carta que me dirigió espontáneamente uno de los ingenieros yanquis:

«March 16-1906.

»Sr. D. Pedro Arnó de Villafranca,

»Dear Sir.

»You will be quind enough to pardon the liberty I take in writing to you, without having the honor of your acquaintance, but you are to much talked about, in different papers, that you have almost ceased to be private property, and are as is seen by your envions malignant friends writings, a person
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FABRICACIÓN Y APLICACIONES DE LA PORCELANA

Deslizado el caolín en una vasija que contenga bastante cantidad de agua, para lavarlo por decantación, se tritura convenientemente, después de bien seco, por medio de unas muelas de granito, y luego se agita en unos depósitos de ladrillo, donde previamente se ha introducido cierta cantidad de agua, hasta conseguir la formación de una masa plástica muy homogénea. Una vez modelados los objetos con esta pasta, se procede a su cocción en hornos preparados de antemano, pasando, cuando ya se han enfriado, a manos de otros operarios que se encargan del barnizado o decorado, según el uso a que se destinan. En el decorado de los objetos de porcelana llegan a emplearse hasta las pinturas de mayor valor artístico.

***

Las piedras preciosas.

Os he propuesto, apreciables jóvenes, que descansáramos bajo las copas de estos gigantescos árboles para que vaciarais aquí los bolsillos repletos de los minerales recogidos durante el paseo de hoy, procediendo así entre todos a la clasificación de aquellos ejemplares más variados.

La primera clasificación hecha por vosotros no me ha satisfecho; y como el error vuestro, al bautizar unánimemente este ejemplar con el pomposo nombre de «piedra preciosa», me ha obligado a reconocer la general confusión que reina acerca de este particular, voy a hablaros, en tanto respondéis las energías físicas, ya casi agotadas en tan largo paseo, de las piedras preciosas.

El nombre de piedras preciosas que se da vulgarmente a varios minerales es demasiado subjetivo y excesivamente genérico, por otra parte. Científicamente no tiene sentido el nombre de «piedra preciosa»; pero, sin embargo, yo os voy a dar una sucinta idea de todos aquellos minerales que, con
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with whom they take an extraordinary liberty of reducing to newspaper talk.

»Now please do not misunderstand me. I thoroughly appreciate all you write, and beg to proffer my sympathy to you, as respects the ridiculous slanders, which some of those would be scientific writers pay for insertion and publication in the daily papers of this Capital. You are a foreigner I presume and are ill accustomed to brutal controversy through the medium of newspapers.

»The writers of these anonymous effusions, are not really responsable, for the sentiments which they claim as their own. That is perfectly discernable by the pen of your opponent, when trying to overthrow, the pronounced opinion, of the public scientific world, when referring to the measurement of time and light, and the rapidity of travel of the latter, taken from observations of the satellites of Jupiter.

»You know very well, but he (your opponent) does not, to what use in astronomical science, we put the satellites of Jupiter, Saturn, Uranus and Neptune. For all observations of longitude which have to be very exact, for instance the foretelling of these eclipses, etc., we do not know of any more reliable method of the measurement of time and light than by these above named satellites.

»But one can see at a glance that your opponent is thirsting for your superior knowledge but he is too proud to solicit it, and by envously contradicting you, he relies on you for the knowledge which he is sure to derive from you by contradition, and at the same time, is looked upon as a scientific light by an incompetent reader, and likewise claims the distinction of being thoroughly conversant in such matters by an ignorant public, who cannot be responsible for their opinion, as they have not studied sufficiently: while he, with a smattering of knowledge, claims to be worthy an encounter scientifically with you and thereby claim fame!!... How rediculous!

»Science is truth
Mythology, tradition and fiction is doubl.

»As I have already said, I duply and sincerely sympathize with you. But if I were you, I would abstain from defending myself against the greater part of these would be scientises, as you would deign to strike a child for not knowing more than it has learned.

»I have alwaysh ad a horror of bung what we term «newspaper famed». Controversy through the medium of newspapers is never desirable in my country. There are literary societys for that purpose. You are never realy understood, or there are disadvantages for contradictions. In the Unitet States and nearly all