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de colecciones de minerales, rocas y fósiles, materiales de construcción y preparaciones micrográficas», y, lo que es más interesante, el «suministro á los particulares que lo soliciten fundadamente de copias, documentos y datos de colecciones».

Claro está, señores, que una manifestación tan humana, tan general, de naturaleza esencialmente educativa, como este intercambio de nuestros días, no había de quedar cernida por más tiempo únicamente en las alturas, entre los hombres. Era indispensable que abatiera sus alas, que descendiera y penetrara, llevando raudales de luz y alegría, á los sagrados recintos de la niñez.

Y así es. El intercambio escolar es un hecho en España, no solamente incorporado á las doctrinas especulativas pedagógicas, sino aun al terreno práctico de la realidad, siquiera sea, por ahora, en su más sencilla expresión.

Y ya tenemos niños catalanes, niños tarraconenses, niños—¡lo diré, pese á la modestia de mis buenos amigos D. Emilio Soler y D. Jaime Poch?—niños de Rontroig, que tienen establecido el intercambio epistolar con niños de Asturias; niños de Reus con niños de Ripollet (Barcelona); niños de Madrid, del centro, con niños de la periferia, y tal vez no tardaremos en saberlo de niños españoles con franceses, con portugueses, suizos, belgas, holandeses, ingleses, alemanes, italianos, americanos, etc., etc., que á este feliz resultado podría conducirnos más rápidamente la propagación de un idioma universal, el esperanto, por ejemplo.

¡Qué campo, señores, más ilimitado se descubre para la función docente de la escuela pública primaria actual!

Reflexionemos un momento, y sentiremos vibrar el alma infantil al contacto del efluvio amoroso que se desprende de la postal, ó la epístola recién llegada, escrita por una manecita tierna como la de nuestro niño y dictada por un corazón virgen también como el suyo, pero cuyo dueño puede estar tan lejos, tan lejos, que quizá nunca le será dable verle personalmente.

Y por un impulso lógico, el niño entenderá su mirada espiritual y comprenderá que no se reduce el mundo á las cuatro paredes de la escuela, ni al término municipal de su pueblo, ni á los hombres y seres que ve todos los días.

Los sentimientos de sociabilidad y fraternidad surgirán
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espontáneos mucho antes de lo que solían, al calor de algo vivo y sentido.

Pero es preciso sacar más, mucho más partido del intercambio escolar, y para ello entréguese una sencilla máquina fotográfica á cada maestro y saquemos multitud de retratos de los niños y numerosas fotografías de casas, iglesias, torres, puentes, monumentos, paisajes, de exhibiciones de trabajos escolares (como ya lo ha hecho nuestro dignísimo compañero Delclós, y perdone nuestra indiscreción), y destinemos al intercambio todo este arsenal de vistas: animadas por una frase infantil ó una sencilla descripción epistolar. ¿Será preciso detener nuestro entusiasmo y aun nuestra imaginación ante los recursos de subidísimo valor pedagógico que puede proporcionar tal intercambio? ¿Y á si éste añadimos el intercambio de productos naturales y manufacturados, y aun de trabajos manuales? ¿No devendrá lógica y positivamente la enseñanza racional, intuitiva, pletórica de medios, tan preconizada para las lecciones de objetos? ¿No se harán indispensables los paseos y excursiones escolares, de cuya bondad y eficacia se hacen lenguas los pedagogos modernos? ¿No surgirán como por encanto los recomendados museos, y aun tal vez las bibliotecas escolares?

Con el intercambio que exponemos á vuestra consideración, cualquier niño de diez, doce, catorce años, del más apartado rincón de España, sin haber jamás traspasado los límites naturales de su pueblo, podrá contemplar, manosear y estudiar desde su escuela los productos naturales y manufacturados, y aun formarse idea de la vida artística, agrícola ó comercial de cualquier otro pueblo de su patria y aun de más allá de su patria.

¿Sería posible entonces la enseñanza libresca, rutinaria y memorista que todos anatematizamos? ¿No sería el mejor libro de clase la epístola, el producto, la reseña, el retrato, la vista fotográfica, no la que ya vemos todos los días, no la que tenemos al alcance de la mano desde que nacimos, sino la nueva, la recién llegada de luengas tierras, la vivida por otras almas infantiles tan curiosas, tan propicias á la sorpresa y á la novedad?

Porque cualquiera puede haber observado el esfuerzo pedagógico que el maestro debe hacer para despertar en sus alum-
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nos sentimientos de subido valor escolar ante la contemplación de cosas ó fenómenos familiares á los niños. Es que en este caso falta la novedad, la sorpresa, estas dos grandes palancas de la enseñanza.

Algunas de las consideraciones expuestas nos sugieren la conclusión quinta, ó sea «que el intercambio escolar es un anticipo intensivo y extensivo de la vida de relación del educando con la obra de Dios, con sus semejantes y con la obra de éstos».

Las demás conclusiones, unas quedan también comentadas, otras señalan las dificultades que habrán de vencerse; no faltando algunas que insinúan los medios que podrían ponerse en práctica para hacer obra fructífera y grata á la sociedad. Ya en este punto, creo que vuestra ilustración me releva de ser más extenso abusando de vuestra benevolencia; pero permitidme que antes de terminar haga una declaración, y es: que cuanto más he reflexionado sobre el tema que tuvo á bien señalarme la ilustre Comisión encargada de llevar á cabo estas conferencias, más se arraiga en mi ánimo la convicción de que con el intercambio escolar se ha dado con un filón tan inagotable y de tal valor educativo-instructivo, que explotado con amor y sabiamente por nosotros, secundados eficazmente por Gobiernos y Corporaciones, quedaría metamorfoseada en pocos años la enseñanza primaria de nuestra patria; patria tanto más venerada cuanto más vilipendiada por los que desconocen sus grandes virtudes.

ANTONIO GALÉS Y PALOMA.
(Maestro público en Madrid.)
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ARITMÉTICA PRÁCTICA

Con mucho gusto he leído los trabajos publicados en la La Escuela Moderna por los Sres. Arnó y Pinedo, sobre todo los de éste; que revela un absoluto dominio de las más abstrusas cuestiones aritméticas, muchas de ellas curiosas, dificilísimas, transcendenciales por sus consecuencias, leyes de relaciones numéricas que descubren y por la utilidad de sus aplicaciones prácticas á las necesidades ordinarias de la vida, al desenvolvimiento de otras ciencias ó al de la misma Aritmética; mientras que otros propuestos ó teorías, siendo complicadísimos, sólo sirven como magníficos ejercicios de cálculo, como encumbrada gimnasia intelectual, pues aunque envuelven intrincadas relaciones numéricas (no de las magnitudes, sino de las cantidades apreciadas según nuestro convencional sistema de expresarlas ó simplemente las relaciones de esos signos de expresión), ni tienen utilidad práctica ni influyen en el sistema ó cuerpo de doctrina científico á que pertenecen, tanto que se puede llegar á la más alta posesión de la Ciencia y sus aplicaciones prácticas sin conocerlas. Tal sucede con los teoremas de Fermat y Wilson (muy señores míos, quienes por mediación de Serret me dieron unas cuantas malas noches, hace veintisiete años, y de cuyas logomaquias de congruencias, números socios y amigables, maldito lo que me acuerdo). Verdad que yo, como no terminé ni consolidé mis estudios matemáticos, me encuentro algunas veces con dificultades para aplicar los principios generales de esa ciencia á algunos problemas; se me hace difícil encajarlos en las fórmulas, plantearlos ó desenvolverlos adecuadamente según la regla. Entre estos casos se encuentra el del problema que expondré á continuación, y en el cual no he sabido hallar la relación que une sus datos, ley de esa relación ni procedimiento de carácter general para resolverlo. Desde luego, ni por ecuaciones de primero, segundo
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grado ni bicuadradas es soluble; no sé si habrá forma de plantearlo para resolverlo haciendo uso de ecuaciones de grado superior. Ni con los repartimientos proporcionales, ni con las proporciones aplicadas á la regla de falsa posición, he podido hallarle solución. Tal vez será el problema indeterminado —así sucede, aplicando las ecuaciones, por producirse un sistema con más incógnitas que ecuaciones—; pero lo cierto es que tiene solución exacta y única de cantidades tan fijas y en función unas de otras que, alterando cualquiera de las que pertenecen á una incógnita, no admite solución, ni cabe compensar con alteraciones de los valores correspondientes á las restantes. Habiendo coincidido la proposición de ese problema con la lectura de los artículos del Sr. Pinedo, al no poderlo yo resolver científicamente me permito recurrir á su pericia, para que si conoce la forma de resolverlo mediante las enseñanzas y recursos de las Matemáticas, que tan bien domina, se sirva ilustrar el caso, en la seguridad de que ha de ser trabajo de tal índole más provechoso que las elevadas lucubraciones sobre las generatrices de las fracciones periódicas provenientes de quebrados cuyo denominador sea primo ó compuesto de factores primos con la base del sistema. He aquí cómo se me planteó el problema:

«Se ha comprado en una feria, con 100 duros, 100 semovientes, que son: vacas á 10 duros, carneros á duro, cerdos á 3 y gallos á real. ¿Cuántos semovientes de cada clase se compraron?

Traducido al lenguaje algebraico, puede exponerse así:

\[
\begin{cases}
a \times 10 = b \\
c \times 1 = d \\
f \times 3 = g \\
h \times \frac{1}{20} = m
\end{cases}
\]

ó mejor

\[
\begin{cases}
10a = b \\
c = d \\
3f = g \\
\frac{h}{20} = m
\end{cases}
\]

pero

\[
a + c + f + h = 100 = b + d + g + m = 10a + c + 3f + \frac{h}{20}
\]

Ya se echa de ver que para que varios enteros que suman 100 y que multiplicados por varios factores la suma de esos productos ascienda también únicamente á 100, tiene que haber enteros y fraccionarios entre esos factores para que los quebrados propios, actuando de coeficientes, al tomar solamente
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parte de alguno de los multiplicandos, aminore éstos y se compense con esa disminución el aumento que han de tener los otros sumandos afectados de coeficientes enteros. También resalta, á poco que se medite, que el número entero cuyo coeficiente es \( \frac{1}{20} \), al tener que arrojar duros completos por darlos así los otros productos y ser la suma número entero de duros, tiene aquella incógitá que ser 20 ó múltiplo de 20, no pudiendo pasar de 80. Igualmente se puede calcular que las vacas (a) no pueden llegar á 10, porque entonces ellas, á 10 duros, valdrían los 100 que se han de emplear entre todos los semovientes; ni los carneros (c) pueden pasar de 78, dado que el restante ganado ha de ascender cuando menos á 22 cabezas, y que los cerdos (f) no pueden pasar de 28 para dar margen á que haya para una vaca, un carnero y 20 gallos, que es el minimum que puede haber de éstos, cuyos valores ascienden á 14 duros, que con 87 á que ascenderían 29 cerdos á 3, ya se pasaba de los 100 duros. Tenemos, pues, que los números posibles de cada especie de ganado y sus valores — entre los que se encontrarán los que satisfagan la proposición — son los que siguen:

    Número de vacas.
    Sus valores.
    Número de carneros
    Sus valores.
    Número de cerdos.
    Sus valores.
    Número de gallos.
    Sus valores.

    1
    10 $
    1
    1 $
    1
    3 $
    20
    1 $

    2
    20
    2
    2
    2
    6
    40
    2

    3
    30
    3
    3
    3
    9
    60
    3

    4
    40
    4
    4
    4
    12
    80
    4

    8
    80
    77
    77
    26
    78

    9
    90
    78
    78
    27
    81

Ahora bien: si combinamos los números que indican las cantidades de semovientes de estas cuatro series, haciendo la combinación de serie á serie (como si fueran objetos distintos ó cifras de diferente color las de cada serie) de forma que en cada combinación no entre más que una cifra de cada color ó de serie distinta, con las 119 cifras de las cuatro series, tomada una á una en cada serie, formando grupos de á cuatro, se construirían 78624 combinaciones; y si á todas las que arrojaran la suma de 100 poníamos debajo los valores á que ascendían las correspondientes cabezas de ganado, tendríamos que encontrar alguna, puesto que la hay, que resolviera el problema.
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nan á la naturaleza humana y son muy poco eficaces, y que no sólo disminuiría ella en alto grado los crímenes y los delitos, sino evitaría también las numerosas malas influencias que vician, corrompen, embrutecen, trabajan, agitan, perturban y hacen infelices al individuo, á la familia y á la sociedad.

Actualmente la Humanidad, por las deficiencias en la educación y aun en la instrucción necesaria, por su incultura, por su ignorancia, se halla á menos de la mitad del camino que media entre el salvaje, de que trae origen, y el hombre realmente culto: no ha salido aún de su infancia. Son hoy los pueblos agrupaciones de semibárbaros en su mayor número, más ó menos disfrazados TODOS por la hipocresía. Esta es la verdad.

Para sacarlos de tan lamentable estado no hay otros medios ni recursos que la educación dada oportunamente á la niñez de la manera que le he dicho; la instrucción más apropiada á las circunstancias de las personas, depurada del error, sólida y suficiente, y el fomento de la moralidad en todas las esferas sociales; medios que, hábilmente organizados, pueden traer, ó, mejor dicho, traerán no sólo inmensos beneficios para el individuo, sino el mayor grado posible de orden público, la paz, el sosiego, la verdadera grandeza, el mejor poder y la ventura de las naciones.

Por esto, claro como la luz del día, me parece vergonzoso y deshonroso para los legisladores y los gobernantes de las naciones civilizadas que no intenten aún promover la organización del arte de educar ni procuren que aparezcan sus verdaderos métodos, ni que de modo alguno se formen profesores para su ejercicio; el cual no es, como por lo general se entiende ahora, el de instruir simplemente.

Y lo juzgo todavía más vergonzoso al considerar que, castigando como delito el Código penal la imprudencia temeraria que origina un grave daño; teniendo á la vista los expresados directores de la sociedad la significativa luz de este concepto, no llegan á comprender que, por su atroz imprudencia en abandonar la educación moral, dejando de cumplir su deber de hacerla efectiva y eficaz, son ciertamente responsables de todos los males que los niños de su tiempo, no educados, causen otro día por consecuencia de ello á los miembros de la sociedad que dirigen, y de los que los mismos individuos, ya hombres, atraigan sobre sí con su conducta.
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satisfaciendo las condiciones propuestas y en función de sus datos. Por ejemplo:

\[
\frac{1'' + 1' + 1' + 20'' = 23 \text{ cabezas}}{10 + 1 + 3 + 1 = 15 \text{ duros}}, \text{ primera combinación;}
\]

\[
\frac{9 + 78 + 28 + 80}{90 + 58 + 84 + 4}, \text{ última combinación, no satisfacen;}
\]

\[
\frac{7' + 12' + 1' + 80'' = 100}{70 + 12 + 3 + 4 = 89}; \quad \frac{9 + 1 + 2 + 60 = 72}{90 + 1 + 6 + 3 = 100};
\]

éstas no satisface cada una más que una sola condición.

Así, por tanteos, he podido hallar la combinación que resuelve el problema, pues pensar en las 78624, es pensar en lo imposible. (No me refiero á las combinaciones algebraicas que se pueden formar con 119 objetos, cuatro á cuatro, y que son, salvo error, 7 : 946001.)

La solución del problema que nos ocupa no se facilita porque se exprese el valor en reales, aunque varía de expresión:

\[
a + b + f + h = 100 \quad b + d + g + m = 2000 = 200a + 20c + 60f + h
\]

De igual índole es el siguiente: dos hermanos compraron, con 100 duros cada uno, 100 semovientes, también cada uno. El mayor compró pollos á 5 reales, lechones á 3 duros, carneros á 2 y conejos á peseta. Al menor le costaron los pollos á \(1/2\) duro, los lechones á 3, los carneros á duro y los conejos á peseta. ¿Qué cantidad de cada clase compraron? Ó este otro, que lo pondré resuelto: borregos á duro, carneros á 3, lechones á 4 y pollos á 2 reales.

    30 borregos á duro
    son 30 duros.

    15 carneros á 3
    45

    5 lechones á 4
    20

    50 pollos á \(2^{1/2}\)
    5

    100 semovientes
    100

Lo mismo pudieran ser 80 objetos por 80 duros ú otra cantidad distinta del número de objetos.

Y ahora reproduczo la pregunta: ¿Tienen las Matemáticas medio para resolver esta clase de problemas sin apelar á tanteos ni combinaciones, que á este efecto son como la carabina de Ambrosio? Si fueran dos solamente las clases de objetos,
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planteándolo en forma adecuada, podría resolverse mediante el cálculo del segundo caso de la regla de aligación, ó sea aplicando la ley de proporcionalidad inversa. En efecto; si nos dijieran que con 100 duros se compraban 100 semovientes, carneros á 3 duros y gallos á 10 reales, proponiéndonos averiguar cantidad de cada especie, pondríamos el caso: puesto que el precio medio á que resultan es á 20 reales, siendo el de los objetos que se han de mezclar 60 y 10 respectivamente, entrándolos en proporción inversa á las diferencias con el precio medio, ó sea 40 gallos por cada 10 carneros, y para reunir 100 cabezas dividiríamos este número en partes proporcionales á 10 y 40, ó sea en relación de 1 á 4. Pero en siendo más de dos las especies no he encontrado manera verdaderamente práctica de resolverlos, ni procedimiento general á que pertenezcan, sea por la indeterminación de sus datos, sea por insuficiencia mía. Yo agradecería mucho al Sr. Pinedo que, si existe algún recurso para solucionar esos problemas, trate del asunto con su reconocida competencia, y crea que, sin ser menos serio, será su trabajo, para muchos, de mayor utilidad.

Eloy Mundí.

Salvatierra, junio de 1911.

Nota importante.—Si la naturaleza de los elementos que constituyen los datos fuese susceptible de fraccionarse, pudiera resolverse el problema combinando el cálculo de la aligación alternada con el de falsa posición. Supóngase 20 los gallos y suprimase los carneros (por ser su precio el del precio medio), transformando los duros en reales, y planteándose resultaría:

\[
\begin{array}{l}
+ a \ldots \ldots 200 \\
+ f \ldots \ldots 60 \\
+ h \ldots \ldots 1 \\
\hline
100
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 19 \\
20 : a = 220 : 19 \\
a = 1'7272 \\
\frac{380}{220} = 1'72 \\
f = 1'7272 \\
h = 20'0000 \\
\hline
23'4544
\end{array}
\]

pero \(23'454 : 100 = 20 x\), y también

\[(1'72 + 1'72 + 20) \times \frac{100'000}{23'454}\]

ó simplemente

\[23'454 \times 4 = (20 + 1'72 + 1'72)4\]
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que nos daría

\[(80 = a) + (6'90 = f) + (6'90 = a) = 93'80\]

Haciendo á \(c = 6'20\), tendríamos

\[h + f + a + c = 100\]

siendo sus valores

\[80 \times \frac{1}{20} + 6'908 \times 3 + 6'908 \times 10 + 6'20 \times 1 = 4 + 30'72 + 69'08 + 6'20 = 100\]

Otra solución sería hacer á \(c = 10\), y entonces

\[
\begin{array}{r}
a + \ldots \ldots \ldots \ldots 200 \\
f + \ldots \ldots \ldots \ldots 60 \\
h + \ldots \ldots \ldots \ldots 1 \\
\hline
100
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{r}
\ldots \ldots \ldots \ldots 19 \\
\ldots \ldots \ldots \ldots 19 \\
\ldots \ldots \ldots \ldots 180 + 40 = 220 \\
\hline
268
\end{array}
\]

\[a = 19 \times \frac{90}{258};\quad f = a;\quad h = \frac{220 \times 90}{258}\]

Ahora bien: no pudiendo comprarse milésimas de cabezas de ganado, no son reales las soluciones anteriores. Queda, pues, en pie la duda más ó la dificultad del propuesto.

VALE.

MODO DE MARCAR LA ROPA

Para marcar la ropa blanca de color azul, se escribe en la tela con percloruro de hierro. Después de escrito lo que se desee, deben dejarse secar las letras, y se pasa por encima de ellas una solución de prusiato amarillo de potasa, y al cabo de un rato se lava el lienzo en agua clara durante media hora.

CURIOSIDADES

Sólo diez periódicos diarios de los más importantes de Londres han percibido en un año 10 millones de duros por anuncios. Las grandes casas productoras gastan un dineral en publicidad. Dos fábricas de jabón destinan más de un millón de duros anuales á la propaganda de sus productos.

En Inglaterra se fabrican anualmente 600.000 bicicletas, cuyo valor es de más de 16 millones de duros.
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VIII CONVERSA PEDAGÓGICA PROVINCIAL EN MORA DE EBRO

Preludio sinfónico.

El ciclo de las conversas tarraconenses, tan brillantemente iniciado en Tarragona, ha terminado con no menos brillantez en Mora de Ebro; empezó en la costa del mar latino, que tan generosamente ha transportado las civilizaciones por todas partes donde son recibidas las caricias de sus brisas y los besos de sus azules ondas, y ha terminado en la ribereña Mora, cuyos pies bañados son por las turbias y tranquilas ninfas del río que diera nombre á la península, cuyo cuerpo recostado se halla en sólido ribazo, y cuya cabeza levanta atrevida en medio del fertilísimo y extenso valle, orgullosa de su envidiable situación, de la fertilidad de su suelo, de la riqueza que subyuga entre sus pies y del glorioso porvenir que se le brinda para el día no lejano que sepa explotar los millones de millones que hoy sólo pasan ante su vista y rozando sus casas sin atreverse á penetrar en ellas; orgullosa también de la fuerza de la considerable masa líquida que tranquila y silenciosa desfila ante su indiferente morada, explotará el día que se decida á arrancar por millares los caballos de fuerza perdida que sean transportados por hilo conductor en forma de energía eléctrica á todas las partes del hispano suelo. Se cerró el ciclo de las conversas que empezó en la vieja Tarraco y ha terminado en la joven Mora, cuyo solo nombre evoca misterios, esperanzas, amores, añoranzas; cuya sola vida alegra el corazón, inclina la inteligencia y subyuga la voluntad; en Mora, por cuyas tortuosas calles se oyen alegres canciones de la gente moza, cuyas noches son de amor interminables idilios, y cuyos días son alegres como la vida que la circunda por todas partes. Pues en esa Mora de mis amores, de mis ensueños, se ha dado cima al primer ciclo de