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Todos los demás son permutaciones de éstos y los complementarios pueden averiguarirse fácilmente como se ha visto.

Estas propiedades de que gozan los números primos con la base del sistema de numeración, llevaron á Fermat á demostrar la congruencia de su nombre:

Si p es un número primo y a un número no divisible por p, se verifica:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mód. } p) \quad \text{o bien} \quad a^p \equiv a \ (\text{mód. } p)
\]

De otro modo:
Si a es un número entero no divisible por el número primo p, éste será divisor de \( a^{p-1} - 1 \).

Con este famoso teorema se halla relacionado este otro, que abarca varios extremos importantes:

Si se dividen por un número p las potencias sucesivas de otro a, primo con el anterior:
1.º Cada división da un resto mayor que cero.
2.º Antes de p divisiones se obtiene el resto 1.
3.º Todos los restos anteriores al resto 1 son desiguales.
4.º Los restos posteriores al resto 1 son los mismos anteriores repetidos periódicamente.

Fundándose en esta proposición, se demuestra en general, para cualquier número fraccionario de cualquier sistema de numeración, que

Todo quebrado irreducible cuyo denominador sea primo con la base del sistema en que esté escrito, es la generatriz de una fracción periódica pura en dicho sistema.

De esta proposición son consecuencia varias de las propiedades explicadas, entre ellas la de que el número de cifras del periodo es \( b - 1 \) ó un divisor de \( b - 1 \); así como si el denominador, sin ser primo absoluto, es primo con la base, origina un período con tantas cifras como indique un divisor del número de los enteros menores que este denominador y primos con él.

Por ejemplo, en nuestro sistema la fracción \( \frac{1}{39} \), cuyo denominador es \( 39 = 3.13 \), engendrará un periodo que tendrá

\[
\frac{39}{3.13} = \frac{39}{39} = 1 \quad \text{y} \quad 1 \times 2.12 = 24
\]

números primos con 39 y menores que él.
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Pues bien: el período tendrá 24 cifras ó un divisor de 24, y efectivamente

\[
\frac{1}{39} = 0.025641
\]

es decir, 6 cifras, y 6 es divisor de 24.

En la fracción \( \frac{1}{63} = \frac{1}{3^2.7} \), como los números primos con 63 y menores que él son \( \frac{63}{3.7} = \frac{63}{21} = 3 \), y \( 3.2.6 = 36 \), el número de cifras del período será 36 ó un divisor de 36, y reduciendo á decimales la fracción propuesta, se halla

\[
\frac{1}{63} = 0.015873...
\]

esto es, 6, que es divisor de 36.

Reduzcamos á decimal una fracción ordinaria irreducible cuyo denominador sea primo con 10, esto es, con la base.

Llamemos \( \frac{a}{b} \) á esta fracción.

El procedimiento empleado exige dividir primero \( a \) entre \( b \), y si \( a < b \) el cociente será cero y el resto \( a \). Para continuar la división hemos de formar los dividendos parciales escribiendo ceros á la derecha de cada resto, lo cual equivale en realidad á multiplicar \( a \) por las potencias sucesivas de 10, con lo cual se formará la serie de dividendos

\[
a, \ a.10, \ a.10^2, \ a.10^3, \ ... \ a.10^n, \ ... \ a.10^k, \ ...
\]

Como \( b \) es primo con \( a \), por ser irreducible la fracción, el resto no puede ser cero; como también es primo con 10, lo será con sus potencias, y la división de \( a.10, \ a.10^2, ..., \ a.10^n \), por \( b \), tampoco será exacta; luego ningún resto es cero.

Si los restos son iguales entre sí, originarán iguales dividendos, y por ende, cocientes iguales; habrá período de una cifra. Si los restos fueran desiguales entre sí, los dividendos serían también diferentes, y hay posibilidad de que aparezcan siempre cifras desiguales en el cociente; pero esta hipótesis no es posible, porque los restos han de ser siempre menores que el divisor, y números menores que el divisor \( b \) sólo hay \( b-1 \); luego antes
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LA PENA DE MUERTE

y simultáneos abandono de la educación moral de la niñez
y tolerancia de las malas influencias sociales.

Pensándose hoy en abolir la pena capital, y aunque desde hace mucho tiempo ha sido en todos los países civilizados muy debatida la cuestión jurídica originada por esa idea, creo conveniente y muy oportuno ilustrar ahora sobre ella á la opinión pública.

Con este objeto quisiera reproducir en la prensa periódica lo que, impugnando las leyes que establecen la mencionada pena, he dicho en conferencias, en mis libros y en dos solicitudes que, en abril de 1892 y julio de 1893, elevé á las Cortes pidiéndoles su derogación.

Pero haciéndolo imposible la mucha extensión de los mismos trabajos, habré de limitarme á demostrar la injusticia de las expresadas leyes con la doctrina de un artículo que, residiendo en la Habana en el año 1906, publiqué en La Opinión Nacional, diario político de dicha capital, y de una carta que algunos días antes dirigí al Presidente de aquella República.

El artículo decía:

«Al pasar hoy frente á un grande edificio de esta población, en la que acaban de ser condenados á muerte tres desgraciados, parecióme oír que dentro de él se decía: —¡Á estudiar!..., ¡á estudiar!, para no asesinar fríamente por ignorancia.» — Quise convencerme de que no estaba bajo el influjo de una ilusión; y acercándome al mencionado edificio, cuyo aspecto me reveló era una cárcel, aplicando bien el oído, percibí claramente las siguientes lamentaciones que de su fondo salían en voz impregnada de profunda tristeza:

«Si el Poder público, si vuestros antecesores en él hubieran cumplido sus deberes respecto á mi educación en la niñez, yo
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de \( b \) divisiones ha de presentarse alguno de los restos anteriores; es decir, la decimal es periódica.

Llamemos \( a \cdot 10^r \) y \( a \cdot 10^k \) dos dividendos consecutivos que dan restos iguales divididos por \( b \), y que entre ambos no haya otros de esas condiciones.

Como estos números son congruentes respecto del divisor, la diferencia de ellos será un múltiplo de ese divisor; luego

\[
a \cdot 10^k - a \cdot 10^r = \dot{b}
\]
[A]

y sacando \( 10^r \) como factor común,

\[
10^r(a \cdot 10^{k-r} - a) = \dot{b}
\]
[B]

Si \( b \) divide á este producto, como es primo con \( 10^r \), dividirá al otro factor, lo cual exige que

\[
a \cdot 10^{k-r} - a = \dot{b}
\]
[C]

y como la diferencia de estos números es un múltiplo de un tercero, los dos serán congruentes con respecto á este módulo; por tanto, \( a \) y \( a \cdot 10^{k-r} \) divididos por \( b \), darán restos iguales, ó sea

\[
a \equiv a \cdot 10^{k-r} (\text{mód. } b)
\]
[D]

De modo que el resto de \( a \cdot 10^{k-r} \) es el mismo que el de \( a \) dividido por \( b \), y como \( a \) es el primer dividendo, el período empieza desde la coma; luego es fracción periódica pura.

Hasta aquí la mayoría de los autores de Aritmética, como Serret, Paque, Salinas y Benítez, Sánchez Vidal, etc.; pero puede continuarse el razonamiento sin acudir al teorema de Fermat.

En efecto; de

\[
a \cdot 10^{k-r} - a = \dot{b}
\]

se deduce sacando \( a \) factor común,

\[
a(10^{k-r} - 1) = \dot{b}
\]

y como \( b \) es primo con \( a \), dividirá necesariamente á \( 10^{k-r} - 1 \), ó sea

\[
10^{k-r} - 1 = \dot{b}
\]
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Es decir, que

\[
10^{k-1} \equiv 1 \ (\text{mód. } b)
\]
ó
\[
10^{k-1} \equiv 10^0 \ (\text{mód. } b)
\]

y como \(1 : b\) ó \(10^n : b\) da uno de resto, se sigue que \(10^{k-1}\) ó bien \(10^n\), si \(k - f = n\), también dará 1 de resto dividido por \(b\), y como \(n\) tendrá tantas unidades como lugares hay desde \(10^f\) hasta \(10^k\), y entre estas potencias de 10 no hay ninguna otra por hipótesis que multiplicada por \(a\) origine dividiendo que dé resto igual á otro ya obtenido, se sigue que el período tiene \(n\) cifras.

El número de cifras del período está determinado por el número de unidades que tenga el exponente de la menor potencia de 10 que dividida por el divisor de de resto 1.

De aquí este corolario. Pues si

\[
10^n - 1 = \tilde{b} \quad \text{y} \quad 10^n - 1 = 999...
\]

se sigue que

\[
999... = \tilde{b}
\]

luego todo número primo con 10 tiene siempre un múltiplo formado de \(n\) cifras 9.

El menor número de este género es el que consta de tantas cifras 9 como cifras tiene el período, y dividido por el módulo origina los cocientes que forman dicho período.

El procedimiento seguido es el que se emplea para hallar los restos en los caracteres de divisibilidad; sólo que en ésta se atiende á los restos, y en la reducción á decimales se mira principalmente á los cocientes; pero las particularidades notadas, la relación íntima entre restos, períodos y caracteres de divisibilidad, permiten sospechar la existencia de una ley más general que las conocidas hasta el día, y de la cual todas esas propiedades sean sencillos corolarios.

VICENTE PINEDO.

Barcelona, febrero de 1911.
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BOCETO DE INFORMACIÓN MUNDIAL PEDAGÓGICA

Leyendo la Revue Pédagogique de febrero último y números aún más recientes del Schoolmaster, lo mismo que publicaciones españolas, obsérvese cuánta importancia se sigue dando á cuestiones de educación física dentro de artículos y libros rotulados con el vocábulo Pedagogía. Cuesta mucho pulir el contenido de ciencia como la nuestra, tan necesitada, por cierto, de pulimento. Continuamos colocando en ella, aparte de otras muchas cosas, retazos de Fisiología é Higiene que pegamos con engrudo ó que dejamos despegados, haciendo, verbigracia, materia pedagógica el número y forma de los huesos, el género y hora del alimento, el modo de jugar al polo, el análisis del aire que respiramos y el examen de males é indisposiciones que corporalmente padecemos. Y tenemos así un revoltijo, pero una pedagogía no.

Toda la corriente herbartiana niega que merezca decirse educación y que, en consecuencia, sea objeto de ciencia pedagógica lo que suele por doquiera todavía llamarse educación física. Herbart no logró constituir científicamente el conocimiento de los hechos educativos; pero nadie ha llegado á sistematizarlo mejor que él, según opinión muy generalizada entre los que de esto escriben. La pedagogía de Herbart, según frase de Compayré, ya «aspira á ser ciencia», y ante ella, «por primera vez en la historia de la educación, nos hallamos en presencia de un cuerpo de doctrina fuertemente organizado», sin que admita más hechos educativos que los que tienen la instrucción por fundamento. Instruir el cerebro es construirlo. Para construirlo instruyéndolo, frecuentemente aparecen como obstáculo fisiológico las condiciones físicas del individuo, y en todo caso, si bien han de tenerse muy en cuenta, puesto que la cultura se nos da en tanto que somos seres corporales, nunca son tales condiciones capaces de educarse en cuanto incapaces de ser instruidas. La nota de racionalidad que debe presidir la obra educativa, la cual es más obra de quien se educa que de quien educa, debe residir en toda naturaleza educanda. Nuestro cuerpo, al igual que las
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plantas, puede y debe ser cultivado, ó sea, desarrollado y fortalecido; pero la salud, que es el término é ideal de esa acción, no es el objeto y fin de la Pedagogía. La salud es contenido de la Higiene, como el desenvolvimiento y robustez lo es de la Gimnasia; la respiración, de la Fisiología; la hora y forma del alimento, cosa de la Cocina; el corregir deformaciones, de la Terapéutica, y el tejido y coste de los vestidos, de la Indumentaria. Todo eso no es, no debe ser materia pedagógica si queremos una real y propia ciencia de la educación humana, ciencia de educación y no amasijo de cosas.

Pero en contra de esos quereres herbartianos están las costumbres. Los libros y los artículos siguen tratando de educación física. Así titula las conferencias que da en Madrid el benemérito Dr. Tissié, ilustre director de la Liga francesa en pro del mejoramiento de la raza, cuyos provechosos esfuerzos responden al lema:

Pour la Patrie. (Par l'École
                Par la Caserne
                Par le Foyer.

Mejor nombre, en este solo respecto mirado, tiene la revista órgano de dicha Liga, Revue d'Hygiène Scolaire et des jeux scolaires, como lo tiene el órgano de la Liga nacional belga, Revue Gymnastique. Lo mismo que el Dr. Tissié en Madrid, que M. Langlois du Feu en Cataluña, y que periódicos y libros en Francia y España, la obra De la educación física, intelectual y moral, de Spencer, también nos habla de educación física, no obstante de que en Inglaterra, ya en 1879, Alejandro Bain imprimía en su Education as a Science: «That this department may be kept quite separate, important though it be.»

Esto importa á nuestra ciencia: apartar y tener completamente separada la hoy llamada educación física. En tal sentido conviene un tanto M. Carlos Chabot en su artículo Revue des livres de Pédagogie, que inserta el periódico mensual de la casa Delagrave. Entre los quince libros de que da cuenta, desde El Problema de la Educación de L. Dugas, al de D. Rufino Blanco sobre Pestalozzi (trece franceses, dos alemanes y un español), figura el editado por la casa Alcan, de Paris, con el nombre de Medicina y Pedagogía, lecciones en la Escuela de altos estudios sociales (320 páginas en 8.º). M. Chabot reconoce que Medicina y Pedagogía no son extrañas una á otra, y que poseen concretamente
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esferas bien propias e independientes de estudios, para cada una genuinos y peculiares. Espíritus atrevidos quisieran absorber la Pedagogía en la Medicina ó en la Higiene, así como se meten extremos de estas ciencias dentro de aquélla. La Liga para la Higiene escolar en Francia sólo quiere su colaboración, según el Dr. Mathieu habla de Higiene física, moral, intelectual y afectiva. Entre el pedagogo y el médico es preciso una alianza cordial, una relación amistosa, nunca invasión de funciones. La enseñanza de lo sexual, por ejemplo, ofrece un alcance que no interesa únicamente al primero ó al segundo, y que no se limita siquiera al cuerpo, siendo, en el libro que M. Chabot critica, asunto de muchas páginas, como lo prueban los capítulos La cuestión de la educación sexual de los jóvenes (por el Dr. Mathieu), La moral sexual en la escuela (por M. Malapert), Enseñanza de cuestiones de fisiología sexual (por M. Ragnier), Enseñanza de la higiene sexual y especialmente profilaxis de las enfermedades venéreas en la escuela (por M. Butte).

La alianza del pedagogo y el médico é igual la del pedagogo y el cura podrán suponer una Pedagogía fisiológica y religiosa, pero no Fisiología y Religión aplicadas, no una Fisiología ni una Religión derivando una Pedagogía, la cual es ciencia substantiva, á la manera que la Física no se dice Matemática aplicada, ni la Biología tampoco Física y Química aplicadas á la vida.

La Academia de Ciencias Morales y Políticas de Francia, que, como es de ver, se ocupa de cosas pedagógicas más que la de España, anunció en 1909 un concurso público para el premio Crouzet con el tema Principios filosóficos de la Pedagogía. Una treintena de años atrás, en 1877, convocó sobre Historia crítica de las doctrinas de la educación en Francia para la concesión del premio Bordin. Gabriel Compayré, quien cree que de haber tomado parte en este antiguo concurso arranca su extensa labor pedagógica vulgarizadora, escribe ahora los resultados del concurso primeramente nombrado y que en orden cronológico es segundo. Dos trabajos han ganado y se han repartido el premio Crouzet, mereciendo, además, especial mención del Jurado otro que tenía por título Los Postulados de la Educación. Los premiados se llaman M. Eduard Roehrich, por su Filosofía de la Educación: ensayo de Pedagogía general, y M. Lucien Cellérier, por su Esbozo (Esquisse) de una ciencia pedagógica. Los dos concretan el asunto, los dos inquieren las leyes de la educación y
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estudian sus hechos. Hechos educativos y leyes que los presiden: he aquí toda una ciencia, he aquí la Pedagogía. Educación, toda la educación y nada más que la educación: este es el interior contenido de la Pedagogía que sea ciencia.

Naturalmente, puestos en ese plano resalta el valor de la necesidad de precisar el concepto de educación. Sobre él se construye el edificio científico, y así como para nadie ofrece dudas el concepto de número, razón por la cual es posible la Aritmética, tampoco para nadie debiera ser borroso, sino claro y fijo, el concepto de educación, que es fundamento y posibilidad de la Pedagogía. Para Roehrich, herbartiano, el fin de la educación es la cultura, la formación de un carácter moral constante y enérgico, expresiones ya dadas por Herbart en 1806 con su Pedagogía general deducida del objeto de la educación. Para Cellérier la educación es la preparación del niño al destino que sus padres estiman el mejor para él, es la intervención inteligente y voluntaria de padres y maestros en la evolución de las tendencias psicológicas del niño en vista de la adaptación al medio que ellos juzgan el mejor para la vida total del mismo al devenir hombre. Spencer hablaba de aprendizaje para vivir la vida completa, y se le ha echado en cara la imprecisión y vaguedad de términos con que enuncia su pensamiento. El antecesor de Herbart en la cátedra de la Universidad de Koenisberg, Manuel Kant, pensaba en un ambiente futuro, en la preparación para un ideal, exigencia cumplida en el curso de las generaciones por el cauce del progreso.

No es mi ánimo recoger todas las fórmulas modernas del concepto básico de la Pedagogía, sino concluir diciendo que asistimos á una elaboración y cimentación pedagógica. La Academia de Francia ha contribuido hasta hoy por partida doble á esa empresa de fundamentación de nuestra ciencia; hechos y leyes, prácticas y teoría, historia y filosofía tejen la trama científica de cualquier rama del saber humano, y á los dos aspectos han atendido los dos concursos franceses. Algo dijeron anteriores bocetos relativo á estos esfuerzos generales en pro de una verdadera ciencia pedagógica, y ojalá pudiesen otros muy próximos decir su plena constitución con toda clase de predicamentos y garantías matemáticas.

JUAN LLABENA
La Escuela moderna (Madrid) (1911-04-01 00:00:00), página 66

EL NÚMERO MÁGICO

ARITMÉTICA RECREATIVA

II

El Sr. R. J.-C., que firma el artículo intitulado Sobre el número mágico, inserto en el número de enero de La Escuela Moderna, ha tenido la bondad de dedicarme su trabajo, y ha contraído además el mérito de declarar ingenuamente que no encuentra la razón de las singulares propiedades que caracterizan al número 142857, ni menos la de ser el único número que goza de tales propiedades; y después de hacer sobre el aludido número algunas observaciones, me invita, aunque de una manera indirecta y delicada, á que exponga las razones científicas de los raros fenómenos que presenta el número que he llamado mágico y que sirvió de tema á mi primer artículo.

Voy, pues, á complacer al Sr. R. J.-C., no sin el fundado temor de que, después de expuestas mis razones, se me aplique el cuento legendario del huevo de Colón; pues las cosas más sorprendentes y maravillosas parecen muy sencillas después de conocidas.

Dejando, sin embargo, aparte esos temores, pondré manos á la obra.

Para mayor claridad reduciré todo lo expuesto acerca del número mágico á una serie de proposiciones que demostraré por su orden, y son las siguientes:

1.º El número 142857, multiplicado sucesivamente por 1, 2, 3, 4, 5 y 6, debe dar siempre por producto un número compuesto de las mismas cifras que el multiplicando.

2.º Si el orden con que se multiplica el número 142857 por dichos factores es el de 1, 3, 2, 6, 4, 5, en cada multiplicación el cambio deberá reducirse á que la primera cifra de cada producto pase á ser la última en el producto siguiente.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-04-01 00:00:00), página 67

3.ª El producto del número mágico por 7 debe componerse exclusivamente de nueves.

4.ª Las seis cifras del expresado número deben ser complementarias á nueve dos á dos.

5.ª Si se multiplica el número mágico sucesivamente por 8, 9, 10, 11, 12 y 13, los productos deberán ser iguales á los de la primera serie, con la sola diferencia de que la última cifra de cada producto debe perder una unidad, que aparecerá colocada antes de todas las demás cifras del producto correspondiente.

6.ª Que tan sólo el número 142857 goza de las propiedades enumeradas.

Como puede observarse, el asunto es un poco largo, por lo cual me voy á limitar en el presente artículo á demostrar la primera proposición, es decir, á exponer las razones matemáticas que existen para que los hechos se produzcan en la forma indicada.

El número 142857, que he llamado mágico, no es más que el período que se obtiene al reducir á fracción decimal el quebrado común un séptimo, y de esa circunstancia se deducen todas las propiedades que le adornan y que á primera vista parecen tan extraordinarias.

El denominador 7 de la fracción citada es un número que no tiene por factores el 2 ni el 5, y por lo tanto dicha fracción tiene que dar decimal periódico.

Su período no puede tener más de seis cifras, cualquiera que sea el numerador de la fracción generatriz; porque siendo siempre el residuo de una división menor que el divisor (que en el presente caso es el denominador 7), no pueden obtenerse más que seis residuos diferentes, y por lo tanto seis cocientes parciales distintos, después de los cuales deben repetirse por el mismo orden los residuos y los cocientes por períodos iguales en número infinito. Fácil es cerciorarse de lo expuesto, practicando la reducción en esta forma:

\[
\frac{1}{7} = 10 \quad | \quad 7 \\
30 \\
20 \\
60 \\
40 \\
50 \\
1
\]

0,142857.....
La Escuela moderna (Madrid) (1911-04-01 00:00:00), página 68

Vemos, pues, que los seis residuos obtenidos son por su orden 1, 3, 2, 6, 4 y 5, después de los cuales, agotado ya el repertorio de los residuos posibles, reaparece el primero, y por consecuencia, continuando la división se repetirán todos los restantes.

Ahora bien: atribuir á la fracción común que se trata de transformar en decimal otro cualquiera de los seis numeradores posibles, es lo mismo que practicar la operación empezando por el residuo igual á dicho numerador, por lo cual aparecerán á continuación los residuos siguientes y las correspondientes cifras del cociente hasta llegar á la unidad, en cuyo caso continuará la división por los primeros residuos; de modo que cualquiera que sea el numerador los residuos serán los mismos, y como consecuencia, las cifras del cociente serán las mismas también.

En efecto; si se practican las operaciones, se verá que los resultados son los siguientes:

\[
\frac{1}{7} = 0,142857 \\
\frac{2}{7} = 0,285714 \\
\frac{3}{7} = 0,428571 \\
\frac{4}{7} = 0,571428 \\
\frac{5}{7} = 0,714285 \\
\frac{6}{7} = 0,857142
\]

es decir, las mismas cifras cambiadas de lugar.

Observemos ahora que del mismo modo que la fracción \( \frac{2}{7} \) es doble de \( \frac{1}{7} \), la fracción decimal correspondiente á la primera será también doble de la que corresponde á la segunda; y, por lo tanto, que multiplicando por 2 la fracción decimal equivalente á \( \frac{1}{7} \) deberemos obtener la equivalente á \( \frac{2}{7} \), cuyo periodo, según hemos demostrado, ha de constar de las mismas cifras.