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La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 33

otros; y el tercero, que tuerzan su vocación los jóvenes como consecuencia del mayor adelanto en Literatura.

Puedo certificar esto último en lo que más directamente me afecta. Un estudiante á mí muy allegado se inclinaba á las Ciencias por consejo mio, dado en la convicción de que, si España ha de salvarse con gallardía, ha de ser por la Ciencia y por el desarrollo de su industria. Pues bien: en cuanto pasó por la cátedra del Dr. Cortejón se fué aficionando á la Literatura, y hoy mira con algún desvío la Medicina y Ciencias Naturales, que en otro tiempo atrajeran su vocación ó sus cálculos, y contempla con simpatía las Letras y las Leyes.

El ilustre muerto dirigía el Instituto General y Técnico desde 1896, y el de la Mujer desde su creación; era socio de número de la Academia Filosófico-Científica de Santo Tomás, de la de Buenas Letras de Barcelona, correspondiente de la Real Academia Española; socio honorario de la de Amigos de la Instrucción y del Colegio de Profesores de Cataluña; capellán honorario de la Iglesia del Hospital de Santa Cruz, y canónigo de esta Catedral Basílica; estaba en posesión del título de comendador de la Orden de Alfonso XII; por una de sus publicaciones se dictó Real orden que disponía le sirviera el mérito contraído para ascender en su carrera; y en la Exposición Universal de Barcelona obtuvo medalla de oro y diploma por sus Papeletas sobre el «Quijote» de Avellaneda.

Además de esta obra escribió El Dios de Moisés (folleto), Algunos secretos del lenguaje y estilo del «Quijote», Curso razonado de Retórica y Poética, con ejercicios prácticos y trozos escogidos, Arte de componer prosa castellana, Piérferr coqnsiderado como poeta, Gramática de la Lengua Castellana, Historia crítica de la Epístola de Horacio á los Pisones, Elementos de Historia general de la Literatura, La coartada ó demostración de que el «Quijote» no se engendró en la cárcel de Argamasilla de Alba, y actualmente tenía en publicación una edición del Quijote, con variantes, notas críticas y un léxico del vocabulario de Cervantes.

Paso por alto sus artículos y sermones para no alargar demasiado estas notas, que, sin darme exacta cuenta de ello, van creciendo más de lo que me propusiera.

Prefiero transcribir uno de sus hermosos párrafos de Literatura para que mis lectores lo saboreen, lo paladeen con deleitoso fruición.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 34

En la página 32 de su Historia de la Literatura, dice: «Hay un pueblo que, sacudiendo su corona de verbena sobre las ondas del Mediterráneo, lleva en sus manos hace más de veinte siglos el cetro de la belleza: es la patria en que la poesía tiene por nombre Homero, Píndaro y Sófocles; donde el arte de la guerra se llama Milciades, Epaminondas y Temistocles; la Pintura, Zeuxis; Fídias y Praxíteles la Escultura; es el pueblo que, para honrar á la más casta de las diosas, levantó el Partenón, arrogante trono de la belleza arquitectónica, y que con Sócrates, Platón y Aristóteles, se asomó en lo antiguo á las cimas más altas del pensamiento; ese pueblo es la Grecia, madre incomparable de todas las ciencias y germén fecundísimo de inspiraciones tan grandes, que, no cabiendo dentro del suelo helénico, se han derramado por toda la tierra, y purificadas por las auras del Cristianismo, hoy como ayer, son el alma de lo más puro y bello que ha producido el Arte.»

¿Puede emplearse mayor galanura para condensar el adelanto que la sublime Grecia histórica consiguiera? ¿Cabe filigrana artística más acabada, ni rotundidez más rica en el hermoso y eufónico idioma de Cervantes? El Sr. Cortejón escribía, no ya con gusto y elegancia, sino con aquella elevación y grandiosidad sólo asequibles á los hablistas sobresalientes; el señor Cortejón figuraba por derecho propio en el número de nuestros escasos humanistas contemporáneos; el Sr. Cortejón manejaba en sus conversaciones una sátira primorosa, llena de encanto porque era natural, espontánea, salpicada de sal madrileña, de una sal de picaresca inocencia, acaso saturada de sanchismo aquíjotado, esto es, de una realidad del mundo palpable y vivo que no excluía la sublimidad del loco que el sabio Cervantes llevara en su alma incomparable.

Porque el fuerte del eminente catedrático estribaba en eso: en un gran conocimiento de los hombres y las cosas, y en un talento comparativo notable que utilizaba con maestría para hacer frases llenas de gracia y de ingenio; frases que cautivaban, y aunque alguna vez resultaran un sí es no es mortificantes para el amor propio—tirano de las conveniencias—, se recibían con júbilo y algarza porque llevaban al paso el don de la agudeza envuelta en la dulzura propia del autor. Y es esto tan exacto, que los mismos que de ellas eran objeto las deseaban y aun pedían indirectamente.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 35

Recuerdo que en nuestros trabajos cerca del Ayuntamiento de esta capital para que subvencionase al Instituto Femenino, escribió algunos volantes tan significativos y cáusticos á la par que regocijantes y graciosos, que alguno de ellos decidió rápidos y excelentes éxitos. Y fueron tan del agrado de las personas á quienes iban dirigidos, que cuando después hube yo de ir solo á gestionar cuestiones secundarias y accesorias de las cardinales por D. Clemente solucionadas, me aconsejaban altos empleados amigos que todo quedaria arreglado si el Sr. Cortejón ponía uno de sus volantes sandungueros á tal ó cual personalidad de la casa. Tengo la seguridad de que si la muerte traicionera no nos arrebata á nuestro querido director, sus volantes, repetidos periódicamente, hubieran hecho época en las oficinas municipales.

Y es que D. Clemente, con gracejo y travesura quevedinos y donaire y grandiosidad cervantescos, resultaba un maestro de la sátira, que, sin duda por el traje talar de que estaba investido, sólo usaba en el trato íntimo y en los momentos solemnes (propicios ha de entenderse). Á mi juicio hubiera resaltado mucho más su personalidad literaria de haberse dedicado con especial cultivo á la sátira y la burla...

En resumen: D. Clemente Cortejón y Lucas fué caballeroso, bueno, de una cultura superlativa, de una bondad ejemplar, caritativo cual pocos, amante de su cátedra, pues ante todo y sobre todo ponía la enseñanza, sus cariños profesionales; don Clemente Cortejón y Lucas fué un gran literato, un literato eminente, con fluidez de frase, grave, elocuente, dueño absoluto de la palabra y del pensamiento, que esculpía en afiligranados párrafos; D. Clemente Cortejón y Lucas fué un cura tolerante, liberal en este sentido, que jamás militó en partido alguno político, porque ante y sobre todo colocaba su independencia personal, su aislamiento de este hervidero de pasiones que en Barcelona impera; D. Clemente Cortejón y Lucas pudo ser un gran crítico, un crítico de altos vuelos, con el recurso de una sátira fina y delicada, en él característica, en él abundosa, en él espontánea, una sátira casi imperceptible, que brotaba en su conversación del modo más natural del mundo.

Tal fué el sabio ante cuya tumba se descubre lleno de respeto y admiración

JUAN CABALLERO RODRÍGUEZ.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 36

MATEMÁTICAS (*)

II

Dicho lo que antecede, vengamos á los tres problemas propuestos por el Sr. Mundi.

Primer problema.—Dos hermanos compraron, con 100 duros cada uno, 100 semovientes también cada uno. El mayor compró pollos á 5 reales, lechones á 3 duros, carneros á 2 y conejos á peseta. Al menor le costaron los pollos á \( \frac{1}{2} \) duro, los lechones á 3, los carneros á duro y los conejos á peseta. ¿Qué cantidad de cada clase compraron?

Entiendo, en primer lugar, que se trata de averiguar cuántos semovientes han comprado de cada clase, á condición de que los dos hermanos hayan comprado el mismo número de cada una. Si así no fuera, esto no sería un problema, serían dos problemas distintos.

Esto supuesto, daré todas las soluciones posibles, por tres procedimientos distintos:

PRIMER PROCEDIMIENTO

    Mayor.
    Menor.

    \( x = \) pollos á 5 reales
    1
    \( \frac{1}{2} \)

    \( y = \) lechones á 3 duros
    3
    3

    \( z = \) carneros á 2 duros
    1
    1

    \( h = \) conejos á 1 peseta
    1
    1

(*) Véase el número correspondiente al mes de noviembre.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 37

El sistema indeterminado correspondiente queda planteados así:

\[
\begin{cases}
x + y + z + h = 100 \\
\frac{x}{4} + 3y + 2z + \frac{h}{5} = 100 \\
\frac{x}{2} + 3y + z + \frac{h}{5} = 100
\end{cases}
\]

restando: \( \frac{x}{4} - z = 0; \ x = 4z \) [1]

Eliminando \( h \) entre la primera y la tercera, tenemos:

\[
\begin{cases}
x + y + h + z = 100 \\
\frac{x}{2} + 3y + z + \frac{h}{5} = 100
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
2x + 2y + 2h + 2z = 200 \\
5x + 30y + 10z + 2h = 1000
\end{cases}
\]

restando,
\[
3x + 28y + 8z = 800
\]

Sustituyendo en esta ecuación el valor \( x = 4z \):

\[
12x + 28y + 8z = 800; \quad 20z + 28y = 800; \quad 10x + 14y = 400;
\]
\[
5z + 7y = 200
\] [2]

Es decir que, aun tratándose aparentemente de una ecuación de primer grado con tres incógnitas, es posible y fácil reducirla á otra que sólo contiene dos. Esta ecuación \( 5z + 7y = 200 \) puede resolverse así:

\[
5z + 7y = 200; \quad z = \frac{200 - 7y}{5} = 40 - y + \frac{2y}{5}
\]
\[
\frac{2y}{5} = t; \quad y = \frac{5t}{2} = 2t + \frac{t}{2}
\]
\[
\frac{t}{2} = t'; \quad t = 2t'
\]
\[
y = 4t' + t = 5t'
\]
\[
z = 40 - (5t' + 2t') = 40 - 7t'
\]
\[
x = 4z = 160 - 28t'
\]
\[
h = 100 - (x + y + z) = 30t' - 100
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 38

Y para que los valores de \( x, y, z, h \) sean positivos, ha de verificarse:

\[
40 > 7t'; \quad t' < \frac{40}{7} \\
30t' > 100; \quad t' > \frac{100}{3}
\]

\[
\left\{ \begin{array}{l}
100 < t' < \frac{40}{7} \\
\end{array} \right.
\]

Como entre \( \frac{100}{3} \) y \( \frac{40}{7} \) no hay más números enteros que 4 y 5, todas las soluciones serán:

\[
\frac{100}{3} < t' < \frac{40}{7} \left\{ \begin{array}{l}
t' = 4; \quad z = 12; \quad y = 20; \quad x = 48; \quad h = 20 \\
t' = 5; \quad z = 5; \quad y = 25; \quad x = 20; \quad h = 50
\end{array} \right.
\]

Soluciones ambas que satisfacen al problema, siendo, al propio tiempo, únicas.

SEGUNDO PROCEDIMIENTO.—La ecuación \( 5x + 7y = 200 \), puede resolverse también del siguiente modo:

\[
\frac{5}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}; \quad \frac{5}{7} - \frac{2}{3} = \frac{5.3 - 7.2}{7.3}
\]

\( 5.3 - 7.2 = 1; \quad 5 \times 600 + 7 \times -400 = 200 \)

\[
\left\{ \begin{array}{l}
z = 600 - 7t \\
y = 5t - 400 \\
x = 2400 - 28t \\
h = 30t - 2500
\end{array} \right.
\]

Y para que los valores sean positivos, ha de verificarse:

\[
600 > 7t \\
5t > 400 \\
2400 > 28t \\
30t > 2500
\]

\[
\left\{ \begin{array}{l}
83 < t < 86 \\
t = 84; \quad z = 12; \quad y = 20; \quad x = 48; \quad h = 20 \\
t = 85; \quad z = 5; \quad y = 25; \quad x = 20; \quad h = 50
\end{array} \right.
\]

que son las mismas soluciones.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 39

TERCER PROCEDIMIENTO.—La ecuación \(5z + 7y = 200\) puede también resolverse en esta forma (*):
\(5z\) (como todo múltiplo de 5) ha de ser un número que termine en 0 ó en 5. Si \(5z\) termina en 0, \(7y\) debe terminar también en 0, es decir, \(7y = \frac{1}{10}\); pero como 7 es primo con 10, forzosamente \(y = \frac{1}{10}\).

Por otra parte; \(y < 33\), pues de lo contrario el valor de los lechones comprados excedería de 100 duros. Es por tanto evidente que, en este supuesto, \(y\) podrá ser 10, 20 ó 30.

Si \(5z\) termina en 5, \(7y\) debe terminar en 5, es decir, \(7y = \frac{5}{1}\); pero como 7 es primo con 5, forzosamente \(y = \frac{5}{1}\), terminado en 5. Vemos, pues, que en esta segunda hipótesis \(y\) podrá ser 5, 15 ó 25.

PRIMERA HIPÓTESIS

\[
\begin{cases}
y = \frac{1}{10} & (y = 10; z = 26; x = 104 \text{ (Imposible.)}) \\
y < 33 & (y = 20; z = 12; x = 48; h = 20 \text{ (1.a solución.)}) \\
y = 30 & \text{(Imposible.)}
\end{cases}
\]

SEGUNDA HIPÓTESIS

\[
\begin{cases}
y = \frac{5}{1} & (y = 5; z = 33 \text{ (Imposible.)}) \\
y < 25 & (y = 15; z = 25 \text{ (Id.)}) \\
y = 25 & (y = 25; z = 5; x = 20; h = 50 \text{ (2.a solución.)})
\end{cases}
\]

Segundo problema.—Se han comprado en una feria, con 100 duros, 100 semovientes, que son: vacas á 10 duros, carneros á duro, cerdos á 3 y gallos á real. ¿Cuántos semovientes de cada clase se compraron?

Este problema, como el anterior y como el siguiente, puede resolverse por el procedimiento general de indeterminadas, pero creo preferible dar sus soluciones enteras y positivas por el siguiente procedimiento analítico:

\[
\begin{align*}
x &= \text{vacas á 10 duros.} \\
y &= \text{carneros á 1 id.} \\
z &= \text{cerdos á 3 id.} \\
h &= \text{gallos á 1 real.}
\end{align*}
\]

(*) Caso de que se desconozcan las anteriores.
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 4

ble, de la misma forma que el niño pequeño no posee otros conocimientos que los del mundo exterior, adquiridos por los sentidos.

Empero, el hombre ignorante de aquellas primeras edades, colocado enfrente de una sublime Naturaleza que le anonada por doquier (y que desconoce en absoluto), sintiéndose incapaz de comprenderla, se dedica á venerarla. Entonces principia ya á dar muestras de su existencia el sentimiento de religiosidad, rindiendo homenaje á un Ser sobrenatural, el cual interviene singularmente en todos los actos del hombre y explica á la perfección los distintos fenómenos sensibles, que una ciencia ignorada todavía no puede aclarar de una manera positiva.

Esta es la primera sacudida del espíritu humano para elevarse de lo concreto y material á lo suprasensible y sobrenatural. En tal periodo florecen la brillante ilustración egipcia, la efímera cultura asirio-babilónica, la poética teogonia india, la estacionaria civilización china y la grandiosa teosofía hebrea.

Como se ve por la anterior exposición, la Humanidad ha seguido una marcha antinatural, un método sintético puro; y en vez de elevarse del estudio de las criaturas al conocimiento de Dios, ha preferido dirigirse directamente al Ser Supremo, y después conocer las criaturas, consideradas como destellos ó irradiaciones de Aquél.

CONOCIMIENTO MÁS ACABADO DE DIOS

La Ciencia en los tiempos modernos, al penetrar los que parecían insondables arcanos de la Naturaleza, al descubrir los misterios de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, al conocer con matemática precisión cuándo y cómo se producen los fenómenos cosmográficos, y al vislumbrar las hipótesis de la pluralidad de mundos habitados, la correlación de las fuerzas físicas y la unidad de la materia, ha desterrado para siempre el concepto grosero y mezquino que
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 40

El sistema indeterminado correspondiente queda planteado así:

\[
\begin{align*}
x + y + z + h &= 100 \\
10x + y + 3z + \frac{h}{20} &= 100
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
x + y + z + h &= 100 \\
200x + 20y + 60z + h &= 2000
\end{align*}
\]

\(199x + 19y + 59z = 1900\)

\(h\) (el número de gallos) ha de ser múltiplo de 20 é inferior á 100. Por consiguiente, podrá ocurrir:

\[
\begin{cases}
h = 20 \\
h = 40 \\
h = 60 \\
h = 80
\end{cases}
\]
y, en cada caso,
\[
\begin{cases}
x + y + z = 80 \\
x + y + z = 60 \\
x + y + z = 40 \\
x + y + z = 20
\end{cases}
\]

En cada supuesto tenemos un sistema indeterminado de dos ecuaciones con tres incógnitas, que puede resolverse fácilmente:

PRIMER SUPUESTO

\[
\begin{cases}
h = 20 \\
199x + 19y + 59z = 1900 \\
x + y + z = 80
\end{cases}
\]
\(180x + 40z = 380;\ 9x + 2z = 19\)

Es evidente que, tratándose de soluciones enteras y positivas, la ecuación \(9x + 2z = 19\) no puede verificarse para un valor \(x > 2\); de donde deducimos:

\[
x = 1 \\
\left\{\begin{array}{l}
z = \frac{19 - 9}{2} = 5 \\
y = 80 - 6 = 74
\end{array}\right.
\]
(1.ª solución.)
\(h = 20\)

SEGUNDO SUPUESTO

\[
\begin{cases}
h = 40 \\
199x + 19y + 59z = 1900 \\
x + y + z = 60
\end{cases}
\]
\(180x + 40z = 760;\ 9x + 2z = 38\)
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 41

Esta ecuación no puede satisfacerse cuando \( x \geq 5 \); y como, por otra parte, \( 9x \) ha de ser par (como diferencia entre dos números pares), \( x \) ha de ser forzosamente:

\[
x < 5 \\
x = \frac{z}{2} \\
\begin{cases}
x = 2 & \left\{ \begin{array}{l}
z = 10 \\
y = 48 \\
h = 40
\end{array} \right. \\
x = 4 & \left\{ \begin{array}{l}
z = 1 \\
y = 55 \\
h = 40
\end{array} \right.
\end{cases}
\]
(2.ª solución.)
(3.ª solución.)

TERCER SUPUESTO

\[
h = 60 \\
\begin{cases}
199x + 19y + 59z = 1900 \\
x + y + z = 40
\end{cases}
\]
\( 180x + 40z = 1140; \quad 9x + 2z = 57 \)

\( x \) ha de ser, evidentemente, menor que 7, y, por otra parte, \( 9x \) ha de ser impar (como diferencia entre un número par y otro impar). Así, pues, \( x \) ha de ser impar y menor que 7; luego

\[
x < 7 \\
x = 2p + 1 \\
\begin{cases}
x = 1 & \left\{ \begin{array}{l}
z = 24 \\
y = 15 \\
h = 60
\end{array} \right. \\
x = 3 & \left\{ \begin{array}{l}
z = 15 \\
y = 22 \\
h = 60
\end{array} \right. \\
x = 5 & \left\{ \begin{array}{l}
z = 6 \\
y = 29 \\
h = 60
\end{array} \right.
\end{cases}
\]
(4.ª solución.)
(5.ª solución.)
(6.ª solución.)

CUARTO SUPUESTO

\[
h = 80 \\
\begin{cases}
199x + 19y + 59z = 1900 \\
x + y + z = 20
\end{cases}
\]
\( 180x + 40z = 1520; \quad 9x + 2z = 76 \)

El valor de \( x \) no puede ser igual ni mayor que 9, y, por otra parte, la ecuación \( 9x + 2z = 76 \) puede transformarse así:

\[
\frac{9x}{2} + z = 38 \\
\begin{cases}
z \leq 18 \\
\frac{9x}{2} > 20; \quad 9x > 40; \quad x > 5
\end{cases}
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 42

Además, \(9x\) ha de ser un número par (como diferencia entre dos números pares), y, por tanto,

\[
\begin{cases}
x \geq 5 \\
x < 9 \\
x = 2p
\end{cases}
\]
luego
\[
\begin{cases}
x = 6 \\
z = 11 \\
y = 3 \\
h = 80
\end{cases} \quad (7.\text{a solución.})
\]
\[
\begin{cases}
x = 8 \\
z = 2 \\
y = 10 \\
h = 80
\end{cases} \quad (8.\text{a solución.})
\]

He aquí, en resumen, el cuadro de soluciones del problema:

    Vacas.
    Cerdos.
    Carneros.
    Gallos.

    1.<sup>a</sup>
    1
    5
    74
    20

    2.<sup>a</sup>
    2
    10
    48
    40

    3.<sup>a</sup>
    4
    1
    55
    40

    4.<sup>a</sup>
    1
    24
    15
    60

    5.<sup>a</sup>
    3
    15
    22
    60

    6.<sup>a</sup>
    5
    6
    29
    60

    7.<sup>a</sup>
    6
    11
    3
    80

    8.<sup>a</sup>
    8
    2
    10
    80

Tercer problema.—Se han comprado, con 100 duros, 100 semovientes, que son: borregos, á duro; carneros, d 3; lechones, d 4, y pollos, d 2 reales. ¿Qué cantidad de cada clase se compraron?
He aquí el sistema indeterminado correspondiente:

\[
\begin{cases}
x + y + z + h = 100 \\
x + 3y + 4z + \frac{h}{10} = 100
\end{cases}
\]
\[
2y + 3z = \frac{9h}{10}
\]

\(h\) ha de ser múltiplo de 10, puesto que se trata de soluciones enteras. Por tanto, pueden ocurrir los siguientes casos:

PRIMER SUPUESTO

\[
\begin{cases}
h = 10 \\
2y + 3z = 9 \\
y = \frac{9 - 3z}{2} \\
9 > 3z
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
z < 3 \\
z = 2p + 1 \\
z = 1; \quad y = 3; \quad x = 86 \quad (1.\text{a solución.})
\end{cases}
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 43

SEGUNDO SUPUESTO

\( h = 20 \)
\[
\begin{cases}
2y + 3z = 18 \\
y = \frac{18 - 3z}{2} \\
18 > 3z
\end{cases}
\]
\( z < 6 \)
\[
\begin{cases}
z = 2 \\
z = 2p
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
z = 2 & y = 6 & x = 72 \\
z = 4 & y = 3 & x = 73
\end{cases}
\]
(2.ª solución) (3.ª id.)

TERCER SUPUESTO

\( h = 30 \)
\[
\begin{cases}
2y + 3z = 27 \\
y = \frac{27 - 3z}{2} \\
27 > 3z
\end{cases}
\]
\( z < 9 \)
\[
\begin{cases}
z = 1 \\
z = 2p + 1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
z = 1; y = 12; x = 57 \text{ (4.ª solución)} \\
z = 3; y = 9; x = 58 \text{ (5.ª id.)} \\
z = 5; y = 6; x = 59 \text{ (6.ª id.)} \\
z = 7; y = 3; x = 60 \text{ (7.ª id.)}
\end{cases}
\]

CUARTO SUPUESTO

\( h = 40 \)
\[
\begin{cases}
2y + 3z = 36 \\
y = \frac{36 - 3z}{2} \\
36 > 3z
\end{cases}
\]
\( z < 12 \)
\[
\begin{cases}
z = 2 \\
z = 2p
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
z = 2; y = 15; x = 43 \text{ (8.ª solución)} \\
z = 4; y = 12; x = 44 \text{ (9.ª id.)} \\
z = 6; y = 9; x = 45 \text{ (10.ª id.)} \\
z = 8; y = 6; x = 46 \text{ (11.ª id.)} \\
z = 10; y = 3; x = 47 \text{ (12.ª id.)}
\end{cases}
\]

QUINTO SUPUESTO

\( h = 50 \)
\[
\begin{cases}
2y + 3z = 45 \\
y = \frac{45 - 3z}{2} \\
45 > 3z
\end{cases}
\]
\( z < 15 \)
\[
\begin{cases}
z = 2p + 1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
z = 1; y = 21; x = 28 \text{ (13.ª solución)} \\
z = 3; y = 18; x = 29 \text{ (14.ª id.)} \\
z = 5; y = 15; x = 30 \text{ (15.ª id.)} \\
z = 7; y = 12; x = 31 \text{ (16.ª id.)} \\
z = 9; y = 9; x = 32 \text{ (17.ª id.)} \\
z = 11; y = 6; x = 33 \text{ (18.ª id.)} \\
z = 13; y = 3; x = 34 \text{ (19.ª id.)}
\end{cases}
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 44

SEXTO SUPUESTO

\[
h = 60 \\
2y + 3z = 54 \\
y = \frac{54 - 3z}{2} \\
54 > 3z \\
z < 18 \\
z = 2p \\
\]

\[
\begin{cases}
z = 2; \quad y = 24; \quad x = 14 \text{ (20.a solución)} \\
z = 4; \quad y = 21; \quad x = 15 \text{ (21.a fd.)} \\
z = 6; \quad y = 18; \quad x = 16 \text{ (22.a fd.)} \\
z = 8; \quad y = 15; \quad x = 17 \text{ (23.a fd.)} \\
z = 10; \quad y = 12; \quad x = 18 \text{ (24.a fd.)} \\
z = 12; \quad y = 9; \quad x = 19 \text{ (25.a fd.)} \\
z = 14; \quad y = 6; \quad x = 20 \text{ (26.a fd.)} \\
z = 16; \quad y = 3; \quad x = 21 \text{ (27.a fd.)}
\end{cases}
\]

SEPTIMO SUPUESTO

\[
h = 70 \\
2y + 3z = 63 \\
y = \frac{63 - 3z}{2} \\
63 > 3z \\
z < 21 \\
z = 2p + 1
\]

\[
\begin{cases}
z = 1; \quad y = 30. \text{ Imposible (*)} \\
z = 3; \quad y = 27. \text{ Imposible (*)} \\
z = 5; \quad y = 24; \quad x = 1 \text{ (28.a solución)} \\
z = 7; \quad y = 21; \quad x = 2 \text{ (29.a fd.)} \\
z = 9; \quad y = 18; \quad x = 3 \text{ (30.a fd.)} \\
z = 11; \quad y = 15; \quad x = 4 \text{ (31.a fd.)} \\
z = 13; \quad y = 12; \quad x = 5 \text{ (32.a fd.)} \\
z = 15; \quad y = 9; \quad x = 6 \text{ (33.a fd.)} \\
z = 17; \quad y = 6; \quad x = 7 \text{ (34.a fd.)} \\
z = 19; \quad y = 3; \quad x = 8 \text{ (35.a fd.)}
\end{cases}
\]

OCTAVO SUPUESTO

\[
h = 80
\]

No hay soluciones enteras y positivas.

(*) Esta imposibilidad puede ponerse de manifiesto en esta forma:

\[
z = \frac{63 - 2y}{3} \\
z = 80 - (x + y)
\]

\[
\frac{63 - 2y}{3} = 30 - (x + y); \quad x + \frac{y}{3} = 9; \quad \frac{y}{3} < 9; \quad y < 27.
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1911-12-01 00:00:00), página 45

NOVENO SUPUESTO

\( h = 90 \)

No hay soluciones enteras y positivas.

Notas.—1.ª Puede probarse que, en el caso de \( h = 80 \), no puede haber solución. En efecto; en este caso el sistema se reduce á

\[
\begin{cases}
x + y + z = 20 \\
x + 3y + 4z = 92
\end{cases}
\]
de donde \(-y - 3x = 12\)

lo que es imposible.

2.ª Lo propio ocurre en el caso de \( h = 90 \)

\[
\begin{cases}
x + y + z = 10 \\
x + 3y + 4z = 91
\end{cases}
\]
\(-y - 3x = 51\)

lo que es imposible.

III

Con cuanto antecede queda evidenciado:

1.º Que los tres problemas propuestos por el Sr. Mundi (y todos sus análogos) se resuelven por principios elementales de ecuaciones de primer grado.

2.º Que es equivocada la afirmación del Sr. Mundi cuando dice que el segundo problema tiene una solución única. Fácilmente se comprende que, si así fuera, la indeterminación del sistema sería aparente (caso harto frecuente). El problema tiene, como verá el lector, ocho soluciones enteras y positivas.

3.º Que todo sistema indeterminado de primer grado se resuelve sin precisión de recurrir al procedimiento de las combinaciones.

4.º Que, en todo caso, siempre es posible por procedimientos analíticos (las soluciones que yo he dado lo prueban claramente) resolver un problema indeterminado, si el calculador tiene perfecto dominio de la materia, sabe ver con claridad las intimidades numéricas relacionadas en el problema, y ha más