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El hecho de que las cifras de un número se permuten circu- larmente al multiplicar dicho número por la serie natural, no es privativo del período 142857, sino que se verifica en todos los periodos de las fracciones decimales periódicas puras obtenidas al reducir á esta forma fracciones ordinarias cuyo denominador sea primo con 10; v. gr.: \( \frac{1}{17}, \frac{1}{19}, \frac{1}{23}, \frac{1}{29} \), etc.

\[
\frac{1}{17} = 0,0588235294117647...
\]
\[
\frac{1}{19} = 0,052631578947368421...
\]
\[
\frac{1}{23} = 0,0434782608695652173913...
\]
\[
\frac{1}{29} = 0,0344827586206896551724137931...
\]

En los periodos de \( b - 1 \) cifras, llamando \( \frac{a}{b} \) la fracción ordi- naria irreducible, es decir, que tengan el número máximo de cifras, los multiplicadores, si bien han de ser los \( b - 1 \) primeros números, han de colocarse en el orden en que aparecen los res- tos al efectuar la división, cual se hallan al reducir \( \frac{1}{7} \), pues si se colocan en orden natural, esto es,

[3] \( 1, 2, 3, 4, ... (b - 2), (b - 1) \)

se permutan las cifras; pero el cuadro de productos presenta la particularidad de que en los equidistantes en su colocación ordenada, las cifras correspondientes son complementarias á 9, como se ve en estos periodos de \( \frac{1}{17} \):

\[
\frac{1}{17} \times 1 = 0,0588235294117647...
\]
\[
\frac{1}{17} \times 16 = 0,9411764705882352...
\]
\[
\frac{1}{17} \times 2 = 0,1176470588235294
\]
\[
\frac{1}{17} \times 15 = 0,8823529411764705
\]
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Hacemos gracia al lector de escribir en columna cerrada 16 períodos de 16 cifras cada uno para comprobar el hecho, que por otra parte cualquiera puede ver con sólo entretenerte un rato; así como el sumar todos los pares de cifras correspondientes para cerciorarse de que siempre suman 9.

El hecho examinado puede preverse observando que los multiplicadores 1 y 16, 2 y 15, etc., son complementarios á 17, y así como

\[
\frac{1}{17} + \frac{16}{17} = \frac{17}{16}; \quad \frac{2}{17} + \frac{15}{17} = \frac{17}{17}; \quad \frac{3}{17} + \frac{14}{17} = \frac{17}{17}, \text{ etc.},
\]

así también los períodos correspondientes son complementarios á

\[
0,999999... = 1 = \frac{17}{17} = \frac{n}{n}
\]

Lo mismo sucede con los del 7 en el cuadro [2]. Son complementarios á 0,999999... los del 1 y el 6, los del 3 y el 4, los del 2 y el 5, restos complementarios á 7 al hacer la división [1], por ser

\[
1 + 6 = 7, \quad 3 + 4 = 7, \quad 2 + 5 = 7
\]

Cuando el denominador \( b \), además de ser primo con 10 ó con la base del sistema, es primo absoluto, en el décuplo necesariamente es impar, y \( b - 1 \) será par; el período tendrá \( b - 1 \) cifras á lo más, ó un número de ellas igual á un divisor de \( b - 1 \). Si hay \( b - 1 \) restos diferentes menores que \( b \), se formará la serie [3] desde 1 hasta \( b - 1 \), sólo que en orden vario; por tanto, habrá tantos restos mínimos mayores como menores que \( \frac{b}{2} \), dispuestos de tal modo que la mitad de las cifras del período sean complementarias á las de la otra mitad, y si así no sucediera, no sería posible el hecho anterior manifestado en las igualdades [4], análogo al que se observa en la superposición geométrica de una recta sobre sí misma por inversión, ó más propiamente por retroversión.

Si al calcular los restos mínimos de las diversas potencias de 10 por el módulo 7 observamos cuándo aparece el resto 1 ó el —1, podremos fijar la división del período en dos semiperíodos de cifras complementarias.
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\(10^0 \equiv 1\) (mód. 7), \(10 \equiv 3\) (mód. 7),
\(10^2 = 10 \times 10 \equiv 3 \times 3 = 9 \equiv 2\) (mód. 7),
\(10^3 = 10^2 \times 10 \equiv 2 \times 3 = 6 \equiv -1\) (mód. 7),
\(10^4 = 10^2 \times 10^2 \equiv 2 \times 2 = 4 \equiv -3\) (mód. 7),
\(10^5 = 10^3 \times 10^2 \equiv -1 \times 2 = -2\) (mód. 7),
\(10^6 = 10^3 \times 10^3 \equiv -1 \times -1 = 1\) (mód. 7).

Los dividendos y los restos sucesivos son

\[
\begin{array}{ccccccc}
10^0 = 1 & 10 & 10^2 & 10^3 & 10^4 & 10^5 & 10^6 \\
r_0 = 1 & r_1 = 3 & r_2 = 2 & r_3 = -1 & r_4 = -3 & r_5 = -2 & r_6 = 1
\end{array}
\]

Luego las cifras del cociente serán complementarias á 9 de 3 en 3, y se repetirán indefinidamente en el mismo orden en que aparecen los restos 1, 3, 2, -1, -3, -2.

He ahí también por qué el periodo \( \frac{1}{7} = 0,142857... \) se puede descomponer en dos partes de igual número de cifras, 142 y 857, sumadas las cuales ordenadamente dan

\[
1 + 8 = 9,\quad 4 + 5 = 9,\quad 2 + 7 = 9,\quad \text{o bien}\quad \frac{142}{857} = \frac{999}{999}
\]

Otro tanto puede probarse en el 17, 19, 23, 29 y en todos los divisores que originen periodos de \( b - 1 \) cifras.

En el 17, los dividendos y restos sucesivos son

\[
\begin{array}{cccccccccc}
10^0 = 1, & 10, & 10^2, & 10^3, & 10^4, & 10^5, & 10^6, & 10^7, & 10^8 \\
\text{Restos aditiv.} & 1, & 10, & 15, & 14, & 4, & 6, & 9, & 5, & 16 \\
\text{Restos substr.} & -16, & -7, & -2, & -3, & -13, & -11, & -8, & -12, & -1
\end{array}
\]

Aparecido el resto -1 al dividir \( 10^8 \) por el módulo 17, el período se compondrá de 16 cifras y estará dividido en dos semi-periodos de 8, respectivamente complementarias á 9, como los restos aditivos y subtractivos lo son á 17; de modo que á partir del resto aditivo 16 ó su equivalente el subtractivo -1, los restos serán los complementos de los hallados y en igual orden, y las 8 últimas cifras del cociente se pueden escribir sin necesidad de división.
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Véanse los restos sucesivos y los dos semiperíodos:

1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5,
16, 7, 2, 3, 13, 11, 8, 12.

05882352
94117647
99999999

Cuando el período no llega á \( b - 1 \) cifras, tendrá un número de ellas determinado por un divisor de \( b - 1 \), como se ha dicho más atrás, el cual puede ser par ó impar, mientras que \( b - 1 \) siempre es par. Así, en

\[
\frac{1}{11} = 0,09...; \quad \frac{1}{13} = 0,076923...; \quad \frac{1}{37} = 0,027...; \quad \frac{1}{41} = 0,02439...
\]

y se repite el fenómeno de la permutación cuando se multiplican estos períodos por la serie ordenada de los restos aditivos según se van hallando al efectuar las divisiones. Si se multiplican estos períodos ú otros que se hallen en el mismo caso por la serie natural de los \( b - 1 \) números primeros, aparecerán tantos grupos de productos permutados como indique el cociente \( \frac{b-1}{n} \); llamando \( n \) al número de cifras del período.

En \( \frac{1}{11} \), como \( b - 1 = 10 \) y el período tiene 2 cifras, habrá \( \frac{10}{2} = 5 \) grupos de 2 períodos cuyas cifras están permutadas, como se ve en los cuadros de más abajo.

En \( \frac{1}{13} \), como \( b - 1 = 12 \) y el período tiene 6 cifras, habrá \( \frac{12}{6} = 2 \) grupos de 6 productos cada uno, con las cifras también permutadas.

VICENTE PINEDO.

(Concluido)
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BIBLIOGRAFÍA

La Aurora de la Vida. Segundo grado de lecturas educativo-instructivas, por D. Antonio Cremades y Bernal, de las escuelas de Madrid. Comprende: lectura silábica de frases y lectura corriente; ejercicios de reflexión y lenguaje; lecturas eminentemente educativas y graduación perfecta en los conocimientos gramaticales.—Valencia, 1910.—Librería de Pascual M. Villalba, Bolsería, 22.

Hemos estudiado detenidamente el librito cuyo título sirve de enunciado á esta nota bibliográfica, y en verdad que su autor, maestro predominantemente práctico, sabe que en la repetición de actos radica el secreto de la educación, así como en la repetición de ejercicios de lenguaje radica el secreto de saber la Gramática como ciencia del lenguaje mismo.

Fundado en este principio, que tanto recomienda el P. Girard y cuantos á la enseñanza y educación nos dedicamos, ha ordenado una serie de ejercicios perfectamente graduados, que conducen al niño insensiblemente al conocimiento gramatical ó á la ley del lenguaje, sin necesidad de molestarle estudiando de memoria lo que seguramente no entendería.

En tres partes ó grados divide su trabajo el autor; á saber: en la primera, que abarca 22 lecciones, practica el niño cuantos ejercicios necesita para comprender el todo de la Analogía propiamente dicha; en la segunda, que tiene 16 lecciones, se integra lo relativo á la Prosodia, acentuación y pronunciación de la b y la v; y en la tercera, con sus 30, completa la obra, presentando bonitas composiciones literarias en correcta prosa, con variedad de asuntos interesantísimos, cuya lectura corriente adiestra al niño en este ejercicio, á la vez que le hace discurrir acerca de su contenido, respondiendo así á la nota característica del hacer á sabiendas, en lo cual consiste toda la educación intelectual.

El librito es por todo extremo utilísimo, y su precio insignificante, 0,75 peseta el ejemplar y 6 pesetas la docena, lo hacen asequible hasta para las personas menos acomodadas, con lo cual se presta un buen servicio á la enseñanza popular.

Felicitamos de todas veras al Sr. Cremades, y recomendamos á nuestros compañeros la adopción del mencionado libro, creyendo, como creemos ciertamente, que nos han de agradecer la recomendación.

Al mismo autor se debe otro librito cuyo título es Guía del Dictado y la Composición en las escuelas primarias, premiado en concursos de méritos y certámenes literarios.

Divídese, como el anterior, en tres grados, comprendiendo el primero el
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dictado como ejercicio para educar el oído y sin regla alguna en el principio para que el niño no se moleste en mandar á la memoria lo que todavía no puede comprender.

El segundo grado, con dos apéndices, estudia la ortografía de las palabras, y el tercero se extiende á la ortografía del discurso con reglas para escribir toda clase de oraciones, unas sencillas y otras complejas, poniendo ejemplos variadísimos del Quijote, que es indudablemente el manantial inagotable de nuestro idioma.

No somos partidarios de la Caligrafía en la escuela primaria. Más que á la bonita forma de la letra debemos atender á que el niño desde el principio pueda exteriorizar su pensamiento en forma fácilmente inteligible, para lo cual no estará de más lo que el Sr. Cremades recomienda en el párrafo que copiamos: «El dictado debiera practicarse diariamente en la escuela, no para que el niño sea únicamente mero instrumento pasivo en su educación, sino acompañado de ejercicios de redacción, á fin de que á cada sesión ó clase siga otra, ya como medio de asegurar los conocimientos adquiridos, ya también como recurso poderoso de propia iniciativa y de educación moral, así como también para evitar que muchos jóvenes, después de haber aprendido á escribir, si quieren redactar una mala carta han de abrir el libro manuscrito de lectura y en él van tomando, sin arte y sin tino, lo que se les antoja que puede tener alguna relación con lo que ellos se proponen decir. La escuela debe enseñar á pensar bien, á querer bien y hacer el bien, y sobre todo á esto aspira ó debe aspirar todo maestro, subordinando á lo moral cuantas enseñanzas tienen realidad en nuestros primeros establecimientos docentes.»

El librito en cuestión nos ha dejado completamente satisfechos, porque al contenido ya mencionado agrega una lista ó vocabulario en que juegan las letras de dudosa ortografía y una porción de composiciones para recibos, vales, tarjeta postales, billetes, cartas, facturas, solicitudes, oficios, certificaciones y cuantos documentos se utilizan en el comercio de la vida que debe saber todo niño cuando por su edad se encuentra en el caso de abandonar la escuela.

El precio de cada ejemplar de esta obra es 1 peseta y 10 pesetas la docena en la misma librería.

Deseamos mucha venta al autor, á la vez que recomendamos su trabajo á nuestros abonados.

La Casa de las Granadas, por OSCAR WILDE. — Cuentos traducidos del inglés por D. Emeterio Mazorriaga, profesor de la Universidad de Madrid, con un prólogo de D. Enrique Díez-Canedo. — Madrid, 1900. — Precio 2 pesetas.— Imprenta de los Hijos de Gómez Fuentenebro, Bordadores, núm. 10.

Precedida de un prólogo hermosamente escrito, en el que Díez-Canedo hace el retrato moral y describe á maravilla la vida extraña del fecundo novelista Oscar Wilde, nos ofrece el Sr. Mazorriaga una verdadera joya lite-
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raria traducida del inglés, tan estricta y tan exquisitamente hecha, que no es el traductor el que habla, es el mismo Oscar Wilde, cuya riqueza de vocabulario es solamente comparable con las del Cervantes inglés, Shakespeare.

El «Rey Adolescente», «El Pescador y su Alma», «El natalicio de la Infanta» y «El Niño-Astró» son cuatro novelitas ó cuentos que forman el todo de la unidad de la obra. Y aunque en la apariencia son todos independientes entre sí, sin embargo, el que los lea con alguna reflexión encontrará en ellos la unidad del conjunto al través del argumento que los integra, como se encuentra la unidad del pensamiento artístico de la música de Wagner al trayérs de la inmensa variedad de la instrumentación.

La Casa de las Granadas es la mejor obra del que supo escribir en el calabozo de la cárcel de Reading, además de otros, el libro De profundis, admirando al mundo la tenacidad, la extrañeza y el desdén de aquel hombre singular, que consintió morir, ó poco menos, en la prisión sin querer oponer la menor defensa á los cargos que se le hicieron.

Estos cuentos de Oscar Wilde ofrecen la ventaja de que en una forma literaria elegantísima se halla cerrado un fondo pedagógico de valor muy estimable, del cual puede sacarse un gran provecho en beneficio de la educación de los niños; y en este sentido nos permitimos recomendar la obra á nuestros compañeros, felicitando á la vez al traductor de la misma, Sr. Mazzorriaga, distinguido profesor de la Universidad Central, y agradeciéndole el ejemplar y la afectuosa dedicatoria con que ha tenido la bondad de honrarnos.

Juegos florales celebrados en Albacete, organizados por la Asociación de la Prensa con la cooperación del Excmo. Ayuntamiento. Trabajo premiado, cuyo lema es el siguiente: Medio para fomentar la instrucción de los niños á las escuelas y despertar la afición á la lectura en las poblaciones rurales, por Joaquín Salvador Artiga, profesor de primera enseñanza de Albera (Albacete). — Imprenta y librería de Eduardo Miranda, Condes de Villaleal, núm. 12.

Es un folleto de 27 páginas en 8.º, muy bien escrito por cierto, en el cual, á partir del lema «El de la enseñanza es el problema de los problemas», comprende capítulos interesantísimos, como el de la creación de las escuelas numerosísimas que necesitamos en condiciones debidas y buen material pedagógico para educar en ellas á tantos miles de niños huérfanos de cultura por falta de locales.

No desconoce el autor lo difícil que es armonizar esta cuestión con la económica; mas también es preciso hacer un esfuerzo colosal en la simiente de la educación, si deseamos en serio que nuestro país no sea una nota discordante en el concierto mundial de la civilización.

A cual más interesantes son los capítulos que dedica á la organización de la escuela graduada, al carácter utilitario ó positivista con que debe distinguirse la enseñanza, á las condiciones del maestro, á las relaciones que deben existir entre la escuela y el hogar, á las cantinas escolares, cajas
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de ahorros, bibliotecas, y al celo de las autoridades para obligar y aun castigar á los padres de los niños si no procuran su educación como un derecho del menor al disfrute de la vida espiritual, de la misma suerte que disfruta la vida de la materia.

Como uno de los medios más eficaces contra el analfabetismo, aconseja el aumento de los años de servicio militar á los mozos que carezcan de lo más indispensable de la enseñanza primaria en bien de los jóvenes y de la patria misma, ya que cuanto más instruidos estén mayores días de gloria pueden ofrecer á su nación, bien necesitada de todo género de esfuerzos.

Por último, recomienda el aumento de sueldo á los maestros, exigiéndoles, como es natural, que todas sus energías las empleen en la formación del ciudadano, el cual, aficionándole á la lectura mediante buenos libros, con mayor cultura y educación, mejor podrá contribuir á la grandeza de la patria.

Recomendamos á nuestros compañeros la adquisición de este librito, y felicitamos á su autor, que revela ser uno de los buenos maestros españoles.

Veinte cuentos, por José Conde García (Pizorriilo). — Precio: 1 peseta, el ejemplar de 107 páginas, en 8.º prolongado. — Albacete, 1910. — Imprenta y librería de Eduardo Miranda, calle de los Condes de Villaseal, núm. 12.

Agudeza de ingenio, conocimiento de las costumbres del país y mucha enjundia para aderezar la obra, esto es lo que observamos en la rápida lectura que hemos hecho de esta pequeña producción literaria.

Los cuentos están bien confeccionados y son verdaderamente curiosos, atractivos y con buena orientación educativa. Algunos, sobre todo, tienen mucha gracia y hacen pasar el rato alegremente; por ejemplo: «El santo de don Petronio», «El Milagro», «La Novedad», «La ceguera del tío Lucas», «El fruto de la Escuela», «Buen pretexto», «Metamorfosis», «Treta de Bertoldo» y algunos otros, por todo extremo interesantes.

El lenguaje es peculiar de este género de composiciones, y aun la incorrectión del mismo en determinados personajes da cierta gracia á la narración, cuyo fondo, pedagógico muchas veces, moral otras, y siempre bien intencionado, todo esto hace que el libro sea entretenido, provechoso y útil para despertar en los niños la afición á la lectura.

En tal sentido nos permitimos recomendarlo á nuestros compañeros, creyendo trabajar en beneficio de la escuela, si bien haciendo notar que el empleo del lenguaje inculto en la primera edad suele ser inconveniente para la educación del niño, dada su propensión á imitar lo que ha leído ó lo que ha oído hablar, y la facilidad con que arraigan en su plástico cerebro las ideas verdaderas ó falsas á que dan lugar las impresiones que ha recibido.

Al maestro incumbe, claro está, corregir este defecto, y buen cuidado
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tendrá en hacerlo en cuantas ocasiones se le presenten; pero bueno sería no dar lugar á ello, empleando siempre palabras cultas, por la importancia que tienen para la vida del niño las primeras impresiones recibidas, mucho más cuando se repiten y forman hábito.

Por lo demás, el librito es de los que una vez empezados á leer no pueden dejarse sin concluir su lectura.

Felicitamos á su autor, deseándole un éxito feliz en la venta de ejemplares y aconsejándole que continúe el trabajo literario por el camino emprendido, ya que para ello tiene sobradas energías intelectuales.

Tratado de Contabilidad mercantil ó Teneduría de libros según el método llamado Partida doble, por D. Policarpo Jesús Martín, licenciado en Ciencias, maestro normal y profesor de Aritmética mercantil y Teneduría de libros en la Escuela municipal de Artes y Oficios de Salamanca. Segunda edición. — Salamanca. — Imprenta Católica Salmantense y encuadernación, Arroyo del Carmen, 15.

Hemos leído y estudiado muchos tratados de esta materia, de suyo compleja y difícil cuando no va precedida de determinados conocimientos teórico-prácticos, é ingenuamente afirmamos que ninguno nos ha parecido tan preciso, tan claro y tan completo, á pesar de su reducido volumen, como el que da origen á esta nota bibliográfica.

En 100 páginas, en 8.º prolongado, y dos más el índice, se encierra un contenido substancial de más valor teórico-práctico que en algunos volúmenes abultados, cuya factura ó confección dista mucho de lo que debe de ser una obra de esta naturaleza que responda y satisfaga todas las necesidades comerciales.

Dos partes abraza el libro á cual más importantes: en la primera se dan las nociones más indispensables para conocer lo que es el comercio en todas sus formas y manifestaciones, lo que es la Partida doble y sencilla, cuentas en general, libros, inventarios, modo de hacerlos, análisis de operaciones, balances, cierre de cuentas, correspondencia; en suma, cuantas operaciones han de hacerse en este asunto verdaderamente transcendental para la vida del comercio que á todo el mundo interesan.

La parte segunda trata de los modelos de inventarios particulares, modelo de inventario general, ejemplos de operaciones que dan lugar á los asientos de varias clases, explicaciones relativas á todo lo que se refiere á la Contabilidad, teoría y práctica de todo género de cuentas, y un sin fin de detalles, todos ellos importantes, pero que no nos es posible dar de ello cuenta, por no consentirlo el limitado espacio de que disponemos.

No puede negar el autor sus condiciones de maestro, además de las que reúne como licenciado y profesor de Contabilidad. En el fondo de la obra se descubre lo pedagógico de su estructura y la capacidad mental de quien la ha engendrado, á quien felicitamos con toda el alma, así como también recomendamos el libro á nuestros abonados, repitiendo al final lo que diji-
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Segunda fase. — En ésta aparecen las figuras negras sobre fondo claro—rojo especialmente—, hecho con esa precisa intención, puesto que el resto del vaso es negro.

Un kalpis que representa la lucha de Hércules y Apolo, y algunas ánforas panateneicas de las que entregaban llenas de aceite sagrado á los vencedores en las fiestas panateneas, ponen de manifiesto los caracteres de este periodo. Las figuras, aunque arcaicas, son más movidas y, como ya he dicho, negras sobre fondo rojo.

Se han realizado varios estudios relativos á este fenómeno de aparecer siempre las primeras manifestaciones del dibujo y la pintura como sombras proyectadas, sin detalles interiores en la figura, y entre los que han notado esto está el duque de Luynes, el cual dice que indudablemente el dibujo nació de observar la silueta obscura resaltando sobre un fondo luminoso.

La composición varía mucho de la de los anteriores, y aun cuando persisten la rigidez y el hieratismo, acentuados por el hecho de emplear el grabado, marcando con punzón los contornos y dintornos, las figuras se agrupan formando cuadros. Las representaciones corresponden al ciclo heroico, y puede decirse que son capítulos gráficos de La Ilíada. Hay una modificación interesante: la de pintar las carnes femeninas de blanco y emplear algunos toques violeta; esto se observa en un ánfora en cuyo anverso se ve á Minerva entre dos columnas, y en el reverso un auriga triunfador en las carreras, guiando una biga ó carro de dos caballos.

Tercera fase. — Pertenece á ella la copa de Aysón, de elegante forma, de estilo severo, en la que aparece Teseo matando al Minotauro, que se arrastra á los pies de Minerva, y el ánfora de Andócides, en cuyo anverso se destacan Apolo pulsando la lira y Ariadna, mujer de Baco, cubierta con la piel de pantera, y en el reverso el nacimiento de Baco entre dos faunos. Pudiera muy bien establecerse un paralelismo, no cronológico, sino artístico, entre esta época y la de Praxiteles en la escultura.

Para evitar el excesivo contraste, las figuras son rojas sobre fondo negro, y ya no son hieráticas ni rígidas; se agrupan artísticamente, revelando en sus actitudes y en sus formas un gran realismo. Como excepción de los caracteres de este periodo, se encuentra el ánfora báquica, que representa una proce-