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LECCIÓN 2.

Series y haces.—Ángulo.—Radiación.—Recinto geométrico y contorno.—Superficie cónica y anguloide.—Proyecciones y perspectivas cónicas.—Figuras en perspectiva.
Ejercicios.

LECCIÓN 3.

Perpendicularidad y paralelismo.—Teoremas sobre elementos perpendiculares.—Paralelismo de rectas y de planos.—Teoremas sobre paralelismo de elementos geométricos de igual ó de distinta naturaleza.

LECCIÓN 4.

Recordar las cuestiones sobre ángulos y su clasificación, contenidas en el programa del grado elemental, adaptándolas á las condiciones de la nueva orientación seguida en el grado superior.—Igualdad y suma de ángulos, comprendiendo los poliedrícios.—Medida de toda clase de ángulos.—Rectilíneos correspondientes de un diedro.—Polígono esférico correspondiente de un ángulo poliedrico.—Ángulos formados por la intersección de elementos geométricos paralelos, con otro de su misma naturaleza.—Ángulos formados por elementos respectivamente paralelos ó perpendiculares.

LECCIÓN 5.

Lugares geométricos.—Teoremas relativos á lugares geométricos.—El hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico, considerados como lugares geométricos de rectas.—La intersección de lugares geométricos, aplicada como método á la resolución de problemas.
Ejercicios.

LECCIÓN 6.

Polígonos y ángulos poliedrícios.—Su clasificación y primeras propiedades.—Elementos que se consideran en ellos.—Noción de los enervértices y enelateros completos y de las figuras radiadas análogas.
Ejercicios.

LECCIÓN 7.

Suma de los ángulos de un triángulo.—Consecuencias.—Suma de los ángulos de un polígono cualquiera.—Idem de los diedros de un ángulo poliedrico de cualquier número de caras.—Consecuencias.

LECCIÓN 8.

Relaciones de magnitud entre los lados ó caras de los ángulos, en los triángulos y triedros.—Relaciones, en cuanto á la medida, entre los distintos lados de un triángulo ó las diversas caras de un triedro.—Distan-
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cias mínimas entre dos puntos de una serie, y entre dos rayos de una radiación.—Idem entre un punto y una recta o plano, y entre una recta y un plano.

LECCIÓN 9.*

Relación entre la magnitud de dos quebradas coplanarias de extremos comunes, y entre la de dos superficies piramidales corradiadas de radios extremos comunes.—Recordar los teoremas estudiados en el grado elemental, relativos á triángulos con dos lados de uno iguales á los de otro, haciéndolos extensivos á los casos análogos en la radiación. Ángulos poliedrícios polares: sus propiedades.—Recordar los casos, ya conocidos, de igualdad de triángulos, y deducir los enunciados de los teoremas análogos en los triédros.—Demostración simultánea de los teoremas relativos á las figuras planas, y de sus correspondientes en la radiación.

LECCIÓN 10.

Ángulos tetraédricos—Estudiar las secciones en los anguloides tetraédricos, como base para su clasificación.—Estudio especial de los anguloides paralelográficos y de los polígonos paralelogramos.—Propiedades de unas y otras figuras.

LECCIÓN 11.

La circunferencia y la superficie cónica de revolución.—Elementos necesarios y suficientes para determinarlas.—Secciones circulares de las superficies cónicas de revolución y proyecciones cónicas de una circunferencia.

LECCIÓN 12.

Propiedades de las rectas tangentes á una circunferencia y de los planos tangentes á una superficie cónica de revolución.—Líneas curvas y superficies cónicas, secantes y tangentes.—Posiciones relativas de dos circunferencias coplanarias.—Casos análogos en la radiación.

LECCIÓN 13.

Recordar los teoremas elementales referentes á arcos y cuerdas, y estudiar los correspondientes en las superficies cónicas de revolución.—Rectas ó planos normales á una línea ó á una superficie curvas.—Ángulo de dos curvas ó de dos superficies cónicas de revolución.—Rectas y planos tangentes desde un punto ó rayo exterior.

LECCIÓN 14.

Razones goniométricas.—Relación de valores de las razones goniométricas de ángulos iguales y de ángulos complementarios.—Idem de las correspondientes á un mismo ángulo.—Serie de valores de las razones goniométricas de un ángulo, correspondiente á la de los valores de
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De otro lado, la taberna es en Suecia un lugar inhospitalario, sin confort alguno, sin sillas ni mesas; no se puede allí fumar, ni hablar en alta voz; la venta á crédito está prohibida, y el precio de las bebidas al detalle es muy elevado.

Formando contraste con esto, y adosado á la misma taberna, hay un local muy confortable y ameno, con libros, periódicos y cuanto hace agradable la vida social, y por una tarifa módica, el obrero encuentra allí alimentos sanos y bebidas no espirituosas. En frente de estos dos establecimientos, la elección no es dudosa. El obrero abandona la taberna y busca su solaz en el local adjunto.

Las tabernas se abren allí á las ocho de la mañana, y se cierran á las ocho de la tarde. Los sábados y vísperas de fiesta se cierran á las cinco, antes que el obrero perciba su salario, y permanecen cerradas hasta pasada la fiesta ó hasta el lunes. También se cierran los días de elecciones, de mercado, etc., etc., siempre que por cualquier circunstancia hay un exceso de población flotante.

El resultado de este sistema, llamado de Gatemburgo, no puede ser más satisfactorio. Hace unos cincuenta años, el consumo de alcohol en Suecia era de 23 litros por habitante al año. En 1876 había ya descendido á 6,19 litros; en 1896 era 3,50, y hoy está por bajo de 2.

En Noruega, donde se ha extendido también esa reacción social contra el alcohol, el consumo es hoy de 1,50 litros por habitante.

De suerte que, los países escandinavos, que eran hace medio siglo los más castigados por el alcoholismo, son hoy los que están á la cabeza de la actual campaña antialcohólica, y como habéis visto, los grandes resultados allí obtenidos se deben, no á la ley, sino al concurso eficaz de la opinión pública, que comprende el peligro y lo combate, dirigiendo bien y saneando la propia vida; esto es, por autoeducación.

Francia, á pesar de los estragos enormes que hace el alcoholismo, singularmente en los departamentos del Norte, hace ya diez años que se inició allí un gran movimiento de defensa social, gracias á la iniciativa del Dr. Legrain y á la participación directa que toma en esta campaña el pueblo mismo, mirando de frente el mal y aprestándose á combatirlo.

La Unión francesa antialcohólica cuenta hoy con 457 Socie-
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éste desde 0° á 360°.—Estudio de algunas relaciones entre elementos y razones goniométricas en los triángulos y triédros.

RELACIONES ENTRE LAS FIGURAS

LECCIÓN 15.

Figuras simétricas.—Centros, ejes y planos de simetría.—Propiedades de las figuras simétricas.—Elementos dobles.—Teoremas sobre figuras simétricas.

LECCIÓN 16.

Relación de igualdad.—Propiedades de que goza esta relación.—Igualdad de entidades geométricas en general.—Igualdad de figuras planas y radiadas.—Relación de equivalencia.

LECCIÓN 17.

Semejanza.—Figuras semejantes.—Condiciones de semejanza de polígonos.—Razón de semejanza.—Estudio de las secciones planas de las figuras radiadas, desde el punto de vista de la semejanza.—La semejanza en la radiación.

ESTUDIOS ESPECIALES

LECCIÓN 18.

Propiedades de las mediatrices y bisectrices y de los planos bisectores, en los triángulos y triédros.—Propiedades características de estas figuras con relación respectivamente á la circunferencia y á la superficie cónica de revolución.—Intersección de las alturas y medianas de un triángulo y de los elementos análogos del triédro.

LECCIÓN 19.

Recordar el teorema de Pitágoras.—Cuadrado de un lado de un triángulo cualquiera.—Calcular la altura de un triángulo en función de sus lados.—Suma de los cuadrados de dos lados en todo triángulo.—Consecuencias.—Producto de dos lados de un triángulo.

LECCIÓN 20.

Teorema de Menelao.—Cuestión análoga en el triédro.—Teorema de Ceva.—Su análogo en la radiación.—Alineación de puntos isotómicos y concurrencia de rectas isogonales en el triángulo.—Teoremas correspondientes en la radiación.
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PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS

LECCIÓN 21.

Teoremas de Simson y de Euler, referentes á triángulos.—Círculo de Feuerbach: estudio de sus principales propiedades.

LECCIÓN 22.

Propiedades de los cuadriláteros y ángulos tetraédricos inscritos y circunscritos.—Teorema de Ptolomeo.—Suma de los cuadrados de los lados en todo cuadrilátero.—Teorema de Euler sobre cuadriláteros.—Propiedades especiales de algunos cuadriláteros.

LECCIÓN 23.

Relación de los segmentos determinados en los lados de un polígono por una transversal.—Cuestión análoga en los ángulos poliédricos.—Relación de los segmentos producidos en un enclátero alabeado por un plano secante.—Consecuencias.—Razones dobles de cuatro puntos.—Idem de cuatro rayos.—Teoremas de Pascal y de Brianchou.—Propiedades de los polígonos y ángulos poliédricos inscriptos y circunscriptos.

LECCIÓN 24.

Propiedad, con relación al círculo, de todo polígono regular.—Punto de concurso de las mediatrices y bisectrices.—Propiedad de las superficies piramidales regulares, respecto de la superficie cónica de revolución.—Eje de simetría de las superficies piramidales.—Proporcionalidad entre los perímetros y los radios de dos polígonos regulares homónimos.—Consecuencia.—Géneros y especies en los polígonos y en los ángulos poliédricos.—Determinación del lado de algunos polígonos regulares en función del radio.—Estudio de algunas relaciones especiales de radios, apotemas y perímetros en polígonos regulares.

LECCIÓN 25.

Condición necesaria y suficiente para que dos círculos coplanares tengan tangentes comunes.—Centros de semejanza.—Propiedades de los centros de semejanza de dos círculos tangentes á un tercero.—Idem de los puntos antihomólogos respecto de un centro de semejanza.

CUESTIONES DE MEDIDA

LECCIÓN 26.

Limites de la longitud del perímetro de un polígono y de la amplitud de una superficie piramidal.—Medida de dichas magnitudes en diferentes casos particulares.—Límite de las quebradas inscriptas y circunscriptas en una curva y de las superficies piramidales inscriptas y circunscriptas en una superficie cónica.
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LECCIÓN 27.

Longitud de una curva y amplitud de una superficie cónica.—Medida de la circunferencia.—Recordar los conocimientos adquiridos en el grado elemental sobre esta cuestión.—Determinación de la constante \( \tau \).—Determinación de la amplitud de una superficie cónica de revolución.

LECCIÓN 28.

Relación entre las áreas de dos rectángulos que tengan igual una de sus dos dimensiones.—Idem entre las de dos rectángulos cualesquiera.—Idem entre las de dos paralelogramos de igual base y altura.—Determinación del área de un polígono regular.—Idem de la de un polígono cualquiera.—Medida del espacio radiado de un anguloide.—Área aproximada de una figura cualquiera.—Comparación de áreas.—Máximos y mínimos en las figuras planas y en las radiadas.

LECCIÓN 29.

Áreas circulares.—Área del círculo.—Áreas de un sector, de un segmento, de una faja y de una corona de círculo.
Ejercicios y problemas sobre cuestiones de equivalencia.—Demostración gráfica del teorema de Pitágoras.

PROGRAMA DE GEOMETRÍA
GRADO SUPERIOR.—SEGUNDO CURSO
ESTUDIOS GENERALES

LECCIÓN 1.*

Concepto de elementos en el infinito.—Ventajas que resultan de su introducción en el estudio de la Geometría.—Advertencias respecto a su interpretación y empleo.
Radiaciones y haces paralelos.—Zonas y estratos.—Superficie cilíndrica.—El cilindro y el prisma ilimitados.—Perspectivas y proyecciones paralelas.—Proyección ortogonal.

LECCIÓN 2.*

Determinación de rectas y planos con elementos en el infinito.
Igualdad y suma de zonas y estratos.—Su medida.
Superficies prismáticas: sus propiedades y clasificación.—Relaciones de magnitud entre las caras de una superficie prismática triangular.—Amplitud de una superficie prismática.—Suma de diedros en el prisma indefinido.
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LECCIÓN 3.ª

Superficie cilíndrica.—Elementos necesarios y suficientes para determinarla.—Secciones circulares de una superficie cilíndrica y proyecciones paralelas de una circunferencia.—Propiedades de los planos tangentes á una superficie cilíndrica.—Superficies cilíndricas secantes y tangentes.—Posiciones relativas de dos superficies cilíndricas.

LECCIÓN 4.ª

Propiedades de las zonas planas de dos generatrices, en la superficie cilíndrica.—Propiedades de los planos diametrales.—Planos normales.—Ángulo de dos superficies cilíndricas.—Planos tangentes á una superficie cilíndrica desde un rayo exterior.—Concepto de las cónicas.—Superficie cilíndrica de segundo orden: su clasificación.
Lugares geométricos con elementos en el infinito.—Problemas.

LECCIÓN 5.ª

Concepto y primera clasificación de los poliedros.—Caracteres distintivos de cada clase de poliedros y subclasificación de los mismos.—Formas poliédricas simples y compuestas.—Formas derivadas.—Médios de derivación.—Elementos que se consideran en los poliedros.

LECCIÓN 6.ª

Poliedros eulerianos.—Teorema de Euler sobre estos poliedros.—Propiedades deducidas.—Poliedros correlativos.—Medios de derivar uno de otro, dos poliedros correlativos.—Suma de los ángulos planos de un poliedro euleriano.—Idem de ángulos sólidos.

LECCIÓN 7.ª

Igualdad de poliedros en general.—Condiciones especiales de igualdad en los prismas y pirámides.
La semejanza en los poliedros.—Teorema fundamental de la semejanza de poliedros.—Condiciones de semejanza de poliedros cualesquiera.—Otros teoremas referentes á semejanza de figuras del espacio.—Condiciones especiales de semejanza en los prismas y pirámides.

LECCIÓN 8.ª

Poliedros regulares.—Propiedad característica de los mismos con relación á la esfera.—Géneros y especies en los poliedros.—Número de poliedros regulares convexos.—Teoría sobre la derivación de los poliedros regulares de especie superior.—Modo de determinar la especie de un poliedro regular.—Número de poliedros regulares de especie superior.—Elementos en los poliedros regulares.

LECCIÓN 9.ª

Algunas propiedades de las razones dobles de puntos.—Estudiar el caso de que uno de los puntos sea del infinito.—Propiedades principa-
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les de las razones dobles de cuatro elementos de un haz. — Razones dobles de haces con el vértice en el infinito. — Relación entre la razón doble de una figura plana y la de su perspectiva y entre la de una figura radiada y la de su sección plana.

LECCIÓN 10.

Polos y polares con relación á ángulos ó á segmentos. — Estudio de algunas propiedades de los polos y polares en la circunferencia y en la superficie cónica. — Figuras polares reciprocas.—Rectas y planos polares en las figuras radiadas.

RELACIONES ENTRE LAS FIGURAS

LECCIÓN 11.

Polos y polares con relación á la esfera : sus propiedades principales. — Poliedros regulares polares ó conjugados. — Medios de derivar de un poliedro su conjugado. — Relaciones entre elementos de dos poliedros polares recíprocos ó conjugados.

LECCIÓN 12.

Generalización del concepto de simetría : simetría absoluta. — Centro de simetría y de figura. — Centros, ejes y planos de simetría de un sistema invariable de puntos. — Teoremas relativos á estos conceptos. — Aplicación de la simetría de figuras, á la demostración de teoremas y á la resolución de problemas.

LECCIÓN 13.

Ligera idea de la homotecia y comparación de esta relación con la de semejanza. — Condiciones de homotecia. — Homología. — Característica de la homología. — Correspondencia de elementos. — Recta limite y plano límite. — Casos particulares en la homología : afinidad, involución.—Casos particulares de involución.—Figuras inversas.

ESTUDIOS ESPECIALES

LECCIÓN 14.

Tetraedro en general.—Punto de concurso de los planos de simetría de los vértices, en todo tetraedro. — Propiedades del baricentro de un tetraedro y del tetraedro con relación al baricentro. — Propiedades de las alturas y de los planos bisectores en los tetraedros.
Estudio de los prismas. — Paralelepípedos. — Estudio del cilindro. — Pirámides y conos.
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LECCIÓN 15.

Tetraedro regular: sus propiedades, construcción y desarrollo.—Estudiar las propiedades, construcción y desarrollo de los demás poliedros regulares convexos y de los cóncavos derivados.

LECCIÓN 16.

Concepto de la superficie esférica y de la esfera.—Cuestiones sobre elementos considerados en la esfera ó con relación á ella.—Elementos que determinan una superficie esférica.

LECCIÓN 17.

Propiedades de las rectas y los planos tangentes á una esfera.—Planos tangentes á una esfera desde un elemento exterior.—Posiciones relativas de dos esferas.—Ángulo de dos superficies.—Ángulos esféricos.—Distancias esféricas.

LECCIÓN 18.

Esfera tangente á cuatro esferas dadas.—Método para su determinación.—Número de soluciones del problema.—Teorema de Dupuis.—Esfera tangente á cuatro planos dados.—Examen de las soluciones.—Cálculo de los radios.

LECCIÓN 19.

Polígonos esféricos: su clasificación y propiedades generales.—Polígonos esféricos polares.—Alturas, medianas, bisectrices y mediatrices de los triángulos esféricos.—Cuestiones sobre valores de ángulos en los triángulos esféricos.—Redes esféricas.—Igualdad y semejanza de polígonos esféricos.

LECCIÓN 20.

Estudio de los círculos en la superficie esférica.—Su trazado y posiciones relativas de dos círculos menores.—Circunferencia máxima radical, de dos círculos menores.—Tangentes comunes á dos círculos menores en la superficie esférica.

LECCIÓN 21.

Propiedades de los centros, ejes y planos de semejanza en los sistemas de esferas.—Tangentes comunes á varias esferas.—Potencia de un punto del espacio respecto de una esfera.—Planos, ejes y centros radicales.—Puntos, rectas y planos antihomólogos en dos esferas.
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CUESTIONES DE MEDIDA

LECCIÓN 22.

Área de la superficie de un poliedro regular. — Fórmula general deducida, y aplicación á diferentes casos particulares. — Área lateral y área total de los prismas y cilindros rectos y oblicuos. — Área de una pirámide cualquiera y de un cono. — Ídem de una pirámide regular y de un cono de revolución. — Área de los troncos de pirámide y de cono.

LECCIÓN 23.

Nuevas fórmulas del área del cono, tronco de cono y cilindro de revolución. — Consecuencia. — Área de una zona esférica y de la esfera. — Diversas expresiones del área de un huso esférico. — Ídem de un polígono esférico convexo ó estrellado.

LECCIÓN 24.

Proporcionalidad entre los volúmenes y las dimensiones en los paralelepípedos recto-rectangulares. — Medida del volumen de estos poliedros.—Volumen de un paralelepípedo cualquiera. — Ídem de un prisma triangular y de un prisma cualquiera. — Volumen de un cilindro. — Volumen de las pirámides y conos. — Ídem de los troncos de cono y de pirámide, de los prismaticoides y de un poliedro cualquiera. — Fórmulas particulares del volumen de los cinco poliedros regulares convexos.

LECCIÓN 25.

Medida del volumen de un cuerpo engendrado por la revolución de un recinto poligonal, alrededor de un eje situado en su plano y que pase por uno de sus vértices.—Volumen de un sector y de un segmento esféricos. — Ídem de una bóveda esférica. — Ídem de las cuñas esféricas.

LECCIÓN 26.

Determinación de otros volúmenes. — Volumen de los cuerpos limitados por superficies estudiadas en Geometría, pero no clasificados entre los sólidos geométricos — Fórmulas aproximadas de los volúmenes de cuerpos no estudiados en Geometría. — Ejercicios de cubicación.
Comparación de áreas y de volúmenes. — Máximos y mínimos.

CUESTIONES DE EQUIVALENCIA

LECCIÓN 27.

Casos de equivalencia en los paralelepípedos. — La equivalencia en las pirámides y conos.—Tetraedros equivalentes. — Casos de equivalencia entre tetraedros y prismas triangulares. — Consecuencias. — Equivalencia de polígonos y de husos esféricos.
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LECCIÓN 28.

Concepto de la Geometría. — Lugar que le corresponde en la clasificación general de las ciencias. — Distintas ramas en que se diversifica la Geometría. — Esbozo histórico de su desenvolvimiento. — Estado actual. — Geometría euclídea y Geometrías no euclidianas.

LECCIÓN 29.

Del concepto general de la Geometría, de las tendencias modernas sobre el carácter de esta ciencia y de los conocimientos pedagógicos que se suponen, deducir un plan general para hacer un programa de Geometría para una Escuela Normal, y la forma para desenvolverlo y explicarlo. — Ejercicios prácticos de aplicación de estos conocimientos.

* * *

PROGRAMA DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

GRADO SUPERIOR. — PRIMER CURSO

LECCIÓN 1.ª

Formación general de los números según el sistema natural. — Consecuencia. — Necesidad de una nueva sistematización. — Sistemas de numeración. — Teoría fundamental sobre la agrupación de los números en sistemas particulares dentro del natural. — Forma general de un número entero en un sistema de base B. — Reglas deducidas para nombrar y escribir los números en cualquier sistema de numeración natural.

LECCIÓN 2.ª

Operaciones con números escritos en un sistema de base B. — Adición: diversas cuestiones. — Ejercicios. — Substracción: casos que hay que distinguir. — Ejercicios. — Casos diversos en la multiplicación. — Operar con números determinados de cualquier sistema. — División: reglas razonadas para resolver las distintas cuestiones. — Aplicación de las mismas á la resolución de cuestiones prácticas.

LECCIÓN 3.ª

Reglas razonadas para convertir números escritos en un sistema de base B, en otros equivalentes escritos en el de base B'. — Cuestiones especiales para facilitar el cálculo. — Procedimientos para resolverlas. Ejercicios.
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LECCIÓN 4.

Teoría general de las operaciones. — Definiciones y clasificación. — Algoritmos fundamentales. — Concepto y estudio de los caracteres que distinguen á cada uno de los algoritmos fundamentales. — Gradación que se observa en las operaciones comprendidas en los tres algoritmos.

LECCIÓN 5.

Relaciones y leyes formales. — Propiedades de una operación inversa según las de que goza su directa. — Operaciones posibles é imposibles.

LECCIÓN 6.

Necesidad de una notación especial para poder estudiar las operaciones aritméticas en toda su generalidad. — Expresiones literales : su clasificación. — Ejercicios para familiarizarse con la notación literal.

LECCIÓN 7.

Primer algoritmo. — Generalidades sobre la adición. — Recordar lo estudiado en primer año del grado Elemental sobre la formación de la serie fundamental de los números enteros. — Procedimiento natural deducido para sumar. — Leyes de la adición. — Consecuencias.

LECCIÓN 8.

Análisis de la adición. — Corolarios de la definición. — Posibilidad é imposibilidad en la sustracción. — Ampliación de la serie fundamental de números enteros. — Números negativos. — Números opuestos.

LECCIÓN 9.

Suma general. — Ampliación de las definiciones dadas. — Generalización de las leyes formales de la adición, al nuevo caso que se estudia. — Consecuencias.

LECCIÓN 10.

Adición y sustracción de expresiones literales. — La ordenación de polinomios como operación preliminar de las operaciones con expresiones literales. — Reglas operatorias para sumar y restar expresiones literales. — Reducción de términos semejantes.

LECCIÓN 11.

Segundo algoritmo. — Multiplicación. — Definiciones y consecuencias. — Leyes de la multiplicación. — Consecuencias : caso en que alguno ó todos los factores sean sumas ó restas indicadas.