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amparada por la ley? ¿Ni cómo han de protestar los de Bélgica contra el matrimonio civil cuando está reconocido en la Constitución de 1831, obra de católicos y liberales? ¿Ni cómo los de Francia han de reclamar contra la secularización de cementerios, cuando allí la ciudad de los muertos descansa en el mismo piadoso espíritu de fraternidad y de solidaridad que ya por fortuna preside á la ciudad de los vivos? ¿Ni cómo han de caminar á la par los Prelados norteamericanos con los españoles, cuando aquéllos dicen á toda hora que no apetecen otras relaciones entre la Iglesia y el Estado que las allí existentes, y cuando uno de sus más ilustres miembros ha dicho melancólicamente que la Inquisición española es una pesada carga para el apologista del Cristianismo?

Y en cuanto á los individuos, si esa unidad fuera posible, tendrían en lo fundamental todos el mismo ideal. Ahora bien: San Bernardo, para el cual es la vida, según ha dicho un escritor católico, á modo de enterramiento en una tarde lluviosa de invierno en cementerio solitario, y San Francisco de Sales, para el cual la vida es vida, luz, color, naturalidad, ¿tienen el mismo ideal? San Martín de Tours, que arde en santa ira contra los primeros que por causa de religión derraman sangre en España, y se niega á comunicar con ellos, y Santo Domingo de Guzmán, el perseguidor de los albigenses, ó San Pedro Arbués, el perseguidor de los judíos, ¿tienen el mismo ideal? ¿Lo tienen el Arzobispo de París, que muere en las barricadas para poner paz entre los hombres, y el Obispo de la Seo de Urgel, que va á las montañas de Navarra á encender entre los hombres la guerra? ¿Lo tienen el banquero que, después de oír misa, va al Ministerio de Hacienda, á estrujar el Tesoro público, ó á la Bolsa, á arruinar al prójimo, y el trapense, que apenas si come, si bebe, si duerme? Por último, el que tiene un hogar, que rige y gobierna en unión de una esposa amada, con hijos que son su encanto y alegría, y que procura formar un matrimonio en beneficio de todos para hoy y para mañana, y el religioso que, al hacer los votos de pobreza, de obediencia y de castidad, no puede tener ni hogar, ni mujer, ni hijos, bienes, ni libertad, ¿tienen el mismo ideal?

Allí tenéis explicado por qué no he puesto como condición de la neutralidad, al lado de la libertad, de la tolerancia y del desinterés, la unidad. La única posible será la que resulte de
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su concierto con la variedad, la que sea fruto del libre desarrollo y ejercicio de nuestra facultad de conocer.

Quizás haya entre vosotros alguien que haya leído el conocido libro del ilustre Menéndez y Pelayo sobre Los heterodoxos españoles, y si por acaso recuerda que me incluye entre ellos, llame su atención que haya hecho tantas citas de Obispos, Arzobispos, Cardenales y Santos Padres. Lo he hecho adrede, por tres motivos: el primero, para predicar con el ejemplo, demostrando cómo en todos los sistemas y doctrinas hay puntos de luz al lado de los de sombra; segundo, porque por instinto, por gusto y por reflexión, busco, siempre que puedo, lo que me une, lo que me es común con los demás, antes que lo que de ellos me separa; y tercero, porque si, en frente del sentido que inspira esas citas de autoridades tan respetables, se levanta la bandera de la intolerancia con todas sus funestas consecuencias, quienes tal hacen, por más que pretendan hablar en nombre de la Iglesia, del Cristianismo, de la Religión, no serán más que un partido, una escuela, una secta, con los mismos derechos, pero no más, que los demás partidos, escuelas y sectas, todos los cuales pueden y deben coincidir y encontrarse en algo á todos común: los partidos políticos, en el amor y el culto á la patria; las escuelas científicas, en el amor y el culto de la verdad; y las sectas religiosas, en el culto y ejercicio de la piedad, de la sana y verdadera piedad.

GUMERSINDO DE AZCÁRATE,
Catedrático de la Universidad de Madrid.

MEJORA EN LA MÁQUINA DE ESCRIBIR

Las máquinas de escribir han sido dotadas de un aparato que facilita su uso.

Consiste en un motorcito que, puesto en comunicación con la máquina, realiza todas las operaciones de correr el papel, espaciar las líneas, etc., etc.

El que maneja el aparato no tiene más que introducir una clavija en el clavijero de las letras que quiera reproducir, y el motor aprieta sobre las teclas de la máquina, bastándole al operador un ligero contacto, que le ahorra la fatiga muscular y abrevia la operación, pudiendo así escribir más rápidamente y sin cansancio.
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DATOS PARA EL ESTUDIO GEOMÉTRICO
DE ALGUNAS FORMAS DERIVADAS DEL EXAEDRO REGULAR (1)

Grandes temores me asaltan al tratar de cumplimentar lo que la ley ordena, ó siendo más exacto, lo que el Reglamento de oposiciones impone como condición ineludible al individuo que en ellas tome parte, referente á la presentación de un trabajo original; y entre ellos no es el menor seguramente el nacido de la persuasión de encontrarme sujeto á la severa crítica de personas cuya superioridad científica no es preciso evidenciar, siendo por esta causa enormes las dificultades de quien, acostumbrado desde sus primeros años juveniles á dirigirse en sus explicaciones á adolescentes con escasa ó ninguna preparación, se ve obligado actualmente á romper una lanza en este torneo, siquiera, por ser mía, no haya de soportar la más leve resistencia de sus poderosos adversarios.

Y el asunto elegido habrá de ser, ó de investigación personal ó doctrinal propio; es decir, con cierta originalidad en el fondo ó en la forma. Y esta condición, difícil de llenar cuando se trate de ciencias experimentales, por los obstáculos que deberá vencer el opositor habida cuenta de la escasez de medios materiales ó de Laboratorios donde pueda hacer objeto de comprobación práctica las lucubraciones de su espíritu investigador, lo es más en las Ciencias exactas, sobre todo si ajustándose, como es lógico, á los límites de las Matemáticas elementales, pues que de tal asignatura es la oposición, ha de presentar alguna teoría nueva ó alguna aplicación original de las ya conocidas.

Hechas estas consideraciones, y justificando por la necesidad de llenar los requisitos legales el atrevimiento que supone la exposición de un trabajo científico por quien tan escasas facultades posee, pasemos á indicar el asunto objeto de mi modesta labor.

(1) Trabajo presentado en ejercicios de oposición á Cátedras.
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Innumerables ocasiones se han presentado en nuestra vida-profesional de observar la dificultad con que los alumnos de segunda enseñanza que cursan la Historia Natural, se penetran bien de las caprichosas formas poliédricas naturales estudiadas en la Cristalografía, al extremo de no tener ideas muchos de ellos ni de las formas típos; y si bien es cierto que al escolar aprovechado bastan las luminosas explicaciones del Profesor naturalista para forjarse allá en su mente las variadísimas figuras que se suceden cuando algunas pocas se someten á modificaciones más ó menos profundas, no es menos exacto que al más lince se vería titubear si de primera intención, y sin más detalles que los suministrados por los libros que maneja ó ha manejado, se le obligase á representar por el dibujo ó imitar en cartón la más sencilla de aquéllas. No es lo mismo ver en el espacio que pintar en el papel ó el encerado.

Á facilitar esta representación se dirige este trabajo; á exponer reglas fundadas en no siempre fáciles construcciones y que tengan sencilla aplicación; á deducir algunas constantes numéricas definidoras de determinados cuerpos geométricos, y aun á dibujar desarrollos planos como primera materia de trabajos manuales que deben ocupar lugar distinguido entre los ejercicios y problemas que habrán de exigirse frecuentemente al alumno. Claro es que el desenvolvimiento completo de la labor apuntada nos obligaría á darle una extensión desproporcionada, á nuestro entender, con el pensamiento que debe informarla.

Limitáremos, por tanto, á apuntar algunos Datos para el estudio geométrico de algunas formas derivadas del exaedro regular.

Reducido así el estudio general de las formas —que en ocasión menos apremiante quizá lleguemos á desarrollar,—conviene ordenar el trabajo, darle cierta unidad, poner de relieve la relación de íntimo parentesco que entre sí guardan los cuerpos geométricos engendrados por uno mismo, el cubo: y á este fin sentamos la afirmación de que todos ellos son originados por la intersección de planos secantes á las aristas concurrentes en un vértice y repetición del hecho en todos ó la mitad de los ángulos poliedros; ó realizando igual modificación en los poliedros ya derivados, siempre obedeciendo á la condición de alterar de
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Hay todavía otro motivo más para atender á este problema de la educación nacional, y es su conexión con el del obrero. Es éste el problema social, bajo sus aspectos económico y jurídico, y mirando á la condición del proletariado; pero, teniendo su explicación el que preocupen, en primer término, esos dos aspectos, preciso es reconocer que tiene tantos como fines tiene la vida; y por eso, si con relación al económico el mal es el hambre, con relación al jurídico el mal es la injusticia, y con relación al científico es la ignorancia, la inculcatura. Interesa al obrero la instrucción primaria, porque ella hace falta para todo; la profesional, para ejercer cada cual su oficio con mayor eficacia y aprovechamiento; la de cultura general, para darse cuenta de los hechos sociales e interesarse en ellos y para abrir ancho campo al espíritu.

Además, debe tenerse en cuenta que la enseñanza es una combinación de estas dos cosas: la educación y la instrucción. La educación mira al desarrollo de nuestras facultades, de nuestras energías, de nuestros medios de conocer. La instrucción procura el material, el alimento, las cosas cognoscibles; y la enseñanza hace ambas cosas: educa e instruye. Sólo que, según el grado de desarrollo del individuo, predomina uno u otro de estos elementos, sin que sea nunca exclusivo: porque no cabe educar sin material, que sea, por lo menos, ocasión del desarrollo, ni cabe poner límite á la educación, porque ésta dura tanto como la vida; y así puede decirse que al niño se le educa, al joven se le enseña, al adulto se le instruye; porque, tratándose del niño, lo primero es la educación; tratándose del joven, se combina con ese elemento el de instrucción; y ésta predomina tratándose del adulto. Ahora bien: el obrero, no por su culpa, ciertamente, puede hallarse en cualquiera de estos tres grados, y necesita recibir la enseñanza que cuadra á cada uno, pudiendo muy bien suceder que, mediante la educación que alcance, se sienta capacitado para lograr empeños que antes ni siquiera ha podido entrever.

Pero á esta obra magna de la enseñanza, de la educación nacional, deben cooperar el individuo, la Sociedad y el Estado. Lo que éste hace, manteniendo la enseñanza oficial, no le toca por necesidad, como le corresponde la realización del derecho, sino como medio supletorio de la incompleta acción individual y social. Por esto merece plácemes esta ciudad de Valencia,
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igual modo las tres aristas de cada vértice; es decir, que si uno de los planos corta á una de estas \( a \) á una distancia \( a \) del vértice, á la otra \( b \) á una distancia \( \beta \), y á la tercera \( c \) á una distancia \( \gamma \), habrá de trazarse otro plano que corte á las aristas \( b, c \) y \( a \) á las distancias \( \alpha, \beta \) y \( \gamma \) respectivamente, otro que corte á las \( c, b \) y \( a \) á las distancias \( \alpha, \beta \) y \( \gamma \) respectivamente y continuar de igual modo hasta haber hecho todas las combinaciones posibles con aristas y distancias.

Teniendo en cuenta esto, que no es convenio arbitrario, sino confirmación de un hecho comprobado en la serie de las formas naturales, exponemos en el cuadro siguiente el total de las que pueden derivarse del cubo, modificando por igual sus ocho ángulos:
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Los ángulos poliedros de un cubo se modifican por medio de planos, cada uno de los cuales corta á una arista y es paralela á las otras dos...............

es paralela á una arista y corta á las otras dos.............

á distancias iguales.............

á distancias desiguales.............

iguales........................

dos iguales y mayores que la tercera........................

corta á las tres aristas á distancias........................

dos iguales y menores que la tercera........................

desiguales........................

    Corta á las tres aristas
    Número de planos secantes de cada figrado triédro.
    Poliédro resultante.

    A<sub>1</sub>
    A<sub>2</sub>
    A<sub>3</sub>
    á las distancias
    a =
    b =
    c =
    m
    n
    p
    3
    Cubo.

    m
    m
    m
    8
    8
    8
    8
    8
    8
    8
    3
    Dodecaedro rombal.

    m
    m
    m
    8
    8
    8
    8
    8
    8
    8
    6
    Cubo piramidado ó exatetraedro.

    m
    m
    m
    1
    Octaedro regular.

    m
    m
    m
    3
    Trapezocedro.

    n
    n
    n
    3
    Octotriedro.

    m
    n
    p
    6
    Exa-octaedro.
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I. La primera forma que, siguiendo fielmente el orden marcado por el cuadro anterior, deriva del cubo es el mismo cubo, porque, en efecto, á tanto equivale el trazado de planos paralelos á dos de las tres aristas concurrentes en cada vértice, como decir más concretamente que todos los dichos planos han de serlo á las caras del cubo, siendo evidente en este último caso la formación de un poliedro semejante.

II. Fijemos nuestra atención en el segundo poliedro, el dodecaedro rombal, en el cual, lo mismo que en los demás, empezaremos por estudiar su construcción; deduciremos de ella la manuela fácil de representarlo en el dibujo; calcularemos después algunas relaciones numéricas entre sus elementos, indicando, por último, la forma de su desarrollo.

Para su construcción calculemos los puntos de intersección de los sistemas de tres planos que siendo paralelos respectivamente á una de las aristas de un vértice (ó cortándola á distancia infinita), corten á las otras dos á distancias finitas é iguales que habrán de tener un valor igual por lo menos á la mitad de

las aristas del cubo si se desea que los cuatro planos secantes correspondientes á cada cara hagan desaparecer todas las del cubo. Es evidente que el sólido resultante tendrá dos clases de vértices: unos tetraédricos, los resultantes de la intersección de
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dichos cuatro planos en puntos tales como el \( a \) (fig. 1); y otros triédricos que encontrarán á la mitad de los radios del cubo primitivo, y que serán intersecciones de sistemas de tres planos, tales como los \( PQ \), \( RS \) y \( MR \) paralelos á las tres aristas del vértice A. Para demostrar que, en efecto, el punto \( b \) de unión de estos tres planos es el medio del radio OA, bastará considerar que se ha determinado por el encuentro de las intersecciones \( ad \) y \( Rh \) de los pares de planos \( PQ \), \( RS \) y \( RS \), \( RM \); y que estas rectas son las diagonales del cubo NQ, cuyo centro \( b \) se halla del punto O á la mitad de la distancia O A. Luego, en resumen, los vértices triédricos del dodecaedro rombal se encuentran á la mitad de los radios del cubo de donde esta forma deriva, y son á la vez vértices de un cubo de caras paralelas á las de aquél y centros de los ocho cubos determinados por la intersección de los tres planos coordenados rectangulares, cuyo centro es O. Á igual consecuencia se hubiera llegado determinando la posición del punto, conociendo sus coordenadas rectangulares iguales á la cuarta parte del lado l del cubo inicial.

De todas estas consideraciones se deduce la siguiente sencillísima regla para la representación gráfica del dodecaedro rombal. Máquense en un cubo los centros de sus caras, que serán los seis vértices tetraédricos, formados por cuatro ángulos agudos iguales; trácense los radios y señáense los puntos medios, obteniendo con ello los ocho ángulos triédricos formados por reunión de tres ángulos obtusos; únanse por medio de rectas cada uno de los primeros con los cuatro segundos pertenecientes á la misma cara y quedará dibujada la figura 2.
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Estudiando detenidamente esta figura se deducen las siguientes conclusiones:

1.ª La arista \( ab \) es igual á \( ob \), mitad del radio del cubo.

2.ª La cara \( aba_1b_1 \) es un rombo, pues tiene sus cuatro lados iguales y los ángulos \( \alpha \) agudos.

3.ª Este rombo tiene un ángulo constante, que puede determinarse por ser conocidas las diagonales \( bb_1 = \frac{1}{2} l \), siendo \( l \) la arista del cubo y \( aa_1 = \) mitad de la diagonal de una de las caras del mismo, ó sea el radio de esta cara; luego estas dos rectas guardan entre sí la relación \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), la misma que liga á la diagonal de un cuadrado y su lado. Es decir, que el rombo que sirve de cara al dodecaedro rombal no tiene figura arbitraria; debe construirse sobre dos diagonales, cuyas longitudes sean como 2 y \( \sqrt{2} \)

Dedúcese de aquí el procedimiento que podría seguirse para desarrollar sobre un plano el poliedro objeto de nuestro estudio, y que como ejercicio práctico y manual creemos conveniente compendiar en la siguiente regla: trácese un cuadrado y tómense las longitudes de su lado y su diagonal; sobre estas rectas \( mn \) y \( pq \) como diagonales constrúyase el rombo \( mnpq \), y sobre los lados otros iguales en la posición que marque la figura 3. Bastará recortar la figura, dejando las pestañas convenientes, doblar por las aristas comunes y engomar para obtener el poliedro.

Continuando el estudio métrico de esta figura, podríamos hallar su área y su volumen.

Para calcular la primera, determinemos el área del rombo
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que le sirve de cara, ya en función de la arista del cubo generador, ya en función de su propia arista. El área del rombo \( ab_1a_1b \) (fig. 4) es igual á la mitad del producto de sus diagonales \( \frac{1}{2} aa_1 \times bb_1 \); pero los valores de éstas en función del lado del cubo son:

\[
aa_1 = l \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
bb_1 = \frac{l}{2}
\]

área \( ab_1a_1b = \frac{1}{2} \frac{l\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2\sqrt{2}}{8} \);

es decir, que el área total será:

\[
\frac{12l^2\sqrt{2}}{8} = \frac{3l^2\sqrt{2}}{2}
\]

[1]

que comparada con la del cubo \( 6l^2 \) guarda con ella la relación de los números \( \sqrt{2} \) y 4.

Calculada la misma área, pero en función de su propia arista \( l_1 \), se tendrá lo siguiente:

\[
l_1 = \frac{1}{2} R \\
R = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
l_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \\
l = \frac{4l_1}{\sqrt{3}}
\]

valor que; substituído en la [1]... área del dodecaedro \( = 8l_1^2\sqrt{2} \).

Para hallar el volumen del dodecaedro rombal se pueden hacer las siguientes consideraciones en la figura 2. Puesto que \( ab = ob \), las pirámides que tienen por base las caras del
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cubo \( bb_1b_2 \ldots \) y por vértices los puntos \( a \), son iguales á las que tienen las mismas bases y por vértice el punto \( o \); pero el conjunto de esta segunda serie de pirámides constituye el cubo \( bb_1b_2 \ldots \) cuyo volumen (por ser de dimensiones mitad de las del generador) será su octava parte \( \frac{l^3}{8} \); luego el conjunto de la primera serie tendrá el mismo volumen, y la suma de las dos series, ó sea el dodecaedro rombal, tendrá por volumen \( \frac{l^3}{4} \), y en función de su arista

\[
l_1 = \frac{l \sqrt{3}}{4} \ldots l = \frac{4l_1}{\sqrt{3}} \ldots l^3 = \frac{64l_1^3}{\sqrt{27}}; \text{ luego } V = \frac{l^3}{4} = \frac{64l_1^3}{4\sqrt{27}} = \frac{16l_1^3}{\sqrt{27}}.
\]

III. Exatetraedro ó cubo piramidal. —La tercera forma que deberemos estudiar en orden al cuadro de clasificación es el exatetraedro que, según se indica en este mismo, resulta cuando se cortan por planos las tres aristas del mismo vértice de un cubo \( A_1A_2A_3 \) á distancias de dicho vértice representadas por los números \( m, n, \infty \), repitiendo este seccionado con arreglo á todas las combinaciones posibles. Serán, por tanto, seis los planos diferentes que en cada vértice deberán trazarse, siendo en suma 24 las caras del poliedro producido por su unión.

Basta observar que ninguna condición limita el número de valores de \( m \) y \( n \), ni siquiera su relación numérica, para comprender que el número de exatetraedros derivados de un mismo cubo serán infinitos é infinitas sus formas, desde la cúbica adoptada cuando \( m \) ó \( n \) tengan el valor cero hasta la del dodecaedro rombal obtenida cuando \( m = n \).

Fijemos para nuestro estudio un valor á los números \( m \) y \( n \) (*), ó mejor á la relación \( \frac{m}{n} \), y sea 2 el valor de ésta, caso de los más sencillos que pueden presentarse. Los seis planos secantes, considerados en relación con el vértice A (fig. 5), se reunen en un punto \( b \), intersección de las líneas de puntos, intersecciones á su vez de cada par de planos; y la misma construcción verificada en cada vértice fijará la posición de los 8 vér-

(*) Huelga advertir que, para que los planos secantes lleguen á cerrar la nueva forma, se debe admitir ó su prolongación indefinida ó su traslación paralela á sí mismos hasta hacer desaparecer los elementos del exaedro primitivo.
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ticos exaédricos que, unidos con los 6 vértices o centros de las caras del cubo donde se unen cada cuatro planos secantes, cerrarán completamente el poliedro estudiado. Pero como el procedimiento de trazar en cada vértice los seis planos resultaría incómodo y expuesto á error, será lo mismo calcular la distancia del punto b al centro o; y como por razón de simetría todos los vértices b deberán equidistar de dicho centro, calculada la distancia de uno se llevará sobre los demás radios y se fijará la de los demás.

Para el caso particular en que nos encontramos, \( m = 2n \) se tiene en la misma figura \( \frac{ob}{oA} = \frac{AF}{AA} \); pero \( AF = \frac{1}{3} AA \), luego F dista de \( a \frac{2}{3} AA \), valores que, substituidos en la proporción, dan \( ob = \frac{2}{3} oA \).

Para el caso general de que \( m \) y \( n \) guarden una relación cualquiera, el punto b se halla de o á una distancia dada por la expresión \( ob = oA \frac{m}{m + n} \). En efecto, según se ve en el caso particular, supuesto la relación \( \frac{ob}{oA} \) depende de la \( \frac{AF}{AA} \), es decir, de la distancia á que el punto F se encuentre de a; empecemos, pues, por determinar esta distancia para un caso cualquiera en