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cada sistema de cuatro planos convenientemente elegidos se reunirán en los demás centros, viniendo á ser estos puntos vértices del trapezoedro.

Considerando ahora el sistema de los cuatro planos \( P_{1a_1} \), \( P_{1a_2} \), y \( P_{3a_1} \), \( P_{3a_4} \), concurrirán en un punto \( v \), y lo mismo ocurrirá con cada cuatro planos que guarden idéntica posición respecto á una arista misma, como la tonida por los anteriores en relación con la \( a_1a_4 \). Tendrá, pues, el trapezoedro 12 vértices como el \( v \).

Por último, considerando los tres planos secantes en cada vértice del cubo, tales como los \( P_{1a_1} \), \( P_{2a_1} \), \( P_{3a_1} \), concurrirán en puntos como el \( b \), de los que habrá 8.

Resulta, en resumen, que el trapezoedro tiene 26 vértices, 24 caras y 48 aristas; y queda para nuestro objeto determinar la posición relativa de estos elementos, ó, lo que es igual, de los 26 vértices.

1.º Los vértices \( a \) lo están por los centros de las caras del exaedro.

2.º Los vértices \( b \) podrán variar de posición en función de la relación existente entre los números \( m \) y \( n \); y puesto que, en virtud de consideraciones ya expuestas, siempre podrá reducirse la distancia \( m \) á la arista del cubo, dependerá aquella relación de la distancia \( m \). Propongámonos, pues, un caso particular \( n = \frac{1}{2} m \).
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En la misma figura 10 pueden verse los tres planos \( P_{1a_1}, P_{2a_4}, P_{3a_1} \), (trazados con líneas de trazos y puntos, siendo éstos en número igual al primer subíndice de P), cuyas intersecciones, dos á dos, son las rectas trazadas desde los vértices del tetraedro \( a_1a_2a_3b_1 \) á los centros de gravedad de sus caras opuestas, rectas que dan á su vez, por su intersección \( b \), el centro de gravedad de dicho tetraedro, que, como tal, habrá de estar del punto \( a_1 \) en la recta \( aa_1 \) á \( \frac{3}{4} \) de su altura, tomando por base \( a_2a_4b_1 \). Calculada esta altura, puesto que se conoce el volumen \( \frac{1}{6} l^3 \) y la base \( \frac{1}{2} l^2 \sqrt{3} \), se tendrá para valor de aquélla:

\[
\frac{1}{6} l^3 : \frac{1}{6} l^2 \sqrt{3} = \frac{l}{\sqrt{3}}
\]

cuyos \( \frac{3}{4} \) serán \( a_1b = \frac{l \sqrt{3}}{4} \); y como el radio del cubo es \( \frac{l \sqrt{3}}{2} \), aquella distancia equivaldrá á la mitad de este radio.

3.º Para obtener los vértices \( v \) hay que determinar las intersecciones de dos de los planos concurrentes \( P_{1a_1} \) y \( P_{1a_4} \); después la de otros dos \( P_{2a_1} \) y \( P_{2a_4} \); y el punto de unión de ambas será el de los cuatro planos. Ahora bien: el plano \( P_{1a_1} \) es el \( b_1o_3a_4 \); el \( P_{1a_4} \) es el \( b_4a_4o_1 \); ambos pasan por el centro \( a \) de la cara anterior del cubo y por el 1 de la superior; luego su intersección será la recta llena \( a1 \). Por iguales consideraciones, la de los otros dos será la \( a1' \), y, por tanto, \( v \) será el vértice buscado. Obsérvese que el punto 1 es centro del rectángulo \( o_1o_3a_4a_1 \), como el 1' es el del rectángulo \( a_1a_4o_6o_3 \): será, pues, fácil encontrar la posición de los puntos \( v \) correspondientes á cada arista del cubo, considerando las caras concurrentes en la arista elegida, dividiéndolas en dos mitades rectangulares, fijando los centros de estos rectángulos y uniéndolos con los centros de la otra cara cuadrada. La intersección de las dos rectas será el punto \( v \).

Pero obsérvese que en el prisma triangular recto \( o_1a_4o_6o_5o_3a_1 \), el plano de la sección recta trazada por \( a_4 \) contiene al centro del cubo y á las rectas \( a1 \) y \( a1' \); que el punto \( v \) fija el centro de gra-
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vedad de la sección é idénticamente del prisma; que como tal (fig. 11) dista de \( aa \) \( vx = \frac{1}{3} \), \( ox = \frac{1}{6} oo_4 \); luego

\[
oe = ox + ex = \frac{2}{3} oo_4;
\]

es decir, que los vértices \( v \) se encuentran en las rectas que unen el centro del cubo con los puntos medios de las aristas y á \( \frac{2}{3} \) de aquél.

De todas estas consideraciones se deduce la siguiente regla para la construcción del trapezoedro, cuyo caso examinamos:

máquense los centros de las caras del cubo; señálense los puntos medios de los radios; trácense las rectas del centro á los puntos medios de las aristas, y en ellas los puntos distantes del centro \( \frac{2}{3} \) de su longitud: bastará unir, por último, las dos primeras series de puntos con los de la tercera. Todas estas construcciones las hemos realizado en la figura 12, en la que suprimimos las líneas constructivas porque destaque mejor el poliedro.

Pasemos ahora á calcular las aristas del trapezoedro en las condiciones supuestas. La arista \( av \) se deducirá, por ejemplo, del triángulo \( axv \) (fig. 11) del modo siguiente:

\[
av = \sqrt{ax^2 + vx^2},
\]
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atención de los que niegan á la mujer otra misión social que la vida de familia, argumento estadístico cuya pesadumbre impone la necesidad de abrir horizontes de trabajo al sexo femenino, si no se quiere por galantería condenar á oficios subalternos, á la ociosidad y á la miseria á gran número de mujeres privadas necesariamente de la protección del sexo masculino.

La comparación del número de habitantes de las seis grandes potencias en 1850 y 1900 acusa desigualdad muy grande en el crecimiento, siendo de notar la progresión rapidísima de Rusia y Alemania y el escaso aumento de los habitantes de Francia.

El siguiente estado de M. Bertillon (1) pone en claro tales hechos:

    HACIA 1850
    HACIA 1900
    AUMENTO

    Francia (territorio actual)
    35.260.000
    38.595.000
    3.335.000

    Islas Británicas
    27.369.000
    41.464.000
    14.095.000

    Austria-Hungría (territ.º actual)
    30.727.000
    45.310.000
    14.583.000

    Alemania (territorio actual)
    35.397.000
    56.245.000
    20.948.000

    Rusia (Finlandia inclusive)
    66.744.000
    129.000.000
    62.286.000

    Italia (territorio actual)
    23.647.000
    32.449.000
    8.802.000

La expresión gráfica de estas cifras por líneas proporcionales en la relación de un milímetro por millón de habitantes facilita su comparación.

(1) Hacemos en él algunas modificaciones.
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en cuya fórmula bastará substituir los valores de \( ax \) y \( ox \):

\[
ax = \frac{1}{2} oo_4 = \frac{1}{2} \frac{l}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad ax^2 = \frac{l^2}{8}
\]
\[
ex' = \frac{1}{6} oo_4 = \frac{1}{6} \frac{l}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad ex'^2 = \frac{l^2}{72}
\]
\[
ax^3 + ex'^3 = \frac{l^2}{8} + \frac{l^2}{72} = \frac{10l^2}{72} = \frac{5l^2}{36};
\]

luego

\[
ax = \sqrt{\frac{5l^2}{36}} = \frac{l \sqrt{5}}{6} \quad [1].
\]

La determinación de la arista \( ob \) se deducirá de la siguiente construcción y cálculo. Si consideramos el triángulo \( o a_1 o_4 \) de la figura 10, el ángulo en \( o \) se podrá calcular por la fórmula \( \cos . o = \frac{oo_4}{oa_1} \); luego el lado \( ob \) del triángulo \( obv \), será:

\[
ob^2 = ov^2 + ob^2 - 2 \cdot ox \times ob \cdot \cos o;
\]

y sustituyendo valores,

\[
ov = \frac{2}{3} \frac{l}{\sqrt{2}} \qquad \Rightarrow \qquad ov^2 = \frac{2l^2}{9}
\]
\[
ob = \frac{1}{2} R = \frac{1}{2} \frac{l \sqrt{3}}{2} \qquad \Rightarrow \qquad ob^2 = \frac{3l^2}{16}
\]
\[
= \frac{2l^2}{9} + \frac{3l^2}{16} - 2 \frac{2l}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{l \sqrt{3}}{4} \cdot \cos . o = \frac{59l^2}{144} - \frac{l^2 \sqrt{6}}{6} \cdot \cos . o
\]
\[
\cos . o = \frac{oo_4}{oa_1} = \frac{l}{\sqrt{2}} : \frac{l \sqrt{3}}{2} = \frac{2l}{l \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \ldots
\]
\[
ob^2 = \frac{59l^2}{144} - \frac{2l^2}{6} = \frac{11l^2}{144};
\]

luego

\[
ob = \frac{l \sqrt{11}}{12} \quad [2].
\]

Por razonamientos nada difíciles, y de que hacemos gracia al lector, resultan las diagonales del trapezoide (cara del trapezoedro de lados iguales dos a dos), perpendiculares entre sí é
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iguales, respectivamente, la que une los vértices o á la recta oc y la otra á la recta ob; es decir,

\[
ec = oc = \frac{2l \sqrt{3}}{6} \quad \text{y} \quad ab = \frac{1}{2} R = \frac{l \sqrt{3}}{4};
\]

diagonales de cuya comparación resulta mayor la primera.

Con estos elementos, lados y diagonales, es sencillo dibu-

jar el trapezoide; bastará trazar una recta igual á la diagonal mayor AB, ó sea á los \( \frac{2}{3} \) del radio de una de las caras del cubo
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dado (fig. 13); levantar una perpendicular en su punto medio P; cortar esta perpendicular en C con un arco de radio AC igual á la arista mayor, y tomar desde C en dicha perpendicular una longitud CD igual á la diagonal menor, ó sea á la mitad del radio del cubo. Téngase en cuenta que la arista mayor \( av = AC \) puede medirse gráficamente con auxilio de un triángulo ACR rectángulo de dimensiones como las indicadas en la figura, y del cual dicha arista es la hipotenusa, pues

\[
AC = \sqrt{\frac{l^4}{9} + \frac{l^2}{36}} = \sqrt{\frac{5l^2}{36}} = \frac{l\sqrt{5}}{6},
\]

valor de \( av \) ([1], pág. 420).

El área de este trapezoide es la mitad del producto de sus diagonales, ó sea sustituyendo valores:

\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{2l\sqrt{2}}{6} \times \frac{l\sqrt{3}}{4} = \frac{l^2\sqrt{6}}{24}.
\]

y el área total del trapezoedro será \( l^2 \sqrt{6} \).

El desarrollo lo hemos hecho en la forma que indica la figura 14.

VI. Octohiedro ó trioctaedro.—Este poliedro (el cuadro de la página 341 lo consigna) se obtiene tomando en cada tres aristas concurrentes distancias \( m, n \) y \( n \), y combinándolas en todos los órdenes, siempre que las distancias iguales \( n \) sean menores que la desigual \( m \). Son tres los planos secantes correspondientes á cada vértice del cubo, y 24, por tanto, las caras del sólido resultante.
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Podríamos, como en las figuras ya estudiadas, determinar de un modo directo la posición de los vértices triédricos (ya que la de los vértices octaedricos puede siempre considerársele fija en los centros de la cara del cubo); pero, por dar alguna variación al trabajo y, más que nada, con ánimo de poner de relieve las relaciones de íntima correspondencia de tales formas, preferimos razonar la construcción del trioctaedro por el método expuesto á continuación.

Teniendo en cuenta que el octaedro regular se obtenía por planos secantes cuando las tres distancias á cada vértice eran iguales, y que el dodecaedro rombal resultaba al suponer una de estas distancias infinita y las otras dos iguales, se deduce que el trioctaedro es una forma intermedia de ambas, que puede pasar por una serie infinita de términos desde el octaedro, en que \( m = n \), creciendo \( m \) de una manera continua hasta adquirir un valor infinito y transformarse al llegar á este límite en el dodecaedro rombal.

Esto mismo puede verse en la figura 15; pues si se hace girar uno de los planos secantes desde la posición MNP correspondiente al octaedro y sirviendo de eje una tras otra las rectas
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xx', x'x'' y xx'', irá tomando posiciones como la ABCD, la LBEH y LCGF, cuyas intersecciones mutuas darán á su vez otra r, vértice triédrico que buscábamos.

Repetía la misma construcción con igual amplitud de giro en los ocho ángulos resultarán otros tantos vértices triédricos, que, por razón de simetría, serán equidistantes del centro, y unidos con los centros de las caras cúbicas, limitarán uno de los infinitos trioctaedros.

Continuando en igual forma el movimiento giratorio de estos planos, se llegará á una posición paralela á una de las aristas, como indica la SS'S''S'''', condición necesaria, según queda explicado, para originar el dodecaedro rombal.

El punto r recorre la recta OR desde el centro de gravedad del triángulo xx'x'' (cara del octaedro) hasta la posición única del vértice triédrico del dodecaedro rombal, pudiendo, por ello, oscilar su distancia al centro entre el valor de la apotema del octaedro regular y la mitad del radio del cubo. Calculemos estos límites:

apotema del octaedro en función de su arista ............ \( \frac{a \sqrt{6}}{12} \)
arista del octaedro en función del lado del cubo .......... \( \frac{l \sqrt{2}}{2} \)

luego

\[
\frac{l \sqrt{3}}{6} < or < \frac{1}{2} \text{ OR } \frac{l \sqrt{3}}{6} < or < \frac{l \sqrt{3}}{4}
\]

es decir, que el punto r ocupará cualquiera de las posiciones entre el tercio y el medio del radio del cubo. De lo expuesto se deduce la siguiente sencillísima regla: Para representar el octotriedro se dibuja el cubo y sus radios; se toman sobre éstos, y á partir del centro, distancias iguales entre sí, y cuyo valor sea mayor que el tercio del radio mismo y menor que su mitad; por último, se unen estos puntos con los centros de las caras del cubo (fig. 16).

Para calcular la arista or tendremos que fijar la posición de r. Supongamos, por ejemplo, que se da á or el valor de la media aritmética entre \( oc = \frac{1}{3} \) R y \( ob = \frac{1}{2} \) R, resultando:
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dos arcos cuyo punto de encuentro C se une con A y B, quedando dibujada una de las caras; sobre BC y AC se construyen triángulos iguales al ya construido; sobre AB, BD y AE se repite la construcción de figuras de tres triángulos como la primera, y se habrán formado 12 triángulos; y, por último, se repite el dibujo de otras doce caras y se tendrá el completo de las del trioctaedro.

VII. Exaoctaedro.—Ultima de las formas que, según la clasificación adoptada, se deriva del exaedro regular; la de mayor variedad de elementos; la que posee mayor número de caras (48), y la más general, pues á ella pudiéramos referir las demás estudiadas para valores determinados de algunos de aquellos elementos.

Resulta dicho poliedro de la intersección de 48 planos secantes, 6 en cada vértice del cubo, con la condición de cortar cada uno á cada sistema de tres aristas concurrentes á las distancias \( m, n \) y \( p \), desiguales, en la forma siguiente:

    Arista A<sub>1</sub>
    Arista A<sub>2</sub>
    Arista A<sub>3</sub>

    \( m \)
    \( n \)
    \( p \)

    \( m \)
    \( p \)
    \( n \)

    \( n \)
    \( m \)
    \( p \)

    \( n \)
    \( p \)
    \( m \)

    \( p \)
    \( m \)
    \( n \)

    \( p \)
    \( n \)
    \( m \)

Por razones idénticas á las argüidas en el caso del trioctaedro, no seguiremos aquí un método directo de derivación, que, además, por su complejidad, nos conduciría á dar á estos apuntes una extensión poco en armonía con nuestro deseo.

Consideremos las tres magnitudes \( m, n \) y \( p \) en orden descendente \( m > n > p \). Si damos á \( m \) valores sucesivamente decre-
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cientes desde \( m = \infty \) hasta \( m = n \), habremos pasado por una serie infinita de formas exaoctaedricas desde el cubo piramidado hasta el trapezoedro. Si, por el contrario, damos á \( p \) valores sucesivamente crecientes ó á \( n \) decrecientes hasta hacer \( n = p \), estaremos en el caso del trioctaedro si \( m \) es finito y del dodecaedro rombal si \( m \) es infinito. Por último, haciendo á la vez decrecer á \( m \) y crecer á \( p \) hasta igualarlas á \( n \), tendremos la figura del octaedro regular. Es, pues, el exaoctaedro una forma compleja cuyos elementos deben recordar los indicados cinco poliedros.

Tendrá tres clases de vértices: 1.º Los que resultan de la intersección de cada sistema de seis planos secantes, homólogos de los del mismo género del cubo piramidado; tales vértices ocuparán posiciones simétricas á lo largo de los radios del cubo primitivo. 2.º Los puntos de concurrencia de los ocho planos que apuntan cada una de las caras del citado cubo, ó sean los 6 centros de sus caras; tales vértices pueden variar á lo largo de las apotemas de éste y tienen sus homólogos también en el cubo piramidado. 3.º Los vértices en que concurren cuatro caras, los cuales tienen sus homólogos en el trapezoedro y cuyas posiciones pueden admitirse en los diferentes puntos de las rectas que unen el centro y los medios de las aristas de la repetida forma exaédrica.

Si, pues, consideramos un cubo, trazamos los tres sistemas de ejes, y sobre ellos y desde el centro llevamos longitudes contenidas entre los límites señalados á los poliedros ya estudiados, obtendremos uno de los infinitos exaoctaedros posibles. Así se
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ha dibujado la figura 18, en la cual, sin explicación detallada, puede seguir el observador la construcción con arreglo á las instrucciones dadas.

El desarrollo plano del exaoctaedro queda reducido á calcular las aristas para un caso particular, construir con las tres un

triángulo escaleno y unir 48 iguales en la forma que indica la figura 19. Para un caso indeterminado bastará formar un triángulo cuyos ángulos obedezcan á la condición de ser el uno menor que 90°; el segundo menor que 60°, y el tercero menor que 45°, y su suma, claro es, igual á 180°.

Por cuanto hasta aquí decimos, deteniéndonos unas veces en minuciosos detalles, dejando otras bastantes lagunas, comprenderá quien, con paciencia jamás superada, hubiera hojeado estos apuntes (que apuntes son, y no otra cosa) que el tiempo implacable corría, y debía dar por terminado un trabajo que, si alguna atención merece, no lo será por el acierto de su exposición ni por la galanura y corrección de su forma. Además, su extensión, mayor quizá de la deseada por todos, es una barrera que me hace infranqueable el estudio de algunos poliedros pertenecientes á una variedad de los explicados, como el tetraedro regular, el dodecaedro pentagonal y el icosaedro.

Hago merced de ello á mis escasísimos y obligados lectores, y de este modo habrá algo que motive sus plácemes.

Gregorio Álvarez Palacios.
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PEDAGOGÍA MATERNAL

III

CUIDADOS FÍSICOS

Más que por deber, por cariño, por instintivo y amoroso afán, desea la madre cuidar al hijo, conservar su existencia, reanimar la débil vida, aumentar la fuerza, contribuir á la belleza, á la energía, á la agilidad de aquel ser querido, digno de todos los cuidados y sacrificios, por el solo hecho de ser suyo. La solicitud maternal no repara en que es larga la carrera, pesada la carga, frecuentes los tropiezos y dudoso el éxito. Para el amor no hay dificultades, y no existe amor más firme y resistente que el de las madres. La obra de la educación tiene de su parte el valor y la fuerza moral; pero como esto, con ser mucho, es poco sin la inteligencia, de aquí que no baste, en asunto tan arduo, la buena voluntad.

Querer y saber son los dos factores de toda acción: con el primero cuentan las madres, siendo de lamentar que no dispongán del segundo, y que el poco saber que alcancen se funde en los preceptos que ha consagrado y perpetuado la rutina.

El cuerpo, envoltura preciosa que guarda y encierra el espíritu y revela exteriormente su pujanza y su dignidad, obra maravillosa y perfecta modelada por las divinas manos, necesita para desenvolverse, conservarse y desarrollarse, previsiones, cuidados, protecciones solicitas y suaves prohibiciones.

Inferior al alma, pero su compañero inseparable, reclama el cuerpo su parte y se venga de los descuidos é indiferencias, quitando vigor al espíritu con la enfermedad. Por eso hay que atenderle procurándole salud, que es alegría, despejo intelectual, belleza, y hasta energía moral.

La limpieza más pulcra y esmerada, la libertad y soltura de
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Francia . . .
  { En 1850... 35 millones.
    { En 1900... 38 millones.

Islas Británicas . . .
  { En 1850... 27 millones.
    { En 1900... 41 millones.

Austria-Hungría . . .
  { En 1850... 30 millones.
    { En 1900... 45 millones.

Alemania . . .
  { En 1850... 35 millones.
    { En 1900... 56 millones.

Rusia . . .
  { En 1850... 66 millones.
    { En 1900... 129 millones.

Italia . . .
  { En 1850... 23 millones.
    { En 1900... 32 millones.
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los miembros, el orden en las horas del sueño y el cuidado en la elección y distribución de los alimentos, constituyen la base de la salud de los niños.

Como vigía siempre atento para evitar cualquier riesgo, debe ser la madre inteligente, no permitiéndose el menor descuido, ni aun viendo á su hijo sano y robusto, pues en el comienzo de la vida la fragilidad es el rasgo característico. Es cierto que la extrema debilidad se compensa con la frescura y superabundancia de vida, merced á la cual el niño pierde y recobra en pocos días las carnes, las energías y la salud. Por razón de esta variabilidad, tratándose de niños, no es prudente ni la confianza extrema, ni el desaliento y la alarma, cuando sobreviene algún accidente.

Si hay algo que no debe parecer nunca extremado á la madre cuidadosa, ese algo es la limpieza; los baños diarios, graduando la frescura del agua hasta poder usar sin perjuicio la que esté á la temperatura del ambiente, serán utilísimos al infante en todas las épocas. La piel verificará por este medio una especie de ejercicio con las continuas reacciones; tendrá constantemente abiertos sus poros, favoreciendo la transpiración, y la sensibilidad frigorífica se embotará hasta el extremo de poder soportar con mediano abrigo temperaturas bajas. Otras ventajas reportan las prácticas de la hidroterapia, como son: excitar fuertemente las funciones de reparación plástica, aumentar el apetito y las aptitudes digestivas, igualar el calor orgánico evitando el enfriamiento de las extremidades y establecer una gran regularidad en la circulación.

La elección y distribución de los alimentos debe fijar de una manera preferente la atención de la madre educadora. Una alimentación á la vez simple y nutritiva, exenta de especies y materias estimulantes propias para activar el sistema nervioso, es la más adecuada para conservar por largo tiempo esa virginalidad de los sistemas orgánicos tan favorable para el amplio desarrollo del cuerpo y la formación de un buen temperamento.

La perniciosa costumbre de someter á los niños al mismo régimen alimenticio de los adultos, que necesitan rehacer, estimular y recobrar lo perdido, es antihigiénica y nociva. Hay que distinguir entre la debilidad del ser que se forma y la del ser agotado; el primero se nutre de una manera natural con lo simple, por su gran potencia asimiladora, mientras el segundo