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fijados en límite; y así apreciamos tres cantidades limitadas, que son las continuas, á saber: 1.ª, la extensión, ó sea el lugar limitado que ocupan los cuerpos en el espacio infinito; 2.ª, el peso, ó sea la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre la fuerza de los demás; y 3.ª, el tiempo, ó sea el lugar que cada fenómeno ocupa en el orden sucesivo en que todos los fenómenos se realizan.

Realmente, el tiempo, el peso y la extensión se dan en los seres y fenómenos como unidades indescomponibles; no tienen partes; carecen de la pluralidad real que forman los seres y los fenómenos individuales reunidos en conjunto y que constituyen las cantidades discretas; pero la mente concibe otra pluralidad ficticia en la complejidad de lo real, es decir, en el plexo ó conjunto de propiedades que componen cada ser, y aplica esta pluralidad á las propiedades y relaciones de seres y fenómenos en la fuerza, en el espacio y en el tiempo, de que provienen las cantidades continuas.

Pero la pluralidad de las cantidades continuas, como ficticia que es, carece de unidad real. Y como no puede haber pluralidad sin unidad generatriz, hay que arbitrarla; y la mente que concibió la pluralidad ficticia de la cantidad continua, concibió asimismo la unidad ficticia correspondiente á esta pluralidad (1).

Concíbese, pues, en la cantidad continua dos clases de unidad: la unidad real del ser ó fenómeno en quien se trata de apreciar la cantidad de alguna de sus propiedades ó relaciones, y la unidad ficticia, elegida arbitrariamente para determinar dicha cantidad.

La unidad real del ser ó fenómeno considerado como cantidad continua es la mayor, y se llama magnitud; la unidad ficticia es la menor, y se conoce con el nombre de medida. Entre la magnitud y la medida, la mente concibe además otras cantida-

(1) La pluralidad real de las cantidades discretas tienen unidad real, que es la propia de cada uno de los seres que constituyen la misma pluralidad. Esta unidad es fija ó invariable, y hay que aceptarla, quiérase ó no. Para determinar la pluralidad de cuerdas de un arpa, la unidad es una cuerda; de plumas de una caja, una pluma. Y si en realidad hay veinticinco seres en cada pluralidad, siempre se expresa éste con la palabra veinticinco.

Pero la unidad de las cantidades continuas, como ficticia que es, puede variar indefinidamente y llegar á ser tan pequeña como se quiera. Así es que en una misma magnitud, v. gr., una bala que pose un kilogramo, la pluralidad ficticia de dicha magnitud puede concebirse formada por diferente número de unidades ficticias, diez, ciento, mil, etc., según sea el hectogramo, el decagramo, el gramo, etc., la unidad que arbitrariamente se elija para medirla.
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des intermedias, también continuas, que se llaman dimensiones.

La unidad real siempre es entera; la facticia no siempre lo es; pues de ella nace la unidad fraccionaria, que es una de las partes iguales en que puede dividirse ó concebirse dividida la principal unidad ficticia.

La fraccionaria es unidad de orden inferior. También con ella puede formarse pluralidad; y, en este caso, para contraria, se la considera como unidad real entera; y agregando á su lado las partes que se toman de aquellas iguales en que se considera dividida la unidad principal, se forman las fracciones ó quebrados.

IV. — Limite de la pluralidad: totalidad.

Pero sea cual fuere la unidad, siempre nos es evidentemente conocida. Si es unidad real de cantidad directa, es necesariamente sacada de uno de los seres ó objetos que forman esta cantidad; si es unidad facticia de cantidad continua ó magnitud, es un objeto libremente elegido por ser de magnitud conocida y análoga. De todas suertes, sea real ó facticia la unidad, sábese fijamente cuánta es su cantidad: uno. Pero no se sabe cuánta sea la cantidad de la pluralidad: un conjunto de unos, sin determinar cuántos son.

Lo uno es cantidad inalterable; la unidad es la unidad, siempre una y nada más; pero lo múltiple puede crecer indefinidamente por incrementos sucesivos, y puede asimismo decrecer hasta la unidad por decrementos también sucesivos. Es decir, que la diferencia entre lo uno y lo múltiple puede ser mayor y menor. Por consiguiente, la cantidad es susceptible de aumento y disminución; y por lo mismo, para poder apreciarla ó valuarla, es preciso fijar antes sus límites, determinarla.

El punto de partida del aumento de la cantidad es la unidad, y el límite de la disminución de la cantidad también es la unidad; luego la unidad es el término fijo y absolutamente indispensable para determinar la cantidad: es el término conocido que se da para encontrar el desconocido.

El otro término es la pluralidad; pero mientras la unidad es término bien definido (uno), la pluralidad es término indefinido; pues no hay pluralidad, por grande que se la conciba, á la que no pueda agregarse una unidad más, y luego otra, y otra, y otra... indefinidamente. Preciso es, pues, cortar esta indefini-
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ción, señalando el límite de la pluralidad. Este límite es aquel que encierra dentro de sí todas las unidades que componen el conjunto de unos de cada pluralidad, y excluye á toda otra unidad que no forme parte de este conjunto.

Para encontrar este límite, hay que partir de la unidad real en la cantidad discreta, y de la unidad facticia en la cantidad continua; pues cada una de estas unidades sirven respectivamente de punto de partida para definir ó señalar el límite de la pluralidad real en un caso y de la facticia en otro.

La pluralidad ya definida ó limitada se nos presenta como un compuesto de unidades (reales ó ficticias) agregadas una á una formando un todo (totum). De aquí proviene el concepto de totalidad, que en primer término aparece como una unidad de orden superior.

Totalidad es la suma ó reunión completa de todas las unidades componentes de una pluralidad definida.

Toda cantidad es la diferencia entre lo uno definido y lo múltiple, también definido; luego unidad y totalidad (pluralidad definida) son los dos términos que se han de comparar para determinar la cantidad; es decir, para averiguar cuántas son las unidades de que se compone la totalidad.

Esto se consigue contando y midiendo.

V. — Determinación de la cantidad. — El contar y el medir.

Contar es una operación que consiste en considerar prime- ramente separados é independientes entre sí á los seres que componen un conjunto; y después, partiendo de uno de ellos, ir agregando sucesivamente á él todos los restantes, considera- dos como unidades idénticas; y dando un nombre diferente á cada nueva agregación de unidades, y otro distinto á la totali- dad de las mismas.

Es decir: contar es una adición sucesiva de unidades idénti- cas, ó lo que es lo mismo, una serie de cantidades que, partiend- do de la unidad, van aumentando hasta llegar á la totalidad. Al llegar aquí, la cantidad queda ya determinada, indicando cuán- tas veces la unidad está contenida en la totalidad.

El ser ó unidad de que se parte al contar se llama unidad de cuenta.

Medir, en su acepción más corriente y usual, es determi-
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nar la magnitud ó extensión de una cosa, empleando los instrumentos conducentes, según la calidad de la misma cosa.

En Matemáticas, medir es comparar una magnitud de un objeto mayor con la magnitud análoga de otro objeto menor, para averiguar la diferencia entre las dos magnitudes, determinando cuántas veces la menor está contenida en la mayor.

La magnitud del objeto con que se mide se llama unidad de medida; es el instrumento conducente á la medición y el punto de partida para determinar la magnitud que se desea averiguar.

La operación de medir exige simultáneamente la de contar. La magnitud menor sirve á la vez de unidad de medida y de unidad de cuenta. La base para contar las magnitudes ó cantidades continuas es considerar como unidades discretas las veces que la unidad de medida se halle contenida en la magnitud que se mide; y partiendo de la primera, ir agregando las restantes hasta llegar á la totalidad. Si en ésta no cupiese la unidad de medida un número exacto de veces, se la divide en partes iguales, tantas como convenga; y una de estas partes sirve de nuevo instrumento para seguir la operación, esto es, de nueva unidad de medida, aunque de orden inferior con relación á la principal de que procede.

Contando se establece una comparación, cuyos términos son el objeto solo (la unidad de cuenta) y el conjunto de todos los objetos reunidos. Esta comparación ofrece simultáneamente la idea de unidad (el objeto solo por donde empieza la cuenta), la de pluralidad, que es la cantidad que se cuenta, y la de totalidad, que es el resultado de la operación, y que se expresa por el número. Por ejemplo: para saber cuántas personas hay en un determinado local se compara una de dichas personas considerada sola, con el conjunto de todas las demás. Esta persona sola da la idea de unidad; el conjunto de todas ellas, la idea de pluralidad, correspondiente á la cantidad de las personas allí reunidas; y el resultado de la comparación, la idea de totalidad, que corresponde al número. Con este número se expresa la pluralidad definida, esto es, la cantidad determinada de personas que hay en el local.

Midiendo se establece también una comparación entre la magnitud del objeto que se mide y la magnitud de otro objeto elegido para unidad de medida. Para esta comparación es menester tantear hasta averiguar, contando además, cuántas ve-
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ces dicha unidad de medida está contenida en aquella magnitud. También esta comparación ofrece simultáneamente la idea de unidad (la de medida); la de pluralidad, que es la magnitud, esto es, la cantidad que se mide y á la vez se cuenta; y la de totalidad, que es el resultado de la operación y que se expresa por el número. Por ejemplo: para averiguar el peso de una barra de hierro, se elige otro objeto que también tenga la propiedad de ser pesado y que sea de peso conocido y fijo, un kilogramo, v. gr. Este kilogramo es la unidad de medida, que sirve de tipo para obtener el peso de la barra por agregación de kilogramos, ó lo que es lo mismo, por pluralidad definida de unidades. La totalidad de estos kilogramos, ó sea las veces que la unidad está incluida en la pluralidad, corresponde al número. Con este número se expresa la magnitud medida, es decir, la cantidad determinada de peso que tiene la barra.

VI.—Determinación de la cantidad (continuación).

UNIDAD DE CUENTA Y UNIDAD DE MEDIDA

El modo primitivo y fundamental de determinar la cantidad es contar. El medir es un modo derivado y auxiliar.

Para contar no es necesario medir: para medir es indispensable contar. Ambas operaciones tienen, sin embargo, la misma base: la unidad.

Pero entre la unidad de cuenta y la de medida hay notables diferencias, que importa indicar, porque son origen de números diferentes.

La unidad de cuenta es real: se toma necesariamente de la realidad de uno de los seres ú objetos de la totalidad que se va á contar, y por esto es obligada, invariable, fija. Para contar un grupo de hombres, un hombre; para un rebaño, una res; para una arboleda, un árbol, etc., etc. Como proviene de un ser individual, indiviso, entero, la unidad de cuenta es simple, entera, indivisible: no tiene partes ni admite fraccionamiento. Cualesquiera que sean los seres que compongan la pluralidad, la unidad de cuenta ocupa el primer grado de la serie de dichos seres, y en tal concepto, es origen, fundamento y principio del número; y como representa invariablemente la idea relativa y opuesta á totalidad, la unidad de cuenta tiene en sí misma
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una significación completamente abstracta y general, porque su relación con la totalidad es idéntica en todos los casos.

Por esto, cuando de un modo abstracto y general se habla de medir cantidades, la unidad abstracta es su medida. Efectivamente: la unidad es medida común á todas las cantidades (1).

La unidad de medida es facticia: se toma de un ser cualquiera, aunque no sea de igual naturaleza que el ser cuya magnitud se va á medir, bastando que coincidan en tener ambos la propiedad objeto de la medición, es decir, que los dos seres sean extensos ó pesados, etc., aunque se hallen en diferente estado físico ó pertenezcan á distintos reinos de la Naturaleza. Una cadena de oro puede medirse con una cinta de seda; y el peso de los cuerpos, ya en estado sólido, líquido ó gaseoso, se puede apreciar lo mismo con medidas así de metal como de otra sustancia cualquiera.

La unidad de medida es arbitraria y convencional, elegida libremente con la mira de que sea proporcionada á la magnitud que se va á medir; si ésta es grande, la unidad de medida debe ser grande; y debe ser mediana ó pequeña cuando la magnitud sea una cosa u otra. Siendo arbitraria, puede ser tan pequeña como se desee y convenga que lo sea.

También esta unidad es divisible. Fácilmente se concibe la imposibilidad de acertar siempre á elegir y tener á mano una unidad de medida que esté contenida en la magnitud un número exacto de veces. Mido con una regla la longitud de la mesa sobre la cual estoy escribiendo, y veo al final que aun me queda un trozo de mesa donde no cabe la longitud de la regla. Cuando esto sucede hay necesidad de quebrar la unidad de medida, dividiéndola en fracciones más ó menos pequeñas, para seguir la medición con una de estas fracciones, que sirve entonces de nueva unidad de medida. Y aun acontece á menudo ser preciso quebrar y volver á quebrar la unidad cuantas veces sea posible, y aun así no se consigne una medición exacta. Por esto la unidad de medida, hecha á gusto de quien mide, es divisible, y como tal, compuesta: tiene partes y admite fraccionamiento.

(1) Medida común es aquella cantidad que está contenida un número exacto de veces en otras dos ó más cantidades. La medida común de dos ó más números es un factor de todos ellos.
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Es también invariable, pero sólo temporalmente, mientras conviene que lo sea, pues cuando es menester se la quiebra, y en quebrándose, deja de ser lo que antes era, dando origen á otras unidades de orden inferior, y sirviendo de tipo determinante de las demás, que son fracciones ó quebrados suyos.

La unidad de medida siempre es concreta, porque su relación con la magnitud no es general como lo es la relación de la unidad de cuenta con la totalidad, sino relación particular, que ha de ser determinada en cada caso.

En efecto; cantidades idénticas, si son discretas, esto es, determinadas por la unidad de cuenta, siempre tienen idéntica expresión. Un conjunto de treinta seres, ya personas, animales ó cosas, se expresa invariablemente con la palabra treinta. Pero cantidades idénticas, si son continuas, esto es, determinadas por la unidad de medida, pueden ser expresadas por palabras diferentes, según sea esta medida. Así, por ejemplo, la magnitud longitudinal cinco metros puede expresarse por esta misma palabra cinco, ó por cincuenta, ó quinientos, etc.; pero en todo caso es indispensable agregar á la palabra que expresa la cantidad en abstracto, otra palabra, metros, decímetros ó centímetros, etc., que exprese concretamente la unidad de medida en cada caso empleada. Por esto la unidad de medida siempre es concreta.

Y así, con sólo contar unas veces, y midiendo y contando otras, pero siempre partiendo de la unidad, ya de cuenta, ya de medida, se determina la cantidad.

La cantidad determinada se expresa mediante números.

VII.—Expresión de la cantidad: el número.

Número es la expresión de la cantidad: el nombre de la misma.

Cada cantidad determinada tiene un nombre que la distingue de las demás. Cada uno de estos nombres es un número.

El número de la cantidad unidad es el uno: éste es su nombre. Y como la unidad en sí misma es única, todos los demás números son nombres de los distintos grados de la cantidad definida ya dentro de límites, esto es, formando totalidad. Dos, tres, cuarenta, ochenta, un millón, cien millones, etc., son números, es decir, nombres de cantidades plurales y totales, determinadas y expresas.
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El número y la cantidad determinada van siempre tan íntimamente unidos, que se confunden y mutuamente se sustituyen; pues tomando la expresión de la cantidad por la cantidad misma, se da también á los números el nombre de cantidades.

Y como la cantidad se determina de dos maneras, contando y midiendo, ó contando solamente, el número se presenta asimismo de dos maneras, á saber: como consecuencia inmediata de la idea de pluralidad definida y como resultado también inmediato de la medida de la magnitud.

Hay, pues, que considerar al número en el doble aspecto del contar y del medir, que, siendo operaciones distintas, dan origen á clases de números diferentes.

VIII. — Generación y formación de los números.

El número se forma contando: el modo primitivo y elemental de la generación y formación de los números es la adición sucesiva de la unidad consigo misma. Si á cualquier número entero se le agrega la unidad, resulta el número entero siguiente: de lo que se infiere que la serie de los números es ilimitada, indefinida; pues por grande que sea un número (\( n \)), siempre se puede concebir otro mayor (\( n + 1 \)).

Pero el sólo contar se aplica únicamente á las cantidades discretas, porque éstas, hablando propiamente, no se miden. Un ejército no tiene magnitud ni dimensiones ni medida. El medir es una operación exclusiva y necesaria para contar las cantidades continuas.

Contando no se hace más que discernir unas cosas de otras; por eso contando sólo se fórmán cantidades discretas, y por eso también, como la unidad de cuenta es indivisible y entera, contando sólo se forman números enteros.

Midiendo se relaciona cuantitativamente las cosas entre sí. En la medición pueden ocurrir tres casos, á saber: 1.º Que la magnitud contenga un número exacto de veces á la unidad de medida: en este caso se obtiene un número entero. 2.º Que por no caber la unidad de medida en la magnitud un número exacto de veces, haya necesidad de quebrar la unidad en partes iguales; pero haciéndolo de tal suerte, que cualquiera de estas partes está contenida exactamente cierto número de veces en la magnitud que se mide: en este caso, midiendo se da origen á
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carlo todo, atribuyendo cualidades de los seres animados á los objetos inanimados, Fröbel considera que la educación por medio de símbolos responde á una necesidad positiva de la infancia, que le permite obtener desde luego la unidad ó continuidad entre el mundo material y el espiritual.

Todos los medios de que se vale el Kindergarten. «dones», juegos, ocupaciones, etc., tienen en vista esas asociaciones espirituales, dando así satisfacción á los deseos de la imaginación infantil.

El «simbolismo educativo» del sistema de Fröbel ha sido y es aún reprobado por muchos educadores, que ven en esto una tendencia contraria á los fines de la educación positiva y á las necesidades de la vida moderna.

Estas críticas, sin embargo, pierden gran parte de su valor, si se reflexiona que se debe educar á los niños como á niños, no como á hombres, y que los símbolos, empleados con tino y prudencia, serán reemplazados, más adelante, por la realidad simbolizada. Cada periodo de la vida del hombre tiene sus necesidades, que es necesario satisfacer, so pena de que queden soluciones de continuidad que perjudicarán su desenvolvimiento progresivo y completo. Por esto Fröbel desea que la educación del hombre sea íntegra en cada momento de su desarrollo.

10. El sistema de gobierno y disciplina escolar de Fröbel, por ser inspirado en el respeto de las tendencias naturales del niño, resulta sumamente liberal, tanto, que el ministro de Prusia, von Raumer, creyó ver en ello una tendencia democrática y socialista, por lo cual ordenó la clausura de los Kindergarten en 1851. El gran educador de Turingia tenía el convencimiento de que la disciplina escolar se establece natural y fácilmente, siempre que se procure que los niños estén ocupados en algún trabajo interesante, en el cual puedan manifestar su personalidad, y siempre que el Maestro sea un compañero, un amigo del alumno.

II

11. Esta ligera exposición de los principios de la pedagogía fröbeliana revela su excelencia. Un estudio de los medios educativos del Kindergarten demostraría igualmente con cuánto
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números quebrados ó fraccionarios. 3.º Que por muy pequeñas que sean las partes en que se descomponga la unidad de medida, ninguna de ellas esté contenida exactamente en la magnitud de que se trate: en este último caso, la magnitud aquella no se puede medir con aquella unidad, por lo que se la llama cantidad incommensurable, y da lugar á la formación de números incommensurables.

Contando se atiende únicamente á determinar la pluralidad, y como ésta es un concepto independiente de la naturaleza y propiedades de los seres que la forman, se puede contar en abstracto y en concreto, y cosas homogéneas y heterogéneas; pues para contarlas basta considerarlas coexistentes y ordenadas en serie, formando simultáneamente el conjunto que constituye su totalidad. Del contar, pues, se originan números abstractos y concretos, cardinales y ordinales, pares e impares.

Midiendo se atiende á la clase de magnitud, para elegir su unidad de medida, precisamente entre los seres que posean igual propiedad que la de aquella magnitud que se trata de medir; y por esto siempre se mide en concreto y con unidad concreta; y no se atiende al orden de las unidades en la serie que forma la totalidad, porque ésta es ficticia, y por esto se mide con unidad arbitraria, y en lo arbitrario no hay orden. De ochenta litros de agua, verbigracia, contenidos en una vasija, no puede decirse cuál sea el primero, cuál el segundo, etc. Del medir, sólo pueden originarse números concretos, cardinales y homogéneos.

En resumen: contando sólo resultan números commensurables y enteros; midiendo, pueden resultar enteros, quebrados e incommensurables; contando se forman números abstractos y concretos; midiendo, sólo concretos; contando, todos los números resultan incomplejos; midiendo, pueden resultar incomplejos y complejos; del contar, pueden derivarse números cardinales y ordinales; del medir, sólo provienen cardinales; la clasificación de los números en series como la de pares e impares viene del contar, no del medir; la clasificación de números simples y compuestos viene del medir y del contar.

Por último, se cuenta con la unidad entera, y contando se llega á formar unidades de orden superior; se mide con la unidad entera y también con la fraccionaria, y midiendo con esta forman unidades de orden inferior.