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IX.—Diversas clases de números.

Atendiendo á su relación con la unidad, los números se dividen en commensurables é incommensurables.

Número commensurable, que también se llama racional, es el que tiene una medida común con la unidad; es decir, el que contiene á la unidad entera ó fraccionaria un número exacto de veces. 18 es un número commensurable; \( \frac{3}{5} \) otro; 18 \( \frac{3}{5} \) otro.

Número incommensurable ó irracional es el que no tiene medida común con la unidad; es decir, el que no contiene un número exacto de veces ni á la unidad entera ni á la fraccionaria. El número incommensurable no puede representarse con exactitud por ningún número entero, fraccionario ni mixto; es decir, que no puede expresarse exactamente con palabras ni con cifras; pero se expresan aproximadamente por números que difieran de aquél en partes de la unidad, tan pequeñas como se quiera, de una manera indefinida.

El número commensurable se subdivide en entero, quebrado y mixto.

Número entero es el que expresa una ó más unidades enteras; es decir, la unidad ó cualquier totalidad de unidades; ó de otro modo, el que contiene á la unidad un número exacto de veces. 1, 27, 504, 402729 son número enteros.

Número quebrado, que también se llama fraccionario, es el que expresa una ó más unidades fraccionarias iguales; es decir, una ó más partes iguales de las en que se puede dividir ó considerar dividida la unidad entera; ó de otro modo, la unidad fraccionaria ó cualquier totalidad de unidades fraccionarias. \( \frac{1}{8}, \frac{5}{8}, \frac{3}{4}, \frac{18}{25} \) son números quebrados.

Número mixto es el que expresa á la vez una ó más unidades enteras y una ó más unidades fraccionarias. El número mixto es un compuesto de entero y quebrado. 4 \( \frac{7}{9} \), 36 \( \frac{8}{13} \) son números mixtos.

Atendiendo á su relación con los seres cuya cantidad expresan, los números se dividen en abstractos y concretos.

Número abstracto es el que sólo expresa la cantidad sin indicar los seres ó objetos á que se refiere. En el número abstracto
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se considera únicamente su cantidad, ó sea la relación de la unidad abstracta uno con la totalidad que expresa el número, prescindiendo ó haciendo abstracción de los seres ó fenómenos que la constituyen. 8, 95, 27048, son números abstractos. Estos números son los que, por su generalidad, se estudian preferentemente en Matemáticas.

Número concreto es el que, además de expresar la cantidad, indica los seres, objetos ó fenómenos que la forman; es decir, que determina su relación con la unidad, indicando además el nombre de los seres individuales ó de la magnitud á que se refiere dicha unidad. 100 cajas, 27 fábricas, 825 pesetas, son números concretos. Con estos números se practican las operaciones de mayor aplicación á los usos comunes de la vida.

Los números concretos se subdividen en complejos e incomplejos, homogéneos y heterogéneos.

Número incomplejo es el concreto que se refiera á unidades del mismo género y especie; es decir, que expresa cantidad determinada de una sola clase de unidades. 2 años, 15 años, 743 años son números incomplejos.

Número complejo, que también se llama denominado, es el que expresa varias clases de unidades del mismo género, pero de distinta especie. Los números complejos son una reunión de incomplejos que respectivamente son múltiplos y submúltiplos unos de otros. En los complejos, si la unidad de uno de los incomplejos es longitudinal, ó de tiempo ó de peso, etc., lo mismo es en los demás. 1 año, 365 días, 5 horas, 48 minutos y 49 segundos es un número complejo. Distintas unidades, pero todas de la misma clase: medida de tiempo.

Números homogéneos son aquellos que se refieren á una misma unidad. En los quebrados, los que tienen el mismo denominador. Los concretos, incomplejos, son también homogéneos; verbigracia: 20 pesetas, 480 pesetas, 1.225 pesetas. Los quebrados \( \frac{4}{12}, \frac{7}{12}, \frac{10}{12} \) también lo son.

Números heterogéneos son los que se refieren á unidades de distinta clase, como 25 barcos, 13 gorriones y 2 tinteros. En los quebrados son heterogéneos los que tienen distinto denominador; por ejemplo: \( \frac{4}{7}, \frac{9}{25}, \frac{7}{11} \).

Con los números heterogéneos no puede hacerse ninguna
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operación aritmética; pues hasta para contarlos es preciso considerar en ellos algo común y homogéneo, aunque sólo sea tenerlos á todos como formados por seres coexistentes, en conjunto simultáneo.

Atendiendo á su relación de orden con la unidad, se dividen los números en cardinales y ordinales, pares e impares.

Números cardinales son aquellos que expresan cantidad de seres coexistentes y pueden ser raíz y origen de otras cantidades. Todos los números enteros y quebrados son cardinales.

Números ordinales son los que expresan orden en la serie y sucesión de seres y fenómenos. Los números ordinales son enteros que proceden de cantidades discretas y se refieren á ellas. Capítulo I.º, artículo 4.º, párrafo 9.º son números ordinales.

Números pares son los exactamente divisibles por 2.

Números impares, los que no son exactamente divisibles por 2.

Pares son los que forman pareja con el número impar ó suelto que les precede, excluyendo las parejas anteriores. El número 1 es el primer número suelto, el primer impar. La primera pareja la forma con éste el número 2. Y así sucesivamente.

Atendiendo á sus mutuas relaciones con una medida común, los números se dividen en simples y compuestos.

Números simples, que también se llaman primos ó primeros, son los que no se pueden dividir exactamente más que por sí mismos cada cual y por la unidad. 1, 2, 3, 5, 7, 11, son números primos. Como se ve, estos números no tienen más medida común que la unidad.

Números compuestos son los que se pueden dividir exactamente por sí mismo, por la unidad y por otro ó otros números primos. 9 es un número compuesto, porque puede dividirse por sí mismo, por la unidad y por el primo 3.

Se llaman primos entre sí los números que, siendo primos ó compuestos cada cual, no tienen más medida común (divisor común) que la unidad. 7 y 12 son primo el uno y compuesto el otro; pero son primos entre sí, porque ninguno de los primos 2 y 3, que son divisores de 12, lo son de 7. Los números 12 y 25, ambos compuestos, son también primos entre sí, por la misma razón expuesta anteriormente. Pero 12 y 30 no son primos entre sí, porque tienen un divisor común, que es el primo 3.
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Por su forma gráfica, los números se dividen en dígitos y polidígitos.

Dígitos son los que se representan con un solo signo gráfico (cifra ó guarismo). 1, 4, 9, son números dígitos.

Polidígitos, los que se representan con dos ó más signos gráficos. 10, 528, 432509 son números polidígitos.

En la numeración arábiga del sistema decimal ó décuplo, que para operar con los números es la casi universalmente aceptada, no hay más que nueve números dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), que, con el (0), símbolo de la nada, son los diez signos con los cuales se representan en la escritura toda clase de cantidades.

Admirable combinación, cuyo estudio merece capítulo aparte.

Antonio Cervera Royo.

LAS CUMBRES MÁS ELEVADAS

Son curiosas las noticias que leemos en un periódico acerca de las cumbres más elevadas y las ascensiones más notables.

Los primeros que llegaron á la cumbre del monte Blanco, que es el gigante de los Alpes, y tiene la cima á 4.840 metros sobre el nivel del mar, fueron los viajeros Balmat y Saussure en 1787.

La primera expedición al Jungfrau (4.167 metros) se hizo en 1812; al Waterhorn (4.235 metros), en 1854; al monte Rosa (4.638 metros), en 1855; al Matterhorn (4.432 metros), en 1865.

Humboldt subió á la cumbre del Chimborazo (6.310 metros) el año 1802; Froshfield á la del Elbruz (5.630 metros), en 1868; Mummerning y Hasly á la del Nangat-Parbat (6.300 metros), en 1873; al Kilimándjaro, cuya cima está á 6.400 metros, subió Hans Mayer, pero sólo llegó á 5.049 metros de altura.

El inglés Graham y el guía suizo Boers subieron al monte Kabru, próximo al Kanchinjung, y que mide 7.200 metros de elevación. El 14 de Enero de 1897, el inglés Fitzgerald, acompañado del guía suizo Zurbriggen, subió á la cima del Aconcagua, que está á 6.970 metros de altura.

Aún hay muchos montes á cuya cima no ha subido nadie; por ejemplo, en Asia, el Gaurisankar, á 8.840 metros; el Dapzang, que tiene casi la misma elevación; en África, el citado Kilimándjaro, y el Carlos Luis, que tiene 6.000 metros.
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INFORMACIÓN PEDAGÓGICA (1)

Un discurso de M. Leygues.—En la Clase primera de la Exposición.—La Universidad de Oviedo.—La educación popular en Francia.—La Universidad en España.

En la distribución de premios del último Concurso general celebrado en la Sorbona, pronunció el Ministro de Instrucción pública, M. Georges Leygues, un discurso digno de ser recordado, porque algunas de sus frases no fueron de pura fórmula, como suele acontecer con los discursos oficiales, sino que aparecieron inspiradas por un elevado espíritu pedagógico que fuera de desechar resplandeciese siempre en las palabras de los altos dignatarios de la enseñanza de todos los pueblos, puesto que aun no teniendo las palabras en los países latinos sino un carácter de relatividad por la frecuencia con que los actos dejan incumplidas las promesas más halagüeñas, cuando las palabras son elocuentes con la elocuencia de la verdad y desposeídas de alardes retóricos, tienen en sí eficacia suficiente para mover las voluntades rehacias á la ejecución de levantados designios. Algunas de las frases del discurso de M. Leygues tienen singular aplicación á España. Cuando el Ministro francés decía á los estudiantes: «Estudiad y amad el pasado. Esto no os impedirá ser hombres de vuestro tiempo». Y cuando añadía: «Estudiad y amad al extranjero. Esto os ayudará á ser buenos franceses». Díriase que no sólo hablaba á conciudadanos suyos, sino que dirigía sus apóstrofes á los que, como en España sucede, suponen posible una renovación de nuestra vida intelectual, desarraigando del suelo de nuestra patria sus raíces históricas, pensando que ha de surgir como por ensalmo una España futura, contra lo que ya decía Leibniz, que lo presente es hijo de lo pasado y engendrador del porvenir, ó á los que, por el contrario, suponen posible continuar viviendo como al presente, recluidos en las fron-

(1) Tenemos la satisfacción de anunciar á nuestros lectores que desde el presente número publicaremos estas tan interesantes Informaciones, merced á la bondad del Sr. Ovejero, tan reputado periodista como escritor de asuntos pedagógicos, en los que se distingue por el sentido modernista y elevado con que trata las cuestiones. LA ESCUELA MODERNA se siente muy satisfecha de poder ofrecer á sus lectores esta novedad, y agradece mucho al Sr. Ovejero la colaboración con que empieza á honrarla.—N. DE LA D.
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teras de nuestro aislamiento nacional, que si en el orden exterior pudo acrearos el funesto resultado de nuestras recientes guerras, en el orden interior nos augura tristemente la extinción de la nacionalidad en la paz de Varsovia de nuestras almas muertas para la vida del progreso.

¿Qué es lo que puede poner en peligro la unidad moral de la patria? decía M. Leygues, y encontraba que la intolerancia era acaso su único enemigo. «Nuestro país la desprecia, exclamaba, y la odia, porque rebaja y deshonra á los pueblos, y porque más vergonzosa y más brutal que el alcohol, no enciende en el cerebro sino pasiones viles y furores asesinos...»

No es infrecuente en Francia esta recomendación de los espíritus tolerantes. Hombres de las más opuestas creencias religiosas y de los más distintos partidos políticos convienen en esto. El P. Didon, en una distribución de premios del Colegio Albert le Grand, decía: «Que vuestro patriotismo no cese de pensar en la concordia de todos vuestros conciudadanos. Renan supo encontrar siempre palabras llenas de unión para recomendar la tolerancia. En las escuelas, la tolerancia está en el ambiente. Envuelve los espíritus cultos y se respira por las buenas almas como una atmósfera espiritual. En una alocución dirigida á Maestros y discípulos, Jules Lemaitre decía: «Sobre todo, sed tolerantes. La tolerancia es la virtud laica de nuestro tiempo». Fuerza de Francia no es tan general la corriente á favor de estas ideas. En las primeras páginas del libro de Taparelli más conocido en España, á cuyo idioma está dos veces traducido, hay una energética condenación de la tolerancia, como depresiva para los fueros de la verdad filosófica. Y no se diga que ésta es la intolerancia dogmática de un teólogo, porque doctores tiene la Santa Madre Iglesia, y doctores tiene la Sabia Madre Filosofía como Monseñor Mercier, por ejemplo, y nadie aventaja en tolerancia para con todas las ideas al ilustre profesor de la Universidad de Louvain, mientras tanto que leyendo á Carlyle se nos impone la acometividad del genio sajon en términos como estos: «La tolerancia tiene que tolerar todo lo no esencial... pero en resumidas cuentas no tolerar únicamente, sino resistir, reprimir y vencer». En España, todavía resuenan melancólicamente aquellos versos:

¡Ay! ¡Cuándo brillarás feliz día
en que estreche el humano
con el humano la amorosa diestra?

con que comienza la oda de Alberto Lista Al triunfo de la Tolerancia, llena de efusión lírica...

* *
La Sra. Pardo Bazán, en una de las crónicas de la Exposición de París que viene publicando en El Imparcial, dedica un brillante artículo á tratar de la enseñanza de la clase primera. Permítaseme entresacar algunos párrafos. «En el programa oficial tan científico de la Exposición, la enseñanza constituye la clase primera. Y para las naciones ó fuertes ó so-
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lamente sanas que se encuentran en un período de incremento y vigor, que en vez de decrepitud acusan virilidad, la enseñanza es, en efecto, el número uno, la preocupación incesante, lo sagrado. Barómetro infalible. Consultadlo, y no necesitaréis preguntar el estado de una nación. Si ésta aparece pujante y adelantada en la enseñanza, pujante y adelantada la encontraréis en todo ó en vías de llegar á serlo.

«Empieza á darnos lecciones esta sección, mostrándonos que para elevar á toda la altura posible la enseñanza, no se necesita ser nación ni grande, ni poderosa, ni rica. Suecia, Noruega, Dinamarca, estados muy inferiores en población á ciertas regiones españolas, ponen la ceniza en la frente á dilatados imperios que se llaman China ó Turquía. Lo vasto y lo lleno de la instalación sueca, que es á la nuestra lo que un gigante á un liliputiense, dice el interés profundo, la capital trascendencia atribuida á este aspecto de la vida humana. Las escuelas primarias suecas y noruegas son modelos de intimidad, de poesía, de ideal; matrices donde se genera una humanidad mejor». Concluye este artículo con palabras entreveradas de ironía y tristeza: «Nosotros también hemos remitido material escolar. Allá lo veo, en un escaparate. ¿Les parece á ustedes que hablemos de otra cosa?»

No, D.a Emilia, no; hablemos de lo mismo, y hablemos hasta que nos oigan los sordos. A fe que aunque nosotros callemos no han de callar los otros la impresión que les produzca el espectáculo de nuestra ignorancia. En la Revue Pédagogique, donde se viene publicando una serie de artículos sobre las instalaciones escolares del Extranjero en la Exposición, puedo leerse un artículo de M. Maurice Pellison sobre España y Portugal, dedicando 10 páginas á estudiar la instalación portuguesa, y á estudiar la instalación española, 10 líneas. Transcribo en francés, para ver si de este modo se subleva el amor propio de los Maestros españoles, el juicio de M. Pellison: «On ne saurait donc dire que l’Espagne ait fait une exposition scolaire, et nous sommes contraint de passer». En el mismo número de la Revue Pédagogique se publica un extenso y notable artículo sobre la Exposición escolar y monografías pedagógicas de los Estados Unidos. Lleva la prestigiosa firma de M. Gabriel Compayré, y aunque los límites de esta información no nos permitan extractar este importante trabajo, no he de prescindir de dos notas sumamente instructivas para nosotros los españoles, los vencidos por el gran pueblo norteamericano. «En la Exposición Universal de 1889 los Estados Unidos, relegados al rincón de una galería, pêle-mêle, con las fotografías de la sección industrial, los escasos objetos expuestos por las Escuelas de América no hacían honor á su nación...» «Hoy debemos felicitar á los organizadores de la exposición americana por los esfuerzos invertidos y la habilidad desplegada para hacer ostensible á los ojos de los visitantes de París el conjunto y las diversas partes de sus Institutos de educación. El resultado será extender y acrecentar el conocimiento, y, por consiguiente, la admiración á un régimen pedagógico que pone á los Estados Unidos
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en primer rango entre las naciones que quieren y saben instruir y educar á sus hijos». Lo que fué Alemania para Francia después del año 70, debió ser la República norteamericana para España después del año 98. Del enemigo el consejo, dice un proverbio castellano. Y no estará mal aconsejado en España quien repare, por el ejemplo de los Estados Unidos, en lo que va de la Exposición de 1889 á la Exposición de 1900, lo que puede lograr en once años la actividad inteligente de un pueblo.

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No van descaminados en el propósito del incremento de nuestra cultura esos beneméritos Profesores de la Universidad de Oviedo que dignamente continúan la gloriosa tradición de una Escuela cuyas aulas honraron Feijoo, Campomanes, Jovellanos y tantos hombres ilustres. En una instantánea de la Universidad ovetense, que presenta en su libro sobre Asturias Salvador Canals, la llama colmena intelectual. De ello la acreditan su Escuela práctica de estudios sociales y jurídicos, especie de Seminario á la usanza de los que en todos los países cultos de Europa constituyen obligado complemento de la enseñanza universitaria, donde los alumnos realizan trabajos personales de investigación y de crítica; sus Colonias escolares de vacaciones; sus trabajos de Extensión universitaria, iniciada en España por los Catedráticos de Oviedo para vulgarizar la enseñanza, tanto en el grado superior como en el de cultura general; sus Cursos en la Escuela de Artes y Oficios y en varias localidades de la provincia como Avilés, Gijón y Langreo, y fuera de la provincia como en Bilbao, fundaciones que no sólo demuestran la elevada aspiración de sus iniciativas, sino el noble desinterés de su realización. Recientemente ha honrado las columnas de la Gaceta de Madrid la publicación por Real orden, «para conocimiento y estímulo de los restantes Centros universitarios», de dos circulares impresas que la Universidad de Oviedo ha acordado enviar una á los establecimientos docentes de América, saludándoles en nombre de la comunidad de raza y de la fraternidad intelectual, y ofreciéndoles reciprocidad efectiva de servicios e iniciativas en el orden académico, y otra á los españoles residentes en aquellos países, solicitando su concurso para el mejor cumplimiento de los fines educativos que se propone la Universidad de Oviedo, cuya gestión patriótica, el primer paso en la intimidad intelectual con sus hermanas de América, es de desear que sea aplaudido por todos los amantes de la cultura hispana y favorecido por los españoles de América, y muy especialmente asturianos, en quienes el espectáculo de naciones que ven sus centros de enseñanza protegidos con amor por la iniciativa particular expresada en donativos cuantiosos, podrá reavivar el recuerdo de aquel célebre fundador del Colegio Mayor de Oviedo, D. Fernando Valdés, de quien cuentan sus biógrafos que acertó á gastar en obras filantrópicas cerca de millón y medio de escudos, rasgos de liberalidad bien entendida que nos
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traen á las mientes la memoria de la respetable cifra de 16 millones de pesetas invertidas en la construcción de la monumental Universidad de Estrasburgo.

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Suscitada por el nombre de la Universidad de Oviedo la idea de los trabajos de Extensión universitaria, considero oportuna la referencia á dos escritos publicados acerca de la Universidad popular, uno con la firma de Gabriel Séailles en la Revue internationale de l'Enseignement, y otro con la firma de A. Rivaud en la Revue Politique et Parlementaire.

Séailles trata de mostrar el carácter distintivo de la Universidad popular. En Inglaterra, en América, dice, la extensión universitaria es sobre todo una obra de enseñanza; es, sobre todo, una obra de educación y de acción social. Procura acercar á los obreros intelectuales y los obreros manuales, y prepara la educación del pueblo. La Universidad popular debe ser la obra de los trabajadores, está ligada al progreso de la democracia.

Rivaud dedica al estudio de las Universidades populares un trabajo más extenso, utilizando datos proporcionados á este publicista por M. Charles Guieysse, Secretario general de la Sociedad de las Universidades populares. Divide su trabajo en cuatro capítulos. En el primero expone la historia de las 15 Universidades populares que hay en Paris y las 30 que hay en provincias, mencionando la transformación de la Sociedad Cooperation des Idées en la Universidad popular, por la iniciativa del antiguo obrero tipógrafo Jorge Deherme. En el segundo capítulo trata de la organización; en el tercero de la enseñanza y la educación, y en el cuarto de los resultados. Respecto de la acción de la Universidad popular, dice Rivaud que será más grande que la de la Escuela, porque aquélla se dirige, no á niños, sino á hombres.

Implica, á no dudarlo, el movimiento de la Extensión universitaria una transformación de la Universidad en el sentido de una acción social más directa. Se ensancha el ánimo al pensar que hay ya en España quienes trabajan en tal dirección con discreción y con perseverancia, conforme á todos nosotros obliga la nobleza de nuestras tradiciones universitarias. De lo que fué la Universidad y de lo que puede ser, si nos es lícito abrir el pecho á la esperanza, da una idea, que por su consolador optimismo conviene traer á estas páginas, idea que en la palabra elocuenteísima de un Catedrático insigne y orador, en quien el verbo de Castelar está redutivo, acaba de tener expresión artística de acendrada belleza literaria en discurso recién pronunciado con motivo de los Juegos florales celebrados en Almería. El Sr. López Muñoz decla en un período admirable de su discurso: «Yo he visitado hace pocos días la Exposición Universal de Paris, y recuerdo y recordaré toda mi vida la impresión que me produjo el ver una noche ilumi-