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Estos ejercicios le enseñan á reflexionar, á comparar, á seguir un razonamiento, y le hacen presentir más tarde cuál es aproximadamente el valor del número que se busca en el problema. Un alumno que no conozca más que los cálculos hechos en el papel ó en el encerado, no percibirá casi nunca el error de un cálculo por lo absurdo del resultado; otro, por el contrario, que está habituado al cálculo mental, lo notará inmediatamente y procurará corregir su operación.

Los primeros ejercicios de cálculo mental deben ser bastante sencillos para que puedan resolverse independientemente de las reglas ordinarias del cálculo; pero á medida que el alumno conozca los principios aritméticos, se le enseñará su aplicación para simplificar el cálculo mental y acortar el trabajo empleado. Al interrogar á los alumnos que operan mentalmente, en un principio se limitarán á dar el resultado; pero, después, á fin de iniciarles en la abreviación y otros artificios del cálculo, darán cuenta de las operaciones que les han conducido á la solución y, si cabe, se les indicará ó auxiliará con preferencia, para que encuentren por sí mismos el camino que debían haber seguido.

Los ejercicios de cálculo en la numeración exigen sumo cuidado y revisten gran interés, porque son la base de todas las operaciones que los niños han de realizar y el fundamento de la rapidez con que encuentren la solución.

Voy á presentar una síntesis del plan que me parece más aceptable: en primer lugar, debe formar el niño idea de los 10 primeros números, contando diversos objetos; porque si bien al ingresar en la escuela posee en general estos nombres y los cuenta, es muy dudoso que despierten en su espíritu una idea clara y exacta y los asocie á un número adecuado de objetos. Debo contarlos de 1 á 10 y de 10 á 1; después representarlos por trazos, líneas ó puntos, combinándolos de diversos modos, y el Maestro le interrogará acerca del número de diferentes objetos; después verificará ejercicios de adición, multiplicación, sustracción y división con estos números, para lo cual se le proponen infinidad de problemas, variando siempre la clase de objetos. Modo de representar los
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nombres de los números con un símbolo característico; las cifras árabes, formándolas primariamente con el número de líneas que cada una representa, forma que se aproxima bastante á la habitual.

Y ahora debo advertir que exige el mayor cuidado la transición gradual de lo intuitivo, de los objetos reales, al número solo, en abstracto, á cuya fin debe pasarse de las cosas mismas á contar con números concretos, después á los puntos ó trazos que los substituyen, y, finalmente, al número en sí mismo, separado de toda condición material.

No hablo del cálculo escrito; pero entiéndase que, si bien el oral debe preceder y es una preparación para aquél, desde el momento en que el niño conoce los símbolos ó cifras, el cálculo escrito debe seguirle paso á paso, si se quiere que esta preparación sea eficaz. Además, para que ésta sea completa, se aprovecharán las lecciones de cálculo mental para enseñar prácticamente la disposición de los números en cada operación del cálculo escrito.

Conocidos los diez primeros números, se le hará distinguir la unidad de la decena con variados grupos de objetos y traducir un orden al otro para observar la relación. Haciendo 10 partes iguales de un objeto, adquirirán el conocimiento intuitivo de la décima y practicarán los mismos ejercicios anteriores con décimas; como habrán visto ya el metro, litro y gramo, pueden conocer ahora el dun., dl., dg. y el décimo ó pieza de 10 céntimos. Al operar con decenas, deben conocer también el Dm., Dl. y Dg., y se les propone problemas compuestos para que los niños los descompongan en las varias operaciones de que constan y de recapitulación de todos los anteriores, interviniendo los numerosos datos que ya conocen, y que el niño resolverá mentalmente con verdadera avidez.

Sigue ahora el conocimiento de los números de 10 á 20, contando en sentido ascendente y descendente, analizándolos también en las deconas y unidades de que constan, y practicarán las operaciones fundamentales con todos los números hasta este límite. Idéntico procedimiento se puede seguir con
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los demás, hasta llegar á 100; cada vez los problemas revisten mayor interés; se les hace contar por decenas de 10 á 100 y de 100 á 10, no olvidando nunca este sentido inverso, porque marca el camino natural para la sustracción, é insistiendo en el análisis en docenas y unidades. Deben contar de 2 en 2, de 3 en 3, etc., hasta 100, siempre tomando grupos iguales.

Conociendo la centena, ya se les puede hablar del Hm., Hl. y Hg. y también de la centésima, haciendo 1/10 partes de un objeto, y relacionándolo con ella, conocerán también el cm., el eg. y céntimo, é intervendrán estos datos en los problemas que, con los nuevos números, deben realizar; esta variación, unida á su aplicación á los casos prácticos, aumenta el estímulo para averiguar las soluciones y emplean un vigor y un afán que encuentran plenamente recompensados ante el placer que les causa la prontitud y rapidez en obtener esas conquistas intelectuales.

Uno de los principales ejercicios consiste en acostumbrar á los discípulos á encontrar los valores que toma cada número cuando se le aumenta en 2, 3, 4, etc., sin pasar de 100, y cuando llegue á un número formado por decenas y unidades no se apresure el Maestro á indicarle el camino; el niño, con su buen sentido, no tardará en descubrir el más natural.

Los que hayan observado á los principiantos, habrán notado que son poquísimo los que suman sin contar, y en vez de permitirles esta costumbre, para hallar la suma de dos números, debe ejercitárselos en varias combinaciones para la adición y sustracción de modo que adquieran la aptitud necesaria para verificarlas rápida y exactamente. Es muy sabido que el niño que sabe que 6 y 6 son 12, ignora que 16 y 6 son 22, etc.; esto depende de que no se le ha hecho observar que siempre que se suman dos cifras iguales los resultados son iguales también, y de que no se le ha enseñado esas combinaciones con números altos. El mejor sistema consiste en hacerles sumar el 2 á sí mismo y á los números sucesivos terminados en 2, como 12, 22, 32, etc., y verán como 2 y 2 producen en todos los casos 4. Después, el 2, añadirlo al 3, 13 y sucesivos terminados en 3, para obtener 5 en todas las combinacio-
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nes, y lo mismo á los terminados en 4, 5, 6, 7, 8 y 9, obteniendo todas las combinaciones posibles del 2. Finalmente, se establecerán idénticas combinaciones, pero añadiendo sucesivamente los números 3, 4, 5, todos los dígitos, con lo cual habrán realizado las combinaciones posibles con todos los números de 1 á 99. Por último, ya las realizarán con extraordinaria rapidez, y, haciéndoles sumar varios números, notarán que la colocación no implica cambio de resultado, esto simplifica mucho la cuestión: porque, cuando se trata de sumar un número mayor á otro menor, se invierten y queda reducido al primer caso, y si un niño vacila al sumar algunos números, por ejemplo, 27 y 4, recordando solamente que 7 y 4 son 11, encontrará inmediatamente la solución.

Debe detenerse el tiempo suficiente en el cálculo con números que no exceden á 100, y no pasar al millar hasta que el desarrollo del niño le permita concebir 1.000 objetos, y cuando su imaginación pueda abarcarlos fácilmente; entonces, conociendo este nuevo orden, debe conocer también el Km., Kl. y Kg., adquirir el concepto de la milésima y de las medidas relacionadas mm., mg. y ml.

En los demás órdenes se sigue el mismo procedimiento, ampliando cada vez más los círculos, y ahora expondremos diferentes medios para abreviar el cálculo en la resolución de las distintas operaciones.

En los ejercicios de sumar, los niños habrán contado objetos de 2 en 2, de 3 en 3, de 9 en 9, etc.; así habrán visto prácticamente cuánto valen 2 veces 1, 2, 3... 9; 3 veces 4, 5...; 9 veces cada uno de los números digitos por medio de grúpitos de objetos; interrogados frecuentemente sobre problemas cuyos números se toman en un orden cualquiera, se graban profundamente los productos en su memoria de una manera tan segura y rápida, como el modo antiguo era fastidioso y lento; se encontrarán aprendida insensiblemente la tabla de multiplicar sin acudir al absurdo procedimiento de aprenderla abstractamente por un puro ejercicio de memoria mecánica. Notarán ellos mismos que entretanto no han hecho más que adiciones cuyos números ó grupos eran iguales; ahora ya se
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les puede dar á conocer el nombre de esta operación abreviada y distinguir el multiplicador del multiplicando, aunque se les demuestra que dan idéntico producto al colocar uno en el lugar del otro, y para esto basta que vean que 4 grupos de 6 plumas cada uno pueden sustituirse por 6 grupos de 1.

Por medio de preguntas hábilmente dirigidas, verán que un producto se hace duplo, triplo, etc., cuando uno de los factores se hace duplo, triplo también; si un niño ha hecho todos los días 4 trabajos y su compañero solamente 2, indefectiblemente al fin de la semana el trabajo del primero será doble del segundo.

Con esto, tienen un medio para encontrar con facilidad un producto que á primera vista les parece complicado, por ejemplo, 8 veces 12; ante esta pregunta, recordando que 6 veces 8 son 48, doblarán este número después de observar que 12 es duplo de 6, y han adquirido este importante principio para multiplicar un número por otro (que es el producto de dos factores) se puede multiplicar este número por el primer factor, y el resultado en seguida por el segundo.

Y de un modo análogo puede procederse en las operaciones de descomposición, preguntando al niño los valores de un número al disminuirle en 1, 2, 3, etc., sin exceptuar el caso en que el número que se ha de quitar tiene más unidades que el otro. Pedidlo, por ejemplo, cuántos céntimos le quedan de 83, después que ha gastado 38; es indudable que, con poco rato de reflexión, quitará 33 de 83, lo que le dará 50 de resto, y después quitará 5 para encontrar 45, en menos tiempo del que se requiere para explicarlo.

O puede seguir también otro camino: de los 83 quita 40 y le sobran 43; pero como ha quitado 2 de más, el resto tiene 2 de menos, los añade y obtiene 45, como en el caso anterior.

Sabiendo los niños encontrar ya el producto de dos números, puede conducirseles, por medio de preguntas, á efectuar la operación inversa. Se les propone repartir 12 bolas á dos compañeros, 24 á tres, etc., y hasta que, por ejemplos parecidos, conozcan en qué consiste la operación, no se les pronuncia el nombre y ven que el resultado expresa siempre el nú-
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impone en esas Escuelas una buena y completa enseñanza pedagógica. Digamos más: es menester que la Pedagogía sea lo principal, y que de ella estén muy saturadas todas las demás enseñanzas, al punto de constituir como la atmósfera que Profesores y alumnos respiren en las Normales. Y sólo á este título, es decir, en cuanto toda la vida y todo el trabajo escolar se basen en la Pedagogía y se hallen impregnados de un sentido genuina y ampliamente educativo, tendrán razón de ser las Escuelas Normales. Dar conocimientos generales, más ó menos profundos, y aun enseñar lo que de ordinario y con cierta ligereza se entiende por Pedagogía (aun entre la opinión más docta), puede hacerse en cualquier otro centro. Pero con esto no se infunde el espíritu ni el saber hacer que necesitan sacar los Maestros de aquellas Escuelas, que, ante todo y sobre todo, son ó deben ser Institutos pedagógicos, con virtualidad bastante para educar adecuadamente á los aspirantes al Magisterio, para que resulten verdaderos educadores de la niñez.

Porque cada vez se abre más paso esta idea, se arraiga también cada día más la convicción de que las Escuelas Normales tienen propia finalidad, que no podría cumplir en las debidas condiciones ninguna otra institución docente: funciones distintas requieren órganos distintos también. Y la función de formar educadores de niños se diferencia profundamente de toda otra docente, por lo que exige un órgano especial para realizarse: he aquí el origen y la razón de ser de las Escuelas Normales.

Pero hay que repetirlo: sin una buena y amplia enseñanza pedagógica, sin una grande y persistente orientación educativa, la Escuela Normal no tiene razón de ser, puede confundirse con cualquier otro centro docente. Lo que le da carácter, vida propia, substantividad, es la Pedagogía teórica y prácticamente considerada; si ésta faltare, ó su enseñanza no reuniese las condiciones necesarias, sería como si no hubiera Escuela Normal; al menos importaría poco que la hubiese ó no.

De aquí la tendencia, cada vez más acentuada en todas partes, á hacer de la Escuela Normal lo que por su naturale-
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mero de veces que el dividendo contiene al divisor, dándole el nombre de cociente. Para que calculen con rapidez, se les ejercita detenidamente en buscar las veces que diferentes números están contenidos en otros mayores.

Presentando una división que deje residuo, se hace observar al niño la imposibilidad de terminarla sin dividir mecánicamente las partes que sobran; si se emplean objetos que no son divisibles, verán que hay muchas divisiones que no pueden ser perfectas; empleando otros que la admitan, verán que en este caso la operación puede completarse con la distribución en partes ó pedazos de los objetos sobrantes. Así pueden formar una idea clara y exacta del número quebrado ó fraccionario.

Tampoco encontrarán dificultad en dividir por un número de unidades un dividendo cuyo número de decenas no sea divisible por el divisor: por ejemplo, repartir 73 pesetas entre cinco personas.

Considerando esta suma formada de 7 piezas de 10 pesetas ó por 14 de 5 (porque carecemos de las primeras), y de 3 piezas de 1 peseta cada una, el niño se encargará de efectuar la operación de este modo: dará en un principio dos piezas de 5 pesetas á cada persona, con lo cual le sobrarán 4 piezas; pero como no son suficientes para repartirlas á 5, sustituirá estas cuatro piezas por 20 de 1 peseta cada una, que, juntas con las 3, son 23 pesetas; reparte ahora las 23 piezas y da á cada una 4; pero todavía le sobran 3 que, substituyendo, por último, cada una por 10 piezas de 10 céntimos, reúne 30, y repartiéndolas á los 5, tocan 6 piezas á cada uno ó 60 céntimos. Y, en resumen, 14'60 pesetas á cada persona.

Expondremos algunos de los casos más importantes en que se puede abreviar el cálculo. Sumar dos números formados de decenas y unidades, pero que la suma de éstas no llegue á 10; ejemplo: 33 y 44 se añaden primeramente las 3 decenas á 44, diciendo: 54, 64, 74, después las 3 unidades y en conjunto = 77.

Para mayor rapidez, se pueden añadir las decenas 2 á la vez, siguiendo el orden par ó impar de las cifras de las deco-
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nas del número al cual se añaden; así 64 + 147, se dice: 167, 187, 207, terminando por las unidades 207 + 4 = 211; porque la decena que forman las unidades se junta con las correspondientes.

Muchas veces es más rápido añadir un número superior al que nos dan y quitar en seguida la diferencia; ejemplo: 92 á 446, se añade primero 100 á 446 = 546; se quita 8 = 538. Este principio sirve principalmente cuando el número termina en 9 ó en una cifra próxima á la decena.

Para añadir un número crecido, se puede descomponer en varias partes que se van añadiendo sucesivamente; si á 523 se le quiere añadir 436, se descompone éste en 400 + 30 + 6 — 523 + 400 = 923; 923 + 30 = 953; 953 + 6 = 959.

Si los números que se quieren sumar terminan en los mismos ceros, se suman sólo las cifras significativas y á la suma se le añaden los ceros en que terminan.

Si varios sumandos terminan en los mismos ceros y otros no, se suprimen mentalmente en estos últimos el mismo número de cifras significativas, cuya suma se añade al resultado obtenido como en el caso anterior: 800 + 400 + 225 + 2.104, se prescinde del 25 y del 4 convirtiéndose en 800 + 400 + 200 + 2.100 = 3.500; además 25 + 4 = 29; total, 3.529.

Análogas observaciones nos presenta la sustracción mental, y para ella se emplean dos procedimientos distintos: ó bien se quitan sucesivamente del número mayor las unidades del pequeño, ó bien se añaden al menor las que le faltan para igualar al mayor. Los dos son igualmente seguros; pero el segundo es preferible, cuando la diferencia entre los dos números es pequeña.

En la multiplicación son numerosísimos los casos en que se puede abreviar el cálculo; he aquí algunos interesantes: se trata de multiplicar 32 por 10; tendremos: 10 veces tres decenas son 3 centenas; 10 veces 2 unidades son 2 decenas; por lo tanto, 32 decenas ó 320; multiplicando por 100, 1.000, etc., inducirán que para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, basta añadirlos á la derecha del multiplicando. Idéntico camino cuando se trata de un número formado de cifras significativas seguidas de ceros.
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Y, siempre razonándolo, inducirán los siguientes principios: para multiplicar un número por 11, es preciso multiplicarlo por 10 y añadirlo al producto, \(38 \times 11 = 38 \times 10 = 380; 380 + 38 = 418\).

Si el número tiene dos cifras también se abrevia, colocando su suma entre ellas; por ejemplo: \(18 \times 11, 1 + 8 = 9 = 198\). Para multiplicar por 9 basta verificarlo por 10 y quitar el número del producto: \(83 \times 9 = 83 \times 10 - 83 = 747\). Si por 50 ó 5, se multiplica el número por 100 ó 10, y se toma la \( \frac{1}{2} \) del producto; si por 15, se multiplica por 10, se toma la \( \frac{1}{2} \) del producto y los dos resultados se suman.

Si el multiplicador se compone de decenas y unidades, por ejemplo: 14 veces 68, se toma 10 veces 68, después 4 veces, y se suman los resultados. Para multiplicar un número por 1,50, basta aumentarle su mitad.

Reglas análogas, pero en sentido inverso, se pueden dar para la división; por ejemplo: para dividir por 5 ó 50 basta doblar el número y dividirlo por 10 ó por 100; si por 25, se divide por 100 y se multiplica por 4; para dividir por 10, 100, etc., basta hacer el número 10, 100 veces menor, separar tantas cifras por medio de una coma como ceros acompañen á la unidad. Para dividir por 20, se toma la mitad del número y se divide por 10. Cuando se divide por 0,1, es preciso multiplicar por 10; si por 0,2, se multiplica por 5 el diviendo, etc.

Y, en fin, cuando se quiere dividir por un número mayor que 100, lo principal consiste en descomponer el dividendo en partes que sean múltiplo del divisor, y en añadir los cocientes parciales que se hayan obtenido.

Y ahora, al tratar del cálculo con números fraccionarios, aunque he expresado ya que se puede dar idea de ellos al niño al encontrar una división en que sobra residuo, recuerdo con placer las cajas matemáticas de Frebel, las cuales contienen cuadrados, partes de éste, como mitades, tercios, etc., presentando gran variedad de ejercicios para que vea el niño la re-
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lación de estas partes entre sí y con el entero, ya separándolas, ya reuniéndolas entre sí. En otra caja estas partes forman rectángulos, triángulos grandes y pequeños, con lo cual asocia á todas las fracciones la figura correspondiente, siendo un excelente ejercicio para el cálculo y para comprender las nociones geométricas.

No sólo ofrecen ejercicios interesantes para las fracciones, sino para todo el cálculo en general; limitándonos al cubo, presenta agradables ejercicios para verificar operaciones de multiplicar, dividir y especialmente para la elevación á potencias y extracción de raíces; así, para formar el cuadrado de 2 cubos de base, necesita 4; para el de 3, 9, etc.

Las potencias y raíces son resultados que el niño palpa, y están despojados del carácter sumamente abstracto que siempre domina en la enseñanza de estas dos operaciones.

En el cálculo con números quebrados es quizá donde se abre al Maestro un campo más dilatado para proponer multitud de cuestiones que aparecen al niño como la causa de un caudal de placer que goza por el máximo de actividad e iniciativa á que se prestan.

Los mil problemas relacionando los quebrados comunes con los decimales, y cada uno de ellos con números enteros de diversos objetos y medidas, realizan perfectamente este fin. No puedo sustraerme al descrito de citaros algunos de los variadísimos y notables ejercicios, aplicados al cálculo mental, que D. José Dalmau y Carles (mi respetado y apreciado compañero) consigna en el Libro del Maestro ó Soluciones analíticas para los números fraccionarios.

Ejemplo: ¿Qué vale más, \( \frac{1}{2} \) ó 0,500 de duro? ¿Por qué?

¿Qué vale más, \( \frac{3}{10} \) de Kg. ó 250 gramos? ¿Por qué? Y otros muchísimos á cual más interesantes; en todos, á simple vista, se descubre la gimnasia que piden al raciocinio, las inducciones y deducciones á que dan lugar al buscar la solución. Condición que no se limita á los ejercicios con fracciones, el cálculo mental, en todas sus fases, realiza esta importante ventaja; porque
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es el ejercicio por excelencia para las facultades superiores de la mente.

He hablado anteriormente de la importancia del cálculo mental, considerado desde todos los puntos de vista; además, por los procedimientos y combinaciones que acabo de señalar, se demuestra el ejercicio que exige á la mente fomentando su desarrollo; por todo lo cual no me cansaré de pedir que este cálculo tome en nuestras Escuelas un gran espacio como iniciación, continuación y revisión de la Aritmética en todos los grados.

Por esta causa, muchos países extranjeros han tenido sobre nosotros cierta superioridad; las Escuelas inglesas, suizas y americanas no han dejado jamás de cultivar el cálculo mental y obtener los mejores resultados. Cierto que estos países tenían más necesidad, porque pasaron más tiempo sin emplear el sistema métrico; pero las facilidades que éste nos ofrece para el cálculo escrito, no han de ser óbice para apreciar y aprovechar las inmensas ventajas que nos ofrece el mental, del mismo modo que la difusión de la escritura y de la imprenta no han hecho disminuir el uso de la palabra.

El cálculo figura en el número de materias obligatorias de enseñanza en todos los países cuya instrucción primaria está organizada. Algunos, principalmente los Estados Unidos, dan al cálculo mental un desarrollo considerable y lo toman como uno de los ejercicios importantes de las clases media y superior. Estos mismos países, y también el Austria, atribuyen gran importancia á la práctica enseñanza y al conjunto de sus diversos procedimientos abreviativos.

Y voy á exponeros un hecho que evidencia á qué grado y á qué cuestiones tan complicadas se puede llegar á resolver mentalmente.

Todos sabemos que en la segunda mitad del siglo xviii la enseñanza de la Aritmética es objeto de un verdadero entusiasmo, y no he de hablar de la importancia esencial de la revolución pedagógica, de la cual Pestalozzi da la señal, conduciendo al cálculo, como toda la enseñanza primaria, á la intuición, á la vista de objetos concretos, á los procedimientos sen-