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LAS MATEMÁTICAS

AL LECTOR

Teniendo por mi título la aspiración legítima de obtener una cátedra en las Escuelas Normales, presenté oportunamente mis expedientes en el concurso convocado en Marzo de 1899, y en las oposiciones anunciadas el mismo mes y año.

En cumplimiento de las condiciones de la convocatoria para las oposiciones, elevé al Ministerio de Fomento dos Memorias correspondientes, una á la sección de Ciencias y otra á la de Letras.

Habiéndoseme últimamente incluido en la propuesta del concurso con el número 7, en virtud de lo cual se me adjudica la plaza de la superior de Badajoz, he juzgado inútil acudir á las oposiciones, y por tal motivo, he retirado las Memorias presentadas al Ministerio.

La más extensa de ellas se refiere á las Matemáticas; y creyendo que en este trabajo puede haber datos e ideas que sean de alguna utilidad, me he decidido á publicarla, dedicándola á mis compañeros.

Al dar á luz este documento, no he querido hacer alteración alguna en el texto. Memorias y Programas se publican literalmente tal como fueron presentados, y únicamente me he permitido añadir algunas notas que contienen aclaraciones y noticias biográficas acerca de los matemáticos más ilustres.

Lo limitadísimo del plazo que se nos dió para preparar estos trabajos hace que el presente no tenga toda la extensión que habría podido darse á un estudio de esta índole sobre tan importante ramo del saber.

Necesito además hacer una salvedad, que me ponga á cubierto de cierta incoherencia que podría aparecer entre el texto de esta Memoria y mis futuras publicaciones científicas.

Siendo éste un documento oficial, empleo en él la palabra
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ciencia en el sentido restringido que le dan los sabios de nuestras Universidades, Institutos, Academias y demás autoridades docentes, inspirados en las doctrinas positivistas. En la clasificación que hacen de los estudios en las dos consabidas ramas de ciencias y letras, incluyen en la primera tan sólo lo que se refiere al mundo material, relegando todo lo demás, incluso las diversas ramas de la Filosofía, al orden meramente literario.

Declaro solemnemente que estoy muy distante de aceptar esta clasificación, pues pretendo que la ciencia verdadera se remonta á regiones mucho más elevadas que el empirismo y el orden físico-matemático, como tendrá ocasión de demostrar al dar á luz próximamente mi obra La Ciencia del Porvenir.

MEMORIA

Excmo. Señor:

Cumpliendo con el precepto 5." de la convocatoria para proveer por oposición las plazas vacantes de Profesores numerarios de las Escuelas Normales, paso á exponer sumariamente las fuentes de conocimiento, principios de metodología y procedimientos didácticos relativos á la asignatura de Aritmética, Geometría y Álgebra, correspondiente á la Sección de Ciencias: asignatura que considero del mayor interés para restablecer el equilibrio en la educación de un pueblo en que, como sucede con el pueblo español, predomina la imaginación y el consiguiente abuso de la retórica.

I

Esta enseñanza, por lo que tiene de racional y exacta, es la que menos necesita de la experiencia y de la autoridad. Sus principios están virtualmente contenidos en la inteligencia humana, y no hay más que provocar su desarrollo. A ningún ramo del saber es tan aplicable como á las Matemáticas el método socrático de partear la inteligencia para que, evolucionando sobre sí misma, dé á luz las ideas. Sócrates, que además de ser filósofo era matemático, conseguía por medio de una serie de hábiles y bien coordinadas preguntas, que un muchacho llegase á sen-
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tar teoremas matemáticos que parecían muy superiores á su capacidad (1).

Es admirable contemplar cómo sobre un escaso número de axiomas elementales se levanta el sólido y vistoso edificio de una vastísima ciencia, que tiene tan constantes y universales aplicaciones; porque lo cierto y positivo es que las Matemáticas, además de ser aplicables á todas las necesidades comunes de la existencia, dan vida, riqueza y criterio á todas las demás ciencias, y son para el entendimiento humano el más poderoso de todos los instrumentos. Ellas proporcionan firmeza, claridad y solidez al juicio, y en sendos ejercicios de lógica práctica, ofrecen una suerte de gimnasia intelectual que sirve admirablemente para desenvolver el hábito de racionar con acierto, ingenio y facilidad.

La Filosofía misma no puede sustraerse al poderoso influjo de las ciencias exactas. Todos los grandes filósofos, desde Tales, Pitágoras y Platón, hasta Descartes, Kant y Leibniz, han sido matemáticos insigües. En la filosofía pitagórica, la ciencia de los números desempeña un papel culminante; Platón afirma que el estudio de las Matemáticas es una excelente preparación para la Filosofía; Tales enseña á los jonios las primeras verdades de la ciencia geométrica; Descartes, antes de filosofar, nos revela la geometría analítica; Kant se sirve de las Matemáticas como peldaño para elevarse á la razón pura; Leibniz disputa á Newton la prioridad en el descubrimiento del cálculo diferencial, y nuestro Balmes, absorbido en los estudios filosóficos en que después tanto brillará, comprende que para ello le falta un factor importante, y se dedica á las Matemáticas hasta ser en ellas un consumado maestro (2).

(1) Sócrates, el más grande de los filósofos, fue hijo del escultor Sofonístico y de una matrona llamada Fenureta. Nació en Atenas 450 años antes de Jesucristo, tuvo numerosos discípulos, fue condenado á muerte por los tiranos atenienses, y en consecuencia, bebido la cicuta y murió departiendo tranquilamente con sus discípulos el año 400 antes de nuestra era. Sócrates no ha dejado nada escrito; su enseñanza fue puramente oral. A enseñanza de lo que pasó con Jesús, todo lo que de él sabemos nos ha sido transmitido por sus discípulos, entre los cuales destacaba el genio de Platón. Sócrates tiene, pues, sus evangelistas como Cristo, y de él dijo Rousseau en sus confesiones que, si la muerte de Sócrates es la del más sabio de los hombres, la de Jesucristo no puede ser menos que la de un Dios.

(2) Jaime Balmes, filósofo profundo, publicista incansable, escritor correcto y dialectico consumado, nació en Vich, ciudad de Cataluña, en 1810. Entre sus obras merecen citarse: La Filosofía elemental, El Criterio, La Filosofía funda-
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ÍNDICE

Páginas.

En 1900, por P. de Alcántara García..................... 1 y 81
La educación de la voluntad, por F. Buisson............. 7
La escuela de la vida. Universidades inglesas y americanas, por E. Hortas................................. 21
Caracteres generales de la Pedagogía contemporánea, por P. de Alcántara García.......................... 27
+Las Escuelas de Comercio en Austria, por E. D. Amasse... 35
Las Matemáticas (Memoria), por Pedro Arnó de Villafranca............................................. 37, 118, 196 y 282
Unidades mecánicas y eléctricas, por E. Pagliani, traducido por E. García Barbarin............................ 47 y 129
Apuntes pedagógicos. De la sensibilidad, por Antonio Cervera y Royo..................................... 51
Escuelas de pesca, por R. Emilio González............... 59
Siluetas literarias: Palacio Valdés, Jacinto Octavio Picón, por U. González Serrano............................. 62
+La educación por el Arte, por Enrique Lickefett........... 103
Calendario del siglo........................................ 108
Dos cartas, de R. Valdés y U. González Serrano.......... 110
La lotería y la Educación, por A. Sardá.................... 111
Cosas de nuestro oficio (4 vuelta pluma), por Gerardo Rodríguez García..................................... 115
La Instrucción pública en el Ejército, por Carlos Groizard y Coronado....................................... 133
Lecturas educativas, por Onofre Antonio Naverán.......... 158
Los juegos escolares, por el Dr. San Martín.............. 161
Los instintos y los juegos de los niños, por A. R. Taylor.... 166
Guillermo II pedagogo, por Angelo de Angeli, traducción de E. García Barbarin............................... 172
La cuestión de los ciegos, por Carlos Lickefett............. 177
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Nada tan bello por su unidad, por la bifurcación de sus diversas ramas, por la infinita variedad de sus aplicaciones, y por la regularidad, encadenamiento y simetría de sus métodos, como las ciencias Matemáticas. En todas las demás ciencias hay opiniones, hipótesis, probabilidades y dudas, que luchan, se contraponen y se excluyen mutuamente, teniéndose hoy por falso lo que ayer se consideraba verdadero, y amenazando ser erróneo mañana lo que hoy se acepta como verdad. En Matemáticas, por el contrario, tan sólo hay verdades inmovibles y perdurables, que brillan con el esplendor de la luz del Sol.

Vemos en las demás ciencias cambiarse con el tiempo las opiniones, substituirse unas á otras las hipótesis, y derrumbarse sistemas enteros para ser reemplazados por otros sistemas, ya recién bautizados y flamantes, ya vetustos y caídos desde larga fecha en el abismo del olvido. Tan sólo las verdades matemáticas se consolidan á medida que se van conquistando, y se enlazan unas á otras como eslabones de una cadena sólida e indestructible, que se prolonga y extiende sin cesar y sin retroceder jamás.

Mientras las ciencias experimentales apenas han hecho hasta el presente otra cosa que acumular observaciones de hechos naturales ó provocados, más ó menos auténticos; mientras la Historia, fuera de una narración más ó menos verídica no ha alcanzado más que á hacer comentarios que, aun cuando se engalanen con títulos pomposos, no pasan de ser meras opiniones personales de sus autores; mientras la Filosofía nos presenta sistemas tras sistemas que, reaccionando unos sobre otros, vienen á parar á un scepticismo desesperante ó á un eclecticismo acomodaticio e incoloro, las ciencias exactas han ido acumulando principios universales aplicables á todos los lugares y tiempos, y constituyendo un verdadero patrimonio para la humanidad.

Los que niegan el progreso de nuestra especie, no tienen más
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que echar una mirada á ese valioso tesoro para verse obligados á abjurar de su error. Las Matemáticas son, en efecto, no sólo la más genuina expresión del progreso humano en su forma incesante, gradual é indefinida, sino que son además el alma del verdadero progreso de las demás ciencias; pues todo se aclara y define cuando le alcanza el número y la medida (1).

La obra de ese progreso, lejos de ser individual, es altamente social, porque es el fruto de los esfuerzos colectivos: y si bien he dicho que los principios matemáticos están virtual é integralmente contenidos en la inteligencia de cada individuo, y que en ella evolucionan desarrollándose racionalmente, sin ser necesario el concurso de la experiencia ni de la autoridad, la evolución que se requiere para elaborar toda la ciencia está tan vasta y compleja, que se necesita reunir la fuerza intelectual de muchos, y repartir las dificultades para vencerlas aisladamente una á una. Mas el enlace, sucesión y solidaridad de estos principios es tal, que para avanzar un solo paso es indispensable haber recorrido todo el camino, que hallaremos ya libre de obstáculos, tomando por guía la luz y las huellas de los grandes genios que nos han precedido.

Así, pues, volviendo los ojos al pasado, podemos contemplar cómo las miradas de generaciones que se han sucedido en el transcurso de los siglos han ido acumulando los tesoros científicos por medio de un trabajo lento, pero continuo y perseverante, que se inicia con el primer hombre que empezó á numerar con los dedos de sus manos sus primeras percepciones, y se perpetúa hasta nuestros tiempos, en que la audacia de un Le Verrier obliga á los astros á salir del fondo de los espacios para acudir á sus citas (2), y en que Lagrange, con las alas que le

(1) En efecto: la Química empezó á ser ciencia el día que Lavoisier aplicó la balanza á la determinación de los pesos específicos y los equivalentes; la ciencia del calor tan sólo pudo progresar y adquirir carácter de certeza desde que se inventó el termómetro, y lo mismo acontece con todos los demás agentes y fuerzas naturales.

(2) El hecho á que alude este pasaje es el descubrimiento de Neptuno, realizado por el joven astrónomo francés U. J. J. Le Verrier, el 18 de Septiembre de 1846. Este sabio insigne, que más que astrónomo era un eminente matemático, sirviéndose de las perturbaciones inexplicables que sufría el planeta Urano, determinó por medio del cálculo la causa desconocida que las producía, atribuyéndolas á un planeta exterior, y fijando la fecha y el punto del cielo en que se haría visible el astro misterioso. La predicción se realizó en tales términos, que Galle, Director del Observatorio Astronómico de Berlín no tuvo más que dirigir
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los pueblos, hasta aquellos que más apartados han vivido de nuestra cultura, tienen por base de su sistema de numeración el número 10, es decir, que todos han ideado formar colecciones décuplas para contar con más comodidad.

Esta coincidencia no puede tener más que una explicación satisfactoria, que resulta tan lógica como natural: el hombre se sirve constantemente del admirable instrumento de sus manos, y tiene siempre á la vista los cinco dedos de que está provista cada una. La acción de contar con los dedos es instintiva, y la observamos en todos los niños.

Los romanos fueron en un principio completamente ignorantes y bárbaros, y su numeración ofrece todos los caracteres necesarios para ser considerada como original y espontánea. Ella nos suministrará la prueba más evidente del origen digital de la numeración décuple.

En efecto; las rayas verticales con que escribían los primeros números, no son otra cosa que la representación gráfica de los dedos de las manos con que sacaban sus cuentas: procedimiento análogo al del clavo que, fijado anualmente en el muro del templo capitólico, les servía para llevar la cuenta de su cronología.

En un principio representaron por una, dos, tres y cuatro rayas, los cuatro primeros números; pero al llegar á cinco, trazaban un ángulo en esta forma V, que en realidad no es otra cosa que la figura tosca de la mano abierta. A esta figura, esto es, á la mano, añadían rayas, es decir, dedos de la otra, para representar los números sucesivos; pero, al llegar á diez trazaban una cruz en esta forma X, la cual viene á ser el signo del número cinco duplicado, es decir, un par de manos.

Continuando el desarrollo de esa idea tan simple como natural, añadieron rayas á la derecha de la cruz para representar los números 11, 12, 13 y 14; pero con tres manos, ó lo que es lo mismo, con una cruz y una mano representaban el número 15.
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con cuatro manos el veinte, con cinco el 25, etc., con la particularidad de agrupar las manos por pares invertidos en representación de las decenas, ó sea de la totalidad de los dedos.

De este modo, la numeración romana era al mismo tiempo quinquenal y décuple: idea que se confirma al observar que adoptaron más tarde signos para representar alternativamente múltiplos de ambas agrupaciones, pues la L representa diez manos, la C diez pares de manos, la D cien manos y la M cien pares de manos (1).

La representación de ciertos números por sustracción vino después, obedeciendo á ciertas formas irregulares del lenguaje oral, cuyo uso empezaría en el vulgo. Es verosímil que en el trato común los romanos, en vez de decir cuatro, nueve, diez y nueve, etc., usasen las formas una mano menos uno, dos manos menos uno, etc. De estas formas se encuentran vestigios en los escritos latinos, pues en ellos se lee undetriginta, undequadraginta, en vez de novem et viginti, novem et triginta, que sería lo regular.

Me he detenido tanto en el sistema de numeración romana, porque él nos ofrece un ejemplo evidente de lo que ha debido ser el génesis de la aritmética en la época primitiva de la humanidad, presentando por consiguiente los datos para resolver por analogía uno de los problemas más obscuros de la historia.

Durante casi todo el período de la Edad Media, el Occidente se sirvió exclusivamente de la numeración romana; y se comprende que con sistema tan imperfecto, las ciencias matemáticas adelantasen muy poco ó casi nada; pero los árabes, que habían llevado sus conquistas hasta la India, aprendieron de los bra-

(1) Es una equivocación en que han incurrido hasta hoy todos los expositores del sistema de numeración romana, la de afirmar que en ella los números se representan por letras del alfabeto. El sistema romano es fundamentalmente iconográfico, y fué establecido antes de que los romanos aprendiesen el arte de la escritura de los etruscos sus vecinos. La primitiva numeración romana era muy limitada, de tal manera, que para representar el número 50 se vieron en el caso de tomar el signo del número 5, darle una nueva posición haciéndolo girar y convertirlo en L, con lo cual continuó teniendo sustancialmente la misma representación de una mano, pero restringiéndose á unidades de la especie superior. En época más adelantada, y con el crecimiento de las necesidades, completaron el sistema, no precisamente dando valores á las letras de su abecedario, como hicieron los griegos, los hebreos y otros pueblos antiguos; sino empleando las iniciales de los nombres numéricos á manera de abreviaturas, como era de uso muy frecuente en latín.
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ble de que fueron inventores; y si no se les puede otorgar el título de fundadores del álgebra, debe convenirse por lo menos en que dieron gran desarrollo a los primeros gérmenes que de ella se encuentran en las obras de Diofante de Alejandría.

A mediados del siglo XV, Juan Müller tuvo la feliz idea de desenvolver el sistema nuevo en sentido inverso ó descendente, inventando las fracciones decimales, con lo cual se completó el sistema arábigo y se facilitaron en gran manera las operaciones aritméticas (1).

PEDRO ARNÓ DE VILLAFRANCA.

(Concluido.)

(1) Juan Müller, conocido ordinariamente por Regiomontano, nació en Konigsberg, reino de Prusia, en 1436. Prestó grandes servicios á las matemáticas y á la astronomía, y murió á la edad de 40 años envenenado, según se cree, por sus enemigos.

SEÑALES DE LLUVIA

Cuando la luna tiene dos cuernos y corona obscuros,
Cuando la luna llena tiene uno ó más círculos negros y espesos.
Cuando la luna tiene un círculo ó faja de color macilento y languido.
Cuando el sol sale muy rojo y subitamente se vuelve obscuro.
Cuando alrededor de los rayos del sol, al tiempo que sale, se viese una nube pequeña y oscura.
Cuando se va levantando el sol, si tiene cerca de sí, y á la izquierda, una nubecilla pequeña.
Cuando los pájaros acuáticos se lavan continuamente en el agua.
Cuando las abejas no se alejan de su casa.
Cuando los bueyes comen más que de costumbre.
Si las ranas se zambullen sin que las oblique el viento.

MANCHAS DE HUMO SOBRE EL MÁRMOL

Son muy difíciles de quitar. Para lograrlo con relativa facilidad se aconseja la siguiente fórmula:

Sal común......................... 2 partes,
Piedra pomez..................... 1 —
Creta............................... 4 —

Pulverícese y paseese por un tamiz. Mézclese con un poco de agua y frótese la mancha, que desaparece en breve, lavando el mármol después con agua de jabón.
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Unidades mecánicas y eléctricas.

Se sabe que el valor numérico de una cantidad concreta está determinado por la relación entre la magnitud de dicha cantidad, y otra magnitud de la misma naturaleza llamada unidad. Esta unidad, pues, puede ser la misma referida á otra cantidad mayor. Así la unidad de superficie está determinada por la superficie de un cuadrado construido sobre la unidad de longitud, y la unidad de volumen por un cubo construido sobre dicha unidad de longitud.

Otras veces la unidad de una especie se define con respecto á dos ó más unidades de otra especie. Así en Mecánica, la unidad de velocidad se define diciendo que es la velocidad de aquel movimiento en el cual un cuerpo recorre la unidad de espacio en la unidad de tiempo; la unidad de aceleración se define también diciendo que es la aceleración de aquel movimiento en el cual la velocidad aumenta en una unidad, en cada unidad de tiempo. Vemos, pues, que mientras la unidad de velocidad se deriva de las de longitud del espacio y del tiempo, la unidad de aceleración se deriva directamente de esta última y de la unidad de velocidad, é indirectamente de la de longitud. Las unidades de longitud y de tiempo se llamarán fundamentales respecto de las unidades de superficie, de volumen, de velocidad y de aceleración, que se llamarán derivadas.

Así, pues, todas las magnitudes físicas ó cantidades se pueden referir á tres unidades fundamentales. La cantidad tomada como unidad fundamental es: una longitud determinada, una masa definida y un intervalo de tiempo marcado.

La existencia de una relación concreta y determinada entre las diversas magnitudes mecánicas y físicas ha hecho necesario la adopción de un sistema único de unidades, á las cuales fuesen referidas las demás: estas unidades reciben el nombre de medidas absolutas.
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Este sistema, adoptado hoy en todas partes, fué propuesto por la Comisión de la Asociación Británica para el avance de las Ciencias constituida por W. Thompson, Forster, Maxwell, Fleemin, Siemens y otros sabios ilustres comisionados para la adopción de las unidades dinámicas y eléctricas.

Las unidades fundamentales son: el Centímetro, unidad de longitud. Se define diciendo que es igual á la centésima parte del metro de platino, á la temperatura del hielo fundido y depositado en el Archivo de París.

El Gramo, unidad de masa. Se define: la milésima parte del prototipo de platino construido por Borda para representar el kilogramo y depositado juntamente con el metro en los Archivos de Paris.

El Segundo solar medio, unidad de tiempo. Es

\[
\frac{1}{24 \times 60 \times 60} = \frac{1}{86400}
\]

del día solar medio.

El sistema de unidades derivadas se ha llamado sistema centímetro, gramo, segundo, ó abreviadamente C, G, S, y las unidades se llaman C, G, S.

Unidad mecánica. — Siendo medida la velocidad por el espacio recorrido en cada unidad de tiempo, la unidad de velocidad C, G, S es la velocidad de 1 cm. por segundo.

En una fuerza que obra sobre una masa, imprimiéndole una cierta aceleración se ve que la fuerza será igual á la masa multiplicada por la aceleración.

En el sistema C, G, S, se considera la fuerza como imprimiendo á la masa de un gramo la unidad de la aceleración. Esta unidad de fuerza se llama dina.

Un trabajo mecánico se mide por el producto de la intensidad de una fuerza por el espacio, en el cual queda vencida esta fuerza. Aquí la unidad de trabajo en el sistema C, G, S, y el trabajo que se hace venciendo una dina por centímetro, se llama erg (energía).

El erg es también la unidad de energía, siendo aquí la energía medida por aquella cantidad de trabajo que la misma representa.

Algunos distinguen también la unidad de actividad ó poten-