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discípulos, merecen mencionarse el estudio de las secciones cónicas y el problema de la duplicación del cubo, sobre cuyo origen refieren los autores antiguos una interesante anécdota.

Cuando la peste asolaba el Ática, fueron los diputados de Atenas á consultar el oráculo de Delos sobre los medios de aplacar la cólera celeste. El oráculo dió la siguiente respuesta:
— Para que cese la peste, es necesario doblar el ara de Apolo.

El ara en cuestión era un cubo de oro, y la cosa pareció muy sencilla á los ignorantes encargados de la ejecución de la obra; pues se limitaron á construir un cubo de doble arista.

La peste, sin embargo, no cesó, y una nueva diputación enviada al oráculo, obtuvo por respuesta que el mandato no había sido satisfecha. Entonces empezó á sospecharse el misterio que envolvía tal duplicación; fueron consultados los más famosos geómetras, y se obtuvo la solución del problema, reducido á hallar dos medias proporcionales (1).

Los platónicos se ocuparon además en la trisección del ángulo, y uno de ellos, llamado Dinocrates, dió á conocer la cuadratriz de su nombre.

Las vicisitudes de los tiempos trasladaron el emporio del saber antiguo á la ciudad de Alejandría, en Egipto. Bajo la protección de los Tolomeos florecieron en aquella famosa metrópoli africana las ciencias, las artes y la filosofía. Allí acudían los sabios de todas las naciones, y en su famosa biblioteca se acumularon tesoros científicos de incalculable valor.

antes de Cristo. A la edad de 20 años se hizo discípulo de Sócrates, llegando á ser el más brillante expositor ó intérprete de sus doctrinas. Al morir su maestro, viajó por Egipto para conferenciar con los sacerdotes de aquel país, y después por Italia para consultar á los más célebres discípulos de Pitágoras. Por fin fundó la Academia en Atenas, y puso en la puerta de su Escuela la siguiente inscripción: Que no entre aquí ningún ignorante en Geometría. Por la elevación de sus doctrinas y la belleza de su moral, fue apellidado el divino Platón.

(1) No es muy difícil demostrar que hallando dos medias proporcionales entre el lado del cubo propuesto y el doble de dicho lado, el primero de esos medios será el lado del cubo que se busca. En efecto; representando por \( a \) el lado del cubo primitivo y por \( x \) el lado del que se busca, la ecuación que resuelve el problema será la siguiente: \( x^3 = 2a^3 \). Llamando ahora \( y \) á la media proporcional entre \( x \) y \( 2a \), y \( x \) á la media entre \( a \) y \( y \), se tendrá \( \frac{x}{y} : a : x : y \), de lo cual se deduce \( y = \frac{x^2}{a} \). Por otra parte, se tendrá también \( \frac{x}{y} : x : y : 2a \), y sustituyendo á la y su valor, resulta: \( \frac{x}{\frac{x^2}{a}} : x : \frac{x^2}{a} : 2a \), de cuya proporción se deduce: \( \frac{x^4}{a^2} = 2ax \), ó sea \( x^4 = 2a^3x \) y \( x^3 = 2a^3 \), que es la ecuación primitiva.
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Allí fué donde floreció el genio de Euclides (1), que recogió, clasificó y ordenó cuanto se sabía en su época sobre Geometría, ampliándolo y enriqueciéndolo con sus propios conocimientos, y dando á luz un tratado en trece libros, que ha llegado hasta nuestro siglo sin haber sido superado en lo tocante á Geometría elemental. Hasta hace pocos años, la Geometría de Euclides ha reinado sin rival en Inglaterra y otras naciones.

De los trece libros de este sabio, los tres primeros comprenden la Aritmética y los diez restantes la Geometría. Cien años antes de Jesucristo Hipside completó la Geometría de Euclides añadiéndole otros dos libros (2).

(1) Se ignora la patria y la fecha del nacimiento de Euclides, y se desconocen las peripécias de su vida. Su sabia únicamente que tenía un carácter dulce y modesto, y que acogía con singular favor á los que cultivaban las ciencias exactas. Ignoraba hasta tal punto el arte de ocultar la verdad, que habiéndole preguntado el rey Tolomeo si no existiría un camino menos dificultoso que el ordinario para aprender la Geometría, el sabio contestó secamente: — No, príncipe; en la ciencia no hay camino especial para los reyes.

(2) Muerto Alejandro en el apogeo de su gloria y de sus conquistas, sus generales se repartieron los países que había conquistado, tocando el Egipto á Tolomeo, hijo de Lagus. Tolomeo y sus descendientes lograron elevar el antiguo reino de los Faroneos al más alto grado de esplendor, haciendo florecer las ciencias, las artes y la filosofía; fundando la más famosa de las bibliotecas; construyendo obras espléndidas, y reuniendo en el recinto de Alejandría, su capital, los sabios más eminentes. Además de Euclides figuró entre éstos Diofante, cuyos trece libros de Aritmética contienen los primeros gérmenes del Álgebra. Sobre la tumba de Diofante, un poeta griego escribió un epitafio en verso, que viene á ser un problema matemático. He aquí su traducción, hecha libremente:

Aquí yace Diofante,
Natural de Alejandría.
De la infancia en la alegría
Vivió el sexto de su edad.
El doceavo lo pasó
En la juventud florida.
Unió su suerte en seguida
Con una esposa ejemplar.

Pasó la séptima parte
Y además otros cinco años,
Sin penas ni desengaños
En los gozos del amor.
En seguida tuvo un hijo.
Cuando del padre la edad
Alcanzaba la mitad,
La lanza lo arrebató.

El padre ¡oh caminante!
Cuatro niños sobrevivió
Al hijo que falleció.
¿Cuántos vivió Diofante?
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criba para separar los números primos, y por haber dado la solución mecánica del problema de la duplicación del cubo; Conón de Samos, que trató de la espiral, y Nicomedes, inventor de la conchoide.

En el siglo siguiente figuró Hiparco de Nicea, que relacionando las cuerdas con sus arcos, nos dió las primeras ideas de la Trigonometría (1).

Durante largo tiempo las Matemáticas quedaron estacionadas. La decadencia del imperio griego y la barbarie que durante tantos siglos reinó en Occidente, suspendieron los progresos de estas ciencias de tal modo, que si se exceptúa á Moscópulo (2), que nos dió á conocer los cuadros mágicos, y uno que otro compilador ó comentarista de las obras antiguas, tenemos que trasladarnos al siglo xv para contemplar á la ciencia adelantar de nuevo en su triunfal carrera.

Entonces los árabes, en el apogeo ya de sus conquistas, habían aportado á la civilización el concurso de su genio. Ellos dieron á la Trigonometría la forma en que hoy la conocemos con la sustitución de las cuerdas por los senos (3), y como queda ya consignado, dieron grande impulso al Álgebra y la Aritmética.

Italia se llevó la primacía en esta época, que coincidió con el renacimiento de las letras y las artes. Lucas de Burgo nos dió ya un tratado de Álgebra que comprendía las ecuaciones de segundo grado (4). Tartaglia nos enseñó á encontrar el área del

del siglo iii antes de la Era cristiana; pero su espíritu se formó en Alejandría bajo la dirección de los discípulos de Euclides. Las cualidades morales de este geómetra por excelencia no correspondían á su importancia científica; pues no pocas veces obraba impulsado por pasiones dignas de censura.

(1) Hiparco, natural de Nicea, en la Bitinia, se aplicó mucho á la teoría y la práctica de la Astronomía, dejándonos muchas e interesantes observaciones, que hizo desde el año 160 al 125. Entre ellas se cuenta la de la precesión de los equinoccios.

(2) Manuel Moscópulo, natural de Constantinopla, publicó á mediados del siglo xv una obra en griego describiendo los cuadros mágicos, y las extraordinarias virtudes que les atribuían los orientales. Algunos confunden este autor con otro Moscópulo natural de Creta, que vivió á mediados del siglo xiii.

(3) Lemoine explica el origen de la palabra seno en los siguientes términos: «Los senos son, como se sabe, mitades de las cuerdas, que en latín se denominan inscriptae. Así los senos son semisses inscriptarum, que probablemente se escribía por abreviación s. ins., y por abuso en francés sinus, que nosotros hemos traducido por seno.

(4) Lucas Pacioli, por sobrenombre de Burgo, se cree que era natural del Burgo del Santo Sepulcro en Italia. Su obra titulada Summa de Arithmetica et
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En Alemania, Rhetio simplifica más los cálculos trigonométricos introduciendo el uso de las secantes, y Justo Byrge inventa el compás de proporción.

El portugués Nuñez ideó el nonio para medir longitudes excesivamente pequeñas, gloria que los franceses le niegan para atribuir la invención á Pedro Vernier, del Franco-Condado (1). Ninguna necesidad tiene Francia de adjudicarse glorias ajenas, cuando en la misma época puede ostentar como gloria nacional al ingenioso Viète, que eleva el análisis matemático á un alto grado de generalidad y abstracción introduciendo en los cálculos el uso de las letras del alfabeto, tanto para representar las incógnitas como los datos; que establece reglas fijas para preparar las ecuaciones; que ensaya la resolución de las ecuaciones de todos los grados, y mostrándonos el auxilio que pueden prestarse mutuamente el Álgebra y la Geometría, encuentra la analogía entre la resolución de las ecuaciones de tercer grado, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, y nos enseña á hallar las expresiones de los senos de los arcos múltiples (2).

PEDRO ARNÓ DE VILLAFRANCA.

(Concluida.)

513242, 906817, 693514, 609550, 592871, 725350, 109128, 4802... Esta relación está tomada de un manuscrito existente en la biblioteca de Ratclif, en Oxford.

(1) Para comprender que el portugués Nuñez, que dio su nombre al nonio, tuvo la prioridad en esta invención sobre el francés Vernier, basta decir que la obra de Pedro Vernier en que se consigna el invento fue publicada en Bruselas en 1631, mientras que Nuñez había muerto en 1577, á la edad de 80 años.

(2) Francisco Viète nació en Fontenay, provincia de Poitou, en Francia, el año 1540. Era memorialista en París; pero las ocupaciones de su cargo no le impelían dedicarse á los estudios, y especialmente á las Matemáticas. Era sencillo, modesto y tan aplicado, que á veces se pasaba tres días sin salir de su gabinete, y con frecuencia en necesario obligarle á alimentarse. Durante las guerras entre Francia y España fueron interceptadas las cartas que la Corte de Madrid dirigía á los gobernadores de los Países Bajos. Estos escritos iban cifrados por un sistema tan complicado e ingenioso, que los españoles creían totalmente imposible encontrar la clave. Sin embargo, fueron descifrados por Viète con asombro de sus autores, que atribuyeron el hecho á artes mágicas. Viète murió en París en 1603. Imprimió sus escritos en corto número de ejemplares, con objeto de regalarlos á sus amigos y á las personas capaces de entenderlos.
La Escuela moderna (Madrid) (1900-02-01 00:00:00), página 49

Unidades mecánicas y eléctricas

II

Para determinar las unidades eléctricas se pueden seguir dos sistemas: el sistema electrostático y el electromagnético.

No hay razón teórica alguna que dé la razón á uno ó á otro sistema. Convendrá expresar la cantidad en el uno ó en el otro sistema, según la naturaleza del problema y los instrumentos de medida empleados. El uso casi general del galvanómetro ofrece en la práctica una gran importancia en favor del sistema electromagnético. Demás de eso, relaciona entre sí las unidades eléctricas y magnéticas y ha servido de base á las unidades eléctricas de la Asociación Británica, y por último, es el adoptado en el Congreso Internacional de Electricistas de París, en 1881.

Sistema electrostático.—La unidad de cantidad de electricidad es aquella cantidad de electricidad que puesta á la distancia de 1 cm. de otra cantidad igual de electricidad, la rechaza con una fuerza igual á una dina.

La unidad de diferencia de potencial es aquella diferencia de potencial que existe entre dos puntos cuando se debe gastar la unidad de trabajo, un erg., para llevar la unidad de electricidad desde un punto á otro venciendo las fuerzas eléctricas.

La unidad de potencial es el potencial debido á la unidad de cantidad puesto á la unidad de distancia, un centímetro.

La unidad de capacidad es aquella capacidad de un conductor que necesita la unidad de electricidad para ser elevado á la unidad de potencial (sistema C. G. S.).

(1) Véase el número anterior: Enero de 1900, pág. 47.
La Escuela moderna (Madrid) (1900-02-01 00:00:00), página 5

cada vez más alejadas de la observación sensible, es escolar que posee ya la madera del estudiante, para quien el esfuerzo mental se ha hecho ya natural y más que natural, puesto que ya no podría pasarse sin él sin sentirse como disminuido. Por tanto, la educación de la voluntad ha sido todavía normal en este caso, porque ha comenzado por utilizar un débil (pero muy débil) instinto de naturaleza, que ha tomado aparte para cultivar, que ha desenvuelto artificial y laboriosamente, y del cual ha hecho, por último, una segunda naturaleza mejor que la primera.

IX

Hemos terminado esta revisión de los diversos dominios del alma, por aquel al cual conducen todos los demás. Y en este orden de la conducta ó de la actividad moral hemos encontrado nuestros tres términos en sucesión.

En él hemos visto también surgir y brotar espontáneamente del fondo de la naturaleza humana, no todavía ideas morales ni sentimientos morales, sino primeras veleidades, que no por ser inestables y vacilantes deben desdenarse. Sin duda el niño no tiene la noción abstracta y general de lo justo y de lo injusto, pero siente muy vivamente una injusticia, lo cual es una primera manera de comprender ó de adivinar la ley de justicia. No formulará él la regla de la igualdad; pero sus gritos, su llanto ó su cólera demostrarán que no soporta la desigualdad, por lo menos en perjuicio suyo.

¡Débiles y dudosas apariciones del sentimiento moral! Pero pensad qué sería un niño en quien no se presentasen. ¿Sería nunca posible hacer penetrar en su espíritu una noción del bien y del mal si no tuviese esta especie de confusa y vaga anticipación por analogía, por intuición? Es menester que el educador —y en la primera edad es una educadora— se aplique á favorecer estos imperceptibles comienzos de una moralidad casi instintiva. Dejad crecer este pequeño tallo apenas visible, y esperad: es la voluntad naciente. No la toquéis, ni aun para ayudarla á salir de tierra, y dejad obrar al sol, al agua del cielo, y á la frescura de las noches, y á los jugos nutritivos del suelo, y á la desconocida savia que la empuja á vivir.

No olvidemos que al lado de los instintos que llamamos buenos van á desarrollarse en el ser joven, con igual fuerza, los
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La unidad de corriente es aquella corriente que transporta la unidad de cantidad de electricidad en un segundo.

Sistema electromagnético.—En este sistema se define primero la unidad de intensidad de corriente mediante la unidad de magnetismo, y de ahí se deducen las otras unidades. Se entiende por unidad de intensidad de corriente aquella corriente de tal fuerza que si á 1 cm. de longitud de su circuito viene encorvado un arco de 1 cm. de radio, ejerce una fuerza de una dina sobre una unidad de polo magnético colocado en el centro.

Unidad de cantidad de electricidad es aquella cantidad de electricidad que viene transportada por la unidad de corriente en un segundo.

Unidad de diferencia de potencial (ó de fuerza electromotriz) se define como en el sistema electrostático.

Finalmente, unidad de resistencia es la resistencia presentada por un conductor cuando la unidad de diferencia de potencial entre sus dos extremidades determinan la producción de una corriente de intensidad igual á la unidad, ó sea el paso de una unidad de cantidad de electricidad por segundo.

Sistema técnico ó práctico.—En la práctica, los valores de las unidades eléctricas C. G. S. no se encuentran en una relación conveniente con las magnitudes con las cuales se ha de hacer. Así, en el sistema electromagnético la unidad de resistencia no sería más que la resistencia de \( \frac{1}{20000} \) de milímetro de un hilo de cobre de 1 mm. de diámetro; la unidad de fuerza electromotriz sería \( \frac{1}{100000000} \) de la fuerza electromotriz de un elemento Daniell; en cuanto á la unidad de capacidad sería, con corta diferencia, la de una esfera cuyo radio fuera un millón de veces el radio terrestre.

Las cinco magnitudes de las que se hace uso en la práctica son:

La unidad de resistencia, la de fuerza electromotriz, la intensidad de corriente, la cantidad de electricidad y la capacidad eléctrica.

Unidad de resistencia.—En la práctica se define primero la unidad de resistencia eléctrica, y de ella se deducen las otras.

El Congreso de Electricistas de París de 1891 propuso una unidad de resistencia eléctrica, á la que dió el nombre de ohm,
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la cual equivale á 10^9 unidades absolutas, y estableció que su valor fuese prácticamente fijado por medio de la longitud en metros de una columna de mercurio de 1 mm.^2 de sección á la temperatura del hielo fundido. De la determinación de esta longitud se encargó una Comisión internacional, la cual, en 1882, la fijó en 106 cm.

El último Congreso electrotécnico, verificado durante la Exposición Universal de Chicago, dió la siguiente definición del ohm: «El ohm internacional es la resistencia de una columna de mercurio á la temperatura del hielo fundido que tenga un peso de 14,4521 g., una sección transversal constante, y una longitud de 106,3 cm.

Otra unidad usada en ciertos casos es el km. de hilo telegráfico de cobre de 4 mm. de diámetro, cuya resistencia será igual á la de 9,5 ohm.

Unidad de fuerza electromotriz.—La unidad práctica llamada volta es igual á 10^8 unidades absolutas electromagnéticas.

En general se toma la fuerza electromotriz de un elemento Daniell convenientemente preparada como igual á un volta. El valor de la fuerza electromotriz de las diversas especies de Daniell oscila entre 0,978 y 1,079 voltas.

Unidad de corriente.—La unidad práctica de corriente llamada ampere es aquella producida por una fuerza electromotriz igual á un volta en un conductor de resistencia igual á un ohm. El ampere es igual á \( \frac{1}{10} \) de la unidad absoluta electromagnética.

Se puede añadir que una corriente de intensidad igual á un ampere precipita en un baño electrolítico la cantidad de 1,174 gramos de cobre por hora ó 4,024 g. de plata en un baño de plata (1).

Unidad de electricidad.—La unidad de cantidad de electricidad se llamó coulomb, y es la cantidad de electricidad que pasa en un segundo por la sección de un conductor recorrido por un ampere; es también igual á \( \frac{1}{10} \) de la unidad absoluta.

(1) En Inglaterra, la Comisión Board of Trade en 1891 adoptó esta definición; pero ha agregado lo siguiente:
Una corriente constante que pasando á través de una disolución de nitrito de plata en el agua precipita dicha plata á razón de 0,09118 gramos por segundo, puede ser considerado como una corriente de un ampere.
La Escuela moderna (Madrid) (1900-02-01 00:00:00), página 52

Ampere-hora es la cantidad de electricidad que atraviesa un circuito durante una hora cuando la intensidad de la corriente es de un ampere; un ampere-hora será, pues, igual a 3600 coulomb.

Unidad de capacidad.—Esta unidad recibe el nombre de farad y vale \(10^9\) unidades C. G. S., y es la capacidad definida de las condiciones que un coulomb la eleve al potencial de un volta.

Siendo el farad una capacidad muy grande, porque es una capacidad equivalente á la de una esfera de 9000 m. de radio colocada en un espacio indefinido y libre, la unidad generalmente adoptada es \( \frac{1}{100000} \) del farad; esto es, el microfarad.

Unidad de energía eléctrica.—Midiéndose la energía eléctrica por una cantidad igual al producto de una cantidad de electricidad por una diferencia de potencial, la unidad de energía eléctrica será igual al producto de un coulomb por un volta, y valdrá \(10^7\) unidades C. G. S. de trabajo, ó sea \(10^7\) erg. Y esto es precisamente aquella cantidad de trabajo que hemos llamado joule, y que el Congreso de Paris de 1889 ha adoptado como unidad práctica de trabajo.

Nota.—Cuando estas unidades eléctricas son demasiado grandes ó demasiado pequeñas en la práctica, se dan nombres especiales á los múltiplos y submúltiplos, como hemos visto al hablar del farad. Se llamará, por ejemplo: megahom, la resistencia de un millón de ohms; microohm, la de una milésima de ohm; miliamperé, la intensidad de una corriente igual á \( \frac{1}{1000} \) de ampere, etc.

S. Pagliani.

(Por la traducción:
E. G. Barbarin.)
La Escuela moderna (Madrid) (1900-02-01 00:00:00), página 53

La instrucción primaria en el Ejército,

por D. Carlos Croizard y Coronado.

El Parlamento español se ha ocupado en este importante asunto, que ha planteado el Diputado liberal, nuestro amigo D. Carlos Croizard y Coronado. Como el tema merece la atención de cuantas personas se preocupan del fomento de la Instrucción popular, creemos de utilidad para nuestros lectores recoger en estas páginas los datos curiosísimos e importantes que expuso el Sr. Croizard ante la Cámara. En la imposibilidad de reproducir todo el discurso, nos concretamos á copiar los párrafos siguientes:

«Son, ciertamente desconsoladores, Sres. Diputados, los pocos datos que, respecto al estado de la Instrucción primaria en el ejército, se nos ofrecen.

»Yo he tenido, porque cuando vengo ante el Parlamento á fundamentar proposiciones de la índole de la que estoy apoyando en este momento, me gusta venir provisto de los datos necesarios, para que á las razones puramente especulativas acompañen los hechos que demuestran estos razonamientos, yo he tenido, digo, que acudir, para examinar todos los datos que pudieran proporcionarme un antecedente en esta materia, á los centros oficiales, como he indicado ya, y en ellos no se me ha facilitado dato ninguno para el conocimiento de este asunto; pero mis investigaciones en libros antiguos, en estadísticas, han sido más fructuosas que los trabajos hechos en los centros oficiales buscando precedentes sobre la materia.

»Es muy difícil establecer un cómputo exacto respecto á la Instrucción primaria de los soldados que entran en filas.

»En los centros militares hubo un tiempo en que se atendió algo á este servicio estadístico, y hay algunos datos respecto del grado de instrucción de los soldados que entraban en filas; pero repito que estos datos son antiguos. En los censos de población, últimamente publicados, hay algunos interesantes datos, y de uno y de otro origen he podido tomar los necesarios para llegar á unas conclusiones que, no por ser dolorosas, he de ocultar á la consideración de la Cámara.

»No he podido ascender en mis investigaciones más allá del año 1860, y aun respecto de ese año no me ha sido posible averiguar qué número de