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Por lo que hace á la disposición que se da á los cálculos, es variada. Véase la del ejemplo siguiente \( \sqrt[3]{3.048625} \)

    3.048.625
    145. Raíz exacta.

    3\( a^2 = 3 \times 1^2 = 3 \)
    3\( a^2 = 3 \times 1^2 = 3 \)
    2\( ab^2 = 2 \times 14^2 = 588 \)

    20.48
    3 \( \times 10^2 \times 6 = 1800 \)
    3 \( \times 10^2 \times 4 = 1200 \)
    3 \( \times 140^2 \times 5 = 294000 \)

    17.44
    3 \( \times 10 \times 6^2 = 1080 \)
    3 \( \times 10 \times 4^2 = 480 \)
    3 \( \times 140 \times 5^2 = 10500 \)

    3046.25
    6\( ^3 = 216 \)
    4\( ^3 = 64 \)
    5\( ^3 = 125 \)

    3046.25
    3096
    1744
    304625

    0

Aunque la disposición dada á la operación es diferente, el procedimiento en el cálculo es el mismo; pero en este ejemplo es preciso notar el tanteo de la segunda cifra de la raíz. Esta se obtiene de la división de las 20 centenas del primer dividendo parcial, por \( 3a^3 = 3 \times r^2 = 3 \). Se puso seis para segunda cifra de la raíz; pero la suma de los productos comprobantes arroja 3096 > 2048. Si se pusiere la cifra 5 en la raíz, comprobada, se vería que es también excesiva, y por eso se ha puesto 4, que resulta ser la verdadera.

Por la regla que hemos dado para la extracción de la raíz cúbica, es preciso ir formando sucesivamente el cuadrado de la primera cifra de la raíz, el cuadrado del número que formen la primera y segunda cifra de la raíz, el cuadrado del número que formen la primera, segunda y tercera cifra de la raíz, etc.; pero estos cuadrados se obtienen fácilmente, pues cada uno es el cuadrado de la suma de dos partes, siendo la primera el décuplo del anterior, que para formarle hasta añadir dos ceros á su derecha. En el ejemplo primero obtuvimos la raíz cúbica 31201. La derivación de los cinco cuadrados puede presentarse así:

\[
3^3 = 3 \cdot 3 = 9 \\
31^2 = (30 + 1)^2 = 900 + 2 \cdot 30 + 1 = 961 \\
312^2 = (310 + 2)^2 = \ldots \ldots \ldots \ldots 96100 + 2 \cdot 310 + 2^2 = 96724 \\
3120 = (3120 + 0)^2 = 9672400 \\
31201 = (31200 + 1)^2 = 96749000 + 31200 \times 2 + 1^2 = 976302401.
\]

Uso de la tabla de cuadrados y cubos para la extracción de la raíz cúbica.

155. En los casos que de ordinario pueden ocurrir, que son el operar con números de nueve ó menos cifras, para obtener la raíz cúbica entera aproximada en menos de una unidad, y aun
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para aquellos en que el número propuesto consta de muchas más cifras, podremos hallar la raíz cúbica valiéndonos de la tabla de cuadrados, cubos y raíces (núm. 130) excusando los tanteos, comprobaciones y rectificaciones, que tanto dificultan el cálculo. Algunos ejemplos nos familiarizarán con tan sencillo y cómodo procedimiento.

EJEMPLO PRIMERO. Hallar la raíz cúbica de 47381.
Consultada la tabla, hallo que el mayor cubo comprendido en el número propuesto es 46656, cuya raíz es 36. Restado este cubo del número dado, será

\[
47381 - 46656 = 725.
\]

Luego \( \sqrt[3]{47381} = 36 \), raíz cúbica entera, que deja de residuo 725.

SEGUNDO EJEMPLO. Hallar la raíz cúbica de 3.048.625.
Dividiendo el número en secciones de tres cifras y prescindiendo de la última, porque la tabla no da directamente más que las raíces de dos, queda sólo 3.048. El mayor cubo comprendido en este número es 2744, cuya raíz cúbica es 14. Verificando la sustracción, será \( 3.048 - 2744 = 304 \). A este resto pospongo la última sección, y tendremos 304625, y separando sus dos últimas cifras, 3046.25. Se divide 3046 por 588 = 3.14³, triplo del cuadrado de la raíz hallada, 14, y se obtiene de cociente la cifra 5, que es la tercera y última de la raíz.

\[
\sqrt[3]{3048625} = 145.
\]

TERCER EJEMPLO. Hallar la raíz cúbica de 401.947.272.
Tomando las dos primeras secciones 401.947, hallo en la tabla que su mayor cubo es 389017, cuya raíz cúbica es 73. Restando su cubo de las secciones, será:

\[
401947 - 389017 = 12930,
\]
y posponiendo á este resto la última sección 272, tendremos 1293072. Separando sus dos últimas cifras de la derecha y dividiendo las otras por el triplo del cuadrado de 73, raíz hallada, se obtiene por cociente la cifra 8, que es la tercera y última de la raíz; luego

\[
\sqrt[3]{401947272} = 738,
\]
raíz entera, aproximada en menos de una unidad. Si se tomaron en cuenta los últimos residuos, entiéndanse como numeradores que tienen por denominador el triplo de la raíz multiplicado por su última cifra, más el cubo de esta última cifra. Por esta razón, aunque los números de este ejemplo y del anterior son cubos perfectos, dejan, sin embargo, restos iguales al denominador correspondiente.
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CUARTO EJEMPLO.—Hallar la raíz cúbica de \( \sqrt[3]{666.482.465.535} \)

El mayor cubo comprendido en las dos primeras secciones es 658503, cuya raíz es 87. Restando este cubo de las dichas secciones, será \( 660482 - 658503 = 7979 \), y posponiéndole la última sección y separando sus dos últimas cifras, forma el número 79794. Dividiendo este número por el triplo del cuadrado de 87, que es la raíz hallada, resulta al cociente 35, que son las dos últimas cifras de la raíz.

\[
\sqrt[3]{666\ 482\ 465\ 535} = 8735.
\]

Téngase en cuenta que cuando la primera cifra de la raíz es menor que 5, y la última mayor, y que además siendo dos las obtenidas directamente por la tabla, sean también dos las halladas por la primera división, quedará la raíz más aproximada disminuyendo una ó dos unidades á su última cifra, según que concurren una sola ó las dos circunstancias antedichas.

QUINTO EJEMPLO.—Hallar la raíz cúbica de 667.398.487.419.

Practicadas las operaciones como en el ejemplo cuarto, resulta para raíz 8739, con residuo, cuando la raíz exacta es 8738.

156. OBSERVACIÓN.—Como restando del último residuo del triplo del producto de la raíz por su última cifra, más el cubo de esta misma cifra, queda la raíz entera comprobada, y á la vez se obtiene su verdadero residuo, podremos con toda seguridad obtener por una segunda división otras tantas, menos una, como fueren las cifras de la raíz hallada. Al efecto, se escriben á la derecha del resto tantas ternas de ceros como nuevas cifras hayan de venir á la raíz, cuidando de separar los dos ceros últimos del dividiendo así formado, antes de practicar la división. Y si se comprueba la última cifra de la raíz y su residuo, en la forma dicha, y se continúa éste por tantas ternas de ceros cuantas sean las cifras de la raíz menos una, y se apartan los dos últimos ceros de estotro dividiendo parcial, y se divide por el triplo del producto de toda la raíz hallada, el cociente dará tantas cifras, menos una, como tuviere la raíz hallada, y serán nuevas cifras de la raíz. Se comprende que por este medio puede aproximarse cuanto se quiera la raíz por decimales, ó hallar la raíz entera de un número por muchas secciones que contenga. En este caso, en vez de escribir á la derecha ternas de ceros, se ponen las ternas de guarismos del número, ó sea las secciones siguientes.

La marcha del procedimiento no puede ser más expedita. Por la tabla se halla la raíz correspondiente á las dos primeras secció-
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nes del número. Se resta el cubo, y el residuo continuado de la tercera sección se divide por el triplo del cuadrado de la raíz hallada, y tendremos la raíz con tres cifras y un residuo. Se restan de éste el triplo del producto de la raíz hallada por su última cifra, más el cubo de esta cifra; y el resto continuado de dos secciones, ó en su caso, de dos ternas de ceros, separando los dos últimos, se divide por el triplo del cuadrado de la raíz hallada y tendremos dos cifras más para raíz, que ya tendrá cinco; por otra comprobación, según queda dicho, se obtendrán otras cuatro cifras más para raíz, y ya serán éstas nueve. Por otra análoga comprobación, preparación y división se obtendrían ocho cifras más para raíz, ó sean diez y siete; y si estas cifras representan kilómetros ó miriámetros cúbicos, ya podríamos expresar los volúmenes de los astros del sistema planetario. Más adelante veremos con qué prodigiosa sencillez se realizan estos cálculos, mediante el empleo de los logaritmos.

(Continuará.)

Francisco Pizarro,
Regente de la Normal de Maestros de Badajoz.

Prohibida la reproducción.

COMPENDIO

DE

PEDAGOGÍA TEÓRICO-PRÁCTICA

POR

D. Pedro de Alcántara García.

Obra redactada para que sirva de guía á los maestros en ejercicio y á los opositores á escuelas, y de texto á los alumnos de las Normales. Segunda edición reformada y aumentada con nuevos capítulos. Un volumen en 4.º de VIII-461 páginas.
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DOS EXCURSIONES

I

Existen en Madrid, lo mismo que en otras capitales, sitios á propósito para llevar á la práctica algo de la mucha teoría que se da, tanto en las escuelas públicas como en las privadas. En este supuesto, y convencidos los Profesores del importante Colegio del Cardenal Cisneros de esta corte (Costanilla de Santiago, número 6), de la utilidad práctica que reportan las excursiones en todos los órdenes de la vida, decidimos realizar algunas, dándolas un carácter recreativo instructivo, en el sentido poco usado pero muy práctico de hacer el alumno por sí solo. De aquí que por lo pronto, sólo tenían que hacerlas los alumnos de la clase superior, suponiendo la venia de los padres y del digno Director.

Estos obstáculos se allanaron pronto, y no tardaron los alumnos en enterarse de nuestros propósitos. Desde aquel momento, y en los días sucesivos hasta el de la excursión, parecía que los muchachos no eran los mismos. No cesaban los cuchicheos entre ellos; todo era preguntarnos á los Profesores cuándo y dónde habíamos de ir; qué era lo que se había de llevar y el tiempo que habíamos de estar fuera; sin decirles nada, todos habían pedido permiso á sus padres á los dos días; en una palabra, la curiosidad subía de punto á medida que transcurrían los días, llegando algunos hasta conseguir que sus padres influyeran para que se realizaran cuanto antes: ¡tanto era su deseo!

Ahora bien; como nuestro objeto principal no era otro sino observar en el terreno—aparte de las iniciativas de cada uno—cómo llevaban á la práctica las cuestiones desarrolladas en clase, resolvimos hacer la primera en un lugar donde encontraríamos (sin necesidad de servirse de auxiliares intuitivos) todo cuanto era objeto de la excursión. Así, pues, de antemano nos trasladamos los Profesores solos al arroyo de San Bernardino de esta corte, y vimos que, efectivamente, considerando dicho arroyo como río nos podía servir para una lección fácil y práctica de Geografía física.
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Llegó, pues, el día señalado, y provistos todos de su correspondiente cuaderno de notas y lápiz, salimos á las nueve y cuarto de la mañana (era el día 6 de Marzo). Durante el viaje, y una vez que salimos de la capital, hubo mucha algazara entre ellos; se notaban muchos deseos de llegar al sitio convenido, y en el trayecto despertaba su curiosidad (naciente en algunos) lo más notable que encontrábamos al paso. Por otra parte, la iniciativa de algunos estaba determinada antes de llegar; mas otros estuvieron todo el camino como perplejos, y así se veía que los primeros, todo cuanto les llamaba la atención lo decían, y si no lo sabían lo preguntaban á sus compañeros ó á nosotros, demostrándonos así su inocente espontaneidad, dormida ó cohartada en clase; y los segundos no hacían sino escuchar y observar, cohibidos un tanto por la falta de costumbre y por su especial modo de ser.

Eran las diez cuando llegamos al sitio destinado, y como estábamos cansados por haber llevado un paso bastante acelerado, nos sentamos, preparando mientras tanto los objetos correspondientes. Como el fin de la excursión, según he dicho antes, no era otro (aparte de la utilidad en el desarrollo físico, intelectual y moral) sino llevar á la práctica cuanto se aprendía en clase, de aquí que el asunto de la excursión debían anotarlo ellos, sirviendo nosotros como de guía para la redacción de las notas y nada más, que es como entendemos nosotros las excursiones. En efecto; se llamaba á uno cualquiera, y después de hacerle recordar las definiciones que en teoría habían todos aprendido en clase de lo que íbamos viendo, se le indicaba el camino para que por sí solo coordinara sucesivamente—anotándolo todos—las ideas prácticas, guardando en lo posible las reglas de la sintaxis, así regular como figurada. De esta manera contribuían todos al hacer de la excursión, consiguiendo relativamente resultado positivo.

Lo anotado, pues, por los doce ó catorce alumnos de la clase superior, en el poco tiempo de que dispusimos en esta primera excursión, ya que para mediodía habíamos de regresar, fué lo siguiente:

«El arroyo de San Bernardino corre de E. á O. aproximadamente. Se llama así porque está el Asilo del mismo nombre luego de pués de su nacimiento. Hay agua permanente, la cual viene de un manantial, y su cauce es poco profundo por ser poca la cantidad de agua al empezar.»

Aquí se interrumpió el trabajo, porque al preguntar á un niño sobre la definición de la cuenca no supo contestar, y acercándose de improviso un cabrito, se le llamó la atención (al alumno) dicién-
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dole que él se lo diría, produciéndose con esto la algazara consiguiente, cuyo resultado fué que otro niño, menos experto en clase que él, contestó al paso y sin poderlo evitar. Lo cual prueba que, algunos que en clase parecen listos por su gran memoria, fuera de ella, y viendo la cosa, no la saben definir, y es porque no la comprendían en clase, y en cambio, otros que en ella no pueden aprender nada, fuera y en presencia del objeto deducen inmediatamente la definición, demostrando así su gran comprensión; resultando de todo esto, además de la necesidad que tenemos de sensibilizar lo posible nuestras explicaciones los que á la enseñanza nos dedicamos, la utilidad práctica de las excursiones.

La cuenca vendrá á ser de unos ciento cincuenta metros aproximadamente, y recibe un afluente por la orilla derecha. A medida que se sigue la dirección de la corriente, el cauce va creciendo, y lo mismo la cuenca. Por la izquierda recibe otro afluente más caudaloso, en el que se notan las capas de la tierra. La primera capa 6 suelo se ve que es arenosa, la segunda 6 subsuelo tierra sola y la tercera es mezcla de las anteriores, predominando la arena. Comprendemos perfectamente que, en general, la capa superior de todos los terrenos es arenosa, ó puede serlo, mayormente cuando el subsuelo lo es, porque la tierra, como más pesada, se filtra en los movimientos á través de la arena, quedando ésta en la superficie.

Hacia la mitad del curso del arroyo principal y en su orilla izquierda se ve un túnel que atraviesa una pequeña elevación de terreno; la parte superior del túnel destila agua y procede de la filtración que se verifica durante las lluvias.

Casi enfrente del túnel, y en la orilla derecha del arroyo principal, nace otro arroyo relativamente caudaloso: su agua es pura y cristalina, y también procede de la filtración de las aguas de la lluvia; nace al pie de un cerrillo, y en el nacimiento se ha desplomado una porción de terreno.

En la confluencia de este arroyuelo con el principal fórmase una cascada y una catarata. Aquí vimos prácticamente cómo el agua se lleva la tierra. Más abajo de la confluencia medimos el cauce que tiene 3'40 metros de profundidad. Enfrente del lugar de la medición se ve desprendido un trozo grande de ribazo porque el agua de la filtración lo ha socavado.

- Cerca ya de la vía férrea recibe otro afluente ó arroyo por la izquierda, y el cauce vuelve á ser casi plano y de la misma naturaleza que en un principio; cruza luego la vía y desemboca en el Manzanares por su orilla izquierda.

El Manzanares desemboca en el Jarama, éste en el Tajo y éste á
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su vez en el Atlántico, por Lisboa. Por tanto, las aguas del arroyo de San Bernardino van al Atlántico.

Resumen: el arroyo de San Bernardino viene del Asilo de su nombre; corre de E. á O. aproximadamente; su cauce al principio y al fin es plano y profundo en su curso medio; recibe por la derecha dos afluentes y por la izquierda tres; su cuenca es bastante estrecha y desemboca por fin, en el río Manzanares.

Ahora bien; como se ve, las excursiones tienen varios aspectos según el fin que con ellas se persigue. Aparece á nuestro entender, en primer lugar, la influencia que los agentes naturales ejercen en su desenvolvimiento físico; en segundo término, la alegría que experimentan, correspondiente á su parte moral, por efecto del estímulo adquirido entre ellos y por la libertad con que pueden satisfacer todas sus dudas, y por último, aparece el hacer de la inteligencia por ellos mismos, acostumbrándose así á saber anotar por orden cuanto quieran en el curso de la vida.

II

Previos los preparativos correspondientes y animados por los mejores deseos, salimos del colegio á las nueve de la mañana (era el día 20 de Marzo).

En el trayecto se notaba la misma algazara de siempre; aunque sin gritar, no podían reprimir el afán por consultarse unos á otros, ya sobre cuanto veían de notable, ya sobre el concepto que iban formando de las excursiones. (Hay que advertir que su curiosidad crece á medida que son más frecuentes los paseos campestres.)

Como esta segunda excursión había de versar también sobre Geografía física, aunque en el aspecto orográfico, y no habiendo en Madrid elevaciones ni depresiones para este objeto sino muy lejos, se hizo preciso, para su estudio desde aquí, llevar ciertos instrumentos, como telescopios, gemelos, etc., para que de esta manera fuera mejor observado el punto objeto de la excursión. El fin que nos proponíamos era, como siempre, conseguir que aprendan á practicar por sí mismos cuanto se teoriza en clase, sirviendo nosotros de guía únicamente.

Por otra parte, al salir de la capital dimos la orden de que, sin separarse mucho, se desordenaran, agrupándose con este motivo en vez de disgregarse, unos cuantos á cada profesor. En los que á mí se unieron pude notar, no sin sorpresa, que el deseo que tenían por saber lo que habíamos de hacer en aquella segunda excursión era más vivo y expresivo que en la primera.
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Tanto me llamó la atención, que determiné, mientras íbamos andando, tener un rato de conversación íntima con ellos. Con franqueza les dije lo que había notado, y que deseaba me dijeran también con franqueza el gusto que encontraban en las excursiones. En el primer momento nadie me contestó, sin duda por mi extraña actitud; mas dirigiéndome á uno é instándole en tono de mando, pero cariñosamente, á que me contestara, no pudo por menos sino acceder á mis deseos, aunque cambiando de color por estar con los demás niños.

Empezó por decirme que lo mismo á él que á los demás niños les parecía que no tendrían inconveniente en salir, aunque fuera todos los días; pues además de que les convenía por su salud, ya que cambiaban de aires, creían también que en el campo se aprende mucho más.

Efectivamente, le contesté: en las capitales vivimos casi de milagro. Ya habréis notado que ciertas horas del día en el centro de Madrid, por ejemplo, aunque sin hacer calor, no se puede casi respirar; y la causa de ello está en la densidad del aire, pues es muy superior á la que se nota en el de los campos, debido todo á que en las grandes capitales se vicia pronto por el exceso de gente y demás olores más ó menos infecciosos, evitando de esta manera la renovación frecuente, siendo causa, por tanto, de las diferencias que se notan en individuos de semejante naturaleza. Por lo que se refiere al parecer de que se aprende algo más en el campo que en la clase, no estoy del todo conforme; pues si bien es un hecho que los campos rodeados por agentes y seres naturales parece que nos incitan con más rapidez al descubrimiento de la verdad, despejando la inteligencia, no lo es menos que en nuestros días, ya sea por la falta de costumbre en el uso de las excursiones, ya por la distracción que esos mismos agentes y demás seres proporcionan, he notado que se aprende más en el recinto de la clase, donde todo es atención. Con esto y algunas rectificaciones parecieron quedar algo convencidos, cuando llegamos á la Moncloa, sitio destinado para hacer el estudio correspondiente (eran las diez en punto).

Hubo, como es natural, un rato de descanso, y luego de hacerles ciertas observaciones y preguntas sobre la belleza del horizonte visible que escalonado se presentaba á nuestra vista, les dijimos que se orientaran, y como consecuencia, preguntas varias sobre la situación, dirección, etc., etc., de la sierra que íbamos á estudiar. Para esto ya se hizo preciso ó necesario el uso de los antedichos aparatos, y entonces fué cuando su deseo de observa-
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ción subió de punto. Yo, que gozo infinito con los triunfos de mis alumnos y que me siento orgulloso cuando me dirigen preguntas que les puedo satisfacer, tuve en ese día dichosa ocasión de aprovecharme hasta quedar completamente satisfecho.

Se enteraron detalladamente del contenido de la cordillera, y hechas las advertencias correspondientes para que se fijaran bien sobre los elementos que ya próximos, ya en contacto de la misma, había, como cerros, colinas, nubes, nieve, etc., y de estudiar la forma ó disposición que afectan los distintos montes ó algunas de sus partes, empezó uno de los profesores el estudio respectivo de cada uno de los varios oficios que desempeñan las cordilleras.

Hay que tener en cuenta que después de explicar con muchas razones el profesor preparado al efecto, cada uno de los puntos señalados, se llamaba á un niño cualquiera, y si aquel no lo sabía, á otro, haciendo (según nuestro modo de hacer las excursiones) que redactara, escribiéndolo todos, lo esencial de lo que el profesor había dicho. Así sucesivamente trabajaban todos, aprendiendo el doble aspecto de colocar las palabras y coordinar las ideas.

Lo anotado en esta segunda excursión fué lo que sigue: «Estamos sentados en la cumbre de un cerro de la Moncloa (Madrid), y vemos una sierra muy elevada que se llama de Guadarrama. Esta sierra forma parte de la cordillera Carpetana, que se desprende de la Ibérica en el Moncayo; cruza por el N. de la provincia de Madrid y termina en el cabo de Roca, en Portugal.

»De dicha sierra vemos la vertiente meridional, y si marchásemos del lugar en que estamos sentados, hacia la sierra, encontraríamos, primero una cadena de cerros poco elevados, ó sea un contrafuerte, y después el núcleo de la cordillera que estudiamos, cuyos picos más altos están cubiertos de nieve.

»Oficio de las cordilleras en la producción de la lluvia y de la nieve.—El aire que está en contacto con las montañas es más frío que el que está en contacto con las llanuras, y por esta razón cuando las nubes cruzan la región atmosférica que se halla sobre los montes, se enfrian y se produce la lluvia ó la nieve. Se puede afirmar, por consiguiente, que en los países montañosos son frecuentes las lluvias y abundan las nieves.

»Por qué, generalmente, los ríos nacen en las montañas.—Como en las montañas llueve y nieva frecuentemente, se filtra por la tierra una cantidad muy grande de agua, que luego encuentra fácil salida por las vertientes, lo cual no ocurre en las llanuras, dando origen á muchos manantiales y éstos á numerosos arroyos, que se van uniendo en los valles y acaban por formar un río. Tam-