ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 64

Todo número escrito en el sistema decimal es un polinomio, ordenado según las potencias decrecientes de la base 10. — Aplicación de esta propiedad á la extracción de las raíces numéricas.

138. Propongámonos hallar la raíz cuadrada del número 6561. Ante todo analicemos este número en relación al concepto general de potencialidad.

Si llamamos \( x \) á la base 10 del sistema décuplo, en que está escrito, podremos descomponer el número propuesto en la forma siguiente:

\[
6561 = \left\{ \begin{array}{l}
6000 = 6 \times 1000 = 6 \cdot x^3 \\
500 = 5 \times 100 = 5 \cdot x^2 \\
60 = 6 \times 10 = 6 \cdot x^1 \\
1 = 1 \times 1 = 1 \cdot x^0
\end{array} \right.
\]

Evidentemente \( 6561 = 6 \cdot x^3 + 5 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 1 \).

Luego 6561, como todo número entero, no es otra cosa que un polinomio que consta de tantos términos positivos cuantas sean sus cifras, y que se nos ofrece ordenado ya, según las potencias decrecientes de la base. El descubrimiento de esta propiedad nos autoriza para traer á la Aritmética la teoría general, referente á las potencias y raíces de los polinomios, cuyas fórmulas y reglas, con perfecto derecho y conciencia tranquila, nos proponemos aplicar á la investigación de las potencias y raíces numéricas (1).

Hemos demostrado que el cuadrado del binomio \( a + b \), esto es, que \( (a + b)^2 = a^2 + 2 \, a \, b + b^2 \).

Del mismo modo \( (a + b + c)^2 = (a + b + c) \times (a + b + c) \), practicando la operación indicada, reduciendo términos semejan-

(1) Una vez rotas las ligaduras del estrecho convencionalismo que cimentó y regió la investigación de las raíces en el supuesto de que los elementos integrantes de los números se reducen á decenas y unidades, invadimos con decisión el vasto y bien cultivado campo del Álgebra al solo intento de retraer al nuestro, tan pobre y descuidado, los hechos, los principios y las teorías que por título tan legítimo le pertenecen. Así procediendo, no sólo reivindicamos un derecho, sino que á la vez lograremos dar más precisión, unidad y amplitud á esta enseñanza.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 65

tes y colocando convenientemente los sumandos, puesto que el orden en que se tomen no afecta á la suma, dará:

\[(a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2.\]

Asimismo se hallará que:

\[(a + b + c + d)^3 = a^3 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 + 2ad + 2bd + 2cd + d^2.\]

La fórmula general de la formación del cuadrado de un número, considerado como polinomio, se expresa así:

139. El cuadrado de un polinomio cualquiera se compone: del cuadrado del primer término, del duplo del primer término multiplicado por el segundo, del cuadrado del segundo de los dobles productos de cada uno de los dos primeros por el tercero, del cuadrado del tercero, de los dobles productos de cada uno de los tres primeros por el cuarto, del cuadrado del cuarto, y así sucesivamente.

Observación.—Es indispensable retener este enunciado y el desarrollo ordenado de la fórmula, pues para extraer, según ella, la raíz cuadrada, tienen que ser formados sucesivamente todos los términos de que consta.

Razonamientos y ejemplos.

140. Analicemos un caso, dándole el desarrollo debido y razonando su procedimiento.

Primer ejemplo. Hallar la raíz cuadrada del número 74529.

Ante todo determinemos cuántas cifras tendrá su raíz. Sabemos que \(100^2 = 10000\); y que \(1000^2 = 1.000,000\). Observando que 74529 es mayor que 10000 y menor que 1.000,000, se infiere que su raíz tiene tres cifras, tantas como secciones (centenas, decenas y primarias).

La fórmula del cuadrado de un número de tres cifras ó términos \((a + b + c)\), numerando los términos, es:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 66

Orden de unidades que representa cada término (número 44).

1.º \( a^3 = a \times a = C \times C = D' \), ó sea 5.º orden múltiplo.
2.º \( 2\,a\,b = 2\,a \times b; = C \times D = P' \)
3.º \( b^2 = b \times b = D \times D = C \)
4.º \( 2\,a\,c = 2\,a \times c; = C \times P = C \)
5.º \( 2\,b\,c = 2\,b \times c; = D \times P = D \)
6.º \( c^2 = c \times c = P \times P = P \)

Práctica.

\[
\begin{array}{r|l}
\sqrt{7\cdot4\cdot5\cdot2\cdot9} & 4 \\
1.\text{º } a^3...... & 4 \\
& 200 \\
& 3\,4 \\
2.\text{º } 2\,a\,b... & 2\,8 \\
& 70 \\
& 6\,5 \\
3.\text{º } b^2...... & 4\,9 \\
& 273 \text{ raíz exacta.} \\
4.\text{º } 2\,a\,c... & 1\,2 \\
& 1\,6 \\
5.\text{º } 2\,b\,c... & 4\,2 \\
& 0\,0\,9 \\
6.\text{º } b^2...... & 0 \\
& 0
\end{array}
\]

Explicación del procedimiento:
1.º El mayor cuadrado contenido en la sección superior es 4, que escribo debajo de la sección 7, y de ella restado, deja 3 de residuo. Se escribe aparte la raíz 2, con la seguridad de que es la cifra de las centenas de la raíz. No puede ser mayor de 2; pues si se supone 3, tendríamos que \((3\,C)^2 = 3\,C \times 3\,C = 9\,D' = 90000\), que es mayor que el número propuesto; ni la cifra 2 es menor que la verdadera, pues su cuadrado 4 \(D'\) ha podido restarse de las 7 \(D'\), aun cuando en éstas pudiera haber algunas procedentes del término que le sigue, ó sea del doble producto de las centenas por las decenas.
• Eliminado el primer término, los cinco restantes, mas el residuo final si resultare, han de estar comprendidos en el valor que representa el resto 3, seguido de las segunda y tercera secciones del número.
2.º El segundo término \(2\,a\,b = 2 \times 2\,C \times b\,D = 4\,C \times b\,D\), da \(P'\), y por lo tanto á la derecha del resto 3 \(D'\) bajo la cifra 4 del número, y el 34 expresa todas las \(P'\) que quedan en el dicho número, en las que se halla el segundo término \(2\,a\,b\), ó sea
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 67

4 C \times b. Luego si el producto 34 P' le dividimos por 4 C, que es uno de sus dos factores, dará por cociente el otro factor b desconocido, que representa las decenas de la raíz. De esta división se obtiene 8 decenas, cuya cifra no puede ser menor que la verdadera, pero que puede ser, y en efecto lo es, mayor; porque \(2 a b + b^2 = 32 P' + 64 C = 38 P'\) es mayor que el resto 34 P' de que se ha de restar.

Se previene este error calculando antes mentalmente las unidades del orden del dividendo que puedan resultar del cuadrado de la cifra que se va á escribir en la raíz y deduciéndolas de aquel antes de practicar la división. Por haberlo hecho así, hemos puesto 7 decenas en la raíz, que es cifra buena. Conviene tener siempre en cuenta esta circunstancia al practicar toda división.

El producto \(7 D \times 4 C = 2 a b = 28 P'\), restado de las 34 P', deja 6 P' de resto.

3.º Como el tercer término \(b^2 = 7^2 = 7 D \times 7 D\), da 49 C, bajo la cifra 5 C del número á la derecha de las 6 P' del resto, lo que forma el dividendo 65 centenas, en el que está comprendido el término 49 centenas, que resto de él y quedan 16 C.

4.º Las 16 centenas, seguidas de la tercera sección, se hallan los términos 4.º, 5.º y 6.º, mas el residuo final si le hubiere.

Observo que el 4.º término \(2 a . c = 4 C \times P\), da C, y por esto, sin bajar cifra y por las razones expuestas, divido 16 C por el doble de la primera cifra de la raíz, ó sea por 4 C, y no pongo 4 al cociente, sino 3; y esta cifra es la de las unidades de la raíz, ó mayor. Para comprobarla la multiplico por 4 C, y su producto 12 C le resto de las 16 del dividendo. Deja 4 C de resto, en las que hay englobadas centenas que corresponden al 5.º término.

Teniendo ya todas las cifras de la raíz, no se practican más divisiones, y sólo falta averiguar si se hallan ó no comprendidos los términos 5.º y 6.º del cuadrado en las 429 unidades que restan del número, y si dejan ó no residuo, para rectificar ó dar por buena la raíz, y en este caso saber si es exacta ó qué residuo deja.

5.º El término 5.º del cuadrado es \(2 b c = 2 . 7 D \times 3 P = 14 D \times 3 P = 42 D\), que restadas de las iguales del dividendo, no deja residuo.

6.º El 6.º término del cuadrado es \(c^2 = 3^2 = 3 P \times 3 P = 9 P\), y como precisamente del número propuesto, después de deducir los cinco términos precedentes, sólo quedan 9 unidades, restando de éstas las mismas que vale el 6.º término, quedaron éstos completos y agotado el número. No hay resto: luego el número 74529 es cuadrado exacto y su raíz 273.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 68

(NOTA. En la práctica se simplifica el procedimiento omitiendo cifras innecesarias y verificando las restas á la vez que se van verificando los productos.)

SEGUNDO EJEMPLO. Hallar la raíz cuadrada del número 43681. La raíz tiene 3 cifras, por lo que el mayor cuadrado contenido tiene los términos

\[
a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c + c^2.
\]

\[
\sqrt{43681} = \frac{4}{0\ 36}
\]
\[
\begin{array}{r}
81 \\
209 \\
\end{array}
\]
\[
0
\]

Primer término: \( a^2 = 4 D' ; \sqrt{4 D'} = 2 C ; (2 C)^2 = 4 D' \), que da cero de resto.

Segundo: \( 2 a b = 4 C \times D \), cuyo producto dará \( P' \), por lo que bajo la cifra 3 \( P' \). Pero 3 dividido por 4 da cero al cociente, y por resto 3 \( P' \). La cifra de las decenas de la raíz es cero.

Tercero: \( b^2 = b D \times b D \); pero \( b \) decenas es cero, luego \( b \times b = 0 \).

Cuarto: \( 2 a c = 4 C \times P \), que da centenas. Bajo la cifra 6 de las centenas á la derecha del 3, lo que forma 36 \( C \). Dividido 36 \( C \) por 4 \( C \), que da para cociente 9 \( P \), y no deja residuo en las centenas.

Quinto: \( 2 b c = 2 D \), ó sea \( = a' 2 \times o = o \times 9 = o \).

Sexto: \( C^2 = P \times P = 9 \times 9 = 81 \), que es precisamente lo que resta de todo el número propuesto. Por consiguiente, éste es cuadrado exacto y su raíz 209.

EJEMPLO TERCERO. Extraer la raíz cuadrada del núm. 746388.

\[
\sqrt{746388} = \frac{16}{863}
\]
\[
\begin{array}{r}
746388 \\
64 \\
106... : 2 \times 8 \\
96 \\
103 \\
36 \\
67... : 2 \times 8 \\
48 \\
198 \\
36 \\
1628 \\
9 \\
Residuo.. 1619 < 2 \times 863 + 1.
\end{array}
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 69

Resulta que el número 746388 no es cuadrado exacto, y que su raíz entera aproximada por defecto es 803, dejando por residuo 1619.

El residuo 1619 es menor que 1727, duplo de la raíz hallada 863, aumentado en 1; es decir, que la expresión aproximada del residuo es la fracción \( \frac{1619}{1727} \).

Así, pues, la aproximación es mayor á 864 que á 863, pues que la fracción es \( > \frac{1}{2} \).

EJEMPLO CUARTO. Extraer la raíz cuadrada del número 21372129.

La raíz constará de cuatro cifras, pues tantas son las secciones que se pueden hacer en el número.

Si suponemos hallada la raíz y á sus cifras, las llamamos \( a, b, c, d \), el cuadrado de esta raíz constará de los términos siguientes:

\[
a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 + 2ad + 2bd + 2cd + d^2.
\]

\[
\begin{array}{r}
\sqrt{2\ 1\ 3\ 7\ 2\ 1\ 2\ 9} = \\
\hline
1\ 6 \\
5\ 3\ \ldots\ldots\ldots : 2 \times 4 \\
4\ 8 \\
5\ 7 \\
3\ 6 \\
2\ 1\ \ldots\ldots\ldots : 2 \times 4 \\
1\ 6 \\
5\ 2 \\
2\ 4 \\
2\ 8\ 1 \\
4 \\
2\ 7\ 7\ 2\ 9 : 2 \times 4 \\
2\ 4 \\
3\ 7 \\
3\ 6 \\
1\ 2 \\
0\ 3\ 9 \\
\hline
\text{o residuo nulo. 4623 raíz exacta.}
\end{array}
\]

141. OBSERVACIONES IMPORTANTES.
1.ª Que la primera cifra de la raíz es la del mayor cuadrado comprendido en la primera sección del número.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 7

CUESTIONES DE METODOLOGÍA DIDÁCTICA GENERAL

I. Necesidad de un estudio detenido de la Metodología didáctica.—II. La Metodología y el programa.—III. Elección de los conocimientos para la enseñanza.—IV. Una clasificación de los conocimientos, importante desde el punto de vista didáctico.

I

Hay una cuestión pedagógica interesantísima que es eflorescencia de la doctrina de educación intelectual, y á la vez uno de los elementos más preciosos para la práctica de esta educación misma. Es problema que, para ser resuelto acertadamente, requiere estudio detenido y profundo, análisis muy minucioso; que abarca muchos términos de comparación y de relación. Es la cuestión del orden en que debe ser ofrecida al discípulo la enseñanza de los conocimientos cuya construcción ha de ocupar la actividad intelectual que está en los primeros períodos de su desarrollo: la cuestión del Método didáctico.

El estado de la Metodología didáctica revela el grado, el sentido, la forma en que las doctrinas de educación intelectual son entendidas y aplicadas á la labor docente: el punto á que llega la armonía entre la teoría y la práctica pedagógicas.

Donde el Método didáctico es poco y mal estudiado, la enseñanza ha de ser forzosamente una obra realizada á la ventura, que si alguna vez resulta hecha menos mal, será por casualidad.

Después del pequeño desarrollo que los conocimientos pedagógicos, en su parte más general y más abstracta, han al-
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 70

2.ª Que las restantes cifras de la raíz se obtienen dividiendo por el duplo de la primera cifra de la raíz aquellos términos que en la fórmula llevan por primer factor á 2 a.

3.ª Que los términos que no principian por 2 a no se dividen, sino que por ser ya conocidos sus dos factores, se forma el producto, determinando el orden que le corresponde, para según él, restarle del residuo de la división precedente.

4.ª Que cuando el resto que haya de ser dividido por el duplo de la primera cifra de la raíz resultare ser menor que este duplo, se escribe un cero en la raíz y se baja la cifra siguiente.

5.ª Que si realizado el producto de un término, este producto resulta mayor que el resto de que haya de ser sustraído, esto indica que la cifra puesta en la raíz es mayor que la verdadera, por lo que debe ser rectificada y después comprobada.

6.ª Cada resto, seguido de aquellas cifras del número sobre las cuales aún no se haya operado, es igual al número cuya raíz se busca, disminuido del cuadrado de la raíz hallada. El último resto debe ser siempre menor que el duplo de la raíz aumentado en una unidad. Si resulta menor que la raíz, ésta es aproximada por defecto en menos de media unidad; y si fuere mayor, entonces la raíz es aproximada por exceso en menos de media unidad. Siendo nulo el resto, la raíz es exacta.

7.ª El primer término del cuadrado contiene la mayor potencia de la base y el último la menor, y por lo tanto no se reducen con los demás términos: los intermedios pueden reducirse con sus contiguos, circunstancia que exige determinar el orden resultante de cada producto, por la combinación de los órdenes de sus respectivos factores, según la regla establecida en el número 44 (1).

(1) Esta anomalía se nota al formar el cuadrado de los números polidígitos, descompuestos en sumandos. Sea \((a + b + c + d)^2\)

\[
\begin{array}{cccc}
a & + & b & + & c & + & d \\
a & + & b & + & c & + & d \\
\hline
a^2 + a\,b + a\,c + a\,d \\
+ a\,b + b^2 + b\,c + b\,d \\
+ a\,c + b\,c + c^2 + c\,d \\
+ a\,d + b\,d + c\,d + d^2 \\
\hline
a^2 + 2ab + \ldots \ldots \ldots \ldots , 2cd + d^2
\end{array}
\]

La simple inspección revela en las columnas 3.ª, 4.ª y 5.ª que los órdenes de algunos de los términos se reducen con los de sus inmediatos.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 71

8.ª Que si la raíz entera de un número deja residuo, aunque el dicho número tenga raíz exacta, no podrá ser ésta expresada exactamente por ningún número entero, fraccionario ni decimal: la raíz es incommensurable y jamás dará fracción decimal periódica.

142. La regla vulgar, cuya exposición corresponde á la Aritmética, procede por secciones, formando de una vez la suma de los productos de los términos intermedios entre cada dos de los que en la fórmula contienen al factor \(2a\), sustrayendo dicha suma del resto anterior.

Así, el cálculo es más difícil y ocasionado á la rectificación y comprobación de las cifras de la raíz; y como cada divisor ha de ser, no precisamente el duplo de la primera cifra de la raíz, sino el de toda la parte hallada de la misma, es preciso practicar separadamente estas operaciones. Pero, sin duda, su mayor inconveniente es que no analiza natural y totalmente la generación del cuadrado y derivación de la raíz, ya que por la convención á que debe su origen limita el análisis al hecho especial del cuadrado de los números compuestos de decenas y unidades, que es uno de los casos parciales de la fórmula general. Esta, en cambio, analiza natural y totalmente el cuadrado y la raíz; constituye una de las más valiosas disciplinas del cálculo matemático (ventaja inapreciable bajo el punto de vista pedagógico), y da la estructura formal á la que se ajusta el variable contenido para la formación de toda potencia y raíz, armonizando, mejor dicho, resolviendo en unidad, las teorías aritméticas y la de las potencias y raíces de los polinomios: otra prueba de cómo los algebristas desdenían á la Aritmética y rehuyen aplicar á ella los resultados de su indagación científica, quizá por temor de que su luz meridiana disipe esa penumbra que tanto realza su misterioso simbolismo ante la consideración de los profanos.

La práctica de los cuatro últimos ejemplos, con su explicación razonada y las observaciones que les siguen, nos dicta la

Regla general para la extracción de la raíz cuadrada.

143. Póngase como primera cifra en la raíz la del mayor cuadrado primario, contenido en la sección superior del número, y réstese de la misma sección el mismo cuadrado primario. A la derecha del resto que resulte, se escribe la cifra siguiente del número, lo que (lo mismo que en la división) se toma como dividendo par-
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 72

cial, y se divide por el duplo de la primera cifra de la raíz: el cociente dará la segunda cifra de la misma.

Se forma el producto de esta segunda cifra por el duplo de la primera, y el cuadrado de la segunda cifra, restando aquél del dividendo parcial y éste del resto resultante, y á la derecha de este resto se bajará la cifra siguiente del número, formando otro dividiendo parcial que, dividido por el duplo de la primera cifra de la raíz, dará como cociente la tercera cifra de la raíz.

Se forman sucesivamente los productos de la tercera cifra de la raíz por el duplo de la primera y por el duplo de la segunda y el cuadrado de la tercera, restando el primero del dividendo parcial y los otros productos de los restos que vayan resultando; y á la derecha del último se bajará la cifra siguiente del número, y estotro dividendo se divide por el duplo de la primera cifra de la raíz, y su cociente dara la cuarta cifra de la misma.

Se forman sucesivamente, y á medida que se obtienen se van restando los productos de la cuarta cifra de la raíz por el duplo de la primera, por el duplo de la segunda, por el duplo de la tercera y de la cuarta por sí misma, ó sea su cuadrado. A la derecha del resto último se baja la cifra siguiente del número, lo que se dividirá por el duplo de la primera cifra de la raíz y dará la quinta cifra de la misma; se formarán cinco productos, etc. ( Nótese que de una división á la siguiente median tantos productos y restas cuantas sean las cifras halladas de la raíz.)

Al comprobar cada cifra de la raíz se han de tener en cuenta las observaciones precedentes.

Raíz cuadrada por aproximación.

145. Leemos en varios autores la siguiente

Regla. Cuando se hayan obtenido por la regla ordinaria más de la mitad de las cifras de la raíz, se hallarán las demás dividiendo el resto del número por el duplo de la raíz hallada, considerada en su valor relativo.

Así resulta, como puede comprobarse, operando del modo que prescribe esta regla, con los anteriores ejemplos, obteniéndose la raíz entera aproximada en menos de una unidad.

Nosotros creemos que este procedimiento puede aplicarse, no sólo cuando el número de cifras halladas en la raíz exceda al de las que falta hallar, sino desde el punto en que sean tantas unas como otras, y que además se determina la raíz total entera del
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 73

número y el residuo si le hubiere, y su demostración, lejos de ser difícil como algún autor dice al excusarla, no exige sino un sencillo razonamiento, análogo al empleado para demostrar la regla general.

Este procedimiento es una de las aplicaciones de la fórmula (núm. 136-2.a) que dimos para determinar la diferencia entre los cuadrados de dos números no consecutivos, pues que la cifra ó cifras que falten para completar la raíz son precisamente la expresión de la diferencia entre los dos números no consecutivos.

Como por el número de secciones se sabe por anticipado el de las cifras que ha de tener su raíz, halladas que sean su mitad por lo menos, se completarán con ceros; y la diferencia entre el cuadrado del número así formado y el que componga la raíz íntegra, mas el residuo si ha de resultar alguno, tiene que ser igual al resto que quedó del número propuesto, después de comprobar la última cifra que se puso en la raíz.

Y pues la diferencia entre los cuadrados de dos números no consecutivos (136-2.a) es igual al duplo del menor multiplicado por el número que expresa la diferencia mas el cuadrado de la misma diferencia, es evidente que si el resto le dividimos por el duplo del número menor (2 a, duplo de la raíz hallada), el cociente entero expresará la diferencia entre el número menor y el mayor.

Al multiplicar el cociente hallado por el divisor se ha formado el producto de la diferencia por el duplo del número menor, y como se sustraen del resto á medida que se comprueban las cifras del cociente, sólo quedará de último resto el cuadrado de la diferencia con el residuo de la raíz entera si el número propuesto no era cuadrado exacto: uno y otro determinados y comprobables, según puede verse aplicando la regla á los ejemplos anteriores.

Aplicaciones de la tabla de cuadrados, cubos y raíces.

Esto nos sugiere un medio muy expedito para extraer la raíz cuadrada, prescindiendo de la regla general, y ateniéndonos á esta última, utilizando á la vez la tabla. Expondremos el procedimiento por medio de ejemplos.

1.º Extraer la raíz cuadrada del número 5387041.

Búsquese en la columna de los cuadrados de la tabla el número 538, que forman las dos primeras secciones del propuesto, ó el que más se le aproxime por defecto, y hallo el 529, cuya raíz es 23, y
La Escuela moderna (Madrid) (1898-09-01 00:00:00), página 74

en este caso 2300, pues que siguen en el número dos secciones á 538.

Restando 529 de 538 se obtiene la diferencia 9, que continuada de las dos secciones, da 97041. Este número se divide por 4600, duplo de 2300, que es la raíz hallada, y el cociente 21 son las dos últimas cifras de la raíz, dejando un residuo de 421; pero como el cuadrado de 21 (cifras obtenidas por la división y que expresan la diferencia entre los números 2300 y 2321) es precisamente 421, que anula el residuo. Luego el número 5387041 es cuadrado perfecto y su raíz exacta 2321.

Práctica.

\[
\sqrt{5387041}; \quad \sqrt{5380000} = 23\ C... 2300
\]
\[
\begin{array}{r}
529 \\
\hline
97041 : 4600... 21 \\
\phantom{0}5041 \\
\phantom{0}441 \\
\text{Residuo....} 441 \\
(21)^2 = 21 \times 21 = 441 \\
\phantom{0}000
\end{array}
\]

2321

Otro ejemplo.
Hallar la raíz cuadrada de 45723284573163.
Dispuesto en secciones, vemos que la raíz tendrá 7 cifras.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
45 72. 32. 84. 57. 31. 63.

Tomemos las dos primeras secciones, y consultada la tabla, hallamos que al cuadrado 4489 corresponde la raíz 67, y restando 4489 de 4572 da 83.

\[
\begin{array}{r}
45.72......................... 6700000 \\
-44\ 89 \\
\hline
\text{Primer resto...} 833284 : 2 \times 6700 = 13400.... 61000 \\
\text{Residuo.....} 15884 \\
-61^2=........ 3721 -
\end{array}
\]

Segundo resto. 12163573163 : \( \left\{ 2 \times 6761000 = \right. \) 889
Residuo....... 128993163
- 899^2 ....... 808201
Raíz...... 6761889
Residuo....... 6386962 menor que el duplo de la raíz.