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puedan realizar lo más delicado y lo más importante de su misión.

La alta inspiración, la honda intencionalidad que el educador necesita para dirigir, en sus relaciones con el educando, aquella acción misteriosa, invisible, delicadísima, que mira, más que al fruto que se intenta obtener, al proceso para su obtención (de lo cual hablé yo durante la conferencia del último día), no pueden venirle al maestro sino del lado de los principios fundamentales por él indagados y hechos por él—valga la expresión—sangre de su sangre y carne de su carne. Pues si el maestro necesita tanto esas raíces, y si no las encuentra hoy generalmente en el libro ni en la cátedra, ó, á lo menos, no las encuentra como es debido y preciso, por motivos circunstanciales de todos conocidos, ¿no habrá razón más que suficiente para aprovechar cuantas ocasiones propicias se presenten, á fin de subsanar tan grave falta y llenar una deficiencia tan grande? Las Conferencias pedagógicas pueden ser por hoy y durante algún tiempo, una preciosa institución supletoria en el sentido de que vengo hablando, y los maestros debemos encontrar en ellas lo que tanta falta nos hace y que no encontramos fácilmente en ningún otro lado.

Otra cosa sería si las Normales y las Inspecciones respondieran á las exigencias crecientes y legítimas de los nuevos tiempos; si se las infundiera nueva y rica savia. Por desgracia, y aunque el Magisterio la pide perseverantemente, los gobiernos siguen en su desidia; y si, según se anuncia, sale pronto el actual de esa apática actitud, estemos seguros de presenciar una nueva desdicha. Se atiende á las personas y se menosprecian las ideas y la institución. En este asunto, no esperemos nada del Gobierno.

Confío en que el Sr. Sardá y yo, que somos bastante afines, lleguemos á un acuerdo; lo deseo vivamente. Yo suelo pasar por poco afecto á los maestros y por detractor del personal. No hago caso de semejantes malévolas especies, porque estoy persuadido de que soy uno de los que más desean y más insistentemente trabajan por la elevación y el engrandecimiento de ese personal. Pero no soy ni seré jamás adulador.
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Y ya que, según anuncian todos los síntomas, la nación pone los ojos en los maestros señalándoles como los principales obreros de la futura y anhelada regeneración patria, no la ofrecamos una legión de topiqueros, sino un inteligente y entendido cuerpo de médicos (1).

Para ello es menester que nos alimentemos de raíces y no de hojarasca.

MANUEL POLO DE LA T. TORIBIO.

(1) Bien se comprende que aquí se habla en sentido figurado, es decir, que se trata de lo que pudiera llamarse topiqueros y médicos pedagógicos. Y ¿qué estudio más interesante podría hacerse respecto del asunto en que se basa tal comparación?

FOTOGRAFÍA DEBAJO DEL AGUA

Leemos en un periódico científico, que M. Louis Boutan ha hecho estudios importantes de fotografía submarina:

• Profundo investigador de las cuestiones zoológicas, habiéndole impresionado mucho la belleza de los puntos de las playas del Mediterráneo que estaba estudiando, se resolvió a hacer los mayores esfuerzos para producir fotográficamente algunas de las escenas que se proponía describir con la pluma.

Los primeros ensayos los hizo a poca profundidad debajo del agua. Pero deseando tomar las imágenes a mayor profundidad, el señor Boutan recurrió a la luz artificial, sirviéndose de un aparato cuya construcción pasamos a describir.

El aparato consiste en un barril, que contiene oxígeno y que lleva una esfera de cristal, donde se coloca una lámpara provista de una mecha impregnada de alcohol. Comprimiendo la pera del extremo del tubo, se echa polvo de magnesio en la llama para producir el relámpago fotográfico. Para hacer funcionar el aparato en las profundidades requeridas el zoólogo fotógrafo ha de vestirse de buzo y bajar a ellas con su tubo de aire. Pontiendo en lugar conveniente la cámara, que sin duda alguna debe ser completamente impermeable, arrima el barril de oxígeno, para actuar con facilidad el obturador y el aparato para el relámpago fotográfico.
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REMITIDO

SOBRE EL "PALIQUE DE PLAYA"

Sr. Director de La Escuela Moderna:

Muy señor mío: En el cuaderno segundo del tomo décimo-quinto de la Revista que V. dirige, se publicó un artículo titulado Palique de playa, en el cual se me ofende tan injusta y desconsideradamente, que me veo obligado á consignar aquí mi pública protesta. Con este fin le remito el presente escrito, cuya publicación en su Revista le suplico, apelando, no tanto al derecho que la vigente ley de imprenta me concede, como á la imparcialidad y rectitud que á V. distinguen. Ruégole, además, que se sirva disponer la inserción de este mi trabajo, en el cuaderno próximo, si es posible, y en lugar análogo al en que se publicó la ofensa. Y como espero que la caballerosidad de V. no permitirá desatender mi súplica, comienzo mi tarea.

A instancias de un amigo mío, que es director de un periódico profesional de Madrid, publiqué un estudio sobre el pronombre se: trabajo que, valga lo que valiere, está inspirado en el, para mí, laudable deseo de contribuir al progreso de los estudios gramaticales. En varios periódicos y en cartas particulares, se me han hecho sobre el asunto muchas preguntas y objeciones que voy gustoso contestando; pues con-
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sidero que estas controversias doctrinales, mantenidas como hasta aquí lo han sido, con carácter absolutamente impersonal y desde la serena y elevada región de las ideas, poco judiciales, antes bien, provechosas pueden ser.

Mas he aquí, que donde menos era de esperar, en las columnas de Revista pedagógica tan mesurada y seria como La Escuela Moderna, aparece un enconado artículo contra mí; en el cual son lo de menos las frases de mal gusto que lo salpican y afean, pues esto, con ser como yo lo considero, impropio de la prensa profesional, es cosa de poco momento, comparado con el tono duro y agresivo, y el carácter exclusivamente personal e injusto que tiene todo el tal escrito, desde el principio hasta el fin.

En él no encontrará el lector nada que lo instruya ni lo eduque. En las ocho largas páginas que ocupa, nada se encuentra que sea oposición de doctrinas, contraste de opiniones, lucha de ideas: todo en él es pelea personal, corajuda inquina.

Y todo ¿por qué? Lo ignoro. El autor de tal escrito dice que no me conoce. Tampoco yo á el lo conozco ni me importa. ¿Para qué? Antes recibí su agravio que supe de su existencia. Sólo sé de mí, que, por deber y también por vocación, estudio con interés cuantas cuestiones se refieren á la Gramática castellana, que es la asignatura cuya explicación tengo á mi cargo, y de ese sujeto, autor del Patique de playa, tampoco tengo más noticia que, so pretexto de criticar mi citado artículo, me ha dirigido toda clase de ataques personales.

De mi artículo poco dice el tal sujeto; únicamente lo menciona en son de burla y con esa charlorrea de la pseudo-crítica que pretende aparecer verbosa, para decir de él que es "la invención de la cuadratura del circulo, del movimiento continuo y de la piedra filosofal: la Catedral de Colonia, los Doce Pares de Francia, la sinfonía Pastoral de Beethoven, la gran fantasía de los Pujos de Pilatos, el Idealismo absoluto de Hegel, la tesis salvadora del mundo, y... ¡qué sé yo cuántas oquedades más!

De las teorías gramaticales que, fundándome en la conexión que á mi juicio existe entre la Psicología y la Gramática,
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sostengo, tampoco escribe nada serio: sólo se le ha ocurrido decir que no entiende gran cosa de lo por él llamado galimatías metafísicos, á los cuales después denomina garambainas, que también declara no entender. Acaso esto sea verdad; pero entonces, ¿para qué habla de lo que no entiende? ¿Para ganar honra, no respetando la ajena? Propio es de la ignorancia burlarse de lo que no comprende. Y como donde falta conocimiento, suele sobrar la malicia, también es cosa corriente que el ignorante de una cosa busque su desquite en hablar mal.

Y así, ese sujeto de las garambainas deja en paz las cuestiones doctrinales que yo trato y á las que él ni siquiera toca, y pone su lengua en mí, para llamarme "rana que aspirando viento pretende superar la corpulencia del buey, refulgente estrella de rabo", y después, por variar, "astro rabudo", y alguna que otra inspiración genial por el estilo.

Y sigue, sigue el tal sujeto cavilando y escribiendo hasta apurar sus dicterios contra mí; y unas veces en crudo, y otras con frases más ó menos capciosas, pregona que soy petulante, inconsiderado, soberbio, vanidoso; que me desbordo por todas las boqueras de mi altivez; que tengo avasalladores anhelos de notoriedad; que hay falta de substancia en mi cerebro; que presumo ser lo que no soy; y, en fin, escribió cuanto su mala voluntad hacia mí dictóle.

Pero, sin duda, no bastaba á la intención de ese sujeto rebajarme como hombre; era también necesario rebajar mi prestigio profesional; y para esto, después de decir con su peculiar estilo que mi profesión es bifurcada, y que soy profesor normalista de Gramática de juego duplo, me niega pericia para desempeñar debidamente mi cargo, deslizando maliciosamente la idea de que no entenderán mis explicaciones "los alumnos y las alumnas, cursantes de primer año, que por Reglamento son las víctimas destinadas al sacrificio"; y más adelante predica mi incompetencia con estas cultas palabras: échale á estudiar gramática.

Pero aún hay más: la malicia es insaciable. Trayendo á cuento sin ton ni son las Conferencias pedagógicas oficiales, celebradas este año en Valencia, el tal sujeto trata de ridi-
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culizar la participación que por haber presidido dichos actos tuve en ellos. Por prescripción reglamentaria, me vi obligado á disertar en las citadas Conferencias; y por esto, porque cumplí mi deber, escribe que estuve en funciones de Juan Palomo; pero ¡ahl! después añade que “únicamente el auxiliar de la práctica se atrevió á gañir: esta boca es mía. Es decir, que para significar que un maestro usó de la palabra, el autor del Palique no ha encontrado más verbo que el cultísimo gañir, que trae á la memoria el aullido de los perros y otros brutos animales.

Ante semejantes maneras, ¿tiene acaso importancia que el consabido sujeto ponga en duda (no sé por qué ni para qué) que yo sea capaz de improvisar discursos? ¡Si no me conoce! Ni ¿qué importa asimismo que se desahogue diciendo que en las referidas Conferencias “sólo pitaron un requinto y un serpentón?

Cada uno habla y escribe lo que sabe y como sabe: el estilo es el hombre. El sujeto del Palique se expresa con las siguientes frases y expresivas interjecciones: “Entretente con el rabo. Yo haré por comprimirme. ¡Ojo! que sordado se escribe con ele. Ahí tenéis á la ptima. ¡Chúpate esa!... ¡Cañamones! ¡Corcio! ¡Futro!. Y otras de esta calaña, para instruir y educar. Mas lo que sobre estos modos de escribir llama fuertemente la atención, es la fina y pulcra agudeza de partir por gala en dos, mediante aprovechados puntos suspensivos, las interjecciones: ¡Cara...coles! ¡Cara...mbal, medio ingenioso de indicar, sin nombrarlos integros, ciertos vocablos rufianescos que se usan en plazuelas, garitos y lupanares.

Y ya en este camino, el sujeto en cuestión se olvida de que escribe para una Revista pedagógica, y lleva á las columnas de ésta símiles de tauromaquia. Me presenta á mí como torero, con trapo rojo citando al bicho, al cual, excusando el trasiego, dice que suelto un monumental golletazo. Y ¿quién es el toro? Pues un respetable maestro que ha discutido conmigo seriamente, y á quien ese del Palique hace representar semejante papel.

Y lo peor es que, bajo la misera cubierta de estos modos de expresión, se oculta una intención, en gran manera reproba-
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ble. Desde este punto de vista, el tal Palique de playa es una continuada y total infracción del octavo mandamiento. Fáltase en él á la verdad por varios modos. En él se afirma que yo trato "con petulancia é inconsideración á todo el mundo," y que "menosprecio á las autoridades clásicas": afirmaciones ambas que no tienen más razón que la malquerencia de quien las hace. También se afirma en dicho escrito que las Conferencias pedagógicas de Valencia fueron "asamblea de maestros sin participación de éstos; que en ellas sólo pitaron un Profesor y un auxiliar (el requinto y el serpentón)," y nada de esto es exacto, con la agravante de que, al hablar así, se falta á sabiendas á la verdad: pues quien tal dice, ha declarado antes haber leído las reseñas que de los referidos actos publicaron los periódicos; y en ellas constan los nombres de los varios maestros que, además de los dos aludidos, hicieron uso de la palabra; y consta asimismo que la concurrencia fué aumentando desde el primer día, hasta llegar, por último, á ser muy considerable. Pero, sin duda, era preciso apelar á estos reprobados medios para preparar la gratuita suposición, ofensiva para los maestros valencianos y para mí, de que "el retraimiento de los referidos maestros en las Conferencias fué debido á delicadeza ó inteligencia entre ellos, en evitación de probable escándalo, sabiendo cómo las gasta el señor." Y pregunto yo: ¿Qué motivo ni razón tiene ese sujeto para hacerme aparecer ante el público como un promovedor de escándalos?

Y basta. Me creí obligado á protestar públicamente de las ofensas que se me han inferido en el tantas veces mencionado artículo, y he cumplido mi obligación.

Por lo demás, la lectura del tal documento no me ha causado el menor daño. Los tiros de los maldicientes no me alcanzan. Cuando percibo que se dirigen á mí, levanto mi corazón; y como la puntería de ellos siempre es baja, nunca llegan á la altura de mi impasibilidad.

Ni siquiera me ha sorprendido tan sañudo como injustificado ataque. De sobra sé que hay gentes á quienes la malicia
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sos, á despecho de la obra unificadora emprendida por la Religión y el Estado. Las réplicas vivas, hasta las faltas de urbanidad con que los irreformables ocultan á menudo la ausencia de razones, no deben impacientarnos ni alterar nuestra serenidad, pues debemos considerar piadosamente que no ha dependido de ellos el profesar tales ó cuales doctrinas, ni está en su mano el reformarlas.

Por punto general, el cerebro sólo es perfectible en la juventud. De aquí la extraordinaria importancia que, en la formación de hombres útiles y de pensadores despreocupados y libres, tiene un buen sistema de educación. Las células nerviosas del joven poseen una gran plasticidad y un gran vigor de crecimiento, y las asociaciones creadas á impulso de la sugerición docente no van precedidas de un proceso, siempre difícil, de demolición de asociaciones anteriores.

S. Ramón y Cajal.

POBLACIÓN EUROPEA

La población de Europa, que era en 1885 de 337.526.700 habitantes, ha ascendido hasta el año 1895, á la cifra de 367.449.500. Su acrecentamiento ha sido, por tanto, en los diez años transcurridos, de 29.922.800 almas, cifra que corresponde á una proporción media anual de 0,88 por ciento.

La población rusa es de las que más aumento han tenido, pues éste ha sido de 12 510.800 habitantes, ó sea 1,46 por ciento, término medio anual.

Alemania ha aumentado en 4.522.000 habitantes, ó sea 0,96 por ciento de aumento anual. Austria, 3.502.200 ó sea 0,92 por ciento. Gran Bretaña, 2.452.400, ó sea 0,66 por ciento. Italia, 1.552.300, ó sea 0,52 por ciento. Turquía, 1.100.000 con la bella proporción de 2,44 por ciento.

En cuanto á Francia, el aumento en dicho período ha sido de 671.000 habitantes equivalentes á 0,17 por ciento de aumento anual, cifra que contrasta muy especialmente con la de Turquía y cuyo significado da bastante que pensar á los estadistas de aquel país.
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hurga de tal suerte, que no descansan si no hablan mal de sus semejantes. En el mundo hay gentes para todo: almas recias y fuertes para resistir el mal, y otras débiles y flacas que lo son, porque roen y muerden, mas no comen. Este mundo moral que los hombres todos fabricamos, tiene también sus cloacas, en que viven y por donde discurren bichos de todas clases, y entre ellos el mísero roedor, que de vez en cuando se sale por el albañal, y después de ir manchando cuanto toca, se vuelve medroso á esconderse en su baja obscuridad y á discurrir por su ciénaga.

Esto sé, y por ello estoy curado de espanto. Así es que ni ese artículo ni otros de su jaez pueden causarme extrañeza. Pero no he de ocultar que me la ha producido, y bien penosa por cierto, ver que semejante escrito haya encontrado acogida en la revista profesional que, á mi juicio, es la mejor que se publica en España. Porque, en verdad, es bien extraño que en un periódico pedagógico, dirigido por el autor de tantos y tan renombrados libros de educación y enseñanza, se haya publicado un trabajo que no tiene una cosa ni otra. Sólo me lo explico, pensando que ese Palique de playa puede acaso haber entrado allí furtivamente; pues al parecer, el tal engendro es obra de algún indocumentado, cuyo nombre, quizá supuesto, no puede identificarse con la correspondiente cédula profesional del título que posee ó cargo que desempeña, según es costumbre seguida por todos los colaboradores de Revista tan acreditada y formal como LA ESCUELA MODERNA.

Para concluir diré que, si no fuera por el recuerdo del lugar en que se publicó, ninguna huella quedaría ya en mí de tal escrito.

Por lo tanto, si V., señor Director, no lo cubre con la garantía de la respetabilidad que V. tan merecidamente goza, proporcionará una completa satisfacción á s. s. s. q. s. m. b.,

ANTONIO CERVERA Y ROYO,
segundo maestro de la Escuela Normal de Valencia
y Director accidental de la misma.

VALENCIA y Septiembre de 1898.
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA

CAPÍTULO XIV

Teoría general del cuadrado y la raíz cuadrada. — Incorrección de la fórmula corriente para expresar la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos (1).

Dicha fórmula se deriva de otra, que es la fundamental de la teoría aritmética de que derivan las reglas prácticas para la extracción de raíces.

134. El cuadrado de la suma indicada de dos números se compone: 1.º, del cuadrado del primer sumando; 2.º, del duplo del primer sumando multiplicado por el segundo, y 3.º, del cuadrado del segundo sumando.

Efectivamente: si representamos el primer sumando por \( a \), y por \( b \) el segundo, será \( (a + b)^2 = (a + b) \times (a + b) \), y practicando la multiplicación indicada, tendremos:

\[
\begin{array}{c}
a + b \\
a + b \\
\hline
a^2 + a \cdot b \\
+ a \cdot b + b^2 \\
\hline
a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{array}
\]

cuyo resultado está conforme con el enunciado de la regla.

135. Cuantos tratados de Aritmética hemos visto, dicen que

(1) Aunque el procedimiento que acabamos de exponer es de aplicación general, susceptible de simplificaciones, y que se reduce a formar sencillas sumas ó sencillas restas, según que se marche en sentido progresivo ó regresivo, resultando mediante su empleo menos graduada la radicación que por logaritmos, pues éstos exigen dividir por 2, no por ello nos creemos dispensados de discutir la teoría general y las reglas usuales, pues no debemos perder de vista que la mayor utilidad de la Matemática consiste en servir de disciplina irremplazable para el desarrollo de la razón.
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«la diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual al duplo del menor de dichos números más uno».

Esto es verdad respecto al cuánto, pero no respecto al modo, y la fórmula la constituye el modo y no el cuánto; porque éste expresa lo particular y concreto (el hecho), en tanto que aquél establece las relaciones generales (la ley, la fórmula).

Propongámonos hallar la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos. Si llamamos \( a \) al menor, el mayor se representará por \( a + 1 \), y según lo demostrado, será:

\[
(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2;
\]

y por consiguiente,

\[
(a + 1)^2 - a^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 - a^2.
\]

Pero como en el segundo miembro \( + a^2 - a^2 \) se destruyen, quedará:

Cuadrados consecutivos \( (a + 1)^2 - a^2 = 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 \). Diferencia de los mismos, igual al duplo del menor multiplicado por 1, más 1 elevado al cuadrado. Esta fórmula es general para todas las diferencias.

Es verdadera fórmula: aquélla es el enunciado de un hecho.

Si el número mayor excede en 4 unidades al menor \( a \), la aplicación de nuestra fórmula dará para la diferencia de sus cuadrados:

\[
(a + 4)^2 - a^2 = 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2.
\]

Y lo mismo en otro caso cualquiera.

Igualmente

\[
(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2; \text{ luego } (a - 1)^2 - a^2 = -2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 \\
(a - 4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2; \text{ luego } (a - 4)^2 - a^2 = -2 \cdot a \cdot 4 + 4^2.
\]

En estos casos la diferencia se expresa con relación al número mayor \( a \), y procede por sustracción, pero puede ser referida al último término, esto es, al cuadrado del segundo sumando, por lo que estas fórmulas podemos enunciarlas así:

136. 1." La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual al duplo del número menor más mayor menos el cuadrado de la unidad.
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2.ª La diferencia entre los dos cuadrados de dos números que no son consecutivos, es igual al duplo del número menor multiplicado por el que exprese cuántas unidades distan entre sí los números propuestos más el cuadrado de las dichas unidades.

La diferencia entre los cuadrados de los números 4 y 9, que distan entre sí cinco unidades, será:
Del cuadrado de 4 al de 9 = 2 . 4 × 5 + 5² = 65.
Del id. de 9 al de 4 = 2 . 9 × 5 - 5² = 65.
De estas fórmulas podría derivarse otro procedimiento para indagar la raíz cuadrada de los números.

137. Es más: si se multiplica la suma indicada de dos números por la diferencia indicada de los mismos, se obtiene para producto la diferencia de los cuadrados de los números propuestos; teorema demostrado así:

\[
(a + b) \times (a - b) = a^2 - b^2
\]

\[
\begin{array}{r}
a + b \\
a - b \\
\hline
a^2 + a b \\
- a b - b^2 \\
\hline
a^2 - a b - a b - b^2
\end{array}
\]

Pero simplificando el producto hallado, suprimiendo los términos \(+ a b - a b\), que se destruyen por ser iguales y de signo contrario, queda \(a^2 - b^2\).

De aquí otra fórmula para el mismo fin, la que puede enunciarse así:

La diferencia entre los cuadrados de dos números enteros no consecutivos, es igual al producto de la suma de estos números por su diferencia.

Si los números son 13 y 8, la diferencia entre sus cuadrados 169 y 64, que es 105, se hallará formando el producto de

\[(13 + 8) \times (13 - 8) = 21 \times 5 = 105 = 13^2 - 8^2.\]

Como se ve, la aplicación de estas fórmulas exige practicar multiplicaciones.