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La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 57

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

Esto supuesto, tendremos (refiriéndonos al anterior ejemplo):
Primera división parcial. 7 C : 2 c.
Invirtiendo el grado del divisor, será 7 C : 2 C,
El cociente en su valor absoluto resulta ser 2.
Invertido el grado del divisor, el valor relativo de la cifra del cociente se obtiene por el producto de los órdenes y será \( C \times C = \) centenas de centenas; esto es, decenas de millar. Efectivamente, \( C : c = D' \), porque \( D' \) (cociente) \( \times c \) (divisor) \( = C \) (dividendo).

Segunda división parcial. 19 D : 2 c.
Invertido el grado del divisor será 19 D : 2 C.
Cociente entero en su valor absoluto resulta 9.
El valor relativo del cociente resulta del producto de los órdenes de los términos, invertido el del divisor, \( D \times C = \) decenas de centenas, ó centenas de decenas; esto es, primarias de mil.

Tercera división parcial. 16 P : 2 c.
Invertido el grado del divisor, será 16 P : 2 C.
Cociente en su valor absoluto 8 (exacto).
Valor relativo \( P \times C = \) primarias de centenas, ó centenas de primarias, que en una u otra forma combinados, da centenas, pues el orden en que se tomen los factores no afecta al producto.
Es oportunidad de llamar la atención hacia una práctica que está fundada en este principio, y en él mismo se halla cumplida demostración. Tal es la regla de la división de fracciones comunes que prescribe el invertir los términos del divisor, y proceder después como en la multiplicación. (Una prueba más de la fecundidad del principio general.)

\[
\text{Es decir, que } \frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2}.
\]

Porque en las fracciones ordinarias ó quebrados es preciso considerar:
1.º Que cada una de las unidades que expresan sus términos constituyen un orden ó grado de su especial numeración.
2.º Que sus dos términos conjuntamente son expresión de un solo y único número, y no de dos, como pudiera creerse, y
3.º Que el quebrado es una razón, una relación á la unidad absoluta (numerador), referida á otra unidad relativo-partitiva (denominador); esto es, todo relativo, pero con relación dupla, múltiplo-partitiva, y de aquí que totalmente se invierta para convertirlo de divisor en factor. Por esto se verifica que cuando los dos términos son iguales, la resultante de su relación
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dupla resuelva en la unidad, que por sí sola constituye el orden primario ó principal de su numeración, á diferencia del que forma la numeración decimal que implica además los primeros nueve números múltiplos.

Conviene insistir mucho para esclarecer estos conceptos generales que son los fundamentos de todos los conocimientos de la ciencia.

EJEMPLO TERCERO PARA LA ACLARACIÓN DEL PRIMER CASO, RELATIVO AL EMPLEO DE CIFRAS COMPLEMENTARIAS EN LA DIVISIÓN

Sea: 1 2 0 0 6 : 2 7 = 3 7 8.

Práctica.

1 0 . 2 . 0 . 6 .
— 8 1
———
2 1 0
— 1 8 9
———
2 1 5
— 2 1 6
———
0 0 0

2 . 7
3 8 2. Cociente con cifras complementarias.
3 7 8, Cociente con cifras naturales.

Explicación y razonamiento.

Primera división parcial. 1 0 2 : 2 7.
Obsérvese que para practicar esta división parcial se comparan 10 Primarias de mil con 2 decenas, y, por lo tanto, el cálculo de la cifra del cociente se efectúa prescindiendo de las cifras inferiores del dividendo y del divisor, siendo regla dividir siempre por la cifra superior del divisor, prescindiendo de las restantes; y tantas cuantas fueren éstas, otras tantas han de considerarse eliminadas de la derecha del dividendo parcial. En el presente caso la primera división parcial será 10 P' : 2 D = 3.

El valor absoluto del cociente ha de representarse por la cifra 3, única que multiplicada por el divisor íntegro 27, da un producto 81, que restado del dividendo parcial completo 102, deja por residuo 21 < 27.
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Siendo las 10 P' superiores en tres grados al orden de la cifra comparada del divisor (2 decenas), el orden de la cifra del cociente tiene que resultar superior en tres grados al primario, esto es, representará centenas.

A la derecha del resto, bájese la siguiente cifra cero del dividendo total y tendremos para la

Segunda división parcial. 210 D ; 27 P ; ó bien, 21 C : 2 D = 7 D.

Empleando el anterior razonamiento se obtiene para cociente entero 7 D, y sustituyendo la cifra 7 por su complementaria (que se cuidará de subrayar) será 3 D. El producto del cociente por el divisor se formará así: \( \mathbf{3} \times 7 = -21 \), á 30 va 9 y de 30 llevo 3; \( \mathbf{3} \times 2 = 6 \) y 3 son 9, á 17 van 8 y llevo 1 que hasta las 2 D del divisor va 1. El producto 189 se restará del 2.º dividendo parcial que deja 21 de residuo, y bajando á su derecha la cifra 6, tendremos para la

Tercera división parcial: 216 P ; 27 P ; ó bien 21, D : 2 D = 8 P.

El razonamiento es análogo á los anteriores: sólo debe notarse que como el orden de la cifra comparada del dividendo D no excede al del divisor que es también decenas, de aquí que el orden de la cifra del cociente tampoco exceda al de la unidad, esto es, que resulten 8 primarias. La cifra 8 será sustituida por su complementaria 2 que se subraya, y el producto se forma según queda explicado. Procediendo así, nunca ocurrirá formar el producto de dos factores simples superiores al 5.

DEL SEGUNDO CASO DE LA DIVISIÓN EMPLEANDO CIFRAS COMPLEMENTARIAS

66. Pasemos á investigar el caso de la división usando cifras complementarias, cuando la cifra del orden superior del divisor es mayor que 5.

En este caso como en el anterior, es sumamente fácil calcular la cifra del cociente cuando la cifra del orden superior de cada dividendo parcial es mayor que la del orden superior del divisor, pues basta comparar aquélla con ésta. La dificultad ocurre cuando por ser mayor la cifra del divisor el dividendo parcial consta de una cifra más que el divisor, y la superior de éste excede al 5. Para estos casos conviene hacer uso de la cifra complementaria correspondiente á la del orden superior del divisor, en la forma que se aclarará por los ejemplos siguientes:

Tomo XIV.—Núm. 1.º
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ÍNDICE

Más sobre regencias de las prácticas normales, por Miguel Pimentel............................................. 150
El programa de la escuela primaria sobre bases científicas y en armonía con las exigencias de la vida social y la cultura, por Zacarías Salinas.......................... 161
Sociabilidad, por María Carbonell Sánchez............. 174
El Feminismo, por María Dolores Torres Nafria....... 178
Un relieve modelo, por R. Torres Campos.............. 195
Un problema de aplicación de los cuadros mágicos, por Juan J. Miguel Jop........................................... 205
Otros tres cuentos del Canónigo Smidth.................. 213
Los intelectuales, por U. González Serrano............. 241
Metodología didáctica general, por Manuel Polo de la T. Toribio.................................................... 245
La impresión de la belleza en la educación, por Ana M. Yon Lampériere............................................. 254
Una escuela superior de señoritas en China, por María Baertschi.................................................. 257
Algunas observaciones acerca del análisis del discurso, por Antonio Rodríguez Gil................................. 262
Excursiones escolares, por E. Bartolomé y Mingo...... 278
La vuelta de las golondrinas, por Alejandro de Tudela 284 y............................................................. 420
Otro problema, por Pedro Arnó de Villafranca........ 307
De la influencia moral de la escuela, por R. Poincaré... 321
Buscando orientación pedagógica, por Gerardo Rodríguez García.................................................. 325
La lectura en la educación popular, por A. Herrera.... 332
El IX Congreso internacional de Higiene y Demografía, por María Carbonell Sánchez.......................... 338
Las Colonias escolares de vacaciones en dicho Congreso. Condiciones higiénicas del libro durante el periodo escolar, por Mercedes Tella y Comis.................. 350
Las fábulas, por E. García Barbarín....................... 355
Cuatro cuentos más del canónigo Smidth............... 360
Estudio acerca del Don Quijote de Cervantes, por P. de Alcántara García.......................................... 370
La primera enseñanza en el Congreso de los Diputados. Manifestaciones del Ministro de Fomento (Sr. Gamazo)............................................................. 401
Las Conferencias pedagógicas en 1898.................... 411
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PRIMER EJEMPLO

39888 : 8 = 4986.

Práctica.

2
3 9 . 8 . 8 . 8 .
— 3 2
o 7 8
— 7 2
o 6 8
— 6 4
o 4 8
— 4 8
o o

4 1 2 1. Cociente con cifras complementarias.
4 9 8 6. Cociente expresado en cifras naturales.

Explicación del procedimiento.

Se dispone la operación como de ordinario, siguiendo la regla vulgar y por ser 3 < 8, se toman las dos primeras cifras 39 para dividendo parcial, y se coloca sobre la superior del dividendo la complementaria 2 de la cifra 8 del divisor. Al producto de la complementaria por la del orden superior del dividendo se agrega la siguiente de éste, y el cociente del resultado se aumenta con el valor de la cifra superior del dividendo, lo que dará la cifra del cociente. Se dirá 2 × 3, 6 y 9 son 17, que contiene una vez al divisor 8. Esta 1 + 3 (superior del dividendo) = 4, que es la cifra del orden superior del cociente. 4 × 8 = 32, que restado de 39 deja 7 para residuo, y bajado el 8, forma 78 para

Segundo dividendo parcial.

Procediendo del mismo modo se dirá:
Complementaria 2 × 7 (cifra superior del dividendo parcial) = 14 y 8 son 22, que contiene 2 veces al divisor. 2 + 7 = 9 para cociente, que se reemplaza por su complementaria 1. Y formando el producto será, 1 × 8 = 8 á 10, van 2 y llevo 1 á 8 van 7. Este producto 72 restado de 78 da 6 de residuo, y bajado el 8 siguiente tendremos 68 para

Tercer dividendo parcial, y diremos:
Complementaria 2 × 6 = 12 y 8 son 20, que contiene dos veces
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 61

al divisor. \(2 + 6 = 8\) para cifra de cociente, que se reemplaza por la complementaria 2, procediendo como en el caso anterior, y obtendremos 48 para

Cuarto dividendo parcial, y diremos:

Complementaria \(2 \times 4 = 8\) y 8 son 16, que contiene dos veces justas al divisor. \(2 + 4 = 6\), cifra del cociente que se reemplaza por su complementaria 4, cuyo producto por el divisor restado del cuarto dividendo parcial no deja residuo, por ser exacta la división.

Fundamento de esta práctica.

Si en el ejemplo precedente sustituyésemos el divisor 8 por el divisor 10, obtendríamos para cociente de cada división parcial la cifra del orden superior de su dividendo respectivo, y de residuo la cifra siguiente. El cociente de un mismo número por 10, tiene que ser menor que por 8, pues que si al dividir por 8 se pone para cociente la cifra superior del dividendo, dará un residuo de dos unidades por cada una de las que represente el valor absoluto de la dicha cifra, cuyo residuo tiene que aumentarse con la cifra siguiente; y como el total de estos residuos puede ser una ó más veces mayor que el divisor, de aquí que se tome para cociente la cifra superior del dividendo, aumentada en tantas unidades como los residuos contengan al divisor. Así, para la primera división parcial 39 : 8, ponemos para cociente la cifra 3, aumentada con el cociente que resulte de la suma de los residuos \(2 \times 3 = 6\) y \(9 = 15\), que es 1, y por lo tanto será \(3 + 1 = 4\), quedando 7 para residuo. Otro tanto puede decirse respecto á las demás divisiones parciales. Claro es que si se pone sobre el dividendo la cifra complementaria de la del divisor, es porque expresa lo que á éste le falta para valer 10.

EJEMPLO SEGUNDO

\(1204 : 86 = 14\).

Práctica.

\[
\begin{array}{r}
2 \\
1204 \\
-86 \\
\hline
0344 \\
-344 \\
\hline
000
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
86 \\
\hline
14
\end{array}
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 62

Procedimiento. \(2 \times 1 = 2\) y \(2 - 4\), que no contiene al divisor; luego se pondrá para cociente la cifra 1, que es la superior del dividendo. \(1 \times 86\) restado de 120, da de residuo 34, y bajando el 4 á su derecha, tendremos 344 para segundo dividendo parcial.

\(2 \times 3 = 6\) y \(4, 10\) y \(4 = 14\), que contiene una vez al divisor y deja 6 de residuo — á la cifra superior del divisor. La cifra del cociente es \(3 + 1 = 4\); su producto por el divisor 344 — al dividendo parcial indica que la división es exacta.

Advertencia. Cuando la segunda cifra del divisor es mayor que el 6, conviene, para facilitar el tanto, disminuir en una unidad la complementaria de su orden superior.

EJEMPLO TERCERO

\[
6566 : 67 = 98.
\]

Práctica.

\[
\begin{array}{r}
6566 \\
-603 \\
\hline
536 \\
-536 \\
\hline
000
\end{array}
\]

12. Cociente con cifras complementarias.

98. Cociente expresado en cifras naturales.

Explicación. Por ser > 6 la segunda cifra 7 del divisor, en vez de 1 complementaria de su primera 6 se pone 3, y diremos: \(6 \times 3 = 18\) y 5 son 23, que contienen tres veces al divisor, \(3 + 6 < 9\) para cociente, que sustituida por su complementaria es 1. 7 \( \times 1 = 7\) á 10 van 3 y llevo 1; \(1 \times 6 = 6\) y 1 son 7 á 7 va 0, y como no llevo nada, de o á 6 van 6. Restando 603 de 656, quedan de residuo 53, y bajando el 6 á su derecha, forman 536 para segundo dividendo parcial.

3 \( \times 5 = 15\) y 3 hacen 18, que contiene tres veces al divisor. La cifra del cociente es \(5 + 3 = 8\), que se reemplaza por su integrante 2. Formado el producto no queda residuo, porque la división es exacta.

Otra advertencia. Si el producto de una cifra del cociente por el divisor resultare mayor que el dividendo parcial de que haya de ser restado, se disminuirá en una unidad la cifra del cociente y volverá á comprobarse. Cuando las segundas y terceras cifras
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 63

del divisor son ocho ó nueve, conviene disminuir en dos unidades la complementaria de la primera, como sucede en el ejemplo siguiente:

527334 : 686 = 769.

Práctica.

2
5 2 7 5 . 3 . 4 . 6 8 6
— 4 8 0 2
0 4 7 3 3
— 4 1 1 6
6 1 7 4
— 6 1 7 4
0 0 0 0

3.11. Cociente con cifras complementarias.
7 6 9. Cociente con cifras naturales.

Cálculo de las cifras del cociente:
1.º 2 × 5 = 10 y 2 hacen 12 : 6 = 2; 2 + 5 = 7 para cociente.
2.º 2 × 4 = 8 y 7 hacen 15 : 6 = 2; 2 + 4 = 6 para cociente.
3.º 2 × 6 = 12 y 1 y 7 = 20 : 6 = 3; 3 + 6 = 9 para cociente,
y queda 2 de residuo que, sumadas con las 4 siguientes, igualan á las 6 que vale la cifra de unidades del divisor.

Como ha podido observarse, en este procedimiento se sigue estrictamente la marcha que prescribe la regla ordinaria de la división, sin más variante que la exigida por el empleo de las cifras complementarias; y si hemos puesto y explicado tantos ejemplos, ha sido con el propósito de hacer familiar la aplicación del principio relativo á la combinación de los órdenes de los términos y su resolución en el del cociente, por ser este conocimiento de gran interés. A la vez queda manifiesta la posibilidad de reducir las tablas de multiplicar á los productos simples de los números dígitos por los factores 2, 3, 4 y 5, y lo mismo en la de dividir.

En los procedimientos que se exponen á continuación, se prescinde por completo de la regla vulgar, del tanteo y comprobación de las cifras del cociente, y se analiza y determina su genuino concepto.

FRANCISCO PIZARRO,
Regente de la Normal de Maestros de Badajoz.

(Continuará.)
Prohibida la reproducción.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 64

TRES CUENTOS DEL CANÓNIGO SMIDTH (1)

I

LOS PÁJAROS

Había un alegre pueblecito, cuyo contorno se hallaba todo poblado de frutales. En primavera los árboles, cubiertos de flores que embalsamaban el aire con sus perfumes suaves, ofrecían una perspectiva encantadora; en otoño, sus ramas aparecían cargadas de manzanas, peras, ciruelas y otras frutas deliciosas.

Multitud de pájaros anidaban en los troncos y ramas de los árboles, llenando el aire con las dulcísimas melodías de sus trinos y gorjeos.

Las personas mayores amonestaban frecuentemente á los niños, diciéndoles:

"Guardaos bien de causar el menor mal á estos lindos y pequeños seres, y no toquéis á sus nidos por temor de desagradar al que dispensa á los lirios del valle su espléndida vestidura y á los pájaros su cotidiano alimento, pues que el amor de Dios hacia nosotros es el que ha dado á las flores sus vistosos colores y delicados perfumes, y á los ruiseñores su canto tan puro y sublime."

(1) Traducidos libremente por nuestro colaborador D. Francisco Pizarro, de la tercera edición de los 190 cuentos. Los que publicamos corresponden, el primero, á la segunda serie, y los otros dos, á la primera. La colección de cuentos de Smith, son, como es sabido, muy á propósito para los niños, por lo que constituyen un excelente libro de lectura para las escuelas.—(N. DE LA D.)
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 65

Sin embargo, algunos malos niños, desatendiendo los sanos consejos de sus maestros y de sus padres, comenzaron á coger y destruir los nidos. Los pájaros se disgustaron, y poco á poco fueron desertando de un país en que tanto se les maltrataba. Ya no se oía ni uno solo de sus cantos en los huertos y praderas, de suerte que el pueblo había quedado triste y silencioso.

No paró en esto el daño: la maldad de aquellos niños aviesos tuvo consecuencias aún más deplorables. Las orugas, que tan dañosas son á la vegetación y que antes los pájaros destruían, se multiplicaron sobremanera, y empezaron á devorar las hojas y las flores. Bien pronto los árboles quedaron desnudos y despojados de ellas como en pleno invierno, y los malos niños que en tanto no ejercitaron tan funestas travesuras, disponían de frutas exquisitas en abundancia, no pudieron en lo sucesivo regalarse siquiera con una manzana.

    A los pajaritos
    por Dios bendecidos,
    respetadles siempre
    sus amados nidos.
    Si no, ¡adiós canciones,
    adiós melodías,
    adiós dulces frutos
    que Dios nos envía!

CUESTIONARIO

¿Cuáles son las principales sustancias de que las aves se alimentan?
¿Cuáles son las aves de rapina y en qué se distinguen?
¿Cuáles son las granívoras?
¿Cuáles las insectívoras?
Enumerar las aves que más especialmente merecen que se las proteja.

II

LA NUEZ

1. Bajo un frondoso nogal que se elevaba cerca de la aldea, dos niños encontraron una nuez.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 66

2. —Es mía—gritó Ignacio—porque soy yo el primero que la ha visto.
3. —No, la nuez es para mí—replicó Bernardo—porque soy yo quien la ha cogido.
4. Y de aquí se empeñó entre los dos una violenta pendencia.
5. —¡Vamos, amigos míos, yo os pondré de acuerdol—les dice otro niño mayor y más fuerte, que se les acercó en aquel momento.
6. En efecto; colocándose entre los dos niños, abrió la nuez, y les dijo:
7. —Esta media cáscara pertenece al que primero vió la nuez y esta otra mitad de cáscara al que la cogió. En cuanto á la almendra, la guardo para mí por los gastos del juicio.
8. Después añadió riendo:—Ved aquí cuál es el fin ordinario de todos los pleitos.

CUESTIONARIO

Ya que han comprendido Vds. la historieta y la provechosa enseñanza que nos da, estudiaremos algo las palabras.
Vaya Luis pronunciando y contando las palabras del párrafo primero. ¿Cuáles de ellas son monosílabas, y por qué? ¿Cuáles son bisílabas, y por qué? ¿Cuál de ellas es la trisílaba?, pues sólo hay una. ¿Cuáles son las polisílabas, y por qué?
¿Por qué la única sílaba de la palabra nuez es diptongo?
¿Por qué la palabra aldea es trisílaba y no forman diptongo las vocales ea?
Continúese en el mismo ó en los días sucesivos el análisis prosódico de los demás párrafos.

III

LAS FLORES MÁS HERMOSAS

Luis se detuvo en su jardín ante un rosal en flor, y dijo á sus hermanas:
—La rosa es la más hermosa de todas las flores.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 67

—La azucena que crece allí en el centro de aquel arriate no es menos bella que la rosa—respondió Carolina.—Considero estas dos flores como las más dignas de admiración de cuantas existen: ninguna otra podría comparárseles.

—Sin embargo—interrumpe la pequeña Anita—guardaos de despreciar las deliciosas violetas, porque son muy lindas y en la primavera pasada eran nuestra delicia.

La madre, que había escuchado la conversación de sus hijos, les dice:

—Estas tres clases de flores que tanto os agradan, son emblemas de tres virtudes sublimes. La humilde violeta azul, es símbolo de la modestia; la azucena, es símbolo de la inocencia; y esta rosa de un encarnado tan brillante, ¿no os parece que os está diciendo que vuestros corazones se inflamen por el amor de Dios y del prójimo, y por todo lo que es bueno y honesto, porque sólo ese amor es la verdadera bondad?

    Bellas flores de la infancia
    son, hijos míos, la piedad,
    la modestia, la inocencia
    y la santa caridad.

CUESTIONARIO

¿Qué dijo Luis á sus hermanas?
¿Cuál flor gustó más á Carolina?
¿Qué dijo Anita de las violetas?
¿De qué virtudes dijo la mamá que eran emblemas la violeta azul, la rosa encarnada, y la blanca azucena?
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 68

EJERCICIOS PRÁCTICOS DE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA

Problemas de Aritmética.

PROBLEMA 1.º Un sujeto prestó cierta suma á interés simple del 5 por 100, y á los dos años recibió capital é intereses, los cuales, colocados en otra especulación al 7 por 100, le produjeron un interés anual de 2926 pesetas. ¿Cuál era la suma prestada?

Solución.

La suma de capital é interés produce 2926 pesetas, luego esta suma será

\[
\frac{100 \times 2926}{7} = 41800 \text{ pesetas}.
\]

La suma primitiva estaba prestada al 5 por 100.
Al cabo del año, 1 peseta de capital producía

\[
1 + 0,05 = 1,05 \text{ pesetas}.
\]

Y en 2 años producía

\[
1 + 0,05 + 0,05 = 1,10 \text{ pesetas}.
\]

Luego el capital primitivo sería

\[
41800 : 1,10 = 38000 \text{ pesetas}.
\]

PROBLEMA 2.º Se quiere hacer de un capital de 47000 pesetas tres particiones, de tal manera que, colocadas la 1.a al 3 por 100, a 2.a al 4 por 100 y la 3.a al 5 por 100, den ganancias iguales. ¿Cuál será cada partición?
La Escuela moderna (Madrid) (1898-01-01 00:00:00), página 69

Solución.

Para tener una peseta de ganancia de un capital colocado al 3 por 100 es menester

\[
\frac{100 \times 1}{3} = 33,33..., ó\ sea\ \frac{1}{3}\ del\ capital.
\]

Para hacer una peseta de ganancia de un capital colocado al 4 por 100 es menester

\[
\frac{100 \times 1}{4} = 25,\ ó\ sea\ \frac{1}{4}\ del\ capital.
\]

Y para tener una peseta al 5 por 100

\[
\frac{100 \times 1}{5} = 20,\ ó\ sea\ \frac{1}{5}\ del\ capital.
\]

Luego bastará dividir 47000 en partes proporcionales á

\[
\frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ y\ \frac{1}{5},\ ó\ sea\ á\ 20,\ 15\ y\ 12,\ y\ será:
\]
\[
\frac{47000}{47} \times 20 = 20000\ pesetas\ al\ 3\ por\ 100.
\]
\[
\frac{47000}{47} \times 15 = 15000\ pesetas\ al\ 4\ por\ 100.
\]
\[
\frac{47000}{47} \times 12 = 12000\ pesetas\ al\ 5\ por\ 100.
\]

Problema 3.º Se compran tres objetos. El 1.º, aumentado en la mitad del precio de los otros dos, ha costado 129 pesetas. El 2.º, aumentando del precio de los otros dos, 151, y el 3.º, en las mismas condiciones, 144 pesetas. ¿Cuánto ha costado cada objeto?

Solución.

La primera condición nos da

\[
x + \frac{y + z}{2} = 129;\ ó\ sea,\ 2x + y + z = 258\ (A).
\]

La segunda condición nos da

\[
y + \frac{x + z}{2} = 151;\ ó\ sea,\ 2y + x + z = 302\ (B).
\]