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Piensa el Dr. Gutiérrez que, aun cuando la ley atribuye únicamente al Consejo Nacional de Educación (1) la dirección técnica de la enseñanza, y, por lo tanto, la facultad de dictar reglamentos y formular programas y horarios, como asimismo la de señalar los métodos y procedimientos que deben seguirse u observarse, es de suma oportunidad, antes de hacer uso de tales facultades, no sólo requerir la opinión del Magisterio, sino convertirle en colaborador de los trabajos del Consejo, suponiendo, y no sin razón, que no es solamente útil y prudente utilizar la práctica y las luces de quienes por obligación deben ser peritos en todo lo que con la ciencia y el arte de educar se relaciona, sino que haciéndolo sale beneficiada la enseñanza, pues es ya sabido que nadie siente tanto entusiasmo, ni despliega tanta energía para conseguir el éxito de una obra, como aquellos que, directa ó indirectamente, han contribuido á darle vida ó á formarla.

Estas ideas, aceptadas por el Consejo Nacional, han sido llevadas al terreno de la práctica, resistiendo con éxito la prueba á que fueron sometidas.

Las autoridades escolares juzgaron hace dos años que era necesario poner los programas vigentes en las escuelas de su dependencia más en armonía con las necesidades de la población y con los principios pedagógicos hoy más en boga, pero no quiso resolver la cuestión sin el concurso de los maestros, por cuyo motivo los reunió en solemne asamblea, preguntándoles si creían llegado el caso de emprender la reforma.

Como resultase afirmativa la contestación de los preguntados, el Consejo nombró, de acuerdo con la asamblea, una comisión para que informase sobre el alcance y el carácter que debía darse á la reforma proyectada.

Los profesores nombrados trabajaron con empeño, consignando el resultado de sus tareas en un luminoso informe

(1) El Consejo Nacional de Educación se compone de un presidente y cuatro vocales. En la actualidad desempeñan estos puestos los Doctores José María Gutiérrez, Julio García Alejo de Nevares, Pedro Granel y E. Péro. El secretario, Sr. Díez Meri, es un antiguo y acreditado maestro.
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que mereció el aplauso del Consejo Nacional, de los maestros y de la prensa pedagógica.

Aquel informe pasó en calidad de antecedente á una nueva comisión, compuesta de inspectores, higienistas y directores de Escuelas Normales y Superiores, la que después de propios estudios y de un concienzudo examen de los que rigen en los Estados más florecientes de Europa y América, formuló el programa que puso en vigor un decreto del Consejo Nacional, fechado á mediados de Enero del corriente año, haciéndolo obligatorio para todas las escuelas de la capital federal y los territorios nacionales.

Este programa, que comprende todas las nociones que son, ó necesarias, ó útiles al individuo para alcanzar un pleno desarrollo físico-intelectual y moral, está redactado en forma cíclica y tiene un carácter eminentemente práctico.

El Consejo no ha variado la línea de conducta que se trazó, de acuerdo con las ideas de su presidente, y ha seguido y sigue solicitando la opinión del cuerpo docente de las escuelas comunes, siempre que se ha intentado establecer alguna reforma ó innovación importante; y los maestros, por su parte, agradecidos á la deferencia de que son objeto, redoblan sus esfuerzos para continuar mereciéndola y para responder dignamente á las esperanzas que en ellos se cifran.

Y todos, subordinados y superiores, maestros, inspectores y consejeros, ofrecen el hermoso espectáculo que siempre presenta un conjunto de corazones agitados por un mismo sentimiento y movidos por el mismo empeño, que en este caso se concreta en una aspiración nobilísima: en conseguir por todos los medios posibles el mejoramiento de la general cultura, para bien del individuo y para colocar á la patria entre las naciones que, en materia de educación, dan á las demás ejemplos que seguir y modelos que imitar.

José María Aubin,
Director de la Escuela superior graduada del 23 distrito de Buenos Aires (Argentina).
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ENSEÑANZA DE LA ARITMÉTICA

Al leer este epígrafe, me figuro que muchos lectores ex- clamarán, volviendo la hoja: "Asunto trillado. Estoy cansado de enseñar esta asignatura. Nada nuevo encontraré aquí."

Sin embargo, a quien eso intente hacer y decir, yo le in- vito á que siga leyendo: quizá encuentre por lo menos algún recuerdo de las dificultades de esa enseñanza, y quizá, mirando alrededor, descubra con nosotros medios más fáciles de marchar adelante.

Que el asunto de que vamos á hablar no es nuevo, ¿quién lo duda? El camino está muy trillado, verdad; pero aquí no se trata del camino en sí mismo, sino de la manera mejor de recorrerlo.

¿Que también sabes esto de sobra? ¿Que has enseñado la Aritmética muchos años y á muchos niños? Lo sé, y sé tam- bién, lector amigo, que la has enseñado con fruto. Pero tam- bién habrás recorrido muchas veces el camino que hay para ir de tu pueblo al inmediato; sólo que unas veces lo habrás hecho á pie, otras á caballo, algunas en coche, tal vez en fe- rrocarril; y ahora, si eres aficionado al modernísimo medio de locomoción, lo recorrerás en bicicleta. ¡Y sabes, por ven- tura, cómo lo podrás recorrer dentro de unos cuantos años?

Luego convengamos en que si la enseñanza de la Aritmé- tica es un asunto viejo, y tú, lector, has trillado el camino de tanto andarle, no es difícil encontrar otros medios de mar- char por él, quizá más fáciles, más seguros y más racionales.

A fuer de buen maestro, no niegues que todo se transfor-
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ma, se modifica y progresá. No te empeñes en creer que todo lo sabes, y nada nuevo puedes aprender. Al contrario, estoy seguro, segurísimo de que inculcarás en tus discípulos las ventajas de la observación y del estudio, sobre todo en la naturaleza y en la industria, para impulsar los adelantos, para descubrir nuevos horizontes, para ensanchar los pequeños límites en que se mueve nuestra inteligencia, para caminar, en fin, por vía más segura y cómoda al cumplimiento de nuestro destino.

Pero ya veo á más de un lector yendo á buscar la firma de este artículo; ya le oigo preguntar: ¡Y eres tú, infeliz, quien nos va á mostrar nuevos caminos, quien nos va á enseñar nuevos medios para la enseñanza de la Aritmética?

No, amigo mío, yo no pretendo enseñarte nada; yo no voy á hacer aquí otra cosa que decir cómo aplico y desenvuelvo algunos de los principios que he aprendido de otros hombres; yo voy, en resumen, á exponer en este artículo algunas ideas sobre la enseñanza de la Aritmética, y algunos medios de que me valgo y se valen otros maestros amigos míos, y quizá muchos que no tengo el gusto de conocer, para vencer una parte de las dificultades con que suele tropezarse en la práctica de esa enseñanza.

Si encuentras en ello algo nuevo, me alegraré; si coincidimos, ó este trabajo te sirve de estímulo para darnos á conocer otros medios más seguros y eficaces, tanto mejor.

Carácter y plan de la enseñanza.

La Aritmética que yo enseño á los niños es la misma, en cuanto á su fondo y extensión, que la que se enseña ó debe enseñarse en nuestras escuelas de párvulos, elementales y superiores. Por esto dije antes que aquí se ha de tratar de la Aritmética en sí misma.

También, siguiendo á los buenos maestros, atiendo más á la parte práctica y de aplicación de esta asignatura, que á su teoría, sobre todo en los comienzos. A mí me importa muy poco que un niño de siete ó ocho años no sepa, por ejemplo, definir la resta ni explicar el modo de verificarla, con tal de
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que practique la operación con toda seguridad y sepa hacer aplicaciones de ella á la resolución de problemas.

Eso no quiere decir que abandone por completo la teoría; ésta tiene su lugar correspondiente en mi programa, cuando lo va requiriendo el adelanto en la enseñanza y lo consiente el desarrollo intelectual del niño. Ninguno termina sus estudios sin conocer ambas cosas: teoría y práctica.

Lo que yo no hago es enseñar la Aritmética siguiendo sólo y exclusivamente el orden lógico con que se expone esta ciencia en los tratados, aun en los destinados á niños. Y no la enseño así porque entiendo que, tratándose de niños, hay que cuidar igualmente del orden lógico y del orden psicológico; ó lo que es lo mismo, sigo el encadenamiento de las verdades de la ciencia, pero elijo y dispongo esas verdades de modo que puedan ser comprendidas y asimiladas por el niño en tiempo y sazón oportunos.

Los preliminares.

Son ya muchísimos los maestros que, con muy buen acuerdo, no ponen el libro de Aritmética en manos de los niños hasta que éstos llevan algún tiempo en la práctica de esta asignatura; pero como todavía hay bastantes que no empiezan ésta sino cuando los niños saben leer, y entonces, con el texto en la mano y siguiendo la marcha que el libro les traza, dan principio á la enseñanza de la Aritmética, no holgarán algunas observaciones antes de entrar de lleno en nuestro objetivo.

La lógica pedirá que en Aritmética, como en otras ciencias, se empiece por la definición. Pero la psicología infantil nos dice sencillamente que eso no puede ser. Y la experiencia acredita que ese trabajo es completamente inútil, se entiende, por supuesto, para los que no se pagan de vana palabrería.

Preguntad, preguntad á cualquier niño así enseñado, qué quiere decir cuando á fuerza de más ó menos repeticiones aprende la tan manoseada como corta frase que figura á la cabeza de casi todas las Aritméticas de niños: "Aritmética es la ciencia de los números"; pedidle explicaciones de tal defi-
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nición, y se os quedará con la boca abierta ó contestará cualquier tontería. Esto lo saben de sobra todos los maestros.

Y no puede suceder otra cosa. Si en la inteligencia infantil no han penetrado todavía los conceptos de ciencia ni de número, ¿cómo entender ni explicarse la tal definición?

Será muy sorprendente y de mucho efecto, en exámenes de espectáculo sobre todo, oír de labios de un parvulito esa y otras muchas definiciones y frases; pero los amantes de la verdad, los maestros que tengan un poco de dignidad profesional, rechazarán esas ridículas farsas, propias sólo para engañar á los incautos y á los necios.

La definición de la Aritmética debe, pues, dejarse para cuando el niño haya aprendido siquiera á formar y expresar algunos números, cuando tenga alguna idea de ellos y cuando vislumbre al menos lo que es una ciencia ó arte. La definición se ha formado y se forma después que la ciencia, cualquiera que ésta sea. Los hombres fueron aprendiendo verdades, reunieron las que estaban enlazadas estrechamente y formaron primero la ciencia, luego la definición.

Cosa parecida cabe decir de las definiciones de "cantidad", "unidad", "número" y clases de éstos, que suelen seguir á continuación en la inmensa mayoría de las Aritméticas destinadas á niños. ¿Por qué empeñarnos en meter en la cabeza del niño la idea general y absoluta antes que la particular y concreta? ¿No estamos todos convencidos de que eso es sencillamente querer ir al revés, caminar contra la naturaleza, proceder en orden contrario al que sigue en su desarrollo la inteligencia del niño?

Cuando al niño se le hayan hecho observar cantidades varias de cosas diversas; cuando hayan penetrado en su inteligencia por medio de oportunos procedimientos las ideas de unidades concretas, y cuando comparando prácticamente aquéllas y éstas haya formado algunos números y haya visto muchas y varias clases de éstos, entonces y sólo entonces se podrá intentar con fruto darle y hacerle aprender las definiciones correspondientes, si no es que ya él las va formando por sí solo y á su manera ó con poca ayuda del maestro, que es lo mejor, más racional y más fecundo.
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Repito que las anteriores consideraciones se dirigen exclusivamente á los pocos maestros que todavía empiezan la enseñanza de la Aritmética en el orden en que se expone en los textos. Las que siguen quizá puedan ser de más general aplicación.

La numeración y las operaciones fundamentales.

Una de las cosas más generalizada en la práctica, es la de empezar la enseñanza de la Aritmética propiamente dicha por dar á conocer la numeración. Esto es lógico, verdad. Pero ya dijimos antes que en Pedagogía hay necesidad de armonizar la lógica con la psicología infantil.

No es posible operar con los números mientras no se conozcan éstos; como no es posible construir una casa, por ejemplo, sin reunir los materiales necesarios. Pero así como estos materiales pueden llevarse de una vez á la obra ó pueden irse llevando á medida que vayan haciendo falta, así los números, necesarios e imprescindibles para las operaciones aritméticas, pueden darse á conocer todos de una vez, ó pueden irse enseñando prudencialmente sólo los que hagan falta, cuando sea conveniente y lo exija el trabajo que se va á ejecutar y la aptitud del niño que los ha de manejar.

Generalmente suele hacerse lo primero en la enseñanza de la Aritmética. Otros maestros, entre los cuales me cuento, hacemos lo segundo.

Los números son infinitos; pero los números que pueden manejar y comprender los niños tienen un límite, variable y creciente de período en período de su vida intelectual.

Un hombre tendrá necesidad de conocer toda la serie de los números, desde el uno al infinito, para cuando tenga que operar con ellos. Los números que necesita conocer un párvulo pueden muy bien reducirse á los cien primeros.

La inteligencia de un hombre podrá concebir el número infinito: la de un niño de cuatro ó cinco años no admite más que diez ó veinte.

Y he aquí por qué algunos maestros, creo que bastantes, no empecemos la enseñanza de la Aritmética dando á cono-
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cer toda la numeración de enteros, sino que se la vamos dando al niño por grados: al principiante, al parvulito, los diez ó veinte primeros; luego hasta el ciento, ó poco más, y así sucesivamente hasta donde se pueda, según la capacidad intelectual del niño en sus diversos períodos de crecimiento.

Conviene aclarar que no se pasa de un grado á otro de la numeración inmediatamente, sino después de haber operado con cada serie, es decir, después de haber enseñado las operaciones de composición y descomposición con los números del grupo de que se trate y hechas las aplicaciones que éstos consientan (1).

Por donde se colige ya, que por lo que respecta á las operaciones, tampoco enseñamos de una vez toda la suma de enteros, toda la resta, multiplicación y división, sino que también aquí se procede por grados ó ciclos. En el primero, los niños suman y restan números comprendidos entre uno y diez; en el segundo, suman, restan, multiplican y dividen números comprendidos entre uno y ciento, y así sucesivamente.

Esa gradación ascendente y circular se observa también en la cantidad y calidad de las operaciones. Así, por ejemplo, las operaciones de multiplicar que verifican en el segundo grupo no apuran todos los casos de la multiplicación, tarea que se reserva para más adelante.

Y esa misma gradación, por fin, se lleva en la enseñanza de los quebrados comunes y decimales, en la de los números complejos, tanto del nuevo como del antiguo sistema, en la resolución de problemas, etc., etc., hasta apurar toda la materia que consiente la índole de la asignatura, según el carácter de la escuela.

En resumen: empleamos en la enseñanza de la Aritmética

(1) Y como en cada grado se da una vuelta completa puesto que se forman números, se practican operaciones de composición y descomposición y se aplican á resolver problemas, puede muy bien darse á cada uno de esos grados la denominación de circulo ó ciclo, y á la enseñanza así suministrada llamarla enseñanza cíclica. Tampoco hay inconveniente en que cada ciclo ó grado de la asignatura se destine á cada una de las secciones en que suelen dividirse los niños de la escuela: el primer grado ó inferior, para la primera sección, y así sucesivamente.
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lo que podemos llamar, si se nos permite, el método circular o cíclico (1).

Las ventajas de este método, para toda la enseñanza en general, las hemos expuesto con detención en otro trabajo nuestro (2). Pero no está demás resumir aquí las principales que se obtienen y son aplicables á la Aritmética:

a) No se pierde el tiempo inútilmente, puesto que sólo se enseña al niño en cada período de su vida, y en cada momento, lo que buenamente puede comprender y admitir.

b) Hay repetición frecuente y ordenada.

c) El niño ve siempre la utilidad y las explicaciones de lo que aprende, y en cualquier momento que abandone la escuela puede llevarse algo práctico y provechoso.

Los métodos ordinarios se diferencian del método cíclico en que los primeros pretenden llegar á la meta caminando en línea recta desde el pie de la montaña hasta la cima, y el segundo asciende dando vueltas, faldeando. Con los primeros sólo llegará el que tenga energía y resistencia, los demás quedarán á la mitad del camino. Usando el método cíclico, es seguro que se domina la altura por todos, fuertes y débiles; unos tardarán más, otros menos, pero todos llegarán á la meta. Con los métodos antiguos todos llegan fatigados; con el método cíclico, la ascensión es más cómoda y menos molesta.

El sistema métrico.

Es costumbre muy generalizada en nuestras escuelas enseñar el sistema métrico legal de pesas, medidas y monedas con separación de la Aritmética y después que los niños han aprendido las cuatro reglas de enteros y decimales.

(1) Algunos maestros no quieren elevar á la categoría de método esta manera á orden de enseñar y lo denominan procedimiento cíclico. Nosotros, aunque nos fijamos poco en la cuestión de nombres, nos decidimos á llamarlo método, entre otras razones, por la siguiente: si se admite, como está admitido, que hay programa cíclico, y el programa es la expresión más genuina y completa del método, ¿por qué no admitir que existe el método cíclico?

(2) La Enseñanza cíclica. Madrid, 1874. Una monografía de 62 páginas, que lleva al final un programa cíclico de Gramática.
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quier órgano tiene la propiedad de acelerar la circulación de la sangre. Esta aceleración es tanto mayor cuanto más enérgica es la función de los órganos; y como á medida que aumenta la celeridad sanguínea crece el estímulo de los centros respiratorios, las inspiraciones y expiraciones se hacen más profundas y más rápidas. Este hecho presupone el aumento de la acción de los músculos que intervienen en el acto de respirar; esto es, de los músculos torácicos superiores en la mujer adulta de los centros civilizados, y del diafragma ó de los músculos costales inferiores en la mujer adulta de los pueblos salvajes, en el hombre y en los niños de ambos sexos, puesto que sin ella no podría ejecutarse esta función esencialísima de vida.

Se ha observado que la inspiración aviva la diástole de las aurículas del corazón y obsta algo á la sistole de las aurículas y de los ventrículos; y que, al contrario, la expiración aviva las sistoles y detiene algo las diástoles. De ahí que, si se exagera la inspiración ó la expiración, pueda producirse la paralización cardíaca.

El aumento de la respiración produce el efecto de acrecer la cantidad de oxígeno que el aire exterior proporciona á la sangre, y de facilitar la exhalación del ácido carbónico (anhídrido carbónico) y del vapor de agua procedentes de los órganos activos. Dado el papel que la sangre arterial desempeña en la nutrición, fluye la consecuencia de que el desarrollo de las funciones respiratorias favorece la nutrición y el desenvolvimiento del organismo. Pero como estos efectos tienen como con causa principalísima la acción intermitente de los órganos, sean musculares ó nerviosos, es incuestionable que la riqueza de la sangre será ó no será bien aprovechada por la economía, ó por tal ó cual parte de la economía, según sea el grado de su actividad.

Por último: se sabe que algunas funciones se ejercen sólo involuntariamente; que otras se ejercen ó pueden ejercerse voluntariamente; y que, voluntarias, reflejas ó automáticas, todas están bajo el imperio directo ó indirecto de la voluntad, como este poder está sometido á las deliberaciones de la inteligencia. Las personas mueven las extremidades ó hablan
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Si en los tiempos en que empezó á implantarse el nuevo sistema tuvo aquéllo alguna razón de ser para divulgarlo con más rapidez y más sistemáticamente, ó siquiera para imitar lo que se hacía con el antiguo, hoy no hay ninguna para establecer separación entre lo que puede y debe estar unido.

La enseñanza del sistema métrico decimal comprende el conocimiento de las unidades principales, el de sus múltiplos y divisores, las operaciones que con todas ellas se pueden ejecutar y las aplicaciones á las prácticas del comercio, industria, etc., etc.

Ahora bien; ¿qué diferencia hay entre las unidades principales de ese sistema y las demás unidades para la medida de cualquiera clase de cantidades? Ninguna. Tan unidades son unas como otras. Tan unidad es el metro ó el litro, como un árbol, una naranja ó un pliego de papel. ¿Por qué, pues, no enseñarlas al mismo tiempo al empezar el aprendizaje de la Aritmética?

Los múltiplos y divisores del nuevo sistema métrico obedecen, en su formación, á la misma ley que las unidades de diverso orden del sistema de numeración décuplo ó decimal (y por eso se llama sistema métrico decimal). Diez unidades componen una decena, y con diez metros se forma un decímetro. La unidad se divide en diez décimas, y el metro se divide en diez decímetros. Los nombres varían algo, pero el fondo es el mismo. Luego no sólo no hay inconveniente, sino que es lógico enseñar esta parte del sistema métrico, la de los múltiplos, al mismo tiempo que la numeración de enteros, y los divisores cuando se den á conocer los decimales, pero procediendo con la gradación indicada anteriormente y ajustándose á ella, por supuesto.

A nosotros nos proporciona esto, entre otras ventajas, la de aclarar y afianzar el conocimiento de los diversos órdenes de unidades de la numeración de tal modo, que tenemos la completa seguridad de que los niños saben lo que dicen y lo que hacen cuando hablan y operan con centenas, millares, etc.

Creo inútil detenerme á exponer que las operaciones de sumar, restar, etc., números métricodecimales y sus aplicaciones, se pueden enseñar 'y yo las enseño', al mismo tiempo