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UN PROBLEMA

APLICACIÓN DE LOS CUADROS MÁGICOS

El Sr. Arnó de Villafranca, en el cuaderno de La Escuela Moderna correspondiente al mes de Mayo de 1895, tomo VIII, propone, al final de su artículo Los cuadros mágicos, un problema, del que ofrezco una solución á los ilustrados lectores de esta Revista, no con el prurito de parecer docto, sino con el fin de que personas más ilustradas corrijan las equivocaciones que en esta solución pueda haber.

Trataré de hacer un breve extracto del enunciado del problema dicho.

Después de varias consideraciones, inserta el Sr. Arnó los siguientes datos del problema en cuestión:

*El ejército peninsular consta de 126.000 hombres de las tres armas; la infantería es doble de la artillería y la caballería es la mitad de ésta.

El total de los 126.000 hombres debe distribuirse de tal manera, que las cuatro fronteras presenten igual resistencia, teniendo cada una su centro, su ala derecha y su ala izquierda, enlazadas de tal manera, que el ala derecha de una frontera sirva de ala izquierda á la adyacente.

Habrá otro cuerpo de ejército situado en el centro para las necesidades que puedan ocurrir. El total de fuerzas que pueda reunirse en cualquiera dirección ha de ser siempre el mismo.

La fuerza de cada arma debe dividirse en nueve fracciones desiguales, diferenciándose unas de otras, las de caballería, en 200 hombres; las de artillería, en 500, y las de infantería, en 1.000.

Con estos datos debe determinarse: 1.º La fuerza total de las tres armas que presentará cada frontera y cada línea transversal. 2.º La fuerza de cada una de las tres armas en cada una de dichas
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líneas. 3.º El número de hombres de cada una de las nueve fracciones en que debe dividirse la fuerza de cada instituto. 4.º Las diferentes soluciones que en su colocación pueden presentar los cuerpos de cada una de las tres armas, para escoger en cada caso la que mejor se adapte á las circunstancias; y 5.º El número total de soluciones que resultarán combinando las obtenidas para cada una de las tres armas.»

**

Procuraré resolverlo, razonándolo al mismo tiempo,
Determinemos, ante todo, los hombres que corresponden á cada uno de los tres institutos. Sabiendo que el total de las tres armas es de 126.000 hombres y que la infantería es doble de la artillería y la caballería la mitad de ésta, representando \( x \) el número de hombres correspondientes á la artillería, los correspondientes á la infantería serán \( 2\,x \), y los de caballería \( \frac{x}{2} \), tendremos la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita:

\[
x + 2\,x + \frac{x}{2} = 126000,
\]

que resolviéndola, nos dará \( x = 36000 \); \( 2\,x = 72000 \), y \( \frac{x}{2} = 18000 \), ó lo que es lo mismo, pertenecen á caballería 18.000 hombres; 36.000 á artillería, y 72.000 á infantería.

Tomando ahora los 18.000 hombres del arma de caballería, los hemos de repartir en nueve cuerpos desiguales, de modo que el primer cuerpo se diferencie del segundo, éste del tercero, y así sucesivamente en 200 hombres, ó lo que es igual, los 18.000 hombres representan la suma de los nueve términos de una progresión aritmética cuya razón diferencial es 200. Si representamos por \( x \) el primer término de esta progresión, el segundo será \( x + 200 \); el tercero, \( x + 200 + 200 \), ó sea, \( x + 400 \); el cuarto, \( x + 600 \); el quinto, \( x + 800 \); el sexto, \( x + 1000 \); el séptimo, \( x + 1200 \); el octavo, \( x + 1400 \), y el noveno, \( x + 1600 \), y la suma de todos ellos igual á 18.000. Planteando la ecuación que resulta de la suma de estas cantidades, y resolviéndola luego, tendremos:

\[
x = 1200
\]

que es el primer término de la progresión. Añadiendo á este pri-
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mer término la razón diferencial, nos resultará el segundo, y repitiendo lo mismo sucesivamente, resultarán los siete términos restantes de dicha progresión, que será:

\( \div 1.200. 1.400. 1.600. 1.800. 2.000. 2.200. 2.400. 2.600. 2.800. \)

y como que «con toda progresión aritmética, compuesta de nueve términos, puede formarse un cuadro mágico, bastando para ello descomponer todos los términos de la misma, de manera que aparezca en la serie el módulo con sus modificaciones»;

Dividiendo cada término de la progresión por la razón diferencial 200, se descompondrá cada uno en dos factores, uno variable y otro constante. Descomponiendo luego el factor variable en dos sumandos, uno variable y otro constante, de tal modo que la serie de los variables forme el módulo, la progresión anterior se transformará de la manera siguiente:

\( \div (1 + 5) 200. (2 + 5) 200. (3 + 5) 200. (4 + 5) 200. (5 + 5) 200. \)
\( (6 + 5) 200. (7 + 5) 200. (8 + 5) 200. (9 + 5) 200. \)

que combinándolos, nos darán las ocho soluciones siguientes:
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 48

CABALLERIA

    1400	2400	2100	2200	1200	2600

    2800	2000	1200	2400	2000	1600

    1800	1600	2600	1400	2800	1800

    2600	1600	1800	1800	2800	1400

    1200	2000	2800	1600	2000	2400

    2200	2400	1400	2000	1200	2200

    2200	2400	1400	1400	2800	1800

    1200	2000	2800	2400	2000	1600

    2600	1600	1800	2200	1200	2600

    1800	1600	2600	2600	1200	2200

    2800	2000	1200	1600	2000	2400

    1400	2400	2200	1800	2800	1400

Tomando los 36.000 hombres del arma de artillería, por un razonamiento análogo al anterior nos resultará la progresión:

\( \div 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000, 5500, 6000. \)
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 49

que se convertirá, por las operaciones indicadas en el anterior razonamiento, en

\( \div (1 + 3) 500. (2 + 3) 500. (3 + 3) 500. (4 + 3) 5000. \)

\( (5 + 3) 500. (6 + 3) 500. (7 + 3) 500. (8 + 3) 500. (9 + 3) 500; \)

y combinando los términos de esta progresión, como lo hicimos con los de la anterior, tendremos las siguientes soluciones:

ARTILLERÍA

    2500
    5000
    4500
    4500
    2000
    5500

    6000
    4000
    2500
    5000
    4000
    3000

    3500
    3000
    5500
    2500
    6000
    3500

    5500
    3000
    3500
    3300
    6000
    2500

    2000
    4000
    6000
    3000
    4000
    5000

    4500
    5000
    2500
    5500
    2000
    4500

    4500
    5000
    2500
    2500
    6000
    3500

    2000
    4000
    6000
    5000
    4000
    3000

    5500
    3000
    3500
    4500
    2000
    5500

    3500
    3000
    5500
    5500
    2000
    4500

    6000
    4000
    2500
    3000
    4000
    5000

    2500
    5000
    4500
    3500
    6000
    2500
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como la de los primitivos habitantes de este suelo, sino que entra en la vida social de una nación que ha llegado á un grado superior de cultura, formada poco á poco en el transcurso de los años por la moral y buenas costumbres, religión, derecho y ley, ciencia y arte, industria, comercio, etc. Cultura es algo más elevado que vida social. En sociedad, y hasta en una especie de Estado, vivían también muchas tribus indígenas de América; pero carecían de verdadera cultura. De los beneficios de ésta disfrutan sólo los pueblos civilizados. Por cultura—concepto de lato significado, y, por consiguiente, difícil de definir—se entiende el desarrollo ó progreso del género humano por medio del cultivo del espíritu, el dominio de la naturaleza por el espíritu humano. La cultura del suelo es su mejora y ennoblecimiento. La cultura humana es la perfección y ennoblecimiento de nuestro género, desde el punto de vista moral, intelectual y estético.

El árbol de la cultura se divide en tres ramas: primera rama, moral religiosa, á que pertenecen la moral y buenas costumbres, religión, derecho y ley; segunda rama, intelectual técnica, que comprende la ciencia, política, economía, etc.; y tercera rama, estética, formada por el arte. División del trabajo, formación de distintas clases sociales y profesiones, facilidad de comunicaciones por ferrocarriles, correos, telégrafos, etc., son productos de la cultura.

La vida de cultura debe procurar al hombre un bienestar superior, pero sin apartarse del camino del 'progreso moral', porque la educación moral es la base de toda la cultura de un pueblo; ni tampoco cambiarse en refinamiento ó monstruosidad, que conducen presto á la degeneración y á la ruina, como lo atestigua la Historia, testigo de todos los tiempos y edades, de los griegos, romanos y otros pueblos de la antigüedad.

A fin de que las escuelas llenen debidamente su misión, es necesario que den á sus discípulos, en la esfera de lo posible, nociones sobre nuestra vida de cultura, y les capaciten para que una vez tomen parte en ella con éxito y puedan merecer lo que corresponde á cada hombre en los beneficios de la cultura.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 50

Verificando, con los 72.000 hombres de infantería las mismas operaciones que con los que preceden hemos hecho, hallaremos que los términos de la progresión serán:

\( \div 4000 . 5000 . 6000 . 7000 . 8000 . 9000 . 10000 . 11000 . 12000, \)

que se convierten en los siguientes, por las operaciones sucesivas:

\( \div (1 + 3) 1000. (2 + 3) 1000. (3 + 3) 1000. (4 + 3) 1000. (5 + 3) 1000. \)
\( (6 + 3) 1000. (7 + 3) 1000. (8 + 3) 1000. (9 + 3) 1000, \)

que combinados como los de la caballería y artillería, dan lugar á las ocho soluciones siguientes:
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 51

INFANTERÍA

    5000
    10000
    9000
    9000
    4000
    11000

    12000
    8000
    4000
    10000
    8000
    6000

    7000
    6000
    11000
    5000
    12000
    7000

    11000
    6000
    7000
    7000
    12000
    5000

    4000
    8000
    2000
    6000
    8000
    10000

    9000
    10000
    5000
    11000
    4000
    9000

    7000
    6000
    11000
    11000
    4000
    9000

    12000
    8000
    4000
    6000
    8000
    10000

    5000
    10000
    9000
    7000
    12000
    5000

    9000
    10000
    5000
    5000
    12000
    7000

    4000
    8000
    12000
    10000
    8000
    6000

    11000
    6000
    7000
    9000
    4000
    11000

Combinando la primera solución de las obtenidas para la caballería con todas las demás de la artillería e infantería; luego la segunda de las de la caballería con todas las demás de las otras armas; luego la tercera, y así sucesivamente hasta llegar á la última, obtendríamos quinientas doce soluciones diferentes.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 52

RESUMEN

1.º La fuerza total de las tres armas que cada frontera y cada línea transversal presentará es de 42,000 hombres,
2.º La fuerza de cada una de las tres armas en cada una de las citadas líneas será como sigue:

    Caballería............. 6000 hombres
    Artillería............. 12000
    Infantería............. 24000

3.º El número de hombres de cada una de las nueve fracciones en que debe dividirse cada Instituto, es:

la caballería, 1200—1400—1600—1800—2000—2200—2400—2600
    y 2800 hombres respectivamente;
la artillería, 2000—2500—3000—3500—4000—4500—5000—5500
    y 6000 respectivamente;
la infantería, 4000—5000—6000—7000—8000—9000—10000—
    11000 y 12000 respectivamente.

4.º En su colocación pueden presentar, los nueve cuerpos de cada arma, ocho soluciones distintas.
Y 5.º El número total de soluciones que se obtienen combinando las obtenidas para cada arma son, como hemos dicho, quinientas doce.
    Termino mi tarea pidiendo á los benévolos lectores perdonen haya cansado su atención con este desaliñado trabajo.

JUAN J. MIGUEL JOP.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 53

OTROS TRES CUENTOS DEL CANÓNIGO SMIDTH (1)

I

El país afortunado.

Un padre y una madre vivían con sus dos hijos en una isla desierta, perdida en medio del Océano, y á la cual fueron arrojados en un naufragio. Su alimento consistía en hierbas y raíces; apagaban la sed en una fuente, y una caverna les servía de vivienda. Frecuentes tormentas y tempestades terribles descargaban sobre esta isla solitaria.

Los niños no sabían cómo llegaron allí, ni tenían el menor recuerdo de la tierra firme en que habían nacido. El pan, la leche, las frutas y tantos otros manjares agradables al gusto, eran para ellos cosas completamente desconocidas.

Ciento día una barquilla, tripulada por cuatro negros, atracó á la isla. Los padres se regocijaron mucho, pues creyeron que había llegado el momento de su libertad. Desgraciadamente, la barca era demasiado pequeña para transportar toda la familia, por lo que el padre se decidió á ser el primero en emprender el viaje.

La madre y los niños lloraron amargamente cuando le vie-

(1) Traducidos libremente por nuestro colaborador D. Francisco Pizarro, de la tercera edición de los 190 cuentos. En el número del mes de Enero último publicamos los tres cuyos títulos son: Los pájaros, La nuez y Las flores más hermosas. Conviene recordar á los maestros que los cuentos de Smidth son muy á propósito para los niños, por lo que su lectura es muy apropiada para las escuelas; al intento de que los utilicen nuestros subscriptores en tal concepto, los insertamos en las páginas de LA ESCUELA MODERNA.-(N. de la D.)
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ron entrar en la frágil embarcación, y que los cuatro negros se disponían á llevarsele. Mas él les dijo:
—No lloréis. La felicidad está allí donde voy, y bien pronto iréis todos á reuniros conmigo.
Cuando la barquilla regresó otra vez y se llevó á la madre, los hijos derramaban lágrimas aún más amargas. Pero la madre les dijo:
—No lloréis, pues nos volveremos á ver todos en un país mejor.
En fin, la barquilla volvió por tercera vez á buscar á los hijos. Éstos tuvieron mucho miedo de los hombres negros, y temblaban de espanto al verse flotar en el inmenso mar que tenían que atravesar. El terror les acompañó durante todo el viaje y les duraba todavía cuando se aproximaron á la tierra firme.
Mas ¡cuál no fué su alegría cuando acudieron sus padres á la playa, y tendiéndoles los brazos, les condujeron á la sombra de hermosas palmeras, y sobre el césped florido les regalaron con miel, leche y frutas esquisitas de toda especie!
—¡Oh! qué infundado era nuestro temor, decían los niños. En vez de tener miedo, debimos alegramos cuando los negros fueron por nosotros para conducirnos á este país, mucho mejor que nuestra isla salvaje.
—Queridos hijos—repuso el padre—nuestra travesía desde la isla desierta en que estábamos á este precioso país en que ahora nos hallamos, tiene para nosotros una significación de la mayor importancia. Tenemos que hacer todos un viaje más largo á un país incomparablemente más hermoso. Todo el mundo que habitamos es sometido á una isla. Este país magnífico que ocupamos es una pálida imagen del cielo, y el tránsito que hicimos por la mar tempestuosa es como el de la muerte. La barquilla en que nos trajeron, como el féretro en que seremos llevados un día por cuatro hombres vestidos de negro. Así, pues, cuando llegue la hora en que vuestra madre, vosotros ó yo tengamos que dejar este mundo, no tengáis miedo. Para los hombres buenos y piadosos que han amado á Dios y se han mostrado sometidos á su voluntad santa, e tránsito no es otra cosa que un viaje á un país venturoso.
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Si somos buenos en esta isla del mundo,
La muerte, niños, no debe ser temida;
Es el tránsito del Océano profundo
Por donde Dios nos conduce á mejor vida.

II

El país de las gentes razonables.

En un país, situado muy lejos, pero muy lejos de aquí, dos aldeanos se presentaron un día ante el juez. El uno habló en estos términos:
—Yo he comprado un pedazo de tierra á mi vecino que está presente. Al cavarla, me he encontrado en ella un tesoro, y en buena conciencia no puedo apropiármele, porque no he comprado más que la tierra, y no tengo derecho al tesoro.
El otro replicó:
—En buena conciencia yo no tengo mejor derecho á esa plata y á ese oro; porque yo no he sido quien los enterró en el campo, y, por consiguiente, no me pertenecen. Además, yo vendí á mi vecino no solamente el suelo, sino también todo lo que en él se hallaba, por cuanto no hice ninguna reserva para mí.
—Ahora—dijeron los dos á la vez al juez—decida su señoría en justicia á quién corresponde el tesoro.
El juez les respondió:
—Tengo entendido que el hijo de uno de Vds. quiere casarse con la hija del otro. Pues bien; dad el tesoro á los hijos y que les sirva de dote.
Aquellos hombres honrados prometieron hacerlo así, y se volvieron tan contentos á sus casas.

* * *

Un extranjero que presenció este juicio quedó admirado.
—En mi país, decía él, habrían pasado las cosas muy diferentemente.
El comprador no habría tenido la idea de dar al vendedor
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 56

un solo céntimo de ese rico hallazgo, y por esta razón hubiera guardado el mayor secreto acerca de su descubrimiento. Y si á pesar de esto hubiese trascendido, el otro habría llevado la queja ante la justicia, reclamando el oro y la plata. Pero el pleito que con tal motivo se originase habría probablemente costado más de lo que podía valer todo el tesoro.

El juez, admirado por semejante lenguaje, preguntó al extranjero:
—El sol, ¿brilla en vuestro país?
—Ciertamente—respondió el otro.
—¿Y llueve allí?
—Sin duda—replicó el hombre.
—Eso es sorprendente—exclamó el juez.—¿Pero hay acaso también en donde V. vive vacas y ovejas?
—Hay muchas—repuso el desconocido.
—Ahora ya lo comprendo—dijo el juez sonriendo.—Para esos inocentes animales, sin duda, es para quien Dios hace brillar el sol y descender en aquel país la lluvia. Porque á la verdad, Vds. no merecen que les dispense tales beneficios.

III

El saco de tierra.

Un hombre rico y poderoso, deseando ensanchar su jardín, usurpó á una pobre viuda, vecina suya, una parcela de tierra que era cuanto poseía. A la mañana siguiente, y en ocasión en que el opulento señor recorría el terreno de que tan injustamente se había apoderado, se le apareció la desgraciada mujer, llevando en la mano un saco vacío, y con lágrimas en los ojos le dijo:
—Yo os suplico, señor, que me dejéis tomar de mi patrimonio solamente tanta tierra como pueda contener este saco.
El rico se echó á reir y la dijo:
—Yo no puedo rehusaros esa petición, por extraña que me parezca.
La viuda comenzó inmediatamente á echar tierra dentro del saco que llevaba; y cuando lo hubo llenado, dijo al señor:
La Escuela moderna (Madrid) (1898-03-01 00:00:00), página 57

—Aún me resta otra gracia que pediros; y es que tengáis la bondad de ayudarme á cargar este saco sobre mis espaldas.

El rico, que ningún deseo tenía de tomarse aquella molestia, rehusó con aire de mal humor ayudar á la pobre mujer. Sin embargo, ella no dejaba de suplicarle. Al fin cedió á sus instancias. Pero como no estaba habituado al trabajo ni á la fatiga, ensayó en vano levantar el saco.

—Me es imposible—dijo—levantar este saco, porque es muy pesado.

Entonces la viuda le dice con tono solemne:
—Señor, si un solo saco de tierra es demasiado peso para vuestras fuerzas, ¿cómo habéis podido pensar en cargar vuestra conciencia para toda la eternidad, con todo este campo, que millares de estos sacos no podrían contener?

Espantado por estas palabras, el usurpador se apresuró á restituir el campo á la pobre viuda.

EL NEGRO PREDICADOR

Cartas de Columbia, Estado de Carolina del Sur, dan cuenta de los maravillosos sermones predicados por un negro, que carece completamente de instrucción.

Lo más raro del caso es que Perry, el negro en cuestión, ha por completo echado por tierra la costumbre de todos los oradores hasta aquí conocidos; sólo predica cuando está acostado y dormido.

Todas las noches se reúne la congregación, Perry se acuesta en presencia de toda la audiencia y pronto se queda dormido. Pasan algunos minutos, su cuerpo empieza á hacer extrañas contorsiones y todos sus músculos parecen agitarse de una manera horrible. Por fin se pasan los espasmos y comienza á predicar en estilo correcto y elegante, haciendo citas precisas de la Biblia y de otros libros, después canta espléndidos himnos religiosos, al parecer, compuestos por él, hace una oración y despide á los congregados.

Todas las noches se repite la misma función, pero con sermones diferentes, excepto los viernes, en que Perry está mudo, y por consecuencia se ve obligado á suprimir el sermón.

Cuando el negro se despierta se convierte en el hombre más ignorante que pueda darse. Todo esto está muy bien; pero lo malo será que como Perry tiene que estar acostado en una cama para predicar, es probable que sea otro quien hable por él.
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dendo y divisor sean multiplicados ó divididos por un mismo número; si utilizamos esta propiedad, la preparación queda reducida á investigar por qué factor dígito conviene multiplicar el divisor para obtener un producto igual á la unidad superior, ó que se aproxime á ella lo más posible sin excederla.

Hallado el factor se multiplicarán por el dividendo y divisor, y á los productos resultantes se aplica el procedimiento que la regla prescribe, y se obtendrá el cociente.

Concretándonos, en obsequio á la sencillez y brevedad, á los divisores expresados por decenas y unidades (porque los mismos principios y reglas son aplicables á todos los órdenes), tendremos que los únicos divisores enteros que por vía de multiplicación pueden igualarse á la centena son: 50, 25 y 20; esto es, las partes alicuotas mitad, cuarta y quinta parte. Además tenemos la 8.a parte 12,5; la 16 parte, 6,25; la 32 parte, 3,125, etc., fraccionarias respecto á la centena; pero que son partes alicuotas, divisores enteros, si se prescinde de la coma, que se refieren á las unidades respectivamente superiores á la centena.

En cuanto á las aproximaciones por defecto, notaremos:

Que los divisores comprendidos entre 40 y 50 (400 y 500, 4000 y 5000, etc.), exigen que dividendo y divisor se multipliquen por 2, para que la razón de la diferencia del divisor resultante sea menor que \( \frac{20}{100} = \frac{200}{1000}, \frac{2000}{10000}, \) etc.), menores que \( \frac{1}{5} \).

Por razones análogas, los divisores desde

\[
\begin{array}{ll}
27 á 33, ambos inclusive, & se multiplicarán por 3. \\
20 á 25, id. & id. id. id. 4. \\
16 á 20, id. & id. id. id. 5. \\
14 á 16, id. & id. id. id. 6. \\
12 á 14, id. & id. id. id. 7. \\
11 y 12, id. & id. id. id. 8.
\end{array}
\]

Sabemos ya, por el procedimiento de los conjugados, que para dividir por 50, por 25, por 20, y por 12 \( \frac{1}{2} \), se multiplicará respectivamente el dividendo por 0,02, 0,04, 0,05, 0,125. Tratemos ahora de esclarecer con algunos ejemplos cómo se prepara la operación, para efectuarla cuando se transforman los divisores en otros aproximados por defecto á la unidad superior.

Primer ejemplo: Sea 3286 : 49 = 67,0612.

El divisor resulta muy aproximado á la centena multiplicándole por 2.