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y como los valores asignados no pueden disminuir por ser los mínimos, ni tampoco aumentar sin que la suma exceda del número propuesto, resulta que el problema tiene una solución única, y es, por tanto, determinado.

Luego si \( \frac{n^2 + n}{2} \) es igual al número dado, el problema no tiene más que una solución.

Sea ahora 11 el número que se ha de dividir en las cuatro conocidas partes. Dando á las incógnitas de la ecuación

\[
v + x + y + z = 11
\]

los mismos valores mínimos, resultará:

\[
1 + 2 + 3 + 4 = 10
\]

ó sea,

\[
10 = 11,
\]

de lo cual se sigue que los valores dados á las incógnitas no son los verdaderos, y que para que lo sean, hay que aumentar una unidad en el conjunto de estos valores.

Por las razones ya antes expuestas, esta unidad tan solo puede añadirse á la última incógnita, ó, mejor dicho, á la mayor de ellas, de lo cual se colige que la única solución verdadera será:

\[
1 + 2 + 3 + 5 = 11.
\]

Así, cuando el número propuesto exceda de una unidad al valor de la fórmula \( \frac{n^2 + n}{2} \), el problema tendrá también una solución única.

Es evidente que, si el número que se ha de dividir en partes, superara en dos ó más unidades á \( \frac{n^2 + n}{2} \), siempre podrá agregarse el exceso al último sumando ó repartirse entre los dos últimos, con tal de que el aumento sufrido por el último no fuese inferior al que hubiese experimentado el anterior, de lo cual se deduce que, en tal caso, el problema tendrá por lo menos dos soluciones y será indeterminado.
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En resumen, si llamamos A al número que se ha de dividir en partes desiguales, enteras y positivas, tendremos:

Si \( A < \frac{n^2 + n}{2} \), el problema no tiene solución.

Si \( A = \frac{n^2 + n}{2} \), tendrá una solución única,

Si \( A > \frac{n^2 + n}{2} \), no tendrá más que una solución, si el exceso es tan sólo de una unidad, y varias soluciones, si el exceso es mayor.

Supuesto que en la ecuación

\[
A = \frac{n^2 + n}{2}
\]

cualquier aumento de n nos daría

\[
A < \frac{n^2 + n}{2}
\]

caso en que el problema es insoluble, n representa el número máximo de sumandos enteros, positivos y diferentes en que puede descomponerse la cantidad A. Despejando, pues, la n en la ecuación

\[
A = \frac{n^2 + n}{2}
\]

resulta

\[
n = \frac{\sqrt{8A + 1} - 1}{2}
\]

fórmula que representa el mayor número de sumandos en que puede descomponerse A.

Y supuesto que cualquier diminución en el valor de n nos daría

\[
A > \frac{n^2 + n}{2}
\]
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caso en que el problema tiene una ó más soluciones, se sigue que, si el problema es soluble para un valor dado de \( n \), lo será también para \( n - 1, n - 2, n - 3 ... 1 \).

De manera, que toda cantidad que puede descomponerse en un número máximo de sumandos desiguales, enteros y positivos \( n \), podrá también descomponerse en cualquier número de sumandos inferior á \( n \).

Así, si en la fórmula

\[
n = \frac{\sqrt{8A + 1} - 1}{2}
\]

hacemos \( A = 45 \), hallaremos \( n = 9 \), lo cual nos indica que el número 45 puede descomponerse únicamente en grupos de 1, de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 y de 9 sumandos enteros, diferentes y positivos.

Lo que ahora procede es hallar cuántas variantes podrá sufrir cada grupo de sumandos, lo cual será objeto de otro trabajo.

Pedro Arnó de Villafranca.

NIEVE ROJA

Mr. Harkuss, presidente de la Sociedad Microbiológica de San Francisco, acaba de presentar en solemne sesión de aquella docta asamblea una muestra de nieve roja recogida en la vertiente Norte de los montes Vasatch, á 3.400 metros sobre el nivel del mar.

Casi toda la cima de la montaña parece estar cubierta de una capa de nieve de un color de sangre un poco pálida.

Después de un detenido estudio, Mr. Harkuss, merced al microscopio de Gatte, que aumenta los objetos hasta 25.000 diámetros, ha podido descubrir que tal coloración es debida á la presencia de una especie de planta microscópica, el protococcus nivalis, que se reproduce en la nieve con una rapidez fenomenal y que le da aquel tinte.
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CONSEJOS Y RECETAS

Envenenamientos por el fósforo.

Cuando se encuentra aún la causa productora en el estómago, está indicado como antidoto el sacarato de cal, y cuando el veneno ha sido eliminado, puede usarse el sulfato de magnesia. Recomiéndase también por su eficacia el ácido oxálico.
El sacarato de cal consta de agua 1,005 partes, azúcar, 25, y cal viva fresca, 15.

La humedad ambiente.

Para poder precisarla en las habitaciones y apreciar el grado de insalubridad de éstas, hay un medio al alcance de todo el mundo.
Póngase en la habitación que quiera probarse un kilogramo de cal recientemente calcinada y ciérrense después herméticamente las puertas y ventanas. Al cabo de veinticuatro horas se pesa de nuevo la cal, y según el aumento que haya tenido, se juzga el grado de humedad de la habitación. Si llega ó pasa del 1 por 100 el aumento de peso, se considera la habitación como insalubre.

Contra las lombrices.

Las hay de varias clases. Las tres más comunes son: la solitaria, las ascárides lombricoides, semejantes á los gusanos de tierra, y las ascárides vermiculares, como pedacitos de hilo blanco.
Para la primera son remedios: el kousso, la corteza de raíz de granada, el extracto etéreo de helecho macho, las simientes de calabaza y muchas preparaciones que generalmente derivan de estas
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bases. Contra los gusanos grandes redondos, conocidos con el nombre de ascárides lombricoides, el verdadero específico es el «semencontra», sustancia que posee un olor y un sabor desagradables. Esto le hace muy difícil de tomar, principalmente por los niños, pero se ha logrado extraer su principio activo, la santonina, y con ella se preparan pastillas, polvos y hasta bizcochos, con los que insensiblemente se ataca al enemigo.

Las lombricillas de la tercera especie indicada se expulsan fácilmente con una lavativa de agua fría, que se suelta después de haberla conservado dos minutos. Entorpecidas por el frío las ascárides, se dejan arrastrar por el agua, y repitiendo la operación, desaparecen todas en poco tiempo.

Lacre encarnado.

Se hace en casa de un modo muy sencillo, aunque no lo creo económico.

En una cazuela limpia y perfectamente bañada, se ponen á derretir 15 gramos de goma laca y 8 gramos de pez griega. Líquidas estas sustancias, se añade á la mezcla 8 gramos de trementina, 4 de cinabrio y 4 de minio; todo junto se bate durante algún tiempo hasta que estén bien mezclados los componentes y en moldes ó por un procedimiento adecuado se confeccionan las barras de la forma que se desee.

Contra las hormigas.

Doscientos gramos de flor de azufre y cien gramos de potasa se mezclarán en un recipiente cualquiera, al fuego. Fríos después, se reducen á polvo, y echando en agua una cantidad, morirán las hormigas ó huirán del terreno que se riegue con esta preparación.

Contra las pecas.

Pomada de yoduro mercurioso..... 1 gramo.
Lanolina............................... 50

Mézclese.
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Coldcream.

(Fórmula inglesa.)

Aceite de almendras dulces........... 50 gramos.
Cera blanca............................ 10 "
Blanco de ballena ..................... 10 "
Agua de rosas.......................... 20 "
Esencia de rosas...................... 10 gotas.
Tintura de benjui..................... 5 "
Idem de ámbar.......................... 2 "

Derrítase todo al baño María con mucho cuidado.

Abonos para macetas.

Las miles y miles de aficionadas á tiestos ¡y rara es la española que no tiene macetas! agradecerán la receta que acaba de publicar el eminente químico Wagner para que las plantas de tiesto adquieran y conserven notable lozanía y para evitar las molestias del abono y del recebo.

Se hace una mezcla de 25 partes de fosfato de amoníaco, 45 de nitrato de potasa y 30 de nitrato de amoníaco, y una vez al mes se echa por encima de la tierra este abono en las cantidades siguientes: para un tiesto de 10 centímetros de diámetro, 5 centigramos de los polvos; si el diámetro es de 12 centímetros, 1 gramo; de 15 centímetros, 2 gramos; de 20 centímetros, 4 gramos; de 24 centímetros, 8 gramos.

Las plantas de crecimiento rápido, como los rosales, las fuchsias, los geráneos, las verbenas, exigen abonos más frecuentes que una vez al mes. En cambio los vegetales de crecimiento lento, como las palmeras y demás plantas verdes que reciben poca luz en las habitaciones y se desarrollan muy despacio, no deben ser abonadas con estos polvos más que una vez cada dos meses.

Con sólo echar la mezcla indicada y regar después lentamente y sin exceso, se obtendrá una vegetación hermosísima, y ya se sabe lo difícil que es conservar algunas semanas en las habitaciones plantas que no se mustien ni se mueran.

El. Doctor Scheeré.
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CRÓNICA DEL EXTERIOR

Sumario.—Alemania: Peticiones de la Sociedad para la protección de la infancia. Idem hechas por la Sociedad alemana de la Paz á la Cámara de Diputados del Gran Ducado de Baden acerca del sentido de los libros de lectura y de Historia. Opinión de la Asociación de Maestros de Leipzig respecto de la introducción del trabajo manual en las escuelas primarias. Cuestionario antropológico pasado á los padres de familia por la escuela municipal de Pössneck.—Austria-Hungría: Supresión de la costumbre de besar las manos los escolares á sus maestros.—China: Noticias relativas al estado de la enseñanza primaria.—Estados Unidos: Nota concerniente al sentido social en los niños.

Alemania.—La Sociedad para la protección de la infancia, recientemente constituida en este imperio, ha decidido presentar al Poder legislativo una petición llamando la atención de los diputados acerca del siguiente proyecto:

«Art. 1.º Serán colocados bajo la vigilancia de personas de confianza: primero, todos los niños menores de catorce años criados entre extranjeros; segundo, todos los niños cuyos padres se hayan dado de un modo notorio á la bebida, hayan sido condenados ya por malos tratamientos, ó sean con razón sospechosos de haber traspasado su derecho al corregir á sus hijos. Esas personas de confianza, que en cierto modo constituirán un comité de vigilancia, tendrán el deber y el derecho de ir de vez en cuando á asegurarse de la buena salud de sus protegidos; tendrán también el deber y el derecho, si la necesidad lo exige, de solicitar que los niños salgan del domicilio de sus padres.

Art. 2.º En este último caso, los padres perderán todos sus derechos sobre sus hijos, pero serán obligados á subvenir á su sostenimiento, con arreglo á sus recursos.
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Art. 3.º Las familias que tengan intención de tener consigo un niño menor de catorce años, deberán participarlo á las autoridades. La policía se informará respecto de la situación de ellas, su género de vida, y no las autorizará para recibir al niño sino en el caso de tener seguridad de que ninguna influencia contrariará el buen desenvolvimiento del protegido.

Art. 4.º Las personas de mala reputación, que estén bajo la vigilancia de la policía, que hayan perdido sus derechos civiles ó que se entreguen á la bebida, no podrán obtener autorización para recibir niños en pensión.»

—La Sociedad alemana de la Paz se ha dirigido á la Cámara de Diputados del gran ducado de Baden, lamentándose de que los libros de lectura y de historia que se ponen en manos de los alumnos de las escuelas primarias del ducado se extienden mucho en lo tocante á las cosas militares. ¿Es necesario poner ante la vista de los niños combates sangrientos? ¿Hay necesidad de hacer aprender á la juventud alemana poesías que señalan á la Francia como la enemiga hereditaria? La Sociedad no lo cree, y, en su consecuencia, propone la revisión atenta de los libros actualmente en uso, apoyándose en estos tres principios:

1.º Todo trozo impregnado de chauvinismo debe descartarse.

2.º La historia de las guerras debe exponerse sólo en sus grandes líneas.

3.º La historia de la civilización de los pueblos debe ser el objeto de un estudio especial.

—La Asociación de los maestros de Leipzig ha tenido hace unos meses que emitir su opinión acerca de esta importante cuestión: «¿Debe introducirse en la escuela primaria el trabajo manual?»

El asunto es de completa actualidad en Alemania. Se ha constituido, en efecto, hace algún tiempo, una sociedad que tiene por fin dar al trabajo manual mayor extensión entre la juventud, y por cuya iniciativa acaban de ser designadas ciertas escuelas de Berlín y de Leipzig para experimentar la enseñanza del trabajo manual.

Constituye esto un primer ensayo, sin duda intentado por imitación de lo que se hace en Suecia, en la que se cuentan más de 2.400 escuelas públicas en las que se ejercita y desenvuelve, mediante ejercicios prácticos, la habilidad manual de los niños.

Los maestros de Leipzig han manifestado claramente su parecer respecto de esta innovación. Entre aplausos de la mayoría, ha protestado M. Germer contra la introducción del trabajo manual
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en la escuela primaria, invocando contra ella razones financieras y pedagógicas.

Las razones financieras son evidentes: sería ocasionar al Estado muy grandes gastos pedirle la creación de talleres, la compra de útiles, del material necesario, etc.

Las razones pedagógicas consisten principalmente en el hecho de que el trabajo manual perjudicaría al trabajo general de la escuela, haría pasar lo real por delante de lo ideal, transformaría la escuela educadora en una escuela profesional, y, en fin, trastornaría la organización actual.

Según M. Germer, como el trabajo manual no responde á una necesidad general, debe dejarse al cuidado de la actividad privada, que, por otra parte, tiene también derecho á los auxilios públicos.

—A la entrada de la Pascua de 1897, la escuela municipal de Pössneck (Sajonia Meiningen) ha remitido á los padres de los nuevos alumnos un cuestionario de un género particular. Este cuestionario, destinado á ilustrar á los maestros respecto de la naturaleza física, intelectual y moral de los niños que le son confiados, puede prestar grandes servicios pedagógicos, según cabe colegir de las siguientes preguntas que reproducimos de él, á fin de dar idea de esta innovación:

¿Disfruta el niño de buena salud? ¿Qué enfermedades ha padecido? ¿Le han dejado algunas huellas? ¿Han tenido consecuencias funestas para la vista, el oído, los otros sentidos, los órganos de la palabra, los pulmones y el corazón? ¿Tiene el niño algún vicio de conformación ó alguna debilidad respecto de la que deba llamarse la atención del maestro? ¿Está abandonado á sí mismo durante todo el día? ¿Quién se ocupa más de él? ¿Viven sus padres todavía? ¿Tiene hermanos y hermanas mayores y menores? ¿Es confiado, animado, alegre, tímido, sensible, pesado, taciturno? ¿Ama el orden y la verdad? ¿Tiene malos hábitos? ¿Qué aptitudes e inclinaciones manifiesta? ¿Cuáles son los descos particulares que tienen que formular sus padres en lo que concierne á su educación?, etc.

Austria-Hungría.—Es costumbre en Hungría que á la entrada y salida de clase los alumnos besen la mano á sus maestros ó maestras. El Consejo municipal de Budapesth, á propuesta del jefe del servicio médico, ha decidido abolir en las escuelas de la ciudad esta costumbre, que se presta á la propagación de enfermedades contagiosas.

China.—En el Celeste Imperio no se conoce la enseñanza obligatoria. Las escuelas privadas que se encuentran establecidas en las localidades importantes sólo son frecuentadas por niños: los
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da y limitada siempre (á lo menos en su aspecto consciente y racional) por lo que dé de sí el saber científico que, en cada caso, sirva de norte y fundamento á la labor artística.

En el curso de estas consideraciones acude á mi memoria el recuerdo de lo que, no ha mucho, decía el Dr. Pulido hablando de un libro del Dr. Mariscal, titulado Higiene de la inteligencia. Porque lo creo pertinente lo cito, y copio los siguientes párrafos: "¡Prevenir; no curar! He aquí el grito es tentóreo que se escucha, no ya sólo en la medicina, sino en la sociedad toda, desde que los esfuerzos se vienen aplicando á dicho propósito, por el cual se ha determinado una tan monstruosa actividad que, con ser de novísimo origen, ha superado en mucho á todos los demás afanes de la espantable epopeya humana, y parece que la medicina ha concentrado en ella sus más lógicas aspiraciones y sus más soñados ideales.

"Y, sin embargo, un sencillo razonamiento hace comprender que la higiene racional, la que tenga un fundamento científico, debe de ser la última conquista realizable, porque en toda previsión verdaderamente eficaz, por lo mismo que su información ha de ser acertada, se han de registrar, con el conocimiento de los misteriosos fenómenos y de las complicadas y complejas causas de la vida, las mutuas influencias en que estriba la enfermedad y constituyen el quid ignotum de la existencia y de la muerte.

"Este juicio sobre la incomparable y sumia dificultad en que se agita la obra de cualquier empeño higiénico, alcanza, como es natural, su grado máximo cuando el motivo puesto en estudio es precisamente lo que hay de más caótico, de más impenetrable, y encierra las más confusas y desconocidas funciones, con todo de ser siempre lo más perseguido, lo más trabajado y lo más excelso de la sabiduría; es á saber: la inteligencia humana."

¿Quiere esto decir que no se pueda ni se deba intentar establecer una Metodología científica hasta que no se cuente con una psicología y una lógica científicas, definitivamente conclusas? De ningún modo; se puede y se debe. Sobre que eso equivaldría á tener que aguardar quizá eternamente, porque jamás puede afirmarse que una ciencia está concluida, el
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chinos piensan, en efecto, que las niñas no tienen necesidad de aprender nada. El libro de lectura de que se sirven es siempre el antiguo manual que contiene las doctrinas de Confucio; los maestros se lo saben de memoria casi al pie de la letra.

Del número total de chinos, el 80 por 100 solamente se hallan en estado de leer y escribir sus nombres; del 10 al 15 por 100 pueden escribir no más que una carta breve y el 5 por 100 próximamente tiene algún conocimiento de la literatura nacional. No debe extrañar esto si se tiene en cuenta que la lengua china comprende cerca de doscientas mil palabras, cada una de las cuales se expresa por un signo especial.

Estados Unidos de América.—Un trabajo parecido al de que dimos cuenta en la Crónica del número anterior referente al sentido histórico en los niños, nos da á conocer el Diario de Educación, de Boston, en el que Mr. Will. S. Monroë informa á sus lectores de la investigación hecha recientemente á propósito del sentido social en los niños.

A 2336 escolares del Massachussets se les ha propuesto esta cuestión: ¿Qué género de amigos preferís? Esta vez todos han expresado sus ideas con gran precisión: 134 niños indican preferencia por la edad; 421 mencionan el sexo, y 20 niños y 28 niñas desearían amigos del sexo opuesto al suyo.

89 mencionan la estatura y de ellos 58 desean un amigo semejante á ellos, pues, dice un niño de diez años, «si mi amigo fuera más alto que yo, él querría subirse á un árbol cuando yo no podría, y esto no sería agradable».

5 niños y 14 niñas quieren amigos bonitos, físicamente.

478 niños quieren un amigo caritativo, 370 uno alegre; 350 uno leal, «que no haga trampas, dice uno, cuando se juegue á la pelota, y no diga dos golpes cuando sólo ha dado uno».

La fidelidad viene en seguida después de la limpieza. «Yo quiero, dice un niño de once años, un amigo que no jure, que salude á las personas que conozca y que se limpie los pies antes de entrar en alguna parte!»

A. G.
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hacer humano no sufre paréntesis ni abstenciones en espera del saber científico; está siempre en función, y funciona del mejor modo que puede: con mucha ciencia, ó con poca, ó con ninguna.

Hace, pues, muy bien el Sr. Rodríguez acometiendo el ensayo ó diseño—como él dice—de una Metodología científica en relación con lo que él sepa, bien de la psicología científica, bien de los otros conocimientos precisos para su trabajo. Es éste sumamente meritorio; pero yo creo que no estoíbarán las indicaciones apuntadas para evitar posibles ilusiones engañosas y desmedidas e injustificadas pretensiones. Yo reconozco en el Sr. Rodríguez el grandísimo mérito de ser el primero (de entre los autores que yo he leído) que se lanza á tal empresa; y reconozco también que la lleva á cabo con un tino, con una inspiración, con unos anhelos y con un sentido tales, como no los he visto en ningún pedagogista español. ¿Puedo decir más? Pues lo que digo, lo digo sin intentos de mortificar á nadie y sin reservas de ninguna clase. Así lo pienso y así lo manifiesto.

Pero ¿es que el ausunto tratado merece tantos y tales empeños? Sí, los merece; el autor así lo entiende, y yo subscribo su opinión. En la esfera artística de la Pedagogía, en la llamada Pedagogía práctica, nada tiene más derecho á figurar en primera línea que la Metodología. Mas—se dirá—¿importa tanto que esa Metodología sea científica? ¿No lo es la que ahora usamos? ¿No nos va tan bien con ella? El autor contesta (y yo le acompaño) en el siguiente párrafo:

"Si el método didáctico es establecido al acaso, sin riguroso análisis científico de los elementos del conocimiento, la escuela sustituirá la falta de finalidad pedagógica de la sociedad y de la naturalaleza, por la especie de inconsciencia del maestro: la falta de intención del medio social y natural, por la intención equivocada del educador, y los frutos de la enseñanza de la escuela serán (como hoy lo son en muchos aspectos) poco superiores á los de la enseñanza sin dirección racional."

Todavía son muy escasas las personas que han llegado á darse exacta y clara cuenta de la trascendencia que tiene y
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LA ESCUELA MODERNA
REVISTA PEDAGÓGICA HISPANO-AMERICANA
Año VIII.    AGOSTO DE 1898.    N.º 89 de la col.

LA EDUCACION ANGLOSAJONA

(EXTRACTO DE UN TRABAJO DE M. STEEG)

Con este epígrafe inserta la Revista Pedagógica, de París, un importantísimo artículo, suscrito por una de las eminencias pedagógicas de Francia, por M. Julio Steeg, reciente y prematuramente perdido para su patria, á la que tan excelentes servicios ha prestado como político y como Inspector general de Instrucción pública, Director del Museo pedagógico y, últimamente, Director de la Escuela Normal Superior de Maestras (para el profesorado normal) de Fontenay-aux-Roses.

Las enseñanzas que se desprenden de dicho artículo tienen para nosotros, en los actuales críticos momentos, excepcional importancia. Cuanto se dice en ese tan profundo y tan bien sentido trabajo parece escrito pensando en España, y debiera ser objeto de seria meditación de parte de nuestros Gobiernos, de nuestras clases directoras, de las fuerzas vivas de nuestro pueblo, de todos aquellos, en fin, á quienes dirigimos el Llamamiento con que encabezamos el número del mes anterior. El artículo de M. Steeg es para nosotros de triste y opresora actualidad. Importa, en lo tanto, darlo á conocer á nuestros compatriotas, y con ello inaugurar, por nuestra parte, la campaña, en favor de una activa propaganda pedagógica, por que abogamos en ese Llamamiento.