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La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 6

Rodríguez me tenía ganado como pensador y como pedagogo, acababa de cautivarme como hombre. Soy, pues, todo suyo; y públicamente le doy las gracias por lo hecho.

Añado que puedo envanecerme de tener vista certera. Dije yo antaño que no conocía al Sr. Rodríguez, pero que me lo figuraba joven, talentudo y brioso; hoy sé, por referencias de amigos tuyos y míos, que aquellos adjetivos cuadran perfectamente al maestro de Santiago. Y el nuevo libro es una prueba más, é irrefragable, de la exactitud de aquella figuración.

La obra en general.—Ignoro lo que el Sr. Rodríguez pensaré acerca de la famosa frase de Brunetière, relativa á la pretendida bancarrota de la ciencia. Esa frase ha sido juzgada exacta y aun aceptada con bien explicable júbilo por los doctrinarios de todas castas, y ha sido recibida con entusiasmo por la literatura epidérmica y trasnochada, aunque remozada ahora; pero es considerada por los animosos y perseverantes obreros de esa misma ciencia y por todos los que no piden á ésta más de lo que ella puede dar, distinguiendo bien de tiempos y de formas y reprimiendo insanas impaciencias, como una risible puerilidad sólo merecedora de desdén é hija sólo de una miopía intelectual, ó de un cerebro embargado por la preocupación, ó de una intención interesada y perversa.

Ignoro—digo—lo que respecto de ello pensaré el Sr. Rodríguez; pero, á juzgar por los términos y el sentido de sus libros, en los cuales, y muy particularmente en éste de que hablo, muestra por la ciencia un entusiasmo rayano en obsesión (aunque así fuera, sería una obsesión bien generosa y loable), el Sr. Rodríguez es un enamorado y un ferviente cultivador de la ciencia, que en la ciencia busca la verdad y la dicha; porque la dicha, de la verdad mana.

Tal vez no habrá acuerdo completo en el concepto que el Sr. Rodríguez y yo tengamos de la ciencia. Me induce á sos-
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Los cálculos se disponen así:

34,56
— ,6912
———
33,8688
+ 1354752
+ 5419008
+ 2167
———
33,8823529411715 Cociente con 11 cifras decimales exactas.

82. Llamando \( b \) al divisor, \( d \) al exceso de éste sobre la unidad decimal inferior inmediata y \( m \) á esta unidad, la fórmula del conjugado será:

\[
\frac{r}{b} = \frac{m-d}{m^1} + \frac{(m-d)d^2}{m^2} + \frac{(m-d)d^3}{m^3} + \frac{(m-d)d^4}{m^4} + \ldots
\]

En la aplicación de esta fórmula es indispensable hallar el cuadrado de la diferencia y multiplicar por él el dividendo y los productos que se vayan obteniendo. Siempre que el divisor sea múltiplo ó factor de otro cuyo exceso se represente por un número dígito, será fácil y expedita la aplicación de la fórmula, pues que el cociente aproximado será múltiplo ó factor determinado del verdadero. Omitimos, sin embargo, la exposición de los medios que pueden hacerla de aplicación general, porque no nos satisface su desemejanza con la que hemos adoptado para hallar los cocientes aproximados por defecto. Por lo tanto, siguiendo análogo razonamiento al que nos condujo á la fórmula de los cocientes por defecto, investiguemos la de los cocientes por exceso.

83. Razonemos concretamente sobre un ejemplo:

Sea dividir \( 1 : 12 = 0,083333... \)

El cociente es el número que, multiplicado por 12 (divisor), dé un producto igual á la unidad (dividendo).

No hay número entero que realice este producto; pero si en lugar de 12 ponemos de divisor 10 — decena, el cociente será entero ó justo, é igual á 0,1; pues que \( 1 \times D = 1 P \) (dividendo). Y por ser 1 P (dividendo) inferior en un grado á la decena (divisor), el cociente 0,1 resulta también inferior en un grado al de las primarias ó absolutas.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 61

Mas tégase en cuenta que al sustituir el divisor 12 por otro menor 10, el cociente resultante es mayor que el verdadero, pues \( 12 \times 0,1 = 1,2 \) que excede al dividendo en 0,2. Luego es preciso disminuir al cociente 0,1 en un número tal que su producto por 12 sea igual á 0,2.

\[
1 : 12 = 0,1
\]

No hay número entero que realice ese producto; mas si sustituimos 12 por la decena 10 = (12 - 2), hallaremos que 0,02 cumple la condición; pues \( 0,02 \times 10 = 0,2 \), y tendremos

\[
1 : 12 = 0,1 - 0,02 + ...
\]

Mas al sustituir esta segunda vez, 12 por 10, el segundo término 0,02 puesto en el cociente, resulta mayor que el verdadero, es decir, que restando 0,02 de 0,1 se resta más de lo necesario. Calculemos este error, reponiendo el verdadero divisor. En efecto, \( 0,02 \times 12 = 0,24 \). Luego el cociente — 0,02 (sustractivo) excede al verdadero en el número que, multiplicado por 12, sea igual á 0,04. Es decir, que el tal número incógnito se restó de más y es preciso añadirle al cociente.

Para hallar dicho número aditivo, volvemos á sustituir 12 por 10 y resulta para cociente 0,004, pues que \( 0,004 \times 10 = 0,04 \). El cociente así rectificado, será:

\[
1 : 12 = 0,1 - 0,02 + 0,004...
\]

Sucede también que, por efecto de haber sustituido el divisor 12 por otro menor 10, el término aditivo 0,004 del cociente es mayor que el verdadero, pues \( 0,004 \times 12 = 0,048 \), esto es, que es preciso disminuirle en un número tal que su producto por 12 sea igual á 0,008. Como no existe factor entero que al multiplicarse por 12 dé dicho producto, volveremos á sustituir 12 por 10, con lo que resultará el término sustractivo — 0,0008.

El cociente hasta ahora es = \( 0,1 - 0,02 + 0,004 - 0,0008 ... \)

El término — 0,0008, procedente de sustitución, es también mayor que el verdadero, y, como el exceso es sustractivo, es preciso añadirle con otro término aditivo, que calculado como los anteriores, resulta ser + 0,00016, que á su vez excede al verdadero en 0,000032; y así irán indefinidamente produciéndose términos
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alternativamente aditivos y sustractivos, siendo cada uno potencia fraccionaria en un grado superior al término que le precede.

Así, pues, el ejemplo razonado puede ser presentado así:

\[
1 : 12 = 0,1 \\
- 0,02 \\
+ 0,004 \\
- 0,0008 \\
+ 0,00016 \\
- 0,000032 \\
+ 0,0000064 \\
- 0,00000128 \\
+ 0,000000256 \\
- 0,0000000512 \\
\]
\[
1 : 12 = 0,0833333248...
\]

Aplíquese el mismo razonamiento y desarrollo para formar el conjugado siguiente:

Sea \( 1 : 103 = 0,009708737864... \)

\[
1 : 103 = 0,01 \\
- 0,0003 \\
+ 0,000009 \\
- 0,00000027 \\
+ 0,0000000081 \\
- 0,000000000243 \\
+ 0,00000000000731, \text{etc.}
\]
\[
1 : 103 = 0,009708737864|31 \text{ Cociente}
\]

que da 12 cifras exactas mediante 6 productos.

Nota. Todas cuantas observaciones consignamos en el número 73 relativas al desarrollo de los conjugados aproximados por defecto, y hasta su fórmula general (núm. 74), tienen perfecta analogía con los aproximados por exceso, sin otra variante que en éstos los productos son alternativamente aditivos y sustractivos, mientras que en aquéllos son todos aditivos.

84. Si llamamos \( b \) al divisor, \( c \) al cociente, \( d \) á la diferencia y \( x \) á la unidad seguida de tantos ceros como cifras menos una tiene el divisor, la fórmula de los conjugados por exceso, será:

\[
\frac{1}{b} = \frac{1}{x} - \frac{d}{x^2} + \frac{d^2}{x^3} - \frac{d^3}{x^4} + \frac{d^4}{x^5} - \frac{d^5}{x^6} + ...
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 63

Teniendo, pues, en cuenta las consideraciones que expusimos á continuación de la fórmula del núm. 74, podemos establecer, para practicar la división, empleando divisores aproximados por exceso, la siguiente:

85. Regla. Para dividir un número por otro, se separan por una coma de la derecha del dividendo tantas cifras, menos una, como sean las que tenga el divisor; y este número resultante es el primer término positivo del cociente.

El número que exprese el exceso de unidades del divisor sobre la unidad seguida de tantos ceros, menos uno, cuantas fueren las cifras del divisor, servirá de factor, por el cual se multiplicará el primer término, y sucesivamente los productos que se vayan obteniendo; los que se escribirán ordenadamente debajo del primero hallado, avanzando cada uno á la derecha de su anterior tantos órdenes cuantas fueren las cifras del divisor, menos una.

El primer término es positivo; el segundo, negativo; el tercero, positivo; el cuarto, negativo, y así alternativamente, y se les antepone el signo respectivo, cual se verá en los ejemplos.

Se hacen las sumas y restas indicadas (cosa facilísima, familiarizándose con estas operaciones) y se obtendrá el cociente, tanto más aproximado cuantos más sean los términos que se formen y menor la diferencia que sirve de factor.

EJEMPLO PRIMERO

3 4 5 6 : 1 0 2 = 3 3 , 8 8 2 3 5 2 ...

Práctica.

    3 4 5 6
    × 0,0 1

    — 6 9 1 2
    × 0,0 2

    + 1 3 8 2 4
    × 0,0 2

    — 2 7 6
    × 0,0 2

    + 4
    × 0,0 2

3 3 , 8 8 8 2 5 2 ... = Cociente con ocho cifras exactas, empleando cuatro productos, reducidos los dos últimos.

Observación importante. Este procedimiento ofrece la ventaja de poner de manifiesto el grado de aproximación que se va obteniendo á cada producto que se forma, pues como son alternativamente aditivos y sustractivos, si el último es aditivo, su cifra del
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orden superior determina, al verificar las sumas y restas, un cociente que excederá en menos de una unidad de su grado al cociente exacto, y si es sustractivo, excederá el cociente exacto en menos de una unidad del orden de la cifra superior del último producto, al cociente aproximado que resulte al practicar las sumas y restas indicadas.

Esta ventaja compensa la dificultad que ocasiona la diversidad de los productos aditivos y sustractivos para hallar el producto total, dificultad que no es cosa mayor habituándose á este género de operaciones, y que, por otra parte, pueden practicarse expeditamente, agrupando los productos de igual índole, según manifestaremos con un ejemplo.

Para los divisores aproximados por exceso se aplican los mismos medios y proporciones que expusimos con los ejemplos aclatorios en los números 77, 78, 79 y 80, al tratar de los cocientes de los diversos aproximados por defecto, y que por tal razón omitimos; pero conste que no hay divisor que, bien por exceso, bien por defecto, y por alguno de los medios indicados, no pueda ser convenientemente aproximado, para practicar con él la división por la fórmula del núm. 74 ó por la del 84.

Segundo ejemplo: 26352 : 36 = 732.

Multiplicando por 3 el divisor, será 36 × 3 = 108.

Si el dividendo 26352 se divide por 108, resultará un cociente tres veces menor que el verdadero; divídámosle, pues, por 108, según la regla del número 85.

    Producción aditiva.
    Idem sustractiva.

    263,52—21,0816+1,6865—0,1349+0,0107—8
    263,521,68650,0107205,2172—21,2173
    —21,08160,13940,000821,2173

    243,9999×3
    243,9999×3

    731,9997
    731,9997+3
    732,0000 = Cociente exacto.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 65

El defecto de las 0,0015 milésimas procede de no haber desarrollado más productos y haberse triplicado el defecto al multiplicar por 3 el resultado de las sumas y restas.

Ejemplo tercero: Sea 16800 : 52 \( \frac{1}{2} \) = 16800 : 52,5.

Si sustituimos 52,5 por 525, el cociente resultará 10 veces menor que el verdadero. A su vez sería preciso multiplicar 525 por 2, cuyo producto 1050 se tomaría por divisor aproximado por exceso sobre 1,000; 6 lo que es lo mismo, 105 sobre 100 = \( \frac{3}{100} \) diferencial por exceso.

Si se multiplica el divisor 52 \( \frac{1}{2} \) por 2, el producto 105 servirá de divisor, y el cociente será la mitad del verdadero.

Práctica eliminando ceros superfluos.

\[
\begin{align*}
& 168,00 \\
- & 8,40 \\
+ & 42 \\
- & 210 \\
+ & 105 \\
- & 52 \\
\hline
& 159999998 \quad \text{Mitad del cociente.} \\
\times & 2 \\
\end{align*}
\]

\( 31,99999996 \) = Cociente cuya serie decimal indica claramente que el límite de su aproximación es 32.

86. Consecuencias.—De lo expuesto se deduce:

1.º Que lo que se llama cociente es un producto, pues que puede hallarse por vía de multiplicación, sin que para nada inter. venga la operación de dividir.

2.º Que la división no es otra cosa que una multiplicación, á la cual se podría calificar inversa, en cuyo caso el cociente podría ser denominado producto invertido ó inverso.

Efectivamente: en la multiplicación directa (ordinaria) se realiza ó compone el producto total por el agregado de los parciales que resultan de multiplicar cada cifra del multiplicando por la diferencia de la cifra del multiplicador sobre la unidad de su orden respectivo, en tanto que (tomando por tipo los divisores aproximados por defecto) el cociente total se realiza y compone por el agregado de los productos parciales que resultan de multiplicar cada cifra del dividendo (con propiedad podría ser llamado multiplicando de multiplicación inversa) por la diferencia del divisor, tomada bajo la unidad de su grado decimal respectivo. En cuanto
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al valor relativo ó combinación de órdenes de los términos, ya emos demostrado que, si se consideran invertidos los grados del divisor, los órdenes del dividendo y del divisor se combinan y resuelven exactamente como si fueran factores.

La multiplicación y la división son, pues, dos modos diferentes de una misma operación, inversos, pero no contrarios; pues si así fueran, con datos iguales los resultados habrían de serlo también; en una operación positivos, y en la contraria negativos, y viceversa, y no resultan iguales ni de signo contrario, tal vez porque la inversión sólo se efectúa en uno de los dos términos de la operación y no en ambos. Conste que no subscribimos la tan generalizada opinión de que la división es operación contraria á la multiplicación.

FRANCISCO PIZARRO,
Regente de la Normal de Maestros de Badajoz.

(Continuará.)

Prohibida la reproducción.

LOS ENANOS EN LA HISTORIA

Hasta ahora, que sepamos, no se ha descubierto pueblo alguno de gigantes, mientras que si nos atenemos á la afirmación de varios autores, Stanley encontró en África un pueblo de enanos; pero ni las afirmaciones de este explorador, ni las de Herodoto, hubieran fijado la pública atención, si el viajero italiano Miani no hubiese presentado en Alejandría un grupo de enanos recogidos más allá de Khartoum. Tampoco puede ponerse en olvido que, desde la más remota antigüedad, se ha sentido marcado afecto hacia los enanos, pudiendo significarse que ha existido un comercio especial para conseguir éstos, por medio de un tratamiento alcohólico, en virtud del cual se conseguían seres humanos de reducida estatura.

La posesión de los enanos pasó á ser moda frenética en la época del Renacimiento, cuando caballeros y damas encopetadas ambicionaban la posesión. El Papa Alejandro Borgia poseía una docena de enanos, y se cita la comida famosa del cardenal Vitali, que fué servida por treinta y cuatro enanos.

Es célebre igualmente el enano Hudson, favorito de Carlos I, que solo contaba diez y ocho pulgadas de estatura, promovido á baronet, y que mató en un desafío á pistola á Mr. Crofts, que se había burlado de su exigua altura.
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OTRO PROBLEMA

En una hoja de almanaque hemos encontrado el problema siguiente:
Sustituir los puntos del cuadro que va á continuación con cifras que, sumadas vertical y horizontalmente, den por resultado 22.

    .   .   .   .   .
    .   .   .   .   .
    .   .   .   .   .
    .   .   .   .   .
    .   .   .   .   .

Enunciado en estos términos el problema, no tiene lance alguno; pero sin duda su autor ha querido dar á entender, por más que lo calla, que las cifras de cada línea deben ser diferentes.
Añadida esta condición, el caso ya resulta curioso, y se presta á un análisis que ofrece bastante novedad.
La cuestión es compleja, pues requiere la solución de cuatro problemas parciales que pueden plantearse en esta forma:
1.º Dividir el número 22 en seis partes enteras, distintas y positivas.
2.º Determinar el número de permutaciones que pueden hacerse con esas seis partes.
3.º Determinar cuáles de esas permutaciones son compatibles.
4.º Fijar el número de soluciones que tiene el problema.
Concretémonos por ahora á dilucidar la primera cuestión.
El problema de dividir una cantidad en un número de partes, si éstas son iguales, se reduce á una simple división; si son proporcionales, es cuestión de una ó varias proporciones, ó bien de una ecuación de primer grado con una sola incógnita; pero
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 68

si se trata de que esta división se haga en cierto número de partes distintas, enteras y positivas, ya nos resultará un problema indeterminado de primer grado, con una sola ecuación y varias incógnitas, que en el caso particular que nos ocupa son seis.

Tomado en un sentido general, este problema puede presentarse con alguna frecuencia, y no es de menos importancia que sus homólogos. Dándole una forma más amplia todavía, como la de hallar todas las combinaciones de sumandos enteros, positivos y distintos con que puede formarse una suma dada, aumenta en mayores proporciones el interés de la cuestión.

Los autores de Matemáticas que conocemos, no hacen más que algunas indicaciones generales sobre la resolución de los problemas indeterminados, y después se limitan á darnos un método para resolver aquellas cuestiones que contienen una incógnita más que ecuaciones.

Vamos, pues, á ensayar el método nuevo y especial que podría emplearse con éxito para resolver el problema propuesto; y á fin de que se comprenda mejor, lo aplicaremos, ante todo, al caso particular mencionado.

Trátase, como ya se ha dicho, de dividir el número 22 en seis partes desiguales, positivas y también enteras.

En este caso, la ecuación del problema será la siguiente:

\[
i + u + v + x + y + z = 22,
\]

siendo todas las incógnitas números enteros y positivos distintos.

El procedimiento ordinario, que se sigue para la resolución de las ecuaciones, exigiría ahora que se despejase una de las incógnitas; pero nosotros nos guardaremos muy bien de operar así, porque por este camino no iríamos á ninguna parte.

He aquí, pues, nuestra manera de discurrir:

Debiendo ser los valores de las incógnitas enteros y positivos, el menor valor que podremos asignar á cualquiera de ellas, es la unidad; y teniendo además que ser distintos todos los valores, los mínimos que podrán adjudicarse á las demás incógnitas, serán los números 2, 3, 4, 5 y 6.

Pero si sumamos estos valores hipotéticos, obtendremos:

\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;
\]

y como la suma de las incógnitas es 22, esto significa que se tiene
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 69

que aumentar en una unidad el supuesto valor total de dichas incógnitas para conseguir la solución pedida.

Mas el valor atribuido á cada incógnita es un número entero; y para que resulte otro entero, debe aumentarse por lo menos en una unidad, de lo cual se sigue, que tan sólo podrá sufrir aumento una de las mencionadas incógnitas.

Ahora bien; los valores sucesivos dados hipotéticamente á las incógnitas, tan sólo difieren entre sí de la unidad, por lo cual, haciendo el aumento en cada una de las cinco primeras, la igualaríamos con la que le sigue y nos resultarían soluciones inadmisibles por no ser diferentes los valores de todas las incógnitas, con arreglo al enunciado del problema. Luego el aumento deberá recaer necesariamente en el valor hipotético 6 de la última incógnita, ó sea en la mayor, que se convertirá en 7.

Así, pues, la única solución que el problema admite se obtiene haciendo \( t = 1, u = 2, v = 3, x = 4, \gamma = 5, \zeta = 7 \); y en efecto:

\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22.
\]

La cuestión es, por lo tanto, un problema determinado, que se nos presenta en una forma indeterminada.

Tratemos ahora de generalizar el método, y para ello supongamos que se trata de dividir el número 9 en cuatro partes enteras, positivas y desiguales.

La ecuación será:

\[
v + x + \gamma + \zeta = 9.
\]

Atribuyendo á las cuatro incógnitas los valores mínimos, esto es, haciendo \( u = 1, x = 2, \gamma = 3, \zeta = 4 \), tendremos:

\[
1 + 2 + 3 + 4 = 9
\]

ó sea,

\[
10 = 9,
\]

lo cual es absurdo, y como los valores atribuidos á las incógnitas son los menores posibles, la suma 10 no puede disminuir, y, por lo tanto, el problema es insoluble.

 Nótese que el absurdo procede de que la suma de las partes resulta mayor que el todo; de manera que, siempre que se trate
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 7

pecarlo la lectura del libro examinado, en el cual veo á veces aplicado el calificativo de científico á cosas que yo no llamaría más que racionales; pero esto importa poco para el caso. Coincidimos en la aspiración; y la del Sr. Rodríguez, tratando afanosamente de buscar fundamentos científicos á la Metodología—tal es la característica del libro—es por todo extremo plausible y redentora.

Y hay que reconocer que esa aspiración la realiza el autor á maravilla, en lo que cabe. Yo, que nunca he podido leer sino trabajosamente y bostezando, los tediosos tratados de Metodología que contienen todas las Pedagogías que han caído en mis manos, he leído y saboreado la obra del Sr. Rodríguez con vivo y excelente deleite. En esa obra rompe el autor "los confusos moldes de la Pedagogía tradicional, y de la Pedagogía moderna, en lo que á ese asunto se refieren.; sepárase del camino trillado, se desembaraza de todo el farrago que ha venido acumulándose por los pedagogos relativamente á tan interesante cuestión, y poniendo su poderosa inteligencia en contacto y frente á frente de la vida docente, de la realidad escolar, va, animado de un fino espíritu crítico y de una perspicaz observación, asentando los fundamentos científicos de la futura Metodología y determinando su objeto y su concepto, seguro como lo está, y con razón, de la extremada importancia que esa determinación tiene para el establecimiento y progreso de la ciencia que estudia, de la cual afirma que apenas si existe en mantillas.

He de hacer notar, sin embargo, que el intento de escribir una Metodología científica ha de resultar hoy, en cierto modo, vano, por la sencilla razón de no haber una psicología y una lógica que merezcan el nombre de científicas. Es indudable que la Metodología (que cae dentro de la que yo llamo esfera artística de la Pedagogía) ha de marchar necesariamente pari-passu de la psicología y de la lógica (que conciernen á la esfera propiamente científica de la Pedagogía).

Ya sé yo que hay quienes así no opinan, y conozco los motivos que para ello tienen y alegan; mas yo pienso que toda obra de pauta, de planeamiento, de régimen, de orden, de previsión, ha de ir y va indefectiblemente guiada, condiciona-
La Escuela moderna (Madrid) (1898-04-01 00:00:00), página 70

de dividir un número en partes enteras, positivas y distintas, será preciso, para que el problema tenga solución, que el número que se intente dividir no sea menor que la suma de los mínimos, esto es, de la serie de los números naturales tomados hasta donde nos indique el número de partes.

Como esa serie forma una progresión aritmética, podremos aplicarle, para hallar la suma de todos los términos, la fórmula de dicha clase de progresiones, que es:

\[
S = \frac{(a + u)n}{2}
\]

representando \( a \) el primer término, \( u \) el último, \( n \) el número total de términos, y \( S \) la suma de todos ellos.

Pero en el presente caso \( a \) es constantemente igual 1 y \( u = n \), y, por consiguiente, la fórmula queda transformada en esta otra:

\[
S = \frac{(n + 1)n}{2}
\]

o bien,

\[
S = \frac{n^2 + n}{2}
\]

De modo que, siempre y cuando la semisuma del cuadrado del número de partes, aumentado en este mismo número, sea mayor que el número propuesto, el problema será insoluble. Así, si nos proponemos dividir el número 25 en siete partes desiguales, enteras y positivas, tendremos \( 8 \times 7 = 56 \), cuya mitad es 28; y como este número es mayor que 25, el caso carece de solución.

Propongámonos ahora dividir el número 10 en cuatro partes enteras, positivas y diferentes. Atribuyendo á las incógnitas de la ecuación

\[
v + x + y + z = 10
\]

los valores mínimos, se tiene:

\[
1 + 2 + 3 + 4 = 10
\]

o sea,

\[
10 = 10;
\]