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y por los mismos grados y medios que las referidas operaciones, con otra cualquiera clase de números concretos, tanto enteros como decimales.

También parece excusado agregar que la única excepción de todo lo dicho en esta parte de nuestro trabajo, es el conocimiento completo del sistema monetario y el de tiempo, así como el de las unidades dinámicas y eléctricas, que no siguen en su formación la misma ley del sistema de numeración decimal. Esto no hay más remedio que estudiarlo separadamente y dejarlo para cuando se trate del aprendizaje de los complejos ordinarios.

Los problemas.

La resolución de problemas es asunto que no suele descuidar ningún maestro comprendiendo su importancia práctica. Como que ello es uno de los fines principales que se persiguen con la enseñanza de la Aritmética.

En la mayoría de las escuelas que yo he visitado suelen destinarse clases especiales á este fin.

Yo no dedico á ello lecciones especiales; pero en cambio llevo hasta la exageración (si exageración puede haber en ello) el empeño de que mis discípulos resuelvan numerosos y variados problemas.

En mi programa de Aritmética se proponen y exigen problemas desde el principio hasta el fin. Y no sólo reservándolos para después de cada operación ó de cada parte de la Aritmética, como es lo común, sino á medida que los niños van conociendo los números y los diversos casos de cada operación.

Claro es que estos problemas están dispuestos y distribuidos con la misma gradación que la Aritmética toda. Así, por ejemplo, en el primer ciclo los problemas versan sobre números que no pasen de diez, mientras que en el último entran números de millares y millones. En el primer grado tienen como base unidades concretas muy conocidas y cálculos sencillitos; en el último abarcan ya toda clase de unidades y todas las aplicaciones conocidas en el comercio, la banca, etc., etc.
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Los problemas de los parvulitos están limitados á lo que puede observar á su alrededor; los de los adultos tienen por campo todo el planeta y hasta los espacios siderales.

Procedimientos.

A los procedimientos que pudiéramos llamar generales y que todos los maestros conocen y se exponen en los buenos tratados de Pedagogía, deben agregarse otros especiales y particulares, bien numerosos por cierto, que cada maestro, y hasta cada niño, se inventa para resolver las múltiples dificultades que á cada momento se presentan.

En la suma, por ejemplo, lo general es valerse de los dedos de la mano, de las bolas del tablero y del aprendizaje de la tabla de sumar á fuerza de repeticiones. Yo me valgo, con preferencia á la tabla, de hacer practicar á los niños sumas con números hasta 100, en esta forma:

\[
\begin{align*}
1 + 2 - 3, 3 + 2 = 5 & \quad 5 + 2 = 7 \text{ etc.} \\
2 + 2 - 4, 4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8 & \\
1 + 3 = 4, 4 + 3 = 7 & \quad 7 + 3 = 10 \\
2 + 3 - 5, 5 + 3 = 8 & \quad 8 + 3 = 11 \\
3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9 & \quad 9 + 3 = 12 \\
1 + 4 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11 &
\end{align*}
\]

Y así sucesivamente hasta apurar todas las combinaciones posibles ó la mayor parte de ellas.

Para el aprendizaje de la tabla de multiplicar empleo un procedimiento más lento que el ordinario, pero de seguros resultados.

Empiezo por hacer que los niños cuenten objetos de dos en dos hasta veinte y que escriban los números que vayan resultando.

Luego les hago contar mentalmente de dos en dos hasta veinte y descontar de veinte á cero.

Después les presento la multiplicación del 2 por escrito y se la hago copiar y aprender de memoria en orden directo, en orden inverso y saltando.
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Y, por último, les propongo problemas de multiplicar dígitos en que entre el 2 como factor.

Cuando está bien aprendido el 2 pasan al 3 por los mismos procedimientos, luego al 4, y así sucesivamente hasta el 10.

Termino con el estudio (repaso, puede decirse) de toda la tabla de multiplicar en conjunto y resolución de nuevos problemas por escrito y mentalmente, cuyos dos factores sean dígitos ó simples.

Pues bien; como esos empleo yo y emplean muchos maestros otros varios procedimientos particulares que no es posible enumerar aquí.

Pondremos fin á este ya largo artículo con una invitación y una declaración.

Aquellos de nuestros compañeros que quieran conocer más detalladamente y con mejor orden el método que hemos bosquejado, tienen siempre á su disposición nuestro Programa cíclico de Aritmética, que les facilitaremos gustosos y sin pretensiones.

A fuer de sinceros hemos de declarar que el método cíclico que nosotros empleamos y de cuya bondad para la enseñanza en general estamos plenamente convencidos, si facilita al niño su trabajo, aumenta en cambio el del maestro, sobre todo no teniendo programas ni libros dispuestos con arreglo á sus principios.

R. EMILIO GONZÁLEZ,
Maestro Normal.

LAS ABEJAS

Una colmena de 30.000 abejas puede labrar casi un kilo de miel por día. ¿Cuál no será la actividad de sus habitantes? Se ha observado que, en el buen tiempo, una obrera hace de seis á diez viajes diarios, visitando cuarenta á ochenta flores y recolecta así \( \frac{1}{10} \) de grano de néctar, ó, lo que es lo mismo, una abeja necesita en buenas condiciones quince días para recoger un grano de néctar. Para fabricar un kilo de miel y llenar 30.000 celdillas próximamente del panal, emplearía más de tres años. En compensación de este pequeño trabajo y tan penoso, está el número de trabajadoras; una colmena de 30 000 abejas, de las cuales sólo la mitad preparan la miel y visitan cada día cerca de un millón de flores, puede producir más de un kilo de miel diario.
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LAS FIESTAS MOVIBLES

Después de la corrección hecha en el calendario por los hermanos Luis y Antonio Lulio, naturales de Calabria, patrocinada por el Papa Gregorio XIII en 1582, publicóse veinte años más tarde, en 1603, por Cristóbal Clavio, un volumen en folio de setecientas y pico de páginas, para explicar la fijación de las fiestas movibles y demás del calendario gregoriano. Sacáronse de dicho libro las fórmulas y conveniente explicación más ó menos abreviada, que leemos en las obras de Geografía, apelando al ciclo lunar, durco número, epacta, letra dominical, etc.; esto es, á una serie de símbolos de muy prolíja explicación, pues como el calendario religioso está arreglado al movimiento de la luna y no caen las fases lunares en los mismos días todos los años, resulta de aquí la diversidad de fechas en que se celebran las principales fiestas, dependientes, como es sabido, de la Pascua de Resurrección.

Debe celebrarse esta Pascua, según lo resuelto en el Concilio de Nicea del año 326, en el domingo siguiente al primer plenilunio que ocurra después del equinoccio de primavera, por lo cual oscila dicha festividad entre el 21 de marzo y el 25 de abril.

Nada tan sencillo como el método ideado en 1800 por Gans, profesor de Gotinga, para fijar el día de la Pascua, que por ser muy poco conocido nos complacemos en exponerlo brevemente, aplicándolo luego á la determinación de las fiestas correspondientes al próximo año 1898.

Los guarismos del año propuesto se dividen por 19, 4 y 7,
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Llamando á los residuos que se obtengan de estas divisiones \(a\), \(b\) y \(c\), respectivamente:

(1) r. de \(\frac{x}{19} = a.\) (2) r. de \(\frac{x}{4} = b.\) (3) r. de \(\frac{x}{7} = c.\)

Luego se divide \(19a + m\) por 30, llamando \(d\) al residuo, debiendo tener en cuenta que \(m\) vale en nuestro siglo 23 (y en el venidero 24).

(4) r. de \(\frac{19a + m}{30} = d.\)

Y, por fin, la última división tiene por dividendo á \(2b + 4c + 6d + n\) (siendo \(n\) igual á 4 en el presente siglo y será 3 en el próximo), todo ello partido por 7, denominando \(e\) al residuo que se obtenga.

(5) r. de \(\frac{2b + 4c + 6d + n}{7} = e.\)

Hecho todo lo cual, indicará el día de Pascua cualquiera de las dos fórmulas siguientes:

\(22 + d + e\) de Marzo, ó bien
\((d + e) - 9\) de Abril

Debiendo observar que si cayera la Pascua en 26 de abril, deberíá descontarse una semana para fijar su celebración, ó lo que es igual, recaería en el 19 de dicho mes.

Apliquemos ahora las fórmulas expuestas al próximo año 1898:

(1) residuo de 1898: 19 = 17.
(2) " de 1898: 4 = 2.
(3) " de 1898: 7 = 1.
(4) " de \([19 \times 17] + 23]: 30 = 16\)
(5) " de \([2 \times 2) + (4 \times 1) + (6 \times 15) + 4]: 7 = 3.\)
Pascua: \(22 + 16 + 3 = 41\) de Marzo, ó sea 10 de Abril,
ó bien \((16 + 3) - 9 = 10\) de Abril.
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Conocida esta festividad, quedan determinadas todas las otras, porque distan siempre el mismo número de días de la principal; así, tendremos que sólo cambiará la fecha del día y mes, pero no el día de la semana, que es domingo para la mayoría, jueves para dos (Corpus y Ascensión), cayendo una en miércoles (la de Ceniza).

Fiestas anteriores á la Pascua.

Domingo de Ramos (menos una semana), el 3 de abril.
Idem de Pasión (—2), el 27 de marzo.
Primer domingo de Cuaresma (—6), el 27 de febrero.
Carnaval (—7), el 20 de Febrero.
Miércoles de Ceniza (el inmediato á Carnaval), el 23 de febrero.
Sexagésima (—8), el 13 de febrero.
Septuagésima(—9), el 6 de febrero.

Fiestas posteriores á la Pascua.

Cuasimodo (más una semana), el 17 de abril.
Pentecostés (+7), el 29 de mayo.
Trinidad (+8), el 5 de junio.
Corpus (el jueves siguiente á la Trinidad), el 9 de junio.
Ascensión (el sexto jueves, ó sea 40 días después de Pascua), el 19 de mayo.

Tómense ahora del Santoral los Santos de cada día, y del Anuario del Observatorio de Madrid la indicación de los fenómenos astronómicos, é intercalando en el lugar correspondiente fríos en enero, vientos en marzo, calores en julio y tempestades en septiembre, tendremos íntegra la receta para confeccionar calendarios al uso.

A. de T.
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA

CAPÍTULO VI

Del cociente.

561. Llámase cociente al resultado de la división.

El agregado y el resto de los números abstractos se obtiene comparando cifras semejantes, y en los concretos las semejantes de números homogéneos: en el cociente, lo mismo que en el producto, no son precisas tales condiciones, pues la suplen con su especial procedimiento.

Dividir es hallar un número (cociente) que, multiplicado por el divisor, dé un producto igual al dividendo. O dado un producto de dos factores y uno de éstos, hallar el otro factor (1).

De estas definiciones, universalmente aceptadas, se ha inferido que la división es operación enteramente opuesta á la de multiplicar. No impugnamos esta opinión, pero intentaremos demostrar que el cociente es de la misma naturaleza que el producto, que es una manera especial de producto, y, por lo tanto, debe ser hallado por análogo procedimiento que éste.

Lo mismo que en el producto, en el cociente es preciso hallar y determinar su valor absoluto, su valor relativo y el signo que le corresponde.

El valor absoluto y el relativo del cociente se halla por la regla vulgar. Esto no obstante, investigaremos cuanto á los mismos con-

(1) Del libro citado:
•La cuarta especie y regla general de Aritmética se dice partir, y no es otra cosa partir un número por otro, sino buscar otro número tercero que se haya con la unidad en tal proporción como el número que partidésemos con el partidor: como si partidésemos 8 á 2, digo que lo que cupiere se habrá en tal proporción con la unidad, como se ha el 8 (que en este ejemplo es la partición) con el 2, que es el partidor..
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cierne, principiando por el orden resultante de la combinación de los del dividendo y del divisor, cual lo hemos hecho respecto al producto.

El valor absoluto de cada cifra del cociente se calcula valiéndose en sentido inverso de la tabla de multiplicar. La cifra del cociente será aquella cuyo producto por el divisor sea igual al dividendo parcial de que procede, ó inferior á éste en una diferencia menor que el divisor.

El valor relativo de la cifra del cociente se determina aplicando este

57. Principio: el orden de la cifra del cociente es superior ó inferior al primero ó principal en tantos grados como el orden de la cifra comparada del dividendo sea superior ó inferior á la cifra comparada del divisor. Es decir, que el orden del cociente es al de la unidad como el del dividendo es al divisor.

El valor relativo del cociente y del producto deriva del de los datos, según la relación que establecemos comparativamente en la siguiente:

Proposición: El orden de la cifra del \{ \begin{array}{l} \text{producto} \\ \text{cociente} \end{array} \} es al del multiplicando \{ \begin{array}{l} \text{de la unidad} \\ \text{multiplicador} \end{array} \} como el orden de la cifra comparada del dividendo \{ \begin{array}{l} \text{de la unidad.} \\ \text{del divisor.} \end{array} \}

Y como existe la misma relación para los valores absolutos y para los signos, se puede decir:

\[
\begin{array}{l}
\text{producto} \quad \text{es á} \quad \text{multiplicando} \\
\text{cociente} \quad \text{como} \quad \text{unidad} \\
\text{multiplicador} \quad \text{es á} \quad \text{unidad.} \\
\text{dividendo} \quad \text{como} \quad \text{divisor.}
\end{array}
\]

Si llamamos \( a \) al multiplicando, \( b \) al multiplicador y \( p \) al producto;
\( a' \) al dividendo, \( b' \) al divisor y \( c \) al cociente, dicho enunciado le podremos representar por estas proporciones:

\[
\begin{array}{l}
p : a :: b : 1 \\
c : 1 :: a' : b'
\end{array}
\]
formando los productos de los extremos y de los medios, será:
\[
\begin{array}{l}
p \times 1 = ab \\
cb' = 1 \times a'
\end{array}
\]
trasponiendo y reduciendo
\[
\begin{array}{l}
p = ab \\
c = \frac{a'}{b'}
\end{array}
\]

Resultados que demuestran las reglas y corrobora la afirmación que en los Preliminares asentamos. Esto es, que tanto la multi-
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plicación como la división son verdaderas proporciones geométricas en las que uno de sus términos es la unidad.

Concretemos el orden del cociente con algunos ejemplos:

1.º Si nos proponemos dividir decenas por décimas, el dividen-
do D es superior en dos grados al divisor d, luego el cociente re-
sultará superior á la unidad en dos grados, es decir, será centenas.

2.º Si se dividen décimas por centenas, siendo el diviendo in-
ferior en tres grados al divisor, el cociente resulta tres órdenes
inferior á la unidad, esto es, dará milésimas.

a) \( \left\{ \begin{array}{l}
9 P : 3 P = 3 P; \text{ porque } 3 P \times 3 P = 9 P \text{ de } P = 9 P. (\text{dividendo}). \\
8 C : 2 C = 4 P; \text{ porque } 4 P \times 2 C = 8 P \text{ de } C = 8 C. (\text{id.}) \\
8 c : 4 c = 2 P; \text{ porque } 2 P \times 4 c = 8 P \text{ de } C = 8 c. (\text{id.})
\end{array} \right. \)

b) \( \left\{ \begin{array}{l}
6 C : 2 P = 3 C; \text{ pues } 3 C \times 2 P = 6 C \text{ de } P = 6 C. (\text{id.}) \\
8 c : 2 P = 4 c; \text{ pues } 4 c \times 2 P = 8 c \text{ de } P = 8 c. (\text{id.})
\end{array} \right. \)

c) \( \left\{ \begin{array}{l}
8 P : 4 C = 2 c; \text{ porque } 2 c \times 4 C = 8 c \text{ de } C = 8 P. (\text{id.}) \\
9 P : 3 c = 3 C; \text{ pues } 3 C \times 3 c = 9 C \text{ de } c = 9 P. (\text{id.})
\end{array} \right. \)

Compruébense por el principio (núm. 57) los resultados de los precedentes ejemplos, á fin de familiarizarse con este procedi-
miento. De los mismos, deducimos las siguientes

Consecuencias:
a) Siendo semejantes diviendo y divisor, sean enteros, múlti-
pos ó partitivos, el cociente resulta entero.
b) Si el divisor es entero, el cociente resulta semejante con el diviendo.
c) Si el diviendo es entero y no lo es el divisor, el cociente
resulta de los mismos grados del divisor, pero invertidos; esto es,
contados desde el orden de la unidad, en sentido contrario al del
divisor.

En todo caso, aplicando el principio (57) se determina con sen-
cillez y claridad el orden de cada cifra del cociente.

58. La indicación ó fórmula de la división es esta igualdad:
\[
\frac{\text{dividendo}}{\text{divisor}} = \text{cociente}; \text{ ó } \frac{a}{b} = c; a = c \times b; \text{ porque según la de-}
\]
finición, el diviendo a es un producto del factor divisor b y del
factor cociente c.

Esto confirma que en una igualdad el número que funciona
como divisor en un miembro puede pasar al otro como factor.

El divisor b que figura en la igualdad \( \frac{a}{b} = c \), pasa como fac-
tor al otro miembro y será: \( a = c \times b \); porque multiplicando por
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cuando quieren; respiran ordinariamente sin querer, pero también queriendo cuando se resuelven á ello; la voluntad no rige directamente la acción peristáltica del esófago, del estómago ó de los intestinos, ni la función de las glándulas que elaboran y secretan los jugos digestivos, pero puede promoverse su actividad con sólo ingerir sustancias alimenticias; tampoco la circulación de la sangre está regulada por las excitaciones inmediatas de la voluntad; pero ya se ha visto que se la puede retardar, acelerar, solicitar su aflujo á puntos determinados, mediante ejercicios voluntarios adecuados, de lo que se deduce que también indirectamente se puede influir en la nutrición de los tejidos, por más que las operaciones fisiológicas y químicas que la constituyen no obedezcan al poder volitivo.

Ahora bien; de las verdades que he enunciado á la ligera se derivan estas conclusiones generales relativas á la gimnástica:

1. Los ejercicios físicos aumentan el vigor del cuerpo como los mentales aumentan el vigor del encéfalo.
2. Se puede influir voluntariamente en el estado de la salud por medio de ejercicios físicos.
3. La acción de los ejercicios gimnásticos es más necesitada por una clase de personas que por otras. Las personas débiles la necesitan para fortificarse; las que tienen algún vicio de conformación ó de constitución, para corregirlo. Quienes menos la necesitan son las personas sanas, bien conformadas, que no se ocupan habitualmente en trabajos perjudiciales á la conformación ni á la constitución, que no están habitualmente inactivas, y cuya acción habitual esté convenientemente repartida entre el cerebro y el resto del cuerpo.
4. En las personas que carecen de defectos ingénitos y cuyo modo de vida es tal que no cause desequilibrio en las fuerzas del cuerpo y de la mente, la gimnástica debe aplicarse á todas las funciones. Les hará daño el ejercicio de unos órganos con exclusión de otros. Merecen citarse especialmente, por su importancia excepcional, estos casos nocivos: a) ejercitar ordinariamente los centros nerviosos y no en pro-
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b los dos miembros de la igualdad \( \frac{a}{b} = c \), dará \( \frac{a}{b} \times b = c \times b \); pero en el primer miembro \( b \) que multiplica y \( b \) que divide, se anulan, y queda \( a = c \times b \).

Alteraciones del cociente por las que experimentan el dividendo y el divisor.

59. De la definición (56) y del principio, se deducen las siguientes propiedades:
1.º Si permaneciendo invariable el divisor se multiplica ó divide el dividendo por un número, el cociente resulta multiplicado ó dividido por el mismo número.
2.º Si permaneciendo invariable el dividendo se multiplica ó divide el divisor por un número, el cociente resulta dividido ó multiplicado por el mismo número.
En efecto. Nos consta la exactitud de esta igualdad:

Dividendo = cociente × divisor.

1.º Si uno de los miembros de esta igualdad (el 1.º dividendo) se multiplica ó divide por un número, sólo podrá subsistir la igualdad multiplicando ó dividiendo también el otro miembro por el mismo número. Mas como se ha de cumplir la condición de que el divisor, que es uno de los factores que forman el otro miembro, ha de permanecer inalterable, precisamente habrá de ser multiplicado ó dividido el otro factor, que es el cociente.
2.º Si permaneciendo invariable el dividendo (primer miembro), el divisor (factor del segundo) se multiplica por un número, será preciso dividir por el mismo el cociente para que subsista la igualdad; y si se divide el divisor se multiplicará el cociente.
Consecuencia: Si el dividendo y el divisor se multiplican ó dividen por un mismo número, el cociente no varía, pues que si varia, se destruiría la igualdad; pero el resto resulta multiplicado ó dividido por el mismo número.

Cocientes conjugados.

60. Teorema. Si se invierte el orden de los términos de la división, esto es, si se toma el divisor como dividendo y el dividendo como divisor, el cociente que se obtiene (al que daremos el
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nombre de inverso), multiplicado por el directo (de los términos no invertidos), da un producto igual á la unidad.

Si llamamos a al dividendo, b al divisor, c al cociente directo, y c' al inverso, será:

\[
a : b = c \quad b : a = c'
\]

Multiplicando término á término estas dos igualdades, tendremos:

\[
a \times b ; b \times a = c \times c'; ab : ba = cc'; \text{pero } ab : ba = 1; \text{luego } c = cc'. \text{El producto del cociente directo por el inverso, ó sea de los cocientes conjugados, es igual á la unidad.}
\]

Corolario. Si la unidad se divide por el cociente de una división, se obtendrá otro cociente igual al que resulta tomando el divisor por dividendo y el dividendo por divisor, porque el producto del uno y del otro por el divisor, es igual á la unidad.

EJEMPLO

380 : 5 = 76; 1 : 76 = 0'013157894 ...

Cociente directo 76 × inverso 0'013157894 = 0'9999999944 = 1.

Si la última cifra 4 del cociente inverso se hubiese hecho 5 para aproximar por exceso, habría resultado la unidad aumentada en 2 diez millonésimas.

Signo del cociente.

61. Cuando el dividendo y divisor son positivos, ya sean enteros, múltiplos ó partitivos, el cociente resulta positivo.

Así:
\[
\frac{+ a}{+ b} = + c; \text{porque } + c \times + b = + a.
\]
\[
\frac{- a}{- b} = + c; \text{porque } + c \times - b = - a.
\]
\[
\frac{- a}{+ b} = - c; \text{porque } - c \times + b = - a.
\]
\[
\frac{+ a}{- b} = - c; \text{porque } - c \times - b = + a.
\]

Esto es, que si el dividendo y divisor son del mismo signo, el cociente resulta positivo; y si aquéllos son de signo contrario, el cociente resulta negativo.
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Sean los dos términos positivos ó negativos ó uno positivo y otro negativo: los valores absoluto y relativo del cociente se expresan de igual modo; lo único que puede variar, según los casos, es el signo.

El estudio del cociente en sus múltiples relaciones, derivaciones y aplicaciones, constituye la parte más esencial de la Aritmética; y con el fin de hacerle tan completo y metódico como nos sea posible, le dividiremos en dos partes principales:
1.ª Propiedades generales de los divisores enteros.
2.ª Propiedades y aplicaciones de los divisores y cocientes aproximados.
La primera sección de los divisores enteros la subdividimos en:
Propiedades generales.
Números primos.
Caracteres de divisibilidad.
Factores simples y compuestos.
Máximo común divisor.
Mínimo común múltiplo.
Abreviaciones de la división.
Procedimientos especiales de la división.
Fracciones comunes.
Segunda división:
Divisores y cocientes aproximados.
Razones, proporciones y progresiones.
Caso especial de las raíces numéricas.
El estudio razonado y demostrado de todas estas teorías pertenece á la Aritmética. Aquí nos limitaremos á definir y enumerar propiedades generales, y á exponer algunos procedimientos y reglas, producto de la propia investigación.

Propiedades generales de los divisores enteros.

62. Todo número es divisible por sí mismo y por la unidad. Dividido por sí mismo, da por cociente la unidad; dividido por la unidad, resulta para cociente el mismo número:

\[
8 : 8 = 1; \quad 8 : 1 = 8.
\]

Todo número divisible por dos, es número par. Impar es todo número que no se puede dividir por dos, sin fracción de la unidad.
El número par puede ser dividido en dos partes pares ó impares.