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ven, la gran fantasía sobre motivos de "Los Pujos de Pilatos", "El Idealismo absoluto de Hegel...".

—¿También el Idealismo?...

—Sí, hombre, sí. Lo absoluto, la substantividad, la inde terminación, la neutralidad á vueltas con la integridad, la unidad, la indivisión, la relatividad, relacionadas al Todo; pero fíjate bien, AL TODO de su género. ¿Entiendes tú estos galimatías metafísicos?

—Vamos: "El todo, como todo, ni progresá, ni regresa, ni se estaciona, sino que es totalmente y del todo el que es en la totalidad del tiempo, y en relación absolutamente igual sobre todos los tiempos, sin exclusiones diferenciales negativas... No recuerdo más.

—Algo semejante. A la verdad, yo no entiendo gran cosa estas garambainas, pero me suenan bien; aunque no acierto á expresar fielmente mis impresiones. Ello es que, de buenas á primeras, me produjo admiración, como si contemplase un soberbio monumento; pero luego que principié á fijarme en los bloques más salientes de tal fábrica, siento resquemores y escrúpulos de haber tan á la ligera cedido al exterior atractivo, sin haber antes comprobado los títulos de legitimidad que á mi admiración tuvicre.

Te lo repito; yo no sé qué noto de extraño ó antipático en ese artículo que, aun cuando me hubiere sido dable el producirle, no me habría atrevido á firmarle.

—Podrá ser debido á que entiendas que toda esa teoría general, tan minuciosamente desenvuelta, cuadra sin excepción en el examen ó análisis de todo vocablo, y es, por lo tanto, lugar común, tópico, que tiene puesto asignado en los prélimos de una obra fundamental; pero que así parece ridículo postizo, y más si se pretende hacerle pasar como de cosecha propia, y se trae aparatosamente para iniciar un particular extremo tan insignificante de suyo, y que además ha perdido ya toda novedad.

—Así es: luego, ¿qué premio merece quien insiste en lucirse con tales piruetas y escarceos, censura á los que se desentienden de ese su... fárrago trufado, y que, desbordándose por todas las boqueras de la altivez, y menospreciando á las
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autoridades clásicas, provoca á cuestiones baldías como si no tuviéramos asuntos graves en estudio? ¿Qué diría si se le paga se en su misma moneda, salvando toda conveniencia de clase y con la petulancia é inconsideración con que él trata al universo mundo, al Magisterio, y, en particular, al señor Calvo?

—Entretente con el rabo, y déjate de filosofía moral y sociológica. Además, que no conoces el pensamiento total de dicho señor por la falta de su segundo artículo.

—Pues, vuelvo á repetir, que su primero no lo entiendo, y se me figura un enorme cachalote de cabeza desmesurada y...

—Rabo chico. ¿Conque tú no entiendes su contenido, ni te lo explicas claramente? ¡Y consideras que podrán entenderlo mejor que tú, los alumnos y las alumnas, cursantes de primer año, que por Reglamento son las víctimas designadas para el sacrificio?

—Precisamente se me estaba ocurriendo la misma reflexión; pero me has tomado la delantera, y es que no me dejas hablar...

—Pues no vuelvas á divagar, y despáchate á tu gusto: soy mudo y todo oídos.

—Convenido: hablarás cuando te interrogué.

Juzgando de primera intención y sin perjuicio de rectificar mi parecer, según fuere la resultante final de estas pueriles disquisiciones, infiero que tenemos en puerta la exhibición, con todo el aparato de una great atrattion, de otro mons parturiens, gestado laboriosamente al calor de avasallantes anhelos de notoriedad. La rana que aspirando viento pretende superar la corpulencia del buey. La mis en scene se ha estudiado cuidadosamente: anuncios y preludios rimbombantes, notas ditirambicas y trapo rojo citando al bicho (al Magisterio). Acude incautamente al engaño el compañero jerezano Calvo y Gómez, armado á lo Nebrija y Salvá, con aire modesto, respetuoso y hasta tímido, y al ver tal continente, el diestro, excusando el trasteo, le suelta un golletazo monumental, eso sí, ayudándole á bien morir, propinándole salubres lecciones; y acto continuo se encara con el público, endilgándole esta arenga: "Ahí tenéis á la pítrima y aquí (pal-
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meándose el pecho) mi Substantividad, ofreciéndose la tesis salvadora del mundo "El pronombre se haciendo veces de sujeto, la cual tesis he sostenido, sostengo y sostendré sin miedo á que nadie pueda oponerme en contra ninguna razón merecedora de tal nombre."

—¡Cañamones!

—No me interrumpas. Y tras esto dispone (y es efectuado) que sea impreso en periódico profesional de gran circulación el cartel de desafío á cuantos se atreven á medir sus armas con el campeón vincitor, sirviéndose á la vez su Pomposidad hacer que sean proclamados, urbi et orbe, su nombre preclaro, los gloriosos timbres de su profesión bifurcada, y las señas de su domicilio, en principal.

—¡Córcholis!

—Chito. Asimismo se cuida de que en una misma plana del propio periódico, aparezca inserta, con lujo de detalles, la reseña de Las Conferencias pedagógicas, celebradas en la Perla del Turia bajo la presidencia de este fenómeno del siglo xix. Es una recopilación minuciosa de esos ecos de plantilla que las trompetas regionales de la fama entonan, cual obligado estribillo de semejantes comedias; en la que, como nota de gran efecto, se hace sentir vibradora, fuerte y penetrante, la de que, por no haber solicitado disertar ningún maestro ni maestra, sobre los temas puestos á discusión, él, en funciones de Juan Palomo, se lo hizo todo, improvisando discursos tales (¡improvisando!) que fueron la admiración de propios y extraños, incluso los catedráticos del Instituto y de la Universidad. Unicamente el auxiliar de la práctica, á lo que parece de orden de su jefe, se atrevió á ganir: "esta boca es mía." En resumen: que ha habido asamblea de Maestros sin participación de éstos, y en la que sólo pitaron un requinto y un serpentón, un Profesor y un Auxiliar (me carga eso de Profesor, cuando magister, como nombre, que es de lo que se trata, se levanta muchos codos sobre minister, tantos como el más sobre el menos); y tengo para mí, que no ha de faltar malicioso que atribuya el retraimiento de los excelentes compañeros de allá, entre los que figuran eminencias de la clase, á delicadeza e inteligencia convenidas, en evita-
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ción de probable escándalo, sabiendo cómo las gasta el señor.
¿Qué juicio formas de todo esto?
—¡Cara...coles! que me tenías reventando. Si tú eres otro Palomo, ¿qué quieres que diga sino amén?: pero si he de ser sincero, me parece que has estado vehementemente en demasía y algo exagerado, sin haber motivo para tanto.
—¿Ahora sales con esas? Con que para ti no supone nada la perrada que le están fraguando al compañero Calvo, maestro, por todas sus cabales, de escuela de término! ¡Quién y cómo se la hace?
—¡Cara...mba! Ya echastes las del costal.
—Y ¿serás también capaz de dejar de poner en la balanza de la consideración, esos desplantes de arrogancia y menosprecio, ese desdén á todas las autoridades en la materia, y lo demás que textualmente he citado? Afortunadamente traigo conmigo ese número: voy á leerle el cartel.
—Déjame de chiladuras; si algo quieres leer, lee el artículo.
—Es el cuarto de la serie, y, á lo que creo, el tercero del cometa, y dice:
—"Agradezco al señor Calvo su cortesía y las benévolas frases que me dirige.
„La consideración que por esto se merece, no ha de impedir, sin embargo, la censura que me veo precisado á dirigir á su artículo, por la falta de doctrina y la sobra de errores que en el mismo se contienen...„
—¡Alto! Otro que yo te diría: "ya está jugado: échale d estudiar gramática, pues la por ti llamada estrella de rabo ha sufrido total eclipse, al desprenderse de la gran nebulosa, de esa especie de vía láctea filosófica de que se nutría." Mas yo, por el contrario, afirmo que, con ligeras variantes, firmaría los dos párrafos; y si procedo á criticarlos, es sólo por dar una ligera idea de la futilidad de ciertas discusiones, en las que para obtener poco ó ningún provecho, se malgasta el tiempo, y raras veces se logra que ninguno de los contrincantes ceda y abandone su posición respectiva.
Primer párrafo. "Agradezco al Sr. Calvo su cortesía y las benévolas frases que me dirige."
El autor se propone formular á regañadientes el más seco
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y lacónico cumplido, para emprender inmediatamente la censura; y, sin embargo, le ha resultado ripioso, anfibológico e incorrecto.

¿Qué agradece el autor al Sr. Calvo? Dos cosas: 1.ª su cortesía, y 2.ª, sus benévolas frases.—¿Y por qué se las agradece? —porque al autor las dirige, circunstancia que sin expresarla se sobreentiende, por ser dos solos los interlocutores: luego debió decir “Agradezco al Sr. Calvo su cortesía y sus benévolas frases”, y aún mejor atendiendo al ritmo y á la eufonía: “Agradezco al Sr. Calvo su cortesía y frases benévolas”, pero estimó de la más alta importancia el expresar que al autor y nada más que al autor, el Sr. Calvo dirigía su cortesía y frases benévolas; y, por esto, añadió el apéndice caudal “que me dirige”; con lo que, ¡cualquiera se atreve á discernir, mediante razonado análisis, el infundio que le ha salido!

No cabe duda que resultó una proposición lógica con un término esencial duplo; luego desdoblándola, tendremos:

“Agradezco al Sr. Calvo la cortesía que me dirige,”, y “Agradezco al Sr. Calvo las frases (benévolas) que me dirige.”

Mas como el autor, á pesar de haber presijado por el posesivo su, el término cortesía, deja, sin embargo, en su indefinición al otro término homólogo frases benévolas, ya no puede copularlos con relación á la determinativa de relativo “que me dirige”; porque si bien es lícito decir “las frases que me dirige”, no puede tolerarse “su cortesía que me dirige”.

—¡Futro!... pues es verdad. ¡Ojo!, que sordudo se escribe con ele.

—Continuemos:
“La consideración que por esto se merece...,
—¡Canastos!, si será ese se un nominativo disfrazado... ¿quieres que le presente en el gabinete antropométrico de Valencia para...
—Si continúas así... hago punto.
—¡Hombre, ¡por Dios!, sigue, que haré por comprimirme.
—Sea. Efectivamente; ese se está disfrazado, pero no con el uniforme del todo de su género, sino con la ropa del descuido ó de la incorrección. Suplanta al caso terminal á mi del pronombre yo, y pugna por dejar un puesto que no es el suyo.
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La soberbia le amarró por los cabellos para no pagar á derechas un cumplido; y precisamente comete este atropello quien lleva la voz cantante en primera persona. Bien claro dice que Calvo merece la consideración por esto (el rendimiento de cortesía á él). Pues si nadie más que V. recibe esas atenciones y V. sólo es el obligado á considerarlas y pagarlas, aunque sea con la más sañuda censura, ¿por qué no escribe correctamente “La consideración que por esto ME merece?”, —¡Corcio! Esto es una gazapera.

“...no ha de impedir, sin embargo (ripio embargante), la censura que me veo precisado á dirigir á su artículo,... á dirigir d su artículo (¿qué tal?). Además, á los artículos no se les dirigen censuras, ni aun críticas, porque carecen de personalidad para recibirlas; la crítica se hace, la censura se impone; pero ni por correo, ni á la mano, ni en forma alguna, se deben dirigir á lo producido, sino al autor.
—¡Chúpate esa, Aristarco!

“...por la falta de doctrina y la sobra de errores (sic) que en el mismo se contienen”. Vuelta á las copulaciones ilegítimas y punibles ayuntamientos.

¿Por qué dirigirá la censura al artículo de Calvo? Por dos razones: 1.“, la falta de doctrina, y 2.“, la sobra de errores. ¿Y cómo ha venido en conocimiento de ello? Porque en el contenido del artículo ha notado ó descubierto esos dos grandes defectos, de un lado falta de doctrina, de otro sobra de errores, y aplica para los dos extremos copulados LA FALTA Y LA SOBRA, la determinación que en el mismo se contienen; y tenemos el más gracioso disparate: “por la falta de doctrina que se contiene (en el artículo)...!!!”, “por la sobra de errores que se contiene (en ídem)...!!!”.

La carencia de una cosa, señor nuestro, no es; y, por lo tanto, no puede estar contenida. Sólo cuando la falta de sustancia es llamada vanidad, se dice metafóricamente que está encerrada en ciertos cerebros. Los errores se hallarán en el artículo, pero no la sobra de ellos. ¡Dios mío, qué formas de expresión, qué filosofía y qué gramática!)

—¡Cataplúm!

P. NARCISO PALAFOX CARRICIL.
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA

CAPÍTULO XIII

Cuadrados y cubos, raíces cuadradas y cúbicas.—Procedimientos nuevos.—Crítica y rectificación de las fórmulas y reglas corrientes.

112. (Véase lo que dejamos expuesto en el número 54, pág. 78, bajo el epígrafe: Idea general de las potencias y raíces numéricas y de su notación.)

CUADRO DEMOSTRATIVO DE OBSERVACIONES Y HECHOS

    1.a
    2.a
    Cuadrados.
    Cubos.
    1.a
    2.a
    Cuadrados.
    Cubos.

    0
    0
    0
    0
    9
    9
    81
    729

    1
    1
    1
    1
    11
    21
    121
    1331

    2
    3
    4
    8
    12
    23
    144
    1728

    3
    5
    9
    27
    13
    25
    169
    2197

    4
    7
    16
    64
    14
    27
    196
    2744

    5
    9
    25
    125
    15
    29
    225
    3375

    6
    11
    36
    216
    16
    31
    256
    4096

    7
    13
    49
    343
    17
    33
    289
    4913

    8
    15
    64
    512
    18
    35
    324
    5832

    9
    17
    81
    729
    19
    37
    361
    6859

    10
    19
    100
    1000
    20
    39
    400
    8000

Este cuadro se limita á las dos primeras decenas, y está formado por cuatro columnas.
La primera columna la forma la serie ordenada de los números naturales, desde 0, 1, 2... hasta 20.
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La segunda columna la forma la serie ordenada de los números impares, desde 0, 1, 3... hasta 39.

La tercera los cuadrados correspondientes á los números de la primera columna.

La cuarta los cubos correspondientes á los números de la primera columna.

113. Observaciones.

1.a Cada número de la segunda columna expresa la suma de su correspondiente en la primera y el que está sobre éste. Así:
\( 3 = 2 + 1; \quad 5 = 3 + 2; \quad 7 = 4 + 3 \) etc.

2.a Cada número de la tercera columna es el cuadrado del que se halla en su misma línea horizontal en la primera columna: 16 es el cuadrado de 4; \( 25 = 5^2 \).

3.a Un cuadrado es igual á la suma del número impar de su alineación en la segunda columna, mas todos los que se hallen sobre éste. Así, \( 16 = 7 + 5 + 3 + 1 \).

4.a La columna de cuadrados puede formarse añadiendo á cada uno el número que le corresponde en la primera columna y el siguiente en la misma. \( 25 = 16 + 4 + 5; \quad 36 = 25 + 5 + 6 \); y también: si á un cuadrado se le añade el impar que sigue al de su alineación en la segunda columna, obtendremos el cuadrado inmediato superior de la serie.

Así, \( 64 = 49 + 15; \quad 20^2 = 19^2 + 39 = 361 + 39 = 400 \).

5.a Dado un cuadrado se obtendrá su inmediato inferior en la serie restando de él los números que se expresan en las dos precedentes observaciones 3.a y 4.a

Así, \( 36 = 49 - 7 - 6 \); y también \( 36 = 49 - 13 \).

6.a Cada cubo de la cuarta columna es igual al producto de los números situados en su alineación en la tercera y en la primera columna.

\[
8 = 4 \times 2; \quad 125 = 25 \times 5; \quad 1000 = 100 \times 10...
\]

porque según la definición (núm. 54), el cuadrado y el cubo se forman tomando un número como factor respectivamente dos y tres veces: \( a^2 = a \times a; \quad a^3 = a \times a \times a \).

Luego los números de la primera columna son las raíces de los cuadrados y cubos que en la misma línea se encuentren situados en las columnas tercera y cuarta. Así: 7 es la raíz cuadrada de 49 y la cúbica de 343.

 Nótese cuán fácil es ir de la raíz al cuadrado y al cubo; mas la regresión del cuadrado y del cubo á la raíz constituye el cálculo
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más laborioso de la aritmética; ha dado origen á reglas muy complicadas, y motivado la invención de los logaritmos.

Dedicaremos al estudio de la potenciación y radicación de segundo y tercer grado, que son los de aplicaciones numéricas, el detenimiento que su importancia reclama.

Del cuadrado y de la raíz cuadrada.

114. Observando atentamente el cuadro, notamos los hechos siguientes:

Se nota en los cuadrados de los diez primeros números que terminan por la misma cifra los que corresponden á los números integrantes.
Los cuadrados de 1 y de 9, terminan por 1; 1 y 81.
Los de 3 y de 7 (9 y 49), terminan en 9.
Los de 4 y 6 (16 y 36), terminan en 6.
Los de 5 y 5 (25...), terminan en 25.
Los de 0 y 10 (0 y 100), terminan en 00.
Lo mismo sucede con cualquiera otros dos números complementarios.
Así: los cuadrados de 81 y 19 (6561 y 361), terminan en 1, etc.
De aquí se infiere:
115. Para que un número sea cuadrado exacto, esto es, tenga raíz entera, necesariamente ha de terminar en alguna de estas cifras: 0, 1, 4, 9, 5. No todos los números que terminan en estas cifras son cuadrados exactos.
No son, pues, cuadrados exactos:
Los terminados por alguna de las cifras 2, 3, 7, 8.
Los que terminan en 5, si no va precedida de 2.
Los que terminan en ceros, si no son en número par.
Los terminados por cifra par, si todo el número no es divisible por \( 4 = 2^2 \).
Cuando los factores primos que contiene el número no estuvieren todos elevados á potencia par.
116. Cuando un número que es cuadrado exacto termina en dos ceros, su raíz termina en un cero; si aquél termina en cuatro ceros, su raíz terminará en dos ceros, etc.
Si un número es cuadrado y termina en 1, la cifra de las unidades de su raíz ha de ser 1 ó 9; porque únicamente \( 1^2 = 1 \) y \( 9^2 = 81 \).
Si un cuadrado termina en 4, su raíz lo hará en 2 ó en 8; porque solamente \( 2^2 = 4 \); y \( 8^2 = 64 \).
La Escuela moderna (Madrid) (1898-08-01 00:00:00), página 6

dicen los pedagogos ingleses y americanos, funda el progreso sobre la envidia mutua y no sobre el sentimiento del deber; para transformar á los niños en hombres precisa tratarlos como hombres, apelando lo más posible á su conciencia. "Este método, dice el Dr. Reddie, director de la escuela de Abbots-holme, lejos de disminuir el interés de los niños por el trabajo, tiende, al contrario, á aumentarlo, porque ese interés tiene por objeto, no una recompensa, sino el trabajo mismo. Debe evitarse que los niños puedan creer que el premio, la recompensa honorífica es el fin de la educación; los escolares deben aprender que la vida no es una lotería, ni la satisfacción de la vanidad."

Lo mismo que en Inglaterra piensan allende el Atlántico acerca de este punto. He aquí lo que escribe el director de una escuela superior (High School) de San Pablo (Minesota):

"Nosotros no distribuimos nunca premios á nuestros alumnos, ni les hacemos componer. Sin duda, sucede con frecuencia que ellos tratan á la vez el mismo asunto; pero cuando me ocupo de sus trabajos, procuro que por mis palabras no sepan cual lo ha hecho mejor. Yo digo á cada uno: lo habéis hecho mejor ó peor que tal ó cual vez, pero nunca les hago entender que lo han hecho mejor ó peor que este ó el otro de sus compañeros. Estimo que es perjudicial que un niño pueda decirse: yo soy superior á este; es preciso que se diga: soy superior á lo que yo mismo era hace ocho días."

Volviendo á las escuelas de que nos habla M. Demolins en su importantísimo libro, conviene añadir algunos datos, que al permitir conocerlas mejor, dan una idea del sentido práctico y de aplicación á la vida que imprimen á su sistema de educación los anglosajones:

Se aprende en esas escuelas lenguas vivas, francés y alemán, haciendo hablar á los alumnos; la gramática viene después. La enseñanza de las matemáticas es enteramente práctica. "Se obliga á los alumnos á hacer aplicaciones de los
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Si un cuadrado termina por 9, su raíz termina por 3 ó por 7; pues solamente \( 3^2 = 9 \) y \( 7^2 = 49 \).

Si el cuadrado termina en 5 (necesariamente por 25) su raíz termina en 5.

La suma de cada par de estas raíces totalizarán decenas justas.

117. El cuadrado de los números dígitos puede tener una ó dos cifras.

El cuadrado de los números de dos cifras, puede tener tres ó cuatro cifras.

El cuadrado de los números de tres cifras, puede tener cinco ó seis cifras, etc.

Luego para determinar el número de cifras que habrá de tener la raíz de un número entero, basta dividir éste en secciones de dos cifras, á partir de la derecha, pudiendo la de la izquierda tener una sola cifra. La raíz habrá de resultar con tantas cifras como secciones se hubieren hecho en el número.

Si un número consta de una ó dos cifras, su raíz tendrá una.
Si un número consta de tres ó de cuatro cifras, su raíz tendrá dos; la de las decenas en las centenas del número, y la de las unidades de la raíz en las dos cifras finales del dicho número.

Cuadrados y raíces, considerados desde el punto de vista de los intervalos que entre sí los separan.

118. Llamamos raíces contiguas las que distan entre sí una unidad, y a sus correspondientes cuadrados los distinguimos con la calificación de consecutivos.

Los cuadrados no consecutivos que podemos someter á principios sencillos de formación y derivación, clasificándolos por los intervalos que distan entre sí (se cuentan por el número de unidades que distan sus raíces respectivas), los distinguiremos en múltiplos y periódicos.

Los múltiplos se clasifican en décu;los, céntuplos, etc.

Los décuplos terminan en dos ceros y sus raíces en uno. Proceden del cuadrado y de la raíz que resulta suprimiendo los dos ceros finales de aquéllos y el cero de éstas.

Los céntuplos terminan en cuatro ceros y sus raíces en dos, procediendo de los cuadrados y raíces décuplos.

119. La ley de formación de los cuadrados y raíces múltiplos no puede ser más sencilla. Si una raíz se multiplica por 10, su correspondiente cuadrado se multiplica por 100; si la raíz se mul-
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tiplica por 100, su cuadrado resultará multiplicado por 10000, y lo mismo si se divide. Es decir, que no sufren alteración alguna las cifras significativas de la raíz y del cuadrado, reduciéndose á que el cuadrado tome dos ceros para cada uno de estos que aumente la raíz, ó que los pierda en la misma proporción. Así:

\[
\sqrt{\frac{4}{}} = 2 \\
\sqrt{\frac{400}{}} = 20 \\
\sqrt{\frac{40000}{}} = 200
\]

120. Debemos hacer notar que los intervalos de estos cuadrados y raíces no siguen la progresión del 10, sino la del 9, como puede verse.

    Raíces.
    Intervalos.
    Cuadrados.
    Intervalos.

    220
    18 = 2 × 9
    4400
    396 = 44 × 9

    330
    27 = 3 × 9
    9900
    891 = 88 × 9

    440
    36 = 4 × 9
    161600
    1584 = 176 × 9

    550
    45 = 5 × 9
    252500
    2475 = 279 × 9

Esta desigualdad en los intervalos y la magnitud de éstos, no permite que utilicemos los múltiplos en cuadrados y raíces nada más que como puntos de partida, y nos ha obligado á estudiar detenidamente la formación de los cuadrados periódicos que proceden por intervalos iguales y tan próximos como las conveniencias del cálculo demandan.

121. Para establecer mayor claridad en esta materia, clasificaremos los cuadrados periódicos en tres grupos, que denominaremos primarios, decenarios, centenarios y céntricos.

Llamamos primarios á los cuadrados de los números dígitos, ya solos, ya continuados por uno ó más ceros.

\[
\begin{array}{cccccc}
3^2 & 5^2 & 9^2 & 20^2 & 80^2, \text{etc.} \\
|| & || & || & || & ||
\end{array}
\]
9 25 81 400 6400, etc., son cuadrados.