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frecuente y escandalosamente deja los más atroces delitos? Tenemos el sufragio universal. ¿Quién lo habrá de suprimir? ¿Pero cómo negar la corrupción y sus contradicciones y sus vergüenzas, por la repugnante complicidad de todos los partidos? Tenemos el Parlamento... ¡Cómo cerrar los ojos ante la situación difícilísima que le creamos, los Gobiernos con sus coacciones y sus desdenes, y los Diputados con nuestra indiferencia, reduciéndolo al escenario de las fiestas solemnes!

Todo eso es un peligro que acusa la existencia de un mal profundo, íntimo. Porque después de todo, no se puede ni debe olvidar que las instituciones políticas son sólo formas y garantías de vida interna del país.

De ésta, pués, hay que cuidarse. El momento es oportuno. Ya os lo he dicho: esta es la hora del recogimiento y de la reflexión para actuar inmediatamente. Recordad lo que hicieron y dijeron nuestros padres, los hombres de 1812. A la cabeza de aquella Constitución inmortal escribieron que la nación no era ni podía ser patrimonio de ninguna persona, clase ni familia; pero á la par afirmaron que el deber del español era ser bueno y justo, y que su principal obligación era la de amar á la patria.

Y no podamos decir que amemos más á la patria porque tengamos más arraigada la pretensión de que nosotros solos valemos más en el mundo, y que todos nuestros enemigos tienen monopolizado el error, la torpeza y la injusticia. Hay que querer á la patria identificándola con todo lo que es grande para levantarla y hacerla brillar con todos sus prestigios, haciéndola entrar en la corriente general del mundo, que ha sido la principal razón de nuestros pasados esplendores. La patria que nosotros hemos recibido de nuestros padres es el porvenir de nuestros hijos; pero es necesario que nuestros hijos no vean comprometidas todas esas conquistas porque nos falta lo más íntimo, lo más substancial, que es la moralidad de la vida. En tal supuesto, yo os digo que estos son los mejores momentos para pensar en las cosas serias, en los empeños trascendentales, en los intereses permanentes. Porque hoy como nunca debemos preocuparnos de hacer ciudadanos. ¡Qué digo ciudadanos! Hoy como nunca debemos pensar en hacer hombres. He dicho. (Grandes muestras de aprobación en toda la Cámara.)
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sores, y de que todo el mundo cumpla para con ellos los deberes que la ley les impone, y que, además, razones de humanidad harían ineludibles.

Se ha intentado muchas veces, aunque sin fruto las más de ellas, compelera á los que hoy están por la legislación obligados á costear la enseñanza primaria, al pago de sus obligaciones. Creo que algunos resortes de máquina gubernamental andan algún tanto oxidados. A desoxidarlos y procurar que funcione con todas sus energías dedicaré mi preferente atención; yo se lo garantizo á la Cámara.

El medio que, tanto el Sr. Labra como el Sr. Cárdenas, recomendaban para difundir la instrucción popular, el medio de las subvenciones y de los auxilios, es, en este presupuesto y en casi todos los que hace muchos años votan las Cámaras, reducidoísimo; pero dentro de él puedo dar al Sr. Labra y al Sr. Cárdenas la seguridad de que procuraré sacar el mejor partido posible, y ya que al Sr. Cárdenas le ha parecido que era buen camino aquel que tuve la honra de emprender en Octubre de 1883, ese será el que siga ahora que tengo la obligación de seguirle; porque no pretenderá el Sr. Cárdenas, si reflexiona bien, que yo, Ministro de Ultramar ó Ministro de Hacienda, sea también responsable de que se cumplan al pie de la letra las Reales órdenes y los decretos que rigen en Fomento. Procuraré, pues, seguir ese camino, y lo seguire con fe y entusiasmo, porque aquel caluroso elogio que dedicó el Sr. Labra á la ley inglesa de 1870, me recordaba el fervor con que, queriendo yo inspirarme en buenos modelos, y creyendo que allí se conciliaban verdaderamente los intereses de la libertad y los del Estado en la difusión de la enseñanza, como en otras disposiciones más modestas, aunque no menos atinadas, de la Monarquía vecina, acudi el año 1883, á la ley Forster de 1870, para redactar aquellos artículos del decreto de 5 de Octubre, que no sé si por mucho tiempo han sido con fidelidad cumplidos.

No tengo nada que añadir ni rectificar á lo que se ha dicho respecto del estado de las Escuelas Normales. Es tal y como lo pintaba el Sr. Labra; es un estado tristísimo; requiere una
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA

CAPITULO XI

Algunas indicaciones respecto á las aproximaciones numéricas y las operaciones abreviadas.

Ocurre frequentemente practicar operaciones de cálculo con números incomensurables ó que consten de muchas cifras decimales, y si en tales casos nos proponemos hallar el resultado referido á centésimas ó milésimas, por ejemplo, es muy conveniente saber de qué cifras partitivas podemos prescindir para obtener con la exactitud debida el resultado que se busca, abreviando hasta donde sea posible la operación. Esto nos conduce al cálculo de los errores en las aproximaciones numéricas.

87. Siempre que se reemplaza una cantidad por un número que expresa un valor aproximado á la misma, sea por exceso ó por defecto, la diferencia entre el valor exacto y el número aproximado se llama error absoluto por exceso ó por defecto, según fuere el sentido de la aproximación.

Si tenemos un bulto cuyo peso exacto es de 50 kilogramos, y este número le reemplazamos por 49, ó por 53, en el primer caso el error absoluto será por defecto en una unidad, y en el segundo el error absoluto será por exceso de tres unidades.

Llámase error relativo al cociente del error absoluto por el valor exacto, y se representa por una fracción cuyo numerador es el error absoluto y cuyo denominador es el valor exacto.

Así, en el ejemplo citado, los errores absolutos son:
\( 50 - 49 = 1 \) kilog. y \( 53 - 50 = 3 \) kilogs.; y los correspondientes errores relativos \( \frac{1}{50} \) y \( \frac{3}{50} \).

Por ahora sólo discurriremos acerca de los errores absolutos.

88. Si una ó más de las cifras terminales de un número, sea entero ó decimal, son reemplazadas por ceros, se cometerá un
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error absoluto por defecto, cuyo valor estará representado por el que las cifras sustituidas significaban en el número respectivo.

Sean los números 5342; 6,374; 0,53867.

Reemplazando en cada uno los dos guarismos finales por ceros será: 5300; 6,300 y 0,53800; los cuales serán aproximados por defecto á los primeros y cuyo error respectivo es de 42; 0,074; y 0,00067.

Si se suprime la cifra final ó de la derecha de un número entero, todas y cada una de sus otras cifras conservadas se degradan en un orden, y expresan en su totalidad el cociente por diez del número primitivo, desapareciendo el residuo significado por la cifra suprimida.

\( 425 : 10 = 42'5 = 42 + \frac{5}{10} \). Luego si en el número 425 se suprime su cifra terminal 5, el número 42 resultante es el cociente de 425 por 10, disminuido en el residuo 5, pues \( 42 + \frac{5}{10} \times 10 = 425 \).

Si se suprime la cifra de la izquierda de un número entero, el número pierde este orden, pero las cifras restantes conservan su propio grado, valor y denominación, referidos al orden primario. También puede considerarse el número que representan las cifras conservadas, como una fracción de la unidad del orden cuya cifra su suprimió, habiendo, por lo tanto, perdido el número todo el valor que figuraban las otras unidades de la cifra suprimida.

Si en el número 425 suprimimos la cifra 4 de sus centenas, quedarán 25 unidades, ó 25 centésimas de una cualquiera de las cuatro centenas que representa la cifra que se suprime: el valor de las otras tres centenas desaparece por completo.

Si se suprime la cifra de la derecha de un número que las tenga partitivas decimales, las conservadas mantienen su valor y grado: el número quedará referido á la del orden inferior resultante; y el error cometido estará representado por el valor que tuviere la cifra que fué suprimida.

Si en el número 0,425 milésimas se suprime la cifra final 5, quedará 0'42 centésimas, y se cometerá un error por defecto de cinco milésimas.

Si á la coma de los decimales siguiere inmediatamente un cero y éste se suprime, cada una de las cifras decimales conservadas avanza un grado hacia el primario: la fracción resulta multiplicada por diez y referida al último grado resultante. Si el número tuviere parte entera, sus órdenes y valores permanecerían inalterables.

Sea el número 8,0425 (ocho enteros y cuatrocientas veinticinco
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diezmilésimas). Suprimido el cero, las cifras decimales avanzan un grado y el número resultante 8,425 no se modifica en su parte entera, pero su parte decimal es diez veces mayor que en el primero.

Cuando en un número entero decimal se suprime un guarismo que no forma en uno de los extremos de la parte entera ni de la decimal, hay que considerar dos casos: 1.º, si el guarismo que se suprime corresponde á la parte entera, todas y cada una de las cifras superiores á él, retrogradan en un orden, no alterando las demás su denominación y grado respectivos, y 2.º, si pertenece á la parte decimal el guarismo que se suprime, permanecen inalterables las de sus órdenes superiores en la misma fracción, pero los de las inferiores ascienden en un grado avanzando en el sentido del orden primario ó principal (1).

Finalmente, la supresión ó adición de ceros á izquierda de los enteros y á derecha de los decimales para nada influyen en el valor de los números.

89. De todas estas conclusiones, la más interesante, por sus frecuentes aplicaciones, es la siguiente:

Siempre que de la parte de la derecha de un número se suprimen una ó más cifras, el error absoluto por defecto en que se in-

(1) No parece sino que este mecanismo de la representación gráfica del número se ha informado en el sistema de la gravitación universal, ó influyó en la concepción de éste. En efecto; en la construcción de ambos se nota admirable analogía. Así como en el mundo corpóreo, todas las moléculas se unen al centro que las solicita, á menos que alguna fuerza suficiente se lo impida, del mismo modo todo cuanto constituye la arquitectura gráfica del número, parece como que es solicitado por el centro de atracción de la unidad primaria y absoluta, germe de todo número, que actúa y limita la magnitud de todo número particular, relacionando en continuidad sus partes integrantes, mediante la tendencia que les comunica, para referirse, incorporarse y resolverse en ella como su origen, centro y término.

Djando ancho campo á la imaginación, puede llegar hasta suponer que los elementos de numeración más inmediatos al centro, resisten y soportan los de sus congéneres que les siguen sin solución de continuidad; y cuando es preciso establecer esta, por falta de elemento sustantivo para algún grado, interpolamos el símbolo de la nada, ese círculo, que por especial configuración, parece como escogido de intento para resistir mejor á las presiones exteriores.

Estas imaginadas analogías, concebidas respecto á la expresión gráfica del número, son más íntimas, generales y perfectas, cuando se atiende al concepto abstracto del mismo, pues así considerado, desaparece la obligada alineación y orientación que se da á los símbolos numéricos, cediendo á la imposición de las formas del espacio y del tiempo que reviste todo lo observable en la naturaleza al presentar los elementos reales del cálculo, no sólo distintos entre sí, sino ex:
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curre, es menor que una unidad del orden de la última cifra conservada. Únicamente en el caso de que la parte suprimida fuese una serie indefinida de nuevas, se admite que el error por defecto, es igual á una unidad del orden de la última cifra conservada.

Ejemplo. Si en el número 3,5264 se suprimen las dos cifras finales 6 y 4, se incurre en un error por defecto menor que una centésima, pues la diferencia del número resultante 3,52 á 3,5264, es 0,0064 < 0,01.

Reflexionando sobre lo expuesto, fácilmente inferiremos:

1.º Que el error, por defecto, se aproxima tanto más á la unidad cuanto mayor sea la primera cifra suprimida.

2.º Que si la cifra suprimida es un cinco, ó un cinco continuado por ceros, el error que se comete es igual á media unidad del orden de la última cifra conservada.

Este último hecho nos permite fórmular esta regla de aproximación.

Todo número incomensurable ó decimal, que conste de muchas cifras, se puede tomar aproximado en menos de media unidad de cualquiera de sus órdenes, despreciando las cifras inferiores á dicho orden, pero teniendo en cuenta:

a) Que si la primera cifra suprimida es menor que cinco, el error es por defecto; y
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b) Que si la primera cifra es mayor que cinco, ha de aumentarse en una unidad la última cifra conservada, y el error que se comete es por exceso en menos de media unidad.

a) 8,63; si se suprime la cifra final, resulta 8,6 que se diferencia de 8,63 en 0,03 < 0,5 que es media décima.

b) 8,36; prescindiendo de la última cifra y añadiendo una una unidad al 3, resulta 8,4 = 8,40, que excede á 8,36 en 0,04 < 0,05 que es igual á la mitad de una décima.

Veamos cómo se determina el error cuando se opera con números aproximados en menos de media unidad.

90. ADICIÓN. El error absoluto de la suma, cuyos sumandos son todos aproximados por defecto, ó por exceso, es igual á la suma de los errores absolutos de los sumandos.

Cuando unos sumandos se tomen aproximados por defecto y otros por exceso, se verificará la suma de los errores por defecto y por exceso, y la diferencia entre estas dos sumas expresará el error absoluto total que resultará expresado en el mismo sentido de la mayor suma de los dos errores.

Hemos visto que la aproximación la podemos hacer en menos de una unidad ó en menos de media unidad, respecto de cada número. Es suficiente la primera para la suma, pues si los sumandos no exceden de 11, basta tomar en cada uno una cifra más que el orden en que se quiere expresar la suma aproximada en menos de una unidad; y si hubiere más de 11 sumandos y menos de 101, se sumaría desde las cifras del segundo orden inferior al en que se quiere expresar la suma.

Nos proponemos obtener, con un error por defecto menor que 0,01, la suma de los siguientes números:

3,4572 + 0,35743 + 35,9548 + 2,0036 + 6,2084

Despreciando las cifras inferiores á las milésimas, tendremos:

  3	4	5	7

  0	3	5	7

  3	5	9	5	4

  2	0	0	3

  6	2	0	8

4 7, 9 7 | 9, suma aproximada en menos de una centésima.

En efecto; como el error absoluto de cada sumando es menor que 0,01, y éstos son menos de 11, el error de la suma no puede llegar á una centésima.
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ÁRITMÉTICA

Si el número de sumandos excediese de 11 y no pasase de 101, se tendrá en cuenta una cifra más de las decimales para hacer la suma.

SUSTRACCIÓN

91. Si los errores absolutos del minuendo y del sustraendo son ambos por defecto ó por exceso, el error absoluto de la resta es igual á la diferencia entre los errores del minuendo y sustraendo y en el mismo sentido que el de éstos en el caso de que el error del minuendo sea el mayor, pero de sentido contrario á los mismos, si fuere mayor el error del sustraendo. Si los errores son iguales se anulan,

\[
\begin{array}{c}
8,67 \\
3,24 \\
\hline
5,43
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
8,6 \\
3,2 \\
\hline
5,4
\end{array}
\]

Error de la resta = 0,03 por defecto, diferencia de los errores de los datos.

\[
\begin{array}{c}
8,24 \\
3,67 \\
\hline
4,57
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
8,2 \\
3,6 \\
\hline
5,6
\end{array}
\]

Error por exceso = 0,03, diferencia entre los errores por defecto de los datos, y por ser mayor el del sustraendo.

Si los errores del minuendo y sustraendo son de sentido contrario, esto es, el uno por exceso y el otro por defecto, ó viceversa, el error absoluto de la resta es igual á la suma de los errores del minuendo y sustraendo, y del mismo sentido que fuere el error del minuendo.

\[
\begin{array}{c}
8,27 \\
2,13 \\
\hline
6,14
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
8,3 \\
2,1 \\
\hline
6,2
\end{array}
\]

Error por exceso = 0,06 que es igual al error de exceso del minuendo, más el error de defecto del sustraendo.

\[
\begin{array}{c}
8,13 \\
2,27 \\
\hline
5,86
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
8,1 \\
2,3 \\
\hline
5,8
\end{array}
\]

Error por defecto = 0,06 en el mismo sentido que el error del minuendo, igual á la suma de los errores de los datos.

Luego para hallar la resta de dos números, aproximada en menos de una unidad de un orden dado, basta tomar en cuenta las cifras del grado inmediato inferior al orden á que se quiere aproximar. Es decir, que si se quiere aproximar la resta en menos de una centésima, se empiece desde las milésimas, y se prescinda de la cifra de este orden en el resultado.

Sea hallar la diferencia de los números 5,32574... y 2,83145 en menos de una décima.

TOMO XIV.—NÚM. 6.º
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\[
\frac{5}{2} \cdot \frac{32}{83} = 2,4 \text{ en menos de una décima. Obsérvese que en este caso } 2,5 \text{ sería la resta aproximada en menos de } 0,01.
\]

MULTIPLICACIÓN

92. El error absoluto del producto de dos factores cuando uno de estos es aproximado por exceso ó por defecto, es igual al producto del error absoluto del factor modificado por el otro factor, y del mismo sentido que la aproximación. En efecto; el error de aproximación del factor se repite tantas veces como sumando, cuantas sean las unidades de cada uno de los órdenes que contenga el factor exacto; y como los errores de los sumandos son todos del mismo sentido que el del factor aproximado, el del producto tiene que resultar semejante también al del factor y de los sumandos.

Si los dos factores son aproximados por defecto, el error absoluto del producto es menor que la suma de los productos de cada uno de los factores por el error absoluto del otro factor, en una cantidad igual al producto de los errores absolutos de los dos factores.

Como el error de los factores resulta multiplicado en el producto y sea tan frecuente tener que operar con números incommensurables y decimales de muchas cifras, de aquí la conveniencia de aproximar los factores en menos de media unidad de su orden inferior conservado. Los logaritmos que dan las tablas, se hallan aproximados de este modo.

Si se considera que todo producto parcial es la expresión de una suma, en la que el multiplicando se agrega á sí mismo tantas veces como sumando, cuantas sean las unidades de que conste la cifra por la cual se multiplica, bastará fijarse en los órdenes que ocupan las cifras procedentes de productos simples formados por la cifra aproximada, para comprender el fundamento de las conclusiones siguientes:

1.ª El producto de dos factores aproximados en menos de media unidad de su orden inferior, podrá tener tantas cifras inexactas en su derecha cuantas sean las cifras de que conste el mayor de los factores.

En el caso de ser la aproximación de un factor por exceso y la del otro por defecto, el error del producto resultará más ó menos compensado, pues quedará reducido á la diferencia entre el pro-
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ducto del error por exceso y del error por defecto, pudiendo llegar á ser completamente anulado.

2.º Cuando uno de los factores es exacto y el otro aproximado en menos de media unidad de su orden inferior, el producto podrá tener tantas cifras inexactas en su derecha como cifras hay en la mitad del factor exacto.

Siempre que ocurra verificar la multiplicación con número de muchas cifras y se desee obtener su producto aproximado en menos de una unidad de un orden determinado, podemos valernos del procedimiento breve y sencillo que se expone en la regla siguiente:

MULTIPLICACIÓN ABREVIADA DE OUGHTRED

Para calcular en menos de una unidad entera ó decimal el producto de dos números, se escriben en un orden inverso (1) las cifras del multiplicador y se colocan debajo del multiplicando, de manera que la cifra de las unidades del multiplicador corresponda debajo de aquélla del multiplicando, que exprese unidades cien veces menores que la del orden á que se quiere aproximar el producto.

Cada cifra del multiplicador se multiplica por la que está sobre ella en el multiplicando y las demás que á ésta preceden: las de la derecha se desprecian.

Los productos parciales se escribirán unos debajo de otros, cuidando que sus cifras de orden inferior formen en línea vertical. Es indiferente el orden de sucesión de los productos parciales.

La suma de estos productos parciales es el producto total referido á unidades cien veces menores que aquélla á que se quiere aproximar, por cuya razón se suprimen sus dos últimas cifras, aumentando en una unidad la inferior de las conservadas.

Nota.—Si para ordenar la operación no hubiese cifras bastantes á la derecha del multiplicando se suplirán con ceros. Si á la izquierda del multiplicador invertido resultasen cifras sin cubrir por otras del multiplicando se consideran nulas y no se multiplican.

(1) Para formar idea de cómo se invierte el multiplicador, imagínese que, sin que se desordenen sus cifras y cual si estuviese formado de una sola pieza, se le hace dar media vuelta sirviendo de eje la coma, con lo que resultarán los órdenes múltiplos á la derecha y los partitivos á la izquierda de la misma, pero conservando la denominación y valor primitivos.

Así, invirtiendo los números 45,7258 y 213,8143, se presentarán en esta forma: 8597,54 y 3418,312.
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El fundamento y las aplicaciones de esta regla se evidenciarán razonando el siguiente

Ejemplo.—Sean los números 2,173249 y 35,08746, cuyo productos proponemos hallar con un error menor que 0,1 (una décima).
Tomando al 35,08746 por multiplicador, é invirtiéndole será 64780,53.

Escribiéndole así invertido debajo del multiplicando, haciendo que la cifra 5 de sus unidades coincida debajo de la de las milésimas del multiplicando por ser las que expresan unidades cien veces menores que las décimas y practicando la multiplicación según la regla, será:

    Multiplicando
    2,173249

    Multiplicador invertido.
    4780,53

    Primer producto de 2,1732 × 3 D...=
    65196 Milésimas.

    Segundo id. de 2,173 × 5 P...=
    10865 id.

    Cuarto id. de 2,1 × 8 c...=
    168 id.

    Quinto id. de 2 × 7 m...=
    14 id.

    Producto total expresado en milésimas. 76243

    Separando las dos últimas cifras..... 76 Décimas.

    Aumentando en una la última........ 76,3 Producto que se busca.

El producto es 76 enteros y 3 décimas con un error que no alcanza á una décima, según después demostraremos.

Observemos cómo se han formado los productos y qué orden de unidades representan.

Se ha prescindido de las cifras 49, terminales del multiplicando, porque su producto por el multiplicador no puede llegar al valor de una milésima; por la misma razón se ha prescindido de la cifra 4 de la izquierda del multiplicador, que representa diez milésimas.

Recordando y aplicando á la formación de cada uno de los cuatro productos parciales, aquel fecundo principio (núm. 44) que expusimos con sus ejemplos y consecuencias, nos convenceremos de que Oughtred, no pudo concebir una combinación más ingeniosa, breve y sencilla, que esta inversión del multiplicador, para obtener todos los productos parciales referidos al mismo orden.

El primer producto 65196 se obtuvo multiplicando 3D × 2dm. = 6D. de diezmilésima = 6 milésimas y sucesiva y ordenadamente los órdenes superiores á éstos.

El segundo producto parcial se obtuvo multiplicando 5P × 3m