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diante el cual expresan los pueblos toda su manera de ser, se adapta por completo á las condiciones del pueblo que la usa, teniendo la nuestra, por virtud de esta ley, tendencias señaladamente objetivas, y siendo propensa á ese refinamiento afectado y á esa hinchazón ampulosa que en nuestra historia literaria se conocen con los nombres de conceptismo y gongorismo. El misticismo que antes hemos señalado en el Arte contribuye también, y de un modo poderoso, á dar carácter á nuestra literatura, lo cual no obsta para que se manifiesten á la vez en ella, dando lugar á un contraste singular, las huellas del sensualismo que nos trajeron los árabes. Y de la misma falta de espíritu reflexivo y de la exuberancia de la fantasía, nace el predominio que nuestro pueblo ha concedido siempre á la Poesía y la Oratoria sobre la Didáctica, tan poco cultivada entre los españoles de todos los tiempos, singularmente de aquellos en que la Poesía se muestra más rica y pujante. Mientras que la Poesía es más dada al idealismo que al realismo, y, en general, muestra más tendencias objetivas que subjetivas, pues la misma Lírica es poco subjetiva, en la Oratoria predomina la pasión y lo pintoresco, es decir, sobresale más el carácter poético que el didáctico.

Y ese mismo predominio que dentro de la Poesía se advierte en favor de lo objetivo, dando la preferencia al elemento épico sobre el lírico, es causa á su vez de que nuestra Dramática sea, por regla general, muy objetiva, atendiéndose en ella más á la acción y al efecto, es decir, á lo externo, que á lo interior, á lo psicológico; así es que, más que de pintar luchas del espíritu y estados psicológicos, y de causar verdaderas emociones estéticas, se cuida de las galas y pompas del lenguaje y de producir efectos con los cuales sorprenda y alucine.

Juntamente con estas tendencias que acabamos de bosquejar, determinan la tisonomía peculiar de nuestra literatura los ideales en que se ha inspirado, que son los mismos que sirven de base á todo nuestro desenvolvimiento histórico.

Dominados los españoles por los romanos, cuya política, una vez alcanzada la victoria, más era de atracción y asimilación que de repulsión, llegaron á confundirse con ellos al punto de que costumbres, instituciones, ideas y hasta aspira-
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ciones eran las mismas para ambos pueblos, que vivían, además, unidos por el vínculo estrecho y poderoso del lenguaje. De aquí el que en la antigüedad y aun en los primeros años de la Edad Moderna, los ideales de nuestra historia y literatura fuesen los mismos que los de Roma, y tuviesen más de humanos y sociales que de religiosos. En gran parte, á Roma debemos esa aspiración al dominio universal, que en determinada época ha sido uno de los mayores ideales de nuestra Historia y literatura, y ese espíritu guerrero y conquistador, del que todavía nos quedan reminiscencias, y que también ha servido de ideal, en la política y en la literatura, á la nación española. Con la dominación goda fué perdiendo poco á poco el terreno conquistado la influencia romana, y nuevos ideales reemplazaron á los que hasta entonces habían inspirado á nuestro pueblo, que bajo los godos cambia el ideal humano-social por el religioso, en el que continúa inspirándose con preferencia durante la primera mitad de la Edad Media, juntamente con el patriótico, que robusteció después en las luchas que tuvo que sostener con nuevos invasores. Mas tarde, ofrécese á nuestros pueblos como fuente de rica inspiración, debida en parte á los germanos y en parte á los árabes, el ideal caballeresco, elemento de gran importancia y que ejercé señalada influencia en nuestra literatura. Durante la primera época de la Edad Moderna (casa de Austria) sigúese inspirando nuestro pueblo en los tres ideales que acabamos de indicar, á los cuales se agrega el sentimiento monárquico, juntamente con la tendencia á la dominación universal, que se reproduce con la política de Carlos V. Como en la segunda época de esta Edad (casa de Borbón), la literatura carece de la originalidad que en tiempos anteriores la distinguiera, es verdaderamente literatura de imitación, no tiene en realidad ideales, á lo cual no deja de contribuir el carácter indefinido de esta época de duda y de transición, en la que al haberse desechado los antiguos ideales, no se han determinado aún bien los nuevos, sobre todo por lo que á la esfera del Arte respecta, por más que la crítica los vislumbre y se esfuerce por precisarlos.

P. DE ALCÁNTARA GARCÍA.
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA (I)

CAPÍTULO V

Investigación de un procedimiento especial para formar el producto de los números por las fracciones periódicas.

51. Como toda fracción periódica es solamente la expresión de un valor numérico aproximado, es preciso hallar exacto su producto por cualquier número, á fin de evitar que la acumulación de los errores afecte sensiblemente á los resultados del cálculo (2).

Se dice que un número decimal es periódico, cuando una ó más de sus cifras decimales se repite indefinidamente y en el mismo orden. Así, el número 3,482727... es decimal periódico, porque se repiten en el mismo orden é indefinidamente sus cifras 2 y 7; 27 es el período.

Una fracción decimal es periódica pura, si su período principia por la cifra de sus décimas; y se llama mixta, si comienza por otra cifra posterior á la de sus décimas: 2,7474 es pura; 3,482727... es mixta.

Una cantidad constante es el límite de una cantidad variable, cuando la diferencia entre ellas va disminuyendo, y sin anularse, puede llegar á ser menor que cualquiera otra cantidad por pequeña que ésta sea.

Por tal razón, la unidad es el límite de la fracción 0,999... pues que prolongado el período, puede la diferencia entre la unidad y la fracción ser menor que toda cantidad, mas sin llegar á ser cero.

Cuando el período de una fracción le forma la cifra 9, se obtie-

(1) Véase el número anterior página 272 de este tomo XIII.
(2) Esta teoría hallará su complemento y demostración en la Aritmética al tratar de fracciones ordinarias generatrices de las decimales, y en la teoría general de las aproximaciones numéricas.
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ne su límite, prescindiendo del período y aumentando una unidad á la cifra del orden inferior del número que resulte: 0,999... = 1; 3,999... = 4; 6,99... = 7; 5,799... = 5,80, etc.

Consecuencia. El producto de un número por la fracción periódica pura, cuyo período sea el 9, es igual al multiplicando, pues que equivale á multiplicar por la unidad. Así, 45 × 0,999... = 45.

La fracción 0,999... carece de generatriz.

PERIODO DE UNA CIFRA

Regla. Para multiplicar un número por una fracción periódica pura cuando el período lo forma el uno, se halla la suma de los valores absolutos de las cifras del número dado, se reservan los nueve de esta suma, y el resto será la cifra del período del producto. Los nueve reservados se agregan á la suma de los valores absolutos de las cifras del número, excluyendo la última ó de orden inferior; se reservan los dieces, y el resto es la cifra de primer orden entero del producto. Los dieces reservados se agregan á la suma de los valores absolutos de las cifras del número, con exclusión de las dos últimas; se reservan los dieces de esta suma, y el resto será la cifra de segundo orden entero del producto, continuando del mismo modo, hasta llevar al producto la cifra del orden superior del número, aumentada con los dieces resultantes de la suma precedente.

EJEMPLOS

1.º
123 × 0,111... = 13,666...
3 + 2 + 1 = ,6 para período.
2 + 1... = 3,
1........ = 1
13,666...

2.º
315 × 0,111 = 34,999...
5 + 1 + 3 = ,9 para período.
1 + 3... = 4,
3........ = 30.
34,999 = 55.

3.º
13456 × 0,111.................... = 1495,111...
6 + 5 + 4 + 3 + 1 = 19; 19 : 9 = 2...... + ,111...
2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15; 15 : 10 = 1....... + 5,
1 + 4 + 3 + 1... = 9;............. 90,
3 + 1................................. 40,
1..................................... 1000,
1495,111...
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orden todas las de los lugares pares que la precedan, etc., reservando los nueves de la primera suma y los dieces de las demás, para añadirlos á la suma siguiente y escribiendo los restos en los respectivos órdenes del producto. En este caso, las dos cifras de la izquierda del multiplicando, por no tener lugar alterno precedente con que sumarse, se escribirán en el producio, pero aumentadas, si hubiere lugar á ello, con las unidades reservadas de la suma anterior.

El período de la fracción del producto resulta de las dos primeras sumas que se practican.

EJEMPLOS

1.º

2435 × 0 . 010101 = 24 . 595959 ...

5 + 4................................. .09
3 + 2................................. ,50
4................................. 4,00
2................................. 20,00
_____________________
24,595959 ...

2.º

6789 × 0 . 010101 ... = 68 . 575757 ...

9 + 7.... = 16; 16 : 9 = 1 + ....... ,07
1 + 8 + 6 = 15; 15 : 10 = 1 + ....... ,50
1 + 7 = 8............................. 8,00
6................................. 60,00
_____________________
68,575757 ...

3.º

987654398 × 0,010101 ... = 9976307,050505 ...

8 + 3 + 5 + 7 + 9 = 32; 32 : 9 = 3 + ... ,05
3 + 9 + 4 + 6 + 8 = 30; 30 : 10 = 3 + ... ,00
3 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27; 27 : 10 = 2 + ... 7,00
2 + 4 + 6 + 8.... = 20.................. 00,00
2 + 5 + 7 + 9.... = 23.................. 300,00
2 + 6 + 8.... = 16.................. 6000,00
1 + 7 + 9.... = 17.................. 70000,00
1 + 8............ = 9 .................. 900000,00
9.................. = 9.................. 9000000,00
_____________________
9976307,050505 ...
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

Si la fracción en vez de 0,01 fuese 0,03, 0,03, 0,04, 0,05, etc., el número dado se multiplicará por la cifra significativa del período, y con el producto resultante se harán las mismas operaciones que en el caso anterior.

EJEMPLO

7372 × 0,020101 ... = 148,929292 ...
    7372 × 2 = 14744.
4 + 7 + 1 ............ = 12
1 + 4 + 4 ............ = 9
7 + 1 ................. = 8   148,929292 ...
4 ..................... = 4
1 ..................... = 1

Si el período constase de tres ó más cifras, siendo significativa solamente la final del mismo, se le aplicarían las mismas reglas, cuidando de tomar para cada suma y en la marcha y el sentido indicados, las cifras que en el multiplicando disten entre sí tantos grados como sean los que el período comprende. Las primeras sumas obtenidas forman el período.

EJEMPLO

857341 × 0 003003003 ... = 2574,597597597 ...
857341 × 3 = 2.572023

3 + 2 + 2 ....... = 7
2 + 7 ....... = 9
0 + 5 ....... = 5
2 + 2 ....... = 4   2574,597597 ...
7 ....... = 7
5 ....... = 5
2 ....... = 2

Reglas generales.

52. Primera. Para multiplicar un número por una fracción periódica pura, se multiplica el número por el período, y con las cifras del producto se hacen las sumas conforme á las reglas precedentes y se obtiene el producto que se busca.
La Escuela moderna (Madrid) (1897-11-01 00:00:00), página 6

ó tabacos, allí está la mujer dedicando larga jornada á ganar un salario, sin que ningún antifeminista lance gritos de indignación. En los espectáculos públicos la bailarina, la cantante y la actriz, trabajan tanto ó más que los hombres, y á nadie se le ocurre que el superior talento y cultura de la estrella de nuestro teatro nacional la hagan menos apta que al primer actor de su compañía para cumplir los deberes que impone la familia. Fuera magistrado que estudiará á Justiniano en vez de estudiar á Lope, y asistiera al tribunal por la mañana en lugar de acudir al teatro por la noche, y en torno de ella se levantaría ensordecedor clamoreo negándole cuando menos la condición de mujer. Y no quiera suponerse que la labor artística requiere menor esfuerzo intelectual que la científica; en el fondo, la interpretación de la obra de arte exige la comprensión del pensamiento, fin que no se puede obtener sin gasto de energía mental.

Sólo para dos profesiones de carácter intelectual se reconoce aptitud á la mujer: las de maestra é institutriz; y aun en este concepto, con restricciones en lo referente á los niños, que se dejan bajo la dirección de la maestra en tanto son pár vulos, y necesitan, ante todo, cuidados físicos desdenados por el hombre. No hemos de entrar aquí en consideraciones relativas al resultado del trabajo de la mujer en las escuelas, resultado que no la declara inferior al maestro, con el cual se la ha igualado en derechos y deberes. Vamos á fijar nuestra atención, aunque pueda tachársenos de penetrar en el campo del problema social, en la situación de la institutriz. Necesitadas las clases altas de personas asalariadas que las desembaracen del cuidado de los hijos (las madres ricas son gentes muy ocupadas), no conformándose con la vigilancia tosca y vulgar de la niñera ó el ama seca, han buscado en la cultura de la institutriz la tranquilidad que no puede inspirar quien por su falta de instrucción desconoce el alcance de los deberes que acepta. Aunque se disfraze con el pretexto de educación, el objeto principal de las familias al tomar una institutriz es, tratándose de niños pequeños, tener una niñera que no se distraiga con el soldado, y en lo relativo á las señoritas, conseguir que paseen, convenientemente acompañadas,
La Escuela moderna (Madrid) (1897-11-01 00:00:00), página 60

EJEMPLO

5463 × 0,2525 ... = 1379 · 545454 ...

\[
\begin{array}{l}
5 + 5 + 3 \ldots = 13; 13 : 9 = 1 + 4 \\
1 + 7 + 6 + 1 = 15; 15 : 10 = 1 + 5 \\
1 + 5 + 3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 9 \\
6 + 1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 7 \\
3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3 \\
1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1
\end{array}
\]

5463 × 0,25 = 136575

2.º Para multiplicar un número por una fracción periódica mixta, se multiplica por el periodo, y según las reglas dadas, se hacen las sumas con las cifras de este producto. Se multiplica el número por las cifras no periódicas, y los productos parciales se escriben ordenadamente debajo del producto del periodo con el que se suman para hallar el producto total.

EJEMPLOS

325 × 4,272727 ... = 1388,636363 ...

325 × 0,27 = 87,75

\[
\begin{array}{l}
5 + 7 \ldots = 12; 12 : 9 = 1 + 3 \\
1 + 7 + 8 = 16; 16 : 10 = 1 + 6 \\
1 + 7 \ldots \ldots \ldots \ldots 8 \\
8 \ldots \ldots \ldots \ldots 8
\end{array}
\] = 88,636363 ...

Producto por la cifra no periódica 325 × 4 = 1300

Producto total ...... 1388,636363 ...

Advertencia. Como se ve por el ejemplo, esta regla resuelve el caso de la multiplicación por número decimal compuesto de entero y periodo.

Cuando el periodo conste de muchas cifras es preferible recurrir á la regla de productos aproximados dada por Oughtred. (Aritmética.)

53. La mayor dificultad que en la práctica presenta la operación de multiplicar, no solamente para los niños, sino también para los adultos que no hacen de la contabilidad su habitual ocu-
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pación, es la de retener y recordar con la necesaria rapidez los productos de los números dígitos, es decir, saber bien la tabla. Ello es que por ser tantos estos productos y aprenderse, por lo general, rutinariamente, á pocos se les ocurre formarlos por la repetida adición de un mismo sumando; camino pesado, pero seguro, y de aquí las frecuentes equivocaciones en que se incurre (1).

En las escuelas se nota además otro inconveniente, debido á que, no implicando su procedimiento nada relativo á la resta, se olvida la sustracción en tanto que se aprende á multiplicar. Procurando subsanar tales deficiencias, investigamos un procedimiento que respondiera á las condiciones siguientes:

1.ª Que redujese la tabla al aprendizaje de los productos sim-

(1) Que esta dificultad se ha tenido siempre muy en cuenta, lo prueban los ingeniosos recursos á que se ha apelado para vencerla.

Copiamos del libro citado.

"Porque á algunos se les hace cosa dificultosa recordar la tabla de la suerte que se ha dado, pondré tres diferencias de tabla, porque cada uno estudie la que pudiere ó la que quisiere, pues es cosa que no se puede excusar para contar.

"Regla para el 9.

"Todas las veces que multiplicando un número digito por sí mismo ó por otro, si el uno ó ambos fueren nuevos, se tendrá esta regla: que quites uno del número menor, y los que quedaren serán dieces, y mira de esto que quedare cuánto falta para 9, y lo que faltare serán unidades y juntarse han con los dieces. Ejemplo: Pongo que quieres saber ocho veces 9 cuánto montan. Quita del menor de estos números que es 8, uno, y quedarán 7; estos siete harás dieces y así serán 70. Mira ahora cuánto falta del 7 para 9 y hallarás faltar 2, los cuales añades á los 70 y serán 72 y tanto es 9 veces 8, ó ocho veces 9. Otro ejemplo: Nueve veces 9, ¿cuánto montan? Porque ambos son nuevos, y ninguno es menor que otro, del un 9 quita uno, según manda la regla, y quedarán 8; estos 8 hazlos dieces, y serán ochenta; mira cuánto falta del mismo 8 para 9, y hallarás faltar uno, que junto con los 80, serán 81, y tanto monta 9 veces 9.

"Regla para el 8.

"Cuando multiplicares un número digito por otro, si el uno á lo menos fuere 8, ó ambos, harás dieces el menor, y si fueren iguales, el uno de ellos, y de estos dieces quitarás tantas unidades cuantas montare el duplo del mismo número menor. Ejemplo: Dos veces 8, ¿cuánto montan? Haz dieces el 2, que es el número menor, y serán 20; dobla el mismo número menor y serán 4; saca los 4 de los 20, quedan 16, y tanto dirás que monta 2 veces 8. Si decimos 8 veces 9, ya sale de la regla del 8 y se hará por la del 9 que se dijo primero.

"Regla para el 7.

"Cuando multiplicares dos números dígitos uno por otro, si el uno ó ambos fueren siete, tomarás tantos dieces como unidades hubiere en la mitad del
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ples que se forman con el 2, el 3, el 4 y el 5, con los demás números digitos, omitiendo los del 6, 7, 8 y 9.

2.a Que á la vez comprendiese la resta; y
3.a Que preparase para la práctica de la división.

Vamos á exponer dicho procedimiento, que hemos ensayado con fruto en la escuela; pero cuya adopción no proponemos, porque nos reservamos hacerlo de otros más ventajosos. Consignamos éste á título de curiosidad y nada más, aunque bien merece que se le conozca y practique.

El procedimiento se funda en substituir en el multiplicador toda cifra mayor que 5 por su complementario, esto es, el 6 por el 4, el 7 por el 3, el 8 por el 2 y el 9 por el 1, que es precisamente

número menor, y juntarse han con ellos tantas unidades como hubiere en el doble del mismo número. Ejemplo: 2 veces 7, ¿cuánto montan? La mitad del 2 es uno, el cual harás 10. Junta con este 10 el doble del mismo número menor que son 4, y serán 14, y tanto montan 7 veces 2. Otro ejemplo: 7 veces 7, ¿cuánto montan? Porque son iguales, no importa tratar más con el uno que con el otro, y sacarás la mitad, que son tres y medio, hechos dieces, valen 35; dobla el mismo 7 y serán 14, júntalos con 35, hacen 49, y tanto montan 7 veces 7.

"Regla para el 6.

"Cuando multipliques un número dígito por otro, si el uno de ellos fuere 6, 6 ambos, añade al número menor tantos dieces como unidades hubiere en la mitad del mismo número menor. Ejemplo: 2 veces 6, ¿cuánto montan? Saca la mitad del menor, que es 2, y será uno. Hagase 10, el cual juntaras con el mismo número menor, que es 2, y serán 12, y tanto montan 6 veces 2. Otro ejemplo: 3 veces 6, ¿cuánto montan? La mitad de 3 es uno y medio; hecho dieces, son 15. Juntos con el mismo 3, que es el número menor, serán 18, y tanto dirás que monta 3 veces 6.

"Regla para el 5.

"Cuando multipliques un par de números, siendo el uno 5 y el otro cualquiera de grande ó pequeña cantidad, deja el 5 y toma tantos dieces como hubiere unidades en la mitad del otro. Ejemplo: 4 veces 5, ¿cuánto monta? Toma la mitad del 4, que son 2; hechos dieces serán 20, y tanto montan 5 veces 4. ¿Cuánto monta 5 veces 8? 41 dieces, ó sca 410.

"Regla para el 4.

"Dos veces 4, toma la mitad del 2 que es 1, hazle dieces, y serán 10; saca el mismo 2 y serán 8, y así en lo demás.
"Del 3 ni del 2 no doy regla; porque, ¿quién ignora que tres treses hacen nueve y dos doses cuatro?, etc."
Omitimos, para no ser prolijos, las otras dos diferencias de tabla, porque también nos parecen menos prácticas.
La Escuela moderna (Madrid) (1897-11-01 00:00:00), página 63

lo que á cada uno le falta para valer 10, operando con ellas según se prescribe en la siguiente:

Regla. Para multiplicar un polidígito por un dígito cuya cifra se ha substituido por su complementaria, se multiplica ésta por la de las primarias del multiplicando y la diferencia de su producto á las decenas superiores inmediatas, se pone como primarias del producto, debajo de la raya, reservando el número de las decenas diferenciadas. Se multiplica la complementaria del multiplicador por las decenas del multiplicando; á su producto se añaden las decenas reservadas del precedente, y esta suma se resta de la cifra de primarias del multiplicando (elevándola al valor que sea preciso), y su diferencia se escribe bajo la raya, como decenas del producto. La complementaria se multiplica por las centenas del multiplicando, se les añaden las reservadas del anterior, y la suma se resta de las decenas del multiplicando, y así se continúa restando cada producto simple de la cifra del multiplicando que está situada á la derecha de aquella que se multiplica; y cuando no haya más cifras en el multiplicando, se restan de la de su orden superior las unidades que se reserven del producto simple y último que se formó.

EJEMPLO

Sea multiplicar 367 por 8. \( 367 \times 8 = 2936 \).

Reemplazando la cifra 8 del multiplicador por su complementaria 2, será:

\[
\begin{array}{r}
367 \\
\times \\
2
\end{array}
\]

en lugar de 8

\[
\begin{array}{r}
367 \\
\times \\
2
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
2936
\end{array}
\]

Diremos: 2 \( \times \) 7, son 14, á 20 van 6 y llevo 2.
2 veces 6 Decenas son 12 D.; y 2 reservadas son 14, á 17 van 3, que pongo en D. y reservo 1.
2 \( \times \) 3 C. son 6, y 1 reservada son 7, hasta 16 van 9, que escribo en las C. y reservo 1.
No habiendo otras cifras en el multiplicando, la una reservada la resto de la tres de su orden superior, y las dos restantes las pongo como cifra del orden superior del producto.
La Escuela moderna (Madrid) (1897-11-01 00:00:00), página 64

OTRO EJEMPLO

6845 × 9 = 61425.

Substituyendo la cifra 9 por su complementaria 1, será:

\[
\begin{array}{r}
6 . 8 2 5 \times \\
\hline
\text{en vez del 9} \\
\hline
6 1 . 4 2 5
\end{array}
\]

1 por 5 son 5, á 10 van 5, que escribo y reservo 1.
1 por 2 son 2 y 1 son 3, á 5, 2, que escribo.
1 por 8 son 8 á 12 van 4, que escribo y reservo 1.
1 por 6 son 6 y 1 son 7, á 8 va 1, que escribo.
Y porque nada se reserva del último producto se escribe la cifra 6 en el orden superior del producto total.
Si la cifra del multiplicador fuere 6, se substituye por su complementaria 4; y si fuere 7, por el 3, procediendo á la multiplicación del mismo modo que en los ejemplos anteriores.
Cuando el multiplicador sea también polidígito, sus cifras superiores al cinco se substituyen por las complementarias respectivas (las cuales conviene que se señalen por un punto ó una tilde), y se multiplican conforme á la regla anterior. Las que no fueren mayores de 5, no hay necesidad de substituirlas y se multiplicarán como se hace de ordinario.

EJEMPLO

Sea multiplicar 20345 × 729.

Por la regla ordinaria.

    2 0 3 4 5
    ×
    7 2 9
    1 8 3 1 0 5
    4 0 6 9 0
    1 4 2 4 1 5
    1 4 8 3 1 5 0 5

Usando complementarias.

    2 0 3 4 5
    3 2 1
    1 8 3 1 0 5 a)
    4 0 6 9 0
    1 4 2 4 1 5 b)
    1 4 8 3 1 5 0 5