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La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 53

pleos desempeñados, categoría administrativa, si la tuviese etc.; después ver la categoría que disfruta y manera cómo la adquirió, y, por último, los años de servicio profesional, los prestados en la enseñanza pública y los demás que hubieren servido. Con estos datos podrá formarse el orden correlativo de preferencia para la resolución del concurso.

Una vez establecida en lista de preferencia, fácilmente podrá hacerse la designación del que deba ser nombrado para cada cargo, y mucho más si en esta designación se sigue el orden que por la importancia y sueldo de las plazas vacantes hemos enumerado en el párrafo A.

Expuesta nuestra opinión, sólo nos resta decir que este concurso, tan complejo por las múltiples causas que con él se relacionan, ha podido simplificarse al tiempo de hacer la convocatoria, si se hubiera expresado para quiénes debía entenderse como de traslado y para los que tenía el carácter de ascenso, y si también se hubiesen determinado las condiciones de preferencia y requisitos que debieran tener presentes los concursantes.

Confiamos, sin embargo, en que el Consejo de Instrucción pública examinará detenidamente los expedientes personales de los aspirantes y propondrá en todo caso lo más justo.

Z***

UNA NUEVA FIBRA TEXTIL

Está llamada á ocupar en el mundo industrial un puesto muy importante la fibra que se extrae del tallo de la malva común, no sólo por la facilidad de su explotación, sino por las excepcionales condiciones de resistencia que ofrece esta fibra.

Es sabido que esta planta silvestre crece vigorosa en todos los terrenos y bajo todos los climas, propagándose con rara facilidad. Ofrece además la importante ventaja de su gran rendimiento en fibra, que se estima en más de 40 por 100, siendo su extracción facilísima por el conocido sistema de maceración.

Si se generalizara el cultivo, resultaría la fibra más económica que se conoce, teniendo además la ventaja de poder ser aprovechada para diferentes usos industriales.

Desde luego se reputa esta fibra inmejorable para la fabricación del hilo de atar trigo y para tejido y arpillera, en cuyo empleo pueden consumirse grandes cantidades.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 54

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA

CAPÍTULO VIII

Continúa la exposición de procedimientos para determinar la naturaleza del cociente.

67. Relacionado con las propiedades demostradas en el número 60, respecto á cocientes conjugados y á las consideraciones emitidas al final de la «Observación importante (núm. 65)» en lo que concierne á la naturaleza de las fracciones comunes y práctica de su división, hemos discursido otro procedimiento que sería el decisivamente adoptado si la indivisibilidad de la base del sistema decimal no le hiciera en determinados casos poco práctico. Esto no obstante, merece ser expuesto, porque su proceso se enlaza estrechamente con el del producto y esclarece bastante la índole y especial constitución formal del cociente, probando hasta cierto punto la afirmación que adelantamos sobre este particular: «el cociente es una manera especial de producto»; y porque además, quién sabe si dará ocasión á investigaciones que, dirigidas al mismo fin, con más acierto y mejor fortuna, alcancen un éxito completo y podamos reemplazar la engorrosa división con sus tanteos y correcciones por la simple operación de multiplicar.

Esto se conseguirá, sin duda, tan luogo se logre invertir el divisor entero ó decimal totalmente y por modo tan expedito como se verifica en el fraccionario; problema que se nos presenta un tanto obscuro y de difícil solución.

Mas atendiendo á que todo número entero ó decimal puede ser representado por fracción ordinaria equivalente y ésta á su vez ser reducida á decimal, si prescindimos de la expresión numérica, designando respectivamente por \( a \), \( b \), \( c \), dividendo, divisor y cociente, podremos establecer esta igualdad \( a : b = \frac{a}{1} : \frac{b}{1} \); y como para dividir dos quebrados se multiplica el quebrado divi-
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 55

dendo por el quebrado divisor, previa la inversión de los términos de éste, será:

\[
\frac{a}{1} : \frac{b}{1} = \frac{a}{1} \times \frac{1}{b}; \text{ siendo } \frac{a}{1} = a, \text{ tendremos } a : b = a \times \frac{1}{b}.
\]

Esta igualdad nos dice que lo mismo se obtiene el cociente dividiendo el dividendo por el divisor, que multiplicando el dividendo por el quebrado que tiene por denominador el divisor y por numerador la unidad.

La fórmula de la división da el mismo resultado.

\[
\frac{a}{b} = c; \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{1}; \quad a \times 1 = c : b; \quad a \times \frac{1}{b} = c, \text{ ó dividendo}
\]
\[
\times \frac{1}{\text{divisor}} = \text{cociente}.
\]

68. El cociente de un número dado (a) por otro también dado (b), es igual al producto del dividendo (a) por el cociente fraccionario que resulte de dividir la unidad por el divisor.

Pero dicho quebrado ó cociente indicado puede ser expresado en forma decimal, y entonces la división se verificará formando el producto del dividendo por dicha fracción decimal.

Si se pudiese en todo caso saber cuál sea el cociente decimal de la unidad por el divisor, sin necesidad de practicar la división indicada por el quebrado; y si dicho cociente fuese número dígito ó de dos ó tres cifras, fracción decimal pura ó mixta de corto período, en todos estos casos se aplica ventajosamente este procedimiento:

Investigemos, pues.
El cociente de la unidad por los divisores dígitos es respectivamente:

\[
\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}
\]

\(0,5... 0,3333... 0,25... 0,2... 0,1666... 0,142857... 0,125... 0,1111... \) etc.

Resulta:
1.º Que los divisores 5, 2, 4 y 8 dan cocientes exactos.
2.º Que los divisores 3 y 9 dan cocientes periódicos de una sola cifra.
3.º Que el divisor 7 da cociente cuyo período le constituyen 6 cifras; y
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 56

4.º Que el divisor 6 produce para cociente fracción periódica mixta, de una cifra el período y de otra la parte no periódica.

Lo expuesto nos conduce á las consecuencias siguientes:

1.ª El cociente de un número por 5 es igual al producto de dicho número por 0,2.

\[
745 : 5 = 745 \times 0,2 = 149.
\]

2.ª El cociente de un número por 2, es igual á su producto por 0,5.

\[
683 : 2 = 683 \times 0,5 = 341,5.
\]

3.ª Para obtener el cociente de un número por 4, basta multiplicarle por 0,25.

\[
1632 : 4 = 1632 \times 0,25 = 408.
\]

4.ª Para dividir un número por 25, basta multiplicarle por 0,04.

\[
3875 : 25 = 3875 \times 0,04 = 155.
\]

5.ª El cociente de un número por 8, es igual al producto de dicho número por 0,125.

\[
7250 : 8 = 7250 \times 0,125 = 906,25.
\]

6.ª Para dividir un número por 125 basta multiplicarle por 0,008.

\[
4625 : 25 = 4625 \times 0,008 = 37.
\]

 Nótese la reciprocidad que existe entre 5 y 0,2; 2 y 0,5. Entre 4 y 0,25 y 25 y 0,04. Entre 8 y 0,125, y 125 y 0,008; y como \( 5 \times 0,2 = 2 \times 0,5 = 4 \times 0,25 = 25 \times 0,04 = 8 \times 0,125 = 125 \times 0,008 = 1 \), estos factores los podríamos denominar conjugados, por la propiedad que tienen de resolverse en la unidad.

Para dividir un número por 0,5 se le multiplica por 2.
Para dividirle por 5 se le id. por 0,2.
Id. por 50 se le id. por 0,02.
Id. por 500 se le id. por 0,002.
Id. por 125 se le id. por 0,008.
Id. por 12,5 se le id. por 0,08.
Id. por 1,25 se le id. por 0,8.
Id. por 0,125 se le id. por 8.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 57

Podríamos definir el cociente diciendo que es el producto del dividendo por el factor que se conjuga con el divisor (*).

69. A un divisor constante en su valor absoluto, pero que varía de posición tomando diferentes grados del sistema decimal, corresponde el mismo factor conjugado, invariable en su valor absoluto, y tomando en sentido contrario á los del divisor los órdenes equidistantes de la coma que marca la divisoria entre los grados múltiplos y partitivos.

El conocimiento de esta propiedad permite extender á muchos más casos la aplicación de este procedimiento.

70. Siempre que el divisor sea producto de factores, cuyos conjugados fueron conocidos, se hallará el cociente, formando el producto del dividendo por los factores conjugados.

Si el divisor es \(32 = 4 \times 8\), como sabemos que los conjugados respectivos de los factores 4 y 8 son 0,04 y 0,125, si tuviésemos que dividir,

\[
20000 : 32 = 625,
\]
procederíamos así:
\[
20000 \times 0,04 \times 0,125 = 625.\] (Omitimos la práctica de la formación de estos dos productos, por no ser necesaria para su completa inteligencia.)

Si el divisor fuere una potencia de factor cuyo conjugado sea conocido, se forma la potencia de éste, y su producto por el dividendo dará el cociente.

Sea dividir \(20000 : 625 = 32\).
\[
625 = 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5;\] luego
\[
20000 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 20000 \times 0,0016 = 32.
\]

FACTORES CONJUGADOS DE FORMA PERIÓDICA

71. Estos factores pueden estar representados por forma periódica pura ó periódica mixta.

Nota. Consúltese cuanto dejamos expuesto en los números 49, 51 y 52 con sus ejemplos y reglas, pues todo es aplicable á los casos que vamos á tratar.

(*) Desconocemos en absoluto que hayan sido tratadas estas teorías aritméticas, y por lo tanto, estimariamos como singular favor que se nos citase el autor, si hay alguno, que en las mismas se haya ocupado y desde el mismo punto de vista.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 58

El divisor 9 da la fracción periódica pura \( \frac{1}{9} = 0,1111... \)

El divisor 3 da la fracción periódica pura \( \frac{1}{3} = 0,3333... \)

El divisor 11 da la fracción periódica pura \( \frac{1}{11} = 0,090909... \)

Luego:

1.º Para dividir un número por 9 se le multiplica por 0,1111...

\( 7425 : 9 = 7425 \times 0,1111........ = 825. \)

Práctica, según la regla del núm. 51, pág. 69:

\[
\begin{array}{l}
5 + 2 + 4 + 7 = 18 ; 18 : 9 = 2 \text{ (que reserva) } + 0... ,0000 \\
2) + 2 + 4 + 7 = 15 ; 15 : 10 = 1 \text{ (que reserva) } + ... 5, \\
1) + 4 + 7 = 12 , 12 : 10 = 1 \text{ (que reserva) } + ... 20, \\
1) + 7 = 8 ............................................. 800,
\end{array}
\]

\[
825,0000
\]

2.º Para dividir un número por 3, se le multiplica por 0,3333.

\( 825 : 3 = 825 \times 0,3333 ......................... = 275. \)

\( 825 \times 3 = 2475. \)

Operando sobre 2475, tendremos:

\[
\begin{array}{l}
5 + 7 + 4 + 2 = 18 ; 9 = 2 \text{ que reserva } .... + ..... ,0000 \\
2) + 7 + 4 + 2 = 15 ; 10 = 1 \text{ que reserva } .... + ..... 5, \\
1) + 4 + 2 = 7 ............................................ 70, \\
2 = 2 ..................................................... 200,
\end{array}
\]

\[
275.
\]

3.º Para dividir un número por 11 se le multiplica por 0,090909...

(Véanse las páginas 71 y 72.)

\( 8239 : 11 = 8239 \times 0,090909 ......................... = 749,09 \)

\( 8239 \times 0,09 = 741,51. \)

Operando sobre 741,51, tendremos:

\[
\begin{array}{l}
1 + 1 + 7 = 9 ; 9 : 9 = 1 \text{ (que reserva) } + ............ ,00 \\
1) + 5 + 4 = 10 ; 10 : 10 = 1 \text{ (que reserva) } + ............ ,0 \\
1) + 1 + 7 = 9 .................................................. 9, \\
4 = 4 ............................................................. 40, \\
7 = 7 ............................................................. 700,
\end{array}
\]

\[
749,09
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 59

Claro es que si los divisores fuesen:

90 ; 900 ; 9000 ; 0,9 ; 0,09 ; 0,009 etc.
30 ; 300 ; 3000 ; 0,3 ; 0,03 ; 0,003 etc.
110 ; 1100 ; 11000 ; 0,11 ; 0,011 ; 0,0011 etc.,

no por eso variará el valor absoluto del factor respectivo que ha de multiplicar al dividendo, pues sólo variará de grado; pero siempre será fácil determinar los órdenes de la cifra del cociente aplicando el principio (núm. 57), ó con sólo inferir el número de cifras enteras que corresponden al cociente por la simple inspección del dividendo y del divisor.

En el caso de que el factor conjugado fuese fracción periódica mixta, basta aplicar la regla 2.a del número 52, haciendo á la vez uso, si se quiere, de las abreviaciones que en el número 48 se explicaron con los ejemplos necesarios.

Fácilmente se comprende cómo del conocimiento de los factores conjugados que corresponden á los divisores dígitos se deriva el de los divisores polidígitos, si se atiende:
1.º A la reciprocidad de cada par de factores conjugados que se reemplazan mutuamente por sus divisores respectivos.
2.º A la inalterabilidad del valor absoluto del conjugado, variando sus grados en sentido opuesto á los que tome el divisor; y
3.º A que á todo divisor compuesto corresponde un conjugado compuesto que se forma por el producto de los conjugados correspondientes á los factores que integran el divisor.

Si consideramos, por ejemplo, el factor 90, tendremos otra serie de derivaciones.

    Divisores.
    Factores conjugados.

    90
    0,011111...

    Mitad del divisor 90 ... 45
    0,022222... conjugado duplo.

    Tercio de id. id. ... 30
    0,033333... triple de id.

    Cuarto de id. id. ... 22,5
    0,044444... cuádruplo id.

    Quinto de id. id. ... 18
    0,055555... quíntuplo id.

    Sexto de id. id. ... 15
    0,066666... séxtuplo id.

    La 7.a parte da fracción muy compleja.{... * ... } ... *

    8.a parte de id. id. ... 11,25
    0,088888... octuplo id.

    9.a parte de id. id. ... 10
    0,111111...
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 6

Constituida la patria principalmente por las ideas, sentimientos y costumbres, se consolida, ante todo, lo mismo que la familia, por la comunidad de vida y por la conexión necesaria en sus formas: espacio y tiempo (ya que también existe patria para el tiempo). La comunidad de vida, alma mater del genuino y legítimo sentimiento patriótico, se revela en la connaturalización ó complemento que las relaciones individuales y colectivas adquieren dentro de los lazos que dan subsistencia á la patria. Sin ellos se hallan las personalidades sociales y los individuos desterrados en su propia patria, solos y aislados en medio de las muchedumbres. Las imposiciones que llegan al individuo, más astician y enervan su iniciativa que la favorecen y amparan, cuando falta la intimidad y comunidad de vida.

Puede, pues, afirmarse que los lazos individuales y sociales que se entretiejen en el patriotismo, se estrechan tanto más cuanto más arraigan en principios de justicia, libres de toda clase de egoísmos (1).

La idea del cosmopolitismo, latente en el pensamiento y en el corazón de todo espíritu generoso, abandona la región del sueño y de la utopía y comienza á ofrecer sus primeras manifestaciones con el mismo sentido restringido y negativo que hemos observado en el génesis histórico de la idea y amor patrios.

La caridad del budhismo, la hospitalidad de los antiguos, la unidad intelectual y artística, acariciada por la liga del

(1) Ojalá que algún día pensadores y políticos, hombres de palabra y de acción, se convengan de tan profunda verdad: que sólo entonces los mentidos cálculos de una diplomacia inútil llegarán á inspirarse en el principio incontrovertible de que no se sirve á la patria cuando, por favorecer miras egoístas o intereses de momento, sufre menoscabo la justicia.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 60

Procediendo inversamente, tendremos:

9 ... 0,1111...

Duplo del divisor 9 ... 18 ... 0,0555... Mitad de 0,1111.
Triplo de id. id... 27 ... 0,037037... Tercio de id.
Cuádruplo de id. id... 36 ... 0,02777... Cuarto de id.
Quintuplo de id. id... 45 ... 0,02-22... Quinto de id.
Séxtuplo de id. id... 54 ... 0,0185185. Sexta parte de id. etc.

Estas derivaciones en los divisores que como el 2, 4, 5, 8, 25, etc., dan conjugados exactos, son muy fáciles y ventajosas en sus aplicaciones, y por eso las omitimos; pero creemos deber insistir sobre los divisores de conjugados periódicos por ser los más difíciles.

Veamos las primeras derivaciones del divisor 11.

    Divisores.
    Conjugados.

    11...
    0,09.09.09...

    Duplo del divisor 11... 22...
    0,045.045... Mitad. de 0,090909.

    Triplo del id. id... 33...
    0,03.03.03... Tercio id.

    Cuádruplo id. id... 44...
    0,02.27.27... Cuarto id.

    Quintuplo id. id... 55...
    0,018.18... Quinto id.

    Séxtuplo id. id... 66...
    0,015.15... Sexto id.

    Séxtuplo período de 6 cifras... 77...
    0,012987... Séptimo id.

    Octuplo ... 88...
    0,01136.36... Octavo id.

    9 veces el divisor 11... 99...
    0,01.01.01... Noveno id.

Inversamente

11...... 0,090909...
Mitad del divisor...... 5,5... 0,181818... Duplo de 0,0909.
Tercio de id........... 3,666... 0,27.27.27... Triplo id.
Cuarto de id.......... 2,75... 0,36.36.36... Cuádruplo id.
Quinto id. etc......... 2,2... 0,45.45.45... Quíntuplo id. etc.

Ahora bien: si se considera que pueden comenzarse estas derivaciones directa e inversamente desde cada uno de estos divisores y su conjugado correspondiente, continuándolos indefinidamente, no quedará ninguna divisor compuesto sin que se le halle su conjugado respectivo.

Respecto á los divisores que se expresan por número primo, darán conjugados que formarán fracciones periódicas de muchas cifras; mas si se tiene en cuenta que todo número primo va en la
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 61

serie numérica precedido y seguido de números compuestos, sería factible hallar el coeficiente diferencial que sería preciso añadir ó quitar á su número inmediato para obtener un cociente con la aproximación suficiente en la práctica.

Poco habremos de añadir á las observaciones que consignamos como preliminar de este procedimiento. Allí hicimos constar que en determinados casos es prácticamente inaplicable, por la indivisibilidad de la base decimal del sistema, y ahora diremos también que por su excesiva amplitud.

Consúltense las relaciones de los divisores simples con las bases respectivas de los sistemas decimal y senario que expusimos en los números 9 y 12, y meditando seriamente sobre ellas, calcúlese el partido que podría sacarse de este procedimiento aplicado al sistema senario. El número 7 está ligado á la base del senario con idéntica sencilla relación que el 11 lo está al decimal; pero la decena impera y continuará ejerciendo su incontrastable dictadura.

Del examen de lo expuesto respecto á este procedimiento, resulta comprobado y demostrado que el cociente es el producto del dividendo por el factor que se conjuga con el divisor, ó lo que es lo mismo, por la fracción decimal que resulta al dividir la unidad por el divisor.

Quedan indicados algunos medios para hallar por derivaciones los conjugados correspondientes á los divisores compuestos, medios que no tienen aplicación para hallar los de los divisores que se expresan por números primos, y hecho notar que de buscar directamente éstos se obtienen fracciones, cuyos períodos constan de muchas cifras, resultando el procedimiento prácticamente inaplicable. Además, la investigación de los conjugados la hemos llevado á efecto por vía de división, cuando precisamente el fin que se persigue es prescindir de esta operación. Esto se conseguiría si se hallare un medio para obtener el cociente de la unidad por el divisor, sin emplear bajo ninguna forma la operación de dividir. Creemos que en gran parte hemos resuelto este problema y es de esperar que otros completen tan interesante solución; pero las investigaciones á tal fin encaminadas, nos han sugerido el siguiente

PROCEDIMIENTO DE LA DIVISIÓN, POR EL CUAL SE HACE VER QUE EL COCIENTE ES UN PRODUCTO

72. Tratemos de determinar la ley de formación de los conjugados para deducir su fórmula general; y para fijar las ideas analicemos y razonemos su proceso, mediante ejemplos.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 62

Sea hallar el cociente de 1 : 98.
(La marcha que se va á seguir consiste en obtener cociente exacto de cada división parcial alterando el divisor y practicar las correcciones necesarias por divisiones sucesivas.)

1.ª división 1 : 98 —

El cociente que se busca es el número que multiplicado por 98 (divisor) dé un producto igual á la unidad (dividendo).
No parece que haya número entero que realice ese producto; pero si sustituimos el divisor 98 por (98 + 2) = 100 = una centena, tendremos que, según el principio (núm. 57), el cociente de 1 : 100 es 0,01; pues que 1 centena (divisor) × 0,01 centésima (cociente) = 1 primaria (dividendo).
Admitamos que 1 : 98 = 0,01, y calculemos y rectifiquemos su error.
Este cociente 0,01 es menor que el verdadero, pues que para obtenerle hemos aumentado el divisor; y así, tomando á 0,01 como cociente de 1 : 98, tendremos que 98 × 0,01 = 0,98. Faltan, pues, á este producto 0,02 para igualar á la unidad (dividendo); luego es preciso completar el cociente 0,01, aumentándole en un número x que, multiplicado por 98, dé un producto igual á 0,02. Evidentemente tal número se hallará dividiendo 0,02 por 98, y será la

2.ª división parcial 0,02 : 98.

Tampoco conocemos ningún número entero que realice este producto, y, por lo tanto, volveremos á sustituir el divisor 98 por la centena y será 0,02 : 100.
El dividendo (centésimas) es inferior en cuatro grados al divisor (centenas): luego el orden del cociente, habiendo de ser también inferior en cuatro grados al orden primario, resulta diez milésimas, es decir, que 0,02 : 100 = 0,0002; pues que 1C × 2dm = 2c (dividendo).
El cociente de 1 : 98 = 0,01 + 0,0002, +.....
Mas también es preciso rectificar y completar la parte 0,0002 que procede de 0,02 : 100, en lugar de 0,02 : 98.
En efecto: restableciendo el verdadero divisor 98 y formando su producto por el cociente, será 98 × 0,0002 = 0,0196 = 0,02 — 0,0004; luego es preciso completar el cociente parcial 0,0002, añadiéndole el número cuyo producto por 98 sea igual á 0,0004. Tal número se hallará dividiendo 0,0004 por 98, y tendremos para la

3.ª división parcial 0,0004 : 98.
La Escuela moderna (Madrid) (1898-02-01 00:00:00), página 63

No vemos número entero que multiplicado por 98 dé por producto 0,0004; pero apelando á la sustitución del divisor 98 por la centena, y aplicando el mismo principio y razonamiento anterior, tendremos 0,0004 : 100 = 0,000004; pues que 0,000004 × 100 = 0,0004. Hemos hallado hasta ahora que

\[
1 : 98 = 0,01 + 0,0002 + 0,000004 + \ldots.
\]

Mas por análogas razones á las expuestas en las anteriores divisiones parciales, tendremos que completar el último cociente 0,000004.

Efectivamente: restableciendo el verdadero divisor 98, tendremos que 0,000004 × 98 = 0,000392 — 0,0004 — 0,000008. Luego el cociente parcial 0,000004 es preciso completarle añadiéndole el número cuyo producto por 98 sea = 0,000008. Tal número se hallará dividiendo 0,000008 por 98, y tendremos la

4.ª división parcial 0,000008 : 98.

Practicada la sustitución y el cálculo ya indicado, se obtendrá para cociente 0,0000008, que también tiene que completarse, y así los sucesivos. Tendremos, pues

\[
1 : 98 = 0,01 + 0,0002 + 0,000004 + 0,00000008 + \ldots \\
= \frac{1}{100} + \frac{2}{100^2} + \frac{2^2}{100^5} + \frac{2^5}{100^6} + \ldots
\]

Procediendo del mismo modo y empleando análogos razonamientos con otros divisores, obtendremos los siguientes resultados, idénticos á los de la regla ordinaria:

\[
\begin{align*}
1 : 99 &= 01\ 01\ 01\ 01\ 01\ 01\ 01\ 01\ 01.\\
1 : 98 &= 01\ 02\ 04\ 08\ 16\ 32\ 63.\\
1 : 97 &= 01\ 03\ 09\ 27\ 83\ 50\ldots.\\
1 : 96 &= 01\ 04\ 16\ 66\ 66\ 66\ldots.\\
1 : 95 &= 01\ 05\ 26\ 31\ 57\ 89\ldots.\\
1 : 94 &= 01\ 06\ 38\ 29\ 78\ 72\ \text{etc.}
\end{align*}
\]

73. Los cocientes de la unidad por cualquier número se forman según una ley constante que, por ser tan notable e interesante y de tan útiles y fecundas aplicaciones, intentaremos reducir á fórmula.