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La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 46

Solución:
Si cinco niños hacen un trabajo en nueve días, en un día harán \( \frac{1}{9} \) y un niño sólo hará

\[
\frac{1}{9} \times 5 = \frac{1}{45}
\]

Si los seis hombres hacen el trabajo de tres días en un día harán \( \frac{1}{3} \) y cada hombre lo hará en

\[
\frac{1}{3} \times 6 = \frac{1}{18}
\]

Ahora bien; siete niños harán

\[
\frac{1}{45} \times 7 = \frac{7}{45}
\]

Y cinco hombres en un día harán

\[
\frac{1}{17} \times 5 = \frac{5}{17}
\]

Y todos juntos harán en un día

\[
\frac{7}{45} + \frac{5}{18} = \frac{35}{810}
\]

Si la brigada emplea seis horas cinco minutos de trabajo para hacer \( \frac{810}{810} \) ó el trabajo entero, invertirá

\[
\frac{6.50 \times 810}{351} = 15 \text{ horas, ó sea dos días y dos horas.}
\]

Problema 20. Un confitero compra 2 kilogramos de frutas para hacer dulce á 60 céntimos el kilogramo. Las frutas pierden el 15 por 100 de su peso. Se agregan 3 kilogramos de azúcar á 1,15 pesetas el kilogramo, y por la cocción se pierde el cuarto de su peso. ¿A cómo se venderá el medio kilogramo de este dulce, habiendo costado el carbón 25 céntimos?

Solución:
Las ciruelas pesan 2.000 gramos.
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 47

El 15 por 100 será \( \frac{2.000 \times 15}{100} = 300 \)

El peso será 2.000 - 3.000 = 1.700.

El azúcar pesa 3.000 gramos.
Y agregando á éstos los 1.700 gramos, será

\[
2.000 + 1.700 = 4.700.
\]

La cuarta parte es 1.175.
El peso del dulce es 4.700 - 1.175 = 3.525.
El kilogramo cuesta 60 céntimos; las ciruelas valdrán

\[
\begin{array}{l}
2 \times 60 = 1,20 \text{ pesetas.} \\
\text{El azúcar.} \quad 3 \times 1,15 = 3,45 \quad \text{»} \quad 4,90 \\
\text{El carbón.} \qquad 0,25 \quad \text{»} \\
\text{El medio kg. valdrá} \quad \frac{4,90 \times 500}{3,525} = 0,695 \text{ pesetas.}
\end{array}
\]

PROBLEMA 21. Un agricultor quiere comprar una viña con el valor de la cosecha de trigo. Calcula que si puede vender el trigo á 15,45 pesetas Hl., le sobrarán 52,70 pesetas, y si lo vende á 15,15, le faltarán 53,20 pesetas. ¿Cuántos Hl. de trigo tiene, y cuánto valdrá la viña?

Solución:
Vendiendo el Hl. á 15,45 le sobran 52,70 pesetas.
Vendiéndolo á 15,15 le faltan 53,20.
La diferencia entre las dos ventas es de

\[
52,70 + 53,20 = 105,90.
\]

En el primer caso, el trigo se vende á 15,45; en el segundo á 15,15: la diferencia de precio es

\[
15,45 - 15,15 = 0,30
\]

Luego el número de Hl. será igual á las veces que esté 0,30 contenido en 105,90

\[
\text{Luego tenía} \quad \frac{105,90}{0,30} = 353 \text{ Hl.}
\]

El precio de la viña será

\[
15,45 \times 353 - 52,70 = 5401,15 \text{ pesetas.}
\]

Se puede resolver este problema en dos ecuaciones con dos incógnitas.
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 48

PROBLEMA 22. Una hectárea de terreno sembrado de alfalfa da tres cortes al año, cada uno de 34.650 kilogramos. Este forraje se vende seco á 54,75 pesetas la tonelada. Sabiendo que el producto anual de un campo de 153 metros de longitud y 74 de latitud, ha sido de 2770,75 pesetas. ¿Se pregunta cuánto \( \% \) de su peso pierde el forraje?

Solución:
Una Ha. produce en el año

\[
34650 \times 3 = 103950 \text{ kilogramos}.
\]

El campo es de \( 153 \times 74 \)
Su superficie será \( 1,1322 \) Ha.
Si una Ha. da 103.950 kilogramos, el campo dará

\[
1,1322 \times 103950 = 117692 \text{ kilogramos}.
\]

Ahora bien. Sabemos que 54,75 pesetas valen 1.000 kilogramos de forraje, luego 2770,75 pesetas valdrán

\[
\frac{1000 \times 2770,75}{54,75} = 50607 \text{ kilogramos}.
\]

La pérdida ha sido de

\[
117692 - 50607 = 67085 \text{ kilogramos}.
\]

Luego en cada 100 kilogramos, será

\[
\frac{67085 \times 100}{117692} = 57 \text{ por } 100.
\]

PROBLEMA 23. Se divide los \( \frac{3}{4} \) de un número por \( \frac{5}{9} \) y se encuentra 162 de cociente. ¿Cuál es ese número?

Solución:
El divisor es \( \frac{5}{9} \) y el cociente 162; el dividendo será

\[
\frac{5}{9} \times 162 = 90
\]

Pero este dividendo compone los \( \frac{3}{4} \) del número buscado: los
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 49

ó todo el número valdrán \( \frac{90}{3} \times 4 = 120 \)

Luego el dividendo es 120.

Solución algebraica.

Sea \( x \) el número buscado.
Los \( \frac{3}{4} \) de \( x \) serán \( \frac{3x}{4} \)
Ahora dividido por \( \frac{5}{9} \) será

\[
\frac{3x}{4} : \frac{5}{9} = 162; ó \text{ lo que es lo mismo } \frac{3x \times 9}{4 \times 5} = 162.
\]

Luego \( \frac{27x}{20} = 162 \).

Luego \( x = \frac{162 \times 20}{27} = 120 \).

PROBLEMA 24. Un banquero quiere comprar una casa, y para eso pide 1.250 pesetas á cada uno de sus deudores, y aún le faltan 10.000 pesetas, y si les pide 1.600 pesetas, le sobran entonces 1.200 pesetas. ¿Cuántos deudores tenía?

Solución:
Sea \( x \) el precio de la casa é \( y \) el número de sus deudores.
En el primer caso será

\[
1250y = x - 10.000; ó \text{ lo que es igual } \\
x - 1250y = 10.000
\]

En el segundo caso tendremos

\[
1600y = x + 1200, ó \text{ lo que es igual } \\
x - 1600y = -1200.
\]

Resolviendo estas dos ecuaciones se hallará que el número de deudores era 32, y el valor de la casa 50.000 pesetas; luego contribuirá cada uno con 1.562,50 pesetas.

E. G. P.
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 5

CARTAS... ¿PEDAGÓGICAS?
POR
C. S. O. y U. G. S.

(Segunda serie.)
III (1)

Sr. D. U. G. S.

«No hay mal que por bien no venga», mi bondadoso amigo. Hago esta afirmación, porque mi involuntaria desobediencia (no siempre se tienen facultades para hacer lo que se desea) ha dado á usted ocasión para decirme, sobre el punto discutido, tantas y tan hermosas verdades, que al leerlas casi me he felicitado por mi falta. Usted, pedagogo habilísimo, me la hace sentir aplicándome la doctrina de las consecuencias. No me rebelo, y, aún más, estoy pronta (como dispone la Ordenanza militar) á sufrir la corrección y dar gracias á quien me la impone.

Para demostrar mi buena voluntad, acometeré de frente la parte de la cuestión que usted parece empeñado en no tocar: el proceso de la atención.

Como el desarrollo de la mente supone la facilidad de elaborar los materiales adquiridos, dándoles formas superiores y complejas, debemos considerar que en la atención, rápida e instintiva, que presta el niño á las impresiones externas, se manifiesta ya esta función del pensar en forma simple, apta para modificarse, adquiriendo mayor complejidad.

A este momento inicial de la atención corresponden, sin duda alguna, las primeras impresiones suministradas por los sentidos, las cuales constituyen el material acumulado por la.

(1) Véase el número anterior, pág. 329 de este tomo VI.
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 50

LAS EXCURSIONES ESCOLARES

EN GUADALAJARA

Cumpliendo la promesa hecha en el Suplemento correspondiente al 25 de Mayo próximo pasado, empezamos en el presente número á dar á conocer lo practicado, en materia de excursiones escolares, por el Instituto de segunda enseñanza y las Escuelas Normales de Maestros y de Maestras de Guadalajara.

El asunto tiene verdadero interés: en primer lugar, por lo que en sí mismo significa; y en segundo, porque muestra que cuando al celo y los buenos deseos se une una voluntad decidida y apoyada en convicciones, se pueden realizar hasta prodigios. Lo hecho en muy poco tiempo en Guadalajara á propósito de las excursiones, es una prueba palmaria de ello. Y no estará demás añadir que profesores, alumnos y la población entera han acogido con las más vivas simpatías las excursiones, cuya práctica miran ya como la cosa más natural del mundo. Creemos que el ejemplo que ofrecen el Instituto y las Normales de Guadalajara puede influir considerablemente para que en las demás capitales se implanten y desarrollen las excursiones.

Sin perjuicio de que en otros números sigamos ocupándonos en el asunto y demos á conocer algo de lo que respecto de la educación física se ha empezado á hacer y se proyecta en Guadalajara (por ejemplo, la instalación en el Instituto de un juego de pelota y de un soberbio gimnasio, el primero de España que estará dotado de baño y aparato para duchas), nos limitamos hoy á dar á conocer, transcribiéndolo de La Crónica de aquella capital, algunos pormenores de las primeras excursiones realizadas. Lo que sigue pertenece, pues, al citado periódico.

«El día 1.º del corriente (Mayo) han verificado una excursión al inmediato pueblecito de Marchamalo catorce alumnos de este
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 51

Instituto. El programa de la misma puede reducirse á los siguientes pormenores.

»1.º A la salida de la población, en los altos que dominan el río y su vega, orientación de los excursionistas, mediante la brújula.

»2.º En la bajada al puente sobre el Henares y camino de la Estación, se recogieron y examinaron plantas como el hipecáon (papaverácea), jaramago (crucífera), alverjón (leguminosa), amapola (papaverácea), y con motivo de ésta se hicieron indicaciones acerca de la extracción del opio y la morfina en la adormidera blanca.

»3.º Desde la Estación del ferrocarril al pueblo se llamó la atención acerca de los terrenos; primario (el de la Sierra del Norte, la Carpetana); secundario (el de la Celtibérica, al Este); el terciario, sobre el que se caminaba, y su horizonte medio (arcilla) que se iba pisando por los alumnos, y el horizonte superior (calizas) que se divisaba á lo lejos sobre los cerros, al Sur y Este de Guadalajara.

»4.º En el pueblo de Marchamalo se hicieron indicaciones acerca del uso del barómetro aneroide, que se tenía á la vista, para la determinación de alturas, y se hizo notar la subida del índice del instrumento al bajar desde Guadalajara al río.

»5.º Después se hizo una visita á la iglesia de Marchamalo, notando: el alnochadillado de alguna ventana; lo apuntado de los arcos exteriores del crucero; la parte moderna de los pies del templo; el carácter del retablo del altar mayor y los dos laterales inmediatos; y, por último, se vió la manga correspondiente á un rico terno del siglo XVI, que se conserva en aquella parroquia.

»A las cinco y cuarto de la tarde regresó al establecimiento la expedición.»

EXCURSION ESCOLAR

«El día 12 de Mayo la hicimos el Director de la Escuela Normal, el Profesor del Instituto D. Joaquín Sama, D. Juan Diges y los alumnos de tercer año de dicha Escuela.

»El objeto era visitar el panteón de los Duques del Infantado, en el Fuerte de San Francisco, y la iglesia del mismo; pero se visitó de paso también la capilla de Urbina á la ida; y á la vuelta, las dos hermosas portadas que hay en lo que hoy es un corralón del Instituto.

»Por lo que se refiere al estado de la capilla de los Urbinas, están lamentable que ya no tiene remedio, especialmente en su interior.
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 52

»Es de estilo muzárabe, notándose al exterior los arcos apuntados y en el interior los de medio punto. Tiene méritos suficientes para que fuese digna de conservarse, no sólo por la bondad de su arquitectura, sino por sus frescos, en los que brilla por lo común un buen color, correcto dibujo, excelentes paños y tal verdad en el movimiento de algunas figuras, que recuerda la sana influencia del Renacimiento. Los materiales de que está hecha dieron motivo para hablar del ladrillo, como elemento obligado de las construcciones árabes, y de las causas originarias de esta preferencia, que no son otras que la falta de canteras y la sobra de arcilla en las llanuras de Damasco y Bagdad.

»En el Fuerte de San Francisco admiramos la iglesia; es de estilo gótico, y parece que la mandó edificar el ilustre Cardenal Mendoza. Se recordaron las vicisitudes por que ha pasado todo el edificio desde que lo fundó doña Berenguela (1200), hasta el 1841, en que fue cedido al Cuerpo de Ingenieros, el cual lo tiene ahora destinado á almacén de pertrechos militares, propios de este cuerpo facultativo. Se lamentó la desnudez actual de aquel hermoso templo, de 54 metros de longitud, 25 de anchura y 20 de altura; templo que ha debido ser muy rico en objetos de historia y arte, tales como retablos, esculturas, pinturas, inscripciones, etc., y tal vez en trofeos gloriosos alcanzados en los campos de batalla por el valor de los Mendozas. No cabe duda que el recuerdo de las glorias perdidas es triste para el que estima en algo la patria en que nació; pero en el caso presente es menos sensible esa pérdida por el objeto útil á que el Estado destina ese templo; sin cuya aplicación acaso lo veríamos correr la misma suerte que la capilla de los Urbinas.

»En el panteón admiramos su riqueza, sus semejanzas, aunque en pequeño, con el famoso del Escorial, su bello estilo dórico, si bien algo incompleto por falta de altura, lo cual no sucede en la capilla; sus preciosos mármoles concoides, de vistosos colores, aunque muchos de ellos ya descomponiéndose por la heterogeneidad de sus elementos mineralógicos.

»La forma que afecta el panteón es elíptica; la entrada la tiene por uno de los extremos del eje menor, y la capilla se halla en el otro extremo.

»En sus paredes contamos 28 nichos, casi todos ellos con sus urnas; aunque las menos, están en buen estado, también de mármol de colores, predominando el rosa, de forma elegantísima y entrasando con la superficie curva de las paredes.

»Ya de vuelta, entramos á admirar las dos portadas del corralón del Instituto, y en verdad que son dos maravillas, cada una en
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 53

su estilo. La de la izquierda es del más bello plateresco, y la segunda se distingue por el carácter gótico. Sin duda alguna se propusieron imitar ambos estilos, poniendo especial esmero en la elección de los detalles y en su ejecución.

»En la primera se observa más delicadeza, más fantasía y más armonía en su conjunto; mientras que en la segunda hay algo más de rudeza, más severidad, y menos conocimiento de las leyes de la estética.

»Terminada nuestra visita, acordamos volver otro día con el objeto de reproducir en escayola algunas de aquellas hermosas grecas, escudos y cabecitas, y nos volvimos á nuestra Escuela donde nuestro Director nos hizo un resumen de lo que habíamos visto y oído, añadiendo algunas consideraciones sobre la importancia del arte y su influencia en el desarrollo de los más elevados sentimientos.

«UN EXCURSIONISTA.»

VISITA DE LAS NORMALISTAS AL PALACIO DEL INFANTADO

«La Directora y el Director de las Escuelas Normales de Maestras y Maestros estuvieron con las alumnas del tercer año del primero de dichos establecimientos, desde las tres á las cinco de la tarde del día 29 de Mayo pasado, estudiando el palacio del Infantado, comenzando por situarse en la esquina de la Academia, y apreciar desde allí primero: el conjunto original de la fachada del suntuoso edificio; después los pormenores; el arco ojival que determina el timpán notable de la puerta de entrada; los pináculos que vienen á terminar casi en el alero del tejado; los trebolados que abundan en la franja que separa la parte maciza de la fachada, de la cegada galería superior; los adornos funiculares; las hojas de cardo; las estalactitas, que tanto abundan en aquella ornamentación; y de todo lo cual se deduce el carácter mudéjarabe del edificio.

»De la fachada se pasó al patio principal, cuyos adornos parecieron tan monumentales y hermosos como los de la fachada, aunque conviniendo en que los arcos de la galería superior y los de la inferior resultaban más pesados que la elegante balaustrada gótica de aquélla,

»Después inspeccionaron el salón de Progenitores con su sorprendente techumbre árabe y su friso gótico, en el cual se hallan
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 54

hornacinas con elegantes doseletes amparando grupos de los progenitores de los Mendozas; el salón denominado de los Salvajes, análogo al de Progenitores; los zócalos de azulejos de estilo mayólico de este salón y los de la galería contigua, y los varios techos de tracera árabe y otros pintados, sin duda, en tiempo de Carlos III, ó con muy poca posterioridad, en estilo pompeyano, fueron también objeto de la visita que las alumnas terminaron copiando el significado de la inscripción larga, de caracteres góticos, que acompaña á la arcada de la galería superior y en que consta que D. Inigo López de Mendoza fué el propulsor de las obras en que posteriormente moraron Reyes y magnates.

LAS FLORES, LOS PERFUMES Y LOS CANTANTES

Con este título hallamos en el periódico italiano Il Mondo Artistico, el siguiente suelto, cuya lectura recomendamos á los cantantes:

"De los estudios que varios médicos han hecho sobre el particular, resulta que el perfume de las flores es perjudicial para la voz, hasta el punto de provocar su afonía.

"Los doctores Faure y Batielle certifican de esa influencia, y citan el caso de una maestra italiana que prohibe á sus alumnas toda clase de olores, especialmente el de la violeta; cuando llega una perfumada con ese olor, la manda retirar inmediatamente.

"A propósito de esto, recordamos que el doctor Faurel recomendaba á los directores de teatros líricos que no dejaran entrar en los cuartos de los artistas ningún ramo de flores, pues se ha comprobado que varias cantantes han quedado sin voz durante una noche, por haber aspirado el perfume de un ramo.

"El olor de la violeta es el que más influye sobre la voz; y en comprobación de esto, citaremos el caso ocurrido á la diva María Sass, que por haber aspirado diferentes veces, antes de salir á escena, un ramo de violetas que le regalaron, se quedó completamente afónica al empezar á cantar."
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 55

VARIEDADES

LOS CUADROS MÁGICOS

Entretenimiento científico.

Hace algún tiempo, púsose muy en boga un rompecabezas titulado La cuestión de los quince. Consistía en distribuir las nueve cifras significativas en un cuadro dividido vertical y horizontalmente en nueve casillas en esta forma:

En cada casilla debía colocarse una de las nueve cifras, dispuestas con tal arte que, sumadas de tres en tres, en sentido vertical, horizontal y diagonal, produjesen siempre un total de quince.

La aparición de este entretenimiento coincidió con la publicación en castellano, de un libro de M. Tissandier, titulado Recreaciones científicas, en que se habla de la cuestión bajo el epígrafe de Cuadros mágicos.

El autor empieza por transcribir la definición que allá por el siglo XVII dió de dichos cuadros M. Ozanam, individuo de la Academia de Ciencias de París.

Esta definición está concebida en los siguientes términos: «Cuadro mágico es un cuadrado dividido en otros varios cuadritos iguales, ó cajetines, ocupados por los términos de una progresión, y dispuestos allí de tal manera, que todos los de una misma fila, bien
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 56

sea horizontal, vertical ó diagonal, sumados dan el mismo número, ó multiplicados, el mismo producto.»

Se ve, pues, que el asunto dista mucho de ser una cuestión moderna; y si hemos de dar crédito á M. Lemoine, autor de un tratado de Matemáticas publicado en 1789, ya mucho antes los cuadros mágicos habían ocupado la atención de diversos autores y desempeñado un papel interesante en las operaciones de la cabala, la magia y otros entretenimientos supersticiosos.

Los cuadros mágicos fueron objeto de gran veneración entre los pitagóricos; eran también conocidos de los egipcios, y tuvieron en la Edad Media mucho que ver con la astrología y la alquimia, de cuyas circunstancias les viene el nombre con que se les designa.

Como quiera que sea, no consta que nadie se haya ocupado en dar á la cuestión un giro rigurosamente científico, convirtiéndola en una serie de problemas algebraicos, que vienen á resultar muy nuevos, curiosos y entretenidos.

En efecto: tomando para mayor facilidad el caso más sencillo, es decir, la cuestión llamada del número quince, y llenando con incógnitas los nueve huecos del cuadro, se tiene:

    q
    r
    s

    t
    x
    u

    v
    y
    z

Con arreglo á las condiciones del enunciado del problema, resultan las siguientes ecuaciones:

\[
q + r + s = 15 \\
t + x + u = 15 \\
v + y + z = 15 \\
q + t + v = 15 \\
r + x + y = 15 \\
s + u + z = 15 \\
q + x + s = 15 \\
s + x + v = 15
\]

es decir, un sistema de ocho ecuaciones con nueve incógnitas; y por lo tanto, un problema indeterminado de primer grado, con una in-
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 57

cognita más que ecuaciones, susceptible, por consiguiente, de admitir soluciones diversas.

Nótese desde luego que \( x \) es la incógnita más repetida, pues entra en cuatro de las ocho ecuaciones que constituyen el sistema, resultando las otras cuatro independientes de \( x \). Dividamos, pues en dos grupos las ocho ecuaciones, en la siguiente forma:

Ecuaciones que tiene \( x \):
\[
x + t + u = 15 \\
x + r + y = 15 \\
x + q + z = 15 \\
x + s + v = 15
\]

Ecuaciones independientes de \( x \):
\[
q + r + s = 15 \\
v + y + z = 15 \\
q + t + v = 15 \\
s + u + z = 15
\]

En el primer grupo figuran todas las incógnitas, y en el segundo constan también todas, menos la \( x \).

Como estas ecuaciones se hallan ya preparadas, y todas las incógnitas tienen por coeficiente, exponente y divisor la unidad, será fácil eliminar del primer sistema todas las incógnitas menos la \( x \), quedándonos de este modo una sola ecuación con una incógnita, y resultando el caso curioso de un problema á la vez determinado é indeterminado; determinado con relación á \( x \), é indeterminado respecto de las demás incógnitas.

Y realmente, tomando el primer grupo y procediendo por vía de suma, se tendrá:
\[
x + t + u = 15 \\
x + r + y = 15 \\
x + q + z = 15 \\
x + s + v = 15
\]
\[
4\,x + t + u + r + y + q + a + s + v = 60
\]

Restando de esta ecuación total la primera del segundo grupo, \( q + r + s = 15 \), se obtiene:
\[
4\,x + t + u + y + z + v = 45
\]

Restando ahora de ésta la segunda ecuación de dicho segundo grupo, \( v + y + z = 15 \), nos quedará:
\[
4\,x + t + u = 30
\]
La Escuela moderna (Madrid) (1894-06-01 00:00:00), página 58

Y restando, finalmente, de esta resta la primera ecuación del primer grupo, \( x + t + u = 15 \), nos resultará:

\[
3x = 15;
\]

y por lo tanto,

\[
x = 5;
\]

cifra que ocupará el centro del cuadro en todas las soluciones que se den al problema.

Sustituyendo después la \( x \) por su valor en el grupo de ecuaciones que la contiene y haciendo las reducciones necesarias, nos quedarán dos sistemas de cuatro ecuaciones con ocho incógnitas cada uno, á saber:

Primer sistema.

\[
q + s = 10 \\
s + v = 10 \\
r + y = 10 \\
t + u = 10
\]

Segundo sistema.

\[
q + r + s = 15 \\
v + y + z = 15 \\
q + t + v = 15 \\
s + u + z = 15
\]

Siendo nueve las cifras significativas y habiendo resultado ser cinco el valor fijo de \( x \), cada una de las demás incógnitas tan sólo puede recibir ocho valores enteros y posibles diversos: cuatro de ellos pares y los otros cuatro impares.

Tomando ahora el primer sistema de ecuaciones, echaremos de ver desde luego que todas tienen por segundo un número par, lo cual resulta necesariamente de que los dos sumandos que lo constituyen son á la vez ambos pares ó ambos impares; y como entre los ocho valores que les son adjudicables hay cuatro impares y cuatro pares, y esos valores deben ser distintos para cada incógnita, se desprende que de dichas cuatro ecuaciones dos tendrán las incógnitas pares y las otras dos impares.

Admitamos por un momento que las incógnitas \( q \) \( s \) de la primera ecuación tienen valores impares. Transportando estos valores al segundo sistema, nos resultaría que las incógnitas \( r \) y \( s \) de la pri-