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La Escuela moderna (Madrid) (1897-01-01 00:00:00), página 51

¿NOTAS DE ARITMÉTICA?

gla de Compañía, siendo así que V. habló de Clases de problemas. Mas bien debió comprender que á Clases de problemas me refería yo también, pues precisamente esa manera de usar la palabra clase censuraba yo y censuro. Tanto es así que á los problemas me refería, que si le pone V. ese aditamento á cuanto llevo dicho en mi primera, me ratifico en ello.

Insisto, Sr. Pinedo, en que V. llamó clases á los casos particulares, pues nos decía en su artículo, publicado en Mayo último: «En resumen: sin salirnos de la expresión general (d S = c t D) hallamos diez fórmulas distintas que resuelven otras tantas clases de problemas...», etc. Y si esas diez clases no son casos particulares, que haje Dios y lo vea. Usó, pues, la palabra clase como sinónima de división última, y en este sentido no la usó nunca nadie en Ciencias, la Matemática inclusive, á pesar del Diccionario y de que no la definan los matemáticos que V. enumera en larga lista. Ni ¿para qué habían de definirla, si saben, y debemos saber todos, que la palabra clase no es de tecnicismo exclusivo de una ciencia determina, sino de todas sin excepción? Y no hay que hacer aspavientos por haber usado yo las denominaciones orden y especie; que si por analogía las empleé (no he sido el primero, ni mucho menos, como verá V. luego), buen cuidado tuve de ponerles el aditamento de casos generales y casos particulares.

Tan cierto es que los matemáticos no emplean la palabra clase como sinónima de división última, que V. mismo lo confirma al decirnos que nos hablan de clases de fracciones, de raíces, de líneas, de ángulos, de triángulos, de polígonos y de poliedros. Pues si al tratar de ellas usan las palabras clase y especie (y orden en algunos casos), atribuyéndoles tácitamente la misma significación que les asigné, me dan la razón con evidencia explícita al tratar de polígonos y poliedros.

Los matemáticos dividen los polígonos y poliedros en dos clases (todos las llaman así): regulares e irregulares. Los regulares se dividen á su vez en órdenes (también así los denominan todos), según el número de lados y caras respectivamente. Y esos órdenes comprenden especies (así también todos las apellan), según el número de partes iguales que limita un lado en el arco menor de circunferencia circunscrita, en los polígonos, y según el número de veces que cubren la superficie esférica circunscrita las proyecciones de las caras sobre ella, efectuadas por medio de los radios, en los poliedros.

¿No le parece ya, Sr. Pinedo, que aun cuando no las definen, los matemáticos emplean las palabras clase, orden y especie en su
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genuina significación científica, análoga á la que tienen en Historia Natural?

Tampoco puedo complacerle, y lo siento, en lo referente al número de problemas distintos que origina la Regla de Compañía.

Afirmo V., analizando mi cuadro sinóptico, que los problemas incluidos en los tres primeros corchetes y que designo con el pomposo nombre de órdenes ó casos generales, no son más que casos particulares de la expresión general d S = ctD, en que c = c' = c'' = ...; t = t' = t'' = ...; ó ambas condiciones á la vez.

Está V. en un error, si lo cree así.

Nada diré de mi primer caso general, porque es la menor cantidad posible de problema de Regla de Compañía. Pero en cuanto al segundo y tercero, son ya cosa distinta. Son casos generales, con su principio fundamental propio cada uno de ellos. Y tan importantes y trascendententes son ambos principios fundamentales, que sin su auxilio, el principio fundamental del cuarto caso, el que V. llama general (y lo es), no podría demostrarse. Los principios fundamentales citados, \( \frac{d}{c} = \frac{d'}{c'} = \frac{d''}{c''} = ... \) y \( \frac{d}{t} = \frac{d'}{t'} = \frac{d''}{t''} = ... \), no se deducen, en el orden lógico, del principio fundamental \( \frac{d}{ct} = \frac{d'}{c't'} = \frac{d''}{c''t''} = ... \), por introducir en él tal ó cual hipótesis, como V. supone; sino al contrario: éste se induce de aquéllos (1).

Lo que V. ha hecho con sus fórmulas, hipótesis y sustituciones es probarnos que la expresión de d S = ctD es general; cosa que sabía todo el mundo, y sé yo desde que V. me la ha demostrado. Dios se lo pague.

Consecuente V. con ese error de principio, que acabo de señalar, halla catorce problemas distintos: cuatro de la expresión dS = ctD, y cinco de cada una de las igualdades Cd = cta y Td = ct6.

Noto ya que, ó deberíá V. admitir quince, ó reducirlos á doce.

(1) Considerada por los matemáticos la Regla de Compañía como aplicación de la de Repartos proporcionales, no pueden demostrar directamente (y no lo demuestran) el principio fundamental del cuarto caso. Necesitan servirse (y así lo hacen) de los principios fundamentales del segundo y tercero.

Para demostrar directamente el principio general, es preciso cambiar la naturaleza de la Regla de Compañía, y derivarla de la de Interés simple en vez de apoyarla en la de Reparto proporcionales.
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¿NOTAS DE ARITMÉTICA?

Pues si el problema \( S = \frac{Dct}{d} \) no lo considera V. de Regla de Compañía (y yo tampoco; en algo habíamos de estar de acuerdo), por representar \( S \) segundas relaciones de los datos, tampoco debe V. considerar tales \( \alpha = \frac{Cd}{ct} \) y \( \beta = \frac{Td}{ct} \), pues alfa y beta son también segundas relaciones de los datos.

Y luego, noto también el cambio de opinión que se ha operado en V. desde que escribiera su primer artículo. En él, argumentando contra el Sr. Tremols, pretendía V. hallar muchas clases de problemas distintos, y nos decía: sin salirnos de la expresión general, hallamos diez fórmulas distintas, que resuelven otras tantas clases de problemas (distintos serán también, pues se resuelven por fórmulas distintas); y en su último escrito, argumentando en contra mía, se empeña en hallar cuatro solamente en la misma expresión general.

¿Es que no tiene V. criterio formado aún sobre lo que sean problemas distintos?

Pues yo sí le tengo, aunque le parezca erróneo. Desde el catedrático que me explicó las primeras nociones de Aritmética y Algebra, hasta el Profesor que trató de instruirme en Cálculo diferencial e integral, todos me enseñaron á mirar como problemas distintos los que tienen diferentes datos, ó diferentes incógnitas, ó diferentes ambas cosas á la vez. Y al decir diferentes, me refiero á su naturaleza y número; no fuera V. á tomarlo por donde quema.

Examine V. los que enumero en mi primera y se convencerá de que son todos diferentes y hay diez y seis. Pues los dos primeros son de Regla de Compañía, aunque para resolverlos baste multiplicar ó dividir.

Por fin llegamos al trueno gordo. Mas, antes de pasar el Rubicón, me tomaré la libertad de darle un consejo. Y es, que en eso de morirse de risa al ver que los maestros de hogaño (supongo aludirá á los de escuela) dan ya lecciones á los doctores de antaño, no fie V. mucho. Tal juzgará V. rana, que luego resulte ser pez largo. Maestros de escuela conozco yo, doctorados y sin doctorar, que pueden earles quince y raya á muchos doctores. Y cónstele que no aludo, ni á V. ni á mí.

Tratemos ahora de las formulitas objeto de litigio. (Ya verá V. que no sin razón aplicué el diminutivo.) Y para evitar repeticiones, examinaré una de las dos igualdades, por ejemplo, la primera \( Cd = cta \), y cuanto de ella diga, delo V. por dicho de la segunda \( Td = ct6 \).
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Cinco problemas distintos deduce V. de la Cd = cta; no sólo distintos entre sí, sino distintos de los que origina la expresión general y de los que resultan de Td = ct6. He aquí las fórmulas correspondientes, que V. detalla en su primer artículo:

\[
c = \frac{Cd}{ta}; \quad d = \frac{cta}{C}; \quad t = \frac{Cd}{ca}; \quad C = \frac{cta}{d}; \quad a = \frac{Cd}{ct}.
\]

O yo no sé lo que es sentido común, ó esto es afirmar que la expresión Cd = cta es tan general, por lo menos, como la general dS = ctD. Pues mientras de ésta sólo deduce V. cuatro problemas distintos, de la primera deduce cinco.

Esa generalidad es precisamente la que yo niego; y á probar esa negación se encaminaban mis demostraciones, que V. no quiso entender.

Desde luego descontaremos, si V. no se opone, el problema \( \alpha = \frac{Cd}{ct} \), por la mismísima razón que V. descuenta (muy bien hecho) el \( S = \frac{Dct}{d} \) de la expresión general. Siendo S, \( \alpha \) y \( \delta \) segundas relaciones de los datos, su determinación no constituye problema de Regla de Compañía.

En cuanto á las fórmulas \( d = \frac{cta}{C} \), \( t = \frac{Cd}{ca} \) y \( C = \frac{cta}{d} \), entra en todas ellas como dato la cantidad a, y una de dos: ó hemos de hallar su valor mediante los datos \( d, d', d'', ... \) y \( t, t', t'', ... \), que nos sean conocidos, ó se nos da como valor absoluto.

Sí hemos de hallar alfa mediante los datos \( d, d', d'', ..., t, t', t'', ... \), desaparece el problema en la primera y segunda fórmulas, pues no hay incógnitas; y la tercera no es necesaria, ya que en ella hay un capital conocido y nos basta servirnos directamente del principio fundamental para determinar los restantes y hallar C. Y si alfa se nos da en valor abso'uto, los problemas no son ya genuinamente de Regla de Compañía.

Tratándose de la teoría general de estos problemas (de ella hemos tratado el Sr. Tremols, V. y yo), no pueden intervenir en ellos, como datos é incógnitas, otras cantidades más que capitales, tiempos y dividendos, y sus primeras relaciones suma de capitales, suma de tiempos y suma de dividendos. Cualquier otra cantidad que se introduzca como dato ó incógnita, ha de ser forzosamente segunda relación de las enumeradas, y el problema no pertenece ya á la teoría general; deja de ser de Regla de Compañía,
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¿NOTAS DE ARITMÉTICA?

para convertirse en otro de tantos como combina el ingenio para ejercitarse en el cálculo.

Tanto es así, que si en la teoría general se admitieran problemas con segundas relaciones por datos ó incógnitas, se quedaría V. corto al afirmar que solo hay catorce problemas distintos. Ahí están las tres igualdades Sx = CD, S6 = TD, y Ca = T6 (amen de otras que pudieran deducirse), de las cuales se inferirían lo menos seis problemas distintos de los que V. enumera.

Adrede he dejado para el último lugar la primera fórmula

\[
c = \frac{Cd}{1a}, \text{única que resuelve verdadero problema de Regla de Compañía.}
\]

Para la resolución de la generalidad de ellos, basta que intervengan como datos é incógnitas, capitales, tiempos, dividendos y suma de éstos. Mas hay cuatro en que ello no es suficiente, y son:
1.º Determinar los capitales, conociendo los dividendos y siendo los tiempos iguales. 2.º Determinar los tiempos, conociendo los dividendos y siendo iguales los capitales. 3.º Determinar los capitales, conociendo los dividendos y los distintos tiempos. Y 4.º Determinar los tiempos, conociendo los dividendos y los diferentes capitales.

Enunciados así, son de imposible solución práctica. Pues aun cuando considerados algébricamente son indeterminados, y, por lo tanto, posibles, resulta que cualquiera de las infinitas series de valores que se pueden hallar, cumple las condiciones físicas del problema con sólo ser positivos los valores; y como la solución no puede ser, en cada caso concreto, más que una, y no hay medio de determinar cuál de las infinitas series es la verdadera, nos quedamos sin solución por exceso de soluciones.

Mas, de los principios fundamentales del segundo y tercer casos generales, se infieren las igualdades

\[
\frac{d}{c} = \frac{d + d' + d'' + ...}{c + c' + c'' + ...} \quad \text{y} \quad \frac{d}{t} = \frac{d + d' + d'' + ...}{t + t' + t'' + ...}
\]

O sea: dC = cD y dT = tD, de las cuales se deducen las fórmulas \( c = \frac{dC}{D} \) y \( t = \frac{dT}{D} \), que convierten en determinados los dos primeros de los cuatro problemas citados, mediante la introducción en ellos, como dato, de la suma de capitales y suma de tiempos, respectivamente.

Asimismo, si en el principio fundamental del cuarto caso gene-
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ral divídimos los dos términos de cada razón por una misma cantidad, no se alterará la serie, y resultará:

\[
\frac{d}{ct} = \frac{d'}{c't'} = \frac{d''}{c''t''} = ... = \frac{d}{c} = \frac{d'}{c'} = \frac{d''}{c''} = ... = \frac{d}{t} = \frac{d'}{t'} = \frac{d''}{t''} = ...
\]

Y aplicando una propiedad de las series de razones iguales,

\[
\frac{d}{ct} = \frac{d + d' + d'' + ...}{c + c' + c'' + ...} \quad \text{y} \quad \frac{d}{ct} = \frac{d + d' + d'' + ...}{t + t' + t'' + ...}
\]

O sea: \( dC = cta \), y \( dT = ct \), de las cuales se infieren las fórmulas \( c = \frac{dC}{ta} \) y \( t = \frac{dT}{cd} \), que convierten en determinados los dos últimos de los cuatro referidos problemas, mediante la introducción en ellos, como dato, de la suma de capitales y la suma de tiempos, respectivamente. Y note V., que en esas fórmulas alfa y beta no son segundas relaciones, sino resultado de operar con las cantidades conocidas \( d, d', d''...; t, t', t''...; \) y \( c, c', c''... \).

He aquí las transformaciones famosas, que el Sr. Pinedo omitió en gracia á la brevedad. (Son tan enojosas y largas y pesadas, que bastan una operación, un par de líneas y unos segundos para hacerlas.) (1)

Y ahora, Sr. Pinedo, ¿no le parece ya que, tratándose de la teoría general de problemas de Regla de Compañía (que es lo que venimos estudiando), en la cual, lo propio que en cualquier otra teoría general de problemas, no pueden incluirse aquellos cuya solución dependa de segundas, terceras, etc., relaciones de los datos; no le parece, digo, que tengo razón en llamar formulita á la \( c = \frac{dC}{ta} \), y en afirmar que la igualdad \( dC = cta \), ni se deduce del principio fundamental ni es cierta, como expresión general aplicable á los problemas de Regla de Compañía? ¿No le parece á V.

(1) Hizo bien en no darme lecciones sobre el particular; pues podrá convenirse el Sr. Pinedo de que no necesitaba emplear mis energías psíquicas en hallar derivaciones, que tenía casi olvidadas de tan sabidas.

Mas si creyó, como lo da á entender claramente, que yo las ignoraba, se le ofrecía magnífica ocasión, que no supo aprovechar de ejercitar la más preciosas de las virtudes, la Caridad, practicando contigo la primera de las Obras de Misericordia: enseñar al ignorante.
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que al igualar los valores de d deducidos de las expresiones \( d S = c t D \) y \( d C = c t a \), y hacer en la igualdad resultante el cúmulo de operaciones de que V. tan finamente se burla, hallé la condición que han de satisfacer las cantidades que intervienen, para que la igualdad se verifique, y pueda, por lo tanto, considerarse la igualdad \( d C = c t a \) como expresión general? Y finalmente, ¿no le parece que esa condición es precisamente la de ser \( t = t' = t'' = ... \), con lo cual se reduce á \( d C = c D \), segundo caso general?

Pues aplique V. los pareceres á la igualdad \( d T = c t \theta \), y sacará análogas consecuencias.

Casualmente á los dos problemas para cuya resolución se dedujeron, aplica V. las dos formulitas, y ¡¡¡csa extraordinaria!!... le salen bien.

Por cierto que la sola lectura del primero, revela ya la predilección que siente V. por los problemitas ingeniosos y enrevesados. Porque lo de los \( \frac{7}{4} \) y \( \frac{20}{9} \) y \( \frac{1}{100} \) es ingeniosísimo, y lo del tanto por ciento anual que produjo el capital de cada socio, excede á toda ponderación. Y cuando despeja V. esa incógnita, nos deja turulatos. Yo creía, ¡si será ignorante!, que siendo los dividendos proporcionales á los productos de los capitales por los tiempos, representaban igual tanto por ciento de interés anual para todos los capitales; y en consecuencia, hubiera hallado el tanto correspondiente á uno cualquiera de ellos, seguro de que el valor obtenido sería el tanto correspondiente á cada uno. Pero, por lo visto, no es así; sino que es preciso operar con todos los capitales, como V. lo ha hecho. ¡No hiciera el diablo que á alguno le correspondiese mayor tanto por ciento que á los demás!

Dejando aparte este detalle que, á pesar de su gravedad, no tiene importancia comparado con los crasismos errores en que luego incurríe, pondré término á mi epistola comprobando la afirmación de que, para que ambas fórmulas sean generales y aplicables indistintamente, á un mismo problema, es necesario que concurre la condición singularísima de ser los capitales proporcionales á los tiempos.

Si el filósofo hubiese demostrado con tanta fortuna el movimiento, como V. demuestra sus afirmaciones, ¡por vida mía! que se luce.

Empieza V. por enunciar un problema primero, que despojado de ingeniosidades, como conviene á estudios de carácter general, es el siguiente:
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«Antonio emprende un negocio; un mes después admite á Pedro, y al mes de haber entrado éste, se les une Juan, reuniendo entonces un capital social de 9.000 pesetas. Disuelta la sociedad tres meses después de haber entrado el último, se reparten las ganancias, llevándose Antonio 350 pesetas, Pedro 200 pesetas y Juan 90 pesetas. ¿Qué capital impuso cada uno?

Aplica V. á este problema la formulita \( c = \frac{dC}{t\%} \) y obtiene un resultado legítimo. Hasta aquí todo marcha á pedir de boca. Para este problema precisamente se dedujo la fórmula aplicada.

Pero luego, para probarme (siempre como se prueba el movimiento), que la formulaje \( Cd = cta \) satisface á la expresión general...

—¿Aplica ésta al mismo problema y obtiene el mismo resultado?
—No, señores. Aplica la expresión general al problema inverso... ¡¡Y le sale bien!!
—¿No sabían Vds. esto? Pues yo tampoco. El Sr. Pinedo sabe muchas cosas que nosotros ignoramos.

Mis catedráticos (Dios les perdone las falsedades que me enseñaron), me decían que, para que una fórmula satisfaga á otra, es preciso que ambas sean equivalentes, esto es, que puedan sustituirse mutuamente. Así, pues, si yo pretendiera probar ([Dios me libre de intentarlo, como de pecado mortal!], que la expresión \( dC = cta \) satisface á la general \( dS = ctD \), ó aplicaría ésta al problema primero sin introducirle condición alguna, ó me serviría de aquella en el problema inverso sin modificarlo. Y si hecho esto obtenía los mismos resultados antes obtenidos, afirmaría que la expresión \( dC = cta \) y la \( dS = ct \), se satisfacen.

Hágalo V. así, Sr. Pinedo; aplique á su problema primero sin modificarlo, la expresión general, ó al de comprobación aplique, sin introducirle condición alguna, la igualdad \( Cd = cta \). El día del Juicio final, por la tarde, hallará la solución.

Propone V. luego como problema segundo, el siguiente:

«Antonio, Pedro y Juan, forman sociedad; los capitales y dividendos respectivos son: \( c = 4.200 \); \( c' = 3.000 \); \( c'' = 1.800 \); \( d = 350 \); \( d' = 200 \); \( d'' = 90 \); y la suma de tiempos \( T = 12 \). ¿Cuánto tiempo formó parte de la sociedad cada uno de los socios?

I.e aplica V. la fórmula \( t = \frac{Td}{c\%} \); y como éste es precisamente el problema para el cual se dedujo, obtiene resultado legítimo.
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¿NOTAS DE ARITMÉTICA?

Afortunadamente, no se le ocurre darle comprobación resolviendo el problema inverso.

Pero, en cambio, me parte V. por el eje con su razonamiento final.

Véanlo los lectores:

Después de aplicar á su problema primero la fórmula \( c = \frac{Cd}{ta} \), despejando en él las incógnitas \( c, c' \) y \( c'' \); y de aplicar á su problema segundo la fórmula \( t = \frac{Td}{c^6} \), despejando en él las incógnitas \( t, t' \) y \( t'' \); añade V. muy serio:

«Y ahora, como el Sr. Casas demostró que las dos igualdades (Cd = cta y Td = ct6) exigen para ser ciertas á la vez y poderse aplicar indistintamente, la condición singularísima de ser los capitales proporcionales á los tiempos, deberá tenerse, puesto que ambas expresiones se aplican indistintamente á la resolución del mismo problema,

\[
\frac{t}{c} = \frac{t'}{c'} = \frac{t''}{c''} = ... \quad \text{o bien} \quad \frac{c}{t} = \frac{c'}{t'} = \frac{c''}{t''} = ...
\]

En efecto:

\[
\frac{4200}{5} = \frac{3000}{4} = \frac{1800}{3}; \text{es decir}, 840 = 750 = 600.
\]

¡¡¡.........................................................!!!,
¡Piramidal! Que V. descanse, Sr. Pinedo. Lo ha hecho como era de esperar.

Enseñábales la instrucción un sargento á los reclutas, y les decía: ¡Zopencos! Media vuelta á la derecha es lo mismo que media vuelta á la izquierda; ...sino que es todo lo contrario.

Conque, dos problemas tales que en el uno sean datos lo que en el otro incógnitas, ¿son un mismo problema? Conque, su problema primero y su problema segundo, ¿son uno mismo? ¿Creerá V. acaso que son un mismo problema porque las cantidades que intervienen tienen el mismo valor numérico?

Si sus problemas primero y segundo son uno mismo (¡no valía la pena de llamarles primero y segundo!), está V. hecho un lío con sus problemas distintos y sus mismos problemas. Y, ó nos engañaba V. á sabiendas cuando en el tomo x, página 373 de La Es-
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