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pués de terminar una carrera profesional, nos resulte incapaz de ajustar cuentas con el carbonero y con la lavandera.

Las rastreras impurezas de la realidad, cuyo contacto rehuyen las aves imperiales ("las águilas no cazan mosquitos", según la metáfora vulgar), son los números relacionados inmediatamente con la realidad que significan; esto es, los números concretos, cuyo discernimiento y cálculo está como entrabado por la inestabilidad, distinción y desigualdad de los seres que representan; lo que obliga á cambiar la unidad discreta ó del ser, por la continua ó de sus efectos, como cuando para mayor exactitud se justiprecian al peso ó al grado cantidades esencialmente discretas, y ni aun así se obtiene la exactitud absoluta por la imperfección de la medida. Juzgan, pues, los sabios con razón que los números concretos no constituyen objeto esencial de conocimiento; los consideran como meros accidentes de las cosas, y como tales, imperfectos é impropios de sus altas especulaciones metafísicas.

Perfectamente.

Y concedido también que la investigación filosófica no ha logrado aún explicar cumplidamente el cómo de la representación interna, ni el tránsito de lo subjetivo á lo objetivo; y como del ser real, en que encarna el número concreto, sólo conocemos el fenómeno, y no el noumeno, lo que parece ser, y no lo que substancialmente es, el espíritu humano, aguijoneado por sus anhelos de lo absoluto, ora vaga errante sobre las movedizas arenas del desierto á merced de traidores espejismos, ora flota sin brújula por el obscuro piélago de este miserable mundo, urdimbre de superficiales y enmarañadas relaciones, tan variables, livianas y périfidas como las olas que, al rizar las superficies de los mares, rasgan su transparencia, y quiebran y desvían las visuales, para que no penetren los misterios que encierra su inexplorado seno.

¡Pobre razón humana, condenada á perpetuidad al "GNÓTHI SÉAUTON"..., anda, anda! Ese es tu destino. Andemos, pues.

Mas como los espejismos nos han extraviado, tratemos ante todo, de orientarnos, volviendo, si es preciso, hasta el punto de partida. Recorramos en sentido inverso los eslabones de esa cadena inmensa que llamamos tiempo; y deslizándonos por
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ellos, retrocedamos una porción insignificante, menos aún de la décima parte de un billón de segundos; y, pues tal es la velocidad con que se desciende por las vías pretéritas, hétamos como por ensalmo, á la entrada del siglo vi antes de Jesucristo (salida para los de entonces), época en que brilló un astro de primera magnitud: el eminente filósofo de Samos.

¡Instabilidad de lo humano! La Etruria perdió su idioma... hasta su nombre. Crotona exhuma en borrosas inscripciones los fósiles de su antigua civilización. ¿Qué se ha hecho del hogar, y qué de los restos del gran Pitágoras? Allí..., "fueron un tiempo".

Desapareció lo perecedero y mudable entre el polvo de los siglos; mas perdura lo inmortal y eterno, la idea, llenando el ambiente con sus efluvios bienhechores.

Anotemos sus ecos.

El alma es un número que se mueve á sí mismo, y en el hombre la expresión de la unidad: el cuerpo, la expresión de la dyada ó multiplicidad. La unidad es el bien, la ley general, la virtud, la semejanza á Dios, la armonía de las esferas. La justicia es un número igual á sí mismo, un número cuadrado. La ciencia del universo es la unidad; fuera de la unidad no hay más que el vacío. La mónada es lo determinado, lo definido, lo positivo: el intervalo es lo indeterminado, el vacío, el límite, lo infinito. Estos dos elementos se contraponen é integran bajo muy diversas formas, originando lo finito y lo infinito, lo impar y lo par, lo uno y lo múltiple, lo masculino y lo femenino, el reposo y el movimiento, el bien y el mal, la vida y la muerte.

La unidad respirando el vacío se divide interiormente y engendra el número, que puede ser par ó impar: la unidad es anterior á su distinción; es par-impar.

La unidad en la extensión ó en la naturaleza, es el punto; los puntos alternados de vacíos, la línea; ésta alternada de vacíos, la superficie, las superficies alternadas de vacíos, el cuerpo.

La distinción del número se verifica por la introducción de un elemento negativo, el límite, el vacío de número. Los números particulares están compuestos de unidades limitadas,
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ó, lo que es lo mismo, de la mónada que es lo real, verdadero, bueno y positivo, y de la dyada que es lo falso y malo, la nada.

El número impar es más perfecto que el par, porque en él se halla la unidad en su principio, medio y fin.

La dyada se supone en la inteligencia y en la voluntad humanas, por cuanto en ellas se dan las ideas, representaciones y voliciones de lo múltiplo, instable y transitorio. Las Matemáticas nos libertan de la falsa ciencia, porque con ellas consideramos las relaciones permanentes en las formas sensibles, reduciendo las cosas cada vez más á la unidad; y cuando la inteligencia logra llegar á ella, se emancipa de las cadenas de la dyada. A este fin, y por lo que mira á la voluntad, recomendó la abstinencia y la mortificación de los sentidos. Enseñó la nomenclatura decimal (1).

Tales son, en síntesis sumarísima, los principios en que aquel gran genio cimentó la ciencia de los números; á la cual, tanto él como sus discípulos, dieron tal impulso y extensión, que conocieron casi todo cuanto al presente se sabe de Aritmética. ¿Cómo se ha desenvuelto esta profunda doctrina? Desnaturalizándola, debilitando su concentración y resolviéndola en fuego fatuo. Es más: los algebristas que han descubierto leyes y principios fecundísimos, los han dejado vinculados en su simbolismo y en la misteriosa generalidad de sus fórmulas, sin aplicarlos á la Aritmética, á la que, no sólo han mirado con marcada indiferencia, sino que la despojaron de sus teorías y aplicaciones más interesantes.

En efecto: las razones, proporciones y progresiones formaron siempre parte de la Aritmética, hasta que al inventarse los logaritmos, los algebristas llamaron hacia sí toda la doctrina de la proporcionalidad y de las reglas que de ella se derivan, sin dejarle otra cosa que la numeración y las operaciones fundamentales con los números enteros, quebrados, decimales y denominados. ¡Como si la multiplicación y división mismas no fuesen verdaderas proporciones geométricas, uno de cuyos cuatro términos es la unidad! ¡Qué es si no eso de

(1) Consultese la Propedeutica de Castro.
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multiplicar es hallar un número (producto) que sea respecto del multiplicando lo mismo que el multiplicador es respecto de la unidad? Si esta definición es precisamente el enunciado de una proporción, ¿por qué no llevar la algoritmia de las operaciones al Algebra?

Resultado: que se han construido las Matemáticas al revés. En lugar de cimentar el Algebra sobre la Aritmética, tendremos que derivar ésta del Algebra; se ha colocado la columna antes que el basamento. Aquella Aritmética clara y esencialmente práctica de nuestros antepasados, ha sido reemplazada por un tejido de teoremas, concernientes á propiedades numéricas, que no tienen aplicación necesaria á los usos y transacciones de la vida social, y cuyo aprendizaje, fuera de contados casos, contribuye á que las nociones de contabilidad que los niños á duras penas, y forzando el desarrollo de sus funciones racionales, aprenden en las escuelas, se les disipen en las aulas de la segunda enseñanza, no por culpa de profesores y alumnos, sino por el defectuoso plan de estudios por que se rigen estos centros docentes.

Ni puede ser otro el resultado. La capacidad de calcular la adquieren los niños, por punto general, en el último tercio del período de la edad escolar, cuando ya principian á ser utilizados en algún modo por sus familias, las que, por ignorancia ó por imperdonable abuso, son causa principal de la irregularidad con que asisten á las clases. Quédales á lo sumo el preciso tiempo para aprender las tablas, los procedimientos de las operaciones vulgares, los números fraccionarios, complejos y métricos, y la aplicación de estos conocimientos á la resolución de problemas sencillos.

Sin haber aún digerido ni asimilado estas nociones, que sólo por larga y continuada práctica adquieren asiento y solidez, mal preparados y muy niños todavía, pasan á la segunda enseñanza, y en ella, y sin practicar la más sencilla operación aritmética, cursan por lo menos dos años, tiempo más que sobrado para que se les evapore toda la Aritmética aprendida en la escuela. Así es que, al principiar su tercer curso, el profesor de Matemáticas se ve en la precisión de gastar bastante tiempo en reenseñarles la numeración y operaciones, y
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continuar después, á paso de carga, por el laberíntico enrejado de teorías y teoremas relativos á operaciones indicadas, propiedades de factores y divisores, divisibilidad, máximos y mínimos, números primos, fracciones de todas clases, etc., etc., hasta las ecuaciones de segundo grado inclusive. ¡Y pensar que todo esto, á vueltas con otras asignaturas tan abstrusas y empingorotadas como la Psicología, Lógica y Ética, haya de aprender el joven niño en menguado cursol ¡Pobres niños y profesores, y... desgraciada enseñanza!

IV

Se ha declamado largo y tendido contra la rutina y la pobreza de la enseñanza de antaño; en cambio, el desapoderado enciclopedismo que padecemos es posible que nos lleve á perder en intensión cuantoganemos en expansión; á disipar en vez de concentrar las energías mentales; á formar eruditos en vez de sabios; generación que cultive la forma sin calar el fondo; grandes oradores y pensadores mediocres. Todas las exageraciones son funestas.

Dejando á salvo los principios científicos que constituyen la ciencia especulativa del número, cuya exposición, sistematización y desarrollo compete á las eminencias matemáticas, y contrayéndonos á la enseñanza de la Aritmética en su genuino aspecto práctico-social, como fuente de conocimientos útiles é indispensables á la generalidad, la Aritmética de nuestros antepasados, no tan pobre y rutinaria como equivocadamente se cree, fué de hecho incomparablemente más fecunda en resultados que aquesta de la fórmula y de la corrección sistemática.

Error muy arraigado y extendido es creer que la teoría de la proporcionalidad, con sus importantísimas aplicaciones, se debe á la ciencia del día; y tanto es así, que hasta el matemático que alcanzó entre nosotros más renombre en la primera
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mitad del siglo desconoció, sin duda, el floreciente y linajudo abolengo de la Aritmética, la mutiló para enriquecer el Algebra, y llegó á consignar que á él sólo correspondía la gloria de haber expuesto y aplicado debidamente la regla de falsa posición. Vamos á demostrar que, al afirmar eso, aquel señor se colocó en una falsa posición.

No nos es dado consultar, como él pudo y debió hacerlo, las obras maestras de Theón, Diofanto y Euclides; pero tenemos á la vista los maltratados restos de un libro (descabalado en su principio, medio y fin) que, á juzgar por su estilo, abreviaturas, carencia de acento gráfico y de los signos indicadores de operaciones, uso de letras anticuadas, etc., debe ser, y lo es de hecho, incunable. Limítase á exponer doctrina, refiriéndose á las demostraciones y á la autoridad de Euclides (1).

(1) Sustituyendo letras anticuadas e interpretando las abreviaturas, etc., el texto literal es como sigue:
"Libro III.—Capítulo XII.—Trata la regia que dizen de una y dos falsas posiciones.
"Dícese regia de una falsa posición, no porque nos muestre cosa falsa, sino porque de falso número sacamos un verdadero para fin de absolver alguna duda desemandada. Y así digo, que cuando te demandaren alguna demanda, presupondrás un cualquiera número por respuesta de la demanda, con el cual número harás lo que la demanda pidiere, como quien quisiese hacer la prueba; y si no viniere lo que quisieres, proporcionarás el número que te viniere con el que quisieras que viniera, y siguiendo la regla de tres, hallarás el número verdadero, como por el ejemplo entenderás.
"Dame un número que juntándole su quinto y tercio, monta 6. Lo cual se hará proponiendo que sea este número que demanda 15, porque tiene tercio y quinto (aunque pudieras poner otro cualquiera). Pues haz con este 15 la prueba, juntándole su tercio, que son 5, y su quinto que son 8, como la demanda pide, y montará 23; y porque no quisieras sino 6, ordenarás una regla, diciendo: Si 23 me vinieren de 15, demando 6 (que es lo que yo quiero), ¿de dónde vendrá? Multiplica 15 por 6 y montará 90, parte 90 por 23 y vendrá al cociente 3 enteros y 21 veinte y tres avos por el un número. Pruébalo juntándole su tercio, que es 1, y 7 veinte y tres avos, y su quinto que es 18 veinte y tres avos, monta todo 6, como pide la demanda.

Ejemplo de dos falsas posiciones.

"Dice la regia de dos falsas posiciones, porque después haber puesto un número que no cuadre con lo que la demanda pidiere, tomarás de nuevo otro mayor, ó menor, según te pareciese, sin que el uno al otro le busques respeto, si no fuere de desigualdad. Y porque cuando tomares el primero número puede ser mayor ó menor de lo que se pretende, y cuando tomares el segundo también
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Pues ese autor desconocido resuelve sin auxilio de signos y por medios genuinamente aritméticos, problemas de la índole de los siguientes:

"Dame un número que cuadrándole dos veces haga tanto, como añadiendo á su mismo cuadrado 72."

"Dame tres números de tal condición, que sumando el primero y el segundo con la mitad del tercero, la suma sea 30; y el segundo y tercero con el tercio del primero, hagan 30; y el tercero y primero con el cuarto del segundo, hagan 30. Demando, etc."

"Uno tiene tres rieles de plata que sus leyes están en dupla proporción, y multiplicando la ley del primero por el cuadrado de la ley del segundo, y lo que saliere vuelto á multiplicar por el cubo de la ley del tercero, esta última multiplicación monta 186.624. Pido, ¿qué ley tiene cada riel?"

puede ser mayor ó menor; ó porque el primero número puede ser mayor y el segundo menor, ó el primero menor y el segundo mayor; por tanto, pueden venir en una de cuatro maneras, para lo cual se encomendará á la memoria las diez ciones comprendidas en los versos siguientes:

Plus et plus, minus atque minus succidere debes,
Sed minus et plus jungere plusque minus.

"Quiero decir: más y más, ó menos y menos se reste. Más y menos, ó menos y más se suma."

Explica los términos y pone muchos ejemplos. Además, advierte que todos los casos de la regla simple se pueden resolver por la doble y no al contrario, y como se resuelven todas por las igualaciones (ecuaciones numéricas).

Trata con sencillez y claridad la Regla de Compañía simple y con tiempo, la de alligación y otras, siendo notable la del interés compuesto, que á continuación trascribimos.

CAPITULO XVI

"Trata de prestar dinero y que gane el interesse como el caudal.
"Si un mercader diese á otro cierta cantidad de dinero por ciertos años, con tal condición que también ganare la ganancia, como el caudal, á razón de tanto por ciento. Harás lo que en la practica del ejemplo siguiente se pondrá.
"Un tutor dió 30 ducados que tenía de un menor, á un mercader, por tiempo de tres años, con esta condición, que el mercader haya de dar á razón de 10 ducados por 100 en cada un año, y que también gane la ganancia como el caudal. Pídese cuántos ducados volverá este mercader en fin de los tres años.
"Harás así, que mires cuánto pueden ganar 20 ducados en un año, á razón que 100 ducados ganan 10, y hallaráis que ganan 2 ducados. Pues suma ó junta estos 2 con los 20 y serán 22.
"Estos 22 pondrás tres veces porque son 3 los años, desta manera: 22, 22, 22; y
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Omitimos otros muchos y curiosos problemas que resuelve, pues los consignados bastan para demostrar lo expuesto y dar idea de lo que fué la Aritmética.

No negamos ni pretendemos con estas observaciones, desvirtuar los progresos que ha alcanzado en las tres últimas centurias, sino hacer constar que se han producido de alto á abajo, quedando intacta ó poco menos la base ó parte fundamental de la ciencia, pues que poco supone la introducción de los signos indicadores de las operaciones (1) y la invención de las fracciones decimales (2), aceptadas porque fluyen natural y espontáneamente del sistema, únicas cosas prácticas que á lo antiguo se ha añadido. No sucede lo propio con las invenciones de los logaritmos, de la regla de cálculo, máquinas calculadoras, etc., que no han llegado ni probablemente llegarán á generalizarse, por oponerse á ello esa especie de aversión instintiva que el hombre siente hacia todo lo automático ó no causado directamente por su misma razón.

En cuanto á lo primero y principal, que es el sistema de numeración, nada de provecho se ha logrado: nos hallamos como estábamos al recibir la notación decimal del cero. He-

debajo de esto se pondrá la cantidad que se presta, que en este ejemplo son 20, una vez menos que son los años, por cuanto se empresta el dinero. Quiero decir, que si se emprestaren por cuatro años pondrás lo prestado tres veces, y si por tres dos, y así en lo demás, desta manera:

\[
\begin{array}{ccc}
22 & 22 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
20 & 20 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots
\end{array}
\]

Caudal y ganancia.
Caudal.

Y después de puestos en figura, como parece, multiplicarás las sumas que estuvieren sobre la raya unas por otras y lo que saliere será partición (dividendo). Asimismo multiplicarás las sumas que estuvieren debajo de la raya unas por otras y será partidor (divisor), diciendo así: 22 veces 22 hacen 484. Otra vez 484 veces 22 hacen 10.648, los cuales son partición. Multiplica lo de abajo de la raya, diciendo: 20 veces 20 hacen 400. Esto es partidor; pues parte ahora 10.648 á los 400 y cabrán 26 248 que en menor denominación es \( \frac{248}{50} \). Que por el capítulo 5.º del libro 2.º monta 232 maravedíes y medio, y así hallarás que los 20 ducados, ganando cada año dos, en tres años ganando también la ganancia al mismo respeto, ganarán 26 ducados y 232 maravedíes y medio. Y tanto volverá el mercader al tutor en fin de los dichos tres años.

(1) Se atribuye su invención á Stifel y á Leonardo de Vinci.
(2) Se considera como su inventor á Neper, siglo xvii,
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te del cero de la vida, "le da valor". En resumen: el perfeccionamiento físico tendrá por principal objeto la conservación de la salud por la aplicación de las reglas de la higiene corporal.

Sin embargo—todos lo sabemos—el cuidado de la salud, ó, lo que viene á ser lo mismo, la higiene regular del organismo, es precisamente la última preocupación seria de la juventud. Debería ser lo contrario. Es menester librarse de la prevención en cuya virtud se admite que puede entregarse impunemente el cuerpo á todos los caprichos, á todas las fantasías. La vida tiene sus leyes, que podemos conocer y es menester observarlas, porque cualquiera trasgresión trae su castigo natural: se vengan por la enfermedad ó la muerte de aquel que tiene la desgracia de infringirlas. Se nos ha comparado, con mucha razón, á jugadores de ajedrez. Nuestro adversario es paciente, no perdona las menores faltas; en cambio, paga generosamente á los jugadores felices. Ese adversario es la naturaleza, y tanto peor para aquel que ignora las reglas del juego, descubiertas por los sabios. Observándolas, se está seguro de ganar el premio del partido, que es la salud. Pero esa conquista es lenta, laboriosa; no es el resultado de una acción, sino de un sinúmero de pequeñas acciones que se llevan á cabo centenares de veces por mes, ó que se rehusa ejecutar. Es menester fijar la atención en muchos puntos, y dar su importancia á cada pormenor. Precisa reparar en el calor, el frío, la humedad, la pureza de la atmósfera, el alumbrado, el descanso, hacer bastante ejercicio, evitar los excesos de todo género, etc. La remuneración será la salud, condición de todo lo demás, del éxito como de la felicidad. Hay que confesarlo: lo que impide obrar razonablemente para conseguir ese importante beneficio, es la pereza, la pereza intelectual para prever, la pereza física para ejecutar. Mientras tanto, penetraos bien de esta verdad: "vuestra propia sangre recaerá sobre vosotros mismos", si no desplegáis la vigilancia más cuidadosa para la conservación de vuestra salud, si no tenéis la firme resolución de atenderla con el mismo cuidado que pone el obrero en asegurar el libre funcionamiento de los diferentes órganos de su máquina.
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mos aceptado sin reparo lo legado y lo importado, conservándolo intacto, cual si hubiéramos empeñado juramento de no alterarlo, y por tal modo obra en nosotros la fuerza de la costumbre que, sin advertirlo y con pueril credulidad y complacencia, soportamos dos imposiciones antagónicas, cuya resultante es el monstruoso sistema de que tanto nos envanecemos.

En el pugnan; de un lado, la maravillosa concepción índica, espiritualizando el signo gráfico, para representar la inmensidad; del otro, la exageración del signo fónico, para materializar la magnitud de la forma. Tomamos de un pueblo idealista leves signos, verdadera taquigráfia del infinito, mientras del adorador de la mole, que alza un Pantheón á sus muñecos y no acierta á representar los números sino por la burda repetición del signo, adoptamos la exuberancia de su locución ampulosa y altisonante (quadraginta, quincuaginta). De allá, representación gráfica más potente y veloz que el pensamiento; de acá, expresión oral pesada y dura, como esfuerzo de tartamudo; y de su unión, un sistema que permite holgar al que escribe y deja afónico al que dicta; síntesis del contraste y del desequilibrio es... el humano espíritu arrastrando el fardo de la materia corporal.

Señalados los defectos del sistema, fácil es indicar el medio de corregirlos; mas siendo preciso hacer antes un estudio comparativo de los diferentes sistemas de numeración, haré punto en estas consideraciones preliminares.

FRANCISCO PIZARRO Y CAPILLA,
Regente en la Normal de Maestros de Badajoz.

(Continuará.)
Prohibida la reproducción.
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LA ESCUELA NORMAL DE MAESTROS DE TARRAGONA

(Apuntes para una monografía histórica.)

II (1).

Las Escuelas Normales parecen en nuestra patria imagen fiel de la mitológica ave Fenix: cuando se las cree moribundas ó se las ve reducidas en número ó suprimidas, renacen de sus cenizas más pujantes que nunca, dando todo género de pruebas de su prodigiosa vitalidad...

Apenas habían transcurrido diez años desde que se cerrara la Normal de Tarragona, cuando, por virtud de lo dispuesto en la inmortal Ley de Instrucción pública de 1857, quedó restablecida con la categoría de Escuela Normal Superior, abriéndose el 15 de Septiembre de 1859.

Tres fases bien marcadas ofrece esta segunda época: una de gran pujanza, personificada por la gestión de su Director D. Carlos Yeves; otra de marasmo, cuando no de retroceso, que siguió inmediatamente á la anterior, y la tercera de verdadero renacimiento, que comprende el último decenio en que ahora nos hallamos. Sigamos, pues, la breve exposición de estos apuntes históricos en cada una de las fases enumeradas.

Nada más justo que comenzar por el nombre de D. Carlos Yeves y Lario, uno de los más distinguidos e inteligentes maestros españoles, profesor que había sido ya en la Normal

(1) Véase el cuaderno anterior, pág. 331.