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En la Aritmética daremos á conocer otros procedimientos más sencillos y prácticos.

Propiedades generales de los términos del resto.

32. Hemos dicho que el resto ó diferencia es la cantidad que es preciso añadir á un número menor para que se iguale á otro mayor. En el supuesto que el minuendo sea el número mayor, tendremos esta igualdad:

Minuendo = sustraendo + resto.

De aquí se infiere:
1.º Que si al minuendo se le aumenta ó disminuye en algún número de unidades, el resto resultará aumentado ó disminuido en el mismo número de unidades.
2.º (Que si al sustraendo se le aumenta ó disminuye en un número de unidades, el resto disminuye ó aumenta en el mismo número de unidades.
Es decir, que el resto experimenta las mismas variaciones que el minuendo y las contrarias que el sustraendo; y
3.º Que si á la vez el minuendo y el sustraendo aumentan ó disminuyen en un mismo número, el resto no sufre alteración en su valor.

Veamos qué alteración experimenta el resto cuando se invierte el orden y oficio de sus términos; esto es, cuando se toma el sustraendo como minuendo y éste como sustraendo.

Sea restar 4 de 7. Según la regla, tendremos:

\[
7 - 4 = 3.
\]

El resto es 3, porque añadido al sustraendo 4, se iguala al minuendo 7.

Invirtiendo los datos, será \(4 - 7\).

No hay número en las series naturales, múltiplo y partitivo, que agregado á 7 le iguale á 4. Mas si descomponemos el sustraendo 7, en \(4 + 3\), podremos indicar la operación en esta forma: \(4 - (4 + 3)\); y si restamos del minuendo 4 la primera parte 4 del sustraendo, la diferencia \(4 - 4 = 0\), es cero; y restando ahora de cero la segunda parte 3, será \(0 - 3 = 3\).
Luego \(4 - 7 = -3\).

Resulta que el valor absoluto del resto (la cifra ó cifras por que se representa, abstracción hecha del signo) no varía aunque se in-
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vierta el orden y oficio de sus términos, pero toma signo contrario al del minuendo.

Podemos sentar la siguiente:
Regla — Para hallar la diferencia entre dos números positivos, se resta el menor del mayor. La resta tendrá el mismo signo que el minuendo, si éste es mayor que el sustraendo, y el signo contrario al del minuendo, cuando fuere mayor el sustraendo.

Concepto del número negativo.

83. En el último ejemplo obtuvimos como resultado el número — 3, cuya significación en el cálculo conviene determinar.

El número — 3 que hemos concebido como menor que o en tres unidades, no representa ni puede representar nada real, porque menor que nada, nada existe. Su concepto es de simple cualidad, de pura e ideal relatividad. Es negación de cantidad, pero negación con límite, determinada, numerada, y como tal juega en el cálculo numérico en sentido contrario al del número real y positivo; y de aquí que se le designe con la calificación de número negativo. Su numeración se enuncia y representa con estricta sujeción al sistema decimal, pero sus números van siempre precedidos de la marca del signo menos ó negativo.

El estudio del número negativo y su función en el cálculo corresponde á la Aritmética, é ignoramos por qué razón se prescinde de él. El Algebra no le estudia como tal número; se ocupa, sí, de la cantidad negativa bajo el aspecto general característico de esa rama de las Matemáticas. Nosotros, para no singularizarnos, lo traemos á la Algorítmia.

El concepto negativo abarca la mitad de todas las relaciones del conocimiento; y la vida social toda, con su expresión genuina, su balanza, la contabilidad, puede afirmarse que es una perpetua lucha entre el número positivo y el negativo, luz y sombra, pro y contra, haber y debe, activo y pasivo.

Lucha, porque en tanto que por la producción diaria del trabajo individual y la del capital que la es también acumulada del trabajo, el Haber supera al Debe, el hombre vive vida próspera y considerada, es relativamente propietario del exceso y lo es relativamente del cargo que su haber compensa y su crédito abona; bien entendido que tal ventaja sólo la disfruta á título oneroso, por cuanto el interés que devengan los créditos en contra, bajo sus múltiples aspectos, acrecen nutriéndose del capital propio. Hasta el lenguaje le atribuye la posesión, pues lo mismo se afir-
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ma de uno diciendo que tiene capital y que tiene deudas, como si éstas constituyesen posesión.

En condiciones tales, el capital es un conjunto de partidas aditivas y sustractivas, discretamente veladas entre los folios de los libros. Mas cuando el incremento del pasivo es tal que fuerza el cierre de éstos, al retirarse el crédito, cuando llega la temida liquidación, realizada que es, el pasivo que no alcanza á ser neutralizado por el activo, pasa de número sustractivo á la afrentosa categoría de número negativo. Ya al individuo no se le reconoce ni aun que tiene deudas; se le llama sencillamente quebrado, insolvente, ó se dice que está arruinado.

En el concierto social, estos números negativos tienen el singular privilegio de una doble vida latente: positiva y regocijada en el acreedor; negativa y angustiosa en el deudor. Para aquel, son la mónada fecunda; para éste, la dyada desoladora. No se pierda, pues, de vista que sólo la aplicación y el ahorro pueden perservarnos y, en su caso, liberarnos de las cadenas de la dyada.

34. Los números que tomados en su valor absoluto se hallan afectados del signo—(menos) se llaman números negativos y se les considera con un valor inferior á cero, en tantas unidades cuantas figure su valor absoluto; admitida esta convención, todo número negativo se iguala á cero si se le agrega el mismo número positivo. Así, \( -5 + 5 = 0 \).

De aquí se infiere que de dos números negativos se considera como mayor el que figure con menor valor absoluto, pues que con menos unidades positivas que se le sumen se iguala á cero.

Si á cada uno de los números —5 y —8 se le añaden 5 unidades, tendremos

\[
-5 + 5 = 0; \quad -8 + 5 = 0 - 3 = -3;
\]

se ve que para que el mayor número absoluto —8, se iguale á cero, es preciso añadirle tres unidades positivas más que para igualar á cero al negativo —5:

\[
-8 + 5 + 3 = 0.
\]

En tal sentido, debe entenderse que si dos sujetos carecen de capital y el uno debe cinco pesetas y el otro debe ocho, se considere á éste más pobre que aquél, por cuanto para no tener nada, es decir, para quedar á cero, necesita tres pesetas más que el pri-
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mero, si uno y otro, pagando sus deudas respectivas, han de igualarse á cero.

Según esto, podemos fijar de una manera general la acepción aritmética de la palabra menos, diciendo:

Dados dos números cualesquiera, positivos ó negativos, será el menor de ellos aquel que le falten unidades positivas, enteras ó fraccionarias, para igualarse con el otro.

35. Es preciso distinguir cuidadosamente entre número sustractivo y número negativo. Uno y otro se presentan afectados del signo — (menos); pero el número sustractivo es positivo en sí, y el signo menos que le precede sólo indica que es un sustraendo á restarse de otro ó otros números, y no puede tener otra función final, sino de resta.

El número negativo con su signo indica que por su naturaleza pertenece á la serie decreciente é ideal que parte desde cero al infinito negativo, y con el valor absoluto de sus unidades determina el número positivo que, sumado con él, convierte ó resuelve á ambos en cero.

El número negativo puede funcionar como aditivo ó como sustractivo, puede ser factor ó divisor, exponente ó radical.

Aislado, le basta el signo menos que se le antepone para determinar su naturaleza; mas cuando en el cálculo figura referido á otro ó otros, se le encierra con su signo en un paréntesis, para que no se confunda con el sustractivo.

Es sustractivo en \( 8 - 5 = 3 \).
Es negativo en \( 8 - (-5) = 13 \).

Operaciones con los números positivos y negativos.

ADICIÓN

36. Regla 1.ª—Para sumar números, todos positivos ó todos negativos, se procede, según la regla vulgar, dando á la suma el mismo signo que tengan los sumandos.

\[
3 + 5 + 4 = 12; \quad -3 - 5 - 4 = -12.
\]

El fundamento de esta regla es tan obvio, que no precisa razonamiento alguno.

Regla 2.ª—Para sumar un número positivo con otro negativo, ó viceversa, se restan, y el resultado se afecta de signo igual que lleve el sumando que, considerado como número absoluto, sea mayor.

Primer caso. \( 8 + (-5) = 3 \); porque para que el sumando \( -5 \).
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valga cero, tiene que ser compensado con 5 unidades de las del 8, quedando la suma reducida á o + 3.

Segundo caso. \( 5 + (-8) = -3 \); porque todas las unidades positivas del sumando 5 se reducen á cero al agregarse á otras 5 de las negativas que componen el — 8, y restan de éste tres unidades negativas que, sumadas con cero, será o — 3 = — 3, suma buscada.

Ejemplo práctico. Uno recibe una herencia, representada por una suma de bienes y deudas: aquéllos son números positivos, y éstas negativos. La herencia ó suma efectiva será la diferencia entre el total de partidas positivas y negativas. Si exceden las primeras tendremos el primer caso, y si las segundas, el segundo.

Sustracción.

37. Regla.—Para sustraer un número positivo de otro positivo, ó un negativo de otro negativo, si, considerados como números absolutos, el minuendo es mayor que el sustraendo, se procede según la regla común de la sustracción, y la resta se afecta del mismo signo que tenga el minuendo; pero si éste es menor que el sustraendo, la resta toma signo contrario al de minuendo.

Primer caso.

Ejemplo 1.º \( 9 - 5 = 4 \); segundo ejemplo: \( -9 - (-5) = -4 \).
Pues 1.º \( 9 = 4 + 5 \); 2.º \( -9 = -4 + (-5) = -9 \).

Observación. Del segundo ejemplo: \( -9 - (-5) = -4 \); y \( -9 + 5 = -4 \), se infiere que todo número negativo cambia de signo si se saca del paréntesis.

Segundo caso. Primer ejemplo.— \( 5 - 9 = -4 \); \( -5 - (-9) = 4 \).
Porque 1.º \( 5 = -4 + 9 \); \( -5 = 4 + (-9) = -5 \).
 Nótese que \( -5 - (-9) = 4 = -5 + 9 \). El — 9 puede sacarse del paréntesis cambiando el signo.

Regla 2.a.—Para restar de un número positivo uno negativo se suman y el resultado se afecta del signo + (más), porque todo minuendo positivo es mayor que cualquiera sustraendo negativo; y para sustraer un número positivo de otro negativo se suman también, pero el resultado se afecta del signo menos, porque todo minuendo negativo es menor que cualquiera sustraendo positivo.

Primer caso. \( 4 - (-7) = 11 \); porque \( 4 = 11 + (-7) = -7 = 4 \).
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Segundo caso. (−4) − 7 = −11; porque −4 = −11 + 7 = −4.

38. Observaciones.—1.a Si 4 − (−7) = 11 y 4 + 7 = 11, se comprueba que un término negativo puede sacarse del paréntesis mudándole el signo; y al contrario, un término positivo puede transformarse en negativo mudándole el signo y encerrándole con él en un paréntesis 4 + 7 = 4 − (−7).

2.a En virtud de lo expuesto, podemos decir de un modo general que restar es averiguar la diferencia entre dos números, y que esta diferencia es el número positivo ó negativo que agregado al sustraendo ó restado del mismo, le iguala al minuendo.

3.a Que si los términos de la suma ó de la resta son todos positivos ó todos negativos se suman ó se restan, pero si uno es positivo y el otro negativo, ó viceversa, la suma se convierte en resta, y la resta en suma.

La función del número negativo en el producto, el cociente, el exponente y la raíz será tratada en sus capítulos respectivos.

Las reglas especiales que se han expuesto para determinar la función del número negativo en la suma y la resta de los números enteros, son extensivas á las mismas operaciones con los números decimales, cuya notación sigue la misma ley que la de los enteros.

Asimismo son aplicables con todas las consecuencias deducidas, al cálculo de las fracciones ordinarias ó quebrados, pues aunque éstos se apartan de la ley decimal y precisan llevar expreso un término (denominador) que indique el valor relativo de cada quebrado, la Aritmética da reglas para hacerlos semejantes, transformándolos en quebrados equivalentes con denominación común; en cuyo caso pueden sumarse ó restarse, atendiendo á su valor absoluto, expresado por sus numeradores y según las reglas de los enteros, sin más diferencia que la de referir su resultado, como es consiguiente, á la denominación común de los quebrados con que se opera.

Expresiones numéricas.—Igualdades y desigualdades.

Aunque todo lo concerniente á operaciones indicadas pertenece á la Aritmética, y en ella será tratado, es necesario adelantar en este lugar algunas ideas generales, á fin de que esta exposición de hechos de los números resulte más inteligible y sistematizada.

39. Toda expresión numérica es simple ó compuesta. Simple, si está representada por un solo número; v. gr.: 25. Compuesta,
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CERTAMEN PEDAGÓGICO EN PONTEVEDRA

Discurso del Sr. Vincenti.

Por nuestros Suplementos saben los lectores de LA ESCUELA MODERNA que, merced á la iniciativa de nuestro ilustrado colega de Pontevedra, El Noticiero Gallego, se ha organizado y celebrado en aquella capital un Certamen pedagógico, al que se puso digno remate el día 11 del próximo pasado Agosto, en que tuvo lugar la apertura de los pliegos y la distribución de los respectivos premios, en los términos que dimos á conocer en el Suplemento del 4 del presente mes. El acto—que resultó brillante por más de un concepto y correspondió á la importancia y trascendencia de la empresa con tan buen acuerdo acometida por El Noticiero Gallego, al que por ello felicitamos muy de veras—terminó con el interesante discurso que sigue, pronunciado por el Presidente honorario del certamen, el ex Director y Consejero de Instrucción pública, nuestro particular amigo Sr. D. Eduardo Vincenti. Por varios motivos merece ser conocida de nuestros lectores oración tan de actualidad, por lo que á continuación la transcribimos íntegra, tal como la ha publicado el referido colega.

LA REDACCIÓN.

SEÑORAS Y SEÑORES:

Recuerdo oportuno.

En solemnidad alguna me he considerado revestido de mayor honor ni he sentido más viva satisfacción que en esta que presido hoy, porque ese honor y esa satisfacción constituyen un reflejo de vuestros sentimientos hacia mí y responden á la realización de mis ideales.

Hace once años y en este mismo sitio, al tener el honor de daros las gracias por haber sido elegido vuestro diputado, decía: ansío satisfacer vuestras aspiraciones y contribuir á vuestra prosperidad, porque deseo que me concedáis un asiento en vuestros hogares y un lugar en vuestros corazones.

Esta solemnidad me indica que mis esperanzas caminan á
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si se representa dos ó más números, ligados por los signos de las operaciones; v. gr.: \(5 + 4 - 2\).

Al ser comparadas dos expresiones simples, puede resultar:
una identidad, si son iguales; una diferencia, si son desiguales.

Al comparar una expresión simple con una compuesta, ó dos compuestas, resultará una igualdad ó una desigualdad.

Será desigualdad si, verificadas las operaciones que los signos indican, los resultados que de una y otra expresión se obtengan, no son iguales entre sí.

La desigualdad se indica interponiendo entre las dos expresiones comparadas un ángulo con la abertura dirigida á la expresión que dé mayor resultado.

Así:

\[
9 + 7 > 5 - 2 \quad \text{y} \quad 9 - 6 < 8 \times 2.
\]

Será igualdad siempre que, verificadas las operaciones que los signos indican, los resultados que para cada expresión se obtengan sean iguales el uno al otro.

Toda igualdad se halla formada por dos expresiones numéricas distintas y equivalentes, escritas á continuación y separadas por el signo \(=\).

Ejemplo. \( \left\{ \begin{array}{l}
3 \times 9 = 27, \text{ resultado de la primera expresión.} \\
7 + 20 = 27, \text{ ídem de la segunda ídem.}
\end{array} \right. \)

Siendo las dos expresiones iguales á 27, resultan iguales entre sí, y, por lo tanto, existe la igualdad.

\[
3 \times 9 = 7 + 20
\]

La igualdad en que entre una ó más cantidades desconocidas, que suelen representarse por \(x\), \(y\), \(z\), recibe el nombre de ecuación.

La expresión que precede al signo igual se la llama primer miembro de la igualdad, y la escrita á continuación, ó sea á derecha del signo igual, se denomina segundo miembro de la igualdad. Cada uno de los dos miembros de la igualdad puede estar formado de uno ó más términos.

Llámense términos á los números que, precedidos de alguno de los signos de las operaciones, figuren en cada miembro. Al primer término de cada miembro se le supone positivo, ó con el signo \(+\) si no le precede signo alguno.

En la igualdad \(3 + 6 + 4 = 20 - 7\), el primer miembro está
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formado por tres términos aditivos, y el segundo, por uno aditivo y otro sustractivo.

Las operaciones fundamentales se indican por igualdades.

\[
3 + 2 + 6 = x, \text{ suma indicada.}
\]
\[
16 - 12 = x, \text{ resta indicada.}
\]
\[
35 : 7 ; 6 \times 7 = x, \text{ multiplicación indicada.}
\]
\[
35 : 7 ; 6 \frac{35}{7} ... = x, \text{ división indicada.}
\]

40. Es axiomático que una igualdad no deja de serlo aunque á sus dos términos se les aumente ó se les disminuya en un mismo número. De este principio se deduce:

1.º Para sumar dos igualdades se suman ordenadamente sus dos miembros.

\[
\begin{align*}
3 + 8 &= 5 + 6 \\
6 + 3 &= 4 + 5
\end{align*}
\]
\[
3 + 8 + 6 + 3 = 5 + 6 + 4 + 5.
\]

2.º Para restar dos igualdades se restan ordenadamente sus miembros.

\[
\begin{align*}
7 + 3 &= 12 - 2 \\
8 + 4 &= 3 + 9
\end{align*}
\]
\[
7 + 3 - 8 + 4 = 12 - 2 + 3 + 9.
\]

3.º Todo término aditivo puede pasar al otro miembro como sustractivo. Digo que \(8 + 5 = 13\) es lo mismo \(8 = 13 - 5\).

Porque si de los dos miembros de la igualdad \(8 + 5 = 13\) resto el número 5, resultará \(8 + 5 - 5 = 13 - 5\); pero \(+ 5 - 5\) del primer miembro se destruyen; luego \(8 = 13 - 5\).

4.º Todo número sustractivo puede pasar como aditivo al otro miembro.

\(7 - 5 = 2\). Digo que el término 5, sustractivo en el primer miembro, puede pasar como aditivo al segundo, y será \(7 = 2 + 5\).

Porque si á los dos miembros de la igualdad \(7 - 5 = 2\) les añado el núm. 5, tendremos \(7 - 5 + 5 = 2 + 5\); pero \(- 5 + 5\), se destruyen, luego, etc.

Las desigualdades del mismo signo pueden también sumarse y restarse, resultando otra desigualdad en el mismo sentido.

FRANCISCO PIZARRO,
Regente de la Normal de Maestros de Badajoz.

(Continuará.)
Prohibida la reproducción.
La Escuela moderna (Madrid) (1897-09-01 00:00:00), página 52

HISTORIA DE TODAS LAS COSAS

Y OTRAS MUCHAS MÁS (1).

Abril.—En tiempo de Rómulo constaba el año de diez meses, que empezaba en el de marzo; lo que explica que los últimos de nuestro Calendario se llamen aún septiembre, octubre, noviembre y diciembre, evidentes derivados de septem, siete, octo, ocho, novem, nueve, y decem, diez; pues dichos meses debían ocupar esos lugares en la escala ordinal de un año que empezara por marzo. No se deduce de esto, sin embargo, que el año, como muchos han creído, tuviera 304 días. Plutarco afirma que el año de Rómulo, aunque de solos diez meses, constaba de 360 días, divididos en diez períodos de duración desigual. Numa Pompilio, más tarde, al reformar el Calendario, dió al año 355 días (número impar, porque los pares eran funestos); dividió ese número en doce meses, agregando al principio enero, y al fin febrero, y puso á abril en el tercer lugar.

Este mes, según algunos autores, antes de Rómulo tenía 36 días; dicho rey le asignó 30; Numa le redujo á 29, y César le restableció á los 30, sin que desde entonces haya variado. Su nombre viene del latín aprilis, contracción de aperilis: de aperire, abrir.

Los romanos consagraron á Venus el mes de abril, al que representaban en forma de un hombre bailando al son de un instrumento; pero los griegos, según testimonio de Suidas, le habían puesto bajo la protección de Apolo.

En la actualidad, los artistas suelen representarlo por una joven coronada de mirto y vestida de verde, color que alude á la renovación de las producciones de la tierra, con el signo de Tauro, guarnecido de una guirnalda de violetas y otras diversas flores y un canastillo con los primeros frutos.

(1) Véase el número de Junio último.
La Escuela moderna (Madrid) (1897-09-01 00:00:00), página 53

En el Calendario republicano, el 1.º de abril correspondía al 11 ó al 12 germinal, según los años, y el 30, fin de mes, al 10 ó al 11 floreal.

En Inglaterra, Alemania, Suécia y muchos pueblos de Portugal, en el día 1.º de abril se hace pagar la inocentada, como entre nosotros, el día de Reyes y el 28 de Diciembre, día de los Santos Inocentes. En Francia, donde también se practica esta costumbre, llaman poisson d'avril á este uso de embromar al prójimo.

Agosto.—Constaba de 30 días, y era el sexto mes, cuando el año tenía diez solamente. Llamóse sextilis; mas en virtud de un senatus-consulto posterior á la batalla de Accio, se le cambió el nombre por el de Augustus, que era el del emperador. Cuando Numa añadió al año dos meses, enero al principio y febrero al fin, agosto se encontró en el séptimo lugar, y luego los decenviros, trasponiendo febrero, dejaronle en el octavo, que desde entonces ocupa. Octavio César Augusto no había nacido en el mes sextile; pero en él obtuvo el consulado, triunfó tres veces, conquistó el Egipto y terminó las guerras civiles, por lo cual el Senado, considerando este mes como el más dichoso del imperio, mandó que en lo sucesivo llevarse el nombre de aquel príncipe.

No quiso César que su mes tuviese menos duración que el de su tío Julio, y al variar la denominación á sextilis, le añadió un día que tomó á febrero, el cual quedó reducido á 28 por el amor propio del soberano.

Ceres era la divinidad tutelar de este mes, y su símbolo un hombre desnudo llevando una hoz; un puñado de espigas de trigo, cuyos tallos están todavía metidos en tierra, un abanico de plumas de pavo real y el signo correspondiente. Este es Virgo, que representan los pintores por una doncella medio desnuda con una espiga de trigo en la mano, anunciando la cosecha.

Agrimensor.—Era en la antigua Roma un magistrado, cuyas funciones se confundían con las del augur: sacerdote, militar y geómetra, comprobaba y sancionaba en nombre del Estado las divisiones de las propiedades particulares y las adquisiciones y transformaciones del dominio público, é intervenía asimismo en la adjudicación de los lotes que cabían en suerte á los colonos ó veteranos. En tiempo del Imperio, los agrimensores se hicieron jurisconsultos y abrieron escuelas y ejercieron su ciencia, degenerada, pero siempre misteriosa por sus fórmulas, hasta la Edad Media.

Agrimensura.—Tuvo su origen en Egipto, según unos, á causa de las periódicas crecidas del Nilo, que confundían los lími-