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los jóvenes de los cursos complementarios y superiores pueden en rigor hacer un esfuerzo consecutivo de tres horas.

Desde el momento en que el maestro sorprende en su joven auditorio signos de cansancio y agitación, conviene que suspenda su lección, puesto que no se le escucha; un descanso de algunos momentos, una hábil digresión, una novedad inesperada, volverán á conquistar la atención.

Se ha dicho con frecuencia que el maestro debe emplear las primeras horas de la mañana en aquellas materias de enseñanza que requieran mayor esfuerzo intelectual, y dedicar con preferencia al dibujo, al canto y á la gimnástica las últimas horas del día escolar. La razón es bastante natural: es, con efecto, al principio de cada sesión cuando el niño se halla fresco y dispuesto. Es necesario, sin embargo, no exagerar. Muchos maestros saben por experiencia que las entradas á clases no se hacen siempre con un orden perfecto; la revista de aseo, la llegada de los que entran tarde, el canto, la marcha uniforme, la colocación de cada alumno en su puesto, el guardar los útiles, el sacar los libros y cuadernos, pueden dar lugar á muchos incidentes que arrojen la nota alegre entre el joven auditorio. De ahí el origen de cuchicheos y distracciones inevitables. La primera lección—no disguste á los teóricos—no es, pues, la mejor atendida. El niño está dispuesto, convengo en ello, pero no está aún atento.

Preguntaba un día á un inteligente educador los motivos que tenía para dar las lecciones de moral en las últimas horas de clase. Esta lección, al finalizar la sesión, me parecía contraria al espíritu del reglamento, y suponía, con razón, que un hombre de experiencia no se habría determinado á ello á la ligera.

"La enseñanza moral que doy—me respondió—es ante todo anecdótica; se reduce á una serie de hechos que los mismos niños deben apreciar. A medida que provoco sus juicios, trato de despertar en ellos algunos buenos sentimientos, y como procuro formar su carácter al mismo tiempo que su alma y su corazón, cuido de hacerles tomar algunas buenas resoluciones.

"El niño deja así la escuela bajo la impresión de lo que ha
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aprendido. Ningún detalle de la lección se le ha escapado. Está tanto más impresionado cuanto más he puesto á contribución á la vez su sensibilidad, su inteligencia y actividad, es decir, todas las fuerzas activas que posee. Además, apenas llega á su casa, repite á quien quiere oírle todo cuanto se le ha enseñado. No temáis que se equivoque: los niños son más aferrados que nosotros á lo justo que á lo injusto. La mamá lo escucha, y también los abuelos; los hermanos lo impacientan un poco, haciéndole burla por sus teorías de hombre ya hecho, pero á todas las objeciones él contesta, diciendo: "¡El maestro lo ha dicho!„ y este recuerdo de la autoridad del educador basta para imponer silencio. He ahí, pues, cómo moralizo la familia por medio de la escuela. El niño sirve de intermediario inconsciente... Colocad la lección al comenzar las clases y se perderá para la familia." "Cuando se infringe el reglamento con tanta inteligencia, respondí al maestro, se hace uno acreedor á los elogios." Nada hay, por lo tanto, absoluto.

Pero volvamos al tema.

El maestro ha de vigilar sin cesar las actitudes de los niños, á fin de que no las contraigan viciosas. Mucho se han exagerado las consecuencias funestas que pueden resultar de una falsa posición ó de una mala costumbre de los órganos. Con todo, el maestro no dejará de mostrarse, á este respecto, demasiado circunspecto.

No debe nunca imponerse á los alumnos una disciplina demasiado estricta: conviene tener presente la necesidad de actividad inherente á su edad, y dar en la medida de sus medios, satisfacción á la necesidad.

Cada lección ha de darse de modo que el niño sea alternativamente agente activo y pasivo, es decir, que sea sucesivamente obligado á hablar, á escuchar y á explicar, en ejercicios especiales, las reglas dadas. Conviene, sin embargo, evitar los trabajos escritos demasiado extensos.

La enseñanza será variada y distribuida de manera que las lecciones que se sucedan pongan en actividad facultades diferentes; se procurará también que los alumnos, en los diversos ejercicios, estén unas veces sentados y otras veces de pie.
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La naturaleza de la enseñanza no debe nunca exceder de la capacidad intelectual de los que la han de recibir. Se tomará por norma el término medio de la clase.

Para juzgar del valor de un ejercicio hagámonos siempre preguntas: "Este ejercicio, ¿conviene á la inteligencia del niño?... ¿pondrá en juego su deseo de actividad, de curiosidad, de invención?... ¿le hará reflexionar, juzgar, razonar?... ¿desarrollará en él algún buen sentimiento?... ¿no le fatigará con exceso?..." La edad y el sexo de los alumnos constituyen á este respecto indicaciones que es necesario siempre respetar para la elección de los temas y de los métodos. Evitemos sobre todo la trivialidad.

Desconfiad de los ejercicios escritos, de los que, con demasiada frecuencia, os veís tentados á tomar de colecciones preparadas; al menos, no los sigáis ciegamente. El autor tendrá, sin duda, un ideal; pero vuestra escuela puede muy bien no responder á ese ideal. Los editores están muy lejos de poder apreciar nuestros diversos medios escolares. Para ellos todos los alumnos son asiduos y exactos, todas las inteligencias despejadas, todas las voluntades son igualmente buenas. ¡Cuán lejos está todo eso de la realidad!...

La educación de los sentidos y el desarrollo de las facultades de observación deben ocupar un lugar importante en los primeros grados de la instrucción, puesto que, como dijo Rousseau, "el niño no tiene la fuerza ni la razón de un hombre, pero ve y oye también como él ó aún mejor"; los sentidos se desarrollan en el niño desde muy temprano, y nosotros debemos aprovechar las ventajas que nos ofrece para despertar su tierna inteligencia.

La memoria no debe ser fatigada. Facultad principal en el niño, ha de ser ejercitada y disciplinada. Pero ha de ceder gradualmente su lugar al juicio y al raciocinio, á medida que el alumno gana los grados superiores de los estudios primarios.

En la escuela no debemos dar á aprender más que cosas bien comprendidas, y, para grabar sin fatiga un hecho en la memoria, vale más una lección oral interesante que una aprendida al pie de la letra.
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al enaltecer, por ejemplo, la nobleza del caballo y la fidelidad del perro. El Código de Manú y el Pentateuco contienen severas penas contra los que maltratan sin necesidad á los animales domésticos, y establecen en su favor multitud de sabias y caritativas prescripciones.

En Inglaterra, Suiza, Francia y otros países, las Sociedades protectoras de los animales trabajan con ahínco para defender á los seres inferiores contra la crueldad del hombre, y la ley francesa de 1850 (ley Grammont) castiga con multa y cárcel á cuantos infieran pública y abusivamente malos tratamientos á los animales domésticos. En nuestro mismo país, donde la tendencia á restablecer la dignidad humana en sus relaciones de afecto con la naturaleza, se estimó como tocada del vicio del panteísmo, se han establecido sociedades protectoras y aun obtenido declaraciones á su favor de autoridades ortodoxas de la Iglesia docente. En ellas afirman algunos obispos que el amor y respeto de la naturaleza deben propagarse entre los hombres siempre que tengan por móvil el amor y respeto á Dios (1).

La influencia del elemento intelectual, la manera según la cual concebimos el mundo exterior, es la que determina y fija después los impulsos de nuestro corazón.

La concepción panteísta del Oriente, que degeneró en fetichismo, fué sustituida por el antropomorfismo de la antigüedad clásica, que veía en la naturaleza personificación de las más altas cualidades de la condición humana. Los mitos paganos poblaron la poética y seductora naturaleza de hadas, ninfas y representaciones plásticas, encanto de todos los que tienen el gusto de lo bello. El ritmo, la perfección severa y la armonía inalterable del arte clásico, entonando himnos al amor de la naturaleza, causan honda y profunda impresión aun en los contemporáneos. El mismo Goethe, un hombre de nuestros días, afirma que al llegar á Roma y contemplar las

(1) La Sociedad protectora, que anualmente celebra sus Exposiciones en Madrid (Jardines del Buen Retiro), coloca en el pabellón central el placet de varios obispos á la obra civilizadora que representa dicha Sociedad para disipar escrúpulos y suspicacias de los ortodoxos más tímidos.
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En las escuelas rurales los ejercicios escritos no pueden hacerse más que en la clase.

La casa paterna es un lugar poco á propósito para el trabajo regular y continuado. En la escuela, por el contrario, el maestro está allí... la lección es reciente... quedan algunos rastros en la pizarra... el niño se acordará mejor.—Los ejercicios á domicilio serán, pues, muy limitados y reservados para los alumnos mayores. Importa mucho que puedan ser hechos con gusto y placer, y ser agradables, más por la calidad que por la cantidad.

El recargo de tareas como castigo, se ha de prohibir en general. Debe en todos los casos incitarse la inteligencia y la atención del alumno.

La corrección inteligente de los ejercicios escritos, es la condición esencial de todo progreso. Prestemos á esta parte de nuestra obligación toda la atención posible. Sería difícil precisar los puntos sobre los cuales debe recaer esta revisión; se pueden, sin embargo, indicar algunos.

No corrijamos nunca las faltas; concretémonos á subrayarlas, y dejemos al niño que por sí mismo reproduzca la verdadera palabra en el margen.

No nos contentemos con indicaciones vagas, tales como bien, regular, mal... todas ellas, todas, son incapaces de dirigir al alumno y demostrarle por qué y cómo ha cometido la falta.

Nada de apreciaciones ofensivas, tales como estúpido, absurdo.

Si se trata de composición, examinaremos el plan, es decir, la disposición y la ilación de las ideas, la abundancia del desarrollo, las cualidades, y, sobre todo, la corrección del estilo.

Ocupémonos incidentalmente de la parte material, es decir, del aseo y de la manera como el ejercicio ha sido escrito. Nada es pequeño cuando se trata de la educación de los niños.

No es posible que el maestro corrija completamente los ejercicios de todos los alumnos; pero es necesario que revise el mayor número posible. Seguirá con frecuencia el método de las correcciones mutuas, asegurándose rápidamente de que
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los educandos hacen las rectificaciones deseadas. En fin, corregirá personalmente los cuadernos, por lo menos una vez á la semana.

El niño no pasa más que algunos años en la escuela; procuremos enseñarle el mayor número posible de cosas. Enseñémosle, sobre todo, lo que necesitará saber más tarde. Lo esencial, por otra parte, es, más que dar al niño muchos conocimientos, preparar sus facultades, hacerlo inteligente, colocarlo en condiciones de comprender más tarde las realidades de la vida y sacar de ellas el mejor partido.

El ideal de ciertos maestros es formar alumnos á su imagen, que piensen y hablen como ellos. Es una educación condenable, porque es contraria á la naturaleza libre del hombre.

Afanaos lentamente, sobre todo al principio. Los primeros pasos son siempre difíciles: sabed conteneros; más tarde ganaréis el tiempo perdido y mediréis la aceleración del movimiento por el grado de la inteligencia.

Esforzaos en mantener la armonía, el equilibrio de todas las funciones mentales: la salud intelectual lo exige. Nada de deformidades ni en lo físico ni en lo moral. No sacrifiquemos ninguna facultad, porque ninguna de ellas es inútil.

Habéis oído hablar de las distracciones de los sabios, de su ineptitud para las cosas de la vida, y su falta de habilidad. El esfuerzo que han hecho para el conocimiento de la ciencia desinteresada los ha debilitado para lo que concierne á la vida práctica. Nosotros no los tomaremos como modelos. Busquemos hacer de nuestros alumnos hombres bien equilibrados: tengamos cuidado del conjunto; sólo el conjunto hace el valor.

D. Mallet,
Director de la Escuela Normal de París.
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA

PRIMERA PARTE

ALGORITMIA (1)

CAPÍTULO IV

DEL PRODUCTO

41. Producto es el resultado de la operación de multiplicar. Las condiciones en que se ha de verificar la multiplicación las determinan los factores.

El agregado y el resto se obtienen comparando cifras semejantes y operando con números homogéneos: el producto no exige tales condiciones, pues las suple con su especial procedimiento.

No es, pues, rigurosamente exacta la opinión general de que la multiplicación es una suma abreviada, ni aun operando con números enteros; porque el producto le constituye el hecho de la combinación de los órdenes de los factores, lo que no tiene lugar en la suma ni en la resta.

Este hecho fundamental de la multiplicación no fué desconocido.

(1) En el número anterior se deslizaron algunas erratas y equivocaciones que conviene corregir.
En la página 204, línea 29, se dice múltiplo y partitivo, y debe leerse múltiple y partitiva.
En la página 205, línea 85, se dice "es relativamente", y debe leerse "es realmente".
En la página 208, línea última, aparece "-7=4", y debe decir: "11-7=4" (36. Regla 2.ª).
En la página 211, línea 18, debe rectificarse todo el apartado para que quede en esta forma:
"2.º Para restar dos igualdades se restan ordinariamente sus miembros (36. Obs. 1.ª)"

\[
\begin{array}{l}
7 + 3 = 12 + 2 \\
8 + 4 = 3 + 9
\end{array}
\]

\[
\Rightarrow 7 + 3 - (8 - 4) = 12 - 2 - (8 - 9).
\]
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cido entre los antiguos aritméticos, pues aunque otra cosa piensen los modernistas, se debe á aquéllos la exacta definición de la multiplicación (1).

La ley que rige la combinación de los órdenes de los factores es punto importantísimo en esta operación, y para exponerla de manera clara y completa, anticiparemos lo más indispensable de la teoría de nuestra aritmética que dice relación á este particular.

42. Podemos representar gráficamente la situación respectiva de los órdenes de las series múltiple y partitiva, valiéndonos de líneas, en esta forma:

C   D   P   C'   D'   P'   C   D   P   d   c   m   dm.
|   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
... 9.º   8.º   7.º   .   6.º   5.º   4.º   .   3.º   2.º   1.º   1.º   2.º   3.º   4.º

Como se ve, á la izquierda del primer orden ó principal se van situando gradualmente los órdenes múltiplos y hacia la derecha los partitivos. Para indicar cualquier orden múltiplo es suficiente la inicial mayúscula con que cada uno se halla marcado; y se ha adoptado la denominación P (primarias en vez de unidades), porque la palabra unidad se emplea en muchas acepciones. Las iniciales minúsculas indican los órdenes respectivos sin dar lugar á dudas.

Trazada esta pauta en el encerado, el maestro puede interesar la atención de los niños y conducirlos por medio de variados y bien graduados ejercicios al conocimiento perfecto y razonado

(1) Libro citado, cap. IX: "Multiplicar un número por otro, es buscar un número tercero, de tal condición, que se haya con el uno de los dos números en la proporción que el otro con la unidad, y al contrario. Ejemplo: tres veces 4 son 12. Digo que este 12 se ha con el 4, que es el uno de los dos números multiplicados, como el otro número, que es 3, con la unidad, que es tripla. Y al contrario, la proporción que hace 12 á 3, esa hace el 4 á la unidad, que es cuádrupla. Finalmente, este tercero número contiene á cualquiera de los dos números tantas veces como el otro tiene unidades. Y aunque multiplicar el 3 por el 4, á otros cualesquiera par de números, no quiere decir otra cosa más que tomar el 3 cuatro veces, ó el 4 tres veces, que sumándolos de una manera ó de otra, hacen lo mismo, fué inventada la regla de multiplicar para sumar con mayor brevedad." (Hoy no se dice más ni mejor por los matemáticos más reputados; pero la limitación del concepto al de suma abreviada que en éstos no tiene disculpa, la halla en aquel, porque en su tiempo no se conocía aún la serie partitiva decimal, y las fracciones ordinarias formaban y forman un cuerpo de doctrina, una teoría general, por separado, de la de enteros.)
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del sistema de numeración, y á la vez familiarizarlos en la combinación de los órdenes, que es lo que ahora hace al caso.

Con la pauta á la vista, y señalando las líneas que procedan, es fácil hacer entender á los alumnos, por ejemplo, que las decenas de decenas son centenas; que las centenas de decenas son primarias de millar; que las centésimas de centenas son primarias simples; que las décimas de centésimas son milésimas, etc., y esto, repetido con tan frecuente práctica como sea precisa, para que el niño logre determinar sin vacilación y con rapidez el orden resultante de la combinación de los dos que se le propongan.

43. Asimismo se le hará notar que centenas de centésimas es lo mismo que centésimas de centena, etc., y se convencerá de que, tomado con más generalidad, queda demostrado el teorema: El orden de los factores no altera el producto, ni en su valor absoluto ni en el relativo.

Podemos, pues, sentar el siguiente principio:

44. El producto de dos cifras toma siempre el valor de posición de la del multiplicando, pero referido precisamente al orden mismo de la cifra del multiplicador, ó viceversa; porque el producto ha de ser, respecto del multiplicando, lo que el multiplicador respecto á la unidad.

EJEMPLOS

    P'
    C.
    D.
    P.
    d.
    c.
    m.

    (a).
    2 P × 3 P
    = 6 prim. de prim..
    = 6 primarias...
    =
    6,

    5 C × 2 P
    = 10 Cent. de prim..
    = 10 centenas....
    =
    1. 0 0 0

    12 d × 4 P
    = 8 dec. de prim..
    = 8 décimas.
    =
    0, 8

    3 c × 5 P
    = 15 cent. de prim..
    = 15 centésimas.
    =
    0, 1 5

    2 C × 3 D
    = 6 Cent. de Dec..
    = 6 prim. de mil..
    =
    6. 0 0 0

    3 D × 3 D
    = 9 Dec. de Dec..
    = 9 centenas...
    =
    9 0 0

    4 d × 8 d
    = 12 dec. de décima.
    = 12 centésimas..
    =
    0, 1 2

    8 c × 3 d
    = 9 cent. de décima
    = 9 milésimas..
    =
    0, 0 0 9

    2 D × 4 d
    = 8 Dec. de dec..
    = 8 primarias..
    =
    8,

    8 C × 2 c
    = 0 Cent. de cent..
    = 6 primarias..
    =
    6,

    3 D × 3 m
    = 9 Dec. de mil ..
    = 9 centésimas..
    =
    0, 0 9

    4 d × 2 C
    = 8 dec. de Cent..
    = 8 Decenas....
    =
    8 0,

De los precedentes ejemplos se deduce:

a) Si los dos factores son del primer orden, el producto resulta semejante á ellos; esto es, del primer orden ó entero.

b) Si uno solo de los factores es del primer orden, el producto resulta semejante al otro factor; esto es, de su mismo orden.
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c) Si los dos factores son múltiples, también lo será el producto; pero en tantos grados menos uno, como exprese la suma de los órdenes de los factores.

d) Si los dos factores son partitivos, también lo será el producto en tantos grados menos uno como resulten de sumar los órdenes partitivos de los factores.

e) Si un factor es múltiplo en tantos grados como el otro sea partitivo, el producto resulta del primer orden; esto es, entero.

f) Si un factor fuere múltiplo y el otro partitivo en grados desiguales, el producto es de la clase del más distante, y del grado que exprese la diferencia de los órdenes de los factores.

Regla general.—El valor combinado ó doble deposición que envuelve el producto de dos cifras, se convierte en simple valor relativo, referido al primer orden, trasportando el de la cifra del multiplicando hacia derecha ó izquierda tantos lugares cuantos sean los que en igual sentido la cifra del multiplicador diste del orden primero ó principal.

En todo caso, la enunciación específica de los órdenes de las cifras ligadas por la preposición de, indica claramente el orden que corresponde al producto, para el que se haya ejercitado en la pauta.

RESULTADO DEL análisis DE ESTE HECHO

Haber completado el concepto del producto. Haber demostrado que, tanto respecto al valor absoluto como al relativo, el orden en que se tomen los factores no altera el producto.

Quedar demostradas por este principio las reglas de las abreviaciones y las de la multiplicación de los decimales.

Darse razón y daría á los demás del orden correspondiente á todas y cada una de las cifras del producto, á medida que se van obteniendo, lo que constituye la demostración más clara y completa del procedimiento de la operación.

Facilitar en gran manera el cálculo mental.

Propiedades generales de los factores.

45. Un número es múltiplo de otro cuando es igual al producto de éste por cualquier número.

Así, 20 es múltiplo de 5 y de 4 porque \( 20 = 5 \times 4 \).

Todo producto es múltiplo de cada uno de sus factores, y éstos son submúltiplos ó divisores del producto: 5 y 4 son submúltiplos ó divisores de 20.
La Escuela moderna (Madrid) (1897-10-01 00:00:00), página 36

Proposiciones.

1.a La suma de varios múltiplos de un número, es un múltiplo de este número:

\[
3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 4(3 + 5) = 4 \times 8 = 32.
\]

2.a El producto de un número por la suma indicada de otros, es igual á la suma de los productos parciales que se obtengan multiplicando dicho número por cada uno de los sumandos de la suma propuesta.

\[
5 \times (2 + 3 + 4) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = (2 + 3 + 4) \times 5 \\
= 9 \times 5 = 45.
\]

3.a El producto de un número por una diferencia indicada es igual al producto de dicho número por el minuendo, menos el producto del mismo número por el sustraendo.

\[
(7 - 3) \times 2 = 7 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 14 - 6 = 8.
\]

4.a El producto de una suma indicada por otra suma indicada es igual á la suma de los productos parciales que resulten multiplicando los términos de la una suma por cada uno de los términos de la otra suma.

\[
(3 + 2 + 4) \times (6 + 5) = 6 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 5 \cdot 4 \\
= 9 \cdot 6 + 9 \cdot 5 = 99.
\]

5.a El producto de una suma indicada por una diferencia también indicada, es igual á la diferencia entre los productos parciales de la suma por el minuendo, menos los productos parciales de la misma suma por el sustraendo.

\[
(2 + 4) \times (6 - 3) = 2 \cdot 6 + 4 \cdot 6 - 2 \cdot 3 - 4 \cdot 3 = 12 + 24 - 6 - 7 \\
= 36 - 13 = 23.
\]

6.a Cuando un mismo número multiplica á varios términos de una operación indicada, se le dice factor común, y se puede sacar, escribiendo dentro de un paréntesis, los términos afectados por el factor común y poniendo éste antes ó después del paréntesis.

Así: \(3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 3 = 3 \times (2 + 4 - 5) = (2 + 4 - 5) \times 3.\)