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CONSIDERACIONES

ACERCA DE LAS VENTAJAS DEL RAZONAMIENTO SOBRE LAS FÓRMULAS EN LA ARITMÉTICA (1).

Ha mucho tiempo venimos insistiendo en la idea de desterrar ciertas fórmulas en la enseñanza de la Aritmética, persuadidos, como estamos, de que enseñando al niño á servirse de ellas, no se da cuenta del por qué de las operaciones que ejecuta, ni se desarrolla debidamente su inteligencia.

Muchos y variados argumentos podrían aducirse en apoyo de esta opinión; pero renunciamos á exponerlos, ya por no ofender la ilustración de nuestros lectores, ya porque comparando el procedimiento deductivo, ó de las fórmulas, con el inductivo, ó del análisis, se verá plenamente probado el fundamento de nuestra tesis.

Sin más preámbulos, entramos de lleno en nuestro objeto, y van á servirnos de materia los problemas siguientes:

1.º ¿Cuánto valen 14 libras á 8 reales cada una?

Un niño á quien se le hubiesen enseñado los usos de la multiplicación, diría: Este problema es de multiplicar, porque sabemos el valor de una cosa y vamos á averiguar el de muchas.

Otro alumno á quien se hubiese habituado al razonamiento, diría:
Si 1 libro vale 8 reales, 14 libros valdrán 14 veces más, ó sea:

\[
8 \times 14 = 112 \text{ reales}.
\]

2.º ¿Cuántos días necesita una costurera para hacer 18 prendas, habiéndolas hecho 4 costureras en 6 días?

3.º ¿Cuántos operarios se necesitan para tejer 180 metros en 8 días, habiéndolos tejido 24 operarios en 1 día?

Un alumno acostumbrado á las fórmulas creería tal vez que estos problemas eran de regla de tres; pero otro acostumbrado á razonar, procedería de este modo: Si 4 costureras han empleado 6 días en

(1) Versando este artículo sobre Aritmética, de la que contiene variados problemas, hemos creído que puede sustituir á los Ejercicios prácticos de Aritmética y Geometría que venimos publicando en todos los números, y que por este motivo retiramos hoy, máxime cuando el artículo que sigue, Cartas abiertas, trata también de la solución de un problema aritmético. (N. de la R.)
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hacer 18 prendas, una costurera empleará cuatro veces más de tiempo en hacer la misma labor, ó sea \(6 \times 4 = 24\) días.

Si para tejer 180 metros en 1 día se necesitan 24 operarios, para tejerlos en 8 días, ó sea en ocho veces más de tiempo, se necesitarán 8 veces menos de operarios, ó sea \( \frac{24}{8} = 3 \) días.

4.º ¿Cuál es el importe de \( \frac{4}{5} \) de arroba, á 30 reales cada una?

5.º Si en \( \frac{3}{4} \) de mes se han consumido en una fonda 90 kilogramos de carne, ¿cuántos se consumirán en un mes?

Como sabemos, el primero de estos dos problemas es de multiplicar, y el segundo de dividir un entero por un quebrado; pero procediendo razonadamente, no hay necesidad de decir al niño cómo se multiplica ni cómo se divide un entero por un quebrado, ó viceversa. He aquí el medio que conduce á este fin: Si 1 arroba cuesta 30 reales, \( \frac{1}{5} \) costará 5 veces menos, ó sea \( \frac{30}{5} \) y \( \frac{4}{5} \) costarán 4 veces más, ó sea \( \frac{30 \times 4}{5} = 24 \) reales.

Si en \( \frac{3}{4} \) de mes se han consumido 90 kilogramos, en \( \frac{1}{4} \) se consumirán 3 veces menos, ó sea \( \frac{90}{3} \), y en \( \frac{4}{3} \) ó en un mes se consumirán 4 veces más, ó sea \( 90 \times \frac{4}{3} = 120 \) kilogramos.

6.º 4 sastres, en 8 días, hicieron 64 prendas: ¿cuántas harán 6 sastres en 9 días?

Por medio de las proporciones, procederíamos así:
\[
4 \times 8 : 6 \times 9 :: 64 : x.
\]
\[
x = \frac{6 \times 9 \times 64}{4 \times 8} = 108 \text{ prendas}.
\]

Por el procedimiento de causas y efectos, en esta forma:
\[
4 \text{ sastres} \times 8 \text{ días} = 64 \text{ prendas}, \quad x = \frac{6 \times 9 \times 64}{4 \times 8} = 108 \text{ prendas}.
\]
\[
6 \times 9 = x
\]

Pero ambos procedimientos, aparte de la dificultad que envuelven, no dan cuenta al niño del camino que está recorriendo, al paso que, procediendo analíticamente, ve el por qué de cada operación, según vamos á manifestar.

Si 4 sastres hacen 64 prendas, 1 sastre hará 4 veces menos, ó sea \( \frac{64}{4} \), y 6 sastres hará 6 veces más, ó sea \( \frac{64 \times 6}{4} \).
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Si esto lo hacen en ocho días, en un día harán 8 veces menos, y en nueve días, 9 veces más, ó sea \( \frac{64 \times 6 \times 9}{4 \times 8} = 108 \) prendas.

7.º ¿Qué tiempo se necesita para que 8.000 pesetas reditúen 440 al 6 por 100 anual?

Suponemos que, ya se sirviese el alumno de las proporciones, ya del procedimiento de causas y efectos, encontraría alguna dificultad en plantear la cuestión propuesta; pero razonando el problema se procedería de este modo:

Si 100 producen 6, 1 producirá \( \frac{6}{100} \), y 8.000 producirán

\[
\frac{6 \times 8.000}{100} = 1.480.
\]

Sí para producir 480 pesetas se necesita un año, para producir una se necesitará \( \frac{1}{480} \) de año, y para producir 440 se necesitará

\[
\frac{1 \times 440}{480} = \frac{44}{48} \text{ de año}, = 11 \text{ meses}.
\]

8.º Teniendo un cosechero vino de 9 y de 14 reales decalitro, ¿en qué proporción lo mezclará para venderlo á 12 reales?

Disposición de los datos y operación:

    12 reales.
    14 reales
    3 decalitros.

    9 id.
    id.
    2 id.

or cada 3 decalitros de 14 reales hay que poner 2 de 12 reales.

Razonamiento:
En cada decalitro de 14 reales, vendido á 12, se pierden 2 reales.
Si tomamos un decalitro de 14 reales hay que tomar del de 9 una cantidad tal, que la ganancia sea igual á la pérdida, ó sea igual 2 reales.

En un decalitro de 9 reales, vendido á 12, se ganan 3 reales.
Para ganar un real hay que tomar una cantidad 3 veces menor, ó sea \( \frac{1}{3} \) de decalitro, y para ganar 2 reales hay que tomar 2 veces más, ó sea \( \frac{2}{3} \) de decalitro.

Tómando, pues, un decalitro de 14 reales, hay que tomar \( \frac{2}{3} \) de decalitro de 9 reales.

A fin de que resulten números enteros se pueden multiplicar los números 1 decalitro y \( \frac{2}{3} \) de decalitro por el denominador 3, y tendremos:
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EL RAZONAMIENTO EN LA ARITMÉTICA

1 \( \times 3 = 3 \) decalitros de 14 reales.
2 \( \times 3 = 2 \) íd. de 9 íd. Resultado igual al obtenido por la fórmula.

9.º Un padre deja 495 onzas de oro para tres hijos de doce, ocho y cuatro años respectivamente, con la condición de que se repartan en razón inversa de sus edades: ¿qué cantidad corresponderá a cada uno?

El hijo menor recibirá cierta cantidad, que representaremos por 1.

Si el mediano tuviese un año, recibiría cuatro veces más que el menor, ó sea \( 1 \times 4 = 4 \); pero como tiene ocho años, recibirá ocho veces menos, ó sea \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Si el mayor tuviera un año, recibiría cuatro veces más que el menor, ó sea 4; pero como tiene doce años, recibirá doce veces menos, ó sea \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).

De manera que el menor recibirá como 1, el mediano como \( \frac{1}{2} \), y el mayor como \( \frac{1}{3} \).

Dividamos, pues, el número 495 en partes directamente proporcionales á los números 1, \( \frac{1}{2} \) y \( \frac{1}{3} \).

\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6}
\]

Suprimiendo el denominador común 6, lo cual no altera en nada la relación de los términos, queda reducida la cuestión á repartir el número 495 en partes proporcionales á los números 6, 3 y 2.

Si á 11 corresponden 495, á 1 corresponderá \( \frac{495}{11} = 45 \).

A 2, hijo mayor, \( 45 \times 2 = 90 \).
A 3, (d. mediano, \( 45 \times 3 = 135 \). Total, 495.
A 6, (d. menor, \( 45 \times 6 = 270 \).

10. ¿Qué debe descontarse de una letra de 6.300 pesetas, que vence dentro de un año, al 5 por 100?

Solución como se descuenta en el comercio:
En 100 pesetas se descuentan 5; en una se descontará \( \frac{5}{100} \) y en 6.300 se descontarán \( \frac{5 \times 6.300}{100} = 315 \) pesetas.

El valor actual de la letra, con arreglo á tal práctica, será 6.390 - 315 = 5.985 pesetas.
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siglos siguientes entre el Norte de Europa y América. Pero la rudeza de los pueblos que tomaron parte en él hizo infructuoso para el mundo aquel descubrimiento, de que nunca tuvo Colón la menor noticia. La idea del gran genovés brotó de su propio embrión y produjo el más hermoso fruto, preflado á su vez de gérmenes fecundos. Por esto podemos decir, con razón, que América se descubrió en 1492. No fueron las colonias groenlandesas ni ese mezquino tráfico de los pueblos del Norte los que determinaron el rumbo de los tres barcos que partieron de Palos, sino reflexiones maduras, basadas en investigaciones racionales. Alberto Magno, Rogerio Bacón y Pedro de Aliaco habían iluminado ya el horizonte: el primero mediante su Geografía física (Liber cosmographicus de natura locorum), el segundo por la reforma que introdujo en el método del estudio
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Pero estas 5.985 pesetas, impuestas al 5 por 100 en un año, sólo producirán \( \frac{5.985 \times 5}{100} = 299,25 \) pesetas, que, agregadas al capital 5.985, sólo dan 6.284,25, en lugar de 6.300; luego se ha descontado demás, según veremos después, 15 pesetas, y no 15,75 como parece; pues aunque la diferencia entre 6.300 y 6.284,25 es 15,75, estos 75 céntimos provienen de lo que producirían las 15 pesetas al 5 por 100 en un año. Por esta razón este modo de descontar se llama abusivo ó comercial.

Solución como debe hacerse.

105 pesetas de valor nominal tendrán ese valor real en la época del vencimiento; pero en el instante en que se hace el descuento, no valen más que 100; luego en cada 105 pesetas hay que descontar 5.

Si en 105 se descuentan 5, en 1 se descontará \( \frac{5}{105} \), y en 6.300 se descontarán \( \frac{5 \times 6.300}{105} = 300 \) pesetas.

El valor actual será 6.300 - 300 = 6.000 pesetas.

Veamos ahora lo que producen estas 6.000 pesetas, al 5 por 100 en un año.

Si 100 producen 5, 1 producirá \( \frac{5}{100} \), y 6.000 producirán \( \frac{5 \times 6.000}{100} = 300 \). Agregando estas 300 pesetas al valor actual de la letra, resultan las 6.300; luego este es el verdadero modo de descontar.

Observación. Diferénciase el descuento abusivo ó comercial del verdadero ó racional, en que aquél consiste en determinar los intereses que produciría el valor nominal de la letra ó pagaré desde la época en que se hace el pago hasta la del vencimiento; y el verdadero, en determinar los intereses que produciría el valor real ó efectivo de la letra desde la época en que se hace el pago hasta la del vencimiento; más claro: el descuento verdadero ó racional consiste en averiguar cuál será el capital que, colocado al mismo interés en la época del pago, y sumado con sus intereses, sería igual al valor nominal en la época del vencimiento.

11. Tomaron un criado en una casa por 90 días, ganando 6 reales cada día que trabajase, y abonando él 8 rs. cada uno de los que descansase; pasado el término, recibió 288 rs. ¿Qué días trabajó, y cuántos descansó?

12. Un ganadero tenía tantos terneros, que si se los pagaban á 200 reales, le faltaban 300 para comprar una casa, y si se los pa-
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gaban á 250, le sobraban 400 reales: ¿cuántos terneros tenía, y cuánto valía la casa?

Los dos problemas que preceden, corresponden á la regla llamada de falsa posición doble; pero como el procedimiento de ésta es embarazoso, pesado, y sobre todo empírico, renunciamos á él, bastando para resolver aquéllos, el hacer uso de las operaciones fundamentales de la Aritmética.

Solución del problema 11.—Si el criado hubiese trabajado los 90 días, habría recibido 90×6 = 540 reales; pero como sólo recibió 288, la diferencia entre 540 y 288, que es 252, será el resultado de los días que no trabajó; y como en cada día que no trabaja deja de percibir 8+6 rs, ó sea 14 reales, es evidente que serán tantos los días que descansó, como veces esté contenida la cantidad de 14 reales en la diferencia 252; y en efecto:

\[
252 : 14 = 18 \text{ días.}
\]
Descansó 18 días
Trabajó 90 - 18 = 72 días.

Solución del problema 12.— 250 rs. - 200 = 50 reales.
300 reales que faltan + 400 que sobran = 700 rs.
Por 50 reales de diferencia en cada ternero, resulta una diferencia total de 700 reales; luego los terneros serán tantos como veces esté contenida la diferencia parcial, que es 50, en la total, que es 700, y en efecto:

\[
700 : 50 = 14 \text{ terneros:}
\]
La casa valdría 14×200 + 300 = 3.100 reales.

13. Si se sacan 3 cántaras de una cuba y se echan á un tonel, habrá en ambas vasijas igual número de cántaras; pero si se sacan 5 del tonel y se echan á la cuba, habrá en esta triple número de cántaras que en aquél: ¿cuántas cántaras hay en cada una de las vasijas?

Solución.—Si echando 3 cántaras de la cuba al tonel hay en ambas vasijas igual número de cántaras, es indudable que la diferencia de cántaras entre las dos vasijas es \(3 + 3 = 6\), porque esto equivale á rebajar 3 unidades del minuendo y agregar otras 3 al sustraendo.

Si echamos 5 cántaras del tonel á la cuba, la diferencia anterior 6 habrá aumentado en \(5 + 5\), ó sea 10, porque esto equivale á aumentar 5 unidades al minuendo y rebajar otras 5 del sustraendo; de manera que la diferencia anterior 6 será ahora \(6 + 10 = 16\).

Como, según el enunciado, hay ahora en el tonel la tercera parte
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que en la cuba, la diferencia entre ambos será \( \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Si \( \frac{2}{3} = 16 \) cántaras, \( \frac{1}{3} \), ó sea el tonel, \( = 8 \) cántaras, y \( \frac{3}{3} \), ó la cuba, \( = 24 \) cántaras.

De modo que ahora habrá 24 cántaras en la cuba, y 8 en el tonel.

Rebajemos de las 24 de la cuba las 5 que se han echado, y resultarán 19.

Aumentemos á las 8 del tonel las 5 que se han sacado, y resultarán 13.

14. ¿Qué cantidad de platino y cuál de acero habrá en una esfera de 110 klogs., no pesando en el agua más que 98, y suponiendo que el platino pierda en el agua \( \frac{1}{22} \) de su peso, y el acero \( \frac{1}{8} \)?

Solución.—Si toda la esfera fuese de platino, perdería en el agua \( \frac{1}{22} \) de 110, ó sea 5 klogs.; luego pesaría en el agua 110 — 5 = 105 kilogramos.

Como sólo pesa 98 klogs., los 7 klogs. que faltan son á consecuencia de la cantidad que entra de acero.

La diferencia entre la pérdida que se sufre 1 klog. de acero y la que experimenta 1 fd. de platino es \( \frac{1}{8} - \frac{1}{22} = \frac{22-8}{176} = \frac{7}{88} \).

Luego los kilogramos de acero que haya en la esfera serán tantos como veces esté contenida la diferencia de la unidad, que es \( \frac{7}{88} \), en la diferencia total, ó sea 7, y, en efecto; 7 : \( \frac{7}{88} = 88 \) kilogramos de acero.

De platino habrá 110 — 88 = 22 klogs.

15. Se quiere construir una escuela para 200 niños, en la suposición de que cada uno necesita 9 pies superficiales, y que el salón sea un rectángulo de doble longitud que latitud: ¿cuáles deben ser las dimensiones?

Solución.—200 \( \times \) 9 = 1.800 pies superciales.

Ahora la cuestión está reducida á descomponer el 1.800 en dos factores, de manera que el uno sea el doble que el otro.

Para ello tendremos presente: 1.º, que si se multiplica un número por sí mismo, el producto es el cuadro de dicho número; 2.º, que
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si un número se multiplica por su duplo, el producto será el doble del cuadrado de dicho número, y la mitad del cuadrado del duplo.

Luego 1.800 es el doble del cuadrado de la latitud y la mitad del cuadrado de la longitud.

Doble del cuadrado de la latitud. 1.800
Cuadrado de la latitud. 900

Latitud = \( \sqrt{900} = 30 \).

Mitad del cuadrado de la longitud. 1.800
Cuadrado de la longitud. 3.600

Longitud = \( \sqrt{3.600} = 60 \).

Longitud, 60 metros. Latitud, 30 idem.

16. En un jardín hay tres estatuas, que representan el Verano, el Otoño y el Invierno: las del Verano y Otoño juntas pesan 2 000 kilogramos; el peso de la del Invierno, que es 600 klogs., lo componen \( \frac{3}{4} \) de la del Verano y \( \frac{1}{4} \) de la del Otoño: ¿cuánto pesa cada una de estas dos últimas?

Solución.—Si \( \frac{3}{4} \) de la del Verano y \( \frac{1}{4} \) de la del Otoño componen 600 klogs., \( \frac{3}{4} \) de aquella y \( \frac{3}{4} \) de esta compondrán los \( \frac{3}{4} \) de la suma 2 000, ó sea 1.500 klog.; porque los \( \frac{3}{4} \) de un sumando y los \( \frac{3}{4} \) del otro tienen que equivaler á los \( \frac{3}{4} \) de la suma.

La diferencia entre los \( \frac{3}{4} \) y \( \frac{1}{4} \) de la del Otoño es \( \frac{2}{4} \) ó \( \frac{1}{2} \), y esta diferencia tiene que ser igual á la que existe entre 1.500 y 600, ó sea, \( \frac{1}{2} \) de la del Otoño = 900 klogs.

Si \( \frac{1}{2} = 900 \), 1 = 1.800.

La estatua de Otoño pesa, pues, 1.800 klogs.
La del Verano pesará 2.000 - 1.800 = 200.

\( \frac{3}{4} \) de 200 = 150.
\( \frac{1}{4} \) de 1.800 = 450.
150 + 450 = 600 klogs.
La Escuela moderna (Madrid) (1892-10-01 00:00:00), página 54

Si la inspección y el examen de la marcha adoptada en la resolución de los 16 problemas propuestos no bastase para probar que por dicho medio se combate ese desesperante rutinarismo, llamado á desaparecer de nuestras escuelas en brevísimo plazo, y que obliga á los niños á resolver los problemas por medio de fórmulas y reglas, sin dejarles ver la razón de lo que ejecutan, y que fácilmente olvidan al poco tiempo de abandonar las aulas, vendría á confirmarlo el medio que empleamos en nuestro libro El cálculo analítico, para resolver los 285 problemas en él consignados, algunos de los cuales, á pesar de constituir por sí una ecuación de primer grado, con tres incógnitas, se resuelven aritméticamente por el método analítico, por el cual se desarrolla progresiva y prodigiosamente la inteligencia del alumno. Por este medio quedan desterradas las reglas de tres, de interés, de compañía, de aligación, de falsa posición, etc., se resuelven problemas geométrico-aritméticos y fisico-aritméticos, y únicamente por él pueden resolverse aritméticamente problemas de las condiciones de los números 175 al 178.

ANTONIO ANDRÉS DEL VILLAR,
Inspector de primera enseñanza de Logroño.
La Escuela moderna (Madrid) (1892-10-01 00:00:00), página 55

CARTAS ABIERTAS

Al abrir ayer el correo, me encontré con unas cuartillas firmadas con iniciales y que contenían una consulta. Creí se trataba de un anónimo vulgar, y ya iba á arrojarlas sin leerlas, cuando me chocó ver en ellas tanto número. Resignéme á pasar la vista por su contenido, y luego de enterado comprendí el por qué de no ir firmadas, y la conveniencia de darles respuesta cumplida. Pero son tales las precauciones que han tomado los que me consultan para que no pudiera inquirir quiénes eran, que no veo otro medio de contestarles si no es entregando á la publicidad la contestación. Y como toda respuesta supone el conocimiento previo de la pregunta, suplico al lector se tome el trabajo de leer la epístola que copio con los documentos que la acompañan, todo lo cual en un mismo sobre llegó á mis manos por el correo interior.

PRIMERA CARTA

Querido maestro: Usted que ha sido juez tantas veces de Tribunales de oposición, seálo ahora de nuestra controversia. Es el caso que solemos juntarnos tres compañeros y hacemos reunidos los estudios necesarios para tomar parte en las oposiciones que han de celebrarse durante el próximo Noviembre. Con frecuencia es nuestro caballo de batalla decidir cuál es la forma preferible para la resolución razonada del problema de aritmética. Hoy mismo, sin ir más lejos, hemos discutido largamente sobre quién había acertado mejor resolviendo uno, por cierto de los más sencillos, pretendiendo cada cual que la suya era la sobresaliente, modestia aparte. Y como nuestra discusión llevaba trazas de eternizarse, hemos decidido, de común acuerdo, enviárselas á usted, firmadas con cualquier letra, junto con esta carta, para que decida enteramente libre de toda sugestión.

Perdónenos la libertad que nos tomamos, y crea que sólo fiando en la consideración que sabemos le merece el título de haber sido alumnos suyos, nos atrevemos á molestarle, anticipándole el testimonio de nuestra gratitud y repitiéndonos sus afectísimos discípulos,

X. Y. Z.
La Escuela moderna (Madrid) (1892-10-01 00:00:00), página 56

Nota bene.—Hemos dado á copiar esta carta á un muchacho, para que ni aun la letra de ella pueda influir en el juicio de usted. Si además de fallar nuestro pleito se digna darnos algún consejo sobre temataan controvertido por nosotros, le quedaremos doblemente obligados.—Vale.

PROBLEMA. Calcular el interés de 800 pesetas prestadas al 6 por 100 anual durante cuatro meses.

Primera resolución.

Fácil es averiguar la cantidad que resuelve este problema, sin más que hacer aplicación de la regla de tres compuesta:
En efecto; si 100 pesetas producen en doce meses 6 pesetas
800   ,   producirán en cuatro   x   ,
De aquí se originan dos reglas de tres simples, una que dirá:
Si 100 pesetas producen en doce meses 6 pesetas
800   ,   en el mismo tiempo darán y   ,
La otra se formulará del siguiente modo:
Si 800 pesetas en doce meses dan y
estas 800   ,   en cuatro producirán x.
Una y otra son directas y motivan las proporciones siguientes.
100 : 800 :: 6 : y
12 : 4 :: y : x
las cuales, multiplicadas ordenadamente y prescindiendo de y, común á ambas, resulta:

\( 100 \times 12 : 800 \times 4 :: 6 : x \)

de donde el valor de la incógnita, que es un extremo, se halla partiendo por el otro extremo el producto de ambos medios, ó sea,

\[
x = \frac{800 \times 4 \times 6}{100 \times 12}
\]

efectuadas las operaciones que acaban de indicarse se obtiene por resultado

16 pesetas

solución que se pedía.

Segunda resolución.

El método más adecuado para conducirnos á la solución que se pide, es el llamado de reducción á la unidad. Según él, razonaremos de la siguiente forma:
100 pesetas en un año, ó sean doce meses, producen 6 pesetas.
La Escuela moderna (Madrid) (1892-10-01 00:00:00), página 57

1 peseta en doce meses producirá 100 veces menos ó sea \( \frac{6}{100} \).

1 peseta en un mes producirá 12 veces menos: \( \frac{6}{100 \times 12} \).

800 pesetas en un mes darán 800 veces más: \( \frac{6 \times 800}{100 \times 12} \).

800 pesetas en cuatro meses darán 4 veces más:

\[
\frac{6 \times 800 \times 4}{100 \times 12} = 16 \text{ pesetas}.
\]

Tercera resolución.

Aplicando á este problema el cálculo algebraico, diremos: el mismo interés ha de darnos 1 peseta de las 100, que una de las 800; luego plantearemos la siguiente ecuación de primer grado:

\[
\frac{x}{800} = \frac{6}{100}
\]

quitando denominadores, y teniendo para ello en cuenta que el máximo común múltiplo es 800, resulta:

\[
x = 48
\]

pero esto es en 12 meses; ahora bien, en 4, serán las \( \frac{4}{12} \) de 48, ó sea:

\[
x = \frac{48 \times 4}{12} = 16 \text{ pesetas}.
\]

SEGUNDA CARTA

Queridos discípulos: Muchas gracias por su prueba de confianza; pero noten, antes de pasar adelante, que si es verdad he formado parte varias veces de los Tribunales de oposición, no lo he sido aún desde que se celebran en las capitales de Distrito universitario, y, por tanto, desde que rige el actual reglamento de Diciembre de 1888, cuyo art. 37 es el que dispone la resolución razonada, por escrito, de un problema de Aritmética. Así es que mi opinión no podrá basarse en el criterio sustentado por dichos Tribunales, sino tan sólo en el mío propio.

El problema que motiva esta consulta es harto sencillo, como reconocen ustedes en la suya, para ser objeto de largas disquisiciones. Se ha resuelto por uno, considerándolo como de regla, de tres compuesta, y de este modo ocupa más espacio y se hacen mayor