La Enseñanza (Madrid. 1865) (1867-11-25 00:00:00), página 8

comienza la otra cuando se las enlaza; pero también se pueden colocar por sí unas separadas de otras. También se puede tomar cada una de estas cantidades iguales tantas veces como se quiera, pues la única relación cuantitativa en las cantidades discretas se compone siempre mediante la repetición de unidades enteras. La naturaleza de las cantidades continuas, consideradas sólo como cantidad, pluralidad y relación determinadas, contiene en sí la naturaleza de las discretas; pero no ésta á aquella. Lo común á ambas cantidades es el ser de la cantidad, á saber: que en ambas una cosa real finita aparece en su límite infinito dentro de límites completos; y que en ambas especies de cantidad nace pluralidad de la unidad y unidad de la pluralidad: sólo que en las cantidades discretas con limitación é individualidad, y en las continuas sin límite alguno se continúa hasta lo infinito.

Las determinaciones de los límites ó formas según género, deben en cada esfera ser conocidas mediante determinada intuición y ser deducidas mediante especulación; pero en todo caso debe considerarse y conocerse filosóficamente si los miembros de la división son solo dos ó varios y en qué esferas (si el género de las cantidades es divisible, dicotómica ó polinúmericamente). Sobre esto pueden sólo hacerse las siguientes observaciones.

Primera. Los distintos géneros de las cantidades forman distintas esferas de conceptos coordinados entre sí, que se excluyen como tales, y que por tanto, lo que conviene á un género, como tal, no puede decirse de los otros. En la exposición de los géneros de las cantidades deben, pues, observarse las siguientes reglas lógicas generales: que ninguna división se omita (como si alguno dijese que las líneas son circulares ó espirales) pues la consideración sería incompleta: que además los géneros expuestos sean de igual orden ó categoría (como si alguno dijese que la línea es recta ó circular).

Segunda. Las divisiones se oponen positiva ó realmente, pues hay en ellas generalmente la naturaleza del límite superior cuyo género se determina en ellos: por ejemplo, la línea recta como la curva es longitud con dirección determinada, y ambas deben dar una intuición determinada positiva, á saber, que la recta como la curva pueden ser construidas sensiblemente. Así deben, por tanto, ser todas las oposiciones de las Matemáticas (como de todas las ciencias).

Tercera. No debe confundirse la aparente con la originaria división genérica del límite: aquella procede sólo de la determinación cuantitativa de varios límites continuos que hay en el mismo individuo á causa de la pluralidad de las cantidades discretas. ¿Por qué se distinguen, v. gr., los géneros (species) del triángulo rectilíneo, sino por la distinción de la cantidad continua del ángulo y de la relación cuantitativa continua, determinada por esto, de la longitud de los lados? ¿Por qué el cuadrilátero rectilíneo del triángulo, sino por el distinto número de lados (pluralidad lógica de los mismos) y ángulos (pues con respecto á la suma de las longitudes de los lados ó al área en ello comprendida, pueden ser iguales)? Un triángulo rectilíneo y uno curvili-

neo son distintos originalmente según género en atención á la diferencia genérica de sus lados.

Según esto será claro ahora lo siguiente: La individualidad de cada cosa finita completamente limitada se determina mediante la individualidad de su límite, y ésta á su vez mediante la individualidad ó sea la cantidad y género de los límites que reciprocamente se determinan; y estarían por tanto las Matemáticas completas cuando hubiesen agotado y construido sintéticamente toda individualidad posible de lo finito en todas las esferas en el género y en la cantidad de sus límites, del límite infinito; pero esto es imposible de completar, porque el límite de todo género es infinitamente determinable mediante género, lo cual se da inmediatamente en la infinitud del mundo en contenido y forma.

Si se considera, v. gr., por donde se determina la individualidad de una extensión finita como tal, por ejemplo, de una esfera, se encuentra que es determinada inmediatamente por su primer límite, la superficie, que en ella proviene de un doble género, á saber, la curvatura uniforme en las distintas direcciones que concurren en un punto, y por la segunda superficie que al cortar á la primera dá una sección de curvatura determinada exactamente igual. Estas dos superficies son distintas en primer lugar según género mediante sus límites, á saber, la línea y el punto en que las limitan en cuanto á su extensión, etc. O si se toma un hexaedro, se ve que es determinado por el género, número y porción de sus superficies (límites) y el género de las superficies á su vez por el género y relación de la cantidad del ángulo de sus lados. * Estará cumplido esto determinado punto de vista matemático, la geometría, cuando se hubieran agotado todos los géneros posibles de limitación finita del espacio; para lo cual sería menester haber construido * todos los géneros de superficies, su limitación y enlace; y de aquí, á su vez, todos los géneros de las líneas. Pero como esto no es posible al presente, se sigue que la Geometría no puede completarse nunca por lo que toca á la perfección absoluta de su síntesis; pero puede y debe ser verdaderamente sistemática.

Resulta también de aquí, que en el concepto de las Matemáticas está contenido el supremo y único axioma que se realiza cada vez más mediante construcción consiguiente sintética; este axioma, tal como puede aquí exponerse sin deducción filosófica precedente (no en el sentido general, sino con el indicado antes) es el siguiente:

A cada subordinada esfera finitamente infinita del mundo convienen límites distintos según género, aunque infinitos: estos pueden determinarse ulteriormente hasta lo infinito mediante determinación genérica y cuantitativa, y está determinada realmente en el en el mundo: que los individuos de todas las unidades ó esferas del mundo están contenidos en la forma completa.

(1) Este segundo ejemplo está más claro y explica mejor la idea que el primero, acaso más difícil de presentar por la uniformidad de sus límites.—(N. del T.)

(2) No en la acepción ordinaria de esta palabra: en Geometría, sino en la de construcción científica para formar cuerpo de doctrina.—(N. del T.)