La Enseñanza (Madrid. 1865) (1867-01-10 00:00:00), página 13

terminada para mí como para todos los que hablamos castellano.

Yo, no sabiendo si usted tiene 8 ó 9 caballos, no puedo determinar con exactitud el número de éstos; pero hay otros problemas en que el número de soluciones es mayor que uno y que son sin embargo determinados.

Sea, por ejemplo, el siguiente entre otros infinitos. ¿Qué número cumple con la condición de que, restando de su cubo el triple de su cuadrado y añadiendo su cuádruplo á la diferencia, dé por resultado 12?

Problema que, planteado, produce la siguiente ecuación:

\[
y^3 - 3y + 4y = 12
\]

cuyas únicas y determinadas soluciones son tres, á saber:

\[
y = 3 \\
y = +2\sqrt{1} \\
y = -2\sqrt{1}
\]

lo cual prueba que \(3\) y \(+2\sqrt{1}\), y \(-2\sqrt{1}\) son todas y las únicas cantidades que cumplen con la condición del enunciado, siendo, por consiguiente, cada una solución del problema propuesto. En lo cual me parece que no cabe duda ni indeterminación alguna.

Más adelante encontré en la carta de usted el párrafo que no puedo menos de trasladar íntegro, temeroso de darle involuntariamente una interpretación torcida.

Dice así:

"Tampoco le parecen á usted bien las definiciones que doy de igualdad y de desigualdad, y añade usted que sin duda por distracción digo que una desigualdad existirá siempre que se efectúe la misma operación con sus dos miembros. Gracias por el buen deseo que me manifiesta, queriendo disculpar las faltas que tiene la bondad de indicarme; pero sí diré que quien ha padecido la distracción ha sido usted, pues solamente no pensando en lo que escriba ha podido decir que se hacía la misma operación al elevar al cuadrado los dos miembros de la desigualdad \(-5 > -7\). Si usted se tira á un pozo de cien metros de profundidad y yo á uno de dos, inmediatamente dirá usted que hemos hecho la misma operación, que es la de tirarnos á un pozo, y sin embargo, diga usted lo que guste, yo las considero muy diferentes. Para elevar al cuadrado los dos miembros de la desigualdad citada, se multiplica el primero por \(-5\) y el segundo por \(-7\), operaciones evidentemente desiguales. Habiendo correspondido á la amabilidad de usted indicándole su distracción, multiplicé los dos miembros por \(-5\), y añadí que \(25 > 35\); lo cual no es ábrumado ni se opone á mi conclusión, pues lo que yo digo es que existirá la desigualdad, que las dos nuevas expresiones serán desiguales y el manifestar el sentido en que lo son le dejo para más adelante."

No se me alcanza, y lo confieso francamente, qué razón puede haber para asegurar como usted lo hace que la elevación al cuadrado no es una operación como otra cualquiera.

Con el mismo derecho que usted, vendrá mañana otro matemático diciendo: «¿Cómo usted multiplica por 2 los dos miembros de la desigualdad \(7 > 4\), y cree usted haber efectuado la misma operación con ambos?»

Pues no señor, no hay tal cosa; porque al primer miembro le ha añadido usted el número 7 y al segundo el número 4, operaciones que son evidentemente desiguales.

Y fuerza es confesar que entre esta opinión y la de usted no hay diferencia alguna notable.

Conque, una de dos: ó al decir que una desigualdad existirá siempre que se efectúe la misma operación con sus dos miembros, se refiere usted pura y simplemente á las operaciones de sumar y restar, ó es antilógico y poco razonable excluir la elevación á potencias y la extracción de raíces del número de éstas operaciones.

Por lo demás, supone usted perfectamente al suponer que para mí es la misma acción arrojarse á un pozo de dos metros que á otro de ciento, por más que las consecuencias de estas acciones no deban de ser razonablemente las mismas.

Desengañaémonos; el más y el menos en las acciones no hacen variar su esencia; el error no estará, pues, en el que asegure que las dos acciones que usted cita son iguales, sino en el que afirme que sus consecuencias serán idénticas.

Y concretándome á la desigualdad \(-5 > -7\), esto es precisamente lo que yo he querido probar.

Prescindiendo de todo y aunque no consideremos la elevación á potencias como una de las operaciones de los números, la proposición de usted, enunciada como se halla, es siempre absurda, y nos conduce de esta desigualdad

\[
2 > 1
\]

á esta otra evidentemente errónea:

\[
\frac{1}{2} > 1
\]

qué se obtiene dividiendo la unidad por cada uno de los dos miembros, y el decir que lo que resulta es