El Semanario murciano (1881-04-03 00:00:00), página 2

dades equivalentes á una tercera ¿qué serán? «Equivalentes entre sí», responderían sin vacilar ni reflexionar los alumnos de que ha poco hablábamos; pero la verdad es que cantidades equivalentes á una tercera son iguales ó equivalentes entre sí. En efecto, si cada uno de dos cuadrados es equivalente á un mismo triángulo, por ejemplo, aquellos dos cuadrados serán iguales entre sí, porque cuadrados equivalentes no existen. (1) Por otra parte, si tanto un cuadrado como un rombo son equivalentes á un mismo triángulo, claro es que el cuadrado y el rombo serán equivalentes entre sí.

Sin necesidad de más detenernos se deja ya ver cuánto la innovación ha complicado las relaciones entre las cantidades, relaciones que antes se reducían á mayor, menor ó igual, y á veces á desigual ó igual; y en peor del caso es que casi aumenta de relaciones lo que de nada sirve para el adelanto de las ciencias, es embarazo para su estudio y conduce con la mayor frecuencia á inexactitudes y contradicciones que todo lo embrollan y dificultan.

Núm. 7. Vamos ya, y no será esta la parte menos importante de nuestra tarea, á hacernos cargo de varios de las muchas inexactitudes y contradicciones en que han incurrido los autores que han aceptado la innovación, de cuyos inconvenientes ni su mismo inventor se ha librado: tan graves son aquellos.

La proposición I del Lib. III de la Geometría de Legendre es la siguiente: «Los paralelogramos que tienen bases iguales y alturas iguales son equivalentes».

Según esto, no pueden ser iguales, porque, en virtud de la innovación, la igualdad y la equivalencia se excluyen mutuamente, de modo que ni las figuras iguales pueden ser equivalentes, ni las equivalentes pueden ser iguales... Pues allá va un silogismo; y póngalo el lector en boca de Legendre, que yo, por mi parte, me lavo las manos como Pilatos:

Los paralelogramos equivalentes, no pueden ser iguales.

Los paralelogramos que tienen bases iguales (2) y alturas iguales, son equivalentes.

Luego los paralelogramos que tienen bases iguales y alturas iguales no pueden ser iguales.

Lo anterior es una conclusión salta á la vista.

Para no ponerse Legendre en contradicción consigo mismo pudo enunciar el teorema del siguiente modo: «Los paralelogramos que tienen bases iguales y alturas iguales, ó son iguales ó equivalentes».

Mr. Vincent en su «Curso de Geometría elemental», revisado por su autor y por Mr. Bourdon, dice en su núm. 210: «Dos paralelogramos cualesquiera de la misma base y de la misma altura son equivalentes». Lo que hemos dicho, éstas, repetimos ahora: podrán ser iguales, ó ser equivalentes.

Por otra parte, «dos paralelogramos cualquiera» como corolario de pueden ser dos rectángulos, pues paralelogramos son los rectángulos, y en este supuesto no serán equivalentes, como él afirma, sino iguales.

En el mismo núm. 210 se lee: «Un paralelogramo es equivalente á un rectángulo de la misma base y de la misma altura», y debió escribir: «Un paralelogramo oblicuángulo, ó no rectángulo, es equivalente á un rectángulo de la misma base y de la misma altura».

Pero lo más notable es el final del núm. 112: «Dos rectángulos de la misma base y de la misma altura son iguales, y por consecuencia equivalentes».

Amártense esa rata por los cuernos, concírteme

(1) En general: dos polígonos semejantes no pueden ser equivalentes.

(2) Una recta no puede ser equivalente á otras porque dos rectas que no son designadas, son forzosamente iguales. Por eso no subrayo esa palabra cuando se apliquen á dos rectas.

esas medidas y adóbane ese cardilé. ¡Ahora salimos con que no hay diferencia entre lo igual y lo equivalente! Pues si esto es así y usted, señor autor, se confiesa á boca llena, ¿ál santó de qué se ha hecho partidario de esa pícara innovación? No nos andemos por las ramas, hay que tirar ó quitar el bocado, quiero decir, será forzoso, aunque de ninguna manera conveniente, al tratar de las relaciones de magnitud de las cantidades extensas bajo el concepto de Legendre, modificar y complicar el lenguaje, á fin de que no se pongan á cada momento en contradicción las ideas y las palabras,—y, este será mejor y mas seguro, habremos de atenernos á la división primitiva, ó sea lógico-necesaria, que determina y fija las relaciones de magnitud de las cantidades extensas, considerándolas á estas, por lo que respecta al concepto cuantitativo, en mayores, menores ó iguales, y á veces en desiguales ó iguales.

Núm. 8. Lacroix dice en sus Elementos de Geometría: (1)

«161. Teorema. Dos paralelogramos de una misma ó de iguales bases, y de una misma ó de iguales alturas, son equivalentes.»

Los paralelogramos que considera Lacroix son los ABCD, ABEF, ya colocados como lo están en la figura, de modo que sus bases quedan confundidas en una sola, AB, y los lados DC, FE opuestos á ellas se hallan en una misma recta D E paralela á la base común. Hace ver después, igualdad de los triángulos ABD, BCE, y termina diciendo: «Si del contráctulo ABD se quita por una parte el triángulo AD F, y por otra el BCF, nos resultarán necesariamente dos cantidades entre sí iguales de las cuales será la una el paralelogramo ABCD, y la otra el paralelogramo ABEF.»

Vamos por partes; y tengase muy presente que al discutir, discutiremos como: si hubiésemos aceptado, como Lacroix, la innovación de Legendre.

1.º La primera que notamos, es el uso de entendido del teorema afirmado que se encude afirmarse; pues ya vimos al hacernos cargo de cómo enunciaba Legendre este mismo teorema, que el saber que dos paralelogramos tienen iguales sus bases ó iguales sus alturas no nos autoriza para afirmar ni que son iguales, ni que son equivalentes, sino que son una u otra de estas dos cosas.

2.º Propónese el autor demostrar que los paralelogramos ABCD, ABEF son equivalentes, y da fin á su demostración afirmando que son iguales. Penetraremos en la idea que está visible en contradicción, avivaremos las pulsaciones que dentro de aquel cráneo dieron lugar á una conclusión tan absurda en la apariencia, y tan racional y motivada en su fondo.

Que si de una misma cantidad se quitan cantidades iguales, los resultados son iguales ó equivalentes, es un principio que nadie, que yo sepa, ha sentado, y que sin embargo hay que sentarlo toda vez que se admite la innovación; pero que si de una misma cantidad se quitan cantidades iguales los resultados son iguales, es un principio de todo conocido y usado; y este fue el que cruzó por la mente de Lacroix al tiempo de estar terminando su obra, y que lo convenció de que debía mantener el sentido lógico, á una convención no menos caprichosa que destinada de todo condicional fundamento.

En el párrafo 165, y como corolario del 163 dice: «Dos triángulos que tengan la misma base y la misma altura, son

(1) Tengo á la vista la traducción de esta obra por D. José Rabello y Morales.