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létas, la frase de Euclides «dos líneas que por un mismo plano siguen incesantemente dos caminos sin encontrarse jamás», es una definición suficiente, toda vez que es una negación de la convergencia y divergencia.

Superficie plana.—He aquí otra noción indefinible. Sería supérfluo querer definirla, recurriendo a las líneas, porque sabiendo distinguir éstas, sabemos ya distinguir las superficies. Bastará, pues, descubrir en las superficies alguna particularidad que nos permita reconocerlas y distinguirlas de las líneas, como, por ejemplo, la consignada en esta proposición de Euclides: «La línea recta que une dos puntos cualesquiera de una superficie plana, está toda entera contenida en el plano.»

Estas nociones proceden además de nuestra experiencia diaria de los cuerpos extensos.

Sólido.—Tampoco es definible esta noción, y ni siquiera podemos explicárnosla por las de plano, dirección, etc., porque no hemos adquirido estas nociones sino merced á un gran número de experiencias que implicaban la idea de volumen ó sólido.

Una vez obtenidas por experiencia las nociones elementales que hemos enumerado, todas las demás de la geometría se deducirán de ellas, y ninguna comprobación experimental será absolutamente precisa para definir un ángulo recto, un círculo, un triángulo, un cuadrado, si bien deberemos constantemente auxiliar por representaciones concretas, la inteligencia de estas nociones abstractas.

5. AXIOMAS MATEMÁTICOS

a) AXIOMAS DE LA MATEMÁTICA EN GENERAL:

Se ajustan á las condiciones de todo axioma. Son proposiciones fundamentales que no pueden derivarse de ninguna otra proposición de la misma ciencia.
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Un axioma es una proposición real y no verbal. Los axiomas son el fundamento de todos los razonamientos de una ciencia; pero ningún razonamiento puede ser fundado sobre proposiciones puramente verbales.

El axioma debe ser fundamental; no debe tener dentro de la misma ciencia un principio más primitivo de donde derive. Los axiomas son los principios indeductibles, de toda deducción. Lo característico de los axiomas es que no pueden ser principios deducidos.

No es una buena definición del axioma la de considerarle como una proposición evidente por sí misma, porque no es siempre así. Algunos axiomas son evidentes por sí mismos, y otros no, al paso que muchos principios que no deben ser considerados como axiomas son, no obstante, evidentes por sí mismos.

Los axiomas que deben ser expuestos al principio de la aritmética son dos por lo menos:

1.° Varias cosas iguales á otra son iguales entre sí.
2.° Las sumas de cantidades iguales son iguales. Para las operaciones aritméticas estos axiomas son indispensables.
Luego veremos si bastan para todos los casos.

e. AXIOMAS GEOMÉTRICOS:

El hábito de enseñar la aritmética como una serie de reglas fundadas sobre la autoridad y confirmadas por los resultados, ha establecido el orden de exponer los axiomas generales de la Matemática al principio de la geometría, que en todo tiempo ha aspirado á ser, no ya un conjunto de reglas para medir las magnitudes sino un tipo perfecto de ciencia deductiva. Pero presentados aquí los axiomas generales, se confunden de tal modo con los geométricos, que todos parecen ser exclusivamente de esta clase.

Pásemos ahora á examinar los axiomas, que Euclides ha
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diecho familiares, y con arreglo á los dos caracteres esenciales de todo axioma, veamos si lo son: esto es, si contienen una proposición real y si son indeductibles.

En el texto original de Euclides encontramos una enumeración de doce axiomas; los autores modernos han añadido algunos más, pero los principales entre todos son quince. Hemos indicado ya los dos primeros como axiomas incuestionables y conformes á todas las reglas.

He aquí los cinco que vienen en seguida:

3.º Si de cantidades iguales quitamos cantidades iguales, los restos serán iguales.

4.º Si á cantidades iguales añadimos cantidades desiguales, las sumas serán desiguales.

5.º Si de sumas designadas quitamos sumas iguales, los restos serán desiguales.

6.º Los duplos de la misma cantidad son iguales.

7.º Las mitades de una misma cantidad son iguales.

Estos cinco axiomas, dice Bain, son sin duda proposiciones reales, y satisfacen por esto á la primera condición de los axiomas. Pero son deducibles de los dos primeros, y por consecuencia no llenan la segunda condición, no son, pues, axiomas, sino corolarios deducidos de los axiomas fundamentales, y, por tanto, susceptibles de demostración. Si persistimos en llamarlos axiomas, no hay razón para que no llamemos axioma á toda proposición real. Pero es contrario al carácter esencial de una ciencia destructiva el considerar como indemostrables y fundamentales, proposiciones que pueden ser demostradas por otros principios más generales de esta misma ciencia.

El octavo axioma «las cantidades que coinciden y tienen los mismos límites son iguales», viola la primera condición de todo axioma. Es imposible aceptarlo como una proposición real; porque no es más que una definición de la igualdad. «Coincidir» y «ser igual» no son dos hechos, sino uno solo, bajo dos formas diferentes, de las cuales una procura explicar la otra.
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En último caso, no se puede dar una verdadera definición de la igualdad. Podemos solamente decir que es la impresión de la similaridad, la identidad aplicada á la cantidad: y tratándose de la cantidad geométrica, que es la coincidencia visible de los límites de las dos cantidades comparadas, que son líneas ó superficies. El pretendido axioma octavo, no es, pues, otra cosa que la adaptación á la geometría de la noción fundamental é indefinible de la igualdad.

El noveno axioma, «el todo es mayor que la parte,» tampoco es una proposición real, porque el atributo está contenido en el sujeto; es una propiedad que va implícita en la noción fundamental de la adición, la sustracción, el todo y la parte. La experiencia concreta que suponen todas estas palabras, es una experiencia única, y esta experiencia implica el hecho de que lo que llamamos suma es más grande que cada uno de los elementos que la componen, ó lo que es lo mismo, que el todo es mayor que la parte. No podemos tener la noción del todo sin concebir al mismo tiempo el hecho de que el todo es una cantidad mayor que la parte. Si por consecuencia fuese necesario poner de relieve este aspecto particular de la adición, se debería exponer al principio de la aritmética cuando se trate por primera vez de aquella noción fundamental.

Del mismo modo el décimo axioma, «todos los ángulos rectos son iguales,» va implícito en la definición de un ángulo recto, y puede ser considerado como un apéndice de esta definición.

El oncenio, en el texto de Euclides, es un teorema bastante difícil, que sirve de preliminar á las proposiciones concernientes á las paralelas, pero se expone ordinariamente con más sencillez. Morgan lo expresa así: «Dada una línea recta y un punto exterior á esta línea, de todas las líneas rectas que puedan ser tiradas por este punto, una sola será paralela á la recta dada.

Bajo cualquier forma que se exprese esta verdad, constituye, no un axioma, sino una proposición que puede ser de-
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decida de la definición de las paralelas. En realidad debiera ser colocada entre los teoremas del primer libro; si bien se aproxima tanto á la definición de las paralelas, que podría ser expuesta también como otra forma de esta definición.

El último axioma de Euclides (el doce), es famoso en la historia de filosofía. Pero tampoco es una proposición real, porque «dos líneas rectas no pueden contener un espacio,» es una pura expresión nueva de la línea recta. La definición pro forma de esta noción indefinible, es: que «dos líneas son rectas cuando no pueden coincidir en dos puntos sin coincidir en todos los demás.» Pero decir que no pueden contener un espacio, equivale á decir que coinciden simplemente. El axioma debe, pues, ser desechado como tal; la expresión «líneas que no contienen espacio,» debe ser agregada á la definición de la recta, como otra manera de decir «líneas que coinciden entre sí,» y en seguida diremos: «Cuando dos líneas no pueden coincidir en dos puntos sin coincidir enteramente, esto es, sin cubrir todo espacio, se les llama rectas.»

En los modernos textos de Euclides, se añade á la lista de sus axiomas las proposiciones siguientes: «Si dos cosas son iguales, y una tercera es mayor que una de las dos, será también mayor que la otra.» Esta es una proposición, dice Bain, derivada de los axiomas propiamente dichos, y demostrable por ellos, sin más que añadirles la noción del más ó de menos.

Más importante es el argumento d fortiori, que se ha introducido en la lógica, pero que es, propiamente-hablando, matemático. Si A es mayor que B, y B mayor que C, con más razón A es mayor que C. Nadie dejará de prestar su asentimiento á este principio como á una inducción sacada de los hechos observados por uno mismo. Si no fuera posible reducirle á los dos axiomas fundamentales, sería preciso considerarle como un tercer axioma; pero es probable, no obstante, que se logre su demostración, si no directamente, al menos por una reducción al absurdo, fundada sobre aquellos axiomas.
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Otro pretendido axioma es el de que «entre todas las líneas que unen dos puntos debe haber una de tal clase que no haya otra más corta que ella, y que si la hay, ésta será la más corta.» Semejante proposición va implícita en nuestro conocimiento de las líneas; lo opuesto á ella sería una contradicción en los términos, porque el sentido de la más corta es que no hay línea más corta.

Es completamente contrario al carácter de una ciencia deductiva como la geometría el exponer nuevos axiomas á cada nuevo progreso que obtiene.

Indudablemente, concluye Bain, puede ser necesario recurrir á una clase intermediaria de principios, que no sean axiomas propiamente dichos, ni teoremas susceptibles de demostración; pero estos principios no deben confundirse con los fundamentales de la ciencia, sino al contrario, distinguirse de ellos por otro nombre que el de axioma. Y en todo caso, si conviniera conservarles este nombre por las relaciones que expresan con los principios fundamentales, debe recurrirse á alguna designación expresiva que haga resaltar siempre el carácter de los verdaderos axiomas, como por ejemplo: •axiomas principales, datos indemostrables, inducciones finales.•

Los postulados.—Son los fundamentos de la parte constructiva de la geometría, esto es, de los problemas, que debemos distinguir de los teoremas, debiendo ser aquellos necesarios para la demostración de éstos; pero para construir, como para demostrar, es indispensable partir de algunas nociones primeras, que por otra parte deben ser las menos posible, y Euclides pide préviamente al principiante tres operaciones: tirar una línea recta de un punto á otro, prolongar una línea recta y describir un círculo.

Chaltis dice (Sur le calcul, pág. 63): Por los postulados del libro I de Euclides, resultamos obligados á admitir que son practicables, sin preocuparnos del cómo, algunas operaciones geométricas, que para todos los objetos del razonamiento pueden ser así expresadas: «dos puntos cualesquiera pueden ser unidos por una línea recta; terminada una línea recta se
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puede concebir como susceptible de una extensión ilimitada; podemos suponer un círculo con un centro y un radio de cierta magnitud; podemos concebir á una línea recta que pasa por un punto como la paralela de otra línea recta.»

En el curso de las demostraciones de Euclides, hay, en efecto, algunas suposiciones tácitas que deberían ser colocadas entre los axiomas, como, por ejemplo, la de que una figura puede ser levantada y vuelta sin cambiar de forma. Pero, á decir verdad, esto no es otra cosa que una parte del procedimiento general de la geometría, que consiste en realizar la comparación de dos figuras planas.

En la primera proposición Morgan nota dos postulados que hubieran debido ser expuestos explícitamente con los demás; en cuanto á la duodécima se necesitan otros dos postulados.

ALFONSO ORDÁS.

(Se continuará.)
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CRÓNICA POLÍTICA INTERIOR

Madrid, 28 de Agosto de 1840.

Toma uno muchos como desastre, y nosotros consideramos también el escaso movimiento político, que se advierte en estos momentos; bien es cierto, que aún es demasiado para las circunstancias, en que nos encontramos. Reciente la exaltación al poder de un partido, cuyo Gobierno poco puede haber hecho; en época de verano; repartidos en diversos puntos los hombres políticos; epidemia reinante en parte de la Península y en otra parte amenazando, no son hechos que contribuyan á lo que hemos dado en llamar movimiento político, y que al cabo se cifra y compendia en marchas, contramarchas, intrigas y declaraciones de los prohombres. Además, han sido tantas durante los meses anteriores á la caída del Gobierno liberal, que no es extraño cierto agotamiento de la prolífica potencia de nuestros partidos.

A pesar de esto y de los lamentos, que lanzan los aficionados á emociones continuas, no dejan de perturbar la aparente tranquilidad sucesos de trascendencia suma, aunque todavía no muy paladinos, por verificarse en la oscuridad de los propósitos puramente personales y de la intriga de Gabi-
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nete. Más por instinto, que por fundarse en hechos claros y manifiestos, comienzan ya los periódicos á fijarse en síntomas que se advierten dentro del partido gobernante, y de los cuales ya con algún recelo y cierta precaución tratábamos en la Crónica anterior.

Indudablemente aparecen en la situación imperante fenómenos tan raros y anómalos, que excusan y aun justifican toda clase de invenciones. Hay una cosa; que nadie podrá explicarse satisfactoriamente y sin que resulten menoscabados el prestigio del Gobierno y la seriedad de algunos auxiliares suyos; tal es la posición extraña e inconcebible que dentro ó al lado ó enfrente del partido conservador ocupa la mesnada política del Sr. Romero Robledo. Es inconcebible que éste venga compartiendo con el Gobierno los beneficios del no envidiable éxito que, merced á manejos tal vez por última vez posibles, ha puesto en sus manos el poder, y que al mismo tiempo pretenda sostenerse en cierta independencia de muy dudosa corrección política, hostilizando, cuando le conviene, á ministros, que han firmado los nombramientos de sus amigos, y á quienes se encarga, que encasillen á otros preferentemente á los perseverantes y leales.

Ante situación tan incomprendible, no es de maravillar que los cavilosos se den á inquirir sospechadas luchas en las tinieblas y á suponer planes y catástrofes fraguadas en el interior del partido. Mientras órgano en la prensa directamente inspirado, cuando no redactado por el mismo Sr. Romero Robledo, acusa al partido conservador, y en las barbas de su correligionario el gobernador de San Sebastián hace insinuaciones, no por lo cariñosas advertidas, contra el ministro de la Gobernación; mientras que en diversas provincias se combaten á muerte reformistas y conservadores, y el Sr. Silva da á entender, con su hábil ingenio, que no cree que ha dejado de ser enfermo, y con enfermedad incurable y crónica, su antiguo compañero, el presidente del Consejo, volviendo los ojos amorosos hacia su descasgado amigo, parece que lo intenta á volver á su lado, sin acordarse de que ha vivido institu-
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mente con la democracia, con los liberales y con cuantos han pretendido sus favores.

El Clamor, considerado órgano del Sr. Romero, bien escrito y mejor inspirado por personajes influyentes de la actual conservaduría, dice lo siguiente:

¿Iríamos ahora á declararnos conservadores, precisamente cuando los genuinos representantes de esta política cifran todo su empeño en que el país crea en la sinceridad con que abandonan viejos procedimientos y entran por el camino á cuyo fin estamos nosotros?

No: el antiguo partido conservador ha muerto; la casa paterna, de que hablan algunos periódicos, se ha derrumbado; el hijo-pródigo no existe; la evolución que hace cuatro años anunciámos se va realizando; el actual Gobierno no es un Gobierno conservador, y las fuerzas que lo apoyan no son un partido, sino una coalición.

Si el patriotismo pide robustecer el Gobierno para afirmar el cumplimiento de las promesas liberales, procurará entenderse (el Sr. Romero Robledo) con el jefe de la actual situación.

Despréndense de estas palabras muy sabrosas consideraciones. Es la primera que, después de tan reprobables manejos para arrojar del poder al partido liberal, frente á la unánime y decidida voluntad del país, nos encontramos en Gobierno con una coalición y no con el partido, que los pró-hombres conservadores con vanidoso alarde habían pintado ante la nación. De suerte que, según estas declaraciones, lo único que, según ellos, podía excusar el advenimiento de los conservadores, no ha existido jamás; antes bien, ha desaparecido uno de aquellos fundamentos de la ordenada vida constitucional, que rutinario empeño había pretendido presentar como insustituibles según la más sabia gente de la agrupación gobernante. El conservador no es partido organizado, obediente al jefe, con ideas y procedimientos propios; es simplemente una coalición sin finalidad ni unidad, con diversos y aun contrarios criterios y reglas de conducta, que no tuvo
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otro objeto que escalar el poder y después dejar que los contrapuestos elementos, que la constituyen, se aniquilen y deshagan.

No es ciertamente una revelación lo que hace el mencionado diario, pues eso y más sospechaba ya la gente bien enterada; la novedad consiste en que con tal desahogo se proclame y anuncie.

Es otra consideración, que de tales declaraciones se desprende, aquella por la cual se justifica una coalición con fines más levantados y concretos, en frente de esa que, con el solo propósito de socavar los sostenes del Gobierno liberal, se ha constituido y á la cual ha sido lícito entregar el poder. Con la certeza de ese hecho bastaría, si ya no la requiriesen otras más importantes necesidades políticas, para que se intentara una coalición de todos los elementos liberales. Sobre ella siguen todavía discutiendo los periódicos, sin que hasta la hora presente haya podido darse en su contra otra razón que repeticiones de la vulgaridad, sin demostración consagrada, de que solo cuando un cúmulo inmenso de arbitrariedades, en virtud del derecho de defensa, la hiciera precisa, sería lícito acto tan trascendental. No hemos de repetir, lo que ya hemos dicho, sosteniendo que en este caso concreto bastaba la necesidad primordial de mantener el prestigio de la reforma, que se está en estos momentos implantando; ni tampoco añadir que, aun admitiendo tal argumento, es llegado el caso, puesto que será difícil esperar mayor número de infracciones legales y de arbitrariedades cometidas con la disolución de corporaciones populares y la sustitución de las actuales; y como no es de presumir que el Gobierno se arrepienta, antes bien que ha de arreciar en su insano propósito, figúraseños excesivo miramiento, prudencia y resignación los que muestran los atropellados, esperando nuevos desmanes para decidirse.

Dato que sirve para inducir lo que seguirá ocurriendo, es la causa de las iniciales y latentes disidencias del partido conservador. Para nadie es un misterio que el motivo prin-
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pal de la nostalgia del Sr. Romero Robledo padecida, por el Sr. Cánovas y otras personas del partido, es el parecerle parco y demasiado calmoso el Sr. Silvela en atropellar las leyes para beneficio de los paniaguados y menoscabo de los principios liberales, con lo cual puede imaginarse lo que ocurriría, si, como es de temer, llega á triunfar esta tendencia sobre el ministro de la Gobernación. Esto nos lleva á la tercera consideración, que del estado político revelado en ese artículo, se deduce.

No es preciso ser muy lince para comprender que existe en el seno del partido conservador una discordia sorda y profunda, suficientemente disimulada para que pueda declararse hecho manifesto; pero no tan oculta, que deje de presentarse alguna vez en la superficie. Discútela la prensa ya, cual si fuera hecho histórico, y no es grande el empeño de los interesados por desvanecer tales impresiones; antes bien, se advierte en ellos cierto propósito de mantenerla con punzantes ingeniosidades y acciones indirectas. Si conservadores amigos del Sr. Romero Robledo dicen en Le Figaro que al lado de la fría indiferencia y del despego glacial de alguno, está la sonrisa noble, franca, afectuosa y agradable de don Francisco Romero Robledo, y que creen que al partido le falta un hombre y que le sobra otro, pidiendo que resuelva el que tenga potestad; los del Sr. Silvela ó él en persona, declaran que aquél no puede formar dentro del partido conservador, y que á lo sumo, habrá de contentarse con que se le admita de auxiliar y á cambio se le otorguen algunos beneficios; si aquéllos recuerdan palabras pronunciadas por su jefe en Enero de 1896, hablando de quiénes vivían en la vaguedad constante, de las nieves perpétuas que el partido abrigaba en su seno, de la tendencia que esterilizaba el árbol, del que sometía, haciendo estragos y buscaba formas habilidosas para clavar el puñal en el corazón del compañero; no falta quien á su vez recuerde estas mortíferas frases del ministro de la Gobernación:

"La confianza es como el pudor: una vez perdido no vuel-
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ve á recaobrarse. El Sr. Romero Robledo, quitándonos la confianza que en él teníamos, ha hecho imposible su vuelta al partido conservador. Después de haber oído á S. S., yo entiendo que S. S. no es un discrepante ni un disidente, ni siquiera un fautor de futuros partidos políticos; yo entiendo que S. S. es sencillamente un enfermo»; si El Guipuzcoano, órgano del Sr. Romero, dice que el Sr. Silvela permite la libertad del cólera, el ministro de la Gobernación, cumpliendo sus deberes como suele, coge el tren y marcha á Toledo, donde se ceba la epidemia, realizando á la vez un acto personal meritorio, una protesta contra tales palabras y un motivo de comparación entre su conducta y la que otros observarán en ocasiones semejantes, ó al menos dando involuntaria ocasión á que los maliciosos hagan parangones y saquen consecuencias.

La situación creada por la incompatibilidad de los dos personajes más influyentes de la coalición gobernante, es por lo menos difícil y muy propensa á un rompimiento por lo temprano inesperado. Por más que hagan alardes de independencia los reformistas y su jefe y vuelva este á poner en movimiento ese juguete de su repertorio con que distrae la atención de los inocentes, produciendo efectos espantables, ó sea el tercer partido, es preciso ser ciego para no ver que él y el Sr. Cánovas se han entendido, y que todo lo demás que se habla y hace no tiene más objeto que entretener el tiempo y los oídos hasta que llegue el momento, en que pueda declararse manifestamente y sin riesgo el reingreso triunfal del Sr. Romero, ya por haber logrado que se humille ó someta el Sr. Silvela, ó por haberlo inutilizado en forma, que no pueda causar daño alguno. No tiene más de malo sino que éste no es hombre de carácter tan maleable, que pueda conseguirse muy ána la sumisión y tiene tantos recursos que quienes cieren el peligro de verse envueltos y deshechos, son los que en momento dado imaginen tenerlo ya maltrecho y destrozado. Además, el Sr. Silvela es el único prestigio que no ha experimentado mermas dentro del partido, y es harto perspi-