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la torre gigante de la catedral, entonándose el canto: Dad las gracias á Dios, y rogando el párroco Ernst al Altísimo que proteja el templo de relámpagos y de los furores de las tempestades. El último de Junio de 1377 el burgomaestre Luis Kraft colocó la piedra fundamental, depositando sobre ella su ofrenda, 100 florines de oro, y siguiendo su generoso ejemplo los nobles Jobs Ehinger, llamado Haboast, y Conrado Besserer. El burgomaestre actual, Sr. Carlos de Heim, es un sucesor digno de aquel Luis Kraft: á él, que llegó con paso firme al fin perseguido, se debe la organización de la atrevida empresa de concluir la catedral en cuya torre occidental se reúnen todo el vigor y la fuerza mística del arte gótico. Y á él se debe también la gloriosa fiesta del quinto centenario de la catedral, que se celebró en 1877. En el cor- tejo histórico de aquella fiesta vi á la preciosa hija del alcal- de desempeñar el importante papel de Ulma. Si un español hubiese visto á la hermosa niña rubia, de cabellera luenga como manto de virgen, no volvería á cantar:

    Lo moreno lo hizo Dios,
    lo blanco lo hizo un platero:
    como es cosa que hizo Dios,
    yo morenitas las quiero.

Ya ha muerto la amabilísima representante de Ulm, y ha pasado también á mejor vida la señora de Heim, encarnación de la bondad; pero cuando para ella á la dulzura del hogar había seguido la calma de la tumba, se hizo para él esposa de su alma la catedral de la ciudad cuyo burgomaestre era ya desde el año 1863. Él cuyas dotes le han conquistado respetos y simpatías unánimes, nació en Walddorg, el 20 de Diciembre de 1820, y siguió con notable aprovechamiento la carrera de jurisprudencia.

Su triunfo más brillante es la inauguración de su queridísima catedral. Esta se levantó cuando se derrumbaba el tem- plo de su felicidad doméstica. Como en la edad de oro de Ulm en la que se decía: «La fuerza de Venecia, la magnificencia
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de Angsburg, el genio chispeante de Nuremberg, los cañones de Strasburgo y el dinero de Ulm reinan en el mundo"; hoy también resuena el nombre de Ulm en Alemania entera y en el mundo.

Los hijos de la ciudad del Danubio que guarda en su seno con gran cariño el recuerdo de lo que fué, tienen además del secreto de hacer catedrales y de pintar vidrieras para las iglesias, distinguiéndose el dominico Jacobo Griesinger que de 1441 á 1491 era el eminente pintor de las vidrieras de la catedral de Bolonia, siendo enterrado en el teatro de sus triunfos, también el secreto de hacer un pan que tiene fama de ser dulce y sabroso como miel y el secreto de celebrar fiestas espléndidas.

Habiendo yo sido ya el cronista del centenario de la catedral de Ulm celebrado en 1877 (Véase la descripción que hice en el tomo iv de la Walhalla), recordaré la frase: Ne bis in idem; pero no puedo menos de agradecer la galantería del señor de Heim y del dignísimo decano de la catedral, señor Bilfinger, de haberme invitado á las memorables fiestas de la inauguración. La hospitalaria ciudad de Ulm dió albergue al príncipe Leopoldo de Prusia, á los príncipes de Wurtemberg, al de Baviera y al de Hohenzollern. El aroma de los abetos llenaba el aire, y Ulm estaba engalanada con todos los ornatos. El 28 de Junio empezaron las fiestas que amenizaban varias bandas con un bellísimo cortejo de niños. Después los ciudadanos tributaron su homenaje á la catedral entonando la conocida canción patriótica del poeta Hoffmann de Fallersleben escrita en Heligoland: Germania, Germania sobre todo; y de repente la basílica brillaba en un mar de luz, como si se sonrojase de agradecimiento por aquella ovación extraordinaria: su flor, formando una cruz, parecía una rosa encarnada. Si había sido hermosísimo el espectáculo ante la catedral, no menos encantador fué el que ofrecía el interior de la basílica al día siguiente. En la madrugada resonaron los poderosos acordes de la campana de juramento recordando el tiempo más glorioso de la ciudad, en el que los gremios
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rompieron el poderío de la nobleza, y por la noche se cantó en la catedral el famoso oratorio de Mendelssohn Elías, ante la reina Olga de Wurtemberg. Pero por la tarde, la lluvia continua impedia la salida del cortejo histórico, mientras por la noche las estrellas asomaban en la bóveda sombría cual flores de topacio.

El 30 de Junio se estrenó en el teatro construido por el director de la fábrica de Ulm, en la plaza del Cuartel, una pieza histórica, siendo el autor un joven negociante de Stuttgart, Carlos Oesterlen, y los actores hijos de Ulm. Estos no eran sino aficionados; pero cumplieron como buenos, como si fuesen de la raza de los Valero. Sólo las tres figuras alegóricas, Ulma, la Piedad y el Arte, que habían de pronunciar los diálogos que formaron el prólogo de los tres actos, las representaban las distinguidas actrices del Teatro Real de Stuttgart, Wahlmanu, Doppler y Dumont, siendo esta última una hermosa hija de Colonia, y así mismo del papel de la huésped del Cisne se había encargado una actriz, la señorita Widmanu.

El primer acto representaba la colocación de la primera piedra de la catedral, cautivando al selecto auditorio, en el cual se encontraba también el rey Carlos de Wurtemberg, el canto de los coros; el segundo acto, representaba la visita del emperador Carlos V á Ulm, y el tercero la festividad celebrada con motivo de la salida de las tropas bávaro-francesas en 1704. Recordaba aquel acto la escena en que la huésped del Cisne de Ulm, cuando algunos oficiales bávaros después de haber brindado por el rey de Francia arrojaron sus copas á la calle, rompiéndose estas, brindó por el emperador Leopoldo, arrojando también su copa, sin que esta se hubiere roto como las de los oficiales. Figuró un epílogo en que la Piedad se alegra que hoy los católicos y los protestantes no se hagan la guerra; y el Arte está satisfecho al ver que así como la corona imperial ha ceñido la frente de Alemania, la catedral de Ulm tiene por remate la flor en forma de la sacrosanta cruz.
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Según vemos en la prensa francesa, Stanley, al desembarcar en Europa, dijo que los bosques inmensos de Arrowbimi, que no pudo recorrer en menos de ciento sesenta días, y que pertenecen al Estado del Congo, contienen riquezas considerables, lo mismo que los bosques limítrofes del Amazonas, sobre todo, el caucho es de una riqueza inmensa.

También ha dicho Stanley que el soberano Tippou-Tib, que estaba con Inglaterra, se pasará á los alemanes, porque lo que quiere es dinero, y estará siempre dispuesto á servir á quien mejor le pague.

Se ve, pues, que no es tanta la gravedad del compromiso colonial en que ya está comprometido el honor nacional, y que aun cuando todavía le ha de costar á Alemania sacrificios pecuniarios de consideración, es casi seguro que servirán para establecer nuevas corrientes mercantiles y nuevos mercados para el trabajo alemán.

Pero dejemos estas consideraciones más propias de otra clase de estudios, y volvamos á nuestro propósito.

A pesar del estado floreciente de la nación alemana, el Tesoro ha tenido que contraer deudas para atender á las necesidades cada día más crecientes del ministerio de la Guerra y de las empresas coloniales.

Estas deudas se han ido emitiendo en diferentes épocas, pero pueden condensarse en estas dos partidas: 450 millones nominales de marcos, sobre obligaciones al 4 por 100, y 368.787.000, también nominales, en obligaciones á 3 1/2 por 100.

Además la Tesorería del imperio está autorizada para emitir un nuevo empréstito por valor de 711 millones efectivos, pero no se ha creído en el caso de realizarlos todavía.

Al principiar el año de 1870, la Confederación de la Alemania del Norte tenía una deuda que no excedía de 40 millones de marcos, procedentes de los empréstitos realizados en 1867, 68 y 69. A fines de 1870, esto es, cuando ia guerra, la deuda se elevaba ya á 486 millones de marcos; un año después sumaba 700.
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El día 30 por la tarde salió el ansiado cortejo histórico en que no sólo volvieron á presentarse muchas personas de la pieza histórica, sino que aparecieron también los representantes de otros siglos. En él vimos al primer arquitecto de la catedral, á los gremios, á los grandes mercaderes de Ulm á los cuales el Duc Toscasí ofreció en 1424 una buena cámara en Venecia, á Carlos V, al duque de Alba y á los representantes de los siglos xviii y xix, terminando el cortejo con el carro triunfal, en que iba sentada la figura de la Germania. Por la noche se celebró un banquete animadísimo en los extensos pórticos del mercado. Allí se admiraron una vez más las figuras del cortejo histórico; viéndose muchas escenas cómicas; por ejemplo, una dama noble de Ulm á quien un gitano llevaba de la mano, y el cardenal Granvella pidiendo fuego á un reformador.

Hasta el 6 de Julio y como si les doliera dar por terminados los festejos, los ulmenses organizaron reuniones en que pudiesen lucir sus trajes, fiestas populares y giras. Sintetizando; diremos que la inauguración se ha celebrado con una animación, un lujo y un entusiasmo como nunca se haya visto. Los alemanes podemos preciarnos de que tengamos dos catedrales famosas, la de Colonia y la de Ulm. No disputaremos cuál sea la más hermosa. El que ama el estilo gótico más severo ha de preferir la del Rhín, el partidario de la dirección más liberal, preferirá la del Danubio. Las dos catedrales no son rivales, sino hermanas.

JUAN FASTENRATH.

Colonia y Julio de 1890.
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MATEMÁTICA

1. Metafísica y Ciencia.—2. Matemática metafísica y Matemática científica.—3. Nociones y proposiciones matemáticas.—4. Definiciones matemáticas.—5. Axiomas matemáticos.—6. Definición de la Matemática.—7. División de la Matemática.—8. Matemática elemental ó Aritmética.—9. Matemática especial ó Geometría.—10. Matemática comparada (Relaciones aritméticas y geométricas, ó de los números y las figuras).—11. Matemática general ó Algebra (Funciones aritméticas y geométricas ó de los números y las figuras).—12. Método de la Matemática.—13. La Matemática y las Ciencias teóricas (Lógica, Mecánica, Física, Química, Anatomía (estructuras de todos los cuerpos brutos y vivos) y Fisiología (funciones somáticas y psíquicas de todos los seres, inorgánicos y organizados).—14. La Matemática y las Ciencias prácticas (Política, Guerra...)—15. Del riesgo y utilidad de la Matemática.
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MATEMÁTICA

METAFÍSICA Y CIENCIA

a. METAFÍSICA:

Conviene una primera división de todas las cosas por su máximo de diferencia; la distinción, en fin, entre el sujeto y el objeto; entre algo que no confundimos con nosotros, entre algo que se nos revela por impresiones de resistencia, extensión, color, tacto, sonido, olor y algo que nos parece ser nosotros solos, algo que se traduce por estados especiales que denominamos sentimientos, voliciones, ideas. Determinar este hecho, es plantear la cuestión del mundo exterior bajo su aspecto puramente científico, es decir, psicológico.

Pero ¿de qué naturaleza es este hecho?
¿Hay algo real independiente del espíritu?
¿En qué consiste este algo?
¿Qué debe entenderse por universo objetivo, con sus cualidades secundarias, belleza, etc.?
Los cuerpos extensos que admite el físico, como condición de las sensaciones y percepciones particulares ¿son de una manera general independientes del espíritu y la percepción?
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Las diferentes propiedades del universo ¿son reductibles unas á otras?
¿Hay más propiedades de las que nos permite conocer la naturaleza de nuestro organismo. . . . . . . . . . . . ? He ahí otras tantas cuestiones que no es conveniente incluir en el programa ó sumario de una investigación científica, es decir, rigurosamente experimental.

e. CIENCIA:

Nuestra inclinación á crer que todo lo que existe continuará existiendo, y que lo que existe en este lugar y en este momento existirá siempre y por todas partes, hace surgir en nuestra imaginación absurdas presunciones que la experiencia se encarga de moderar ó desvanecer. En realidad, no tenemos guía más fiel que este, y hasta los defensores de principios innatos admiten ya, que no se desenvuelven, más que con ocasión de las cosas reales. Dejemos, pues, á un lado esos pretendidos conocimientos a priori, y no admitamos más que el criterio fundamental de la experiencia (1). Pero tóngase en cuenta que empleamos esta palabra en su acepción propia, y de ningún modo en el concepto estrecho de la experimentación física. Así, cuando sostenemos que todos los conocimientos son experimentales, no queremos decir que se necesite en todos los casos de la experimentación que se emplea en física para exclarecer los hechos de modalidad.

Hay pues varias formas de experiencia, que pueden ser distinguidas por los nombres siguientes: intuición (Lógica), deducción (Matemática), observación (Mecánica), experimentación (Física), combinación (Química), comparación (Anatomía), conexión (Fisiología). Y el primer efecto de esta organización metodológica, es hacer imposible la vieja polémica sobre el subjetivismo trascendente. No hay formas ó condiciones ab-

(1) A. Bain.
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solutamente intelectuales. El tiempo y el espacio son atributos comunes al sujeto y al objeto; en las combinaciones químicas el tiempo entra en la causalidad; la presión atmosférica es también causa de diferentes fenómenos. El tiempo es la ley de nuestra sucesión mental. Adquirimos esta noción por la experiencia de las cosas continuas ó durables. El espacio con ó sin materia, se nos revela por el movimiento, que á su vez se nos manifiesta en las diversas modificaciones de la acción muscular; y hasta el espacio vacío, con relación al movimiento exclusivamente, es también una realidad.

Otro tanto sucede con el punto, la línea recta y otros hechos que el científico admite como fundamentales, ó indefinibles, ó evidentes.

En fin, la metafísica, que pretende ser ciencia sin hechos, parece definitivamente arruinada. Es un error que ha dejado de ser útil.

Roberty opina que este error se ha producido por una oposición demasiado absoluta entre los términos abstracto y concreto, cuando se emplean para caracterizar una ciencia. La ciencia más abstracta, dice, tiene sus raíces en el método a posteriori, y por tanto, no hace más que describir, y en definitiva analizar, agregados naturales, existencias concretas de toda clase. Se contesta á esto que el objeto de la ciencia abstracta es abstraer leyes generales. Pero la ciencia concreta no tiene tampoco ni puede tener otro fin que el de abstraer de los hechos que estudia ciertas relaciones generales y constantes. Y en fin, la abstracción, no es más que la semejanza de un cierto número de cosas bajo un punto de vista especial. Objetos circulares, de color y de tamaño diverso, pueden hacernos pensar preferentemente en su carácter común, en su semejanza (la redondez); pero no por eso desaparece en nuestro espíritu, la idea de sus diferencias (color, magnitud... ó cualquier otra).
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2. MATEMÁTICA METAFÍSICA Y MATEMÁTICA CIENTÍFICA

a. MATEMÁTICA METAFÍSICA:

En la concepción de Kant el tiempo interviene como forma intelectual productora de la noción-número; Wronski transporta á la Matemática, la vieja polémica del subjetivismo trascendente; Duhamel niega la realidad del espacio; Monferrrier pretende que en la Matemática se crea algo que no existía antes en la naturaleza; Riemann imagina espacios de dos, cuatro ó más dimensiones, niega el aumento indefinido de la distancia y en sus concepciones geométricas la recta es un círculo, el plano una esfera, y las líneas rectas pueden encontrarse en dos puntos sin coincidir por esto; la geometría gaussiana rechaza el postulado-Euclides sobre las paralelas, y por tanto, la ley de la similitud, base de la Astronomía; se define el punto: resultado de un proceso ideal que tiende á reducir indefinidamente un espacio infinito; se pretende negar la base objetiva del análisis matemático, se confunde la naturaleza real de la abstracción, y se dice en fin, que la matemática estudia una sola propiedad de la materia con entera exclusión de las demás.

He ahí otras tantas afirmaciones metafísicas ó arbitrarias, por qué la comprobación experimental, es muy difícil ó seguramente imposible.

e. MATEMÁTICA CIENTÍFICA:

Para obtener conocimientos matemáticos no es siempre indispensable el procedimiento experimental que se emplea en Física, pero conviene sin embargo, no olvidar que en su origen, esos conocimientos, son también experimentales.
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Lo concreto y abstracto están indisolublemente unidos en nuestro espíritu. La forma se realiza siempre en alguna materia. Los círculos de Euclides tienen tinta, color y una situación determinada. Los símbolos de la aritmética son también materiales, aunque su forma particular no tenga ningún valor representativo; ciertas reglas matemáticas, como la de menos multiplicado por menos, da más, serían consideradas como paradojas si no se comprobasen en la experiencia; y finalmente, el sistema decimal, la tabla de multiplicación, las cantidades infinitesimales y todas las operaciones que más absolutamente inmateriales parecen, tienen su origen último en los axiomas, que son hechos inductivos.

Pero se dice; la matemática considera ciertas propiedades de la materia, abstracción hecha de todas las demás. Se exagera aquí por una parte, la facultad que tiene el espíritu de poder prestar mayor atención á un punto que á otro, y se desconoce el verdadero fin de la ciencia abstracta, que no abstrae momentáneamente una propiedad de un agregado material cualquiera, más que para unirla mejor y más íntimamente á todas las propiedades concomitantes en la realidad objetiva. Toda idea, como dice muy bien Bagehot, no es más que un hecho concreto ó una serie de hechos, menos algo que es excluido en la realidad objetiva por nuestro espíritu. Pero esta exclusión es una medida esencialmente preventiva y pasajera, y el explorador científico debe siempre apresurarse á confrontar la causa ó fenómeno momentáneamente aislado, con otras causas y otros fenómenos.

3. NOCIONES Y PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

a. NOCIONES:

Igualdad.—Se produce por la semejanza aplicada al grado á la proporción. Puede haber semejanza en cualidades
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como el sonido, el color, el placer, pero no igualdad. Sólo en magnitudes, cabe igualdad. Podemos distinguir, sin necesidad de la Matemática; pero cuando hablamos de cosas iguales ó desiguales, nos encontramos ya en su dominio.

Para reconocer la igualdad es indispensable recurrir al testimonio de los sentidos y de la conciencia. Así, obtenemos el número, identificando una sucesión de impresiones fugaces, como dos, tres; es este el juicio más seguro que puede formar el espíritu humano. En las cantidades continuas hacemos distinción de grados por medio del sentido á que aquellas corresponden, ya el oído, ya el tacto, etc. La distinción general más delicada y aquella á la que si es posible deben reducirse todas las demás, es la extensión visible; inmediatamente después, viene la continuidad del sonido. Euclides definió la igualdad: «Coincidencia visible de las magnitudes extensas.»

Número.—Las sensaciones de la conciencia dice Bain, se distinguen vivamente unas de otras, y por medio de la memoria podemos fácilmente retener una corta serie de estados de conciencia é identificarlos con una serie semejante. A la vista de tres piezas de moneda, identificamos fácilmente estos tres objetos con tres dedos, según el número de interrupciones y transiciones que en los dos casos se producen en la conciencia, y en seguida percibimos la diferencia que los separa de dos ó de cuatro transiciones visibles. He aquí la igualdad ó desigualdad numérica. En cuanto á los números altos, hay que recurrir á artificios ó agrupaciones regulares, para identificar dos centenas de objetos diferentes, y distinguir ciento de noventa y nueve.

A cada uno de estos números sucesivos damos luego un nombre. Así decimos uno, dos, tres, etc., y cuando llegamos al número diez, formamos un grupo y comenzamos á contar de nuevo desde el número que le da nombre ó sea el diez. A esto es á lo que llamamos sistema decimal, al cual corresponden las expresiones de unidades, decenas, centenas, etc.

Unidad. Pluralidad.—Son dos aspectos de la magnitud
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dice Bourdeau; la unidad, absoluta y fija, expresa la simplicidad del sér aislado; la pluralidad, relativa y variable, designa colecciones de seres. El número determina su relación.

Bourdeau distingue también dos clases de unidad: la ontológica y la matemática. Esta procede de aquella, dice, pero es no obstante diferente. La idea unidad en lógica se liga estrechamente á la del yo que revela al sér, su identidad persistente, su indivisibilidad. Trasportamos en seguida á las cosas este dato inicial, pero el concepto unidad cambia entonces y de simple que era al principio pasa á ser compuesto. Excluía en el origen la idea de pluralidad; se concilia más tarde con ella y no encuentra su carácter de infinitud más que en la totalidad de las cosas (el uno-todo), que no tiene múltiplos, ó en los elementos últimos de los cuerpos, que el pensamiento se niega á concebir como reductibles á partes (átomos). Estas dos clases de unidades escapan como el yo á toda medida, están, pues, fuera de la magnitud.

La unidad matemática, al contrario, se compone de partes (fracciones); admite múltiplos (números enteros) y se presta á diversos modos de partición ó agrupación. Representa un conjunto de cosas que puede ser siempre reducido á partes menores ó agregado á colecciones más grandes.

Mientras que el sér, considerado en sí mismo, no es susceptible de aumentar, ni disminuir, los grupos de seres pueden crecer ó decrecer y marcar así grados en la magnitud. El tipo que sirve de medida se llama unidad.

El espíritu pasa del valor absoluto que tiene la unidad ontológica al relativo de la matemática, cuando deja de considerar la existencia como un todo simple y la mira sólo como un lazo de serie. La unidad en tanto que es única se hace finita multiplicándose, porque la razón se niega á concebir la coexistencia de varios infinitos. Y así se efectúa la transición de la idea de infinito á la de finito, es decir, del concepto del sér al de número.
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A últimos de 1874, sin embargo, el imperio alemán no tenía casi deuda alguna, gracias á la indemnización de guerra pagada por Francia, pero en el año económico de 1876-77 empezaron de nuevo los empréstitos para atender á la construcción de defensas en las fronteras, al cambio de armamento y á los demás gastos ocasionados por el ejército y la armada.

Die Freisinnigs Zeitung, ha publicado hace poco el siguiente cuadro estadístico, en el que se pone de manifiesto el aumento anual constante de la Deuda del imperio, debiendo advertirse que las cifras son en millones de marcos:

    En 31 Marzo

    1877
    ...
    16,3

    1878
    ...
    72,2

    1879
    ...
    138,8

    1880
    ...
    218,0

    1881
    ...
    267,7

    1882
    ...
    319,2

    1883
    ...
    348,9

    1884
    ...
    373,1

    1885
    ...
    410,0

    1886
    ...
    440,0

    1887
    ...
    486,2

    1888
    ...
    650

    1889
    ...
    818,7

Estas deudas cuestan al país 35 172 millones de marcos anuales en concepto de intereses.

Los billetes del Banco imperial puestos en circulación y garantidos por el Gobierno, ascendían en 1.º de Abril de 1889, á 126.552.405 marcos.

La Hacienda del imperio tiene la administración de varios fondos para gastos de guerra, y la situación de estos fondos no puede ser más floreciente.

En fin de Febrero de 1889 estaban constituidos en esta forma:

1.º Fondo de inválidos: 482.551.218,66 marcos y 3.518.375 florines de Francfort en obligaciones, y 5.271.286,52 marcos en metálico.