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La noción de unidad concluye Bourdeau (1) tiene su punto de partida en la conciencia del yo, y la de pluralidad resulta al contrario de la diversidad de las percepciones.

A medida que el conocimiento se desenvuelve, el espíritu va de la idea simple y permanente del yo á la compleja y variable de los estados del yo, después á la comprobación del no yo (que implica un dualismo formal del sér), y por último al análisis de los múltiples objetos que constituyen el no yo. El descubrimiento de estos datos por la percepción, sus clasificaciones por la concepción y su expresión por el lenguaje, debían conducir á un estudio abstracto de la cantidad. La sensación señalaba á cada momento realidades distintas; la generalización, suprimiendo sus diferencias, las distribuía por series; la inducción, establecía entre ellas relaciones y el sentido común formulaba en axiomas las más manifiestas del todo y de sus partes.

Desde entonces, el pensamiento podía especular sobre los números, porque disponía de existencias ideales, idénticas, cuyos modos de agrupación era posible deducir unos de otros, mientras que los seres reales siempre desemejantes, hubieran hecho las apreciaciones inexactas. Los seres humanos, por ejemplo, examinados en detalle, difieren mucho; no son, pues, valores comparables, pero considerados como seres, representan cantidades equivalentes, unidades de existencia. Y lo mismo sucede con todas las demás cosas.

Así concebidas las cantidades aritméticas, expresan colecciones de seres abstractos, indeterminados en cuanto á los atributos, sin forma y sin dimensiones, y susceptibles por consiguiente, de tomar todos los valores, cuando se les agrega la mención de caracteres particulares; pero cualesquiera que sean las magnitudes efectivas á que se apliquen, los números, sus relaciones, no cambian, y lo mismo da que el cálculo opere sobre mundos ó sobre átomos; siempre que las unidades sean del mismo orden, el resultado es invariable.

(1) Theorie des sciences.
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Una vez en posesión de estas dos ideas (unidad, pluralidad), el espíritu, obligado á unirlas (pues son simultáneas y le representan los dos aspectos de todas las cosas) concibe los números como valores susceptibles de cambio á más, ó á menos, y se consagra á medir estos cambios, con el auxilio de las relaciones que los unen. El problema general de la aritmética consiste, así, en desenvolver la serie de los números, en mostrar cómo se componen ó descomponen y en instituir reglas para dirigirse metódicamente á través de las desigualdades de los valores.

Adición.—Es otra noción fundamental; pero se deriva también de los sentidos en último análisis. Cuando yuxtaponemos dos grupos de objetos trasportándoles de los distintos puntos que ocupaban para reunirlos en un mismo lugar, los sumamos. La operación contraria se llama sustracción ó resto. Las palabras total y parte se refieren á la misma operación, y una experiencia semejante las explica.

Multiplicación.—No es más que una serie de adiciones, y la operación inversa es la división. Estas nociones designan los cuatro procedimientos esenciales de operaciones con los números. A estas operaciones se refieren las palabras suma, resta, diferencia, factor, producto, dividendo, divisor, cociente, número primo.

Fracción.—Procede de la división, y con ella las expresiones de numerador, denominador común. Aplicanse también á las fracciones las operaciones cardinales de suma, resta, etc.

Los números decimales son una forma fraccionaria, que procede de nuestro sistema decimal. Cuadrado, cubo, raíz cuadrada, raíz cúbica, etc., son formas especiales de multiplicación ó división.

Razón.—Es la indicación del número de veces que un número está contenido en otro; la razón de tres á doce es cuatro, ó como uno á cuatro. No siempre es posible reducir la razón á sus términos más bajos: podemos hablar de la razón de tres á seis; pero la comparación de estos números no pue-
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de hacerse más que por multiplicación ó división. La expresión de las razones toma la forma de fracción.

Proporción.—Es la igualdad de las razones; tres es á ocho en la proporción de nueve á veinticuatro.

Razón, proporción y fracción conducen á la idea de lo incomensurable.

Progresión ó series.—Es una sucesión de números conforme á una ley fija; la progresión aritmética está sometida á la adición, la progresión geométrica á la multiplicación. Toda progresión contiene extremos y medios.

Las permutas, las combinaciones, son otras tantas operaciones numéricas que no es necesario explicar aquí.

Logaritmo.—Es una manera enteramente nueva de expresar las relaciones de los números, relaciones que expuestas en tablas, disminuyen muchísimo el trabajo de las operaciones más complicadas, tales como la multiplicación, la división, la extracción de raíces y la elevación á potencia.

Estas nociones son los principios esenciales de la matemática en la aritmética pura. En aritmética concreta ó comercial hay que tener en cuenta todas las nociones que se relacionan con las monedas, los pesos, las medidas y la adaptación de la proporción y las fracciones al cálculo de aquellas diferentes cantidades concretas.

El álgebra aplica las nociones aritméticas á un orden nuevo de expresiones de la cantidad, separando las operaciones de los números determinados por el empleo de símbolos. Esto da lugar á designaciones nuevas, como cantidad negativa, exponente, cantidades imposibles, indicio.

El teorema general de la extensión por las potencias ó las raíces, es el teorema del binomio. Después viene ecuación del primero, del segundo grado, etc.

Las nociones de geometría están comprendidas en las definiciones de Euclides: punto, línea, línea recta, línea curva,
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ángulo, paralelas, superficie, triángulo, cuadrado, polígono, círculo, cubo, esfera, cilindro, cono, problema, teorema, corolario, etc.

En la trigonometría hay nuevas designaciones: seno, coseno, tangente y secante.

En las secciones cónicas están comprendidas las figuras así llamadas en expresiones especiales: excentricidad, foco, directriz, latus rectum, parámetro, absciso, normal, asintota.

La geometría analítica comprende las coordenadas y los lugares geométricos, y reserva á un examen especial un cierto número de curvas, las concóides, las cisóides, las ciclóides, las espirales, las lemniscatas, etc.

El cálculo infinitesimal nos eleva aun, á las nuevas nociones de diferencial, integral, límite, dependiente e independiente y variable.

e. PROPOSICIONES:

Son analíticas, porque su atributo puede ser deducido del del sujeto por medio de axiomas. Así, en esta proposición aritmética, seis veces cuatro, igual veinticuatro, el atributo (24), se deriva del sujeto (6 veces 4), por medio de los dos grandes axiomas de la igualdad. Pero los atributos no están contenidos en los sujetos, en el sentido de una implicación necesaria ó inmediata, sino por inferencias mediatas obtenidas en virtud de generalidades más elevadas.

Las proposiciones que podrían presentarse como no analíticas, son en realidad definiciones.

4. DEFINICIONES MATEMÁTICAS

Entre las nociones matemáticas, algunas son primitivas ó indefinibles; otras se definen por derivación ó análisis.
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ARITMÉTICAS:

El número ó cantidad discreta es una serie de impresiones mentales, de color, sonido, etc., interrumpidas, separadas por intervalos. Este es un hecho dice Bain, del que no puede darse otra explicación que la experiencia personal.

La unidad es la abstracción de un gran número de objetos concretos, es decir, de varias impresiones simples. La unidad se opone á dos, á tres, á todas las sucesiones más elevadas. Aprendemos el sentido de uno, de dos, de tres, de cuatro, etcétera, renovando la experiencia de las sucesiones así designadas; los dedos de cada mano nos ofrecen un ejemplo familiar de la sucesión llamada cinco. Podríamos tener una palabra particular para distinguir cada número sucesivo; pero cuando contando, llegamos á doce, sentimos ya necesidad de recurrir á comparaciones que implican arreglo por grupos. Así es como experimentamos realmente los números, experiencia que es necesaria para llegar á definirlos. Bajo el punto de vista de la definición, debemos considerar uno, como indefinible, es decir, como ya conocido; lo que, por otra parte, supondrá que conocemos también dos, por que sin un contraste con la pluralidad, no podemos comprender el sentido de la unidad.

La adición es una noción abstracta obtenida por varias experiencias concretas de objetos acumulados. No podemos definirla. La adición nos da cuenta al mismo tiempo de la sustracción, del total ó todo y de la parte ó resto.

Intentar definir estas nociones sería pretender explicar las experiencias últimas del espíritu. La impotencia de una tentativa semejante se revela en las mismas nociones en que puede ser expresada, como agrupación, agregación, etc., que no son nociones más elementales ó más simples que las que aspiran á definir.

Partiendo de la unidad y de la adición como conocidas, podemos ya comenzar á definir. El primer número definible
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entonces es dos, que es la adición de uno á uno. Y así sucesivamente: tres que es la adición de uno á dos, cuatro de uno á tres, etc. Todo número puede ser así definido: «la adición de uno al anterior.» Llegados á diez, recurrimos á la anotación decimal, es decir, á la agrupación por diez; once es entonces diez y uno; doce, once y uno, ó bien diez y dos, porque aquí ya la definición puede ser expresada bajo distinta forma. Pero podemos preferir esta última siempre que no olvidemos que equivale á la anterior.

Todas las demás nociones de la aritmética pueden ser definidas, es decir, deducidas de nociones previamente expuestas.

En un sentido lógico riguroso no es necesario aquí recurrir á la experiencia, pero la inteligencia real de las operaciones se facilita siempre muchísimo empleando ejemplos concretos de la formación de los números.

Definiciones geométricas.—Aquí son mayores las dificultades, pero el procedimiento es el mismo. Debemos admitir ciertos principios indefinibles y recurrir á la experiencia para todo cuanto solo por este procedimiento puede ser conocido.

Por la experiencia todas las formas de la extensión y sus nombres nos son enseguida familiares.

Gracias á ella conocemos los cuerpos sólidos, las superficies ó las áreas; la longitud, el ángulo, la dirección, la línea recta, curva, quebrada, paralela y así sucesivamente. Por ella también comprendemos lo que es un punto, siempre que no designe más que una sola posición, á partir de la cual se mide, se comienza, se termina y se divide una longitud. Mientras el cuerpo sólido es solo un hecho concreto, todas las demás nociones son abstracciones y nos acostumbramos á representarlas bajo este aspecto. Podemos considerar una línea ó una longitud sin firmar nada sobre la latitud del objeto de que se trate; podemos reducir nuestra afirmación á lo que es igual en longitud independientemente de la latitud,
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como por ejemplo: cuando decimos que tal cordón y tal mesa son de la misma longitud; y así por experiencias concretas de esta clase, podemos prepararnos para los rigurosos métodos con que se disponen y establecen en geometría las nociones.

Considerémos ahora más especialmente nuestra experiencia de las líneas ó de las longitudes, abstracción hecha de la latitud y de la profundidad. En esta experiencia única está comprendido y confundido un grupo entero de nociones que el geómetra expone separadamente. Con solo bramante, cordones ó otros objetos semejantes, aprendemos á distinguir, no ya solo la longitud (en tanto que es mayor ó menor), sino también la diferencia entre la línea recta y la quebrada ó curva, al mismo tiempo que la dirección, los ángulos, el paralelismo. Línea recta, dirección, ángulo, convergencia, divergencia, paralelismo, son otras tantas nociones que la geometría distingue; pero que no están por eso menos confundidas en nuestra experiencia primitiva, y no es posible comprender completamente el sentido de ninguna de ellas si no se ha penetrado á la vez el de todas.

No podemos explicarnos en todo su alcance la expresión línea recta si no hemos penetrado antes el sentido de la palabra dirección; dirección sería una palabra muy oscura, si no implicase la inteligencia de la palabra ángulo, y la experiencia concreta de un ángulo nos ofrece todo lo que significan las palabras convergencia y divergencia, así como la opuesta de paralelismo.

Todas estas nociones, por consiguiente, deben ser consideradas como perfectamente inteligibles por sí mismas y cuya definición es imposible, porque no podemos hallar nociones más simples ó más elementales de donde deducirlas.

Alfonso Ordás.

(Continuará).
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EL PROBLEMA DE LA MORAL

(CONTINUACIÓN) (1)

Ya hemos dicho que todo ser que se desarrolla tiene en absoluto derecho á la vida; esto es indispensable, porque desde el momento que empieza su evolución debe terminarla; es la ley natural más necesaria y justa que conocemos; luego tiene derecho á los medios propios para su vida; y como estos, entre los hombres, solo se consiguen licitamente por el trabajo, tiene también verdadero derecho al trabajo. Esta verdad es concluyente, irrefutable, bajo el punto de vista del derecho natural. Sin embargo, no todos lo reconocen. Thiers dice (V. La Propiedad) que tal derecho no existe; que la tierra todavía es grande, que hay regiones vírgenes aún, que vayan, pues, esos desheredados á África ó á Oceanía y se procuren con sus propias manos el alimento que les falta. En primer lugar estos infelices no podrían emigrar á esas regiones porque también para ello les faltan recursos. Que anden, que caminen. En hora buena; pero ¿de qué se alimentarán por el camino? Todo tiene duelo. ¿En qué buque atravesarán los mares? Que se lo construyan. Sea; mas ¿y la madera?

(1) Véase el número 512 de esta REVISTA.
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Todo está ya tomado, hasta las ramas secas caídas tienen dueño. ¿Qué hacer, pues? Morir, no queda otro recurso; ó mendigar, ó ser ladrón, ó asesino, es forzoso. Eso nunca, se exclamará; ¿qué sería de los Estados y de las naciones? ¿Y qué? decimos nosotros, ¿no está la ley moral por encima de todos los intereses? ¿Qué nos importa que se hunden las sociedades, y los trastornos sucedan á los trastornos, si ante todo es preciso cumplir con las leyes eternas é inmutables de la moral? El que no tiene trabajo ni medios para buscarlo en otra parte, tiene derecho á exigir que se lo dén los que están hartos; si no será ladrón y hasta asesino. Si nosotros para vivir matamos diariamente millones de seres sensibles, justo es que un hombre que tiene hambre y no encuentra pan, lo robe para él y para sus hijos. Esto asusta, esto es terrible; pero, asuste ó no asuste, la moral debe estar por encima de todo interés, de todo egoísmo, sea individual ó colectivo; no puede ser de otro modo, á menos de no hacer traición al sistema. No es solo caridad lo que pide el desheredado, sino justicia, justicia pronta, porque el hambre no tiene espera. Y las sociedades que los abandonan y los dejan morir en un rincón, los ricos que les vuelven las espaldas ó les dejan por caridad una moneda en la mano, ¿han sentido alguna vez el remordimiento?

El bien está, repetimos, en la mayor cantidad de armonía de las energías exteriores, con las que presiden toda evolución orgánica; mal es todo lo que se opone á un desarrollo sensible; dentro de lo relativo tan real es uno como otro, ó, si se quiere, tanto pueden ser positivos ó negativos, según el punto de vista en que se les considere. Todo organismo tiene su bien cuando puede extender desembarazadamente sus actividades internas para sentir toda la plenitud de vida propia de cada momento de su evolución, como individuo y como elemento de la colectividad, en cuyo seno se modela y desenvuelve. Tiene el hombre su bien en todo fenómeno que favorece, no solo el hecho de su desarrollo actual, sino las más íntimas tendencias de sus diversos estados de perfección; no
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siempre halla su bien en un interés del momento, ni en placer próximo, ni siquiera en un interés y un placer lejanos, sino en una norma para lo porvenir, nacida del desenvolvimiento individual y colectivo, á un tiempo que expresa la idea moral, tipo de cada fase evolutiva. Algunas de estas ideas tienen una permanencia y una constancia innegables, y son aquellas que arrancan de lo más hondo de la intimidad humana, que es lo permanente y constante en la especie, cuando se ha aquilatado ya por las perfecciones de una verdadera civilización. Solo los hombres de una exquisita sensibilidad ó de una cultura y educación reales y superiores, pueden ser altruistas; la mayoría es anti-altruista; solo un corto número son avaros ó anti-egoístas.

Todo desarrollo se exterioriza por medio de tendencias ó impulsos que han recibido el nombre de instintos, los cuales no pueden presentarse todos á la vez, sino que van desarrollándose lentamente; tras los más elementales se presentan otros, nacidos de nuevas condiciones de existencia, y en serie no interrumpida van apareciendo, más perfectos ó menos perfectos, pero siempre en armonía con la naturaleza del medio en que se verifica su evolución. El término de la acción impulsiva del instinto es la satisfacción de una necesidad, sea de la naturaleza que sea; porque el instinto, lo mismo que la necesidad, radican en la unidad orgánica que no puede admitir desdoblamientos como orígenes de fenómenos opuestos. Todas las manifestaciones de la energía humana proceden de un fondo común, de la realidad una de nuestro sér; así es que cada instinto representa una exteriorización particular de una fase de la energía, y todos juntos la tendencia á la exteriorización de su totalidad completa. Si no existiera en el organismo más que un solo instinto como expresión de una sola necesidad, su término no podría ser más que uno, y este término sería su único y solo bien, indiscutible y evidente; mas como en realidad surgen varios en un momento dado, y como cada uno aspira á la satisfacción de la necesidad correspondiente, resultan muchos bienes particulares en con-
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2.º Fondo para la construcción de fortalezas: 2.524.200 marcos en obligaciones y 290'59 en metálico.

3.º Fondo para la construcción del palacio para el Parlamento: 17.641.200,47 marcos en obligaciones y 3.586'86 en metálico.

4.º Fondo de guerra: 12.000.000 de marcos.

El fondo de inválidos, cuesta anualmente á la nación 26 millones de marcos, los cuales se figuran en el presupuesto de gastos.

Respecto al comercio alemán hemos de decir, aun cuando con sentimiento por nuestra parte, muy pocas palabras, pues ha conseguido tanta importancia que se hace muy difícil dar una idea clara y precisa de su extensión, en los límites de este artículo.

Trataremos, sin embargo, de ser lo más extensos y precisos que nos sea posible.

El territorio de la Unión aduanera y comercial llamada Zollverein, coincide, según el art. 33 de la Constitución del imperio, con las fronteras del mismo, á excepción de algunas pequeñas parcelas.

Entre los territorios exceptuados se incluye el puerto franco de Hamburgo, comprendiendo la isla de Neuwerk y una parte de la comarca de Cuxhaven. Además hay excluida también una parte de Prusia, y la del puerto de Bremen, llamada Bremerhaven.

Las rentas del Zollverein se administran por las autoridades de Aduanas y de Contribuciones e ingresan en la Tesorería del imperio.

El movimiento comercial de los años 1888 y 1889 ha alcanzado, según el Monatshefte der Statistik des Deutschen Reichs, del mes de Abril de este año, las cifras siguientes en millones de marcos:

    Importación.
    Exportación.

    En 1888
    3.188,8
    3.190,1

    En 1889
    3.435,9
    3.352,6
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ficto; de todos ellos, el más vigoroso arrastra al individuo en la dirección que el mismo le impone; se lucha, se forcegea hasta el momento mismo de la victoria, y más allá de la victoria ó de la derrota. Como las organizaciones no son jamás iguales, un mismo instinto puede ser débil en unos y muy potente en otros; de aquí la diversidad en el concepto de bien y en la calificación moral de los actos humanos. Estos instintos se modifican, se perfeccionan, se sutilizan paralelamente al organismo, siguiéndole en su desenvolvimiento y favoreciéndose recíprocamente. El hombre que viviera solo en el bosque todo lo querría para sí; siendo padre, ya su egoísmo declina y asoma en su alma el primer sentimiento altruista, fundamento de toda moral elevada. En la complicada máquina de nuestro cuerpo todas estas tendencias se dividen y subdividen, y se agrupan formando sistemas especiales con mecanismos propios para su misma vida y conservación. Los nuevos impulsos adquiridos pasan por trabajosos aprendizajes hasta llegar á la rapidez de la acción refleja. Todos estos tentáculos de energía orgánica se extienden hacia distintos términos que constituyen sus bienes particulares, aun cuando varíen los medios para alcanzarlos y otras energías pongan freno á su incansable actividad. Por la herencia se integran y consolidan, se hacen más fuertes é irresistibles; los que brotan de lo más hondo de nuestra intimidad tienen una gran permanencia y son el punto de partida de las ideas superiores de moralidad; los que representan necesidades pasajeras viven poco y se resuelven en nuevos impulsos exigidos por distintos estados de desarrollo.

III

Para que las ideas de bien y mal resulten lo más claras posible, es indispensable examinarlas: 1.º En la colectividad animal. Y 2.º En la colectividad humana. Si este mundo es el mejor posible, allá lo veremos.
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EL PROBLEMA DE LA MORAL

Todos los seres vivos están ligados por mútuas relaciones de existencia; las líneas que siguen se cruzan en todos sentidos mil y mil veces; más todavía, y lo verdaderamente cruel del caso, quien puso la necesidad en unos puso en otros la satisfacción, resultando de esto la lucha más injusta y terrible que jamás mundo alguno presenció. En este campo de batalla sombrío y perenne perdido en el espacio y rodeado del silencio eterno de la inmensidad, toda vida cuesta vida, todo nacimiento lleva consigo muchas muertes; y la luz esplendorosa alumbra esta carnicería con el mismo regocijo que enciende las nubes y dora las cumbres de los montes. Su hechizo y sus auroras sonrientes son un cruel sarcasmo á los millones de víctimas que diariamente caen bañadas en sangre sin que una mano les socorra y les ayude. Los bosques tienen ruidos misteriosos, los pájaros cantos dulcísimos, las fuentes grata frescura, amor los corazones, pero ¡qué caro cuesta disfrutar de estos encantos! Los ojos que se abren son señal de otros ojos que se cierran. El disfrute de un solo rayo de luz, de un solo latido del corazón, cuesta á otros la vida, que para todos es tan dulce y estimada. Unese á esto la crueldad más refinada, el ensañamiento, la alevosía para que el optimista pueda cantar á sus anchas el orden y la armonía que en este dichoso mundo puso un Dios de bondad.

Hablando de los caracteres secundarios en los arácnidos (La descendencia del hombre, p. 322), refiere Darwin lo siguiente: Geer vió á un anacho «que en medio de sus caricias preliminares fué cogido por el objeto de sus amores, envuelto en una red y devorado por ella; espectáculo, como él añade, que le llenó de horror e indignación». En la misma obra, p. 123, se lee: «Por otra parte, es muy cierto también, que algunas veces los animales distan mucho de sentir simpatía alguna, y así los vemos expulsar del hato á un pobre animal que ha sido herido, y aún herirlo de nuevo con sus cuernos y ensañarse en él hasta causarle la muerte. Este es el hecho más sombrío que registra la Historia natural, á no ser que sea verdadera la explicación que del hecho se ha dado, diciendo que