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Revista de España (1890-09-01 00:00:00), página 137

8. MATEMÁTICA ELEMENTAL O ARITMÉTICA

Los principios de la aritmética son: los dos axiomas esenciales de la Matemática («varias cosas iguales á una misma cosa son iguales entre sí» y «las sumas de cantidades iguales son iguales»); las definiciones de las operaciones fundamentales (adición, etc.), y las definiciones de los números. Las proposiciones, se derivan por deducción de la combinación de los axiomas y las definiciones.

Planteados los axiomas, comprendidas las operaciones fundamentales y definidos los números, la deducción ó demostración de las proposiciones dimana fácilmente de estos principios.

Las proposiciones de la aritmética, dice Bain, afirman ó niegan la equivalencia en cantidad de los números diversosamente combinados. Cuando decimos nueve y cuatro, diez y tres, etc., ó lo que es lo mismo, que una hilera de seis objetos y otra de siete, compondrán el mismo agregado total que una hilera de nueve objetos y otra de cuatro, sentamos una proposición de adición. Como hay un método para expresar las combinaciones de los números (el sistema decimal), las proposiciones aritméticas han tomado habitualmente la forma que consiste en establecer, que tales otros modos de combinación equivalen ó no, á tal ó cual combinación decimal; que nueve y cinco, por ejemplo, equivalen á catorce, combinación decimal de diez y cuatro. Hay también proposiciones de sustracción como la «de nueve á catorce, cinco.»

Para probar estas proposiciones hay que aplicar los axiomas á la definición de los números; los axiomas constituyen las premisas mayores y las definiciones de los números las menores.
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Así, para probar que cuatro y tres son siete, procederemos del modo siguiente:

3 es \(2 + 1\) (ó \(1 + 1 + 1\))

\(4 + 3\) es, por consiguiente, lo mismo que

\[4 + 1 + 1 + 1\]

Luego;

\[4 + 1 = 5; \ 5 + 1 = 6; \ 6 + 1 = 7\]

Lo que garantiza el sistema de estas sustituciones es el axioma de que las sumas de cantidades iguales son iguales, del que resulta la igualdad siguiente:

\[1 + 1 + 1 = 3\]

y por consecuencia

\[4 + 1 + 1 + 1 (7) = 4 + 3\]

La prueba aritmética procede al principio por la adición de una unidad á otra en la forma expuesta; pero cuando ya se ha adquirido el hábito de saltar ó calcular rápidamente estas sumas, las deducciones se abrevian y llegamos á construir y confiar á la memoria una tabla de adición desde dos hasta diez números (2 y 3; 2 y 4, etc.)

Las proposiciones de multiplicación (6 por 8, 48), son una nueva extensión de los procedimientos de la adición. La célebre tabla de multiplicar comprende 144 de estas proposiciones, é implicitamente un número igual de proposiciones de división.

Así, mientras que la afirmación «3 y 1 son 4» es una proposición verbal sin otro alcance que expresar el sentido de
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4, «2 y 2 son 4,» constituye una proposición real derivada del axioma ó ley inductiva: «las sumas de cantidades iguales son iguales.» Esta proposición ha sido impropiamente llamada necesaria, porque no es una verdad idéntica que va implícita en otra, sino una verdad deducida del axioma expuesto.

Tampoco es evidente por sí misma, á pesar de que su comprensión es instantánea, toda vez que 2 y 2 son 4, es una proposición esencialmente, de la misma naturaleza que \(16 \times 16 = 256\), y, sin embargo, esta proposición no es evidente por sí misma.

Como los números no tienen límite, no le hay tampoco para las proposiciones que afirman ó niegan la equivalencia de sus diferentes combinaciones.

Bourdeau considera los signos aritméticos (números) como magnitudes implícitas, y los geométricos (figuras) como magnitudes explícitas.

Los números representan cuotidades de ceros, con existencia propia cada uno; y las figuras, un mismo atributo, indefinidamente extensible.

En consecuencia, Bourdeau divide la Matemática analítica (la que constituye en detalle las magnitudes, ya cuantitativas, ya extensas) en elemental (formación de los números), y especial (figuraciones de la extensión).

He aquí ahora el cuadro de la Matemática elemental:
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boca, y nada más. Venturosamente no es ni puede ser así. Su trascendencia es algo mayor; con la particularidad de que esta trascendencia no estrecha los horizontes del arte, sino que los ensancha dilatando el espacio en que ha de desenvolver toda su vida. Zola no ha fabricado exclusivamente sus obras con lodo. Las hay limpias como A la dicha de las damas, que puede ser leída hasta por la joven más recatada y escrupulosa. Su propósito no es un capricho, ni un reclamo, ni una insensatez; es una convicción profunda, es toda una filosofía; pero una filosofía humana que no gasta su pólvora en salvas de metafísica estéril y quebradiza. La vida toda nuestra va quedándose estampada en sus obras con delineamientos á lo Miguel Angel, tan vigorosos como su grandeza necesita; seriamente, porque es lo más serio que por aquí abajo tenemos. En un episodio aislado puede caber lo cómico y gustar; pero en la totalidad de la vida sería lo más necio que pudiera darse.

Por lo que hace á eso de negar la libertad, no vemos la relación que pueda tener con el asunto. Suponga el Sr. Vale-ra que mañana se prueba evidentemente que esa libertad es una ilusión nuestra, como es ilusión el andar del sol por el cielo, ¿qué sucedería? ¿reventaría acaso el mundo? Nada de eso; seguiríamos viviendo como ahora vivimos, tan malos y tan buenos, con las mismas leyes y la misma Guardia civil, y las mismas tropas y cañones. Continuaríanse escribiendo libros buenos y malos, trabajarfámos y comeríamos y dormiríamos como en la hora presente, y, al fin, nos enterraríam por el mismo procedimiento. Si es cierto que la libertad es una ilusión, nadie podrá nunca quitarnos la ilusión de la libertad, y para el caso tanto da lo uno como lo otro. Pero la novela naturalista verdadera, no pone empeño alguno en negar esa libertad; lo que hace es presentar las influencias que modelan al organismo determinándolo en este ó en el otro sentido, de la misma manera que sucede en la realidad. Como exacto reflejo de la vida no afirma nada; las cosas pasan allí como pasan entre nosotros; y para no creer en la
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    1. Crecimiento de los números.Adjunción de las cantidades.
    2. Decrecimiento de los números.Disjunción de las cantidades.

    A. Operaciones aditivas por adjunciones simples.
    E. Operaciones multiplicativas por adjunciones reiteradas.
    A. Operaciones sustractivas por disjunciones simples.
    E. Operaciones divisivas por disjunciones reiteradas.

    a. Numeración ascendente:Adjunción de unidades.
    e. Adición:Adjunción de grupos de series de grupos.
    a. Multiplicación:Adjunción de series de grupos.
    e. Potencias:Adjunción de series de unidades.
    a. Numeración descendente:Disjunción de unidades.
    e. Sustracción:Disjunción de grupos de unidades.
    a. División:Disjunción de series de grupos.
    e. Raíces:Disjunción de series de series.
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9. MATEMÁTICA ESPECIAL Ó GEOMETRÍA

Toda ciencia descansa sobre definiciones y axiomas, y aquéllas deben preceder á éstas. Pero hay nociones que no pueden ser adquiridas más que por la experiencia, como punto, línea, línea recta, ángulo, superficie, sólido. Y para establecer una separación clara entre estas nociones últimas, indefinibles, y las que pueden ser objeto de definición, convendría empezar por una revisión de los axiomas, insistiendo en su carácter indeductivo, y distinguiendo los fundamentales de los derivados. Aquí el profesor puede recurrir á un gran número de ejemplos concretos. En seguida se expondrán las demás definiciones en conjunto y por el orden de su dependencia ó derivación. Generalmente se explican á la vez los corolarios, pero estos corolarios no son verdaderas inferencias, inferencias mediatas, sino equivalencias de la definición, equivalencias que no podrían negarse sin incurrir en contradicción. Tales son las proposiciones: «De un punto á otro no puede tirarse más que una recta» y «Todos los ángulos rectos son iguales.» Ninguna inferencia mediata puede resultar de una definición, sin la intervención de un axioma.

Las tres primeras proposiciones de Euclides, según Baín, son problemas ó construcciones.

El primer teorema procede de la cuarta proposición, y es realmente el primer anillo de la cadena de la geometría. Esta proposición establece la igualdad de dos triángulos que tienen dos lados iguales, y el ángulo comprendido entre estos dos lados, también igual. Este es el solo fundamento de la comparación geométrica, el primer paso que hace posibles todas las investigaciones sucesivas, todas las afirmaciones subsiguientes sobre la igualdad y la desigualdad de los triángulos, de los paralelógramos, etc. La prueba de esta proposición es enteramente especial; no basta aquí la de costumbre (super-
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posición ideal de un triángulo sobre otro). Hay que recurrir á la experiencia concreta como en las definiciones y axiomas. En apariencia, Euclides nos da una prueba puramente deductiva, pero en realidad nos obliga á concebir una prueba experimental. Su demostración parece no pedir á los hechos un ejemplo; pero si no hubiéramos hecho experiencias reales de lo que nos indica, si no hubiéramos hecho precisamente las mismas experiencias que nos suministran las nociones primeras de línea, ángulo, superficie, sus razonamientos serían ineficaces.

Toda proposición que pueda probarse sin el auxilio, ya directo, ya indirecto, de un axioma, no es una proposición real. El sujeto y el atributo son idénticos, y la prueba aquí se apoya únicamente sobre definiciones, que por sí mismas no nos hacen adelantar un paso. Así la cuarta proposición de Euclides, concluye Bain, no debe ser más que una pura equivalencia de las nociones de línea, superficie, ángulo, igualdad: un hecho, en fin, que resulta de la inteligencia de estas nociones, y que, por consiguiente, debe exclusivamente fundarse en la experiencia.

Challis observa que la prueba de esta proposición no se apoya sobre proposiciones anteriores, sino que se funda solo en las más simples concepciones del espacio. Esta proposición se razona por el principio de super posición que no exige ni admite prueba directa; y el esfuerzo que hace Euclides para demostrarla, justifica por completo la frase de Morgán: «La conversión de una proposición idéntica por medio del syllogismo, es un círculo vicioso.»

La quinta proposición es realmente la primera susceptible de una verdadera demostración. Allí encontramos ya una deducción legítima de los axiomas comunes á todas las matemáticas, asociada á la inducción (impropriamente llamada demostración) que constituye el cuarto teorema. Los axiomas aplicados aquí, son: el fundamental: «las sumas de cantidades iguales son iguales»; y el derivado: «las diferencias de las cantidades iguales son iguales.»
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Todos los razonamientos fundados sobre símbolos están expuestos á errores; y prescindiendo de los que la razón pueda cometer sin saberlo, ocurre muchas veces, que las leyes de los símbolos no puede adaptarse exactamente á las del objeto real que se estudia.

Esta dificultad, dice Bain, puede eludirse por una experimentación constante de los resultados; y de aquí el que en geometría se tenga siempre á la vista una figura para poder apreciar por un exámen real el efecto de cada construcción y comprobar el valor de cada nuevo razonamiento. Así, cuando se trata de juntar los dos ángulos opuestos de un cuadrilátero, la vista observa en seguida que se trata de dividir la figura en dos triángulos. Euclides no recurre generalmente á otras pruebas, y algunas veces emplea la reducción al absurdo, para demostrar, por ejemplo, que la tangente á un círculo cae fuera del círculo.

En tanto que se estudia la geometría de una manera concreta, nuestra inteligencia tiene que concebir las líneas, los ángulos, los círculos, como objetos concretos, y esto no sería posible sin el auxilio de las figuras. Pero en la geometría algébrica, al contrario, la forma concreta es reemplazada por equivalentes numéricos, que deben ser considerados con arreglo á las leyes de la aritmética y del álgebra: así un rectángulo no es ya una forma del espacio, sino un producto de números y de símbolos, y una curva es una ecuación. Morgan hace observar á los estudiantes que las expresiones de cuadrado y cubo, aunque hayan sido aplicadas á las cantidades algébricas, como \( a^2, a^3 \), tienen una significación muy distinta de los cuadrados y los cubos geométricos.

Luis Bourdeau, aplicando siempre el método dicotómico, subdivide la Matemática analítica en elemental y especial, y esta última en Figuración rectilinea y Figuración curvilínea.

He aquí el cuadro de la Matemática especial ó Geometría:
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MATEMÁTICA ESPECIAL O GEOMETRÍA
(figureaciones de la extensión.)

    1. Rectilínea.
    2. Curvilínea.

    A. Elementos de figuración rectilínea.
    E. Sistema de figuración rectilínea.
    A. Elementos de figuración curvilínea.
    E. Sistemas de figuración curvilínea.

    a. Puntos.
    e. Líneas rectas.
    a. Superficies planas.
    e. Volúmenes poliédricos.
    a. Puntos.
    e. Líneas curvas.
    a. Superficies curvas.
    e. Volúmenes de superficies curvas.
Revista de España (1890-09-01 00:00:00), página 145

10. MATEMÁTICA COMPARADA

Ó RELACIONES DE LAS MAGNITUDES (NÚMEROS Y FIGURAS)

La Matemática, como todas las ciencias generales ó fundamentales, es distribuida por Bourdeau en dos secciones: analítica y sintética.

La Matemática analítica determina, de una parte, los modos de formación de las cantidades; y de otra, los modos de construcción de las figuras.

La Matemática sintética estudia las relaciones y leyes de esas dos clases de datos. Pero las relaciones entre las magnitudes pueden ser limitadas y simples (ligando por grupos restringidos magnitudes determinadas); ó extensas y complejas (las que enlazan series de magnitudes). Por consiguiente, la Matemática sintética puede ser dividida en comparada y general.

He aquí ahora el cuadro de la Matemática comparada, ó sea la que establece relaciones entre magnitudes especificadas.
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    a. Relación numerativa.
    e. Relación aditiva.
    a. Relación multiplicativa.
    e. Relación potencial.
    a. Relaciones de los puntos.
    e. Relaciones de las líneas
    a. Relaciones de las superficies.
    e. Relaciones de los volúmenes.

    A. Relaciones por diferencia.
    E. Relaciones por cociente.

    A. Relaciones de los elementos de la extensión.
    E. Relaciones de las construcciones de la extensión.

    1. Relaciones aritméticas.
    2. Relaciones geométricas.

RELACIONES DE LOS NÚMEROS Y DE LAS FIGURAS
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11. MATEMÁTICA GENERAL
Ó FUNCIONES DE LAS MAGNITUDES

Aritmética general.—Emplea símbolos y signos en sustitución de los números determinados y las operaciones reales. Lo que se llama álgebra, dice Bain, constituye una extensión extraordinaria de la aritmética. Ningún nuevo principio de razonamiento entra en su composición; sus fundamentos son los axiomas comunes á todas las ciencias matemáticas. Su rasgo característico consiste en sustituir los números reales con símbolos que representan á los números en general, y en indicar las operaciones reales de la adición, sustracción, multiplicación y división, con solo sus signos propios

+, —, ×, =, etc.

En álgebra, dice Bain, ya no se comparan los números en su cantidad real, sino en sus modos de formación. Allí un número es considerado como un compuesto de otros varios, formados por medio de operaciones particulares que determinan los signos.

Un número (a) es considerado como la suma de b y de c, (b + c), ó como el producto de b y de c, (b c), ó en fin, como el cuadrado de b, (b²). De esta manera, el número constituye una función de los números, y el álgebra toma por esto el nombre de cálculo de las funciones.

Las funciones simples de los números no son más que la expresión de sus relaciones elementales: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, las potencias, las raíces, los logaritmos y los senos.

Challis distingue el álgebra del cálculo de las funciones, considerando á aquélla bajo el solo aspecto de ciencia de las ecuaciones. Según él, el álgebra es un sistema de generalizaciones abstractas y de expresiones simbólicas más elevado
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que la aritmética, y representa las cantidades por las letras \(a, b, x, y\), que pueden tener un valor numérico; pero examinando solo, en primer término sus relaciones recíprocas como sumas, como diferencias, como productos, como raíces, etc. El cálculo de las funciones es un paso más en la misma dirección. Emplea símbolos para mostrar que una cantidad tiene relaciones con otras cantidades; pero no pasa á determinar las formas de estas relaciones; \(f(x)\) por ejemplo, quiere decir que un cierto número ha sido formada por las modificaciones de \(x\), pero no nos dice de qué naturaleza son estas modificaciones. El cálculo de las funciones opera en general sobre la forma \(y = f(x)\).

Cuando la cantidad variable \((x)\) recibe un cierto aumento \(h\) y se convierte en \(f(x + h)\) la investigación de la expresión simbólica da lugar á los diferentes teoremas de Taylor, de Maclaurín, de Lagrange, de Laplace, y nos conduce al cálculo diferencial.

El álgebra enseña la equivalencia de diversas operaciones, y por consiguiente, el medio de resolver una en otra.

En esto el álgebra no hace más que extender las operaciones de la aritmética. Estudiando las formas algebraicas, demostramos que el cuadrado de una suma \((a + b)\) equivale á los cuadrados de sus factores separados, más dos veces su producto, ó lo que es lo mismo:

\[(a' + b' + 2 a b)\]

El uso de los signos abstractos conduce fácilmente á expresiones que no pueden ser reducidas á hechos reales y el gran trabajo del álgebra consiste en definir y justificar todas sus combinaciones.

En aritmética no se puede operar una sustracción sin que haya un número del cual se quita una parte; en álgebra el signo — puede ser colocado delante de cualquier número, y este número así calificado, puede ser sometido á todas las
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operaciones que la aritmética practica con números reales. En álgebra podemos suponer dos cantidades negativas, multiplicadas una por otra, operación que en la realidad no es posible, y podemos colocar una cantidad negativa bajo el signo que expresa la extracción de la raíz cuadrada

\[
\sqrt{-1}, \ \sqrt{-a}.
\]

Pero cuanto más nos alejamos de la realidad, más necesario será explicar bien las reglas á que están sometidas las operaciones esenciales de la aritmética, cuando se las aplica á las cantidades algébricas, y más deberán exclarecerse las condiciones del uso de los signos.

Las reglas, «menos multiplicado por más da menos» y «menos multiplicado por menos da más», deben ser demostradas por medio de prueba experimental, no deductiva.

Así, la proposición «menos multiplicado por menos da más» se probará por el exámen del producto de dos diferencias, como \(a - b\), por \(c - d\), y por este exámen nos convenceremos de que no es posible admitir un resultado correcto, sino comprobando experimentalmente estas reglas y otras análogas que son aún objeto de discusión lógica.

La forma más elevada de los problemas algébricos es la resolución de las ecuaciones.

Esta operación comprende las ya indicadas, y las aplica útilmente á la investigación de las complicadas relaciones de los números.

En una ecuación, dos expresiones conocidas por ser iguales, se colocan una frente á otra en la siguiente forma:

\[
13x + 2a - b = 6x - c.
\]

Y aplicando los axiomas fundamentales de la igualdad y algunas de sus proposiciones derivadas (las diferencias de cantidades iguales son iguales, los múltiplos y los cocientes
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libertad no es necesario leer novelas de ninguna clase, basta el análisis de la vida misma. Lo que resulte de este análisis eso lo dirá el filósofo, no el novelista, cuyo objeto es pintar fielmente y con arte los movimientos humanos por dentro y por fuera dentro del medio especial en que se realizan. Si esa libertad se eclipsa poco ó mucho en la novela naturalista, es porque también se eclipsa poco ó mucho en la realidad cuando la analizamos con mayor cuidado y detenimiento. Lo esencial es que el novelista no falsee esa realidad, ni la desfigure, ni la componga á su modo; este sería el mayor de todos los males. Por esta razón se desca y se predica que sea lo más impersonal posible, ya que nadie puede serlo en absoluto. Pero dentro del sentir particular de cada autor, puede la realidad conservarse íntegra y sin arreglos caprichosos; y esto es lo que se pide con mucha razón y justicia. Puede muy bien Zola ser determinista y hasta pesimista, como francamente lo confiesa en su Novela experimental y otros trabajos de crítica, pero sus novelas no pueden serlo porque están sujetas principalmente al propósito de no faltar jamás á la realidad de la vida, y de evitar en cuanto sea posible la personalidad del autor. Y el que se impone este deber de no falsear la realidad, queda siempre como filósofo á inmensa distancia del novelista. Su determinismo proviene de un particular análisis de la vida, pero la pintura fiel de esta misma vida nada tiene que ver con ninguna clase de determinismo. El carácter de la novela moderna no puede consistir en esto, sino en que abarca la totalidad real de los movimientos humanos, dolores y placeres, vicios y virtudes, lo bajo y asqueroso al lado de lo grande y noble, sin mutilaciones ni exclusivismos siempre perjudiciales al arte y á la misma moral.

En suma; la moral habría de ser diversa y exigir reglas prácticas para la vida también distintas y en algunos puntos hasta opuestas, según se sigan ó no las doctrinas de Spínosa, Schopenhauer, Kant, Hegel, Hartmann, ó la del catolicismo, ó la de los estóicos, ó la de Mouni, ó la optimista, etc., etc. Función de todos estos sistemas aparece la moral, tanto en su
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iguales son iguales, los cuadrados, las raíces cuadradas de cantidades iguales son iguales, etc.), la ecuación por una demostración de la igualdad estricta puede ser en un lado reducida á \( x \) (cuyo valor se busca), y á la función compuesta de \( a, b, c \) sin \( x \), en el otro. Ninguna dificultad lógica implica este mecanismo ingenioso y se puede citar como una aplicación afortunada del método que asocia la intervención de los axiomas al empleo de las proposiciones derivadas de la igualdad.

Geometría general.—Emplea el álgebra, dice Bain; nos priva, pues, del auxilio de las figuras, pero facilita singularmente las demostraciones y las inferencias.

Para persuadirse de esto no hay más que comparar el segundo libro de Euclides con la expresión algébrica de las mismas proposiciones: las demostraciones de Euclides son laboriosas, las otras son relativamente facilísimas.

La gran innovación de Descartes, consistió en expresar algebraicamente las curvas por coordenadas, cuyas relaciones en cada caso pueden ser expresadas en una fórmula.

Las secciones cónicas por este invento, se hicieron relativamente fáciles; y las curvas más rebeldes á los esfuerzos de la geometría ordinaria, pudieron ser facilmente comprendidas. Este método fué también el paso indispensable al cálculo diferencial.

La geometría algébrica suministra reglas especiales para la expresión é interpretación de las fórmulas. El resto no es más que álgebra.

Es fácil expresar un rectángulo, concluye Bain, por términos que representen sus lados; un producto algébrico basta á ese fin. Los ángulos pueden ser expresados por sus proporciones en relación con el círculo, es decir, por su arco, sus senos, sus tangentes, etc. Las curvas se expresan por coordenadas, según el método de Descartes. Las reglas de la expresión, son al mismo tiempo las de la interpretación. Pero como se corre con frecuencia el riesgo de traspasar por los