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Revista de España (1883-05-01 00:00:00), página 222

DE LA METAFÍSICA EN LAS MATEMÁTICAS
Y DE LAS MATEMÁTICAS EN LA GUERRA

No hace mucho tiempo publicamos una traducción de Bain, titulada Lógica de las Matemáticas. En el prefacio intentamos fijar el sentido en que este autor dice «que son un modelo de ciencia deductiva,» é hicimos observar, que no por esto dejaba de tener la Matemática una base inductiva.

El favor con que fue acogida esta obra, llegó á hacernos creer un momento que sus doctrinas serían compartidas por algunos, al menos, de nuestros principales matemáticos; pero no ha sido así desgraciadamente.

Tenemos á la vista estimables trabajos sobre Filosofía matemática, y en ninguno parece aceptarse que el análisis de esta ciencia descansa en una base objetiva.

Continúa, pues, la Metafísica en las Matemáticas; y como el campo de la ciencia no ofrece méritos ocasiones que otros, de ardorosas, pero santas y necesarias luchas, por el predominio de tal ó cual dirección intelectual, necesitamos insistir en la única que puede contribuir á formar una generación más lógica que la nuestra, y lo que parecerá paradógico, pero es demostrable, más positiva, y más generosa y delicada á la vez.

Uno de estos estudios se titula «Supremacía de la Matemática sobre todas las demás ciencias.»
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Esta proposicion nos parece una frase puramente dialéctica. ¿En qué sentido deberá entenderse esta expresion de supremacía ó superioridad?

Comte la empleó también; pero la empleó precisamente en opuesto sentido. Llamaba inferior, á la ciencia que estudia un orden de propiedades menos complejas que las de la que bajo este aspecto era superior. De modo que la ciencia más inferior para el positivismo es la Matemática, y la más superior la Sociología, porque la primera estudia una propiedad general á toda materia y extraordinariamente simple, mientras que la otra se ocupa de una propiedad maravillosamente oscura y compleja.

La teoría de Wronski ha trasportado á la Matemática la vieja polémica del subjetivismo trascendente; pero ésta, como todas las ciencias, tiene origen empírico. Sus axiomas fundamentales descansan en una inducción; y en oposición á esto, no basta decir que en la Matemática no cabe la experiencia: porque aun concediendo que hoy su estudio sea puramente deductivo, es ya incuestionable que el hombre no ha podido adquirir ninguna verdad fundamental sino por medio de las percepciones externas, y que ciertas ideas, como las de tiempo y espacio, no son producto más que de la asociación psíquica, y están lo mismo en el sujeto que en el objeto.

Decir con Wronski que la Matemática acusa notoriamente la existencia de facultades superiores á la experiencia, equivale á mantener la teoría kantiana de las formas é incurrir, por tanto, en un error, que como de método, influye perniciosamente toda la ciencia.

Remitimos al lector á la historia de la Filosofía de Georges Lewes, para que vea hasta qué punto la Metafísica ha retardado bajo este aspecto el progreso científico.

I

Nuestra tendencia natural á creer que todo lo que existe continuará existiendo, y que lo que existe en este lugar y en este momento existirá siempre y por todas partes, hace surgir en nuestra imaginación absurdas presunciones que la experiencia se encarga de moderar ó desvanecer. En realidad no tenemos guía más fiel que éste, y hasta los partidarios de los principios innatos admiten ya, que no
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se desenvuelven, más que con ocasión de las cosas reales. Dejemos, pues, á un lado esos pretendidos conocimientos a priori, y no admitamos más que el criterio fundamental de la experiencia. Pero tóngase en cuenta que empleamos esta palabra en su acepción propia, y de ningún modo en el concepto estrecho de la experimentación física. Por esto, cuando sostengamos que los conocimientos matemáticos son también experimentales, no queremos decir que se puedan obtener ó necesiten en todos los casos del procedimiento experimental que se emplea en la Física, para estudiar los hechos de modalidad.

Verdad es que las abstracciones no se producen sin relación á objetos concretos. Lo concreto y lo abstracto están indisolublemente unidos en nuestro espíritu. La forma se realiza siempre en alguna materia. Los círculos de Euclides tienen tinta, color y una situación determinada. Los símbolos de la Aritmética son también materiales, aunque su forma particular no tenga ningún valor representativo; ciertas reglas matemáticas, como la de menos multiplicado por menos, da más, serían consideradas como paradojas si no se comprobaran en la experiencia; y finalmente, el sistema decimal, la tabla de multiplicación, las cantidades infinitesimales y todas las operaciones que más absolutamente inmateriales parecen, tienen su origen último en los axiomas, que son hechos inductivos.

Pero lo repetimos; decir que la Matemática, como todas las ciencias, descansa en la inducción, no es negar que sea el tipo, el modelo más acabado del razonamiento deductivo ó formal. Al contrario, es esto lo que da á la Matemática un carácter propio, y lo que ha brindado en ella á la Metafísica, un último refugio.

Pero las ofuscaciones que la Metafísica ha producido en la ciencia de las magnitudes, son innumerables.

En la concepción kantiana, el tiempo interviene como forma del entendimiento, productora de la idea de número (1); Duhamel niega la realidad del espacio (2). Nodier dice que el hombre no puede saber lo que es el espacio ni el tiempo (3); Montferrier (4) pretende que en la

(1) Vennski, Introduction à la philosophie des mathématiques et technique de l'algorithmie, pág. 4, Paris, 1808.
(2) Duhamel, Des méthodes dans les sciences de raisonnement, parte segunda, páginas 4 y siguientes.
(3) Bour, Cours de mécanique et machines, etc., pág. 1, París, 1863.
(4) Montferrier, Dictionnaire, etc., Philosophie des mathématiques.
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Matemática se crea algo que no existía antes en la naturaleza; Riemann (1) imagina espacios de dos, cuatro ó más dimensiones, niega el aumento indefinido de la distancia, esto es, el espacio infinito, y en sus concepciones geométricas, la recta es un círculo, el plano una esfera, y las líneas rectas pueden encontrarse en dos puntos, sin coincidir por esto; la geometría gaussiana rechaza el famoso postulado de Euclides, que encierra la teoría de las paralelas, y por tanto, la ley de la similitud, base de la Astronomía; se pretende definir lo infinitamente pequeño, diciendo que es un grado extremo de pequeñez tendiendo á adquirir una cantidad, que indefinidamente tiende hacia cero; Delbeut (2) define la línea recta una línea homogénea; Legendre observa que es la distancia más corta entre dos puntos (3); y otros, en la imposibilidad de definirla, la rechazan de entre las nociones fundamentales de la Geometría; en algunas obras se define el punto como el resultado de un proceso ideal que tiende á reducir indefinidamente un espacio finito; continúa definiéndose la tangente por el carácter distintivo de la secante, y en contradicción con una de las principales propiedades de la línea curva; se malgasta un tiempo precioso en sutiles disertaciones sobre las curvas, las superficies de segundo grado y otras especulaciones igualmente estériles, y á la terminación de sus estudios oficiales, el alumno reflexivo se encuentra con que le falta muchísimo que aprender y más aún que olvidar (4).

II

A la verdad, en toda exposición científica es conveniente partir de esa relación fundamental que constituye una primera división de todas las cosas por su máximo de diferencia; de la distinción, en fin, entre el sujeto y el objeto: entre algo que no confundimos con nosotros, entre algo que se nos revela por impresiones de resistencia, extensión, color, tacto, sonido, olor, gusto, frío, calor, y algo que nos parece ser nosotros solos, y que se traduce por estados especiales de conciencia, que denominamos sentimientos, voliciones, ideas. De-

(1) Tilly, Essay sur les principes fondamentaux de la Geometrie et de la mecanique, Burdeos, 1879.
(2) Delbeut, Prologomènes philosophiques de Geometrie, etc., Liege, 1866.
(3) Legendre, Elements de Geometrie, Paris, 1813.
(4) Girard, Filosofia científica.
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terminar este hecho, es plantear la cuestion del mundo exterior bajo su aspecto puramente científico, es decir, psicológico.

Pero ¿de qué naturaleza es este hecho? ¿Es realmente independiente de nosotros, ó es sólo un producto, una forma de nuestra constitucion mental?

Esta es la cuestion metafísica que no cabe en la ciencia, y con la que no es posible la ciencia, porque el idealismo excéptico de Hume, de Berkelei, de Kant, y el sensualismo de Locke, de Condillac, de Broussais, conducen á la negacion absoluta de uno de los dos términos esenciales á toda investigacion científica: el mundo exterior y la espontaneidad intelectual del hombre, su facultad de organizar experiencias. La roca Tarpeya de las ciencias está en uno de esos dos extremos á que propenden, según su método. Así en la Matemática el riesgo mayor está en el subjetivismo, y si no se empieza por determinar el carácter objetivo de sus hechos fundamentales, tiempo, movimiento, espacio, punto; si se pretende que se pueden crear cosas con palabras, y que la certidumbre absoluta está en la razon humana, las pomposamente llamadas ciencias exactas acabarán por ser las más inciertas de todas las concepciones trascendentales.

El tiempo y el espacio son atributos comunes al sujeto y al objeto; influyen como causas eficientes. En las combinaciones químicas, el tiempo entra en la causalidad. La presion atmosférica es tambien causa de diferentes fenómenos. El tiempo es la ley de nuestra sucesion mental. Adquirimos esta noción por la experiencia de las cosas continuas ó durables. El espacio, con ó sin materia, se nos revela por el movimiento, que á su vez se nos manifiesta en las diversas modificaciones de la accion muscular; y hasta el espacio vacío, con relacion al movimiento exclusivamente, es tambien una realidad.

Otro tanto sucede con la línea recta; es perfectamente objetiva, y puede hacerse una determinacion de sus propiedades esenciales. Bain señala dos: la coincidencia y la distancia más corta, creyendo esta última demostrable por la proposicion «dos lados de un triángulo son más grandes que el tercero.»

Girard encuentra tambien en la línea recta tres propiedades esenciales, y las reduce todas en último término á la ley que llama inercia lineal por extension de la ley de causalidad.

En suma, es urgente determinar bien el dominio de la Matemática,
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y proclamar, sobre todo, que los axiomas, los hechos fundamentales sobre que descansan sus más admirables construcciones geométricas, son hechos comunes á todas las ciencias, ó sólo propios de la Ontología ó Lógica, como quiere Bourdeau. Es, pues, la Matemática un modelo de ciencia deductiva, porque se desenvuelve por la combinación incesante de estos solos hechos, pero sin ellos no existiría. Por eso en este gran período científico, la Metafísica, que pretende ser ciencia sin hechos, parece definitivamente arruinada. Es, en fin, un error, que ha dejado de ser útil.

III

Roberty opina que este error se ha producido indudablemente por una oposición demasiado absoluta entre los términos abstracto y concreto, cuando se emplean para caracterizar una ciencia. La ciencia más abstracta, dice, tiene sus raíces en la observación ó en el método á posteriori, y por tanto, no hace más que estudiar, clasificar, describir, y en definitiva analizar, agregados naturales, existencias concretas de toda clase. Se contesta á esto que el objeto de la ciencia abstracta es abstraer leyes generales. Pero la ciencia concreta no tiene tampoco ni puede tener otro fin que el de abstraer de los hechos que estudia ciertas relaciones generales y constantes.

También se dice que la ciencia abstracta considera ciertas propiedades de la materia, abstracción hecha de todas las demás. Se exagera aquí, por una parte, la facultad que tiene el espíritu de poder prestar mayor atención á un punto que á otro, y se desconoce el verdadero fin de la ciencia abstracta, que no abstrae momentáneamente una propiedad de un agregado material cualquiera, mas que para unirla mejor y más intimamente á todas las propiedades concomitantes en la realidad objetiva. Toda idea, como dice muy bien Bagehot, no es más que un hecho concreto ó una serie de hechos, menos algo que es excluido de la realidad objetiva por nuestro espíritu. Pero esta exclusión es una medida esencialmente preventiva y pasajera, y el explorador científico debe siempre apresurarse á confrontar la causa ó fenómeno momentáneamente aislado, con otras causas y otros fenómenos.

Así proceden todos los hombres científicos; pero los matemáticos
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filósofos se apoyan en las verdades necesarias ó formas lógicas del conocimiento proclamadas por Kant, y sostienen que su ciencia es el tipo soñado de la abstracción, y que se estudia en ella una sola propiedad de la materia con entera exclusion de todas las demás.

Y he aquí, como ya hemos visto antes, la Metafísica en las Matemáticas. Se pretende negar la base objetiva ó experimental de su análisis, y gracias á la extraordinaria simplicidad de los fenómenos matemáticos, se consigue prolongar esta estéril discusión, que en todas las demás ciencias es ya imposible. Porque, en efecto, la ciencia matemática es única en su género; los hechos sobre que opera son tan simples y generales, que no hay agregado natural que no los manifieste en el mismo grado y exactamente de la misma manera. De ahí su carácter de universalidad, y el que haya quien crea que las leyes físicas y químicas son debidas á deducciones matemáticas, como si fuera posible sacar cualquiera de esas leyes de la del cuadrado de la hipotenusa, ó otra proposición análoga.

En último análisis, claro es que todo fenómeno es un fenómeno de cantidad, y por eso es tan fácil dar un tinte matemático á todas las ciencias sin excepción. Pero no se opera en ellas cuantitativa ó matemáticamente, más que para simplificar regularmente el trabajo científico, y á condición de no perder nunca de vista la calificación especial de los fenómenos estudiados. Ahora bien; las leyes reales de esta calificación no pueden ser deducidas de la sola consideración de la cantidad, porque la propiedad especial no está contenida en la propiedad general, más que de una manera formal ó puramente lógica.

Todas las ciencias estudian, no una propiedad aislada, sino relaciones uniformes entre las diferentes propiedades, y la Matemática no se exceptúa de esta regla. Pero sus fenómenos están diariamente al alcance de nuestros sentidos, y son tan simples, tan comunes y tan familiares á todo el mundo, que su observación pasa desapercibida en medio de las observaciones y estudios tan difíciles de las otras ciencias.

Algunos matemáticos, seducidos por la simplicidad y claridad del método deductivo, no lo entienden así. Pretenden, por el contrario, buscar una justificación á las pretensiones metafísicas y extender su dominio á todas las demás ciencias.
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De ahí su perniciosa influencia en la Política, y consiguientemente en la Guerra. Se ha querido hacer una política deductiva, una política matemática, y una guerra también deductiva y matemática.

Hasta en la Administración, hasta en Hacienda, hasta en la forma de redacción de las leyes, se nota en España esta funesta manía.

Se parte siempre de una proposición hipotética, de una afirmación general, no inductiva, es decir, no comprobada en los casos particulares de que se compone. Y una vez en posesión del dogma, nada tan cómodo, nada tan sencillo como escribir centenares de artículos ó hacer preciosas composiciones orales.

Y es tal el hábito intelectual nuestro, en este sentido, que cuando hablando, por ejemplo, de códigos, se cita el penal belga, ó cualquier otro de la legislación inglesa ó norte-americana, la objeción constante no se hace esperar. «Es una legislación casuística,» se contesta con énfasis.

Se demuestra así que no se conoce bien el sentido y el papel de la generalización.

Generalizar es, sin duda, una función eminentemente científica. Pero, entiéndase bien, la generalización implica siempre un trabajo previo de adquisiciones particulares. La particularidad es el contenido propio de la generalidad. Si este contenido falta, la generalidad es un vacío, una palabra sin ninguna significación ni autoridad. Mas á decir verdad, ¿sobre qué se discute en nuestra política más que sobre palabras?

Igualas tendencias han podido notarse en la ciencia de la Guerra. Hasta 1870-71, la fortificación pasajera tenía un código completo de axiomas.

Y el primero consistía en proporcionar el desenvolvimiento de una fortificación al número de defensores.

Se circunscribía así la función de defensa á la extensión del atrincheramiento, y se dejaba á un lado el valor pasivo del obstáculo, el carácter activo de los defensores, y las condiciones tácticas generales de la ocupación de la posición.

Merece leerse este punto en el tratado de fortificación de Girard.

Decker se burlaba de otra serie de principios tácticos de índole análoga, como por ejemplo: «El orden que facilita la acción directa
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mos reyes apenas tenían que comer, presentaba á los convidados, como especie de postre, grandes bandejas llenas de sortijas y aderezos con valiosos brillantes y piedras preciosas, para que las damas eligieran las que fueran más de su agrado. Verdad es que aquellos inmensos gastos dejarían en cuanto á gusto mucho que deseas; pero no debe perderse de vista que uno de los extravíos del excesivo lujo no es precisamente lo que el refinamiento de los sentidos puede halagar, sino la vanidad de poder gastar más dinero que otro alguno. Y mientras que de tal manera lo arrojaban magnates y prelados, no sólo el pueblo yacía sumido en la mayor miseria, sino que en algún caso los mismos reyes pasaban por grandes apuros para el sostenimiento de su casa, como lo indica la anécdota de Enrique III, empondo su capa para que en la tienda del comerciante se le fiaran los comestibles necesarios á fin de poder cenar; y aquél otro hecho de que el rey se presentara de improviso acompañado del verdugo en uno de aquellos locos banquetes y preguntase cuántos reyes habían conocido, y contestado con arreglo á la edad que tenían, el rey les dijo: yo he conocido y conozco muchos, que sois todos vosotros, que de tal manera gastáis el dinero que vosotros y los vuestros habeis adquirido á fuerza de usurpaciones, mientras que el pueblo se muere de hambre, las arcas del Tesoro público están exhaustas y nuestro soberano, no sólo no puede hacer frente á las necesidades de la paz y de la guerra, sino que carece de los medios de sustento: no es posible que esto continúe por más tiempo, y estoy resuelto á poner término á tales desaguisados e injusticias.

Si tales hechos, afirmados por cronistas e historiadores, no hubieran sido una realidad, la circunstancia sólo de haber afirmado su existencia, patentiza cuál era la opinión dominante y el estado de aquella sociedad que los hacía verosímiles. En último término, supuestos ó verdaderos, vienen á probar poco más ó menos lo mismo. Los trabajos de sedería, restos de esta industria cultivada por los árabes, y la de platería, que dejaron en Granada y que gozó de justo renombre en toda Europa, así como la de los cueros de Córdoba, la de las tapicerías, telares de lienzo y algodón procedentes del mismo origen; si no llegaron á alcanzar el grado de perfección que las primeras citadas, indicaban, sin embargo, que los españoles tenían la aptitud necesaria para aprovecharse de las lecciones de sus maestros; ó, dicho de otra manera, venía á poner de manifiesto que la fa-
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de nuestros ejércitos, es el más fuerte.» «El que paraliza enteramente esta acción, es el más débil, etc.» Principios admirables como razonamiento; principios exactos, matemáticamente hablando, pero prueba inequívoca de un error largo tiempo en boga: el de la Matemática en la política, en la guerra, en todas las ciencias sociales.

Y tales proporciones ha tomado este error, que en fortificación la mayor importancia de los modernos trabajos de Brialmont, Brunner, Girard, Popp y Wauwermans estriba, sin duda, en haber considerado ante todo el fuego, las armas, los elementos del atacante, la situación táctica, el terreno, etc., y en que han conseguido establecer una serie de principios y reglas perfectamente adaptadas al modo actual de combatir, sin necesidad de los cálculos y construcciones geométricas que antes se creían indispensables.

Basta, en fin, ver la organización de los estudios militares. En todos ellos se reserva á la Matemática un puesto de predilección; y no parece sino que el mundo entero está contenido en las propiedades matemáticas; que no hay nada útil que aprender fuera de esto; que, en suma, no hay otras ciencias fundamentales, entre las que la Matemática tiene sin duda un rango honorable y un dominio propio, pero limitado. De esta ignorancia viene probablemente esta matemático-mania, y urge por esto plantear la cuestión matemática, para reformar los viciosos y rutinarios métodos de la enseñanza actual.

Se definen, aun hoy, hechos de evidencia propia. El punto, por ejemplo, que no necesita definirse. Definiéndolo como un límite de extensión sin dimensión, se oscurece más que esclarece esta noción. El punto es inextenso. Luégo no cabe lógicamente en la Geometría, sobre todo si de ésta se dice solamente que es la ciencia de la extensión. De pretender explicar el punto, sería preciso, ante todo, modificar esta concepción estrecha de la Geometría. Porque la Geometría es la ciencia del espacio; pero como el espacio es engendrado por el movimiento, el movimiento entra también en la Geometría.

El movimiento en el espacio, desprovisto de toda extensión, esto es, de toda materia, es lo único que puede explicar el punto.

Pero prescindiendo de esta teoría, es insostenible también esa serie de errores dialécticos y metafísicos que abundan en las geometrías