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establecidas para las cantidades de esta última especie, se reproducen para las de la primera.

De las unas y de las otras leyes hace un resumen el Sr. Portuondo, en el que estudiando más de cerca la continuidad (carácter esencial) existente entre los órdenes, y entre los valores en cada orden, de las cantidades infinitesimales, presentalos en un cuadro para afirmar con nuevas razones y poner en claro las relaciones mutuas entre las cantidades infinitesimales de órdenes y de valores cualesquiera, y entre estas mismas y las variables con límite ó finitas. Imagen de este cuadro de lo infinitesimal es el ejemplo gráfico, en que por medio de un ángulo indefinidamente decreciente, cuyo arco u (con cierto estado de magnitud) trazado con el radio-unidad expresa la infinitamente pequeña principal, se trazan y se manifiestan así ordenadas y valoradas, longitudes variables de las tres especies referidas, y con el cual termina el capítulo primero del librito del Sr. Portuondo.

Consagrado está el segundo á las operaciones fundamentales con las cantidades infinitesimales y á la explicacion y, mejor todavía, definición de ciertos símbolos, cuyo sentido no es generalmente el que les atribuyen no pocos matemáticos que, según indicamos en el principio, suelen confundir las variables infinitesimales con las variables con límite, suponiendo para eso que el cero y el infinito son efectivos límites de aquéllas.

El objeto de este capítulo segundo está perfectamente justificado. Después del estudio de las cantidades infinitesimales y de sus leyes de variación, si habíamos de reunir todos los antecedentes indispensables para comprender el doble objeto del Cálculo, nos era necesario conocer, según de las palabras escritas al comenzar este artículo se desprende, la suma y la razón de dichas cantidades. ¿Cómo saber, en efecto, cuándo tendrán límite tal razón y tal suma? Perfectamente ordenadas y discutidas encontrarán las contestaciones á esta pregunta, y á cuentas del mismo género les pudieran ocurrir, los curiosos, si no muy numerosos, lectores del librito del Sr. Portuondo. Considera este autor, primeramente, la suma y la resta de dos variables infinitamente pequeñas; después, la suma y la resta de dos variables infinitamente grandes; luego, la suma de una infinitamente pequeña, con otra infinitamente grande, y la diferencia entre una infinitamente pequeña y otra.
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infinitamente grande, y entre esta última y la anterior, para llegar á las conclusiones siguientes: en las que 0 é \( \infty \) simbolizan (del modo que repetidamente hemos dicho) las cantidades infinitamente pequeñas é infinitamente grandes, respectivamente. Las formas 0+0 y 0—0 representan siempre variables infinitamente pequeñas; y variables infinitamente grandes, todas las formas de suma y de resta en las que sea un término infinitamente grande; con la excepción de la \( \infty-\infty \) que puede significar una variable infinitamente pequeña, ú otra, infinitamente grande, ó bien, una tercera variable con límite. Si uno de los dos términos de las formas de suma y de resta antes escritas es variable con límite, la suma y la resta serán variables con límite también, ó infinitamente grandes, según que el otro término sea una variable infinitamente pequeña, ó una variable infinitamente grande. Esclarecen los resultados de estas operaciones varios ejemplos por el estilo del que ligeramente reseñamos al tratar del cuadro de lo infinitesimal.

El mismo método para estudiar la multiplicacion y la division y deducir en consecuencia: que los productos de dos factores infinitesimales de la misma especie son homogéneos con sus factores; que el producto de un factor, infinitamente pequeño, por otro, infinitamente grande, es homogéneo con el factor de mayor orden, ó variable con límite cuando los órdenes de los factores sean iguales; y, al fin, que los productos de una variable infinitamente pequeña, ó de una infinitamente grande, por otra variable con límite, son de la misma especie que sus factores infinitesimales respectivos. Las conclusiones de la division se deducen fácilmente de las halladas para la multiplicacion y se encuentran conformes con las anteriormente demostradas, al tratar en general de la valoracion (medicion) de las cantidades infinitesimales.

En el estudio de las potencias con exponentes enteros y de las potencias con exponentes fraccionarios (raíces) considera desde luego los casos en que sean constantes ó variables con límite los exponentes (tanto el de la potencia como el del radical) y dignandos y radicandos infinitesimales; después, aquéllos en que sean los exponentes infinitesimales, y los dignandos y radicandos constantes ó variables con límites diferentes de la unidad, deteniéndose particularmente en este último caso por su reconocida importancia; y, por fin, las potencias y raíces en que tanto los ex-
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ponentes, como los dignandos y radicaudos, sean infinitesimales. A todas estas operaciones, como á la suma y á la resta, acompañan ejemplos que las evidencian, siendo los más interesantes para fijar ciertas ideas los que á los símbolos de indeterminación se refieren.

Entre los símbolos (de operaciones) considerados, dice el señor Portuondo, adoptando, como ya se hizo, el o y el \( \infty \), como si fueran límites de las infinitamente pequeñas y de las infinitamente grandes respectivamente, sólo los \( \infty \cdot \infty \), o \( \infty \), o: o, \( \infty : \infty \), \( 1^{\infty} \) ó \( \sqrt{1} \infty^{\circ} \) ó \( \sqrt{\infty} \) y o\( ^{\circ} \) ó \( \sqrt{o} \) pueden corresponder á variables con límite. Cuándo sucedía esto lo vimos anteriormente; y recordaremos, por vía de ejemplo, que los cocientes o: o ó \( \infty : \infty \) representan variables con límite siempre que sean iguales los órdenes del dividendo y del divisor: siendo entonces el límite, ó cantidad constante que importa determinar, la razón de sus valores. Por la facultad inherente á tal límite de tener un valor cualquiera se llaman indeterminados los símbolos escritos; pero, una vez determinados y fijos los valores de las variables infinitesimales que constituyen sus términos, el del límite correspondiente es también un número determinado y único. El problema elegido para evidenciar estas afirmaciones es el de la determinación de los puntos ó centros de semejanza de dos círculos cuyos radios sean infinitamente pequeños: problema en el que, por cierto, las cantidades infinitesimales figuran como datos directos y no como auxiliares que es el papel que desempeñan comúnmente en el Cálculo.

Los teoremas fundamentales del cálculo se hallan comprendidos en el capítulo tercero. Para interesar al lector y aficionarle á la lectura de este libro, hablamos al principio de los problemas que resuelve los cálculos, diferencial e integral; pero debemos ahora ampliar un poco nuestras primeras, brevísimas indicaciones, con el fin principal de patentizar la secundidad e importancia de la cantidad infinitesimal. El problema, objeto del cálculo diferencial, dijimos, es la terminación del límite de la razón de dos variables infinitamente pequeñas; el del cálculo integral, la determinación del límite de una suma de infinitamente pequeñas, cuyo número sea infinitamente grande. Dicho queda en qué casos tiene límite la razón de dos variables infinitamente pequeñas; y
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en cuáles la suma abreviada o.∞, de sumandos infinitamente pequeños iguales, lo tiene así mismo; no siendo difícil demostrar que la condición suficiente y necesaria, para que la suma de sumandos infinitamente pequeños, desiguales (de valores diferentes) sea variable con límite, es que el orden infinitesimal de los sumandos sea igual al orden del número de los mismos.

Mas, ¿cómo determinar efectivamente tales límites? ¿Cómo definir los de una forma, cerrada enteramente para nosotros? Pues haciendo lo que en muchas circunstancias de nuestra vida: rodeando, siempre que directamente no podamos vencer los obstáculos que al logro de nuestros deseos se oponen: procedimiento de sentido común, empleado naturalmente por los primeros matemáticos de los tiempos antiguos. ¿No podían directamente comparar las áreas de dos círculos? Pues acudían á las de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos respecto de aquéllos. Y así también los modernos, después de reconocer fundadamente en la cantidad infinitesimal el lleno y genuino concepto de la cantidad, del quantum determinado, objeto verdadero de la Matemática, como ya indicamos, han vencido las dificultades que se les presentaban al definir, por ejemplo, la curvatura en un punto de una línea curva cualquiera; el peso específico de un cuerpo en un punto cualquiera, la velocidad y la aceleración en un instante de un movimiento cualquiera, etc., etc. Todo el misterioso artificio se reduce á sustituir las variables infinitamente pequeñas, inestimables directamente para nosotros, y cuya razón ó suma, limitadas, buscamos, por otras infinitamente pequeñas del mismo orden, y de valores proporcionales, cuando de la razón se trate; ó de valores cuya suma infinitamente grande tenga el mismo valor que la de los valores de las variables sustituidas, si buscamos la suma. Estas dos proposiciones directas se reducen al caso particular, en que las razones de las variables sustitutas con las sustituidas tengan por límite la unidad; y de esta proposición particular, suficiente aunque no necesaria, se desprende lo que generalmente se expresa diciendo que la diferencia entre cada dos variables es infinitamente pequeña respecto de cada una de ellas, ó de orden superior al de las mismas; ó bien, que las infinitamente pequeñas que reemplazan á las dadas ó primitivas difieren de éstas infinitamente poco.
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Mas ahora se nos presenta una nueva dificultad: ¿Cómo hallar las variables infinitamente pequeñas por las que podremos convenientemente reemplazar las primitivas? A esta pregunta contesta el Sr. Portuondo con un ejemplo que explica de un modo clarísimo el propio objeto del Cálculo infinitesimal en sus dos partes. Supuesto el movimiento de un punto sobre una trayectoria, el camino recorrido es una cantidad variable que depende del tiempo, y dependencia entre espacio y tiempo se expresa por la ecuación

\[
s = f(t)
\]

Admitamos que la línea representada por esta función esté referida á ejes de coordenadas rectangulares para mayor sencillez; y que \( s \) y \( t \) sean las coordenadas del punto móvil (su posición en un instante). Si por \( \Delta s \) designamos un camino infinitamente pequeño, recorrido por el móvil en un intervalo de tiempo también infinitamente pequeño \( \Delta t \), á partir de la posición marcada, y se miden el uno y el otro, el cociente de los números resultantes \( \Delta s : \Delta t \) tendrá un límite, y este límite es precisamente lo que se llama velocidad en el instante que se considera. Escribiendo al pormenor lo dicho, hallamos las expresiones siguientes:

\[
\frac{s + \Delta s - f(t + \Delta t)}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = k + w
\]

en la que se ve bien claro que \( \Delta s \) es el incremento de la función correspondiente al \( \Delta t \) de la variable, y que \( k \) es el límite del cociente de los dos incrementos. Este límite, exceptuando naturalmente el caso en que la función varíe proporcionalmente á la variable (movimiento uniforme), es una función también de esta variable, y se llama función (que indica la continuidad) ó derivada de la función propuesta. De la ecuación últimamente escrita se deduce esta otra:

\[
\Delta s = k \Delta t + w \Delta t.
\]

la cual manifiesta que el incremento infinitamente pequeño \( \Delta s \) se compone de dos partes: del producto \( k \Delta t \) de la función por la infinitamente pequeña \( \Delta t \); y del producto \( w \Delta t \), cuya razón con el anterior es infinitamente pequeña. Omitiendo, como podemos hacerlo sin error, esta parte segunda, queda la primera \( k \Delta t \) que
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es la diferencial de la función dada respecto de t, y la que en lugar de \( \Delta s \) introduciremos en todos los cálculos en que ésta figure. En esta diferencial representa \( \Delta t \) generalmente el incremento-unidad, la variable-unidad en el estado de magnitud fijo que su nombre indica; y lo que debemos buscar siempre es el límite \( k \), ó sea la derivada de la función propuesta. Hallada la derivada, ya tenemos la infinitamente pequeña que buscábamos, por la cual puede ventajosamente reemplazarse la primitiva. Decir que la derivada de una función expresa el cómo y el cuanto varía la función misma, sería repetir ideas ya anticipadas. El objeto, pues, del cálculo diferencial es la determinación ó deducción de las diferenciales, ó sea, resiriéndonos al ejemplo explicado, de la velocidades de las funciones.

Pero, considerando, á la inversa, conocida su velocidad en cada instante, un movimiento no informe quedaria determinado; puesto que se podría hallar la longitud recorrida en un intervalo dado de tiempo, ó el tiempo empleado en recorrer una longitud dada. Basta para esto observar que la longitud recorrida en un tiempo dado, y son palabras del Sr. Portuondo, es la suma de las longitudes que corresponderían á los intervalos en que quisiéramos descomponer este tiempo. En el supuesto de que el número de estos intervalos sea infinitamente grande ó indefinidamente creciente, la longitud recorrida en un tiempo dado es la suma de los sumandos infinitamente pequeños (\( \Delta s \)), en número infinitamente grande (\( n \)) que corresponderían á intervalos infinitamente pequeños de tiempo (\( \Delta t \)). La determinación de este límite es el objeto del cálculo de las cuadraturas (así se llama propiamente por su fin el integral). Más ¿cómo se determina tal límite? Conociendo la velocidad v ó sea, la fluxion de la función dada, está conocida la diferencial \( v. \Delta t \). por la que sustituiremos la infinitamente pequeña \( \Delta s \); y con esta sustitución el problema se convierte en el de hallar el límite de los diferentes sumandos \( v. \Delta t \). La resolución de este problema se llama integración.

Además del ejemplo trascrito, que nos ha permitido dar á nuestros lectores una ligera idea del artificio fecundo del Cálculo, pone el Sr. Portuondo otros dos: el de la longitud de una línea cualquiera, y el de los contactos de diversos órdenes: ambos con el mismo fin de encarecer la importancia y trascendencia de la cantidad en su lleno concepto de infinitesimal.
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partido, por algo que no subordinara jamás lo que hay de esencial y permanente en el hombre y en la sociedad, á las conveniencias del momento, siempre pasajeras y transitorias; que era preciso, en fin, que la seguridad, la propiedad, la libertad, quedasen bajo el amparo inviolable de los tribunales de justicia, estimulados y vigilados á su vez constantemente por ese mismo interés individual que nada fatiga ni detiene.

La Restauracion en cambio, representada en primer término para la obra constitucional por la comision del Congreso, compuesta de los Sres. D. Manuel Alonso Martinez, D. Francisco da Paula Candau, D. Ricardo Alzugaray, D. José Fernandez Jimenez, D. Saturpino Alvarez Bugallal, D. Victor Cardenal y don Francisco Silvela, atenta únicamente, según ella misma confesaba "á afirmar la autoridad del Rey y de su Gobierno responsable", que en la práctica del régimen monárquico constitucional son una misma, idéntica autoridad ejercida por lo que algunos llaman poder ministerial, creyó que podía prescindir hasta dedicar una sola línea á los Tribunales de justicia en el preámbulo de su proyecto de Constitucion, y aun cuando al discutirse éste no faltó quien pusiese de manifiesto la conveniencia de seguir considerando en el fondo y en la forma, en la administracion de justicia como un poder; ni quien con sólidas razones, tímidamente refutadas, se opusiese al principio de la prévia autorización, todos aquellos esfuerzos fuesen inútiles, siendo necesario para conseguir que forme parte de la nueva ley fundamental el principio de la inamovilidad que se insinuase una excisión en el partido dominante con la enmienda del honrado patricio Sr. García Camba, suavizada por otra del prudente y conciliador Sr. Ulloa (q. s. g. g.) que fue admitida por la comision, y pasó á ser el art. 80 de la Constitucion de 1876 hoy vigente.

Enalzado por esta manera el poder ministerial, sustituido con este cimiento el que lo era de la Constitucion de 1869, no solamente no tiene nada de extraño, sino que es perfectamente lógico y natural lo que muchos consideran como un fenómeno insoportable, y cuyo origen buscan en las cualidades personales de los consejeros de la Corona, á quienes se acusa de soberbios y de absorbentes, sin reparar en que, mientras por el organismo constitucional de la revolucion la seguridad, la propiedad y la libertad
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Finaliza el libro del Sr. Portuondo con una nota, muy digna de encomio, en la cual estudia este autor la razon de dos funciones que se anulan ó se hacen infinitas (hablando abreviadamente) para un valor particular de su variable. Esta variable, independiente, puede tener límite, ser infinitamente pequeña ó ser infinitamente grande; y en cada una de estas tres suposiciones, considera los casos en que el orden de la función-dividendo sea igual, mayor ó menor que el de la fracción divisor.

Para estudiar la primera, da á la variable la forma \( u + \frac{1}{u} \), siendo \( u \) infinitamente pequeña, y desarrolla, por la fórmula de Taylor, las dos funciones de la razon propuesta; en la segunda, cuando las dos funciones son infinitamente pequeñas, al mismo tiempo que su variable, usa el desarrollo de Maclaurin; y la tercera se refiere á la segunda, designando por \( 1 : u \) la variable infinitamente grande. En cuanto á la razon de dos funciones, infinitamente grandes, admitiendo que sean recíprocas de estas funciones otras dos, infinitamente pequeñas, la cuestión se convierte en la que á estas últimas se refiere. Y así, en efecto, mediante las funciones infinitamente pequeñas y sus derivadas expresa las funciones infinitamente grandes y las suyas. En todos los casos distingue minuciosamente los órdenes y los valores de las cantidades infinitesimales para llegar á los resultados correspondientes: órdenes y valores que, como dice con verdad el Sr. Portuondo, no toman en cuenta los más conocidos autores contemporáneos.

A pesar del gusto con que hacemos este trabajo, no nos atrevemos á prolongarlo más, no sea que, sin saberlo, publiquemos una segunda edición, empeorada seguramente, del libro del señor Portuondo. No somos competentes para asegurar que este autor, á quien personalmente no tenemos el gusto de conocer, haya tenido el acierto de llevar á los espíritus el concepto claro y cabal de la cantidad infinitesimal, de la verdadera cantidad matemática en la plenitud de la palabra; y de fijar la situación de esos elementos infinitos, de los que, según Carnot, siempre tuvieron los matemáticos ideas imperfectas; y los cuales ya se presentan como verdaderas cantidades (finitas), ya son tratados como ceros en absoluto; pareciendo, por su equívoca significación, como mediadores entre la magnitud y el cero, entre la existencia y la nada. Tampoco llevaremos nuestra alabanza hasta el punto de afirmar
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que el Sr. Portuondo haya establecido sobre bases absolutamente admitidas por todos los filósofos matemáticos el Cálculo infinitesimal, y deslindado metafísicamente el infinito relativo y el infinito absoluto, por lo que al objeto propio de la Ciencia matemática se refiere.

Pero lo que sí afirmamos, sin estar libres de error, es que en el libro del Sr. Portuondo hay, en el terreno filosófico, datos para obligar al lector á inquirir hasta dónde pueden armonizarse la cantidad finita y la relativamente infinita, y la imposibilidad y la posibilidad del infinito absoluto dentro del concepto de la Ciencia matemática. Y, ya dentro de la esfera particular, formal, de esta Ciencia, indudablemente los lectores del libro que anunciamos verán reunidas en pocas hojas leyes que están por muchos libros diseminadas, y que dan no poco qué pensar aun á los que no son principiantes en el estudio de aquélla; que para éstos son misterios, por largo tiempo indescifrables, los símbolos que explica y esclarece atinadamente el Sr. Portuondo. Y dicho se está que así nos parece á nosotros, inhábiles para tratar asuntos tan árduos y controvertidos; pero muy ganosos, de que todas las personas ilustradas de nuestro país, que no son hoy tan pocas, se dediquen á leer, estudiar y propagar, haciendo á sus autores cumplida justicia, obras apreciables, como la que acaba de dar á la estampa el Sr. Portuondo, y hemos tenido la audacia más de anunciar que de criticar nosotros, en su benevolencia confiados.

E. JIMENEZ.
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DERECHO DIFERENCIAL DE BANDERA.

(Conclusion.)

Pero veamos ahora cómo los hombres perecen por sus mismos filos. Dióme la curiosidad de comprobar los guarismos que viniesen á las manos, y me encontré que en el trabajo publicado por el centro naviero de Barcelona, y en que ha demostrado su pericia el Sr. Estasen, en cinco líneas ha cometido seis errores; y esto lo he comprobado con las balanzas en la mano. En la página 219, apéndice á la contestacion del centro naviero de Barcelona, se expresa la importacion de Europa, África y América; y aparecen en el año 1859 en bandera nacional: 212.771 toneladas de peso: en la bandera extranjera se ponen toneladas de arqueo 675,314. Pecado mayúsculo que había cometido el Sr. Figuerola en el preámbulo del decreto de 22 de Noviembre de 1868. En el año siguiente se ponen también en bandera nacional toneladas de peso 214.447; en bandera extranjera toneladas de arqueo 735.775, de modo que hay reincidencia. En la salida se estampan toneladas de peso en bandera española 202.452, cuando son 204.723; y en bandera extranjera 440.865 cuando son 438.594. Además las sumas totales están mal hechas; pero yo no imputo errores que puedan ser tipográficos: y todavía hay otro error solemne: el centro naviero de Barcelona, presenta aquí cantidades heterogéneas: colecciona toneladas de 20 quintales castellanos hasta 1862, sin hacer notarlo con las toneladas métricas de 1000 kilogramos adoptadas desde 1863: y esto lo ha hecho el autor de ese trabajo tan notable. ¿Es que ha querido errar? Indudablemente que no; tanto no ha querido, que, si en vez de poner toneladas de arqueo en la importación extranjera, para compararlas con las toneladas de peso en bandera nacional, le hubiera salido mejor la cuenta para la que se proponía demostrar. Luego no ha habido voluntad de errar, y no será yo quien diga, como respecto de mis datos se ha dicho: si aquí hay estos errores, ¿qué será en todo lo demás?

No, porque reconozco que es un error como cualquier otro el de comparar toneladas de peso con toneladas de arqueo, y eso que desde 1855 la separación está perfectamente hecha en las balanzas de las aduanas y no existía en balanzas anteriores de 1849 á 1854; por lo que era más fácil el error que realmente se cometió por mi parte, y que con la sinc-