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Revista de España (1877-09-01 00:00:00), página 535

—¿Dónde encontrarlos? ¿Cómo pagarlos luego, si los encontraras?
—No se trata de tomarlos á préstamos; nó: no hallaria V. quien se los diera.
—¡Entonces?
—Lo que V. necesita es que le regalen ese dinero.
—¡Se está V. burlando de mí, Sr. Garrafina?
—Oigame V. S. hasta el fin y verá que no me burlo, ni mucho menos. Usía va á casar á su hija con un pobre, y á gastar el dinero que no tiene, en equiparla como Dios quiera. ¿Qué diría Usía, si se le presentara un Yerno que le dijera: "Yo tomo á la muchacha sin dote, la doto yo mismo en diez mil duros, y á su padre le regalo otros tantos para desempeñarse?
—¡Mucha generosidad sería!—contestó el Coronel, pálido el semblante, y trémulos los labios, agitados por una amarga irónica sonrisa de muy siniestro agüero.
—¿Qué diría V. S.?—repitió Garrafina.
—Diría... diría... Pero ¡á qué es perder el tiempo en vanas suposiciones?
—Nada de suposiciones, Señor Don Pedro. Hay realmente un hombre, del estado llano en verdad, pero rico, muy rico, y con legítimas esperanzas de serlo mucho más, andando el tiempo; y ese hombre, prendado de la hermosura de la señorita Guadalupe, solicita su mano, y ofrece lo que antes dije.
—Mi hija está enamorada de otro hombre.
—El que la pretende lo sabe, pero no les dá importancia á esos amorios de niños. La señorita es virtuosa y discreta; y ni á ella ni á su padre, pueden ocultárseles las ventajas pecuniarias...
—Mi hija no está de venta, señor Garrafina.
—Una cosa es venderse, y otra rendirse á razones. Si la señorita se casa con Don Carlos Yañez, se condena á sí misma y condena á su padre á la miseria. Casándose contigo...
—¡Ah!—Exclamó, ya en el parasismo de la ira, el Coronel, saltando más que levantándose de la silla, y adelantándose con imponente amenazador ademan hacia Garrafina.—¡Conque eres tú, miserable usurero, quien tiene la avilante de aspirar á la mano de mi angelical Guadalupe Sanchez de Vargas!—Ya había yo empezado á presumirlo, pero no llegué á sospechar que tu insolencia lle-
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gara á darte valor para hacerme tan infame proposicion cara á cara.—Válgate el sagrado de mi palabra empeñada, y sal de aquí pronto por la puerta, si no quieres que, cegándome la cólera, falte mi palabra arrojándote por ese balcón á la calle. Vete, villano; vete; y si estimas en algo tu vida, no vuelvas nunca á cruzar estos umbrales."

Mientras de esa manera desahogaba Don Pedro su más que justa cólera, Agapito Garrafina, andando hácía atrás, para no perder de vista al padre de Guadalupe, al menos hasta ponerse en franquía tomando la puerta, revolaba en su lívido semblante, y en su mirada de víbora herida, todo el miedo, toda la saña, toda la vengativa fúria, que, al mismo tiempo su perverso corazón solicitaban y encendían.

Silencioso se mantuvo hasta llegar á la puerta del Despachoy salir por ella al recibimiento: pero antes de cerrarla, como lo hizo luego, lanzó al Coronel esta imprecacion en voz estridente:

—¡Pedro Sanchez de Vargas, pues tú lo quieres, guerra á muerte á ti, á tus hijos, y á sus descendientes hasta la cuarta generación! ¡Guerra á muerte, y maldicion y extermínio sobre todos vosotros, mientras haya en el mundo un solo Garrafina."

PATRICIO DE LA ESCOSURA.

(Continuará.)
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LA GEOMETRIA Y LA MORFOLOGIA DE LA NATURALEZA.

(Continuacion.)

§ 6.

No es mucho, en verdad, lo que han hecho á sabiendas los geómetras, propiamente dichos, para mejorar el estado crítico de su ciencia en lo tocante á sus cuestiones fundamentales. Bajo el prejuicio, general en ellos, de que trasciende ya á la Metafísica, y sale por tanto de los dominios propios de la Geometría, cuanto se refiere al concepto y propiedades esenciales del espacio, á la naturaleza intrínseca de sus límites interiores, y al camino que sigue el espíritu en la formación de este género de conocimientos, sólo en ocasiones excepcionales y por motivos muy subordinados, han llegado á veces á tratar ligeramente estos problemas capitales. Latentes como están en toda cuestión, por especial que sea, no era posible que dejase el pormenor geométrico de despertar en algún modo superiores exigencias hacia los primeros principios, en sus cultivadores más autorizados. A los esfuerzos intentados en diversas épocas, y especialmente en la nuestra, para de mostrar el postulado de Euclides y legitimar sus axiomas, se debe sobre todo el que hayan sido llevados necesariamente los geómetras á la consideración

(1) Véase el número del 28 de Mayo.
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de estos problemas, que reputan ellos, extraños á su propia competencia, y pertinentes, por el contrario, al dominio de la especulacion filosófica: como si esta no abrazara plenamente en sí misma y por igual motivo, así la cuestion total del espacio, como la serie inagotable de particulares teoremas que de ella se derivan y forman el asunto de la ciencia geométrica actual. El establecimiento de la teoría de las rectas paralelas, es decir, la demostracion del postulado XI de Euclides, es en efecto el punto de donde arranca la tendencia algorítmica, antes aludida, cuya génesis y afirmaciones principales, tácitas y expresas, importa señalar ahora, aunque breve y resumidamente, tan sólo.

¿Qué razon intrínseca existe, qué fundamento hay a priori para que no sea posible tirar en un plano desde un punto dado en él más que una sola paralela á otra línea también contenida en dicho plano? O, lo que es igual, trazadas dos líneas en un plano y una tercera que las corte, ¿por qué sólo en una determinada posición relativa de las primeras (cuando los ángulos interiores que forman á un mismo lado de la última son iguales á dos rectos), dejan de encontrarse aquellas en toda la extension del plano, son paralelas en suma; y se cortan al contrario en un solo punto, cuando esta circunstancia no concurre?—De los axiomas que en la Geometría de Euclides anteceden á este, que impropriamente lleva el nombre de postulado del mismo, se deduce en realidad la afirmacion en el expresada? ¡Cabe demostrarla mediante aquellos? Implican estos en sí mismos la verdad que en él se declara?—¡O es que lejos de contener la razon suficiente de semejante postulado, éste no tiene otra base que la meramente empírica, elaborada por la contemplacion sucesiva de los fenómenos espaciosos?—Y si tal sucede; si no hay una necesidad interna que enlace indisolublemente á dicho axioma con los anteriores; si ha surgido como producto de la abstraccion en nuestra experiencia diaria, ¿no será posible construir la Geometría, preseindiendo de éste, y aun declarándolo falso quizás?—Reducido á la condicion de un mero hecho de observacion sensible, que tanto puede ser real y verdadero, como representar una preocupacion subjetiva, habrá de resentirse la ciencia del espacio hasta perder su sistemático equilibrio, si se intenta construirla sin apelar á dicho postulado?

Tales son las cuestiones que han surgido de los estudios hechos
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por los geómetras ya nombrados (1), para fundamentar la teoría general del paralelismo de las rectas en el plano.

§ 7.

La trascendencia que entrañan es notoria. Implican nada menos que este capitalísimo problema: afirmaciones autorizadas como axiomas racionales por la tradición desde Euclides, lo son en realidad, ó proceden sólo de meras abstracciones empíricas?

La manera con que intentan darle solución adecuada aquellos pensadores, responde por su parte, y como era de esperar, al carácter parcial y exclusivo, abstracto en suma, con que brota en ellos la indicada exigencia. Frutos de unidad, no los alcanza el pensamiento, cuando se mueve en límites meramente parciales; antes recoge, mezclados con afirmaciones en parte sólo verdaderas, errores capitalísimos, como ocurre en la ocasión presente.

El postulado XI de Euclides es un hecho de experiencia, dice Lobatschewsky: no tenemos otra razón para afirmarlo, que la observación diaria. Fuera de ella, no hay fundamento racional en que descance; ni es posible derivarlo de los axiomas anteriores, ni menos lo implican éstos en sí mismos. De suerte que, al llegar á este punto, la Geometría se escinde como en dos ramas: la experimental y la abstracta, conformes en parte y en parte discordantes. Si el postulado fuera una verdad axiomática, traído por exigencia interna del fondo de los axiomas anteriores, ¿cómo sería posible negarlo sin contradecir á la vez, y sin excepción alguna, todas las verdades fundamentales de la ciencia del espacio, y sus infinitos corolarios? Es, pues, una conclusión empírica; y la Geometría actual, la de Euclides, una ciencia por tanto elaborada a posteriori, sobre todo, como la Mecánica y la Física; por más que, aceptada fácilmente la imposición tradicional, la tengamos por el modelo acabado de las ciencias de pura razon. Pero en cambio goza de este carácter la nueva Geometría, la imaginaria ó abstracta, como la nombran sus promovedores. Aquella satisface en buen hora las necesidades prácticas; esta es, por el contrario, el fruto sano y legítimo de la verdadera especulación ideal. En tanto que en los mayores

(1) Art. I § 1.—(Rev. de 28 de Mayo último.)
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antes de la vida, es ahora semillero de ruinas y máquina de guerra. El sol es ciego, aunque á nosotros nos alumbe: su accion es uniforme y siempre la misma, no es por sí buena ni mala; son buenos ó malos los resultados, y los resultados dependen de las condiciones en que encuentra el suelo sobre que actúa. Tampoco un pedazo de hierro es bueno ni malo en si, con relacion á la vida humana, hasta tanto que el artífice le imprime ésta ó aquella cualidad, labrándolo en forma de homicida puñal ó de reja de arado.

Así como el vivificante oxígeno mata, si no se contraresta su accion con la accion contraria del nitrógeno, el sol, animador de nuestro clima, requiere el contrapeso de riegos abundantes si no ha de trocarse en urente y enemigo mortal de los vegetales. En las regiones boreales, se ve forzado el lapon á emplear el calor artificial para acabar la maduréz de la cebada que cultiva y con que elabora el pan de su familia: nuestros artificios agronómicos tienen que mirar á un objetivo opuesto, á proporcionar sombra y humedad á las plantas para que no las abrase el sol: ¡si á los hombres del Norte les lluviera en las montañas y les corriera por los ríos el calor que necesitan, como á nosotros el agua que nos hace falta, y pudieran conducirlo por canales á sus campos ó extraerlo del subsuelo por pozos artesianos! El mal y el bien no están tanto en la Naturaleza como en nuestra voluntad: con ser uno mismo el sol para los persas y para los atarantes, aquellos lo veneraban como vivificador de la Naturaleza, y estos lo maldecían y denostaban, porque, dice Herodoto, con su ardor quemaba á los hombres y á la tierra; es que los primeros eran cultos, y habían adelantado mucho en el arte de la irrigacion, mientras que los segundos vivian en estado salvaje. Tambien sopla igual el viento y fluye y refluye la marea para los salvajes pastores de las Landas y para los diligentes Agricultores del Brandemburgo, y sin embargo, los primeros dejan que las arenas del Atlántico invadan continuamente la Gascaña, mientras que los segundos ganan al Báltico todos los dias, merced al arbolado, nuevos campos, que vienen á ensanchar, como otras tantas conquistas, el suelo de su patria.

Imitemos, pues, la prudente conducta de los antiguos persas y brandemburgueses, y no pretendamos hallar disculpa á nuestra pereza en las especiales condiciones hidrográficas de nuestro suelo. Aun la misma Mancha, siempre tan sedienta, bríndale la Naturaleza con
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triángulos conocidos, por ejemplo, el que tiene sus lados tan grandes como la distancia de la tierra al sol, la suma de los ángulos no difiera de dos rectos en tres diezmilésimas de segundo, según induce Lobatschewsky de las observaciones astronómicas, puede la Geometría euclídea continuar llenando su misión en la vida diaria, cuyas exigencias, por ser empíricas, con esto se contentan; pero el rigor científico, la especulación sistemática, divorciados de la ciencia usual, verán guardados sus fueros, donde cabe hacerlo, en la elaboración de las concepciones analíticas, abstractas, independientes de toda base empírica, de que va á surgir la Geometría imaginaria (1).

Esta prescinde del espacio efectivo, al cual estima uno de tantos casos particulares de un supuesto espacio indeterminado, cuya nota esencial es el constituir, como el tiempo, una noción general, determinable en multitud de posiciones especiales, una unidad resoluble en variedad ó multiplicidad interna de elementos distintos, diversitas (Gauss), Manifaltigkeit (Lobatschewsky, Boyai, Riemann y Helmholtz), manifoldness (Frankland y Clifford) (2).

Inquiere luego y representa mediante fórmulas y simbolismos de los llamados analíticos, las relaciones generales que juzga posi-

(1) Hotzel, I. e., Apéndice, Nota VI.
(2) Véanse los trabajos ya citados de estos geómetras, y especialmente el artículo que en la Revista inglesa Nature (12 de Abril de 1877), publica Frankland (J. W.), y es reproducción de la nota por él leída ante la "Sociedad Matemática de Londres" en 14 de Diciembre de 1876, con este título: Sobre la diversidad continua más sencilla de dos dimensiones y de extensión finita (On the simplest continuous manifoldness of two dimensions and of finite extent). Después de indicar que una de las más notables especulaciones del siglo presente es la que ha llegado á negar parte de los axiomas geométricos la verdad que hasta ahora se les reconocía desde Euclides, y que á Lobatschewsky se debe la creación de una Geometría en oposición con alguno de ellos, examina las afirmaciones de ésta y expone luego su trascendencia general en la siguiente forma: "Vemos también que la Geometría es sólo una de tantas ramas especiales de una licencia más general y que el concepto de espacio es un caso particular de un concepto más amplio y comprensivo. El de que son meras variedades, los de espacio y tiempo, se ha propuesto designarlo por el término diversidad." Cuantas veces una noción general es susceptible de una variedad de especializaciones, el agregado de éstas se llama una diversidad. Según esto, el espacio es el agregado de todos los puntos, y cada uno de estos una especialización de la idea general de posición. De igual suerte, el tiempo es el agregado de todos los instantes y cada instante es á su vez una especialización de la idea general de posición en tiempo. Espacio y tiempo son en realidad entre todas las diversidades, las más familiares con mucho para nosotros...
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bles entre dichos elementos; y presumiendo ser proceso legítimo el que sigue al establecerlas al abrigo de todo concepto que no sea el de la pura cantidad, como plenamente abstractas, las eleva á la altura de expresiones generales, que supone condensan en sí la realidad entera, cuyas distintas esferas brotarán entonces sucesivamente según el carácter y número que se den en cada caso á los elementos diferenciales del sistema, indeterminados primitivamente, determinables luego en uno y otro respecto.

La Geometría abstracta surge, pues, de la Algorítmia, como uno de sus indefinidos casos especiales, con sólo llamar direcciones, dimensiones, puntos, á los factores en que se despliega la primordial diversidad del sistema. Y así también, de esta Geometría generalísima, cuyo objeto es un espacio de indefinido número de dimensiones, se engendra luego la Geometría real en que vivimos, con sólo limitar estas á tres, haciendo triple la variedad interna del espacio, trocando en suma en un número concreto el símbolo indeterminado \( n \), penetrado sin duda de una virtualidad inagotable.

§ 8.

No cumple á nuestro propósito actual enumerar ahora determinadamente los diversos resultados á que llega esta tendencia por el camino de abstracciones, que hemos procurado exponer (1); con llamar la atención hacia el error capital, de donde ar-

(1) Con sólo indicar uno de ellos, puede formarse idea cabal del error gravísimo en que se mueve esta escuela, que no por eso goza de méritos favor al presente; antes bien, cuenta en su seno matemáticos insignias de nuestros días. El Universo es una extensión limitada: tal es la afirmación á que llegan estos, negando, con manifiesto absurdo, así los postulados eternos y evidentes de la razón, como las exigencias inductivas formuladas con amplitud creciente cada día por la observación y la experiencia. Véase la conclusión del artículo antes citado, donde FRANKLAND, hablando de la extensión finita de dos dimensiones, dice lo que sigue: "Relativamente á la superficie de que aquí tratamos, es fácil ver que sucede lo propio que con la esferica; esto es, que cuanto menor sea la porción que de ella consideremos, tanto más se aproximan sus propiedades á las de la superficie plana. En efecto, si pensamos un área muy pequeña, comparada con la total de la superficie, sus cualidades no diferirán sensiblemente de las del plano. Apoyándose en esto, se ha afirmado que el universo puede, en realidad, tener una extensión limitada, y que cada una de sus líneas geodésicas puede volver sobre sí, con sólo que su magnitud total sea muy grande respecto de cualquiera otra de las que podemos imaginarnos." Y queriendo luego
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ranca, y poner á la vez de manifiesto lo que hay sin embargo de legítimo, sano y trascendente en el fondo de sus extravíos; bastará para cumplir, de seguro nuestro fin, al presente reducido á juzgar el valor y significacion de los esfuerzos hechos por esta y otras direcciones geométricas para la fundamentacion y mejora de la ciencia del espacio.

Fácil es, reconocer, ante todo, que el núcleo de esta tendencia lo constituye una irracional y exagerada sobrestima del análisis geométrico de Descartes y Vieta; no lo es méños convencerse de que la Geometría analítica actual consiste absolutamente tan sólo en la aplicacion al espacio del concepto de cantidad, desenvuelto en la Algoritmia; y es, por último, claro y evidente que se pretende un absurdo, al querer deducir de la noción pura de cantidad, factor comun á todos los objetos por cima de su infinita variedad, la sustancia esencial y peculiar que estos encierran. En el espacio, hay, sí, cantidad, pero esta no lo engendra por sí sola; y proponerse construir la Geometría con algoritmos, mezclados, si acaso, con movimientos y giros, factores extraños al espacio mismo, es en realidad, como dice Kant en otro sentido, intentar exprimir aquam ex pumice.

Pero á vueltas de tales extravíos, no pudiendo suceder que una direccion del pensamiento en cualquiera asunto engendre sólo preocupaciones y errores, lleva la tendencia algorítmica, ocultos en sus abstracciones, principios cuya verdad es innegable y que no solo deben preparar en su dia señalados progresos en la ciencia del espacio, sino que trascienden de ella y llegan hasta penetrar en el dominio de la Metafísica, mostrando con esto la vitalidad latente aun en el fondo de los prejuicios méños racionales.

accentuar más todavía este pensamiento, hace suyas algunas frases de CLIFFORD, en su trabajo sobre Los Postulados de la Ciencia del Espacio (The Postulates of the Science of Space): "En este caso, (el deseo verdadera la hipótesis que establecen ambos, respecto de la superficie finita) "el Universo, tal como lo conocemos, es también una concepcion legítima, pues la extension del espacio comprende un número finito de millas cúbicas... Admitido este supuesto de una curvatura positiva, toda la Geometría aparece más completa é interesante; el principio de la dualidad, en vez de infringirse al llegar á las relaciones métricas, se aplica á todas las proposiciones sin excepcion. En realidad, no temo confesar que personalmente he hallado muchas veces compensacion á los monótonos infinitos del espacio homaloidal en la esperanza consoladora de que, despues de todo, bien puede ser este el verdadero estado de las cosas."
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En el que nos ocupa ahora, y que consiste, según hemos dicho, en repudiar al espacio engendrable por el número, se contiene, sin embargo, tácitamente el pensamiento de una verdad, cuya importancia no cabe desconocer, expresada con claridad en los trabajos de Krause por vez primera, que sepamos, desatendida luego con injusticia grande por filósofos y geómetras, y en camino ahora de ser reconocida por estos, condenados por la fuerza de las cosas á servir á la Metafísica, precisamente al pretender desestimarla y sustraerse á su influjo en el cultivo de la Geometría.

No presumiría Gauss, seguramente, ni sospecharán sus secuaces Riemann, Lobatschewsky, Helmholtz, Frankland y Clifford, que el fruto más puro de sus esfuerzos analíticos, encaminados á construir la ciencia del espacio al abrigo de toda imposición así empírica como especulativa, es precisamente, no una afirmación matemática en el sentido usual de la palabra, sino al contrario, un concepto plenamente metafísico, pues que se refiere al organismo de ciencias exigido por el de las categorías ó predicados supremos de la realidad.

Para convencernos plenamente de la verdad de nuestro aserto, apuntemos los resultados capitales á que llegan aquellos pensadores.

La Geometría nace de la Algoritmia, con solo generalizar, hasta el absurdo, sin duda, el análisis geométrico; siendo esto así, razon hay para que la ciencia del tiempo se engendre también, según proceso análogo, de la vaga indeterminación del simbolismo algebraico: una y otra coinciden, en efecto, en tratar de objetos que implican variedad esencial; ambas se fundan en nociones generales, resolubles en indefinidas especialidad. Son, pues, ramas de una ciencia superior, aún no constituida, cuyo objeto será la multiplicidad en la total acepción de esta palabra, y á la que, se refieren espacio y tiempo como dos de sus indefinidas manifestaciones especiales, y respecto de nosotros, las dos más familiares.

Esta ciencia superior, á cuyo presentimiento, ya que no clara concepción, han sido llevados los geómetras dichos, en virtud de elevadas exigencias; esta disciplina futura en cuyo seno entrarán algún día las Matemáticas todas, sus representantes hoy fragmentarios y dispersos; esta rama fundamental de la Metafísica, sacada á la luz de la conciencia de la época por obra de los mismos que re-