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ha sido preciso llamarlo, para distinguirlo del iniciado por Descartes y Vieta. Vean de qué manera tan acentuada se acusa en esta tentativa de regresión, simbolizada principalmente en Steiner y Chasles, la protesta que indefectiblemente debía producirse en el seno mismo de la Geometría contra la abstracción cada día más prepotente en ella y que iba resolviendo poco á poco á la ciencia del espacio en una fase, no más, del análisis algebraico, privándola con esto de su carácter y naturaleza propias, irreductibles á la mera noción de cantidad y número, de que exceden sin duda en esenciales respectos.

En presencia de este espectáculo que ofrece la Geometría de parte á parte, en lo grande y lo pequeño; si todavía no se dejan sorprender por la falsa apariencia de sistema científico que debe al enlace externo de sus proposiciones; si reparan en que sólo á una mirada que profundice en las entrañas mismas del objeto, le es dado discernir el organismo verdadero de la conexión exterior y formal; si recuerdan que la Óptica de Newton era reputada, en general, un verdadero sistema sólo por el encadenamiento aparente de los principios hipotéticos y los fenómenos efectivos; si finalmente, y sobre todo, piensan en que ha podido el insigne geómetra Lobatschewsky, partiendo de una idea ya emitida por Gauss, construir sobre la afirmación, unánimemente reputada falsa, de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor que dos rectos, toda una Geometría imaginaria, tan perfectamente organizada, al parecer, como puede estarlo la de Euclides, sabrán entonces estimar en lo que vale este falaz criterio, por el cual las conexiones parciales entre los miembros de una ciencia, se elevan torpemente sobre su límite y trascendencia legítima, para convertirlas en razón suficiente de la verdad y del valor sistemático que se atribuye á aquella.

Se persuadirán, en suma, aun los más preocupados, con poco que reflexionen, de que ni en su fondo ni en su forma, dá la Geometría contemporánea testimonio de estar legítimamente constituida; antes deja ver abismos profundos, velados á trechos por la riqueza de pormenores y de relaciones entre ellos.

§ 3.

Pero siendo totalmente imposible que prejuicios tan capitales como estos, á cuyo influjo debe su estado crítico presente la ciencia
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do demostrar que el mundo se reparte en poblado y despoblado, campos y plazas, casas y cerros, calles y cañadas, yo, que soy cazador cosmopolita, sin sujecion á tiempos, coto ni vedas, en cuanto dejé de ser tirador á parado (entiéndase mamon), pasé á poner en práctica escalonada los mandamientos que vas á oír, atrasadísimo Benito. Toma de ellos la parte que te quepa, y será poca. Los mandamientos son diez, y allá van sólo cuatro hasta que los aprendas con los pies. Atiende.

    «Has de buscar la liebre en el barbecho,
    •La perdiz donde nace, crece y cría,
    •Y la chocha en la umbria;
    »Pero á la zorra espérala en acecho.»

Estos, con los demás mandamientos, se encierran en dos: "No errar la pieza y hacer á pluma y á pelo."

Consejo te doy de que comiences por la liebre. Es animalejo perezoso; mientras está en la cama finge estar dormida, y, si la atisvas, dale antes que salte. Pero agotarás en vano la paciencia si sales á aguardar la zorra sin haberte amaestrado, por repetidos ensayos, en el arte que llamamos los maestros la "chilla del conejo." —¿Practica Vd. la chilla del conejo, Sr. D. Antonio?—dijo encarándose conmigo.
—No; señor,—le respondí.
—¿Y hay muchas zorras en Verbalange?
—Tantas como conejos.
—A conejo por zorra... hambre segura, y yo les daré sobrado con la chilla.

Luego, volviéndose á Benito, dijo:
—Has de venir conmigo, y yo haré las tires pisándoles el hopo.
—¡Ni que me lo metieran por los ojos,—exclamó Benito,—y tú á cien leguas! Mátelas Dios que las crió, y á mí primero, si ves que vuelvo á apuntar con escopeta.

A mandíbulas batientes rióse Gallardo de Benito, y, á vueltas de otras sus chanzas impertinentes, entretenido el tiempo, llegamos á la casa y fin de la jornada.

Así, los sabios, abstraídos de la vida práctica, son sencillos hasta la nimiedad, y despiertan la burla de los necios.

Bienaventurados los cortos, porque no les alcanza la medida para sí mismos.
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del espacio, reínen en absoluto y vicien la evolución entera de una rama principal del saber humano, sin que broten á cada paso, ora esfuerzos producidos á sabiendas para rectificarlos y precaverlos, ora afirmaciones inconscias, inspiradas de mejor sentido, de cuya trascendencia no se advierten los mismos que las expresan, verdaderas imposiciones del objeto al hombre que lo estudia, y que llevan en su seno, por lo tanto, principios más sanos y reales; como tal ley, general de la historia humana, no puede quebrantarse en la esfera particular que nos ocupa, resulta que contradicen aquel sentido erróneo, dominante hasta hoy en la ciencia geométrica, ya tentativas intencionales de filósofos y aun geómetras ilustres; ya declaraciones aisladas, sin desarrollo ni consecuencia sistemática, de muchos de los últimos; ya finalmente, y sobre todo, el fondo mismo de las diversas afirmaciones que hace en realidad la ciencia del espacio, hoy, como siempre, y en las cuales van implícitos conceptos más exactos y legítimos que los que expresan los geómetras, obligados necesariamente por la fuerza invencible de la verdad á pensar de hecho las cosas, tales como son en sí, no como se imaginan ellos concebirlas.

Pero hay más: todas estas voces expresas ó latentes en la evolución de la Geometría, entendida en su concepto general, resuenan con mayor fuerza sin duda en el desarrollo de una ciencia, no visima en opinión de muchos, la Morfología de la Naturaleza, que geómetras y naturalistas han reputado distinta aunque muy afín con aquella, sin que parezcan sospechar unos ni otros la identidad en que se resuelven ambas disciplinas, y alcanzando poquísimos á entreverla oscura y vagamente tan sólo.

Cooperar con algunas sumarias reflexiones á su terminante reconocimiento, y poner de relieve la trascendencia capital de este principio para la reforma, que pudiéramos llamar objetiva, de la Geometría, para su organización rigurosa, tal es nuestro principal intento en el presente ensayo.

Por lo cual, lejos de discutir en toda su extensión las tentativas de filósofos y geómetras para rectificar las abstracciones de esta ciencia matemática, nos limitaremos á examinar su sentido general para entender la Geometría, y su modo de concebir el origen de nuestros conocimientos del espacio y el proceso mediante que se forman. Así, tampoco entraremos en un estudio profundo y minucioso
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de las afirmaciones verdaderamente racionales y contrarias á la preocupacion dominante, que implicitamente se contienen en los trabajos de aquellos y en el desarrollo entero de esta ciencia en sus axiomas, postulados ó teoremas; bastará señalarlas, presirriendo volver luego los ojos á su historia para descubrir los elementos que han servido de base á su formacion, más ó menos oscurecidos luego en las formas individuales de que reviste el sujeto los conceptos absolutos.

§ 4.

Procediendo, pues, á examinar sumariamente los esfuerzos hechos á sabiendas para corregir los vicios de la Geometría dominante, y el sentido que en realidad implican, hallamos, ante todo, que se deben los más fundamentales y comprensivos, no á los geómetras, sino principalmente á filósofos (1). Señal es esta que da buen testimonio del criterio con que, en general, cultivaron su ciencia los primeros, y explica por lo mismo la desproporción en ella entre principios y teorías fundamentales de un lado, y de otro pormenores subordinados y especiales teoremas y problemas.

Dentro ya del movimiento filosófico, las protestas más altas que se formula contra el espíritu reinante en la Geometría, y aspiran á mejorarlo, no merecen todas atencion igual en el caso presente.

El apriorismo de Kant (2), que continúa representado dignamente por Whewell (3), si ha servido para afirmar el valor absoluto de los principios geométricos, declarándolos superiores á la mera abstraccion de los fenómenos sensibles, ha desconocido, sin embargo, su base empírica y el influjo, por tanto, del fenómeno en la indagacion del nombre geométrico, al convertir la realidad objetiva del espacio en mera forma de nuestras intuiciones sensibles. La Geometría es para él una ciencia, cuya exactitud procede de este subjetivismo del espacio: si sus afirmaciones se refirieran á los

(1) Matheseos historia edocti sumus, omnes principales hujus scientiae progressus u philosophia viria factos esse a Pythagora atque Platone usque ad Cartesium et Leibnitium; et in specie initia scientifica Geometricae analyticae Cartesio praecipue deberi notum est; Krause (C.O. F.), Nova theoria linearum curvarum dada a luz por H. Schröder, Munich 1835; Prefacio del autor, xi.
(2) Kant, Critique de la raison pure, Esthétique transcendant., § VII, Trad. de Tissot, T. I, p. 89 y siguientes.
(3) Whewell (W), History of scientific Ideas, Londres, 1858., Part. I: Of Ideas; id., On the Philosophy of Discovery, Londres, 1860, Cap. XXII, XXVIII, y Append. E. On the fundamental Antithesis of Philosophy.
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fenómenos exteriores, cuyo estudio jamás puede llevarnos á conocer la esencia de las cosas, ni suministrar, por lo mismo, principios universales y apodicticos, correría entonces la suerte de otras esferas del saber, entregadas á una duda insoluble. Pero no sería difícil mostrar contradichos tales supuestos por el mismo Kant. La concepción dinámica que expone en sus Principios metafísicos de la Ciencia de la Naturaleza (1), exige para el espacio una existencia tan objetiva como la de la fuerza misma, y no cabe desconocer el influjo real que este sentido suyo latente ha ejercido en ulteriores conceptos del espacio, más amplios y reales que el declarado por él. Aquí debemos concretarnos á señalar el servicio inmenso que se le debe, por haberse propuesto, como Malebranche y Leibnitz, el problema relativo al origen y carácter universal de los principios geométricos, lejos en su tiempo y muy distante todavía de una solución satisfactoria, que ha contribuido á preparar en parte con su esfuerzo al discernir tan atinadamente entre los frutos que la abstracción recoge de la observación sensible, y los que alcanza la especulación en Geometría.

Si por su desestima exagerada del fenómeno, fundada en su concepto subjetivo del espacio, no llegó Kant á penetrarse totalmente del carácter de esta ciencia, ni á promover en ella direcciones mejor encaminadas, ciñéndose su influjo á una esfera muy circunscrita, menos aún ha podido el empirismo por su parte, á causa de su exclusiva idolatría de los hechos sensibles, comprender la propia y genuina índole de la Geometría. Lo cual tiene su raíz, no solo, como se piensa comúnmente, en la imposibilidad de explicar la formación de los principios geométricos, universales y absolutos de suyo, mediante la pura abstracción generalizadora siempre relativa y condicional, sino también, y principalmente, en el hecho, quizás poco atendido, de que esta dirección filosófica concibe el espacio con méns realidad, si cabe, que el apriorismo kantiano, el cual, por lo menos, le reconoce en nuestra sensibilidad una base objetiva á su modo. Pero entendiéndolo, según los empíricos lo entienden, como puro vacío, como la pura nada, donde se produce luego la puntuación atómica de la materia, ¿es posible tomar los supuestos fenómenos exteriores del espacio, verdaderamente incontenibles, por base de los principios geométricos?

(1) Kant, Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, 1786
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Si el espacio es el vacío, ¿qué realidad han de exhibir y concretar sus fenómenos? ¿Cuáles son estos? Sería difícil la respuesta. Si los cuerpos son porciones de materia figurada en el espacio, y éste nada contiene en sí mismo, y por lo tanto en nada puede revelarse fenomenalmente, las figuras observadas en la materia son cosa aparte y distinta del espacio, y no dan base alguna para que se construyan, sobre ellas, conceptos y principios relativos á otro genero de realidad. Pero lo que de hecho se piensa, aunque otra cosa se declara, es, que conforman esencialmente materia y espacio, y sólo en esta conformidad se afirma luego, y con razon entonces, que los fenómenos de la extension dan base ineludible para los conceptos y principios geométricos. El influjo bienhechor de esta tendencia, á la que van unidos en los tiempos novísimos los nombres de Comte (1) y Mill (2), salvando las diferencias, que ofrece luego el pensamiento de estos dos filósofos, consiste principalmente en haber afirmado la sustantividad del fenómeno espacioso, y la parte insustituible que representa su estudio en la elaboracion de la Geometría, instaurada por Kant con puros elementos ideales.

§ 5.

La parcialidad y exclusivismo de que se resienten, así la direccion empírica como la tendencia antagónica de este filósofo, comienzan á desaparecer en la concepcion orgánica de Krause, donde se conciertan, en exigencia á lo méños, en sus legítimas relaciones los docelementos, cuya desconcertada sobrestima representan las doctrinas indicadas. El concepto que del espacio tiene Krause, y su sentido general en lo tocante al origen y modo de formarse el conocimiento humano, llevan, proseguídos sistemáticamente á la

(1) COMTE (A.), Cours de Philosophie positive, t. I, Exposition, Lecc. II y X.
(2) MILL (J.), St. Système de Logique inductive et deductive, trad. de M. PEISSE. Aunque difieran en capitales respectos las tendencias filosóficas de este pensador ilustre de las que representa su eminente compatriota H. SPENCER, van, sin embargo, tan asociados sus nombres en el poderoso movimiento positivista contemporáneo de Inglaterra, que parece exigido en la ocasión presente, aludir, cuando méños, al autor de los Primeros principios. Sorprende mucho, por cierto, la manera con que, en el cap. III de esta obra, afirma que es el espacio inconcebible en absoluto, como lo son á su vez la materia, el tiempo y el movimiento. La razón en que pretende establecer la imposibilidad de concebir al primero como atributo de una realidad, es la siguiente: "que ni es posible concebir una entidad, cuyo atributo esa, ni tampoco desaparece el espacio de nuestro pensamiento, aunque desaparezcan las cosas, lo cual no pasa con los atributos de estas." Preciso es confesar, que no extrema Spencer el rigor científico, ni aun es consecuente con su sentido mismo al producir, sin análisis ni prueba, afirmaciones tan dogmáticas. Por lo demás no hay otro modo de concebir legítimamente al espacio, si no es como atributo, como forma de la materia.
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Imposible para este filósofo caer ya en la abstracción dominante desde antiguo, y prepotente en su tiempo, en punto á la relación de la materia con el espacio. Léjos de pensar al último como el recipiente indefinido y vago, donde aquella se contiene; en vez de suponerlo desnudo y vacío de toda realidad en sí mismo, pero sirviendo de base con todo á la información de los objetos reales; rompiendo, en una palabra, con semejante concepción, según la cual nacen las cosas del absurdo maridaje del vacío y el átomo, de la nada y el algo, ve donde quiera en la Naturaleza materia y espacio como su forma propia; desecha los átomos irreductibles y sus correspondientes intersticios, y funda así la posibilidad de armonizar en legítimo consorcio ciencias de la Naturaleza como la Geometría y la Dinámica, divorciadas á partir de sus primeros principios, merced al influjo de abstracciones, cuya imposición todavía sentimos harto vivamente para que podamos esperar desecharlas por completo en breve plazo.

Las consecuencias que de tal concepto real y verdadero del espacio se siguen necesariamente para Krause, se adivinan sin gran esfuerzo. La Geometría es una ciencia de la Naturaleza ante todo, no una mera disciplina matemática en el sentido habitual, una parte solo de la ciencia de la cantidad, que á tal categoría suele referirse con abstracción notoria el asunto de ramas científicas, que si implican esta idea fundamental, la incluyen sólo en un subordinado respecto, y versan primeramente sobre propiedades de otros órdenes: sirvan de ejemplo, el tiempo, el movimiento y el espacio,

Como ciencia de la Naturaleza, y aun de una forma natural, el espacio, la Geometría se construye ineludiblemente en consonancia con la ciencia de la materia; y si se entiende por este término lo que subsiste como fondo en la determinación sensible de la Naturaleza, da esta, en su materialidad infinita, en su materia prima, al decir de los escolásticos (1), con los seres naturales subordi-

(1) Aunque influido en parte por el atomismo que hoy impera en la Física y la Química, el escolasticismo contemporáneo ha logrado mantener sin embargo en lo esencial el concepto legítimo de la materia como el fondo de unidad de donde brotan luego las materias particulares sensibles, formulado siglos hace por Santo Tomás en su Summa Theologica. La negación del vacío, del intersticio atómico, y la afirmación por tanto de la plena continuidad material, hechas con toda decisión por San Severino, Príncipe y nuestro compatriota ilustre F. Ciferino González en sus libros respectivos, responden juntamente con el sentido dinámico de la dirección iniciada por Leibnitz y proseguida por Kant y los filósofos que con él se enlanzan, al único modo verdaderamente racional de concebir la materia y el espacio como su forma propia y adecuada.
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nados en sus materias peculiares, la base para el espacio infinito y los espacios limitados: exigiéndose, por tanto, que se orga-
nice en suma paralelamente á la ciencia del ser y seres naturales la de la forma y formas especiales de su materia respectiva.

El plan de la Geometría, la division sistemática de su asunto, ha de reflejar, pues, el de la ciencia del ser natural; lejos de ser arbitraria su determinacion, sometiéndose al influjo de pensamien-
tos y sentidos torpemente formalistas, debe fundarse en el orga-
nismo interno de miembros y partes de la Naturaleza toda.

Las relaciones de la Ciencia del espacio con la Filosofía, resul-
tan manifiestas y claras; es aquella una parte de la Filosofía de la Naturaleza, que habrá de referirse luego á la Metafísica al modo que las restantes ciencias filosóficas; no subsiste ya para el aque-
la separación, verdaderamente gratuita, entre el conocimiento ge-
neral del espacio y el de sus determinaciones especiales, lo prime-
ro, como asunto de la Filosofía, y lo segundo, como el objeto pro-
pio de la Ciencia geométrica.

Tales son las declaraciones explícitas del pensamiento de Krau-
se en esta esfera del saber humano; prescindiendo del desarrollo
que han tenido en sus trabajos especiales, cuyo exámen no interesa
á nuestro propósito actual, indiquemos sólo las afirmaciones que en
tales conceptos generales van implícitas. Es la primera que, ade-
más de una Geometría filosófica, puede admitirse también otra his-
tórica ó descriptiva, pues la consideracion (en el límite de la Na-
turaleza por nosotros observable) de los diversos espacios efectivos
que ofrecen las figuras de la materia, es tan de su asunto como el
establecimiento de las propiedades geométricas generales y deter-
minaciones internas del espacio mismo; siguiéndose de estos dos
órdenes, sustantivos y opuestos, la posibilidad de una referencia
entre ambos, mediante la cual se estimen, comparándolas con sus
tipos, por decirlo así, ideales, las figuras sensibles.

La segunda afirmacion, que se deriva lógicamente de la ante-
rior, se refiere al problema de la fuente y metodo de conocimiento
en la Ciencia del espacio, y consiste en exigir que, al modo que la
observacion sensible sirve para la formacion de conocimientos ra-
cionales en las demás ramas de la Filosofía natural, debe ayudar
también para la construcción de la Geometría teórica; con lo cual,
el origen de nuestros conocimientos del espacio y el proceso que en
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su formacion seguimos, deben revestir un carácter muy diverso del que generalmente se les atribuye, recibiendo tales problemas del contacto con la realidad de la Naturaleza, de que no debieron ser abstraídos, la vitalidad propia de ésta, mostrándose en lo tanto propuestos ya sobre bases verdaderamente objetivas, no abstrusas y vacías de todo fondo.

Pero si en el pensamiento de Krause estas afirmaciones son todavía exigencias latentes, postulados implícitos tan sólo, no sucede lo propio en otros representantes posteriores del pensamiento contemporáneo. Aunque mezcladas de elementos meramente abstractos, que las impurifican y vician, llegan con todo á producirse en nuestros días en forma de expresiones reflexivas más ó menos adecuadas. Ueberweg en Alemania, y en Bélgica Delboeuf (1) con muy superior sentido, son los iniciadores, que sepamos, de esta nueva tendencia, que aspira á reformar la Geometría clásica, mediante un nuevo exámen de sus primeros principios. Dos parecen ser los factores esenciales y trascendentales, cuyo reconocimiento expreso constituye el mérito capital de su estimable tentativa. Es el primero la afirmación de una esfera experimental en la Geometría, representada, sobre todo, por la parte morfológica de la Historia natural. Y consiste el segundo en haber formulado como exigencia positiva la necesidad de que responda esta ciencia, en el proceso entero de su elaboración, al tipo general con que indagan sus principios y edifican su sistema las ulteriores ciencias naturales, de cuyo organismo es un miembro inmediato, antes y sobre todo la ciencia del espacio. Los vacíos y contradicciones parciales en que cae luego el pensamiento de ambos indagadores al formular dichos conceptos y proceder á su determinación ulterior, no han de ser parte á que se niegue el valor real que sobre tales límites entraña. Distan mucho de autorizar, en verdad, la apasionada crítica, justísima en otros respectos, que, influido sindúda por el estado de enemiga y lucha á que descienden las escuelas filosóficas con mengua de su misión y altísimo destino, formula el ilustre Tiberghien (2), más preocupado quizá de salvar la Geometría, y la

(1) DELBOEUF (J.), Protogènènes philosophiques de la Géométrie et solution des postulats, suivis de la traduction, pour le même, d'une dissertation sur les Principes de la Géométrie (Archives pédagogiques, vol. XVII, 1851), par FRÉD. UEBERWEG, Privatdocteur à l'Université de Bonn.

(2) TIBERGHIEN (G.), Logique, t. I, ps. 245 y siguientes. El prejuicio de este distinguido filósofo consiste en reputar la ciencia cristalográfica, no como Geometría pura, ya filosófica, ya histórica, sino como aplicación de la primera de estas partes á la esfera morfológica natural.