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exhuberante que ha hecho ya precisa la acción, no de cada individuo, sino de colectividades ó asociaciones que dirijan, faciliten y encauzen tan vertiginoso movimiento revelador de la vida; y cuando por un trieste contraste aquí nos vemos agobiados por multitud inagotable de libros todos con arreglo á moldes permanentes, más para el negocio pronto y seguro que para la expansión de las ideas, el ensaltecimiento intelectual y el progreso científico compuestos ó arreglados, es satisfactorio el poder echar algo que se aparte de esa muchedumbre de obras que abruman, no menos por su número que por su falta absoluta de variedad; y constituyendo uno de estos casos raros de excepción, puede considerarse la obra del Sr. Lassala que ha escrito en parte para la enseñanza en los Institutos y en general para los alumnos de análisis en la Facultad de Ciencias y los aspirantes á ingreso en las escuelas especiales.

Si bien se conoce por el tecnicismo empleado y por los conceptos capitales que informan la obra, el estudio hecho por el Sr. Lassala de la Teoría trascendental de las cantidades imaginarias del distinguido filósofo y matemático español Rey y Heredia, se revela un trabajo propio del autor en algunas cuestiones, y puntos de vista especiales ó aclaraciones útiles de frases ó conceptos pasados generalmente por alto en algunos libros.

Esta primera parte de la obra consta de once capítulos, formando un conjunto de 119 páginas.

Define el Sr. Lassala las imaginarias como cantidades en que se consideran los dos conceptos de la cantidad y cualidad, representando una cantidad bajo la forma \( A_n \), y distingue la unidad 1, que no ha efectuado ninguna rotación á la que llama unidad inevoluta.

El capítulo segundo comprende el cálculo de las imaginarias bajo la forma módulo-argumental y representación geométrica de los resultados desde la adición hasta las potencias y raíces de índice fraccionario é incommensurable, potencias y raíces de índice negativo, potencias y raíces de índice real.

Siguen: Capítulo tercero. Consecuencias del anterior. I. Interpretación de las raíces de grado par de las cantidades negativas. II. Realidad de las cantidades imaginarias. Estas pueden resultar de la extracción de raíces de cualquier grado de cantidades positivas y negati-

vas. Así

\[
\sqrt[4]{A_{2\pi}} = a \sqrt{-1}, \quad \sqrt[3]{-\lambda} = \sqrt[3]{A^{\pi}} = a_{\pi}
\]
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Capítulo IV. Diversas formas de las imaginarias y cálculo de éstas bajo la forma binomial.

Capítulo V. Aplicaciones de las imaginarias á la trigonometría. Comprende: Fórmulas fundamentales.—Seno y coseno de la suma de dos argumentos.—Resolución de los ángulos rectilíneos.

Capítulo 6.º Graduación en general. Comprende: Concepto de la graduación.—Series fundamentales.—Números e y E. Elevación de una cantidad cualquiera á la potencia \( \sqrt{-1} \). Fórmula que expresa la potencia de exponente imaginario de una cantidad imaginaria.—Potencia de grado infinito de la unidad sumada con un elemento infinitesimal real ó imaginario. Números \( n \) y \( n' \).

Capítulo VII. Logaritmos. Define el logaritmo de una cantidad \( P_p \), como el exponente \( G_g \) que debe afectar á una cantidad dada \( B_s \) para que la potencia tenga el valor \( P_p \) y después de un desarrollo extenso y detallado expone el Sr. Lasala en el capítulo III el estudio de las variaciones de la función \( P_p \) cuando \( G \) y \( g \) aumentan por grados infinitamente pequeños de primer orden, en el capítulo IX el estudio de las variaciones de la función \( P_p \) cuando \( g \) aumenta de una manera continua, permaneciendo \( G \) constante. Los capítulos X y XI tienen también por objeto la variación de la función \( P_p \), según que \( g \) crezca positivamente y de una manera continua y \( G \) aumenta en una cantidad infinitamente pequeña á cada evolución de \( g \) y según que permaneciendo \( g \) constante, el módulo \( G \) aumente de una manera continua.

Esta enumeración de las materias es suficiente para dar idea de la obra escrita con claridad en la exposición, por el Sr. Lasala, que ya en su última edición de su curso de Aritmética y Algebra, también escrito en forma ventajosa para la enseñanza, ha incluido un estudio detenido de las cantidades imaginarias comenzando en la segunda por el estudio de la cantidad bajo el doble concepto cualitativo y cuantitativo.

CÁLCULO GRÁFICO Y ANALÍTICO DE INTENSIDADES y otras teorías que de él dependen como preliminares necesarios á la Mecánica racional, por D. Nicolás de Ugarte, teniente coronel de Ingenieros. 270 págs. y un atlas (1894).

Basta citar el nombre del competentísimo ex profesor de Mecánica de la Escuela de ingenieros del Ejército de Guadalajara para formarse idea de la utilidad é importancia que ha de tener esta obra para quien se dedica al estudio de esta la Mecánica.
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El resumen de las materias expuesto al comienzo de la obra en forma sinóptica, comprende: Cálculo gráfico y analítico de intensidades: 1.a parte. Composición, descomposición, equivalencia y equilibrio (en un plano, en el espacio) (gráfica y analítica): 2.a parte. Aplicaciones e ingenerias de la composición, que comprende: Figuras recíprocas y otras, polígonos y curvas funiculares, homología, áreas, centros de distancias, momentos de órdenes superiores, equipolencias.—Apéndice auxiliar: Diferenciación e integración gráfica y automática.—Planimetro.

Como se ve, el Sr. Ugarte, observando que todas las operaciones gráficas tienen sus análogas en el método analítico, resuelve por los dos métodos todas las importantes cuestiones que son objeto de su excelente obra.

LEZIONI DI MECCANICA RAZIONALE, di F. Castellano, prof. nella R. Accademia Militare di Torino (509 págs. en 4.º, 1894).

La obra del Sr. Castellano llama desde luego la atención por el gran desarrollo que da á la parte analítica, notándose también enriquecida por 224 figuras que dan importancia correlativa á la parte gráfica.

Comienza la obra con un preliminar sobre las formas (formazioni) geométricas, y se distingue una división general, á saber: Parte I. Cinemática, que comprende: Cap. I. Movimiento de un punto, velocidad, aceleración.—Cap. II. Cinemática de los sistemas de forma invariable.—Cap. III. Movimiento rotatorio de un cuerpo alrededor de un punto.—Cap. IV. Movimiento compuesto.—Cap. V. Movimiento general de un cuerpo.

Parte II. Estática y dinámica del punto material. Cap. VI. Fuerzas aplicadas á un punto.—Estática del punto.—Cap. VII. Dinámica del punto libre.—Cap. VIII. Dinámica del punto enlazado.—Movimiento de un punto retenido en una línea.—Cap. IX. Dinámica del punto enlazado.—Punto retenido en una superficie.—Cap. X. De la atracción.

Parte III. Mecánica de los sistemas materiales.—Cap. XI. Sistemas materiales.—Cálculo de las masas.—Cap. XII. Centros de gravedad.—Cap. XIII. Momentos de inercia.—Cap. XIV. Estática de los sistemas materiales.—Equilibrio de los sistemas de fuerzas.—Cap. XV. Equivalencia y reducción de los sistemas de fuerzas.—Cap. XVI. Equilibrio de los sistemas enlazados.—Cap. XVII. Polígonos funicu-
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lares.—Cap. XVIII. Dinámica de los sistemas.—Ecuaciones generales del movimiento de un sistema.—Cap. XIX. Dinámica de los sistemas rígidos.—Cap. XX. Teoría de las fuerzas instantáneas de la percusión y choque.—Cap. XXI. Principio de los trabajos virtuales.

GEOMETRÍA PLANA MODERNA en conformidad con el programa de la Asociación británica, por los profesores G. Richardson y A. S. Ramsey y traducida por D. Valentín Balbín, rector del Colegio nacional de Buenos Aires.

En varias ocasiones hemos manifestado los progresos que ha hecho la geometría al mismo tiempo que se enriquece con nuevos métodos, por lo que los elementos de Euclides, aún seguidos en su integridad por los profesores ingleses y algunos italianos, necesitan complementarse con los últimos adelantos realizados en Europa por las ciencias matemáticas.

Aunque el libro que nos ocupa sólo contiene 180 páginas en 4.º menor, la acertada disposición de sus materias ha permitido encerrar en tan reducidos límites gran copia de doctrina muy interesante.

El capítulo I comienza con varias propiedades métricas de puntos en línea recta siguiendo la definición del centroide de un sistema de puntos (*).

Al comenzar después el estudio de las propiedades de un triángulo con las definiciones de rectas concurrentes y puntos colineales se destaca desde luego el concepto de dualidad que acompaña á los ulteriores desarrollos, exponiéndose entre los teoremas de las bisectrices, medianas y alturas los teoremas de Ceva, Menelao y el de Simson, siguiendo los concernientes á las relaciones métricas en los círculos inscriptos y ex-inscriptos; y después de expresarse el área de un triángulo en función de los tres lados y el radio del círculo circunscripto, se demuestran las propiedades y relaciones á que dan lugar el circumcentro, ortocentro e incentro, resultando muy natural el estudio del círculo de los nueve puntos y el teorema de Feuerbach acerca de la diferencia del radio de este círculo y del del inscripto.

Con las antiparalelas, rectas y puntos simedianos comienza el estudio de algunas nociones sobre la Geometría del triángulo ó reciente.

Después de algunas propiedades del punto simediano (ó de Lemoine) se estudian los ángulos positivo y negativo de Brocard, el círcu-

(*) Centro de las distancias medias.
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lo de Lemoine, los puntos de Brocard, el círculo de Brocard, que es concéntrico al de Lemoine, el círculo coseno, el de Taylor y el de Tucker.

El capítulo III trata de puntuales y haces armónicos. En el capítulo IV Propiedades de un cuadrilátero completo y de un cuadrángulo completo se hacen aplicaciones de la dualidad.

En el capítulo V, propiedades de un círculo, se expone la inversión, estudiándose entre los ejemplos los teoremas de Ptolomeo y de Feuerbach (el círculo de los nueve puntos es tangente á los círculos inscriptos y exinscriptos). Siguen Polos y polares, propiedad armónica del polo y la polar; Polo y propiedades polares de un cuadrángulo.

El capítulo VI, Propiedades de dos ó más círculos, comienza con los círculos ortogonales, siguen el eje radical y centros de semejanza.

Para formar idea del plan y contenido de esta obra bastará citar, en fin:

Capítulo VII. Máximos y mínimos geométricos, que contiene numerosas y variadas cuestiones interesantes. Cap. VIII. Relaciones anarmónicas, involución, polares recíprocas, concluyendo con los teoremas: los haces cuyos rayos pasan por cuatro puntos y cuyos vértices están sobre una cónica, son equianarmónicos; las puntuales cuyos puntos están sobre cuatro tangentes fijas á una cónica y cuyas bases son tangentes, son equianarmónicas. En la nota sobre las puntuales anarmónicas se trata de la involución, de las figuras polares reciprocas, teoremas de Pascal y de Brianchon.

El capítulo IX trata de la proyección; en él se contiene el estudio de la homología, concluyendo con una nota sobre los puntos y rectas imaginarios y con la proposición: Toda cónica puede considerarse como inscripta en un cuadrilátero cuyos vértices son los dos focos reales, los dos focos imaginarios y los dos focoides.

Numerosos problemas al final de cada capítulo aumentan el interés de la obra.

LECCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA, por D. P. A. Berenguer, capitán de Infantería de Toledo. 1895. 266 págs.

Teniendo presente el autor que para las profesiones de carácter práctico, como la milicia, es preciso descartar de los cursos de Matemáticas todo lo que no responda á los fines de aquéllas, el Sr. Berenguer se ha propuesto condensar en pocas páginas todo lo más esencial de dicha ciencia, tomando como normas la claridad y la sencillez;
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y bajo este punto de vista es muy recomendable la obra y llena cumplidamente su objeto. Aunque, como dice en el prólogo, el tratar todas las cuestiones en coordenadas cartesianas, está plenamente justificado desde el momento en que se sabe que son el fundamento de los otros sistemas, dedica las lecciones V, VI y VII respectivamente á nociones sobre las coordenadas polares, trilineales y tangenciales, siguiendo un orden de exposición de lo concreto y determinado á lo abstracto y general, por lo que á continuación de las curvas de segundo orden trata en las lecciones XVIII y XIX últimas de la Geometría analítica, plana de otros lugares geométricos y de las curvas algebraicas en general.

La claridad y corrección de la impresión hacen también recomendable esta obra bajo el punto de vista material.

REPETTOIRE BIBLIOGRAPHIQUE DES SCIENCES MATHEMATIQUES.—La actividad desplegada por los miembros de la Comisión que dirige los trabajos del índice de bibliografía matemática ha comenzado á manifestarse con la publicación de las 100 primeras papeletas clasificadas que contienen las indicaciones de más de 8.000 trabajos matemáticos expuestas en la forma breve y compendiosa que permite condensar en reducido espacio el inmenso trabajo hecho en las ciencias matemáticas durante este siglo.

Merece los más entusiastas plácemes de cuantos se dedican á estas ciencias el conocido editor M. Gauthier Villars, que se ha encargado de imprimir, realizándolo con gran esmero, los trabajos que tan adelantados tiene la Comisión permanente del Repertorio.

Z. G. DE G.

UN TEOREMA GEOMÉTRICO
por
D. ANGEL BOZAL OBEJERO
Profesor auxiliar en el Instituto de Bilbao

Sabido es que la mayor parte de los tratados de Geometría elemental, demuestran la existencia del circumcentro, ortocentro, incentro, centroide y punto de Lemoine, mediante razonamientos muy laboriosos y todos en el fondo diferentes, vulnerando además esa característica ilación que preside á las investigaciones de la Matemática, y al hacerse penosa la adquisición de aquellas propiedades, se excluyen
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de los programas destinados á la enseñanza, con gran detrimento de la misma. Fijándonos en esta circunstancia hemos intentado poder subordinar aquellas demostraciones á un sencillo teorema fundamental, del que, cual inmediatas consecuencias, se deriven las propiedades que demuestran la existencia de aquellos puntos notables del triángulo.

Dicha proposición, que por su importancia creemos digna de darse á conocer, tiene su origen en el siguiente:

Teorema Fundamental.—Si sobre los lados AB, BC, CD,... de un polígono cualquiera ABCD,..., se proyecta ortogonalmente según M, N, P', un punto O de su plano, interior ó exterior al polígono, se verifica, entre los segmentos originados en los lados, la siguiente relación métrica:

[1] \( \overline{AM}^2 + \overline{BN}'^2 + \overline{CP}'^2 + ... = \overline{MB}^2 + \overline{NC}^2 + \overline{DP}^2 + ... \)

Con efecto; sea O el punto tomado en el interior de un pentágono; uniendo O con los vértices, se forman con las proyectantes de O, diez triángulos rectángulos, en los que se verifica:

\[
\begin{cases}
\overline{AM}^2 = AO^2 - \overline{MO}^2 = (\overline{AR}^2 + \overline{RO}^2) - \overline{MO}^2 \\
\overline{BN}^2 = BO^2 - \overline{NO}^2 = (\overline{BM}^2 + \overline{MO}^2) - \overline{NO}^2 \\
\overline{CP}'^2 = CO^2 - \overline{OP}'^2 = (\overline{NC}^2 + \overline{NO}^2) - \overline{OP}'^2 \\
\overline{DQ}'^2 = DO^2 - \overline{OQ}'^2 = (\overline{DP}'^2 + \overline{PQ}'^2) - \overline{OQ}'^2 \\
\overline{ER}'^2 = EO^2 - \overline{RO}'^2 = (\overline{QE}'^2 + \overline{QO}'^2) - \overline{RD}'^2
\end{cases}
\]

Sumando estas relaciones y reduciendo, viene:

\( \overline{AM}^2 + \overline{BN}'^2 + \overline{CP}'^2 + \overline{DQ}'^2 + \overline{ER}'^2 = \overline{MB}^2 + \overline{NC}^2 + \overline{DP}^2 + \overline{QE}'^2 + \overline{RA}'^2 \)

expresión que demuestra la [1], y por lo tanto el teorema. Cuando O es exterior, la demostración es idéntica en un todo.

Recíprocamente.—Si cada uno de varios puntos M, N, P,... determinan sobre cada lado de un polígono, dos segmentos tales, que la suma de los cuadrados de los no consecutivos, es igual á la de los otros que se alternan con los anteriores, los puntos en cuestión pueden considerarse como las proyecciones ortogonales de un mismo punto O sobre los lados del polígono, estando () en el plano de éste.

Para demostrar esta proposición observaremos que dos de las proyectantes se cortan necesariamente en un punto (), pues si los lados AB y BC, por ejemplo, no son paralelos (como en efecto sucede siendo consecutivos), sus perpendiculares respectivas OM y ON ten-
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drán un punto O común. Demostremos, pues, ahora que P', Q, R son también proyecciones ortogonales de O, es decir, que las perpendiculares ON, OP, OQ, OR y OM se cortan en un mismo punto O.

Para ello, supongamos que sólo se consideran tres lados AB, BC y CD de la línea poligonal, y que siendo M y N proyecciones de O sobre AB y BC, ocurra que no sea P' sino otro punto cualquiera P' la proyección de O sobre CD (se supone á P' entre D y P). Vamos á probar que P' se confundirá necesariamente con P, y por tanto, que la proyectante OP' será la OP. Por la hipótesis, y tratándose de sólo tres lados del polígono, se tiene:

[2]
\[
\overline{AM}^2 + \overline{BN}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{MB}^2 + \overline{NC}^2 + \overline{DP}^2
\]

Mas si OP' es también proyectante de O sobre CD, por el teorema directo tenemos:

\[
\overline{AM}^2 + \overline{BN}^2 + \overline{CP'}^2 = \overline{MB}^2 + \overline{NC}^2 + \overline{DP'}^2
\]

De esta y la [2] se deduce respectivamente:
\[
\overline{AM}^2 + \overline{BN}^2 - \overline{MB}^2 - \overline{NC}^2 = \overline{DP}^2 - \overline{CP}^2 = (\overline{DP} + \overline{CP}) (\overline{DP} - \overline{CP})
\]
\[
\overline{AM}^2 + \overline{BN}^2 - \overline{MB}^2 - \overline{NC}^2 = \overline{DP'}^2 - \overline{CP'}^2 = (\overline{DP'} + \overline{CP'}) (\overline{DP'} - \overline{CP'})
\]
y como en el polígono se tiene \( \overline{DP} + \overline{CP} = \overline{DP'} + \overline{CP'} = DC \), las últimas expresiones dan:
\( \overline{DP} - \overline{CP} = \overline{DP'} - \overline{CP'} \), ó también \( \overline{DP} + \overline{CP'} = \overline{DP'} + \overline{CP} \). Ahora bien, también se tiene en la figura: \( \overline{DP} = \overline{PP'} + \overline{P'D} \) y \( \overline{CP'} = \overline{PI'} + \overline{CP} \), las que sumadas dan \( \overline{DP} + \overline{CP'} = 2\overline{PP'} + \overline{P'I'} + \overline{CP} \), cuyo valor puesto en la última igualdad de miembros binomios dá: \( \overline{DP'} + \overline{CP} = 2\overline{PP'} + \overline{DI'} + \overline{CP} \), de donde \( \overline{PP'} = 0 \), lo que exige que P y P' se confundan, como se deseaba demostrar.

Del mismo modo se prueba que Q y R son proyecciones de O, quedando así demostrada la proposición recíproca.—(Concluirá).

QUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 237
(Véase tomo IV, pag. 311.)

Sobre una recta indefinida xy rueda una circunferencia O de radio constante. A cada una de las posiciones de la circunferencia se le traazn
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tangentes AM, BM, respectivamente desde dos puntos fijos A y B tomados sobre la base xy. Estudiar el lugar descrito por el punto M.

(J. Gillet)

Solución por el Sr. Brocard (II).

Tomemos a por origen y sean AB = d, α el ángulo CAB. Teniendo el punto C por coordenadas \( x_1 = a \cot \alpha; y_1 = a \), las tangentes AM, BM tienen por ecuaciones

\[
y = mx, \quad y = n(x - d)
\]

bajo las condiciones

\[
\frac{a - am \cot \alpha}{\sqrt{1 + m^2}} = a, \quad \frac{a - n(a \cot \alpha - d)}{\sqrt{1 + n^2}} = a
\]

La eliminación de m, n y cot α es inmediata y da

\[
a(x - d) + dy - a(x - \sqrt{x^2 + y^2}) = a \sqrt{(x - d)^2 + y^2}
\]

6, suprimiendo el factor \( y = 0 \) que representa la recta PQ

\[
4a^2 x^2(y - 2a) - 4a^2 dx(y - 2a) + y[4a^2(y - a)^3 - (2a - y)^2 d^2] = 0
\]

El lugar (M) es, pues, una cúbica.

Verificaciones y discusión.—\( a = 0 \) da \( y = 0 \).—Cuando el círculo C está fuera del intervalo AB, las tangentes se encuentran en la proximidad del punto diametralmente opuesto al punto de contacto del círculo con AB. Si, pues, el círculo se transporta al infinito, hay una asíntota paralela á PQ y á la distancia \( y = 2a \).

Otras dos asíntotas son oblicuas á PQ; su coeficiente de inclinación es \( \pm \frac{2a}{\sqrt{d^4 - 4a^4}} \).

Si \( d = 2a \), la ecuación de la curva se reduce á

\[
x^4(y - 2a) - 2ax(y - 2a) + ay(2y - 3a) = 0
\]

Por otra parte, en este caso general, la curva M es simétrica con relación á la mediatriz de AB \( \left( x = \frac{d}{2} \right) \) y su ecuación parece debe deducirse transportando el origen al punto \( x = \frac{d}{2}, y = 2a \), lo que se reduce á cambiar \( x \) é \( y \) en \( x + \frac{d}{2}, y + 2a \).
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Siendo S la superficie curva del cono: \( S = \frac{\pi r^2}{\cos x} \); y se llega á la ecuación transcendente en \( \varphi \):

\[
\varphi + \frac{2}{3} \sen \varphi - \frac{1}{6} \sen 2 \varphi - \frac{1}{2} \pi = 0,
\]

de donde se obtiene por un procedimiento de aproximación sucesiva:

\[
\varphi = 63^{\circ}27'41'' , 66.
\]

Cuestión IV. *Dividir el volumen de un cono recto de base circular en dos partes por una sección parabólica*.

Calculemos los volúmenes \( v_1 \) y \( v_2 \) de los dos conos que tienen por vértice común el punto S y por bases el segmento parabólico CDO y el segmento circular ACD. Se obtendrán sus volúmenes respectivos

\[
v_1 = \frac{2}{3} r^3 \tg x \sen^3 \varphi, \qquad v_2 = \frac{1}{3} r^3 \tg x (\varphi - \frac{1}{2} \sen 2 \varphi)
\]

Su volumen \( v \) será, pues:

\[
v = \frac{1}{3} r^3 \tg x (\varphi - \frac{1}{2} \sen 2 \varphi + \frac{2}{3} \sen^3 \varphi)
\]

(6)

Siendo el volumen del cono \( V = \frac{1}{3} \pi^3 \tg x \), se obtiene la ecuación transcendente en \( \varphi \):

\[
\varphi - \frac{1}{2} \sen 2 \varphi + \frac{2}{3} \sen^3 \varphi - \frac{1}{2} \pi = 0,
\]

que da por aproximación \( \varphi = 72^{\circ}51'12'' , 26 \).

Observación. Haciendo \( \varphi = \frac{1}{3} \pi \) en la fórmula (6) se obtiene

\[
v = \frac{1}{3} r^3 \tg x \cdot \frac{1}{3} \pi = \frac{1}{3} V. \text{ Es, pues, fácil separar un tercio del volumen por una sección parabólica.}
\]

Cuestión V. *Hallar la sección parabólica de un cono recto de base circular cuya área sea la n$^{\text{sima}}$ parte del rectángulo que tiene por lados el radio de la base y la generatriz del cono*.

Las fórmulas arriba desarrolladas conducen á la ecuación

\[
\frac{2}{3} \frac{r^2}{\cos x} \sen \varphi (1 + \cos \varphi) = \frac{1}{n} \frac{r^2}{\cos x}
\]
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CUESTIÓN 40
(Véase tomo I, página 236).

Sean A un punto de una circunferencia, BE un diámetro fijo, D el medio del arco AE, I la proyección de A sobre BD, M la intersección de BA con IE, P la proyección de M sobre BE.

Establecer la relación BP + BA = 2.BM.

Discusión de la curva (M).

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Sean EBA = \( \omega \), BM = \( \rho \), BE = 1. Tomemos por ejes de coordenadas rectangulares las rectas ABY, AEX.

Tendremos

\[
x_1 = \frac{\cos \omega \sin \omega}{2}, \quad y_1 = \frac{\cos \omega}{2} (1 - \cos \omega)
\]

La recta EI tiene por ecuación

\[
y = \frac{\cos \omega (1 - \cos \omega)}{\sin \omega (\cos \omega - 2)} (x - \sin \omega)
\]

De esto se deduce

\[
BM = BA - y_0 = \frac{\cos \omega}{2 - \cos \omega}
\]

Por consiguiente

\[
BP = \frac{\cos^2 \omega}{2 - \cos \omega}
\]

y se tiene

\[
\cos \omega + \frac{\cos^2 \omega}{2 - \cos \omega} = \frac{2 \cos \omega}{2 - \cos \omega}
\]

ó

\[
BA + BP = 2BM
\]

En cuanto á la curva (M) su ecuación polar es evidentemente

\[
\rho = \frac{\cos \omega}{2 - \cos \omega}
\]

tomando B por por polo y BE por eje polar.

Es una cuártica simétrica con relación á BE y que pasa por los puntos B y E en los que es tangente á la circunferencia.

Figura correspondiente á la cuestión 232 resuelta por el Sr. Brocard.—(Véase págs. 97 y 98).