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recibido nombre especial, acompañado de una idea sucinta de la forma, ecuaciones y propiedades generales de cada una, añadiendo la noticia de los libros ó autores que primeramente dieron á conocer.

Tema, en relación con la modesta recompensa prometida á quienes mejor le desarrollasen, en que nada exageradamente dificultoso se exigía; pudiendo reducirse todo, por parte de los concurrentes al certamen -aunque sin cortarles los vuelos, ni cohibirlas á moverse por angustiosa senda, ni por pasos de antemano previstos y contados—á dar una muestra de provechosa laboriosidad en beneficio inmediato de los aficionados á los buenos estudios matemáticos, produciendo un libro de carácter didáctico, y de consulta á la vez, á propósito para servir de guía á cuantos, después de iniciados en la interesante doctrina á que debía referirse, pretendieren recorrer sin vacilar, y escudriñar minuciosamente, el vasto horizonte geométrico, cuyas puertas, por tan sencillo procedimiento, se les franqueaban.

Al llamamiento de la Academia, sin embargo, nadie respondió por entonces en términos satisfactorios; y únicamente como en señal de que su voz no se había perdido en el vacío, se recibió una carta anónima y de misteriosa procedencia, en la cual rogaba el autor á la Corporación la reproducción, en otro concurso, del tema ya anunciado, en el supuesto de que su publicación por vez primera no hubiese dado el resultado apetecido, prometiéndose él utilizar la prórroga que respetuosamente solicitaba, sin perjuicio de tercero, para completar un trabajo que, movido por aquel llamamiento, había emprendido, y que, por falta de tiempo, le había sido imposible terminar oportunamente.

Como el tema, en sentir de la Sección, era de indiscutible interés, y de más indiscutible conveniencia en acertado desenvolvimiento para el fomento de las ciencias matemáticas en España, y, como después de publicado, al empezar el año 1894, en periódicos científicos y Asociaciones de cultas del extranjero, se había llamado la atención de las personas competentes sobre el asunto á que se refería, puesto á la orden del día por iniciativa loable de la Academia de Madrid, ninguna dificultad hubo en reproducir aquel tema, como incentivo de premio, en el concurso abierto desde el 1.º de Enero de 1896 hasta cerrar el año 1897.

Y esta vez, si que la invitación de la Academia dió por resultado inesperado con asomos de asombroso, la presentación en tiempo oportuno, y con todos los requisitos de Reglamento, de tres volúmenes de memorias, con aspiración al premio ofrecido, dignas las tres de estima, como más tarde se vió, aunque no—ya debo suponerse—del
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mismo sobresaliente mérito por igual, señaladas, por el orden de su ingreso en Secretaría, con los lemas siguientes:

Núm. 1. «Un géomètre ne doit pas être moins glorieux d'avoir donné son nom à une courbe qu'un prince d'avoir donné le sien à une ville.» — Fontenelle.—4 de Diciembre de 1897.

Núm. 2. «L'Algèbre n'est qu'une Géométrie écrite: La Géométrie est une Algèbre figurée.» — Sophie Germain 20 de Diciembre, idem.

Núm. 3. «In tenui labor, at tenuis non gloria.» — Virgilio, Georgicas.—30 de Diciembre, idem.

Para que la Academia se penetre desde luego del contenido é importancia de las tres memorias, y pueda sin perjuicio de minucioso examen posterior, formar concepto justo de su mérito absoluto y relativo, la Sección se considera obligada á exponer, sustantivamente siquiera, el plan de redacción á que las tres obedecen, extensión é índole de la vasta materia que abarcan y condiciones intelectuales manifestadas por los autores respectivos en la muy difícil y penosa tarea de componerlas.

La memoria Núm. 1 consta de unas 250 páginas en folio mayor ó prolongado de escritura tan menuda y apretada que es muy difícil decidir por comparación con determinado libro impreso, cual será su tamaño, puesta en letras de molde. A lo cual se oponen también dos circunstancias: el considerable número de fórmulas algebraicas que comprende, y que será menester imprimir con claridad y distribuir con holgura, para que no resulten punto menos que ininteligibles; y el de notas y acotaciones marginales muy interesantes, que amplían muchos pasajes del texto; escritas en caracteres más reducidos todavía que la parte fundamental y doctrinal del mismo. Así ha resultado para la Sección tan molesta y fatigosa su lectura.

El título de la obra no concuerda á la letra con el tema propuesto por la Academia, aunque del tema substancialmente se derive, y dice como sigue:

«Las Curvas planas particulares, algebraicas y trascendentos.—Teoría é Historia.—Ensayo de Geometría comparada del plano».

Y, sin más que fijarse en el título, comprenderse que el autor de esta memoria ha remitido á la Academia algo más de lo que ésta pedía: decididamente más de lo que podía esperarse que por nadie le fuese presentado: mucho más, suponiendo que el desempeño del trabajo corresponda á lo prometido en el título transcritto, de lo que, por la cuantía del premio, era discreto y razonable exigir á ningún concurrente al certamen.
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Se podía en efecto, por junto un Catálogo ordenado de curvas, de nombre conocido y de algún interés histórico y científico; y se nos presenta en vez de esto, un libro bien pensado, y de vasta y muy variada doctrina matemática, del cual se desprende el Catálogo de más de 450 curvas, inserto al final por orden alfabético, después de consignadas en el texto sus definiciones, propiedades más salientes, analogías y diferencias, clasificación metódica en lo posible, e indicación de sus procedencias, por derivación sistemática de unos cuantos procedimientos generadores de todas ellas. Libro, conforme dice el autor, que «puede servir como de complemento utilísimo, necesario tal vez á los de Geometría Analítica Superior y de Aplicaciones del cálculo Infinitesimal»; y al cual, en sentir de la Sección, debe dispensarse entusiasta y generosa acogida, por cuanto viene á colmar un vacío que en la literatura matemática se advertía, y á facilitar la iniciación de la juventud estudiosa en una de las doctrinas de orden más elevado que la Geometría comprende, del dominio, casi excluivo hasta la fecha, de los más sutiles y ejercitados cultivadores de tan fecundo ramo del humano saber.

Ciento que en el libro y Catálogo á que nos referimos—y así conviene declararlo desde luego—faltan muchas curvas, de nombres conocidos, usuales en la Arquitectura y en la Física; pero las que faltan, se apresura á manifestar el autor, son las desprovistas de ecuación, y como de vida propia, y que, por lo mismo, no pueden figurar con legítimo derecho al lado de las demás, en obra didáctica, de índole esencialmente matemática. Como faltan, y es omisión ésta de mayor cuantía, y de más difícil justificación por el momento, las curvas alabeadas, ó de doble curvatura, excluidas por el autor, en atención, dice: 1.º, á que las curvas así denominadas son entre geométricos, esencialmente distintos de las planas; y 2.º, á que sobre las de doble curvatura tiene ya preparado otro libro, que, á ejemplo del presentado á la Academia, se titulará: «La Curvas Alabeadas y las Superficies particulares, algebraicas y trascendentales.—Geometría comparada del espacio.—Teoría e Historia».

Sea como quiera, el trabajo de que damos cuenta se halla distribuido en ocho capítulos, ó secciones, de extensión desigual, compuestos de numerosos párrafos numerados, y titulados para mayor claridad, en los cuales, tras sucinto, pero de ningún modo excusado prólogo, se trata:

I.—«De lo que los antiguos geómetras denominaron loca plana y loca sólida, ó sea—no más que por vía de introducción, ó de prepara-
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ción á lo que sigue en los sucesivos—de la línea recta, de la circunferencia y el círculo, y de las secciones cónicas: todo ello en muy compendiosos términos, pero fuera éstos del orden vulgar, y que merecen leerse con atención y seriamente meditarse. Desde luego da en qué pensar tan extraño preludio de la obra.

II.—«De las curvas planas algebraicas de tercer orden, ó cúbicas, tratándose en sus distintos párrafos, por riguroso procedimiento matemático: de la clasificación general de las cúbicas unicursales y circulares; de la círculoide de Dioctes en particular, y teoría en junto de las cisoídes; de la parábola cartesianas, y del folium ú hoja del mismo nombre; de la estrofoide oblicua, ó focal de Quetelet, y de la logocíclica de Booth; ó estrofóide recta, y de las curvas estrofoídicales con mayor amplitud; de la concóide de Sluse; de la cúbica do Rille: de la versétera, estudiada á mediados del pasado siglo por la famosa María Gaetana Agnesi, con disertación muy curiosa sobre tan extraño nombre; de la trisectriz de Mac Laurin, y dela de Longchamps: de la duplicatriz, y de la hoja parabólica del último autor: y del trifolio equilátero» De todo, en suma, cuanto de algún interés concierne á las curvas de tercer orden: objeto de atención muy preferente para muchos y muy perspicaces geómetras do los dos posteriores siglos.

III.—«De las cuárticas, ó curvas planas de cuarto orden.»

Capítulo muy extenso, de cuyo índice, por párrafos ó artículos independientes unos de otros, no es posible dar, sin prolijidad fatigosa, ni aproximado conocimiento siquiera. Baste saber que obedece en la exposición de la doctrina que contiene al mismo plan sistemático que el anterior, y que en él, prescindiendo de otras muchas curvas, de merecida celebridad, se trata sucesivamente de las espiricas de Perseo, concoíde de Nicomedes, caracol de Pascal, cuárticas de tres retrocesos, concoíde de Külp, óvalos de Descartes, parábola bicaudralo-cubica de Schooten, kappa y nudos de Gerardo van Gutscheven (discípulo y colaborador de Descartes), «lípse ú óvalo de Cassini, lemniscatas de Santiago Bernoulli y de J. Booth, cuadráticas piriformes, bicornito, curva del diablo, concáles y cisoídes de cuarto orden: etc., etc., etc.—Todo ello expuesto también con rigor geométrico, riqueza en los detalles, y pasmosa copia de noticias históricas y bibliográficas.

IV.—«De algunas curvas planas del sexto y del octavo orden: séxticas y bicúarticlas.»

Como la llamada curva de Watt, relacionada con el movimiento del, famoso paralógrafo articulado del mismo nombre; las astrobíles, consideradas como envolventes y evolutas de otras curvas; la podar
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de la astroide regular que se confunde con un escarabajo; la óptica astronómica de Jonquières; la cornoides; la nefroide, en conexión con la teoría de la construcción de polígonos regulares; la atriftaloide de Haughton; la coucoide de Alberto Durero y el trifolium pratense, y la curva equipotencial.—Capítulo relativamente breve, pero bien aprovechado.

V.—«De las curvas planas algebraicas, de cualquier orden.»

Uno de los más extensos e importantes de la obra, en el cual se trata detalladamente de las generalizaciones analíticas y geométricas de las secciones cónicas, ó de las elipses, hipérbolas y parábolas de todos los órdenes; de las llamadas curvas de Lamé, y curvas triangulares simétricas; de las rodóneas, ó rosáceas, del P. Guido Grandi; de las curvas triangulares y orbiformes, polizomales, y nodulares; de las curvas rícicas, hipérbolas superiores ó esteloides y lemniscatas superiores también, ó castnoides; de las isodindmicas, alisicas y cardioides en general; de aquéllas cuyo perímetro puede expresarse por una integral euleriana de primera especie, como las espirales sinusoides, ó por una elíptica de la misma especie, como las llamadas curvas de Serret; curvas de simetría ortogonal ó oblicua, con relación á uno á varios ejes; isófaras, autopolares, y analagmáticas; sectrices muy variadas; curvas fisico-matemáticas, como las llamadas de Lissajous; y de perseguimiento, ó del perro, descritas por un móvil ó los alcances de otro móvil, ambos en condiciones de movimiento simultáneo, distintas según los casos; etc., etc.

Capítulo notable por la abundancia de noticias que contiene; pero mucho más todavía por la riqueza de doctrina matemática que atesora, y de la cual no es fácil poseerse sin esfuerzo de atención muy sostenido por parte del lector. Y el cual constituye un trabajo de sobresaliente mérito en todos conceptos, que aun podría realizarse si el autor se esforzase, antes de darle á la estampa, en simplificar y aclarar la exposición de la vasta y un poco heterogénea materia geométrica á que se refiere.

VL—«De las curvas transcendentales.»

Todavía más extenso que el anterior y de muy atractiva lectura. Como que en él se trata de las cuadratrices de Hippias y Dinostrato, de Chasles, de Techinhausen, y de Perks, aplicables al círculo y la hipérbola; de las espirales, sin omisión de ninguna interesante; de las cicloides circular, elípticas; de las epicicloides ó hipocicloides; cardioides; hipocicloide de tres re'roces; astroide regular; y de las rosáceas. De las envolventes del círculo; tractris y sintractis; tractris polar, ó curva in-
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d'où par dérivation:

(6) \[
\frac{ds_1}{ds} = \frac{\sqrt{\rho^2 + 4s^2}}{\rho}
\]
\[
\frac{dx_1}{ds_1} = -\frac{\varepsilon \cos \alpha + 2s \cos \lambda}{\sqrt{\rho^2 + 4s^2}}, \quad \frac{dy_1}{ds_1} = -\frac{\varepsilon \cos \beta + 2s \cos \mu}{\sqrt{\rho^2 + 4s^2}}.
\]

Et comme on déduit d'ici par le calcul habituel:

(7) \[
\varepsilon_1 = \pm \frac{(\rho^2 + 4s^2)^3}{2s \rho \rho' - 3\rho^2 - 4s^2},
\]

on conclut:
«La détermination de la ligne \( L_1 \), quand on donne \( L \), se réduit à l'élimination de \( s \) entre l'équation (7) et l'autre qu'on déduit en intégrant l'équation (6).»
Que l'on parte, au contraire, de la ligne \( L_1 \).
Désignons par \( \theta \) l'inclinaison des droite \( A_1A \) sur \( L_1 \) et par \( v \) les segment de ces droites \( A_1A \), comptés à partir de \( L_1 \). Les coordonnées \( X, Y \) d'un point quelconque de la droite \( A, A \) sont alors définies ainsi:

\[
X = x_1 + v (\cos \theta \cos \alpha_1 + \sin \theta \cos \lambda_1),
\]
\[
Y = y_1 + v (\cos \theta \cos \beta_1 + \sin \theta \cos \mu_1).
\]

Si donc on désigne par \( T \) la longueur \( A_1A \), on a:

\[
T = - \frac{\sum \frac{dx_1}{ds_1} \cdot \frac{d}{ds_1} (\cos \theta \cos \alpha_1 + \sin \theta \cos \lambda_1)}{\sum \left[ \frac{d}{ds_1} (\cos \theta \cos \alpha_1 + \sin \theta \cos \lambda_1) \right]^2} = \frac{\rho_1 \sin \theta}{1 + \rho_1 \frac{d \theta}{ds_1}}
\]

Conséquemment les coordonnées d'un point quelconque de la ligne \( \Lambda \) ont pour expression:

\[
\xi = x_1 + \frac{T}{2} (\cos \theta \cos \alpha_1 + \sin \theta \cos \lambda_1),
\]
\[
\eta = y_1 + \frac{T}{2} (\cos \theta \cos \beta_1 + \sin \theta \cos \mu_1).
\]
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versa de la envolvente del círculo; y de la lemniscata logarítmica y lemniscatriz.—Curvas de De Besune, de Ribaucour, y de Euler; trigonométricas ó hipertrigonométricas; logarítmica ó logística, y curva hipergeométrica.—Curvas binomias intersecientes, y de W. Klein de Sumner, en la proyección de Mercator; y de Weierstrass, ó línea continua sin tangente determinada en algunos casos. Curvas físico-matemáticas, como las diversas catenarias; la curva elástica plana; isócrona, paracéntrica; generatrix del sólido de resistencia mínima; taubobdrídes baritropes, y curvas de equilibrio; electromagnética de Weyz, y magnéticas de Acoust.

VII.—«De las curvas por derivación geométrica de otra ó otras curvas».

A esta fecunda categoría corresponden: las evolutas y envolventes, las curvas paralelas, como la toroide, correspondiente á la elipse; las evolutoides ó evolutas imperfectas ó oblicuas; las cáusticas, ó catacáusticas y diacáusticas; las podares y contrapodares; las radicales, y, en particular, la radial de la elipse; las curvas de desviación ó aberración; y las ovoides. Etc., etc.

VIII.—«Sucinta noticia histórica sobre la teoría de las curvas planas, complementaria de cuanto precede.»

Breve capítulo final, magistralmente trazado, y en el cual se encuentran consignadas muy variadas e interesantes noticias, concernientes á los trabajos de los primeros geómetras en tiempos ya remotos, al estudio por entonces de las secciones cónicas y de otras curvas más notables; á los métodos más modernos y secundos de investigación geométrica, cinemático, analítico e infinitesimal; al justificado retroceso, en los días que corren hacia los primitivos procedimientos de exploración directa de propiedades de curvas y superficies, sin razón bastante para ello, puestos en olvido tras el perfeccionamiento del Álgebra y creación del Análisis superior; y á los más recientes progresos obtenidos en la complicada Teoría general de las curvas algebraicas y curvas transcendentales, compuesta todavía de elementos heterogéneos, que muy eminentes matemáticos de la época actual se afanan por amalgamar, para formar así un verdadero cuerpo de doctrina, provisto de unidad, ó de íntima y muy conveniente trabazón por todos conceptos admirable.

Completa el libro:

Dos catálogos ó listas, dispuestas por orden alfabético, y de provecho consulta, gracias á las muchas y bien concertadas referencias al texto que las acompañan: una, de las cuatrocientas cincuenta y
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tantas curvas estudiadas en el cuerpo de la obra, con mayor ó menor detenimiento, según su importancia, y novedad ó extrañeza, lo requieren; y otra de los quinientos autores, ó matemáticos, mencionados en la Memoria, con expresión en muchos casos de los trabajos que publicaron y de los merecimientos á que, por sus difíciles investigaciones y singulares aciertos se hicieron acreedores.

Un apéndice, con valiosas adiciones al texto, que, sin duda ninguna, no tuvo tiempo el autor de englobar ó intercalar, en lugar oportuno, seguido de muchas hojas en blanco, como en señal de que todavía es mucho lo que puede agregarse, y estaba en la mente del mismo autor agregar á todo lo expuesto.

Y un atlas, por separado, de 17 láminas en folio, con numerosas y complicadas figuras geométricas, de eficaz auxilio, indispensable casi, para la más fácil inteligencia de la doctrina á que se refieren.

¿Falta alguna otra cosa para poder calificar sin vacilación como de sobresaliente mérito en su especie esta tan notable producción científica?

Por desgracia falta pulir la redacción, que, por la premura del tiempo, ó por cualquier otro motivo que la Sección no ha tenido empeño en apurar, no es admisible como definitiva. Pero, entiéndase bien: con todos sus defectos de estilo y frecuentes incoherencias de lenguaje, no habrá lector de la memoria original, amante de los buenos estudios matemáticos, que al meditar sobre su contenido, no experimente movimiento de asombro, y como asomo de loable envidia hacia el autor, sea quien quiera de obra, tan excelente en el fondo por la cantidad y calidad de la doctrina, sistemática y discretamente condensada y ordenada en sus numerosas y bien aprovechadas páginas.

Siendo lo admirable que con tan excelente disertación geométrica admita comparación, en ningún caso manifestamente desventajosa, la señalada con el N.º 2 concertada con arreglo á plan muy parecido al N.º 1, y, si no de tantos vuelos filosóficos como ésta, ni de tan minuciosa y exquisita erudición, por punto general superior á ella en muchos detalles; y por la claridad, sencillez de estilo y condiciones didácticas, en grado sumo recomendable como libro perfectamente apropiado desde luego á las necesidades de la enseñanza.

Consta también de numerosas páginas en folio; tiene por título el de «Geometría de las Curvas notables»; va precedida de substancioso y oportuno prólogo; y comprende, distribuidas en catorce extensos capítulos, las materias que, por no incurrir en molestas repeticiones de lo poco há, por referencia á la memoria N. 1, expuesto con relativo
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detenimiento, á renglón seguido en muy abreviados términos apuntadas.

En los capítulos I y II la historia y propiedades; y aun aplicaciones muchas veces, de las cúbicas de mayor nombradía: cisoide de Diocles, conoide de Sluse; estrofoídes varias; trisectris de Mac-Laurin; folium de Descartes, y concóide parabólica del mismo autor; angulinea ó serpentína, y tridente de Newton; parábolas divergantes; cúbica de Agnesi; curva de Bolle; cúbica mixta; y folium parabólico.

Comparando este índice somero é imperfecto con el tampoco muy minucioso de la Sección 1.a de la memoria N.º 1, salta á la vista la analogía de los dos trabajos presentados á la Academia: analogía—no se hable de identidad—todavía más patente en la manera de exponer ambos autores la materia de que tratan, por procedimiento rigurosamente matemático, y sin divagaciones impertinentes al asunto; y con pensamiento propio los dos, como quienes, bien penetrados del tema que pretenden dilucidar, empuñan la pluma y la dejan correr sobre el papel, sin modelo ninguno ante los ojos que imitan, ó inadvertidamente y casi á la letra, transcribir. Por esto, después de leída la teoría de las curvas de tercer orden en uno cualquiera de ambos libros, gusta y aprovecha grandemente repasarla en el otro: como que, lejos de estorbarse, ambos recíprocamente se aclaran y complementan. En todo rigor, entiende la Sección que á la lectura del señalado con el N.º 1 conviene anteponer la del N.º 2, por la mayor sencillez y como naturalidad de redacción que á éste distingue, conforme ya que ha advertido.—Pero pongamos punto á esta digresión, aplicable, sin apenas variante, á los demás casos que han de presentársenos, de cotejo de materias comunes en ambos libros contenidas, y modos distintos de considerarlas por los autores respectivos: y continuemos la mera indicación de las que el núm. 2 comprende.

En sus capítulos III, IV y V, por procedimiento semejante al usado en los dos primeros, estudianse las cuárticas más notables: espiríticas de Perseo, ó secciones principales del toro; ovalos de Cassini; lemniscatas, tanto elípticas como hiperbólicas, y entre éstas, como muy notable, la famosa lemniscata de Bernoulli: caracol de Pascal ó de Roberval; la cardioidé; los ovalos de Descartes, ó curvas aplanéticas de Herschel; las cuárticas bicitrulares y las piriformes; etc., etc. Porque menester es cortar en algún punto este fatigoso relato.

Trátase en el VI de algunas curvas notables de sexto orden, ó séxticas por abreviación, como la de Watt, enlazada con la teoría del movimiento del cuadríptero articulado, de este tan célebre físico y mecá-