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5. Un théorème de la géométrie à n dimensions.

Un point \( x \), dans l'espace à \( n \) dimensions, soit dérivé des \((n+1)\) points \( e_1, e_2, \ldots e_{n+1} \) au moyen des facteurs \( x_1, x_2, \ldots x_{n+1} \), de sorte qu'on aie

(1) \[ (x_1 + x_2 + \ldots + x_{n+1})x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \ldots + x_{n+1} e_{n+1}. \]

Si \( v \) est le point d'intersection de la droite \((e_1 e_2)\) et de l'espace à \((n-1)\) dimensions \((x e_3 e_4 \ldots e_{n+1})\), alors on peut dériver \( v \) aussi bien des points \( e_1, e_2 \) que des points \( x, e_3 \ldots e_{n+1} \). Or il suit de (1):

(2) \[ x_1 e_1 + x_2 e_2 = (x_1 + x_2 + \ldots + x_{n+1})x - x_3 e_3 - x_4 e_4 - \ldots - x_{n+1} e_{n+1}. \]

Donc le point \( v \) est déterminé par l'équation

(3) \[ (x_1 + x_2)v = x_1 e_1 + x_2 e_2. \]

Soit \( u \) le quatrième point harmonique par rapport à \( v, e_1, e_2 \), alors on a (voir Progresso Matemático, t. II, pág. 282, formule (4)):

(4) \[ (x_1 - x_2)u = x_1 e_1 - x_2 e_2 \]

Si l'on joint au lieu des points \( e_1 \) et \( e_2 \) deux autres points \( e_r \) et \( e_s \) par une droite et que l'on détermine chaque fois l'espace à \((n-1)\) dimensions par les \( n \) points restants (y compris le point \( x \)), on obtient d'autres points \( u \) et \( v \). Le nombre de ces couples de points est \( \frac{1}{2} n(n+1) \). Si \( u_{rs} \) et \( v_{rs} \) sont les points correspondant à \( e_r \) et \( e_s \), on a

(5) \[
\begin{cases}
(x_r + x_s) v_{rs} = x_r e_r + x_s e_s \\
(x_r - x_s) u_{rs} = x_r e_r - x_s e_s
\end{cases}
\quad (r, s = 1, 2, \ldots, n+1)
\]

Or en additionnant les équations:

\[
\begin{align*}
(x_1 - x_2)u_{12} &= x_1 e_1 - x_2 e_2 \\
(x_2 - x_3)u_{23} &= x_2 e_2 - x_3 e_3 \\
&\ldots \\
(x_n - x_{n+1})u_{n,n+1} &= x_n e_n - x_{n+1} e_{n+1} \\
(x_{n+1} - x_1)u_{n+1,1} &= x_{n+1} e_{n+1} - x_1 e_1
\end{align*}
\]

on trouve:

(6) \[ (x_1 - x_2)u_{12} + (x_2 - x_3)u_{23} + \ldots + (x_n - x_{n+1})u_{n,n+1} + (x_{n+1} - x_1)u_{n+1,1} = 0. \]

Donc il existe une relation numérique entre les \((n+1)\) points \( u \) compris dans l'équation (6) d'où il s'ensuit que ces points sont situés dans un espace à \((n-1)\) dimensions.
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Or on peut additionner d'autres séries d'équations de la forme \( x_r - x_s \) \( u_{rs} = x_r e_r - x_s e_s \), en prenant garde que chaque fois deux points successifs soient de la forme \( u_{rs} \) et \( u_{st} \).

Alors on obtiendra une série d'équations de la forme (6) qui renferment tous les points \( u_{rs} \). Chaque équation (6) correspond à un espace à \( (n-1) \) dimensions. Mais tandis que l'équation renferme \( (n+1) \) points, un groupe de \( n \) points suffit à déterminer l'espace à \( (n-1) \) dimensions. Donc il s'ensuit en tout des équations (6) que tous les espaces correspondants sont identiques, ou que tous les points \( u_{rs} \) sont compris dans le même espace à \( (n-1) \) dimensions. Donc on a le théorème:

« Si un espace à \( n \) dimensions est déterminé par les points fondamentaux, \( e_1, e_2, e_{n+1} \), si, en outre, des espaces à \( (n-1) \) dimensions \( (R_{n-1}) \) sont déterminés par un point quelconque \( x \) de l'espace donné et tout groupe possible de \( (n-1) \) points fondamentaux, si, enfin, sur la droite joignant les deux points restants \( e_r, e_s \), on détermine le point d'intersection \( v_{rs} \) avec l'espace correspondant \( R_{n-1} \) et le quatrième point harmonique \( u_{rs} \), alors tous ces \( \frac{1}{2} n(n+1) \) points sont situés dans le même espace à \( (n-1) \) dimensions. » — On doit ce théorème à Mr. Killing. (Die nichteuklidischen Raumformen in analytischer Behandlung. Leipzig: 1845, p. 94).

6. Un théorème relatif au pentagone.

Soient donnés deux points quelconques au plan du triangle fondamental \( (e_1 e_2 e_3) \):

\[
\begin{align*}
A &= x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 \quad (x_1 + x_2 + x_3 = 1) \\
B &= \beta_1 e_1 + \beta_2 e_2 + \beta_3 e_3 \quad (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = 1)
\end{align*}
\]

Soient en outre \( M_3, M_1, M_2 \) les points d'intersection de la droite \( AB \) avec les droites \( e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1 \). Alors on a:

\[
(\beta_i - x_i) M_i = \beta_i A - x_i B = (x_2 \beta_1 - x_1 \beta_2) e_2 + (x_3 \beta_1 - x_1 \beta_3) e_3
\]

et deux autres équations analogues. (Comparer Progreso Matemático, t. II. p. 283, n. 4).

Soient, enfin, \( M'_1, M'_2, M'_3 \) les points conjugués harmoniquement aux points \( M_1, M_2, M_3 \) par rapport à \( A \) et \( B \). Nous aurons:

\[
(\beta_1 + x_1) M'_1 = \beta_1 A + x_1 B
\]
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et deux autres équations analogues. En remplaçant A et B par leurs valeurs (1) on obtient:
(4) \[(z_1 + x_1)M'_1 = 2x_1\beta_1 e_1 + (x_2\beta_1 + x_1\beta_2) e_2 + (x_1\beta_3 + x_3\beta_1) e_3\]
Posons, pour abréger:
(5) \[x_2\beta_1 + x_1\beta_2 = \lambda_3; \quad x_2\beta_2 + x_3\beta_3 = \lambda_1; \quad x_1\beta_3 + x_3\beta_1 = \lambda_2\]
Nous aurons
\[(z_1 + x_1)\lambda_1 M'_1 = 2x_1\beta_1 e_1 + \lambda_3 e_2 + \lambda_2 e_3;\]
donc, par une transformation légère:
(6) \[(z_1 + x_1)\lambda_1 M'_1 + (\lambda_2\lambda_3 - 2x_1\beta_1\lambda_1) e_1 = \lambda_3\lambda_1 e_1 + \lambda_2\lambda_1 e_2 + \lambda_1\lambda_2 e_3.\]
Or le second membre de cette équation ne change pas par une permutation circulaire des indices. Donc, si ce membre représente un point P, il existe la relation:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
P = (z_1 + \beta_1)\lambda_1 M'_1 + (\lambda_3\lambda_1 - 2x_1\beta_1\lambda_1)e_1 \\
= (x_2 + \beta_2)\lambda_2 M'_2 + (\lambda_3\lambda_1 - 2x_2\beta_2\lambda_2)e_2 \\
= (x_3 + \beta_3)\lambda_3 M'_3 + (\lambda_1\lambda_2 - 2x_3\beta_3\lambda_3)e_3,
\end{array}
\right.
\]
cela veut dire que les droites \(M'_1e_1\), \(M'_2e_2\), \(M'_3e_3\) passent par le point P. On a donc ce théorème:

«Si l'on construit dans une droite, déterminée par deux points A et B, les quatrièmes points harmoniques par rapport à ses points d'intersection avec les arêtes d'un triangle, alors les trois droites joignant ces points harmoniques avec les sommets conjugués du triangle passent par le même point P.» (d'Ocagne. Les coordonnées parallèles de points. Nouv. Ann. (3) VI. p. 495).

Voici un autre énoncé de ce théorème: «Soit donné un pentagone (12345) avec toutes ses diagonales: construisons dans une quelconque diagonale (25) les trois quatrièmes points harmoniques (1', 3', 4') par rapport aux points 2, 5 et aux points d'intersection (1', 3', 4') de la diagonale (25) avec les droites (43), (14), (31), alors les droites (1', 3', 4', 4) joignant ces points harmoniques avec les sommets conjugués du pentagone passent par le même point.

CARTA DE LOS SRES. LAISANT Y LEMOINE

París, 14 Juillet, 1894.

MON CHER MONSIEUR:

Dans le n.º de Juin de votre intéressant journal, page 198, vous entretenez vos lecteurs de l'idée, qui semble dans l'air en ce moment
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de Congrès internationaux de mathématiciens à organiser périodiquement.

La réalisation nous paraît, il est vrai, de la plus haute importance pour les progrès de la science, mais nous n'avons aucune autorité pour en prendre l'initiative officielle; comme l'un de nous peut y être utile cependant, par l'œuvre internationale du Répertoire qui à l'origine servirait de centre provisoire de ralliement, et tous les deux par notre journal l'Intermédiaire des mathématiciens qui a déjà reçu directement de plusieurs savants illustres de l'étranger l'expression spontanée de ce desideratum, nous sommes charmés de déclarer que l'idée nous a séduits et que nous nous préterons de toutes nos forces à la répandre et à amener sa réalisation, seulement nous tenons à vous dire que vous nous avez fait un honneur auquel nous n'avons aucun droit en nous citant, comme vous l'avez fait, à coté de MM. Cantor, Hermite, Poincaré et Vassilief qui sont des maîtres de la science mathématique.

Dans la période actuelle de préparation (encore vague et par suite anonyme) du Congrès nous sommes heureux de pouvoir servir d'intermédiaires officieux et d'aider, s'il y a lieu, à sa constitution définitive, mais nous n'avons pas la prétention que serait tout à fait ridicule de voir à notre appel, l'Europe savante se mettre en mouvement et c'est aux maîtres autorisés de la science dans tous les pays, qu'il appartient de prendre, quand le moment soit venu, l'initiative officielle de les grandes assises.

Nous vous demandons donc de voulois bien publier cette amicale protestation dans votre prochain numero et nous vous envoyons nos plus cordiales amitiés.

E. Lemoine. A. Laisant.

BIBLIOGRAFÍA

Lógica matematica, C. Burali-Forti, professore nella R. Academia Militare di Torino.-- Ulrico Hoepli. Milano, 1894, pr. 1,150.

Ya en varias ocasiones hemos tratado del desenvolvimiento que sigue la lógica matemática, hasta el punto de haber sugerido la feliz idea de coleccionar baja la forma concisa y esquemática de este nuevo lenguaje las proposiciones de la ciencia matemática, de cuya publicación en la Rivista di matematica del profesor Sr. Peano hemos tratado alguna vez.
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Esta última conquista de la ciencia matemática estaba ya indicada como su digno coronamiento, pues al vasto sistema de sus verdades enlazadas por la fuerza del razonamiento tenía que acompañar la teoría ó la ciencia de estos enlaces; la razón de este modo de derivarse la verdad, es decir, la dialéctica matemática.

El lenguaje ordinario, si bien da elegancia á la expresión de nuestros sentimientos atesorada en las literaturas de diversas nacionalidades, carece de la precisión que lleva el razonamiento lógico y sobre todo el matemático; y el estudio de las proposiciones y de los razonamientos desde el punto de vista general y formal era una necesidad en las ciencias deductivas.

El proyecto de crear una escritura universal en la que todas las ideas compuestas se pudieran expresar mediante signos convencionales de las ideas simples, no ya sólo se remonta á la época de Leibnitz, que de ella se ocupó en su Dissertatio de arte combinatoria, Lipsia: 1866, n.º 90, sino que, según explica el Dr. Gino Loria en el Bulletin des sciences mathématiques (*) el matemático francés Pierre Hérigone en el año 1644 publicó una obra donde se emplea un sistema de notación con que abrevia considerablemente la exposición de su Cursus mathematicus. Este pensamiento lo han desenvuelto ya desde Boole, Grassmann, etc., notables matemáticos alemanes é ingleses, y se ha divulgado recientemente en los Estados Unidos, y la enseñanza de esta nueva doctrina se halla incluida en los programas de enseñanza americanos.

En Italia, como hemos manifestado, bajo la influencia del ilustrado propagandista de este orden de ideas Sr. Peano, se continúa la obra de su Formulario, y en esta nación son varias las obras notables publicadas de Lógica matemática, entre las que puede ser elogiada con justicia el nuevo tratado del profesor de Turín Sr. Burali-Forti, que en 160 páginas en 8.º ha reunido, con grandísima claridad, buen método y numerosos ejemplos prácticos, todo lo que constituye el cuadro de esta rama científica.

De cuatro capítulos consta la obra: I. Nozioni generali. II. Il raziocinio. III. Le classi. IV. Applicazioni.

Distínguese esta obra por su carácter práctico, de modo que la teoría está unida á los ejemplos aclaratorios correspondientes.

Así, por ejemplo, en los párrafos: Proposiciones primitivas, equivalencia, la negación, etc., se exponen primeramente las fórmulas co-

(*) 2ª serie, t. XVIII, Mai, 1894, pág. 107-12.
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respondientes al asunto, acompañadas las que lo requieren de su demostración y seguidas de su significación ó lectura.

Además de poderse poner el lector con escaso trabajo al tanto de este nuevo formulismo, obtiene la preciosa ventaja de adquirir importantes conceptos filosóficos de la ciencia, tanto al estudiar la diferencia que debe observarse entre el examen de las proposiciones y de las clases, como al recorrer las importantes aplicaciones, sobre todo las que conciernen á las funciones y á las definiciones de 1.a, 2.a, 3.a y 4.a

Una de las cualidades más apreciables de este Manual es la ventajosa forma de exposición que ha hecho compatible el reunir una gran abundancia de doctrina con una brevedad y simplificación en la forma.

Les femmes dans la Science, conférence faite au cercle Saint-Simon le 24 Fevrier 1894, par A. Rebière. Paris, Librairie Nony, 1894. 80 páginas.

La obra impresa, que contiene la conferencia del Sr. Rebière tiene por objeto dar á conocer seis mujeres célebres, Hypatia, Emile du Châtelet, Marie Agnesi, Sophie Germain, Mary-Somerville y Sofía Kowalevsky, que han brillado por sus excepcionales dotes intelectuales, de las que son irroscusables testimonios sus obras, y de las que se ocupa amenizándolas con curiosas anécdotas, en las cuales se hallan trazados los rasgos característicos de cada una, hallándose así relacionada su vida con sus obras.

Corso di Analisi algebraica con introduzione al calcolo infinitesimale per Ernesto Cesaro, 499 págs. Torino, 1894.

Ya en otras ocasiones hemos hecho notar los progresos que la exposición de las obras didácticas ha alcanzado durante el último tercio de este siglo, y la diferencia que se nota con respecto á las de la primera mitad del mismo, éstas eran la condensación de los conceptos matemáticos hasta la época de Lagrange, tendían á expresar la síntesis de la ciencia matemática, hasta comienzos del siglo actual, tan brillante que puede considerarse como el siglo de oro de la ciencia matemática. ¡Tanto se ha descubierto á la par que se ha profundizado! ¡Tanto se ha extendido la esfera de las verdades matemáticas y tanto la crítica de sus conceptos fundamentales ha ahondado en la región del conocimiento filosófico!
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Estos nuevos y extensos descubrimientos que el siglo XIX ha importado á la Matemática, así como esta fuerza con que ha profundizado en el seno de la verdad, después de unos cuantos años de elaboración y de sedimentación, han salido á la superficie para hacer ostensible por la forma y por el fondo, no sólo la riqueza, sino que también la hermosa unidad de su vasto organismo, y por la luz que baña á sus conceptos en sus encadenamientos dentro del sistema. Los que antes eran misteriosos senderos de la verdad hoy son caminos reales de nuestra inteligencia.

Una de las obras que expresan esta transcendental innovación hecha en el modo de exponer y de enlazar las teorías para poner la enseñanza de la ciencia en correlación con los perfeccionamientos de la ciencia es la obra del distinguido profesor de la Universidad de Nápoles Sr. Cesáro.

Las 69 primeras páginas se refieren al orden combinatorio tan capital en el Algebra, trata de las sustituciones, determinantes de las ecuaciones y transformaciones lineales, de las cuádricas de la propiedad invariantiva y de las formas canónicas.

La parte que concierne á los conceptos de límite y función, muy muy detallada y conforme con los más recientes descubrimientos modernos y muy nutrida de numerosos ejercicios interesantes, especialmente acerca de las series, comprende hasta la página 311. Comienza con los Fundamentos de la teoría de los números irracionales, siguen las operaciones, la tendencia al límite y proposiciones sobre los límites, las series, criterios, etc. Las funciones, etc., series de funciones, fórmula de Taylor, mínimos, máximos, etc., números de Bernoulli y de Euler, fórmulas sumatorias, fundamentos de los números complejos, raíces de la unidad, límites y series de números complejos, raíces de la unidad, y termina con las funciones hiperbólicas y logaritmos imaginarios. El párrafo LXVI está dedicado á los cuaternios. Siguen la eliminación, etc., funciones simétricas, número de raíces concernientes á los teoremas de Rolle. Descartes, Laguerre, Budan, Sturm, éste complementado con resultados debidos á Sylvester, Borchardt, Brianchi y Cayley.

Los Parágrafos LV y LVI tratan de las resoluciones numérica y algebraica de las ecuaciones, ocupándose en éstas de los métodos de Cayley y Lagrange. Siguen los teoremas de Ruffini y de Abel. En el parágrafo LIX, diferencias e interpolaciones, expone los teoremas de Staudt y de Clausen. Termina la obra con el parágrafo LX. Desarrollos factoriales y con algunas notas.
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Las breves indicaciones expuestas y la reconocida competencia del Sr. Cesáro permitirán al lector formar una idea de la importancia que para la enseñanza tiene la obra de que nos hemos ocupado.

Le calcul simplifié par les procédés mécaniques et graphiques, par M. Maurice D'Ocagne. 118 págs. París, Gauthier-Villars. 1894.

El distinguido matemático francés, M. Maurice, d'Ocagne, que ya publicó en 1891 su conocida obra Les calculs effectués au moyen des abaques, essai d'une théorie générale, dió en el Conservatoire National des Arts et Métiers tres conferencias, en 24 de Febrero, 5 y 19 de marzo del año pasado y que se acaban de publicar con el título arriba indicado.

La primera conferencia trata de Los instrumentos y las máquinas aritméticas.

Los adicionadores — Aritmógénero Troncot; Los multiplicadores — bastones de Neper y derivados; Las regletas de Genaille — el aparato Bollée. En las máquinas aritméticas, trata la máquina de Pascal y las máquinas antiguas; el adicionador Roth; el aritmómetro Thomas; el Aritmaurel; la máquina Roth; la máquina Techebichet; la máquina Bollée; las máquinas diferenciales (Barbage, Scheutz, Bollée).

Constituyeron el asunto de la segunda conferencia Los instrumentos logarítmicos, los trazados gráficos, las tablas numéricas ó baremos. En ella se trata de las escalas logarítmicas, reglas, círculos, hélios y cilindros de cálculo; los trazados gráficos; las tablas numéricas ó baremos.

Acerca las tablas gráficas ó abacos y la nomografía versó la tercera conferencia, en ella el Sr. D'Ocagne hace un desarrollo histórico sobre el desenvolvimiento de la nomografía, trata del principio de los abacos ordinarios á doble entrada, la interpolación á la vista sobre los abacos, diversas ventajas de los abacos; principio de anamorphosis simple, la anamorfosis generalizada; desiderata por realizar en el establecimiento de los abacos, los abacos exagonales, etc.

Acompañan numerosos grabados que representan la variedad de máquinas descritas por el Sr. D'Ocagne en su interesante trabajo.

Lezioni di Geometria differenziale, di Luigi Bianchi, professore ordinario di Geometria analitica nella R. Università di Pisa. 1894. 20 L.

Dedicado preferentemente á los estudios de la Geometría infinite-
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16. En égard aux relations

\[
\sin A + \sin B + \sin C = \frac{\Delta}{\delta} (\sin a + \sin b + \sin c)
\]
\[
4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{\Delta}{\delta} \cdot 2 \sin p = 2 \Delta \cotg r
\]
\[
2 \sin \varepsilon = \frac{\Delta}{\delta} \cdot 4 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2} = 2 \Delta \tg R
\]

(26)

déduites des relations (6) à (9), on peut écrire (23) et (24) sous les formes suivantes:

\[
\frac{\cos IO}{\sin r \sin R} = \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{2 \sin \varepsilon}
\]
\[
\frac{\cos IO}{\cos r \cos R} = \frac{\sin a + \sin b + \sin c}{2 \sin p}
\]

(27)

d'où encore:
\[
\frac{\cos IO}{\sin r \cos R} = \frac{\sin a + \sin b + \sin c}{2 \delta}
\]
\[
= \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{2 \Delta}
\]

(28)

17. La méthode employée ci-dessus pour la recherche de OI, appliquée aux distances IO₁, IO₂, IO₃, donne:

\[
\frac{\cos IO_1}{\sin r \sin R_1} = \frac{\sin b + \sin c - \sin a}{4 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2} \cos \frac{c}{2}}
\]
\[
\frac{\cos IO_3}{\sin r \sin R_3} = \frac{\sin c + \sin a - \sin b}{4 \sin \frac{b}{2} \cos \frac{c}{2} \cos \frac{a}{2}}
\]
\[
\frac{\cos IO_3}{\sin r \sin R_3} = \frac{\sin a + \sin b - \sin c}{4 \sin \frac{c}{2} \cos \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2}}
\]
\[
\frac{\cos IO_1}{\cos r \cos R_1} = \frac{\sin B + \sin C - \sin A}{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}
\]

(29 bis)

formules analogues à (23) et (24), et dont on tirerait les mêmes conséquences.
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simal el sabio profesor de la Universidad de Pisa ha sostenido con brillantez digna de su nombre durante algunos años el interés por ellos en las varias memorias suyas publicadas en los Rendiconti de la Academia dei Lincei, no es de extrañar, pues, que la nueva obra en la cual se hallan resumidas sus investigaciones propias juntamente con las más importantes conquistas hechas por otros sabios eminentes en esta rama de la Matemática, haya de ser un acontecimiento muy satisfactorio para cuantos desean profundizar estas difíciles y capitales teorías en que se aplica el análisis superior á la Geometría.

Nada creemos más oportuno para dar idea de esta importantísima obra á los lectores, que el transcribir la siguiente relación hecha en su prefacio:

«El método á que el actual curso se halla adaptado, es el que tiene su origen en las célebres Disquisitiones generales circa superficies curvas de Gauss, y que consiste en considerar la Geometría diferencial como el estudio de una forma diferencial cuadrática ó de dos de estas formas simultáneas.

»Por esto, después de un primer capítulo que trata de las principales propiedades de las curvas de doble curvatura, se hallará un segundo capítulo donde están expuestos, brevemente, los fundamentos de la teoría de las formas diferenciales cuadráticas. Los algoritmos que de esta teoría se derivan tienen la gran ventaja de dar á las fórmulas una apariencia sencilla y elegante que fácilmente se imprime en la memoria, permitiendo además conservar á las líneas coordenadas toda su generalidad. Estas vienen empleadas en el siguiente libro, al que dicho capítulo sirve de preliminar.

»El estudio de las superficies, tanto de las propiedades inherentes á su forma efectiva en el espacio, cuanto de las invariables por flexión de la superficie (teoría de la aplicabilidad) se hallan expuestas en los siguientes capítulos (III, IX). Siguen los capítulos (X, XI, XII) que tratan de las dos teorías, íntimamente ligadas entre sí, de los sistemas doblemente infinitos de rayos (congruencias) y de las deformaciones infinitesimales de las superficies, ó si se quiere de la correspondencia por ortogonalidad de elementos; éstas han dado ya muchos resultados importantes para la teoría de las superficies, y prometen todavía dar otros más. El capítulo XIII está dedicado á la teoría de los sistemas cíclicos completamente debida á Ribaucour que se relaciona bajo varios conceptos á los dos anteriores. Paso enseguida á tratar de las dos clases particulares más importantes de superficies hasta ahora estudiadas: de las superficies de área mínima (c. XIV,