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El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 43

Solución por el Sr. Retali (V.)

Tomando el eje radical de los dos círculos por eje de las y y la recta que une los centros por eje de las x, las ecuaciones de los dos círculos dados son

\[
x + y^2 - 2kx \pm \delta^2 = 0, \quad x^2 + y^2 - 2k'x \pm \delta^2 = 0
\]

en las cuales es preciso tomar \( \delta^1 \) con el signo \( + \) ó con el \( - \) según que los dos puntos en el infinito comunes á los dos círculos sean imaginarios ó reales.

El cuadrado de la tangente trazada desde un punto á uno de los círculos dados se obtiene sustituyendo en sus ecuaciones las coordenadas del punto, por lo que, siendo \( \varphi \) la razón constante, la ecuación del lugar buscado es

\[
x^2 + y^2 - 2 \left( \frac{k - \varphi^2 k'}{1 - \varphi^2} \right) x \pm \delta^2 = 0
\]

ó sea un círculo que pasa por los puntos comunes á los dos círculos dados. Este círculo será real si

\[
\left( \frac{k - \varphi^2 k'}{1 - \varphi^2} \right)^2 \mp \delta^2 > 0.
\]

Solución por el Sr. Luzón de las Curvas.

Tomando por ejes coordenados la línea de los centros y el eje radical de los dos círculos dados, estos tendrán por ecuaciones

\[
y^2 + x^2 + 2kx \pm \delta^2 = 0 \\
y^2 + x^2 + 2k'x \pm \delta^2 = 0
\]

Si suponemos que \( x \) é \( y \) son las coordenadas de un punto, no perteneciente á los círculos dados, los primeros miembros de las ecuaciones anteriores representan, respectivamente, los cuadrados de las longitudes de las tangentes trazadas desde el punto á cada una de las circunferencias; perteneciendo el punto \( x_1, y_1 \) al lugar buscado y siendo \( n \) la relación dada, deberá verificarse

\[
y^2 + x^2 + 2kx \pm \delta^2 = n^2 \\
y^2 + x^2 + 2k'x \pm \delta^2 = n^2
\]

ó bien

\[
y^2 (1 - n^2) + x^2 (1 - n^2) + 2 (k - k'n^2) x \pm \delta^2 (1 - n^2) = 0,
\]

que es la ecuación del lugar buscado.

Si \( n = 1 \), la ecuación anterior representa el eje radical de los dos círculos dados, como debía preverse. Si \( n > 1 \), la ecuación se trans-
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 44

forma en \[ y^2 + x^2 + 2 \frac{k - k'n^3}{1 - n^2} x \pm \delta^2 = 0 \]

que representa una circunferencia que tiene el mismo eje radical que las dos dadas y cuyo radio está determinado por

\[
R = \sqrt{\left( \frac{k - k'n^3}{1 - n^2} \right)^2 + \delta^2}
\]

En caso de tomar el signo \(+\), R es siempre real; este signo corresponde cuando los círculos dados se cortan: Si estos no se cortaran debiendo tomar el signo \(-\), el lugar existirá si

\[
\frac{k - k'n^3}{1 - n^2} > \delta
\]

ó bien, suponiendo \(n < 1\)

\[
k - \delta > (k' - \delta)n^2
\]

y como \(k\) y \(k'\) son mayores que \(\delta\),

\[
\frac{k - \delta}{k' - \delta} > n^2
\]

en que \(k - \delta\) y \(k' - \delta\) son las menores distancias de los centros de los círculos dados al descrito desde el origen con un radio igual á \(\delta\).

Si \(n < 1\), la condición sería

\[
\frac{k - \delta}{k' - \delta} < n^2
\]

Solución por el Sr. CAZO.

Siendo M un punto del lugar geométrico pedido, se debe tener

\[
\frac{MA}{MB} = \frac{m}{n} = p
\]

Tomemos coordenadas rectangulares, siendo oo' el eje de las x, la perpendicular levantada en el punto medio de oo', el eje de las y, y llamando, para abreviar, \(oo' = 2a\), oA=R y o'B=R' teniéndose para cualquier posición del punto M (xy).

\[
\overline{MO'}^2 - R'^2 = (x + a)^2 + y^2 - R'^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2 - R'^2 = \overline{AM}^2
\]
\[
\overline{MO'}^2 - R'^2 = (x - a)^2 + y^2 - R'^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - R'^2 = \overline{BM}^2
\]

de cuyas ecuaciones se deduce, teniendo en cuenta la primera esta-

blecida,

\[
\frac{x^2 + 2ax + a^2 + y^2 - R'^2}{x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - R'^2} = \frac{\overline{MA}^2}{\overline{MB}^2} = p^2
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 45

ó bien \( (1-p^2)x^2 + (1-p^2)y^2 + 2a(1+p^2)x + a^2(1-p^2) - R^2 + R'^2p^2 = 0 \) y dividiendo por \( 1-p \).

\[
x^2 + y^2 + 2a \frac{1+p^2}{1-p^2} x + a^2 + \frac{R'^2p^2 - R^2}{1-p^2} = 0
\]

que es la ecuación del lugar buscado.

Como se ve, es una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas

\[
\left( -a \frac{1+p^2}{1-p^2}, 0 \right)
\]

es decir, está en la recta \( oo' \) y es siempre un punto real, que puede alejarse al infinito cuando \( P=1 \), en cuyo caso la circunferencia buscada se transforma en el eje radical de las dos circunferencias.

Para construir la circunferencia, trazaremos las tangentes comunes AB y CD, y tomando en ellas los puntos M y N, tales que

\[
\frac{MA}{MB} = \frac{NC}{ND} = \frac{m}{n} = p
\]

tendremos dos puntos de la curva. Sabiendo además que el centro debe estar en OO', quedará este determinado por la perpendicular á MN levantada en su punto medio.

De la ecuación de la circunferencia, se deduce que su radio vale

\[
r = \sqrt{a^2 \left( \frac{1+p^2}{1-p^2} \right)^2 - \frac{a^2(1-p^2) + R^2p^2 - R'^2}{1-p^2}}
\]
\[
= \frac{1}{1-p^2} \sqrt{a^2(1+p^2)^2 - a^2(1-p^2)^2 + (R'^2 - R^2p^2)(1-p^2)}
\]

la cantidad subradical se reduce á

\[
4a^4p^3 + R'^2 - R^2p^2 - R^2p^2 + R^2p^4 = R^2p^4 + (4a^2 - R'^2 - R^2)p^2 + R'^2
\]

y será positiva, y por tanto real la circunferencia, siempre que \( 4a^2 > R'^2 + R^2 \); y cuando \( 4a^2 < R'^2 + R^2 \) lo será siempre que \( R^2p^1 + R'^2 > (4a^2 - R^2 - R'^2)p^2 \).

CUESTIÓN 184.
(Véase tomo IV, página 159).

Las polares de un vértice del triángulo con relación á los cuatro círculos inscriptos forman un rectángulo inscrito en el círculo que tiene el lado opuesto por diámetro.

(B. Sollertinsky.)
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 46

Solución por D. Cecilio Jiménez Rueda

Sea el triángulo ABC; O, O', O'', O''', los cuatro círculos inscriptos, y designemos por \( r, r', r'', r''' \), sus radios. Las polares FG y HI del vértice A respecto de los círculos O y O' son perpendiculares á la línea de sus centros OO' que pasa por A; las polares HF y GI del vértice A respecto de los círculos O'' y O''' son á su vez perpendiculares á la línea de sus centros O''O''' que también pasa por A; y como OO' y O''O''' son perpendiculares entre sí como bisectrices de ángulos adyacentes, aquellas cuatro polares formarán un rectángulo.

Designemos por G la intersección de la polar FG con la recta OO'' y por G' la intersección de la polar IG con la misma OO'' y probemos que G y G' son un solo punto.

En efecto; en los triángulos rectángulos semejantes OrA y O''r''A son elementos homólogos: la hipotenusa OA con la hipotenusa O''A, y la proyección KA del cateto r'A sobre su hipotenusa, con la proyección O''E del cateto homólogo O''r'' sobre la suya: luego

\[
\frac{KA}{OA} = \frac{O''S}{O''O}
\]

(1)
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 47

Por otra parte: los triángulos semejantes O''OA y O''G'E dan

\[
\frac{O''E}{O''A} = \frac{O''G'}{O''O}
\] (2)

además las paralelas KG y AO'' cortan en OO'' y OA segmentos entre los que se tiene:

\[
\frac{KA}{OA} = \frac{O''G}{O''O}
\] (3)

Las proporciones (2) y (3) en virtud de (1) dan \( \frac{O''G'}{O''O} = \frac{O''G}{O''O} \); por donde se ve que \( O''G' = O''G \).—De un modo análogo se demuestra que los otros tres vértices I, H y F están sobre las rectas O'O'', O'O'' y OO''.—Sentado esto, tracemos las diagonales del rectángulo; como los triángulos FIC y HGB son rectángulos en C y B respectivamente, la circunferencia que tenga por diámetros ambas diagonales pasará por C y por B. Fáltanos probar que la cuerda CB es un diámetro; para esto observaremos que el eje radical de los círculos O'' y O'' equidista, como es sabido, de las polares HF y GI de uno de sus centros de homotecia A. Este eje radical divide también en dos partes iguales á la tangente común exterior ts, y como CS=Bt por ser Bs y Ct iguales al semiperímetro del triángulo ABC, se sigue que el punto medio de CB equidista de los lados HF y GI del rectángulo FHIG. El eje radical de los círculos O y O' divide á su vez en dos partes iguales á la tangente interior común ae y equidista de las polares IH y GF de su centro de homotecia A; pero Ba=Ce por ser ambas iguales al semiperímetro de ABC menos CA; luego el punto medio de CB equidista también de los otros dos lados del rectángulo FHIG; por tanto el punto medio de CB es el centro de este rectángulo, y por consiguiente el centro del círculo circunscripto, según queríamos demostrar.

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (B.)

Sean PP', QQ' los diámetros del círculo descrito sobre BC trazados paralelamente á AB y AC; R, R', S, S' las intersecciones de los lados del rectángulo PQP'Q' con el lado AC; M' el medio de AC.

Se tiene \( M'P = MP - MM' = \frac{a-c}{2} \). Pero, siendo RR' paralela á QQ', el punto M' es el medio de RR', de donde

\[
M'R = M'R' = (M'P) = \frac{a-c}{2}
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 48

Por consiguiente, R y R' son los puntos de contacto con el lado AC de los círculos \( j_1, j_6 \) inscriptos en el ángulo ABC. Además, las rectas RP y R'P son paralelas á las bisectrices del ángulo A. Son, pues, las polares de A con relación á los círculos \( j_1, j_6 \).

Igualmente
\[
P'M' = P'M + MM' = \frac{a + c}{2}
\]
de donde
\[
M'S = M'S' = \frac{a + c}{2}
\]
y por consiguiente S'P y P'S' son las polares de A con respecto á los círculos \( j_1, j_6 \).

Observación. Puesto que se tiene \( \angle ABP = \angle BPM, \angle PBM = \angle BPM \) la recta BP es la bisectriz del \( \angle ABC \), y siendo el \( \angle BPC \) recto, se concluye que: Los vértices opuestos del rectángulo PQP'Q' son las proyecciones del vértice de uno de los ángulos B, C sobre las bisectrices del otro.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 5

= \left[ \cotg r + \tg R \right]^2 + 1 = \frac{\tg^2 r + (1 + \tg r \tg R)^2}{\tg^2 r}. (*)

Par suite, on a la formule

\[
\frac{\cos^2 IO}{\cos^2 r \cos^2 R} = \tg^2 r + (1 + \tg r \tg R)^2
\] (39)

qui exprime IO en fonctions de \( r \) et de \( R \); on en déduit:

\[
\frac{\sin^2 IO}{\cos^2 r \cos^2 R} = \tg^2 R - 2 \tg R \tg r .
\] (40)

Dans le cas d'une sphère de rayon infini, cette relation se réduit à la formule d'Euler:

\[
IO^2 = R^2 - 2Rr .
\]

On trouve de la même manière

\[
\frac{\sin^2 I_1 O}{\cos^2 r_1 \cos^2 R} = \tg^2 R + 2 \tg R \tg r_1
\] (41)

analogue de

\[
I_1 O^2 = R^2 + 2Rr ,
\]

Des formules (38) et (39), on déduit:

\[
\frac{1}{\cos^2 R} \left[ \frac{\sin^2 IO}{\cos^2 r} + \frac{\sin^2 I_1 O}{\cos^2 r_1} + \frac{\sin^2 I_2 O}{\cos^2 r_2} + \frac{\sin^2 I_3 O}{\cos^2 r_3} \right]
- 4 \tg^2 R + 2 \tg R \{ \tg r_1 + \tg r_2 + \tg r_3 - \tg r \} .
\] (42)

La quantité renfermée dans la dernière parenthèse est égale à

\[
\delta \left[ \frac{1}{\sin (p-a)} + \frac{1}{\sin (p-b)} + \frac{1}{\sin (p-c)} - \frac{1}{\sin p} \right]
\]
\[
= \frac{2 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}}{\delta} (1 + \cos a + \cos b + \cos c)
\]

ou d'après (8):

\[
= \tg R (1 + \cos a + \cos b + \cos c) .
\]

(*) Gelin. - Elements de trigonométrie, p. 171, en note.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 6

Le deuxième membre de (42) devient donc

\[
2 \tg^2 R (3 + \cos a + \cos b + \cos c)
= 4 \tg^2 R \left( \cos^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{b}{2} + \cos^2 \frac{c}{2} \right),
\]

et par suite, on a la relation remarquable:

\[
\frac{\sin^2 I O}{\cos^2 r} + \frac{\sin^2 I_1 O}{\cos^2 r_1} + \frac{\sin^2 I_2 O}{\cos^2 r_2} + \frac{\sin^2 I_3 O}{\cos^2 r_3}
= 4 \sin^2 R \left( \cos^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{b}{2} + \cos^2 \frac{c}{2} \right),
\]

qui, dans le cas du triangle rectiligne, se réduit à la formule connue:

\[
I O^2 + I_1 O^2 + I_2 O^2 + I_3 O^2 = 12 R^2.
\]

Par des méthodes en général très-longues et très-compliquées, Franz Urferdinger est parvenu aux résultats précédents dans son mémoire intitulé: Das sphärische Dreieck dargestellt in seinen Beziehungen zum Kreise (Grunert's Archiv 73, 29, 33, 42.—On peut encore consulter sur le même sujet.

Heis und Eschweiler.—Lehrbuch der Geometrie.—(Dritter Theil: Ebene und sphärische Trigonometrie S. 265-267).

Birger Hansted—Tidsskrift for Mathematik af Gram og Zeuthen (1879, S 171—1881, S. 93).

Nota sobre la normal á la elipse que separa de la curva el segmento de área mínima.

POR EL SR. LEMOINE (E.)

Este problema es muy conocido; se ha tratado (véase, por ejemplo, Nouvelles Annales de mathém. 1844. Tome III, p. 66, par M. O. Bonnet. Nouvelle correspondence de mathém. 1880. Tome VI, p. 464 por mí, etc.)

Daremos aquí una solución muy elemental, más sencilla, á causa de esto, que todas las que conocíamos.

Sean \( a \) y \( b \) los semi-ejes de la elipse.

Tomemos por eje de las \( x \) el eje mayor \( OJ \) y por eje de las \( y \) el eje menor \( OK \) de la elipse; sea \( A \) un punto de ésta, \( A' \) el punto en que la normal en \( A \) corta por segunda vez á la curva \( Q \), el punto en que esta normal corta al eje mayor, \( P \) el pie de la ordenada de \( A \), \( \Lambda_1 \) el punto en que \( AP \) corta á la circunferencia descrita sobre el eje mayor
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 7

como diámetro, A'₁ el punto en que A₁Q corta á este círculo. Llame mos x é y las coordenadas de A.

El segmento AJA' de la elipse y el segmento A₁JA'₁ del círculo se hallan en la relación de \( \frac{a}{b} \) y serán mínimos al mismo tiempo.

Se tiene: \( OQ = \frac{a^2 - b^2}{a^2} x \),

luego \( \frac{OQ}{OP} = \frac{a^2 - b^2}{a^2} \).

Llamemos \( \mu \) á esta relación, y la cuestión se reduce á la siguiente:

Se traza la ordenada A₁P de un punto A₁ de la circunferencia J'A₁ JA'₁, se toma el punto Q sobre OP tal, que \( \frac{OQ}{OP} = \mu \), se une A₁Q que corta á la circunferencia en A'₁; determinar A₁ tal, que la cuerda AA₁ sea mínima, puesto que el segmento será mínimo al mismo tiempo que la cuerda.

Sean \( x_1, y_1 \) las coordenadas de A₁, siendo x, y las de A.

se tiene:
\[
A'_1A = A_1Q + A'_1Q
\]
\[
A_1Q^2 = A_1P^2 + PQ^2 = y_1^2 + (x - OQ)^2 = y_1^2 + x^2 - 2OQx + OQ^2
\]
ó
\[
A_1Q^2 = a^2 + \mu x (\mu - 2)
\] (1)

se tiene
\[
A_1Q \cdot QA'_1 = QJ' \cdot QJ = a^2 - \mu^2 x^2
\]
\[
QA'_1 = \frac{a^2 - \mu^2 x^2}{\sqrt{a^2 + \mu x^2 (\mu - 2)}} \tag{2}
\]

(1) y (2) permiten escribir
\[
A_1A'_1 = \frac{a^2 + \mu x^2 (\mu - 2) + a^2 - \mu^2 x^2}{\sqrt{a^2 + \mu x^2 (\mu - 2)}} = 2 \frac{a^2 - \mu x^2}{\sqrt{a^2 + \mu x^2 (\mu - 2)}}
\]

Basta, pues, obtener el valor de x que hace mínima la función
\[
\frac{(a^2 - \mu x^2)^2}{a^2 + \mu x^2 (\mu - 2)}
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 8

Se halla que es mínima para

\[
x^2 = \frac{a^4}{2 - \mu} ; \text{ ó puesto que } \mu = \frac{a^2 - b^2}{a^2}, \quad x^2 = \frac{a^4}{a^2 + b^2}
\]

lo que da para coordenadas del punto A

\[
x^2 = \frac{a^4}{a^2 + b^2}; \quad y^2 = \frac{b^4}{a^2 + b^2}
\]

Hay 4 puntos simétricos 2 á 2 con relación á los ejes.

Observación.—Las normales en A son paralelas á las bisectrices de los ejes.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

(Continuación) (Véase t. IV, pág. 189).

§ 3.º — LAS EQUIPOLENCIAS

Las equipolencias constituyen un cálculo geométrico que forma un sistema de geometría plana y es el último perfeccionamiento á que ha llegado la teoría de Argand, creador del Algebra geométrica.

El signo \( \nu' - 1 \) desde las investigaciones del geómetra francés expresa un caso particular de la dirección como en la Geometría do Euclides lo representan la paralela ó la perpendicular á una recta trazada desde un punto, puesto que \( \nu' - 1 \) indica esta dirección, y la expresión de todas las direcciones dependiente del empleo de este símbolo hace salir al Algebra del dominio puramente algorítmico y la extiende por los dominios geométricos. De manera que esta nueva geometría en que se funden la dirección y la magnitud que determinan cada entidad geométrica ó elemento, dentro de una expresión algorítmica, es una geometría analítica que forma un organismo en general y que se desenvuelve independientemente de otro, por sí y por la eficacia de un reducido número de principios, á los cuales exclusivamente se reducen todas las demás proposiciones. Pero esta geometría analítica no es como la cartesiana de coordenadas fijas, cual último término de referencia de todas las demás figuras (si bien en esta Geometría el cambio de coordenadas permite dar cierta variedad á las relaciones), sino que las mismas líneas que forman los datos de la cuestión pueden tomarse como bases de referencia.

Cada recta de la figura es la suma de dos rectas que unen un punto cualquiera del plano á sus extremos; y de esta manera se ob-
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 9

tienen enlaces arbitrarios y convenientemente ligados con los datos de cada cuestión.

Esta relación fundamental de la teoría de las equipolencias lleva implícitamente la determinación del triángulo. Así, al unir los extremos de un segmento dado con un punto tomado en el plano, queda determinando un triángulo, determinación expresada por

\[
AB + BC = AC \quad \text{o} \quad mx + n^2 = l;
\]

teniendo la ventaja esta expresión de llevar explícita y simultáneamente la magnitud y las direcciones de las rectas que la forman.

Al unirse los extremos de AC con un punto B se une un sistema de componentes á dicha resultante; y recíprocamente al darse dos segmentos \(mx\) y \(n^2\) queda determinada la resultante mediante las componentes.

Tan importante es el caso en que el segundo miembro de la relación (1) es nulo, á saber:

\[
mx + n^2 = 0,
\]

que implica \(m = 0\) y \(n = 0\), caso en que no se forma triángulo, correspondiendo á la equipotencia indeterminada é idéntica \(0 = 0\), como en la Geometría euclídea es el caso de la paralela á una recta (\(\angle A + \angle B = 2 \angle^*\) rectos), en que dichas dos rectas con una secante cualquiera no forman triángulo, contrario al caso en que lo forman (por ser \(\angle A + \angle B \leq 2 \angle^*\) rectos).

En la Geometría elemental, dados dos puntos (es decir, la recta que determinan y en ella el segmento limitado por dichos dos puntos), está determinado cualquier punto de la recta que implican dichos dos puntos, por la relación \(x\) de sus distancias á éstos. En una equipotencia binomia \(AB = xCD\) está dada la igual inclinación, respecto á una dirección fija del plano, lo cual hace que en el caso de tener los dos segmentos un origen común, es decir, que se tenga \(AM = xAB\), estos se hallen en la misma recta (lo que equivale en Geometría elemental á la determinación de la paralela á una dirección dada cuando se da el punto por que pasa); y la transformada

\[
OM - OA = x(OB - OA) \quad \text{de} \quad AM = x \cdot AB
\]

ha de expresar que los tres puntos A, B, M están en línea recta, por la condición á que satisfacen los coeficientes numéricos cuya suma \(1 - 1 + x - x = 0\).

Tenemos, pues, en resumen, que la equipotencia (1) implica una determinación triangular, la (2) una relación numérica entre los coeficientes que por ella están determinados y cuyos valores se obtienen
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Per trovare graficamente i raggi di massima curvatura nelle superficie quadriche.

NOTA DI MARIO PIERI
Prof. all'Accademia Militare di Torino.

1. Sia \( \Phi \) una superficie del second'ordine non specializzata e non avente infiniti piani di simmetria ortogonale. Si escludono in somma i coni e le superfici rotonde. Se \( \Phi \) non è un parab lide, esisteranno per essa tre piani diametrali principali \( \pi_1, \pi_2, \pi_3 \), mutuamente perpendicolari fra loro; nel caso opposto vene saranno due soli \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \). Per ciò che segue noi supporremo noti questi piani di simmetria della quadrata; e ad essi la superficie s'intenderà riferita mediante una consuetta rappresentazione del Monge. Di più supporremo dati in ogni caso anche un punto proprio A di detta superficie, non appartenente a nessuno di quei piani, e il piano \( \alpha \) tangente in questo punto alla medesima.

Il problema che si risolve è quello di costruire senz'altri elementi e col solo mezzo della riga e del compasso

1°) le due tangenti principali alla superficie \( \Phi \) nel punto A (cioè le tangenti in A alle due linee di curvatura che passan per esso) coi relativi centri di curvatura tangenziale (vale à dire, per ognuna di queste rette il punto, ov'essa tocca lo spigolo di regresso della superficie sviluppabile, che è descritta dalla medesima, quando il punto A si sposta lungo la linea di curvatura cui tocca l'altra retta principale);
2°) i due raggi principali di curvatura della superficie \( \Phi \) nel punto A (cioè le porzioni della normale ad \( \alpha \) in A comprese fra questo punto e i punti di contatto di essa retta con la superficie evoluta di \( \Phi \)).

Il lettore non troverà qui di nuovo altro che il metodo, il quale merita d'esser segnalato a motivo della sua semplicità non meno che per la grazia, con cui esso si piega a venir tradotto in disegni.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 10

Je vais démontrer que si la fonction \( F(x) \) est irréductible suivant le module \( p^{\mu} \), elle est aussi irréductible suivant le module premier \( p \).

En d'autres termes, je dis que si la fonction \( F(x) \) n'est pas de la forme

\[
(3) \qquad F(x) = A_1(x)\ B_1(x) + p^{\mu}\ X(x)
\]

elle ne saurait être pas même de celle-ci

\[
(4) \qquad F(x) = A(x)\ B(x) + p^{\lambda}(x)
\]

\( \lambda(x) \) et \( X(x) \) étant des fonctions entières.

Supposons, en effet, que la formule (3) ait lieu, et posons

\[
(5) \qquad A'(x) = A(x) + pX(x); \quad B'(x) = B(x) + pY(x)
\]

\( X \) et \( Y \) étant des polynômes indéterminés.

De (4) et (3) l'on déduit

\[
(6) \qquad A'(x)B'(x) = A(x)B(x) + p(BX + AY) + p^2XY =
= F(x) + p(BX + AY - \lambda(x)) + p^2XY.
\]

Par hypothèse les fonctions \( A(x) \) et \( B(x) \) n'ont aucun facteur commun suivant le module \( p \); on pourra donc déterminer les fonctions \( X \) et \( Y \) par la condition

\[
(7) \qquad AY + BX \equiv \lambda(x) \pmod{p}
\]

c'est à dire

\[
AY + BX = \lambda(x) + p\rho(x)
\]

\( \rho(x) \) étant une fonction entière.

Alors, on a par la formule (6)

\[
F(x) = A'(x)\ B'(x) + p^2(-XP + \rho(x))
\]

Partant, si \( F(x) \) est réductible suivant le module \( p \), elle l'est aussi suivant le module \( p^2 \).

On prouverait de même généralement, que s'il est possible de vérifier la relation

\[
F(x) = A^{(s-1)}(x)\ B^{(s-1)}(x) + p^sA(x)
\]

la suivante

\[
F(x) = A^{(s-1)}(x)\ B^{(s-1)}(x) + p^sA(x) \quad (r \leq 2s+1)
\]

est également possible

On en conclut que la fonction \( F(x) \) ne peut pas être irréductible suivant le module \( p^{\mu} \), sans l'être aussi suivant le module \( p \).

(*) Ferret.—Algèbre Supérieure. Vol. 2., page 123.—Gauss Werke Bd. 2.