ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 25

se trata de descomponerlo en una suma de productos cuyas variables queden separadas.

(N C. M).

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (II).

En virtud de fórmulas conocidas, demostradas en el análisis combinatorio, el cociente

\[
\frac{(x+y)(x+y-1)\ldots(x+y-n+1)}{1\cdot2\ldots n}
\]

representa el número \( C_{x+y}^n \) de combinaciones de \((x+y)\) letras \(n\) á \(n\).

Además se tiene la identidad

\[
C_{x+y}^n = C_x^n + C_x^{n-1} C_y^1 + C_x^{n-2} C_y^2 + C_x^{n-3} C_y^3 + \ldots
\]

de la que se deduce la relación

\[
\frac{(x+y)(x+y-1)\ldots(x+y-n+1)}{1\cdot2\ldots n} = \frac{x(x-1)\ldots(x-n+1)}{1\cdot2\ldots n} + \frac{x(x-1)\ldots(x-n+2)}{1\cdot2\ldots(n-1)} \cdot \frac{y}{1} + \ldots
\]

polinomio de grado \(n\) en \(x\) ó \(y\), idéntico al producto propuesto, en el que están separadas las variables.
Falta multiplicar por \(1\cdot2\ldots n\).

CUESTIÓN 312. (Véase (2) t. II, p. 80; 1900).

Determinar analíticamente y geométricamente el lugar de los centros de las hipérbolas que tienen una cuerda normal común y de las que está dada una asíntota en dirección.

(J. Guillet).

Solución por el Sr. Brocard (II.)

Solución analítica.—Supondremos las coordenadas rectangulares. La ecuación de las hipérbolas tangentes en el origen A á AX, que pasan por el punto C de AY (\(AC = b\)), es

\[
A x^2 + B xy - y^2 + by = 0.
\]
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 26

El centro I \((x, y)\) está dado por las dos ecuaciones

\[
2Ax + By = 0, \quad -2y + Bx + b = 0.
\]

La condición relativa á la asíntota paralela á una recta \(A\) (\(y = mx\)) se expresa por la ecuación

\[
A + Bm - m^2 = 0.
\]

La eliminación de \(A\) y \(B\) entre estas tres ecuaciones dará la ecuación del lugar (I) ó

\[
2(y - mx)^2 = b(y - 2mx),
\]

que representa una parábola.

Solución geométrica.—La construcción del punto I se reduce á
1.º Tomar sobre AX un punto B y el simétrico B' con relación á A.
2.º Trazar BA'I paralela recta \(A\).
3.º Tomar sobre AY, CC' = AA'.
4.º Unir C' y B', obteniendo la intersección I con BA'.
Referido á estos ejes AX, AY, el punto I está en la intersección de las rectas BA' y B'C' cuyas ecuaciones son

\[
y = m(x - a), \quad -\frac{x}{a} + \frac{y}{b + am} = 1,
\]

entre las que la eliminación de \(a\) da:

\[
2(y - mx)^2 = b(y - 2mx)
\]

ecuación de una parábola definida por las condiciones siguientes:
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 27

1.ª Pasa por A y el punto medio E de AC.
2.ª Su eje es paralelo á Δ.
3.ª Es tangente en A la recta \( y = 2mx \).
4.ª Es normal en E á AY.
5.ª Pasa por el punto D de AX, situado en la intersección con CD, paralela á Δ.
6.ª Es tangente á una paralela FT á AY, á una distancia \( AF = \frac{AD}{8} \).
7.ª La recta ET, tangente en E, encuentra á FT en el punto T \( (x = \frac{b}{8m},\ y = \frac{b}{2}) \); luego la ecuación de la directriz es

\[
8m(my - x) = (4m^2 - 1)b.
\]

Solución por el Sr. DROZ FARRY (A.)

Las cónicas \((y - mx)(y - nx) - amnx = 0\) en las que \(m\) es constante y \(n\) variable, son hipérbolas tangentes en el origen al eje de las \(y\) que cortan al eje de las \(x\) en el punto fijo A, OA = \(a\). Se obtendrá el lugar de sus centros, eliminando la variable \(n\) entre las derivadas parciales con respecto á \(x\) y á \(y\) en su ecuación. De modo que:

\[
y^2 + m^2x^2 - 2mxy - \frac{am^2}{2}x + amy = 0
\]

es una parábola que pasa por A, por el punto medio de OA, por el punto de intersección del eje de las \(y\) con la dirección asintótica fija que pasa por A; su eje es paralelo á la dirección dada.

Estos resultados son por otra parte inmediatos, porque las hipérbolas constituyen un haz cuyos centros son: O, A, A y el punto del infinito en la dirección dada; y basta aplicar el teorema muy conocido del lugar de los centros de las cónicas de un haz, la cónica de los nueve puntos.

Se reproducirían exactamente los resultados anteriores, considerando las hipérbolas como transformadas de rectas, girando alrededor de un punto fijo, tomado sobre la circunferencia descrita sobre OV como diámetro, en el modo de transformación (véase cuestión 281 por ejemplo) del que el Sr. Retali ha dado tan hermosas aplicaciones en esta revista.

Solución por el Sr. SÁEZ MUÑOZ

Analíticamente.--Tomemos como ejes coordenados (\(x\) ó \(y\), respectivamente) la cuerda normal MN en el punto M y la tangente en este punto.
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 28

Si designamos por \(2a = MN\) la cuerda y por \(m\) el coeficiente angular de las asíntotas, la ecuación de las hipérbolas que satisfacen á las condiciones del problema, es

\[
x^3 + By^2 + 2Hxy - 2ax = 0 \tag{1}
\]

existiendo entre los parámetros \(H\) y \(B\) la relación

\[
Bm^2 + 2Hm + 1 = 0 \tag{2}
\]

Las coordenadas del centro de la curva (1) son,

\[
x = \frac{Ba}{B - H^2} \qquad y = \frac{Ha}{H^2 - B}
\]

y eliminando entre estas y las (2) los parámetros \(B\) y \(H\), se tiene para el lugar geométrico de los centros

\[
m^8 x^8 + y^8 - 2m xy + 2am y - am^2 x = 0
\]

Como se ve, ese lugar geométrico es una parábola que pasa por el origen, y la dirección de los diámetros es la dirección dada de las asíntotas.

Geométricamente.—Sea MN la cuerda normal en M y la recta PQ la dirección dada de las asíntotas. Sea \(x\), una de las posiciones de las asíntotas; estas asíntotas, las cuerdas MN y la tangente en M, Mt definen una hipérbola, cuyo centro será la intersección de sus dos asíntotas. Si pues, consideramos engendrada esta hipérbola por los dos haces proyectivos de vértices \(A_1\) y \(M\), el rayo del segundo haz correspondiente al del infinito del primero nos dará la dirección de
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 29

la otra asíntota; este rayo es el \( M \alpha = v_1 \). Si ahora consideramos esta misma hipérbola, engendrada por los haces proyectivos cuyos vértices sean los puntos del infinito de sus dos asíntotas, el eje proyectivo de estos haces, que es \( R_1 \alpha \), encontrará á los asíntotas \( \alpha \), en un punto \( H \), que será el centro, puesto que por él pasan las otras asíntotas.

Sea \( x_2 \) otra de las posiciones de la asíntota cuya dirección está fijada; esta asíntota con la cuerda MN y con la tangente en M, Mt nos definen otra hipérbola cuyo centro, repitiendo el razonamiento anterior, veríamos que era el punto \( H_2 \).

Ahora bien. Los haces de rectas paralelas \( x_1, x_2, \ldots \) y \( O_1 \alpha, O_2 \beta, \ldots \) son perspectivos, puesto que proyectan la misma serie \( O_1 O_2 \ldots \) situada en la tangente Mt. Los haces \( O_1 \alpha, O_2 \beta \ldots \) y \( M (\alpha \beta \ldots) \) son también perspectivos, porque proyectan la misma serie \( \alpha \beta \ldots \) situada en la recta \( a' \); luego las haces \( x_1, x_2 \ldots \) y \( M (\alpha \beta \ldots) \) son proyectivas.

Los haces \( M (\alpha \beta \ldots) \) y \( M (R_1 R_2 \ldots) \) son proyectivos, puesto que los rayos correspondientes son paralelos y las series que estos determinan sobre las rectas \( a' \) y \( a_1 \), que son las \( \alpha, \beta \ldots \) y \( R_1, R_2 \ldots \) son proyectivas, y como además los puntos del infinito de estas series se corresponden, son semejantes y las rectas que unen puntos correspondientes pasan todas por un mismo punto z situado en las rectas MN.

Luego, este haz de vértice z es proyectivo con el de asíntotas \( x_1, x_2, \ldots \), puesto que son proyectivas de las dos series \( R_1, R_2 \ldots \) y \( \alpha \beta \ldots \), respectivamente y éstas son proyectivas entre sí.

Y como los rayos correspondientes de esos dos haces se encuentran en el centro de las hipérbolas correspondientes, el lugar geométrico buscado es una curva de segundo orden, por estar engendrado por dos haces de rectas proyectivas. Este lugar geométrico tiene un punto en el infinito, (la dirección de las asíntotas), siendo por tanto una parábola cuyos diámetros son paralelos á la dirección dada de las asíntotas variable.

ESCUELA POLITÉCNICA DE PARÍS
CONCURSO DE 1900

I En el plano (P) de una sección plana de una superficie (E), para obtener las normales á la sección trazadas desde un punto O, puede
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 3

XII.—Le maximum de \( x \frac{x^4 - a^4}{(x^2 + a^2)^2} \) a lieu en même temps que celui de \( 2a\,x \frac{x^2 - a^2}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{4a^2\,x^2}{(x^2 + a^2)^2} \frac{x^4 + a^4 - 2a^2\,x^2}{(x^2 + a^2)^2} \).

La somme des deux facteurs étant constante, le maximum a lieu quand ils sont égaux: de là la solution.

XIII.—Le théorème de Ricci intervient dans une foule de problèmes géométriques de maxima et il nous serait aisé d'en multiplier les applications, la plupart du temps évidentes. Quelquefois cependant le choix de l'inconnue n'est pas indifférent sur la facilité de son emploi. Par exemple, soit à trouver le cône de surface minimum circonscrite à une sphère, si on prend pour inconnue la distance du sommet au centre de la sphère, on aura à rendre minimum l'expression

\[
\frac{x(x+1)}{x-1} = 3 + (x-1) + \frac{2}{x-1}
\]

ce qui donne \( (x-1)^2 = 2 \) et \( x = \sqrt{2} - 1 \).

De même soit un polygone régulier sur les apothèmes du quel on prend, à partir du centre des longueurs égales; on joint chacun des points ainsi obtenus aux deux sommets voisins, et on relève autour des côtés du nouveau polygone les triangles ainsi obtenus, de manière à former une pyramide. Maximum de cette pyramide? —On prendra pour inconnue l'apothème du petit polygone, et on trouvera qu'il est \( \frac{2}{5} \) du rayon du cercle circonscrit au grand.

Même question, les points étant pris sur les rayons du grand polygone.

XIV.—Dans certains cas, on peut traiter complètement la fonction, sans grande difficulté. Ainsi considerons la fonction \( y = ax + \frac{b}{x} \), où \( a \) et \( b \) sont positifs. Pour \( x \) positif, \( y \) est également positif et son minimum a lieu pour

\[
ax = \frac{b}{x}, \quad \text{d'où} \quad x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}};
\]
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 30

emplearse el método siguiente: Cortar (E) por una esfera (S) y determinar el radio \( r \) de la esfera, de modo que el plano P sea tangente al cono (C) que tiene por vértice el punto O y por directriz la intersección (E, S). La generatriz de contacto OG es normal á la sección plana en el punto G donde encuentra á la directriz (E, S) del cono C. Justificar este método.

II 1.a aplicación. Se corta el elipsoide

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0
\]

por el plano

\[
ux + vy + wz = 0
\]

Sobre el diámetro perpendicular se traza, á partir del centro, una longitud OM cuyo cuadrado sea media armónica entre los cuadrados de los semi-ejes \( x \) y \( z \) de la sección:

\[
\frac{z}{OM^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{z^2}
\]

Lugar del punto M, cuando (P) gira alrededor del punto O.

III. 2.a aplicación.—Igual problema sustituyendo la longitud OM por la longitud ON deducida de la fórmula

\[
\frac{1}{ON} = \frac{1}{x} - \frac{1}{z}
\]

Estudiar la forma del lugar del punto N y la de las secciones paralelas á los tres planos de coordenadas.
Consérvense las notaciones indicadas.

CUESTIONES NO RESULTAS DE LA I.a SERIE

16. Hallar la condición para que el círculo conjugado sea tangente al círculo de Brocard, y demostrar que hay triángulos reales que la satisfacen,

(L. Lemoine).
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 31

74. Suponiendo que m y n sean enteros y positivos, demostrar que se verifica la igualdad

\[
(m+n+1)! = \frac{m! n!}{m+1} - \frac{n}{m+2} + \frac{n(n-1)}{1.2(m+3)} - \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3(m+4)} + \ldots
\]

(Juan J. Duran Loriga).

78. Sea AEB un arco de círculo que tiene por centro el punto O, por cuerda AB, por tangentes en sus extremos AT, BT. Prolónguese AB en una longitud BC=\( \frac{1}{2} \)AB. Desde el punto C como centro, con un radio igual á CA, describábase un arco de círculo AD que corta á BT en D. Tómesse sobre el arco AEB un segmento AE igual á \( \frac{1}{4} \)AEB.

Trácese OF que corta á AT en F, únanse los puntos F, B por la recta FB. Esto sentado, si \( a \) es la longitud del arco, tomándose el radio por unidad.

1.º AD difiere de \( a \) en menos de un milésimo de la quinta potencia de \( a \).
2.º AF+FB difiere de \( a \) en menos de un cuarto de milésima de la quinta potencia de \( a \).
3.º \( \frac{1}{5} (AD + 4AF + 4FB) \) difiere de \( a \) en menos de una milésima de la séptima potencia de \( a \).
Se supone \( a < 1 \).
(N. C. M.) (Macgorn Ran Kine).

224. Dados dos puntos O y O' en el plano do un triángulo ABC, por un punto P tomado sobre BC se trazan las rectas PO, PO' que encuentran á AB y AC respectivamente en D y en E. ¿Cómo es preciso elegir el punto P para que la distancia DE sea igual á una longitud dada?

225. Dadas dos rectas D y D' en el plano de un triángulo ABC se traza por el vértice A una recta xy que corta á las dos primeras respectivamente en M y N; se trazan las rectas BM, CN que se cortan en P. ¿Cómo es preciso elegir la recta xy, para que el ángulo BPC sea igual á un ángulo dado?
(J. Gillet).
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 32

CUESTIONES PROPUESTAS

332. Se dan dos puntos C y D en una circunferencia á un mismo lado de una cuerda AB de esta curva. AB y CD se cortan en E; por E se trazan dos tangentes Lg, Lg' á la circunferencia, siendo g y g' los puntos de contacto; sean Q y Q' los puntos diametralmente opuestos á g y g'. Demostrar
1.º que si AC y QD cortan á AB en M y N, estos dos puntos son simétricos con relación al medio S de AB: igualmente QC y Q'D cortan á AB en M' y en N', y se tiene M'S = SN'.
2.º que DS, gM, g'M' se cortan en un punto h de la circunferencia; CS, gN, g'N' en un punto h' de esta circunferencia.
3.º que si hC corta á AB en j y h'D en j', j y j' son simétricos respecto á S.
4.º que \( \frac{jA}{Bj} = \frac{MA^2}{MB^2} \)
5.º que Qg' y Q'g son paralelas á AB.

(E. Lemoine).

333. Se consideran las parábolas inscriptas en un triángulo dado. Se trazan, á cada una de ellas, dos tangentes paralelas á direcciones dadas. ¿Cuál es el lugar geométrico de sus puntos de intersección?

(A. Dros Furny).

334. Sean AA' BB', CC' los tres pares opuestos de vértices de un cuadrilátero completo y proyectense estos puntos, á partir de un punto cualquiera M sobre una recta cualquiera m. Sean A₁, A₁', B₁, B₁', C₁, C₁' estas proyecciones. Las rectas AA₁' y A₁'A' se cortan en α; las rectas BB₁' y B₁'B' en β y las rectas CC₁' y C₁'C' se cortan en γ. Demostrar que los puntos α, β, γ se hallan en línea recta.
Casos particulares en que el punto M ó la recta m están en el infinito.

(J. Neuberg).

335. Una esfera encuentra á los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrilátero alabeado ABCD en los pares de puntos MM', NN', PP', QQ'; demostrar que

\[
AM^2 + AM'^2 + BN^2 + BN'^2 + CP^2 + CP'^2 + DQ^2 + DQ'^2 =
BM^2 + BN'^2 + CN^2 + CN'^2 + DP^2 + DP'^2 + AQ^2 + AQ'^2
\]
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 4

la valeur positive répond seule à la question. Pour \( x \) négatif, on a \( y = - \left( a x + \frac{b}{x} \right) \); le minimum de \( a x + \frac{b}{x} \) donne donc un maximum pour \( - \left( a x + \frac{b}{x} \right) \): c'est par conséquent \( - \sqrt{\frac{b}{a}} \).

La figure 8 représente la marche de la fonction.

7.—Posons \( \sqrt{p^2 - 4q} = R \). Le maximum de \( x^3 + p x^2 + q x + r \) a lieu en même temps que celui de

\[
x^3 + p x^2 + q x = x \left( x + \frac{p - R}{2} \right) \left( x + \frac{p + R}{2} \right),
\]

et par suite en même temps que celui de

\[
x (2 x x + p x - R x) (2 \beta x + p \beta + R \beta)
\]

ce qui demande qu'on ait

\[
1 + 2 x + 2 \beta = 0,
\]
\[
x = 2 x x + p x - R x \\
= 2 \beta x + p \beta + R \beta
\]

d'où successivement

\[
x = \frac{x}{2 x + p - R},
\]
\[
\beta = \frac{x}{2 x + p + R}
\]

et en fin

\[
3 x^2 + 2 p x + q = 0
\]

pour l'équation cherchée. Il ne peut donc y avoir maximum que si \( p^2 > 3 q \).

8.—La fonction du troisième degré étant donnée sous la forme

\[
(x + a) (x + b) (x + c)
\]

ou remarquera que son maximum a lieu en même temps que celui de

\[
\frac{x + a}{x}, \frac{x + b}{x}, (x + c)
\]
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 5

c'est-à-dire pour

\[
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha'} + 1 = 0 \quad \text{et} \quad \frac{x + a}{\alpha} = \frac{x + b}{\alpha'} = x + c
\]

d'où successivement \( \alpha' = \frac{x + b}{x + a}, \quad \alpha = \frac{x + a}{x + c} \)

et \( (x + a)(x + b) + (x + a)(x + c) + (x + b)(x + a) = 0. \)

On résoudra ainsi ce problème bien connu: enlever aux quatre coins d'un rectangle quatre carrés tels qu'en relevant les rectangles saillants, on forme une boîte de capacité maximum (Cirier N. A. 1854).

9.—Supposons \( A > B > 0 \). De \( (B \sqrt{\alpha} - A \sqrt{\beta})^2 > 0 \), on tire

(α)
\[
\frac{\alpha}{A} - \frac{\beta}{B} < \frac{(\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta})^2}{A - B}
\]

(β)
\[
\frac{\alpha}{A} + \frac{\beta}{B} > \frac{(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2}{A + B}.
\]

Pour \( A = a + x \) et \( B = \pm b + x \), (α) devient

\[
\frac{x}{a + x} \mp \frac{\beta}{b \pm x} < \frac{(\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta})^2}{a \mp b}, \quad (a > \pm b. \ k > \mp b)
\]

et pour \( A = a + x, \ B = \mp b - x \), (β) devient

\[
\frac{x}{a + x} \mp \frac{\beta}{b \pm x} > \frac{(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2}{a \mp b} \quad (-a < x < \pm b).
\]

Ainsi, entre \( x = \mp b \) et \( x = a \), chacune des deux fonctions \( \frac{x}{a + x} \pm \frac{b}{b \pm x} \) a un maximum qui est \( \frac{(\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta})^2}{a \mp b} \) et répond à \( x = \frac{b \sqrt{\alpha} - a \sqrt{\beta}}{\sqrt{\beta} \mp \sqrt{\alpha}} \); entre \( x = -a \) et \( x = \mp b \), un minimum égal à \( \frac{(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2}{a \mp b} \) et répondant à \( x = -\frac{b \sqrt{\alpha} + a \sqrt{\beta}}{\sqrt{\beta} \mp \sqrt{\alpha}} \).
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 6

La figure 9 indique la marche de la fonction.

Coroll. I.--De là le maximum de la fonction

\[
\frac{a + x}{a + x} + \frac{\beta + x}{b + x}
= 2 + \frac{x - a}{a + x} + \frac{\beta - b}{b + x}.
\]

II.--On aurait d'autres théorèmes en posant \( A = a^2 + x^2 \) et \( B = \pm b^2 + x^2 \) ou \( B = \pm b^3 - x^2 \), ...

10.--Lemme.--Si on pose

\[
\frac{a + x}{x} = \frac{b - x}{\beta},
\]

on aura, \( \mu \) étant quelconque

\[
\alpha \left( \frac{a + x}{x} \right)^{\mu} + \beta \left( \frac{b - x}{\beta} \right)^{\mu} = (\alpha + \beta) \left( \frac{a + b}{x + \beta} \right)^{\mu}
\]

ou bien

\[
\frac{(a + x)^{\mu}}{x^{\mu} - 1} + \frac{(b - x)^{\mu}}{\beta^{\mu} - 1} = (\alpha + \beta) \frac{(a + b)^{\mu}}{(\alpha + \beta)^{\mu} - 1}
\]

ainsi, si on change \( \alpha \) en \( \sqrt{\frac{1}{\alpha}} \) et \( \beta \) en \( \sqrt{\frac{1}{\beta}} \), on voit que la résolution de l'équation

\[
\alpha (a + x)^{\mu} + \beta (b - x)^{\mu} = \frac{(a + b)^{\mu}}{\left( \sqrt{\frac{1}{\alpha}} + \sqrt{\frac{1}{\beta}} \right)^{\mu - 1}}
\]

se ramène à celle de la suivante

\[
\sqrt{\frac{1}{\alpha}} (a + x) = \sqrt{\frac{1}{\beta}} (b - x)
\]

11.--On a \((\alpha A \pm \beta B)^2 \leq (A^2 \pm B^2)(x^2 \pm \beta^2)\)
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 7

d’où, pour \( A = \sqrt{a + x} \), \( B = \pm \sqrt{b \mp x} \),
\[
x \sqrt{a + x} \pm \beta \sqrt{b \mp x} \leq \sqrt{(a \mp b)(x^2 \pm \beta^2)}
\]
D’après le lemme, le second membre est la valeur que prend le premier, quand on fait
\[
\frac{a + x}{x^2} = \pm \frac{b \mp x}{\beta^2} \quad \text{d'où} \quad x = \frac{a^2 b - \beta^2 a}{\beta^2 \pm x^2}
\]
il représente donc le maximum de la fonction \( x \sqrt{a + x} + \beta \sqrt{b - x} \)
ou le minimum de la fonction \( x \sqrt{a + x} - \beta \sqrt{b + x} \).
De là la solution de ce problème: *Considérons une voie ferrée rectiligne A, une station B sur cette voie et une ville C en dehors. Comment placer une gare X sur A, de manière que les voyageurs partant de C en voiture et allant de X à B par chemin de fer effectuent ce parcours dans un temps minimum?*
(Dupain N. A. 1854).
12. Des relations
\[
(1 \pm x)^{\frac{3}{2}} \geq 1 \pm \frac{3}{2} x, \quad (1 \pm x)^{\frac{2}{3}} \leq 1 \pm \frac{2}{3} x,
\]
on tire
\[
a \left( 1 + \frac{1}{a} \frac{bx - ay}{x + y} \right)^{\frac{3}{2}} + b \left( 1 - \frac{1}{b} \frac{bx - ay}{x + y} \right)^{\frac{3}{2}} \geq a + b
\]
\[
a \left( 1 + \frac{1}{a} \frac{bx - ay}{x + y} \right)^{\frac{2}{3}} + b \left( 1 - \frac{1}{b} \frac{bx - ay}{x + y} \right)^{\frac{2}{3}} \leq a + b
\]
ou, réduisant,
\[
(\alpha) \quad \sqrt{\frac{x^3}{a}} + \sqrt{\frac{x^3}{b}} \geq \sqrt{\frac{(x + y)^3}{a + b}}
\]
\[
(\beta) \quad \sqrt[3]{ax^2} + \sqrt[3]{by^2} \leq \sqrt[3]{(a + b)(x + y)^2}
\]
1.º Dans (\(\alpha\)) changeons \(x\) en \(x^{\frac{2}{3}}\), \(y\) en \(\beta^{\frac{2}{3}}\), \(a\) en \(a + x\) et \(b\) en \(b - x\), il viendra:
\[
(\gamma) \quad \frac{x}{\sqrt{a + x}} + \frac{\beta}{\sqrt{b - x}} < \frac{x + \beta}{\sqrt{a + b}}
\]
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 8

Le second membre représente le minimum de la valeur du premier, et d'après le lemme, la maximante est donnée par l'équation

\[
\frac{x + x}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{b - x}{\beta^{\frac{2}{3}}}
\]

2.º Dans (α) changeons \(a\) en \(x^2\), \(b\) en \(\beta^2\), \(x\) en \(a + x\) et \(y\) en \(b - x\), on trouve

\[
x(a + x)^{\frac{3}{2}} + \beta(b - x)^{\frac{3}{2}} > \frac{(a + b)^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{\beta^2}}
\]

Le second membre représente le minimum de la valeur du premier, et d'après le lemme, la maximante est donnée par la relation

\[
x^2(a + x) = \beta^2(b + x)
\]

3.º Changeons dans (β) \(a\) en \(x\), \(b\) en \(\beta\), \(x\) en \(a + x\), \(y\) en \(b + x\), il vient:

\[
x(a + x)^{\frac{2}{3}} + \beta(b - x)^{\frac{2}{3}} < \sqrt[3]{(x^2 + \beta^2)(a + b)^2}
\]

Le second membre représente la maximante de la valeur du premier, et d'après le lemme, la maximante dépend de l'équation

\[
\frac{a + x}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{b - x}{\beta^{\frac{2}{3}}}
\]

4.º Changeons dans (β) \(x\) en \(x^2\), \(y\) en \(\beta^2\) \(a\) en \(a + x\), et \(b\) en \(b - x\), on aura:

\[
x^{\frac{8}{3}}a + x + \beta^{\frac{3}{2}}b - x > \sqrt[3]{(a + b)\left(x^{\frac{3}{2}} + \beta^{\frac{3}{2}}\right)^2}
\]

l'équation

\[
\frac{a + x}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{b - x}{\beta^{\frac{3}{2}}}
\]
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 9

determine la maximante.
5.º Changons dans toutes ces relations b en c + x - a et \( \beta \) dans (γ) en γ - a, dans (δ) en \( \sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2}} \), dans (ε) en \( \sqrt[3]{\gamma^2 - x^2} \), et dans (ζ) en \( \frac{3}{\gamma^2} - \frac{3}{x^2} \), on aura les équations déterminant les maxima des fonctions

\[
\gamma (x + c)^{\frac{3}{2}} - x (x + a)^{\frac{3}{2}}
\]
et
\[
\frac{\gamma}{\sqrt{x + c}} - \frac{x}{\sqrt{x + a}}
\]

et les minima de celles-ci:
\[
\gamma (x + c)^{\frac{2}{3}} - x (x + a)^{\frac{2}{3}}
\]
et
\[
\gamma \sqrt[3]{x + c} - x \sqrt[3]{x + a}
\]
(Concluird).

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1896)

CONFERENCIA CUARTA

(Conclusión, v. pdgs. 173-178)

Gauss emplea la imagen esférica de las curvas trazadas sobre una superficie para medir la curvatura, estableciendo la importante relación \( RR' = \frac{d\Omega}{d\Omega'} \), entre los radios R y R' de curvatura principales en un punto de la superficie y los elementos de área tomados en la superficie y su imagen, determinando la medida de la curvatura por la inversa del producto de los radios de curvaturas principales, da la expresión del elemento lineal, e introduce el concepto de aplicabilidad, estableciendo como condición de ésta la igualdad de los elementos lineales correspondientes, y considerando las superficies como sólidos flexibles e inextensibles en los que