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El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 33

III.—On a

\[
\frac{A + Bx + x^3}{a + b.x} = \frac{Bb - 2a}{b^4} + \frac{a + b.x}{b^4} + \frac{Ab^3 + a^3 - Bba}{a + b.x}
\]

les deux derniers termes du second membre ayant leur produit constant, le minimum du premier membre a lieu pour

\[
\frac{a + b.x}{b^4} = \frac{Ab^3 + a^3 - Bba}{a + b.x}.
\]

(Concluira.)

Suma de las potencias \( m^{\text{ésima}} \) de los recíprocos de todos los divisores de un número
por D. Angel Bozal Obejero
Catedrático en la Escuela de Ingenieros Industriales de Bilbao.

Consideremos un número real \( N = a^\alpha . b^\beta . c^\gamma \ldots l^\lambda \), descompuesto en sus factores primos.
Se vé sin dificultad que la suma de las potencias \( m^{\text{ésimas}} \) de todos los divisores de N es igual al valor del producto

\[
(1^m + a^m + a^2 m + \ldots + a^{\alpha m}) \\
(1^m + b^m + b^2 m + \ldots + b^{\beta m}) \ldots \\
(1^m + l^m + l^2 m + \ldots + l^{\lambda m})
\]

ó sea, representándolo por el símbolo \( \Sigma_m (N) \),
(A)
\[
\Sigma_m (N) = \frac{a^{(\alpha + 1)m} - 1}{a^m - 1} \cdot \frac{b^{(\beta + 1)m} - 1}{b^m - 1} \ldots \frac{l^{(\lambda + 1)m} - 1}{l^m - 1}
\]

Ahora bien, es evidente que si en esta expresión reemplazamos cada uno de los factores primos \( a, b, c, \ldots, l \) por sus respectivos recíprocos \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \ldots, \frac{1}{l} \) obtendremos la suma
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buscada, es decir, la de las potencias emésimas de los recíprocos de todos los divisores de N. Procediendo de este modo, y designando por \( \Sigma_m \left( \frac{1}{N} \right) \) la expresada suma, resultará

\[
\sum_m \left( \frac{1}{N} \right) = \left( \frac{1}{a^\alpha} \right)^m \frac{a^{(\alpha+1)m}-1}{a^m-1}
\cdot \left( \frac{1}{b^{\beta}} \right)^m \frac{b^{(\beta+1)m}-1}{b^m-1} \ldots \ldots \left( \frac{1}{l^{\lambda}} \right)^m \frac{l^{(\lambda+1)m}-1}{l^m-1},
\]

ó también,

\[
\sum_m \left( \frac{1}{N} \right) = \frac{1}{(a^\alpha \cdot b^{\beta} \ldots \cdot l^{\lambda})^m} \cdot \frac{a^{(\alpha+1)m}-1}{a^m-1}
\cdot \frac{b^{(\beta+1)m}-1}{b^m-1} \ldots \ldots \frac{l^{(\lambda+1)m}-1}{l^m-1},
\]

de donde, teniendo presente la (A), se deduce

\[
\sum_m \left( \frac{1}{N} \right) = \frac{\Sigma_m (N)}{N^m}.
\] (B)

Tal es la fórmula general que tratábamos de hallar, de la que se deducen curiosos resultados atribuyendo á \( m \) valores enteros particulares. Para \( m = 1 \), resulta

\[
\sum \left( \frac{1}{N} \right) = \frac{\Sigma (N)}{N}
\]

donde \( \Sigma (N) \) designa la suma de todos los divisores de N, que se deduce haciendo \( m = 1 \) en la expresión (A). Este caso particularísimo de la fórmula general (B) fué hallado directamente por nuestro distinguido amigo D. Elías Hernández, ilustrado catedrático en la Universidad de Valencia. (Véase El Progreso Matemático, serie 2.a, tomo II, número 9).
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CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 184
(Véase t. III pág. 192: 1893).
Separar de un cuadro tres círculos iguales máximo.

(A. Dmitrteff)

Solución por el Sr. Brocard (H).

Los tres círculos iguales deben separar la mayor superficie: Luego es preciso que sean tritangentes.

Esto sentado, consideremos el grupo F de tres círculos iguales tritangentes. Se les podrá circunscribir un cuadrado cuya diagonal sea un eje de simetría de la figura F. Uno de los círculos será pues tangente á dos lados CA, CB del cuadrado y cada uno de los otros dos círculos será tangente á un solo lado AD, BD.

Partiendo de este nuevo problema inverso, por decirlo así, del propuesto, se obtendrá fácilmente el lado del cuadrado circunscrito á la figura F'.

En efecto, designando r el radio de los tres círculos y a el lado del cuadrado, se tiene

\[
a = 2r (1 + \cos 15^\circ) = r (2 + \sqrt{2} + \sqrt{3})
\]

Si pues a está dado, se tendrá la expresión de r

\[
r = \frac{a}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}
\]

CUESTIÓN 267
(Véase (2) t. I. pág. 62).

Demostrar que la pedal relativa al polo, de una espiral logarítmica, es una espiral logarítmica igual.

(V. Retali).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

La espiral logarítmica es con respecto á ella su propia homotética. De otro modo, las dos curvas

\[
\xi = a e^{m \eta}, \quad \xi' = b e^{m \eta'}
\]

son idénticas, salvo la orientación.
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 36

Esto sentado, sean AM la tangente á la espiral en A, OM la perpendicular á AM. El lugar de los puntos M es la podar.

Pero el triángulo OAM rectángulo en M tiene un ángulo constante en A.

Por consiguiente el ángulo AOM = \( \hat{z} \) es también constante. El lugar (M) es pues una espiral logarítmica idéntica á la propuesta pero con un giro del ángulo \( \hat{z} \).

Se tiene, por otra parte,

\[
\tan g OAM = \cotg \hat{z} = \frac{1}{m}, \quad r = OM, \quad b = \omega - \hat{z},
\]

luego la ecuación de (M) es

\[
r = \hat{z} \cos \hat{z} = \sqrt{1 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} e^{m(\hat{b} + \hat{z})} = u c^{\hat{b} \hat{b}}
\]

Observación.—Esta propiedad de la espiral logarítmica no es nueva pero se agrega á la serie de las innumerables renovaciones de esta curva célebre.

CUESTIÓN 313

Dadas dos circunferencias O y O', se consideran dos radios variables OA y OB' que forman un ángulo constante y se construye el triángulo ABC semejante á un triángulo dado. Demostrar que el lugar del punto C es una circunferencia O" y que el radio O"C forma un ángulo constante con OA, por ejemplo.

(G. Fontené).

Solución por el Sr. Krahe (A.)

Supongamos una posición del triángulo ABC, conforme al enunciado. Tracemos la recta BD paralelamente á AO y llevemos BD = AO

El triángulo o'BD tiene, en cualquier posición de la figura, los lados Bo', BD de magnitud constante; el ángulo o'BD que es igual ai que forman los radios oA, o'B también constante por hipótesis: luego o'D será constante. El lugar del punto D es una circunferencia cuyo centro es O'.

Construyamos el triángulo oDE
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cuyos lados son iguales y paralelos á los del ABC. Tendremos un triángulo, uno de cuyos vértices, O, permanece fijo; otro de sus vértices, D, se mueve sobre una circunferencia, permaneciendo el triángulo semejante á un triángulo dado; luego el tercer vértice E, por un teorema conocido, describirá una circunferencia que se obtiene tomando la homotética de O' respecto del punto O siendo AC : AB la constante de homotecia y efectuando un giro alrededor de O con una magnitud angular igual á BAC.

Efectuado el giro, dos rectas homólogas tales o'D, o'E formarán un ángulo igual al de giro. El ángulo o"EC, diferencia de los ángulos constantes BDo', BAC, será constante; por consiguiente en el triángulo o"EC, en el cual se mantienen constantes dos lados, o"E, EC y el ángulo comprendido será O'C de longitud constante; como el vértice O' permanece fijo, C describirá una circunferencia.

Siendo el ángulo O"CE invariable de magnitud, el radio OC" formará un ángulo constante con el radio oA en todas las posiciones.

CUESTIÓN 79.
(Véase t. II, pág. 278: 1892).

Sea AEB un arco de círculo que tiene por centro el punto O, por cuerda AB, por tangentes en sus extremos AT, BT. Prolónguese AB en una longitud BC = \( \frac{1}{2} \) AB. Desde el punto C como centro, con un radio igual d CA, describábase un arco de círculo AD que corta á BT en D. Tómese sobre el arco AEB un segmento AE igual á \( \frac{1}{4} \) AEB. Trácese OE que corta á AT en F: únanse los puntos F y B por la recta FB. Esto sentado, si a es la longitud del arco, tomandose el radio por unidad:
1.º BD difiere de a en menos de una milésima de la quinta potencia de a.
2.º AF + FB difiere de a, en menos de un cuarto de milésima de la quinta potencia de a.
3.º \( \frac{1}{5} \) (BD + 3 AF + 3 FB) difiere de a en menos de una milésima de la séptima potencia de a.
Se supone a < 1.

(Macquorn Rankine).

Solución por el Sr. Brocard (II.)

Sean oA = 1, a = arco AEB = 4 arco AE = 4 u. Se tendrá

AF = tang u,   AT = BT = tang 2 u.
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 38

Coordenadas de C referidas al origen B y al eje BD.

\[
x_c = - \operatorname{sen} 2u \cos 2u, \quad y_c = \operatorname{sen}^2 2u.
\]

Luego el círculo cuyo centro es C y el radio CB = 3 sen 2u tiene por ecuación

\[
(x + \operatorname{sen} 2u \cos 2u)^2 \\
+ (y - \operatorname{sen}^2 2u)^2 = 9 \operatorname{sen}^4 2u,
\]

de donde

\[
BD + \frac{\operatorname{sen} 2u \cos 2u}{\operatorname{sen} 2u} \\
= \operatorname{sen} 2u \sqrt{9 - \operatorname{sen}^2 2u};
\]

\[
BD + \frac{\operatorname{sen} 4u}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{(1 - \cos 4u)(17 + \cos 4u)}
\]

y conocido BD debe ser aproximadamente igual á a ó á 4u, y se puede escribir

\[
2a = \sqrt{(1 - \cos a)(17 + \cos a)} - \operatorname{sen} a.
\]

NOTA.—Por las razones siguientes terminaré aquí el desarrollo de la solución.
1.º Faltaba valorar también BF, cuya expresión parece complicada, después sustituir, como en la expresión de BD, los valores de sen a y de cos a en series de potencias de a y hacer las reducciones
2.º La construcción propuesta no es evidentemente más que una aproximación, independiente de la geometría, lo que disminuye su interés.
3.º La aproximación obtenida, satisfactoria, desde el punto de vista gráfico, y por efecto de la exigüidad de las figuras, lo es mucho menos desde el punto de vista de las aplicaciones numéricas, según verá el lector.
4.º El objeto de este artículo ha sido principalmente retirar del periódico una cuestión que amenazaba eternizarse, por motivo de incorrecciones que hacía ininteligible el enunciado.
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CUESTIÓN 238.
(Véase t. IV pág. 312).

Se da una circunferencia O y un diámetro fijo AA'.
El radio OM situado sobre OA, gira alrededor del centro O, en cada una de sus posiciones, se lleva sobre este radio, a partir de un punto fijo P, y en los dos sentidos, una longitud PN = PN' = MA.
Estudiar y construir la curva lugar de los puntos N y N'. Discusión y estudio de los casos particulares.

(J. Gillet).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Tomemos por polo el punto P y por eje polar la paralela PX á AA'

Sean \( MOA = 2\theta \), \( PN = \rho \), \( NPX = \omega \).

Se tendrá \( NPX = \omega = 90 - 2\theta \), y \( PN = AM = 2a \sin \theta \) (Así al menos he interpretado el enunciado).

La ecuación polar del lugar NN' es pues

(1) \( \rho = 2a \sin \left(45 - \frac{\omega}{2}\right) \)

(2) \( \rho = a \sqrt{2} \sqrt{1 - \sin \omega} \)

y en coordenadas cartesianas

(3) \( 4a^4 y^8 = (x^6 + y^6)(2a^4 - x^4 - y^4)^2 \).

La curva es pues de 6.º grado.

Desde el punto de vista del trazado, ofrece la imagen de dos cardioides iguales, simétricas respecto á la perpendicular A á su eje, trazadas por el punto de retroceso P (una paralela á esta recta A encuentra á la curva en seis puntos).

CUESTIÓN 312.

Se aplican á los vértices A, B, C, D de un tetraedro cuatro masas cualesquiera, a, b, c, d y se buscan los centros de gravedad de estas masas combinadas dos á dos, lo que da seis puntos sobre las aristas.
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droite D, autour de laquelle on doit effectuer la rotation, coïncide avec l'axe des y'.

En désignant par \( f(s, a) \) le deuxième membre de l'équation (4), on trouve que cette fonction \( f \) vérifie la condition (2).

Il suit:
1.° Les lignes qu'on obtient de l'équation (4), en changeant la constante a d'une façon arbitraire, sont semblables.
2.° Les surfaces de révolution applicables, dont les lignes méridiennes appartiennent à une même famille de courbes, sont semblables.

Cas particulier.- Pour \( n = 2 \), l'équation (4) se réduit à:

\[
z = \sqrt{\frac{a^6}{4} - s^4}
\]

représentant une cycloïde, dans laquelle (comme on le reconnaît des équations (3)) l'axe des y coïncide avec la tangente à la cycloïde au sommet. On tombe ainsi sur le théorème de M. Bianchi, qu'on vient de signaler.

III.

Nous allons envisager deux cas particuliers intéressants.
Soit L une ligne plane quelconque, \( \Lambda \) une de ses développantes,
\( L_1 \) la courbe symétrique de L par rapport à \( \Lambda \), et A (\( x, y \)), \( A_0 \) (\( \xi, \gamma_1 \)),
\( A_1 \) (\( x_1, y_1 \)) trois points correspondant des lignes L, \( \Lambda \), \( L_1 \).

Désignons par s, \( \varphi \), (\( \cos \alpha, \cos \beta \)), (\( \cos \lambda, \cos \mu \)) l'arc, le rayon de courbure, les cosinus directeurs de la tangente et les cosinus directeurs de la normale de la ligne L. Désignons enfin les éléments analogues, relatifs à la ligne \( L_1 \), par mêmes lettres portant le signe 1 au pied.

On a:

\[
\begin{cases}
x_1 = 2\xi - x = 2(x - s \cos \alpha) - x = x - 2s \cdot \cos \alpha \\
y_1 = 2\eta - y = 2(y - s \cos \beta) - y = y - 2s \cdot \cos \beta,
\end{cases}
\]
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 40

Demostrar que el volumen del sólido cuyos vértices son estos puntos se halla con el volumen del tetraedro ABCD en la relación

\[
\frac{2abcd(a+b+c+d)^3}{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(c+d)(d+b)}
\]

(J. Neuberg).

Solución por el Sr. Kraae (A.)

Sean, V el volumen del tetraedro, V' el del sólido, V₁, V₂, V₃, V₄ los de los cuatro tetraedros parciales que tienen por vértices uno de los del tetraedro dado y los tres centros de gravedad situados sobre las aristas que en él concurren.

Teniendo en cuenta que los volúmenes de dos tetraedros que tienen un triángulo común, son entre sí como los productos de las aristas que forman dicho triángulo, se tendrá

\[
\frac{V_1}{V} = \frac{bcd}{(a+b)(a+c)(a+d)}, \quad \frac{V_2}{V} = \frac{acd}{(b+a)(b+c)(b+d)}
\]
\[
\frac{V_3}{V} = \frac{abd}{(c+a)(c+b)(c+d)}, \quad \frac{V_4}{V} = \frac{abc}{(d+a)(d+b)(d+c)}
\]

Sumando miembro á miembro y restando de la unidad, se tiene la relación pedida.

CUESTIONES PROPUESTAS

317. Hallar el lugar de los centros de las hipérbolas equiláteras que tienen un contacto de segundo orden con la logarítmica \( y = m \log x \), cuyas asíntotas son paralelas á los ejes coordenados

(V. Retalt).

318. En todo punto de una cicloide

\[
x = r (\tau - \sin \tau), \quad y = r (1 - \cos \tau)
\]

se traza la simétrica de la tangente respecto á la ordenada. Determinar la envolvente de esta recta.

(V. Retalt).
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SUPLEMENTO AL NÚM. 11 DE EL PROGRESO MATEMÁTICO

CRÓNICA

El Concurso de la real Academia de Ciencias en 1897 *

I

Correspondientes al concurso análogo á premios, anunciado á principios del año 1896 para fines del 1897, vióse la Academia, y por adelantado su Sección de Ciencias Exactas, precisada á calificar durante el pasado curso, como en justicia mejor le pareciese, tres distintas memorias sobre el tema, oportunamente propuesto por aquella Sección que se decía:

«Catálogo ordenado de lo las las curvas de cualquier clase que han recibido nombre especial, acompañada de una idea sucinta de la forma, ecuaciones y propiedades geométricas de cada una, añadiendo la noticia de los libros, ó autores, que primeramente los dieron á conocer».

De las tres memorias, dos llegaron á la Academia por el correo, con señales manifiestas de proceder del extranjero; más no la tercera por el orden de su recepción de procedencia nacional seguramente. Los lemas distintivos de las tres decían como sigue:

N.º 1.—«La géomètre ne doit pas être moins glorieux d'avoir donné son nom á une courbe qu'un prince d'avoir donné le sien á une ville.» — Fontenelle. (14 de Diciembre de 1897).

N.º 2.—«L'Algebre n'est qu'une Géométrie écrite: la Géométrie est une Algebre figurée.» —Sophie Germain —(30 de Diciembre.)

N.º 3.—«In tenui labor, at tenuis non gloria.» —Virgilio: Georgicas.— (30 de Diciembre.)

A estas tres memorias agregó-e, á ruego del autor, el diligente y perspicaz geómetra francés, Mr. Brocard, una más, autografiada, con el título de «Notes de Bibliographie des Courbes Géométriques», sin
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opción á premio ninguno en el concurso; pero que el autor remitió á la Academia para que la tuviera presente, y la estudiase y calificase, sin compromiso de ningún género, conforme lo estimase mejor, y las circunstancias del momento, y eventualidades posibles del certamen lo aconsejasen y permitiesen.

Las cuatro pasaron por disposición de la Academia á exámen y juicios previos de la Sección. Y como las cuatro eran de muy copiosa lectura y de nada fácil apreciación, por su vasto y algún tanto heterogéneo contenido, ora consideradas por separado, ya en cotejo una cualquiera de las demás, cayóle á la Sección labor penosa en qué ocuparse durante algunos meses. Como que el primer acuerdo que adoptó según recomendable costumbre en tales casos, fué el de que todos sus individuos, unos tras otros, leyesen, ó siquiera ojeasen, aquellos trabajos, con atención suficiente para penetrarse bien de su contenido, hasta poder luego, con criterio independiente, deliberar acerca de la resolución que, respecto al mérito é importancia de todos, debía proponerse á la consideración de la Academia. Y esto cumplido, con la consiguiente, inevitable pérdida de tiempo, muchas veces merecedora, contra todas las apariencias, de calificarse de ganancia, encomendóse al Sr. Merino la redacción del informe, que como síntesis de lo actuado en el asunto, y discurrido por la Sección con deseo insuperable de acierto, érale á ésta obligatorio someter respetuosamente á la Corporación en pleno, para su conocimiento y discusión y aprobación ó enmienda.

En el informe de la Sección, leído en sesión general del 31 de Mayo, proponíase á la Academia algo verdaderamente extraordinario, ó desusado: que, en vez del único premio ofrecido en el programa del certamen, y que en repetidas ocasiones no se hallaron méritos suficientes para que pudiera ser adjudicado á nadie, se otorgasen esta vez dos, de iguales entidad é importancia, á los autores de las memorias núms. 1 y 2: consideradas ambas por la Sección, aunque por conceptos algo distintos, como dignas del mismo superior aprecio.

De conformidad con lo preceptuado en el art. 18 del Reglamento para la adjudicación de premios, á la discusión del informe que se acababa de leer, no debía procederse en el acto de terminada la lectura, siendo de rigor dejarle sobre la mesa, á libre y tranquila disposición de cuantos señores académicos deseasen volverle á leer y meditarle, y esperar para discutirle á otra sesión inmediata, á la cual, trascurridos ocho días, podía el Sr. Presidente disponer que se convocase, cuando lo juzgare conveniente.
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 43

Pero, sin infracción de este precepto, ó sin entrar en la discusión substancial del fondo del asunto, por el momento con sobrada razón vedada, como dificultad previa accidental que convenía poner á un lado desde luego, para poder así ocuparse desembarazadamente en aprobar, modificar ó desechar en otra sesión las conclusiones de aquel informe, el mismo Sr. Presidente (Saavedra) formuló la siguiente pregunta:

No habiendo ofrecido la Academia sino un solo premio para el concurrente al certamen que, entre todos los demás, mejor, y á satisfacción suya, hubiese tratado y desenvuelto el tema propuesto, ¿qué debe hacerse cuando sean dos los trabajos, del mismo sobresaliente mérito, presentados por autores distintos, conforme, en opinión razonada de la Sección de Ciencias Exactas, en este caso sucede?

Y la Academia, después de meditada y discutida despacio la dificultad, y teniendo muy en cuenta lo ocurrido por los años 1863 en otro certamen, que dió por resultado la adjudicación de dos premios y dos accesit, aunque en el programa de convocatoria solamente se prometiera una recompensa de cada clase, decidió que, si realmento las apreciaciones de la Sección sobre las memorias, en primer término sometidas á su examen reflexivo y prudente juicio, merecían aprobarse—punto todavía discutible y del cual se trataría seriamente en otra ú otras sesiones inmediatas,—á la adjudicación de dos premios, en vez de uno, deberá procederse sin reparo, como acto de justicia y, más todavía, de indiscutible conveniencia científica, contando para ello, si se consideraba necesario, con la vonia y auxilio del Excelentísimo Sr. Ministro de Fomento, de cuyo eficaz y generoso apoyo, en trances de problemático apuro como éste, no era lícito dudar nunca.

Así las cosas, púsose verdaderamente á libre discusión en sesión extraordinaria del 14 de Junio, el informe de la Sección de Ciencias Exactas sobre las tres memorias con opción, ó legítima aspiración, á los premios ofrecidos. Y, después de ampliamente discutido atendido en todo á lo rigurosamente preceptuado en los artículos 19 al 22 del Reglamento especial para la resolución de esta clase de asuntos, procedióse á las votaciones, secretas y sucesivas que en ellos se determinan indispensables para el otorgamiento á los autores de las citadas memorias de la recompensa á que por sus trabajos se hubiesen hecho, respectivamente y uno por uno, acreedores: ó declaración, en contrario de que á ninguno debía concederse el más insignificante galardón por su trabajo.

Resultando, en la primera votación, honrado con premio, propia-
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mente dicho, el de la señalada con el núm. 1, y tema renglones antes ya transcrita.

Con premio de igual importancia, en la siguiente, el de la núm. 2.
Y sin premio en la tercera, pero sí con accésit en la cuarta, el de la número 3.

Los tres por unanimidad de los diez y siete Sres. Académicos que en las votaciones tomaron parte, y de perfecto acuerdo con lo propuesto por la Sección en su informe.—El cual no solamente en estas sus conclusiones fundamentales, sino en las demás que contenía, de carácter incidental de cierto modo, pero todas de importancia, como relacionadas con la justa y serena apreciación del interesante y complejo problema á que se refieren, mereció asimismo la unánime aprobación de la Academia, y muy en particular, en cuanto atañe al libro autografiado del Sr. Brocard, presentado fuera de concurso, y calificado en términos laudatorios muy expresivos, equivalentes para el autor á un verdadero premio por su trabajo.

Abiertos luego los pliegos cerrados presentados con las memorias laureadas, en cuyos sobres, ó envolventes, se están los lemas que las distinguían, y dentro de los cuales debían hallarse consignados los nombres de los autores respectivos, hallóse que

El de la Núm. 1 era el Profesor de la Universidad de Génova, señor Gino Loria; el de la Núm. 2, el de la Escuela Politécnica de Porto, Corresponsal años há de esta Academia, Sr. Gómez Teixeira; y, el de la Núm. 3, el Arquitecto y Licenciado en Ciencias Exactas, residente en Salamanca, Sr. D. Joaquín de Vargas y Aguirre.

En cuestión de premios hay todavía mucho de qué hablar, y no poco de que discutir y resolver, durante el año que ahora comienza; y, con objeto de que la materia no se agote, la Academia ha propuesto nuevos temas, que se insertarán más adelante, de provechoso trabajo científico, para los concursantes que se decidan á honrarla en lo sucesivo, acudiendo á su llamamiento.

II

Sobre las tres memorias manuscritas, y anónimas por de pronto, presentadas con opción á premio en el concurso académico del año 1897, originales, según más tarde se vió, de los Sres. Gino Loria, Gomes Teixeira, y Vargas Aguirre. Pontente. Sr. Merino.

En el programa del concurso á premios, abierto por la Academia en principios del año 1893, y que debía cerrarse en 31 de Diciembre de 1894 propuso la Sección de Ciencias Exactas el siguiente tema:
«Catálogo ordenado de todas las curvas de cualquier clase que han