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diente á una apotema \( a \), da la fórmula notable \( \operatorname{arc} = \frac{3rc}{2r + a} (*) \) perfeccionada por Snellius y demostrada por Huygens, como lo veremos más lejos.

Vieta (Canon. math. Paris 1579), llevando el cálculo hasta el polígono de 6. 2\textsuperscript{nd} lados, manifiesta que, siendo el diámetro 10000000000, la circunferencia queda comprendida entre 31415926535 y 31415926537. Se le debe la primera expresión analítica del número \( \pi \). Considera (Var. de reb. math. resp. Tours 1593) los polígonos formados por la duplicación sucesiva de los lados y da el teorema siguiente: Los perímetros de dos polígonos inscriptos sucesivos cuyos lados son BE, BD (fig. 14) son entre sí como la cuerda DC al diámetro BC. Concluyó 1.\textsuperscript{o} que si 2 es el diámetro, el cuadrado inscripto tendrá por apotema \( \sqrt{2} \), el octógono \( \sqrt{2 + \sqrt{2}} \), el exadecágono

\[
\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \text{ etc.}
\]

2.\textsuperscript{o} que si 1 es el diámetro, el círculo es al radio como

\[
\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \times \\
\sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}}}}} \ldots \ldots \text{á } \sqrt{\frac{1}{2}} (**)
\]

Esta expresión del número \( \pi \), aunque casi inabordable por me-

(*) Pudo haber llegado á esto, notando que cuanto más decrece un arco, más la relación de la cuerda al arco y la de la apotema al radio se aproximan simultáneamente á la unidad. Si hubiera ensayado la fórmula \( \frac{\text{cuerda}}{\text{arco}} = \frac{a}{r} \), después de varios tentos, hubiera advertido que la igualdad es casi exacta para el cuadrado y el exágono, añadiendo \( 2r \) á los dos términos del segundo miembro. De aquí la fórmula.

(**) Damos esta fórmula tal como se encuentra en la colección de las obras de Vieta; hay una errata manifiesta de imprenta que señaló M. Rudio, en sus Vier abb. über die Kreis-(Leipzig, 1862).
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dio del cálculo (*) es notable como un primer ejemplo de la representación de una transcendente por una expresión analítica que indica una infinidad de operaciones.

Citaremos enseguida á Adriano Mecio y su relación tan conocida. La publicó en una obra, hoy perdida (Manuale geom. pract. Leyde, 1597), para refutar las pretendidas cuadraturas de Simon van der Eycke (Quad. du cercle Delft; 1584) que han dado siquiera el importante resultado de provocar las investigaciones de Romanus, Ludolph y Snellius. Todo lo que queda del trabajo de Metius es este pasaje de un escrito de su hijo (Arith. et Geom. nova Leyde, 1626): «Parens PM illustrium DD Ordinum Confæderatum Belgiae Provinciarum Geometra, in libello quem conscripsit adversus quadratura circuli Simonis à Quercu (**) demonstravit proportionem peripheriæ ad suam diametrum esse minorem \(3\frac{17}{120}\), hoc est \(977\frac{977}{120}\), majorem \(4\frac{15}{106}\), hoc est \(333\frac{333}{106}\) quarum proportionem intermedia exsittit \(3\frac{16}{113}\), sive \(355\frac{355}{113}\). Quæ quidem intermedia proportio paulo major est quàm ea, quam invenit M. Ludolph à Collen . . . .» (**)

(*) Puede ser utilizada, sin embargo, de un modo bastante fácil con auxilio de los logaritmos. En efecto, la fórmula de Vieta puede escribirse

\[
\pi = 2 \frac{2}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \ldots
\]

de donde, haciendo

\[
\log A_1 = \frac{1}{2} \log 2, \quad \log A_3 = \frac{1}{2} \log (2 + A_1),
\]
\[
\log A_4 = \frac{1}{2} \log (2 + A_3), \ldots \log A_{11} = \frac{1}{2} (\log 2 + A_{11})
\]

se tendrá

\[
\log \pi = 12 \log 2 - (\log A_1 + \ldots + \log A_{11}) = 3,141593
\]

(Chevilliet. N. A. 1856).

(**) á Quercu y Van Eycke son traducciones de su verdadero nombre que es Duchesne.

(***) Para contestar á Simon Van der Eycke, buscó límites más aproximados que los de Arquímedes, hasta que la relación, indicada como exacta, estuviese fuera de los límites hallados. Pudo partir del cuadrado y llegar hasta el polígono de 128 lados, lo que da límites comprendidos entre \(3\frac{15}{106}\) y \(3\frac{17}{120}\). De aquí la relación media \(3\frac{15+17}{106+120} = 355\frac{355}{113}\), exacta hasta
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Romanus y Ludolph aumentaron sucesivamente el número de decimales conocidas: en fin el último llegó á mostrar (De Arith et Geom. Fond. Leyde, 1595) que siendo el diámetro 10^8, la circunferencia tiene una longitud comprendida entre

3 1415926 535897 932384 626433 8327950
y 3 1415926 535897 932384 626433 8327951.

Estos dos números están escritos sobre su tumba en Leyde.
Obtuvieron sus resultados por el cálculo de los lados de polígonos regulares, llevados hasta el de 2^41 lados, empleando el método de Arquímedes, el único por entonces conocido. Los larguísimos cálculos que exigía, indujeron á Snellius á buscar su simplificación. Este es el objeto de su tratado titulado Cyclometricus (Leyde, 1621) donde da, sin demostración suficiente, los dos teoremas siguientes, visiblemente inspirados en la regla empírica de Cusa: Siendo el arco AE (fig. 15) menor que un cuadrante, tomemos BD igual al radio BC y tracemos ED: la parte de tangente AF es menor que el arco AE.
Si la recta ED es tal, que HB sea igual al radio, la longitud AF es mayor que el arco AE.

Estos teoremas aplicados al cálculo del perímetro de un polígono regular, abrevian en la mitad el trabajo que exigía el método de Arquímedes. Su empleo se indica por sí solo.
Se encuentran en la misma obra otras expresiones del número \( \pi \) más conocidas que la de Vieta. Se las puede presentar así: Sea F el medio del arco AD (fig. 16), G el del arco AF, etc.; r el radio y a la cuerda BD, se tiene \( AF = \sqrt{r(2r-a)} \). Así, si \( a = \sqrt{3} \), se tendrá, haciendo \( r = 1 \),

\[
AF = \sqrt{2-\sqrt{3}}, \quad AG = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}, \ldots
\]

la octava cifra decimal, lo que exigiría por el método de Arquímedes el cálculo de polígonos de 10340 lados.
Se sabe, por otra parte, según Euler, en qué estriba esta gran exactitud de la relación de Metius á saber, en la pequeña de la fracción que sigue á la reducida \( \frac{835}{113} \) que es \( \frac{1}{192} \), cuando se reduce el número \( \pi \) á fracción continua (Intr. in Anal. inf. Lausanne 1748).
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Darboux, Surfaces, II, pp. 354-355, 388; Cesàro, Geometria intrinseca, pp. 153, 158; etc.)

Dans les lignes suivantes, (1) nous allons donner une démonstration analytique (§ 3) des deux théorèmes, différente de celles des traités, et une autre démonstration analytique (§ 2) différente de la première, pour le théorème de Meusnier, démonstration dont le raisonnement a déjà servi à Gauss pour montrer le théorème d'Euler (Voir Dissertationes generales circa superficies curvas, Werke, IV) et aussi, dernièrement, à M. P. Stilckel pour montrer l'invariance de la courbure totale d'une surface dans les déformations qui conservent les arcs (Voir Journal für reine und angewandte Mathematik, V. 111).

2. Première démonstration du théorème de Meusnier (par la méthode de Gauss).

a) Si l'on prend comme plan des x y le plan tangent à une surface au point M et ce point comme origine des coordonnées rectangulaires, l'équation de la surface aura la forme

\[
z = a x^2 + b x y + c y^2 + \ldots,
\]

les termes non écrits étant de degré supérieur à 2.

b) La tangente et la normale principale d'une courbe en un point M étant prises pour axes des x et des s des coordonnées rectangulaires, les équations de la courbe seront

\[
\begin{cases}
y = B' x^2 + \ldots \\
z = B x^2 + \ldots
\end{cases}
\]

(les termes non écrits étant de degré supérieur), et le rayon de courbure de la courbe en M est donné par la quantité

\[
r = \frac{1}{2B}.
\]

La proposition (a) est presque évidente, la proposition (b) se démontre dans la théorie des courbes. Nous supposerons toutes les deux connues.

(1) Nous sommes redevables d'une part de ces lignes à l'amabilité de notre cher maître M. le professeur D. Hilbert qui nous a indiqué la voie pour la démonstration par la méthode de Gauss.
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Si \( a = \sqrt{2} \), resultará

\[
AF = \sqrt{2 - \sqrt{2}}, \quad AG = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \ldots
\]

De esto resultan los perímetros de los polígonos regulares sucesivos, obtenidos del cuadrado ó del exágono, multiplicando por potencias convenientes de 2.

La relación \( BF = \sqrt{r (2r + a)} \) da los valores de las cuerdas suplementarias \( BF, BG, \ldots \).

Esta teoría ya fué diseñada por Ludolph et Romanus:

En su libro, Snellius da también las longitudes de los perímetros de los polígonos de 4, 8, 16, 32 . . . . lados circunscriptos e inscriptos, de modo que si, un número se presenta como valor de \( \pi \), es cómodo ver á qué polígono inscripto es inferior, ó á qué polígono circunscripto es superior; y por consiguiente, refutar la pretendida cuadratura enunciada. De todos modos, como se podría objetar que la tabla de Snellius resultando de un gran número de extracciones de raíces cuadradas sucesivas, puede contener errores, y por consiguiente, faltar á su objeto, Pell (De mens. circ. Copenhague, 1644) ha mostrado cómo se puede llegar á esta refutación sin ninguna extracción de raíz cuadrada. Longomontanus había dado el número \( \frac{314186}{100000} \cdot \frac{2}{43} \) (Inv. theor. nob. id. 1643)

por valor de la relación \( \pi \). Para convencerle de su error, Pell hace ver que este número es mayor que el perímetro del polígono de 256 lados, aplicando sucesivamente un teorema representado por la fórmula \( C_n = \frac{1 - C_{2n}^2}{C_{2n}} \), donde \( C_n \) representa el lado del
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polígono regular circunscripto de \( k \) lados (*). Tomando el número de Longomontanus por el perímetro del polígono de 256 lados, se deducen así sucesivamente los de los polígonos de 128, 64, 32, 16, 8, 4 lados; pero el lado de este último se obtendría de este modo \( > 1 \), lo que demuestra la falsedad del aserto de Longomontanus.

En su Arith. log (Londres, 1624) Briggs ha calculado las áreas de los polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez y doce lados, isoperímetros al círculo: tal vez esto sugirió á Descartes la idea de su teoría que indicaremos más tarde.

Así como hemos dicho, el teorema de Snellius había quedado sin demostración. Huygens emprendió el demostrarlo, y llevó sus investigaciones bastante más lejos, en una de sus primeras obras (De circ. magn. inv. Leyde 1654). Reproduciremos, simplificando las demostraciones, la primera parte de su trabajo, auxiliándonos de las notaciones modernas y reduciéndola á dos teoremas.

I.—El área del sector circular OACD (fig. 17) excede á la del cuadrilátero OACB en una cantidad mayor que el tercio del triángulo ACB, y la del cuadrilátero OATB la excede en una cantidad mayor que el tercio del triángulo ATB.

1.º Dividamos el arco AB en cuatro partes iguales en D, C, F y tracemos AC, BC, DF, HL. Se tiene

\[
AE = 2HL,\quad AH = DG,\quad \text{luego}\quad \frac{AE}{AH} = \frac{2 \cdot HL}{DG} < 2
\]

\[
\frac{EC}{HD} = \frac{AC^2}{DC^2} = \frac{4DG^2}{DC^2} < 4.
\]

Por consiguiente

\[
\frac{AE \cdot EC}{AH \cdot HD} < 8 \quad \text{y} \quad \frac{\text{tri. ADC} + \text{tri. BCF}}{\text{tri. ACB}} > \frac{1}{4}
\]

Llamemos \( a, b, c, d, \ldots \) los sectores poligonales inscriptos OAB, OACB, ODCFB, \ldots y \( x \) el sector OACB; según lo que precede, se tiene la relación \( \frac{c - b}{a - b} > \frac{1}{4} \).

(*) «Tangens cuiuslibet arcus minoris quam 45 gr. 00' ducatur in duplum quadratum Radii; á quadrato Radii auseratur tangentis quadratum; illud productum dividatur per hoc residuum: Quotus erit tangens arcus dupli».
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Se puede pues escribir \( b - a < 4c - 4b \) y por consiguiente \( c - b < 4d - 4c,\ d - c < 4e - 4d,\ e - d < 4f - 4e,\ \ldots.\ p - n < 4q - 4p,\ q - p < 4r - 4q \) y por consiguiente, sumando, \( 4b - a < 4r - q \).

Pero se debe tener \( 4b - a < 3x \). En efecto, supongamos que se tenga \( 4b - a > 3x \) y escribamos \( 4b - a - 3x = a \).

Puesto que \( x - r \) y \( x - q \) pueden hacerse tan pequeños como se quiera, tomemos \( r \) y \( q \) tales, que se tenga

\[
a > (x - q) - 4(x - r)
\]

sumando estas dos últimas desigualdades, miembro á miembro, resultaría \( 4b - a > 4r - q \), lo que es falso. Se tiene pues,

\[
4b - a < 3x,\ \text{de donde}\ x > b + \frac{b - a}{3}.
\]

2.º Se tiene \( NC + NB > CB > EB \),
de donde \( 2NC > EB \) y \( 2MN > AB \)

\( TN > NC = NB;\ \text{luego}\ TC > CE \)

Por consiguiente, multiplicando,

\[
2 . MN . TC > AB . CE \ \&\ 2 . \text{tri. TMN} > ACB.
\]

Llamemos A al sector poligonal circular OATB; B al sector poligonal OPQRSB, formado del precedente trazando las tangentes en D y en F, etc. Se tendrá, según lo que precede

\[
2(A - B) > b - a
\]

é igualmente

\[
2(B - C) > c - b,\ 2(C - D) > d - c,
\]
\[
2(D - E) > e - d,\ \ldots.\ 2(P - Q) > q - p
\]

de donde, sumando y transponiendo

\[
2A + a > 2Q + q,
\]
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y por un razonamiento semejante al de 1.º

\[
2A + a > 3x, \quad \text{de donde} \quad x < A - \frac{A - a}{3} (*)
\]

Este teorema se aplica fácilmente á un polígono regular cualquiera.

II.—La longitud del arco AB se halla comprendida entre

\[
\frac{8 \cdot BC - AB}{3} \quad \text{y} \quad \frac{TB + 2EB}{3} (*)
\]

(*) Se tiene

\[
\frac{A - a}{B - b} = \frac{\text{tri. ATB}}{2 \text{ tri. CNB}} = \frac{AB \cdot TE}{MN \cdot EC} = \frac{TE}{TC} \cdot \frac{TE}{EC} = \frac{(CE + TC)^2}{CE \cdot TC}
\]

Pero la media aritmética de dos cantidades CE y TC es mayor que su media geométrica. El último miembro es pues mayor que 4, y se tiene la relación

\[
\frac{A - a}{B - b} > 4
\]

demostrada de otro modo por Gregory, como se verá más lejos.

Se tiene además

\[
\frac{TC}{MC} = \frac{TA}{AD}, \quad \frac{DP}{MD} = \frac{AO}{AM}
\]

de donde, multiplicando

\[
\frac{TC}{MD} = \frac{TA}{AD} > 4
\]

puesto que

\[
TA > 2AM \quad \text{y} \quad AM > 2 \cdot AP.
\]

Por consiguiente \( TC > 4 \cdot MD; \) pero \( PQ = CQ + QD < CM; \)

luego se puede escribir

\[
\frac{A - B}{B - C} = \frac{TC \cdot CM}{MD \cdot PQ} > 4.
\]

Se ve que las áreas de los polígonos circunscriptos se aproximan rápidamente á \( x \), puesto que cada una de las diferencias \( B - C, C - D, D - E, \ldots \) es menor que la cuarta parte de la anterior (Dellac. N. A. 1860).

(*) Se tiene, para \( x < 180^\circ \)

(2)

\[
\frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2}, \quad \text{de donde} \quad x > 2 \sin \frac{x}{2}
\]

\[
4 > 4 \cos \frac{x}{2}, \quad \text{de donde} \quad 3 > 4 \cos \frac{x}{2} - 1
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 24

Según I, se tiene \(4c - b < 3x < 2B + b\). Pero de TC > CE se obtiene tri. TCN > tri. CNB ó A - B > B - b, y por consiguiente \(2B + b < A + 2b\). La relación que precede puede pues escribirse

\[
4c - b < 3x < A + 2b
\]

y por multiplicación, se obtiene la primera desigualdad

(β)

\[
3.x > 4 \sen x - 2 \sen \frac{x}{2}.
\]

La segunda se deduce de la relación de Euler (véase más lejos)

(γ)

\[
\frac{\sen x}{x} = \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{8} \ldots
\]

En efecto, elevemos al cuadrado los dos miembros de (x) y dupliquemos, resulta

\[
\frac{x^2}{2} > 2 \sen^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x \quad \text{de donde} \quad \cos x > 1 - \frac{x^2}{2}
\]

de donde

(δ)

\[
\frac{\sen x}{x} > \left(1 - \frac{x^2}{8}\right) \left(1 - \frac{x^2}{3^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{12^2}\right) \ldots
\]
\[
> 1 - \left(\frac{x^2}{8} + \frac{x^2}{3^2} + \frac{x^2}{12^2} + \ldots\right)
\]

Y como para \(w < 45^\circ\) se tiene

\[
\frac{\cos^2 w}{\cos 2w} = \frac{\cos^2 w}{\cos^2 w - \sen^2 w} = \frac{1}{1 - \tg^2 w} > 1 + \tg^2 w < 1 + w^2
\]

resultará que

(ε)

\[
\frac{\tg x}{x} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2}}{\cos x} \frac{\cos^2 \frac{x}{4}}{\cos \frac{x}{2}} \frac{\cos^2 \frac{x}{8}}{\cos \frac{x}{4}} \ldots >
\]
\[
\left(1 + \frac{x^2}{4}\right) \left(1 + \frac{x^2}{16}\right) \left(1 + \frac{x^2}{64}\right) \ldots > 1 + \left(\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{16} + \ldots\right)
\]

sumando (ε) al doble de (δ), se obtiene la segunda desigualdad

\[
2 \sen x + \tg x > 3x
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 25

6, representando el arco por \( \alpha \),

\[
4 \frac{2 \cdot OF \cdot BC}{2} - \frac{OC \cdot AB}{2} < 3\alpha \cdot OB <
\]
\[
< \frac{OB \cdot TB}{2} + 2 \frac{OC \cdot AB}{2}
\]

de donde, dividiendo por el radio,

\[
8BC - AB < 3\alpha < TB + 2 \cdot EB.
\]

Este teorema tiene la misma aplicación que el de Snellius, del que es una sencilla consecuencia, como se verá en el corolario siguiente. Huygens ha deducido de él una rectificación aproximada que ya hemos recordado y demostrado de otro modo (J. S. 1893, p. 199) (*).

Corol. I Sea el arco AE menor que un cuadrante (fig. 18). Tracemos la recta ED tal, que HD sea igual al radio BC y tracemos EC, AIN, la paralela CLM á FD y las perpendiculares HL y BN al diámetro. Se tendrá

\[
AF = HL + MN = 2 \cdot KL + BM
\]

¡uego, según II, AF es mayor que tres veces el arco BL. Pero,

(*) En el tomo V de los A. G. (1814) Kramp extiende la fórmula de Cusa \( x = \frac{3 \sin x}{2 + \cos x} \). Según él, las fórmulas

\[
\begin{align*}
&\frac{14 + \cos x}{9 + 6 \cos x}, \quad \frac{80 + 25 \cos x}{54 + 48 \cos x + 3 \cos 2x}, \\
&\frac{213 + 101 \cos x + \cos 2x}{150 + 150 \cos x + 15 \cos 2x}, \\
&\frac{1337 + 924 \cos x + 49 \cos 2x}{1000 + 1125 \cos x + 180 \cos 2x + 5 \cos 3x}, \\
&\frac{31512 + 26274 \cos x + 2264 \cos 2x + 10 \cos 3x}{24500 + 29400 \cos x + 3880 \cos 2x + 280 \cos 3x}.
\end{align*}
\]

representan el valor de \( \frac{x}{\sin x} \) con errores, que para el arco bastante grande de 60°, son solo de 0,0008, 0,000048, 0,00000301, 0,000000219, 0,000000018055, respectivamente. Estas expresiones no pueden verificarse más que con auxilio del conocimiento de las series de \( \sin x \) y de \( \cos x \).
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por ser \( DN = HC = CE \), es visible que el arco \( AE \) es triplo del arco \( BL \); se tiene pues, \( AF > \text{arc } AE \). Esta es la primera parte del teorema de Snellius.

Corol. II Tomemos, en la prolongación del diámetro, BD igual al radio (fig. 19) y llamemos \( d \) al diámetro \( 2r \), \( c \) y \( z \) a las cuerdas EA y EB. Vamos a demostrar que

\[
AF < \frac{4c - EP}{3}
\]

En efecto, se tiene

\[
BP = \frac{z^2}{d}, \quad EP = \frac{cz}{d}, \quad AF = \frac{3z}{z + BP}.
\]

La relación por demostrar se transforma, según esto, en

\[
4zd(d - z) < d^2 - z^2 + d^2(d - z)
\]

de donde, dividiendo por la cantidad positiva \( d - z \),

\[
3dz < 2d^2 + z^2
\]

relación evidente, puesto que proviene de la desigualdad \( z < 2d \), cuyos dos miembros se han multiplicado por \( d - z \).

Hasta aquí se ha visto que todos los esfuerzos de los geómetras solo habían tendido al perfeccionamiento del método de Arquímedes. Descartes (Op. posth. 1663; con algunas palabras abrió dos vías nuevas: las aproximaciones gráficas indefinidas y el método de los isoperímetros.

Entre la diagonal AK del cuadrado FB (fig. 20) y su lado AB se inscribe sucesivamente el rectángulo GC equivalente al cuarto del cuadrado, después, el rectángulo HD igual al cuarto del rectángulo precedente, luego el rectángulo EI igual al cuarto del último, y así indefinidamente: las longitudes AC, AD, AE, ... representan las apotemas de los polígonos regulares de ocho, diez y seis, treinta y dos, ... lados, isoperímetros al cuadrado. De aquí una construcción bastante sencilla y cada vez más próxima al radio del círculo isoperímetro.

James Gregory, inspirándose, con gran verosimilitud, en la
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teoría de Huygens, dió á luz otra que no le cede desde el punto de vista de la elegancia y que además es mucho más general. Se apoya en el teorema siguiente: (Vera circ. et hyp. quad. Padoue, 1667).

Fig. 20

Fig. 21

Fig. 22

Sea un arco de cónica con centro ABC (figs. 21 y 22). Unamos el centro O con el medio D de la cuerda AC, tracemos las tangentes TC, TA, MBN:

1.º El cuadrilátero OCBA es medio proporcional entre el triángulo OCA y el cuadrilátero OCTA: 2.º El pentágono OCMNA es medio armónico entre los cuadriláteros OCTA y OCBA.

1.º Esto resulta de que se tiene

\[
OB^2 = OD \cdot OT
\]

(α)

2.º Es preciso demostrar que

\[
OBNA = \frac{2 \cdot OBA \cdot OTA}{OBA + OTA}
\]

lo que se hace facilmente por medio de (α) y de las relaciones siguientes:

\[
OBNA = \frac{DE}{2} \left(OT + \frac{TB^2}{TD}\right),
\]
\[
OTA = \frac{OT \cdot DE}{2}, \quad OBA = \frac{OB \cdot DE}{2}
\]

Corol. 1 Operemos sobre cada una de las figuras OCMB, OANT como sobre la figura OCBA, tendremos resultados semejantes. Continuemos indefinidamente, tendremos una serie de sectores poligonales inscritos y circunscritos, cuyas áreas se aproximarán cada vez más á la del sector OAC. Llamemos \(a, b, c, \ldots\) á los sectores poligonales inscritos OCA, OCBA, ... y
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 28

A, B, C, ... á los sectores poligonales circunscritos OCTA, OCMNA, ..., se tendrá:

\[
b = \sqrt{a A}, \quad B = \frac{2 A b}{A + b}, \quad c = \sqrt{b B}, \quad C = \frac{2 B c}{B + c}, \ldots
\]

Por consiguiente, representemos por a y A las áreas del triángulo OCA y del cuadrilátero OCTA y formemos la serie a, A, b, B, c, C, ... de la que cada término, d partir del tercero, sea alternativamente medio geométrico y medio armónico de los dos anteriores; los términos de esta serie oscilan al rededor del valor del área del sector OAC (*).

Además se aproximan de manera que no difieran más que en tan poco como se quiera. En efecto, sustituyendo por a y B sus valores \( \frac{b^2}{A} \) y \( \frac{2 A b}{A + b} \) en la expresión \( \frac{\pm (A - a)}{\pm (B - b)} \), se obtiene que esta última es igual á

\[
2 + \frac{b}{A} + \frac{A}{b} > 4
\]

puesto que, cualquiera que sea la cantidad positiva \( x \), se tiene:

\[
x + \frac{1}{x} > 2.
\]

Luego los términos A - a, B - b, C - c, ... decrecen en valor absoluto más rápidamente que los de la progresión geométrica

\[
A - a, \quad \frac{A - a}{4}, \quad \frac{A - a}{16}, \quad \frac{A - a}{64}, \ldots,
\]

y por tanto los valores a, b, c, ... se aproximan tanto como se quiera á los valores A, B, C, ..., y por consiguiente, al sector elíptico ó hiperbólico que se halla siempre comprendido entre ellos.

Corol. II. El área x del sector OAC se halla comprendida entre

\[
\frac{2 A + a}{3} \quad \text{y} \quad \frac{4 b - a}{3}.
\]

(*) De esto resulta una construcción gráfica bastante sencilla (véase J. S. 1894, p. 14. Véase también Théorème de Gregory J. S. 1899, p. 125).