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El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 41

CUESTIÓN 201.
(Véase tomo IV, página 267).

Dados dos cuadrados concéntricos y dispuestos de modo que las diagonales del uno sean paralelas á los lados del otro, determinar solamente con auxilio de la Geometría elemental, los ejes de una elipse inscripta al mayor y circunscripta al menor (*).

(R. Guimaraes).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

Supongamos el problema resuelto. Sean MM₁M₂M₃ y TT'T₁T'₁ respectivamente los cuadrados inscripto y circunscripto á la elipse que se busca (ABA'B') ú (O) que tiene por centro el punto O y por ejes mayor y menor AA' = 2a y BB' = 2b que coinciden en dirección con las diagonales TT₁ y T'T₁ del segundo cuadrado.

Designemos por P, q, P', q' las intersecciones de estas diagonales con los lados MM₃, MM₁, M₁M₂, M₂M₃ del cuadrado inscripto á esta cónica, y por M₁"M₁', M₂"M₂', M₃"M₃' los puntos de intersección de los lados TT', TT'₁, T₁T₁', T'₁T del cuadrado circunscripto con las diagonales del cuadrado inscripto.

Consideremos la elipse (O) como descrita por un punto M de la recta SS' de longitud constante, cuyos extremos S, S' resbalan sobre las dos rectas rectangulares TT₁ y T'T₁' que tiene por semi-longitudes de sus ejes a y b las distancias MS y S'M del punto M en los extremos de la recta SS'.

Si se considera el punto M como perteneciente á la recta s₀s'₀, los segmentos Ms₀' y Ms₀ serán iguales á a y b.

En el primer caso, como se sabe, se tendrá SS' = a + b.
Y en el segundo \( s₀s'₀ = a - b \)

Siendo el punto M el punto generador del segmento SS', y al mismo tiempo el vértice del cuadrado OPMq, los triángulos rectángulos semejantes qMS', PSM darán

\[
\frac{S'M}{qM} = \frac{MS}{PS} = \frac{MS}{\sqrt{MS^2 - MP^2}}
\] (1)

pero \( S'M = OA = a, SM = OB = b, PM = qM = OP, \)

\[
\frac{a}{x_1} = \frac{b}{\sqrt{a^2 - x_1^2}} \quad \delta \quad x_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = ab
\] (2)

(*) Este interesante problema ha sido ya resuelto elegantemente por el Sr. Herculano Rodrígues Galhardo, antiguo y distinguido alumno de la Escuela politécnica, pero bajo otro punto de vista (Revista de Estudas Científicas, Junio de 1839).
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 42

En el triángulo rectángulo AOB bajemos desde el vértice O sobre la hipotenusa AB la perpendicular \( O_{\mu_0} \), y se tendrá la relación

\[
O_{\mu_0} \cdot AB = OA \cdot OB
\]

ó

\[
O_{\mu_0} \cdot \sqrt{a^2 + b^1} = a \cdot b
\] (3)

que comparada con la relación (2) da

\[
O_{\mu_0} = OP = x_1 = y_1
\]

Esto sentado, tracemos las tangentes \( A_0A \) y \( A_0B \) en los vértices A y B de la elipse (O) que determinan el rectángulo OAA'_0B, y se tendrá

\[
OA'_0 = OT = OT' = AB = \sqrt{a^2 + b^1}
\] (4)

puesto que el lugar de los vértices de los rectángulos circunscriptos á una elipse es un círculo cuyo radio es igual á la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos los semi-ejes de esta elipse y concéntrico con ésta (*).

Luego, describiendo sobre OT como diámetro un círculo OM"TM", cortará al lado MM_1 del cuadrado inscripto en un punto \( m'_0 \) tal que se tenga \( Tm'_0 = a \) y \( Om'_0 = b \); y el punto de intersección \( m' \) de este mismo círculo con la prolongación de este lado dará también \( Om' = a \) y \( Tm' = b \).

SEGUNDA SOLUCIÓN

Consideremos el primero y segundo círculo principal (Am'M'A_0...) y (B_0m'm'B...) de la elipse (O) y á ésta como engendrada por el punto de intersección M de las rectas \( m'_0M \), M'M, respectivamente paralelas al mayor y menor eje y trazadas por los puntos \( m'_0 \), M', en que una recta OM que gira alrededor del punto O, corta á estos dos círculos principales.

Ahora, estos dos círculos, cortando á MP y mq en los puntos \( m'_0 \) y M' con respecto á OM, se tendrá la recta Om' simétrica de OM'; y las rectas \( m_0m \), \( m'm \) trazadas por los puntos de intersección \( m_0, m' \) de aquella recta con estos círculos, se cortarán en el punto m que será evidentemente el punto de contacto de la elipse (O) con el lado TT' de su cuadrado circunscripto.

Según esto, las rectas Om' y S_0M, iguales á a serán también iso-clínicas con relación á los ejes, y se tendrá

\[
Om_0 = S_0m = b
\]

(*) Este teorema se demuestra también elementalmente.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 43

Entonces, cuando los extremos S₀, S'₀ del segmento S₀S'₀ resbalan sobre los ejes OA y OB, el punto m describirá la elipse (O), y el punto M describirá otra elipse (o) que tendrá por ejes mayor y menor las magnitudes 2OA₀ = 2a y 2OB₀ = 2b. Cuando este segmento quede reducido á confundirse con el segmento SS', el punto M coincidirá con M₀, punto de contacto de esta nueva elipse con la recta TT' y simétrico del punto m con respecto á OM.

De esto resulta que los puntos M₀, M, m' pertenecen á una hipérbola equilátera que tiene por eje transverso y no transverso los segmentos MM₂ y M₁M₃ y por asíntotas la dirección de los ejes de la elipse (O) ú (o).

Así, siendo q₀m y pm las coordenadas del punto m, se tendrá

\[
\overline{MT'}^2 - mq_0.m_p = pO.pT \tag{5}
\]

de donde resulta que el círculo (Tm'm'₀(O)) descrito sobre OT como diámetro, cortando á M₁M en los puntos m' y m₀ dará las rectas pm' y q₀m₀ equipolentes á PM que determinarán sobre la recta TT' los puntos m y M₀ en que esta recta toca á las elipses O y (o).

El punto m puede igualmente considerarse como una solución del problema siguiente:

*Dadas tres rectas cualesquiera TT₁, T'T'₁, TT' y un punto M, trazar por este punto una transversal Mm, de modo que el segmento MS'₀ comprendido entre este mismo punto y la primera recta sea igual al segmento S₀m comprendido entre las otras dos rectas.*

Para resolver este problema, tracemos por el punto M la recta ττ'₁ paralela á la recta TT', y los triángulos semejantes S₀Mτ₁ y S₀mT' darán

\[
\frac{Mτ_1}{mT'} = \frac{MS_0}{mS_0} \quad ó \quad \frac{MO}{mT'} = \frac{a}{b} \tag{6}
\]

y los triángulos semejantes S'₀Mτ'₁ y S'₀mT' darán también

\[
\frac{mT'}{mτ'_1} = \frac{mS'_0}{MS'_0} \quad ó \quad \frac{mT'}{MO} = \frac{a}{b} \tag{7}
\]

de donde

\[
MO^2 = mT'.mT' \tag{8}
\]

Según esto, tracemos la recta τ₀τ'₀ que pase por los puntos de intersección τ₀ y τ'₀ de los dos pares de rectas T₁T', M₁M₃ y TT'₁, M₂M₃ que cortará perpendicularmente en el punto O' á la recta OM, determinando el segmento O'M' = OM; después describamos sobre TT', como diámetro, el círculo (T₁n(n₃N'₁T'₀σ'₀...)) que cortará á τ₀τ'₀ en los puntos n₁ y N'₁.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 44

El punto de intersección de \( m \) de la cuerda \( n_1m_1 \) de este círculo trazada por \( n_1 \) perpendicularmente sobre su diámetro TT' será el punto buscado.

La otra cuerda \( n_2M_0 \), paralela á ésta, y trazada por el punto N', dará el punto M_0 de la elipse (o).

Es fácil ver que, según lo que acabamos de decir, se podrán también obtener los puntos \( m \) y \( M_0 \), tomando O'O' = MM', y después describiendo un círculo con el centro en O' y con un radio igual á OM', que cortará á TT' en los puntos buscados.

Una vez determinados así los puntos \( m \) y \( M_0 \), se tendrán los segmentos SS' y S_0S'_0 tales que

\[
S'M = M_0S = S'_0m = MS_0 = a
\]
y
\[
SM = M_0S' = S'_0M = mS_0 = b
\]

DISCUSION

Habrá siempre dos soluciones, es decir, dos elipses iguales (1) y (o) con las direcciones de los ejes invertidas ó antisinariales, siempre que el cuadrado MM_1M_2M_3 sea interior al cuadrado TT'T_1T'_1.

Si los vértices del primer cuadrado se hallan sobre los lados del segundo, las dos elipses (1) y (o) se reducen á un círculo, por decirlo así, doble de centro O y de radio OM.

Esto responde al caso en que los puntos de intersección \( m'_0, m' \) es MM_1 con el círculo auxiliar (Om'_0m'T...) se confunden en un solo y mismo punto M, es decir, cuando este círculo sea tangente á MM_1.

Si se considera el círculo de centro O' y radio OM', se tendrán también las dos elipses (1) y (o) ó un círculo doble, según que aquel círculo corte en los puntos \( m \) y \( M_0 \) á la recta TT', ó le sea tangente.

En el caso en que los vértices del cuadrado MM_1M_2M_3 se hallen fuera del cuadrado TT'T_1T'_1, no habrá solución, es decir, el círculo (Om'_0m'T...) no cortará á la recta MM_1; lo mismo ocurrirá al círculo de centro O' y de radio OM' con respecto á la recta TT'.

NOTA

El problema que acabamos de resolver elementalmente puede considerarse como un caso particular del siguiente:

Dado cuatro puntos cualesquiera de una cónica y una tangente, determinar el punto de contacto.

Según esto, los puntos \( m \) y \( M_0 \) pueden obtenerse muy fácilmente por medio de la teoría de la involución.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 45

En efecto, prolonguemos los pares de lados opuestos MM₁, M₂M₃, M₃M, M₂M₁ del cuadrilátero MM₁M₂M₃ que en nuestro caso se convierte en un cuadrado, y sean t₀', t; t₀, t' respectivamente los dos pares de intersecciones de estos lados con la tangente TT' (lado del cuadrado dado circunscripto á la cónica buscada).

Así el punto de contacto que se pide m de la elipse (O) será uno de los puntos dobles de la involución determinada por estos dos pares de puntos conjugados, que tendrá por punto central el punto M''.

El segundo punto doble M₀ corresponderá á la otra elipse (o).

En el caso de la figura, los círculos auxiliares (C) (C') descritos sobre los segmentos t₀t', t₀'t' como diámetros se cortarán realmente según la cuerda eM''e' = mM''M₀.

Cuando el punto M se halle en la recta TT', los dos círculos auxiliares se tocarán en este punto que representará dos puntos dobles ó de contacto coincidentes; y entonces las dos elipses (O) y (o) se convertirán en un círculo doble de centro O y radio OM, como se ha visto ya.

Si la cuerda común de los círculos auxiliares se convierte en ideal, los puntos dobles ó de contacto serán imaginarios y sucederá lo mismo á las elipses buscadas.

Consideremos las rectas Om₀m's' y Om'_0M's, que cortan respectivamente al círculo (σ₀σ'σ,...) de centro O y de radio igual á a+b en los pares de puntos σ₁, σ'₁; σ, σ'; así como las perpendiculares ON₁ y On₁ á estas dos rectas y que cortan respectivamente al círculo (N₁n₁...) de centro O y de radio igual á a--b en los pares de puntos N₁, N'₁; n₁, n'₁.

Las rectas N₁nz, n₁ms' y sm₁ serán las normales en los puntos M, m y m₂ de la elipse (O); y los triángulos OMσ, om() serán simétricamente iguales, así como los triángulos OMN₁, n₁m(1).

Ahora vamos también á determinar elementalmente en función de los semi-ejes a y b de la elipse (1!) las coordenadas de puntos cualesquiera de la figura, así como la magnitud é inclinación de ciertas rectas que juzgamos dignas de considerar.

Siendo las coordenadas del punto M

\[
OP - PM = x_1 - y_1 = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]

(9)

se tiene

\[
OM = \sqrt{2} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]

(10)
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 46

y los triángulos rectángulos \(Opm'\) y \(pmS_0\) dan, para las coordenadas del punto \(m\)

\[
Op = x_2 = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{11}
\]
y
\[
pm = y_2 = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{12}
\]

do donde
\[
Om = Ma = \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{13}
\]
y
\[
\tg mOA = \frac{b^2}{a^2} \tag{14}
\]

Los triángulos semejantes \(NMe_0, M:m'_0\) dan
\[
NM = \frac{e_0M}{m'_0\sigma} \cdot M^2 \quad \text{o} \quad NM = \frac{b}{a} \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{15}
\]
y en virtud de la relación
\[
\overline{Omm'} = N'M \cdot XM
\]
se tiene
\[
N'M = \frac{a}{b} \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{16}
\]
y por consiguiente
\[
NN' = \frac{a^2 - b^2}{ab} \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} = \frac{c^2}{ab} \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{17}
\]

Para determinar los segmentos ON, ON', se puede recurrir á los triángulos semejantes \(qMN'\), \(ONN'\), \(PMN\) que dan
\[
ON = qM \frac{N'N}{N'M} \quad \text{o} \quad ON = \frac{b}{a} \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{18}
\]
y
\[
ON' = PN \frac{NN'}{NM} \quad \text{o} \quad ON' = -\frac{a}{b} \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{19}
\]

En virtud de las relaciones precedentes, se tiene también
\[
NP = qW_1 = OP - ON = \frac{b}{a} - \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{20}
\]
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 47

y
\( qN' = \Theta P = ON' - Oq = - \frac{a}{b} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) (21)

Igualmente
\( O\Theta' = Oq + q\Theta' = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \) (22)

y
\( O\Theta = OP + P\Theta = \frac{a}{b} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \) (23)

Siendo el ángulo PMN igual al ángulo \( p(m_3 \delta m(\nu)) \), se tiene para la normal MNN'

\[
\tg MNA = \frac{a^2}{b^2}
\] (24)

Para obtener las coordenadas de los puntos \( \sigma \) y \( \sigma' \) ó de los centros instantáneos de rotación de los segmentos SS' y S_0S'_0, consideremos los dos pares de triángulos rectángulos semejantes OSS' y QMS' et OS_0S'_0, PS_0M, que darán para el punto \( \sigma \)

\[
OS - S'\sigma = x_3 = b \cdot \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (25)

y
\[
OS' = S\sigma = y_3 = a = - \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (26)

y para el punto \( \sigma' \).

\[
OS_0 = S'_0\sigma' - r_4 = y_3 \quad y \quad OS'_0 = S_0\sigma = y_4 = x_3
\]

Las coordenadas de los puntos N_1 y n_1, centros instantáneos de rotación de los segmentos s_0s'_0 ss' pueden obtenerse por la comparación de los dos pares de triángulos rectángulos semejantes (s_0s'_0, qMs'_0 y Oss', q'Ms'_0 que dan para el punto N_1

\[
OS_0 = s'_0N_1 = x_5 = b - \frac{a-b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (27)

y
\[
OS'_0 = s_0N_1 = y_5 = -a - \frac{a-b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (28)

y pasa el punto n_1,

\[
Os = s'n_1 = x_6 = y_5 \quad y \quad Os' = sn_1 = y_6 = -x_5
\]

Los triángulos semejantes umS_0, OMS_0 dan
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 48

\[
nm = \frac{a}{b} \cdot OM \quad \text{o} \quad nm \sqrt{2} \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (29)

y se tendrá igualmente

\[
n'm' = \frac{OM^2}{nm} = \sqrt{2} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (30)

y por consiguiente

\[
n'n = \sqrt{2} \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (31)

El triángulo rectángulo \( Onn' \) siendo isósceles, da

\[
On = -\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \tag{32}
\]
\[
On' = -\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \tag{33}
\]

Para la perpendicular \( Ov \) bajada desde \( O \) sobre la normal \( mm' \) se tendrá

\[
Ov = \frac{nu'}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
\] (34)

Se obtendrá también

\[
np = pT = pm = y_1 \quad \text{y} \quad q_{0u'} = T'q_v = PO = -x_1
\]

Según las relaciones ya obtenidas, se tendrá

\[
\tg OSS' = \tg SO_7 = \tg N_1O_{s_0} = \tg Os_{s'_0} = \frac{a}{b}
\]
\[
\tg OS_{0S'_0} = \tg S_0O_7 = \tg n_1Os = \tg Os_{0s'_0} = \frac{a}{b}
\] (35)

Luego las rectas AB, TH', S_0S'_0, TH serán paralelas entre sí.

Es fácil ver que los ángulos SMm_3, m_1m_3, S_0M_3S'_0, N_1(0)' son rectos.

Los puntos \( x \) y \( N_1 \) son dos de los ocho puntos desde los que se pueden trazar á la elipse (O) dos normales \( xM \), \( cm_3 \), y \( N_1M \), \( N_1m \) que pasan por un vértice M de su cuadrado inscripto y por dos puntos de contacto \( m_3 \) y \( m \) de dos lados opuestos de su cuadrado circunscripto.

La tangente \( OM \) á esta elipse corta á los lados opuestos TT', T_1T'_1 en los puntos \( x \) y \( \pi_1 \), por los cuales pasan las rectas \( Ox' \) y \( On \), respectivamente perpendiculares á las rectas \( ON_1 \) y \( Ov \), como la figura muestra facilmente.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 49

Considerando el trapecio isósceles OMmN₁, se tiene

\[
MN_1 = Om = \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}}
\]

y

\[
nN_1 = \sqrt{2} \frac{a^2 - ab + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{36}
\]

Análogamente el trapecio isósceles OM²m₂ da

\[
m_2^o = \sqrt{2} \frac{a^2 + ab + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{37}
\]

Los triángulos rectángulos iguales N₁Oσ y n'₁Oσ dan

\[
N_1σ = n'_1σ = \sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2}
\]

de donde

\[
n'_1σ = N_1σ' = T'_1T
\]

Según esto, resulta

\[
mN_1 = T'_1T - OM
\]
y
\[
m_2^o = T'_1T + MO
\]

lo que da también los valores (36) y (37).

Así, los segmentos N₁m, em₃ de las normales á la elipse (O) traza los desde N₁ y a son respectivamente iguales al lado del cuadrado circunscrito menos ó más la semi-diagonal del cuadrado inscripto.

Representando por r el punto de intersección del diámetro m₁, Om₃ con la normal MN en los extremos M de su diámetro conjugado MM₂, se tendrá

\[
Mr = \frac{b^2}{Mr} = ab \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{38}
\]

y

\[
Or = \frac{abc^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a^4 + b^4}} \tag{39}
\]

Las coordenadas del punto r serán

\[
x_r = \frac{a^3bc^2}{(a^4 + b^4) \sqrt{a^2 + b^2}} \quad y \quad y_r = - \frac{ab^3c^2}{(a^4 + b^4) \sqrt{a^2 + b^2}} \tag{40 y 41}
\]

Según el signo del radical, se tendrán los valores de las coordenadas de cuatro puntos tales como r₁, de donde se pueden facilmente trazar normales á la elipse (O), y cuya tangente de su inclinación con respecto al eje mayor es \( \frac{a^2}{b^2} \).
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 5

que se cambia por transformaciones fáciles de efectuar en:

\[
\operatorname{sen}^4 \varphi - \frac{3}{n} \operatorname{sen} \varphi + \frac{9}{4n^2} = 0.
\]

Sabiendo que el máximo del segmento resulta para \( \varphi = \frac{1}{3} \pi \), se concluye que el número \( n \) debe exceder al valor \( \frac{2}{3} \sqrt{3} = 1,1557 \).

Ejemplo numérico: \( n = 3 \).
La ecuación bicuadrática para \( \operatorname{sen} \varphi \) será

\[
\operatorname{sen}^4 \varphi - \operatorname{sen} \varphi + \frac{1}{4} = 0.
\]

Tiene dos raíces reales:

\[
\begin{align*}
\operatorname{sen} \varphi_1 &= 0,896\,7901, \quad \varphi_1 = 63^\circ 44' 21'',\ 46 \\
\operatorname{sen} \varphi_2 &= 0,254\,1737, \quad \varphi_2 = 165^\circ 16' 31'',\ 33.
\end{align*}
\]

\( \varphi_1 \) se determina por la ecuación \( \operatorname{sen} \varphi (1 + \cos \varphi) = \frac{1}{2} \) como un ángulo obtuso, es preciso, pues, desecharlo.

Análogamente resulta para \( n = 4 \) una sola solución \( \varphi_1 = 10^\circ 54', 4 \), \( \operatorname{sen} \varphi_1 = 7,189209 \); la otra raíz \( \operatorname{sen} \varphi_2 = 0,834685 \) conduce al ángulo obtuso \( 123^\circ 24', 97 \).

El caso de las secciones hiperbólicas que queda por tratar no ofrece dificultades. No insistiremos en tratar la cuestión en toda su generalidad; pero sometemos al lector dos cuestiones sobre las secciones hiperbólicas cuyos planos son paralelos al eje del cono (fig. 3).

Cuestión VI. Hallar un plano paralelo al eje del cono que corta al cono según un segmento hiperbólico cuya área sea la \( n \)ª parte de la sección triangular que pasa por el eje.

Sean \( r \) el radio de la base, \( CD = 2s \), el áng. CMD = 2\( \varphi \), áng. SAB = SBA = \( x \), \( 2a \) = eje real de la hipérbola, \( 2b \) = eje imaginario de la hipérbola. Se obtiene fácilmente \( b = r \cos \varphi \), \( a = r \cos \varphi \tan x \). El segmento hiperbólico se determina por la fórmula

Fig. 3
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 50

Sea \( R_0 \) el punto de intersección de la normal MN, con la diagonal M₁M₂ del cuadrado inscripto, el triángulo MO R₀ da

\[
R_0 M = \frac{OM'}{Mr} = \frac{2ab}{(a^2 + b^2)} \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{42}
\]

y

\[
OR_0 = \sqrt{\frac{ab^3}{(a^2 + b^2)}} \frac{ab^3}{\sqrt{a^2 + b^2}} \tag{43}
\]

\[
x_0 = \frac{abc^3}{(a^2 + b^2) \sqrt{a^2 + b^2}} \quad y \quad y_0 = \frac{abc^3}{(a^2 + b^2) \sqrt{a^2 + b^2}} \tag{44 y 45}
\]

Siendo el punto R el centro de curvatura relativo al punto M de la elipse (O), se tiene N'R = R₀N y por consiguiente, el punto R₀ podrá llamarse anticentro de curvatura de este punto M.

Según esta propiedad, se puede determinar el centro de curvatura correspondiente a un punto cualquiera M de la elipse O, dada la normal MN en este punto y la dirección de los ejes OT y OT', no trazando más que dos rectas auxiliares, que en este caso corresponden al semi-diametro OM, que pasa por este mismo punto M y al su semi-diametro ortogonal OM₁.(*)

Así, designando por \( \Gamma \) el radio de curvatura RM correspondiente al punto M, se tendrá

\[
\Gamma = NM + N'M - R_0 M = \frac{a^4 + b^4}{ab(a^2 + b^2)} \sqrt{\frac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} \tag{46}
\]

Supongamos que dos diámetros rectángulos OM y OM₁ de la elipse (O) giran alrededor de su centro O con un movimiento continuo, y que por consiguiente, la normal MN en el punto M se mueve, el punto R₀, vértice del triángulo OMR₀, describirá una curva de cuatro ramas que se puede llamar el QUADRIHOLIUM DE LOS ANTI—CENTROS DE CURVATURA, desde la que se trazan fácilmente normales á esta elipse.

En coordenadas rectilíneas esta curva se halla representada por la ecuación de sexto grado.

\[
(c^2 x^6 + b^2 y^6) = a^2 b^2 c^4 x^2 y^2 \tag{47}
\]
\[
c^2 x^6 + 8a^2 b^2 x^4 y^2 - a^4 b^4 x^2 y^4 + 3a^4 b^4 x^2 y^4 + b^4 y^6 = 0
\]

Las coordenadas del centro de curvatura R serán

\[
x_0 = ON - \frac{OR_0}{\sqrt{2}} = \frac{b^3 c^3}{a(a^2 + b^2) \sqrt{a^2 + b^2}} \tag{49}
\]

(*) Lo mismo sucede para la hipérbola.
Para la parábola los dos diámetros auxiliares son de otra naturaleza.
Véase la cuestión que propusimos en este Periódico, t. III p. 73 y 870.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 51

y \[ y_1 = ON' - \frac{OR_q}{\sqrt{2}} = - \frac{a^4c^8}{b(a^2+b^2) \sqrt{a^2+b^2}}; \] (50)

si se designa por \( \rho \) el centro de curvatura correspondiente al punto \( m \) de la elipse (O), y trazamos la perpendicular \( O\rho_q \) al diámetro \( Om \), cortará á la normal \( mn \) en el punto \( \rho_q \) tal que se tenga \( n'\rho_q = pn \).

Esto sentado, el triángulo rectángulo \( mO\rho_q \) da

\[
\rho_{qmn} = \frac{\overline{Om}^2}{vm} = \frac{\overline{Om}^4}{vO+nm} \sqrt{3} \frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2) \sqrt{a^2+b^2}}
\] (51)

y
\[
O_{2q} = \frac{c^8}{a^2+b^2} \sqrt{\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}}
\] (52)

de donde resulta que las coordenadas del punto serán
\[
x_{10} = \frac{pm}{Om} \cdot O\rho_q = \frac{b^4c^8}{(a^2+b^2) \sqrt{a^2+b^2}}
\] (53)
\[
y_{10} = \frac{Op}{Om} \cdot O\rho_q = - \frac{a^4c^8}{(a^2+b^2) \sqrt{a^2+b^2}}
\] (54)

Designando por \( \gamma \) el radio de curvatura \( m\rho \) en el punto \( m \), se tendrá
\[
\gamma = nm + n'm - \rho_qm = 2 \sqrt{2} \frac{a^2b^4}{(a^2+b^2) \sqrt{a^2+b^2}}
\] (55)

Siendo el ángulo \( \rho_qOmr' \) igual al ángulo \( mOA \), será también igual al ángulo \( AOp \), y por consiguiente, el centro de curvatura \( \rho \), será la intersección del diámetro \( m_1Om_n \) con la normal \( mn \) que en este caso es su cuerda conjugada, luego:

Los centros de curvatura de la elipse (O) relativos á los puntos de contacto con el cuadrado circunscrito son los puntos medios de las cuerdas normales á estos puntos de esta curva; y los radios de curvatura respectivos serán iguales á la mitad de estas cuerdas.

Las coordenadas del centro de curvatura \( \rho \) serán, pues,
\[
x_{11} = y_{10} \quad y \quad y_{11} = - x_{10}
\]

El círculo (T'mn'...) ó (q_s) descrito sobre T'n como diámetro pasa por los focos F y F' de la elipse (O).
En efecto, se tiene (4) y (38) \( OT \cdot On' = c^6 \)