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descriptiva. Y á esto podremos añadir que en las 14 facultades de ciencias de Francia se da prelación, entre las demás asignaturas, á la de Cálculo diferencial é integral que se hace proceder, á lo sumo, de un curso preparatorio, para entrar desde luego en esta que pudieramos llamar el alma de los estudios matemáticos, la llave que da acceso á todos los demás conocimientos y especialmente á las aplicaciones al estudio de la Naturaleza, cuyos procedimientos tienen tan íntima afinidad con los de las cantidades infinitesimales.

Revisando el plan de estudios de la universidad de París, aparecen desde luego los cursos de: Geometría superior, Cálculo diferencial é integral, Mecánica racional, Astronomía matemática y Mecánica celeste Cálculo de probabilidades y de Física matemática, Mecánica física y experimental á cargo respectivamente de los ilustres profesores Sres. Darboux, Goursat, Apell, Poincaré, Boussinesq y Koenig. Y con este plan conciso, exento de esas recapitulaciones frecuentes que llevan consigo asignaturas descartadas del conjunto formado por las fundamentales, se comprende el que lleguen los alumnos al campo de las aplicaciones, hoy demarcado brillantemente por los numerosos tratados que constituyen el curso de Física matemática del Sr. Poincaré.

Sería prolijo enumerar los diversos cursos que se explican en las 17 facultades de Filosofía alemanas, pues existe una variedad adecuada á la cultura de esta gran nación; pero será conveniente notar que se profundiza la materia hasta el punto de ser, por ejemplo, la integración de las ecuaciones diferenciales de la física matemática, la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales parciales, la de las funciones Abelianas, de funciones elípticas ó de sus aplicaciones, la geometría no-euclídea, la mecánica de los cuerpos deformables, la curvatura de las superficies, las aplicaciones del cálculo infinitesimal, ejercicios matemáticos sobre diversas ramas, objeto de cursos especiales.

Además de estos cursos dedicados á la parte de mayores aplicaciones, en las diversas universidades extranjeras se estudian teorías más superiores y de carácter especialmente teórico, tales como historia, pedagogía etc., que constituyen la parte filosófica, propia para formar el profesor; y en este grupo podrían tener cabida las teorías, que hoy habiendo perdido su importancia técnica, tienen más bien una importancia histórica y, antes que la base sobre que ha de ejercer su actividad un principiante, debe ser
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la cumbre que termine la educación científica, formando el profesor, el investigador, el creador que pueda importar nuevas ideas ó métodos, y realice adelantos y modificaciones útiles para el perfeccionamiento de la ciencia y la enseñanza.

Parte de la teoría de los números puede aprovecharse para elevar el estudio de la Aritmética hacia los principios secundos que radican en la teoría de las congruencias; otra parte debe tener lugar en la teoría superior de los grupos y dejarse para los cursos superiores. La importante teoría de los conjuntos también podrá relegarse para sus aplicaciones á la teoría de las funciones, el Algebra antigua hoy cede su puesto de preferencia al Algebra de las formas, de tantas aplicaciones por su asimilación con la Geometría proyectiva en su más amplio concepto, que la asimila á su vez con la teoría general de las funciones; y también debe postergarse ante las teorías de Abel y de Galois que llevan á la teoría de los grupos.

Las derivadas del Algebra pueden transportarse al cálculo diferencial é integral para descontar bagaje inútil en la enseñanza, y el cálculo integral enlazarse con el diferencial, como una operación inversa se enlaza con la directa correspondiente.

Todo esto producirá la ventaja de hacer apto al alumno, desde luego, á hacer aplicaciones á la Física y á la Química y entrar en el dominio de las aplicaciones concretas, dejando para las esferas del doctorado ó los últimos cursos de la literatura la parte metafísica ó histórica, el estudio crítico y sintético de la ciencia, para que lo subjetivo domine sobre lo fenomenal que debe precederle como el desarrollo sensible debe preceder al puramente racional.

Z. G. de G.
(Continuará).

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1898)

CONFERENCIA CUARTA

Para desarrollar tan vasta cuestión como la de Geometría no-encluida no me es posible seguir exclusivamente ni el orden cronológico ni el lógico.
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Una trascendental cuestión metafísica se enlaza con la matemática, la de la naturaleza del espacio á que tendremos que referirnos en ésta y en la siguiente conferencia sobre la geometría de \( n \) dimensiones, si bien yo trataré la cuestión principalmente desde el punto de vista matemático.

Después que Legendre llegó sin demostrar el postulado, á la única conclusión de que si en un triángulo la suma de dos ángulos es igual á dos rectos, esto se verifica para cualquier triángulo. Lobatschewsky acometió la empresa de crear una geometría independiente del postulado.

Con esta tentativa una nueva era se ofrece en la historia de la Matemática, descrita elocuentemente por Mr. Smith en el prólogo de las obras de Clifford, la distinción del aquí y el allá del ahora y el entonces, la posibilidad de la no homogeneidad del espacio, tanto en las diversas regiones como en la variación de los tiempos, la objetividad del espacio frente al subjetivismo de Kant.

Hasta entonces la Geometría, tal cual la expuso Euclides en sus Elementos, entraba de lleno en el sistema Kantiano. El espacio y el tiempo, como formas a priori de nuestra intuición sensible, hacían de la geometría un desarrollo eminentemente subjetivo; los axiomas tenían el sello del absoluto, las conclusiones un carácter apodíctico.

La Geometría era obra exclusiva de la inteligencia creadora; pero Lobatschewsky, en su nuevo sistema, conduce á pensar en algo propio del espacio independiente de nosotros, en una propiedad que se llama su curvatura. El espacio se manifiesta con sus propiedades esenciales e intrínsecas.

Removida la cuestión del postulado de las paralelas, ésta suscitó las de otros postulados.

Si la geometría de Lobatschewsky admite, como la de Euclides, una recta infinita, pero dos paralelas, la de Riemann admite una recta de longitud finita máxima; el espacio de esta geometría es ilimitado, pero no infinito. El axioma de la recta sufre una excepción: dos rectas se encuentran en un punto.

Riemann, en su célebre memoria, Ueber die Hipotesen, Welche der Geometría zu grunde liegen, abordó dos problemas: el de la Geometría no-euclídea y el de la geometría de \( n \) dimensiones, fijando sus miras en la invariabilidad de las distancias de una recta al moverse, axioma en que se funda el principio de superposición de la Geometría.

Si Riemann parte de este axioma para llegar á una fórmula
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analítica de la distancia, una función continua de lugar, \( ds = \sqrt{\sum (dx)^2} \), como el caso más simple de las variedades, Helmholtz parte de la experiencia para concluir la necesidad de la fórmula de Riemann, considerando que la posición de un punto debe determinarse con relación á puntos fijos, por medio de medidas que se llaman sus coordenadas, que el número de éstas, necesarias para determinarlo, es el de las dimensiones del espacio. Define un cuerpo sólido con relación á un sistema de puntos fijos de la manera siguiente:

Entre las coordenadas de los puntos que pertenecen á un cuerpo, tomados dos á dos, debe existir una ecuación correspondiente á la relación invariable que subsiste entre los dos puntos durante el movimiento del cuerpo y que es la misma para todos los pares de puntos congruentes, es decir, que coinciden con dos puntos fijos del espacio. Y como son 10 las ecuaciones entre 15 coordenadas, quedan 6 arbitrarias, para que el sistema de los cinco puntos pueda moverse al rededor de un eje, siendo para 6 puntos 15 las ecuaciones con 12 variables, etc; y de que las ecuaciones excedentes para el caso de \( n \) magnitudes deben derivarse de las \( n \) primeras, las ecuaciones subsistentes entre cada par de puntos de un cuerpo sólido deberán ser de tal naturaleza, que al quedar satisfechas en el espacio de tres dimensiones para nueve de los pares formados por cada cinco puntos, la ecuación del décimo par también quedará satisfecha.

(Continuar.)

BIBLIOGRAFÍA

TRATADO DE GEOMETRÍA DE LA POSICIÓN Y SUS APLICACIONES A LA GEOMETRÍA DE LA MEDIDA por Eduardo Torroja catedrático de la Facultad de Ciencias de Madrid é individuo de la Real Academia de Ciencias.

Propagandista entusiasta de la geometría pura ó sintética, el Sr. Torroja que importó desde hace unos veinte años esta ciencia entre nosotros y aun publicó una primera edición litografiada en 1884 acerca de la misma, hoy nuevamente da á conocer sus profundos conocimientos en la geometría de Staudt publicando un magistral tratado en el que, no solo presenta esta rama de la Matemática según su lógico desarrollo, sino que además se propone hacer ver cómo, invirtiéndose el orden seguido en la enseñanza y,
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El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. Zoel G. de Galdeano

MÉTRICA ANINVOLUTIVA
por M. G. Fontené

1. Me propongo hacer actualmente un resumen de las ideas que desarrolle en 1892 en la obra titulada: L'Hyperespace, propriétés métriques d'une corrélation générale. Una exposición breve se ha publicado en el Bulletin de la Société mathématique de France, 1898, para el caso del espacio de tres dimensiones, ó mejor aun, para la geometría plana; en la Nota actual me limitaré á lo esencial, suprimiendo las demostraciones.

Si se trata simplemente de la geometría plana, los elementos métricos que se consideran son relativos, como se verá, á las dos cónicas dobles F y \( \gamma \) de una correlación general. En el caso particular de ser esta correlación una correspondencia por polares recíprocas, las dos cónicas se confunden en una sola F que es la cónica directriz, y se reproducen los elementos estudiados por Cayley y por el Sr. Klein; la métrica actual es á la que se acaba de citar, lo que la homografía á la involución.

Si la cónica directriz F es la cónica del infinito de un plano no euclídeo, los elementos considerados son segmentos y ángulos; y se tiene la métrica de Lobatschefsky ó la de Riemann; la métrica euclidiana corresponde al caso en que la cónica directriz degenera en un sistema de dos puntos, que son los puntos circulares del infinito del plano. Los cálculos pueden considerarse, por otra parte, referidos á las rectas y á los planos trazados por un punto \( \Omega \), en vez de referirse á puntos y á rectas de un plano \( \omega \); se tienen entonces dos conos F y \( \gamma \), que pueden confundirse en uno solo, y si
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por efecto de esa reciprocidad que existe especialmente en las verdades geométricas, se pueden deducir de la geometría proyectiva muchas verdades de carácter elemental, aunque éstas tengan su natural dependencia de principios y de procedimientos más simples.

Con objeto de dar unidad á los razonamientos, después de definir las figuras de las tres categorías, y al tratar del paralelismo de rectas y de planos, introduce desde luego el concepto de los elementos en el infinito y la ley de dualidad, empezando á familiarizar al lector con las cuestiones correlativas.

Después de tratar de la perpendicularidad y de ángulos y simetría en el plano y en el espacio, abandonando la distinción de la geometría plana y en el espacio, conforme al espíritu del método de Staudt, expone en el capítulo IV los principios fundamentales acerca de las series y haces perspectivos, á que siguen en el capítulo V generalidades sobre polígonos y poliedros, definiendo en el capítulo VI las figuras perspectivas ú homológicas, generalizando estos conceptos en el cap. VII al tratar de los multivértices, multiláteros y poliedros completos.

El capítulo IX que tiene por objeto las formas harmónicas, es el fundamental pues, como se sabe, envuelve el procedimiento característico del método de Staudt, y permite con su aplicación, como dice el Sr. Torroja en el capítulo X, series rectilíneas y haces proyectivos, tratar de las figuras independientes de la posición en que se hallen colocadas.

Citaremos el orden de las materias expuestas para que el lector forme idea del plan de la obra:

Capítulo XI Curvas, conos y haces de segundo orden, en el que se exponen los procedimientos de construcción de estas figuras. Cap. XII Circunferencia. Cap. XIII Relación proyectiva entre figuras de segundo orden. Cap. XIV Figuras homográficas y correlativas, que pueden llamarse proyectivas, porque en unas y otras á toda figura armónica corresponde como homóloga otra también armónica; y para demostrar la posibilidad de relacionar proyectivamente dos figuras planas, radiadas ó en el espacio, trata el señor Torroja de reducir la cuestión á la correspondiente de las series ó haces proyectivos de primer orden, siendo dignas de especial mención la recta homóloga de la del infinito ó recta límite como análogamente el plano límite. Termina este capítulo con el estudio de las figuras afines, que contienen elementos en el infinito homólogos entre sí, el caso especial de las figuras semejantes.
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La homología y la homotecia son estudiadas en el capítulo XV como caso particular de la homografía y en el capítulo siguiente, cuyo objeto es las figuras correlativas, hay que notar la definición de cuerpo geométrico como porción del espacio separada del resto por una superficie, á condición de que fuera de ella puedan imaginarse planos, siendo el cuerpo finito, cuando entre estos planos exteriores está el del infinito. Y esto conduce á considerar las ocho posiciones que un plano puede ocupar respecto á un tetraedro y á la división de todos los planos ó puntos del espacio, que no pasan por un punto ó no se hallan en un plano, en ocho sistemas ya encerrados ó excluídos en otros tantos tetraedros que tienen comunes sus vértices A, B, C, D y los planos de sus caras.

En el capítulo XVII, series y haces en involución se trata de la involución en el cuadrilátero, se deducen varias propiedades métricas respecto al triángulo y se exponen las propiedades del polo y la polar respecto á una curva de segundo orden, de las rectas y planos polares en los haces alabeados en involución.

Los elementos imaginarios, constituyen el asunto del importan- tísimo capítulo XIX, donde se establecen todas las relaciones existentes entre los casos de combinaciones de elementos reales e imaginarios, llevando la consideración de los elementos imaginarios á generalizar el concepto de la relación proyectiva entre las figuras elementales, de manera que el estudio de esta relación puede reducirse al de los haces de planos cuyas bases sean rectas imaginarias de segunda especie, ó sea las que no tienen ningún punto real, no pasando por ellas ningún plano real; y en dos figuras elementales proyectivas, á toda cadena de una corresponde una cadena en la otra, constituyendo dos figuras proyectivas los elementos reales representantes de estas dos cadenas.

Así como las figuras proyectivas de primera categoría dan origen á las curvas y superficies cónicas y alabeadas de segundo orden, las figuras correlativas de segunda categoría dan lugar á otras superficies de segundo orden, siendo pues, O y O₁, los vértices de dos radiaciones correlativas, á la recta OO₁, corresponde en cada radiación un plano, y las superficies de segundo orden engendradas por dichas radiaciones se clasifican según los cuatro casos de no contener el haz de rectas Oω (del plano ω perteneciente á la radiación O) ningún rayo sobre su plano correspondiente (en el haz de planos de arista OO₁), ó que tenga dos rayos sobre un plano homólogo, ó uno sólo, ó todos.
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Esto como también la polaridad respecto de una superficie de segundo orden y la superficie esférica son objeto del capítulo XX.

En el capítulo XXI, polaridad respecto de un triángulo, triedro ó tetraedro, tienen cabida multitud de propiedades métricas tales como las que se refieren al baricentro, planos bisectores, medianas, á las figuras inversas respecto de un triángulo, triedro ó tetraedro, que conducen á tratar de los elementos inversos isogonales, siendo isotómicos los elementos inversos de las involuciones simétricas; y encuentra ocasión oportuna el Sr. Torroja de ocuparse de las simeadianas, del punto simediano ó de Lemoine, de los puntos normales del plano de un triángulo, de la recta de Simson, penetrando en los dominios de la geometría reciente ó del triángulo, hasta llegar á ocuparse de los círculos de Tucker y del primero y segundo círculo de Lemoine.

Como relaciones métricas en las figuras proyectivas y en la involución reúne el Sr. Torroja en el capítulo XXII multitud de proposiciones pertenecientes á la geometría elemental. Demuestra pues, de una manera general, la proporcionalidad de los elementos de dos series semejantes, para deducir de una vez dichas propiedades elementales, que conducen á la homotecia y á las relaciones simétricas, empleando las operaciones con las figuras simples, y llega hasta las relaciones fundamentales de la Trigonometría, definiendo el seno como una razón de distancias.

En los dos capítulos siguientes continúa la exposición de la Geometría elemental hasta los polígonos regulares, en el XXIII, trata de las áreas y los volúmenes máximos y mínimos, concluyendo dicha exposición en el capítulo XXV con las superficies poliédricas y poliedros hasta los de especie superior.

La teoría á las figuras polares planas y radiadas, expuesta en el capítulo XXVI, sirve de fundamento á la de los diámetros y centro de las curvas de segundo orden, á la de planos diametales, diámetros y conos de segundo orden, y especialmente á la teoría de los focos y directrices de las curvas de segundo orden, definidos aquéllos como vértices de haces rectangulares de rectas conjugadas respecto de la curva.

Los últimos capítulos de la obra son: Rectas focales y planos cíclicos en los conos de segundo orden, lo que termina con el estudio de la cónica esférica, homología de dos curvas ó conos de segundo orden, donde se trata de los contactos de diversos órdenes de dos curvas ó dos conos, elementos conjugados comunes á dos curvas
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6 á dos conos de segundo orden, estableciendo el Sr. Torroja el carácter proyectivo de las propiedades relativas á los focos, planos cíclicos y rectas focales.

El cap. XXXV trata de sistemas de líneas y de conos de segundo orden y de segunda clase, comprendiendo las redes y complejos de líneas de segunda clase.

El cap. XXXVI tiene por objeto las figuras inversas respecto de una curva ó de un cono de segundo orden.

La enumeración de las materias contenidas en la magistral obra del Sr. Torroja y la distribución de las mismas, revelan su importancia. Debe notarse la preeminencia que ha querido dar á la geometría proyectiva sobre la métrica, hasta el punto de llegar á deducir las propiedades más elementales de las propiedades proyectivas. Y ciertamente que, por efecto de la reciprocidad de los encadenamientos de las verdades geométricas puede realizarse su inversión; siendo de notar que, en la proyectiva del sistema euclídeo, la admisión del único punto en el infinito de una recta equivale á la del postulado euclídeo, sustituyéndose además un principio de pura razón, que comprende los conceptos de infinito e imaginario, á la intuición que simplifica el método de superposición; y por la adjunción de este nuevo elemento se concibe que como, dice Cayley en su Sixt Memoir upon Quantics, la Geometría métrica es una parte de la Geometría descriptiva; y el Sr. Klein, al hacer notar esa correspondencia no admitida en la época de Poncelet, reconoce ser la proyectiva una generalización de la determinación métrica ordinaria, llegando á establecer las determinaciones métricas proyectivas correspondientes, respectivamente, á las geometrías elíptica, hiperbólica ó parabólica según que la superficie fundamental que sirve de base es una superficie imaginaria, real no reglada, ó degenerada en una curva imaginaria.

Z. G. de G.

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 39 (Véase t. I pág. 204)

Se da un círculo O de radio a, un diámetro AOB y la perpendicular OD á OA. Se une un punto C de la circunferencia á los puntos A, B, desde el punto C, con OB por radio, se describe un arco de círculo que
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encuentra á OD en dos puntos D, D'. Se unen BD BD' que encuentran á AC en M y M'. Hallar el lugar de los puntos M y M'.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Tomemos por origen el punto A, por eje de las x el diámetro AOB, y por eje de las y la tangente en A del círculo O.

Teniendo el punto C de la circunferencia por coordenadas \( \alpha, \beta \), el punto M estará en la recta ACM cuya ecuación es

\[
y = \frac{\beta}{\alpha} x.
\]

Además, la ecuación de la circunferencia que tiene por centro O y CB por radio es

\[
(x - a)^2 + (y - \beta)^2 = (2a - x)^2 + \beta^2
\]

y encuentra á la recta DOD' (\( x = a \)) en dos puntos D y D' cuyas ordenadas son

\[
y = \beta \pm \sqrt{3a^2 + \beta^2 - 2a\alpha} = \beta \pm \sqrt{3a^2 - \alpha^2}
\]

La recta BD tiene por ecuación

\[
\frac{x}{2a} + \frac{y}{2\beta + 2\sqrt{3a^2 - a^2}} = 1
\]

La ecuación del lugar (M) es pues

\[
\frac{x}{2a} + \frac{\rho^3 y}{2a(2xy \pm \sqrt{3\rho^4 - 4x^4})} = 1
\]

o

\[
(3\rho^4 - 4x^4)(2a - x)^2 - y^4[\rho^2 - 4ax + 2x^2]^2 = 0,
\]

expresando \( \rho^4 \), por brevedad, \( x^4 + y^4 \).

La ecuación del lugar M es, por consiguiente,

\[
(3y^4 + 6x^2y^2 - x^4)(2a - x)^2 - y^4(3x^4 + y^4 - 4ax)^2 = 0,
\]

y bajo esta forma, parece que la curva es de sexto grado.
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Una breve discusión da á conocer las propiedades siguientes:
1.º La curva pasa por el origen, puesto que la ecuación se verifica para \( x = 0, \ y = 0 \).
2.º También los valores \( x = 2a, \ y = 0 \) verifican dicha ecuación; pero no es exacto decir que la curva encuentra al eje AOX en este otro punto B (\( x = 2a \)), porque si se hace \( x = \frac{3}{2}a \), se obtiene

\[
64y^6 + 48a^3y^4 - 180a^4y^2 + 81a^6 = 0
\]
\[
(4y^2 - 3a^2)^2 (4y^4 + 9a^4) = 0
\]

lo que hace ver que la recta \( x = \frac{3}{2}a \) es tangente á la curva.

El punto B (\( x = 2a, \ y = 0 \)) es, por consiguiente, un punto aislado.
Veremos enseguida el papel importante que desempeña en la curva (M).

Busquemos los valores de y correspondientes á algunos valores particulares de x.
Para \( x = a \), se obtiene

\[
y^6 - 5a^3y^4 - 5a^4y^2 + a^6 = 0
\]
\[
(y^2 + a^2)(y^4 - a^4y^2 + a^4) = 0
\]

de donde
\[
y = a(1 \pm \sqrt{2}).
\]

Para \( x = -a \), se obtendría

\[
y^6 - 13a^3y^4 - 5a^4y^2 + 9a^6 = 0
\]
\[
(y^2 + a^2)(y^4 - 14a^2y^2 + 9a^4) = 0
\]

de donde
\[
y = a\sqrt{7 \pm 2\sqrt{10}}.
\]

Para \( x = -\frac{3}{2}a \), se tendría igualmente

\[
64y^6 - 720a^3y^4 - 180a^4y^2 + 8969a^6 = 0
\]
\[
(4y^3 + 9a^3)(16y^4 - 916a^4y^2 + 441a^6) = 0
\]