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El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 33

RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN
DE LAS SECCIONES PRODUCIDAS EN UNA SUPERFICIE POR PLANOS QUE PASAN POR UNO DE SUS PUNTOS DEL INFINITO
POR
D. EDUARDO TORROJA
Catedrático de la Universidad Central.

1. Lema. Cinco puntos A, B, C, D y E (fig. 1.a) y dos planos \( \alpha = ALM \) y \( \beta = BLM \) que pasan respectivamente por dos de ellos A y B determinan una superficie de segundo orden \( \Sigma \) que pasa por dichos puntos y es tangente á estos planos.

En efecto, en el plano ABC hay una curva de segundo orden \( \lambda \) que pasa por los tres puntos A, B y C y es tangente en los dos primeros, á las intersecciones respectivas AM y BM de su plano con los \( \alpha \) y \( \beta \). Si designamos por N el punto en que la recta DE corta al plano ABC, por n la polar de dicho punto respecto de la curva \( \lambda \) y por K el punto harmónicamente separado del mismo punto N por los D y E, la superficie que cumple las condiciones pedidas en el teorema debe pasar por la curva \( \lambda \) y tener como planos polares de los puntos A, B y N los planos respectivos \( \alpha \), \( \beta \) y \( nK \); y, por tanto, como polo de su plano ABC el punto L de intersección de aquellos tres planos. La superficie de segundo orden pedida \( \Sigma \) será, pues, la inscripta en la super-
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ficie cónica \( \Lambda \) á lo largo de la curva \( \lambda \) y que además pase por el punto D, y podrá considerarse engendrada por curvas cuyos planos pasen por la recta LD, cada una de las cuales queda determinada por el punto D, los dos en que su plano corta á la curva \( \lambda \) y las tangentes en éstos que pasan por el punto L; y claro está que todas estas curvas pasan por el punto D' harmónicamente separado del D por el L y el S de intersección de la recta LD con el plano ABC de la curva de contacto \( \lambda \).

2. Teorema. Existen, por lo general, infinitas superficies de segundo orden \( \Sigma \) que tienen con una superfcie cualquiera \( \Phi \), en uno de sus puntos ordinarios A (fig. 2.a), un contacto de segundo orden. Para determinar una de ellas, puede fijarse arbitrariamente uno de sus puntos B y el plano \( \beta \) tangente á la misma en dicho punto; á condición de que este punto B esté fuera del plano \( \alpha \) tangente en A á la superficie \( \Phi \) y que el plano \( \beta \) no pase por el punto A.

Fig. 2.a

La demostración analítica de este teorema suele darse limitada al caso de estar el punto B en la normal á la superficie \( \Phi \) en el punto A y ser el plano \( \beta \) paralelo al \( \alpha \); es decir, á aquél en que el punto A es vértice de la superficie \( \Sigma \): y para ello se refiere la superficie á un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Demostrado en esta forma, no tiene el carácter proyectivo ni es, por lo tanto, aplicable á los puntos del infinito de la superficie \( \Phi \); pero, para que lo sea, basta modificar la demostración aplicándola á un sistema de coordenadas proyectivas. Apoyándonos en el lema anterior podemos también dar de él la siguiente demostración de carácter proyectivo que entra en el dominio de la Geometría pura.

Sean \( \lambda, \mu \) y \( \nu \) las secciones producidas en la superficie \( \Phi \) por tres planos \( \lambda, \mu \) y \( \nu \) que pasan por la recta AB y \( \pi \) la sección producida en la misma por otro plano cualquiera \( \pi \) que pase por el punto A. Supongamos que éste se mueve viéndolo á ocupar otra posición \( \pi' \) que corta á las tres curvas \( \lambda, \mu \) y \( \nu \) en tres puntos distintos L, M y N; sea \( \pi'' \) la sección que este plano \( \pi' \) produce en la superficie \( \Phi \), y \( \Sigma' \) la superficie de segundo orden que pasa por los puntos A, B, L, M y N y toca en los dos primeros á los planos \( \alpha \) y \( \beta \).

Cuando el plano \( \pi' \) vuelva á su primera posición \( \pi \), la superficie \( \Sigma' \) se transformará en otra \( \Sigma \) de segundo orden que es cortada por los planos \( \lambda, \mu \) y \( \nu \) según curvas que tienen con las \( \lambda, \mu \) y \( \nu \) un contacto
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de segundo orden, como límites de otras que tienen con cada una ellas dos puntos comunes y la tangente en uno de ellos A; y por el plano \( \pi \) según otra que tiene con la curva \( \pi \) un contacto del mismo orden, como límite de una curva que corta á la \( \pi' \) en los tres puntos L, M y N que tienden á confundirse en uno con el punto A.

Para demostrar que, cualquiera que sea la posición del plano \( \pi \), la superficie \( \Sigma \) que se obtenga será la misma, basta observar que la \( \Sigma_1 \), que corresponde á otra posición \( \pi_1 \) de este plano, tendrá comunes con la \( \Sigma \) las secciones, que en ellas producen los planos \( \lambda, \mu \) y \( \nu \), puesto que las producidas por uno cualquiera de ellos (el \( \lambda \), por ejemplo) en las dos superficies \( \Sigma \) y \( \Sigma_1 \), tienen comunes los puntos A y B, las tangentes en ellos y además en el primero tienen un contacto de segundo orden, por tanto, se confunden en una. Un punto cualquiera C de la superficie \( \Sigma \) pertenece también la \( \Sigma_1 \), puesto que podemos imaginar trazado por él un plano \( \gamma \) que corte á aquellas curvas comunes en seis puntos distintos y que, por tanto, determina en las dos superficies \( \Sigma \) y \( \Sigma_1 \), una misma curva que pasa por el punto C: luego estas dos superficies se confunden en una misma \( \Sigma \) y todo plano que pasa por el punto A determina en ella y en la \( \Phi \) secciones que tienen en él un contacto de segundo orden.

3. Como el plano \( \alpha \) tangente en A determina en la superficie \( \Sigma \) dos rectas, cuando es alabeada, y según la demostración anterior, esta sección debe tener, por lo menos, tres puntos coincidentes comunes con la \( \alpha \Phi \), que el mismo plano \( \alpha \) produce en la superficie \( \Phi \), esta sección debe tener en A un punto doble y las dos ramas que pasan por él son tangentes á aquellas rectas, sin que deban tener con ellas un contacto de orden superior al primero, pues de los tres puntos coincidentes que una de ellas tiene comunes con la curva \( \alpha \Phi \), dos pertenecen á la rama de curva tangente á ella y el tercero á la otra.

Escotio. La demostración anterior se funda en que dos curvas que se deforman de manera que tres puntos distintos comunes á ellas tienden á confundirse en uno sólo, tienen en la posición límite un contacto de segundo orden en el punto común en que se han reunido aquellos tres. Esta proposición, análoga á la que sirve de base á la definición de la tangente, dista mucho de ser evidente, ni es susceptible de una demostración general aplicable á todas las curvas; de manera que sólo á las superficies cuyas secciones planas, comparadas con una curva de segundo orden, cumplan aquella condición será aplicable el teorema en cuestión, y sólo á ellas nos referiremos en cuanto sigue.
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4. Teorema. Una superficie de segundo orden \( \Sigma_1 \) tangente á una superficie \( \Phi \) en un punto A y que tenga en este punto un contacto de segundo orden con una sección plana \( \lambda \) de esta superficie tendrá el mismo orden de contacto con todas las demás secciones planas de dicha superficie \( \Phi \) cuyos planos pasen por la tangente \( l \) (no se ha trazado en la figura 2.a) á la curva \( \lambda \) en el punto A.

Sea, en efecto, \( \lambda_1 \) la sección producida en la superficie \( \Sigma_1 \) por el plano \( \lambda \), B uno de sus puntos distinto del A, \( \beta \) el plano tangente á \( \Phi \) en el punto B y \( \Sigma \) la superficie de segundo orden osculatriz de la propuesta en el punto A y que sea tangente en el punto B al plano \( \beta \). El plano \( \lambda \) corta á las dos superficies \( \Sigma \) y \( \Sigma_1 \) según la misma curva \( \lambda_1 \); por tanto, dichas superficies son tangentes á lo largo de esta curva ó se cortan además según otra de segundo orden cuyo plano pasa por la recta AB que une sus puntos de contacto, y, en uno y otro caso, todo plano secante trazado por \( l \) determina en ellas dos curvas de segundo orden que tienen entre sí en el punto A un contacto de segundo orden, por lo menos; y como las secciones producidas por dicho plano en la superficie \( \Phi \) y en la \( \Sigma \) tienen un contacto de segundo orden (\$ 2), queda con esto demostrado lo expresado en el enunciado del teorema.

5. Para el estudio de los puntos del infinito de las superficies distinguiremos dos casos, según que el plano tangente \( \mu \) correspondiente á un punto del infinito \( M \) de la superficie sea uno propiamente tal ó sea el del infinito. En el primer caso, todas las tangentes correspondientes á dicho punto son asíntotas propiamente tales, excepto una que es la recta del infinito del plano \( \mu \) y aquellas asíntotas son todas las paralelas de dirección \( M \) situadas en el plano asíntotico \( \mu \): mientras que en el segundo caso no hay ninguna asíntota ni plano asíntotico propiamente tal, siendo las tangentes en M las rectas del infinito de los planos de un haz cuya arista tiene la dirección \( M \).

6. Si cortamos una superficie por planos que pasen por una misma asíntota \( m \), la relación entre los elementos de segundo orden de las secciones obtenidas, correspondientes á su punto del infinito común, se puede determinar considerando una superficie cilíndrica cuyas generatrices sean perpendiculares á la asíntota \( m \) y paralelas al plano asíntotico correspondiente \( \mu \) y que tenga por directriz una hipérbola que tenga con una de dichas secciones planas un contacto de segundo orden en el punto del infinito de la asíntota \( m \); pues en virtud del teorema anterior (\$ 4.a), todos los demás planos que pasan por \( m \) cortarán á la superficie propuesta y á esta cilíndrica según cur-
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vas que tienen en el punto del infinito de m un contacto de segundo orden.

Ya demostramos en otro artículo de El Prog. Mat. (v. el núm. 41, correspondiente á Mayo de 1894), que para que dos hiperbolas puedan tener en sus puntos del infinito un contacto de segundo orden, basta que intercepten áreas equivalentes entre las asíntotas y una de sus tangentes, ó sea que tenga en ellas un mismo valor del producto \( ab = r^2 \) de los semiejes. Por otra parte, la proyección ortogonal de una tangente y de las asíntotas de una sección oblicua de la citada superficie cilíndrica sobre el plano de la sección recta son respectivamente tangente y asíntota de esta sección recta; luego el área que ésta intercepta con sus asíntotas es la proyección ortogonal sobre su plano del área que corresponde á aquella sección oblicua. Por tanto, si designamos por \( r^2 \) el valor del área citada que corresponde á una sección normal de la superficie propuesta (perpendicular al plano asíntotico \( \mu \)), por \( r_1^2 \) el que corresponde á una sección oblicua que pasa por la misma asíntota m y por \( \theta \) el ángulo de los planos de dichas secciones, existe entre \( r^2 \) y \( r_1^2 \) la relación sencilla \( r^2 = r_1^2 \cos \theta \), que tiene alguna remota analogía con la deducida del teorema de Meunier para relacionar los radios de curvatura de la sección normal y la oblicua de una superficie, que son tangentes entre sí en un punto ordinario de una superficie.

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 223.
(Véase tomo IV, página 811).

Sea un triángulo. Sea \( l_c \) la hipérbola equilátera circunscrita á ABC y que tiene el medio de AB por centro. Sea \( l'_c \) la hipérbola conjugada de \( l_c \).

Demostrar que \( l'_c \) pasa por el medio de la parte de la bisectriz que parte de C, comprendida entre C y AB.

Llamo dos cónicas conjugadas á dos cónicas que tienen iguales direcciones de ejes, el mismo centro y tales, que los cuadrados de sus ejes sean iguales y de signo contrario.

Solución por el Sr. Retall (V.)

El enunciado precedente no es exacto. La hipérbola \( l'_c \) pasa por aquellos puntos de la bisectriz (interna ó externa) que son simétricos de C respecto á las asíntotas.
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Las cuerdas CA y CB son paralelas á dos diámetros conjugados de la hipérbola equilátera, y por esto las bisectrices de los ángulos en C son paralelas á las asíntotas. Toda paralela á una asíntota corta á las dos hipérbolas equiláteras conjugadas en dos puntos C, C' y á la otra asíntota en el punto medio del segmento CC'. Esto resulta inmediatamente de la simple contemplación de la figura y también como caso particular del teorema siguiente: «Dos cónicas conjugadas son entre sí homológicas armónicamente, cuando se toma uno de los dos puntos de contacto por centro de homología y la tangente en el otro punto de contacto por eje de homología.» (1)

CUESTIÓN 201
(Véase tomo IV, páginas 237).

Dados dos cuadrados concéntricos y dispuestos de manera que las diagonales del uno sean paralelas á los lados del otro, determinar, con solo los recursos de la Geometría elemental, los ejes de una elipse inscripta al mayor y circunscripta al menor.

(R. Guimaraes.)

Solución por el Sr. Sollebintsky (B.)

Sea O el centro común de los cuadrados dados ABCD, A₁B₁C₁D₁, de los que el primero está en el interior del segundo. Si la circunferencia descrita sobre OA₁ como diámetro encuentra á AB en M, las rectas A₁M, OM son los semi-ejes buscados.

En efecto: 1.º El círculo director de la elipse encontrará á los ejes en vértices del cuadrado A₁B₁C₁D₁, porque se tiene \( \overline{OA}_1^2 = A_1M^2 + OM^2 \).

2.º Sea N la proyección de M sobre OA₁, P la intersección de AD, OA₁. En el Δ rectángulo OMA₁ se tiene MN.OA₁ = OM.OA₁, de donde

\[
MN^2 (OM^2 + MA_1^2) = OM^2.MA_1^2, \quad MN^2 \left( \frac{1}{MA_1^2} + \frac{1}{OM^2} \right) = 1
\]

en fin

\[
\frac{OP^2}{MA_1^2} + \frac{AP^2}{OM^2} = 1,
\]

es decir, la elipse está circunscripta al cuadrado ABCD.

(1) Véase Retali Sulle coniche conjugate (Mem. della R. Acad. delle Sc. di Bologna, serie IV, t. VI, pág. 195). Osserv. analitico-geometriche sulla proiezione imaginaria, etc. (Ibid tomo VII, pág. 610) Ricerche sull'immaginario in Geometria (Ibid t. IX, pág. 278).
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CUESTIÓN 175
(Véase tomo IV, página 157).

Siendo I, I₁, I₂, I₃ los centros de los círculos tangentes á los tres lados de un Δ ABC, demostrar las relaciones

\[
AB \ AC = AI \cdot AI_1, \quad \frac{AB}{AC} = \frac{BI \cdot BI_2}{CI \cdot CI_3}
\]

(J. Gillet).

Solución por el Sr. Caro (D. R.)

1.º Es inscriptible el cuadrilátero BICI, por ser rectos sus ángulos B y C. Trazado el círculo, tendremos \( AC' \times AC = AI \times AI_1 \).

Pero siendo AI bisectriz del ángulo BAC, es evidente que \( AC' = AB \), luego \( AB \cdot AC = AI \cdot AI_1 \)

2.º Del mismo modo se deduciría
\[
BC \cdot BA = BI \cdot BI_2 \\
CA \cdot CB = CI \times CI_3
\]
y dividiendo miembro á miembro
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI \cdot BI_2}{CI \cdot CI_3}
\]

Solución por D. Cecilio Jiménez R. EDA

1.º El cuadrilátero IBI₁C, que tiene rectos los ángulos opuestos C y B es inscriptible en un círculo de diámetro I₁ en el cual se tiene:
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CB^2 = CA'^2 + A'B^2 + 2 \cdot CA' \cdot A'E'
CB^2 = CA''^2 + A''B^2
CB^2 = CA''^2 + A''B^2 - 2A''C \cdot A''E''
CB^2 = A''B^2 + CA''^2 - 2A''B \cdot CA''

Carnot en su Géométrie de position se propuso establecer la correspondencia entre las variaciones de una figura y las modificaciones de las fórmulas que las expresan. Más tarde Bellavitis, Hamilton y Grassman establecieron algoritmos en que la posición y la magnitud estuviesen enlazadas y en que dichas transformaciones resultaran sometidas á la continuidad por medio del cálculo.

9. Sistemas no-euclídeos. Las definiciones primeras de la Geometría han conducido á distintas direcciones que constituyen otros tantos sistemas de Geometría. Así la admisión de una sola paralela (ó en el lenguaje moderno, á la existencia de un solo punto en el infinito, en la dirección de cada recta) conduce al sistema euclídeo.

Pero Lobatchewsky y Bolyai, prescindiendo de la exactitud del postulado euclídeo, establecieron un sistema geométrico, ó un enca- denamiento lógico de verdades, del que resulta la existencia de dos paralelas y Riemann consideró otro sistema en el que no hay paralelas, habiendo sido objeto de examen también la propiedad fundamen- tal de la recta, de que dos de éstas tengan sólo un punto común ó puedan tener más, de que sea de infinita longitud, no re-entrante ó re-entrante, habiendo hecho Riemann también la distinción entre lo ilimitado y lo infinito.

Esto ha conducido á considerar diversos géneros de espacio: el espacio hiperbólico (infinito) en el que la suma de los ángulos de un triángulo rectilíneo no puede exceder á dos rectos, y por consiguiente que un ángulo exterior de un triángulo no es menor que la suma de los interiores opuestos, siendo el defecto de un triángulo siempre positivo ó siempre cero correspondiendo este último caso al espacio euclídeo ú homoloideal.

En el espacio elíptico (de Riemann) la recta es limitada y reen- trante, y dos rectas cierran un espacio. Todas las perpendiculares en un plano dado á una recta dada se encuentran en un punto, el exceso de cada triángulo es positivo. En este sistema todas las propiedades del es- pacio son mensurables, es decir, pueden reducirse á la determinación de magnitudes, definiéndose la línea recta como la más corta distancia entre dos puntos, lo que determina una magnitud.

Estos curiosos resultados á que ha conducido la discusión de los
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AI_1 AI_1' = AB AC' y como AC' = AC por simétrica respecto de AI_1, se tiene AB AC = AI_1 AI_1'.

2.o Análogamente se tiene AB BC = BI_1 BI_2 y CA BC = CI_1 CI_3; y dividiendo la una por la otra: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BI_1 BI_2}{CI_1 CI_3} \).

CUESTIÓN 242.
(Véase tomo V, página 56.).

Un punto M se mueve sobre el lado BC de un triángulo ABC; sean P, Q sus proyecciones sobre AC AB. Las rectas BP, CQ se cortan en un punto D. Demostrar que D describe una cónica \( \Sigma_a \) que es tangente en B y C á las alturas BB', CC' del triángulo ABC. \( \Sigma_a \) pasa por el simétrico de A con respecto al medio de BC.

Construir la tangente en un punto y el centro de \( \Sigma_a \).

(J. Neuberg).

Solución geométrica por el Sr. KLOMPERS (T.), profesor de matemáticas en el Ateneo de Amberes.

Mientras que el punto M se mueve sobre BC, sus proyecciones P, Q sobre los lados del \( \angle A \) engendran dos puntuales proyectivas;

las rectas BP, CQ son los rayos homólogos de dos haces proyectivos de vértices B y C, y se cortan en puntos situados sobre una cónica.
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La altura BB' considerada como rayo del primer haz tiene por homólogo en el segundo la recta CB; la cónica \( \Sigma_a \) es tangente á BB' en el punto B; igualmente la altura CC' corresponde á BC, y por esta razón CC' es tangente á la curva en el punto C. Cuando el punto M pasa al infinito en BC, BP y CQ son respectivamente paralelas á CA y BA. De esto resulta que el cuarto vértice a del paralelogramo construido sobre los lados del ángulo A pertenecen á la cónica.

Construcción de la tangente en el punto a.—Se sabe, según el teorema de Pascal, que si se prolongan los lados de un triángulo aBC inscripto en una cónica, hasta su intersección con las tangentes en los vértices opuestos á estos lados, los puntos de intersección \( x, \beta, \gamma \) son colineales.

Se determinarán pues los puntos \( \beta, \gamma \) intersecciones de los pares de rectas (BB', Ca), (CC', Ba); la recta \( \beta\gamma \) encuentra á BC en \( x, xa \) es la tangente en el punto a.

Tangente en un punto cualquiera D.—Consideremos el cuadrilátero t'H'H''t'' circunscripto á la cónica formado por las rectas BB', CC', \( ax \) que se cortan en los vértices del triángulo III'H'' y la tangente desconocida t't''. Se sabe, según el teorema de Brianchon, que las rectas Da, BC, t'H'', t'H' son concurrentes en un punto I. Esto sentado, para construir la tangente en el punto D, bastará unir Da que encuentra á BC en el punto I; H'I y H''I determinan sobre BB' y CC' los puntos t' y t'' pertenecientes á la tangente buscada.

Construcción del centro.—Es el punto de intersección de las rectas Hm, H'm', H''m'' que unen los vértices del triángulo III'H''I á los medios m, m', m'' de los lados del triángulo BCa.

CUESTIÓN 232.
(Véase tomo IV, página 343).

Sea O el centro del círculo circunscripto al triángulo ABC.

Los focos A',B',C' de las tres parábolas que tocan á los lados del triángulo ABC y que tienen por directriz el tercer lado están respectivamente situados sobre las rectas AO, BO, CO y también sobre las circunferencias BOC, COA, AOB. Los parámetros de las tres parábolas son iguales á

\[
\frac{2R \sen 2B \sen 2C}{\cos A}, \quad \frac{2R \sen 2C \sen 2A}{\cos B}, \quad \frac{2R \sen 2A \sen 2B}{\cos C}
\]

Las tangentes en los vértices de estas curvas forman un triángulo perspectivo con ABC, siendo las coordenadas normales del centro de pers-
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pectiva inversamente proporcionales á las cantidades sen 2A cos A, sen 2B cos B, sen 2C cos C.

Las distancias OA', OB', OC' tienen por valores

\[
\frac{R \cos (B - C)}{\cos A}, \quad \frac{R \cos (C - A)}{\cos B}, \quad \frac{R \cos (A - B)}{\cos C}
\]

(J. Neuberg.)

Solución por el Sr. Brocard (II).

La parábola tangente á AB y á AC y que tiene por directriz BC tiene su eje perpendicular á BC. Sea AH la altura trazada por el vértice A. En el triángulo AHC se tiene CAH = 90 - C; pero BAO = 90 - C. Los dos triángulos CAH, BAO siendo iguales, y siendo AH paralela al eje de la parábola, se concluye, por un teorema de Poncelet, que AO pasa por el foco A'.

Se tiene, pues, que determinar el foco A' de una parábola conociendo la directriz BC y dos tangentes AB, AC.

Sea J el punto diametralmente opuesto á A sobre el círculo ABC. El punto A' estará, por definición, en la intersección de las rectas CA', BA', que forman con CJ, BJ ángulos iguales á los de AC, AB con las paralelas al eje, ó iguales á los complementos de los ángulos C, B. Pero esta condición define precisamente las bisectrices de los ángulos BCA', CBA', porque BCJ = 90 - C = JCA' = CAH. Se tiene pues A' = 180 - A'BC - A'CB = 180 - 2 (90 - C) - 2 (90 - B) = 2C + 2B - 180 = 2 (180 - A) - 180 = 180 - 2A

Pero COB = 2A. Siendo los ángulos BA'C, COB suplementarios, el cuadrilátero BOCA' es inscriptible á un círculo y A' está en la intersección de OA con la circunferencia COB, como se ha dicho en el enunciado.

Las diversas longitudes indicadas son fáciles de evaluar. El ángulo BOC, por ejemplo, = 2A, y si D es el medio de BC, se tiene OD = OC cos DOC = R cos A. Sea OA_1L el diámetro del círculo A_1. El triángulo OCL rectángulo en C da inmediatamente OC = 2OA_1 cos A, ó OA_1 = \( \frac{R}{2 \cos A} \). El triángulo OA'L rectángulo en A' da

\[
OA' = 2R \cos A'OL.
\]

Pero \( A'OL = BOA_1 - BOA' = A - (180 - 2C), \)

luego \( OA' = 2R \cos (A + 2C - 180) = \frac{R}{\cos A} \cos (B - C). \)

Siendo V la proyección de A' sobre BC,
se tiene \( A'V + OD = OA'\cos (B - C), \)

luego \( A'V = \frac{R \cos^2(B - C)}{\cos A} - R \cos A = \frac{R}{\cos A} \sen 2B \sen 2C \)