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El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 10

sección indicatriz, su flecha \( h \) y los radios principales de curvatura \( RR' \), existen las relaciones

\[
a^2 = 2Rh \\
b^2 = 2R'h \\
ab = 2h \sqrt{RR'}
\]

que sean iguales los productos de los radios principales de curvatura. Según esto, un elemento de cualquiera superficie puede adaptarse sobre la superficie de una esfera cuyo radio sea \( \sqrt{R.R'} \). Nos falta probar que esta media proporcional entre los dos radios principales de curvatura, es igual á la media aritmética de todos los radios \( \rho \) de curvatura de las secciones normales. Dividamos la elipse indicatriz en un número muy grande \( n \) de sectores \( \Delta s \) muy pequeños y de igual ángulo central \( \Delta \varphi \); se tendrá para expresiones del duplo de las áreas de estos sectores

\[
2\Delta s = r^2 \Delta \varphi \\
2\Delta's = r'^2 \Delta \varphi \\
\vdots \\
\vdots ;
\]

sumándolas, se tendrá si designamos por S el área de la elipse

\[
2S = (r^2 + r'^2 + r''^2 + ...) \Delta \varphi;
\]

si \( M_r \) es la media de los cuadrados de los radios, será

\[
M_r = \frac{r^2 + r'^2 + r''^2 + ...}{n}
\]

es decir,

\[
r^2 + r'^2 + r''^2 + ... = nM_r
\]

y como además

\[
\Delta \varphi = \frac{2\pi}{n}
\]

se deduce

\[
S = \pi M_r
\]

y según expresión conocida \( S = \pi ab \)

de donde \( M_r = ab \);

Atendiendo ahora á la relación \( r^2 = 2\rho h \) la media \( M_\rho \) de los radios de curvatura de las secciones normales, será

\[
M_\rho = \frac{ab}{2h}
\]

ó finalmente, teniendo en cuenta que \( a^2 = 2Rh \) y \( b^2 = 2R'h \)

\[
M_\rho = \sqrt{RR'}.
\]
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Es evidente que en esta adaptación de un elemento de superficie sobre un elemento de esfera, las curvas pueden cambiar de figura, pero no cambia su magnitud ni la de los ángulos que entre sí forman: las líneas geodésicas de la superficie se transforman en líneas geodésicas de la esfera, es decir, en arcos de circunferencia máxima.

Si sobre el elipsoide terrestre se tiene un triángulo de lados pequeños, formado por tres líneas geodésicas, sobre la esfera indicatriz se transforma en triángulo esférico con iguales ángulos. No son los ángulos formados por las líneas geodésicas que pasan por un vértice los que en realidad se observan, sino los formados por las curvas planas que los planos normales determinan; pero éstos difieren tan poco de los primeros, que prácticamente pueden considerarse y se consideran iguales aun en operaciones de precisión. La resolución de los triángulos esferoidales queda reducida á la de triángulos esféricos (que como triángulos planos se calculan por el teorema de Legendre), sobre una esfera, cuyo radio es la media proporcional de los radios principales de curvatura en un punto de la región del esferoide en que se opera.

Estos radios principales de curvatura son: el radio de curvatura de la elipse meridiana, y el de la sección normal, perpendicular al plano de dicha elipse, que está medido por la porción de normal comprendida entre el punto del esferoide y el eje; por consiguiente, su expresión es igual á la abscisa de la elipse meridiana, dividida por el coseno de la latitud geográfica.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

(Continuación) (Véase t. IV, pág. 260-64).

62. Como ejemplo de aplicación de la fórmula (3) que expresa la condición de hallarse tres puntos en línea recta, de empleo muy frecuente en este cálculo, citaremos la demostración del teorema: Los medios de las tres diagonales de un cuadrilátero completo están en línea recta, pues haciendo \( AB = b,\ AF = f_b,\ AD = n \), \( AH = h_D \) (fig. 64), se tiene:

Fig. 64
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AC = AH + HC,   AB - AH = HB,   HC = xHB
AC = AF + FC,   FD = AD - AF,   FD = yFD
AC = AH + x(AB - AH),   c = hD + xB - xhD
AC = AF + y(AD - AF),   c = fB + yD - yfB
luego   \( x_B + (1-x)h_D = y_D + (1-y)f_B \)
y por consiguiente   \( x = (1-y)f, \quad y = (1-x)h \)

Pero
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{HC}{HB} = x,
\]
\[
AM = xAB = x_B \quad y = \frac{FC}{FD} = \frac{MC}{AD} = \frac{AN}{AD} \quad AN = yAD = y_D
\]
De manera que   \( c = x_B + y_D = (1-y)f_B + (1-x)h_D \).
Pero los medios I, K, L de las diagonales se determinan por
\[
AI = \frac{c}{2}, \quad AK = \frac{B+D}{2}, \quad AL = \frac{f_B+h_D}{2}
\]
y siendo   \( KI = KA + AI = -\frac{B}{2} - \frac{D}{2} + \frac{1}{2}x_B + \frac{1}{2}y_D, \)
\[
KI = \frac{1}{2}[(x-1)B+(y-1)D] = -\frac{1}{2}\left(\frac{y}{h_B} + \frac{x}{f_D}\right) || f_YB + hx_D
\]
y también
\[
LI = -AL + AI = \frac{1}{2}[-f_B-h_D+f_B-y/f_B+h_D-xh_D]
\]
\[
= \frac{1}{2}(-f_YB - hx_D)
\]

Por consiguiente KI es paralela á LI, y los tres puntos K, L, I están en línea recta.

63. Para establecer las fórmulas fundamentales de la trigonometría, correspondientes al triángulo, diremos:
siendo A, B, C los ángulos interiores del triángulo ABC, se tiene (fig. 65)
\[
\beta - \alpha = \pi - C, \quad \gamma - \beta = \pi - A,
\]
\[
\alpha - \gamma = -\pi - B, \quad A + B + C = \pi
\]
de la equipolencia \( BC + AC + AB = 0 \) resulta:
\[
a^x + b^{\beta} + c^{\gamma} = 0, \quad a^x = b^{\alpha - C} + c^{\alpha + B}
\]
Sumando y restando esta equivalencia con su conjugada

Fig. 65
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\[
a^z - x = b^z - x + c + c^z - x - B
\]
resulta
\[
a \sen z = b \sen (z - C) + c \sen (z + B)
\]
\[
a \cos z = b \cos (z - C) + c \cos (z + B)
\]
y haciendo \( z = 0 \), se obtiene:
\[
0 = -b \sen C + c \sen B; \quad \frac{b}{\sen B} = \frac{c}{\sen C}
\]
\[
a = b \cos C + c \cos B
\]
Multiplicando las equipolencias (1) y (2), se obtiene:
\[
a^2 = b^2 + c^2 + bc (\varepsilon^B + c + \varepsilon - B - c) = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
\]

64. Terminaremos indicado como se establece la determinación geométrica, que en este método se descompone siempre en la de los elementos directivo y cuantitativo, ocupándonos de dos equipolencias tipos, á saber:

1.º Sea la equipolencia
\[
xAB + yCD = OH
\]
Para construirla, trácense \( OE = AB, OF = CD \) (fig. 66) y sobre estas dos direcciones constrúyase el paralelogramo OPQH tomando como diagonal OH.

Conocida la resultante OH y la dirección de las componentes, estas quedarán determinadas y las relaciones
\[
x = \frac{OP}{OE}, \quad y = \frac{OQ}{OF}
\]
determinarán los coeficientes.

2.º Sea la equipolencia
\[
\varepsilon''AB + yCD = OH
\]
Es preciso determinar un triángulo, cuyo uno de los lados sea OH, conociéndose la dirección de otro (cuya longitud es desconocida), así como la magnitud del tercero desconociéndose su dirección.

Trazándose por H (fig. 67) una paralela á CD, ya se tiene la dirección del 2.º lado del triángulo, la recta OE equípolente á AB determina el módulo del tercer lado, cuyo argumento \( u \) se obtendrá haciendo cerrar aquél, es decir, cortando la
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dirección del segundo lado con \( OK = OE \), en cuyo caso será \( OK = e^n AB \) y el valor de \( y \) será

\[
y = \frac{mg.KH}{mg.CD}
\]

65. Estos ejemplos bastan para dejar establecido cómo el cálculo de las equipolencias es un procedimiento uniforme que se aplica á todo género de cuestiones; y esto puede observarse en el excelente tratado Théorie et applications des equipollences, de M. C. A. Laisant, que nos ha servido principalmente de guía, y en el que dentro de una rigurosa unidad de plan, después de una exposición metódica y clara de los principios que constituyen dicho cálculo, se contienen aplicaciones numerosas, no sólo á los teoremas y problemas de la Geometría elemental y Trigonometría, sino que además establece la Geometría del triángulo, y lo extiende á la Geometría superior, á la teoría de las curvas y á la cinemática.

§ 4.º—El tratado de la extensión (Ausdehnungslehre) de Grassmann.

66. En 1844 el matemático alemán H. Grassmann publicó su célebre tratado de la extensión que obedece á un vasto plan desenvuelto desde los conceptos metafísicos de la ciencia y que luego adquiere un carácter concreto al aplicarse á la Geometría, resultando la extensión como la materia á que corresponden las leyes formales del nuevo cálculo ó de la nueva ciencia que, como dice Grassmann, se extiende más allá de la extensión, la cual se halla limitada en las tres dimensiones del espacio.

No es fácil el encerrar dentro de los estrechos límites de nuestro trabajo sobre Teoremas, problemas y métodos geométricos y el dar una cabal idea del fecundo método que constituye la obra de Grassmann que este año se ha publicado, formando el primer tomo de la obras completas de tan ilustre matemático. Así vamos á condensar los puntos de vista más culminantes de este importante método.

67. La Introducción está destinada á la derivación de los conceptos de la matemática pura, partiendo de la conformidad entre el pensamiento y el ser, y entre el pensamiento como objeto y su verdad, primera división que considera en la ciencia. Considera á la matemática como una ciencia formal al examinar el ser bajo el punto de vista de su generación por el pensamiento. El producto de nuestro pensamiento, ya como acto de generación ó como acto de estar y
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de relacionarse le conduce á la forma continua ó la cantidad y á la forma discreta ó de relación. Las formas algebraicas y combinatorias se originan respectivamente de lo igual y lo vario. El número es la forma algebraica discreta como la combinación es la forma discreta combinatoria, es decir, el resumen de lo puesto como diviso, distinguiéndose la forma continua algebraica ó cantidad intensiva de la forma continua combinatoria ó cantidad extensiva. Analizado lo continuo en su momento, aparece como un continuo origen en que se afianza lo ya engendrado. En la variación continua tenemos el elemento generador, y la forma extensa es el conjunto de todos los elementos en el que el elemento generador pasa por la generación continua.

En el Tratado de la extensión aparece el punto como elemento, como su variación continua el movimiento y como sus distintos estados, sus situaciones ó lugares en el espacio.

Lo diverso puede hallarse enlazado por una ley cuando lo engendrado está determinado. La forma extensa pura es la forma que se origina por una variación del elemento engendrado, según una misma ley; el conjunto de todos los elementos engendrables según la misma ley se llama un sistema ó dominio.

68. En Geometría, la igualdad de dirección está comprendida en una ley de variación única, correspondiendo el segmento á la extensión simple y la recta infinita á todo el sistema.

69. Si se aplican dos leyes distintas de variación, el conjunto de elementos que se pueden engendrar por virtud de ellas es un sistema de segundo grado. Las leyes de variación por las que los elementos de estos sistemas separadamente pueden inferirse, dependen de aquéllas dos primeras; si agregamos una tercera ley independiente, obtenemos el sistema de tercer grado, y así sucesivamente.

En la Geometría, mediante dos direcciones distintas de un elemento se engendra el conjunto de los elementos de un plano. Este es el sistema de segundo grado, en él está contenida una infinidad de direcciones que de aquéllas dos primeras dependen. Si tomamos una tercera dirección independiente, podrá engendrarse mediante ella la totalidad del espacio como sistema de tercer grado, y más allá de tres direcciones independientes no se puede llegar, mientras en el tratado de la extensión en abstracto puede proseguir por infinitos grados.

70. La diversidad de las leyes exige de nuevo para su íntima determinación un modo de generación por medio de la que se pasa de un sistema al otro. Este tránsito mutuo de ambos sistemas forma una segunda especie en el dominio del tratado de la extensión, y con
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él se completa el dominio de la representación elemental de esta ciencia.

71. Señala Grassmann la diferencia de proceder de la Filosofía y la Matemática, aquélla parte de lo general á lo particular, ésta, de los conceptos simples á los complejos, teniendo una y otra métodos comunes.

72. Comienza el tratado general de las formas con el examen del concepto de igualdad. Este tratado general de las formas comprende la serie de verdades que se refieren á todas las ramas de la Matemática, tales son el de la igualdad y desigualdad, de la unión y separación. De lo igual ó lo que se puede sustituir mutuamente en cada juicio pasa al concepto de relación, cuyas dos antítesis son la separación y la unión, las dos formas enlazadas son los términos, lo que se representa por su unión el resultado, y aquéllos se llaman antecedente y consecuente. Como signo general de combinación elige el signo \( \circ \) el resultado de la combinación de los términos \( a \) y \( b \) los designa \( (a \circ b) \)

El resultado de esta combinación puede combinarse con otras formas y llegar á combinaciones de varios términos. Trata de la compatibilidad de los términos, de su permutación, de los signos analítico \( \circ \) y sintético \( \cup \). Considerando las operaciones desde un punto de vista general. En este cálculo formal es digno de citarse especialmente el caso de la combinación de distintas especies, de manera que el resultado de un enlace se halla sometido al otro, lo que lleva á considerar la adición y la multiplicación como enlaces de 1.º y 2.º orden respectivamente.

Mas no siendo nuestro propósito el considerar en su vasta generalidad los conceptos fundamentales del sistema de Grassmann, vamos á limitarnos á dar una idea de lo que conviene á sus aplicaciones geométricas, debiéndose advertir que las proposiciones del Tratado de la extensión (Ausdehnungslehre) no son una simple versión de las proposiciones geométricas al lenguaje abstracto, sino que tienen una superior generalidad no limitada por las tres dimensiones á que solo alcanza el Tratado del espacio (Raumlehre).

73. La línea recta infinita constituye el sistema de primer orden, así como la extensión de primer orden la línea recta limitada, siendo considerado como homogéneo lo paralelo en el mismo ó en sentido opuesto é iguales los segmentos que tienen igual dirección y longitud.

La suma de dos segmentos homogéneos contiguos es el segmento que tiene por origen el del primero y por elemento final el del segundo.
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Verificándose que

\[
[x\beta] + [\beta\gamma] = [x\gamma], \quad [x\beta] = [x\gamma] - [\beta\gamma]
\]

y cuando \( x \) y \( \beta \) son idénticos, \([xx] = [x\gamma] - [x\gamma]\), es decir,

\[
-[x\beta] = 0 - [x\beta] = [\beta\beta] - [x\beta] = [\beta x]
\]

de modo que los segmentos \([\beta x]\) y \([x\beta]\) en sus relaciones de adición y sustracción se deben considerar como magnitudes opuestas.

Si \([x_3]\) es el segmento origen y \([xx'] = [\beta\beta']\), se tiene

\[
[x'\beta'] = [x'x'] + [x\beta] + [\beta\beta']
\]

y por ser

\[
[x'x] = -[xx'] = -[\beta\beta']
\]

resulta que

\[
[x'\beta'] = [x\beta].
\]

74. Si ahora consideramos dos elementos heterogéneos, ó sea de distinta dirección, y hacemos variar un elemento de la primera variación fundamental y asimismo, según la segunda, se podrá engendrar una multitud infinita de elementos, cuyo conjunto constituye el sistema de segundo orden. Y si además consideramos otra variación fundamental, no perteneciente á dicho sistema de 2.º orden, obtendremos un nuevo elemento, y el conjunto de todos ellos constituirá el sistema de tercer orden, hallándose contenidos los sistemas de orden inferior en los de orden superior. Así, pues, á dichos sistemas corresponden respectivamente la recta, el plano y el espacio.

Sea \( a = [x\beta] \) y \( [\beta\beta'] = [xx'] = b \)

La variación \([x'\beta']\) igual á \(a \cap b\). Pero \([x'\beta']\) es también igual á \([xx'] \cap [x'\beta']\), es decir, \(b \cap [x'\beta']\); por consiguiente, \(a \cap b = b \cap a\), de manera que los términos pueden permutarse, ó la suma de segmentos heterogéneos es conmutativa.

En resumen, las leyes \((a \cap b) \cap c = a \cap (b \cap c)\) y \(a \cap b = b \cap a\) se verifican para \(m\) modos de variación pertenecientes al sistema.

75. Encontrando Grassmann deficientes los fundamentos de la Geometría en lo que concierne al postulado y á la definición del plano, establece tres proposiciones fundamentales en su sistema geométrico que corresponden á la existencia de la recta, el plano y el ángulo, para en el desarrollo de su obra proceder de una manera sistemática en su aplicación de las leyes combinatorias del cálculo á la generación de las entidades geométricas, á sus mutuas transformaciones y á la demostración de sus propiedades.

76. Además del movimiento, otros conceptos tomados de la me-
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cánica, á saber: del centro de gravedad, de los pares de fuerzas y momentos tienen su lugar en el plan de esta doctrina.

Así la desviación (abweichung) de un punto A respecto de otro B es el segmento BA considerado en dirección y magnitud, así como la desviación total (Gesammtabweichung) de un punto R respecto á la serie de puntos A, B, C,... es la suma [AR] + [BR] + [CR] + ... de las desviaciones de aquél respecto á éstos.

77. Pueden entrar los puntos en el dominio de las cantidades y someterse á las operaciones del cálculo unidos á un coeficiente numérico que representa su masa, y de este modo los principios de la Geometría se enlazan con los de la Mecánica, introduciéndose además en la teoría de Grassmann las nociones de fuerza, velocidad, etc.

78. Para dar idea del producto exterior, consideremos dos puntos \( e_1 \) y \( e_2 \) cualesquiera, y el segmento de recta (Linientheil) (*), comprendido entre \( e_1 \) y \( e_2 \) se representa por el producto exterior (\( e_1 e_2 \)). Entonces se tiene evidentemente \( (e_1 e_1) = (e_2 e_2) = 0 \).

Y si \( a \) y \( b \) son dos puntos derivados de \( e_1 \) y \( e_2 \) por medio de las ecuaciones
\[
a \equiv x_1 e_1 + x_2 e_2 \quad b \equiv \beta_1 e_1 + \beta_2 e_2
\]
si se obtiene su producto exterior, suponiendo que la multiplicación siga solamente la ley distributiva, resulta, teniendo presentes las relaciones anteriores,
\[
(ab) \equiv x_1 \beta_2 (e_1 e_2) + x_2 \beta_1 (e_1 e_2)
\]
Y si: 1.º Los puntos \( a \) y \( b \) coinciden, se tendrá que \( a = \lambda b \) siendo \( \lambda \) un factor numérico, y en virtud de (1)
\[
x_1 e_1 + x_2 e_2 = \lambda \beta_1 e_1 + \lambda \beta_2 e_2 \quad ó \quad (x_1 - \lambda \beta_1) e_1 = (\lambda \beta_2 - x_2) e_2
\]
y como los puntos \( e_1 \) y \( e_2 \) no coinciden, será preciso que se tenga
\[
x_1 = \lambda \beta_1, \quad x_2 = \lambda \beta_2
\]
y según la igualdad (2) \((ab) \equiv \lambda \beta_1 \beta_2 [(e_1 e_2) + (e_2 e_1)]\)
y, en fin,
\[
o = (e_1 e_2) + (e_2 e_1) \quad ó \quad (e_1 e_2) = -(e_1 e_2)
\]
de manera que la multiplicación exterior no sigue la ley conmutativa.

2.º Cuando los puntos \( a \) y \( b \) no coinciden, se tendrá
\[
(ab) = (x_1 \epsilon_2 - x_2 \epsilon_1) : e_1 e_2
\]

Luego: el producto exterior de dos puntos cualesquiera derivados de \( e_1 \) y \( e_2 \) es un múltiplo del segmento (\( e_1 e_2 \)).

Si ahora (\( e_1 e_2 \)) y (\( e_3 e_4 \)) son dos segmentos cualesquiera iguales y paralelos, el área del paralelogramo \( e_1 e_2 e_3 e_4 \) se halla representada por

(*) Prog. Mat., t. II, p. 284. Introduction aux méth Géom de H. Grassmann par M. V. Schlegel.
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la diferencia \((e_1 e_2) - (e_3 e_4)\) ó \((e_3 e_4) - (e_1 e_2)\), según que el paralelogramo se engendre por el movimiento de \((e_3 e_4)\) ó de \((e_1 e_2)\).

Sea \(a = (e_1 - e_2)\), \(b = (e_2 - e_4)\).

Multiplicando, se tiene \((ab) = (e_1 e_2) - (e_1 - e_2)e_4\)

y por ser \((e_1 - e_2) = (e_3 - e_4)\), resulta \((ab) = (e_1 e_2) - (e_3 e_4)\).

De manera que: el producto exterior de dos distancias contiguas es igual al área del paralelogramo formado por ellas.

Esta área se anula, si las dos distancias se hallan en una misma recta. Luego:

El producto exterior de dos distancias situadas en una misma recta es igual á cero (*).

79. Grassmann establece el concepto de la multiplicación exterior de segmentos, considerando la figura engendrada por el movimiento, en un plano, de un segmento de recta, de manera que cada uno de sus puntos describe otro segmento de distinta dirección (lo que equivale á que dicho segmento se mueve paralelamente á su posición primitiva según otro segmento, ó sea, de modo que el extremo origen se halle siempre en este segmento, ó también en una línea quebrada cualquiera), de manera que la figura engendrada será un paralelogramo, ó un conjunto de paralelogramos en el caso de recorrer sucesivamente varios segmentos consecutivos, ó sea una línea quebrada. Así puede decirse que:

Cuando en un plano un segmento se mueve sucesivamente según varios segmentos, el área descrita según éstos, es igual á la descrita según la suma de dichos segmentos.

Así en la figura 49 se ve que el área descrita por el movimiento (traslación) de \(ab\) según \(aec\) es igual á la descrita por \(ab\) según \(ac\).

De manera que, al pasar el segmento móvil de su posición en una recta á otra paralela á ésta, el área descrita es la misma, cualquiera que sea la línea recta ó quebrada según la que se efectúa el movimiento.

Fig. 49

Además, como pueden invertirse los elementos en cuestión, podrá decirse que: La superficie que describe en el plano la línea quebrada \(aec\), es igual á la que describe la \(ac\), y también que:

El área descrita por los lados de una figura cerrada (en su movimiento en el plano), según una figura cerrada, es siempre nula.

(*) Idem idem.
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La consideración de las potencias simplifica muchas fórmulas del triángulo, ya haciendo más sencilla su estructura, ya facilitando su retención por medio de reglas mnemónicas, y no por la sustitución de reglas convencionales como abreviación de los trinomios de que hemos hablado al principio, sino por cantidades que tienen completa interpretación geométrica y pueden figurar como elementos de los triángulos para la resolución de problemas que pueden proporcionarse haciéndolos entrar como datos.

La enunciación de algunos teoremas adquiere una forma más sencilla, por ejemplo, el fundamental de los triángulos oblicuángulos se traduce en las siguientes igualdades:

\[
p_a = bc \cos A \quad p_b = ac \cos B \quad p_c = ab \cos C
\]

esto es, en todo triángulo la potencia de un vértice es igual al producto de los lados que en él concurren por el coseno del ángulo que forman, resultando, por consiguiente, que la potencia es positiva, nula ó negativa, según el ángulo correspondiente sea agudo, recto ó obtuso, hecho que igualmente se deduce de la definición geométrica.

Es bien fácil obtener, en vista de nuestra definición de potencia, las relaciones siguientes:

\[
P^2 + p_a^2 + p_b^2 + p_c^2 = a^4 + b^4 + c^4
\]
\[
\frac{\tg A}{\tg B} = \frac{p_b}{p_a}
\]
\[
\frac{ap_a}{\cos A} = \frac{bp_b}{\cos B} = \frac{cp_c}{\cos C}
\]

Diciéndonos la 2.a que en todo triángulo las potencias de los vértices son inversamente proporcionales á las tangentes de los ángulos correspondientes y la 3.a que los productos de los lados por las potencias de los vértices opuestos son proporcionales á los cosenos de los ángulos correspondientes.

La altura de un triángulo en función de las potencias de los vértices tiene por expresión

\[
h_a = \frac{1}{a} \sqrt{p_a \cdot p_b + p_a \cdot p_c + p_b \cdot p_c}
\]

y por consiguiente el área

\[
S = \frac{1}{2} \sqrt{p_a \cdot p_b + p_a \cdot p_c + p_b \cdot p_c}
\]