ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 31

VI. «Segmento ab» significa «la figura á que pertenecen a, b y todos los puntos entre a y b [V]».

***

Ahora estamos en el caso de definir todas las ideas geométricas que el Sr. Peano ha definido (1) mediante las solas ideas «punto» y «segmento» y otras varias que implican la idea de posibilidad de superposición (superposabilité).

Nos limitaremos á algunos ejemplos, dando definiciones que se refieren á nuestras ideas primitivas.

VII. Si c y d son puntos distintos que no pertenece á la recta ab [I], entonces «la recta cd es paralela á la recta ab» significa «existe un punto x de la recta cd [I] (2) tal, que el centro del par ax [III] es también el centro del par (b, c)».

VIII. Si c es un punto que no pertenece á la recta ab [I], entonces «la recta ac es perpendicular á la recta cb» significa «c es un punto de la superficie esférica que tiene por centro el centro del par (a, b) [III] y que pasa por b [II]».

IX. (Igual hipótesis) «x es un punto interior al triángulo abc» significa «existe un punto y entre a y b [V] tal, que x es un punto entre c é y».

X. (Igual hipótesis) «x es un punto del plano abc» significa «x es un punto y no existe ningún punto y, distinto de x tal, que al mismo tiempo el par (a, x) se pueda superponer al par (a, y), el par (b, x) al par (b, y) y el par (c, x) al par (c, y)».

XI. (Igual hipótesis) y si d es un punto que no pertenece al plano abc [X], entonces «x es un punto interior al tetraedro abcd» significa «existe un punto y interior al triángulo abc [IX] tal que, x es un punto entre d é y [V]» etc., etc.

***

Hasta ahora hemos considerado la relación «se puede superponer á (est superposable á) entre dos pares de puntos. Ahora, se trataría de ver cómo se puede conseguir el definir esta relación cuando se emplea entre otras figuras.

Como nos sería preciso entrar en demasiados detalles, rogamos

(1) En la primera de sus obras citadas.
(2) Distinto ó no de d.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 32

á los que deseen ver una solución de esta cuestión que lean la obra de la que este artículo es tan solo un resumen (1).

Paris 11 de Agosto 1900.

UNA TRANSFORMACIÓN DEL PROFESOR ALLARDICE
por el Sr. C. Alasia, profesor del gimnasio de Tempio

Como se sabe, una de las características de la geometría moderna es el empleo sistemático de las transformaciones, ó sea de los procesos por medio de los que se sustituyen, á figuras dadas, nuevas figuras, que se deducen de aquéllas mediante leyes determinadas.

Estas nuevas figuras son las transformadas de las primeras.

No se crea, sin embargo, que el estudio de las transformaciones es totalmente nuevo. En tiempos de Tolomeo encontramos la palabra, transformación estereográfica, aunque poco generalizada. El primero, á mi juicio, que dió un método general, fué La Hire (1673) en sus Planicónicas. Pero debe llegar hasta Poncelet para encontrar el empleo sistemático de dos transformaciones: la homológica y la por polares reciprocas, transformaciones que, dada su sencillez y su generalidad, encuentran un vasto campo de aplicaciones también en la geometría elemental, porque de proposiciones que hallamos en el comienzo de los estudios geométricos, se deducen con grandísima facilidad nuevas proposiciones. Así, por ejemplo, todos los teoremas y problemas que se refieren á los puntos de intersección de las tangentes comunes á tres círculos, conducen á teoremas y problemas

(1) La cuestión es menos sencilla que lo que parece á primera vista. En efecto, podemos dar desde luego esta

Definición.—Si r y s son figuras, entonces r es geométricamente igual á s significa existe por lo menos una correspondencia recíproca entre los puntos de r y de s tal que, siendo x é y puntos cualesquiera de la figura r y x', y' sus correspondientes en la figura s, el par (x, y) pueda superponerse (soit superposable) al par (x', y').

Pero evidentemente, la igualdad geométrica que acabamos de definir se confunde con la propiedad de superponerse (superposabilité) en el solo caso en que cada una de las figuras consideradas esté contenida en un plano. Porque, de otro modo, siendo r y s dos figuras iguales geométricamente, según la definición dada, puede hacerse que r sea susceptible de superponerse á s, ó bien que r se pueda superponer á la figura simétrica de s, con relación á un plano arbitrario.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 33

que se refieren á cónicas confocales. Si se recuerda que los pares de cuerdas comunes á tres círculos que se cortan, concurren en un punto, se deduce que los vértices de los ángulos circunscritos comunes á tres cónicas confocales, tomados por pares, se hallan en una misma recta.—Y este, como otros infinitos ejemplos, se derivan de un principio establecido en una de sus cartas por Poncelet: «las propiedades descriptivas y angulares de un sistema de cónicas confocales son las recíprocas de las pertenecientes á un sistema de círculos situados en un mismo plano».

Chasles, después de Poncelet, emprendió el estudio y la generalización de las dos transformaciones citadas, y ciertamente que le condujeron á sus notables investigaciones sobre las curvas y superficies de segundo orden. Pero con todo, no parece que él tuviera en gran estima este género de investigaciones, estos métodos casi mecánicos que sustituyen, por decirlo así, la aplicación al génio, por cuanto en él se halla el génio que creó la aplicación «puede quien quiera, en el estado actual de la ciencia, generalizar y crear en Geometría: el genio no es ya indispensable para añadir una piedra al edificio».

Pero fué el génio el que creó los métodos de transformaciones, y los nombres inmortales de Bellavitis, Cremona, Steiner, Sophus Lie, etc. etc., pueden dar fé y mostrar que tales métodos fueron las columnas sobre que se instaló el monumento maravilloso de la Geometría moderna.

No pretendo hacer aquí una exposición de los principales métodos de transformación que se han estudiado hasta ahora. Diré solo que al Sr. Cremona se le debe una transformación general, llamada birracional, de la que puede hacerse derivar la transformación cuadrática de Steiner de que, en el plano, es caso particular una de las transformaciones más ricas de aplicaciones creada por el génio de Bellavitis y á la que Liouville dió el nombre de transformación por radios de vectores recíprocos. Y de estas dos últimas diré algunas palabras, después de ocuparme de una transformación ingeniosa y rica en aplicaciones estudiada por el profesor Allardice, de la que me propongo hacer una reseña, y que también pertenece al grupo de las transformaciones por inversión, ó por radios vectores recíprocos.

La transformación cuadrática pertenece á la gral familia de las transformaciones puntuales, en las cuales la figura dada y la transformada se corresponden punto por punto, y en la
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 34

que á todo lugar de puntos corresponde un lugar de puntos.

Sean P₁ y P₂ dos puntos de una figura dada F y P'₁, P'₂ los puntos correspondientes en la figura transformada F'. Si C es una curva que pasa por el primer par de puntos, á esta corresponderá evidentemente una curva C' que pasará por el segundo par de puntos. Cuando P, tienda hacia P₁, ó sea cuando F y C tiendan á ser tangentes en P₁, entonces P' tendré hacia P'₁ y también F' y C' tenderán á ser tangentes en P'₁. Curvas y superficies tangentes se transforman pues, en curvas y superficies tangentes, y por esto á transformación toma el nombre de transformación de contacto.

Sea además P un punto fijo del plano, y hágase corresponder á todo punto Q la perpendicular d trazada por Q á la recta PQ. Cuando el punto Q se mueve recorriendo una curva c, la perpendicular d envolverá una curva que es la antipodar de c. Recíprocamente, c es la podar de esta envolvente respecto al punto P. Luego el punto en que d toca á su envolvente, depende de la tangente en Q á la curva c, y no cambiará si sustituimos á esta curva el circulo que la toca en Q y pasa por P. Entonces la envolvente de d es el punto P₁ diametralmente opuesto al P sobre la circunferencia. Y se vé también que el punto P₁ en el que d toca á la antipodar de c es tal, que la normal en Q á c pasa por el punto medio de PQ. Hallamos así una construcción muy sencilla de la normal á la podar de una curva.

Consideremos un polo fijo P y que á todo punto Q corresponda un punto Q' de la recta PQ, de modo que el producto

\[
PQ \cdot PQ' = rr' = \pm p^4
\]

tenga un valor dado que toma el nombre de potencia de la transformación. Los dos puntos Q y Q' son evidentemente recíprocos, y por esto la transformación es involutiva.

Sean A y A' dos puntos correspondientes, respectivamente, de una curva plana C y de su reciproca c', y tracemos por ellos las tangentes AT, A'T y las normales AN, A'N'. La suma de los dos ángulos PAT y P'AT será dos rectos, y los ángulos AA'T y NAP serán respectivamente iguales á los ángulos A'AT y N'A'P. Si pues, prolongamos la normal A'N' hasta cortar á la normal AN en B y la tangente á la tangente en A' en el punto T, y unimos T con B, tendremos: AB = A'B y AT = A'T y de aquí AD = A'D, esto es, el punto D es el medio de AA' (fig. 1).
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 35

Se ve también que cada uno de los puntos B de C' equidista de C y de su recíproca C' (1), que la recta BT es perpedicular á AA' y pasa por su punto medio D y es tangente en B á la C". El punto D pertenece á la podar de C" relativa al punto P, y se tiene:

\[
PD = \frac{1}{2} (r + r') = a.
\]

Tanto la C como su recíproca C' son envolventes de un círculo de radio variable: \( AB = A'B = q \) cuyo centro recorre la curva C". Representando pues por R la longitud PB, se tiene:

\[
(R + q)(R - q) = rr' = p^2,
\]
\[
q = R^2 - p^2.
\]

En otros términos, \( q \) es la longitud de la tangente trazada por B al círculo de inversión, cuyo radio es \( p \).

Si la potencia es nula, esto es \( p = 0 \), será \( r' = 0, a = \frac{r}{2}, q = R \), y la curva C' contiene todos los puntos equidistantes de P y de la curva C.

Si el polo P es interior al círculo envuelto, necesariamente será \( rr' = -p^4 \), y entonces se tiene:

\[
(q + R)(q - R) = p^4; \quad q^4 = R^4 + p^4,
\]

esto es, \( q \) será igual á la distancia del punto B al punto en que la perpendicular á R levantada en P encuentra al círculo de inversión.

Veamos ahora la transformación del profesor Allardice (2). Consideremos un eje fijo XY y una curva C. Tracemos á éste una tangente AB, y sea \( \alpha \) el ángulo formado por ésta con el eje. Por el punto B en el que la tangente encuentra al eje, tracemos otra

Fig. 1

(1) E. Habich-Nouvelles annales de Mathém. tom. V.
(2) Vease Proced. of the Edimh. Soc. vol V. donde fué publicado por vez primera.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 36

recta \( BA_1 \), á la parte opuesta de \( BA \), que forme con \( XY \) un ángulo \( \beta \) y tal, que \( \angle ABA_1 = \alpha + \beta \). Esta segunda recta envuelve una curva \( C_1 \) que es la transformada de \( C \).

Los dos ángulos \( \alpha \) y \( \beta \) quedan evidentemente ligados entre sí por la relación:

\[
\tg \beta = m \tg \alpha.
\]

Si la curva \( C \) es un círculo, la envolvente de \( BA_1 \) es un círculo, y entonces el eje \( XY \) es el eje radical de los dos círculos. Para demostrarlo, basta demostrar que la relación entre las tangentes de los semi-ángulos \( \alpha \) y \( \beta \) se conserva constante.

Consideremos dos círculos \( C \) y \( C_1 \) (fig. 2) cuyo eje radical sea \( XY \) y \( P \) un punto de éste. Tracemos las tangentes \( PA \), \( PB \) y sea \( APE = \alpha \), \( BPE = \beta \). Trazando las bisectrices de estos ángulos que cortan la línea de los centros respectivamente en \( D \) y \( D_1 \), habremos demostrado que la relación indicada es constante, si demostramos que es constante la relación

\[
\frac{DE}{D_1E}.
\]

Prolonguemos el radio \( CA \) hasta encontrar á PD en \( A_1 \). Se tendrá: \( CD = CA_1 \).

Pero los dos triángulos rectángulos \( DEP \) y \( A_1AP \) dan:

\[
\frac{DE}{EP} = \frac{AA_1}{AP} \quad \text{o sea} \quad \frac{DE}{BE + AC + CD} = \frac{EP}{EP + AP}
\]

por lo que:

\[
\frac{DE}{EE_1} = \frac{EP}{EP + AP}
\]

análogamente

\[
\frac{D_1E}{EE_1} = \frac{EP}{EP + BP} = \frac{EP}{EP + AP}
\]

ó sea

\[
\frac{DE}{D_1E} = \frac{EE_1}{EE_1} = \text{constante.}
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 37

Se observa que las dos igualdades

\[
\tg \frac{1}{2} \beta = m \tg \frac{1}{2} \alpha \quad \text{y} \quad DE = m D_1 E
\]

son equivalentes.

Podemos demostrar también las proposiciones precedentes, empleando un sistema especial de coordenadas.

Sea \( r \) el radio del círculo C, \( \varphi \) la longitud AP de la tangente y \( d \) la distancia del centro de C al eje XY. Trazando AP₁ paralela á EC (fig. 3), se tendrá evidentemente:

\[
\angle CAP_1 = \angle EPA = \alpha
\]

y de aquí \( \varphi \sen \alpha = d + r \cos \alpha \)

ó sea \( \varphi = \frac{d}{\sen \alpha} + r \cot \alpha \),

ecuación del círculo en este sistema de coordenadas, que puede escribirse:

\[
\varphi = \frac{1}{2 \tg \frac{1}{2} \alpha} \left[ d (1 + \tg^2 \frac{1}{2} \alpha) + r (1 - \tg^2 \frac{1}{2} \alpha) \right]
\]

ó sea haciendo:

\[
d + r = a, \quad d - r = b:
\]

\[
\varphi = \frac{1}{2 \tg \frac{1}{2} \alpha} \left[ a + b \tg^2 \frac{1}{2} \alpha \right]
\]

Para obtener la transformada de esta ecuación basta poner \( m \tg \frac{1}{2} \beta \) en vez de \( \tg \frac{1}{2} \alpha \), y se tendrá:

\[
\varphi = \frac{1}{2 m \tg \frac{1}{2} \beta} (a + b m^2 \tg^2 \frac{1}{2} \beta)
\]

ó sea:

\[
\varphi = \frac{1}{2 \tg \frac{1}{2} \beta} \left( \frac{a}{m} + b m^2 \tg \frac{1}{2} \beta \right)
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 38

ecuación que también representa un círculo, esto es, el transformado del círculo C. Si \( d_1 = C_1 E \) es la distancia de un centro al eje X Y y \( r_1 = C_1 E_1 \) su radio, se tendrá:

\[
d_1 + r_1 = m (d + r), \quad d_1 - r_1 = \frac{1}{m} (d - r)
\]

de lo que: \[ r_1 = \frac{1}{2} \left[ r \left( m + \frac{1}{m} \right) + d \left( m - \frac{1}{m} \right) \right] \]

Este resultado puede obtenerse sin recurrir al anterior sistema de coordenadas, por la simple inspección de la fig. 2. En efecto, por las propiedades conocidas del eje radical, se tiene:

\[
E E_1 : E E_1 = E F_1 : E F_1
\]

Pero \[ E E_1 = m \cdot E E_1, \text{ por lo que } E F_1 = \frac{E E_1}{m} \]

De aquí: \[ d_1 + r_1 = m (d + r), \quad d_1 - r_1 = \frac{1}{m} (d - r) \]

por consiguiente: \[ r_1 = \frac{1}{2} \left[ r \left( m + \frac{1}{m} \right) + d \left( m - \frac{1}{m} \right) \right] \]

Es fácil ver que, cuando sea: \( m' = \frac{d - r}{d + r} \) el círculo transformado será de radio cero, ó sea se reducirá á un punto. Esta igualdad da valores reales para \( m \), si el círculo no corta al eje de transformación.

La característica principal de este método de transformación, es como se vé, por la demostración precedente, para el caso del círculo, que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de contacto y el eje, es constante. Si después quiere verificarse esto cuando en vez del círculo se tiene una curva cualquiera, se observará que si la curva es tangente á un círculo en el mismo punto de contacto con la tangente, y después se efectúa la transformación de toda la figura, el círculo transformado será todavía tangente á la curva transformada en el punto de contacto de ésta línea en la que se ha transformado la tangente.

Al trazar la tangente á la curva podemos tener en cuenta, no solo el ángulo \( \alpha \) que forma con el eje de transformación, sino además el ángulo \( \pi + x \). De aquí que la relación \( \tg \frac{1}{2} \beta = m \tg \frac{1}{2} x \)
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 39

de dos valores posibles para \( \beta \) y dos posiciones de la tangente transformada, ó sea dos curvas transformadas para un mismo valor de \( m \).

Esto puede verse mucho más fácilmente en el caso de que las curvas sean dos círculos. Supongamos un punto del círculo por transformarse, y expresemos las coordenadas en función del ángulo \( \omega \) comprendido entre el radio que pasa por el punto que se considera y el radio paralelo al eje de transformación. Tendremos

\[
x = a + r \cos \omega \qquad y = b + r \sin \omega
\]

Consideremos las dos figuras (3) y (4). Sea \( \varphi \) el ángulo formado por una tangente al círculo con el eje de transformación. En la primera de estas figuras se tiene:

\[
\varphi = \omega + \frac{\pi}{2} \quad \text{y en la segunda} \quad \varphi = \omega + \frac{3\pi}{2}
\]

En la fig. 3 es pues:

\[
x = a + r \cos \omega = a + r \sin \varphi \\
y = b + r \sin \omega = b - r \cos \varphi
\]

por lo que la ecuación de la tangente en el punto \((x_1, y_1)\) del círculo es:

\[
y - y_1 = (x - x_1) \tg \varphi
\]

cuando \( y = 0 \), será \( x' = x_1 - y_1 \cot \varphi \), y la curva transformada será la envolvente de:

\[
y = (x - x') \tg \theta
\]

donde:
\[
\tg \frac{1}{2} \theta = m \tg \frac{1}{2} \varphi
\]

Sustituyendo, tenemos pues,
\[
y = \tg \theta (x - x_1 + y_1 \cot \varphi) = \tg \theta (x - a + b \cot \varphi - r \cosec \varphi)
\]

Haciendo \( \tg \frac{1}{2} \varphi = \Omega \), esta ecuación se reduce á

\[
\Omega [m^2 y - m (\varphi + b)] + \Omega (x - a) 2m + (b - r) m - y = 0
\]

cuya envolvente es

\[
m^2 (x - a)^2 - [m^2 y - (\varphi + b) m] [(b - r) m - y] = 0
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 4

Schooten da además, para la elipse, y la hipérbola otros dos aparatos cuyo esquema se halla indicado en las figuras 1 y 2, y en fin para las tres cónicas, los que representan las figuras 3, 4 y 5 (*).

En todas ellas las letras F y F' designan los focos y M el punto que describe la curva.

10. En la segunda edición latina de la Géom. de Descartes (Amsterdam, 1659) se encuentran, de Juan de Witt, estas generalizaciones de las construcciones de Cavalieri:

Un ángulo gira alrededor de su vértice; uno de sus lados encuentra a una recta fija en H; por H se traza a una dirección dada una paralela que corta al otro lado en un punto M cuyo lugar es una cónica.

Se tienen dos rectas fijas AB, AC; una tercera CM moviéndose paralelamente a AB, girando una cuarta AKM alrededor de A y arrastrando un ángulo móvil ABC a un punto K que le está invariablemente ligado por una recta BK paralela a AC; regulando el movimiento el lado AB del ángulo móvil AKM, y el lado BC el de la recta CM, la intersección M de CM y de AK es una parábola.

(*) M. Elevé (R. M. S. 1809) ha propuesto, para la elipse y la hipérbola, aparatos basados en los mismos principios, pero más prácticos. Véase para la elipse: se tienen varillas articuladas AM, MB, BC, articuladas en M y en B; las varillas AM y BM resbalan respectivamente sobre los focos, y la varilla AB resbala a la vez sobre el centro de la curva y a lo largo de un tope (arré) en D sobre AM. A una distancia de M igual a MH: el punto M describe una ellipse.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 40

ó sea, haciendo por sencillez: \( m + \frac{1}{m} = p,\quad m - \frac{1}{m} = q \):

\[
(x - a)^2 + \left[ y - \frac{1}{2} b q + \frac{1}{2} r q \right]^2 = \frac{1}{4} (b q - r p)^2
\]

Para tener la ecuación análoga en el caso de la fig. 4, basta cambiar el signo de \( r \).

En la fig. 3 llamamos \( d' \) y \( r' \) á la distancia del centro del círculo al eje, y al radio del mismo, y en la fig. 4 llamamos \( d'_1 \), y \( r'_1 \) á las cantidades correspondientes. Tendremos:

\[
d' = \frac{1}{2} (b p - r q) \qquad r' = \frac{1}{2} (b q - r p)
\]
\[
d'_1 = \frac{1}{2} (b p + r q) \qquad r'_1 = \frac{1}{2} (b q + r p)
\]

y de aquí:

\[
d' + r' = m (b - r)
\]
\[
d'_1 + r'_1 = m (b + r)
\]
\[
d' - r' = \frac{1}{m} (b + r)
\]
\[
d'_1 - r'_1 = \frac{1}{m} (b - r)
\]

Así se ve que, cuando se da un valor de \( m \), un círculo C puede transformarse en dos círculos \( C_1 \) y \( C_4 \). Para uno de estos, la tangente envolvente se mueve en una dirección que podemos considerar positiva, y entonces para el otro la tangente se mueve en dirección negativa. Las dos figuras transformadas pueden pues distinguirse en directa é inversa.

Si se consideran dos círculos y se transforman ambos directa é inversamente, la longitud de la tangente común permanece constante, y esto responde al hecho de que en la transformación por figuras semejantes, el ángulo de intersección de las dos curvas permanece constante

Cuando un círculo se transforma según la serie de valores de \( m \), se tiene un sistema de círculos formado por todos los círculos que cortan ortogonalmente á otro sistema. Este sistema se transforma en sí mismo si se efectúa una transformación según todos los valores de \( m \).

Es claro que un punto se transforma en un círculo solamente.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 41

El lugar de los centros de los círculos transformados de todos los puntos de un círculo dado C, es una elipse.

Sea F uno de dichos puntos que se transforma en el círculo de centro P' y que pasa por los puntos P₁ y P₂ (fig. 5), se tendrá

\[
P₁ M = \frac{PM}{m} \quad \text{y} \quad P₂ M = m \cdot PM
\]

ó sea:

\[
P₁ M + P₂ M = p \cdot PM
\]

y

\[
P' M = \frac{1}{2} p \cdot PM
\]

Luego el lugar de los puntos P' es una elipse que tiene un eje igual al diámetro del círculo C y el otro eje igual á \( \frac{p}{2} \) veces dicho diámetro.

De esto se deduce que si se suponen cuatro círculos que tengan un mismo eje de semejanza, se pueden transformar en cuatro puntos, resultando que sus seis tangentes satisfacen á la relación que liga las seis rectas que unen dos á dos estos cuatro puntos.

Si además estos cuatro círculos son tangentes á un mismo círculo, sus tangentes comunes satisfacen á las relaciones que ligan entre sí los lados y las diagonales de un cuadrilátero inscriptible, esto es:

\[
h³ = \frac{(ac + bd)(ad + bc)}{ab + cd} \qquad k² = \frac{(ac + bd)(ab + cd)}{ad + bc}
\]

El lugar de los centros de los círculos que son tangentes al círculo dado y tienen un mismo eje de semejanza, es una elipse.

Eligiendo alguno entre los ejemplos de aplicaciones indicados por el mismo Allardice, nos reservamos el presentar algunas modificaciones y más amplias aplicaciones en uno de los números próximos.

Consideramos tres círculos fijos C₁, C₂, C₃. El lugar del centro de un círculo C tal, que las tangentes comunes á ellos y á cada uno de los tres círculos fijos sean iguales entre sí, es una recta perpendicular al eje de semejanza de los tres círculos, porque