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el sistema de círculos C se transforma en un sistema de círculos concéntricos. Los ocho círculos que tocan á los tres círculos C₁, C₂, C₃ son casos particulares del círculo C; luego los centros de estos ocho círculos están sobre un par de rectas que pasan por el centro radical y perpendiculares al eje de semejanza comun de los tres círculos dados.

El par de círculos cuyos centros están en la misma perpendicular á uno de los ejes de semejanza, tiene evidentemente este eje por eje radical.

Dedúcese de esta observación un modo de construir los círculos tangentes á tres círculos dados.

SUR UNA APPLICATION DE LA GEOMÉTROGRAPHIE

par M. L. RIPERT
Ancien Elève de l' Ecole Polytechnique de Paris

1. La Géométrographie, telle que l’a créée M. E. Lemoine, a pour premier objet de “donner, au moyen de certaines conventions, pour une construction quelconque exécutée, un symbole qui est une sorte de mesure de sa simplicité et des chances de sa plus ou moins grande exactitude..” Rouché et de Comberousse, Traité de Géométrie, 7ª édition, t. I, Note IV. (1)

La Géométrographie y parvient au moyen de deux coefficients dits, l’ un de simplicité, l’ autre d’ exactitude. Le premier est la somme

\[
l₁ + l₁' + l₂ + m₁ + m₂ + m₃ + n
\]

des nombres de toutes les opérations élémentaires (R₁, R₁', R₂, C₁, C₂, C₃, E). L’exactitude ne dépendant d’ ailleurs que de la justesse des opérations préparatoires (R₁, R₁', C₁, C₂, E), le nombre (l₁ + l₁' + m₁ + m₂ + m₃ + n) est le coefficient d’ exactitude... “A la Géométrie canonique des Grecs, qui n’admet que les solutions pour la droite et le cercle, correspond la Géométrographie canonique qui admet seulement la règle et le compas comme instrument de construction.” (loc. cit.)

(1) On sait que cette Note IV sur la Géométrographie est de M. E. Lemoine. Je signale ici sur le désir de l’auteur, une correction: P. 519, signe 4 en remontant, supprimer, R₃.
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Mais il est un ordre d’ idées tout différent, conséquence d’ une autre découverte du même géomètre,—Le point de Lemoine, qui a donné naissance à la Géométrie récente du triangle,—et qui est l’ étude de cette Géométrie par rapport à un point quelconque du plan substitué au point de Lemoine. (1) Je me propose d’ examiner les conditions d’ application de la Géométrographie à cet ordre d’ idées.

2. Le cercle étant alors supprimé et remplacé par une conique fondamentale O, circonscrite au triangle fondamental \( A_1, A_2, A_3 \) (que j’ appellerai A) et telle que le point fondamental choisi K soit le centre d’ homologie de ce triangle et de son triangle circonscrit \( a_1, a_2, a_3 \) (ou \( a \)), il n’ y a plus place, en général, pour l’ emploi du compas et celui de l’ équerre se réduit au tracé des parallèles. Les constructions devront donc s’ effectuer, en général, à l’ aide de la règle et d’ une équerre qui peut être à angles quelconques (fausse équerre).

La Géométrographie peut rendre, dans ces conditions, de réels services, si l’ on admet la base suivante: On considérera comme entièrement donnés, et par conséquent tracés une fois pour toutes sur l’ épure, les éléments fondamentaux dont il vient d’ être question, c’ est-à-dire, les triangles A et a, le point K et la conique O. Une construction sera régulière si elle n’ exige le tracé d’ aucune autre conique que O; mais elle ne sera géométrographique que si elle s’ effectue avec un nombre minimum d’ operations qui, en général, ne porteront que sur des droites.

3. La première question qui se présente dans cet ordre d’ idées est celle de la construction des points correspondant aux centres I, \( I_1, I_a, I_b \) des cercles inscrit et ex-inscrit à A. Celle du centre I a une importance particulière, car ce point est essentiel à la construction des points inverses qui ont un grand rôle dans la Géométrie du triangle.

Les points inverses par rapport au point de Lemoine dont les coordonnées barycentriques sont \( a_1', a_2', a_3' \), étant définis par les relations \( \frac{x_1}{a_1'} = \frac{x_1'}{a_1} = \frac{x_2}{a_2'} = \frac{x_2'}{a_2} = \frac{x_3}{a_3'} = \frac{x_3'}{a_3} = 1 \) entre leurs coor-

(1) Voie le Mémoire de M. F. LEMOINE (AFAS, Grenoble, 1885). F. CASPARY (sur quelques nouveaux théorèmes relatifs au triangle; N. A., 1900, p. 75); E. JAHNKE (Über dreifach perspektivische Dreiecke in der Dreiecksgometrie; Berlin, 1900); une brochure que j’ ai publiée en 1888. (Le dualité et l’ homographie dans le triangle et le tétraèdre), et mon Étude sur des groupes de triangles trihomologiques inscrits ou circonscrits (AFAS, Paris, 1900).
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données, il en résulte que les points inverses par rapport à K (\( \alpha_1, \alpha_s, \alpha_3 \)) doivent être définis par les relations

\[
\frac{x_1 x'_1}{\alpha_1} = \frac{x_2 x'_2}{\alpha_3} = \frac{x_3 x'_3}{\alpha_3} = 1
\]

D'autre part, l'hypothèse de K arbitraire conduit à la définition suivante:
On appelle coniques (principales) inscrite et ex-inscrite à A les quatre coniques I, I_1, I_s, I_3, tangentes aux côtés de A et homothétiques à O.
Leurs centres étant évidemment les points

\[
(V_{\alpha_1}, \pm V_{\alpha_2}, \pm V_{\alpha_3})
\]

ces coniques ne sont réelles que si K est intérieur à A, et elles sont alors toujours des ellipses.

4. Supposons d'abord K intérieur à A. Les centres I, I_1, I_s, I_3 peuvent alors s'obtenir en utilisant la propriété suivante: Les médiatrices (c'est-à-dire les droites \( Oa_1, Oa_2, Oa_3 \)) rencontrent la conique O en des points J_1 et J'_1, J_2 et J'_2, J_s et J'_s, les premiers points J étant placés sur le rayon passant par le milieu du côté si l'angle A correspondant est aigu, sur son prolongement si cet angle est obtus. (1) Les droites (A_1J_1, A_sJ_s, A_3J_3) concourent au point I; les droites (A_1J_1, A_sJ'_s, A_3J'_3), (A_sJ_2, A_sJ'_2, A'_1J'_1), (A_sJ_s, A_1J'_1, A_3J'_3) concourent respectivement aux points I_1, I_s, I_3.

J'ai examiné, de concert avec M. Lemoine, la question suivante:

On donne un triangle \( A_1A_2A_3 \). On lui circonscrit le cercle O, ce qui exige la construction de deux médiatrices \( J_1J'_1 \) et \( J_2J'_2 \) (les J et J' étant placés comme il vient d'être dit). On mène \( A_1J_1 \), \( A_sJ_s \) qui déterminent I; \( A_sJ'_s \) qui avec \( A_1J'_1 \), détermine \( I_1 \); \( A_1J'_1 \) qui, avec \( A_sJ_s \), détermine \( I_s \); \( I_3 \) se trouve déterminé par les

(1) Dans une conique quelconque, les angles au centre formés par deux diamètres conjugués peuvent être dits droits, et ces diamètres eux-mêmes divisent la conique en quatre quadrants. Un angle inscrit (\( \angle A_4A_1A_3 \) par exemple) sera dit aigu si les angles équivalents (\( \angle A_2Oa_1 \) et \( \angle a_1Oa_3 \)) sont chacun moindres qu'un quadrant; il sera dit obtus dans le cas contraire.
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doites menées \( A_1 J' \), es \( A_s J' \). Cette construction est-elle la construction géométrographique du quadrangle \( I I_1 I_2 I_3 \)?

Nous sommes arrivés au résultat suivant.

Par la méthode classique, que donnait jusqu'ici la construction géométrographique, le symbole est

Op: \( (8 R_1 + 4 R_s + 9 C_1 + 9 C_s) \)

Simplicité: 30; exactitude: 17;
4 droites, 9 cercles.

Par la méthode proposée, le symbole est:

Op: \( (12 R_1 + 6 R_s + 5 C_1 + 4 C_s) \)

Simplicité: 27; exactitude: 17; 6 droites, 4 cercles.

Donc, la construction proposée devient la construction géométrographique, c'est-à-dire, par définition (loc cit) celle dont le coefficient de simplicité est le plus petit.

4. Deux remarques peuvent être faites sur le résultat qui précède.

a. Le calcul a été fait dans l'hypothèse canonique, le triangle \( A \) étant supposé seul donné. Mais si l'on adopte la base du numéro 2, on aura à mener \( J_1 J'_1, J_s J'_s, A_1 J_1, A_s J_1, A_1 J'_1, A_s J'_s \), par deux points donnés ou déjà déterminés, et le symbole se réduira à

Op: \( [6(2R_1 + R_s)] \)

Simplicité: 18; exactitude: 12; 6 droites.

b. Il est assez curieux d'observer qu'une construction, qui s'est présentée dans un ordre d'idées absolument différent de celui de la Géométrie canonique, a conduit à une simplification géométrographique de la construction canonique.

5. Pour construire (K étant intérieur, et par suite, l'intérieur et réel), l'inverse \( X' \) (\( x'_1, x'_s, x'_s \)) d'un point donné \( X \) (\( x_1, x_s, x_s \)), avec les relations du n° 3, on mènera \( A_1 I \) (\( 2 R_1 + R_s \)) puis, par \( X \), la conjuguée de \( A_1 I \) c'est, à dire la parallèle à \( A_1 J'_1 \) (\( 2 R'_1 + E + R_s \)), et on la prolongera, à partir du point \( Y_1 \) où elle coupe \( A_1 I \), d'une longueur égale à \( XY_1 \) (\( 3 C_1 + C_s \)). On
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répétera la même opération par rapport à \( A_1 \), \( I_1 \) et on aura le symbole

Op: [2(2R_1 + 2R'_1 + 2R_s + E + 3C_1 + C_s)]

Simplicité: 22; exactitude: 16; 4 droites, 2 cercles.

Si K est extérieur (d'où I imaginaire), il suffit de remarquer que les inverses des associés de X sont les associés de son inverse X' et que l'un d'eux est toujours intérieur à A. Aninsi, l' inverse de X (\( x_1, x_0, x_3 \)) par rapport à K (\( -\beta_1^*, \beta_2^*, \beta_3^* \)) est le premier associé \( \left( -\frac{\beta_1^*}{x_1}, \frac{\beta_2^*}{x_2}, \frac{\beta_3^*}{x_3} \right) \) du point \( \left( \frac{\beta_1^*}{x_3}, \frac{\beta_2^*}{x_1}, \frac{\beta_3^*}{x_2} \right) \), inverse du premier associé de X et dont on vient d'indiquer la construction. Il est facile de calculer l'augmentation dans ce cas du symbole précédent.

6. La construction des points inverses est une de celles, assez rares dans l'ordre d'idées que nous occupé, où le compas trouve son emploi. Mais le calcul géométrographique sera ordinairement plus simple; il se réduira souvent à compter le nombre de droites indispensables et à multiplier ce nombre par \( (2\ R_1 + R_s) \), et il est aisé de voir qu'une grande simplification résultera de la base posée au n.º 3.

Ainsi, M. Caspary (loc cit) détermine comme il suit le premier triangle de Brocard \( B_1\ B_3\ B_s \) du triangle A (1). Ce triangle et un point K étant donnés, soient K\( ^{(1)} \), K\( ^{(2)} \), K\( ^{(3)} \) les points où les droites A, K, A, K, A, K coupent les côtés. Soient, de plus, \( B_s^{(1)} \) et \( B_s^{(1)} \) les points où les parallèles menées par K\( ^{(3)} \) et K\( ^{(2)} \) respectivement aux côtés A, A_1 et A_1, A_3 coupent A_3, A_1; et de même, les points \( B_3^{(1)} \) et \( B_3^{(2)} \); \( B_1^{(3)} \) et \( B_1^{(3)} \) obtenus par permutation cyclique. Soient enfin \( B_1^{(1)} \), \( B_3^{(2)} \), \( B_s^{(3)} \) les points situés respectivement sur A_3, A_3, A_3, A_1, A_1, A_1 et construits de façon que les segments A_3, B\( ^{(1)} \), A_1, B\( ^{(2)} \), A_3, B\( ^{(3)} \) soient égaux respectivement aux segments K\( ^{(1)} \) A_3, K\( ^{(2)} \) A_3, K\( ^{(3)} \) A_1.—Les droites \( (A_1, B_1^{(1)}, A_3, B_1^{(2)}, A_3, B_1^{(3)}) \), \( (A_1, B_3^{(1)}, A_3, B_3^{(2)}, A_3, B_3^{(3)}) \), \( (A_1, B_s^{(1)}, A_3, B_s^{(2)}, A_3, B_s^{(3)}) \) concourent respectivement aux points \( B_1 \), \( B_3 \), \( B_s \).

On voit que ces points \( B_1 \), \( B_3 \), \( B_s \) sont déterminés par \( (A_3, B_1^{(2)}, A_3, B_1^{(3)}) \), \( (A_1, B_3^{(1)}, A_3, B_3^{(3)}) \), \( (A_1, B_s^{(1)}, A_3, B_s^{(1)}) \). On peut donc,

(1) On est prié de faire la figure.
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pour réaliser la construction, se dispenser de déterminer les points \( B_1^{(1)} \), \( B_2^{(2)} \), \( B_3^{(3)} \), et le symbole est

\[
\text{Op: } [3(6R_1 + 4R'_1 + 5R_s + 2E)]
\]

Simplicité: 51; exactitude: 36; 15 droites.

Mais cette construction suppose la conique O non donnée; si l’on suppose au contraire que A, a, K et O sont donnés (n.º 3), la propriété qui donne la construction géométrographique du triangle B est la suivante: Les points \( B_1, B_2, B_3 \) sont les intersections des médiatrices des côtés \( A_2A_3, A_0A_1, A_1A_3 \) et des parallèles menées par K à ces côtés. Le symbole de cette construction est

\[
\text{Op: } [3(2R_1 + 2R'_1 + 2R_s + E)]
\]

Simplicité: 21; exactitude: 15; 6 droites.

Enfin, comme exemple de constructions s’ exécutant avec la règle seule, j’indiquerai la suivante que j’ai démontrée dans mon Mémoire cité (AFAS, Paris, 1900).

“Etant donnés A, a, K et O, soit Δ l’axe d’ homologie de A et a, déterminé par les trois points d’intersection \( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \) de \( A_1A_3 \) et \( a_3a_1, A_3A_1 \) et \( a_1a_3, A_1A_3 \) et \( a_1a_2 \). Soient P un point arbitraire de O et Q₁, Q₂, Q₃ le points d’intersection de O avec les droites \( P_1\Delta_1, P_1\Delta_4, P_1\Delta_2 \).—Les droites \( \Delta_1Q_1, \Delta_4Q_3, \Delta_2Q_4 \) concourent en un point \( P_1 \); les droites \( \Delta_1Q_1, \Delta_4Q_3, \Delta_2Q_4 \) concourent en un point \( P_2 \); les points \( P_1 \) et \( P_2 \) sont sur O. Les triangles inscrits \( A_1P_1Q \) sont deux à deux trihomologiques; les neuf centres d’ homologie sont situés sur Δ; les neuf axes d’ homologie passent par K.”

Le symbole de cette construction, effectuée, avec le nombre minimum de droites nécessaires pour déterminer les triangles P et Q, les neuf centres et les neuf axes, est

\[
\text{Op: } [27(2R_1 + R_4)]
\]

Simplicité: 81; exactitude: 54; 27 droites

Il est clair d’ailleurs que, dans ces conditions, les trois nombres étant toujours entre eux comme 3, 2, 1, on peut prendre le dernier (27 droites) pour mesure de la simplicité. On peut même
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adopter cette règle pour le cas où une construction exige le tracé de droites parallèles. On remarquera, une fois pour toutes qu’ une droite menée par deux points (2 \( R_1 + R_4 \)) comporte deux opérations préparatoires ou d’ exactitude, et qu’ une parallèle menée par un point à une droite donnée (2 \( R'_1 + E + R_4 \)) en comporte trois. Une construction pourra alors se symboliser comme il suit:

Op: \((3p + 4p') - p\) droites de jonction; \(p'\) parallèles

On peut trouver dans l’ étude du cercle de Brocard, dans celle des groupes de triangles trihomologiques inscrits ou circonscrits à une ou plusieurs coniques, etc., une infinité d’ applications intéressantes.

Las reformas de la enseñanza en la Facultad de Ciencias

Dos acontecimientos de gran transcendencia han tenido lugar en España en los momentos actuales.
La creación del Ministerio de Instrucción pública y la reorganización de la enseñanza.
Ya era tiempo de que la instrucción pública, base y fuente de la riqueza y poderío de una nación dejase de pertenecer á un centro subalterno, relegando al olvido y á la inacción.
El segundo acontecimiento es, si bien consecuencia del primero, casi de mayor importancia; el que haya existido un ministro, con bríos y entereza suficientes para abordar en su totalidad y resolver de plano el problema de la enseñanza.
Era bochornoso para la nación, y no solo bochornoso sino fuente inagotable de desdichas y síntoma de muerte, que desde la ley de Moyano de 1857 no se hubiera puesto sobre el tapete tan transcendental problema.
No vamos á tratar del plan en su totalidad, porque esto no puede ser obra de uno, sino de varias colectividades; y solo si vamos á hacer breves indicaciones acerca de la organización de los estudios matemáticos.
Desde luego resulta una mejora que merece unánimes aplausos, el hecho de exigirse á los licenciados en la Facultad de ciencias Físicas el estudio del cálculo diferencial é integral, sin el que no es posible entender la mayoría de las obras que acerca de estas
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ciencias se publican, y aun cabe con ventaja esta mejora para los estudiantes de la Facultad de Química, siendo también de gran importancia la separación de las diversas Facultades de ciencias, que corresponden á diversas aptitudes intelectuales y personales de los alumnos, si bien las físicas pueden fundirse ventajosamente con las matemáticas.

Respecto á la distribución de las asignaturas, el número y calidad de éstas, creemos oportuno hacer las siguientes observaciones:

Es indudable que ahora se presentaba la ocasión de corregir el evidente desacuerdo que se cometió en 1877 al sustituir el antiguo curso de Complemento de Algebra por dos cursos de análisis, lo que fomenta nuestra manía de prologuear, sin entrar en materia, so pretesto de que nunca estamos suficientemente preparados. Esto ha dado motivo para que generalmente nuestros cursos no sean lo que deben ser, resultando muchas veces algunos de carácter superior simple repetición de otros inferiores ó elementales, con ligeras variantes.

Lejos de corregirse esta falta, que solo tuvo por objeto el crear una cátedra, como en diferentes ocasiones se ha hecho, con fines especiales, hoy se insiste en la misma, creando una nueva asignatura de Geometría al sustituir la Geometría general, por las geometrías métrica y de la posición, con lo que los estudios geométricos resultan sobrecargados, ya que además los alumnos deben estudiar Geometría analítica, Geometría descriptiva, Geometría infinitesimal, y, por último, un curso de estudios superiores de Geometría.

Por otra parte, la existencia del primer curso de análisis retrasa al tercer año la importantísima asignatura de cálculo diferencial á integral, que hoy urge estudiar cuanto antes, como se verifica en los planes de estudios de las naciones más adelantadas, pues el método infinitesimal por su mayor fecundidad abarca y suple ventajosamente los demás métodos matemáticos.

Como consecuencia natural resulta que el nuevo curso de Análisis superior, creado en los estudios del doctorado, es insuficiente para iniciar siquiera al alumno en las teorías superiores, tales como las de las funciones elípticas, teoría de los grupos, teoría de las funciones en su amplio desarrollo, y cursos especiales de ecuaciones diferenciales. Esto sin contar con que entre nosotros se da poca extensión á los estudios del Algebra de las formas y nin-
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Todas estas construcciones han sido resumidas magistralmente por Newton en este teorema: Si dos ángulos giran alrededor de sus vértices y las intersecciones de dos lados describen una recta, las intersecciones de los otros dos describirán una cónica, que se publicó por primera vez en la Phil. nat. (1687).

Este teorema, origen de tantos hermosos descubrimientos, era demasiado general para dar un medio práctico de trazar las cónicas. Por eso ha quedado esteril desde este punto de vista.

11. Llegamos, en fin, á un elipsógrafo práctico, con el sistema de ruedas dentadas llamado mosca de Lahire (Mem. de l'Acad des Sc. 1699): una rueda que engrana en el interior de una rueda fija de radio doble, todo punto del plano de la primera describe una elipse. (*)

No trataremos, más que para recordarlo, del trazado de la hipérbola por medio de una plomada (Guido-Grandi, Flores Geom. Florencia 1728, y Colson Phil. Trans. 1729) que ligada á un punto fijo, queda tendida por un punto trazante, mientras que el plomo queda sujeto á moverse en línea recta.

12. Hasta esta época, aparte de las modificaciones poco importantes de los aparatos que acabamos de ver, el estudio de los conicógrafos estaba, como se ve, poco adelantado. (**)

El instrumento de Proclo, para la elipse, era el único empleado en las artes. En defecto de este se empleaba una banda de papel ó se le sustituían asas de cesto; la parábola y la hipérbola se trazaban por puntos, según el método Cavalieri.

13. Por otra parte, hasta entonces, los principios invocados para la construcción de las cónicas eran las propiedades más

(*) La necesidad de una zona interiormente dentada hace incómodo este mecanismo. También se le reemplazará ventajosamente por una pluma geométrica de Suardi (Novi instrumenti, Brescia 1752). Este aparato contiene tres ruedas dentadas A, B, C (fig. 6) montadas sobre un mismo triángulo. Si este gira alrededor del eje de A, todo punto del plano de C describirá una hipotrocoide, que será una elipse, si el radio de C es la mitad del de A.

Este aparato ha sido construido posteriormente con modificaciones que lo hacen poco práctico por el profesor húngaro Braun.

(**) Así Laboulaye (Ciném. Paris, 1801) propone una palanca articulada de la que una extremidad se halla sujeta á girar alrededor de un eje perpendicular, mientras que la otra varilla debe pasar siempre por un punto fijo del espacio, cosa difícil de realizar. Todo punto de esta última varilla describe una elipse.
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guna á la verdadera teoría de las ecuaciones algebraicas creada por Abel y Galois que no figuran en nuestros programas.

Por eso huelgan un curso de análisis y de geometría elementales, que pudieran haberse sustituido por otros cursos superiores, donde pudieran tener cabida las teorías arriba indicadas.

Y aun, puesto que las corrientes modernas indican como necesarias para el profesorado, cátedras de Pedagogía matemática ó estudios histórico-criticos de la ciencia matemática, habría sido de gran importancia y de mucha actualidad el crear una nueva cátedra con uno de estos nombres, donde se pudieran sintetizar los estudios matemáticos, y perfeccionarlos bajo la dirección del espíritu crítico, que además de contribuir á organizar la ciencia y dar su conocimiento de conjunto, contribuyera á desarrollar las aptitudes de maestro, distintas de las de mero repetidor de lo que uno sabe y expone, sin tener en cuenta la parte educativa, de mayor importancia que la simple instrucción.

Sin prolongar este artículo, ya que de esta cuestión nos hemos ocupado en Madrid científico, vamos á terminar con breves consideraciones acerca del complemento del plan de enseñanza, á saber, el ascenso en la carrera del profesorado.

Las oposiciones y los exámenes son en realidad dos males, pero dos males necesarios; y solo de ellos podíamos emanciparnos con la elevación de las condiciones morales. La preparación para el examen y para la oposición conducen al estudio, no por la ciencia, sino para salir triunfante de la prueba. Esto es contrario al espíritu de investigación, que forma la ciencia propia, no la ciencia acomodada á tal ó cual prueba, y esto preocupa hondamente á las naciones.

Entre nosotros la oposición y los exámenes son necesarios; sirven de muro de contención, aunque no siempre suficientemente sólido para cortar ó aminorar abusos.

Es pues muy acertado el criterio del Sr. Ministro de preferir la oposición, que prueba idoneidad para ejercer el cargo de profesor, superior á la de quien no ha osado entrar en la lid, donde uno demuestra su competencia.

Solo una exageración creemos encontrar en la apreciación del Sr. García Alix, acerca de la superior idoneidad del catedrático por oposición directa á la misma asignatura, cláusula inexorable de los concursos por traslación, que ha permitido en diversas ocasiones el ascenso á cátedras de Madrid, á profesores que por