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El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 11

ejemplo, la correspondiente á las descritas sobre \( b \) y \( c \) es la que tiene por diámetro la mediana relativa al lado \( a \)), resulta, pues, en virtud de nuestra observación, que los ejes radicales de las últimas serán los mismos que los correspondientes á las primeras, es decir, las alturas del triángulo. Tenemos, pues, seis circunferencias que tienen por centro radical común el ortocentro del triángulo dado.

Si consideramos ahora las circunferencias descritas desde los medios de los lados como centros con un radio igual á las medianas correspondientes, y á las que hemos llamado por ciertas razones que en otra ocasión expusimos, circunferencias potenciales (véase nuestra Nota del Progreso Matemático, tomo V, página 70), es evidente que dichas circunferencias son las descritas tomando como diámetros las medianas del triángulo anticomplementario, pero por otra parte, en virtud de lo anteriormente dicho, estas circunferencias son las radicales de las descritas sobre los lados de este último triángulo; podemos en consecuencia decir que las circunferencias descritas desde los vértices de un triángulo como centros con radios iguales á los lados opuestos, tienen por circunferencias radicales las potenciales de dicho triángulo, y que por lo tanto su centro radical es el ortocentro del triángulo anticomplementario del propuesto.

Tenemos, pues, un segundo grupo de seis circunferencias que tienen el mismo centro radical.

Hemos dicho que cuando dos circunferencias son ortogonales, la circunferencia radical tiene por diámetro la línea de centros, y como el círculo de Longchamps es ortotómico de los descritos desde los vértices como centros con radios iguales á los lados opuestos, resulta que las circunferencias que tienen por diámetros las rectas que unen el ortocentro de un triángulo con el de su complementario, son las radicales del círculo de Longchamps y de los otros tres de que hemos hecho mérito.

El mismo criterio puede servir para encontrar las circunferencias radicales de algunas otras del triángulo, pero en todos los casos puede recurrirse á la geometría analítica; es en efecto evidente que si \( C = 0 \) y \( C' = 0 \) son las ecuaciones de dos circunferencias, la de la radical será \( C + C' = 0 \), ya se trate de coordenadas cartesianas ó trilineales; así la circunferencia radical de las representadas por las ecuaciones

\[
x^2 + y^2 + 2A x + 2B y + C = 0 \\
x^2 + y^2 + 2A' x + 2B' y + C' = 0
\]
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es la siguiente:

\[
x^2 + y^2 + (A + A')x + (B + B')y + \frac{1}{2}(C + C') = 0
\]

y si en particular se toma por el eje de las X la línea de centros y una de ellas tiene el suyo en el origen (suponemos rectangular el sistema) la circunferencia radical será:

\[
\left(x - \frac{x}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2(R^2 + R'^2) - x^2}{4}
\]

resultado que comprueba lo que anteriormente hemos dicho, que para que la circunferencia radical exista, tiene que ser la distancia de centros menor que \( \sqrt{2(R^2 + R'^2)} \). Si esta distancia es \( \sqrt{2(R^2 + R'^2)} \), la circunferencia se reduce á un punto situado en la línea de centros, interiormente á la circunferencia de mayor radio y á una distancia de su centro igual á la anterior cantidad radical dividida por dos.

Si se trata de coordenadas baricéntricas y las circunferencias dadas son

\[
\sum a \times \sum u x - \sum a^2 \varphi \gamma = 0 \\
\sum a \times \sum u x' - \sum a^2 \varphi \gamma = 0
\]

la circunferencia radical es

\[
\sum x \cdot \sum (u + u') x - 2 \sum a^2 \varphi \gamma = 0
\]

Es muy fácil probar analíticamente un hecho que anteriormente hemos consignado, y es que si tenemos tres circunferencias o, o', o'' y las agrupamos de dos en dos, el eje radical de las circunferencias radicales de dos grupos, lo es del tercer grupo. Tenemos, en efecto, llamando

\[
C = 0,\ C' = 0,\ C'' = 0
\]

las ecuaciones de las tres circunferencias dadas.

La circunferencia radical de
\[
\begin{cases}
C = 0 \\
C' = 0
\end{cases}
\]
es \( C + C' = 0 \)

Eje radical de
\[
\begin{cases}
C + C' = 0 \\
C + C'' = 0
\end{cases}
\]
es \( C' - C'' = 0 \)

La " " de
\[
\begin{cases}
C = 0 \\
C'' = 0
\end{cases}
\]
es \( C + C'' = 0 \)

Eje de
\[
\begin{cases}
C' = 0 \\
C'' = 0
\end{cases}
\]
es \( C' - C'' = 0 \)
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Si después de encontrar las circunferencias radicales de tres dadas operamos lo mismo (cuando es posible) con las que sucesivamente vamos obteniendo, podrán resultar series triples de círculos sometidos á ciertos ligazones cuyo estudio puede ser curioso.

La consideración de circunferencias radicales en la geometría del triángulo relacionando las relativas á círculos notables de éste, con otros círculos, rectas y puntos ligados al mismo, podrá quizás dar lugar á resultados interesantes, pero saltos hoy de tiempo para hacer un estudio detenido, sólo hemos apuntado ideas que nos propone mos desarrollar en otra ocasión.

Algunas propiedades referentes á los sistemas de círculos,
demostradas sin el auxilio de relaciones métricas ni del postulado Euclídeo.

POR
D. VENTURA REYES PRÓSPER
CATEDRÁTICO DEL INSTITUTO DE CUENCA

Las ventajas de simultanear el estudio de la Geometría del espacio con el de la Geometría plana, no considerándolas como dos cosas ajenas entre sí, ha sido sentida desde hace algún tiempo por los más eminentes geómetras. Frecuentemente se cita entre estos últimos á Poncelet y Monge.

Yo añadiré que la nueva Geometría de posición, libre de relaciones métricas, y aun del postulado Euclídeo referente á las paralelas, está precisamente basada en la introducción de elementos tomados fuera del plano para demostrar propiedades referentes al plano.

En el presente trabajito me propongo hacer patente, cómo siguiendo los métodos de Monge y Hankel se puede llegar á establecer con todo rigor proposiciones vulgares referentes al círculo, con independencia de medidas y de paralelas.

Voy ante todo á demostrar el siguiente

LEMA: Suponiendo dos rectas ao ao' que se cortan en el punto común a, si levantamos á dichas dos rectas en el plano que las contiene á ambas y en los puntos o y o' respectivamente, las perpendiculares correspondientes, digo que será siempre posible hallar un ángulo oao' tal, que conservando ao y ao' sus longitudes, se corten las dos perpendiculares en un punto ω.
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Claro que sólo colocándonos bajo el punto de vista No-Euclídeo, necesitamos demostrar esta proposición.

Sea \( oa \) la mayor de las dos rectas, tracemos alrededor de \( a \) con el radio \( ao' \) una circunferencia. Levantemos en \( o \) la perpendicular á \( oa \); tomemos en la parte de \( oa \) que cae hacia la izquierda un punto \( x \): desde \( x \) tracemos una de las dos tangentes á la circunferencia; resultará que esta tangente corta necesariamente á la perpendicular en un punto \( \omega \), pues para tocar al círculo debe pasar á la región derecha del plano.

Uniendo entonces \( a \) con el punto \( o' \) de contacto tendremos el ángulo \( oao' \) deseado.

Este lema nos basta para probar la siguiente proposición, conocida desde hace mucho tiempo, pero demostrada siempre dentro de la Geometría Euclídea y de las relaciones métricas. *Dados dos círculos en un plano, existe sobre la recta que une sus centros un punto tal que levantando en él una perpendicular á la línea de los centros, goza dicha perpendicular de la propiedad de que trazando desde cualquiera de sus puntos las dos tangentes á los dos círculos, estas tangentes son iguales para cada punto.* Esta recta perpendicular es la que se ha llamado recta de potencia igual (según Jacob Steiner) ó eje radical (según Gaulthier de Tours).

Sólo tenemos que servirnos del lema establecido antes y de una proposición tan simple como ésta: *Todas las tangentes que desde un punto se pueden trazar á la esfera son iguales*.

En la demostración distinguiremos dos casos, según que los dos círculos dados se corten ó no.

1.º caso. *Los dos círculos se cortan en los puntos d y d', oao' siendo la línea de los centros*.

Hagamos girar las dos mitades de plano alrededor de la recta \( add' \), de modo tal que el ángulo \( oao' \) sea á propósito (fig. 2.a) para que se corten en un punto \( \omega \) las dos perpendiculares levantadas en \( o \) y \( o' \) á las dos mitades de plano P y Q. Ya sabemos que estas dos perpendiculares están contenidas en el plano de \( oao' \) y que son respectivamente perpendiculares á \( oa \) y \( oa' \), como puede verse demostrado pan-

Fig. 1.1
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geométricamente en algunos tratados (Frischauf, por ejemplo). Ahora bien, este punto \( \omega \) dista igualmente de todos los puntos de la circunferencia \( o \), y de todos los puntos de la circunferencia \( o' \), y estas distancias son iguales á \( \omega d = \omega d' \). Esto quiere decir que \( \omega \) es el centro

de una esfera que contiene á las dos circunferencias \( o \) y \( o' \). Si, pues, desde cualquier punto de la recta \( dd' \) se trazan tangentes á las dos circunferencias, estas tangentes serán iguales por ser tangentes á una misma esfera.

El caso en que las dos circunferencias fuesen tangentes, lo trataríamos como el caso que acabamos de estudiar.

2.º caso. *Las dos circunferencias no se cortan, oao' es la línea de los centros*.

Tracemos esta línea; tomemos sobre el plano un punto \( s \) y su simétrico \( s' \), con respecto á \( oo' \), tales que las tangentes trazadas á las dos circunferencias sean iguales entre sí (*).

La recta \( ss' \) cortará entonces á la línea de los centros en \( a \) y le será perpendicular.

Hagamos girar las dos mitades del plano alrededor de la línea \( ss' \) de modo que ocupen las posiciones P y Q, elegidas de modo que el ángulo \( oao' \) sea tal que las perpendiculares levantadas en \( o \) y \( o' \) á P y

(*) Esto es muy fácil, sabiendo que el lugar de los puntos desde los cuales las tangentes trazadas á una circunferencia tienen una longitud dada \( \lambda \), es otra circunferencia concéntrica. Elegiremos la magnitud \( \lambda \) de tal modo, que las dos circunferencias correlativas á las dos propuestas, se corten en los puntos \( ss' \), lo cual es posible, y entonces \( sm = sm' = \lambda \).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 16

Q (perpendiculares respectivamente en consecuencia á ca y c'a') se corten en un punto w.

Unamos w con m, m' y s'. Los triángulos wms' wms's' son rectángulos por el teorema de las tres perpendiculares, y como tienen iguales la hipotenusa y un cateto, deberán ser iguales, de donde wms=wms'.

Ahora bien, todos los puntos de la circunferencia o distan de w la longitud wms y todos los puntos de la circunferencia o' distan de w la longitud wms'; luego por ser como hemos dicho wms=wms', resultará que w es el centro de una esfera sobre la cual caen las dos circunferencias o y o', siendo en consecuencia iguales las tangentes trazadas á ambas desde un punto arbitrario de la recta ss'.

Establecido que existe siempre un eje radical para dos circunferencias situadas en un plano, deduciremos sencillamente, por rotación de las figuras alrededor de la línea ss' que dos esferas tienen siempre un plano radical, de donde se deduce á su vez que tres esferas podrán tener (tendrán en la Geometría Euclídea) una recta radical, si se cortan sus planos radicales (*) y también las otras proposiciones que traen los autores, por ejemplo, Reye, Geometrie der Kugel und Kugel systeme.

(Continuará)

NOTA SOBRE LA CUESTIÓN 164
POR M. E. LEMOINE

La solución elegantísima que el Sr. Sollertinsky ha dado en la página 183 al problema propuesto, mediante el empleo del teorema de Stewart, me ha decidido á indicar ahora que la transformación continua (aplicada al tetraedro, método cuya teoría he desarrollado en mi Memoria del Congreso de Besançon, 1593, Association française pour l'avancement des sciences y en una Nota publicada por la Sociedad Matemática de Edimburgo, en el tomo XIII, 1894-95) conduce, sin ningún cálculo, á fórmulas análogas á la que constituye la cuestión 164, y cuya obtención directa sería demasiado prolija.

Basta saber que en la transformación continua en D, en A, en B, en C, los ángulos diedros a, b, c, a', b', c' se transforman respectivamente:

(*) Esto se saca de que si los tres ejes radicales de tres círculos se cortan, lo hacen en un solo punto (demonstración usual).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 17

En la transformación continua en D: en \( \pi - a, \pi - b, \pi - c, a', b', c' \) > > > > > > A: > \( \pi - a, b, c, a', \pi - b', \pi - c' \)
> > > > > > B: > \( a, \pi - b, c, \pi - a', b', \pi - c' \)
> > > > > > C: > \( a, b, \pi - c, \pi - a', \pi - b', c' \)

y que las caras \( F_a, F_b, F_c, F_d \) se reducen respectivamente por las mismas transformaciones á

\[
-F_a -F_b -F_c F_d; \quad F_a -F_b -F_c -F_d
\]
\[
-F_a F_b -F_c -F_d; \quad -F_a -F_b F_c -F_d
\]

Las aristas no cambian, puesto que, en la fórmula de la cuestión 164, sólo entran en la segunda potencia.

Esto sentado, si se llama \( A_r \), el punto en que el plano bisector del suplemento del ángulo diedro \( a \) corta á DA, y \( A_r \) el punto en que el plano bisector del suplemento del ángulo diedro \( a' \) corta á BC, la transformación en D de la fórmula 164, da inmediatamente:

\[
\frac{(F_b + F_c)(F_a - F_d)[F_a(c^2F_b + b^2F_c) - F_d(c'^2F_b + b'^2F_c)]}{A'_1 A_1^2} = \frac{-a^2F_b F_c (F_d - F_a)^2 + a'^2F_a F_d (F_b + F_c)^2}{(F_d - F_a)^2 (F_b + F_c)^2}
\] (1)

La transformación en A da el mismo resultado que la transformación en D.

La transformación, sea en B, sea en C, da

\[
\frac{(F_b - F_c)(F_a + F_d)[F_a(c^2F_b - b^2F_c) + F_d(c'^2F_b - b'^2F_c)]}{A'_1 A_2^2} = \frac{-a^2F_b F_c (F_d + F_a)^2 - a'^2F_a F_d (F_b + F_c)^2}{(F_d + F_a)^2 F_b - F_c)^2}
\] (2)

Si ahora transformo, sea en B sea en C, la fórmula (1), se tendrá

\[
\frac{(F_b - F_c)(F_d - F_a)[-F_a(c^2F_b - b^2F_c) + F_d(c'^2F_b - b'^2F_c)]}{A'_1 A_1^2} = \frac{+ a^2F_b F_c (F_d - F_a)^2 + a'^2F_a F_d (F_b - F_c)^2}{(F_d - F_a)^2 (F_b - F_c)^2}
\] (3)
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 18

NOTA CON MOTIVO DE LA CUESTIÓN 69
(V. t. II, págs. 215 y 306)
POR M. H. BROCARD

Si se obtienen los primeros valores de \( u_n \), se obtiene
\[
u_0 = 0,\ u_1 = 1,\ u_2 = 2,\ u_3 = 5,\ u_4 = 10,\ u_5 = 21 \\
u_6 = 42,\ u_7 = 85,\ u_8 = 170,\ u_9 = 341,\ u_{10} = 682,\ \text{etc.}
\]
Estos números pueden repartirse en grupos de dos en dos, en los cuales el segundo es el doble del primero:

\[
\begin{array}{ll}
u_1 = 1 & u_2 = 2 \\
u_3 = 5 & u_4 = 10 \\
u_5 = 21 & u_6 = 42 \\
u_7 = 85 & u_8 = 170 \\
\end{array}
\]

Se tienen además las relaciones
\[
u_5 = 2u_4 + 1 \qquad u_7 = 2u_6 + 1 \qquad u_9 = 2u_8 + 1 \\
u_3 - u_1 = 4 \qquad u_5 - u_3 = 16 \qquad u_7 - u_5 = 64 \ldots
\]
se obtienen, pues, en definitiva, las expresiones
\[
u_{2n+2} = \frac{2^{2n+3} - 2}{3} \\
u_{2n+3} = \frac{2^{2n+4} - 1}{3}
\]

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 41
(Véase tomo II, página 206).

Sean O un círculo tangente en A y C á dos rectas rectangulares AF, CF; AODE, COBH los dos diámetros correspondientes, AB una secante, BD la perpendicular á AB.
Se pide el lugar geométrico del punto M de intersección de AB con
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 19

CD. Deducir también, ya el cuadrado, ya la raíz cuadrada de la tangente de otro ángulo.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard.

Sean A el origen, AO el eje de las x; MAO = ω, MDE = θ.

El punto M resulta de la intersección de las rectas ABM, CDM que tienen por ecuaciones

\[
y = mx = x \tg \omega, \quad y + a = (x - a) \tg \theta
\]

con

\[
\tg \theta = \cot^2 \omega.
\]

De esto se deduce

\[
y + a = \frac{x^2}{y^2} (x - a)
\]

ó

\[
\rho = \frac{a}{\cos^3 \omega - \sen^3 \omega}
\]

pudiendo hallarse representadas las coordenadas x, y por funciones racionales del parámetro m,

\[
x = a \frac{1 + m^2}{1 - m^3}, \quad y = am \frac{1 + m^2}{1 - m^3},
\]

la curva representada por las ecuaciones anteriores es una cúbica unicursal.

La eliminación de a entre la ecuación (1) y su derivada conduce á una relación independiente de a y que, por consiguiente, expresa una propiedad común á todas las cúbicas de esta familia. La ecuación característica de estas curvas es, pues,

\[
\frac{x^2 + y^2}{2(x + py)} = \frac{x^3 - y^3}{3(x^2 - py^2)} \quad \delta \quad p = \frac{1 + 3m^2 + 2m^3}{m^4 + 3m^2 + 2m}
\]

La curva (M) es simétrica con respecto á la recta AC; tiene por vértice el punto C y es tangente á CO y á CF en los puntos O, F.

De la ecuación (2) se deduce

\[
\rho' = \frac{3a \sen \omega \cos \omega (\sen \omega + \cos \omega)}{(\cos^3 \omega - \sen^3 \omega)^2}
\]

lo que muestra que \( \rho \) es máximo para \( \omega = -45^\circ \) y mínimo para \( \omega = 0 \) y \( \omega = 90^\circ \).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 2

Pero A'D = A'D₁ y A'R es paralela á DD'; por consiguiente

\[
A'R = \frac{1}{2} DD' = r.
\]

Lo mismo para las otras igualdades.

(2) Si por B' se levanta una perpendicular á CA; BE BE₁ BE₂ BE₃ cortarán á ésta en los puntos S₂ S₃ S S₁ tales que

\[
B'S = r \quad B'S₁ = r₁ \quad B'S₂ = r₂ \quad B'S₃ = r₃
\]

Si por C' se levanta una perpendicular á AB; CF CF₁ CF₂ CF₃ cortarán á ésta en los puntos T₃ T₂ T₁ T tales que

\[
C'T = r \quad C'T₁ = r₁ \quad C'T₂ = r₂ \quad C'T₃ = r₃
\]

(3) Los cuatro triángulos RST R₁S₁T₁ R₂S₂T₂ R₃S₃T₃ son inversamente semejantes á ABC. Tienen O, centro del círculo circunscrito á ABC, por centro de homología, y á OI OI₁ OI₂ OI₃ por diámetros de sus círculos circunscriptos.

Porque A'R₁ = r₁ = I₁D₁ el \( \angle I₁R₁A' \) es recto.
Igualmente los \( \angle I₁S₁B' \) y \( \angle I₁T₁C' \) son rectos.
Por consiguiente, el círculo cuyo diámetro es OI₁ pasa por los puntos R₁ S₁ T₁.
Puesto que los puntos R₁ S₁ O T₁ son concíclicos, se tiene que
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 20

La curva tiene una sola asíntota NG inclinada á 45°. La distancia del origen á esta recta tiene por expresión

\[
\delta = \frac{a \sen (45-\omega)}{\cos^2 \omega - \sen^2 \omega} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(\cos \omega - \sen \omega)}{(\cos^2 \omega - \sen^2 \omega)} = \frac{a \sqrt{2}}{2(1 + \sen \omega \cos \omega)}
\]

\[
\delta = \frac{a \sqrt{2}}{3}
\]

es decir, que encuentra á AC en el punto N tal, que \( AN = \frac{AC}{3} \)

La cúbica (M) encuentra á la circunferencia O en dos puntos C, P. Eliminando y entre las dos ecuaciones (1) y \( x^3 + y^4 = 2ax \), se obtiene

\[
x^4 - 3ax^3 + 4a^2x^2 - 4a^3x + 2a^4 = 0,
\]

que admite por raíz \( x = a \), de modo que la ecuación que debe dar la abscisa del punto P es

\[
x^3 - 2ax^2 + 2a^2x - 2a^3 = 0
\]

Esta ecuación admite una sola raíz real entre \( x = a \) y \( x = 2a \).
Su valor aproximado es \( a \times 1, 535... \)

Por otra parte, según lo que precede, se ve que esta raíz debe ser un poco superior al mayor de los valores de \( x \) correspondientes á la intersección de la circunferencia OA con la recta NG que tiene por ecuación \( y = x - \frac{2a}{3} \).

Se deduce de esto \( 9x^4 - 15ax + 2a^4 = 0 \)
de donde \( x = a \times 0, 146 ... \) y \( x = a \times 1, 5205... \)

Quedando así determinados los elementos necesarios para el estudio de la curva, falta indicar que la relación \( \tg \theta = \cot^2 \omega \) muestra que de los ángulos \( \theta \) y \( 90 - \omega \) ú \( \omega \) y \( 90 - \theta \), uno de ellos tiene por tangente el cuadrado ó la raíz cuadrada de la tangente del otro. La curva (M) podría, pues, servir para la determinación gráfica de uno de los ángulos, dado el otro.

CUESTIÓN 11
(Véase tomo I, página 289.)

Integrar la ecuación

\[
xydy^2 - 2(ax^2 + by^2)dxdy + xydx^2 = 0
\]

(E. Catalán).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 21

Solución por el Sr. Brocard (H.)

De la ecuación dada se deduce

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-(ax^2 + by^2) \pm \sqrt{(ax^2 + by^2) - x^4 y^3}}{xy}
\]

Haciendo \( y^3 = t x^3 \), se obtiene

\[
2t + t' x = -2(a + bt) \pm 2\sqrt{(a + bt)^3 - t}
\]

Las variables están separadas y el problema se reduce á las cuadraturas.

Según una indicación dada por el ilustre autor de la cuestión, se podrá continuar la deducción y escribir

\[
(a + bt)^3 - t = (a + bt - z)^3
\]

De esta nueva ecuación se obtendrá para expresión de \( t \).

\[
t = \frac{z^3 - 2az}{2bz - 1} \qquad dt = 2 \frac{bz^3 - z + a}{(2bz - 1)^2} \, dz
\]

Se podría escribir también la ecuación propuesta como sigue:

\[
x^2 y^4 dy^2 + 2(ax^2 + by^4) xy dx dy + x^3 y^2 dx^3 = 0
\]

y por la sustitución \( y^3 = t x^3 \), se reduciría á

\[
4 \left( \frac{dx}{x} \right)^3 [(2b+1)t + 2a + 1] + 4 \left( \frac{dx}{x} \right) [a + (b+1)t] dt + dt^2 = 0
\]

se sustituirían \( t \) y \( dt \) por los valores en función de \( z \), y se separarían las variables.

La serie de las transformaciones es demasiado complicada para exponerse aquí, y no parece deba conducir á una integral algebraica.

CUESTIÓN 22
(Véase tomo I, página 283).

Desde un punto A tomado sobre un diámetro de una circunferencia se trazan diversas rectas AB. Se proyecta el punto B de la curva en C, sobre el diámetro OA, después desde el punto B como centro, con BC por radio, se describe un arco de círculo Hallar el lugar de los puntos D de intersección de este arco con AB.

(H. Brocard).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 22

Solución por el Sr. Boccard (H).

Tomemos A por polo y AC por eje polar. Sean O el centro del círculo, a su radio, AO=b y α el ángulo COB. Se tiene

\[
\rho = AD = AB + BC = r + a \sin \alpha
\]
\[
BC = a \sin \alpha = \rho \sin \alpha
\]
\[
r^2 - 2br \cos \alpha + b^2 - a^2 = 0
\]

De esto resulta que

\[
\rho (1 + \sin \alpha) = b \cos \alpha \pm \sqrt{a^2 - b^2 \sin^2 \alpha}
\]

Si el punto A es exterior al círculo O, la curva (D) se halla inscripta en el ángulo de las dos tangentes trazadas desde A al círculo O.

La curva tiene dos puntos dobles en los extremos del diámetro del círculo que coincide con el eje polar.

Las diversas formas particulares de la curva son fáciles de obtenerse. Recomendamos esta discusión á la curiosidad del lector.

CUESTIÓN 38
(Véase tomo I, página 363).

Una parábola MN variable en magnitud y en posición toca en su vértice P á una parábola ABC dada. La directriz de la parábola móvil MN es, constantemente, la recta DE perpendicular en el extremo de la cuerda normal PQ. ¿Cuál es el lugar del foco F?

(E. Catalán).

Solución por el Sr. Boccard (H.)

Siendo la cuerda PQ normal en el punto P, el foco F de la parábola móvil MN es, sobre PQ, el simétrico del punto Q con relación al punto P.

La cuestión se reduce, pues, á la siguiente:
En cada punto P de una parábola fija ABC se traza la normal PQ que encuentra á la curva en el punto Q. Desde P como centro, con PQ como radio, se describe una circunferencia que encuentra á PQ en los puntos Q y F. Hallar el lugar de los puntos F.

Siendo la ecuación de la parábola fija ABC

\[
y^2 = 2px
\]

y designando por δ la ordenada del punto P, el punto Q tiene por coordenadas

\[
x = \frac{(2p^2 + \delta^2)}{2p\delta}, \quad \beta = - \frac{2p^2 + \delta^2}{\delta}
\]