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El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 25

Luego, los tres puntos G, ω, O están en línea recta, y el punto ω divide al segmento G en el tercio de su longitud.

Según esto, se tiene la equipolencia

\[
Oω + ωG + GO' \equiv OO'
\]

pero

\[
ωG \equiv \frac{1}{3} Oω \quad \text{y} \quad GO' \equiv \frac{1}{3} OO'
\]

de donde

\[
2Oω \equiv OO'
\]

ó

\[
Oω \equiv \frac{1}{2} OO'
\]

luego, etc.

3.a Demostración. Se puede considerar el triángulo dado ABC como una cara de un tetraedro y el punto O como la proyección del cuarto vértice O₁ sobre esta cara.

Ahora, según el teorema de Commandino, siendo el segmento GO la proyección de la recta O₁G que une este cuarto vértice O₁ al punto de concurso G de las medianas AM, BN, CP de la cara opuesta ABC, el punto ω será entonces la proyección del baricentro Ω de los cuatro vértices A, B, C, D de este tetraedro, que se halla á los \( \frac{3}{4} \) de esta recta O₁G,
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 26

á partir de este vértice O y, por consiguiente, se tendrá

\[
3 \omega G \equiv O \omega
\] (8)

Pero
\[
\omega G \equiv \omega A + AG \equiv \omega B + BG \equiv \omega C + CG
\] (9)

y según la equipolencia (3), resulta

\[
\omega A + \omega B + \omega C \equiv G \omega
\] (10)

\[
\omega A + \omega B + \omega C + \omega O \equiv 0
\] (1)

4.º Sean (fig. 2) \(O_0, A_1, B_1, C_1\) los centros de los cuatro círculos tangentes á los tres lados del triángulo dado ABC. Siendo las bisectrices interiores \(AO_0B_1, BO_0C_1, CO_0A_1\) perpendiculares á las bisectrices exteriores \(A_1AC_1, B_1BA_1, C_1CB\) son, por consiguiente, las alturas del triángulo \(A_1B_1C_1\), y, por consiguiente, el punto \(O_0\) será al mismo tiempo el ortocentro de este triángulo y el centro del círculo inscripto en el triángulo dado.

Designando por \(a, \beta, \gamma\) los puntos medios de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC; y por \(M_1, N_1, P_1\) los del triángulo \(A_1B_1C_1\), las rectas \(\omega_a, \omega_\beta, \omega_\gamma\) serán las mediatrices del primero, y las rectas \(O_0'M_1, O_0'N_1, O_0'P_1\) las del segundo.

Como se sabe, el punto de intersección \(O'_0\) de las mediatrices del triángulo \(A_1B_1C_1\) ó el centro de su círculo circunscripto es también la intersección de las perpendiculares bajadas desde sus vértices sobre los lados del triángulo ABC. Según esto, el triángulo \(M_1N_1P_1\) (fig. 2) siendo el triángulo complementario del triángulo \(A_1B_1C_1\), y las rectas \(O'_0M_1, O'_0N_1, O'_0P_1\), las rectas trazadas por \(M_1, N_1, P_1\), paralelas respectivamente á las rectas que van desde el punto \(O_0\) de este triángulo á sus vértices, el punto \(O'_0\) será el complementario de este punto, y entonces esta figura se hallará en las condiciones análogas á las de la figura 1.a

También el punto \(\omega_0\) del segmento \(O_0O'_0\) ó recta de Euler será el centro de las distancias medias de los puntos \(O_0, A_1, B_1, C_1\); pero, como como se sabe, el punto \(O_0\) del triángulo \(A_1B_1C_1\) es el ortocentro, el punto \(O'_0\) el centro de su círculo circunscripto y el punto \(\omega_0\) el centro de su círculo de los nueve puntos ó del círculo circunscripto al triángulo ABC; luego el centro de este círculo será el baricentro de los centros de los círculos inscriptos y exinscriptos á este mismo triángulo.

5.º Según lo que precede, en el caso en que el punto notable del triángulo sea el centro del círculo de los nueve puntos, este punto será el centro de las distancias medias de sus vértices y del centro de su círculo circunscripto.

Si el punto \(O_0\) del triángulo ABC (fig. 1.a), fuese el punto de Le-
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moine el punto \( O'_0 \), complementario de éste sería también el punto de Lemoine del triángulo complementario MNP. El punto medio \( \omega_0 \) del segmento \( O_0O'_0 \) sería el centro de las distancias medias de los puntos \( O_0, A_1, B_1, C_1 \). El centro de gravedad \( G \) del triángulo dado tendrá por conjugado armónico el punto \( O_0 \) con relación á los puntos \( O'_0 \) y \( \omega_0 \) etc.

Observación.—Si en la figura 1.a los puntos \( O_0, O'_0 \) son respectivamente simétricos de los puntos \( O, O' \) con relación á los puntos medios \( N, n \) de los lados AC, PN del triángulo dado ABC y de su complementario MNP, los dos pares de triángulos AOC, PO'_0M y AO'_0C, PO'M tendrán por centro de homotecia directa el vértice B de aquel triángulo, y, por consiguiente, las rectas \( OO'_0B, CMB, O_0O'B, APB \) serán radios de homotecia directa, y las rectas OGO', CGP, O_0GO'_0, AGM rayos de homotecia inversa de los paralelogramos OCQ_0A y O'PO'_0M.

Los triángulos ABC, OBO_0, O'NO'_0, con \( \omega_0 \) tienen el mismo baricentro G, ó son ISOBARICÉNTRICOS.

El punto medio \( v \) del segmento \( \omega_0 \) es el centro de las distancias medias de los vértices del trapezio OO'_0O'O'_0 ó cuadrilátero OO'O'_0O_0, puesto que es la intersección de las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos, y será también el conjugado armónico del punto n con relación á los puntos G y N, así como la intersección de las diagonales del paralelogramo m'p_0w_0.

Los puntos N y n serán igualmente conjugados armónicos de los puntos O' y O'_0 con relación á los pares de puntos O, G; O_0, G. Por otra parte, estos mismos puntos \( \omega, \omega_0 \) y el punto n son los puntos medios de los lados del triángulo OBO_0; ó respectivamente las intersecciones de las diagonales de los tres grupos de paralelogramos ONO'O'_0, \( \pi \)NPO'_0, OMO'_0; O_0O'O'_0N, \( \pi_0 \)O_0PO'_0, O_0MO'_0n_0; MO'PO'_0, NO'BO'_0.

Los puntos medios \( \mu, \mu_1, \mu_2, \omega, v, \omega_0, \mu_3, \mu_4 \), M de los segmentos OA, OO'_0, O_0A, NO'_0, Nn, NO', O_0O', CB están en línea recta.

Los vértices del cuadrilátero MOPN tienen por centro de las distancias medias al punto medio \( \omega' \) del segmento \( \omegaO' \) puesto que \( \omega \) es el complementario de O' en el triángulo MNP.

Designando por \( \varepsilon \) el centro de las distancias medias de los siete puntos A, B, C, O_0, O', O'_0, O, se tendrá

\[
\varepsilon A + \varepsilon B + \varepsilon C + \varepsilon O_0 + \varepsilon O' + \varepsilon O'_0 + \varepsilon O = 0 \tag{11}
\]
ó
\[
GA + GB + GC + \nu O_0 + \nu O' + \nu O'_0 + \nu O + \nu O = 3G\varepsilon + 4\nu \varepsilon \tag{12}
\]

Pero siendo \( G \) el centro de las distancias medias de los tres puntos A, B, C y \( \nu \) el de los cuatro puntos O_0, O', O'_0, O, se tendrá.

\[
3G\varepsilon + 4\nu \varepsilon = 0 \tag{15}
\]
ó
\[
G \equiv \frac{4}{7} G\nu \tag{14}
\]
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 28

Se ve, pues, que el punto \( \varepsilon \) está en línea recta con los puntos G y \( \nu \), y que divide al segmento \( G\nu \) en las cuatro séptimas partes de su longitud.

En el caso de no ser los puntos O\(_0\), O'\(_0\) simétricos de OO', los cuadriláteros OCO\(_0\)A, O'\(_0\)MO'P dejarán de tener centro de homotecia directa y continuarán teniendo al punto G por centro de homotecia inversa.

En el trapezio OO\(_0\)O'O'\(_0\) los puntos \( \mu \), \( \mu_0 \) no estarán ya en línea recta con los M y \( \nu \), etc.

Se reconoce, pues, que existirá un gran número de propiedades que dejarán de tener lugar en el caso general.

No entramos en su estudio por no hacer inútilmente más extenso este trabajo.

CUESTIÓN 205
(Véase tomo IV, página 208).

Dos círculos O, O' se cortan en los puntos C y D; una tangente común tiene por puntos de contacto A y B. Demostrar que los círculos CAB y DAB son iguales y medios proporcionales entre los círculos O y O'.

(A Gob.)

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro A).

Prolonguemos la cuerda común DC de los círculos dados (O), (O') cuyos centros son O, O'; y sean \( \mu \), D', C' sus intersecciones con el segmento AB y los círculos ACB, ADB, ú (\( \omega \)), (\( \omega' \)), cuyos centros son \( \omega \) y \( \omega' \).

Siendo el segmento AB una tangente común, con relación á los círculos (O), (O') y una cuerda común con relación á los círculos (\( \omega \)), (\( \omega' \)), el segmento \( \mu A = \frac{AB}{2} \) será medio proporcional á los pares de segmentos \( \mu C \), \( \mu D \); \( \mu C, D'\mu \); C'\(_\mu\), \( \mu D \), de que resulta \( \mu D = D'\mu \)

y \( C'\mu = \mu C \) ó \( C'D = D'C \)

Según esto, teniendo los triángulos ADB y AD'B un lado común y las medianas \( \mu D, \mu D' \) iguales y en la pro-
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 29

longación una de otra, serán iguales, así como los cuadriláteros AC'BD y ACBD', puesto que tienen por diagonales los segmentos AB, C'D y D'C. Luego, los círculos \((\omega)\), \((\omega')\) circunscriptos á estos dos triángulos ó á estos dos cuadriláteros iguales, serán también iguales.

Sean R, R' las magnitudes de los radios de los círculos dados (O), (O') y \(r\) la magnitud de los radios de los círculos iguales \((\omega)\), \((\omega')\), y tracemos los triángulos A\(\omega\)O, BO'\(\omega\) y CBA.

El ángulo CBA es igual á los dos ángulos A\(\omega\)O, BO'\(\omega\), puesto que tienen por medida el mismo arco que el primero y los lados perpendiculares á los lados del segundo.

Igualmente el ángulo CAB es igual á los ángulos AO\(\omega\), B\(\omega\)O' por tener el mismo arco que el primero como medida, y los lados perpendiculares á los del segundo.

Según esto, el triángulo CBA, siendo semejante á los A\(\omega\)O, BO\(\omega'\), éstos serán semejantes entre sí, y darán

\[
\frac{A\omega}{BO'} = \frac{AO}{B\omega} \quad \text{o} \quad r^2 = RR'.
\]

Luego los círculos iguales \((\omega)\) y \((\omega')\) son medios proporcionales entre los círculos dados (O) y (O').

CUESTIÓN 195.
(Véase tomo IV, página 206).

Si desde los vértices de un triángulo ABC se trazan tres rectas paralelas, que encuentran á los lados opuestos en los puntos A_1, B_1, C_1, los puntos que dividen á las rectas AA_1, BB_1, CC_1 en la relación de 1 á 2 están en línea recta.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Iturrade.

Tenemos por hipótesis Aa tercio de AA', Cc tercio de CC', las rectas AC, ac y A'C' concurrentes, y por tanto B'b, tercio de B'B''. Ahora, para que tengamos, Bb tercio de BB' es necesario que B sea el punto medio de la recta B'B''. Tenemos, según triángulos semejantes,

\[
\frac{AB}{AA'} = \frac{BC'}{CC'} \quad \text{y} \quad \frac{AB}{B'B} = \frac{AC'}{CC'}; \quad \frac{AA'}{BB'} = \frac{AC'}{BC'}
\]

pero tenemos también

\[
\frac{AA'}{BB''} = \frac{AC'}{BC'}; \quad BB' = BB''
\]
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 3

sera dite fonction réduite suivant la fonction modulaire \( F(x) \) et le module \( M \).

On peut déterminer aisément le nombre des fonctions réduites. Ce nombre dépend évidemment du degré \( r \) de \( F(x) \) et de la valeur de \( M \); ainsi nous le désignerons par \( \Phi_r(M) \).

Considérons les séries:

(1) \( 0p_1 \quad 1p_1 \quad 2p_1 \quad 3p_1 \ldots \ldots \left( \frac{M}{p_1} - 1 \right)p_1 \)

(2) \( 0p_2 \quad 1p_2 \quad 2p_2 \quad 3p_2 \ldots \ldots \left( \frac{M}{p_2} - 1 \right)p_2 \)

\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots

(i) \( 0p_i \quad 1p_i \quad 2p_i \quad 3p_i \ldots \ldots \left( \frac{M}{p_i} - 1 \right)p_i \)

(n) \( 0p_n \quad 1p_n \quad 2p_n \quad 3p_n \ldots \ldots \left( \frac{M}{p_n} - 1 \right)p_n \)

dont la \( i^{\text{me}} \) est composée des \( \frac{M}{p_i} \cdot p_i \) multiples de \( p_i \) qui font partie de la série \( 0, 1, 2, ... M - 1 \).

Les coefficients des fonctions satisfaisants à la condition (25), c'est à dire non réduites, ce sont des nombres qui appartiennent tous à la première, ou à la deuxième, ... ou à la n° série.

Soit N le nombre de ces fonctions.

Les termes de la 1° série nous donnent \( \left( \frac{M}{p_1} \right)^r \) fonctions distinctes toutes divisibles identiquement par \( p_1 \).

On aura par conséquent

\[
N = \left( \frac{M}{p_1} \right)^r + N_1
\]

\( N_1 \) étant un nombre à déterminer.

Avec les termes de la série (2) on peut, former encore \( \left( \frac{M}{p_2} \right)^r \) fonctions, toutes divisibles par \( p_2 \). Mais comme \( \frac{M}{p_1p_2} \) termes de la série (2) coïncident avec \( \frac{M}{p_1p_2} \) de la 1.° série, ainsi \( \left( \frac{M}{p_1p_2} \right)^r \) des \( \left( \frac{M}{p_2} \right)^r \) fonctions sont identiques avec autant de celles qu'on a déjà considérées.
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 30

CUESTIÓN 147
(Véase tomo III, páginas 294).

Siendo D₁, D₂, I₃, i₄ los medios de los lados A₁B₂, A₂A₃ y los centros de los triángulos equiláteros construídos exteriormente sobre el lado A₃A₁ e interiormente sobre el lado A₄A₁ de un cuadrilátero A₁A₂A₃A₄, la recta I₃i₄ será igual y paralela al diámetro D₂M del círculo circunscripto al triángulo equilátero construido sobre D₁D₂.

(H. Van Aubel).

Solución por D. RICARDO CARO

Sabemos que
\[
D₁D₂ = R \sqrt{3} = \frac{MD₂}{2} \sqrt{3}
\]
de donde
\[
MD₂ = \frac{2D₁D₂}{\sqrt{3}}
\]
y como D₁D₂ es la mitad de la diagonal A₁A₃.
\[
MD₂ = \frac{A₁A₃}{\sqrt{3}} \tag{1}
\]

En el triángulo i₄A₄I₃ se tiene
\[
i₄I₃² = A₄i₄² + A₄I₃² - 2A₄i₄ · A₄I₃ \cos i₄A₄I₃
\]
Llamando a y b, por brevedad, á los lados del cuadrilátero, tenemos
\[
A₄i₄ = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad A₄I₃ = \frac{b}{\sqrt{3}} \tag{2}
\]
y además, iguales los ángulos A₁A₄A₃ y i₄A₄I₃ por componerse de una parte común, mas 60°; luego la igualdad anterior se convierte en
\[
i₄I₃² = \frac{a²}{3} + \frac{b²}{3} - \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cos A₁A₄A₃ =
\]
\[
\frac{a² + b² - ab \cos A₁A₄A₃}{3} = \frac{A₁A₃²}{3}
\]
de donde
\[
i₄I₃ = \frac{A₁A₃}{\sqrt{3}} \tag{3}
\]
Las igualdades (1) y (3) prueban que MD₂ = i₄I₃.
Los triángulos A₁A₃A₄ y i₄A₄I₃ son semejantes, por tener dos lados
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 31

proporcionales, en virtud de las igualdades (2), é igual el ángulo comprendido; por lo tanto, si \( A_4 i_4 \) coincidiera con \( A_1 A_4, I_3 i_4 \) sería paralela á la diagonal \( A_1 A_3 \). Pero para pasar de esta supuesta posición á la que ocupa el triángulo, ha tenido que girar sobre su vértice \( A_1 \), en un ángulo \( A_1 A_4 i_4 = 30^\circ \), luego la inclinación de \( i_4 I_3 \) sobre la diagonal, es de \( 30^\circ \), que es también el valor del ángulo \( MD_2 D_1 \), luego \( MD_2 \) y \( i_4 I_3 \) son paralelas.

CUESTIONES PROPUESTAS

220. Si en un triángulo ABC el ángulo \( A = 45^\circ \), la recta que une el vértice A al centro del cuadrado construído exteriormente sobre el lado BC pasa por el punto de Lemoine del triángulo, y la relación de las distancias del punto A al punto de Lemoine y al centro de este cuadrado es igual á la tangente del ángulo de Brocard.

(H. Van Aubel).

221. Se consideran las tres parábolas que tocan á dos lados de un triángulo dado ABC y que tienen por eje el tercer lado. Los focos de estas curvas están en la recta de Lemoine de ABC. Calcular los parámetros.

(J. Neuberg).

222. Existen dos parábolas que pasan por dos vértices B, C de un triángulo, y tienen por focos el tercer vértice A. Los parámetros de estas curvas tienen por expresión

\[
\frac{4bc \sen^2 \frac{1}{2} A}{b + c \pm 2 \sqrt{bc} \cos \frac{A}{2}}
\]

(J. Neuberg.)

223. Sea ABC un triángulo. Sea \( \Gamma_c \) la hipérbola equilátera circunscrita á ABC y que tiene el medio de AB por centro. Sea \( \Gamma_c' \) la hipérbola conjugada de \( \Gamma_c \).

Demostrar que \( \Gamma_c' \) pasa por el medio de la parte de la bisectriz que parte de C, comprendida entre C y AB.

Llamo dos cónicas conjugadas á dos cónicas que tienen iguales direcciones de ejes, el mismo centro y tales, que los cuadrados de sus ejes sean iguales y de signo contrario.

(E. Lemoine).
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 32

224. Dados dos puntos O y O' en el plano de un triángulo ABC, por un punto P tomado sobre BC se trazan las rectas PO, PO' que encuentran á AB y AC respectivamente en D y en E. ¿Cómo es preciso elegir el punto P para que la distancia DE sea igual á una longitud dada?

(J. Gillet).

225. Dadas dos rectas D y D' en el plano de un triángulo ABC se traza por el vértice A una recta xy que corta á las dos primeras respectivamente en M y N; se trazan las rectas BM, CN que se cortan en P. ¿Cómo es preciso elegir la recta xy, para que el ángulo BPC sea igual á un ángulo dado?

(J. Gillet).

226. Construir un triángulo conociéndose un lado, la altura correspondiente y el radio de uno de los círculos tangentes á los tres lados.

(J. Gillet).

227. Construir un triángulo conocidos dos lados y el radio de uno de los círculos tangentes á los tres lados.

228. Se da una circunferencia O y un diámetro fijo AA'.

El radio OM al principio situado sobre OA, gira alrededor del centro O; en cada una de sus posiciones se lleva sobre este radio, á partir de un punto fijo P, y en los dos sentidos, una longitud PN=PN'=MA. Estudiar y construir la curva lugar de los puntos N y N'. Discusión y estudio de los casos particulares.

(J. Gillet.)

229. Se dan dos rectas Ox, Oy y un punto P. Una secante cualquiera trazada por P corta á Ox en A, á Oy en B; se toma sobre Ox un segmento AA'=a sobre Oy un segmento BB'=b, siendo a y b longitudes dadas. Hallar la envolvente de la recta A'B' y construir el punto de contacto de A'B'.

(J. Neuberg).

230. Bien conocido es el procedimiento clásico para resolver el problema de trazar una circunferencia que pase por dos puntos A y B y sea tangente á otra circunferencia C. Se pide resolver este problema en el caso en que la recta AB y la cuerda interceptada en C por la circunferencia auxiliar no se corten en los límites del dibujo.

(Juan J. Durán Loriga).
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 4

Donc on aura

\[
N_1 = \left| \left( \frac{M}{p_i} \right)^r - \left( \frac{M}{p_1 p_2} \right)^r \right| + N_2
\]

Des \( \left( \frac{M}{p_3} \right) \) nombres de la 3ème série on obtient \( \left( \frac{M}{p_3} \right)^r \) fonctions qui ne sont pas toutes distinctes de celles qui dérivent de la 1ère et de la 2ème série. Et comme la série 3ème a évidemment \( \frac{M}{p_1 p_2 p_3} \) termes communs avec la 2ème, le nombre \( \left( \frac{M}{p_3} \right)^r \) doit être diminué de

\[
\left| \left( \frac{M}{p_2 p_3} \right)^r + \left( \frac{M}{p_1 p_3} \right)^r \right|
\]

unités. Mais de cette façon nous suprimons deux fois les \( \left( \frac{M}{p_1 p_2 p_3} \right)^r \) fonctions qui proviennent des termes communs aux séries 1ère, 2ème et 3ème. Il s'ensuit que

\[
N_2 = \left( \frac{M}{p_3} \right)^r - \left| \left( \frac{M}{p_1 p_2} \right)^r + \left( \frac{M}{p_2 p_3} \right)^r \right| + \left( \frac{M}{p_1 p_2 p_3} \right)^r
\]

Et poursuivant ainsi, on voit qu'une quelconque des quantités \( N_i \) aura la forme

\[
N_i = \left( \frac{M}{p_{i+1}} \right)^r - \left| \left( \frac{M}{p_1 p_{i+1}} \right)^r + \left( \frac{M}{p_2 p_{i+1}} \right)^r + ... + \left( \frac{M}{p_i p_{i+1}} \right)^r \right|
\]
\[
+ \left| \left( \frac{M}{p_1 p_2 p_{i+1}} \right)^r + ... + \left( \frac{M}{p_{i-1} p_i p_{i+1}} \right)^r \right| + ... + (-1)^i \left( \frac{M}{p_1 p_2 ... p_i p_{i+1}} \right)^r
\]
\[
(i = 0, 1, ..., n-1)
\]

On en tire par des substitutions successives l'expression de \( N \), et ensuite celle de \( \Phi_r(M) \), qui peut s'écrire.

(26) \( \Phi_r(M) = M^r - \sum \left( \frac{M}{p_i} \right)^r + \sum \left( \frac{M}{p_1 p_i} \right)^r \)
\[
- ... + (-1)^{n-1} \sum \left( \frac{M}{p_1 p_2 ... p_{n-1}} \right)^r + (-1)^n \left( \frac{M}{p_1 p_2 ... p_n} \right)^r
\]

le premier signe \( \sum \) s'étendant à tous les termes analogues à \( \left( \frac{M}{p_i} \right)^r \),
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 5

second à tous les termes analogues à \( \left( \frac{M}{p_1 p_2} \right)^r \), et ainsi de suite.

Si dans le second membre de la formule (26) on pose au lieu de M sa valeur \( M = p_1^{\mu_1} p_2^{\mu_2} ... p_n^{\mu_n} \), on trouve

\[
\Phi_r(M) = p_1^{\mu_1 r} p_2^{\mu_2 r} ... p_n^{\mu_n r} - \sum p_1^{(\mu_1-1)r} ... p_n^{\mu_n r} +
+ ... + (-1)^{n-1} \sum p_1^{(\mu_1-1)r} p_2^{(\mu_2-1)r} ... p_n^{\mu_n r}
+ (-1)^n p_1^{(\mu_1-1)r} p_2^{(\mu_2-1)r} ... p_n^{(\mu_n-1)r}
\]

ou, si l'on veut

\[
\Phi_r(M) = p_1^{(\mu_1-1)r} p_2^{(\mu_2-1)r} ... p_n^{(\mu_n-1)r} (p_1^r-1)(p_2^r-1)...(p_n^r-1)
\]
\[
(p_n^r-1) = M^r \left( 1 - \frac{1}{p_1^r} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_2^r} \right) ... \left( 1 - \frac{1}{p_n^r} \right)
\]

On reconnait que la fonction \( \Phi_2(M) \) coïncide avec la fonction \( \varphi(M) \), qui exprime combien il y a de nombres inférieurs à M et premiers à M, dans le cas où \( r = 1 \)

Si \( M' \) e \( M'' \) sont deux nombres premiers entre eux on a évidemment
\[
\Phi_r(M'M'') = \Phi_r(M') \Phi_r(M'')
\]

7. Proposition V.- Soit \( M = p_1^{\mu_1} p_2^{\mu_2} ... p_n^{\mu_n} \) un nombre entier, \( F(x) \) une fonction du degré r, irréductible suivant chacun des modules \( p_1, p_2, ... p_n \); enfin \( f(x) \) une fonction entière non divisible par \( F(x) \) suivant aucun des modules \( p_1, p_2, ... p_n \). On aura identiquement
\[
f(x) \cdot \Phi_r(M) - 1 \equiv 0 \quad (\text{mod. } M, F(x)) \quad (*) \]
Soient \( X_1(x), X_2(x), ..., X_{\Phi_r(M)}(x) \) les fonctions réduites suivant la fonction \( F(x) \) et le module M.
Considérons les produits
\[
f(x) X_1, \quad f(x) X_2, ..., f(x) X_{\Phi_r(M)}
\]
Aucune des fonctions (29) ne peut être divisible par \( F(x) \) suivant l'un des modules \( p_1, p_2, ... p_n \), car si l'on avait par ex.
\[
f(x) X_1 = F(x) f_1(x) + p_1 g(x)
\]
(*) Sur le sens de cette notation, consultez Sorret. Alg. Sup. Vol. II.
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 6

on en conclurait, en vertu du théorème IV, que F(x), étant première à X_1, parce qu’elle est irréductible, devrait diviser suivant le module p, la fonction f(x); ce qui n’est pas, par hypothèse, donc la formule (30) ne peut avoir lieu.

D’ailleurs, si l’on prend les résidus minima des produits (29) suivant la fonction F(x) et le module M, deux quelconque de ces résidus ne sauraient être égaux; autrement on en conclurait une ou plusieurs relations de cette forme

(31) \[ f(x)\left(X_p - X_k\right) = F(x)f(x) + M\lambda(x) \]

et la différence \( X_h - X_k \) devrait être divisible identiquement par M, ce qui est impossible, car les coefficients de \( X_h \) et \( X_k \) sont des nombres positifs inférieurs à M.
On démontrerait de même qu’aucun des \( \Phi_i(M) \) résidus minima n’est divisible identiquement par l’un des nombres \( p_1, p_2, \ldots, p_n \). Donc ces résidus minima coïncident avec les \( \Phi_r(M) \) fonctions réduites suivant la fonction modulaire \( F(x) \) et suivant le module M; d’où l’on conclut \( \Phi_r(M) \) congruences de la forme

\[ X_h f(x) \equiv X_k \pmod{M, F(x)} \]

En multipliant toutes ces congruences, et supprimant les facteurs commune aux deux membres du résultat, car ils sont premiers à \( F(x) \) suivant le module M, on trouve

(32) \[ \left|f(x)\right|\Phi_r(M) \equiv 1 \pmod{M, F(x)} \]

Corollaire I. Chacune des fonctions réduites satisfait évidemment à la congruence (32); on aura donc en particulier pour \( f(x) = x \)

\[ x^{\Phi_r(M)} - 1 \equiv 0 \pmod{M, F(x)} \]

ou

\[ x^{\Phi_r(M)} + 1 - x \equiv 0 \pmod{M, F(x)} \]

Donc: toute fonction F(x) du degré r, irréductible suivant les modules \( p_1, p_2, \ldots, p_n \), divise suivant ce module

\[ M = p_1^{\mu_1} p_2^{\mu_2} p_n^{\mu_n} \ldots \quad \text{la fonction } [x^{\Phi_r(M)} + 1 - x] \]

Corollaire II. Si l’on pose \( r = 1 \); parmi les fonctions f(x) qu’on vient de définir, il y a les nombres premiers à M; on a donc, a étant un de ces nombres

\[ a^{\Phi(M)} - 1 \equiv 0 \pmod{M} \]