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El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 4

El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Una aplicación de la teoría de los determinantes á la resolución de ciertas especies de ecuaciones
POR MR. T. C. SIMMONS

1. En los tratados de Algebra se han expuesto métodos para la solución de las ecuaciones simultáneas por medio de los determinantes. Por ejemplo, las ecuaciones

\[
\begin{cases}
ax + by + cz = d \\
cx + fy + gz = h \\
kx + ly + mz = n
\end{cases}
\]

tenemos para su solución

\[
x = \frac{\begin{vmatrix} d & b & c \\ h & f & g \\ n & l & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ e & f & g \\ k & l & m \end{vmatrix}}
\]

con análogas expresiones para \( y, z \). Si las ecuaciones hubiesen sido

\[
\begin{cases}
ax^2y + by^2z^2 + cz^2x^3 = d \\
ex^2y + fy^2z^2 + gz^2x^3 = h \\
kx^2y + ly^2z^2 + mz^2n^3 = n
\end{cases}
\]

habríamos obtenido la misma expresión que arriba para \( x^2y \), con análogas expresiones para \( y^2z^2 \) y \( z^2x^3 \), y determinado así \( x, y, z \) particularmente. Y se observará que las mismas tres funciones (por ejemplo, \( x^2y, y^2z^2, z^2x^3 \)) do \( x, y, z \) se presentan en las tres ecuaciones, y que eliminamos dos de las tres funciones para determinar la tercera. Y, generalmente hablando, en el caso de \( n \) ecuaciones entre \( n \) incógnitas, eliminamos \( n - 1 \) funciones de las cantidades, para determinar el valor de la \( n^{\text{na}} \) función.

2. Procedamos á obtener los determinantes que pueden emplearse en casos enteramente diferentes, en los que se hallan más de \( n \) fun-
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ciones de las cantidades desconocidas en las n ecuaciones dadas. Eliminaremos, no \( n - 1 \) funciones, sino \( n \) de una vez.

Y procediendo así, podremos resolver ecuaciones que ofrezcan dificultades naturales que ha sido imposible resolver hasta ahora por el método ordinario. Con el objeto de simplificar nos limitaremos en este escrito al caso de tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas \( x, y, z \).

3. Sean las ecuaciones

\[
\begin{align*}
yz (lx + my + nz) &= a \\
zx (l'x + m'y + n'z) &= b \\
xy (l''x + m''y + n''z) &= c
\end{align*}
\]

Escribamos, pues, así:

\[
\begin{array}{cccc}
(l - \frac{a}{xyz})x & + my & + nz & = 0 \\
l'x & + \left( m' - \frac{b}{xyz} \right) y & + n'z & = 0 \\
l''x & + m''y & + \left( n'' - \frac{c}{xyz} \right) z & = 0
\end{array}
\]

Entonces, eliminando \( x, y, z \), y reteniendo el producto \( xyz \), tenemos

\[
\begin{vmatrix}
l - \frac{a}{xyz} & m & n \\
l' & m' - \frac{b}{xyz} & n' \\
l'' & m'' & n'' - \frac{c}{xyz}
\end{vmatrix} = 0
\]

y obtenemos de esto una ecuación cúbica de la forma

\[
A (xyz)^3 + B (xyz)^2 + C xyz + D = 0
\]

Y si \( r \) es una raíz de esta ecuación, entonces de (I) podemos obtener las razones de \( x, y, z \) bajo la forma \( x = x_1, y = y_1, z = z_1 \): de donde \( x_1^3 y_1^3 z_1^3 = r \), determinando \( z \), y por consiguiente \( x \) é y.

4. Tomemos el siguiente como un ejemplo numérico

\[
\begin{align*}
yz (-x + 2y + 3z) &= 1 \\
zx (-301x - 4y + z) &= 1 \\
xy (214x + 2y - 2z) &= 1
\end{align*}
\]
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El determinante se reduce á

\[
\begin{vmatrix}
1 + \frac{1}{xyz} & -2 & -3 \\
301 & 4 + \frac{1}{xyz} & -1 \\
-204 & -2 & 2 + \frac{1}{xyz}
\end{vmatrix} = 0
\]

Haciendo \( xyz = X \), resulta

\( 20x^3 - 28x^2 + 7x + 1 = 0 \)

ó

\( (10x + 1)(2x - 1)(x - 1) = 0 \)

esto es,

\( xyz = 1 \), ó \( \frac{1}{2} \), ó \( -\frac{1}{10} \)

En el primer caso (II) se reduce á

\[
\begin{cases}
2x - 2y - 3z = 0 \\
301x + 5y - z = 0 \\
214x + 2y - 3z = 0
\end{cases}
\]

uniendo

\[
x = -\frac{y}{53} = \frac{z}{36} = -\frac{1}{v^{1908}}
\]

ó

\(-x = .080026,\ +y = 4.273178.\ -z = 2.002536\)

En el segundo caso, si \( xyz = \frac{1}{2} \), tenemos

\[
\begin{cases}
3x - 2y - 3z = 0 \\
301x + 6y - z = 0 \\
214x + 2y - 4z = 0
\end{cases}
\]

uniendo

\[
y = -45x,\quad z = 31x,\quad x = -\frac{1}{\sqrt{2790}}
\]

ó

\(-x = .071034 + y = 3.19653,\ -z = 2.202054\)

En el tercer caso, si \( xyz = -\frac{1}{10} \), tenemos

\[
\begin{cases}
9x + 2y + 3z = 0 \\
301x - 6y - z = 0 \\
214x + 2y + 8z = 0
\end{cases}
\]
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uniendo \( y = 57.r \), \( ... - 41.x \), \( x = \frac{1}{\sqrt{2337}} \)

\( + x = 075355, + y \quad 4.295235, - : = 3.084555 \)

5. El método se aplica evidentemente á ecuaciones del tipo

\[
\begin{align*}
a x^n + b y^n + c z^n &= k x^m y^m z^m \\
a' x^n + b' y^n + c' z^n &= k' y^n z^n x^m \\
a'' x^n + b'' y^n + c'' z^n &= k'' z^n x^m y^m
\end{align*}
\]

en las que eliminamos \( x^n, y^n, z^n \) particularmente, hallando el valor de \( xyz \) del que se obtienen \( x, y, z \).

Como ejemplos particulares pueden considerarse

\[
\begin{align*}
a x + b y + c z &= k x^2 y z \\
a' x + b' y + c' z &= k' x y^2 z \\
a'' x + b'' y + c'' z &= k'' x y z^2
\end{align*}
\]
(IV)

\[
\begin{align*}
a + \frac{b}{x} + \frac{c}{z} &= k y z \\
a' + \frac{b'}{x} + \frac{c'}{z} &= k' x z \\
a'' + \frac{b''}{x} + \frac{c''}{z} &= k'' x y
\end{align*}
\]
(V)

\[
\begin{align*}
a x + b y + c z &= k x y z \\
a' x + b' y + c' z &= k' y^2 z \\
a'' x + b'' y + c'' z &= k'' y z^2
\end{align*}
\]
(VI)

\[
\begin{align*}
a + \frac{b}{x} + \frac{c}{z} &= k y^2 z \\
a' + \frac{b'}{x} + \frac{c'}{z} &= k' x y z \\
a'' + \frac{b''}{x} + \frac{c''}{z} &= k'' x y^2
\end{align*}
\]
(VII)

De las dos últimas hallamos por el determinante, no \( xyz \) sino \( yz \) y \( xy^2 z \) respectivamente.

(Se continuará).
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LA SISTEMATIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA

I — PRELIMINARES

1. Es incuestionable que los elementos de Euclides constituyen la obra maestra de la ciencia geométrica en la esfera de los principios fundamentales, y que apesar de haberse publicado muchas excelentes obras, ninguna de ellas ha excedido á la que escribió el geómetra griego, por el rigor en el encadenamiento de la idea y de los razonamientos, por la unidad que un espíritu filosófico descubre á través de una aparente falta de regularidad y simetría, que tan sólo afecta á la forma sin llegar al fondo el el cual se mantiene compacto y unido.

El germen de esta unidad que rige la obra de Euclides se halla condensado en el valor lógico de la proposición considerada en sus estados de afirmación, negación y reciprocidad, y por esto en los elementos, el método ad absurdum es el núcleo ó lazo de unión de las verdades.

El triángulo equilátero es una figura auxiliar muy importante que facilita los medios, desde el principio, de llegar á las construcciones que dan realidad á las entidades geométricas mediante la resolución de problemas mezclados entre las proposiciones de carácter especulativo ó teoremas.

Se nota en el desarrollo de la obra, desde su comienzo, cierto alarde en evitar el auxilio de axiomas innecesarios, hasta el punto de haber llegado á la proposición XXIX sin emplear el axioma XI, y aún proposiciones tales, como las concernientes á la suma de los ángulos adyacentes y á la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice con que generalmente comienzan los tratados modernos, donde otro plan de exposición ha sustituido al eminentemente dialéctico del geómetra griego, en la obra de éste son objeto de las proposiciones XIII, XIV y XV.

El triángulo equilátero con el empleo de la circunferencia permiten á Euclides unir sólidamente las proposiciones, y le evitan en absoluto el apelar al movimiento, estableciendo un sistema rigurosamente estático, y además la ley lógica de la equivalencia ó incompatibilidad de las proposiciones le conducen á su demostración, como ya hemos indicado, mediante el método ad absurdum.

No insistiremos en estas consideraciones preliminares que nos conducen á examinar, si aprovechando el fondo filosófico en que se
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apoya la Geometría de Euclides es asequible el hallar cierta simetría, unidad y sistematización de las ideas en una exposición de la Geometría elemental; pero antes de proceder á esta sistematización vamos á señalar los puntos capitales en que puede basarse.

2. Estos puntos de base consisten en la equivalencia de las entidades geométricas que se sustituyen dentro de una figura dada, y en las figuras adjuntas de una figura. El problema constituido por esta sistematización se reduce pues: 1.º A establecer las equivalencias de las entidades geométricas. 2.º A determinar las figuras adjuntas ó virtualmente contenidas en una figura dada. Procedamos pues á estos desarrollos.

3. Un plano está determinado por tres puntos, y en virtud de contener todas las rectas que pasan por dos de sus puntos se pueden reproducir todos los puntos de aquél por el movimiento de una de sus rectas. Si en vez de esta generación general, partimos de una figura como base, que en primer término conviene sea el triángulo ó el trilátero determinado por tres puntos ó tres rectas fundamentales, veremos que la deformación de este triángulo permitirá la generación del plano.

Pero la variación del triángulo fundamental por la que se transforma en otro, puede someterse á ciertas condiciones que producen en vez de todo el plano, determinadas figuras ó lugares (por ejemplo, si sobre una base común se construyen los triángulos de igual ángulo opuesto, se engendrarán arcos de circunferencia). Y la correspondencia unívoca de los elementos variables de la figura en un semi-plano (pues por la ley de simetría se reproducirán las figuras igualmente á uno y otro lado de cierta recta) á la que quita toda excepción la admisión del postulado, permitirá los cambios de un triángulo (figura fundamental) en otro, ó de unos elementos de aquél en sus correspondientes; y estas variaciones tienen su representación mediante razones en el dominio elemental, ó mediante dobles razones en un dominio ulterior, y bajo forma especial en las relaciones trigonométricas que son instrumentos ó modos de expresión respecto á ciertas unidades de medidas fijas en función de las que las entidades geométricas reciben una determinación. A la rigidez y al aislamiento característicos del modo de determinación en los elementos de Euclides para la que basta el método ad absurdum, precisa el sustituir la variación ó deformación y el movimiento cuando se trata de ligar los elementos aislados en un sistema.

No vamos á ocuparnos ahora de la sistematización realizada me-
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PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

NOCIONES SOBRE LOS SISTEMAS GEOMÉTRICOS

1 El sistema euclídeo tiene dos fases: en la primera predomina el carácter determinativo y tiene su completo desarrollo en los Elementos de Geometría; en la segunda predomina el enlace, la relación, la transformación y la síntesis, y en ella forman los métodos modernos de Carnot, de Poncelet, Bellavitis, Hamilton, Grassmann y de Staudt, de los que se ha tratado en la parte primera de esta obra. Como ramas superiores de la Geometría euclídea existen la Geometría cinematográfica y la Geometría infinitesimal, que tienen casi por exclusivo objeto el estudio de las curvas y superficies en su mayor generalidad.

2 La parte elemental ó determinativa de la Geometría, que hasta hace poco se reducía al contenido de los elementos de Euclides, ya en su exposición original (tal cual se ofrece generalmente en las obras inglesas), ya con modificaciones puramente formales ó de orden expositivo, ha recibido un considerable incremento con la agregación de la Geometría reciente ó del triángulo que puede considerarse como una continuación ó complemento de aquéllos.

3 A la determinación de las figuras elementales, triángulo, polígono, figuras en el círculo, etc., se ha agregado por combinaciones sucesivas de nuevos elementos la de otras figuras más complejas que comienza por la consideración de los puntos isogonales é isotómicos, simedianas, puntos y figuras complementarios y anticomplementarios y que se continúa con los círculos de Lemoine, Tucker, Taylor, triángulos de Brocard, etc. Además la aplicación continuada de una ley para la formación de figuras sobre otras primitivas ó bases conduce á un estudio sistemático de la determinación geométrica.

4 La Geometría llega á un desarrollo sistemático, como se ha visto en la primera parte, especialmente en la parte que se llama Geometría proyectiva, y que también ha recibido otras denominaciones, como Geometría moderna, superior, de posición, etc.
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se podría suponer también que esta función (ó su parámetro) fuese variable con el tiempo, y aun hasta hacerse instantánea, ó bien todavía que en ciertos lugares y en ciertos intervalos de tiempo, no existiese Geometría rigurosa.

Pero prescindiendo de estas abstracciones, y entrando en la realidad física, la experiencia—observa—nos muestra que existe una Geometría aplicable por todo y siempre, es decir, que todas las medidas directamente tomadas, verifican una de las geometrías teóricamente posibles, y se verifican las tres en los límites de nuestros medios de medida. Respecto á la exposición de la Mecánica, si bien encuentra evidentemente posible continuar la exposición de los tres sistemas, adopta el de Euclides, ya que los resultados prácticos de las otras dos Geometrías coinciden con éste para parámetros correspondientes suficientemente grandes.

Haremos notar, por último, el importante sistema de Geometría analítica expuesto por el Sr. Tilly en su Geometría analítica general, basada en la noción de la distancia é independiente de la experiencia, cuya idea fundamental se reduce á que: existen entre \( n \) puntos \( \frac{n(n-1)}{2} \) distancias, y á partir de \( n = 5 \) existe una relación entre estas distancias, relación que no es la misma en los diversos sistemas de la Geometría, y que contiene el parámetro constante de la Geometría real.

En el espacio real, se tiene \( n = 5 \) y la relación fundamental existe entre las diez distancias de cinco puntos; pero no es arbitraria, debe existir para todos los grupos de cinco puntos con que se puede llenar el espacio, es decir, debe verificar un teorema que designa Mr. Tilly la condición de los seis puntos. El sistema de coordenadas adoptado en sus diversas obras permiten establecer las ecuaciones de la recta, del plano, etc., y llega á probar por qué es imposible demostrar el postulado de Euclides.

29 Ya que exponemos estas indicaciones y noticias acerca de la Geometría no-euclídea, creemos de gran oportunidad citar el trabajo reciente de M. Mansion Essai d'exposition élémentaire des principes fondamentaux de la Géométrie non-euclidienne de Riemann.

Para dar á conocer el significado del principio fundamental en este sistema, á saber, que la recta es una línea finita reentrante en sí, expone las definiciones euclídeas de la recta y el plano en el sentido atribuido por Cauchy (*) y desarrollado por M. Tilly: La noción de

(*) Sêpt Lecous de Physique générale.
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distancia considerada como una noción irreducible, un punto M se dice que pertenece á una recta AB, si ningún punto del espacio está distante de A y de B como lo está M. Un punto cualquiera M se dice pertenecer á un plano ABC, si ningún punto del espacio está distante de A, B y C como lo está M. Un punto cualquiera M del espacio está determinado por sus distancias á cuatro puntos A, B, C, D.

Partiendo de estas nociones y suponiendo finita la distancia máxima \(2 \Lambda\) de dos puntos del espacio, como puede verse en las obras de M. Tilly, que dos rectas cualesquiera de un mismo plano se cortan en dos puntos situados á la distancia \(2 \Lambda\), deduciéndose que, en un triángulo riemannno la suma de los ángulos es superior á dos rectas, y por consiguiente, que en un cuadrilátero riemannno la suma de los ángulos es superior á cuatro rectos (Mathesis, 1894, t. IV páginas 180-183).

Establecidos estos preliminares, M. Mansión desarrolla los principios de la geometría riemannna.

Termina este interesante opúsculo con un Apéndice sobre la historia de la Geometría no euclídea y otro sobre los primeros principios de la Metageometría y de la geometría riemannna(*).

Z. G. DE GALDEANO.

La curva pedar de un cono axial en las superficies de segundo grado
POR EL PROFESOR HERR. J. MEYER EN HALLE A S

Es sabido que el sistema de ejes de una superficie de segundo orden \(F^2\) pertenece á los complejos de segundo grado ó á los complejos de Reye. Toda recta perpendicular á su polar con respecto á \(F^2\) se llama eje de \(F^2\). Fácil es ver que los ejes situados en un plano cualquiera, envuelven en general una parábola. En efecto, un eje situado en el plano \(\pi\), siendo perpendicular á su polar, que pasa por el polo P de \(\pi\), como también lo es á la normal \(n\) trazada desde P á \(\pi\), lo será el plano del haz cuyo eje es \(n\), por tanto, tendremos todos los ejes situados en \(\pi\), si trazamos perpendiculares desde los polos del haz de planos \(n\) á los planos correspondientes; pero estos polos forman una serie de puntos reotilínea \(n'\) que es proyectiva con el haz de planos y también con el de rectas que dicho haz de planos engendra sobre \(\pi\);

(*) Mathesis noviembre 1893.
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luego aquellas perpendiculares envuelven una parábola. La ley de reciprocidad exige que los ejes que pasan por un punto formen un cono de segundo grado.

2 Sea a un eje, normal, por consiguiente, á su po'ar a', y trácese por a un plano paralelo á a', este plano cortará á la superficie F² según una sección cónica, de la cual un eje es a, porque su polo, con respecto á la sección cónica perpendicular á él está situada á distancia infinita. Por a' trácese otro plano perpendicular á a, y desde el punto de encuentro se construye el cono de las tangentes á F², a es también eje de este cono, porque su plano polar con respecto al citado cono es perpendicular al referido eje. De este doble fundamento proviene la denominación de eje que se da á cada una de las \( \alpha^3 \) rectas del complejo. La proyección ortogonal de a' sobre a, es, como se ve, un punto que se llama pie del eje a. Nos proponemos, pues, la cuestión siguiente: Determinar el lugar de los pies de todos los ejes que pasan por un punto del espacio (*).

3 Con tal objeto demostraremos previamente una proposición que encierra en sí gran interés, á saber:

Si un haz de planos E³ está en relación proyectiva con una curva alabeada K³ de tercer orden, en general, y á lo sumo cinco planos del haz, pasarán por los puntos correspondientes.

Basta demostrar la proposición de la izquierda, pues de ella se sigue la otra en virtud del principio de dualidad. En efecto, sea a un plano del haz E³ que pasa por el punto correspondiente A del K³ y trácese en el plano x por A una recta g, esta recta tendrá común con K³ el punto A. Ahora bien, las cuerdas de K³ que pasan por los puntos de dicha recta forman, como se sabe, un sistema reglado de segundo orden, á cuyo sistema director pertenece g; pero este sistema director está en perspectiva con la curva K³, luego es proyectiva con E³ y engendra con este haz una curva alabeada de tercer orden F³, la cual, con la recta g situada enteramente en el plano x, completa una curva alabeada de cuarto orden. Que la línea citada últimamente es en general el resultado de un haz de planos de segundo orden, y además de un sistema reglado proyectivo se deduce de lo siguiente:

Si un plano cualquiera corta al sistema reglado según una sección

(*) Rey, Geometrie del Lage: t. II, p. 164 de la tercera edición.
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 13

cónica situada en perspectiva respecto de dicho sistema reglado y es proyectiva con el haz de planos, entre las dos últimas formas, se sabe (*) que no hay en general más que cuatro pares de elementos coincidentes; esto es, que la curva alabeada de que se habla es de cuarto grado. De todo lo dicho se sigue que \( k^3 \) y \( l^3 \) están situadas sobre la misma superficie reglada de segundo grado y tienen como cuerdas el mismo sistema de rectas, por lo cual tienen en general cuatro puntos comunes (**) y con esto nuestra proposición está de mostrada.

Una consecuencia inmediata de nuestra proposición es, por ejemplo, ésta:

Si una curva alabeada de tercer orden es proyectiva con un sistema reglado, sin que coincidan dos elementos homólogos, estas formas engendran un haz de planos de quinto orden.

El sistema reglado se proyecta desde un punto cualquiera del espacio por un haz de planos de segundo orden, que es proyectivo con la curva alabeada de tercer orden, y del cual, como sabemos, solamente pasan cinco planos por los puntos correspondientes.

Si un sistema reglado es proyectivo con una curva alabeada de tercer orden, y coinciden uno, dos, tres ó cuatro pares de elementos correspondientes, estas formas engendran un haz de planos de cuarto, tercero, segundo ó primer orden.

3 Lo que sigue se refiere á la curva podaria. Sea P un punto situado en el complejo de los ejes y vértice de un cono de segundo orden cuyas generatrices son ejes; la parábola perteneciente á los ejes está situada en el plano polar \( \pi \) de P; tendremos, pues, todos los pies de las generatrices del cono trazando por las tangentes á la parábola planos perpendiculares á las generatrices correspondientes. Pero todos estos planos son paralelos á los que pasan por P y perpendiculares á los ejes, cuyos planos (los que pasan por P) forman un haz de

(*) Rey, I, pág. 186 de la tercera edición.
(**) Rey, II, pág. 300.
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2.º orden y cortan según un haz de rayos de 2.º orden á los planos del infinito; por tanto, pueden mirarse los planos citados primeramente, como el resultado de dos haces de rectas de segundo orden proyectivos, de los cuales el uno es el sistema de tangentes á la parábola y el otro está situado en el infinito.

Este resultado es un haz de planos de tercer orden E³ porque los planos de los haces de rayos se cortan en una recta que pertenece á ambos haces, pero que no se corresponde á sí misma.

Según esto, á la tangente en el infinito de la parábola de los ejes en π, corresponde el diámetro de F⁴ que pasa por P y que en general no es perpendicular á π. E³ es proyectivo con el cono P y ambos engendran la curva podaria, que es de quinto orden. Cortemos, en efecto, el cono P por un plano cualquiera, obtendremos una sección óptica que es perspectiva con P y proyectiva, por consiguiente, con E³; pero según la proposición primera de 2 sabemos que en general y á lo sumo pasan cinco planos por los puntos correspondientes. Además, puesto que los tres ejes del cono P son perpendiculares entre sí y cada uno es conjugado al plano de los otros dos, también son ejes de F⁴ y P es el pie de los tres y un punto triple de la curva alabeada de quinto orden.

BREVE NOTA MATEMÁTICA SOBRE EL TRIÁNGULO
POR D. JUAN J. DURÁN LORIGA, COMANDANTE DE ARTILLERÍA

Consideremos un triángulo ABC y construyamos sobre cada uno de sus lados, por ejemplo, BC todos los triángulos equipotenciales con el propuesto, esto es, que sea constante la suma de los cuadrados de los lados (véase nuestra Nota en el Progreso Matemático, t. IV, pág. 813). Es evidente que los vértices de estos triángulos describen una circunferencia que tiene por centro el medio m_a de BC y por radio \( \frac{2(b^2 + c^2 - a^2)}{4} \). De un modo análogo se obtienen las circunferencias relativas á los lados AB y AC; llamaremos, por evitar perífrasis, á estas líneas, circunferencias potenciales del triángulo, y las representaremos por P_a, P_b y P_c.

Cada dos circunferencias se cortan en un par de puntos que gozan por lo dicho de la propiedad de que unido uno cualquiera de ellos con los vértices del triángulo propuesto se forman dos equipotencia-