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P. Dans le cas du cercle circonscrit ce point dévient le centre du cercle.

En effet considérons l'hexagone inscrit \( P \alpha A C B \beta \) qui fournit la pascale

\[
\begin{array}{ccc}
| P \alpha | & = & A' \\
B C & & \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ccc}
| A C | & = & B' \\
P \beta & & \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ccc}
| A \alpha | & = & F \\
B \beta & & \\
\end{array}
\]

et l'exagone inscrit \( P \alpha A B C \gamma \) avec la pascale

\[
\begin{array}{ccc}
| P \alpha | & = & A' \\
B C & & \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ccc}
| A B | & = & C' \\
P \gamma & & \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ccc}
| A \alpha | & = & F \\
C \gamma & & \\
\end{array}
\]

Il résulte que les quatre points \( A', B', C', \) et \( F \) sont en ligne droite car les angles \( A P \alpha, B P \beta \) et \( C P \gamma \) étant droits, on sait que les trois droites \( A \alpha, B \beta \) et \( C \gamma \) se coupent en un même point \( F \), le point de Frégier de \( P \).

Si les quatre points \( A, B, C, P \) restent fixes, mais si la conique circonscrite varie, la droite \( A' B' C' \) reste fixe; elle est donc le lieu géométrique du point \( F \) d'où le théorème:

Le lieu géométrique des points de Frégier, d'un des centres d'un faisceau ponctuel de coniques, par rapport à toutes les coniques du faisceau est une ligne droite.

II

Dans la seconde partie, surtout analytique de son travail, Monsieur Duran Loriga étudie des coniques circonscrites à un triangle fixe \( ABC \), et dépendant de la position d'un point donné

L'étude géométrique de ces conique constitue une intéressante application des méthodes projectives.

Soit \( ABC \) un triangle donné. Par un point fixe \( M \), menons une transversale variable qui coupe les côtés \( AB \) et \( AC \) respectivement en \( C' \) et \( B' \). Les droites \( BB' \) et \( CC' \) se coupent en \( P \), dont
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on demande le lieu géométrique lorsque la transversale tourne autour de M.

Les ponctuelles B' et C' étant perspectives, les faisceaux BB' et CC' sont homographiques; P engendre donc une conique \( \Sigma_A \) circonscrite au triangle. Lorsque B' coïncide avec C, BB' coïncide avec la ligne BC des centres des faisceaux et CC' tombe en MC.

Donc MC est la tangente en C à la conique \( \Sigma_A \) et de même pour MB; autrement dit, M est le pôle de BC.

A chaque point M correspondent trois coniques circonscrites suivant qu'on considère les deux côtés que se coupent en A, B ou C.

En utilisant le théorème bien connu, que les tangentes à une conique, aux sommets d'un triangle inscrit coupent les côtés opposés suivant trois points en ligne droite, il sera facile de construire la tangente en un point P quelconque de la conique. MB et MC coupent respectivement PC et PB aux points \( \beta \) et \( \gamma \); \( \beta \gamma \) rencontre BC en \( \alpha \); \( \alpha P \) sera la tangente cherchée.

C'est la conjuguée harmonique de MP par rapport aux droites BB' et CC'.

Soit K' le pôle du côté BC par rapport à la circonférence circonscrite au triangle. [K' est le premier point algébriquement adjoint du point K de Lemoine].

Pour le point K' comme point M, la conique \( \Sigma_A \) sera évidemment le cercle circonscrit au triangle.

Donc le point M étant quelconque, à la transversale MK' correspondra un point P qui sera le quatrième point commun à la conique \( \Sigma_A \) et au cercle circonscrit.

De là un moyen bien simple de construire les points de Steiner et de Tarry du triangle.

Si le point M se trouve sur la droite qui joint les pieds des hauteurs abaissées de B et de C, la conique \( \Sigma_A \) est une hyperbole équilatère.

En règle générale, si le point M décrit une droite donnée, les coniques \( \Sigma \) correspondantes appartiennent à un faisceau.

Pour un point donné M, il est facile de déterminer le genre de la conique \( \Sigma \).

Par les point B et C menons deux transversales parallèles variables qui coupent, la première AC en \( \beta \) la seconde AB en \( \gamma \).

Les points \( \beta \) et \( \gamma \) déterminent sur ces droites deux ponctuelles homographiques, donc \( \beta \gamma \) enveloppera une conique.
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Il est facile de constater qu’au point A, considéré comme faisant partie d’une des ponctuelles, correspond le point infini de l’autre.
L’enveloppe est donc une hyperbole H, d’asymptotes AB et AC et tangente à BC en son point milieu.
Si donc d’un point M on peut mener deux tangentes à H, à chacune d’elles correspondent deux droites BB’ et CC’ parallèles, \( \Sigma_A \) sera donc une hyperbole. Si M est sur H, \( \Sigma_A \) sera une parabole, si enfin M est à l’intérieur de H, \( \Sigma_A \) sera une ellipse.
Si M est situé sur la droite BC, \( \Sigma_A \) dégénère suivant deux droites, BC et une seconde droite passant par A, la conjuguée harmonique de AM par rapport aux droites AB et AC.
Donc une courbe dégénérée du genre hyperbolique sauf pour le point milieu de BC, où les deux droites deviennent parallèles, courbe dégénérée du genre parabolique.

III

El serait facile de généraliser la question traitée, en faisant mouvoir la transversale de manière à ce qu’elle reste tangente à une courbe donnée.
Voir par exemple, l’intéressant travail de Monsieur Leinekugel dans le journal de Mathématiques spéciales de G. de Longchamps année 1894; Sur une méthode nouvelle de transformation.
En modifiant légèrement les données du problème on trouverait aisément de nombreuses questions fournissant d’utiles résultats.
Ainsi, par exemple:
Par le point M menons une transversale qui coupe AC et AB aux points B’ et C’ et élevons en ces points sur AC et AB des perpendiculaires. Chercher le lieu de ces droites lorsque la transversale tourne autour de M.
On trouverait une hyperbole passant par A et dont les asymptotes sont perpendiculaires aux côtés considérés.
Cette hyperbole coupe le cercle circonscrit au triangle en trois points autres que A et pour ces points la transversale est une droite de Simson du triangle. Donc:
L’hypocicloïde de Steiner est de troisième classe.
On remarquera en autre qu’à un point M correspondent trois hyperboles pour les trois paires de côtés du triangle et ces trois hyperboles ont avec le cercle circonscrit les mêmes trois points en commun.
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Supposons que M se meuve sur une droite g. Toutes ces hyperboles déterminent un faisceau dont les centres sont:
A, les points à l'infini dans les directions perpendiculaires aux côtés AB et AC et le point correspondant à la transversale g.
Or parmi les coniques de ce faisceau, il y en a quatre qui occultent le cercle et pour les points d'osculuation, deux des transversales considérées infiniment voisines se coupent sur g. Donc:
L'hypocycloïde de Steiner est du quatrième ordre.
Si au lieu d'élever en B' et C' des perpendiculaires sur les côtés on menait des droites formant dans le même sens avec les côtés un angle donné, on trouverait de même le beau théorème de Monsieur Gob, dont j'ai publié dans Mathesis, année 1899, pag. 142, la démonstration:
Par un point P, situé dans le plan d'un triangle ABC, on mène trois droites α, β, γ faisant des angles égaux et de même sens avec les côtés BC, CA, AB; α rencontre AC en B_α et AB en C_α; β rencontre BC en A_β et AB en C_β; γ rencontre BC en A_γ et AC en B_γ. Soient α', β', γ' les points situés à l'infini sur les droites α, β, γ.
1° Les coniques β'γ' AB_γ C_β, x'γ' BC_α A_γ, x'β' CB_α A_β et le cercle ABC sont circonscrits à un même triangle A'B'C'.
2° Lorsque le point P se déplace de manière que B'C' ait une longueur constante, le lieu de P est une hypotrochoïde qui se réduit à une hypocycloïde de Steiner lorsque B'C' est nul, et à un cercle lorsque B'C' est égal au diamètre du cercle ABC.

CUADRILÁTEROS ESFÉRICOS ARTICULADOS
por D. A. Krahe

1. Sea O . ABCD un ángulo poliedro tetraedro, de caras invariables y diedros deformables. Si cortamos por una esfera de radio unidad, cuyo centro sea O, tendremos un cuadrilátero esférico ABCD, representación simbólica de la cadena cinemática compuesta de cuatro pares de rotación cuyos ejes concurren.
Consideremos como puente el lado AB, es decir, supongamos fijo dicho lado y propongámonos determinar la relación de velo-
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cidades angulares alrededor de O A y O B. Se sabe que el polo instantáneo de rotación del lado CD es el punto I de intersección de los arcos AD y BC.

Designando por \( \omega \), \( \omega' \), \( \Omega \), las velocidades angulares alrededor de OA, OB, OI, tendremos.

\[
\omega \text{ sen } AD = \Omega \text{ sen } ID;
\]
\[
\omega' \text{ sen } BC = \Omega \text{ sen } IC
\]

de donde

\[
\frac{\omega}{\omega'} = \frac{\text{sen } ID}{\text{sen } AD} \cdot \frac{\text{sen } BC}{\text{sen } IC}
\]

Si prolongamos el lado CD (biela) hasta su encuentro en M con el puente, el triángulo ABI cortado por ICM dará (*)

\[
\frac{\text{sen } ID}{\text{sen } AD} \cdot \frac{\text{sen } BC}{\text{sen } IC} \cdot \frac{\text{sen } MA}{\text{sen } MB} = 1.
\]

De las dos últimas relaciones resulta

\[
\frac{\omega}{\omega'} = \frac{\text{sen } MB}{\text{sen } MA}.
\]

La relación de velocidades angulares es pues inversa de la de los senos de los arcos en que queda dividido el puente por la biela (**).

2. Junta universal ó de Cardan. Recordaremos que en este mecanismo los tres lados BC, CD, DA son iguales á un cuadrante y que el punto AB tiene una medida cualquiera; designaremos por \( \varphi \) el ángulo agudo que forman las rectas OA y OB. En la práctica el ángulo agudo es el suplementario del AOB. En cuanto á las cuestiones de disposición del mecanismo y aplicaciones del mismo, enviamos al lector á los tratados especiales acerca de la ma-

(*) Menelaus (Sphaerica III).- Bálizer. Die elemente der Mathematik. 1885. II p. 362.
(**) Esta propiedad de los cuadriláteros esféricos, análoga á la de los cuadriláteros planos no se menciona en las obras corrientes sobre Cinemática y Mecanismos. Véanse las de Bour, Desal, Collignon y la más reciente de Poincaré. Siendo alumno en el curso de Máquinas de la Escuela de Caminos, comuniqué al distinguido profesor Sr. Gorcini la citada analogía y este eminente ingeniero la incluyó en la obra.—Clase de Máquinas. Apuntes redactados por los alumnos etc., 1895. En la pág. 138 se indica el teorema.
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teria, algunos de los cuales citamos en la segunda nota, pues solo nos proponemos deducir como aplicación del teorema 1 el límite superior práctico del ángulo \( \gamma \), siguiendo una marcha algo diferente de la empleada por otros autores.

Los puntos C y D se mueven en los círculos máximos que tienen por polos los puntos B y A respectivamente. Es fácil ver que la biela CD encuentra al puente dentro del arco PQ = \( \gamma < 90^\circ \) que dichos círculos máximos determinan sobre el puente. Según queda demostrado (1)

\[
\frac{\omega}{\omega'} = \frac{\operatorname{sen} BM}{\operatorname{sen} AM}
\]

El segundo miembro de esta relación tiene como valores límites los correspondientes a las posiciones de M coincidentes con los puntos P y Q, por lo tanto tendremos

\[
\cos \gamma < \frac{\omega}{\omega'} < \frac{1}{\cos \gamma}
\]

luego mientras más pequeño sea \( \gamma \), más próxima á la unidad se mantiene la relación de velocidades; quedando de paso probado que en el mecanismo de que nos ocupamos no es constante la relación de velocidades.

Para \( \gamma = 45^\circ \) el cociente de velocidades varía entre \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) y \( \sqrt{2} \), es decir, entre 1 y 2. Conviene pues elegir el ángulo AOB de suerte que no sea inferior á 135° (*).

3. Superficies polares fija y móvil. Para obtener las superficies cónicas, fija y móvil, tales, que suponiendo el puente ligado con la segunda y esta rodando sobre la primera produzcan el movimiento, tomaremos tres ejes coordenados rectangulares que pasen por O, siendo el eje de las z la bisectriz de AOB y el de las x la perpendicular á oz trazada en el plano AOB.

(*) Véanse, Poincaré.—Cinématique et Mécanismes 1899 páginas 164-65 y 66 y la obra citada del Sr. Garcial. p. 130.
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OA tendrá por ecuaciones \( x = a s, \quad y = 0 \)
OB, \( x = -a z, \quad y = 0 \)

los ejes OC v OD tendrán ecuaciones de la forma

OC \( \begin{cases} x = \lambda s \\ y = \mu s \end{cases} \)      OD \( \begin{cases} x = \lambda' s \\ y = \mu' s \end{cases} \)

Por ser rectos los ángulos BOC', AOD, COD, se tendrá
\[
-a \lambda + 1 = 0, \quad a \lambda' + 1 = 0, \quad \lambda \lambda' + \mu \mu' + 1 = 0 \qquad (1)
\]

Las ecuaciones de los planos AOD y ROC cuya intersección es el eje instantáneo de rotación OI, son respectivamente
\[
\mu' x + (a - \lambda') y + a \mu' s' = 0 \\
\mu x - (a + \lambda) y - a \mu s = 0 \tag{2}
\]

Obtendremos el lugar de OI en el espacio, eliminando \( \lambda, \mu, \lambda', \mu' \) entre las ecuaciones (1) y (2): resultará
\[
(x^3 - a^2 s^2) (a' - 1) - (1 + a'^2) y^2 = 0
\]
que es la superficie polar fija.

La polar móvil la obtendremos análogamente. Basta tomar como puente CD y hallar el lugar de OI cuando AB varía. Resulta un cono do cuarto orden

El movimiento de la biela sobre la esfera se podrá obtener suponiendo al arco CD ligado invariablemente con la curva intersección del cono de 4.º orden con la esfera y suponiendo que esta curva rueda sobre la elipse esférica que resulta de la intersección de (3) con la esfera.

ETUDE ÉLÉMENTAIRE SUR LA THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA
por M. A. Aubry
(Conclusion)

6.º Dans toutes ces formules, on peut remplacer \( x \) par \( x^2, \ a^3 ... \sqrt{x}, ... \): de là la solution d'autres questions que nous nous bornons à signaler.
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13. Nous dirons quelques mots de la méthode générale, qui analyse le problème et conduit à la solution infailliblement et sans tâtonnements.

Si l'accroissement \( h \) de la variable tend vers zéro, l'accroissement correspondant de la fonction tend également vers zéro, si c'est une fonction entière. Soient \( f(x) \) et \( \varphi(x) \) de semblables fonctions, on a:

\[
\frac{f(x)}{\varphi(x)} - \frac{f(x+h)}{\varphi(x+h)} = \frac{f(x)\varphi(x+h) - \varphi(x)f(x+h)}{\varphi(x)\varphi(x+h)}
\]

à mesure que \( h \) tend vers zéro, les divers termes de \( f(x+h) \) et de \( \varphi(x+h) \) tendent vers ceux de \( f(x) \) et de \( \varphi(x) \), puisque, par exemple,

\[
A (x+h)^p - A x^p = A x^p \left(1 + \frac{h}{x}\right)^p
\]

donc le second membre de (a) tend vers zéro en même temps que \( h \).

Or entre deux valeurs égales de la fonction, existe toujours un maximum ou un minimum; donc si nous supposons ces deux valeurs se rapprochant de plus en plus, comme fait Huygens, c'est-à-dire si \( h \) tend vers zéro, elles se rapprocheront de plus en plus de la valeur du maximum ou du minimum.

Posons, en conséquence

\[
\frac{A (x+h)^p + B (x+h)^{p-1} + \ldots}{a (x+h)^q + b (x+h)^{q-1} + \ldots} = \frac{A x^p + B x^{p-1} + \ldots}{a x^q + b x^{q-1} + \ldots},
\]
\[
= \frac{A (x+h)^p - a x^p + \ldots + R(x+h) - R x}{a (x+h)^q - a x^q + \ldots + r(x+h) - r x}
\]

ou bien

\[
\frac{A x^p + \ldots}{a x^q + \ldots} = \frac{A \frac{(x+h)^p - x^p}{h} + B \frac{(x+h)^{p-1} - x^{p-1}}{h} + \ldots}{a \frac{(x+h)^q - x^q}{h} + b \frac{(x+h)^{q-1} - x^{q-1}}{h} + \ldots}
\]

à chaque valeur de \( h \) correspond ainsi généralement une valeur de \( x \). Si on suppose que \( h \) tend vers zéro, la valeur correspondante de \( x \) tendra vers la maximante ou la minimante (*).

(*) Le calcul différentiel n'est autre chose que le développement de cette idée.
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Or, dans ce cas, à cause de la relation bien connue de Mac-Laurin

\[
n (x + h)^{n-1} > \frac{(x + h)^n - x^n}{h} > n x^{n-1}
\]

on voit que les termes du numérateur du second membre tendent vers \( A x^{p-1} , (p-1)! B x^{q-2} \), etc. L'équation de la maximante est donc

\[
\frac{A x^p + \ldots}{a x^q + \ldots} = \frac{p A x^{p-1} + \ldots}{q a x^{q-1} + \ldots}
\]

14. De même, les deux valeurs de la variable ayant \( h \) pour différence et faisant acquérir des valeurs égales à la fonction déjà traitée

\[
\frac{\alpha}{\sqrt{a + x}} + \frac{\beta}{\sqrt{b - x}},
\]

sont déterminées par l'équation

\[
\frac{\alpha}{\sqrt{a + x}} + \frac{\beta}{\sqrt{b - x}} = \frac{\alpha}{\sqrt{a + x + h}} + \frac{\beta}{\sqrt{b - x - h}}
\]

ou, après plusieurs transformations faciles

\[
\frac{x}{(\sqrt{a + x} + \sqrt{a + x + h}) \sqrt{(a + x)(a + x + h)}} = \frac{\beta}{(\sqrt{b - x} + \sqrt{b - x - h}) \sqrt{(b - x)(b - x - h)}}
\]

quel que soit \( h \). Mais à mesure que \( h \) tend vers zéro, l'équation tend vers celle-ci

\[
\frac{x}{(a + x)^2} = \frac{\beta}{(b + x)^2}
\]

ce que donne bien la condition trouvée au n.º 12, 1.º.

15. En dernier lieu, soit à chercher le maximum de \( (a + x)(b + x)(c + x) \). On a identiquement:

\[
(x + h)(\beta + h)(\gamma + h) - x \beta \gamma = h(x + h)(\beta + h) + h(x + h)\gamma + h \beta \gamma;
\]
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et l'on aura aussi, si les courbes se trouvent sur une surface,

\[
\Phi(X, Y, Z) = 0, \quad \Phi(x, y, z) = 0,
\]

\[
\sum_X \frac{\partial \Phi}{\partial X} \frac{dX}{dS} = 0, \quad \sum_x \frac{\partial \Phi}{\partial x} \frac{dx}{ds} = 0,
\]

et, au point M, comme auparavant,

\[
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial Y^2} + \frac{d^2 Z}{dS^2} = 0;
\]

et, de même,

\[
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{d^2 s}{d s^2} = 0,
\]

d'où, si les courbes sont des sections normales (en M) de la surface sur laquelle elles se trouvent,

\[
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial Y^2} = -\frac{1}{R'}, \quad \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} = -\frac{1}{R}.
\]

Si l'on considère maintenant une autre courbe \( x', y', s' \), section normale quelconque de la surface (en M), on aura, au point M,

\[
X = x = x', \quad Y = y = y'. \quad Z = z = z',
\]

\[
\frac{d x'}{d s'} = \cos \varphi, \quad \frac{d y'}{d s'} = \sin \varphi, \quad \frac{d z'}{d s'} = 0,
\]

(\( \varphi \) = angle de la tangente de cette courbe avec l'axe des x),

\[
\frac{d^2 x'}{d s'^2} = 0, \quad \frac{d^2 y'}{d s'^2} = 0, \quad \frac{d^2 s'}{d s'^2} = 1,
\]

et, de même,

\[
\sum_{x'} \frac{\partial \Phi}{\partial x'} \frac{d x'}{d s'} = 0, \quad \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x'^2} \left( \frac{d x'}{d s'} \right)^2 + \ldots + \sum_{x'} \frac{\partial \Phi}{\partial x'} \frac{d^2 x'}{d s'^2} = 0;
\]
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d'où, pour \( \alpha = x + a,\ \beta = x + b,\ \gamma = x + c, \)

\[(x + a + h)(x + b + h)(x + c + h) - (x + a)(x + b)(x + c) = h [(x + a + h)(x + b + h) + (x + a + h)(x + c) + (x + b)(x + c)].\]

Le premier membre représente le différence de deux valeurs de la fonction. Si on suppose celles-ci égales, comme \( h \) est supposé quelconque, on devra avoir:

\[(x + a + h)(x + b + h)(x + c + h) - (x + a)(x + b)(x + c) = 0\]

et si \( h \) tend vers zéro, cette équation tendra vers l'équation de la maximante

\[(x + a)(x + b) + (x + a)(x + c) + (x + b)(x + c) = 0\]

comme on l' à déjà trouvé, n.º 8.

TEOREMAS DE GEOMETRIA
por M. G. Fontené.

1. Dados dos puntos A y B en un eje ó recta \( x'x \), representaremos por AB ó BA indiferentemente el eje \( x'x \); con la notación \( \overline{AB} \) expresaremos la medida algebraica del segmento cuyo origen es el punto A y su extremo B. El plano se halla orientado, y el ángulo (AB, CD) de dos ejes \( x'x \) é y'y tiene un signo.

2. Teorema 1. Sea ABCD un cuadrángulo plano cuyos seis lados se hallan contenidos en ejes. Tomemos por una parte

\[
l = \overline{DA} \times \overline{BC}, \quad m = \overline{DB} \times \overline{CA}, \quad n = \overline{DC} \times \overline{AD};
\]

consideremos por otra parte los ángulos

\[
L = (\overline{DB}, \overline{DC}) - (\overline{AB}, \overline{AC}) = (\overline{BD}, \overline{BA}) - (\overline{CD}, \overline{CA}),
\]
\[
M = (\overline{DC}, \overline{DA}) - (\overline{BC}, \overline{BA}) = (\overline{CD}, \overline{CB}) - (\overline{AD}, \overline{AB}),
\]
\[
N = (\overline{DA}, \overline{DB}) - (\overline{CA}, \overline{CB}) = (\overline{AD}, \overline{AC}) - (\overline{BD}, \overline{BC})
\]

de los que el primero, por ejemplo, puede construirse con el símbolo DA, BC ó con el símbolo BC, DA (repito que las notaciones AB, BA representan un mismo eje \( x'x \)). Esto sentado, los productos l, m, n son proporcionales á los lados MN, NL., LM de un
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triángulo LMN en el que los ángulos de las direcciones positivas de los ejes que llevan los lados son iguales á los ángulos L, M, N.

Se tienen, pues, las fórmulas

\[
\begin{cases}
\frac{l}{\operatorname{sen} L} = \frac{m}{\operatorname{sen} M} = \frac{n}{\operatorname{sen} N} \\
L + M + N = 0
\end{cases}
\]

ó las fórmulas equivalentes

(2) \( l + m \cos N + n \cos M = 0, \ldots, \ldots \),

ó también

(3) \( l^2 = m^2 + n^2 + 2mn \cos L, \ldots, \ldots \);

y basta establecer las fórmulas (1) ó (2) ó (3) para demostrar el teorema (*)

3. Teorema II. Sean dos triángulos, en un plano, directamente semejantes ABC y A'B'C', y consideremos los segmentos AA', BB', CC'. Si d partir de un punto O' se trazan los segmentos O'A₁, O'B₁, O'C₁ paralelos á iguales á los segmentos N'A, B'B, C'C, el triángulo A₁ B₁ C₁ es directamente semejante á los dos triángulos dados.

4. Corolario. Sea

\[
\frac{BC}{p} = \frac{CA}{q} = \frac{AB}{r}, \quad \pi = \angle BAC, \ x = \angle CBA, \ z = \angle ACB,
\]

siendo los tres ángulos \( \pi, x, z \) de igual signo: sea además

\[
\begin{cases}
a = AA', & \alpha = (BB', CC') \\
b = BB', & \beta = (CC', AA') \\
c = CC', & \gamma = AA', BB'
\end{cases}
\]

teniendo los ángulos \( \alpha, \beta, \gamma \) signos. Resultarán las fórmulas (1), (2), (3), haciendo

\[
\begin{cases}
l = p \times a & L = (\alpha - \pi) + 180^\circ \\
m = q \times b & M = (\beta - x) + 180^\circ \\
n = r \times c & N = (\gamma - z) + 180^\circ
\end{cases}
\]

(*) El teorema I pertenece en el fondo á Bellavittis, que lo ha enunciado de un modo más conciso, sin precisar bastante los ángulos L, M, N. Sobre la extensión al espacio, se pueden consultar los Nouvelles annales de Mathématiques 1890, p. 407.
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5. APLICACION. Dadas dos circunferencias (fig. 1) cuyos centros son A y B; se consideran dos radios variables AA' y BB' que forman un ángulo constante, y se construye un triángulo A'B'C' semejante a un triángulo dado. Demostrar que el lugar del punto C' es una circunferencia cuyo centro C forma con A y B un triángulo ABC directamente semejante al triángulo A'B'C' y cuyo radio CC' forma con AA', por ejemplo, un ángulo constante \( \beta \).

En la figura se ha puesto, para simplificar, el punto O' en C', de modo que el punto C, está en C. Hallándose determinado en magnitud el triángulo C'A_1B_1, y siendo el triángulo A_1B_1C semejante al A'B'C', el cuadrángulo C'A_1B_1C queda determinado en magnitud, lo que demuestra el teorema. Se tienen además las fórmulas (1), (2), (3) con las notaciones del corolario anterior; y puesto que se conocen \( p, q, r, \pi, x, z, a, b, \gamma \), se pueden calcular \( x \) y \( \beta \) por las fórmulas

\[
\begin{align*}
\frac{\sin (\alpha - \pi)}{\sin (\beta - x)} &= \frac{p \times a}{q \times b} \\
(\alpha - \pi) + (\beta - x) &= 180 - (\gamma - z)
\end{align*}
\]

que dan

\[
x - \pi = A + k \cdot 180 \quad \frac{\beta - x}{z - x} = B - k \cdot 180
\]

y se obtiene enseguida \( c \) por la fórmula

\[
\frac{q \times b}{\sin (\beta - x)} = \frac{r \times c}{\sin (\gamma - z)}
\]

hallándose el signo de \( c \) en relación con la paridad de \( k \); se tiene además, si se quiere

\[
r^3 c^3 = p^3 a^3 + q^3 b^3 - 2pq ab \cos (\gamma - z)
\]

6. El Sr. D. A. Krahe (pág. 196 del periódico) obtuvo el lugar