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XV) y de las de curvatura constante (c. XVI, XVII). En el c. XIV, partiendo de las fórmulas de Weiertrass, que del modo más sencillo y elegante enlazan la teoría de las superficies mínimas con los de las funciones de variables complejas, expongo las generalidades relativas á estas superficies. El capítulo XV contiene algunas indicaciones generales relativas al problema de Plateau; pero, en vez de internarme en este estudio que presupone en el lector el conocimiento de la moderna teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, he preferido tratar extensamente el clásico ejemplo de la teoría de la superficie de Schwarz donde pocas nociones sobre la representación conforme bastan para llegar al objeto. La continuación analítica de la superficie de Schwarz viene estudiada con medios más elementales que los empleados por Schwarz en su memoria, teniendo en cuenta sólo el contorno, que define una primera porción de la superficie, y utilizando después las propiedades de los grupos de movimiento.

«En el primer capítulo sobre la superficie pseudo esférica (c. XVI) se estudia la geometría de estas superficies y se hace una exposición de la Geometría no-euclídea, con auxilio de su representación conforme sobre el semiplano, que tanta importancia ha recibido de las modernas investigaciones sobre la teoría de los grupos de sustituciones lineales y de las funciones automorfas (Klein-Poincaré). El capítulo siguiente (XVII) está dedicado á los métodos de transformaciones de Bäcklund. El nuevo teorema relativo á la permutabilidad de dos tales transformaciones, da con sus consecuencias el máximo grado de sencillez á la aplicación sucesiva del método, y pone en mayor relieve la importancia de la transformación de Bäcklund, que no me parece bastante reconocida por diversos geómetras.»

«La obra se termina con tres capítulos sobre las coordenadas curvilíneas, en el espacio sobre los sistemas triples de superficies ortogonales. En el primero de ellos (c. XVIII) se tratan las generalidades relativas á estos sistemas hasta establecer la importante transformación de Combescure-Darboux. En el c. XIX: Me ocupo nuevamente de los sistemas cíclicos de Ribaucour, y aplicándoles la transformación de Combescure derivo con sólo la cuadratura los sistemas triples ortogonales más generales con una serie de líneas de curvatura plana. La continuación de este capítulo trata de las coordenadas elípticas, con aplicación al estudio de las líneas geodésicas sobre el elipsoide. El último capítulo, en fin, es un resumen de mis memorias sobre los sistemas triples ortogonales, que contienen una serie de superficies de curvatura constante.»
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La relación transcrita es un resumen de las muchas é interesantes cuestiones que el lector encuentra en la notable obra del Sr. Bianchi.

American Journal of Mathematics, published under the Auspices of the Johns Hopkins University. Baltimore.

Volumen XVI, Number, 1, contiene: Zur Kettenbruchentwicklung hyperelliptischer und ähnlicher Integral, von Edward B. Van Vleck.—Waves and Jets in a Viscous Liquid, by A. B. Basset.—Sur l'inversion des intégrales de fonctions à multiplicateurs, par M. Emile Picard. On Orthogonal Substitutions that can be expressed as a Function of a Single Alternate Linear substitution, by Henry Taber, Number 2, contiene: Compound Determinants by William H. Metzler. On the order of Terms in a Semi-Convergent Series, by Henry P. Manning. On the Addition Theorems of Jacobi and Weierstrass, by E. Study.—Summation of Logarithmic and Exponential Series by A. Chessin. Además contiene escritos sobre la solución general de las ecuaciones de Bessel, sobre las curvas cicloidales y trocoidales y sobre las sustituciones lineales por los Sres. A. Chessin, Frank Morley y F. Franklin.

El núm. 3 contiene trabajos sobre una clase de funciones transcendentas uniformes, sobre las superficies elípticas de Kummer y sobre la deformación de las placas elásticas, por los Sres. Craig, S. Humbert y Brasset.

Bulletin scientifique, redigé par M. Ernest Lebon. Se publican en esta Revista mensual principalmente numerosos problemas de física, química y matemáticas elementales, muchos de ellos referentes á exámenes y concursos.

Los artículos de fondo contenidos en el tomo octavo versan sobre: Preparación del oxígeno é hidrógeno por la electrolisis, dilatación de los líquidos, desinfección electrolítica, metalurgia del aluminio, higrometría, por E. Bonant.—Sobre los caracteres de divisibilidad de los números escritos en un sistema de base cualquiera.—Sobre el aparato respiratorio.—Proyecciones poliédricas.—Cuestiones de trigonometría.—Los efectos del rayo.—Nota sobre las demostraciones de algunas propiedades métricas del triángulo.—Nociones sobre la Historia de la Astronomía, por los Sres. Cadenat, Flot, Gérard, Goffart, Chevet, Lasne, Lebon y Roubandi.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 23

Biblioteca mathematica publié par Gustaf Eneström, 1894, n.º 2.

Los trabajos publicados en este cuaderno, cuyos epígrafes traducimos, son:

Algunas observaciones sobre la historia de las matemáticas en España en el siglo xvi por G. Eneström(1). Las matemáticas entre los judíos por Moritz Steinschneider. Acerca de la primera demostración de un teorema de Fermat por Giovanni Vacca. Sobre los descubrimientos de Wronski por S. Dickstein. Sobre los métodos primitivos que han servido para resolver las cuestiones aritméticas por V. Bobynin

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik herausgegeben von Emil Lampe band XXIII Jahrgang, 1891. Heft 1. Berlin, 1894.

Este primer cuaderno, que consta de 528 páginas, contiene:
Erster Abschnitt. Geschichte und Philosophie, que da noticias ó indicaciones de obras concernientes á bibliografía, literatura, historia, filosofía y pedagogía, hasta la página 73.
Zweiter abschnitt. Algebra, concierne á las ecuaciones, teoría de las formas, eliminación y sustituciones, determinantes y funciones simétricas hasta la página 158.
Dritter abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik comprende: Aritmética elemental, teoría de los números, idem de las formas, fracciones continuas hasta la página 229.
Vierter Abschnitt. Combinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Fünfter Abschnitt. Reihen hasta la página 279. Sechster Abschnitt. Differential und Integralrechnung hasta la página 407. Siebenten Abschnitt Functionentheorie.

L'Intermédiaire des mathématiciens: esta nueva Revista de los señores Laisant y Lemoine, alcanza ya en el núm. 7, correspondiente á Julio á la cuestión propuesta 231 y son también numerosas las que se han resuelto por notables matemáticos de diversas nacionalidades.

Creemos de gran importancia el publicar la traducción del párrafo con que comienza el núm. 7 de dicha importante Revista.

«212 (V). Varios de nuestros correspondientes, sea en Francia ó en el extranjero, y ciertamente sin hallarse de acuerdo, nos han sometido espontáneamente la idea de una organización de grandes Congresos internacionales matemáticos. Estos Congresos deberían tener lugar,

(1) Este trabajo se refiere á la obra del Sr. Vallín, de que también se dio cuenta en El Progreso Matemático.
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á intervalos de algunos años, tanto en un país como en otro, y tendrían por objeto exclusivo el establecimiento de una especie de inventario de los progresos realizados en Matemáticas en el intervalo de un Congreso al siguiente.

Creemos deber comunicar esta idea á nuestros lectores, declarando que nos parece excelente, pero sin prejuzgar nada de la organización futura. Nos parece tan sólo que, para llegar al resultado apetecido, importaría conservar á esta organización un carácter rigurosamente internacional, y el tener el concurso del mayor número posible de sociedades sabias que se interesan en la Matemática.

Recibiremos con satisfacción las adhesiones de principio que nuestros lectores tengan á bien dirigirnos.»

La Redacción.

Journal de Mathématiques élémentaires, publié sous la direction de M. de Longchamps.

Entre los varios artículos contenidos en los últimos números de esta revista, citaremos los que tratan de la suma de las progresiones decrecientes, sobre la construcción de la tangente á la ellipse, sobre los caracteres de divisibilidad, sobre la práctica de la multiplicación y de la división, sobre el trapecio, el dodecaedro y el icosaedro, las amortizaciones, y sobre un lugar geométrico.

Journal de Mathématiques spéciales publié sous la direction de M. de Longchamps: los últimos números recibidos tratan principalmente de:
El cálculo de las diferencias, por M. R. Gilbert. El punto de parada y el punto anguloso, por M. Sartre. Algunos problemas sobre las cónicas, por M. Balitrand. Teoremas sobre la hipocicloide, por M. Cazamian. Demostración de un teorema de Poncelet, por M. Ch. Michel. Sobre las curvas, etc., por M. Lemoine. Investigaciones de curvas planas, por M. A. Aubry. Teoremas sobre la parábola y la hipérbola, por M. Balitrand.

Jornal de Sciencias mathematicas e astronomicas, publicado pelo Dr. F. Gomes Teixeira, vol. XI, 1894.

Las materias contenidas en este tomo, de los que traducimos algunos epígrafes son:
F. da Ponte Horta, Dos teoremas de Geometría elemental. Geminiano Pirondini, Sobre la cónica osculatriz de las líneas planas. An-
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tonio Cabrera, Algunos teoremas de Mecánica. Rodolpho Guimaraes, Sobre una normal á la elipse. Ch. Hermite, Sobre la adición de los argumentos en las funciones elípticas; y otros trabajos de los señores Bruno de Cabedo, Lemoine, Vallée Poussin, J. Pedro Teixeira, Bassani, Lerch, d'Ocagne, Pincherle, Marcolongo, Durán Loriga, Vivanti y Arez.

Mathesis. Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales, publié par P. Mansion et J. Neuberg.

Entre los varios trabajos publicados en los últimos números citaremos:

Sur une propriété fondamentale du calcul asymptotique, par M. E. Cesàro. Applications d'un théorème de Chasles, par M. Balttrand. Conditions pour qu'un système de trois axes soit trirectangle par M. F. Dauge. Sommation des puissances semblables des n premiers nombres entiers, par M. E. Barbette, y otros trabajos acerca de sistemas de varillas articuladas, sobre el radio de curvatura de una cónica, sobre las estrofoïdales, sobre la Geometría del triángulo, sobre la transversal de un triángulo, sobre las curvas alabeadas, etc., por los Sres. Bricard, Gob, Longohamps, Lemoine, Wasteels y Balttrand.

Periodico di matematica per l'insegnamento secondario, pubblicato per cura di Aurelio Lugli.

Los números desde Marzo hasta la fecha contienen trabajos sobre algunas aplicaciones geométricas en el estudio elemental de la Mecánica, sobre la equivalencia de los polígonos, sobre una fórmula para las medidas de los volúmenes, aplicación del método de resolución de la ecuación de 4.º grado de Euler, sobre los polinomios, etc., por los señores Malagoli, Biasi, Lugli, Correnti, Giudice, etc.

Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1894, fasc. I al IV.

Contiene: Gerbaldi, Sulle singolarità della Jacobiana di tre curve piane.—Bianchi, Sui sistemi tripli ortogonali di Weingarten.—Paci, Sopra le derivate terze della funzione potenziale di una superficie.—Torretti, Sul gruppo monomio individuato da una trasformazione infinitesimale proiettiva.—Poincaré, Sur les équations de la Physique mathématique y otros trabajos sobre los agregados numerables, clases ordenadas y los números transfinitos, sobre la resolución de la con-
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gruencias \( x^m \equiv b \) (mod. 2.v), sobre el número de planos tangentes que se pueden trazar á una superficie algebraica por una recta múltiple de ésta, por los Sres. Garibaldi, Burali-Forti, Amici y Fouret.

Revue Semestrielle des Publications mathématiques, redigée sous les auspices de la Société mathématique d'Amsterdam. t. II (2me partie), 1894, 152 págs.

Este semestre corresponde á las publicaciones periódicas del año 1893, y en dicha segunda parte se dan noticias del contenido de los periódicos matemáticos, tanto de Europa como de América.

Rivista di Matematica edita da G. Peano.
Los fascículos 3.o, 4.o, 5.o, 6.o, 7.o y 8.o contienen: Sulla parte V del Formulario: «Teoria dei gruppi di punti», G. Peano.—Joh. Thomas in Jena, Die Kegelschnitte in rein projectiver Behandlung, M. Pieri.—Trasformazione d'ogni curva algebrica in altra priva di punti multipli, M. Pieri.—Bernardi Dott. Prof. Giuseppe, Soluzionario degli esercizi di trigonometria piana contenuti nel trattato di trigonometria di G. A. Serret, G. Vailati.—Un'osservazione intorno alle formole per l'addizione degli archi nella Trigonometria del Serret, S. Catania.—Nuove pubblicazioni.—Risoluzione della Questione IV, M. Canonica.—Sui fondamenti della Geometria, G. Peano.—Sui fondamenti della Geometria (contin.), G. Peano.—Giuseppe Battaglini, cenno necrologico, E. Pascal.—Sugli insiemi continui e sugli insiemi connessi, E. Maccaferri.—Lettera di E. Catalan, P.—Catalogue of the University of Texas for 1893-4, G. Vailatti.—Nuove pubblicazioni.—Sulle permutazioni relative ad una data, G. Musso.—Un precursore della Logica matematica, P.—Pensiero matematico moderno, O. Zanotti-Bianco.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 115
(Véase tomo III, página 110).

Sobre los tres lados de un triángulo \( A_1A_2A_3 \), se construyen exteriormente los triángulos equiláteros \( A_1B_1A_2, A_2B_2A_3, A_3B_3A_1 \), e interiormente los triángulos equiláteros \( A_1b_1A_2, A_2b_2A_3, A_3b_3A_1 \); sean \( I_1, I_2, I_3, i_1, i_2, i_3 \), los centros de estos triángulos y a, b, c, S los tres lados y el área del triángulo \( A_1A_2A_3 \). Demostrar que
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\[
I_1 I_2 I_3 = \frac{1}{2} S + \frac{a^2 + b^2 + c^2}{24} \sqrt{3}; \quad i_1 i_2 i_3 = \frac{1}{2} S - \frac{a^2 + b^2 + c^2}{24} \sqrt{3};
\]
\[
B_1 B_2 B_3 = \frac{5}{2} S + \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8} \sqrt{3}; \quad b_1 b_2 b_3 = \frac{5}{2} S - \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8} \sqrt{3};
\]
(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Sollertinsky

Sobre los lados del triángulo ABC como bases se construyen exteriormente los triángulos isósceles semejantes BαC, CβA, AγB.
Sean \( \theta \) el ángulo de la base de los triángulos; S el área de ABC.
Si cada una de las sumas A + 2θ, B + 2θ, C + 2θ es menor que 180°, se tendrá evidentemente

(1) \( x_{\beta \gamma} = ABC + BzC + CzA + AyC - Ay\beta - Bz\gamma - Cz\alpha; \)

pero, si la suma A + 2θ, por ejemplo, llega á ser mayor que 180°, el triángulo correspondiente Ayβ en lugar de ser restado debe ser sumado. Por consiguiente, haciendo

\[
A_{\gamma \beta} = \frac{1}{2} A\beta . A\gamma . \sin (A + 2\theta)
\]

la igualdad (1) será cierta para todos los valores positivos de θ menores que 90°.

Se verificará fácilmente que la igualdad

\[
x_{\beta \gamma} = S + \frac{1}{2} \Sigma xB . xC \sin 2\theta - \frac{1}{2} \Sigma A\beta . A\gamma \sin (A + 2\theta)
\]

iene lugar para todos los valores negativos de θ, es decir, para los triángulos BαC construidos interiormente.

Pero \( \Sigma xB . xC \sin 2\theta = \Sigma \frac{a^2 \sin 2\theta}{4 \cos^2 \theta} = \frac{(a^2 + b^2 + c^2) \sin 2\theta}{4 \cos^2 \theta} \)

\[
\Sigma A\beta . A\gamma \sin (A + 2\theta) = \Sigma \frac{bc \sin (A + 2\theta)}{4 \cos^2 \theta} = \frac{\cos 2\theta}{4 \cos^2 \theta} \Sigma bc \sin A
\]
\[
+ \frac{\sin 2\theta}{4 \cos^2 \theta} \Sigma bc \cos A = \frac{3S \cos \frac{2\theta}{2}}{2 \cos^2 \theta} + \frac{(a^2 + b^2 + c^2) \sin 2\theta}{8 \cos^2 \theta}
\]

Luego

\[
x_{\beta \gamma} = S + \frac{(a^2 + b^2 + c^2) \sin 2\theta}{16 \cos^2 \theta} - \frac{3S \cos 2\theta}{4 \cos^2 \theta}
\]
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ó, en fin,

\[
x_{i}^{3}\gamma = \frac{3 \tg^{2} \theta + 1}{4} + S \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{8} \tg \theta \tag{A}
\]

Para tener las áreas de los triángulos I_{1}I_{2}I_{3}, i_{1}i_{2}i_{3}, B_{1}B_{2}B_{3}, b_{1}b_{2}b_{3} se hace \( \theta = \pm 30^{\circ}, -30^{\circ}, \pm 60^{\circ}, -60^{\circ} \).

CUESTIÓN 141 y 143
(Véase tomo III, páginas 224 y 272).

141. Si se considera el lugar C de los centros de gravedad de los arcos de una curva C, contados á partir de un punto fijo A; el punto de contacto G de la tangente á C' trazada por un punto cualquiera P de la curva C es el centro de gravedad del arco AP.

(N. C. M.) (E. Cesáro).

143. Sea G el centro de gravedad del segmento formado por una curva ABC y un radio vector AP, sea AB'C' el lugar del punto G. La tangente en G pasa por el punto M que se obtiene tomando en PA

\[
PM = \frac{1}{3} PA.
\]

(N. C. M.) (E. Catalan)

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (B.)

1.º Sea G el centro de gravedad del arco AP, P' el punto de la curva C infinitamente próximo de P; Q el centro de gravedad del arco PP'. Esto sentado, el centro de gravedad del arco AP' es el punto G' que divide la distancia GQ en la relación de las longitudes de los arcos PP' y AP.

Así GQ es la cuerda que une dos puntos infinitamente próximos G y G' de la curva C', la cuerda que se convierte en tangente á esta curva cuando el arco PP' se anula; pero entonces el punto Q viene á P.

2.º Sean: P' el punto infinitamente próximo de P sobre la curva ABC; Q el centro de gravedad del sector PAP'.

Según lo anterior, para establecer la proposición, basta probar que en el límite el punto Q viene á M.

Podemos suponer que el arco PP' es convexo. Sea TT' la tangente á este arco, trazada paralelamente á la cuerda PP'.

El segmento S, formado por la curva y la cuerda PP', siendo menor que el trapecio PTT'P', la relación de este segmento al área de APP' es menor que \( \frac{AT'^{2} - AI'^{2}}{AP^{2}} \), y por consiguiente, tiene cero por
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límite. El punto Q divide siempre la distancia entre los centros de gravedad de las áreas APP' y S en la relación \( \frac{S}{APP'} \); pero en el límite, el primero de estos centros viene á M, el segundo á P y la relación \( \frac{S}{APP'} = 0 \). El punto Q coincidirá pues con el M.

CUESTIÓN 128.
(Véase tomo III, página 169).

La suma de los cuadrados de tres números es siempre igual á la suma de los cuadrados de cuatro números fraccionarios. (BaschwitZ de Berlin).

Ejemplo:
\[
15^2 + 13^2 + 11^2 = \left(18 + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(4 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(6 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(8 + \frac{1}{2}\right)^2
\]
(E. Catalán).

Solución por el Sr. Sollertinski.

Sean \(a, b, c\) tres números dados, \(p, m, n\) tres números enteros tales como (*) \(p^2 = m^2 + n^2\). Se tendrá
\[
(a^2 + b^2 + c^2)p^2 = a^2(m^2 + n^2) + (b^2 + c^2)(m^2 + n^2)
= (am)^2 + (an)^2 + (bm \pm cn)^2 + (bn \mp cm)^2
\]
de donde
\[
a^2 + b^2 + c^2 = \left(\frac{am}{p}\right)^2 + \left(\frac{an}{p}\right)^2 + \left(\frac{bm \pm cn}{p}\right)^2 + \left(\frac{bn \mp cm}{p}\right)^2
\]

Análogamente
\[
a^2 + b^2 + c^2 = \left(\frac{bm}{p}\right)^2 + \left(\frac{bn}{p}\right)^2 + \left(\frac{am \pm cn}{p}\right)^2 + \left(\frac{an \mp cm}{p}\right)^2
\]
\[
a^2 + b^2 + c^2 = \left(\frac{cm}{p}\right)^2 + \left(\frac{cn}{p}\right)^2 + \left(\frac{bm \pm an}{p}\right)^2 + \left(\frac{bn \mp an}{p}\right)^2
\]

En el caso particular en que \(a = b + r, c = b - r\), se tendrá
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 3b^2 + 2r^2 = \frac{(1 + 9)\ b^4 + 2b^2 + 8r^2}{4}
= \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{3b}{2}\right)^2 + \left(\frac{b + 2r}{2}\right)^2 + \left(\frac{b - 2r}{2}\right)^2
\]

Por ejemplo:
\[
15^2 + 13^2 + 11^2 = \left(6 + \frac{1}{2}\right)^2 + \text{etc.} \ (\text{véase arriba}).
\]

(*) Se puede hacer, por ejemplo,
\[
p = t^2 + t_1^2, \quad m = t^2 - t_1^2, \quad n = 2tt_1
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 3

18. Jusqu'à présent, nous avons, au moyen des formules (23) à (29) calculé les distances IO, IO₁, IO₂, IO₃. Par transformation complémentaire en A, ces distances deviennent respectivement:

I₁O₁,   I₁O,   I₁O'₃,   I₁O'₃; (*)

c'est-à-dire

I₁O₁,   I₁O,   \( \pi - I₁O₃ \),   \( \pi - I₁O₂ \);

puis par permutations tournantes:

I₂O₁,   I₂O,   \( \pi - I₂O₁ \),   \( \pi - I₂O₃ \);
I₃O₃,   I₃O,   \( \pi - I₃O₃ \),   \( \pi - I₃O₁ \).

Nous nous bornerons à transcrire les formules suivantes:

\[
\frac{\cos I₁O₁}{\sin r₁ \sin R₁} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{\sin a + \sin b + \sin c}{4 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2} \cos \frac{c}{2}} \\
= \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{2 \sin (A - \varepsilon)}
\end{array} \right\} \tag{30}
\]

\[
\frac{\cos I₁O₁}{\cos r₁ \cos R₁} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} \\
= \frac{\sin a + \sin b + \sin c}{2 \sin (p - a)}
\end{array} \right\} \tag{31}
\]

\[
\frac{\cos I₁O₁}{\sin r₁ \cos R₁} = \frac{\cos IO}{\sin r \cos R} \tag{32}
\]

\[
\frac{\cos I₁O}{\sin r₁ \sin R} = \frac{\sin b + \sin c - \sin a}{4 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}} \tag{33}
\]

\[
\frac{\cos I₁O}{\cos r₁ \cos R} = \frac{\sin B + \sin C - \sin A}{4 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}} \tag{33 bis}
\]

VI.—Analogies du triangle sphérique et du triangle rectiligne.

Si l'on additionne membre à membre la formule (29 bis) avec celles

(*) O₁', O₂', O₃' sont les symétriques de O₁O₂O₃.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 30

CUESTIÓN 188
(Véase tomo IV, página 159).

Sobre los lados AB, AC de un triángulo se toman AM = AN = \( \lambda \); las rectas BN y CM se cortan en P.

Demostrar que el lugar de P es una hipérbola; hallar el centro, las asíntotas y los ejes de esta curva.

(J. Neuberg.)

Solución por D. CECILIO JIMENEZ RUEDA

Sea el triángulo ABC: las series AMM'M''.... y ANN'N''.... cuyos puntos correspondientes M y N, M' y N', etc., determinan en una y otra segmentos correspondientes iguales, son homográficas; los haces de vértices B y C que los proyectan son, pues, homográficos también, y como no están en posición perspectiva, sus puntos correspondientes se cortarán en puntos de una cónica; para probar que ésta es hipérbola bastará demostrar que tiene dos puntos en el infinito.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 31

Ahora bien, busquemos la media proporcional entre AC y AB, la que por medio de la circunferencia ADB se ha hallado en AD; llevada en AM'' y AN'' sobre los lados del triángulo, tendremos que los rayos CM'' y BN'' serán correspondientes, y como son paralelos, por virtud de la proporción \( \frac{AC}{AM''} = \frac{AN''}{AB} \), su punto de intersección será de la curva y estará en el infinito. Si AD se lleva desde A en sentidos opuestos, se tienen otros dos rayos correspondientes CM''' y BN''' paralelos y otro punto en el infinito por consiguiente; luego la curva es hipérbola; y el procedimiento de determinación de sus puntos prueba que pasa por A, B y C. Al rayo CB, considerado como del haz C, le corresponde la tangente BB₁ en B; al rayo BC, considerado como del haz B, le corresponde la tangente CC₁ en C; y como estas dos tangentes son paralelas, la cuerda BC es un diámetro y su punto medio O el centro de la curva. Las rectas trazadas por O paralelamente á BN'' y á BN''' son, por tanto, las asíntotas, y las bisectrices de su ángulo los ejes.

CUESTIÓN 172

(Véase tomo IV, páginas 172 y 183). (*)

Construir un triángulo ABC, dado el lado BC, el radio r del círculo inscripto y el radio r'' del círculo ex-inscripto en el ángulo B.

(J. Gillet).

Solución por el Sr. Mario Pieri.

Si con O, O' y B' se representan los centros de los círculos inscripto y ex-inscripto y el punto de intersección de las rectas OO' y AC, resultarán las proporciones

\[
BO : B'O = BO' : B'O' = BC : CB'
\]

y se tendrá además

\[
BO : B'O = BO' : B'O' = r : r''
\]

De esto resulta la siguiente construcción:
Tomada una recta indefinida m, se trazan las rectas n y n' que se hallan al lado opuesto de ella, á las distancias r y r'' de la misma.
Después se obtiene también la otra recta m', cuyas distancias á

(*) El haber llegado esta solución cuando se publicó el número 41 nos obliga á publicarla separadamente de la del Sr. Jiménez Rueda.—(Z. G. DE G.)