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nico; de la astroide, ó envolvente de las rectas que cortan los lados de un ángulo recto, de modo que la longitud del segmento entre los lados del ángulo comprendido sea constante; del escarabajo; podar de la astroide, ó lugar geométrico de las proyecciones de un punto de la bisectriz de un ángulo recto sobre un segmento rectilíneo móvil, de longitud constante, y cuyos extremos se apoyan contra los lados del mismo ángulo; y de la atriftaloidé, ó curva recientemente descubierta por el Dr. Haughton en sus investigaciones sobre la forma de la superficie de los mares que cubren una esfera atractiva.

En los VII y VIII estudiáanse con expresivo laconismo matemático las curvas transcendentales más notables: la logarítmica; la catenaria vulgar; la parabólica de S. Bernoulli, y la llamada de igual resistencia, en tiempos muy posteriores considerada; la tractriz, ó curva de tangentes iguales todas en longitud, y la sintractris de Sylvester, ó lugar geométrico de un punto en movimiento que corta á todas las tangentes de la tractriz á iguales distancias, medidas sobre las mismas tangentes, del eje de las abscisas; y la curva clástica, de radio de curvatura en cualquier punto, inversamente proporcional á la abscisa del punto á que se refiere.

A las cuales acompañan y siguen, entre otras, las espirales de Arquimedes (\( \varphi = a \theta \)); de Galileo (\( \varphi = a - b \theta^2 \)); de Fermat (\( \varphi^2 = a^3 \theta \)); parabólica de Santiago Bernoulli \( \{ (\varphi = a)^3 = 2 p a \theta \} \); hiperbólica de Juan B. (\( \varphi \theta = m \)); logarítmica de Descartes \( (\varphi = C e^{c \theta}) \); polodia de Poinsot \( (\varphi = \frac{2 a}{e^{m \theta} + e^{-m \theta}}) \); tractriz de Bouquet: espiral que, en coordenadas polares, posee, como la tractriz ordinaria, tangentes de longitud constante; la coeloide, muy moderna,

\[
(\varphi = a \frac{\sin \theta}{\theta})
\]

y la clotoide, no más antigua: ó curva cuyo radio de curvatura varía proporcionalmente á la longitud del arco, contado á partir de un punto fijo.

Generalízase en el IX la teoría de las parábolas é hipérbolas, representadas aquéllas por la ecuación \( y = a^{1+k} \times x^k \), y éstas por la \( y = a^{1+k} \times x^{-k} \), siendo en ambos casos el exponente \( k > 0 \); y
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en particular se estudian la parábola semicúbica de Neil (\( ay^2 = x^3 \)), y la cúbica de Wallis (\( a^3 y = x^4 \)).

En el X se expone cuanto de superior interés ofrece la teoría de las curvas cicloideas; la cicloide clásica y las cicloide prolongadas y contraídas, epícicloides ó hipocicloides, ó, simplemente, epícicloides externas ó internas á la circunferencia directora del movimiento de la generatriz: hipocicloides de varios retrocesos, añadiendo muy particularmente la atención en la de tres, denominada por Cremona curva maravillosa, por las muchas y sorprendentes propiedades que posee, como la de poderse representar por una ecuación algebraica de 4.º grado: epícicloides é hipocicloides alargadas y reducidas; envolvente del círculo, ó epícicloide engendrada por una circunferencia externa de radio infinito; ruleta de Delannay, engendrada por el foco de una elipse ó de una hipérbola, cuando estas curvas ruedan tangencialmente á una línea recta; y las pseudo-cicloides de Cesáro, así denominadas por este autor en razón de la analogía, ó parecido, de sus ecuaciones intrínsecas, \( s^2 - p^2 = a^2 \), y \( s^2 - a^2 = p^2 \), con la de la cicloide, \( s^2 + p^2 = 16a^2 \): representando por \( s \) el radio de curvatura en determinado punto, por \( p \) la longitud del arco, comprendido entre este punto y el origen, y por \( a \) el radio del círculo fundamental de las tres curvas.

Como de muy difícil clasificación, ó referencia al mismo principio generador, aparecen en el capítulo XI reunidas varias especies curvas muy notables todas: las llamadas perlas de Pascal y Sluse, comprendidas en la ecuación \( y^n = k(n - x)^p \times x^m \), en la cual \( m, n \) y \( p \) designan exponentes positivos: las rodóreas de Guido Grandi, en la \( \frac{c}{\sin mb} \); las espigas y los nudos de Aubry, aquéllos en la \( \frac{c}{\sin mb} \), y éstos en la \( \frac{c}{a \tan mb} \): las cotoroides, ó curvas de Lamé, sintetizadas en la \( \left( \frac{x}{a} \right)^m + \left( \frac{y}{b} \right)^n = 1 \), algebraica ó transcendente, conforme sea, \( m \) número racional ó no lo sea, y de la cual se desprenden las ecuaciones particulares de la elipse, de la parábola, de la evoluta de la elipse, ó de la astroides, atribuyendo á \( m \) los valores numéricos 2, \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3} \), y suponiendo además en el último caso que \( a = b \): las curvas de perseguidores, ó de Bouguer; las espirales sinusoides de Haton de la Goupilliére, que tienen por ecuación
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en la cual se hallan contenidas muchas curvas de distintos nombres particulares, como la circunferencia (\( n = 1 \)), lemniscata de Bernoulli (\( n = 2 \)), hipérbola equilátera (\( n = -2 \)), etc., etc.; y las curvas de Ribaucour, de radio de curvatura proporcional á la longitud de la normal en cada uno de sus puntos, á las cuales corresponde la ecuación diferencial \( myy' = 1 + y'^2 \), que representa una circunferencia, ó una catenaria, ó una parábola, ó una cicloide, conforme sea \( m \) igual á \( -1 \), \( 0 + 1 \), \( 0 + 2 \), \( 0 - 2 \).

Y en los XII y XIII, donde se da razon detenida de muy interesantes curvas de doble curvatura: como la espiral de Pappo, descrita sobre la esfera por un punto, cuando éste y el meridiano á que corresponde se mueven simultáneamente con movimiento uniforme, de tal manera que, en trasladarse del polo al ecuador, emplee igual tiempo que el círculo meridiano en una revolución completa alrededor del eje de los polos; la curva ó ventana de Viviani, discípulo de Galileo, intersección de un hemisferio por dos cilindros circulares, de radio, cada uno, igual á la mitad del de la esfera, y tangentes el uno al otro en el centro de la base del hemisferio; las hipoperas de Eudosio de Gnido, resultante de la intersección de la esfera con los cilindros de base circular, á ella tangentes interiormente; las clelias (de Clelia Borromeo), ó rodáceas esféricas, estudiadas por el P. Guido Grandi; la loxodromía de Pedro Núñez (1537), ó curva esférica que corta los círculos máximos que pasan por el mismo polo, formando con todos ellos el mismo ángulo; la epicycloide esférica engendrada por un punto de la circunferencia que limita la base de un cono recto, al rodar éste sobre otro cono fijo, cuyo vértice coincide con el del cono móvil, y cuya base sirve de círculo fijo director del movimiento; la elipse esférica, de análoga definición sobre la esfera que la elipse vulgar en el plano; las hélices cilíndricas, cónica y cilindroconica; la elipse, hipérbola y parábola logarítmicas: intersecciones, respectivamente, la primera, de un paraboloide de revolución con un cilindro recto y elíptico del mismo eje; la segunda del mismo paraboloide con otro cilindro de iguales condiciones, pero de base hiperbólica; y la tercera, del paraboloide, con otro cilindro recto, de base parabólica, y cuyo foco coincida con el eje del paraboloide: las tres muy recientemente estudiadas por el geómetra inglés J.- Booth: la famosa curva de Architas (400 A de J. F.), producida en determinadas condiciones, por la intersección del toro y del cilindro; y la no menos famosa herpolodia de Poinsot, juntamente con la polodia de que antes se habló, de tanta importancia en la útil y luminosa Teoría de la Rotación de los Cuerpos, del mismo célebre autor.
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En suma: cosa de ciento cuarenta curvas, verdaderamente notables; estudiadas á conciencia en el texto, bajo de muy distintos aspectos; la mayor parte gráficamente representadas en un atlas de 15 láminas; y, como en la memoria N.º 1, con la cual ésta, N.º 2, tantas analogías, de forma y por el fondo de su doctrina, presenta, catalogadas, por separado, en orden alfabético, para gobierno y mayor comodidad del lector.

¿Faltará alguna, digna de figurar entre las, con plausible discernimiento, aquí catalogadas y estudiadas?

El autor no pone en duda lo incompleto de su trabajo, en materia de suyo inagotable: confesando, con laudable franqueza, la falta de algunas, que le son conocidas y que podría sin esfuerzo mencionar, por no haber tenido tiempo de redactar con holgura su memoria; y que faltarán, sin duda, también otras, por haber escapado sus nombres y propiedades á la diligencia por él desplegada en descubrirlas. «Si bien, añade, abriga la persuasión de no haber omitido en su libro ninguna de cuantas tienen verdadera importancia matemática por su teoría, por sus aplicaciones, ó por su historia». Y, desde este punto de vista considerado el asunto, cierto que ha de serle difícil al más descontentadizo lector señalar omisión alguna, legítimamente censurable.

Con las memorias núms. 1 y 2 no tiene parecido de composición, aunque, despacio y desapasionadamente considerada, resulte también muy apreciable, por diversos conceptos, la señalada con el núm. 3. Tanto que, si por vía del título, sin la más leve variante, no campease el tema propuesto por la Academia al frente de la obra, casi habría derecho para dudar si ésta, desprovista de prólogo y de la más sucinta aclaración preliminar, versaba precisamente sobre el mismo asunto, de índole geométrica, y nada más, que las dos anteriores.

Por catálogo ordenado de curvas, el autor ha entendido «ordenado por los nombres de las mismas en rigurosa sucesión alfabética»: como si no hubiera ningún otro modo de ordenación sistemática, y como si el preferido, con manifiesta exageración, á los demás, no pudiera constituir un principio de desorden intolerable. Siendo todavía más de lamentar que del Catálogo pedido por la Academia, «de curvas provistas de nombre propio individual, de forma bien determinada, y de ecuación», síntesis ésta muy abreviada de sus propiedades, cualquiera que fuere la clase geométrica á que correspondan, no hayan quedado, desde luego, severamente excluidas -siquiera para que no
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resultase interminable y necesariamente defectuoso—todas aquellas, desprovistas de ecuación, formulada en términos concretos y precisos, ó las meramente empíricas, sin conexión inmediata con la Geometría pura: conforme el tema de la Academia razonable y discretamente entendido, demandaba, y lo interpretaron en este punto con acierto los autores de las otras memorias.

Pero el autor do la núm. 3 lo entendió de muy distinto modo, y en su importante y fatigoso trabajo comprendió, no solamente todas las curvas geométricas de que pudo reunir antecedentes, sino todas aquéllas de que se trata, ó se habla, en las ciencias de aplicación, afines á las Matemáticas y como de éstas derivadas y dependientes: limitándose, en unos casos, á dar, de conformidad con las condiciones del tema, sucinta idea de su forma y propiedades; extendiéndose en otros hasta los más mínimos detalles; penetrando á veces en el terreno, aquí vedado, de las aplicaciones técnicas; y remontándose con alguna frecuencia á las regiones superiores de las más sutiles e intrincadas teorías.

A juicio de la Sección, las señaladas con los núms. 1 y 2 deben calificarse como de importancia geométrica y mérito en conjunto superiores á la núm. 3, sin diferencia de cuantía entre ambas, claramente discernible, y que pueda servir de fundamento justificado, para poner á la primera, sin asomo de vacilación, delante de la segunda, ó viceversa. A los autores de las dos debe, pues, adjudicarse por separado, y sin manifiesta preferencia de uno sobre otro, el mismo premio, igual al ofrecido por la Academia en el programa del certamen, como si uno no más hubiera siempre de otorgarse. Así como al de la núm. 3 considera también justificado la Sección que se le recompense con el accésit prometido, por su muy penoso e importante y apreciable trabajo, aunque, en el concepto matemático, de mérito reconocidamente inferior á los presentados por los otros dos concurrentes al certamen.

Al finalizar el mes de Diciembre de 1897, días antes de terminar el plazo señalado para recibir trabajos con opción á los premios ofrecidos por la Academia en certamen reglamentario á punto de cerrarse entonces, enviámosenos por su autor, Mr. Henry Brocard, (*) sabio y muy laborioso matemático y físico francés, con residencia habitual en Bar-

(*) Durante el año 1897, el mismo Sr. Brocard ha publicado muy interesante Complemento á su primer trabajo, en igual forma de libro autografiado en 8.º, y muy poco menos voluminoso que aquel á que se refiere. Ambos, en junto, deben considerarse como valiosa producción geométrica, merecedora, entre las de su género, de frecuente consulta.
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le-Duc (Meuse), el ejemplar de un libro autografiado, de más de 300 páginas en 4.º menor, con numerosas figuras intercaladas en el texto, y el demasiado modesto título de «Notes de Bibliographie des Courbes géométriques», que dicho señor acababa de publicar.

Al libro—bien merece este título—de muy difícil composición, y de interesante y provechosa lectura, acompañaba respetuosa carta de remisión, ó presentación subscrita por el mismo autor, á nuestro Presidente, y de ruego, para que le examinase, á la Academia, calificada por él, con excesiva galantería, de inspiratrice de tan valiosa producción científica: Y la Sección estimulada á ello por la Academia, y animada del deseo de complacer en lo posible al Sr. Brocard, ha recorrido en efecto, cuidadosamente sus páginas, y tiene ahora verdadera complacencia en manifestar:

1.º Que el título, renglones antes transcrito, no responde con fidelidad á la extensión, índole y transcendencia de la obra que designa la cual, mejor que de simple Vocabulario de Curvas geométricas y de Notas bibliográficas para facilitar y ampliar el estudio de las mismas, merece calificarse de Catálogo razonado, en el sentido que la Academia señaló, al proponer en su programa de premios el tema á que substancialmente se refiere, Catálogo, como su autor, con desu-ada y, por lo humilde, inadmisible modestia confiesa, ejecutado de primera intención; susceptible, por lo tanto (y esto es verdad), en el plan y en los detalles, de numerosos perfeccionamientos; y generosamente entregado al público dominio, sin la más remota esperanza de luoro á título de anteproyecto (avant-projet) para la composición de obra matemática de su especie, más detenidamente meditada y de mayores vuelos, por quien tenga alientos para emprenderla y cuente con dilatada vida probable por delante para abrigar fundada esperanza de verla terminada.

2.º Que las investigaciones geométricas del Sr. Brocard, de las que nunca hizo misterio, resumidas en el feliz ensayo de que se trata, datan seguramente de tiempos muy anteriores al de la publicación de nuestro tema: de manera, que los resultados poco á poco por él obtenidos, é insertos y dispersos en diferentes revistas científicas, han podido ser de alguna provecho, como antecedentes dignos de consulta, para cuantos se propusieron tomar parte en el certamen abierto por la Academia, aunque nadie con este fin los haya en realidad tenido en cuenta.

3.º Que son muy de lamentar la desconfianza en el valor de su trabajo, abrigada por el Sr. Brocard, y la falta de tiempo, por él dis-
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ponible, para perfeccionarle y pulirle, y manuscribirle de nuevo en idioma castellano: causas de su retrasimiento del certamen y de que esta Corporación haya perdido la oportunidad de honrarla, honrándose á sí misma, con premio ó distinción apropiada á las condiciones y merecimientos de su obra. Para cuya remisión á la Academia, sin expresar el nombre del remitente, conforme con los requisitos de Reglamento ni lema le era menester haber discursido; pues, por casual coincidencia, e' mismo de la memoria núm. 3, de que poco antes extensamente se trató—in tenue labor, at tenuis non gloria—figura también, como símbolo de su manera de pensar en el desempeño del asunto, en el prólogo y franca declaración de sus propósitos y esperanzas, con que muy acertadamente encabeza el libro.

Y 4.º Que no siendo factible otorgar al expresado Sr. Brocard, dentro de las condiciones taxativas del certamen, premio de ninguna clase—cosa que tampoco él espera, ni siquiera indirectamente solicita,—la Academia debe apresurarse á nombrarle Miembro suyo, Corresponsal extranjero, consignando en la credencial, en términos bien explícitos, la razón principal de este tan honroso nombramiento.

EN LA UNIVERSIDAD DE JENA

Entre las asignaturas que se estudian en la Universidad de Jena, para el profesorado en Matemáticas y física figuran, según el último reglamento publicado, las siguientes:

Geografía matemática y trigonometría esférica.—Capítulos elegidos de Matemática elemental.—Geometría proyectiva.—Geometría no-euclídea.—Historia de la Matemática.—Geometría diferencial.—Mecánica analítica.—Teoría del potencial.—Determinantes.—Teoría de los números.—Algebra superior.—Teoría de invariantes.—Teoría de los grupos finitos.—Teoría de las integrales definidas.—Ecuaciones diferenciales parciales.—Integrales y series de Fourier.—Teoría de las funciones reales.—Tratado de las variedades (Mengenlehre).—Teoría elemental de las funciones (Análisis algebraico y series infinitas).—Teoría y aplicaciones de las funciones elípticas.—Funciones hiperelípticas y Abelianas.—Teoría de las funciones algebraicas.—Teoría de las ecuaciones diferenciales lineales.—Cálculo de variaciones.

CONGRESO DE PARÍS

Las adhesiones recibidas hasta la fecha para el Congreso interna-
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Comme on dérive d'ici:
\[
\frac{d \xi}{d \sigma} \cdot \frac{d \sigma}{d s_1} = \left[ 1 + \frac{T'}{2} \cos \theta - \frac{T}{2} (\theta' + \frac{1}{r_1}) \sin \theta \right] \cos x_1 \\
+ \left[ \frac{T'}{2} \sin \theta + \frac{T}{2} (\theta' + \frac{1}{r_1}) \cos \theta \right] \cos \lambda_1
\]
\[
\frac{d \eta}{d \sigma} \cdot \frac{d \sigma}{d s_1} = \left[ 1 + \frac{T'}{2} \cos \theta - \frac{T}{2} (\theta' + \frac{1}{r_1}) \sin \theta \right] \cos \beta_1 \\
+ \left[ \frac{T'}{2} \sin \theta + \frac{T}{2} (\theta' + \frac{1}{r_1}) \cos \theta \right] \cos \nu_1,
\]
la condition:
\[
\sum (\cos \theta \cos x_1 + \sin \theta \cos \lambda_1) \frac{d \xi}{d \sigma} = 0,
\]
exprimant que la ligne \( \Lambda \) est une trajectoire orthogonale des droites \( A A_1 \), conduit à l'équation différentielle suivante:
\[
(8) \quad \frac{d}{d s_1} \left( \frac{\varepsilon_1 \sin \theta}{1 + \varepsilon_1 \frac{d \theta}{d s_1}} \right) + 2 \cos \theta = 0.
\]
On a ainsi le théorème:
«Si par les points d'une ligne plane \( L \), on mène des droites \( D \) inclinées sur la courbe de l'angle \( \theta \) défini par l'équation différentielle (8), ces droites \( D \) enveloppent une ligne \( L \). Une telle ligne \( L \) est liée à la ligne \( L_1 \), de façon, que la ligne \( \Lambda \), lieu des milieux des segments \( A, A_1 \), est une développante de \( L \).»

Cas particulier.—La condition nécessaire et suffisante pour que la symétrique \( L_1 \) d'une développante \( \Lambda \) de la ligne \( L \) soit une droite, est que pour la ligne \( L \) soit vérifiée la relation:
\[
2 s \varepsilon \varepsilon' - 3 \varepsilon^2 - 4 s^2 = 0.
\]
Celle-ci peut être intégrée et donne:
\[
(9) \quad \varphi = s \sqrt{\frac{s}{m} - 4},
\]
\( m \) étant une constante arbitraire.
La (9) est l'équation intrinsèque de la ligne \( L \) jouissant de la propriété dite.
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cional de Matemáticas de París ascienden próximamente á 1000, repartidas por nacionalidades como sigue:
Alemania, 140; Austria-Hungría, 44; Bélgica, 20; Estados Unidos, 25; Francia, 276; Gran Bretaña, 80; Italia, de 180 á 200; Rusia, 45; Suecia y Noruega, 15; Suiza, 46.
Los demás países figuran en la lista en número inferior á 10.

BIBLIOGRAFÍA

LECCIONES SOBRE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES Y TEORÍA DE GALOIS POR JOSÉ ECHEGARAY.—Madrid 1898 y 99.
La aparición, entre nosotros de una obra consagrada á la teoría de Galois acerca de las ecuaciones, puede considerarse como un verdadero acontecimiento.
Todavía seguimos aferrados á la clásicas teorías que puede decirse hallaron su término en el célebre teorema de Sturm y su transcendental generalización realizada por el no menos célebre teorema de Cauchy, hoy en primera línea entre los teoremas que en la teoría de las funciones resuelven la cuestión capital de los ceros y de los infinitos que son sus características y llevan como corolarios naturales al estudio de las singularidades.
El Sr. Echegaray al publicar sus lecciones dadas en el Ateneo de Madrid, ha asestado el primer golpe (*) á nuestras inveteradas rutinas que resisten con tenaz empeño, en nuestros centros de enseñanza, á la introducción de los conceptos combinatorios como fundamentales y de superior importancia en la moderna organización de la Matemática.
Comienza el Sr. Echegaray su curso haciendo ver cómo los problemas se encadenan elevándonos á conceptos nuevos expresados por algoritmos cada vez de carácter más amplio y de abstracción más depurada.

(*) Ya en mi Tratado de Álgebra, 2.a parte, (1896) cuya sección 2.a está dedicada á la teoría de la combinación, y el orden, donde tienen cabida los principios de la teoría de las sustituciones anunciaba para la 3.a parte de la aplicación de estos principios á la resolución algebraica de las ecuaciones, especialmente los de Lagrange, Abel y Galois, cuyo complemento es dicha resolución; pero la falta de éxito en esta empresa impidió la publicación de dicha 2.a parte cuyo concepto tiene hoy un amplio desarrollo en la magistral Álgebra del profesor H. Weber y entre nosotros una elegante y clara exposición limitada á la doctrina de Galois en la obra del Sr. Echegaray.

Z. G. de G.