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El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 29

CUESTIÓN 176.
(Véase tomo IV pag. 157).

Integrar las ecuaciones.

\[
x = e^p + e^{-p}, \qquad y = e^p - e^{-p}
\]

donde, según costumbre, \( p = \frac{\delta y}{\delta x} \)

(G. Gillet).

Solución por D. Ricardo Caro.

1.º Sea la primera ecuación que podemos poner en esta forma.
\[
\frac{x}{2} = \frac{e^p + e^{-p}}{2} \quad \text{o sea,} \quad \frac{x}{2} = \cosh p. \quad \text{Pasando á la función inversa, tendremos}
\]
\[
p = \operatorname{Arg. cos. h} \frac{x}{2} \quad \text{o} \quad \frac{dy}{dx} = l \left( \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} - 1} \right)
\]
de donde,
\[
dy = l \left( \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} - 1} \right) dx
\]
é integrando,
\[
y = \int l \left( \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} - 1} \right) dx
\]
Podemos integrar el segundo miembro empleando la fórmula de Bernouilli, así
\[
y = x \cdot l \left( \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} - 1} \right) - \int \frac{x dx}{\sqrt{x^2 - 4}} = x \cdot l \left( \frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4}}{2} \right) - \sqrt{x^2 - 4} + C
\]

2.º La segunda ecuación podemos ponerla bajo la forma \( x = \operatorname{senh} p \), y mediante igual procedimiento, se llega á
\[
y = x \cdot l \left( \frac{x \pm \sqrt{x^2 + 4}}{2} \right) - \sqrt{x^2 + 4} + C
\]
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 3

Relaciones formales entre dos objetos, su síntesis y los tres objetos recíprocos

Representemos por el signo \( \circ \) una operación formal que posea las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa, y por el signo \( \sim \) la operación analítica correspondiente. Supongamos, además, que al algoritmo comprensivo de ambas operaciones corresponde un módulo M.

Sean dos objetos, \( a \) y \( b \), su síntesis \( c = a \circ b \), y los tres objetos recíprocos de los anteriores

\[
a' = M \sim a, \qquad b' = M \sim b, \qquad c' = M \sim c.
\]

Tomemos una circunferencia dividida en seis partes iguales (el lector construirá facilmente la figura), y coloquemos en los puntos de división los seis objetos considerados, de modo que entre los dos primeros \( a \) y \( b \) se halle su síntesis \( c \), y que cada dos objetos recíprocos se hallen en los extremos de un mismo diámetro.

Entre los seis objetos considerados existen varias relaciones formales que se resumen en las siguientes proposiciones:

1.ª Cada objeto es rectproco del que le está diametralmente opuesto.
2.ª La síntesis de dos objetos diametralmente opuestos es el módulo.
3.ª Cada objeto es la síntesis de los dos entre los que está inmediatamente comprendido en la circunferencia.
4.ª Cada objeto es el análisis de los dos que le siguen en la circunferencia por un mismo lado, y por el orden con que le siguen.

Las dos primeras son evidentes en virtud de la construcción y comprenden las siguientes relaciones formales:

\[
a' = M \sim a, \qquad b' = M \sim b, \qquad c' = M \sim c,
\]
\[
a \circ a' = M, \qquad b \circ b' = M, \qquad c \circ c' = M,
\]
\[
a = M \sim a', \qquad b = M \sim b', \qquad c = M \sim c'.
\]

La tercera es también evidente para el objeto \( c \), en virtud de la hipótesis, \( c = a \circ b \).

De esta igualdad se deduce:
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 30

CUESTIONES PROPUESTAS

257 Demostrar que la pedal relativa al polo, de una espiral logarítmica, es una espiral logarítmica igual.

(V. Retali).

258 Si una parábola variable se halla circunscrita á un triángulo A B C, el punto de Frégier de un vértice cualquiera del triángulo, describe una cónica. Se recuerda que el punto de Frégier del punto M, con relación á una cónica, es el punto fijo por el que pasan las hipotenuseas P Q de los triángulos P M Q inscriptos en la cónica.

(E. Lemoine).

259 Lugar de los centros de las hipérbolas equiláteras que tienen una cuerda normal común M N.

(J. Neuberg).

260 Construir una parábola, conociendo una cuerda normal M N y la dirección de los diámetros.

(J. Neuberg).

261 VO es una cuerda de una cónica C', normal en O, las tangentes en V y en O son o y t, P' un punto de la curva. Construir C' por puntos y por tangentes.

(V. Retali).

262 Un triángulo O V P tiene dos vértices fijos y el tercero P móvil sobre un círculo que pasa por O y es tangente á la perpendicular o, trazada á la [OV] en V: Si P' es la intersección del radio [OP] con la perpendicular en V á [VP], demostrar que el lugar de P' es una cisoide oblicua tangente á o en V, y con la cúspide en O. Construir la asíntota la tangente cuspidal y las tangentes en P'.

(V. Retali).

263 Un triángulo O V P tiene dos vértices fijos y el tercero P describe un círculo cuyo centro es V y que pasa por O. Si la perpendicular á [VP] sobre el punto V corta á [OP] en P': el lugar de estos puntos es una estrofóide recta con un nodo en O y el vértice en V. Deducir de la generación indicada las propiedades de la curva. Intersecciones con una recta y con una cónica que pasa por los dos puntos O, V.

(V. Retali).
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 31

264 Se dan, en un plano vertical, un punto A, una curva (C) y un hilo á plomo de longitud l, atado al punto A. Se propone obtener el lugar de las posiciones M de un estilo móvil que arrastra el hilo á plomo, de manera que el extremo B del hilo describa la curva (C). Aplicaciones diversas.

(H. Brocard).

265 Si sobre los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC se toman los tres puntos A', B', C' tales, quo \( \frac{BA'}{BC} = \frac{CB'}{CA} = \frac{AC'}{AB} = \frac{1}{3} \) y los tres puntos A'', B'', C'' tales, que \( \frac{BA''}{BC} = \frac{CB''}{CA} = \frac{AC''}{AB} = \frac{5}{6} \); el triángulo comprendido entre las rectas A'C'', B'A'', C'B'', prolongadas, valdrá los \( \frac{4}{3} \) del triángulo ABC.

(H. Van Aubel).

266 Demostrar que los ángulos A, B, C y los lados a, b, c de un triángulo esférico cualquiera verifican las relaciones siguientes:

\[
\delta \cdot \frac{\operatorname{sen} \frac{1}{2}(A+B)}{\operatorname{sen} \frac{c}{2}} = \Delta \cdot \frac{\operatorname{cos} \frac{1}{2}(a-b)}{\operatorname{sen} \frac{C}{2}}
\]

\[
\delta \cdot \frac{\operatorname{sen} \frac{1}{2}(A-B)}{\operatorname{sen} \frac{c}{2}} = \Delta \cdot \frac{\operatorname{sen} \frac{1}{2}(a-b)}{\operatorname{sen} \frac{C}{2}}
\]

\[
\delta \cdot \frac{\operatorname{cos} \frac{1}{2}(A+B)}{\operatorname{sen} \frac{c}{2}} = \Delta \cdot \frac{\operatorname{cos} \frac{1}{2}(a+b)}{\operatorname{cos} \frac{C}{2}}
\]

\[
\delta \cdot \frac{\operatorname{cos} \frac{1}{2}(A-B)}{\operatorname{cos} \frac{c}{2}} = \Delta \cdot \frac{\operatorname{sen} \frac{1}{2}(a+b)}{\operatorname{cos} \frac{C}{2}}
\]
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 32

en las que, según costumbre, se supone:

\[
a + b + c = 2p,\quad A + B + C - \pi = 2\varepsilon
\]
\[
\delta^2 = \operatorname{sen} p \operatorname{sen}(p-a) \operatorname{sen}(p-b) \operatorname{sen}(p-c)
\]
\[
\Delta^2 = \operatorname{sen}\varepsilon \operatorname{sen}(A-\varepsilon) \operatorname{sen}(B-\varepsilon) \operatorname{sen}(C-\varepsilon)
\]

(J. Gillot).

267 Las rectas que unen los vértices de un triángulo \(ABC\) á un punto \(O\) de su plano, encuentran á los lados opuestos en los puntos \(A', B', C'\).

El área del triángulo \(A' B' O'\) queda invariable, si se hace coincidir el punto \(O\), sucesivamente con el punto de Lemoine, con cada uno de los puntos de Brocard, con cada uno de los vértices del primer triángulo de Brocard, ó con el conjugado isotómico de cada uno de los seis puntos.

(H. Van Aubel).

268 Extensión del teorema de Stewart.
Siendo \(A, B, C, D, E\) cinco puntos en línea recta, y \(O\) un punto exterior cualquiera, se tiene:

\[
OA^2 \cdot CD + OB^2 \cdot DE + OC^2 \cdot EA + OD^2 \cdot AB + OE^2 \cdot BC \\
= AB^2 \cdot DE + AC^2 \cdot EA + BD^2 \cdot AB + BE^2 \cdot BC \\
= CA^2 \cdot CD + CB^2 \cdot DE + CD^2 \cdot AB + DE^2 \cdot BC \\
= EA^2 \cdot CD + EB^2 \cdot DE + EC^2 \cdot EA + ED^2 \cdot AB
\]

considerando los segmentos en magnitud y en signo.

(C. A. Laisant).

269 Un triángulo OVP tiene dos vértices fijos y el tercero P describe una circunferencia cuyo centro es V y que pasa por O; si la perpendicular á [VP] en el punto V corta á [OP] en P', el lugar de estos puntos es una estrofoide recta con nodo en O y el vértice en V. Deducir de la generación indicada las principales propiedades de la curva.—Intersección con una recta y con una cónica que pasa por los dos puntos O y V.

(V. Retali.)
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 4

\[
a = c \sim b = c \circ (M \sim b) = c \circ b',
\]
\[
b = c \sim a = c \circ (M \sim a) = c \circ a'.
\]

Y de las tres igualdades, respectivamente:

\[
M \sim c = (M \sim a) \circ (M \sim b),
\]
\[
M \sim a = (M \sim c) \circ (M \sim b'),
\]
\[
M \sim b = (M \sim c) \circ (M \sim a');
\]

ó sea,

\[
c' = a' \circ b', \quad a' = c' \circ b, \quad b' = c' \circ a.
\]

Demostrada así la tercera para los seis objetos, se deduce sin dificultad la cuarta proposición en todos los casos. Por ejemplo, para \(c'\) tomaremos las dos últimas igualdades, de las que resulta inmediatamente:

\[
c' = a' \sim b = b' \sim a.
\]

Las relaciones formales contenidas en las dos últimas proposiciones son las siguientes:

\[
\begin{align*}
c &= a \circ b, & a &= c \circ b', & b &= c \circ a', \\
c' &= a' \circ b', & a' &= c' \circ b, & b' &= c' \circ a,
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
c &= a \sim b' = b \sim a', \\
a &= c \sim b = b' \sim c', \\
b &= c \sim a = a' \sim c', \\
c' &= a' \sim b = b' \sim a, \\
a' &= b \sim c = c' \sim b', \\
b' &= a \sim c = c' \sim a'.
\end{align*}
\]

Si la operación indicada por el signo \( \circ \) es la de sumar, el módulo será cero, y los objetos recíprocos serán magnitudes ó números igualmente opuestos; y siendo \( c = a + b \), las relaciones halladas son las siguientes:
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 5

\[
a' = -a, \qquad b' = -b, \qquad c' = -c,
\]
\[
a + a' = 0, \qquad b + b' = 0, \qquad c + c' = 0,
\]
\[
a = -a', \qquad b = -b', \qquad c = -c',
\]
\[
c = a + b, \qquad a = c + b', \qquad b = c' + a',
\]
\[
c' = a' + b', \qquad a' = c' + b, \qquad b' = c' + a,
\]
\[
c = a - b' = b - a', \qquad c' = a' - b = b' - a.
\]
\[
a - c - b = b' - c', \qquad a' = b - c = c' - b',
\]
\[
b = c - a = a' - c', \qquad b' = a - c = c' - a'.
\]

Si la operación \( O \) es la de multiplicar, el módulo será la unidad, y los objetos recíprocos serán números recíprocos ó fracciones inversas; y siendo \( c = a\,b \), las relaciones halladas son las siguientes:

\[
a' = \frac{1}{a}, \qquad b' = \frac{1}{b}, \qquad c' = \frac{1}{c},
\]
\[
a\,a' = 1, \qquad b\,b' = 1, \qquad c\,c' = 1,
\]
\[
a = \frac{1}{a'}, \qquad b = \frac{1}{b'}, \qquad c = \frac{1}{c'},
\]
\[
c = a\,b, \qquad a = c\,b', \qquad b = c\,a',
\]
\[
c' = a'\,b', \qquad a' = c'\,b, \qquad b' = c'\,a,
\]
\[
c = \frac{a}{b'} = \frac{b}{a'}, \qquad c' = \frac{a'}{b} = \frac{b'}{a},
\]
\[
a = \frac{c}{b} = \frac{b'}{c'}, \qquad a' = \frac{b}{c} = \frac{c'}{b},
\]
\[
b = \frac{c}{a} = \frac{a'}{c'}, \qquad b' = \frac{a}{c} = \frac{c'}{a'},
\]

Como casos particulares de verdadera importancia puede suponerse que los seis objetos considerados sean las funciones circulares de un mismo arco, ó las funciones hiperbólicas de un mismo argumento; pues, en ambos casos, el seno es el producto del coseno por
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la tangente, y la cosecante, la secante y la cotangente son respectivamente inversas de las anteriores. Podemos, pues, suponer en la figura, siendo \( M = 1 \), y en las relaciones últimamente halladas:

\[
c = \operatorname{sen} x, \qquad a = \cos x, \qquad b = \tg x,
\]
\[
c' = \operatorname{cosec} x, \qquad a' = \sec x, \qquad b' = \cot x,
\]

o bien,

\[
c = \operatorname{Sh} x, \qquad a = \operatorname{Ch} x, \qquad b = \operatorname{Th} x,
\]
\[
c' = \operatorname{Csh} x, \qquad a' = \operatorname{Sch} x, \qquad b' = \operatorname{Cth} x.
\]

Esta figura, ó círculo mnemónico, ha sido ya considerada por el Sr. Gascó en sus «Diagramas mnemónicos de Trigonometría», y mucho antes por el malogrado D. Simón Archilla en sus «Principios fundamentales del Cálculo diferencial». Pero el Sr. Gascó, cuya reciente pérdida lamentamos, sólo considera el caso de las funciones circulares, y el Sr. Archilla, aunque dándole menor desarrollo, la aplica únicamente al algoritmo de la producción, y en particular á las funciones circulares é hiperbólicas.

J. Rius y Casas,
Catedrático de la Universidad de Zaragoza.

LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

La Matemática es hoy una sola ciencia, no un agregado, como expresó durante mucho tiempo y aun expresa hoy comunmente la denominación de Matemáticas.

Aquellas ramas que con los nombres de Aritmética, Algebra Geometría, etc., parecían desarrollarse con cierta individualidad que tendía á romper la unidad de la ciencia, en un fraccionamiento que prevaleció durante algunos siglos, hoy se confunden en la ciencia íntegra y una, que aparece según los diversos puntos de vista predominantes, con uniformidad de procesos, comunidad de métodos, y unidad de objeto; y si aun hoy se siguen dichas deno-
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minaciones, esto obedece principalmente á que en la enseñanza, ó en la adquisición de los conocimientos incluidos en la Matemática, son convenientes estas disagregaciones que facilitan su asimilación á la inteligencia, donde se reunen como materiales aptos para formar la síntesis en un organismo, que puede ofrecerse constituido de diversas maneras, según las cuales se fueron agrupando, en igual forma que pudieran agruparse en un solo plano multitud de sistemas distintos del espacio, mediante proyecciones de éstos sobre aquél.

Una proyección se realiza análoga á la que vemos en la teoría de los conjuntos, de Cantor, que hace ver cómo se forma en nuestra inteligencia la noción de potencia ó de número cardinal de un conjunto, al abstraer de éste la naturaleza de los objetos y el orden en que se hallan colocados.

La inteligencia se apodera de un sistema abstracto, correspondiente á un sistema concreto; y nos hallamos en un primer caso de correspondencia, que juntamente con otros muchos que obtendremos, permite definir la Matemática, en su concepto abstracto, como ciencia de relaciones formales, que se expresan por sistemas de símbolos, constitutivos del lenguaje matemático, ya referido á objetos existentes, ya á relaciones que pueden carecer de objeto; pero que conservan una dependencia lógica, que establece una unidad donde la existencia y la no existencia se subordinan como accidentes de la relación formal, donde lo real, lo ideal, lo imaginario, lo intuitivo ó lo puramente racional existen, con igual validez, como objeto de nuestras investigaciones.

La noción de número entero, según el superior criterio de M. Poincaré, es la sola subsistente hoy, entre las antes admitidas con el carácter de primitivas. (1) Y esta noción se aplica ó puede hacerse corresponder á todo objeto que entra en el dominio matemático y que se halla constituido, en último análisis, por combinación de números enteros.

El número entero es, pues, el elemento irreducible de toda combinación matemática. Los conceptos de igualdad, desigualdad, subordinación, supraordinación, etc., resultan de relaciones entre números, ó mejor expresan, variadamente estas relaciones.

La Aritmética construye los números. Las formas que los contienen y que se estudian en la Teoría de los números, son lugares

(1) J'Enseignement mathématique núm. 3.
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 8

algorítmicos, que pueden á su vez representarse por lugares geométricos, cuando referimos cada unidad abstracta ó elemento intelectual á cada punto ó elemento del espacio; y á esta correspondencia se reducen todas las correspondencias, ya puramente geométricas, ya analítico-geométricas, que pueden concebirse en el dominio de la Matemática.

Estas correspondencias pueden establecerse de las más diversas maneras, y son objetos de cada una de las teorías matemáticas, que se hallan así enlazadas dentro de la unidad, que establece la correspondencia primitiva.

Dichas correspondencias además constituyen la materia, cuya forma es el acto intelectual, por el que unimos dos á dos los términos del juicio, elemento lógico; y que expresamos en el lenguaje ordinario mediante proposiciones y en el lenguaje matemático mediante fórmulas, que son abreviaciones de aquél, ó mediante figuras geométricas, que son también sus representaciones más concretas.

La Matemática es, pues, una serie de correspondencias, de representaciones ó de relaciones; y en el riguroso mantenimiento de éstas estriba su unidad, que prescinde de la existencia efectiva del objeto, en muchos casos, conservando siempre la relación lógica, subordinada tan solo á que nunca se invalide el principio de contradicción. Lo real desaparece bajo el símbolo de lo imaginario, que representa una contradicción, es decir, un estado especial de varios juicios lógicos incompatibles, de igual manera que lo infinito expresa una negación que completa el sistema de las afirmaciones en el dominio de lo finito; y de esta manera la Matemática abarca, en un sistema, todo el dominio de la posibilidad.

La Matemática tiene parcialmente su realización en la Naturaleza; en ésta simultáneamente se realizan las leyes del número aplicadas á variedad de objetos; espacio, tiempo, fuerza; y esta complejidad expresa, desde luego, que sólo como artificio metódico puede adoptarse la antigua división de esta ciencia en ciencias distintas, que aparecían con ciertas conexiones, pero sin una fusión completa. Invirtiendo el orden natural, para pasar de lo abstracto á lo concreto, de lo simple á lo complejo, podremos ver además, cómo dichas divisiones son puramente convencionales, ya que nada fija sus límites propios, puesto que se compenetran, y tan solo se distinguen en el predominio de un objeto sobre otro, que son reductibles mutuamente, mediante la noción común de número que los envuelve.
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 9

La Aritmética tiene su elemento en el número primo, sus proposiciones llevan á expresar por éstos los compuestos.

Las fórmulas distribuyen los números en sistemas, y se estudian, ya cada uno en su modo de composición, ya en sus relaciones.

La adjunción de nuevos objetos, en cada sistema previamente formado, permite ir suprimiendo imposibilidades, y extender el campo de la realidad. La adjunción hace cada vez más densa la serie de los números, intercalando en la serie de los enteros las de los fraccionarios, incommensurables y transcendentales; y las operaciones adquieren generalidad, quedando libres de excepciones.

Los sistemas de números tienen su representación por sistemas de puntos.

La representación de sistemas numéricos en una recta, puede ser simplemente cómoda en algunos casos, como esquema de otras operaciones abstractas; pero también puede tener por fin crear nuevos objetos de investigación matemática.

Un conjunto ó variedad puede estar formado de objetos en una disposición cualquiera, sin considerarse su aspecto geométrico; pero podemos atender especialmente á éste, y considerar, primero una variedad de puntos y en ésta los sistemas de los que se hallan en línea recta, y aun los que se hallan en un plano, dando origen á sistemas especiales, pues en el primer caso, dichos puntos poseerán una nueva propiedad, la de permutarse simplemente por el movimiento posible del sistema (resbalamiento), cuando se han fijado dos cualesquiera; en el segundo caso ocurrirá esto mismo, cuando sean tres los puntos fijos.

Estas definiciones introducen en la ciencia los elementos necesarios y suficientes para construir toda la Geometría. Y así como en la Aritmética la combinación de los algoritmos creó sistemas de números, la combinación de puntos, de rectas y de planos crea todos los lugares geométricos, ya tomando como elemento el punto, la recta, el plano ó cualquier otra figura, de manera que, entre el espacio puntual y el espacio tangencial, existe el espacio reglado en el que la recta es el elemento; y aun se ha llegado á la geometría del círculo en la cual el elemento es el sistema de dos puntos ó el punto doble, y que estudia las superficies circuladas, análogamente á como se estudiaron las superficies regladas, en el espacio reglado.

El número de elementos necesarios para determinar cada sistema ó objeto de éste es lo esencial, en la constitución de cada teoría
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOBRE ALGUNOS CÍRCULOS ASOCIADOS Á UN TRIÁNGULO
POR MR. J. S. MACKAY
Profesor de matemáticas en la Academia de Edimburgo.

NOTACIONES
I, I₁, I₂, I₃ son los centros del círculo inscripto y de los círculos ex-inscriptos al triángulo fundamental ABC.
Los puntos de contacto de estos círculos con los lados BC, CA, AB se designan con las letras
D E F; D₁ E₁ F₁; D₂ E₂ F₂; D₃ E₃ F₃
r₁ r₂ r₃ son los radios de los cuatro círculos.
A' B' C', son los puntos medios de BC, CA, AB.
x y z los pies de las perpendiculares bajadas desde A, B, C sobre BC, CA, AB.
H es el ortocentro de ABC.
O el centro del círculo circunscripto á ABC.
R el radio
(1) Si por A' se levanta una perpendicular á BC; AD AD₁ AD₂ AD₃ cortarán á esta perpendicular en los puntos R₁ R R₃ R₂ tales que
A'R = r   A'R₁ = r₁   A'R₂ = r₂   A'R₃ = r₃
Sea D' el punto de intersección de DI con AD₁.
Se sabe que la recta que une los extremos de dos rayos paralelos y del mismo sentido pasa por el centro de homotecia directo de los dos círculos. Pero A es el centro de homotecia directa de los dos círculos I₁ é I; por consiguiente, ID' es un radio del círculo inscripto I, y DD' = 2r.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 10

la perpendicular AB igual al radio R' de la otra circunferencia, únase o con B, trácese la perpendicular BC=OB, y si la circunferencia descrita con el radio oC envuelve el centro o', la circunferencia radical existe.

La sencillez de esta construcción evita otras explicaciones.
Cuando dos circunferencias son ortogonales, se ve claramente que la radical pasa por los centros de ellas, como se deduce también del valor de p, pues siendo \( R^2 + R'^2 = oo'^2 \), resulta \( p = \frac{1}{2} oo' \). La recíproca es también cierta como se ve fácilmente.

La consideración de circunferencias radicales permite resolver inmediatamente el siguiente problema:

Se tienen dos circunferencias tangentes, por ejemplo interiores, o y o' (fig. 2.a) de radios respectivos R y R'; por el punto de tangencia p se trazan secantes, tales como p a m, y se toma en sentido contrario una longitud am'=am. ¿Cuál es el lugar geométrico del punto m'?

Tracemos la circunferencia o'' que tenga por circunferencia radical, respecto á la o, la o' y se tendrá en valor absoluto \( ap.am = ap.am' \), y por lo tanto \( am' = am \); el lugar buscado es, por consiguiente, la circunferencia o''; para determinar su radio x, notemos que se tiene \( R' = \frac{1}{2}(R - x) \), de donde se deduce \( x = R - 2R' \). La circunferencia encontrada es tangente exterior ó interior á la o, según sea \( R - 2R' > o \). Si la circunferencia o' pasa por el punto o, el lugar geométrico se reduce al punto p, lo cual es evidente.

Hemos dicho anteriormente que si se tienen tres circunferencias o, o y o' y se determinan las radicales de dos grupos oo' y oo'', por ejemplo, el eje radical de estas circunferencias radicales es el mismo que el de las del tercer grupo. Esto permite demostrar con gran sencillez que las circunferencias descritas sobre las medianas de un triángulo como diámetros, tienen de dos en dos por eje radical las alturas de dicho triángulo. Observemos, en efecto, que si sobre los lados de un triángulo como diámetros, se describen circunferencias, las radicales de éstas son las trazadas sobre las medianas (así, por