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El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 28

D, E, F que los dividen en una misma razón, las paralelas á AD, BE, CF ó á BE, CF, AD ó á CF, AI), BE, trazadas por los vértices A₁, B₁, C₁ del primer triángulo de Brocard, pasan por un mismo punto M, N ó P.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Lemoine (E.)

Conservando las mismas notaciones que para la solución de de la cuestión 273, siendo las coordenadas baricéntricas de los vértices A₁, B₁, C₁, del triángulo de Brocard

\[
a^2, c^2, b^2; \quad c^2, b^2, a^2; \quad b^2, a^2, c^2,
\]

se obtiene que las ecuaciones de las rectas trazadas por A₁, B₁, C₁ paralelamente á AD, BE, CF son

\[
x [c^2 - b^2 m] - \beta [b^2 (1 + m) + a^2] + \gamma [a^2 m + c^2 (1 + m)] = 0 \tag{1}
\]
\[
x [b^2 m + a^2 (1 + m)] + \beta [a^2 - c^2 m] - \gamma [c^2 (1 + m) + b^2] = 0 \tag{2}
\]
\[
- x [a^2 (1 + m) + c^2] + \beta [c^2 m + b^2 (1 + m)] + \gamma [b^2 - a^2 m] = 0 \tag{3}
\]

sumando (2) y (3) se obtiene (1); luego las rectas se cortan en un punto M cuyas coordenadas son

\[
-a^2 m + b^2 (1 + m) + c^2 m (1 + m); \quad a^2 m (1 + m - b^2 m + c^2 (1 + m);
\]
\[
\frac{a^2 (1 + m) + b^2 m (1 + m) - c^2 m}{}
\]

Los puntos M, N, P son isobáricos de primera especie ó permutianos.

CUESTIÓN 260
(Véase pág. 62)

Construir una parábola, conociendo una cuerda normal MN y la dirección de los diámetros.

(J. Neuberg).

Solución por el Sr. Ríos y Casas (D. José)

Siendo la cuerda MN normal en M, tracemos MO en la dirección dada de los diámetros, y las perpendiculares á MN serán cuerdas conjugadas á este diámetro. Trazando la que pasa por N, y tomando en ella OP = NO, P será punto de la curva, y conoceremos de ésta cuatro puntos: M, N, P é I, punto al infinito de la dirección MO, y la tangente en M, datos suficientes para construir la curva por puntos
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 29

como aplicación del teorema de Pascal. Considerando los exágonos inscritos IMMNPX, las rectas de Pascal pasarán todas por O, y determinarán sobre la tangente en M y la cuerda MN dos series de puntos A₁, B₁..., A₂, B₂..., que proyectadas respectivamente desde P é I, dan dos haces de radios de primer orden que, por las intersecciones de los pares de radios correspondientes, engendran la cónica pedida AB.... A mayor abundamiento, por cada punto A, B,... que así se determina, puede hallarse otro A', B',... mediante las perpendiculares AA', BB',... á la cuerda normal, que son cuerdas conjugadas al diámetro MO.

Si la cuerda MN fuese normal en N, la segunda parábola que resuelve el problema, sería simétrica de la anterior con relación al punto medio de la cuerda dada.

Solución por el Sr. Retall (V.)

Las \( \infty^1 \) parábolas que tienen MN por cuerda normal (en M) corresponden, en la inversión considerada en la primera solución de la cuestión 259, á las tangentes del círculo \( G_{\frac{x}{2}} \) descrito sobre MN como diámetro. Si A es el punto de contacto de una de estas tangentes t, el punto en el infinito de la parábola correspondiente T² es el de la recta [NA]. Tenemos pues la construcción siguiente:

Descrito el círculo \( G_{\frac{x}{2}} \) sobre el segmento MN como diámetro, tracemos por el punto N, en la dirección de los diámetros, una recta [NA] que lo corte en A; la parábola buscada es la transformada de la recta t, tangente al círculo \( G_{\frac{x}{2}} \) en A, mediante la inversión de Hirst que tiene N por polo y el punto-círculo M por cónica de los puntos unidos.

Observación.—Las parábolas que tienen MN por cuerda normal
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 3

(6) \[
\frac{e^a + e^{-a} - 2}{a^2} > \frac{e^b + e^{-b} - 2}{b^2}
\]

d'où, en posant \( a = L(1 + h),\ b = L(1 + \omega) \), la relation

(7) \[
\frac{L(1 + \omega)}{L(1 + h)} > \frac{\omega}{h} \sqrt{\frac{1 + h}{1 + \omega}}
\]

ce qui avec (3) donne la double inégalité

(8) \[
\frac{\omega}{h} \frac{2 + h}{2 + \omega} > \frac{L(1 + \omega)}{L(1 + h)} > \frac{\omega}{h} \sqrt{\frac{1 + h}{1 + \omega}}
\]

4. — Prenons, avec Mercator, \( \frac{\omega}{h} \frac{2 + h}{2 + \omega} \) pour la valeur de \( \frac{L(1 + \omega)}{L(1 + h)} \); l'erreur sera inférieure à la différence des deux membres extrêmes de (8), soit à

(x) \[
\frac{\omega}{h} \left( \frac{2 + h}{2 + \omega} \right)^2 - \left( \sqrt{\frac{1 + h}{1 + \omega}} \right)^2 + \sqrt{\frac{1 + h}{1 + \omega}}
\]

Remplaçons le dénominateur du second facteur de (x) par la valeur plus petite 2, on verra que (x) a une valeur inférieure à

(9) \[
\frac{\omega}{h} \frac{h - \omega}{2} \frac{h + \omega + h \omega}{(2 + \omega)(1 + \omega)}
\]

Or on a:

\[(2 + \omega)^2 (1 + \omega) > 4,\quad \omega(h - \omega) < \frac{h^2}{4},\quad h + \omega + h \omega < 2h + h^2\]

il s'ensuit que la valeur de (α) est inférieure à \( \frac{h^2 (2 + h)}{32} \), quantité très sensiblement égale à \( \frac{h^3}{16} \)

Changeons \( h \) en \( \frac{1}{n} \) et \( \omega \) en \( \frac{\infty}{n} \), on verra qu'en posant
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 30

forman un haz cuadrático, cuya ecuación es, conservando las notaciones de la segunda solución de la cuestión 259,

\[
y^2 = \lambda (x - a) (2y - \lambda x)
\]

Las coordenadas del foco están dadas por

\[
x = \frac{a (3 \lambda^2 + 4)}{4 (\lambda^2 + 1)}, \qquad y = \frac{a \lambda^2}{4 (\lambda^2 + 1)}
\]

ecuaciones paramétricas de una eisoide de Diocles que tiene la cúspide en M y cuya asintota es 'a mediatriz del segmente MO.

Solución por el Sr. SAEZ MUÑIZ (G.)

Sea MN la cuerda normal en M, y la recta m la dirección de los diámetros.

Al darnos la cuerda MN normal en M, conocemos de la parábola los puntos N y M la tangente en éste, MT; la dirección de los diámetros equivale á conocer el punto en el infinito de la parábola \( M' \) y la tangente á la parábola en este punto, que es la recta del infinito.
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 31

Si consideramos los puntos M y \( M' \) como vértices de dos haces proyectivos de la curva, la construcción de éstos queda reducida á la de dos haces proyectivos \( M . N . . . . \Delta M'. N . . . . \) perfectamente determinados, pues conocemos un rayo del 1.\( ^\circ \) \( a = M N \), el correspondiente del 2.\( ^\circ \) \( a' = M' N \), y el centro proyectivo de los dos haces O, punto intersección de las tangentes á la parábola en los puntos M y \( M' \).

Luego dado un rayo del 1.\( ^\circ \) haz, determinaremos su correspondiente en el 2.\( ^\circ \), y el punto de intersección de ambos rayos será punto de la curva.

Construcción.—Se traza un rayo cualquiera del 2.\( ^\circ \) haz, el \( b' \) hasta que encuentre á un rayo del 1.\( ^\circ \), conocido de antemano, el \( a \): el punto R de intersección se une con el centro proyectivo O; el punto de intersección de RO con el \( a' \), homólogo del \( a \), nos da con el punto M el rayo MS ó \( b \), y su intersección con el \( b' \) nos da el punto E de la curva.

Análogamente se han determinado los puntos A, B, C y "D y se determinan cuantos se quiera.

CUESTIONES PROPUESTAS

275 Sea un triángulo ABC. Hallar la parábola circunscripta tal, que el área interceptada entre el lado BC y esta parábola sea mínima.
(E. Lemoine).

276 O es un punto de un círculo de centro C y radio R, y la recta \( m \) perpendicular á [OC] dista de O en \( \frac{R}{4} \). Si tomamos sobre un radio arbitrario \( p \) trazado por O el punto P' simétrico, respecto al punto (\( m \nu \)) de la ulterior intersección P de \( p \) con el círculo:
1.\( ^\circ \) Demostrar que el lugar de P' es una trisectriz de Maclaurin, cuyo punto doble se halla en O y cuyo eje es [OC].
2.\( ^\circ \) Construir la asíntota real, la tangente en P' y las intersecciones de la curva con una recta.
3.\( ^\circ \) Determinar las dos asíntotas imaginarias conjugadas y los puntos de inflexión de la curva.
(V. Retali).

277 Construir un cuadrilátero, conociendo los puntos simétricos, con relación á los lados, del punto de concurso de las diagonales.
(L. de Alba).
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 32

278 Sobre los lados de un triángulo ABC cuyos medios son D, E, F se construyen exteriormente los cuadrados BA'A''C, CB'B''A, AC'C''B, cuyos centros son I_a, I_b, I_c; y sobre DI_a, EI_b, FI_c se toma D \( \alpha = \frac{1}{3} DI_a, E\beta = \frac{1}{3} EI_b, F\gamma = \frac{1}{3} FI_c \). Demostrar: 1.º que las paralelas á AI_a, CI_c, BI_b, ó á CI_c, BI_b, AI_a, ó á BI_b, AI_a, CI_c trazadas por \( \alpha, \beta, \gamma \) concurren en un punto M ó N ó P; 2.º que las rectas que unen I_a, I_b, I_c á los medios C'B', A'C'', B'A'' pasan también por un mismo punto.

(H. Van Aubel).

279 Siendo A_1 B_1 C_1 el primer triángulo de Brocard del triángulo ABC; D, E, F los medios de los lados BC, CA, AB y D', E', F' puntos que dividen estos lados en una misma razón n, se toman sobre DA_1, EB_1, FC_1 las longitudes DA', EB', FC' iguales á 3DA_1, 3EB_1, 3FC_1:

1.º las rectas trazadas por ABC paralelamente á BB', CC', AA' concurren en un punto M y las trazadas por estos puntos paralelamente á CC', AA', BB' en un punto N; 2.º las paralelas á AA', BB', CC' trazadas por D', E', F' concurren en el punto que divide NM en la razón n; 3.º las paralelas á B_1 C_1, C_1 A_1, A_1 B_1 trazadas por D, E, F pasan por el centro de la hipérbola de Kiepert.

(H. Van Aubel).

247 (T. V) (enunciado y corregido). Si en un triángulo ABC se tiene:

\[
a^2 (\operatorname{sen} A + \cos A) + bc = 0
\]

la recta que une el vértice al centro del cuadrado construído exteriormente sobre BC será perpendicular á la recta de Brocard.

(H. Van Aubel).

ERRATAS

En la página 32 línea 27 en vez de A B C léase A_1 B_1 C_1
En la id. 34 id. 27 sustitúyase á la letra p la letra ρ
En la id. 96 id. 34 en vez de BD, CF, AD, léase BE, CF, AD.
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 4

(9) \( L(n + \omega) = L n + \omega \frac{2n + 1}{2n + \omega} [L(n + 1) - L n] \),

l’erreur sera inférieure à

\[
\frac{L \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{16 n^3} < \frac{1}{16 n^3}, \text{ ou à } 0,0^{*6}, \text{ si } n > 10\ 000
\]

Cette interpolation est, comme on voit, beaucoup plus exacte que celle par parties proportionnelles.

5.—Faisons dans les formules qui précèdent \( h = \frac{1}{n} \) et \( \omega = \frac{1}{n + 1} \), il viendra

(10) \( \frac{n}{n + 1} \frac{2n + 1}{2n + 3} - \frac{L \frac{n + 2}{n + 1}}{L \frac{n + 1}{n}} < \frac{n + 1}{n(n + 2)(2n + 3)^2} < \frac{1}{4 n^3} \)

Par conséquent, la méthode de Mercator peut se représenter par l’égalité approchée

(11) \( L(n + 2) - L(n + 1) = \frac{n}{n + 1} \frac{2n + 1}{2n + 3} [L(n + 1) - L n] \)

l’erreur étant inférieure à

\[
\frac{n}{n + 1} \frac{2n + 1}{2n + 3} \frac{L(n + 1) - L n}{4 n^8} < \frac{L \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{4 n^3} < \frac{1}{4 n^3},
\]

c’est-à-dire, inférieure à \( 0,0^{*25} \), si \( n > 100 \), comme Mercator le suppose.

6.—Par des moyens faciles à restituer, Mercator trouve

\[
1,005^{461} = 9,965774 \quad \text{et} \quad 1,006^{462} = 10,015603 \\
0,995^{459} = 0,1001823 \quad \text{et} \quad 0,995^{460} = 0,0996814
\]
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 5

d'où, en interpolant les exposants par des moyennes proportionnelles

\[
1,005 \quad 461, \quad 6868 = 10 \quad \text{et} \quad 0,995 \quad 459, \quad 3639 = 0,1
\]

On a ainsi les logarithmes des deux nombres 100, 5 et 99,5, qui diffèrent de l'unité: la formule (11) permettra de trouver, avec huit décimales exactes, ceux de 101,5, et ainsi de suite,

7.—Dans (8) changeons \( \omega \) en \( \sqrt[1+\omega-1]{} \) et \( h \) en \( \sqrt[1+h-1]{} \), il viendra:

\[
\frac{\sqrt[1+\omega-1]{}}{\sqrt[1+h-1]{}} \cdot \frac{\sqrt[1+h+1]{}}{\sqrt[1+\omega+1]{}} > \frac{L(1+\omega)}{L(1+h)} > \frac{\sqrt[1+h-1]{}}{\sqrt[1+\omega-1]{}} \cdot \sqrt{\frac{1+h}{1+\omega}}
\]

formule qui donne un perfectionnement indéfini de la méthode de Mercator.

8.—Newton, qui a le premier compris l'importance théorique des séries, s'est également préoccupé de leur utilisation pratique. Dans sa Meth. Flux et dans sa célèbre Lettre à Oldenbourg de Juin 1676, il montre comment on peut remplacer une série par une expression approchée, mais finie.

La représentation d'une fonction X par une série \( a + b.x + c.x^2 + d.x^3 + \ldots \) n'est autre chose que l'ensemble d'une infinité de formules de plus en plus approchées de X:

\[
X = a, \quad X a + b.x, \quad X = a + b.x + c.x^2, \ldots
\]

Suivant l'approximation qu'on désire, on peut prendre l'une ou l'autre de ces expressions pour la valeur de X; mais souvent l'on a avantage à remplacer la série par une autre facile à sommer et ayant avec la première les deux ou trois premiers termes communs. Il peut arriver, en effet, que les termes suivants de la première diffèrent peu de ceux de la seconde, et l'approximation est augmentée d'autant.

Newton emploie les développements des deux expressions

\[
A + B \sqrt{1 - C.x} \quad \text{et} \quad A + \frac{B}{1 - C.x}
\]
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 6

dont il identifie les trois premiers termes à ceux de la série à représenter, ce qui détermine les coefficients A, B, C; il trouve ainsi plusieurs formules relatives aux arcs circulaires.

9.—Posons de même

\[
\frac{x}{1} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \ldots = A x + \frac{B x}{1 - C x^2}
\]

\[
= (A + B) x + B C x^3 + B C^2 x^5 + \ldots
\]

on trouve successivement:

\[
C = \frac{3}{5}, \quad B = \frac{5}{9}, \quad A = \frac{4}{9},
\]

d’où la formule très approchée

\[
L \frac{1 + x}{1 - x} = \frac{2 x}{9} \left( 4 + \frac{25}{5 - 3 x^2} \right)
\]

et, en effet, en développant, on trouve pour la valeur du second membre

\[
2 \left( \frac{x}{1} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{3}{25} x^7 + \frac{9}{125} x^9 + \ldots \right);
\]

l’erreur est de

\[
\frac{8}{175} x^7 + \frac{88}{1125} x^9 - \frac{532}{6875} x^{11} + \ldots
\]

Pour \( x < 0, 2 \), elle est inférieure à 0,0'5: la formule de Sharp (Voir Math. Tables de Stevin, 2e édition, Londres, 1726; voir aussi J. S. 1899, p. 10):

\[
2 = \left( 1 + \frac{1}{15} \right)^7 \left( 1 + \frac{1}{24} \right)^5 \left( 1 + \frac{1}{80} \right)^3
\]

combinée avec (13), donnerait donc le logarithme de 2, avec au moins huit décimales exactes.
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 7

10. - Faisons dans (15) \( x = \frac{1}{2n+1} \), il vient la formule suivante assez commode:

\[
(15) \quad L \frac{n+1}{n} = \frac{1}{3(2n+1)} \left( 6 + \frac{5}{10n(n+1)+1} \right)
\]

qui, pour \( n = 10 \), donne \( L 1, 1 = \frac{6611}{69363} = 0,095310179778 \) au lieu de \( 0,095310179801 + \ldots \).

Voir sur le même sujet, un article de M. Lampe (M. 1897), où entre autres résultats remarquables, il arrive par des moyens analogues, à la formule

\[
L \frac{1+x}{1-x} = \frac{2x}{15} \frac{945-735x^4+64x^4}{63-70x^2+15x^4}
\]

laquelle est très approchée, car pour \( x = \frac{1}{3} \), elle donne

\[
L 2 = 0,69314715 \text{ au lieu de } 0,69314718
\]

11. - On peut appliquer le procédé des coefficients indéterminés à la recherche de formules donnant un logarithme en fonction de plusieurs autres. Par exemple, en posant

\[
L(1+px) = A, \ L(1+x)+A_1, \ L(1+2x)+\ldots+A_q, \ L(1+qx)
\]

et identifiant les coefficients de \( x, x^1, x^2, \ldots, x^q \), on aura une généralisation de la formule donnée par Callet dans la préface de ses Tables de log: cette formule correspond au cas de \( q = p \).

12. - Mais il y a grand avantage à partir du développement de \( L \frac{1+x}{1-x} \). Posons, par exemple

\[
L \frac{1+nx}{1-nx} = A \cdot L \frac{1+3x}{1-3x} + B \cdot L \frac{1+2x}{1-2x} + C \cdot L \frac{1+x}{1-x}.
\]

On trouvera
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 8

C = n \frac{n^4 - 13n^2 + 36}{24}, \quad B = -n \frac{n^4 - 10n^2 + 9}{30}, \quad A = n \frac{n^4 - 5n^2 + 4}{120}.

d'où, pour \( n = 4 \), la formule très approchée

\[
(15) \quad 15 \, L \frac{1 + 4x}{1 - 4x} = 26 \, L \frac{1 + 3x}{1 - 3x}
\]
\[
+ 46 \, L \frac{1 + 2x}{1 - 2x} - 110 \, L \frac{1 + x}{1 - x}
\]

On trouvera de même la formule

\[
(16) \quad L \frac{1 + nx}{1 - nx} = n \frac{n^2 - 1}{6} \quad L \frac{1 + 2x}{1 - 2x} - n \frac{n^2 - 4}{3} \quad L \frac{1 + x}{1 - x}
\]

équivalente à un procédé indiqué par Mercator (*loc. cit*), et qui pour \( n = 3 \), devient

\[
(17) \quad L \frac{1 + 3x}{1 - 3x} = 4 \, L \frac{1 + 2x}{1 - 2x} - 5 \, L \frac{1 + x}{1 - x}
\]

L'application de ces formules est facile.

13.—Multiplions la série logarithmique par des polynômes finis ou infinis, comme \( 1 + Ax + Bx^2 + Cx^3 + \ldots \) et réduisons; nous obtiendrons une infinité de développements de \( L(1 + x) \), dont ceux obtenus en intégrant successivement les deux membres de l'égalité

\[
L(1 + x) = \frac{x}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots
\]

ne sont que des cas particuliers.

Ainsi, en multipliant par \( x - x^4 + x^7 - x^{11} + \ldots \) et ordonnant par rapport à \( x \), on trouve la relation suivante, due à M. Bertrand (*Calc. diff.* Paris 1864):

\[
(18) \quad L(1 + x) = (1 + x)(x - H_2 x^4 + H_3 x^7 - H_4 x^{11} + \ldots)
\]

et qui est peu utile, puisque les coefficients \( H_2, H_3, H_4, \ldots \) augmentent jusqu'à l'infini.

On a de même
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 9

\[(1 + x) L(1 + x) = x + \frac{x^2}{1.2} - \frac{x^3}{2.3} + \frac{x^4}{3.4} - \ldots\]

d'où

\[(19)\quad L(1 + x) = \frac{x}{1 + x} \left(1 + \frac{x}{1.2} - \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^3}{3.4} - \ldots \right)\]

Multipliant encore une fois par \(1 + x\), il vient

\[(20)\quad L.(1 + x) = \frac{x}{(1 + x)^2} + \frac{3x^2}{2(1 + x)^2}\]
\[- \frac{2x^3}{(1 + x)^2} \left( \frac{1}{1.2.3} - \frac{x}{2.3.4} + \frac{x^2}{3.4.5} - \ldots \right)\]

14.—On continuerait aisément; mais voici un cas particulier à remarquer.

Si dans la multiplication de \(L(1 + x)\) par \(1 + A_0 x + A_1 x^2 + \ldots + A_{n-1} x^n\), on écrit que les coefficients de \(x^4, x^3, x^4, \ldots, x^n\) sont identiquement nuls, on aura pour déterminer les coefficients \(A_0, A_1, A_2, \ldots, A_{n-1}\), les équations

\[A_0 - \frac{1}{2} = 0,\quad \frac{A_1}{1} - \frac{A_2}{2} + \frac{1}{3} = 0,\quad \frac{A_2}{1} - \frac{A_1}{2} + \frac{A_0}{3} - \frac{1}{4} = 0,\ldots\]

d'où

\[A_0 = 1,\quad A_1 = \frac{1}{2},\quad A_2 = -\frac{1}{12},\quad A_3 = \frac{1}{24},\quad A_4 = -\frac{19}{720},\]
\[A_5 = \frac{3}{160},\quad A_6 = -\frac{863}{60480},\ldots\]

et par suite, on aura une égalité de cette forme

\[(21)\quad L(1 + x) = \frac{1}{1 + A_0 x + \ldots + x_{n-1} A} (x + B x^{n+1} + C x^{n+2} + \ldots)\]

Par exemple, pour \(n = 2\), on a cette formule de Gudermann (Cr. t. XXVIII)
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
D. Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
EN LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

SERIE 2.a — TOMO II

ZARAGOZA
Imprenta de la Vda. de Arifo, Cozo, 100
1900
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 10

(17) \( \gamma (\alpha, \gamma) = \gamma (\alpha, \beta) \gamma (\beta, \gamma) - \sigma (\alpha, \beta) \sigma (\beta, \gamma) \times \gamma (C, A); \)

por analogía con la fórmula de trigonometría esférica

\[
\text{sen } b \cot a - \text{sen } C \cot A = \cos b \cos C
\]

donde se considera un lado \( a \) y el ángulo opuesto \( A \) con un lado \( b \) y un ángulo \( C \) no opuestos, se pueden todavía tomar las seis fórmulas cuyos tipos son

(18) \( \sigma (C, A) \frac{1}{\tau} (C, B) + \sigma (\beta, \alpha) \frac{1}{\tau} (\beta, \gamma) = \gamma (C, A) \gamma (\beta, \alpha) \)

ó las otras seis cuyos tipos son

19) \( \sigma (A, C) \frac{1}{\tau} (B, C) + \sigma (\alpha, \beta) \frac{1}{\tau} (\gamma, \beta) = \gamma (A, C) \gamma (\alpha, \beta). \)

La séptima relación tiene lugar entre los seis parámetros de los puntos \( A, B, C \) y de las rectas \( \alpha, \beta, \gamma \).
Se tiene además, como se ha dicho

(20) \( \frac{\sigma (B, C)}{\sigma (\beta, \gamma)} = \frac{\sigma (C, A)}{\sigma (\gamma, \alpha)} = \frac{\sigma (\Lambda, B)}{\sigma (\alpha, \beta)}; \)

cada una de estas relaciones tiene por valor

(21)

    \( \sigma (B, C) \)
    \( \sigma (C, A) \)
    \( \sigma (A, B) \)

    1
    \( \gamma (A, B) \)
    \( \gamma (A, C) \)
    1

    \( \gamma (B, A) \)
    1
    \( \gamma (B, C) \)
    \( \frac{1}{2} \)

    \( \gamma (C, A) \)
    \( \gamma (C, B) \)
    1

y se tendría para las relaciones inversas una expresión correlativa.

Lo que precede basta para demostrar el interés que puede ofrecer la métrica aninvolutiva.

Añadiré tan solo que la \( \Delta \), ó el momento de un punto \( M \) y de una recta \( \mu \) se define descartando toda idea de mínimo; y que existen para un triángulo \( ABC \) dos cantidades comparables á las cantí-
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 11

dades \(2S\) y \(\frac{S}{R}\) de la Geometría ordinaria, siendo \(S\) el área del triángulo, \(R\) el radio del círculo circunscrito, ó bien comparables al seno de un triédro y al de su triédro suplementario: la primera de estas cantidades tiene por expresión, con \(\gamma\), el denominador de la relación (21).

Remarque sur une formule
de M. Pirondini

La formule

\[
\frac{1}{p^8} = \frac{1}{p_g^8} + \frac{\sin^4 \theta}{p^2}
\]

que M. Pirondini donne dans le numéro de Septembre de El Progreso Matemático n'est pas seulement vraie pour les lignes cylindriques, mais aussi, bien plus généralement, pour une ligne tracée sur une développable quelconque. Elle est en outre une conséquence immédiate des formules suivantes

\[
\begin{cases}
\frac{ds_1}{p_{1n}} = \frac{ds}{p_n} \cos \omega - \frac{ds}{\tau_g} \sin \omega, & \frac{ds_1}{p_{1g}} = \frac{ds}{p_g} + d\omega, \\
\frac{ds_1}{\tau_{1g}} = \frac{ds}{p_n} \sin \omega + \frac{ds}{\tau_g} \cos \omega
\end{cases}
\]

que nous avons récemment données. ¹ Ces trois formules sont tout à fait générales, étant vraies pour deux courbes quelconques dans l'espace et renfermant par suite, comme des cas particuliers, toutes les formules, connues ou non, entre les courbures et les différentielles des arcs \(ds, ds_1\) de deux courbes liées par une correspondance quelconque. \(\frac{1}{p_{1n}}, \frac{1}{p_{1g}}, \frac{1}{\tau_{1g}}\) sont les courbures normale et géodésique et la torsion géodésique de l'une des courbes et \(\frac{1}{p_n}\),

¹ Voir Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc., 1898; T. CXXVIII, p. 998, ou Bulletin des Sciences Mathématiques, 1898, T. XXIII, num. 5.
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 12

\( \frac{1}{\rho_g}, \frac{1}{\tau_g} \) les mêmes quantités relatives à l'autre, toutes ces quantités rapportées à la perpendiculaire commune aux deux tangentes des courbes aux points correspondants. \( \omega \) est enfin l'angle des deux tangentes, compté de la tangente de c. Considérons maintenant une développable quelconque \( \Delta \), une courbe \( c_1 \), quelconque, tracée sur elle et la section droite \( c \) de la développable en un point M de cette courbe, section faite par le plan de la normale en M et de la perpendiculaire, sur le plan tangent, à la génératrice. Supposons de plus que les quantités formant les membres gauches des formules précédentes sont celles de la courbe \( c_1 \) et celles qui figurent aux seconds membres les quantités correspondantes de c. La torsion géodésique \( \frac{1}{\tau_g} \) de c est égale à la torsion géodésique de la ligne de courbure ayant même tangente (trajectoire orthogonale des génératrices), car la torsion géodésique d'une courbe quelconque n'est autre chose que la torsion de la ligne géodésique tangente. Mais la torsion géodésique d'une ligne de courbure est toujours nulle et en outre on a évidemment

\[
\frac{1}{\rho_m} = \frac{1}{\rho}, \quad \frac{1}{\tau_g} = 0;
\]

les formules (\( \alpha \)) deviennent donc, si l'on écrit \( \theta = - \left( \frac{\pi}{2} - \omega \right) \), \( \theta \) étant l'angle de la tangente de \( c_1 \) avec la génératrice, compté de la génératrice,

\[
\frac{d s_1}{\rho_{m1}} = - \frac{d s}{\rho} \sin \theta, \quad \frac{d s_1}{\tau_{1g}} = d \theta, \quad \frac{d s_1}{\tau_{1g}} = \frac{d s}{\rho} \cos \theta,
\]

ou bien

\[
(\beta) \quad \frac{1}{\rho_{m1}} = \frac{\sin^2 \theta}{\rho}, \quad \frac{1}{\rho_{1g}} = \frac{d \theta}{d s_1}, \quad \frac{1}{\tau_{1g}} = - \frac{\sin \theta \cos \theta}{\rho},
\]

puisque :

\[
\frac{d s}{d s_1} = - \sin \theta, \text{ (Darb., Surf., II, 370).}
\]