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El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 47

Para la demostración de la segunda parte, llamemos \( r \) el radio del círculo ABC y R el del otro, \( c \) la distancia del centro de los círculos al del cuadrado ABMN y \( a, b, c \) los lados del triángulo dado respectivamente opuestos á los ángulos A, B, C.

Podremos establecer las igualdades siguientes:

\[
r^2 = \left( e - \frac{1}{2}c \right)^2 + \frac{1}{4}c^2 = e^2 - ec + \frac{1}{2}c^2
\]
\[
R^2 = \left( e + \frac{1}{2}c \right)^2 + \frac{1}{4}c^2 = e^2 + ec + \frac{1}{2}c^2
\]

y sumando
\[
r^2 + R^2 = 2e^2 + c^2
\]

Pero la magnitud \( e \) es igual á la diagonal del cuadrado construída sobre CD por partes de paralelas entre paralelas. Por tanto
\[
2e^2 = b^2 \quad \text{y en definitiva} \quad r^2 + R^2 = b^2 + c^2
\]

Observación.—También han remitido soluciones á esta cuestión los Sres. Klompers, Caro y D. Ignacio Beyens.

CUESTIÓN 1
(Véase tomo I, página 206).

Hallar grupos de tres números enteros, primos entre sí dos á dos, tales, que la suma de dos cualesquiera de entre ellos no admite otros factores primos que los contenidos en el tercero: ejemplo, 3, 5, 22.

(Ernest Quetelet).

Solución por D. Ricardo Caro

Desde luego, los dos primeros números son arbitrarios; el objeto es hallar un tercero que cumpla con las condiciones del problema.

Sean \( p \) y \( q \) los dos primeros cuya suma descompuesta en sus factores nos dé \( p + q = a^r b^s ... \); si esta suma no ha de admitir otros factores primos que los contenidos en el tercero, es evidente que este tercero será de la forma \( nab... \) siendo \( n \) un número entero y primo con \( p \) y \( q \). Además, por las condiciones del problema, se debe verificar entre los tres números \( p, q \) y \( nab... \)

\[
p + nab... = n'q \\
q + nab... = n''p
\]

siendo \( n' \) y \( n'' \) enteros, de donde sacamos

\[
n' = \frac{p + nab...}{q} \qquad n'' = \frac{q + nab...}{p}
\]
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 48

El análisis nos da medio de hallar los valores de \( n \) que dan soluciones enteras para las ecuaciones (1). Estos valores forman dos progresiones aritméticas, y conoceremos \( n \) tomando un término común á ambas.

Sea el ejemplo de Mr. Quetelet y supongamos prefijados el 3 y el 5. Su suma nos da \( 3 + 5 = 2^n \), luego el tercero es \( 2n \). Las fórmulas (2) nos dan para este caso

\[
\frac{3 + 2n}{5} \quad \text{y} \quad \frac{5 + 2n}{3}
\]

cuyas expresiones son enteras para \( n = 1 \) y \( n = 2 \), respectivamente; luego las soluciones enteras de las ecuaciones (1) corresponden á los valores de \( n \).

\[
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36...
\]
\[
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26...
\]

y de éstos, satisfacen al problema los 11, 26, 41, 56,... comunes á ambas progresiones, siendo por tanto el tercer número 22, 52, 82, 112....

Así pueden calcularse otros grupos 2, 3, 25; 2, 3, 55; 5, 7, 408, etc. etc. en las condiciones propuestas.

CUESTIÓN 235
(véase tomo iv, página 344).

Sobre los lados opuestos \( A_1A_2, A_3A_4 \) de un cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \) se construyen exteriormente los cuadrados \( A_1A_4B_1C_1, A_3A_1B_3C_3 \) e interiormente los cuadrados \( A_1A_2b_1c_1, A_3A_4b_3c_3 \); sean \( I_1, I_3, i_1, i_3 \) los centros de estos cuadrados, siendo \( S \) el área del cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \), se tendrá:

\[
1.^o \quad I_1I_3^2 - i_1i_3^2 = 4S. \qquad 2.^o \quad B_1B_3^2 - b_1b_3^2 = 8S
\]
(H. VAN AUBEL).

Solución por el Sr. Schiappa Montino (A.)

Como se va á ver, puede hacerse derivar, en parte, la demostración de este teorema del procedimiento que hemos empleado en la solución de la cuestión núm. 139, propuesta por este mismo distinguido matemático (*).

1.^o Sean \( o_1 \) y \( o_3 \) los puntos medios de los lados opuestos \( A_1A_2 \) y \( A_3A_4 \) del cuadrilátero convexo dado, ó los centros de los cuadrados \( A_1I_1A_2i_1 \) y \( A_3I_3A_4i_3 \).

(*) Véase este periódico, t. III, pags. 1'92 y 3'2.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 49

Tracemos por los vértices de este último cuadrado las rectas \( A_3^3A_1^3I \), \( A_4^4A \), \( i_3^3i \) respectivamente equipolentes á las semidiagonales \( A_1o_1 \), \( I_1o_1 \), \( A_2o_1 \), \( i_1o_1 \) del primer cuadrado, y se tendrá el cuadrado \( ^3A^3I^4A^4i \), determinado también por las rectas \( o_1^3A \), \( o_1^3I \), \( o_1^4A \), \( o_1^3i \) trazadas por el punto \( o_1 \) y respectivamente equipolentes á las rectas \( A_1A_3 \), \( I_1I_3 \), \( A_2A_4 \), \( i_1i_3 \). Así nos hallamos reducidos á considerar solamente el punto \( o_1 \) y este nuevo cuadrado \( ^3A^3I^4A^4i \).

Los pares de rectas \( o_1^3A_1 \), \( A_2A_3 \) y \( o_1^4A \), \( A_1A_4 \) cortándose mutuamente en sus puntos medios \( \varepsilon \) y \( \varepsilon' \), determinan los triángulos \( A_2o_1\varepsilon \) y \( A_1o_1\varepsilon' \) respectivamente iguales á los triángulos \( A_3^3A\varepsilon \) y \( A_4^4A\varepsilon' \); y si se consideran también los triángulos iguales \( A_3^3Ao_3 \) y \( A_4^4Ao_3 \), se ve fácilmente que el área del triángulo \( ^3A_0_1^4A \) es igual al área S del cuadrilátero dado \( A_1A_2A_3A_4 \).

Según esto, nos hallamos en el caso de demostrar que:

\[
\overline{o_1^3I^2} - \overline{o_1^3i^2} = 4^3A_0_1^4A = 4.S
\]

(1)

es decir, que

Dado un punto \( o_1 \) y un cuadrado \( ^3A^3I^4A^4i \), la diferencia de los cuadrados de los lados \( o_1^3I \), \( o_1^3i \) del triángulo \( ^3Io_1^3i \) es igual á cuatro veces el área del triángulo \( ^3A_0_1^4A \).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 5

(7) Si UD UD₁ UD₂ UD₃ cortan á la perpendicular AX en los puntos X₀ X₁ X₂ X₃

\[
XX₀ = r \quad XX₁ = r₁ \quad XX₂ = r₂ \quad XX₃ = r₃
\]

Tracemos por I una paralela que encuentre á UU' en K₀ y á AX en X₀; y unamos UD DX₀.

Se sabe que \( A'D² = A'X . AL \)

de donde \( A'D : A'X = A'L : A'D \)

es decir \( A'D : KX₀ = A'L : K₀L = UA' : UK₀ \)

lo que prueba que los puntos U D X₀ están en línea recta.

Igualmente para los puntos U D₁ X₁.

Tracemos por I₃ una paralela á BC que encuentra á UU' en K₃ y á AX en X₃; y unamos U'D₃ D₃X₃.

Se sabe que \( A'D₃² = A'X . A'L' \)

de donde \( A'D₃ : A'X = A'L' : A'D₃ \)

es decir \( A'D₃ : K₃X₃ = A'L' : K₃I₃ = U'A' : U'K₃ \)

lo que prueba que los puntos U' D₃ X₃ están en línea recta.

Lo mismo para los puntos U' D₃ X₂.

(8) Si VE V'E₁ VE₂ V'E₃ cortan á la perpendicular BY en los puntos Y₀ Y₁ Y₂ Y₃,

y si WF W'F₁ W'F₂ WF₃ cortan á la perpendicular CZ en los puntos Z₀ Z₁ Z₂ Z₃;

Se tendrá

\[
YY₀ = r \quad YY₁ = r₁ \quad YY₂ = r₂ \quad YY₃ = r₃ \\
ZZ₀ = r \quad ZZ₁ = r₁ \quad ZZ₂ = r₂ \quad ZZ₃ = r₃
\]

(9) Los cuatro triángulos X₀Y₀Z₀ X₁Y₁Z₁ X₂Y₂Z₂ X₃Y₃Z₃ son inversamente semejantes á ABC; tienen por centro de homología al ortocentro H del triángulo ABC y á HI HI₁ HI₂ HI₃ por diámetros de sus círculos circunscriptos.

Puesto que \( XX₁ = r₁ = I₁D₁ \), el ángulo I₁X₁X es recto.

Igualmente los ángulos I₁Y₁Y é I₁Z₁Z son rectos.

Por consiguiente, el círculo cuyo diámetro es HI pasa por los puntos X₁ Y₁ Z₁.

Puesto que los puntos X₁ Y₁ H Z₁ son concíclicos,

se tiene \( \angle Y₁X₁Z₁ = 180° - \angle Y₁HZ₁ = A \)

Pero \( \angle X₁Y₁Z₁ = \angle X₁HZ₁ = B \)
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 50

Sea \( o, o_1 \) la mediana común de los triángulos \( ^3A o_1 'A, ^3I o_1 'I; \) y \( o, o_1', o_1 o_1' \) las perpendiculares bajadas desde su vértice común \( o_1 \) á los lados \( ^2A', A^3I'^4 \).

Esto sentado, se tiene

\[
\overline{a_1'I'^2} - \overline{o_1'I'^2} = 2.^3I'^4.o_1'o_1'
\] (2)

pero
\[
3I'^4 = ^3A'A \quad \text{y} \quad o_2 o_1'' = o_1' o_1
\]
de donde
\[
2.^3I'^4.o_2 o_1'' = 2.^3A'A.o_1' o_1
\] (3)

Ahora, \( ^3A'A.o_1' \) representa la doble área del triángulo \( ^3A o_1 'A \), luego

\[
\overline{I_1 I_4'} - \overline{i_1 i_4'} = 4S
\] (4)

2.º Si se prolonga el lado \( A_1 A_2 \) del cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) en una longitud \( A_4 A'_4 \equiv A_4 A_3 \) (*) y el lado opuesto \( A_4 A_4 \), en una longitud \( A_4 A'_4 \equiv A_3 A_4 \), se tendrá otro cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4' \) cuya área será evidentemente el doble de la del primero. Según esto, los pares de puntos \( B_1 b_1 \) y \( B_4 b_4 \), serán los vértices opuestos de los cuadrados \( A_1 B_1 A'_1 b_1 \) y \( A_4 B_4 A'_4 b_4 \) que tienen por diagonales los lados opuestos \( A_1 A_1' \) y \( A_4 A_4' \) del cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4' \) y por centros \( A_1 \) y \( A_2 \).

Así nos volvemos á encontrar en el caso precedente, considerando el cuadrilátero de área \( 8S \); luego

\[
\overline{B_1 B_4'} - \overline{A_1 A_3'} = 8S
\] (5)

Observación. Es bueno observar que esta segunda parte del teorema será solamente cierta, creemos, cuando el cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4' \) sea convexo, como el cuadrilátero dado \( A_1 A_2 A_3 A_4 \).

Nota. Si sobre la prolongación de los lados opuestos \( A_1 A_2 \) y \( A_3 A_4 \) del cuadrilátero dado se toman, en lugar de los segmentos \( A_1 A_1' \) y \( A_3 A_4' \), los segmentos \( A_1 A'_1 \equiv 2^n . A_1 A_2 \) y \( A_3 A'_4 \equiv 2^n . A_3 A_4 \) que serán los lados opuestos de un nuevo cuadrilátero \( A_1 A'_1 A_2 A'_4 \), de área \( 2^n S \), considerando los dos cuadrados \( A_1 B_{n_1} A_{n_2} b_{n_1} \) y \( A_3 B_{n_3} A_{n_4} b_{n_3} \) que tienen por diagonales estos lados opuestos, se tendrá

\[
\overline{B_{n_1} B_{n_3}} - \overline{b_{n_1} b_{n_3}} = 2^n . S
\] (6)

ya que es convexo.

Tomando sobre los lados \( A_1 A_2 \) y \( A_3 A_4 \) los segmentos

\[
A_1 a_{n_3} \equiv \frac{1}{2^n} A_1 A_2 \quad \text{y} \quad A_3 a_{n_4} \equiv \frac{1}{2^n} A_3 A_4
\]

(*) Por falta del signo de equipotencia se emplea en su lugar el signo \( \equiv \) (N. de la E).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 51

que representarán los lados opuestos de un cuadrilátero \( A_1 \alpha_n A_3 \alpha_n \), de área \( \frac{1}{2^n} S \), si se consideran los dos cuadrados \( A_1 \beta_1 \alpha_n \beta_1 \) y \( A_3 \beta_4 \alpha_n \beta_4 \), que tienen por diagonales estos lados opuestos, se tendrá

\[
\overline{\beta_1 \beta_3}^2 - \overline{\beta_1 \beta_4}^2 = \frac{1}{2^n} \cdot S
\]

(7)

Si en vez de construir cuadrados sobre los lados opuestos \( A_1 A_4 \) y \( A_2 A_3 \) del cuadrilátero dado, se construyen rectángulos semejantes, cuya relación de semejanza sea \( \frac{1}{m} \), los triángulos \( o_3 I_3 I \), \( o_4 i_4 i' \), en vez de ser directamente iguales, serán directamente semejantes á éstos; y por consiguiente, los dos cuadrados \( A_1 I_1 A_4 i_4 \) y \( A_3 I_3 A_4 i_4 \) se reducirán á dos rombos, cuya relación de semejanza es también \( \frac{1}{m} \), luego:

Si sobre los lados opuestos \( A_1 A_2 \) y \( A_3 A_4 \) de un cuadrilátero convexo \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) cuya área es \( S \), se construyen los rectángulos iguales \( A_1 A_2 B_1 C_1 \), \( A_1 A_2 b_1 c_1 \) y los rectángulos \( A_3 A_4 B_3 C_3 \), \( A_3 A_4 b_3 c_3 \) semejantes á éstos, cuya relación de semejanza sea \( \frac{1}{m} \) siendo \( I_1, I_4; i_1, i_4 \) los centros de estos rectángulos construidos exterior e interiormente, se tendrá

\( 1.^o \quad \overline{I_1 I_3}^2 - \overline{i_1 i_3}^2 = \frac{4S}{m} \)

(8)

\( 2.^o \quad \overline{B_1 B_3}^2 - \overline{b_1 b_3}^2 = \frac{8S}{m} \)

(9)

De una manera análoga se puede aplicar á este caso lo que hemos dicho anteriormente respecto á la cuestión propuesta.

Los triángulos \( ^3Io_1 \ ^3i \) y \( ^3Ao_1 \ ^4A \) dan

\[
\overline{O_1 \ ^3I}^2 - \overline{o_1 \ ^3i}^2 = 2 \cdot \overline{^3I \ ^3i} \cdot o_3 o_1'
\]

(10)

\[
\overline{o_1 \ ^3A}^2 - \overline{o_1 \ ^4A}^2 = 2 \cdot \overline{^3A \ ^4A} \cdot o_3 o_1'
\]

(11)

de donde

\[
\frac{\overline{I_1 I_3}^2 - \overline{i_1 i_3}^2}{\overline{A_1 A_3}^2 - \overline{A_2 A_4}^2} = \frac{o_3 o_1'}{o_3 o_1'}
\]

(12)

y, designando por \( \theta \) el ángulo \( o_1 o_3 \ ^4A \) formado por la recta \( o_1 o_4 \) que
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 52

une los puntos medios \( o_1, o_3 \) de los lados opuestos \( A_1A_2, A_4A_3 \), y por la recta \( 'A^4A \) equipolente á la recta que representa la suma geométrica \( A_1A_2 + A_4A_3 \) de estos lados opuestos, se tendrá

\[
\overline{I_1 I_3}^2 - \overline{i_1 i_3}^2 = (\overline{A_1 A_3}^2 - \overline{a_1 a_3}^2) \tg \theta
\] (13)

Trazado por el punto \( o_1 \) respectivamente equipolentes los pares de rectas \( o_1i_8', o_1i_3' \) y \( o_1A_4'', o_1A_3'' \) respectivamente equipolentes á los pares de rectas \( I_1i_8, i_3I_3 \) y \( A_1A_4, A_2A_3 \) y bajando desde aquel mismo punto las perpendiculares \( o_1\omega_1 \) y \( o_1\omega_1' \) sobre las rectas \( A_3''A_4'' \) y \( I_3'i_8' \), los triángulos \( A_3''o_1A_4'' \) y \( I_3'o_1i_8' \) darán

\[
\frac{o_1 A_3'^2}{2} - \frac{o_1 A_4'^2}{2} = 2 . A_3''A_4'' \cdot o_3\omega_1
\] (14)

y

\[
\overline{O'I_3'}^2 - \overline{o_1 i_3'}^2 = 2 . I_3'i_3' \cdot o_3\omega_1'
\] (15)

y designando por \( \theta \) el ángulo \( o_3o_8A_4'' \) determinado por la recta \( o_1o_3 \) que une los puntos medios de los lados \( A_1A_2 \) y \( A_3A_4 \) del cuadrilátero dado, y por la recta \( A_3''A_4'' \) equipolente á la que representa la suma geométrica \( A_1A_2 + A_3A_4 \) de estos lados, se tendrá

\[
\overline{i_1 i_3}^2 - \overline{I_1 I_3}^2 = (\overline{A_2 A_3}^2 - \overline{A_1 A_4}^2) \tg \theta
\] (16)

Reemplazando análogamente los cuadrados por otras figuras semejantes, se puede llegar á relaciones análogas y curiosas.

Lo mismo sucede respecto á la cuestión núm. 139, para la que el cuadrilátero dado puede dejar de ser convexo.

CUESTIÓN 222
(Véase tomo IV, página 311).

Existen dos parábolas que pasan por dos vértices B, C de un triángulo y tienen por focos el tercer vértice A. Los parámetros de estas curvas tienen por expresión

\[
\frac{4bc \sen^2 \frac{1}{2} A}{b + c \pm 2 \sqrt{bc} \cos \frac{A}{2}}
\]

(J. NEUBERG).

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (B).

Desde los puntos B y C como centros se describen las circunferen-
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 53

cias que tienen BA, CA por radios. Las tangentes comunes DE, D'E' de las circunferencias son las directrices de las parábolas y las distancias AP, AP' de A á estas tangentes son los semi-parámetros.

Sean F, F'. H los puntos en que el eje radical de las circunferencias encuentra á DE, D'E', BC; K la proyección de C sobre BD.

Los triángulos semejantes APF, AP'F, CKB dan

\[
\frac{AP}{AF} = \frac{AP'}{AF'} = \frac{CK}{CB'}
\]

de donde \[ AP = \frac{CK \cdot AF}{CB}, \quad AP' = \frac{CK \cdot AF'}{CB} \]

Del triángulo CBK se obtiene

\[
CK^2 = a^2 - (b-c)^2 = -2bc \cos A + 2bb = 4 \sen^2 \frac{A}{2}
\]

de donde \[ CK = 2 \sqrt{bc} \sen \frac{A}{2} \]

Se tiene, además
\[
\begin{cases}
AF.BC = AH.BC + HF.BC = 2ABC + BDEC \\
AF'.BC = HF.BC - AH.BC = BDEC - 2ABC
\end{cases}
\]

y \[ BDEC + 2ABC = (b+c) \sqrt{bc} \sen \frac{A}{2} \mp bc \sen A = \]
\[ = \sqrt{bc} \sen \frac{A}{2} \left( b+c \pm 2 \sqrt{bc} \cos \frac{A}{2} \right) \]

Por consiguiente
\[
AP = \frac{2bc \sen^2 \frac{A}{2} \left( b+c+2 \sqrt{bc} \cos \frac{A}{2} \right)}{a^2}
\]
\[
AP' = \frac{2bc \sen^2 \frac{A}{2} \left( b+c-2 \sqrt{bc} \cos \frac{A}{2} \right)}{a^2}
\]

Para dar á estas expresiones la forma pedida, basta observar que
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 54

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = (b+c)^2 - 4bc \cos^2 \frac{A}{2} = \)

\[
\left[ b+c+\sqrt{bc} \cos \frac{A}{2} \right] \left[ b+c-2\sqrt{bc} \cos \frac{A}{2} \right]
\]

CUESTIÓN 189
(Véase tomo IV, página 160).

Complemento al enunciado 108.—Cuando el cociente de \( (2m-1) \) por \( m! (m-1)! \) en un número par, el exponente de la potencia de 2 que entra como factor en el cociente, es \( (q-p-1) \), siendo q la suma de las cifras de \( (2m-1) \) escritas en el sistema binario y p el exponente de la mayor potencia de 2 que entra como factor en m.

(WOLSTENHOLME).

Solución por el Sr. Sollbatinsky (B.)

Sea \( n_1 n_{i-1} ... n_t n_1 n \) el número m escrito en el sistema binario, designando \( n, n_1, ... n_i \) las cifras 0 ó 1.

El producto de los factores pares de la expresión \( m! \) es igual á \( 2^{m_1} . m_1! \) de donde \( m_1 = \frac{m-n}{2} \) (1).

Igualmente los factores pares del producto \( m_1! \) dan \( 2^{m_2} . m_2! \) de donde \( m_2 = \frac{m_1-n_1}{2} \) (2).

y así sucesivamente. En fin, los factores pares del producto \( m_{i-1}! \) darán

\[
2^{m_i} . m_i! \text{ de donde } m_i = \frac{m_{i-1}-n_{i-1}}{2} = n_i = 1 \quad (i)
\]

Así, la potencia de 2 que entra como factor en el producto \( m! \) tiene por exponente la suma

\[
S = m_1 + m_2 + ... + m_i
\]

Sumando las igualdades (1), (2)... (i), se obtiene

\[
S = \frac{m+s-m_i}{2} - \frac{n+n_1+...+n_{i-1}}{2}
\]

de donde, haciendo \( n + n_1 + n_2 + ... + n_i = s \), se obtiene

\[
S = m - s
\]
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 55

y además se tiene \((2m - 1)! = 1. 3. 5... (2m - 1) 2^{m-1} (m - 1)!\)

luego \( \frac{(2m - 1)!}{m! (m - 1)!} = (2N - 1) 2^{m-1-s} = (2N - 1) 2^{\sigma - 1} \)

Falta demostrar que \( \sigma = q - p \).

Según la suposición, el número \( m \) escrito en el sistema binario se halla terminado por \( p \) ceros. Para obtener el número \( 2m \), basta escribir á la derecha todavía un cero; la suma de las cifras (\( \sigma \)) quedará la misma, pero restando de este número la unidad (para obtener \( 2m - 1 \)), se tendrá en lugar de los \( (p + 1) \) ceros, otras tantas unidades; y la unidad que ocupaba el lugar \( (p + 2) \) quedará reemplazada por el cero; luego la suma de las cifras aumentará en \( p \) unidades, y se tendrá \( q = \sigma + p \).

BIBLIOGRAFÍA

Lezioni di Geometria descrittiva di Ferdinando Aschieri, professore nella R. Università di Pavia. 1896. Milano.—U. Hoepli.—Ya en los años 1883 y 84 el Sr. Aschieri publicó una Geometría descriptiva y proyectiva en dos tomos. La nueva edición revela por su primer tomo recientemente publicado que su autor se propone dar más amplio desarrollo á su obra. Contiene dos partes, la primera dividida en cuatro capítulos: I. Métodos de representación y problemas de posición y de magnitud. en el que trata de las proyecciones concurrentes y paralelas en un Plano. Representación con la proyección central. Método de Monge. Problemas fundamentales. Cambio del cuadro, traslación y rotación de la figura en el método de las proyecciones centrales, rebatimiento, cambios de plano, traslación y rotación en el método de Monge.—II. Método de las proyecciones axonométricas.—III. Las diversas perspectivas de una figura.—IV. Representación de los poliedros.

La segunda parte: Representación de las formas geométricas, está dividida en doce capítulos cuyas materias son las siguientes: I. Las formas elementales del plano y de la irradiación (stella).—II. De las formas del plano y de la irradiación en general.—III. Las cuádricas con rectas reales.—IV. Cúbica alabeadá y su desarrollable osculatrix.—V. Cuádricas y sus formas correlativas.—VI. Haces de cuádricas.—Curva alabeadá de cuarto orden y haz alabeadó de cuarta clase.—VII. Generalidades sobre las curvas y las superficies.—VIII. Superfi-
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 56

cies regladas y curvas de eje.—IX. Superficie de rotación.—X. Correspondencia unívoca cuadrática en el espacio.

Manuali Hoepli.—Teoria delle Funzioni Ellitiche per Ernesto Pascal prof. nella Università di Pavia.—Milano 1896. La obra que consta de 227 páginas 8.º se halla dividida en seis capítulos: I. Las funciones 3 de Jacobi.—II. Las funciones elípticas de Legendre.—III. Las cuatro funciones ó de Weierstrass.—IV. La función p(u) de Weierstrass.—V. Integrales de 1.a, 2.a y 3.a especie.

Esta nueva é interesante obra del muy distinguido profesor Sr. Pascal completa perfectamente su tratado de cálculo infinitesimal de que ya se trató en esta Revista y en su obra también reciente (1895) Esercizi e note critiche di calcolo infinitesimale, de gran utilidad para todo el que se dedique á estos estudios.

Principii della teoria del movimento dei corpi (corso de Meccanica razionali di Gian Antonio Maggi.—Ulrico Hoepli, Milano, 1896. —Esta obra muy desarrollada en su parte analítica consta de: Preliminares que tratan de: Eje y ángulo, orientación de un eje, posición un punto, sistema de puntos y cuerpo. Determinación de la posición de un sistema rígido. Cantidad. Vector, momento de un vector respecto á un punto. Resultante de un sistema de vectores. Par. Terna vectorial etc.

La Cinemática se compone de cuatro capítulos: I. Mutación (Spostamento) de un punto, de un sistema, de traslación, de rotación, elicoidal, rígido, etc.—II. Movimiento que comprende movimiento de un punto, de un sistema, de rotación, de traslación, polar, rígido, continuo, regular y relativo.—III. Velocidad.—IV. Aceleración.

La Dinámica se divide en dos partes: 1.a Leyes generales del movimiento que comprende: I. Masa y fuerza motriz.—II. Propiedades generales del movimiento.—III. Gravedad; 2.a parte. Cálculo del movimiento que comprende: I. Cuerpos rígidos libres.—II. Presiones.—III. Cuerpos enlazados.—Cuerpos variables.

Sentimos que la falta de espacio nos impida hacer un detallado examen de esta obra de la que el lector podrá obtener muy buenos resultados.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 6

por ser \( H_1Z \) y \( X_1H \) respectivamente perpendiculares á AB y BC; luego el triángulo \( X_1Y_1Z_1 \) es semejante á ABC.

(10) Los puntos medios de HI III_1 HI_2 HI_3 forman un cuadrángulo órtico semejante y semejantemente situado respecto al cuadrángulo I_1I_2I_3I_4, y el radio del círculo circunscripto á cada uno de sus cuatro triángulos es \( R_i \).

(11) La suma de los círculos circunscriptos á los cuatro triángulos \( X_0Y_0Z_0 \).... es igual á cuatro veces la suma de los círculos circunscriptos á los tres triángulos AYZ, XBZ, XYC.

En efecto
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 7

HI^2 = 4 (R^2 - 2Rr) + bc + ca + ab - (a^2 + b^2 + c^2)
HI_1^2 = 4 (R^2 + 2Rr_1) + bc - ca - ab - (a^2 + b^2 + c^2)
HI_2^2 = 4 (R^2 + 2Rr_2) - bc + ca - ab - (a^2 + b^2 + c^2)
HI_3^2 = 4 (R^2 + 2Rr_3) - bc - ca + ab - (a^2 + b^2 + c^2)

Por consiguiente

\( \Sigma(HI^2) = 4(12R^2 - a^2 - b^2 - c^2) = 4(HA^2 + HB^2 + HC^2) \)

(12) Para demostrar que

\[
HA^2 + HB^2 + HC^2 = 12R^2 - a^2 - b^2 - c^2
\]

se puede proceder así:

De la semejanza de los triángulos CBZ y AHZ se deduce

\[
BC^2 : HA^2 = CZ^2 : AZ^2
\]

de donde

\[
BC^2 + HA^2 : BC^2 = CZ^2 + AZ^2 : CZ^2 = CA^2 : CZ^2
\]

de lo que resulta

\[
BC^2 + HA^2 = \frac{BC^2 \cdot CA^2}{CZ^2} = 4R^2
\]

por un teorema de Brahmegupta. Se vería igualmente que

\[
CA^2 + HB^2 = AB^2 + HC^2 = 4R^2
\]