ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 21

Resultan los paréntesis comprendiendo los mismos cuatro binomios, siendo negativo uno en cada paréntesis, de modo que al elevar al cuadrado, y reducir términos semejantes, se destruyen todos los duplos, quedando solo los cuadrados afectados de un coeficiente 4, que se destruye con el factor común \( \frac{1}{4} \), resultando finalmente

\[
PQ'^2 + QP'^2 = (x' - x''v)^2 + (y' - y''v)^2 + (x'' - x'''v)^2 \\
+ (y'' - y'''v)^2 = \overline{AD}^2 + \overline{BC}^2
\]

Cuestión 238. Dado un \( \triangle ABC \), se construyen los \( \triangle BA'C, CB'A, AC'B, C'A"B', A'B"C', B'C'A' \) todos directamente semejantes á un mismo \( \triangle MNP \). Demostrar:
1.º Que los \( \triangle A"B"C" \) y \( ABC \) no pueden tener sus lados paralelos mas que cuando \( MN = NP \).
2.º Que los tres puntos \( A", B", C" \) no pueden confundirse más que cuando el punto N es el centro del \( \triangle \) equilátero construído sobre MP.
(H. Van Aubel).

Cuestión 187. Sobre los tres lados de \( ABC \) se construyen los \( \triangle BA'C, CB'A, AC'B \) y sobre los tres lados del \( \triangle A'B'C' \) los \( C'A"B', A'B"C', B'C"A' \), todos directamente semejantes á un \( \triangle \) isósceles dado MNP, del que MP es la base. Demostrar que:
1.º Los del \( \triangle A"B"C" \) son paralelos á los del \( ABC \).
2.º Si se designa por \( q \) la relación de la altura á la base del \( \triangle MNP \), la razón de semejanza de los \( \triangle A"B"C" \) y \( ABC \) es igual á \( \frac{1}{4} - 3q^2 \).
3.º Las rectas AA", BB", CC" se dirigen según las medianas de estos dos \( \triangle \).
(H. Van Aubel).

Cuestión 204. Sobre los lados de un \( \triangle ABC \) como bases se construyen los \( \triangle BA'C, CB'A, AC'B \) y sobre los lados del \( \triangle A'B'C' \) como bases los \( \triangle C'A"C', A'B"C', B'C"A' \), siendo estos seis triángulos directamente semejantes á un \( \triangle \) dado MNP, cuya altura NQ es el tercio de la base MP y divide esta base en la relación de 1 á 2. Demostrar que los lados del \( \triangle A"B"C" \) son perpendiculares á los del \( \triangle ABC \) y valen su tercio.
(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. SOLLERTIN-KY (B.)

Vamos á demostrar, ante todo, que cualquiera que sea el \( \triangle MNP \)
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 22

l.s Δ^s ABC, A"B"C" son directamente semejantes.

Si se construyen, sobre los lados de un Δ A'B'C' los Δ C'A'B', C'βA, AγB' directamente semejantes á un Δ MNP, la figura AβA"γ será un paralelogramo. (H. Van Aubel. Mathesis, qu. 55).

Ahora, se tiene

\[
\frac{A3}{AC'} = \frac{PN}{PM}, \quad \frac{AC'}{AB} = \frac{MN}{MP}
\]

de donde

\[
\frac{A3}{AB} = \frac{PN \cdot MN}{PM^2}
\]

igualmente

\[
\frac{Aγ}{AC} = \frac{PN \cdot MN}{PM^2}
\]

además

\[
∠βAγ = ∠C'AB' - (M + P) = ∠BAC
\]

Los Δ^s Aβγ, ABC son, pues, semejantes. Por consiguiente AA" y la diagonal AA₁ del paralelogramo ABA₁C son las rectas homólogas de donde, designando G el centro de gravedad de ABC, se tiene

\[
∠A"AG = ∠βAB = M - P; \quad \frac{A"A}{GA} = \frac{3PN \cdot MN}{PM^2}
\] (1)

Así, el triángulo formado por el punto G y por los vértices correspondientes de los Δ^s ABC. A"B"C" tiene una forma constante.

El punto G es, pues, el centro de semejanza directa de los Δ^s ABC, A"B"C".

La relación de semejanza es igual á \( \frac{GA}{GA"} \) y el ángulo formado por sus lados homólogos es igual á \( ∠AGA" \). Luego, núm. 238. 1.º Para que los Δ^s A"B"C", ABC sean homotéticos es necesario y suficiente que se tenga M - P = 0 ó MN = PM. 2.º Para que los puntos A", B", C" coincidan, es necesario y suficiente que se tenga GA" = 0; pero para esto se debe tener M - P = 0 y \( \frac{AA"}{AG} = 1 \), ó según (1) \( PM^2 = 3MN^2 \), es decir, PM es el lado del triángulo equilátero inscripto en el círculo que tiene MN por radio.

Núm. 187. En el caso en que M - P = 0, se tiene GA" = ±(GA - AA"); luego, según (1) \( \frac{GA"}{GA} = ± (1 - \frac{3MN^2}{PM^2}) \); pero designando O el medio de MP, se tiene
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 23

\[
\overline{MN}^2 = \overline{NO}^2 + \overline{MO}^2, \text{ de donde } \frac{\overline{MN}^2}{\overline{PM}^2} = q^2 + \frac{1}{4}
\]
y por consiguiente
\[
\frac{GA''}{GA} = \pm \left( \frac{1}{4} - 3q^2 \right)
\]

Núm. 204. Sindo NQ' el tercio de NM, la perpendicular en Q' sobre NM encontrará á NQ en el vértice R del \( \triangle \) NRM directamente semejante á MNP. Los \( \triangle \) RMP, \( \triangle \)AB, siendo así directamente semejantes, los \( \triangle \) RMQ, A''AG lo son también. Por consiguiente, la razón de semejanza de A''B''C'' y ABC es igual á \( \frac{RQ}{MQ} \) y el ángulo de los lados homólogos es igual á \( \angle RQM = 90^\circ \). Sea O la proyección de Q' sobre NQ. Se tiene \( Q'O = \frac{MQ}{3} = \frac{NQ}{3} \); pero NR = 2OQ'; luego RQ = \( \frac{1}{3} \) NQ y por consiguiente \( \frac{RQ}{MQ} = \frac{1}{3} \).

CUESTIONES PROPUESTAS

239 Sean A,B,C tres puntos en línea recta. Por A y B se describe una circunferencia O₁, por B y C una circunferencia O₂. Cuando estas circunferencias varían de manera que sus radios conservan una razón dada, su segundo punto de intersección describe una circunferencia, y su línea de los centros envuelve una cónica.

(J. Neuberg.)

240 Si por el centro O del círculo circunscripto á un triángulo ABC se traza una transversal que encuentre á los lados BC, CA, AB en A', B', C' se tiene en magnitud y signo
\[
\frac{OA'}{C'A'} \cdot \frac{C'B}{AB} = \frac{\cos A}{2 \sen B \sen C}, \quad \frac{OB'}{A'B'} \cdot \frac{A'C}{BC} = \frac{\cos B}{2 \sen C \sen A},
\]
\[
\frac{OC'}{B'C'} \cdot \frac{B'A}{CA} = \frac{\cos C}{2 \sen A \sen B}
\]
(H. Van Aubel.)

241 Si una transversal corta á los tres lados de un triángulo
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 24

ABC en A', B', C', y sobre las prolongaciones de AA', BB', CC' se toman los puntos D, E, F tales que

\[
\frac{AD'}{A'A} = \frac{DE'}{B'B} = \frac{CF'}{C'C} = \frac{1}{2}, \; 1, \; \frac{3}{2}, \; 2, \; \frac{5}{2}, \ldots
\]

el área del triángulo D'E'F' será igual á 1, 3, 6, 10, 15,... veces el área del triángulo ABC.

(H. Van Aubel.)

242 Un punto M se mueve sobre el lado BC de nn triángulo ABC; sean P, Q sus proyecciones sobre AC, AB.

Las rectas BP, CQ se cortan en un punto D. Demostrar que D se mueve sobre una cónica \( \Sigma_a \) que toca B y C á las alturas BB', CC' del triángulo ABC. \( \Sigma_a \) pasa por el simétrico de A con relación al medio de BC. Hallar la tangente en este punto y el centro de \( \Sigma_a \).

(J. Neuberg)

Figura correspondiente á la solución del Sr. Retali á la cuestión 221.

OMISIÓN IMPORTANTE

En la página 39 añádase la siguiente nota:

(*) El caso particular en que áng. EAP = áng. E'AP que implica también que áng. APL ses igual á áng. APL' conduce al enunciado: por un punto solo se puede trazar una perpendicular á una recta.
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 3

que en ellas se observa es suficiente para dejar sentado que en 120 páginas ha hecho el Sr. Borel un brillante resumen de la teoría de los números, que si no contiene los detalles necesarios á un principiante, sirven para completar el concepto de esta rama de la Algoritmia á quien posee los conocimientos elementales.

La segunda parte Algebre supérieure redactada por M. Drach no es un curso de esta ciencia, sino una teoría de los diferentes dominios numéricos extendida desde el número entero hasta los números algebraicos considerados en las ecuaciones resolubles, un resumen de los resultados que alcanzaron las investigaciones de Gauss, Abel y Galois.

Desde el punto de vista abstracto dominante en toda la exposición doctrinal, M. Drach considera los números enteros positivos meramente como símbolos y examina en su constitución el sistema ó grupo que forman, sometido á relaciones muy simples, el modo de pasar de dos sistemas á un tercero, partiendo de las propiedades fundamentales de los símbolos de la forma \( a + b \) y \( a . b \).

Para proseguir la generalización de las relaciones, observa que si se agrega á un conjunto de símbolos conocido nuevos símbolos á los que se da nombres, el nuevo conjunto será conocido respecto á los mismos modos de composición, desde que se conozcan los resultados de la composición de los nuevos símbolos entre sí ó con los antiguos según los modos considerados, observación que desde luego aplica al conocimiento de los números negativos, presentando en el concepto puramente lógico la teoría de estos números; examinando los elementos para los que se puede; 1.º establecer una correspondencia unívoca y recíproca. 2.º Definir los modos de composición que siguen las mismas leyes que los modos de composición de los enteros positivos y negativos entre sí. Para ello considera la relación \( 1 + x = 0 \) en la que el símbolo \( 1 + x \) se comporta absolutamente como el símbolo cero respecto á los números enteros positivos y pasa á exponer las propiedades á que deben satisfacer los objetos para formar grupos, á saber: 1.º que de dos objetos del conjunto se pueda deducir de una manera determinada un objeto del mismo conjunto, 2.º que la composición de los objetos considerados sea asociativa, 3.º que un mismo objeto asociado á objetos diferentes conduzca por esta composición á objetos diferentes.

Los enteros positivos (comprendido el cero) forman un grupo ilimitado cuando se considera su composición por adición; si se excluye el cero que juega un papel singular en la multiplicación, los números 1, 2, 3,... forman otro grupo ilimitado cuyos elementos son los números primos.
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 4

Los números racionales son todos los símbolos que poseyendo entre sí y con los enteros positivos y negativos un modo de composición sujeto á las cuatro propiedades de la multiplicación, verifican relaciones de la forma \( a \cdot x = 1 \), en la que \( a \) designa un número entero positivo ó negativo y todos los símbolos que resultan de la composición de estos últimos entre sí y con los enteros por el modo considerado, y queda definido el cálculo aditivo y multiplicativo para el conjunto de los números enteros positivos y negativos y los racionales.

De igual modo procede M. Drach á la introducción de los números algebraicos, que son todos los símbolos que componiéndose entre sí por adición y por multiplicación según las mismas leyes que los enteros, verifican relaciones de la forma \( f(x) = 0 \) en las que \( f(x) \) es un polinomio irreducible, estableciéndose que si existe un símbolo que satisface estas condiciones, existe para este polinomio un número de símbolos que posee estas propiedades igual á su grado \( n \) y que verifican necesariamente las relaciones

\[
S_1 = p_1,\ S_2 = p_2,\ \ldots,\ S_n = p_n
\]

en donde \( S_1, S_2, \ldots S_n \) designan sus funciones simétricas elementales y \( p_1, p_2, \ldots, p_n \) los coeficientes del polinomio \( f(x) \).

Concibiéndose que se repita para cada polinomio irreducible con coeficientes racionales, cuyo primer coeficiente es la unidad, lo que se ha hecho para el polinomio \( f(x) \), se asociarán á todo polinomio irreducible \( g(y) \) de grado \( p \) símbolos distintos \( y_1, y_2, \ldots, y_p \), que verifique la identidad

\[
g(y) = (y - y_1)\ (y - y_2) \ldots (y - y_p)
\]

y que se compongan entre sí y con los números racionales según los modos aditivo y multiplicativo y según las mismas leyes que los últimos, los símbolos \( x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_p \) etc. definidos de esta manera se llaman números algebraicos.

Después de tratar de las funciones algebraicas, se emplean nuevos símbolos que establecen una correspondencia entre los números racionales, y una función algebraica puede representar una clase de números algebraicos, que se obtiene reemplazando \( a, b, c, \ldots l \) por números racionales determinados.

Termina el capítulo que trata de los números algebraicos con el estudio de las funciones simétricas, las propiedades generales de los números algebraicos y la reductibilidad en el dominio algebraico [5].

El capítulo III trata de los sistemas de ecuaciones, ocupándose de las
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 5

ecuaciones lineales, de la discriminante, del caso general de los sistemas, terminando con la consideración de los sistemas irreducibles.

El capítulo IV trata del cálculo de los enteros algebraicos y comprende: I Formación de un dominio algebraico; II Resolvente de Galois, definiendo en este lugar la ecuación normal, ecuación irreducible con coeficientes enteros que posee la propiedad de la resolvente de Galois, es decir, tal que todos los enteros algebraicos que la verifican sean funciones enteras con coeficientes enteros de uno de ellos, designando con la denominación de entero algebraico normal todo entero que verifica á la ecuación normal.

El capítulo V trata de los grupos de sustituciones: I Estructura de las sustituciones. II Funciones racionales de n elementos. III Propiedades generales de los grupos. IV Teoremas de Lagrange.

El capítulo VI trata de los grupos resolubles, en que precisa el autor los diversos métodos que se pueden emplear para llegar á una expresión explícita de x, introduciendo en el cálculo otros números algebraicos bien definidos. Establece que si una ecuación es reducible, su grupo es intransitivo y recíprocamente, que toda reducción del grupo obtenida por la adjunción de las raíces de una ecuación irreducible cualquiera, puede obtenerse también por la adjunción de cierta función racional de las raíces de una ecuación dada.

Sigue la descomposición de un grupo, observando que la resolución de las ecuaciones se reduce á la resolución de los dos problemas. Descomponer un grupo en grupos factores; estudiar los grupos simples.

Entre los grupos particulares se estudia el sub-grupo invariante de un grupo transitivo, el grupo del icosaedro, los grupos de grado primo, y empleando la representación analítica de las sustituciones, llega á establecer las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación irreducible de grado primo sea resoluble, que la ecuación general de grado n no es resoluble cuando n es superior á 4.

El capítulo VII y último está destinado al estudio de los números algebraicos normales, entre los que se distinguen los definidos por una ecuación cuyo grupo es abeliano, es decir cuyas sustituciones son cambiables entre sí, estableciéndose que todo grupo de esta naturaleza es resoluble, es decir, un producto de grupos ciclicos.

Estas indicaciones bastan para manifestar la gran importancia e interés que tiene en la actualidad la excelente obra de los Sres. Borel y Drach.
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 6

LA SISTEMATIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA

Continuación.—(Véase tomo V, página 5).

6 El plano será igualmente un sistema de puntos inseparablemente unidos y tales, que de cualquier manera que se mueva, conteniendo siempre tres puntos comunes fijos en el espacio y las rectas que los unen, el sistema ocupe siempre el mismo lugar en éste.

Hallamos desde luego un primer corolario, á saber, que todas las rectas de unión de cada uno de los puntos bases con todos los puntos situados en la recta determinada por los otros dos, se hallarán en el plano, así como los que unan cada punto de una de las tres rectas con todos los de las otras dos.

III—DETERMINACIÓN DEL TRIÁNGULO.

7 Esto sentado observemos que de la existencia de la bisectriz AM del ángulo CAB' (fig. 1) (correspondiente á la única posición en que el uno de los ángulos que era menor ha pasado á ser mayor que el otro), se deduce la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice, pues si hacemos girar el plano alrededor de AM, la superposición de AB' con AC y de AC' con AB lleva consigo que \( \angle C'AB' = \angle CAB \), y un giro alrededor de AN conducirá á \( \angle B'AC = BAC' \) y multitud de corolarios, á saber, que: *A un lado de una recta la suma angular en un punto de ésta es constante, que las dos bisectrices MM' y NN' son perpendiculares, ó más generalmente que dos rectas perpendiculares dividen el plano en que se hallan en cuatro partes iguales*, etc.

Si ahora hacemos girar en el plano la recta AB hasta ocupar la posición EE', de modo que \( \angle EAB = \angle ABL' \) (fig. 2), se demuestra, haciendo girar la figura EE'ABLL' alrededor del punto medio O, que EE' no puede encontrar á LL', ó que le es paralela; porque *dos rectas que tienen dos puntos comunes coinciden* (siendo esta proposición el caso de la anterior en que el punto A estuviese en la recta LL')(*).

(*) Obsérvese que las dos rectas, al formar iguales ángulos 1 y 2 con una 3.* coinciden cuando el punto A es común ó serán paralelas, si A es exterior á una de ellas, y el caso en que dos rectas no tienen ningún punto común queda asimilado al en que *los tienen todos*.
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 7

8 La proposición recíproca, á saber, que: si E'E' y LL' son dos rectas que no se encuentran, ó paralelas, los ángulos EAB y ABL' son iguales, se admite como evidente (*).

9 Si hacemos girar la recta AC, por ejemplo, de manera que pase por todos los puntos de la recta LL', existirá una correspondencia unívoca entre cada recta de A y cada punto de LL'. Pero se observa que los ángulos van decreciendo de izquierda á derecha, de modo que siendo

... \( \angle EAB < \angle EAC < \angle EAC_1, ... < \angle EAC_n \) .....

resulta ... \( \angle ABL' < \angle ACL' < \angle AC_1L' ... < \angle AC_nL' \) ....,

tendiendo el último ángulo de la serie á ce:o.

Y análogamente

... \( \angle E'AB_n > \angle E'AB > \angle E'AC > \angle E'AC_1 ... > E'AC_n \) ...

ó ... \( \angle AB_nL > ..... > \angle ABL > \angle AC_1L > ..... \angle AC_nL \) ...

tendiendo el último ángulo de la derecha á un ángulo llano ó á dos rectos.

De modo que la recta móvil tiende á confundirse en sus dos posiciones extremas con las semirectas AE' y AE.

10 En virtud de la simetría respecto á la perpendicular AP, á cada oblicua situada á un lado corresponde una oblicua igual en el otro lado y á cada ángulo otro igual, pero en distinto sentido respecto á la perpendicular, es decir, simétrico. De manera que oblicuas iguales equidistan de la perpendicular y recíprocamente.

(*) Este es uno de los modos de anunciarse el postulado de Euclides ó una proposición equivalente al mismo postulado que establece la correspondencia unívoca, sin excepción, de cada punto de LL' con cada recta de A, correspondiendo la paralela al punto impropio (punto en el infinito de LL').
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 8

11 De esta correspondencia entre la recta móvil, el ángulo que forma con LL' y el punto en que la corta, se deducen todas las proposiciones acerca de la igualdad y desigualdad de triángulos. Así (fig. 2), supongamos

\[
\angle APC > \angle ACP.
\]

Se tendrá:

\[
\angle C'AP > \angle APC < \angle ACP \quad (9)
\]

Y si desde P se trazan las rectas PC',... correspondientes á los puntos de CA, resultará que los ángulos en C', C",... irán aumentando desde \( \angle PCA \) hasta \( \angle PAC' \), y habrá un punto Q para el cual \( \angle AQP = \angle APQ \). Y en virtud de la relación unívoca (á ambos lados de la perpendicular AP), por ser AQ=AP, resulta AC>AP.

Recíprocamente: Si AC>AP, se hará AQ=AP, y resultará que \( \angle APC > \angle ACP \), de manera que: en un triángulo á mayor ángulo se opone mayor lado, y recíprocamente. Los oblicuas crecen conforme se alejan de la perpendicular, etc.

12 Si consideramos todo el sistema de rectas ó haz formado de izquierda á derecha, y por consiguiente todos los ángulos tomados en mismo sentido, habrá correspondencia unívoca entre cada recta (rayo del haz) cada punto de la recta LL' (transversal) y cada ángulo formado por cada rayo y la transversal con la misma orientación.

Así, supuestos fijo el punto A ó centro y la recta LL' ó transversal cada una de estas tres cosas; punto de LL', rayo de A ó ángulo de un rayo con LL' determinará las otras dos. Los enunciados correspondientes á estos casos de determinación constituirán varios casos generales de la determinación del triángulo, á saber, los casos en que los elementos dados (ó explícitos) son AB, \( \angle B \) y: 1.º BC, 2.º \( \angle A \), 3.º AC (*) y los implícitos son los elementos complementarios.

Z. G. de Galdeano.

(Se continuará).

Una aplicación de la teoría de los determinantes á la resolución de ciertas especies de ecuaciones
POR MR. T. C. SIMMONS

(Continuación)

6 En (III) hagamos

\[
a = b' = c' = 0,\ n = -1,\ m = 1 - r,
\]

(*) Este caso ofrece ambigüedad.
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 9

tenemos que

\[
x^r (cy + bz) = k'y^{2-r} z^{2+r}
\]
\[
y^r (a'z + c'x) = k'z^{2-r} x^{2+r}
\]
\[
z^r (b''x + a''y) = k''x^{2-r} y^{2+r}
\]

ó la forma equivalente

\[
cy + bz = kx^m y^{2+m} z^{2+m}
\]
\[
a'z + c'x = k'y^m z^{2+m} x^{2+m}
\]
\[
b''x + a''y = k''z^m x^{2+m} y^{2+m}
\]

de las cuales son ejemplos particulares

\[
x^2 (cy + bz) k
\]
\[
y^3 (a'z + c'x) k'
\]
\[
z^2 (b''x + a''y) k''
\]

y

\[
cy + bz = k'y^2 x^2
\]
\[
a'z + c'x = k'z^2 x^2
\]
\[
b''x + a''y = k''x^2 y^2
\]

Análogamente

\[
yz (ay^2 + bz^2) = px
\]
\[
zx (cz^2 + dx^2) = qy
\]
\[
xy (ex^2 + fy^2) = rz
\]

se resuelve dividiendo respectivamente por \(yz\), \(zx\), \(xy\) y hallando \(xyz\) por la eliminación de \(x^4\), \(y^4\), \(z^4\).

También

\[
x^3 (ay^2 + bz^2) = pyz
\]
\[
y^3 (cz^2 + dx^2) = qxz
\]
\[
z^3 (ex^2 + fy^2) = rxy
\]

multiplicando respectivamente por \(yz\), \(zx\), \(xy\): entonces hallando \(xyz\)
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

NOTA SOBRE EL TRIANGULO
POR D. JUAN J. DURÁN LORIGA, CAPITÁN DE ARTILLERIA

Las expresiones \( a^2 + b^2 + c^2 \), \( a^2 + b^2 - c^2 \), ..., que se presentan en muchas fórmulas relativas al triángulo, son susceptibles de una interpretación geométrica muy sencilla.

Consideremos el triángulo ABC y la circunferencia descrita sobre el lado BC = a, como diámetro. La potencia del punto A respecto á esta circunferencia tiene por expresión AB'. AB ó lo que es lo mismo \( m_a^2 - \frac{a^2}{4} \), y poniendo en lugar de \( m_a \) su valor en función de los lados resulta, llamando \( p_a \) á la potencia,

\[
p_a = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}
\]

del mismo modo se obtiene

\[
p_b = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} \qquad p_c = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}
\]

sumando miembro á miembro las tres igualdades, y llamando P á la suma, resulta:

\[
P = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}
\]

Llamaremos á esta cantidad P potencia del triángulo así como á \( p_a, p_b \) y \( p_c \) potencias parciales relativas á cada uno de sus vértices, ó brevemente, potencia parcial de A, de B ó de C.