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El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 52

Algunas conclusiones sobre la serie de "cónicas ortogonales" ó "normogenas" relativas á la elipse buscada (O).

Cuando una normal á la cónica (O) se mueve con un movimiento continuo, sus puntos describen una serie de cónicas synaxiales con esta y del mismo género, entre las que hay algunas desde las que se pueden trazar siempre normales á esta mismo cónica.

Según esto, estas cónicas así engendradas podrán llamarse cónicas ortógenas ó normogenas, cuyos semi-ejes están expresados en función de los semi-eje de la elipse ((1)) y de su parámetro \( \lambda \) (1).

La ecuación general de estas cónica es

\[
\frac{v^2}{\left( \frac{1}{\lambda} - 1 \right) \frac{c^2}{b}} + \frac{x^2}{\left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{c^2}{a} \right]^2} = 1 \tag{56}
\]

representando por \( v \) y \( v' \) los centros de curvatura relativos á los vértices A y A' de la elipse (O), y por \( u \) y \( u' \) los correspondientes á los vértices B y B', las cónicas normogenas, para \( K = 1 \) y \( \lambda = \infty \) se reducen á los segmentos rectilíneos

\[
vv' = 2 \frac{c^2}{a} \tag{57} \quad \text{y} \quad uu' = 2 \frac{c^2}{b} \tag{58}
\]

de los puntos desde los cuales, como se sabe, se pueden trazar fácilmente normales á la elipse dada.

Por otra parte, estos puntos serán los centros de los círculos focales reales de esta elipse, que tienen también el doble contacto real con ella.

Si se hace

\[
\left( \frac{1}{\lambda} - 1 \right) \frac{1}{a} = \pm \frac{1}{\lambda a} \tag{59}
\]

resulta

\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{a}{a + b} \tag{60}
\]

y tomando el signo superior ó inferior según que se tenga \( \lambda > 0 < 1 \).

Según esto, la ecuación (56) se reduce á

(1) Para la hiperbola y parábola se obtienen análogamente cónicas normogenas del género de estas dos cónicas.

Es una Nota sobre las normales y los radios de curvatura de las cónicas que publicaremos pronto, entraremos en este estudio de una manera general y con el desarrollo que nos permitirán nuestros débiles esfuerzos.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 53

\( x^2 + y^2 = (a \pm b)^2 \)  (61)

que representa los círculos (Oc) y (ON₁) de radios \( a + b \) y \( a - b \), y desde los que se pueden trazar muy fácilmente normales á la elipse (O).

Veamos ahora si en esta serie de cónicas hay elipses homotéticas á la elipse dada (O).

Para esto se debe tener

\[
\left( \frac{1}{\lambda} - 1 \right) \frac{1}{b^2} = - \frac{1}{\lambda a^2}
\]  (62)

ó
\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}
\]  (63)

Llevando estos valores á la ecuación (56), se obtienen las ecuaciones siguientes de las cónicas buscadas:

\[
\frac{y^2}{b^2 c^1} + \frac{x^2}{a^2 c^1} = 1
\]  (64)

ó
\[
(a^2 + b^2)^2 (a^2 y^2 + b^2 x^2) = a^2 b^2 c^1
\]  (65)

para \( \lambda > 1 \) y
\[
\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1
\]  (66)

para \( \lambda < 1 \).

Como se ve, la ecuación (65) es la de la elipse (v) de M. Fregier, homotética á la elipse (O).

Los puntos \( R_0, r, r' \) se hallan sobre esta cónica normogona, y, por consiguiente, se tendrá

\[
\frac{O_r}{OR_0} = \frac{OM_3}{OM_3}
\]  (67)

Luego, las cuerdas normales á la elipse (O) ó isoclínicas con relación á los ejes de esta curva, tocan á la elipse de M. Fregier; y sus puntos de contacto son los centros de curvatura relativos á los puntos de normalidad de estas cuerdas.

La ecuación (66) es la de la misma elipse (O).

Haciendo

\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{a^1}{a^1 - b^1} = \frac{a^1}{(a^2 + b^2)c^2}
\]  (68)
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 54

en la ecuación (56), resulta

\[
\frac{y^2}{b^4} + \frac{x^2}{a^4} = \frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)^2}
\] (69)

ó
\[(a^2+b^2)^2(a^4y^2+b^4x^2)=a^8b^4\] (70)

ecuación de la elipse común (\(k\)), lugar de los puntos de intersección \(k\) de una normal móvil \(mn\) á la elipse (O) con la diagonal \(pq\), del rectángulo \(mpOq\), formado por los ejes \(AA'\) y \(BB'\) de esta curva y por las coordenadas \(mq_0\) y \(mp\) del punto de normalidad \(m\).

La elipse que tiene por ecuación (*):

\[
b^4y^2+a^4x^2=a^2b^2(a-b)^2
\] (71)

ó
\[\frac{y^2}{a^4} + \frac{x^2}{b^4} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)^2}\] (72)

pertenece igualmente á la serie normogena.

En efecto, haciendo

\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{b}{a+b}
\] (73)

la ecuación (56) se transforma en la ecuación precedente.

Para

\[
\frac{1}{\lambda} = -\frac{b}{a+b}
\] (74)

se obtiene la ecuación

\[
\frac{y^2}{a^4} + \frac{x^2}{b^4} = \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2} = 1
\] (75)

ó
\[
b^4y^2+a^4x^2=a^2b^2(a+b)^2
\] (76)

de otra elipse normogena.

Ahora vamos á ver que existen en esta serie de cónicas normogena elipses semejantes á la elipse (O), con los ejes invertidos ó anti-sym-homólogos

(*) Véase Exercices de Géométrie analytique et supérieure, t. I p.71 n.º 16 par M. J. Koehler.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 55

Para esto, basta que se tenga

\[
\frac{1}{\lambda} - 1 = - \frac{1}{\lambda} \quad (77)
\]
de donde \( \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2} \) (78)

Resulta de esto que no existe más que una sola elipse (\( \omega \)) en las condiciones establecidas, cuya ecuación es

\[
\frac{y^4}{\left( \frac{c^2}{2b} \right)^3} + \frac{x^4}{\left( \frac{c^2}{2a} \right)^3} = 1 \tag{79}
\]

\[
b^3 y^4 + a^4 x^4 = \frac{c^4}{4} \tag{80}
\]

Esta elipse (\( \omega \)) estará pues enjendrada por el punto medio v del segmento un' determinado por los ejes de la elipse (O) en una normal móvil mun' de esta curva.

Por otra parte, la elipse (\( \omega \)) será también el lugar de los centros de los triángulos de área máximo inscritos en la elipse (O) (*)

Como se ve, es muy fácil trazar normales de este lugar (\( \omega \)) á la elipse dada (O).

La elipse que representa el lugar (V) de los vértices de los triángulos circunscriptos á una elipse (O) tales que la normal á cada punto de contacto pase por el vértice opuesto, es una elipse normogena.

En efecto, su ecuación es

\[
\frac{b^2 y^2}{(\lambda_1^2 - b^2)^2} + \frac{a^2 x^2}{(\lambda_1^2 - a^2)^2} = 1 \tag{81}
\]

\[
\frac{y^2}{\left( \frac{\lambda_1^2 - b^2}{b} \right)^2} + \frac{x^2}{\left( \frac{(\lambda_1^2 - a^2)}{a^2} \right)^2} = 1 \tag{83}
\]

donde se ha hecho \( \lambda_1^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{a^4 - a^2 b^2 + b^4} \) (**), la que comparada con la ecuación 56 (da)

\[
\frac{1}{\lambda} = \frac{\lambda_1^2 - a^2}{a^2} \tag{88}
\]

(*) Véase la obra citada de M. J Koehler T. I pag. 27 núm. 10
(**) Véase la obra citada de M. Koehler t. I, pag. 64, núm. 18. Hemos puesto \( \lambda_1 \) en estas ecuaciones en lugar de \( \lambda \), atendido á que hemos empleado también esta letra como parámetro de la ecuación (86).
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 56

Tal es el valor de \( \frac{1}{\lambda} \) que transforma la ecuación (56) en la precedente.

Cuando sobre la normal á una elipse (O) en M se toma hacia el lado del centro de curvatura una longitud ML igual á K veces el semi-diametro conjugado de éste que pasa por M, el lugar del punto L es una elipse cuya ecuación es (*)

\[
\frac{y^2}{(b-ka)^2} + \frac{x^2}{(a-kb)^2} = 1
\] (84)

Esta elipse es también de la serie normogena.
En efecto, si se hace en la ecuación (56)

\[
\frac{1}{\lambda} = a \frac{a-l:b}{c^2}
\] (85)

se transforma en la ecuación precedente.

En fin, si sobre una normal móvil mnn' á la elipse (O) que encuentra á los ejes AA' y BB' en los puntos n y n' se toma sobre su prolongación el segmento n'm', equipotente al segmento mn, á partir de su encuentro n' con el eje menor BB', el lugar (\(\mu\)) del punto m', será una elipse normógena; y desde los puntos de ésta es fácil trazar normales á la elipse (O).

La ecuación de la elipse (\(\mu\)) será

\[
\left( \frac{y_2}{a^3} \right)^2 + \left( \frac{x^2}{b^2} \right)^2 = 1
\] (86)

ó

\[
b^4 y^2 + a^4 x^2 = a^4 b^4
\] (86)

que tendrá por semi-eje mayor el radio de curvatura de los vértices B y B', y por semi-eje menor el radio de curvatura en los vértices A y A'.

CUESTIÓN 236.
(Véase tomo IV, página 311).

Si por el ortocentro H de un triángulo ABC se traza una transversal cualquiera que encuentra á los lados BC, CA, AB en A', B', C' se tiene en magnitud y signo:

(*) Véase la obra citada, t I, p. 60, núm. 10.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 57

© Biblioteca Nacional de España
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 58

\[
\frac{HA'}{C'A'} \cdot \frac{C'B}{AB} = \cot B \cdot \cot C, \quad \frac{HB'}{A'B'} \cdot \frac{A'C}{BC} = \cot C \cdot \cot A
\]
\[
\frac{HC'}{B'C'} \cdot \frac{B'A}{OA} = \cot A \cot B.
\]
(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

Siendo \(a, b, c\) los pies de las tres alturas, del triángulo \(AHC'\) y la transversal \(CB\) resulta
\[
\frac{HA' \cdot C'B \cdot Aa}{C'A' \cdot AB \cdot Ha} = 1
\]
pero considerando los triángulos rectángulos \(AaB\) y \(BaH\), se tiene
\[
Aa = Ba \cdot \tg B \quad \text{y} \quad Ha = Ba \cdot \cot C
\]
de donde
\[
\frac{HA' \cdot C'B}{C'A' \cdot AB} = \cot B \cdot \cot C.
\]

Igualmente del triángulo \(BHA'\) y la transversal \(CA\) resulta que
\[
\frac{HB' \cdot A'C \cdot Bb}{A'B' \cdot BC \cdot Hb} = 1
\]
pero
\[
Bb = Cb \cdot \tg C \quad \text{y} \quad Hb = Cb \cdot \cot A;
\]
luego
\[
\frac{HB' \cdot A'C}{A'B' \cdot BC} = \cot A \cot C.
\]

En fin, considerando el triángulo \(CHB'\) y la transversal \(AB\), se tiene
\[
\frac{HC' \cdot B'A \cdot Cc}{B'C' \cdot CA \cdot He} = 1
\]
y puesto que
\[
Cc = Be \tg B \quad \text{y} \quad He = Be \cdot \cot B
\]
resulta
\[
\frac{HC' \cdot B'A}{B'C' \cdot CA} = \cot A \cot B
\]
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 59

Solución por el Sr. SollerTinFry (B.)

Sea H₁ la intersección de AH y BC. El triángulo AC'H cortado por la transversal BC, da (teorema de Menelao)

\[
\frac{HA'}{C'A'} \cdot \frac{C'B}{AB} \cdot \frac{AA_1}{HA_1} = +1
\]

de donde

\[
\frac{HA'}{C'A'} \cdot \frac{C'B}{AB} = \frac{HA_1}{AA_1}
\]

Se tiene siempre, salvo el signo, AA₁=BA₁ . tg B, HA₁=BA₁ . cot C; pero la razón \( \frac{HA_1}{AA_1} = \cot B \cdot \cot C \) en valor y signo; porque, si uno de los ángulos B, C es obtuso, los puntos H y A están á lado diferente de A, y por consiguiente, la razón \( \frac{HA_1}{AA_1} \) es negativa.

CUESTIÓN 249
(Véase tomo V, pag. 104.)

Sea P un punto cualquiera tomado en el interior del triángulo ABC. En el exterior de este triángulo se construyen los paralelogramos BCDE, CAKI, ABML en los cuales los lados CD y BE, AK y CI, BM y AI son respectivamente iguales y paralelos á las rectas AP, BP, CP. Las rectas ED, IK, LM suficientemente prolongadas forman un triángulo A'B'C'. También las rectas LK, ME, DI forman el triángulo A"B"C".

1.º El exágono KLMCBI vale seis veces el \( \triangle \) ABC.
2.º P es el centro de gravedad de los \( \triangle \) EIL, DKM, A'B'C', A"B"C".
3.º Los lados de los\( \triangle \) A'B'C', A"B"C" son paralelos á los de ABC e iguales á los triplos de estos lados.
4.º Las rectas AA", BB", CC" pasan por los centros X, Y, Z de los paralelogramos BCD, CAKI, ABML y se cortan un punto J".
5.º Las rectas AA', BB', CC' se cortan en un punto J'.
6.º Los punto J" y J' dividen la recta GP aditiva y sustractivamente en la razón 1: 3(G es el centro de gravedad ABC).

Solución por el Sr. KLOMPELS (T.)

Unamos el punto P á los vértices del exágono, y designemos por a, b, c los lados del triángulo ABC. Cada uno de ellos pertenece á tres paralelogramos, á saber:

BCPM, BCIP, BCDE; CALP, CAPD, CAKI; ABPK, ABEP, ABML.

De donde se deducen las igualdades

PM=IP=ED=BC=a; LP=PD=KI=CA=b; PK=EP=ML=AB=c.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 6

S = xy - ab \log \operatorname{nat} \left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \right)

donde se tiene \( x = r \tg x \), \( y = r \sen \varphi \). De esto resulta

\[
S = r^2 \tg x \cdot \sen \varphi - \cos^2 \varphi \log \operatorname{nat} (\tg \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2} \varphi) = \frac{1}{n} r^2 \tg x .
\]

El ángulo \( \varphi \) resulta, pues, de la ecuación transcendente

\[
\sen \varphi - \cos^2 \varphi \log \operatorname{nat} \tg \left( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2} \varphi \right) - \frac{1}{n} = 0 .
\]

Haciendo \( n = 2 \), se obtiene aproximadamente \( \varphi = 58^\circ 8' 22'' \).

CUESTIÓN VII. Separar de un cono recto de base circular un cuarto del volumen por un plano paralelo al eje.

Reteniendo las denominaciones de la cuestión precedente, se obtiene para el volumen del cuerpo separado

\[
V = \frac{1}{3} r^3 \tg x \varphi \cdot \varphi - \sen^2 \varphi + \cos^3 \varphi \log \operatorname{nat} \tg \left( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2} \varphi \right) .
\]

Porque este cuerpo es la diferencia de dos conos que tienen por vértice común el punto S y por bases el segmento circular CDB y el segmento hiperbólico COD. Ahora, los volúmenes \( v_1 \) y \( v_4 \) de estos dos conos serán

\[
V_1 = \frac{1}{3} r^3 \tg x (\varphi - \frac{1}{2} \sen 2\varphi)
\]
\[
V_4 = \frac{1}{3} r^3 \tg x \cos \varphi \cdot \sen \varphi - \cos^2 \varphi \log \operatorname{nat} \tg \left( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2} \varphi \right)
\]

expresión cuya diferencia da el valor de V.

Luego obtendremos en fin de \( V = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \pi r^3 \tg x \):

\[
\varphi - \sen 2\varphi + \cos^2 \varphi \log \operatorname{nat} \left( \frac{1}{4} \pi + \frac{1}{2} \varphi \right) - \frac{1}{4} \pi = 0
\]

El cálculo aproximado da \( \varphi = 73^\circ 34' 25'', 72 \).
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 60

Las diagonales del exágono son respectivamente paralelas á los lados del triángulo ABC, se cortan en el punto P y tienen por valores 2a, 2b, 2c. Teniendo los seis triángulos por vértice común el punto P y por bases los lados del exágono, son iguales al triángulo ABC. El exágono KIMEDI es, pues, seis veces mayor que el triángulo ABC

2.º Los triángulos EPI, IPC, LPE valen respectivamente la mitad de los paralelogramos equivalentes PEDI, PIKL, PLME.

Igualmente los triángulos DPK, KPM, MPD tienen la misma área, puesto que son la mitad de los paralelogramos equivalentes DPKI, KPML, MPDE.

El punto P es, pues, el centro de gravedad de los triángulos EIL, DKM. Como se halla en la intersección de las rectas MI, EK, DE respectivamente paralelas á los lados de los triángulos A'B'C', A"B"C" y los dividen en tres partes iguales, lo mismo sucede al centro de gravedad de A'B'C' y A"B"C".

El tercero resulta de lo que precede.

4.º La figura ACA"E es un paralelogramo; la diagonal AA" pasa por el medio X de CE, centro del paralelogramo BCDE.

5.º y 6.º Los triángulos ABC A"B"C" son directamente homotéticos, la razón de homotecia es 1 : 3.

Las rectas AA', BB', CC' que unen dos vértices homólogos concurren en el centro de homotecia J'.

Siendo los centros de gravedad G, P dos puntos homólogos de estos triángulos, están en línea recta con J' y éste divide á la recta GP interiormente en la razón \( \frac{J'G}{J'P} = \frac{1}{3} \).

Los triángulos ABC, A"B"C" son homotéticos inversamente. La razón de homotecia es 1 : 3. Se ve, pues, que las rectas AA", BB", CC", se cortan en un punto J" situado sobre GP y tal, que divide á esta recta interiormente en la razón 1 : 3.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 61

Solución por D. ELIAS FERNANDEZ

Por construcción AC, PC y BM son iguales y paralelas, de modo que las figuras ACPL y BCPM son paralelogramos. También las figuras CBPI y ABPK, CAPD y BAPE son paralelogramos. De aquí resulta que los puntos L y D, E y K, I y M están respectivamente en las paralelas á los lados AC, AB y BC trazadas por el punto P y además PL=PD=AC, PE=PK=AB, PI=PM=BC.

Por consiguiente, los triángulos LPM, EPD é IPK son iguales al ABC porque tienen sus tres á los respectivamente iguales y los triángulos LPK'MPE y DPI son iguales al ABC porque tienen dos lados respectivamente iguales é igual el ángulo por ellos comprendido, luego el exágono KLMEDI es igual á seis veces el triángulo ABC.

Las figuras PEDI, PIKL y PLME son paralelogramos, porque las rectas PI y ED, PL é IK, PE y ML son iguales y paralelas; luego LD, EK é IM son las medianas del triángulo EIL y P el centro de gravedad del mismo. Además las rectas PE é ID, PI y LK, PL y ME son iguales y paralelas.

Los lados del triángulo DKM son las diagonales DK, KM y MD de los paralelogramos PDIK, PKLM y PMED; luego MI, DL y KE son las medianas de dicho triángulo.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 62

Siendo P el punto medio de las rectas LD, EK é IM las rectas A'P, B'P y C'P serán las medianas de A'B'C' y pasarán respectivamente por A", B" y C" porque A'MA'I, B'BB"L, C'KC'E son paralelogramos; luego P es el centro de gravedad de A'B'C' y A"B"C".

Los lados del triángulo A'B'C' son por construcción paralelos á los del ABC y los del triángulo A"B"C", porque son los lados DI, KL y ME de los paralelogramos PDIK, PKLM y PMED prolongados hasta que se corten. Considerando los tres paralelogramos B'MPE, EPID, DPIC tenemos B'C'=3BC. Del mismo modo C'A'=3CA y A'B'=3AB. Ahora por medio de los tres paralelogramos A"EPD, DPKI é IPKB" tenemos A"B"=3AB y por el mismo procedimiento B"C'=3BC y C"A'=3CA.

Hemos demostrado que las rectas AB y A"D, BC y B"K, CA y C"M son iguales y paralelas, luego las rectas AA", BB", CC" pasan por los puntos medios X, Y, Z de BD, CK y BL. Los triángulos AJ'B y A"J"B" son semejantes por consiguiente \( \frac{AJ'}{J'A'} = \frac{BJ'}{J'B'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{1}{3} \).

Ahora la recta CC" ha de cortar á las AA" y BB" en puntos tales que la razón de sus distancias á los A y A", B y B" sea \( \frac{1}{3} \); luego CC" pasa por J'.

Los triángulos AJ'B y A'J'B' son semejantes, por consiguiente tendremos \( \frac{AJ'}{A'J'} = \frac{BJ'}{B'J'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{1}{3} \). La recta CC' pasa por J'; se demuestra como en el caso anterior.

Sea G el centro de gravedad de ABC. La recta BG pasa por el punto medio Q de AC. Hemos dicho que B'B" pasa por el punto medio R de A'C' y por consiguiente de KI, luego AQRK es un paralelogramo, de modo que QR es igual y paralela á AK, y por consiguiente á BP; luego PBQR es otro paralelogramo y BQ y B'B" son paralelas. Además, siendo R el punto medio de PB", PB"=2BQ y como \( BG = \frac{2}{3} BQ \), tenemos \( \frac{BG}{PB''} = \frac{1}{3} \), por consiguiente, \( \frac{BG}{PB''} = \frac{BJ''}{J''B''} \) luego los triángulos GBJ'' y J''B"P son semejantes y \( \frac{J''G}{J''P} = \frac{1}{3} \), y los puntos P, J'' y G están en línea recta por ser iguales los ángulos GJ''B y PJ''B''.

Los triángulos J'BG y J'BP' son iguales, por consiguiente los puntos J', G y P están en línea recta y \( \frac{J'G}{J'P} = \frac{J'B}{J'B'} = \frac{1}{3} \).
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 63

CUESTIÓN 260
(Véase tomo V, pag. 104)

Sean A, B', C' los puntos en que las rectas trazadas desde los vértices de un triángulo ABC al punto de Lemoine encuentran á los lados opuestos. Demostrar que las rectas que unen los medios de los lados á los medios de AA', BB', CC' concurren en el medio de la recta de Brocard.
(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. KLOMPEN (T.)

Se sabe que las rectas que unen los medios de los lados de un triángulo á los medios de las rectas que parten de los vértices á los lados opuestos y se cortan en un mismo punto K, pasan por un mismo punto S que es el complementario del recíproco ó conjugado isotómico de K.

El teorema del Sr. Van Aubel es un caso particular de esta proposición. Si K es el punto de Lemoine del triángulo ABC, su conjugado isotómico es el punto D, centro de homología del triángulo ABC y del primer triángulo de Brocard. El complementario baricéntrico de este punto D no es otro que el punto S, medio de la distancia \( \Omega \Omega' \) de los puntos de Brocard.

Solución por el Sr. LEMOINE (E).

Sean A, el medio de BC y \( x \) el medio de AA'.

Las coordenadas normales de \( A_1 \) son: 0, c, b, las de \( x \) son: \( b^3 + c^3 \), \( ab \), \( ac \).

Se deduce de esto que \( A_1 x \) tiene por ecuación

\[
ax(b^2 - c^2) - by(b^2 + c^2) + cz(b^2 + c^2) = 0
\]

ecuación que queda satisfecha por las coordenadas

\[
a(b^2 + c^2),\ b(c^2 + a^2),\ c(a^2 + b^2)
\]

del medio de la recta de Brocard.

CUESTIÓN 146
(Véase tomo III, páginas 291).

Demostrar que

\[
(a+b)=a^2\left[(a+b)^{n-2}+2b(a+b)^{n-2}+\ldots+(n-1)b^{n-2}\right]+nab^{n-1}+\delta^2
\]

(Juan J. Durán Loriga).
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 64

Según la identidad conocida

\[
\frac{x^m - y^m}{x-y} = x^{m-1} + yx^{m-2} + ... + y^{m-2}x + y^{m-1}
\] (1)

se tendrá

\[
\frac{(a+b)^n - b^n}{a} = (a+b)^{n-1} + b(a+b)^{n-2} + ... + b^{n-2}(a+b) + b^{n-1}
\]

de donde

\[
\frac{(a+b)^n - b^n}{a} - nb^{n-1} = [(a+b)^{n-1} - b^{n-1}] + b[(a+b)^{n-2} - b^{n-2}] + ...
\]
\[
+ b^{n-3}[(a+b) - b]
\]

Dividiendo los dos miembros por \( a = (a+b) - b \), resulta (1)

\[
\frac{(a+b)^n - b^n - nab^{n-1}}{a^2} = (a+b)^{n-2} + b(a+b)^{n-3} + ... + b^{n-3}(a+b) + b^{n-2}
\]
\[
+ b(a+b)^{n-3} + ... + b^{n-3}(a+b) + b^{n-2}
\]
\[
+ ... + b^{n-3}(a+b) + b^{n-2}
\]
\[
+ b^{n-3}
\]

\[
\frac{(a+b)^n - b^n - nab^{n-1}}{a^2} = (a+b)^{n-2} + ... + (n-1)b^{n-2}
\]

CUESTIÓN 221.

(Véase tomo IV, página 811).

Se consideran tres parábolas que tocan á dos lados de un triángulo dado ABC y que tienen por eje el tercer lado. Los focos de estas curvas están en la recta de Lemoine de ABC. Calcular los parámetros.

(J. Neuberg.)

Solución por el Sr. Sollentinski (B.)

Sea O_a el foco de la parábola inscripta al ángulo BAC. Puesto que la recta AO_a forma con cada una de las tangentes AB, AC el ángulo igual al formado por el eje BC y la otra tangente, la recta AO_a es tan-
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 65

gente en A al círculo ABC, y el punto Oa es la intersección de esta tangente con BC. Este punto está, pues, en la recta de Lemoine.

Sea P la proyección de Oa sobre AB; Sa la proyección de P sobre BC. El punto Sa es el vértice de la parábola. El triángulo rectángulo Oa BP da

\[
\frac{O_a S_a}{O_a B} = \frac{O_a P^t}{O_a B^t} = \operatorname{sen}^1 B
\]

Luego designando por \( p_a \) el semiparámetro de la parábola y suponiendo \( b > c \), se tendrá, siendo s el área de ABC,

\[
p_a = 2O_a B \operatorname{sen}^1 B = \frac{2ac^2}{b^2 - c^2} \operatorname{sen}^1 B = \frac{2a^2c^2 \operatorname{sen}^2 A}{a(b^2 - c^2)} = \frac{8s^2}{a(b^2 - c^2)}
\]

Observación. Suponiendo \( a > b > c \), se tiene

\[
\frac{1}{bp_b} = \frac{1}{ap_a} + \frac{1}{cp_c}
\]

QUESTIONES PROPUESTAS

251. Sean A', B', C' los medios de los lados del \( \triangle ABC \). Se describe una hipérbola H_a cuyas asíntotas son A'B', A'C' y que pasa por B y C.

Sean H_b, H_c las hipérbolas análogas con relación á B ó C.
Hallar los puntos de intersección de estas curvas dos á dos.
Las potencias de estas hipérbolas son respectivamente iguales á

\[
\frac{1}{4} bc, \frac{1}{4} ca, \frac{1}{4} ab.
\]

Calcular las longitudes de los ejes.

(J. Neuberg).

252. Se consideran las parábolas P_a, P_b, P_c que tienen por foco un vértice del triángulo ABC y por directriz el lado opuesto (construir las tangentes comunes á dos de estas parábolas).

(J. Neuberg).