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El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 21

inmediatamente se obtiene, según la precitada fórmula (2):

\[
\iint x \, dx \, dy = \iint x^{2-1} y^{1-1} \, dx \, dy
\]

\[
= \frac{r^2 \cdot r}{2 \cdot 2} \frac{\Gamma\left(\frac{2}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(1 + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}\right)} = \frac{r^3}{4 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{r^3}{3}.
\]

El denominador de (a) como expresión de la cuarta parte del círculo es \( \frac{\pi r^2}{4} \); de cuyos valores resulta inmediatamente

\[
x_1 = \frac{r^3 : 2}{\pi r^2 : 4} = \frac{4}{3} \frac{r}{\pi}.
\]

Procediendo de un modo análogo al anterior, tendríamos:

\[
y_1 = \frac{4}{3} \frac{r}{\pi}.
\]

Estas coordenadas determinan el punto c. g. sobre el eje de simetría OC.

Así también se tendría para el otro cuadrante A'O BC' A', considerado como primitivo el nuevo centro de gravedad \( c_1 g_1 \), bajo las mismas condiciones del primero; de suerte que uniendo por medio de una recta los dos centros de gravedad hallados, sin duda que en el punto donde ésta corte al radio de simetría, OB, del semicírculo, nos dará el centro de gravedad de este último, debiendo resultar: \( O c_1 g_1 = x_1 = \frac{4}{3} \frac{r}{\pi} \), como se deduce sencillamente de la figura anterior.

Esta conclusión coincide como caso particular del centro de gravedad que se obtiene por los procedimientos ordinarios, cuando se trata de la superficie de un cuadrante de círculo, en el cual la masa específica de los diversos puntos es proporcional a la enésima potencia de su distancia al centro. En efecto, pues, la fórmula general que se obtiene en este caso es: \( x_1 = \frac{n+2}{n+3} \frac{2r}{\pi} \).

de modo que al suponer \( r = 0 \), resulta: \( x_1 = \frac{4}{3} \frac{r}{\pi} \).

PROBLEMA 2.º—Determinar el centro de la superficie esférica
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 22

comprendida en el ángulo triédro positivo, y estando el centro de la esfera en el origen de coordenadas.

Fórmulas generales:

(b) \[
x_1 = \frac{\int x ds}{s}, \quad y_1 = \frac{\int y ds}{s}, \quad z_1 = \frac{\int z ds}{s};
\]

\( s \), representa la parte de superficie esférica comprendida en el ángulo triédro supuesto.

Ahora bien, al suponer un punto de la superficie esférica y el radio correspondiente, podemos designar por \( \omega \), el ángulo que éste forma con el eje \( x \), y en su virtud escribir:

\[
.x = r \cos. \omega, \quad dy dz = ds \cos. \omega.
\]

Así, pues, al tomar el numerador de la fórmula (b), se tiene

\[
\int x ds = \iint r \cos. \omega \frac{dz dy}{\cos. \omega} = r \iint dz dy;
\]

luego por consideraciones análogas á las del problema anterior, según la fórmula (2), se halla inmediatamente:

\[
\int x ds = r \iint dz dy = r \cdot \frac{r^3}{4} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\Gamma(2)} = \frac{r^3}{4} \pi.
\]

Además, como \( s = \frac{4 \pi r^2}{8} \), resulta: \( x_1 = \frac{r^3 \pi}{4 \pi r^2} = \frac{r}{2} \).

De un modo análogo tendríamos para \( y_1 \) y \( z_1 \), la misma fórmula, esto es:

\[
x_1 = y_1 = z_1 = \frac{r}{2}.
\]

Problema 3.º—Centro de gravedad del volumen del elipsoide, comprendido en el primer ángulo triédro, estando el centro del mismo en el origen de coordenadas.

Fórmulas generales.

(c) \[
x_1 = \frac{\iiint x dx dy dz}{\iiint dx dy dz}, \quad y_1 = \frac{\iiint y dx dy dz}{\iiint dx dy dz},
z_1 = \frac{\iiint z dx dy dz}{\iiint dx dy dz}.
\]
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 23

En este caso la ecuación de condición es

\[
\left( \frac{x}{a} \right)^3 + \left( \frac{y}{b} \right)^3 + \left( \frac{z}{c} \right)^3 = s.
\]

Al aplicar la fórmula (1), en el numerador de (c), se obtiene

\[
\iiint x dx dy dz = \frac{a^4 b c}{8} \frac{\Gamma'(1) \left[ \Gamma' \left( \frac{1}{2} \right) \right]^2}{\Gamma(3)} = \frac{a^4 b c}{16} \pi.
\]

Además el denominador de (c), por representar la octava parte del volumen del elipsoide, dá

\[
\iiint dxdydz = \frac{\pi abc}{6}; \quad \text{luego} \quad x_1 = \frac{a^2 b c}{\frac{16}{\pi abc}} \frac{\pi}{6} = \frac{3}{8} a.
\]

De un modo análogo se obtendría

\[
y_1 = \frac{3}{8} b, \quad z_1 = \frac{3}{8} c.
\]

Si el elipsoide se transformara en una esfera, resultaría

\[
x_1 = y_1 = z_1 = \frac{3}{8} r
\]

siendo \( r \) el radio de la misma.

De manera que si consideramos los cuatro ángulos triédros correspondientes á la semi-esfera, situada á un lado del plano \( yz \), los centros de gravedad correspondientes á los cuatro ángulos triédros, determinan un plano paralelo al \( yz \), que pasará á la distancia \( \frac{3}{8} r \) del origen, cortando en su virtud al eje \( x \), que lo es de simetría, á la misma distancia; resultando en definitiva como centro de gravedad dicha semi esfera: \( x_1 = \frac{3}{8} r \).

En fin para terminar, presentaremos una aplicación á los momentos de inercia.

PROBLEMA 4.º—Momento de inercia del elipsoide, referido al eje \( z \).

Fórmula general.

\[
A_z = \int \int \int dx \int dy \int dz (x^2 + y^2).
\]
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 24

Concretándonos á la primera integral múltiple, y atendiendo á todos los datos precedentes, según la fórmula (1), se tiene

\[
\iiint x^3 dx dy ds = \frac{a^3 b c}{8} \frac{\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( 1 + \frac{5}{2} \right)}
\]

\[
= \frac{a^3 b c}{8} \frac{\frac{1}{2} \left[ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \right]^3}{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)} = \frac{4}{120} \pi a^3 b c.
\]

Para los ocho ángulos triedros, resulta:

\[
\frac{32}{120} \pi a^3 b c = \frac{4}{15} \pi a^3 b c.
\]

Respecto á la otra integral: \( \iiint y^3 dx dy dz \), tendríamos de un modo análogo: \( \frac{4}{15} \pi a b^3 c \).

Sumando, pues, se obtiene

\[
A_z = \rho \int d\alpha \int dy \int ds (x^3 + y^3) = \frac{4 \rho \pi a b c}{15} (a^3 + b^3).
\]

Ahora bien, si designamos por M la masa total, siendo \( \rho \) la masa específica, se halla \( M = \frac{4}{3} \pi a b c \cdot \rho \); de suerte que sustituyendo este valor en la igualdad anterior, se obtiene por fin:

\[
A_s = \frac{M}{5} (b^3 + c^3).
\]

Como se puede comprender con la misma facilidad, obtendríamos las expresiones:

\[
A_x = \frac{M}{5} (b^3 + c^3), \quad A_y = \frac{M}{5} (a^3 + c^3).
\]

Si el elipsoide se transformara en una esfera, resultaría inmediatamente

\[
A_x = A_y = A_z = \frac{2}{5} M a^3;
\]

siendo \( a \) el radio de dicha esfera.

Creemos que no hacen falta nuevos problemas, para quedar
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completamente demostrada la importancia que debe concederse á las integrales eulerianas, y por ende á la fórmula de Dirichet, habiendo llenado así nuestro propósito al escribir el presente artículo.

ETUDE ÉLÉMENTAIRE SUR LA THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA
par M. A. Aubry

(Continuación, v. págs. 41-49)

Pour terminer ce que nous avions à dire de Fermat, nous rappellerons ces deux questions: trouver un point tel que la somme de ses distances á trois points donnés soit minimum (*), et inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface soit un maximum.
La première question, proposée par Fermat á Torricelli, fut résolue par ce dernier, ainsi que par Cavalieri et Viviani. Fermat ramène la seconde á la recherche du maximum de la somme de l'abscisse et de l'ordonnée du cercle, ce qui a donné á Mersenne l'idée de proposer á Torricelli la recherche du maximum du produit de la même abscisse par son ordonnée, nouvelle question que Torricelli résolut également (**) et étendit á l'ellipse, á la parabole, etc.

4. Nous pourrions terminer ici notre histoire, si nous n'avions en vue que les seules méthodes tout-à-fait élémentaires, et l'exposé de leurs perfectionnements successifs. Aussi nous continuerons par l'historique de ces perfectionnements.

G. de St. Vincent (Opus geom. Anvers, 1647) donne plusieurs théorèmes de maxima, tels sont les suivants: Des triangles isopérimètres et de même base le triangle isocèle est un maximum.

(*) On sait que si le triangle de ces trois points n'a aucun de ses angles supérieur á 120°, le point cherché est celui qui est vu des trois côtés sous des angles de 120°. Autrement, c'est le sommet de cet angle qui répond á la question.

(**) L'expression á rendre maximum est \( x \sqrt{x(1-x)} \), et cela a lieu en même temps pour \( x^3 (1-x) \) d'où \( x = \frac{3}{4} \).

Quant au problème de Fermat, il conduit á la recherche du maximum de l'expression \( x + \sqrt{x - x^4} \), ou á celle de celles-ci:

\[
x - \frac{1}{2} + \sqrt{x - x^4} = \sqrt{\frac{1}{4} - (x - x^4)} + \sqrt{x - x^4},
\]

de la forme \( \alpha \sqrt{a + z} + \beta \sqrt{b - z} \), traitée plus loin (num. 11).
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 26

Des droites AOB passant par un point donné O intérieur à l'angle ASB, et comprises entre les côtés de cet angle, celle qui donne un minimum du produit AO . OC correspond au triangle isocèle. — Parmi les droites joignant les extrémités de deux diamètres conjugués d'une ellipse, la plus grande et la plus courte correspondent aux diamètres conjugués égaux. — Il démontre le théorème d'Eutocius de cette manière: soit la parabole AMBC (fig. 4), le rectangle MC est maximum si PC = 2 . AP; en effet, on trouvera la chose évidente en menant la tangente MT et comparant le rectangle MC à tout autre rectangle inscrit.

Cavalieri (Ex. geom. Bologne, 1647) démontre aussi le même théorème, mais d'une manière peu élégante, que nous ne rapporterons point.

Fermat avait bien donné le moyen d'obtenir les maximantes et minimantes, mais il restait à traduire sa méthode en formule et de l'étendre aux fonctions implicites: c'est ce qu'on voit pour la première fois dans une lettre de Hudde à Schooten, de 1658 et imprimée dans la seconde édition latine de la Géométrie (*) (Amsterdam 1659).

Viviani, dans son livre, De maximis et minimis (Florence, 1659) traite une foule de questions de maxima. Nous citerons sa restitution du V° livre d'Apollonius, alors inconnu; la recherche de la section parabolique maximum du cône; (**) en fin cette extension du problème ci-dessus de Fermat: la somme des perpendiculaires abaissées d'un point intérieur sur les côtés d'un polygone régulier est constante, ce qui démontre par la constance de la somme des triangles ainsi produits; la somme des distances du centre I aux sommets est minimum, en effet cir conscrivons à ce polygone un poligone semblable (fig. 5), on aura OA > OR d'où \( \Sigma . OA > \Sigma . OR < \Sigma . IA \).

(*) On y voit également le procédé bien connu aujourd'hui de déterminer la vraie valeur d'une fraction algébrique qui, pour une certaine valeur de la variable, prend la forme \( \frac{0}{0} \), procédé généralisé et perfectionné, comme on sait, par l'Hospital et Jean Bernoulli.
(**) Elle coupe le diamètre de la base en son quart.
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 27

De là en fin l'extension annoncée: joignons le centre I aux sommets du polygone régulier et sur ces lignes prenons dans l'intérieur les points E, D . . . . (fig. 6), la somme \( \Sigma IE \) est plus petite que la somme \( \Sigma OE \) correspondant à tout autre point O; on a en effet

\[
OE > OA - EA
\]
d'où \( \Sigma . OE > \Sigma . OA - \Sigma (IA - IE) \)
d'où, comme \( \Sigma . IA > E . OA \),
\[
\Sigma . OE > \Sigma . IS.
\]

Ricci (De maximis et minimis, Rome, 1666) a étendu le théorème d'Eutocius au cas d'un exposant entier quelconque. Sa démonstration peut être présentée ainsi: Soit BC = FC (fig. 7) et supposons que le produit FAP. ACq est maximum parmi ceux faits de la même manière sur les segments de FC; le produit ACq . BCp+q sera de même un maximum des produits analogues des segments AB. En effet marquons les points E et D tels qu'on ait:

\[
\frac{FE}{FD} = \frac{FA}{AC},
\]
FEp . EDq sera un maximum pour les segments de FD; par conséquent, on peut écrire

\[
\frac{FAP . AD^q}{FD^{p+q}} < \frac{FE^p . ED^q}{FD^{p+q}} = \frac{FAP . AC^q}{FC^{p+q}},
\]
donc on a
\[
\frac{AD^q}{AC^q} < \frac{FD^{p+q}}{FC^{p+q}} < \frac{BC^{p+q}}{BD^{p+q}}
\]
puisque les trois longueurs FD, FC = BC et BD sont en progression arithmétique.—Ceci posé, pour que FC soit divisée en A de manière à rendre maximum le produit FAP . ACq , il faut que GA = AC soit divisée en F de manière que GFq-q . FAP le soit
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 28

lui-même. En continuant ainsi, on arrivera, si \( p \) et \( q \) sont entiers positifs, à cette condition, que le segment \( xz \) donne un produit \( XY' . YZ' \) qui soit maximum. Or d'après Euclide, il faut pour cela, qu'on ait \( \frac{XY}{YZ} = \frac{1}{1} \) : on peut donc conclure, en remontant, de proche en proche, que le produit \( FA'' . AC'' \) est maximum si on a: \( \frac{FA}{AC} = \frac{p}{q} \).

L'Hospital (an. des. inf. petits, Paris, 1696) traite la même question par le calcul différentiel. Muller (Traité des sec. con. fluxions et fluentes, Paris, 1760) l'a étendue, par le même procédé au produit \( x^p y^q . . . . . z^r (S - x - y - . . . . . - z)^s \).

La démonstration élémentaire bien connue du théorème de Muller se trouve dans les Mél d'An. et de Géom. de F. de Stainville (Paris 1815).

Elle consiste, comme on sait, 1.º à démontrer que tout produit de plusieurs facteurs augmentant quand on remplace deux de ceux-ci par leur demi-somme, le maximum d'un produit de facteurs dont la somme est constante a lieu quand tous les facteurs sont égaux (*); 2.º à appliquer ce théorème à l'expression

\[
\frac{x^p}{p^p} = \frac{y^q}{q^q} . . . . . \frac{x}{p} \frac{x}{p} . . . . . \frac{y}{q} . . . .
\]

dont le maximum a lieu en même temps que celui de \( x^p y^q . . . . . \). Stainville étend ce théorème à des exposants fractionnaires.

Nous rapporterons, à cause des artifices employés, un problème traité par Bouvier (A. G. t. XV, 1825): De tous les parallélépipèdes de même volume, quel est celui dont la surface totale est un minimum? Bouvier remarque, \( x, y, z \) étant les trois dimensions et \( a \) le côté du cube équivalent, l'un des côtés au moins doit être \( > a \) et il doit y en avoir au moins un plus petit. Soient \( x > a, y < a \): posons \( x = xa, y = \frac{x}{\beta}, x \) et \( \beta \) étant des nombres plus grands que 1. Or on a évidemment:

\[
(x - \beta)^2 + \beta (x - 1)(\beta - 1) > 0
\]

(*) Cette démonstration laisse à désirer: on ne voit pas bien que les facteurs tendent à s'égaliser; il vaudrait mieux moyenne chaque fois le plus grand facteur avec le plus petit, au lieu de moyenne arbitrairement, comme le disent tous les traités élémentaires d'algèbre.
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 29

d'où, en développant et transformant,

\[
\frac{x}{\beta} + \beta + \frac{1}{\alpha} > 3;
\]

remplaçant \( x \) et \( \beta \) par leurs valeurs \( \frac{x}{a} \) et \( \frac{a}{y} \), et \( a^3 \) par \( xyz \), il vient

\[
xy + yz + zx > 3a^3;
\]

le parallélépipède cherché n'est donc autre que le cube.

Gergonne (l. cit.) signale cette démonstration comme un exemple des méthodes détournées, si souvent utiles dans certains cas particuliers, pour abréger les calculs, car les applications des méthodes qui paraissent d'abord plus naturelles sont souvent beaucoup plus longues.

Par exemple, on pourrait raisonner ainsi: soient \( x, x+y, x+y+z \) les trois côtés, le volume sera:

\[
V = x^3 + (2y+z)x^2 + y(y+z)x
\]

et la surface

\[
A = 2 \left[ 3x^3 + 2(2y+z)x + y(y+z) \right]
\]

le théorème sera vrai si l'on a cette inégalité \( \left( \frac{A}{6} \right)^3 > V^2 \), qui se ramène à la suivante:

\[
\begin{align*}
9(y^2 + yz + z^2)x^4 + 2(2y+z)(7y^2 + 7yz + 4z^2)x^3 \\
+ 6y(y+z)(5y^2 + 5yz + 2z^2)x^2 \\
+ 6y^3(y+z)^2(2y+z)x + y^3(y+z)^3 &> 0
\end{align*}
\]

laquelle est manifeste. Mais on voit à quels longs calculs on est ainsi conduit (*)

(*) Le problème de Bouvier avait déjà été traité par l'Hospital (l. cit.) par le calcul différentiel. On peut le traiter simplement ainsi: les nombres \( \frac{a^3}{x}, \frac{a^3}{y}, \frac{a^3}{z} \) ayant un produit constant, leur somme \( xy + yz + zx \) sera un minimum pour \( \frac{1}{x} = \frac{1}{y} = \frac{1}{z} \).

On bien les quantités \( xy, yz, zx \) ayant un produit constant \( a^6 \), il en résulte que leur somme est minimum quand on a: \( xy = yz = zx \).

On encore, comme on a

\[
\frac{1}{1 \pm x} > 1 \mp x \quad \text{et} \quad (1 \pm x)(1 \pm \beta) = 1 \pm x \pm \beta + x\beta,
\]
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 3

démontre le théorème: Les surfaces de révolution engendrées par toutes les cycloïdes, tournant autour des respectives tangentes au sommet, sont applicables l'une sur l'autre.

Avec plus de généralité, nous allons envisager la question de déterminer la famille de courbes planes, dont tous les individus peuvent être regardés comme des lignes méridiennes d'une suite de surfaces de révolution, applicables l'une sur l'autre.

S'étant la surface engendrée par la rotation de la ligne:

\[
x = x(s), \quad y = \int \sqrt{1 - x'^2(s)} \cdot ds
\]

autour de l'axe des y, les équations:

\[
x_1 = k \cdot x(s), \quad y_1 = \int \sqrt{1 - k^2 x'^2(s)} \cdot ds
\]

(k étant une constante arbitraire) définissent la ligne méridienne d'une autre surface de révolution S_1 applicable sur la surface S.

Si les lignes méridiennes L, L_1 de ces surfaces S, S_1 appartiennent à la même famille de courbes, on doit avoir:

(3) \[
x = \frac{s^n}{a^{n-1}}, \quad y = \frac{1}{a^{n-1}} \int \sqrt{a^{2(n-1)} - n^2 s^{2(n-1)}} \cdot ds.
\]

Si donc on remarque que, quand:

\[
x = f(s),
\]

le rayon de courbure \( \varepsilon \) est défini par l'équation:

\[
\varepsilon = \frac{\sqrt{1 - f''(s)}}{f''(s)},
\]

on a le théorème:
« Il y a une famille de lignes planes jouissant de la propriété que, dans la rotation autour d'une certaine droite D, engendrent des surfaces de révolution applicables. Cette famille de courbes est définie par l'équation intrinsèque:

(4) \[
\varepsilon = \frac{1}{n-1} \sqrt{\frac{a^{2n-2}}{n^2} - s^{4-2n} - s^2},
\]

(a, n étant deux constantes), ou bien par les équations (3). La
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 30

Comme on le sait, la méthode de Stainville est en défaut quand il ya incompatibilité entre les équations

\[
\frac{x}{p} = \frac{y}{q}
\]

On a alors recours à un artifice indiqué par Grillet (N. A. 1849): soit à rendre maximum le produit

\[
(1 + a.x)^{\alpha} (1 + b.y)^{\beta} \ldots (1 + c.z)^{\gamma},
\]

le maximum ayant lieu en même temps que celui de

\[
(1 + a.x)^{\alpha} (B + B.b.y)^{\beta} \ldots (C + C.c.z)^{\gamma}
\]

on écrira:

\[
a + Bb + \ldots + Cc = o, \quad \frac{1 + a.x}{z} = \frac{B + B.b.y}{\beta} = \ldots = \frac{C + C.c.z}{\gamma}
\]

ce qui déterminera les coefficients B, ... C et donnera la relation de condition entre les variables x, y, ... z (*)

Il vient

\[
\frac{1}{1 \pm \alpha} + \frac{1}{1 \pm \beta} + (1 \pm x)(1 \pm \beta) > 3
\]

Posant \( 1 \pm \alpha = \frac{x}{a}, \quad 1 \pm \beta = \frac{y}{a}, \quad xyz = a^2 \), il viendra

\[
x \gtrless a, \quad y \gtrless a
\]

et dans les deux cas

\[
x y + y z + z x > 3 a^2.
\]

(*) On peut quelque fois éviter l'emploi de la méthode de Grillet. Par exemple, soit à déterminer la pyramide à base carrée inscrite dans une sphère et dont la surface latérale soit un maximum.

Prenons comme inconnue la distance du centre de la base au centre de la sphère, il faut rendre maximum l'expression \( \sqrt{1 - x^4} \sqrt{(1 + x)^2 + \frac{1 - x^2}{2}} \) ou bien la suivante

\[
(1 + x)^6 (1 + x) (3 + x) \quad \text{qui peut s'écrire} \quad (1 + 2x + x^3) (3 - 2x - x^3). \]

Il faut donc poser

\[
1 + 2x + x^3 = 3 - 2x - x^3, \quad \text{d'où} \quad x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}
\]

Si la base est un triangle équilatéral, la fonction à rendre maximum est

\[
(1 + x)^8 (1 - x) (3 + 3x) \quad \text{ou bien la suivante} \quad (3 + 3x)^8 (1 - x) (15 + 9x)
\]

qui est égale à

\[
(15 + 6x - 9x^2)^8 (15 - 6x - 9x^2).
\]

Le reste s'achève aisément.
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 31

Cochez (J. E. 1877) a montré que la méthode de Fermat pourrait être utilisé dans les éléments pour trouver la maximante de la fonction algébrique \( F(x) \), il remarque que pour une valeur «intiniment voisine» de la variable, la valeur de la fonction ne change pas. Il pose donc \( F(x) - F(x_1) = 0 \); le premier membre étant divisible par \( x - x_1 \), on effectuera la division, et ensuite on fera \( x_1 = x \), ce qui donnera une équation déterminant la valeur de la maximante.

Quant à la distinction des maxima, et des minima la discussion du problème la mettra en lumière.—Outre le tort d'introduire l'infiniment petit dans une matière tout élémentaire, on peut reprocher à l'explication de Cochez le même vague et le même manque de rigueur qu'a celle de Fermat, dont elle ne diffère pas d'ailleurs. On éviterait ces deux défauts par l'emploi du raisonnement d'Huygens, rappelé plus haut (voir plus loin, num. 13).

Maleyx (n. a. 1890) reprend la même idée, et traite ainsi la question: appelons \( f(x, x_1) \) le quotient de \( F(x) - F(x_1) \) par \( x - x_1 \), on aura:

\[
E(x) - F(x_1) = (x - x_1) | f(x_1, x_1) + \epsilon |
\]

\( \epsilon \) tendant vers zero quand \( x_1 \) tend vers \( x \). Pour trouver les maxima de \( F(x) \), on cherchera les valeurs de \( x \) qui font changer le signe de \( f(x, x_1) \)—On peut traiter ainsi complètement certaines questions de maxima, mais les calculs sont trop compliqués pour que la méthode soit vraiment pratique.

5.—Il y a donc deux voies menant à la solution d'une question de maximum: la méthode analytique, ou de Fermat, cherche la valeur de la maximante en établissant analytiquement la condition du maximum; la méthode élémentaire ou synthétique consiste à vérifier qu'une valeur donnée de la fonction affirmée maximum fait bien partie des valeurs que peut acquérir cette fonction et qu'en outre elle est supérieure aux valeurs voisines. Cette dernière méthode ne serait qu'une sorte de tâtonnement si on l'enviagerait en général; mais si l'on remarque que la plupart des problèmes de minima conduisent à des fonctions pouvant se classer sous un petit nombre de types différents; nous verrons qu'elle revient à traiter chacun de ces types et en cataloguer les formules.

6.—Le théorème de Ricci peut être démontré ainsi: le produit de \( p \) facteurs positifs égaux chacun à \( 1 + \frac{\delta}{p} \), multiplié par celui
El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 32

de q facteurs positifs égaux chacun à \( 1 - \frac{b}{q} \) est plus petit que la \((p + q)^e\) puissance de leur moyenne arithmétique, (*), qui est

\[
\frac{(p + b) + (q - b)}{p + q} = 1. \quad \text{On a donc} \quad \left(1 + \frac{b}{p}\right)^p \left(1 - \frac{b}{q}\right)^q < 1.
\]

Posons
\[
p = \frac{4h(a + b)}{Ma}, \quad q = \frac{4h(a + b)}{Mb}
\]
cette inégalité deviendra

\[
\left(\frac{Ma}{a + b} + h\right)^a \left(\frac{Mb}{a + b} - h\right)^b < \left(\frac{Ma}{a + b}\right)^a \left(\frac{Mb}{a + b}\right)^b
\]

donc, quels que soient les nombre positifs \(a, b, M\), la fonction \(x^a (M - x)^b\) passe par un maximum pour \(\frac{x}{a} = \frac{M - x}{b}\), puisque cette égalité donne

\[
x = \frac{Ma}{a + b}, \quad M - x = \frac{Mb}{a + b}.
\]

Applications I.—Le maximum de \(a + b X - c X^m\), X désignant une fonction de \(x\) et \(m\) un nombre positif quelconque, a lieu en même temps que celui de \(b X - c X^m\), et par suite en même temps que celui de

\[
X^{m-1} \left(\frac{b}{c} - X^{m-1}\right)^{m-1},
\]
d'où on tire
\[
X^{m-1} = \frac{b}{c m}.
\]

II.—Le maximum de \(\frac{ax^3 + bx - c}{A x^2} = \frac{a + \frac{b}{x} - \frac{c}{x^3}}{A}\) se trouve d'après I, en faisant \(X = \frac{1}{x}\), \(m = 2\) (voir Desboves Quest. d'Alg. Paris, 1873; M. 1882; J. E, 1881, 1879 et 1885).

(*) C'est le théorème bien connu de Cauchy (Ann. alg. Paris 1821), dont il existe un grand nombre de démonstrations. Nous en avons donné trois nouvelles avec des applications assez curieuses. J. S. 1868, p. 76.