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El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 24

La serie:

\[
\sum \frac{F(i)x^i}{1 \cdot 2 \ldots i}
\]

se obtiene pues, multiplicando por un polinomio en \( x \) de grado \( n \), la exponencial \( e^x \).

Profesor C. Alasia (Tempio).

BIBLIOGRAFÍA

P. L. TCHÉBYCHEF
ET SON OUVRAGE SCIENTIFIQUE
par A. Vassilief, professeur à l’université de Kason.—1896.

Uno de los científicos más ilustres de Rusia, cuyos descubrimientos en conjunto y por el carácter eminentemente original de los mismos, fueron suficientes para constituir escuela nacional de matemáticas, ha sido el ilustre Tchebychef que al lado de Lobaschewsky y otros compatriotas eminentes que pudieran citarse, expresan con la fuerza de los hechos la potencia creadora de la raza eslava, digna aunque no sea más que por estos dos nombres, de figurar entre otras de más antiguo abolengo, legado por los talentos creadores que se han sucedido desde la época secunda del Renacimiento.

Los descubrimientos de Tchebychef tienen un carácter propio, personal. Comienza por investigaciones sobre la teoría de los números, descubriendo leyes relativas á la distribución de los números primos en la serie de los números naturales, demostrando que entre el número N y el 2N — 2 existe un número primo, hallando un nuevo procedimiento para reconocer si un número es primo, y descubriendo polinomios análogos á los de Legendre que en el caso de ser impares y siempre crecientes coinciden con el polinomio X, de Legendre

Hábil como pocos en el empleo de las fracciones continuas, hace de este algoritmo un instrumento precioso para las más variadas investigaciones.

Matemático de espíritu eminentemente práctico, profundiza las teorías de la interpolación, del desarrollo en serie, según los denominadores de las reducidas de las fracciones continuas y de los va-
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lores límites de las integrales sobre las cuestiones de mínimos, estudiando las funciones que se apartan lo menos de cero y aplicándolas á la construcción de cartas geográficas.

Los trabajos sobre la interpolación le conducen á un algoritmo análogo al cálculo de variaciones.

Guiado por su espíritu, propenso á obtener métodos que no traspasen los límites del rigor que deba exigirse en las aplicaciones, dedica preferentemente sus desvelos al cálculo de probabilidades, y obtiene un procedimiento en el que la función trascendente queda sustituida por un polinomio ó por una fracción racional, no encontrando rival, como dice el Sr. Vasilieff, en el desarrollo sistemático de los métodos, en los que al darse valores aproximados de las funciones, se obtiene al mismo tiempo el límite del error inevitable.

De su preferencia por los estudios de aplicación ofrecen brillante testimonio sus estudios sobre el paralelogramo de Watt y sistemas articulados intimamente ligado á un problema de la geometría de las superficies propuesto por Tchebychef, el de la deformación de los tejidos, obteniendo fórmulas que permiten determinar los contornos de dos, tres ó cuatro trozos de tela capaces de cubrir lo más exactamente posible una esfera. Y como complemento á estas investigaciones pueden citarse multitud de mecanismos que le debe la ciencia, siendo de esperar que sus obras próximas á publicarse hallen una entusiasta acogida en el mundo científico.

Œuvres de Laguerre publiées sous les auspices de l' Académie des sciences par MM. C.H. Hermite, H. Poincaré et E. Rouché Tome I — Algèbre—Calcul intégral. Gauthier—Villars, 1898.

Laguerre, cuyos raros méritos expone M. Poincaré en el prefacio de la obra, dedicó su sólido talento, con igual intensidad á la Geometría que al Análisis. De las 140 memorias que constituyen su labor científica, más de la mitad se refieren á cuestiones geométricas. Bastará decir por ahora que se ocupó de la representación geométrica de los puntos imaginarios, de las curvas analagmáticas, de la adición de las funciones hipereípticas bajo forma geométrica, de las sustituciones lineales, aplicando sus principios á la teoría en las formas cuadráticas y funciones abelianas, y sobre todo hay que señalar especialmente sus descubrimientos acerca de la geometría de dirección, cuyo método de transformación por se-
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mírectas recíprocas se halla expuesto en la Geometría elemental de los Sres. Rouché y Comberouse.

Respecto á sus descubrimientos en el Análisis, objeto del primer tomo publicado, M. Poincaré juzga como los más notables de su trabajo científico, los concernientes á las ecuaciones algebraicas. Laguerre obtuvo una regla más sencilla que la de signos de Descartes, á la ecuación aproximada de primer grado que empleó Newton, sustituye Laguerre una de segundo que da aproximaciones más rápidas. Las fracciones continuas fueron empleadas por este ilustre matemático con gran habilidad, llegando á deducir de una serie divergente una fracción continua convergente, «nuevo modo de empleo legítimo de las series divergentes» que como dice M. Poincaré, está destinado á un gran porvenir.

En la primera memoria: Sur la théorie des équations numériques se halla expuesto un método enteramente distinto del de Lagrange y Sturm para determinar exactamente el número de raíces positivas de una ecuación. Trata en otra del papel de las emanantes en la teoría de las ecuaciones numéricas.

Aproximaciones sucesivas de las raíces de una ecuación, resolución de las ecuaciones numéricas, la regla general de signos de Descantes, determinación de un límite superior de las raíces de una ecuación y separación de éstas, método para obtener por aproximación las raíces de una ecuación algebraica con todas sus raíces reales. Aproximación de las funciones circulares por medio de las funciones algebraicas, determinación de las ecuaciones numéricas con un número dado de raíces imaginarias, teoremas generales, distribución en el plano de las raíces de una ecuación algebraica, sobre algunas funciones trascendentales, sobre las funciones de género cero y uno, sobre el género de algunas funciones enteras, sobre la ecuación de tercer grado, la partición de los números, el cálculo de los sistemas lineales, que constituye una de las más extensas memorias, la representación de las formas binarias en el plano y en el espacio, aproximación de las funciones de una variable, desarrollo de una función, reducción á fracciones continuas de una clase extensa de funciones, la función exponencial, algunos teoremas de M. Hermite, integración de cierta clase de ecuaciones diferenciales, diferentes formas que puede darse á la integral de la ecuación de Euler, integración de las ecuaciones lineales de diferencias parciales, multiplicación y transformación de las funciones elípticas, algunas invariantes de las ecuaciones
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diferenciales lineales, observaciones sobre éstas, etc. son los asuntos contenidos en el primer tomo, único hasta ahora publicado, de las obras de Laguerre de cuya importancia se habrá formado una idea el lector.

LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES par Gaston Darboux, tomo I. Paris, Gauthier-Villars—1898.

Muy conocida es en el mundo científico la magistral obra en cuatro tomos de M. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, donde trató, aunque sin detenerse mucho, de los sistemas triples ortogonales y de las coordenadas curvilíneas.

En esta última obra se propone su eminente autor tratar de una manera regular y sistemática estas doctrinas de tantas aplicaciones hoy en la física matemática. Las materias contenidas son:

Las familias de Lamé. Teorema de Dupin y un recíproco.—Sistemas triples que comprenden una familia de planos ó una familia de esferas—Estudio de una integral particular de la ecuación de tercer orden—Las familias de Lamé formadas con cuádricas—Sistemas ortogonales con \( n \) variables—Coordenadas curvilíneas—Sistemas ortogonales de \( n \) variables—El triédro móvil—Obtención de un sistema triple particular—Obtención de los sistemas isotermos y otros que se presentan en la teoría del calor—Sistemas triples de Bianchi.

L’ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE Revue internationale.—Directeurs.—C. A. Laisant et H. Fehr. Paris—Carré et Naud. II.º annéc.—N. 1—15 Janvier 1900.—Sommaire:
Les Directeurs.—Aux lecteurs de l’ Enseignement mathématique.—Em. Picard. Une première leçon de Dynamique—Rodolphe Bettazzi. L’application dans l’enseignement de la mathématique.—Fr. Schilling, Nouveaux modèles cinématiques et introduction nouvelle à la théorie des courbes cycloïdales.—E. Cauber. Le droit des écoles techniques supérieures à la promotion au grade de docteur.—Chronique.—Correspondence.—Bibliographie.—Bulletin bibliographique.

N 2. 15 Mars 1900. SOMMAIRE: V. Schlegel. Sur le développement et l’etat actuel de la Géométrie à \( n \) dimensions.—J. Andrade. L’enseignement de la Géométrie et les Géométries non-euclidiennes.—L. Rippert. Sur l’utilité de la notion de l’infini dans l’en-
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seignement de la Géométrie élémentaire.—A. Poussant. Théorèmes de Bezout et d'Euler.—Chronique.—Bibliographie.

Tiene gran interés especialmente, la crónica, por la noticia que da del próximo Congreso matemático de París. Son seis las secciones correspondientes á los trabajos que se han de presentar: 1.º Aritmética y Algebra. 2.º Análisis. 3.º Geometría. 4.º Mecánica y Física matemática: Mecánica celeste. 5.º Bibliografía é historia. 6.º Enseñanza y métodos.

Los adherentes al Congreso quedan invitados para indicar, antes del 1.º de Mayo de 1900, los asuntos de sus comunicaciones y, para que manifiesten á qué sección desean se destinen.

Es oportuno añadir que l'Association française pour l'Avancement des sciences celebra este año su Congreso en París del 2 al 9 de Agosto, con cuyo objeto el Comité organizador anuncia á los interesados en concurrir al mismo la conveniencia de remitir á la mayor brevedad los enunciados de las comunicaciones que hayan de presentar en las secciones correspondientes.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik herausgegeben von Emil Lampc—Berlin—1900.—Allgemeines—Kinematik—Statik—Dynamik—Molecularphysik, Elasticität und Capillarität.—Akustik und Optik—Electricitat und Magnetismus.—Wärmelehre—Geodäsie—Astronomie.

El Cuaderno 3.º con que termina el tomo 28 de la colección, comprende desde la página 608 hasta la 935.

Curso de Topographia por A. Mendes Almeida e Rodolpho Guimaraes. Esta obra muy extensa comprende dos tomos. Las materias del tomo 1.º son: Cap. I Figurado do terreno e suas formas—Cap. II, Leitura e copía de cartas.—Cap. III, Orientação.—Capítulo IV. Planimetria.—Cap. V. Execução da Planimetria.

Los autores separan en toda la obra los procedimientos geométricos de los mecánicos. Indican con precisión las condiciones de cada instrumento y los límites de los errores cometidos.

La exposición es clara, bien ordenada y la obra está muy bien meditada, llenando un vacío entre las de su género, que suelen ser por lo general incompletas, desde algún punto de vista.
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ACERCA DE LA CUESTIÓN 295
por M. H. Van Aubel

Al recorrer las páginas del P. M. he notado que la solución á la cuestión 295 es inexacta.

Si las rectas A A₁, BB₂, CC₂, debieran ser las medianas del triángulo ABC, no habría tenido motivo para proponer tal cuestión, reducida á pedir las coordenadas de su punto de intersección, así como la relación de la áreas de los triángulos A'B'C', ABC.

La solución debe rectificarse como sigue: (*)

Siendo (α, α, γ), (α, β, α) las coordenadas de los puntos B₁, C₁, y dividiendo el punto A₁ á la recta B₁C₁ en la relación γ : β, resulta que las coordenadas de A₂ son:

\[ [xβ(x + β) + γα(γ + α), \quad βγ(γ + α), \quad βγ(α + β)] \]

igualmente se encuentra para las de B₂, C₂, son

\[ [\gamma α(β + γ), \quad βγ(β + γ) + αβ(α + β), \quad γα(α + β)], \]
\[ [αβ(β + γ), \quad αβ(γ + α), \quad γα(γ + α) + βγ(β + γ)]. \]

Luego las ecuaciones de las rectas AA₁, BB₂, CC₂

\[
\frac{y}{γ + x} - \frac{z}{α + β} = 0, \quad \frac{x}{α + β} - \frac{z}{β + γ} = 0, \quad \frac{x}{β + γ} - \frac{y}{γ + α} = 0.
\]

Siendo la suma de éstas \( 0 = 0 \), estas rectas pasan por un mismo punto P, cuyas coordenadas son: (β + γ), γ + α, (α + β).

Pero se sabe que si las coordenadas de P' están representadas por (α', β', γ'), se tiene:

\[
\frac{A'B'C'}{ABC} = \frac{2x'\beta'\gamma'}{(\beta' + \gamma') (\gamma' + \alpha') (\alpha' + \beta')}
\]

luego
\[
\frac{A'B'C'}{ABC} = \frac{2(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)(\alpha + \beta)}{(2\alpha + \beta + \gamma)(\alpha + 2\beta + \gamma)(\alpha + \beta + 2\gamma)}
\]

(*) Análoga rectificación nos ha remitido el Sr. Krahe (N. de la R.)
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 3

Por otra parte las cevianas C C' y B B' tienen por ecuaciones

\[
l \alpha + m \beta = 0 \quad , \quad l \alpha + n \gamma = 0
\]

la eliminación de \( l, m \) y \( n \) entre las tres ecuaciones dá

\[
\begin{vmatrix}
\alpha' & \beta' & \gamma' \\
\alpha & \beta & 0 \\
\alpha & 0 & \gamma
\end{vmatrix} = 0 \quad \text{o bien} \quad \alpha' \beta \gamma - \beta' \alpha \gamma - \gamma' \alpha \beta = 0
\]

que es la ecuación que deseábamos obtener.

La función \( \Delta_1 \) que indica el género de la cónica es

\[
\Delta_1 = (\alpha' + \beta' + \gamma')^2 - 4 \beta' \gamma'.
\]

El centro tiene por coordenadas

\[
\frac{\alpha}{\alpha'(\alpha' + \beta' + \gamma')} = \frac{\beta}{\beta'(\alpha' + \beta' - \gamma')} = \frac{\gamma}{\gamma'(\alpha' - \beta' + \gamma')}.
\]

Resulta que á cada punto P del plano corresponde una cónica circunscrita y, recíprocamente, dada una cónica circunscrita se la puede hacer corresponder un punto; podemos decir que uno y otro elementos geométricos están asociados por transformación pedal, claro está que cuando no se marque cual de las tres pedales ha de considerarse, en rigor corresponden tres cónicas á cada punto, pero entiéndase que, cuando otra cosa no se advierta, nos referimos á la relativa al lado B C.

Si la cónica tiene por ecuación \( l \beta \gamma + m \alpha \gamma + n \alpha \beta = 0 \), el punto asociado tendrá por coordenadas \( \frac{\alpha}{-l} = \frac{\beta}{m} = \frac{\gamma}{n} \).

El punto asociado P que venimos considerando, tiene una significación geométrica muy sencilla, es el polo del lado B C respecto á la cónica; si encontramos en efecto la polar del punto \( \frac{\alpha}{-l} = \frac{\beta}{m} = \frac{\gamma}{n} \) obtenemos la ecuación \( \alpha = 0 \), es decir, el lado B C es pues, el vértice A_1 del triángulo tangencial.

Todos estos hechos se ven perfectamente recurriendo á la geometría proyectiva.
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CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 42. (Véase t. I, pág. 296, 1891)

Sobre los lados AB, BC, CA de un triángulo se toman tres puntos variables M, N, P, tales que se tenga

AB . AM = BC . BN = CA . CP.

Estudiar la variación del triángulo MNP.

(J. Neuberg).

Solución por el Sr. Brocard (H).

Sean a, b, c los lados, α, β, γ los tres segmentos, se tendrá

\( a \alpha = b \beta = c \gamma \)

MNP = ABC - ABN - BPM - CMN.

2. MNP = ab sen C - γ (b - β) sen A - α (c - γ) sen B
- β (a - α) sen C

Pero sen A = \( \frac{a}{D} \), ... etc., siendo D el diámetro del círculo ABC.
Se tiene pues,

2. MNP . D = abc - γ (b - β) a - α (c - γ) b - β (a - α) c.

Sustituyendo β y γ por \( \frac{a \alpha}{b} \) y \( \frac{a \alpha}{c} \), se tiene

2. MNP . D = abc - \( \frac{aa(b - a \gamma)a}{bc} \) - \( \frac{\alpha(c^2 - aa)b}{c} \) - \( \frac{aa(a - a)c}{b} \).

Reduciendo, resulta

2. MNP . M . abc = a^3 b^3 c^3 - a a n^4 + a^2 a^2 m^4,

haciendo, para abreviar, \( m^4 = \Sigma a^4, n^4 = \Sigma a^2 b^2 \).
La derivada, con relación á α, igualada á cero, es

2 a m^4 a - n^4 = 0.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 31

Por consiguiente, el mínimo de MNP corresponde á \( \alpha = \frac{n^4}{2am^2} \) y la expresión de este mínimo es

\[
M'N'P' = \frac{4a^2b^2c^2m^3 - n^n}{8Dabc m^9}
\]

\( n^n \) designando \( (\Sigma a^2 b^2)^2 \).

Siendo simétrica esta expresión, existe otro triángulo mínimo M''N''P'' que se obtiene siguiendo el perímetro en el sentido CBA y tomando los segmentos \( \alpha, \beta, \gamma \) en el orden inverso.

Los puntos M', N', P' son pues isotómicos, y los dos triángulos M'N'P' y M''N''P'', diferentes de forma, son equivalentes.

Si ahora consideramos las ecuaciones \( a\alpha = b\beta = c\gamma \), se ve que \( \alpha, \beta, \gamma \) son necesariamente proporcionales á las tres alturas del triángulo, y si se hace \( a\alpha = b\beta = c\gamma = \lambda \), \( \lambda \) será proporcional al área S del triángulo ABC.

Esto sentado, se tendrá

\[
\frac{MNP}{S} = \frac{1}{a^2b^2c^2} [m^2\lambda^2 - n^4\lambda + a^4b^4c^4].
\]

Se vé que \( MNP = S \). 1.º para \( \lambda = 0 \), lo que supone nulos los segmentos \( \alpha, \beta, \gamma \) (resultando evidente). 2.º para \( \lambda = \frac{n^4}{m^2} \).

Dos valores iguales de MNP corresponden á \( \lambda = \frac{n^4}{2m^2} \pm k \).

Enfin la expresión de \( \lambda \) será

\[
\lambda = \frac{n^4 \pm \sqrt{n^6 - 4a^4b^4c^4m^2}}{2m^2}
\]

La cantidad sub-radical puede escribirse

\[
n^4 - 4a^4b^4c^4m^2 = \Sigma a^4b^4 - 2a^4b^4c^4m^2.
\]

El radical es pues imaginario ó real, según que las alturas de ABC puedan ó no, formar un nuevo triángulo.
Para este valor de \( \lambda \), será \( MNP = 0 \).
Si el mínimo de MNP es positivo, MNP no puede llegar á ser cero.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 32

CUESTIÓN 258. (Véase (3) t. I. pág. 62: 1890)

Si una parábola variable se halla circunscrita á un triángulo ABC, el punto de Fregier de un vértice cualquiera del triángulo describe una cónica.

(E. Lemoine.)

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Las parábolas que pasan por el origen A, por un punto B del eje ABX, \((x = a, y = 0)\) y por otro punto C del plano \((x = p, y = q)\) tienen por ecuación general

\[(y - m x)^2 = m^2 a x + b y\]

designando \(b\), para abreviar, \(\frac{(q - m p)^2 - m^2 a p}{q}\).

En el origen, \(\frac{d y}{d x} = - \frac{m^2 a}{b}\). Luego \(y = \frac{b}{m^2 a} x\) es la ecuación de la normal AM.

La parábola encuentra á A Y en el punto D \((x = 0, y = b)\). El punto M de Fregier está pues, en la intersección de las rectas AM y BD. La ecuación de aquélla es \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.\]

Luego las coordenadas de M son

\[x = \frac{a m^2}{1 + m^2}, \quad y = \frac{b}{1 + m^2}.\]

Falta eliminar \(m\) entre estas dos ecuaciones, lo que da

\[a p x + a q y = q (\sqrt{a - x} - p \sqrt{x})^2,\]

ecuación de una cónica.

CUESTIÓN 263

Un triángulo OVP tiene dos vértices fijos y el tercero P describe un círculo cuyo centro es V y que pasa por O. Si la perpendicular á [VP] sobre el punto V corta á [OP] en P'; el lugar de estos puntos es una estrofoide recta con un nodo en O y el vértice en V. Deducir de la generación indicada las propiedades de la curva. Intersecciones con una recta y con una cónica que pasa por los dos puntos OV.

(V. Retali).
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 33

Solución por M. A. DROZ FARRY.

Levantemos en V una perpendicular o sobre VO. o corta á la circunferencia C¹ en dos puntos A' y A''. Según mi solución á la cuestión 262, el lugar pedido es una cónica circular que tiene en O un punto doble, cuyas tangentes son las rectas ortogonales OA' y OA''. Es pues una estrofoide. Siendo OV un eje de simetría de la curva, esta última es recta, y su vértice se halla evidentemente en V; VP' corta en B á la tangente al círculo en el punto O.

Se ve facilmente que BO = BP' y se obtiene así la construcción clásica de la estrofoide recta.

La transformada de una recta es una cónica que tiene á OV por cuerda normal en V. Las transformadas de los puntos de intersección del círculo con la cónica son los puntos de intersección de la recta dada y de la estrofoide.

La transformada de una cónica que pasa por O y V es una segunda cónica que pasa también por estos puntos, cuyos ejes se hallan inclinados en 45° sobre los de la primera cónica.

Los transformados de los puntos de intersección del círculo con la segunda cónica son los puntos de intersección de la estrofoide recta con la primera cónica.

Observación.—Si OP corta á o en C, se ve también que OP' = CP, de lo que resulta una tercera generación de la estrofoide.

Solución por el Sr. C SANZ MUÑOZ (GUILLERMO)

Tomando por ejes coordenadas el lado fijo OV y la perpendicular á este lado en el punto V, la ecuación del círculo que describe el punto P es

\[
x^2 + y^2 = a^2 \quad (a = VO).
\]

Si designamos por (\( \alpha, \beta \)) las coordenadas de una posición cualquiera del punto P, se verifica \( \alpha^2 + \beta^2 = a^2 \); las ecuaciones de los lados del triángulo son:

OV \quad y = 0 \qquad VP \quad y = \frac{\beta}{\alpha} x \qquad OP \quad y = \frac{\beta}{\alpha - a} (x - a)

y la ecuación de VP' es \quad \( y = - \frac{\alpha}{\beta} x \).
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 34

La ecuación resultante de eliminar \( \alpha \) y \( \beta \) entre las tres ecuaciones

\[
x^2 + \beta^2 = a^2 \qquad y = - \frac{\alpha}{\beta} x
\]
\[
y \frac{\beta}{\alpha - a} (x - a)
\]

nos dará el lugar geométrico que buscamos. Dicha ecuación resultante es

\[
(x - a)^2 (y^2 + x^2) - a^2 y^2 = 0 \tag{1}
\]

que pasando á coordenadas polares, (V polo y VO eje polar), dá,

\[
\rho = \frac{a}{\cos \omega} + a \cdot \tg \omega
\]

ecuación de la estrofoide recta.

Analíticamente ó siguiendo el movimiento del punto P', se vé que la curva es simétrica respecto del lado fijo, con un vértice en V, un nodo en O y tiene una asíntota paralela al eje de la y á la distancia 2 . VO del punto V.

Haciendo \( y = 0 \) en la ecuación (1) se tiene \( x (x - a)^2 = 0 \), de modo que los puntos de intersección de la estrofoide con el lado VO son tres, uno el punto V y dos confundidos en el O.

La ecuación de una cónica que pasa por los puntos V y O es,

\[
x^2 + By^2 + 2Hxy - ax + 2Fy = 0
\]

y los valores de \( x \) é \( y \) que satisfacen á la vez al sistema de ecuaciones

\[
\begin{cases}
x^2 + By^2 + 2Hxy + 2Fy - a = 0 \\
(x - a)^2 (y^2 + x^2) - a^2 y^2 = 0
\end{cases}
\]

nos darán los puntos comunes á la cónica y á la estrofoide.

Solución por el Sr. Retali (V.)

El lugar de P' es la curva correspondiente al círculo dado C^2, en la inversión de Hirst cuyo polo es O y cuya cónica de los puntos unidos