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El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 11

El lugar de M, cuando \( m \) varía, se obtendrá eliminando dicha variable entre las ecuaciones (M). Su ecuación se puede escribir bajo la forma

\[
\begin{vmatrix}
L_x & L_y & L_z \\
La & Lb & Lc \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 0
\]

La polar trilineal de M tiene por ecuación

\[
\frac{x}{a^{m-1}} + \frac{y}{b^{m-1}} + \frac{z}{c^{m-1}} = 0 \tag{m}
\]

La cónica cuya ecuación es

\[
a^{m-1} yz + b^{m-1} xz + c^{m-1} xy = 0 \tag{c}
\]

está circunscrita al triángulo ABC e inscrita en el \( M_a \), \( M_b \), \( M_c \), siendo A, B, C los puntos de contacto con los lados. La polar de M con relación á la cónica es la recta (m).

Para \( m = 2 \), la ecuación (c) se convertirá en la del círculo circunscrito al triángulo y el punto M será el de Lemoine.

El centro de la cónica es el punto de concurso de las rectas que unen los puntos \( M_a \), \( M_b \), \( M_c \) con los medios de los lados correspondientes del triángulo ABC.

*Las áreas de los triángulos que tienen por bases los lados del ABC y por vértice el punto M son proporcionales á a*, b*, c*.

En efecto; si designamos por \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) las coordenadas triangulares de M, poniéndolas de manifiesto en las (M), resulta

\[
\frac{\alpha}{a^m} = \frac{\beta}{b^m} = \frac{\gamma}{c^m}
\]

En cuanto á las áreas de los triángulos que tienen por vértices los asociados de M y por bases los lados del triángulo principal, se ve fácilmente que satisfacen á las mismas relaciones, teniendo en cuenta los signos.

*El punto M es tal, que la suma de las potencias \( \frac{m}{m-1} \) éimas de las distancias á los tres lados de ABC es máxima ó mínima.*
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 12

En efecto, sean

\[
u = x^{\frac{m}{m-1}} + y^{\frac{m}{m-1}} + z^{\frac{m}{m-1}}
\]
\[
a x + b y + c s = 2 S
\]

una función de las variables \( x, y, s \) cuyo máximo ó mínimo queremos hallar y una relación que liga á dichas variables.

Aplicando el método para hallar el máximo ó mínimo de \( u \), tendremos

\[
x^{\frac{1}{m-1}} d x + y^{\frac{1}{m-1}} d y + z^{\frac{1}{m-1}} d z = 0
\]
\[
a \cdot d x + b \cdot d y + c \cdot d z = 0.
\]

De la eliminación de \( d z \) entre estas relaciones se obtiene

\[
\left( c x^{\frac{1}{m-1}} - a s^{\frac{1}{m-1}} \right) d x + \left( c y^{\frac{1}{m-1}} - b s^{\frac{1}{m-1}} \right) d y = 0
\]

de donde se deduce

\[
\frac{x^{\frac{1}{m-1}}}{a} = \frac{y^{\frac{1}{m-1}}}{b} = \frac{s^{\frac{1}{m-1}}}{c}
\]

ó bien

\[
\frac{x}{a^{m-1}} = \frac{y}{b^{m-1}} = \frac{s}{c^{m-1}} \tag{M}
\]

Para investigar si hay máximo ó mínimo, formaremos las derivadas parciales de 2.º orden

\[
\frac{d^2 u}{d x^2} = \frac{m}{(m-1)^2} \left( x^{\frac{2-m}{m-1}} + \frac{a^2}{c^2} s^{\frac{2-m}{m-1}} \right)
\]
\[
\frac{d^2 u}{d x d y} = \frac{m}{(m-1)^2} \frac{ab}{c^2} s^{\frac{2-m}{m-1}}
\]
\[
\frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{m}{(m-1)^2} \left( y^{\frac{2-m}{m-1}} + \frac{b^2}{c^2} s^{\frac{2-m}{m-1}} \right)
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 13

La condición común al máximo y al mínimo

\[
\frac{d^2 u}{dx^2} \cdot \frac{d^2 u}{dy^2} - \left( \frac{d^2 u}{dx dy} \right)^2 > 0
\]

queda satisfecha, pues sustituyendo los valores de las derivadas, y haciendo reducciones, resultará

\[
\frac{m}{(m-1)^4 c^2} \left[ a^1 (y z)^{\frac{2-m}{m-1}} + b^2 (x z)^{\frac{2-m}{m-1}} + c^2 (x y)^{\frac{2-m}{m-1}} \right]
\]

expresión que será siempre positiva, exceptuando los valores 0 y 1 de \( m \).

De la expresión \( \left( \frac{d^2 u}{dx^2} \right) \) se deduce que habrá máximo para \( m < 0 \) y mínimo para \( m > 0 \).

El valor del máximo ó del mínimo es

\[
\sqrt{\frac{(2 S)^m}{a^m + b^m + c^m}}
\]

Si se trazan por M paralelas á los lados del triángulo ABC, cada lado quedará dividido en tres segmentos proporcionales á las potencias \( m^n \) de los lados. Cada segmento extremo corresponderá á la potencia \( m^n \) del lado adyacente; el segmento intermedio corresponde á la potencia \( m^n \) del lado sobre el cual se encuentra.

Tracemos por M las rectas DG, IF, HE, paralelas á los lados de ABC. Ya hemos demostrado que

\[
\frac{\text{área MBC}}{a^n} = \frac{\text{área MAC}}{b^n} = \frac{\text{área MAB}}{c^n}
\]

ó bien

\[
\frac{\text{área ADE}}{a^n} = \frac{\text{área AEC}}{b^n} = \frac{\text{área ABD}}{c^n}
\]

de donde se deduce

\[
\frac{DE}{a^n} = \frac{EC}{b^n} = \frac{BD}{c^n}
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 14

Los segmentos intermedios sobre cada lado son proporcionales a las potencias \((n + 1)a\) de los lados correspondientes.
De las relaciones que anteceden se obtienen

\[
\frac{DE}{a^{m+1}} = \frac{FG}{b^{m+1}} = \frac{HI}{c^{m+1}} = \frac{1}{a^m + b^m + c^m}
\]

Las rectas HC, EF, ID son paralelas á los lados del triángulo cuyos vértices son los asociados de M; pues AM\(_a\), por ejemplo, es la conjugada harmónica de AM respecto á los lados AB y AC; además AM pasa por el punto medio de HG.

Los dos triángulos M\(_a\) M\(_b\) M\(_c\) y M'\(_a\) M'\(_b\) M'\(_c\) son por consiguiente homotéticos; M es el centro y 2 su relación de homotecia. Los vértices del segundo triángulo están sobre las rectas AM, BM, CM.

Los triángulos ABC, M'\(_a\) M'\(_b\) M'\(_c\) son homológicos; M es su centro de homología. Se deduce (recíprocos de los teoremas de Pascal y Brianchon) que el exágono DEFGHI es á la vez inscriptible y circunscriptible en cónicas.

Si por M se trazan paralelas á los lados del triángulo de los puntos asociados y son D', E', F', G', H', I' los puntos de intersección de estas paralelas con los lados del triángulo ABC, se tendrá

\[
MD' = MG', \quad ME' = MH', \quad MI' = MF'
\]

Las rectas H'G', F'E', I'D', se cortarán dos á dos sobre las AM, BM, CM y serán paralelas á los lados del triángulo ABC. El exágono D'E'F'G'H'I' será inscriptible y circunscriptible.

Para \(m = 2\) las cónicas circunscritas á los dos exágonos mencionados se convertirán en los círculos de Lemoine.

(A. Krahe).

SUMA DE LOS RECÍPROCOS DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
por D. Elias Hernández

Sea el número \(N = a^x b^y \ldots l^\lambda\), descompuesto en sus factores primos.
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 15

Los recíprocos de todos los divisores del número N son los términos del producto

\[
\left[1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \ldots + \frac{1}{a^\alpha}\right] \left[1 + \frac{1}{b} + \frac{1}{b^2} + \ldots + \frac{1}{b^\beta}\right]
\]
\[
\ldots \left[1 + \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} + \ldots + \frac{1}{c^\lambda}\right]
\]

y este producto, es precisamente la suma que se busca, que podemos representar por \( \Sigma \).

Ahora bien, el primer factor

\[
1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \ldots + \frac{1}{a^\alpha} = \frac{\frac{1}{a^\alpha + 1} - 1}{\frac{1}{a} - 1} = \frac{1}{a^\alpha} \frac{a^\alpha + 1 - 1}{a - 1}
\]

y del mismo modo se tiene

\[
1 + \frac{1}{b} + \frac{1}{b^2} + \ldots + \frac{1}{b^\beta} = \frac{1}{b^\beta} \frac{b^\beta + 1 - 1}{b - 1}
\]
\[
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\]
\[
1 + \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} + \ldots + \frac{1}{c^\lambda} = \frac{1}{c^\lambda} \frac{c^\lambda + 1 - 1}{c - 1}
\]

luego

\[
\Sigma = \frac{1}{a^\alpha} \frac{1}{b^\beta} \ldots \frac{1}{c^\lambda} \frac{a^\alpha + 1 - 1}{a - 1} \frac{b^\beta + 1 - 1}{b - 1} \ldots \frac{c^\lambda + 1 - 1}{c - 1}
\]

y representando por S la suma de todos los divisores al número N, se tendrá

(1) \[ \Sigma = \frac{S}{N} \]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 16

Supongamos ahora que N sea un número perfecto, es decir, que

\[
N = S - N \quad \text{ ó } \quad 2N = S
\]

sustituyendo en la expresión (1), se tiene

\[
\Sigma = 2;
\]

luego
«La suma de los recíprocos de todos los divisores de un número perfecto es igual á 2.»

CORRESPONDENCIA

Extracto de cartas de los Sres Retali y Brocard con motivo de la solución de la cuestión 39 (véase (2) II pp. 33-38 y 66-68, 1900).

La courbe du quatrième ordre (et de huitième classe) fort intéressante, dont vous avez entrepris l'étude dans le dernier cahier du Progreso (pp. 33-38) de notre ami Mr. de Galdeano, appartient à la catégorie des quartiques que je puis étudier complètement par ma méthode de la transformation plane double spéciale. Comme plusieurs des résultats que je trouve par cette voie ne sont point aisés à obtenir par les méthodes usuelles, je me permets de vous en communiquer quelques uns dans le but de contribuer à l'étude de votre courbe que je crois, je le répète, fort intéressante à plusieurs égards. D'abord, je trouve, outre les singularités évidentes (nœud en A, point double isolé en B, tangentes doubles réelles en T et E) que la courbe possède

2 points d'inflexion réels,
2 tangentes doubles isolées,
0 rebroussement réel,
4 tangentes doubles imaginaires conjuguées.

Ce sont naturellement les tangentes doubles qui ont attiré mon attention.

Les deux tangentes doubles isolées sont la droite \( x = a \sqrt{3} \) et la droite de l'infini. Les points de contact de cette dernière sont les points circulaires.
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 17

Les deux bitangentes réelles que vous avez trouvées, dont les équations sont \( x + a \sqrt{3} = 0 \), et \( x - \frac{3a}{2} = 0 \), la bitangente isolée \( x - a \sqrt{3} = 0 \) et la droite de l'infini sont concourantes (ce qui est une particularité intéressante de votre courbe) et les huit points de contact sont sur un même cercle, dont l'équation est

\[
x^3 + y^3 + 2ax - 6a^3 = 0.
\]

De chacun des points doubles A et B partent quatre tangentes dont vous tracez les deux réelles issues de ces deux points, et qui sont AR et BP et leurs symétriques par rapport à AB.

Je construis les groupes entiers des tangentes issues de A et B et je trouve qu'ils forment deux faisceaux équianharmoniques, ce qui donne une autre particularité importante de votre courbe.

J'ai réussi à établir les équations des autres quatre bitangentes et les voici:

\[
y \sqrt{2} \sqrt{-3 \pm i \sqrt{3}} + 2x - a(3 \pm i \sqrt{3}) = 0,
\]
\[
y \sqrt{2} \sqrt{-3 \pm i \sqrt{3}} - 2x + a(3 \pm i \sqrt{3}) = 0.
\]

Elles vont se couper par couples sur l'axe AB aux deux points (imaginaires conjugués) marqués sur AB par le point-cercle B.

Il y a beaucoup d'autres relations entre les huit bitangentes qu'il serait trop long d'énoncer.

Voici d'autres propriétés remarquables de votre courbe.

Elle est anallagmatique par rapport au cercle de diamètre AB et au pôle \( y^{\infty} \) (point à l'infini de la perpendiculaire à AB) ce qui donne plusieurs résultats dignes de remarque, par exemple, R est l'orthocentre du triangle PAB, etc. mais ce qui est plus important, c'est que votre quartique appartient à la catégorie des courbes à deux points doubles dans lesquelles on peut inscrire des polygones (hexagones) de Steiner, autrement dit, si R, est un point arbitraire de la courbe, en le joignant au point double A, la droite [R, A] rencontre la courbe en un point que nous rappelons \( R_4 \). La droite [R, B] rencontre la courbe en un troisième point \( R_3 \). À son tour, la droite [R, A] donne un quatrième point \( R_4 \); [R, B] rencontre la courbe en \( R_5 \), et enfin [R, A] rencontre la quartique en \( R_n \) qui est en ligne droite avec B et \( R_1 \).
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 18

Comme les exemples des quartiques de cette espèce sont assez rares, je crois utile de signaler celui qui se présente chez votre courbe.

Je reviens à sa définition comme anallagmatique, et voici ce que j’en déduis.

Si \( J_1 \) est un point de la quartique, l’orthocentre \( J_s \) du triangle \( J_1 A B \) appartient aussi à la courbe. Le lieu des points milieux des segments \( J_1, J_s \) est le cercle \( C^* \) ayant pour centre \( A \) et pour rayon \( a \sqrt{3} \). Une construction fort simple de la quartique est par conséquent la suivante:

Le cercle dont le centre est \( J_0 \) (point arbitraire du cercle \( C^* \)) et qui est orthogonal au cercle fixe (AB) rencontre l’ordonnée de \( J_0 \) aux deux points \( J_1, J_s \). Il s’ensuit immédiatement la construction des tangentes en \( J_1, J_s \) etc.,

V. Retali.

Plusieurs des propositions énoncées par M. V. Retali peuvent être démontrées simplement et nous pensons que quelques remarques à leur sujet pourront avoir de l’utilité.

Seconde construction de la courbe.—Les deux cercles de base étant

1.º le cercle \( O^* \) décrit sur AB pour diamètre
\[
x^2 + y^2 - 2a x = 0
\]

2.º le cercle \( C^* \) de rayon \( a \sqrt{3} \) et dont le centre est en A
\[
x^2 + \beta^2 - 3a^2 = 0.
\]

On prend un point \( J_0 (x, \beta) \) de ce cercle et l’on trace le cercle, de centre \( J_0 \), orthogonal au précédent \( O^* \) et qui a donc pour rayon la longueur commune des tangentes issues de \( J_0 \) à ce cercle \( O^* \). Celui-ci a pour équation
\[
(x - x)^2 + (y - \beta)^2 = (a - x)^2 + \beta^2 - a^2
\]
Ce cercle rencontre la droite \( x = x \) aux deux points \( J_1, J_s \). L’équation du lieu des points \( J_1, J_s \) s’obtiendra donc par l’élimination de \( \beta \) entre les deux équations
\[
x^2 + \beta^2 - 3a^2 = 0,
\]
\[
y^2 - x^2 - 2\beta y + 2a x = 0,
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 19

ce qui donne \[ y^4 - x^4 + 2a x - 2y \sqrt{3a^2 - x^2} = 0, \]

qui se réduit à l'équation (M).

*Tangentes à la courbe aux points* \( J_1, J_2 \). — Aux points \( J_1, J_2 \), la quartique est évidemment tangente à la transformée, par rapport au cercle \( O^2 \), de l'élément du cercle \( C^1 \) en \( J_o \) ou de la tangente à ce cercle en ce point \( J_o \). On est donc naturellement amené à chercher ce qu'est cette transformée d'une droite \( \Delta \).

Pour plus de simplicité, on peut prendre le centre du cercle à l'origine. Alors la droite et le cercle ont pour équations

\[
y = m x + n, \quad x^2 + y^2 = a^2.
\]

Les points \( J_1, J_2 \) s'obtiennent par l'intersection de la droite \( X = x \) et de la circonférence

\[
(X - x)^2 + (Y - y)^2 = X^2 + Y^2 - a^2
\]

D'ailleurs

\[
Y = m X + n = m x + n
\]

Le lieu \( J_1, J_2 \) a donc pour équation

\[
y^2 - x^2 - 2m x y - 2n y + a^2 = 0
\]

qui représente une hyperbole équilatère, passant par A et B, ayant pour centre la projection de l'origine sur \( \Delta \), et dont les asymptotes sont les bissectrices de l'angle de \( \Delta \) avec \( OY \).

Les directions \( OY, \Delta \) sont diamétrales conjuguées. Autrement dit, les tangentes à l'hyperbole en \( J_1, J_2 \) concourent en un point de la droite \( \Delta \). Par suite, les tangentes à la quartique en \( J_1, J_2 \) concourent en un point de la tangente \( \Delta \) en \( J_o \) au cercle \( C^1 \).

Quant à la détermination effective de la tangente à l'hyperbole aux points \( J_1 \) es \( J_2 \), on l'obtiendra assez simplement par la construction suivante:

Joindre \( J_1 \) (on \( J_2 \)) aux points A es B. Mener par A es B des parallèles aux asymptotes qui rencontrent \( J_1 \) B et \( J_1 \) A en deux points \( V_1, V_2 \). La tangente en \( J_1 \) est parallèle à \( V_1, V_2 \). (Construction analogue pour \( J_2 \).
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 2

forma bastante complicada cuando se la escribe por medio de los seis parámetros de los vértices y de los lados, y no he tratado de escribirla por medio de los doce elementos \( \gamma \): prescindiendo ahora de ella. Me propongo pues, verificar la equivalencia de los cuatro grupos de relaciones (16-19) de los que cada uno comprende seis relaciones; haré ver al mismo tiempo que las fórmulas (20-21) resultan de las precedentes.

Para simplificar la escritura emplearé las notaciones siguientes:

\[
\begin{cases}
\tau(B, C) = a, & \gamma(B, C) = a', & \gamma(C, B) = a'', \\
\tau(C, A) = b, & \gamma(C, A) = b', & \gamma(A, C) = b'', \\
\tau(A, B) = c, & \gamma(A, B) = c', & \gamma(B, A) = c'',
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
\tau(\beta, \gamma) = A, & \gamma(\beta, \gamma) = A', & \gamma(\gamma, \beta) = A'', \\
\tau(\gamma, x) = B, & \gamma(\gamma, x) = B', & \gamma(x, \gamma) = B'', \\
\tau(\alpha, \beta) = C, & \gamma(\alpha, \beta) = C', & \gamma(\beta, \alpha) = C''
\end{cases}
\]

se tiene además

\[
\begin{cases}
a^2 = 1 - a'a'', & A^3 = 1 - A'A'', \\
b^2 = 1 - b'b'', & B^3 = 1 - B'B'', \\
c^2 = 1 - c'c'', & C^3 = 1 - C'C''
\end{cases}
\]

y, por hipótesis, las tres relaciones \( \frac{a}{A'}, \frac{b}{B'}, \frac{c}{C'} \) son del mismo signo.

(Estas cuestiones de los signos, en una figura, son de igual naturaleza que las que he estudiado en un opúsculo titulado: Géométrie dirigée. (1))

Escribiendo con estas notaciones las fórmulas (16-19), es preciso naturalmente tener presente que se tiene, por ejemplo,

\[
\tau(C, B) = - \tau(B, C) = - a,
\]

para (18-19) es preciso recordar que se tiene (12)

\[
\frac{1}{\tau}(B, C) = \frac{a'}{a}, \quad \frac{1}{\tau}(C, B) = \frac{a''}{-a'}
\]

(1) Librairie Nony, Paris.
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 20

Tangentes doubles.—Si la tangente \( \lambda \) est parallèle à OY, on voit qu’elle coïncide avec une tangente double de la quartique. Ainsi les droites \( x = a \sqrt{3} \), \( x = -a \sqrt{3} \) sont des tangentes doubles. La première touche la quartique en des points imaginaires, la seconde touche la quartique aux points T, T'.

D’ailleurs, la tangente double réelle \( x = \frac{3}{2} \) touche la quartique aux points E, E'.

L’abscisse du centre du cercle TT'EE' se détermine par la condition \( \frac{3}{4} + \left( \frac{3}{2} + x \right)^3 = 3 + 2 \sqrt{3} + (\sqrt{3} - x)^3 \), d’où \( x = 1 \), ce qui donne pour équation de ce cercle

\[
x^2 + y^2 + 2ax - 6a^2 = 0.
\]

Orthocentres des triangles J₁ A B, J₂ A B.—Le fait de la situation des quatre points A, B, J₁, J₂ sur une hyperbole équilatère et sur deux cordes rectangulaires de cette conique revient à dire que ces quatre points forment un groupe orthocentrique, autrement dit, que J₁ est l’orthocentre du triangle J₁ AB.

C’est d’ailleurs ce qui résulte aussi de l’équation (M), car il est aisé de voir qu’elle est vérifiée par les substitutions \( x_1 = x \), \( y_1 = \frac{(2a - x)x}{y} \), qui représentent les coordonnées de l’orthocentre du triangle MAB.

Hexagone de Steiner.—Il est intéressant de reconnaître que le tableau des points remarquables de la quartique (p. 37) renferme un groupe de six points (ou leurs symétriques désignés par la lettre accentuée) pouvant définir un hexagone de Steiner. En effet, partant du point I, et joignant IA, on obtient le point H'; et ainsi de suite, comme le montre le tableau suivant.

    1
    I
    IA
    H'

    2
    H'
    H'B
    M'

    3
    M'
    M'A
    L

    4
    L
    LB
    K

    5
    K
    KA
    N

    6
    N
    NB
    I
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 21

Rien ne distingue les points doubles A et B. On aurait donc pu commencer par IB aussi bien que par IA; cela revient à suivre le périmètre dans l'ordre INKLM'H' au lieu de H'M'LKNI, ce qui est évidement indifférent.

On ne peut prendre pour sommets de l'hexagone les points qui correspondent à des tangentes passant par A et B ou parallèles à OX ou à OY. Cela élimine les points R, Z, T, E, P, J et leurs symétriques par rapport à AB.

Remarque.—Au sujet des poligones de Steiner, voir G. Salmon, Courbes planes, traduct. Chemin (Paris, 1884) § 282, pp. 356-357, où il est fait mention du Mémoire de Steiner, Geometrische Lehrsitz, paru au Journal de Crelle (t. XXXII, p. 186; 1886).

H. Brocard.

(Concluirá).

Sobre el punto de Gergonne de las cónicas inscritas en un triángulo

Recordaremos que á un punto M \((x_1, y_1, z_1)\) del plano de un triángulo ABC corresponde una cónica circunscrita cuya ecuación es

\[
x_1 y s + y_1 x s + z_1 x y = 0 \tag{1}
\]

y que en la cónica circunscrita al triángulo cuyos puntos de contacto con los lados son A', B', C', las rectas AA', BB', CC', se cortan en un punto \(G (f, -^1 g^{-1}, h^{-1})\); punto de Gergonne de la cónica inscrita

\[
f^* x^2 + g^* y^2 + h^* z^2 - 2 g h y s - 2 f h x s - 2 f g x y = 0 \tag{2}
\]

Sabemos además que la condición para que una recta

\[
A x + B y + C z = 0
\]

sea tangente á (2), es

\[
\frac{f}{A} + \frac{g}{B} + \frac{h}{C} = 0 \tag{3}
\]

Lo que precede nos permite demostrar facilmente el siguiente teorema:
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 22

Si el punto de Gergonne recorre una cónica circunscrita, la cónica inscrita queda constantemente tangente á la polar de M con respecto á la cónica circunscrita, (polar lineal de M respecto al triángulo).

En efecto expresaremos que el punto G se halla en (1), sustituyendo en dicha ecuación las coordenadas generales por las de G; llegaremos así á la condición

\[
f x_1 + g y_1 + h z_1 = 0 \tag{4}
\]

pero si teniendo en cuenta la (3) escribieramos la condición de tangencia entre la recta polar trilineal de M

\[
\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} + \frac{z}{z_1} = 0
\]

y la cónica (2), volveríamos á encontrar la (4). Queda demostrado el teorema.

Entre sus casos particulares mencionaremos los dos siguientes:
Si el punto de Gergonne recorre la circunferencia circunscrita al triángulo, la cónica inscrita toca constantemente á la recta de Lemoine. (Solución á la cuestión 1251 de «Mathesis» propuesta por el Sr. Lemoine en el último número de dicha Revista, Enero de 1900).

Cuando el punto de Gergonne se mueve sobre la elipse circunscrita de Steiner, la cónica inscrita será tangente á la recta en el infinito. (Véase la cuestión 288 de El Progreso Matemático, propuesta también por el Sr. Lemoine).

A. Krahe

ÁREA DEL DODECÁGONO REGULAR

Nota con motivo de la cuestión 111, por M. H. Brocard.
(Véase t. III pág. 72)

Desde la publicación, en el tomo de 1893 pp. 110, 220 y 236 de varias demostraciones acerca de la medida del área del dodecágono regular, igual al triplo de la del cuadrado del radio del
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 23

círculo circunscripto, la casualidad me ha hecho encontrar un dato que proporciona una interesante noticia acerca de esta proposición. La obtengo de una obra titulada: Mémoires des Jésuites, par l’abbé Grosier. Paris, t. III, 1792, pp. 364-369.

El área del dodecágono es los \( \frac{3}{4} \) del cuadrado circunscrito.

ARTICLE X.

Lettre au P. B. Jés., sur une découverte en Géométrie
(pp. 364 366. 1 pl.)

Permettez. moi de vous faire part. M. R. P., d’ une découverte en Géométrie, dont un jeune étranger, M. Cruds, Suisse de naissance est l’Auteur. Vons savez que la Quadrature des Polygones est un de ces Problèmes qui ont toujours fait le désespoir des Géomètres. C’est une énigme qu’ une foule de laborieux Œdipes a tenté vainement jusqu’ ici d’ expliquer. La difficulté, ou plutôt l’ impossibilité de calculer l’ Apothème qui est un des éléments de cette Quadrature, a toujours fait regarder le Problème comme insoluble. Aussi, personne aujourd’ hui ne daigne-t-il s’en occuper sérieusement; et M. Cruds publie hautement que ce n’ etoit pas là son objet. Las de sécher sur un Problème de planimétrie, dont il avoit la solution fort à cœur, et, piqué de ne pouvoir le résoudre, il étoit près de l’abandonner, lorsque tout-à-coup, par un des plus bizarres et des plus singuliers effets du hasard qui furent jamais, il s’ apperçoit qu’ il a quarré le Décagone. Je n’entreprends pas, M. R. P., de vous exprimer la joie dont il fut pénétré: on l’imagine aisément. Rappellez-vous les transports d’ Archimède. Il est vrai que ceux de M. Cruds n’ ont pas été si vifs. Plus maître de ses passions que le Géomètre de Syracuse, il n’ a pas commis, comme lui, la gravité des Mathématiques. Fidèle au climat qui l’a vu naître, il a su se contenir, ou s’il a crié: Je l’ai trouvé, ce n’est qu’a un petit nombre d’Illustres, à la célébrité desquels il a cru devoir cet hommage. J’ignore par où j’ai pu mériter la même attention de sa part. Se- rois-je donc aussi Géomètre? Quoi qu’ ilen soit, j ai cru ne pouvoir mieux répondre à la confiance dont il m’a honoré, qu’ en vous adressant sa découverte.

Je suis etc.