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El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 35

es el punto-círculo V. Puesto que \( C^2 \) pasa por O, por la cuártica correspondiente se separa la polar de O respecto al punto-círculo, esto es, la recta o perpendicular á \( |OV| \) en el punto V, y la curva restante es una cúbica que pasa por los cuatro puntos comunes á los dos círculos \( C^2 \) y V. Esta cúbica es pues circular y tiene á V por foco singular (esto es las tangentes en los puntos cíclicos concurren en V), es tangente á o en el punto V y O es punto doble. Las tangentes en O pasan por los puntos de intersección de \( C^2 \) con o, y son por esto ortogonales. A la recta r, simétrica de o respecto á O, corresponde, en la inversión indicada, la elipse cuyo eje menor es OV y tiene un contacto cuadrí-punto en O con \( C^2 \), por consiguiente r es asíntota de inflexión, etc. Para obtener las intersecciones de la estrofoide con una recta dada g, se corta \( C^2 \) con la \( G^2 \), correspondiente á g, y los tres puntos que tienen las cónicas comunes, además del O, proyectados desde O sobre g, dan los puntos buscados. Análogamente, para obtener las intersecciones de la estrofoide con una cónica \( K^2 \) que pasa por O y por V, basta construir la cónica \( K^2 \), correspondiente á \( K^2 \) y cortarla con \( C^2 \), etc. (*)

CUESTIÓN 8.

Siendo A, B dos puntos de una elipse, P el punto de encuentro de las normales á la curva en estos dos puntos; C, D los pies de las otras dos normales que se pueden trazar por el punto P:
1.º Hallar el lugar que describe el centro de la hipérbola equilátera que pasa por los cuatro puntos A, B, C D cuando la secante A B se mueve paralelamente á sí misma.
2.º Demostrar que el punto D' diametralmente opuesto al punto D, se halla con A, B, C en una misma circunferencia; y hallar el lugar de los centros de esta circunferencia, cuando la recta A B se mueve como en el primer caso.

(Lille. Concours académique. 1876).

(*) La cónica \( K^2_1 \) forma con \( K^2 \) un par de Pappo, y se construye facilmente.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 36

Solución por el Sr. Kraae (A.)

1.º Sean \( \alpha, \beta \) las coordenadas de P. Las tangentes en los puntos A, B se cortarán en un punto \( P' (\alpha', \beta') \); para que A B se mueva paralelamente así misma bastará suponer que \( P' \) se muove sobre un diámetro de la elipse, es decir, que siendo m una constante se tenga

\[
\beta' = m \alpha'.
\]

(1)

La normal en un punto \((x, y)\) de la elipse tiene por ecuación

\[
c^2 xy - a^2 y \xi + b^2 x \eta = 0.
\]

Si ha de pasar por el punto \((\alpha, \beta)\) sustituiremos en lugar de las coordenadas generales \( \xi, \eta \) las de P, y se tendrá

\[
c^2 xy - a^2 \alpha y + b^2 \beta x = 0
\]

(2)

que es la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por los pies de las normales trazadas desde P. Su centro vendrá dado por las ecuaciones

\[
c^2 y + b^2 \beta = 0,\ c^2 x - a^2 \alpha = 0.
\]

(3)

Además se sabe (*) que las coordenadas de P y de P' están ligadas por las relaciones

\[
\beta = \frac{c^2 \beta' (\alpha'^2 - a^2)}{\alpha^2 \beta'^2 + b^2 \alpha'^2}, \quad -\alpha = \frac{c^2 \alpha' (\beta'^2 - b^2)}{\alpha^2 \beta'^2 + b^2 \alpha'^2}
\]

(4)

Eliminando \( \alpha, \beta, \alpha', \beta' \) entre (1), (3) y (4) tendremos el lugar de los centros de las hipérbolas equiláteras.

\[
(m a' y - b^2 x)(y - m x) = \frac{m a^2 b^2 (b^2 - a^2 m^2)^2}{(b^2 + a^2 m^2)^2}
\]

Esta ecuación representa una hipérbola cuyas asíntotas son los diámetros de la elipse cuyas ecuaciones son

\[
y = m x, \quad y = \frac{b^2}{a^2 m} x.
\]

2.º La demostración de que los puntos A, B, C, D' se hallan en una circunferencia (círculo de Joachims'hal) se encuentra en algunos manuales de Analítica. (**)

(*) Véase, por ejemplo, De Longchamps, Géométrie Analytique.
(**) Además de la mencionada obra de Longchamps, puede verse el artículo que el señor Guimaraes publicó en El Progreso Matemático (pp. 14-18, t. I, 2.ª serie).
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 37

Para un punto \((\alpha, \beta)\) las coordenadas de los centro de las dos circunferencias de Joachimsthal que pasan por \(A, B, C, D'\) y por \(A, B, D, C'\) respectivamente, verifican la relación

\[
4 x y = \alpha \beta \tag{5}
\]

obtenida multiplicando el doble de la abscisa por el doble de la ordenada del centro, deducidas ambas coordenadas de la ecuación de la circunferencia de Joachimsthal.

Como los centros de ambas circunferencias deben estar situados en la perpendicular levantada á la recta \(AB\) por su punto medio, sus coordenadas verificarán la ecuación de dicha perpendicular

\[
v - \frac{m a' b'}{b^2 \alpha' + m a^2 \beta'} = \frac{a^2 m}{b^2} \left( x - \frac{a^2 b^2}{b^2 \alpha' + m a^2 \beta'} \right) \tag{6}
\]

Si se eliminan \(\alpha, \beta, \alpha', \beta'\) entre las cinco relaciones (1), (4), (5), (6) se tendrá una ecuación de 8.º grado descomponible en dos de 4.º (Los cálculos no presentan dificultad y los omitimos).

Cada uno de los centros de las circunferencias \(ABCD'\), \(ABDC'\) describe una curva de 4.º orden. (*)

CUESTIÓN 238 (Véase t. IV, pág. 343)

Dos ángulos rectos giran al rededor de sus vértices fijos A y B, sus lados se encontrarán dos á dos en puntos M, N, P, Q. Estudiar las curvas descritas por tres de estos puntos cuando el 4.º se mueve sobre una paralela á AB. Generalizar.

(J. Gillot).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Más generalmente, si dos ángulos de magnitud invariable MAN y MNB giran alrededor de sus vértices respectivos A y B, de manera que el punto N, común á dos lados, permanezca sobre una recta fija DE, la intersección M de los otros dos lados describirá una cónica (véase Cremona-Dewulf Géométrie projective § 282, 1875).

La demostración resulta inmediatamente de que los haces engendrados por los rayos móviles AM y AN, AN y BN, BN y BM son proyectivos.

Este teorema fué dado por Newton bajo el nombre de descripción orgánica de las cónicas. (Libro I de los principios, lema XXI).

(*) En la Revista Mathesis de los Sres Mansion y Neuberg, tomo III, 2.ª serie, páginas 259, 60 y 61 se ha publicado una solución de la misma cuestión por el Sr. Mariulen.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 38

Si se obtiene sobre la recta AB que une los vértices de los dos ángulos dados, un segmento capaz de un ángulo igual á la diferencia entre cuatro rectos y la suma de los dos ángulos dados, la cónica será una hipérbola, una elipse ó una parábola, según que la recta DE corte al círculo en dos puntos, ó lo sea exterior ó le sea tangente.

Si los ángulos dados, son rectos, serán suplementarios. Entonces la cónica será una hipérbola (Mac Laurin, Geometría orgánica. Londres, 1720, sect. I).

Esto sentado, la cuestión puede tratarse sencillamente por el análisis.

Ejes: ABX, ADY. Sean AB = a, AD = b DN = f.

\[
AN \quad y = \frac{b}{f} x, \quad BN \quad y = \frac{b}{f-a} (x-a)
\]
\[
AM \quad y = -\frac{f}{b} x \quad BM \quad y = \frac{a-f}{b} (x-a).
\]

Lugar de los puntos M \( x^2 - ax - by = 0 \)

Parábola \( y = \frac{a^2}{2b} \), cuyo eje es \( \frac{a}{2} \), mediatriz de AB, y cuyo vértice es \( x = \frac{a}{2} \).

La curva pasa por los puntos A y B.
Lugar de los puntos P. \( b(x^2 + y^2) - axy - abx + a^2 y = 0 \).
Cónica cuyo género depende del signo de a discriminante \( a^4 - 4b^2 \).
Si \( a > 2b \), la curva es una hipérbola que pasa por A y B. Cuando el punto N se halla en la intersección de DE con la circunferencia descrita sobre AB como diámetro, AN y BM son paralelas. Se obtienen así las dos direcciones de las asíntotas de la hipérbola.
Si \( a = 2b \), el lugar es una parábola.
Si \( a < 2b \), el lugar es una elipse; el caso del círculo es ilusorio, porque corresponde á \( a = 0 \), y entonces no hay problema.

Lugar de los puntos Q: \( b(x^2 + y^2) + axy - abx = 0 \).

Igual discusión.

Dejamos al lector el estudio del caso en que los ángulos dados son cualesquiera y en que la recta DE no es paralela á AB.

CUESTIÓN 289

Si una hipérbola equilátera se halla inscrita en un triángulo ABC,
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 39

el punto de Gergonne está en la curva cuya ecuación en coordenadas normales es

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{2 \cos A}{yz} + \frac{2 \cos B}{xz} + \frac{2 \cos C}{xy} = 0
\]

(E. Lemoine).

Solución por el Sr. Kranz (Agosto)

La ecuación de una cónica inscrita en ABC es

\[
f^2 x^2 + g^2 y^2 + h^2 z^2 - 2 gh yz - 2 fh zx - 2 fg xy = 0 .
\]

Para que la cónica sea hipérbola equilátera se ha de cumplir la condición

\[
f^2 + g^2 + h^2 + 2 gh \cos A + 2 fh \cos B + 2 fg \cos C = 0 \tag{1}
\]

Las coordenadas del punto de Gergonne son

\[
\frac{x}{f-1} = \frac{y}{g-1} = \frac{z}{h-1} \tag{2}
\]

eliminando f, g, h entre (1) y (2), resulta la ecuación del enunciado.

CUESTIONES PROPUESTAS

315 Sobre los lados de un triángulo ABC como bases se construyen tres triángulos isósceles equivalentes A₁, B₁C₁, B₁CA₁, C₁AB₁. Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ se cortan en los vértices de un triángulo A₂B₂C₂. Demostrar que los puntos A₃, B₃, C₃ describen tres hipérbolas que tienen tres puntos comunes, á saber, el ortocentro, el baricentro y el recíproco del ortocentro. Las perpendiculares bajadas desde A, B, C sobre B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ concurren en un punto que describe la hipérbola equilátera inversa de la recta de Euler. Los puntos A₁, B₁, C₁ pueden estar en línea recta.

(J. Neuberg).

316 Se toman, sobre los lados BC, CA, AB de un triángulo tres longitudes variables BA', CB', AC' tales que se tenga siempre
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 4

Veamos cuales son los puntos asociados á algunas cónicas circunscriptas.

Círculo circunscripto. Su ecuación es \( a^2 \beta \gamma + b^2 \alpha \gamma + c^2 x \beta = 0 \); luego su punto asociado es \( -\frac{x}{a^2} = \frac{\beta}{b^2} = \frac{\gamma}{c^2} \) ó sea el primer punto algébricamente asociado al punto de Lemoine.

La elipse de Steiner tiene por ecuación

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 0
\]

y su punto asociado tendrá por coordenadas

\[
\frac{x}{-1} = \frac{\beta}{1} = \frac{\gamma}{1}
\]

está pues algébricamente asociado al centro de gravedad.

La hipérbola de Kiepert tiene por ecuación baricéntrica

\[
(b^2 - c^2) \beta \gamma + (c^2 - a^2) x \gamma + (a^2 - b^2) x \beta = 0
\]

y el punto correspondiente es

\[
\frac{\alpha}{c^2 - b^2} = \frac{\beta}{c^2 - a^2} = \frac{\gamma}{a^2 - b^2}
\]

está por consiguiente algébricamente asociado al recíproco del punto de Steiner.

Podemos inversamente encontrar las cónicas circunscriptas asociadas á puntos notables del triángulo, así \( p . e \) al punto de Lemoine corresponde la hipérbola

\[
a^2 \beta \gamma - b^2 \alpha \gamma - c^2 x \beta = 0.
\]

Si consideramos que el punto P se aleja al infinito según una dirección asignada, las pedales serán paralelas á esta dirección que podemos fijar por la distancia (con su signo) del punto C al en que la ceviana trazada por B paralela á las pedales corta al lado AC. Si llamamos \( \delta \) á esta magnitud, la ecuación de la dicha ceviana será

\[
\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\delta}{b - \delta}
\]

y su punto el infinito tendrá por coordenadas

\[
\frac{x}{z} = \frac{\delta}{-b} = \frac{\gamma}{b - \delta}
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 40

BA' . BC = CB' . CA = AC' . AB. Construir los focos y las directrices de las parábolas envolventes de las rectas A'B', B'C', C'A'.

(J. Neuberg.)

CUESTIONES NO RESUELTA S DE LA I.a SERIE

Enunciados de las cuestiones de la «Nueva Correspondencia Matemática»

21. Se dan en un mismo plano una elipse y otra cónica que pasa por el centro de la primera. Se trazan en la elipse dos diámetros conjugados que la cortan en los puntos A,B,A',B' y que cortan la cónica en los puntos C, D;
  1.º Demostrar que a cuerda CD pasa por un punto fijo F, cualquiera que sea el sistema de diámetros conjugados que se haya elegido.
  2.º Hallar el lugar que describe el punto F, cuando se supone que la cónica gira al rededor del centro de la elipse, permaneciendo ésta fija.
  3.º Construir los dos lugares precedentes, en el caso particular en que la cónica es una hipérbola equilátera cuyo eje transverso es igual al eje mayor de la elipse y en la que un vértice real coincida con el centro de esta elipse.

(Lille Concours académique. 1877).

26. Construir la curva que tiene por ecuación, en coordenadas rectangulares

\[(4a - y)^3 = 27a (x^3 + y^3)\]

Si se hace rodar esta curva sobre un eje fijo \(y = a\) suponiéndose ligado el origen de las coordenadas á esta curva, vendrá á un punto M:
Se trata de expresar la distancia P al eje fijo, así como su distancia r al punto de contacto, en función del ángulo en que la curva haya girado.
Si, á partir del punto fijo O, se lleva sobre la perpendicular al eje fijo una longitud OA = p, y se traza por A una recta AB paralela á r (MR), de manera que se tenga OA = OB, el punto B describirá una curva cuya ecuación se pide.

(Grenoble, Concours académique. 1878).
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 5

luego la ecuación de las cónicas obtenidas por pedales paralelas será

\[
\delta \beta \gamma + b \alpha \gamma + (\delta - b) \alpha \beta = 0
\]

(1)

geométricamente se ve que el centro de todas estas cónicas (al variar el parámetro \( \delta \)) es el punto medio del lado BC, como comprueba también el cálculo, escribiendo las ecuaciones \( f'_\alpha = f'_\beta = f'_\gamma \) que dan \( \frac{x}{0} = \frac{\beta}{1} = \frac{\gamma}{1} \).

La función \( \Delta_1 \) tiene por valor \( \Delta_1 = b(b - \delta) \), así la cónica es ellipse ó hipérbola, según sea \( \delta \) mayor ó menor que \( b \), si \( \delta \) es igual á \( b \), la cónica se reduce á dos rectas á saber: el lado AB y la paralela á este trazada por C.

Se vé inmediatamente que las cónicas pasan por el vértice A* del triángulo anticomplementario, es decir, que están circunscritas al paralelogramo que tiene AB y AC por lados adyacentes.

Las paralelas á las asíntotas trazadas por A, es decir las direcciones asíntóticas se obtendrán eliminando \( \alpha \) entre la ecuación (1) y la \( \alpha + \beta + \gamma = 0 \) que representa la recta del infinito, así estas paralelas tienen por ecuaciones

\[
\beta \sqrt{b - \delta} + \gamma \sqrt{b} = 0 \\
\beta \sqrt{b - \delta} - \gamma \sqrt{b} = 0
\]

de modo que se obtendrán las asíntotas trazando por el medio de BC paralelas á dichas rectas.

Si en lugar de dar la dirección de las pedales, se dan las coordenadas de un punto de la cónica, se obtiene inmediatamente la ecuación de ésta, que queda determinada, puesto que al dar un punto se fija la dirección de las pedales.

Se encuentra fácilmente (y omitimos el cálculo en gracia á la brevedad) que entre las coordenadas \( \alpha_1, \beta_1, \gamma_1 \) del punto dado y el parámetro \( \delta \) existe la relación

\[
\delta = \frac{b \alpha_1 (\beta_1 - \gamma_1)}{\beta_1 (\alpha_1 + \gamma_1)}
\]

y la ecuación de la cónica toma la forma

\[
\alpha_1 (\beta_1 - \gamma_1) \beta \gamma + \beta_1 (\alpha_1 + \gamma_1) x \gamma - \gamma_1 (\alpha_1 + \beta_1) \alpha \beta = 0.
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 6

Haciendo variar en la ecuación (1) el parámetro \( \delta \), se obtienen naturalmente diversas cónicas circunscriptas que se pueden someter á ciertas condiciones, así \( p \cdot e \) si queremos obtener una hipérbola equilátera la obligaremos á pasar por el ortocentro ó bien estableceremos que las asíntotas son ortogonales, esta condición nos dá la igualdad

\[
(b - \delta) b^2 - b c^2 = 0 \quad \text{de donde} \quad \delta = \frac{b^2 - c^2}{b}
\]

obtenemos pues la hipérbola cuya ecuación es:

\[
(b^2 - c^2) \beta \gamma + b^2 \alpha \gamma - c^2 \alpha \beta = 0
\]

que está circunscripta al triángulo, es equilátera (y como tal pasa por el ortocentro) pasa por el primer punto algébricamente asociado al centro de gravedad, es decir por el vértice A' del triángulo anticomplementario y tiene su centro en el medio del lado BC.

Las paralelas á las asíntotas trazadas por A tienen por ecuaciones \( c \beta - b \gamma = 0 \) y \( c \beta + b \gamma = 0 \) y son, por consiguiente las bisectrices interior y exterior del ángulo A. Obtendremos pues las asíntotas trazando por el medio de BC paralelas á dichas bisectrices, sus ecuaciones son por lo tanto

\[
(c - b) \alpha - (b + c) \beta + (b + c) \gamma = 0 \\
(b + c) \alpha + (b - c) \beta + (c - b) \gamma = 0.
\]

La tangente en A tiene por ecuación \( c^2 \beta - b^2 \gamma = 0 \), es decir, que pasa por el punto de Lemoine.

Volviendo á considerar la ecuación

\[
\alpha' \beta \gamma - \beta' \alpha \gamma - \gamma' \alpha \beta = 0
\]

de la cónica asociada al punto P (\( \alpha', \beta', \gamma' \)) debemos observar que si el punto P describe una recta L, todas las cónicas asociadas pasan por un mismo punto, que es el que tiene por pedal dicha recta, esto que se ve inmediatamente por la geometría, lo comproba el cálculo, pues si la ecuación de la recta L es

\[
m x + n \beta + p \gamma = 0
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 7

todo punto de esta recta verificará la condición

\[
m \alpha' + n \beta' + p \gamma' = 0
\]

y por tanto todas las cónicas correspondientes pasarán por el punto que tiene por coordenadas

\[
- \frac{\alpha}{m} = \frac{\beta}{n} = \frac{\gamma}{p}.
\]

Así, si el punto se mueve según la recta de Lemoine cuya ecuación es

\[
\frac{\alpha}{a^2} + \frac{\beta}{b^2} + \frac{\gamma}{c^2} = 0
\]

las cónicas asociadas pasarán por el primer punto algébricamente asociado el punto de Lemoine.

Si el punto describe la recta \( K H_0 \) (que une el punto de Lemoine al recíproco del ortocentro) las cónicas asociadas estarán circunscritas al cuadrilátero formado por los tres vértices del triángulo y el primer punto algébricamente asociado al punto de Steiner.

Si el punto camina sobre una intermedia, las cónicas pasan por el centro de gravedad.

A los puntos de la recta del infinito corresponden cónicas pasando por el vértice \( A^* \) del triángulo anticomplementario.

Por último, si se desea que las cónicas sean hipérbolas equiláteras, hágase mover el punto P sobre la recta que tiene por ecuación

\[
(b^2 + c^2 - a^2) \alpha - (a^2 + c^2 - b^2) \beta - (a^2 + b^2 - c^2) \gamma = 0
\]

en particular, el punto en el infinito de esta recta que tiene por coordenadas

\[
\frac{x}{b^2 - c^2} = \frac{\beta}{-b^2} = \frac{\gamma}{c^2}
\]

tendrá por cónica asociada la hipérbola que tiene por centro el medio del lado B C.

La Coruña, Febrero, 1900.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 8

SULLA QUISTIONE 264 (v. p. 63, Giugno 1899)

Se dan en un plano vertical, un punto A, una curva C y un hilo d plomo de longitud l, atado al punto A. Se propone obtener el lugar de las posiciones M de un estilo móvil que arrastra el hilo d plomo, de manera que el extremo B del hilo describa la curva C. Aplicaciones diversas.

(H. Brocard).

Prendendo per assi delle x e delle y rispettivamente la orizzontale e la verticale condotte pel punto A, se \( x \), \( y \) sono le coordinate di B e \( \xi \), \( \eta \) quelle di M, si trova facilmente

\[
\begin{cases}
x = \xi \\
y = l + \eta \pm \sqrt{\xi^2 + \eta^2};
\end{cases}
\]

la trasformazione considerata è dunque il prodotto di una traslazione \( l \) e della trasformazione piana doppia quadratica (speciale) definita dalle equazioni

\[
x' : y' : 1 = \xi : \eta \pm \sqrt{\xi^2 + \eta^2} : 1 \qquad \ldots \ldots (2)
\]
\[
\xi : \eta : 1 = 2x'y' : y'^2 - x'^2 : 2y' \qquad \ldots \ldots (2 \text{ bis})
\]

Quest'ultima è un caso particolare di un'altra che io ho studiato altrove (*) la conica limite coincide con la conica doppia ed entrambe degenerano nel punto-circolo \( O^2 \) il cui centro O è sulla verticale del punto A al di sotto e a una distanza \( \overline{AO} = l \); il polo (**) è il punto all'infinito \( y^\infty \) della retta |AO|; la trasformazione congiunta è una inversione d'Hirst (di seconda specie) avente per conica dei punti poppi il punto-circolo \( O^2 \) e per polo d'inversione \( y^\infty \). Denoteremo questa inversione col simbolo (H): due punti B, B' tra di loro corrispondenti sulla (H) sono sopra una medesima verticale e son visti da O sotto un angolo retto; il punto medio \( \beta \) del segmento BB' è, nel piano doppio, il corrispon-

(*) Sopra due particolari trasformazioni piane quadratiche. (Serie IV. T. X delle Mem. della R. Acc. di Bologna, 1890).
(**) Punto col quale sono allineate le coppie di punti congiunti.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 9

dente di B (e di B') considerato questo come punto del piano semplice. Reciprocamente al punto \( \beta \) del piano doppio corrispondono nel piano semplice i due punti BB'. Ciò posto, per avere il punto M corrispondente a \( \beta \) nella (1), basta prendere il punto \( \beta \) corrispondente a B nella (2 bis) e rialzarlo verticalmente di una lunghezza \( \overline{\beta M} = l \). E' chiaro che a due curve congiunte, cioè tali che si corrispondono l'una all'altra nella inversione (H), hanno la medesima trasformata nel piano doppio e mediante la (1).

Una retta arbitraria \( h \) del piano doppio è rappresentata nel piano semplice, in generale, da una conica \( H^a \) tangente in O alla polare di \( y^a \) rispetto al punto-circolo \( O^a \), passante pei due punti imaginari conjugati segnati sopra \( h \) da \( O^a \) e avente in questi due punti le tangenti dirette a \( y^a \), (loc. cit. § 3). In altre parole \( H^a \) è la iperbole equilatera normale in O alla retta [O \( y^a \)] e avente per centro la proiezione ortogonale di O sopra \( h \). I punti fondamentali del piano semplice sono \( y^a \) e i due infinitamente vicini riuniti in O sulla perpendicolare ad [O \( y^a \)]

Alle rette del piano semplice corrispondono coniche passanti per \( y^a \) bitangenti al punto-circolo \( O^a \) sulle rette medesime (loc. cit. § 11) ossia iperboli aventi tutte un fuoco in O e un'assintoto parallelo ad [O \( y^a \)]. Se N è la proiezione ortogonale di O sulla retta s, del piano semplice, la iperbole S\( ^a \) corrispondente ad s, ha O per fuoco, s per direttrice corrispondente, e la retta [N \( y^a \)] ne è un'assintoto. A rette parallele perpendicolari alla direzione \( y^a \) corrispondono parabole aventi quelle rette per direttrici ed O per fuoco.

Se una curva C del piano doppio è pensata come involuppo di una retta mobile \( h \), la curva corrispondente C' è l'involuppo della iperbole H\( ^a \) corrispondente ad \( h \): i due punti di contatto di H\( ^a \) con C' sono i due che corrispondono a quello ove la curva C è toccata da \( h \). Le intersezioni di C' con una retta arbitraria s si hanno proiettando sopra s da \( y^a \) le intersezioni di C con la iperbole S\( ^a \) corrispondente nel piano doppio ad s.

Le tangenti a C' nei punti BB' corrispondenti al punto \( \beta \) di C, sono le direttrici, corrispondenti al fuoco O, delle due iperboli aventi O per fuoco passanti per \( y^a \) e tangenti C, nel punto \( \beta \); sia \( k \) la tangente a C nel punto \( \beta \); e P la intersezione di \( h \) con la normale in O a [\( \beta \) O]: è facile vedere che [PB] e [PB'] sono le direttrici sopra accennate.

Sarebbe facile ora indicare anche costruzioni per le tangenti che