ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 29

Las fórmulas que acabamos de obtener indican claramente el camino que debe seguirse en la resolución gráfica ó numérica del problema. Conocemos en efecto, en dos casos la suma y en el tercero la diferencia de los lados \( m, n \), lo cual nos da para cada uno de los casos, un lugar geométrico (elipse ó hipérbola) en el que debe encontrarse el vértice desconocido.

Y como por otra parte, tenemos la ordenada de P sobre MN, ó sea la altura \( h \), dato del enunciado, nos queda el problema reducido á determinar la intersección de una elipse ó una hipérbola con una recta paralela á su eje focal.

Antes de seguir adelante, debemos hacer notar la incompatibilidad de la existencia de soluciones de los casos primero y tercero para un mismo sistema de datos. Es en efecto fácil deducirlo de las condiciones generales del triángulo \( p < m + n, p > n - m \), como también de la consideración de la elipse ó hipérbola correspondiente. Será pues condición necesaria (no suficiente) para el primer modo de solución que \( 2r < h \) y para la del tercero \( 2p > h \).

La fórmula del segundo caso no nos suministra ninguna indicación de posibilidad ó imposibilidad: la elipse correspondiente á dicho caso existe siempre.

Pasemos ya á las construcciones gráficas para cada modo de solución.

Primera solución: Que el círculo tangente sea interior al triángulo

Sobre la perpendicular en el punto medio á MN tomamos OI = r, OE = h. Uniendo M con I y prolongando y trazando por E la paralela á MN, tendremos en EA₁ la magnitud del semieje mayor, cuya expresión es

\[
\frac{1}{2} \frac{p(h - r)}{r}.
\]

En seguida determinamos los vértices A y B de la elipse, y ya podemos hallar su intersección con la recta EA₁ por cualquier procedimiento.

En la figura se ha hecho trazando las circunferencias cuyos radios miden los semiejes \( a \) y \( b \); y luego el radio OKL, cuya intersección con la segunda corresponde á la ordenada \( h \) y que corta á la primera determinando la abscisa del punto P.
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 3

Es digno de notar que el orden de la curva es siempre par y función simétrica de los números \( p, q \), así como el que las dos curvas \( \varphi = R \operatorname{sen} \left( \frac{p}{q} \omega \right) \) y \( \rho = R \operatorname{sen} \left( \frac{q}{p} \omega \right) \) sean del mismo orden.

El teorema demostrado origina la siguiente cuestión:
¿Cuántas especies distintas de rodóncas del orden dado N existen?
Naturalmente N debe suponerse par.
Sea \( f(N) \) el número hallado. Este es evidentemente igual á la suma de los otros dos \( f_1(N) \) y \( f_2(N) \); el primero es el número de los pares distintos de números impares primos entre sí, que satisfacen á la condición
\[
p + q = N
\]
el otro es el número de los pares de números, el uno par y el otro impar, que satisfacen á la relación

\[
2(p + q) = N
\]

Ocupémonos ante todo de la (2).

Debiendo ser \( p \) y \( q \) primos entre si, cada uno de ellos será también primo con N; viceversa, tomado arbitrariamente un número \( u \), primo con N y \( < N \), se podrá tomar \( p = u \) y \( q = N - u \). Por esto el número de los pares de números que satisfará á la (2) es igual al de los números inferiores á N y primos con éste. Por lo que, adoptando un símbolo introducido por Gauss en la teoría de los números (3), se concluye

\[
f_1(N) = \varphi(N)
\]

Pasemos á la (3). Siendo N par, se puede escribir

\[
p + q = \frac{N}{2}
\]

Y como \( p \) y \( q \) deben ser, el uno par y el otro impar, esta ecuación es imposible si \( \frac{N}{2} \) es par; luego

\[
f_1(N) = 0 \quad \text{si } \frac{N}{2} \text{ es par}.
\]

Pero, si \( \frac{N}{2} \) es impar, y á todo número primo con \( \frac{N}{2} \) y menor que él corresponde una solución de la (3'); luego
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 30

La recta E A₁ corta á la elipse en dos puntos que nos dan valores cambiados para m y n. Si tomásemos la ordenada \( h = OE \) en sentido opuesto, tendríamos otras dos posiciones para P, pero los mismos valores para m y n, resultando así que aun cuando aparecen cuatro puntos P como soluciones del problema, son á lo sumo dos los triángulos que podemos considerar como resultados distintos: es decir, dos admitiendo que la igualdad exige la posibilidad de la superposición por un movimiento en el plano, y uno si consideramos suficiente para la igualdad que puedan superponerse por un movimiento cualquiera (primero en su plano y luego de rebatimiento).

* * *

Segunda solución: Círculo tangente exterior al triángulo, tocando á MN dentro de su longitud.

El lugar geométrico correspondiente á este caso será también una elipse cuyo eje mayor es

\[
2a = \frac{(h + r)p}{r}
\]

Para la construcción gráfica levantaremos también la perpendicular á MN en su punto medio tomando en distinto sentido \( OE = h, OI = r \). Trazaremos por E una paralela á MN, y uniendo I con N, tendremos en ella EA₁ igual al semieje mayor.

Determinaremos pues los vértices A y B de la elipse, y ya con ellos, obtenemos, del mismo modo que antes, el punto P.

En cuanto al número de soluciones que dá esta forma de resolución, las consideraciones son las mismas que en el caso anterior y, podemos ya adelantarlas, las mismas también que en el siguiente.

Había aquí ocasión de completar las condiciones de posibilidad de las soluciones primera y segunda. Aunque no hay dificultad para ello, no es necesario hacerlo. La aplicación del procedimiento dado para determinar la elipse nos dirá sin gran pérdida de tiempo cuando hay ó no intersección con la paralela á MN, en otros términos, cuando b es mayor ó menor que h.
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 31

Tercera solución: El círculo tangente toca á MN en su prolongación. El punto P se hallará sobre una hipérbola cuyos focos son M, N y cuyo eje transverso es \( \frac{(h - r) p}{r} \)

ó bien \( \frac{(r - h) p}{r} \),

pues sabemos que \( h \) puede ser mayor ó menor que \( r \).

Esta magnitud del semieje real se obtiene como en las elipses de los casos anteriores, con el auxilio de la recta NI.

Y ahora, conocida la hipérbola por sus focos y sus vértices, nos resta determinar donde cortará á la recta A₁ A'₁.

Para ello nos fundamos en la existencia de las directrices de la hipérbola. Sabemos en efecto que, siendo D la intersección de A₁ A'₁ con una de las directrices, únicamente necesitamos buscar sobre A₁ A'₁ los puntos cuyas distancias á D y al foco correspondiente N estén en la relación de la excentricidad con el eje transverso \( \left( \frac{c}{a} \right) \).

El punto D lo obtenemos facilmente uniendo A₁ con I y prolongando, porque se tendrá

\[
\frac{ED}{a} = \frac{a}{c} \quad \text{o sea} \quad ED = \frac{a^2}{c},
\]

valor de la abscisa de la directriz.

(Concluirá).

CUESTIONES PROPUESTAS

270 Siendo ABCD un cuadrilátero circunscripto á un círculo de radio \( r \), los lados AD y BC se cortan en E, los lados AB y CD en F. Sean \( a, b, c, d \) los segmentos determinados por los puntos de contacto.
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 32

Calcular en función de \(a, b, c, d\) las longitudes EC, ED, FA, FD y la recta que une los medios de las diagonales AC, BD.

(J. Neuberg).

271 Un triángulo RKP inscrito en un círculo C' tiene dos vértices R y K fijos, el lugar de los pies P_1 y P_2 de las bisectrices KP_1 y KP_2 del ángulo RKP y de su suplemento es una estrofoide C' tangente en R y con el nodo en K; construir la asíntota, las tangentes en el nodo y en los puntos P_1, P_2. Hallar el lugar de: punto común á estas dos tangentes en P_1 y P_2.

(V. Retali.)

272 Por los medios L, M, N de los lados de un triángulo ABC se trazan perpendiculares á estos lados; tómense sobre ellas en magnitud y en signo las longitudes LA' = MB' = NC' = \(\lambda\); debiendo ser positivas LA', MB', NC', si A', B', C' están al mismo lado de BC, de CA, de AB, respectivamente que A, B, C.
Esto sentado —1.º Demostrar que A' B' C' están en línea recta para los valores \(\frac{R + d}{2}\) y \(\frac{R - d}{2}\) de \(\lambda\).
2.º Demostrar que el área del triángulo A' B' C' tiene un valor mínimo para \(\lambda = \frac{R}{2}\), y calcular los lados de este triángulo y su área.
R es el radio del círculo circunscrito, d la distancia de los centros del círculo circunscrito y del círculo inscrito en el triángulo ABC. Estudiar las mismas cuestiones suponiendo que dos de las longitudes LA', LB', LC' tienen cierto signo y la otra el signo contrario.
El centro de gravedad de A'B'C' describe una recta.

(E. Lemotne.)

273 Sobre los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC se toman los puntos D, E, F que dividen estos lados en una misma razón m y los puntos D', E', F' que los dividen en otra razón n. Demostrar que las rectas trazadas por D', E' F' paralelamente á AL, CF, BE ó á CF, BE, AD, ó á HE, AD, CF concurren en un punto M, ó N ó P.

(H. Van Aubel.)

274 Si sobre los tres lados de un triángulo ABC se toman los puntos D, E, F que los dividen en una misma razón, las paralelas á AD, BE, CF ó á BD, CF, AD ó á CF, AD BE, trazadas por los vértices A_1, B_1, C_1 del primer triángulo de Brocard pasan por un mismo punto M, ó N, ó P.

(H. Van Aubel).
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 4

\[
f_2(N) = \varphi\left(\frac{N}{2}\right) \quad \text{si } \frac{N}{2} \text{ es impar.}
\]

Y puesto que \( f(N) = f_1(N) + f_2(N) \), concluimos que el número hallado se expresa por \( \varphi(N) \), si \( N \) es un múltiplo de 4, ó bien se expresará por \( \varphi(N) + \varphi\left(\frac{N}{2}\right) \), si \( N \) es el doble de un número impar.

EJEMPLOS:

I. \( N = 2; \quad f(N) = \varphi(2) + \varphi(1) = 1; \quad \frac{p}{q} = 1 \)

II. \( N = 4; \quad f(N) = \varphi(4) = 2; \quad \frac{p}{q} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1} \)

III. \( N = 6; \quad f(N) = \varphi(6) + \varphi(3) = \varphi(2)\varphi(3) + \varphi(3) = 4; \quad \frac{p}{q} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \)

IV. \( N = 8; \quad f(N) = \varphi(8) = 4; \quad \frac{p}{q} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{1} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} \)

NOTAS

(1) Florum geometricum Manipulus (Phil. Trans. 1723).
(2) Flores geometrici (Florent. 1728).
(3) Gauss Disq. arithmeticae (1801) art. 38.

SOBRE LOS CÍRCULOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
por D. Juan J. Durán Loriga
Comandante de Artillería

Advertencia.—Por haberse hecho una omisión importante, reproducimos el siguiente párrafo:
Los ejes radicales de los círculos \( r, r', r'' \), combinados dos á dos, son las tres rectas isobáricas
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 5

\[
(p_a - p_b) \alpha + (p_b - p_c) \beta + (p_c - p_a) \gamma = 0 \\
(p_b - p_c) \alpha + (p_c - p_a) \beta + (p_a - p_b) \gamma = 0 \\
(p_c - p_a) \alpha + (p_a - p_b) \beta + (p_b - p_c) \gamma = 0
\]

De esto se concluye que el centro radical de los círculos \( \epsilon, \epsilon', \epsilon'' \) es el centro de gravedad G de A B C. Si uno de los círculos pasa por G, los otros dos pasan igualmente por este punto.

El punto G tiene pues, un papel importante (creo que no se ha dado todavía á conocer) en su relación con los diferentes círculos del triángulo.

La ecuación del círculo ortotómico de \( \epsilon, \epsilon', \epsilon'' \) es

\[
\sigma : \frac{b^2 + c^2 - (p_a + p_b + p_c)}{3} - \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

y su radio tiene por expresión

\[
\delta = \frac{1}{3} \sqrt{3(p_a + p_b + p_c) - m^2}
\]

(Continuación)

Para la construcción geométrica de los círculos asociados á un círculo \( \epsilon \), se puede observar que su centro \( r_1 \), (consideramos, por ejemplo el primer círculo asociado), es el centro radical de los círculos cuyos centros son A, B, C y \( \sqrt{p_b} = B t', \sqrt{p_c} = C t', \sqrt{p_a} = A t' \) sus radios, siendo Bt', Ct', At las tangentes trazadas desde B, C, A al círculo \( \epsilon \). Además, el círculo \( \epsilon' \) es ortotómico á los círculos (A), (B), (C).

Observamos que la construcción es válida, aunque los parámetros \( p_a, p_b, p_c \) sean negativos, los círculos (A), (B), (C) son imaginarios, pero puede obtenerse su centro radical.

Se hará una construcción análoga para el segundo círculo asociado y los círculos semi-asociados (véanse las páginas siguientes) y de igual manera para los asociados y semi-asociados á un punto notable considerado como un círculo de radio nulo.

2. Examinemos algunos casos particulares:
1.º El círculo circunscripto á A B C (ó, en general, todo círculo concéntrico con el circunscripto) coincide con sus asociados.
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 6

2.º El círculo de Brocard y sus asociados tienen por ecuaciones

\[
\frac{\sigma}{m^3} \cdot (b^2 c^2 x - a^4 \beta \gamma) = 0
\]
\[
\frac{\sigma}{m^3} \cdot (a^2 c^2 x - c a^2 \beta \gamma) = 0
\]
\[
\frac{\sigma}{m^3} \cdot (a^4 b^2 x - c a^2 \beta \gamma) = 0
\]

Los ejes radicales de los pares \((\varepsilon', \varepsilon''), (\varepsilon, \varepsilon'), (\varepsilon, \varepsilon'')\) son respectivamente las rectas que unen el centro de gravedad G al reciproco del punto de Lemoine, al punto directo y al punto retrógrado de Brocard.

El círculo ortotómico tiene por ecuación

\[
\frac{\sigma}{3 m^4} \cdot \left( b^2 (b^2 + c^2) + c^4 \right) x - a^4 \beta \gamma = 0
\]

y su radio es

\[
\delta = \frac{1}{3} \sqrt{n^4 - q^4}
\]

3.º El primer círculo de M'Cay y sus asociados tienen por ecuaciones

\[
\frac{\sigma}{3} \left[ (b^4 + c^2 - a^2) x + a^2 (\beta + \gamma) \right] - a^4 \beta \gamma = 0
\]
\[
\frac{\sigma}{3} \left[ (b^4 + c^2 - a^2) \gamma + a^2 (x + \beta) \right] - a^4 \beta \gamma = 0
\]
\[
\frac{\sigma}{3} \left[ (b^4 + c^2 - a^2) \beta + a^2 (x + \beta) \right] - a^4 \beta \gamma = 0
\]

Los ejes radicales de \((\varepsilon', \varepsilon''), (\varepsilon, \varepsilon'), (\varepsilon, \varepsilon'')\) son respectivamente las medianas AG, BG, CG. Todo pasa de una manera análoga para los otros círculos de M'Cay.

Rayo del círculo ortotómico \( \delta = 0 \).

Tenemos, por consiguiente, nueve círculos que pasan por G.

4.º Círculos de Neuberg.
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 7

Los ejes radicales son las medianas del triángulo, el círculo ortotómico tiene por ecuación

\[
\frac{a}{3} : (b^2 + c^2 - 2a^2)x - a^2 \beta \gamma = 0
\]

y su radio

\[
\delta = \frac{1}{3} \sqrt{\gamma a^2 - (b^2 + c^2)}
\]

El eje radical del círculo ortotómico y del círculo circunscripto pasa por G, es la transversal recíproca del eje de homología de A B C con el segundo triángulo de Brocard.

5.º Círculo conjugado á A B C.
Los ejes radicales son la polar trilínea del punto de Steiner y sus isobáricos; la ecuación del círculo ortotómico es

\[
\frac{a}{6} : (b^2 + c^2 - a^2)x - a^2 \rho \gamma = 0
\]

y su radio

\[
\delta = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{2} m^2}
\]

el eje radical del círculo ortotómico con el círculo circunscripto es la polar trilínea del ortocentro.

6.º Los asociados del círculo de los nueve puntos de A B C tienen por eje radical la recta KG; el radio del círculo ortotómico es

\[
\delta = \frac{1}{2} \sqrt{-m^4}
\]

7.º Círculo de Longchamps.
Los ejes radicales son los mismos que hemos obtenido para el círculo conjugado. El radio del círculo ortotómico es doble del análogo del círculo conjugado.—El círculo anti-radical del círculo ortotómico con el círculo circunscripto pasa por G.—El círculo de Longchamps, el círculo ortotómico y el círculo circunscripto forman parte de un haz que tiene por eje radical la recta de Longchamps.
La ecuación del círculo ortotómico es
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 8

\[
\frac{\sigma}{3} (a^2 x + b^2 \beta + c^2 \gamma) + \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

8.º Círculos de Tucker.
Se puede escribir la ecuación de los círculos de Tucker bajo la forma (Véase mi memoria de Saint-Etienne)

\[
\frac{\sigma}{m^1} \cdot \varepsilon b^2 c^2 (b^4 + c^4 + a^4 K) (1 - K) x - \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

Los ejes radicales de los pares (\( \epsilon, \epsilon' \)), (\( \epsilon', \epsilon'' \)), (\( \epsilon, \epsilon'' \)) son respectivamente las rectas que unen el centro de gravedad al punto directo, al punto recíproco y al punto retrógrado de Brocard.
El primero y segundo círculo de Lemoine y el círculo de Taylor son casos particulares de los círculos de Tucker, corresponden respectivamente á \( K = 0 \), \( K = -1 \), \( K = 1 - \frac{m^2}{4 R} \), luego, etc. ect.

(Concluírd.)

LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

(Continuación)

Cada ciencia particular de las admitidas hasta el día, dentro de la Matemática, tiene su carácter propio; pero además se interna en alguna de las otras, ó más bien, todas se compenetran, ya que los conceptos generales las rigen por igual, y que solo difieren entre sí por su fin exclusivo, ó por su modo de llegar al mismo, permaneciendo idéntico el fondo substancial sobre que se desarrollan.
En los Elementos de Euclides rige el encadenamiento que establece el método ad absurdum y el carácter individual de las conclusiones, así como en su continuación sobre los porismas, por Chasles, adquiere un carácter sistemático, mediante los procedimientos proyectivos, ya consignan éstos la determinación de las entidades geométricas por el empleo de la relación anarmónica ó por el de la transformación lineal, que el Algebra de las formas posee, como procedimiento propio.
Considerando frente á la geometría pura la Geometría analítica ó cartesianas, vemos desde luego, que su concepto predominante
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 9

es el de las correspondencias entre las figuras geométricas y las ecuaciones, es decir, la traducción algorítmica de aquéllas, la sustitución del procedimiento directo de la geometría pura por otro más artificioso, pero en cambio más cómodo y en ocasiones más breve, menos intuitivo, pero más regular y uniforme.

Descartes sustituyó el cálculo á la construcción gráfica; y al método primitivo de las coordenadas cartesianas se unieron otros modos de representación que facilitaron el estudio analítico de la Geometría proyectiva.

En todas estas excursiones vemos, en suma, una correspondencia del elemento eminentemente subjetivo, número, con el elemento objetivo, perteneciente al espacio, ó sea el punto; y de las varias correspondencias entre ambos resultan todas las representaciones que constituyen la ciencia matemática.

Aun, en el mundo físico, hallamos medio de sustituir á la realidad un sistema ficticio de puntos, donde se encuentran masas y actúan las energías naturales, es decir, combinaciones de puntos y de números que ya entran en el dominio matemático, editando frente á la ciencia real una ciencia ideal(1), que á través de los siglos, ha sufrido diversas transformaciones, al derrumbarse y construirse sucesivamente sobre nuevas hipótesis, necesarias para armonizar los conceptos de la inteligencia con las realidades de la Naturaleza.

Y si por una marcha ascendente buscamos el ajustar el mundo externo al de nuestros conceptos, contrastando lo real con lo ideal, por otra dirección opuesta aspiramos á dotar de realidad las combinaciones que á priori contruye nuestra inteligencia.

La Combinatoria, rama superior y eminentemente abstracta, satisface estas aspiraciones extremas de la Matemática, concibiendo sobre las operaciones ordinarias del cálculo otras operaciones eminentemente formales, cuya materia ha de buscar en su proceso hacia lo concreto, y sobre las cantidades, objetos creados por nuestra razón, cuyas leyes ajustamos á las del mundo de las intuiciones, ya que éstas, adheridas al mundo sensible, permanecen en región inferior á lo que pueda producir la fuerza creadora de aquella superior facultad de nuestra inteligencia.

El Algebra de la lógica simbólica realiza de diversas maneras este fin, crea sus operaciones, conforme á nuestro modo de pensar,

(1) Huetel Cours de Calcul infinitesimal.
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Sobre una curva notable
por el Sr. Gomes Teixeira (F.)

Consideremos dos rectas fijas que formen un ángulo dado \( \omega \) y una recta móvil tal, que el segmento comprendido entre las rectas fijas tenga una longitud constante \( l \). La envolvente de la recta móvil es una curva cuya ecuación se obtuvo por Merlieux y Joachimsthal en los tomos I y VI de los Nouvelles annales des mathématiques. Respecto de esta curva, propone M. Barisien, en l'Intermédiaire des mathématiciens, una cuestión que tiene por objeto determinar el área limitada por ella.

Varias respuestas se presentaron, entre la cuales una nuestra fundada en la propiedad que tiene esta curva de ser paralela á un astroide (Intermédiaire t. V. p. 160-163).

Ahora vamos á demostrar, por un método directo y puramente analítico, el resultado expuesto en el lugar mencionado.

Tomemos por ejes de coordenadas las rectas fijas, y sea

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
\]

la ecuación de la recta móvil. Esta recta corta á las rectas fijas en dos puntos, puntos cuya distancia \( l \) está dada por la ecuación

\[
l^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \omega.
\]
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 10

Dérivons ces équations par rapport à s, élevons au carré et sommons membre à membre les équations qui résultent. Si l'on rappelle en outre la relation (13), on trouve:

\[
\frac{1}{\tau^2} = \left( \frac{\rho - \tau'}{\rho^2 + \tau'^2} \right)^2
\]

On a donc les équations:

(14) \( s_1 = s, \quad \rho_1 = \frac{\rho}{\sqrt{1 + \left( \frac{\tau'}{\tau} \right)^2}}, \quad \tau_1 = \frac{1 + \left( \frac{\rho}{\tau} \right)^2}{\left( \frac{\rho}{\tau} \right)} \),

d'où l'on déduit aisément les autres:

(15) \( \rho = \frac{\rho_1}{\cos \left( \int \frac{d s_1}{\tau_1} + k \right)}, \quad \tau = \frac{\rho_1}{\sin \left( \int \frac{d s_1}{\tau_1} + k \right)} \),

\( k \) étant une constante d'intégration.

Les équations (14) nous apprendent qu'aux points de L où \( \frac{1}{\tau} = 0 \) correspondent, sur \( L_1 \), des points où \( \rho_1 = \rho, \frac{1}{\tau_1} = 0 \). Mais, à cause des équations (15), ces propriétés ne sauraient pas être vérifiées s'il n'était pas \( k = 0 \).
Une telle condition réduit les égalités (15) aux autres:

(16) \( \rho = \frac{\rho_1}{\cos \left( \int \frac{d s_1}{\tau_1} \right)}, \quad \tau = \frac{\rho_1}{\sin \left( \int \frac{d s_1}{\tau_1} \right)} \)

Les équations (14), (16) démontrent la propriété suivante:
*Une des lignes \( L, L_1 \) définit complètement l'autre.*

Les équations (14) font voir que \( \tau_1 \) et \( \frac{\rho_1}{\rho} \) sont deux fonctions du rapport \( \frac{\rho}{\tau} \). Il suit que si l'on considère toutes les *lignes courbes*
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 11

L'qu'on origine d'une ligne donnée \( L_0 \), en déformant sa développable rectifiante de façon à conserver rectilignes les génératrices, et si l'on construit leurs lignes dérivées \( L_1 \): 1) les rayons de torsion correspondants de ces lignes \( L_1 \) sont égaux; 2) le rapport \( \frac{p_1}{\varphi} \) est le même dans tous les points des lignes \( L \) dérivant d'un même point de la ligne originaire \( L_0 \).

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il résulte

\[
\frac{\varphi}{\tau} = \frac{s}{a}
\]

est

\[
\tau_1 = \frac{s_1^2}{a} + a.
\]

Donc: La ligne \( L_1 \), dérivée d'une géodésique d'un cône, a pour rayon de torsion le rayon de courbure d'une chaînette, et vice versa.

On déduit de l'équation (13):

\[
\frac{1}{\rho_1} = \sqrt{\frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\tau^2}}
\]

Par conséquent: la courbure totale (*) d'une ligne est égale à la courbure ordinaire de la ligne dérivée.

On peut appliquer ce théorème à la recherche des lignes courbes, dont la courbure totale est une constante ou une fonction donnée de l'arc.

En supposant \( \tau = \) constante \( = k \), on a:

\[
\rho_1 = \frac{k \rho}{\sqrt{k^2 + \tau^2}}, \quad \tau_1 = \frac{k^2 + \rho^2}{k \tau}.
\]

Si donc \( R_1 \) est le rayon de la sphère osculatrice de \( L_1 \), on a:

\[
R_1 = \sqrt{\rho_1^2 + \tau_1^2} = k.
\]

(*) Aoust—Analyse infinitésimale des courbes de l'espace.