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El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 7

trale della generatrice PC e poniamo: \( PC = r', \ PA = r' \). La formula data da Enneper è:

\[
\frac{1}{r' r''} = \frac{1}{R'^4} \sin^4 \omega + \frac{1}{R''^4} \cos^4 \omega.
\]

I quattro punti P, C, C_1, C_2 formano un' involuzione di cui il punto A è punto centrale. È dunque:

\[
AP : AC_1 = AC_2 : AC
\]

ossia:

\[
AP \cdot PC : AP + PC_1 = AP + PC_2 : AP
\]

e quindi:

\[
\frac{1}{r'} \left( \frac{1}{R'} + \frac{1}{R''} \right) - \frac{1}{R' R''} = \frac{1}{r' r''}.
\]

Se al posto di R' ed R'' nella parentesi poniamo i raggi di curvatura principali R_1', R_1'' nel punto P e scriviamo la relazione precedente sotto la forma:

\[
\frac{1}{R' R''} - \frac{1}{R_1' R_1''} = \frac{1}{R} \left[ \frac{1}{R'} + \frac{1}{R''} - \frac{1}{R_1'} - \frac{1}{R_1''} \right]
\]

vediamo che se due superficie si raccordano lungo una curva c_1, in ciascuno dei punti di questa curva il rapporto fra la differenza delle curvature totali e la differenza fra le curvature medie è uguale al doppio della curvatura normale. Se la curva c_1 è una geodetica della superficie e ne è δ_1 il ragio di torsione e φ l'angolo di due tangenti coniugate in P, δ:

(7)

\[
\rho_1 = r' \tg \varphi.
\]

Ma se c_1 è invece una curva qualunque della superficie e ne è φ_1 l'angolo formato dalla tangente in P e dalla sua coniugata ed R_1 il ragio di curvatura in P della sezione normale, è:

(8)

\[
\frac{1}{r_1} \sen \varphi_1 = \frac{1}{R_1}
\]

ed indicando con \( \frac{1}{\gamma_1} \) la torsione geodetica di c_1 in P:

(9)

\[
\frac{1}{r_1} \cos \varphi_1 = - \frac{1}{\gamma_1}
\]
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dalle quali deduciamo:

(10) \[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{R_1^2} + \frac{1}{\gamma_1^2}
\]

Per una seconda curva \( c_s \), passante per \( P \), indicando con \( \varphi_s \) l'angolo della tangente e della sua coniugata e con \( R_s \) il raggio di curvatura della nuova sezione normale, avremo:

(11) \[
\frac{1}{r_s} \sin \varphi_s = \frac{1}{R_s} \cos \theta - \frac{1}{\gamma_s} \sin \theta
\]
(11') \[
\frac{1}{r_s} \cos (\varphi_s - \theta) = - \frac{1}{\gamma_s}
\]

essendo \( \gamma_s \) la torsione geodetica secondo la curva \( c_s \), e \( \theta \) l'angolo che la tangente in \( P \) fa con una delle tangenti coniugate ortogonali.

Dalle (8), (9), (11), (11') ricaviamo:

(12) \[
\frac{1}{r_s} \sin \varphi_s = \frac{1}{R_s} \cos \theta - \frac{1}{\gamma_s} \sin \theta
\]
(12') \[
\frac{1}{r_s} \cos \varphi_s = - \left( \frac{1}{\gamma_s} \cos \theta + \frac{1}{R_s} \sin \theta \right)
\]

che danno l'espressione analoga alla (11):

(11') \[
\frac{1}{r_s^2} = \frac{1}{R_s^2} + \frac{1}{\gamma_s^2}
\]

Tanto questa che la (11) mostrano che il quadrato della flessione secondo una data curva è misurata dalla somma dei quadrati della curvatura della sezione principale e della torsione geodetica.

Se i due angoli \( \varphi_1 \) e \( \varphi_2 \) sono uguali, è:
\[
\frac{1}{r_1} \sin \varphi_1 = \frac{1}{R_s}
\]
relazione che moltiplicata membro a membro colla (8) dà:
\[
\frac{1}{r_1 r_s} \sin^2 \varphi_1 = \frac{1}{R_1 R_s}
\]
ed allora il rapporto fra il quadrato del seno dell'angolo formato
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dalla tangente in P e dalla sua coniugata ed il prodotto dei raggi di flessione rispetto alle due curve \( c_1 \) e \( c_2 \) è costante ed uguale al prodotto delle curvature delle due sezioni normali.

Le (8), (10), (9) e la relazione analoga a quest'ultima, cioè

\[
\frac{1}{r_2} \cos \varphi_2 = - \frac{1}{\gamma_2}
\]

danno:

\[
\frac{1}{r_1 r_2} \sin^2 \gamma_1 + \frac{1}{r_1 r_2} \cos^2 \varphi_1 = \frac{1}{R_1 R_2} + \frac{1}{\gamma_1 \gamma_2}
\]

poiché si è supposto : \( \varphi_1 = \varphi_2 \). Si ha di qui:

\[
\frac{1}{r_1 r_2} = \frac{1}{R_1 R_2} + \frac{1}{\gamma_1 \gamma_2}
\]

cioè, in questo caso particolare il prodotto delle flessioni secondo due direzioni arbitrarie è uguale alla somma dei prodotti delle curvature delle sezioni normali e delle torsioni geodetiche

Le (8), (12), (9), (12') in ultimo danno:

\[
\frac{1}{r_1 r_2} \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 + \frac{1}{r_1 r_2} \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 =
\]
\[
\frac{1}{R_1 R_2} \cos \theta - \frac{1}{R_2 \gamma_1} \sin \theta + \frac{1}{R_1 \gamma_2} \sin \theta + \frac{1}{\gamma_1 \gamma_2} \cos \theta
\]

ossia:
\[
\frac{1}{r_1 r_2} \cos (\varphi_1 - \varphi_2) = \cos \theta \left( \frac{1}{R_1 R_2} - \frac{1}{\gamma_1 \gamma_2} \right)
\]
\[
- \operatorname{scn} \theta \left( \frac{1}{R_1 \gamma_2} - \frac{1}{R_2 \gamma_1} \right)
\]

da cui:
\[
\frac{1}{r_1 r_2} = \frac{\cos \theta}{\cos (\varphi_1 - \varphi_2)} \left[ \frac{1}{R_1 R_2} - \frac{1}{\gamma_1 \gamma_2} \right]
\]
\[
- \frac{\operatorname{scn} \theta}{\cos (\varphi_1 - \varphi_2)} \left[ \frac{1}{R_1 \gamma_2} - \frac{1}{R_2 \gamma_1} \right]
\]

espressione del prodotto delle flessioni secondo le due curve \( c_1 \) e \( c_2 \).

Se le due curve \( c_1 \) e \( c_4 \) si segano sotto l'angolo costante \( \varphi \) e indichiamo con \( r_1, r_4 \) i loro raggi di curvatura in P, con \( v_1, v_4 \) i rag-