ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 22

5.º Considèrent que les grands efforts faits par Mr. le Professeur Peano et plusieurs de ses Confrères pour la propagation de la Logique mathématique et la publication d'un formulaire mathématique sont de nature à contribuer puissamment au but qu'il s'agit d'atteindre;
6.º Sont heureuses de constater le degré d'avancement du Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques, et, dans le même ordre d'idées, applaudissent à la publication si intéressante due à un groupe de mathématiciens hollandais et entre autres de monsieur P. H. Schoute, et qui est intitulée Revue semestrielle des Publications mathématiques;
7.º Estiment que la publication de l'Intermédiaire des Mathématiciens, depuis le commencement de 1894, a rendu et est appelée à rendre encore de très grands services en ce qui concerne les rapports des mathématiciens entre eux: expriment leur reconnaissance aux fondateurs, MM. Laisant et Lemoine, et se félicitent de voir que cette initiative a été due à deux des membres de l'Association française pour l'avancement des Sciences;
8.º Prennent en très sérieuse considération les réflexions présentées par Mr. Lémeray sur la possibilité d'établir des bibliothèques mathématiques, ayant pour objet de mettre des livres à la disposition des travailleurs éloignés des centres scientifiques.
9.º Décident que la question, sous la forme générale où elle a été rédigée, sera maintenue à l'ordre du jour des séances pour la session de Bordeaux en 1895.
Ces diverses résolutions ont été prises à l'unanimité des Membres présents.

QUESTIONES PROPUESTAS

206. Dado un triángulo cualquiera ABC, los simétricos de los lados AB, BC, CA respectivamente con relación á los lados BC, CA, AB forman un nuevo triángulo A'B'C'. Calcular los lados y el área de A'B'C'.

(J. Neuberg).

207. Construir un triángulo ABC conocidos el punto de Lemoine K, el vértice A y las direcciones de los lados AB, AC.

(J. Neuberg).

208. Se dan el vértice A y el ortocentro H de un triángulo ABC; el ángulo BAC se da en magnitud, pero es movible alrededor
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 23

de su vértice. Demostrar que los vértices B, C y el centro O del círculo circunscripto describen circunferencias; que la recta que une los pies de las alturas BH, CH envuelve una circunferencia, y que las medianas trazadas por B y C giran cada una alrededor de un punto fijo.

(J. Neuberg).

209. Desde un punto cualquiera O se trazan dos tangentes OA OB á una cónica. Sean AC, BD las cuerdas paralelas á OB, OA.
Demostrar que las rectas AB y CD son paralelas.

(J. Neuberg).

210. El vértice A y el medio del lado BC de un triángulo ABC permanecen fijos; el ángulo BAC se da en magnitud, pero gira alrededor de su vértice. Demostrar que los vértices B y C, los pies de las tres alturas, el ortocentro H, el centro del círculo circunscripto y el centro del círculo de los nueve puntos describen circunferencias; las alturas BH y CH giran cada una alrededor de un punto fijo.

(J. Neuberg).

211. Los puntos que dividen los cuatro lados de un pseudocuadrado en una misma razón son los vértices de un pseudocuadrado.
(Llamamos con M. Neuberg pseudocuadrado un cuadrilátero cuyas diagonales son iguales y perpendiculares).

(H. Van Aubel).

212. En un pseudocuadrado la recta que une los medios de dos lados opuestos es perpendicular á la que une los centros de los cuadrados construídos exteriormente sobre los otros dos lados y vale la mitad

(H. Van Aubel).

213. Si un lado de un triángulo es igual á la semisuma de los otros dos, la recta que une el centro de gravedad al centro del círculo inscripto es paralela á este lado é igual á \( \frac{1}{6} \) de la diferencia de los otros dos.

(H. Van Aubel).

214. Demostrar que en toda cúbica que tiene un punto doble, la
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 24

envolvente de una cuerda vista desde el punto doble, según un ángulo recto es una cónica (*).

(J. Gillet).

215. Dados en un mismo plano un círculo de centro O y una cónica que pasa por O; un radio variable trazado por O corta al círculo en dos puntos A₁ y A₄, y á la cónica en un punto variable P. Estudiar el lugar de los puntos dobles de la involución cuadrática {A₁, A₄; O, P}.

(V. Retali).

216. Dados en un mismo plano un círculo de centro O y una cónica que no pasa por O; un radio variable trazado por O corta al círculo en dos puntos A₁, A₂ y á la cónica en dos puntos variables P₁, P₂. Estudiar el lugar de los puntos dobles de las involuciones cuadráticas {A₁, A₂; O, P₁}, {A₁, A₂; O, P₂} (**).

(V. Retali).

217. Siendo A, B y C los ángulos de un triángulo y suponiendo á C constante, demostrar que el límite de la expresión

\[
\tg B (\cot A \cot C - 1) \quad \text{para} \quad B = 90^\circ
\]

es

\[
\lim \tg B (\cot A \cot C - 1) = - \frac{1}{\sen C \cos C}
\]

(Juan J. Durán Loriga).

218. En todo triángulo se tiene

\[
\frac{C_p}{a} = \frac{\cot \omega + \tg B (\cot A \cot C - 1)}{\cot B + \cot C}
\]

siendo C_p la proyección de c sobre a y ω el ángulo de Brocard del triángulo.

(Juan J. Durán Loriga).

219. Si á las rectas tA, tB, tC que unen el centro del círculo inscrito en un triángulo con los vértices se levantan las perpendiculares ta, tβ, tγ y se unen los puntos x, β, γ en que encuentran á una tangente cualquiera con los vértices correspondientes, las rectas Ax, Bβ, Cy concurren en un punto.

(Juan J. Durán Loriga).

(*) Es fácil dar una demostración analítica; se desea también una solución geométrica.
(**) Designamos con el símbolo {A₁, A₂; O, P} la involución cuadrática definida por los dos pares de puntos conjugados A₁, A₂ y O, P.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 4

che è centro di curvatura principale della superficie relativo all'altra linea di curvatura. Le distanze AM, AN saranno dunque i raggi di massima o minima curvatura della quadrica \( \Phi \) in A; e potranno ottenersi del pari, se si ribaltino i piani \( \mu \) e \( \nu \) sopra il piano \( \pi_1 \) (ad es.), e si effettui nei ribaltamenti delle rette \( a, x, m_1, m_2 \), e delle rette \( a, y, n_1, n_2 \), quel che si è detto di fare nelle loro proiezioni.

A giustificare le affermazioni suddette basterà considerare, che il piano \( \mu \equiv ax \) (per es.) contiene anche la normale \( a' \) alla quadrica nel punto immediatamente successivo ad A lungo la linea \( m \) (cfr. n. 3); e che quindi il punto comune alle due normali \( a, a' \), vale a dire il centro principale di curvatura coordinato ad \( m \) è il punto di contatto di \( a \) con la parabola involuppata dai raggi del complesso \( \Gamma \) esistenti in quel piano.

5. Dette \( g_1 \) ed \( r_1 \) le distanze AY (n. 3) e AM (n. 4); e rappresentando con \( \rho_1 \) il raggio di curvatura ordinaria della linea \( m \) in A, con \( \sigma_1 \) l'inclinazione del piano osculatore alla medesima in A sul piano tangente \( \alpha \); sussisteranno, come è ben noto le due relazioni:

\[
\frac{1}{g_1} = \frac{\cos \sigma_1}{\rho_1}, \quad \rho_1 = r_1 \sin \sigma_1
\]

cioè:

\[
\tan \sigma_1 = \frac{g_1}{r_1}, \quad \rho_1 = \sqrt{\frac{g_1^2 + r_1^2}{2}},
\]

per mezzo delle quali si può agevolmente costruire l'angolo \( \sigma_1 \) e la lunghezza \( \rho_1 \): ecc. ecc.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

(CONTINUACIÓN) (Véase t. IV, pág. 216).

Pero así como en la Geometría elemental cada triángulo lleva consigo implícitamente un triángulo simétrico, en las equipolencias, cada recta implica su conjugada, y los resultados de sus combinaciones por suma, multiplicación, división, etc., determinando una equipolen-
cia \( \frac{OA}{OB} = \frac{cjOA'}{cjOB'} \), triángulos simétricamente semejantes, y como consecuencias de estas extensiones de la determinación geométrica fundada en una extensión del cálculo algebraico al orden de las cantidades geométricas, deberemos citar las expresiones obtenidas para la
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 5

proyección de una recta sobre otra y para el área de un triángulo.

Siendo AC = \( a \varepsilon^{\gamma} \) y AB = \( b \varepsilon^{\beta} \), se tendrá para AB' simétrica de AB con respecto á AC:

\[
AB' = AB \varepsilon^{\beta} \times \varepsilon^{-2(\beta-\gamma)} = AB \varepsilon^{2\gamma-\beta}
\]

Por ser además P el punto medio de BB', se tendrá para la proyección AP de AB sobre AC la expresión

\[
AP = AH + HP = \frac{1}{2} AB \varepsilon^{\beta} + \frac{1}{2} AB \varepsilon^{2\gamma-\beta} =
\]
\[
= b \frac{\varepsilon^{\beta-\gamma} + \varepsilon^{\gamma-\beta}}{2} \varepsilon^{\gamma} = b \cos (\beta-\gamma) \varepsilon^{\gamma}
\]

En esta expresión observaremos que el coeficiente es \( b \cos (\beta-\gamma) \), conforme á una conclusión de la trigonometría, y \( \varepsilon^{\gamma} \) indica la dirección del segmento AP.

Aparte de notar cómo en esta teoría va explícita la dirección de las rectas, haremos notar una diferencia con la trigonometría. En ésta, como se sabe, el ángulo PAB se determina por una de las relaciones \( \frac{BP}{AB}, \frac{AP}{AB}, \frac{PB}{AP}, \frac{AP}{PB} \) que expresan las líneas trigonométricas, sin llevar estas expresiones huella de su posición que se indica por medio del lenguaje ordinario, entendiéndose que AP, BP son los catetos y AB la hipotenusa.

En las equipolencias la magnitud y la posición se hallan reunidas en las expresiones que, como se ha dicho, implican dos relaciones, la una de magnitud y la otra de posición.

En trigonometría, por ejemplo, conocidos AB = c y \( \angle PAB = \angle A \) queda determinado BP, y de esta determinación puede pasarse á la de BC = b ó de \( \angle C \) según se dé uno ú otro de estos elementos por las relaciones.

\( c \sin A = BP = a \sin C \) y, por ejemplo, \( a = \frac{C \sin A}{\sin C} \), pudiéndose continuar indefinidamente las determinaciones obtenidas por medio de encadenamientos de triángulos.

En las equipolencias se procede por expresiones que producen encadenamientos en que se conservan simultáneamente las relaciones de magnitud y de posición.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 6

Así se tiene (fig. 63):

\[
\frac{AB'}{AC} = \frac{\text{cj. } AB}{\text{cj. } AC} \quad \text{o} \quad AB' = AC \cdot \frac{\text{cj. } AB}{\text{cj. } AC}
\]

y siendo \( P \) el punto medio de \( BB' \), resulta:

\[
AP = \frac{1}{2} (AB + AB') = \frac{1}{2} \left( AB + AC \cdot \frac{\text{cj. } AB}{\text{cj. } AC} \right)
\]

obteniéndose para expresión de la recta \( AB \) sobre la \( AC \),

\[
AP = \frac{1}{2} \cdot \frac{AB \cdot \text{cj. } AC + AC \cdot \text{cj. } AB}{\text{cj. } AC}
\]

Además,

\[
BP = AP - AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC \cdot \text{cj. } AB - AB \cdot \text{cj. } AC}{\text{cj. } AC}
\]

y haciendo uso de dos relaciones, la una tomada de la Geometría elemental, á saber, que el producto \( BP \) por \( \text{cj. } AC \) expresa el doble \( 2s \) del área del triángulo, y la otra tomada de la teoría de las equipolencias, esto es, que si de una recta se resta su conjugada la diferencia tiene por inclinación \( 90^{\circ} \) á \( 270^{\circ} \) y por longitud el doble de la proyección de la recta sobre un perpendicular al origen de las inclinaciones, es decir, una expresión de la forma \( ki \), se obtiene:

\[
\pm 2s = \frac{1}{2i} (AC \cdot \text{cj. } AB - AB \cdot \text{cj. } AC)
\]

ó

\[
\pm s = \frac{i}{4} (AB \cdot \text{cj. } AC - AC \cdot \text{cj. } AB)
\]

Obtenidas todas estas expresiones en las que subsisten las relaciones que coexisten determinando las figuras, las reglas del cálculo son procedimientos de transformación que establecen nuevas determinaciones por un encadenamiento, mediante el cual la validez de la determinación última, ó de aquélla que hace explícitos los valores de las incógnitas queda justicado, análogamente á como en Geometría ó Trigonometría la determinación final se establece á través de encadenamientos de igualdades ó determinaciones de figuras, ó de sustituciones de elementos equivalentes.

Siendo las equipolencias un método ó sea un modo especial de tratar las cuestiones, tiene que encontrarse con otros métodos, y además de coincidir, como veremos, en algunos de sus detalles preliminares con los cuaternios, deberemos consignar los puntos de contacto
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 7

que tiene con el cálculo barioéntrico. Así, en el caso de ser M el punto medio de AB, de \( AM = \frac{1}{2} AB \) se deduce

\[
OM - OA = \frac{1}{2} (OB - OA) \quad (4) \qquad OM = \frac{1}{2} (OA + OB) \quad (5)
\]

expresión de la media aritmética de dos rectas OA y OB, y en general se tiene

\[
OM = \frac{1}{n} (OA_1 + OA_2 + \ldots + OA_n)
\]

para la media aritmética de n rectas; de manera que estas sumas de rectas con sus coeficientes respectivos son elementos del cálculo de las equipolencias.

Como aplicación del empleo de la media aritmética, citaremos la demostración del teorema: las tres medianas de un triángulo se encuentran en un mismo punto G, pues siendo AA' y BB' dos de las medianas y escribiendo AB=b, AC=c, resulta

\[
AG = xAA' = x \frac{b+c}{2}, \quad BG = yBB' = y \left( \frac{c}{2} - b \right)
\]
\[
AG = AB + BG, \quad x \frac{b+c}{2} = b + y \left( \frac{c}{2} - b \right),
\]

luego

\[
\frac{x}{2} = 1 - y, \quad \frac{x}{2} = \frac{y}{2}, \quad x = y = \frac{2}{3}
\]

cálculo á que se ha aplicado el principio que envuelve la fórmula fundamental (2) (*).

También debe notarse como de una importancia en este cálculo la extensión de relaciones de puntos en línea recta á relaciones análogas de puntos cualesquiera del plano, como de ello nos han ofrecido ejemplos las relaciones (4) y (5). Así, de la identidad

\[
b(d - c) + d(c - b) + c(b - d) = 0
\]

se concluye, para cualquier punto A, la equipolencia idéntica

\[
AB . CD + AD . BC + AC . DB = 0
\]

que expresa una propiedad del cuadrilátero ABCD.

Esta equipolencia trinomia, que debe identificarse con la

\[
MN + NL + LM = 0
\]

(*) Véase C. A. Laisant, Théorie et applications des équipolences.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 8

que representa un triángulo MNL. En el caso de ser

inc. (AB . CD) = inc. (AD . BC) ó inc. MN = inc. NL,

es decir

inc. AB + inc. CD = inc. AD + inc. BC, inc. AB - inc. AD
= inc. BC - inc. CD = 180° + inc. CB - inc. CD = 180° - (inc. CD) - inc. CB,
ó
DAB = 180° - BCD,

ó sea cuando los \( \angle DAB \) y BCD opuestos del cuadrilátero son suplementarios, entonces el tercer lado del triángulo es la suma de los otros dos ó
mg (AB . CD) + mg (AD . BC) = mg (AC . BD)

es decir, el producto de las diagonales es igual á la suma de los productos de los lados opuestos.

Ya que la demostración de este teorema geométrico nos ha permitido aplicar una de las reglas del cálculo de equipolencias, antes de concluir citaremos algunos ejemplos en que se aplican las demás.

Así para demostrar que si en un cuadrilátero los lados opuestos son paralelos, serán también iguales, en virtud de las expresiones de los lados paralelos.

\[
AB = x,\ DC = mx\ \text{y}\ AD = \beta,\ BC = n^2,
\]

resulta que
\( x + n\beta = \beta + mx \) ó \( (1-m)x = (1-n)\beta \), ó \( 1-m = 0 \) \( 1-n = 0 \), \( m = n = 1 \)
de manera que
\[
AB = DC\ \text{y}\ AB = BC
\]

En este ejemplo se han empleado las relaciones fundamentales (1) y (2).

Lo mismo ocurrirá al demostrarse que las diagonales de un parallogramo se dividen en partes iguales, designándose por \( \gamma \) y \( \delta \) los vectores equipolentes con dichas diagonales y \( \gamma_1, \delta_1 \), los vectores unitarios tomados en éstas, de manera que se tendrá
\[
AO = AB + BO,\ OC = OD + DC,
\]
\[
x\delta_1 = x + u\gamma_1,\ y\delta_1 = v\gamma_1 + x;\ (x-y)\delta_1 = (u-v)\gamma_1,
\]
\[
x = y\ \text{y}\ u = v,\ \text{ó}\ \text{sea}\ AO = OC,\ BO = OD.
\]

Z. G. de Galdeano.

(Se continuará).
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 9

SUR LA GÉNÉRALISATION DES CONGRUENCES NUMÉRIQUES
POR EL DR. GÉRÔME CORDOUE

La théorie des congruences irréductibles, telle qu'elle est développée dans le Cours d'Algèbre Supérieure de M. Serret, se rapporte exclusivement au cas où le module est un nombre premier.

Nous allons exposer ici plusieurs propositions, lesquelles ont pour but d'étendre cette théorie au cas général, où le module est un nombre entier quelconque.

1. Soit M un nombre entier quelconque; nous dirons qu'une fonction entière à coefficients entiers (*) \( F(x) \) est divisibles suivant le module M, par une autre fonction \( F_1(x) \), si l'on peut poser:

\[
F(x) = F_1(x) f(x) + M \lambda(x)
\]

\( f(x) \) et \( \lambda(x) \) étant deux fonctions entières, et le degré de \( \lambda(x) \) étant moindre que celui de \( F_1(x) \).

Une fonction \( F(x) \), dont le coefficient de plus haute puissance de \( x \) soit l'unité, nous la dirons irréductible suivant le module M, si elle n'est pas divisible, suivant ce module, que par elle même et par l'unité.

On dira que deux fonctions \( \varphi(x) \) et \( \psi(x) \). Sont premières entre elles suivant le module M, si elles ne sauraient être divisibles, suivant ce module, par une même fonction \( F(x) \); c'est à dire, s'il n'est pas possible de satisfaire identiquement aux deux relations suivantes

\[
\varphi(x) = F(x) f_1(x) + M \lambda_1(x) \qquad \psi(x) = F(x) f_2(x) + M \lambda_2(x)
\]

\( f_1, f_2, \lambda_1 \) et \( \lambda_2 \) étant des fonctions entières.

Par conséquent: Si deux fonctions sont irréductibles suivant le module M, elles sont à fortiori premières entre elles suivant ce module.

2. Proposition I. Si une fonction est irreductible suivant un module premier p, elle est irreductible suivant un multiple quelconque de p.

Proposition II. Soit \( F(x) \) une fonction première avec sa dérivée suivant chacun des modules premiers p, q, ..., s, si elle est irréductible suivant le module \( M = p^{k_1} q^{k_2} ... s^{k_s} \), elle est irréductible au moins suivant l'un des modules p, q, ..., s.

La fonction \( F(x) \) étant du degré m, supposons d'abord que M contienne un seul nombre premier, p, c'est à dire qu'on ait \( M = p^{k_1} \).

(*) Dans la suite, lorsque nous parlerons d'une fonction entière il s'agira toujours d'une fonction entière à coefficients entiers, ordonnée suivant les puissances descendantes de la variable x.
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SUR LA GÉNÉRALISATION DES CONGRUENCES NUMÉRIQUES
POR EL DR. GÉRÔME CORDOUÉ

(Continuación)

Soit m le degré de F(x); et appelons \( r_1, r_2, \ldots r_m \) les racines de la congruence
\[
F(x) \equiv 0 \pmod{p_i}
\]

La relation (17) nous apprend que ces m racines appartiennent toutes à la congruence
\[
\psi(x)\lambda_i(x) \equiv 0 \pmod{p_i}
\]
c'est à dire (parce que \( \psi(x) \) est première par hypothèse à F(x) suivant le module \( p_i \)) à la congruence
\[
\lambda_i(x) \equiv 0 \pmod{p_i}
\]

Mais cela est impossible car la fonction \( \lambda_i(x) \) est au plus de degré \( m-1 \), si ce n'est toutefois que la congruence (19) soit identique. On a donc
\[
\lambda_i(x) = p_i^{\nu_i}\lambda_i'(x)
\]
et à cause de (15)
\[
\psi(x) = F(x)\psi_i(x) + p_i^2\lambda_i'(x)
\]

Maintenant je vais démontrer que si \( \psi(x) \) est divisible par F(x) suivant le module \( p_i^\nu \) F(x) divisera \( \psi(x) \) suivant le module \( p_i^{\nu+1} (\nu < n_i) \).

En effet de la relation suivante, qui est vérifiée par hypothèse
\[
\psi(x) = F(x)\psi_i(x) + p_i^\nu\lambda_i(x)
\]
et de (14) on tire:
\[
F(x) \mid F(x) - \psi(x)\psi_i(x) = p_i^\nu\psi(x)\lambda_i(x) - p_i^{\nu+1}...p_i^{n_i}...\lambda(x)
\]
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 10

recta \( O_1O_2 \) que pasa por sus puntos medios \( m_1 \) y \( m_2 \), ó sobre el diámetro de (O) que le es perpendicular.

Después se tiene que construir el radio de homotecia de las circunferencias \((O_1)\) y \((O_2)\) cuyo segmento determinado por estas circunferencias sea igual á la tercera diagonal dada \( D_3 \).

Supongamos que se tenga

\[
D_1 > D_1 \quad \text{y} \quad R_4 > R_1,
\]

y que la cuerda real común de las circunferencias \((O_1)\) y \((O_2)\) es igual á la diagonal \( D_1 \). En este caso, la tercera diagonal \( D_3 \) pasará por el centro de homotecia directa c de estas circunferencias ó tendrá la dirección de uno de sus rayos de homotecia directa; y para determinar su dirección, se trazará una circunferencia concéntrica con la circunferencia \((O_3)\) que tenga por radio \( \Delta = R_2 - R_1 \).

Entonces, haciendo centro en O, con un radio igual á la magnitud de la diagonal \( D_3 \), se describirá un arco de círculo, que cortando á \((o_s)\) en un punto \( f \), el radio de homotecia directa cEF, paralelo á la recta \( O_1f \), será la dirección de la tercera diagonal \( D_3 \) del cuadrilátero buscado (Q).

Si se adopta la diagonal \( C'D' \) ó \( D_4 \) por cuerda real común de las dos circunferencias \((O_1')\) y \((O_2')\) entonces circunscritas á los triángulos \( D'E'C' \) y \( D'F'C' \) que tengan por radios \( R_4' \) y \( R_6' \), se trazará una circunferencia \((o'_s)\) concéntrica con \((O_3)\) y cuyo radio es

\[
\sigma = R_4' + R_6'
\]

El arco descrito desde \( O_1' \) como centro, con el radio \( \sigma \), cortando á esta circunferencia en un punto \( f' \), el radio de homotecia inversa Ec'F' paralelo á \( O_1'f' \) será la dirección de la tercera diagonal \( D_3 \) del cuadrilátero buscado (Q); designando c' el centro de homotecia inversa correspondiente á las circunferencias \((O_1')\) y \((O_2')\).

Se llega así á la construcción del mismo cuadrilátero (Q).

Discusión.— De la combinación de las tres diagonales \( D_1, D_2, D_3 \) dos á dos, suponiéndolas desiguales, resultan, en general, para el problema tres soluciones distintas.

Si una de estas diagonales es mayor que el diámetro \( 2R \) del círculo dado (O), y al mismo tiempo sus magnitudes desiguales están comprendidas entre los límites

\[
O_1O_2 - \Delta = \sigma - O_1'O_2' \quad \text{y} \quad O_1O_2 + \Delta = \sigma + O_1'O_2',
\]

que designaremos por \( l \) y \( L \), habrá solamente una solución.

Cuando estas diagonales desiguales sean menores que \( 2R \), habrá
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 11

dos soluciones ó una, según que una ó dos de éstas se hallen fuera de los límites l y L.

En el caso en que dos de estas diagonales desiguales sean mayores que 2R, no habrá solución; ocurrirá lo mismo si todas las diagonales se hallan fuera de los límites l y L, bien que sean menores que 2R.

No habrá tampoco solución en el caso en que se tenga D₁ = D₂ = D₃.

Si dos de estas diagonales son iguales entre sí, pero comprendidas entre las magnitudes l y L, y las tres entre los límites 0 y 2R, habrá una sola solución.

Como se sabe, las dos diagonales iguales, no podrían ser al mismo tiempo cuerdas de la circunferencia dada (O), sin que la tercera fuese de magnitud infinita, y entonces habría una infinidad de soluciones.

Uno de los círculos (O₁), (O₂) ó (O₁'), (O₂') tendrá un radio infinito ó reducido á la cuerda AB ó CD y su paralela en el infinito; y el centro de homotecia correspondiente sería uno de los extremos del diámetro de la otra circunferencia perpendicular á esta cuerda.

Observación. No entraremos en más detalles sobre otras relaciones que pueden presentarse entre las magnitudes de las diagonales, atendido á que es muy fácil obtenerlas, y á que prolongaríamos así inútilmente esta discusión.

Es muy fácil obtener los valores de los radios R₁, R₂; R₁', R₂' en función de las diagonales dadas y del radio R, igualmente dado, lo que nos dispensa así ocuparnos de ello, para determinar enseguida sus relaciones, como base de otra discusión.

CUESTIÓN 194
(Véase tomo IV, página 208).

Sobre los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC se toman los puntos A₁, B₁, C₁ tales, que BA₁ = m. BC, CB₁ = n. CA, AC = p. AB. Hallar la relación que debe existir entre m, n y p para que los medios de AA₁, BB₁, CC₁ estén en línea recta.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Schaffra Monteiro (A.)

Sean a, b, c los puntos medios de los lados BC, CA, AB del triángulo dado ABC.

Es claro que siendo los puntos medios μ, ν, ω de los vectores AA₁, BB₁, CC₁ las intersecciones de estos vectores con los lados bc, ca, ab del triángulo a, b, c complementario del triángulo dado, la cuestión propuesta se reduce á probar que estos puntos medios son las intersec-