ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 43

Los triángulos A'B'C', ABC tienen el mismo centro de homología que el triángulo ABC y el triángulo de las tres tangentes en los vértices de las parábolas, porque estas tres tangentes son paralelas á los lados de los triángulos ABC, A'B'C' y se hallan á iguales distancias de estas rectas.

Consideremos el vértice C'' del triángulo de que se trata. Este punto tendrá por coordenadas normales

\[
\frac{R}{\cos A} \sin 2B \sin 2C, \quad \frac{B}{\cos B} \sin 2A \sin 2C.
\]

Por consiguiente las tres rectas AA'', BB'', CC'' tienen por ecuaciones

\[
\frac{x \cos A}{\sin 2B} = \frac{\beta \cos B}{\sin 2A} \text{ etc.}
\]

ó

\[
x \sin 2A \cos A = \beta \sin 2B \cos B = \gamma \sin 2C \cos C
\]

Estas tres rectas concurren en el punto cuyas coordenadas normales son inversamente proporcionales á sen 2A cos A, etc.

Solución por el Sr. Sollertinski.(B.)

Siendo A' el foco de una parábola BC la directriz, las tangentes trazadas desde B y C son las bisectrices de los ángulos A'BC, A'CB y, por consiguiente, se encuentran en los cuatro centros inscriptos al triángulo A'BC.

Siendo A uno de los centros, el centro O del círculo ABC debe estar en el medio del arco BC del círculo A'BC, y el punto A está situado sobre la recta A'D.

El semi-parámetro \( p_a \) de la parábola, es decir, la distancia de A' á BC es igual á \( \frac{A'B.A'C}{2R'} \), designando R' el radio del círculo A'BC. Pero se tiene

\[
2R' = \frac{BC}{\sin BOC} = \frac{2R \sin A}{\sin 2A} = \frac{R}{\cos A},
\]

\[
\frac{A'B}{2R'} = \sin BOA' = \sin 2C; \quad A'C = 2R' \sin A'OC = \frac{R}{\cos A} \sin 2B
\]
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 44

luego \( p_a = \frac{R \sin 2B \cdot \sin 2C}{\cos A} \)

La distancia \( OA' = 2R'. \sin OBA' \),
pero
\( \angle OBA' = \angle OBC + \angle COA' = 90^\circ - A + 180^\circ - 2B = 90^\circ - (B - C) \)

luego \( OA' = \frac{R \cos (B - C)}{\cos A} \)

Sea \( \alpha \beta \gamma \) el triángulo formado por las tangentes en los vértices de las parábolas. A causa de las paralelas, las distancias \( x, y, z \) del centro de homotecia de los \( \Delta^* ABC, \alpha \beta \gamma \) á los lados de \( ABC \) son proporcionales á las distancias entre los lados correspondientes de los triángulos, es decir, á los cuartos de los parámetros; se tendrá pues, después de haber suprimido el factor común \( \frac{1}{2} R \sin 2A \sin 2B \sin 2C \),

\[
x : y : z = \frac{1}{\cos A \sin 2A} : \frac{1}{\cos B \sin 2B} : \frac{1}{\cos C \sin 2C}
\]

CUESTIÓN 211
(Véase tomo IV, pag. 279)

Los puntos que dividen los cuatro lados de un pseudocuadrado en una misma razón son los vértices de un pseudocuadrado.

(H. Van Aubel)

Solución por el Sr. SOLLERTIN-KY (B.)

Sean \( A', B', C', D' \) los puntos que dividen los lados de un pseudocuadrado en una razón dada; K, L los simétricos de \( B', C' \) con relación á los medios de BC y CD.

Siendo paralelas las rectas \( A'K \) y \( B'L \) á AC y BD, se tiene

\[
\frac{A'K}{AC} = \frac{BK}{BC}, \quad \frac{B'L}{BD} = \frac{CB'}{CB}
\]

de donde \( A'K = B'L \). Igualmente \( KC' = LD' \)

Siendo los lados \( A'K \) y \( B'L \), \( KC' \) y \( LD' \) de los triángulos \( A'KC' \) y \( B'LD' \) iguales y perpendiculares, lo mismo sucede á sus terceros lados \( A'C' \) y \( B'D' \).

OBSERVACIÓN. Si se hace variar la relación \( \frac{A'A}{A'B'} \), la intersección de las rectas \( A'C', B'D' \) describe una estrofoide (recta).
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 45

Solución por el Sr. Iturralde (D. M.)

Tenemos
\[
Aa = \frac{AB}{r};\ 3b = \frac{BC}{r};\ Cc = \frac{CD}{r};\ Dd = \frac{DH}{r}
\]

Se va á demostrar que las rectas \(ac\) y \(bd\) son iguales y perpendiculares.

Desde \(a\) tracemos la paralela á BD y desde \(c\) la paralela á AC. Es fácil demostrar que estas dos rectas se cortan en ángulos rectos en un punto \(e\) del lado AD(*).

Del mismo modo la paralela á AC desde \(d\) y la paralela desde \(b\) á BD se cortan en ángulo recto en un punto \(f\) de DC,

\[
bf = \frac{(BD)(r-1)}{r};\ ec = \frac{(AC)\ r-1}{r}
\]
\[
ae = \frac{BD}{r};\ df = \frac{AC}{r}
\]

\[
\left\{
\begin{array}{l}
bf = ec \\
ac = df
\end{array}
\right.
\]

y como AC=BD;

\(\triangle ace\) y \(\triangle dbf\) tienen los catetos iguales y perpendiculares entre sí luego las hipotenusas \(ac\) y \(bd\) son iguales y perpendiculares.

Solución por el Sr. H. Van Aubel

Sean \(B_1, B_2, B_3, B_4\) puntos que dividen en la misma razón los lados del pseudo-cuadrado \(A_1A_2A_3A_4\).

Tracemos \(B_1C\) paralela á \(A_2A_3\), \(B_2D\) paralela á \(A_3A_4\), construyamos los paralelogramos \(A_1A_3A_4E\), \(DA_2A_3F\), tracemos \(B_4G\) paralela á \(A_1E\) y unamos GF, DG. Es visible que \(B_1CB_2A_2\) es un paralelogramo, y como, á causa de la igualdad de los triángulos \(A_2B_2D, FB_3A_3\) los lados paralelos \(A_2B_2, B_3F\) son iguales, \(B_1CFB_3\) es también un paralelogramo.

Se tiene enseguida

(*) Pues si \(e'\) fuese el punto en que la paralela desde \(c\) encontrase á AD, se tendría
\[
\frac{aA}{AB} = \frac{Ae'}{AD},\ \frac{cC}{CD} = \frac{Ae'}{AD}\ y\ \frac{aA}{AB} = \frac{Ae'}{AD}
\]
es decir que \(e\) y \(e'\) se confunden.—L. R.
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 46

B_4G: A_1E = A_4B_4; A_4A_1 = A_2B_2; A_2A_3 y B_2D: A_3A_4 = A_2B_2; A_2A_3 de donde B_4G = B_2D. Siendo estas dos rectas paralelas, el cuadrilátero B_2DCB_4 es un paralelogramo.

Ahora, los triángulos DA_4G, CA_3F tienen los lados DA_4, A_4G iguales y perpendiculares á CA_3, A_3 F y semejantemente orientados, por consiguiente el lado DG ó B_2B_4 es igual y perpendicular á CF ó B_1B_3.

OBSERVACIÓN. También ha remitido una solución analítica el señor Caro y una análoga á las anteriores el Sr. Bozal.

CUESTIONES PROPUESTAS

241. Si una transversal corta á los tres lados de un triángulo ABC en A', B', C' y sobre las prolongaciones de AA', BB', CC' se toman los puntos D, E, F tales que

\[
\frac{AD'}{AA'} = \frac{B'E}{BB'} = \frac{C'F}{CC'} = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, ...
\]

el área del triángulo DEF será igual á 1, 3, 6, 10, 15.... veces el área del triángulo ABC.

241 bis. Si una transversal corta á los tres lados de un triángulo ABC en A', B', C' y sobre las prolongaciones A'A, B'B, C'C se toman los puntos D', E', F' tales que

\[
\frac{AD'}{A'A} = \frac{BE'}{B'B} = \frac{CF'}{C'C} = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, ...
\]

el área del triángulo D'E'F' será igual á 3, 6, 10, 15, 21.... veces el área del triángulo ABC.

(H. Van Aubel).

243. Sean O una circunferencia fija de radio OB, C una circunferencia móvil de radio CB; A, M puntos de estas dos circunferencias; OD el radio que pasa por el punto M. Siendo A la posición inicial de M, la epicieoloide engendrada por el punto M puede asimilarse á una cicloide, considerando la circunferencia fija como base. Entonces el punto M tiene por coordenadas \( x = AD, y = MD \).

Se propone buscar qué forma tomará la ecuación de la epicieoloide en el nuevo sistema de coordenadas. Señalar las ventajas que puede ofrecer su adopción.

(H. Brocard.)

(*) Por haberse publicado incompleto el enunciado de esta cuestión hoy se reproduce corregido y completado.
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 47

244. En un plano se dan una recta \( g \) y cuatro puntos A, B, C, D. Hallar un punto S tal, que la proyección central de los cuatro puntos desde S sobre \( g \) forme una serie de distancias iguales.

(F. Meyer.)

245. Se dan seis puntos del espacio, por los que se debe trazar un cilindro de segundo grado de modo que no se hallen dos de los puntos en un lado.

(J. Meyer.)

246. Una curva plana Ca tiene \( m \) asíntotas reales á distancias finitas. Se la transforma por inversión respecto á un punto X de su plano. Este punto es entonces un punto múltiple de orden \( m \) de la transformada T. Demostrar:

1.º Que hay una infinidad de puntos X tales, que dos de las ramas de T que pasan por X tengan en este punto el mismo radio de curvatura; indicar el lugar geométrico de estos puntos.

2.º Que hay \( \frac{2m(m-1)(m-2)}{3} \) puntos X tales, que tres de las ramas de T que pasan por X tengan en este punto el mismo radio de curvatura; determinar estos puntos.

3.º Que en general, no existe punto X tal, que cuatro de las ramas de T que pasan por X tengan en este punto el mismo radio de curvatura.

4.º Que existen curvas C tales, que las \( m \) ramas de T que pasan por X tengan en este punto el mismo radio de curvatura. Indicar la naturaleza de estas curvas y determinar la posición del punto X que en este caso es único.

(C. A. Laisant.)

247. Si en un triángulo ABC se tiene:
\[
a^2(\operatorname{sen} A + \cos A) + bc = 0
\]
la recta que une el vértice A al centro del cuadrado construído exteriormente sobre BC será perpendicular en el medio de la recta de Brocard.

(H. Van Aubel)

248. Las simétricas de las alturas de un triángulo respecto á las mediatrices se cortan en un punto que goza de la propiedad de que los triángulos que tienen este punto por vértice y por bases respec-
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 48

tivas los tres lados del propuesto, son equipotenciales (igual la suma de los cuadrados de los lados).

(Juan J. Durán Loriga.)

249. Sea P un punto cualquiera tomado en el interior del triángulo ABC. En el exterior de este triángulo se construyen los paralelogramos BCDE, CAKI, ABML en los cuales los lados CD y BE, AK y CI, BM y AL son respectivamente iguales y paralelos á las rectas AP, BP, CP. Las rectas ED, IK, LM suficientemente prolongadas forman un triángulo A'B'C'. Tambien las rectas LK, ME, DI forman un triángulo A"B"C".

1.º El exágono KLMEBI vale seis veces el \( \triangle ABC \).
2.º P es el centro de gravedad de los \( \triangle EIL, DKM, A'B'C', A''B''C'' \)
3.º Los lados de los \( \triangle A'B'C', A''B''C'' \) son paralelos á los de ABC é iguales á los triplos de estos lados.
4.º Las rectas AA", BB", CC" pasan por los centros X, Y, Z de los paralelogramos BCDE, CAKI, ABML y se cortan en un punto J".
5.º Las rectas AA', BB', CC' se cortan en un punto J'.
6.º Los puntos J" y J' dividen la recta GP aditiva y sustractivamente en la razón 1 : 3 (G es el centro de gravedad de ABC).

(J. Neuberg).

250. Sean A', B', C' los puntos en que las rectas trazadas desde los vértices de un triángulo ABC al punto de Lemoine encuentran á los lados opuestos. Demostrar que las rectas que unen los medios de los lados á los medios de AA', BB', CC' concurren en el medio de la recta de Brocard.

(H. Van Aubel).

ERRATAS.—En la página 84 suprímase la última línea. En la página 86, línea 6, cámbiese los términos de los quebrados.
—En la página 93, línea 21, suprímase «que son». Idem línea 22, en vez de «una superficie», póngase «la misma».
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 5

primeros principios de la Geometría, han adquirido gran importancia en estos últimos años y constituyen una interesante literatura matemática enriquecida con los estudios de los espacios más de tres dimensiones, cuyos fundamentos estableció Riemann en su Memoria Ueber die Hypotesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.

10 Para resumir los conceptos en que estriba esta nueva evolución de la Geometría, que hoy con el Algebra de la lógica y las teorías del imaginario y de los infinitos, ya en el dominio de la magnitud, ya en el de la posición, constituyen el núcleo sobre que se desarrolla la filosofía de la Matemática, seguiremos esta concatenación de ideas á partir de la geometría euclídea, sin perjuicio de insistir en este punto que ahora diseñaremos, en la tercera parte de la Geometría general(*), que seguirá á la sistematización de la Geometría y que ha de versar sobre la crítica y la síntesis de la misma.

11 De los Elementos de Euclides observaremos desde luego que los postulados 2 y 3 en que se establece la posibilidad de prolongar continuamente una recta, y el describir con un intervalo cualquiera una circunferencia, implican el que una figura invariable de forma pueda transportarse de una manera cualquiera en su plano ó en el espacio, sin que ninguno de sus elementos, distancias mutuas ó ángulos, cambie en magnitud(**).

Estos dos postulados juntamente con el 1.o: Trazar una recta de un punto cualquiera á otro punto cualquiera, como dice M. Liard, equivalen á decir: dadme espacio indefinido, homogéneo y capaz de recibir todas las determinaciones, y crearé la Geometría, los cuales unidos á la posibilidad de transportar una figura invariable de una manera cualquiera constituyen la materia de la Geometría(***):

Basado en estos fundamentos y en el procedimiento lógico que tanta unidad da á la obra, reducido á probar que una cosa no puede no ser, llega Euclides hasta la proposición XXIX sin emplear el axioma característico de esta Geometría.

12 Respecto al sistema de Lobatchewsky, vemos que se resume en admitir tres géneros de rectas respecto á otra: secantes, no secantes y paralelas, que son dos, estableciendo rigurosamente que una paralela conserva el carácter del paralelismo en todos sus puntos, que dos rectas son recíprocamente para'elas, que en todo triángulo

(*) La primera se publicó en el Prog. Mat. con la denominación de Teoremas, problemas y métodos geométricos.
(**) Houot, Essai critique sur les principes fondamentaux de la Geom. élém.
(***) Les définitions géométriques (pág. 38).
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 6

rectilíneo la suma de los tres ángulos no puede exceder á dos ángulos rectos, que si en un triángulo rectilíneo la suma de los tres ángulos es igual á dos rectos, lo mismo ocurrirá para cualquier otro triángulo, que por un punto dado puede trazarse una recta que forme con otra dada un ángulo tan pequeño como se quiera, que si dos perpendiculares á una misma recta son paralelas, la suma de los ángulos de un triángulo rectilíneo cualquiera será igual á \( \pi \), que dado un ángulo cualquiera \( \alpha \), se puede hallar siempre una distancia \( p \) tal, que se tenga \( II(p) = \alpha \), estableciendo aquí el concepto importantísimo en la Geometría hiperbólica de ser el ángulo de paralelismo una función de la distancia que satisface á la relación \( II(p) + II(-p) = \pi \).

Además, la aproximación indefinida de dos rectas paralelas, el paralelismo de dos paralelas á una tercera recta, preceden á la importante relación \( P = \frac{1}{2} (A+B+C-\pi) \) que determina un tríedro por medio de un triángulo esférico y permite demostrar que: cuando tres planos se cortan dos á dos según rectas paralelas, la suma de los tres ángulos tríedros es igual á dos ángulos rectos.

Demuéstrase enseguida que: si dos perpendiculares en los puntos medios de dos lados de un triángulo se encuentran en un punto, la perpendicular bajada al tercero desde este punto pasará por su punto medio, de modo que si se admite que dos de estas perpendiculares no se encuentran, la tercera tampoco las encontrará, de modo que dichas perpendiculares ó no se encuentran ó se encuentran las tres en un mismo punto, y de esto se sigue la proposición siguiente: las perpendiculares en los medios de los lados de un triángulo rectilíneo serán las tres paralelas entre sí, siempre que se supongan dos de ellas paralelas.

Esto conduce á la consideración de la curva-límite (horicioelo) curva tal, que todas las perpendiculares en los medios de sus cuerdas son paralelas entre sí y á demostrar que la curva límite es un círculo de radio infinitamente grande.

En fin, la superficie límite es la engendrada por la revolución de una curva límite alrededor de uno de sus ejes, existiendo en los ángulos y lados de los triángulos de esta superficie las mismas relaciones que se demuestran en la Geometría ordinaria para los triángulos rectilíneos, y después de establecerse que la Geometría esférica es independiente de que en un triángulo rectilíneo la suma de los tres ángulos, sea ó no igual á dos ángulos rectos, concluye Lobatchewsky que la Geometría imaginaria (*) se transforma en la Geometría ordina-

(*) Así denominó á su nuevo sistema.
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 7

ría cuando se suponen los lados de un triángulo rectilíneo muy pequeños.

13 Gauss, que ya se había ocupado de estas cuestiones, según resulta de una correspondencia con Lobatchewsky y Bolyai, en su célebre Tratado de la curvatura de las superficies, introdujo un nuevo elemento para estas transcendentales investigaciones, á saber: el coeficiente de curvatura, es decir, el inverso del producto del mayor y menor radio de curvatura, que debe permanecer constante en toda la extensión de la superficie, y entre otras importantes consideraciones expuestas en dicha correspondencia, observa que en la Geometría no-euclídea la semicircunferencia de un círculo de radio \( r \) tiene por valor

\[
\frac{1}{2} \pi k \left( e^{\frac{r}{k}} - e^{-\frac{r}{k}} \right)
\]

siendo \( k \) una constante que la experiencia nos indica como extremadamente grande con respecto á todo lo medible para nosotros y que en la Geometría euclídea se hace infinita.

La célebre Memoria de Riemann ya citada, la de Helmholtz Uber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome, y la del profesor de Roma Sr. Beltrami Saggio di interpretazione de la Geometria non-euclidea, con los trabajos de Lobatchewsky y Bolyai, dilatando considerablemente el campo de los estudios geométricos, plantearon problemas nuevos y aportan elementos hasta esta época fuera del alcance de las investigaciones matemáticas, ya que el sistema euclídeo era considerado como absolutamente cierto é indiscutible y muy conforme á la doctrina Kantiana, como una doctrina desenvuelta d'priori, al ser el espacio una forma subjetiva de nuestro modo de conocer.

Si la recta es infinita ó reentrante, si dos rectas pueden ó no encerrar un espacio y en fin si el axioma de las paralelas es ó no absolutamente cierto son cuestiones que llevan á resultados importantes como son las distinciones de la geometría euclídea, de Lobatchewky de Riemann, y los espacios homaloidal, hipérbolico ó parabólico, ó de curvatura nula, positiva ó negativa, la consideración de coeficientes característicos de cada espacio, siendo el espacio homaloidal ó euclídeo un espacio hiperbólico cuyo coeficiente ó constante es infinito, constantes que corresponden al defecto ó exceso del triángulo respectivamente en los espacios hiperbólico y elíptico, de manera que en una región infinitamente pequeña de estos espacios siendo la ma-
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 8

yor dimensión lineal infinitamente pequeña respecto á la constante característica, el defecto ó exceso será infinitamente pequeño y la geometría correspondiente no diferirá sensiblemente de la geometría euclídea; y si en esta nada es grande de una manera absoluta, en el espacio hiperbólico ó parabólico se podrían dividir los seres en dos clases con respecto á sus dimensiones, micrántropos ó macrántropos (*) Así en el espacio elíptico, el mundo de los micrántropos podía ser una pequeña parte del universo elíptico, los axiomas de Euclides le parecían estrictamente conformes con la experiencia, y un macrántropo en el espacio hiperbólico, por ejemplo, estaría familiarizado con el hecho de que el defecto de un triángulo disminuye con su área (**).

Dejando para otra ocasión el ocuparnos de la rica literatura que forman en conjunto las obras escritas en estos últimos años acerca de los diversos sistemas geométricos de los Sres. Flye Stº. Marie, Frischaufl, Erdmann, Lipschitz, Scheffler, Killing, Battaglini, Cayley, Klein, Poincaré Bruce, Halsted (**), Vassilief, haremos mención también del geómetra belga M. Tilly cuya obra Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de le Mécanique es muy digna de estudio, así como la recientemente publicada en Mathesis, Essai de Géométrie analytique générale en las que expone conceptos originales y presenta un plan completo de la exposición de la Geometría.

Distingue el Sr. Tilly en la primera de sus obras un axioma principal, el concerniente á la distancia ó intervalo de dos puntos del espacio, y otros dos secundarios ó de simplificación, á saber: 1.º que la distancia de dos puntos del espacio no tiene límite superior y puede aumentar indefinidamente (esta es común á las Geometrías de Euclides y de Lobatchewsky): 2.º que por un punto exterior á una recta solo se le puede trazar una paralela (axioma que separa las geometrías de Euclides y de Lobatchewsky).

La idea de M. Tilly acerca de la distancia implica dos propiedades esenciales:

1.º La distancia varía, en el espacio, de una manera continua.
2.º Dado un sistema de puntos, en número infinito, ABCD..., (en otros términos, una figura cualquiera) y un punto B', tal que AB' = AB, una á otra parte del espacio, ó aun llegar á ser absolutamente local;

(*) G. Chrystal. Non-euclidean Geometry (p. 25).
(**) G. Chrystal. Non-euclidean Geometry (p. 26).
(***) Este ilustrado profesor de la Universidad de Texas publica actualmente una serie de artículos sobre la Geometría de Euclides en American Mathematical monthly.
El Progreso matemático (1895-03-01 00:00:00), página 9

existen puntos C', D',... tales, que el sistema AB'C'D'... es absolutamente idéntico al primero, es decir, que en estos dos sistemas, las distancias entre los pares de puntos correspondientes ú homólogos sean iguales dos á dos, y dicho axioma principal se halla expresado en otra forma mediante la introducción explícita de la idea de movimiento.

Admitiendo desde un principio el empleo de tres coordenadas para la determinación de un punto, distingue las distancias ideales, analíticas (racionales ó abstractas y la distancia física, usual ó experimental). Las primeras son funciones absolutamente cualesquiera de \( x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2 \); las distancias analíticas son funciones de estas coordenadas que satisfacen á las condiciones del axioma I, y la distancia física es función especial de las mismas que posee el mismo valor numérico para un par cualquiera de puntos y para el par cualquiera de puntos homólogos, en dos objetos físicos.

En cuanto á las distancias analíticas, demuestra que para satisfacer á las condiciones indicadas solo pueden afectar tres formas que corresponden á la geometría usual, abstracta (que prescinde del 2.º axioma concerniente á la única paralela) y doblemente abstracta (que prescinde de los dos axiomas secundarios), de manera que solo hay tres sistemas de Geometría posibles, originando el primer axioma secundario una primera bifurcación que separa la Geometría de Riemann de las de Euclides y Lobatchewsky, así como el segundo motiva otra bifurcación que separa estas dos geometrías.

La obra de M. Tilly constituye una interesantísima y original exposición de la Geometría fundada en el axioma de la distancia ó intervalo entre dos puntos que conceptúa como una idea absoluta é irreducible, y además es un estudio simultáneo y comparado de los tres sistemas posibles de Geometría que considera M. Tilly indispensable para el establecimiento racional de los principios de la Geometría ordinaria.

«Si se quiere, observa, como lo hemos supuesto hasta ahora, que exista un sistema de Geometría constantemente aplicable á todas las partes del espacio, una sola de las geometrías precedentes será real con un solo valor de parámetro, bien que las otras existan siempre en el análisis y sean susceptibles de una interpretación geométrica. Si, al contrario, se pretendiera que el espacio no fuese homogéneo, es decir, que la Geometría no es la misma en todas sus partes, se podría suponer que la función-distancia (ó su parámetro) cambiase de una á otra parte del espacio, ó aun llegar á ser absolutamente local;
El Progreso matemático (1899-05-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
D. Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO DE CÁLCULO DIFERENCIAL É INTEGRAL
DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

SERIE 2.ª — TOMO I

ZARAGOZA
Imprenta de la Vda. de Arifo, Ceso, 100
1899