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El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 40

Solución por el Sr. Álvarez Ure.

(omitimos la solución analítica análoga á las anteriores).

Observación. Puede también resolverse muy sencillamente este problema sin más auxilio que el de la geometría pura, del siguiente modo:

Si A, B, C . . . . son las direcciones comunes á las tangentes trazadas, a, b, c, . . . . los diámetros conjugados con ellas en la primera cónica, y a', b', c', . . . . los de la segunda, se verificará, por ser la serie de polos proyectiva con el haz de sus polares

\[
\begin{array}{ccc}
A & B & C \\
\infty & \infty & \infty
\end{array} \quad \not\perp abc \ldots., \qquad
\begin{array}{ccc}
A & B & C \\
\infty & \infty & \infty
\end{array} \quad \not\perp a'b'c' \ldots.
\]

de donde, se deduce \( abc \ldots. \not\perp a'b'c' \ldots. \)

Siendo, pues, los dos haces \( abc \ldots., a'b'c' \ldots. \) proyectivos, el lugar de los puntos \( aa', bb', cc', \ldots. \) será una curva de segundo orden que pasará por los vértices de los dos haces, esto es, por los centros de las cónicas dadas, solución que concuerda con la anterior.

CUESTIÓN 300.

Siendo \( tg x, tg \beta, tg \gamma \) raíces de la ecuación

\[
A_0 x^3 + 3A_1 x^2 + 3A_2 x + A_3 = 0
\]

calcular \( tg (x - \beta), \ tg (\beta - \gamma), \ tg (\gamma - x). \)

(J. Neuberg).

Solución por A. Krahn.

Si designamos, para abreviar, por \( x_1, x_2, x_3 \) las raíces y aplicamos la fórmula de la tangente de la diferencia, tendremos

\[
tg (\alpha - \beta) \ tg (\beta - \gamma) \ tg (\gamma - x) = \frac{(x_1 - x_2)(x_4 - x_2)(x_4 - x_1)}{(1 + x_1 x_2)(1 + x_1 x_3)(1 + x_1 x_4)}
\]

\[
= \frac{\pm \left| \begin{array}{ccc}
s_c & s_1 & s_0 \\
s_1 & s_3 & s_2 \\
s_2 & s_4 & s_3
\end{array} \right|}{1 + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_1 x_2 x_3 (x_1 + x_2 | x_3) + (x_1 x_2 x_3)^3}
\]

en la cual las \( s_0, s_1, \ldots. \) son las sumas de potencias semejantes de las raíces de la ecuación de 3.º grado.

Se pueden calcular, por lo tanto, numerador y denominador en función de los coeficientes.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 41

Tomaremos la raíz cuadrada con el doble signo, puesto que el numerador es función alterna de las raíces.

CUESTIÓN 344.

Construir un triángulo \( A_1, A_2, A_3 \) conociendo su primer triángulo \( B_1, B_2, B_3 \), de Brocard, cuyos vértices son los puntos de intersección del círculo de Brocard y de las mediatrices de \( A_1, A_2, A_3 \).

L. Ripert.

Solución remitida por M. Rivaut.

Se conocen ó se demuestran facilmente las propiedades siguientes:
1.º Los dos primeros triángulos \( B_1, B_2, B_3 \) y \( C_1, C_2, C_3 \) de Brocard son homológicos con relación á G, baricentro común de \( A_1, A_2, A_3 \) y \( B_1, B_2, B_3 \); el punto de Lemoine K' de \( C_1, C_2, C_3 \) está situado en el diámetro KO de Brocard y siempre en el radio KO; 2.º las paralelas trazadas por los vértices \( B_1, B_2, B_3 \) á sus lados opuestos cortan al círculo \( O_B \) en los mismos puntos que las rectas \( A_1, O, A_2, O, A_3, O \).

La solución de la primera cuestión se reduce pues á: circunscribir al triángulo dado \( B_1, B_2, B_3 \), cuyo baricentro es G, el círculo \( O_B \). Trazar las rectas \( B_1, O, B_2, G, B_3, G \) que cortan á \( O_B \) en \( C_1, C_2, C_3 \). Construir el punto de Lemoine K' de \( C_1, C_2, C_3 \) y trazar el radio \( O_B \) K' que corta á \( O_B \) en K, cortando su prolongación á \( O_B \) en O. Trazar por los vértices B paralelas á sus lados opuestos que cortan á \( O_B \) en \( E_1, E_2, E_3 \).

Las intersecciones de las rectas \( K C \) y \( O E_1, K C_1 \) y \( O E_2, K C_3 \) y \( O E_3 \) dan los vértices buscados \( A_1, A_2, A_3 \).

Cuestión 397. (Véase pág. 40.)

Se dan dos números enteros \( u_0, u_1 \), terminados en la misma cifra a, y se forma la serie

\[
u_0, u_1, u_2, \ldots, u_n \ldots
\]

definida por la relación \( u_n = u_{n-1} + u_{n-2} \). Se pide cual será la cifra de las unidades de un término cualquiera \( u_n \) cuyo lugar n está dado.

(C. A. Laisant)

Solución por el Sr. Rivas y Casas (J.).

La cifra buscada es el resto mínimo positivo de \( u_n \) respecto al módulo B, base del sistema de numeración. Considerando la serie formada por estos restos mínimos \( r_n = r_{n-1} + r_{n-2} \) (mód. B), siendo todos menores que B, al llegar al lugar \( n = BB \), si no antes, se ha de verificar, siendo \( m < n \),

\[
r_n = r_m, \quad r_{n+1} = r_{m+1},
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 42

de donde sucesivamente

\[
r_{n+2} = r_{m+2}, \quad r_{n+3} = r_{m+3}, \ldots,
\]

y también en sentido opuesto

\[
r_{n-1} = r_{m-1}, \quad r_{n-2} = r_{m-2}, \ldots;
\]

luego la serie de los restos es periódica pura, y su período tiene á lo más B' términos.

Prescindiendo del caso \( a = 0 \), en que todos estos restos son nulos, basta considerar la serie de Fibonacci en que \( a = 1 \); pues llamando \( s_n \) al resto del término general de ésta, será \( r_n \equiv a s_n \) (mód. B).

Si \( a \) es primo con B, de \( r_n \equiv r_m \) (mód. B), se deduce \( s_n \equiv s_m \) (mod. B) y recíprocamente.

Si \( a \) y B tienen el máximo codivisor \( \delta \), de \( r_n \equiv r_m \) (mod. B), se deduce \( s_n \equiv s_m \left( \text{mód. } \frac{B}{\delta} \right) \) y recíprocamente. Luego el período de la serie de restos tendrá tantos términos como el de la serie de Fibonacci respecto al módulo \( \frac{B}{\delta} \).

Aplicando esto al sistema decimal, para \( a = 1, 3, 7, 9 \), el período tendrá 60 términos; que son para \( a = 1 \),

  1	1	2	3	5

  8	3	1	4	5

  9	4	3	7	0

  7	7	4	1	5

  6	1	7	8	5

  3	8	1	9	0

  9	9	8	7	5

  2	7	9	6	5

  1	6	7	8	0

  3	3	6	9	5

  4	9	3	2	5

  7	2	9	1	0

y los mismos para los tres casos restantes, empezando respectivamente en la cuarta, segunda ó tercera línea.

Para \( a = 2, 4, 6, 8 \), el período sólo tendrá 20 términos, ya que los restos de la serie de Fibonacci respecto al módulo 5, forman el período.

  1	1	2	3	0

  3	3	1	4	0

  4	4	3	2	0

  2	2	4	1	0

Los veinte restos de los términos de la serie dada serán, pues,

  2	2	4	6	0

  6	6	2	8	0

  8	6	6	4	0

  4	4	8	2	0

empezando en el primero, sexto, undécimo ó décimosexto, según que \( a = 2, 6, 8, 4 \).

Finalmente, para \( a = 5 \), el período sólo tendrá tres términos 0, 5, 0, porque la serie de Fibonacci da el período de tres restos 1, 1, 0, respecto al módulo 2.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 43

Una vez determinado el periodo queda resuelto el problema en cualquier caso.

 Nótese que el período termina siempre con un resto 0, cualquiera que sea B, luego en la serie propuesta y en particular en la serie de Fibonacci existen múltiplos de cualquier número entero.

 Nótese también que el período puede componerse de varias partes cada una de las cuales comienza con dos restos iguales, y termina con el resto 0. Si el número de estas partes es igual al indicador de B ó de \( \frac{B}{\delta} \) los períodos correspondientes á los valores de a primos con B, ó que tengan con B el máximo codivisor \( \delta \), tendrán los mismos restos y se obtendrán de uno de ellos, por permutación circular de estas diferentes partes.

 Nótese finalmente que el penúltimo resto del período es igual á los dos primeros; y que cuando el número de partes en que el período se divide es par, si el penúltimo resto de la primera mitad es complementario de los dos primeros, todos los restos de la segunda mitad son complementarios de los correspondientes de la primera.

 Estas dos últimas propiedades se verifican en el sistema decimal; pero no son ciertas en general para cualquier sistema de numeración.

 CUESTIÓN 336.

 Por los vértices A₁, B₁, C₁ del primer triángulo de Brocard se trazan rectas que forman el mismo ángulo \( \lambda \) con los lados BC, CA, AB del triángulo ABC. Demostrar que estas rectas pasan por un mismo punto M, y hallar el lugar del punto M cuando se hace variar el ángulo \( \lambda \).

 (H. van Aubel).

 Solución por M. A. Droz-Farny.

 Se sabe que en cada sistema de tres figuras directamente semejantes existe un número infinito de ternos, de rectas homólogas concurrentes que giran al rededor de tres puntos fijos, los puntos invariables situados en el círculo de semejanza.

 El lugar del punto de intersección es el círculo de semejanza.

 Si sobre los lados de un triángulo dado, como rectas homólogas, se construyen tres figuras directamente semejantes, se sabe que los vértices A₁, B₁, C₁ del primer triángulo de Brocard son los puntos invariables del sistema.

 De esto resulta la propiedad anunciada, y el lugar de los puntos de intersección es el círculo de Brocard.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 44

BIBLIOGRAFIA

Curso de Topografía por A. Mendes d'Almeida o Rudolpho Guimarães, volume II.—Lisboa, 1900. El segundo tomo de esta obra comprende: la teoría do nivelamento, operações de nivelamento, instrumentos de planimetría e nivelamento, levantamentos subterrâneos, levantamientos expeditos y cartographia.

Leçons sur la Théorie des Formes et de la Géométrie analytique supérieure par H Andoyer t. I. 1900. Gauthier—Villars.—Este tomo está dedicado á las formas binarias y ternarias. Los libros I y II tratan respectivamente de las geometrías binaria y ternaria. Las sustituciones lineales dan ocasión al autor para introducir desde luego el concepto de grupo de cuatro parámetros y tanto en una como en otra geometría, la noción de lo absoluto y de distancia de Cayley y de Klein que define como el producto por una constante del logaritmo neperiano de una relación anarmónica determinada por cuatro elementos.

Termina el primer tomo con las interesantes teorías de los movimientos y las invariantes métricas, relacionadas con la nueva noción de distancia, pasando al estudio de las series circulares, las sustituciones conformes, y los hiperórculos, ó conjuntos de círculos ligados por cierta relación, empleando las coordenadas circulares y llegando hasta las series orientadas de 2.º grado.

Lezioni sulla teoria delle Funzioni di variabili complesse; e delle Funzioni ellittiche di Luigi Bianchi.—Parte prima.—Funzioni monodrome di variabile complessa.—Pisa E. Spoerri 1898-99.

Bastará indicar que trata de: el plano y la esfera complejos; sustituciones lineales, grupos discontinuos y su representación geométrica; Transformación de integrales dobles en simples; función armónica; problema de Dirichlet; integrales de funciones de variables complejas; desarrollos de Cauchy y Laurent; concepto de función según Weierstrass; puntos singulares y singulares esenciales, residuos; inversión; funciones uniformes en todo el plano; teorema de Mittag-Leffler; desarrollo en producto infinito; funciones analíticas de muchas variables complejas.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 45

Trata de las hipótesis cosmogónicas anteriores á Hiparco, de las hipótesis astronómicas contrarias á la esfericidad de la Tierra, de las hipótesis de Pitágoras, primer sistema heliocéntrico, de las ideas astronómicas de Platon, de las esferas homocéntricas de Eudoxio y Caído, de la esfera de Aristóteles, llega al apogeo de la Astronomía en Hiparco y Tolomeo. Trata de los albores de la física matemática en la óptica de Euclides, de la Hidrostática de Arquímedes, terminando con los descubrimientos de Herón de Alejandría.

Libro III. Il periodo argentino della Geometría greca. Comprende los trabajos de Gemino, Theon de Smirna, Pappo de Alejandría, el Neo-Platonismo, Eutocio y Sereno.

Cours théorique et pratique d'Algèbre financière, à l'usage des Ecoles supérieures de Commerce, etc. par Théophile Klompere professeur à l'Athénée royal d'Anvers.

Esta obra, según el informe que mereció, tiene el mérito de la originalidad, consistente en una feliz combinación de las materias tratadas de un modo distinto al ordinario.

Opinions et curiosités touchant la Mathématique d'après les ouvrages des XVIº, XVIIº et XVIIIº siècles, par Georges Maupin.

AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS January, 1901, edited by Simon Newcomb, Baltimore, published under the auspices of the Johns Hopkins University. (*)

Sumario: Die Typen der linearen Complexe rationaler Curven in Rr. von S. Kantor.—Transformations of Systems of Lineal Differential Equations, by E. J. Wilczynski.—Distribution of the ternary Linear Homogeneous Substitutions in a Galois Field into Complete Sets of conjugate Substitutions, by L. E. Dickson.—Distribution of the Quaternary Linear Homogeneous Substitution in a Galois Field into Complete Sets of Conjugate Substitutions, by T. M. Putnam.—On the Determination and Solution of the Metacyclic Quintic Equations with Rational Coefficients, by J. C. Glassan.—Construction of the Geometry of Euclidean n-Dimensional Space by the Theory of Continuous Groups, by E O. Love:t.—A Table of Class Numbers for Cubic

(*) Un retraso involuntario en la publicación de este número, permite publicar estas últimas noticias.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 46

Number Field, by Legh W. Reid—On Certain Properties of the Plane Cubic Curve in Relation to the Circular Points at Infinity, by R. A. Roberts.

Mathesis publié par P. Mansion et J. Neuberg.—Janvier, 1901. Sommaire: Préface=Théorème fondamental du plan, par M. C. J. Kool.—Limite de \((x-1):(x-1)\) pour \(x=1\), par M. M. Godefroy—Note sur un théorème de Steiner, par M. Droz-Farny.—Notes mathématiques—Bibliographie—Solutions aux questions proposées.

Periodico di Matematica per l'insegnamento secondario diretto dal Dr. G. Lazzeri.
Sommario: Gambioli.—Memoria bibliografica sull'ultimo teorema di Fermat.—Carlini, Sul prodotto di due matrici rettangolari Coniugate.—Deltitata, La risoluzione completa del tetragono piano—Piccole note.—Risoluzioni delle questioni 528, etc.—Bibliografia.—Livorno 1901.

L'enseignement mathématique, revue international. directeurs, C. A. Laisant et H. Fehr. Janvier 1901, sommaire: Le directeurs, A nos lecteurs.—Fr. Pietzler, L'enseignement mathématique en Allemagne pendant le XIXe siècle.—Angel Gallardo. Les mathématiques et la biologie.—Charles Méray, Correspondances internationales en Esperanto—Hoffbauer, Sur une terminologie correlative du point et de la droite.—H. Dellac, Sur l'expression similitude inverse en Géométrie plane.—Chronique—Correspondence—Bibliographie.—G. Carré et Naud. Paris.

Suplemento al Periodico di Matematica Direttore, G. Lazzeri.—Sommario: Elementi di calcolo vettoriale (Fornari)—Condizione di divisibilità per 9 e per 11. (Candido) 25ª questione a concorso (Galluri).—Risoluzioni dell'a 22 quest a concorso—Risoluzioni delle questioni 252, 264, etc.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 47

INDICE

ARTÍCULOS Y MEMORIAS

Fontené, G.—Métrica antinvolutiva................................. 3-11; 81-90
Hatsidakis, N. Y.—Remarque sur une formule de M. Pirondini. 11-13
Vivanti, G.—Remarque sur un déterminant spécial ............. 13-14
Guimaraes, R.—Ecuación del círculo de Joachimsthal........... 14-16
Aubry, A.—Sobre la fórmula de Wallis............................ 16-22
Aubry, A.—Estude élémentaire sur la théorie des maxima et minima................................. 41-49, 185-193, 239-241, 321-324
Pirondini, G.—A propos d'une formule relative aux lignes... 54
Krahe, A.—Nota acerca de un punto del plano del triángulo.. 90-94
Hernández, E.—Suma de los recíprocos de todos los divisores de un número................................. 94-96
Retali, V y Brocard, H.—Correspondencia................. 96-101, 132-138
Krahe A.—Sobre el punto de Gergonne de las cónicas inscritas de un triángulo.................................................. 101-102
Brocard, H.—Arca del dodecágono regular..................... 102-104
Durán Lóriga, J. J.—Notas matemáticas....................... 121-127
Retali, V.—Bulla quistione, 264................................. 128-131

Petriti, H.—Sobre la serie \( \sum \frac{1}{\log n} \).......................... 138-141

Alasta C.—Producto de una serie cualquiera por la exponencial \( e^{-x} \).......................................................... 141-144
Van Aubel, H. - Acerca de la cuestión 295..................... 149
Pirondini, G. Quelques applications des coordonnées intrinsèques.................................................. 161-171
Krahe, A.—Nota matemática........................................ 181-173
Clariana, L.—Aplicación á la Mecánica de la fórmula de Dirichlet.................................................. 179-185
Ibozal, A.—Suma de las potencias de los recíprocos de todos los divisores, etc................................. 193-194
Clariana, L.—Integral de la ecuación diferencial, etc........ 246-248
Hatsidakis, N. J.—Deux démonstrations nouvelles des théorèmes d' Euler et de Meusnier......................... 263-272
Aubry, A. - Noticia histórica sobre la cuadratura del círculo.. 273-306
Guldberg, A.—Una observación.................................. 306
Gomes Teixeira, F.—Sobre los focos de las espiricas de Porseo. 306-310
Droz-Farny, A.—Notes géométriques............................ 313-318
Krahe, A.—Cuadriláteros esféricos articulados............. 318-321
Fontené, G.—Teoremas de Geometría............................ 324-329
Krahe, A.—Integral de la ecuación etc.......................... 330
Aubry, A.—Estudio sobre los conicógrafos.................... 337-363
Padoc.—Un nuevo sistema de definiciones para la geometría euclidica.................................................. 364-368
Alasta C.—Una transformación del Profesor Allardilce...... 368-376
Rupert, L.—Sur une application á la (Geometrographie...... 378-384
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 48

Aubry, A.—Sur une identité d'Euler............................. 401-413
Guldberg, A.—Nota sobre las ecuaciones lineales de diferenciales totales............................................. 414-447
Alasia, L.—Alcune combinazioni di formule.................... 435-444

FILOSOFÍA Y PEDAGOGÍA
G. de Galdeano.—La Matemática y su enseñanza............. 49-54
G. de Galdeano.—La moderna organización de la Matemática......................................................... 64-89, 178-178, 241-245, 310-313
G. de Galdeano.—Las reformas de la enseñanza en la Facultad de Ciencias........................................... 381-388

BIBLIOGRAFÍA
G. de Guldeano.-Bibliografía........... 60-63, 111-118, 220-229; 219-251

VARIEDADES
Concurso de la Real Academia de Ciencias en 1897........... 201-219
En la Universidad de Jena........................................ 219
Escuela politécnica de Paris....................................... 261-262
Congreso internacional de Matemáticos......................... 344-399
A nuestros lectores.................................................. 433-435

CUESTIONES RESUELTAS
por los Sres. Alvarez Ude, Brocard, Calimon, Droz-Farny, Fontené, Hatzidakis, Krahe, Lomotne, Retali, Riport, Rius, Sáez Muñoz

Erratum á la solution de la question 16.

Página 333, línea 10
en vez de \( + a^1 b^1 c^1 - \sum b^i c^i (b^i - c^i) = 0 \)
léase \( + a^1 b^1 c^1 + \sum b^i b^i (b^i - c^i) = 0 \)

Página 334, línea 26
en vez de pourvu qu'il
léase parce qu'il
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 5

equivalente alla relazione:

(5) \[
\frac{1}{r_1 r_s} \operatorname{sen} \epsilon = \frac{1}{R' R'} \operatorname{sen} \theta
\]

dove \( \theta \) è l'angolo compreso fra le direzioni PP₁ e PPₛ ed \( \epsilon \) l'angolo formato dalle loro rispettive coniugate.

Se scriviamo questa relazione sotto la forma:

\[
\frac{R'}{r_1} \cdot \frac{R'}{r_s} = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\operatorname{sen} \epsilon}
\]

possiamo dire che il prodotto dei rapporti dei raggi di curvatura di due linee di curvatura della superficie ai corrispondenti raggi di flessione secondo due direzioni arbitrarie varia come il rapporto dei seni dell'angolo delle due direzioni all'angolo delle loro coniugate rispettive.

Qualora le direzioni PP₁ e PPₛ siano esse stesse coniugate, è: \( \epsilon = \pi - \theta \), oppure: \( \epsilon = -\theta \) a seconda che R' ed R' hanno ugual segno o segno contrario. Si ha allora:

\[
\frac{1}{r_1 r_s} = \pm \frac{1}{R' R'}
\]

ossia si vede che il prodotto delle flessioni in un punto, considerate secondo due direzioni coniugate è costante ed uguale al prodotto delle curvature principali: o, in altre parole il prodotto delle flessioni in un punto è uguale alla misura della curvatura della superficie in quel punto, se i raggi di curvatura delle sezioni principali sono raggi di curvatura della superficie.

Quando sia: \( \frac{1}{r_1} = \frac{1}{r_s} \), cioè nel caso che la superficie che si considera sia una superficie gobba, allora il quadrato della flessione secondo la direzione della generatrice corrispondente è misura della curvatura in quel punto.

Se \( \theta \) è infinitamente piccolo, tale pure sarà \( \epsilon \) ed allora possiamo sostituire il rapporto degli angoli a quello dei loro seni e scrivere:

(6) \[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{R' R'} \cdot \frac{\theta}{\epsilon}
\]

od anche:

\[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{R' R'} \cdot \frac{d \omega}{d \omega'}
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 6

espressione che mostra che il quadrato della flessione in un punto della superficie secondo una direzione arbitraria è misurata dal prodotto della misura della curvatura della superficie in quello stesso punto pel rapporto degli spostamenti angolari infinitamente piccoli di quella direzione alla sua coniugata.

Come a corollario di questa proposizione possiamo aggiungere che il rapporto angolare infinitamente piccolo delle coniugate di due direzioni arbitrarie condotte per un punto della superficie all'angolo di queste stesse direzioni è uguale al prodotto della misura della curvatura della superficie in quel punto pel quadrato del raggio di flessione corrispondente. Ossa possiamo scrivere:

\[
\frac{t}{\theta} = \frac{1}{R' R''} \cdot r_1^2 .
\]

Col rimettere \( \frac{d \omega'}{d w} \) al posto di \( \frac{t}{\theta} \) possiamo dire che la misura della curvatura della superficie in uno dei suoi punti è expressa dal prodotto del quadrato della flessione secondo una direzione arbitraria pel rapporto degli spostamenti angolari infinitamente piccoli della coniugata di tale direzione e di quest'ultima direzione.

È evidente che se per un momento supponiamo che l'angolo \( \theta \) compreso fra le direzioni PP₁, PP₂ divenga uguale all'angolo \( \epsilon \) compreso fra le loro coniugate rispettive, è:

\[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{R' R''}
\]

ed allora nel punto P la misura della curvatura della superficie è pur misura del quadrato della flessione secondo una direzione arbitraria.

La formula (4') ha molta analogia con una formula di Enneper (*) che può stabilirsi come segue (**).

Pel punto P della superficie conduciamo la tangente alla curva \( c_1 \) passante per esso, nonchè la sezione normale di cui sia C il centro di curvatura. Siano poi \( C_1 \) e \( C_2 \), i centri ed ancora \( R' \), \( R'' \) i raggi di curvatura principali nel punto P. Chiamiamo A il punto cen-

(*) Mathem. Annalen.- T. V.
(**) Servais.- Sur la courbure des surfaces.- Acad. Roy. de Belgique.