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[VP'] en el punto V; unamos B con P mediante la recta [BP] ≡ c. La C' es la transformada de la recta c mediante la inversión de Hirst cuyo polo es O y la cónica de los puntos unidos el punto-círculo V, construyéndose por puntos y por tangentes como sigue: Sea A un punto variable de la recta c; tracemos las rectas [AV], [AO] y la perpendicular á [VA] en el punto V corta á [AO] en el punto A' de C'.

La recta o', simétrica de [VB] respecto á [VA] corta á c en un punto de la tangente á C' en A'.

Observación. La C' es hipérbola, parábola ó elipse según que la recta c corta al círculo descrito sobre VO como diámetro en dos puntos reales y distintos, ó reales y coincidentes, ó imaginarios conjugados. Cuando c pasa por el punto medio del segmento VO, la C' es hipérbola equilátera.

Real Academia de Ciencias exactas, Físicas y Naturales de Madrid.

Programa de premios para el Concurso del año 1901.

«Exposición didáctica de las modernas teorías geométricas no euclídeas, ó análisis razonado de los principales trabajos sobre esta parte de la ciencia matemática, á contar de la época de Gauss, hasta nuestros días.»

Los premios que se ofrecen y adjudicarán, conforme lo merezcan las memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accesit y mención honorífica.

El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudicación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el señores Presidente de la Corporación á quien le hubiese merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria, al mismo autor ó concurrente premiado, de 1.500 pesetas; impresión, por cuenta de la Academia, en la Colección de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada; y entrega, cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor.
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El premio se adjudicará á las memorias que no sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el orden y método de exposición de materias, y redacción bastante esmerada, para que desde luego pueda procederse á su publicación.

El accésit se adjudicará á las memorias poco inferiores en mérito á las premiadas, y que versen sobre los mismos temas: ó, á falta de término superior con que compararlas, á las que reúnan condiciones científicas y literarias aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la adjudicación ó obtención del premio.

La mención honorífica se hará en un diploma especial, análogo á los de premio y accésit, que se entregará también en sesión pública al autor ó concurrente agraciado, ó á persona que le represente.

La mención honorífica se hará de aquellas memorias verdaderamente notables por algún concepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones, ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la responsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de premio ni de accésit.

El concurso quedará abierto desde el día de la publicación de este programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de Diciembre de 1901, hasta cuyo día se recibirán en la Secretaría de la Academia, calle de Valverde, número 26, cuantas memorias se presenten.

Podrán optar al concurso todos los que presenten memorias que satisfagan á las condiciones aquí establecidas, sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos numerarios de esta Corporación.

Las memorias habrán de estar escritas en castellano ó latín, de no expresarse, por la índole y fines del tema á que se refieran, que lo estén precisamente en castellano.

Las memorias que se presenten optando al premio se entregará en la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concurso, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del nombre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubierta, que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la memoria deberá ponerse en el sobre de otro pliego, también cerrado, dentro del cual constará el nombre del autor y las señas de su domicilio ó paradero.

CUESTIONES PROPUESTAS

302 Discutir y construir la curva lugar de los focos de las parábolas que tienen por cuerda la base BC de un triángulo isósceles fijo ABC, pasando el eje por el vértice A de este mismo triángulo.

(Joseph Gillet).

303 Construir una cónica, conociéndose tres de sus puntos y un
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A B . BC^1 > A D . D C^2 (Voir l'Algebrec d'Omar Alkayyami, traduction Wöepke). (*)

Les premières leçons du calcul des fonctions se voient chez Nicole Oresme. Dans son Tractatus de latitudinibus formarum, il représente graphiquement la marche (forma) d'un phénomène mesurable au moyen de courbes dont chaque point est défini par son abscisse (longitudo) et son ordonnée (latitudo). Il fait cette remarque fondamentale qu'aux environs du point le plus élevé, la vitesse de l'accroissement ou décroissement de la latitudo est le plus faible. L'idée d'une telle représentation graphique avait déjà été émise; mais au lieu de supposer, comme on faisait avant lui, des points isolés pris sur des ordonnées équidistantes, on voit qu'il conçoit la courbe comme décrite d'une manière continue par un point se mouvant sur une ordonnée mobile, ce qui implique la notion si féconde de fonction et de variable, en même temps que celle de la différentielle.

C'est à Regiomontanus qu'on doit cette remarque que le sommet de l'angle maximum dont les côtés passent par deux points A, B et le sommet se trouve sur une droite C, n'est autre que le point de contact de celle-ci avec la circonférence qui lui est tangente et passe par les points A, B.

Dans son livre, De Crepusculis (Lisbonne, 1542) Nonius a résolu le difficile problème du jour du plus petit crépuscule, pour un lieu

(*) Borelli (Archimedes liber assumptorum, Florence 1661) démontre le même théorème d'une manière encore plus simple. Soit le point O (fig. 3) tel que

\[
\frac{BD}{DO} = \frac{BC^1}{AD \cdot ED}
\]

Fig. 3

on aura par conséquent \( DO \geq DB \) et \( AO < AB \). Or on a:

\[
\frac{BC^1}{ED \cdot BD} = \frac{AD}{DO}, \text{ d'où } \frac{AD}{AO} = \frac{AD}{AD \pm AO}
\]
\[
= \frac{BC^1}{BC^1 \pm ED \cdot DB} = \frac{BC^1}{CD^2}
\]

et par suite \( AO \cdot BC^1 = AD \cdot CD^1 \)
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vértice. Hallar la ecuación de la curva. Discutir los resultados obtenidos.

(Joseph Gillet).

304 Dada una cónica con centro, demostrar geométricamente que para todos los puntos de una recta perpendicular á uno de los ejes, las hipérbolas de Apolonio correspondientes tienen una asíntota común.

(A. Droz-Farny).

305 Determinar los dos puntos de inflexión imaginarios conjugados:
1.º de la triseccotriz de Maclaurin. 2.º del folium parabólico recto. 3.º del folium de Cartesio (Descartes) 3.º de la estrofoide recta

(V. Retali).

306 Hallar la envolvente de las hipérbolas equiláteras que tienen sus centros sobre un círculo dado y que son tangentes á una recta fija en un punto dado.

(V. Retali).

307 Determinar analíticamente y geométricamente el lugar de los centros de las hipérbolas que tienen una cuerda normal común y de las que está dada una asíntota en dirección.

(J. Gillet).

308 Si sobre los tres lados de un triángulo \( A_1, A_2, A_3 \) se construyen exteriormente los cuadrados \( A_1, A_2, B_1, C_1; \ A_3, A_1, B_2, C_2; \ A_4, A_3, B_3, C_3 \), el vértice \( A_1 \) y los medios \( E, D, F \) de \( A_3 C_3, B_1 C_1, A_2 B_2 \) son los vértices de un pseudo-cuadrado (*).

(H Van Andel).

309 Sobre los cuatro lados de un cuadrilátero \( A_1, A_2, A_3, A_4 \) se construyen exteriormente los cuadrados \( A_1, A_2, B_1, C_1; \ A_3, A_4, B_2, C_2; \ A_4, A_1, B_3, C_3; \ A_4, A_1, B_4, C_4 \); Sean \( O_1, O_2, O_3, O_4 \) los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre \( B_1 C_3, \ B_2 C_4, \ B_3 C_1, \ B_4 C_2 \). Demostrar que el cuadrilátero \( O_1 O_2 O_3 O_4 \) no puede ser un pseudo-cuadrado más que cuando \( A_1, A_2, A_3, A_4 \) es un pseudo-cuadrado.

(H. Van Andel).

(*) Cuadrilátero cuyas diagonales son iguales y perpendiculares.
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donné, démonstration a posteriori, comme on peut le penser, car même avec le secours de l’analyse infinitésimale, Jean Bernoulli chercha la solution pendant cinq ans.

Tartaglia paraît avoir été en possession d’une méthode plus ou moins générale de traiter les questions de maxima: il donne (General Trattato 5.ª parte, Venise, 1560), sans démonstration, la solution de cette question à lui posée par Cardan: partager 8 en deux parties dont le produit multiplié par leur différence soit un maximum. Il indique seulement la valeur \( \frac{8}{\sqrt{3}} \) de la différence des deux nombres cherchés, ce qui fait croire qu’il prenait cette différence pour l’inconnue (*). Peut-être s’est-il servi d’une méthode graphique, comme Eutocius; dans ce cas, on est ramené à chercher le maximum d’une expression de la forme \( \frac{x^2}{4} (a^2 - x^2) \), ou celui de \( \frac{x}{a} (a^2 - x^2) \), \( a \) désignant le nombre à partager, et \( x \) un nombre à déterminer de manière que les deux courbes \( y = a^2 - x^2 \), \( Y . r = x \) soient tangentes: le point de contact donne la solution, car en ce point le rapport \( \frac{Y}{y} \) est maximum; on trouve \( a = 3 \sqrt{3} \) et \( x = \frac{a}{\sqrt{3}} \). Tartaglia peut aussi avoir remarqué que le maximum a lieu en même temps que celui de \( x^2 (a^2 - x^2)^2 \), ce qui en faisait un simple corollaire du théorème d’Eutocius.

Nous devons mentionner spécialement Neper, qui a introduit dans la science l’idée abstraite de la première fonction étudiée analytiquement, le logarithme; et celle de la différentielle, car on lui doit cet énoncé « Ut sinus major ad minorem; ita velocitas incrementi, aut decrementi logarithmorum apud minorem, ad ve-

(*) «Fatime di otto due tal parti, che il prodotto dell’una nell’altra multiplicato nella loro differentia faccia più che possibil sia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La regola da trover la sopradetta parti è questa, divideremo il detto otto in due parti eguali, e ne venira 4, quadraremo quel 4 . fe . 16 et a questo 16 . gli aggiogieremo la sua torza parte che farà 5 1/3 . fare 2 1/3 . et la R. de 2 1/3 sarà la differentia dello adimandato parti,
quala partendo a per mita ne venira R. 5 1/3 . qual giunto alla mita di 8 . ries a 4 . fare . 4 più R. 2 1/3 per la parte maggiore, et tratto de 4 . restara . 4 non R. 6 1/3 . per la parte minore. La causa di questa operatione si narrara nella nostra nona algebra, per esser dependente da quella Cette nouvelle Algebre n’a jamais paru.
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locitatem incrementi aut decrementi logarithmorum apud minorem» (Habit. log) Ce qui équivaut à la relation d. \( \log x = \frac{\text{const}}{x} \).

Nous avons parlé d'ailleurs des obligations que le géométrie de la mesure doit à Kepler (J. E. 1897). Dans sa même Ster. Bd (Linz, 1615), il donne, sans démonstration suffisante les propositions suivantes: Parmi les triangles rectangles d'égales hypothénuses, le plus grand est isocèle.—Considérons le diamètre AC d'un cercle et la corde parallèle PQ à AC: le point H se mouvant sur la circonférence, en partant du milieu I de l'arc PIQ, le triangle PHQ croit plus vite que le triangle AHC.—Le plus grand des parallélépipèdes à bases carrées inscrits dans la sphère est le cube.—De tous les cylindres ayant même diagonal (*) le plus grand est celui dont le diamètre est à la hauteur comme 1 est à \( \sqrt{2} \).—Le second corollaire de ce dernier théorème est particulièrement curieux: «Patet hinc, bono quodam et geometrico genio esse factum, quod Austriaci victores regulam hanc observent construendi dolii, ut tertia parte de longitudine tabulae utantur pro semi-diametro orbis lignei. Nam hac ratione fit, ut cylinder, inter duos orbis ligneos mente adumbratus, quam proxime habeat duas medietates ad regulam theorematis. quadrantes et figuræ capassissime participes, et si a perfectione regulæ non nihil recedant, nam figuræ aliae terminatae ad puncta ipsi proxima cis et ultra, minimum variant capacitatem, quia capacitas figuræ maxima est: circa maximam vero utrumque circumstantes decremento habent initio in sensibilia». Ce dernier passage reproduction du théorème d'Oresme, peut avoir inspiré Fermat.

Dans son explication de l'arc-en-ciel (Météores. Leyde 1637). Descartes considère un rayon du soleil se réfractant en entrant dans une goutte d'eau, puis se réfléchissant sur la surface postérieure de celle-ci, et se réfractant de nouveau, en sortant de la goutte d'eau, puis se réfléchissant sur la surface postérieure de celle-ci, et se réfractant de nouveau, en sortant de la goutte d'eau, pour arriver à l'œil de l'observateur. Il calcule les angles formés par les rayons solaires et les rayons visuels correspondants, pour diverses inclinaisons du rayon incident. Il remarque ainsi qu'il y a bien plus de rayons qui donnent la déviation de 40° que d'autres; il calcule de nouveau, en resserrant ses essais autour de l'angle de

(*) C'est-à-dire inscrite dans la même sphère.
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46°, et trouve que les plus grand nombre de rayons a lieu pour l'angle de 41°31', lequel amène par suite un faisceau de rayons sensiblement parallèles et par conséquent plus sensibles à l'œil. Ceci n'est qu'un calcul terre-à-terre, bon seulement à employer quand on ignore la loi du phénomène, ou qu'elle est trop compliquée. On remarque d'ailleurs que jusqu'ici, on n'avait aucun procédé permettant de découvrir directement les maximantes et minimantes (*) des fonctions: ayant supposé que telle valeur rendait la fonctions un maximum ou un minimum, on s'en assurait par des moyens particuliers dans chaque cas. Le procédé de Descartes étant donc un progrès; mais Fermat allait, d'un seul coup, montrer et la vraie difficulté du problème, et sa solution définitive, du moins comme principe.

3.—Rappelons d'abord le premier écrit de Fermat, adressé à Descartes en 1638, mais dont les découvertes qui y sont contenues remontent à 1629, et paraissent avoir eu pour origine la recherche du cône maximum du surface totale donnée, problème que Roberval n'avait pu résoudre (*).

«Methodus ad disquirendam maximam et minimam. Omnis de inventione maximae et minimae doctrina, duabus positionibus in notis innititur, et hac unica praecceptione; statuatur quilibet quaestionis terminus esse A, sive planum, sive solidum, aut longitudo, prout proposito satisficeri par est, inventa maxima aut minima in terminis sub A, gradu ut libet involutis; ponatur rursus idem qui prius esse terminus A + E iterumque inveniatur maxima aut minima in terminis sub A et E, gradibus ut libet coefficientibus.

Adaequentur, ut loquitur Diophantus, duo homogenea maxima aut minima aequalia et demptis communibus (quo peracto homogenea omnia ex parte alterutra ab E, vel ipsius gradibus afficiuntur,) applicentur omnia ad E, vel ad elatiorem ipsius gradum, donec aliquod ex homogeneis, ex parte utravis affectione sub E, omnino liberetur.

Elidantur deinde utrimque homogenea sub E, aut sub ipsius

(*) Avec M. Hofbauer (J. M. 1899. p. 14) nous appellerons maximante ou minimante la valeur de la variable qui rend la fonction un maximum ou un minimum.

(*) Roberval a écrit un traité perdu sur les cylindres ou cônes inscrits et circonscrits à la sphère. Si x désigne le rayon de la base, cette recherche revient à celle du maximum de l'expression

\[
x^4 (1 - 2x^2) \text{ ou à celui de } 2x^3 (1 - 2x^2), \text{ ce qui donne } x = \frac{1}{2}.
\]
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gradibus quomodo libet involuta et reliqua æquentur, aut, si ex una parte nihil superest æquentur sanè, quod eodem residit, negata affirmatis. Resolutio ultimæ istius æqualitatis dabit valorem A, quâ cognitâ, maxima aut minima ex repetitis prioris resolutio- nis vestigiis innotescet.

Exemplum subjicimus
Sit recta AC, ita dividenda in E, ut rectang. A EC sit maximum? Recta AC, dicatur B.

A   E   C

Ponatur altera ipsius B esse A: ergo reliqua erit, B – A, et rectang. sub segmentis erit B, in A – A², quod debet inveniri maximum. Ponatur rursus pars altera ipsius B, esse A + E, ergò reliqua erit B, – A, – E et rectangulum sub segmentis erit B, in A, in A – A¹, + B, in E, – 2E in A, – E¹, quod debet adæquari superiiori rectangulo B, in A, – A¹; demptis communibus B, in E, adæquabitur A in 2E + E¹, et omnibus per E, divisis, B, adæquabitur 2 A + E; elidatur E, B æquabitur 2 A; igitur B, bifariam est dividendia, ad solutionem propositi: nec potest generalior dari methodus».

D’après cela, pour trouver la maximante ou minimante d’une fonction, on substituera à la variable, cette même variable augmentée de h: ces deux expressions comparées constitueront une presque égalité, qui développée et réduite, contiendra h dans tous ses termes.

On divisera ceux-ci par h et on fera \( h = 0 \), ce qui déterminera la valeur cherchée. Fermat admet donc que l’accroissement de la fonction est infiniment petit par rapport à celui de la variable.

Dans sa réponse, Descartes, au lieu d’égaler la fonction de x à celle de \( x + h \), — ce qui ne peut s’accorder avec la rigueur mathématique—prescrit de rechercher la valeur de x qui soit une racine double, ce qui mène à des calculs identiques, au fond, mais présentés sous une forme plus correcte; et en effet cette méthode revient à considérer deux valeurs égales de chaque côté du maximum, et à les rapprocher ensuite l’un de l’autre jusqu’à ce que leur différence s’annule (*) Descartes dit être en possession de cette

(*) Cette explication de la méthode de Fermat a été exposée explicitement pour la première fois par Huygens (Divers ouvrages de Messieurs de l’Ac des s c. 1868).
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méthode des maxima depuis plus de vingt ans: toutefois, on voit qu’il n’en avait pas entrevu la portée et il a entièrement laissé à Fermat la gloire de cette découverte.

Fermat a appliqué sa méthode à la recherche du premier des deux problèmes d’Apollonius, rapportés ci-dessus; à celui d’Eutocius; à diverses déterminations de centres de gravité, de tangentes, de normales; à la recherche de la loi de la réfraction, en admettant que le rayon direct et le rayon réfractés effectuent leur trajet dans un temps minimum. Elle a été publiée pour la première fois dans le supplément du Cursus mathematici d’Hérigone (Paris, 1644).

(Continuado).

LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

(Continuación)

La enseñanza no ha de consistir exclusivamente en repetir un libro, en seguir la marcha sintética propia de los tratados donde se expone la ciencia con sus divisiones y subdivisiones naturales.

Adquirir conocimientos es lo primero, el ordenarlos es operación complementaria que exige dicha adquisición. El maestro ve ordenadas las verdades de la ciencia por un enlace racional, en virtud de un conocimiento previo de cada una; el alumno necesitará en muchos casos emplear el recurso artificial de la memoria, si se le impone este trabajo ordenador.

La ciencia no tiene forma lineal, sino ramificada; sus ramas se compenetran á veces, para separarse luego.

La enseñanza debe trazar líneas generales que envuelvan cada teoría en sus rasgos principales, en sus principios esenciales, pues la inteligencia, por deducción natural, hará brotar las consecuencias secundarias, lo que constituirá una gimnasia útilísima, comparable á la resolución de problemas, que pone en actividad la inteligencia.

La ciencia cristalizada en los tratados, dentro del dogmatismo sintético, debe fundirse para penetrar en las inteligencias vacías
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

ETUDE ÉLÉMENTAIRE SUR LA THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA
par M. A. Aubry

(Continuación, v. págs. 185-193).
IV.—A cause de III, le maximum de
\[
\frac{A + B.x + x^2}{a + x^2} = 1 + \frac{A - a + B.x}{a + x^2}
\]
a lieu pour
\[
A - a + B.x = \frac{A B^2 + (A - a)^2}{A - a + B.x}.
\]

V.—Le cas de
\[
\frac{\alpha}{a + x} + \frac{\beta}{b + x} = \frac{(\alpha + \beta).x + (\alpha b + a \beta)}{x^2 + (a + b).x + ab}
\]
se ramène aisément à III.

VI.—Le cas de
\[
\frac{a x^2 + b x + c}{A x^2 + B x + C} = \frac{a}{A} + \frac{b A - a B}{A^2} \cdot \frac{x^2 + \frac{C A - a C}{A B - b A}}{x^2 + \frac{B}{A} x + \frac{C}{A}}
\]
se ramène à IV, et pourrait d'ailleurs se traiter directement; mais nous ne pouvons entrer dans tous ces détails.

VII.—La somme \( \frac{a F(x)}{f(x)} + \frac{b f(x)}{F(x)} \) passe par un minimum pour
\[
a [f(x)]^2 = b [F(x)]^2.
\]
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se ha desvanecido una dimensión, mirando como idénticas las superficies planas, cónicas y cilíndricas.

Riemann, al establecer el concepto de variedad de \( n \) dimensiones, admite el axioma de la invariabilidad de distancia con la mutación en el espacio, define el carácter esencial de dicha variedad consistente en que la determinación de lugar puede reducirse á \( n \) determinaciones de magnitud y las condiciones suficientes para determinar estas relaciones métricas exigen independencia entre las magnitudes y el lugar.

Para estudiar las variedades, considera la curvatura, conforme lo hizo Gauss, obteniendo una superficie mediante la prolongación, según líneas de mínima distancia, todas las direcciones iniciales á partir de un punto dado. Expresa el carácter común de variedades de curvatura constante diciendo que en ellas las figuras pueden moverse sin extensión, ni duplicación, por simple flexión, quedando determinadas las relaciones métricas de una variedad por la medida de su curvatura. Las superficies de curvatura constante positiva pueden aplicarse á una esfera cuyo radio es la unidad dividida por la raíz cuadrada de la medida de la curvatura, y dando á una de dichas variedades la forma de una esfera y á las demás las de superficies de revolución tangentes según el ecuador, las de mayor medida de curvatura le serán tangentes interiormente y tomarán la forma de la superficie exterior anular (toro), pudiendo ser aplicables sobre zonas de esferas de radio menor, cubriéndolas más de una vez, y las de menor curvatura positiva se obtendrán cortando sobre superficies esféricas de mayor radio un huso limitado por dos semi-círculos máximos. La de curvatura nula será una superficie cilíndrica que tendrá por base el ecuador. Las superficies de curvatura constante negativa serán tangentes á este cilindro exteriormente de forma parecida á la parte interior de la superficie anular vuelta hacia el eje, y lo mismo que en el espacio se mueven los cuerpos, el elemento superficial se moverá sin extensión en todas estas superficies.

Entre todas estas superficies podremos considerar las de curvatura constante negativa, en las que hizo notar el ilustre geómetra Beltrami que tiene su representación la planimetría no-euclídea. Con este objeto considera dos sistema coordenados de líneas geodésicas \( u = const, v = const \), de modo que las geodésicas pertenecientes á cada uno de los dos sistemas sean respectivamente perpendiculares á las geodésicas \( u = 0, v = 0 \), y hace una repre-