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Et, comme \( \tau_1 \) n'est pas constant, cette condition démontre que \( L_1 \) est une ligne sphérique.
Si, vice versa, \( L_1 \) est tracée sur une sphère de rayon \( k \), on a:
\[
\tau_1 = \frac{\sqrt{k^2 - \dot{\rho}_1^2}}{\dot{\rho}_1},
\]
et la deuxième équation (16) donne \( \tau = k \).
Donc: quand la ligne primitive \( L \) a le rayon de torsion constant et égal à \( k \), la ligne dérivée \( L_1 \) est placée sur une sphère de rayon \( k \), et vice versa.
Cette propriété peut être mise à profit, dans la recherche des lignes à torsion constante.
La troisième équation (14) démontre que le problème de chercher une ligne le long de laquelle le rapport \( \frac{\dot{\rho}}{\tau} \) est une fonction donnée de l'arc et l'autre de chercher une ligne dont le rayon de torsion est une fonction donnée de l'arc, peuvent se ramener l'un à l'autre.
Nous allons appliquer une telle liaison entre les deux problèmes, à la recherche d'une ligne \( L_1 \) dont le rayon de torsion est une constante \( m \).
Remarquons d'abord que pour la ligne \( L \) (primitive de \( L_1 \)) on a:
\[
\frac{\dot{\rho}}{\tau} = \tang \left( \frac{s}{m} \right).
\]
Cela posé, soient \( g \) les droites rectifiantes de \( L \) et \( i \) l'inclinaison de ces droites sur la ligne \( L \). On sait que
\[
\tang i = \frac{\tau}{\dot{\rho}},
\]
et conséquemment:
\[
i = \frac{\pi}{2} - \frac{s}{m}
\]
Si l'on déroule la développable rectifianta \( \Sigma \) de \( L \) sur un plan, cette ligne se réduit à une droite et l'arête de rebroussement de \( \Sigma \) à une certaine ligne plane \( L_0 \) qu'on peut déterminer aisément.
En désignant en effet par \( s_0 \) et \( \rho_0 \) l'arc et le rayon de courbure de
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L_0, on a (*)

\[
s_0 = \int \frac{2 \cos i \left( \frac{d i}{d s} \right)^3 - \sin i \frac{d^2 i}{d s^2}}{\left( \frac{d i}{d s} \right)^3} d s
\]

\[
= 2 \int \sin \left( \frac{s}{m} \right) d s = -2 m \cdot \cos \left( \frac{s}{m} \right)
\]

\[
\rho_0 = \frac{2 \cos i \left( \frac{d i}{d s} \right)^3 - \sin i \frac{d^2 i}{d s^2}}{\left( \frac{d i}{d s} \right)^3} = -2 m \sin \left( \frac{s}{m} \right).
\]

et conséquemment:

\[
\rho_0 = \sqrt{4 m^2 - s_0^2}
\]

La courbe L_0 est donc une cycloïde dont le cercle générateur a le diamètre m.

Pour s = 0 on a \( i = \frac{\pi}{2} \), \( \rho_0 = 0 \); la droite à laquelle se réduit L est donc perpendiculaire à la base de la cycloïde L_0 à une de ses extrémités.

On a ainsi la construction suivante: Pour déterminer une courbe L_1 à torsion constante \( \frac{1}{m} \), on décrit la cycloïde L_0 ayant le cercle générateur de diamètre m et ensuite on plie le plan de cette courbe, en lui donnant la forme d'une surface développable dont les génératrices rectilignes sont les tangentes de L_0. La perpendiculaire à la base de la cycloïde, dans son extrémité, se réduit, après cette opération, à une certaine ligne à double courbure L_1. La courbe L_1, dérivée de L_0, résout le problème.

5

La section droite L du cylindre K soit la ligne:

(17) \[ x = q(s) \qquad y = \int \sqrt{1 - q'^2(s)} \cdot d s \]

(*) Sur la détermination des lignes dont le rapport de la courbure à la torsion est une fonction donnée de l'arc. # V = Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1868.
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et la transformée \( \Lambda_1 \) de \( \Lambda \) soit la ligne représentée par l'équation cartésienne (6)

La condition que la ligne \( \Lambda \) soit sur la surface (S):

\[
\Phi(x, y, z) = 0
\]

est alors exprimée par l'équation:

\[
\Phi \left[ \varphi(s), \int \sqrt{1 - \varphi'^2(s)} \cdot ds , F(s) \right] = 0
\]

Puisque celle-ci conduit à une équation différentielle du premier ordre, de laquelle on peut déduire \( \varphi \) en fonction de \( s \), on conclut:
*Si \( \Lambda_1 \) est une ligne plane quelconque, on peut toujours déterminer un cylindre K de façon, qu'en pliant le plan de \( \Lambda_1 \) sur la surface de ce cylindre, la ligne \( \Lambda \) à laquelle se réduit \( \Lambda_1 \), arrive à être placée sur une surface quelconque S donnée à priori.*

En supposant que S soit une sphère de rayon \( k \) avec le centre à l'origine, on a:

\[
\Phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - k^2
\]

et conséquemment:

\[
\int \sqrt{1 - \varphi'^2(s)} \, ds = \sqrt{k^2 - \varphi^2(s)} = F^2(s)
\]

La détermination de \( \varphi(s) \) se fait donc à l'aide de l'équation différentielle:

\[
[k^2 - F^2(s)] \varphi'' + 2F(s) F'(s) \varphi' + \varphi^2 + F^2(s) + F^2(s) F'(s) - k^2 = 0
\]

Pour éviter la difficulté insurmontable de l'intégration effective d'une telle équation, il suffit de remarquer que:

\[
\sqrt{\varphi^2(s) + [\int \sqrt{1 - \varphi'^2(s)} \, ds]^2} = \sqrt{k^2 - F^2(s)},
\]

ce qui conduit au théorème:
*Pour réduire la ligne plane \( \Lambda_1 \) représentée par l'équation (6) à une ligne sphérique \( \Lambda \) de rayon k, il faut plier le plan de \( \Lambda_1 \) sur la surface du cylindre K dont la section droite L est la courbe définie par la relation:*
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 15

(18) \( \mathbf{R} = \sqrt{k^2 - F^2(s)} \)

entre l'arc s et le rayon vecteur R issu de l'origine.

Si l'on rappelle que:

\[
r = \frac{\mathbf{R} \sqrt{1 - \left( \frac{d\mathbf{R}}{ds} \right)^2}}{1 - \left( \frac{d\mathbf{R}}{ds} \right)^2 - \mathbf{R} \frac{d^2\mathbf{R}}{ds^2}},
\]

on a: La section droite L du cylindre K est représentée (en coordonnées intrinsèques r, s) par l'équation:

\[
r = \frac{\sqrt{k^2 - F^2(s) - F^2(s) F'^2(s)}}{1 + F'^2(s) + F(s) F''(s)}
\]

Si, par exemple \( \Lambda_1 \) est la droite

\[
\zeta_1 = \alpha s,
\]

la ligne sphérique \( \Lambda \) est une hélice et la section droite L a pour équation:

\[
r = \sqrt{\frac{k^2}{(1+\alpha)^2} - \frac{\alpha^2}{1+\alpha^2} s^2}
\]

Donc: la section droite du cylindre contenant une hélice sphérique est une épicycloïde.

En résolvant l'équation (18) par rapport à F(s), on arrive au résultat suivant: Si une ligne plane \( \Lambda_1 \) se réduit à une ligne sphérique (de rayon k) en pliant son plan sur la surface du cylindre K dont la section droite est la courbe:

\[
\mathbf{R} = \mathbf{R}(s)
\]

cette ligne \( \Lambda_1 \) est représentée par l'équation cartésienne:

\[
\zeta_1 = \sqrt{k^2 - R^2(s)}
\]

Si, par exemple, on remarque qu'entre les lignes de la famille:
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 16

\[
R = \sqrt{a s^2 + 2 b s + c}
\]

on trouve l'hypocycloïde pour \( a \) positif et \( > 1 \) et l'épicycloïde pour \( a < 0 (*) \), on \( a \): *Les lignes planes qui sont réductibles à des lignes sphériques en pliant leur plan sur un cylindre dont la section droite est une hypocycloïde ou une épicycloïde, sont respectivement les ellipses et les hyperboles*.

Si au lieu de la ligne \( \Lambda_1 \) (6) on place la ligne (\( \Lambda_1' \))

\[
(\zeta_1) = \sqrt{k^2 - F^2(s)},
\]

la courbe (18) est remplacée par l' autre:

\[
(R) = F(s).
\]

Cette remarque conduit au théorème suivant: \( \Lambda_1 \) étant une ligne plane quelconque, soit \( (\Lambda_1') \) la ligne déduisible de \( \Lambda_1 \) par la transformation

\[
(\zeta_1) = \sqrt{k^2 - \zeta^2}
\]

et (L) la section droite du cylindre sur lequel on doit plier le plan de \( (\Lambda_1) \) pour réduire celle-ci à une ligne sphérique de rayon k.

*La ligne \( \Lambda_1 \) (en coordonnées cartésiennes \( \zeta_1, s \)) et la ligne (L) (en coordonnées R, s) sont représentées par deux équations ayant même forme*.

A l'aide de ce résultat on peut trouver aisément des constructions géométriques pour le passage des lignes:

\[
\varphi(\zeta_1, s) = 0,\quad \psi(R, s) = 0
\]

aux autres:

\[
\varphi(R, s) = 0,\quad \psi(\zeta_1, s) = 0,
\]

pour le passage de la ligne:

\[
\chi(R, s) = 0
\]

(*) Sur les lignes sphériques - Jornal de ciencias mathematicas e astronomicas - Vol. IX.
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 17

à l'autre:

\( \chi [ f(R), s ] = 0 \) , etc. etc.

Quand la surface S est le plan passant par l'axe des y incliné de l'angle \( \theta \) sur le plan coordonné \( x = 0 \), on a:

\[
\Phi (x, y, s) = x - z \tan \theta .
\]

Par conséquent: Si l'on donne une ligne plane quelconque \( \Lambda_1 \) représentée par l'équation (6), on peut déterminer (d'une infinité de manières) un cylindre K tel, qu'en pliant le plan de \( \Lambda_1 \) sur sa surface, la courbe \( \Lambda \) à laquelle se réduit \( \Lambda_1 \) soit une section plane de K. La section droite du cylindre K est déterminée par les équations:

(19)

\[
x = \tan \theta . F(s), \quad y = \int \sqrt{1 + \tan^2 \theta} . F'(s) ds,
\]

\( \theta \) étant l'angle arbitraire défini ci-dessus.

Remarque.—Si l'on fait usage des coordonnées intrinsèques \( r, s \), la section droite dite est représentée par l'équation:

(20)

\[
r = \frac{\cot^3 \theta - F''(s)}{F'(s)}
\]

Si, par exemple, \( \Lambda_1 \) est le cercle:

\[
z_1 = F(s) = \sqrt{a^4 - s^4},
\]

pour le réduire à une ligne plane il faut plier son plan sur le cylindre K dont la section droite est la courbe:

\[
r = \frac{s^3 - a^2}{a^2 \sin \theta} \sqrt{a^2 \cos^2 \theta - s^2}
\]

En comparant les équations (19), (17), on a le théorème:
Si une ligne plane \( \Lambda_1 \) se réduit à une nouvelle ligne plane, en pliant son plan sur la surface du cylindre K dont la section droite L est la courbe (17), cette ligne \( \Lambda_1 \) est représentée par l'équation cartésienne:

\[
z_1 = \varphi(s) \cdot \cot \theta
\]
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 18

Remarque.—Si l’on suppose que, dans l’équation (20), r soit une fonction donnée et F une fonction inconnue de s, on trouve par intégration:

\[
F(s) = \cot \theta \cdot \int \sin \left( a + \int \frac{ds}{r} \right) ds,
\]

\(a\) étant une constante.

Il suit que si, dans le dernier théorème, la section droite L du cylindre K est représentée par l’ équation intrinsèque:

\[
r = r(s),
\]

la courbe \(A\), est représentée par l’ équation cartésienne:

\[
\zeta_1 = \cot \theta \int \sin \left( a + \int \frac{ds}{r} \right) ds.
\]

Si, par exemple, la section droite du cylindre K est la cycloïde

\[
r = \sqrt{m^4 - s^4},
\]

la courbe \(A\), qu’on doit plier sur la surface de K pour la réduire à une nouvelle ligne plane, est la courbe représentée par l’équation:

\[
\zeta_1 = \frac{\cot \theta}{2m} \left[ s \sqrt{m^4 - s^4} + m^4 \operatorname{arc. sin} \left( \frac{s}{m} \right) \right] \sin a \\
+ \frac{\cot \theta}{2m} s^3 \cdot \cos a
\]

Pour la valeur particulière \(a = 0\), on a

\[
\zeta_1 = \frac{\cot \theta}{2m} s^3
\]

Entre les lignes \(A\), qu’on vient de déterminer, il y a donc aussi la parabole.

En se rappelant les formules relatives à l’applicabilité des surfaces de révolution, on a le théorème: Quelle que soit la valeur de \(\theta\), la ligne (19) et l’autre:

\[(21)\]
\[
x_s = F(s), \quad y_s = \int \sqrt{1 - F'(s)^2} ds,
\]
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 19

dans la rotation autour de l'axe des y, engendrent deux surfaces de révolution applicables l'une sur l'autre par déformation.

Par conséquent: Les sections droites (en nombre infini) des cylindres sur lesquels on doit plier le plan d'une ligne plane quelconque \( \Lambda_1 \) pour la réduire à des nouvelles lignes planes, sont les lignes méridiennes d'une suite de surfaces de révolution applicables par déformation les unes sur les autres.

APPLICATION—En posant successivement:

\[
z_1 = F(s) = \left| \frac{s^3}{a}, \sqrt{a^2 + s^2}, a e^{\frac{s}{a}} \right|.
\]

la première équation (21) donne respectivement:

\[
x_0 = F(s) = \left| \frac{s^3}{a}, \sqrt{a^2 + s^2}, a e^{\frac{s}{a}} \right|.
\]

On a d'ici la propriété: Les surfaces de révolution dont les lignes méridiennes sont les sections droites L, L', L'', ..... des cylindres K sur lesquels on doit plier le plan d'une hyperbole équilatère, ou d'une courbe logarithmique \( \left( z_1 = a e^{\frac{s}{a}} \right) \), pour que ces lignes se réduisent à des lignes planes, sont respectivement applicables sur la surface engendrée par la rotation d'une cycloïde autour de la tangente au sommet, sur l'alyssèide (*) (surface engendrée par une chaînette tournant autour de sa directrice), ou sur la pseudo-sphère.

SOBRE LOS CÍRCULOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
por D. Juan J. Durán Loriga
Comandante de Artillería

(Conclusión)

4. Si en la ecuación del círculo \( \epsilon \) se invierten dos de los parámetros \( p_a, p_b, p_c \), se obtienen tres nuevos círculos \( \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \), representados por:

(*) Bour—Théorie de la déformation des surfaces. Journal de l'École Polytechnique—Ch. 39.
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La envolvente de la recta móvil se obtiene eliminando \( a \), \( b \) y \( \frac{d b}{d a} \) entre las ecuaciones que preceden y las siguientes

\[
\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} \frac{d b}{d a} = 0
\]

\[
a - b \cos \omega + (b - a \cos \omega) \frac{d b}{d a} = 0
\]

Para obtener esta eliminación, notemos en primer lugar que las dos últimas ecuaciones dan

\[
\frac{x}{a^2} + \frac{y}{b^2} \frac{b \cos \omega - a}{b - a \cos \omega} = 0
\]

y que esta ecuación combinada con la ecuación de la recta móvil da

\[
l^1 x = a^1 (a - b \cos \omega), \quad l^1 y = b^1 (b - a \cos \omega),
\]

ó eliminando \( b \),

\[
l^1 x = a^1 [a \sin^2 \omega \mp \cos \omega \sqrt{l^1 - a^1 \sin^2 \omega}]
\]
\[
l^1 y = \pm [a \cos \omega \pm \sqrt{l^1 - a^1 \sin^2 \omega}]^2 \sqrt{l^1 - a^1 \sin^2 \omega}
\]

Para obtener la ecuación de la envolvente pedida faltaba eliminar \( a \) entre estas dos ecuaciones. Pero puede estudiarse la curva sin hacer esta eliminación y, en particular, determinar el área, que limita, como vamos á ver.

Sea S un área limitada por un arco de curva y por los vectores de los extremos de este arco.

Tenemos

\[
d S = \frac{1}{2} \left( y \frac{d x}{d a} - x \frac{d y}{d a} \right) \operatorname{sen} \omega
\]

Luego el área limitada por la curva y por los vectores de los puntos en que \( a = 0 \) y \( a = a_1 \), está dada por la fórmula
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 20

\[
\sigma(p_a x + p_b \beta + p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0 \\
\sigma(p_c x + p_b \beta + p_a \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0 \\
\sigma(p_b x + p_a \beta + p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

los llamaremos semi-asociados de \( \epsilon \).

Las siguientes propiedades se demuestran facilmente.

Los tres círculos semi-asociados tienen por centro radical el centro de gravedad G; los ejes radicales de un círculo \( \epsilon \) con relación á sus semi-asociados son las medianas de ABC; los ejes radicales de los círculos semi-asociados son las rectas semi-recíprocas de los ejes radicales de un círculo con relación á sus asociados; un círculo cualquiera, sus asociados y sus semi-asociados tienen un mismo círculo ortotómico.

Sobre los círculos derivados y semi-derivados

5. Si en la ecuación de un círculo \( \epsilon \)

\[
\sigma(p_a x + p_b \beta + p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

se cambia el signo de los parámetros \( p_a, p_b, p_c \), se obtiene un nuevo círculo \( \sigma \) que es el círculo anti-radical (sobre los círculos anti-radicales véase (Journal de M. de Longchamps 1897) de \( \epsilon \) con relación al círculo circunscripto al que llamamos el círculo derivado de \( \epsilon \); así, por ejemplo, el círculo derivado del de Longchamps tiene por centro el ortocentro de ABC y su radio es \( 2R \), es decir, es circunscripto al anti-complementario del triángulo fundamental. Se pueden también considerar círculos derivados de un punto notable del triángulo; así el círculo derivado del punto de Lemoine tiene por ecuación

\[
\frac{a}{m^4} : b^2 c^2 (3a^4 - 2m^4)x - a^2 \beta \gamma = 0
\]

El círculo derivado de un punto M es siempre real, su radio está expresado por

\[
t = \sqrt{2} (\bar{R}^4 + d^4) \qquad (d = MO)
\]

y su centro es el punto simétrico de M con relación á O.
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 21

6. Si en la ecuación del círculo \( \epsilon \)

\[
\sigma (p_a x + p_b \beta + p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

se cambia el signo uno de los parámetros, se obtienen los círculos \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) representados por

\[
\begin{align*}
&\sigma (-p_a x + p_b \beta + p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0 \\
&\sigma (p_a x - p_b \beta + p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0 \\
&\sigma (p_a x + p_b \beta - p_c \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\end{align*}
\]

y diremos que \( \sigma_1 \) es el primer semi-derivado, \( \sigma_2 \) el segundo y \( \sigma_3 \) el tercero de \( \epsilon \).

Los ejes radicales de los pares (\( \epsilon, \sigma_1 \)), (\( \epsilon, \sigma_2 \)), (\( \epsilon, \sigma_3 \)) son los lados del triángulo, y por consiguiente los centros radicales de los triples (\( \epsilon, \sigma_1, \sigma_3 \)), (\( \epsilon, \sigma_1, \sigma_2 \)) etc. son los vértices.

Los ejes radicales de los pares (\( \sigma_1, \sigma_2 \)), (\( \sigma_1, \sigma_3 \)), (\( \sigma_2, \sigma_3 \)) son respectivamente las transversales angulares

\[
p_a x - p_b \beta = 0,\quad p_a x - p_c \gamma = 0.\quad p_b \beta - p_c \gamma = 0
\]

y el centro radical tiene por coordenadas

\[
\frac{\alpha}{p_a} = \frac{\beta}{p_b} = \frac{\gamma}{p_c}
\]

Así, los círculos semi-derivados del círculo de Longchamps tienen por centro radical el punto recíproco del punto de Lemoine.

Los semi-derivados del círculo polar conjugado tienen por centro radical el ortocentro. Para el círculo de Brocard se obtiene el punto de Lemoine, etc., etc. Igualmente para los puntos notables. Así, por ejemplo, el centro radical de los círculos semi-derivados del punto retrógado de Brocard es el factoriano de este punto y el punto de Lemoine; etc., etc.

Los círculos semi-derivados de un círculo cualquiera concéntrico con el círculo circunscripto tienen por centro radical el centro de gravedad del triángulo.

7. La consideración de los círculos derivados da origen á algunos ejercicios; citaremos los siguientes:

1.º Sea \( \epsilon \) un círculo cualquiera del triángulo ABC; At, Bt', Ct las tangentes trazadas por A, B, C al círculo \( \epsilon \); \( \alpha A, \alpha B, \alpha C \) las
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rectas que unen el punto \( x \) simétrico del centro de \( t \), con relación á O, á los vértices del triángulo de referencia, en fin, PQ, RS, TU las perpendiculares á los extremos de las rectas \( xA, xB, xC \).

Si tomamos en sentido contrario \( AP = AQ = At', BR = BS = St' \), \( CT = CU = Ct'' \), los puntos P, Q, R, S, T, U son concíclicos. Se puede reemplazar el círculo \( t \) por un punto notable cualquiera y deducir un teorema análogo.

2.º En particular, sea (1) la circunferencia inscripta al triángulo ABC, \( p, q, r \) los puntos de tangencia con BC, AC, AB, hagamos la construcción anterior, y tomemos \( AP = AQ = Ar \), \( BR = BS = Bp \), \( CT = CU = Cq \), los puntos P, Q, R, S, T, U son concíclicos.

3.º Sean P, Q, R, los medios del lado BC, AC, AB del triángulo, H el ortocentro; tomemos sobre estos lados, en sentido contrario, \( PH_1 = PH_4 = PH, QH_3 = QH_4 = QH, RH_5 = RH_6 = RH \). Los puntos \( H_1, H_2, H_3, H_4, H_5, H_6 \) son concíclicos.

4.º Sea P, Q, R el triángulo polar de un punto M, O_1 el centro del círculo circunscripto á PQR, M_1 el punto simétrico de M con relación á O_1; tomemos sobre BC, AC, AB, en sentido contrario, \( PP_1 = PQ_1 = PM_1, QQ_1 = QQ_1 = QM_1; RP_2 = RQ_1 = RM_1 \); los puntos \( P_1, Q_1, P_2, Q_2, P_3, P_4, P_5 \) son concíclicos.

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1908)

EXTRACTO DE LA CONFERENCIA TERCERA

Geometría moderna. Carácter propio de la geometría en la escuela de Monge.—Direcciones dadas por Carnot, Poncelet, Chasles, Plücker y Clebsch. - Lo imaginario y lo infinito. - Las geometrías infinitesimales y vectoriales.

Ninguna rama de la Matemática reune, como la Geometría, la claridad y elegancia á la riqueza de sus variados e inagotables desarrollos, bien que sea, en realidad, la esquematización de los conceptos analíticos, es decir la forma concreta de las relaciones
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algorítmicas, la huella de éstas en el dominio de nuestras representaciones sensibles, llevando por tal correspondencia íntima y recíproca á la unidad de la ciencia matemática, que también somete á la ley del número las manifestaciones de la fuerza.

La Geometría primero se desarrolla en sí, luego se combina con el Análisis y da formas siempre nuevas á las leyes de la Algorítmia, á sus cálculos abstractos, iluminando estos conceptos oscuros con las representaciones intuitivas.

Una graduación seguiremos desde los elementos de Euclides hasta los métodos modernos proyectivos, que encadenan bajo la ley de unidad las más variadas propiedades, y que hace esta ciencia de fácil comprensión.

Euclides había encadenado las proposiciones geométricas bajo la unidad del razonamiento ad absurdum, que implicitamente comprende la correspondencia unívoca de los tiempos modernos, pues en efecto, una proposición recíproca implica una equivalencia entre los términos del teorema, una ecuación entre la hipótesis y la tesis. Por esta razón, demostradas la directa y la recíproca ó la directa y la contraria, subsisten las otras dos partes de una proposición.

Euclides prescinde de analogías aparentes, para subordinar su exposición á un riguroso encadenamiento de verdades, encadenamiento que había de subsistir necesariamente, ya que, según ve-remos, todas las verdades no son más que expansiones ó desarrollos de la propiedad fundamental de la recta, unida á la propiedad de la única paralela, en cuanto á la posición y de la continuidad del espacio, en cuanto á las relaciones de magnitud.

Una exposición de la Geometría puede hacerse (y así lo hice en el tomo V de El Progreso Matemático, bajo el título de La sistematización de la Geometría), comenzando por demostrar, mediante un giro, que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

La propiedad de la recta, de no poder cerrar dos un espacio, es decir, de quedar determinada una recta por dos puntos, equivale á dar un sistema de puntos invariablemente unidos que siempre coincide consigo mismo, cuando se hallan fijos dos de sus puntos, sistema que forma la dirección de la recta, de igual manera que el plano es un sistema de puntos que siempre coincide consigo mismo cuando se fijan tres de sus puntos, y análogamente pudiera decirse del espacio de tres dimensiones cuando se fijan cuatro de sus puntos.