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El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

SUR UNE IDENTITÉ D'EULER
par M. A. Aubry

I.—Dans l'identité suivante, donnée incidemment par Euler (Novi com. Pet. tome V).

(1) \[(1 + a)(1 + b)\ldots(1 + l) = 1 + a\]
\[+ b(1 + a) + \ldots + l(1 + a)\ldots(1 + k)\]

changeons \(a, b, \ldots\) en \(\frac{a}{1 - a}, \frac{b}{1 - b}, \ldots\), il viendra:

(2) \[1 + \frac{a}{1 - a} + \frac{b}{(1 - a)(1 - b)} + \ldots\]
\[+ \frac{l}{(1 - a)\ldots(1 - l)} = \frac{1}{(1 - a)(1 - b)\ldots(1 - l)}\]

changeant \(a, b, c, \ldots\) en \(\frac{a}{1}, \frac{b}{1 + a}; \frac{c}{1 + a + b}, \ldots\), on aura:
(H. Laurent, Prob. 1873)

(3) \[(1 + a)\left(1 + \frac{b}{1 + a}\right)\left(1 + \frac{c}{1 + a + b}\right)\ldots\]
\[\left(1 + \frac{l}{1 + a + \ldots + k}\right) = 1 + a + b + \ldots + k + l\]

Faisons dans (1) \(a = b = \ldots = l = x - 1\); il viendra:
(Sterne, Cr. tome XII)
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Dans (23) changeons \( a \) est \( b \) 1° en \( \frac{1}{b} \) et \( \frac{1}{a} \), 2° en \( \sqrt[n]{b} \) et \( \sqrt[m]{a} \), 3° en \( \sqrt[m]{\frac{1}{a}} \) et \( \sqrt[m]{\frac{1}{b}} \), on aura les divers cas de la relation générale

(24)

\[
\mu a^{\mu} - 1 \geq \frac{a^{\mu} - b^{\mu}}{a - b} \geq \mu b^{\mu} - 1
\]

(\( \mu \), quelconque)

On en tire:

\[
(\mu + 1) a^{\mu} \geq a^{\mu} + 1 - (\mu - 1)^{\mu} + 1 \geq (\mu + 1) (a - 1)^{\mu}
\]

d'où, faisant \( a = 0, 1, 2, 3, \ldots n \), additionnant, réduisant et posant

\[
\Sigma = 1^{\mu} + 2^{\mu} + 3^{\mu} + \ldots + n^{\mu}.
\]

la relation

(25)

\[
\frac{1}{\mu + 1} < \frac{\Sigma}{n^{\mu} + 1} < \frac{1}{\mu + 1} + \frac{1}{n}
\]

Cette démonstration se trouve dans le Handb. des Anal. de Schlömilch, mais pour le cas de \( \mu \) entier positif seulement.

8.—On a une autre démonstration de la quadrature de la parabole \( y^q = x^p \) due à Fermat et publiée d'abord dans l'ouvrage de Lalouvère, De Cycl. (Toulouse, 1660).

Entre les abscisses \( a \) et \( b \), inscrions les abscisses en progression géométrique

\[
x = a, a (1 + w)^q, a (1 + w)^{2q}, \ldots a (1 + w)^{nq} = b
\]

auxquelles correspondent les ordonnées

\[
y = a, a (1 + w)^p, a (1 + w)^{2p}, \ldots a (1 + w)^{np} = b
\]

lesquelles détermineront une série de rectangles en progression géométrique. La somme de cette progression se trouve être égale à

\[
A_n = (b^p - a^p) \frac{(1 + w)^{nq} - 1}{(1 + w)^{p+q} - 1}
\]
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d'où, pour l'aire demandée

\[
A_{\infty} = (b \beta - a x) \frac{q}{p + q}
\]

Nous avons fait voir (J. S. 1896, p. 203) comment de la quadrature des paraboles dépend celle de toute courbe quarvable algébriquement.

9. Soit à trouver ce que devient l'expresion

\[
X_n = \frac{x}{n} + \frac{x}{n + x} + \frac{x}{n + 2 x} + \ldots + \frac{x}{n + (n - 1) x}
\]

quand on fait tendre \( n \) vers \( \infty \).

On voit d'abord que cette série et la suivante

\[
\Xi_n = \frac{x}{n + x} + \frac{x}{n + 2 x} + \frac{x}{n + 3 x} + \ldots + \frac{x}{n + n x}
\]

ont une même limite, car la différence

\[
X_n - \Xi_n = \frac{x^3}{n (1 + x)}
\]

tend alors vers zéro. De plus cette limite est finie, car elle est comprise *a fortiori* entre \( n \) fois le premier terme de \( X_n \) et \( n \) fois le dernier terme de \( \Xi_n \), c'est-à dire entre \( x \) et \( \frac{x}{1 + x} \). On a donc, en appelant \( f(x) \) cette limite commune \( X_{\infty} = \Xi_{\infty} \),

(26)

\[
x > f(x) > \frac{x}{1 + x}
\]

On a aussi les limites plus rapprochées qui suivent

(27)

\[
\frac{x}{2} \frac{2 + x}{1 + x} > f(x) > \frac{2 x}{2 + x}
\]

En effet, dans \( X_n \), comme dans \( \Xi_n \), la somme des termes à égale distance des extrêmes décroît à mesure qu'on se rapproche du milieu, puisque pour \( p > q \), on a:

\[
\frac{1}{a - p x} + \frac{1}{a + p x} > \frac{1}{a - q x} + \frac{1}{a + q x}
\]
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Par conséquent \( X_n \) est \( < n \) fois la demi-somme des termes extrêmes et \( \Xi_n \) est \( > n \) fois le terme du milieu, ce qui donne, quelque soit \( n \):

\[
\frac{x}{2} \cdot \frac{2 + x - \frac{x}{n}}{1 + x - \frac{x}{n}} > f(x) > \frac{2x}{2 + x - \frac{x}{n}}
\]

10.—Le calcul de \( X_\infty \), par la définition que nous en avons donnée serait tout à fait impracticable; on peut le rendre abordable par les considérations qui suivent.

D'après le théorème de Cauchy (2, III,) on a:

\[
1 \pm \frac{\omega_1 + \ldots + \omega_n}{n} > \sqrt[n]{(1 \pm \omega_1) \ldots (1 \pm \omega_n)}
\]

d'où, en dédoublant et transposant,

\[
n \left[ 1 - \sqrt[n]{(1 - \omega_1) \ldots (1 - \omega_n)} \right] > \omega_1 + \ldots + \omega_n
\]
\[
> n \left[ -1 + \sqrt[n]{(1 + \omega_1) \ldots (1 + \omega_n)} \right]
\]

Dans la première inégalité faisons

\[
\omega_1 = \frac{x}{n + x}, \quad \omega_2 = \frac{x}{n + 2x}, \ldots \omega_n = \frac{x}{n + nx}
\]

et dans la seconde

\[
\omega_1 = \frac{x}{n}, \quad \omega_2 = \frac{x}{n + x}, \ldots \omega_n = \frac{x}{n + (n-1)x}
\]

puis posons

\[
x_n = n (\sqrt{1 + x} - 1), \quad \xi_n = n \left( 1 - \sqrt{\frac{1}{1 + x}} \right), \text{ d'où } x_n > \xi_n
\]

il viendra

\[
X_n > x_n > \xi_n > \Xi_n
\]

donc \( x_n \) et \( \xi_n \) tendent vers une limite commune qui ne peut être que \( f(x) \), ce qui conduit à poser

\[
f(x) = \lim n (\sqrt{1 + x} - 1)
\]
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Or on a:

\[
\frac{x_n}{x_{2n}} = \frac{\sqrt{1 + x + 1}}{2} > 1 \quad \text{et} \quad \frac{\xi_{2n}}{\xi_n} = \frac{2 \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x + 1}} > 1
\]

les termes de deux suites \( x_n, x_{2n}, x_{4n}, x_{8n}, \ldots \) et \( \xi_n, \xi_{2n}, \xi_{4n}, \xi_{8n}, \ldots \) tendent donc vers leur limite commune \( f(x) \), les premiers en diminuant toujours et les seconds en augmentant. On peut donc écrire:
(31)
\[
x_n > f(x) > \xi_n
\]
et *a fortiori*, à cause de (29),
(32)
\[
X_n > f(x) > \Xi_n
\]

Donc on approchera de plus en plus de la valeur de \( f(x) \) en extrayant les racines carrées successives de \( 1 + x \) et multipliant respectivement par 2, 4, 8, 16, ... les excès des résultats sur l'unité.

11.—On a d'après (30)

\[
\frac{f(s^{\mu} - 1)}{f(s - 1)} = \lim \frac{(\sqrt{s})^{\mu} - 1}{\sqrt{s} - 1}
\]

Or, d'après (24) le second membre est compris entre \( \mu \) et \( \mu \frac{\mu}{s} - 1 \) : sa limite est donc égale à \( \mu \) et on peut écrire:
(33)
\[
f(s^{\mu} - 1) = \mu f(s - 1)
\]

La fonction \( f(s - 1) \) est appelée le *logarithme népérien* de \( s \) et se représente par la notation L s: on peut donc poser:
(34)
\[
L(s^{\mu}) = \mu L s, \text{ et de là } L(uv) = Lu + Lv
\]

Les relations (26), (27), (32), (30) et (31) sont respectivement dues à Neper, Gregory, Cauchy, Briggs et Lagrange.
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CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 200 bis (Véase t. IV, pág. 274, 1891).

Dado un triángulo cualquiera A B C, los simétricos de los lados A B, B C, C A respectivamente con relación á los lados B C, C A, A B forman un nuevo triángulo A' B' C'. Calcular los lados y el área de A' B' C' (J. Neuberg).

Solución por el Sr. Bucanu (II.)

Construyendo el triángulo A'B'C', se observa inmediatamente que 2A, 2B, 2C son los ángulos externos en A, B, C de los triángulos A CB', A BC', B CA'. Se tiene pues

\[
A' = 2C - B, \quad B' = 2A - C, \quad C' = 2B - A
\]

Por otra parte \( A'B' = A'C + C B' \)

y se tiene \( A'C = \frac{a \sen B}{\sen (2C - B)} \), \( C B' = \frac{b \sen 2A}{\sen (2A - C)} \)

Se podrá sustituir \( b \sen A \) por \( a \sen B \) etc. y se tendrá

\[
c' = \frac{a \sen B}{\sen (2C - B)} + \frac{2 a \sen B \cos A}{\sen (2A - C)}
\]
\[
b' = \frac{c \sen A}{\sen (2B - A)} + \frac{2 c \sen A \cos C}{\sen (2C - B)}
\]
\[
a' = \frac{b \sen C}{\sen (2A - C)} + \frac{2 b \sen C \cos B}{\sen (2B - A)}
\]

La expresión del área del triángulo A'B'C' será pues

\[
S = \frac{a' b'}{2} \sen (2B - A) = \frac{a' c'}{2} \sen (2A - C) = \frac{b' c'}{2} \sen (2C - B)
\]

Hechas todas las reducciones, se observará que el denominador de S es el producto \( \sen (2A - C) \sen (2B - A) \sen (2C - B) \), de modo que S puede hacerse \( \infty \) para \( A = 2B, \delta B = 2C, \delta C = 2A \).

Lo interesante de esta cuestión es evaluar S bajo una forma simétrica, á lo que se llega rápidamente aprovechando las observaciones siguientes, cuyos principios se deben al sabio autor de la cuestión.
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Con este objeto, transformemos desde luego las expresiones de A'C y de CB'. Tendremos

\[
A'C = \frac{a \sen B}{\sen (2C - B)} = \frac{2R \sen A \sen B}{\sen (2C - B)}
\]
\[
CB' = \frac{b \sen 2A}{\sen (2A - C)} = \frac{4R \sen A \cos A \sen B}{\sen (2A - C)}
\]

designando R el radio del círculo A B C. Se tiene pues

\[
c' = \frac{2R \sen A \sen B}{\sen A' \sen B'} \left[ \sen (2A - C) + 2 \cos A \sen (2C - B) \right]
\]

Sea M la cantidad entre [ ]. Como se tiene

\[
\frac{a'}{\sen A'} = \frac{b'}{\sen B'} = \frac{c'}{\sen C'} = 2R'
\]

M debe ser el producto de sen C por una función simétrica de A B C. En efecto,

\[
M = \sen 2A \cos C - \cos 2A \sen C + 2 \cos A (\sen 2C \cos B - \cos 2C \sen B)
\]

Sustituyendo sen 2A por 2 sen A cos A y cos 2C por 1 - 2 sen^2 C resulta

\[
M = 2 \sen A \cos A \cos C - \cos 2A \sen C + 4 \cos A \sen C \cos C \cos B - 2 \cos A \sen B + 4 \cos A \sen^2 C \sen B
\]

Sacando el factor sen C, se tiene

\[
M = \sen C [- \cos 2A + 4 \cos A \cos B \cos C + 4 \cos A \sen B \sen C] + 2 \cos A [\sen A \cos C - \sen B]
\]

\[
\frac{M}{\sen C} = - \cos 2A + 4 \cos A \cos B \cos C + 4 \cos A \sen B \sen C - 2 \cos^2 A
\]

Sustituyendo cos 2A por 2 cos^2 A - 1, resulta

\[
\frac{M}{\sen C} = - 4 \cos^2 A + 1 + 4 \cos A \cos B \cos C + 4 \sen A \sen B \sen C
\]

El primero y el cuarto término se reducen á 4 cos A cos B cos C, por consiguiente,

\[
\frac{M}{\sen C} = 1 + 8 \cos A \cos B \cos C
\]
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Se tiene pues definitivamente

\[
R' = R \frac{\operatorname{sen} A \operatorname{sen} B \operatorname{sen} C + \operatorname{sen} 2A \operatorname{sen} 2B \operatorname{sen} 2C}{\operatorname{sen} A' \operatorname{sen} B' \operatorname{sen} C'}
\]

resultado de una elegante simetría.

Observación. Busquemos la condición necesaria para que AA', BB', CC' concurren en un punto. Será preciso que

\[
A' C \cdot B' A \cdot C' B = C B' \cdot A C' \cdot B A'
\]

ó

\[
\operatorname{sen} A \operatorname{sen} B \operatorname{sen} C = \operatorname{sen} 2A \operatorname{sen} 2B \operatorname{sen} 2C
\]

ó

\[
\cos A \cos B \cos C = \frac{1}{8}
\]

Ahora, si \( A + B + C = \pi \), el máximo de \( \cos A \cos B \cos C \) es \( \frac{1}{8} \) para \( A = B = C = \frac{\pi}{3} \); luego el triángulo debe ser equilátero.

CUESTIONES 18 y 17.

18. El ortocentro, el baricentro y el centro del círculo inscripto no se hallan nunca en el círculo de Brocard (presindiéndose del caso del triángulo equilátero). Los centros de los círculos ex-inscriptos tampoco se hallan en él.

(E. Lemoine).

17. Si se designan por \( \delta, \delta_a, \ldots \) las cantidades \( 4R + r, 4R - r_a \ldots \), siendo \( r_a \) el radio del círculo ex-inscripto tangente al lado BC, demostrar que, si se tiene \( \delta^3 = p^2 (16R - r) \), el punto de Gergonne del círculo inscripto se halla en el círculo conjugado, y que si se tiene

\[
\delta_a^3 = (p - a)^2 (16R - r_a),
\]

el punto de Gergonne del círculo ex-inscripto, que tiene por radio \( r_a \), se halla en el círculo conjugado; hacer ver que existen triángulos reales que satisfacen á estas condiciones. El centro del círculo circunscripto no se halla nunca en el círculo conjugado.

(E. Lemoine).

Solución y nota por M. L. Rupert

Cuestión 18. La imposibilidad de situación en la circunferencia de Brocard es evidente para el centro de los círculos ex-inscriptos que son siempre exteriores al círculo circunscripto al que siempre es
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interior el círculo de Brocard. Haciendo pues, abstracción de estos puntos, y en general de los puntos de un triple, llamemos \( z \) á un punto único y determinado del plano de un triángulo tal, que \( G, H, I, K, O, \ldots \) ó también pareado, tal como un punto de Brocard, ó de Jerabeck. Sea además \( \Sigma \) una curva cualquiera, de ecuación simétrica con respecto á las tres coordenadas.

Lema.—Si el punto \( z \) no puede estar en la curva \( \Sigma \) para ningún triángulo isósceles, no puede estar para ningún otro triángulo.—Consideremos en efecto, todos los triángulos para los que \( z \) esté en la curva \( \Sigma \) correspondiente; podremos suponer su base \( BC \) fija y constante, porque las mismas propiedades se aplican á todos los triángulos semejantes.

Es visible, desde luego, que á todo triángulo \( ABC \) que satisfaga á la cuestión, corresponde un triángulo \( A'BC \), simétrico con respecto á la mediatriz de \( BC \) y que el lugar de los puntos \( x, z' \) do estos triángulos será una curva simétrica con respecto á esta mediatriz. Esta curva corta á la mediatriz, puesto que siendo \( z \) por hipótesis única ó pareada, existe por lo menos un triángulo isósceles (el triángulo equilátero) que satisface á la cuestión. Luego, etc.

Esto sentado, y hecho caso omiso del triángulo equilátero, para el enunciado de la cuestión 18, la condición para que un punto cuyas coordenadas baricéntricas sean \( x, y, z \), esté en el círculo de Brocard del triángulo (\( b = c, a \neq b \)) os

\[
b^4 x^2 + a^2 b^2 (y^2 + z^2) - a^4 y z - b^4 x (y + z) = 0
\]

Reduciendo esta cuestión á \( a = b \), para el punto \( G (1, 1, 1), H \left( \frac{1}{b^2 + c^2 - a^2}, \text{etc.} \right) \) é I (\( a, b, c \)) la proposición 18 queda demostrada.

Se reconoce igualmente que, con \( b = c, a \neq b \), y por consiguiente, en ningún caso, pueden hallarse en el círculo de Brocard, ni el centro de gravedad del perímetro (\( b + c \), etc), ni el recíproco del punto de Lemoine \( \left( \frac{1}{a^2}, \text{etc.} \right) \), ni el punto de Gergonne \( \left( \frac{1}{p-a}, \text{etc.} \right) \) ni el punto de Nagel (\( p-a \), etc), ni los puntos de Jerabeck

\[
\left( \frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{a} \right),
\]

ni el centro de las paralelas iguales

\[
\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a}, \text{etc.} \right); \text{etc.}
\]
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 18

Por el contrario, pueden hallarse, por ejemplo, en la circunferencia de Brocard, el centro del círculo de Euler

\[
[a^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2), \text{ etc.}]
\]

el de la hipérbola de Kiepert \[(b^2 - c^2)^2, \text{ etc.}\] y el recíproco del ortocentro \((b^2 + c^2 - a^2, \text{ etc.})\), porque están en el caso del triángulo rectángulo isósceles. El centro del círculo de Euler coincide entonces con el punto de Lemoine.

CUESTIÓN 17. El centro del círculo circunscripto \([a^2 (b^2 + c^2 - a^2) \text{ etc.}]\) estará en el círculo conjugado \[\Sigma (b^2 + c^2 - a^2) x^2 = 0\] si se tiene \(\Sigma a^4 (b^2 + c^2 - a^2)^3 = 0\), o en el caso de \(b = c\)

\[
(2b^2 - a^2)^3 + 2a^2 b^4 = 0
\]

Esta ecuación no admite más raíz real que \(a = 2b\), y no pudiendo ser un lado de un triángulo la suma de los otros dos, queda demostrada la imposibilidad.

Por otra parte es evidente, geométricamente, porque se sabe que el círculo conjugado solo es real para un triángulo obtusángulo (en A, por ejemplo), y que no puede ni cortar ni ser tangente á BC. En otros términos, está siempre al mismo lado de BC que el vértice A; pero, siendo obtuso el ángulo A, el centro O está siempre al lado opuesto.

Nota. Las otras partes de la cuestión 17, no son resolubles, siendo inexactas las propiedades enunciadas. Basta, para probar esta inexactitud indicar triángulos que satisfacen á una de las condiciones, sin satisfacer á la otra. Pero es fácil ver que: 1.º en el triángulo \((a = 3, b = c = 2)\) la condición \(8^3 = p^2 (16R - r)\) queda satisfecha y el punto de Gergonne no está en el círculo conjugado; 2.º En el triángulo \((a = 4 - \sqrt{6}, b = c = 1)\) este punto está en el círculo conjugado y la condición \(8^3 p^2 (16R - r)\) no queda satisfecha.

De esto resulta la inexactitud relativa á los círculos ex-inscriptos, porque una de las propiedades se deduce de 'a otra por transformación continua.

CUESTIONES 337 y 338. (Véase (2) t. II, pág. 335, 1900)

337. El lugar de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son normales á una parábola es otra parábola cuyo eje es el de la primera.

338. Si en una parábola se trazan dos tangentes perpendiculares y las normales á la curva en los puntos de contacto, la diagonal del rectán-
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gulo obtenido, que no pasa por los puntos de contacto, es paralela al eje de la parábola.

(Pirondini).

Solución por el Sr. Brocard (H).

La solución de la cuestión 337 lleva inmediatamente á la de la cuestión 338. Trataré solamente de la 1.ª

Sean O el vértice, OX el eje de la parábola, D un punto de la directriz DD'; DA, DB las tangentes (rectangulares) trazadas por D; AM, BM las normales (rectangulares) en A y B; AB la cuerda de contacto (que pasa por el foco F).

Se puede dar un punto D del plano \((x = \alpha, y = \beta)\) y la parábola \(y^2 = 2px\).

Las coordenadas del punto M, correspondiente al punto D tienen por expresiones

\[
X = 2 \frac{\beta^2}{p} + p - \alpha, \quad Y = - \frac{\alpha \beta}{p}.
\]

Si en particular D está en la directriz, se tiene \(\alpha = - \frac{p}{2}\), dedonde \(Y = \beta\) (cuestión 338), y eliminando \(\beta\), resulta

\[
y^2 = pX - 3 \frac{p^2}{2}
\]

ecuación de una parábola que tiene el mismo eje que la propuesta.

Nota. Este problema, ligeramente modificado en el enunciado, fué propuesto en el concurso general de los Liceos de los departamentos en 1865.

Solución por el Sr. Retai (V.)

Sean B' y C' los puntos de contacto de las dos tangentes ortogonales |AC∞|, |AB∞| y A'∞ el punto en el infinito de la parábola. Las tres rectas |AA'∞|, |B∞ B'|, |C∞ C'|, por un corolario conocidísimo del teorema de Brianchon, concurren en un punto, y el teorema queda demostrado.

Nota. Igual solución nos ha remitido el Sr. Álvarez Uds.

Soluciones por el Sr. Droz Farry.

Por un punto P de la directriz Δ de una parábola dada tracemos á esta las tangentes PA y PB, que según una propiedad conocida serán perpendiculares entre sí. Las normales en A y en B se cortan en C, y la figura PACB será un rectángulo; luego las diagonales se dividen en partes iguales.
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 2

(4) \( x + x^2 + \ldots + x^{n-1} = \frac{x^n - x}{x - 1} \)

relation qui paraît due à Eudoxe, mais qu'on trouve pour la première fois dans les Éléments d'Euclide à peu près, sous cette forme: (liv. V, prop. XII), la somme des termes d'une progression géométrique moins le dernier est à la même somme moins le premier comme le premier est au second.

Faisons \( a = 1, b = 2, c = 3, \ldots \) il viendra:

(5) \( 1 + 1.1! + 2.2! + 3.3! + \ldots + (n-1)(n-1)! = n! \)

Pour \( a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{2}{3}, c = -\frac{3}{4}, \ldots \) on a:
(Ed. Lucas, C. M. 1877)

(6) \( \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \ldots + \frac{n-1}{n!} = 1 - \frac{1}{n!} \)

(Jac. Bernoulli, 1689)

Pour \( a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{1}{3}, c = -\frac{1}{4} \ldots \) il vient:

(7) \( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{(n-1)n} = 1 - \frac{1}{n} \)

(Brouncker, 1668)

Posons \( a = \frac{\mu}{1}, b = \frac{\mu}{2}, c = \frac{\mu}{3}, \ldots \mu \) étant quelconque, il viendra la relation

(8) \( 1 + C_{\mu,1} + C_{\mu+1,2} + \ldots + C_{\mu+n-1,n} = C_{\mu+n,n} \)

qui, pour \( \mu \) entier positif, devient la formule des nombres figurés, démontrée pour la première fois par Pascal, et pour \( \mu \) entier négatif, conduit à la formule de Fauni (1874). On en tire aussi d'autres relations, telles que la suivante

(9) \( 1.2 \ldots p + 2.3 \ldots (p+1) + 3.4 \ldots (p+2) \)
\( \ldots + n \ldots (n+p-1) = \frac{n(n+1)\ldots(n+p)}{p+1} \)

(Nicole, 1727)
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 20

Dividiendo la recta PC á la cuerda en dos partes iguales, y pasando por el polo de AB, es según un teorema conocido, el diámetro conjugado á la dirección AB, y por consiguiente, paralela al eje de la parábola.

PC encuentra á la parábola en g y en el insfalto y á AB en D; como (PgDP∞) = -1, resulta que Pg = gD y por consiguiente Pg: PC = 1:4.

El lugar de C es pues una parábola coaxial con la parábola dada y de parámetro cuatro veces menor.

Soluciones por M. L. Riffert.

338. Las diagonales de un rectángulo (ó paralelógramo) se cortan en su medio. La propiedad 333 se reduce á decir que la recta trazada desde un punto al medio de la cuerda determinada por su polar con respecto á una cónica, es un diámetro de esta cónica. Es pues evidente.

En esta propiedad, siendo P el punto de intersección de las tangentes en M y M', y Q el de las normales, MQ y M'Q no aparecen como normales, sino como paralelas á las tangentes M'P y MP.

Más generalmente, sean \( \angle MPM' \) un ángulo circunscrito á una cónica, T y T' los puntos de intersección de MP y M'P con una recta cualquiera D, Q el de las rectas M'T y MT'; la recta PQ pasa por el polo de D.

337. Sea M \( \left( \frac{\beta^2}{2p}, \beta \right) \) un punto de la parábola \( y^2 = 2px \). El diámetro PQ trazado por el punto P de intersección de la tangente en M \( (2\beta y - 2px - \beta^2 = 0) \) y de la directriz \( (2x + p = 0) \) tiene por ecuación: \( 2\beta y + p^2 - \beta^2 = 0 \).

La ecuación de la normal en M es: \( 2p^2 y + 2p\beta (x - p) - \beta^2 = 0 \)

La eliminante de \( \beta \) entre estas dos ecuaciones es

\[
4y^2 = 2px - 3p^2
\]

Lo que demuestra la propiedad 337, cuya consecuencia proyectiva es la siguiente:

Sea N un punto de una cónica y \( N_1, N_2 \), dos puntos arbitrarios (reales ó imaginarios conjugados) dados en la tangente en N, \( N' \) el conjugado armónico de N con relación á \( (N_1, N_2) \). O el punto de contacto de la segunda tangente trazada desde N' á la cónica. El lugar de los vértices Q de los ángulos cuyos lados tienen con la cónica un punto de incidencia M tal, que MQ y la tangente MP sean conjugados armónicos con relación
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 21

á (MN₁, MN₂) es una cónica tangente en N á la cónica dada y que corta á NO en un punto O' en que la tangente es O'N'.

Se vuelve á hallar la propiedad 337, suponiendo que la tangente N sea la recta del infinito, siendo N₁ y N₂ los puntos cíclicos.

QUE:TIÓN 339

Se consideran las parábolas inscritas en un triángulo dado. Se trazan, á cada una de ellas, dos tangentes paralelas á direcciones dadas ¿cuál es el lugar geométrico de sus puntos de intersección?

(Droz-Farny).

Solución por el M. L. RIVET

Observemos desde luego que el proponer cuestiones de este género, evita cálculos penosos ó inútiles—que una parábola es en realidad una semi-cónica; á toda dirección, corresponden dos tangentes de la que una está en el infinito; de modo que si a y a', b y b' son las tangentes de dos direcciones, y si el punto (a, b) está á distancia finita, el punto (a', b') está en el infinito. Esto nos da la seguridad de que, cualquiera que sea la ecuación del lugar, será divisible, por lo menos una vez, por la de la recta del infinito.

Esto sentado, la ecuación tangencial baricéntrica de una parábola circunscrita al triángulo ABC, es

\[
\frac{l}{u} + \frac{m}{v} + \frac{n}{w} = 0 \quad \text{con (1)} \quad l + m + n = 0
\]

Las ecuaciones de las paralelas á las direcciones dadas (\( \alpha, \beta, \gamma \) y \( \alpha', \beta', \gamma' \)) son

\[
\begin{cases}
\alpha x + \beta y + \gamma z + \lambda (x + y + z) = 0 \\
x' x + \beta' y + \gamma' z + \mu (x + y + z) = 0
\end{cases}
\]
(2)

Serán tangentes á la parábola si se tiene

\[
\Sigma \frac{l}{x + \lambda} = 0, \quad \Sigma \frac{l}{x' + \mu} = 0
\]
(8)

Eliminando \( \lambda \) entre las ecuaciones (2) y (3), resulta

\[
\frac{l}{(\alpha - \beta) y - (\gamma - z) z} + \frac{m}{(\beta - \gamma) z - (\alpha - \beta) x} + \frac{n}{(\gamma - \alpha) x - (\beta - \gamma) y} = 0
\]
(4)

\[
\frac{l}{(\alpha' - \beta') y - (\gamma' - \alpha') z} + \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots = 0
\]
(5)