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dada ó clase, según el número de variables independientes, los exponentes de estas variables determinan el orden ó grado, los coeficientes con sus signos el género, los parámetros las especies y variedades y por último los valores de las variables, los puntos representativos del valor de la función; con cuyos elementos tenemos, según se comprende, medios de representación tan estensos y variados como variadas pueden ser las funciones que nos interesen.

VENTAJAS DE LA FORMA IMPLÍCITA

Parece á primera vista que la forma explícita es más conveniente que la implícita para su representación mas general, pero nada hay más lejos de la verdad, porque aparte de que la forma explícita contiene generalmente denominadores susceptibles de anularse y hacer indefinida á la función ó radicales de valores múltiples reales ó imaginarias, la ecuación de la forma \( F(x, y) = c \), por ejemplo, supuesta su continuidad y la de sus primeras derivadas, representa una curva, sin principio ni fin prolongada de una parte y de otra de cada uno de sus puntos según direcciones exactamente opuestas, y cuya tangente varía de una manera continua, propiedades todas, que hacen del lugar geométrico \( F(x, y) = c \) un todo natural del que representan partes, artificialmente circunscritas, los valores explícitos.

La diferencia es más importante de lo que parece; ambas formas, la implícita y la explícita, representan completamente el lugar geométrico á que se refieren, pero la primera lo hace ciñéndose á un solo punto que puede ser cualquiera, lo cual es relativamente menos complicado que como lo hace la segunda, que abarca todo el conjunto de puntos bajo una sola expresión que necesariamente ha de contener radicales de significaciones múltiples ó cualesquiera otras formas algebraicas de constitución muy compleja acompañadas de una especie de indeterminación que obliga á fijar los límites entre los que la variación de la abcisa \( x \) debe estar comprendida.

La representación más general de la cantidad se consigue por las funciones continuas.

Según los teoremas, números 62 y 132 (*), la función representa la cantidad en su carácter numérico, pues si hay siempre un número racional ó incommensurable que expresa el valor máximo ó el mínimo de una función que en un intervalo está comprendida entre dos números dados; reduciendo á cero el intervalo, se deduce que hay un número que mide el valor de la función en cualquier estado.

(*) Del Autor.
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Los teoremas números 67 y 136 demuestran que la función que varía continuamente no puede descender de un valor superior á un inferior ó viceversa sin pasar por los comprendidos entre ellos; los teoremas números 68 y 137 completan la demostración para cuando la función alcanza un máximo ó un mínimo, y se comprueba así que la función representa el carácter extensivo de la cantidad, desde el punto de vista de que la variación desde un estado á otro no puede hacerse sin transitar por todos los intermedios. Los teoremas números 69 y 138 para los casos de subdivisiones de un intervalo y los números 70 y 139 generalizando los anteriores para una ley arbitraria, estudian esta misma propiedad bajo su aspecto complementario de que la variación se realiza por grados insensibles y resulta como síntesis que la función continua puede representar la cantidad en su carácter extensivo.

Como la continuidad es condición necesaria para que la función sea la representación más general de la cantidad considerada como número y como extensión y esta continuidad no podemos comprobarla sino por medio de la serie numérica que esencialmente discontinua, el teorema número 71 demuestra que si la función es continua para los valores de esta serie, lo será también en absoluto.

ANÁLISIS INFINITESIMAL

El Análisis infinitesimal, teniendo presente todo lo que antecede, no es otra cosa sino la «Teoría de las funciones» que estudia, además de comparar los valores de la función considerada como expresión de dependencia, con las de las variables, el concepto de la continuidad y la fluxión ó ley de variación en el curso de la función misma.

Los problemas que resuelve pueden separarse en dos categorías según que las relaciones entre los datos y las incógnitas se establezcan directamente ó por el intermedio de otras que á las primeras se aproximan indefinidamente, de tal manera que las cuestiones, se resuelvan buscando los límites de ciertas cantidades variables convergentes hacia los elementos verdaderos de la cuestión.

De aquí se sigue una sub-división de esta ciencia en dos ramas llamadas respectivamente:

Análisis ordinario ó algebraico, que es cálculo de las funciones directas, y el

Análisis trascendente ó infinitesimal propiamente dicho, cuyos procedimientos constituyen el cálculo de las funciones indirectas.

De la misma manera que en el Análisis ordinario plantear los problemas y resolver las ecuaciones obtenidas, constituyen dos operaciones
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distintas que corresponden al método y cálculo algebraicos, en el Análisis infinitesimal se reconoce igualmente un método, diferente del mecanismo del cálculo, que presenta la particularidad, que no se encuentra en el algebraico, de requerir en cada problema, la investigación de ciertas cantidades de las que se puedan considerar como límites las dadas, y procura establecer las ecuaciones que deben expresar las relaciones entre estos límites.

El cálculo infinitesimal, tiene por objeto crear procedimientos regulares, que permitan resolver las ecuaciones de nueva naturaleza á que dá lugar la relación de límite introducida.

MÉTODO INFINITESIMAL

Ya hemos definido su objeto, que no es otro, que expresar las cantidades de la cuestión en función de otras variables á las que sirvan de límites ó de cuyos límites dependan.

Como esta dependencia puede establecerse de muchas maneras diferentes y las formas de sus expresiones son tan diversas como las cuestiones á que se refieren, parece difícil establecer reglas precisas que conduzcan á la solución. Pero como se observa que un gran número de cuestiones dan lugar á las mismas clases de límites y que es generalmente posible referir á ellas, las que pudieran intentarse de otra manera, solo se consideran tres modos principales que constituyen las tres ramas importantes siguientes del método infinitesimal.—(Núm. 25 del Autor).

Correspondientes con ellas, el cálculo se subdivide también en otras tres que reciben respectivamente los nombres de cálculo de las series, cálculo diferencial y cálculo integral.

A estas operaciones fundamentales, cuyo objeto es manifiesto, se unen siempre desarrollos analíticos importantes por que no es frecuente que la cuestión se reduzca inmediatamente á la evaluación directa del límite de un cociente ó de una suma, sino que los límites de que se trata están generalmente combinados con otras incógnitas, en ecuaciones de forma complicada que dan origen á una elaboración especial.

Resumiendo, el método infinitesimal, se reduce en último extremo á procurar el establecimiento de una ecuación de la forma:

\[
\text{Cantidad desconocida} = \begin{cases}
\text{límite de cociente} \\
\text{o} \\
\text{límite de suma.}
\end{cases}
\]

á lo cual llegaremos:
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1.º Investigando cuáles son las cantidades infinitamente pequeñas (*) cuyos límites de cociente ó de suma tienen por valores las cantidades desconocidas, y

2.º Reduciendo estos cocientes ó estas sumas á la forma requerida por el cálculo; sea á la \( \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \), ó á la \( \Sigma f(x) \Delta x \), siendo \( f(x) \) conocida, pues si esto se consigue, la cuestión se resuelve facilmente por un procedimiento conocido que tiene por objeto calcular la derivada \( \frac{d f(x)}{dx} \) ó la integral \( \int f(x) dx \).

La investigación de los infinitamente pequeños varía como es natural con las cuestiones, y en cada caso particular, hay que demostrar que la cantidad que nos ocupa, puede ser considerada como límite de un cociente ó de una suma de ciertos infinitamente pequeños.

Así por ejemplo, podremos determinar la longitud de una curva, después de demostrar que esta longitud es el límite de la suma de los lados de los polígonos inscriptos; si nos proponemos calcular el área comprendida entre una curva el eje de las \( x \) y dos ordenadas extremas, hay que demostrar que dicha área es el límite de la suma de los pequeños rectángulos formados, trazando por las extremidades de las ordenadas de la curva, perpendiculares á las ordenadas siguientes... etc.

Estas demostraciones, que se reducen á comprobar que la definición de límite se satisface, pueden hacerse cuando se trate de sumas, que es el único caso difícil, por un procedimiento general que consiste en descomponer la curva ó el área... etc, en porciones infinitesimales, lo mismo que el polígono ó el rectángulo y comparar luego infinitamente pequeños entre sí haciendo aplicación de los importan- tísimos teoremas siguientes.—(Núms. 46, .... 50 del Autor).

Una misma cantidad puede ser considerada como límite de una infinidad de otras; por ejemplo, una curva puede considerarse como límite de los polígonos inscriptos igualmente que de los circunscriptos, lo mismo límite de una serie de tangentes terminadas en la ordenada del punto de contacto inmediato y todavía límite de una serie de rectas no tangentes que se aproximan indefinidamente según una ley dada... etc; entre todas ellas deben escogerse las que ofrezcan más facilidades para el cálculo; así por ejemplo, se elegirá, cuando esto sea

(*) Puesto que el desarrollo en serie según veremos, es una consecuencia del cálculo diferencial.
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posible, la forma de límite de cociente, por que el cálculo de una derivada es mas seguro que el de una integral que no siempre se puede resolver.

Ni para la investigación de los infinitamente pequeños, ni para la elección de los más convenientes cuando hay varios, excepto en el caso citado, se puede establecer regla alguna, por que solo la costumbre del cálculo puede dar el discernimiento necesario para tales apreciaciones.

Una vez determinados los infinitamente pequeños de cuyos cocientes ó sumas son límites las cantidades buscadas, es preciso para poder calcular su valor, reducirlos, como ya hemos dicho, á la forma \( \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \) ó á la \( \Sigma f(x) \Delta x \). Si se ha demostrado que la longitud de una curva es igual á \( \Sigma l \), siendo \( l \) la longitud de una cuerda inscripta, se debe remplazar \( l \) por \( f(x) \Delta x \) siendo \( f(x) \) conocida para que el cálculo pueda ser efectuado. Es decir se deben expresar los diversos infinitamente pequeños en función de uno solo, que pueda ser el del incremento de la variable independiente, de quien los de las demás variables dependen evidentemente.

Para esta elaboración son también de una gran utilidad los teoremas que anteriormente se demostraron y las proposiciones siguientes referentes á la consideración de infinitamente pequeños de diversos órdenes y á las operaciones fundamentales entre ellos. --(Núms. 58 y 59 del Autor).

La determinación de unos infinitamente pequeños en función de otros se simplifica atendiendo á la importantísima circunstancia de que en lugar de establecer entre ellos ecuaciones exactas, lo que presenta frecuentemente obstáculos insuperables, se pueden omitir desde luego todos los infinitamente pequeños de órdenes superiores que en las ecuaciones debían figurar para que desde el principio fuesen rigorosas, pero que están condenados á desaparecer mas tarde; pudiéndose establecer que la igualdad de los dos miembros de una ecuación cualquiera exige que todos sus términos sean finitos ó infinitesimales del mismo orden y que cuando así no sea deben hacerse homogéneas con respecto á los del orden menos elevado, suprimiendo los demás términos.

Es preciso al hacer esta supresión no engañarse respecto de la importancia de las cantidades, que puede estar oculta por falsas apariencias, resultantes de ciertas compensaciones implícitas.

La supresión de infinitamente pequeños de órdenes superiores
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que constituye la esencia del principio de la homogeneidad infinitesimal está fundada en una consideración análoga á la que permite igual desaparición del infinitamente pequeño de primer orden comparado con las cantidades finitas.

Según ya dijimos, no es posible asegurar, que el valor actual del infinitamente pequeño de orden superior, es grande ni chico por que se trata también de cantidades variables cuyos estados intermedios desconocemos y solo se deduce de que el cociente de un infinitamente pequeño, por otro del orden inmediato inferior, tiende hacia cero, que el numerador (infinitamente pequeño de orden superior) disminuye ó varía más rápidamente que el denominador siendo despreciable enfrente de él al llegar al límite.

En todas las ecuaciones existen con los infinitamente pequeños, cantidades finitas que ó bien figuran en ellas desde el principio ó aparecen después, cuando se suprime un factor infinitesimal al pasar al límite y como necesariamente hemos de pasar por este estado para obtener la relación deseada entre los datos y las incógnitas, la supresión de todos los infinitamente pequeños ó por lo menos la de los de orden superior es una operación legítima que por las simplificaciones que introduce hace del procedimiento infinitesimal el auxiliar más preciado de las ciencias.

LA SISTEMATIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA

Continuación.—(Véase tomo V, págs. 85-40).

§ 4.—SEMEJANZA, SIMETRÍA Y RELACIONES MÉTRICAS

13 Relaciones métricas determinativas. El empleo del número como medida de las magnitudes geométricas ó la razón entre dos de la misma naturaleza (medidas con la misma unidad que les sirve de término medio en su comparación) permite generalizar el modo de determinación de las figuras. Esta generalización depende de la correspondencia existente entre los ángulos que las rectas AC y AC₁ forman con LL' y la longitud de cada una (fig. 2, véase pág. 39).

A cada recta AC, AC₁, ... corresponderá una razón distinta. Pero se tiene

\[
AP = \frac{AP}{AB} AB, \quad AP = \frac{AP}{AC} \cdot AC; \text{ luego } \frac{AP}{AB} AB = \frac{AP}{AC} AC
\]
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dado el valor de una relación anarmónica y tres puntos, el cuarto que satisface á aquélla queda determinado.

Basta decir, por ahora, que el análisis aplicado á la generación de figuras, se reduce á una elección de las que deban eliminarse y de las que deban quedar como bases fijas ó conocidas y las que siendo variables engendran el lugar geométrico.

6 Respecto á los sistemas de figuras puede citarse, como ejemplo, los dos sistemas de círculos ortogonales, cuyo estudio desenvuelve Poncelet en su Traité des propriétés projectives des figures y también las figuras polares recíprocas.

7 La resolución de los problemas, como la demostración de ciertas relaciones ó propiedades de las figuras, estriba en una sustitución de elementos de las figuras por otros, de tal modo, que después de efectuada esta sustitución, quede la figura también determinada con otra combinación de elementos, habiendo pasado á ser general otro ú otros que antes eran fijos, siendo precisa para esta sustitución una superabundancia ó exceso de elementos. Así, por ejemplo, en un triángulo la intersección de las alturas ó de las medianas ó de las bisectrices está determinada solamente por dos; pero la tercera de estas líneas, que también pasa por dicho punto, introduce un elemento de más que permite establecer las relaciones que determinan puntos notables del triángulo. En la figura que se construye para demostrar el teorema de Simson resultan tres cuadriláteros inscriptibles en vez de dos que son los suficientes, lo que permite llegar á la conclusión final. Esta superabundancia conduce particularmente á la multitud de fórmulas simétricas que ligan los elementos de un triángulo, y aun otros elementos con éste, tomado como figura de referencia, dando lugar á ecuaciones homogéneas.

8 Terminaremos estas generalidades acerca de la Geometría euclídea haciendo ver cómo en el caso de simple determinación de figuras, unas resultan como transformadas, por la introducción de nuevos elementos, de otras. Así, el sistema de los tres puntos A, B, C en línea recta está ligado por la relación

\[
CB^2 = CA^2 + AB^2 + 2AC \cdot AB
\]

Para las posiciones del punto A en A', A", A"', A'"' correspondientes á los casos del triángulo obtusángulo, rectángulo, acutángulo y una segunda posición en línea recta, resulta
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y \( \frac{AB}{AC} = \frac{AP}{AC} : \frac{AP}{AB} ; \frac{AB}{AC} = \frac{\varphi(C)}{\varphi(B)} \) (*) y \( AB = \frac{\varphi(C)}{\varphi(B)} AC \) (1)

Observación. La relación que permite pasar de AB á AC ó que transforma AB en AC es

\[
\frac{AC}{AB} = \frac{\operatorname{sen} B}{\operatorname{sen} C} \text{ ó } AC = \frac{\operatorname{sen} B}{\operatorname{sen} C} AB
\]

En el caso de ser una de las rectas AB, la AP, será

\[
AC = \frac{AP}{AC} AP = \frac{\operatorname{sen} C}{1} AP = m . AP
\]

indicando \( m \) el coeficiente que transforma AP en cualquiera de las rectas del sistema que consideramos.

Pero esta transformación solo se aplica por ahora á la faja comprendida entre LL' y la paralela trazada á esta por A, y además á todas las fajas iguales en que se puede considerar dividido el plano.

La consideración de la semejanza y la homotetía permite una nueva generalización.

14 Generalización de las relaciones determinativas por semejanza.
Si se toman partes iguales á AB y BC se obtienen puntos \( A_1, A_2, ... \), \( C_1, C_2, ... \) y las rectas \( A_1C_1, A_2C_2, ... \), \( A_nC_n \) son paralelas á la AC, pues en las diferentes fajas se obtienen los \( \Delta^* AA_1C', A_1A_2C'', ... \) iguales al ABC, siendo \( A_1C', A_2C'', ... \) paralelas á AC, y recíprocamente: Si \( A_nC_n \) es paralela á AC, será,

\[
\frac{BA_n}{BC_n} = \frac{BA}{BC}
\]

pues si se tuviese \( BA_n = m . BA, BC_n = m'.BC \), se tendría \( BA_n = m.BA \) y \( BC_n = mBC' \), siendo \( C' \) distinto de C y el \( \angle C' \) distinto del \( C_n \); y según la proposición directa tomando \( m \) segmentos, á partir de A y \( C' \) se obtendrían los puntos \( A_n \) y \( C_n \), no siendo \( A_nC_n \) paralela á AC, puesto que lo sería á la AC'.

(*) Los signos \( \varphi(B), \varphi(C) \) que representan las relaciones \( \frac{AP}{AB}, \frac{AP}{AC}, ... \) designan la función del ángulo B, C,... que se llama seno, según se explica mas adelante. Y también las relaciones \( \frac{PB}{PA}, \frac{PC}{PA}, ... \) corresponden á otras funciones angulares que se llaman tangentes de los ángulos PAB, PAC,... Así como \( \frac{PB}{AB}, \frac{PC}{AC} \) se designan con el nombre de cosenos y \( \frac{PA}{PB}, \frac{PA}{PC} \), con los de cotangentes etc.
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siendo \( \angle C_n = \angle C' \) y por consiguiente \( \angle C_n = \angle C \) contra lo supuesto.

Observación. Esta relación de proporcionalidad se extiende inmediatamente á cualquier triángulo homotético del ABC por medio de triángulos auxiliares formados por las prolongaciones de sus lados hasta encontrar las rectas LL', BA_n.

15 Simetría a) Sean dos sistemas de paralelas. Estos formarán paralelógramos. Haciendo girar la figura ABCD (fig. 5.a) alrededor del punto medio O de AC, hasta que AO coincida con OC, AD coincidirá con BC y CD con AB; luego D coincidirá con B y AD = BC y AB = CD.

b) Además los ángulos AOD y BOC superpuestos serán iguales; luego OD es prolongación de OB y O el punto medio de BD.

De igual manera cualquier otro segmento PQ quedará dividido por O en dos partes iguales, luego: el punto de intersección de las diagonales de un paralelógramo es un centro de simetría.

c) En el rombo y el rectángulo además del centro existen dos ejes de simetría en el cuadrado cuatr.

d) Supongamos la perpendicular PO en el punto medio de BC y la oblicua trazada á la AP tal, que BA = BC (fig. 6.a); entonces, siendo QO un eje de simetría con relación á BA, tendremos AO = BO = CO(*), y OP será igual á OQ, porque siendo PB = QB, en cada uno de los dos ejes, por la relación unívoca, el pie O de la oblicua OB equidistará respectivamente de P y de Q y por la misma razón será

(*) Además, cortando á AP en P el lado PQ del triángulo isósceles BPQ que forma con AB el ángulo agudo PQB, la \( \perp \) QO á AB cortará á AP por ser la primera perpendicular y la segunda oblicua á AB ó por ser áng. OQP-áng. OPQ<2rectos, etc.
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QC = AP; y QO pasará por C; al otro lado de AP será AC = AB y el tercer eje pasará por O, y por B, siendo LB = AP.

Prolongando los tres ejes de modo que OD = OE = OF = OA, se tiene el exágono regular, y luego los polígonos de 12, 24, etc. lados.

Si ahora consideramos el cuadrado ABCD que admite además de los ejes de simetría AC, BD, otros dos, y si en las direcciones de estos otros dos se toma OE = OC = OF = OH = OA (fig. 7.a) se tendrá) por ser además \( \angle AOE = \angle AO\bar{H} = ... \):
\( AB = AH = HD = ... \) y \( \angle EAH = \angle AEB = ... \)
y análogamente se obtendrán polígonos regulares de \( 4n \) lados.

e) La obtención por medio de la regla y el compás de polígonos regulares de \( 5n, 7n, ... \) lados, dependiendo de la formación alrededor de un punto de \( 5, 7, ... \) ángulos iguales, ofrece dificultades que no permiten llevar más lejos, por ahora, estos desarrollos acerca de la simetría.

Así, suponiendo dado el \( \triangle \) isósceles ACD tal, que
\[
\angle CAD = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ADC \quad (\text{o bien } \angle CAO = \frac{1}{4} \angle ACD)
\]
podremos llegar al pentágono regular.

Para ello supongamos trazadas las bisectrices de los ángulos en C y en D y las rectas BC, DE que forman \( \angle ACB \) y ADE iguales al \( \angle CAD \) hasta que corten á dichas bisectrices en B y en E respectivamente.

Los \( \triangle \) BCD y ADE son también isósceles é iguales; luego BC = DE.
Siendo además \( \triangle PMC = \triangle QMD, BD = CE \) y \( AC = AD \), resultará \( \angle BPA = \angle EQA, BP = QE \) y \( AP = AQ \); luego \( \triangle BPA = \triangle EQA \)

Pero siendo isósceles los \( \triangle \) BPC y DQE, se tiene \( \triangle CPD = \triangle BPA \) y \( \triangle CQD = \triangle EQA \); luego AB = AE = ED (por ser \( \triangle \) AED, isósceles) etc. \( \angle AEQ = \angle QCD \); luego \( \angle E = \angle D \), además \( \angle E = \angle B \) por ser los \( \triangle \) ADE y ABC iguales,

Las bisectrices de \( \angle C \) y \( \angle D \) se encontrarán en la bisectriz AM, pues el punto de encuentro ha de ser en la perpendicular á CD en su punto medio.

Siendo OC = OA y BC = BA, OB será la bisectriz de \( \angle ABC \), y lo mismo se dirá de DE.

Z. G. de Galdeano.

(Se continuará).