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Respecto á la exposición de la Geometría elemental, bastará decir que la determinación de una recta por dos de sus puntos equivale á la determinación de una paralela á una recta, dada como base de referencia, que pase por un punto, sustituyéndose por el segundo punto, la dirección, que equivale á darse un punto impropio, ó el punto del infinito (según el tenicismo actual).

Los teoremas relativos á las sumas angulares, son casos particulares del de la suma angular en un triángulo, constituyendo el caso de tres rectas que formen triángulo, las proposiciones contrarias de las en que dos de ellas sean paralelas, y los casos de determinación del triángulo, proposiciones recíprocas entre sí, y por esto, equivalentes; entrando en esta combinación los casos de desigualdad de ángulos y de lados, que se demuestran ad absurdum según las reglas de este método.

En los elementos de Euclides este método es auxiliar poderoso para establecer el encadenamiento de los teoremas; pero es fácil ver cómo esto equivale á establecer la correspondencia unívoca, latente en el método euclídeo. Así, conforme se extableció en el t. V de El Progreso Matemático, á cada posición de una recta que gira alrededor de un punto, corresponde un ángulo con otra recta fija exterior al punto (recta fundamental, ó base que varía desde cero á un ángulo llano (dos rectos), y cada ángulo exterior de los sucesivos triángulos formados es mayor que el interno (adyacente á la base)como cada segmento interceptado entre el punto y la base es menor que el que se opone á mayor ángulo (y recíprocamente).

Además, tomando segmentos iguales en una recta cualquiera (no paralela á la recta fundamental), se puede dividir el plano en una serie de fajas, y cualquiera otra recta (no paralela á la base) quedará dividida en partes iguales entre sí, y por consiguiente serán proporcionales los segmentos comprendidos entre las mismas paralelas. Como casos particulares están los triángulos formados por todas las secantes paralelas á dos de las dadas y con la base ó alguna paralela á la base, que son equiángulos, y que conducen á la relación métrica en cada triángulo (1) y por consiguiente á la Trigonometría, que es un capítulo de la Geometría, cuyo objeto es la determinación numérica de los elementos de los triángulos, por medio de los de un sistema de triángulos rectángulos cuya hipotenusa común es el radio de las tablas trigonométricas (2).

(1) Progreso Matemático t. V.
(2) Geometría elemental y Geometría general.
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Resulta pues, que la exposición de la Geometría elemental puede simplificarse por medio del segundo concepto de la correspondencia unívoca; y vemos por tanto, las propiedades de las figuras, y estas mismas figuras, como transformadas unas de otras y como equivalentes, en la serie de tales transformaciones.

La relación unívoca adquiere mayor importancia en la escuela de Monge.

La Geometría descriptiva tiene por base los procedimientos de la proyección y la sección, refiriéndose las figuras del espacio á sus proyecciones en dos planos de referencia ó á una figura plana, mediante su perspectiva y, en general, á superficies cualesquiera sobre las que puedan establecerse las correspondencias con otras figuras.

Carnot buscó las correspondencias de las figuras mediante su deformación, que constituyera los diversos elementos de un sistema variable, estudiando los casos de las correspondencias directa, inversa y compleja.

Poncelet hizo reiterados esfuerzos por establecer esta unidad de correspondencia con auxilio del principio de continuidad, amplificó el método de Monge, llamado de transmutación de las figuras, por el que se extienden los razonamientos á casos en que algunos de los elementos de éstas se hacen imaginarios, para que subsistan las circunstancias generales de su construcción, e introdujo los elementos ideales y en el infinito para generalizar y unificar los conceptos geométricos, enriqueciendo el lenguaje matemático hasta para caracterizar las circunstancias que concurren á la no existencia de los objetos geométricos, con términos complementarios de aquéllos que sirven directamente para fijar las condiciones de la existencia ó realidad.

Mediante la elección convenciente de centros y planos de proyección, Poncelet enlaza los elementos en el infinito con los elementos á distancia finita por una relación de proyectividad, así como los imaginarios con los reales.

Chasles, que había llegado á la generación de la geometría moderna, cuyo germen encontró en los porismas de Euclides, emplea el concepto de proyectividad bajo la forma de relación anarmónica, hace depender los puntos y rectas imaginarios de sus elementos, ó sea del punto medio de aquéllos y el producto de sus distancias á un origen común, y del producto de las cotangentes de las inclinaciones de las segundas sobre una recta fija, juntamente con esta recta.
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Plücker afianzó el concepto de polaridad de Poncelet y de dualidad de Chasles y Steiner con la invención de las coordenadas tangenciales, y amplificó la Geometría al introducir como elemento del espacio, la recta, exponiendo en su Nueva geometría del espacio su original doctrina de los complejos de rectas ó teoría del espacio reglado, que consideró su discípulo Sr. Klein, al entrar de lleno en tal estudio, como un sér dualístico en sí.

Una doctrina análoga ofrece Clebsch al exponer su teoría de los conexos, ó sea al estudiar formas algébricas que contienen juntamente series de coordenadas-puntos con series de coordenadas-rectas.

Una figura dada por una ecuación, que contiene homogéneamente las coordenadas de un punto móvil en la \( m^{\text{sim}} \) dimensión y las coordenadas de una recta móvil en la \( n^{\text{sim}} \), es decir, de un modo que se tenga, simbólicamente,

\[
f(x, u) = a_x^m u_i^n = 0
\]

será un conexo de \( m^{\text{sim}} \) orden y de \( n^{\text{sim}} \) clase.

Un elemento \((x, u)\) será una combinación de un punto \(x\) del plano con una recta \(u\) del mismo; y combinándose cada uno de los puntos en número doblemente infinito \(x\), con cada una de las rectas en número doblemente infinito \(u\), formará el conjunto de los elementos un sistema cuadruplicamente infinito, de cuatro dimensiones.

Los puntos que forman con una recta dada los elementos de un conexo (m, n), se hallan situados en una curva \(C_m\) de orden \(m^{\text{sim}}\), y las rectas que forman con un punto dado los elementos del mismo, envuelven una curva \(K_n\) de la \(n^{\text{sim}}\) clase.

Oportuno es citar actualmente una importante transformación que se debe al ilustre matemático Sophus Lie, la transformación de contacto, basada en la consideración del elemento lineal constituido por cada punto de una curva y su correspondiente tangente, transformación que establece una correspondencia, mediante las ecuaciones

\[
\begin{align*}
X &= f_1(x, y, z, p, q), \quad Y = f_2(x, y, z, p, q), \quad Z = f_3(x, y, z, p, q) \\
P &= x_1(x, y, z, p, q), \quad Q = x_2(x, y, z, p, q)
\end{align*}
\]

entre dos superficies cuyas coordenadas son \(x, y, z; X, Y, Z\) y sus
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coeficientes angulares respectivos, \( p, q \) y \( P, Q \). De manera que cada dos superficies tangentes se transformen en superficies tangentes.

También podemos indicar la geometría esférica del mismo, que es objeto de especial mención por el Sr. Klein en su obra The Evanston Colloquium y el sistema de Enneper basado en adoptar como elemento generador del espacio el círculo, asunto desarrollado por M. Cosserat en una de sus tesis.

Respecto á los conceptos de imaginario é infinito, bastará manifestar cuán provechosos han sido para la unificación de las teorías matemáticas y para constituir la Matemática como organismo perfecto.

La adjunción es el procedimiento que amplifica un sistema, dotándole de nuevas propiedades. La adjunción de cantidades irracionales hace resolubles ecuaciones que no lo eran antes en otro dominio más limitado. Así las operaciones del cálculo se hacen posibles por la adjunción sucesiva de las cantidades racionales, incommensurables é imaginarias. De igual modo, en geometría, la adjunción de lo imaginario y de lo infinito simplifica los razonamientos y generaliza las propiedades.

La Matemática trata exclusivamente de las correspondencias y de las transformaciones, sin descender al estudio de la naturaleza íntima de las cosas. Le basta establecer el encadenamiento de sus objetos, respetando siempre el principio de contradicción y de subordinación, identidad, ó supraordinación de las clases, buscando sus enlaces á través de relaciones de equivalencia, como la Lógica une los extremos de sus silogismos con auxilio de un término medio.

Así Poncelet observa que un punto interior á una cónica puede considerarse como teniendo con ella un contacto ideal según la polar correspondiente, si se le considera como una sección cónica infinitamente pequeña, y un foco de un sistema de cónicas como el punto de intersección de dos tangentes comunes, que son las asíntotas de un círculo, habiéndose llegado á la proposición singular de que: el foco de una cónica es un círculo de radio nulo doblemente tangente á aquélla.

Plücker dá una definición de los focos de una cónica con relación á los puntos cíclicos, que facilita el estudio de las curvas de órdenes superiores, diciendo que: son los puntos de intersección de las tangentes trazadas á la cónica, por los dos puntos imaginarios de un círculo, situados en el infinito, es decir, los dos puntos
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imaginarios que consideró Poncelet con la propiedad de ser comunes á todos los círculos de un plano, para generalizar el estudio de las cónicas, propiedad que se extendió inmediatamente al círculo imaginario de la esfera, al admitir en todos los conos de revolución de vértice común, un doble contacto con el cono (imaginario) asintótico de la esfera descrita desde su vértice como centro y que:
Todos los conos de revolución del mismo vértice tienen por bases, sobre un plano cualquiera, cónicas que tienen un doble contacto con un mismo círculo imaginario, cuyo centro es el pie de la perpendicular bajada desde el vértice de los conos sobre el plano.

Las elevadas generalizaciones de Poncelet se sistematizan en las geometrías de Chasles y Staudt. Estos geómetras mantienen la existencia de los puntos de intersección de una cónica y una recta exterior, considerándolas como dobles de una involución.

Chasles demuestra la existencia de un punto exterior á la base de una división homográfica, desde los que se ve cada par de puntos conjugados según un ángulo constante. Y, hallándose determinada una involución elíptica (con puntos dobles imaginarios) por dos pares de elementos correspondientes, distingue Staudt los dos elementos imaginarios, asociando á la forma \( A B A_1 B \), el sentido de sucesión \( A B A_1 \) ó \( A_1 B A \) de los elementos que contiene, de manera que la forma \( A B A_1 B_1 \), á la que asocia el sentido \( A B A_1 \), representa un elemento imaginario y la forma, \( A_1 B A B_1 \) con el sentido \( A_1 B A \), representará su conjugado.

Dos puntos imaginarios conjugados determinan una recta real, la base de la involución, de cuya recta se conocen los pares de puntos que definen ésta. Dos rectas imaginarias conjugadas determinan un punto real, el vértice del haz involutivo determinado por los pares de rayos que definen éste. Dos planos imaginarios conjugados pasan por una recta real, el eje de la involución de los planos, de manera que dos pares de elementos reales equivalen á dos dobles imaginarios.

Staudt, el Euclides del siglo XIX, prescinde en su Geometría de toda noción de magnitud; y para presentar la correspondencia unívoca con rigor absoluto, define la intersección de las rectas y planos paralelos como puntos ó rectas impropios. La excepción que parecía ofrecer el caso del paralelismo equivale á la hipótesis de la única paralela, ó implica la admisión del postulado de Euclides. Al considerar Staudt la recta como cerrada por el punto del infinito, lo que se extiende al plano y al espacio, la geometría pro-
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yectiva queda constituida como un sistema de correspondencias, perfecto.

Estas ficciones son conceptos que unifican la ciencia ampliando las definiciones y simplificando las demostraciones. Llevan á una ciencia ideal y abstracta siempre correspondiente con la realidad, en la que los enlaces son conceptos de pura razón, encadenados por la más rigurosa lógica é independientes de nuestras contingentes representaciones intuitivas. La relación proyectiva de las figuras permite el tránsito de las construcciones extremas á través de encadenamientos intermedios, correspondientes á los encadenamientos silogísticos de la Lógica ó los encadenamientos de ecuaciones del Algebra.

Cayley traduce geométricamente la teoría de las formas homogéneas, haciendo ver cómo las transformaciones lineales equivalen á relaciones proyectivas, que pueden subsistir, ya entre elementos de igual naturaleza (homografía) ya entre elementos de naturaleza distinta (correlación).

Cayley refiere las figuras á lo absoluto, que en la recta es un par de puntos, en el plano una cónica, ó especialmente el par de puntos circulares del infinito, siendo toda cónica que pase por estos dos puntos un círculo.

La ecuación en coordenadas-líneas de lo absoluto es \( t^2 + \eta^2 = 0 \) que consiste en los dos puntos en que la recta \( x = 0 \) corta al par de rectas \( x^2 + y^2 = 0 \), ó círculo de radio cero.

En el espacio, lo absoluto es la cónica esférica, intersección de una esfera cualquiera con el cono concéntrico ó esfera desvanecida \( x^2 + y^2 + z^2 = 0 \).

Y de todos estos desarrollos concluye Cayley que: Las propiedades métricas de una figura no son propiedades en sí, sino sus propiedades en conexión con otra figura, la cónica llamada lo ABSOLUTO, resultando de esto que la geometría métrica es una parte de la descriptiva.

Esta importante doctrina ha tenido su más genuina representación en las obras de Salmon y en recientes trabajos del eminente profesor Sr. Klein sobre la geometría no-euclídea.

Hemos visto desenvolverse la geometría con el rigor lógico que la dió Euclides en sus elementos, apoyados generalmente en el método ad absurdum, como aplicación inmediata del principio de contradicción y también en la aplicación de las relaciones numéricas bajo forma de proporciones, que se extiende hasta la Geome-
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S = \frac{\operatorname{sen} \omega}{2 l^3} \left\{ \frac{3}{2} a_1^4 \cos \omega \operatorname{sen}^4 \omega - a_1^4 l^2 \cos \omega \right.

\pm 3 \operatorname{sen}^2 \omega \cos 2 \omega \int_0^{a_1} \frac{a^4 d a}{\sqrt{l^4 - a^4 \operatorname{sen}^4 \omega}}

\pm l^4 (3 \operatorname{sen}^4 \omega - 2 \cos^2 \omega) \int_0^{a_1} \frac{a^4 d a}{\sqrt{l^4 - a^4 \operatorname{sen}^4 \omega}} \right\}

donde se debe emplear el signo superior, cuando se considera un arco de curva en el que y es positivo, y el signo inferior, para el caso contrario.

Tenemos pues

\[
\int_0^{a_1} \frac{a^4 d a}{\sqrt{l^4 - a^4 \operatorname{sen}^4 \omega}} = \frac{l^4}{\operatorname{sen}^3 \omega} \left[ - \frac{a_1^3 \operatorname{sen}^3 \omega}{4 l^4} \sqrt{l^4 - a_1^4 \operatorname{sen}^4 \omega} \right.
- \frac{3}{8} \frac{a_1 \operatorname{sen} \omega}{l^3} \sqrt{l^4 - a_1^4 \operatorname{sen}^4 \omega} + \frac{3}{8} \operatorname{arc sen} \frac{a_1 \operatorname{sen} \omega}{l}
\]

\[
\int_0^{a_1} \frac{a^4 d u}{\sqrt{l^4 - a^4 \operatorname{sen}^4 \omega}} = \frac{l^4}{\operatorname{sen}^2 \omega} \left[ - \frac{1}{2} \frac{a_1 \operatorname{sen} \omega}{l^2} \sqrt{l^4 - a_1^4 \operatorname{sen}^4 \omega} \right.
+ \frac{1}{2} \operatorname{arc sen} \frac{a_1 \operatorname{sen} \omega}{l}
\]

luego

\[
S = \frac{\operatorname{sen} \omega}{2 l^3} \left\{ \frac{3}{2} a_1^4 \cos \omega \operatorname{sen}^4 \omega - a_1^4 l^2 \cos \omega \right.

\pm \frac{3}{4} a_1^4 \cos 2 \omega \sqrt{l^4 - a_1^4 \operatorname{sen}^4 \omega}

\pm \frac{l^4 a_1}{8 \operatorname{sen}^4 \omega} (\cos^4 \omega + 3 \operatorname{sen}^4 \omega) \sqrt{l^4 - a_1^4 \operatorname{sen}^4 \omega}

\pm \frac{l^4}{8 \operatorname{sen}^3 \omega} (\cos^4 \omega + 3 \operatorname{sen}^4 \omega) \operatorname{arc sen} \frac{a_1 \operatorname{sen} \omega}{l} \right\}

Esta fórmula da el valor del área pedida.
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tría superior de Chasles y el desarroilo de la geometría de Staudt basado en la consideración de la forma armónica, independiente de toda relación numérica. También se ha visto cómo Cayley hizo surgir un nuevo desarrollo, traduciendo las formas homogéneas del Algebra de las formas. Omitimos el tratar de la aplicación del Algebra á la geometría, ó de la Geometría cartesiana, pues nuestro objeto principal, en esta ocasión es tratar principalmente de la geometría en sí. Pero ya que no sea posible dejar de estudiarla en sus varias manifestaciones, después de citar el desarrollo de la geometría cartesiana é infinitesimal en las que las entidades geométricas quedan envueltas bajo las formas algorítmicas, y los métodos reducidos á procedimientos analíticos, es preciso indicar someramente la evolución inversa por lo que la geometría aparece como auxiliar de la Algoritmia.

Esta evolución parte de Argand adquiere su amplio desarrollo en la memoria de Cauchy sobre las cantidades geométricas, y lleva direcciones distintas en los cuaternios de Hamilton y el tratado de la extensión de Grassmann.

El comienzo de estos desarrollos se encuentra en la interpretación geométrica de las cantidades imaginarias. En este último desarrollo el cálculo formal tiene su representación en la geometría vectorial, cuyos dos más importantes sistemas los son de Hamilton, y Grassmann y de la que trataremos al ocuparnos de las Algebras simbólicas.

CRÓNICA

APERTURA DEL CURSO DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA.—Al doctor D. Paulino Savirón, catedrático de química inorgánica de esta Facultad de Ciencias correspondía el discurso inaugural.

El tema desarrollado era: El laboratorio, la matemática y la química.

Aparte de las doctrinas químicas y de cuanto se refiera á la experimentación, cuyas deficiencias entre nosotros detalla el conferenciante, hemos de manifestar, con agrado, las tendencias teóricas del Sr. Savirón encaminadas á elevar el carácter de los estudios de las ciencias físico-químicas en nuestras universidades.

Es indudable que hoy se impone para el estudio de la química, si
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hemos de salir de la región del empirismo, estudios de Mecánica racional y de Mecánica física y por consiguiente, de las nociones preliminares del Cálculo diferencial e integral que permitan estudiar la Química en sus relaciones con la Termodinámica.

A este objeto dedica párrafos muy interesantes el Sr. Savirón citando los resultados de las investigaciones de Carnot, Helmholtz, Clausius, Duhem, Van't Hoff y Thomson, explanando las conclusiones formuladas por los químicos Lemoine y Chronstchoff, al proponer, el primero, vulgarizar la aplicación de los procedimientos matemáticos para la dirección de las diversas investigaciones de la Química, y al sostener el segundo, que existe un orden de ideas nuevas, de procedimientos y de razonamientos inéditos; que el pensamiento debe moverse en este nuevo cuadro, y que al relacionarse las cuestiones de la Dinámica química con la Mecánica y la Física teóricas, los químicos de la antigua escuela tienen necesidad de una educación nueva, y de ensanchar el círculo ordinario de sus razonamientos, haciendo intervenir en ellos nuevas concepciones.

Poco podemos añadir á lo expuesto por nuestro ilustrado colega, ya que tan gran importancia tienen los párrafos citados.

Es de necesidad imperiosa que se renueve la organización de nuestras Facultades de ciencias, rectificándose el error cometido desde hace unos 20 años de haber retrasado, hasta el tercer curso, el estudio del cálculo integral, haciéndose perder el tiempo á los alumnos en teorías hoy de más interés histórico que práctico, recargando la perniciosa idea de hacer estudios preliminares, sin entrar de lleno en las cuestiones, y sin dar importancia, en los comienzos, á la práctica de aquéllo cuya metafísica se debe dejar para los últimos años ó para la última parte de cada curso; y en fin, generalizar los estudios matemáticos, exigiéndolos á todos cuantos deban dedicarse á la sección de ciencias físico-químicas. Pues el espíritu matemático influye directamente en las más variadas circunstancias de la vida. Y de explanar estas indicaciones trataremos en la continuación de nuestro trabajo sobre la Matemática y su enseñanza.

CONGRESO MATEMÁTICO DE MUNICH.—La asociación de matemáticos alemanes celebró en Munich, del 17 al 23 de Septiembre el 71º congreso anual, que según costumbre realizan en unión con los médicos y naturalistas del imperio.
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Esperando la publicación del Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung donde se publican los trabajos presentados, para dar noticia más detallada de este acontecimiento, bastará adelantar por ahora que, entre los muchos e interesantes trabajos presentados, se hallan: Geometría de los dinamos por E. Study.—Sobre la recta hiperbólica por K. Döhlemann.—Sobre dos grupos notables del espacio de cinco dimensiones, por Fr. Engel. Sobre la geometría del grupo de Klein de 360 colineaciones y 360 correlaciones por G. Kohn.—Sobre el concepto de la igual validez de los teoremas de Geometría por Fr. Meyer.—Sobre una variedad cuadrática en el espacio de cinco dimensiones por J. Sommer, y otros trabajos sobre la Aritmética analítica, funciones simétricas, principio de Dirichlet, series, ecuaciones diferenciales, invariación de grupos de sustituciones lineales, acerca de las funciones abelianas, clasificación del problema diferencial, etc. por los Sres Hensel, Mehmke, Weber, Gordan, Hilbert, Horn, Maurer, Noether, Schimpf; Schlesinger, Sommerfeld y otros ilustres matemáticos.

La Bibliotheca mathematica que hasta ahora se publicaba en Estocolmo bajo la ilustrada iniciativa del Sr. Eneström va á adquirir nuevo impulso merced al eficaz concurso del conocidísimo editor B. G. Teubner de Leipzig, publicándose en esta casa editorial, á partir del 1900.

Advierte el Sr. Eneström la importancia que han adquirido las notas históricas, hasta el punto de ser necesarias aún en las publicaciones de las teorías matemáticas; y se propone que la Bibliotheca mathematica, como órgano de estos estudios favorezca la publicación de nuevas investigaciones y conceda gran importancia á publicar biografías detalladas de eminentes matemáticos, físicos y astrónomos, reseñas de las publicaciones más notables, á favorecer la publicación de un diccionario de las matemáticas, noticias sobre el estado presente de las teorías matemáticas, congresos, exposiciones científicas, cursos universitarios de especial interés, concursos de sociedades científicas, academias etc.

La asociación Mathesis que bajo dirección del profesor de Turín Sr. Bettazzi tiene por objeto el perfeccionamiento y desarrollo de la ciencia y de la enseñanza, ha publicado sus nuevos estatutos y de-