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infinitesimales, entonces recientes, podían prometer la solución tan deseada. G. de S. Vicente ensayó el conseguirlo por el estudio profundo de la espiral, después por el de la cuadratriz y, en fin, por el método Ductus Plani in planum (véase J. S. 1897 p. 162), creyendo haberla encontrado. El error de este sabio geómetra parece haber provocado las reflexiones de sus contemporáneos sobre la posibilidad ó imposibilidad de la cuadratura del círculo. Wallis, el primero, se coloca en esta segunda hipótesis (Arith. inf.) y Gregory (op. cit.) le sigue en esta vía. Al contrario, Huygens parece participar de la primera opinión; refutó las conclusiones de Gregory, y, en una de su cartas á Leibniz, obteniendo desarrollos en serie del número \( \frac{\pi}{4} \),

\[
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{9 \cdot 11}{2} + \ldots
\]

piensa que no es imposible sumar esta serie, puesto que puede sumarse la serie

\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots
\]

y otras semejantes. Newton buscó largo tiempo la resolución del problema. Este ha sido el objeto de sus primeras investigaciones.

A Lambert se le debe (Mém. de l'Acad. de Berlin, 1761) la certeza de la irracionalidad del núm. \( \pi \). Legendre (op. cit.) ha demostrado que su cuadrado es irracional. Solo recientemente M. Lindemann (N. A. 1882), apoyándose en profundos estudios de M. Hermite sobre la función exponencial, llegó á deducir que el número \( \pi \) no puede ser raíz de ninguna ecuación con coeficientes racionales. (Véase, por ejemplo, la Géom. de Rouché et de Comberouse, ó bien las Leçons sur certaines questions de Géom. élém. Klein. Traducción Griess, 1896).

Hasta este último descubrimiento no estaba en entredicho esperar el descubrir, por ejemplo, una ley reguladora de la sucesión de los decimales del número \( \pi \). Por eso es porque se empeñaban los geómetras en cálculos muy laboriosos, á pesar de los métodos perfeccionados sacados del cálculo infinitesimal para aumentar el número de las decimales conocidas. El teorema negativo de M. Lindemann quita todo interés á esta investigación, y las ocho ó diez decimales bastan para todas las necesidades de la práctica.
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Se ha dado un gran número de aproximaciones de la cuadratura del círculo (véase, por ejemplo, le Gesch. der Math. de M. Cantor). Nosotros nos contentaremos con indicar la expresión numérica siguiente

\[
\frac{501 + 80 \sqrt{10}}{240} = 2 + \frac{1}{10} - \frac{1}{80} + \frac{\sqrt{10}}{3},
\]

debida á Gergonne (A. G. tome VIII), que da el número \( \pi \) con nueve decimales exactas (*).

UNA OBSERVACIÓN

En un trabajo reciente (véase núm. 12 de este periódico) don Lauro Clariana ha tratado la ecuación diferencial lineal

\[
\frac{d^2 y}{dz^2} + 2z \frac{dy}{dz} + s^2 y = 0.
\]

Esta ecuación es un caso particular de la ecuación más general

(a)

\[
\frac{d^2 y}{dz^2} - 2b z \frac{dy}{dz} + b^2 z^2 y = 0
\]

anteriormente estudiada por Boole. La integral general de la ecuación (a) es

\[
y = e^{b z^2 / 2} [C \cos (z \sqrt{b} + C_1 \operatorname{sen} z \sqrt{b})].
\]

(*) Hemos indicado un procedimiento poco conocido de rectificación de un arco circular A M. Se toma sobre el radio OM, MC igual al lado del cuadrado inscrito, se describe el arco MK desde el centro C y limitado por el radio que pasa por el punto K. La cuerda MK es muy sensiblemente igual al desarrollo del arco MA (Pérez, La Science industrielle, 1855).

Se puede también mencionar la escuadra ciclidal del Sr. Guimaraes (S. M. tome XIX) cuya hipotenusa es una cicloide. Este instrumento sirve para la rectificación de los arcos circulares, para su división en una razón dada, etc.

En J. S. de 1853 hemos estudiado muchas fórmulas aproximadas del arco ó del segmento en función de la cuerda y de la flecha, y mostrado el medio de determinar un ángulo, sin servirse de la trigonometría, solamente por la medición de tres longitudes y aplicando la fórmula de Cusa.
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(Véase Boole: A treatise on differential equations pág. 207 y pág. 491).
Si se hace en ella \( b = -1 \), se tendrá la integral de la ecuación del Sr. Clariana.

Alf Guldborg (Christiania).

SOBRE LOS FOCOS DE LAS ESPÍRICAS DE PERSEO
por el Sr. Gomes Teixeira (F.)

Se da, como se sabe, el nombre de espíricas de Perseo á las curvas de cuarto orden que se obtienen cortando el toro por planos paralelos al eje. Se sabe también que la ecuación de estas curvas puede escribirse del modo siguiente

\[
(1) \quad y = \sqrt{R^2 - (l + \sqrt{x^2 + c^2})^2}
\]

representando R el radio del círculo generador del toro, l la distancia de su centro al eje de la superficie y c la distancia del plano secante al centro de la superficie.

Esto sentado, el objeto de esta Nota es dar un método elemental para determinar los focos de la curva considerada, llamando, como Plucker, focos á los puntos del plano de la curva por los que se pueden trazar dos tangentes á la curva, cuyos coeficientes angulares sean iguales á \( +i \) y \( -i \) (siendo \( i = \sqrt{-1} \)).

Para resolver esta cuestión, notemos en primer lugar, que la ecuación (1) da

\[
(2) \quad y' = \frac{(l + \sqrt{x^2 + c^2}) x}{\sqrt{R^2 - (l + \sqrt{x^2 + c^2})^2} \sqrt{x^2 + c^2}},
\]

y que, por consiguiente, las abscisas de los puntos de la curva considerada, en los cuales los coeficientes angulares de la tangente son iguales á \( +i \) ó á \( -i \), deben satisfacer la condición

\[
\frac{(l + \sqrt{x^2 + c^2}) x}{\sqrt{R^2 - (l + \sqrt{x^2 + c^2})^2} \sqrt{x^2 + c^2}} = \pm i,
\]
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6   (l + \sqrt{x^2 + c^2}) x^2 = - [R^2 - (l + \sqrt{x^2 + c^2})^2] (x^2 + c^2),
6   (R^2 - c^2)^2 (x^2 + c^2)^2 - 2 l^2 c^2 (R^2 + c^2) (x^2 + c^2) + l^4 c^4 = 0,
6   x^2 + c^2 = \frac{l^2 c^2}{(R \pm c)^2}, \quad 6   \sqrt{x^2 + c^2} = \pm \frac{l c}{R \pm r}.

Esta ecuación se descompone en las siguientes:

(3)   \sqrt{x^2 + c^2} = \frac{l c}{R - c}, \quad \sqrt{x^2 + c^2} = - \frac{l c}{R + c},
(4)   \sqrt{x^2 + c^2} = \frac{l c}{R + c}, \quad \sqrt{x^2 + c^2} = - \frac{l c}{R - c}.

Esto sentado, consideremos diversos casos:
1.er caso. Sea \( l^2 < (R - c)^2 \).
En este caso, la primera de las ecuaciones (3), la ecuación (1) y la ecuación (2) dan para \( x \) é y los valores

\[
x = \pm \frac{c}{R - c} \sqrt{l^2 - (R - c)^2} = \pm \frac{c l}{R - c} \sqrt{(R - c)^2 - l^2},
\]
\[
y = \pm \frac{R}{R - c} \sqrt{(R - c)^2 - l^2}
\]

y para \( y' \) el valor \( (-i) \), cuando \( x \) é y tienen el mismo signo, y el valor \( (+i) \) cuando tienen signo contrario.

La segunda ecuación (3) y las ecuaciones (1) y (2) dan para \( x \) é y los valores

\[
x = \pm \frac{c i}{R + c} \sqrt{(R + c)^2 - l^2}, \quad y = \pm \frac{R}{R + c} \sqrt{(R + c)^2 - l^2},
\]

y para \( y' \) el valor \( (+i) \), cuando \( x \) é y tienen el mismo signo, y el valor \( (-i) \) cuando tienen signo contrario.

Las ecuaciones (4) no dan para \( y' \) ningún valor \( (+i) \), ningún valor \( (-i) \).

Luego representando por \( a, b, a_1, b_1 \) las cantidades

\[
a = \frac{c}{R - c} \sqrt{(R - c)^2 - l^2}, \quad b = \frac{R}{R - c} \sqrt{(R - c)^2 - l^2},
\]
\[
a_1 = \frac{c}{R + c} \sqrt{(R + c)^2 - l^2}, \quad b_1 = \frac{R}{R + c} \sqrt{(R + c)^2 - l^2},
\]
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los puntos de la curva en que el coeficiente angular de la tangente es \( (+i) \) son

\[
(ai, -b), \quad (-ai, b), \quad (a_1 i, b_1), \quad (-a_1 i, -b_1),
\]

y los puntos en que el coeficiente angular de la tangente es \( (-i) \) son

\[
(ai, b), \quad (-ai, -b), \quad (-ai, b_1), \quad (a_1 i, -b_1).
\]

Las tangentes á la curva en los primeros puntos son

\[
Y + b = i(X - ai), \quad Y - b = i(X + ai)
\]
\[
Y - b_1 = i(X - a_1 i), \quad Y + b_1 = i(X + a_1 i)
\]

y las tangentes á la curva en los puntos cuyo coeficiente angular de la tangente es igual á \( (-i) \) son

\[
Y - b = -i(X - ai), \quad Y + b = -i(X + ai)
\]
\[
Y - b_1 = -i(X + a_1 i), \quad Y + b_1 = -i(X - a_1 i).
\]

Las ecuaciones de las rectas del primer grupo pueden, pues, escribirse del modo siguiente:

\[
Y \pm \sqrt{(R - c)^2 - l^2} = iX, \qquad Y \pm \sqrt{(R + c)^2 - l^2} = iX;
\]

y las del segundo grupo

\[
Y \pm \sqrt{(R - c)^2 - l^2} = -iX, \qquad Y \pm \sqrt{(R + c)^2 - l^2} = -iX.
\]

Las rectas del primer grupo cortan á las del segundo en 16 puntos, que son los focos ordinarios de la curva. A cada recta del primer grupo que hemos considerado, corresponde una recta del segundo grupo conjugada á la primera. Las rectas conjugadas determinan por sus intersecciones cuatro puntos reales, que son los cuatro focos ordinarios reales de la curva. Las coordenadas de estos focos son

\[
[0, \pm \sqrt{(R - c)^2 - l^2}], \qquad [0, \pm \sqrt{(R + c)^2 - l^2}].
\]

2.º caso. Sea en segundo lugar \( l > R + c \).
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 45

Por un análisis semejante se ve que en este caso los focos se obtienen por las intersecciones de las rectas

\[
Y + b_i = -i (X - a), \quad Y - b_i = -i (X + a),
\]
\[
Y - b_1 i = -i (X - a_1), \quad Y + b_1 i = -i (X + a_1)
\]

con las rectas

\[
Y - b_i = i (X - a), \quad Y + b_i = i (X + a),
\]
\[
Y - b_1 i = i (X + a_1), \quad Y + b_1 i = i (X - a_1)
\]

de donde

\[
a = \frac{c}{R - c} \sqrt{l^2 - (R - c)^2}, \quad b = \frac{R}{R - c} \sqrt{l^2 - (R - c)^2}
\]
\[
a_1 = \frac{c}{R + c} \sqrt{l^2 - (R + c)^2}, \quad b_1 = \frac{R}{R + c} \sqrt{l^2 - (R + c)^2}.
\]

Las ecuaciones de las rectas del primer grupo pueden pues escribirse como sigue:

\[
Y = -i (X \pm \sqrt{l^2 - (R - c)^2}), \quad Y = -i (X \pm \sqrt{l^2 - (R + c)^2}).
\]

y las del segundo grupo del modo siguiente:

\[
Y = i (X \pm \sqrt{l^2 - (R - c)^2}), \quad Y = i (X \pm \sqrt{l^2 - (R + c)^2}).
\]

Los focos reales son, pues, en este caso

\[
[\pm \sqrt{l^2 - (R - c)^2}, 0], \quad [\pm \sqrt{l^2 - (R + c)^2}, 0].
\]

3.º caso. Si se tiene que \((R - c)^2 < l^2 < (R + c)^2\), se ve del mismo modo que los focos resultan de la intersección de las rectas

\[
Y = -i (X \pm \sqrt{l^2 - (R - c)^2}), \quad Y + \sqrt{(R + c)^2 - l^2} = -i X
\]

con las rectas

\[
Y = i (X \pm \sqrt{l^2 - (R - c)^2}), \quad Y \pm \sqrt{(R + c)^2 - l^2} = i X.
\]

Los focos reales son pues

\[
[\pm \sqrt{l^2 - (R - c)^2}, 0], \quad [0, \pm \sqrt{(R + c)^2 - l^2}].
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 46

4.º caso. Sea \( l = R - c \). En este caso, la primera de las ecuaciones (3) y la ecuación (1) dan \( x = 0,\ y = 0 \). La ecuación (2) da \( y' = \frac{0}{0} \); pero es fácil ver que el verdadero valor de \( y' \) es \( \pm \sqrt{-\frac{l + c}{c}} \).

La segunda ecuación (3) y la ecuación (1) dan

\[
x = \pm \frac{2c i}{R + c} \sqrt{Rc}, \quad y = \pm \frac{2R}{R + c} \sqrt{Rc},
\]

y la ecuación (2) da después \( y' = i \), cuando \( x \) e \( y \) tienen el mismo signo, \( y' = -i \), cuando lo tienen contrario.

Las rectas que determinan por medio de sus intersecciones los focos son:

\[
Y \pm 2 \sqrt{Rc} = i X, \quad Y \pm 2 \sqrt{Rc} = -i X.
\]

Los focos reales son los puntos que tienen por coordenadas \((0, \pm 2 \sqrt{Rc})\).

5.º caso. Si \( l = R + c \), se ve del mismo modo que los focos resultan de las intersecciones de las rectas.

\[
Y = -i (X \pm 2 \sqrt{Rc}), \quad Y = i (X \pm 2 \sqrt{Rc}).
\]

Los focos reales son, pues, los puntos cuyas coordenadas son \((\pm 2 \sqrt{Rc}, 0)\).

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1896)

CONFERENCIA QUINTA

Geometría de n dimensiones. – Concepto del hiper-espacio. – Exposición general de la geometría de n dimensiones.—Particularización de la de cuatro.—Poliedros de Schlegel.—Nociones acerca del Analysis situs.

Ya en la última conferencia se expusieron los fundamentos de las geometrías no euclídeas. En síntesis se vió que ante el subjetivismo de Kant aparece una tendencia opuesta en la Geometría de
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Lobatschewky y en la doctrina expuesta por Helmholtz. La doctrina de Kant por la que el espacio y el tiempo son formas a priori de nuestra intuición empírica, reduce á la Geometría á un desarrollo puramente subjetivo, mientras que la nueva doctrina conduce á examinar las condiciones propias del espacio, independiente de nosotros. Helmholtz supone que la posición de un punto debe poder determinarse respecto á elementos fijos con auxilio de medidas efectuadas sobre líneas, ángulos, áreas etc., necesarias para determinar dicho punto, que se llaman sus coordenadas, que determinan las dimensiones del espacio, y define un cuerpo sólido considerando que: entre las coordenadas de los puntos que pertenecen á un cuerpo, tomados dos á dos debe existir una ecuación correspondiente á la relación invariable que subsiste entre los dos puntos durante el movimiento, y que es la misma para todos los pares de puntos congruentes, es decir, que pueden coincidir con dos puntos fijos del espacio. El espacio considerado como lugar de las magnitudes mensurables contiene ciertas determinaciones que son las condiciones para que los cuerpos puedan moverse sin cambiar de forma, 5 puntos dan 10 relaciones AB, AC, ... entre 15 coordenadas dependientes de 6, si el sistema de puntos ha de moverse al rededor de un eje.

Los trabajos de Gauss y de Riemann llevan á distinguir una propiedad del espacio que se llama su curvatura, que es un coeficiente proporcional al exceso de la suma angular del triángulo en cada una de las variedades del espacio, positivo, nulo ó negativo, según sea el espacio de Riemann, de Euclides ó Lobatschewsky.

Riemann en su memoria sobre las hipótesis que sirven de base á la geometría, reduce la determinación de lugar á determinaciones de medida. Concibe primero una parte variable de una variedad de una dimensión, á partir de un punto fijo, de modo que sus valores sean comparables entre sí, y que esta parte de la variedad tenga un valor determinado para cada punto, ó bien imagina en el interior de la variedad una función continua de lugar, que no sea constante en ninguna parte de esta variedad. Todo sistema de puntos para el que la función tiene un valor constante, forma una variedad de menor número de dimensiones.

Estas variedades, cuando se hace variar á la función, se transforman las unas en las otras.

Se podrá suponer que una de ellas engendra á las demás, de manera que cada punto de la una se transporta á un punto deter-
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minando la otra y la determinación de lugar en una variedad se reduce á una determinación de magnitud y á una determinación de lugar en una variedad de \( n - 1 \) dimensiones; y repitiendo \( n \) veces la operación, la determinación de lugar en una variedad de \( n \) dimensiones queda reducida á \( n \) determinaciones de magnitud.

Pero donde comienza la cuestión filosófica es en la memoria de Helmholtz que, pretendiendo deducir de la experiencia la necesidad de la expresión algebráica de Riemann, estudia las hipótesis de seres existentes en espacios inferiores al nuestro y hasta las apariencias que produciría en seres diversamente constituidos en los espacios de curvaturas positiva y negativa. Y en este momento nos hallamos en el problema transcendental de la filosofía acerca del nómeno y el fenómeno, de la realidad y de la apariencia, de aquéllo que conocemos por el intermedio de los sentidos y de lo que podemos inferir del mundo externo por medio de nuestras representaciones sobre las que se forman los conceptos que tenemos de lo externo, de las modificaciones que en nuestro ser produce su unión con nuestro organismo material, de cómo podrían pensar seres superiores ó seres inferiores á nosotros. Todo esto ha sido cuestión de controversias respecto á la posibilidad de un espacio de más dimensiones que el nuestro, y para ello se han hecho hipótesis ingeniosas de que no nos ocuparemos por no ser nuestro objeto en esta conferencia.

Solo diremos, que así como en un espacio plano las figuras simétricas no pueden coincidir sino se las hace girar en el espacio de tres dimensiones; de igual modo se concibe que las simétricas en el espacio de 3 se podrán hacer coincidir mediante un giro en el de 4.

Y se concibe de igual manera, que así como un cuerpo moviéndose, y dejando por sus intersecciones en un plano, diferentes huellas sucesivas de su modo ser efectivo en un espacio de tres dimensiones, esto pudiera provenir en el nuestro de lo concerniente á un espacio superior cognoscible también por sus trazas ó en cierto modo modificado en las regiones del nuestro; y para explicar estas modificaciones Mr. Hutton en su obra A new era of Thought concibe cubos descompuestos en cubos parciales cuyas aristas diversamente coloreadas darían apariencias variadas y distintas en un espacio plano.

Pero pasaremos al concepto matemático y especialmente á la descripción de los poliedros del Sr. Schlegel que son la proyección
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en nuestro espacio de los poliedros de 4 dimensiones y al analysis situs expuesto por M. Poincaré, así como á la doctrina de las conexiones que ilustra acerca de la naturaleza de espacios superiores.

(Continuará).

NOTES GÉOMÉTRIQUES
por M. A. Droz-Farny.

I

Dans ses «Notas matemáticas» (Progreso Matemático, d'Avril, 1900) mon savant ami, Monsieur Duran Loriga a étudié deux intéressantes correspondances. Qu'il me soit permis d'ajouter quelques remarques élémentaires à l'étude citée.

Soit ABC un triangle donné. Une transversale quelconque rencontre les côtés BC, CA, AB aux points A', B', C'. On a donc un quadrilatère complet dont les sommets opposés sont respectivement A et A', B et B', C et C'. On sait que les circonférences décrites sur AA', BB', CC' comme diamètres se coupent en deux points fixes P et P', les points de Monge, et que les points milieux de ces trois diagonales sont sur une même droite, la newtonienne Δ du quadrilatère. Δ est le lieu géométrique des centres des coniques inscrites dans le quadrilatère et les cercles orthotomiques de toutes ces coniques forment un faisceau dont les sommets sont les points P et P'.

Parmi les coniques du faisceau tangentiel se trouve une seule parabole dont le cercle de Monge se décompose suivant deux droites: la droite infinie et la directrice. Il en résulte que la droite PP' est la directrice de la parabole inscrite au quadrilatère. Cette droite contient donc d'après un théorème bien connu, les orthocentres des quatre triangles que forment les quatre côtés pris trois à trois du quadrilatère. Donc:

Quelle que soit la transversale, les points P et P' sont toujours alignés avec H, l'orthocentre du triangle fixe ABC.

D'après le théorème de Faure, suivant lequel le cercle de Monge d'une conique coupe toujours orthogonalement le cercle circonscrit à un triangle conjugué à cette conique, on constate en
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 5

trouvent, nous aurons, pour toutes les valeurs des X, Y, Z; x, y, z,
\( \varphi (X, Y, Z) = 0,\ \varphi (x, y, z) = 0 \), d'où

\[
\sum_{X} \frac{\partial \varphi}{\partial X} \frac{dX}{dS} = 0,\quad \sum_{x} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{dx}{ds} = 0,
\]

et

\[
(1)\quad \frac{\partial^2 \varphi}{\partial X^2} \left( \frac{dX}{dS} \right)^2 + \ldots + \frac{\partial \varphi}{\partial X} \frac{d^2 X}{dS^2} + \frac{\partial \varphi}{\partial Y} \frac{d^2 Y}{dS^2} + \frac{\partial \varphi}{\partial Z} \frac{d^2 Z}{dS^2} = 0;
\]

mais on a évidemment au point M, à cause du choix des axes,

\[
\frac{\partial \varphi}{\partial X} = 0,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial Y} = 0,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial Z} = 1.
\]

car, le long de la courbe X, Y, Z,

\[
\varphi (\xi, \eta, \zeta) = \varphi (X, Y, Z),\quad \frac{\partial \varphi}{\partial \xi} = \frac{\partial \varphi}{\partial X},\ \text{etc.}
\]

et il vient, les termes non écrits dans (1) étant aussi nuls,

\[
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial X^2} + \frac{d^2 Z}{dS^2} = 0;\quad \text{on a, de même,}\quad \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{d^2 s}{ds^2} = 0,
\]

et, comme \( \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial X^2} \) au point considéré (comme X, Y, Z et x, y, z y deviennent égaux, toute fonction des premiers y sera évidemment égale à la même fonction des seconds), il vient

\[
\frac{d^2 Z}{dS^2} = \frac{d^2 z}{ds^2},\quad \text{ou bien}\quad \cos \theta = \frac{1}{\rho},\quad \text{c. q. f. d.}
\]

B) Soient données deux courbes planes ayant un point commun M et dont les tangentes s'y coupent à angle droit. Si l'on considère ces deux tangentes comme les axes des x et y des coordonnées rectangulaires, on aura, au point M,

\[
X = x,\quad Y = y,\quad Z = z,\quad \frac{dx}{ds} = 1,\quad \frac{dy}{ds} = 0,\quad \frac{dz}{ds} = 0,
\]
\[
\frac{dX}{dS} = 0,\quad \frac{dY}{dS} = 1,\quad \frac{dZ}{dS} = 0,
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 50

outre simplement que la droite PP' contient le centre du cercle circonscrit au triangle conjugué commun aux coniques du faisceau tangentiel.

Le triangle ABC, ainsi qu'un des points de Monge P, étant donnés, comme les angles APA', BPB', CPC' sont droits, on déterminera d'abord la transversale A'B'C', puis la newtonnienne Δ, puis le second point de Monge P' symétrique de P par rapport à Δ.

Si la transversale se meut en restant tangente à une parabole inscrite au triangle ABC, les points P et P' décrivent une ligne droite, la directrice de la parabole et la newtonnienne se déplace parallèlement à elle même et à l'axe de la parabole.

Considerons un quadrilatère donné et soit P un des points de Monge. La circonférence PAA' décrite sur AA' comme diamètre passe par le pied α de la hauteur abaissée de A sur le côté BC. Soit en autre H l'orthocentre du triangle ABC. PH coupe la circonférence au second point P'.

On a: HP . HP' = HA . Hα = - 4R^2 cos A cos B cos C.

Théorème: Les points de Monge sont donc conjugués par rapport au cercle conjugué du triangle ABC.

Si P décrit une courbe quelconque, P' décrit une courbe inverse.

Ainsi par exemple: Si P se trouve sur la circonférence circonscrite au triangle, P' décrit le cercle d'Euler. Par des considérations analogues, on démontre aisément le théorème suivant que j'ai proposé dans Mathesis:
[n.º 1188 bis année 1898, page 239].

On donne un triangle ABC et une transversale t, tournant autour d'un point fixe D et coupant BC, CA, AB en A', B', C'. On considère le quadrilatère déterminé par ces quatre droites:

1.º L'enveloppe de toutes les droites de Newton est une conique.
2.º Le lieu des points de Monge est une quartique bicirculaire qui lorsque le point D coïncide avec le centre du cercle circonscrit à ABC se décompose suivant le cercle circonscrit et le cercle d'Euler du triangle.

Supposons une conique quelconque circonscrite au triangle ABC et soit P un point de cette conique. Les perpendiculaires élevées en P sur les cordes PA, PB, PC coupent les côtés BC, CA, AB respectivement en A', B' et C' et la conique en α, β, γ.

On sait d'abord, propriété involutive bien connue, que les points A' B' et C' sont en ligne droite. Mais il est facile de prouver que cette droite contient en outre le point de Frégier correspondant à