ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 37

Solución por el Dr. N. Y. Hatzidakis

Se tiene siempre

\[(A - B)^2 > 0,\ (A \geq B)\ \text{o}\ A^2 + B^2 > 2AB,\]

de donde
\[a^{2n} + b^{2n} > 2a^n b^n,\]
y también
\[b^{2n} + c^{2n} > 2b^n c^n,\ c^{2n} + a^{2n} > 2c^n a^n,\]
de donde
\[a^{2n} + b^{2n} + c^{2n} > a^n b^n + b^n c^n + c^n a^n,\]
ó, si \(|c|\) es la más pequeña de las cantidades
\[|a|, |b|, |c|,\ (\ |a| > |b| > |c|\ )\]
\[c^2(a^{2n} - b^n c^n) + c^2(b^{2n} - c^n a^n) + c^2(c^{2n} - a^n b^n) > 0,\]
de donde
\[b^2(a^{2n} - b^n c^n) + b^2(b^{2n} - c^n a^n) + c^2(c^{2n} - a^n b^n) > 0,\]
(porque \(a^{2n} - b^n c^n > \pm (b^{2n} - c^n a^n)\)),

relación de la que resulta
\[a^2(a^{2n} - b^n c^n) + b^2(b^{2n} - c^n a^n) + c^2(c^{2n} - a^n b^n) > 0.\]

Solución por el Sr. Rius y Casas

Si \(a = b = c\), y solamente en este caso, la cantidad propuesta es nula. Fuera de este caso límite, siendo \(n\) un número natural, quedará demostrada la desigualdad propuesta para valores reales cualesquiera de \(a, b, c\), probando que es cierta para valores absolutos de estos números, pues al hacerse negativo alguno de ellos, sólo cambiará el signo de alguno de los términos que antes eran negativos, convirtiéndose positivos los tres que antes lo eran.

Siendo, pues, \(a = b \geq c\) números absolutos, la expresión dada se transforma en
\[2b^{2n+2}(b^n - c^n) + c^4(c^{2n} - b^{2n}) = [2b^{2n+2} - c^4(b^n + c^n)](b^n - c^n)\]
producto de dos factores, ambos positivos en el primer caso, y ambos negativos en el segundo.

Y si \(a > b > c\), haciendo \(a = b + x\), en la expresión dada, ó en su igual
\[a^{2n+2} + b^{2n+2} + c^{2n+2} - a^n b^n c^2 - a^n b^2 c^n - a^2 b^n c^n\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 38

se podrá descomponer ésta en dos sumandos, á saber, la expresión positiva del caso anterior, y el polinomio entero en x

\[
\begin{array}{l}
(2n + 2) b^{2n+1} \quad x + \binom{2n+2}{2} b^{2n} \\
-n b^{2n-1} c^3 \quad - \binom{n}{2} b^{2n-2} c^3 \\
-n b^n c^n \quad - \binom{n}{2} b^n c^n \\
-2 b^{n+1} c^n \quad - \binom{2}{2} b^n c^n \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
x^2 + \binom{2n+2}{3} b^{n+2} \\
- \binom{n}{3} b^{2n-3} c^2 \\
- \binom{n}{3} b^{n-1} c^n \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
x^3 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
+ ... + \binom{2n+2}{n} b^{n+2} \\
- \binom{n}{n} b^n c^3 \\
- \binom{n}{n} b^n c^n \\
\end{array}
\]

\[
x^n + \binom{2n+2}{n+1} b^n \div 1 x^{n+1} + ....
\]

cuyos términos son todos positivos.

CUESTIÓN 54. (véase t. II, pág. 187)

Dos perpendiculares indefinidas AY y BZ á una recta giran alrededor de sus pies A y B en sentido contrario y con velocidades doble la una de la otra. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos de intersección y discútela.

(J. J. Durán Lóriga).

Solución por el Sr. H. Brocard.

Tomemos por origen A y por ejes de coordenadas ABX y AY.
Sean AM y BM dos posiciones de las rectas móviles, YAM = 2u, MBZ = u, AB = a.

Las ecuaciones de AM y BM serán
\[
y = x \cot 2u, \quad y = -(x - a) \cot u
\]
\[
\tg u = \frac{a - x}{y}, \quad \tg 2u = \frac{x}{y}
\]
y, por consiguiente, la ecuación de la curva (M) es
\[
y = (a - x) \sqrt{\frac{x}{3x - 2a}}
\]

Se compone de dos ramas infinitas que pasan por B, asintóticas á
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 39

la recta \( x = \frac{2}{3} a \), y extendiéndose mas allá de B bajo forma de arcos parabólicos.

En el punto doble, en B, las dos ramas están á 45° sobre el eje ABX.

CUESTIONES PROPUESTAS

310 Con los mismos datos que la cuestion 309 y siendo G_4 el centro de gravedad del triángulo O_4 O_3 O_1 y M el medio de O_4 G_2, la recta MA, será perpendicular á O_3 O_1 ó igual á \( \frac{1}{6} \) O_8 O_1.

(Este teorema servirá para construir el cuadrilátero A_1 A_2 A_3 A_8, conociéndose los puntos O_1, O_4, O_3, O_4).

(H. Van Aubel)

311 Dado un pseudo-cuadrado A_1 A_4 A_3 A_4, si se construyen los triángulos A_1 A_3 B_1, A_4 A_2 b_2, A_1 A_4 b_4, D B_1 b_4 directamente semejantes á un triángulo dado MNP, el cuadrilátero B_1 D b_4 b_4 será un pseudo-cuadrado.

(H. Van Aubel)

312 Se aplican á los vértices A, B, C, D de un tetraedro cuatro masas cualesquiera, a, b, c, d y se buscan los centros de gravedad de estas masas combinadas dos á dos, lo que da seis puntos sobre las aristas.

Demostrar que el volumen del sólido cuyos vértices son estos puntos, se halla con el volumen del tetraedro ABCD en la relación

\[
\frac{2ab cd (a+b+c+d)^3}{(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(c+d)(d+b)}
\]

(J. Neuberg).

313 Dadas dos circunferencias O y O', se consideran dos rayos variables OA y O'B que forman un ángulo constante, y se construye el triángulo ABC semejante á un triángulo dado. Demostrar que el lugar del punto G es una circunferencia O'' y que el rayo O''C forma un ángulo constante con OA, por ejemplo.

(G. Fontene).

314 Dado un triángulo ABC, si se llaman A', B', C', los pies de las perpendiculares bajadas desde un punto M do su plano á los lados
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 4

Cada una de las fórmulas III liga seis cantidades tales como

\[
\frac{a'}{a}, \frac{A'}{A}, b', b'', C', C''
\]

y debe observarse que cada fórmula del grupo tiene por correlativa la fórmula colocada en la misma línea, *de modo que el grupo III es su propio correlativo*.

Se tiene además

(V) \[
\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{abc}{\sqrt{\Delta}} = \frac{\sqrt{\Delta}}{ABC} = \frac{\sqrt{\delta}}{\sqrt{\Delta}}
\]

haciendo

\[
\hat{\delta} = \begin{vmatrix}
1 & c' & b'' \\
c'' & 1 & a' \\
b' & a' & 1
\end{vmatrix} \qquad \Delta = \begin{vmatrix}
1 & C' & B' \\
C' & 1 & A' \\
B' & A' & 1
\end{vmatrix}
\]

los signos de los radicales \( \sqrt{\hat{\delta}} \) y \( \sqrt{\Delta} \) se suponen tales, que la cuarta y la quinta relación tengan el mismo signo que las tres primeras que tienen, por hipótesis, igual signo; si se designan por \( \alpha, \beta, \gamma, \varepsilon \) los signos de las cantidades \( a, b, c, \sqrt{\hat{\delta}}, \sqrt{\Delta} \), signos que pueden ser cualesquiera, los signos de las cantidades \( A, B, C, \sqrt{\Delta} \) deben ser \( \alpha, \beta, \gamma, \varepsilon \) multiplicados por el producto \( \alpha^3 \gamma \varepsilon \), puesto que este último signo es el de la cuarta relación. La última de estas relaciones V resulta de las cinco primeras; porque si se designa por K el valor común de las cinco primeras relaciones, se tiene

\[
K^2 = \frac{abc}{ABC}, \quad K^3 = \frac{abc \sqrt{\Delta}}{ABC \sqrt{\hat{\delta}}}, \quad \text{luego} \quad K = \frac{\sqrt{\hat{\delta}}}{\sqrt{\Delta}};
\]

esta relación \( \frac{\sqrt{\hat{\delta}}}{\sqrt{\Delta}} \) es análoga á la relación \( \frac{2S}{(S/R)} \) en geometría ordinaria, y, si se definen tres cantidades \( h, h', h'' \) por las fórmulas \( ah = bh' = ch'' = \sqrt{\hat{\delta}} \)

se tiene también \( Ah = Bh' = Ch'' = \sqrt{\Delta} \);
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 40

BC, CA, AB: 1.º El lugar del punto M para el que la diagonal MA, del paralelógramo B'MC'A', tiene una longitud igual á MA, es la hipérbola

\[
-x^2 + y^2 - z^2 - 2 y z \cos A = 0
\]
(coordenadas normales)

que pasa por el punto de Lemoine y por los pies, sobre AB y AC, de las bisectrices de los ángulos en C y en B.

2.º Se tienen también las hipérbolas

\[
x^2 - y^2 + z^2 - 2 x z \cos B = 0, \quad x^2 + y^2 - z^2 - 2 x y \cos C = 0.
\]

Estas últimas tienen por tres de sus puntos comunes, el punto de Lemoine y los pies de las bisectrices de C sobre AB. Hallar las coordenadas de su cuarto punto común.

(E. Lemoine)

CUESTIONES NO RESULTAS DE LA I.ª SERIE

7. Una elipse cuyos ejes se conocen, gira en su plano al rededor de su centro. En cada una de sus posiciones se le trazan tangentes en los puntos en que se halla cortada por dos rectas rectangulares fijas, trazadas por dicho centro. Hallar el lugar de los puntos de intersección de las tangentes. Se consideran además las cuerdas de contacto así determinadas, y se trata de hallar el lugar de sus intersecciones sucesivas.

(Lille. Concours académique, 1875).

8. Siendo A, B dos puntos de una elipse, P el punto de encuentro de las normales á la curva en estos dos puntos; C, D los pies de las otras dos normales que se pueden trazar por el punto P:

1.º Hallar el lugar que describe el centro de la hipérbola equilátera que pasa por los cuatro puntos A, B, C, D cuando la secante AB se mueve paralelamente á sí misma.

2.º Demostrar que el punto D', diametralmente opuesto al punto D, se halla con A, B, C en una misma circunferencia; y hallar el lugar de los centros de esta circunferencia, cuando la recta AB se mueve como en el primer caso.

(Lille. Concours académique, 1876).
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 5

la igualdad de las relaciones cuarta y sexta da la fórmula

\[
a b c = \frac{\hat{z}}{\sqrt{\Delta}}
\]

cuya análoga es geometría ordinaria es

\[
a b c = \frac{4 S^2}{\left( \frac{S}{R} \right)} \quad \delta \quad a b c = 4 R S.
\]

2. Para demostrar la equivalencia de los grupos de fórmulas I y II, basta observar la estructura de estas fórmulas relativamente á los determinantes \( \hat{z} \) y \( \Delta \), y la estructura análoga de las relaciones \( a^2 = 1 -- a' a'' \), \( A^2 = 1 -- A' A'' \).

Conservando las notaciones del primer artículo, y observando que se tiene \( \gamma (B, B) = 1 \), la fórmula (16) ó (I, 2) es en efecto

\[
\begin{vmatrix}
\gamma (A, B) & \gamma (A, C) \\
\gamma (B, B) & \gamma (B, C)
\end{vmatrix} = \sigma (A, B) \sigma (B, C) \times \gamma (\gamma, x)
\]

conteniendo respectivamente las dos líneas del determinante A y B como primer elemento, las dos columnas que contienen B y C como segundo elemento, lo que determina el segundo miembro y este determinante es un menor del determinante

\[
\begin{vmatrix}
1 & \gamma (A, B) & \gamma (A, C) \\
\gamma (B, A) & 1 & \gamma (B, C) \\
\gamma (C, A) & \gamma (C, B) & 1
\end{vmatrix} \quad \delta \quad \hat{z};
\]

la cantidad \( c' a' - b' \) de la fórmula (I, 2) es entonces el menor relativo á \( b' \) en el determinante \( \hat{z} \). Se tiene igualmente el menor

\[
\begin{vmatrix}
1 & \gamma (A, B) \\
\gamma (B, A) & 1
\end{vmatrix} = \sigma^2 (A, B)
\]

que corresponde á la relación \( 1 - c' c'' = c^2 \). El determinante \( \Delta \) da resultados análogos.

Esto sentado, supongamos conocidas la seis cantidades \( a', b', \)
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 6

c', a", ..., y partamos de las fórmulas I que definen las seis cantidades A', ... Consideremos, con las notaciones actuales, el determinante \( \delta \). Los menores relativos á los elementos de la diagonal principal tienen por valores \( a^4, b^4, c^8 \); el coeficiente de \( a' \) en el desarrollo del determinante es \( b' c' - a'' \) y tiene por valor \( b c A' \) según la primera de las fórmulas I; el determinante adjunto á \( \delta \) es pues

\[
\Delta' = \begin{vmatrix}
a^2 & a b C' & a c B' \\
b a C' & b^2 & b c A' \\
c a B' & c b A' & c^2
\end{vmatrix},
\]

y las propiedades del determinante adjunto dan lo que sigue:

1.º Teniendo el menor relativo á \( a^2 \) en \( \Delta' \) por valor \( b^2 c^3 \Delta \), se tiene

\[
b^2 c^3 A^4 = 1 \times \delta
\]

lo que conduce á la igualdad de las cuatro primeras relaciones V.

2.º El coeficiente de \( b c A' \) en el desarrollo de \( \Delta' \) da lugar á la relación

\[
a^4 b c (B' C' - A') = a' \times \delta
\]

\[
B' C' - A' = a' \frac{\sqrt{\delta}}{a'} \times \frac{\sqrt{\delta}}{a b} = a' \times BC,
\]

teniendo en cuenta las fórmulas V demostradas; se tiene pues la primera de las formulas II.

Se pasa pues de I á II, y se pasaría igualmente de II á I; los dos grupos de fórmulas son equivalentes. Al mismo tiempo las fórmulas V quedan establecidas; y puede observarse que la propiedad \( \Delta' = \delta^2 \) del determinante adjunto da

\[
a^8 b^8 c^2 \Delta = \delta^2
\]

es decir, salvo el signo, naturalmente la igualdad de la última de las relaciones V y de la cuarta de estas relaciones, igualdad mencionada al fin del número 1.

3. Se puede, por otra parte, demostrar la equivalencia de I y
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 7

II limitándonos á considerar las tres primeras relaciones V. Tratemos desde luego de deducir de I la relación \( \frac{a}{A} = \frac{b}{B} \). Las fórmulas (1) y (1') dan

\[
b^2 c' A' A'' = (b' c' - a') (b'' c'' - a')
= b' b'' c' c'' + a' a'' - a' b' c' - a'' b'' c';
\]

en vez de calcular \( 1 - A' A'' \delta A^t \), lo que sería en el fondo el cálculo precedente, escribamos

\[
a^2 c^2 B' B'' = a' a'' c' c'' + b' b'' - a' b' c' - a'' b'' c'';
\]

se tiene pues, restando

\[
c^2 (b^2 A' A'' - a^2 B' B'') = (a' a'' - b' b'') (1 - c' c'') = (b^2 - a^2) c^2
\]

de lo que se deduce

\[
a^3 B^t = b^3 A^3 \delta \frac{a}{A} = \frac{b}{B}
\]

según la hipótesis hecha para los signos.

Tratemos ahora de obtener la fórmula (1') del grupo II. Eliminemos \( c' \) entre las fórmulas (1) y (3') del grupo I, y escribamos

\[
b c A' = b' (a'' b'' - a b C'') - a'' = - b' a b c'' - a'' b^3,
\]
\( \delta \)
\[
c A' = - a b' C'' - a'' b,
\]

fórmula que podemos emplear á continuación; tendremos la ventaja de escribir, en virtud de V,

\[
C A' = - A b' c'' - a'' B.
\]

Si eliminamos igualmente \( c'' \) entre las fórmulas (2') y (3) del grupo I, tendremos una fórmula que se deduce de la precedente permutando \( a \) y \( b \), \( A \) y \( B \), y cambiando los acentos (') y (''), es decir, una fórmula que contenga todavía \( a'' \) y \( b' \), ó sea

\[
C B'' = - B a'' C' - b' A.
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 8

La eliminación de \( b' \) debe dar la fórmula buscada; y en efecto, si se suman las dos fórmulas, después de haber multiplicado la segunda por \( -c'' \), se tiene

\[
C (A' - B'' C'') = -a'' B (1 - C' C') = -a'' B C^2,
\]

lo que da la fórmula (1') del grupo II.

Este último cálculo es imitación de un cálculo de trigonometría esférica que se halla en las Leçons de trigonométric de Briot y Bouquet.

4. Lleguemos ahora á los grupos III y IV y demostremos desde luego que resultan del grupo I, por ejemplo, utilizando solamente la igualdad de las tres primeras de las relaciones V; el orden de ideas es el del n.º 3. Busquemos, por ejemplo, la primera de las fórmulas III. Tomemos para esto la fórmula (F), obtenida por eliminación de \( c' \) entre (1) y (3'); si se divide por \( a \), y si se reemplaza \( \frac{c}{a} \) por \( \frac{C}{A} \), se tiene

\[
\frac{C}{A} A' + \frac{b}{a} a'' = -b' C'',
\]

es decir, lo que se busca.

Como se pueden permutar \( b \) y \( c \), B y C y cambiar los acentos (') y (''), se tendrá igualmente la fórmula (1') del grupo III. Las fórmulas IV, se obtendrían igualmente, puesto que se pasa de III á IV permutando los acentos, lo que conserva el grupo I; puede decirse todavía que la fórmula (1') del grupo IV se deduce de la fórmula (1) del grupo III cambiando \( b \) y \( c \), B y C, lo que no altera el grupo I. Si esto se hace en el grupo II en lugar de partir del grupo I, se cambian simplemente las letras minúsculas y las mayúsculas, lo que conserva el grupo III y el grupo IV.

Es preciso pasar del grupo III, por ejemplo, al grupo I. Se acaba de ver que se obtiene la fórmula (1) del grupo III reemplazando \( \frac{c}{a} \) por \( \frac{C}{A} \) en la fórmula (F) obtenida por eliminación de \( c' \) entre las fórmulas (1) y (3') del grupo I. Inversamente, para deducir del grupo III la fórmula (1) del grupo I bajo la forma

\[
a'' - b' c' = -b c A',
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 9

eliminemos C' entre las fórmulas (1) y (3') del grupo III escritas así:

\[
\frac{b}{a} a'' = - \frac{C}{A} A' - b' C', \quad \frac{b}{c} c' = - b'' A' - \frac{A}{C} C';
\]

sumando estas fórmulas después de haber multiplicado la primera por \( \frac{A}{C} \), la segunda por \( - b'' \), se tiene

\[
\frac{b}{a} \frac{A}{C} a'' - \frac{b}{c} b' c' = - A' b',
\]

ó, multiplicando por \( \frac{c}{b} \),

\[
\frac{c}{a} \frac{A}{C} a'' - b' c' = - A' b c;
\]

si se puede reemplazar \( \frac{c}{a} \) por \( \frac{C}{A} \), se tendrá lo que se busca.

La marcha regular para deducir de las fórmulas III la igualdad de las tres primeras relaciones V sería ésta.

Si se multiplican las fórmulas (1) y (2') del grupo III, transponiendo C' C'' y reemplazando 1 — C' C'' por C^2, se tiene una fórmula divisible por C, si se despeja C y se calculan C' y C'' por las fórmulas (1) y (2'), se obtiene que C, C', C'' son proporcionales á expresiones binomias bastante sencillas en A', A'', a', a'' B', ...; lo mismo sucede para c, c', c''; entonces (3) y (3') dan dos relaciones cuya combinación podría conducir á la relación \( \frac{a}{A} = \frac{b}{B} \).

Pero este procedimiento me ha parecido impracticable, sería preciso tomar un rodeo oportuno.

Es, por el contrario, fácil deducir del conjunto de las fórmulas III y IV la igualdad de las tres primeras relaciones V. Dividiendo por C la fórmula (1) del grupo III y la fórmula (2') del grupo IV, y eliminando \( \frac{1}{C} \), se tiene facilmente

\[
a^* b \frac{A'}{A} - b^* a^* \frac{B'}{B} + (a^* - b^*) \frac{C'}{C} = 0
\]

ó

\[
a^* \left( b' \frac{A'}{A} + \frac{C'}{C} \right) = b^* \left( a^* \frac{B'}{B} + \frac{C''}{C} \right),
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

NOTAS MATEMÁTICAS
por D. Juan J Durán Loriga

1.ª Conocidísimo es el teorema de geometría elemental que establece que las circunferencias descritas sobre las diagonales de un cuadrilátero completo como diámetros tienen el mismo eje radical, á los dos puntos de intersección se les llama vértices ortópticos del cuadrilátero y también pueden denominarse puntos plückerianos, ya que el teorema citado no es más que un caso particular del célebre teorema de Plücker que dice que los círculos ortópticos de las cónicas de un haz tangencial tienen el mismo eje radical; se pasa en efecto del caso general al particular con solo suponer que tres de las cónicas se reducen ó pares de puntos, constituyendo los extremos de las diagonales del cuadrilátero. Si dado un triángulo se traza una transversal, se obtiene un cuadrilátero completo cuyos vértices ortópticos establecen una correspondencia entre rectas y puntos, á una recta corresponden dos puntos, que están evidentemente en posición simétrica respecto á la newtoniana de la citada recta; en el caso particular de que la transversal pase por un vértice, los puntos plückerianos se reducen al vértice en cuestión y al pie de la altura correspondiente. Si por el contrario se dá un vértice ortóptico, la recta queda determinada, salvo en el caso particular en que estos puntos son los vértices ó los pies de las alturas (á los que podría llamarse vértices ortópticos del triángulo). No nos proponemos por el momento estudiar la correspondencia á que hemos aludido, solo si considerar un caso particular que nos conducirá á un interesante teorema (aunque ya conocido) relativo á las cónicas.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 10

arrivano a C' da un punto dato, per le bitangenti di C' coi loro punti di contatto, le tangenti d'inflessione ecc. nel caso particolarissimo in cui C è un cerchio passante per O, non tangente ad [O y*] la C' è il trifolium obliquo studiato dal Sig r. Brocard (*) e la trasformazione doppia sopra accennata fornirebbe il modo più acconcio a ritrovare elegantemente tutte le proprietà conosciute di questa curva aggiungendovene pure alcune non ancora segnalate.

Ritornando ora alla quistione proposta, divengono evidenti i risultati seguenti:

a) Quando B descrive una retta orizzontale p che seghi il segmento A O sul punto P, il luogo di M è la parabola avente A per fuoco, [A O] per asse e il cui parametro è eguale a \( \overline{PO} \).

b) A una parabola col vertice in O, avente [OA] per asse e volgente ad A la sua concavità corrisponde una parabola con lo stesso asse, il fuoco in A e parametro doppio, (v. fig. 1).

c) Ad un cerchio normale in O ad [Oy*] corrisponde un cerchio eguale normale in A ad [OA].

d) Ad un'iperbole equilatera normale in O ad [OA], corrisponde una retta la cui distanza dal diametro conjugato alla direzione OA è l, (v. fig. 2).

e) Alla quartica della ottava classe della fig. 3, rappresentazione sul piano semplice del cerchio \( \mu^* \), corrisponde il cerchio \( M^* \), (v. fig. 3).

f) Ad un bifolium col punto triplo in O e l'asse orizzontale corrisponde un cerchio tangente in A ad [AO], facile a determinarsi, (v. fig. 4).

g) A un trifolium retto col punto triplo in O e l'asse verticale, corrisponde un cerchio tangente in A all'asse delle x ecc, (v. fig. 5).

h) A un trifolium obliquo col punto triplo in

(*) Le Trifolium, par H. Brocard (Journal de Math. 1 p. an. 1891. pag. 1-56). In questo interessante lavoro si trovano numerose indicazioni bibliografiche sui trifolii e il folium doppio.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 11

O e le due bitangenti parallele verticali corrisponde un cerchio passante per A; (v. fig. 6).—Questi esempi potrebbero moltiplicarsi indefinitamente.

Fig. 4

Figura 5

Fig. 6

É importante, per la storia delle trasformazioni doppie, osservare che la trasformazione quadratica definita dalle (2) s'incontra per la prima volta, a quanto io ne so; in una antica memoria di Georg, Wolfig. Krafft dal titolo «Consideratio curvarum quarundam altioris generis, quae facile describi possunt.» (Commentarii Acc. Petrop. T. III, ann. 1732, pag: 101-109, con tav. di 8 figure). L'A. proponendosi di generalizzare la nota costruzione mediante moto continuo della parabola d'Apollonio, pone la questione nei termini seguenti «Sit Directrix Curva quacumque AC (fig. 2) in hujus axe assumatur recta arbitrariae longitudinis AK, cui in K affixum sit filum ciusdem longitudinis AK, replicetur deinde hujus fili longitudo quaelibet AE, ita ut alterum extremum veniat in G. ibique firmetur clavo ad planum in quo curva describi debet; sinus vero quem filum in medio lineae AG formabit habeat insertum stylium in E, movcatur deinde recta AK motu sibi semper parallelo ita ut extremitas A semper sit in Directrice data AC et praeterea filum in omni situ rectae AK sit aequaliter tensum, describetur ita curva nova ED cuius natura est inquirendae». I casi del cerchio, della parabola avente [AK] per asse, e della iperbole equilatera sono considerati dal Krafft nei N 6, 2, 8 e 9.

V. Retali.