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rante el siglo actual en la ciencia matemática, y que puestos de relieve sobre el fondo de sus inagotables verdades, constituyen un hermoso conjunto, suma de las más preciadas conquistas de la inteligencia humana. Pero si mis deficiencias oratorias no se armonizan con mis propósitos, al menos experimento la satisfacción del cumplimiento de un deber, que creo realizar desarrollando el tema «La moderna organización de la Matemática» ciencia menospreciada entre nosotros por efecto, según manifestó el señor Menendez Pelayo en la España Moderna, del utilitarismo, esa aspiración constante y casi única hacia el fin práctico y la utilidad inmediata de la ciencia, cuando ésta es esencialmente idealista.

Los idealismos produjeron mártires, como el célebre matemático Abel, que murió en la miseria, dejando una aureola de gloria para la humanidad y para su patria; los idealismos han sido energías condensadas de las naciones, que han creado las escuelas científicas.

Existen en Matemáticas escuelas francesa, inglesa, alemana á cuyo frente aparecen los nombres de Cauchy, Monge, Riemann, Hamilton, Grassmann, etc. España no tiene escuela propia, porque no ha cultivado la ciencia por la ciencia.

Antes de entrar en materia, observaré que, siendo la Matemática ciencia eminentemente abstracta é ideal, ciencia de puros conceptos que emanan de nuestra razón, se encuentra en sus fronteras con la Metafísica, esta ciencia de los principios y de las causas que la ilumina con las nociones primordiales de espacio, tiempo, fuerza, pero sin compenetrarse.

Los sistemas filosóficos son puntos de vista exclusivos para explicar cuanto conocemos y cuanto existe, y son diversos, según el punto de partida; la Matemática es una, inmutable é independiente de todo criterio especial, es una edificación siempre acrecentada con los descubrimientos del presente, que se acumulan á los de tiempos anteriores, formando organismos cada vez más ricos, pero siempre de validez incontestable, ilustrada par los conceptos metafísicos; y aun en algunas de sus ramas, por ciertos postulados que recoje de la experiencia, se edifica sobre sus definiciones, que adquieren el valor de principios fundamentales, y llena el molde vacío de la lógica con la materia de los conceptos matemáticos.

Comenzando á desarrollar la tesis de esta lección, podremos considerar la Matemática anterior al siglo XIX cuyo periodo áureo se halla en las épocas de Descartes, Newton y Leibnitz, período de
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creación de sus ramas más secundas, donde se llegan á enlazar el número y la extensión en el algoritmo infinitesimal. Las últimas ramificaciones de estos descubrimientos se hallan en los trabajos de Euler y Lagrange.

En este gran periodo predomina el análisis y la individualización; la ciencia todavía oculta á las miradas de la inteligencia, había de aparecer lenta y gradualmente oculta bajo una serie de problemas, cuyas soluciones completas ó incompletas eran otros tantos pasos hacia su constitución.

La cuadratura del círculo, la trisección del arco, la medición de las áreas eran otras tantas ocasiones para descubrir la verdad envuelta en los encadenamientos del método analítico, este precioso instrumento de investigación creado por Pitágoras y ejercido por Platón en su célebre Academia.

La verdad no se presentaba simétrica, ordenada en sistema; pero tenía aquella rigidez lógica que admiramos en la monumental obra de Euclides, donde el método ad absurdum hace brotar de cada proposición las proposiciones envueltas en ella mediante las relaciones de negación, afirmación y reciprocidad, y que hoy corresponde á la relación proyectiva, á la correspondencia silogística y á la correspondencia unívoca, los más secundos conceptos de sistematización.

El análisis, llevando un encadenamiento desde una verdad supuesta hasta una verdad demostrada podía, desde entonces, presentarse bajo la forma de teorema, enriqueciendo paulatinamente el organismo científico, y llevando hacia las síntesis parciales, conforme las que la ciencia se ha ido modelando á través de los siglos.

La Aritmética de Diofanto llevaba el germen de la teoría de las ecuaciones, que ha constituido otro de los grandes problemas, tanto, que aquellas soluciones abandonadas en la época de los árabes y hasta en la de Vieta, habían de ser los fundamentos para expresar y conocer la cantidad bajo las afecciones cualitativas, que han conducido á la vasta teoría de las cantidades ideales, imaginarias, á las claves, á todas las formas del simbolismo actual.

Desde que la resolución de las ecuaciones de 3.º y 4.º grado hizo entrever la posibilidad de resolverse el problema del Algebra, todos los grandes talentos matemáticos ejercieron en él su actividad. Y los Descartes, Newton, Rolle, Lagrange, Sturm, Cauchy, dejaron huellas indelebles de su genio en el tratado de las ecuaciones numéricas, hasta que el inmortal Abel, demostrando la imposibilidad
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de resolverse aquél de una manera general, trazó nuevos rumbos á la ciencia, fundando, sobre la teoría combinatoria de las sustituciones, el Algebra moderna, que se había de extender finalmente hasta la teoría de los grupos de transformaciones.

Descartes enlaza el número con la extensión en su Aplicación del Algebra á la Geometría, y amplifica los dominios de la cantidad con la interpretación de las cantidades negativas.

Esta unión de lo abstracto y lo concreto, del número puramente subjetivo con el espacio, entidad objetiva, con sus cualidades propias, se hace más ostensible y permanente en el algoritmo infinitesimal de Leibnitz, donde se funden el número y la extensión bajo el algoritmo infinitesimal, y en el cálculo de las fluxiones de Newton, donde la cantidad afecta apariencias geométricas, bajo la acción del fluir, mediante un nuevo factor, el movimiento; y estas nuevas teorías, desenvueltas por los Bernouilli, L'Hospital y Euler, llegan, como espléndida herencia al siglo XIX, que sobre ella ha de fundar ulteriores conquistas.

Por otra parte, la Geometría seguía rígida e inalterable en los Elementos de Euclides, si bien Desargues y Pascal heredaban las hermosas creaciones de Apolonio acerca de las cónicas, y echaban los cimientos de la Geometría proyectiva al importar el concepto de la relación perspectiva, y Fermat, enriqueciendo con sus propios inventos la Aritmética de Diofanto, elevaba sobre la Aritmética ordinaria, la teoría de los números, que había de sistematizar Gauss, en este siglo.

Tales son los precedentes de la Matemática moderna; con este brillante legado inaugura el siglo XIX su labor encaminada á cambiar la faz de la ciencia. Esta se había elevado, sobre la base del análisis, que redujera cada problema á una verdad demostrada; el problema se transformó en teorema, el análisis en síntesis, los esfuerzos lentos de la invención en las breves formas de la exposición sistemática.

Al enumerar los brillantes descubrimientos debidos á nuestro siglo, que superan en variedad y número á los de los siglos anteriores, puesto que á la organización de las teorías acompañan inventos de toda especie y generalizaciones amplísimas de concepciones, heredados en germen de los grandes inventores del siglo XVII, creámos útil esquematizar, estos inventos con los nombres ilustres que llenan esta época de progreso y de desarrollo en todos los ra-
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mos del saber, y que será timbre de gloria para la humanidad y recuerdo perenne de las generaciones venideras.

Gauss, cuyo talento universal abordó todas las cuestiones capitales de la ciencia, en la teoría de los números, cuyo puesto de honor le corresponde juntamente con sus sucesores Dirichlet, Kummer y Dedekind, resume con estos nombres la teoría de los números del siglo XIX: y con su poderosa iniciativa, iluminó los nuevos descubrimientos de Bolyai y Riemann, que con los de Lobatchewsky originaron los sistemas posibles de Geometría, que reducen á un caso particular la Geometría, hasta entonces fundada en la admisión del postulado euclídeo, y llevan á la generalización del concepto de espacio, en conformidad con las generalizaciones del Análisis, que conducen al estudio de las variedades de \( n \) dimensiones.

Cauchy, al acoger bajo la influencia de su genio creador la representación geométrica de las cantidades imaginarias que dió Argand, entrega á la ciencia el precioso legado de la teoría de las funciones analíticas, que hoy llena el vasto dominio de la Matemática. Puiseux, Liouville, Hermite y Briot completan estos desarrollos, que unidos á los descubrimientos de Legendre, Abel y Jacobi sobre las funciones elípticas y á la ingeniosa y transcendental representación de Riemann, seguida en Alemania por Newmann, Durége y otros, nos elevan hasta las teorías de las funciones abelianas é hiperelípticas.

Monge, creador de la Geometría descriptiva, al referir figuras distintas por medio de relaciones proyectivas, crea el concepto de lo imaginario geométrico, é impulsa esa grandiosa unificación, buscada primero por Carnot, al pretender referir los signos del análisis á las transformaciones continuas de las figuras, por medio de las correlaciones directa, inversa y compleja, que luego Poncelet afianza, exponiendo su principio de continuidad con su original teoría de las cónicas suplementarias y las cuerdas ideales y con su método de proyección, es decir, importando á la geometría los secundos conceptos de lo imaginario y lo infinito, que tanta unidad dieron después á la Ciencia.

A los nombres de Monge, Carnot y Poncelet, se agregan los de Chasles, Staudt, Plücker y Clebsch que resumen la geometría moderna.

El Algebra, que se había detenido en los descubrimientos de Lagrange, Sturm y Cauchy, bajo la influencia de la teoría combina-
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toria de las sustituciones, se ofrece con nuevo carácter más científico, según la crearon Abel y Galois, dentro de la extensión de los grupos de transformaciones discontinuos.

Sin ir más adelante en esta reseña histórica, podemos ya notar las tendencias unificadoras de las diversas teorías, al mismo tiempo que nuevos elementos, importados en la ciencia, la amplifican de un modo prodigioso.

El Algebra, desviándose algún tanto del concepto de continuidad; se somete al de combinación. El cálculo generalizado se aplica á objetos cuyo concepto se eleva sobre el de cantidad; las operaciones particulares se agrupan bajo la operación combinatoria; el principio de las leyes formales del cálculo exige tan solo el respetar el principio lógico de contradicción.

Sobre la relación proyectiva, que determinan la relación armónica ó las formas armónicas, ó afinidad lineal; y sobre la correspondencia dualística de las figuras polares se hallan, en particular, las correspondencias de Cremona ó biracionales y la correspondencia de los conexos ó complejos de puntos y de rectas, que supera á la polaridad, traduciendo geométricamente formas dependientes de un doble sistema de variables, y en general, otras correspondencias subordinadas á la vasta teoría de los grupos, que dun origen á las teorías de los grupos fuschianos, funciones automorfas, representación conforme y á las correspondencias que se estudian en el Analysis situs, ó Geometría de situación, fundada por Riemann.

La Geometría proyectiva quedó reducida por Cayley á una parte de la geometría métrica, desde que en su sexta Upon Quantics, basándose en su original noción de distancia, consideró, no precisamente las propiedades de una figura en sí, sino en sus conexiones con lo que llama lo absoluto, ó la cónica del infinito, pues, como dice el Sr. Klein en su memoria, Sur la Géométrie dite non euclidienne, puede constituirse una métrica proyectiva general en el espacio, relativa á una superficie de segundo grado, elegida arbitrariamente como superficie fundamental, determinación métrica que da, según la especie de superficie empleada, una imagen para las diferentes teorías de paralelas.

Los nuevos elementos importados á la Matemática exigen, pues, una nueva distribución de las ciencias parciales, ó ramas, que comprende.

Como una rama superior de la combinatoria tenemos ya la que
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estriba en la extensión de las clases, bajo los conceptos de subordinación y supraordinación, que ha dado origen al Álgebra de la lógica.

Sobre el Álgebra ordinaria aparecen las Algebras simbólicas, susceptibles de varias representaciones geométricas: sobre la Geometría ordinaria la Pangeometría y las geometrías que dependen de la naturaleza de los elementos que se toman como fundamentales, subordinando todas las ramas á la teoría de los grupos.

Como procedimientos, la proyección que, además de ser geométrica, puede ser una correspondencia de elementos, tal cual aparece en los conjuntos de Cantor, que originan las varias agrupaciones que sucesivamente hacen más densas las series de números enteros, racionales, algébricos, trascendentales, y que se concretan en conjuntos de puntos.

La adjunción es otro de los modernos procedimientos; mediante ésta, Galois consiguió reducir el grupo propio de las ecuaciones resolubles por radicales, y llegó á su resolución.

La adjunción de los elementos imaginarios en el infinito ha dado unidad á las relaciones geométricas, y hecho proyectivas las relaciones métricas, según la teoría de Cayley; la adjunción, en fin, asocia los sistemas de ciertas entidades en otras más generales; y bajo la influencia de estos procedimientos, la Matemática tiende á unificarse dentro de una vasta organización, cuyas ramas principales serán objeto de los siguientes conferencias.

CRÓNICA

CONGRESO DE ZURICH.—En conformidad con los acuerdos tomados en el Congreso preliminar de matemáticos, celebrado en Paris bajo la presidencia de M. Poincaré, tuvo lugar en 1897, el primer Congreso internacional en Zurich, donde se reunieron los más ilustres matemáticos de la época actual, cuyo comité directivo se formó por los profesores Geiser, como presidente, Bleuler, Brioschi, Dumas, Franel, Hirsch, Klein, Laisant, Mertens, Minkowski, Mittag-Leffler, Rudio, Mühl, Vasileff y Weber.

Su objeto era:
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1.º Promover relaciones personales entre los matemáticos de las diversas naciones.
2.º Facilitar en las memorias ó conferencias un resumen del estado actual de las diversas ramas de las matemáticas, y ofrecer la ocasión de tratar ciertas cuestiones de reconocida importancia.
3.º Deliberar sobre los problemas y la organización de los congresos futuros.
4.º Tratar cuestiones de bibliografía, de terminología etc., respecto á las que parece necesario un acuerdo internacional. Se trataron por los Sres. Poincaré, Rudio, Hurwitz y Peano las tesis siguientes:
a). Sobre las relaciones del análisis puro y de la Física matemática; b), sobre la organización de los futuros Congresos, c) acerca de la teoría de las funciones analíticas en la época actual; d) lógica matemática, y e) cuestiones de las matemáticas superiores.

Como primer resultado de este Congreso se publicó un elegante tomo titulado: Verhandlungen des Ersten internationalen Mathematiker Congresses, donde se contienen los resúmenes de todos los trabajos presentados por los matemáticos concurrentes al mismo.

Otra de las consecuencias fué preparar el segundo Congreso internacional que se celebrará en París del 6 al 12 de Agosto del año 1900, siendo presidente de la comisión administrativa, M. G. Darboux y de la Comisión de trabajos, M. H. Poincaré.

CONGRESO DE DUSSELDORF. Septiembre 1898. Siguiendo la costumbre adoptada por la Asociación matemático-alemana, se trataron los asuntos, y se presentaron las memorias que semestralmente publica el órgano de esta sociedad Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung; y es muy digna de mencionarse la interesantísima conferencia que dió el profesor Herr F. Klein acerca de La Universidad y de la Escuela técnica superior.

«La enseñanza matemática, dijo el Sr. Klein, debe tener muy
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en cuenta el desarrollo histórico de la ciencia, debe convertirse en filogenética; en vez de comenzar por nociones abstractas de una lógica irreprochable, la enseñanza debe tener un carácter concreto y despertar de una manera tangible la concepción de las cosas. La Geometría debe preceder al Algebra.

LA SOCIEDAD ITALIANA MATHESIS. Bajo la iniciativa del profesor de la Universidad de Turín, Sr. Bettazzi, se ha constituido la sociedad de estudios entre los profesores de matemáticas de las escuelas medias, denominada Mathesis, cuyo objeto es la mejora y el perfeccionamiento de los profesores, bajo el doble punto de vista científico y didáctico, y cuyo órgano es el Bollettino della Società «Mathesis»; y hoy gestiona esta Sociedad, con el ministro de Instrucción pública, la adopción en la enseñanza de los dos perfeccionamientos llevados á feliz término por los Sres. Lazzeri y Bassani en sus Elementi di Geometria, á saber, la independencia de la Geometría del cálculo, y la fusión sistemática de la Geometría plana y la del espacio, que seguramente darán muy satisfactorios resultados en la enseñanza, retardando á los alumnos de los Institutos ó Liceos el entrar desde luego en las abstracciones del Algebra, cuya aridez no hay que desconocer en los primeros años de los estudios.

Ciertamente que esta mejora se adapta á anteponer ventajosamente el estudio de la Geometría al del Algebra.

BIBLIOGRAFÍA

Traité d'Algèbre Supérieure par Henri Weber, traducido del alemán por J. Griess—Gauthier-Villars—1898.

Sin género de duda puede considerarse como acontecimiento de gran interés, para el progreso de la enseñanza, la publicación en 1898 del Lehrbuch der Algebra, debido al profesor de la Universidad de Estrasburgo Herr H. Weber, hasta el punto de que inmediatamente se ha traducido en lengua francesa, por M. J. Griess, el primer tomo, al que es de esperar siga en breve el segundo.

Sin olvidar las clásicas cuestiones que se resolvieron entre la época
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de Descartes y la de Lagrange y Sturm, y que han sido el objeto exclusivo de los estudios en los planes de enseñanza, hasta hace pocos años, el Sr. Weber da nueva organización á esta rama de la Matemática, revistiéndola de su carácter propio, pues sin descuidar la parte relativa á la continuidad, hace destacarse del conjunto las teorías combinatorias.

Con este propósito, inmediatamente después de tratar las Funciones racionales, en el primer capítulo, donde se expone lo fundamental concerniente á las funciones derivadas, á las funciones homogéneas, funciones reducibles é irreducibles, se hallan expuestas las teorías de determinantes, resolución trigonométrica de la ecuación binomia, ídem de las de 8.º y 4.º grado, siguiendo el procedimiento debido á los Sres. Lipschitz, Dedekind y Frobenius para el cálculo de las raíces, y empleando el modo de razonar, ya extendido en los tratados modernos de Análisis, para establecer la continuidad de las raíces.

El capítulo IV tiene por objeto: Las funciones simétricas el empleo de éstas para el estudio de la discriminante, la resultante y la eliminación, terminando con la transformación de Tschirnhausen y sus aplicaciones.

El capítulo V tiene por objeto las Transformaciones lineales, donde se exponen los fundamentos de las teorías de invariantes y covariantes, y termina el libro I con el capítulo IV dedicado á la transformación de Tschirnhausen.

El libro II comprende las materias siguientes: Realidad de las raíces—Teorema de Sturm Límites del número y del valor de las raíces. Aproximación de las raíces, fracciones continuas y raíces enésimas de la unidad.

Estas teorías del Algebra, que pudiéramos llamar antigua, se hallan renovadas en la obra del Sr. Weber por su modo de exposición y por el enlace que de ellas ha hecho con otras modernas. Los asuntos más interesantes bajo este concepto son: el estudio de la bezutiana, respecto á la realidad de las raíces, las formas cuadráticas, las funciones esféricas, las investigaciones de Hermite y de Hurwitz respecto al teorema de Sturm, la teoría de las características de Kronecker. La comparación geométrica de las diferentes reglas para la obtención de límites de las raíces, según el Sr. Klein.

Bajo los epígrafes: Fracciones continuas y Teoría de las raíces de la unidad, el Sr Weber ha escrito una Teoría de los números muy interesante, y digno precedente del libro III, que bajo la denominación: Las magnitudes algebraicas, comprende las teorías de Galois y Dedekind,
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El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

CAUSAS, OBJETO Y PROGRAMA
de la actual publicación

Transcurridos cuatro años desde que por circunstancias del momento se suspendió la publicación de El Progreso Matemático, hoy que estas circunstancias han variado, y que razones superiores nos impulsan de nuevo á emplear nuestras energías en el trabajo de propaganda científica, de que tan necesitados nos hallamos, para no adormecernos en un reposo que ciertamente sería perjudicial en el presente y lo porvenir; con esperanza en éste y con ánimo para la empresa que hoy acometemos, al anunciar una segunda serie en la publicación de El Progreso Matemático, creemos justo el exponer las causas que motivan este hecho y que nos han de afianzar en nuestra resolución.

Desde luego se impone, con necesidad ineludible, un movimiento rápido, incesantemente dirigido á elevar nuestro nivel científico, que hoy se aproxima al límite inferior admisible entre las naciones cultas.

Extasiados con las riquezas de nuestra literatura, embebedos con el recuerdo de nuestras pasadas glorias, hemos olvidado el presente, sin preocuparnos del porvenir.

En alas de nuestra imaginación hemos buscado lo formal, lo brillante, lo artificioso, los efectos de la elocuencia, más no el fondo de la realidad.