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El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 23

Pero la proyección P'Q' de PQ sobre el eje OX tiene por valor

\[
\frac{2p(p^2 + b^2)}{b^2}
\]

Luego el punto F se determina por las dos rectas cuyas ecuaciones son:

\[
y - b = - \frac{b}{p} \left( x - \frac{b^2}{2p} \right) \quad x = \frac{b^2}{2p} - \frac{2p(p^2 + b^2)}{b^2}
\]

La última ecuación dará \( b^2 \), después \( b \), y faltará luego sustituir en la primera; pero se puede obtener igualmente

\[
x = \frac{b^2}{2p} - \frac{2p(p^2 + b^2)}{b^2}, \quad y = 3b + \frac{3p^2}{b},
\]

ó bien eliminar \( b^2 \) entre las dos ecuaciones bicuadradas.

\[
b^4 - 2p(2p + x)b^2 - 4p^4 = 0 \\
9b^4 + (p^4 - y^4)b^2 + 4p^4 = 0
\]

La eliminación es ahora muy fácil, y se obtiene inmediatamente:

\[
400p^4 + (y^4 + 2px - 8p^2)(y^4 - 18px - 24p^2) = 0
\]

CUESTIÓN 70
(Véase tomo II, página 216).

Se da un círculo O de radio a y una recta fija FP á una distancia b del centro O. Se traza una tangente AB que corta á FP en B. Si proyecta el punto de contacto A en F sobre FP, y desde el punto A como centro, con AP como radio, se describe un arco de circu'o que encuentre á AB M y M'. Obtener el lugar de los puntos M y M'. Indicar las singularidades de la curva y los puntos particulares que resultan inmediatamente de los datos de la cuestión.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Tomemos por origen el centro O del círculo, por eje de las x la perpendicular OF á FP. Sean \( u, \theta, w \) los ángulos AOF, AOM, MOF.

Se tienen las relaciones

\[
\rho \cos \theta = a, \quad AM = AP = b - a \cos (\omega + \theta) = a \tg \theta
\]

de las que resulta

\[
a \cos u = a \cos w \cos \theta - a \cos w \sin \sin \theta,
\]
\[
-a \cos u = a \tg \theta - b,
\]
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 24

y por consiguiente

\[
O = \frac{a^3}{\rho} \cos \omega - \frac{a}{\rho} \sin \omega \sqrt{\rho^2 - a^2} + \sqrt{\rho^2 - a^2} - b
\]

y en coordenadas rectilíneas

\[
(a^4 + y^4 - a^2) (x^4 + y^4 - ay)^2 = (6x^2 + by^2 - a^2 x)^8
\]

ecuación de una curva de sexto grado.

Se reconocerá fácilmente que esta ecuación queda verificada por los sistemas de valores particulares

\[
x = \pm a, \quad y = \pm (b-a); \quad x = -a, \quad y = \pm (b+a);
\]
\[
x = -b, \quad y = \pm a; \quad x = \pm b, \quad y = \pm a \text{ (raíz doble).}
\]

Suponiendo \( b > a \), la cuerda se compone de dos bucles cerrados simétricos con respecto á Ox, á la que encuentran en dos puntos dobles. La circunferencia dada queda en su interior y el origen es un punto aislado.

CUESTIÓN 219
(Véase tomo IV, página 290).

Si á las rectas iA, iB, iC que unen el centro del círculo inscripto en un triángulo con los vértices se levantan las perpendiculares iz, iβ, iγ y se unen los puntos α, β, γ en que encuentran á una tangente cualquiera con los vértices correspondientes, las rectas Az, Bβ, Cγ concurren en un punto.

(JUAN J. DURÁN LORIGA).

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (R.)

Sean A', B', C' los puntos de contacto del círculo i con los lados de ABC, M el punto de contacto de la tangente iαγ.
La polar del punto α es la perpendicular bajada desde M á iα, y la polar de A es B'C'. La intersección de estas rectas, es decir, la proyección de M sobre B'C' es, pues, el polo de Az.
Ahora, se sabe que las proyecciones de M sobre los lados de A'B'C' están en una recta (de Simson). Luego sus polares Az, Bβ, Cγ concurren en un mismo punto.
Observación. El lugar de los puntos de intersección es una cúbica de cuarta clase.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 25

CUESTIÓN 216
(Véase tomo IV, página 280).

Dados en un mismo plano un círculo de centro O y una cónica que no pasa de O; un radio variable trazado por O corta al círculo en dos puntos \( A_1, A_2 \) y á la cónica en dos puntos variables \( P_1, P_2 \). Estudiar el lugar de los puntos dobles de las involuciones cuadráticas \( (A_1, A_2; O, P_1) \), \( (A_1, A_2; O, P_2) \) (*).

(V. Retali).

Solución por el Sr. Retali (V.)

Sean \( K^2 \) el círculo, M un punto de su plano, \( M_1 \) y \( M_2 \) dos puntos recíprocos respecto á \( K^2 \) y conjugados armónicos respecto á O y M; cuando M describe una recta g que no pasa por O ni es tangente á \( K^2 \) (**), el lugar del par \( M_1, M_2 \) es el círculo \( G^2 \) que corta ortogonalmente á \( K^2 \) sobre la recta g. El centro \( G' \) de \( G^2 \) es el polo de g respecto á \( K^2 \); si g envuelve una cónica \( C^2 \) que no pasa por O, y M es el punto variable de contacto, el lugar de los dos puntos \( M_1, M_2 \) es también la envolvente del círculo \( G^2 \) y \( M_1, M_2 \) son los dos puntos de contacto de \( G^2 \) con la envolvente. El lugar hallado es, pues, la envolvente de un círculo variable que corta ortogonalmente al círculo fijo \( K^2 \), mientras que su centro recorre la cónica \( C_1^2 \), polar recíproca de \( C^2 \) respecto á \( K^2 \). Si \( C^2 \) y \( K^2 \) no tienen entre sí relaciones especiales de posición, el lugar hallado es una curva bicircular de cuarto orden (***) que es tangente en los cuatro puntos comunes á \( C^2 \) y \( K^2 \), á las rectas que proyectan estos puntos desde el punto O. El círculo \( K^2 \) es uno de los cuatro círculos focales, el deferente \( C_1^2 \) es una de las cuatro Jacobianas pertenecientes á la cuártica. Los otros tres círculos focales son los círculos que cortan ortogonalmente á \( K^2 \) sobre los tres lados del triángulo conjugado común, respecto á \( C^2 \) y \( K^1 \).

CUESTIÓN 216
(Véase tomo IV, página 340).

Dados en un mismo plano un círculo de centro O y una cónica que pasa por O, un rayo variable trazado por O corta al círculo en dos pun-

(*) Indicamos con el símbolo \( (A_1, A_2; O, P) \) la involución cuadrática definida por los dos pares de puntos conjugados \( A_1, A_2 \) y \( O, P \).

(**) A una recta que pasa por O corresponde la cónica degenerada formada por la misma recta y la recta en el infinito. A una tangente de \( K^2 \) corresponde el punto de contacto considerado como un círculo infinitesimal.

(***) Véase SALMON-FIRGULET, Hohère Curven, Art. 274, pág. 819 de la segunda edición.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 26

A_1 y A_2 y á la cónica en un punto variable P. Estudiar el lugar de los puntos dobles de la involución cuadrática \( \{A_1, A_2; O, P\} \).
(Virgilio Retali).

Solución por el Sr. Retali (V.)

Si M coïncoide con O, también uno de los dos puntos M_1, M_2 coïncoide con O y el otro va al infinito (véase la solución á la cuestión 216). Al punto O corresponde, pues, la recta del infinito, y por esto, si O' pasa por O, del lugar hallado en la cuestión precedente se separa la recta del infinito. El lugar hallado es, pues, ahora una curva C_2 circular de tercer orden que pasa por O y toca en cuatro puntos (K^4C^3) las rectas que lo proyectan desde O. De otro modo, para la cúbica C_3 los cuatro puntos comunes á C^3 y K^3 tienen el tangencial común O, y con esto la cúbica queda determinada de modo único(1). Esto puede reconocerse fácilmente también como sigue: Sobre la tangente t á C^3 en el punto O, dos puntos del lugar están unidos en O y el tercero (ya que hacemos abstracción del punto del infinito t, considerado como perteneciente á la recta en el infinito, que se separa de la cuártica) es el punto en el infinito de t; la cúbica C_2 toca, pues, á C^3 en O, y el tangencial de O es el punto real en el infinito de la curva. Es, pues, evidente que sobre el rayo O1, que proyecta desde O uno de los cuatro puntos 1, 2, 3, 4 comunes á C^3 y K^3, dos puntos del lugar están reunidos en el punto 1. La C^2 es la primera polar de O respecto á O_1; C_2 es también la envolvente (v. solución de la cuestión 216) de un círculo variable ortogonal á K^3, cuyo centro describe la parábola C_1^3, polar recíproca de C^3 respecto á K^3. El círculo dado K^3 es uno de los cuatro círculos focales de C_2^3 y C_1^3 la correspondiente Jacobiana: Los otros tres círculos focales cortan ortogonalmente á K^3 sobre los lados del triángulo diagonal del cuadrángulo 1, 2, 3, 4.

CUESTIÓN 171
(Véase tomo IV, página 156).

El dos cúbicas circulares tienen un círculo focal común, se cortan en seis puntos (además de los dos puntos ciclicos y el centro del círculo focal) que forman tres pares de puntos recíprocos respecto al círculo focal.
(V. Retali).

(1) Véase, por ejemplo, DURBAS Die ebenen Curven dritter Ordnung (Leipzig, Teubner, 1891), párrafo 66.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 27

Solución por el Sr. Raval (V.)

Al círculo focal común \( K^4 \) de las dos cúbicas \( C_1^3 \) y \( D_1^3 \) corresponden ordenadamente las Jacobianas \( C_1^3 \) y \( D_1^3 \), que son parábolas. Las polares recíprocas de estas parábolas, respecto á \( K^4 \), se cortan en el centro \( O \) de \( K^4 \) y en otros puntos que designaremos con \( P, Q, R \). Esto sentado, las dos cúbicas se cortan en los puntos ciclícos, además en \( O \) y en los tres pares de puntos \( P_1P_s, Q_1Q_s, R_1R_s \), que corresponden ordenadamente á \( P, Q, R \) en la transformación (análogmática) indicada en la solución de la cuestión 216. Los dos puntos de todo par son evidentemente recíprocos respecto al círculo \( K^4 \).

Observación. De una manera análoga se ve que si dos cuárticas bicirculares tienen un círculo focal común, se cortan, en general, en los ocho puntos absorbidos en los puntos dobles comunes, y en otros ocho puntos que forman cuatro pares de puntos recíprocos respecto al círculo focal. Algunos de estos cuatro pares, ó también todos, pueden tener sus dos elementos coincidentes en puntos del círculo focal. Por ejemplo, si las dos cuárticas son de octava clase, y además del círculo focal, tienen comunes las cuatro tangentes simples (*) que parten de \( O \); y por esto también los puntos de contacto de estas tangentes, los cuatro pares reducirse á estos puntos de contacto (situados en el círculo focal común) contado cada uno dos veces.

Es fácil ver cómo debe modificarse el teorema cuando una ó ambas cuárticas tienen, además de los dos puntos dobles comunes en los puntos ciclícos, otro punto doble ordinario ó cuspidal; y cuando se tenga un tercer punto doble común, por ejemplo; si las dos cuárticas tienen también una cúspide común, los pares de puntos recíprocos en los que se cortan, reduzca á uno solo, que puede reducirse á un punto del círculo focal.

CUESTIÓN 202
(Véase tomo IV, página 208).

Sean 1, 2, 3, 4 los puntos de contacto de las tangentes trazadas á una cónica general \( C^6 \) desde uno de sus puntos arbitrario \( P \); sea \( K^6 \) una cónica cualquiera que pasa por 1, 2, 3, 4 y \( P^1 \) la cónica polar; sean finalmente A, B, O los puntos de intersección, además de \( P \), de la \( P^1 \) con la cónica trazada por \( P \), homotética y concéntrica de \( K^6 \).

Demostrar que los puntos en el infinito de los tres rayos OA, OB, OC

(*) De \( O \) parten también dos tangentes dobles por cada una de las dos cuárticas.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 28

pertencerán C³. Deducir de lo anterior el teorema conocido: Si por el punto real del infinito de una cúbica circular se trazan las cuatro tangentes á la curva, los puntos de contacto son los centros de los cuatro círculos focales.

V: Retali.

Solución por el Sr. Retali (V.)

Dadas en el mismo plano dos cónicas K¹ y P² que no tienen entre sí relaciones especiales de posición, y que se cortan en los puntos 1, 2, 3, 4, tracemos por un punto P de P² un rayo m que corte ulteriormente á P² en el punto X, y sean X₁, X₂ los dos puntos que separan armónicamente á los dos puntos P, X y la cónica K¹. Cuando m varía en el haz P, el lugar de los dos puntos X₁, X₂ es una curva de cuarto orden que se separa en la recta p polar de P respecto á K¹ y en una cúbica general C³. Esta cúbica pasa por dos puntos (K¹p) y los cinco puntos P, 1, 2, 3, 4; P es el tangencial común de 1, 2, 3, 4; y por esto P² es la cónica polar de P respecto á C³. Haciendo abstracción de la recta p, que permanece invariable mientras P y K¹ no cambian, podemos decir que á la cónica P² corresponde la cúbica para la que P es el tangencial común de los cuatro puntos (K¹P²). De esto se sigue que, sustituyendo á K¹ cualquier otra cónica del haz (K¹P²) excepto P², la cúbica correspondiente á P¹ es siempre una misma C³.

Para tener los puntos comunes á C³ y á una recta arbitraria s, que no pasa por P, podemos proceder así: la cónica S¹ bitangente á K¹ sobre s y que pasa por P, corta á P² en otros tres puntos A, B, C que proyectados desde P sobre s dan los buscados (*) tomando por s la recta del infinito, S¹ se reduce á la cónica que pasa por P, homotética y concéntrica á K²; y queda demostrada la primera parte del enunciado.

Si P es el centro de K¹, la S se separa en las dos asíntotas de K¹, de los tres puntos en el infinito de la cúbica, uno es el punto en el infinito de la tangente á P² en P, y los otros dos son los puntos en el infinito de K¹. Particularmente, si K¹ es un círculo de centro P, la cúbica tiene K¹ por uno de sus círculos focales (véase la solución de la cuestión 215) y de esto se concluye el conocido teorema: Si desde el punto real en el infinito de una cúbica circular de sexta clase, se trasan

(*) Véase Retali, Sopra due particolari trasformazioni, paragrafo 15 (Memorie de la Reale Accademia di Bologna, t. XI).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 29

las tangentes á la curva, los puntos de contacto son los centros de los cuatro círculos focales de la cúbica (1).

CUESTIÓN 203
(Véase tomo IV, página 309):

Si 1, 2, 3, 4 son los puntos de contacto de las tangentes trazadas á una cúbica general C³ desde uno de sus puntos P arbitrario, las cónicas trazadas por P y bitangentes en una recta fija de las cónicas del haz 1234, cortan á la óptica (P1234) en otros tres puntos fijos.

(V. Retali).

Solución por el Sr. Retali (V.)

Hemos visto en la solución de la cuestión 202 que, tomando por cónica fundamental de la transformación una cualquiera entre las cónicas del haz (1, 2, 3, 4), excepto la P², la cúbica correspondiente á P² permanece invariable. Designemos por s la recta fija; y sean ABO las proyecciones hechas desde P sobre P² de los puntos comunes á s y O². Las cónicas que pasan por P y son bitangentes en la recta s á las cónicas del haz (1, 2, 3, 4) cortarán ulteriormente á P² en los tres puntos A, B, C.

Observación. En el enunciado de esta cuestión hemos hecho referencia á la cúbica, sólo para mostrar la conexión con la precedente.

Al teorema puede evidentemente darse el siguiente enunciado:
Las cónicas que pasan por un punto y son bitangentes sobre una recta dada á las cónicas de un haz forman otro haz, y los ocho puntos-bases de los dos haces están en una cónica, el cual es casi evidente analíticamente.

Sea
\[
f + \lambda \varphi = 0
\]
donde \( \varphi = 0 \) y \( f = 0 \) son las ecuaciones de dos cónicas, y \( \lambda \) un parámetro variable, la ecuación del haz (1, 2, 3, 4) y sea \( \psi = 0 \) la ecuación de la recta. Si designamos con \( f_1, \varphi_1, \psi_1 \) en lo que se convierten \( f, \varphi, \psi \) después de sustituirse las coordenadas del punto fijo P, las cónicas que pasan por P y son bitangentes sobre \( \psi \) á las cónicas del haz (1) están representadas por
\[
(\psi_1^2 - f_1 \psi_1^2) + \lambda (\varphi_1 \psi_1^2 - \varphi_1 \psi_1^2) = 0
\]
y forman un haz, al que pertenece la cónica (P, 1, 2, 3, 4) porque la

(1) Véase Salmon-Finckler, Nouve Curren, art 270, pág. 82) de la segunda edición.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 3

\( \angle S_1 R_1 T_1 = 180^\circ - \angle S_1 O T_1 = 180^\circ - \angle B' O C' = A \)

Pero \( \angle R_1 S_1 T_1 = \angle R_1 O T_1 = B \), siendo \( T_1 O \) \( R_1 O \) respectivamente perpendiculares á AB y BC; luego el triángulo \( R_1 S_1 T_1 \) es semejante al ABC.

(4) Si se designan los puntos medios de OI, OI_1, OI_2, OI_3 por

I', I'_1, I'_2, I'_3, resulta que \( I'_1 I'_2 I'_3 I' \) es un cuadrángulo órtico semejante y semejantemente situado al cuadrángulo I, I_2, I_3, I, y el radio del círculo circunscripto á cada uno de sus cuatro triángulos es R.

En efecto, el radio del círculo circunscripto á cada uno de los cuatro triángulos del cuadrángulo órtico I, I_2, I_3, I es 2R.

(5) Sean U V W los puntos de intersección de AI BI CI con el círculo circunscripto á ABC, y sean U' V' W' los puntos diametralmente opuestos á U V W.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 30

ecuación \( f_{\varphi_1} - f_{1 \varphi_1} = 0 \) de esta cónica se puede obtener atribuyendo en la (2) al parámetro \( \lambda \) el valor \( -(f_1 : \varphi_1) \).

CUESTIÓN 168
(Véase tomo IV, página 156).

Dados en un mismo plano real un círculo real ó imaginario de primera especie y una recta real; construir el círculo que corta ortogonalmente al círculo dado sobre la recta dada.

(V. RETALI).

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Dos círculos concéntricos de radio \( m \) y \( m \sqrt{-1} \) son mutuamente conjugados respecto á su centro común, si cada uno de ellos es polar recíproco de sí mismo respecto al otro, y tienen el centro común por polo de contacto y la recta en el infinito de su plano por cuerda de contacto.

Es muy conveniente representar un círculo imaginario de primera especie mediante el círculo real que le es conjugado (respecto al centro) y, en general, representar cónicas imaginarias (sistemas planos polares elípticos) mediante cónicas reales que les son conjugadas respecto á puntos internos á sus representaciones. Si P es un punto interno á la cónica real \( K^2 \) designaremos por \( K^2_\rho \) la cónica imaginaria conjugada de \( K^2 \), respecto á P.

Esto sentado, sea real el círculo dado \( K^2 \), no cortándolo la recta dada \( g \) en dos puntos reales. Desde el polo G de \( g \) respecto á \( K^2 \) traemos la cuerda AB de \( K^2 \) paralela á \( g \), y el círculo \( G^2 \) descrito sobre AB como diámetro es el círculo conjugado del buscado. En efecto, si C y D son los extremos del diámetro de \( K^2 \) perpendicular á \( g \), los dos puntos imaginarios conjugados señalados en la recta |CD| del punto-círculo A son conjugados armónicos respecto á C y D, luego, etc.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 31

De otro modo. El círculo descrito sobre AB como diámetro corta á la recta |CD| en dos puntos reales A' y B'. Tendremos

\[
AB + (A'B' \sqrt{-1})^2 = 0 \quad (*)
\]

y los dos círculos K² y G²_g, por un teorema de Moebius, son ortogonales.

Si el círculo dado es imaginario, sean G²_g su representación real, g la recta dada y G' el pie de la perpendicular bajada sobre g desde el centro G de G². Describamos ahora el diámetro AB de G² paralelo á g y que la perpendicular en A á la recta |G'A| corte á |GG'| en O; el círculo de centro O y radio OA es el buscado.

Observación 1.a O es el polo de g respecto al círculo imaginario G²_g (**).

2.a El círculo G²_g es la transformada de la recta g en la transformación considerada en la cuestión 216.

CUESTIÓN 169
(Véase tomo IV, página 156).

Dados en un mismo plano real dos círculos, uno al menos de los cuales es imaginario de primera especie, construir el eje radical.

(V. RETALI.)

Solución por el Sr. RETALI.

a) Uno de los dos círculos C² es real y del otro, imaginario de primera especie, se conoce el círculo conjugado D².

Sea AB el diámetro de D² perpendicular á la recta de los centros |CD|, y describamos el círculo que pasa por los dos puntos A, B y ortogonal á C², que cortará

(*) A F. Möbius Ueber imaginäre Kreise, parr. 5 (g).
(**) Véase Ch. Wiener Lehrbuch der Darstellenden Geometrie, Zweiten Band. Art. 121 pág. 119.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 32

á la recta CD en dos puntos reales E y F. El eje del segmento (*) EF es el eje radical buscado. En efecto, los dos puntos E y F están separados armónicamente de C^2 y del círculo imaginario D^2_d.

b) Los dos círculos son imaginarios y C^2 y D^2 son sus representaciones.

El círculo que pasa por los extremos de los diámetros de C^2 y D^2 perpendiculares á CD cortan á esta recta en E y F. El eje del segmento EF es el eje radical buscado. En efecto, los dos puntos E y F son recíprocos respecto á los dos círculos imaginarios dados.

CUESTIÓN 170
(Vease tomo IV, página 159).

Construir el círculo que divide armónicamente dos segmentos dados y que corta ortogonalmente á un círculo dado (real ó imaginario de primera especie) (**).

(V. RETALI).

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Se demuestra fácilmente que los círculos ortogonales á un círculo dado K^2 y separados armónicamente de los puntos dados A y A' forman un haz. Describamos la cónica S^2 que pasa por el centro O de K^2 y es bitangente á K^2 sobre la recta |AA'| = a, y sea z el polo de la involución cuadrática en S^2 que tiene por puntos dobles las proyecciones (A) y (A') de AA' desde O sobre S^2. Todo círculo secante ortogonalmente á K^2 sobre un rayo trazado por z, queda armónicamente separado de A y A'. En efecto, un rayo r que pasa por z corta á S^2 en

(*) Llamamos eje de un segmento á la recta perpendicular al mismo en su punto medio.
(**) En las tres cuestiones precedentes se entiende que los círculos imaginarios están dados ó construidos sus círculos conjugados. En la cuestión 168, si el círculo dado es real, se supone que la recta lo corta en puntos imaginarios.—(V. RETALI).
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 33

dos puntos R y R' separados armónicamente por (A) y (A'), y las proyecciones de R y R' hechas desde O sobre \( \alpha \), ó sea las intersecciones de \( \alpha \) con el círculo \( K^2 \) (*) (que corta ortogonalmente á \( K^2 \) sobre la \( r \)), son conjugadas armónicas respecto á A y A'. Los círculos ortogonales á \( K^2 \) y separados armónicamente por A y A' forman, pues, un haz cuyos dos puntos-bases en el infinito son recíprocos respecto á \( K^2 \) y conjugados armónicos respecto á O y \( \alpha \).

De esto resulta la construcción siguiente: Se trazan las cónicas S² y T² que pasan por el centro de \( K^2 \) y respectivamente bitangentes á \( K^2 \) sobre las rectas \( |AA'| = a \) y \( |BB'| = b \), y se toman los polos \( \alpha \) y \( \beta \) de las involuciones (cuadráticas) que sobre S² y T² tienen respectivamente por puntos dobles las proyecciones de AA' y BB' hechas desde O; el círculo que corta ortogonalmente á \( K^2 \) sobre la recta \( |\alpha\beta| \) es el buscado.

Observación.—Si los dos puntos A y A' están alineados con O, es claro que el haz de los círculos ortogonales á \( K^2 \) y separados armónicamente de A y A' tiene por puntos-bases los dos puntos recíprocos respecto á \( K^2 \) y conjugados armónicos respecto de A y A'.

(*) Véase la resolución de la cuestión 216 la de la 202 y la Memoria citada en esta última.
El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 34

CUESTIÓN 239
(Véase tomo V, página 55).

Sean A, B, C tres puntos en línea recta. Por A y B se describe una circunferencia \( O_1 \), por B y C una circunferencia \( O_2 \). Cuando estas circunferencias varían de manera que sus radios conserven una razón dada, su segundo punto de intersección describe una circunferencia, y su línea de los centros envuelve una cónica.

(J. NEUBERG).

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Sean \( d, e \) las perpendiculares trazadas á la recta AC en los puntos medios de los segmentos AB, BC. El triángulo \( O_1BO_2 \) rectángulo en B, conservando el vértice B fijo, recorre con dos vértices \( O_1 \) y \( O_2 \) las rectas \( d, e \); la envolvente de la recta \( O_1Q_1 \) es, pues, la elipse que tiene el segmento DE por eje mayor y uno de sus focos en el punto B. El lugar del pie P de la perpendicular trazada por B sobre la recta \( O_1O_2 \) es el círculo descrito sobre DE como diámetro; y el punto \( \beta \), simétrico de B respecto á la recta \( O_1O_2 \) describe la circunferencia que tiene por diámetro AC.

CUESTIÓN 244
(Véase tomo V, página 103).

En un plano se dan una recta g y cuatro puntos A, B, C, D. Hallar un punto S tal, que la proyección central de los cuatro puntos desde S sobre g forme una serie de distancias iguales.

(F. MEYER).

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Supongamos que sobre \( g \) las proyecciones de A, B, C, D se pre-