ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Estudio sobre los conicógrafos
por M. A. Aubry

1. Los geómetras de la escuela de Platon que imaginaron el considerar las secciones planas del cono y principiaron el estudio de sus propiedades, se preocuparon en buscar los medios adecuados para trazarlas. El hecho es muy probable, pero no queda nada de sus escritos sobre este objeto. Sin duda habrían querido definirlas cinemáticamente, como el círculo; pero la falta de elegancia de las construcciones que hubieron de obtener acaso impidió su divulgación. Aunque así sea, diremos solamente que Arquitas y Aristeo, entre otros, parece se ocuparon de este género de investigaciones; y aun Eratóstenes en su carta á Tolomeo, citada por Eutocio, parece decir que Menecmo trazaba mecánicamente las cónicas (*) que le servían para resolver el problema de Delos. Por otra parte, Pappus dijo de un modo concluyente que no es fácil describir las cónicas, lo que prueba la existencia de investigaciones anteriores sobre este asunto; y, además el empleo de instrumentos para la resolución de los problemas constituía ya una práctica corriente desde la época de Platon. Se conoce el que había imaginado para el problema de que tratamos.

Se puede, pues, admitir que en la antigüedad la cuestión de los conicógrafos se había planteado y aun resuelto teóricamente.

2. Los antiguos, en sus estudios, definían las curvas de se-

(*) \( x^4 = x \) y \( x^4 = y \), ó \( x^3 = y \) y \( xy = 1 \).
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 10

sus deformaciones los vértices B y F están siempre sobre una misma perpendicular á AD; en efecto, en virtud de la semejanza constante de los dos romboides, los lados BC y FC están igualmente inclinados sobre AD, y por consiguiente, como BC = FC, se deduce facilmente la propiedad enunciada.

4.º El doble contraparalelógramo de M. Kempe formado igualmente por dos contraparalelógramos semejantes (fig. 13), goza de la propiedad de ser iguales siempre entre sí los ángulos en C.

Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14

5.º Sea el cuadrilátero ABCD (fig. 14) cuyos lados son \( a, b, c, d \). Prolonguemos los lados AD y BC en

\[
DG = \frac{bc^2}{a^2 - c^2} \quad \text{y} \quad CE = \frac{dc^2}{a^2 - c^2},
\]

después unamos los puntos D y G por dos bridas articuladas GF y EF, cuyas longitudes son \( \frac{adc}{a^2 - c^2} \) y \( \frac{abc}{a^2 - c^2} \).

Suprimamos DC, el sistema será deformable. Permaneciendo AB fija, obliguemos al punto F á moverse de tal manera, que los ángulos G y F sean siempre iguales. Se tendrá así:

\[
FGA \simeq CEF \quad \text{y} \quad FGD \simeq BEF
\]

de donde se obtiene sucesivamente

\[
\begin{align*}
(\alpha) \quad \frac{AF}{FC} &= \frac{GF}{EC} = \frac{a}{c}, \quad \frac{EF}{GD} = \frac{BF}{DF} = \frac{a}{c}; \\
&\angle CBF = \angle GFD, \quad \angle DFC = \angle AFB
\end{align*}
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 11

lo que da, en virtud de (α) \( AFB \sim CFB \) y por consiguiente

\[
\frac{AF}{FC} = \frac{BF}{DF} = \frac{AB}{DC} = \frac{a}{c}
\]

de donde, por ser \( AB = a, DC = c = \) const. La igualdad de los ángulos G y F tendrá pues siempre lugar, y se puede escribir, igualando los dos valores de \( \cos G \) y de \( \cos F \):

\[
\frac{AF^2 - AG^2 - GF^2}{AG \cdot GF} = \frac{BF^2 - EF^2 - EB^2}{EF \cdot EB}
\]

de donde, como \( AG \cdot GF = EF \cdot EB \)

\[
AF^2 = BF^2 = AG^2 + GF^2 - EF^2 - EB^2 = \text{const.}
\]

Luego si AB permanece fija, el punto F queda sobre una misma perpendicular á AB.

Este notable aparato debido á M. Hart (P. S. M, L, 1875) ha sido estudiado por M. Darboux (B. D, 1879) que ha señalado un caso particular, que veremos más adelante. Otro caso particular, aquél en que \( b = d \), fué de nuevo obtenido por M. Bricard (M. 1894); en estos últimos, la demostración arriba dada se simplifica notablemente.

6.º Nos ocuparemos en último lugar del sextilátero de M. Kempe (P. R. S, 1875) que resume todos los precedentes. Este instrumento está formado por dos cuadriláteros semejantes articulados como lo indica la fig. 15.

Llamemos \( a, b, c, d \) los lados del cuadrilátero exterior ABCD; tomemos sobre AB y GF los puntos cualesquiera M y N, y proyectémoslos en P y Q sobre AD, se tiene:

\[
AP = AM \cos A,
\]
\[
GQ = NG \cos G = - NG \cos C
\]
de donde \[ PQ = AG - (AM \cos A - NG \cos C). \]

Si los puntos M y N son tales que se tenga la relación

\[
\frac{NG}{AM} = \frac{cd}{ab},
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 12

el valor de PQ puede escribirse

\[
AG - \frac{AM}{2ab} (2ab \cos A - 2cd \cos C)
\]

\[
= AG - \frac{AM}{2 \cdot ab} (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)
\]

y por consiguiente es constante, si se tiene entre AM y NG la relación (\( \alpha \)).

18. Terminaremos el estudio de los sistemas elementales por uno de los que ha dado M. Kempe, en los P. L. M. S (t. XI, 1877-78).

Construyamos el simétrico, con relación á una perpendicular á la diagonal AC, del cuadrilátero ABCD (fig. 16) y articulemos los dos cuadriláteros en M, N, P, Q; el sistema será deformable, é igualando los dos valores de \( \cos BAC \), deducidos de la consideración de los triángulos MAA' y BAC, resulta:

\[
AA' \cdot AC = \frac{AB}{AM} (AM^2 - A'M^2) = const.
\]

Suprimamos las varillas inútiles MB', BC', CD' y D'Q, tendremos una generalización del inversor de Peaucellier, cuya propiedad principal queda así demostrada.

Tomando sobre AM, A'M y CB tres puntos \( \alpha, \beta, \gamma \) que determinen una paralela á AC, el empleo como inversor queda así justificado.

19. Es notable que los antiguos, tan cuidadosos de la exactitud de sus definiciones y de la elegancia de sus construcciones, no hayan dado de la línea recta más que definiciones vagas ó incompletas y para su construcción otro procedimiento que el empleo de la regla.

Entre los geómetras, el primero que haya construido la recta es Cardan, por su célebre teorema relativo á la trayectoria de un punto de una circunferencia rodando en el interior de otra de radio doble (Opus novum, Basle, 1570).

Los mecánicos, para hacer describir una recta á un punto, se servían de resbaladeras, hasta que Watt, deseando á la vez mayor precisión y menor complicación, imaginó su famoso parale-
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 13

lógramo, que aún hoy es el aparato más cómodo. Poco después, Cartwright propone una solución exacta, pero empleando medios poco adecuados para dar la precisión que se desea: se sabe que consiste en dos ruedas dentadas iguales, con ejes fijos y en dos puntos correspondientes en los que se hallan fijos los soportes de la varilla que se ha de guiar.

Sarrut dió también una solución exacta; pero totalmente teórica. Una palanca articulada ABC se mueve en el plano M alrededor del punto fijo A y otra palanca articulada EDF, móvil en el plano N alrededor del punto F. Si se unen por una brida articulada los puntos C y D, la recta CD se moverá según la intersección de los dos planos M y N.

Galloway ha imaginado hacer girar ruedas de dos, tres y cuatro dientes en el interior de ruedas fijas de tres, cuatro y cinco dientes convenientemente perfilados, lo que dá tres aparatos en línea recta. Se concibe que las dificultades del trazado de la rueda fija y de los frotamientos producidos durante el movimiento, hagan poco prácticos estos ingeniosos aparatos.

No citaremos, más que para recordarlas, las curvas que, rodando sobre otras curvas, engendran líneas rectas; estas son generalmente curvas difíciles de obtener y aún con frecuencia transcendentales.

20. Se ha intentado, sobre todo mejorar el trazado aproximado de Watt. El balancier de Evans se compone de un cuadrilátero articulado ABCD cuyos dos lados, menores BC y CD son iguales; de los otros dos lados, el de menor longitud AD está fijo y el lado opuesto BC se halla prolongado en una longitud CF, igual al mismo. Si las varillas AB y CD son muy grandes con relación á las otras dos, el punto B describirá sensiblemente una recta perpendicular á AD, y por consiguiente el punto F se moverá aproximadamente en línea recta.

Harvey propuso emplear un pentágono articulado, cuyo uno de los lados está fijo y los otros dos adyacentes, ligados por una varilla ligada en sus puntos medios.

Tchebichef estudió la solución resultante del empleo de una especie de contraparalelógramo, fijo por uno de los lados no cruzados, que tiene una longitud 4a, teniendo las dos varillas cruzadas cada una 5a y la cuarta 2a. El medio de esta última varilla describe la pseudo-recta. Tchebichef por lo demás, ha modificado de varias maneras el paralelógramo de Watt, reemplazando la
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 14

biela por un triángulo cuyo vértice puede, según ciertas condiciones, describir una curva mucho más próxima á la recta que la de Watt.

En fin, citaremos el aparato de M. Roberts compuesto de un triángulo isósceles DCE cuyos vértices D y C están articulados en los extremos de las varillas AD y BC, móviles alrededor de los puntos fijos A y B; el vértice E se mueve sensiblemente á lo largo de la recta AB.

21. Recordaremos ahora la solución muy conocida de M. Peaucellier. Si el vértice E de un inversor EB (figura 17) está fijo, los vértices D y B describirán curvas inversas entre sí; de modo que, si con auxilio de una brida fija en H, se obliga al punto D á describir una circunferencia, el punto B describirá otra circunferencia (*), á menos que HD no sea igual á HE, en cuyo caso, el lugar de B será una recta perpendicular á HE. Se podría emplear un inversor negativo. Más tarde daremos un ejemplo de esta disposición.

El inversor de Hart da lugar, evidentemente, á un guiaje análogo, pero de seis varillas solamente (**), D se mueve sobre una circunferencia y B sobre una perpendicular á HF.

22. M. Kempe ha obtenido enseguida varias soluciones de las más elegantes, como puede verse:

1.º Completemos el doble romboide por un rombo AG (fig. 12): Si GB está fija, el vértice F describirá una recta perpendicular á GB.

2.º Si lo completamos con un paralelógramo EH (fig. 19) y fijamos la varilla FH, el vértice B trazará una recta perpendicular á FH.

3.º Igualmente, en el doble contraparalelógra- mo de la figura 3 terminemos el rombo CBGH. En virtud de la igualdad de los ángulos en C, el punto G describirá

(*) Se han trazado así circunferencias de 12º de radio.
(**) Se podrá decir cinco varillas, suprimiendo la varilla HE, inútil si las articulaciones E y H están fijas. Indicaremos esta clase de varillas con puntos y las articulaciones fijas con círculos llenos.
En la fig. 18 las dos varillas CB y CP no sirven para el guiaje de Hart: Serán utilizadas más adelante.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 15

una recta que será la prolongación de CD. En vez de un rombo se podría tomar un romboide y el resultado sería el mismo.

4.º Se puede terminar el paralelógramo AO (fig. 20): por las mismas razones el punto F trazará una recta perpendicular á BO.

Fig. 20

Fig. 21

5.º En fin, otro aparato que se podría llamar paralelógramo-romboide-contraparalelógramo se representa por la fig. 21; puede servir igualmente de guiaje; se deducen inmediatamente disposiciones que veremos más adelante. La demostración, por otra parte, puede hacerse directamente.

29. Casi al mismo tiempo M. Hart descubría su guiaje de la figura 14, de que hemos tratado, y poco después M. Kempe daba su sextilátero que origina muchas soluciones muy generales, de las que la más sencilla es la siguiente:

1.º Completemos el paralelógramo MADH (fig. 15) y fijemos MH: Por ser PQ = const., el punto N describe una recta perpendicular á MH.

2.º Tomemos

\[
AM = ab \frac{AG}{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}, \quad \text{resultará} \quad PQ = \frac{1}{2} AG,
\]

de modo que si en M y N se articulan dos varillas MO y NO respectivamente iguales á MN y NG, este punto O se hallará siempre en AD.

3.º Si se hace \( AM = \frac{ab}{2} \frac{AG}{a^2 + b^2 - c^2 - d^2} \) se tendrá \( PQ = 0 \).

Los dos puntos M y N estarán siempre en la misma perpendicular á AD. Si además DG = DA, se tendrá la fig. 23. Si se articulan en M y N dos varillas MO y NO, tales que \( NO^2 - MO^2 = NA^2 - MA^2 \), la articulación O se moverá sobre la recta AD.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 16

4.º Se tiene otra solución articulando en N y en M las varillas NO' y MO' iguales á MA y NA.

24. Según Schooten (n.º 9), si el compás de brazos iguales OKD (fig. 24) está fijo en el punto C y el punto Describe una recta que

Fig. 23

Fig. 24

Fig. 25

pasa por O, todo punto de KD describe una elipse. Es así como M. Peaucellier (N. A. 1873) fué conducido al elipsógrafo con diez varillas que representa la fig. 24.

El guijaje de M. Hart conduce igualmente á otro elipsógrafo de ocho varillas solamente (fig. 25).

Los aparatos de M. Kempe (figs. 12, 13, 19, 20 y 21) son también elipsógrafos de ocho varillas. La letra M indica siempre el punto trazador.

M. Darboux ha observado (B. D. 1879) que si en el aparato de M. Hart (fig. 14) el cuadrilátero ABC'D es un romboide cuyos lados mayores son AB y BC, el punto F se mueve en la perpendicular á AB que pasa por A. Además se tiene: \( GF = GA \) (fig. 26). De esto resulta que todo punto de GF describe una elipse. Este elipsógrafo no tiene más que seis varillas y además no se cruzan.

25. En el guijaje de Peaucellier (fig. 27) el vértice O está siempre en la prolongación de cierta perpendicular MG á AE. De modo que si O está fijo, y G describe una
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 17

curva cualquiera, el punto M trazará una concoide de esta curva. Este aparato se llama protractor ó retractor, según que el radio vector queda aumentado ó disminuido.

Se tiene un protractor de seis varillas solamente con auxilio del guiaje de M. Hart (fig. 28). El aparato de Hart (fig. 14) daría otro también de seis varillas; pero más cómodo. El aparato representado por la fig. 13 es también un protractor, pero de ocho varillas.

Combinando un protractor con un guiaje, se tendrá un concoíógrafo. Agregándole una brida O'G fijada en un punto O' tal, que O'G = OG, el punto M trazará un caracol. La idea de estas construcciones se debe á M. Peaucellier (l. cit.)

26. Se tienen para la descripción del caracol dispositivos más sencillos, observando que todo ellipsógrafo, basado en el teorema de Schooten, puede servir para el trazado de la curva en cuestión. Así estando CF fijo (fig. 12), todo punto de GB describe un caracol. Igualmente para BG y CD (fig. 13), para CB y FH (fig. 19), para EF y OB (figura 20), para BC y DF (fig. 21), para GF y AB (fig. 26). Estos resultados se deben á MM. Hart y Kempe.

Siendo el caracol una inversa de una cónica, combinando con un inversor uno de los dispositivos arriba indicados, se tendrá un conicógrafo.

Es así como M. Peaucellier (l. cit) ha imaginado su conicógrafo, de diez y seis varillas. Los otros tendrían todavía un mínimo de diez.

27. Se tendrán dispositivos más cómodos tomando por curva auxiliar, no ya un caracol, sino una cisoidal que es la inversa de una cónica con relación á un vértice.

Véase cómo se traza esta curva. Fijemos el vértice F (fig. 29) de un inversor de Peaucellier y, con auxilio de una brida OA fijada en O, hagamos describir al vértice A una circunferencia que pase por F. El lugar de C será una cisoidal. En efecto, se tiene

\[
AF (\varphi + AF) = AB^2 - BC^2 = a^2 \quad \text{y} \quad AF = 2 r \cos \omega
\]

de donde
\[
\varphi = \frac{a^2}{2 r \cos \omega} + 2 r \cos \omega.
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 18

Para \( r = \frac{\alpha}{2} \), el lugar es una *cisoide* *, como lo había obtenido ya M. Peaucellier; la generalización y la aplicación al trazado de las cónicas pertenecen á Sylvester. Este último observó también que su extractor binomio sirve para el trazado de las eisoídales. Pero como más adelante tratamos del de M. Johonson, no nos ocuparemos ya de él.

El inversor de Hart puede servir evidentemente para el trazado de las mismas curvas; lo representamos (fig. 30) dispuesto con este objeto.

Si un vértice D (fig. 31) de un extractor de Johnson está fijo y el otro B gira alrededor de un punto fijo O, con auxilio de una brida OB, cuya longitud sea igual á OD, el vértice G describirá una *cisoidal*. Esto resulta inmediatamente de que se tiene siempre \( BG^2 - DG^2 = AB^2 - AD^2 \).

Ahora combinemos estos aparatos con un inversor, tendremos nuevos conicógrafos de catorce, doce y diez varillas.

28. Si se utiliza la propiedad del romboide y del contraparalelógramo de obtener trazados de inversas de cónicas, se tendrán conicógrafos todavía más sencillos, porque el número de varillas puede reducirse á ocho.

Esta solución se debe también á Sylvester.

Nota sobre la Geometría de los sistemas articulados.

29. Nos vemos conducidos á decir algo de los problemas que pueden resolverse con auxilio de los sistemas articulados. En general, si la construcción es mucho más precisa así como por cualquier otro medio, la complicación aumenta mucho más rápidamente que la dificultad del problema. Sin embargo, si no puede esperarse el reducir todos los casos sencillos y útiles á mecanis-

*) Se tienen otros dos casos particulares notables para

\[
r = \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \quad \text{y} \quad r = \alpha,
\]

que corresponden respectivamente á la *astrofoide* y á la *triseptris* de Mac-Laurin.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 19

mos sencillos y cómodos, el gran número de casos interesantes ya indicados, la elegancia de los resultados y su utilidad incontestable, tanto teórica como práctica, motivan que nos parezca oportuno el indicar las cuestiones susceptibles de resolverse facilmente por sistemas articulados.

I. Dada una recta trazada, levantarle una perpendicular en un punto dado. Nos servimos de una X, reunión de dos varillas iguales articuladas en su medio.

II. Por un punto exterior á una recta trazada en un plano, trazarle una paralela ó una perpendicular. El mismo aparato.

III. Construir un ángulo igual á un ángulo dado. (Id.)

IV. Bisecar un ángulo dado. Nos serviremos de un rombo ó de un romboide.

V. Traslador de Kempe. Sea una longitud determinada que se ha de transportar á una dirección paralela cualquiera. Se empleará un sistema formado por dos paralelogramos articulados que tengan un lado común.

VI. Dividir la distancia de dos puntos en n partes iguales. Esta operación se hará con auxilio de un zigzag formado por n X reunidas de cabo á cabo.

VII. Transportar una longitud en su propia dirección. Sylvester imaginó para resolver este problema un aparato de setenta y tres varillas, que llamó paradoja cinemática, porque dos puntos no ligados entre sí directamente permanecen á una distancia constante. Se obtendrá otro mucho más sencillo articulando en los medios R, T, U, X de AM, MU, UN, NH (fig. 22) las varillas articuladas RST, UVX que forman rombos con los puntos M y N. Los puntos S y V se moverán sobre AG, y la distancia SV tendrá una longitud constantemente igual á \( \frac{1}{2} \) AG.

VIII. Trazado de una circunferencia cuyo centro es inaccesible. Estando fijo un lado de un paralelogramo articulado, todo punto del lado opuesto describe una circunferencia, así como todo punto ligado á este lado, por ejemplo, el vértice de un triángulo cuyos otros dos vértices son los extremos de este lado.

IX. Trazar una recta determinada por dos puntos. Referirse á los aparatos figuras 13, 22, 23.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 2

gundo grado como secciones del cono, ó bien por la constancia de la relación del cuadrado de una ordenada al rectángulo de los segmentos que determina sobre el diámetro correspondiente. La primera mención conocida de una descripción de las cónicas por un movimiento continuo es la de la elipse, traída por Proclo, y que es probable mucho más anterior: se sabe que se trata del movimiento de un punto determinado de una recta, cuyos extremos resbajan sobre los lados de un ángulo recto.

3. Poco después que Proclo, Isidoro de Mileto inventó un instrumento para el trazado de la parábola, que se parecía á la letra \( \lambda \). Este pabológrafo era verosímilmente el que Woepke (l'Algèbre d'Omar Alkayyami, París 1851) encontró entre los árabes para el trazado de las cónicas. Consistía en un compás en el que una de las piernas llevaba una punta trazante, que podía alargarse á voluntad por medio de un resorte, de modo que siempre se apoyase en el papel, mientras que la otra pierna se fijaba oblicuamente en el plano del papel. Este instrumento se volvió á descubrir por varios autores de la edad media y fué propuesto para resolver los problemas de la gnomónica.

El trazado de las cónicas por medio de hilos debe ser muy antiguo, porque en el tratado de los tres hilos de Musa ben Shakir (siglo IX) se indica el trazado de la elipse por el procedimiento llamado del jardinero.

4. La dificultad en trazar las cónicas por un movimiento continuo originó oportunamente la idea de reemplazar la elipse, la más empleada, por una serie de arcos circulares ajustándose tangencialmente, llamada asa de cesto. Se ven en Alberto Dürer y Tartaglia varios trazados de este género, y aun en este último (Gen. trat. 1556) la construcción de un óvalo transcendente, que propone así: «designare in vna sola riuolutione di compasso vna figura quale».(*)

5. Debemos citar la vuelta del óvalo (tour à ovale), inventada por Leonardo de Vinci hacia fines del siglo XV, que es la inversión del problema de Proclo: La recta KLM está fija en un plato, llevando dos deslizaderas, gira de modo que estas dos desli-

(*) Tartaglia realiza otra construcción aplicando una hoja de papel sobre un cilindro. Roberval y Lalouvére han estudiado esta curva.
El trazado de la elipse puede hacerse prácticamente dividiendo los círculos osculadores de los vértices ajustándose sensiblemente. Esta práctica es poco usada.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 20

X. Trazar una recta perpendicular á una dirección determinada por dos puntos. Referirse á los aparatos figuras 12, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26.

XI. Movimiento paralelo. Se trata de transportar una recta paralelamente á sí misma, de manera que uno cualquiera de sus puntos trace una perpendicular á su dirección. Se tiene un ejemplo de la utilidad de este género de movimiento en la máquina de cepillar.

M. Kempe ha dado dos aparatos, figuras 32 y 33, que no son otra cosa que la combinación de dos romboídes dobles. Deduce del segundo un sistema más cómodo que se restablecerá completando en la fig. 21 el paralelógramo cuyos dos de los lados son AB y BC (M. M. 1875). Se obtiene otra acabando en la fig. 12, el paralelógramo cuyos dos lados adyacentes son EF y EA.

M. Kempe ha deducido otro de ocho varillas solamente, del guiaje de Hart. Agreguemos dos bridas BC y CF (fig. 18) paralelas á EH y á HD, BC se moverá paralelamente, á PQ. Del aparato representado por la figura 25 M. Darboux ha deducido otro movimiento paralelo de ocho varillas igualmente, para el que remitimos al B. D. 1879.

XII. Por un punto dado, trazar una paralela á la recta que pasa por los dos puntos dados A y G. Sylvester resuelve este problema con auxilio de un elegante instrumento de veinticinco varillas, que se explicará así: Por el punto A tracemos una recta que corte en H á la circunferencia de centro G y de radio GA. Tomemos sucesivamente sobre AH

\[
AI = \frac{1}{AH},\ AJ^s = AI^t - 1,\ AK = \frac{1}{AJ},\ OL^s = 1 + 0K^t
\]

operaciones que pueden ejecutarse fácilmente con auxilio de dos inversores y de dos extractores. El punto L estará siempre en una misma paralela á AG.

El sistema de la figura 22 conduce evidentemente al mismo resultado: Si se articulan á los puntos S, V dos bridas SY é YV articuladas en Y, este punto Y trazará una paralela á AG. El aparato no tiene más que catorce varillas.