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El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 16

\[
x^2 + y^2 - \frac{c^2 - b^2}{c} x - b^2 = 0
\]

Esta ecuación representa también el círculo de intersección por el plano \( z = 0 \).

Los planos trazados por la recta C encuentran á la superficie según una cónica. Entre estos planos se encuentra el plano \( y = 0 \). Efectivamente, la sección de la superficie por el plano \( y = 0 \), se compone de la recta \( x = c \) y de la parábola \( cx + m^2 x^2 + b^2 = 0 \)

Otras dos rectas de la superficie, paralelas á OX, quedan en el infinito en el plano \( Y = 0 \) á una y otra parte del origen.

Es interesante señalar una sección circular, cuyo centro está en \( Ox \); corresponde al plano \( z = h \), con \( c^2 - m^2 h^2 - b^2 = 0 \), cuya ecuación es \( x^2 + y^2 = c^2 \)

Igual observación para \( z = -h \) etc.

Cuestión 142. (Véase t. III pág. 248: 1893.)

Discutir la función

\[
y = x \cos e^{\frac{1}{x}}
\]

(1)

(Bianmann).

Solución por el Sr. Boccard (H).

Es evidente que la discusión adquirirá su mayor sencillez si se dan los valores de \( x \) que hacen á \( e^{\frac{1}{x}} \) igual á un múltiplo de \( \frac{\pi}{2} \). Será ventajoso también el adoptar por valores de \( x \) los que dan cosenos = 1 , \( \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}, -1 \), etc., admitiendo la continuidad en los intervalos.

Por otra parte, la condición \( y = x \) da \( \cos e^{\frac{1}{x}} = 1 \). Por consiguiente los puntos en lo que \( \cos e^{\frac{1}{x}} = 1 \), son también los puntos de la curva (1) situados en la recta \( y = x \). Se ve la nueva ventaja que proporciona la hipótesis \( e^{\frac{1}{x}} = k \frac{\pi}{2} \).
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 17

Es interesante señalar algunos resultados numéricos

    \( \frac{1}{x} \)
    x
    \( \frac{1}{x} \)
    cos \( e \)

    e

    \( \frac{\pi}{3} \)
    21.69
    1
    2

    \( \frac{\pi}{2} \)
    2.21
    0

    \( \frac{2\pi}{3} \)
    1.35
    -1
    2

    \( \pi \)
    0.87
    -1

    \( \frac{4\pi}{3} \)
    0.69
    -1
    2

De este cuadro y de la serie de ensayos resultará el conocimiento de la función y con una afinidad continua y estrecha respecto á la función coseno y que y tiene por imagen una sinusoides, cuyas sinuosidades son cada vez más próximas, á medida que x decrece de 1 hacia 0. La amplitud de las sinuosidades decrece al mismo tiempo, y su imagen está dada por las dos rectas \( y = x \), \( y = -x \) entre las que la sinusoides se deforma con asintotismo en el punto (0), origen de coordenadas.

Si, por otra parte, se observa, que siendo el coseno \( < 1 \), se tiene \( y < x \) y á lo más igual á \( x \); se ve que las rectas \( y = x \), \( y = -x \) no encuentran nunca á la curva (1) y le son simplemente tangentes.

Esta observación será útil para precisar el trazado de la curva.

El caso de \( x > 21 \), & merece fijar nuestra atención, porque es interesante el ver en lo que se convierte y, á medida que aumenta x indefinidamente.

Pero en esta hipótesis, \( e \) tiende hacia 1, por lo que \( \cos e \)
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 18

tiende hacia cos arc 1 ó cos 57° 30' ó 0, 54 próximamente, y se hace pues \( \infty \), pero \( \frac{y}{x} = 0,54 \). Esta recta es pues asíntota á la curva.

Falta discutir la función y para los valores de x negativos; pero creemos que el lector podrá continuar fácilmente estas investigaciones.

CUESTIÓN 7

Una elipse cuyos ejes se conocen, gira en su plano al rededor de su centro. En cada una de sus posiciones se le trazan tangentes en los puntos en que se halla cortada por dos rectas rectangulares fijas, trazadas por dicho centro. Hallar el lugar de los puntos de intersección de las tangentes. Se consideran además las cuerdas de contacto así determinadas, y se trata de hallar el lugar de sus intersecciones sucesivas.

(Lille. Concours académique 1875).

Solución por A. KRAHE

Sean a y b los semi-ejes de la elipse. Su ecuación, con respecto á las rectas rectangulares fijas que pasan por su centro, es

\[
\frac{x^2}{x^1} + 2\lambda ay + \frac{y^2}{\beta^1} = 1 \tag{1}
\]

Los parámetros \( x, \beta, \lambda \) están ligados con los semi-ejes por las condiciones

\[
\frac{1}{x^1} + \frac{1}{\beta^1} = \frac{1}{a^1} + \frac{1}{b^1} \tag{2}
\]
\[
\frac{1}{x^1 \beta^1} - \lambda^2 = \frac{1}{a^1 b^1} \tag{3}
\]

Las tangentes en los puntos (\( \pm x, 0 \)) y (\( 0, \pm \beta \)) se cortan en puntos do los diámetros

\[
\frac{x^1}{x^2} = \frac{y^1}{\beta^2} \tag{4}
\]

Las tangentes en los puntos (\( \pm x, 0 \)) tienen por ecuación

\[
\frac{x^6}{x^1} + \lambda^3 x^2 y^3 + 2\lambda xy - 1 = 0 \tag{5}
\]

El lugar de las intersecciones de las tangentes será el de intersección de (4) y (5) al variar \( x, \beta, \lambda \) verificando las condiciones (2) y (3); se obtendrá su ecuación eliminando los parámetros variables entre
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 19

las cuatro ecuaciones que acabamos de citar. Introduciremos así como punto aislado el origen de coordenadas, intersección de las rectas (4).

Para hacer la eliminación, deduciremos de (2) y (4)

\[
a^3 = \frac{a^1 b^3 (a^2 + y^2)}{(a^2 + b^2) y^2}, \quad b^3 = \frac{a^2 b^3 (a^2 + y^2)}{(a^2 + b^2) x^2}
\]

sustituiremos estos valores en (3) y (5) y eliminaremos λ entre ambas.

Resulta para ecuación del lugar que se pide

\[
a^1 b^1 (x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + a^2 + b^2)^1 - 4 x^2 y^1 (a^2 + b^2)^1 = 0 \tag{6}
\]

Existe simetría con relación á los ejes coordenados y á sus bisectrices, por lo cual estudiaremos solamente la porción del lugar comprendida en uno de los ángulos rectos, formados por los ejes. Para ello pasaremos á coordenadas polares; la (6) se convertirá en

\[
a^3 b^1 (\dot{r}^2 + d^2)^1 - d^1 \dot{r}^2 \operatorname{sen}^2 2\theta = 0 \tag{7}
\]

Para abreviar se ha hecho \( a^2 | b^2 = d^2 \)

La ecuación (7) se descompone en las dos siguientes

\[
\dot{r}^2 \pm \frac{d^2}{ab} \dot{r} \operatorname{sen} 2\theta + d^2 = 0
\]

Tomaremos uno de los signos, por ejemplo el menos, pues se pasaría de una á otra cambiando θ en \( \theta + \frac{\pi}{2} \). Nos limitaremos por lo tanto á la ecuación

\[
\dot{r}^2 - \frac{d^2}{ab} \dot{r} \operatorname{sen} 2\theta + d^2 = 0 \tag{8}
\]

en la cual θ recibirá valores positivos menores que \( \frac{\pi}{2} \). Por una transformación angular vamos á deducir una construcción del lugar, diferente de la indicada en el enunciado. Cambiemos θ en \( \theta + \frac{\pi}{4} \), para referir la curva á la bisectriz de las partes positivas de los ejes como eje polar, después hacemos la transformación angular \( 2\theta = \omega \). La ecuación (8) se transforma en la de la circunferencia

\[
\dot{r}^2 - \frac{d^2}{ab} \cos \omega + d^2 = 0 \tag{9}
\]

cuyo centro está en el eje polar á una distancia del polo igual á \( \frac{d^2}{2ab} \) y cuyo radio es \( \frac{c^2 d}{2ab} \)
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 2

nueva vida á El Progreso Matemático Sres. Brocard, Clariana, Cesaro, Klompers, Laisant, Lemoine, Lampe, Durán-Loriga, Gómez Teixeira, Guimaraes, Jiménez Rueda, Neuberg, Pieri, Pirondini, Retali, Schlegel, Sollestinsky, Van Aubel, Vivanti, Ugarte, debemos dirigir el sincero testimonio de gratitud todos los amantes de la ciencia, de igual modo que á los de los Sres. Aubry, Alasia, Droz-Farny, Fontené, Guldberg, Hatzidakis, Krahe, Loria, Padoa, Petrini, Ripert, Rius, Octavio de Toledo y Alvarez Ude, que han colaborado en estos dos últimos años y contribuido á la publicación en España de dos importantes volúmenes matemáticos.

Por otra parte, trascendentales acontecimientos se han desarrollado entre nosotros. La creación del Ministerio de Instrucción pública hace esperar que este importantísimo elemento del organismo del Estado alcance el lugar preeminente que le corresponde. Se ha reconocido la preferente atención que merecen los estudios científicos, se ha presentado por el ministro del ramo Sr. García Alix un plan de estudios científicos, en el que éstos adquieren extensión, aunque no tanta como merecen y como exige el nivel medio de las naciones, de todo lo que se ha tratado en El Progreso Matemático; pero el afianzamiento de tan buenos propósitos queda todavía para lo porvenir.

Las nuevas ideas exigen un periodo de gestación que prepare los ánimos para ulteriores impulsos; la acción social es lenta y continua, como la de la Naturaleza. No se puede por un solo impulso destruir rutinas, vicios inveterados, cambiar el modo de ser de los organismos pobres ó deficientes.

Realizados, pues, los propósitos que motivaron la reaparición de El Progreso Matemático al mantener durante el periodo de actividad, que ha pasado, la atención acerca de los estudios matemáticos, que siempre merecerán altísima consideración en las naciones cultas, podemos quedar satisfechos los aficionados á estos estudios con la importancia del esfuerzo realizado durante dos años, sin pretender exigir un renacimiento súbito que nos hiciera avanzar en poco el camino perdido durante largo tiempo. Esto exigiría un esfuerzo tenaz y continuado.

Solo deseamos que ese nuevo impulso no tarde mucho en realizarse y que contribuyan á él, no solo los acontecimientos de la vida oficial, sino todos aquéllos que están obligados á contribuir al mismo por su profesión y por la eficacia de su acción personal.

Z. G. de Galdeano.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 20

Do aquí se deduce la construcción siguiente: describase la circunferencia (S), trazando un radio vector, duplicando el ángulo y llevando el mismo radio vector, tendremos un punto correspondiente de la (S).
La relación \( d\alpha = 2 d\beta \) nos indica que para puntos correspondientes de (S) y (C) se tendrá

\[
\tan \varphi' = 2 \tan \varphi
\]

en la cual \( \varphi \) y \( \varphi' \) son los ángulos que forman las tangentes con los radios vectores; se construirá por consiguiente con facilidad la tangente en cualquier punto de (S).

La transformación efectuada nos da también para valor del área de uno de los cuatro ojos que componen el lugar, la expresión

\[
= \frac{c^4 d^2}{2 a^2 b^2}
\]

Para resolver la 2.a parte de la cuestión, basta aplicar el teorema conocido: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la inversa de la altura correspondiente á la hipotenusa. El teorema citado y la relación (2) demuestran que las cuerdas de contacto son tangentes á la circunferencia

\[
x^2 + y^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}
\]

Estando \( x, y \) comprendidos entre \( a \) y \( b \) la envolvente no es la circunferencia completa, sino cuatro arcos, cuyos medios están en las bisectrices de los ejes.

CUESTIÓN 14

En un triángulo rectángulo, el semi perímetro es igual á la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito (esto es evidente). Demostrar que recíprocamente, si en un triángulo el semi-perímetro es igual á la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito, el triángulo es rectángulo.

(E. Lemoine).

Solución por M. L. Illner.

La relación \( p = r + 2R = \frac{s}{p} + \frac{abc}{2s} da \)

\[
2s^2 - 2sp^2 + abcp = 0
\]

\[
s = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{1}{2} \left( \sum a^2 b^2 + c^2 - a^2 \right)
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 21

La relación (1) desarrollada es de 6º grado. Si pues es divisible por \( p^2, b^2 + c^2 - a^2, c^2 + a^2 - b^2, a^2 + b^2 - c^2 \), se reducirá necesariamente, salvo un factor numérico, á

\[
p^2 (b^4 + c^4 - a^4) (c^4 + a^4 - b^4) (a^4 + b^4 - c^4) = 0
\]

y la proposición quedará demostrada. Pero siendo S³ divisible por p, (1) hecha racional, es divisible por \( p^1 \). Si se hace

\[
a^8 = b^8 + c^8, \quad \text{S se reduce á} \quad \frac{bc}{2}
\]

y (1) se reduce, salvo un factor \( \frac{1}{2} \), á

\[
2b^4 c^4 - 4b^2 c^2 p^2 + 4b^2 c^2 p \equiv -bc(b^4 + c^4 - a^4) = 0
\]

La relación (1) es pues divisible por \( b^4 + c^4 - a^4 \), y en vista de la simetría, por \( c^4 + a^4 - b^4 \) y \( a^4 + b^4 - c^4 \) (LQQD).

Solución por M. A. Duarte Faria.

En todo triángulo ABC, rectángulo en A, se tiene: \( r = p - a \) y \( 2R = a \), de donde, evidentemente \( 2R + r = p \).

La recíproca es una consecuencia de la fórmula 114 publicada por M. Lemoine en Mathesis (1892)

\[
tg A \cdot tg B \cdot tg C = \frac{2S}{p^2 - (2R + r)^2}
\]

Si \( p = 2R + r \), \( tg A \cdot tg B \cdot tg C = \infty \);

luego uno de los ángulos del triángulo es igual á 90°

Se podría también utilizar la fórmula

\[
4R^2 \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C = p^4 - (2R + r)^4
\]

CUESTIÓN 15

Sea un triángulo ABC del que se da la base BC. Hallar el lugar de A, sabiendo que los lados se hallan en progresión aritmética. Caso en que la base no es ni el lado mayor ni el menor.

(E. Lemoine).

Solución por M. L. Rivet

1. Sea O el medio de BC = a. Tomando por ejes BOX y la me-
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 22

distriz OY, y designando por \( \lambda \) la razón de proyección, las ecuaciones son

\[
(1, 1')\quad BC \geq CA > AB \left\{ \begin{array}{l}
\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 = (a \mp i)^2, \\
\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 = (a \mp 2\lambda)^2
\end{array} \right.
\]

\[
(2, 2')\quad CA \geq AB > BC \left\{ \begin{array}{l}
\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 = (a \pm \lambda)^2, \\
\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 = (a \pm 2\lambda)^2
\end{array} \right.
\]

\[
(3, 3')\quad CA \geq BC > AB \left\{ \begin{array}{l}
\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 = (a \pm \lambda)^2, \\
\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 = (a \mp \lambda)^2
\end{array} \right.
\]

debiéndose tomar simultáneamente las líneas superiores ó inferiores, de lo que resulta que en cada doble caso no hay más que un parámetro \( \pm \lambda \) por eliminar. Las ecuaciones (1) y (2) se cambian entre sí sustituyendo \( x \) por \( -x \); las ecuaciones (3) y (3') se cambian entre sí sustituyendo \( x \) en \( -x \) y \( \lambda \) en \( -\lambda \). El lugar total comprende pues, dos curvas I y II simétricas la una de la otra con respecto á OY, siendo cada una de ellas simétrica con respecto á OX y una curva III cuyos ejes de simetría son BC y OY.

Las ecuaciones de estas curvas, que se obtienen fácilmente por la eliminación de \( \pm \lambda \) entre dos ecuaciones correspondientes, son

(I)\hspace{1cm} 144 (x^2 + y^2)^2 - 480 ax (x^2 + y^2) + 312 a^3 x^2 -
\hspace{10cm} 88 a^4 y^3 - 24 a^3 x - 15 a^4 = 0

(II)\hspace{1cm} 144 (x^2 + y^2)^2 + 480 ax (x^2 + y^2) + 312 a^3 x^2 -
\hspace{10cm} 88 a^4 y^3 + 24 a^3 x - 15 a^4 = 0

(III)\hspace{1cm} 8x^2 + 4y^2 = 3a^2

Esta última curva es una elipse cuyo eje mayor es 2a y el menor \( a \sqrt{3} \) y los focos B y C. Los extremos del eje mayor corresponden al caso en que los lados son \( a, \frac{a}{2}, \frac{3a}{2} \). Las extremidades del menor corresponden al caso del triángulo equilátero, cuyos lados están en progresión aritmética con la razón \( \lambda = 0 \).
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 23

2. Las curvas I y II son cuárticas bicirculares, y atendiendo á su simetría, basta estudiar la I. Si en su ecuación se hace \( y = 0 \), se obtiene

\[
144 x^4 - 480 a x^3 + 312 a^2 x^2 - 24 a^3 x - 15 a^4 = 0
\]

ó

\[
\left( x + \frac{a}{6} \right) \left( x - \frac{a}{2} \right)^2 \left( x - \frac{5a}{2} \right) = 0
\]

lo que muestra que el vértice C \( \left( x = \frac{a}{2} \right) \) es un punto doble de la curva y que los puntos D \( \left( x = -\frac{a}{6} \right) \) y E \( \left( x = \frac{5a}{2} \right) \) son sus vértices. Si se transporta el origen al punto doble C, la ecuación adquiere la forma más sencilla

\[
9 (x^2 + y^2)^2 - 12 a x (x^2 + y^2) - 4 a^3 (2 x^2 + 4 y^2) = 0
\]

C es pues un punto doble aislado, porque sus tangentes son las rectas imaginarias \( y = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2} x \).

Se observa fácilmente que la curva no tiene puntos más que entre las ordenadas de D y E, y que pasa, contándose las abscisas desde O, por los puntos A₁ y A₁', \( \left( 0, \pm \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \), A₂ \( \left( \frac{a}{2}, \frac{4}{3} a \right) \), A₃ (a; 1,46 a aproximadamente). A₄ \( \left( \frac{3a}{2}; 1,44a \text{ aproximadamente} \right) \): A₅ (2a; 1,40a aproximadamente). Da pues, la forma indicada por la figura.

3. Para darse cuenta del modo de responder el sistema (I, II) geométricamente á la cuestión, basta observar que en (1) y (2) el vértice A está siempre á la izquierda de OY y que, en el caso (1') y (2') está siempre á la derecha.

La repartición de las partes del lugar, es pues

(1) A₁ DA₁', (1') A₁ EA₁'; (2) A₁ EA₁'; (3) A₁ D' A₁'
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 24

Los puntos A₁ y A₁', son triples en el sistema (I, II, III), porque el triángulo equilátero (\( \lambda = 0 \)) corresponde á la cuestión para todas las combinaciones. En cuanto á los vértices B y C, (puntos aislados), forman igualmente parte del lugar geométrico, porque si se coloca, por ejemplo, A en C, los lados BC, O, — BC, están en progresión aritméticos.

Observación.—Se puede referir á la cuestión 15 la obtención del lugar de los vértices de los triángulos cuya base es fija y cuyos lados están en progresión geométrica.

Operando de igual manera, se obtiene fácilmente que este lugar se compone de las cuárticas bicirculares

(I' y II') \( 16(x^4 + y^4)^2 \mp 32ax(x^4 + y^4) + \)
\[
8a^2(x^4 - y^4) \mp 24a^2x - 3a^4 = 0
\]
(III') \( 16(x^4 + y^4)^3 - 8a^2(x^4 - y^4) - 15a^4 = 0 \)

curvas que pasan todas por los puntos A₁ y A₁', y fáciles de construir.

Cuestión 88. (Véase t. II, pág. 312; 1898.)

Discutir completamente en coordenadas rectangulares ó en coordenadas polares la curva representada por la ecuación polar

\[
\rho = a \cos \omega \pm a \sqrt{12 - 15 \cos^2 \omega}
\]

(El Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (H).

La curva encuentra á la circunferencia \( \rho = a \cos \omega \) en los puntos para los que \( 12 - 15 \cos^2 \omega = 0 \), es decir tales, que

\[
\cos \omega = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad \lg \omega = \frac{1}{2}, \quad \omega = \pm 26° 35' ...
\]

Por otra parte, el radio vector es nulo para

\[
\cos \omega = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \omega = \pm 30°
\]

Es máximo para \( \rho' = \omega \), do donde

\[
\cos \omega = \frac{\sqrt{5}}{10}, \quad \omega = \pm 77°
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 25

y el valor del máximo es

\[
z = \frac{8a}{5} \sqrt{\frac{7}{5}} = a \times 3,577 ...
\]

Para \( \omega = 90^{\circ} \), \( z = 2a \sqrt{3} \).

La ecuación de la curva en coordenadas rectangulares es

\[
y^4 + 2(x^2 - 6a^2 - ax)y^2 + x^2(x^2 + 4a^2 - 2ax) = 0,
\]

de donde

\[
y^2 = 6a^2 + ax - x^2 \pm a \sqrt{3} \sqrt{12a^4 + 4ax - 5x^2}
\]

La curva está pues comprendida entre las dos abscisas dadas por la ecuación

\[
12a^2 + 4ax - 5x = 0
\]

o \( x = 2a, x = \pm \frac{6}{5}a \), y en estos puntos \( y = \pm 2a, y = \pm \frac{2a}{5} \sqrt{21} \)

Para \( x = -a \), se tiene \( y = \pm a \) y \( y = \pm a \sqrt{7} \)

La curva se compone de dos bucles simétricos con respecto á Ox. Tiene dos puntos de inflexión.

Segunda solución por el Sr Bnocard.

La discusión de la curva 88 puede dirigirse y facilitarse por los desarrollos de la solución de la 89, (véase 1900, págs. 33-38, 66-68, 96-101, 132-138). En efecto, la curva 88 es una cuártica que ofrece muchas analogías de trazado con la curva 89. Las dos se componen de dos bucles. El origen es un punto doble, y en este punto las dos ramas son tangentes á la dirección \( \pm 30^{\circ} \). Se tiene así

\[
\begin{array}{ccc}
\omega = 30^{\circ} & r = 0 & r = 0 \\
\omega = 30^{\circ} & r = a \sqrt{3} & r = a \sqrt{3} \\
\omega = 45^{\circ} & r = 2a & r = 2a \sqrt{2} \\
\omega = 90^{\circ} & r = 2a \sqrt{3} & r = 2a \sqrt{3}
\end{array}
\]

abscisas límites

\[
x = \frac{3}{2}a \quad y = a \sqrt{3}, \qquad x = 2a \quad y = -\frac{6}{5}a
\]

Se compararían igualmente los valores particulares. Como para la
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 26

cuártica 89, se obtienen resultados sencillos en la investigación de las intersecciones de la curva con los círculos tangentes á OY en el origen. Se tiene, en efecto

\[
f_1 = m a \cos \omega
\]

de donde

\[
\cos^3 \omega = \frac{12}{16 + (m - 1)^2}
\]

y por consiguiente la abscisa de los puntos de intersección tiene por valor

\[
f \cos \omega = \frac{12 a m}{15 + (m - 1)^2}
\]

Las dos cuárticas tienen pues dos puntos de inflexión reales.

Nota.—Estas indicaciones nos parecen oportunas para esclarecer suficientemente el estudio comparativo de las dos curvas. Dejamos al lector el trabajo de terminar su estudio.

CUESTIÓN 106.

Estudiar y construir la curva representada por la ecuación

\[
y = \cos \sqrt{x}.
\]

(C. A. Laisant).

Segunda solución por M. H. Boccard.

Rectificaciones á la solución publicada (pág. 400).

Para \( x < 0 \) \( \sqrt{x} \) es imaginaria; pero cos \( \sqrt{x} \), desarrollado en serie, no contiene más que cantidades reales y positivas. Cos \( \sqrt{x} \) es positivo \( y > 1 \) y continuamente creciente. La curva está formada desde \( x = 0 \) hasta \( x = -\infty \) por una rama parabólica, que parte del punto \( A (x = e, y = 1) \) donde la inclinación de la tangente es \( -\frac{1}{2} \).

Para \( x > 0 \) y es real (véase pág. 400).

Cuestión 206. (Véase t. ii, pág. 28)

Sea la elipse \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^3}{b^3} = 1 \) y M uno de sus puntos; en cada punto se traza la simetría de la normal, con relación á la ordenada. Hallar la envolvente de esta recta

(E. Lemotino).
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 27

Solución por el Sr. Bucard (II.)

Sean MN la normal en M. MN' la simétrica, OP la perpendicular á MN' trazada por el origen O.

Las ecuaciones de estas tres rectas son, respectivamente,

(MN) (1) \[ Y - y = \frac{a^4 y}{b^2 x} (X - x) \]

(MN') (2) \[ Y - y = - \frac{a^4 y}{b^2 x} (X - x) \]

(OP) (3) \[ Y = \frac{b^3 x}{a^2 y} X. \]

En fin, la ecuación de condición es

(4) \[ a^2 y^2 + b^2 x^2 = a^2 b^2 \]

La eliminación de \( x \) é \( y \) entre las tres ecuaciones (1), (2), (3) dará la ecuación de la podar de la envolvente

(5) \[ (X^2 + Y^2)^3 (a^4 Y^2 + b^4 X^2) = (a^2 + b^2)^2 X^2 Y^2, \]

ó, en coordenadas polares

(6) \[ \rho = \pm \frac{(a^4 + b^4) \sen \omega \cos \omega}{\sqrt{a^2 \sen^2 \omega + b^2 \sen^2 \omega}} \]

que representa una curva compuesta de cuatro bucles iguales, tangentes en el origen á los dos ejes de coordenadas.

Verificaciones.—En el caso particular de degenerar la elipse en un círculo de radio \( a \), la podar se reduce á la rosácea de cuatro bucles:

(7) \[ \rho = 2a \sen \omega \cos \omega \qquad \delta \ (8) \qquad \rho = a \sen 2\omega \]

podar de la astroide (ó vulgarmente de la hipocicloide de cuatro retrocesos) Y, en efecto, la astroide envolvente de una recta de longitud constante \( 2a \), es la envolvente de la recta MN', que, en el caso del círculo, es de longitud constante, como se reconoce inmediatamente.

Esta observación puede conducirnos á una determinación más profunda de la verdadera naturaleza de la envolvente buscada. En efecto, la normal en M á la elipse ó MN, tiene por ecuación

(9) \[ y = mx + \frac{c^4 m}{\sqrt{a^4 + b^4 m^2}} \]