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la adopción de esta obra, que limitó en 1870 esta restricción á la Geometría plana.

Hoy vemos que la sociedad italiana Mathesis gestiona con el Ministro de Instrucción pública de Italia la fusión de las geometrías plana y del espacio en la segunda enseñanza. En el Congreso de Dusseldorf, el ilustre profesor Herr Klein propuso recientemente que en los planes de enseñanza la Geometría preceda al Algebra. Y todas estas mociones de las sociedades ó autoridades científicas trascienden hasta los Gobiernos, que reforman los planes de la educación y enseñanza en conformidad con los dictámenes científicos y técnicos de la más alta valía, y que conducen al adelantamiento de la cultura, y por consiguiente á las mejoras y ventajas materiales que éstas reportan en todos los organismos del Estado

Si estos detalles concernientes al modo de enseñarse una sola asignatura constituyen asunto digno de atención, lo es en más alto grado el orden y la disposición de las enseñanzas en cada Facultad; y esto, que es lo más descuidado entre nosotros, afecta de una manera decisiva á los resultados finales, pues el tiempo que trascurre en un régimen deficiente es tiempo perdido, que á la larga se traduce en desventajas manifiestas é irreparables.

Desde hace veinte años, en nuestras Facultades de ciencias, contra lo que acontece en otras Facultades, se dispuso el llevar al segundo año la asignatura que se denominó Complemento de Algebra y que era el comienzo natural de los estudios matemáticos en las Universidades sustituyéndoles, por un primero y segundo curso de Análisis, retrasando hasta el tercer año el Cálculo infinitesimal, verdadera llave de todas las ramas de dichos estudios, todo con pueriles motivos, produciendo el deplorable resultado de que los alumnos no tengan el suficiente tiempo de afianzar estos conocimientos en las aplicaciones que de ellos pudieran hacer en los cursos ulteriores.

En Italia, durante el primer curso, estudian los aspirantes al doctorado en Matemáticas puras, Física y Química, las asignaturas siguientes: Física experimental, Algebra, Geometría analítica y proyectiva, con ejercicios de Geometría analítica y proyectiva.
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El 2.º curso comprende: Química general, cálculo infinitesimal, Geometría descriptiva, ejercicios de Química, de Física y de cálculo infinitesimal.

En el segundo bienio, que comprende dos cursos, los aspirantes al doctorado en matemáticas, estudian Astronomía, Geometría superior, Análisis superior, Mecánica racional, Mecánica superior, Geodesia, Física matemática y Teoría de las sustituciones y aplicaciones á las ecuaciones algébricas (esta última como curso libre).

En cuanto á los doctores en ciencias físicas y químicas bastará manifestar, que además de las asignaturas propias de su sección, estudian la Mecánica racional y además, los primeros, la Mecánica superior, la Geodesia y la Física matemática.

¿Qué razón existe entre nosotros: 1.º para retrasar los estudios matemáticos, 2.º para desheredar á los físicos y químicos de varias asignaturas arriba consignadas? Cómo podrán leer los primeros las obras de autores como Lamé, Mathieu, Resal, Maxwell, Poincaré? ¿Podrán seguir los segundos las recientes investigaciones de la mecánica química y de la química física en obras recientes tales como las del profesor belga M. Duhem y del profesor de la Universidad de Berlín Van 't Hoff.

Para demostrar la insuficiencia de nuestros estudios matemáticos, bastará citar los planes de las Universidades de Estrasburgo, Gottinga y Harvard University.

En Estrasburgo y en Gottinga los cursos elementales comprenden las asignaturas: Geometría analítica de dos y tres dimensiones, el cálculo diferencial e integral, la introducción á la geometría sintética (proyectiva), la mecánica técnica y la geometría de posición; además existe un curso de utilidad incontestable cuyo objeto es la Enciclopedia de las matemáticas elementales.

Los cursos superiores comprenden cuatro grupos:

1.º Geometría analítica de tres dimensiones, según los métodos recientes.—Teoría de las curvas alabeadas y de las superficies.—Teoría de la curvatura de las curvas y de las superficies.—Mecánica analítica.—Teoría del potencial.

Grupo 2.º — Integrales definidas.—Ecuaciones diferenciales ordinarias.—Ecuaciones derivadas parciales de la física mate-
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mática.—Cálculo de variaciones.—Teoría de los grupos de transformación (según Lie).

Grupo 3.º — Teoría general de las funciones.—Las ecuaciones diferenciales lineales, tratadas desde el punto de vista de las funciones.—Funciones elípticas.—Funciones hyper-elípticas.—Funciones abelianas y funciones θ.

Grupo 4.º — Algebra superior.—Teoría de los números.—Teoría de las invariantes.—Teoría de los números algébricos.—Teoría de los grupos finitos.—Cálculo de las probabilidades.

También la Historia de las matemáticas figura en el programa de la Universidad de Estrasburgo.

En Harvard University se estudia para la clase: Primarily for Undergraduates: Logaritmos, Trigonometría plana y esférica, Geometría analítica plana (curso elemental), Algebra, Geometría sólida, Trigonometría y Geometría analítica plana, cálculo diferencial e integral (primer curso), Elementos de mecánica.

Para la clase de undergraduates y graduates se estudia: Geometría superior, Teoría de las curvas y de las superficies (primer curso), Curvas planas algébricas, especialmente las de tercer grado en coordenadas-puntos y líneas.—Teoría de las curvas y superficies (2.º curso). Cuaternios con aplicaciones á la Geometría y á la Mecánica (2.º curso).—Séries trigonométricas.—Introducción á las armónicas esféricas.—Función potencial.—Teoría de las funciones (curso preliminar).—Teoría de los números.—Hidrostática.—Hidrodinámica.—Funciones fuerzas, funciones potenciales de velocidad y sus aplicaciones.—Teoría de Lie aplicada á las ecuaciones diferenciales.—Teoría de las superficies.—Teoría de las funciones (2.º curso): Teoría de las funciones, según Riemann.—Funciones definidas por las ecuaciones diferenciales lineales.—Teoría de los movimientos planetarios.

Hay además cursos de lecturas e investigaciones dirigidas por los profesores acerca de:

Picard, Tratado de Análisis.—El Icosaedro y las funciones modulares elípticas.—Euclides y las hipótesis de Geometría.

Además hay cursos acerca de: Algebra lineal asociativa.—El Algebra de la lógica.—Cuestiones selectas de los cuaternios.
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—Forma de la Tierra.—Elasticidad.—Métodos de la Física matemática.—Transcendentales abelianas y elípticas.

Los cursos de Astronomía comprenden: Astronomía descriptiva.—Astronomía práctica.—Astronomía esférica.

TENDENCIAS A LLEVAR LAS TEORIAS HACIA LOS ELEMENTOS. En un principio, los nuevos descubrimientos pertenecen á un reducido círculo, constituido por las eminencias capaces de penetrarse de ellos y de apreciar desde luego su verdad y su trascendencia; más tarde llega la época de la vulgarización, de ponerla al alcance de inteligencias inferiores.

Los apéndices de la Geometría de los Sres. Rouchié y Comberouse expresan esta tendencia; pero en esta obra no se hallan todavía fundidas ó asimiladas con los elementos euclídeos las teorías de la Geometría moderna, creada por Chasles.

La obra Lehrbuch der Arithmetique und Algebra del profesor de la Escuela politécnica de Karlsruhe in Baden, Sr. Schroeder, ofrece un ejemplo del descenso de los conceptos combinatorios y de las clases lógicas hacia la teoría del cálculo elemental, tendencia manifestada, también en la Teoria delle Grandezze, del profesor de Turín, Sr. Bettazzi, en la obra Grundlagen der Arithmetik del Sr. Schubert, con que comienza la magistral obra Encyclopedie der Mathematischen Wissenschaften, publicada desde fines del año pasado bajo los auspicios de varias academias y sociedades científicas alemanas.

Las elegantes Vorlesungen über Geometrie de Clebsch expresan una unión sistemática de las geometrías sintética y analítica con el Algebra de las formas; y esta vulgarización de la nueva Algebra, debida principalmente á Boole y Cayley, fué adaptada á la enseñanza clásica por el profesor Salmon, que llevó á este dominio los secundos conceptos de los elementos en el infinito y los elementos imaginarios, expuestos primordialmente en los magistrales tratados de Geometría, de Plücker.

Entre las obras que expresan esta tendencia á incluir teorías superiores en tratados elementales, podemos citar la Géométrie analytique de M. de Longchamps, que ha llevando también al Algebra algunas nociones del cálculo infinitesimal, como lo hace el Sr. Comberouse.
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Dicha tendencia puede observarse de igual manera en algunas obras recientes de cálculo infinitesimal, tal es el Traité d'Analyse de M. Picard, que comienza con la noción de integrales definidas, donde éste sabio profesor reune teorías tales como las del potencial, las de Gauss sobre la curvatura de las superficies, las de Lamé acerca de las coordenadas curvilíneas, los trabajos del Sr. Schwarz sobre la representación conforme, las funciones armónicas, las integrales abelianas y el estudio de las funciones en las superficies de Riemann, la extensión de los teoremas de Galois y de Lagrange respecto al grupo de una ecuación á la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, cuyas analogías con las ordinarias establece, introduciendo los conceptos de grupos de transformaciones de Lie.

Esta tendencia al descenso del cálculo integral hacia el diferencial, ó mejor, á la fusión de ambos, se advierte en el Cours d'Analyse de M. C. Jordan que aplica desde luego á esta rama superior la teoría de los conjuntos del profesor de Halle Herr Georges Cantor.

Por último, nuevo testimonio de esta tendencia ofrece la obra Elements d'Analyse mathématique á l'usage des ingenieurs et des physiciens, publicada recientemente por M. Apell.

TENDENCIA A LA DIVISION DE LAS ENSEÑANZAS. Esto es conforme con el orden de la Naturaleza, en general, y con las leyes del desarrollo intelectual en particular.

La inteligencia humana, en cada una de las épocas de la historia ha adquirido la ciencia de un modo gradual, en esta adquisición no siempre la luz de la verdad ha brotado con toda su intensidad; pero la ciencia ha experimentado un progreso en su conjunto; y cada grado de este progreso ha contenido particularmente algo de los progresos anteriores, ha habido una mezcla de los crecimientos por yuxta-posición y por intus-susception, que se nota en la Naturaleza.

El desarrollo de la ciencia en cada individuo sigue en reducida escala, las leyes del desenvolvimiento general; por eso á los ciclos de la Naturaleza deben corresponder ciclos de la enseñanza.

Ejemplos de esta división de cada ciencia en estudios par-
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ciales podemos observar, especialmente en las Universidades germánicas y anglo-sajonas, según arriba hemos expuesto.

Contrario á esta ley ha sido el procedimiento seguido en nuestras Facultades de ciencias, de retrasar el estudio del Algebra superior y correlativamente los de la Geometría analítica y Análisis infinitesimal, por fijarse en ciertos detalles secundarios que puede salvar la buena voluntad del profesor, no empleando de algunas teorías más que las nociones precisas, para poder explicar otras, cuyo orden de prelación se impone dentro del plan general y de las conveniencias, para facilitar y abreviar los estudios, llegando por el camino más corto á los resultados más importantes y á las aplicaciones más útiles, descartando de paso lo que pueda por el momento convertirse en inútil bagaje.

ORDEN Y DISPOSICION DE LAS ENSEÑANZAS. Ya hemos indicado que no es de rigor que tal ó cual asignatura preceda ó siga á otra en la práctica de la enseñanza, por más que tengan su orden natural en el organismo de la ciencia; así pues, no es indispensable que antes de estudiar Geometría analítica se estudie el Algebra superior, ni que el Cálculo infinitesimal siga rigurosamente á éstas.

Los escasos conceptos fundamentales ó categorías permiten distribuciones varias entre los objetos á ellas subordinados. Los progresos de la Matemática han hecho desaparecer aquellas divisiones convencionales hasta cierto punto, de carácter provisional, denominadas Aritmética, Geometría, Algebra etc., pues los conceptos de orden, combinación, número, extensión se pueden aplicar de muy varias maneras, penetrarse en unas ocasiones, separarse en otras; conduciendo á hacer de la Matemática, no un agregado de estudios heterogéneos, sino un sistema homogéneo en el que ejercen igual influencia aquellos primordiales conceptos, que si en la síntesis se disponen según cierto orden, cuando se trata de su asimilación á la inteligencia mediante la educación y la enseñanza, pueden desprenderse del todo en cantidad y forma adecuada, para llegar á dicha asimilación.

Los hechos confirman este aserto, pues Legendre y sus imi-
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ladores adoptaron nueva disposición en los elementos de Euclides. Los descubrimientos de Abel y de Galois permitieron pasar de la disposición que observamos en los tratados de Algebra, donde predominaba el carácter analítico y el problema de la resolución numérica de las ecuaciones, hasta el nuevo tratado de Algebra del profesor de Leipzig Herr H. Weber, en el que predominan las teorías combinatorias de las sustituciones y el concepto de orden, dominante en las teorías de los profesores Cantor y Dedekind.

Aunque el empleo simultáneo de las figuras en el plano y en el espacio se observa ya en las obras de Monge y de Staudt, y desde el año 1881, ya algunos autores han intentado el prescindir de esta división arbitraria, que podemos considerar como transitoriamente convencional, podemos calificar de novedad y resultado beneficioso para la enseñanza, la fusión de la Geometría plana con la del espacio, hecha sistemáticamente por los profesores Lazzeri y Bassani de la Real Academia naval de Livorno en su obra Elementi di Geometria, donde además se ha evitado el empleo de las proporciones, haciendo dicha rama de la Matemática, independiente de la Aritmética y del Algebra.

Finalmente citamos la trascedental reforma, que sería la de posponer el Algebra á la Geometría en los planes de enseñanza, innovación propuesta por el ilustre Klein, y que realmente tiene su primera razón en el hecho de haber precedido Euclides a Diosfanto en algunos siglos; y acerca de este asunto, creamos oportuno el reproducir, lo expuesto en el folleto: Consideraciones sobre la conveniencia de un nuevo plan para la enseñanza de las matemáticas elementales (1877):

«El desarrollo de la inteligencia humana varía de naturaleza en tres distintos periodos, ó más bien, en cada uno de estos se nota el predominio de una de sus facultades sobre las demás.

»En el primero, la intuición empírica ó percepción, la memoria y la imaginación anulan casi por completo el desarrollo de las otras facultades. No se puede generalizar, abstraer, inducir, ni deducir, si no hay elementos para estas superiores funciones de la inteligencia.

»Adquirir materiales para el conocimiento científico, es el
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primer trabajo de la inteligencia que se efectúa también en el periodo más apropiado, el del preponderante desarrollo y ejercicio de la memoria, de las percepciones y de la imaginación.

»El segundo periodo de desarrollo intelectual, es pues, el de la inducción, generalización, abstracción y clasificación.

»Las ideas abstractas conservan el carácter de contingentes, propio de los objetos y fenómenos observados que les han servido de fundamento, y no pueden llenar las aspiraciones del espíritu en el tercer periodo, el más perfecto de su desarrollo; pues la razón, excitada por las ocasiones de ejercerse tan repetidas que se le han presentado, descubre en su fondo algo á que no satisfacen las ideas abstractas, y ve lo necesario opuesto á lo contingente, lo infinito á lo finito, la causa dominando al efecto, la ley al fenómeno, la condición imponiéndose á lo condicionado.

»La enseñanza sigue estas fases de la vida intelectual, que señala con sus tres divisiones en primaria, segunda ó preparatoria y superior.

»La enseñanza debe corresponder á las fases ya anteriormente indicadas del desarrollo intelectual. Las percepciones y recuerdos, las ideas abstractas y las ideas racionales son los tres puntos de vista para fijar el plan.»

En el folleto á que nos referimos, consideramos necesario expresar la graduación de los estudios matemáticos, conforme á un plan educativo, por medio de cinco tratados, cuyo contenido se manifiesta como sigue:

«El primer tratado llamado Exposición preliminar ó intuitiva, contendrá las definiciones, divisiones y operaciones, correspondientes á la Aritmética, ciencia del número, es decir, la descripción del objeto y sus variedades y la parte práctica, cuya justificación es un análisis intuitivo de escasa dificultad; después seguirán las definiciones y divisiones pertenecientes á la Geometría, ciencia de las figuras, cuyo objeto, más concreto é inteligible que el del Álgebra, cuyos métodos más numerosos que los de ninguna otra parte de la Matemática, la hace muy propia para mostrar desde luego los medios que ha de emplear
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la inteligencia en la demostración y resolución de problemas. La memoria y la intuición empírica son las funciones intelectuales casi exclusivamente ejercidas en esta parte.

»El segundo tratado será la Metodología, que principiará por consideraciones generales respecto al teorema y problema, distinción de uno y otro, partes de que constan y numerosos ejemplos prácticos para ejercitar en distinguir la hipótesis de la tesis, los datos de las incógnitas y en obtener el teorema recíproco de otro dado; seguirá una ordenada descripción de los métodos de demostración, empezando por los geométricos de superposición, rebatimiento y giro, de carácter práctico, concretada á las demostraciones de teoremas muy sencillos; después se enseñará el método de la cuarta proporcional y de las rechas antiparalelas, pasando á los generales de sustituciones sucesivas y de los límites, para dejar en último término el ad absurdum que se expondrá en sus tres casos. La Metodología dará como resultado poner en conocimiento del alumno los diferentes procedimientos matemáticos que se combinan para demostrar y resolver las cuestiones.

»El tercer tratado debe ser la exposición razonada de la ciencia elemental en sus cuatro partes: Aritmética, Geometría, Algebra y Teoría de las funciones circulares con la resolución numérica de los triángulos rectilíneos. En virtud de lo ya expuesto, bastará indicar el método ó métodos de nostrativos empleados para cada caso, desarrollándolos, á lo sumo, en los primeros ejemplos ó en algunos que presenten dificultad ó circunstancias notables. Esto evitará el trabajo más difícil para el alumno que estudia los textos actuales, consistente en deducir de una larga relación lo esencial, que constituye las demostraciones, es decir, un análisis de la doctrina expuesta, para comprender sus extremos, y una síntesis que resuma las ideas capitales con su natural dependencia, para ponerle en posesión de la verdad, no mediante la memoria sino mediante el juicio, lo cual supone un gran discernimiento, un buen criterio y facilidad para traducir las palabras en ideas, con reciprocidad. Esta tercera parte dará por resultado perfeccionar al alumno en el conocimiento de los métodos que superficialmente adquirió durante
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el anterior, por efecto del gran ejercicio práctico que constituye la exposición demostrada de la ciencia elemental.

»La Crítica dará por resultados hacer pasar el conocimiento expontáneo de la ciencia adquirida por el alumno, á conocimiento fundado. Aprenderá en este tratado las razones del orden expositivo y del empleo de los métodos, y cómo se subordinan y coordinan entre sí las verdades; es decir, cómo fundan las unas á las otras, y según qué leyes ó reglas se sustituyen. En éste, como en el anterior tratado, hay un predominio superior de la razón sobre las demás facultades.

»El quinto y último tratado será una síntesis general hecha á priori, prescindiendo de las trabas que impone la necesidad de fundar (en el estado actual de la ciencia) unas proposiciones en otras, es decir, deficiencias en los métodos, y al estado intelectual de los alumnos, que exige con frecuencia alteraciones en la rigurosa exposición sintética. Esta se realizará procurando presentar un cuadro completo, donde aparezcan las verdades según sus conexiones naturales, revelando sus armonías, presentándose como simétrico conjunto, para que la inteligencia, en cuyo fondo reside la idea de orden, lazo universal de las ideas, retenga los conocimientos adquiridos, no por el artificio pasajero de la memoria, sino por una fuerza permanente, capaz de reproducirlas en todas ocasiones.

«El objeto de este quinto tratado es evitar que la inteligencia, agobiada por los detalles, se pierda en la numerosa variedad de éstos, colocándola á una superior altura desde donde le sea fácil distinguir el conjunto de todos los detalles, unidos entre sí por relaciones naturales.»

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. José G. de Galdeano en Marzo de 1898)

PROGRAMA
CONFERENCIA 1.ª — Carácter de la Matemática en el siglo XIX. — Variedad de sus teorías. — Tendencia unificadora. — Conceptos principales que
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han conducido á la unificación.—Generalidad de las diversas teorías.—Necesidad de una nueva clasificación de éstas.

2.a — Teoría de los números.—Influencia de Gauss.—Teorías de Dedekind y Kummer.—Concepto de los conjuntos de Cantor.—Investigaciones de Bois-Reymond.—Moderná exposición de la Aritmética general y de las teorías de las magnitudes y funciones de variables reales.

3.a — Geometría moderna. Carácter propio de la Geometría en la escuela de Monge.—Direcciones dadas por Carnot, Poncelet, Staudt, Chasles, Plücker y Clebsch.—Lo imaginario y lo infinito.—Las geometrías infinitesimales y vectoriales.

4.a — Geometrías no-euclídeas.—Geometrías de Lobatschewsky y de Riemann.—Estudio comparativo de los tres géneros de geometrías.—Principales desarrollos de las no-euclideas.

5.a — Geometría de n dimensiones—Concepto del hiper-espacio.—Exposición general de la geometría de n dimensiones.—Particularización de la de cuatro.—Poliedros de Schlegel.—Nociones acerca del Analysis situs.

6.a — Algebra.—Carácter esencial de esta rama.—Principios de Lagrange, Abel y Galois.—Álgebras superiores de Peirce, Dedekind y Weierstrass.

7.a — Algebra de la lógica.—Métodos de Boole y Jevons.—Doctrina de Schroeder.—Principios combinatorios de Grassmann.

8.a — Algebra de las formas.—Correspondencia entre el Álgebra de las formas y la Geometría proyectiva.—Aplicaciones de las sustituciones lineales.—Transformaciones de Cremona.—Problemas de la equivalencia y de la afinidad de las formas.

9.a — Teorías de las funciones.—Dominio del cálculo infinitesimal. Funciones de variables complejas: sus especies.—Periodicidad de las funciones.

10.a — Unificación de los conceptos de la Matemática en el siglo XIX.—Nociones acerca de los trabajos de Sophus Lie sobre los grupos de transformaciones.—Resumen del trabajo sintético del siglo xix.

EXTRACTO DE LA CONFERENCIA PRIMERA
CARÁCTER DE LA MATEMÁTICA EN EL SIGLO XIX

SEÑORES: Si bien la verdad es tanto más bella cuanto más sencilla, y se impone ella sola con sus propios atractivos, tengo el sentimiento de no poseer el don de la elocuencia para expresar mis propósitos encaminados á reunir en breve síntesis el rico caudal de importantes y fundamentales descubrimientos realizados du-