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El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 28

La sustitución \( m = - \frac{x}{y} \) da la ecuación de la podar de la envolvente de esta recta MN, ó

\[
x^3 + y^2 = \frac{c^4 x y}{\sqrt{a^2 y^2 + b^2 x^2}}
\]

ó, en coordenadas polares

\[
r = \frac{c^4 \operatorname{sen} \omega \cos \omega}{\sqrt{a^2 \operatorname{sen}^2 \omega + b^2 \cos^2 \omega}}
\]

Así, la podar de la evoluta de la elipse es homotética á la podar (6) de la envolvente de las rectas MN'. Esta última envolvente es pues la evoluta de una elipse concéntrica y homotética á la propuesta (4). La razón de homotecia es \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} \).

Puesto que se presenta la ocasión de tratar un problema de envolventes de línea recta, deseo agregar algunas observaciones.

El desarrollo que precedo me parece un interesante ejemplo de la utilidad que puede resultar de sustituir á la determinación de la envolvente de una recta móvil, la investigación, á veces muy sencilla, de la podar de esta envolvente con relación al origen.

Cuando, en efecto, se pide la envolvente de rectas

\[
y = mx + \gamma(m)
\]

se tiene inmediatamente la podar del origen por la sustitución

\[
m = - \frac{x}{y},
\]
de donde
\[
x^3 + y^2 = y \gamma \left( - \frac{x}{y} \right)
\]

Por otra parte, toda curva es la podar positiva ó negativa de otra curva. Es pues un medio aceptable como otro cualquiera de llegar al conocimiento de la envolvente buscada.

He recomendado y experimentado desde hace largo tiempo este procedimiento de resolución de las cuestiones de envolventes; aprovecharía una nueva ocasión para demostrar su eficacia.

Solución y generalización por el Sr. Retaul.

Consideremos el caso general en el que, en voz de la elipse se enuncie una curva plana cualquiera (algebraica ó trascendente): La envolvente buscada es también el lugar de los centros de las hipérbolas
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 29

equiláteras osculatrices á la curva dada, cuyas asíntotas son paralelas á las bisectrices de los ángulos de los ejes (coordenados rectangulares). Esto sentado, si las ecuaciones paramétricas de las curvas dadas son

\[
x = x(t), \quad y = y(t)
\]

para las coordenadas \( \xi, \eta \) del centro de la hipérbola equilátera correspondiente al punto \((x, y)\), se obtiene fácilmente

\[
\xi = x(t) + \frac{d^2 y}{dt^2} \left[ - \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right]
\]
\[
\frac{d^2 y}{dt^2} \cdot \frac{dx}{dt} - \frac{d^2 x}{dt^2} \cdot \frac{dy}{dt}
\]
\[
- \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2
\]
\[
\frac{d^2 y}{dt^2} \cdot \frac{dx}{dt} - \frac{d^2 x}{dt^2} \cdot \frac{dy}{dt}
\]

y estas son las ecuaciones paramétricas de la curva buscada. En el caso particular de la elipse, tenemos

\[
x = a \cos t, \qquad y = b \sen t
\]
\[
a \xi = (a^2 + b^2) \cos^3 t, \qquad b \eta = (a^2 + b^2) \sen^3 t
\]

La eliminación de \( t \) es inmediata, y obtenemos

\[
\left( a \xi \right)^{\frac{1}{3}} + \left( b \eta \right)^{\frac{1}{3}} = (a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}
\]

La envolvente buscada es pues también la envolvente de la recta que une las proyecciones ortogonales sobre los ejes, de la elipse

\[
a^2 x^6 + b^2 y^6 = (a^2 + b^2)^2
\]

y si \( a = b \), una astrolide.

Solución por D. AUGUSTO KRAKE.

La simetría de la normal con relación á la ordenada tiene por ecuación

\[
\frac{X}{b^2 x} + \frac{Y}{a^2 y} = \frac{L'}{a^2 b^2}
\]

en la cual \( X, Y \) son las coordenadas generales; \( x, y \) las del punto \( M \) y \( L' = a^2 + b^2 \).
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 3

ALCUNE COMBINAZIONI DI FORMULE
par. C. Alasia, (Oristano)

Su di una superficie qualunque pigliamo due punte infinitamente vicini P, P₁ di cui sia δ la distanza, e per ciascuno di essi conduciamo il piano tangente. Come ognuno sa il rapporto fra l' angolo infinitamente piccolo formato da questi due piani tangenti e la lunghezza δ è la misura della flessione della superficie secondo la direzione PP₁ e che noi indichiamo con \( \frac{1}{r_1} \).

Sia PB la normale a tal superficie nel punto P, l' ed l'' le lince di curvatura in esso, R', R'' i raggi di curvatura corrispondenti ed l₁ la linea di curvatura in P₁. Conduciamo per gli estremi di l₁ le normali alla superficie e per P le rette PC, PA rispettivamente parallele a queste normali.—Possiamo considerare il piano individuato da PC e PA come normale al piano determinato da A ed l'. Indichiamo ancora con ω e ω' gli angoli rispettivamente formati dalla direzione PP₁ e dalla sua coniugata colla linea di curvatura l'.

Dall'essere il triangolo CAB rettangolo in A risulta:

(1) \( \frac{c}{a} = \cos B \)

Ma è:
\[
a = \frac{1}{r_1} \delta, \quad c = \frac{1}{R'} l', \quad \cos B = \sen \omega', \quad l' = \delta \cos \omega
\]
per cui la (1) può scriversi: (*)

(2) \( \frac{1}{r_1} \sen \omega' = \frac{1}{R'} \cos \omega \).

Con ragionamento analogo rispetto alla linea di curvatura l'' si ha:

(3) \( \frac{1}{r_1} \cos \omega' = - \frac{1}{R''} \sen \omega \)

(*) Gilbert.—Théorie des surfaces.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 30

Se busca por lo tanto la envolvente de (1), en la cual entran los parámetros \( x, y \), ligados por la ecuación

\[
\frac{x'}{a^3} + \frac{y'^2}{b^4} = 1; \tag{2}
\]

obtendremos la solución eliminando \( x' \) é \( y' \) entre (1) y (2), y la ecuación

\[
\frac{X}{b^2 x'} = \frac{Y}{a^2 y'}
\]
\[
\frac{x}{a^2} = \frac{y}{b^2}
\]

de la cual deducimos

\[
\frac{X}{b^2 x'} = \frac{Y}{a^2 y'} = \frac{l^3}{a^2 b^2}
\]

ó bien

\[
\frac{x}{a} = \frac{1}{l^3} X^{\frac{1}{3}}, \quad \frac{y}{b} = \frac{1}{l^3} Y^{\frac{1}{3}}
\]

sustituyendo en (2)

\[
a^{\frac{2}{3}} X^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} Y^{\frac{2}{3}} = l^{\frac{4}{3}}
\]

curva con cuatro retrocesos de primera especie que puede obtenerse por transformación homográfica de la hipocicloide

\[
x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}
\]

CUESTION 302
(Véase (2) t. II, pág. 79, 1900).

Discutir y construir la curva lugar de los focos de las parábolas que tienen por cuerda la base BC de un triángulo isósceles fijo ABC, pasando el eje por el vértice A de este mismo triángulo.

(J. Gillet.)
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 31

Solución por el Sr. Brocard (II.)

La ecuación de una parábola que pasa por los puntos \( B, C (x = \pm a, y = 0) \) y la expresión de la \( y' \) son

\[
(y - m x)^2 = n y + m^2 a^2, \quad y' = \frac{2 m (y - m x)}{2 (y - m x) - n}
\]

Una paralela al eje, trazada por \( A (x = 0, y = b) \) tiene por ecuación \( y = m x + b \).

Esta recta encuentra á la parábola en el punto \( S \)

\[
x_s = \frac{y_s - b}{m}, \quad y_s = \frac{b^2 - m^2 a^2}{n}
\]

y será el eje SS' si en este punto \( y' = - \frac{1}{m} \). Se tendrá pues

\[
- \frac{1}{m} = \frac{2 m b}{2 b - n}
\]

de donde

\[
n = 2 b (1 + m^2)
\]

La ecuación de la parábola variable es pues, en definitiva

\[
(y - m x)^2 = 2 b (1 + m^2) y + m^2 a^2
\]

y la de su eje

\[
y = m x + b.
\]

El punto H en que la tangente es paralela á OBX está situado en la recta \( y = m x \) conjugada á la cuerda CB. Se tiene pues

\[
x_H = - \frac{m a^2}{2 b (1 + m^2)}, \qquad y_H = - \frac{m^2 a^2}{2 b (1 + m^2)}
\]

El punto V en que la tangente es paralela á OAY está situado en la recta

\[
y - m x - \frac{n}{2} = 0 \quad \text{o} \quad y - m x - b (1 + m^2) = 0
\]

Se tiene pues,

\[
x_V = - \frac{m^2 a^2 + b^2 (1 + m^2)^2}{2 b m (1 + m^2)}, \qquad y_V = \frac{b^2 (1 + m^2)^2 - m^2 a^2}{2 b (1 + m^2)}
\]

Pero el foco F está en la cuerda VH y en el eje SS'. Se tendrá pues
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 32

que eliminar m entre las ecuaciones de estas dos rectas, lo que se reduce á sustituir m por \( \frac{y - b}{x} \) en la ecuación de la recta VII.

Se ve inmediatamente la simplificación que resultará de la traslación del origen á A. Se tendrá entonces \( y_1 = y - b \), y la ecuación de VII:

\[
y + b + \frac{a^2 m^3}{2b (1 + m^2)} = -m \left( x + \frac{a^2 m}{2b (1 + m^2)} \right)
\]

Así la dirección de VH es simétrica de la dirección de SS' con relación á los ejes de coordenadas.

Falta sustituir m por \( \frac{y}{x} \), lo que da

\[
b (x^2 + y^2) (2y + b) + a^2 y^3 = 0
\]

ecuación de una cúbica que admite á A Y por eje de simetría y que encuentra á A Y en A y en el punto \( y = - \frac{a^2 + b^2}{2b} \) y cuya asíntota es la recta \( y = - \frac{b}{2} \) paralela á A X.

Se la puede construir también en coordenadas polares, porque su ecuación es

\[
r = - \frac{b}{2 \sin \omega} - \frac{a^2}{2b} \sin \omega,
\]

y se ve que su radio vector resulta del de una recta y del de un otroulo.

Nota. El lugar de los vértices de S es igualmente una curva de tercer grado, cuya ecuación, referida á los ejes primitivos, es

\[
x^2 = (y - b)^3 \frac{2a^4 + 2by}{b (b - 2)y}
\]

CUESTIÓN 308.

Si sobre los tres lados de un triángulo \( A_1 A_2 A_3 \) se construyen exteriormente los cuadrados \( A_0 A_1 B_1 C_1, A_2 A_1 B_2 B_1, A_1 A_2 B_3 C_2 \), el vértice \( A_1 \) y los medios E, D, F de \( A_2 C_2, B_1 C_1, A_2 B_3 \) son los vértices de un pseudo-cuadrado.

(1). Vern. Aubel.)
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 33

Solución por M. A. Droz Farny.

Sean x y z los puntos medios de A₁ A₂ y A₂ A₃ y construyamos el paralelogramo x z l) y . y D es paralela á A₁ A₃ é igual á su mitad.
Los contornos poligonales

A₁ x y D
y F A₂ A₃ E son iguales.

Los lados A₁ x y F A₂ , xy y A₂ A₃ . y D y A₃ E son respectivamente iguales y perpendiculares entre sí. De esto resulta que A₁ D y FE lo son también y perpendiculares entre sí.

Solución por A. Krajnik

Sean G, H los puntos medios de A₂ A₃ , A₁ A₂ . Los triángulos HGD, EA₄ A₂ son iguales, por tener iguales dos lados y el ángulo comprendido, además sus lados están en posición perpendicular; luego EA₃ es igual y perpendicular á HD.
Los triángulos A₃ HD, FA₂ E que tienen dos lados y el ángulo comprendido iguales, son iguales y tienen sus lados correspondientes perpendiculares; luego A₁ D y PE son iguales y perpendiculares.
Los puntos A₁ , E, D, F son los vértices de un pseudo-cuadrado.

CUESTIÓN 317. (Véase (8) t. II pág. 200; 1900)

Hallar el lugar de los centros de las hipérbolas equiláteras que tienen un contacto de segundo orden con la logarítmica y = m log x, cuyas asíntotas son paralelas á los ejes coordenados.

(V. Retalli.)

Solución por el Sr. H. Brocard

Sean OX OY los ejes de coordenadas rectangulares, x, y las coordenadas del punto A de contacto de las dos curvas; α, β las coorde-
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 34

nadas del centro C de la hipérbola equilátera. Esta cónica y la logarítmica tendrán por ecuaciones

(H) \[ y - \beta = \frac{a^2}{x - z} \]   (L) \[ y = m \log x \]

Las dos líneas deben tener la misma curvatura en el punto A \((x, y)\) por consiguiente, se tendrá:

\[
y'_{H} = y'_L \quad \text{y} \quad y''_{H} = y''_L
\]

(1) \[ - \frac{a^2}{(x - z)^2} = \frac{m}{x} \]
(2) \[ \frac{2a^2}{(x - z)^3} = - \frac{m}{x^2} \]

que se reduce a

(3) \[ x = -z, \]

lo que se reduce á decir que la asíntota de (H) paralela á OY es simétrica de la ordenada del punto A con relación al origen. Por ser \(x\) necesariamente positiva, la rama de la hipérbola está encima de la logarítmica, entre el punto A y la asíntota y debajo de la logarítmica más allá del punto A.

Falta ahora eliminar \(x\) é \(y\) entre las tres ecuaciones (H) (L) y (1) ó (2) ó entre (H), (L) y (3). Se tiene así

\[
\beta - \frac{a^2}{2x} = m \log (-x)
\]

ó, volviendo á las notaciones habituales,

(C) \[ y = \frac{a^2}{2x} + m \log (-x) \]

curva transcendente que sólo existe en la región de las \(x\) negativas.

La curva (C) tiene la forma de una logarítmica situada en la región de las \(x\) negativas, asíntota de OY, que corta á OX en el punto dado por la única raíz de la ecuación

\[
\frac{a^2}{2x} + m \log (-x) = 0
\]

que se ve inmediatamente que es \(> 1\).

Nota. Se tiene

\[
\beta = y + \frac{a^2}{2x}
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 35

lo que manifiesta que la asíntota de (1), paralela á OX, pasa un poco por debajo de A y se aproxima á este punto, á medida que A se aleja de la logarítmica.

Por otra parte, \( x = -a \), luego el lugar (1') será una curva muy poco diferente de la simétrica (L') de la logarítmica (L) con respecto á OY, y asíntotica á esta curva (L'). La curva (C) estará totalmente debajo de (L').

CUESTIÓN 335

Una esfera encuentra á los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrilátero alabocado ABCD en los pares de puntos MM', NN', PP', QQ': demostrar que:

\[
\overline{AM}^2 + \overline{AM}_1^2 + \overline{BN}^2 + \overline{BN}_1^2 + \overline{CP}^2 + \overline{CP}_1^2 + \overline{DQ}^2 + \overline{DQ}_1^2 = \overline{BM}^2 + \overline{BM}_1^2 + \overline{CN}^2 + \overline{CN}_1^2 + \overline{DP}^2 + \overline{DP}_1^2 + \overline{AQ}^2 + \overline{AQ}_1^2 .
\]

Demostración por A. DROZ FAIRY

La igualdad por demostrar puede escribirse:

\[
\Sigma (\overline{AM}^2 - \overline{BM}^2) - (\overline{AM}'^2 - \overline{BM}'^2) = 0
\]

Bajemos del centro O de la esfera la perpendicular Oπ sobre la cuerda MM'; se tendrá:

\[
\overline{AM}^2 - \overline{BM}^2 = (\overline{AM} + \overline{BM}) (\overline{AM} - \overline{BM}) \\
= AB \left[ (A\pi - \pi M) - (B\pi + \pi M) \right]
\]

\[
\overline{AM}'^2 - \overline{BM}'^2 = (\overline{AM}' + \overline{BM}') (\overline{AM}' - \overline{BM}') \\
= AB \left[ (A\pi + \pi M') - (B\pi - \pi M') \right]
\]

y como \( M\pi = \pi M' \)

\[
\overline{AM}^2 - \overline{BM}^2 + \overline{AM}'^2 - \overline{BM}'^2 = AB (2 . \overline{A\pi} - 2 . \overline{B\pi}) \\
= 2 (A\pi + \pi B) (A\pi - \pi B) = 2 (\overline{A\pi}^2 - \overline{B\pi}^2) \\
= 2 (\overline{AO}^2 - \overline{BO}^2)
\]

y por consiguiente:

\[
\Sigma (\overline{AM}^2 - \overline{BM}^2) + (\overline{AM}'^2 - \overline{BM}'^2) = 2 \Sigma \overline{AO}^2 - 2 \Sigma \overline{BO}^2 = 0
\]

CUESTIÓN 342. (Véase (3) t. II, pág. 336; 1900)

La línea representada por la ecuación

\[
\frac{x}{8} - \frac{y}{3} = \text{const.}
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 36

tiene la propiedad característica de que la subnormal es media proporcional entre la sub-tangente y la abcisa.

(G. Pirondini)

Solución por el Sr. Brocard

Esta propiedad resulta muy sencillamente de la ecuación diferencial característica de la curva así definida. Se tiene, en efecto

S. normal = \( y \ y' \), S. tangente = \( \frac{y}{y'} \), abcisa = \( x \)

y la condición

\[
y^2 \ y'^2 = \frac{y}{y'} \ x
\]

se reduce á

\[
y' = \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{x}{y}}
\]

Pero de la ecuación (1) se deduce el mismo valor de \( y' \).

Solución por M. A. Droz-Farny

Se sabe que se tiene

\[
S_t = \frac{y}{y'}, \quad y \quad S_n = y \ y'.
\]

Se trataría pues de probar que, para la curva:

\[
(y \ y')' = \frac{x \ y}{y'} \quad \delta \quad x = y \ (y')^3.
\]

Pero de la ecuación

\[
x^{\frac{4}{3}} - y^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{4}{3}}
\]

se deduce por derivación

\[
\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y' = 0
\]

de donde

\[
x = y \ (y')^3
\]

Solución por el Sr. Retai (V.)

La ecuación diferencial del problema es

\[
\left( y \cdot \frac{dy}{dx} \right)^4 = x \left( y \cdot \frac{dx}{dy} \right)
\]

de la que separando las variables

\[
\frac{1}{y^{\frac{4}{3}}} \ dy = x^{\frac{1}{3}} \ dx \quad \text{é integrando} \quad x^{\frac{4}{3}} = y^{\frac{4}{3}} + \text{const.}
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 37

CUESTIÓN 393

Dos cónicas tienen por ecuaciones \( f(x, y) = 0, \ g(x, y) = 0 \); se trazan dos tangentes paralelas, y se une el centro de cada una al punto de contacto. Determinar el lugar del punto de intersección de las dos rectas así obtenidas cuando se hacen variar las direcciones de las tangentes.

(C. A. Laisant.)

Solución por M. A. Calinox.

Esta cuestión no es más que un caso particular de la siguiente:
Se dan dos cónicas C y C' y una recta XY, se toman las cuerdas de contacto ó las polares P_c y P_{c'} de un punto N de XY con relación á las dos cónicas C y C'; obtener el lugar del punto de intersección M de estas dos polares, cuando el punto N describe la recta XY.

Se ve inmediatamente que pasamos á la cuestión propuesta, cuando se lleva la recta XY al infinito, puesto que entonces las cuerdas de contacto P_c y P_{c'} pasan por los centros respectivos de las dos cónicas.

Paso al caso general. Desde luego las dos polares P_c y P_{c'} pasan respectivamente por dos puntos fijos A_c y A_{c'}, polos de la recta XY con respecto á las dos cónicas.

Considero en XY cuatro puntos N_1, N_2, N_3 y N_4 y sus cuatro polares en la cónica C, P'_c, P''_c, P'''_c, P''''_c; la relación anarmónica de los cuatro puntos en línea recta es también la relación anarmónica de las cuatro polares que concurren en A_c, lo que se expresa por

\[
(N_1, N_2, N_3, N_4) = A_c (P'_c, P''_c, P'''_c, P''''_c)
\]

Se tendrá también en la cónica C' (N_1, N_2, N_3, N_4) = A_{c'}(P'_c, P''_c, P'''_c, P''''_c) de donde se deduce que los dos haces en A_c y A_{c'} tienen igual relación anarmónica, por lo que son homográficas. M es así el punto de intersección de los dos rayos homólogos P_c y P_{c'} de los dos haces homográficos de centros A_c y A_{c'}; el lugar pues, del punto M es una cónica que pasa por A_c y A_{c'}. El lugar de este punto M puede considerarse también del modo siguiente:

Pasando por M la polar P_c del punto N, con relación á la cónica C, inversamente, la polar P_{c'} del punto M con relación á C pasará por N; igualmente la polar P'_c', del punto M con relación á la cónica C' pasa por N, que es, por consiguiente, el punto de intersección de las polares P'_c y P''_c'. Luego el lugar del punto M es el lugar de los puntos cuyas dos polares con relación á C y C' se cortan en XY.

Sea FGII el triángulo recíproco de referencia común á las dos
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 38

cónicas. La cónica lugar del punto M pasa por los vértices de este triángulo. En efecto, el punto F tiene por polar en las dos cónicas la misma recta GH; luego estas dos polares confundidas permiten considerarse como cortadas en XY, y por consiguiente F pertenece al lugar.

Si se sustituyen las dos cónicas C y C' por otras dos que tengan el mismo triángulo de referencia FGII, se tendrá otra cónica como lugar del punto M; pero esta cónica pasará también por los vértices del triángulo FGII.

Para obtener la ecuación de la cónica, lugar de los puntos M, referiremos las dos cónicas C y C' al triángulo de referencia FGII, sus ecuaciones son

\[
A x^2 + B \beta^2 + C \gamma^2 = 0 \quad (C) \qquad A' x^2 + B' \beta^2 + C' \gamma^2 = 0 \quad (C')
\]

sea además \( m z + n \beta + p \gamma = 0 \) la ecuación de la recta XY.

Para que M (\( t, u, v \)) pertenezca al lugar, basta que sus polares con respecto á C y C' se corten en XY, es preciso pues expresar que estas dos polares

\[
A t \alpha + B u \beta + C v \gamma = 0 \qquad \text{y} \qquad A' t x + B' u \beta + C' v \gamma = 0
\]

y la recta XY son concurrentes, lo que nos da la determinante

\[
\begin{vmatrix}
A t & B u & C v \\
A' t & B' u & C' v \\
m & n & p
\end{vmatrix} = 0
\]

ecuación del lugar. Se tiene así una cónica que pasa por los vértices \( t = o, u = o \) del triángulo de referencia. Esta ecuación puede escribirse bajo la forma

\[
\frac{a}{t} + \frac{b}{u} + \frac{c}{v} = 0
\]

Si \( \alpha', \beta', \gamma' \) representa el punto \( A_c \), polo de XY en la cónica C, \( \alpha', \beta', \gamma' \) están dadas por las fórmulas

\[
\frac{\alpha'}{m} = \frac{\beta'}{n} = \frac{\gamma'}{p} = \frac{A}{A'} \frac{B}{B'} \frac{C}{C'}
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 39

Sustituyendo \( t, u, v \) en la ecuación del lugar por \( \alpha', \beta', \gamma' \), se ve que la primera línea de la determinante se hace idéntica á la tercera \( \alpha', \beta', \gamma' \) es pues, un punto del lugar, lo mismo el punto \( A_c' \)

Se vuelven á obtener las propiedades demostradas geométricamente.

Solución por M. A. DROZ FARAY.

De una manera más general, supongamos una recta dada \( g \) y sea \( P \) un punto variable de \( g \). Sea \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \), los polos \( g \) con respecto á dos cónicas \( S_1 \) y \( S_2 \).

Cuando \( P \) describe la recta \( g \), las polares de este punto describen dos haces de rectas cuyos centros son \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \), respectivamente homográficos á la puntual \( P \) y por consiguiente entre sí. El lugar de los puntos de intersección de los rayos homólogos de los dos haces, es una cónica que pasa por \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \).

Se obtendrá el lugar buscado, haciendo coincidir \( g \) con la recta del infinito. Es una cónica que pasa por los centros de las dos cónicas dadas

Observación.—Si \( g \) pasa por uno de los vértices del triángulo conjugado, común á las dos cónicas, el lugar se descompone en la recta \( \pi_1, \pi_2 \) y una segunda recta

Soluciones por D. A. Kraus

1.a solución. Sea \( m \) el coeficiente angular variable de la tangente. Los diámetros conjugados en ambas cónicas con la dirección \( m \) tendrán respectivamente por ecuaciones

\[
f'_x + m f'_y = 0 \qquad g'_x + m g'_y = 0
\]

luego el lugar pedido será la cónica

\[
f'_x \cdot g'_y - f'_y g'_x = 0
\]

cuya ecuación se obtiene eliminando el parámetro variable \( m \) entre las ecuaciones anteriores. El lugar pasa por los centros de las cónicas dadas, basta examinar la ecuación obtenida.

2.a solución. Las paralelas trazadas por los centros á las tangentes variables forman dos haces idénticos. Estos haces están en involución con los obtenidos uniendo los centros con los puntos de contacto; estos últimos serán haces homográficos. El lugar de los puntos de intersección de los radios correspondientes será una cónica que pasa por los vértices de los haces.
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 4

Innalzando a quadrato queste espressioni e sommandole membro a membro otteniamo la nota relazione:

\[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{R^2} \cos^2 \omega + \frac{1}{R'^2} \sin^2 \omega
\]

che mostra che se a partire da un punto di una superficie portiamo sulle tangenti alle sezioni principali delle lunghezze uguali ai raggi di curvatura corrispondenti \( R', R \) e con tali lunghezze prese quali semi-assi costruiamo una ellisse, il raggio vettore di questa preso secondo una direzione qualunque è uguale ad \( r_1 \) e misura la flessione della superficie secondo questa stessa direzione.

Evidentemente questa ellisse non è che la seconda indicatrice del Lamarle, e le (2) e (3) ci danno immantinenti la relazione che esprime la proprietà delle tangenti coniugate di formare un sistema di diametri coniugati dell'indicatrice, e che lega le quattro quantità \( \omega, \omega', R', R \). Essa è:

\[
\cotg \omega \cotg \omega' = - \frac{R'}{R'}
\]

Indichiamo con \( \frac{1}{r_2} \) la flessione della superficie rispetto ad una nuova direzione PP, e con \( \Omega, \Omega' \) gli angoli rispettivamente fatti da questa direzione e dalla sua coniugata colla linea di curvatura \( l' \). Avremo formule analoghe alle (2) e (3), cioè:

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{r_2} \sin \Omega' = \frac{1}{R'} \cos \Omega \\
\frac{1}{r_2} \cos \Omega' = - \frac{1}{R'} \sin \Omega
\end{array}
\right.
\]

dalle quali ricaviamo:

\[
\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{R^2} \cos^2 \Omega + \frac{1}{R'^2} \sin^2 \Omega
\]

Combinando le (4) colle (2) e (3) otteniamo l'uguaglianza:

\[
\frac{1}{r_1 r_2} \sin (\Omega' - \omega') = \frac{1}{R' R} \sin (\Omega - \omega)
\]