ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 32

n y \( n' \) están entre sí en la relación \( r:r'' \), y se adapta el segmento dado BC entre las dos rectas \( m \) y \( m' \); de modo que, por ejemplo, sus extremidades C y B caigan respectivamente sobre \( m \) y \( m' \). Trazando, en fin, las bisectrices de los ángulos comprendidos en las BC y \( m \), se tendrán sobre \( n \) y \( n' \) los cuatro puntos O, O', \( \omega \), \( \omega' \), que corresponden á las dos soluciones del problema.

Para completar el triángulo buscado BCA (ó BCz), faltará sólo el trazar por el punto B al círculo de centro O (ó \( \omega \)) y de radio \( r \) una tangente distinta de la recta BC.

Del mismo modo se puede construir un triángulo ABC, dados los radios \( r \) y \( r'' \) y la bisectriz BB'.

CUESTIÓN 117.

(Véase tomo III, página 111).

a) Sean \( I_1, I_1, i_1, i_2 \), los centros de los cuadrados construídos exterior e interiormente sobre los lados \( A_1A_2, A_2A_3 \) de un triángulo \( A_1A_2A_3 \) y \( P_1, p_1 \) los centros de los cuadrados construídos sobre \( I_1I_2, i_1i_1 \). Demostrar que la recta \( p_1P_1 \) es igual y perpendicular á \( A_1A_3 \), que pasa por el vértice \( A_2 \) y que se halla dividida en dos partes iguales.

b) Si se unen los cuatro vértices de un trapecio inscripto ABCD á un punto cualquiera M de la circunferencia, se tiene la relación
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 33

\[
\frac{MA^2 - MB^2}{MD^2 - MC^2} = \frac{AB}{CD}
\]

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Sollertinsky. (B).

Sean \( A_1B_1C_1A_2, A_2B_2C_2A_3 \) los cuadrados construídos sobre \( A_1A_2, A_2A_3 \).

De la igualdad de los triángulos \( C_1A_2A_3 \) y \( A_1A_2B_3 \) se sigue que las diagonales \( C_1A_3 \) y \( A_1B_2 \) del cuadrilátero \( A_1C_1B_2A_3 \) son iguales y perpendiculares; pero entonces los medios de los lados del cuadrilátero son los vértices de un cuadrado. Así el punto \( P_1 \) está en medio de \( C_1B_2 \).

Igualmente el punto \( p_1 \) está en medio de \( C_1B_2 \).

Siendo evidentemente el cuadrilátero \( C_1B_2c_1b_2 \) un paralelogramo, la recta \( P_1p_1 \) es igual y paralela á \( B_2c_1 \) y tiene su medio en el centro \( A_2 \) del paralelogramo; pero siendo los lados \( c_1A_2, A_2B_2 \) del triángulo \( c_1A_2B_2 \) respectivamente iguales y perpendiculares á los lados \( A_1A_2 \) y \( A_2A_3 \) de \( A_1A_2A_3 \), lo mismo sucede con sus terceros lados \( B_2c_1 \) y \( A_1A_3 \).

b) Sean E y F los medios de las cuerdas paralelas AB y DC; \( E' \) y \( F' \) las proyecciones de M sobre estas cuerdas.

Las rectas EF, \( E'F' \), siendo paralelas, se tiene \( EE' = FF' \); luego

\[
\frac{MA^2 - MB^2}{MD^2 - MC^2} = \frac{2AB \cdot EE'}{2DC \cdot FF'} = \frac{AB}{DC}
\]

Solución por D. Jorge Luzón de las Cuevas

Los triángulos \( A_2I_1P_1 \) é \( I_1i_1I_2 \) son semejantes por tener el ángulo \( A_2I_1P_1 = i_1I_1I_2 \), como formados por un ángulo común y otro igual á 45°, y los lados \( A_2I_1, P_1I_1 \) proporcionales á los \( I_1i_1, I_1I_2 \). Si hacemos girar al triángulo \( A_2I_1P_1 \), 45° en el sentido de la flecha F, la recta

(*) Esta segunda parte del enunciado, que se publicó por inadvertencia unida á la cuestión 117, luego se reprodujo en la pág. 168 con el núm. 127.

El Sr. Sollertinsky remitió unidas las soluciones á dichas dos cuestiones y hoy subsanamos la falta que se cometió al no publicar la solución de dicho Sr. Colaborador en la pág. 153, en que se hallan otras dos soluciones de la cuestión 127.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 34

A_2P_1 se colocará paralela á la \( i_1I_2 \); pero el triángulo \( i_1A_2I_2 \) es semejante al \( A_1A_2A_3 \) por idéntica razón que los anteriores: haciendo, pues, girar la figura \( I_1i_1A_2I_2 \) en el mismo sentido de la flecha F, 45°, se colocará la \( i_1I_2 \), y por consiguiente la \( A_2P_1 \) paralela á \( A_1A_3 \); como el giro total ha sido de 90°, queda probado que es perpendicular \( A_2P_1 \) á \( A_1A_3 \). Por medio de los triángulos \( I_1A_2i_2 \) y \( A_2i_1p_1 \) y haciendo los giros sucesivos en el sentido de la flecha F' se prueba que \( A_2p_1 \) es perpendicular á \( A_1A_3 \), quedando, por consiguiente, demostrada la primera parte de la cuestión.

De los triángulos \( A_2I_1P_1 \) é \( i_1I_1I_2 \) se deduce

\[
\frac{i_1I_2}{A_2P_1} = \frac{I_1i_1}{I_1A_2} = \sqrt{2} \quad \text{de donde} \quad A_2P_1 = \frac{i_1I_2}{\sqrt{2}} \tag{1}
\]

y de los \( i_1A_2I_2 \) y \( A_1A_2A_3 \)

\[
\frac{A_1A_3}{i_1I_2} = \frac{A_2A_1}{A_2i_1} = \sqrt{2} \quad \text{de donde} \quad i_1I_2 = \frac{A_1A_3}{\sqrt{2}} \tag{2}
\]

Multiplicando la (1) y (2) \( A_2P_1 = \frac{A_1A_3}{2} \)

De la misma manera se prueba que \( A_2p_1 = \frac{A_1A_3}{2} \), por medio de los triángulos \( A_2i_1p_1, A_2I_1i_2 \) y \( A_1A_2A_3 \).

Solución por D. Ricardo Caro

Sean las vértices del triángulo y sus coordenadas rectangulares \( A_1(x_1y_1), A_2(x_2y_2) \) y \( A_3(x_3y_3) \).

Las coordenadas de los centros, de los cuadrados construídos interior y exteriormente, I(xβ) i(x'β') sobre el lado \( A_1A_2 \) del triángulo, pueden calcularse mediante las siguientes relaciones:

\[
x + x' = 2MN = x_1 + x_2
\]
\[
x - x' = I_1i_1 \cos (I_1i_1 . ox) = A_1A_2 \cos (A_1A_2 . oy) = y_2 - y_1
\]
por ser \( I_1i_1 = A_1A_2 \) y \( \cos (I_1i_1 . ox) = \cos (A_1A_2 . oy) \).
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 35

Del mismo modo tendríamos

\[
\beta + \beta' = y_1 + y_2 \\
\beta - \beta' = x_2 - x_1
\]

y de las cuatro ecuaciones anteriores, que nos dan la suma y diferencia de nuestras incógnitas, deducimos éstas, teniendo en cuenta cuáles han de ser las mayores, según la figura. Hecho así resulta

\[
I_1 \left( \frac{x_1 + x_2 - y_2 + y_1}{2}, \frac{y_1 + y_2 + x_2 - x_1}{2} \right)
\]
\[
i_1 \left( \frac{x_1 + x_2 + y_2 - y_1}{2}, \frac{y_1 + y_2 - x_2 + x_1}{2} \right)
\]

Pero igual medio hallamos

\[
I_2 \left( \frac{x_2 + x_3 + y_2 - y_3}{2}, \frac{y_2 + y_3 + x_3 - x_2}{2} \right)
\]
\[
i_2 \left( \frac{x_2 + x_3 - y_2 + y_3}{2}, \frac{y_2 + y_3 - x + x}{2} \right)
\]

Conocidas ya las coordenadas de \( I_1 \) é \( I_2 \) y repitiendo los razonamientos anteriores, hallamos:

\[
P_1 \left( \frac{2x_2 + y_1 - y_3}{2}, \frac{2y_2 + x_3 - x_1}{2} \right)
\]

y mediante las coordenadas de \( i_1 \) é \( i_2 \).

\[
p_1 \left( \frac{2x_2 - y + y_3}{2}, \frac{2y_2 - x_3 + x_1}{2} \right)
\]

Tenemos, pues,

\[
\overline{P_1 p_1}^2 = (y_1 - y_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 = \overline{A_1 A_3}^2 \quad \text{o} \quad P_1 p_1 = A_1 A_3
\]

El coeficiente angular de la recta \( P_1 p_1 \) es

\[
\frac{2x_3 - 2x_1}{2y_1 - 2y_3} = - \frac{x_1 - x_3}{y_1 - y_3}
\]

y como el de \( A_1 A_3 \) es

\[
\frac{y_1 - y_3}{x_1 - x_3}
\]

\( P_1 p_1 \) y \( A_1 A_3 \) son perpendiculares.

La ecuación de \( P_1 p_1 \) es

\[
y - \frac{2y_2 + x_3 - x_1}{2} = - \frac{x_1 - x_3}{y_1 - y_3} \left( x - \frac{2x_2 + y_1 - x_3}{2} \right)
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 36

sustituyendo \( x \) é \( y \) por \( x_2 \) é \( y_2 \) se reduce á la identidad

\[
x_1 - x_3 = - \frac{x_1 - x_3}{y_1 - y_3} ( - y_1 + y_3 )
\]

luego \( P_1 p_1 \) pasa por \( A_2 \).

Finalmente, el punto medio de \( P_1 p_1 \) es \( (x_2 y_2) \), es decir, el vértice \( A_2 \).

Observación. Hallando, como queda dicho, las coordenadas del centro del cuadrado construído sobre \( I_1 I_2 \) á distinto lado de \( P_1 \), y el centro del construído sobre \( i_1 i_2 \) á distinto lado de \( p_1 \), encontramos dos puntos coincidentes, y cuyas coordenadas son \( \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right) \) es decir, el punto Q medio de \( A_1 A_3 \).

CUESTIÓN 190
(Véase tomo IV, página 159).

Si se prolonga el lado BC de un triángulo ABC una longitud \( CA_1 = \frac{1}{3} BC \) y el lado CA otra \( AB_1 = 2 CA \), los puntos medios del lado BC y de las rectas AA_1, BB_1 son los vértices de un triángulo equivalente al ABC.

(H. Van Aubel.)

Solución por D. CECILIO JIMÉNEZ RUEZA

Hecho en la figura lo lo cuanto dice el enunciado de esta cuestión, se tiene:

\[
\begin{align*}
BA_1 &= \frac{4}{3} BC; \quad MN = \frac{1}{2} BA_1 = \frac{2}{3} BC. \ldots \\
PD &= \frac{1}{2} B_1 E; \quad B_1 E = 3 AQ; \quad \text{luego} \ PD = \frac{3}{2} AQ \\
&\text{luego} \ MN.PD = BC.AQ
\end{align*}
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 37

CUESTIÓN 160
(Véase tomo IV, página 64).

Dado un exágono alabeado y una recta, trazar por ésta un plano que corte á los lados de aquel en seis puntos de una misma cónica.
(E. Torroja).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

Sea \( v_1v_2v_3v_4v_5v_6 \) ó (H) el exágono alabeado dado, en el caso más general, y \( rr' \) ó R la recta dada.

Designemos por \( P_1P_2P_3P_4P_5P_6 \) los planos de los ángulos \( v_6v_1v_2, v_1v_2v_3, v_2v_3v_4, v_3v_4v_5, v_4v_5v_6, v_5v_6v_1 \) y por \( i_1, i_2, i_3, i_4, i_5, i_6 \) respectivamente las intersecciones de estos planos con la recta R.

Supongamos el problema resuelto y sean \( a, b, c, d, e, f \) los vértices del exágono buscado (\( h \)), es decir, los puntos de intersección de un plano secante S que pasa por la recta R, con los lados \( v_1v_2, v_2v_3, v_3v_4, v_4v_5, v_5v_6, v_6v_1 \) del exágono alabeado (H).

El exágono (h) hallándose inscrito en una cónica (\( \Omega \)), los puntos de intersección \( g, g_1, g_2 \) de los pares de lados opuestos ab, de; bc, ef; af, ed estarán situados en una recta \( \varphi \) cuyo punto de intersección con la recta R designaremos por \( r \).

Ahora, los pares de planos \( P_1, P_4; P_2P_5; P_3P_6 \) cortándose según las rectas \( I_1, I_2, I_3 \) que pasan evidentemente por estos tres puntos, resulta que estas tres rectas son las directrices de una superficie alabeada de segundo orden (\( \Sigma \)) que tiene la recta \( \varphi \) por generatriz, la que con la recta dada R determina el plano secante S.

Luego, para resolver el problema, tenemos que construir primero los puntos de intersección \( r, r' \) de la recta dada R con esta superficie (\( \Sigma \)) y que trazar la generatriz rectilínea \( \varphi \), que pasa por uno de estos puntos de intersección \( r \) de esta superficie que, con la recta R, determina el plano buscado S.

Discusión.—En esta discusión no entraremos en muchos detalles para no hacerla inutilmente extensa, atendido á que es demasiado sencillo llegar á ellos, según las observaciones hechas anteriormente.

En el caso general que acabamos de considerar, las tres rectas fijas \( I_1, I_2, I_3 \) que representan las directrices de la superficie alabeada auxiliar (\( \Sigma \)), no siendo paralelas á un plano único y de las cuales dos cualesquiera no se hallan en un mismo plano, esta superficie será un hipe-boloide de una hoja.

Si se considera la generatriz \( \varphi' \), que pasa por el segundo punto de intersección \( r' \) de la superficie auxiliar (\( \Sigma \)) con la recta pedida R, se tendrá un segundo plano secante S' que dará otra solución al problema.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 38

Se ve, pues, que el problema, en este caso, tendrá dos soluciones.
En el caso en que la recta R toca á la superficie (\( \Sigma \)) no habrá más que una solución.
Si esta recta no corta al hiperboloide (\( \Sigma \)) en alguna parte, sería imposible trazar por esta misma recta los planos secantes pedidos y no habría solución.
En el caso particular en que la recta dada coincide con una generatriz del hiperboloide (\( \Sigma \)) habrá una infinidad de soluciones.
Cuando las directrices \( I_1, I_2, I_3 \) sean paralelas á un mismo plano, la superficie (\( \Sigma \)) se reducirá á un paraboloide hiperbólico (\( \pi \)), y se reconocerá igualmente que según la posición de la recta pedida R, con relación á esta superficie, el problema puede tener una, dos ó una infinidad de soluciones en vez de tener ninguna.
Como se sabe, estas superficies auxiliares (\( \Sigma \)) y (\( \pi \)) admiten como variedades:
1.º El plano (\( \overline{\omega} \)).
2.º El sistema de dos planos que se cortan ó paralelos (\( \overline{\omega}_1 \)), (\( \overline{\omega}_2 \)).
Cuando las tres directrices tienen un punto común á distancia infinita la superficie no se hallará determinada.
En el primer caso las tres directrices \( I_1, I_2, I_3 \) hallándose en un mismo plano (\( \overline{\omega} \)) habrá una infinidad de soluciones correspondientes á todos los planos determinados por la recta dada R, y por todas las rectas trazadas en este plano que pasan por el punto de intersección r de esta recta con este plano (\( \overline{\omega} \)).
Es claro que el punto r podrá hallarse en el infinito en el plano (\( \overline{\omega} \)).
En el segundo caso, hallándose dos directrices \( I_1, I_2 \) en un mismo plano (\( \overline{\omega}_1 \)) y siendo cualquiera la tercera \( I_3 \), habrá una solución correspondiente al plano secante determinado por la recta R y por la recta \( r_1 k \) ó \( r_1 \), trazada en este plano (\( \overline{\omega}_1 \)) y que pasa por los puntos de intersección \( r_1 \) y \( k \) de esta recta y de la directriz \( I_3 \) con este plano.
Si la recta \( r_1 \) pasa por el punto de intersección l de las directrices, \( I_1, I_2 \), no habrá solución.
Observación.—Según los principios que acabamos de considerar, para resolver el problema relativo á la geometría de tres dimensiones ó del espacio, podemos demostrar el siguiente teorema de geometría plana:
Dado un polígono abcd...n ó (\( \pi_n \)) de n lados, si se le deforma haciendo girar todos sus lados ab, bc... al rededor de otros tantos polos \( i_1, i_2, ... i_n \) situados en una recta R, de manera que todos sus vértices
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 39

a, b, c, ..., menos uno v resbalen sobre rectas fijas \( v_1 v_2, v_2 v_3, v_3 v_4, \ldots \): 1.º el último vértice u describirá una línea recta \( v_{n-1} v_n' \); y 2.º el punto de intersección \( e_1 \) de dos lados cualesquiera ab, de no contiguos, describirá también una recta \( I_1 \).

En efecto, consideremos las rectas \( v_1 v_2, v_2 v_3, \ldots \) como las proyecciones de los lados \( V_1 V_2, V_2 V_3, \ldots \) prolongados indefinidamente de un polígono alabeado (\( p_n \)) sobre un plano \( S_0 \) y los vértices \( a, b, c \ldots \) del polígono (\( \pi_n \)) como las proyecciones A, B, C, ... de estos lados con un plano S que pase por la recta R situada en este plano de proyección.

Los polos \( i_1, i_2, i_3, \ldots \) serán entonces los puntos de intersección de esta recta con los planos \( P_1, P_2, P_3, \ldots \) de los ángulos \( V_1 V_2 V_3, V_2 V_3 V_4, V_3 V_4 V_5 \ldots \)

Ahora, cuando el plano secante S gire al rededor de la recta R, los vértices del polígono ABC... U se hallarán constantemente sobre los lados del polígono alabeado (\( p_n \)), y el punto de intersección E, de dos lados cualesquiera AB, CD no contiguos se hallarán igualmente sobre la intersección \( I_1 \) de los dos planos P, y P_3 de los ángulos \( V_1 V_2 V_3 \) y \( V_3 V_4 V_5 \) de este mismo polígono alabeado que les corresponden ó sobre los cuales se hallan estos lados AB y CD.

A esta rotación del plano S en el espacio, corresponderá pues en la proyección la rotación de los lados \( ab, bc, \ldots \) del polígono (\( \pi_n \)) al rededor de los polos \( i_1, i_2, i_3, \ldots \), situados sobre la recta R, el resbalamiento de los vértices \( a, b, c, \ldots \) de este polígono sobre las rectas fijas \( v_1 v_2, v_2 v_3, v_3 v_4, \ldots \) y, en fin, la descripción de las rectas \( I', I'', \ldots \) (proyecciones de los rectas \( I_1, I_2, \ldots \)) por los puntos de encuentro \( e_1, e_2, \ldots \) de dos cualesquiera de estos lados no contiguos (proyecciones de los puntos \( E_1, E_2, \ldots \)) lo que demuestra el teorema.

Observación.—Es claro que la cónica (\( \Omega \)) considerada en la cuestión propuesta puede reducirse á alguna de sus variedades.

Solución por el Sr. Pieri (Mario)

Sean ordenadamente los lados del exágono alabeado \( a, b, c, d, e, f; \) y \( u \) la intersección de \( ab, de; \) igualmente sea \( v \) la intersección de \( bc \) y \( ef \) y \( w \) la de \( cd \) y \( fa \). Serán, como se sabe, dos rectas \( m, n \) apoyadas simultáneamente en las tres rectas \( u, v, w \) y en la recta dada \( r \).

Cada uno de los dos planos \( rx, ry \) satisface al problema propuesto.

En efecto, el primero de ellos corta al exágono alabeado, según un exágono plano ABCDEF, cuyos lados opuestos concurren en tres
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 4

que l'on en déduit pour cos I_1O et cos I_3O par permutations tournantes, on obtient

\[
\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}
\]

pour somme des seconds membres; eu égard à la formule (24), on a donc, après suppression d'un facteur commun:

\[
\frac{\cos I_{0_1}}{\cos R_1} + \frac{\cos I_{0_2}}{\cos R_2} + \frac{\cos I_{0_3}}{\cos R_3} = \frac{\cos IO}{\cos R}
\] (34)

— Les formules (31), (33) et (30) traitées de la même façon donnent lieu aux relations:

\[
\frac{\cos I_{1O_1}}{\cos R_1} + \frac{\cos I_{1O_2}}{\cos R_2} + \frac{\cos I_{1O_3}}{\cos R_3} = \frac{\cos I_1O}{\cos R}
\] (35)

\[
\frac{\cos I_{1O}}{\sin r_1} + \frac{\cos I_{2O}}{\sin r_2} + \frac{\cos I_{3O}}{\sin r_3} = \frac{\cos IO}{\sin r}
\] (36)

\[
\frac{\cos I_{1O_1}}{\sin r_1} + \frac{\cos I_{2O_1}}{\sin r_2} + \frac{\cos I_{3O_1}}{\sin r_3} = \frac{\cos IO_1}{\sin r}
\] (37)

— Les formules (34) à (37) sont les analogues de la relation

\[
\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}
\] (38)

qui a lieu entre les rayons des cercles tangents aux côtés d'un triangle rectiligne. Les relations (36) et (37) se réduisent à cette dernière lorsque le rayon de la sphère devient infini.

(*) En faisant usage de la relation connue:

\[
(\sin a + \sin b + \sin c)^2 - 4s^2 = \left[ \sin p + \sum \sin (p - a) \right]^2,
\]

la formule (28) peut s'écrire

\[
\frac{\cos^2 IO}{\sin^2 r \cos^2 R} (\sin a + \sin b + \sin c)^2 - 4s^2 + 1
\]
\[
= \frac{1}{4} \left[ \frac{\sin p}{s} + \sum \frac{\sin (p - a)}{s} \right]^2 + 1
\]

ou, d'après (6) et (7):

\[
= \frac{1}{4} \left[ \cotg r + \sum \cotg r_i \right]^2 + 1
\]

(*) On vérifie facilement d'après (7) et (8) que

\[
2 \tg R = - \cotg r + \sum \cotg r_i.
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 40

puntos U, V, W de la recta x, ó sea, según un exagramma de Pascal, etcétera, etc.

CUESTIÓN 162
(Véase tomo IV, página 64).

1.º Dados dos círculos en magnitud y posición, determinar el lugar de los puntos tales que las tangentes á estos círculos estén en una razón constante.

2.º Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que este lugar sea una línea recta real.

(G. Pirondini).

Solución por el Sr. Schiappa Montibio (A).

Sean R y r los radios de los dos círculos dados (C) y (c), \( \lambda \) la relación constante entre dos tangentes Tm y tm á estos círculos, trazadas desde un punto cualquiera m del lugar buscado (\( \Sigma \)) y \( \nu \) la distancia entre sus centros C y c.

Tomemos por eje de las x la línea de los centros CcX y por eje de las y la perpendicular CY levantada en el punto C á esta línea, y sean Cp = x, pm = y las coordenadas del punto m.

Los triángulos rectángulos mTC y mtc dan

\[
tm = \sqrt{Cm^2 - CT^2} \quad (1).
\]
\[
ym = \sqrt{cm^2 - ct^2} \quad (2)
\]

de donde
\[
\frac{Tm^2}{tm^2} = \frac{Cm^2 - CT^2}{cm^2 - ct^2} \quad (3)
\]

pero, en virtud de los triángulos rectángulos Cmp y cmp, se tiene
\[
cm^2 = x^2 + y^2 \quad (4)
\]
\[
cm^2 = (x - p)^2 + y^2 \quad (5)
\]
luego
\[
x^2 + y^2 - R^2 = \lambda^2[(x - p)^2 + y^2 - r^2] \quad (6)
\]
ó
\[
(\lambda^2 - 1)(x^2 + y^2) - 2\lambda^2px + R^2 + \lambda^2(p^2 - r^2) = 0 \quad (7)
\]

Esta ecuación representará, pues, en general, un círculo que pasa por los puntos de intersección (reales ó ideales) de los círculos dados (C) y (c) (*), cuyas ecuaciones son
\[
x^2 + y^2 = R^2 \quad (8)
\]
\[
(x - p)^2 + y^2 = r^2 \quad (9)
\]

(*) Géométrie analytique de M.M. Salmon, Carnoy, etc.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 41

y, puesto que estos círculos pueden ser reales ó imaginarios, la ecuación (7) se convertirá en

\[(\lambda^2 - 1)(x^2 + y^2) - 2\lambda^2px \pm R^2 + \lambda^2(p^2 \mp r^2) = 0\] (10)

Luego: El lugar pedido (\( \Sigma \)) será, en general, un círculo (real ó imaginario) que tendrá el mismo eje que los dos círculos dados.

Observación.—Este eje radical ciertamente es una recta doble, que con otra recta paralela, llevada al infinito, representan el círculo aperrántico doble de la serie, ó haz de círculos en involución determinado por los círculos (C), (c) (\( \Sigma \)) y por todos los representados por la ecuación (10), cuando se considera \( \lambda \) como una indeterminada ó parámetro variable.

2.º La ecuación (10) puede reducirse á la forma

\[\left(x - \frac{\lambda^2 p}{\lambda - 1}\right)^2 + y^2 = \frac{\lambda^4 p^2 - (\lambda^2 - 1)[\lambda^2(p^2 \mp r^2) \pm R^2]}{(\lambda^2 - 1)^2}\] (11)

ó

\[\left(x - \frac{\lambda^2 p}{\lambda^2 - 1}\right)^2 + y^2 = \frac{\lambda^4[(p^2 \mp R^2 \mp r^2) \pm \lambda^2 r^2] \pm R^2}{(\lambda^2 - 1)^2}\] (12)

El radio del círculo (\( \Sigma \)) tendrá, pues, por valor

\[\rho = \frac{1}{\lambda^2 - 1} \sqrt{\lambda^2[(p^2 \mp R^2 \mp r^2) \pm \lambda^2 r^2] \pm R^2}\] (13)

y, por consiguiente, el lugar buscado será real si se tiene siempre

\[\lambda^4[(p^2 \mp R^2 \mp r^2) \pm \lambda^2 r^2] \pm R^2 > 0\] (14)

Si el eje radical no se halla en el infinito, ó los círculos dados (reales ó imaginarios) no son concéntricos, se puede tomar esta recta por eje de las \( y \), continuando en adoptar por eje de las \( x \) la línea de los centros. En tal caso, la ecuación del círculo buscado (\( \Sigma \)) tendrá la forma

\[(x - h)^2 + y^2 - h^2 - i_y^2 = c^2\] (15)

ó

\[x^2 + y^2 - 2hx + y_1^2 = 0\] (16)

donde \( h \) representa la abscisa del centro variable de este círculo é \( y_1 \) la magnitud constante de la semi-ordena real ó ideal común de los círculos (C) y (c).

Cuando se hace variar el parámetro \( h \), el círculo (\( \Sigma \)) que corresponde á estos valores, cortará, pues, al eje de las \( y \) en dos puntos fijos determinados por la relación

\[y^2 = \pm y_1^2\] (17)

independiente del valor de este parámetro y los cuales serán reales ó ideales, según que \( y_1^2 \) tenga el signo \( + \) ó \( - \).
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 42

Siendo real la cuerda común, el valor del radio \( \rho \) tendrá un *minimum* y un *maximum* respectivamente iguales á \( y_1 \), é \( \infty \), ó correspondiendo al *círculo doble mínimo* y al *círculo doble aperáutico*.

En este caso el círculo (\( \Sigma \)) será real, siempre que se tenga

\[
h^2 - y_1^2 \geq 0
\]

II

SOLUCIÓN SINTÉTICA

1.º Desde un punto \( m \) del lugar buscado, tracemos, entre la tangentes \( Tm \) y \( tm \) á los dos círculos (C) y (c) una transversal que encuentra á estos círculos en los dos pares de puntos \( a, a'; b, b' \); (*) y se tendrá

\[
\frac{Tm^2}{tm^2} = \frac{ma \cdot ma'}{mb \cdot mb'} = \lambda^2
\] (17)

Ahora, la relación

\[
\frac{ma \cdot ma'}{mb \cdot mb'}
\] (18)

teniendo un valor constante \( \lambda^2 \), el lugar (\( \Sigma \)) del punto \( m \) será, en general, *un tercer círculo con el mismo eje radical que los círculos dados*. (**)

2.º Sea \( o \) el centro del círculo (\( \Sigma \)) y O el punto de intersección del eje radical de estos círculos con su línea de los centros, y se tendrá

\[
\frac{oC}{oc} = \lambda^2
\] (19)

Considerando el círculo doble mínimo (O) que tiene por radio \( y_1 \) y por centro el punto central O de la involución, determinada sobre Cc por los tres círculos (C), (c), (\( \Sigma \)) á que corta ortogonalmente, se ve que el círculo (\( \Sigma \)) será real cuando se tenga \( Oo > y_1 \).

Observación.—No entramos en más detalles sobre esta cuestión para no hacerla inútilmente larga y fatigosa, atendido que según las citas de los autores, que acabamos de hacer, sea en la solución analítica, sea en la sintética, no haríamos mas que repetir lo que estos mismos autores han escrito ya sobre dicho asunto.

(*) Claro es que en las tangentes y estos puntos de intersección podrán ser reales ó imaginarios.

(**) CHASLES. Géométrie supérieure.