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Demuestra enseguida, de una manera análoga, que \( s \) A no puede ser menor que la circunferencia.

XX.—Tangente en un punto cualquiera. Construcción y demostraciones análogas.

Las primeras ideas generales sobre la naturaleza y la teoría de las tangentes se deben á Apolonio. En el quinto libro de su gran obra sobre las cónicas, se ocupa de diversas cuestiones relativas á sus normales, que considera como de máxima y de mínima. Se tenía así una definición de la tangente expresiva de una propiedad general que podía conducir á su descripción; pero era precisa la consideración del infinitamente pequeño, demasiado vagamente entrevisto hasta entonces, y el algoritmo algébrico, para conducir este trabajo á feliz término. Además el bagaje científico de los antiguos era todavía demasiado poco importante para que hubieran pensado en clasificar sus investigaciones algo rudimentarias, y darse cuenta de las lagunas y extensiones posibles, y en abordar el estudio de los métodos generales, reservado á los modernos.

Este descubrimiento de la construcción general de las tangentes á las curvas se debe á Descartes y á Fermat. En su Géométric impresa, como se sabe, con su Dioptrique y los Météors á continuación de su Discours sur la Méthode (Leyde, 1637), Descartes dió la primera solución conocida de esta importante cuestión, que enuncia así: « . . . ie croirai avoir mis icy tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque j’auray généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent á angles droits sur tels de leurs points qu’on voudra choisir. Et i’ose dire que c’est ceci le problèmle le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais mesme que j’aie jamais désiré de scavoir en géométrie . . . ». Hace ver que siendo \( x \) la ordenada del punto C (fig. 7) y su abscisa, \( s \) la distancia de C á un punto dado P, cuya abscisa es \( v \), se tendrá:

\[
x = \sqrt{s^2 - v^2 + 2v y - y^2} \quad \text{ ó } \quad y = v + \sqrt{s^2 - x^2}
\]

lo que permitirá, sustituyendo en la ecuación de la curva, obtener
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una ecuación auxiliar en \( x \) y \( v \), ó en \( y \) y \( v \). Supongamos que se da s: la ecuación en \( y \) y \( v \), por ejemplo, dará las abscisas A M y A Q de las intersecciones de la circunferencia P C y de la curva A N C.

Para que PC sea la normal, es preciso que estas dos raíces AM y AQ, de desiguales se conviertan en iguales. El problema queda así reducido á determinar la ecuación auxiliar, de manera que tenga dos raíces iguales, lo que se hará multiplicando \((y - e)^2\) por un polinomio de un grado inferior en 2, y cuyos coeficientes se determinarán por la identificación de los dos polinomios.

Aplica el método á la elipse al tridente, á la conoide y á los óvalos. Añade que se obtendrán las tangentes (*) á una curva en el espacio, proyectándola sobre dos planos perpendiculares y construyendo las tangentes en los puntos correspondientes de estas proyecciones.

Llegamos á Fermat, considerado como el creador del cálculo infinitesimal, ó adaptación del análisis á los métodos infinitesimales de Euclides y de Arquímedes.

Después de haber expuesto en un escrito á Descartes en 1638 su método de maximis et minimis, continúa así. (véase figura 8):

«De tangentibus lincarum curvarum.
Ad superiorem methodum inventionem tangentium ad data puncta in lincis qui-buscumque curvis reducimus.

Si data, verbi gratia, parabole B D M cujus vertex D, diameter D C, et punctum in ea ductum B, tangens parabolen, et in puncto E, cum diametro concurrens; ergo sumendo quod libet punctum, in recta B E, et abeo ducendo

(*) Descartes dice «perpendiculares» (normales) en vez de tangentes, lo que evidentemente es una inadvertencia.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 7

ordinatam O I, ad puncto autem B, ordinatam BC major erit proportio CD ad DI, quam quadrati BC ad quadratum O I, qui a punctum O, est extra parabolen; sed propter similitudinem triangulorum, ut BC, quadratum ad O I, quadratum, ita CE, quadratum ad IE, quadratum: major igitur erit proportio CD ad DI, quam quadrati CE, ad quadratum IE, quum autem punctum B detur, datur applicata BC, ergo punctum C; datur etiam CD: sit igitur CD æqualis D, datæ. Ponatur CE, esse A; ponatur CI esse E; ergo D, ad D — E habebit majorem proportionem, quam \(A^2\) ad \(A^2 + E^2 - A\), in E bis (*). Et jucendo inter se medias et extremas, D in \(A^2 + D\) in \(E^2 - D\) in A in E bis, majus erit quam D, in \(A^2 - A^2\) in E, adæquentur igitur juxta superiorem methodum: demptis itaque communibus D, in \(E^2 - D\), in A in E bis. A adæquabitur \(A^2\) in E, aut quod idem est, D in \(E^2 + A^2\) in E, adæquabitur D in E bis, Omnia dividatur per E: ergo D in E + \(A^2\) adæquabitur D in A bis. Elidatur D in E: ergo \(A^2\) æquabitur D in A bis, ideoque A æquabitur D bis. Ergo CE, probavimus duplam ipsius CD, quod quidem ita se habet».

Este método de Fermat ha sido, desde Descartes hasta los últimos tiempos, objeto de diversas interpretaciones. En fin, gracias á una carta del ilustre geómetra, hallada y publicada por M. Ch. Henry (B. Bon. 1880), se ha comprendido que supone construida la tangente en B, y que compara por adæquation las ordenadas de la tangente y de la curva correspondientes á la misma abscisa DI, lo que da el valor da la sub-tangente.

Descartes, tratando de corregir lo que encuentra de vago y aún de defectuoso en este método, imaginó otros dos: el primero (lettre à Mersenne, 1638) consiste en hacer girar al rededor de un punto dado E (fig.9) una secante EDB, expresar enseguida la relación de las dos abscisas AC, AG, y compararlas por adigualdades, ó cuando se transforman en raíz doble, lo que determina la tangente EF. En su segundo método Descartes (Lettre à Hardy, el mismo año) se propone trazar una tangente en B, haciendo girar

(*) Como Vieta, Fermat representa las incógnitas por las vocales A, E... los datos por las consonantes B, C...; la palabra in es el signo de la multiplicación.
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una secante al rededor de este punto, y comparando por adigual- dades las dos abscisas A C y A G. Como se ve, es el método que sirve hoy para la definición de la tangente y para el cálculo de los elementos de su construcción (véase el tomo III de las Lettres de Descartes, cartas LX y LXI); véase igualmente Duhamel, Mém. sur la méth. de Fermat, en las Mém. de l' Acad. des sc, 1864).

En una carta á Mersenna de 1638, Descartes da su método de construcción de las tangentes á las ruedas; la obtiene mediante la consideración de un polígono que rueda sobre una recta, y deduce la construcción de la tangente á una cicloide cualquiera; da también el punto de inflexión de la cicloide acortada. Este método fué publicado por Schooten en sus ediciones latinas de la Géométrie, de las cuales la primera data de 1649.

Descartes atacó también, sin dudar de su importancia, dos teorías nuevas; la rectificación de las curvas y la definición de una curva por una propiedad específica de su tangente. Examinando (Lettres, tome I, lettre LXXIV, á Mersenne) por qué debe reemplazarse un plano inclinado, cuando no se hace abstracción de la redondez de la tierra, llega á la consideración de una curva plana que corta todos sus radios vectores según el mismo ángulo, y tal, que dos arcos cualesquiera que comienzan en el origen son entre sí como los radios que terminan en sus extremos: esta última propiedad equivale á la rectificación de la curva, que ciertamente se ha reconocido ser la espiral logarítmica.

Ha debido también llegar á la determinación de sus célebre óvalos, dándose á priori ciertas propiedades ópticas de sus tangentes. Parece que también Fermat consideró este método inverso de las tangentes, como se le ha llamado durante largo tiempo, poco después que su método de las tangentes, ó sea hacia 1629.

Además debe citarse el problema de De Beaune, tratado por Descartes en una carta á este geómetra, fechada en 1639 (Lettres, tome III, lettre LXXI). Se trata, como se sabe, de obtener la curva cuya ordenada sea á la sub-tangente como una longitud dada á la parte de la ordenada comprendida entre la curva y una recta inclinada 45º respecto
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al eje de las abscisas. Descartes resolvió este problema en cuanto era posible entonces: Considerando dos tangentes muy próximas, llega á concluir que esta curva tiene una asintota BN (fig. 10), que la sub-tangente RN, medida sobre la asintota, tiene una longitud constante, y en fin, que la curva puede considerarse como lugar de las intersecciones de dos rectas que se mueven paralelamente á sí mismas, la una GX uniformemente, la otra RX según una velocidad que, en R, sea á la velocidad de GX, como AB es á GB. Se reconocerá facilmente que es una logarítmica deformada.

(Concluirá).

SUR LES LIGNES CYLINDRIQUES
par Geminiano Pirondini, á Parme

1

Soient:
Λ (\( \xi, \eta, \zeta \)) une ligne placée sur un cylindre quelconque K ayant les génératrices parallèles à l’axe des \( z \), \( r \) et \( s \) le rayon de courbure et l’arc de cette ligne; L (\( x, y, o \)) la sección droite de K placée sur le plan \( z = o \), \( r \) et \( s \) le rayon de courbure et l’arc de cette ligne; \( \Lambda_1 \) la transformée de \( \Lambda \) (ligne à laquelle se réduit \( \Lambda \) en étalant le cylindre K sur un plan); \( \theta \) l’inclinaison de \( \Lambda \) sur les génératrices de K.

\[
\xi = x, \quad \eta = y, \quad \zeta = \int \cot \theta \cdot d s,
\]

d’où il suit:

\[
\begin{cases}
\frac{d \xi}{d s} = \frac{d x}{d s} \sin \theta \\
\frac{d \eta}{d s} = \frac{d y}{d s} \sin \theta \\
\frac{d \zeta}{d s} = \cos \theta
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
\frac{d^2 \xi}{d s^2} = \left( \frac{d^2 x}{d s^2} \sin \theta + \frac{d x}{d s} \cos \theta \cdot \frac{d \theta}{d s} \right) \sin \theta \\
\frac{d^2 \eta}{d s^2} = \left( \frac{d^2 y}{d s^2} \sin \theta + \frac{d y}{d s} \cos \theta \cdot \frac{d \theta}{d s} \right) \sin \theta \\
\frac{d^2 \zeta}{d s^2} = - \sin^2 \theta \frac{d \theta}{d s}
\end{cases}
\]
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 1

Remarques sur la série logarithmique
par M. A. Aubry

1.—Pour \( x \) et \( \omega < 1 \), on a:

\[
L(1 + x \omega) - \omega L(1 + x) = x^2 \left( \frac{1 - \omega}{2} - x \frac{1 - \omega^2}{3} \right) + \omega x^4 \left( \frac{1 - \omega^3}{4} - x \frac{1 - \omega^4}{5} \right) + \ldots
\]

Le premier membre est donc plus petit que \( \frac{x^2}{2} \omega (1 - \omega) < \frac{x^2}{8} \), puisque le maximum de \( \omega (1 - \omega) \) a lieu pour \( \omega = 1 - \omega \). Changeant \( x \) en \( \frac{1}{n} \), il vient ainsi:

\[
(1) \quad [L(n + \omega) - L.n] - \omega [L(n + 1) - L.n] < \frac{1}{8 n^2},
\]

ce qui montre que l'erreur provenant de la méthode des parties proportionnelles est inférieure à \( 0,0^*125 \), si le nombre dont on cherche le logarithme est \( > 10\,000 \).

2.—Autrement, on a

\[
\frac{1}{x} L \frac{1 + x}{1 - x} = 2 \left( \frac{1}{1} + \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{5} + \ldots \right)
\]

ce qui montre que la valeur du premier membre augmente en même temps que \( x \). Donc, pour \( a < b \), on a
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 10

(22) \( L(1 + x) = \frac{2x}{2 + x} + \frac{x^2}{2 + x} \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{2x}{3 \cdot 4} + \frac{3x^2}{4 \cdot 5} - \frac{4x^3}{5 \cdot 6} + \ldots \right) \)

et pour \( n = 3 \)

(23) \( \frac{12 + 6x - x^2}{12} L(1 + x) = \frac{x}{1} - \frac{1}{12} \sum_{k=4}^{k=\infty} \frac{-5k^2 + 23k - 24}{k(k-1)(k-2)} (-x)^k \)

15.—Le développement de \( \frac{1}{L(1 + x)} \) a fait l’objet des études de Fontana, qui s’en servait pour démontrer l’égalité \( \int_0^1 \frac{d\,x}{Lx} = x \);
et de Lorgna qui déduit de la formule symbolique

\[
\int \frac{u\,dx}{h} = [L(1 + \Delta)]^{-1}_{n}
\]

cette remarquable formule de sommation des séries

\[
\int u\,dx = (A + C_{x,1})u + (A_1 + C_{x,2})\Delta u + (A_2 + C_{x,3})\Delta^2 u + \ldots
\]

la notation \( C_{x,n} \) désignant à l’ordinaire, l’expression

\[
\frac{x(x-1)(x-2)\ldots(x-n)}{n!}
\]

Les nombres \( A_1, A_2, \ldots \) peuvent être définis, d’après Sarrus (A. G. t. X, 1820), par l’égalité

\[
A_n = \int_0^1 C_{x,n}\,dx
\]

En effet, on a
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 11

(γ) \( \Delta^k \int C_{x,n} dx = \int \Delta^k C_{x,n} dx = \int C_{x,n-k} dx \),

\( \Delta^{n+1} C_{x,n} = 1,\quad \Delta^{n+1+p} C_{x,n} = 0 \)

Or, dans la relation d'Euler

\[
y' = \frac{\Delta y}{1} - \frac{\Delta^2 y}{2} + \frac{\Delta^3 y}{3} - \ldots
\]

faisons \( y = \int C_{x,n+1} dx \), et intégrons de 0 à 1, il viendra, à cause de (γ)

\[
0 = \frac{1}{1!} \int_0^1 C_{x,n} dx - \frac{1}{2!} \int_0^1 C_{x,n-1} dx + \frac{1}{3!} \int_0^1 C_{x,n-2} dx - \ldots \\
= \frac{1}{n+1} \int_0^1 C_{x,0} dx - \frac{1}{n+2}
\]

Il est facile de faire voir que les nombres \( A_1, A_2, A_3, \ldots \) sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils décroissent en valeur absolue.

Sarrus tire de sa théorie plusieurs formules intéressantes, entre autres la suivante qui se rapporte à notre sujet:

\[
L(n+1) - L_n = \frac{1}{n} - \frac{1! A_1}{n(n+1)} + \frac{2! A_2}{n(n+1)(n+2)} + \ldots
\]

NOTES.—Abréviations employées ci-dessus.—M. Mathesis.—J. S. Journal de mathématique spéciales.—Ct. Journal de Crelle.—A. G. Annales de Gergonne.

SOBRE LOS CÍRCULOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
por D. Juan J. Durán Loriga
Comandante de Artillería

(Continuación)

OBSERVACIÓN.—Puede observarse que los círculos asociados a círculos que pasan por un mismo punto, no pasan en general por un mismo punto; pero en un caso particular, se puede enunciar la proposición siguiente:
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 12

Sean M y M' un punto y su primer (o segundo) isobárico, situados en una circunferencia cualquiera concéntrica con la circunferencia circunscripta. Puede decirse que si diversos círculos pasan por M, sus primeros (o segundos) asociados pasan por M.

Para obtener los puntos que satisfagan á las condiciones del teorema, se puede recurrir á la fórmula

\[
x = \frac{(c^2 - a^2) \beta \gamma}{(b^2 - a^2) \gamma + (c^2 - b^2) \beta}
\]

en la que se dan á \( \beta \) y \( \gamma \) valores arbitrarios, y se obtiene el valor de \( x \). De esta manera obtenemos por ejemplo, los puntos:

\[
\frac{x}{1} = \frac{\beta}{1} = \frac{\gamma}{1}
\]
(centro de gravedad)

\[
\alpha b^2 = \rho c^2 = \gamma a^2
\]
Primer isobárico del centro de homología de A B C con el primer triángulo de Brocard.

\[
\frac{\alpha}{c-a} = \frac{\beta}{b-a} = \frac{\gamma}{b+c}
\]
Puntos derivados de los puntos algébricamente asociados al centro del círculo inscripto, por medio de transformaciones isobáricas y complementarias.

\[
\frac{\alpha}{a-c} = \frac{\beta}{a+b} = \frac{\gamma}{b-c}
\]

Se obtienen también los puntos

\[
\frac{\alpha}{c^2 - a^2} = \frac{\beta}{2(b^2 - c^2)} = \frac{\gamma}{2(c^2 - b^2)}
\]

\[
\frac{\alpha}{b^2 c^2 (a^2 - c^4)} = \frac{\beta}{b^2 (a^6 c^2 - b^4)} = \frac{\gamma}{c^2 (b^4 - a^2 c^8)}
\]

Por otra parte los vértices A, B, C del triángulo fundamental cumplen evidentemente las condiciones del teorema.

3 Se pueden considerar los círculos asociados de un punto notable M mirándolo como círculo de radio nulo (véase mi memoria de Saint-Etienne). Si se designan por \( x_1, \beta_1, \gamma_1 \), las coordenadas del centro, las ecuaciones del punto M y de los círculos asociados son

\[
\sigma (\rho_1^2 x + \rho_2^2 \beta + \rho_3^2 \gamma) - a^2 \rho \gamma = 0
\]
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 13

\[
\sigma (\rho_b^2 x + \rho_c^2 \beta + \rho_a^2 \gamma) - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]
en las que
\[
\sigma (\rho_c^2 x + \rho_a^2 \beta + \rho_b^2 \gamma) - \epsilon a^2 \rho \gamma = 0
\]
\[
\rho_a^2 = (\beta_1 + \gamma_1)(c^2 \beta_1 + b^2 \gamma_1) - a^2 \beta_1 \gamma_1 \quad \ldots \quad \rho_b^2 = \ldots \quad \rho_c^2 = \ldots
\]

Pasemos á algunos casos particulares:
1.º Centro de gravedad.
La ecuación de G considerado como punto-círculo es

\[
\frac{\sigma}{9} (2 b^2 + 2 c^2 - a^2) x - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

los círculos asociados tienen por eje radical la recta G K.

2.º La ecuación del punto de Lemoine es

\[
\frac{\sigma}{m^4} \cdot \epsilon b^4 c^8 (2 b^4 + 2 c^2 - a^2) x - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

los círculos asociados tienen por eje radical la recta que une G al recíproco de K, y los ejes radicales de estos círculos combinados con el punto K pasan, el uno por el punto directo de Brocard y el otro por el punto retrógrado de Brocard.

3.º El punto directo de Brocard tiene por ecuación

\[
\frac{\sigma}{n} \cdot \epsilon b^4 c^8 x - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

Los círculos asociados tienen por eje radical la recta

\[
a^2 (c^4 - a^2 b^4) x + b^2 (a^4 - b^2 c^8) \beta + c^4 (b^4 - a^4 c^8) \gamma = 0
\]

se pasa de esta recta á la recta de Brocard tomando: 1.º la recíproca; 2.º la inversa; 3.º una isobárica.

4.º El centro del círculo inscripto á ABC tiene por ecuación

\[
\frac{\sigma}{p} \epsilon b c (p - a) x - \epsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 14

El eje radical de sus asociados pasa por el recíproco de I, el de I combinado con los círculos asociados pasa respectivamente por el punto directo y por el inverso de Jerabek.
5.º Punto recíproco del ortocentro.
Ejes radicales, la recta K H₀ G y sus dos isobáricas.

(Concluído).

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1898)

CONFERENCIA SEGUNDA

(Conclusión, véase págs. 41 a 51)

Un valor particular x, puede dividir los valores del argumento del intervalo (0, 1) de las tres maneras siguientes:

\[
0 \leq x \leq x_1 \quad \text{y} \quad r_1 < x \leq 1 \tag{1}
\]

\[
0 \leq x < x_1 \quad \text{y} \quad x_1 \leq x \leq 1 \tag{2}
\]

\[
0 \leq x_1 < x \quad \text{y} \quad x_1 < x \leq 1 \tag{3}
\]

que designan, el (1), á izquierda, todos los valores menores de x, llevados sobre la extensión unidad, á partir de cero, y además la longitud x₁; á la derecha, todas las longitudes inferiores á x, llevadas á partir de cero.

El símbolo (2) expresa, á la izquierda, todas las extensiones menores que x₁; á la derecha, la extensión x₁ y las extensiones superiores.

El símbolo (3) indica, á la izquierda, las extensiones inferiores á x₁; en medio, x₁; y á la derecha, las extensiones superiores á x₁.

Designa el Sr. Bois-Reymond con el nombre de pantaquía, una
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 15

repartición de puntos tal, que en cualquier intervalo, por pequeño que sea, hay puntos de la especie considerada, lo contrario será una distribución apantáquica.

La distribución dada por los puntos

\[
Z = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\alpha_1}{2} + \frac{\alpha_2}{2^2} + \ldots + \frac{\alpha_n}{2^n} \right)
\]

es pantáquica.

Definida Z de modo que de un número finito tan grande como se quiera de puntos, cuyo número aumente, disponiendo convenientemente de las arbitrarias, de modo que acaben por presentarse en todo intervalo, tan pequeño como se quiera, este sistema formará una pantaquia ilimitada, el conjunto de todos los puntos posibles formará la pantaquia completa; entre estas dos clases de sistemas pantáquicos, existe un número ilimitado de pantaquias infinitas.

Entre los sistemas apantáquicos existe, en primer lugar, el sistema de puntos aislados, por ejemplo,

\[
Z = \frac{\alpha_1}{2} + \frac{\alpha_2}{2^2} + \ldots + \frac{\alpha_n}{2^n}
\]

El sistema que sigue es el de puntos aislados, que en la proximidad de un punto determinado acaban por aproximarse indefinidamente, como los puntos \( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}, \ldots \) que se aproximan al punto \( \frac{1}{2} \), y son los puntos de convergencia; un ejemplo ofrecen las raíces de \( \operatorname{sen} \frac{1}{x} = 0 \). Los puntos de convergencia de orden \( n \) están dados por los ceros de

\[
\operatorname{sen} \frac{1}{x}, \quad \operatorname{sen} \frac{1}{x}, \quad \ldots, \quad \operatorname{sen} \frac{1}{x}
\]

donde el signo \( \operatorname{sen} \) se repite \( n \) veces.
El Progreso matemático (1899-08-01 00:00:00), página 16

Si se excluyen por extensiones tan pequeñas como se quiera, que contengan los puntos de orden \( n \) y luego los puntos de orden \( n - 1 \), y así sucesivamente, de manera que la suma de todas las extensiones sea tan pequeña como se quiera, se obtendrán sistemas aislados.

Trata el Sr. Bois Reymond del concepto de enumeración y de la potencia de los conjuntos de que se ha tratado exponiendo la teoría del Sr. Cantor.

Le ocupa de las series de orden cualquiera que son enumerables, como la serie simplemente ilimitada y hace una clasificación de los sistemas pantáquicos y apantáquicos de puntos, aplicando estas consideraciones al estudio de la función, del salto de la misma, ó sea la mayor diferencia entre sus valores, para un valor de argumento, de sus oscilaciones, ó la mayor diferencia de sus valores en un intervalo suficientemente pequeño que rodee á un punto, sus máximos y mínimos en un intervalo, todo lo cual también se trata en la excelente obra del Sr. Dini, de la construcción numérica de valores de funciones hipotéticas, y de la marcha final de la función.

El Sr. Tannery en su obra, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, adopta, para definir cada número irracional la división de los números racionales en dos clases tales que todo número de la primera es menor que todo número de la segunda y que no existe ningún número, en la primera mayor, ni en la segunda menor que todos los demás de la misma clase. Así, por ejemplo, el número definido por la ecuación \( x^4 - 3 = 0 \), conduce á distinguir la clase de los números cuyos cuadrados son menores que 3 y de los números cuyos cuadrados son mayores que 3.

Dos números irracionales serán iguales, cuando todo número racional perteneciente á una de las dos clases, con respecto á uno de los dos números, pertenece á la misma clase, respecto del otro; y cuando pertenezcan á distinta clase serán desiguales; y la desigualdad \( A < B \) de dos números irracionales implica la existencia de un número racional, tal, que se tenga \( A < a,\ a < B \).

Además del método de la división de los números en dos clases, emplea el Sr. Tannery, para extender la teoría de los números racionales á los irracionales, la teoría de las series, definiendo los últimos como límites de éstas: pero desde luego adopta el primer procedimiento, siendo A y B números racionales ó irracionales, y \( a, a', b, b' \) números racionales tales, que \( a < A < a',\ b < B < b' \),