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El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 29

Esta extensión del teorema de Huygens á la elipse y á la hipérbola se demuestra de la misma manera, si se hace ver que se tiene

\[
\frac{\pm (c - b)}{\pm (b - a)} \geq \frac{1}{4} \quad \text{y} \quad \frac{\pm (A - B)}{\pm (b - a)} < \frac{1}{2}
\] (elipse) (hipérbola)

y en efecto: 1.º de

\[
a = b \left( \frac{2 b^3}{c^3} - 1 \right) \quad \text{se obtiene} \quad \frac{a - b}{b - c} = 2 \frac{b}{c} \left( \frac{b}{c} + 1 \right) \leq 4
\]

y de \( B = \frac{2 b^3}{a + b} \) se obtiene \( \frac{a - b}{B - A} = \frac{a}{b} \left( \frac{a}{b} + 1 \right) \leq 2 \)

El resto se termina por el teorema de Huygens (*)

Es fácil comprender el empleo de esta teoría para la cuadratura del círculo: se partirá de los cuadrados inscritos y circunscritos, lo que da los valores iniciales muy sencillos

\[
a = 2, \quad A = 4
\]

de donde, sucesivamente, por el teorema de Gregory, las áreas del octógono regular inscripto, del octógono regular circunscripto, del exadecágono regular inscripto, del mismo circunscripto, etcétera. Se tendrán así los límites que se aproximarán cada vez más al área del círculo. Por el corol. II. se obtendrán enseguida otros

(*) Se puede añadir lo que sigue á título de ejercicio. Los valores \( a, b, c, ... \) pueden deducirse directamente, unos de otros, y lo mismo acontece para los valores \( A, B, C, ... \), por medio de las fórmulas

\[
c = b \sqrt{\frac{2b}{a+b}}, \quad C = \frac{2B \sqrt{A}}{\sqrt{A} + \sqrt{2A - B}}
\]

De éstas se obtiene la relación

\[
\frac{\pm (C - B)}{\pm (B - A)} = \frac{B}{(\sqrt{A} + \sqrt{2A - B})^2}
\]
\[
= \frac{C^4}{4AB} \geq \frac{1}{4} \quad \text{(elipse)} \quad \text{(hipérbola)}
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 3

Considérons maintenant une courbe quelconque sur la surface dont la tangente, en M, soit l’axe des \( x \) (ce qui ne restreint pas la courbe, puisque l’axe des \( x \) est quelconque dans le plan tangent). Si nous faisons tourner les axes des \( y \) et des \( z \), choisis comme dans (a), autour de l’axe \( x \), jusqu’à ce que le plan des \( xz \) coïncide avec le plan osculateur de la courbe considérée, nous aurons évidemment

\[
x = x', \quad y = y' \cos \theta - z' \sin \theta, \quad z = y' \sin \theta + z' \cos \theta
\]
\[
(\theta = \text{angle } \simeq M \ s')
\]

et, par suite, l’équation (1) prendra la forme

\[
(3) \quad y' \sin \theta + z' \cos \theta = a x'^2 + b x' (y' \cos \theta - z' \sin \theta) +
+ c (y' \cos \theta - z' \sin \theta)^2 + \ldots ;
\]

or, la courbe considérée aura, d’après la proposition (b), les équations (par rapport aux nouveaux axes)

\[
(4) \left\{ \begin{array}{l}
y' = B' x'^3 + \ldots \\
z' = B x'^2 + \ldots ;
\end{array} \right.
\]

mais elle doit être sur la surface, donc les fonctions \( y' \) et \( z' \) de \( x' \) (4) doivent satisfaire à l’équation (3), c’est-à-dire qu’on aura

\[
(B' x'^3 + \ldots) \sin \theta + (B x'^2 + \ldots) \cos \theta =
= a x'^2 + b x' [(B' x'^3 + \ldots) \cos \theta - (B x'^2 + \ldots) \sin \theta] +
+ c [(B' x'^3 + \ldots) \cos \theta - (B x'^2 + \ldots) \sin \theta]^2 + \ldots
\]

et, comme cette égalité devra être vraie pour toutes les valeurs de \( x \), on aura

\[
B \cos \theta = a,
\]

ce qui démontre le théorème, car on a, \( r' \) et \( r \) étant les rayons de courbure (au point M) de la courbe considérée \( \Omega \) et de la section normale de la surface tangente à \( \Omega \), (b),

\[
B = \frac{1}{2r'}, \quad a = \frac{1}{2r} \quad \text{(les équations de la section normale étant évidemment } z = a x^2 + \ldots, \ y = 0),
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 30

límites todavía más próximos. Gregory lleva el cálculo hasta el polígono de 16384 lados, lo que le da el número 3,14159265358979.

Se puede partir del triángulo inscrito y del cuadrilátero circunscrito á un sector circular:

De esta manera es como puede obtenerse el arco correspondiente á un seno dado (*).

Gregory ha dado todavía otras aproximaciones, pero conforme con lo que hemos hecho respecto á Huygens, no nos detendremos en ellas.

En la época á que hemos llegado, el cálculo infinitesimal acababa de aparecer, y sus primeros ensayos habían tenido por objeto la cuadratura del círculo. Wallis, Brouncker, Newton, Gregory, después Leibniz y los Bernoulli obtuvieron, con este motivo, nuevas expresiones en extremo notables, pero cuya historia no puede tener cabida aquí. Ya nos ocuparemos de ellos, sin embargo, y de sus continuadores.

Se debe á Juan Bernoulli,—además de su descubrimiento de la expresión de \( \pi \) en exponencial imaginaria y un elegante método de cuadratura aritmética, por la consideración de las evolventes sucesivas del círculo,—la construcción gráfica siguiente, indicada en 1707 en una carta á Leibniz:

Fig. 23

Sea ABC (fig. 23) un triángulo isósceles; bajemos la perpendicular BG sobre AC y la perpendicular CD sobre AB; tomemos CL = CD y proyectemos C en E sobre DL; tomemos CM = CE y proyectemos C en F sobre EM; y así sucesivamente: los puntos B, D, E, F, ... se hallan en una misma *cuadratriz*, que corta á AC en un punto R

(*) En efecto, sea

\[
a = \operatorname{sen} b; \quad A = \operatorname{tg} b,
\]

se tendrá

\[
b = 2 \operatorname{sen} \frac{b}{2}, \quad B = 2 \operatorname{tg} \frac{b}{2}, \quad c = 4 \operatorname{sen} \frac{b}{4}, \quad C = 4 \operatorname{tg} \frac{b}{4}, \ldots
\]

de donde

\[
x = \lim_{n \to \infty} 2^n \operatorname{sen} \frac{b}{2^n} - 2^n \operatorname{tg} \frac{b}{2^n} = 4.
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 31

tal que, describiendo el arco RS de centro C, el arco RS sea igual á BG.

El cálculo del número \( \pi \) por el método de Arquímedes, se había entendido como el mismo Arquímedes lo había enseñado, es decir, deduciendo del lado \( c \) de cada polígono inscrito el \( \gamma \) del de un número de lados doble, y efectuando lo mismo para los lados C y T de los polígonos circunscritos semejantes. Así se llegaba á cálculos prolijos que indican las fórmulas

\[
\gamma^3 = 2r \left( r - \sqrt{r^2 - \frac{c^2}{4}} \right), \quad l' = \frac{rc}{r + \sqrt{r^2 + \frac{c^2}{4}}} \tag{*}
\]

Saurin hizo ver en 1723, en las Mém. del Acad. des Sc. que el cálculo se facilita mucho combinando las dos series de resultados. Se tiene, en efecto (fig. 24)

\[
\frac{C}{c} = \frac{AT}{BP} = \frac{OT}{OA} = \frac{ST}{SA},
\]

de donde

\[
\frac{C + c}{2c} = \frac{ST + SA}{SA} = \frac{c}{2l'};
\]

luego el perímetro correspondiente á \( l' \) es medio armónico entre los de los dos primeros polígonos.

Por otra parte, siendo semejantes los triángulos ASR y BAP, se tiene

\[
\frac{AS}{AR} = \frac{AB}{BP}, \text{ de donde } \frac{l'}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{\gamma}{2} \gamma \text{ y } 2\gamma = \sqrt{2l'c};
\]

el perímetro del segundo polígono inscrito es, pues, medio pro-

(*) Después se han obtenido las relaciones siguientes, que ofrecen alguna ventaja para el cálculo

\[
\gamma = \sqrt{r \left( r + \frac{c}{2} \right)} - \sqrt{r \left( r - \frac{c}{2} \right)} \quad \text{ ó } \quad l' = \frac{rc}{r + \sqrt{r^2 - \frac{c^2}{4}}}
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 32

porcional entre los del primero inscrito y el del segundo circuns- crito. El cálculo es, pues, el mismo que por el método de Gregory.

Consignaremos dos puntos interesantes de Euler, que entran en el terreno elemental donde nos hemos colocado. El primero es la conocida fórmula

\[
\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{8} \ldots (*)
\]

(*) Esta relación es tan solo la extensión á un arco cualquiera del cálculo que Vieta había efectuado para el círculo.
Barrois (A. G. tome IV) deduce las relaciones siguientes:

\[
\frac{n \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{2n} \ldots \cos \frac{\pi}{2^n n}} < x < \frac{n \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{2n} \ldots \cos^2 \frac{\pi}{2^n n}}
\]

\[
\pi = \frac{n \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}}{\frac{1}{2} \sqrt{2+2 \cos \frac{\pi}{n}} \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos \frac{\pi}{n}}} \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos \frac{\pi}{n}}}}}
\]

Sarrus (A. G. tome X) dió la relación mucho más convergente

\[
\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \sqrt[3]{\frac{\cos x}{\left(1 - tg^4 \frac{x}{2}\right) \left(1 - tg^4 \frac{x}{4}\right) \left(1 - tg^4 \frac{x}{8}\right) \ldots}}
\]

deducida de la identidad

\[
\cos 2x = \cos^4 x (1 - tg^4 x)
\]

como la relación de Butler se deduce de ésta:

\[
\operatorname{sen} 2x = 2 \operatorname{sen} x \cos x.
\]

Esta fórmula de Sarrus conduce inmediatamente á la fórmula de aproximación de Mac Keline

\[
\operatorname{sen} x = x \sqrt[3]{\frac{\cos x}{x}}
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 33

que deduce por integración de la siguiente, fácil de demostrar:

\[
\frac{1}{x} - \cot x = \frac{1}{2} \tg \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \tg \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \tg \frac{x}{8} + \ldots
\]

Novi Com. Petr. t. VIII, 1763); así como la que sigue:

\[
\arctg \frac{1}{a} = \sum_{k=0}^{k=x} \arctg \frac{b}{(a + kb)[a + (k+1)b] + 1}
\]

que no es más que la aplicación de la identidad de Leibniz

\[
(a - b) + (b - c) + (c - d) + \ldots = a,
\]

que Euler aplica á los casos de \( a = 0, 1, 2, 3, 4 \) y \( b = 1, 2, 3, 5, 10, 13, 17, 25 \), y generaliza de varias maneras, entre otras ésta: Si \( M^2 + 4 = L^2 + 4LN \), se tiene:

\[
\arctg \frac{2}{L + M} = \sum \arctg \frac{1}{k^2 L + kM + N}
\]

id. t. IX, 1764).

El segundo es el estudio del método de Descartes, que termina con esta construcción: Siendo las abscisas AB, AC, AD, ... las apotemas de los polígonos regulares isoperímetros y las ordenadas Bb, Cc, Dd, ..., los semi-lados correspondientes: el lugar

muy conocida en Astronomía, que se verifica para \( x \) muy pequeño. Se ve que se halla aproximada por defecto.

La relación de Euler se ha representado gráficamente por Outhler Decordon, M. Collig-

Figura 25.

non y otros. Se toma (fig. 25):

\[
OA = 1,\ OB = 2,\ OC = 4,\ OD = 8,\ ...
\]

se construye el arco cualquiera Oa de centro A, después el de centro B y limitado en el radio Bab, el arco Ob, después desde e hasta el radio Cbe, el arco Od, y así sucesivamente. Los puntos a, b, c, ... están en una cochleoidé que determina sobre la perpendicular en O la longitud Oz igual al arco Oa.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 34

de los puntos \( b, c, d, \ldots \) es una cuadratriz que corta á \( AB \) en un punto \( X \) tal, que la circunferencia de radio \( AX \) es igual al perímetro de cada uno de estos polígonos (id. t. VIII). De esto se deduce la relación (\( x \)) arriva indicada.

Este método de Descartes, demasiado sucintamente indicado por él, ha sido reinventado varias veces, primero por Montucla en sus ediciones de las Récr. math. de Ozanam de la que la primera es de 1775. Hace ver que siendo \( AD \) (fig. 26) el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia dada, y \( F \) el extremo del diámetro perpendicular, \( AF \) será el diámetro del círculo circunscrito al octógono isoperímetro á este cuadrado. Análogamente, \( AH \) será el diámetro del círculo circunscrito al exadecágono isoperímetro. Continuando así, se llegará, en el infinito, á una circunferencia isoperímetra al cuadrado propuesto.

Fig. 26

Hasta aquí se tenía, para el cálculo de \( \pi \), tres métodos elementales: 1.º el de Arquímedes, por el que se busca la longitud de una circunferencia cuyo radio se dá, perfeccionado por Snellius, Huygens y Saurin; 2.º el de Descartes, que, invirtiendo el problema, prescribe calcular el radio, dándose la circunferencia; 3.º el de Gregory que busca el área del círculo, conociendo el radio. Quedaba un cuarto método: la obtención del radio de los círculos cuya área se conoce, es el método de Legendre, que lo dió en sus El. de Géom. cuya primera edición es de 1794. Véase este método.

Consideremos el triángulo rectángulo \( ABC \) (fig. 27) y el triángulo isósceles equivalente \( DCE \); se tiene

\[
CD = \sqrt{CA \cdot CB}, \quad CF = \sqrt{CA \cdot \frac{CA + CB}{2}}.
\]

Se sigue de esto que, si \( r \) y \( R \) representan los radios de los círculos inscritos y circunscritos al polígono de igual área y de doble número de lados, se tendrá

\[
\pi = \sqrt{rR}, \quad P = \sqrt{r \frac{r + R}{2}}.
\]

Fig. 27
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 35

Luego, si se parte del cuadrado, se podrán construir gráficamente límites cada vez más próximos del radio \( r \), del círculo de área igual á la del cuadrado propuesto

Será ventajoso efectuar numéricamente esta construcción. Se tiene

\[
r = \sqrt{2} = 1,414\ 2136,\quad R = 1,000\ 0000
\]

de donde \( r \) y P. Se continuará igualmente hasta que la primera mitad de las decimales sea idéntica en los dos resultados del mismo orden: se procederá entonces por simples medias aritméticas que solo difieren de las medias geométricas en las decimales despreciadas (*) Se obtiene así 1,1283792 por radio del círculo cuya área es igual á la del cuadrado propuesto.

Por una demostración poco rigurosa, y que por esto no reproducimos, Legendre hace ver que si los valores de los dos radios consecutivos \( r \) y R concuerdan en la primera mitad de las decimales, se podrá escribir

\[
x = r + \frac{R - r}{3}\ (**)
\]

El método de los isoperímetros fué presentado didácticamente por Schwab, en sus El de Géom. Nancy, 1813).

(*) Este caso de casi igualdad de las medias aritmética y geométrica fué notado al principio por Keplero (Chil, log Marpurg 1624) y por Briggs Arith. log. Londres, 1624) que lo ha extendido considerablemente.

(**) Se podría demostrar, como lo hace Gergonne (véase más lejos) por el método de los isopérímetros, O todavía así, lo que completa la teoría de Legendre:
Sean A, B, C... la serie de los diversos radios de los círculos circunscritos y \( a, b, c ... \) la de los inscritos correspondientes. Se tiene

\[(x)\] \( B^1 = aA,\quad b^1 = a \frac{a + A}{2},\quad C^1 = bB,\quad c^1 = b \frac{b + B}{2},\quad ...\)

de donde \((\beta)\) \( A > B > C > ... x > ... c > b > a \)

\[(\gamma)\] \( C^2 = \frac{B^1}{A} \sqrt{\frac{A^2 + B^2}{2}},\quad (\delta)\quad c^2 = b \frac{b}{2} + \sqrt{2 \frac{b^2 - a^2}{2}} \)

Sustituyamos en \( \frac{A - a}{B^1 - b^1} \), \( B^1 \) y \( b^1 \) por sus valores \((x)\), se obtiene que es igual \( \frac{2}{a} \); luego en virtud de \((\beta)\),
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 36

Sea AB (fig. 28) el semi-lado de un polígono inscrito; tracemos el diámetro AOC, la cuerda CB, las perpendiculares OD, ED; CE y CD son los radios de los círculos inscritos y circunscritos al polígono isoperímetro de un número doble de lados. Se tiene pues,

\[
r' = \frac{r + R}{2}, \quad R' = \sqrt{R r}
\]

Schwab parte del exágono, lo que se reduce á hacer \( r = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( R = 1 \), y deduce este teorema: *Supongamos una serie*

\[
\frac{A - a}{B - b} = 2 \frac{B + b}{a} > 4
\]

Este último resultado fué hallado por Jube (N. A. 1848).

Introduzcamos el valor (\( \gamma \)) en \( \frac{A^3 - B^2}{B^4 - C^4} \), esta expresión se convierte en

\[
\frac{A - B}{B - C} = \frac{2A^2}{B^4} \cdot \frac{(B + C)(B^2 + C^2)}{A + B}
\]

Sustituyamos en el segundo miembro. C por \( \frac{B^3}{A} \) y en virtud de \( B^4 = aA < AC \)

y por consiguiente \( C > \frac{B^3}{A} \), se tendrá

\[
\frac{A - B}{B - C} > 2 \left( \frac{A}{B} + \frac{B}{A} \right) > 4
\]

de (δ) se obtiene

\[
\frac{b^2 - a^2}{c^2 - b^2} = 4 \frac{c^2}{b^2}
\]

y por consiguiente (\( \gamma \))

\[
\frac{b - a}{c - b} = 4 \frac{c + d}{b + a} \frac{c^2}{h^2} > 4
\]

En último caso, de (z) se deduce

\[
\frac{A^3 - B^3}{b^3 - a^2} = 2 \frac{A}{a}
\]

luego (θ)

\[
\frac{A - B}{b - a} = 2 \frac{A}{a} \frac{b + a}{B + A} = 2 \frac{Aa + Ab}{Aa + ab} > 2
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 37

de cantidades de las que las dos primeras sean \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) y 1, y cada una de las siguientes alternativamente media aritmética y media geométrica de las dos que la preceden. Los términos tienden hacia el límite \( \pi \). Obtiene así, para el polígono de 6144 lados

\[
r = 0,9549296, \quad R' = 0,9549297,
\]

sustituyendo, como había hecho Legendre, las medias geométricas por simples medias aritméticas desde que es común, en una y otra parte, la primera mitad de las decimales.

Este elegante método de los isoperímetros ha motivado gran número de estudios.

Gergonne le ha consagrado varios artículos. En el tomo IV de A. G. (1825), supone que se ha llegado á dos términos consecutivos \( a \) y \( b \) idénticos en la primera mitad de sus decimales; se han de tomar entonces las medias aritméticas sucesivas

\[
\frac{a+b}{2}, \quad \frac{a+3b}{4}, \quad \frac{3a+5b}{8}, \quad \frac{5a+11b}{16}, \quad \frac{11a+21b}{32}, \ldots
\]

lo que puede escribirse así

\[
\frac{2(a+2b)+(a-b)}{2.3}, \quad \frac{4(a+2b)-(a-b)}{3.4},
\]
\[
\frac{8(a+2b)+(a-b)}{3.8}, \ldots, \quad \frac{a+2b}{3} \pm \frac{a-b}{3.2^n}
\]

el valor del término en el infinito es pues, \( \frac{a+2b}{3} \).

puesto que de \( \frac{B}{b} = \sqrt{\frac{2A}{a+\Lambda}} < \frac{A}{a} \) se obtiene \( Ab > aB \)

La relación (\( \beta \)) muestra que los valores sucesivos de los radios tienden hacia un límite común ó á dos límites distintos. La relación (\( t \)) muestra que la primera hipótesis es la verdadera, puesto que la serie \( A - a, \ B - b, \ C - c, \ldots \) decrece más rápidamente que la serie \( A - a, \ \frac{A-a}{4}, \ \frac{A-a}{6} \ldots \). En fin de (\( r \)) y de (\( \zeta \)) se deduce la fórmula \( 4b - a > 3x > 4B - A \), idéntica, salvo el sentido de las desigualdades, á la de Gregory; y de \( \theta \) la relación (\( i \)) \( 3x < A + 2a \) que Legendre admite como aproximado.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 38

Añade que, si se da el triángulo isósceles SMC (fig. 29) y se toma \( CC' = CS \), \( S' \) medio de \( CS \), \( C'C'' = CS' \), \( S'' \) medio de \( S'C' \), \( C''C''' = C''S'' \), \( S''' \) medio de \( S''C'' \), ... las longitudes \( CC', C'C'', C''C''' \), ... tienen por límite el radio del círculo cuya circunferencia es igual á MS.

Se tiene otra demostración de las relaciones de Schwab, que consiste en el empleo de la figura 30 (Léger, N. A. 1846).

Fig. 29

Fig. 30

En fin, indicaremos varios teoremas análogos á los de Huygens y Gregory (*).

(*) Para más unidad en las demostraciones, reproduciremos cálculos análogos á los que hemos hecho por el método de Legendre.

Sean \( a, b, c \),... los radios de los círculos inscritos y A, B, C los de los circunscritos, se tiene

\[
b = \frac{a + A}{2}, \quad B^2 = Ab, \quad c = \frac{b + B}{2}, \quad C^2 = Bc
\]

de donde (\( \beta \))

\[
\frac{A - a}{A - B} = \frac{A - a}{b - a} = 2
\]

(\( \gamma \))

\[
A > B > C > ... > x > ... > c > b > a
\]

(\( \delta \))

\[
C^2 = B^2 \frac{B + A}{2A}
\]

(\( \varepsilon \))

\[
c = \frac{b + \sqrt{b(2b - a)}}{2}
\]

En virtud de (\( \delta \)) se tiene

\[
\frac{A - B}{B - C} = \frac{(A - B)(B + C)}{B^2 - C^2} = 2A \frac{B + C}{B^2} = 2 \frac{B + C}{b}
\]

de donde (\( \zeta \))

\[
\frac{A - B}{B - C} > 4 \quad \text{(D. André. N. A. 1874)}
\]

En virtud de (\( \alpha \)) y (\( \beta \)), resulta

\[
\frac{A - a}{B - b} = \frac{(A - a)(B + b)}{B^2 - b^2} = \frac{A - a}{B - B} \frac{B + b}{b} = 2 \frac{B + b}{b}
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 39

Tales son los principales trabajos elementales á que han dado origen las investigaciones sobre la cuadratura del círculo, por medio de aproximaciones sucesivas. En cuanto á los estudios hechos sobre estos trabajos, son demasiado numerosos para que emprendamos su exposición; tal vez conviniera decir cómo ha sido tratada la cuestión por los geómetras que de ella se han ocupado.

Arquímedes ensayó probablemente resolver el problema, antes de dar del mismo una solución aproximada, ó si se quiere, una aproximación indefinida; y su falta de éxito debió contener á los matemáticos (*) hasta hacia el siglo xvii, en que los métodos

luego, puesto que \( B > b \)

\[
\frac{A - a}{B - b} > 4 \quad \text{(Bellion, N. A. 1847)}
\]

En virtud de (α) se tiene

\[
\frac{b - a}{A - B} = \frac{(b - a)(A + B)}{A^* - B^*} = \frac{A + B}{A} < 2
\]

De (i) resulta

\[
\frac{b - a}{c - b} = 2 \left(1 + \sqrt{2 - \frac{a}{b}}\right)
\]

de donde, puesto que \( a < b \),

\[
\frac{b - a}{c - b} > 4 \quad \text{(D. André, N. A. 1871).}
\]

(γ) pone de manifiesto que los valores sucesivos se aproximan, cada vez más, y (η) que tienden hacia un límite común, aproximándose á éste tanto como se quiera. Esta última proposición se omite con frecuencia sin razón, porque no basta saber a priori que los dos límites de \( \pi \) se aproximan cada vez más, para que pueda esperarse el conocer su valor con precisión: es necesario además, que se sepa si estos límites se aproximan de modo que no difieran más que una cantidad inferior á la aproximación buscada.

En fin de (ζ) y de (θ) se deduce \( 4\,B - A < x < 4\,b - a \) (Nouché. N. A. 1883).

La segunda desigualdad se deduce también de (i), pues, da, en efecto,

\[
3\,x < 2\,A + a = 4\,b - a
\]

(*) Vieta y Descartes no creían que pudiera determinarse una recta igual á una curva dada, lo que admira tanto más, sobre todo en este último, que ha obtenido, implícitamente es cierto, la primera rectificación: la de la espiral logarítmica.

Posteriormente se ve á propósito del descubrimiento de la rectificación de la cicloldea—á Sluze admirando la naturaleza que no permite que pueda obtenerse una curva igual á una recta, más que cuando esta curva proviene ya de la rectificación de otra curva.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 4

d'où enfin \( \cos \theta = \xi' \). c. q. f. d.

Cette méthode s'appuie, on le voit, sur la position particulière des axes des coordonnées.
On démontre d'une manière très analogue le théorème d'Euler (Voir Gauss, loc. cit.)
3. Seconde démonstration des théorèmes de Meusnier et d'Euler.
A) Les cosinus de la tangente à une courbe et de sa normale principale sont, comme on sait, respectivement

\[
\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds}, \frac{dz}{ds}; \quad \frac{d^2 x}{ds^2}, \frac{d^2 y}{ds^2}, \frac{d^2 z}{ds^2}.
\]

Considérons maintenant deux courbes quelconques ayant un point commun M et la tangente commune en ce point; on aura évidemment, en ce point,

\[
X = x, \ Y = y, \ Z = z; \quad \frac{dX}{dS} = \frac{dx}{ds}, \ \frac{dY}{dS} = \frac{dy}{ds}, \ \frac{dZ}{dS} = \frac{dz}{ds}
\]

(X, Y, Z; x, y, z étant respectivement les coordonnées des deux courbes en fonction de leurs arcs).
Supposons maintenant que les deux courbes se trouvent sur une surface et que, de plus, la normale principale de l'une d'elles, de la courbe x, y, z, p. e., coïncide avec la normale à la surface. Si, pour plus de simplicité, nous prenons la tangente commune en M pour axe des x et la normale à la surface pour axe des z, nous aurons, au point M,

\[
\begin{cases}
\frac{dX}{dS} = \frac{dx}{ds} = 1, \quad \frac{dY}{dS} = \frac{dy}{ds} = 0, \quad \frac{dZ}{dS} = \frac{dz}{ds} = 0, \\
\frac{d^2 x}{ds^2} = 0, \quad \frac{d^2 y}{ds^2} = 0, \quad \frac{d^2 z}{ds^2} = 1, \\
P \frac{d^2 X}{dS^2} = 0, \quad P \frac{d^2 Y}{dS^2} = \sin \theta, \quad P \frac{d^2 Z}{dS^2} = \cos \theta,
\end{cases}
\]

\( \theta \) désignant l'angle des normales principales des deux courbes. Or, \( \varphi (\xi, \eta, \zeta) = 0 \) étant la surface sur laquelle les courbes se