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El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 23

Solución por el Sr. Caro (D. R.)

Este problema, en el caso del enunciado, puede considerarse como caso particular del círculo tangente á otros tres, con solo suponer iguales á cero, los radios de dos círculos.

Trácese sobre CB una hipérbola, tomando estos puntos como focos, y cuya diferencia de valores sea el radio de C. La perpendicular levantada en el punto medio de AB, determinará sobre la hipérbola los M, N que son los centros de las dos soluciones (V. t, 3º página 169).

CUESTIÓN 152.
(Véase tomo III, página 294).

Sea M un punto cualquiera del círculo circunscripto al triángulo equilátero ABC. Demostrar que las rectas que unen este punto á los medios de los arcos subtendidos por los dados, encuentran á estos lados sobre el diámetro del círculo paralelo á la recta de Simson del punto M.
(B. Sollertinsky.)

Solución por el Sr. Brocard (H).

Actualmente tengo ocasión de recordar que la geometría de la recta de Simson (ó de Wallace, según el Intermédiaire des mathématiciens, t. I, 1894, p. 174) ó de la línea pedal del triángulo, y de su envolvente, la hipocicloide de tres retrocesos, se reduce á esta propiedad muy sencilla:

Proyectar desde un punto R de la circunferencia llamada de los nueve puntos (ó de Euler) sobre un lado ABC del triángulo, ó tomar, sobre este lado, el doble DE del segmento DI interceptado por la línea proyectante RI y por la altura CD que le es paralela. La recta ER que une este nuevo punto E al primero R, es la línea pedal.
El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 24

En el caso del triángulo equilátero el círculo de Euler es tangente al lado BC tomado como base.

Tracemos el círculo de centro O y de radio, \( OM = 2 \cdot OR \). Sea N el medio del arco AB. Bastará demostrar que si MN encuentra á AB en S, la línea OS es paralela á ER.

Ahora, ya el triángulo OSN es isósceles.

Los triángulos DRO, NMO son isósceles y semejantes, \( OM = 2 \cdot OR = ON = 2OD \) luego OS es paralela á ER.

Igualmente OS', OS'' son paralelas á ER, y se deduce de esto que los puntos S_1S'_1S'' están en línea recta y que la recta SS'S'' pasa por el punto O y es paralela á ER.

Solución por el Sr. SOLIERTINSKY (B.)

Si la perpendicular de M sobre AC encuentra á la circunferencia en M', la recta de Simson del punto M es paralela á BM'.

Sea x el punto en que la recta que une M al medio de A' del arco BC encuentra al lado BC.

Siendo MM' y CA' paralelas, se tiene \( \angle CM = \angle A'M' \) de donde

\[
\angle CBM' = \left( \frac{CA' + A'M'}{2} \right) =
\]

\[
= \frac{A'B + CM}{2} = \angle BxA' = \angle OxB
\]

Luego Ox y BM' son paralelas.

CUESTIONES PROPUESTAS

253. Sean H_1, H_2, H_3, los medios de las rectas que unen los vértices exteriores de los cuadrados construídos sobre los tres lados de un triángulo A_1A_2A_3 y G el centro de gravedad del triángulo H_1H_2H_3. Si se prolonga GH_1 en una longitud H_1M=GH_1, la recta MA_1 será perpendicular á H_2H_3 y valdrá su tercio.

(Este teorema servirá para construir el \( \triangle A_1A_2A_3 \) conociendo los puntos H_1, H_2, H_3).

(H. Van Aubel).

Zarag.—Imp. de C. Ariño Coso 109 bajos.
El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 3

\[
\begin{array}{l}
\frac{(x-2a)x}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
y=0 \\
z=2b
\end{array} \right. \quad (1) \qquad y \qquad \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{2a} + \frac{z}{2b} = 1
\end{array} \right. \quad (2)
\end{array}
\]

donde \( a \) y \( b \) son las mitades de los ejes A'B y CC' = A'A de la elipse (c), proyección de la elipse directriz (C) sobre el plano (M) ó de las XY (fig.)

Las ecuaciones de una de las generatrices rectilíneas serán:

\[
\begin{array}{l}
x=a \\
y=\gamma(z-2b)
\end{array}
\]
(3)

donde \( x \) y \( \gamma \) son los parámetros arbitrarios, ligados aquí por la relación
\[
x\gamma^2 = (2a-x)
\]
(4)
que eliminados entre estas tres últimas ecuaciones darán por ecuación del conoide recto buscado (K)
\[
xy^2 = (z-2b)^2 (2a-x)
\]
(5)

Haciendo \( z = 0 \) en esta ecuación, se tendrá para ecuación de la traza de esta superficie sobre el plano (M) ó de las XY
\[
xy^2 = 4b^2 (2a-x)
\]
(6)

Se puede también obtener la ecuación de la curva buscada (V) sin partir de la ecuación del conoide (K). Para esto, (fig.) rebatamos el plano de las rectas \( \Delta \) y \( \Delta' \) ó de las XZ alrededor de A'B ó del eje de las X sobre el plano (M) ó de las XY. La elipse directriz (C) se proyectará entonces según el segmento AB, y la generatriz que pasa por \( m \) se proyectará según la cuerda \( p\pi \), de la elipse (c) proyección de aquella elipse en su posición primitiva.

Rebatamos esta generatriz alrededor de su proyección \( p\pi \), y para esto elevemos en el punto \( m \) la perpendicular \( mm_1 = p\mu_1 = \mu_2p \) á esta proyección; y \( \mu m_1 \mu_0 \) será su rebatimiento, de modo haciendo centro en \( p \) con el radio \( p\mu_0 \) que describe un círculo (p) cortará á \( p\pi \) en los puntos \( \mu \) y \( \mu' \) que pertenecen á la curva buscada (V).

Ahora, los triángulos rectángulos semejantes \( p\pi\mu_0 \) y \( m\pi m_1 \) dan
\[
\frac{mm_1}{p\mu_0} = \frac{m\pi}{p\pi} = \frac{m\pi}{BB'}
\]
(7)
y en virtud de la semejanza de los triángulos rectángulos mA\( \pi \) y BAB', se tiene
El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 4

\[
\frac{m\pi}{BB'} = \frac{A\pi}{AB'} = \frac{A'p}{A'B} \tag{8}
\]
de donde
\[
\frac{A'p}{A'B} = \frac{mm_1}{p_{1u_2}} = \frac{p_{1u_2}}{p_{1u}}
\tag{9}
\]
y
\[
\frac{x}{2a} = \frac{p_{1u_2}}{y}
\tag{10}
\]
pero la elipse (c), da
\[
p_{1u_2} = \frac{a}{b} \sqrt{(2a - x)x}
\tag{11}
\]
luego
\[
xy^2 = 4b^2 (2a - x)
\tag{6}
\]
Si por el vértice A' de la elipse (c) se traza la recta \(A'\mu_s\) que pasa por el punto \(u_4\) de esta curva, hasta su encuentro \(u'_0\) con la tangente Bx_o en el vértice opuesto B, los triángulos rectángulos semejantes \(A'p\mu_4\) y \(A'Bu'_0\) dan la relación
\[
\frac{A'p}{A'B} = \frac{p_{1u_2}}{p_{1u'}}
\tag{12}
\]
cuya comparación con la relación (9) muestra ser
\[
p_{1u'_0} = p_{1u} = y
\]
Resulta de esto que la cúbica (V) puede obtenerse aplicando á la elipse (c) la transformación de Mac-Laurin.

Según esto, si se toma un punto cualquiera \(u_4\) de la elipse generatriz (c) y se traza la recta \(A'\mu_4u'_0\), que pasa por este punto y por el punto fijo A', y que por su intersección \(u'_0\) con la recta Bx_o se traza la paralela \(u'_0u\) al eje A'B, su intersección u con la ordenada \(p_{1u}\) de esta elipse será el punto correspondiente de la cúbica engendrada (V).

Discusión.—Para \(x = 2a\) se tiene \(y = 0\), y por consiguiente resulta
\[
\frac{dy}{dx} = \infty
\]
luego el eje AA' de las y será asíntota de la curva.

Tiene también esta dos puntos de inflexión á distancia finita, puesto que se hallan satisfechas las condiciones que determinan la existencia de estos puntos singulares. Así para
\[
\frac{d^3y}{dv^3} = 0 \quad \text{se tiene} \quad xy^3 = 2ab^3
\]
El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 5

y á causa de esta ecuación y de la de la cúbica (6) se deduce que las coordenadas de estos puntos serán

\[
x = \frac{3}{2} a, \quad y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} b
\]

(13)

En la figura el ángulo B'AB que la recta Δ forma con el plano (P) es menor que 45° y por consiguiente la elipse (c) tendrá por ejes mayor y menor respectivamente los segmentos A'B = 2a y CC' = AA' = 2b.

En el caso contrario los ejes quedarán invertidos.

Esta elipse (c) se reducirá á un círculo, ó se tendrá A'B = A'A, ó a = b cuando este ángulo sea igual á 45°, y la ecuación (6) de la cúbica quedará transformada en la siguiente:

\[
xy^2 = 4a^3 (2a - x)
\]

(6)' que es la ecuación de la cúbica concial estudiada por Doña María Agnosi y á la que dió el nombre de Versteera (*).

No entramos en mas de detalles sobre la discusión de la ecuación (6), atendido que no ofrece dificultad, y que esta ecuación establece que la curva correspondiente tiene la forma indicada en la figura y que por otra parte pertene al grupo de cúbicas unicursales no circulares ya bien estudiado.

TRAZADO DE LA TANGENTE.—1.º Se puede determinar la tangente en un punto cualquiera de la curva (V) considerándola como la traza sobre el plano (M) del plano tangente al conoide en este punto.

En efecto, consideremos el punto μ de la curva y la generatriz \( \pi m_\mu \) relativa á este punto, así como el punto m de ésta situado en la elipse directriz (C).

Si se traza á la elipse (c) en el punto \( \mu_1 \), proyección de m sobre el plano (M), la tangente \( \mu_1 0 \), ésta cortará á la traza Bx del plano (P) sobre el plano M en el punto 0, que será la traza sobre este plano de la tangente en el punto m de la elipse directriz (C). Según esto, la traza del plano tangente en el punto m del conoide (K) será la recta \( \mu 0 \). Así la recta \( \mu_1 r \) paralela á esta recta, y la recta A'B ó Δ' representarán las proyecciones sobre el plano (M) de dos rectas mH y Δ, que, con el plano director del conoide (K) determinan su paraboloidé de acuerdo á lo largo de la generatriz \( \pi m_\mu \), á la cual llamaremos del pri-

(*) Véase.—Institutioni Analitiche art. 388 y Examples of the process of the differential and integral calculus collected by D. F. Gregory 1848, p. 181.
El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 6

mer sistema. Ahora, estas rectas \( \mu\theta \) y \( \Lambda \) consideradas como generatrices del segundo sistema de este paraboloide auxiliar y sus proyecciones \( \mu\tau \) y \( \Lambda'\), cortándose en el punto \( \tau \), sucederá lo mismo á todas las proyecciones de las generatrices de este mismo sistema, puesto que el plano (M) es perpendicular al plano director (D) del primer sistema de este paraboloide; y por consiguiente la recta \( \mu\tau \) será la traza, sobre aquel plano, del plano tangente al conoide en el punto \( \mu \).

Luego: para trazar la tangente á la curva buscada (V), en un punto cualquiera \( \mu \), se trata la ordenada \( \mu p \), y en el punto correspondiente \( \mu_2 \) de la elipse (c) se traza la tangente \( \mu_2 t \); y la recta \( \mu t \) que pasa por el punto de intersección \( \theta \) de esta tangente con la tangente Bz, en el vértice B de esta elipse, será la tangente buscada.

2.º Partiendo del segundo trazado de la cúbica (V), se puede también determinar facilmente la tangente en un punto cualquiera.

Para esto, tracemos por el punto dado \( \mu \) la ordenada \( \mu_1 p_1 \), y por el punto de intersección \( \mu_1' \) del vector \( A'\mu_1 \mu' \), la paralela \( \mu_1' \mu \) á A'B; la intersección \( e \) de la tangente \( \mu_1 \theta \) á la elipse (c) y de la recta \( \mu_1' \), es tal, que la recta \( \mu_1 e \) será la tangente buscada (*).

3.º La expresión de la sub-tangente, con relación al eje x, siendo

\[
S_t = \frac{2a-x}{a} x
\]

da también una construcción muy fácil de la tangente.

Consideremos, pues, el punto \( \mu \) y tracemos la recta \( \beta_1 \beta_1' \) paralela al eje A'B de la elipse (c), así como la ordenada \( \mu p_1 \mu' \) de la cúbica, y sea \( \beta \) el punto de intersección de estas dos rectas; después tomemos \( p_6 = A'p \), y por el punto \( \delta \) tracemos paralelamente á la recta \( \beta B \) la recta \( \delta t \) que cortando á A'B en el punto \( \tau \), determinará la subtangente \( \mu \tau \), y por consiguiente \( \tau \mu \) será la tangente que se pide.

TANGENTES TRAZADAS POR LOS PUNTOS DEL EJE Y DE LA ASÍNTOTA.—
Para un punto cualquiera \( \tau \) del eje A'B se tiene

\[
\varphi = A'p - A'\tau = S_t
\]
ó haciendo
\[
A'\tau = \lambda, \quad x^2 - 3ax = - a\lambda'
\]
de donde
\[
x = \frac{3}{2} a \pm \sqrt{\left( \frac{9}{4} a - \lambda \right) a}
\]

(*) Véase Koeni sur la Géométrie de la règle et de l'équerre par M. G. de Longchamps. 1850, p. 107.
El Progreso matemático (1895-06-01 00:00:00), página 7

Luego el valor de la abscisa de los puntos de contacto de las tangentes, \( \tau_1, \tau_1' \) trazadas por un punto cualquiera \( \tau \) del eje AB de la cúbica (V) es igual á la abscisa de los dos puntos de inflexión más ó menos la media proporcional entre el semi eje A'c = a de la ellipse generatris (c) y la diferencia entre la distancia \( \lambda \) de aquel punto al origen A' y \( \frac{9}{4} \) de este semi-eje, según que \( \lambda \) sea mayor ó menor que \( \frac{3}{2} a \).

Se vé también que el valor de \( \lambda \) queda comprendido entre 0 y \( \frac{9}{4} a \).

La expresión de la sub-tangente con relación al eje de las y siendo

\[
S'_t = - \frac{y^3 + 4b^3}{2y}
\]

origina igualmente una construcción fácil para obtener las tangentes trazadas por un punto cualquiera \( \tau' \) de la asíntota A'A á la cúbica (V).

En efecto, designando por V la distancia A'\( \tau' \) del origen al punto dado \( \tau' \), se tiene

\[
v = y + \frac{y^3 + 4b^3}{2y}
\]

de donde

\[
y = \frac{1}{3} v \pm \sqrt{\frac{v^3}{9} - \frac{4}{3} b^3}
\]

valores de las ordenadas correspondientes, que solamente serán reales á partir de \( v = 2 \sqrt{3} b \).

En este límite mínimo la sub-tangente es igual á \( \frac{4}{\sqrt{3}} b \) y corresponde á los puntos de inflexión.

Una vez determinada la ordenada, se puede, como anteriormente, trazar las tangentes que se piden.

TRAZADO DE LA NORMAL.—Siendo la expresión de la sub-normal, con relación al eje de las x

\[
S_n = - \frac{4ab^3}{x^3}
\]

nos conduce á la siguiente construcción de la normal.

Tracemos la ordenada \( \mu \rho \) en el punto dado, y la tangente TT' en el vértice C' de la ellipse (c), así como su paralela \( a_a'a' \), situada á una distancia del eje A' igual á 2A'B = 4a. Tracemos la recta NA' por el
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vértice A' de esta elipse y por el punto de intersección N de \( \mu u \) y \( TT' \); y por este mismo punto la recta \( Ng \) tal que el ángulo \( pNq \) sea igual al ángulo \( pA'N \), cuyo punto de intersección con \( A'B \) es q.

En fin, trazando la recta \( A'z \) por el punto \( A' \) y por el punto de intersección z de la ordenada \( \mu p \) con la recta \( x_1z \), la recta \( qn \), trazada por el punto q paralelamente á la primera \( A'z \), cortará á esta ordenada en un punto \( n_o \) que dará el segmento \( pn_o \) igual á la sub-normal \( pn \); y por consiguiente la normal en el punto \( u \) será \( \mu n \).

OBSERVACIÓN

Transportemos los planos coordenados paralelamente á ellos mismos, hasta que el nuevo origen sea el punto B'.

Esto sentado, hagamos

\[
2a - x = x_1, \quad y = y_1, \quad z - 2b = z_1,
\]

y la ecuación (5) del conoide (K) se reduce á

\[
x_1z_1^2 = y_1^2 (2a - x_1) \tag{5'}
\]

La intersección de esta superficie con un plano (N), paralelo al plano (\( \pi \)) de la directriz rectilínea \( \Delta \) y del eje mayor AB de la elipse directriz (C), y situada á una distancia de este plano igual á \( \pm 2b \), será una cúbica (V,) que tiene por ecuaciones

\[
x_1z_1^2 = 4b^2 (2a - x_1) \quad y = \pm 2b \tag{6}
\]

luego, la proyección de esta curva sobre el plano (\( \pi \)) ó de las \( xz \) será una cúbica completamente igual á la cúbica (V) teniendo su vértice en A y por asíntota BB'.

Después del rebatimiento del plano (\( \pi \)) sobre el plano (N) de la figura, esto se reduce á hacer girar la cúbica (V) al rededor del punto C, hasta que el punto B se confunda con el punto A.

En el caso de ser \( a = b \), se obtiene igualmente la Versiera de D.a María Agnesi.

Luego: El conoide recto (K) no solamente está co-tado según la cúbica que se pide (V) por el plano M y su simétrica (M') con relación á la directriz rectilínea \( \Delta \), situadas á una distancia de ésta igual á \( 2b \), sino que además por otros dos planos (M,) y (M',) paralelos al plano (\( \pi \)) y situados también á esta misma distancia de éste.

Como se sabe, cuando un conoide tiene por directriz una curva plana cualquiera (C), todo plano secante (S) que pasa por la traza A de la directriz rectilínea \( \Delta \), sobre el plano de esta curva y paralela á la intersec-
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ción L de este plano con el plano director (D), corta á esta superficie según una curva (c) del mismo orden de esta directriz.

Así, el cono le admite un modo de generación por curvas del mismo orden de su directriz curvilínea plana.

En nuestro caso la ecuación del plano secante (S) será

\[
z = 2b = xx \tag{22}
\]

y según la ecuación (5) se tendrá por ecuación de la proyección de la intersección (c) sobre el plano (XY)

\[
y^3 = \theta^2 x (2a - x) \tag{23}
\]

que representa una cónica.

Si se tiene \( \theta = \frac{b}{a} \), esta ecuación se convierte en la de la elipse (c). Para \( \theta = 1 \) se tendrá la ecuación de un círculo, etc.

Hemos demostrado esta propiedad de los conoides sintéticamente y de una manera muy sencilla en nuestra Note sur la génération du conoile circonscrit á une courbe plane au moyen de courbes du même ordre de celle ci (*).

De igual manera demostramos allí los dos teoremas siguientes que consideramos nuevos:

1.º Las generatrices rectilíneas de un conoide se hallan divididas en una misma razón anarmónica \( \lambda \) por las directrices (C) y \( \Delta \); por un plano secante cualquiera (S_0) que pasa por la traza A de la directriz rectilínea \( \Delta \) sobre el plano (P) de la directriz curvilínea (C) y por otro plano (T) que pasa por la intersección de estos planos, y cuya traza sobre el plano director (D) es perpendicular á la intersección de este plano (D) con el plano (P) de la directriz curvilínea.

2.º Las generatrices rectilíneas de un conoide se hallan divididas homográficamente por cada serie de pares de planos conjugados (S_0), (T) que se cortan sobre el plano (P) de la directriz curvilínea (C) y que pasa por dos rectas de las que la una tiene la misma traza y la misma proyección que la directriz rectilínea \( \Delta \) sobre este plano, la otra tiene esta misma traza y es paralela á la recta que une las trazas de la primera recta y de la directriz rectilínea sobre el plano director (D).

Además los puntos dobles de todas estas divisiones homográficas de las generatrices están siempre sobre las directrices (C) y (\( \Delta \)); y los puntos conjugados á los puntos en el infinito se hallarán sobre dos curvas (I) y (J) (distintas ó coincidentes) homológicas á la directriz rectilínea.

(*) Journal de Sciences mathématiques Physiques e Naturales, 1867, t. XLV.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Sobre la división del volumen y del área curva del cono recto de base circular
POR EL DR. E. LAMPE
Profesor de la Escuela Politécnica de Berlín.

El artículo del Sr. Guimaraes que se ha publicado en la Association française pour l'avancement des sciences (21me session, Pau, 1892, p. 166-171) me ha recordado varias cuestiones que he propuesto á mis discípulos hace más de diez años y que se refieren á la división del volumen y de la superficie curva de un cono de base circular por planos cualesquiera.

Sirviéndonos de un principio conocido, no se tiene necesidad de recurrir á la integración del Sr. Guimaraes para obtener las áreas de las porciones de superficies separadas por planos; la proyección plana sobre la base del cono de una parte de superficie curva del cono limitada por un contorno cualquiera equivale al producto de esta misma área por el coseno del ángulo entre una generatriz recta del cono y el plano de la base.

Este principio reduce los problemas en cuestión á consideraciones completamente elementales, y creemos que no estará desprovisto de interés para los lectores de El Progreso Matemático el que nos permitamos comunicar de esto algunas pruebas.

Consideremos una sección elíptica, cuyo plano pasa por una tangente de la base (fig. 1). Sea r el radio de la base, \( \alpha \) el ángulo SAB=SB, \( \beta \) el ángulo CAB del plano de la sección y de la base.

Fig. 1
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 10

dos, uno real \(2b = BB'\) para la elipse \(x\) y el otro \(2b\sqrt{-1}\) sobre la recta \(CO'\) para la hipérbola \(\beta\); En el 2.º, una elipse imaginaria \(x\) (de ejes \(2a\sqrt{-1}\) y \(2b\sqrt{-1}\)) y una hipérbola \(\beta\) (de ejes \(2a\sqrt{-1}\) y \(2b\)); En el 3.º, dos parábolas \(x\) y \(\beta\) de sentidos contrarios y parámetros iguales \(2p\); En 4.º, un par \(x\) de rectas imaginarias y otro \(\beta\) de rectas reales, todas el las cuales pasan por O; Y en el 5.º, también dos pares de rectas, unas reales \(\beta\) y otras imaginarias \(x\), todas paralelas á la \(\mu\nu\).

10. En el primer caso, las ramas infinitas de las secciones \(\gamma\) de la superficie \(\Phi\) cuyas asíntotas estén entre las dos rectas \(m\) que componen la sección \(\mu\Phi\) producida en la superficie por el plano asintótico \(\mu\), están contenidas en el ángulo diedro \(\mu\nu\) en que se encuentra la elipse \(x\); mientras que aquéllas \(\gamma_1\), cuyas asíntotas paralelas á las \(m\) están fuera de la zona plana comprendida entre ellas, se encuentran contenidas en el ángulo diedro completo \(\mu\nu\) en que está la hipérbola \(\beta\). Las áreas \(r^2\) de las hipérbolas \(\gamma_1\) osculatrices de las secciones normales contenidas en el primer grupo disminuyen desde el valor \(b^2\) que corresponde á la principal \(\gamma\) hasta cero según la relación

\[
r^2 = b^2 \left(1 - \frac{d^2}{a^2}\right)
\]

que es la ecuación de la elipse \(x\) en la que \(d\) es la distancia \(OO_1\), entre los planos \(\gamma\) y \(\gamma_1\); mientras que las \(r_1\) del segundo grupo aumentan indefinidamente con sus distancias \(d = OO_2\) al centro O según la relación

\[
r^2 = b^2 \left(\frac{d^2}{a^2} - 1\right)
\]

que es la ecuación de la hipérbola \(\beta\).

En el tercer caso, las ramas infinitas correspondientes á las secciones de \(\Phi\) que pasan por el punto \(M\) están contenidas en uno ú otro de los dos ángulos diedros completos, limitados por los planos \(\mu\) y \(\nu\), según estén á uno ú otro lado del vértice A común á las parábolas \(x\) y \(\beta\); y las áreas \(r^2\) relativas á las secciones normales correspondientes varían proporcionalmente á las distancias \(d\) de sus planos á dicho vértice A, según la relación \(r^2 = 2pd\) que es la ecuación común á aquellas dos parábolas \(x\) y \(\beta\), si en ellas se toma en sentidos contrarios el sentido positivo de las abscisas medidas sobre el eje común \(\mu\nu\).

En los demás casos, las ramas infinitas de las secciones de la superficie \(\Phi\) correspondientes al punto \(M\) están todas en el ángulo diedro \(\mu\nu\) que contiene la sección principal real \(\beta\): y los semiejes \(\gamma\) de las