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hipérbolas osculatrices de las secciones normales son todos iguales entre sí en el 5.º caso; varían proporcionalmente á sus distancias d al vértice O en el 4.º; y en el 2.º crecen también indefinidamente con sus distancias d al centro O, según la relación

\[
r^2 = b^2 \left(1 + \frac{d^2}{a^2}\right)
\]

que es la ecuación de la hipérbola β, correspondiendo su valor mínimo \( r = b \) al plano normal γ que pasa por el centro O.

II. Faltan sólo estudiar lo relativo al caso en que la superficie Φ sea tangente al plano del infinito en un punto M. Entonces la superficie de segundo orden osculatriz Σ será un paraboloide elíptico ó hiperbólico cuyo eje tenga la dirección M ó un cilindro parabólico, cuyo plano principal es paralelo á dicha dirección, según que la sección producida por el plano del infinito en la superficie tenga en M un punto aislado, uno doble ó uno de retroceso; es decir, según que á dicho punto corresponda en el cono director de la superficie Φ una generatriz aislada, una doble ó una de retroceso.

En los tres casos las secciones producidas en la superficie Φ por planos paralelos que pasan por el punto M tienen parábolas osculatrices iguales entre sí, excepto los paralelos á uno tangente al cono director á lo largo de la generatriz que pasa por M cuyas secciones tienen un contacto de segundo orden con la recta del infinito de dicho plano.

Los parámetros de las parábolas osculatrices de las secciones de Φ, cuyos planos pasan por una misma recta de dirección M, varían proporcionalmente á los semidiámetros de una línea de segundo orden que desempeña el papel de la indicatriz y que es la sección producida en la superficie Σ por un plano perpendicular al eje; puesto que puede tomarse como tal eje la recta por donde pasan todos aquellos planos.

Dicha indicatriz es una elipse en el primer caso, una hipérbola (ó mejor dos conjugadas) en el 2.º y el conjunto de dos rectas paralelas en el tercero.

Estas parábolas osculatrices van todas en un mismo sentido en el primero y tercer casos; y en el segundo unas van en un sentido y otras en el contrario, según estén en uno u otro de los dos ángulos formados por los planos paralelos á los tangentes al cono director á lo largo de la generatriz doble de dirección M.
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UN GEÓMETRA ESPAÑOL DEL SIGLO XVII
POR D. PEDRO A. BERENGUER
Profesor de la Academia de Infantería de Toledo.

Fué la décimaséptima centuria período brillantísimo para las Ciencias Exactas, cuyos fastos ilustraron inteligencias tan poderosas como las de Barrow, los Bernouilli, Brouncker, Descartes, Fermat, Gregorio de San Vicente, Harriot, Huygens, Pascal, Vietta, de Wallis, y genios tan peregrinos como los de Leibnitz y Newton, orlando con los esplendores más sublimes de la cultura y del progreso los nombres de naciones como Alemania, Francia, Italia, Inglaterra, Flandes, Bélgica y Holanda, que, celosas de sus prestigios, hicieron desde muy antiguo un culto de la memoria de sus sabios.

Cuando extasiados con el grandioso espectáculo que ofrecen en este período los adelantos de las Matemáticas, buscamos en esos catálogos de naciones y de sabios, que nos ofrece la Historia de las Ciencias, el nombre de España ó el de algunos de sus hijos, para satisfacer los anhelos del amor propio nacional, apartamos de ellos la vista con dolor y con enojo, y nos preguntamos abatidos: ¿Es que en el siglo XVII no se cultivaban en nuestra patria las Ciencias del tiempo y del espacio? ¿No se conocía entonces entre nosotros el movimiento científico del exterior? ¿Eran acaso los españoles de aquellos días incapaces para semejantes estudios?

Nada menos cierto: ahí están para probarlo nombres como el del insigne geómetra cuya memoria intentamos reverdecer; los de don José Bonet y Campodarve y D. Miguel Gerónimo Hernando, sus colaboradores ó discípulos; el del portentoso Obispo Caramuel; los de los PP. Jesuitas Cañas, Zaragoza, Powel y Kresa; los de fray Juan Aparicio y fray José Domingo Ponti; los de Juan Bautista Corachan, el P. Tosca y tantos otros para quienes, dedicados al cultivo de las Matemáticas, no eran un misterio los trabajos y progresos realizados en el extranjero, como puede demostrarse siempre con textos sacados de las obras que nos legaron. Cierto que no podemos presentar nombres equiparables á los de Newton y Leibnitz; pero, aparte de que nombres como éstos son patrimonio de la humanidad toda, puesto que vienen á ser, si sufre decirse, como la cristalización de los esfuerzos de aquélla durante muchos siglos; cuando entre nuestros grandes teólogos y entre nuestros místicos se manifestaron inteligen-
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cias tan elevadas, que en algunos de sus libros puede encontrarse toda la teoría de los infinitos de diversos órdenes, expuesta con precisión y claridad admirables, acudiendo para dar forma y relieve, por decirlo así, á tales pensamientos, unas veces á la ciencia de los números, otras á comparaciones y súmiles geométricos, y aun á la gradación de magnitudes del mundo material, como afirmó en solemne ocasión un sabio individuo de la Real Academia de Ciencias exactas(1), no puede caber duda que no hubiera falta lo tampoco quien creara el cálculo diferencial é integral, si las inteligencias de nuestra tierra no hubieran llevado distintos derroteros.

Si, pues, el nombre de nuestra España aparece olvidado con frecuente é intencionada injusticia en la Historia de las ciencias, cúlpese á lo mucho que había pasado anteriormente y en todos sentidos en los destinos de Europa; en gran parte á nuestra proverbial indiferencia para la gloria, por lo mismo que tanto se ha prodigado entre nosotros; y, en la época memorada, á estas mismas razones agravadas con los trastornos que las postimerías del siglo XVII y principios del XVIII acumularon sobre nuestro desdichado país, extendiendo el manto del olvido, y borrando las huellas, de sabios como D. Antonio Hueso de Oméride y sus obras, no obstante haber merecido los elogios del gran Newton y de haber tratado de difundir su fama por España, primero el P. Kresa(2) y después el P. Tosca(3); y por Europa el docto Camerer(4), y últimamente el apasionado Montuola(5), tan displicente siempre con los españoles.

A vindicar tamaña injusticia y á vulgarizar el nombre de tan eximio matemático, apenas conocido por alguno de los escasos cultivadores con que cuentan entre nosotros las Ciencias Exactas, van encaminadas estas líneas, con las cuales se ha procurado reunir las escasísimas noticias que nos restan de su vida y escritos.

De la primera se sabe tan sólo que nuestro personaje nació en

(1) El arquitecto é ingeniero D. Lucio del Vaz, en el discurso con que contestó á don José Zebegaray, en el acto solemne de tomar posesión este último señor de su sillón académico en 1866.
(2) En sus Elementos de Euclides.—Bruselas, por Francisco Fappens, año 1689, páginas 250 y 264.
(3) Compendio Matemático.—Valencia, 1709, tomo II, pág. 318.
(4) J. G. CAMEREN: Apollini Pergaei, de tactumibus, etc.—Gotha, 1795.
(5) Histoire des Mathématiques.—2.ª edición, tomo II, pág. 107.
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Sanlúcar de Barrameda el día 6 de Enero de 1634, y que fueron sus padres Hugo Antonio y María David, acaso comerciantes, como hasta cierto punto lo hace sospechar la circunstancia de haberle tenido en la pila un mercader flamenco llamado Antonio Vicente, que fué su padrino.

No quedan memorias del lugar donde hizo sus primeros estudios; sólo sí, por referencias de los PP. Jesuitas que le estimaron mucho y protegieron, que estuvo aveciñado en Cádiz, donde antes del año 1689, ya había dado á conocer sus profundos conocimientos matemáticos, ilustrando las proposiciones XVII y XXII del libro VI de los Elementos de Euclides publicados por el P. Jacobo Kresa en el referido año, con dos problemas inventados y resueltos por el mismo Omerique, los cuales hacen decir al sabio Jesuita: «que en aquel siglo de cultísimos ingenios esperaba de él (de Omerique) la Geometría su mayor pulimento, con el cual tenía resueltos los más difíciles problemas que habían ejercitado los ingenios de los pasados geómetras; y que sus trabajos verían muy pronto la luz.»

Sábese también, aun cuando se ignora la época, que estuvo en Madrid, donde trató al príncipe Rogerio Ventimiglia, muy versado en las Ciencias Exactas, quien le comunicó algunos problemas utilizados después por el sabio sanlucarense en la obra de que hablaremos luego.

A tan escasos pormenores está reducido lo que hasta hoy ha podido rastrearse de la vida de este hombre singular, pues hasta el presente se ignoran la fecha y el lugar de su fallecimiento.

Sus escritos no han tenido mayor fortuna, á pesar de saberse por propias referencias que tenía compuestos un Tratado de Aritméticas (1) y las dos trigonometrías (2), no existe rastro de su paradero, ni señal de que fueran impresas, no habiendo llegado á nosotros sino la primera parte del libro que le hace acreedor al respeto y admiración de la posteridad, cuyo título es: Analysis geometrica, impreso en Cádiz en 1698, muy raro actualmente, y las Tablas Artificiales (de logaritmos) estampadas también en Cádiz, en la imprenta del Colegio de la Compañía de Jesús en 1691.

(1) Analytica.—Primera parte, pág. 484.
(2) Idem, ibidem, página 485 y siguientes.
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Intentaremos dar á conocer el Analysis Geometrico.

Apareció la primera parte, única dada al público, nueve años después de anunciada por el P. Kresa, como se ve por la fecha de su impresión, formando un volumen en 4.º de 440 páginas, descontadas dedicatoria y aprobaciones, impreso con esmero y con figuras intercaladas en el texto. Hálase éste dividido en cuatro libros y un apéndice: en los tres primeros trátase de la resolución por la comparación de los planos, y en el cuarto de las condiciones de los problemas. En todos ellos abundan consideraciones generales, á la manera de las que enriquecen la Aritmética Universal de Newton, publicada con posterioridad, secundísimas en resultados trascendentales, como, entre otras, las que hace al principio del libro II, respecto á las facilidades que proporciona la semejanza de las figuras para la resolución de problemas. Con la teoría de las cantidades líneaangulares, desarrollada en el libro I, resuelve con novedad sorprendente y facilidad suma cuestiones que embarazaron á Pappo Alejandrino, á Descartes y á Schooten; y en el libro III halla un método directo y elegante para construir el triángulo, dadas su base, su altura y la suma ó diferencia de los lados, que el sagaz Gregorio de San Vicente no pudo resolver sin recurrir á las secciones cónicas, ni Vietta, con la regla y el compás, sin apelar á un método indirecto: haciendo seguir á esta proposición una serie de elegantes corolarios, que si hoy se deducen con facilidad de la relación entre los lados y el área del triángulo, en aquella época revestían suma importancia, pues aun cuando se conocía esta última relación, no se la había aplicado lo bastante para conocer las ventajas que podía reportar.

Mas para que pueda formarse idea del mérito y alcance de nuestro matemático, nada mejor que oír la autorizada palabra del sabio académico D. Lucio del Valle (1), quien, analizando la obra de Omerique, decía en la solemne ocasión á que nos referimos al principio:

«En la gran obra de Montucla titulada Historia de las Matemáticas, se halla un párrafo que yo he leído siempre con patriótico orgullo, y que hoy recordaré aquí con profunda satisfacción.

»España, dice Montucla, ha tenido hacia fines de este siglo (el XVII) un analista geómetra que mereció consideración y alabanzas de Newton, á saber, el geómetra Hugo Omerique. Su objeto era, en la obra que á este fin publicó, unir el análisis algebraico moderno

(1) Discurso citado, págs. 44 y 45.
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con el de los antiguos, y de este modo deduce en efecto soluciones elegantes y sencillas para gran número de problemas. Prometió una segunda parte en la que se proponía tratar cuestiones de un orden más elevado; pero esta segunda parte no llegó á publicarse.»

«La obra á que Montuela se refiere tiene por título:
Analysis geometrica, sive nova et vera methodus resolvendi tam problemata geometrica quam arithmeticas questiones.— Pars I, de planis.
»Se publicó en Cádiz en el año 1698, y nuestra Biblioteca nacional posee un ejemplar de este curioso libro.

»El método empleado por Omerique es el analítico, aplicado ya por los griegos y los árabes: suponer el problema resuelto; establecer relaciones entre los datos y las incógnitas, y deducir de dichas relaciones el valor de las cantidades ó magnitudes desconocidas, es la verdadera esencia de dicho método; pero hay dos circunstancias que dan valor á la obra del geómetra sanlucarense.

»Es la primera, la unidad, la completa y admirable unidad que á toda ella preside; no es una serie de problemas geométricos resueltos por artificios más ó menos ingeniosos, es un método general, cuya potencia, por decirlo así, se pone á prueba por una serie de ejemplos ó casos particulares.

»A más de esta primera circunstancia, hay otra digna de tenerse en cuenta al apreciar la importancia científica de este notable libro. El método empleado por Omerique es una combinación del análisis algebraico y geométrico, lo cual constituye algo grandemente parecido á lo que en la ciencia moderna se llama aplicación del Algebra á la Geometría. ¿Quién sabe si en otro siglo y con otros estímulos hubiera sido Omerique el Descartes de nuestra España?

»Las relaciones algebraicas que emplea son casi siempre proporcionales que compone y transforma con gran sagacidad é ingenio, hasta llegar á una en la que no entre más que un término desconocido.

»Quizá hoy parezcan sobradamente sencillos los problemas que Omerique resuelve; pero tóngase presente el estado de la ciencia en aquel siglo, los adelantos que de entonces acá ha hecho el álgebra, la potencia de los nuevos métodos y se comprenderá el mérito de la idea que el geómetra español desarrolla.

» Nótese además que el libro de Omerique es la primera parte de una obra cuya continuación, según el autor, hubiera comprendido cuestiones de un orden más elevado, y que aun en las publicadas se
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nota una gran facultad de abstracción y generalización, una gran tendencia á enlazar la aritmética, el álgebra y la geometría, ya sirviéndose del análisis para resolver cuestiones geométricas, ya dando á problemas aritméticos representación gráfica propia y adecuada casi siempre.

»Obsérvese, por último, que cuando el inmortal geómetra inglés, el creador del cálculo, el génio potente que descubrió la atracción, daba valor é importancia á la obra de Omerique, alguna novedad y adelanto debía contener para aquellos tiempos.»

No he de añadir otra cosa á tan autorizado juicio, sino que en la segunda parte de tan precioso libro, bajo la rúbrica: De problematibus solidis, se daba representación analítica á superficies de varias clases, á lo que puede deducirse de indicaciones hechas por el P. Kressa y por el mismo Omerique en la primera parte, anticipándose en más de treinta años á los trabajos de Clairault que, en 1781, exponiendo de una manera metódica la doctrina de las coordenadas en el espacio, aplicándolas á las superficies curvas y á las líneas de doble curvatura que resultan de su intersección, dió su verdadero ser á la aplicación del Algebra á la Geometría, que Descartes en 1637 sólo llegó á definir limitándose á las curvas planas.

¡Lástima grande ha sido la pérdida de esta segunda parte, que tan alto colocaba el prestigio científico de nuestra patria en una época en que se pretende negarnos, con censurable injusticia, hasta la más mínima influencia en los progresos del pensamiento humano!

Lo que nos resta de la obra de Omerique, ha prometido reproducirlo en bella edición un docto individuo de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, que, no ha mucho tiempo, tomó posesión de su sitio. De desear es que semejante proposición se realice cuanto antes, como el mejor monumento que puede erigirse para perpetuar la memoria del español insigne que, sin exageración, puede apellidarse el precursor de la moderna Geometría Analítica.

Demostración elemental de que toda línea de segundo grado es proyectable por un cono de revolución
por el Dr. F. MEYER, profesor del gimnasio superior de Halle. a. B.

I. En todos los buenos libros de matemáticas elementales se demuestra que las secciones planas de un cono de revolución poseen la propiedad fundamental de que gozan las líneas de segundo grado, á
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saber: que la relación entre las distancias de cada punto de la línea á un punto fijo (foco) y á una recta fija (directriz), es constante. Se sabe también que recíprocamente toda línea de segundo grado puede proyectarse por un cono de revolución; pero la demostración de este hecho ofrece ciertas dificultades, y por esto es con razón estudiada en la teoría de las superficies confocales de segundo grado (*). Parece natural, sin embargo, resolver tal cuestión de una manera elemental, cual vamos á hacer en lo que sigue; pero advirtiendo antes de comenzar, que en este artículo nos limitaremos á la elipse por la facilidad con que se puede aplicar á otros casos la demostración empleada.

Sea AB=2a el eje mayor de una elipse y e la excentricidad geométrica, trácese por AB un plano perpendicular al de la elipse y tómese sobre él un punto S tal que se tenga: SA—SB=2e (ó SB—SA=2e); la elipse cuyo eje mayor es AB se proyecta desde S por un cono de revolución. Quedará demostrado este aserto, si se puede probar que el plano trazado por B, perpendicularmente á la bisectriz SO del ángulo ASB, corta al cono según un círculo. Con este objeto tracemos por A la recta AD perpendicular á BC y por S un plano cualquiera perpendicular al del ángulo ASB, aquel plano cortará á las dos secciones cónicas según las rectas FG y HI, las cuales quedan divididas en dos partes iguales por los puntos M y N en que son cortadas por las rectas AB y CB. Por ser AS—BS=2a, se tendrá AC=2e.

Ahora bien, se sabe que es

\[
\overline{MG}^2 = \left(1 - \frac{e^2}{a^2}\right) AM.BD = \left(1 - \frac{\overline{AC}^2}{\overline{AB}^2}\right) AM.BM =
\]

\[
= \frac{\overline{AB}^2 - \overline{AC}^2}{\overline{AB}^2} AM.BM
\]

Por otra parte, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABD se obtiene:

(*) O. Hesse. Vorlesungen über anal Geom. des Raumes, II edición, pág. 381. Th Reye. Die Geometrie der Lage, III edición, 2, pág. 158.
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\[
\overline{AB}^2 - \overline{AC}^2 = \overline{BD}^2 - \overline{CD}^2
\]
\[(BD-CD)(BD+CD) = BC(BC+2CD)\]

y como por la semejanza de los triángulos ACD y CSO, se tiene la relación

\[
CD = \frac{AC.CO}{CS}
\]

resulta que

\[
\overline{AB}^2 - \overline{AC}^2 = BC\left(BC + \frac{AC.BC}{CS}\right) = \frac{\overline{BC}^2 . AS}{CS}
\]

cuyo valor sustituido en la primera ecuación la transforma en

\[
MG^2 = \frac{\overline{BC}^2}{\overline{AB}^2} \cdot \frac{AS}{CS} \cdot AM \cdot BM.
\]

Fácilmente podremos dar otra forma á los valores de MG y AM.BM. En efecto, como MG y NI son perpendiculares al plano ASB, son paralelas, por consecuencia

(2)
\[
MG = NI \cdot \frac{MS}{NS}.
\]

Además, los triángulos AMS y CNS tienen en S un ángulo común, y otro tanto ocurre á los triángulos BMS y BNS; por tanto, sus áreas son entre sí como los rectángulos de los lados, así:

AM.SK : CN.SO = AS.MS : CS.NS,
BM.SK : BN.SO = BS.MS : BS.NS

Multiplicando, ahora, las dos proporciones resulta:

(3)
\[(AM . BM)\overline{SK}^2 : (BN . CN)\overline{SO}^2 = AS . MS^2 : CS . NS^2\]

y poniendo en la (1) los valores de MG y AM.BM de las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

(4)
\[
NI^2 = \frac{\overline{BC}^2}{\overline{AB}^2} \cdot \frac{\overline{SO}^2}{\overline{SK}^2} \cdot \frac{\overline{AS}^2}{CS^2} (BN . CN).
\]

Por fin, como los triángulos BAS y BCS tienen el mismo vértice B, la relación entre sus áreas es igual á la relación entre las bases AS y CS, esto es:

AB . SK : BC . SO = AS . CS . ó AB . SK . CS = BC . SO . AS
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El eje mayor AC = 2a de la elipse será:

(1) \[
2a = \frac{2r \sen x}{\sen (x+\beta)}
\]

El cuadrado del eje menor MF = 2b se determina por la relación DF² = MD.ME, ó bien:

(2) \[
b^2 = r^2 \frac{\sen (x-\beta)}{\sen (x+\beta)}
\]

Por consiguiente, el área E de la elipse será:

(3) \[
E = \frac{r^2 \sen x}{\sen (x+\beta)} \sqrt{\frac{\sen (x-\beta)}{\sen (x+\beta)}}
\]

Sea además el área de la superficie SAFC separada por el plano de la elipse: se ve que la proyección de s sobre la base del cono coincide con la proyección de la elipse sobre la base: tendremos, pues, s cos x = E cos β, ó bien

(4) \[
s = \frac{r^2 \tg x \cos \beta}{\sen (x+\beta)} \sqrt{\frac{\sen (x-\beta)}{\sen (x+\beta)}} \pi
\]

fórmula que se transforma fácilmente en la del Sr. Guimaraes, página 168 (l. c.)

CUESTIÓN I. Separar de la superficie curva de un cono recto la nªsima parte por un plano que pasa por una tangente de la base.

La fórmula (4) da evidentemente la ecuación

\[
\frac{\pi r^2 \tg x \cos \beta}{\sen (x+\beta)} \sqrt{\frac{\sen (x-\beta)}{\sen (x+\beta)}} = \frac{1}{n} \frac{\pi r^2}{\cos x}
\]

de la que se obtiene la ecuación cúbica en \( x = \tg x + \tg \beta \):

\[
x^3 = n^2 \tg^2 x (2 \tg x - x)
\]

La fórmula de Cardano dará:

\[
\tg \varphi = \tg x \left\{ -1 + n^{\frac{2}{3}} \left[ \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{1}{27} n^2} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( 1 - \sqrt{1 + \frac{1}{27} n^2} \right)^{\frac{1}{3}} \right] \right\}
\]

Hagamos \( n = 2 \), se tendrá \( \tg \varphi = 0,36466 \tg x \)

\( n = 3 \) \( \varphi = 0,57000 \tg x \)

CUESTIÓN II. Separar del volumen de un cono recto la nªsima parte por un plano que pasa por una tangente de la base.

El volumen v del cono separado de base elíptica, será:
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luego según esta relación, la ecuación (4) se reduce á

\[
\overline{NT}^2 = \overline{BN} \cdot \overline{CN}
\]

Inmediatamente se deduce de esta última igualdad que la sección que pasa por B perpendicularmente á OS es un círculo, y, por tanto, el cono proyectante es de revolución siempre que su vértice se mueva sobre una parábola, cuyos focos son A y B, cuyos vértices son los focos de la elipse, y cuyo plano es perpendicular al de dicha elipse.

2. Esta demostración resulta muy breve y elegante, si la referimos á la proposición que dice: todo plano corta á un cono de revolución en una línea de segundo grado.

Sea AB el eje mayor de una elipse, E y F sus focos, y elijamos S de tal modo que \( SA - SB = EF \).

El círculo O inscripto en el triángulo SAB y el ex-inscripto M, son tangentes á la base AB en los puntos E y F necesariamente. Considerando ahora á dichos círculos como círculos máximos de dos esferas, S es el centro de semejanza exterior de las últimas, y por tanto el vértice del cono de revolución circunscripto á ambas esferas. El centro de semejanza interior está sobre AB. Ahora bien, un plano que pase por AB y sea perpendicular al plano del triángulo SAB, por ser también normal á OF y ME, es tangente á ambas esferas en F y E respectivamente y corta al cono de revolución según una elipse, cuyo eje se sabe que es AB y cuyos focos son E y F; luego suponiendo la elipse dada perpendicular también al plano SAB esta elipse coincide con la antes citada, porque ambas líneas de segundo grado están situadas en el mismo plano, tienen el mismo eje mayor y ambos focos comunes. Con esto nuestra proposición está demostrada.

Para la parábola se demuestra la proposición que nos ocupa por la consideración de límite, permaneciendo fijos A y E y alejándose hacia el infinito B y F.

Fig. 2