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El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

NICOLÁS JOANOVICH LOBACHEWSKY

EXTRACTO DEL DISCURSO DEL SR. VASSILIEF
CON MOTIVO DE CELEBRARSE EL CENTENARIO DE LOBACHEWSKI

Conclusión.—(Véase tomo V, página 12).

En conexión, añade el Sr. Vassilief, con esta cuestión geométrica, hay que resolver varias cuestiones de análisis; y cita la teoría de las funciones automórficas de M. Poincaré y el auxilio que la geometría de varias dimensiones dió á Kroncker para la separación de las raíces en los sistemas de ecuaciones.

La idea de Lobachewsky abarca las más diversas cuestiones.
Por un lado nos ofrece la de si hay un espacio físico de nuestra experiencia, un espacio euclídeo real, según las apariencias y según la convicción á que nos conduce nuestra limitada experiencia.

Newcomb, Ball, Peirce y otros han pretendido hallar en las observaciones astronómicas, á imitación de Lobachewsky, la solución al problema de la suma de los ángulos de un triángulo, viendo una respuesta en la definición de la paralaje de las estrellas fijas; y el eminente astrónomo Sir Robert Ball dice: Los astrónomos se han sorprendido desagradablemente al obtener en los resultados de sus observaciones paralajes negativas, acaso debidas á error en las mismas. Pero si el espacio puede tener una curvatura negativa, la paralaje negativa podría resultar también de observaciones exactas.

Cita el Sr. Vassilief al americano Peirce, que opina haber establecido en sus observaciones que nuestro espacio es el de Lobachewsky; á Zoellner, que, fundado en otros fenómenos, concluye que nuestro espacio pertenece al tipo del espacio de Riemann. Otros científicos se han esforzado en fundar la explicación de los fenómenos sobre la hipótesis de la curvatura del espacio, como Bresch, que aplicó la hipó-
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por la eliminación de \( x^3 y^3, y^3 z^3, z^3 x^3 \). Algunos ejemplos semejantes pueden comprobarse, de los que el tipo más general es el siguiente:

\[
\begin{align*}
a x^n y^n + b y^n z^n + c z^n x^n &= k x^{n+l} y^{n+l} z^l \\
a' x^n y^n + b' y^n z^n + c' z^n x^n &= k' x^l y^{n+l'} z^{n+l'} \\
a'' x^n y^n + b'' y^n z^n + c'' z^n x^n &= k'' x^{n+l''} y^{l''} z^{n+l''}
\end{align*}
\]

escribiendo en la forma

\[
x^n y^n \{ a - k (xyz)^l \} + b y^n z^n + c z^n x^n = 0
\]

y así sucesivamente, primero determinaremos \( xyz \), luego las razones de

\[
x^n y^n, \quad y^n z^n, \quad z^n x^n;
\]

por medio de éstas podemos obtener las razones de \( x, y, z \), y finalmente \( x, y, z \).

Haciendo

\[
m = 2, \quad n = 1, \quad l = t + 1, \quad a = b' = c'' = 0,
\]

hallamos el tipo

\[
\begin{align*}
x^4 [p + (xyz)^t z^3] &= \lambda yz \\
y^4 [q + (xyz)^t x^3] &= \mu zx \\
z^4 [r + (xyz)^t y^3] &= \nu xy
\end{align*}
\]

al que las reducimos multiplicando respectivamente por \( y, z, x \) y hallando por el determinante el valor de \( (xyz)^{t+1} \) y de esto obteniendo las razones de \( x^4 y, y^4 z, z^4 x \), de las que se deducen fácilmente los valores de \( x, y, z \).

Como ejemplos particulares pueden citarse

\[
\begin{align*}
x^4 (p + z^3) &= ayz \\
y^4 (q + x^3) &= bzx \\
z^4 (r + y^3) &= cxy
\end{align*}
\]
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y

\[
\begin{align*}
x^3 \left( p + \frac{1}{x^3 y^3} \right) &= ayz \\
y^3 \left( q + \frac{1}{y^3 z^3} \right) &= bzx \\
z^3 \left( r + \frac{1}{z^3 x^3} \right) &= cxy
\end{align*}
\]

\((XVII)\)

Es claro también que en vez de \((xyz)^l\) en (XV) podemos sustituir \(x^\alpha y^\beta z^\gamma\) de los que son ejemplos

\[
\begin{align*}
x^2 \left( p + 1 \right) &= ayz \\
y^3 \left( q + \frac{x^3}{z^3} \right) &= bzx \\
z^4 \left( r + \frac{y^3}{z^3} \right) &= cxy
\end{align*}
\]

\((XVIII)\)

y

\[
\begin{align*}
x^2 \left( p + x^3 \right) &= ayz \\
y^3 \left( q + \frac{x^6}{z^3} \right) &= bzx \\
z^3 \left( r + \frac{x^3 y^3}{z^3} \right) &= cxy
\end{align*}
\]

\((XIX)\)

que puede aumentarse en un grado
Además, haciendo en (XIV)
\[
m = n = 1,\ l = t + 1,\ a = b' = c'' = 0
\]
hallamos el tipo

\[
\begin{align*}
ax + by &= x^a y^b (xyz)^c \\
cy + dz &= y^a z^b (xyz)^c \\
cz + fx &= z^a w^b (xyz)^c
\end{align*}
\]

\((XX)\)

que es únicamente un simple ejemplo de un gran número que pueden obtenerse asignando valores particulares á \(l, m, n\), etc.
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8. El método se aplica fácilmente á

\[
\begin{align*}
a x^l y^m z^n + b x^p y^q z^r + c x^g y^h z^k &= x^{l+\alpha} y^{m+\beta} z^{n+\gamma} \\
a' x^l y^m z^n + b' x^p y^q z^r + c' x^g y^h z^k &= x^{p+\alpha} y^{q+\beta} z^{r+\gamma} \\
a'' x^l y^m z^n + b'' x^p y^q z^r + c'' x^g y^h z^k &= x^{g+\alpha} y^{h+\beta} z^{k+\gamma}
\end{align*}
\]

(XXI)

porque por el determinante hallamos \( x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} \); y de esto las razones \( x^l y^m z^n : x^p y^q z^r : x^g y^h z^k \); y de esto \( x, y, z \).

La anterior es equivalente á la forma

\[
\begin{align*}
a x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} + b x^{p-\alpha} y^{q-m} z^{r-n} + c x^{g-\alpha} y^{h-m} z^{k-n} &= d \\
a' x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} + b' x^{g-\alpha} y^{h-q} z^{k-r} + c' x^{l-\alpha} y^{m-q} z^{n-r} &= d' \\
a'' x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} + b'' x^{l-\alpha} y^{m-h} z^{n-k} + c'' x^{p-\alpha} y^{q-h} z^{r-k} &= d''
\end{align*}
\]

(XXII)

ó, más simétricamente,

\[
\begin{align*}
a x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} + b x^{\lambda} y^{\mu} z^{\nu} + c x^{-\lambda''} y^{-\mu''} z^{-\nu''} &= d \\
a' x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} + b' x^{\lambda'} y^{\mu'} z^{\nu'} + c' x^{-\lambda} y^{-\mu} z^{-\nu} &= d' \\
a'' x^{\alpha} y^{\beta} z^{\gamma} + b'' x^{\lambda''} y^{\mu''} z^{\nu''} + c'' x^{-\lambda'''} y^{-\mu'''} z^{-\nu'''} &= d''
\end{align*}
\]

sujeta á la condición

\[
\lambda + \lambda' + \lambda'' = \mu + \mu' + \mu'' = \nu + \nu' + \nu'' = 0
\]

un ejemplo (elegido al azar) de tales sistemas de ecuaciones es

\[
\begin{align*}
a x^2 y^5 z^7 + b x^3 y^{-2} z^4 + c x^2 y^{-5} z^{\frac{1}{2}} &= d \\
a' x^2 y^5 z^7 + b' x^3 y^{-3} z^{\frac{5}{4}} + c' x^{-1} y^2 z^{-\frac{3}{4}} &= d' \\
a'' x^2 y^5 z^7 + b'' x^{-2} y^5 z^{\frac{1}{2}} + c'' x^{-\frac{5}{3}} y^3 z^{-\frac{5}{4}} &= d''
\end{align*}
\]

(XXIII)

(Se concluirá).
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UN TEOREMA REFERENTE Á LA CONSTRUCCIÓN DE CARTAS

La construcción de cartas en Geodesia, tiene por fin representar sobre un plano la superficie de una esfera ó de un esferoide.

Si designamos por \( x = f(\varphi, \omega) \) \( y = f_1(\varphi, \omega) \) [1] las funciones que definen las coordenadas cartesianas \( x, y \) de un punto de la esfera ó del esferoide (de latitud \( \varphi \) y longitud \( \omega \)), la ecuación de la transformada de un meridiano se obtiene eliminando \( \varphi \) entre las dos relaciones [1], considerando en ellas á \( \omega \) como constante; y la de un paralelo eliminando \( \omega \) entre las mismas, pero considerando como constante á \( \varphi \). La transformada de una línea trazada sobre el esferoide y definida por \( F(\varphi, \omega) = 0 \), se obtiene eliminando \( \varphi \) y \( \omega \) entre esta función y las dos funciones [1].

La transformada plana de una esfera ó un esferoide no puede ser isomorfa y equivalente á la vez; es decir, no puede efectuarse una transformación en que permanezcan constantes las distancias, los ángulos y las áreas:

Si \( \varphi, \omega \) son las coordenadas geográficas del vértice A del cuadrilátero infinitesimal ABA'B' (formado por dos meridianos y dos paralelos), las de los vértices B, A', B', serán respectivamente

\[
\begin{array}{ll}
\varphi & \varphi + d\varphi \\
\omega & \omega + d\omega
\end{array}
\]

y las cartesianas de los cuatro vértices \( a, b, a', b' \),

\[
\begin{array}{ll}
x & x + \frac{\partial x}{\partial \omega} d\omega \\
y & y + \frac{\partial y}{\partial \omega} d\omega
\end{array}
\quad
\begin{array}{ll}
x' & x' + \frac{\partial x}{\partial \varphi} d\varphi \\
y' & y' + \frac{\partial y}{\partial \varphi} d\varphi
\end{array}
\quad
\begin{array}{ll}
x'' & x'' + \frac{\partial x}{\partial \omega} d\omega + \frac{\partial x}{\partial \varphi} d\varphi \\
y'' & y'' + \frac{\partial y}{\partial \omega} d\omega + \frac{\partial y}{\partial \varphi} d\varphi
\end{array}
\] [2]

de las que se deduce que la figura \( ab'a'b' \) es un paralelogramo, por ser iguales los triángulos rectángulos de la figura.
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Expresemos ahora las condiciones para que no se alteren los citados elementos:
Sobre la esfera ó esferoide siendo r el radio del paralelo, se tiene

\[
AB = rd\omega \\
AA' = ds \\
\theta = 90^\circ
\]

Sobre la transformada plana

\[
ab = d\omega \sqrt{\left( \frac{\partial x}{\partial \omega} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \omega} \right)^2} \\
aa' = d\varphi \sqrt{\left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2} \\
\tg \theta = \frac{\tg x - \tg x'}{1 + \tg x \tg x'}
\]
\[
= \frac{\frac{\partial y}{\partial \omega} \frac{\partial x}{\partial \varphi} - \frac{\partial y}{\partial \varphi} \frac{\partial x}{\partial \omega}}{\frac{\partial y}{\partial \omega} \frac{\partial y}{\partial \varphi} + \frac{\partial x}{\partial \omega} \frac{\partial x}{\partial \varphi}}
\]

luego deberá verificarse

\[
\left( \frac{\partial x}{\partial \omega} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \omega} \right)^2 = r^2 \\
\left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2 = \left( \frac{ds}{d\varphi} \right)^2
\]

\[
\frac{\partial y}{\partial \omega} \frac{\partial y}{\partial \varphi} = - \frac{\partial x}{\partial \omega} \frac{\partial x}{\partial \varphi}
\]

Si hacemos \( \frac{\partial y}{\partial \varphi} / \frac{\partial x}{\partial x} = \tg \psi \),

de la última se deduce

\[
\frac{\partial y}{\partial \omega} / \frac{\partial x}{\partial \omega} = - \cot \psi, \text{ y según esto de las dos primeras sale}
\]
\[
\frac{\partial x}{\partial \omega} = r \sen \psi \quad \frac{\partial x}{\partial \varphi} = \frac{ds}{d\varphi} \cos \psi \\
\frac{\partial y}{\partial \omega} = r \cos \psi \quad \frac{\partial y}{\partial \varphi} = \frac{ds}{d\varphi} \sen \psi
\]

Pero según los principios del cálculo infinitesimal

\[
\frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\partial x}{\partial \omega} \right) = \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right) \\
\frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \frac{\partial y}{\partial \omega} \right) = \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right);
\]
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y de unas y otras teniendo en cuenta que s y r son funciones de \( \varphi \) solamente, se deduce

\[
- \frac{\partial \psi}{\partial \omega} \frac{ds}{d\varphi} \text{sen. } \psi = \frac{dr}{d\varphi} \text{sen. } \psi + \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} r \cos. \psi \\
+ \frac{\partial \psi}{\partial \omega} \frac{ds}{d\varphi} \cos. \psi = - \frac{dr}{d\varphi} \cos. \psi + \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} r \text{sen. } \psi
\]

Multiplicando la primera por cos. \( \psi \) y la segunda por sen. \( \psi \) se obtiene por suma

\[
r \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} = 0 \tag{4}
\]

Multiplicando la primera por sen. \( \psi \) y la segunda por ccs. \( \psi \) se obtiene por resta

\[
\frac{\partial \psi}{\partial \omega} = - \frac{dr}{d\varphi} \frac{d\varphi}{ds} = - \frac{dr}{ds}; \\
\frac{dr}{d\varphi}
\]

pero en la esfera y el esferoide

\[
\frac{dr}{ds} = - \text{sen. } \varphi \\
\text{luego} \quad \frac{\partial \psi}{\partial \omega} = \text{sen. } \varphi
\]

Las igualdades (4) y [4a] son incompatibles, pues la primera dice que \( \psi \) es independiente de \( \varphi \) y la segunda que es función de \( \varphi \); luego son incompatibles las relaciones (3) que entrañan la permanencia de las distancias de los ángulos y de las áreas.

GABRIEL GALAN

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 214.
(Véase tomo IV, página 214).

Demostrar que en toda cónica que tiene un punto doble, la envolvente de una cuerda vista desde el punto doble, según un ángulo recto es una cónica.

(J. Gillet.)

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Demostremos geométricamente el teorema más general: la envolvente de las rectas que unen los pares de puntos conjugados de una invo-
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lución (no central) sobre una curva de tercer orden que tiene un punto doble, es una cónica. Sean A, A' y B, B' los dos pares de puntos conjugados que definen sobre la cúbica la involución (I), y supongamos que el punto común á las dos rectas AA' y BB' no esté sobre la cúbica, supongamos también que la involución (I) no sea central. Hallemos cuantos radios que uniendo un par de puntos conjugados pasan por un punto P tomado al arbitrio sobre la cúbica; si designamos con P' los puntos correspondientes á P en la involución (I), uno es estos rayos será PP'. Consideremos ahora sobre la cúbica la involución central de centro P, cuyos puntos dobles son los dos puntos de contacto de las tangentes trazadas por P á la cúbica, y sea CC' el par común á esta involución central y á la involución (I). Es claro que la recta CC' será un segundo rayo de la envolvente hallada que pasa por P. Además de estos dos rayos PP', CC' no pueden concurrir en el punto P otros rayos de la envolvente hallada, porque de otro modo la involución (I) sería central, contra la hipótesis. La envolvente hallada es, pues, una cónica tangente á la cúbica en los puntos dobles de la involución (I).

En particular, si la involución cuadrática de radios que proyecta desde el punto doble la involución (I) es circular (involución de ángulos rectos), en cuyo caso también la (I) podía llamarse involución circular sobre la cúbica, tendremos el teorema mencionado por el señor Gillet.

Si también la cúbica es circular, la envolvente de una cuerda vista desde punto doble bajo un ángulo recto es un círculo que tiene por centro el foco doble de la cúbica.

Debemos, sin embargo, observar que si la cúbica es circular y además los puntos circulares en el infinito están en ella, un par de puntos conjugados, esto es, teniendo una tangencial común P, la involución de ángulos rectos en torno del punto doble O es central y tiene por centro el punto P. La envolvente de las cuerdas vistas desde O bajo un ángulo recto no es ya un círculo, sino que se reduce al punto P. Este es el caso de la estrofoide recta, en la cual las cuerdas vistas desde el punto doble bajo un ángulo recto, concurrirán, como se sabe, en el vértice de la curva; el vértice y los dos puntos imaginarios conjugados, señalados desde este vértice, considerado como punto círculo, sobre la asíntota real, son los vértices del triángulo inflexional de la estrofoide.

CUÉSTION 229
(Véase tomo IV, página 312).
Se dan dos rectas Ox, Oy y un punto P. Una secante cualquiera ta.
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zada por P corta á Ox en A, á Oy en B. Se toma sobre Ox un segmento AA' = a, sobre Oy un segmento BB' = b, siendo a y b longitudes dadas. Trazar la envolvente de la recta A'B' y construir el punto de contacto de A'B'.

(J. Neuberg).

Solución por el Sr. Retali (V.)

La secante móvil señala en las rectas Ox, Oy dos punteadas perspectivas, los dos puntos A' y B' describen respectivamente dos punteadas iguales á las precedentes y por esto proyectivas entre sí. La envolvente de la recta A'B' es, pues, una cónica tangente á los ejes Ox, Oy.

Tomemos sobre Ox, Oy respectivamente los segmentos O(A) = -a, O(B) = -b, proyectemos (A) y (B) desde P, respectivamente sobre Oy, Ox en los puntos \( \alpha \) y \( \beta \); y tomemos finalmente sobre Ox el segmento \( \beta \beta' = a \) y sobre Oy el segmento \( x x' = b \): los puntos \( \beta', \alpha' \) son evidentemente los puntos de contacto de Ox y Oy con la envolvente buscada.

Para tener ahora el punto de contacto de A'B', basta proyectar desde O sobre AA' el punto común á las dos rectas A'\( \alpha' \), B'\( \beta' \).

Tracemos por P los dos segmentos PA_1, PB_1, respectivamente iguales á a y b y paralelos á los ejes Ox, Oy. Las paralelas á Ox, Oy trazadas por A_1 y B_1 son tangentes de la envolvente hallada de la cual se pueden determinar también fácilmente el centro, los ejes, las asíntotas, etc.
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Solución por el Sr. SOLLERTINSKI (B.)

Siendo homográficas las divisiones (A), (B), también lo son las (A'), (B'). La recta A'B' envuelve pues en general una cónica que toca á Ox, Oy (fig. 1.a).

Tracemos PQ, PR paralelas á Oy, Ox, y tracemos QQ' = \( a_1 \) RR' = \( b \).
Los lados P'Q', P'R' del paralelogramo P'Q'OR' son todavía dos posiciones de A'B'. Esta recta envuelve pues una cónica con centro.

Vamos á demostrar que A'B' toca á su envolvente en la intersección M con la recta P'C' que une P' al vértice C' del paralelogramo B'OAC'.

Sea PA_1 una secante próxima de PA (fig. 2.a). Construyamos los paralelogramos BOAC, B_1OA_1C_1 y sean D_1E las intersecciones de sus lados.

Se sabe que las tres diagonales AB, A_1B_1, DE concurren en un mismo punto.

Sea p la intersección de las rectas A'B', A'_1B'_1 correspondientes á las secantes PA, PA_1.

Puesto que se tiene B'B'_1 = BB_1, A'A'_1 = AA_1, los lados de los Δ* DCE, D'C'E' son iguales y paralelos.

Cuando la secante PA_1 se aproxima indefinidamente á PA, la recta pE' permanecerá siempre paralela á PE. Luego, en el límite C'M será una para'ela á PE. Pero considerando los Δ* PP'F, CC'F, se ve que las rectas PC, P'C son paralelas. El punto M está pues en la recta P'C'.
El Progreso matemático (1895-02-01 00:00:00), página 19

Observaciones: 1.º Todo punto que divide A'B' en una razón constante, describe una hipérbola cuyo centro divide en la misma razón á la recta Q'R' las asíntotas de las hipérbolas son paralelas á Ox, Oy.

2.º En el caso particular, en que las divisiones homográficas (A'), (B') tienen el punto doble (O), la recta A'B' pasa por un punto fijo. El lugar de estos puntos fijos es la hipérbola que pasa por P y tiene por asíntotas Ox, Oy.

CUESTIÓN 139
(Véase tomo III, página 192).

La suma de los cuadrados de las rectas que unen los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre dos lados opuestos de un cuadrilátero y los centros de los cuadrados construidos interiormente sobre los mismos lados, es igual á la suma de los cuadrados de las diagonales de este cuadrilátero.

(H. Van Aubel.)

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (B.)

Lema. Siendo ABCD, A'B'C'D' dos rectángulos directamente semejantes, se tiene \( AA'^2 + CC'^2 = BB'^2 + DD'^2 \)

En efecto, siendo S el centro de semejanza de los rectángulos, los triángulos SAA', SBB', SCC', SDD' son directamente semejantes, de donde las rectas AA', BB', CC', DD', son respectivamente proporcionales á SA, SB, SC, SD y forman con estas rectas el mismo ángulo.

Por consiguiente, si se trazan desde un punto O las rectas OA", OB", OC", OD", respectivamente iguales y paralelas á AA', BB', CC', DD', las figuras O A" B" C" D" y SABCD serán directamente semejantes, y por consiguiente A"B"C"D" será un rectángulo.

Sea O' el centro de este rectángulo. Se tendrá

\[
OA''^2 + OC''^2 = 200''^2 + 20'A''^2 \\
OB''^2 + OD''^2 = 200''^2 + 20'B''^2
\]

de donde

\[
OA''^2 + OC''^2 = OB''^2 + OD''^2
\]

es decir,

\[
AA'^2 + CC'^2 = BB'^2 + DD'^2
\]

Sean ahora \( j_1, j_3, i_1, i_3 \) los centros de los cuadrados construídos sobre los lados opuestos \( A_1A_2, A_3A_4 \) de un cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \). Los cuadriláteros \( A_1j_1A_2j_1, A_3j_3A_4i_3 \) siendo los cuadrados semejantemente orientados, se tendrá según nuestro lema

\[
\overline{A_1A_3}^2 + \overline{A_2A_4}^2 = \overline{j_1j_3}^2 + \overline{i_1i_3}^2 .
\]
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teais del espacio de cuatro dimensiones á la explicación de los fenómenos químicos.

Termina el interesante discurso del Sr. Vassilief dando á conocer la explicación de Clifford á su opinión de que el movimiento de un objeto consiste en un cambio de la curvatura del espacio, y explica el modo de ver de Cayley y Klein, que reducen la cuestión á la medida de distancias, manifestando cuánto han interesado las ideas de Lobachevsky, no sólo á los matemáticos, sino á los físicos, astrónomos, fisiólogos y filósofos, y que el monumento que ha de elevarse en la universidad de Kasan á este insigne talento, recordará á las generaciones futuras al profesor que consideró como fin de la universidad, no sólo el ilustrar el espíritu con conocimientos, sino inculcar las virtudes, implantar el deseo de gloria, los sentimientos de nobleza, justicia, honor y honestidad que haga resistir al mal y aleje el temor al castigo.

BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCTION Á L'ÉTUDE DE LA THÉORIE DES NOMBRES ET DE L'ALGÈBRE SUPERIEURE par E. Borel et J. Drach.—Este hermoso libro está redactado por dichos dos aventajados discípulos según las conferencias dadas por el eminente profesor M. Jules Tannery en la Escuela normal superior, y las dos partes que constituyen el trabajo total concurren á formar una síntesis de la Algoritmia desde el punto de vista del concepto de orden y de combinación.

La parte, Teoría de los números, debida al Sr. Borel comprende Cap. I Propiedades generales de las congruencias. I Definiciones. II Raíces de las congruencias. III La función \( \varphi(m) \). Cap. II Congruencias de módulo primo. I Divisibilidad según un módulo primo. II. Polinomios irreducibles. III Teoría de las congruencias según el punto de vista de Galois. Cap. III Congruencias binomias. I Raíces primitivas e índices. II Extensión á las imaginarias de Galois. III Aplicaciones. Módulos compuestos. Cap. IV Residuos cuadráticos—Ley de reciprocidad I Congruencias de segundo grado. II Residuos cuadráticos. III Caracteres cuadráticos. Símbolo de Legendre. IV Ley de reciprocidad. Aplicaciones. Cap. V Descomposición de los números en cuadrados. Aplicaciones. I Formas en general—Sumas de cuadrados. II Números complejos de Gauss. III Formas cuadráticas.

La enumeración de las materias y la disposición de las mismas
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Solución por el Sr. Caro (D. R)

Sean las coordenadas rectangulares de los vértices del cuadrilátero A(x'y'), B(x''y''), C(x'''y'''), D(x^{iv}y^{iv}); P y Q, los centros de los cuadrados construidos sobre AB, y P', Q', los de los construidos sobre CD.

Llamando \( x, \beta \), á las coordenadas del punto P, y \( x', \beta' \), á las de Q, tenemos

\[
x + x' = 2OI = x' + x''
\]
y
\[
x - x' = PQ \cos PQ.Ox
= AB \cos AB.Oy = y' - y''
\]

De donde se deduce
\[
x = \frac{x' + x'' + y' - y''}{2} \qquad x' = \frac{x' + x'' - y' + y''}{2}
\]
y del mismo modo deduciríamos
\[
\beta = \frac{y' + y'' + x' - x''}{2} \qquad \beta' = \frac{y' + y'' - x' + x''}{2}
\]

Para hallar las coordenadas del punto P' (\( \gamma^{\hat{\delta}} \)) y del Q' (\( \gamma'^{\hat{\delta'}} \)) haríamos iguales cálculos, pero basta aumentar en dos unidades los índices, y tendremos las abscisas
\[
\gamma = \frac{x''' + x^{iv} + y''' - y^{iv}}{2} \qquad \gamma' = \frac{x''' + x^{iv} - y''' + y^{iv}}{2}
\]
y las ordenadas
\[
\delta = \frac{y''' + y^{iv} + x''' - x^{iv}}{2} \qquad \delta' = \frac{y''' + y^{iv} - x''' + x^{iv}}{2}
\]

Conociendo estos valores, podemos ya calcular
\[
PQ'^2 + QP'^2 = (x - \gamma')^2 + (\beta - \delta')^2 + (x' - \gamma)^2 + (\beta' - \delta)^2
\]
Sustituyamos \( x, \beta ... \) por sus valores, y el numerador de cada uno de los cuadrados \( (x - \gamma')^2 ... \) se compondrá de ocho términos, que podremos agrupar en cuatro binomios de este modo
\[
\overline{PQ'^2 + QP'^2} =
\begin{cases}
\frac{1}{4} [ (x' - x^{iv}) + (y' - y^{iv}) + (x'' - x''') - (y'' - y''') ]^2 \\
+ \frac{1}{4} [ (x' - x^{iv}) + (y' - y^{iv}) + (x'' - x''') - (y'' - y''') ]^2 \\
+ \frac{1}{4} [ (x' - x^{iv}) - (y' - y^{iv}) + (x'' - x''') + (y'' - y''') ]^2 \\
+ \frac{1}{4} [ -(x' - x^{iv}) + (y' - y^{iv}) + (x'' - x''') + (y'' - y''') ]^2
\end{cases}
\]