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El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 11

Supposons maintenant que M soit de la forme

\[
M := p^{\mu} q^{\nu}
\]

Le raisonnement à employer dans le cas général, serait tout à fait semblable.

Je dis que si F(x) est irréductible suivant le module M, on ne peut pas avoir en même temps

\[
\left\{ \begin{array}{l}
F(x) = A(x)\ B(x) + p^{\mu} \lambda(x) \\
F(x) = A'(x)\ B'(x) + q^{\nu} \varphi(x)
\end{array} \right.
\]

A, B, A', B', \( \lambda \) et \( \varphi \) étant des fonctions entières, dont les deux dernières son de degré inférieur à m.

Si les relations (8) étaient toutes les deux possibles, on en tirerait

\[
F(x) | A(x)B(x) - A'(x)B'(x) = A(x)B(x)\varphi(x)q^{\nu} - A'(x)B'(x)\lambda(x)p^{\mu}
\]

Mais les congruences

\[
F(x) \equiv o \pmod{p} \qquad F(x) \equiv o \pmod{q}
\]

ont chacune m racines, réelles ou imaginaires; partant la congruence:

\[
F(x) \equiv o \pmod{pq} \tag{*}
\]

a \( m^2 \) racines.

Appelons \( i_1, i_2, \ldots i_{m^2} \) ces racines; en posant successivement

\[
x = i_1, = i_2, \ldots = i_{m^2}
\]

dans la (9), on en tire

\[
A(i_b)\ B(i_b)\ \varphi(i_b)\ q^{\nu} - A'(i_b)B'(i_b)\ \lambda(i_b)\ p^{\mu} \equiv v \pmod{pq} \quad (b = 1, 2, \ldots m^2)
\]

Par conséquent

\[
\left\{ \begin{array}{l}
A(i_b)\ B(i_b)\ \varphi(i_b) \equiv o \pmod{p} \\
A'(i_b)\ B'(i_b)\ \lambda(i_b) \equiv o \pmod{q}
\end{array} \right. \quad (b = 1, 2, \ldots m^2)
\]

Notre théorème suppose évidemment qu'on ait \( m > 1 \), donc \( m^2 > 2m \), et les fonctions

\[
F(x) = A(x)\ B(x)\ \varphi(x) \qquad F'(x) = A'(x)\ B'(x)\ \lambda(x)
\]

sont de degré inférieur à \( m^2 \).

D'ailleurs on peut toujours supposer que le coefficient de la plus haute puissance de x dans les congruences

\[
F(x) \equiv o \pmod{p} \qquad F(x) \equiv o \pmod{q}
\]

(*) Voyez Hermite.—Journal von Crelle.—Bd. 47.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 12

soit premier avec le module; il s'ensuit que les congruences (11) admettant un nombre de racines plus grand de ce qu'il n'y a d'unités dans leurs degrés, doivent être identiques.

Ainsi les fonctions \( \varphi(x) \) et \( \lambda(x) \) sont de la forme
\[
\varphi(x) = \varphi_1(x)p \qquad \lambda(x) = \lambda_1(x)q
\]
et les (8) deviennent
\[
F(x) = A(x)B(x) + p^{k'} q \lambda(x) \qquad F(x) = A'(x) B'(x) + p.q^{\nu} \varphi_1(x)
\]
Mais nous venons de démontrer que si une fonction \( F(x) \) est de la forme
\[
F(x) = A(x) B(x) + q \tau(x) = A(x) B(x) + p^h(x)
\]
elle est aussi de la forme
\[
F(x) = A'(x) B'(x) + q^{\nu} \tau_1(x) = A'(x) B'(x) + p^{k'} \theta_1(x)
\]
d'on l'on tire [\( \tau(x) \) étant une fonction entière]
\[
(12) \qquad F(x) = A'(x) B'(x) + p^{k'} q^{\nu} \tau(x)
\]
ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc etc.

4. Par les mêmes principes, on démontrerait aisément la proposition suivante:

Proposition III. Si deux fonctions sont premières entr'elles suivant le module \( M = p^{l'} q^{\nu'} \ldots \), et elles ne sont pas divisibles ni par \( p \), ni par \( q \), ... ; si, en outre, chacune d'elles est première avec sa dérivée suivant le module \( p \), aussi bien que suivant le module \( q \), ... ; ces fonctions seront premières entr'elles au moins suivant l'un des modules \( p, q, \ldots \)

5. Proposition IV. Si une fonction \( F(x) \) divise le produit \( \varphi(x) \psi(x) \) suivant le module \( M = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \ldots p_i^{n_i} \ldots \) et elle est première à l'un des facteurs, suivant chacun des modules \( p_1, p_2, \ldots p_n \ldots \); si, en outre, \( F(x) \) n'est pas congrue à zéro identiquement ni suivant \( p \), ni suivant \( q, \ldots \); elle divisera nécessairement suivant le module \( M \) l'autre faiteur du produit.

Supposons que \( F(x) \) soit première, par exemple, à \( \varphi(x) \); je dis que l'on aura:
\[
(13) \qquad \psi(x) = F(x) f(x) + M_{\Delta}(x)
\]
\( f \) et \( \Delta \) étant des fonctions entières.

On a par hypothèse
\[
(14) \qquad \varphi(x) \psi(x) = F(x) F(x) + p_1^{n_1} \ldots p_i^{n_i} \ldots \lambda(x)
\]
Mais \( F(x) \) est première à \( \varphi(x) \) suivant le module \( p_i \); on a donc, par un théorème connu (*)
\[
(15) \qquad \psi(x) = F(x) \psi_i(x) + p_i \lambda_i(x)
\]

(*) V. Serret.—A. Supérieure. T. 2, page 125.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 13

Des (14) et (15) on tire:
(16) \( F(x) \mid F(x) - \varphi(x) \psi_i(x) \} = p_i \varphi(x) \lambda_i(x) - p_1^{n_1} \ldots p_i^{n_i} \ldots \lambda(x) \)

Le second membre de (16) est divisible par \( p_i \); il en doit être de même du premier; mais \( F(x) \) n'est pas divisible par \( p_i \); alors, si l'on pose pour abréger

\[
\frac{1}{p_i} \left\{ F(x) - \varphi(x) \psi_i(x) \right\} = G(x)
\]

\( G(x) \) étant un polynôme à coefficients entiers, on trouve
(17) \( F(x) G(x) = \varphi(x) \lambda_i(x) - p_1^{n_1} p_2^{n_2} \ldots q_i^{n_i} \ldots \lambda(x) \)

Principios fundamentales referentes á los grupos de Fuchs
POR D. LAURO CLARIANA
Catedrático de la Universidad de Barcelona

(CONCLUSIÓN)
De un modo análogo se tiene que \( x - a_1 \), representa la recta \( xx' \):

\( b - b' \), la \( bb' \); \( x - b' \), la \( xb' \); y \( b - x' \), la \( bx' \); además fácilmente se deduce

(*) A esta figura se refiere el texto de la pág. 132.
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 14

\( zx' = 2x\beta = 2\sqrt{kb \cdot bh} ; \quad \epsilon\epsilon' = 2x\delta = 2\sqrt{kd \cdot dh} , \)

pero como quiera que \( x\delta' = x'\delta \), resulta con aplicación de la fórmula (6):

\[
(x\delta) = \frac{4\sqrt{kb \cdot bh}\ \sqrt{kd \cdot dh}}{x\delta'^2}
\] (A)

Ahora bien, el triángulo \( x\delta\delta' \) nos da

\[
x\delta'^2 = x\delta^2 + d\delta^2 + 2xb \cdot d\delta' = x\delta^2 + bd^2 + d\delta^2 + 2xb \cdot d\delta'
\]
\[
= kb \cdot bh + bd^2 + kd \cdot dh + 2xb \cdot d\delta' = kb \cdot bh + bd(bh - dh) +
+ kd \cdot dh + 2xb \cdot d\delta' = bh(kb + bd) + dh(kd - bd) + 2xb \cdot d\delta' =
= bh \cdot kd + dh \cdot kb + 2x\delta \cdot d\delta' = bh \cdot kd + dh \cdot kb +
+ 2\sqrt{kb \cdot bh \cdot kd \cdot dh} = (\sqrt{bh \cdot kd} + \sqrt{dh \cdot kb})^2 .
\]

Sustituyendo esta expresión en (A), se tiene:

\[
(x\delta) = \frac{4\sqrt{kb \cdot bh}\ \sqrt{kd \cdot dh}}{(\sqrt{bh \cdot kd} + \sqrt{dh \cdot kb})^2}
\]

Al dividir ambos términos de este quebrado por \( kb \cdot dh \), resulta definitivamente

\[
(x\delta) = \frac{4}{\left( \frac{\sqrt{bh}}{\sqrt{kb}} \cdot \frac{\sqrt{kd}}{\sqrt{dh}} + 1 \right)^2} = \frac{4 [x, \delta]}{([x, \delta] + 1)^2} ,
\]

cuya fórmula es la que nos habíamos propuesto determinar.

Como corolario de las fórmulas anteriores pueden darse las que á continuación se expresan:

\[
[\alpha, \gamma][\gamma, \delta] = [\alpha, \delta], \quad [x, \delta] = [\gamma, d].
\]

En efecto, de (a') resulta inmediatamente

\[
[x, \delta][\gamma, \delta] = \frac{x-h}{x-k} \frac{\gamma-k}{\gamma-h} \frac{\gamma-h}{\gamma-l} \frac{\delta-k}{\delta-h} = \frac{x-h}{x-k} \frac{\delta-k}{\delta-h} = [x, \delta].
\]

Considerando ahora la igualdad (b'), se tiene

\[
(x, \delta) = \frac{4 [x, \delta]}{([x, \delta] + 1)^2}, \quad (\gamma, d) = \frac{4 [\gamma, d]}{([\gamma, d] + 1)^2}
\]
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 15

y como para la igualdad \((c')\) se supone \(a\ priori\) que \((z, \delta) = (\gamma, d)\), naturalmente que si los primeros miembros de las igualdades que preceden son iguales, deben serlo también los segundos, y como ambos tienen la misma forma, debe realizarse forzosamente que

\[
[x, \delta] = [\gamma, d].
\]

El distinguido Mr. Poincaré, por medio de los preliminares que preceden, llega á completar la teoría de los grupos Fuchsianos; y al considerar un polígono normal generador, obtiene la división en ciclos, según el número de vértices del polígono, resultando así siete familias que luego, á la vez, se subdividen en géneros.

Los grupos discontinuos formados por sustituciones lineales, hállanse ya consignados en el estudio del módulo de una función elíptica, siendo á este punto notables los trabajos de Mr. Hermite, que luego Mr. Schwarz procura extender, probando que los grupos discontinuos pueden referirse á funciones superiores, á las elípticas, contribuyendo al desarrollo de esa bella rama matemática varios distinguídos sabios, tales como MM. Dedekind, Klein, Iburwitz y Dycks.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 174
(Véase tomo IV, página 157).

Construir un triángulo ABC, dado el radio R del círculo circunscripto y 1.º los radios r y r' del círculo inscripto y del círculo ex-inscripto en el ángulo A. 2.º, los radios r' y r'' de los círculos ex-inscriptos en los ángulos A y B.

(J. Gillet).

Solución por el Sr. J. W. Tesch.

Se sabe que el círculo O circunscripto al triángulo ABC es el círculo de los nueve puntos del triángulo I'I''I'', siendo I', I'', I''' los centros de los círculos ex-inscriptos.

A, B, C son los pies de las alturas de I', I'', I'''; por consiguiente, los medios de II',..., I'I''..., están en el círculo O. De esto resulta la construcción siguiente:

I, R, r, r'. Sean M el medio del arco subtendido por BC, D el punto de contacto del círculo I' con BC. Trazando por I la recta IE paralela á BC que va á cortar I'D en E, y designando por P el punto de intersección de IE con OM, se tendrá \(MP = \frac{1}{2} (r + r')\). Así, después
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 16

de haber trazado un radio cualquiera OM, se toma \( MP = \frac{1}{2} (r + r') \) enseguida sobre PM la longitud \( PF = r \).

La recta que pasa por F y perpendicular á PF será el lado BC. Si por P se traza una recta paralela á BC, el círculo que tiene por centro M y por radio MB = MC irá á cortar esta recta en dos puntos I. La intersección de MI con el círculo circunscripto determina el punto A.

II. B, \( r', r'' \). Conservando las mismas notaciones, sea N el medio de IT"; la distancia NF' de N á AB será igual á \( \frac{1}{2} (r' + r'') \). Así, después de haber trazado un radio cualquiera ON, se toma sobre NO una longitud \( NF = \frac{1}{2} (r' + r'') \) y enseguida sobre F'N una longitud F'P' = \( r'' \). La recta que pasa por F' y es perpendicular á NO determina los vértices A y B. En fin, se traza el círculo que tiene por centro N y por radio NA = NB, este círculo va á cortar á la recta trazada por P' paralelamente á AB en un punto I". La intersección de BI" con el círculo O determina el punto medio del arco subtendido por AC, después de lo que se determina C.

CUESTIÓN 173
(Véase tomo IV, página 157).

Construir un triángulo ABC, dado el radio r' del círculo ex-inscripto en el ángulo A, el radio r'' del círculo ex-inscripto en el ángulo B y a) el lado AC; b) el lado AB (*) y (**).

(J. Gillet.)

Solución por el Sr. Mario Pieri

a) Llamando ordenadamente O' y O'' los centros de los dos círculos ex-inscriptos de radios r' y r'', y T al punto común á las rectas O'O'' y AB (véase la figura) deberá verificarse que

\[
CO': TO': CO'': TO'': AC: AT \\
CO: CO'': TO': TO'': r': r''
\]

De esto se sigue la construcción siguiente: Sobre una recta indefinida s tómese el segmento dado AC; trácense en las regiones opues-

(*) Así puede leerse el enunciado de la cuestión 173, incompletamente expuesto en la página 157 de este tomo.—(M. P.)
(**) En efecto, por un error material, según se indica en la página 202, se omitió una de las condiciones, el lado AB = c, en el enunciado que remitió el Sr. Gillet.—(Z. G. de G.)
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 17

tas de s, las rectas s' y s'' paralelas á s y á las distancias r' y r'' de ésta, respectivamente.

Después se toma también la otra recta t, cuyas distancias á s' y s'' se hallan entre sí en la relación de r' á r'' (es decir, el conjugado armónico de s respecto á s' y s''); y entre las dos rectas s y t se inscribirá un segmento AT, cuarto proporcional de las distancias (ss''), (s''t), AG. En fin, se trazará la bisectriz á los ángulos formados por las dos rectas AC y AT. Estas cortarán á las rectas s' y s'' en los puntos O' y O'', los que también quedarán determinados en modo único, por lo que el círculo de centro O'' y radio r'' ex-inscripto al triángulo hallado, debe tocar á la recta s en el intervalo AC, etc.

b) Supuesto resuelto el problema (véase la figura) y trazadas las rectas O'A, O'B, O''A, O''B (siendo también O', O'' los centros de los dos círculos ex-inscriptos), quedará manifiesto que el círculo descrito sobre el segmento O'O'' como diámetro debe contener al lado AB como cuerda. De esto la siguiente construcción:

Tomado el lado AB conocido sobre una recta indefinida s, se trazan en una misma región de ésta las rectas s', s'' paralelas á s, de modo que las distancias (ss'), (ss'') sean respectivamente iguales á los radios r' y r''. Después, sobre la perpendicular trazada á AB en su punto medio H se toma el punto K, que equidista de s' y s''. La circunferencia que tiene el centro en K y pasa por A y B cortará á las s' y s'' en los puntos O' y O''. Y propiamente deberá el punto O' hallarse sobre s' en la región de la recta HK, donde se halla B.

Ahora, descritos desde los puntos O', O'' como centros los dos círculos de radios r', r'' la otra tangente (además de la s) que puede trazarse desde A al primer círculo será también tangente al segundo;
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 18

porque formará con s ángulos bisecantes de las dos rectas AO' y AO'', etc.

CUESTIÓN 145
(Véase tomo III, página 272).

Siendo A, B, C, D cantidades imaginarias dadas y x una cantidad imaginaria variable, formemos el determinante

\[
\begin{vmatrix}
A + x & B + x \\
C + x & D + x
\end{vmatrix} = \Delta
\]

Demostrar:
1.º Que si el módulo \( \Delta \) permanece constante, la extremidad de x recorre una circunferencia cuyo centro se pide determinar.
2.º Que si el argumento de \( \Delta \) permanece constante, la extremidad de x recorre una recta. Determinar la dirección de ésta cuando el argumento de \( \Delta \) es nulo.

(C. A. Laisant).

Solución por el Sr. Sollertinsky (B.)

Se tiene
\[
\Delta = (A + x)(D + x) - (B + x)(C + x)
\]
ó haciendo
\[
a = AD - BC, \quad b = (A + D) - (B + C),
\]
\[
\Delta = a + bx
\]

Sean P, Q, M los puntos que representan las cantidades \( a, b, x \) cuando se toma OX por eje polar y OU por la unidad.

Representando el punto N al producto \( bx \), es, como se sabe, el vértice del triángulo OMN directamente semejante á OUQ; en fin, si se traza NS igual y paralela á OP, el punto S representará á \( \Delta \).

1.º Sea P' el simétrico de P con relación á O. Los segmentos SN y OP', siendo iguales y paralelos, se tendrá PN' = OS. Por consiguiente, permaneciendo constante el módulo OS de \( \Delta \), el punto N describe una circunferencia que tiene P' por centro.

Si se construye el triángulo OP'm directamente semejante á OQM,
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 19

y, por consiguiente, á ONM, los triángulos OMm y ONP' serán también semejantes, porque se tiene

\[
\frac{ON}{OM} = \frac{OP'}{Om} \quad \text{y} \quad \angle NOP' = (\mathrm{NOM} + \mathrm{MOP}' = P'Oom + \mathrm{MOP}') = \angle MOm.
\]

De aquí se sigue que \( \frac{mM}{P'N} = \frac{Om}{OP'} = \text{const.} \)

Así el punto O describe una circunferencia que tiene m por centro.

2.º El argumento \( \angle SOX \) permaneciendo constante, el punto S se mueve sobre la recta OS. Por consiguiente, N se mueve sobre NP', y el punto M sobre la recta Mm. El ángulo de las rectas Mm y OS evidentemente es igual al \( \angle NOM \), es decir, al argumento \( \angle QOx \) de b.

CUESTIÓN 179.
(Véase tomo IV, página 158).

Calcular las sumas

\[
S = \sum_{n=1}^{n=m} (m-n+1)n \quad \text{y} \quad S' = \sum_{n'=1}^{n'=m'} \frac{1}{2} (m'-n'+1)(n'+1) n'
\]

2.º Determinar la relación entre m y m' para que se tenga \( S = S' \).
(A. Schiappa Monteiro).

Solución por D. JUAN J. DURAN LORIGA

1.º Se tiene evidentemente

\[
S = \sum_{n=1}^{n=m} (m-n+1)n = m \cdot \sum_{1}^{m} n - 2 \sum_{2}^{m} \frac{n(n-1)}{2} = \frac{m^2(m+1)}{2}
\]
\[
- \frac{m(m-1)(m+1)}{3} = \frac{m(m+1)(m+2)}{6} = F_{8}^{m}
\]
(representado en general por \( F_{n}^{q} \) el qºmo número figurado del orden n).

Se deduce también

\[
S' = \sum_{n'=1}^{n'=m'} \frac{1}{2} (m'-n'+1)n' = m' \sum_{1}^{m'} \frac{n'(n'+1)}{2} - 3 \sum_{2}^{m} \frac{n'(n'-1)(n'+1)}{6} =
\]
\[
= \frac{m'(m'+1)(m'+2)(m'+3)}{4} = F_{4}^{m'}
\]

2.º Los valores de S y S' serán iguales para valores enteros de
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 2

2. Le operazioni da farsi hanno argomento da alcune proporzioni del sig. REYE, svolte nella 2^a parte della sua notissima Geometria di Posizione(1). Nell’enunciarle ci restringiamo a quanto basta per l’intelligenza di quel che segue; mentre rimandiamo all’opera suddetta per qualsivoglia schiarimento ulteriore:

Le rette, ciascuna delle quali è normali alla propria retta polare rispetto ad una quadrica \( \Phi \) (n. 1)—quindi in particolare le normali alla superficie e le sue tangenti principali—formano un complesso tetraedrale \( \Gamma \), di cui sono piani singolari i piani di simmetria della quadrica e il piano all’infinito, e punti singolari i poli di questi piani rispetto alla medesima.

«Se la quadrica è un paraboloide, le trace di un raggio variabile di \( \Gamma \) sui due piani singolari \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \) (n. 1) sono due punti tali, che le loro proiezioni (ortogonali) sopra la retta \( \pi_1 \pi_2 \) comprendono un segmento costante.»

3. In ordine al 1.^ Problema (n.° 1) gioverà distinguere due casi.

Per una quadrica dotata di centro siano \( s_1, s_4, s_3 \) le tracce del piano dato \( \alpha \) sui tre piani coordinati \( \pi_1, \pi_2 \) e \( \pi_3 \). Si ribalti il piano \( \alpha \) sopra uno di questi, ad es. su \( \pi_1 \) mediante rotazione intorno alla retta \( s_1 \), e siano \( (s_2), (s_3), (A) \) le nuove posizioni di \( s_2, s_3 \), A. Per le ipotesi fatte, le \( s_1, (s_2), (s_3) \) formeranno un triangolo, il cui punto delle altezze sarà diverso da (A); e insieme con la retta all’infinito di \( \pi_1 \) produrranno un quadrilatero. Si proiettino dal punto (A) due coppie di vertici apposti del medesimo—ad es. si projetti il punto \( s_1 \) (\( s_4 \)) e conducaisi la parallela ad \( (s_3) \) poi il punto \( s_1(s_4) \) e la parallela ad \( (s_2) \)—e nell’involuzione determinata dalle due coppie di raggi così ottenute si trovino i due raggi (\( x \)) e (\( y \)) conjugati e perpendicolari fra loro. Queste due rette sono i ribaltamenti delle due tangenti principali inerenti ad A. Invero la conica involuppata da tutti i raggi del complesso \( \Gamma \) che giacciono in \( \alpha \) (n. 2) è tangente alle rette \( s_1, s_2, s_3 \) e alla retta all’infinito. Ora le due tangenti principali cerate dovendo appartenere all’inviluppo ed incrociarsi a l’angolo retto in A saranno per certo le rette \( x, y \) determinate come sopra, in forza di un notissimo teorema sul quadrilatero circonscr.it> ad una conica.

Per un paraboloide siano ancora \( s_1, s_4 \) le tracce di \( \alpha \) sopra \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \), ed S_1, S_4 le tracce della retta normale in A a \( \alpha \). Si costruiscano la 2.^ proiezione S_1', di S_1 e la 1.^ proiezione S_2' di S_4; indi sulla retta

(1) Die Geometrie der Lage, von Dr. Theodor REYE, zweite Abtheilung, s. 165-174 (Leipzig, 1892).
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 20

m y \( m' \) que verifiquen la igualdad

\[
F_a^{m'} = F_4^{m''}
\]

por ejemplo, \( m' = 4, m = 5 \), lo que también se podrá encontrar consultando el triángulo de Pascal, y así se obtendría la solución de la segunda parte de la cuestión propuesta por nuestro amigo el distinguido profesor Sr. Schiappa Monteiro.

Observación.—Podría resolverse la cuestión de que nos hemos ocupado (como ocurre con otras de esta índole), haciendo aplicación de las fórmulas que obtuvimos en nuestra pequeña nota sobre progresiones, publicada en el número de Febrero de este periódico, pues la obtención de la primera suma se reduce á multiplicar término á término las dos progresiones aritméticas

\[
\div m . (m-1) . (m-2) \ldots ... 2 \\
\div 1 . \quad 1 . \quad 2 \ldots ... (m-1) . m
\]

y la otra se deduciría de la consideración de los dos grupos siguientes (suponemos, por ejemplo, \( m \) impar)

\[
\begin{array}{l}
\div 1 . \quad 2 . \quad 3 \ldots ... \frac{m-1}{2} \\
\div 3 . \quad 5 . \quad 7 \ldots ... m \\
\div (m-1) . (m-3) . (m-5) \ldots ... 2
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
\div 1 . \quad 2 . \quad 3 \ldots ... \frac{m+1}{2} \\
\div 1 . \quad 3 . \quad 5 \ldots ... m \\
\div m . (m-2) . (m-4) \ldots ... 1
\end{array}
\]

pues aunque en la citada nota consideramos para más de dos progresiones el caso particular de tener todas igual razón, es muy fácil generalizar y llegar á la fórmula siguiente para el producto, término á término, de \( q \) progresiones aritméticas compuestas de \( n \) términos

\[
S_n^q = n^0 + \sum_{q=1}^1 \sum_{i=1}^{n-1} i + \sum_{q=2}^2 \sum_{i=1}^{n-1} i^2 + \ldots + \sum_{q=1}^{q-1} \sum_{i=1}^{n-1} i^{q-1} + \sum_{q=0}^{q-1} i^q
\]

En esta expresión representamos con el símbolo \( \sigma \) el resultado obtenido, sumando las combinaciones de los \( q \) primeros términos de las progresiones tomados de \( q-h \) en \( (q-h) \), después de colocar en cada grupo las \( h \) razones de las progresiones cuyos primeros términos no han sido manejados así, por ejemplo,

\[
\frac{1}{2} \cdot a_1 a_2 r_3 + a_1 a_3 r_2 + a_2 a_3 r_1
\]
El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 21

NOTICIA INTERESANTE

La transcendental importancia de las conclusiones últimamente aprobadas en el Congreso de Caen, recibidas en esta Redacción cuando se terminaba de componer el número 45 de El Progreso Matemático, nos obliga á publicarlas íntegras por juzgar que son de interés sumo para cuantos se dedican á las ciencias matemáticas.—Z. G. de G.

ASSOCIATION FRANÇAISE POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES

CONGRÈS DE CAEN.—1894

1ère ET 2ème SECTIONS.—SÉANCE DU 14 AOUT

QUESTION A LA ORDRE DU JOUR

Etude des moyens qui seraient de nature á assurer un échange de vues plus facile et plus suivi entre les mathématiciens des diverses nations, et qui pourraient contribuer ainsi aux progrès des sciences mathématiques, et au perfectionnement des méthodes.

RÉSOLUTION

Les 1ère et 2e Sections, après une discussion approfondie, à laquelle ont pris part un grand nombre de membres,

1.º Donnent en principe l'adhésion la plus complète au projet de création de Congrès mathématiques internationaux et se déclarent dés à présent disposées á apporter tout leur concours aux efforts qui sont ou seront faits dans cet ordre d'idées;

2.º Approuvent absolument l'idée de Mr. Mansion, relative á la rédaction de Vocabulaires mathématiques et applaudissent au commencement de réalisation que Mr. le Commandant Brocard a déjà donné á cette idée, par la préparation d'un vocabulaire mathématique français;

3.º Expriment l'espoir que le projet de Mr. Jacques Boyer, concernant l'établissement d'un Dictionnaire mathématique, pourra aboutir á un heureux résultat, et en France, et dans la plupart des autres pays;

4.º Croient devoir attirer l'attention sur les remarquables monographies mathématiques qui se publient en ce moment en Allemagne, et dont il serait très désirable de voir publier des traductions dans diverses langues;