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El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 24

Proposition de Géométrie.

La surface du Dodécagone inscrit est les trois quarts du carré circonscrit.

Sigue la demostración fundada sobre la propiedad de que el vértice G del dodecágono está sobre la mediatriz EF, de los lados AB, CD del cuadrado ABCD. Los dos triángulos BGC, BEC son equivalentes y tienen por área la cuarta parte del cuadrado radio. Luego etc.

ARTICLE XI

Lettre au P. B. Jés, relative à la precedente découverte.
(pp. 367-369)

En réfléchissant, M. R. P., à la Découverte précédente, sur le Théorème de M. Cruds, j’ai trouvé une démonstration de ce Théorème plus directe et plus facile, qui donne non seulement la quadrature du Dodécagone, mais qui est aussi générale pour tous les Poligones.
Je prends la liberté de vous l’envoyer.

THÉORÈME.

La surface du Dodécagone est les trois quarts du carré circonscrit.

DÉMONSTRATION.

L’angle du centre du Dodécagone étant de 30 degrés, on sait que CF, sinus de cet angle, est la moitié du sinus total ou rayon DC = BC, mais le triangle BGC et le carré BD ayant même base, ils sont entr’eux comme la moitié du sinus CF \( = \frac{1}{4} \) CD \( = \frac{1}{4} \)BC est à BC, c’est à dire, comme 1 est à 4, donc les trois triangles qui forment le quart du Dodécagone sont les trois quarts du carré inscrit, qui est le quart du grand carré. Donc. etc.
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 25

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 267 (Véase t. I, pág. 84)

Las rectas que unen los vértices de un triángulo ABC á un punto O de su plano, encuentran á los lados opuestos en los puntos A', B', C'.

El área del triángulo A' B' C' queda invariable, si se hace coincidir el punto O, sucesivamente con el punto de Lemoine, con cada uno de los puntos de Brocard, con cada uno de los vértices del triángulo de Brocard, ó con el conjugado isotómico de cada uno de los seis puntos.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Droz Farny (A.)

Representemos por S y Δ las áreas de los triángulos ABC y A'B'C', y por α, β, γ las coordenadas baricéntricas del punto O

Se obtiene fácilmente que:

\[
\Delta = \frac{2 S \alpha \beta \gamma}{(\alpha + \beta) (\beta + \gamma) (\alpha + \gamma)}
\]

El valor de Δ no cambia si el punto O se reemplaza por su conjugado isotómico O' porque basta reemplazar α, β, γ respectivamente por \( \frac{1}{\alpha} \), \( \frac{1}{\beta} \), \( \frac{1}{\gamma} \), lo que no altera Δ.

Pero las coordenadas baricéntricas de los 6 puntos indicados son:

    Punto
    Coordenadas

    Punto de Lemoine:
    K \( (a^3 \quad b^3 \quad c^3) \)

    1.er punto de Brocard:
    Ω \( \left( \frac{1}{b^3}, \frac{1}{c^3}, \frac{1}{a^3} \right) \)

    2.º punto de Brocard:
    Ω' \( \left( \frac{1}{c^3}, \frac{1}{a^3}, \frac{1}{b^3} \right) \)

    Vértices del primer triángulo de Brocard:

          Coordenadas

          A₁
          (\( a^2 \quad c^2 \quad b^2 \))

          B₁
          (\( c^2 \quad b^2 \quad a^2 \))

          C₁
          (\( b^2 \quad a^2 \quad c^2 \))

Para estos 12 puntos se obtiene

\[
\Delta = \frac{2 S a^3 b^3 c^3}{(a^4 + b^4)(a^4 + c^4)(b^4 + c^4)}.
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 26

Solución por el Sr. Krahn (A.)

Sean \( \alpha, \beta, \gamma \) las coordenadas baricéntricas del punto O, es decir, cantidades proporcionales á las triangulares absolutas de dicho punto.

Las coordenadas de los puntos A', B', C' serán

\[
A'\left(0, \frac{\beta}{\beta + \gamma}, \frac{\gamma}{\beta + \gamma}\right),
\]
\[
B'\left(\frac{\alpha}{\alpha + \gamma}, 0, \frac{\gamma}{\alpha + \gamma}\right),
\]
\[
C'\left(\frac{\alpha}{\alpha + \beta}, \frac{\beta}{\alpha + \beta}, 0\right).
\]

Sustituyendo estas coordenadas en la expresión del área del triángulo en función de las coordenadas de sus vértices, tendremos

\[
\text{área } A'B'C' = 2S \frac{\alpha \beta \gamma}{(\beta + \gamma)(\alpha + \gamma)(\alpha + \beta)}.
\]

expresión en la cual el factor 2 S es constante.

Obsérvese que el segundo factor no varía cuando se sustituyen los grupos que se obtienen permutando las letras \( \alpha, \beta, \gamma \), y que tampoco cambia reemplazado las letras por sus inversas. De aquí doce ca os en los cuales el área permanecerá constante.

Recordemos además que tomando las inversas de las coordenadas baricéntricas de un punto se obtienen las de su isotómico.

Ahora bien, las coordenadas baricéntricas de los seis primeros puntos mencionados en el enunciado son proporcionales respectivamente á

\[
K\left(a^4, b^4, c^4\right),\quad Q\left(\frac{1}{b^4}, \frac{1}{c^4}, \frac{1}{a^4}\right),\quad Q'\left(\frac{1}{c^4}, \frac{1}{a^4}, \frac{1}{b^4}\right),
\]
\[
A_1\left(a^4, c^4, b^4\right),\quad B_1\left(b^4, a^4, c^4\right),\quad C_1\left(c^4, b^4, a^4\right);
\]

y las de los seis isotómicos se obtienen invirtiendo las anteriores.

CUESTIÓN 205. (Véase pág. 39).

En el plano de un triángulo ABC se toma un punto P cuyas coordenadas baricéntricas son \( \alpha, \beta, \gamma \); sean \( A_1, B_1, C_1 \) los puntos de intersección
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de las rectas AP, BP, CP con los lados opuestos. Sobre los tres lados del triángulo A₁, B₁, C₁ se toman los puntos A₂, B₂, C₂ tales, que:

\[
\frac{B_1A_2}{A_1C_1} = \frac{\gamma}{\beta}, \quad \frac{C_1B_2}{B_1A_1} = \frac{\alpha}{\gamma}, \quad \frac{A_1C_2}{C_1B_1} = \frac{\beta}{\alpha}.
\]

Sean A', B', C' los puntos de intersección de las rectas AA₂, BB₂, CC₂ con los lados opuestos del triángulo ABC.

1.º Las rectas AA₂, BB₂, CC₂ pasan por un mismo punto P'.
2.º Determinar las coordenadas bariénticas de este punto.
3.º Hallar la relación de las áreas de los triángulos A'B'C', ABC.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Kraus (A.)

Los puntos A₁, B₁, C₁ tienen por coordenadas

A₁, (0, β, γ), \quad B₁, (\alpha, 0, \gamma), \quad C₁, (\alpha, \beta, 0).

Como se conocen las relaciones en que quedan divididos los lados del triángulo A₁B₁C₁ por los puntos A₂, B₂, C₂, tendremos:

\[
A_2 \left( \alpha (\beta + \gamma), \quad \beta \gamma, \quad \beta \gamma \right),
\]
\[
B_2 \left( \alpha \gamma, \quad \delta (\alpha + \gamma), \quad \alpha \gamma \right),
\]
\[
C_2 \left( \alpha \beta, \quad \alpha \beta, \quad \gamma (\alpha + \beta) \right).
\]

Las rectas AA₂, BB₂, CC₂, tendrán por ecuaciones

\[
y - z = 0, \quad x - z = 0, \quad x - y = 0,
\]

es decir, son las medianas del triángulo ABC; su punto de intersección P' es el centro de gravedad del triángulo, cuyas coordenadas son \( x = y = z \).

El triángulo A'B'C' es, por consiguiente, el complementario del ABC, y se tendrá \( \frac{A'B'C'}{ABC} = \frac{1}{4} \).

CUESTIÓN 288

Si una parábola se halla inscrita en un triángulo ABC, su punto de Gergonne, (punto de intersección de las rectas que unen un vértice al
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punto de contacto sobre el lado opuesto) se halla en la recta de Lemoine (polar del punto de Lemnive con relación al círculo circunscrito).
(E. Lemoine.)

Solution por M. A. Droz Farny.

Es fácil ver que el lugar pedido, es la cónica Steiner circunscrita al triángulo cuyo centro coincidir con el centro de gravedad del triángulo

Se sabe que el lugar de los focos de las parábolas inscriptas en un triángulo es la circunferencia circunscrita á éste.

Sea F el foco de una de éstas curvas. Se obtendrá el punto de contacto C' de la parábola con el lado AB, buscando según un teorema conocido, la intersección con AB del lado FC' del ángulo AFC' = 180 - A. De esto resulta que el lado FC', prolongado, corta á la circunferencia circunscrita al triángulo en un punto fijo x tal, que Arc. Ax = Arc. BC.

Análogamente FB' corta á la circunferencia en un punto fijo y tal, que Arc. Ay = Arc. BC.
De esto resulta que la cuerda Cx es paralela á AB, y que cuerda B y es paralela á AC. Cuando F se mueve sobre la circunferencia, xC' é yB' describen dos haces proyectivos; las puntuales B' y C' son pues, homográficas; luego también los haces CC' y BB' cuya intersección de los rayos homólogos da el lugar de los puntos de Gergonne.

Si F coincide con B, el rayo CC' cae en la línea de los centros y BB' coincide entonces con By. No conteniendo la línea de los centros rayos homólogos, el lugar buscando de las intersecciones de los rayos homólogos es una cónica que pasa por By C (luego también por A; basta hacer coincidir F con A), y cuyas tangentes en estos puntos son las rectas By y Cx, es decir, las paralelas en estos puntos á los lados opuestos del triángulo.

Solución por D. Augusto Kraus

La ecuación general de las cónicas inscriptas en el triángulo ABC es
\[
f^2 x^2 + g^2 y^2 + h^2 z^2 - 2g h y z - 2f h x z - 2f g x y = 0 \tag{1}
\]
y para que la cónica sea parábola, f, g, h deben de satisfacer á la condición
\[
\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0 \tag{2}
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 29

Sean A', B', C' los puntos de contacto con los lados la cónica (1). Las cuerdas B'C', A'C', A'B' tendrán respectivamente por ecuaciones

\[
\begin{align*}
(B'C') & \quad -f x + g y + h z = 0 \\
(A'C') & \quad f x - g y + h z = 0 \\
(A'B') & \quad f x + g z - h z = 0
\end{align*}
\]

De la combinación con los lados del triángulo ABC deducimos para coordenadas de A', B', C'

A' (o, h, g)      B' (h, o, f)      C' (g, f, o)

Por consiguiente para coordenadas del punto de Gergonne

\[
\frac{x}{f^{-1}} = \frac{y}{g^{-1}} = \frac{z}{h^{-1}}
\] (3)

eliminando \( f, g, h \) entre (2) y (3), tendremos el lugar del punto de Gergonne

\[
\frac{1}{a x} + \frac{1}{b y} + \frac{1}{c z} = 0 \quad \text{o bien} \quad \frac{y z}{a} + \frac{x z}{b} + \frac{x y}{c} = 0
\]

que es la ecuación de la elipse circunscrita al triángulo y que tiene por centro el de gravedad.

CUESTIÓN 284.

Sea un triángulo \( \triangle ABC \). Desde el punto \( C \) se trazan las normales á todas las cónicas tangentes á \( CA \) en \( A \) y d \( CB \) en \( B \). Hallar el lugar de los pies de las normales.

(E. Lemoine).

Solución par M. A. DROZ FARRY.

Sea CP una normal trazada desde C á una de las cónicas del haz, P su pié, \( \alpha \) su intersección con AB. La tangente en P á la cónica encuentra á CA, CB y AB respectivamente en B', A' \( \alpha' \). El teorema de Brianchon aplicado al triángulo A'B'C muestra que las rectas CP, BB', AA' se cortan en un mismo punto, y que, por consiguiente, los cuatro puntos A \( \alpha \) B \( \alpha' \) son armónicos. \( \alpha \) y \( \alpha' \) son pues los pares correspondientes de una involución cuyos puntos dobles son A y B. Luego la puntual de los puntos \( \alpha' \) es proyectiva al haz de las rectas \( C \alpha \).
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 3

y observar que, para (18) por ejemplo, el segundo miembro contiene \( \gamma (C, A) \times \gamma (\beta, x) \) é igualmente \( \gamma (B, A) \times \gamma (\gamma, x) \), es decir \( b' C' \delta c'' B' \) deduciéndose en cada uno de los cuatro grupos de fórmulas, las tres fórmulas de la izquierda unas de otras por permutación de las letras \( a, b, c \), etc., lo mismo se verifica para las tres de la derecha; además, se pasa de las fórmulas de la izquierda á las de la derecha permutando, por ejemplo, \( b \) y \( c \), \( B \) y \( C \) y cambiando los acentos (') y ("), las fórmulas (1), (2), (3) dan así las fórmulas (1'), (2'), (3').

Se tiene los cuatro grupos de fórmulas

I
\[
\begin{cases}
(1) & a'' = b' c' - b c A', \\
(2) & b'' = c' a' - c a B', \\
(3) & c'' = a' b' - a b C';
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
(1') & a' = b'' c'' - b c A'', \\
(2') & b' = c'' a'' - c a B'', \\
(3') & c' = a'' b'' - a b C'';
\end{cases}
\]

II
\[
\begin{cases}
(1) & A'' = B' C' - B C a', \\
(2) & B' = C' A' - C A b', \\
(3) & C' = A' B' - A B c';
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
(1') & A' = B'' C'' - B C a'', \\
(2') & B' = C'' A'' - C A b'', \\
(3') & C' = A'' B'' - A B c'';
\end{cases}
\]

III
\[
\begin{cases}
(1) & b \frac{a'}{a} + C \frac{A'}{A} = - b' C'', \\
(2) & c \frac{b''}{b} + A \frac{B'}{B} = - c' A'', \\
(3) & a \frac{c''}{c} + B \frac{C'}{C} = - a' B'';
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
(1') & c \frac{a'}{a} + B \frac{A'}{A} = - c'' B', \\
(2') & a \frac{b'}{b} + C \frac{B'}{B} = - a' C', \\
(3') & b \frac{c'}{c} + A \frac{C'}{C} = - b'' A';
\end{cases}
\]

IV
\[
\begin{cases}
(1) & b \frac{a'}{a} + C \frac{A'}{A} = - b'' C', \\
(2) & c \frac{b'}{b} + A \frac{B''}{B} = - c'' A', \\
(3) & a \frac{c'}{c} + B \frac{C''}{C} = - a'' B';
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
(1') & c \frac{a''}{a} + B \frac{A'}{A} = - c' B', \\
(2') & a \frac{b''}{b} + C \frac{B'}{B} = - a' C'', \\
(3') & b \frac{c''}{c} + A \frac{C'}{C} = - b' A''.
\end{cases}
\]

Cada una de las fórmulas I liga seis cantidades tales como

\[
a'', b', b'', c', c'', A'.
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 30

La cuestión propuesta se reduce así al muy conocido problema siguiente.

Desde los puntos \( \alpha \), de una puntual se bajan perpendiculares \( \alpha'P \) sobre los rayos correspondientes \( C\alpha \) de un haz proyectivo. Estas perpendiculares envuelven una parábola, siendo \( C \) un punto de su directriz, porque existe un par de rayos \( C\alpha \) y \( C\alpha' \) correspondientes en la involución, que son ortogonales.

El lugar de \( P \) es, por consiguiente, la podar de una parábola con relación á un punto de su directriz, es decir, la focal con nodo, ó estrofóide oblicua.

CUESTIÓN 263.

Un triángulo OVP tiene dos vértices fijos y el tercero P móvil sobre un círculo que pasa por O y es tangente á la perpendicular o, trasada á [OV] en V; Si P' es la intersección del rayo [OP] con la perpendicular en V á [VP], demostrar que el lugar de P' es una cisoide oblicua tangente á O en V, con la cúspide en O. Construir la asíntota, la tangente cuspidal y las tangentes en P'.

(V. Retoli).

Solution por M. A. Droz Farry.

En vez de un círculo, supongamos dada una curva de \( n \)º orden \( C^n \). Cada rayo OP encuentra á \( C^n \) en \( n \) puntos P, cuyos correspondientes P' están sobre OP; la recta o encuentra á \( C^n \) en \( n \) puntos \( \alpha \) cuyos correspondientes P' coinciden con O.

El punto O es pues, para la transformada \( n \) — uplo; las tangentes en este punto son las rectas O\( \alpha \). El eje OV encuentra á \( C^n \) en \( n \) puntos \( \beta \) cuyos correspondientes coinciden con V, que es por consiguiente también \( n \) — uplo.

Por regla general la curva transformada es de grado \( 2n \).

Siendo cada línea isótropa perpendicular á sí misma, todo umbálico del plano es su propio conjugado este sistema.

Si la curva \( C^r \) pasa por el punto O, el transformado de este punto se halla en la intersección de la tangente á \( C^r \) en O con la recta \( o \), y
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cada recta OP no contiene ya, además de los n correspondientes á los puntos x, mas que los correspondientes á los (n - 1) puntos de intersección, de OP con C* distintos de O.

La transformada es pues, en este caso, una curva de grado 2n - 1 con un punto n - up'o en O y (n - 1) - uplo en V.

Sea, en el caso propuesto, A el punto de contacto del círculo con la recta o.

La transformada será una cúbica circular, con punto doble en O, las dos tangentes coincidentes en este punto con la recta OA, luego un punto de retroceso; es pues una cisoide, tangente en V á o y que corta á esta recta en el punto B, donde se encuentra con la tangente al círculo en O. Según una observación ya hecha en la cuestión 261, las tangentes á C* en P y á C*² en P' se cortan en la conjugada isogonal del eje OV, en el ángulo PVP'.

La circunferencia descrita sobre OV como diámetro corta á C' en O y C. OC será la dirección asintótica.

Tracemos VC' paralela á OC y construyamos la recta Δ isogonal de OV con relación al ángulo recto CV C'. Δ encuentra á la tangente en C al círculo C' en el punto D que pertenece á la asintota buscada.

Observación. Tracemos desde V la segunda tangente VE al círculo O.* La recta VE' perpendicular á VE será además de c la 3.a tangente que se puede trazar desde V á nuestra curva 3.a.

CUESTIÓN 280

Siendo a, b, c los tres lados de un triángulo ABC; r, r_a, r_b, r_c los radios de los círculos tritangentes, S el área, R el radio del círculo circunscripción y p el semi-perímetro, demostrar las fórmulas siguientes:

1.º \[ a(b + c) = (r + r_a)(r_b + r_c) \]
2.º \[ a(b - c) = (r_a - r)(r_b - r_c) \]
3.º \[ a^2 = (r_a - r)(r_b + r_c) \]
4.º \[ \frac{ap + r_a'}{r_a} = 4R + r \]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 32

5.º \( \frac{b^2 + c^2}{bc} \cos A + \frac{c^2 + a^2}{ca} \cos B + \frac{a^2 + b^2}{ab} \cos C = 3 \)

6.º \( b^3 \cos C + c^3 \cos B - a^3 = 4 R S (\cos A - \cos B \cos C) \)
\[
= \frac{8}{2R} (r_b^3 + r_c^3 - r_a^3 - r^3)
\]

Solución por M. & A. DROZ FARNY.

Se tiene: \( r = \frac{S}{p}, \quad r_a = \frac{S}{p-a} \) etc., y \( 4R + r = r_a + r_b + r_c \)

de aquí: \( r + r_a = \frac{S(b+c)}{p(p-a)} ; \quad r_a - r = \frac{Sa}{p(p-a)}; \)
\[
r_b + r_c = \frac{Sa}{(p-b)(p-c)}; \quad r_b - r_c = \frac{S(b-c)}{(p-b)(p-c)}
\]
de aquí inmediatamente las 3 primeras fórmulas.

4). \( r_b + r_c = \frac{Sa}{(p-b)(p-c)} - \frac{Sap(p-a)}{S^2} \)
\[
= \frac{ap(p-a)}{S} = \frac{ap}{r_a}
\]

Luego: \( r_b + r_c + r_a = 4R + r = \frac{ap}{r_a} + r_a = \frac{ap + r_a^3}{r_a} \)

5). \( \frac{b^2 + c^2}{bc} \cos A = \frac{b^2 + c^2}{bc} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
\[
= \frac{a^2 b^4 + a^2 c^4 - b^4 a^4 - c^4 a^4 + 2 a^4 b^4 c^2}{2 a^2 b^2 c^2}
\]
\[
\sum \frac{b^2 + c^2}{bc} \cos A = \frac{6 a^4 b^4 c^4}{2 a^2 b^2 c^2} = 3
\]

Hay error en la fórmula 6, en efecto:

\[
c^2 \cos B = c \cdot \cos B [a^2 + b^2 - 2ab \cos C]
\]
\[
b^2 \cos C = b \cos C [a^2 + c^2 - 2ac \cos B]
\]
\[
a^2 = a [b^2 + c^2 - 2bc \cos A]
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 33

luego:
\[
c^3 \cos B + b^3 \cos C - a^3 = c \cos B [a^2 + b^2] \\
+ b \cos C [a^2 + c^2] - a (b^2 + c^2) - 4 a b c \cos B \cos C + 2 a b c \cos A
\]
\[
E = a^3 (b \cos C + c \cos B) + b^3 [c \cos B - a] + c^3 [b \cos C - a] \\
- 4 a b c \cos B \cos C + 2 a b c \cos A
\]
\[
= a^3 + b^3 (-b \cos C) + c^3 (c \cos B) \\
- 4 a b c \cos B \cos C + 2 a b c \cos A
\]
\[
2 E = 2 a b c \cos A - 4 a b c \cos B \cos C
\]
\[
E = a b c (\cos A - 2 \cos B \cos C)
\]
y por consiguiente
(6) \( b^2 \cos C + c^2 \cos B - a^2 = 4 R S [\cos A - 2 \cos B \cos C] \)

Además, la segunda parte de la igualdad
\[
4 R S (\cos A - \cos B \cos C) = \frac{S}{2 R} (r_a^2 + r_b^2 - r_c^2 - r^2)
\]
es exacta, como se puede verificar fácilmente reemplazando cos A, cos B, cos C por sus valores en función de los lados.

Solución por el Sr. REUS Y CASAS

1.º Sustituyendo los valores de los radios en el segundo miembro,
\[
(r + r_a)(r_b + r_c) = \left( \frac{S}{p} + \frac{S}{p-a} \right) \left( \frac{S}{p-b} + \frac{S}{p+c} \right)
\]
\[
= \frac{S (p-a) + S p}{p (p-a)} \times \frac{S (p-c) + S (p-b)}{(p-b)(p-c)}
\]
y suprimiendo el factor común
\[
S^2 = p (p-a) (p-b) (p-c),
\]
resulta
\[
(r + r_a)(r_b + r_c) = (2 p - a) (2 p - b - c) = (b + c) a.
\]

2.º Siguiendo la misma marcha,
\[
(r_a - r)(r_b - r_c) = \frac{S p - S (p-a)}{p (p-a)} \times \frac{S (p-c) - S (p-b)}{(p-b)(p-c)}
\]
\[
= a (b - c).
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 34

3.º Análogamente,

\[(r_a - r)(r_b + r_c) = a (2p - b - c) = a^2\]

4.º Sumando (1.º) y (3.º)

\[2ap = 2r_a (r_b + r_c),\]
de donde \[ap + r_a^2 = r_a (r_a + r_b + r_c).\] (1)

Pero \[r_a + r_b + r_c - r = \frac{S}{p-a} + \frac{S}{p-b} + \frac{S}{p-c} - \frac{S}{p}\]
\[= \frac{1}{S} \left[ p(p-b)(p-c) + p(p-c)(p-a) + p(p-a)(p-b) - (p-a)(p-b)(p-c) \right]\]
\[= \frac{1}{S} \left[ 2p^3 - p^2(a+b+c) + abc \right] = \frac{abc}{S} = 4R,\]
luego \[r_a + r_b + r_c = 4R + r,\]
y sustituyendo en (1) \[\frac{ap + r_a^2}{r_a} = 4R + r.\]

5.º Siendo
\[\frac{b^2 + c^2}{bc} \cos A = \frac{(b^2 + c^2)(b^2 + c^2 - a^2)}{2b^2c^2},\]
y sumando esta fórmula con las otras dos obtenidas por permutación circular de las letras, resulta
\[\frac{b^2 + c^2}{bc} \cos A + \frac{c^2 + a^2}{ca} \cos B + \frac{a^2 + b^2}{ab} \cos C = \frac{6a^4b^2c^2}{2a^3b^2c^2} = 3.\]

6.º Calculando el primer miembro en función de los lados, resulta
\[b^2 \cos C + c^2 \cos B - a^2 = \frac{b^2(a^2 + b^2 - c^2)}{2a} + \frac{c^2(c^2 + a^2 - b^2)}{2a} - a^2.\]
\[= \frac{1}{2a} \left[ (b^3 - c^3)^2 + a^2(b^3 + c^3) - 2a^4 \right].\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 35

Calculando así mismo el segundo miembro, se tiene

4 R S (cos A − cos B cos C)

\[
= a b c \left[ \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c} - \frac{(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)}{4 a^2 b c} \right]
\]

\[
= \frac{1}{4 a} \left[ (b^2 - c^2)^2 + 2 a^2(b^2 + c^2) - 3 a^4 \right]
\]

que no es igual al primer miembro, pero lo sería multiplicando por 2 el término cos B cos C, pues con esta corrección, resulta

4 R S (cos A − 2 cos B cos C) = \( \frac{1}{4 a} \left[ 2(b^2 - c^2)^2 + 2 a^2(b^2 + c^2) - 4 a^4 \right] \)

\[
= b^3 \cos C + c^3 \cos B - a^3.
\]

Calculemos ahora el último miembro de la expresión propuesta, siempre en función de los lados. Será

\[
\frac{S}{2 R} (r_b^3 + r_c^3 - r_a^3 - r^3)
\]

\[
= \frac{2 S^3}{a b c} \left[ \frac{S^2}{(p - b)^3} + \frac{S^2}{(p - c)^3} - \frac{S^2}{(p - a)^3} - \frac{S^3}{p^3} \right]
\]

\[
= \frac{2}{a b c} \left[ p^3 (p - c)^3 (p - a)^3 + p^3 (p - a)^3 (p - b)^3 \right.
\]
\[
- p^3 (p - b)^3 (p - c)^3 - (p - a)^3 (p - b)^3 (p - c)^3
\]

\[
= \frac{2}{a b c} \left[ p^3 (p - a)^3 ((p - b)^3 + (p - c)^3) \right.
\]
\[
- (p - b)^3 (p - c)^3 (p^3 + (p - a)^3)
\]

pero

\[
p^3 (p - a)^3 = \frac{((b + c)^3 - a^3)^3}{16}, \quad p^3 + (p - a)^3 = \frac{(b + c)^3 + a^3}{2},
\]

\[
(p - b)(p - c)^3 = \frac{((a^3 - (b - c)^3)^3}{16},
\]

\[
(p - b)^3 + (p - c)^3 = \frac{a^3 + (b - c)^3}{2},
\]
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 36

luego sustituyendo

\[
\frac{S}{2R} (r_{b^2} + r_{c^2} - r_{a^2} - r^2)
\]

\[
= \frac{1}{16abc} \left[ \left( (b+c)^4 - 2a^2(b+c)^2 + a^4 \right) \left( (b-c)^2 + a^2 \right) \right.
\]
\[
- \left( (b-c)^4 - 2a^2(b-c)^2 + a^4 \right) \left( (b+c)^2 + a^2 \right) \left]
\]

\[
= \frac{1}{16abc} \left[ (b^2 - c^2) \cdot 4bc + a^2(8b^2c + 8bc^3) + a^4(-12bc) \right]
\]

\[
= \frac{1}{4a} \left[ (b^2 - c^2)^2 + 2a^2(b^2 + c^2) - 3a^4 \right],
\]

igual al segundo miembro tal como está en el enunciado. La corrección debe, pues, introducirse en el primer miembro, y no en el segundo. Pero de las igualdades que hemos demostrado

\[
b^3 \cos C + c^3 \cos B - a^3 = 4RS (\cos A - 2 \cos B \cos C),
\]
\[
4RS (\cos A - \cos B \cos C) = \frac{S}{2R} (r_{b^2} + r_{c^2} - r_{a^2} - r^2),
\]

y siendo \(4RS = abc\), se deduce inmediatamente

\[
b^3 \cos C + c^3 \cos B - a^3 + abc \cos B \cos C
\]
\[
= 4RS (\cos A - \cos B \cos C)
\]
\[
= \frac{S}{2R} (r_{b^2} + r_{c^2} - r_{a^2} - r^2).
\]

que debió ser indudablemente el enunciado del Sr. Lemoine, de cuyo primer miembro por error de copia desaparecería el último término.

CUESTIÓN 257. (Véase pág. 200)

Se tiene siempre

\[
a^2(a^{2n} - b^n c^n) + b^2(b^{2n} - c^n a^n) + c^2(c^{2n} - a^n b^n) > 0
\]

cualesquiera que sean a, b, c.

(E. Lemoine).