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El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 32

2.º \( H_1H_2H_3H_4 = 2\ I_1I_2I_3I_4 \)
3.º \( O_1O_2O_3O_4 = 2\ F_1F_2F_3F_4 \)
4.º \( D_1D_2D_3D_4 = E_1E_2E_3E_4 = K_1K_2K_3K_4 + A_1A_2A_3A_4 \)
5.º \( O_1O_2O_3O_4 = 4\ I_1I_2I_3I_4 + A_1A_2A_3A_4 \)

(H. Van Aubel).

235. Sobre dos lados opuestos \( A_1A_6, A_3A_4 \) de un cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \) se han construido exteriormente los cuadrados \( A_1A_2B_1C_1 \), \( A_2A_3B_3C_3 \) e interiormente los cuadrados \( A_1A_2b_1c_1 \), \( A_3A_4b_3c_3 \); sean \( I_1, I_3, i_1, i_3 \) los centros de estos cuadrados, siendo \( S \) el área del cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \), se tendrá:

1.º \( \overline{I_1I_3}^2 - \overline{i_1i_3}^2 = 4S \),
2.º \( \overline{B_1B_3}^2 - \overline{b_1b_3}^2 = 8S \)

(H. Van Aubel).

236. Si por el ortocentro \( H \) de un triángulo \( ABC \) se traza una transversal cualquiera que encuentra á los lados \( BC, CA, AB \) en \( A', B', C' \), se tiene en magnitud y signo:

\( \frac{HA'}{C'A'} \cdot \frac{C'B}{AB} = \cot B \cot C \),
\( \frac{HB'}{A'B'} \cdot \frac{A'C}{BC} = \cot C \cot A \),
\( \frac{HC'}{B'C'} \cdot \frac{B'A}{CA} = \cot A \cot B \).

(H. Van Aubel).

237. Sobre una recta indefinida \( xy \) rueda una circunferencia \( O \) de radio constante. A cada una de las posiciones de la circunferencia se le trazan tangentes \( AM, BM \), respectivamente desde dos puntos fijos \( A \) y \( B \) tomados sobre la base \( xy \). Estudiar el lugar descrito por el punto \( M \).

(J. Gillet).

238. Dado un triángulo \( ABC \), se construyen los triángulos \( BA'C, CB'A, AC'B, C'A'B', A'B''C', B'C'A' \) todos directamente semejantes á un mismo triángulo \( MNP \). Demostrar:
1.º Que los triángulos \( A''B''C'' \) y \( ABC \) no pueden tener sus lados paralelos más que cuando \( MN = NP \).
2.º Que los tres puntos \( A'', B'', C'' \) no pueden confundirse más que cuando el punto \( N \) es el centro del triángulo equilátero construido sobre \( MP \).

(H. Van Aubel).
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 33

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

(CONCLUSIÓN) (Véase t. IV, pág. 823-824).

78. La consideración de los órdenes de las cantidades extensivas y de sus factores comunes debe tenerse muy en cuenta en este cálculo. Así

Dos productos exteriores de orden n que tienen común un factor de orden n—1 se suman, sumándose los factores desiguales y agregando el factor común; y dos magnitudes extensivas de orden n que pertenecen al mismo orden (n+1) se sumarán cuando se reduzcan á tener un factor común de orden n—1, y la suma de los factores desiguales se unirá á este factor común.

79. En el estudio de las cantidades elementales se considera la desviación, tanto de un elemento α respecto de otro ρ, que es el segmento [ρx], como la desviación total, y el peso ó suma de los coeficientes, de manera que el sistema elemental consta de los elementos α, β,... y de las masas a, b...; así, pues, la desviación de un elemento ρ puede expresarse por

\[
a[x_\rho] + b(\rho \beta) + ...
\]

En virtud de esto, las figuras pueden considerarse como magnitudes, y la igualdad de dos sistemas elementales ó magnitudes elementales dependerá de la igualdad de sus desviaciones respecto á los mismos elementos.

Las magnitudes elementales pueden considerarse como elementos múltiplos. Así, sea:

\[
a \alpha + b \beta + ... = x_\sigma
\]

designando σ un elemento y x su peso.

Se obtiene para la desviación total de un elemento ρ

\[
[\rho \sigma] = \frac{a[x_\rho] + b[\rho \beta] + ...}{a + b + ...}
\]

Cuando el peso es nulo, la magnitud elemental es un segmento

\[
[x \beta] = \beta - x
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 34

Si se trata de hallar la suma (x+p) de un elemento x y un segmento p, siendo su peso la unidad, se podrá igualar con otro elemento β, de modo que x+p=β y β-x=p, y entonces la desviación de β respecto de α es p.

Si el elemento es múltiplo, por ejemplo, mx, se tendrá

\[
mx + p = m\beta \quad m(\beta - \alpha) = p \quad \beta - x = \frac{p}{m}
\]

es decir, que cuando β se desvía de x en \( \frac{p}{m} \), mβ se desvía de x en p, y la suma de una magnitud elemental con cierto peso y de un segmento es una magnitud elemental de igual peso que la primera y que se desvía del elemento de la primera en el segmento sumado.

80. Continuando la enumeración de las entidades que constituyen el sistema geométrico de Grassmann, haremos breves indicaciones acerca de los productos de un punto por otro, de tres y de cuatro puntos.

El producto (x.p) de un punto (x) por un segmento (p), es la recta trazada por x en la dirección de p é igual á este segmento, y análogamente se define el producto de un punto por un área plana siendo respectivamente cantidades lineales y planas (Liniengrösse, Plangrösse).

El producto de tres puntos x.β.γ: es una cantidad plana cuyo plano pasa por éstos, y en virtud de

\[
\alpha . \beta . \gamma = \alpha (\beta - x) . (\gamma - x) = x[x\beta] . [x\gamma]
\]

es el área de un paralelogramo cuyos lados son las desviaciones de los dos últimos puntos respecto al primero.

Análogamente, para cuatro puntos x, β, γ, δ, de

\[
\alpha . \beta . \gamma . \delta = x (\beta - x) . (\gamma - x) . (\delta - x) = x[x\beta] . [x\gamma] . [x\delta]
\]

resulta ser el producto igual al volumen de un paralelepípedo.

Además, según la definición de los elementos interiores ó situados entre otros elementos, cuyo conjunto representa la extensión, la extensión del producto x.β.γ es igual al área del triángulo cuyos vértices son x, β, γ, y la extensión del producto x.β.γ.δ es el volumen del tetraedro cuyos vértices son x, β, γ, δ.

81. Por ser de gran importancia el problema de la representación del plano que pasa por tres puntos y de la recta que pasa por dos, presentaremos las ecuaciones

\[
\alpha . \beta . \gamma . \sigma = 0, \quad x . \beta . \sigma = 0
\]

en las que σ representa un punto variable.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 35

También, representándose cada punto por la suma del elemento director \( \rho \) y un segmento, de modo que
\[
\alpha = \rho + p_1,\quad \beta = \rho + p_2,\quad \gamma = \rho + p_3,\quad \sigma = \rho + p,
\]
y sustituyendo en la ecuación del plano, se obtiene:
\[
(\rho + p_1) \cdot (\rho + p_2) \cdot (\rho + p_3) \cdot (\rho + p) = 0
\]
ó, suprimiendo en el producto los términos nulos,
\[
\rho \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p + p_1 \cdot \rho \cdot p_3 \cdot p + p_1 \cdot p_2 \cdot \rho \cdot p + p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \rho = 0
\]
ó
\[
(p_2 \cdot p_3 + p_3 \cdot p_1 + p_1 \cdot p_2) \cdot \rho = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3
\]

82. Además del producto exterior caracterizado por no alterar su valor cuando se suprimen partes de factores dependientes de otro, de manera que el producto de dos magnitudes dependientes es nulo, mientras que para tener un valor es necesario que los factores sean independientes, hay que considerar otro género de producto de cantidades dependientes cuyo examen exige estudiar los diversos grados de dependencia.

Así cuando dos sistemas de órdenes superiores son dependientes entre sí, y existen cantidades que á los dos pertenecen simultáneamente, y los dos sistemas se hallan en \( m^{\text{elmo}} \) grado de dependencia, cuando contienen un sistema común de orden \( m \), ó cuando pueden reducirse á un factor común de orden \( m \).

Á cada grado de dependencia corresponde un modo de multiplicación, y todos estos modos se hallan comprendidos bajo el nombre de multiplicación regresiva (eingewandten), entendiéndose por producto regresivo de orden \( m \) aquél en el cual, sin alteración del valor, solo puede en cada factor suprimirse una parte que se halle con el otro en más alto grado de dependencia que el \( m^{\text{elmo}} \), y será real el producto regresivo de \( m \) orden, cuando los factores de pendan entre sí al menos en el grado \( m^{\text{elmo}} \), y formal cuando dependan en grado inferior. Esto conduce á examinar la relación entre los sistemas común ó inmediatamente comprensivo (nächstumfassenden) y á obtener el sistema inferior que comprende el sistema común de dos magnitudes. Así: Cuando dos cantidades A y B contienen á C como superior factor común, y por ejemplo B es igual al producto exterior CD, el producto del otro por la cantidad D, esto es, AD, representa el inmediato sistema comprensivo.

Número de referencia (Beziehungzahl) del producto regresivo de dos factores, es el número que completa la suma de los órdenes de los factores, teniendo valor real un producto regresivo solamente
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 36

cuando el grado del sistema próximo comprensivo es igual al número de referencia.

Y teniendo presente que el producto exterior de dos magnitudes es nulo cuando éstas son dependientes, puede concluirse que: Un producto de dos valores reales es nulo cuando los factores son dependientes entre sí y al mismo tiempo en sistema próximo comprensivo es inferior al sistema de referencia. En fin, según que en un producto de dos valores reales la suma de los órdenes de los factores es menor ó mayor que el número de referencia, el producto es exterior ó regresivo, pudiendo considerarse en el caso de igualdad ó como exterior, ó bien como regresivo de orden nulo. Así, considerando el plano, y además un sistema elemental de tercer orden, como sistema superior, el producto de dos magnitudes elementales, respecto á este sistema, será únicamente nulo cuando sean dependientes entre sí y al mismo tiempo pertenezcan á un sistema de segundo orden, esto es, cuando tengan puntos ó direcciones comunes, y al mismo tiempo se hallen en una línea recta.

83. Es importante presentar el producto regresivo bajo la forma de subordinación, de modo que un factor represente el sistema de referencia y el otro se halle subordinado á él. Sea además A . B un producto en el que B está subordinado á A, é introduzcamos otro factor en el grado c de subordinación respecto á B, en el \( c + d \) respecto de A, siendo \( c + d + e \) su orden correspondiente, el cual puede expresarse en la forma CDE, hallándose C subordinado á B y también á A, y CD á A; el producto A . B . CDE se podrá transformar en AE . BD . C, que tiene la forma de subordinación, pues C está subordinado á B y también á BD, BD á A y también á AE.

En el caso de tres factores, introduciéndose un factor DEF en el que D está subordinado á C, E á B, F á A, se obtiene:

\[
A . B . C . DEF(i = A . B . (C . DEF) = A . B . (CEFG . D) =
= A . (BFG . CE) . D = A . BFG . CE . D = AG . BF . CE . D
\]

84. Nos bastará citar, por último, la distinción entre los factores unidos por un mismo modo de multiplicación, sea exterior ó regresiva, á que corresponden los productos puros, y entre los factores unidos simultáneamente por una y otra que originan los productos mixtos; y omitiremos el exponer los desarrollos que conducen á establecer las relaciones tales como las siguientes:

\[
P . Q . R = P . (Q . R)
\]
\[
P . (Q + R) = P . Q + P . R \quad (Q + R) . P = Q . P + R . P
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 37

indicando solamente algunas aplicaciones geométricas, á saber, que:

85. El producto de dos magnitudes lineales en un plano, es su punto de intersección unido á una parte del plano como factor. Así, siendo \( ab, ac \) las dos magnitudes lineales que determinan los tres puntos \( a, b, c \), el producto es \( abc.a \).

El producto de tres magnitudes lineales en el plano es igual á dos veces como factor el doble del área del triángulo comprendida por las líneas, multiplicada por el producto de los tres números \( m, n, p \) que expresan cómo cada lado está contenido en la magnitud lineal correspondiente, es decir, \( mnp . abc . abc \).

El producto de dos magnitudes planas en el espacio es una parte de la intersección por una parte del espacio, por ejemplo.

\[
abc . abd = abcd . ab
\]

El producto de tres magnitudes planas es el punto de intersección de los mismos multiplicado por dos partes del espacio, por ejemplo:

\[
abc . abd . aed = abcd . abcd . a
\]

El de cuatro magnitudes planas se representa por

\[
mabc . nabd . pacd . qbcd = mnpq . abcd . abcd . abcd
\]

que es nulo cuando una de las magnitudes \( m ... q \) lo es, ó cuando lo es el cuerpo contenido, es decir, cuando los cuatro planos pasan por un punto.

El producto de una magnitud lineal por una plana es una parte del espacio multiplicada por el punto de intersección. Así

\[
ab . acd = abcd . a.
\]

86. Terminaremos estas indicaciones acerca del método de Grassmann, citando además de la obra System del Raumlehre del profesor Sr. Siegel, cuyo primer tomo comprende: Los dominios de puntos, rectas y planos (1873), conteniendo el segundo: Los elementos de la Geometría moderna y el Algebra (1875), la obra del profesor de la Universidad de Turín, Sr. Peano, titulada: Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann (1888).

Esta última obra tiene por objeto exponer los fundamentos de la Geometría y del Algebra, un cálculo geométrico basado sobre algunas notaciones contenidas en el Ausdehnungslehre, empleando las formas que el Sr. Peano llama de 1.ª, 2.ª, 3.ª y 4.ª especie, que hace preceder de las operaciones de la lógica deductiva.

Sin entrar en detalles acerca de esta interesante obra, diremos que comienza por la reducción de las formas de 1.ª especie.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 38

Para ello principia considerando tres puntos A, B, C en línea recta, que verifican la relación

\[(ABC=0)=(AB+BC+CA=0)\]

pues tomando al arbitrio dos puntos P y Q, los volúmenes ABPQ, BCPQ y ACPQ tienen todos el mismo sentido, y el tercero es igual á la suma de los dos primeros, de modo que

\[ABPQ + BCPQ = ACPQ,\]

lo que significa que \(AB+BC=AC\).

Continúa estableciendo que

\[(ABCD = 0) = (ABC - ABD + ACD - BCD = 0)\]

Para ello observa que si ABCD se hallan en un plano, las rectas AB y CD ó se encuentran ó son paralelas. En el primer caso, si X es el punto de intersección, según lo precedente, se tiene:

\[AB = XB - XA,\ CD = XD - XC\]

y multiplicando sucesivamente la primera por C y D, la segunda por A y B

\[ABC = XBC - XAC,\ ABD = XBD - XAD,\]
\[CDA = XDA - XCA,\ CDB = XDB - XCB\]

Sumando, en fin, la 1.a con la 2.a cambiada de signo, la 3.a con la 4.a cambiada de signo, se obtiene la fórmula por demostrar.

Demuestra en seguida el Sr. Peano que toda forma de 1.a especie \(m_1A_1+m_2A_2+\ldots\) cuya masa \(m_1+m_2+\ldots\) no es nula se reduce á un punto G con coeficiente \(m_1+m_2+\ldots\) (centro de gravedad) y que toda forma de primera especie cuya masa es nula se reduce á la forma P-Q (vector).

Respecto á las formas de 2.a especie que son el conjunto de lineas a, b, c,... á que se unen números m, n, p,... y se representan por \(ma+nb+pc+\ldots\), obtiene su reducción á la suma \(a'+b'+c'+\ldots\) de varias lineas con coeficientes iguales á la unidad, y emplea en las transformaciones geométricas la noción de bivector ó producto de dos vectores.

La forma de 3.a especie es el conjunto de superficies x, β, γ... á que están unidos números m, n, k,... que se escribe: \(mx+nβ+pγ+\ldots\)

Emplea la noción de trivector ó producto de tres vectores.

Sea el trivector IJK. Haciendo B-A=I, C-A=J, D-A=K, se obtiene

\[
\begin{align*}
IJK &= (B-A)(C-A)(D-A) = BCD - ACD + ABD - ABC = \\
&\quad BCD + DCA + ACB + ABD,
\end{align*}
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 39

quedando reducida á la suma de las caras de un tetraedro, de modo que cada lado resulta recorrido dos veces en sentido opuesto, y la identidad.

\[
P(BCD - ACD + ABD - ABC) = ABCD
\]

indica que el producto de un punto por un trivector es un volumen independiente de la posición del punto.

Despues de exponer los principios fundamentales de las formas geométricas, trata sucesivamente las formas en una recta, en el plano y en el espacio, estudiando en estos dos casos las intersecciones ó productos regresivos.

Concluye la obra con las derivadas y transformaciones lineales.

Observa el Sr. Peano que los conceptos de línea, bivector, formas de 2.ª especie corresponden exactamente á las expresiones fuerza, par, sistema de fuerzas aplicada á un cuerpo rígido de la Mecánica; que las formas de 1.ª especie, las de 2.ª productos de dos de 1.ª y las de 3.ª corresponden, salvo un factor numérico, á lo que en geometría proyectiva se llama punto, recta y plano, el vector, bivector y trivector, al punto, recta y plano en el infinito.

Y aunque las formas y operaciones tratadas se hallan en el Ausdehnungslehre, la exposición está hecha desde un punto de vista original.

87. Indicaremos tambien la Memoria publicada por M. E. Carvallo en Nouvelles Annales de Mathématiques (1882) que, como dice su autor puede servir de introducción á la obra arriba citada del señor Peano, Memoria que tiene por base la consideración del tetraedro.

Así, cuando se trata de una forma de primer orden que corresponde á puntos A, A',... con masas respectivas \( m, m',...\) considera un triángulo arbitrario PQR, y la cuestión se reduce á considerar el volumen

\[
mAPQR + m'A'PQR + ...
\]

de la que resulta, suprimiendo el triángulo, el símbolo

\[
mA + mA' + ...
\]

y

\[
mAPQR + m'A'PQR + ... = m_1A_1PQR + m_2A_2PQR + ...
\]

será la condición para que la forma \( mA + mA' + ...\) sea equivalente á la forma \( m_1A_1 + m_2A_2 + ...\)

Análogamente, si se trata de la forma de 2.º orden

\[
mAB + m'A'B' + ...
\]

la condición de igualdad con otra forma de 2.º orden será
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 4

11. La potencia de dos circunferencias(1) no es más que la parcial del triángulo formado por la línea de centros y los radios que van á uno de los puntos de intersección, y con respecto á dicho punto.

En ciertas fórmulas de la Geometría moderna del triángulo puedo ser cómodo para retenerlas, hacer entrar las expresiones potenciales, así tenemos, por ejemplo, las coordenadas normales absolutas del

Ortocentro \( \hat{z}_n = \frac{p_b p_c}{2S} \quad \hat{z}_b = \ldots \; \hat{z}_c = \ldots \)

Centro del círculo circunscripto \( \hat{z}_m = \frac{ap_n}{4S} \quad \hat{z}_h = \ldots \; \hat{z}_c = \ldots \)

Recíproco del ortocentro \( \hat{z}_n' = \frac{2S p_n}{al'} \quad \hat{z}_h' = \ldots \; \hat{z}_c' = \ldots \)

Las coordenadas baricéntricas de los vértices del 2.º triángulo de Brocard, son

\[
A_2 \ldots \; x : \beta : \gamma = 2p_a : b^2 : c^2 \\
B_2 \ldots \; x : \beta : \gamma = a^2 : 2p_b : c^2 \\
C_2 \ldots \; x : \beta : \gamma = a^2 : b^2 : 2p_c
\]

La ecuación del eje de homología del triángulo dado y el 2.º de Brocard es

\[
\frac{x}{a^2 - 2p_a} + \frac{\beta}{b^2 - 2p_b} + \frac{\gamma}{c^2 - 2p_c} = 0
\]

etcétera, etc.

Podría ahora proponerse como ejercicio: 1.º La demostración geométrica de los corolarios que hemos deducido. 2.º Diversos problemas de construcción de triángulos en que figurasen entre los datos, además de ciertos elementos de los mismos, las potencias totales ó las parciales de sus vértices

SUR LA GÉNÉRALISATION DES CONGRUENCES NUMÉRIQUES
POR EL DR. GÉRÔME CORDOUE

(Conclusion)

3º Si n = 1, p_1 = 2, μ_1 = 2, c'est à dire M = 4.
Et A ... + 1 dans tous les autres cas ;

(1) Sobre la definición de potencia de dos circunferencias, véase R. Lachlan An elementary treatise on modern pure geometry, pág. 189.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 40

mABPQ + m'A'B'PQ + ... = m, A_1 B_1 PQ + m, A_2 B_2 PQ + ...
siendo P y Q puntos arbitrarios.

Y para dos formas

mABC + ... y mA_1 B_1 C_1 + ...

de 3.º orden la condición

mABCP + m'A'B'C'P + ... = m, A_1 B_1 C_1 P + m_2 A_2 B_2 C_2 P + ...

Desarrollando la idea fundamental, obtiene por ejemplo, para la igualdad de dos formas A' - A y B' - B

A'PQR - APQR = B'PQR - BPQR

que expresa que la diferencia de las alturas de las dos primeras pirámides es igual á la de las otras dos, lo que conduce á la definición del vector como el producto de su dirección por su longitud.

Asimismo para la igualdad de dos productos de dos vectores, considerando como origen un punto arbitrario P, obtiene sucesivamente.

(-P + A)(-P + B) = (-P + A')(-P + B')
QP(-P + A)(-P + B) = QP(-P + A')(-P + B')

y

QPAB = QPA'B'

siendo P y Q dos puntos arbitrarios, siendo para Q = A'

A'PAB = A'PA'B' = 0,

de manera que A' está en el plano de PAB, y lo mismo resulta para el punto B'. Estando, pues, la base de los tetraedros en un plano, la condición (1) en la que el punto Q es arbitrario, exige que los dos triángulos PAB y PA'B' sean iguales y estén igualmente orientados. El producto de dos vectores ó par puede considerarse pues, como el producto del área del triángulo PAB por un par unidad ó dirección de plano.

Análogamente la igualdad del producto de tres vectores conduce á la igualdad de dos tetraedros

PABC = PA'B'C',

de manera que la noción del producto de tres vectores equivale á la de un volumen.

Termina esta memoria exponiendo según los mismos principios las nociones acerca de las coordenadas, determinantes, homografía y dualidad.

88 Citaremos para terminar las interesantes memorias publicadas por el hijo de Grassmann, profesor en Halle por los años 1886,
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 41

1888 y 1893, Mr. H. Grassmann, Anwendung der Ausdehnungslehre auf die allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Flächen, en las que hace ver la fecundidad de este método geométrico y que recientemente ha publicado el primer cuaderno Punktrechnung de una nueva obra: Punktrechnung projective Geometrie.

§ 5.º — Los cuaternios

89. El método de Hamilton, como hemos manifestado en varias ocasiones ocupa un lugar preferente entre los métodos geométricos basados en la representación y empleo de los símbolos imaginarios.

A una particularidad, entre otras de sus excelencias, debe su superioridad sobre otros métodos, á saber, á que el símbolo \( \omega \) que en la expresión \( N(\cos \theta + i \omega \sin \theta) \) de un cuaternion corresponde á la relación \( \omega^2 = -1 \) no es el equivalente del elemento algebraico \( \sqrt{-1} \), sino que representa la unidad de longitud según una dirección dada cualquiera en el espacio; así, pues, mientras en otros sistemas se toma una dirección particular en el espacio para representar las cantidades reales, representando todas las demás direcciones expresiones imaginarias, Hamilton consideró todas las direcciones, sin excepción, como correspondientes á lo imaginario, permitiéndole esta consideración tratar el espacio según reglas que son siempre las mismas para cualquiera orientación en el mismo, siendo el método de los cuaternios independiente del empleo de ejes de coordenadas, que adopta como líneas de referencia aquellas cuya definición entra en los problemas que se han de resolver, generalidad por la cual el método cartesiano resulta como una particularización del de los cuaternios.

Uno de los elementos de este sistema geométrico es el vector que representa una mutación, ó más determinadamente una traslación en el espacio. Un vector \( \overline{AB} \) que se representa por una letra griega \( \alpha \), por ejemplo, depende de tres elementos numéricos (*), y así una igualdad de vectores \( \alpha = \beta \) contiene implícitamente tres igualdades entre números.

Análogamente á como se componen las velocidades simultáneas en dirección y magnitud se componen y combinan los vectores entre sí, de manera que si

\[
\overline{AB} = \alpha, \quad \overline{BC} = \beta, \quad \overline{AC} = \gamma,
\]
se tiene \( \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC} \) ó \( \alpha + \beta = \gamma \)

Cuando el punto C coincide con A, se tiene \( \overline{AC} = 0 \),

(*) Para fijar un punto B con respecto á un punto A en el espacio, se necesita conocer las diferencias respectivas de las tres coordenadas de cada uno.