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El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 62

arte. Sin ella el geómetra sería como un escritor aferrado á la gramática, pero sin ideas.»

Entre los jóvenes que reciben una educación matemática completa, los que han de ser ingenieros necesitan ver bien y deprisa, ellos necesitan la intuición. Otros, menos numerosos deben llegar á su vez á ser maestros; precisa que vayan hasta el fondo; necesitan un conocimiento profundo y riguroso de los primeros principios; pero esto no motiva el que no se cultive entre ellos la intuición».

Bastan estas indicaciones para expresar el pensamiento de M. Poincaré en este punto, y aun pudieranmos estudiar otras de sus investigaciones filosóficas tales como las expuestas en su trabajo El espacio y la Geometría etc., pero, como se sabe, el vasto campo de investigaciones de M. Poincaré es la teoría de las funciones, donde ha dejado huellas indelebles de su profundo talento especialmente en la teoría de las funciones por él llamadas fuchianas, kleineianas, theta-fuchianas y zetafuchianas, que condensó en la teoría de los grupos fuchsianos, sus trabajos sobre el Analysis situs, y otros. Citaremos sus métodos de integración esparcidos, en su obra: Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste y en sus varios tratados de física matemática, tales como: la Théorie mathématique de la lumière, Théorie de la propagation de la chaleur, electricité et optique, cinématique et mécanismes, les tourbillons etc.

Los congresistas fueron recibidos por el Sr. Presidente de la República en el palacio de los Campos Elíseos, el 9 de Agosto, y el 11 por el príncipe Roland Bonaparte, de cuya vasta ilustración y amor á la ciencia ofrecen vivo testimonio su riquísima biblioteca y su notable gabinete de Física, que pudimos admirar en su elegante palacio de la Avenue d'Iena.
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Terminada esta breve reseña, no podemos menos de dedicar unas frases á nuestro ilustre amigo y colaborador de El Progreso Matemático, M. Lemoine, motivado por el hecho de haberse publicado en la universalmente conocida revista l'Intérmediaire des mathématiciens, que publica con el Sr. Laisant las primeras indicaciones y noticias que acaso sirvieran de base, al tomar cuerpo, para fijar París como punto de celebración del segundo congreso internacional de matemáticos.

Ya son conocidos por los lectores de El Progreso Matemático algunos de los trabajos del Sr. Lemoine que sirvieron para crear y desenvolver la Geometría de el triángulo; y algunas noticias se han publicado acerca de la nueva rama geométrica que creó y sigue completando en sus nuevas publicaciones, con el nombre de Geometrografía.

Las principales memorias que ha presentado con este motivo son: Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangle, Congrès de Marseille, 1891; Etude sur une nouvelle transformation dite transformation continue en Mathesis, 1891; Une règle d'analogies dans le triangle et la specification de certaines analogies á une transformation dite transformation continue en Nouvelles annales, 1893 y Applications au tétraèdre de la transformation continue.

En la última edición de la geometría de los Sres Rouché y Comberouse se publica una nota dando á conocer esta interesante y original teoría.

Z. G. DE GALDEANO.

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 340

En la hipérbole equilátera, el producto de las distancias de un punto arbitrario P á los focos es igual al cuadrado de la distancia de P al centro.

(Pirondini).

Solución por el Sr. Retali (V.)

Dados dos puntos fijos F, F', sea O, el centro del segmento y busquemos el lugar de los puntos P, para los que

P F . P F' = P O².
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Tomando O por origen de coordenadas rectangulares, la ecuación del lugar es

\[
[(x + a)^4 + y^4] \ [ (x - a)^4 + y^4 ] = [x^4 + y^4]^2,
\]

que puede escribirse sucesivamente

\[
(x^4 + y^4 + a^4)^2 = 4 a^4 x^4 = (x^4 + y^4)^2
\]
\[
2 (x^4 + y^4) + a^4 = 4 x^4, \quad x^4 - y^4 = \frac{a^4}{2}
\]

una hipérbola equilátera cuyos focos son F y F'.

CUESTIÓN 100.

(Véase t. IV, pág. 150: 1894).

Estudiar y construir la curva representada por la ecuación

\[
y = \cos \sqrt{x}.
\]

(C. A. Laisant).

Solución por el Sr. Brocard.

Para \( x < 0 \), \( \sqrt{x} \) es imaginaria; la curva no existe pues al lado de las \( x \) negativas.

Para \( x = 0 \), \( y = 1 = O A \). El punto A de OY es pues un punto de parada. Para \( x > 0 \), \( y \) es real.

La curva parte del punto A (\( x = 0, y = 1 \)) donde es tangente á la recta \( y = 1 \), después forma sinuosidades cada vez más aplanadas, comprendidas entre las rectas \( y = 1, y = -1 \), cortando á OX en los puntos

\[
x = (2 k + 1)^2 \frac{\pi^2}{4}
\]

Los vértices, situados alternativamente en las rectas \( y = 1, y = -1 \), están á las distancias \( x = k^2 \pi^2 \), designando \( k \) números enteros.

CUESTION PROPUESTA

344. Construir un triángulo \( A_1 A_2 A_3 \) conociendo su primer triángulo \( B_1 B_2 B_3 \) de Brocard, cuyos vértices son los puntos de intersección del círculo de Brocard y de las mediatrices de \( A_1 A_4, A_4 \).

(L. Ripert).
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lla de igual longitud describe una inversa de cónica (*) (Cayley).
Si CB = AB \( \sqrt{2} \), estando AD fija, el medio de BC describe una lemniscata (Carbonel).

Hacemos observar que si CB = 2 . AB y se toma sobre BC, BK = \( \frac{1}{4} \) BC, el ángulo I'CB es siempre el doble del ángulo I'KC.

Sylvester y M. Kempe descubrieron simultáneamente una generalización del contraparalelógramo, para cuyo estudio remitimos al lector á los excelentes opúsculos de MM. Kempe y Neuberg sobre los sistemas articulados.

15. No menos interesante es el romboide, cuadrilátero articulado, cuyos dos lados consecutivos son iguales y los otros dos también iguales. En todas sus deformaciones las diagonales permanecen rectangulares, esta propiedad pertenece por otra parte á un cuadrilátero ortodiagonal cualquiera. Quedando fijo uno de los lados, la intersección de los dos lados adyacentes describe una cassinoide (Maunheim) además, todo punto del plano, ligado al lado opuesto, describe una inversa de cónica (**) (Roberts) sea el romboide ABCD (fig. 8), prolonguemos los lados AB, CB en longitudes iguales AE, CF, se tendrá:

\[
ED^2 - DF^2 = \text{const.}^c \quad (\text{Johnson}).
\]

El romboide particular, en el que la longitud de los lados mayores es doble que la de los menores, goza de esta propiedad: que

(*) Por ejemplo, sea AB fija: la bisectriz IJ del ángulo AIC es tangente á la ellipse, lugar de la intersección I; y como esta bisectriz es perpendicular á NP, el lugar de J es la poder de la ellipse con relación al punto fijo N. Por consiguiente, el lugar de P es la homotética de una poder de cónica.

(**) En particular, supongamos AD fija y CF = CB; por ser rectángulo el triángulo BDF, se verá fácilmente que el punto F describe la curva

\[
z^2 = 4 b^2 - a^2 \sin^4 \omega,
\]

inversa de la curva

\[
4 b^2 x^4 - 4 (a^2 - b^2) y^4 = 1,
\]

ellipse ó hipérbola según que se tenga

\[
a < b \quad ó \quad a > b.
\]
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 8

permaneciendo fijo uno de los lados menores DC, el vértice B dará una vuelta completa mientras que el vértice A dará dos (Galloway).

Añadiremos que en todas sus posiciones, si \( CG = \frac{1}{3} BC \), y se une G al punto de intersección I de AB y de DC: se tiene,

\[
\angle MBG = 2 \angle BMG.
\]

Si \( AB = BC \sqrt{2} \), el punto F describe una lemniscata.

16. El cuadrilátero articulado es deformable, pero salvo en casos particulares, no se obtendría un sistema deformable uniendo, por una varilla articulada, dos lados de este cuadrilátero; mientras que dos varillas articuladas entre sí y con dos de las cuatro varillas dadas, no impediría su deformabilidad. Se puede así dar fácilmente cuenta de este teorema de Sylvester: Para que un sistema articulado sea susceptible de una deformación de

(*) Se extendería considerablemente el dominio de los aparatos articulados, dirigiendo ciertas partes por carriles ó resbaladeras.

Por ejemplo, supongamos que los dos puntos W, I (fig. 9) á distancias iguales del vértice A, se mueven á lo largo de la regla Δ; si Y é designan las distancias de C y de A á Δ, se tendrá siempre la relación

\[
(y + Y)(a + c - y - (a - c)Y) = (a^2 - b^2)(a - c)
\]

de modo, que si el punto C se mueve á lo largo de una segunda regla E, lo que conduce á hacer \( Y = xz \), el lugar de A será una hipérbola.

Si \( c = 0 \), la relación precedente se reduce á

\[
Y^4 - y^4 = a^4 b^4,
\]

de donde la hipérbola

\[
y^4 - a^4 y^4 = a^4 - b^4
\]

(Delaunay B. D. 1894).

Si \( a = b \), se reduce á \( \frac{Y}{y} = \frac{a - c}{a + c} \): las ordenadas Y é y están en una razón constante.

De este modo, si se añade una quinta brida articulada en A y en un punto fijo O de Δ, el lugar de A será una elipse cuyo centro es O (id. id.).

De aquí, la trisección de un arco de círculo cualquiera, por este teorema: En el punto de intersección L de BD y de E, levantemos una perpendicular, sobre la que tomaremos

\[
KL = \sqrt{a^2 - b^2}, \quad LM = 2 . KL;
\]

el punto A se halla al tercio del arco circular que pasa por los puntos K, A, M siempre que el ángulo ELD sea de 30°.
El Progreso matemático (1900-09-01 00:00:00), página 9

conjunto, basta que entre el número t de las varillas y el n de las articulaciones se tenga la relación \(3t - 2a = 4\), contándose cada articulación por el número de varillas menos uno que concurren en ella. Esta relación hace ver, por otra parte, que el número de las varillas debe ser par.

17. Los aparatos más sencillos después de los cuadriláteros, son pues los sixvarillas (six tiges).

Vamos á examinar algunos de los más importantes.

1." El inversor ó reciprocador de Peaucellier se compone de un rombo articulado AC (fig. 10), cuyos dos vértices opuestos están reunidos por dos varillas articuladas iguales EA y EC. En todas las deformaciones del aparato, los tres puntos E, D, B están en línea rectas, y además se tiene:

\[
ED \cdot EB = \text{const.}
\]

La figura supone las varillas EA y EC mayores que los lados del rombo; el inversor se llama entonces positivo, si son más cortas, inversamente es negativo.

Este aparato es el punto de partida de todos los estudios hechos sobre este asunto.

M. Hart después ha mostrado (n.º 14) que el contraparalelogramo era igualmente un inversor, aunque no constando más que de cuatro varillas; pero, apesar de esta inferioridad del número de varillas, es menos práctico que el de M. Peaucellier, porque en este último es más fácil el mantener todas las varillas en un plano.

2." Según esto, si se une el medio F de AC á los medios G y H de AB y de AC, se tendrá siempre:

\[
EF^2 - FB^2 = \text{const.};
\]

se pueden suprimir las varillas inútiles DA, DC y se tiene el aparato de la fig. 11, que se llama el extractor binomio cuadrático de Sylvester.

Acabamos de ver otro más sencillo (15), el de M. Johnson, descubierto, por otra parte, después que el de Sylvester.

3." El doble romboide de M. Kempe se compone de dos romboídes semejantes, que tienen dos lados comunes (fig. 12). En todas
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

A nuestros lectores

Al terminar la publicación de EL PROGRESO MATEMÁTICO, cumplimos un deber dedicando unas palabras de gratitud á los colaboradores, que han contribuido á dar brillantez á la última campaña científica y á los suscriptores, que han mostrado su deseo de sostener una publicación de esta índole entre nosotros, al mismo tiempo que explicamos su reaparición y el cesamiento:

La reaparición de EL PROGRESO MATEMÁTICO fué un hecho impuesto por las circunstancias. Se preparaba un suceso inusitado entre nosotros, á saber, la reorganización de la enseñanza, el salir del estancamiento en que nos hallábamos en esta materia, puede decirse, desde la ley de Moyano, ó sea desde 1857.

Era de temer que la Matemática quedase, como ha quedado entre nosotros, en el olvido ó en lugar secundario al lado de otros estudios á que hemos sido demasiado ó casi exclusivamente afec- tos. Se imponía la existencia de un órgano de esta dirección científica, por medio del que los dedicados á seguirla e impulsarla, pudieran hacerlo, influyendo en dar la importancia que merece esta rama del saber, tanto por sí como por sus aplicaciones. Tal era el objeto de EL PROGRESO MATEMÁTICO, y este objeto se ha realizado con superior brillantez á la que todos nos pudiéramos imaginar al aparecer el primer número, pues tal propósito obtuvo bien pronto la simpatía de los notables colaboradores nacionales y extranjeros que han dado variedad, interés e importancia á esta Revista, tanto por las memorias y artículos doctrinales, como por la rica colección de problemas y soluciones á éstos, que se han publicado.

A los antiguos colaboradores que con tanto interés han dado
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 10

gi di deviazione e con \( \mu \) e \( \Phi \) rispettivamente gli angoli fatti da \( r_1 \) e \( r_2 \) e da \( v_1 \) e \( v_2 \), per teoremi noti possiamo scrivere:

\[
\frac{1}{R' R'} \cdot \text{sen}^3 \gamma = \frac{1}{r_1 r_2} \cos \mu - \frac{1}{v_1 v_2} \cos \Phi
\]

da cui:

\[
\frac{1}{R' R'} = \text{cosec}^3 \gamma \left[ \frac{1}{r_1 r_2} \cos \mu - \frac{1}{v_1 v_2} \cos \Phi \right]
\]

e deduciamo che il prodotto del quadrato della cosecante dell’angolo costante sotto cui si segano un sistema di curve ed il sistema delle loro traiettorie, per la differenza fra il rapporto del coseno dell’angolo dei raggi di curvatura al prodotto di questi raggi e il rapporto del coseno dei raggi di deviazione al prodotto di questi raggi misura la curvatura della superficie in uno dei suoi punti.

Se l’angolo \( \varphi \) è variabile ansichè costante e indichiamo con \( ds_1, ds_2 \) due archi infinitamente piccoli \( PP_1, PP_2 \) delle due curve \( c_1, c_2 \) delle quali \( \varphi_1, \varphi_2 \) sono i raggi di curvatura geodetica, le considerazioni che precedono permettono di giungere ad una nota formula di O. Bonnet. Pel celebre teorema di Gauss sull’invariabilità della curvatura di una superficie possiamo scrivere:

\[
\frac{1}{R' R'} ds_1 ds_2 = d_2 y_1 - d_1 y_2
\]

essendo \( y_{1'}, y_{2'} \) gli angoli di contingenza geodetica \( \frac{ds_1}{\varphi_1}, \frac{ds_1}{\varphi_2} \), ed indicando con \( d_1, d_2 \) le differenziazioni effettuate secondo le curve \( c_1 \) e \( c_2 \) rispettivamente.

Supponiamo che una porzione della superficie limitata da un contorno chiuso sia scomposta in rettangoli infinitamente piccoli dalle sue linee di curvatura, ed integriamo i due membri dell’equazione precedente. Otteniamo:

\[
\iint \frac{1}{R' R'} ds_1 ds_2 = \iint d_2 y_1 - \iint d_1 y_2
\]

Ma se teniamo conto dei segni degli elementi \( ds_1 \) e \( ds_2 \), vediamo che il secondo membro non è che l’integrale:

\[
- \int (y_1 + y_2)
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 11

esteso a tutti i punti della curva chiusa, per cui se \( \psi \) è l'angolo sotto il quale questa curva sega \( c_1 \) e \( \frac{ds}{\dot{\varphi}} = y \) è il suo angolo di contingenza geodetica, per la nota formula:

\[
d \psi + y_1 + y_2 - y = 0
\]

avremo:

\[
\iint \frac{1}{R' R''} ds_1 ds_3 = \int d \psi - \int y = 2 \pi - \int y
\]

che è la formula di O. Bonnet.

Meta sobre las ecuaciones lineales de diferenciales totales
por Alf. Guidberg, (Christiania)

Nos proponemos en esta nota extender á las ecuaciones lineales de diferenciales totales completamente integrables, algunos resultados conocidos de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. Si dos ecuaciones lineales de diferenciales totales completamente integrables admiten el mismo factor de integración, su integración no exige más que cuadraturas.

Sean

\[
P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz = 0 , \quad P_4 dx + Q_4 dy + R_4 dz = 0
\]

dos ecuaciones de diferenciales totales completamente integrables, que admiten el mismo factor de integración M.

El factor M satisface á las ecuaciones siguientes:

\[
\frac{\partial (M Q_1)}{\partial z} = \frac{\partial (M R_1)}{\partial y}, \quad \frac{\partial (M R_1)}{\partial x} = \frac{\partial (M P_1)}{\partial z}, \quad \frac{\partial (M P_1)}{\partial y} = \frac{\partial (M Q_1)}{\partial x}
\]
\[
\frac{\partial (M Q_4)}{\partial z} = \frac{\partial (M R_4)}{\partial y}, \quad \frac{\partial (M R_4)}{\partial x} = \frac{\partial (M P_4)}{\partial z}, \quad \frac{\partial (M P_4)}{\partial y} = \frac{\partial (M Q_4)}{\partial x}
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 12

Pero por efecto de las dos condiciones de integrabilidad, solamente cuatro de estas ecuaciones son independientes, las escribiremos

\[
\begin{cases}
Q_1 \frac{\partial lM}{\partial z} - R_1 \frac{\partial lM}{\partial y} = \frac{\partial R_1}{\partial y} - \frac{\partial Q_1}{\partial z} \\
R_1 \frac{\partial lM}{\partial x} - P_1 \frac{\partial lM}{\partial z} = \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{\partial R_1}{\partial x} \\
Q_4 \frac{\partial lM}{\partial z} - R_4 \frac{\partial lM}{\partial y} = \frac{\partial R_4}{\partial y} - \frac{\partial Q_4}{\partial z} \\
R_4 \frac{\partial lM}{\partial x} - P_4 \frac{\partial lM}{\partial z} = \frac{\partial P_4}{\partial z} - \frac{\partial R_4}{\partial x}
\end{cases}
\] (A)

de las que resulta:

\[
(Q_1 R_4 - R_1 Q_4) \frac{\partial lM}{\partial z} = \left( \frac{\partial R_1}{\partial y} - \frac{\partial Q_1}{\partial z} \right) R_4 - \left( \frac{\partial R_4}{\partial y} - \frac{\partial Q_4}{\partial z} \right) R_1
\]
\[
(R_1 P_4 - R_4 P_1) \frac{\partial lM}{\partial x} = \left( \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{\partial R_1}{\partial x} \right) P_4 - \left( \frac{\partial P_4}{\partial z} - \frac{\partial R_4}{\partial x} \right) P_1
\]
\[
(Q_4 R_1 - R_4 Q_1) \frac{\partial lM}{\partial y} = \left( \frac{\partial R_1}{\partial y} - \frac{\partial Q_1}{\partial z} \right) Q_4 - \left( \frac{\partial R_4}{\partial y} - \frac{\partial Q_4}{\partial z} \right) Q_1
\]

lM y por consiguiente M se determina así por una cuadratura. Por el procedimiento aquí empleado, hemos supuesto que no tiene lugar ninguna proporcionalidad de la forma \( \frac{P_4}{P_1} = \frac{Q_4}{Q_1} = \text{const.} \).

Supongamos manifiestamente, por ejemplo que \( \frac{Q_4}{Q_1} = \frac{R_4}{R_1} = \text{const.} \)

La primera y la tercera ecuaciones (A) son pues idénticas, y obtendremos

\[
(R_1 P_4 - R_4 P_1) \frac{\partial lM}{\partial x} = \left( \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{\partial R_1}{\partial x} \right) P_4 - \left( \frac{\partial P_4}{\partial z} - \frac{\partial R_4}{\partial x} \right) P_1
\]
\[
(R_1 P_4 - R_4 P_1) \frac{\partial lM}{\partial z} = \left( \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{\partial R_1}{\partial x} \right) R_4 - \left( \frac{\partial P_4}{\partial z} - \frac{\partial R_4}{\partial x} \right) R_1
\]
\[
R_1 \frac{\partial lM}{\partial y} = Q_1 \frac{\partial lM}{\partial z} + \left( \frac{\partial R_1}{\partial y} - \frac{\partial Q_1}{\partial z} \right)
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 13

De las ecuaciones (A) se deducen fácilmente las condiciones necesarias y suficientes para que las ecuaciones dadas admitan el mismo factor de integración.

2. Sea \( M_1 \) un factor de integración de la ecuación de diferenciales totales completamente integrable

(a) \[
P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz = 0
\]
y \( M_1 \) un factor de integración de la ecuación de diferenciales totales completamente integrable

b) \[
P_2 dx + Q_2 dy + R_2 dz = 0
\]
y supongamos a \( M_1 \) y \( M_2 \) ligados por la relación
\[
M_2 = \varphi(x, y, z). M_1
\]

La integración de las dos ecuaciones (a) y (b) no exige más que cuadraturas.

En el caso en que \( \varphi \equiv 1 \), hemos demostrado ya nuestra proposición. Es, por otra parte, fácil reducir nuestra proposición a este caso. En efecto, multipliquemos la ecuación (b) por la función \( \varphi(x, y, z) \), tendremos la ecuación
\[
\varphi P_2 dx + \varphi Q_2 dy + \varphi R_2 dz = 0
\]
que admite el mismo factor \( M_1 \) que la ecuación (a); la determinación de \( M_1 \) no exige pues más que una cuadratura.

2 Si las soluciones de cuatro ecuaciones lineales de diferenciales totales completamente integrables están ligadas por una relación lineal con coeficientes constantes, la integración no exige más que cuadraturas.

Sean
\[
\begin{cases}
P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz = 0 \\
P_2 dx + Q_2 dy + R_2 dz = 0 \\
P_3 dx + Q_3 dy + R_3 dz = 0 \\
P_4 dx + Q_4 dy + R_4 dz = 0
\end{cases}
\]
(B)

las ecuaciones de diferenciales totales completamente integrables dadas, y sean \( u, v, w, \omega \) sus integrales, que satisfacen a la relación
\[
au + bv + cw + d\omega \equiv 0
\]
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 14

donde \( a, b, c, d \) son coeficientes constantes diferentes de cero. Como \( au \) es una integral de la primera ecuación I, \( bv \) es una integral de la segunda, \( cw \) una integral de la tercera y \( -dw \) una integral de la última ecuación I. Podremos pues suponer que la relación lineal entre las integrales tiene la forma

\[
w = u + v + w
\]

Existen ahora multiplicadores \( M_1, M_2, M_3, M_4 \) de modo que

\[
du = M_1 (P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz)
\]
\[
dv = M_2 (P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz)
\]
\[
dw = M_3 (P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz)
\]
\[
dw = M_4 (P_1 dx + Q_1 dy + R_1 dz)
\]

por la relación \( dw = du + dv + dw \), se tendrá

\[
M_4 P_1 = M_1 P_1 + M_2 P_1 + M_3 P_1
\]
\[
M_4 Q_1 = M_1 Q_1 + M_2 Q_1 + M_3 Q_1
\]
\[
M_4 R_1 = M_1 R_1 + M_2 R_1 + M_3 R_1
\]

Eliminando \( M_2 \) y \( M_3 \) obtendremos:

\[
M_4 = \frac{(P_1 Q_1 - Q_1 P_1)(Q_1 R_2 - R_1 Q_2) - (Q_1 R_2 - R_1 Q_2)(P_1 Q_3 - Q_1 P_3)}{(P_1 Q_3 - Q_1 P_3)(Q_2 R_4 - R_2 Q_4) - (Q_2 R_4 - R_2 Q_4)(P_1 Q_3 - Q_1 P_3)} M_1
\]

Según la proposición demostrada, \( M_1 \) se determina pues, por una cuadratura. De la misma manera se determinarán \( M_2 \) y \( M_3 \).

Observación. Los resultados aquí obtenidos se extienden sin dificultad al caso de \( n \) variables.

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión 114. (Véase I III, pág. 116; 1898.)

Se dan tres ejes rectangulares y tres rectas fijas A, B, C. Un plano móvil paralelo á XOY corta á las tres rectas en los puntos A', B', C'.

Se pide estudiar la superficie lugar de las circunferencias A', B', C'.

Se suponen las rectas A, B situadas en planos perpendiculares á ZOX, O,
El Progreso matemático (1900-12-01 00:00:00), página 15

medio de la más corta distancia YOY' de estas rectas; OZ paralela á la bisectriz del ángulo AB de las dos rectas igual y simétricamente inclinadas sobre XOY, O en el plano ZOX y paralela á OZ.

Casos particulares y verificaciones.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard

Se tienen las ecuaciones

(A) \( x = -ms \) \( y = -b \)
(B) \( x = ms \) \( y = b \)
(C) \( x = c \) \( y = o \)

Un plano \( z = h \) da

(A') \( x = -mh \) \( y = -b \)
(B') \( x = mh \) \( y = b \)
(C') \( x = c \) \( y = o \)

La ecuación del círculo A'B'C' es

\[
x^2 + y^2 - 2Dx + 2Ey - F = 0
\]

con las condiciones

\[
m^3 h^2 + b^2 + 2Dmh + 2Eb - F = 0 \\
m^2 h^2 + b^2 - 2Dmh - 2Eb - F = 0 \\
c^2 - 2Dc - F = 0
\]

de las que se deduce

\[
D = \frac{c^2 - m^2 h^2 - b^2}{2c}, \quad E = -\frac{c^2 - m^2 h^2 - b^2}{2bc} \quad mh, F = m^3 h^2 + b^2
\]

Así, la ecuación del círculo A'B'C' es

\[
x^2 + y^2 - \frac{c^2 - m^2 h^2 - b^2}{c} x + \frac{mh}{bc} (c^2 - m^2 h^2 - b^2)y - m^3 h^2 + b^2 = 0
\]

y falta sustituir \( h \) por \( z \) para obtener la ecuación de la superficie que es de tercer grado.

Si \( m = o \), las rectas (A), (B) son paralelas á OZ. La superficie se reduce á un cilindro recto