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El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 21

Studio di una certa funzione doppiamente periodica

ESERCITAZIONE SULLE FUNZIONI ELLITTICHE
pel Dr. GIORGIO BERTOLANI, a Pavia.

Chi ha studiato il problema della distribuzione dell'Elettricità in equilibrio sopra due sfere conduttrici in presenza una dell'altra, non ignora che: posta l'ipotesi, le due sfere siano in comunicazione mediante un filo conduttore sottilissimo, sia che si cerchi la differenza E'—E delle masse elettriche in equilibrio, di cui sono cariche le due sfere, sia che si cerchi il valore della funzione potenziale nei punti della retta dei centri, si è condotti a considerare serie della forma

\[
\varphi(u) = \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\operatorname{sen}\ h\left(u + \frac{2s+1}{2}\tau\right)}
\]

Il Betti nell'opera «Teorica delle forze newtoniane ecc.» a pag. 204 si è occupato della serie (1) ed ha determinato la funzione, che essa definisce. Ora io mi sono proposto distudiare più da vicino tale funzione, e di darne le varie sue espressioni mediante le note funzioni \( \sigma \) e \( \varphi \) ellittiche.

No 1.—Proprietà principali della \( \varphi(u) \); suoi zeri e suoi infiniti.

Indichiamo con \( \varphi(u) \) la funzione definita dalla serie (1); la \( \varphi(u) \) ha le seguenti proprietà facili a riconoscere. Essa è monodroma e derivabile, non ammette a distanza finita che dei poli, i quali sono necessariamente isolati; salvo che in questi poli e nel punto \( u = \infty \) essa è sempre regolare.

È facile ancora riconoscere che la \( \varphi(u) \) è una funzione biperiodica e che i numeri \( \tau \) e \( 2i\pi \) formano un gruppo primitivo di periodi; il primo è reale, il secondo necessariamente imaginario; dunque la \( \varphi(u) \) avrà ancora le seguenti proprietà:
1.º Possiederà un teorema d'addizione.
2.º \( \varphi(u+v) \) sarà esprimibile in modo razionale per mezzo di \( \varphi(u) \), \( \varphi(v) \), \( \varphi'(u) \), \( \varphi'(v) \).
3.º Sarà una funzione razionale di \( p(u) \) e della sua prima derivata \( p'(u) \).
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4° Si ha facilmente

\[
\varphi(-u) = -\varphi(u)
\]
\[
\varphi(0) = 0
\]

cioè \( \varphi(u) \) è una funzione dispari e \( \frac{\varphi(u)}{p'(u)} \) sarà esprimibile come funzione razionale di \( p(u) \).

Gli zeri di \( \varphi(u) \) sono evidentemente della forma \( m\pi + n i \pi \) dove \( m, n \) sono numeri reali, interi qualunque; gli infiniti sono della forma \( (2m+1) \frac{\pi}{2} + n i \pi \) dove \( m \) ed \( n \) hanno la stessa significazione di prima.

Ponendo \( 2\omega = \tau \), \( 2\omega' = 2i\pi \), \( \omega' = \omega + \omega' \) si ha subito che \( \varphi(u) \) diventa zero nei due punti \( 0, \omega' \) ed infinita nei due punti \( \omega, \omega' \) del primo parallelogrammo dei periodi, dunque \( \varphi(u) \) è una funzione ellittica di secondo grado.

No 2.— Espressioni di \( \varphi(u) \) mediante le funzioni \( \sigma \) e \( p \).

Poiché l'espressione di una funzione ellittica di grado \( r \) è

\[
\varphi(u) = C \cdot \frac{\sigma(u-u_1)\sigma(u-u_2)... \sigma(u-u_r)}{\sigma(u-v_1)\sigma(u-v_2)... \sigma(u-v_r)}
\]

essendo \( C \) una costante e

\[
u_1 + u_2 + ... + u_r = v_1 + v_2 + ... + v_r,
\]

si avrà

\[
\varphi(u) = \frac{\sigma(\omega)'}{\sigma(\omega)\sigma(\omega')} \cdot \frac{\sigma(u)\sigma(u-2\omega-\omega')}{\sigma(u-\omega)\sigma(u-\omega')}
\]

Trasformando questa espressione di \( \varphi(u) \) si giunge alla

\[
(2) \quad \varphi(u) = (c_2 - c_1) \frac{\sigma(u|\omega, \omega') \cdot \sigma_3(u|\omega, \omega')}{\sigma_1(u|\omega, \omega') \cdot \sigma_3(u|\omega, \omega')}
\]

dove

\[
p(\omega|\omega, \omega') = c_1, \quad p(\omega'|\omega, \omega') = c_2, \quad p(\omega'|\omega, \omega') = c_3
\]

Dalla (2) si trova ancora immediatamente

\[
(3) \quad \varphi(u) = 2(c_1 - c_2) \frac{p(u) - c_2}{p'(u)}
\]

la quale dice appunto che \( \varphi(u) \) è una funzione razionale di \( p(u|\omega, \omega') \) e di \( p'(u|\omega, \omega') \).
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L'espressione (2) di \( \varphi(u) \) è abbastanza semplice ed offre il vantaggio di metterne in evidenza immediatamente gli zeri e gl'infiniti, però essa può essere ulteriormente semplificata se invece che dai numeri \( 2\omega, 2\omega' \) si parte dai numeri \( 2\omega_1 = 2\omega \ 2\omega_2 = \omega' \) e s'impiegano le \( \sigma \) corrispondenti; si trova allora

(4)
\[
\varphi(u) = \sqrt{e'_1 - e'_s} \ \sqrt{e'_1 - e'_3} \ \frac{\sigma(u|\omega_1, \omega_s)}{\sigma_s(u|\omega_1, \omega_s)}
\]
dove ora \( e'_1, e'_s, e'_3 \) sono rispettivamente eguali a \( p(\omega_1|\omega_1 \omega_s), \ p(\omega_2|\omega_1 \omega_s), \ p(\omega_s|\omega_1 \omega_s) \) e \( \omega_s = \omega_1 + \omega_2 \).

Dalla (4) si ottiene

(4')
\[
\varphi(u) = \sqrt{e'_1 - e'_s} \ \text{tn} (\sqrt{e'_1 - e'_s} \cdot u) = k' \ \sqrt{e'_1 - e'_s} \ \text{tn} (\sqrt{e'_1 - e'_s} \cdot u)
\]

Quest'ultima forma della \( \varphi(u) \) può immediatamente farsi coincidente con quella data dal Betti nella sua «Teorica delle forze newtoniane ecc.» a pagina 205 ponendo \( \sqrt{e'_1 - e'_s} = \frac{K}{\omega_1} \).

D'ora innanzi poiché per la \( \varphi(u) \) si farà sempre uso della sua espressione data dalla (4) tralascieremo di indicare i numeri \( \omega, \omega_s \), dai quali dipendono le \( \sigma \) e la \( p \) che verranno impiegate.

La \( \varphi(u) \) può ancora esprimersi mediante la \( p(u|\omega_1 \omega_s) \) e si ottiene la seguente importante espressione

(5)
\[
\varphi(u) = \frac{\sqrt{e'_1 - e'_s} \ \sqrt{e'_1 - e'_3}}{\sqrt{p(u) - e'_1}} = \frac{\sqrt{p(\omega_1) - p(\omega_s)} \ \sqrt{p(\omega_1) - p(\omega_s)}}{\sqrt{p(u) - p(\omega_1)}}
\]

No 3.— Derivata prima della funzione \( \varphi(u) \)

Si trova facilmente

(6)
\[
\frac{\varphi'(u)}{\varphi(u)} = - \frac{1}{2} \ \frac{p'(u)}{p(u) - e'_1} = \frac{\sigma_s(u)\sigma_s(u)}{\sigma_1(u)\sigma_1(u)};
\]

la (6) dà la derivata logaritmica di \( \varphi(u) \) e da essa si ha anche

(7)
\[
\varphi'(u) = \sqrt{e'_1 - e'_s} \ \sqrt{e'_1 - e'_3} \ \frac{\sigma_s(u)\sigma_s(u)}{\sigma_1^2(u)}
\]
\[
= \sqrt{e'_1 - e'_s} \ \sqrt{e'_1 - e'_3} \ \frac{dn(\sqrt{e'_1 - e'_s} \cdot u)}{cn^2(\sqrt{e'_1 - e'_s} \cdot u)}
\]

La \( \varphi(u) \) soddisfa alla seguente equazione differenziale
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\( \varphi''(u) = |\varphi^2(u) + e'_1 - e'_2| |\varphi^2(u) + e'_1 - e'_3| \)

dalla quale si ha

\[
\begin{align*}
\varphi'(u) &= 2\varphi^2(u) + 3e'_1 \varphi(u) \\
\varphi''(u) &= 6\varphi^2(u)\varphi'(u) + 3e'_1 \varphi'(u)
\end{align*}
\]

e così via.

No 4.—Rappresentazione di \( \varphi(u) \) mediante le funzioni \( \mathfrak{F} \) ellittiche.

Si ha subito mediante le relazioni che legano le \( \tau \) alle \( \mathfrak{F} \)

\[
\varphi(u) = \frac{\pi}{2w_1} \mathfrak{F}_1(o) \mathfrak{F}_3(o) \frac{\mathfrak{F}_1(x)}{\mathfrak{F}_2(x)}
\]
(8)

\[
\varphi'(u) = \left( \frac{\pi}{2w_1} \right)^2 \mathfrak{F}'_1(o) \mathfrak{F}_3(o) \frac{\mathfrak{F}(x)\mathfrak{F}_3(x)}{\mathfrak{F}_2^2(x)}
\]

\[
\varphi''(u) = \left( \frac{\pi}{2w_1} \right)^3 \mathfrak{F}'_1(o) \mathfrak{F}_2(o) \left[ \frac{\mathfrak{F}(x)\mathfrak{F}_2(x)}{\mathfrak{F}_1^2(x)} + \mathfrak{F}'_3(o) \frac{\mathfrak{F}_1(x)\mathfrak{F}_3(x)}{\mathfrak{F}_2(x)} \right]
\]

essendo

\[
x = \frac{\pi u}{2w_1}
\]

No 5.—Teorema d'addizione per la funzione \( \varphi(u) \)—

Ricorrendo alla (4)' e tonendo calcolo delle relazioni

\[
tn(\varphi e'_1 - e'_3 u) = \frac{\varphi'(u)}{\varphi'_1 - e'_3}
\]

\[
dn(\varphi e'_1 - e'_3 u) = \sqrt{\frac{\varphi'_1 - e'_3}{\varphi'_1 - e'_3}} \frac{\varphi'(u)}{\varphi'_1 - e'_3 + \varphi^2(u)}
\]

si trova

\[
\varphi(u \pm v) = \varphi e'_1 - e'_3 \varphi e'_1 - e'_3 \times
\]
(9)
\[
\times \frac{\varphi(u)\varphi'(v)|\varphi^2(u) + e'_1 - e'_2| - \varphi(v)\varphi'(u)|\varphi^2(v) + e'_1 - e'_2|}{(e'_1 - e'_3)|\varphi^2(u) + e'_1 - e'_2||\varphi^2(v) + e'_1 - e'_2| + \varphi(u)\varphi'(v)\varphi'(u)\varphi(v)}
\]

No 6.—Rappresentazione di \( \varphi(u) \) mediante derivate seconde logaritmiche delle funzioni \( \mathfrak{F} \).

Una delle relazioni di 2.° grado fra le \( \mathfrak{F} \) dà

\[
\frac{\mathfrak{F}_1^2(x)}{\mathfrak{F}_2^2(x)} = \frac{\mathfrak{F}_1^2(o)}{\mathfrak{F}_2^2(o)} \frac{\mathfrak{F}_1^2(x)}{\mathfrak{F}_2^2(x)} - \frac{\mathfrak{F}_1^2(o)}{\mathfrak{F}_2^2(o)}
\]
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Ora si hanno le formole

\[
\frac{\mathcal{S}_1^2(x)}{\mathcal{S}_2^2(x)} = \frac{\mathcal{S}_1^2(0)}{\mathcal{S}_2^2(0)} \left| \left( \frac{d^2}{dx^2} \log \mathcal{S}(x) \right)_{x=0} - \frac{d^2}{dx^2} \log \mathcal{S}(x) \right|
\]

\[
\mathcal{S}_1^4(0) = \left( \frac{d^2}{dx^2} \log \frac{\mathcal{S}_1(x)}{\mathcal{S}_2(x)} \right)_{x=0}
\]
\[
\mathcal{S}_1^4(0) = \left( \frac{d^2}{dx^2} \log \frac{\mathcal{S}(x)}{\mathcal{S}_1(x)} \right)_{x=0}
\]

per mezzo delle quali si trova

(10) \( \varphi(u) = \frac{\pi}{2\omega} \times \)

\[
\sqrt{ \left( \frac{d^2}{dx^2} \log \frac{\mathcal{S}_1(x)}{\mathcal{S}_2(x)} \right)_{x=0} \left[ \left( \frac{d^2}{dx^2} \log \mathcal{S}(x) \right)_{x=0} - \frac{d^2}{dx^2} \log \mathcal{S}(x) \right] - 1 }
\]

No 7. — Sviluppo di \( \varphi(u) \) in serie.

Si ha, avuto riguardo alle espressioni di \( \varphi'(u), \varphi''(u), \varphi'''(u) \) ecc. date dal n.º 3

\[
\varphi(0) = \varphi'(0) = \varphi''(0) = ... = 0
\]
\[
\varphi'(0) = \sqrt{e'_1 - e'_2}, \quad \sqrt{e'_1 - e'_n}
\]
\[
\varphi''(0) = 3e'_1, \sqrt{e'_1 - e'_2}, \sqrt{e'_1 - e'_3}
\]
\[
\varphi'''(0) = 2^4.3(e'_1 - e'_2)^2(e'_1 - e'_3)^2 + 3^3e'^2_1, \sqrt{e'_1 - e'_2}\sqrt{e'_1 - e'_3}
\]
\[
\varphi^{iv}(0) = 2^7.3^4.11e'_1(e'_1 - e'_2)^2(e'_1 - e'_3) + 3^5e'^3_1, \sqrt{e'_1 - e'_2}\sqrt{e'_1 - e'_3}
\]

Nell'intorno del punto zero varrà quindi uno sviluppo in serie secondo le potenze crescenti della variabile \( u \), di cui diamo qui solo i primi quattro termini

(11) \( \varphi(u) = \sqrt{e'_1 - e'_2}\sqrt{e'_1 - e'_3} \left[ u + \frac{1}{2}e'_1u^3 + \frac{1}{2.5}(e'_1 - e'_2)(e'_1 - e'_3) + \frac{3}{2.5}e'_1u^5 + \frac{11}{2.5.7}e'_1(e'_1 - e'_2)(e'_1 - e'_3) + \frac{3}{2.5.7}e'^3_1u^7 + .... \right] \)

Possiamo ottenere uno sviluppo di \( \varphi(u) \) in serie i cui termini si seguano con legge determinata ricorrendo allo sviluppo di \( \ln z \); si trova

* I. Königberger (Verlesungen über die Theorie der elliptischen Funktionen) I. T. p. 891.
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(11)' \( \varphi(u) = \frac{\pi}{2\omega} \left\{ \tang x - \frac{4q^2}{1+q^2} \sen 2x + \right. \)
\[
\left. + \frac{4q^4}{1+q^4} \sen 4x - \frac{4q^6}{1+q^6} \sen 6x + ... \right\}
\]
essendo sempre
\[
x = \frac{\pi u}{2\omega}
\]

NOTA SOBRE LA ELIPSE CIRCUNSCRIPTA DE STEINER
POR M. E. LEMOINE

Sea ABC un triángulo, M un punto de su plano; MA, MB, MC cortan á BC, CA, AB en A₁, B₁, C₁; sean A', B', C' los medios de MA, MB, MC y A'', B'', C'' los medios de BC, CA, AB.

Se sabe que las tres rectas A'A'', B'B'', C'C'' se cortan en un punto N.

Se deduce fácilmente que si \( x, y, z \) son las coordenadas normales de M; N tiene por coordenadas
\[
x (by + cz), \quad y (cz + ax), \quad z (ax + by)
\]
y si se dan á \( x, y, z \) los valores correspondientes á puntos notables M se obtienen para N otros puntos notables.

Si M es el ortocentro, N es el punto de Lemoine.
Si M es el punto de Lemoine, N es el punto medio de la línea que une los puntos de Brocard.
Si M es el centro del círculo inscripto, N es el punto
\[
b+c, \quad c+a, \quad a+b
\]
Si M es el punto de Nagel \( \frac{p-a}{a} \), etc., N es el punto
\[
p-a, \quad p-b, \quad p-c, \quad \text{etc.}
\]
Se ve que si N está en el infinito, M está en la elipse circunscripta de Steiner
\[
\frac{1}{ax} + \frac{1}{by} + \frac{1}{cz} = 0
\]
El objeto de esta breve Nota es el establecer geométricamente esta propiedad de la elipse de Steiner.
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 27

Es claro que bastará demostrar el teorema para el caso en que ABC es triángulo equilátero, siendo entonces la elipse de Steiner el círculo circunscrito.

El teorema se habrá demostrado si se establece que B'B'' y C'C'' son paralelas, ó que

\[
\frac{A''C'}{C'B'} = \frac{A''C'}{C''B'} \quad \text{o que} \quad \frac{BC_1}{C_1A} = \frac{CA}{AB_1}
\]

(1)

La relación \( \frac{BC_1}{C_1A} \) es la de los dos triángulos MC_1B, MC_1A; pero como son los ángulos en M iguales y el lado común MC_1, su relación es igual á \( \frac{MB}{MA} \).

La relación \( \frac{CA}{AB_1} \) es la de los dos triángulos ABC, ABB_1; pero como tienen los ángulos en A suplementarios y un lado común, son entre sí como

\[
\frac{AC}{AB_1} \quad \text{o} \quad \frac{AB}{AB_1}
\]

Ahora se tiene \( \frac{MB}{MA} = \frac{AB}{AB_1} \) puesto que los dos triángulos AMB, B_1AB son semejantes.

Luego (1) queda establecida y las dos rectas C'C'' y B'B'' son paralelas.

BIBLIOGRAFÍA

Le science esatte nell'Antica Grecia di Gino Loria, prof. di Geometria superiore nell'Università di Genova.—Esta obra consta de dos partes ó libros. El libro 1.º I geometri greci precursori di Euclide, 168 páginas en folio: se publicó en 1893 y contiene las materias siguientes: I: Sguardo generale sulla Geometría greca pre-euclidea.—II. Talete e la scuola Jonica.—III. Pitagora e la scuola Italica.—IV. Eleati: atomisti, sofisti.—Zenone d'Elea, Oinopide, Anassagora, Democrito, Ippia.—V. Pitagorei é Pitagoristi, Ippocrate da Chio, Antifonte é Brisoné, Archita da Taranto.—VI: Da Socrate ad Euclide, Platone, Leoda-
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mante, Teeteto e loro discepoli, I geometri dell’Accademia, Eudosso da Cnido, origine e primo stadio di sviluppo della teoria delle coniche Menecmo ed Aristeo, Dinostrato.

Termina este libro 1.º con dos apéndices: Cenno delle richerrehe geometriche compiute nell’antichità da gli Egiziani ed i Babilonesi.—Aristeo e Viviani.

Si grande es la importancia del primer libro, como puede juzgar el lector por la enumeración de la materia en él contenida, no lo e) menor seguramente la del 2.º libro recientemente publicado (1895, (236 páginas en folio con dos láminas), que atrae con vivísimo interés: pues tiene por objeto: il periodo aureo della geometria greca y se ocupa, por tanto, principalmente de las obras de los tres grandes geómetras: Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Después de exponer algunas noticias acerca de Euclides y del estado en que nos ha llegado el texto de los elementos á través del período árabe, pasa el autor á examinar los trece libros en que la obra se divide.

Repecto á las críticas hechas á las definiciones, observa el Sr. Loria que todo induce á suponer que el texto poseído por nosotros debió sufrir la influencia de los recopiladores, más audaces en retocar los preliminares que en modificar los razonamientos y las construcciones.

Haciendo un análisis de la obra de Euclides desde las proposiciones fundamentales, definiciones, postulados, axiomas, observa al examinar el libro I que se atiene, en cuanto al orden, á la segunda de las reglas enunciadas para la demostración por Pascal, en cuanto á la materia se advierte el propósito de conducir rigurosamente á la demostración del teorema de Pitágoras, tan importante, y con el que termina dicho libro, observando que los problemas y teoremas puestos por Euclides se hallan distribuidos en grupos, cada uno de los cuales forman proposiciones entre sí estrechamente ligadas, mientras que los varios grupos aparecen extraños entre sí, si no se tiene en cuenta su cualidad común de ser auxiliares en la demostración del teorema de Pitágoras. Observa que el libro II tiene por propósito generalizar este teorema para los triángulos oblicuángulos, mientras los cuatro siguientes tienden á demostrar la posibilidad de sustituir en éste á los cuadrados tres figuras cualesquiera semejantes entre sí.

Trata enseguida del libro segundo, de grande importancia, como base del especial algoritmo llamado álgebra geométrica mediante el
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 29

que los griegos llegaron á resolver sin cálculo problemas que hoy se traducen en ecuaciones de 1.º y 2.º grado. Se ocupa después el señor Gino Loria del libro III dedicado á la circunferencia señalando especialmente los tres últimos teoremas como constituyendo hoy la base de la teoría de la potencia de un punto respecto á un círculo que demuestra Euclides aplicando las proposiciones de álgebra geométrica expuestas en el libro precedente y otras del libro III.

Después de ocuparse del libro IV y del V en que Euclides echa la base de una teoría de la proporcionalidad, que aun hoy es un guía excelente para la enseñanza elemental, y que recibe la importantísima aplicación á la teoría de las figuras semejantes, y de ésta, objeto principal del libro VI, resume el Sr. Gino Loria el contenido de los tres libros siguientes (generalmente suprimidos en las ediciones de los elementos) que tratan, dice, de la aritmética racional, ó sea de los elementos de la aritmética superior, de la química de los números (usando la bellísima expresión de Kummer), y sobre todo se ocupa detalladamente del libro X, uno de los más admirables, dice, si se tiene en cuenta la sutileza de la argumentación, en el que se ocupa Euclides de las cantidades irracionales, principiando por demostrar que dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor más que su mitad, etc., se acabará por obtener una cantidad menor que la menor de las dadas, que dadas dos magnitudes homogéneas, existe siempre un múltiplo de la menor superior á la mayor, exponiendo el método de Euclides con el empleo de la media y la medial.

Volviendo al dominio estrictamente geométrico en que se hallan los libros XI hasta el XIII, el Sr. Gino Loria señala los caracteres salientes de cada uno, el fin explícitamente determinado del XII de echar la base de la estereometría, hace notar cómo ofrece en él los primeros ejemplos de aplicación de aquel procedimiento, con el cual los antiguos, sin invocar las consideraciones infinitesimales, llegaron á resolver tantas importantes cuestiones, que los modernos consideraron como pertenecientes al nuevo cálculo. Observa, en fin, la rígida uniformidad del estilo euclídeo, haciendo ver cómo los Elementos, en vez de presentar el aspecto de una cima aislada en una vasta llanura, se presenta como constituyendo una vasta cordillera de montañas.

Otras obras ocupan sucesivamente al Sr. Gino Loria, las dadas y los porismas, de los que hace un estudio interesante y detallado, destinando un párrafo á los principales continuadores.

Comienza el estudio de Arquímedes señalando el carácter distin-
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 3

\[
v = \frac{1}{3} \pi r^3 \tg x \left( \frac{\sen (x-\beta)}{\sen (x+\beta)} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{3} \pi r^3 \tg x.
\]

Se determinará, pues,

\[
\tg \beta \frac{n^{\frac{3}{2}} - 1}{n^{\frac{3}{2}} + 1} \tg x
\]

Pasemos ahora á las secciones parabólicas (fig. 2), en las que se da el áng. CMD=2\( \varphi \), MA=AB=r, ángulo SAB=SBA=z. La figura muestra que se tendrá CD=2r sen \( \varphi \), EF=\( \frac{1}{2} \) (1+cos \( \varphi \)), OE=\( \frac{1}{2} r \frac{1+\cos \varphi}{\cos x} \), AE=r (1-cos \( \varphi \)). El segmento parabólico CDO = \( \frac{2}{3} \) CD.EO tendrá, pues, por expresión

\[
\frac{2}{3} r^2 \frac{\sen \varphi}{\cos x} (1+\cos \varphi).
\]

Cuestión III. *Dividir la superficie curva de un cono recto de base circular en dos partes iguales por una sección parabólica*.

La proyección ACFD de la superficie SOCAD se compone de un segmento circular CAD y de un segmento parabólico CFD. Ahora, se tiene:

\[
CAD = r^2 (\varphi - \frac{1}{2} \sen 2 \varphi)
\]
\[
CFD = \frac{2}{3} r^2 (1+\cos \varphi) \sen \varphi
\]

por consiguiente

\[
ACFD = r^2 (\varphi + \frac{2}{3} \sen \varphi - \frac{1}{6} \sen 2 \varphi)
\]

La superficie s separada del cono se obtendrá, pues, dividiendo por cos \( x \), ó bien:

\[
s = \frac{r^2}{\cos x} (\varphi + \frac{2}{3} \sen \varphi - \frac{1}{6} \sen 2 \varphi)
\]

(véase la fórmula del Sr. Guimaraes, p. 170 l. c.)
El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 30

tivo de ambos geómetras, el fin principalmente didáctico de la obra de Euclides, el sello de originalidad que ostenta en sus producciones Arquímedes.

Comienza la exposición de las obras de este insigne geómetra con los dos libros del equilibrio de los planos en los cuales se halla intercalado el concerniente á la cuadratura de la parábola y expone el Sr. Gino Loria los artificios empleados en estas obras en que se hallan los fundamentos de la estática geométrica.

Sigue la descripción de la célebre obra sobre la esfera y el cilindro, señalándose el tipo de razonamiento adoptado por Arquímedes que le guió más tarde á concebir y formular el método de exhaución, tratando luego de la espiral de Arquímedes y en fin del opúsculo sobre la periferia del círculo. A continuación de las obras auténticas de Arquímedes el Sr. Gino Loria trata de otras atribuidas al mismo, tales como las concernientes á los círculos tangentes octágono en el círculo, los tres poliedros que atribuye Pappus al geómetra que descubrió regiones fertilísimas en las que generaciones de sabios han encontrado su alimento intelectual y del que con plena razón dijo Wallis: vir stupendas sagacitatis, qui præ fundamenta posuit inventionum fere omnium, de quibus promovendis actas nostra gloriatur.

A continuación de una breve noticia acerca de Eratóstenes, se trata en la obra del Sr. Gino Loria del geómetra Apolonio, cuyas obras le hicieron alcanzar posición eminente que le valió el ser llamado geómetra por excelencia.

Se dedica especialmente el Sr. Gino Loria á la opus magnus de esta gran geómetra sobre las cónicas, tratando además de las que solo conocemos por noticias de los comentaristas.

La última parte de la obra está destinada á los geómetras menores del período greco alejandrino, Nicomedes, Diocles, Perseo y Zenodoro.

Teoría de las propiedades imaginarias, por D. Atanasio Lasala, catedrático en el Instituto de Bilbao. Primera parte. Imaginarias en un plano 1894.

Cuando diariamente vemos aparecer en lengua extranjera obras notables en que se expresa el estudio que ha hecho cada autor de una cuestión, ó modos ventajosos de exponer lo ya generalmente conocido, pero que señalan un progreso en la enseñanza, un paso adelante en la síntesis científica ó en fin nuevos conceptos aportados al ya riquísimo caudal de conocimientos matemáticos, desenvolvimiento