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El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 17

siendo θ raíz de la ecuación \( \theta^2 + 5 = 0 \), se obtiene

\[
a b = d_1 d_2 \quad \text{o} \quad 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5}) (1 - \sqrt{-5})
\]
\[
b^3 = b_1 b_2 \quad \text{o} \quad 3^3 = (2 + \sqrt{-5}) (2 - \sqrt{-5})
\]

Pero estas consideraciones exigen que se antepongan algunos de los conceptos debidos á Dedekind en la teoría de los números. Para este matemático, la más elevada noción de número algébrico consiste en la propiedad de satisfacer á la ecuación

\[
\theta^n + a_1 \theta^{n-1} + \ldots + a_n = 0,
\]

siendo \( a_2 \ldots a_n \) números racionales, y en el caso de ser éstos enteros, el número algébrico correspondiente será entero, resultando como primera consecuencia, que las sumas, diferencias, productos y cocientes de números enteros serán también números enteros.

Pero, entre todas las ecuaciones con coeficientes racionales de las que θ es raíz, existe una sola de grado inferior

\[
\theta^n + a_1 \theta^{n-1} + \ldots + a_n = 0
\]

que se llama irreducible; y si \( x_0 \ldots x_{n-1} \), son números racionales arbitrarios, todos los números de la forma

\[
\varphi(\theta) = x_0 + x_1 \theta + \ldots x_{n-1} \theta^{n-1},
\]

cuyo complejo se designa por \( \Omega \), serán números algébricos que poseerán la propiedad de que sus sumas, diferencias, productos y cocientes pertenecen al complejo \( \Omega \), al que llama Dedekind cuerpo finito de grado \( n \); y considerando el complejo \( \Theta \) de los números enteros comprendidos en \( \Omega \), procedió á establecer las leyes generales de divisibilidad que rigen á este dominio.

Kummer había conseguido esto auxiliado por la concepción de sus números ideales, que no aparecen por sí, aislados, sino combinados, y obtuvo por resultado que las leyes de divisibilidad de los números estudiados por él, coinciden con las que rigen á los números enteros racionales.

Los números ideales, que se cambian en existentes por la combinación con un mismo ideal, se llaman equivalentes. Los números ideales, equivalentes á un mismo ideal, forman una clase de números ideales.
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Los números existentes son un caso particular de los ideales y forman la clase principal.

Si un número \( x \) posee cierta propiedad A, consistente en que \( x \) satisface á una ó varias congruencias, dice Kummer que \( x \) es divisible por un número ideal determinado, correspondiente á la propiedad A.

Dedekind, al concepto de número ideal de Kummer sustituye un sistema de números realmente existentes al que llama un ideal, ó sea el conjunto \( \mathcal{O} \) de todos los \( x \) del dominio \( \mathcal{O} \) que son divisibles por un número ideal determinado; de manera que á todo número ideal determinado corresponde un ideal determinado \( \mathcal{O} \).

Los números realmente existentes en \( \mathcal{O} \), que se presentan en primera línea como factores de números compuestos, son un caso particular de los números ideales, de manera que si \( \mu \) es un número determinado de \( \mathcal{O} \), el sistema \( \mathcal{O} \) de todos los números \( x = \mu \omega \) del dominio \( \mathcal{O} \) divisibles por \( \mu \), tendrá el carácter esencial de un ideal, y se llamará un ideal principal,

Todo sistema \( \mathcal{O} \) de números enteros del cuerpo \( \Omega \) se llama ideal de este cuerpo, posee las propiedades siguientes:

1.ª Las sumas y las diferencias de dos números cualesquiera del sistema \( \mathcal{O} \) son siempre números de éste.

2.ª Todo producto de un número del sistema \( \mathcal{O} \) por un número del sistema \( \mathcal{O} \) es un número del sistema \( \mathcal{O} \).

Este procedimiento consistente en establecer de una vez todas las propiedades A, B, C, . . . . que sirven para la introducción de números ideales en el dominio \( \mathcal{O} \), y en deducir de dos de estas propiedades A, B, á las que corresponden dos números ideales determinados, la propiedad C correspondiente al producto de estos dos números, es el mismo que empleó Dedekind para introducir los números irracionales, con auxilio del conjunto R de los números racionales, de manera que la definición ó creación del número irracional deba fundarse en fenómenos comprobados claramente en el dominio R, y que todos los números irracionales puedan engendrarse á la vez por una definición común, y no sucesivamente como raíces de las ecuaciones, como logaritmos, etc.

Esto se realiza por medio de las secciones ó divisiones del dominio R en dos categorías tales, que todos los números de la primera sean inferiores á todos los números de la segunda. Cada número racional \( a \) engendra una sección, de modo que un número racional cualquiera quedará clasificado en la primera ó segunda categoría,
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pudiendo él quedar colocado á voluntad en la una ó la otra; pero además existe una infinidad de secciones que no pueden engendrarse por números racionales; y para cada una de ellas se introduce un número irracional, correspondiente á esta sección.

Para dos números racionales ó irracionales \( \alpha \) y \( \beta \) se podrán definir las relaciones \( \alpha > \beta \) ó \( \alpha < \beta \), según las secciones que engendran y también las cuatro secciones correspondientes á la suma, diferencia, producto y cociente de dichos números, llegando á formar los números racionales y los irracionales reunidos un dominio continuo.

Llegamos á un punto de la doctrina expuesta por el Sr. Dedekind, que constituye una especie de teoría proyectiva análoga por este carácter á la del Sr. Cantor.

Esta especie de proyectividad numérica la establece el Sr. Dedekind observando que, si en un sistema A de objetos ó elementos se sustituye \( a \) por \( a' \) según cierta ley \( a' = \varphi a \), el sistema A se reduce á otro sistema A' que es su imagen ó representación; y si aplicando las operaciones racionales á números cualesquiera \( u, v, w, \ldots \) del cuerpo A se engendra un número \( t \), se obtendrán por las mismas operaciones aplicadas á las imágenes \( u', v', w', \ldots \) la imagen \( t' \) de \( t \), subsistiendo las relaciones

\[
(u + v)' = u' + v', \quad (u - v)' = u' - v', \quad (u v)' = u' v', \quad \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'}{v'}
\]

y en general, aplicando una sustitución \( \varphi \) á un cuerpo A se obtiene otro cuerpo A', que es su imagen.

(Se continuará.)

BIBLIOGRAFÍA

Leçons sur la théorie des fonctions par E. Borel.—París, Gauthier-Villars, 1898.—En esta obra el autor se ha propuesto dar á conocer los conceptos fundamentales de una teoría que á pesar de su novedad se ha extendido, siendo ya objeto de diversas aplicaciones, como lo demuestran el Cours d' Analyse de M. Camile Jordan, la Introduction á la théorie de fonctions d'une variable de M. Tannery; y la Teoria delle grandezze del Sr. Bettazzi.
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los puntos A, B, C con respecto á un círculo \( \epsilon \), la ecuación de \( \epsilon \), en la forma dada por M. de Longchamps, es

\[
\sigma (p_a x + p_b \beta + p_c \gamma) - \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0 \tag{1}
\]

Consideramos los círculos \( \epsilon' \) y \( \epsilon'' \) cuyas potencias con respecto á los vértices A, B, C son respectivamente \( p_b, p_c, p_a \) y \( p_c, p_a, p_b \); sus ecuaciones serán

\[
\sigma (p_b x + p_c \beta + p_a \gamma) - \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0 \\
\sigma (p_c x + p_a \beta + p_b \gamma) - \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

Diremos que \( \epsilon' \) es el primer círculo asociado y \( \epsilon'' \) el segundo círculo asociado de \( \epsilon \). Los ejes radicales del círculo circunscrito al triángulo A B C, combinados sucesivamente con \( \epsilon, \epsilon', \epsilon'' \) son las rectas conjugadas isobáricas

\[
p_a x + p_b \beta + p_c \gamma = 0, \quad p_b x + p_c \beta + p_a \gamma = 0, \quad p_c x + p_a \beta + p_b \gamma = 0
\]

Los ejes radicales de los círculos \( \epsilon, \epsilon', \epsilon'' \), combinados dos á dos, son las tres rectas isobáricas

\[
(p_a - p_b) x + (p_b - p_c) \beta + (p_c - p_a) \gamma = 0 \\
(p_b - p_c) x + (p_c - p_a) \beta + (p_a - p_b) \gamma = 0 \\
(p_c - p_a) x + (p_a - p_b) \beta + (p_b - p_c) \gamma = 0
\]

De esto se concluye que el centro radical de los círculos \( \epsilon, \epsilon', \epsilon'' \) es

\[
\frac{b^2 + c^2 - (p_a + p_b + p_c)}{3} - \varepsilon a^2 \beta \gamma = 0
\]

y su radio tiene por expresión

\[
\delta = \frac{1}{3} \sqrt{3 (p_a^2 + p_b^2 + p_c^2) - m^2}
\]

OBSERVACIONES De la expresión de \( \delta \) se deduce que la distancia de un punto cualquiera al centro de gravedad está dada por la igualdad

\[
\delta = \frac{1}{3} \sqrt{3 (\bar{p}_a^2 + \bar{p}_b^2 + \bar{p}_c^2) - m^2}
\]

Se deduce también que, si se tiene para diversos círculos

\[
p_a + p_b + p_c = \text{constante}
\]

todos los círculos asociados tienen el mismo círculo ortotómico.

(Se continuará.)
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La teoría de los conjuntos del Sr. Cantor es el objeto principal de la obra escrita por el Sr. Borel, y su título sólo manifiesta que trata en ella preferentemente de las aplicaciones, dando á conocer, con este motivo algunos resultados importantes acerca de las teorías de las funciones, debidos á los Sres. Weierstrass, Poincaré y Mittag-Leffler.

Parte el Sr. Borel de la noción de potencia en que estriba la teoría de los conjuntos, que permite referir unos á otros, estableciendo una correspondencia unívoca entre sus elementos.

Entre las potencias de los conjuntos, considera como la más simple la de los números enteros positivos, y á este conjunto refiere los conjuntos enumerables, empleando consideraciones geométricas, en este procedimiento de numerar los puntos de un conjunto por medio de los enteros positivos. Esto permite la comparación de los conjuntos enumerables con otros conjuntos, y ocupándose exclusivamente de los conjuntos infinitos, expone el Sr. Borel, cómo pueden suprimirse de estos conjuntos infinidad de elementos que formen conjuntos enumerables, sin alterar la potencia.

Conocido un conjunto no enumerable, el de los números reales comprendidos entre 0 y 1 que tiene la potencia del continuo, y el de los números enteros positivos, ya se tiene la base para las aplicaciones, y el Sr. Borel trata enseguida de: el conjunto de los números algébricos que es enumerable; pero, existiendo en todo intervalo una infinidad no enumerable de números algébricos, indica las investigaciones de los Sres. Hermite, Lindemann y Liouville acerca de los números transcendentales.

Los conjuntos perfectos y los conjuntos mensurables conducen á las aplicaciones analíticas, que comienzan con la prolongación analítica de las funciones, siguiendo las investigaciones sobre las series de funciones uniformes, convergencia de ciertas series reales y la de función de una variable compleja, donde se trata de las: funciones y expresiones analíticas, de las representaciones analíticas, series de fracciones racionales, etc., concluyendo con algunas notas.

ELEMENTS D'ANALYSE MATHÉMATIQUE á l'usage des ingenieurs et des physiciens, par M. APOLL.-Georges Carré et Naud. Paris. 1898.—Como su título indica, esta obra, destinada á los ingenieros y arquitectos, está despojada de conceptos metafísicos y esencial-
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mente abstractos propios del hombre teórico; pero en cambio resalta la sencillez y claridad en la exposición, debida á un tan ilustre maestro en la ciencia y en la enseñanza; tiene el carácter dominante de presentar como facil lo que de ordinario aparece como difícil. La exposición simultánea del cálculo diferencial é integral, predominando este segundo, abrevia el camino, y conduce directamente á las aplicaciones; las 224 figuras intercaladas en el texto hacen intuitivo el estudio, en el que resaltan las aplicaciones geométricas.

El orden de exposición es el siguiente: Infinitamente pequeños, diferenciales, integrales indefinidas y definidas, volúmenes, rectificaciones de curvas, áreas de superficies de revolución y de superficies cónicas, métodos de integración, desarrollos de funciones. Tangentes, máximos y mínimos, curvas alabeadas, plano osculador, envolventes, curvatura, líneas trazadas en superficies, terminando en la teoría de tangentes conjugadas. Integración á lo largo de una curva plana, aplicaciones de las integrales múltiples á las áreas y volúmenes y ecuaciones diferenciales, donde tienen gran importancia las interpretaciones geométricas.

Periodico di Matematica, per l'insegnamento secondario.—Director Dott. G. Lazzeri. Sumario: Pirondini, Proiezione stereografica e sua applicazione allo studio di alcune linee sferiche. —Andreini, Intorno ad una proprietà singolare di alcuni numeri ed al criterio di divisibilità ad essi relativo.—Ducci, sulla conversione di un radicale quadratico in frazione continua.—Palatini, sopra una serie di segni positivi e negativi.—Fellini, Sugli esagoni di Pascal e di Brianchon.—Questioni, bibliografie.

Rendiconti del Circolo matematico di Palermo t. XIII fascicolo III e IV.

Indice delle materie.—Alagna Delle congruenze binomie rispetto ad un modulo primo \( p \) o ad una potenza di esso, nel caso in cui \( \frac{p-1}{2} \) sia un número primo, ovvero il doppio d'un numero primo.—De Francis.--Riduzione dei sistemi lineari \( \infty^k \) di curve piane di genere 3, per \( k > 1 \).—Gerbaldi Sui gruppo semplice di
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360 collineazioni piane.—De Franchis, Sulle reti sovrabondanti di curve piane di genere 2.—Bourlet, sur la determination de la surface d’un piste de vélo drome.—Lovett, Note on the contact Transformation of developpable Surfaces.

CRÓNICA

Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid
Programa de premios para el Concurso del año 1900

1.º—«Estudio de la deformación de una placa elástica rectangular, sujeta á fuerzas diversamente distribuidas por su superficie».

Navier estableció las ecuaciones diferenciales del equilibrio de una placa rectangular en el Bulletin de la Société Philomatique de 1823, integrándolas solamente para los casos de tener fijos los cuatro lados ó los cuatro ángulos. La Academia desea que las ecuaciones se integren para mayor número de casos, sobre todo para aquellos de más inmediata aplicación á las construcciones, bien sea por no tener fijo todo el perímetro, ó porque las fuerzas se repartan de diversas maneras no uniformes, ó porque se dé la dirección del plano tangente el algunos puntos.

2.º—Descripción de los experimentos fundamentales de Herz sobre formación y propagación de las ondas electro-magnéticas; teoría de los fenómenos descubiertos por dicho físico; y aplicaciones de las mencionadas ondas á la transmisión de señales».

3.º—Descripción geológico-agronómica de una región vitícola de nuestra Península»

Los premios que se ofrecen y adjudicarán, conforme lo merezcan las memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accesit y mención honorífica.

El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudicación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Corporación á quien le hubiese merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria, al mismo autor ó concurrente premiado, de 1.500 pesetas; impre-
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sión, por cuenta de la Academia, en la Colección de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada; y entrega, cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor.

La Real Academia de Ciencias de Madrid, después de examinar las Memorias presentadas con opción á premio en el curso abierto hasta el 31 de Diciembre de 1897, ha acordado:

1.º Que las Memorias señaladas con los lemas: Un géomètre ne doit pas être moins glorieux d'avoir donné son nom à une courbe que'un prince d'avoir donné le sien a une ville.—(Fontenelle) y l'Algèbre n'est que une géométrie écrite, la géométrie est une algèbre figurée (S. Germain), eran merecedoras de premio.

2.º Que la otra Memoria, señalada con el lema: In tenui labor, at tenuis non gloria, era merecedora de accesit.

Abiertos los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias, donde debían constar los nombres de sus autores, resultaron ser éstos respectivamente:

De las memorias agraciadas con premio, el profesor Gino Loria, de la Real Universidad de Génova, y el profesor F. Gomes Teixeira, de la Escuela Politécnica de Oporto.

Y de la Memoria agraciada con accesit, D. Joaquín de Vargas y Aguirre, residente en Salamanca.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 254.
(Véase pág. 53).

Seda una circunferencia, un diámetro OCE y la tangente OB en O, se proyecta un punto A de la curva en D; sobre OB se toma DB=OD. Obtener el lugar (M) de la intersección de las rectas OA, BE. Determinar los puntos de intersección de las tangentes comunes al círculo y á la curva (M)

(H. Brocard.)
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Solución por el Sr. V. Retali.

Tomando por ejes coordenados OE y OB, la ecuación del círculo es \( x^2 + y^2 - 2 r x = 0 \); si A' es la intersección del círculo con la recta [DA], la ecuación de las dos rectas [OA] y [OA'] es, haciendo

\[
OD = \lambda, \qquad 2 r y x - \lambda (x^2 + y^2) = 0,
\]

y la de la recta [EB] es \( \lambda x + r y = 2 \lambda r \); eliminando \( \lambda \) tenemos, para ecuación del lugar de M, \( 3 x^2 + y^2 - 4 r x = 0 \), una elipse tangente al círculo en O, que pasa por los extremos del diámetro perpendicular á OE, cuyo eje menor es \( \frac{4 r}{3} = OT \). Las tangentes trazadas al círculo por el punto S, simétrico de O, respecto al E, tocan á la elipse sobre la recta \( x = \frac{4 r}{5} \).

Otra solución:

Si la ecuación del círculo es
\[
y^2 + x^2 - 2 r x = 0
\]
La ecuación (M) será
\[
y^2 + 3 x^2 - 4 r x = 0
\]
que es una elipse que pasa por los puntos máximo y mínimo del círculo. Las tangentes comunes forman un triángulo cuya base es doble de la cuerda al cuadrante del círculo, y su altura el doble al diámetro.

Anónimo.

NOTA. Análoga solución nos ha remitido desde Barcelona D. Ricardo Caro.

CUESTIÓN 162
(Véase tomo IV página 64)

Se dan dos círculos en magnitud y posición, lugar de los puntos tales, que las tangentes ó aquéllos estén en una razón constante. Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que dicho lugar sea una línea real.

(G. Pirondini.)

Solución por el Sr. Retali (V).

Tomando el eje radical de los dos círculos por eje de la y, por eje de la x la recta que une los centros, las ecuaciones de los dos círculos dados son
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 25

\[
x^2 + y^2 - 2 k x \pm \delta^2 = 0, \qquad x^2 + y^2 - 2 k' x \pm \delta^2 = 0
\]
en las cuales debe tomarse \( \delta^2 \) con el signo \( + \) ó \( - \) según que los dos puntos á distancia finita, comunes á los dos círculos, sean imaginarios ó reales.

El cuadrado de las tangentes trazadas desde un punto á uno de los círculos dados, se obtiene sustituyendo en su ecuación las coordenadas del punto, por lo cual, expresando por \( \rho \) la razón constante, la ecuación del lugar hallado es

\[
x^2 + y^2 - 2 \left( \frac{k - \rho^2 k'}{1 - \rho^2} \right) x \pm \delta^2 = 0
\]

esto es, un círculo que pasa por los puntos comunes á los dos círculos dados. Este círculo será real si

\[
\left( \frac{k - \rho^2 k'}{1 - \rho^2} \right) \mp \delta^2 > 0.
\]

CUESTIÓN NÚMERO 240 BIS

Si por el centro o del círculo circunscripto á un triángulo ABC se traza una transversal que encuentre á los lados BC, CA, AB en A', B', C', se tiene en magnitud y signo.

\[
\begin{align*}
\frac{O A'}{C' A'} \cdot \frac{C' B}{A B} &= \frac{\cos A}{2 \sin B \sin C} \\
\frac{O B'}{A' B'} \cdot \frac{A' C}{A B} &= \frac{\cos B}{2 \sin C \sin A} \\
\frac{O C'}{B' C'} \cdot \frac{B' A}{C A} &= \frac{\cos C}{2 \sin A \sin B}
\end{align*}
\]

(H. Van Aubel.)

Solución por D. JUAN V. ALONSO

El fundamento de este teorema es la propiedad, fácil de demostrar, de que los ángulos que forman entre sí los radios correspondientes á los tres vértices son iguales, respectivamente, al doble de los ángulos
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opuestos del triángulo. En efecto, llamando \( \alpha, \beta, \gamma \) dichos ángulos centrales, podremos escribir, en vista del cuadrilátero directángulo OPBQ.

\[
180^\circ - B = \frac{1}{2} \gamma + \frac{1}{2} \alpha = \frac{1}{2} (360^\circ - \beta)
\]

de donde \( \beta = 2B \), y del mismo modo \( \alpha = 2A, \gamma = 2C \).

Diaponiendo ya de esta lema, para completar la demostración únicamente tenemos que aplicar el principio de la proporcionalidad de lados de un triángulo con los senos de los ángulos opuestos.

Obtengamos por ejemplo la primera de las relaciones propuestas:
El triángulo OQB nos da

\[
\frac{OB}{OB} = \frac{1}{\operatorname{sen} C}, \text{ ó bien, } \frac{OB}{AB} = \frac{1}{2 \operatorname{sen} C}
\]

El triángulo, OBA', teniendo en cuenta el lema da,

\[
\frac{OA'}{OB} = \frac{\operatorname{sen} OBP}{\operatorname{sen} OA'B} = \frac{\cos A}{\operatorname{sen} A'}
\]

Por último, en el triángulo A'BC, se tiene

\[
\frac{C'B}{C'A'} = \frac{\operatorname{sen} A'}{\operatorname{sen} B}
\]

Multiplicando las tres igualdades obtenidas, resulta:

\[
\frac{OA' \cdot C'B}{A'B \cdot C'A'} = \frac{\cos A}{2 \operatorname{sen} B \operatorname{sen} C}
\]

que es lo que queríamos demostrar.

**CUESTIÓN 281.**
(Véase tomo IV pág. 343.)

*Resolver el sistema de ecuaciones.*

\[
x(a-x) = y(b-y) = z(c-z) \tag{1}
\]
\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 2 \tag{2}
\]

(R. Lemotne).
El Progreso matemático (1899-06-01 00:00:00), página 27

Solución por el Sr. Sollertinsky.

Restando del número 3 los dos miembros de la ecuación (2), se obtiene

\[
\frac{a - x}{a} + \frac{b - y}{b} + \frac{c - z}{c} = 1
\]

de donde

\[
\frac{x(x - a)}{ax} + \frac{y(b - y)}{by} + \frac{z(c - z)}{cz} = 1
\]

luego, suponiendo que los productos iguales que forman los numeradores no sean nulos, se tendrá

\[
\frac{1}{ax} + \frac{1}{by} + \frac{1}{cz} = \frac{1}{z(c - z)}
\]

de donde

\[
\frac{ax + by}{ax \cdot by} = \frac{1}{z(c - z)} - \frac{1}{cz} = \frac{1}{c(c - z)}
\]

y por consiguiente

\[
(ax + by) c^2 = \frac{ax \cdot by \cdot cz}{z(c - z)}
\]

De esto resulta que

\[
(ax + by) c^2 = (by + cr) a^2 = (cz + ax) b^2
\]

y dividiendo por \(2 a^2 b^2 c^2\),

\[
\frac{ax + by}{2a^2 b^2} = \frac{by + cz}{2b^2 c^2} = \frac{cz + ab}{2c^2 a^2}
\]

luego

\[
\frac{ax}{a^2 b^2 + a^2 c^2 - b^2 c^2} = \frac{by}{2b^2 c^2} = \frac{cz}{c^2 a^2 + c^2 b^2 - a^2 b^2} = k
\]

La ecuación (2) dará el valor de K, y se tendrá así un sistema de las soluciones de las ecuaciones dadas.

Los otros tres sistemas son evidentemente

\[
a, b, o; a, o, c; o, b, c.
\]

Observación. Suponiendo que a, b, c son las alturas de un triángulo, el primer sistema de soluciones expresa las distancias de los
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vértices del triángulo á su ortocentro. Se podría pues hallar estas expresiones por consideraciones geométricas.

CUESTIÓN 213.
(Vease tomo IV pag. 78).

Si un lado de un triángulo es igual á la semisuma de los otros dos, la recta que une el centro de gravedad al centro del círculo inscripto es paralela á ese lado é igual á \( \frac{1}{6} \) de la diferencia de los otros dos.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. H. Brocard.

Las distancias al lado BC del baricentro G y del centro I del círculo inscripto, tienen por expresiones

\[
\delta_G = \frac{2 \Delta}{3a}, \quad \delta_I = \frac{2 \Delta}{a + b + c}
\]

designando \( \Delta \) el área del triángulo ABC.

Para que estas distancias sean iguales, es necesario que

\[
a = \frac{b + c}{2}
\]

Queda por calcular la longitud GI, que es paralela á BC, y encuentra á AC en el punto F. Además BI, bisectriz del ángulo B, encuentra á AC en el punto D.

Se tiene entonces

\[
GI = IF - \frac{a}{3}, \quad FD = CD - \frac{b}{3}, \quad IF = \frac{a}{CD},
\]

\[
\frac{CD}{a} = \frac{b - CD}{c}, \quad CD = \frac{ab}{a + c}
\]

\[
FD = \frac{(2a - c)b}{3(a + c)}, \quad IF = \frac{2a - c}{3}, \quad GI = \frac{2a - c}{3} - \frac{a}{3} =
\]

\[
= \frac{a - c}{3} = \frac{b + c - c}{3} = \frac{b - c}{6}
\]