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les con él; así, por ejemplo, para uno de los puntos de intersección \( \pi_a \) de las \( P_b \) y \( P_c \) se tiene:

\[
\overline{\pi_a A^3} + \overline{\pi_a C^2} + b^8 = \overline{\pi_a A^2} + \overline{\pi_a B^2} + c^8 = a^2 + b^2 + c^2
\]

Como de la igualdad anterior se deduce que \( \overline{\pi_a C^2} - \overline{\pi_a B^2} = c^8 - b^2 \), resulta que los ejes radicales de estas circunferencias son las rectas simétricas de las alturas del triángulo con relación á las mediatrices, y que, por lo tanto, el centro radical es un punto notable ya conocido del triángulo.

En el caso particular en que el triángulo propuesto es rectángulo, es muy fácil ver que las tres circunferencias potenciales pasan por un punto (simétrico del vértice del ángulo recto, respecto al medio de la hipotenusa), y que goza, por lo tanto, de la propiedad de que, unido con los vértices del triángulo propuesto, los tres triángulos obtenidos son equipotenciales con el dado.

Siendo evidentemente los ejes radicales del círculo circunscripto y de cada uno de los potenciales, las paralelas trazadas á los lados del triángulo desde los vértices opuestos, resulta que los ejes radicales de los círculos potenciales pasan respectivamente por los vértices del triángulo anticomplementario. Es fácil ver por otra parte que dichos ejes radicales son las alturas del citado triángulo, y decir, por consiguiente, que el centro radical de las circunferencias potenciales de un triángulo es el ortocentro de su triángulo anticomplementario.

Otras propiedades se deducen con gran facilidad, por ejemplo, la de ser los círculos potenciales ortogonales al anticomplementario del círculo polar conjugado (cuando existe), pero hoy las pasamos por alto, dando fin á esta pequeña Nota con la obtención en coordenadas baricéntricas de las ecuaciones de los círculos potenciales.

Consideremos, por ejemplo, la que pasa por A que hemos llamado \( P_a \).

Se sabe que la ecuación general baricéntrica de una circunferencia es

\[
(\alpha + \beta + \gamma) (u_a \alpha + u_b \beta + u_c \gamma) - a^8 \beta \gamma - b^8 \alpha \gamma - c^8 \alpha \beta = 0
\]

en la que \( u_a, u_b, u_c \) son las potencias de los vértices del triángulo de referencia respecto al círculo en cuestión.

Se ve enseguida que en el caso en que estamos

\[
u_a = 0 \quad u_b = u_c = \frac{a^2 - b^2 - c^2}{2} = - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} = - p_a
\]
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(representamos por \( p_a \) la potencia parcial del vértice A, véase nuestra citada nota del Prog. Mat.)
Tendemos, pues, para ecuación del círculo \( P_a \)
\[
p_a (\alpha + \beta + \gamma)(\beta + \gamma) + a^2 \beta \gamma + b^2 x \gamma + c^2 x \beta = 0
\]
ó abreviadamente
\[
p_a (\beta + \gamma) \Sigma x + \Sigma a^2 \beta \gamma = 0
\]

BIBLIOGRAFÍA

JAHREBUCH ÜBER DIE FORTSCHRITTE DER MATHEMATIK herausgegeben von Emil Lampe Band XXIII Jahrgang 1891, Heft 3 Berlin 1894.

El tercero y último cuaderno (págs. 897-1314) del Jahrbuch, etc. correspondiente á este año comprende. Mechanik, Allgemeines, Kinematik, Statik, Dinamik, Potentialtheorie—Mathematische Physik, Molecularphysik, Elasticität und Capillarität, Akustik und optik, Elektricität und Magnetismus, Wärmelehre.—Geodäsie, Astronomie, Meteorologie, Geodasie, Astronomie, Mathematische, Geographie u.d Meteorelogie.—Anhang.

Con objeto de que los lectores de este importante Repertorio de Bibliografía se hallen al corriente de cuanto se publica y enriquece constantemente la literatura matemática, el sabio director de esta Revista, al mismo tiempo que el tomo XXIV, que contiene las publicaciones del año 1892, publicará el tomo XXV, que contendrá lo correspondiente á los años 1893 y 1894, el cual se halla ya en prensa, según expresa una circular publicada por su ilustrado director Doctor Lampe.

Acaba de publicarse el cuaderno primero correspondiente al año 1892 (496 págs.), de cuyo contenido se dará cuenta en otra ocasión.

RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO. Las materias contenidas en el tomo VIII (1894), son las siguientes;

Gerbaldi. Sulle singolarité della Jacobiana di tre curve piane.—Bianchi. Sui sistemi tripli ortogonali de Weingarten.—Paci. Sopra le derivate terze della funzione potenziale di una superficie.—Torelli. Sul gruppo monomio individuato da una trasformazione infinitesimale projectiva.—Princard. Sur les équations de la Physique Mathématique.—Garibaldi. Sull’estensione degli aggregati numerabili.—Cerruti. Elenco dei lavori scientifici di Enrico Betti.—Buralli-Forti. Sulle classi ordinate e i numeri transfiniti.—Torelli. Giuseppe Battaglini.
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— Amici. Risoluzione della congruenza \( x^m \equiv b \pmod{2^n} \). — Fouret. Sur le nombre de plans tangente que l'on peut mener à une surface algébrique par une droite multiple de cette surface.—Soler. Sopra una certa deformata della sfera.—De Vries. Zur Theorie der Tripelsysteme.—Guccia. Sulle involuzioni di specie qualunque dotate di singolarità ordinarie.

APUNTES DE ANALISIS INFINITESIMAL (*)
POR EL INGENIERO
DON EUGENIO GUALLART
PROFESOR DE LA ESCUELA DE INGENIEROS DE MONTES

CANTIDAD

Si al contemplar y comparar entre sí varias entidades no descubrimos entre ellas, aparte de su situación, caracteres ó propiedades diferenciales, decimos que son idénticas ó una misma cosa repetida, y no podremos distinguirlas entre sí; pero si aquellos caracteres se presentan, diremos que son distintas unas de otras.

Entidades distintas pueden no obstante tener caracteres comunes y se llaman homogéneas respecto de éstos y heterogéneas con relación á los diferentes.

Solamente cosas ó entidades homogéneas pueden reunirse para formar un conjunto como engendrado por la repetición de cualquiera de ellas, la cual representa la unidad generatriz. Y cualquiera entidad sola y limitada puedo á la inversa, también, ser mentalmente descompuesta en partes homogéneas.

El conjunto, en ambos casos, se determina por un número, y así determinado es una cantidad.

Por la propiedad, inherente á los seres limitados ó finitos y susceptibles, por lo tanto, de forma, de poder ser cada uno un todo descomponible en partes, se les denomina cantidades; la cantidad es, pues, una cualidad, y las cosas, en tanto que son cantidades, son sus-

(*) Ligeras adiciones á la cuarta edición del Cours d'Analyse Infinitesimal de Ph. Gilbert (Paris, Gauthier-Villars. 1892), con el objeto de poner en parte á esta obra de acuerdo con el Programa de dicha asignatura que se exige para el ingreso en la Escuela Especial de Ingenieros de Montes. Son una síntesis extractada de lo que suele llamarse metafísica del cálculo, y la modesta labor personal es casi un trabajo de recopilación.
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ceptibles de aumento y disminución, y pueden ser representadas por números.

La idea de cantidad es una de las elementales, y por lo mismo no se puede expresar de una manera rigurosa, aunque, en realidad, todo el mundo la comprende, y sólo por la influencia que tiene en la naturaleza compleja de las cosas, puede definirse como lo hemos hecho.

Dos caracteres esenciales e inseparables se presentan en la cantidad, el abstracto numérico ó discreto y el concreto extensivo ó continuo.

En el alternativo predominio de estos dos caracteres hasta identificarse estriba la división natural de la Matemática ó ciencia de la cantidad en las tres partes principales siguientes:

1.º Análisis numérico que estudia la cantidad bajo el predominio del carácter numérico.

2.º Análisis geométrico, cuando sólo se atiende al extensivo y

3.º Análisis infinitesimal cuyo objeto es el estudio de la cantidad en su total concepto abstracto-concreto sin que ninguno de estos caracteres predomine sobre el otro.

Así es que la cantidad, en este último, igualmente puede considerarse formada por otras cantidades de la misma especie más pequeñas, ó por el crecimiento ó decrecimiento de otras que varían de un modo continuo, es decir, por grados insensibles y pasando por todas las magnitudes intermedias para llegar al estado final.

Pero al considerar una magnitud como constituyendo un número, es decir, formada por otras iguales de la misma especie, como sólo excepcionalmente la mayor será múltiplo de la menor ó de los submúltiples de esta menor, si queremos considerar siempre la primera como un número, pudiendo ser cualquiera la unidad, será preciso ampliar el restringido concepto de aquella expresión, aplicándole á toda relación (razón) de magnitudes que evidentemente tiene un valor único, aunque este valor no pueda expresarse en el lenguaje escrito directamente, pero sí si se acude para ello á una doble sucesión de números racionales fácilmente determinables, que satisfaciendo á condiciones dadas representan exacta y precisamente el valor de que se trata que puede conocerse con una aproximación tan grande como se quiera.

(Núms. del autor, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16).

También hemos dicho que la cantidad puede engendrarse por el crecimiento ó decrecimiento de otra continuamente variable, pero
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como en esta variación no podemos tener presente el tiempo invertido (idea que hasta en Mecánica toma carta de naturaleza en el cálculo), no es admisible precisar que en un momento dado la cantidad variable llegue á tomar el valor de la fija que se nos dió, y al suponer una variación indefinida en la cantidad variable hasta poder ser igual que la fija tenemos que introducir en la ciencia la noción de límite.

LÍMITE

Cuando los valores sucesivos de una cantidad variable se aproximan indefinidamente á otra fija y determinada de tal manera que pueda diferenciarse de ella menos que todo lo que se suponga, se dice que la cantidad fija es el límite de los valores de la variable.

Así, el círculo puede considerarse como el límite de los polígonos inscriptos ó circunscriptos; la parábola como el de una elipse cuyo eje mayor crece sin término; la asíntota de la hipérbola como el de las tangentes cuyo punto de contacto se aleja indefinidamente del vértice, etc.

Para que la cantidad fija sea realmente el límite de los valores de la variable, no basta que la diferencia disminuya constantemente, que es preciso además que pueda hacerse menor que toda cantidad dada. La posición de una paralela á la asíntota de la hipérbola, por ejemplo, no puede nunca ser el límite de las tangentes, que evidentemente no podrían coincidir nunca con ella, pues no tienen punto alguno común; ni un círculo de radio menor ó mayor que otro, en el que están inscriptos los polígonos, lo puede ser de estos últimos, á pesar de que la diferencia de áreas disminuya constantemente.

El carácter del límite, tal como lo hemos definido, es que cuando la variación tiene lugar en el mismo sentido, aunque la variable llegue á diferenciarse de él tan poco como se quiera, no pueden, sin embargo, confundirse nunca, porque la consecución de este resultado supone la realización de un cierto infinito que nos está vedado.

Así, por ejemplo, para que los polígonos se confundiesen exactamente con el círculo, sería preciso que el número de lados fuese infinito, y esto no lo podremos conseguir nunca.

A la noción de límite en este caso corresponde, en el lenguaje vulgar, una particularidad curiosa, cual es la de que dos definiciones completamente distintas determinan dos objetos que tienden á confundirse, por lo que se llega así al extremo resultado de que dos enunciados lógicamente distintos representan una sola cosa. Pero
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En esta parte domina el carácter de transformación, por la que se derivan unas figuras ó formas de otras, reduciéndose, pues, á un estudio de sistemas en conexión con otros sistemas, basado en la variabilidad más bien que en la permanencia, como resulta en la parte elemental ó determinativa.

La homografía y la correlación de las figuras, las leyes de dualidad y de reciprocidad caracterizan á este desenvolvimiento superior de la Geometría, del que resultan como desarrollos parciales ó secundarios la homología, la homotecia, etc., y en cuyo fondo aparecen otras relaciones ó modos de transformación como los de las figuras inver- sas, polares, perspectivas, etc.

5 Además debe observarse que aparte de la síntesis ó agregación de unas figuras á otras formando sistema, el análisis que estudia cada figura en sus elementos determinativos y constitutivos, es un medio generador fecundo por la manera según la cual combina estos elementos, haciendo á los unos fijos y á los otros variables, ó sea ya considerando á unos como fijos ó bases respecto á los cuales los otros adquieran cierta variabilidad. Este procedimiento conduce: 1.º, á los lugares geométricos. 2.º, á sistemas diversos de figuras.

Vemos, en efecto, que, en el primer caso, si, por ejemplo, en un triángulo dejamos fijos la base BC y el ángulo opuesto A, quedarán variables los otros tres elementos que, sujetos á la relación en que deben estar ó condiciones que deben satisfacer para formar triángulo, determinan un arco, ó dos, de circunferencia como lugar del vértice variable.

Fig. 1

En la figura 1 se ve que la circunstancia de concurrir los pares de lados homólogos AB, A'B', BC, B'C', CA, C'A' de los triángulos ABC y A'B'C' en los tres puntos colineales \( \gamma, \alpha, \beta \), implica el que los vértices A y A', B y B', C y C' se hallen sobre tres rectas concurrentes. Esto permite que, dejando como bases fijas de la figura los puntos \( \alpha, \beta, \gamma \), y las rectas M, N, P, ó triángulo MNP, se pueda considerar el triángulo ABC como variable, de modo que mientras sus tres lados sigan siendo en las diversas posiciones respectivamente concurrentes en \( \alpha, \beta, \gamma \), al recorrer A y B dos de los lados de MNP, C recorrerá una recta que pasa por M, y se verá, recorriendo con encadenamiento de teoremas, que esta conclusión es una transformada de la siguiente: que,
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como esta confusión no se manifiesta verdaderamente sino en el infinito, no hay, en realidad, contradicción alguna.

Esta particularidad comprueba también perfectamente el hecho á primera vista extraño de la imposibilidad de hacer coincidir nunca dos cantidades cuya diferencia, variable en el mismo sentido, podemos disminuir por bajo de toda expresión.

Es de advertir, no obstante, que del hecho real de que la cantidad variable no pueda confundirse con su límite, no se deduce que nosotros no podamos determinar el valor de este límite, pues de su misma definición se desprende el procedimiento que conduce á su determinación.

La cantidad variable no es por necesidad constantemente superior ó inferior al límite: puede muy bien oscilar de uno á otro lado con tal de que la amplitud de esta oscilación decrezca indefinidamente tendiendo hacia cero, aunque sin llegar nunca á él, lo mismo que sucedía anteriormente; y en este caso es muy posible que suceda que en la sucesión de magnitudes de la cantidad variable, un número considerable de veces, llegue á valer igual que su límite.

Parece á primera vista que el concepto de límite, todavía más aún en el presente caso que en el anterior, no ha de tener finalidad alguna, pero este error se desvanece si consideramos que cuando se trate de determinar el valor de una cantidad en un problema, será siempre más fácil que el averiguarlo directamente, deducirlo, como límite de los de otra, que puede ser muy sencilla, sometida á una variación de ley conocida.

Y sólo con estos conocimientos podremos resolver la cuestión que no dependerá ya de los valores intermedios, que pueden ser los que quieran y que no nos interesan, sino de la ley de la variación, lo cual es mucho menos complicado y está al alcance de nuestros medios.

Ejemplo frecuentísimo de ello tenemos cuando se trata de determinar la tangente en un punto de una curva, para lo cual no investigamos directamente la inclinación de la recta, que pasando por el punto dado, sólo tiene este mismo punto común con la curva, sino que lo que se hace es considerar la tangente como límite de las posiciones de la secante cuando el segundo punto se aproxima al primero y se busca el límite de la razón de los incrementos de la ordenada y de la abscisa de la curva, es decir, de una expresión dependiente de la ley de variación, sin que para nada nos interesen los diferentes valores de las coordenadas.
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CANTIDADES VARIABLES INFINITESIMALES

Correlativa con la noción de límite es la del infinitamente pequeño, ó indefinidamente decreciente, que no es más que una cantidad variable que tiene por límite cero, pues si la cantidad variable se aproxima indefinidamente á su límite, la diferencia entre ellas, ó la amplitud de la oscilación, será necesariamente un infinitamente pequeño tal como se ha definido.

Análogamente se dice que una cantidad es infinitamente grande cuando es variable, pero creciente y sin limitación alguna. Los infinitamente pequeños é infinitamente grandes son dos cantidades inversas unas de otras.

De ninguna de las dos se puede decir que tienen un valor actual ni pequeño ni grande susceptible de determinación; su carácter común y eminente es la variabilidad.

No se puede, por lo tanto, comparar el infinitamente pequeño con la cantidad finita, desconocemos el valor de la primera, que pudiera ser superior, igual ó inferior á la finita, según el estado en que se encuentre actualmente, estado que no podemos precisar al prescindir del tiempo, y lo único que sabemos es que, con el objeto de simplificar, pero siempre dentro de la más rigurosa exactitud en los cálculos finales, se la puede suprimir enfrente de la cantidad finita cuando se ha de pasar por el límite para terminar los desarrollos, puesto que en el límite su valor será cero y podemos por lo tanto aligerar nuestras expresiones despreciando términos que no tienen influencia en la finalidad que perseguimos.

Los infinitamente pequeños tampoco pueden ser, por idénticas razones, comparados entre sí, valor á valor; sólo podremos saber si varían ó no con igual rapidez por las consideraciones que se harán después.

Es preciso desechar también el erróneo concepto de que la cantidad variable que constantemente crece ó decrece llega á ser respectivamente mayor ó menor que toda cantidad dada; en ambos casos, el aumento ó disminución pueden ser indefinidos, pero siempre limitados por cantidades determinadas.

De manera que los cuatro casos siguientes pueden tener lugar:

1.º Crecimiento ilimitado, ej. \( \frac{a+m}{b} ; a \geq b, m = 0.1... \infty . \lim. = \infty \)

2.º Decrecimiento ilimitado, \( \frac{a}{b+m} ; a \geq b, m = 0.1... \infty . \lim. = 0 \)
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3.º Crecimiento limitado,   ej. \( \frac{a+m}{b+m} ; a < b, m = 0.1... \infty . \) Lim. = 1.

4.º Decrecimiento limitado,   \( > \frac{a+m}{b+m} ; a > b, m = 0.1... \infty . \) Lim. = 1.

En los dos primeros casos de crecimiento ilimitado se suele decir que los límites son \( \infty \) y 0 respectivamente, y por eso se han escrito así.—(Núms. del autor, 18... 21.)

FUNCIONES

Se dice que dos cantidades son funciones la una de la otra cuando del valor de una de ellas se deduce inmediatamente el de la otra, y viceversa. La dependencia recíproca se establece por medio de una relación analítica que se llama ecuación. Al decir analítica queremos indicar que la relación supuesta es expresable con los algoritmos del Análisis, ó lo que es lo mismo, que la función es abstracta. Hay una multitud de relaciones naturales (funciones concretas) que no podemos representar analíticamente y á las que no consideraremos, por lo tanto, como verdaderas funciones.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

1.º Atendiendo al número de variables se dividen las funciones en funciones de una sola variable independiente y funciones de dos ó más variables independientes.

2.º Si la expresión de la función, por medio de ser variable está dada en símbolos conocidos, se la llama explícita y se la representa por \( y = f(x), z = f(x, y)... \). Si el valor de la función no está expresado directamente, sino que dicha función está incluida con las variables en una ecuación no resuelta, se dice que la función es implícita, y se la representa por \( f(x,y)=0, f(x, y, z)=0... \)

3.º Teniendo presente la forma de las funciones, se las divide en algebraicas y trascendentales, y se subdividen las primeras en enteras, fraccionarias, racionales é irracionales y las segundas en logarítmicas, exponenciales y circulares directas é inversas.

4.º Respecto á su mutua dependencia, según que ésta sea inmediata ó mediata, se dividen en funciones elementales y funciones compuestas de las elementales. En las primeras, la variable está relacionada con la función por medio de una sola operación de las fundamentales del análisis, es decir, que las funciones son la expresión de los distintos algoritmos que sabemos se clasifican en cinco grupos
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binarios. Las funciones compuestas, según que sean de operaciones superpuestas ó aisladas, se subdividen en funciones de funciones y funciones compuestas propiamente dichas.

5.º Con relación al modo de variación se dividen en continuas y discontinuas; y

6.º Atendiendo á la naturaleza de las variables, se dividen en funciones de variables reales y funciones de variables complejas.

REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN POR LA ECUACIÓN

Ya hemos dicho anteriormente que una función abstracta cualquiera se podía representar siempre por una ecuación, y en efecto, se comprende que así sea si reflexionamos sobre los extensos medios de expresión de que las ecuaciones disponen.

Dejando aparte las ecuaciones trascendentales cuyo solo carácter es suficiente recordar para vislumbrar el ilimitado campo que abarcan, vamos á ver que en las algébricas la diferente categoría de los elementos que las constituyen establecen divisiones subordinadas que en la amplitud de su variación permiten comprender todas las gradaciones posibles de las funciones, de la misma manera que en las ciencias naturales las diferentes agrupaciones de la clasificación estableciendo un orden de dependencia comprenden sistematizados todos los seres de la naturaleza.

Vemos, en efecto, que si en una ecuación \( A x^n + B x^m y + C x^r y^2 + ... = 0 \), por ejemplo, damos á los exponentes valores particulares, restringiremos en cierto modo la generalidad de la función de las variables que consideramos que nos representará solo, un cierto orden ó grado; así si la ecuación es de dos variables y la suma de los mayores exponentes es dos, tendremos la expresión general de las curvas de segundo grado. Si fijamos después signos y valores que cumplan determinadas condiciones, á los coeficientes distinguiremos dentro del segundo orden ó grado, varios géneros (elipse hipérbola... etc, en el ejemplo citado) y finalmente en cada uno de estos géneros separaremos especies de diferentes magnitudes y variedades (circunferencia, rectas...) según cuales sean los valores que reciban ciertas cantidades llamadas parámetros (que pueden ser exponentes coeficientes ó sumandos) que quedarán todavía sin fijar y que cuando varían continuamente con sujeción á una ley dada, dan origen á un conjunto de funciones denominado, puede ser que con impropiedad, sistema ó familia.

De donde se deduce que dentro de las funciones de una dimensión