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El Progreso matemático (1895-04-01 00:00:00), página 7

RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN
DE LAS SECCIONES PRODUCIDAS EN UNA SUPERFICIE POR PLANOS QUE PASAN POR UNO DE SUS PUNTOS DEL INFINITO
POR
D. EDUARDO TORROJA
Catedrático de la Universidad Central.

(CONCLUSIÓN)

7. Un plano paralelo al asintótico \( \mu \) de una superficie \( \Phi \) determina en ella una sección parabólica, y existen, por lo general, infinitas parábolas, todas iguales entre sí, que tienen con dicha curva un contacto de segundo orden en su punto del infinito, (véase El Progreso Matemático, t. IV, p. 179). Para determinar la relación entre los parámetros de las parábolas osculatrices correspondientes á las secciones producidas en una superficie por los planos paralelos á uno asintótico \( \mu \), basta observar que, según el teorema antes citado (\( \S 4 \)), una superficie cónica cuyo vértice esté en el plano \( \mu \) y que tenga por directriz una de dichas parábolas, es cortada por todo plano paralelo al \( \mu \) según una parábola osculatriz de la sección que el mismo plano produce en la superficie propuesta \( \Phi \). De aquí se deduce que los parámetros correspondientes á estas secciones varían proporcionalmente á las distancias de sus planos respectivos al asintótico \( \mu \).

8. Entre las infinitas superficies de segundo orden que tienen con una dada \( \Phi \) un contacto de segundo orden en uno de sus puntos del infinito \( M \) con un plano asintótico propiamente tal \( \mu \), tomaremos la \( \Sigma \) que tenga como plano asintótico uno cualquiera \( v \) perpendicular á la dirección \( AE' \) (fig. 3.) correspondiente á aquel punto \( M \) y como punto de contacto correspondiente al del infinito (*) \( N \) en dirección \( AE \) perpendicular al plano \( \mu \), puesto que podemos fijar arbitrariamente (\( \S 2 \)) uno de sus puntos \( N \) y el plano tangente \( v \) que le corresponde. La recta \( OA \) de intersección de los planos \( \mu \) y \( v \) asintóticos de la superficie \( \Sigma \) es uno de sus ejes, como polar de la recta \( MN \) que une sus puntos de contacto \( M \) y \( N \), y los planos \( AOB \) y \( AOC \) bisectores de los ángulos diedros \( \mu v \) formados por aquéllos, son planos principa-

(*) En la fig. 3. hemos designado los puntos del infinito \( M \) y \( N \) con estas letras afectadas del subíndice \( \infty \) colocadas en los extremos de las rectas \( OM \) y \( ON \) que tienen las direcciones relativas á aquellos dos puntos.
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les de dicha superficie \( \Sigma \), cuyas secciones correspondientes designaremos para abreviar por \( \alpha \) y \( \beta \).

Los planos normales \( \gamma \) de la superficie \( \Phi \) correspondientes al punto \( M \), que son todos los perpendiculares á la recta \( \nu = OA \) cortan á la

Fig. 8.

superficie \( \Sigma \) según hipérbolas equiláteras \( \gamma \) que tienen un contacto segundo orden con las secciones que los mismos planos producen en la superficie \( \Phi \). Cada uno de dichos planos \( \gamma \) corta á una de las secciones principales \( \alpha \) y \( \beta \) en dos puntos reales y á la otra en dos imaginarios (así el BOC corta á \( \alpha \) en los B y B') y la distancia BB' entre aquéllos es el eje \( 2r \) de la hipérbola \( \gamma \); lo cual da un medio muy claro y sencillo para ver la manera como varían las áreas \( r^2 \) que determi-
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nan las curvaturas de todas las secciones normales de la superficie \( \Phi \) correspondientes á su punto del infinito M. Las secciones principales \( \alpha \) y \( \beta \) desempeñan, pues, para este punto un papel análogo al de la indicatriz relativa á un punto propiamente tal.

El conocimiento de la hipérbola osculatriz de una sección de la superficie \( \Phi \) relativa á un punto del infinito M permite, según lo dicho en el § 6, determinar la de la sección normal \( \gamma \) que tiene la misma asíntota OD', que ella y los vértices B y B' de esta última, si es equilátera y tiene su centro O en la recta \( \mu v \), son puntos de una de las secciones principales \( \alpha \) y \( \beta \) de la superficie osculatriz \( \Sigma \) y determinan dos puntos imaginarios conjugados de la otra.

Si se conociesen, pues, las hipérbolas osculatrices de tres secciones de la superficie \( \Phi \) relativas á tres distintas asíntotas paralelas entre sí, de ellas se deducirían tres pares de puntos, reales ó imaginarios, conjugados ó confundidos, de cada una de las dos secciones \( \alpha \) y \( \beta \) de la superficie osculatriz \( \Sigma \) relativa á su punto común del infinito M y, por tanto, quedaría determinada esta superficie.

9. Pueden presentarse cinco casos distintos, según que la superficie \( \Sigma \) sea: 1.º Un hiperboloide alabeado; 2.º Uno de dos hojas; 3.º Un paraboloide hiperbólico; 4.º Una superficie cónica propiamente tal, y 5.º Una cilíndrica hiperbólica; es decir, que los puntos del infinito M de la superficie \( \Phi \), á los cuales corresponden planos asintóticos propiamente tales \( \mu \) pueden ser de cinco distintas especies.

Como las generatrices rectilíneas \( m \) de la superficie \( \Sigma \), contenidas en el plano asintótico \( \mu \), son tangentes en el punto M á la sección \( \mu \Phi \) que dicho plano produce en la superficie \( \Phi \) (§ 3), esta sección presentará en el punto M uno doble con dos ramas hiperbólicas en el primer caso; uno aislado en el 2.º; uno doble con una rama hiperbólica y otra parabólica en el 3.º; uno de retroceso con una rama hiperbólica en el 4.º, y uno de retroceso con rama parabólica en el 5.º

La generatriz rectilínea de la desarrollable asintótica de la superficie \( \Phi \) correspondiente al punto M es la recta OM que lo une con el centro O de la superficie osculatriz \( \Sigma \) en el 1.º, 2.º y 4.º casos y la recta del infinito del plano \( \mu \) en los otros dos: puesto que dicha generatriz ha de ser tangente conjugada respecto de la superficie \( \Sigma \), con dicha recta del infinito del plano \( \mu \).

Las secciones principales \( \alpha \) y \( \beta \) de la superficie \( \Sigma \) son: En el primer caso, una elipse real \( x \) y una hipérbola \( \beta \) con el mismo eje real AA' = 2a (á este caso se refiere la figura 8.a) en la recta \( \mu v \), y los otros
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El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOBRE LOS CÍRCULOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
por D. Juan J. Durán Loriga
Comandante de Artillería.

INTRODUCCIÓN El presente trabajo que tenemos el honor de presentar al congreso de Nantes, es una continuación de nuestra memoria de Saint-Etienne. La consideración de los círculos asociados nos ha permitido dar á conocer el papel importante del centro de gravedad en su relación con los diferentes círculos del triángulo. Además, la asimilación de los puntos á círculos de radio nulo permite obtener círculos y rectas nuevos cuya combinación hará, según esperamos, poner de relieve el lazo que une propiedades hasta ahora aisladas, en apariencia.

El tiempo nos falta para presentar otras propiedades que publicaremos en un trabajo próximo.

NOTACIONES \( \alpha, \beta, \gamma \) . coordenadas baricéntricas
\( p_a, p_b, p_c \) . . . . . . . . tripolares
(c) . . . . . . . . . . . . . . . . círculo de centro C
\( p_A \) . . . . . . . . . . . . . . potencia de A con relación á un círculo
\[
\sigma = \alpha + \beta + \gamma \qquad a + b + c = 2p
\]
Para los puntos y círculos notables las notaciones usuales.

ABREVIACIONES
\[
a^4 + b^4 + c^4 = m^4,\ a^3 b^3 + b^3 c^3 + a^3 c^3 = n^3,\ a^4 + b^4 + c^4 = q^4
\]

SOBRE LOS CÍRCULOS ASOCIADOS Y SEMI-ASOCIADOS.—1. Sean \( \alpha, \beta, \gamma \) las coordenadas baricéntricas de un punto con relación á un triángulo de referencia A B C. Si \( p_a, p_b, p_c \) designan las potencias de
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ó rama de la Matemática, cuyo desarrollo luego se verifica por transformaciones, en las que se debe tener en cuenta la relación de equivalencia entre elementos que se sustituyen y que se enuncian en teoremas, distintos por la forma del enunciado; pero que son simples transformados los unos de los otros, de igual manera que en Geometría lo son unas formas de otras, proyectivas entre sí.

Un primer ejemplo de esta transformación de enunciados equivalentes nos ofrece la Geometría elemental, que se somete constantemente á la equivalencia de los dos términos de cada juicio lógico, de que es un mero enunciado cada proposición ó teorema.

Ya, en el tomo V de esta Revista, comenzó á publicarse una Exposición sistemática de las nociones de Geometría, basada en el giro de un plano al rededor de una de sus rectas, lo que permite demostrar, como primera proposición, la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice, y el giro de una recta al rededor de un punto exterior á otra, lo que permite demostrar sistemáticamente multitud de teoremas, haciéndose patente la equivalencia de muchos enunciados mediante transformaciones, donde se hace notar la correspondencia unívoca. (1)

El teorema relativo á la suma angular constante á un lado de una recta, se transforma en el de la suma angular constante en el triángulo, de igual manera que en los concernientes á los ángulos formados por una secante con dos rectas paralelas.

Estas transformaciones y otras se efectúan mediante las construcciones auxiliares, que sirven para enlazar la hipótesis con la tesis en el razonamiento demostrativo.

Desde luego, en dicha exposición, se deduce inmediatamente (2) cada una de las rectas trazadas por A y terminadas en la recta L L', de otra que con el segmento de L L', que interceptan, forman un triángulo, mediante la relación que la trigonometría establece entre dos lados del mismo y que está formada por relaciones de segmentos. Y la abreviación introducida con el procedimiento expuesto, que

(1) Véase Prog. mat. tomo V págs. 38-39.
(2) Prog. mat. I. V págs. 85-86.
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permite definir desde luego el coeficiente de transformación mediante relaciones de segmentos, hace ver cómo la trigonometría puede perder esa independencia que se le atribuye en los planes de estudios, reduciéndose á un capítulo de la Geometría, pues además la consideración de la altura común A P y los segmentos P C, P C₁, . . . . en correspondencia unívoca con los ángulos, establecen una correspondencia entre éstos y la relación de los catetos que en trigonometría se llama tangente; y observándose que para todas las fajas de igual anchura que la determinada por el punto A y la recta L, se repiten las mismas relaciones, y que al obtener series de triángulos homotéticos, se puede referir la determinación métrica de cualquier triángulo rectángulo á toda la variedad que ofrecen los formados sobre el cateto AP, y que de la relación en cada dos triángulos rectángulos se deduce la relación en un triángulo oblicuángulo, queda con esto establecida la relación métrica de las figuras. Resulta pues de estas consideraciones, que puede exponerse la Trigonometría como un capítulo de la Geometría, concerniente á las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo.

Es cómodo y breve el deducir las relaciones entre las líneas trigonométricas con auxilio del cálculo, como se hace en la totalidad de los tratados conocidos; pero también debe observarse que conviene, preferir demostraciones puramente geométricas de dichas relaciones, según lo hizo el abate Gelin en sus Elements de Trigonométrie, (1) y puede citarse, como ejemplo de esta tentativa, el artículo Demonstrations géométriques de quelques formules de trigonométrie publicado por M. Roubaudi en el Bulletin scientifique (1894).

Respecto á la geometría, ya se expuso en el número anterior de esta Revista, que la doble tentativa encaminada á fundir las geometrías plana y del espacio, y á hacer independiente, en lo posible, la Geometría de la noción de número, ha realizado importante progreso, siendo hoy objeto de preferente atención entre los geómetras.

Sin olvidar la obra, Nouveaux éléments de Géométrie, que publicó M. Meray en 1874, abandonando la distinción entre las geometrías plana y en el espacio, debe notarse que en los Elementi di Geometria de los Sres. Lazzeri y Bassani se retrasa hasta el

(1) véase Prog. mat. t. III pag. 254 y Galdeano, Geometría general parte I. págs. 88-89.
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libro IV el tratar de la equivalencia y de las relaciones métricas, habiendo conseguido construir los polígonos y los poliedros regulares independientemente de estas relaciones, lo que de análoga manera se expuso en un trabajo sobre la sistematización de la Geometría (1) tratando de los polígonos regulares.

La obra de los Sres. Lazzeri y Bassani establece pues, en lo posible hasta ahora, la línea divisoria entre la Geometría pura y la aplicación de la Aritmética, en la teoría de la medida, dejando para el libro V y último el tratar de las aplicaciones del Algebra á la Geometría. Y en esto último vemos cómo las ciencias parciales, que constituyen en su conjunto la Matemática, no han llegado á una independencia absoluta; que en algunas regiones debe existir cierta compenetración, sin que cada ciencia tenga su carácter propio; lo cual no debe olvidarse en la enseñanza, cuyos procesos exigen el desatender, en determinadas ocasiones, la rigurosa organización de la Matemática en bien del desarrollo intelectual, ó tener muy presente la adaptación de la ciencia á la naturaleza de nuestra inteligencia.

Es absurdo el anteponer el Algebra á la Geometría, porque ésta exija para la resolución de algunos de sus problemas el auxilio de aquélla.

El Algebra es la ciencia de los grupos discontinuos que forman las sustituciones de las letras componentes de las funciones especialmente los grupos de Galois y Abelianos: y la resolución de las ecuaciones, que es el problema del Algebra ordinaria, depende de dichos grupos. Esto es lo característico del Algebra, que también tiene diversos puntos de afinidad con otras ramas de la Matemática.

Así el Algebra tiene un carácter combinatorio que la constituye como ciencia simbólica, y entonces forma una rama superior, que incluye, como caso particular, al Algebra ordinaria, esto es el Algebra universal en la que se emplean símbolos, los extraordinarios, según la expresión de Cayley, cuyas leyes de combinación están dadas constituyendo la especie de Algebra, y dando origen, por sus aplicaciones concretas, á una clasificación de Algebras Geométricas; y aun el Algebra ordinaria dando representación á las cantidades complejas, incluye en su dominio lo mismo lo abstracto de la teoría de los números que lo concreto de la cantidad geométrica.

Z. G. de G.

(1) Prog. mat. t. V pág. 87.
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ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1898)

EXTRACTO DE LA CONFERENCIA SEGUNDA

TEORÍA DE LOS NÚMEROS.—Influencia de Gauss — Teorías de Kummer y Dedekind.—Concepto de los conjuntos de Cantos — Investigaciones de Bois-Reymond.—Moderna exposición de la Aritmética general y de la teoría de las magnitudes ó de las funciones de variables reales.

SEÑORES: Voy á exponer someramente las fases por que ha pasado la teoría de los números, hasta llegar al estado de generalidad actual, y que una vez más harán ostensible la ley de graduación y de sucesivo perfeccionamiento que sigue la ciencia en sus progresos.

En todas las ramas de la Matemática, las teorías se elevan sobre la base de problemas, cuyas resoluciones han permitido obtener verdades en forma de teoremas.

Aparte de propiedades de los números descubiertos mediante el análisis directo sobre los mismos, que han permitido clasificarlos en naturales, triangulares, triángulo-triangulares, tetragonales, poligonales, piramidales, etc., los primos y compuestos, amigables, perfectos, etc., la resolución de ecuaciones condujo á resultados de interpretación difícil en épocas pasadas, que se declaran al principio como incomprensibles, pero que luego han ido extendiendo las clases de los números, hasta llegar al número complejo, á los números ideales, á las unidades fundamentales, á los extraordinarios etc.

En general, al pretenderse resolver las operaciones inversas del cálculo, han surjido resultados inexplicables por efecto de cierta incompatibilidad entre las condiciones del problema, impuestas \( d\ priori \), y la naturaleza de los resultados que se pretendiera obtener. Así ha avanzado el Algebra en la discusión de los problemas, que han exigido generalizaciones sucesivas de los conceptos de número y de operaciones, como se ve en los libros destinados á la enseñanza y como finalmente expuso Duhamel en sus méthodes dans les sciences de raisonnement.

Otra idea de gran importancia desarrolla Poinsot en sus Ré-
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flexions sur la théorie des nombres, al considerar, no solo un Algebra que tiene por objeto las magnitudes y su medida, sino la que trata del orden y la colocación de los objetos, aplicando este concepto de orden á la demostración de varias propiedades de los números con auxilio de los polígonos y poliedros estrellados, y Gergonne, al buscar una interpretacion de las cantidades imaginarias, coloca al lado de los números cardinales series de números ordinales.

Estos preliminares, que hacen ver cuán difícil es aislar en absoluto las ramas de la ciencia, pues la teoría de los números no deja de tener sus enlaces con el Algebra, ni de subordinarse á conceptos generales y comunes á ambas, nos permitirán entrar en la cuestión con toda la amplitud de miras que exige.

Los notables descubrimientos de Fermat con motivo de la Aritmética de Diofanto, expresado en la fórmula

\[
x^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod. } p)
\]

y la de Euler

\[
x^{\varphi(N)} \equiv 1 \ (\text{mod. } N.)
\]

que son la base de la teoría de la periodicidad de restos, y los resultados obtenidos por Euler, Lagrange y Legendre, constituyen el legado de las épocas pasadas á este siglo, en cuanto concierne á la teoría de los números que recoje Gauss, y lo eleva á una síntesis que casi domina todo este siglo, pues abarca, no solo los conceptos propios de esta teoría, sino otros conceptos que han servido de fundamento á nuevas ramas de la Matemática.

Al proponer el problema de la división de la circunferencia en partes iguales, obtiene la distribución en periodos de las raíces de la ecuación empleando la variable compleja

\[
\cos \frac{2k\pi}{n} + i \sin \frac{2k\pi}{n},
\]

y establece el fundamento de las ecuaciones abelianas, pues consiste su método en descomponer una función X en factores, de modo que sus coeficientes puedan determinarse por ecuaciones de grados inferiores, resolviéndose X en a factores del grado \( p - 1 : a \); después cada uno de éstos en factores del grado \( p - 1 : a b \), etc., des-
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composiciones solo posibles cuando dos raíces de una ecuación irreducible se hallan sometidas á ley de ser una de ellas función racional de la otra, es decir, cuando la ecuación es abeliana.

En la teoría de las formas cuadráticas aparece el germen de la teoría de las invariantes, pues sometiendo la forma

\[
a x^2 + 2 b x y + c y^2
\]

á la sustitución

\[
x = \alpha x' + \beta y' \qquad y = \gamma x' + \delta y'
\] (1)

se transforma en \( a x'^2 + 2 b' x' y' + c' y'^2 \), siendo

\[
a' = a x^2 + 2 b x \gamma + c \gamma^2, \quad b' = a x \beta + etc., \quad c' = a \beta^2 + etc.,
\]

al mismo tiempo que las determinantes

\[
D = b^2 - a c, \qquad D' = b'^2 - a' c'
\]

se hallan ligadas por la relación \( D' = (\alpha \delta - \beta \gamma)^2 D \).

La idea culminante es la equivalencia de dos formas, ó sea la propiedad de representar ambas los mismos números.

Si para \( x' = r', y' = s' \) la forma \((a' b' c')\) representa un número \( m \), en virtud de la sustitución (1), para \( x = r, y = s \), la forma \((a b c)\) representará el mismo número, es decir, que la forma \((a b c)\) contendrá á la \((a' b' c')\); y para que además la \((a' b' c')\) contenga á la \((a b c)\), la determinante \( \alpha \delta - \beta \gamma \) ha de ser igual á \( \pm 1 \).

Análogamente á lo establecido en la teoría de los números, Gauss obtiene series de formas tales, que cada una contiene á su inmediata propia ó impropiamente, según que el valor de la determinante sea positivo ó negativo, y siendo dichas formas \( f', f'', f''' \ldots \), su conjunto F constituye una clase; y todas formas con igual determinante se distribuyen en sus diferentes clases, obteniéndose un sistema completo de formas no equivalentes, si se toma de cada clase una forma como representante de la misma.

Los dos problemas capitales de esta teoría son averiguar si dos formas con igual determinante son ó no equivalentes, y obtener todas las sustituciones, por medio de las que una forma se transforma en otra equivalente ó en sí misma, que resolvió Gauss introduciendo el concepto de formas reducidas, cuyos tipos son

\[
(a, \frac{1}{2} a, c) \text{ y } (a, -\frac{1}{2} a, c) \qquad (a, b, a) \text{ y } (a - b, a)
\]
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y de formas contiguas \((a, b, c)\) y \((a', b', c')\) tales, que \(c' = a\) y \(b + b'\) son múltiplos de \(a\), siendo la primera contigua á la derecha de la segunda, y ésta contigua á la izquierda de aquélla.

Construyéndose pues, una reducida contigua á la derecha y otra á la izquierda de una reducida correspondiente á una determinante dada, se distribuyen todas las formas reducidas correspondientes á una determinante positiva dada en periodos, por ejemplo, el

\[
\varphi_0, \varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_{n-1}
\]

de modo que \(\varphi_{n-1}\) será la primera forma equivalente á la \(\varphi_2\) en esta serie, y si no se han agotado todas las reducidas, aun pueden obtenerse otros periodos hasta agotarlas; y Gauss demostró que la condición necesaria y suficiente para que dos formas reducidas, de igual determinante positiva, sean equivalentes es que pertenezcan al mismo período.

Otro resultado importantísimo obtenido por Gauss en la teoría de los números fué el extender las leyes de la divisibilidad á los números complejos, mediante el concepto de norma \(u^2 + v^2\) de los números conjugados \(u + vi, u - vi\), obteniendo la expresión fundamental en la teoría de la divisibilidad, \(z = mq + r\), con las condiciones

norma de \(r <\) norma de \(m\)   y norma de \(w - q < \frac{1}{2}\)

Después de Gauss, tratan Kummer y Dedekind de reducir las leyes de divisibilidad de nuevos dominios numéricos á una conformidad con las de los números racionales, pues Kummer en sus investigaciones acerca de los números pertenecientes á la teoría de la división de la circunferencia que corresponden á la ecuación \(w^2 = 1\), notó que mientras en el dominio de los números enteros racionales y complejos, un número solo puede descomponerse de una manera en factores primos, en estos dominios pueden admitir varias, es decir, obtuvo que los números simples no poseen la propiedad de los llamados números primos, de no dividir á un producto si no dividen, por lo menos, á alguno de sus factores.

Así por ejemplo, para los número simples:

\[
a = 2, b = 3, d_1 = 1 + 6, d_2 = 1 - 6, b_1 = -2 + 6, b_2 = -2 - 6,
\]