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El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 63

precedente, propuesto como cuestión, por un método excelente que reproduczo aquí con las actuales rotaciones (fig. 2). Por una traslación cuyo segmento representativo es A'A, lleva el triángulo A'B'C' á la posición ADE.

1.º El triángulo BDB' tiene una magnitud constante, y el lugar de los puntos D es una circunferencia cuyo centro es B;

2.º Siendo el triángulo ADE conocido por su forma, y hallándose fijo el vértice A, al describir el vértice D una circunferencia cuyo centro es B, se sabe, por homotecia y rotación, que el vértice E describirá una circunferencia, cuyo centro C se obtiene construyendo el triángulo ABC directamente semejante al triángulo dado; se tiene pues, por una parte

\[
\frac{CE}{BD} = \frac{AE}{AD} = \frac{A'C'}{A'B'} = \frac{q}{r},
\]

y por otra parte

\[(DB, EC) = (AD, AE) = (A'B', A'C') = \pi;\]

3.º En el triángulo CEC' los dos lados EC y EC' son constantes en magnitud y también lo es el ángulo en E, puesto que se tiene

\[(EC, EC') = (EC, DB) + (DB, DB') = (DB, DB') - \pi;\]

la longitud CC' es pues constante, y se tiene además

\[(AA', CC') = (EC', CC') = -\beta,\]

escribiendo \( -\beta \), porque arriba se ha escrito \((CC', AA') = \beta \); en la fig. 2, el ángulo \( -\beta \) es positivo, según el sentido \( \gamma \) de orientación del plano.

Habiéndose efectuado la traslación paralelamente á A'A, los dos triángulos B'DB y C'EC reproducen los triángulos C'A,B, y C'A,B de la figura 1, y pueden conducir á la fórmula

\[
\frac{\operatorname{sen} (\beta - x)}{\operatorname{sen} (\gamma - \rho)} = \frac{q \times b}{r \times c};
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 64

No he conseguido hacer este cálculo de una manera sencilla, y diré otro tanto en lo concerniente á la última fórmula del núm. 5.
(Se puede, en vez de una traslación representada por A'A, efectuar una traslación representada por AA' (fig. 3), de modo que se agrupen al rededor del punto fijo B los datos del problema; se considera el triángulo BDB', los triángulos semejantes A'D'E' y A'B'C' con el vértice común A', en fin el triángulo CEC').

7. CASO PARTICULAR DEL TEOREMA I Si se consideran las tres oblicuas OA, OB, OC trazadas por un punto O d una recta, se tiene

\[
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{\overline{OA} \times \overline{BC}}{\operatorname{sen} (\overline{OB}, \overline{OC})} = \frac{\overline{OB} \times \overline{CA}}{\operatorname{sen} (\overline{OC}, \overline{OA})} = \frac{\overline{OC} \times \overline{AB}}{\operatorname{sen} (\overline{OA}, \overline{OB})} \\
(\overline{OB}, \overline{OC}) + (\overline{OC}, \overline{OA}) + (\overline{OA}, \overline{OB}) = 0
\end{array} \right.
\]

y también, por ejemplo,

\[
\overline{OC}^3 \times \overline{AR}^4 = \overline{OA}^3 \times \overline{BC}^4 + \overline{OB}^3 \times \overline{CA}^4 \\
+ 2 \overline{OA} \cdot \overline{OB} \times \overline{BC} \cdot \overline{CA} \times \cos (\overline{OA}, \overline{OB});
\]

Se puede obtener directamente esta última fórmula por el teorema de Stewart.

8. CASOS PARTICULARES DEL TEOREMA II. Este caso particular se halla suficientemente indicado en la figura 4; las dos divisiones de puntos A, B, C y A', B', C' son semejantes, por hipótesis, y la división de puntos A_1, B_1, C_1 es evidentemente semejante á las dos primeras. Con las notaciones del núm. 4, se tiene

\[
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{pa}{\operatorname{sen} \alpha} = \frac{qb}{\operatorname{sen} \beta} = \frac{rc}{\operatorname{sen} \gamma} \\
\alpha + \beta + \gamma = 0
\end{array} \right.
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 65

y también, por ejemplo,

(10) \[ r^s c^s = p^s a^s + q^s b^s + 2pq \cdot ab \times \cos \gamma \]

Resulta una aplicación análoga á la del núm. 5.
(Las dos rectas que llevan las divisiones semejantes ABC y A'B'C' pueden no hallarse en un mismo plano).

NOTA I

Véase otra solución para el lugar geométrico del núm. 5.
Dado en un plano un contorno cuadrangular ABB'A', el centro de semejanza S de los dos segmentos AB y A'B' es también el de los dos segmentos AA' y BB'; entonces, suponiéndose directamente semejantes los triángulos ABC y A'B'C'; si se construyen los tres triángu'os semejantes AA'A'', BB'B'', CC'C'', el triángulo A''B''C'' es semejante á los dos primeros; si se supone AA'' = AA', de donde BB'' = BB', CC'' = CC', se llegará al resultado que se busca.

NOTA II

El hecho de que las fórmulas (1), por ejemplo, conduzcan á la existencia de un triángulo LMN . . . . puede con frecuencia utilizarse. Dado un triángulo ABC, si M, N, P son los medios de los lados y D, E, F los pies de las alturas, se tiene facilmente, suponiendo \( \Lambda > B > C \) para considerar las cosas en valor absoluto,

\[
\frac{MD}{\operatorname{sen}(B-C)} = \frac{NE}{\operatorname{sen}(A-C)} = \frac{PF}{\operatorname{sen}(A-B)} = R,
\]
\[
(A-C) = (A-B) + (B-C)
\]

De esto resulta que los segmentos MD, NE, PF son los lados de un triángulo cuyos ángu'os son \( B - C \), el suplemento de \( A - C \) y \( A - B \), siendo \( \frac{R}{2} \) el radio del círculo circunscrito á dicho triángulo. Esto se ve geométricamente mediante el círculo de los nueve puntos.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 66

INTEGRAL DE LA ECUACIÓN \( \frac{d^2 y}{dx^2} + 2z \frac{dy}{dz} + z^2 y = 0 \)

por A. KRAHE.

Nos proponemos hallar la integral general de la ecuación diferencial

\[
\frac{d^2 y}{dz^2} + 2z \frac{dy}{dz} + z^2 y = 0.
\]

Ensayaremos si existen integrales particulares de la forma

\[
y = e^{az^2 + \beta z}
\]

lo que nos conduce á las ecuaciones

\[
2a + 1 = 0. \qquad \beta^2 = 1
\]

de donde

\[
z = -\frac{1}{2} \qquad \beta = \pm 1.
\]

Tendremos dos integrales particulares

\[
y_1 = e^{-\frac{1}{2} z^2} + z \qquad y_2 = e^{-\frac{1}{2} z^2} - z
\]

La integral general será pues

\[
y = c_1 y_1 + c_2 y_2 = e^{-\frac{1}{2} z^2} (c_1 e^z + c_2 e^{-z})
\]

Si queremos expresar la y por medio de funciones hiperbólicas (*) emplearemos las relaciones

\[
e^z = Chz + Shz, \qquad e^{-z} = Chz - Shz
\]

por lo tanto

\[
y = e^{-\frac{1}{2} z^2} ((c_1 + c_2) Chz + (c_1 - c_2) Shz)
\]

ó bien

\[
y = e^{-\frac{1}{2} z^2} (A Chz + B Shz).
\]

(*) Véase el Progreso Matemático núm. 13, artículo del Sr. Clariana, pág. 243 á 248.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 67

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 329
Hallar la envolvente de las asíntotas de las hipérbolas equiláteras que tienen una cuerda común.

(V. Retali).

Solución por el Sr. Dros Fanny (A.)

Según la cuestión 259 (Serie 2. año I, pág. 120 de EL PROGRESO MATEMÁTICO), se sabe que las hipérbolas equiláteras que tienen una cuerda común MN, normal en M, son las transformadas de Hirst de las rectas g que pasan por el medio O de la cuerda MN, tomándose el punto M como cónica-punto de los puntos unidos y N como polo de la transformada. El pie C de la perpendicular bajada desde M sobre una de las transversales g será el centro de la hipérbola transformada, que tendrá por asíntotas las paralelas trazadas por C á las rectas NP y NM, siendo P uno de los puntos de intersección de g con la circunferencia descrita sobre MN como como diámetro.

Una de estas asíntotas corta á MN en A y á la perpendicular á MN en N, en el punto B Llevantemos en A, sobre MN, un perpendicular que corte á la semi-circunferencia de diámetro MN al mismo lado que B en F. MC prolongada, la corta en E Siendo isósceles el triángulo AOC, resulta que Arc. NG = EP = MP; luego \( \angle FMA = PNM = BAM \). El cuadrilátero FAMC es pues un rectángulo y por consiguiente:

La asíntota AB es una recta Simson relativa al punto F y al triángulo inscrito aplanado NMM. La segunda asíntota, según un teorema conocido, corresponderá al punto F', diametralmente opuesto al F.

La envolvente buscada es pues, una hipocicloide de Steiner que tiene MN como tangente de retroceso en N, un vértice en M, y el oculo sobre OM como diámetro, por círculo tritangente.

CUESTIÓN 331
Si P es un punto cualquiera de la elipse tangente en B y C á los lados AB y AC que pasan por el centro de gravedad g del triángulo ABC y A', B', C' son los puntos de intersección respectivos de AP, BP, CP con los lados opuestos de este triángulo, las rectas trazadas por los medios D, E, F de estos lados, paralelamente á B'O', A'B', C'A', pasan por un mismo punto.

(H. Van Aubel).
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 68

Solución por el Sr. Dr. DROZ FARTY. (A).

Se puede considerar la cuestión propuesta como una consecuencia del teorema de M. Neuberg: Si las paralelas á los lados de un triángulo dado, trazadas por los vértices de un segundo triángulo son concurrentes, también las paralelas á los lados del segundo triángulo trazadas por los vértices correspondientes del primero, serán concurrentes.

Desde un punto J cualquiera de BC tracemos las paralelas JC' á AC y JB' á AB.

Cuando J se mueve sobre BC, los puntos C' sobre AB y B' sobre AC describen dos puntuales homográficas, perspectivas las dos, á la puntual J. El lugar de los puntos de intersección P de los rayos homólogos BB' y CC' será pues una cónica que pasa por B y C y por el centro de gravedad g para J coincidente con D.

Cuando J coincide con C, BB' oae en BC y CC' según CA; CA es pues, tangente á la cónica en C, igualmente AB es tangente en B.

La cónica es, por consiguiente, la elipse de la cuestión. Consideremos pues una posición del punto P, AP corta á BC en A' y, en el triángulo A'B'C', las paralelas trazadas por A' á EF sea el lado BC; por B' á ED ó AB, sea la recta B'J y por C' á FD sea C'J, las cuales se cortan en el punto J; luego también las paralelas trazadas por D, E, F respectivamente á los lados B'C', A'B' y C'A' serán concurrentes.

CUESTIÓN 18.

Hallar la condición para que el círculo de Brocard sea tangente al círculo conjugado y demostrar que existen triángulos reales que la satisfacen.

Mi amigo M. Ripert me ha remitido la elegante solución que sigue, más sencilla que la que tenía presente al proponer la cuestión, y que remito preferentemente á EL PROGRESO MATEMÁTICO.

«La ecuación baricéntrica del círculo conjugado al triángulo ABC es:

\[
(b^2 + c^2 - a^2)x^2 + (c^2 + a^2 - b^2)y^2 + (a^2 + b^2 - c^2)z^2 = 0
\]

Se pueden sustituir á la ecuación \( \sum b^i c^i x^3 - \sum a^i y z = 0 \) del círculo de Brocard las ecuaciones unicurales simétricas.

\[
x = a^2 (b^2 \lambda^2 + a^2 \lambda + c^2) \\
y = b^2 (c^2 \lambda^2 + b^2 \lambda + a^2) \\
z = c^2 (a^2 \lambda^2 + c^2 \lambda + b^2)
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 69

porque estos valores satisfacen, cualquiera que sea \( \lambda \), á la ecuación del círculo.

Las \( \lambda \) de los puntos ciclicos (\( \Sigma x = o \)) están, por consiguiente, dadas por la ecuación

\[
\Sigma b^2 c^3 \lambda + \Sigma a^4 \lambda + \Sigma b^3 c^3 = o
\]

La ecuación en \( \lambda \) de los puntos de intersección de los dos círculos es

\[
\Sigma a^4 (b^3 + c^3 - a^3) (b^2 \lambda)^2 + a^4 \lambda + c^3)^2 = o
\]

y debe ser divisible por (1) Efectuando la división, se obtiene

\[
[a^4 b^3 c^3 - \Sigma b^3 c^3 (b^3 - c^3)] \lambda^3 - [2 a^4 b^3 c^3 - \Sigma a^4 (b^3 + c^3 - a^3)] \lambda
+ a^4 b^3 c^3 + \Sigma b^3 c^3 (b - c^3) = o
\]

La condición de raíz doble, es decir, la condición pedida es

\[
[2 a^4 b^3 c^3 - \Sigma a^4 (b^3 + c^3 - a^3)]^2 + 4 [\Sigma b^3 c^3 (b^3 - c^3)]^2 - 4 a^4 b^4 c^4 = o
\]

\[
1 - 16 \cos^2 A \cos^2 B \cos^2 C = \left[ \frac{b^3 - c^3}{a^3} \right]^2 \left[ \frac{c^3 - a^3}{b^3} \right]^2 \left[ \frac{a^3 - b^3}{c^3} \right]^2
\]

Si el triángulo es isósceles (\( b = c \)), esta condición se reduce, después de simplificar, á

\[
a^4 - 2 a^2 b^2 - 2 b^4 = o
\]

ecuación cuya raíz positiva es \( a = b \sqrt{1 + \sqrt{8}} \)

El triángulo obtusángulo isósceles, definido por

\[
\frac{a}{b} = \sqrt{1 + \sqrt{8}} = 1,65,
\]

próximamente, satisface pues, á la cuestión. El fácil ver que goza de las propiedades siguientes: 1.º El centro \( O_{B'} \) del círculo de Brocard es el medio de BC; en otros términos, el punto de Lemoine K y el centro O del círculo circunscrito son simétricos con respecto á CB; 2.º el triángulo A'B'C' formado por las tangentes en A, B, C al círculo circunscrito, es inscrito al círculo conjugado; 3.º las tangentes en B' y C' al círculo conjugado pasan por \( O_{B'} \); 4.º la tangente en A' es la polar
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 7

mais cette dernière équation s'écrit, au point M,

\[
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x'^2} \cos^2 \gamma + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y'^2} \sin^2 \gamma + 2 \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'} \cos \gamma \sin \gamma + \frac{1}{\gamma'} = 0,
\]

et, par conséquent,

(1) \[ \frac{1}{\gamma'} = \frac{\cos^2 \gamma}{R} + \frac{\sin^2 \gamma}{R'} - 2 \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'} \cos \gamma \sin \gamma. \]

Cherchons maintenant le minimum ou le maximum de \( \frac{1}{\gamma'} \); on y aura

\[
\frac{\partial}{\partial \gamma} \left( \frac{1}{\gamma'} \right) = 0, \quad \text{c'est-à-dire,} \quad \text{si } R' \geq R, \quad \text{tang } 2\gamma = \frac{2 \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'}}{\frac{1}{R'} - \frac{1}{R}};
\]

si nous prenons donc la tangente de la section qui a \( \frac{1}{R} \) maximum ou minimum \( \left( = \frac{1}{R_1} \right) \) pour axe des \( x \), on aura

\[
\gamma = 0 \quad \text{d'où} \quad \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'} = 0,
\]

et la relation (1) deviendra

\[
\frac{1}{\gamma'} = \frac{\cos^2 \gamma}{R_1} + \frac{\sin^2 \gamma}{R_2}. \quad \text{c. q. f. d.}
\]

(De cette formule on voit immédiatement

\[ \left[ \text{si on l'écrit sous la forme} \frac{1}{\gamma'} = \frac{1}{R_1} + \sin^2 \gamma \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) \right] \]

que si \( R_1 \) est maximum ou minimum, \( R_2 \) sera respectivement minimum ou maximum).

Si \( R = R' \), on a de l'équation (1), en cherchant de nouveau les maximum ou les minimum de \( \frac{1}{\gamma'} \),

\[
\cos 2 \gamma \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'} = 0
\]
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 70

de A con relación al círculo de Euler cuyo centro \( O_E \) es el medio de AK; 5° el círculo conjugado es igual al círculo circunscrito; 6° los dos puntos de Brocard están sobre las simedianas de B y de C, propiedad general, por otra parte, para todo triángulo isósceles.

Nota.—Me parece útil unir á esta notable solución, la observación siguiente, extractada de la carta de M. Ripert.

«On n’a pas encore donné, je crois, l’équation (ou les équations) du cercle de Brocard sous la forme unicursale symétrique, et c’est sans doute pour ce motif que la question 16 est restée si longtemps sans réponse. Cette question des équations unicursales symétriques de coniques est intimement liée, quoique cela puisse surprendre au premier abord, à celle des triangles trihomologiques inscrits que tu as posée incidenment dans l’Intermédiaire des Mathématiciens (Avril 1900, página 152) et que je me trouvai précisé-ment à étudier.

On sait que l’on peut ramener à la forme unicursale l’équation de toute conique dont un point est donné, mais les équations que l’on obtient ainsi ne sont pas en général symétriques.

Il y a des exceptions remarquables. Ce sont: 1.º les coniques circonscrites (et leurs complémentaires des neuf points) et les coniques inscrites (et leurs complémentaires des neuf tangentes), qui ont une infinité de ces équations symétriques, parce que, comme je l’ai démontré (S. M. 3.º trim. 1900), on peut leur inscrire une infinité de triangles trihomologiques au triangle de référence; 2.º le cercle de Brocard (et les coniques Brocadienne, quand on substitue à K un point arbitraire), qui a une forme de ces équations, parce qu’il possède un triangle inscrit trihomologique au triangle de référence. L’effet de cette trihomologie est que les équations unicursales obtenues restent constantes, et par conséquent symétriques, quelque soit le sommet de triangle trihomologique dont on part, ce qui n’a jamais lieu pour un autre triangle; même homologique.

Je ne crois pas me tromper en disant; 1.º qu’il n’y a pas d’autres coniques susceptibles d’être représentées par des équations unicursales symétriques que celles qui ont un triangle inscrit (ou circonscrit) trihomologique au triangle de référence; 2.º qu’en reprenant l’étude de ces coniques avec ces équations, on trouvera des résultats inattendus La question 16 en est un exemple; cette question 16 en est un exemple; cette question dont la complication semble avoir rebuté les lecteurs, est devenue simple par les équations unicursales. ...»

Es visible, y esta observación no se ha pasado por alto á M. Ripert,
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 71

que se trataría igualmente la condición de contacto del círculo de Brocard y de un círculo cualquiera, puesto que, en virtud de la ecuación en \( \lambda \) de los puntos cíclicos, el problema se reduce siempre del cuarto grado al segundo.

Yo añadiré á estas indicaciones que M. Ripert tiene intención de publicar en breve un trabajo sobre los triángulos trihomológicos y el círculo de Brocard, cuestión que, puede llamarse de actualidad, porque se refiere á los estudios recientes de M. Caspary, (véase N.A. 1900 pág. 75) y de M. Jahke (Über dreifach perspektivische Dreiecke Dreieckageometrie; Berlín, 1900).

(E. Lemoine).

CUESTIONES PROPUESTAS

336. Por los vértices A₁, B₁, C₁ del primer triángulo de Brocard se trazan rectas que forman el mismo ángulo \( \lambda \) con los lados BC, CA, AB del triángulo ABC. Demostrar que estas rectas pasan por un mismo punto M, y hallar el lugar del punto M cuando se hace variar el ángulo \( \lambda \).
(H. Van Aubel).

337. El lugar de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son normales á una parábola es otra parábola cuyo eje es el de la primera.

338. Si en una parábola se trazan dos tangentes perpendiculares y las normales á la curva en los puntos de contacto, la diagonal del rectángulo obtenido, que no pasa por los puntos de contacto, es paralela al eje de la parábola.

339. Tráense dos circunferencias de radio arbitrario R, con los centros M, N á una distancia MN = \( R\sqrt{2} \). Si O es el medio del segmento MN y A un punto cualquiera de las circunferencias, se tiene

\[
AM \times AN = AO \cdot MN
\]

340. En la hipérbola equi'átera el producto de las distancias de un punto arbitrario P á los focos es igual cuadrado la distancia de P al centro.

341. Integrar la ecuación de derivadas parciales siguiente:

\[
A \frac{\partial^4 x}{\partial y^2 \partial x^2} + B \frac{\partial^4 z}{\partial y^2 \partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = y
\]

siendo A y B constantes.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 72

342. La línea representada por la ecuación

\[
\frac{x^{\frac{4}{3}}}{1} - \frac{y^{\frac{4}{3}}}{1} = \text{constante}
\]

tiene la propiedad característica de que la subnormal es media proporcional entre la subtangente y la abscisa.

(G. Pirondini).

343. Demostrar las fórmulas

A
\[
\Sigma a (p - a)^2 \cos A = \frac{2S}{R} (2R^2 - 2Rr - r^2)
\]

B
\[
\Sigma r_a \cos A = \frac{1}{R} (p^2 - R\delta)
\]

C
\[
\sum \frac{a r_a}{r_a - r} = 3p.
\]

Deduir de estas inmediata y respectivamente

A'
\[
ap^2 \cos A + b(p - c)^2 \cos B + c(p - b)^2 \cos C \\
= \frac{2S}{R} (2R^2 + 2Rr_a - r_a^2)
\]

B'
\[
r \cos A + r_b \cos C + r_c \cos B = \frac{1}{R} \left[ R \delta_a - (p - a)^2 \right]
\]

C'
\[
\frac{ar}{r_a - r} + \frac{b r_c}{r_a + r_c} + \frac{c r_b}{r_a + r_b} = 3(p - a)
\]

\( \delta, \delta_a \) son respectivamente \( 4R + r, 4R - r_a, ... \)

(E. Lemoine).

Erratas: En la cuestión 332
1° caso: diámetro en vez de cuerda, E en vez de L, QC y QD, Q'C y Q'D en vez de gC y gD, g'C y g'D; y
3° que si AC corta á AB en \( j \) y si h'D corta á AB en \( j' \), \( j \) y \( j' \) son simétricos con respecto á S.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 8

d'où \( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'} = 0 \), si \( \cos 2 \varphi \geq 0 \) (cas où M est un ombilic, comme la formule (1) nous montre alors; si, au contraire, \( \cos 2 \varphi = 0 \), \( \varphi = \pm \frac{\pi}{4} \), on a, (1).

\[
\frac{1}{R_1} = \frac{1}{R} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'}, \quad \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'}
\]

d'où \( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{2}{R} \), formule bien connue; et la formule (1) s'écrit maintenant

\[
\frac{1}{\varepsilon'} = \frac{1}{R} - 2 \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x' \partial y'} \cos \varphi \sin \varphi
\]

ou encore

\[
\frac{1}{\varepsilon'} = \frac{1}{R} + 2 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R} \right) \cos \varphi \sin \varphi,
\]

formule qui n'est qu'une conséquence de celle d'Euler, car on peut l'écrire, \( \omega \) étant l'angle de la courbe à qui appartient \( \frac{1}{\varepsilon'} \) avec la courbe au rayon principal \( R_1 \),

\[
\frac{1}{\varepsilon'} = \frac{1}{R} + \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R} \right) (\cos^2 \omega - \sin^2 \omega)
\]

ou bien

\[
\frac{1}{\varepsilon'} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) (\cos^2 \omega - \sin^2 \omega),
\]

c'est-à-dire

\[
\frac{1}{\varepsilon'} = \frac{\cos^2 \omega}{R_1} + \frac{\sin^2 \omega}{R_2}.
\]

Goettingue, le 81 Décembre 1899.

M. J. Hatzidakis.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 9

Noticia histórica sobre la cuadratura del círculo
por M. A. Aubry

No queremos aquí relatar las inverosímiles locuras que esta cuestión ha tenido el privilegio de originar: habiendo leído con paciencia buen número de estas obras maestras de la extravagancia, no juzgamos ni interesante ni provechoso para nuestros lectores el invitarles a participar del trabajo que nos habíamos así impuesto. Nos contentaremos con presentar una relación histórica, tan completa como sea posible, de lo más interesante que se ha hecho con este objeto.

Propiamente hablando, la cuadratura del círculo es la obtención de un cuadrado cuya área sea igual a la de este círculo; pero se designa con el mismo nombre, como refiriéndose a ella, la rectificación de la circunferencia ó de los arcos circulares y el obtener la relación numérica de la circunferencia al diámetro. Se tiene así la cuadratura ó rectificación geométrica ó propiamente dicha, y la cuadratura ó rectificación aritmética.

Los primeros hombres no tardaron en apercibirse de que la vuelta de un estanque circular, por ejemplo, tiene una longitud aproximada al triplo del diámetro; y en efecto, se sabe que esta era la regla de los Babilonios. Pero esta simple observación, hecha independientemente de toda preocupación geométrica, solo puede considerarse como un primer paso hacia la idea de la cuadratura del círculo. Los Egipcios, al contrario, debieron ocuparse bastante en esta investigación, porque en el célebre papiro Rhind—copia hecha hacia—1700, de un manual que da testimonio de una ciencia ya extendida: se dice que el lado del cuadrado igual al círculo es igual a los \( \frac{16}{9} \) del radio.

Salvo este resultado, al que los egipcios habían llegado por razonamientos probablemente poco científicos, no se conoce nada de la cuadratura del círculo anterior a la época de Platón.

Anaxágoras (hacia 460) es el primero del que se sepa se haya ocupado de la comparación del círculo con el cuadrado. Es, por otra parte, todo lo que se sabe de esto.