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El Progreso matemático (1895-07-01 00:00:00), página 8

SOBRE LOS CÍRCULOS RADICALES
POR D. JUAN J. DURÁN LORIGA, COMANDANTE DE ARTILLERÍA

Se sabe que el lugar geométrico de los puntos tales, que sus potencias con relación á dos circunferencias fijas guardan la relación \( \frac{m}{n} \) es una circunferencia; y si suponemos \( m = -n \), esta línea también será el lugar de los puntos que tienen respecto á otras dos de esta clase, potencias iguales y de signos contrarios y que la analogía nos conduce á llamarla circunferencia radical (*) de las propuestas. Es muy fácil determinar su centro y radio.

Llamemos \( P_0 \) y \( P_0' \), las potencias de un punto \( P \) del plano respecto á las circunferencias \( o \) y \( o' \) (fig. 1.a). Se tendrá \( P_0 = -P_0' \), ó lo que es lo mismo, llamando \( l \) y \( l' \) las distancias de \( P \) á los centros y \( d \) la distancia \( oo' \)

\[
l^2 - R^2 = R'^2 - l'^2 \quad \text{es decir} \quad l^2 + l'^2 = A^2 + R'^2
\]

El centro de la circunferencia que buscamos será, por consiguiente, el medio de \( oo' \) y su radio será

\[
\rho = \frac{1}{2} \sqrt{2(R^2 + R'^2) - d^2}
\]

Para que la circunferencia radical exista, es preciso que se tenga

\[
d < \sqrt{2(R^2 + R'^2)}
\]

esta condición se cumple siempre, cuando las circunferencias son tangentes (ya exteriores ó interiores), secantes ó interiores, pero si son exteriores podrá existir ó no la circunferencia radical.

Cuando las circunferencias son secantes, teniendo evidentemente que pasar la circunferencia radical por los dos puntos de corte (de potencia cero), podrá describirse inmediatamente.

Cuando son tangentes exteriores, la circunferencia radical será tangente interior á la de mayor radio y en el punto de tangencia de las dadas (puesto que este punto tiene potencia cero respecto á am-

(*) Algunos autores, en particular los ingleses, llaman «círculo radical» (radical circle) al que corta ortogonalmente á otros tres, pero nos parece muy preferible la denominación muy usada de «círculo ortotómico» y llamar círculo radical al que es objeto de este estudio.
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bas), y como su centro es en todos los casos el medio de la línea de centros, es también su trazado inmediato. Si se quiere numéricamente determinar su radio sin recurrir al hecho visto a priori, se hará \( d = R + R' \) en el valor de \( \varrho \), y resulta, como es consiguiente,

\[
\varrho = \frac{1}{2} (R - R')
\]

Si son tangentes interiores, también resultará la circunferencia radical tangente á las dadas, y su radio será

\[
\varrho = \frac{1}{2} (R + R')
\]

Si las circunferencias son concéntricas, también lo será con ellas la radical y su radio se obtendrá haciendo \( d = o \) en el valor de \( \varrho \), con lo que resulta

\[
\varrho = \frac{1}{2} \sqrt{2(R^2 + R'^2)}
\]

Para el trazado gráfico de la circunferencia radical de dos exteriores (cuando existe) ó de dos interiores, se utilizarán las condiciones que vamos á exponer.

Consideremos tres circunferencias \( o, o' \) y \( o'' \), llamemos \( \pi_{oo'} \) la circunferencia radical de \( o \) y \( o' \) y \( \pi_{oo''} \) la de \( o \) y \( o'' \); si estas circunferencias se cortan, se tendrá en los puntos de intersección

\[
\begin{cases}
P_o = -P_{o'} \\
P_o = -P_{o''}
\end{cases}
\]
por consiguiente \( P_{o'} = P_{o''} \)

es decir, que el eje radical de \( o' \) y \( o'' \) lo es también de \( \pi_{oo'} \) y \( \pi_{oo''} \).

Cuando las circunferencias radicales no se cortan, también es fácil dar una demostración geométrica, y aun más sencillo, demostrarlo analíticamente, como haremos más adelante.

Esta observación sugiere el medio de encontrar la circunferencia radical de dos exteriores (si existe) ó de dos interiores \( o \) y \( o' \). Córtense por una tercera \( o'' \), determíñese la circunferencia radical de \( o \) y \( o'' \) y el eje radical de \( o' \) y \( o'' \) y se tendrá uno ó dos puntos de la circunferencia que se quiere determinar y de la que el centro es conocido.

La circunferencia \( o'' \) debe elegirse de un modo conveniente para que se corten el eje y circunferencia radical en el caso de ser las dadas exteriores (único caso en que puede haber imposibilidad) por la siguiente construcción. Levántese en el extremo del radio \( oA \) (fig. 1.a)
El Progreso matemático (1899-07-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Un problema de Aritmética que se encuentra en el estudio de las rodóneas
por el Dr. Gino Loria, profesor de la Universidad de Génova

Entre las curvas planas particulares se distinguen por la elegancia y variedad de formas y por el número de propiedades notables, las que, en coordenadas polares \( \rho, \omega \), se representan por una ecuación de la forma

\[
\omega = R \operatorname{sen} \mu \omega
\]

siendo \( \mu \) un número real que siempre es permitido suponerlo positivo. Son las rodóneas sobre las que Guido Grandi atrajo la atención de los científicos en 1723(1), cuya teoría estableció ampliamente dos años más tarde(2).

Si \( \mu \) es irracional, la curva es transcendente; pero si es racional ésta es algébrica, lo que se demuestra por el siguiente razonamiento, que conduce también a determinar el orden de la curva.

Hagamos \( \mu = \frac{p}{q} \), siendo \( p \) y \( q \) números positivos primos entre sí, y apliquemos la transformación determinada por la identidad

\[
\operatorname{sen}\ m x = \binom{m}{1} \cos^{m-1} x \operatorname{sen} x - \binom{m}{3} \cos^{m-3} x \operatorname{sen}^3 x + \ldots
\]

á los dos miembros de la otra identidad

\[
\operatorname{sen}\ p \omega = \operatorname{sen} \left( q \cdot \frac{p}{q} \omega \right),
\]
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cuya forma es el juicio lógico; y dichas operaciones traducen, según un nuevo algoritmo, tanto nuestras operaciones mentales, como el lenguaje que las expresa.

Esta aplicación ó descenso de las leyes del cálculo formal conduce á varios sistemas de álgebras geométricas (1); y, en general, cada algebra especial suele interpretarse al mismo tiempo que se hace su investigación, distinguiéndose el Algebra ordinaria de todas las demás en que, por ser la teoría de la cantidad, tiene ya en ésta su interpretación propia; y entre las álgebras, pertenecientes al género no numérico, la más sencilla es el Algebra de la lógica.

El fondo á que se aplican las leyes constitutivas de las álgebras está dado por las variedades ó espacios, donde adoptan su realización concreta; estas variedades se distribuyen en diversos órdenes, según el concepto de Grassmann; y, representándose por \( i, j, k, \ldots \) elementos irreducibles y por \( a, b, c, \ldots \) cantidades algébricas ordinarias, los elementos de una variedad de primer orden podrán expresarse bajo la forma \( a\ i + b\ j + c\ k + \ldots \) que indica las extraordinarias, según Cayley, ya que no se someten á las leyes del cálculo ordinario, debiéndose definir las combinaciones \( i^3, ij, ji, \ldots \) por tablas especiales, en los diferentes casos.

Consideremos símbolos dobles tales como \((x; y)\), que satisfacen á la ley \((x, y)(x', y') = (X, Y)\), siendo X e Y funciones dadas, por ejemplo, \(X = x\ x' - y\ y'\), \(Y = x\ y' + y\ x'\); se tendrá que

\[
(x, y)(x', y') = (x\ x' - y\ y', x\ y' + y\ x').
\]

Si \(m\) es una magnitud analítica, y se multiplica por el símbolo \((x\ y, \ldots )\), según la ley

\[
m(x, y, \ldots ) = (m\ x, m\ y, \ldots )
\]

y expresamos los símbolos \((x\ y), (x'\ y')\) por medio de las extraordinarias \(i, j\), resultará

\[
(i\ x + j\ y)(i\ x' + j\ y') = i(x\ x' - y\ y') + j(x\ y' + y\ x')
= i^3\ x\ x' + i\ j\ x\ y' + j\ i\ y\ x' + j^3\ y\ y'
\]

Para que estas expresiones se verifiquen simultáneamente, se

(1) Clifford Mathematical papers, p. 39.
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verificará que \( i^2 = i, ij = j, ji = j, j^2 = -i \) y la tabla de multiplicación de los símbolos será

Estas operaciones dilieren, pues, según las aplicaciones que Cayley hace á todos los sistemas geométricos en su memoria, On multiple Algebra; y bastará citar de entre ellas, las referentes á los sistemas de Hamilton y de Grassmann, en los que

\[
i^2 = j^2 = k^2 = -1, \quad i = jk = -kj, \quad j = ki = -ik, \quad k = ij = -ji,
\]
\[
\varepsilon_1^3 = 0, \quad \varepsilon_2^3 = 0, \quad \varepsilon_3^3 = 0, \quad \varepsilon_1 \varepsilon_2 = -\varepsilon_3 \varepsilon_1 = \varepsilon_1 \text{ etc.}
\]

respectivamente. Y puede citarse, con este motivo, la exposición que hace del Algebra doble, en su memoria On double Algebra, cuyas extraordinarias satisfacen á las condiciones

\[
x^2 = a x + b y, \quad xy = c x + d y, \quad y x = e x + f y, \quad y^2 = g x + h y
\]

correspondientes á la tabla

    x
    y

    x
    (a, b)
    (c, d)

    y
    (e, f)
    (g, h)

Lo esencial ó característico de la Geometría analítica es la traducción al lenguaje algébrico de las figuras geométricas; sustituye á los procedimientos gráficos un nuevo procedimiento más fecundo y uniforme, puesto que toma como base invariable los sistemas de coordenadas; pero dejando la primitiva sencillez en que lo consideró Descartes, al enriquecerse con el concepto del coeficiente diferencial, se internó en otra región más amplia; el cálculo infinitesimal le cedió uno de sus procedimientos, permitiéndola representar la dirección de la tangente, y expresar los accidentes de la variación de las curvas por medio de los de las funciones.

Pero si algo de común vemos entre la geometría cartesiana y el algoritmo infinitesimal, ambas ramas de la Matemática, luego se desenvuelven como sistemas distintos.

La Geometría analítica conserva su carácter artificioso, consistente en emplear elementos auxiliares que determinan los lugares geométricos; y aunque algunas veces sigue á cada entidad en sus afeccciones internas, esto sólo puede realizarlo por el auxilio obte-
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nido, que la reduce á una rama del cálculo infinitesimal que no se desvancece en su tronco, como el Algebra tampoco se identifica con la teoría de las funciones, apesar de los elementos que importa de ésta, para constituir la parte de su desenvolvimiento de carácter esencialmente cuantitativo.

Llegamos en esta escursión á la rama superior de la Matemática que las domina á todas y las envuelve con su amplísimo desarrollo, en el orden cuantitativo, y que si prescindiéramos del orden pedagógico, para seguir la generación lógica de la cantidad, atendiendo al modo de formarse por medio de sus elementos, sería el tronco de donde veríamos brotar todas las ramificaciones, respecto al quantum.

El Análisis infinitesimal es esta rama superior, que permite estudiar la cantidad en su constitución interna, mediante el cálculo diferencial, y en su constitución definitiva, mediante el cálculo integral, y que poseyendo los medios de toda generación cuantitativa, constituye realmente toda la ciencia de la cantidad, dispersa por necesidades pedagógicas en las ramas inferiores enumeradas. Pero sobre la cantidad, lo objetivo y externo á nuestra inteligencia, existen las leyes subjetivas ó formales, que aplica ésta á la cantidad. El orden, el número son conceptos que nos formamos con ocasión del fenomenalismo externo y lo aplicamos á la determinación de la cantidad.

Por esta razón hoy vemos que el fondo que sustenta todas las construcciones cuantitativas ó funcionales, es lo que se llama variedades, ó espacios, concepto que puede extenderse en la región de lo abstracto.

Partimos de los elementos que consideramos como fundamentales, ó de primer orden, para construir los de órdenes superiores; podemos limitar las variedades en ciertas regiones ó dominios y estudiar las funciones ó relaciones analíticas en cada uno de éstos, ya como desarrollos abstractos, ya con representaciones geométricas, ya esquematizando, con denominaciones geométricas, ciertas relaciones analíticas, que de este modo hacemos intuitivas. Estas correspondencias entre las funciones y los elementos de las variedades conducen al Analysis situs ó Geometría de situación y á que el Análisis infinitesimal realice una superior fusión de la teoría de las funciones con las geometrías de todos los órdenes, una asimilación completa de las leyes subjetivas del número con las leyes objetivas del espacio.
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Un instrumento poderoso emplea el cálculo infinitesimal para realizar esta armonía, que expresa un grado inmensamente superior al de las ecuaciones algébricas; en éstas, que constituyen problemas relativos á las operaciones inversas, existe un encadenamiento entre los coeficientes y las raíces que es preciso destruir por la separación de dichos elementos mediante la resolución de las ecuaciones; en el cálculo infinitesimal la ecuación diferencial es un enlace el más amplio que cabe entre las cantidades consideradas como funciones de todos los órdenes posibles.

Con el cálculo infinitesimal aun no hemos agotado el contenido del sistema que forma la ciencia matemática; en esta marcha ascendente siempre hemos visto una acción y reacción mutuas entre lo objetivo y subjetivo, entre la materia y la forma. Sobre la cantidad siempre prevalecen las leyes combinatorias.

La teoría de los grupos de transformaciones es el último grado de síntesis á que llega la Matemática, para abarcar su objeto con toda generalidad.

Z. G. de G.

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1898)

CONFERENCIA SEGUNDA

(Continuación, véase págs. 41 d 51)

Otro progreso importante en la teoría de los números, que ha transcendido á la teoría general de las funciones, es el realizado por el Sr. G. Cantor, mediante su original teoría de los conjuntos. Esta se funda en el concepto de potencia, ó número cardinal que es la idea general que se deduce, por medio de nuestra facultad de pensar, de un conjunto M de objetos, haciendo la doble abstracción de la naturaleza de sus elementos y de su orden.

Pero como al abstraer la naturaleza de los elementos, el conjunto queda reducido á contener sólo unidades, el número cardinal M es
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como una imagen intelectual, ó proyección en nuestra inteligencia del conjunto M.

Dos conjuntos son equivalentes, cuando se les puede referir mutuamente, de manera que á cada objeto del uno corresponda, con reciprocidad, un objeto del otro, siendo el criterio necesario y suficiente, para su equivalencia, la igualdad de sus números cardinales.

Pero si dos conjuntos M y N con números cardinales \( a = M, b = N \) satisfacen á las dos condiciones:
1) no existe ninguna parte de M equivalente á N
2) existe una parte \( N_1 \) de N tal que \( N_1 \) es equivalente á M, condiciones que subsistirán para todos los conjuntos respectivamente equivalentes á M y N, dichas condiciones expresarán una relación determinada entre los números cardinales \( a \) y \( b \), que excluirá la equivalencia entre M y N, y por consiguiente entre \( a \) y \( b \), así como la misma relación entre \( a \) y \( b \) que entre \( b \) y \( a \), excluyendo cada una de las relaciones

\[
a = b,\quad a < b,\quad a > b
\]

á las otras dos, sin ser evidente, en este estado de la exposición, ni preciso demostrar que debe existir necesariamente una de estas tres relaciones, pues más tarde, al tratar de la sucesión creciente de los números transfinitos, demuestra el Sr. Cantor que:

Si \( a \) y \( b \) son dos números cardinales cualesquiera, se tiene: ó \( a = b \), ó \( a < b \), ó \( a > b \), teorema del que deduce (tratándose de los conjuntos transfinitos):
1.º Si el conjunto M es equivalente á una parte \( N_1 \) de N, y N equivalente á una parte \( M_1 \) de M, \( M_1 \) y N son equivalentes.
2.º Si \( M_1 \) es una parte de M, \( M_2 \) una parte de \( M_1 \) y M equivalente á \( M_2 \), los conjuntos M, \( M_1 \), y \( M_2 \) son equivalentes.
3.º Si N no es equivalente á M, ni á una parte de M, será una parte \( N_1 \) de N equivalente M.
4.º Si M y N no son equivalentes, y una parte \( N_1 \) de N es equivalente á M, no existe ninguna parte de M equivalente á N.

Acerca de las operaciones con los números cardinales bastará decir que la reunión de dos conjuntos M y N que no tienen elementos comunes es un nuevo conjunto (M, N) que será equivalente á otro conjunto (\( M', N' \)), cuando M y N sean respectivamente equivalentes á M y N; y dependiendo el número cardinal tan sólo de
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la suma de los números cardinales de los sumandos, se deducen inmediatamente las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

Respecto á la multiplicación, combinándose cada elemento \( m \) de \( M \) con cada elemento \( n \) de \( N \), se obtienen nuevos elementos \( (m, n) \) cuyo conjunto es el conjunto producto \( (M \cdot N) = \{ m, n \} \); y sustituyendo á \( M \) y \( N \) los conjuntos que les son equivalentes \( M' = \{ m' \} \), \( N' = \{ n' \} \), siendo \( m \) y \( m' \) \( n \) y \( n' \) elementos correspondientes, se ponen los conjuntos \( (M \cdot N) \) y \( (M' \cdot N') \) en relación recíprocamente unívoca.

Pero además se puede construir un conjunto \( S \) con número cardinal \( a \cdot b \) por medio de conjuntos con números cardinales \( a \) y \( b \), sustituyendo, en el conjunto \( N \), á cada elemento \( n \) un conjunto \( M_n \) equivalente á \( M \), y reuniendo todos los elementos resultantes, de modo que el elemento \( m_n \) de \( M_n \) corresponda al elemento \( m \) de \( M \) se tendrá \( S = \{ m_n \} \) y los conjuntos \( S \) y \( (M \cdot N) \) se podrán poner en correspondencia unívoca, si \( m_n \) y \( (m, n) \) se consideran como elementos correspondientes. Todo lo que conduce á establecer las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación.

La noción de elevación á potencia la establece el Sr. Cantor por un cubrimiento del conjunto \( N \) con los elementos del conjunto \( M \), que podrá ser con repetición, de manera que si \( N = (a, b, c, d) \) y \( M = (\alpha, \beta) \) se obtendrá:

\[
\begin{array}{cccc}
aaa & \beta\beta\beta & \alpha\beta\alpha\beta & \alpha\beta\alpha\beta \\
abcd, & abcd, & abcd, & abcd,
\end{array}
\]

La totalidad de cubrimientos forma un conjunto de cubrimientos cuyos elementos se expresan por el signo \( f(N) \), y el total por \( (N \mid M) = \{ f(N) \} \).

La serie de los números cardinales finitos satisface á las condiciones:
A) Los términos 1, 2, 3, ... v, ... son todos distintos entre sí.
B) Cada uno de ellos es mayor que los que le preceden y menor que los que le siguen.
C) No existe ningún número cardinal situado entre dos términos sucesivos \( v \) y \( v + 1 \).
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Las demostraciones de estos teoremas se fundan en las dos proposiciones:
D. Si M es un conjunto tal, que no tiene potencia igual á la de sus conjuntos parciales, lo mismo se verificará para un conjunto (M, e) que tiene además el elemento e.
E. Si N es un conjunto con número cardinal finito \( \nu \), y N₁ es uno de sus conjuntos parciales, el número cardinal de N₁ es igual á uno de los números precedentes 1, 2, . . . , \( \nu - 1 \).
Estas demostraciones se hacen empleando la correspondencia unívoca; y es de notar ahora lo característico de los conjuntos de importancia en esta teoría, es decir, los conjuntos infinitos correspondientes á los números transfinitos.
La totalidad de los números cardinales finitos \( \nu \) constituye el primer ejemplo de números transfinitos, denominado conjunto alef sub-cero, que tiene las propiedades: 1.º de no ser igual á ningún número finito, y esto se ve observando que el conjunto \( (\{ \nu \}, e_0) \) es equivalente al conjunto \( \{ \nu \} \), pues entre ellos puede establecerse una correspondencia unívoca 2.º de ser mayor que cualquier número finito \( \mu \), puesto que ninguna parte del conjunto \( (1, 2, . . . \mu) \) es equivalente al conjunto \( \{ \nu \} \) y \( (1, 2, . . . \mu) \) es una parte de \( \{ \nu \} \)
En cuanto á los conjuntos transfinitos, el conjunto alef sub cero es el inferior á todos, de manera que: 1.º Todo conjunto transfinito tiene conjuntos parciales cuyo número cardinal es alef sub-cero. 2.º Si S es un conjunto transfinito con número cardinal alef sub-cero, y S₁ un conjunto transfinito, parte de S, será \( S_1 = \) alef subcero. La fórmula

\[
\text{alef sub cero} + 1 = \text{alef sub-cero}
\]

conduce finalmente á

\[
(\text{alef sub-cero})' = \text{alef sub-cero}
\]

Resulta pues que: Ningún conjunto finito es equivalente á uno de sus finitos parciales. Pero:
Todo conjunto transfinito tiene conjuntos parciales equivalentes al mismo.
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En los conjuntos hay que considerar además del número cardinal, el tipo de orden, designado por \( \overline{M} \), ó la idea que se obtiene del conjunto \( M \), cuando se hace abstracción solamente de la naturaleza de los elementos dejando subsistir su orden de posición, de modo que estos son unidades puras ó abstractas.

Uno de los conjuntos simplemente ordenado, \( R \), es el obtenido tomando los números racionales positivos \( \frac{p}{q} \) (donde \( p \) y \( q \) son primos entre sí), comprendidos entre 0 y 1 ordenados según su magnitud; y también puede considerarse el conjunto \( R_0 \) en el que además de dos números \( \frac{p_1}{q_1} \) y \( \frac{p_2}{q_2} \), para los que las sumas \( p_1 + q_1 \) y \( p_2 + q_2 \) son desiguales, ocupe lugar inferior el correspondiente á menor suma, de modo que

\[
R_0 = (r_1, r_2, r_3, \ldots) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{5}, \frac{3}{4}, \ldots \right)
\]

Entre los conjuntos ordenados, preferentemente hay que considerar los semejantes, de modo que, en \( M \), los elementos \( m_1 \) y \( m_2 \) deben conservar la misma relación de lugar que \( n_1 \) y \( n_2 \) en \( N \), obteniéndose así una imagen ó representación del uno sobre el otro; y tendrán el mismo tipo de orden cuando sean semejantes, existiendo, para un mismo número cardinal transfinito, infinidad de tipos de conjuntos simplemente ordenados, cuyo conjunto forma una clase de tipos, siendo la primera la correspondiente al número alef sub-cero.

Dado un tipo \( \omega \) de un conjunto bien ordenado (\( e_1, e_2, \ldots, e_v \)) en el que \( e_v < e_{v+1} \), se le puede representar por otro (\( f_1, f_2, \ldots, f_v \)) con la condición \( f_v < f_{v+1} \) y de una sola manera haciendo corresponder \( e_v \) y \( f_v \), pues al menor término \( e \), corresponderá el menor término \( f_1 \); pero si se considera el conjunto ordenado de la forma \( \{ e_{v'} \} \) en el que \( v' \) representa todos los número finitos positivos ó negativos, no teniendo lugar superior ni inferior, su tipo será \( * \omega + \omega \) (representando \( * \omega \) el conjunto \( \omega \) invertido), y podrá representarse por el conjunto \( \{ f_{v'} \} \) de infinidad de maneras de modo que el elemento \( e_{v'} \) corresponda á un elemento \( f_{v'_0 + v'} \), siendo \( v'_0 \) un número arbitrario.