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Se podría también combinar dos sistemas semejantes al de la figura 26.

XIII Por un punto dado trazar una recta que forme un ángulo dado con una recta determinada por dos puntos dados O y D. Este problema fué resuelto también por Sylvester mediante un aparato compuesto de cuarenta y tres varillas.

Desde el centro D describamos una circunferencia que pase por O, y tracemos una secante cualquiera OA, sobre la que tomaremos:

\[
AM = \frac{a^2}{OA}, \quad AP^2 = AM^2 - a^2, \quad AF = \frac{a^2}{AP},
\]
\[
AH^4 = AF^2 + a^2, \quad AK = \frac{b^2}{AH}, \quad OB = \frac{c^2}{OK},
\]

el lugar de B será una recta que resolverá la cuestión.

XIV. Pantógrafo. Si se traza una recta que corta á tres lados de un paralelógramo, prolongados lo necesario, en K, L, M, en todas las deformaciones de éste, dichos puntos permanecerán en línea recta, y además se tendrá

\[
\frac{KL}{LM} = \text{const.}
\]

de modo que si se fija el punto K y se hace describir á L una curva cualquiera, M trazará la homotética de esta curva.

Este instrumento, muy conocido, fué inventado por Scheiner hacia 1601, y divulgado en su obra Pantographiae (Roma 1631).

Sylvester mostró que si se fija un vértice K de un paralelógramo, y en los dos lados no adyacentes, como basea, se adaptan triángulos cuyos vértices se hallen en L y M, se tendrá:

\[
\angle LKM = \text{const.} \quad \text{y} \quad \frac{LK}{MK} = \text{const.}
\]

se puede realizar así una homotecia oblicua, Sylvester llama á este aparato un plagiógrafo.

También observó que si desde dos lados consecutivos de un cuadrilátero articulado se conducen á los otros lados varillas paralelas á éstos, de manera que tengan dos cuadriláteros semejantes, se tendrá todavía otro nuevo pantógrafo.
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En fin, observa también que dos inversores pueden combinarse de modo que sirvan de pantógrafo.

XV. Reversor de Kempe. Consideremos dos contraparalelógramos dobles con la misma bisectriz CD (fig. 13); se tendrá á un lado de CD dos rectas CB y CB' y por el otro dos rectas CF y CF' tales que \( \angle BCD = \angle FCD \) y \( \angle B'CD = \angle F'CD \), de manera que si se terminan los paralelógramos BCB'B' y FCF'F', los dos puntos B'' y F'' serán siempre simétricos con respecto á CD.

El reversor siguiente está fundado en un principio más sencillo, pero exige diez y nueve varillas en vez de catorce: consiste en hacer describir la misma recta por dos inversores de Peaucellier y en reunir las dos articulaciones trazantes por un rombo, cuyos dos vértices libres son evidentemente simétricos con relación á la recta trazada (S. M. 1883).

Aplicando el mismo principio á dos aparatos de Hart (fig. 14) se tendrá otro reversor de catorce varillas, como el de M. Kempe.

XVI Extracción de la raíz cuadrada.—Tomemos sobre una misma recta sucesivamente

\[
OB^2 = OA^2 + \frac{1}{2}, \quad OC = \frac{1}{OB}, \quad OD^2 = OC^2 - 1
\]
\[
ED = \frac{1}{OD}, \quad OF = \frac{2}{OE}, \quad OG^2 = OF^2 + 1
\]
\[
OH = \frac{1}{2OG}
\]

operaciones que pueden efectuarse con cuatro inversores y tres extractores, se tendrá OH = OA^2

La invención de este instrumento de cuarenta y dos varillas se debe á Sylvester.

Si no se limita á tener las dos longitudes dada y buscada, sobre la misma recta, se llegará sencillamente al mismo resultado con un simple extractor binomio de Johnson.

Sylvester ha notado igualmente que el inversor de Peaucellier puede servir para la resolución de las ecuaciones de 2.º grado.

XVII. Problema deliaco.—Sylvester resolvió así este famoso problema:

Tomemos sobre una recta (fig. 34)

\[
AB = \frac{a^3}{OA}, \quad BC = \frac{a^2}{OB}, \quad AD = \frac{b^2}{AC};
\]
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Se tendrá:

(a) \( b^2 \cdot OA^3 + a^2 (a^3 - b^6) OA = a^4 \cdot OD \),

de donde, para \( b = a \), la relación \( a^4 \cdot OD = OA^3 \).

Se llegaría más sencillamente al resultado empleando los aparatos representados por las figs. 29, 30 y 31 que, bajo ciertas condiciones, dan cisoides, como arriba se ha visto.

XVIII Resolución de la ecuación cúbica.—La relación (a) del problema precedente manifiesta que para \( b \) diferente de \( a \), el sistema resuelve la ecuación cúbica.

M. St'Loup (Mém. de la soc. du Doubs, 1875) llega á esta solución con auxilio de un simple cuadrilátero articulado. Siendo \( a, b, c, d \) los lados, si el lado \( a \) está fijo, y el lado \( c \) se prolonga en una longitud á la del mismo, y se tiene

\[
4c^2 = b^2 - a^2 - p + \frac{q}{a} .
\]

\[
4d^2 = b^2 - a^2 - p - \frac{q}{a} ,
\]

se tendrá, llamando \( x \) á la longitud interceptada por el ángulo de \( d \) y \( c \), sobre la prolongación de \( a \):

\[
x^3 + px + q = 0
\]

M. Greenhill ha empleado también el cuadrilátero con el mismo objeto (M. M. 1875).

XIX. Trisección del ángulo.—Sylvester ha imaginado un triselector de catorce varillas, que se puede representar así: varias varillas están articuladas cabo á cabo, y en sus medios, articuladas á otras varillas iguales, que están unidas á sus otras extremidades por una articulación común. Se puede así con \( 4n + 2 \) varillas, dividir un ángulo cualquiera en \( n \) partes iguales.

M. Kempe ha hecho ver enseguida que el contraparalelógramo triple formado por tres contraparalelógramos semejantes que tienen un vértice común, puede servir para la trisección del ángulo. En general, el \( n \)º contraparalelógramo sirve para la
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división del ángulo en \( n \) partes iguales, lo que exige, por consiguiente, \( 2n + 2 \) varillas.

El triselector de Kempe tiene la desventaja de tener articulación cuádruple en el vértice del ángulo por trisecar. De los sistemas que hemos estudiado se pueden deducir otros también de ocho varillas, pero sin este inconveniente.

1.º Desde luego se pueden unir las dos varillas CB y CD (figura 13) de un contraparalelógramo doble por dos varillas iguales OD' y OD que formen un rombo CD'OD. El ángulo OCD será siempre el tercio del ángulo OCF.

2.º Tomemos sobre la varilla FH (fig. 19) FI = FC = CB.

Siendo FI perpendicular a FD, se tendrá \( \angle FCI = \frac{1}{3} \angle ICB \).

3.º Hagamos en la (fig, 29) OA^2 = OF^2 = AB^2 - BF^2, se tendrá CO = CA y el ángulo OAF será siempre el tercio del suplemento de \( \angle COF \).

4.º En el sistema de la fig. 21 hagamos, en particular,

\[
FD = AB = GC = 2, \quad AO = EF = EG = \sqrt{5} - 1 \\
AG = AF = ED = OB = DB = CB = \sqrt{5} + 1,
\]

se tendrá \( \angle COB = \frac{1}{3} \angle EOC \). El ángulo buscado está dado directamente y además los lados del ángulo dado quedan visibles durante la operación. Los puntos C, O, E podrían estar provistos de puntas fijas, y la articulación B de una punta móvil, resbálando en su eje y determinando un punto de la recta buscada.

Se puede también tener trisectores de seis varillas, menos cómodos, es cierto, que el último descrito.

1.º Sobre A B (fig. 26) tomemos AN = AG, se tendrá siempre:

\[
\angle NGA = \frac{1}{3} \angle NGF.
\]

Se podrá tomar por ejemplo,

\[
GF = GA = AN = 4, \quad AB = BC = 6, \\
CE = EF = 2, \quad AD = CD = 3.
\]
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2." En la fig. 30 hagamos \( OB^2 = OD^2 = AG \cdot GF - AB \cdot BC \); se tendrá \( OG = BG \), y por consiguiente \( BOG = \frac{1}{3} \angle BOX \).

Se hará, por ejemplo,

\[
AB = BC = OB = OD = 1, \quad AG = GF = \sqrt{2}.
\]

3." En la fig. 31 hagamos \( OD^2 = OB^2 = AB^2 - AD^2 \). Si \( O' \) es el medio de DO, se tendrá \( \angle GDO = \frac{1}{3} \angle GO'O \). La figura supone \( AB = 5, \ AD = 4, \ OD = 3 \).

Si se puede tener directamente el ángulo, se tomará el medio B' de DB : \( \angle GO'B' \) será tercio buscado. Se puede también determinar al mismo tiempo el punto B' por la adición de otras dos varillas, como FB' y B'O', ó de otro modo.

XX. Hemos tratado en nuestro estudio de la descripción de ciertas curvas por los sistemas articulados más sencillos. Pero es preciso que sean tan solo las curvas conocidas las que han de sujetarse á tales construcciones. Citaremos solamente la familia tan importante de las ciclicas, que Cayley ha mostrado pueden trazarse con el aparato generalizado de la fig. 11.

Por otra parte, M. Kempe ha demostrado la posibilidad de construir una curva plana algebraica cualquiera, con auxilio de sistemas articulados, posibilidad ya vislumbrada por M. Peaucellier.

XXI. En fin, consignaremos: la extensión dada desde luego por Sylvester de los sistemas de varillas articuladas á los sistemas de triángulos articulados;—el estudio de los casos particulares en que sistemas indeformables en general se hacen deformables, estudio comenzado por M. Kempe y continuado por M. Burmester principalmente.—El estudio del grado de movilidad de los sistemas articulados,—la aplicación á las artes mecánicas, á los instrumentos de física y á la geometría (*);—la aplicación á los sistemas articulados, que hizo por vez primera M. Darboux, de la teoría de las equipolencias, que se introduce naturalmente.—La representación del movimiento del cuadrilátero articulado por las funciones elípticas, debida igualmente á M. Darboux;—el trazado aproximado de las curvas, por medio

(*) Citaremos los planimetros, los integradores, planos ó esféricos, los derivadores, los analizadores, los perspectógrafos etc. Estos instrumentos emplean, por otra parte, mucho movimiento de carriles.
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del cuadrilátero, inaugurado, para la línea recta por Watt, estudiado por Tchebichef en su célebre memoria sobre los paralelogramos (Petersb. 1853) (*) y considerado, en general, en estos últimos tiempos por M. Léauté.

XXII. Como conclusión, reconoceremos que apesar de los trabajos ya numerosos, la teoría de los sistemas articulados no ha podido todavía darse á luz. Lo que de ella se conoce no es más que una colección muy rica, es cierto, de problemas útiles ó interesantes, pero sin enlace entre sí. De todos modos hay motivo para creer que el principio de la transformación de las figuras juega en ella un gran papel; y el número de las que han sido ya empleadas es considerable, particularmente las transformaciones vectoriales de la forma \( F : \{z, z'\} = 0 \).

30. Hasta el presente no hemos tratado mas que de sistemas articulados planos, pero es preciso que aquí se hayan detenido las investigaciones de los geómetras. Solamente han sido necesarios nuevos géneros de articulaciones, que son:

El pernio que permite á una recta de un cuerpo moverse alrededor de un eje, en un plano perpendicular á este eje.

El pernio cónico consistente en una varilla que gira oblicuamente alrededor de un eje.

La unión puntual formada por una junta de Cardan con cubos donde unen los extremos de dos varillas que se han de reunir, lo que deja toda la movilidad á los sistemas articulados alabeados. Se puede reemplazar esta articulación por otras que se encontrarán, por ejemplo, en la Ciném. de M. Koenigs (Paris 1897).

Esto sentado, véanse algunas cuestiones sencillas relativas á los sistemas alabeados:

I. Pantógrafo del espacio. El aparato muy conocido por Colas, de la reducción de las estatuas, no es más que un pantógrafo fijo por una juntura de Cardan.

II. Descripción de un plano. La primera idea que se presenta es hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados y articular al lado opuesto otro rectángulo del que un punto cualquiera describirá, sobre un plano perpendicular á un eje fijo, una corona plana.

(*) Se sabe que reduce la cuestión á la de determinar los coeficientes de un polinomio de modo que las separaciones de los valores comprendidos entre \( a - h \) y \( -a + h \) sean mínimos.
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Por la combinación de dos aparatos de este género se tendrá la descripción de una recta en el espacio. Es la solución de Sarrut (núm. 19).

Veremos más lejos soluciones muy ingeniosas de estos problemas.

III. Descripción de las superficies cilíndricas y cónicas. Se obtendrá facilmente suspendiendo paralela ó oblicuamente á un eje fijo, los aparatos representados por las figs. 13, 22, 23 y 26. Combinándolo con el precedente se tendrá un conicógrafo.

IV. Esferógrafo. Todo punto de una varilla móvil alrededor de un punto fijo describe una esfera; pero puede desearse describir una esfera de un radio muy grande ó cuyo centro sea inaccesible, ó todavía una porción esférica convexa. Para esto, se utilizará el teorema de M. Darboux: Si tres puntos fijos de una recta se mueven sobre esferas cuyos centros se hallan en línea recta, todo punto de esta recta describe una esfera, de modo que por una elección conveniente de los elementos de este sistema, cierto punto describirá un plano.

El plano puede así ser descrito por un aparato de cuatro varillas. M. Mannheim ha añadido esta observación: que una recta del espacio puede ser descrita por ocho varillas.

V. Elipsoidógrafo. Siendo la superficie del elipsoide el lugar de los puntos de una recta de la que tres puntos describen planos, puede ser descrita por un aparato compuesto de doce varillas, según el problema anterior.

Hiperbolóide articulado. Este sistema da, en todas sus deformaciones, hiperboloides homofocales (Greenhill) M. Mannheim ha reducido este teorema y otros varios, á la deformación del paralelogramo alabeado.

VII. Teorema de Koenigs.—Se puede siempre, con auxilio de sistemas articulados, realizar un movimiento algebraico cualquiera, en particular, describir toda superficie ó toda curva, con tal que sean algebraicas (véanse Koenigs. loc. cit).
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UN NUEVO SISTEMA DE DEFINICIONES PARA LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA (1)
por el Sr. Padova, profesor de matemáticas en Roma

Entre las ideas que se encuentran en Geometría las hay necesariamente que no están definidas. Las llamaremos ideas primitivas. Evidentemente hay arbitrariedad en la elección de ideas primitivas

Citaremos solamente tres geómetras que han tratado de reducir lo más posible el número de las ideas primitivas, mediante las cuales todas las demás pueden ser definidas.

M. Pasch, en 1882 (2), consiguió definir todas las demás ideas geométricas mediante las cuatro ideas:

1) punto,
2) segmento (de recta),
3) plano,
4) se superpone á.

Después el Sr. Peano, en 1889 (3) consiguió definir «plano» mediante «punto» y «segmento». Completoando su obra, el Sr. Peano en 1894 (4) reemplazó en el sistema de las ideas primitivas «se superpone á (est superposable á) por movimiento. En conclusión, el Sr. Peano, consiguió definir las demás ideas geométricas por las tres ideas:

1) punto,
2) segmento,
3) movimiento (5)

En fin, el Sr. Pieri, en 1899 (6) consiguió definir «segmento» me-

(1) Es el resumen, escrito por el autor, de una comunicación presentada en el Congreso internacional de matemáticos en París
(2) Vorlesungen über neuere Geometrie Teubner, Leipzig.
(3) I principii di geometria logicamente esposti Fratelli Bocca, Torino.
(4) Sul fondamenti della Geometria. Revue de Mathématiques, Turín, IV vol.
(5) No es inútil, puede ser, precisar la significación dada por el Sr. Peano (y por otros varios autores, desde Euclides) á la palabra «movimiento».
En vez de considerar las infinitas posiciones sucesivas de un cuerpo en movimiento, no considera más que su primera y su última posición. Si a es un punto, ó una clase de puntos (llamada en el lenguaje ordinario figura), y si m es un movimiento, el Sr. Peano representa m a aquéllo á que se reduce el punto, ó la figura a, después del movimiento m. En otros términos, para el Sr. Peano, cada movimiento es un signo particular de función que transforma los puntos en puntos.
Se comprende entonces facilmente la relación íntima que liga entre sí la cuarta idea primitiva del Sr. Pasch y la tercera del Sr. Peano.
En la comunicación que tratamos de resumir, hemos definido la una por la otra, estas dos ideas, mediante la idea «punto».
(6) Della geometria elementare come sistema ipotetico-deduttivo. Memorie della R. Acc. delle Scienze di Torino.
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diante «punto» y «movimiento». Por consiguiente: todas las ideas que se encuentran la Geometría euclidiana pueden ser definidas mediante dos solas de ellas, á saber:

1) punto	2) movimiento.

Apesar de esto, parece que las obras citadas son completamente ignoradas por los matemáticos. Porque, aún en las obras más recientes que tienen por objeto el análisis de los principios de la Geometría, el número de las ideas elegidas como primitivas es mucho mayor (1).

* * *

Por el contrario, nos hemos propuesto esta cuestión «por simple que sea el sistema de las ideas primitivas elegido por el Sr. Pieri, no podríamos encontrar todavía otro más simple, ó al menos cierto punto de vista que me parece bastante importante y que voy á precisar á continuación?».

Qué es para los Sres. Pasch, Peano y Pieri, la palabra «punto»? El nombre de una clase. Y ¿qué es para los Sres. Peano y Pieri la palabra «movimiento»? todavía una vez más, el nombre de una clase: la clase de estas transformaciones particulares de los puntos en puntos, de que acabo de hablar. ¿Qué es «un movimiento»? Una de estas transformaciones, es decir, una relación entre todos los puntos (cuyo número es infinito).

Y bien! nos hemos preguntado ¿es que no bastaría tomar como segunda idea primitiva una relación entre un número finito de puntos? Nos proponemos justificar la respuesta afirmativa que creemos poder dar á esta cuestión.

* * *

Elejiremos como primitivas las dos ideas:

1) punto	2) se superpone á (est superposable á)

con esta restricción para la segunda que no definimos esta relación solamente cuando está empleada entre dos pares de puntos.

(1) Véase por ejemplo:
W. Killing Einführung in die Grundlagen der Geometrie Padeborn, 1898.
D. Hilbert Grundlagen der Geometrie (1900).
E. Enriques Questioni riguardanti la Geometria elementare (Bologna) 1900.
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zaderas pasan siempre por los puntos K y L; el punto M describe una elipse sobre el platillo.

Á fines del siguiente siglo Guido-Ubaldo propuso reglas graduadas girando al rededor de los focos, permaneciendo el cero de la una en uno de los focos y una división dada de la otra en el otro foco; si las dos reglas se encuentran en divisiones correspondientes, los puntos de intersección están sobre una cónica. Aun se estaba lejos de un conicógrafo verdaderamente práctico.

6. Á Cavalieri es á quien se deben los primeros puntos de vista sobre las definiciones generales de las cónicas como intersecciones sucesivas de rectas móviles que han producido consecuencias importantes debidas á Newton y Mac-Laurin. En su Geom. indiv. (Bolonia 1635) considera la parábola como el lugar de las intersecciones de paralelas igualmente distantes y de rectas concurrentes que determinan segmentos iguales sobre una de estas paralelas.

7. Descartes parece haber considerado el primero las curvas cinemáticamente. Sin embargo, no da de ello mas que un ejemplo para las cónicas: en su Geom. (1637) muestra cómo un lado KL de un ángulo CKL que resbala en su propia dirección, haciendo mover una recta GL que resbala sobre el punto fijo G y unida en L á KL, la intersección de GL y de CK describe una hipérbola.

8. En sus Ex. Geom. (Bolonia 1647) Cavalieri definió la elipse y la hipérbola como lugar de las intersecciones resultantes de dos haces de rectas, que determinan sobre los lados de un ángulo fijo segmentos iguales, los que á su vez están determinados por la intersección de los lados del ángulo y de una paralela á una dirección dada.

9. Schooten (Ex. math. Leyde, 1667) abordó la realización efectiva de los conicógrafos. Generalizó el teorema de Proclo, reemplazando el ángulo recto por un ángulo cualquiera y la recta móvil por un triángulo cuyo vértice libre describe igualmente una elipse (*); propone también para la misma curva un compás de piernas iguales, de las que una puede girar alrededor de su extremo fijo en O, mientras que sobre una regla que pasa por O; todo punto de esta segunda pierna describe una elipse.

(*) Se sabe que se puede todavía generalizar, reemplazando el triángulo por el conjunto de dos arcos circulares que resbalan sobre los lados del ángulo.
Recordamos también que si dos puntos de una recta describen dos rectas cualesquiera en el espacio, todo punto de la recta móvil describe una elipse.
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Es preciso observar que el Sr. Pieri y yo, hemos tenido la misma idea al mismo tiempo, solamente que el Sr. Pieri no la ha desarrollado todavía (1).

Sabemos además que otros autores han tomado como ideas primitivas las que yo he elegido; pero han tomado como primitivas también otras ideas, sea que lo declaren ó no (2).

Todavía, sabemos que entre nuestras definiciones las hay que han sido enunciadas por otros autores; pero si no nos equivocamos, ninguno había construido la serie de definiciones que vamos á enunciar.

* * *

Una vez por todas, en nuestras definiciones \(a\) y \(b\) representan siempre puntos distintos.

I. «\(x\) es un punto de la recta \(ab\)» significa «\(x\) es un punto y no existe ningún punto \(y\), distinto de \(x\) tal, que al mismo tiempo el par \((a, x)\) se pueda superponer al par \((a, y)\) y el par \((b, x)\) al par \((b, y)\)».

II. «\(x\) es un punto de la superficie esférica que tiene \(a\) por centro, y que pasa por \(b\)» significa «\(x\) es un punto tal, que el par \((a, x)\) puede superponerse al par \((a, b)\)».

III(3). «\(x\) es el centro del par \((a, b)\)» significa «\(x\) es el punto de la recta \(ab\) [I], tal que el par \((a, x)\) puede superponerse al par \((x, b)\)».

IV. Si \(c\) y \(d\) son puntos de la recta \(ab\) [I], distintos entre sí y de los puntos \(a\) y \(b\), entonces «el par \((c, d)\) no separa al par \((ab)\)» significa «no existen puntos que pertenezcan al mismo tiempo á la superficie esférica cuyo centro es el centro del par \((a, b)\) [III] y que pase por \(b\) [II] y á la superficie esférica cuyo centro es el del par \((c, d)\) y que pase por \(d\)».

V. «\(x\) es un punto, entre \(a\) y \(b\)» significa «si \(y\) es el centro del par \((a, b)\) [III], entonces ó \(x\) coincide con \(y\) ó bien \(x\) es un punto de la recta \(ab\) [I], distinto de \(a\), de \(b\), de \(y\), tal, que el par \((x, y)\) no separa al par \((a, b)\) [IV]».

(1) Véase el estudio «Sur la géométrie, envisagée comme un système purement logique» comunicado hace algunos días al Congrès international de Philosophie en Paris.
(2) Véase por ej. G. Veronese. Gli elementi di Geometria. Fratelli Drucker, Verona, 1897.
(3) Ahora no nos ocuparemos de los postulados de la Geometría. Podemos suponer que se haya construido un sistema de proposiciones, admitidas sin demostración, en las cuales estén enunciadas, propiedades de nuestras ideas primitivas tales, que se puedan de ellas deducir todas las demás propiedades de estas ideas y otras ideas que por su medio puedan ser definidas.