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sentación de la superficie en el plano, comprendida en un círculo de radio \( a \), por haber deducido que los valores admisibles de las variables \( u \) y \( v \) satisfacen á la relación \( u^2 + v^2 < a \).

A dos cuerdas que se cortan dentro del círculo-límite corresponden dos geodésicas que se cortan en un punto á distancia finita según un ángulo comprendido entre \( 0^\circ \) y \( 180^\circ \). A dos cuerdas que se cortan en la circunferencia del círculo-límite, corresponden dos geodésicas concurrentes hacia un punto situado á distancia infinita. Si \( p \) \( q \) es una cuerda del círculo y \( r \) un punto interior, á ella corresponde en la superficie pseudo-esférica una geodésica \( p'q' \) dirigida hacia los puntos del infinito \( p' \) y \( q' \), correspondientes á los \( p \) y \( q \).

Siguiendo este orden de ideas el Sr. Bianchi en sus Lesioni di Geometria differenziale manifiesta que dos superficies bastante diferentes por la forma pueden tener la misma geometría, es decir, las mismas propiedades concernientes tan solo á las relaciones de magnitud y de posición de las figuras descritas sobre tales superficies, como acontece con el plano y las superficies cónica y cilíndrica, estudia los tres tipos de la superficie pseudo-esférica, parabólico, elíptico é hiperbólico y hace una exposición de la geometría pseudo-esférica, empleando la representación conforme de esta superficie sobre el semi-plano.

Teniendo el punto \( o \) de la fig. 15 por imagen el punto \( O \) de la figura 14, centro del círculo-límite, la geodésica \( g \) tendrá por imagen un círculo ortogonal al círculo límite; los puntos \( A \) y \( B \) de in-

tersección de ambos círculos son las imágenes de los puntos del infinito de las dos geodésicas \( oa \) y \( ob \), límites de las geodésicas del haz \( o \) que encuentran á \( g \) en puntos reales y de las que no la encuentran, es decir, las paralelas á \( g \), conforme se verifica en la planimetría no-euclidea.
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Citaré, para dar una somera idea de esta cuestión, la superficie pseudo-esférica, llamada alíscide o catenoide, engendrada por la rotación de la catenaria alrededor de su base y presentar los tipos de superficies de curvatura constante negativa que estudia el Sr. Klein en su Nicht-euclidische Geometrie, terminando esta exposición con las consideraciones de este ilustre profesor, que resumen el concepto de la geometría en sus tres géneros, fundado en la consideración de lo absoluto, y por la que las propiedades métricas adquieren el carácter de proyectivas.

Cayley considera las propiedades de las figuras en conexión con una figura fundamental que llama lo absoluto, que es una superficie ó curva del segundo grado en el espacio ó en el plano respectivamente y en cada recta los puntos de intersección con la cónica fundamental.

El Sr. Klein designó las tres geometrías posibles con las denominaciones de hiperbólica, elíptica ó parabólica, según que los puntos del infinito de la recta son reales, imaginarios ó coincidentes, é hizo detallado desarrollo acerca de las representaciones sensibles de cada una; y ofrecemos de paso, las representaciones que hace de los tres tipos de superficies de curvatura constante positiva y negativa.

Para la determinación métrica, define la distancia de dos puntos por el logaritmo de la relación anarmónica que forman con los puntos fundamentales, multiplicada por una constante arbitraria, y en el espacio considera dos planos y los dos planos tangentes trazados á la superficie fundamental por la intersección de los primeros; el ángulo de éstos estará determinado mediante el logaritmo de la relación anharmónica de los cuatro planos multiplicada por una constante arbitraria.
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Cuando la superficie fundamental se reduce á una sección cónica imaginaria, la geometría es parabólica; si la superficie fundamental es imaginaria, resulta el caso de la geometría elíptica, y si la superficie fundamental es real no reglada, la geometría es hiperbólica, es decir, las geometrías métricas corresponden á cada especie de geometría, ó tienen su imagen ó representación en uno de estos tres tipos que considera el Sr. Klein como casos particulares de la métrica general de Cayley.

Este concepto general de la Geometría nos ha hecho ver una vez más cómo la Matemática tiene por carácter esencial el tratar de las relaciones ó correspondencias que permiten transformar ó sustituir unos sistemas ó ordenes de conceptos por otros, y reducir la variedad de sus manifestaciones á la unidad.

Integral de la ecuación diferencial siguiente:
\[
\frac{d^2 y}{dz^2} + 2z \frac{dy}{dz} + z^2 y = 0.
\]

POR D. LAURO CLARIANA RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona.

Entre la mucha variedad de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden que pueden presentarse de alguna utilidad en el campo vasto de las matemáticas aplicadas, la que encabeza este breve trabajo es una de ellas, y en su virtud creemos conveniente dar á conocer un procedimiento sencillo, que puede seguirse para obtener la integral expresada en funciones hiperbólicas, como síntesis de series que las representan.

A este fin, supondremos que la función y venga representada por la expresión siguiente en forma de serie:

(1) \( y = e^{-z^2} \left[ a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots + a_n z^n + a_{n+1} z^{n+1} + a_{n+2} z^{n+2} + \ldots \right] \)

Tómese la primera y segunda derivada de (1), y tendremos

\[
\frac{dy}{dz} = e^{-z^2} \left[ a_1 + 2a_2 z + \ldots + n a_n z^{n-1} + (n+1) a_{n+1} z^n + (n+2) a_{n+2} z^{n+2} + \ldots \right]
\]
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\[
- \left[ a_1 + a_1 z + \ldots + a_n z^n + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z
\]
\[
\frac{d^2 y}{dz^2} = e^{-\frac{z^2}{2}} \left[ 2a_1 + \ldots + n(n-1)a_n z^{n-2} \right.
\]
\[
+ (n+1)n a_{n+1} z^{n-1} + (n+2)(n+1) a_{n+2} z^n + \ldots \]
\[
- \left[ a_1 + 2a_2 z + \ldots + n a_n z^{n-1} + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z
\]
\[
+ \left[ a_0 + a_1 z + \ldots + a_n z^n + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z^2
\]
\[
- \left[ a_0 + a_1 z + \ldots a_n z^n + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}}
\]
\[
- \left[ a_1 + \ldots + n a_n z^{n-1} + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z .
\]

Al sustituir todos los valores que preceden en la ecuación diferencial dada: \( \frac{d^2 y}{dz^2} + 2z \frac{dy}{dz} + z^2 y = 0 \), se obtiene el desarrollo que a continuación se expresa:

\[
e^{-\frac{z^2}{2}} \left[ 2a_1 + \ldots + n(n-1)a_n z^{n-2} \right.
\]
\[
+ (n+1)n a_{n+1} z^{n-1} + (n+2)(n+1) a_{n+2} z^n + \ldots \]
\[
- \left[ a_1 + 2a_2 z + \ldots + n a_n z^{n-1} + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z +
\]
\[
+ \left[ a_0 + a_1 z + \ldots + a_n z^n + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z^2
\]
\[
- \left[ a_0 + a_1 z + \ldots + a_n z^n + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} -
\]
\[
- \left[ a_1 + \ldots + n a_n z^{n-1} + \ldots \right] e^{-\frac{z^2}{2}} . z +
\]
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Así pues, al tomar por fin la igualdad (1), después de sustituir los valores que acabamos de hallar para los coeficientes, se obtiene

\[
y = c^{-z^2/2} \left[ a_0 + a_1 z + a_0 \frac{z^2}{1 \cdot 2} + a_1 \frac{z^3}{1 \cdot 2 \cdot 3}
+ a_0 \frac{z^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + a_1 \frac{z^5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots \right]
\]

ó sea

\[
y = c^{-z^2/2} \left[ a_0 \left( 1 + \frac{z^2}{1 \cdot 2} + \frac{z^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots \right)
+ a_1 \left( z + \frac{z^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{z^5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots \right) \right]
\]

Pero por el análisis ordinario se sabe que

\[
Chz = 1 + \frac{z^2}{1 \cdot 2} + \frac{z^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots
\]

\[
Shz = z + \frac{z^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{z^5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots
\]

De suerte que la integral pedida será

\[
y = c^{-z^2/2} \left[ a_0 Chz + a_1 Shz \right].
\]

Y si por fin representados \(a_0\) y \(a_1\) por \(C_0\) y \(C_1\), puesto que juegan el papel de constantes arbitrarias, tendremos que la integral general correspondiente á la ecuación diferencial de segundo orden dada, vendrá expresada por

\[
y = c^{-z^2/2} \left[ C_0 Chz + C_1 Shz \right].
\]
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OBSERVACIÓN

La relación demostrada por el Sr. Hernández (véase núm. 9) entre la suma de los divisores de un número y la de sus recíprocos, y generalizada por el Sr. Bozal (véase núm. 11) entre las sumas de las potencias semejantes, resulta de evidencia casi inmediata por la consideración de los divisores complementarios.

Sean los divisores del número N escritos en orden creciente

\[
d_0 = 1,\quad d_1,\quad d_2 \ldots \ldots d_n = N;
\]

se sabe que

\[
d_\alpha \times d_{n-\alpha} = N \quad \text{de donde} \quad \frac{1}{d_\alpha} = \frac{d_{n-\alpha}}{N},
\]

y potenciando por \( m \), dando valores á \( \alpha \) desde 0 hasta \( n \), y sumando, resulta enseguida

\[
\sum \left( \frac{1}{d} \right)^m = \frac{\Sigma d^n}{N^m}.
\]

J. Rius y Casas.

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOTHECA MATHEMATICa, Zeitschrift für Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, von Gustaf Enestrom.

Tan considerables reformas y mejoras reviste la publicación en el amplio plan que su distinguido director Sr. Enestrom se ha trazado, encomendando la parte tipográfica al conocidísimo editor Sr. Teubner, que puede considerarse como un acontecimiento.

El retrato del eminente Sophus Lie es digna portada de la obra que inaugura la Bibliotheca mathematica.

Los asuntos tratados ya en latín, alemán, francés ó italiano son:

Las series pitagóricas de las diagonales de cuadrados y su representación por una serie doble de números enteros, por Fr. Hultsch de
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Dresde.—Archimedes Ephodikón por W. Schmidt.—Archiméde connaissait-t-il le paradoxe hydrostatique? par P. Duhem.—Sur la trigonométrie de l’antiquité par G. Zeuthen.—Sur un manuscrit arabe traitant de machines etc. par C. de Vaux.—Notes sur la Pseudo-Geometrie de Boëce par P. Tannery.—Zwei Beiträge Zur Geschichte der Physik in Mittelalter von M. Curtze.—Sur quelques niveaux du seizième siècle, par F. Kucharzewski.—Die Entwicklung der Zeichen und Formelsprache in der Trigonometrie von A. Braunmhüll.—Le ricerche inédite di Evangelista Torricelli sopra la curva logaritmica, di G. Loria.—Notiz zur Geschichte der Simponschen Regel von G. Heinrich.—Les oeuvres di Ch. Huygens, par J. Bosscha.—La solution de Ch. Huygens du problème de le chainette par D. J. Korteweg.—Integration durch imaginaires Gebiet von P. Stackel.—Zur Biographie von Jacob Steiner von E. Lampe.—Bericht über den gegenwärtigen Standt der Lehre von den natürlichen Koordinaten von E. Wolffing.—Sophus Lie von Fr. Engel.

Nos fijaremos especialmente en el artículo: Programme du Cours d’histoire des mathématiques de l’Université de Gand par P. Mansion, pues el hecho de que desde 1884 se explica en las universidades belgas esta asignatura es digno de citarse como estímulo para que en nuestros planes de enseñanza, durante tanto tiempo anunciados, y y nunca presentados para discusión y para llevarlos á la práctica, pueda tener cabida como base para formar el profesor juntamente con los estudios pedagógicos y críticos de la ciencia matemática, que debiera entrar en el plan de estudios para el profesorado.

ESERCIZI ED APPLICAZIONI DI CALCOLO INFINITESIMALE, del prof. Cristoforo Alasia—precio 4 Liras—S. Lapi, Città di castello 1899.

I. Esempi di limiti.—Esercizi di differenziazione.—II. Esercizi sulle serie.—Cambiamenti di variabile, ecc.—III Rappresentazione geometrica delle funzioni.—Curve esponenziali—Inviluppi.—IV. Curve nello spazio.—La 2.a parte comprende tres capítulos—L Esercizi d’integrazione.—II. Integrazione di equazioni differenziali.—III. Applicazioni geometriche.

Calcolo grafico, ed applicazioni alla statica grafica pel prof. C. Alasia—S. Lapi, Città di Castello, precio 4 Liras.

Sommario: I. Principio del segni applicato ai segmenti, alle superfici e ai volumi.—Operazioni del Calcolo Grafico.—Composizione col poligono di connessione.—Composizioni col fascio di proiezione.—Moltiplicazione Grafica.—Divisione Grafica.—Innalzamento a potenza.—Estrazione di Radice.—Costruzione di espressioni e risoluzione Grafica
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di equazioni algebriche.—Applicazione dei principi precedenti alla composizione delle forze nel piano.—II. Transformazione delle superficie e determinazione grafica delle aree.—Determinazione dell’ integrale grafico.—Momenti.—III Teoria geometrica dei Baricentri.—Introduzione dei volumi.—Composizione delle forze nello spazio.

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 97. (Véase t. II, pág. 314).
Se propone establecer de una manera elemental la identidad
\[
\tg nA + \tg nB + \tg nC = \tg nA \tg nB \tg nC
\]
para \( n = 2^t \).

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Consideremos el triángulo \( A_1 B_1 C_1 \) cuyos vértices son los pies de las alturas del triángulo dado \( ABC \). Estas tres alturas son las bisectiones del nuevo triángulo (que se llama ortocéntrico). Se tiene pues,
\[
A_1 = \pi - 2A, \quad B_1 = \pi - 2B, \quad C_1 = \pi - 2C,
\]
y \( \Sigma A_1 = \pi \). Luego \( \tg A_1 = - \tg 2A \),
y
\[
\tg 2A + \tg 2B + \tg 2C = \tg 2A \tg 2B \tg 2C.
\]

Para el nuevo triángulo ortocéntrico \( A_1 B_1 C_1 \), deducido del triángulo \( A, B, C_1 \), se tendrá también:
\[
A_2 = \pi - 2(\pi - 2A) = 4A - \pi, \ldots
\]
luego
\[
\tg 4A + \tg 4B + \tg 4C = \tg 4A \tg 4B \tg 4C
\]
y así sucesivamente. Y se tendrá en general
\[
\tg 2^t A + \tg 2^t B + \tg 2^t C = \tg 2^t A \tg 2^t B \tg 2^t C.
\]

CUESTIÓN 98. (Véase t. II, pág 344, 1892).
Un círculo vertical de radio dado se mueve rodando sobre un círculo horizontal fijo de igual radio.
Se propone estudiar la superficie reglada engendrada por un diámetro
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VIII.—Soit à trouver le maximum de \( \frac{x^a}{y^b} \), les variables étant liées par la relation \( y - x = M \). Si \( b > a \), en posant

\[
x = \frac{Mz}{1-z}, \quad y = \frac{M}{1-z}
\]

on est ramené à trouver le maximum de \( z^a (1-z)^{b-a} \).
Si \( b < a \), on cherchera de la même manière le maximum de \( \frac{y^b}{x^a} \), qui est le minimum de \( \frac{z^a}{y^b} \).

O. Bonnet a traité cette question par la trigonométrie (N. A). Autre solution J. E. 1877, p. 89.

IX.—Le maximum de \( (A + a.x)^{\alpha} (B - b.x)^{\beta} \) lieu en même temps que celui de \( (Ab + ab.x)^{\alpha} (Ba - ab.x)^{\beta} \) : de là, la solution

\[
x = \frac{\alpha a B - \beta b A}{ab (\alpha + \beta)}
\]

X.—On a:

\[
\frac{(x-a)^A}{(x-b)^B} = \left( \frac{1}{a-b} \right)^{B-A} \left( 1 - \frac{a-b}{x-b} \right)^A \left( \frac{a-b}{x-b} \right)^{B-A}
\]

d'où l'on conclut que la maximante du 1.° membre est \( \frac{aB - bA}{A - B} \).

On arrive à une expression de ce genre en cherchant le cône minimum circonscrit à une demi-sphère.

XI.—Le maximum de \( \frac{(x^a - A)^b}{x^c} \) a lieu en même temps que celui de \( \frac{(x^a - A)^{bc}}{(x^a)^c} = \left( \frac{1}{A} \right)^{c-b} \left( \frac{A}{x^a} \right)^{c-ab} \left( 1 - \frac{A}{x^a} \right)^{ab} \)

si \( a > ab \), il y a maximum pour \( x^a = \frac{Ac}{c - a b} \).
Si \( c < ab \), on prend les inverses, et on a un minimum.
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del círculo móvil. (Secciones planas, líneas de estricción, contorno aparente, pares de generatrices opuestas etc.)

(H. Brocard.)

Solución por el Sr. Brocard (II.)

Sea a el radio de los dos círculos. La generatriz \( \hat{z} \) pasará siempre por los puntos de un círculo paralelo al de la base, á distancia \( a \), teniendo el mismo eje. Este C desempeñará en cierto modo el papel de círculo de garganta. Es pues natural referir la superficie al eje OZ del círculo C y á dos diámetros perpendiculares XOX', YOY' de dicho círculo, y suponer \( \hat{z} \), al principiar el movimiento, en el plano ZOX y paralela á OZ.

Sean DD' la posición inicial de \( \hat{z} \) y OA, OB, OE, OD cuatro radios del círculo rectangulares.

En los puntos A, E diametralmente opuestos, \( \hat{z} \) será paralelo á OX y estará en el plano XOY; en los puntos B, D diametralmente opuestos, \( \hat{z} \) será paralela á OZ y estará en el plano ZOX.

Sean F' un punto del arco AD, DOF = \( u \), FG la recta \( \hat{z} \) que pasa por F, FZ' una paralela á OZ. Se tendrá GFZ' = \( u \).

La generatriz GF se proyecta sobre XOY según la tangente al círculo en F. Sus ecuaciones son

pues,
\[
x \cos u + y \sin u = a, \quad \frac{x}{\cos u} + \frac{z}{\cot^2 u} = a
\]

ó, haciendo \( \tan u = t \),
\[
x + ty = a \sqrt{1 + t^2} \qquad x \sqrt{1 + t^2} + zt^3 = a,
\]
ó
\[
t^3 ax + txy + x^2 - a^2 = 0, \quad t^4 x^2 - (2ax + x^2) t^3 + a^2 - x^2 = 0
\]

La ecuación de la superficie será pues,

\[
[- xy \pm \sqrt{x^2 y^2 - 4ax (x^2 - a^2)}]
= 2a^2 [2ax + x^2 \pm x \sqrt{4x^2 + 4ax + x^2}].
\]
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CUESTIÓN 282.

Sean A', B', C' los pies de las alturas del triángulo ABC; H su punto de intersección, A₁, B₁, C₁ los medios de los lados.

Demostrar que las circunferencias A₁BC', A₁CB', HBC se cortan en la mediana AA₁.

Solución por M. A. DROZ FARNY.

La mediana AA₁ corta á la circunferencia circunscrita en α₁; tomemos sobre la mediana A₁α = A₁α₁. El cuadrilátero BxCα₁ es un paralelogramo, y por consiguiente:

\[
BxC = Ba₁C = 180° - A = \hat{B}HC.
\]

El cuadrilátero BIIαC es pues inscriptible. De esto resulta que el ángulo HaB = HCB = 90° - B.

Pero

\[
Bxx₁ = Aα₁C = B,\quad HaB = 90 - B
\]

y por adición

\[
IIαA₁ = 90°
\]

Ha es pues perpendicular á la mediana AA₁.

Siendo inscriptibles los cuadriláteros BA'HC', CA'HB' y HA'A₁α,

se tendrá

\[
AH . AA' = AB . AC' = AC . AB'
\]

y también

\[
AH . AA' = AA₁ . Aα
\]

luego:

\[
AA₁ . Aα = AB . AC' = AC . AB'.
\]

Los cuadriláteros A₁αBC' y A₁αCB' son por consiguiente, también inscriptibles.

Las tres circunferencias A₁BC', A₁CB', HBC se cortan en α sobre la mediana AA₁.

OBSERVACIÓN: Como A₁α₁ . A₁A = A₁α . A₁A = \overline{A₁B'} = \overline{A₁C'} las dos circunferencia adjuntas, tangentes respectivamente en B y C al lado BC y que pasan por A, se cortan también en α, así como la circunferencia descrita sobre Hg como diámetro, siendo g el centro de gravedad del triángulo.
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 22

Solución por el Sr. Brocard (II).

Las dos circunferencias \( A_1BC', A_1CB' \) que pasan por \( A_1 \) se cortan en otro punto \( D \) sobre la mediana \( AA_1 \), y se tiene

\[
AD \cdot AA_1 = AB \cdot AC'
\]
\[
= AC \cdot AB' = bc \cos A.
\]

Falta probar que los cuatro puntos \( B, C, H, D \) son concíclicos ó que \( \angle BDC = \angle BHC \). Pero \( \angle BDC = \angle A_1DC + \angle A_1DB \).

El triángulo \( A_1B'C' \) es isósceles, porque \( A_1 \) es el medio de la hipotenusa \( BC \) del triángulo \( BB'C' \) rectángulo en \( B' \).
Luego \( \angle A_1B'C' = C \). Se tiene pues, en el círculo \( A_1DB'C' \),
\( \angle AB'C' = \angle A_1DC = C \). Igualmente en el círculo \( A_1DC'B' \) se tiene \( \angle A_1C'B = \angle A_1DB = B \). Luego \( \angle BDC = C + B = 180 - A = \angle BHC \).

CUESTIÓN 314. (Véase pág. 119 y 120)

Dado un triángulo \( ABC \), si se llaman \( A', B', C' \), los pies de las perpendiculares bajadas desde un punto \( M \) de su plano á los lados \( BC, CA, AB \)
1º El lugar del punto \( M \) para el que la diagonal \( MA_1 \) del paralelógramo \( B'MC'A' \), tiene una longitud igual á \( MA' \) es la hiperbola

\[
-x^2 + y^2 + z^2 - 2yz \cos A = 0 \quad \text{(coordenadas normales):}
\]

que pasa por el punto de Lemoine y por los pies sobre \( AB \) y \( AC \) de las bisectrices de los ángulos en \( C \) y en \( B \)
2º Se tienen también las hiperbolas

\[
x^2 - y^2 + z^2 - 2xz \cos B = 0 , \quad x^2 + y^2 - z^2 - 2xy \cos C = 0
\]

Estas últimas tienen también por tres de sus puntos comunes, el punto de Lemoine y los pies de \( A \) sobre \( BC \). Hallar las coordenadas de su cuarto punto común.

(E Lemoine).
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Solución por el Sr. Krahn (A.)

1.º En el triángulo MOC' A, se tiene

\[
\overline{MA_1}^2 = \overline{MC'}^2 + \overline{C'A_1}^2 - 2M C'. C'A_1 \cos MC'A_1
\]

poniendo valores y teniendo en cuenta que por hipótesis \( MA_1 = MA' \)

\[
- x^2 + y^2 + z^2 - 2yz \cos A = 0
\]

Las coordenadas del punto de Lemoine \((a, b, c)\) verifican la ecuación, puesto que sustituyéndolas resulta una de las relaciones fundamentales de Trigonometría.

Si combinamos sucesivamente la ecuación con las de los lados AB y AC; \(x = 0, y = 0\), tendremos respectivamente

\[
x^3 - y^3 = 0, \quad x^3 - z^3 = 0
\]

que son las de las bisectrices de los ángulos en C y en B. La hipérbola pasa por lo tanto por los pies de estas bisectrices.

2.º Si sumamos las ecuaciones de las hipérbolas dadas, resulta la ecuación

\[
2x(x - z \cos B - y \cos C) = 0
\]

que representa dos rectas. La primera, \(x = 0\), contiene dos puntos comunes, la otra

\[
x - z \cos B - y \cos C = 0 \tag{1}
\]

será la que una los otros tres puntos.

El punto de Lemoine verifica á esta última, pues resulta de sustituir las coordenadas

\[
a = c \cos B + b \cos C
\]

Combinando la (1) con una de las hipérbolas y descartando el punto de Lemoine; resulta

\[
\frac{y}{b} = \frac{z}{-c} \tag{2}
\]

Las ecuaciones (1) y (2) nos dan para coordenadas del cuarto punto pedido

\((b \cos C - c \cos B, b, c)\)
El Progreso matemático (1900-06-01 00:00:00), página 24

CUESTIÓN 129. (Véase t. III, pág. 112, 1893)

Se da una curva (C) referida á dos ejes rectangulares OX, OY. Se traza la tangente en un punto A de la curva, que encuentra á OY en B, después se toma sobre la tangente un segmento AM = AB.
Hallar la ecuación de la curva (M) derivada de la curva (C).

(H. Brocard.)

Solución por el Sr. Brocard (II.)

Sean (x, y), (X, Y) las coordenadas de A y de M.
Se tendrá

\[
\frac{Y - y}{X - x} = y', \quad X = 2x, \quad OB = y - xy', \quad 2y = OB + Y,
\]

de donde

\[
Y = y + \frac{X}{2} y'.
\]

Siendo \( y = \varphi(x) \) la ecuación de la curva (C), se tendrá para la curva (M),

\[
Y = \varphi\left(\frac{X}{2}\right) + \frac{X}{2} \varphi'\left(\frac{X}{2}\right).
\]

VERIFICACIONES.—Recta. \quad \( y = mx + n; \quad Y = mX + n. \)

Hipérbola equilátera. \quad \( y = \frac{a^2}{x}; \quad Y = \frac{2a^2}{X} - \frac{X}{2} \cdot \frac{4a^2}{X^2} = 0, \)

APLICACIONES DIVERSAS.—Parábola. \quad \( y^2 = 2px. \quad Y^2 = \frac{9}{4} p X. \)

Elipse. \quad \( y = K \sqrt{2ax - x^2}. \quad Y = K (3a - X) \sqrt{\frac{X}{4a - X}}. \)

Si se supone \( K = \sqrt{3} \), la trasformada es el folium de Descartes, que resulta así por una construcción sencilla.

Logarithmique. \quad \( y = l x. \quad Y = l \frac{e^X}{2}. \)

Cuestión 10. (Véase t. I, pág. 233)
Dado un producto de n factores lineales con dos variables de la forma

\[
(x + y)(x + y - 1)(x + y - 2)\ldots(x + y - n + 1)
\]