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El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 21

ocupa el término \( a_{n+p} \) con relación al \( a_n \), clementos que son de suma utilidad. En la fórmula

\[
a_{n+p} = a_n \sim (r \simeq p)
\]

podemos operar sobre los dos miembros con el número \( a_n \) por la operación inversa \( \sim \), y recordando que el signo \( \sim \) expresa una operación conmutativa y asociativa, se tiene,

\[
a_{n+p} \sim a_n = | a_n \sim (r \simeq p) | \sim a_n = (r \simeq p) \sim a_n \sim a_n = r \simeq p,
\]

y de esta fórmula, teniendo en cuenta lo anteriormente dicho (n.º 1) respecto á la operación \( \simeq \), se deducen inmediatamente las dos siguientes:

\[
r = (a_{n+p} \sim a_n) \simeq p, \tag{6}
\]
\[
p = (a_{n+p} \sim a_n) \frac{1}{\sim} r; \tag{7}
\]

fórmulas muy importantes que resuelven los problemas enunciados, y cuya traducción al lenguaje vulgar no presenta dificultad alguna.

6.—Interpolación.—Se llama interpolar \( p - 1 \) medios entre dos números dados, a y b, á determinar \( p - 1 \) números comprendidos entre a y b, y que formen una progresión de la cual los números dados sean los extremos.

El problema de la interpolación de medios entre dos números dados queda reducido al de la investigación de la razón de la progresión, pues es evidente que, conocida esta razón, operando sucesivamente con ella sobre el número a por medio de la operación \( \sim \) formaremos todos los términos de la progresión buscada. Aunque la aplicación de la fórmula (6) del número anterior resuelve el problema propuesto, vamos á exponer el medio sencillo de obtener directamente su solución.

Sean a y b los dos números dados, \( p - 1 \) el número de medios que se quieren interpolar, y \( r \) la razón desconocida que deseamos hallar; por definición, el número b ocupará el lugar \( p + 1 \), á contar del término a, en una progresión cuya razón es \( r \); luego razonando cual anteriormente lo hemos hecho, tendremos:
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 22

\[
b - a \sim (r \simeq p)
\]
de donde

\[
r = (b - a) \simeq p,
\] (8)

fórmula que resuelve, y que fácilmente podría traducirse al lenguaje vulgar.

7.- Conjunto.—Entenderemos por conjunto de \( p \) términos de una progresión, el resultado de enlazar \( p \) términos consecutivos de la misma por medio de la operación \( \sim \).

Sea la progresión

\[
a_1, a_t, a_3, \ldots a_n, \ldots a_{n+p-1}, \ldots,
\]

y tratemos de hallar una fórmula que nos exprese el valor del conjunto de los \( p \) términos consecutivos

\[
a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots a_{n+p-2}, a_{n+p-1}.
\]

Designando este conjunto por \( C \), tendremos, por definición

\[
C = a_n \sim a_{n+1} \sim a_{n+2} \sim \ldots \sim a_{n+p-3} \sim a_{n+p-2} \sim a_{n+p-1};
\]

y como según hemos dicho (núm. 1), la operación \( \sim \) es conmutativa, se tiene también,

\[
C = a_{n+p-1} \sim a_{n+p-2} \sim a_{n+p-3} \sim \ldots \sim a_{n+2} \sim a_{n+1} \sim a_n;
\]

enlazando estos dos valores de \( C \) por la operación \( \sim \), y recordando la propiedad asociativa de esta operación, se tiene,

\[
C \simeq 2 = (a_n \sim a_{n+p-1}) \sim (a_{n+1} \sim a_{n+p-2} \sim \ldots \sim (a_{n+p-3} \sim a_{n-1}) \sim (a_{n-1+p-1} \sim a_n),
\]

ó lo que es igual, teniendo en cuenta la propiedad demostrada anteriormente (núm. 4).
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 23

\[
C \equiv 2 = (a_n - a_{n-1-p-1}) \equiv p,
\]
de donde se deduce,

\[
C = [(a_n - a_{n-1-p-1}) \equiv p] \equiv 2,
\]

fórmula que resuelve el problema, y que traducida al lenguaje vulgar, dice:

Que el conjunto de un número limitado de términos de una progresión, es igual al resultado que se obtiene operando con el número de términos tomados por la operación directa de segunda categoría, \( \equiv \), sobre el resultado de operar con la de primera sobre el primero y el último término; y operando sobre el resultado complejo obtenido con el número 2, por la operación inversa de segunda categoría relativa al primer elemento (\( \simeq \)).

8.—Aplicaciones.—La Aritmética nos da á conocer tres operaciones directas: la adición ó suma, la multiplicación y la elevación á potencias, y sus operaciones inversas correspondientes, sustracción ó resta, división, extracción de raíces y logaritmación: de las tres operaciones directas, las dos primeras, adición y multiplicación, gozan de las propiedades que hemos supuesto tenía la operación \( \sim \), ó sea, son asociativas y conmutativas, y las directas de categoría superior correspondientes, multiplicación y elevación respectivamente, poseen también las propiedades que hemos asignado á la operación \( \equiv \), ó lo que es igual, gozan de las propiedades expresadas por las igualdades (2) del párrafo 1."—Dedúcese de esto que, si en la definición general que hemos dado de las progresiones, en las fórmulas y leyes generales, que en los párrafos anteriores hemos obtenido, hacemos explícita la significación de los signos que hemos empleado, obtendremos á la vez y sin dificultad de ningún género las definiciones, fórmulas y leyes de las progresiones por diferencia y por cociente conocidas por los matemáticos desde los primeros siglos de nuestra era. Los cuadros que á continuación ponemos manifiestan las definiciones, fórmulas y leyes de unas y otras progresiones, y hacen ver al propio tiempo, las relaciones que ligan á las fórmulas de las progresiones por diferencia con las relativas á las por cociente y las ventajas que se obtienen exponiendo la teoría en la forma que acabamos de hacerlo.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 24

PROGRESIONES

SIMBÓLICAS
Se llama progresión una sucesión de números tales que cada uno se deduce del que le precede operando sobre éste por la operación \( \sim \) con un número constante, que recibe el nombre de razón de la progresión.

ARITMÉTICAS
Se llama progresión por diferencia ó aritmética (1), una sucesión de números tales que cada uno se deduce del que le precede sumando á éste un número constante que recibe el nombre de razón de la progresión.

GEOMÉTRICAS
Se llama progresión por cociente ó geométrica (1), una sucesión de números tales que cada uno se deduce del que le precede multiplicando éste por un número constante que recibe el nombre de razón de la progresión.

SIGNOS DE OPERACIONES

\[
a \sim b = c,
c \sim b = a,
c \sim a = b,
a \simeq b = c,
c \simeq b = a,
c \perp a = b,
a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, ... a_{n-p}, ...
\]

\[
a + b = c,
c - b = a,
c - a = b,
a \times b = c,
c : b = a,
c : a = b,
\div a_n, a_{n-1}, a_{n-2} ... a_{n-p} ...
\]

\[
a \times b = c,
c : b = a,
c : a = b,
a^b = c,
\sqrt[b]{c} = a,
\lg_a c = b,
\div a_n : a_{n-1} : a_{n-2} : ... : a_{n-p} : ...
\]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 25

FÓRMULAS Y LEYES GENERALES

\[
a_{n+1-p} = a_n - (r \simeq p)
\]
\[
a_{n-p} = a_n - (r \simeq p)
\]
\[
a_{n-1-p} - a_{n-p} = a_n - a_m
\]
\[
r = (a_{n-1-p} - a_n) \simeq p
\]
\[
p = (a_{n-1-p} - a_n) \frac{1}{r}
\]
\[
r = (b - a) \simeq p
\]
\[
C = [(a_n - a_{n-1-p-1}) \simeq p] \simeq 2
\]

\[
a_{n-1-p} = a_s + r \times p
\]
\[
a_{m-p} = a_n - r \times p
\]
\[
a_{n-1-p} + a_{m-p} = a_n + a_m
\]
\[
r = (a_{n-1-p} - a_n) : p
\]
\[
p = (a_{n-1-p} - a_n) : r
\]
\[
r = (b - a) : p
\]
\[
S(\text{suma}) = [(a_n + a_{n-1-p-1}) \times p] : 2
\]

\[
a_{n-1-p} = a_n \times r^p
\]
\[
a_{m-p} = a_n : r^p
\]
\[
a_{n-1-p} \times a_{m-p} = a_n \times a_m
\]
\[
r = \sqrt{a_{n-1-p} : a_n}
\]
\[
p = lg_r (a_{n-1-p} : a_n)
\]
\[
r = \sqrt{b : a}
\]
\[
P(\text{producto}) = \sqrt{(a_n \times a_{n-1-p-1})^p}
\]

(1) Estas progresiones debieran denominarse en realidad progresiones por adición y por multiplicación, pero como los nombres de progresión de diferencia y por cocientes han prevalecido, los conservamos para conformarnos con la nomenclatura establecida por el uso.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 26

9.—Aunque del cuadro anterior hemos excluido las progresiones que pudiéramos llamar potenciales, en las cuales cada término se deduce elevando el precedente á una potencia constante (razón de la progresión), no quiere esto decir que género tal de progresiones no pueda ser formado, sino que sus leyes y propiedades no podrían deducirse de las fórmulas generales antes obtenidas, tanto por no ser la elevación á potencias una operación que goce de las propiedades asociativa ni conmutativa, cuanto por no existir operación aritmética directa de categoría superior á la de elevación á potencias.

10.—Para completar el estudio de las progresiones, debiéramos exponer las fórmulas relativas al producto de un número limitado de términos de una progresión aritmética, y al de la suma de un número limitado, ó no limitado, de términos de una progresión geométrica; mas como estas propiedades son ya peculiares á un género especial de progresiones, tanto ellas como cualesquiera otras de la misma índole, se encuentran expuestas con todo detalle en los tratados más vulgares y corrientes de Aritmética, y por esta causa las excluimos de este estudio.

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. Zoel G. de Galdeano en Marzo de 1896)

CONFERENCIA SEGUNDA

(Conclusión, véase págs. 110 á 115)

Como consecuencia inmediata resulta que siendo

\[
S(X, S(A, B, C, \ldots L)) = S(A, B, C, \ldots X, \ldots L) \quad \text{y} \quad K_1 \geq K
\]

se obtendrá que \( S(K_1, S(A, B, C, \ldots L)) \leq S(K, S(A, B, C \ldots L)) \)

y \( S(A, B, C, \ldots K_1, \ldots L) \geq S(A, B, C, \ldots K, \ldots L) \)
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es decir, que el resultado de la operación cambia, con solo cambiar una de sus entidades, propiedad llamada por Noth dependencia.
Siendo \( S(A, B, C \ldots) = M \), \( M \) será la resultante. Cuando \( M = S(A; A, A, \ldots) \), será \( M \) múltiplo de \( A \).
Supuesto que el resultado de una operación \( S(A, B) \) sea de un solo valor, ó una sola magnitud, tal que \( S(A B) = C \), la operación inversa se representará con el símbolo D; y se tendrá \( D(C, A) = B \), y por definición \( D(S(A, B), A) = B \) ó \( S(A, D(C, A)) = C \), llamándose el resultado de \( D(C, A) \) divergencia entre C y A
El resultado de aplicar la operación D á dos magnitudes iguales se representa por cero, \( D(A, A) = 0 \).
Para otra magnitud de la misma clase, será \( D(B, B) = X \) ó \( S(B, X) = B \).
Pero se tiene que

\[
S(B, D(A, A)) = D(S(B, A), A) = B
\]

y

\[
S(B, D(B, B)) = S(B, X) = B = S((B, D, (A, A)))
\]

resultando, por la dependencia que supone S,

\[
D(B, B) = D(A, A) = 0.
\]

La magnitud O se llama módulo, y si en una categoría de magnitudes existe otra \( A' \) tal que \( S(A, A') = 0 \) ó \( A = D(O, A) \), \( A' \) es opuesta de A.
Respecto á las clases y sub-clases de las magnitudes, bastará citar las clases de uno ó dos sentidos, las limitadas é ilimitadas.
Si además del módulo O existe una magnitud menor que todas, será limitada.
Las clases serán propias é impropias, en este caso la operación \( D(A, B) \) no es posible.
Por generalidad puede introducirse la magnitud infinita, \( \Omega \), la mayor de todas las magnitudes de la clase, con la condición \( S(\Omega, A) = S(A, \Omega) = \Omega \), cualquiera que sea A, y por consiguiente \( D(\Omega, A) = \Omega \)
Las clases aisladas son aquéllas en las que no existe magnitud menor que las demás, á excepción del módulo O, ni superiores á todas las demás, á excepción de la magnitud infinita \( \Omega \).
Una clase podrá descomponerse de infinitas maneras en dos grupos \( P_1 \) y \( P_2 \), de modo que cualquier magnitud de misma sólo
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 28

pertenece á uno de los grupos, y que toda magnitud del primer grupo sea menor que toda magnitud del segundo, y se tendrán las cuatro agrupaciones posibles:
1.a Que \( P_1 \) admita un máximo y \( P_2 \) un mínimo
2.a Que \( P_1 \) admita un máximo y \( P_2 \) no admita un mínimo
3.a Que \( P_1 \) no admita un máximo y \( P_2 \) admita un mínimo
4.a Que \( P_1 \) no admita máximo ni \( P_2 \) mínimo;
todo lo que dará lugar á una sucesión, en el 1.er caso, á un enlace en el 2.º y 3.º y á una división el 4.º que será una sección cuando la divergencia entre \( P_1 \) y \( P_2 \) pueda hacerse menor que cualquier magnitud dada, ó un salto, cuando esta divergencia se conserva mayor que alguna magnitud de la clase. Estas propiedades sirven de fundamento al estudio de las clases de magnitudes que lleva el Sr. Betazzi hasta las de varias dimensiones.

Establecido el concepto de magnitud en la primera parte de su obra, el Sr. Bettazzi refiere el de número al de aquélla por medio de sus correspondencias, relacionando á cada magnitud su número.

Al terminar el Sr. Bettazzi su notable trabajo con la teoría analítica del número funda las extensiones sucesivas de las propiedades de las operaciones para los números negativos, fraccionarios y complejos, respectivamente en las relaciones

\[
a + x = b,\quad x \cdot b = a,\quad x^2 = -1
\]

que conducen á la admisión de nuevas entes, haciendo ver cómo las definiciones de los conceptos de igual, menor y mayor y los de las diversas operaciones satisfacen siempre á las mismas condiciones formales, sin necesidad de darles un significado efectivo, según el principio de las leyes formales de Hankel.

Terminaremos esta reseña indicando que el Sr. Bettazzi completó su labor con otros interesantes trabajos (1) y que el Sr. Peano en su Rivista di Matematica desenvuelve y reúne estos modernos puntos de vista de la teoría de los números bajo el algoritmo del Algebra de la lógica.

(1) Fondamenti per una teoria generale dei gruppi.
Sulla catena di un ente in un gruppo.
Gruppi infiniti di enti.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 29

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 226. (Véase pag. 91)
Solución por D. JUAN V. ALONSO
(Conclusión)

Pero el lugar de los puntos cuyas distancias á D y N guardan la relación \( \frac{a}{c} \) es una circunferencia cuyo centro estará sobre la recta ND, y debiendo ser simétricos respecto al eje O E, los dos puntos de intersección con la recta A, A', que han de resolver el problema, el centro de la circunferencia auxiliar será la intersección de ND con O E.

Nos basta así conocer un punto para trazar la circunferencia, y el punto que hallemos será el situado sobre ND entre dichos puntos N y D. Este punto está determinado ya por la recta O X paralela á A' D, ya por la IX paralela al eje transverso, ya por la AX normal al mismo. Trazando la circunferencia con radio VX, obtendremos los puntos P y P'.

La consideración de las cuatro líneas que se cortan en X nos permite simplificar algo el procedimiento. Podemos, en efecto, prescindir de la previa determinación del punto D, puesto que X viene dado por las líneas AX, IX, y uniendo X con N encontramos ya el centro de la circunferencia auxiliar.

OBSERVACIÓN. La construcción llevada á cabo para obtener un punto de una hipérbola, dada su ordenada, nos hace ver otras particularidades notables.

La circunferencia auxiliar que hemos utilizado es tangente á la hipérbola en P y en P'. Para demostrarlo, nos basta trazar el radio VP', prolongándolo hasta encontrar á MN. Tendremos

\[
\frac{O Q}{E P'} = \frac{E D}{O N} = \frac{a^2}{c}
\]

y \( \frac{a^2}{c} \) es efectivamente la relación

que debe existir entre la abscisa en el origen de una normal á la hipérbola y la del punto correspondiente de la hipérbola. El radio
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 3

El génio de Arquímedes elevándose con poderoso impulso al descubrimiento de una curva transcendente, la espiral, extendía la cuestión; pero esto no daba ningún acceso á una definición de la tangente, ni á su construcción en general. Aunque así sea, lo que sigue puede dar una idea de su trabajo, acerca de este asunto:

IV.—Dadas dos rectas de longitudes \( \Delta \) y \( \Gamma \), se puede siempre hallar una recta cuya longitud esté comprendida entre ellas. Sea \( \Gamma - \Delta = \varepsilon \) y \( n \varepsilon > \Delta \), se podrá tomar la recta \( \Delta + \frac{\Delta}{n} \).

V.—Dada la tangente BZ (figura 4) á la circunferencia K, se puede hallar un arco B\( \Theta \) tal, que la relación de Z\( \Theta \) á K\( \Theta \) sea menor que la de los arcos B\( \Theta \) y AB. Basta inscribir entre las paralelas BZ y KH la recta BH tal, que \( \Theta \)H sea mayor que el arco BA, lo que determinará el punto \( \Theta \) (*).

XVI.—La tangente en un punto \( \Delta \) de la espiral forma con el radio correspondiente un ángulo agudo, hacia el lado del origen. Tracemos la circunferencia A\( \Delta \) (fig. 5); sus radios son mayores que los de la espiral antes de llegar á \( \Delta \) y menores después (**): luego el ángulo I\( \Delta \)A no es agudo. No es tampoco recto, porque de otro modo, trazando AI de manera que se tenga:

\[
\frac{PI}{AP} < \frac{\text{arc } \Delta P}{\text{arc } \Delta N T}
\]

lo que es posible, según V, se tendrá:

(*) Ya que puede tomarse AB tan pequeño como se quiera, la relación \( \frac{z \Theta}{B \Theta} \) puede hacerse también tan pequeña como se quiera. Este es el estilo del método de exhaución; hoy se diría, siendo B\( \Theta \) infinitamente pequeño de primer orden, z\( \Theta \) es infinitamente pequeño de segundo.

(**) Esto se ha demostrado anteriormente.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 30

VP es, pues, normal á dicha cónica; y por tanto, ésta y la circunferencia son tangentes entre sí.

De aquí que podamos considerar la hipérbola como la envolvente de las circunferencias tales como la de referencia, y utilizar esta propiedad para la construcción de la curva.

Esta construcción de la hipérbola por involutas se convierte en otra semejante para la elipse con una ligera variación, la de trasladar la recta AX á la parte de afuera de MN.

Traduciendo la construcción al lenguaje hablado, podemos decir que un sistema de circunferencias, cuyo centro se mueve sobre una recta, y cuyos radios son proporcionales á la distancia del centro á un punto exterior á la recta, tiene por envolvente una hipérbola ó una elipse, según dicha relación sea menor ó mayor que la unidad.

La teoría analítica de envolventes da facilmente la demostración directa de este principio, que constituye una propiedad general de las cónicas, pues también se verifica para la parábola, en su doble consideración de elipse ó hipérbola con el eje en el infinito. Las circunferencias se convierten entonces en rectas, y la propiedad en la conocida de que la tangente en el vértice es la poda de la parábola respecto al foco.

CUESTIÓN 268.
(véase pág. 64).

Extensión del teorema de Stewart.
Siendo A, B, C, D, E cinco puntos en línea recta, y O un punto exterior cualquiera, se tiene:

\[
OA^2 \cdot CD + OB^2 \cdot DE + OC^2 \cdot EA + OD^2 \cdot AB + OE^2 \cdot BC = AB^2 \cdot DE + AC^2 \cdot EA + AD^2 \cdot AB + AE^2 \cdot BC
\]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 31

= CA^2 \cdot CD + CB^2 \cdot DE + CD^2 \cdot AB + CE^2 \cdot CB \\
= EA^2 \cdot CD + EB^2 \cdot DE + EC^2 \cdot EA + ED^2 \cdot AB

considerando los segmentos en magnitud y en signo.

(C. A. Laisant.)

Solución por el Sr. Retali (V.)

Si \( \omega \) es la proyección ortogonal de O sobre la recta, por ser

\[
\overline{OA}^2 = \overline{O\omega}^2 + \overline{\omega A}^2 \quad \text{y} \quad CD + DE + \ldots + BC = 0,
\]
tenemos
\[
\overline{OA}^2 \cdot CD + \ldots = \omega A^2 \cdot CD + \ldots .
\]

Refiriendo ahora los segmentos al origen \( \omega \), y haciendo \( \omega A = a \), \( \omega B = b \), la primera relación puede escribirse

\[
a^2 (d - e) + b^2 (e - d) + c^2 (a - e) + d^2 (b - a) + e^2 (c - b) =
(a^2 + b^2 - 2ab) (e - d) + \ldots ,
\]

y ésta se verifica, observando que el valor del segundo miembro es

\[
a^2 (c - d) + b^2 (e - d) + \ldots + e^2 (c - b) -
2a [b(e - d) + c(a - e) + d(b - a) + e(c - b)]
\]

y la expresión comprendida en el paréntesis cuadrado es igual á \( a(c - d) \). Análogamente se verifican las otras dos.

CUESTIONES PROPUESTAS

280 Siendo \( a, b, c \) los tres lados de un triángulo ABC, \( r, r_a, r_b, r_c \) los radios de los círculos tritangentes, S el área, R el radio del círculo circunscripto y \( p \) el semi-perímetro, demostrar las fórmulas siguientes:

1.º \[ a(b + c) = (r + r_a)(r_b + r_c) \]
2.º \[ a(b - c) = (r_a - r)(r_b - r_c) \]
3.º \[ a^2 = (r_a - r)(r_b + r_c) \]
4.º \[ \frac{ap + r^2 a}{r_a} = 4R + r \]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 32

5.º \( \frac{b^2 + c^2}{bc} \cos A + \frac{c^2 + a^2}{ca} \cos B + \frac{a^2 + b^2}{ab} \cos C = 3 \)

6.º \( b^3 \cos C + c^3 \cos B - a^3 = 4RS (\cos A - \cos B \cos C) = \frac{S}{2R} (r^2_b + r^2_c - r^2_a - r^2) \)

(E. Lemotne).

281 Sea un triángulo ABC.

La anti-paralela á BC trazada por M corta á AC en Ba, AB en Ca
" " CA " " BA en Cb, BC en Ab
" " AB " " CB en Ac, CA en Bc

Hallar el punto M del plano para el que

\[
\overline{B_a C_a}^2 + \overline{C_b A_b}^2 + \overline{A_c B_c}
\]

es mínimo, y determinar este mínimo.

(E. Lemoine).

282 Sean A', B', C' los pies de las alturas del triángulo ABC; H su punto de intersección, A1, B1, C1 los medios de los lados.
Demostrar que las circunferencias A, B C', A1 C B', H B C se cortan en la mediana A A1.

(J. Neuberg).

283 Envolvente de las parábolas que tienen un foco fijo y cuyo vértice recorre una recta dada.

(J. Neuberg).

284 Sea un triángulo ABC. Desde el punto C se trazan las normales á todas las cónicas tangentes á CA en A y á CB en B. Hallar el lugar de los pies de las normales.

(E. Lemotne.)

285 Consideremos un tablero de n² casillas negras y blancas en trebolillo. Si n es par, se puede siempre, partiendo de una casilla blanca (ó negra) dada cualquiera, y moviéndose paralelamente á los bordes, llegar á otra casilla negra (ó blanca) cualquiera, después de haber pasado una sola vez por todas las casillas.
Sea n impar y supongamos que la casilla central es negra; se podrá siempre efectuar un trayecto análogo, pero partiendo de una casilla negra, llegando á una casilla blanca.

(A. Aubry).
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 4

\[
\frac{IA}{AP} < \frac{\text{arc } PANT}{\text{arc } \Delta NT} = \frac{\text{arc } \Sigma HK\Theta}{\text{arc } HK\Theta} = \frac{AA}{A\Delta}.
\]

Pero la desigualdad

\[
\frac{IA}{AP} < \frac{AA}{A\Delta}
\]

es imposible, porque \( PA = A\Delta \), y \( IA > A\Delta \).

XVIII.—Consideremos la parte descrita en la primera revolución del radio \( A\Theta \), y levantemos una perpendicular (fig. 6) á \( A\Theta \) en \( A \); la longitud de esta perpendicular entre \( A \) y la tangente es igual á la circunferencia de radio \( A\Theta \). Según XVI, esta perpendicular debe encontrar á la tangente, puesto que el ángulo \( Z\Theta A \) es agudo. Supongamos ahora que \( zA \) sea \( > \) circ. \( A\Theta \); se puede tomar, según IV, una longitud \( AA \) comprendida entre estas dos longitudes.

Ahora se tiene:

\[
\frac{\Theta A}{AA} > \frac{\Theta A}{AZ} > \frac{K\Theta}{AK}
\]

Tracemos \( AN \) de manera que se tenga:

\[
\frac{NP}{\Theta P} = \frac{OA}{AA}; \quad (*)
\]

resultará

\[
\frac{NP}{PA} = \frac{\Theta P}{AA} < \frac{\text{arc. } \Theta P}{\text{circ.}},
\]

de donde

\[
\frac{NA}{PA} < \frac{\text{circ.} + \Theta P}{\text{circ.}} = \frac{AX}{A\Theta}
\]

lo que es imposible, porque \( NA > AX \) y \( AP = A\Theta \).

(*) Arquímedes demuestra anteriormente la posibilidad de esta construcción.