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El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 7

C'est le théorème de Fermat généralisé.

8. Proposition VI. Soit \( F(x) \) une fonction du degré \( r \), irreductible suivant le module premier \( p \), soient

\[
X_1, X_2, \ldots, X_{p^r - 1}
\]

les \( p^r - 1 \) fonctions différentes de zéro, réduites suivant la fonction irréductible \( F(x) \) et suivant le module \( M \). On aura

\[
X_1 X_2 \ldots X_{p^r - 1} + 1 \equiv 0 \quad (\text{mod } F, p)
\]

En effet considérons les fonctions

\[
XX_1, XX_2, \ldots, XX_{p^r - 1}
\]

\( X \) étant une quelconque des fonctions (32).

On voit aisément que les \( p^r - 1 \) résidus minima des fonctions (33), sont tous distincts, et ce sont précisément les fonctions réduites suivant la fonction \( F(x) \) et suivant \( p \).

Mais parmi ces fonctions réduites il y en a une égale à l'unité; donc dans la série des fonctions (32) il y en aura une \( X_k \), telle que

\[
XX_k \equiv 1 \quad (\text{mod } F(x), p)
\]

D'ailleurs, les fonctions \( X \) et \( X_k \) sont en général distinctes, on ne peut en effet avoir \( X_k = X_i \), à moins qu'on n'ait

\[
X_k = 1 \qquad \text{ou} \quad X_k = p - 1
\]

Donc, si l'on pose

\[
X_1 = 1 \qquad X_{p^r - 1} = p - 1
\]

on voit que les fonctions \( X_2, X_3, \ldots X_{p^r - 2} \) peuvent être associées deux à deux de façon que le produit de deux quelconque soit congru à 1 suivant \( p \) et \( F(x) \).

On obtient ainsi un système de \( p^r - 3 \) congruences, d'où l'on déduit

\[
X_2 X_3 \ldots X_{p^r - 1} \equiv 1 \quad [\text{mod } F(x), p]
\]
\[
X_1 X_2 X_3 \ldots X_{p^r - 1} \equiv p - 1 \quad [\text{mod } F(x), p]
\]

c'est à dire

\[
X_1 X_2 X_3 \ldots X_{p^r - 1} + 1 \equiv 0 \quad [\text{mod } F(x), p]
\]

Remarque. Ce théorème, qui comprend évidemment comme cas particulier le théorème de Wilson, exprime une propriété caractéristique des fonctions irréductibles suivant un module premier.
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 8

En effet, si F(x) n'était pas irréductible suivant le module premier p, on aurait

\[
F(x) = X_n \varphi(x) \quad \text{ou} \quad F(x) = X_n \varphi(x) + p \lambda(x)
\]

\(X_n, \varphi(x),\) et \( \lambda(x)\) étant des fonctions entières, dont la première est au moins du 1er degré.

D'ailleurs la fonction \(X_n\), diviseur de de \(F(x)\) suivant le module \(p\), fait partie évidemment des \(p^r - 1\) fonctions réduites \(X_1, X_2 \ldots X_{p^r - 1}\).

Cela posé, si la fonction \(F(x)\) pouvait diviser suivant \(p\), le polynôme \((X_1 X_2 \ldots X_n \ldots X_{p^r - 1} + 1)\), on aurait une relation de la forme

\[
X_n (X_1 X_2 \ldots X_{n-1} X_{n+1} \ldots X_{p^r - 1} - \varphi(x) f(x)) = p \lambda(x)
\]

En divisant algébriquement \(p \lambda(x)\) par \(X_n\), on obtiendra un résultat qu'on peut écrire

\[
p \lambda(x) = X_n Q(x) + p R(x)
\]

\(p R(x)\) étant un polynôme au plus du degré \(n - 1\), si \(n\) est le degré de \(X_n\).

On aura donc

\[
[X_1 X_2 \ldots X_{p^r - 1} - \varphi - Q(x)] = \frac{p R(x)}{X_n} - 1
\]

relation qui est évidemment absurde, car tandis que son 1er membre est une fonction entière, le second, qui ne peut être zéro, est une fraction rationnelle, dont le numératuer est du degré \(n - 1\) au plus, et le dénominateur est du degré \(n\).

Donc \(F(x)\) est irréductible suivant le module \(p\).

9. La proposition précédente peut être généralisée. C'est ce qui résulte du théorème suivant:

Proposition VII. Soit \(M = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_n^{k_n}\) un nombre entier; et \(F(x)\) une fonction du degré \(r\), irréductible suivant chacun des modules premiers \(p_1, p_2, \ldots p_n\).

Si l'on désigne par \(A\) le produit de toutes les \(\Phi_r(M)\) fonctions réduites suivant la fonction modulaire \(F(x)\) et le module \(M\), on aura

\[
A \equiv \pm 1 \pmod{F(x), M}
\]

Savoir \(A = -1\)

1° Si \(n = 1\) c'est à dire \(M = p_1^{k_1}\), \(p\) étant un nombre impair.

2° Si \(n = 2,\ p_1 = 2,\ \mu_1 = 1\), c'est à dire \(M = 2 p_2^{k_2}, p_2\) étant un nombre impair.

(Concluira).
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 9

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 163.
(Véase tomo IV, página 64).

Dadas las tres diagonales de un cuadrilátero, inscribirlo en un círculo dado.

(J. Gillet.)

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A.)

Supongamos el problema resuelto, y sean AB, CD, EF ó D₁, D₂, D₃ las tres diagonales dadas del cuadrilátero buscado ACBD, EF ó (Q) inscripto en una circunferencia igualmente dada (O).

Esto sentado, si se consideran fijos los vértices A y B de este cuadrilátero, y se le deforma moviendo la diagonal CD, considerada como cuerda de magnitud constante de la circunferencia (O) en que se halla inscripto, rodará en todas sus posiciones sobre otra circunferencia (σ) concéntrica con ésta, y los vértices E y F describiendo otras dos circunferencias (O₁), (O₂) (*) que tienen por cuerda real común la diagonal fija AB; puesto que, como se sabe, los ángulos AEB, AFB tienen siempre la misma magnitud constante.

Designemos por R, R₁, R₂ respectivamente los radios de las circunferencias (O), (O₁), (O₂).

Durante esta deformación del cuadrilátero (Q), la tercera diagonal EF ó D₃, no solamente girará alrededor de uno de los centros de homotecia de las circunferencias (O₁) y (O₂), es decir, será un segmento de un radio de homotecia de estas circunferencias, sino que además variará de magnitud.

Este centro será de homotecia directa si se tiene AB > CD ó D₁ > D₃, y de homotecia inversa en el caso contrario.

Según esto, para resolver el problema, se trazarán en la circunferencia (O) dos cuerdas AB y C'D' iguales á dos de las diagonales dadas D₁ y D₃; así como dos pares de cuerdas AC', BD' y AD', BC', que cortándose en E' y F' determinan los triángulos AE'B y AF'B á los que se circunscribirán dos circunferencias (O₁) y (O₂) que tengan por cuerda real común una de estas diagonales.

Las cuerdas AB y C'D' podrán, para mayor sencillez, elegirse paralelas entre sí, y en este caso los puntos E' y F' se hallarán en la

(*) Estos vértices serán, pues, los puntos de intersección de dos rayos homólogos AE, BE y AF, BF de dos pares de haces homográficos, cuyos centros son los vértices fijos A y B
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

LA ASOCIACIÓN INTERNACIONAL DE MATEMÁTICOS

Con motivo de la celebración del Congreso de Caen y en otras ocasiones nos hemos hecho eco de una idea que principió á circular no ha mucho tiempo y cuyo desarrollo consistiría en la celebración de futuros Congresos internacionales que favorezcan el propósito de llegarse en definitiva una asociación internacional de matemáticos hecho que contribuirá seguramente á afianzar las vastas conquistas realizadas por la ciencia del siglo XIX; y la expresión de simpatía que obtuvo en el Congreso de Caen, y que se halla apoyada con entusiasmo por distinguidos matemáticos de América, se ha robustecido con las conclusiones presentadas por los matemáticos alemanes en el Congreso de Viena, donde el eminente geómetra Dr. F. Klein pronunció un notable discurso acerca de Riemann y sus ideas, y al que asistieron, entre otros, los profesores Gordan, Koenigsberger, Engel, Staickel, Meyer, Vassilief, Wangerin, Kiepert, pudiéndose contar con la seguridad de que la asociación alemana tendrá la participación que le corresponde en los Congresos.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS
(CONCLUSIÓN)

Igualmente si se toma \( \overline{DB} = \overline{BE} \) en la misma circunferencia máxima que determina
\[
r = \frac{\overline{OB}}{\overline{OD}}, \quad \text{se tendrá también} \quad r = \frac{\overline{OE}}{\overline{OB}}
\]
Pero se tiene
\[
r \cdot \overline{OD} = \overline{OB} \quad \text{y} \quad q \overline{OB} = \overline{OC}
\]
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 11

LISTA DE LOS SEÑORES SUSCRIPTORES EN 1894

Real Academia de Ciencias de Madrid.
Observatorio astronómico de Madrid.
Instituto geográfico y estadístico.
Escuela de ingenieros de Caminos.
Academia de ingenieros del Ejército.
Universidad de Zaragoza (Biblioteca de la).
Facultad de Ciencias de Madrid.
Facultad de Ciencias de Barcelona.
Facultad de Ciencias de Zaragoza.
Facultad de Filosofía y Letras de Zaragoza.
Facultad de Medicina de Zaragoza.
Instituto agrícola de Alfonso XII.
Technischen Hochschule de Karlsruhe in Baden.
Academia politecnica do Porto.
Real Maestranza de Artillería de Sevilla.
Parque de Artillería de la Coruña.
Parque de Artillería de Zaragoza.
Academia de Infantería de Toledo.
Institutos de Bilbao, de Cuenca, de Pamplona, de Huesca, de Lérida, de León, de Logroño, de Sevilla, de Soria, de Teruel, de Toledo, de Tarragona y de Zaragoza.
Escuela normal de Zaragoza.
Escuela de Comercio de Zaragoza.
Ateneo de Madrid.
Casino principal de Zaragoza.
Escuela de Artes y oficios de San Sebastián.
Escuelas pías de San Pedro de Cardeña.
Escuelas pías de Molina de Aragón.
Escuelas pías de Ntra. Sra. del Carmen de Málaga.
Escuelas pías de Gandía.
Academia politecnica de Barcelona.
Academia de Olvera, Cádiz.
Colegio de Torrelavega, Santander.
Colegio de Ntra. Sra. del Consuelo de Toledo.
D. Eduardo Torroja, catedrático.
D. Carlos Mondejar, ingeniero.
D. Ricardo Sasera, catedrático.
D. Elías Hernández.
D. José García, ayudante de obras públicas.
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 12

D. Juan Ramonacho, catedrático.
D. J. Gillot, profesor en la Escuela abacial de Maredsous.
D. Matías Balada, jefe de telégrafos.
D. Eduardo Palomar, ingeniero.
D. Ernest Schroeder, profesor en Karlsruhe in Baden.
D. Virginio Retali, profesor en el liceo Beccaria, Milan.
D. José Muñoz del Castillo, catedrático.
D. Alfredo Mendizábal, ingeniero.
D. Nicolás Bustinduy, ingeniero.
D. Eusebio Rodríguez Fernández, profesor de Bellas artes.
D. John Sturgeon Mackay, profesor de la Academia de Edimburgo.
D. Nicolás Ugarte, ingeniero.
D. Jorge Luzón de las Cuevas, profesor.
D. Manuel Iturralde.
D. Cecilio Jiménez Rueda, Dr. y profesor, Madrid.
D. Acisclo F. Vallín, catedrático.
D. Gabriel Galán, profesor.
D. Antonio Pujol.
D. Juan Loriga y Herrera, comandante de Artillería.
D. Juan J. Duran Loriga, capitán de Artillería.
D. Manuel Martí Sanchis, profesor, Valencia.
D. Ramón de la Riva, profesor, Coruña.
D. Andrés Rodríguez Martínez.
D. Ricardo Caro, licenciado en ciencias.
D. Fernando García Prieto.
D. Rafael de la Piñera.
D. Ladislao Cabetas, Director de la Escuela de Bellas artes.
D. Alejandro Farias.
D. Segundo Enciso.
D. Manuel Salavera, catedrático.
D. Mariano Clavero Guervos.
D. Antonio Arrola, profesor.
Mrs. B. Westermann.
D. Bernardo Moreira de Sá profesor en Oporto.
D. H. Le Soudier.
D. Alberto Inclan.
D. Enrique Linés.
D. Virgilio San Juan.
D. Atanasio Lassala, catedrático.
D. Miguel Marzal, catedrático.
D. José Álvarez Miranda.
D. Luis Lapiana.
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 13

© Biblioteca Nacional de España
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 2

Además, \( q \times (r \overline{OD}) = \overline{OC} \), y en virtud de la propiedad asociativa, puesto que \( r \cdot \overline{OD} \) y \( \overline{DO} \) son vectores,

\[
(qr) \times \overline{OD} = \overline{OC}, \quad \text{o bien} \quad qr \overline{OD} = \overline{OC} \quad \text{y} \quad qr = \frac{\overline{OC}}{\overline{OD}}
\]

Pero \( rq \) representa el arco \( \widehat{AE} \), porque

\[
q \overline{OA} = \overline{OB}, \quad r \overline{OB} = \overline{OE}
\]

de donde

\[
rq \overline{OA} = \overline{OE} \quad \text{y} \quad rq = \frac{\overline{OE}}{\overline{OA}}
\]

De manera que los dos versores \( qr \) y \( rq \), aunque están representados por arcos de igual longitud, son desiguales mientras sus planos no están confundidos ó sean paralelos.

96. El producto de dos vectores corresponde á una suma de arcos en la esfera, como se ve en la figura 57, relación que se expresa por las fórmulas

\[
\frac{\overline{OC}}{\overline{OB}} \times \frac{\overline{OB}}{\overline{OD}} = \frac{\overline{OC}}{\overline{OD}} \quad \widehat{BC} \times \widehat{DB} = \widehat{DC}
\]

Para la adición ó sustracción de los cuaternios \( q \) y \( r \), se toma en la intersección de sus planos un vector \( OA \) y se determina en cada plano el otro vector \( BO \) ó \( OC \) tal que

\[
\overline{OB} = q \cdot \overline{OA}, \quad \overline{OC} = r \cdot \overline{OA}
\]

y se tendrá, por ser la adición de vectores conmutativa,

\[
(q + r) \overline{OA} = \overline{OB} + \overline{OC} = \overline{OC} + \overline{OB} = (r + q) \overline{OA}
\]

Siendo \( (q + r) \overline{OA} \) la diagonal \( OD \) del paralelogramo construído sobre \( OB \) y \( OC \).

97. Una teoría importantísima del cálculo de los cuaternios es la de los versores cuadrantes, ó cuaternios, cuyo tensor es la unidad y que efectúan la rotación de un ángulo recto en el plano del cuaternio, en cuyas propiedades, observa Mr. Tait (Traité élémentaire des Quaternions, tomo I, página 65), fundó Hamilton en 1843 el cálculo de los cuaternios.

Designemos por I, J, K tres vectores-unidades perpendiculares entre sí y con el mismo origen.
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 3

El operador que produce la rotación de J á K en el sentido directo (sinistrorsum) es un versor cuadrante, y por verificarse la rotación alrededor de I se designa por \( i \). De manera que se tiene

\[
\frac{K}{J} = i, \text{ de donde } K = iJ \quad (1)
\]

y análogamente

\[
\frac{I}{K} = j, \text{ de donde } I = jK \quad (2), \quad \frac{J}{I} = k, \text{ de donde } J = kI \quad (3)
\]

Observación. Si se hace girar el sistema trirectangular IJK alrededor de un eje igualmente inclinado respecto á las tres direcciones, se verificará una sustitución cíclica entre I, K y J, ó entre las relaciones (1), (2), (3).

98. Conforme á lo indicado en el núm. 92 se tiene que

\[
\frac{-J}{K} = \frac{K}{J}
\]

Así en la fig. 58 se observa que existe la misma relación entre un vector dirigido hacia el sud y otro dirigido hacia el zenit que la existente entre un vector dirigido hacia el zenit y otro dirigido hacia e Norte.

Tenemos, pues,

\[
\frac{-J}{K} = i \quad \text{de donde} \quad -J = iK \quad (4)
\]

Análogamente

\[
\frac{-K}{I} = j \quad \text{ó} \quad -K = jI \quad (5) \qquad \frac{-I}{J} = k \quad \text{ó} \quad -I = kJ \quad (6)
\]

De las relaciones (1) y (4), (2) y (5), (3) y (6) resulta:

\[
-J = iK = i(iJ) = i^2J, \quad -K = jI = i(jK) = j^2K, \quad -I = kJ = k(kI) = k^2I
\]
ó
\[
i^2 = -1, \quad (7) \qquad j^2 = -1 \quad (8) \qquad k^2 = -1 \quad (9)
\]

Para obtener relaciones entre las demás combinaciones de \( i, j, k \) se observará que

\[
\frac{K}{-I} = \frac{I}{K} = j \quad \text{de donde} \quad K = j(-I) = -jI \quad (10)
\]
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 4

observando que el signo (—) es conmutativo con \( j, k \) ó \( i \).
Pero
\[
iK = i(-jI) = -ijI
\]
y además (por las (4) y (3))
\[
iK = -J = -kI.
\]
luego
\[
-ijI = -kI
\]
Se tiene, pues,
\[
ij = k, \quad ki = j, \quad jk = i
\]
(11)

Para obtener la significación de estas relaciones, consideremos la fig. 60 que representa un hemisferio cuyo zenit es Z; los versores \( i, j, k \) están representados por cuadrantes; N, O, S, E representan los puntos Norte, Oeste, Sud y Este.

Sea C el centro de la esfera. Para mostrar que \( ij = k \), se tiene sucesivamente
\[
j.\overline{CO} = \overline{CZ} \quad \text{de donde} \quad ij.\overline{CO} = i.\overline{CZ} = \overline{CS} = k.\overline{CO}
\]

También podemos aplicar el teorema (95) relativo al producto de dos versores

Así (fig. 61), considerando el triángulo esférico DBC, en el que \( \widehat{DB} = r, \widehat{BC} = q \), se ha obtenido que

\[
\widehat{BC} \times \widehat{DB} = \widehat{DC} \quad \delta \quad q \times r = \text{producto } qr
\]

Asimilando ahora el triángulo DBC á los tres triángulos tri-rec-tángulos ú octantes, OZS, ZSE, NOZ se tiene:
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 5

\( \widehat{ZS} \times \widehat{OZ} = OS \) ó \( i.j = k; \quad \widehat{SE} \times \widehat{ZS} = \widehat{ZE} \) ó \( k.i = j \)

\( \widehat{OZ} \times \widehat{NO} = \widehat{NZ} \) ó \( j.k = i \)

La misma figura hace ver también que \( i.CN = CZ \), por lo que

\[
ji . \overline{CN} = j . \overline{CZ} = \overline{CE} = - \overline{CO} = -k \overline{CN}
\]

es decir, que
\[
ji = -k, \quad ik = -j, \quad kj = -i
\]
(12)

y comparando con (11)

\[
ij = -ji = k, \quad ki = -ik = j, \quad jk = -kj = i
\]
(11) y (12)

relaciones que unidas á \( i^2 = j^2 = k^2 = -1 \) contienen lo necesario para fundar la teoría de los cuaternios.

99. Concluiremos estas indicaciones observando que: 1.º Un vector-unidad, cuando hace las veces de factor, podrá considerarse como un versor-cuadrante, cuyo plano es perpendicular al vector. 2.º El producto, y por consiguiente, el cociente de dos vectores perpendiculares entre sí es un tercer vector perpendicular á los dos primeros. 3.º Un versor cualquiera puede representarse por la potencia de un vector-unidad.

Porque si \( \alpha \) es un vector dirigido perpendicularmente al vector-unidad \( i \), si se hace \( i\alpha = \beta \), \( \beta \) será en longitud igual á \( \alpha \), pero perpendicular á \( \alpha \) é \( i \); luego

\[
i^2 \alpha = -\alpha; \quad i^3 \alpha = -i\alpha = -\beta; \quad i^4 \alpha = -i^3 \beta = -i^2 \alpha = \alpha
\]

4.º Por definición iº será un versor que hace girar á un vector cualquiera perpendicular á i en un ángulo de rotación igual á m ángulos rectos, en el sentido de la rotación positiva y alrededor de i como eje.

5.º Un cuaternion cualquiera puede representarse por la potencia de un vector, pues puede elegirse el tensor y el vector-unidad (ó versor) del vector, de modo que elevados á una potencia conveniente, la misma para los dos, el primero dé el tensor y el segundo el versor del cuaternion dado.

100. Vamos á terminar considerando al cuaternion como suma.

Para ello, sea \( \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} \) el cociente de dos vectores. Bájese desde B la perpendicular á OA, cuyo punto de intersección con ésta (ó su prolongación) llamaremos C. Se tendrá que

\[
\overline{OB} = \overline{OC} + \overline{CB}.
\]
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 6

Pero \( OC = x \cdot \overline{OA} \), siendo \( x \) una cantidad numérica cuyo signo será el del coseno de \( \angle AOB \).

Además \( \overline{OB} \) ó su igual \( \overline{OB'} \) (trazado en el plano AOB por O perpendicularmente á \( \overline{OA} \)) es igual á \( \gamma \cdot \overline{OA} \), siendo \( \gamma \) un vector perpendicular á \( \overline{OA} \) y á \( \overline{CB} \) (99. 1.o). Luego

\[
\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} = \frac{x \cdot \overline{OA} + \gamma \overline{OA}}{\overline{OA}} = x + \gamma
\]

Hamilton llama á la parte numérica \( x \) del cuaternio *scalar* siendo la segunda el *vector*. Así

\[
q = S_q + V_q
\]

Un vector cualquiera puede representarse por

\[
ix + jy + kx
\]

siendo \( x, y, z \) cantidades numéricas (ó escalares) é \( i, j, k \) un sistema cualquiera de vectores no coplanares, pero que ordinariamente representan un sistema de unidades-vectores trirectangulares, de manera que la expresión general de un cuaternio es

\[
q = w + ix + jy + kz
\]

expresión por la que se muestra explícitamente que la denominación *cuaternio* se debe á que depende éste de cuatro números.

101. Terminaremos reproduciendo la frase expuesta en la obra citada de Mr. Tait (t. I, p. 81). «Las propiedades de los símbolos que se refieren á los cuaternios nos recuerdan los símbolos electivos de la lógica, tales como se ofrecen en el admirable tratado de Boole: *On the Laws of the thought* (Sobre las leyes del pensamiento). La semejanza sorprendente de estos dos sistemas de símbolos, tipos de procedimientos que son en el fondo los mismos, nos sugiere la observación de que sólo hay una ciencia única de análisis matemático, con diversas ramas, pero que emplea en ella los mismos procedimientos. Por la una de sus ramas esta ciencia nos descubre los misterios de la Geometría de posición, fuera del alcance del razonamiento geométrico ordinario; por la otra, permite al lógico llegar á verdades de deducción á las que no habría podido llegar sin el auxilio de estas fórmulas.»
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 7

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 217
(Véase tomo IV, páginas 380).

Siendo A, B y C los ángulos de un triángulo y suponiendo á C constante, demostrar que el límite de la expresión

\[
\tg B (\cot A \cot C - 1) \quad \text{para} \quad B = 90^\circ
\]

es

\[
\lim \tg B (\cot A \cot C - 1) = - \frac{1}{\sen C \cos C}
\]

(Juan J. Durán Loriga).

Solución por el Sr. Sollertinsky. (B).

En todo triángulo se tiene

\[
\tg B \cdot \cot (A + C) = -1
\]

de donde

\[
\tg B (\cot A \cdot \cot C - 1) = - (\cot A + \cot C)
\]

pero, para \( B = 90^\circ \) se tiene \( \cot A = \tg C \)

y por consiguiente \( \cot A + \cot C = \frac{1}{\sen C \cos C} \)

CUESTIÓN 218.
(Véase tomo IV, página 380).

En todo triángulo se tiene

\[
\frac{C_p}{a} = \frac{\cot \omega \tg B (\cot A \cot C - 1)}{\cot B + \cot C}
\]

siendo \( C_p \) la proyección de c sobre a y \( \omega \) el ángulo de Brocard del triángulo

(Juan J. Durán Loriga).

Solución por el Sr. Sollertinsky (B.)

Se tiene

\[
\frac{C_p}{a} = \frac{c \cos B}{a} = \frac{\sen C \cos B}{\sen A} = \cot B : \frac{\sen A}{\sen B \sen C}
\]

pero

\[
\cot B = \cot \omega - (\cot A + \cot C) = \cot \omega + \tg B (\cot A \cot C - 1)
\]

y

\[
\frac{\sen A}{\sen B \sen C} = \frac{\sen (B + C)}{\sen B \sen C} = \cot B + \cot C.
\]
El Progreso matemático (1894-12-01 00:00:00), página 8

CUESTIÓN 200
(Véase tomo IV, página 307).

Resolver las ecuaciones

\[
\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{x^4 y^8}} + \sqrt{y^2 + \sqrt[3]{x^8 y^4}} = a,
\]
\[
x + y + 3 \sqrt[3]{b x y} = b
\]

(R. Guimaraes).

Solución por el Sr. Sollertiski (B)

Si se hace
\[
x_1 = \sqrt[3]{x}, \quad y_1 = \sqrt[3]{y}, \quad a_1 = \sqrt[3]{a}, \quad b_1 = \sqrt[3]{b}
\]
las ecuaciones dadas se reducen á
\[
x_1^2 \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + y_1^2 \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = a_1^3; \quad x_1^2 + y_1^2 + 3 b_1 x_1 y_1 - b_1^3 = 0
\]
ó bien
\[
(x_1^2 + y_1^2)^{\frac{3}{2}} = a_1^3; \quad (x_1 + y_1 - b) (x_1^2 - x_1 y_1 + y_1^2 + b_1 (x_1 + y_1) + b_1^2) = 0
\]
Se tiene, pues, que resolver dos sistemas de ecuaciones
\[
\begin{cases}
x_1^2 + y_1^2 = a_1^3 \\
x_1 + y_1 = b
\end{cases}
\]
(1)
\[
\begin{cases}
x_1^2 + y_1^2 = a_1^3 \\
x_1^2 - x_1 y_1 + y_1^2 + b_1 (x_1 + y_1) + b_1^2 = 0
\end{cases}
\]
(2)

Se puede todavía transformar el sistema (2)
Multiplicando la primera ecuación por 3, y restando la segunda multiplicada por 2, se obtiene
\[
(x_1 + y_1)^3 - 2 b_1 (x_1 + y_1) - (3 a_1^3 + 2 b_1^3) = 0
\]
de donde
\[
x_1 + y_1 = b_1 \pm \sqrt{3(a_1^3 + b_1^3)}
\]
Así debe resolverse el sistema único
\[
x_1^2 + y_1^2 = a_1^3, \quad x_1 + y_1 = \beta
\]
donde \( \beta \) puede tener uno de los tres valores:
\[
b_1, \ b_1 + \sqrt{3(a_1^3 + b_1^3)}, \ b_1 - \sqrt{3(a_1^3 + b_1^3)}
\]
Las raíces del sistema son
\[
x_1 = \frac{\beta \pm \sqrt{2 a_1^3 - \beta^2}}{2}, \quad y_1 = \frac{\beta \mp \sqrt{2 a_1^3 - \beta^2}}{2}
\]