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El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 12

ciones de estos mismos lados con cierta transversal \( \omega \mu v \); y para esto se debe tener

\[
\frac{\mu b \cdot vc \cdot \omega a}{c \mu \cdot av \cdot b \omega} = -1 \tag{1}
\]
ó
\[
\frac{(cb - c \mu) (ac - av) (ba - b \omega)}{c \mu \cdot av \cdot b \omega} = -1 \tag{2}
\]

pero, según los datos, se tiene
\[
c \mu = m \cdot cb, av = n \cdot ac, b \omega = p \cdot bc
\]
luego, reemplazando estos valores en (2), resulta
\[
\frac{(1-m)(1-n)(1-p)}{m \cdot n \cdot p} = -1 \tag{3}
\]
ó
\[
m(1-n) + n(1-p) + p(1-m) = 1 \tag{4}
\]

Tal es la relación buscada que debe existir entre los coeficientes \( m, n, p \).

CUESTIÓN 195
(Véase tomo IV, página 296).

Si desde los vértices de un triángulo ABC se trazan tres rectas paralelas que encuentran á los lados opuestos en los puntos \( A_1, B_1, C_1 \), los puntos que dividen á las rectas AA₁, BB₁, CC₁ en la relación de 1 á 2 están en línea recta.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

Sean \( a, a_1, b, b_1, c, c_1 \) los puntos que dividen en tres partes los seg-
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mentos \( \mathbf{AA}_1, \mathbf{BB}, \mathbf{CC}_1 \) y se tendrá

\[
\frac{\mathbf{Aa}}{\mathbf{AA}_1} = \frac{\mathbf{bB}}{\mathbf{B}_1\mathbf{b}} = \frac{\mathbf{Cc}}{\mathbf{CC}_1} = \frac{1}{2}
\]

Tracemos los vectores \( Ac_1 \) y \( Ca_1 \) que evidentemente se cortan en el punto \( b \) del segmento \( BB_1 \) que determinan los triángulos semejantes \( Aba \) y \( c_1bC \), cuyos lados homólogos paralelos \( Aa_1 \) y \( c_1C \) tienen los puntos \( a \) y \( c \) por puntos medios.

Esto sentado, la recta \( ac \) pasará por el vértice común \( b \) de estos triángulos, es decir, los puntos \( a, b, c \) están en línea recta: lo que demuestra el teorema enunciado.

Observación. Se podría igualmente considerar los puntos \( a \) y \( c \) como los medios de las diagonales paralelas del cuadrilátero \( ACa_1c_1 \), que tiene por tercera diagonal \( abc \), la que, por consiguiente, pasará también por un cuarto punto \( \beta \) de la recta \( AB \) conjugada armónica de \( B_1 \) con relación á los puntos \( A \) y \( B \).

Es evidente que las rectas \( a_1c_1 \) y \( A_1C_1 \) pasarán también por \( \beta \), y las rectas \( ac, ca_1 \) por \( B \).

Otras propiedades pueden deducirse inmediatamente de la figura.

CUESTIÓN 196.
(Véase tomo IV, página 208).

Si sobre el lado \( BC \) de un triángulo \( ABC \) se toma un punto \( A_1 \) tal, que \( BA_1 : A_1C = \gamma : \beta \); y en las prolongaciones de \( AC \) y \( AB \) los puntos \( B_1 \) y \( C_1 \) tales, que \( CB_1 \) sea 4.a proporcional á \( \gamma, \beta \) y \( AC \) y \( BC_1 \) la 4.a pro-
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porcional á \( \beta, \gamma \) y AB: 1.º Las tres rectas AA₁, BB₁, CC₁ pasan por un mismo punto, cuyas coordenadas baricéntricas son proporcionales á \( -\beta \gamma; \beta (\beta + \gamma); \gamma (\beta + \gamma) \). 2.º Los puntos que dividen á las rectas AA₁, BB₁, CC₁ en la relación de 1 á 2 están en línea recta.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

La primera parte del teorema se reduce á probar que si se tiene entre los pares de segmentos BA₁, A₁C; CB₁, AC; AB, BC₁ las relaciones

\[
\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{\gamma}{\beta} \quad (1) \qquad \frac{CB_1}{AC} = \frac{\beta}{\gamma} \quad (2) \qquad \frac{AB}{BC_1} = \frac{\beta}{\gamma} \quad (3)
\]

las tres rectas consideradas pasan por un mismo punto m.

En efecto, reemplacemos los segmentos AC y AB respectivamente por sus valores —(CB₁ + B₁A) y AC₁ — BC₁ en las relaciones (2) y (3) y se tendrá

\[
\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{\beta}{\beta + \gamma} \quad (4) \qquad \frac{AC_1}{C_1B} = -\frac{\beta + \gamma}{\gamma} \quad (5)
\]

Multiplicando las relaciones (1), (4), (5), miembro á miembro, se tendrá

\[
\frac{BA_1 \cdot CB_1 \cdot AC_1}{A_1C \cdot B_1A \cdot C_1B} = +1 \quad (6)
\]

lo que demuestra que las tres rectas AA₁, BB₁, CC₁ se cortan en un mismo punto, cuando se verifiquen las relaciones (1), (2), (3).

Las relaciones (1), (4), (5) muestran igualmente que las coordenadas baricéntricas del punto m son proporcionales á

\[
-\beta \gamma; \quad \beta (\beta + \gamma); \quad \gamma (\beta + \gamma)
\]

2.º Sean \( z_1, \beta_1 \) y \( \gamma_1 \) los puntos que dividen los vectores AA₁, BB₁, CC₁ en la razón

\[
\frac{Az_1}{AA_1} = \frac{B\beta_1}{BB_1} = \frac{C\gamma_1}{CC_1} = \frac{1}{2} \quad (7)
\]

y por estos puntos tracemos las rectas \( b z_1 c', \beta a' c, \gamma ab' \) respectivamente paralelas á los lados CB, CA, BA del triángulo dado ABC, las cuales, como se sabe, serán los lugares geométricos de los puntos que dividen en esta razón á todos los vectores trazados por los vértices A, B, C de este triángulo y limitados por los lados opuestos, y determinarán el triángulo A'B'C' directamente igual al triángulo dado.
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Siendo así, se tiene

\[
B'z_1 = \frac{1}{3} (CB + CA_1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2\beta + \gamma}{\beta + \gamma} \cdot CB
\]

(8)
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C'\beta_1 = \frac{1}{3} (2AC + CB_1) = \frac{1}{3} \frac{\beta + 2\gamma}{\gamma} . AC \tag{9}

A'\gamma_1 = \frac{1}{3} (BC_1 - AB) = - \frac{1}{3} \frac{\beta - \gamma}{\beta} . AB \tag{10}

x_1 C' = \frac{1}{3} (2CB - CA_1) = \frac{1}{3} \frac{\beta + 2\gamma}{\beta + \gamma} . CB \tag{11}

\beta_1 A' = \frac{1}{3} (AC - CB_1) = - \frac{1}{3} \frac{\beta - \gamma}{\gamma} . AC \tag{12}

\gamma_1 B' = \frac{1}{3} (2BA + C_1B) = \frac{1}{3} \frac{2\beta + \gamma}{\beta} . BA \tag{13}

de donde

\[
\frac{B'a_1 \cdot C'\beta_1 \cdot A'\gamma_1}{x_1 C' \cdot \beta_1 A' \cdot \gamma_1 B'} = -1
\] \tag{14}

luego los puntos \(a_1, \beta_1, \gamma_1\) están en línea recta.

Observación. Si se considera el triángulo \(A'B'C'\) como dado, el punto \(m'\) simétrico de \(m\) con relación al centro de gravedad O de este triángulo y del triángulo ABC, dará los vectores \(A'A_1', B'B_1', C'C_1'\), inversamente equipolentes á los vectores AA_1, BB_1, CC_1; y los puntos \(x_1', \beta_1', \gamma_1'\), que dividen á aquellos vectores en la razón de 1 á 2, considerados sobre los lados del triángulo ABC estarán también en línea recta.

En virtud de la simetría de la figura, se ve que todos los puntos \(x_1, x_1'; \beta_1, \beta_1'; \gamma_1, \gamma_1'\) se hallan en una misma transversal que pasa por el centro de gravedad O de los dos triángulos ABC y A'B'C'.

Los puntos m y m' se hallan en una elipse (i) circunscrita á estos dos triángulos ó al exágono AB'CA'BC', lugar geométrico de los puntos que satisfacen á las condiciones de la cuestión propuesta; cuando \(-\beta_1'; \beta(\beta + \gamma), \gamma(\beta + \gamma)\) sean proporcionales á las coordenadas bari-céntricas de esta elipse.

Esta cónica tendrá por centro el punto O y por diámetros las medias AA', BB', CC' comunes á estos triángulos ó las diagonales del exágono AB'CA'BC' que tendrán respectivamente por diámetros conjugados las diagonales 'c, ac', 'a'b' del exágono aa'cc'bb'.

Se podrían considerar las cónicas engendradas por otros puntos y las envueltas por ciertas rectas tales, que A_1B_1, B_1C_1, C_1B_1, así como otras propiedades de la figura, lo que nos reservamos para más tarde, como una simple nota para no hacer inútilmente más larga esta solución.
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CUESTIÓN 198 (*)
(Véase tomo IV, página 207).

- De dos cuerdas de una circunferencia, la una AC es fija, la otra BD móvil y de magnitud constante. Se pide determinar: 1.º Los lugares geométricos de los puntos M y N intersecciones de los pares de lados opuestos (AB, CD), (BC, AD) del cuadrilátero ABCD. 2.º La envolvente de la recta MN, tercera diagonal de este cuadrilátero.

J. Gillet.

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

1.º Considerando fijos los vértices A y C del cuadrilátero ABCD, MN, si se le deforma moviendo la diagonal CD, considerada como cuerda de magnitud constante de la circunferencia (O) en que se halla inscripto, rodará en todas sus posiciones sobre otra circunferencia (o) concéntrica con ésta; y los vértices M y N describirán otras dos circunferencias (O₁) y (O₂) (*) cuya cuerda común será la diagonal fija AC; puesto que, como se sabe, los ángulos AMC y ANC tienen siempre una magnitud constante.

Las circunferencias (O₁) y (O₂) serán, pues, los dos lugares geométricos buscados.

2.º Durante esta deformación del segundo cuadrilátero, la tercera diagonal MN, no solamente variará en magnitud, sino que además girará alrededor de uno de los centros de homotecia c ó c' de las circunferencias (O₁) y (O₂), es decir, será un segmento de un radio de homotecia de estas circunferencias.

Este centro será de homotecia directa c, si se tiene AC > BD, y de homotecia inversa c' en el caso contrario, y representará la envolvente buscada.

En efecto, el punto de intersección z de las cuerdas AC y BD, siendo el polo de la tercera diagonal MN del cuadrilátero ABCD, MN con relación á la circunferencia (O), cuando este cuadrilátero se deforme, esta tercera diagonal tendrá siempre su polo, relativo á esta circunferencia, sobre la cuerda AC, y por consiguiente girará alrededor del polo de esta cuerda.

Ahora, este polo, siendo con relación á las circunferencias (O₁) y (O₂) su centro de homotecia directa c ó inversa c', según que la cuerda AC es mayor ó menor que la cuerda BD, ó bien cuando los radios

(*) Véase nuestra solución á la cuestión propuesta, núm. 163, pág. 249.
(**) Estos vértices serán, pues, los puntos de intersección de dos rayos homólogos AM, CM y AN, CN, de dos pares de haces homográficos cuyos centros son los vértices fijos A y C.
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O_1 M y O_2 N son paralelos y de igual sentido ó de sentido contrario, la envolvente de la diagonal MN se reduce á uno de estos puntos.

Observación. No entramos en la discusión de los lugares buscados atendido á que nos hemos ocupado ya en la solución de la cuestión propuesta núm. 163, de los principales casos que pueden presentarse, y que por otra parte el ilustrado autor no la pide; pero juzgamos útil entrar todavía en otros estudios que tienen una relación íntima con este asunto, lo que podemos hacer.

Cuando la cuerda BD gire alrededor de un punto cualquiera Θ, se sabe que los pares de puntos B, D; B_1, D_1; B_2, D_2,... en los que encuentra á la circunferencia Ω, forman dos divisiones homográficas en involución, y por consiguiente los rayos homólogos AB, CD; AD, CB, etc., trazados desde dos puntos de división, respectivamente, formando dos haces homográficos, el lugar geométrico de los puntos de intersección M, N; M_1, N_1, etc., de los rayos homólogos será una cónica (Σ) que pasa por los centros A y C de estos haces.

Según esto, la cuestión propuesta nos conduce á buscar los pares de rayos homólogos de estos haces que se cortan bajo un ángulo dado, y por consiguiente, á reconocer el género de la cónica engendrada (Σ): por causa de que tenemos que considerar el caso en que las cuerdas AC y BD son iguales, ó paralelos los lados AB y CD del cuadrilátero ABCD, durante su deformación.

En efecto, considerando el círculo envolvente (σ₀) de la cuerda móvil BD, determinada sobre el círculo generador (Ω), por los rayos homólogos paralelos, ó cortándose según un ángulo recto, AB, CD, etc., trazados por dos puntos fijos A y C, y que toca á la cuerda AC, se ve que según que del punto fijo Θ no se le pueden trazar transversales tangentes, ó se le puede trazar una transversal tangente ó dos, así los haces homográficos generadores A(BD)... y C(DB...) no tendrán rayos paralelos, ó tendrán un solo par de rayos paralelos, ó dos, y la cónica engendrada (Σ) será una elipse, una parábola ó una hipérbola, ó bien una noción de estas curvas.

Este procedimiento para determinar el género de la cónica engendrada (Σ) es general, y por consiguiente aplicable al caso en que el círculo generador (Ω) se halla reemplazado por una cónica cualquiera (C); puesto que entonces el círculo envolvente (σ₀) se reducirá á otra cónica (c) homotética y concéntrica á (C) envolvente de las cuerdas que unen los puntos homólogos de dos divisiones homográficas
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formadas por dos cuerdas paralelas que se hacen girar alrededor de dos puntos fijos A y C'.

Es claro que estos teoremas relativos al círculo (O) y á la cónica (C) divididos homográficamente son casos particulares de los en que los centros A y C se hallan sobre dos cónicas distintas C y (C').

Por otra parte es fácil ver que de estos teoremas relativos al plano podremos deducir teoremas relativos al espacio, y recíprocamente.

Así, si en vez de considerar una sola cuerda móvil BD del círculo (O), se imagina ligada invariablemente á esta otra cuerda igual B'D', se tendrán dos cuadriláteros ABCD, MN y AB'C'D', M'N' y entonces las rectas MN' ó M'N que unen los vértices M, N' y M', N situados en los círculos (O_1) y (O_2) envolverán una hipérbola que representa el contorno aparente de un hiperboloide de una hoja ó alabado sobre un plano en el que las generatrices rectilíneas se proyectan según estas rectas y dos directrices, según estos dos círculos divididos homográficamente por los rayos O_1M y O_2N ó O_1M' y O_2N' que giran alrededor de O_1 y O_2 formando siempre entre sí un ángulo constante.

En esta figura, la cuerda común AC de estos círculos (O_1) y (O_2) y su centro de homotecia c ó c' representarán igualmente su eje ó su centro de homología.

En el caso particular en que las cuerdas BD y B'D' coincidan, lo mismo sucederá á los cuadriláteros correspondientes, y por consiguiente los rayos O_1M y O_2N serán paralelos como en el caso de la cuestión propuesta y uno de los puntos c ó c' será la proyección de un vértice de un cono cuya directriz se proyecta según el círculo (O_1) ó (O_2).

CUESTIÓN 206
(Véase tomo IV, página 207).

Se da la longitud a del lado BC de un triángulo ABC, los vértices B y C se mueven sobre una recta dada yy' y el ortocentro H está fijo. Demostrar que los lados AC y AB envuelven dos parábolas.

(J. Neuberg.)

Solución por el Sr. Schiatta Montano (A).

Levantemos en los vértices B, C y en el ortocentro H del triángulo variable ABC las perpendiculares h_0Bh', hCh' y h_0Hh á los lados

(1) Véase nuestra Note sur la generation d'une conique au moyen du cercle, ou d'un autre conique et sur autres études géométriques, publicada en el Journal de Sciences Mathématiques et Astronomiques, t. XIV, p. 86.
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 2

d'où, ayant posé

\[
E(x) = \frac{1}{p_i^r} \left( F(x) - \varphi(x) \psi_\nu(x) \right)
\]

on déduit

(23)

\[
F(x) E(x) = \varphi(x) \lambda_\nu(x) - p_1^{n_1} ... p_i^{n_i} ... \lambda_\nu(x)
\]

Ce qui exige que l'on ait

\[
\lambda_\nu(x) = p_i \lambda'_\nu(x)
\]

et partant

(24)

\[
\psi(x) = F(x) \psi_\nu(x) + p_i^{r+1} \lambda'_\nu(x)
\]

Donc la fonction \( \psi(x) \) est divisible par \( F(x) \) suivant chacun des modules \( p_1^{n_1}, p_2^{n_2}, ... p_i^{n_i}, ... \); et en conséquence suivant leur produit

\[
p_1^{n_1} \times p_2^{n_2} \times ... \times p_i^{n_i} \times ... = M.
\]

6. Soit \( M = p_1^{\mu_1} p_2^{\mu_2} ... p_n^{\mu_n} \) un nombre entier quelconque, \( p_1, p_2, ... p_i, ... p_n \) étant des nombres premiers différents.

Soit ensuite \( F(x) \) une fonction entière du degré \( r \), irréductible suivant chacun des modules \( p_1, p_2, ... p_n \) et \( F(x) \) une fonction entière. Appelons \( R(x) \) le reste de la division algébrique de \( F(x) \) par \( F(x) \); on pourra écrire

\[
R(x) = R'(x) + M_r(x)
\]

\( R'(x) \) étant une fonction dont le degré est inférieur à \( r \), et dont les coefficients sont des nombres entiers positifs moindres que \( M \).

La fonction \( R'(x) \) sera dite résidu minima de \( F(x) \) suivant la fonction irréductible \( F(x) \) et le module \( M \).

L'expression générale de ces polynômes est la suivante:

\[
R'(x) = r_0 x^{r-1} + r_1 x^{r-2} + ... + r_{r-1}
\]

chacun des nombres \( r_0, r_1, ... r_{r-1} \) pouvant recevoir l'une quelconque des valeurs 0, 2, ... \( M - 1 \).

Parmi les \( M^r \) fonctions \( R'(x) \), il y en a qui satisfont identiquement à la condition

(25)

\[
R'(x) \equiv 0 \pmod{\delta_i}
\]

\( \delta_i \) étant un diviseur déterminé de \( M \); chacune des autres, dont les coefficients ne sont pas tous des multiples d'un même diviseur \( \delta_i \) de \( M \),
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 20

AB, AC y á la perpendicular A'H al lado BC; y señalemos sobre H2C y HB3 los segmentos H3' y HH' equipolentes á \( h_0 h' \) y \( hh' \) lo que determina los dos triángulos directamente iguales \( h_0 h' h \) y H'HK, cuyos lados \( h_0 h \) y H'K iguales á \( 2\alpha \), están situados sobre dos rectas fijas FF' y DD' equidistantes de la recta fija dada yy'.

Esto sentado, cuando el lado BC del triángulo dado ABC se mueva sobre yy', y por consiguiente su vertice sobre H', los lados HHI' y HK del triángulo HH'K girarán alrededor del vértice H, y los lados
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 21

respectivamente equipolentes \( h_0h' \) y \( hh' \) del triángulo \( h_0h'h \) girarán alrededor de los vértices \( h_0 \) y \( h \), que serán también puntos fijos, y entonces el vértice \( h' \) siendo el punto medio del lado \( H'K \) del triángulo \( HH'K \), se moverá con este lado sobre la recta \( DD' \).

Ahora, se sabe que cuando el lado de un ángulo recto gira alrededor de un punto fijo, y el vértice recorre una recta igualmente fija, el segundo lado de este ángulo envolverá una parábola, que tiene este punto y esta recta respectivamente por foco y por podar ó tangente en el vértice.

Luego los vértices \( h_0 \) y \( h \) del triángulo \( h_0h'h \) y la recta fija dada \( yy' \) serán respectivamente los focos y la podar común de dos parábolas iguales (\( m_0 \)) y (\( m \)) envolventes de los lados \( AB \) y \( AC \) del triángulo variable \( ABC \), cuyos puntos de contacto con estas cónicas serán sus intersecciones \( m'_0 \) y \( m \) con la perpendicular \( h'v \) á esta recta fija \( yy' \) en el punto \( v \), teniendo por vértice respectivamente los puntos \( v_0 \) y \( v \) y por directriz común \( H'KOQ_0 \) ó \( DD' \).

Observación. Si en los puntos medios B y C de los lados giratorios HK y HH' del triángulo HH'K se levantan las perpendiculares \( B_{\mu} \) y \( C_{\nu'} \), éstas, durante la rotación de estos lados envolverán, como se sabe, una sola y misma parábola (\( \mu \)) que tiene respectivamente por vértice, foco, podar y directriz los puntos \( \gamma \), H y las rectas \( yy' \), \( DD' \); y en la que los puntos de contacto de estas perpendiculares con esta cónica serán sus intersecciones \( \mu \) y \( \mu' \) con las perpendiculares \( KV \) y \( HV \) á \( yy' \) en los puntos \( V \) y \( V' \).

En este caso esta parábola será, en verdad, una cónica doble, puesto que corresponde á \( a = o \) ó á la coincidencia de los vértices B y C del triángulo ABC, es decir, á la coincidencia de las parábolas (\( m_0 \)) y (\( m \)).

Para obtener la ecuación cartesiana de esta parábola (\( \mu \)) tomemos por ejes de las \( x \) é \( y \) su eje \( \gamma H \) (que corta á la directriz \( DD' \) en el punto \( \Omega \)) y su podar \( yy' \).

Consideremos el punto \( \mu \) de esta curva cuyas coordenadas son

\[
\gamma \pi = V_{\mu} = x \quad \text{y} \quad \pi \mu = \gamma V = y
\]

y hagamos

\[
\gamma H = Kv = \Omega \gamma = k
\]

El triángulo rectángulo KB\( \mu \) dará \( BV^2 = KV \cdot V_{\mu} \). (1)

de donde

\[
y^2 = 4kx \tag{2}
\]

Tal es la ecuación de la parábola referida á su vértice y cuyo parámetro es \( 4k \).
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 22

Puesto que las parábolas envolventes \((m_0)\) y \((m)\) corresponden al movimiento de traslación de la parábola media \((\mu)\) según sus ordenadas, de una magnitud igual á \(a\), las ecuaciones de estas dos parábolas serán respectivamente

\[
(y + a)^2 = 4k \cdot x \tag{3}
\]
ó
\[
y^2 + 2a \cdot y = 4kx - a^2 \tag{4}
\]
y
\[
(y - a)^2 = 4k \cdot x \tag{5}
\]
ó
\[
y^2 - 2ay = 4k \cdot x - a^2 \tag{6}
\]

Es fácil ver que \(h'v\) es un diámetro de \((\mu)\) conjugado de la cuerda \(\mu\mu'\), etc.

II

SOLUCIÓN ANALÍTICA

Haciendo \(yB = x\), la ecuación del lado AB del triángulo ABC será
\[
y - x = \frac{k}{a + x} \cdot x \tag{7}
\]

Busquemos la curva envolvente de esta recta. Con este objeto, diferenciemos esta ecuación con relación á \(z\).
Hallaremos
\[
z = \frac{y - a}{2} \tag{8}
\]
Sustituyendo este valor en (7) se obtiene
\[
(y + a)^2 = 4k \cdot x \tag{3}
\]
ó
\[
y^2 + 2ay = 4kx - a^2 \tag{4}
\]
La ecuación del lado AC será
\[
y - (a + z) = \frac{k}{z} \cdot x \tag{9}
\]
la que, diferenciada, da el valor (8), que reemplazado en (9), da
\[
(y - a)^2 = 4k \cdot x \tag{5}
\]
ó
\[
y^2 - 2ay = 4kx - a^2 \tag{6}
\]

Luego, las dos curvas envolventes de los dos lados AB y AC del triángulo variable ABC serán dos parábolas iguales \((m_0)\) y \((m)\) que tienen la misma podar.

CUESTIÓN 199.
(Véase tomo IV, página 207).

Sean M, N, P los medios de los lados BC, CA, AB de un triángulo
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 23

ABC y O un punto cualquiera de su plano. Por M, N, P se trazan rectas respectivamente paralelas á OA, OB, OC. Demostrar que: 1.º Estas paralelas se cortan en un punto común O'. 2.º La recta OO' pasa por el centro de gravedad G del triángulo y queda dividida por este punto en la relación 2 : 1. 3.º El punto medio de la distancia OO' es el centro de las distancias medias de los cuatro puntos O, A, B, C. 4.º Deducir de lo que precede que el centro del círculo circunscripto es el centro de las distancias medias de los cuatro círculos tangentes á los lados del triángulo. 5.º Estudiar los casos particulares en que el punto O es uno de los puntos notables del triángulo.

(J. Gillet).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

1.º Como se sabe, los triángulos ABC y MNP (fig. 1.a) son homotéticos, cuyo centro de homotecia inversa es el punto G de intersección de las medianas AM, BN, CP, y cuya razón de semejanza es 2.

Así, si se toma un punto cualquiera O, y se trazan las rectas OA, OB, OC, que van de este punto á los vértices A, B, C del triángulo ABC, las rectas respectivamente paralelas, trazadas por los vértices M, N, P de su triángulo complementario MNP concurrirán en un mismo punto O' homólogo ó complementario del punto O.

2.º Según lo que precede, los tres pares de rectas paralelas OA, O'M; OB, O'N; OC, O'P estarán, pues, en la razón de 2 : 1; y el punto G se hallará en línea recta con los puntos homólogos O, O'; y por consiguiente dividirá al segmento OO' en la misma razón.

3.º PRIMERA DEMOSTRACIÓN.—Sean \( \mu \) y \( \pi \) (fig. 1) los puntos medios de los lados AO y OC del cuadrilátero OABC; y tracemos sus medianas \( M_{\mu}, P_{\pi} \), ó las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos.

Como se sabe, estas medianas se cortan en el punto medio \( \omega \) de cada una de ellas, y este punto será el centro de las distancias medias de los vértices O, A, B, C de este cuadrilátero; pero las rectas OO', \( \mu M \) son también las diagonales del paralelogramo \( O_{\mu}O'M \) determinado por los dos pares de rectas equipolentes, por construcción, \( O_{\mu}MO' \), OM, \( \mu O' \): Luego el punto \( \omega \) es también el punto medio del segmento OO' que pasa por el baricentro G del triángulo dado.

2.a DEMOSTRACIÓN.—Siendo \( \omega \) el centro de las distancias medias de los cuatro puntos O, A, B, C se tendrá la equipolencia

\[
\omega A + \omega B + \omega C + \omega O \equiv O \tag{*}
\]

(*) Por falta del signo de equipolencia se emplea en su lugar el signo =. LA REDACCIÓN.
El Progreso matemático (1894-10-01 00:00:00), página 24

y tomando por origen el punto G resulta
\[
GA + GB + GC + CO \equiv 4G_{\omega}
\]
(2)
Pero siendo G el baricentro de los tres puntos A, B, C, se tendrá
\[
GA + GB + GC \equiv O
\]
(3)

y por consiguiente
\[
GO \equiv 4G_{\omega}
\]
(4)