ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 11

generalizaciones se nos ofrecen como ejemplos notables las contenidas en la Geometría de posición de Carnot, en la teoría de las Conicas Suplementarias de Poncelet, y recientemente el método de transformación continua de M. Lemoine, etc.

Para completar estas nociones preliminares de nuestro trabajo, observaremos que la consideración de los sistemas adjuntos establece un enlace entre los dos desenvolvimientos opuestos pero complementarios de la Ciencia, el análisis y la síntesis, ó la teoría y la técnica.

En efecto, cada figura y su sistema adjunto, implica un sistema de relaciones recíprocas de tal manera, que deben distribuirse en todas las combinaciones posibles en forma que, parte de ellas constituyan las hipótesis y las restantes, las tesis de sistemas de teoremas recíprocos, expresiones de los modos de coexistencia de los objetos geométricos. Esta diversidad, en la distribución de los elementos de cada figura con su sistema adjunto considerado en la parte ó extensión que convenga en cada caso particular, implica multitud de problemas cuya resolución depende tan sólo del modo de verificar las sustituciones de unos elementos por otros equivalentes, sustituciones en las que se enlazan los elementos dados con los buscados mediante los términos medios que son elementos de tal ó cual parte del sistema adjunto, y solo en la acertada elección de estos elementos estriba la facilidad y la elegancia, con que cada geómetra pueda llegar á la resolución de los problemas ó realice esta inversión de la síntesis, es decir, el análisis.

II.—EXPOSICIÓN SISTEMÁTICA DE LAS NOCIONES DE GEOMETRÍA.

4 Comenzando nuestros desarrollos, creemos necesario establecer desde luego los conceptos de línea recta y de plano en los que se ha de basar la exposición sistemática de los principios geométricos.

5 Línea recta es un sistema de puntos inseparablemente unidos y tales, que de cualquier manera que se mueva teniendo siempre dos puntos fijos en el espacio, el sistema ocupará siempre el mismo lugar en éste (lo que reduce el movimiento del sistema á un simple resbalamiento en el cual cada punto quedará reemplazado por otro, sin repetición y con perfecta reciprocidad ó de una manera unívoca).

Z. G. de Galdeano.

(Se continuará).
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 12

BIBLIOGRAFÍA

Calcolo Infinitisimale dettate da Ernesto Pascal.—El sólo nombre del distinguido profesor Sr. Pascal, ilustrado colaborador de Mathematische Annalen, Annali di Matematica y otros periódicos notables, conocido especialmente por sus numerosos escritos sobre el Análisis superior, es suficiente garantía para recomendar una obra de Cálculo infinitesimal, y el lector lo reconoce inmediatamente que recorre las páginas de los dos elegantes tomos de que consta dicha obra en la que se distingue la elevación del concepto y la sencillez con que están formuladas y desenvueltas las cuestiones capitales en que se resume esta rama superior de la Ciencia Matemática.

Comienza la obra, al tratar de las funciones de variables reales, con la definición del campo de variabilidad de la variable, de límite de los valores de la variable, punto límite, grupo infinito de puntos, grupos derivados de un grupo dado.

Demostrado el teorema de Weierstrass acerca de los límites superior e inferior, hace delicadas y sutiles observaciones respecto á los límites considerados á la derecha e izquierda ó á ambos lados del punto a, del caso del límite infinito, del modo continuo ó discontinuo, saltuariamente de aproximarse la variable independiente al punto a de la distinción entre los casos de admitir el grupo de puntos un máximo ó un límite superior, estableciendo enseguida las condiciones para la existencia de un límite. Trata á continuación de las funciones invertibles con el signo de límite, concluyendo que en las funciones continuas son invertibles los dos signos de función y de límite.

Al examinar la continuidad de una función en el caso de contar de un número infinito de términos, ó sea las series y productos infinitos, define la serie convergente en igual grado, y estudia las condiciones necesaria y suficiente, los casos de ser la serie absoluta ó simplemente convergente, y después las funciones uniformemente continuas. Demuestra el teorema de Cantor acerca de que la continuidad uniforme es lo mismo que la continuidad ordinaria, la posibilidad de hacerse la división en un número finito de intervalos parciales de modo que en cada uno la oscilación de la función sea menor que ε, examina una función continua en los puntos racionales e irracionales de un segmento, extendiendo estas consideraciones á las funciones de varias variables, y en diez páginas resume con gran sencillez y claridad los principios relativos á los infinitos e infinitésimos de diversos órdenes.
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 13

concluyendo el capítulo I con el cálculo de algunos límites particulares.

El capítulo II trata de la derivada de una función. Examina las condiciones de existencia de la derivada finita y determinada en un punto, á saber: que la función sea continua y finita, que no debe ser infinita en infinitos puntos de un intervalo cualquiera en las inmediaciones del punto \( x \), ó que debe existir un entorno del punto en que la función no sea jamás infinita, que la clase de las funciones derivables es más restringida que la de las continuas, que el signo de derivación es invertible con el de suma. Demuestra el teorema del valor medio y á continuación del cálculo de las derivadas de las funciones explícitas más simples, trata de las funciones que tienen derivada en un intervalo, del teorema de Rolle, y del valor medio y sus corolarios.

Las diferenciales, derivadas y diferenciales de orden superior, derivadas parciales y diferenciales de las funciones de diversas variables, el teorema de la inversión de las derivaciones, el del valor medio en el caso de las funciones compuestas, el cálculo de las derivadas de funciones implícitas, etc., y el teorema de Euler sobre las funciones homogéneas están tratados con la superioridad de criterio dignas de un tan consumado maestro en estas materias como es el Sr. Pascal; y para no repetir esta indicación aplicada á toda la obra, diremos que el capítulo III trata del desarrollo en serie de las funciones, terminando con las aplicaciones de la fórmula de Taylor-Maclaurín. El estudio de una función en la proximidad de un punto, algunas aplicaciones analíticas y geométricas con principios de geometría diferencial son los objetos de los capítulos IV, V y VI.

Ventajoso en extremo para la claridad y unificación de los conceptos fundamentales es el plan seguido en la exposición del cálculo integral, objeto del tomo II, observándose siempre que el autor se fija en las dificultades capitales, en los puntos oscuros que son pasados por alto en algunos otros tratados, especialmente los escritos durante los dos primeros tercios de este siglo, y que en las obras recientes se aquilatan más y más gracias á los considerables adelantos del análisis.

Anteponiendo el estudio de los conceptos al de su realización ó al punto de vista práctico, prescinde de la integrabilidad de las funciones que trata en el capítulo II, para comenzar su exposición demostrando que si existe el límite superior ó inferior de la suma

\[
\sum_{r=1}^{n} f_r \delta_r
\]
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 14

extendida á todos los intervalos parciales entre \( a \) y \( b \), cuando cada uno de estos disminuye indefinidamente mientras su número \( n \) tiende al infinito y es independiente del modo según decrecen las amplitudes de los intervalos y de la elección de los valores \( f_r \), entonces este límite es la integral definida de \( f(x) \) entre \( a \) y \( b \).

A la definición de la integral definida sigue la exposición de las propiedades elementales, fórmula del valor medio, su consideración como función de los límites, su continuidad y derivabilidad, su estudio en dos casos singulares, á saber, cuando la función no es siempre finita ó cuando los límites no son finitos y demuestra que, si una función integrable se hace infinita en un punto \( b \) y su valor absoluto se conserva siempre inferior ó igual al de una función del tipo

\[
\frac{\varphi(x)}{(x - b)^v}
\]

en que \( v < 1 \), y en el que el orden del infinito es menor que 1, entonces la integral definida de \( a \) á \( b \) es una cantidad finita, y otros teoremas análogos, pasando enseguida á la integral indefinida en la que los límites pueden considerarse como movibles ó dependientes de la variabilidad de la constante arbitraria.

Derivacion respecto á un parámetro: Permutabilidad de los signos de límites y de integración y de los signos de derivación é integración, y en fin, de los signos de integración en las integrales dobles, son las cuestiones tratadas en el capítulo I.

El capítulo II trata de la integrabilidad de las funciones, principiando por el problema de si la suma \( \sum f_r \delta_r \) tiene su límite determinado y finito y enseguida reduce á una forma más práctica el criterio obtenido para la integrabilidad que la suma de los intervalos parciales en los cuales la oscilación de la función puede hacerse mayor que cierta cantidad cualquiera asignada debe tender á cero.

Termina el capítulo II con: Funciones integrables y no integrables, Aplicaciones de los criterios demostrados.—Teoremas sobre las funciones integrables.—Integración por serie.

El capítulo III. Cálculo de las integrales definidas é indefinidas comprende: Integrales indefinidas fundamentales.—Artificios de integración.—Integración por partes.—Ídem por serie.—Integración de las funciones racionales, irracionales, binomias, elípticas, transcendentas y cálculo de las integrales definidas eulerianas.

Capítulo IV. Las integrales múltiples comprende: Definición, condición de integrabilidad integral múltiple como función de los lími-
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 15

tes, su definición en casos singulares.—Transformación de las integrales múltiples.—Teorema de Green.

Capítulo V. Integración de las diferenciales totales. Capítulo VI. Geometría integral. Capítulo VII. Ecuaciones diferenciales. Enunciado el problema en estos términos: Conocida una relación entre \( x, y, y', ... y^n \) y desconociéndose los valores explícitos de la función y de \( x, y \) de sus \( n \) de derivadas, se podrá hallar dicha función? El autor expone la doctrina referente al mismo con el carácter elevado predominante en todo el desarrollo de la obra y dando preferente importancia á los conceptos fundamentales en cuyo conocimiento estriba el dominio de esta parte tan difícil de la ciencia matemática.

Z. G. de Galdeano.

NICOLÁS JOANOVICH LOBACHEWSKY

Extracto del discurso del Sr. Vassilief
Con motivo de celebrarse las fiestas que ya anunciamos
(t. III pág. 137.)

Para conmemorar el centenario de Lobachevsky, el profesor de la Universidad de Kasan Sr. Vassilief leyó un interesante discurso traducido por el profesor Mr. G. Bruce Halsted entusiasta del Copérnico de la Geometría, como le llamó el malogrado Clifford, según revelan sus numerosos escritos acerca de la geometría no-euclídea.

En la imposibilidad de trascribirlo íntegro, vamos á reproducir algunos de las párrafos en los que se pone de relieve la transcendental extensión que ha alcanzado la Geometría por efecto de los nuevos conceptos que se deben al célebre innovador de esta ciencia, hasta hace un siglo en la dirección que le imprimió la escuela de Alejandría y consignada en la obra de Euclides.

La primera parte del discurso está destinada principalmente á la historia de la Universidad de Kasan; en ella se expone la labor merítísima del profesor Johann Martin Christian Bartels, maestro y profesor, no sólo de Lobachevsky sino del eminente Gauss. En esta reseña histórica se consigna el apoyo que tuvo en tan sabio profesor cuyos relevantes méritos expone, los sufrimientos que arrostró por la malevolencia del curador de la Universidad Magnetsky enemigo de la ciencia, que felizmente destituido, dejó libre el camino de los
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 16

honores y de la gloria á Lobachewsky nombrado rector á los 33 años y considerado desde entonces como el primero entre los profesores.

Esplica el Sr. Vassilief la intervención de Gauss en los estudios acerca del postulado, cómo fueron objeto de sus investigaciones los fundamentos del nuevo sistema geométrico y la influencia que tuvo en las investigaciones que también realizó Johann Bolyai expuestas en la obra. La ciencia absoluta del espacio que es otra exposición de geometría no-euclidéa, dá á conocer las universales aptitudes de Lobachewsky, ya al hacer variados descubrimientos en las matemáticas, ya al desempeñar casi todas las clases de la Universidad, ya al compartir este trabajo con otros experimentales: la química, la botánica, la anatomía; ya al consagrarse á las faenas agrícolas, en forma que su irsatiagble actividad hallaba siempre tiempo para todo.

Después de ocuparse de las investigaciones de Legendre, y observar que casi simultáneamente con Lobachewsky, Johann Bolyai llegó á la geometría no-euclidéa, se ocupa de las investigaciones de los filósofos acerca de los axiomas geométricos, observa que la época en la cual Lobachewsky, con el entusiasmo de su juventud y deseo de gloria, comienza su trabajo intelectual independiente, es una época muy significativa en la historia del pensamiento humano, y rica en beneficios espirituales, en esperanzas ideales en que se plantea para cada ciencia el problema de la teoría del conocimiento ¿En qué consiste la verdad? ¿En qué sentido nuestros conceptos de las cosas corresponden á las realidades?, recuerda que Helmholtz escribió su memoria «Ueber die Thatsachen in der Wahrnehmung» que Kant después de haber escrito bajo la influencia de Newton su Historia general natural de los cielos, en que como Newton reconoce el espacio como existente objetivamente, llega á su doctrina del espacio a priori, como forma subjetiva de nuestra intuición, considerando que los axiomas de la geometría se nos presentan como necesariamente ciertos, no pudiéndonos imaginar un espacio que no posea las propiedades expresadas por estos axiomas, lo que prueba á su modo de ver que son anteriores á la experiencia.

Gauss, contrario á la opinión de Kant, expresa su profunda convicción de que la ciencia del espacio difiere de la ciencia de la cantidad, que el número es puramente un producto de nuestra mente, y que el espacio tiene una realidad exterior á nuestro espíritu del cual no podemos preordinar leyes á priori.

Después de citar al profesor Temofey Osipovsky de la Universidad de Charcov que en su obra sobre el espacio y el tiempo sostiene
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 17

cómo el concepto de espacio surge de las impresiones del mismo, que son impresiones de nuestros sentidos externos sobre el sentido íntimo, pasa al modo de ver de Lobachewsky, que reconoce el postulado de Euclides como una ley física, un dato de la experiencia, buscando en las observaciones astronómicas la respuesta á la cuestión, que dice en la primera página de sus «Nuevos elementos de geometría»: las ideas de geometría no deben contener esta ley que puede probarse por la experiencia, como otras leyes físicas, idea contradictoria con la opinión de que nuestro conocimiento del espacio es un conocimiento absoluto.

«Hasta Lobachewsky, al menos en geometría, podíamos tener conocimiento absoluto del espacio, que tuviera las mismas cualidades aquí como á grandes distancias, hoy como ayer y mañana.

»Desde Lobachewsky, el geómetra contemporáneo, á quien parece lógicamente posible la forma del espacio dada por Euclides, la forma del espacio estudiado por Lobachewsky y la conocida con el nombre de Riemann, no afirmará que conoce las cualidades del espacio á enormes distancias de nosotros, ni que conoce las distancias que el espacio tiene y puede tener.

»Como después del descubrimiento de Copérnico, así el horizonte intelectual de la humanidad se ha dilatado después de Lobachewsky.

»El pueblo que creyó tener absoluto conocimiento del Cosmos, en el centro del que se hallaba la tierra rodeada por esferas concéntricas cristalinas, después de Copérnico pronto se encontró viviendo en un insignificante grano de arena en el ilimitado Océano de los mundos. ¿Tiene este Océano límite y en qué consiste? Esta fué la cuestión suscitada por Copérnico.

»Las investigaciones de Lobachewsky dirigieron á la filosofía de la naturaleza otra cuestión no menos importante, la cuestión de las cualidades del espacio.

»Son estas cualidades las mismas aquí y en aquellos mundos distintos desde los cuales la luz nos llega en cientos de miles y millones de años?

»Son aquellas cualidades las mismas hoy y cuando el sistema solar se formó de una nebulosa? Y será cuando el mundo se aproxime á esta condición de energía por doquiera esparcida según la que los físicos miran el futuro del universo?

»En esto es en lo que consiste el paralelo entre Copérnico y Lobachewsky, señalado primero por Clifford en su Philosophy of the Pure Sciences y sancionado hoy por la autoridad de numerosos y eminentes sabios.
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 18

»El nombre de Copérnico de la geometría, tan halagüeño para la raza eslava, fué dado á Lobachewsky por el gran matemático inglés Sylvester.

»Afirmando la relatividad de nuestro conocimiento del espacio, Lobachewsky nos mostró el camino de extender nuestro conocimiento del mismo. Este camino es la experiencia.

»En este concepto Lobachewsky aparece como el continuador de la obra de los grandes científicos y filósofos. Bacon, Descartes, Galileo, Newton que abandonando una reflexión á priori, principiaron á interrogar á la naturaleza, conociendo lo que ella puede, como dice Lobachewsky, responder á las cuestiones segura y satisfactoriamente.

«Las investigaciones de Lobatchewsky ilustran la idea de la geometría dada por Newton en el prefacio de sus Principia, como parte de la mecánica: Fundatur igitur geometria in praxi Mechanica et nihil aliud est quam Mechanicæ universalis pars illa quæ arten mensurali proponit ac demonstrat.

»Tocante á la filosofía de la Naturaleza, Lobachewsky expresó frecuentemente sus profundas miras.

»En la Naturaleza, dice, reconocemos únicamente el movimiento. Sin éste, las impresiones sensitivas no son posibles. Todas las demás ideas, por ejemplo, las geométricas se forman por nuestra razón artificialmente, derivándose de las cualidades del movimiento, y por esta razón el espacio, en sí, separadamente, no debe existir para nosotros (Nuevos elementos de geometría, colección completa de las obras de Lobachewsky vol. I, P. 227).

»Los primeros datos son sin duda aquellas ideas que adquirimos en la naturaleza, por nuestras percepciones. La razón puede reducirlas al menor número para hacer de ellas el fundamento de la ciencia.

»Su predilección por la experiencia se expresa también en su notable discurso «Sobre el principal objeto de la educación».

»Los descubrimientos matemáticos sirven directamente para la adquisición de conocimientos. Pero no hemos hecho gran uso de estos medios, que nos fueron señalados por el celebrado Bacon. Evitar trabajos inútiles, arrojar todo el reino de nuestra razón. Preguntar á la Naturaleza. Ella contiene toda la verdad y contestará á nuestras preguntas segura y satisfactoriamente. Finalmente, el genio de Descartes trajo este afortunado cambio, y gracias á su talento vimos desaparecer las sombras del antiguo escolasticismo de las Universidades.»

Es evidente que la idea de Lobachewsky de prescindir de uno de los postulados de Euclides que Kant consideró como verdad nece-
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 19

saria, y demostrar la posibilidad de edificar una geometría sin este postulado, y la inutilidad de los esfuerzos encaminados á demostrarlo, no fué la aspiración de un espíritu caprichoso por ser original.....

Después de exponer el Sr. Vassilief algunas noticias acerca de la oposición que encontraron las doctrinas de Lobatchewsky en Magnetsky y el académico Fus, hasta el momento de ser elevado aquél al rectorado, expone el Sr. Vassilief los puntos de vista de Lobachewsky acerca de la educación, la solución de la ecuación \( x^n - 1 = 0 \), relacionada con la conclusión de Gauss acerca de que existe un número ilimitado de polígonos regulares inscriptibles con auxilio de la regla y el compás, habiendo también llegado Lobachewsky á la reducción del grado de la ecuación binomia en el caso de que el exponente disminuido en una unidad es divisib'e por 8, añadiendo un importante suplemento á la teoría de Gauss.

En fin, su modo de tratar en Algebra donde introduce las funciones trigonométricas según su definición analítica, sus importantes descubrimientos sobre la relación entre la continuidad y la diferenciabilidad, señalando la distinción entre la graduabilidad y la continuidad, sus trabajos astronómicos y acerca de la teoría de las vibraciones, su apoyo é influencia para establecer la publicación de Memorias científicas en la Universidad, su influencia en el perfeccionamiento de procedimientos agrícolas; todo esto aparece en el discurso del señor Vassilief, como digna corona del genio universal cuyo centenario solemnizó el año pasado la Universidad de Kasan, que terminó expresando el desarrollo que han tenido las ideas de Lobachewsky en Europa y América, explanadas en los trabajos de Hoüel, seguidas de los trabajos de Riemann y Helmholtz, amplificados con las investigaciones de Beltrami en Italia, resultados cuya combinación conduce á la conclusión de que el espacio matemático homogéneo (que admite el movimiento de un cuerpo sólido rígido) de tres dimensiones puede ser de tres especies, denominadas de Lobachewsky, de Euclides y Riemann cuya teoría analítica los distingue por el signo de la curvatura, siendo ésta en el euclídeo igual á cero.

«El estudio de las cualidades del espacio en forma general constituye la geometría no-euc'idea. Por este estudio se hace esperar la representación de estos espacios como contenida en el de cuatro dimensiones, y que la geometría del hiperespacio sea considerada como la continuación de la geometría no-euclídea.

(Se concluirá.)
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 20

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 183
(Véase tomo IV, página 158).

Un segmento de recta variable se mueve entre dos ejes de manera que su proyección ortogonal sobre uno de los dos eje permanece constante:
1.º Cual es el lugar del punto medio de este segmento de recta?
2.º Cual es la envolvente de este segmento de recta?

(M. d'Ocagne.)

Solución por el Sr. Retali (V.)

Los dos extremos A y A'' del segmento proyección constante describen sobre el eje Ox dos punteadas iguales; los dos puntos A y A'' describen sobre Oy y Oy respectivamente dos punteadas semejantes; luego A y A'' engendran dos punteadas proyectivas; los puntos en el infinito de Ox, Oy son evidentemente un par de puntos correspondientes, por lo cual la envolvente del segmento variable A'A'' es una parábola tangente á los dos ejes.

Tomemos sobre el eje Ox, CO = OV = á la longitud constante de la proyección, y desde C tracemos la perpendicular á Ox que corta á Oy en B: la parábola toca á Ox en V y á Oy en el punto B. El punto en el infinito de la parábola está sobre las perpendiculares á Ox, Oy trazadas respectivamente desde V y O círtanse en el foco F de la curva. El parámetro principal de la parábola es por consiguiente \(4VF = 4p \tg \theta\), siendo p la longitud constante de la proyección y \( \theta \) el ángulo formado por los dos ejes.

Para determinar el lugar del punto medio del segmento A'A'', se observa que, trazado el diámetro Oω y la tangente en ω, los dos puntos B y V de la curva están separados armónicamente mediante ω y el punto en el infinito: la tangente A'A'' se halla, pues, cortada por las