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El Progreso matemático (1900-05-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

QUELQUES APPLICATIONS DES COORDONNÉES INTRINSÈQUES.
Note de Geminiano Pirondini, à Parme.

I.

Il y a des familles de lignes planes qui sont toutes semblables entre elles. Exemples: les droites, les cercles, les hyperboles équilatères, les paraboles, etc.

Nous nous proposons ici de déterminer, avec toute généralité, le caractère analytique entraînant la similitude de toutes les lignes d'une même famille.

Remarquons d'abord que l'équation intrinsèque d'une ligne plane L est une relation

(1) \[ F(z, s, a, b, c, \ldots) = 0 \]

entre le rayon de courbure \( z \), l'arc \( s \) de la courbe et un certain nombre de constantes \( a, b, c, \ldots \). Celles-ci peuvent avoir des différentes significations: nombres abstraits, angles, fonctions trigonométriques d'un angle, longueurs, surfaces, etc. etc.

Quelques-unes d'entre elles sont des paramètres liés intimement à la ligne, c'est-à-dire, dépendant exclusivement de la nature de la ligne et de sa génération géométrique; si l'on change ces constantes d'une façon arbitraire, l'équation (1) fournit des courbes différentes. Il y en a d'autre, au contraire, dont la variation correspond à un simple déplacement de l'origine de l'arc \( s \) de la ligne.

Si l'on fixe le symbole \( F \) d'une façon arbitraire et ensuite, dans l'équation (1), on fait varier toutes les constantes de la première
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et que la droite à laquelle se réduit la ligne \( L_1 \), coïncide avec l’axe des y (Conformément aux résultats du §. III).

Si l’on remarque que \( \frac{A_0 A_1}{A_1 A} = 2 \), on a:

«La ligne \( \Lambda \), dans la rotation autour de la droite \( L_1 \), engendre une surface de révolution, dans laquelle un des rayons de courbure principaux est double de l’autre».

Les propriétés précédentes donnent lieu au théorème suivant:
«En considérant la famille de lignes \( L \) (en nombre infini) qu’on déduit de l’équation intrinsèque (12), en donnant à la constante arbitraire m une suite arbitraire de valeurs:
1.º à chacune de ces lignes \( L \) on peut lier une droite \( L_1 \) de façon, que les portions des tangentes à \( L \) comprises entre \( L_1 \) et une certaine développante \( \Lambda \) de \( L \) sont partagées en deux parties égales par les points de contact.
2.º les lignes \( L \) sont semblables entre elles.
3.º les surfaces de révolution engendrées par ces lignes \( L \), tournant autour des respectives droites \( L_1 \), sont applicables l’une sur l’autre.
4.º ces surfaces sont des évolues de surfaces de révolution, dans lesquelles un des rayons de courbure principaux est double de l’autre».

En faisant \( \frac{1}{p_1} = 0 \) dans l’équation (11), on trouve à intégration effectuée:

\[
\int (\sin \theta)^{-\frac{3}{2}} d\theta = a s_1 + b.
\]

(13)

On a ainsi le théorème:
«Si par les points d’une droite \( L_1 \) on mène une suite de droites D inclinées sur \( L_1 \) de l’angle \( \theta \) défini par l’égalité (13), a et b étant deux constantes arbitraires:
1.º ces droites D enveloppent une ligne \( L \) ayant la propriété caractéristique que ses points partagent en deux parties égales les portions de normales à une certaine développante \( \Lambda \) de la courbe, comprises entre \( \Lambda \) et la droite \( L_1 \).
2.º toutes les lignes \( L \) (en nombre infini) qu’on obtient en faisant varier les contantes a et b d’une façon arbitraire, sont semblables entre elles.
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3° les surfaces de révolution S engendrées par ces lignes L, dans la rotation autour de la droite L₁, sont applicables l'une sur l'autre.

4° ces surfaces sont des évolues de surfaces de révolution dans lesquelles un des rayons de courbure principaux est double de l'autre.

À l'aide de ce théorème, on peut déduire une construction géométrique simple pour tracer les lignes méridiennes A des surfaces de révolution, dans lesquelles un des rayons de courbure principaux est double de l'autre.

Parme, février, 1900, (professeur à l'Instituto tecnico).

NOTAS MATEMÁTICAS
por Augusto Krahe.

El profesor Salmon publicó en 1876, en la Nouvelle correspondance mathématique de Catalan *, el siguiente teorema:

Si por un punto tomado sobre una circunferencia, se trazan tres cuerdas, y sobre cada una de ellas como diámetro, se describe una circunferencia, estas tres curvas que ya tienen un punto común, se cortan en otros tres puntos que están en línea recta.

Puede generalizarse el teorema de Salmon del siguiente modo:

Si por un punto tomado sobre una circunferencia, se trazan tres cuerdas, y sobre cada una de ellas y en el mismo sentido, se construyen segmentos capaces del mismo ángulo, si además completamos las circunferencias, estas tres curvas, que ya tienen un punto común, se cortarán en otros tres situados en línea recta.

Sean PA, PB, PC las tres cuerdas que parten del punto P de una circunferencia dada; construyamos, conforme al enunciado,

(*) He tomado la cita de la excelente colección «Exercices de Géométrie par F J» tercera edición pág. 225.
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tres segmentos capaces del mismo ángulo y completemos las circunferencias correspondientes (en la figura están dibujadas de trazo). Sean además \( x, \beta, \gamma \) los otros tres puntos de intersección de estas circunferencias tomadas dos á dos. Para demostrar que los mencionados puntos están en línea recta, bastará probar la igualdad de los ángulos \( P\gamma\beta, P\gamma x \).

Por la construcción efectuada se tendrá

\[
\angle P\gamma A = \angle P\gamma B
\]

cuya igualdad nos dice que los puntos \( A, B, \gamma \) están en línea recta.

Un razonamiento parecido nos probaría que \( A, \beta, C \) están en una recta y que \( B, \alpha, C \) están en otra.

Ahora bien

\[
\angle P\gamma\beta = \angle PAB = \angle PAC = \angle PBC = \angle PBx = \angle P\gamma x
\]

La igualdad del primero y del último ángulo demuestra el teorema.

Así como el teorema de Salmon se puede considerar como un corolario del de Simson, el que hemos enunciado se puede considerar como corolario del de Carnot. Los puntos \( x, \beta, \gamma \) se pueden obtener trazando por un punta \( P \) de la circunferencia circunscrita al triángulo tres rectas que formen con los lados y en el mismo sentido un ángulo dado.

Construcción de la tangente á una cónica.—Sea \( F' \) el centro de una circunferencia de radio \( 2a \) y \( F \) un punto de su plano, (en la figura está dentro del círculo pero el razonamiento es aplicable al caso en que esté fuera). Hagamos \( F'F = 2c \).

Si unimos \( F \) con un punto cualquiera \( M \) de la circunferencia, levantamos la perpendicular en el punto medio de \( MF \) y trazamos la tangente en \( M \) hasta su encuentro \( T \) con la recta anterior, tendremos \( TM = TF \). Teniendo
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T la misma potencia respecto á F y á la circunferencia, su lugar cuando M varía será una recta perpendicular á F'F', eje radical de la circunferencia y de F, cuya distancia al medio O de la línea de los centros vendrá dada por la fórmula

\[
oA = \frac{R^2 - r^2}{2F'F'} = \frac{a^2}{c}.
\]

Si se prolonga la perpendicular en el medio de MF hasta que encuentre en P al radio F'M, sabemos que el lugar de P, cuando M varía, es una elipse (hipérbola) cuyos focos son F y F' y cuyo círculo director es el dado, siendo además PT la tangente en P á la mencionada cónica.

La igualdad anterior prueba que la recta TA es la directriz correspondiente al foco F. De lo dicho se deduce la siguiente propiedad:

*La directriz correspondiente á un foco de una elipse ó hipérbola es el eje radical de dicho foco y del círculo director descrito desde el otro como centro.*

El punto F es el simétrico de M respecto á la tangente; como el ángulo PMT es recto, también lo será el PFT. De aquí se deduce una construcción conocida * para la tangente en un punto P de una cónica, cuando se conocen un foco F y la directriz correspondiente TA: tírese el radio vector PF, levantando una perpendicular por F al radio vector hasta su intersección T con la directriz, y uniendo P con T se tendrá la tangente en P.

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve explicado por D. José G. de Galdeano en Marzo de 1898)

CONFERENCIA CUARTA

(Continuación, v. págs. 54-59)

Bastará indicar que para establecer las fórmulas de la trigono-

(*) En el «Cours de Mécanique analytique de Gilbert», pág. 16, se indica una elegante demostración cinemática de la citada construcción.
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metría, Lobtschewsky consideró la perpendicular AA' en A al plano del triángulo ABC, rectángulo en C y las dos paralelas BB' y CC' á la AA', y construye el triángulo esférico m n k, cuyos lados y ángulos opuestos son, respectivamente \( m n = \Pi (c),\ k n = \Pi (\beta),\ m k = \Pi (a);\ \Pi (b),\ \Pi (z'),\ \frac{\pi}{2} \), estableciendo una relación entre dichos triángulos rectilíneo y esférico y aún de éste con otro triángulo rectilíneo cuyos lados y ángulos opuestos están determinados.

Tomándose AA' por eje, y suponiéndose trazada por A una superficie-límite, para rebatir enseguida sobre un mismo plano los lados del triángulo rectilíneo ABC y los arcos de curva-límite \( p,\ q,\ r \) cuyo triángulo AB"C" conserva entre sus lados y ángulos las mismas relaciones que en la planimetría euclídea, se tiene

\[
p = r \sen \Pi (z),\quad q = r \cos \Pi (z)\tag{1}
\]

Las ecuaciones \( CC'' = f(b),\ BB'' = f(c) \) expresan la dependencia entre los segmentos CC", BB" y b, c; y siendo CD otra curva límite, (fig. 3) será

\[
BD = f(a),\quad BB'' = BD + DB''
= BD + CC'',\quad f(c) = f(a) + f(b).
\]

En virtud de las relaciones (1) y de la que existe entre los arcos de curvas-límites y de sus distancias entre los ejes, se tendrá finalmente

\[
t = p\ cf^{(b)} = r \sen \Pi (z)\ cf^{(b)}
\]

y si la perpendicular al plano del triángulo se hubiera trazado en el punto B, un cambio de letras daría

\[
q = r \sen \Pi (\beta)\ cf^{(a)} \text{ etc.}
\]
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Pero de estas conclusiones se puede dar una más cabal y detallada idea en la exposición dada por Bolyai quien después de demostrar que la suma de los tres diedros interiores de tres planos que se cortan en rectas paralelas, dos á dos, establece la noción de superficie-límite análogamente á como lo hace Lobatschewsky. Dadas dos rectas MM' y AA' paralelas, si se determina en la primera el punto M, de modo que \( \angle M'MA = \angle A'AM \), el lugar de los puntos M es una superficie-límite, la superficie-límite correspondiente al eje AA'. La intersección de la superficie límite con un plano que pasa por un eje, es una línea-límite. Si en los ejes se toman segmentos de modo que \( AA_1 = BB_1 = CC_1 = \ldots \) el lugar de los puntos \( A_1, B_1, C_1 \) es otra línea-límite. Toda circunferencia cuyo radio crece indefinidamente, tiende hacia una línea-límite. La intersección de una superficie-límite con un plano que no pasa por un eje es una circunferencia.

Dos líneas-límites, que forman con una tercera ángulos cuya suma es menor que dos rectos, se cortan, verificándose en la superficie-límite las mismas propiedades que en la planimetría euclídea.

a) Para determinar la relación entre dos arcos-límites, para una distancia \( AA' = x \), si se divide ésta en \( n \) partes iguales \( AA_1 = A_1A_2 = \ldots \) (fig. 4) y haciendo \( AB = s, A'B' = s' \), se tendrá

\[
\frac{s}{s_1} = \frac{s_1}{s_2} = \ldots = \lambda \quad \text{y} \quad \frac{s}{s'} = \lambda^n,
\]

y determinándose un número \( e \) de modo que \( k = ma \), será

\[
c = i^m \quad \text{y} \quad \lambda = e^m, \qquad \frac{s}{s'} = e^m = e^k,
\]

y si se hace

\[
e^{\frac{x}{k}} = \xi, \qquad e^{\frac{y}{k}} = \tau,
\]

tendremos

\[
\xi : \tau = e^{\frac{x+y}{k}}, \qquad \xi : \tau = e^{\frac{x-y}{k}}
\]

que son las relaciones de los arcos-límites correspondientes á las distancias \( x + y \) y \( x - y \), eligiéndose \( k \) de modo que \( e \) sea la base de los logaritmos naturales.
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b) Si AB y A'B', son dos arcos límites comprendidos entre los mismos ejes AA' y BB' (fig. 5, 2), se obtiene la relación fundamental \( AB : A'B' = \operatorname{sen} AA'B : A'B'B \).

Esto sentado, podemos indicar cómo Bolyai establece la fórmula

\[
\cot \frac{1}{2} II (\varphi) = e^{\frac{\pi}{4}}
\]

de las que deduce inmediatamente las correspondientes al seno y al coseno:

c) Para ello bajando desde A (fig. 5, 1: la perpendicular AB y considerando las paralelas AA' y AA'' á BB'', juntamente con los arcos-límites AC, BD, CE correspondientes á los ejes AA', BB', CB'', se tiene que será AD = DE = BC. Y trazando el arco-límite AF correspondiente al eje AA', será también: CB = BF, CB = ED, BF = DA.

Si ahora (fig. 6) AA' es paralela á BB', \( \angle A'AB = \angle B'BA \), y se traza CC' perpendicular á AB en su punto medio, será paralela AA' y BB'. Prolongando la AB y trazando la bisectriz del ángulo B'BB', se podrá determinar por la relación existente entre el ángulo de paralelismo y la distancia de su vértice á la paralela correspondiente, dicha paralela D'D', y resultará que BB' y BB'' serán paralelas á D'D' y también la AB"; y por ser AA' paralela á BB' lo será á su paralela D'D", siendo por consiguiente AE bisectriz del ángulo AAB".

Finalmente, trazándose la línea-límite correspondiente á AA' (fig. 6) por el punto A, también pasará por el punto B y por un punto F'*, de D'D'. Cortando las líneas-límites correspondientes á los ejes ED' y FD' á AB" en G y H, se tendrá en virtud de b), AH = 2AG = 2GH. Análogamente siendo K la intersección con AB" del arco-límite correspondiente á DD', se tendrá BH = 2BK = 2HK y por consiguiente:

\[
AB = AH - BH = 2(AG - BK).
\]

*1) La línea ABF incorrectamente trazada en la figura debe ser continua como arco de línea-límite.
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Si se hace \( AB = 2p \), \( AG = x \), \( BK = y \), será \( p = x - y \), resultando, en virtud de \( b \):

\[
c^{\frac{x}{k}} = \operatorname{sen} R (*) : \operatorname{sen} \frac{1}{2} II (p) = 1 : \operatorname{sen} \frac{1}{2} II (p)
\]

\[
e^{\frac{y}{k}} = \operatorname{sen} R : \operatorname{sen} \frac{1}{2} [2R - II (p)] = 1 : \cos \frac{1}{2} II (p)
\]

y por consiguiente \( e^p = \cot \frac{1}{2} II (p) \).

Sin descender al desarrollo de la trigonometría no-euclídea, y para trazar las líneas generales de esta teoría, creemos opportuno presentar un resumen de cómo el Sr. Gérard establece dicha trigonometría:

Después de probar que: *Si en un cuadrilátero AC ac dos ángulos a y c son rectos y el A es recto u obtuso, el lado Aa es menor que el Cc*, lo que consigue por superposición y giro de la parte \( ABab \) alrededor de \( Bb \), demuestra las relaciones siguientes:

\[
Aa < Bb < Cc; \quad \frac{ac}{ab} > \frac{AC}{AB}; \quad \frac{Cc - Aa}{Bb - Aa} > \frac{AC}{AB}
\]

en un cuadrilátero AC ca cuyos ángulos a y c son rectos y el A es recto u obtuso, haciendo ver, apoyado en la proposición anterior; que siendo \( AD = DE = \ldots \), los segmentos \( ad, dc, \ldots \) ó \( \alpha_1, \alpha_2, \ldots \), comprendidos entre los pies de las perpendiculares trazadas a \( ac \), van decreciendo de modo que:

\[
ab = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n > n \alpha_n
\]
y \( bc = \alpha_{n+1} + \ldots + \alpha_{n+m} < m \alpha_n \);

resultando

\[
\frac{bc}{ab} < \frac{m}{n} < \frac{BC}{AR} \quad \text{v} \quad \frac{ac}{ab} < \frac{AC}{AB}.
\]

(*) R es símbolo de ángulo recto.
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Continuando en este orden de ideas, llega el Sr. Gérard á probar la tercera relación y para el caso particular en que A coincide con a, reduciéndose el cuadrilátero á un triángulo, concluye que: En un tridu-gulo ACc rectángulo en c, si desde un punto B de la hipotenusa se baja la perpendicular Bb sobre Ac, se tiene

\[
\frac{AC}{ac} < \frac{AC}{AB} < \frac{Cc}{Bb}
\]

y mediante la consideración del déficit del triángulo, en el sistema de Lobatschewsky, demuestra que la proyección de AC, por ejemplo, no puede exceder de un límite, por grande que sea AC, lo que conduce, en dicho sistema, á la relación entre la distancia de un punto á una recta y el ángulo de paralelismo en dicho punto.

En fin, las relaciones métricas, que ya vimos como expuso Lobatschewsky, se establecen por el Sr. Gérard considerando las perpendiculares \(ax\) y \(Ay\) á \(Aa\), para demostrar que la relación \( \frac{AB}{ab} \) decreciente, tiende hacia un límite que designa por \(f(aA)\), trazando las perpendiculares re-presentadas por AD', AE', AF' á las perpendiculares D'd, E'e, F'f á \(ax\): tales que, de = ef, probando que AE' - AD' > AF' - AE' ...

Terminaremos haciendo alguna referencia á la memoria de Gauss, Disquisitiones circa superficies curvas, antecedente indispensable para el estudio de la de Riemann Hypotensen welche der Geometrie zu Grunde liegen, y las investigaciones de Beltrami y Klein.

(Concluirá).
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Aplicación á la Mecánica de la fórmula de L. Dirichlet,
por el Catedrático de la Universidad de Barcelona
DON LAURO CLARIANA RICART

Seguramente que una de las integrales más fecundas en aplicaciones es la integral de segunda especie de Euler, designada generalmente por la letra gamma.

Esta notable integral, no solo sirve para resolver problemas de la geometría general, sino que se enlaza con las funciones elípticas y series hipergeométricas, teniendo, en particular, importancia suma en las integrales múltiples, mediante la célebre fórmula de Dirichlet, la cual permite obtener, en muchos casos, el resultado apetecido directamente, sin necesidad de atender al pesado movimiento de los límites de cada una de las integrales componentes de la integral múltiple.

Vamos, pues, á presentar algunos ejemplos en corroboración de lo sentado anteriormente, y para ello haremos ver las ventajas que puede presentar la fórmula de Dirichlet, aplicada, en particular, á la Mecánica.

Generalmente en las obras de Cálculos ó Análisis superior, se encuentra demostrada dicha fórmula para tres variables, resultando: (*)

\[
\iiint_{V} x^{p-1} y^{q-1} z^{r-1} dx dy dz = \frac{a^p b^q c^r \Gamma \left( \frac{p}{\alpha} \right) \Gamma \left( \frac{q}{\beta} \right) \Gamma \left( \frac{r}{\gamma} \right)}{\alpha \beta \gamma \Gamma \left( 1 + \frac{p}{\alpha} + \frac{q}{\beta} + \frac{r}{\gamma} \right)}
\]

en el supuesto de que se tenga \( \left( \frac{x}{a} \right)^{\alpha} + \left( \frac{y}{b} \right)^{\beta} + \left( \frac{z}{c} \right)^{\gamma} < 1 \).

Empero este caso es particular de otro más general, correspondiente á lo que suele designarse bajo el nombre de hiperespacio de \( n \) dimensiones, en el concepto de que entren \( n \) variables en la expresión siguiente:

\[
\iiint \ldots x^{p-1} y^{q-1} z^{r-1} \ldots t^{s-1} . dx dy dz \ldots dt =
\]
\[
= \frac{a^p b^q c^r \ldots m^s \Gamma \left( \frac{p}{\alpha} \right) \Gamma \left( \frac{q}{\beta} \right) \Gamma \left( \frac{r}{\gamma} \right) \ldots \Gamma \left( \frac{s}{\sigma} \right)}{\alpha \beta \gamma \ldots \sigma \Gamma \left( 1 + \frac{p}{\alpha} + \frac{q}{\beta} + \frac{r}{\gamma} + \ldots + \frac{s}{\sigma} \right)}
\]

(*) Véase nuestra obra de Cálculos.
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espèce, en leurs faisant parcourir toute la série de valeurs dont elles sont susceptibles, l'équation (1) fournit ce qu'on peut nommer une famille de lignes.

Si l'on rappelle que les lignes \( L_1 \), semblables à la ligne \( L \) représentée par l'équation:

\[
z = z(s)
\]

sont définies par l'autre équation:

\[
z_1 = \frac{1}{k} z(k s),
\]

\( k \) étant une constante quelconque, (*) on a:
«L'équation intrinsèque:

\[
z = f(s, a, b, c, \ldots)
\]

(dans laquelle les constantes \( a, b, c, \ldots \) sont des longueurs nullement dépendantes de la position de l'origine de l'arc \( s \)) représente une famille de lignes semblables, pourvu que la fonction \( f \) vérifie par identité la condition:

(2) \[ f(k s, k a, k b, k c, \ldots) = k \cdot f(s, a, b, c, \ldots), \]

\( k \) étant une constante arbitraire».

Exemple.—La développante de cercle, la cycloïde, la chaînette, la clotoïde sont représentées respectivement par les équation intrinsèques:

\[
z = \sqrt{a s}, \quad z = \sqrt{a^2 - s^2}, \quad z = \frac{s^2}{a} + a, \quad z = \frac{a^2}{s}.
\]

Ces équations vérifient la condition (2); d'ailleurs la constante \( a \) représente une longueur, dont la variation change la forme des lignes. Le théorème précédent est donc applicable dans ce cas.

On a ainsi:
«Toutes les développantes de cercle, les cycloïdes, les chaînettes, les clotoïdes forment quatre familles, composées de courbes planes semblables».

II.

M. Bianchi, dans son Mémoire: Sulle superficie applicabili, (**)

(*) Sulla similitudine delle curve — Annali di Matematica, 1887.
(**) Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, 1878.
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siendo \( \left( \frac{x}{a} \right)^{\alpha} + \left( \frac{y}{b} \right)^{\beta} + \left( \frac{s}{c} \right)^{\gamma} + \ldots + \left( \frac{l}{m} \right)^{\sigma} > 1 \).

Con todo, no saliéndose del espacio ordinario, nos bastará la primera fórmula para el espacio de tres dimensiones, á la cual puede agregarse la que sigue para el espacio de dos dimensiones correspondiente á una integral doble, esto es:

\[
\int \int x^{p-1} y^{q-1} dx \, dy = \frac{a^p b^q}{x^{\beta}} \cdot \frac{\Gamma \left( \frac{p}{\alpha} \right) \Gamma \left( \frac{q}{\beta} \right)}{\Gamma \left( 1 + \frac{p}{\alpha} + \frac{q}{\beta} \right)}
\]

siendo \( \left( \frac{x}{a} \right)^{\alpha} + \left( \frac{y}{b} \right)^{\beta} < 1 \).

Sin más preámbulos pasemos, pues, á las aplicaciones, tomando algunos problemas referentes á los centros de gravedad y momentos de inercia, como los más indicados cuando la figura ó cuerpo se considera comprendido en los ejes positivos, conforme á los límites de las integrales que dan origen á las fórmulas (1) y (2).

Problema 1.º—Determinar el centro de gravedad de la superficie de círculo correspondiente al primer cuadrante, suponiendo su centro en el origen.

Según se desprende de la figura adjunta, debe determinarse el c. g. de AOBCA, y para ello podemos recordar las fórmulas generales:

(a). \( x_1 = \frac{\int \int x \, dx \, dy}{\int \int dx \, dy}, \quad y_1 = \frac{\int \int y \, dx \, dy}{\int \int dx \, dy} \).

A fin de poder comparar el numerador de (a) con la fórmula (2), escribiremos

\[
\int \int x \, dx \, dy = \int \int x^{1-1} y^{1-1} dx \, dy.
\]

Además, como la ecuación de condición en este caso es

\[
\left( \frac{x}{r} \right)^3 + \left( \frac{y}{r} \right)^3 = s,
\]