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El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 25

están las involuciones generales. Las propiedades proyectivas de los polígonos, la geometría métrica del triángulo, del triedro y triángulo esférico, que incluyen las trigonometrías plana y esférica.

Cap. III. Teoría invariantiva de las formas algébricas, conexos. Contiene el principio de transporte de Clebsch, los conexos \( a^x u^m = 0 \) de \( n \)º orden y \( m \)º clase, la coincidencia, conjunto de puntos comunes á dos conexos, conexos conjugados, propiedades del Jacobiano, Hessiano, etc.

Cap. IV. Cónicas. Geometría proyectiva, teoremas de Pascal, de Brianchon y Desargues.

Cap. V. Cuárticas, sus especies, polo, polar, puntos, rectas y planos conjugados; clasificación, propiedades métricas, planos ciclicos, propiedades focales, haces y redes.

Cap. VI. Teoría general de las curvas planas algébricas, puntos singulares, fórmulas de Plücker, polaridad, curvas covariantes, la Hessiana, ó Jacobiana, Steineriana y Cayleyana, sistemas lineales de curvas planas, red homalódica, grupos de puntos ó Geometría sobre una curva algebraica, curvas adjuntas, teorema de Riemann-Rooh, fórmulas de correspondencia, transformación birracional ó de Cremona.

Cap. VII. Cubicas planas, puntos de inflexión y tangenciales, Hessiana y Steineriana de una cúbica, generación proyectiva de ésta, su forma canónica, sus movimientos y covariantes.

Cap. VIII. Las cuárticas planas, sus números característicos deducidos de las fórmulas de Plücker, sus generaciones, cuárticas con puntos singulares.

Los capítulos del IX a XV tratan respectivamente de: las superficies en general y curvas alabeadas algébricas, curvas alabeadas de diversos órdenes.—Superficies de 3.º y 4.º orden y de órdenes superiores al 4.º—Geometrías de la recta en el espacio y de la esfera.

El objeto del capítulo XV es la geometría enumerativa concerniente á los problemas en que se trata de hallar cuántas formas existen capaces de satisfacer determinadas condiciones.

La teoría infinitesimal de las curvas y superficies.—Generaciones y transformaciones de curvas y superficies.—La Geometría proyectiva de los hiperspacios.—La Geometría absoluta, especialmente la no-euclídea en el plano y en el espacio y la geometría moderna del triángulo, son las materias con que termina la obra, cuya enumeración basta para expresar la importancia de la misma.

Z. G. de G.
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CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 39
Solución por el Sr. Brocard. (Conclusión)

Se reconoce, en efecto, que la ecuación

\[
f(x) = 2 x^3 - 4 x^2 + 3 = 0
\]

no admite desde luego raíces enteras, porque \( f(0) \) y \( f(1) \) son, las dos, impares (teorema de Gauss).

La raíz única negativa se aproxima mucho á \(-0.74\). Se obtiene por sustituciones directas

\[
\begin{array}{ll}
-0.73 & +0.04519 \\
-0.739 & +0.004174581 \\
-0.7399 & +0.00007248 \\
-0.739911 & -0.000014384.
\end{array}
\]

La corrección por el método de las partes proporcionales da, para nueva aproximación

\[
-0.739909 \quad -0.0000108602,
\]

otro ensayo da

\[
\begin{array}{ll}
-0.739908 & -0.000004156 \\
-0.739907 & +0.00000304,
\end{array}
\]

se concluye de esto

\[
\begin{array}{ll}
-0.739907879 & -0.000000042545 \\
-0.739907874 & +0.000000008475.
\end{array}
\]

Lo que permitirá al lector llevar más adelante la aproximación.

Se tienen pues, en definitiva, los elementos necesarios para el trazado gráfico de la curva (M). Esta se compone de dos bucles, simétricos con relación á AOB. El origen A es un punto doble.

Empiezaando coordenadas polares, se tiene

\[
\rho = 2 a \cos \theta \cos^2 \varphi = \pm 2 a \sin \varphi \sqrt{3 - 4 \cos^4 \varphi}
\]
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 27

Esta ecuación puede facilitar nuevos datos gráficos.

Se reconoce, en efecto, que la curva (M) admite por curva diametral, con relación al polo A, el trifolium recto cuya ecuación es

\[
\rho = 2a \cos \omega \cos 2\omega.
\]

(Véase J. S. 1891. 106) Este trifolium tiene por círculo generador el círculo descrito sobre O A como diámetro.

La segunda curva polar

\[
\rho = 2a \sin \omega \sqrt{3 - 4 \cos^4 \omega}
\]
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 28

es exterior á los lados del ángulo \( \delta \) dado por la ecuación

\[
3 - 4 \cos^2 \delta = 0, \quad \cos \delta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \delta = 21^\circ 31' 50'' = O A R.
\]

Si se transporta el origen á B, tomando por eje polar BA, la curva tiene por ecuación

\[
z = 2 a \cos \omega (1 + 2 \sin^2 \omega) \pm 2 a \sqrt{\cos^2 \omega (3 - 2 \cos^2 \omega)^2 - 1},
\]

de discusión no menos fácil.

La curva

\[
z = 2 a \cos \omega (1 + 2 \sin^2 \omega),
\]

que es una curva diametral, se remonta al estudio del trifolium (véase J. S. 1891, 115) y admite la construcción siguiente:

Dados la circunferencia A de radio AB y los dos ejes rectangulares JA, AB, se proyecta un punto I de la circunferencia sobre JA, después el nuevo punto sobre IB (véase Mathesis. 1892, 74).

En cuanto á la curva

\[
z = 2 a \sqrt{\cos^2 \omega (3 - 2 \cos^2 \omega)^2 - 1},
\]

es una variedad de la rosácea de cuatro bucles.

Nos queda por estudiar la variación de la tangente, la determinación del punto de inflexión de la rama AWNR, los valores extremos de los radios vectores trazados desde A, ó B, y otras observaciones relativas á la curva (M) y á su evoluta; pero es, creemos, superfluo dar otros detalles lo dicho, parece suficiente para precisar el trazado, y para demostrar el interés que se daba á la cuestión 39.

CUESTIÓN 39. (Véase I. I, pág. 63).

Un triángulo OVP tiene dos vértices fijos y el tercero móvil sobre un círculo que pasa por O y es tangente á la perpendicular o trazada á la VO en V. Si P' es la intersección de OP con la perpendicular en V á VP, demostrar que el lugar de P' es una cicloide oblicua tangente á o en V y con la cúspide en O. Construir la asíntota, la tangente cuspidal y las las tangentes en P.

(V. Retall).

Solución por el Sr. Rúa y Casas (J.)

Cuando P se halle en T, punto de contacto de la tangente dada, P' se hallará en O, punto de la curva, en el cual la tangente será OT.
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 29

posición límite de la secante P'OP. Cuando P se halle en U, segundo punto de intersección de OV con la circunferencia, P' se hallará en,

V, punto de la curva, en el cual la tangente será o, posición límite de la secante Q'V siempre perpendicular á VQ. Cuando P se halle en O, P' se hallará en O' sobre la misma o, que es en este punto secante á la curva. Si OV fuese tangente al círculo dado, O' se confundiría con V, donde la curva seguiría siendo tangente á o.

La curva buscada es por lo menos de tercer orden, y tiene un punto al infinito correspondiente á la posición I del punto P en que el triángulo es rectángulo en P. Si la curva tiene asíntotas, su dirección será la de la cuerda común al círculo dado y al que tiene por diámetro OV.

Sean en coordenadas rectangulares, siendo O el origen, y OT el eje de las x, P' (x, y), P (\xi, \eta), V (\xi_1, \eta_1) y C (\alpha, \beta) el centro del círculo dado. La ecuación de la curva se hallará eliminando \xi y \eta entre

\[
\xi^2 - 2\alpha \xi + \eta^2 - 2\beta \eta = 0,\quad y = \frac{\eta}{\xi} x,
\]

\[
y - \eta_1 = -\frac{\xi - \xi_1}{\eta - \eta_1} (x - \xi_1),
\]

correspondientes respectivamente á la circunferencia descrita por P, á la recta OP, y á la perpendicular en V á la VP.
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 3

due à Archimède lui-même,—remarque à ce propos que étant donnée la longueur OA (fig. 1), le parallélépipède ayant pour base le carré fait sur OP et pour hauteur le reste AP, est maximum quand OP est à AP comme 2 à 1. La démonstration revient à faire voir que l’hyperbole \( y(1-x) = \frac{4}{27} \) et la parabole \( y = x^2 \) se touchant au point I, dont l’abscisse est \( \frac{2}{3} \), le rectangle MA ayant une surface constante et par tout plus grande que celle du rectangle NA, ce dernier atteint son maximum quand le point N est en I, c’est-à-dire quand le point P est en J.

Il ne paraît pas que les Indiens,—voués surtout à l’étude de la théorie des nombres-et les Arabes,—adonnés à la théorie des équations et à la trigonométrie,—se soient occupés de la théorie des fonctions. Cependant, Alquouhi, reprenant le problème d’Archimède et recherchant ses conditions de solubilité, a retrouvé le théorème d’Eutocius, qu’il demontre de cette façon: Prenons \( AB = \frac{1}{2} BC \) (fig. 2) et \( CE = BC \), suivant la position du point D on aura:

Fig. 2

\[
\frac{BD}{AD} = \frac{DE \cdot BD}{DE \cdot AD} > \frac{DE \cdot BD}{DE \cdot AB} = \frac{DE \cdot BD}{BC^2}
\]

d’où, dans le premier cas,

\[
\frac{AB}{AD} > \frac{DE \cdot BD + BC^2}{BC^2} = \frac{DC^2}{BC^2}
\]

à cause de la proposition d’Euclide rappelée plus haut. Dans le second cas, on a:

\[
\frac{AB}{BD} < \frac{DE \cdot BD}{BC^2 - DE \cdot BD} = \frac{DE \cdot BD}{BC^2}
\]

les relations (\( \alpha \)) et (\( \beta \)) donnent, l’une et l’autre, la suivante
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 30

De las dos primeras, despreciando la solución extraña \( \xi = 0, \eta = 0 \), correspondiente al punto O de la circunferencia por el cual pasa constantemente la recta OP, resulta

\[
\xi = \frac{2 x (a x + \beta y)}{x^2 + y^2}, \quad \eta = \frac{2 y (a x + \beta y)}{x^2 + y^2},
\]

que sustituiremos en (1). Pero, llamando r al radio del círculo dado, y \( \gamma \) al ángulo COT = CTO = TOV, se tiene

\[
\xi_1 = 2 r (\cos \gamma)^3, \quad \eta_1 = -2 r \sin \gamma (\cos \gamma)^2,
\]

o sea

\[
\xi_1 = \frac{2 x^3}{r^2}, \quad \eta_1 = -\frac{2 x^2 \beta}{r^2},
\]

que sustituiremos en (1) al mismo tiempo. Hecha la sustitución, resulta

\[
\left( y + \frac{2 a^2 \beta}{r^2} \right) \left( \frac{2 y (a x + \beta y)}{x^2 + y^2} + \frac{2 x^2 \beta}{r^2} \right)
+ \left( x - \frac{2 x^3}{r^2} \right) \left( \frac{2 x (a x + \beta y)}{x^2 + y^2} - \frac{2 x^3}{r^2} \right) = 0,
\]

o simplificando

\[
(x^2 + y^2) (a \beta^2 x + r^2 + x^2) \beta y) + 2 x^2 r^2 y^2 = 0,
\]

o sea,

\[
(x^2 + y^2) (m x + n y) = y^2, \tag{2}
\]

haciendo para ello

\[
m = -\frac{x \beta^2}{2 x^2 r^2}, \quad n = -\frac{(r^2 + x^2) \beta}{2 x^2 r^2}.
\]

La ecuación (2) es la de una cisoide cuya cúspide es el origen, y cuya tangente cuspidal es el eje de las x. Comparándola con la usual

\[
(x^2 + y^2) (x \cos \omega + y \sin \omega) = 2 x y^2,
\]
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 31

se ve que el radio del círculo generador de esta cisoide, según la definición corriente, es

\[
c = \frac{1}{2 \sqrt{m^2 + n^2}} = \frac{\alpha^2 r}{\beta \sqrt{4 \alpha^2 + \beta^2}},
\]

y que la parte de tangente cuspidal comprendida entre la cúspide y la asíntota es

\[
a = 2 c \cos \omega = \frac{m}{m^2 + n^2} = - \frac{2 \alpha^8}{4 \alpha^8 + \beta^2}.
\]

Los valores de \( c \) y \( a \) se construyen fácilmente. Tomando \( a = OA \), se trazará por A la asíntota MN paralelamente á OI, y aunque esto basta para trazar el círculo \( C_1 \), conviene para mayor exactitud, construir también \( c \) y el triángulo OAC.

La tangente en P' se traza ahora sin dificultad fijando las intersecciones P, y P, de la recta POP' con la circunferencia \( C_1 \) y la asíntota, trazando en P, la tangente P, E á aquella, y tomando sobre la sintota en P, E' = — P, E : la tangente pedida será E'P'.

Para que la cisoide fuese recta, sería preciso que \( n = 0 \), ó sea \( \beta = 0 \). Pero, en este caso límite, O y V son puntos diametralmente opuestos de la circunferencia dada, todos los triángulos OVP son rectángulos, y todos los puntos P' se hallan en el infinito, salvo el correspondiente á la posición V del punto P, que es indeterminado sobre el diámetro OV.

Si fijando el círculo \( C_1 \) se hace mover O sobre la circunferencia hacia T', tendiendo á este caso límite, el abultamiento que presenta la curva se ensancha cada vez más, alejándose al infinito sus puntos por una parte, y aproximándose por otra, como las ramas infinitas que arrancan de O y V, á la asíntota. Más por aproximarse al mismo tiempo I á T, la posición límite de la asíntota es la misma de la recta OT indefinida, en cuyos puntos, salvo los interiores al círculo, podemos decir que se va replegando la cisoide.

Si se mueve el punto O en sentido contrario, aproximándose á T, el abultamiento se reduce y cuando OV es tangente al círculo, O' y V coinciden y con ellos el punto de inflexión que posee la curva, pasando luego el punto O' al segmento VT, y el de inflexión al otro lado de la recta o, y reduciéndose cada vez más el abultamiento hasta concentrarse toda la curva en T en el límite. Al mismo tiempo la asíntota tiende como la recta OT á la posición límite o.
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 32

Solución por el Sr. Retali.

Tomando O por origen de las coordenadas rectangulares y OV por eje de las x, haciendo \( \overline{OV} = a \), las coordenadas \( x', y' \) del punto P' correspondiente á P (x, y) son

\[
x' = \frac{a x (x - a)}{x^2 + y^2 - a x}, \quad y' = \frac{a y (x - a)}{x^2 + y^2 - a x}.
\]

La ecuación de un círculo que pasa por O y es tangente á la recta \( x = a \), es

\[
a (x^2 + y^2) + (\beta^2 - a^2) + 2 a \beta y = 0,
\]

y la del lugar de P' será

\[
(x - a) (a y + \beta x)^2 \\
+ \left[ (\beta^2 - a^2) x + 2 a \beta y \right] y^2 = 0,
\]

ó sea

\[
\beta (\beta x + 2 a y) (x^2 + y^2) - x (a y + \beta x)^2 = 0,
\]

que representa una cisoide con la cúspide en O y cuya tangente cuspidal \( a y + \beta x = 0 \) está dirigida al punto de contacto del círculo con \( x = a \); esta recta \( x = a \) es tangente á la cisoide en V. V es la flexión cuando \( a = \beta \), esto es, cuando el círculo dado es tangente al eje de las x en el origen.

Para construir la tangente á la cisoide en P' basta observar que encuentra á la tangente en P al círculo dado, sobre la recta o' simétrica de o respecto á [VP]. El círculo trazado sobre \( \overline{OV} \) como diámetro corta al círculo dado en otro punto A; la tangente en el punto A' (correspondiente á A) construída del modo indicado, es la asíntota real de la cisoide.

CUESTIÓN 290 (Véase t. I, pág 200).

Si tres números positivos a, b, c, son tales que \( a + b + c = 1 \), demostrar que \( (a^2 + b^2 + c^2) - (a^3 + b^3 + c^3) > 6 a b c \).

(J. d'Avillez).

Solución por el Sr. Hatzidakis (N. Y.)

Se tiene siempre, para a, b, c positivos y \( a + b + c = 1 \),

(1)

\[
(a + b + c)^2 = 1 \geq a^2 + b^2 + c^2 + 18 abc;
\]
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 33

porque, para \( a = b = c \), tenemos \( 18\,abc = \frac{2}{3} \), y \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{3} \),
más para todos los demás valores de \( a, b, c \) (2, 4, 4; 2, 3, 6; etc),
\( 18\,abc = \frac{9}{16}, \frac{1}{2} \) y después siempre \( < \frac{1}{2} \), \( a^2 + b^2 + c^2 = \frac{6}{16}, \frac{7}{18} \)
y después también siempre \( < \frac{1}{2} \). Resulta ahora de la relación (1)

\[
a\,b + b\,c + c\,a > 9\,a\,b\,c;
\]

de donde, por ser \( a + b + c = 1 \),

\[
a\,b(a + b) + b\,c(b + c) + c\,a(c + a) > 6\,a\,b\,c,
\]
ó
\[
(a + b + c)^2 + a\,b(a + b) + b\,c(b + c) + c\,a(c + a) - 6\,a\,b\,c > 1,
\]
ó
\[
a^2 + b^2 + c^2 + 3\,a\,b(a + b) + 3\,b\,c(b + c) + 3\,c\,a(c + a)
> 1 = (a + b + c)^3,
\]

de donde

\[
a^2 + b^2 + c^2 > 6\,a\,b\,c + a^3 + b^3 + c^3,
\]
\[
a^2 + b^2 + c^2 - (a^3 + b^3 + c^3) > 6\,abc.
\]

Para \( a = b = c \), los dos miembros son iguales.

CUESTIÓN 288. (Véase t. I, pág. 200).

Si una parábola se halla inscripta en un triángulo ABC, su punto de Gergonne (punto de intersección de las rectas que unen un vértice al punto de contacto sobre el lado opuesto) se halla en la cónica circunscrita de Steiner.

(E. Lemoine).

Solución por el Sr. Lemoine (E) (*)

Sean \( l, m, n \) las coordenadas del punto de Gergonne M de una parábola inscripta.

(*) El hecho de haber salido una errata en el enunciado motiva que publiquemos la solución que nos ha remitido el Sr. Lemoine, y esperamos poder publicar también una elegante solución debida al profesor Sr. Droz Farny. (N. de la R.)
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 34

Si A', B', C' son los puntos de intersección de AM, BM, CM con BC, CA, AB, se ve fácilmente que siendo \( x m n + y n l - z l m = 0 \) la ecuación de A'B', la parábola tendrá una ecuación de la forma

(1) \[ xy + (x m n + y n l + z l m)^2 = 0, \]
(2) \[ 4 l m n^2 + 1 = 0. \]

Las coordenadas del centro de (1) son

\[ 2 l^2 m (b m + c n), 2 l m^2 (a l + c n), c + 2 l m n (a l + b m + 2 c n): \]

puesto que la cónica es una parábola, está en el infinito, y se tiene

(3) \[ 2 a l^2 m (b m + c n) + 2 b l m^2 (a l + c n) \]
\[ + c^2 + 2 c l m n (a l + b m + c n) = 0, \]

Si se introduce en (3) la condición (2), sustituyendo en los dos primeros términos de (3), \( l m \) por \( -\frac{1}{4 n^2} \) y en el cuarto \( l m n \) por \( -\frac{1}{4 n} \), se obtendrá:

\[ b c m n + c a n l + a b l m = 0, \]

ecuación de la cónica circunscrita de Steiner siendo \( l, m, n \) coordenadas normales.

CUESTIÓN 363. (Véase t. I, pag. 160)

Envolvente de las parábolas que tienen un foco fijo y cuyo vértice recorre una recta dada.

(J. Neuberg).

Solución por el Sr. Fontané (G.)

Sea F el foco, d la recta, D el pie de la perpendicular bajada desde F sobre d. Si se transforma por polares recíprocas con relación al círculo de centro F y de radio FD, las parábolas quedan transformadas en círculos, cuyos diámetros son cuerdas trazadas desde F en el círculo de diámetro FD.

Siendo la envolvente de estos círculos la podar de F con relación
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 35

al círculo de diámetro F D, es decir, una cardiode, la envolvente de las parábolas es una cúbica nodal, cuyas tres tangentes de inflexión son las isótropas del punto F y de la recta en el infinito.

La curva pedida es además, en virtud de una observación muy conocida, la inversa con relación á F de la podar de F con respecto á la cardiode, siendo \( \overline{FD}^t = a^3 \) la potencia de inversión, ó la inversa de la tercera podar de F con respecto al punto D; su ecuación polar es pues, con F como polo y FD como eje polar

\[
r^{\frac{1}{3}} \cos \frac{\theta}{3} = a^{\frac{1}{3}}
\]

Es una curva muy conocida; se tiene el punto doble haciendo \( \theta = \pi \), de donde \( r = 8\,a \), y las tangentes en este punto forman con el radio vector ángulos complementarios de \( \frac{\pi}{3} \), como se ve geométricamente.

CUESTIÓN 265. (Véase t. I. pág. 68)

Si sobre los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC se toman los tres puntos A', B', C' tales, que \( \frac{BA'}{BC} = \frac{CB'}{CA} = \frac{AC'}{AB} = \frac{1}{3} \) y los tres puntos A'', B'', C'' tales, que \( \frac{BA''}{BC} = \frac{CB''}{CA} = \frac{AC''}{AB} = \frac{5}{6} \); el triángulo comprendido entre las rectas A'C'', B'A', C'B'', prolongadas, valdrá los \( \frac{4}{3} \) del triángulo ABC.

(II. Van Aube').

Solución por el Sr. Knahe (A.)

El triángulo A'B'C' tiene sus lados paralelos á las medianas del ABC y sus longitudes son los \( \frac{2}{3} \) de dichas medianas: por lo tanto A'B'C' será \( \frac{1}{3} \) de ABC.

El triángulo comprendido entre las rectas A'C'', B'A', C'B'', prolongadas, tiene también sus lados paralelos á las medianas del ABC, ó lo que es igual, á los lados del A'B'C'; es por consiguiente anticomplementario del A'B'C'; su área es cuádruplo de A'B'C'.
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 36

Luego el área pedida vale los \( \frac{4}{3} \) del triángulo ABC.

Se puede también deducir 'a misma propiedad observando que el triángulo cuya área se pide, tiene por medianas los lados del ABC. (Se ruega al lector que haga la figura).

Cuestión 257. (Véase t. I. pág. 62)

Demostrar que la pedal re'ativa al polo, de una espiral logarítmica, es una espiral logarítmica igual.

(V Retali)

Solución por el Sr. Krautz (A.)

Siendo la ecuación de la espiral logarítmica

\[
r = A e^{m\theta},
\]

si designamos por \( \alpha \), el ángulo que forma la tangente con el radio vector y por \( r_1, \theta_1 \), las coordenadas de un punto de 'a pedal, tendremos

\[
\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{m}, \quad \operatorname{sen} \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad r_1 = r \operatorname{sen} \alpha, \quad \theta = \theta_1 + \frac{\pi}{2} - \alpha.
\]

Eliminando \( r \) y \( \theta \) entre estas dos últimas ecuaciones y la de la espiral, tendremos para ecuación de la pedal

\[
r_1 = \frac{A}{\sqrt{1 + m^2}} e^{m(\theta_1 + \frac{\pi}{2} - \alpha)}.
\]

Si referimos esta espiral á un nuevo eje polar que pasando por el mismo polo, forme con el primitivo un ángulo \( x \) definido por la ecuación

\[
r^m (x + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \sqrt{1 + m^2},
\]

tendremos la misma ecuación primitiva.

Se puede generalizar esta propiedad para una pedal oblicua. Consideremos rectas que partiendo del polo formen con las tangentes un ángulo constante \( \gamma \), en el mismo sentido. (rectas isoclinas).
El Progreso matemático (1900-02-01 00:00:00), página 37

Sean \( \xi', \theta' \) las coordenadas del pie de la isocilina; tendremos

\[
\xi = \xi' \frac{\operatorname{sen} \varphi}{\operatorname{sen} \mu}, \quad \theta = \theta' + \varphi - \mu,
\]

Eliminando \( \xi \) y \( \theta \) se obtiene la pedal oblicua

\[
\xi' = \frac{\operatorname{sen} \mu}{\operatorname{sen} \varphi} \Lambda e^{m (\theta' + \varphi - \mu)}
\]

Si determinamos el ángulo \( \alpha \) de giro, del eje polar, por la ecuación

\[
\frac{\operatorname{sen} \mu}{\operatorname{sen} \varphi} m (\alpha + \varphi - \mu) = 1,
\]

tendremos una espiral igual á la primitiva.

**CUESTIÓN 261 (Véase t. I, pág. 63)**

VO es una cuerda de una cónica \( C^1 \) normal en O, las tangentes en V y en () son o y t, P' un punto de la curva. Construir \( C^1 \) por puntos y por tangentes.

(V. Retali).

Solución por el Sr. DROZ FERRI (A.)

El problema propuesto es una aplicación de la transformación recíproca de M. de Longchamps, caso particular de la transformación cuadrática de Hirst. Basta tomar el circulo punto O como cónica de los puntos unidos y el punto V como polo; de esto se deduce la construcción siguiente: La recta VP' y la perpendicular á OP' en O se cortan en P. Tracemos la recta \( \Delta \) por los puntos P y (o, t).

Cada punto P de \( \Delta \) da su correspondiente P' de \( C^1 \) por la intersección de VP y de la perpendicular en O á OP.

He demostrado en el PERIÓDICO DE MATEMÁTICA número de Septiembre Octubre 1899, cuestión 464, que las tangentes en los puntos P y P' correspondientes de dos curvas correspondientes en esta transformación, se cortan sobre la recta conjugada isogonal del eje OV en el ángulo POP'. Por consiguiente: Construyamos la isogonal del eje OV en el ángulo PVP'; esta recta corta á \( \Delta \) en un punto x; xP' será la tangente á \( C^1 \) en P'.

Solución por el Sr. Retai (V.)

Sea B el punto común á las rectas o y t, tracemos [OP'], sea P el punto de intersección de esta recta con la perpendicular trazada á