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cidido la fusión de su órgano Bolletino dell'Associazione con el Periodico di Matematica que publican los Sres. Lazzeri y Bassani.

Ha cesado de publicarse el Archivo matemático por fallecimiento de su director el ilustrado profesor de la Universidad de Valencia D. Luis G. Gascó.

BIBLIOGRAFÍA

ENCYKLOPADIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN mit einschluss ihrer anwendungen, herausgegeben von Dr. Heinr. Burkhardt un Dr. W. Franz Meyer.

Esta publicación hecha bajo los auspicios de las academias de Ciencias de Munich, Viena y la sociedad científica de Gottinga tiene por objeto hacer una síntesis de la ciencia matemática en 6 tomos, cuatro destinados á la Matemática pura y dos á la aplicada.

La exposición de cada teoría está encomendada á los profesores de competencia notoria en la misma Así:

El primer cuaderno contiene: Grundlagen der Arithmetik por el profesor H. Schubert que se refiere principalmente á la clasificación de las operaciones.

Kombinatorik por el profesor E. Netto, comprende principalmente las determinantes.

Irrationale Zahle und Convergens etc. por el prof. A. Pringsheim que expone los conceptos fundamentales acerca de límite, convergencia, series y productos infinitos, fracciones continuas y determinantes.

Theorie der gemeinen und höheren complexen Grössen por el profesor E. Study. Llega hasta los sistemas de \( n^a \) unidades, á la clasificación de los sistemas de cantidades complejas y á la teoría de las funciones y de los números en sistemas de cantidades complejas superiores.

Mengenlehre por el profesor A. Schönflies. Este trabajo comprende principalmente la doctrina del Sr. Cantor sobre los conjuntos, llegando hasta tratar del continuum de la infinitud de las funciones y de las clases más generales de cantidades.

Endliche discrete gruppen por el pr. H. Burkhardt es un elegante resumen de la teoría de las sustituciones.
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Rationale Funktionen einer Veränderlichen: ihre Nullstellen por el pr. E. Netto. Trata entre otras cuestiones de la interpolación, continuidad, dominio de racionalidad, irreductibilidad. Congruencias algébricas, resultante, discriminante y determinantes funcionales.

Algebraische Gebilde-Arithmetische Theorie algebraischer Grössen por el pr. G. Landsberg. Comienza por la noción de cuerpo ó dominio de racionalidad, según Dedekind, de los cuerpos conjugados, resolvente de Galois, del sistema fundamental de Kronecker, de la descomposición de las cantidades enteras en divisores primos ó ideales, según Dedekind y Kronecker. Representación de los divisores primos por asociación de funciones transcendentas, propiedad del sistema modular, sus aplicaciones, números complejos con varias unidades, teoría de Dedekind sobre los módulos, generalización de los conceptos de divisibilidad y equivalencia, sistemas modulares de segundo grado y sus formas normales, representación de un dominio algébrico por parámetros racionales, teorema de Lüroth y transformación de los dominios algebraicos.

Invariantentheorie por el pr. W. Fr. Meyer. Trata de la equivalencia y la transformación de las formas, del proceso invariantivo, de las amplificaciones (Erweiterungen), grupos y formas especiales.

Sin terminarse el primer tomo, se ha publicado recientemente el primer cuaderno del segundo, también de excepcional interés. Comprende:

Grundlagen der allgemeinen Funktionlehre por el profesor A. Pringsheim. Comprende las funciones de una variable, hallándose expuesto lo más fundamental acerca del concepto de función, de los valores límites y de los valores infinitos, de la continuidad, de las funciones derivables, de las funciones analíticas, de la discontinuidad y singularidades, la condensación de éstas, funciones con varias discontinuidades, e infinitas singularidades, en intervalos finitos.

Termina esta memoria con los conceptos fundamentales acerca de las funciones de varias variables.

Differential und integralrechnung por el pr. A. Voss que constituye un vademecum interesantísimo.

Sigue á este trabajo la memoria: Bestimmte Integrale del profesor G. Brunel cuya terminación queda para el cuaderno segundo.

Hallándose el texto acompañado de numerosas notas que ilus-
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tran acerca del origen de cada concepto matemático y de sus modificaciones sucesivas, y precedida cada memoria de reseñas biográficas, la Enciclopädie der mathematischen Wissenschaften reemplaza ventajosamente á un diccionario etimológico, histórico y técnico de la ciencia matemática.

L'Enseignement mathématique, revue internationale, directeurs: C. L. Laisant et H. Fehr.

COMITÉ DE PATRONAGE

M.M. P. APPELL (Paris); — N. BOUGAIIEV (Moscou); — Moritz CANTOR (Heidelberg); — L. CREMONA (Rome); — E. CZUBER (Viene); — Z.-G. DR GALDRAINO (Saragossa); — A.-G. GREENHILL (Woolwich); — P. KLEIN (Göttingen); — V. LIGUINR (Varsovie); — P. MAN- SION (Gand); — MITTAG-LEFFLER (Stockholm); — G. OLTRAMARE (Genève); — Julius PTKRISKN (Copenhague); K. PICARD (Paris); — H. POINCARE (Paris); — P.-H. SCHOUTR (Groningue); — C. STEPANHOS (Athènes); — F. Gomes TEXBIRA (Porto); — A. VASSILIEF (Kasan); — A. ZIWBRT (Ann-Arbor Michigan, U. S. A.).

Esta revista dedicada principalmente á la enseñanza y especialmente á hacer un estudio de la misma en las diversas naciones, tiene y adquiere cada día mayor importancia.

Las materias contenidas en los cinco números publicados son las siguientes:

Les directurs.—L'enseignement mathématique.—Z. G. de Galdeano: Les mathématiques en Espagne.—C. A. Laisant: les questions de terminologie.—Alfred Binet: La Pedagogie scientifique.—H. Laurent.—Considerations sur l'enseignement des mathématiques dans les clases de spéciales en France.—H. Fehr: Sur l'enseignement des éléments de Trigonometrie.—G. Fontené: sur l'enseignement de la théorie des Vecteurs.

N. 2. V-V Bobynin: L'enseignement mathématique en Russie. R. Barón: Sur une paradoxe de notre numeration parlée.—H. Poincaré: La notation différentielle et l'enseignement.—C A. Laisant: Le choix des sujets de composition.—G. Fontené: Sur l'emploi des signes en Géométrie.

N. 3. H. Poincaré: La logique et l'intuition dans la science mathématique et dans l'enseignement.—W. W. Beman: Un chapitre de l'histoire des mathématiques.—R. de Montesus: Les fondements de l'Arithmétique moderne.=Z. G de Galdeano: Quelques principes généraux sus l'enseignement mathématique. G. Candido: Sur la fusion de la Planimétrie et de la Stéréométrie dane l'enseignement de la Géométrie élémentaire en Italie.
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 36

N. 4. C. A. Laisant La Mécanique rationnelle et la Mecánique appliquée.—C. Burali Forti. Sur l'égalité et sur l'introduction des éléments derivés dans la science.—W. Frans Meyer: Sur l'économie de la pensée dans les mathématiques élémentaires.—Ch. Berdellé de la numération parlée au point de vue international.—G. Fontené: Sur les signes des distances en Géométric.—A. Pous-sart: Classification des lignes et surfaces de second ordre.—G. Budelot.—Une première leçon de Géométrie descriptive.

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 275 (véase pág. 127)
Sea un triángulo ABC. Hallar la parábola circunscrita tal, que el área interceptada entre el lado BC y esta parábola sea mínima.

(E. Lemoine).

Solución por el Sr. Lemoine (E.)

Evidentemente la parábola que se pide es la que tiene por tangente en A la paralela á BC trazada por este punto; porque el área considerada es los 2/3 del paralelogramo cuyos lados son BC, la tangente á la parábola paralela á BC y las dos paralelas trazadas por B y C á la recta que une el punto de contacto de la tangente paralela á BC. Ese te paralelogramo tiene el área mínima, si el punto de contacto está en A. En efecto, todos tienen por base BC, y la altura es mínima, si el punto de contacto está en A.

Esta parábola tiene, por ecuación, en coordenados normales,

\[
\frac{4}{ax} + \frac{1}{by} + \frac{1}{cz} = 0
\]

CUESTIÓN 368. (véase pág. 64).
Solución por el Sr. Schiappa Montemino (A)

Los tres grupos de puntos A, C, D; B, D, E; C, D, E, según el teorema de Stewart dan:

\[
\overline{OA}^2 \cdot OD + \overline{OC}^2 \cdot DA + \overline{OD}^2 \cdot AC + AC \cdot CO \cdot DA = 0 \tag{1}
\]
\[
\overline{OB}^2 \cdot DE + \overline{OD}^2 \cdot EB + \overline{OE}^2 \cdot BD + BD \cdot DE \cdot EB = 0 \tag{2}
\]
\[
\overline{OC}^2 \cdot ED + \overline{OD}^2 \cdot CE + \overline{OE}^2 \cdot DC + DC \cdot CE \cdot ED = 0 \tag{3}
\]
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sumando estas identidades, resulta

\[
\overline{OA}^2 \cdot CD + \overline{OB}^2 \cdot DE + \overline{OC}^2 \cdot EA + \overline{OD}^2 \cdot AB + AC \cdot CD \cdot DA \\
+ BD \cdot DE \cdot EB + DC \cdot CE \cdot ED = 0 \tag{4}
\]

Si se toma por origen de los segmentos de los tres últimos términos de (4) el punto A, se tendrá

\[
AC \cdot CD \cdot DA = - AC(AD - AC)AD = \overline{AC}^2 \cdot AD - \overline{AD}^2 \cdot AC \tag{5}
\]
\[
BD \cdot DE \cdot EB = (AD - AB)(AE - AD)(AB - AE) \\
= \overline{AB}^2 \cdot ED + \overline{AD}^2 \cdot BE + AE^2 DB \tag{6}
\]
\[
DC \cdot CE \cdot EB = (AC - AD)(AE - AC)(AD - AE) \\
= \overline{AC}^2 \cdot DE + \overline{AD}^2 \cdot EC + \overline{AE}^2 \cdot OD \tag{7}
\]

De donde

\[
AC \cdot CD \cdot DA + BD \cdot DE \cdot EB + DC \cdot CE \cdot ED \\
= \overline{AB}^2 \cdot ED + AC^2 \cdot AE + AD^2 BA + AE^2 CB \tag{8}
\]

y por consiguiente

\[
\overline{OA}^2 \cdot CD + \overline{OB}^2 \cdot DE + \overline{OC}^2 \cdot EA + \overline{OD}^2 \cdot AB + \overline{OE}^2 \cdot BC \\
= AB^2 \cdot DE + AC^2 \cdot EA + AD^2 \cdot AB + AE^2 \cdot BC \tag{9}
\]

Tomando sucesivamente por origen de estos mismos segmentos los puntos B, C, D, E, se tendrá

\[
AC \cdot CD \cdot DA + BD \cdot DE \cdot EB + DC \cdot CE \cdot ED \\
= \overline{BA}^2 \cdot DC + \overline{BC}^2 \cdot AE + \overline{BD}^2 \cdot BA + \overline{BE}^2 \cdot CB \\
= \overline{CA}^2 \cdot DC + \overline{CB}^2 \cdot ED + \overline{CD}^2 \cdot BA + \overline{CE}^2 \cdot OB \\
= \overline{EA}^2 \cdot DC + \overline{EB}^2 \cdot ED + \overline{EC}^2 \cdot AE + \overline{ED} \cdot BA \tag{10}
\]

lo que se tenía que demostrar.

Nota. Hemos partido de la identidad

\[
CD + DE + EA + AB + BC = 0 \tag{11}
\]
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determinada por los segmentos del primer miembro de (9), de que hemos partido para obtener las identidades (1), (2), (3)

A los tres últimos términos del primer miembro de la identidad (8) corresponden las identidades

\[
AC + CD + DA = 0, \quad BD + DE + EB = 0, \quad DC + CE + ED = 0 \tag{12}
\]

Pueden obtenerse otras expresiones para las relaciones entre los segmentos determinados por los cinco puntos dados, recurriendo al teorema de Stewart.

Así, considerando la identidad

\[
DE + EC + BD + CA + AB = 0, \tag{13}
\]

tendremos los tres grupos de tres puntos
A, D, E; B, D, E; B, D, C y de ésto se derivan las tres identidades siguientes:

\[
\overline{OA}^2 \cdot DE + \overline{OD}^2 \cdot EA + \overline{OE}^2 \cdot AD + AD \cdot DE \cdot EA = 0 \tag{14}
\]
\[
\overline{OB}^2 \cdot ED + \overline{OD}^2 \cdot BE + \overline{OE}^2 \cdot DB + BE \cdot ED \cdot DB = 0 \tag{15}
\]
\[
\overline{OB}^2 \cdot DC + \overline{OC}^2 \cdot BD + \overline{OD}^2 \cdot CD + CB \cdot BD \cdot DC = 0 \tag{16}
\]

y sumando estas identidades, se tendrá:

\[
\overline{OA}^2 \cdot DE + \overline{OB}^2 \cdot EC + \overline{OC}^2 \cdot BD + \overline{OD}^2 \cdot CA + \overline{CE}^2 \cdot AB \\
+ AD \cdot DE \cdot EA + BE \cdot ED \cdot DB + CB \cdot BD \cdot DC \tag{17}
\]

siendo

\[
AD \cdot DE \cdot EA + BE \cdot ED \cdot DB + CB \cdot BD \cdot DC \\
= \overline{AB}^2 \cdot EC + \overline{AC}^2 \cdot BD + \overline{AD}^2 \cdot CA + \overline{AE}^2 \cdot AB \tag{18}
\]

Caso de cuatro, seis ó varios puntos.

Si se tienen cuatro puntos A, B, C, D, obtendremos de una manera análoga:

\[
\overline{OA}^2 \cdot CD + \overline{OB}^2 \cdot DC + \overline{OC}^2 \cdot BA + \overline{OD}^2 \cdot AB + AC \cdot CD \cdot DA \\
+ BD \cdot DC \cdot CB = 0 \tag{19}
\]
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6, tomando por origen el punto A,

\[
\overline{OA}^2 \cdot CD + \overline{OB}^2 \cdot DC + \overline{OC}^2 \cdot BA + \overline{OD}^2 \cdot AB \\
= \overline{AB}^2 \cdot DC + \overline{AC}^2 \cdot BA + \overline{AD}^2 \cdot AB \text{ etc.}
\] (20)

Igualmente se obtienen otras expresiones.

En el caso de seis puntos A, B, C, D, E, F se puede considerar la identidad

\[
DE + EF + FD + CA + AB + BD = 0
\] (21)

a la que corresponden los cuatro grupos de tres puntos A, D, E; B, D, E; B, C, I; B, C, F, y se tendrán las identidades siguientes:

\[
\overline{OA}^2 \cdot DE + \overline{OD}^2 \cdot EA + \overline{OE}^2 \cdot AD + DE \cdot EA \cdot AD = 0 \quad (22)
\]
\[
\overline{OB}^2 \cdot ED + \overline{OD}^2 \cdot BE + \overline{OE}^2 \cdot DB + BE \cdot ED \cdot DB = 0 \quad (23)
\]
\[
\overline{OB}^2 \cdot DC + \overline{OC}^2 \cdot BD + \overline{OD}^2 \cdot CB + CB \cdot BD \cdot DC = 0 \quad (24)
\]
\[
\overline{OB}^2 \cdot CF + \overline{OC}^2 \cdot FB + \overline{OF}^2 \cdot BC + BC \cdot CF \cdot FB = 0 \quad (25)
\]

de las que resulta

\[
\begin{align*}
\overline{OA}^2 \cdot DE + \overline{OB}^2 \cdot EF + \overline{OC}^2 \cdot FD + \overline{OD}^2 \cdot CA + \overline{OE}^2 \cdot AB \\
+ \overline{OF}^2 \cdot BC + BC \cdot CF \cdot FB + BE \cdot ED \cdot DB \\
+ CB \cdot BD \cdot DC + DE \cdot EA \cdot AD = 0
\end{align*}
\] (26)

\[
\begin{align*}
\overline{OA}^2 \cdot DE + \overline{OB}^2 \cdot EF + \overline{OC}^2 \cdot FD + \overline{OD}^2 \cdot CA + \overline{OE}^2 \cdot AB \\
+ \overline{OF}^2 \cdot BC = \overline{AB}^2 \cdot EF + \overline{AC}^2 \cdot FD + \overline{AD}^2 \cdot CA \\
+ \overline{AE}^2 \cdot AB + \overline{AF}^2 \cdot BC
\end{align*}
\] (27)

Se ve pues, que el teorema de Stewart puede extenderse a un número cualquiera de puntos A, B, C, D, ... en línea recta.

OBSERVACIÓN. Es oportuno observar que solamente en el caso de
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Haciendo \( a_1 = \frac{l}{\operatorname{sen} \omega} \), resulta para el valor el área limitada por los vectores de los puntos \((0, l)\) y \(\left( \frac{l}{\operatorname{sen} \omega}, 0 \right)\) y para la curva

\[
S_1 = \frac{l^2}{4} \left\{ \frac{\cos \omega}{\operatorname{sen} \omega} + \frac{\cos^2 \omega + 3 \operatorname{sen}^2 \omega}{8 \operatorname{sen}^2 \omega} \pi \right\},
\]

y para el valor del área limitada por los puntos \((0, -l)\) y \(\left( \frac{l}{\operatorname{cos} \omega}, 0 \right)\) y para la curva

\[
S_2 = \frac{l^2}{4} \left\{ -\frac{\cos \omega}{\operatorname{sen} \omega} + \frac{\cos^2 \omega + 3 \operatorname{sen}^2 \omega}{8 \operatorname{sen}^2 \omega} \pi \right\}.
\]

Un área tal, limitada por la curva, tiene pues por expresión

\[
S = \frac{l^2}{8} \frac{\cos^2 \omega + 3 \operatorname{sen}^2 \omega}{\operatorname{sen}^2 \omega} \pi = \frac{l^2}{8} \frac{l + 2 \operatorname{sen}^2 \omega}{\operatorname{sen}^2 \omega}.
\]

La clase de curvas de que hemos tratado tiene como caso particular una curva á que se da el nombre de *astroide*, que corresponde á \( \omega = \frac{\pi}{2} \). También se le ha dado, como dice el Sr. Brocard, el nombre de *tetracúspide*, tal vez sea preferible darle el nombre de *astroide*, llamándose la que corresponde á \( \omega = \frac{\pi}{2} \) *astroide de cuatro ejes* y á las otras *astroides de dos ejes*.

HISTORIA DEL PROBLEMA DE LAS TANGENTES
por M. A. Aubry
(Conclusión)

Los elogios que Descartes tributa á este problema de Beaunne (1) eran merecidos, porque se hallaba así frente á un género de cuestiones absolutamente distintas de las se habían presentado hasta entonces á los matemáticos: Conduce, en efecto, á la ecuación di-

(1) «... la propriété dont vous m'en voyez la démonstration me paroit si belle, que je la préfère á la quadrature de la parabole trouvée par Archimède; car il examinait une ligne donnée, au lieu que vous déterminez l'espèce contenu dans une qui n'est pas encore donnée.»
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darse cinco puntos, se obtiene una expresión (11) en la que todos los segmentos tienen sus extremidades comunes, dispuestas en orden alfabético, que originan la identidad (9).

CUESTIONES PROPUESTAS

286 En la serie de Fibonacci.

\[
u_0 = 0,\quad u_1 = 1,\quad u_2 = 1,\quad u_3 = 2 \quad \ldots
\]

todos los términos \( u_{10^n} \) son múltiplos de 987.

(C. A. Laisant).

287 Se tiene siempre

\[
a^2(a^{2n} - b^n c^n) + b^2(b^{2n} - c^n a^n) + c^2(c^{2n} - a^n b^n) > 0
\]

cualesquiera que sean \( a, b, c \).

(E. Lemoine).

288 Si una parábola se halla inscrita en un triángulo ABC, su punto de Gergonne (punto de intersección de las rectas que unen un vértice al punto de contacto sobre el lado opuesto) se halla en la recta de Lemoine (polar del punto de Lemoine con relación al círculo circunscrito).

(E. Lemoine.)

289 Si una hipérbola equilátera se halla inscrita en un triángulo ABC, su punto de Gergonne está en la cónica cuya ecuación en coordenadas normales es

\[
x^2 + y^2 + z^2 + 2yz \cos A + 2zx \cos B + 2xy \cos C = 0.
\]

(E. Lemoine)

290 Si tres números positivos \( a, b, c \), son tales que \( a + b + c = 1 \), demostrar que \( (a^2 + b^2 + c^2) - (a^3 + b^3 + c^3) > 6abc \).

(J. d' Arillez)

291 Dadas dos esferas iguales, existe un número doblemente infinito de tetraedros cuyas aristas son tangentes á las dos esferas.

(G. Fontene).
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ferencial \( d x = y \, d y - x \, d x \). Esta motivó que Jacques Bernoulli llegara á la integración de la ecuación más general que lleva su nombre.

Fermat había tratado desde luego el problema de las tangentes, como Apolonio y Descartes, buscando, por su método de maximis et minimis, la más corta distancia de un punto dado á la curva. Pero abandona este procedimiento, porque la expresión de la normal se presentaba bajo forma de radicales, lo que complicaba mucho el cálculo. Su método definitivo data de 1629, pero no fué conocido más que desde 1638 y publicado en sus Varia opera (Toulouse, 1679). Citaremos, entre otras de Fermat, la construcción de la tangente á la cicloide, á la cuadratiz y á las espirales de los diversos órdenes; para la primera emplea una transformación notable que se puede representar por \( X = x, Y = s \), designando s el arco de la primera curva, X e Y las coordenadas de la segunda (Lalouvère, De cycloide, Toulouse 1660). Para estas curvas transcendentas Fermat sustituye á los infinitamente pequeños de la curva otros infinitamente pequeños á los que aplica su método.

Roberval parece haber conocido algo que se aproximase, porque, en 1636, anuncia el haber encontrado desde hacía largo tiempo la tangente á la concoide y determinado sus puntos de inflexión (punto desde el que no se puede trazar tangentes). Introduciendo, como Descartes, el movimiento en el estudio de las curvas, obtuvo hacia 1639 su método de las tangentes, fundado en la composición de los movimientos, y aplicable á un gran número de curvas definidas cinemáticamente, las cónicas, la espiral, la cuadratriz, la cisoide, la concoide, el caracol, etc. Fué divulgado en las Cogitata de Mersenna (París 1644), y casi al mismo tiempo por Torricelli. (Opusc. geom. Florence, 1644) que lo había obtenido por su parte hacia 1640.

Consignaremos también de Roberval su ingeniosa transformación de las curvas llamada Robervaliana, por Torricelli (véase J. S. 1896, p. 180).

Un progreso notable del método de Fermat es el descubrimiento de la expresión de la sub-tangente de una curva definida por una función implícita: se verificó por Huze en 1652 y por Hudde en 1657; pero solo se publicó en 1672, en las Phil. Trans.
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James Gregory en su Geometriæ pars universalis (Padoue, 1668) reunió la mayor parte de los teoremas conocidos sobre las transformaciones de las curvas, destinadas á extender las construcciones de las tangentes, las cuadraturas, rectificaciones y cubaturas conocidas. Mencionaremos de él su elegante teoría de las evoluta et involuta, definidas por la transformación \( S = s,\ Y = \varphi \) (véase J. S. 1893, p. 133)

Terminaremos por Barrow que extendió y perfeccionó mucho la geometría infinitesimal (Lectiones Geometricæ. Londres 1672). Considera explícitamente una curva como formada por elementos consecutivos, á los que corresponden los incrementos sucesivos de la abscisa y la ordenada; el triángulo que forman estos tres elementos es semejante al formado por la tangente la sub-tangente y la ordenada. El obtener la posición de la tangente se reduce á obtener la relación de los dos incrementos de que acabamos de tratar.

Principia por el examen de diversas transformaciones y de las relaciones que tienen entre sí las tangentes en los puntos correspondientes. Así, si dos curvas son tales, que á una misma abscisa corresponden ordenadas inversas \( X = x,\ Yy = 1 \), las sub-tangentes serán iguales y de signos contrarios.

Véanse otras transformaciones estudiadas por Barrow

\[
P_{\varphi} = 1,\ \Omega = \omega \quad \text{(curvas inversas)}
\]
\[
P = \varphi + a,\ \Omega = \omega \quad \text{(concoide)}
\]
\[
Y^2 = a^2 - y^2,\ X = x;\ Y^2 = t,\ X = x;\ Y = \frac{\varphi^2}{y},\ X = x
\]
\[
Y = \varphi,\ X = x \quad \text{(véase J. S. 1896)}
\]
\[
P = \varphi + 1,\ \Omega = \omega;\ P = s,\ \Omega = \omega,\ X = k s + a,\ \Omega = \omega.
\]

Llega así al trazado de las tangentes de varias curvas que se derivan del círculo, como la cisoide, la estrofoide, la cappa, ecétera.

Expone enseguida, en estos términos, un método general de tangentes (véase figura 11):

«Sint AP, PM positione datae rectæ lineæ (quarum P M propositam curvam secet in M) et MT curvam tangere potatur ad M, rectam AP secare ad T;

Figura 11
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ut ipsius jam rectae PT quantitatem exquiram; curvae arcum MN indefinite parvum statuo; tum duco rectas NQ ad MP, et NR ad AP parallelas. Nomino MP = m, PT = t, MP = a, NR = e; reliquasque rectas, ex speciali curvae natura determinatas, utiles proposito, nominibus designo; ipsas autem MR, RN (et mediatisbus illis ipsas MP, PT) per æquationem è calculo reprehensam inter se comparo; regulas interim has observans. 1. inter computandum omnes abjicio terminos, in quibus ipsarum a, vel e potestas habetur, vel in quibus ipsæ ducuntur in se (etenim isti termini nihil valebunt).

2. Post æquationem constitutam, onmes abjicio terminos, litteris constantes quantitates notas, seu determinatas designantibus; aut in quibus non habentur a vel e (etenim illi termini semper, ad unam æquationis partem adducti, nihilum adæquabant).

3. Pro a ipsam m; (vel MP) pro e ipsam (vel PT) substituo. Hinc demùm ipsius PT quantitas dignoscetur.

Quod si calculum ingrediatur curvae cujuspiam indefinita particula; substituatur ejus loco tangentis particula utè sumpta; vel ei quævis (ob indefinitam curvae parvitatem) æquipollens recta....»

Barrow aplicó su método á la cappa, á la curva \( x^3 + y^3 = 1 \), al fólium, á la cuadratriz y á la tangentoide.

Nuestra historia puede considerarse terminada aquí al menos como teoría. El descubrimiento del cálculo infinitesimal ha perfeccionado solamente la práctica, aplicando los signos del Algebra, y sobre todo, suprimiendo una multitud de consideraciones intermedias, que han llegado á ser inútiles, por efecto de haber intervenido la idea del infinitamente pequeño. También, en este sentido, sería la historia del cálculo infinitesimal, que se trata del modo más completo en varias obras; además se hallaría fuera de nuestro objeto. Terminaríamos de una manera más racional dando una colección de cuestiones de geometría infinitesimal elegidas; pero esta ciencia casi abandonada según Barrow, ha alcanzado tanto favor en nuestros días, que forma una rama demasiado importante, y su historia exige, para ser tratada dignamente, un artículo aparte, que nos reservamos publicar en otra ocasión.