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Basta citar los siguientes asuntos: Idea de cuerpo de números, la ad- junción, funciones en \( \Omega \), cuerpos algébricos, primitivos é imprimiti- vos, cuerpo normal, resolvente de Galois, grupos de permutaciones, grupo de Galois, grupos transitivos ó intransitivos, ecuaciones abelianas y ciclicas, períodos de las ecuaciones y ecuaciones metacíclicas.

La simple enumeración, hecha muy someramente, manifiesta cuán interesante es el Algebra del Sr. Weber, que seguramente dará la pauta para el estudio de esta rama en la actualidad, y acaso durante muchos años.

Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendentes par E. Picard et G. Simart.—Gauthier-Villars, 1897.

Esta interesante obra parece ser una continuación del muy notable Traité d'Analyse de M. Picard, que en su elegante y metódica exposición de la superficie de Riemann estudia sus transformaciones, conforme á los principios del Analysis situs, mediante sistemas de secciones y agujeros y la distribución de los lazos correspondientes á los puntos de ramificación, empleando, para la reducción de las singularidades de una función, el teorema de Herr Nöther, que permite reducir el estudio de las curvas al de las que solo tienen puntos múltiples con tangentes distintas.

En la Théorie des fonctions algébriques, de MM. Picard y Simart, el objeto principal es el estudio de las funciones algébricas de dos variables, basándose en el Analysis situs, de cuyos fundamentos hacen una exposición extensa, ocupándose de las integrales múltiples de orden \( n-1 \), en el espacio de \( n \) dimensiones, de los diferentes órdenes de conexión en los espacios de \( n \) dimensiones y de la extensión del teorema de Cauchy, según M. Poincaré.

El capítulo IV trata de las singularidades de una superficie algebraica y de las invariantes de una superficie, desde el punto de vista de la Geometría de situación; exponiendo la reducción de las singularidades, los diferentes órdenes de conexión, la conexión lineal y los ciclos lineales.

Al tratar de las integrales dobles de primera especie, se estudia el género geométrico de las superficies algebraicas, los sistemas lineales de curvas trazadas sobre una superficie, el segundo género de las superficies algebraicas y el grado del sistema canónico.

El capítulo VIII y último tiene por objeto las curvas alabeadas algé- bricas y la fórmula susceptible de dar el género de una superficie.

Antes de estudiar las superficies que pasan por una curva alabea-
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da, exponen los autores varios teoremas, partiendo de la representación empleada por Cayley para una curva alabeada, esto es, que una curva alabeada algébrica c se dice de orden ó de grado m, si su perspectiva, tomada desde un punto arbitrario del espacio, sobre un plano cualquiera, es una curva algébrica de orden m; y si se supone hecha esta perspectiva paralelamente al eje de las z, se tendrá evidentemente para todos los puntos de la curva

\[
f(x, y) = 0 \qquad x = \frac{\varphi(x, y_1)}{\psi(x, y_1)}
\]

representando f una curva plana irreducible de orden m, y x, \( \varphi, \psi \) polinomios en x é y de grados respectivos n y n—1 tales, que la curva \( \varphi = 0 \) pase por los puntos de intersección de \( f = 0 \) y \( \varphi = 0 \).

Con este motivo se emplean las superficies adjuntas, cuya noción se debe á Herr Nöther, terminando el primer tomo de la obra con la determinación del número de condiciones necesarias para que una superficie pase por una curva alabeada, y el género numérico de una superficie.

REPERTORIO DI MATEMATICHE SUPERIORI--Definizioni, Formole—Teoremi Cenni bibliografici per Ernesto Pascal, Milano, Ubrico-Hoepli (1898).

El profesor de la Universidad de Pavía Sr. Pascal, ha llevado á la enseñanza, sus profundos estudios sobre el Análisis en sus compendios y por esto mismo, fáceles tratados de Calcolo infinitesimal y Exerciti & Note critiche di calcolo infinitesimale, inspirados, como dice en su prólogo, en obras tan dignas de estudio como las de Lipschitz, Mansion; Stolz, Dini, Genocchi-Peano y Harnack, escribiendo manuales muy adecuados para la juventud.

Recientemente ha continuado su propósito de divulgación de las altas teorías matemáticas publicando el primer tomo de su Repertorio, dedicado al Análisis, que constituye un Vade-mecum de los estudiantes y aún, de todos los que se dedican á la Matemática.

Al tratar de los números irracionales y complejos, expone sus representaciones, especialmente según la teoría de Cantor y la de Hamilton, ó sea de los conjuntos y de los cuaternios, y así puede presentar clara é intuitivamente los conceptos de función y de límite.

Entre las teorías modernas de mayor interés tratadas con la elegancia característica de este sabio profesor citaremos: La teoría de los grupos de sustituciones.—Determinantes.—Series y productos infinitos.—Resultantes.—Discriminantes.—Teoría de Galois.—Integrales
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indefinidas, definidas y elípticas —Ecuaciones diferenciales, invariantes y parámetros diferenciales.—Sistemas completos de formas invariantivas.—Funciones monógenas, holomorfas y moromorfas.—Puntos singulares esenciales.—Funciones modulares.—Superficie de Riemann.—Integrales abelianas y funciones elípticas. Funciones hiperelípticas, abelianas, eulerianas, circulares, hiperbólicas ó hipergeométricas.—Congruencias de 2.º grado, residuos cuadráticos, equivalencia de las formas y nociones de los números algébricos, según Kummer y Dedekind.

Problèmes de Géométrie élémentaire groupés d’après les méthodes à employer pour leur résolution par Ivan Alexandroff, traduit par D. Aitoff.—Paris Hermann, 1899.

Una obra de esta naturaleza es muy adecuada para despertar en los jóvenes la aptitud para la investigación personal, al facilitarles gradualmente el poder llegar á la resolución de unos problemas, apoyándose en las analogías que tienen con otros;
El Sr. Alexandroff expone en cada capítulo el método que va á emplear, propone en seguida, resolviendo algunos, los problemas-tipos, y á continuación presenta una colección de ejercicios que fácilmente se resuelven, atendiendo á las reglas generales.
Los métodos empleados en esta interesante obra son: Lugares geométricos, semejanza, construcciones inversas, simetría, translación, rotación, inversión y aplicación del Algebra á la Geometría.

CUESTIONES RESUELTAS

Sean A un punto luminoso, B un punto tomado, como el primero, en el plano de un círculo que tiene C por centro.
Se pide obtener el lugar de los puntos M del círculo donde se refleja el rayo luminoso AM, de manera que pase por el punto B, cuando el radio del círculo toma valores cualesquiera.
¿Cuál es el problema de máximo que se encuentra en esta cuestión?
Determinar directamente ciertos puntos particulares del lugar buscado (Ph. Breton).

(Molusión por el Sr. H. BRORABDY
Debiendo hallarse siempre el punto O en la bisectriz del ángulo AMB, estará á distancias iguales de las rectas AM y BM.
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Para tener un punto de la curva, bastará pues, trazar círculos que tengan C por centro y trazarles tangentes por A y B.

Estas tangentes se encontrarán en cuatro puntos \( M_1, M_2, M_3, M_4 \).

Si se consideran las cuatro circunferencias que tengan C por centro y pasen por los puntos \( M_1, M_2, M_3, M_4 \), dos de estos puntos corresponderán á reflexiones reales del rayo luminoso AM, los otros dos tendrán solamente una significación geométrica.

Para obtener la ecuación del lugar (M), se procederá de la manera siguiente:

Siendo C el origen y CA el eje de las y, las coordenadas de A y B serán \((a, a)\), \((b, a)\).

Siendo \( x^2 + y^2 = R^2 \) la ecuación de uno de los círculos, las rectas AM, BM, tendrán por ecuaciones

\[
y = mx + d, \qquad y - b = n(x - a)
\]

con las condiciones:

\[
\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{b - na}{\sqrt{1 + n^2}}
\]

La eliminación de \(m\) y \(n\) es inmediata y da para el lugar (M) la ecuación

\[
d^2 x^2 [(x - a)^2 + (y - b)^2] = [bx - ay]^2 [x^2 + (y - d)^2]
\]

La curva (M) es, pues, de 4.º grado.

Como verificaciones, se ve que pasa por los puntos A \((a, d)\), B \((a, b)\), C \((0, 0)\) y por el punto D, proyección de C sobre AB. Admite asíntotas rectilíneas cuyos coeficientes de inclinación están dados por la ecuación

\[
a^2 c^4 - (d^4 - a^4 - b^4) c^2 + b^4 - d^4 = 0
\]

de donde

\[
c^8 = -1 \qquad c^4 = \frac{d^4 - b^4}{a^4}
\]

Determinando otros varios puntos, se reconoce que la curva (M) tiene un punto doble en el origen, con dos tangentes rectangulares.

En coordenadas polares tiene por ecuación:

\[
\varphi^2 \left[ (\delta \cos \omega - a \sin \omega)^4 - d^4 \cos^4 \omega \right] - 2d\rho \left[ \sin \omega (\delta \cos \omega - a \sin \omega)^6 - d \cos^3 \omega (\delta \cos \omega + b \sin \omega) \right] - ad^2 [\delta \cos 2\omega + b \sin 2\omega] = 0
\]

La curva presenta una analogía de trazado con la estrofoide oblicua.
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Observaciones. Cuando el radio AM se refleja sobre la circunferencia, uno de los trayectos AM+MB es minimum, el otro es maximum.

Este problema es una reproducción de la cuestión clásica del bilias circular.

CUESTIONES PROPUESTAS

254 Sobre los tres lados de un triángulo ABC se toman puntos A', B', C' que dividen sus lados en la misma razón m : n; las rectas AA', BB', CC' se cortan en los puntos M, N, P, por los que se trazan, primero, 'as rectas B1 C1, C1 A1, A1 B1, paralelas respectivamente á BC, CA, AB, después 'as rectas C2 A2, A2 B2, B2 C2 paralelas á CA, AB, BC, en fin, las rectas A3 B3, B3 C3, C3 A3, paralelas á AB, BC, CA.

1.º Los vértices homólogos de los 4 triángulos homotéticos ABC, A1 B1 C1, A2 B2 C2, A3 B3 C3 están en tres líneas rectas, que se confunden con las medianas del triángulo ABC.

2.º Las distancias de los vértices del triángulo ABC á los vértices homólogos del triángulo A1 B1 C1 son medias proporcionales entre las distancias de dichos vértices á los vértices homólogos de los triángulos A4 B4 C4, A5 B5 C5

3.º Determinar las razones de homotecia de los triángulos A1 B1 C1, A2 B2 C2, A3 B3 C3 al triángulo ABC.

(H. VAN AUBEL).

255 Por un punto cualquiera O, tomado en el plano de un triángulo ABC, se trazan rectas paralelas á las tres medianas AD, BE, CF: sean A1, B1, C1; A2, B2, C2; A3, B3, C3 los puntos en que estas paralelas encuentran respectivamente á los lados BC, CA, AB. Demostrar que los dos triángulos A4 B4 C4, A5 B5 C5 valen cada uno el cuádruplo del triángulo ABC.

(H. VAN AUBEL).

256 Se da una circunferencia, un diámetro OCE y la tangente OB en O, se proyecta un punto A de la curva en D: sobre OB se toma DB=OD. Obtener el lugar (M) de la intersección de las rectas OA, BE. Determinar los puntos de intersección de las tangentes comunes al círculo y á la curva (M).

(H. BROCARD).
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La verdadera ciencia es modesta, rigida en sus procesos, oscura en sus manifestaciones, pero fuerte, poderosa en sus conclusiones irrefutables, que sin variar se acumulan para realizar edificaciones graníticas, resistentes al impulso de los tiempos, á los caprichos de la moda, á los baibenes de las conveniencias personales.

Sé impone que releguemos la educación de nuestra fantasía, contraria en muchos casos á la educación de la voluntad, que dirijamos nuestros esfuerzos á ejercitarnos en el paciente y continuado trabajo de los estudios experimentales y en los energéticos ejercicios de nuestra razón, para buscar la verdad científica á través de sus intrincados razonamientos y múltiples combinaciones, que fortalecen el espíritu, haciéndolo resistente para el trabajo y apto para vencer dificultades y para acrecentar nuestras energías, como gimnasia intelectual.

Los estudios científicos dirigiendo las innumerables aplicaciones, la Matemática, elevando la categoría de las ciencias experimentales por la eficacia de sus fórmulas, que hoy han llegado á penetrar hasta en los dominios de la Química. A esta necesidad del predominio de los estudios científicos, exigida por la realidad de los hechos responde la publicación de la segunda serie de El Progreso Matemático, que es de esperar halle favorable acogida entre los amantes de las ciencias.

Pero hay otra razón, acaso más poderosa; la solidaridad hoy existente entre todas las naciones cultas, que establece un comercio científico, como especie de enlace intelectual, sin perjuicio de que esto sirva para mantener cada una un puesto digno en el concierto general.

Los filósofos, los médicos, los geógrafos, los estadistas se reúnen periódicamente para realizar una obra común, motivada por el vínculo que une á las naciones, y cuyo fin es armonizar las varias aspiraciones e intereses y dar facilidades á la vida social, regida por cierto cosmopolitismo que ha llegado á ser una necesidad y un bien general.

Los matemáticos no podían ser una excepción en este movimiento, unificador, y claramente lo han manifestado de diversas maneras que vamos á exponer.
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En el primer Congreso internacional de bibliografía de las ciencias matemáticas, verificado durante la segunda quincena de Julio del año 1889, se sentaron las bases de la futura unión matemática entre las diversas naciones. Los resultados de este Congreso fueron altamente satisfactorios, puesto que á él siguió la obra del Repertorio bibliográfico de las ciencias matemáticas, cuyo fin es legar al siglo XX la síntesis del trabajo matemático realizado durante el siglo XIX.

Establecida la pauta á que se había de subordinar la clasificación de todos los escritos matemáticos en las diversas naciones, tanto las corporaciones, como los periódicos científicos, como los particulares han reunido sus esfuerzos; y la casa editorial de Gauthier-Villars sigue publicando en forma cómoda é ingeniosa el índice de los trabajos matemáticos, que ha de conducir á una síntesis difícil de realizar por esfuerzos individuales.

Pero esto no bastaba, era la parte formal del asunto, era necesario acompañar al gran cuadro de la ciencia, la realización de su síntesis en trabajos técnicos dirigidos por el espíritu pedagógico y por un criterio filosófico que enlazase las diversas teorías, según su generación lógica é histórica.

El Congreso de Zurich ha sido el primero que se efectuó en 1897 con tales propósitos; y las actas del mismo publicadas el año pasado constituyen un hecho de grandísima importancia, cuyos resultados se afianzarán seguramente en el Congreso de Paris para el que ha principiado á realizar los trabajos preparatorios el comité central, bajo la ilustrada dirección de los eminentes matemáticos M. M. Darboux y Poincaré.

Otros varios Congresos han tenido lugar, y dignos de especial mención son los que anualmente celebran las asociaciones francesa y alemana, los certámenes trienales que desde el año 1897 celebra el Comité Lobatschewsky (para honrar la memoria de este exímio geómetra), cuyo gran premio y medalla de oro alcanzaron los célebres propagandistas y organizadores de la geometría no-Euclidea: el malogrado cuanto eminente talento matemático Sophus Lie cuya pérdida deplora hoy la ciencia, y el célebre profesor de la Universidad de Gottinga Sr. F. Klein.
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Ante acontecimientos tales que expresan la actividad científica de todas las naciones, y dan la medida de su cultura, que se traduce en fuerza y bienestar moral y material; sería absurdo que nosotros permaneciésemos ajenos á este movimiento universal, y alejados de la vida intelectual por la que se rigen los pueblos modernos, y expresan su nacionalidad y su carácter propio, dentro del concierto humano.

La Matemática ha sido y es siempre la ciencia por excelencia; constantemente ha caminado con seguro paso; sus descubrimientos han permanecido inmutables en medio de la mutabilidad de todo lo demás.

Aliada de la filosofía en sus principios, sin dejar de mantener esa subordinación á la madre de todas las ciencias, que todas ellas la deben, ha sabido mantenerse libre de los exclusivismos filosóficos y prestarse á ser siempre el fiel contraste de las leyes de la Naturaleza, que fija indeleblemente en sus fórmulas.

La Matemática es además una gimnasia intelectual, ella marca el nivel que mide los pueblos y la fuerza y virilidad de los mismos; porque realmente exige energía el esfuerzo racional que subordina á la ley de la cantidad las leyes de la Naturaleza, y que encadena, con los lazos de la dialéctica, los conceptos de la razón en organismos donde se subordinan á los principios las consecuencias, más sólidamente que en el mundo material se subordinan los átomos á las fuerzas.

Tantos han sido los descubrimientos hechos en esta ciencia, que hoy se ha impuesto la acción colectiva arriba mencionada y se ha reconocido la necesidad de perfeccionar los métodos de enseñanza, para que las inteligencias puedan abarcar siquiera el conjunto de sus teorías, con objeto de llevarlas á las aplicaciones inmediatas.

Los métodos particulares han producido grandes ventajas, y han permitido elevar gradualmente la ciencia por series de síntesis sucesivas, y han alcanzado el objetivo de proporcionar cada vez mayor número de conocimientos con un esfuerzo intelectual decreciente, es decir, la eficacia de los métodos ha aumentado la capacidad científica de los individuos.

Los métodos proyectivos en Geometría han extendido inde-
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finidamente los dominios de esta ciencia; los métodos simbólicos han producido igual resultado en el Análisis, y su asimilación con aquélla.

Pero sobre los métodos particulares se halla el método general ó formal, que hoy se impone para coordinar los riquísimos materiales de la ciencia matemática.

Emancipada por completo la Geometría del número, merced á la iniciativa de Staudt, y á los esfuerzos reiterados de los geómetras contemporáneos que han llevado á un alto grado de perfección este fin científico, ya puede dicha rama de la Matemática figurar en orden distinto y preceder al Algebra como lo ha declarado el célebre geómetra Herr Klein en el Congreso de Dusseldorf.

Y también, ya que en una ciencia puramente especulativa cual es la matemática en sí, es decir, como desenvolvimiento de las leyes de la dialéctica, aplicada á todo lo que entra en el concepto de cantidad, no basta el desarrollo dogmático, que si es eficaz para mantener la ilación, el encadenamiento de verdades en un organismo, cada vez más perfecto, y tanto más cuanto mayor y más variado es el conjunto de sus verdades, no lo es para ilustrar al alumno; necesario se hace el extender los estudios crítico é histórico de esta ciencia, para ver en ellos su génesis, como también ha manifestado el Sr. Klein, que con su autoridad seguramente influirá en los planes de enseñanza, cuya reforma es más necesaria que en ninguna otra nación en la nuestra, donde la rutina ha producido un estancamiento ó retroceso del cual urge salir.

Pero no basta el permanecer en el dominio de las abstracciones que forman la ciencia, es necesario descender á las aplicaciones concretas, y entre ellas encontramos el organismo de la enseñanza que debe constantemente perfeccionarse, para elevar la cultura científica al nivel medio que hoy tiene en las naciones adelantadas, y en esto existen muchas deficiencias que es necesario señalar. El plan que nos proponemos desarrollar es vasto.

En la parte especulativa se publicarán trabajos de carácter general dentro del dominio de la crítica científica, que expresen,
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ya la generación lógica, ya la histórica de la ciencia y también trabajos sobre asuntos especiales de carácter puramente técnicos, que puedan servir á los alumnos de Facultad y á los de carreras especiales como complemento de sus estudios, y además se ejercitará la actividad con colecciones de problemas.

En el orden concreto, preciso será descender también á tratar de la organización de la enseñanza y de la educación científica, hoy excesivamente descuidada entre nosotros; y señalar algunos vicios ó defectos de la misma y el indicar los medios de evitarlos, será tan provechoso como el exponer las más interesantes teorías, puesto que equivaldrá á facilitar los medios de adquirirlas con el auxilio de los métodos que, como su etimología indica, son los caminos de la ciencia.

Se publicarán las noticias más interesantes del movimiento científico, ya expresado por acontecimientos extraordinarios, ya concernientes á altas individualidades ó corporaciones científicas, á inventos ó alteraciones dignas de mencionarse en los progresos de la ciencia ó de la enseñanza, para lo que destinará la Revista una sección denominada Crónica científica y otra de Bibliografía matemática.

En resumen, nuestro lema será: El desenvolvimiento matemático como base de la educación científica.

LA REDACCION

APUNTES PARA UN PLAN DE EDUCACIÓN CIENTÍFICA

Ya que está próximo el momento de fijar nuevos rumbos á nuestra decadente instrucción y educación pública, como base de nuestro renacimiento, que solo puede depender de estos factores importantísimos del progreso, parece oportuno el hacer una reseña de la altura á que han llegado las Facultades de ciencias, que dan vida á las artes, industrias y todo género de profesiones técnicas, en otras naciones, que deben servirnos de modelo digno de imitación.

Podremos ver también de paso, el desequilibrio enorme que acusa nuestro estancamiento científico durante muchos años, y
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la necesidad imperiosa de hacerlo desaparecer, si no queremos vernos envueltos en una ruina material y moral, porque la primera atrae necesariamente la segunda.

Principiaremos por presentar la serie de errores que han subsistido en los planes de enseñanza, para después ofrecer el cuadro de estudios seguidos en algunas de las más importantes universidades extranjeras.

Desde luego consignaremos, como preliminar necesario, que la organización de nuestros estudios ha sido relegada siempre á último término; y puede afirmarse que desde la ley de Moyano, de 1857, no ha habido, al parecer, tiempo ni ocasión de tratarla seriamente.

El discutir si la Geometría debiera estudiarse conforme al plan de Euclides ó al de Legendre, si la Geometría debe ó no preceder al Álgebra; si la Geometría analítica pudiera estudiarse en un primero ó segundo curso de ciencias, ó el cálculo infinitesimal debiera tener un lugar más ó menos ventajoso; si los físicos y químicos deben llegar á cierta altura en conocimientos matemáticos, si los profesores han de reunir tales ó cuales condiciones, si los ejercicios que prueban á un alumno ó á un profesor debieran ajustarse á reglas fijas, estudiadas y aquilatadas conforme á un examen concienzudo; todo esto y otros asuntos que fuera prolijo enumerar no ha sido digno de examen con la asiduidad correspondiente á la importancia del asunto, por las personas peritas y por las corporaciones competentes, que pudieran hacer prevalecer su dictamen contra el desconocimiento de muchos detalles técnicos, que es preciso no olvidar en cuestión tan delicada como la de la educación científica, que forma una parte importantísima de la educación nacional.

Solo para promover reformas en la enseñanza de los Elementos de Euclides intervinieron las corporaciones inglesas Association for the improvement of Geometrical Teaching, Committee of British Association y Body of Head Masters, y en la polémica que trascendió hasta Francia é Italia, intervinieron el sabio profesor de la Universidad de Burdeos M. Houël, y los ilustres geómetras italianos, Brioscchi y Cremona en pro de los Elementos de Euclides, hasta conseguir del Gobierno italiano