ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 42

y \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 0 \) ó \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \)

por lo que se ve cómo el signo — aplicado á un vector produce el cambio en su dirección.

90. Análogamente al cálculo de las equipolencias, un vector se expresa por medio de otro paralelo mediante un coeficiente numérico, y para tres puntos A, B, C en línea recta se tiene la expresión \( \overrightarrow{BC} = x \overrightarrow{AB} \).

Un vector \( \rho \) puede descomponerse en tres vectores paralelos á tres direcciones cualesquiera, tales que no sean paralelas dos á dos, ni á un mismo plano, y se representa por la fórmula

\[
\rho = xi + yj + zk, \quad \omega = \xi i + \eta j + \zeta k
\]

siendo \( i, j, k \) tres vectores unidades, implicando la igualdad de los dos vectores \( \rho \) y \( \omega \) las tres ecuaciones

\[
x = \xi, \quad y = \eta, \quad z = \zeta.
\]

En fin, al cálculo de vectores son aplicables los principios de la conmutabilidad y de la asociación.

91. Como aplicaciones citaremos la ecuación de la recta trazada paralelamente á un vector \( \beta \) por el extremo del vector \( x \), que es

\[
\rho = x + x \beta
\]

y la ecuación

\[
\rho = \gamma + yx + x \beta
\]

de un plano trazado por el extremo de \( \gamma \), paralelamente á \( x \) y \( \beta \), ó, más generalmente, la ecuación

\[
\rho = p_1 x_1 + p_2 x_2 + ... = \Sigma p x
\]

en la que \( x_1, x_2, ... \) representan vectores y \( p_1, p_2, ... \) cantidades numéricas, será la de una recta ó un plano, según que \( p_1, p_2, ... \) dependan linealmente, de una ó de dos variables numéricas.

Para establecer que la ecuación

\[
\rho = xt + \frac{1}{2} \beta t^2
\]

expresa una parábola, se observa que siendo \( x, y \) las coordenadas de la parábola \( y^2 = 2px \), al representarse el vector \( \rho \) que une el punto origen con un punto de la parábola por los vectores \( x \) y \( \beta \), en la dirección de los ejes de coordenadas, se tiene

\[
\rho = xy + (\beta p)x \quad ó \quad \rho = xy + \frac{1}{2} \beta y^2
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 43

siendo \( \overline{QP} = x t, \quad \overline{OQ} = \frac{1}{2} \beta t^2 \).

92. Un cuaternio tiene dos formas de expresión: como producto y como suma.

En el primer caso es el factor mediante el cual un vector se transforma en otro, factor que se descompone en dos, el tensor y el versor.

El 1.º es el factor mediante el cual la magnitud del vector \( \overline{OA} \) se transforma en la del vector \( \overline{OB} \). El 2.º corresponde al giro mediante el cual el vector, igualado á \( OB \) en longitud, pasa á superponerse con éste para realizar la transformación del \( \overline{OA} \).

El orden de estas dos operaciones no altera el resultado.

Un solo número basta para transformar la longitud de un vector en otro. Pero para expresar la segunda operación son necesarios tres elementos numéricos, á saber: dos ángulos que determinan el plano en que se efectúa la rotación de \( \overline{OA} \) y el valor de esta rotación. Así, pues, el multiplicador necesario para cambiar un vector en otro depende de cuatro números, de lo que se deriva la denominación cuaternio. Designándolo por \( q \) se tiene \( \beta = qx^{*} \), ó bien

\[
q = \frac{\beta}{x}, \quad q = \beta x^{-1}
\]

El tensor y el versor se designan respectivamente con las características T y U.

Así el cuaternio \( q \) se expresa como sigue:

\[
q = TqUq = UqTq
\]

93. Un cuaternio, resultado de la división de \( \beta \) por \( x \) no depende ni de sus magnitudes ni de sus direcciones absolutas.

94. El producto de un cuaternio por su conjugado es igual al cuadrado del tensor, pues \( qKq = Kq \cdot q = (Tq)^2 \).

Si \( \alpha \) y \( \beta \) son de igual longitud, el cociente es un versor que puede representarse por un arco perteneciente á la circunferencia de la que son radios los dos vectores.

Los dos versores \( \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} \) y \( \frac{\overline{OB_1}}{\overline{OA_1}} \) (fig. 55) serán iguales cuando

(*) Conforme á la notación de Hamilton, escribimos el multiplicador á la izquierda de multiplicando en conformidad con la relación \( a | a = 3a \).
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 44

\( \angle A_1 O B_1 = \angle A O B. \)

95. La multiplicación de los cuaternios no es generalmente conmutativa.

Sea, en efecto, \( q \) el versor de

\[
\widehat{AB} = \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}
\]

(fig. 56).

Haciendo, en la esfera cuyo radio es la unidad, \( \widehat{BC} = \widehat{AB} \) en un mismo arco de circunferencia máxima, \( q \) estará también representado por \( \frac{\overline{OC}}{\overline{OB}} \).

Z. G. DE GALDEANO.

(Se concluirá.)

Sur l'infinitude de la série dont le terme général est \( \frac{1}{L_n} \)

PAR M. G. DE LONGCHAMPS

Cette question, soulevée dans le Journal (1893, p. 132), est, par suite d'une inattention dont nous nous confessons ici, mal résolue à l'endroit cité. Voici ce qu'il faut dire à le sujet.

On a d'abord:

\[
\frac{1}{L.2} + \frac{1}{L.3} < \frac{2}{L2},
\]
\[
\frac{1}{L.4} + \ldots + \frac{1}{L.7} > \frac{4}{2L2},
\]
\[
\frac{1}{L.8} + \ldots + \frac{1}{L.15} < \frac{8}{3L2},
\]
\[
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\]
\[
\frac{1}{L.2^n} + \ldots + \frac{1}{L(2^{n+1}-1)} < \frac{2^n}{nL2}.
\]

En posant

\[
S_n = \frac{1}{L.2} + \frac{1}{L.3} + \ldots + \frac{1}{L(2^{n+1}-1)}
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 45

On a donc

\[
S_n < \frac{1}{L.2} \left[ \frac{2}{1} + \frac{4}{2} + \frac{8}{3} + \ldots + \frac{2^n}{n} \right].
\] (1)

D'autre part, un autre groupement donne:

\[
\frac{1}{L.2} = \frac{1}{L.2},
\]
\[
\frac{1}{L.3} + \frac{1}{L.4} > \frac{2}{2L.2},
\]
\[
\frac{1}{L.5} + \ldots + \frac{1}{L.8} > \frac{4}{3L.2},
\]
\[
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\]
\[
\frac{1}{L(2^n + 1)} + \ldots + \frac{1}{L.2^{n+1}} > \frac{2^n}{(n+1)L.2}.
\]

Par suite, on peut écrire

\[
S_n + \frac{1}{L2^{n+1}} > \frac{1}{2L.2} \left[ \frac{2}{1} + \frac{4}{2} + \frac{8}{3} + ... + \frac{2^n}{n} \right] + \frac{2^n}{(n+1)L.2}. \tag{2}
\]

D'après cela, posons

\[
V = \frac{2}{1} + \frac{4}{2} + \frac{8}{3} + \ldots + \frac{2^n}{n};
\]

les inégalités (1) et (2) donnent

\[
S_n . L2 < V,
\] (3)

\[
S_n . L2 > \frac{V}{2} + \frac{2^n - 1}{n + 1}
\]

Cette dernière prouve, a fortiori, que l'on a

\[
S_n L2 > \frac{V}{2}. \tag{4}
\]

Des inégalités (3), (4) on conclut

\[
S_n = \frac{0}{L.2} V,
\]

\( \theta \) désignant un nombre compris entre 1 et \( \frac{1}{2} \).
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 46

On peut maintenant conclure, mais la conclusion est très différente de celle à laquelle nous avait conduit l'erreur de calcul que nous corrigeons ici (*).

L'infinitude de la série cherchée est donc la même que celle de V. Mais quelle est l'infinitude de V? La question qui se soulève ici paraît délicate à résoudre.

Il faut d'abord observer que \( S_N \) désignant la somme des quantités

\[
\frac{1}{L2} + \frac{1}{L3} + \ldots + \frac{1}{L(2^n - 1)}
\]

le nombre N des termes de cette suite est \( 2(2^n - 1) \). Posons donc

\[
N = 2(2^n - 1).
\]

Nous en tirons

\[
2^n = 1 + \frac{N}{2},
\]

puis

\[
nL . 2 = L(1 + \frac{N}{2}),
\]

et, par suite,

\[
\frac{2^n}{n} = L . 2 \frac{1 + \frac{N}{2}}{L(1 + \frac{N}{2})}
\]

Cette quantité \( \frac{2^n}{n} \) représente le dernier terme de la suite V. C'est un infiniment grand, pour N infini. On peut donc dire, tout au moins, que l'infinitude de la série

\[
\frac{1}{L2} + \frac{1}{L3} + \ldots + \frac{1}{Ln} + \ldots
\]

est au moins égal à celle du rapport

\[
y = \frac{x}{Lx}
\]

pour \( x = \infty \).

Quant à l'infinitude de y, on ne peut la rattacher à celles que nous avons examinées dans l'article cité. C'est un infiniment grand dont l'in-

(*) Les deux premières inégalités qui sont au bas de la page 182 sont exactes; nous avons écrit la dernière en nous laissant guider par l'analogie; c'est ce qui nous a trompé.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 47

finitude est comprise entre celle du nombre et celle du logarithme. En effet, le rapport \( \frac{y}{x} \) est égal à 0 pour \( x = \infty \); l'infinitude de \( y \) est donc plus faible que celle de \( x \). Mais d'autre part \( \frac{y}{Lx} = \frac{x}{(Lx)^2} \); et, pour \( x = \infty \), ce rapport est infiniment grand. L'infinitude de \( y \) est supérieure à celle du \( log \); elle est donc intermédiaire entre celle de \( x \) et celle de \( Lx \).

Mais ce qui précède ne résout pas complètement la question; il reste comme on le voit, à recherche l'infinitude de V en fonction de N. On pourra cela fait, étudier la différence

\[
\frac{1}{L^2} + \frac{1}{L^3} + \ldots + \frac{1}{Ln} - n
\]

et chercher si elle a une limite pour \( n = \infty \). Il nous a semblé qu'il y avait lieu de signaler un champ de recherches pouvant conduire à de résultats intéressants.

QUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 107
(Véase tomo III, páginas 71).

Se dan en un plano dos círculos C y C' y un punto P. Trazar por este punto dos circunferencias T, T' tangentes entre sí, respectivamente tangentes á los círculos dados, esto es, á T ó C y á T' ó C' y cuyos radios se hallen en una razón dada.

(A. Laisant).

Solución por D. RICARDO CARO

Por razonamientos análogos á los empleados en la página 169 de este tomo, y como caso particular, demostraríamos que, el lugar geométrico de centros de circunferencias tangentes á las C y C', que pasan por P, son dos hipérbolas cuyos focos son P, C y P, C' y cuyos vectores se diferencian en los radios de C y C' respectivamente.

Construídas las hipérbolas, el problema se reduce á determinar dos vectores PT y PT', que partiendo del foco común P, cumplan las condiciones de guardar entre sí la relación \( k^{(*)} \) y estar en línea recta, puesto que las circunferencias T y T' han de ser tangentes.

(*) Para sencillez en la construcción hemos supuesto en la figura \( k = 1 \).
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 48

Tomando el punto P por polo, los vectores PT y PT', valen, en función de los parámetros y excentricidades

\[
PT = \frac{p}{1 - e \cos \omega} \quad \text{y} \quad PT' = \frac{p'}{1 - e' \cos \omega'}
\]

y dividiendo miembro á miembro

\[
\frac{PT}{PT'} = \frac{p(1 - e' \cos \omega')}{p'(1 - e \cos \omega)} = k
\]

de donde

\[
kp'e \cos \omega - pe' \cos \omega' - kp' + p = 0 \tag{1}
\]

Además, estando PT y PT' en línea recta, tendremos

\[
\cos (\omega + \omega') = -\cos CPC'
\]

que se transforma fácilmente en

\[
\cos^2 \omega + 2 \cos CPC' \cos \omega \cos \omega' + \cos^2 \omega' - \operatorname{sen}^2 CPC' = 0 \tag{2}
\]

Resolviendo el sistema de las ecuaciones (1) y (2), obtendremos los valores de \( \omega \) y \( \omega' \), que convengan á la cuestión.

Siendo la (2) de segundo grado, tendremos dos valores para cada una de las incógnitas, y como éstas son cosenos, nos determinarán dos ángulos para cada valor, resultando finalmente cuatro direcciones de vectores TT', UU', VV', WW', que son otras tantas soluciones.

Los vectores y las soluciones se corresponden de este modo

\[
\begin{array}{ll}
TT' ... C_e C'_e & WW' ... C_i C'_i \\
UU' ... C_i C'_i & VV' ... C_e O'_i
\end{array}
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 5

Soit en effet \( X_k \) une fonction réduite suivant \( F(x) \) et M; les \( \Phi_r(M) \) produites

\[
X_k X_{i_1}, \quad X_k X_{i_2}, \ldots X_k X_{i_s}, \ldots X_k X_{\Phi_r(M)}
\]

donnent des résidus minima tous distincts, suivant la fonction \( F(x) \) et le module M. Et aucun d’eux n’étant pas divisible par \( F(x) \) suivant le module M, il s’ensuit qu’ils ne diffèrent pas des fonctions

\[
X_{i_1}, X_{i_2}, \ldots, X_{\Phi_r(M)}
\]

Parmi ces dernières il y aura donc sans doute une fonction, X, telle qu’on ait

\[
XX_k \equiv 1 \pmod{F(x), M}
\]

Si X est distincte de \( X_k \), nous dirons que X et \( X_k \) sont deux fonctions associées du 1er genre (*). Si au contraire \( X = X_k \), on aura

\[
X_k^2 \equiv 1 \pmod{F(x), M}
\]

tandis que

\[
X_k(M - X) \equiv -1 + M - 1 \pmod{F(x), M}
\]

Dans ce cas nous dirons que X et \( M - X \) sont deux fonctions associées du 2me genre. On voit aisément que deux fonctions associées du 2me genre constituent un couple de racines conjuguées de la congruence

(34)

\[
Y^2 - 1 \equiv 0 \pmod{F(x), M}
\]

si l’on appelle conjuguées deux racines qui soient égales et de signe contraire, ou dont la somme soit égale au module M.

Mais les racines de la congruence (34) ne sont pas distinctes de celles de la congruence

(35)

\[
Y^2 - 1 \equiv 0 \pmod{M}.
\]

Donc si \( \lambda \) désigne le nombre des couples de racines conjuguées de la congruence (35) [nombre qui vaut l’unité si

\[
M = p_1^{\mu_1}, \text{ ou } M = 2p_3^{\mu_3}, \text{ ou } M = 2^4;
\]

et qui est un nombre pair dans tous les autres cas (*)], on aura évidemment

\[
A = X_{i_1} X_{i_2} \ldots X_{\Phi_r(M)} \equiv (-1)^{\lambda} \pmod{F, M}
\]

C’est la formule que nous voulions établir.

(*) V. Serret. Oeuvres citée. T. II, page 29.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 6

Remarque. Par un raisonnement semblable à celui qu'on a employé dans le théorème précédent, on prouverait que notre dernière proposition donne un critérium infaillible pour juger si une fonction \( F(x) \) est irréductible suivant un certain nombre de modules premiers donnés \( p_1, p_2, \ldots p_n \); et par conséquent suivant un multiple quelconque de ces modules.

SIMPLE NOTE DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE
A PROPOS DES QUESTIONS 172 ET 173 (*)
PAR JOSEPH GILLET, PROFESSEUR A MAREDSOUS

1. Les questions 172 et 173 (Progreso Matemático, 1894, p. 157) sont des cas particuliers du problème suivant:

Construire un triangle ABC, connaissant l'un des côtés a, b, c, et deux des rayons des cercles inscrit et ex-inscrits r, r', r'', r'''.

Les cas essentiellement distincts se réduisent à quatre:

1.º \( a, r, r' \);
2.º \( a, r'', r''' \);
3.º \( a, r, r'' \);
4.º \( a, r', r'' \).

2. Soit O (fig. 1) le centre du cercle circonscrit, I, I', I'', I''' les centres respectifs des cercles inscrit et ex-inscrits. Les angles IBI', ICI' étant droits, les quatre points I, B, I', C sont sur une même circonférence; le centre M de cette circonférence devant se trouver à la fois sur la bissectrice AII' et sur la droite xy menée de O perpendiculairement à BC, n'est autre que le milieu M de l'arc BC du cercle circonscrit. De même le point N diamétralement opposé à M sur le cercle circonscrit est le centre d'une circonférence qui passe par les points I'', C, B, I'''.

(*) El autor advierte que este artículo se dirige especialmente a los alumnos.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 7

truire ABC, connaissant \( a, r, r' \), on prendra (fig. 2) \( BC = a \), et à des distances égales à \( r, r' \), \( \frac{1}{2} (r + r') \) on mènera à BC les parallèles \( i, i', m \) qui seront respectivement des lieux de I, I', M; la perpendiculaire \( xy \) au milieu de BC achèvera de déterminer le point M. La circonférence décrite de M comme centre, avec MB pour rayon, coupera les droites \( i \) et \( i' \) en des couples de points II', I, I_1', diamétralement opposés, qui correspondent à deux solutions du problème. On terminera en menant de B et de C des tangentes aux cercles I et I_1.

4. Les développements qui précèdent permettent de construire d'une façon toute temblable le triangle ABC, connaissant \( a, r'', r''' \); ce problème admet aussi deux solutions symétriques par rapport à \( xy \). (Comparez P. M., 1894, p. 202).

5. Soit B' (fig. 3) le point d'intersection de BI'' avec AC; II' sont conjugués harmoniques par rapport à BB'. Si donc I étant fixe, B' décrit le côté AC, les points B et I'' décriront des parallèles à AC. On déduit de là la construction du triangle ABC, lorsque l'on connaît \( a, r, r'' \) (Question 172)

On décrit le cercle I de rayon \( r \) (fig. 3); soit \( xy \) la direction du côté inconnu AC, le sommet B se trouvera sur une droite UV parallèle à XY et distante de celle-ci d'une longueur à moyenne harmonique entre \( r \) et \( r'' \), c'est-à-dire donnée par la relation

\[
\frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{r''} \right)
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 8

Pour achever le problème, il suffira de mener à la circonférence I une tangente dont la partie BC comprise entre les droites XY et Vv soit égale à a. Il y a quatre tangentes donnant lieu à deux solutions (Comparez P. M. 1894, p. 239).
6. Le cas où l'on donne a, r', r'' (Question 173). Se traite comme le précédent.

SOBRE LA IMPORTANCIA DE LA ESFERA INDICATRIZ EN GEODESIA
POR D. GABRIEL GALÁN

Para medir la curvatura en los diversos puntos de una línea, se hace uso del círculo osculador en cada uno de ellos. La curvatura de una superficie cualquiera en uno de sus puntos (á excepción de los umbilicos), no puede medirse por la de una esfera, porque las secciones normales en dicho punto tienen diversos radios de curvatura. Para formarse idea de la curvatura de la superficie, se construye la esfera llamada indicatriz, cuyo radio es la media aritmética de todos los radios de curvatura de las secciones normales; esta media aritmética equivale á la media geométrica de los dos radios principales de curvatura, y la esfera así construída goza de propiedades muy particulares.

Construyendo en un punto M de una superficie (fig. 1.a) el cono recto cuya base es la sección indicatriz, y cuyas generatrices MA, MA'... son cuerdas de los elementos de las secciones normales en dicho punto, veamos de una manera general cómo es posible reemplazar este cono ó elemento de superficie (que supondremos perfectamente flexible, pero inextensible) por un elemento de esfera.

Es evidente que un cono no puede aplicarse sobre otro, sino cuando sus desarrollos tienen igual abertura \( \alpha \) (fig. 2.a); demostremos que esta abertura, para un elemento de superficie, está en razón inversa del área de
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 9

la indicatriz: siendo \( i \) el ángulo que forma \( Om = r \) (fig. 3.a), con la generatriz \( r' \) del cono que sobre \( r \) se proyecta, é \( i' \) el ángulo que el elemento plano de cono forma con el plano de la sección indicatriz, se tiene, llamando \( h \) la flecha de dicha sección,

\[
\frac{1}{2} r^2 d\varphi = \frac{1}{2} r'^2 d\varphi' \cos i'
\]

pero

\[
r' = \frac{r}{\cos i}
\]

\[
d\varphi' = d\varphi \frac{\cos^2 i}{\cos i'}
\]

\[
\tg i = \frac{h}{r}
\]

\[
\tg i' = \frac{h}{p}
\]

y como

\[
d\varphi' = d\varphi \left( \frac{1 - \frac{1}{2} \frac{h^2}{r^2} + ...}{1 - \frac{1}{2} \frac{h^2}{p^2} + ...} \right)^2
\]

de donde, despreciando las terceras potencias de las pequeñas razones \( \frac{h}{r} \) y \( \frac{h}{p} \) se deduce

\[
d\varphi' = d\varphi \left[ 1 - \left( \frac{h^2}{r^2} - \frac{h^2}{2p^2} \right) \right];
\] (A)

pero en la elipse se tienen las expresiones del radio \( r \) y de la perpendicular \( p \) trazada desde el centro á la tangente, que son

\[
r^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 \cos^2 \varphi + b^2 \sen^2 \varphi} \qquad p^2 = a^2 b^2 \frac{a^2 \cos^2 \varphi + b^2 \sen^2 \varphi}{a^4 \cos^2 \varphi + b^4 \sen^2 \varphi}
\]

y que sustituidas en la (A) dan, integrando con relación á \( \varphi \) entre cero y \( 2\pi \),

Suma de ángulos en el vértice \( = 2\pi - \frac{\pi h^2}{ab} \)

ó bien

Abertura del cono \( = \frac{\pi h^2}{ab} \);

luego, para que un elemento de superficie se pueda aplicar exactamente sobre otra superficie, es necesario que sus indicatrices de igual flecha, tengan igual área; ó bien, puesto que entre los ejes \( a, b \) de la
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
D. Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO V. * AÑO 1895

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, 100, bajos
1895
El Progreso matemático (1895-01-01 00:00:00), página 10

diante los conceptos de homografía, dualidad, inversión, etc., que no constituyen actualmente nuestro objeto, sino de otras relaciones entre las figuras que no guardan entre sí la uniformidad anexa á estos modos de transformación, pero mediante la cual las figuras consideradas hasta ahora, separadas en los tratados elementales pueden presentarse en su estudio con cierta solidaridad y según expondremos más adelante.

Pero como preliminar al estudio de las sustituciones equivalentes debemos indicar algo acerca de las figuras adjuntas de una figura.

Así, un triángulo, que está determinado por tres puntos, lleva siempre adjunta una circunferencia determinada por los mismos, y ésta á su vez implica un punto equidistante de aquellos tres que es su centro; y si desde luego pretendemos sistematizar, al hacer variar uno de los tres puntos, con el sistema de triángulos de base común coexistirá un sistema de circunferencias que tendrán una cuerda común; y cada circunferencia separará del sistema total sistemas de puntos unidos por propiedades comunes, la de equidistar de su centro (distinto de todos los demás distribuidos en toda la extensión del plano), la de formar ángulos constantes, etc.

Y si nos detenemos en la consideración del triángulo, antes de seguir adelante, voremos que no consta solamente de los tres vértices y lados, sino que lleva consigo inherentes otros sistemas de líneas y de puntos, tales como los que constituyen las tres bisectiones, medianas, alturas, y, atendiendo al nuevo desenvolvimiento de la Geometría elemental que data del año 1873(*), el de las tres simedianas, los puntos de Brocard, etc.

Y además de las circunferencias inscriptas, circunscriptas y ex-inscriptas, peculiares de cada sistema de tres puntos, otras figuras adjuntas hay que considerar, tales como los círculos de Lemoine, Brocard, Taylor y Tucker, y otros varios puntos y líneas que se estudian en la Geometría reciente, y aun sobre estos sistemas de figuras especiales fundados en la consideración de la igualdad, el paralelismo, perpendicularidad etc., nos olevaremos á relaciones generales, entoncemos las expresiones analíticas permitirían extender los sistemas de una manera indefinida, l'evándonos del dominio de los elementos y de la intuición que predomina en la Geometría pura, á lo general, sometido á los símbolos y fórmulas en los que el número ó las relaciones métricas se sobreponen á la figura y relaciones descriptivas. Y de estas

(*) Por una inadvertencia, en Teoremas, Problemas y Métodos geométricos, t. II, pág. 99, se atribuye á la primera memoria de M. Lemoine la fecha de 1874.