ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 12

CORRESPONDENCIA

Extracto de las cartas de los Sres. Retali y Brocard con motivo de la solución de la cuestión 39 (véase (2) II pp. 33-38, 66-68 96-101).

(Conclusion)

La propriété de la quartique d’être l’enveloppe de certaines hyperboles équilatères est évidente dans ma théorie. Ces hyperboles, qui forment le réseau correspondant aux \( \infty^1 \) droites du plan, avec un autre système de coniques, jouent le rôle principal dans le cas particulier dont il est maintenant question. Ma méthode permet de faire la théorie complète de la quartique analytiquement et par la Géométrie pure; par exemple, je construis effectivement les huit tangentes doubles (deux réelles, avec points de contact réels, deux isolés et quatre imaginaires); etc.

Comme la méthode est valable pour toutes les quartiques planes (exception faite pour la quartique générale et pour la triscuspidale) il est naturel de la mettre en œuvre pour la quartique hyperelliptique, qui présente un grand intérêt et dont la théorie géométrique est presque inconnue, en laissant de côté, comme matière mieux étudiée, les binodales et à fortiori les rationnelles. En attendant que mon Mémoire en préparation sur la quartique hyperelliptique soit achevé, je pourrai signaler à l’occasion, mais sans en donner la démonstration, quelques applications de ma méthode.

La génération de la courbe, modifiée convenablement ou mieux complétée, conduit à la génération projective par deux faisceaux de rayons en correspondance (2, 2), ce qui permet d’établir presque toute la théorie de la courbe sans avoir recours à la transformation double.

La construction des points d’intersection de la quartique par les rayons issus du point double A est indiquée dans l’énoncé de la question 39. On peut également se proposer la construction analogue pour les rayons issus du point double isolé B. Cette construction est fort simple soit par ma méthode, soit par la correspondance (2. 2). Servons nous de celle-ci. La génération de la courbe revient à établir entre les deux faisceaux de rayons A et B la correspondance (2. 2) suivante: A un rayon \( |AC| \equiv c \) du faisceau A correspondent dans l’autre faisceau B, les deux rayons \( |BD| \equiv c_1, |BD'| = c_2 \) qui projettent du point B les intersections de
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 13

|OD| avec le cercle CB. A un rayon \( c_1 \equiv |BD| \) du faisceau B, correspondent dans le faisceau A les deux rayons \( |AC| \equiv c_1 \), \( |AC'| \equiv c' \) qui unissent A avec les deux points où le cercle rencontre la médiatrice du segment \( |BD| \). Il s'ensuit sur le champ que le lieu cherché est le produit de deux faisceaux A et B en correspondance (2. 2), c'est-à-dire une quartique binodale ayant ses points doubles en A et B, etc.

V. Retali.

Lignes diamétrales des cordes parallèles à AY.—Ces lignes sont
1.° l'axe ABX, axe de symétrie de la quartique.
2.° le cercle C' de centre A et de rayon \( a \sqrt{3} \).
De ce que le cercle C' est une ligne diamétrale pour les ordonnées de la quartique, on conclut que l'expression de y doit être de la forme

\[
y = \sqrt{3a^2 - x^2} \pm \sqrt{R},
\]

R désignant un polynôme en x, au plus du second degré. Or, (p, 37), on a

\[
y^4 = 6a^4 - 2ax - x^4 \pm 2\sqrt{9a^4 - 6a^3x - 3a^2x^2 + 2ax^3}.
\]

On doit donc avoir identiquement

\[
3a^4 - x^4 + R = 6a^4 - 2ax - x^4
\]

d'où

\[
R = 3a^4 - 2ax
\]

et \( 9a^4 - 6a^3x - 3a^2x^2 + 2ax^3 = a(3a - 2x)(3a^4 - x^4) \)

ce qui est bien une identité.

Ligne diamétrale des cordes parallèles à ABX.—En traçant quelques unes de ces cordes, on reconnaît que leurs milieux forment une ligne tangente à AY, à l'origine A; tangente à une parallèle à AY à une distance de AX marquée par l'ordonnée \( a(2 - \sqrt{2}) \) du point K; rencontrant AY au point \( a \sqrt{2} \), milieu de HI; puis se dirigeant suivant un arc parabolique passant par le point Z le plus haut de la quartique.

Cette branche de courbe présente deux points d'inflexion qui paraissent situés, l'un sur la corde passant par le point N d'inflexion de la quartique, l'autre, sur l'axe AY et sur la corde HI.

Il serait intéressant de déterminer l'équation de la ligne diamétrale.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 14

Points communs au cercle C^1 et à la quartique.—On obtiendra les coordonnées de ces points en substituant \(3a - x^4\) à \(y^4\) dans l'équation (M). On trouve ainsi

\[
8\,x^3 - 16\,a\,x^2 - 12\,a^2\,x + 27\,a^3 = 0,
\]

équation qui admet pour diviseur \(2x - 3a\) correspondant aux points E, E', ce qui donne pour quotient

\[
4\,x^2 - 2\,a\,x - 9\,a^2 = 0
\]

d'où

\[
x = a \frac{1 \pm \sqrt{37}}{4}
\]

La racine \(-a \frac{\sqrt{37} - 1}{4}\) seule correspond aux deux points réels \(Σ\), \(Σ'\).

Points communs à la quartique et à des cercles concentriques au cercle C^1.—Bien que le cercle C^1 de centre A et de rayon \(a \sqrt{3}\) joue un rôle capital dans la construction de la quartique, il s'en faut que les cercles concentriques et de rayon non moins simple donnent lieu à des remarques du même intérêt.

Nous pensons qu'il suffira de les réunir dans le tableau suivant:

    Rayon des cercles de centre A
    Points d'intersection avec la quartique
    Abscisses des points d'intersection
    Ordonnées (\(y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}\))

    \(a \sqrt{3}\)
    E E'
    \(\frac{3}{2}\,a\)
    \(\pm \frac{a}{2} \sqrt{3}\)

    \(a \sqrt{3}\)
    Σ Σ'
    \(-a \frac{\sqrt{37} - 1}{4}\)
    \(\pm \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{37}}\)

    \(2a\)
    H H'
    \(a \sqrt{2}\)
    \(\pm a \sqrt{2}\)

    \(2a\)
    I I'
    \(-a \sqrt{2}\)
    \(\pm a \sqrt{2}\)

    \(2a \sqrt{3}\)
    J J'
    0
    \(\pm 2a \sqrt{3}\)

    \(2a \sqrt{3}\)
    Ξ Ξ'
    \(-a (\sqrt{7} - 1)\)
    \(\pm a \sqrt{4 + 2 \sqrt{7}}\)

On pourrait supposer, par analogie, que les cercles de centre B présenteraient également une série de points remarquables, mais il n'y a que le cercle de rayon \(2a\) qui donne des résultats simples;
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 15

ce cercle rencontre la quartique au point double A et aux points P, P' de contact des tangentes à la quartique issues du point double B.

Polygones de Steiner.—J'ai pensé qu'il serait utile de reproduire ici le paragraphe du Mémoire de Steiner (1846) où il est question des polygones inscrits aux quartiques binodales et dont les côtés passent alternativement par chacun des points doubles, le point double initial étant indifférent.

Je dois cette communication à l'obligeance de M. V. Retali.

§ 3. Hat eine Curve vierter Ordnung zwei Doppelpuncte P und Q, so lassen sich ihr gleicherweise Poligone ABCDEF.... einschreiben, deren Seiten abwechselnd durch jene festen Punkte P un J Q gehen und es findet dasselbe Gesetz statt:

Das wenn das Polygon sich schliesst, es sich immer schliesst und dabei stets die nämliche gerade Seitenzahl en hat, man mag die erste Ecke A desselben in der Curve annehmen, wo man will.

Pour revenir au cas particulier des hexagones inscrits dans la quartique ici étudiée, j'indiquerai une méthode qui pourra donner d'autres de ces polygones.

Cette méthode est fondée sur la propriété que les abscisses des points de rencontre des rayons MA et MB s'obtiennent facilement, car les équations qui les donnent se réduisent au second degré et admettent pour racine l'abscisse déjà connue.

On a donc immédiatement l'autre par division.

En fait, les ordonnées sont inutiles à écrire ici et il suffit d'avoir les abscisses qui forment une suite périodique.

C'est ainsi que l'on trouvera les deux hexagones suivants:

    Alignements
    Sommets
    Abscisses
    Alignements
    Sommets
    Abscisses

    IAH'
    H'
    \( \sqrt{2} \)
    V'AΛ
    Λ
    \( 10 - \frac{\sqrt{10}}{9} \)

    H'B'M'
    M'
    1
    ABI'
    I'
    \( 10 + \frac{\sqrt{10}}{9} \)

    M'AL
    L
    \( -\sqrt{2} \)
    I'AG'
    G'
    -1

    LBK
    K
    \( \sqrt{2} \)
    G'BQ'
    Q'
    \( 10 - \frac{\sqrt{10}}{9} \)

    KAN
    N
    1
    Q'AΨ'
    Ψ'
    \( 10 + \frac{\sqrt{10}}{9} \)

    NBI
    I
    \( -\sqrt{2} \)
    Ψ'BV'
    V'
    -1
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 16

La voie ainsi tracée, je laisserai au lecteur la recherche des hexagones partant des points correspondant aux abscisses \( \pm (\sqrt{3} - 1) \), \( \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \), et de la sorte on aura épuisé le tableau des plus simples valeurs numériques.

On remarquera que les sommets de ces hexagones sont deux à deux sur des parallèles à AV.

Remarques diverses.

A l'égard de quelques autres propriétés de la quartique, je signalerai seulement les suivantes, d'une vérification immédiate.

I. Si l'on transporte l'origine au point O milieu de AB, l'équation (M) devient

\[
y^4 + 2(x^2 + 4ax - 3a^2)y^2 + (x^2 - a^2)^2 = 0.
\]

II. La droite KLB est normale double aux points K, L, et inclinée à 45° sur AB. La corde KL a pour longueur 4a.

III. Les tangentes BP, AR menées des deux points doubles, sont rectangulaires, et leurs points de contact sont sur la même ordonnée de la courbe. L'abscisse de ces points P, R est \( a(3 - \sqrt{3}) \)

On trouve aussi

\[
\tan \text{PBA} = -\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{6})
\]
\[
\sin \text{RAB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

IV. On a PB = 2a , ce qui donne une détermination graphique assez simple du point P, par une circonférence de centre B et de rayon BA = 2a avec la droite PR distante de B de

\[
a(\sqrt{3} - 1) \text{ ou } AF = \frac{AB}{2}
\]

V. L'équation \( 2x^4 - 8ax^2 + \ldots = 0 \) de la p. 38 s'obtient en posant la condition \( \frac{dy}{dx} = 0 \).
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 17

VI. Plusieurs alignements se présentent passant par le point B. Ce sont, entre autres, ANK, HAI' ou IAH', PAT' ou TAP', MAL' ou LAM'. Ils ont d'ailleurs été signalés à l'occasion des hexagones de Steiner.

VII. Après le couple des droites rectangulaires AR, BP, on peut mentionner les couples AM, BI; AH, BL; AE, BJ.

VIII. Les points A, E, E' sont les sommets d'un triangle équilatéral; les points I, H, I', H', les sommets d'un carré.

IX. D'après la construction des tangentes aux hyperboles associées à la quartique, les tangentes en A et en J doivent être symétriques, et inclinées à \( \pm 30^\circ \). C'est ce que l'on pourra vérifier.

En ces points, on a \( \frac{dy}{dx} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \).

X. Nombres de Plücker.—Les six nombres de Plücker de la courbe sont les suivants, qui résultent de l'étude ci-dessus développée.

    Ordre (ou degré)
    \( m = 4 \)

    Classe
    \( n = 8 \)

    Rebroussements
    \( x = 0 \)

    Inflexions
    \( t = 12 \)

    Points doubles
    \( \delta = 2 \)

    Tangenttes doubles
    \( r = 8 \)

    Enfin, la quartique (M) est de genre
    1

H. Brocard.

La courbe qui vient de faire l'objet d'une étude si détaillée a été rencontrée, il y a près de trente huit-ans, dans l'improvisation d'un sujet de recherches mathématiques. Elle ne m'a pas été suggérée par une question posée au cours de mes études classiques. Après les hasards qui ont retardé puis enfin réalisé sa publication et la connaissance si complète de ses remarquables propriétés, j'estime qu'il n'fallu un concours de circonstances particulièrement favorables pour mettre enfin en lumière une de ces quartiques binodales dont jusqu'à ce jour les spécimens géométriques connus et réellement étudiés sont demeurés assez rares. C'est
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 18

pourquoi je saisirai cette occasion d’en conseiller ici l’étude comme je l’ai fait dans une question récemment adressée à l’Intermédiaire des Mathématiciens (*).

H. Brocard.

SOBRE LA SERIE \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\log n} \)
por el profesor Henrik Petriní en Upsala

En El Progreso Matemático t. IV pp. 356-59 (1894) M. G. de Longchamps ha demostrado que la infinitud de la serie

\[
\sum_{s} \frac{1}{\log x}
\]

es por lo menos \( = \frac{x}{\log x} \) para \( x = \infty \).

Este resultado es inmediato. En efecto, esta serie es infinita, como la integral de Cauchy

\[
\int_{s}^{x+s} \frac{d \xi}{\log \xi} \quad \text{o} \quad \int_{0}^{x} \frac{d \xi}{\log (\xi + s)}
\]

ó, después de una ligera transformación

\[
\frac{x}{\log x} \int_{0}^{1} \frac{d \xi}{\log (s + \xi x)} \quad \text{o} \quad \frac{x}{\log x} \int_{0}^{x} \frac{d \xi}{\log (s + \xi x)} \\
+ \frac{x}{\log x} \int_{a}^{1} \frac{d \xi}{1 + \frac{\log (\xi + \frac{s}{x})}{\log x}}
\]

(*) Tenemos una verdadera satisfacción al ver que la solución á la cuestión 39, que permaneció en cartera, al dejar de publicarse en 1895 El Progreso Matemático, y fue publicada en la segunda época, con el solo fin de dar á luz lo mas selecto de los trabajos originales que tenemos en depósito, hayan motivado tan transcendentales desarrollos - como estos con que han honrado la Revista los Mses. Retall y Brocard. Y á las felices circunstancias que indica este ilustre colaborador, creemos debe añadirse la de haberse dado á conocer á los lectores de El Progreso Matemático, hasta con sorpresa del Sr. Brocard, la solución que sin recordarlo nos había remitido hace unos cinco años.

La Redacción.
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 19

siendo \( \alpha \) una cantidad positiva cualquiera \( < 1 \). Tomemos un número positivo cualquiera \( \beta < 1 \), y supongamos que la cantidad \( x \) sea bastante grande para que

\[
\left( \frac{\log \left( \xi + \frac{x}{x} \right)}{\log x} \right) < \beta, \quad x \leq \xi \leq 1.
\]

Vemos pues, que todas las integrales (3) son positivas, y que la última integral por lo menos no tiende hacia cero, cuando \( x \) tiende hacia el infinito. Luego, etc.

Queremos ahora demostrar que la infinitud de la serie (1) es precisamente \( -\frac{x}{\log x} \) para \( x = \infty \), es decir, que la primera integral (3) tiende hacia la unidad, cuando \( x \) tiende hacia el infinito. En efecto, consideremos la integral

\[
I = \int_a^{x+a} \frac{d\xi}{\log \xi} \qquad a > 1.
\]

Hagamos

\[
\xi = e^{\eta}, \quad \log (x + a) = \omega, \quad \log a = x
\]

\[
I = \int_{\alpha}^{\omega} \frac{e^{\eta}}{\eta} d\eta.
\]

La integral

\[
I_1 = \int_{\alpha}^{\omega} \frac{e^{\eta} - 1}{\eta} d\eta = I - \log \omega + \log \alpha
\]

no difiere de la integral

\[
I_2 = \int_{0}^{\omega} \frac{e^{\eta} - 1}{\eta} d\eta = \int_{0}^{1} \frac{e^{\omega \zeta} - 1}{\zeta} d\zeta
\]

más que en una cantidad finita. Pero para valores grandes de \( \omega \)

\[
I_1 \text{ es aproximadamente } = \frac{e^{\omega}}{\omega}.
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 2

Consideremos un triángulo ABC y sobre la circunferencia circunscripta un punto P, obtendremos la recta correspondiente uniéndolo con los vértices y levantando en P perpendiculares á estos vectores, hasta que corten á los lados opuestos en \( \alpha, \beta, \gamma \). Si llamamos A', B', C' los puntos diametralmente opuestos á A, B, C en la circunferencia circunscripta y P' al opuesto al P, es evidente que los haces P . C' A P' B' y A . B P A' C son homográficos, teniendo común el rayo á A P, por lo cual los puntos \( \gamma, \beta \) y O están en línea recta, y como \( \alpha \) está en la de los dos primeros, resulta que la \( \alpha \beta \gamma \) pasa por el centro O del círculo circunscripto. Resulta pues el siguiente teorema. Si dos triángulos homológicos están inscriptos en una circunferencia y tienen por centro de homología el de esta curva, las rectas que unen un punto de la circunferencia con los vértices de uno de los triángulos cortan los lados correspondientes del otro en puntos situados sobre una recta, que pasa por el centro O de homología. Si ahora transformamos este teorema por proyección, llegamos á este otro muy interesante que obtuvo M. Aubert por una vía completamente distinta.

Si dos triángulos ABC y A'B'C' inscriptos en una cónica son homológicos, uniendo un punto P situado sobre la cónica con los vértices A', B', y C', las rectas PA', PB' y PC' cortan á los lados BC, CA y AB en puntos situados sobre una recta que pasa por el centro de homología.

Fácil es deducir el teorema correlativo acudiendo al principio de dualidad.

2.* Otra correspondencia también interesante, es la que se puede establecer entre un punto y sus rectas pedales, obligadas á pasar por otro, de la manera siguiente: trácese por un punto P una secante tal como P B' C' (B' y C' son los puntos en que la transversal corta á A C y A B), determínese el punto que tiene por pedal C' B', es decir, únase C con C' y B con B' y la intersección M de estas rectas describirá evidentemente, al girar la secante alrededor de P, una cónica circunscripta al triángulo , puesto que los haces que trazan los rayos BB' y CC' son homográficos.

Vamos á determinar la ecuación de esta cónica una vez conocidas las coordenados \( \alpha', \beta', \gamma' \) del punto P.

Sea \( l \alpha + m \beta + n \gamma = 0 \) la ecuación de la transversal. Por pasar esta por P se tendrá

\[
l \alpha' + m \beta' + n \gamma' = 0.
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 20

En efecto, integrando por partes, tendremos

\[
\left\{
\begin{array}{l}
I_1 = \frac{1}{\omega} \int_0^1 \lambda d\zeta + \frac{e^{\omega}}{\omega} - 1 - \frac{1}{\omega} \\
\lambda = \frac{e^{\omega \zeta} - \omega \zeta - 1}{\zeta^2}
\end{array}
\right.
\]

(10)

Se obtiene el resultado (10) suponiendo el límite inferior \(> 0\) y suponiéndolo \(= 0\) después de la transformación. Luego para grandes valores de \(\omega\) se tiene, aproximadamente:

\[
I_1 = \frac{e^{\omega}}{\omega} (1 + \frac{1}{\omega})
\]
\[
\psi = e^{-\omega} \int_0^1 \frac{e^{\omega \zeta} - \omega \zeta - 1}{\zeta^2} d\zeta = \psi_1 + \psi_s
\]
\[
\psi_1 = e^{-\omega} \int_0^b \frac{e^{-\omega \zeta} - \omega \zeta - 1}{\zeta^2} d\zeta \qquad 0 < b < 1
\]
\[
\psi_s = e^{-\omega} \int_b^1 \frac{e^{\omega \zeta} - \omega \zeta - 1}{\zeta^2} d\zeta.
\]

Pero
\[
\psi_1 = e^{-\omega} \int_0^b \left( \frac{\omega^2}{2!} + \frac{\omega^3 \zeta}{3!} + \ldots \right) d\zeta
\]
\[
= e^{-\omega} \left[ \frac{\omega^2}{2!} b + \frac{\omega^3}{3!} \cdot \frac{b^2}{2} + \ldots + \frac{\omega^n}{n!} \cdot \frac{b^{n-1}}{n-1} + \ldots \right] < e^{-\omega} \frac{e^{b \omega}}{b}
\]
y
\[
\psi_s < e^{-\omega} \int_b^1 \frac{e^{\omega \zeta} d\zeta}{\zeta^2} < \frac{e^{-\omega}}{b^2} \int_b^1 e^{\omega \zeta} d\zeta = \frac{e^{-\omega}}{b^2} \cdot \frac{e^{\omega} - 1}{\omega}
\]
luego
\[
\psi < \frac{1}{b} e^{-\omega}(1-b) + \frac{1}{b^2 \omega} - \frac{e^{-\omega}}{b^2 \omega} \qquad 0 < b < 1
\]
luego
\[
\lim_{\omega \to \infty} \psi = 0.
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 21

(12) \( I_s \) es aproximadamente \( = \frac{e^{\omega}}{\omega} \).

Por consiguiente, según (7) y (8) la integral \( I \) es infinita, como \( \frac{e^{\omega}}{\omega} \), es decir, como \( \frac{x}{\log x} \), y se tiene

(13) \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\log x}{x} \right) = 1. \)

PRODUCTO DE UNA SERIE CUALQUIERA POR LA EXPONENCIAL \( e^{-x} \)

El ilustre Hermite en su memoria «Sur les nombres de Bernouilli» emplea un procedimiento muy ingenioso y abundante en aplicaciones para obtener el producto de una serie cualquiera por \( e^{-x-1} \). Este procedimiento se aplica con gran sencillez á obtener el producto de una serie cualquiera por la exponencial \( e^{-x} \), y el mismo M. Hermite ha tenido la bondad de indicarme tales aplicaciones.

Recuerdo al mismo tiempo que el objetivo de la citada memoria del eminente matemático es demostrar cómo se puede llegar, mediante consideraciones puramente algebraicas, á dos relaciones entre los números de Bernouilli, esto es:

\[
\int_0^{\infty} \frac{F(x) \, dx}{e^{2 \pi x} - 1} = \frac{m-1}{m} + \frac{(-1)^{m-1} B_m}{2m}
\]

\[
\int_0^{\infty} \frac{F(x) \, dx}{e^{\pi x} - 1} = \frac{2m-1}{2m} + \frac{(2^{2m}-1)(-1)^m B_m}{m}
\]

relaciones ya obtenidas por Malmstein con auxilio del cálculo integral, partiendo de las expresiones:

\[
\int_0^{\infty} \frac{x^{2m-1} \, dx}{e^{2 \pi x} - 1} = \frac{B_m}{4m}
\]
\[
\int_0^{\infty} \frac{x^{2m-1} \, dx}{e^{\pi x} - 1} = \frac{2^{m-2} B_m}{m}
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 22

y haciendo:

\[
F(x) = \frac{1 + i x)^{2m-1} - (1 + i x)^{2m-1}}{i}
\]

De los resultados anteriores se obtienen directamente las igualdades:

\[(2m-1)_1 B_1 - (2m-1)_3 \frac{B_2}{2} + (2m-1)_5 \frac{B_3}{3} \ldots \ldots = \frac{m-1}{m}\]

\[(2m-1)_1 2B_1 - (2m-1)_3 2^3 \frac{B_2}{2} + (2m-1)_5 2^5 \frac{B_3}{3} \ldots \ldots\]
\[\quad = \frac{2m-1}{2m} + \frac{(2^{2m-1}-1)(-1)^m B_m}{m}\]

recurriendo al desarrollo del polinomio \( F(x) \) según las potencias crecientes de la variable, esto es:

\[
F(x) = 2(2m-1)_1 x - 2(2m-1)_3 x^3 + 2(2m-1)_5 x^5 - \ldots \ldots
\]

En las igualdades precedentes, las cantidades \( B_1, B_3, \ldots \) se definen por la identidad

\[
\frac{1}{e^x - 1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} B_n x^{2n-1}}{1 \cdot 2 \ldots \ldots 2n} \quad (n = 1, 2, 3, .)
\]

donde, á excepción del término constante, las potencias son de grado impar.

Para obtener las relaciones de recurrencia entre \( B_1, B_4, \ldots \), basta hacer:

\[
\frac{x}{e^x - 1} = 1 - \frac{x}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} B_n x^{2n}}{1 \cdot 2 \ldots \ldots 2n},
\]

multiplicar por \( e^x - 1 \) é identificar los dos miembros formando, con tal objeto, los coeficientes de una cualquiera de las potencias en el producto de una serie infinita, por la expresión:

\[
e^x - 1 = \frac{x}{2} + \frac{x^3}{1 \cdot 2} + \ldots
\]
El Progreso matemático (1900-04-01 00:00:00), página 23

Las ecuaciones que resultan de la identificación se presentan bajo la forma sencillísima: \( (\lambda + 1)^n - \lambda^n = 0 \), excepción hecha del caso \( n = 1 \).

Desarrollando la expresión:

\[
e^{\lambda x} (e^x - 1) \quad \text{o sea} \quad e^{(\lambda + 1)x} - e^{\lambda x}
\]

se obtiene un polinomio entero en \( \lambda \) de grado \( n - 1 \), cuya expresión es:

\[
\frac{(\lambda + 1)_n - \lambda^n}{1 \cdot 2 \ldots n}
\]

y este es precisamente el coeficiente de \( x^n \) en la cantidad \( S(e^x - 1) \), función lineal de \( \lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) en la serie arbitraria:

\[
S = \sum \frac{\lambda_n x^n}{1 \cdot 2 \ldots n}.
\]

Consideremos todavía la serie cualquiera

\[
S = \sum \frac{\lambda_i x^i}{1 \cdot 2 \ldots i}
\]

y en vez de considerar el factor \( e^x - 1 \) consideremos la exponencial \( e^{-x} \). Sustituyendo \( \lambda_i \) la potencia \( \lambda^i \), obtenemos la identidad:

\[
e^{(\lambda - 1)x} = \sum \frac{(\lambda + 1)^i x^i}{1 \cdot 2 \ldots i}
\]

y con la sustitución de \( \lambda^i \) en \( \lambda_i \) obtenemos la relación general:

\[
(\lambda_c + \frac{\lambda_1 x}{1} + \frac{\lambda_2 x^2}{1 \cdot 2} + \ldots) e^{-x} = x_0 + \Delta \frac{\lambda_1 x}{1} + \Delta^2 \frac{\lambda_2 x^2}{1 \cdot 2} + \ldots
\]

de la que: \( \Delta \lambda_0 = \lambda_1 - \lambda_0, \; \Delta^2 \lambda_0 = \lambda_2 - 3\lambda_1 + \lambda_0, \) etc.

Este resultado origina la siguiente operación: supongamos que \( \lambda_i \) sea un polinomio entero en \( i \), \( F(i) \), de grado cualquiera \( n \). Las diferencias de orden superior a \( n \) de \( F(0) \) son nulas, y se tiene bajo forma finita:

\[
\sum \frac{F(i) x^i}{1 \cdot 2 \ldots i} \cdot e^{-x} = F(0) + \Delta \frac{F(0) x}{1} + \ldots + \Delta^n \frac{F(0) x^n}{1 \cdot 2 \ldots n}.
\]