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<hablar de la resolución de las ecuaciones, en general, es hablar de lo infinito, pues infinitas clases de ecuaciones existen, de las cuales solo un número, por todo extremo limitado, conocen los matemáticos. Concretando el caso á una ecuación con una incógnita, bastaría combinar á capricho, bajo el signo de una integral definida, todos los signos algebraicos hoy conocidos . . . .>

Hace ver el Sr. Echegaray que al pasar de la ecuación implícita á la explícita aumenta el grado de transcendencia, así la incógnita en las ecuaciones de primer grado tiene la forma de las funciones negativas y fraccionarias; en la de segundo puede ser irracional é imaginaria, en la de quinto puede depender de funciones elípticas, etc. Conducido al cálculo simbólico y á la representación de las magnitudes por vectores cuyo polígono ha de ser cerrado, para que el valor de x sea raíz de la ecuación, expone el Sr. Echegaray una sencilla demostración geométrica del principio fundamental concerniente á la existencia de una raíz de la forma \( a + b \sqrt{-1} \).

Abordando el problema de orden combinatorio que implica la resolución algebraica de las ecuaciones, comienza por establecer la relación entre las funciones simétricas de las raíces y los coeficientes de una ecuación.

No pudiendo seguirse un método sintético por no conocerse un método general de resolver las ecuaciones, se propone seguir el analítico, preparando para el estudio del método general con el estudio de ecuaciones sencillas de segundo, tercero y cuarto grado, enseñando á formar la resolvente y haciendo ver como surge el método de la teoría de las sustituciones, introduciendo una incógnita auxiliar, expresándola en función lineal de las raíces, y para el estudio del método general con el estudio de ecuaciones y determinando el grado de la resolvente, por el número de valores que toman dichas expresiones lineales mediante la permutación de las raíces, lo que da idea de la importancia de la teoría de las sustituciones, cuya exposición emprende el Sr. Echegaray.

Después de dar reglas sencillas para obtener las sustituciones, considera el Algebra simbólica de las sustituciones para despejar la incógnita, mediante el procedimiento de la multiplicación por la derecha ó por la izquierda, disponiendo de la sustitución idéntica que es igual á la unidad; y pasando á la representación analítica de las sustituciones que hace evidente con varios sencillísimos ejemplos.

Las transposiciones y las sustituciones circulares ó ciclos son los elementos de las sustituciones, pues toda sustitución se descompone en
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transposiciones ó es un producto de transposiciones, y toda sustitución ó es un ciclo ó se compone de varios ciclos. Así el Sr. Echegaray expone dicha descomposición en transposiciones, llegando inmediatamente á demostrar que: en el conjunto de todas las sustituciones habrá tantas compuestas de número par de transposiciones como de un número impar, es decir sustituciones pares ó impares, Y si una sustitución tiene constantemente un número par ó impar de transposiciones para cualquier modo de descomposición, á su vez podrá siempre descomponerse en un producto de sustituciones circulares que será el mismo ó único, gozan lo de las propiedades asociativa y conmutativa

El estudio de las sustituciones semejantes, es decir, que constan de igual número de ciclos é igual número de letras en cada uno, da motivo al Sr. Echegaray para emplear una original representación gráfica de los ciclos por medio de transversales que unen cada dos puntos correspondientes situados en dos rectas paralelas, siendo dichas transversales simétricas en las sustituciones inversas, y para cada ciclo la transversal del producto es la resultante de las transversales de los factores. Y esta representación le permite demostrar de una manera intuitiva que para obtener la sustitución transformada de S por T, basta efectuar la sustitución T en los ciclos de S. Esto conduce á determinar dos sustituciones tales que A B = B A y á transformar una sustitución S de manera que la resultante sea una potencia \( S^m \) de aquélla.

Los grupos son sustituciones comprendidas en la masa general de las mismas que representa el Sr. Echegaray por segmentos comprendidos en un segmento que contiene la totalidad de n letras, y así representa el grupo alterno \( 1, S_1, S_2, \ldots S_{\frac{n}{2}} \) comprendido en el total ó en el simétrico, formando uno de los dos segmentos parciales, así como las sustituciones T, S, T, ... S \( \frac{n}{2} \) llenan el segmento complementario.

La propiedad de que el orden de todo grupo es un divisor del número \( N = n! \) de todas las sustituciones de n letras conduce á considerar los cuadros

\[
\begin{array}{cccccc}
S_1 = 1 & S_3 & S_5 \ldots & S_r \ldots & 1 & S_2 \\
S_1 T = T & S_2 T & S_4 T \ldots & S_r T \ldots & T_1 S_1 & T_1 S_2 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
S_1 T_{k-2} = T_{k-3} S_1 T_{k-2} S_3 T_{k-2} \ldots S_r T_{k-2} \ldots T_{k-1} S_1 T_{k-1} S_2
\end{array}
\]

que por brevedad conviene en llamar de Lagrange ó de Cauchy, y á
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la noción de subgrupo y de subgrupos de diversos órdenes, á la propiedades concernientes al orden, á los grupos semejantes cambiables y permutables con auxilio de representaciones gráficas, ó formas simbólicas.

Dejando para más adelante el completar la exposición con el estudio de los grupos transitivos é intransitivos, índices y representación analítica de las sustituciones, pasa á tratar de los diversos valores de una función de n letras, cuando éstas se permutan de todas las maneras posibles.

En vez de considerar, para resolver una ecuación

\[
x^n + p_{n-1} x^{n-1} + \ldots = 0
\]

funciones lineales

\[
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots = z_1, \quad b_1 x_1 + b_2 x_2 + \ldots = z_2
\]

en las que \(z_1, z_2, \ldots\) son las raíces de la resolvente, plantea el problema de una manera general de buscar el número de valores de la función \(f(x_1, x_2, \ldots x_n)\), cuando se permutan las raíces, sirviéndose del cuadro de Cauchy, haciendo notar que la primera línea constituye un grupo; pero no en general sucede lo mismo á las otras, debiéndose distinguir además entre dejar á la función \(f\) invariable de forma cuando se le aplican todas las sustituciones de S y cambiar á \(f\) de forma, aunque todas las sustituciones la cambien del mismo modo, siendo el número buscado el de las líneas horizontales del cuadro de Cauchy, y los valores numéricos de las funciones \(f_1, f_2, \ldots f_p\) correspondientes á cada horizontal, las raíces de una ecuación de grado n cuyos coeficientes pueden expresarse en función racional de los coeficientes de la ecuación propuesta, es decir, aquélla cuyas raíces son \(x_1, x_2, \ldots x_n\).

Por ser de uso tan constante dicho cuadro, el Sr. Echegaray lo representa simbólicamente por un rectángulo cuya línea (faja) horizontal representa un grupo y la primera vertical, las sustituciones T desde 1 hasta \(T_p - 1\), siendo el número de casillas \(r_p = N\), y al cuadro de un grupo G contenido en el grupo total lo llama cuadro menor de Cauchy. Con estos artificios resulta clara é intuitiva, y desprovista algún tanto de su aridez algorítmica la demostración debida á Lagrange de la propiedad de representarse una función en función racional de otra, cuando el grupo de aquélla contiene al de ésta. El Sr. Echegaray presenta
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los casos particulares, á partir de la función simétrica ó de un solo valor, en que el cuadro simbólico se reduce á la primera línea y continúa con el de la función de \( N = 1 \cdot 2 \ldots n \) valores, comprendiendo entonces el lado vertical del rectángulo todas las sustituciones correspondientes á los valores distintos de \( r \), y enseguida con el especialismo también de la función alterna ó de dos valores, para concluir con el de la función de tres valores, y así queda expuesta con gran claridad esta cuestión que adolece de ser excesivamente teórica en la generalidad de los tratados, donde con frecuencia faltan los ejemplos que ayuden á concretar las ideas.

Las últimas lecciones del primer tomo tienen por objeto el estudio de los dominios de racionalidad, cuya amplificación se obtiene mediante las cantidades adjuntas ó agregadas al primer dominio, adjunción que facilita la descomposición de una función en factores racionales, las analogías de la divisibilidad ó reductibilidad aritmética y algebraica son antecedentes inmediatos para demostrar el teorema de Galois por el que: cualquier raíz de una ecuación propuesta es función racional de una cualquiera de las raíces de la resolvente y hasta cualquier raíz de la resolvente puede expresarse en función racional de otra cualquiera raíz de la misma, resultados que expresa gráficamente el Sr. Echegaray empleando también el cuadro que designa con el nombre de Galois

\[
R_1 (V_1) \ldots R_n (V_1)
\]
\[
\ldots \ldots \ldots \ldots
\]
\[
R_1 (V_r) \ldots R_n (V_r)
\]

siendo las \( R \) el signo de función racional de las \( V \), que son las raíces, no de la resolvente total cuyo grado es \( N = 1 \cdot 2 \ldots n \), sino de una resolvente irreducible de grado \( r \) (divisor de \( N \)) que llama el Sr. Echegaray, por brevedad, resolvente parcial.

Y con estos precedentes pasa á resolver el problema de Galois consistente en expresar las raíces de varias ecuaciones dadas en función de una nueva irracional ó cantidad que satisfaga á cierta ecuación

\[
V^N + A_1 V^{N-1} + \ldots + A_N = 0
\]

lo que le permite presentar algunos fáciles ejemplos que hacen ver cómo una ecuación irreducible, dentro de un dominio de racionalidad puede convertirse en reducible, cuando este dominio se amplía, es
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decir, cuando de un dominio de racionalidad \((p, q)\) se pasa á otro dominio de racionalidad \((p, q, u)\), en el que la nueva irracional \(u\) está determinada, por ejemplo, mediante la ecuación

\[
u^3 - p^4 + 4q = 0
\]

Pero cada línea del cuadro de Galois expresa una permutación de las raíces de la resolvente irreducible, pasándose de la primera á la segunda, de la segunda á la tercera, etc. por la aplicación de las sustituciones \(1, S_1, S_2, \ldots, S_r\) que constituyen un grupo; y para concluir que el grupo característico de toda ecuación \(f(x) = 0\) puede considerarse como un grupo único, hace un examen crítico de las conclusiones del Sr. Picard á la que une el Sr. Echegaray atinadas observaciones propias que aclaran este punto difícil de la teoría, terminando la primera parte de sus conferencias con el fundamental teorema que establece la correspondencia recíproca entre la invariabilidad de una función racional de las raíces de la ecuación dada, para todas las sustituciones de su grupo, y su posibilidad de expresarse racionalmente por medio de las cantidades conocidas, ó su pertenencia al dominio de racionalidad de dicha ecuación ó, como expresa el Sr. Echegaray, dos de los tres conceptos: invariabilidad, dominio de racionalidad y grupo de la ecuación suponen el tercero.

Las primeras lecciones hasta ahora publicadas en el segundo tomo se refieren principal ó casi exclusivamente á la invariabilidad de valor numérico de las funciones, como hasta ahora solo se ha considerado la invariabilidad de forma de una función.

De gran importancia el Sr. Echegaray al teorema de Mr. Picard por el cual el caso en que existen relaciones entre las raíces se reduce al caso de ser éstas independientes, lo que facilita la reducción de teoremas relativos la invariabilidad de forma á teoremas relativos á la invariabilidad numérica.

No bastando el demostrar la existencia del grupo de Galois, se ocupa el Sr. Echegaray detalladamente en su determinación, por un número finito de operaciones, aunque éstas puedan ser de una complicación abrumadora, es decir, de la posibilidad teórica de determinar dicho grupo, y llega en lo publicado de su interesante obra á considerar, siguiendo en esta parte á Mr. Jordán, los cuadros isomorfos.

Es de esperar que el 2.º tomo acabe de publicarse para satisfacción de los aficionados y beneficio de la enseñanza, necesitada de extenderse hacia esta nueva región del Algebra, inexplorada entre
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nosotros y que hoy en todas las naciones constituye un preliminar para la actualmente preponderante teoría de las transformaciones de los grupos, que ha sentado sobre sólidos fundamentos el malogrado cuanto ilustre Sophus Lie.

TRATADO DE LAS FORMAS GEOMÉTRICAS DE 2.ª CATEGORÍA, por D. Cecilio Jiménez Rueda; (pag. 432—VII).—Imp. Alufre, Valencia 1897.—Esta obra, cuyas condiciones materiales son idénticas á las del Tratado de las Formas de 1.ª Categoría, consta de dos fascículos y 12 capítulos que tratan: I. De la determinación sintética y analítica de elementos; y de la de perímetros, áreas, anguloides y generación de líneas.—II. De la Homografía, Correlación, Afinidad, Semejanza ó Igualdad.—III. Homología afín y Homotecia—IV.—Involución y Simetría.—V. Formas polares y transformadas por radios vectores recíprocos.—VI. Series y haces proyectivos de 2.º orden. Involuciones alabeadas. Teoremas de Poncelet, de Maclaurin, de Newton, de Pappus y de Carnot, sobre polígonos en las cónicas.—Polaridad respecto de los polígonos.—VII. Centros, diámetros, ejes, asíntotas, focos, directrices, vectores, focales, tangentes, normales y áreas en las cónicas.—VIII. Elementos comunes y polares comunes, contactos y homologías de dos cónicas.—IX. Series, haces, redes y complejos de cónicas.—Cónicas homofocales y haces coaxiales de círculos.—X. Determinación y construcción de cónicas y de sus diversos elementos.—XI. Diámetros y planos diámetrales, ejes y planos de simetría, ejes focales y planos cíclicos en los conos de 2.º orden.—Secciones antiparalelas del cono oblicuo, proyección estereográfica de la esfera y cónicas esféricas.—XII. Curvas planas y conos de órdenes superiores. Correspondencia cuadrática.—Máximos y mínimos, y polígonos regulares de especies superiores.

La subordinación de estas diversas materias la ha expuesto el señor Jiménez en un cuadro sinóptico al principio de la obra; y aunque en su desenvolvimiento recurre alternativamente al método de Staudt y al de Chasles, vese obligado con frecuencia á variar las demostraciones de muchos teoremas con el fin de ajustarlos al plan preconcebido. Esto le ha dado motivo para introducir notas, observaciones, y conceptos completamente originales, pudiéndose citar entre otros la expresión de la capacidad angulosa del cono de revolución en función del ángulo de su superficie; la polaridad respecto de multivértices y de multiláteros; la demostración de que la diferencia de los qua-
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drados de las proyecciones de dos semidiámetros conjugados de la hipérbola es constante; las consecuencias numéricas de la homología de dos cónicas respecto del centro de una de ellas; la demostración de la existencia de los elementos conjugados comunes en las redes de cónicas y otras muchas.—La obra resulta muy completa, de condiciones didácticas, y viene á llenar un verdadero vacío entre nosotros.

Leçons sur fonctions entières par E Borel, precio 3 fr, 50 Gauthier Villars Paris 1900.—Ya se dió cuenta en El Progreso Matemático de la obra Leçons sur la théorie des fonctions del mismo autor basada en la hoy importantísima teoría los conjuntos de Cantor. La obra actual aumenta, si cabe, en interés y de esperar es que el Sr. Borel consiga el mismo resultado en las obras sucesivas cuya publicación anuncia.

Baste consignar que trata del teorema fundamental de Weierstrass, las ideas de Laguerre, las desigualdades de M. Poincaré.—Los resultados de M. Hadamard, el teorema de M. Picard, funciones de crecimiento regular é irregular etc.

Manuale de Trigonometria piana.—Julio Lazzeri precio 1 lira, Raffaelo Giusti, Livorno, 1900.—La elegancia y sencillez de exposición que se nota en los Elementos de Geometría escrita en colaboración del Sr. Bassani donde se fusionan las geometrías plana y del espacio, resplandece también en el brevísimo tratado de Trigonometría. Para realizar este fin adopta el Sr. Lazzeri el empleo de las coordenadas cartesianas y polares, desfaiendo las líneas trigonométricas por relaciones entre los lados de un triángulo, evitando el antiguo y embarazoso empleo de los triángulos semejantes. Los dos últimos capítulos contienen una breve exposición de la resolución de triángulos y aplicaciones. Es una de las obras más adecuadas para la enseñanza elemental que revela las grandes dotes pedagógicas del Sr. Lazzeri.

Application de la méthode vectorielle de Grassmann à la géométrie infinitésimale par Henri Fehr. Georges Carré et Naud Paris, 1799.—Hoy la geometría vectorial ha alcanzado gran impulso, hasta el punto de ser objeto á que dedica sus esfuerzos la sociedad matemática americana, especialmente los métodos de Hamilton y de Grassmann.
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El Sr. Laisant publicó dos obras acerca de las equipolencias y los cuaternios, los Sres. Peano y Burali Forti también publicaron otras respecto al método de Grassmann y sus aplicaciones.

El Sr. Fehr en su obra, después de definir los productos exterior, interior y el bivector pasa inmediatamente, á la representación de una curva en este sistema, destinando el primer capítulo á la curvatura, radio de curvatura, torsión y fórmulas de Frenet, y curvatura normal en las curvas alabeadas.

El Capítulo II tiene por objeto las relaciones generales de superficies, ortogonalidad, redes isotermas, etc., comenzando por la definición de las coordenadas curvilíneas en una superficie, sustituyendo, para seguir el método de Grassmann, los vectores-unidades \( e_u \), \( e_v \) por los vectores tangenciales.

El Capítulo III, de la curvatura de las curvas trazadas en una superficie, trata del teorema de Meusnier, curvatura en las secciones principales, rayos de curvatura principales, fórmula de Euler.

Capítulo IV. De la curvatura de las superficies, comprendiendo: curvatura total y media cuadrática.

Capítulo V. Líneas trazadas sobre una superficie.—Sistemas conjugados.—Líneas de curvatura, asintóticas y geodésicas.

Se ve pues, que el Sr. Fehr, limitándose á las nociones más precisas respecto á la notación y símbolos del sistema de Grassmann, lo utiliza inmediatamente en las aplicaciones.

AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS edited by Simon Newcomb. Volume XXII, number I Baltimore, 1900.

Sumario: Appareil á liquide pour l'intégration graphique par M. Petroviich.—Proof that there is no Simple Group Whose Order lies between 10^42 and 2001 by G H Ling and G. A. Miller.—Note to a Former Paper «On Certain Ruled Surfaces of the Fourth Order, by T. F. Holgate.—Supplementary Note on Projective Invariants by L E Dickson.—On Lie's Theory of Continuous Groups, by E. W Rettinger.—Lines of Curvature on Annular Surfaces having Two Spherical Directrices, by V. Snyder.

El número 2 recientemente publicado sigue conteniendo trabajos tan importantes y de actualidad como los anteriores, acerca de los desarrollos de las funciones sigma hiperelípticas por Mr. Oskar Bolza, sobre ciertas clases de grupos de transformación en el espacio de tres dimensiones por Mr. H. F. Blichfeldt, acerca de las formas canónicas de una sustitución homogénea en un campo de Galois por Mr. L. E. Dickson,
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familias de transformaciones de rectas en esferas por Mr. E. Blake y los movimientos dependientes de uno, dos... K parámetros en un espacio de n dimensiones por el sabio colaborador de EL PROGRESO MATEMÁTICO Sr. Hatzidakis.

ENCYKLOPADIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN.—Los cuadernos 2 y 3 del tomo II, tratan de las integrales definidas, ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, por los Sres. Brunel, Painlevé y Vessiot.

CUESTIONES NO RESUELTAS

9. Se da una circunferencia referida á dos ejes rectangulares OX, OY y un punto A sobre OX. Desde el punto A se trazan secantes ABC, después se construyen las tangentes en los puntos de intersección B, C y se proyecta sobre estas tangentes el punto de intersección D de ABC con OY. Hallar el lugar de los puntos M así obtenidos. Indicar todas las formas de la curva.

(H. Brocard).

14. En un triángulo rectángulo el semi-perímetro es igual á la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito, (esto es evidente). Demostrar que recíprocamente; si en un triángulo el semi perimetro es igual á la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito, el triángulo es rectángulo.

(E. Lemoine).

16. Sea un triángulo ABC del que se da la base BC. Hallar el lugar de A, sabiendo que los lados se hallan en progresión aritmética; caso en que la base no es ni el lado mayor ni el menor.

(E. Lemoine.)

17. Si se designan por \( \delta, \delta_a, ... \) las cantidades \( 4R + r, 4R - r_a \), siendo \( r_a \) el radio del círculo ex-inscrito tangente al lado BC, demostrar que, si se tiene: \( \delta^2 = p^2 (16R - r) \), el punto de Gergonne del círculo inscrito se halla en el círculo conjugado, y que si se tiene \( \delta_a^2 = (p - a)^2 (16R - r_a) \), el punto de Gergonne del círculo ex-inscrito que tiene por radio \( r_a \), se halla en el círculo conjugado, hacer ver que existen triángulos reales que satisfacen á estas condiciones.
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En comparant cette équation à la (4), on trouve que la ligne L est aussi définie par les équations.

\[
x = 4 \sqrt{m s}, \quad y = \int \frac{\sqrt{s - 4 m}}{s} \cdot d s =
\]
\[
= \frac{x \sqrt{x^2 - 64 m^3}}{16 m} - 4 \cdot m \log (x + \sqrt{x^2 - 64 m^3}).
\]

On déduit de celles-ci:

\[
\cos x = \frac{d x}{d s} = \frac{2 m}{\sqrt{m s}}, \quad \cos \beta = \frac{d y}{d s} = \sqrt{\frac{s - 4 m}{s}}.
\]

Si donc on a recours aux relations (5), on déduit:

\[
x_1 = 0, \quad y_1 = \int \frac{\sqrt{s - 4 m}}{s} \cdot d s - 2 \sqrt{s (s - 4 m)},
\]

ce qui démontre que la droite à laquelle se réduit \( L_1 \) coïncide avec l'axe des \( y \).

En remarquant de plus que la portion d'une tangente quelconque à la ligne L, comprise entre cette courbe et la droite \( L_1 \), est partagée en deux parties égales par la ligne \( \Lambda \), on a:

«La ligne \( \Lambda \), dans la rotation autour de la droite \( L_1 \), engendre une surface de révolution dont les courbures sont égales et opposées».

Les propriétés qu'on vient de signaler donnent lieu au théorème suivant:

«En considérant la famille de lignes L (en nombre infini), qu'on déduit de l'équation intrinsèque (9) en donnant à la constante arbitraire m une suite arbitraire de valeurs:
1.º à chacune de ces lignes L on peut lier une droite \( L_1 \), qu'on peut regarder comme la symétrique de L par rapport à une certaine développante de cette ligne.
2.º les lignes L sont semblables entre elles.
3.º les surfaces de révolution engendrées par ces lignes L, tournant autour des respectives droites \( L_1 \), sont applicables l'une sur l'autre.
4.º ces surfaces sont des évolues des surfaces de révolution minima.

La condition \( \frac{1}{s_1} = 0 \) réduit l'équation différentielle (8) à l'autre:

\[
\frac{d}{d s_1} \left( \frac{\sin \theta}{\frac{d \theta}{d s_1}} \right) + 2 \cos \theta = 0,
\]