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El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 20

Estos resultados corresponden á la relación general

\[
a \circ (b + c) = a \circ b + a \circ c
\]
ó
\[
(b + c) \circ \psi = b \circ a + c \circ a
\]

característica de la multiplicación exterior.

80. En cuanto á la ley fundamental de la multiplicación exterior que para dos factores, cuando \( b \) y \( b_1 \) son segmentos homogéneos se expresa por la relación.

\[
(a + b_1). b = a . b \quad y \quad b(a + b_1) = b . a
\]

se deduce de la consideración de la figura 51, en la que siendo \( \alpha \) y \( \beta \) elementos,

\[
a = [\alpha \beta], \quad b_1 = [\beta \gamma], \quad a + b_1 = [\alpha \gamma]
\]
\[
b = [\alpha x'] = [\beta \beta'] = [\gamma \gamma']
\]

\( a . b \) representa la extensión \( [\alpha \beta \beta' \alpha'] \) y \( [\alpha \gamma] . b \), ó sea \( (a + b_1) . b \) la extensión \( [\alpha \gamma \gamma' \alpha'] \).

Y siendo \( [\alpha \beta \gamma] \) y \( [\alpha' \beta' \gamma'] \) iguales entre sí, por obtenerse la segunda de la primera mediante la variación en el segmento \( b \), de todos sus elementos, de las relaciones

\[
[\alpha \beta \beta' \alpha'] = [\alpha \beta \gamma' \alpha'] - [\alpha' \beta' \gamma'] \quad y \quad [\alpha \gamma \gamma' \alpha'] = [\alpha \beta \gamma' \alpha'] - [\alpha \beta \gamma]
\]

resulta la igualdad de \( [\alpha \beta \beta' \alpha'] \) y \( [\alpha \gamma \gamma' \alpha'] \), es decir, la propuesta (*) ó sea que cuando dos factores de un producto son homogéneos ó dependientes entre sí, éste es nulo, así como cuando aquéllos son independientes, éste tiene un valor efectivo.

Para la completa determinación de los resultados debe tenerse en cuenta el cambio de signo que corresponde al cambio en la dirección del movimiento, de manera que

\[
a - b = A, \quad b - a = -A, \quad (-a) - (-b) = -A, \quad \text{etc.}
\]

En fin, la figura 52 manifiesta que: la suma de dos paralelogramos cuyos lados, origen y extremo coinciden es el paralelogramo comprendido entre sus otros dos lados, ó sea:

\[
(a - b) + (b - c) = (a - c) \tag{*}
\]

Y cuando \( a \) y \( c \) se hallan en una recta ó sea \( a = c \), se tendrá que:

\[
(a - b) = (a - a) - (b - a) = - (b - a) = - (b - c)
\]

(*) Die Ausdehnungslehre von 1844, pág. 55. Zweite Auflage (1878) y Hermann Grassmann Gessammelte Mathematische und Physikalische Werke Ersten Bandes, pág. 84, 1894.
(*) System der Raumlehre, etc., von Victor Schlegel. Erster Theil, p. 29.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 21

Como aplicaciones del concepto de multiplicación arriba expuesto citaremos las siguientes tomadas de la obra System der Raumlehre nach den Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre que el sabio profesor Sr. V. Schlegel publicó en 1872.

La figura 53 representa las cuatro posiciones que toma el triángulo ABC en cuatro movimientos sucesivos (6 traslaciones) hasta volver á ocupar su posición primitiva, y que designaremos por

A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, A₃B₃C₃, A₄B₄C₄.

Entonces verifican las relaciones

\[
\begin{cases}
A₁ + A₂ + A₃ + A₄ = 0 \\
B₁ + B₂ + B₃ + B₄ = 0 \\
C₁ + C₂ + C₃ + C₄ = 0
\end{cases}
\]
(1)

\[
\begin{cases}
A₁ + B₁ + C₁ = 0 \\
A₂ + B₂ + C₂ = 0 \\
A₃ + B₃ + C₃ = 0 \\
A₄ + B₄ + C₄ = 0
\end{cases}
\]
(2)

Supongamos, por ejemplo, \( C₂ = 0, B₃ = 0 \) (hipótesis que corresponde á la figura 53).

Se tendrá según esta hipótesis que:

\( A₁ + B₁ + C₁ = 0,\ B₁ + B₂ + B₄ = 0,\ A₂ + B₂ = 0 \)

y por consiguiente: \( (A₁ + A₂) + (B₁ + B₂) = -C₁ \)

que por ser \( (B₁ + B₂) = -B₄ \),

se reduce á: \( (A₁ + B₄) = B₄ - C₁ \)

Pero en la figura los paralelogramos

\[
(A₁ + A₂)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix},\quad B₄\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix},\quad C₁\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}
\]

representados por los términos de la ecuación última, dejan establecido el teorema de Pappus.

Si se consideran sólo tres movimientos, siendo por consiguiente

\[
A₄ = B₄ - C₄ = 0
\]

y si suponemos, por ejemplo, \( A₂ = 0,\ B₁ = 0 \), hipótesis á que corresponde la figura 54, se tiene:

\( A₁ + C₁ = 0,\ C₁ + C₂ + C₃ = 0,\ B₂ + C₂ = 0 \)

Por consiguiente:

\[
(A₁ + B₂) + (C₁ + C₂) = 0
\]

y como \( C₁ + C₂ = -C₃ \), resulta \( A₁ + B₂ = C₃ \).

En fin, si el primer movimiento es igual
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 22

á a, el segundo igual á b, y el tercero á c, siendo además los paralelogramos rectángulos, la figura 55 corresponde al teorema de Pitágoras que resulta demostrado.

81. Un principio importante es el del cambio de signo correspondiente á la permutación de los factores, lo mismo en el paralelogramo, producto de dos vectores que del paralelepípedo producto de tres. Así, en general, para el paralelepípedo se considerará un observador de manera que los pies se hallen en el origen del primer factor ó arista, la cabeza en el otro extremo y la dirección del movimiento de la segunda á la tercera asista determinará el signo.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 6
(Véase tomo I, página 207).

Dada una parábola y un círculo de radio R descrito desde el foco como centro, se traza á este círculo una tangente cualquiera; hallar el lugar de las intersecciones de las normales á la parábola, trazadas por los puntos de intersección de la curva con esta tangente. Discutir el lugar en el caso particular en que el círculo es tangente á la parábola.
(Lille, Concours académique. 1874.)

Solución por el Sr. Mario Pieri

Sea \( y^2 = 2px + p^2 \) la ecuación de la parábola referida al foco F como origen.

Si \((x, \beta)\) y \((x_1, \beta_1)\) son dos puntos de la parábola tales que la recta que los une tenga R por la distancia dada al punto F, quedarán satisfechas las ecuaciones:

\[
\beta^2 = 2px + p^2 \tag{1}
\]
\[
\beta_1^2 = 2px_1 + p^2 \tag{2}
\]
\[
R^2 = \frac{(x\beta_1 - x_1\beta)^2}{(x-x_1)^2 + (\beta-\beta_1)^2} \tag{3}
\]

Ahora bien, las ecuaciones de las dos normales á la parábola en los puntos \((x, \beta), (x_1, \beta_1)\) siendo respectivamente
\[
\frac{y-\beta}{x-x} = \frac{\beta}{p} \tag{4}
\]
\[
\frac{y-\beta_1}{x-x_1} = \frac{\beta_1}{p} \tag{5}
\]
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se ve que el problema propuesto se reduce á la eliminación de las variables \( \alpha, \beta, x_1, \beta_1 \), entre las ecuaciones (1), (2), (3), (4), (5).

Para esto, sustituyendo en las (3), (4), (5) los valores de \( \alpha \) y \( x_1 \) obtenidos de (1) y (2), resulta

\[
R^2 = \frac{(\beta_1^2 + p^2)^2}{(\beta + \beta_1)^2 + 4p^2} \tag{3}'
\]
\[
\beta^3 - (2px - p^2)\beta - 2p^2y = 0 \tag{4}'
\]
\[
\beta_1^3 - (2px - p^2)\beta_1 - 2p^2y = 0 \tag{5}'
\]

Restando, miembro á miembro, estas dos últimas, se obtiene fácilmente
\[
(\beta + \beta_1)^2 = \beta_1^2 + 2px - p^2
\]
por lo que la (3) se reduce á
(a)
\[
(\beta_1^2)^2 + [2p^2 - R^2](\beta_1^2) - p[2R^2x + 3R^2p - p^3] = 0.
\]

Así también, sumando miembro á miembro las mismas ecuaciones y aprovechando los resultados precedentes, se deduce
(b)
\[
(\beta_1^2)^3 - [2px - p^2](\beta_1^2)^2 + 4p^4y^2 = 0
\]
En fin, escribiendo la resultante de las ecuaciones (a) y (b), se ob-
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 24

tiene, después de algunas reducciones, la ecuación de la curva hallada bajo la forma

\[
\begin{vmatrix}
p^3 - R^2 p - 2R^2 x, & (p^3 - 3R^2 p - 2R^2 x)(p^2 - 2px) - 4p^3 y^2, & -4p^2 y^2(2p^2 - R^2) \\
1 & 2p^2 - R^2 & p^3 - 3R^2 p - 2R^2 x \\
p^2 - R^2 + 2px & p(p^3 - 3R^2 p - 2R^2 x) & -4p^3 y^2
\end{vmatrix} = 0
\]

El lugar hallado es, pues, de 4.º orden, simétrico respecto al eje de la parábola, y tiene un punto doble en este eje, precisamente en el punto cuyas coordenadas son

\[
y = 0, \quad x = \frac{p^3 - 3R^2 p}{2R^2}
\]

que es el punto O de la figura. Mientras los puntos P y Q son las otras dos intersecciones del eje con la curva, etc.

En el caso particular que corresponde á \( R = \frac{1}{2} p \), en que el punto O, de abscisa \( \frac{1}{2} p \) se halla en el centro de curvatura de la parábola relativo al vértice V de la misma, se convierte en un punto cuspidal para la cuártica. Entonces, transportando á O el origen de coordenadas mediante la sustitución

\[
x = \xi + \frac{1}{2} p, \quad y = \eta
\]

la ecuación de la curva viene á ser

\[
256 \eta^4 - (128 \xi^2 + 560 p \xi + 343 p^2) \eta^2 + 16 \xi^4 + 12 p \xi^3 = 0
\]

Se observa que el lugar es siempre racional, cualquiera que sea R; porque sus puntos corresponden biunívocamente á las tangentes del círculo dado.

De esto resulta que se pueden tomar otros dos puntos dobles (simétricos respecto al eje de la x).

La obtención de éstos no es difícil.

Para \( R = \frac{1}{2} p \) son los dos puntos imaginarios:

\[
\xi = - \frac{49}{64} p, \quad \eta = \pm \frac{7 \sqrt{-7}}{128} p
\]

CUESTIÓN 150
(Véase tomo III, página 295).
Sea S la intersección de la simediana AS del triángulo ABC con
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 25

el círculo circunscripto. Sobre la mediana OA del triángulo se toma AD=AD'=AS.

Si el punto A describe una elipse que tiene B y C por focos,
1.º La perpendicular DE sobre OD envuelve una elipse coaxial.
2.º Siendo E el punto de contacto de DE, todo punto del segmento AE describe una elipse, y la recta AE es la normal de una de estas curvas.
3.º La intersección F de las tangentes en A y E es el centro de curvatura, en A, de la hipérbola que tiene B y C por focos; este punto F recorre una curva que tiene la ecuación de la forma

\[
\frac{a^2}{x^2} + \frac{\beta^2}{y^2} = 1. \quad (\text{creuz-courbe})
\]

Solución por el Sr. SOLLERTINSKI.

1.º Se tiene en magnitud y en signo

OA . OD=OA^2+OA . AD

pero \( OA^2 = \frac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4} \)

OA . OD= \frac{2(AB+AC)^2-BC^2}{4}

Pero si el punto A describe una elipse que tiene B, C por focos

AB+AC=2a, BC=2c

OA . OD=(2a^2-c^2)=a^2+b^2

designando 2a, 2b, 2c los ejes y la distancia de los focos de la cónica descrita por A.

Si el punto A describe una hipérbola que tiene B y C por focos,
1.º La perpendicular D'E' sobre OD' envuelve una hipérbola coaxial.
2.º Siendo E el punto de contacto de D'E', todo punto del segmento AE' describe una hipérbola, y la recta AE' es la normal de una de estas curvas.
3.º La intersección F' de las tangentes en A y E' es el centro de curvatura en A de la elipse que tiene B y C por focos; este punto F' recorre una curva que tiene la ecuación de la forma.

\[
\frac{a^2}{x^2} - \frac{\beta^2}{y^2} = 1.
\]

Luego

OA . OD'=OA(OA+AD')=
OA^2+OA . AD'

OA . AD=−OA . AD'=AB . AC

OA . OD'= \frac{2(AB-AC)^2-BC^2}{4}

Pero si el punto A describe una hipérbola que tiene B, C por focos se tiene

±(AB−AC)=2a, BC=2c

de donde

OA . OD'=(2a^2-c^2)=a^2-b^2
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 26

Así, DE ó D'E', es la polar de A relativamente al círculo director de la cónica correspondiente. Designando por \( x_1, y_1 \) las coordenadas de A, relativas á los ejes de la cónica, la ecuación de la tangente en A es

\[
\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1
\]

de donde las coordenadas de E

\[
x = \frac{(a^2+b^2)x_1}{a^2}, \quad y = \frac{(a^2+b^2)y_1}{b^2}
\]

y por consiguiente E describe la elipse

\[
a^2x^2 + b^2y^2 = (a^2+b^2)^2
\]

2.º La primera parte es evidente, porque el punto que divide AE ó AE' en la relación constante \( \frac{m}{n} \) tiene por coordenadas

\[
\xi = \frac{mx_1+nx_1}{m+n} = kx_1, \quad \eta = \frac{my_1+ny_1}{m+n} = ly_1
\]

\( k, l \) siendo constantes

Para demostrar la segunda parte, formaremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((x_1, y_1), (x, y)\). Tendremos para AE y AE' la ecuación de la misma forma

\[
\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1
\]

las de E'

\[
x = \frac{(a^2-b^2)x_1}{a^2}, \quad y = -\frac{(a^2-b^2)y_1}{b^2}
\]

E' describe la hipérbola

\[
a^2x^2 - b^2y^2 = (a^2-b^2)^2
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 27

\[
a^4 y_1 X - b^4 x_1 Y = (a^4 - b^4) x_1 y_1 \tag{1}
\]

Haciendo para AE

\[
x_1 = \frac{a^6 - b^6}{a^2(a^4 - b^4)} x', \\
y_1 = \frac{a^6 - b^6}{b^2(a^4 - b^4)} y'
\]

la ecuación (1) toma la forma

\[
a^6 y' X - b^6 x' Y = (a^6 - b^6) x' y' \tag{2}
\]

pero el punto \((x', y')\) recorre la elipse

\[
\left( \frac{x'}{a^3} \right)^2 + \left( \frac{y'}{b^3} \right)^2 = \left( \frac{a^4 - b^4}{a^6 - b^6} \right)^2
\]

y se ve facilmente que la ecuación (2) es la de la normal en el punto \(P(x', y')\) que divide AE en la relación

\[
\frac{AP}{PE} = - \frac{a^2 b^2}{(a^2 + b^2)^2}
\]

3.º Puesto que se tiene AS = AD = AD', la perpendicular en S sobre SA encontrará á DE y D'E' sobre las bisectrices del ángulo SAO, es decir, en los puntos F y F'. Estos puntos son, pues, los centros de curvatura en A, de las cónicas que tienen B, C por focos (t. III, p. 104).

Pero siendo los puntos F, F', los polos de las rectas AE, AE', se puede deducir sus coordenadas de la ecuación (1). Estas coordenadas tienen la misma forma para los dos puntos

\[
x = \frac{a^4}{c^2 x_1}, \quad y = \frac{b^4}{c^2 y_1}
\]

Luego el lugar de F tiene por ecuación

\[
\frac{x^2}{x^2} + \frac{\beta^2}{y^2} = 1
\]

donde se hace \(x = \frac{a^3}{c^2}, \beta = \frac{b^3}{c^2}\)

el lugar de F' tiene por ecuación

\[
\frac{x^2}{x^2} - \frac{\beta^2}{y^2} = 1
\]

CUESTIÓN 144
(Véase tomo III, página 272).

Sea \(A_1 A_2 A_3\) un triángulo. Si representamos por \(D_1\) la distancia entre las proyecciones del vértice \(A_1\) sobre las bisectrices exteriores de \(A_1 A_2 A_3\);
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 28

por \( d_1, d_2, d_3 \), las distancias entre las proyecciones de cada vértice sobre las bisectrices interiores de los otros dos, el área del triángulo está dada por la fórmula

\[
T = \sqrt{D_1 d_1 d_2 d_3}.
\]

(Jorge Luzón de las Cuevas).

Solución por D. Ángel Bozal, profesor en el Instituto libre de Santoña

Supongamos la figura adjunta, en la que \( a_1 b_1 = D_1 \) siendo \( A_1 a_1 \) y \( A_1 b_1 \) las proyectantes ortogonales del vértice \( A_1 \) sobre las bisectrices exteriores \( A_2 K \) y \( A_3 H \) de los vértices \( A_2 \) y \( A_3 \). Tracemos por \( A_1 \) la recta KH paralela á \( A_2 A_3 \); en tal caso se tendrá:

\[
\angle R A_2 K = \angle K A_2 A_1 = \angle A_2 K A_1 \text{ por alternos internos; luego el triángulo } A_1 A_2 K \text{ es isósceles; luego } A_1 A_2 = AK (1)
\]

En virtud del paralelismo de las mismas rectas KH y \( A_2 A_3 \), se tiene:

\[
\angle A_2 A_3 M = \angle M A_3 P = \angle A_3 H A_1 \text{ por correspondientes; luego el triángulo } A_1 A_3 H \text{ es isósceles; luego } A_1 A_3 = A_1 H \text{ (2).}
\]

Pero \( KH = KA_1 + A_1 H \), luego, en virtud de la (1) y la (2), resulta

\[
KH = A_1 A_2 + A_1 A_3.
\]

Ahora bien; toda vez que \( A_1 a_1 \) es perpendicular á \( A_4 K \) y hemos dicho el triángulo \( A_1 A_2 K \) era isósceles, resulta que \( a_1 \) es el punto medio de \( A_2 K \): luego

\[
a_1 K = a_1 A_2
\]

Por igual razón diremos: siendo \( A_1 b_1 \) la altura del triángulo isósceles \( A_1 A_3 H \), se tendrá

\[
b_1 H = b_1 A_3
\]

De aquí se deduce que la recta \( a_1 b_1 = D_1 \) va del punto medio \( a_1 \) de un lado no paralelo \( A_2 K \) del trapezo \( A_2 A_3 HK \) al punto medio \( b_1 \) del otro lado no paralelo \( A_3 H \) del mismo trapezo; luego \( D_1 \) es la paralela media; así es que teniendo en cuenta su valor, resulta:

\[
a_1 b_1 = D_1 = \frac{A_2 A_3 + KH}{2} = \frac{A_2 A_3 + A_1 A_2 + A_1 A_3}{2}
\]

luego, llamando, según costumbre, \( A_1 A_2 + A_2 A_3 + A_3 A_1 = 2p \), se tiene

\[
D_1 = p \text{ (semiperímetro del } \triangle A_1 A_2 A_3).
\]
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 29

Calculemos ahora \( d_1 \): proyectemos ortogonalmente el vértice \( A_1 \), sobre las bisectrices interiores de los vértices \( A_2 \) y \( A_3 \), según las proyectantes \( A_1m \) y \( A_1n \) en los puntos \( m \) y \( n \), por lo que \( mn = d_1 \). Pero si trazamos la \( A_3S \) paralela á \( A_2K \), resulta que siendo, por lo demostrado, \( a_1S \) paralela á \( A_2A_3 \), la figura \( a_1A_2A_3S \) es un paralelogramo; luego \( a_1A_2 = SA_3 \); y como \( A_1n = a_1A_2 \), también se tiene \( A_1n = SA_3 \) (3). Siendo otro paralelogramo el \( A_1mA_3b_1 \), resulta \( A_1m = b_1A_3 ... \) (4), luego los ángulos \( mA_1n \) y \( sA_3b \) tienen sus lados paralelos y dirigidos en sentidos opuestos, y siendo de la misma especie, dichos ángulos serán iguales. Como además esos lados paralelos son iguales (según acabamos de ver), resulta que los triángulos \( A_1mn \) y \( A_3sb_1 \) que tienen dos lados iguales é igual el ángulo comprendido, son iguales; luego

Ahora bien; \[
mn = sb_1 = d_1 \\
sb_1 = d_1 = a_1b_1 - a_1s = D_1 - A_2A_3 = p - A_2A_3.
\]

De idéntica manera se demuestra que

\[
d_2 = p - A_1A_3 \quad y \quad d_3 = p - A_1A_2.
\]

Pero recordando que el área de un triángulo tiene por área, entre otras expresiones, la siguiente: \( T = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) en que ahora

\[
p = \frac{A_1A_2 + A_2A_3 + A_3A_1}{2}; \quad a = A_2A_3; \quad b = A_1A_3; \quad c = A_1A_2,
\]

resulta, por fin, sustituyendo en ese valor de \( T \) los valores hallados para \( D_1, d_1, d_2, d_3 \), que

\[
T = \sqrt{D_1d_1d_2d_3}
\]

Solución por D. CECILIO JIMÉNEZ RUEDA

Tómense sobre el lado \( A_2A_3 \) las prolongaciones \( A_3E = A_3A_1 \) y \( A_2D = A_2A_1 \); únase \( A_1 \) con \( E \) y con \( D \), y por los puntos \( A_2 \) y \( A_3 \) trácese una perpendicular y una paralela á las \( A_1D \) y \( A_1E \) respectivamente. Los puntos \( B \) y \( C \) serán las proyecciones de \( A_1 \) sobre las bisectrices exteriores \( A_2B \) y \( A_3C \); la recta \( BC \) será paralela á \( DE \) é igual á su mitad, esto es: \( BC = p \), siendo \( p \) el semiperímetro. Los puntos \( b \)
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 3

Para los valores de los ángulos se tiene

\[
\cos A = \frac{p_a}{bc} \qquad \tg A = \frac{2S}{p_a}
\]

De las definiciones dadas y de fórmulas conocidísimas relativas á los triángulos, se deducen inmediatamente varios corolarios; citaremos algunos:

1.º En los triángulos equivalentes y de la misma potencia total (equipotenciales), el ángulo de Brocard es constante.

2.º Si en un triángulo se fijan las potencias de dos vértices (con lo que se determina un lado), el lugar geométrico del tercero es una perpendicular á dicho lado.

3.º Si se marca la potencia total y la de un vértice (con lo que también se fija un lado), el lugar geométrico del tercer vértice es una circunferencia.

4.º Si un triángulo, variando de forma y posición, se mantiene inscripto en una circunferencia, pero moviéndose el centro de gravedad según otra concéntrica, se conserva equipotencial (igual potencia total.)

5.º Una propiedad análoga se verifica respecto al ortocentro.

6.º Cuando un triángulo conserva un ángulo fijo en magnitud y posición y constante la potencia del vértice, el tercer lado envuelve una hipérbola.

7.º Si varios triángulos son equipotenciales, también lo son entre sí los formados con las medianas de ellos.

8.º Cuando varios triángulos equipotenciales son inscriptibles en una misma circunferencia, se verifica: 1.º La suma de los cuadrados de las distancias del centro de ésta á los lados es constante. 2.º Lo mismo sucede respecto á la suma de los cuadrados de los radios de los círculos inscriptos y exinscriptos; y 3.º Los ejes ópticos de todos estos triángulos son tangentes á una misma circunferencia.

9.º Si varios triángulos son equipotenciales y equivalentes, la suma de los inversos de los cuadrados de los radios de los círculos inscriptos y exinscriptos es constante.

10. Cuando un triángulo manteniéndose inscripto en una circunferencia pivotea alrededor de un vértice conservando fija la potencia en este punto, el tercer lado es tangente á una cónica y las alturas que corresponden á los vértices móviles son tangentes á una parábola.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 30

y c, proyecciones de A₁ sobre las bisectrices interiores están sobre BC, por pasar esta recta por los puntos medios de los lados A₁A₂ y A₁A₃ que hacen de diagonales de los rectángulos A₁BA₂c y A₁CA₃b. Trazando por c una paralela á A₁b y por b una paralela á A₁c, éstas dos concurren en un punto m de la base A₂A₃, porque si cayera fuera ó dentro la recta bc, no dividiría en dos partes iguales á la A₁m, como es de rigor en el paralelogramo A₁bmc; en el paralelógramo cmA₃C y en el bmA₂B se tiene mA₃=cC y mA₂=Bb, luego bc=(p−a), siendo a el lado opuesto á A₁. Repitiendo esta última parte para los otros vértices saldrá (p−b) y (p−c) para distancias entre las proyecciones de dichos vértices sobre las bisectrices interiores de sus ángulos opuestos, luego

\[
\sqrt{D_1d_1d_2d_3} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \text{área del triángulo}.
\]

CUESTIÓN 151.
(Véase tomo III, página 295).

La mediatriz del lado BC de un triángulo ABC encuentra á CB y AB en B', C'. Sean C", B" las proyecciones de estos puntos sobre AB y AC. Demostrar que:

1.º La recta B"C" pasa por el medio de BC y por el centro del círculo de los nueve puntos de ABC.

2.º Siendo H el ortocentro de ABC, las bisectrices de los ángulos BHC y BAC se encuentran en B"C".

(B. Sollertinsky).

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (B.)

1.º El círculo descrito sobre CC' como diámetro pasa por B" y M, de donde \( \angle MB''C = (\angle MC'C = \angle MC'B) = 90^\circ \) — B. Luego MB" es paralela al diámetro AA₁ del círculo ABC; es, pues, el diámetro correspondiente del círculo de los nueve puntos.

2.º La segunda diagonal del rectángulo formado por las bisectrices de los ángulos BHC, BAC pasa por el medio de AH; además, siendo su dirección simétrica de AH, con relación á las bisectrices de BAC, es paralela á AA₁; es, pues, el mismo diámetro del círculo de los nueve puntos.
El Progreso matemático (1894-11-01 00:00:00), página 31

CUESTIONES PROPUESTAS

231. Resolver el sistema de ecuaciones
\[
x(a-x) = y(b-y) = z(c-z)
\]
\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 2
\]
(E. Lemoine).

232. Sea O el centro del círculo circunscripto al triángulo ABC.
Los focos A', B', C' de las tres parábolas que tocan á dos lados del triángulo ABC y que tienen por directriz el tercer lado están respectivamente situados sobre las rectas AO, BO, CO y también sobre las circunferencias BOC, COA, AOB. Los parámetros de las tres parábo- las son iguales á
\[
\frac{2R \sen 2B \sen 2C}{\cos A}, \quad \frac{2R \sen 2C \sen 2A}{\cos B}, \quad \frac{2R \sen 2A \sen 2B}{\cos C}
\]
Las tangentes en los vértices de estas curvas forman un triángulo perspectivo con ABC, siendo las coordenadas normales del centro de perspectiva inversamente proporcionales á las cantidades sen 2A cos A, sen 2B cos B, sen 2C cos C.
Las distancias OA', OB', OC' tienen por valores
\[
\frac{R \cos (B-C)}{\cos A}, \quad \frac{R \cos (C-A)}{\cos B}, \quad \frac{R \cos (A-B)}{\cos C}
\]
(J. Neuberg).

233. Dos ángulos rectos giran alrededor de sus vértices fijos A y B, sus lados se encontrarán dos á dos en puntos M, N, P, Q. Estudiar las curvas descritas por tres de estos puntos cuando el 4.º se mueve sobre una paralela á AB. Generalizar.
(J. Gillet).

234. Sobre los 4 lados de un cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \) se construyen exteriormente los cuadrados \( A_1A_2B_2C_1, \ A_2A_3B_3C_2, \ A_3A_4B_4C_3, \ A_4A_1B_1C_4 \) que tiene por centros \( I_1, I_2, I_3, I_4 \), después sobre \( B_1C_1, B_2C_2, B_3C_3, B_4C_4 \), exteriormente los cuadrados \( B_1C_1D_1E_1, B_2C_2D_2E_2, B_3C_3D_3E_3, B_4C_4D_4E_4 \) cuyos centros son \( O_1, O_2, O_3, O_4 \); sean \( F_1, F_2, F_3, F_4 \) los medios de \( C_1B_2, C_2B_3, C_3B_4, C_4B_1; H_1, H_2, H_3, H_4 \) los medios de \( B_1C_1, B_2C_2, B_3C_3, B_4C_4 \) y \( K_1, K_2, K_3, K_4 \) los medios de \( D_1E_1, D_2E_2, D_3E_3, D_4E_4 \).
Demostrar:
1.º Que es cuadrilátero \( H_1H_2H_3H_4 \) es un pseudocuadrado