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El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 13

Des deux premières de ces formules l’on déduit

\[
\frac{1}{\rho_1^2} = \frac{\sin^4 \theta}{\rho} + \frac{d \theta^8}{ds_1^8},
\]

ou, si l’on veut,

\[
\frac{1}{\rho_1^2} = \frac{\sin^4 \theta}{\rho^4} + \frac{1}{\rho_1^2 g},
\]

la formule de M. Pirondini, aux notations près.

La troisième des formules (3), écrite sous la forme

\[
\frac{1}{r_1} \frac{d \epsilon_1}{ds_1} - \frac{\cot \theta}{\rho_1^n}, \text{ ou bien } \frac{1}{r_1} = \frac{d \epsilon_1}{ds_1} + \frac{\sin \epsilon_1}{\rho_1} \cot \theta,
\]

est, aux notations près, celle que M. Pirondini cite, en la supposant connue, en bas de la page 144.

Goëttingue (Allemagne), 29 Octobre 1899.

Dr. N. Y. Hatzidakis.

REMARQUE SUR UN DÉTERMINANT SPÉCIAL
par G. Vivanti

Le déterminant de l’ordre \( m + n \): \( D = \)

\[
\begin{array}{cccccc|c}
x^n & \binom{n}{1} x^{n-1} & \ldots & \binom{n}{n-1} x & \binom{n}{n} & 0 & \ldots & 0 & 1^{er} \text{ ligne} \\
0 & x^n & \binom{n}{1} x^{n-1} & \ldots & \binom{n}{n-1} x & \binom{n}{n} & 0 & \ldots & 0 & 2^{me} > \\
& & & & & & & & & \\
0 & 0 & \ldots & x^n & \binom{n}{1} x^{n-1} & \ldots & \binom{n}{n-1} x & \binom{n}{n} & m^{me} > \\
a_m - a_{m-1} & \ldots & \mp a_1 & \mp a_0 & 0 & \ldots & 0 & & (m+1)^{me} \\
0 & a_m & -a_{m-1} & \ldots & \mp a_1 & \pm a_0 & 0 & \ldots & 0 & (m+n)^{me} \\
& & & & & & & & & \\
0 & 0 & \ldots & a_m & -a_{m-1} & \mp a_1 & \pm a_0 & (m+n)^{me}
\end{array}
\]
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 14

où \( a_0, a_1, \ldots, a_m, x \) sont des quantités quelconques, et \( m, n \) deux nombres entiers positifs, est identiquement égal à:

\[
(-1)^n (a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \ldots + a_m)^n.
\]

En effet, le déterminant D est la résultante des équations:

\[
f(t) \equiv x^n t^n + \binom{n}{1} x^{n-1} t^{n-1} + \ldots + \binom{n}{n} = 0,
\]
\[
\varphi(t) \equiv a_m t^m - a_{m-1} t^{m-1} + \ldots \pm a_0 = 0,
\]

et, par conséquent, il s'annule toujours et seulement lorsqu'elles ont une racine commune. Mais la première équation n'a qu'une seule racine \( n \)-ple, \( t = - \frac{1}{x} \), donc D s'annule en même temps que \( \varphi\left(-\frac{1}{x}\right) \), où bien que:

\[
a_n x^m + a_1 x^{m-1} + \ldots + a_m.
\]

Or D est un polynôme en \( x \) de degré \( mn \), et son premier terme est \( (-1)^n a_0^n x^{mn} \); donc:

\[
D = (-1)^n (a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \ldots + a_m)^n.
\]

Deux cas particuliers du déterminant D ont été considérés par incidence par M. E. Goursat (Leçons sur l'intégrations aux dérivées partielles du second ordre, T. I p. 25, T. II p. 294).

ECUACIÓN DEL CÍRCULO DE JOACHIMSTHAL

Se sabe que por un punto cualquiera del plano de una cónica se pueden trazar á ésta cuatro normales, hallándose los pies de tres de ellas y el punto diametralmente opuesto al pie de la cuarta situados en una circunferencia (de Joachimsthal) representada generalmente por la expresión

\[
x^8 + y^8 + x x' + y y' = \kappa \left( \frac{x x'}{a^2} + \frac{y y'}{b^2} + 1 \right)
\]
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 15

en la que \[ u = a^2 + \frac{b^2 \beta}{y'} = b^2 + \frac{a^2 x}{x'} \]

siendo \((x', \beta)\) las coordenadas del punto desde el que se trazan las normales á la cónica dada y \((x', y')\) el pie de una de éstas.

La ecuación del círculo puede tomar una forma tal, que permita escribirse de infinidad de maneras, bajo la forma

\[
U = V
\]

representando U una expresión de 2.º grado, cuyos primeros términos son \(x^2 + y^2\) y V una expresión lineal. La circunferencia de Joachimsthal pasa entonces por puntos comunes al círculo y á la recta expresados respectivamente por las ecuaciones \(U = 0\) y \(V = 0\).

Ahora, las coordenadas de los pies A, B, C, D de las cuatro normales verifican á las ecuaciones

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad x\,y + \frac{b^2 \beta}{c^2} x - \frac{a^2 x}{c^2} y = 0,
\]

y haciendo \(x = X + x'\) e \(y = Y + y'\), esto es, transportando los ejes paralelamente á sí mismos, por ejemplo, para el punto D \((x', y')\), estas ecuaciones se transforman en

\[
\begin{cases}
\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} + \frac{2X x'}{a^2} + \frac{2Y y'}{b^2} = 0 \\
X\,Y + X \left( \frac{b^2 \beta}{c^2} + x' \right) + Y \left( x' - \frac{a^2 x}{c^2} \right) = 0 \\
- \frac{X}{a^2} (X + 2x') = \frac{Y}{b^2} (Y + 2y') \\
- X \left( Y + y' + \frac{b^2 \beta}{c^2} \right) = Y \left( x' - \frac{a^2 x}{c^2} \right)
\end{cases}
\]

Dividiendo una por la otra estas dos expresiones, y ordenando el resultado, se obtiene

\[
Y^2 + Y \left( 3y' + \frac{b^2 \beta}{c^2} \right) - X \frac{b^2}{a^2} \left( x' - \frac{a^2 x}{c^2} \right)
+ 2y' \left( y' + \frac{b^2 \beta}{c^2} \right) + 2x' \frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a^2 x}{c^2} - x' \right) = 0 \tag{a}
\]
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 16

y análogamente

\[
X^2 + X \left(3 x' - \frac{a^2}{c^2} x\right) - Y \frac{a^2}{b^2} (y' + \frac{b^2}{c^2} \beta)
+ 2 x' \left(x' - \frac{a^2}{c^2} x\right) - 2 y' \frac{a^2}{b^2} \left(y' + \frac{b^2}{c^2} \beta\right) = 0 \quad (b)
\]

Pasando nuevamente á los ejes primitivos, esto es, sustituyendo en (a) y (b) X é Y por \( x - x' \) é \( y - y' \), tendremos

\[
y^2 + yy' + \frac{b^2}{c^2} \beta y + \frac{b^2}{c^2} \beta y' - \frac{b^2}{a^2} x'^2 - \frac{b^2}{c^2} xx'
+ \frac{b^2}{c^2} xx' + \frac{b^2}{c^2} xx' + 2 \frac{b^2}{c^2} \alpha x' = 0
\]

y

\[
x^2 + xx' - \frac{a^2}{c^2} \beta y + \frac{\beta y'}{c^2} (a^2 - 2 b^2) - \frac{a^2}{b^2} yy'
- \frac{a^2}{b^2} y'^2 - \frac{a^2}{c^2} xx' - \frac{a^2}{c^2} xx = 0
\]

sumando estas ecuaciones, se obtiene la fórmula

\[
x^2 + y^2 + x \left(\frac{c^2 x'}{a^2} - \alpha\right) - y \left(\frac{c^2 y'}{b^2} + \beta\right)
= \frac{b^2 x'^2}{a^2} + \frac{a^2 y'^2}{b^2} + \alpha x' + \beta y'
\]

que representa el círculo de Joachimsthal.

Rodolpho Guimaraes, teniente de ingenieros en Lisboa.

SOBRE LA FÓRMULA DE WALLIS
por M. A. Aubry

1. La fórmula de Wallis se demuestra habitualmente, según Euler, sea por el desarrollo de sen \( x \) en producto, sea por la comparación de las integrales
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 17

\[
\int_0^1 \frac{x^{2n} dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1) \pi}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2n)} \frac{\pi}{2},
\]
\[
\int_0^1 \frac{x^{2n+1} dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2n)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2n+1)}
\]

Sin embargo, la demostración de Wallis, aparte del interés que tiene seguir las vías de la invención, es tan poco conocida, á pesar de su importancia histórica, que creemos hacer un trabajo útil, extrayéndola de la muy larga exposición de Wallis (más de 40 páginas en folio de lemas, teoremas, demostraciones, corolarios, escolios, reflexiones y explicaciones), y presentándola según el estilo moderno.

Se encuentra fácilmente, integrando por descomposición:

\[
\int_0^1 (1-x^2)^0 dx = 1,
\]
\[
\int_0^1 (1-x^2)^1 dx = \frac{2}{3},
\]
\[
\int_0^1 (1-x^2)^2 dx = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5},
\]
\[
\int_0^1 (1-x^2)^3 dx = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 5 \cdot 7}
\]

Si entre estas expresiones, cuya ley se ve fácilmente, se interpolan los términos correspondientes á los exponentes \( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \ldots \), el que corresponda al exponente \( \frac{1}{2} \) representará la cuarta parte del área del círculo de radio 1, ó el número \( \frac{\pi}{2} \). La investigación del valor numérico de \( \pi \) se reduce pues, á obtener entre 1 y \( \frac{2}{3} \) un término intermedio que sea función de \( \frac{1}{2} \) como los otros, 1, \( \frac{2}{3}, \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}, \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 5 \cdot 7}, \ldots \) lo son de los números 0, 1, 2, 3, ...

Si se trata de intercalar de esta manera los números figurados, se obtiene: para el primer orden 1, 1, 1, 1, ..., la serie

1, 1, 1, 1, 1, ...

para el segundo 1, 2, 3, 4, 5 ... ó \( \frac{2}{2}, \frac{4}{2}, \frac{6}{2}, \frac{8}{2} \ldots \), la serie
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 18

1, \( \frac{3}{2} \), 2, \( \frac{5}{2} \), 3, \( \frac{7}{2} \), 4, \( \frac{9}{2} \), ...

para el tercero, 1, 3, 6, 10, 15, ...

\[
\begin{array}{cccccc}
6 & 2.4 & 4.6 & 6.8 & 8.10 & 10.12 \\
2.4' & 2.4' & 2.4' & 2.4' & 2.4' & 2.4'
\end{array}
\]
la serie

1, \( \frac{3.5}{2.4'} \), 3, \( \frac{5.7}{2.4'} \), 6, \( \frac{7.9}{2.4'} \), 10, \( \frac{9.11}{2.4'} \), 15, \( \frac{11.13}{2.4'} \), ...

para el cuarto, 1, 4, 10, 20, 35, ...

\[
\begin{array}{ccccccc}
6 & 2.4.6 & 4.6.8 & 6.8.10 & 8.10.12 \\
2.4.6' & 2.4.6' & 2.4.6' & 2.4.6' & 2.4.6'
\end{array}
\]
... la serie

1, \( \frac{3.5.7}{2.4.6'} \), 4, \( \frac{5.7.9}{2.4.6'} \), 10, \( \frac{7.9.11}{2.4.6'} \), 20,
\[
\frac{9.11.13}{2.4.6'}, \quad 35, \quad \frac{11.13.15}{2.4.6'}
\]

y así sucesivamente, se tiene pues, el cuadro siguiente:

    1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

    1	\( \frac{3}{2} \)	\( \frac{3.5}{2.4} \)	\( \frac{3.5.7}{2.4.6} \)	\( \frac{3.5.7.9}{2.4.6.8} \)

    1	2	\( \frac{5}{2} \)	3	\( \frac{7}{2} \)	4	\( \frac{9}{2} \)	5	\( \frac{11}{2} \)

    1	\( \frac{5}{2} \)	\( \frac{5.7}{2.4} \)	\( \frac{5.7.9}{2.4.6} \)	\( \frac{5.7.9.11}{2.4.6.8} \)

    1	\( \frac{3.5}{2.4} \)	3	\( \frac{5.7}{2.4} \)	6	\( \frac{7.9}{2.4} \)	10	\( \frac{9.11}{2.4} \)	15	\( \frac{11.13}{2.4} \)

    1	\( \frac{7}{2} \)	7	\( \frac{7.9}{2.4} \)	9	\( \frac{7.9.11}{2.4.6} \)	\( \frac{7.9.11.13}{2.4.6.8} \)

    1	\( \frac{3.5.7}{2.4.6} \)	4	\( \frac{5.7.9}{2.4.6} \)	10	\( \frac{7.9.11}{2.4.6} \)	20	\( \frac{9.11.13}{2.4.6} \)	35	\( \frac{11.13.15}{2.4.6} \)
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 19

Los términos de la segunda línea son los inversos de los números que resultan de las integraciones anteriores. El número buscado es pues el inverso de los términos por interpolar entre los dos primeros de esta misma línea. Ahora

Para obtener los términos de lugar de la 1.a línea, se multiplica sucesivamente el segundo término por los números

\[
\begin{array}{c|cccc}
3' & 5' & 7' & 9' & \cdots \\
\hline
3' & 5' & 7' & 9' & \cdots \\
5' & 7' & 9' & 11' & \cdots \\
7' & 9' & 11' & 13' & \cdots \\
9' & 11' & 13' & 15' & \cdots \\
\end{array}
\]

Admitiendo para los términos de la segunda línea una ley análoga, es decir, la multiplicación sucesiva del segundo por \( \frac{4}{3}, \frac{6}{5}, \frac{8}{7}, \frac{10}{9}, \ldots \), si se representa, con Wallis, por \( \Box \) este segundo término, la segunda línea será

\[
(x)\quad 1, \Box, \frac{3}{2}, \frac{4}{3} \Box, \frac{3.5}{2.4} \frac{4.6}{3.5} \Box, \frac{3.5.7}{2.4.6} \frac{4.6.8}{3.5.7} \Box, \ldots
\]

Observemos que el cuadrado de cada término afectado de \( \Box \) es mayor que el producto de los dos próximos afectado igualmente de \( \Box \); la misma ley se verifica para los otros términos que no contienen \( \Box \). Esto conduce á concluir que lo mismo sucede para tres términos consecutivos. Se tiene pues,

\[
\Box > \sqrt{\frac{3}{2}},\quad \Box < \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{4}},\quad \Box > \frac{3.3}{2.4} \sqrt{\frac{5}{4}},
\]
\[
\Box < \frac{3.3.5}{2.4.4} \sqrt{\frac{5}{6}},\quad \Box > \frac{3.3.5.5}{2.4.4.6} \sqrt{\frac{7}{6}};
\]

y, en general, reemplazando \( \Box \) por su valor \( \frac{4}{\pi} \),
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 20

(3) \[
\frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \ldots (2n-1) (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2n-2) (2n)} \sqrt{1 + \frac{1}{2n}} < \frac{4}{\pi}
\]
\[
< \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \ldots (2n-1) (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2n-2) (2n)} \sqrt{1 + \frac{1}{2n+1}}
\]

2. Esta demostración, notable sobre todo porque Wallis no se extravía nunca, á pesar de lo gratuito de las hipótesis que emplea, pareció extraordinaria por efecto de la novedad de la idea de representar una serie discontinua, tal como la de los números figurados, por integrales definidas. Esta idea era de las más felices; pero las inteligencias no estaban todavía preparadas para consideraciones de este género, y el mismo Fermat en una carta á Digby (1657) dice que no admite este método de interpolación, pretendiendo que las series numéricas empleadas no tienen ley continua. De todos modos, á pesar de esta objeción, que no se comprende en Fermat, la obra de Wallis no ha tardado en ser estudiada y en producir los más felices resultados. Entre otros, el de conducir á Brouncker á la consideración de las fracciones continuas, casi desconocidas anteriormente á él, y á Newton á la de las series, así como á su célebre fórmula del binomio.

El método de interpolación de Wallis y la idea de considerar una integral definida conteniendo un parámetro variable, debió ser aprovechada sobre todo por Stirling y Euler, que obtuvieron de él numerosos resultados relativos á las series. Citaremos tan sólo el siguiente, que se refiere á nuestro asunto:

Los términos de índice \( \frac{1}{2} \) de las series siguientes

    H₁
    H₂
    H₃
    H₄
    ...

    1
    1!
    2!
    3! ...

    Cₙ₁
    Cₙ₂
    Cₙ₃

    1
    1 + \frac{1}{3}
    1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}
    1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}
    ...

    1
    1 + \frac{1}{4}
    1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}
    1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}
    ...

    1
    1 + \frac{1}{9}
    1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25}
    1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49}
    ...

    1
    1 . 3
    1 . 3 . 5
    1 . 3 . 5 . 7
    ...
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 21

son respectivamente

\[
2 - 2L\ 2, \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \frac{16}{3\pi}, \frac{1}{2} + L\ 2,\ 4 - \frac{\pi^8}{3}, \frac{\pi^9}{12} \sqrt{\frac{2}{\pi}}
\]

Para hacer comprender mejor el espíritu de esta interpolación, nos referiremos á esta demostración de Euler (Inst. Cal. dif): se tiene para \( n \) entero

\[
\int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\ d\ x = H_n
\]

de donde, extendiendo la definición á los números fraccionarios

\[
H_{\frac{1}{n}} = \int_0^1 \frac{\sqrt{1 - x}}{1 - x}\ d\ x = \int_0^1 \frac{d\ x}{1 + \sqrt{x}}
\]

integral que se tratará cambiando \( \sqrt{x} \) en \( z - 1 \).

3. Se sabe que la fórmula de Stirling se ha presentado así por Liouville (J. M. tome VI, 1841)

\[
c\ e^{-n} n^{n+\frac{1}{3}} < n! < c\ e^{-n+\frac{1}{12n}} n^{n+\frac{1}{12}} + (*) \ldots
\]

donde \( c \) designa un coeficiente constante que se trata de determinar.

Se obtiene de (\( \gamma \)), designando \( \theta \) y \( \theta' \) números comprendidos entre 0 y 1,

\[
\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{e^{6n} \left( \frac{\theta'}{4} - \theta \right)}{c \sqrt{n}} \cdot 4^n \sqrt{2}
\]

de donde

\[
c = \lim \frac{(n!)^2 4^n \sqrt{2}}{(2n)! \sqrt{n}}
\]

(*) En un estudio próximo á publicarse en el J. S., haremos ver que esta relación puede demostrarse con auxilio de los primeros elementos del Algebra.
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 22

Pero de (3) se obtiene, multiplicando por \( \frac{1}{2 \cdot 2^n} \),

\[
\sqrt{\frac{1}{\pi}} \sqrt{\frac{2n}{2n+1}} > \frac{(2n)! \sqrt{n}}{(n!)^2 4^n} > \sqrt{\frac{1}{\pi}} \sqrt{\frac{2n-1}{2n}}
\]

El límite del segundo miembro es igual á \( \sqrt{\frac{1}{\pi}} \), y por consiguiente \( c = \sqrt{2\pi} \)

Se puede pues, escribir

\[
1 < \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} < \sqrt{\frac{12n}{e}}
\]

lo que hace ver que, para valores bastante grandes de \( n \), el segundo miembro es muy sensiblemente igual á la unidad: así, para \( n = 1000 \), está comprendido entre 1 y 1,00015.

La existencia de un límite de la expresión \( \frac{n! e^n}{n^n \sqrt{n}} \) fue reconocida anteriormente por Moivre (Misc. anal. Londres, 1730), buscando la relación del término medio de \( (1 + x)^n \) al desarrollo total, después que se hace \( x = 1 \), no siendo sin embargo muy grande. Stirling, á ruego suyo, se ocupó de esta singular expresión, y se puso así en camino de estos dos descubrimientos: la determinación del valor de \( c \), y la serie que da la expresión de \( n! \) en función de \( n \).

Laplace (Tl. anal. des prob.) ha hecho ver que la relación del término medio de \( \left( \frac{1}{x} + 1 + x \right)^n \) al desarrollo total tiende hacia \( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \), á medida que \( x \) tiende hacia la unidad, aún siendo \( n \) muy grande.
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 23

LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA

En el tomo primero (pág. 34-44, 72-77) se ha tratado la cuestión que comprende este trabajo, según el aspecto teórico, haciéndose ver algo del vastísimo conjunto de nuevos conceptos que exigen nueva organización de las teorías matemáticas, indispensable para mantener la unidad de la Ciencia sobre la variedad de objetos pertenecientes á la misma.

Actualmente voy á hacer breves indicaciones respecto á la enseñanza, para presentar las deficiencias que tiene entre nosotros, y la urgencia de emprender acertadas reformas que la pongan en circunstancias de ser útil, y no un medio de obtener diplomas, ó á lo más una erudición de la que sin quebranto alguno se puede prescindir.

Debemos tener presente que en el transcurso del tiempo varían las necesidades sociales, y que la Ciencia responde siempre á esta variación siendo á su vez, por natural reciprocidad, su origen, puesto que todo ideal ó progreso subjetivo exige su realización en el objeto correspondiente.

En general, los prodigiosos adelantos de las ciencias positivas durante este siglo, han hecho modificarse los planes de enseñanza en todas las naciones; pero en particular, cada ciencia al progresar, exige cambios correlativos en la enseñanza. Tal teoría cedió su primitiva importancia á otra de más moderno origen. El orden de las materias es susceptible de cambio ventajoso, cuando nuevas ideas señalan nuevos derroteros.

En la Ciencia, las antiguas teorías nunca dejan de tener su importancia, ellas fueron las bases de otras más modernas; pero dejan de tener las aplicaciones inmediatas de éstas.

Los métodos modernos permiten avanzar con más facilidad y rapidez: las rocas de granito se resquebrajaron; el terreno se roturó por los esfuerzos reiterados de generaciones que se sucedieron; y hoy se recoge el fruto de tanto trabajo acumulado; y, con menos esfuerzo, la inteligencia abarca horizontes más vastos, sin que por esto la ciencia deje de presentarle problemas sobre problemas, dejándola en la misma disposición relativa, de buscar siempre el saciar su sed en un manantial inagotable.

Aplicando estas consideraciones generales al estado actual de
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 24

nuestra enseñanza, debemos deplorar que nada se haya hecho por elevar el nivel científico de nuestras universidades.

Desde que se crearon estos centros puede asegurarse que ninguna reforma se ha hecho en los planes de estudios matemáticos, como no sea el haberse sustituido hará unos 20 años el curso de Complemento de Algebra que explicaba D. Juan Cortazar por dos cursos de Análisis, reforma deplorable y más bien contraria al espíritu dominante en los planes de enseñanza de las universidades extranjeras, como vamos á ver; y aun podremos notar, antes de pasar adelante, lo impropio de la denominación de tales estudios y lo discrepante que se halla con la empleada por los matemáticos de todas las naciones, ya que el Sr. Jordán denomina á su tratado de cálculo infinitesimal Cours d'Analyse á l'Ecole polytechnique y el Sr. Laurent, Traité d'Analyse, el Sr. Apell, Elements d'Analyse mathématique y el Sr. Picard Traité d'Analyse. Esto obedece á que los antiguos cursos de Análisis infinitesimal ó de cálculo diferencial é integral, aún designados con esta denominación, se han acrecentado con la vasta teoría de las funciones; y más claro resulta el seguir aquellos cursos con la denominación antigua de Complemento de Algebra, Algebra superior ó simplemente Algebra, que el involucrar el nombre de una rama, perfectamente caracterizada, con el sistema superior que la comprende en un vasto conjunto, denominado Análisis matemático, que también incluye en sus dominios á la Geometría, por esa asimilación hoy realizada del número con la extensión, la posición, ó, en general, el espacio.

Que la sustitución de estos dos cursos de Análisis al antiguo curso de Algebra superior es perjudicial, lo demuestra el hecho de retrasar á los alumnos en el estudio de las asignaturas superiores, cada día más importantes por sus aplicaciones.

El Algebra que preferentemente se ha exigido en nuestros programas durante casi todo este siglo, y que comprende las investigaciones de Descartes hasta las de Lagrange Budan, Fourier y Sturm, hoy tiene un carácter principalmente conceptual é histórico, sobre todo cuando en Análisis se estudian con unánime generalidad las teorías de los ceros, los infinitos, los puntos críticos, singulares esenciales, etc., que se extienden á estudiar las singularidades de las líneas y de las superficies, por esa afinidad ya mencionada entre la Algorítmia y la Geometría.

Estas generalizaciones con que se fascina las inteligencias de
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 25

los alumnos al ingresar en los estudios de Facultad son rémora para entrar en el dominio de las aplicaciones y ejercita las facultades de generalización, sin tener fondo material sobre que ejercitarse.

Las hermosas generalizaciones que vemos en forma doctrinal, en la Aritmética general del Sr. Stolz, lo mismo que los brillantes resultados obtenidos por los Sres. Dedekind y Cantor, tienen hoy su lugar adecuado en los tratados de Análisis superior, estudiantes en los cursos últimos de Facultad, correspondientes á la sección filosófica y crítica, propia para formar el profesor, que debe poner los ideales de la ciencia para comunicarlos á los alumnos, después que estos se hayan formado en el estudio de la realidad concreta.

Por esto vemos que el Sr. Jordán ha utilizado los conceptos de los conjuntos del Sr. Cantor en su Cours d'Analyse, lo que ha hecho también el Sr. Borel en sus Leçons sur la théorie des fonctions; y en cuanto á las doctrinas del Sr. Dedekind, se hallan sistematizadas con las investigaciones de Galois y Abel en la magistral Algebra del Sr. Weber.

Esto mismo podremos decir de la moderna doctrina del Algebra de la lógica, ó Algebra simbólica ó formal, que no hay que confundir con el Algebra de las formas de Boole y Cayley, pues, de carácter eminentemente abstracto, por atender á las leyes formales que caracterizan los diversos sistemas de Algebra, corresponden á la parte filosófica de los estudios matemáticos, y debe hallarse en su cumbre, bien que en las Algebras se concrete en luego en los sistemas geométricos, hoy incluidos en la doctrina del cálculo vectorial.

Que estas doctrinas forman parte de las más importantes universidades extrangeras, se hizo constar en el número 1 de El Progreso Matemático, por lo cual no insistiremos en este punto; pero también hay una pauta en todas ellas seguida, que constituye un argumento poderoso en favor del anterior aserto acerca de lo perjudicial que ha sido importar en nuestras Facultades los dos cursos de Análisis, retrasando el cálculo infinitesimal al tercero año de estudios universitarios.

Ya se expuso en dicho primer tomo que en las universidades italianas se comienza por los estudios del Algebra, la Geometría analítica y proyectiva con ejercicios de estas ciencias, y que el segundo curso comprende el Cálculo infinitesimal y la Geometría