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Designemos, como anteriormente, por R el sistema de todos los números racionales comprendidos entre 0 y 1, y por \( \eta \) su tipo \( \bar{R} \) de orden, y sea \( R_s \) el conjunto de los números racionales en el que además del orden de magnitud de \( \frac{p}{q} \) se atiende la magnitud de \( p + q \) para un mismo valor de \( \frac{p}{q} \), \( R \) y \( R_s \) solo diferirán en el orden de los elementos, y, siendo el número cardinal \( \bar{R}_s \) el número transfinito alef sub-cero también lo será el número cardinal \( \bar{R} \) de R.

Además, no existiendo en R ningún número superior ni inferior, y existiendo entre cada dos cualesquiera de sus elementos otros elementos, lo que quiere decir que es R por todas partes denso, se demuestra, como lo hace el Sr. Cantor, que si un conjunto simplemente ordenado M, satisface á dichas tres condiciones, su tipo ordenador \( \bar{M} \) será también igual á \( \eta \), pues dichas tres condiciones permiten hacer corresponder á los elementos \( r_1, r_2, \ldots, r_v \) de R elementos \( m_{i_1}, m_{i_2}, \ldots, m_{i_v} \) de M.

Como consecuencia de este teorema resulta que: \( \eta \) es el tipo ordenador del conjunto de todos los números racionales comprendidos entre los números reales cualesquiera \( a \) y \( b \), que lo es también de todos los números algébricos en su orden natural y también de éstos, cuando estén comprendidos entre \( a \) y \( b \).

En fin, se deducen las relaciones

\[
\eta + \eta = \eta \quad \eta \cdot \eta = \eta \quad \text{y finalmente} \quad \eta \cdot \nu = \eta, \quad \eta^{\nu} = \eta
\]

entre los tipos de orden \( \eta + \eta \), \( \eta \cdot \eta \), etc. y \( \eta \).

Basta añadir para dar una sucinta idea de esta teoría, que para el estudio del tipo \( \bar{M} \) se consideran conjuntos parciales de M, pertenecientes á los tipos \( \omega \) y \( * \omega \) que llama el Sr. Cantor series de primer orden contenidas en M, ascendentes ó descendentes; que dos series ascendentes son coparticipantes cuando para todo elemento \( a_v \) de la una existen elementos \( a'_{\lambda} \) de la otra tales que \( a_v < a'_{\lambda} \) ó para todo elemento \( a'_{\mu} \) existen elementos tales, que \( a'_{\mu} < a_{\nu} \), y análogamente para las descendentes; que una serie ascendente y otra descendente serán co-participantes, si para todo valor de \( \nu \) y \( \mu \)
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\( a_v < b_v \) y si existe, d lo mds, un elemento \( m_0 \) tal, que para cualquier valor de \( v \), sea \( a_v < m_0 < b_v \).

Si existe en M, un elemento \( m_0 \) tal que para cualquier valor de \( v \) se verifica que \( a_v < m_0 \) y para todo elemento \( m \) de M que sea \( < m_0 \) existe un número \( v_0 \) de modo que siendo \( v_0 = v_0 \), sea \( a_{v_0} > m \), \( m_0 \) será un elemento límite de \( \{ a_v \} \) en M, y análogamente se dirá para \( \{ b_v \} \)

De estas consideraciones resulta que: Si una serie fundamental tiene un elemento límite en M, toda serie fundamental coparticipante con ella tendrá el mismo elemento límite, y si dos series fundamentales tienen el mismo límite, son coparticipantes.

Si M y M' son dos conjuntos ordenados semejantes, a toda serie fundamental en M corresponde como imagen una serie fundamental en M', é inversamente; d series fundamentales coparticipantes en M corresponden series coparticipantes en M' y viceversa.

Si una serie fundamental en M posee un elemento límite en M, también la serie fundamental correspondiente en M' posee un elemento límite en M', é inversamente; siendo los dos elementos imagen el uno del otro en la representación.

A los elementos fundamentales de M corresponden, como imágenes, elementos fundamentales de M'.

Si un conjunto consta solo de elementos principales, se llama conjunto condensado.

Si para toda serie fundamental en M, existe un elemento límite en M, se llamará á M conjunto cerrado.

Un conjunto condensado y cerrado se llama perfecto.

Sea \( \theta \) el tipo ordenador del continuo lineal: \( X = \{ x \} \) de todos los números reales que son \( \geq 0 \) y \( \leq 1 \) en orden natural.

Para caracterizarlo se observará que, por la teoría de los números racionales é irracionales, toda serie fundamental \( \{ x_v \} \) tiene en X un límite de serie coparticipante en X; será pues, \( \theta \) un conjunto perfecto; además, conteniendo como conjunto parcial á R, cuyo tipo ordenador es \( \eta \), entre dos elementos cualesquiera \( X_0 \) y \( X_1 \) de X, se encontrarán elementos de R.

De modo que: Si un conjunto ordenado M es perfecto y además
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se obtendrá

\[
\left( \begin{array}{c} p \\ 1 \end{array} \right) \cos^{p-1} \omega \sen \omega - \left( \begin{array}{c} p \\ 3 \end{array} \right) \cos^{p-3} \omega \sen^3 \omega + \ldots =
\]
\[
\left( \begin{array}{c} q \\ 1 \end{array} \right) \cos^{q-1} \left( \frac{p \omega}{q} \right) \sen \left( \frac{p \omega}{q} \right) -
\]
\[
- \left( \begin{array}{c} q \\ 3 \end{array} \right) \cos^{q-3} \left( \frac{p \omega}{q} \right) \sen^3 \left( \frac{p \omega}{q} \right) + \ldots
\]

Pero se tiene

\[
\cos \omega = \frac{x}{\rho}, \quad \sen \omega = \frac{y}{\rho}, \quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},
\]
\[
\sen \left( \frac{p \omega}{q} \right) = \frac{\rho}{R}, \quad \cos \left( \frac{p \omega}{q} \right) = \frac{R^2 - \rho^2}{\rho}
\]

por lo que la ecuación anterior se transforma en

\[
R^q \left( \begin{array}{c} p \\ 1 \end{array} \right) x^{p-1} y - \left( \begin{array}{c} p \\ 3 \end{array} \right) x^{p-3} y^3 + \ldots =
\]
\[
= \left( \begin{array}{c} q \\ 1 \end{array} \right) (x^2 + y^2)^{\frac{q+1}{2}} \left( R^2 - x^2 + y^2 \right)^{\frac{p-1}{2}}
\]
\[
- \left( \begin{array}{c} q \\ 3 \end{array} \right) (x^2 + y^2)^{\frac{q-1}{2}} \left( R^2 - x^2 + y^2 \right)^{\frac{p+1}{2}} + \ldots
\]

Si los números \( p \) y \( q \) son impares, esta ecuación es racional, y representa una curva de orden \( p + q \). Pero si uno solo de ellos es impar, para conseguir que la ecuación pierda toda huella de irracionalidad, se debe elevarla al cuadrado y entonces su grado será \( 2(p + q) \), concluyéndose que: *La rodónea representada por la ecuación*

\[
\rho = R \sen \left( \frac{p \omega}{q} \right)
\]

*es del orden \( p + q \), si \( p \) y \( q \) son ambos impares y del orden \( 2(p + q) \) si uno de estos dos números es par y el otro impar.*
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contiene un conjunto S con número cardinal \( \bar{S} = \aleph \) sub-cero que tiene la relación con M de que entre dos elementos \( m_0 \) y \( m_1 \) de M se encuentran siempre elementos de S, se tendrá que \( \overline{M} = \theta \).

Gran resonancia tuvo esta teoría del Sr. Cantor en el mundo científico, y podremos hacer notar la influencia que ejerció entre los sabios, citando algunas de las obras ó trabajos en relación con la misma.

Desde luego se ve cuán útil resulta la representación de los conjuntos por medio de puntos, que empleó el Sr. Cantor y que adoptaron algunos matemáticos, entre ellos el Sr. C. Jordán que en su artículo Remarques sur les intégrales définies (publicado en el Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4.a serie, t. VIII, 1892) se ocupa de los conjuntos, definiendo el punto de un espacio de \( n \) dimensiones por un sistema de valores \( a,\ b,\ c,\ ... \) dados á las \( n \) variables independientes \( x,\ y,\ z,\ ... \) y la separación (écart) \( pp' \) de dos puntos \( p = (a,\ b,\ ...) \) y \( p' = (a',\ b',...) \) por la relación

\[
pp' = |a' - a| + |b' - b| + ...
\]

Además, siguiendo al Sr. Cantor, define:
1.º un conjunto, por una colección de puntos.
2.º un punto límite de un conjunto E, por todo punto \( \pi \) tal, que se pueda, para cualquier valor de \( \varepsilon \), determinar en dicho conjunto un punto \( p \) diferente de \( \pi \) y cuya separación con \( \pi \) sea \( < \varepsilon \)
3.º un conjunto derivado E' de otro E el que contenga los puntos límites de éste.
4.º un conjunto perfecto por aquél que contiene á su derivado.

Demuestra enseguida que: Un conjunto E', derivado de otro conjunto E, es necesariamente perfecto, y llamando el conjunto complementario E, de otro E el formado por todos los puntos no pertenecientes, á éste, divide todos los puntos de un plano en tres clases:
1.º puntos interiores á E, es decir, los pertenecientes á E que no pertenecen á E', de manera que, todo punto cuya separación con \( p \) sea \( < \varepsilon \), pertenecerá á E sin pertenecer á E',
2.º puntos exteriores, que pertenecen á E, sin pertenecer á E',
y 3.º puntos fronteras que pertenecen simultáneamente á uno de los conjuntos E, E', y al derivado del otro.

Demuestra el teorema de Weierstrass: Todo conjunto (x, y) li-
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mitado (cuyas coordenadas se hallan comprendidas entre números fijos M y m) que contiene una infinidad de puntos, contiene por lo menos un punto límite.

Esto conduce á considerar el mínimo \( \Delta \) de las separaciones de los puntos de dos conjuntos que no tienen ningún punto común, de manera que: Dos conjuntos limitados y perfectos E, E', que no tienen ningún punto común, están necesariamente separados, y si su separación es \( \Delta \), tendrán al menos un par de puntos cuya separación sea precisamente \( \Delta \).

Y: entre dos puntos cualesquiera de un conjunto de un solo sostén (seul tenant, es decir, conjunto que no puede descomponerse en varios conjuntos perfectos separados) puede intercalarse una cadena de puntos intermedios del mismo, de modo que la separación de cada dos consecutivos sea \( < \varepsilon \).

Además: Un conjunto de un solo sostén se confunde con su derivado.

Esto conduce á precisar la noción de extensión de los conjuntos, con objeto de establecer las condiciones para que sean mensurables, es decir que su área interior se confunda con su área exterior, ó que la suma de los elementos fronteras sea nula.

Basta con lo expuesto para dar una idea de las aplicaciones que hace el Sr. Jordán de la teoría del Sr. Cantor, tanto en la memoria citada, como en la última edición de su Cours d'Analyse; y aunque se ocupa también de los conjuntos derivados de puntos, será oportuno citar, con este motivo la excelente obra del Sr. Dini, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali.

Observando que los puntos límites de un grupo G tienen la propiedad de contener en su entorno (intorno) infinitos puntos del mismo, mediante la división sucesiva de un intervalo (\( \alpha, \beta \)) en \( 2, 2^2, 2^3 ... \) partes iguales, uno al menos de los nuevos intervalos contendrá infinitos puntos, deduce que existirá, por lo menos un punto límite, que podrá ser ó no uno de los puntos del grupo; y así obtiene el primer grupo derivado, G', según la denominación de Cantor, que si contiene infinidad de puntos originará el segundo grupo derivado G'', continuando hasta el grupo de orden \( v \) que contenga un número finito de puntos y que ya no tendrá grupo derivado, de manera que G será un grupo de orden \( v \), cuando los grupos G', G'', ... G\( ^v \) sean de órdenes (\( v - k \)), (\( v = 2 \)) ... y cero respectivamente.
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Así: el grupo de puntos

\[
(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2} + \frac{1}{5}, ...)
\]

será de primer orden, porque su grupo derivado consta de los puntos 0 y \( \frac{1}{2} \) y el grupo

\[
(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} + \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{3} + \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2} + \frac{1}{5}, \frac{1}{4} + \frac{1}{5}, ...)
\]

será de segundo orden porque su primer grupo derivado es

\[
(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, ...)
\]

y su segundo grupo derivado se reduce á 0.

Con estos fundamentos desenvuelve el Sr. Dini su notable teoría de las funciones.

El Sr. Bois-Reymond en su Théorie general des fonctions emplea y hace un estudio detenido de la teoría del Sr. Cantor.

Preocúpase desde luego, al analizar los conceptos de magnitud de límite de esta manera en virtud de la que, de la naturaleza de una serie de valores susceptibles de medirse ó observarse, se concluye la existencia de valores que se escapan á toda percepción y cuya existencia no puede ser demostrada, en la acepción precisa de la palabra.

Admite dos maneras distintas de apreciar las cosas con igual derecho para ser tomadas como intuición fundamental de la ciencia exacta, porque ninguna de ellas conduce á resultados absurdos, en matemáticas puras; por esto expone el doble modo de intuición de los principios fundamentales que llama idealismo y empirismo, es decir, el sistema que cree en la verdad de ciertas formas límites de nuestras ideas exigidas por nuestro entendimiento, pero extrañas á toda percepción y representación sensible, y el sistema que solo admite como existente ó correspondiente á la existencia lo que puede ser percibido.

La forma fundamental del concepto matemático, que domina, tanto en el mundo exterior como en la vida del alma, es la cantidad matemática lineal.
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Las cantidades matemáticas lineales pueden referirse á las longitudes, como estas son comparables y mensurables, se las puede hacer corresponder punto por punto á la recta, son iguales, si sus manifestaciones sensibles son iguales, en las mismas condiciones; es una mayor que otra, si su imagen sensible puede disminuir por exhaución, hasta poder coincidir con la otra; dos ó más de la misma especie reunidas dan una nueva cantidad de la misma especie, etc.

Para tratar de la función, expone el Sr. Bois-Reymond la teoría de la variable independiente que llama argumento, haciéndola preceder del estudio del concepto de límite, según los dos criterios idealista y empirista á los que sustituye lo que llama criterio neutro, basado en las condiciones admisibles de ambos, y refiere dicho concepto de límite á las series de números, ó series de cantidades discontinuas, basando en éstas el método que llama de construcciones numéricas, pues poseyendo una especie de series de números, cuya aproximación á todo límite posible pueda probarse, la demostración especial de la existencia de los límites podrá hacerse, refiriendo las series de valores que deben poseer un límite á las series de números de la especie considerada.

Desde luego adopta la serie de las fracciones racionales, no decrecientes, con denominadores crecientes, bajo la forma

\[
\frac{\alpha_1}{\alpha} + \frac{\alpha_2}{\alpha^2} + \ldots \frac{\alpha_p}{\alpha^p};
\]

y entre éstas la más sencilla,

\[
\frac{\alpha_1}{1} + \frac{\alpha_2}{4} + \frac{\alpha_3}{8} + \ldots
\]

Siendo el valor particular del argumento una longitud que parte del punto inicial al punto final, sobre los puntos de estas extensiones se han de construir los valores de las funciones.

Trata pues, el Sr. Bois-Reymond de la distribución de los puntos en la extensión del argumento y de los métodos de exposición de los números racionales, así como de los conceptos de enumeración y de la potencia de los conjuntos, debidos estos últimos al Sr. Cantor.

(Concluida.)
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BIBLIOGRAFÍA

COURS DE GEOMÉTRIE ANALYTIQUE par G. de Longchamps t. I y II. Paris, librairie de CH. Delagrave, 1898 y 1899.

Como dice en el prefacio de la obra, el Sr. Longchamps se propone resumir y clasificar los consejos bastante complejos pero útiles á los alumnos que comienzan á resolver problemas de la Geometría Analítica.

La obra está escrita con objeto de que la parte doctrinal contenida en cada capítulo sirva al alumno para reconocer el género de cualquier problema de los que constituyen la segunda parte de dicho capítulo, y se le apliquen los preceptos correspondientes, que por ser tan variados é interesantes exigirían una reseña muy extensa para dar exacta idea al lector de una obra en la cual el Sr. Longchamps ha sintetizado el trabajo de algunos años, que seguramente será muy útil á la juventud que se prepara para los estudios matemáticos.

Reconoce la necesidad de clasificar cada enunciado para descubrir su género y aplicarle las ideas correspondientes al mismo, conteniendo cada capítulo de su obra una parte destinada al primer objeto y otra que contiene multitud de problemas á los que el alumno puede aplicar facilmente la parte preceptiva.

Un precepto general es el siguiente: Dada una figura, se efectúa sobre ésta cierta construcción que depende de un elemento variable; esta construcción que pone de relieve un punto I, cuyo lugar geométrico se busca.

Distingue el Sr. Longchamps las clasificaciones artificiales de la clasificación natural basada en la cualidad Geométrica del punto I ó de la recta δ que se buscan, esto es si son centros, focos, etc.; reconoce la necesidad de referir en varias ocasiones los problemas ó géneros diversos que les convienen, y distingue especialmente lo que llama movilidad superabundante y el parámetro de movilidad, haciendo ver las ventajas de emplear las curvas unicursales y las pseudo-unicursales.

El empleo de las características de Chasles le permite presentar gran número de enunciados, útiles para ciertas verificaciones.

La descomposición de la resultante, conduce á estudiar las soluciones extranjeras, la transformación del enunciado, los factores
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verdaderos, las soluciones singulares y las rectas isótropas como solución singular.

Los problemas elementales comprenden: la marcha normal que consiste en emplear el parámetro de movilidad, caso de dos parámetros, métodos generales, que comprenden: los de coordenadas polares, inversión, identificación e introducción del método analítico.

Los problemas generales comprenden: la formación de los enunciados elementales, las transformaciones y los problemas elementales, el enunciado general y los enunciados derivados y la multiplicidad de las generalizaciones.

A continuación del capítulo que trata de las cónicas referidas á sus ejes, expone el problema de las tangentes, reduciéndolo á tres tipos de problemas. Comprende el problema de los umbílicos, las tangentes inseparables y separadas, etc.

El último capítulo del tomo I trata de polos, polares, lugares y centros.

Las materias contenidas en el segundo tomo son: El problema de las normales (el polo normal), los problemas de las cuerdas, los problemas de relaciones métricas, las cónicas y la forma normal, los problemas de los focos y de los vértices, los de simple contacto y de contacto superior. Las cónicas inscriptas, circunscriptas y conjugadas. Las coordenadas tangenciales.

El tomo II termina con un capítulo dedicado á las transformaciones, puntual, tangencial y mixta, cartesianas recíprocas y semi-recíprocas y las centrales.

El simple enunciado de los capítulos expresa por sí la importancia de la obra en la que, invariablemente, á la exposición de los métodos acompañan series de problemas que forma una riquísima colección de los mismos.

Traité de nomographie Théorie.—Applicacions practiques por Maurice d'Ocagne.—París, Gauthier-Villars, 1899.

M. Maurice d'Ocagne se ha dedicado desde hace años á este género de investigaciones.

En 1891 publicó su obra: Les calculs usuels effectués au moyen des abaques, de la que es un desarrollo de mucha más amplitud la obra actual, y también dió tres conferencias en 1894, en el conser-
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vatorio nacional de artes y oficios, que publicó con el título de Le calcul simplifié par les procédés mécaniques et graphiques.

El tratado de nomografía contiene las materias siguientes:
Ecuaciones con dos variables.—Ecuaciones con tres variables y abacos de entrecruzamiento, que comprende los abacos cartesianos y la anamórfosis.—Abacos de alineación.—Sistemas de dos ecuaciones, aplicación general al cálculo de los perfiles de terraplén y desmonte.—Ecuaciones de más de tres variables.—Teoría general y desarrollos analíticos.

El nombre solo del autor recomienda esta obra tan interesante para los ingenieros.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 113.
(Véase tomo III pág. 72).

Estudio de las curvas representadas por las ecuaciones

\[
x + y^3 \sqrt{x - 1}, \qquad x^3 + y^3 = \frac{2y}{x + y}
\]

(J. M.) (Edmunds).

Solución por el Sr. H. Brocard.

I Para no tomar más que valores de y que representen números enteros, hagamos las sustituciones que hacen \(x - 1\) igual á un cubo. Tendremos así

\[
x = -\infty, -63, -26, -7, \quad 0, \quad 1, 2, \quad 9, \quad 28, 65, +\infty \\
y = +\infty, \quad 51, \quad 17, \quad 1, -3, -1, 1, -3, -19, 58, -\infty
\]

Se tiene pues, una indicación de los tres puntos de intersección de la curva con Ox.

Además \[ y' = (x - 1)^{-\frac{2}{3}} - 1, \]
siendo \[ y' = 0, \text{ para } x = 0 \text{ ó } 2. \]
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II La discusión de la segunda curva se facilitará por el empleo de las coordenadas polares:

\[
\rho = \sqrt{\frac{2 \sin \omega}{\sin^4 \omega + \sin \omega \cos \omega + \cos^4 \omega}}
\]

Bajo esta forma se ve que la curva admite por única asíntota la bisectriz del ángulo \( yox' \) (\( \omega = 45^\circ \)). Dicha curva pasa por el origen, que es un punto de inflexión, en el que es tangente á Ox, y encuentra á Oy en los puntos

\[
\rho = \pm \sqrt{2}.
\]

El resto no ofrece dificultad.

CUESTIÓN 336.
(Véase tomo IV pág 312).

Construir un triángulo conociéndose un lado, la altura correspondiente y el radio de uno de los círculos tangentes á los tres lados.

(J. Gillet).

Solución por D. Juan V. Alonso.

Cuatro son — uno interior y, tres exteriores — los círculos que, dado un triángulo cualquiera, pueden trazarse con la condición de ser tangentes á los tres lados. Esos cuatro círculos nos hacen ver tres casos, tres situaciones relativas distintas entre cada círculo y cada lado del triángulo, situaciones que constituirán modos distintos de resolver el problema, aunque para unos determinados datos puedan no dar (ó mejor dicho no puedan dar) soluciones correspondientes á dichos tres casos ó modos de solución que son: Círculo tangente, inscrito al triángulo. Círculo tangente exterior tocando el lado considerado en un punto de su longitud y círculo tangente exterior, cuyo punto de tangencia con el lado dado esté en su prolongación.

Consideremos ahora un triángulo cualquiera MNP, cuyos lados llamaremos m, n, p; á la altura correspondiente al lado p, y r, con ó sin acentos, el radio de cada uno de los círculos que vamos á considerar:

1.º Círculo tangente interior. Su centro viene determinado por la intersección de las bisectriz del ángulo P, nos dan
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\[
\frac{MP}{MG} = \frac{OP}{GO} \qquad \frac{NP}{NG} = \frac{OP}{GO}
\]

Pero \( \overline{MG} + \overline{NG} = \overline{MN} = p \) \qquad \( \frac{OP}{GO} = \frac{h - r}{r} \)

Deducimos por tanto \( \frac{n + m}{p} = \frac{h - r}{r} \)

2.º Círculo tangente exterior, cuyo punto de tangencia con el lado MN está dentro de su longitud. El centro O' está sobre la bisectriz del ángulo interior en P y las de los exteriores en M y N.

Los triángulos parciales de antes, MPG y NPG nos darán ahora

\[
\frac{MP}{MG} = \frac{O'P}{O'G} \qquad \frac{NP}{NG} = \frac{O'P}{O'G}
\]

y tendremos análogamente que antes \( \frac{m + n}{p} = \frac{h + r}{r} \)

3.º Círculos tangentes á los lados que tocan al MN en un punto de su prolongación á la derecha ó la izquierda. Ambos tienen su centro sobre la bisectriz del ángulo exterior en P. Consideremos por ejemplo el de la derecha con centro en O".

En los triángulos MPS, NPS se tiene

\[
\frac{O''P}{O''S} = \frac{MP}{MS} \qquad \frac{O''P}{O''S} = \frac{NP}{NS}
\]

Y observando también que \( \frac{O''P}{O''S} = \frac{h - r}{r} \)

tendremos \( \frac{n - m}{p} = \frac{h - r}{r} \)

Si hubiéramos considerado el círculo de la izquierda, habríamos obtenido la misma fórmula, cambiado de signo uno de sus miembros, es decir \( \frac{n - m}{p} = \frac{h - r}{r} \)