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El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 22

Eliminando l, m, n entre (1), (4) y (5), la ecuación del lugar es pues,

\[
\Sigma \left\{ \left[ (\alpha - \beta) y - (\gamma - \alpha) z \right] \left[ (\alpha' - \beta') y - (\gamma' - \alpha') z \right] \times \right.
\]
\[
\left. \left| \left[ (\beta - \gamma) x - (\alpha - \beta) x \right] \left[ (\gamma' - \alpha') x - (\beta' - \gamma') s - (\alpha' - \beta') x \right] \times \left[ (\gamma - x) x - (\beta - \gamma) y \right] \right| = 0 \right.
\]

pero el último factor desarrollado es

\[
\left| \Sigma (\beta' \gamma' - \gamma \beta') (x + y + z) x \right|
\]

Suprimiendo la constante y el factor arriba indicado, resulta:

\[
\Sigma x \left[ (\alpha - \beta) y - (\gamma - \alpha) z \right] \left[ (\alpha' - \beta') y - (\gamma' - \alpha') z \right] = 0
\]
\[
6 \Sigma (\beta - \gamma) (\beta' - \gamma') y z (y + z) + [2 \Sigma x x' - \Sigma (\beta' \gamma' - \gamma \beta') x g z = 0
\]

El primer miembro de esta ecuación es todavía divisible por \( x + y + z \), y el cociente es

\[
\frac{(\beta - \gamma) (\beta' - \gamma')}{x} + \frac{(\gamma - \alpha) (\gamma' - \alpha')}{y} + \frac{(x - \beta) (x' - \beta')}{z} = 0
\]

El lugar es pues, esta cónica circunscrita, abstracción hecha de la recta (doble) del infinito.

Aplicación. Tomando por direcciones, dadas las de dos de las medianas, se obtienen las tres hipérbolas

\[
yz - 2zx - xy = 0, zx - 2xy - 2yz = 0, xy - 2yz - 2zx = 0
\]

de las que cada una tiene su centro en una mediana y sus asíntotas paralelas á la otra.

Si se consideran las direcciones de las rectas de Lemoine y de Longchampe, ó también las rectas armónicamente asociadas á los puntos de Gergonne y de Nagel, se obtienen las cónicas

\[
\sum \frac{a^2 (\delta^2 - c^2)}{x} = 0 \quad y \sum \frac{(b - c)^2 (p - a)}{x} = 0
\]

que se encuentran en otras cuestiones de la Geometría del triángulo.

Observación. Se resuelven exactamente por igual procedimiento las cuestiones correlativas.

Se consideran las cónicas circunscritas á un triángulo que pasan por su baricentro. Hallar la involvente de las rectas que unen los puntos de intersección de cada una de estas cónicas con dos rectas fijas que pasan por el baricentro.
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Siendo \( \alpha, \beta, \gamma \) y \( x', \beta', \gamma' \) los dos puntos que definen las rectas fijas, la ecuación tangencial envolvente es

\[
\sum \frac{(\beta - \gamma)(\beta' - \gamma')}{u} = 0
\]

Las cónicas \((vw - 2wu - 2uv) = 0\) corresponden al caso en que las rectas fijas dadas son paralelas á dos lados; estas son las tangentes á la cónica trazadas por el baricentro y la polar de este punto es paralela al tercer lado.

Solución por el Sr. ALVAREZ Urr.

Sean \(a, b, c\) los lados del triángulo, \(m, n\), las rectas cuyo punto de intersección describe el lugar y \(l\) la recta del infinito, aplicando el teorema de Brianchon al exágono \(ml \times abc\) se vé que las rectas que unen los pares de puntos \(ml, ml, ab; nl, nl, bc; an, mc\) pasan por un mismo punto; luego el haz de las rectas \(m\) y el de las \(n\) respectivamente proyectivos, de las series situadas sobre \(c\) y \(a\) son proyectivos por ser estas series secciones del haz de rectas de vértice

\[(ml - ab) - (nl - bc)\]

que se obtiene sin más que trazar paralelas á las direcciones dadas, por los puntos \(ab\) y \(bc\). El lugar geométrico es pues una curva de segundo orden que, por contener las direcciones dadas es una hipérbola.

Observación. Este problema puede presentarse como caso particular de otro que diría así: «Se consideran las cónicas inscritas en un cuadrilátero dado y se trazan á cada una de ellas tangentes desde dos puntos situados sobre uno de los lados del cuadrilátero; hallar el lugar geométrico de su punto de intersección. Se reconoce del mismo modo que lo hemos hecho antes, que el lugar es una cónica. Caso particular notable sería el de considerar reunidos los dos puntos fijos (propios ó direcciones) en uno solo, en cuyo caso el punto de intersección de las dos tangentes viene á ser el de contacto, dando así lugar á otra propiedad notable.

Finalmente, por medio del principio de dualidad, podrán obtenerse propiedades análogas para las cónicas circunscritas á cuadrivértices dados.

CUESTIÓN 288. (Véase t. IV, pág. 312; 1894).

Se da una circunferencia \(O\) y un diámetro \(A A'\). El radio \(OM\) situado sobre \(OA\), gira alrededor del centro \(O\); en cada una de sus posicio-
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nes se lleva sobre este radio, á partir de un punto fijo P y en todos sentidos una longitud \( PN = PN' = MA \).

Estudiar y construir la curva lugar de los puntos N y N'. Discusión y estudio de los casos particulares.

(J. Gillet).

Solución por el Sr. Brocard.

He dado (1900, p 193) una solución basada en una interpretación particular del enunciado; pero según una atenta indicación del autor de la cuestión, el punto P que yo creía fijo, se mueve en realidad en un círculo de centro O. Me he visto, pues, obligado á hacer un nuevo estudio, cuyos resultados expongo hoy.

La construcción de los puntos N, N' puede efectuarse como sigue.

Se dan dos círculos concéntricos en O de radios \( OA = a, OP = b \) y un punto fijo A sobre el círculo OA.

Se toma en este círculo un punto variab'e M; el radio OM encuentra á la segunda circunferencia en el punto P y en OM se toma \( PN = PN' = MA \).

Feto sentado, siendo O el origen, OA el eje polar \( ON = r, MOA = \omega \), se tiene inmediatamente

\[
MA = 2a \sen \frac{\omega}{2}, \text{ do donde } r = b \pm 2a \sen \frac{\omega}{2}
\]

Es pues evidente que se tendrán tres tipos de curvas, según que b sea inferior, igual ó superior á 2a.

Obtenido este resultado, el resto de la discusión no ofrece dificultad. El lugar está formado por la epicicloide

\[
r = 2a \sen \frac{\omega}{2}
\]

al radio vector de la que se suma ó se resta una longitud constante b. La curva pedida es pues, el conjunto de dos concoídes de la epicicloide primitiva.

CUESTIÓN 384.

Sean AA', BB', CC' los tres pares opuestos de vértices de un cuadrilátero completo, y proyectense estos puntos, á partir de un punto cualquiera M, sobre una recta cualquiera m. Sean A_1, A'_1, B_1, B'_1, C_1, C'_1 estas proyecciones. Las rectas AA'_1 y A_1A' se cortan en x; las rectas BB'_1 y B_1B' en β y las rectas CC'_1 y C_1C' se cortan en γ. Demostrar que los puntos x, β, γ se hallan en línea recta.
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Casos particulares en que el punto M ó la recta están en el infinito.

(J. Neuberg).

Solución por M. A. Dros Fanny.

Consideremos desde luego el caso particular en que la transversal m está en el infinito. Las paralelas trazadas respectivamente por A y A' á MA' y MA se cortan en x. En el paralelógramo MA α A' las diagonales AA' y Mα se cortan en X, su punto medio. Igualmente Mβ y BB' se cortan en un punto medio y y My, CC' en su punto medio z.

Pero en todo cuadrilátero completo, los puntos medios de las tres diagonales están en línea recta, la newtoniana del cuadrilátero, lugar geométrico de los centros de las cónicas inscritas en la figura. Los tres puntos α, β, γ están pues en una recta, paralela á x y z.

Sea ahora la figura general. Mα, AA', A, A', son los vértices opuestos de un cuadrilátero completo. Mα corta á AA' en x y á m en x'. De esto resulta que (Mxx'x') = -1

Igualmente \[(Myβγ') = (Mzγz') = -1\]

Pero los tres puntos x, y, z están en línea recta. Bastaría, en efecto, proyectar toda figura desde un punto exterior P sobre un plano paralelo al plano (P, m) para pasar al caso precedente en que x, y, z son los puntos medios de las diagonales AA', BB', CC'.

Sea O el punto de intersección de las rectas m y x y z; resulta de lo que precede, que los puntos α, β, γ están en una recta, la conjugada armónica de OM con respecto á las rectas x y z y m. Se puede, pues considerar el teorema de M. Neuberg como un caso particular del siguiente:

Sean A, A'; B, B'; C, C' los vértices opuestos de un cuadrilátero completo. Desde un punto M cualquiera, en el espacio, se proyecta toda la figura sobre un plano cualquiera. Se obtiene así un segundo cuadrilátero completo A₁A'₁; B₁B'₁; C₁C'₁. Los puntos de intersección α de AA'₁, y A₁A'; β de BB'₁ y B, B'; γ de CC'₁ y C₁C' están en línea recta. Sería fácil enunciar también el teorema correlativo.

CUESTIÓN 340. (Véase (3) t. II pág. 1000)

En la hipérbola equilátera, el producto de las distancias de un punto arbitrario P d los focos es igual al cuadrado de la distancia de P al centro.

Solución por M. Nirnzt.

Las coordenadas de los focos F y F' de la hipérbola equilátera \(x^2 - y^2 = a^2\) son \((a \sqrt{2}, 0)\) y \((-a \sqrt{2}, 0)\). La condición

\[(x - a \sqrt{2})^2 + y^2\] \[(x + a \sqrt{2})^2\] \(= (x^2 + y^2)^2\)
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que traduce la propiedad enunciada para un punto cualquiera P del plano, se reduce, después de simplificar, á \( x^2 - y^2 = a^2 \).

Mas generalmente, sea una cónica I' de la que P es un punto, y que corta á una recta Δ, cuyo polo es el punto O, en dos puntos M₁ y M₂ (reales ó imaginarios), cuyos conjugados armónicos son N₁ y N₂.

Se sabe (ver, por ej. N. A, 1899, p 101 y 308): 1.º que la cónica I' y todas las cónicas que pasan por N₁ y N₂ tienen común un sistema de rectas conjugadas D₁ y D₄ que pasan por O; 2.º que la tangente en P y la conjugada armónica de esta tangente con relación á (PN₁, PN₂) cortan á una cualquiera de las rectas (D₁, por ejemplo) en dos puntos que son conjugados armónicos con relación á dos puntos fijos F y F' de D₁. (1)

Esto sentado, sean F₁, C₁, F₁' los puntos en que los vectores PF, PO, PF' cortan á una cónica cualquiera que pasa por N₁ y N₂ y que tiene por polo de Δ del punto P. Se tiene la relación

\[
\frac{PF \cdot F_1 F_2}{PF_1 \cdot FF_2} \cdot \frac{PF' \cdot F'_1 F'_2}{PF'_1 \cdot FF'_2} = \left( \frac{PO \cdot O_1 O_3}{PO_1 \cdot OO_3} \right)^2
\]

Solución por el Sr. Retali (V).

Dados dos puntos fijos F, F', sea O el centro del segmento FF' y busquemos el lugar de los puntos P, para los cuales

\[
PF \cdot PF' = PO^2
\]

Si se toma por origen de coordenadas rectangulares el punto O, la ecuación del lugar es

\[
[(a + a)^2 + y^2] \ [(x - a)^2 - y^2] = (x^2 + y^2)^2
\]

que puede escribirse sucesivamente:

\[
(x^2 + y^2 + a^2)^2 - 4a^2 x^4 = (x^2 + y^2)^2
\]
\[
2(x^6 + y^6) + a^4 = 4x^2 \quad , \quad x^2 - y^2 = \frac{a^2}{2}
\]

Una hipérbola equilátera cuyos focos son F y F'.

(1) Esta propiedad es la generalización proyectiva de la que Chasles ha tomado por punto de partida de su teoría de las focales de las cuádricas. (Véase, Aperçu Historique, Note X XXI).
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 27

CUESTIONES 339 y 340

339. Trácense dos circunferencias de radio arbitrario R, con los centros M, N á una distancia MN = R \( \sqrt{2} \). Si O es el medio del segmento MN y A un punto cualquiera de las circunferencias, se tiene

AM. AN = AO, MN.

340. En la hipérbola equilátera el producto de las distancias de un punto P á los focos es igual cuadrado la distancia de P al centro.

Solución por el Sr. BROCARD

Teniendo las dos cuestiones cierta conexión, he creído oportuno estudiarlas simultáneamente. En efecto, las dos son aplicaciones de las coordenadas bipolares, haciendo

(339) \( MN = 2c, \quad AM = u, \quad AN = v \)

(340) \( FF' = 2c, \quad PF' = u, \quad PF = v \)

se tiene \( u = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}, \quad v = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} \)

de donde

(339)
\[
u v = 2c \sqrt{a^2 + y^2}
\]
\[
(x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4c^2 x^2 = 4c^3 (x^2 + y^2)
\]
\[
x^2 + y^2 \pm 2cx = c^3
\]

que son los dos círculos iguales y ortogonales definidos en el enunciado (339).

(340)
\[
x^2 + y^2 = uv
\]
\[
(x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4c^2 x^2
\]
\[
x^2 - y^2 = \frac{c^2}{2}
\]

ecuación de la hipérbola equilátera definida en el enunciado (340).

Solución por el Sr. BARRALI (V.) (Cuestión 339).

Dados dos puntos M, N á la distancia 2a, si O es el punto medio del segmento MN, busquemos el lugar de los puntos A tales, que AM. AN = AO MN.
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 28

Tomando O por origen de coordenadas rectangulares, la ecuación del lugar buscado es

\[
[(x - a)^2 + y^2] \left[ (x + a)^2 + y^2 \right] - (x^3 + y^3) 4a^2
\]

\[
(x^2 + y^2 + a^2 + 2ay)(x^3 + y^3 + a^2 + 2ay) = 0
\]

que representa dos círculos cuyo radio es \( a \sqrt{2} \) con los centros respectivos en M y N.

Solución por M. A. DROZ-FARKY

Las dos circunferencias dadas son iguales y ortogonales. Supongamos el punto A en la circunferencia M y representemos por B y C los puntos de intersección de esta circunferencia con el diámetro MN.

Como \( AM = R \) y \( MN = R \sqrt{2} \),

la relación por demostrar se reduce á \( AN = AO \sqrt{2} \)

Pero
\[
OC = R - \frac{R}{2} \sqrt{2}; \quad CN = R \sqrt{2} - R;
\]
\[
BO = R + \frac{R}{2} \sqrt{2}; \quad BN = R + R \sqrt{2}
\]
luego:
\[
CO : CN = BO : BN = 1 : \sqrt{2}
\]
luego, según un teorema de Apolonio \( AO : AN = 1 : \sqrt{2} \)
\( AN = AO \sqrt{2} \) y por consiguiente \( AM . AN = AO . MN \).

Solución por el Sr. ALVAREZ Cde. (Cuestión 338.)

Las dos tangentes y la recta del infinito forman un triángulo circunscrito á la parábola; luego las dos normales, que son rectas de unión de los puntos de contacto de dos lados con los vértices opuestos, deben concurrir con la que une el tercer vértice con el punto del infinito del eje, es decir, que la recta que une el punto de intersección de las tangentes con el de las normales es paralela al eje de la parábola l. d. q. d.

CUESTIÓN 339

Aplicando al triángulo AMN un teorema muy conocido de Geometría, se obtiene

\[
\overline{AM}^2 + \overline{AN}^2 = 2 \overline{AO}^2 + 2 \left( \frac{\overline{MN}}{2} \right)^2
\]

de donde, poniendo \( AM = R, MN = R \sqrt{2} \) se deduce, después de
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 29

simplificar, \( AN = AO \sqrt{2} \), igualdad de la que se obtiene la propuesta sin más que multiplicar sus dos miembros por las cantidades iguales \( AM \) y \( \frac{MN}{\sqrt{2}} \) respectivamente.

CUESTIÓN 389

Trácense dos circunferencias de radio arbitrario R con los centros M, N á una distancia \( MN = R \sqrt{2} \). Si O es el medio del segmento MN y A un punto cualquiera de las circunferencias, se tiene

\[
AM \times AN = AO \times MN
\]

Solución por M. L. Birent

Siendo los ejes de coordenadas MN y la perpendicular Oy, las relaciones

\[
\left[ \left( x - \frac{R \sqrt{2}}{2} \right)^2 + y^2 \right] \left[ \left( x + \frac{R \sqrt{2}}{2} \right)^2 + y^2 \right] = (x^1 + y^2) \cdot 2 R^2
\]
\[
\left[ \left( x - \frac{R \sqrt{2}}{2} \right)^2 + y^2 - R^2 \right] \left[ \left( x + \frac{R \sqrt{2}}{2} \right)^2 + y^2 - R^2 \right] = 0
\]

que expresan respectivamente que el punto A \((x, y)\) satisface á la condición dada y que pertenece á una ú otra de las dos circunferencias, son idénticas

Mas generalmente, sean dos rectas MN y \( \Delta \) que se cortan en P, O el conjugado armónico de P con relación á (M, N), J_1 y J_4 dos puntos dados en \( \Delta \).

Hagamos pasar por J_1 y J_4: 1° una cónica \( l_m \) que tenga á M por polo de \( \Delta \) y que corte al vector MP en un punto M' tal, que
\[
\frac{MM'. NP}{MN . M'P} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
2° una cónica \( l_n \) que tenga á N por polo de \( \Delta \) y que corte al vector NP en un punto N' tal, que
\[
\frac{NN'. MP}{MN . N'P} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Siendo A un punto cualquiera de una de las cónicas \( \Gamma_m \) ó \( \Gamma_n \), sean M_1, O_1, N_1 los puntos en que los vectores AM, AO, AN cortan á una cónica \( l_s \) que pasa por J_1 y J_4 y que tenga á A por polo de \( \Delta \) y sean M_4, O_4, N_4 los puntos en que AM, AO, AN cortan á \( \Delta \). Sean, en fin, P' el punto de intersección de la cónica \( l_d \) y del vector AP', y Q el punto de intersección de M_4, P' y MN. Se tiene
\[
\frac{AM . M_1 . V_1}{AM_1 . MM_1} \times \frac{AN . N_1 . N_s}{AN_1 . NN_1} = \frac{AO . O_1 . O_s}{AO_1 . OO_1} \times \frac{MN . QP}{MQ . NP}
\]

Para justificar esta generalización, véase N. A. 1699, p. 101.
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 3

En fin dans (1) faisons \( a = - \frac{\mu - 1}{\mu} \), \( b = - \frac{\mu - 1}{\mu + 1} \),
\[ c = - \frac{\mu - 1}{\mu + 2}, \ldots l = - \frac{\mu - 1}{\mu + n - 1} \], on aura:

(10)
\[
\frac{1}{\mu} + \frac{1!}{\mu (\mu + 1)} + \frac{2!}{\mu (\mu + 1)(\mu + 2)} + \ldots \\
\ldots + \frac{(n-1)!}{\mu \ldots (\mu + n - 2)} = \frac{1}{\mu - 1} - \frac{n!}{\mu \ldots (\mu + n - 1)}
\]
(Stirling, 1730)

Toutes ces relations peuvent du reste être généralisées et transformées de plusieurs manières, et fournir ainsi la sommation d'un grand nombre de séries remarquables.

2.—Si les nombres \( a, b, c, \ldots, l \) sont tous compris, entre 0 et 1 ou entre —1 et 0, on tire de (1) et de (2) la relation:

(11)
\[(1 + a) \ldots (1 + l) > 1 + a + \ldots + l < \frac{1}{(1 - a) \ldots (1 - l)}\]

d'où, pour \( a = b = \ldots = l = x \),

(12)
\[1 + nx < (1 + x)^n < \frac{1}{1 - x}\] \((x^3 < 1, n\) ent. pos.\)

La première de ces deux inégalités est due à Archimède (*) et la seconde à Huygens (**).

On peut aussi démontrer (12) en partant de l'une ou de l'autre des deux relations

(13)
\[(1 + x)^m - (1 + x)^{m-1} > x > \left( \frac{1}{1 + x} \right)^{m-1} - \left( \frac{1}{1 + x} \right)^m\]

(14)
\[\frac{1 - (m - 1)x}{1 - mx} > 1 + x > \frac{1 + mx}{1 + (m - 1)x}\]

(*) Si entre les quantités H, K, on tâche deux moyens arithmétiques \( \varphi, I \), le cube du rapport de K à I sera inférieur au rapport de K à H.

(**) Soit R le milieu de la droite BC; prenons un point P entre B et R; le cube du rapport de BC + CR à BC + CF est plus petit que le rapport de BC à RC (De cir. mag. lac. Leges, MCR.)
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 30

Solución por el Sr. DREZ FALNY.

Se tiene:

\[
PF^2 + PF_1^2 = (PF - PF_1)^2 + 2 PF \cdot PF_1 \\
= 4 a^2 + 2 PF \cdot PF_1
\]

siendo \(2a\) el eje transverso de la hipérbola.

Pero, según una propiedad geométrica conocida

\[
PF^2 + PF_1^2 = 2 PO^2 + 2 FO^2
\]

Luego

\[
PO^2 + FO^2 = 2 a^2 + PF \cdot PF_1
\]

Pero \(FO^2 = (a \sqrt{2})^2 = 2 a^2\) y \(PO^2 = PF \cdot PF_1\)

CUESTIÓN 133. (Véase t. III, pág. 192; 1898).

Separar dos círculos iguales máximos de un rectángulo, en el cual la relación de los lados está comprendida entre 1 y 2.

(A. Dmitrieff).

Solución por el Sr. BLOCARD.

Los dos círculos máximos de igual radio deben pasar por el centro I del rectángulo ABCD y ser tangentes entre sí en este punto.

Sean \(a, b\) los lados del rectángulo, \(r\) el radio de los dos círculos, \(θ\) el ángulo de AB con la línea de los centros OO'. Se tendrán las relaciones

\[
a = 2r + 2r \cos θ \\
b = 2r + 2r \sin θ
\]

y eliminando \(r\),

\[
\frac{a}{b} = \frac{1 + \cos θ}{1 + \sin θ}
\]

Después eliminando \(θ\),

\[
4r^2 - 4(a + b)r + a^2 + b^2 = 0
\]

Esta es también la condición que expresa que un círculo tangente á los dos lados AB, AD pase por el punto I, medio de la diagonal AC. Se deduce de esto.

\[
r = \frac{a + b - \sqrt{2ab}}{2}
\]

Si dejando \(a\) constante, se supone \(b\) variable, y se parte de cero,
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 31

se ve que los círculos máximos están separados, y no comienzan á ser tangentes hasta que \( b = \frac{a}{2} \). El rectángulo se descompone entonces en dos cuadrados iguales. Se tiene enseguida

\[
t_{i} \theta = \frac{a - \sqrt{2ab}}{b - \sqrt{2ab}}
\]

De donde \( \tg \theta = 0 \), para \( a = 2b \), y \( \tg \theta = \infty \), para \( b = 2a \); resultados evidentes.

Cuestión 180. (Véase t. IV, pág. 158: 1891)

Hallar las soluciones enteras de la ecuación

(1)

\[
x'' = y^x
\]

sin recurrir á los logaritmos.

(A. Schiappa Monteiro).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

La hipótesis \( y = z \) da una infinidad de soluciones cualesquiera; pero son extrañas á la cuestión; y prueban solamente que la recta \( y = x \), bisectriz del ángulo YOX (coordenadas rectangulares) forma parte de la curva representativa de la ecuación (1).

La sustitución \( y = tx \) (\( t = \frac{y}{x} = \tg w \)) transforma la ecuación (1) en

\[
t = x^{i-1} \text{ de donde } x = t^{\frac{1}{i-1}}, y = t^{\frac{i}{i-1}}
\]

\[
y \quad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \quad \text{ ó } \quad \frac{dy}{dx} = \frac{t^a (t-1-1t)}{t-t-1tt}
\]

La curva propiamente dicha se halla formada por una rama que tiene el aspecto de una mitad de hipérbola equilátera, cuyo vértice es el punto \( x = y = 0 \) y cuyas asíntotas son \( x = 1 , y = 1 \).

La curva es simétrica con respecto á la recta \( y = x \), porque la ecuación (1) no cambia por las sustituciones \( x = y \), \( y = x \). La curva no existe para \( x < 1 , y < 1 \).
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 32

Los valores enteros de x ó de y corresponden necesariamente á valores enteros de t, por la relación \( y = tx \); luego será preciso que \( \frac{1}{t-1} \) sea entero; pero esto no puede ser mas que para \( \frac{1}{t-1} \) entero ó \( \frac{1}{t-1} = 1 \), ó \( t = 2 \), de donde \( x = 2 \), \( y = 4 \), y por simetría \( x = 4 \), \( y = 2 \).

Cuestión 105. (Véase t. III, pág. 71; 1893.)

Se dan tres ejes rectangulares y se pide estudiar la superficie reglada que admite por plano director el plano XOY y por directrices dos parábolas situadas, la una en el plano XOZ, y cuyo eje es OX, la otra en el plano YOZ, siendo OZ su eje y O su vértice.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Brocard (III).

Las dos parábolas (P) y (P') tienen por ecuaciones

(P) \[ y = o \quad z^2 = 2p(x - a) \]
(P') \[ x = o \quad y^2 = 2qz \]

El plano \( z = h \) da

\[
x = \frac{h^2 + 2pa}{2p} \qquad y = \sqrt{2qh}
\]

luego las ecuaciones de una generatriz de la superficie son

\[
z = h, \quad \frac{2px}{h^2 + 2pa} + \frac{y}{\sqrt{2qh}} = 1,
\]

y por consiguiente la superficie tiene por ecuación

\[
\frac{2px}{z^2 + 2pa} + \frac{y}{\sqrt{2qz}} = 1
\]

ó \( y^2 (z^2 + 2pa)^2 = 2qz (z^2 + 2pa - 2px)^2 \).

La superficie es por consiguiente de 5.º orden. La parábola (P) es una línea doble de la misma.
El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 4

en faisant successivement \( m = 1, 2, 3, \ldots, n \), puis ajoutant dans le premier cas et multipliant dans le second cas, les inégalités résultantes.

On remarquera que (12) peut s'écrire:

\[
(1 + x)^{\pm n} > 1 \pm nx
\]

Applications. I. - On a:

\[
1 > \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^n \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n > \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}
\]

d'où pour \( n = 1, 2, 3, \ldots, n \), multipliant et extrayant la racine \( n^{\prime} \),

\[
1 > (2n + 1) \sqrt{\frac{1^1 \cdot 3^3 \cdot 5^5 \ldots (2n-1)^{2n-1}}{2^2 \cdot 4^4 \cdot 6^6 \ldots (2n)^{2n}}} > \frac{3}{4}
\]

II. — Dans la première inégalité (12), changeons \( n \) en \( 1, 2, 3, ... n \) et additionnons; il viendra, en distinguant les cas de \( x \) positif ou négatif:

\[
(1 \pm x)^n \geq 1 \pm nx + \frac{n(n+1)}{2} x^2
\]

III. — Dans la première inégalité (12), faisons \( x = \)

\[
\frac{k a_k - a_1 - a_2 - \ldots - a_k}{k(a_1 + a_2 + \ldots + a_k)}
\]

et multiplions par \( \left( \frac{a_1 + \ldots + a_{k-1}}{k-1} \right)^k \),

il viendra, pourvu que \( a_1 + \ldots + a_k > 0 \),

\[
\left( \frac{a_1 + \ldots + a_k}{k} \right)^k > \left( \frac{a_1 + \ldots + a_{k-1}}{k-1} \right)^{k-1} a_k
\]

Faisons \( k = 2, 3, \ldots n \) et multiplions membre à membre, il viendra

\[
\left( \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \right)^n > a_1 \ldots a_n
\]

ce qui montre que la moyenne arithmétique de \( n \) quantités est plus grande que leur moyenne géométrique. (Cauchy, An. alg. Paris, 1821).

Autre démonstration.—Soit \( m \) le dénominateur commun des \( n \)