ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 36

y \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \sqrt{9 \pm 4 \sqrt{2}} \)

No llevaremos más adelante estas investigaciones que exigen cálculos demasiado largos, pero que, revelando la existencia del factor \( y^2 + m^2 \) correspondiente á una abscisa \( m \), llevan á suponer que esta propiedad es general, lo que equivale á decir que la ecuación de 6.º grado debe contener un factor \( x^2 + y^2 \). Y, en efecto, la división se verifica, lo que reduce la ecuación al 4.º grado

(M) \( y' + (2 x^2 + 4 a x - 12 a^2) y^2 + x^4 - 4 a x^3 + 4 a^2 x^2 = 0 \)

cuya discusión parece ser más fácil.

Así el lugar (M) es en realidad una cuártica.
Su ecuación puede ponerse bajo la forma

\[
y^2 = 6 a^2 - 2 a x - x^2 \pm 2 \sqrt{a} \sqrt{2 x^3 - 3 a x^2 - 6 a^2 x + 9 a^3}.
\]

Los valores límites de \( x \) están dados por la ecuación

\[
2 x^3 - 8 a x^2 - 6 a^2 x + 9 a^4 = 0.
\]

Se ha visto que admite la raíz \( x = \frac{3}{2} a \). Dividiendo por \( 2 x - 3 a \), se obtiene por cociente

\[
x^2 - 3 a^2 = 0,
\]

de donde \( x = \pm a \sqrt{3} \), \( x = - a \sqrt{3} \)

Como \( a \sqrt{3} > \frac{3}{2} a \), hay que deshechar este valor; queda pues \( x = - a \sqrt{3} \), para el que

\[
y = \pm \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}
\]

Reunamos los resultados obtenidos agregando ciertos valores particulares, y tendremos el cuadro de valores siguientes para las coordenadas de los puntos notables de la curva (M).
Para simplificar, supondremos \( a = 1 \).
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 37



    abscisas
    ordenadas
    puntos
    particularidades

    0
    0
    A
    AE tangente en A

    \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
    \( \frac{3 - 2\sqrt{8 - \sqrt{3}}}{2} \)
    W

    1
    \( \sqrt{2} - 1 \)
    N

    \( 3 - \sqrt{3} \)
    \( \sqrt{14\sqrt{3} - 24} \)
    R
    AR tangente en R

    2
    \( 2 - \sqrt{2} \)
    K
    BK normal en K

    \( \frac{3}{2} \)
    \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
    E
    Abscisa límite

    \( \sqrt{2} \)
    \( \sqrt{2} \)
    H

    \( 3 - \sqrt{3} \)
    \( \sqrt{2}\sqrt{2} \)
    P
    PB tangente en P

    1
    \( \sqrt{2} + 1 \)
    M
    alineación MHB

    \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
    \( \frac{3 + 2\sqrt{3 - \sqrt{3}}}{2} \)
    Q

    0
    \( 2\sqrt{3} \)
    J
    ordenada en el origen, alineación JEB

    \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
    \( \frac{3 + 2\sqrt{3 + \sqrt{3}}}{2} \)
    D

    -1
    \( \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} \)
    V

    \( -\sqrt{2} \)
    \( 2 + \sqrt{2} \)
    L
    alineación LKB, normal doble LK.

    \( -\sqrt{3} \)
    \( \sqrt{3 + 2\sqrt{3}} \)
    T
    abscisa límite, alineación TRB

    \( -\sqrt{2} \)
    \( \sqrt{2} \)
    I
    alineación INB (*)

    -1
    \( \sqrt{7 - 3\sqrt{10}} \)
    G

    \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
    \( \frac{3 - 2\sqrt{3 + \sqrt{3}}}{2} \)
    F

(*) La figura irá en el número siguiente.
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 38

La determinación del punto Z más alto de la curva (M) no conduce á un resultado tan sencillo. Sin embargo, se reconocerá que la ecuación se simplifica por la supresión del factor x, después se reduce á

\[
2x^4 - 8ax^3 + 8a^2x^2 + 3a^3x - 6a^4 = 0,
\]

ecuación que admite la raíz \( x = 2a \) que corresponde al punto aislado B.

Queda, en definitiva,

\[
2x^3 - 4ax^2 + 3a^2 = 0
\]

ecuación de tercer grado que por las sustituciones

\[
a = 1,\quad x = u + \frac{2}{3},\quad u = \frac{t}{18},
\]

se reduce á

\[
t^3 - 432t + 5292 = 0
\]

que no admite mas que una raíz real comprendida entre \(-25\) y \(-26\) y que está dada por la fórmula de Cardan:

\[
t = \sqrt[3]{-2846 + \sqrt{7890724}} + \sqrt[3]{-2846 - \sqrt{7890724}}
\]

Se obtiene aproximadamente

\[
t = -25,318350 \quad \text{de donde} \quad x = -0,7399,
\]

pero la determinación directa de esta raíz no exigirá largos cálculos

(Concluida.)

CUESTIONES PROPUESTAS

292 Dos cónicas tienen respectivamente por ecuaciones \( f(x, y) = 0, g(x, y) = 0 \); se les traza dos tangentes paralelas, y se une el centro de cada una al punto de contacto. Determinar el lugar del punto de intersección de las dos rectas así obtenidas, cuando se hace variar las direcciones de las tangentes.

(C. A. Laisant.)

293 Sea la elipse \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) y M uno de sus puntos; en cada
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 39

punto se traza la simétrica de la normal con relación á la ordenada. Hallar la envolvente de esta recta.

(E. Lemoine).

294 Sean K el punto de Lemoine, A₁ B₁ C₁ el primer triángulo de Brocard del triángulo ABC y A', B', C' los simétricos de A₁, B₁, C₁ con relación á los lados BC, CA, AB. Demostrar: 1° que las paralelas á CA, AB, BC trazadas por A₁, B₁, C₁ concurren en un punto K' y las paralelas á AB, BC, CA trazadas por A₁, B₁, C₁ en un punto K"; 2° que las rectas trazadas por A', B', C' paralelamente á AK, CK", BK' ó á CK", BK', AK, ó á BK', AK, CK" pasan por un mismo punto M, ó N ó P.

(H. Van Aubel).

295 En el plano de un triángulo ABC se toma un punto P cuyas coordenadas baricéntricas son \( \alpha, \beta, \gamma \); sean A₁, B₁, C₁ los puntos de intersección de las rectas AP, BP, CP con los lados opuestos. Sobre los tres lados de triángulo A₁ B₁ C₁ se toman los puntos A₂, B₂, C₂ tales, que:

\[
\frac{B₁A₂}{A₁C₁} = \frac{\gamma}{\beta}, \quad \frac{C₁B₂}{B₁A₁} = \frac{\alpha}{\gamma}, \quad \frac{A₁C₂}{C₁B₁} = \frac{\beta}{\alpha}
\]

Sean A', B', C' los puntos de intersección de las rectas AA₁, BB₁, CC₁ con los lados opuestos del triángulo ABC.
1° Las rectas AA₁, BB₁, CC₁ pasan por un mismo punto P'.
2° Determinar las coordenadas baricéntricas de este punto.
3° Hallar la relación de las áreas de los triángulos A'B'C', ABC

(H. Van Aubel).

296 Dada la serie de Fibonacci.

\[
u₀ = 0,\ u₁ = 1,\ u₂ = 1,\ u₃ = 2,\ .....
\]

se considera la nueva serie

\[
u₀,\ u₁ x,\ u₂ x²,\ ...,\ uₙ xⁿ,\ .....
\]

y se pide la condición bajo la cual será convergente.

Suponiéndose x igual á \( \frac{1}{k} \), y k número entero, hallar la suma de esta serie

(C. A. Laisant).
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 4

este cono es el cono isótropo de vértice \( \Omega \), se obtiene Geometría cónica, equivalente á la Geometría esférica, con fórmulas que son las de la métrica de Riemann.

2. El carácter esencial de la métrica aninvolutativa es considerar necesariamente figuras en posición. No se puede, en efecto, suponer que las cónicas F y \( \varphi \) son las dos cónicas del infinito de un plano de orden superior al plano no euclídeo, al hacerse imposible la mutación de las figuras conservando los elementos métricos considerados, ó al menos muy limitada. Esto depende de que cada punto, cada recta del plano, tiene un parámetro especial de modo que, por ejemplo, los puntos del mismo parámetro se hallan en una cónica. Cuando las dos cónicas F y \( \varphi \) se confunden, todos los parámetros son iguales á \( \frac{\pi}{2} \), y la métrica obtenida es compatible con el carácter de homogeneidad del plano considerado desde el punto de vista métrico.

3. Recordaré desde luego una fórmula que se debe atribuir, según creo, á Laguerre (Nouvelles annales de Mathématiques, février 1853).

Si se considera, con ejes rectangulares, el ángulo V de dos rectas OA y OB cuyos coeficientes angulares son \( m \) y \( m' \), y si se calcula la relación anarmónica R del haz OA, OB, OI, OJ, siendo los puntos I y J los puntos circulares del infinito del plano, dados por las rectas isótropas \( y + xi = 0 \), \( y - xi = 0 \), se obtiene

\[
R = \frac{1 + i \tg V}{1 - i \tg V} = \cos 2V + i \sen 2V = e^{2iV},
\]

y se puede escribir, con logaritmos neperianos,

\[
V = \frac{1}{2i} \log R.
\]

Considerando el conjunto de los dos puntos I y J como una cónica devanecida, nos hallamos en la dirección seguida por Cayley al considerar una cónica F, y que vamos á seguir considerando dos cónicas F y \( \varphi \) doblemente tangente entre sí.

4. Sea, en un plano \( \omega \), una correlación general expresada por las fórmulas
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 40

297 Se dan dos números enteros \( u_0, u_1 \), terminados por la misma cifra \( a \), y se forma la serie

\[
u_0, \ u_1, \ u_2, \ \ldots, \ u_n, \ \ldots;
\]

definida por la relación \( u_n = u_{n-1} + u_{n-2} \). Se pide cuál será la cifra de las unidades de un término cualquiera \( u_n \) cuyo lugar \( n \) está dado

(C. A. Laisant).

298 Dadas dos cónicas \( S \) y \( S' \), sean A, B, C, D los puntos de contacto con \( S \) de las tangentes comunes y \( e, f, g, h \) las tangentes á \( S' \) en los puntos de intersección; sea \( S'' \) una de las dos cónicas que pasan por A, B, C, D y son tangentes á \( e, f, g, h \). Demostrar que las tangentes á \( S'' \) en los puntos en que es cortada por \( S' \), son tangentes á \( S \). Las cónicas del sistema (\( S, S', S'' \)) son así permutables circularmente (1)

(G. Fontené).

299 Sea un triángulo ABC y un punto M de su plano; AM, BM, CM cortan á BC, CA, AB en A', B', C'.

1.º Trazar una recta que corte á MA, MB, MC respectivamente en tres puntos A'', B'', C'' tales, que los segmentos AA'', BB'', CC'' sean iguales.

2.º Trazar una recta que corte á MA, MB, MC en tres puntos A'', B'', C'' ta es, que los segmentos A'A'', B'B'', C'C'' sean iguales

(E. Lemoine).

300 Siendo \( tg \alpha, tg \beta, tg \gamma \) raíces de la ecuación

\[
A_0 x^3 + 3 A_1 x^2 + 3 A_2 x + A_3 = 0
\]

calcular \( tg(\alpha - \beta) \ tg(\beta - \gamma) \ tg(\gamma - \alpha) \).

(J. Neuberg).

301 Construir triángulos no isósceles tales que las bisectrices de dos ángulos exteriores sean iguales.

(G. Fontené).

(1) Este sistema se presenta como caso particular de un sistema de seis cónicas de las que tres se hallan descritas por los vértices de un triángulo variable ABC, siendo las otras tres las envolventes de los lados del triángulo.
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 5

(1) \( \frac{u}{a_{11} x + a_{12} y + a_{13} s} = \frac{v}{a_{21} x + a_{22} y + a_{23} s} = \frac{w}{a_{31} x} \ldots \)

que dan lugar á las fórmulas inversas

(2) \( \frac{x}{A_{11} u + A_{12} v + A_{13} w} = \frac{y}{A_{12} u + A_{22} v + A_{23} w} = \frac{s}{A_{13} u + \ldots} \);

se tendría una polaridad recíproca, si se supusiese \( a_{pq} = a_{qp} \), lo que no se supone.

Dando así un punto primitivo M lugar á una recta transformada \( \mu \), si este punto M describe una recta \( \mu \), la recta transformada \( \mu \) pasará por un punto fijo \( \overline{M} \), y se dirá que la recta primitiva \( \mu \) da lugar á un punto transformado \( \overline{M} \), hallándose ligados este punto y esta recta por las relaciones

(3) \( \frac{x}{A_{11} u + A_{12} v + A_{13} w} = \frac{y}{A_{21} u + A_{22} v + A_{23} w} = \frac{s}{a_{31} u + \ldots} \)

que dan lugar á las relaciones inversas

(4) \( \frac{u}{a_{11} x + a_{21} y + a_{31} s} = \frac{v}{a_{12} x + a_{22} y + a_{32} s} = \frac{w}{a_{13} v + \ldots} \).

Se pasa de un punto á la recta transformada mediante las fórmulas (1), y se vuelve de una recta al punto primitivo mediante las fórmulas (2); se pasa de una recta al punto transformado mediante las fórmulas (3), y se vuelve de un punto á la recta primitiva mediante las fórmulas (4). Cuando un punto M y una recta \( \mu \) están asociados, es decir, cuando el punto se halla en la recta, los elementos transformados también lo están, y lo mismo sucede á los elementos primitivos.

Dos puntos M y M' son conjugados en el orden MM' cuando, considerando la serie

\( \mu',\ M,\ M',\ \overline{\mu} \)

en la que \( \mu' \) es la recta primitiva del punto M', los dos últimos elementos están asociados, de modo que los dos primeros también lo están; se tiene entonces:
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 6

\[(a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z) x' + (a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z) y' + (a_{31} x + \ldots) z' = 0\]
ó todavía
\[(a_{11} x' + a_{21} y' + a_{31} z') x + (a_{12} x' + a_{22} y' + a_{32} z') y + (a_{13} x' + \ldots) z = 0.\]

Se definen de igual manera dos rectas conjugadas en un orden dado.

Los puntos que son conjugado á sí mismos se hallan en una cónica F, las rectas conjugadas á sí mismas son tangentes á una cónica \( \gamma \); estas dos cónicas son doblemente tangentes; determinan la corrección, y se construye facilmente por medio de ellas la recta transformada de un punto, ...

5. Definiremos la pseudo-distancia de dos puntos relativamente á la cónica F y el pseudo-ángulo de dos rectas relativamente á la cónica \( \gamma \). Dados dos puntos A y B, la recta AB corta á la cónica F en dos puntos F' y F"; dadas dos rectas \( x \) y \( \beta \), se pueden trazar por su intersección dos tangentes \( \gamma' \) y \( \gamma'' \) á la cónica \( \gamma \); designando por R y \( \varepsilon \) las relaciones anarmónicas (A, B, F', F"), (x, \( \beta \), \( \gamma' \), \( \gamma'' \)), pondremos, con logaritmos neperianos,

\[
\left\{ \begin{array}{l}
\overline{AB} = \frac{1}{2i} \log R, \\
x \beta = \frac{1}{2i} \log \varepsilon,
\end{array} \right.
\]

y diremos que \( \overline{AB} \) es la pseudo-distancia de los puntos A y B, que \( x \beta \) es el pseudo-ángulo de las rectas \( x \) y \( \beta \).

Suponiendo que F y \( \gamma \) sean dos elipses imaginarias, cuyas ecuaciones tienen coeficientes reales, en cuyo caso R y \( \varepsilon \) son imaginarios de módulo 1, tendremos por ejemplo, con \( \overline{AB} \) real,

\[
\left\{ \begin{array}{l}
\cos \overline{AB} + i \sin \overline{AB} = e^{i \overline{AB}} = \sqrt{R}, \\
\cos \overline{AB} - i \sin \overline{AB} = e^{-i \overline{AB}} = \frac{1}{\sqrt{R}},
\end{array} \right.
\]

ó

\[
\frac{i \sin \overline{AB}}{R - 1} = \frac{\cos \overline{AB}}{R + 1} = \frac{1}{2 \sqrt{R}}
\]
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 7

Se tiene, para tres puntos en línea recta, no influyendo aquí la ambigüedad de los puntos F' y F'',

(8) \[ \overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}; \]

esto resulta de la regla de composición de las relaciones anarmónicas:

\[(A B F' F'') \times (B C F' F'') = (A C F' F'').\]

6. Es preciso ahora introducir la noción de parámetro de una recta ó de un punto. Sea una recta \( \mu \): a todo punto M de esta recta corresponde sobre la recta, un punto, que designaremos por \( \overline{M} \), tal que los dos puntos están conjugados en el orden \( M \overline{M} \), y se obtiene este punto cortando la recta \( \mu \) por la transformada del punto M; así se establece sobre la recta una homografía y no una involución, como en el caso de una polaridad recíproca: la constante de esta homografía es, como se sabe, el valor de la relación anarmónica \((M, \overline{M}, F', F'')\), puesto que F' y F'' son sus puntos dobles, la pseudo-distancia constante relativa á los puntos M y \( \overline{M} \) será el parámetro T de la recta \( \mu \). Se define de una manera análoga el parámetro \( b \) de un punto M.

7. Podemos entonces definir los dos elementos métricos que aparecen en las fórmulas, el uno relativo á dos puntos A y B y dependiente á la vez de la pseudo-distancia \( \overline{AB} \) y del parámetro de la recta AB, el otro relativo á dos rectas \( x \) y \( \beta \) y dependientes á la vez del pseudo-ángulo \( \overline{x \beta} \) y del parámetro del punto de intersección de las dos rectas. Para dos puntos A y B situados en una recta cuyo parámetro es T, para dos rectas \( x \) y \( \beta \) que se cortan en un punto cuyo parámetro es \( b \), escribiremos

(9) \[ \sigma(A, B) = \frac{\operatorname{sen} \overline{AB}}{\operatorname{sen} T}, \quad \sigma(x, \beta) = \frac{\operatorname{sen} \overline{x \beta}}{\operatorname{sen} b}; \]

se debe poner una vírgula entre A y B, para \( \sigma(A, B) \) por ejemplo, con objeto de mostrar que es una cantidad dependiente esencialmente de la posición de los puntos A y B en el plano.

Para hacer ver la importancia de estas funciones \( \sigma \), bastará decir que se tiene, para un triángulo ABC (*Bulletin loc. cit.*):
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 8

\[
\frac{\sigma (B, C)}{\sigma (\beta, \gamma)} = \frac{\sigma (C, A)}{\sigma (\gamma, \alpha)} = \frac{\sigma (A, B)}{\sigma (\alpha, \beta)}
\]

siendo las rectas \( \alpha, \beta, \gamma \) las que llevan los lados del triángulo.

8. Por otra parte, dos puntos A y B determinan sobre la recta AB otros puntos que están íntimamente ligados con ellos, y por esto, nuevas \( \sigma \), que constituyen funciones importantes para el sistema de los puntos A y B. Como estos dos puntos dan lugar á dos cantidades esenciales de las que la una es la pseudo-distancia \( \overline{AB} \) y la otra el parámetro de la recta AB, es preciso buscar dos funciones que sean de las \( \sigma \), cuyo conocimiento conduzca al de las dos cantidades precedentes. Se consideran para esto las series

A, B, \( \overline{A} \) y \( \underline{A}, B, A, \)

para las que se tiene, con pseudo-distancias

\[
A B + B \overline{A} = T, \quad \underline{A} B + B A = T,
\]

y se escribe

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\gamma (A, B) = \sigma (B, \overline{A}) = \frac{\operatorname{sen}(T - \overline{AB})}{\operatorname{sen} T}, \\
\gamma (B, A) = \sigma (\underline{A}, B) = \frac{\operatorname{sen}(T + \overline{AB})}{\operatorname{sen} T}.
\end{array}
\right.
\]

(10)

Se tiene facilmente

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\gamma (A, B) + \gamma (B, A) = 2 \cos \overline{AB}, \\
\gamma (A, B) + \gamma (B, A) = 1 - \sigma^2 (A, B).
\end{array}
\right.
\]

(11)

Por analogía con la cotangente, se escribe además

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{\tau} (A, B) = \frac{\gamma (A, B)}{\sigma (A, B)} = \frac{\operatorname{sen}(T - \overline{AB})}{\operatorname{sen} \overline{AB}} \\
\frac{1}{\tau} (B, A) = \frac{\gamma (B, A)}{\sigma (B, A)} = \frac{\operatorname{sen}(T + \overline{AB})}{-\operatorname{sen} \overline{AB}},
\end{array}
\right.
\]

(12)
El Progreso matemático (1900-01-01 00:00:00), página 9

de donde se deduce, por ejemplo,

\[
\frac{1}{\tau} (A, B) + \frac{1}{\tau} (B, A) = -2 \cos T.
\]

Se definen de una manera análoga las cantidades \( \gamma (\alpha, \beta) \) y \( \gamma (\beta, \alpha) \) relativas á dos rectas, así como las cantidades \( \frac{1}{\tau} (\alpha, \beta) \) y \( \frac{1}{\tau} (\beta, \alpha) \). Consideraciones, que no indicamos aquí, conducen á decir que un \( \gamma \) es un comomento.

9. Para tres puntos A, B, C en línea recta, se tiene

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\sigma (A, B) = \sigma (C, B) \gamma (C, A) - \sigma (C, A) \gamma (C, B), \\
\overline{AB} = \overline{CB} - \overline{CA};
\end{array}
\right.
\]
(13)

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\gamma (A, B) = \gamma (A, C) \gamma (C, B) - \sigma (A, C) \sigma (C, B) \\
\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB};
\end{array}
\right.
\]
(14)

\[
\frac{1}{\tau} (A, B) = \frac{\frac{1}{\tau} (A, C) \frac{1}{\tau} (C, B) - 1}{\frac{1}{\tau} (C, B) - \frac{1}{\tau} (C, A)}
\]
(15)

10. Un triángulo da lugar á doce elementos principales, que son tres pseudo-distancias, tres pseudo-ángulos, seis parámetros, ó mejor, seis comomentos tales como \( \gamma (A, B) \) y \( \gamma (B, A) \) y otros seis tales como \( \gamma (\alpha \beta) \) y \( \gamma (\beta, \alpha) \).

Además puede demostrarse que existe un número simplemente infinito de figuras que tienen los mismos elementos métricos relativamente á las cónicas F y \( \varphi \). Basta observar que F y \( \varphi \) pueden ser transformados proyectivamente en dos círculos concéntricos; y de esto se sigue que cinco elementos métricos de un triángulo determinan los otros siete. Existen pues, siete relaciones distintas entre los doce elementos fundamentales de un triángulo. De ellas hay seis cuyo tipo es

\[
\gamma (A, C) = \gamma (A, B) \gamma (B, C) - \sigma (A, B) \sigma (B, C) \times \gamma (\gamma, \alpha)
\]
(16)

atendiendo á que se pueden considerar \( \gamma (A, C) \), \( \gamma (C, A) \), etc., ó lo que es igual,
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

MÉTRICA ANINVOLUTIVA
por M. G. Fontené

1. En el primer número de El Progreso Matemático del año 1900, he indicado los principios de una Métrica aninvolutiva, y dado las fórmulas relativas al triángulo. Los elementos esenciales para un triángulo ABC cuyos lados están llevados por rectas \( \alpha, \beta, \gamma \) son en número de doce: hay por una parte seis comomentos tales como \( \gamma (B, C), \gamma (C, B) \) á los que se refieren tres cantidades tales como \( \sigma (B, C) \), dadas por fórmulas cuyo tipo es

\[
\sigma^2 (B, C) = 1 - \gamma (B, C) \times \gamma (C, B),
\]

y, por otra parte, seis comomentos tales como \( \gamma (\beta, \gamma), \gamma (\gamma, \beta) \), á los que se refieren cantidades tales como \( \sigma (\beta, \gamma) \), dadas por fórmulas análogas á la precedente.

Estas doce cantidades, y una constante que debe tomarse como parámetro del plano, se hallan ligadas por siete relaciones distintas, puesto que existe una simple infinidad de triángulos que tienen los mismos elementos métricos: dada la constante, los doce elementos considerados estarán, en efecto, ligados por siete relaciones, de las que se podrán tomar cinco arbitrariamente, lo que dejará un parámetro para el triángulo desde el punto de vista de la magnitud y de la posición.

Si se elimina la constante del plano, deben quedar pues, seis relaciones distintas entre los doce elementos del triángulo; en cuanto á la séptima relación, en que entraba la constante, es ya de una
El Progreso matemático (1900-03-01 00:00:00), página 10

6, según la fórmula (3') del grupo III y la fórmula (3) del grupo IV,

\[
a^1 \frac{b}{c} \frac{c'}{A} = b^2 \frac{a}{c} \frac{c'}{B}, \quad \delta \quad \frac{a}{A} = \frac{b}{B},
\]

pero este último cálculo ofrece poco interés.

NOTA ACERCA DE UN PONTO DEL PLANO DE UN TRIÁNGULO (1)

Dado un triángulo ABC, tomemos sobre los lados BC, AC, AB respectivamente puntos \( M_1, M_2, M_3 \), tales que

\[
\frac{B\ M_1}{M_1\ C} = \frac{c^m}{b^m}, \quad \frac{C\ M_3}{M_2\ A} = \frac{a^m}{c^m}, \quad \frac{A\ M_2}{M_3\ B} = \frac{b^m}{a^m}
\]

Por el recíproco del teorema de Ceva, se sabe que las rectas \( AM_1, BM_2, CM_3 \) concurren en un punto \( M \).

Para \( m \) igual sucesivamente á 0, 1, -1, 2, . . . . tendremos, el centro de gravedad, el centro del círculo inscrito, el punto de concurso de las antibisectrices, el punto de Lemoine, . . . .

Para los valores, \( m, -m, -m+2 \), tendremos el punto \( M \), su recíproco y su isogonal.

Si designamos por \( x, y, z \), las coordenadas normales absolutas de \( M \), se tendrá

\[
\frac{x}{a^{m-1}} = \frac{y}{b^{m-1}} = \frac{z}{c^{m-1}}
\] (M)

Se podrán determinar inmediatamente las coordenadas de los puntos \( M_a, M_b, M_c \) asociados del punto \( M \).

(1) Al estudiar algunos trabajos acerca del punto de Lemoine, escribi esta Nota. Consulté con el distinguido profesor de Lieja Mr. Neuberg, el cual me comunicó que los señores Lemoine y Longchamps habían hecho algunos trabajos de generalización, de los cuales no tengo noticia. Mucho me felicitaría si este trabajo sirviese de motivo para que alguno de los ilustrados colaboradores de El Progreso Matemático se decidiera á completar esta Memoria. (A. K.)