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El Progreso matemático (1900-11-01 00:00:00), página 5

nombres \( a, b, c, \ldots l \), dont la somme est nulle, ce qui demande que les uns soient positifs et les autres négatifs. Les nombres \( m a, m b, \ldots \) sont tous entiers et on a

\[
1 = \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m a + \ldots + m l} > (1 + a) \ldots (1 + l)^{(n)}
\]

d'après (15) changeons \( a, b, \ldots l \) en \( \frac{a}{Q}, \frac{b}{Q}, \ldots \frac{l}{Q} \), il viendra

\[
Q^n > (Q + a) \ldots (Q + l)
\]

C. Q. F. D.

(*) L'inégalité \( 1 > (1 + a) \ldots (1 + l) \) peut se démontrer directement ainsi: soient les \( k \) nombres \( a, x, b, \ldots c \) dont la somme est nulle et soit par exemple \( a > 0, a < 0 \); on aura \( a a > 0, d'où \)

\[
1 + a + a > (1 + a)(1 + a)
\]

Supposons que l'inégalité à démontrer ait lieu pour \( k - 1 \) nombres quelconques; puisque la somme des \( k - 1 \) nombres \( a + a, b, \ldots c \) est nulle, on a:

\[
1 > (1 + a + a)(1 + b) \ldots (1 + c)
\]

d'où, multipliant par \( (a) \), ce qui est possible si \( 1 + a > 0 \),

\[
1 > (1 + a)(1 + a)(1 + b) \ldots (1 + c);
\]

elle a donc lieu pour \( k \) nombres. Or elle a lieu pour \( k = 2 \) puisque \( 1 > (1 + a)(1 - a) \): elle est donc générale.

Autre démonstration. Corrélativement, si le produit de \( n \) nombres positifs est égal à l'unité, leur somme sera \( > n \). Supposons le théorème vrai pour \( k - 1 \) nombres et que le produit des \( k \) nombres \( a, a, b, \ldots c \) est égal à l'unité, on aura par hypothèse:

\[
aa + b + \ldots + c > k - 1
\]

Solt \( a > 1 \) et \( a < 1 \), il viendra \( (1 - a)(1 - a) < 0, d'où \)

\[
a + a > aa + 1
\]

et ajoutant (3) et (7), \( a + a + b + \ldots + c > k \)

or \( a + \frac{1}{a} > 2 \): la proposition est donc vérifiée, et on peut poser, \( n \) désignant le nombre des quantités \( a, b, \ldots l \),

\[
ab \ldots l = 1, \quad a + b + \ldots + l > n
\]

d'où, en changeant \( a, b, \ldots l \) en \( \frac{a}{Q}, \frac{b}{Q}, \ldots \frac{l}{Q} \),

\[
ab \ldots l = Q^n, \quad a + b + \ldots + l > n Q
\]
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3.—La relation (12) a lieu également pour \( n \) fractionnaire \( > 1 \). En effet les \( n + q \) facteurs du produit \( (1 + \alpha x)^n (1 + \beta x)^q \) sont positifs, ce produit est plus petit que la \( (n + q)^e \) puissance de leur moyenne arithmétique. On a ainsi:

\[
(1 + \alpha x)^n (1 + \beta x)^q < \left( 1 + \frac{n \alpha + \beta^q}{n + q} x \right)^{n + q}
\]

d'où, en posant

\( 1.\circ \ \alpha = 0, \beta = \frac{p}{q}, n = p - q, \) et \( 2.\circ \ \alpha = 1, \beta = - \frac{p}{q}, n = p, \)

\[
\frac{1}{1 - \frac{p}{q} x} > (1 + x)^{\frac{p}{q}} > 1 + \frac{p}{q} x
\]
(17)

4.—Dans la première inégalité changeons \( x \) en
\[
\frac{x}{n} \quad \text{et en} \quad - \frac{x}{n(1 + x)}, \quad \text{il viendra}
\]
\[
1 + \frac{x}{n} > \sqrt[n]{1 + x} > 1 + \frac{x}{n(1 + x)} \quad (x^2 < 1)
\]
(18)

Applications. I.—Les Anciens avaient remarqué l'égalité approximative \( \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} \), comme on le voit par exemple dans Héron et Théon de Smyrne. La double inégalité
\[
a \pm \frac{r}{2s} > \sqrt{a^2 \pm s} > a \pm \frac{r}{ea + 1}
\]
(19)
se rencontre chez Al-karki (commencement du XIIe siècle).
II.—De là une autre démonstration de (17). En effet pour \( p > q \), on a d'après la seconde (18) et la première (12)
\[
\left( \sqrt{1 + x} \right)^{p - q} > \left[ 1 + \frac{x}{q(1 + x)} \right]^p > 1 + \frac{p - q}{p} \frac{x}{1 + x}
\]
d'où, la seconde (17) en multipliant par le nombre positif \( 1 + x \). D'ailleurs on a, d'après la première (18, et la seconde (12),
\[
(1 + x)^{\frac{p}{q}} < \left( 1 + \frac{x}{q} \right)^p < \frac{1}{1 - \frac{p}{q} x}
\]
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III.—De (4) on tire une autre démonstration, due à Cauchy (Ex. d'An. et de Phys. tome IV, 1847.) Posons \( p Z_p = \frac{1 - s^p}{1 - s} \), on aura pour \( p > q \)

\[
\frac{1}{s^p} (Z_p - Z_q) = (1 + s + s^2 + \ldots s^{p-q-1})
\]
\[
- \frac{p-q}{q} \left( \frac{1}{s^q} + \ldots + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s} \right)
\]

Si \( s < 1 \), la première partie du second membre est \( < p - q \) et la seconde \( > p - q \); par suite le premier membre est \( < 0 \), et on a \( Z_p < Z_q \). De même, si \( s > 1 \), on arrivera à \( Z_p > Z_q \). On retrouvera la seconde inégalité (17) en posant \( s = \sqrt[q]{1 \pm x} \).

IV.—On a:

\[
n + 1 > \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{\frac{n+1}{n}} > \frac{n-1}{n}
\]

d'où, en changeant \( n \) en 2, 3, 4, ... \( n \), et multipliant:

\[
4 > \sqrt[n+1]{1} \sqrt[2]{2} \sqrt[3]{3} \sqrt[4]{4} \sqrt[5]{5} \ldots \sqrt[n]{n} > 2
\]

(20)

5.—Par le point M de la courbe \( y = x^n \) et dont les cordonnées sont OP, PM, menons la tangente MT, coupant l'axe des \( x \), OP, en un point T: on aura TP = \( \frac{OP}{m} \); en effet considérons une autre ordonnée quelconque NO coupant la tangente en R. On a:

\[
RQ = \frac{MP (OP \pm PQ)}{TP} = OP^n \left( 1 \pm m \frac{PQ}{OP} \right)
\]
\[
NQ = (OP \pm PQ)^n = OP^n \left( 1 \pm \frac{PQ}{OP} \right)
\]

d'où, si \( m \) est un nombre entier ou fractionnaire \( > 1 \), \( NQ > RQ \).

C. Q. F. D.

Autrement.—Par le point \((a, b)\) de la courbe \( x^p y^q = 1 \), faisons passer la droite \( Y - b = a (x - a) \), le coefficient angulaire \( a \) étant
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à déterminer. Pour que cette droite soit tangente, il faut et il suffit que partout ailleurs, son ordonnée Y soit plus petite que l'ordonnée y de la courbe, ce qui demande que l'expression \( \frac{Y}{y} \) atteigne son maximum pour \( x = a \). Or le maximum de \( \frac{Y^q}{y^q} = Y^q x^p \) a lieu en même temps que celui de \( Y^q (a x)^p \), c'est-à-dire quand on a

\[
\frac{Y}{q} = \frac{a x}{p}
\]

puisque la somme \( Y + a x \) est constante. Le maximum a donc lieu quand on a \( p Y = q a x \): faisons donc \( x = a \) et par suite \( Y = b \), on aura

\[
a = \frac{p b}{q a}, \quad \text{d'où} \quad x = \frac{p}{q} a - a
\]

pour l'abscisse du pied de la tangente, où \( Y = 0 \).

6.—La quadrature des paraboles peut se déduire de ce qui précède, en considérant le triangle formé par deux tangents voisines, ou le parallélogramme déterminé par deux ordonnées voisines. Mais on peut y arriver directement et d'une manière tout aussi élémentaire, comme il suit.

Posons \( 1^p + 2^p + 3^p + \ldots + n^p = \Sigma \);
de (9) on tire \( \Sigma < \frac{n \ldots (n+p)}{p+1} < \frac{(n+p)^{p+1}}{p+1} \)

Or si dans (9) on change \( n \) en \( n-p+1 \), il viendra

(21) \( 1.2 \ldots p + 2.3 \ldots (p+1) + \ldots \)
\[
+ (n-p+1) \ldots n = \frac{(n-p+1) \ldots (n+1)}{p+1}
\]

ce qui conduit à

\[
\Sigma > p^p + (p+1)^p + \ldots + n^p > \frac{(n-p+1) \ldots (n+1)}{p+1}
\]
\[
> \frac{(n-p+1)^{p+1}}{p+1}
\]
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On a donc:

\[
\frac{1}{p+1} \left(1 - \frac{p+1}{n}\right)^{p-1} < \frac{\Sigma}{n^{p+1}} < \frac{1}{p+1} \left(1 + \frac{p}{n}\right)^{p+1}
\]

et par conséquent:

\[
\lim \frac{\Sigma}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1}
\]

Cette remarquable formule donnée par Archimède (περὶ ἀλγον) pour le cas de \( p = 2 \), l’a été ensuite par Cavalieri, pour \( p \) entier quelconque (Ex. geom. 1647): il l’avait trouvée vers 1639. La démonstration est pénible, peu rigoureuse et manque de généralité. Fermat, Roberval et Descartes en connaissaient l’équivalent dès 1636, même pour \( p \) fractionnaire. Elle a été démontrée rigoureusement pour la première fois par Pascal dans l’opuscule Potest. numer. summa, écrit et divulgué avec le Traité du tri. arith. en 1654, mais publié seulement en 1665; il s’appuie sur la formule de la somme des puissances semblables des termes d’une progression arithmétique.

La formule de Cavalieri est le point de départ du célèbre ouvrage de Wallis Arith. inf. (Oxford, 1655.) Il l’étend aux polynômes entiers et au cas de \( p \) fractionnaire ou négatif, mais sans démonstration suffisante.

7.—On peut la démontrer directement ainsi dans le cas général.
De (17) on tire, en désignant par \( m \) un nombre fractionnaire \( > 1 \), par \( x \) et \( y \) des nombres positifs plus petits que l’unité:

\[
\frac{(1+x)^m - 1}{x} > m > \frac{1 - (1-y)^m}{y}
\]

d’où, en faisant

\[
x = \frac{a}{b} - 1, \quad y = 1 - \frac{b}{a}
\]

la relation

\[
m a^{m-1} > \frac{a^m - b^m}{a-b} > m b^{m-1} \qquad (a > b > 0, m > 1)
\]

trouvée par Mac Laurin (Tr. of flux. 1742) pour le cas de \( m \) entier, comme conséquence de (4).
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DEUX DÉMONSTRATIONS NOUVELLES
DES THÉORÈMES D'EULER ET DE MEUSNIER

1. Les principales méthodes dont on démontre habituellement les deux théorèmes bien connus de la théorie des surfaces contenus dans les égalités suivantes

\[
z' = z \cos \theta, \quad \frac{1}{z'} = \frac{\cos^2 \varphi}{z_1} + \frac{\sin^2 \varphi}{z_2},
\]

peuvent être classées comme il suit.

a) Méthode géométrique. On démontre le théorème d'Euler au moyen de l'indicatrice de Dupin, et ensuite par de simples considérations géométriques le théorème de Meusnier. (Voir p. e. Sturm, Analyse, II, 9ème édition, p. 236, pour le premier théorème; I. N. Zarzidax, Διαφορικός Αριθμός (Athènes, 1889, Calcul différentiel), p. 413-422 (pour tous les deux) etc. etc.)

b) Méthode analytique. On démontre les deux théorèmes au moyen de l'équation de la surface (ou des équations, si l'on prend la manière la plus générale de déterminer les points de la surface au moyen de deux paramètres \( u, v \)) et des quantités qui s'y rattachent. (Voir p. e. Knoblauch, Flächen, pp. 25, 35, 41-2; Bianchi, Geometria Differenziale, pp. 100, 102; Sturm, Analyse, II, pp. 227-231; etc. etc.)

c) Méthode cinématique. On démontre les théorèmes au moyen de la théorie cinématique des courbes et des surfaces (Voir p. e.
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La idea de considerar el círculo como un polígono regular inscrito de un número infinito de lados, y obtenido por la duplicación repetida del número de estos lados, se debe á Antifonte; y si esta consideración fué al principio estéril, se debe reconocer que dió pié para acometer la resolución del problema.

Hippócrates de Chio (hacia 450) creyó llegar á ésta de otra manera, por medio de las lúnulas. Habiendo descrito cuadrantes sobre la hipotenusa y los lados de un semi-cuadrado se apercibió de que el área de la lúnula \( \alpha \) es igual á la del triángulo (*).

Fig. 1.*

Fig. 2.*

lo (*). De igual modo, sobre el diámetro y los lados de un semi-exágono, construyamos semicírculos (fig. 2) y un cuarto semicírculo \( \delta \) igual á cada uno de los tres últimos. La suma de las áreas de las lúnulas \( \alpha, \beta, \gamma \) y del semicírculo \( \delta \) es igual á la del semi-exágono.

La cuadratura del círculo se lograría si se pudiese reducir la cuadratura de la lúnula \( \alpha \) á la de la fig. 1; pero esto no es posible.

Hippócrates examinó otras tres lúnulas: aquélla en la que los arcos son de 120° en el interior y de 180° en el exterior, aquéllas en que son respectivamente de 60° y de 120° y, en fin, otra bastante más complicada y que tendería á probar que estaba en posesión de la resolución gráfica de las ecuaciones de segundo grado.

Se debe una cita á Bryson que pensaba que el círculo es igual á cierto cuadrado intermedio entre el cuadrado inscrito y el circunscribo, nuevo encauzamiento hacia el método de Arquímedes. (**)

Hemos dado cuenta de los teoremas de Euclides y de Arquímedes relativos á la medida del círculo (J. S. 1896 pags. 227 y 274).

(*) Para hacer más perceptible esta cuadratura de la lúnula, se han propuesto diversas disposiciones: sobre los lados de un cuadrado se construyen cuatro lúnulas, ó las cuatro exteriores, ó dos exteriores y dos interiores etc. lo que da varias figuras cuadrables.

(**) Se encuentra en las Réc. math. y la Hist. de la quad. du cercle de Montucin un gran número de lúnulas cuadraibles. Por ejemplo, toda recta que pasa por el medio de A B (figur
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Terminaremos de exponer el descubrimiento de éste último por el del cálculo de la relación de la circunferencia al diámetro.

ra 1) determina con las dos circunferencias, supuestas completadas, por triángulos mixtilíneos cuadrables. (A de Llonne).

Dos rectas que forman ángulos iguales con la tangente en A al arco interior, determinan en la lúnula áreas cuadrables (Montucla).
Supongamos algunos de los rayos de los arcos A B (fig. 3) así como sus amplitudes; si los

Fig. 3.ª

Fig. 4.ª

Fig. 5.ª

Fig. 6.ª

ángulos formados por A B con las tangentes en A son como los dos círculos, la lúnula es cuadrable (J. S.).

Por uno de los puntos de intersección de las dos circunferencias iguales (fig. 4) se traza una tangente á una de ellas. Se forma así un triángulo mixtilíneo cuadrable (idem) (fig. 4).

Por el punto de contacto de dos circunferencias tangentes (fig. 5) se hace pasar una tercera circunferencia igual á las dos primeras, el cuadrilátero curvilíneo así formado es cuadrable é igual al cuadrilátero rectilíneo de iguales vértices (Lambert).

Si se colocan sobre una misma recta las cuerdas de dos sectores iguales (fig. 6), la lúnula será cuadrable (Montucla).

Si dos circunferencias concéntricas se cortan por dos radios en A, B, δ, e. (fig. 7) y se toma sobre una de ellas el arco AC que sea igual á AB en la misma proporción que los cuadrados de los radios, la superficie mixtilínea CBA a b es cuadrable (Vaignon).

Se tiene una lúnula formada por la intersección de dos círculos de radios 1 y \( \sqrt{2} \): cortaría por una paralela á la cuerda común que separa de ella una parte cuadrable (Ozanam).

Vieta generalizó así la teoría de las lúmulas: Si un arco A B es tal, que dividido en s partes iguales en B, C, D, ... la razón de A N á A B es un cuadrado entero; sobre A N como cuerda construiremos un segmento semejante al segmento A B; la lúnula así formada es igual al polígono A B C ... N.

Terminaremos con las figuras dadas por Cousinery (Geom des compas, Paris, 1851) y representadas por las figs. 8, 9, y 10, que no solamente son cuadrables, sino que podrían servir

Fig. 7.ª

Fig. 8.ª

Fig. 9.ª

Fig. 10

de emballosados de diversos colores. La última era conocida anteriormente, y se llamó pollicoides (en forma de hacha) en la Encyclop math. Se podrían encontrar facilmente otras figuras gozando de las mismas propiedades.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 12

La circunferencia es mayor que 3 veces \( \frac{10}{70} \) el diámetro y mayor que 3 veces \( \frac{10}{71} \) este mismo diámetro. Consideremos la tangente \( \Gamma'Z \) (fig. 11) en el extremo del radio \( F\Gamma' \) y sea el ángulo \( ZF\Gamma' \) igual á un tercio de recto. Se tendrá aproximadamente

\[
\frac{FZ}{\Gamma'Z} = \frac{306}{133}
\]

y \( \frac{EZ}{\Gamma'Z} > \frac{265}{153} (*) \)

Tracemos la bisectriz \( FH \), se tendrá

\[
\frac{\Gamma'F}{\Gamma'H} > \frac{571}{153}; \text{ luego } \frac{FH'}{\Gamma'H'} > \frac{349450}{23409} \text{ y } \frac{FH}{\Gamma'H} > \frac{591 \frac{1}{8}}{153}
\]

Bisequemos el ángulo \( H\Gamma'F \) por la recta \( F\Theta \), los ángulos \( \Theta F\Gamma', KFT \) por las rectas \( FK, AF \); se tendrá sucesivamente

\[
\frac{F\Gamma'}{\Gamma'\Theta} > \frac{1168 \frac{1}{8}}{153}; \text{ luego } \frac{\Theta F}{\Theta \Gamma'} > \frac{1172 \frac{1}{8}}{153}
\]

\[
\frac{F\Gamma'}{\Gamma'K} > \frac{2334 \frac{1}{4}}{153}, \text{ de donde } \frac{FK}{\Gamma'K} > \frac{2339 \frac{1}{4}}{153}
\]

\[
\frac{F\Gamma'}{A\Gamma'} > \frac{4673 \frac{1}{2}}{153}
\]

\( AB \) es el lado del polígono regular circunscrito de noventa y seis lados; luego la relación del perímetro de este polígono al diámetro es menor que

\[
\frac{14688}{4678 \frac{1}{2}} = 3 \frac{667 \frac{1}{2}}{4673 \frac{1}{2}} < 3 \frac{1}{7}
\]

y a fortiori la relación buscada es \( < 3 \frac{1}{7} \).
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 13

Consideremos ahora el semicírculo construído sobre \( A\Gamma' \) como diámetro (fig. 12). Si \( B A\Gamma' \) es igual á un tercio de un recto, se tiene

\[
\frac{AB}{B\Gamma'} < \frac{1351}{780} \quad (\text{**)}) \quad \text{y} \quad \frac{A\Gamma'}{1'\Gamma'} = \frac{1560}{780}.
\]

Tracemos la bisectriz del ángulo \( B A\Gamma' \), los triángulos \( A H\Gamma', \Gamma' HZ \) son semejantes, y se tiene

\[
\frac{AH}{H\Gamma'} = \frac{H\Gamma'}{HZ} = \frac{A\Gamma'}{\Gamma'Z} = \frac{\Gamma'A + AB}{B\Gamma'}
\]

luego

\[
\frac{AH}{H\Gamma'} < \frac{2911}{780} \quad \text{y} \quad \frac{A\Gamma'}{\Gamma'H} = \frac{3013 \frac{3}{4}}{780}.
\]

Bisequemos sucesivamente los ángulos \( \Gamma'AH, \Theta A\Gamma', K A\Gamma' \); se tendrá

\[
\frac{A\Theta}{\Theta\Gamma'} < \frac{5924 \frac{1}{4}}{780} = \frac{1823}{240}, \quad \text{luego} \quad \frac{A\Gamma'}{\Gamma'\Theta} < \frac{1838 \frac{9}{11}}{240}
\]

(*) y (**) Estos dos resultados han permitido pensar que los antiguos se servían para extraer las raíces cuadradas de métodos análogos á los que hemos indicado (J. S. p. 217). Era posible también que operasen por recurrencia, ó con auxilio de las fracciones continuas, de las que parece habían conocido ciertas propiedades. Fortis d' Urban ha notado, en efecto, que Aristarco de Samos (véase J. S. 1883, p. 165) sustituyendo la fracción \( \frac{71755873}{61735500} \) por la fracción \( \frac{43}{37} \), menor, pero poco diferente, el empleo de las fracciones continuas conduce al mismo resultado. Es poco probable que Aristarco haya llegado á esto fortuitamente.

Montucla, el primero, ha notado que Arquímedes calculó, por exceso, los lados de los polígonos circunscritos y, por defecto, los de los polígonos inscritos. Se tienen así límites medios rápidos, pero también se está seguro del sentido de la aproximación.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 14

\[
\frac{KA}{KT'} < \frac{3661 \frac{3}{11}}{240} = \frac{1007}{66}; \text{ luego } \frac{AI'}{TK} < \frac{1009 \frac{1}{6}}{66}
\]

\[
\frac{AA'}{AI'} < \frac{2016 \frac{9}{11}}{66}; \text{ luego } \frac{AI'}{IA'} < \frac{2017 \frac{1}{4}}{66}.
\]

Luego el perímetro del polígono de noventa y seis lados inscrito en un círculo está con el diámetro en una razón mayor que

\[
\frac{6336}{2017 \frac{1}{4}} > 3 \frac{10}{71} \quad \text{(L. Q. D. D.)}
\]

Debe notarse también la proposición siguiente de Arquimedes: *La sub-tangente á la hélice (espiral) es igual al arco de círculo correspondiente*, primer ejemplo de la utilización de la rectificación de las curvas y de la construcción de una tangente á una curva, obtenida por un procedimiento general. Por otra parte, ya nos hemos ocupado de ello (P. M. 1899, p. 131)

Nuevos límites, más aproximados del valor de la circunferencia al diámetro, fueron dados por Apolonio y después por Philon; es, además, todo lo que de esto se sabe.

Indicaremos aquí, según Pappus, una construcción probablemente debida á Dinóstrato, de la longitud de la circunferencia, completamente teórica. Supongamos que el radio OK (fig. 13) gire uniformemente al rededor del centro O, entre las dos posiciones OB, OA, mientras que la recta BC se mueve con uniformidad paralelamente á sí misma, entre dos posiciones OB, OA: la intersección M de las dos rectas móviles OK, QM es una curva BMX llamada *cuadratris* é imaginada por Hippias para resolver el problema de la trisección del ángulo. Por definición se tiene

(a)

\[
\frac{OQ}{OB} = \frac{\operatorname{arc} AK}{\operatorname{arc} AKB}.
\]

La proposición de Dinóstrato es que la *semicircunferencia que*
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 15

tiene OX por diámetro es igual al radio OA. De esto proviene el nombre de dicha curva, puesto que resuelve la cuadratura del círculo. Supongamos, en efecto, que el diámetro OP de la semi-circunferencia igual á OM sea <OX, la perpendicular levantada en P cortará á la cuadratriz en un punto M, y la relación (α) se transformará en \( \frac{OQ}{OP} = \frac{\text{arc } AK}{OA} \); pero \( \frac{OQ}{OP} = \frac{AL}{OA} \).

Se tendría pues, \( AL = \text{arc } AK \), lo que se sabe que es falso, según Arquímedes.

Supongamos ahora que el radio ON de la semi-circunferencia, igual á OA sea >OX. La circunferencia descrita por el radio ON cortará á la cuadratriz en cierto punta M, y (α) se reducirá á

\[
\frac{OQ}{OM} = \frac{\text{arc } AK}{OA}
\]

pero se tiene \( \frac{OQ}{OM} = \frac{KH}{OA} \),

de esto resultaría la igualdad \( \text{arc } AK = KH \), lo que es falso (*)

Cuando hayamos dicho que Bandhayana (hacia 140) da para el valor del lado del cuadrado igual al círculo, el valor

\[
\frac{7}{8} + \frac{1}{8.29} + \frac{1}{8.29.6} + \frac{1}{8.29.6.8}
\]

que Aryabhata (hacia 500) da el valor 3,1416, sacado probablemente de Apolonio, que aparece como su autor, según ciertas conjeturas bastante plausibles de M. Tannery (B. D. 1892); que Brahmegupta (hacia 600) da el valor \( \sqrt{10} \) para la relación de la

(*) La demostración de Pappus no es en el fondo más que la de la relación analítica \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \). Es fácil hoy, que contamos con el auxilio del Algebra, hallar una infinidad de curvas que presenten propiedades análogas; pero nos ha parecido interesante, desde el punto de vista histórico, recordar esta demostración.

La cuadratriz es fácil de trazar por puntos, haciendo sucesivamente el arco AB y el radio OB; pero el punto que es útil conocer, X, puede obtenerse así, puesto que entonces las dos rectas móviles se superponen. No se lograría tampoco tratando de construir la curva por un mecanismo adecuado, y además parecería una petición de principio, puesto que para regular el movimiento de las dos rectas OK y QM sería preciso poder rectificar, no sólo la circunferencia, sino un arco cualquiera.
El Progreso matemático (1900-07-01 00:00:00), página 16

circunferencia al diámetro (*): y que, en fin, se ve en el Lilavati de Bascara (1160) la relación

\[
\text{circ.} = \frac{4 \alpha d (c - a)}{\frac{5}{4} c^2 - \alpha (c - a)}
\]

entre un arc \( \alpha \), su cuerda \( c \), el diámetro \( d \) y la circunferencia; habremos dicho todo lo que es interesante recordar respecto á la cuestión que nos ocupa, hasta los tiempos modernos.

Hacia el siglo XV es cuando se advierten nuevos esfuerzos encaminados á llegar, desgraciadamente, á las concepciones aritméticas ó geométricas más desprovistas de buen sentido, y que se han perpetuado hasta nuestros días.

N. de Cusa, á propósito de la refutación de una pretendida cuadratura, se entregó á ciertas investigaciones de las que conviene citar los siguientes resultados:

Se tendrá mecánicamente la longitud rectificada de la circunferencia, haciéndola rodar sobre esta recta: un punto cualquiera de la circunferencia describirá una curva que, por sus intersecciones con la recta determina la logitud buscada (**).

En segundo lugar, llamando \( r \) al radio, \( c \) al círculo correspon-

(*) M. Rodei (S. M. 1879) ha notado que este valor es una simple transformación de la fracción \( \frac{12}{7} \), obtenida mediante el empleo de la fórmula aproximada

\[
\sqrt{a^2 + 1} = a + \frac{1}{2a + 1},
\]

conocida ya por Heron.

Se han dado á la expresión del número \( \pi \) otras explicaciones que nos parecen poco naturales (véase el t. II de Vorles. de M. Cantor y las Resr. und Probl. de M. Ball).

(**) No es preciso concluir de esto que Cusa sea el primero que consideró la cicloide; él tomaba la curva así determinada por un arco de círculo. Mersenne la tomó más tarde por una elipse. Galileo fué el primero, hacia 1590, que se propuso el estudio de esta curva. Es preciso admitir sin embargo, que fue acotada por los antiguos, porque los epíciclos de Apolonio no son otras que nuestras epícicloides, y es inverosímil que la idea de cicloide no se haya presentado á los que hubieron meditado sobre las curvas de Apolonio. Por otra parte, Carpo de Antioquía había imaginado, para cuadrar el círculo, una curva que llamaba de doble movimiento y que podía muy bien ser la cicloide, según M. Tannery (B. D. 1883).