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El centro del círculo circunscrito no se halla nunca en el círculo conjugado.

(E. Lemoine).

18. El ortocentro, el baricentro, el centro del círculo inscripto no se hallan nunca en el círculo de Brocard (prescindiéndose del caso del triángulo equilátero). Los centros de los círculos ex-inscriptos tampoco se hallan en él.

(E. Lemoine).

96. Se da una circunferencia tangente á los lados de un ángulo recto. Hallar el lugar del punto de intersección de las tangentes á la circunferencia trazadas por las proyecciones de uno de sus puntos sobre las dos tangentes rectangulares dadas.

(H. Brocard.)

98. Un círculo vertical de radio dado se mueve rodando sobre un círculo horizontal fijo de igual radio.
Se propone estudiar la superficie reglada engendrada por un diámetro del círculo móvil, secciones planas, línea de estricción, contorno aparente, pares de generatrices opuestas, etc.

(H. Brocard).

123. Se da una curva (C) referida á dos ejes rectangulares OX, OY. Se traza la tangente en un punto A de la curva, que escuena- tra á OY en B, después se toma sobre la tangente un segmento AM = AB.
Hallar la ecuación de la curva M derivada de la curva (C).

(H. Brocard.)

CUESTIONES PROPUESTAS

316. Dados un punto M variable en un círculo de centro O y radio R y dos puntos fijos D y D' en su diámetro, estudiar la variación de la suma MD + MD' en las diversas posiciones de los puntos D y D', sobre el diámetro.

(E. Lemoine).

320. Dados un círculo O y una recta DE, desde un punto D se trazan las rectas DA, DB tangentes al círculo O en A y B.
Hallar el lugar del punto M de intersección de DB con OA.

(H. Brocard).
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321. Se dan dos ejes rectangulares OX, OY y un círculo I de radio \(a\). Se trazan al círculo dos tangentes paralelas T y T' que encuentran á OX y OY en cuatro puntos A, B, C, D. Obtener el lugar de los puntos de intersección de una de estas rectas con las circunferencias que pasan por tres de los cuatro puntos.

(H. Brocard).

322. Hallar la envolvente de las asíntotas de las hipérbolas equilátras que tienen una cuerda normal común.

(V Retali).

323. Se prolongan los lados AB, BC, CA de un triángulo en BB' = CC' = AA' = \(\lambda\) y los lados BA, CB, AC en AA'' = BB'' = CC'' = \(\lambda\). Las rectas A'A'', B'B'', C'C'' forman un nuevo triángulo cuya área se pide.

(J. Neuberg.)

324. Conocidos los centros de tres rectángulos máximos inscriptos en un triángulo ABC, construir este triángulo.

(J. Neuberg).

325. En todo tetraedro regular el baricentro de los pies de las perpendiculares bajadas desde un punto cualquiera M sobre las caras se halla á los 2/3 de la distancia de M al centro del tetraedro.

(J. Neuberg).

326. Construir un cuadrilátero inscriptible en un círculo conociéndose las distancias del centro del círculo á los lados.

(J. Neuberg).

327. Si el triángulo A_i; B_i; C_i es isobárico con ABC, es decir, si las coordenadas bariénticas de los puntos A_i, B_i, C_i con relación al triángulo ABC son (\(\alpha, \beta, \gamma\)), (\(\beta, \gamma, \alpha\)), (\(\gamma, \alpha, \beta\)).

1.º las rectas trazadas para A_i, B_i, C_i paralelamente á BC, CA, AB ó á CA, AB, BC ó á AB, BC, CA pasan por un mismo punto M, ó N, ó P; 2.º las rectas trazadas por A, B, C paralelamente á B_i C_i, C_i A_i, A_i B_i, ó á C_i A_i, A_i B_i, B_i C_i ó á A_i B_i, B_i C_i, C_i A_i pasan por un mismo punto M', ó N', ó P'; 3.º los triángulos MNP, M'N'P', son triplemente homológicos con el triángulo C_i B_i' A_i'; 4.º las coordenadas bariénticas de los puntos M, N, P son (\(\alpha, \gamma, \beta\)), (\(\gamma, \beta, \alpha\)), (\(\beta, \alpha, \gamma\)).

(H. Van Aubel)

328. Sean BA'C, CB'A, AC'B triángulos isósceles directamente semejantes construidos sobre los lados de un triángulo ABC como bases y A_1B_1C_1 un triángulo isobárico con ABC. Demostrar que
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si A₁ es un punto cualquiera de la paralela á BC trazada por el centro de gravedad G de ABC, las rectas trazadas por A₁, B₁, C₁ paralelamente á B'C', AB', C'A' concurren en un punto.

(H. Van Aubel)

329. Siendo el triángulo A₁B₁C₁ isobárico con ABC, sean λ, μ, ν los puntos de intersección de B₁C₁ con los lados BC, CA, AB, análogamente λ', μ', ν', λ'', μ'', ν'' los de C₁A₁, A₁B₁ con estos lados. Demostrar que los puntos λ, μ, ν dividen estos lados en una misma razón, y que lo mismo sucede con los puntos λ', μ', ν' y los puntos λ'', μ'', ν''.

(H. Van Aubel).

330. Sobre los lados BC, BA, AB de un triángulo ABC, se toman tres puntos cualesquiera A₁, B₁, C₁ y sobre los lados del triángulo A₁B₁C₁ los puntos A₂, B₂, C₂ tales que

\[
\frac{B₁A₂}{B₁C₁} = \frac{BA₁}{BA}, \quad \frac{C₁B₂}{C₁A₁} = \frac{CB₁}{CA}, \quad \frac{A₁C₂}{A₁B₁} = \frac{AC₁}{AB}
\]

sean D₁, E₁, F₁ los puntos de intersección de las rectas AA₁, BB₁, CC₁ con los lados opuestos del triángulo ABC. Se tiene en magnitud y signo las relaciones:

1° \( \frac{BD}{DO} \cdot \frac{BA₁}{A₁C} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{AB}{AC₁} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{CB}{B,A} = \ldots, \frac{AF}{FB} \cdot \frac{AC₁}{C₁B} = \ldots \)

2° \( \frac{AA₂}{AD} = \frac{BA₁}{BC} \cdot \frac{AC₁}{AB} + \frac{CA₁}{CB} \cdot \frac{AB}{AC} \cdot \frac{BB₁}{BE} = \ldots, \frac{CC₁}{CF} = \ldots \)

(H. Van Aubel).

331. Si P es un punto cualquiera de la elipse tangente en B, C á los lados AB, AC que pasan por el centro de gravedad G del triángulo ABC y A', B', C' son los puntos de intersección respectivos de AP, BP, CP con los lados opuestos de este triángulo, las rectas trazadas por los medios D, E, F de estos lados paralelamente á B'C', A'B', C'A' pasan por un mismo punto.

(H. Van Aubel).
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d'où par intégration

(10) \[
\frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} - \log \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) = 2 a s_1 + b,
\]

On a donc le théorème:
«Si par les points d'une droite \( L_1 \), on mène une suite de droites \( D \) inclinées sur \( L_1 \) de l'angle \( \theta \) défini par l'égalité (10), a et b étant deux constantes arbitraires:
1.° ces droites \( D \) enveloppent une ligne \( L \) ayant pour développante le lieu \( A \) des milieux des segments \( AA_1 \).
2.° toutes les lignes \( L \) (en nombre infini) qu'on obtient en faisant varier les constantes \( a \) et \( b \) d'une façon arbitraire, sont semblables entre elles.
3.° les surfaces de révolution \( S \) engendrées par ces ligne \( L \), dans la rotation autour de la droite \( L_1 \), sont applicables l'une sur l'autre.
4.° ces surfaces sont des évolues de surfaces de révolution minima.»

Ce dernier théorème nous fournit une construction géométrique fort remarquable des lignes méridiennes \( A \) des surfaces de révolution minima.

IV.

Soit \( L \) une ligne plane quelconque, \( A \) une de ses développantes, \( L_1 \) la ligne qu'on obtient en prolongeant les rayons de courbure de \( A \) au delà de \( A \) de façon qu'il résulte \( AA_1 = AA_0 \).

En conservant les notations du §. III, on trouve que la ligne \( L_1 \) est définie par les équations:

\[
x_1 = x + s \cos \alpha, \quad y_1 = y + s \cos \beta.
\]

Si donc on effectue des calculs analogues à ceux qu'on a développé au §. III, on arrive aussitôt aux théorèmes:
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La détermination de la ligne \( L_1 \) quand on donne \( L \), se réduit à l'élimination de \( s \) entre l'équation:

\[
\dot{\xi}_1 = \pm \frac{(4 \dot{\xi}^2 + s^4)^{3/2}}{6 \dot{\xi}^2 - 2 s \dot{\xi} \dot{\xi}' + s^3}
\]

et l'autre qu'on déduit en intégrant l'équation:

\[
\frac{d s_1}{d s} = \frac{\sqrt{4 \dot{\xi}_1^4 + s_1^4}}{\dot{\xi}_1}
\]

«Si par les points d'une ligne plane \( L_1 \), on mène des droites D inclinées sur la courbe de l'angle \( \theta \) défini par l'équation différentielle:

(11)

\[
2 \frac{d}{d s_1} \left( \frac{\dot{\xi}_1 \sin \theta}{1 + \dot{\xi}_1 \frac{d \theta}{d s_1}} \right) + \cos \theta = 0,
\]

ces droites enveloppent une ligne \( L \). Une telle ligne \( L \) est liée à la ligne \( L_1 \) de façon, que si l'on prolonge les droites \( A_1 A \) de sorte qu'il résulte \( A A_0 = A_1 A \), le lieu de \( A_0 \) est une développante de \( L_x \).

Cas particulier.—La ligne \( L_1 \) est une droite quand:

\[
6 \dot{\xi}^2 - 2 s \dot{\xi} \dot{\xi}' + s^3 = 0.
\]

Cette équation, après l'intégration, donne:

(12)

\[
\dot{\xi} = \frac{s \sqrt{s^4 - m^4}}{2 m^3},
\]

\( m \) étant une constante arbitraire.

En appliquant ici un procédé analogue à celui qu'on a employé au §. III, on trouve que la ligne \( L \) est aussi définie par les équations:

\[
x = \frac{m^3}{s}, \quad y = \int \frac{\sqrt{s^4 - m^4}}{s^2} ds,
\]
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El Progreso Matemático

REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

ETUDE ÉLÉMENTAIRE SUR LA THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA
por M. A. Aubry

1 En Algèbre élémentaire on traite habituellement les questions de maxima et de minima en calculant les valeurs qui séparent les résultats réels des imaginaires, c'est-à-dire, les racines doubles; en algèbre supérieure, on recherche les valeurs pour lesquelles la tendance à l'accroissement ou au décroissement est nulle. Ces deux méthodes sont très commodes et rendent compte des opérations effectuées, mais elles demandent des connaissances d'un ordre bien supérieur en général, à celui du problème proposé. En outre, la première ne peut s'appliquer qu'aux fonctions du second degré, les seules dont on puisse trouver généralement les racines. Nous voulons faire voir que les premières notions d'algèbre suffisent pour traiter complètement la plupart des questions élémentaires de maxima et de minima. Mais auparavant nous donnerons une histoire succincte de cette théorie.

2. On voit chez Euclide les premières considérations sur ce sujet il démontre (livre VI, prop. 27) que la droite AB étant divisée également en C et inégalement en K, le rectangle construit sur les droites AK, KB sera plus petit que le carré construit sur AC. Précédemment, Euclide avait fait voir que, les mêmes choses
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de conocimientos. El edificio debe construirlo cada individuo por su esfuerzo propio; antes de reunir los materiales, se dará cuenta de cada uno, sin preocuparse de su disposición definitiva. Avanzará en su trabajo por síntesis parciales, á medida que se enriquezca el caudal de sus conocimientos, y estas síntesis deben formarse a posteriori, no impuestas a priori por la autoridad del maestro.

Estas prescripciones las vemos realizadas al examinar los planes de enseñanza de las universidades alemanas.

En la universidad de Gottinga, por ejemplo, las lecciones sobre matemáticas puras, en sus primeros cursos (A) (Anfangsvorlesungen) comprenden: 1. Geometría analítica (plana y del espacio).—2. Cálculo diferencial.—3. Cálculo integral. En las lecciones generales (B) se hallan incluídas: 1. Algebra (Teoría de las ecuaciones algébricas y numéricas, Determinantes).—2. Teoría de los números.—3. Geometría proyectiva.—4. Líneas y superficies curvas (Aplicación del cálculo infinitesimal á la Geometría).—5. Capítulos escogidos de matemáticas elementales (teoría de los números, Geometría euclídea, etc.)—6. Ecuaciones diferenciales.—7. Teoría de las funciones.—8. Mecánica analítica.—9. Potencial.—10. Ecuaciones diferenciales parciales.

Las lecciones especiales (C) comprenden: Historia de las matemáticas, cálculo é interpolación. Teoría de invariantes, números algébricos. Geometría no-euclídea. Geometría lineal y esférica. Curvas y superficies algébricas. Serie de Fourier, Funciones de variables reales, Cálculo de variaciones y de variedades ó multiplicidades (Mengenlehre). Teoría de los grupos, grupos de transformaciones. Funciones algébricas, funciones modulares elípticas, funciones automorfas y abelianas. Mecánica superior (Teoría hamiltoniana) Mecánica de los continuos (Hidrodinámica).

Esta subdivisión de los estudios, contraria á nuestro doctrinarismo y espíritu de escuela, expresa la tendencia de la pedagogía, á sustituir la acción del profesor disertante por la acción individual de cada alumno, la enseñanza educativa á la enseñanza puramente instructiva.

El profesor sustituye la antigua práctica de referirse á un solo libro, por la de enseñar refiriéndele á lo mejor de cada rama. La enseñanza se efectúa teniendo á la vista las publicaciones más recientes, convirtiéndose en animada conversación entre el profesor y los discípulos.
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La ciencia estereotipada en los tratados se hace flexible para adaptarse á las inteligencias, ó mejor, se disgrega en sus elementos para que el alumno la construya en su conjunto de una manera gradual, bajo la dirección del profesor. La enseñanza es de este modo, el acto de asimilarse la verdad á la inteligencia mediante la actividad propia, análoga al crecimiento por intus-susception de los organismos y no al de juxta-position, mediante el auxilio artificioso de la memoria.

La selección de materias permite llegar por el camino más breve al fin. No es preciso decir todo lo conocido respecto de una cosa, sino poner de relieve lo característico ó esencial, dejando lo secundario para ejercitar el espíritu de investigación en deducciones ó inducciones más ó menos fáciles ó graduadas, encomendando al trabajo personal del alumno el complemento del trabajo del profesor en las aulas, que debe preparar el material cuya elaboración corresponde á aquél, siguiendo las alineaciones que le han sido trazadas como pauta de su proceder.

La enseñanza en las aulas de la universidad de Gottinga tiene otros complementos. En los seminarios cada alumno da una conferencia bajo la dirección del profesor. En la Asociación matemática (Mathematiker gessellschaft), toda la literatura científica recogida durante la semana, se exhibe al auditorio, para ser objeto de examen, de observaciones y de crítica, y á continuación tienen lugar conferencias y comunicaciones referentes á las cuestiones del día, desarrollándose ante la vista de la concurrencia el movimiento matemático actual.

Respecto á la variación de enseñanzas, ya se citaron en el número anterior; pero podremos añadir que el eminente profesor Klein explicó en 1898-99, Mecánica teórica y teoría de las funciones, en 1899-900, Teoría de las funciones automorfas é Hidrodinámica, así como el sabio profesor Sr. Hilbert: introducción á la teoría de las ecuaciones diferenciales, integrales definidas y series de Fourier, nuevos resultados de la teoría de los números, mecánica, elementos de la geometría euclídea, concepto del número y cuadratura del círculo, teoría de las superficies.

Esto expresa la movilidad y variación de los estudios en la universidad alemana; y para concluir esta enumeración, limitándonos á la universidad de Estokolmo, veremos que también los cursos consisten en materias elegidas de cada rama, (no en la exposición total de lo que constituye cada una, como serie lineal de conoci-
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mientos), principiándose por lo más importante de la teoría de las funciones y de la geometría infinitesimal.

No es factible ciertamente el sustituir de pronto nuestro vicioso organismo por el de las universidades extranjeras, formado en otro ambiente y en circunstancias muy distintas de las nuestras; pero es fácil ir sustituyendo paulatinamente aquéllo que se pueda sustituir, sin dar origen al abuso que ciertas libertades arraigadas en otras localidades producirían entre nosotros, por la falta de costumbre en usarlas.

¿Qué finalidad encontramos en todas las etapas de nuestra vida científica? el examen y el diploma.

El niño desde su ingreso en la segunda enseñanza se esfuerza para salir de la temida prueba, y esto se acentúa más en los colegios y academias preparatorias, cuyo éxito se identifica con el resultado del examen, del que depende su vida.

Las inteligencias no se educan libremente con ejercicio insensible y graduado por el criterio del profesor, sino que se torturan por esfuerzos artificiosos, generadores de una antipatía correlativa, dependiente de que no se han puesto en concordancia el organismo científico con la organización intelectual.

No hay asimilación científica; hay un conglomerado eventual, que cualquier causa puede disgregar por falta de afinidad entre los elementos subjetivo y objetivo.

El examen lo vemos también en las oposiciones á cátedras, que han de probar la idoneidad para el profesorado.

Careciendo el plan de estudios universitarios, no solo de esos procedimientos educativos que hemos visto en las universidades extranjeras, sino hasta de nociones históricas y pedagógicas de la Matemática, el profesor será á lo sumo un repetidor ó expositor más ó menos ilustrado ó hábil; pero nunca el verdadero maestro.

Sabrá leer en un libro, hará en el ejercicio de defensa del programa un inventario de la asignatura objeto de su tesis, (y esto es lo que se hace generalmente) pero no demostrará poseer un conocimiento crítico de la ciencia, no tendrá base bibliográfica (libre del pedantismo que hace los eruditos á la violeta) necesaria para enseñar la ciencia (no un libro determinado). En el ejercicio que tiene por objeto explicar una lección, recitará la que estudió ó preparó durante cierto número de horas, pero no poseyendo instrucción pedagógica, solo probará que puede repetir lo
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que ha aprendido; y los jueces que le precedieron en la misma escuela ó sistema de enseñanza se darán por satisfechos y juzgarán según el resultado del ejercicio decisivo, consistente en la contestación á diez preguntas designadas por la suerte, dominando en estos ciclos de la enseñanza que comienzan en el alumno de la escuela y terminan en el profesorado universitario, dos notas características: la suerte y el espíritu de repetición ayudado por una buena memoria, el mecanismo que hace el hombre instruido, más ó menos ilustrado; pero no la espontaneidad en el ejercicio libre de nuestras facultades que forma la ciencia propia, ni el conocimiento personalmente adquirido elaborado con el trabajo individual que produce la verdadera vocación, ni el amor desinteresado á la verdad como satisfacción inmediata y natural de las aspiraciones de la inteligencia, sino el deseo de buscar el fin exclusivamente útil donde hay además un fin moral, deseo que explica el excepticismo en aquéllo que se profesa, el antagonismo entre lo que uno practica y los móviles de sus actos.

Por otra parte, la falta de medio ambiente para ejercer su profesión en las industrias ó ciencias aplicadas á cualquier fin material y la laxitud de las leyes ocasionan cierta intrusión en el profesorado de quienes han adquirido aptitudes distintas de las pedagógicas, las del hombre técnico cuyos ideales son la realización material de las verdades científicas, contribuyendo á hacer del profesorado un cuerpo heterogéneo. El ingeniero aplicará las teorías á beneficiar los productos de la naturaleza, en fábricas, talleres, industrias y construcciones varias; podrá en el profesorado enseñar los principios de los mecanismos, transformaciones materiales de toda especie conducentes á la producción; todo cuanto concierne á las ciencias aplicadas; y, aunque según se ha hecho hasta la actualidad, pueden también profesar perfectamente en las ciencias teóricas, esta aptitud iría perdiendo su importancia cuando, separándose la parte especulativa de la técnica, el ingeniero y el doctor tuvieran cada uno su región propia correspondiente á aptitudes distintas, como las tienen en Alemania, donde el profesor universitario cuenta con un gran radio de acción, y en Italia donde se preparan en la universidad los ingenieros para ingresar inmediatamente en las escuelas técnicas.

Todas estas consideraciones expresan la necesidad de reformas que permitan aprovechar los estudios comunes á diversas carreras y profesiones y que haciendo desaparecer esos términos medios
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entre el profesor y el ingeniero, sefalten hondamente los caracteres y las finalidades de ambos, que en regiones distintas y con aptitudes complementarias han de promover nuestro adelantamiento y prosperidad materiales y morales.

Z. G. de G.

(Continuará.)

A PROPOS D'UNE FORMULE RELATIVE AUX LIGNES

A la page 11 de ce journal, M. le Professeur Hatsidakis m'a fait l'honneur de s'occuper de deux formules, que je viens de donner dans mon article Sur les lignes cylindriques. Il démontre que elles peuvent être établies à la suite des belles formules, dont le savant Professeur de Goettingue a enrichi la géométrie des lignes.

A ce propos, je tiens simplement à faire remarquer que la validité de la formule

\[
\frac{1}{r^s} = \frac{1}{r_g^s} + \frac{\sin^s \theta}{r^s}
\]

pour toute ligne tracée sur una surface développable quelconque a été reconnue par moi depuis longtemps. (Voir Alcune formule relative alle linee tracciate sopra una superficie e loro applicazioni.—"Annali di Matematica." Serie II, Tomo XXI, 1893).

G. Pirondini.

Parma le 23 décembre 1899.

ESTUDIOS SUPERIORES EN EL ATENEO DE MADRID

LA MODERNA ORGANIZACION DE LA MATEMÁTICA
(Curso breve expuesto por D. Scol G. de Galdeano en Marzo de 1896)

CONFERENCIA CUARTA

(Continuación)

En fin admite Helmholtz la hipótesis de que en nuestro espacio, cuando se fijan dos puntos de un cuerpo sólido, éste no puede más que girar al rededor de la recta que los une, para llegar al cabo de una vuelta á la posición primitiva.
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Con estas investigaciones de Helmholtz tienen íntima conexión las del matemático belga M. Tilly expuestas, primero en su Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique y completadas más tarde (1892) en su Essai de Géométrie analytique général.

Parte de un axioma principal ó concerniente á la distancia ó intervalo de dos puntos del espacio y otros dos secundarios, ó de simplificación, que expresan la condición de la distancia de no tener límite superior y de poder aumentar indefinidamente y de la existencia de una sola paralela á una recta en un punto exterior á ésta.

La idea de distancia implica dos propiedades esenciales: 1.ª la de variar continuamente; 2.ª dado un sistema de puntos ABCD . . . . y un punto B' tal que AB' = AB, existen puntos C', D', . . . . tales que el sistema AB'C'D' . . . . es idéntico al ABCD . . . .

En su sistema de Geometría analítica el Sr. Tilly parte de la existencia entre n puntos de \( \frac{n(n-1)}{2} \) distancias, debiendo verificarse para el espacio, la condición de los seis puntos, es decir: que si en un sistema de seis puntos, se verifican tres de las seis ecuaciones que comprenden, cada una, diez de los quince intervalos, también se verificarán las tres restantes.

El ilustre geómetra noruego Sophus Lie, apoyándose en el admirable desarrollo de la teoría de los grupos que le debe la ciencia contemporánea, dio una solución al problema planteado por las geometrías no-euclídeas, que mereció el premio en el último congreso celebrado en memoria de Lobatschewsky.

En el tercer tomo de su magistral obra: Theorie der Transformations gruppen, después de tratar del espacio ya ordinario, ya de n dimensiones en su relación con los grupos de transformaciones, especialmente del grupo de seis parámetros de todos los movimientos euclídeos, de todas las transformaciones proyectivas que dejan invariante la cónica del infinito y de obtener los grupos proyectivos que dejan invariantes en el espacio ordinario, ya una superficie, una curva ó un punto, da dos soluciones al problema de Riemann-Helmholtz relativo al espacio, que formula en los siguientes términos: Pueden obtenerse propiedades tales que pertenezcan tanto á la serie de los movimientos euclídeos como las de los no euclídeos, y por las que se distingan estas tres series de todas las demás series de movimientos posibles en una variedad numérica.