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la eficacia de esa cláusula pudieron conseguir su deseado ascenso, sin tener los inconvenientes de una competencia más ó menos molesta ó peligrosa.

Si un catedrático hizo oposición á la cátedra A, en el mero hecho de quedar vacante la cátedra A de Madrid, puede contar con facilidades de ascender á la universidad central, como ha acontecido algunas veces, y aun pudiera suceder, ó haber sucedido, que fuera catedrático sin oposición directa, si anteriormente por ciertas circunstancias accesorias hubiera llegado á obtener por concurso, dicha cátedra A; y otro catedrático de la asignatura B pudiera estar destinado á no ocupar jamás una cátedra en la universidad central, si no ocurriera, el caso de quedar vacante la cátedra B.

Esto como se ve es dejar los ascensos en el profesorado á lo fortuito ó casual.

Un opositor que triunfó al aspirar la cátedra B, no tuvo necesidad de aspirar á la cátedra A, cuando ya era catedrático; apesar de haberlo podido hacer, sin esta circunstancia. El profesor de la cátedra B pudo haberla obtenido tras ruda oposición, en épocas en que el número de las cátedras vacantes fuera escaso y el de los opositores considerable, y el profesor de la cátedra A, pudiera haberla obtenido en condiciones opuestas, por estas contingencias del azar ó cambios en la organización de la enseñanza.

Si como acabamos de ver un ascenso en el profesorado á las primeras cátedras de la nación, se hace depender del hecho fortuito de que se haya de proveer una cátedra A ó B; y un reglamento inexorable designa previamente al elegido ó limita el número de éstos, ¿qué se deja á los méritos realizados durante la vida profesional, qué al investigador que no llega á poseer en determinado momento la condición de ser un catedrático A ó un catedrático B? No hay más que esperar que el azar deje vacante una cátedra A.

¿No se ve que en el extranjero un mismo profesor explica más de una asignatura, y que, algunos también cambian de curso? Aquí queda destruída nuestra teoría de que el más competente para una cátedra A, sea un catedrático que esté en posesión de dicha cátedra A.

Otro hecho digno de notarse es que el catedrático A pasa á ser de superior categoría á los catedráticos que por tener la cátedra B ó C no pudieron obtener la cátedra A.
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A nuestro juicio la categoría de un catedrático se la dan sus merecimientos, y no nos parece lógico que dependa de una disposición ministerial.

Desgraciadas las naciones que dependen de una estrecha reglamentación

Z. G. de G.

Congreso Internacional de los matemáticos

El 6 de Agosto en el palacio de los Congresos, situado en la Exposición á orillas del Sena, se verificó la solemne apertura bajo la presidencia del ilustre matemático M. H. Poincaré.

Elegida la mesa quedó constituida con M. Poincaré, presidente, por los Sres. Czuber, Gordan, Lindelof, Lindemann, Mittag-Leffler, Tikhomandritzky, Volterra y Zeuthen, vice-presidentes.

El secretario general, Sr. Duporcq.

Y por los secretarios, Bendixon, Capelli, Minkowski, Ptaszyc-ki, Whitehead.

Los delegados oficiales de Austria, Sres. Czuber y Finger; de España, Galdeano; de los Estados Unidos, Miss Scott y Moore; de Hungría, Rados; del Japón, Fugisawa; de México, Stampa, del Ministerio de Bellas Artes, Tannery; del Ministerio de Marina, Simonet; de la Colombian University, Stringham; de la Facultad de Ciencias de Buenos Aires, Gallardo.

Para las secciones 1.a de Aritmética y Algebra, fueron elegidos los Sres. Hilbert y Cartan, presidente y secretario respectivamente; 2.a de Análisis, los Sres. Painlevé y Hadamard; 3.a de Geometría, Sres. Darboux y Niewenglowski; 4.a de Mecánica, señores Larmor y Levi-Civita; 5.a de Bibliografía é Historia, señores príncipe Bonaparte y d'Ocagne y 6.a de Enseñanza y métodos, los Sres. Cantor y Laisant, como presidentes y secretarios respectivamente.

Acto continuo el célebre historiador matemático, Sr. Moritz Cantor, autor de las Vorlesungen über Geschichte der Mathematik leyó su memoria sobre la Historiografía de las matemáticas.

Después, á su vez, el Sr. Profesor de la Universidad de Turín, Vito Volterra, leyó su memoria: Tres analistas italianos, Betti,
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Brioschi y Casorati, y tres maneras de considerar el análisis; su influencia.

Tal es el título de la memoria leída por el Sr. Volterra, que describe magistralmente los diversos caracteres de estos tres maestros de la ciencia matemática italiana. Hace destacarse la actividad infatigable de Brioschi, fundador de la escuela politécnica, así como su organizador y director, director también de los Annali di Matematica y presidente de la Accademia dei Lincei, lo que no le impedia ejercer activamente sus funciones de senador, formando parte de gran número de comisiones parlamentarias y ocupándose además en trabajos públicos y del arte de ingeniero.

Betti, por el contrario de ánimo tranquilo, no gustaba como Brioschi, de los cargos de la vida pública, amó tan solo las investigaciones científicas en su fin filosófico, con gran desinterés y modestia, sin pensar siquiera en las satisfacciones de amor propio.

Casorati, de una naturaleza diferente, trabajó casi exclusivamente para sus discípulos y para su escuela. Sus trabajos llevan el sello especial, que revela el deseo de aclarar algún punto obscuro ó corregir algún resultado ó exponer de una manera crítica un cuerpo de doctrina, mostrando siempre originalidad en la crítica y talento en la exposición que hacia resurgir las teorías con nueva vida.

Las tres fases que distingue el Sr. Volterra en el desarrollo y evolución de la teoría de las funciones encuadran en los caracteres de los tres geómetras italianos.

Brioschi, ingeniero y hombre práctico, habituado a ver el objeto, sin preocuparse de los métodos quedó siempre fiel á los procedimientos de Euler y de Jacobi.
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Brioschi que veía á través de un bosque de cálculos como á través de un cristal limpio, hacia brotar el resultado analítico de un aparato de símbolos formidable y artificial, pero con elegancia artística.

Betti gustaba más de pensar que de trabajar, amante de los sistemas filosóficos, le eran insoporables los largos cálculos, por eso se identificaba con la segunda fase caracterizada por Cauchy, Weierstrass y Riemann, y además de haber llegado por un acto de genio á la descomposición de funciones en factores primos, se resintió más tarde de la influencia de Riemann, lo que no es de extrañar, pues además de matemático, Betti era físico.

El espíritu crítico de Casorati, su amor por la enseñanza y su tendencia ó las aplicaciones lo llevan al tercer periodo, en que las teorías después de revisadas y discutidas se fijan en un cuadro didáctico.

Fué elegido presidente de la primera sección, Aritmética y Algebra, Herr. David Hilbert, sabio profesor de la Universidad de Gottinga, muy conocido por sus numerosas publicaciones, que tiene á su cargo el escribir en la Encyclopedie der Mathematikes Wissenschaften la teoria de los números algebraicos y el problema de la división del círculo y que recientemente ha publicado sus interesantes Grundlagen der Geometrie, fundando la geometría en cinco grupos de axiomas: el de la unión (Werknüpfung) el de la correspondencia (Anordnung), el de las paralelas (axioma euclideo), el de la congruencia y el de la continuidad (ó de Arquímedes), presidió la

HERR. HILBERT.

PRIMERA SECCIÓN.—Aritmética y Algebra.

M. Autoune.—Sur les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire quaternaire.
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M. H. Hancock.—Remarks on Kronecker's modular systems,
M. C. Stephanos.—Sur la séparation des racines des équations algébriques.
M. Von Koch.—Sur la distribution des nombres premiers.
M. Fr. Meyer.—Sur une généralisation de la fraction continue de Cataldi-Brounker.
M. R. Perrin.—Sur les propriétés d'un certain covariant de la forme binaire du 5me ordre et leur application à la résolution de l'équation.
M. Padé.—Aperçu sur les développements récents de la théorie des fractions continues.
M. L. E. Dickson. The Known systems of simple groups and their inter-isomorphisms.
Note on abstract groups.
M. G. Rados.—Note sur la théorie des substitutions orthogonales.
M. Gavrilovic.—Sur une propriété remarquable des déterminants.
M. A. Padoa.- Un nouveau système irréductible de postulats pour l'algèbre.
M. Arnaudeau.—Note sur une table de nombres triangulaires.
M. Art. Martin.—A method of computing the common logarithm of a number without making use of any logarithm but that of some power of 10.
A rigourous method of finding biquadrat numbers whose sum is a biquadrat.

M. Painlevé, profesor en el Colegio de Francia, de gran reputación científica por sus numerosas memorias acerca de las ecuaciones diferenciales, que comenzó la importante serie de sus trabajos con su memoria: Sur les lignes singulières les fonctions analytiques y que recientemente ha publicado sus Leçons sur l'intégration des équations différentielles de la Mécanique et applications y Leçons sur la théorie analitique des équations différentielles professées á l'Université de Stockholm, presidió la lectura y discusión de los siguientes trabajos de la

SEGUNDA SECCIÓN.—Análisis.

M. Mittag-Leffler.—Sur fonction analytique et expression analytique.—Une application de la théorie des séries n fois infinies.—Sur une extension de la serie de Taylor.
M. J. Bendixon.- Sur les courbes définies par les équations différentielles.
M. J. Drach.—Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre.
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M. Jahnke.—Zur Théorie der Thetafunktionen von zwei Argumenten.
M. Tikhornandritzky.—Sur l'évanouissement des fonctions H de plusieurs variables.

M. Darboux, presidente de la Comisión administrativa del Congreso, fué elegido presidente de la sección tercera, Geometría.

Nadie como el ilustre autor de las Leçons sur la théorie générale des surfaces, del fundador del Bulletin des sciences mathématiques y autor de innumerables trabajos publicados en las principales revistas estaba autorizado á dirigir las tareas de los geómetras congregados en el anfiteatro de Cauchy. Presidió pues la lectura y discusión de los siguientes trabajos en la

M. DARBOUX.

TERCERA SECCIÓN.—Geometría.

M. Lovett.—Sur les transformations de contact entre les éléments les plus essentiels de l’espace.
M. Macfarlane.—Application of space analysis to curvilineens coordinates.
M. d'Ocagne.—Sur les divers modes d’application de la méthode graphique à l’art du calcul.
M. J. Stringham.—Orthogonal transformations in elliptic or in hyperbolic space.
M. Jamet.—Sur le théorème de Salmon concernant les cubiques planes.
M. Vaes.—Sur les corps reguliers et semi-réguliers.
M. A. Padoa.—Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne.
M. Issoly.—Sur les pseudo-surfaces en général et sur un exemple particulier de pseudo-surfaces minima.
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M. Larmor presidió la

CUARTA SECCIÓN.—Mecánica.

M. Ch. V. Zenger.—Le mouvement des corps célestes d'après les lois electro-dynamiques.
M. J. Boccardi.—Sur le calcul des perturbations spéciales des petites planètes.
M. I. Fredholm.—L'inversion des intégrales définies et son application aux problèmes de la physique mathématique.
M. C. Somigliana.—Sulla teorica moxivelliana delle azioni a distanza.

QUINTA SECCIÓN.—Bibliografía é Historia.

M. Fujisawa.—The mathematics of the old japanese School.
M. A. Gallardo.—Les Mathematiques et la Biologie.

Esta que no pudo ser presidida por el principe Roland Bona parte, se fundió en la

SEXTA SECCIÓN.—Enseñanza y métodos.

M. Hilbert.—Sur les problèmes futurs des Mathématiques.
M. de Galdeano-Zoel.—Note sur la critique mathématique.
M. Veronese.—Sur les postulats de la Géométrie dans l'enseignement.
M. Capelli.—Sur les opérations fondamentales de l'Arithmétique.
M. Crawford.—Démonstration élémentaire de ce théorème: la moyenne arithmétique d'un nombre quelconque de quantités positives est plus grande que leur moyenne géométrique.
M. Leau.—Proposition d'un vœu pour l'adoption d'une langue scientifique universelle.

Esta sección fué presidida por el ilustre historiador de la Matemática Herr. Morit Cantor, profesor de la Universidad de Heidelberg.

En corto número fueron las memorias presentadas en la sec
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ción cuarta presidida por M. Larmor y aun en menor número las de la sección quinta que se fundió en la sexta, bajo la dirección del sabio historiador de las matemáticas Herr. Moritz Cantor.

Citaremos especialmente la notable memoria del profesor Herr Hilbert que versó sobre Problemas matemáticos.

Indicaremos algunas de las ideas expuestas en el extracto que fué repartido entre los congresistas:

Cuando una ciencia progresá de una manera continua, se puede juzgar de su desarrollo ulterior por el examen de los problemas que la ocupan actualmente.

La existencia de problemas precisos tiene una importancia capital tanto para el progreso de las matemáticas, como para el trabajo de cada investigador:

¿Por qué signos podremos reconocer cuáles son los problemas más propios para hacer avanzar nuestra ciencia?

Un problema debe estar bien definido; su sentido y alcance fáciles de comprender; debe ser difícil, pero no inabordable.

Podemos citar como ejemplos, por una parte, el problema de Fermat, que indujo á Kummer á introducir los ideales en la teoría de los números algebraicos, y por otra parte el problema de los tres cuerpos.

¿De dónde nos vienen los problemas matemáticos?

La experiencia á cada dominio pone ante nosotros los problemas primarios. (Duplicación del cubo, cuadratura del círculo, los primeros problemas del análisis infinitesimal y de la teoría del potencial).

En el desarrollo ulterior de la ciencia, nuestro espíritu, por razonamientos lógicos (combinación, generalización, especialización) crea á su vez problemas nuevos y fecundos. (Problema, de los números primos, problemas que provienen de la teoría de Galois, de la teoría de las funciones elípticas y de la de las funciones automorfas).

¿A qué exigencias debe satisfacer la resolución de un problema matemático?

Diremos que una cuestión está resuelta, cuando apoyándonos en un número finito de hipótesis, dadas por el mismo problema, podemos demostrar la exactitud de la solución con auxilio de un número finito de silogismos.

El rigor matemático que exigimos no lleva consigo necesariamente demostraciones complicadas; el método más riguroso es
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con frecuencia el más sencillo y más fácil de comprender. (Introducción de las integrales abelianas en la teoría de las curvas algebraicas, empleo de las series de potencias en la teoría de las funciones.

Las concepciones de la Aritmética ó las del Análisis no son las solas susceptibles de tratarse rigurosamente. Las de la Geometría y las ciencias físicas lo son igualmente, siempre que mediante un sistema completo de axiomas queden tan bien fijadas como las concepciones aritméticas.

Cada sistema de concepciones nos conduce á crear un sistema de símbolos destinados á servir de instrumento de demostración.

Una demostración hecha por medio de símbolos geométricos será pues perfectamente legítima, desde el momento en que se de cuenta de los axiomas que le sirven de base. (Minkowski, Geometrie der Zahlen).

Cuando un problema ofrece dificultades serias, ¿por qué métodos podemos atacarlo?

Primero por generalización, refiriendo el problema considerado á un grupo de cuestiones del mismo orden. (Introducción de los números ideales en la teoría de los números algebraicos, empleo de los caminos complejos en la teoría de las integrales definidas), ó bien por especificación, profundizando el estudio de problemas análogos más sencillos, ya resueltos.

El fracaso de las tentativas hechas para resolver un problema proviene, con frecuencia, de que la cuestión es imposible de resolver bajo la forma dada. (Axiomas de las paralelas, cuadratura del círculo, resolución algebraica de las ecuaciones de quinto grado).

Pero tenemos la convicción de que, en Matemáticas, será siempre posible, ó resolver un problema, ó demostrar que no tiene ninguna solución.

Jamás el matemático se verá reducido á decir: Ignorabimus.

Sentado este preliminar el Sr. Hilbert procede á desarrollar su tema.

Entre los problemas relativos á las nociones fundamentales cita el de Cantor sobre potencia del continuo.

Cada conjunto de números es equivalente ó bien al conjunto de los números enteros racionales ó bien al continuo.

El primer paso, para hallar la demostración de este teorema
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sencillas de estas curvas. En 1864 M. Peaucellier, partiendo de la idea fecunda de las transformaciones de figuras, llegó á aparatos mucho más perfectos, al mismo tiempo que creaba la teoría de los sistemas articulados.

Se propuso en 1864 en los N. A obtener compases compuestos, adecuados para describir la línea recta, el caracol y las cónicas.

El descubrimiento se divulgó en 1857 por M. Mannheim, pero no atrajo la atención, bien que el aparato para la línea recta haya sido reinventado en 1871 por M. Lipkin. Solo en 1873 fué cuando Sylvester y después de él otros varios sabios ingleses comenzaron el estudio del sistema de Peaucellier, é imaginaron un gran número de aparatos ingeniosos, destinados, sobre todo, al trazado de las curvas.

Nos vemos pues, conducidos á decir algo de los sistemas articulados, en general.

14. El triángulo articulado es indeformable; pero el cuadrilátero lo es; y esta es la base de toda esta teoría. Si una varilla del cuadrilátero se halla fija, se sabe que todo punto del lado opuesto describe una curva de inflexión larga, empleada por Watt desde 1784 como pseudo-recta. Dejando á un lado el caso general, hablaremos solamente aquí de los cuadriláteros articulados cuyos lados son iguales dos á dos, y que comprenden el paralelógramo, el contraparalelógramo y el romboide.

Las propiedades del paralelógramo articulado son demasiado evidentes para que nos detengamos á exponerlas. El contraparalelógramo no es otra cosa que el aparato de Schooten, representado en la fig. 1 y formado por cuatro varillas iguales dos á dos y las dos mayores cruzadas. Goza de propiedades importantes:

Si AB está fija, el punto I (fig. 7) describe una elipse (Schooten); si AD está fija, la intersección I' describe una hipérbola (id.); si en una posición cualquiera se toman paralelamente á AC cuatro puntos en línea recta, N, M, M', P sobre las cuatro ramas, estos cuatro puntos quedarán siempre en línea recta, y además se tendrá:

\[
NM \cdot NM' = \text{cons.}^{1e} \quad NM \cdot MP = \text{cons.}^{1e} (*) \quad (\text{Hart})
\]

permaneciendo fija una de las varillas, todo punto ligado á la vari-

(*) Esta propiedad del contraparalelógramo será demostrada más adelante.
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es resolver el problema siguiente: Poner el continuo bajo la forma de un conjunto bien ordenado.

Se ocupa después el Sr. Hilbert de los axiomas aritméticos: examinando preferentemente su independencia y su compatibilidad y de los axiomas físicos.

De los problemas tomados á la Aritmética y el Algebra cita el problema de Riemann sobre los números primos: La diferencia entre el número de los números primos inferiores á una cantidad x y el logaritmo integral de esta cantidad se hace infinita con x ó de un orden igual ó inferior á \( \sqrt{x} \).

Extender las proposiciones de Riemann á la función análoga \( \zeta_k(s) \) correspondiente á un cuerpo algebraico k:

\[
\zeta_k(s) = \Sigma \frac{1}{|n(j)|^s}
\]

representando n(j) la norma del ideal j, y extendiéndose la suma á todos los ideales j del cuerpo.

Ciertos números son transcendentales ó al menos irracionales?

Presenta como ejemplo, entre otros: Demostrar que la función \( e^{i \pi z} \) tiene un valor transcendente cuando la variable z es algebraica irracional.

Trata de las cuestiones siguientes:
La Geometría de situación de las curvas y de las superficies algebraicas. Los problemas tomados de la teoría de las funciones le llevan á tratar del carácter analítico de ciertas funciones que se encuentran en el cálculo de las variaciones y la existencia de ecuaciones diferentes que poseen un grupo dado, y el teorema de M. Poincaré: Dos variables ligadas entre sí por una relación analítica cualquiera pueden expresarse en función uniforme de un parámetro z.

Concluye el Sr. Hilbert de las consideraciones expuestas en su trabajo, que:
Los problemas citados muestran la variedad creciente de las matemáticas. No cree ni espera que la Matemática se divida en varias ramas, sin relaciones entre sí, pues vemos que al desarrollarse la Matemática, lejos de perder su carácter de ciencia única, lo muestra cada vez más claramente, trayendo cada progreso real el descubrimiento de métodos más incisivos y sencillos
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que permitan á cada geómetra un acceso relativamente fácil á todas las ramas de la ciencia.

El Sr. Poincaré presidente del congreso leyó á la terminación de éste un interesante trabajo: Du rôle de l'intuition et de la logique en mathématiques.

Con este trabajo manifiesta M. Poincaré sus tendencias á los estudios critico-matemáticos de que ha dado muestras en diferentes ocasiones.

M. Poincaré, como dice en l'Enseignement mathématique (t. I, pág, 157, ve aumentarse el rigor en los razonamientos matemáticos al restringirse la parte de la intuición y al extenderse la de la lógica formal. Antes dice «se partía de un gran número de nociones, consideradas como primitivas, irreducibles é intuitivas; tales eran las de número entero, fracción, magnitud continua, espacio, línea, área, etc. Hoy una sola subsiste, la del número entero; todas las demás no son más que combinaciones, y á este precio se obtiene rigor perfecto».

Las nociones matemáticas no han adquirido su pureza perfecta más que alejándose de la realidad. Hoy se abandonan los elementos empíricos, conservándose tan solo los elementos a priori; se toma una de las propiedades por definición para deducir las demás por un razonamiento riguroso.

El objeto principal de la enseñanza es el desarrollo de ciertas facultades del espíritu, y entre ellas la intuición no es la menos preciosa; por ella el mundo matemático queda en contacto con el mundo real; y de ella tiene necesidad el práctico, y aun para el geómetra esta facultad es necesaria; pues si por la lógica se demuestra, por la intuición se inventa; y no basta el criticar los teoremas, es preciso inventar otros nuevos. No basta saber hacer combinaciones correctas, es preciso poseer el arte de elegir entre las combinaciones posibles, y la intuición es la que nos enseña este:

M. H. POINCARÉ.