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Basándose en el estudio de los espacios de curvatura constante, en los que puede moverse una figura sin alterar sus longitudes, y considerando estos movimientos, que para el espacio de tres dimensiones dependen de seis parámetros, llegó Lie á resolver dicho problema, introduciendo el nuevo concepto de libre movilidad infinitesimal (im infinitesimalen) que se refiere á puntos infinitamente próximos; de modo que un grupo real finito del espacio de tres dimensiones tiene libre movilidad infinitesimal en un punto real P, cuando permaneciendo fijo dicho punto y un elemento lineal cualquiera trazado por él, aun es posible un movimiento continuo, y si por el contrario, se fija además de P y de aquel elemento lineal un elemento superficial cualquiera que pase por ellos, ningún movimiento continuo es posible.

Y cuando un grupo real continuo de tres dimensiones tiene en un punto real libre movilidad infinitesimal, es de seis parámetros y transitivo, siendo por una transformación puntual y real semejante, ya al grupo de los movimientos euclídeos de este espacio, ya con ambos grupos de movimientos no-euclídeos (de Riemann y Lobatschewsky) de este espacio, ya con el grupo proyectivo real continuo de seis parámetros que deja invariable la superficie imaginaria \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 1 = 0 \) ó con el grupo continuo real proyectivo de la superficie no reglada \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 1 = 0 \).

Si un punto real, \( y_1^0, y_2^0, y_3^0 \), en posición general, se halla fijo, entonces todos los puntos \( x_1, x_2, x_3 \), con los que puede coincidir un punto \( x_1^0, x_2^0, x_3^0 \), satisfacen á una ecuación de la forma:

\[
W(y_1^0, y_2^0, y_3^0; \ x_1^0, x_2^0, x_3^0; \ x_1, x_2, x_3) = 0,
\]

que no queda satisfecha por \( x_1 = y_1^0, \ x_2 = y_2^0, \ x_3 = y_3^0 \) y que representa una superficie real, que pasa por el punto \( x_1^0, x_2^0, x_3^0 \).

Además, al rededor del punto \( y_1^0, y_2^0, y_3^0 \) puede obtenerse una región de tres dimensiones tal, que al fijarse el punto \( y_1^0, y_2^0, y_3^0 \), otro punto cualquiera \( x_1^0, x_2^0, x_3^0 \) de dicha región puede, por mutación continua, coincidir con cualquier otro punto de la misma que satisfaga á dicha ecuación \( W = 0 \), y que se halle unido al primero por una serie continua de puntos, y á estas condiciones satisfacen, el espacio ordinario ó euclídeo y los dos espacios no-euclídeos, ó sea los espacios en los que el grupo de los movimientos posibles es el grupo proyectivo que transforman en sí misma una de las dos superficies: \( x^2 + y^2 + z^2 \pm 1 = 0 \).
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Lie, pues, desarrolla el pensamiento de Helmholtz determinando una función invariante que corresponde á ese algo que se llama la distancia de dos puntos, que subsiste durante su mutación en el espacio, y establece las propiedades exclusivas á los movimientos euclídeos y no-euclídeos, que los distinguen de los demás movimientos posibles.

Dejando esta digresión que nos ha conducido al más elevado punto de vista de los sistemas geométricos y á la Pangeometría, según la denominación de Bolyai, hemos de consignar, aunque brevemente, la graduación de conceptos que constituye la Geometría de Lobatschewsky, hoy ya bastante divulgada, para establecer los enlaces con otras doctrinas que intervienen en la moderna organización de la geometría.

Prescindiendo del postulado, basta á Lobatschewsky el fundarse en proposiciones independientes de éste. Algunos teoremas relativos á ángulos, triángulos rectilíneos y esféricos y á rectas y planos perpendiculares entre sí bastan para establecer este nuevo sistema geométrico, que distingue tres clases de rectas, á saber: rectas que encuentran á una recta dada, rectas que no la encuentran y los límites de unas y otras, que son las paralelas, caracterizadas por el ángulo de paralelismo, por conservar la condición del paralelismo en todos sus puntos y por ser recíproca esta propiedad del paralelismo entre dos rectas.

Desde luego es fundamental, en el sistema, la condición de no poder exceder la suma de los ángulos de un triángulo á dos rectos, porque entonces necesariamente quedan como posibles tan sólo los casos de que esta suma angular sea igual ó menor que dos rectos. Pero demostrando enseguida Lobatschewsky que: si en un triángulo rectilíneo cualquiera, la suma de los tres ángulos es igual á dos rectos, esto se verificará para cualquier otro triángulo, y que: si dos perpendiculares á una misma recta son paralelas entre sí, la suma de los ángulos de un triángulo rectilíneo es igual á \( \pi \); puede admitir como igualmente legítimas las hipótesis de la suma angular igual á \( \pi \) con un ángulo II (\( p \)) de paralelismo igual á \( \frac{1}{2} \pi \), ó que, tanto dicha suma como el ángulo de paralelismo sean menores que \( \frac{1}{2} \pi \). Y adoptando esta segunda hipótesis desarrolla su nuevo sistema geométrico.

En el sistema euclídeo el ángulo de paralelismo es constante-
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mente igual á un recto y por tanto independiente de la distancia del punto y la recta considerados. En el sistema de Lobatschewsky el ángulo de paralelismo depende de la distancia del punto á la recta. Esto se establece mediante el teorema:

Dado un ángulo cualquiera \( x \), se puede hallar siempre una distancia \( p \) tal, que \( II(p) = x \), obteniéndose que cuando \( p \) disminuye \( x \) aumenta y tiende hacia \( \frac{\pi}{2} \) cuando \( p \) tiende hacia cero, así como \( x \) tiende hacia cero cuando \( p \) tiende hacia \( \infty \).

Las rectas paralelas en este sistema tienen la propiedad de aproximarse en el sentido del paralelismo, y como se demuestra más tarde tiene el carácter de asíntotas.

Dos rectas paralelas á una tercera son paralelas entre sí, y, un ángulo triédro es igual á la suma de sus ángulos diedros disminuidos en un ángulo recto son proposiciones que sirven para establecer el nuevo concepto de horíciclo ó superficie-límite.

Esta relación métrica conduce desde luego á demostrar que: cuando tres planos se cortan dos á dos según rectas paralelas, la suma de los tres ángulos diedros es igual á dos ángulos rectos. Además, las perpendiculares en los puntos medios de los lados de un triángulo, aunque se encuentran siempre en el sistema euclídeo, porque el encontrarse dos rectas perpendiculares respectivamente á otras dos, que no sean paralelas, depende de la admisión del postulado, ó lo que es lo mismo, de la existencia de una sola paralela, en el sistema de Lobatschewsky, cabe la posibilidad de que no se encuentren, y se demuestra que:

Las perpendiculares en los puntos medios de los lados de un triángulo rectilíneo serán paralelas entre sí, cuando dos de ellas lo sean. Y esta propiedad permite construir la curva-límite, pues dada una recta \( AB \) se puede construir, para cada ángulo \( CAB = II(a) \), la cuerda correspondiente \( AC = 2a \), (según la relación métrica existente entre la distancia \( p \) y el ángulo de paralelismo \( II(p) \)), determinando el extremo de cada cuerda un punto de la curva-límite; y todas las perpendiculares en los puntos medios de las diferentes cuerdas serán paralelas entre sí y ejes de la curva-límite:

Una curva-límite puede considerarse como un círculo de radio infinitamente grande, pues como demuestra Lobatschewsky: Un círculo cuyo radio va creciendo se cambia en una curva-límite.

La superficie-límite ó horísfera se engendra por el giro de la
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curva límite alrededor de uno de sus ejes, hallándose cada cuerda de longitud dada inclinada de un ángulo constante respecto á los ejes que pasan por sus extremos, resultando que dicha superficie es de revolución alrededor de cualquiera de sus ejes.

Además de la relación que existe entre la distancia de un punto á una recta y el ángulo de paralelismo es muy importante el obtener la relación de dos arcos de línea-límite comprendidos entre dos ejes y cuyos puntos correspondientes se hallan equidistantes, expresada por \( s' = s \ c - x \), siendo \( x \) la distancia de las dos líneas-límites, tomándose como unidad para medir \( x \), la base de los logaritmos Neperianos; y con auxilio de este procedimiento llega Lobatschewsky á relacionar las fórmulas de un triángulo rectilíneo con uno esférico y con el determinado por los arcos de líneas-límites (secciones en la superficie límite de planos que pasan por los ejes en los que se hallan los vértices del triángulo rectilíneo); y además de concluir que los triángulos de la superficie-límite tienen entre sus lados y sus ángulos las mismas relaciones existentes en los triángulos rectilíneos de la geometría ordinaria, deduce de las fórmulas que obtiene para los triángulos, en el nuevo sistema geométrico, las de la trigonometría ordinaria esférica, que resulta, por lo tanto, independiente de la admisión ó no admisión del postulado de Euclides.

Y puesto que las ecuaciones finales

\[
\text{sen A tang II (a)} = \text{sen B tang II (b)}
\]
\[
\cos A \cos H (b) \cos II (c) + \frac{\text{sen II (b) sen II (c)}}{\text{sen II (a)}} = 1 \text{ etc.}
\]

en el caso de ser los lados del triángulo considerado muy pequeños, y ya que al considerar suficientes los valores aproximados

\[
\cot II (a) = a, \ \text{sen II (a)} = 1 - \frac{1}{2} a^4, \ \cos II (a) = a,
\]

se deducen las fórmulas

\[
b \ \text{sen A} = a \ \text{sen B}, \ a^3 = b^3 + c^3 - 2 \ b \ c \ \cos A \ \text{etc.}
\]

de las que resulta \( A + B + C = \pi \), queda realizado el tránsito de la geometría imaginaria á la geometría ordinaria para los triángulos infinitesimales, y además el tránsito de la nueva geometría á la geometría esférica, cuando se multiplican los lados \( a, b, c \) por \( \sqrt{-1} \)

(Concluida.)
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étant données, le rectangle surpasse le carré, du carré de CK (livre II, prop. V). (*)

On doit à Apollonius les premières ouvertures sur la théorie qui nous occupe.

Il apelle maxima et minima les normales aux coniques; son génie, évidemment tourné vers les combinaisons analytiques, devait s'arrêter à l'examen des valeurs limites des fonctions; et en effet, outre sa théorie des normales, on connaît de lui sur ce sujet deux questions rapportées par Pappus, malheureusement sans aucune indication de la méthode suivie. La première consiste en ceci: les points A, A', B, B' étant en ligne droite, ainsi que le point variable X, il étudie la valeur du rapport \( \frac{AX \cdot A'X}{BX \cdot B'X} \) et détermine son maximum et son minimum. La seconde question est que la somme des carrés des distances d'un nombre quelconque de points à leur centre de gravité est un minimum.

Nous citerons maintenant les recherches de Serenus relatives au triangle maximum formé par deux génératrices d'un cône oblique.

On trouve dans le commentaire d'Archimède, par Eutocius, un exemple remarquable de la détermination d'un maximum analytique, au moyen de considérations géométriques. Archimède avait proposé le problème de partager une sphère par un plan dans un rapport donné, ce qui conduisait à une équation cubique, de la forme \( x^3 - ax^2 + b^2c = 0 \). Dioclès et Dyonisidore le résolurent graphiquement, par l'intersection de la parabole \( x^2 = by \) et de l'hyperbole \( y(a - x) = bc \).

Eutocius, qui rapporte cette solution,—laquelle du reste paraît

(*) Nous ne considérons pas comme faisant partie de notre sujet les propositions suivantes:
La perpendiculaire est plus courte que toute oblique (Euclide).
La plus grande et la plus courte des distances d'un point à une circonférence sont sur la droite qui joint ce point au centre (id.).
La droite est le plus court chemin d'un point à un autre (Archimède).
La demi-sphère est le plus grande des segments sphériques de surface constante (id.).
Le cercle est la plus petite des surfaces isopérimètres (Zénodore).
La sphère est le plus petit des solides d'égales surfaces (id.).
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BIBLIOGRAFÍA

METODI FACILI PER RISOLVERE I PROBLEMI DI GEOMETRIA ELEMENTARE dell ing L. Gheresi 1900.—Milano, Ulrico Hoepli.

Evitando excesivos desarrollos, el autor se propone que baste al alumno el material científico reunido en la escuela para resolver los problemas, aplicando lógicamente verdades por él conocidas.

No propone problemas sin desarrollo, ó al menos indicaciones de la solución, buscando la claridad con la aplicación de los principios teóricos á los casos especiales

Presenta algunos ejemplos para servir de modo al examen de la figura. Siguen numerosos ejemplos de soluciones con artificio para resolver los problemas con sencillez. El método de los lugares geométricos ocupa gran parte de la obra. Entre los métodos indirectos tiene lugar preferente el de semejanza, y concluye la obra con un apéndice acerca de los varios modos de resolver un mismo problema, para dar una idea de lo que se conoce con el nombre de golpe de vista geométrico.

INTRODUCTION À LA THÉORIE DES DETERMINANTS avec de nombreux exercices par P. Mansion 3°me edition Gand, A D. Hoste 1899.

En 38 páginas, con una sencillez que salta á la vista, el Sr. Mansion expone las propiedades fundamentales (reducidas á las concernientes al cambio de líneas en columnas) de las determinantes de dos y tres líneas, que se extienden inmediatamente á las de n y la teoría de las ecuaciones lineales de dos y tres incógnitas (eliminación, resolución y discusión, después de haber expuesto en el capítulo II las nociones del cálculo de determinantes.

ELEMENTS DE LA THÉORIE DES DÉTERMINANTS avec de nombreux exercices par P. Mansion. 6°me edition. Gauthier-Villars, Paris 1900.

Esta obra, de la que es un preliminar la anterior, en 82 páginas presenta con gran sencillez todo lo importante de dicha teoría, ampliando cuanto se expuso en la introducción, como resultado de haber consultado el Sr. Mansion las más importantes obras que tratan de la materia, unido al hábito profesional de su ilustrado autor.

Otra obra del Sr. Mansion, que invita á leser con avidez por la elegancia en la exposición y hasta en la parte tipográfica es la Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, traducida por D. Luis G. Gasco.
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Trata de las propiedades fundamentales, interpretación geométrica, derivadas, integrales, series, aplicaciones á la ecuación de tercer grado, la catenaria, psudo-esfera y á la trigonometría Lobatchefskiana.

COURS DE PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE par G. de Longchamps Paris.—CH. Delagrave, 1899. Ya al tratar de los dos primeros tomos de esta obra indicamos su carácter ó idea culminante: ser un excitador, como dijo el Sr Neuberg en Mathesis, inculcar el gusto por las investigaciones personales.

Lamenta el Sr. Longchamps que se dé excesiva extensión á los programas, que satisfagan prematuramente á los alumnos y les disgusta de las investigaciones propias, sin disponer de tiempo para fecundar por el esfuerzo interior, el pensamiento que tan solo ha podido brotar ó bocetarse

Con objeto de señalar una norma para los razonamientos, comienza por presentar un cuadro de analogías entre los problemas de las geometrías de dos y de tres dimensiones, la investigación sistemática de éstas analogías, enunciados generales de estos ejemplos, reducción de problemas del espacio á problemas del plano, importancia de la elección de ejes y de la separación de un lugar hallado, en regiones.

Define, como en la geometría plana, el problema elemental, reducido á imaginarse una figura de referencia F y una figura móvil F', resultado de una construcción hecha por medio de rectas, planos y esferas, que pone en evidencia un punto I ó un recta S, ó una circunferencia γ etc; y á obtener el lugar descrito por estos elementos.

Después de indicada la marcha normal, presenta ejemplos de los diversos géneros de problemas elementales, y trata en sucesivos capítulos de las tangentes y los planos tangentes, 'os centros, planos y planos polares, cuerdas y planos secantes, normales, generatrices rectilíneas, planos cíclicos é hipercólicos, ejes y vértices, superficies de revolución y cuádricas, tangente, discusión de las cuádricas y estudio de una superficie, señalando los caracteres principales de cada clase de problemas. Así, los problemas de las tangentes corresponden al enunciado general: Se da una cuádrica Q, una recta Δ es tangente á Q en un punto I cuyo lugar geométrico se pide. Como ejemplo de un tipo general de problema de conos, tendremos: Se considera una cuádrica U, un punto A, el cono correspondiente C (de vértice A, circunscrito á U); obtener el lugar descrito por A, cuando el cono C goza de cierta propiedad geométrica. Los problemas de las cuerdas tendrán su enunciado:
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Dada una cuádrica U y un punto M; por M se trazan dos transversales que encuentran á U en los puntos A, B, C, D. Las rectas AC, BD se cortan en un punto I, obtener el lugar de I.

Pueden considerarse las normales bajadas desde un punto á una superficie, las trazadas desde un punto á una curva y los planos normales á las curvas y á las superficies.

Los enunciados generales, por ejemplo, de los problemas de paraboloides, de los planos cíclicos é hiperbólicos, en una palabra, de cada género de cuestiones, tratadas juntamente con reflexiones especiales acerca de cada una, según su naturaleza, y las colecciones numerosas de problemas que constituyen la segunda parte de cada capítulo, donde se indica el género del problema por resolver, trazándose las líneas generales de los desarrollos, según la índole de la cuestión y el fin dominante de educar el espíritu de investigación, hacen que el tercer tomo de la obra del Sr. Longchamps sea digno remate de los otros dos tomos referentes á la Geometría plana de que se trató en el primer tomo de EL PROGRESO MATEMÁTICO.

PREMIERS PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE MODERNE par Ernest Duporcq. Paris. Gauthier-Villars. 1899. Advierte el autor que el estudio de los trabajos de Ponclet, Chasles y Laguerre contribuirían mejor que los métodos analíticos á desenvolver el espíritu geométrico, lo que permite á los alumnos resolver los problemas con elegancia y de un modo directo.

Reconoce la importancia del empleo de las imaginarias, que adopta desde luego, observando que el principio de continuidad de Ponclet equivale á introducir estas entidades, que sirven con frecuencia de enlace entre propiedades muy distintas y permiten expresar en lenguaje geométrico propiedades analíticas, y dejándose guiar en los razonamientos por consideraciones geométricas, que se presentan naturalmente al espíritu, suponiendo realizadas ciertas relaciones contingentes entre los elementos que deben considerarse; y aunque los resultados no tengan, en general, interpretación geométrica, en diversos casos: cada uno de los enunciados de una cuestión podrá corresponder á propiedades geométricas distintas.

Se ocupa de las transformaciones de las figuras, cuyo empleo sistemático es característico de la geometría moderna, y trata de las estereográfica, las puntuales y las do contacto debidas al eminente Lie.

Respecto á esta transformación, observa que si en lugar de hacerse corresponder á todo punto m (x, y) del plano otro punto cuyas coor-
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donadas sean funciones determinadas de \( \alpha \) y \( \beta \), se asocia una curva \( C \), cuya ecuación sea de la forma \( f(x, y, \alpha, \beta) = 0 \), cuando el punto \( m \) describe una curva (\( m \)), la curva \( C \) permanece tangente á una envolvente (C). A todas las curvas que pasan por dos puntos \( m_1 \) y \( m_2 \) de la curva (\( m \)) corresponden envolventes tangentes á las curvas \( C_1 \) y \( C_2 \); si el punto \( m_2 \) tiende hacia \( m_1 \), la curva \( C_2 \) tiende hacia \( C_1 \), y los puntos comunes á \( C_1 \) y \( C_2 \) tienden hacia los puntos en que la envolvente (C) es tangente á \( C_1 \). A las curvas tangentes en \( m_1 \) á (\( m \)) corresponden curvas tangentes á (C) en los puntos de contacto de \( C_1 \).

Expuestos estos preliminares, adopta la relación anarmónica por base de sus razonamientos, y en forma breve trata de las divisiones y haces homográficos. Si D, D' y \( \Delta \) son tres generatrices de un sistema de una superficie de segundo grado, las rectas \( m\ m' \), que encuentran á las tres rectas, engendran dicha superficie, viéndose que: la relación anarmónica de los cuatro puntos en que cuatro generatrices de un mismo sistema encuentran á una generatrix cualquiera del otro sistema, es constante.

Expresando la ecuación \( m - m' = (1 + mm') k \) la relación que liga los coeficientes angulares \( m \) y \( m' \) de dos rayos homólogos con relación á los ejes rectangulares trazados por el vértice del haz, los coeficientes angulares de los rayos dobles estarán dados por la ecuación \( 1 + m^2 = 0 \), que son las rectas isotropas, cuya relación anarmónica es \( \frac{m - i}{m + i} = \frac{m' - i}{m' + i} \), determinando el ángulo \( V \) por medio de expresión

\[
\frac{\sin \omega - i \cos \omega}{\sin \omega + i \cos \omega} \cdot \frac{\sin \omega' + i \cos \omega'}{\sin \omega' - i \cos \omega'} = e^{2iV}
\]

donde se ha hecho, por brevedad, \( m = \tg \omega,\ m' = \tg \omega' \).

Al tratar de la involución, deduce inmediatamente de la relación \( (a \ b\ m\ m') = (a\ b\ m'\ m) \) ó \( (a\ b\ m\ m') = -1 \) la propiedad de ser conjugados armónicos de los puntos dobles, cada par de puntos conjugados, y análogamente, la propiedad de las rectas rectangulares de serlo con relación á las rectas isotropas que pasan por su punto común.

Sigue á la involución la generación de las curvas y superficies de segundo grado, empleando, como en toda la obra, el concepto de la relación anarmónica y las transformaciones homográficas y correlativas.

El capítulo: principales propiedades de las cónicas, comprende las consecuencias del teorema de Desargues-Sturm, polos y polares, teo-
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remas particulares tales como los de Steiner, Joachimsthal, etc., cónicas armónicamente circunscriptas é inscriptas á una cónica.

Siguen las principales propiedades de las cuádricas, y el capítulo último tiene por objeto algunas transformaciones. Una propiedad demostrada en un caso particular puede originar frecuentemente un teorema más general mediante una transformación homográfica, como por ejemplo, las propiedades descriptivas de los círculos dan propiedades de cónicas, y de esto presenta el Sr. Duporq varias proposiciones así deducidas, lo mismo que aplicaciones de la transformación por polares recíprocas, respecto al círculo y á la esfera, de la representación plana de las cuádricas, dando especial importancia á la transformación por inversión.

Concluye la obra con las transformaciones cuadráticas y la transformación de Lie, ó sea la de contacto.

REPERTORIO DI MATEMATICHE SUPERIORI per Ernesto Pascal, professore ordinario nella R. Università di Pavia.—II Geometría, Milano, 1900.—De igual modo que la primera parte Analisi, constituye un Vade-mecum donde se halla expresado brevemente lo más fundamental de cada teoría, notándose acertada selección de materia que hacen el libro á la par que útil interesante.

Las materias contenidas son: Cap. I La geometría de las formas fundamentales. Emplea la doble razón ó relación anarmónica, ó procedimiento de Chasles, partiendo de las relaciones

\[
AB + BC + CA = 0,\quad ABE \cdot CDE + ... = 0,
\]
\[
ABEF \cdot CDEF + ... = 0
\]

respectivamente para las formas de 1ª, 2ª, y 3ª especie, tratando de la homografía, afinidad, homología, dualidad y polaridad en el plano y entre dos espacios y de la antiproyectividad:

Cap. II. Geometría de las formas discontinuas Trata de las formas compuestas de puntos, rectas y planos en número finito, en general, enearista y enérgono alabado completo, propiedades proyectivas de los pares, ternos y cuaternos de puntos de una recta, centros armónicos, apolaridad é involuciones, siendo \( a_x^{n-1} a_y, a_x^{n-2} a_y^2, ... \)

los grupos polares de y respecto á la forma \( a_x^n \), lo que conduce á tratar especialmente del Hessiano y del grupo Steineriano de la armonzante de Battaglini. Entre los sistemas lineales de grupos de puntos