El Progreso matemático (1894-09-01 00:00:00), página 3

\( \pi_1 \pi_2 \) prendasi un segmento \( T'_1 T'_2 \), equipollente al segmento \( S'_1 S'_2 \) (ma diverso da questo). Poi sulla \( s_1 \) prendasi il punto \( T_1 \), che ha per 2.a proiezione \( T'_1 \); e sulla \( s_2 \) quel punto \( T_2 \), che ha per 1.a proiezione \( T'_2 \). Allora la retta \( T_1 T_2 \ldots \equiv t \) sarà un terzo raggio di \( \Gamma \) giacente in \( \alpha \) (n. 2), e sul trilatero \( s_1 s_2 t \) si potrà ragionare come prima: sicché adoperando con esso nel medesimo modo, che dianzi col trilatero \( s_1 s_2 s_3 \), si otterranno similmente le due rette \( x, y \) cercate.

Una volta trovate le tangenti principali \( x, y \), si potranno altresì costruire i punti di contatto X, Y delle medesime con la parabola involuppata dai raggi di \( \Gamma \) che giacciono in \( \alpha \). Ciò può farsi in entrambi i casi alla stessa maniera — p. e. mediante il teorema di Brianchon — perché nell'un caso e nell'altro si conoscono di quella parabola cinque tangenti proprie (oltre la tangente impropria). E poiché una parabola si proietta ortogonalmente in un'altra parabola, sarà altresì lecito operare sulle proiezioni di quelle tangenti in \( \pi_1 \) o in \( \pi_2 \) anziché sui ribaltamenti, qualora piaccia trovare immediatamente le proiezioni dei punti X, Y piuttosto che i ribaltamenti dei medesimi. I punti X, Y così determinati sono i centri di curvatura tangenziale o geodetica pertinenti alle due linee di curvatura che passan per A. E propriamente, detta \( m \) la linea di curvatura che è toccata dalla retta \( x \), sarà Y il centro di curvatura tangenziale della \( m \) in A. Invero sul piano \( \alpha \) giace pure la tangente principale \( y' \), che parte dal punto di \( m \) infinitamente vicino ad A: per la qual cosa il punto d'incontro delle due rette principali \( y, y' \), vale a dire il centro di curvatura tangenziale di \( m \) in A, non è altro che il punto Y, dove la retta \( y \) è tangente all'inviluppo parabolico di \( \Gamma \) giacente in quel piano.

4. Quanto al 2.a Problema (n. 1) è da operar come segue. Detta \( a \) la normale al piano \( \alpha \) in A, si costruiscano le tracce del piano \( ax \equiv \mu \) sopra i due piani \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \), e siano queste \( m_1, m_2 \). Le quattro rette \( a', x', m_1 \) e \( \pi_1 \pi_2 \), proiezioni dello rette \( a, x, m_1 \) ed \( m_2 \) sul piano \( \pi_1 \), individuano su questo una parabola (come inviluppo di tangenti) la quale è proiezione dell'inviluppo parabolico di \( \Gamma \) appartenente al piano \( \mu \). Di poi, mediante il teorema di Brianchon o per altra via, si costruisca il punto di contatto \( M' \) di questa parabola con la retta \( a' \): allora quel punto M di \( a \), che ha per 1.a proiezione \( M' \), sarà il centro di curvatura principale della quadrica coordinato alla linea di curvatura \( m \). Così pure, se \( n_1, n_2 \) sono le tracce del piano \( ay \equiv v \) sopra \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \), e \( a'', y'', \pi_1 \pi_2 \) ed \( n_2 \) le proiezioni delle rotte \( a, y, n_1 \) ed \( n_2 \) sul piano \( \pi_2 \), il punto di contatto \( N' \) della \( a'' \) con la parabola individuata dalle quattro tangenti \( a''y'', \pi_1 \pi_2, n_2 \) sarà la 2.a proiezione di quel punto \( N \) di \( a \),