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El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 8

SUR LES LIGNES CYLINDRIQUES
par Geminiano Pirondini, à Parme

(Conclusión)

Si \( \Lambda \) est une ligne dont les plans osculateurs coupent la surface cylindrique K sous un angle constant \( \epsilon \), et si \( \Lambda_0 \) est l'hélice tangente à \( \Lambda \) dans un point quelconque A, les rayons de courbure et de torsion (\( \varrho, \tau \)), (\( \varrho_0, \tau_0 \)) de ces lignes \( \Lambda, \Lambda_0 \) au point A sont liés entre eux par les relations:

\[
\varrho = \varrho_0 \sin \epsilon, \quad \tau = \tau_0
\]

Le problème: construire une ligne gauche \( \Lambda \), dont le rayon de courbure est une fonction donnée de l'arc \( \varphi = f(s) \), est indéterminé.

Si l'on fixe d'une façon arbitraire une fonction \( \varphi (s) \) de s et ensuite on pose

(11) \[
\sin \theta = \varphi (s)
\]

l'équation (1) donne:

(12) \[
\frac{1}{r} = \frac{1}{\varphi^8(s)} \sqrt{\frac{1}{f^2 \left[ \int \frac{d s}{\varphi (s)} \right]} - \frac{\varphi^8(s) \varphi'^4(s)}{1 - \varphi^8(s)}}
\]

Le problème est ainsi ramené à décrire, sur le cylindre K dont la section droite est la courbe (12), la ligne \( \Lambda \) coupant les génératrices sous l'angle \( \theta \) donné par l'équation (11).

Pour la construction de la ligne dont le rayon de torsion est une fonction donnée de l'arc (problème aussi indéterminé) on a bien d'intérêt dans la transformation dont M. Bianchi a fait usage dans son Mémoire «Sulle curve a doppia curvatura». (1)

Elle est définie par les équations:

\[
x_1 = \int \cos l \cdot d s, \quad y_1 = \int \cos m \cdot d s, \quad z_1 = \int \cos n \cdot d s,
\]

(1) Giornale di Battaglini — Vol. XXI, 1883.
El Progreso matemático (1899-10-01 00:00:00), página 9

l, m, n étant les inclinaisons de la binormale de L sur les axes coordonnés. La propriété caractéristique de cette transformation c'est de laisser inaltéré l'arc et de permuter entre eux les rayons de courbure et de torsion de la ligne donnée.

Nous allons maintenant exposer une autre transformation très remarquable dans l'étude des ligne gauches.

L (x, y, z) étant une ligne quelconque (ligne primitive); (cos α, cos β, cos γ), (cos λ, cos μ, cos ν), (cos l, cos m, cos n) les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale; ρ, τ, s le rayon de courbure, le rayon de torsion et l'arc, considérons la ligne L₁ (ligne dérivée) définie par les équations:

\[
x_1 = \int \cos \lambda \cdot d s, \quad y_1 = \cos \mu \cdot d s, \quad z_1 = \int \cos \nu \cdot d s.
\]

Celles-ci donnent:

\[
\frac{d x_1}{d s_1} \frac{d s_1}{d s} = \cos \lambda, \text{ etc.}
\]

d'où:

\[
d s_1 = d s, \quad \text{et} \quad s_1 = s.
\]

Il résulte alors:

\[
\cos \alpha_1 = \cos \lambda, \quad \text{etc.}
\]

d'où par dérivation:

\[
\frac{\cos \lambda_1}{\rho_1} = - \left( \frac{\cos \alpha}{\rho} + \frac{\cos l}{\tau} \right), \quad \text{etc.}
\]

Il est donc:

\[
\frac{1}{\rho_1^2} = \frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\tau^2}
\]

(13)

et conséquemment:

\[
\cos \lambda_1 = - \frac{\cos \alpha + \cos l}{\sqrt{\frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\tau^2}}} \quad \text{etc.}
\]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
REVISTA DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

HISTORIA DEL PROBLEMA DE LAS TANGENTES
por M. A. Aubry

En el mero hecho de no haber estudiado los antiguos más que el círculo y las cónicas se halla la razón de haber definido, al estudiar estas curvas, sus tangentes de modo que solo convinieran tales definiciones á las curvas de segundo grado. Y aunque muy probablemente daten estas teorías de la época de Platon, por hallarse tan solo expuestas en las obras de Euclides y Apolonio, comenzaremos á exponerlas según se encuentran en las obras de estos dos célebres geómetras.

Euclides dice, por definición, que una recta que corta á una circunferencia le es tangente, cuando prolongada más allá del punto de contacto, no la corta de nuevo; y que dos circunferencias se tocan, cuando encontrándose en un punto, no se encuentran en otro punto.

Euclides añade á estas definiciones varios teoremas, de los cuales el más importante es el siguiente: La perpendicular levantada al diámetro en su extremo A (fig. 1) es tangente á la circunferencia, y entre esta tangente y la circunferencia no se puede trazar ninguna otra recta. Si cayese según AB se tendría \( \angle DBA = \angle DAB = 1 \) recto; el triángulo DBA tendría dos ángulos rectos. Además, si entre AF y la circunferencia se pudiese trazar por A

Figura 1
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 10

Donc:

\[
\frac{1}{r} = \sin \theta \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{r^2} + \left( \frac{d \theta}{d s} \right)^2}
\]

et (puisque \( \sin \theta = \frac{d s}{d \sigma} \)) :

(1)

\[
\frac{1}{r} = \frac{1}{\sin^2 \theta} \sqrt{\frac{1}{r^2} - \left( \frac{d \theta}{d \sigma} \right)^2}
\]

Le rayon de courbure géodésique \( r_g \) de \( \Lambda \) sur le cylindre K est égal au rayon de courbure \( r_1 \) de \( \Lambda_1 \). On a donc:

(2)

\[
\frac{1}{r_g} = \frac{d \theta}{d \sigma} = \sin \theta \cdot \frac{d \theta}{d s}
\]

En désignant par \( \epsilon \) l'angle sous lequel les plans osculateurs de \( \Lambda \) coupent la surface de K, on a:

\[
\cos \epsilon = \frac{r}{r_g}
\]

Conséquemment:

(3)

\[
\tan \epsilon = \frac{1}{r} \cdot \frac{\sin \theta}{\frac{d \theta}{d s}} = \frac{r_g}{r} \sin^2 \theta
\]

Si l'on remarque d'ailleurs que:

\[
\tan \epsilon = \sqrt{\frac{r_g^2 - r^2}{r}}
\]

on a par comparaison:

\[
\frac{1}{r^2} = \frac{1}{r_g^2} + \frac{\sin^2 \theta}{r^2}
\]

Celle-ci est la généralisation d'une formule connue relative à l'hélice cylindrique.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 11

2

On peut toujours plier le plan d'une ligne \( \Lambda_1 \) sur un cylindre K tel, que le rayon de courbure de la ligne \( \Lambda \) à laquelle se réduit \( \Lambda_1 \) soit donné par une fonction arbitraire

\[
\rho = f(\sigma)
\]

de l'arc.

En effet la transformée plane \( \Lambda_1 \) soit représentée par l'équation intrinsèque:

\[
\rho_1 = \lambda(\sigma);
\]

on déduit de l'équation (2):

\[
\frac{d\theta}{d\sigma} = \frac{1}{\lambda(\sigma)}
\]

Si donc on a recours à l'égalité (1) et si l'on remarque de plus que

\[
ds = d\sigma \cdot \sin \theta,
\]

on trouve:

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{r} = \frac{1}{\sin^2 \left[ \int \frac{d\sigma}{\lambda(\sigma)} \right]} \sqrt{\frac{1}{f^2(\sigma)} - \frac{1}{\lambda^2(\sigma)}} \\
s = \int \sin \left[ \int \frac{d\sigma}{\lambda(\sigma)} \right] d\sigma + c,
\end{array}
\right.
\]

(4)

\( c \) étant une constante arbitraire qu'on peut toujours déterminer par un choix préalable de l'origine de l'arc s.

L'élimination de \( \sigma \) entre les équations (4) conduit à une certaine relation

\[
r = \psi(s)
\]

entre le rayon de courbure \( r \) et l'arc \( s \) de la ligne L; cette ligne est donc déterminée. C'est le même, par conséquent, du cylindre K.

Pour voir de quelle façon on doit superposer le plan de \( \Lambda_1 \) à la
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 12

surface du cylindre K, on suppose de donner à \( s \) une valeur particulière \( a \); soit \( a \) la valeur correspondante de \( s \) (déduite de la deuxième équation (4)).

Les équations:

\[
s = a, \quad \xi_1 = \lambda(x); \quad s = a, \quad r = r(a)
\]

définissent une couple de points correspondants \( A_1, A \) sur les lignes \( A_1, L \).

D'ailleurs l'équation:

\[
\theta = \int \frac{d\sigma}{\lambda(\sigma)} = \Phi(\sigma),
\]

dans le point \( A_1 \), se réduit à:

(5)

\[
(6)_{A_1} = \Phi(x)
\]

On a donc la construction suivante:
Après d'avoir mené par le point \( A_1 \) une droite D inclinée à la courbe \( \Lambda_1 \) de l'angle \( (\theta)_{A_1} \), donné par l'égalité (5), on doit superposer le plan de \( \Lambda_1 \) au cylindre K, en plaçant le point \( A_1 \) sur le point A et la droite D sur la génératrice rectiligne de K passant par A.

La propriété énoncée est ainsi démontrée.

Il suit de l'analyse précédente: Une ligne \( \Lambda \) à double courbure est déterminée de forme quand on connait: 1) son rayon de courbure en fonction de l'arc. 2) la transformée plane \( \Lambda_1 \) de cette ligne.

La transformée plane \( \Lambda_1 \) soit définie par l'équation cartésienne:

(6)

\[
\xi_1 = F(s)
\]

On a dans ce cas:

\[
\cot \theta = F'(s)
\]

(7)

\[
\frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{r_g} = \frac{1}{r_1} = \frac{F''(s)}{\left[1 + F'^2(s)\right]^{3/2}}
\]

et conséquemment.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 13

\[
\begin{cases}
\sigma = \int \sqrt{1 + F'^2(s)} \cdot ds \\
\frac{1}{r} = \sqrt{\frac{[1 + F'^2(s)]^3}{f^4 \left[ \int \sqrt{1 + F'^2(s)} \cdot ds \right]}} - \frac{F''(s)}{1 + F'^2(s)}
\end{cases}
\]

L'élimination de \( s \) entre ces équations donne une relation entre \( r \) et \( s \), ce qui définit la ligne \( L \) et conséquemment le cylindre \( K \).

Après cela, on doit superposer le plan de \( \Lambda_1 \) sur la surface de \( K \) de façon, que l'axe des \( z_1 (s = 0) \) coïncide avec la génératrice de \( K \) qui passe par le point de \( L \) déterminé par les équations dérivant des égalités (8), en y faisant \( s = 0 \).

Exemple.—Plier le plan d'un cercle \( \Lambda_1 \) sur un cylindre de façon à construire une ligne gauche \( \Lambda \) à courbure constante.

Dans ce cas on a:

\[
\varepsilon = f(\sigma) = a, \quad \varepsilon_1 = \lambda(s) = b, \quad \theta = \frac{\sigma}{b}, \quad s = -b \cos \left( \frac{\sigma}{b} \right) + b,
\]

et conséquemment.

\[
r = \frac{a}{b \sqrt{b^2 - a^2}} \left| b^2 - (s - b)^2 \right|
\]

en supposant d'avoir déterminé la constante \( c \) des équations (4) de façon, qu'il résulte \( s = 0 \) pour \( \sigma = 0 \).

Le cylindre \( K \) est ainsi déterminé.

En remarquant que, pour \( \sigma = 0 \), on a: \( \theta = 0, r = 0 \), on voit que pour la solution complète du problème on doit mener une tangente D au cercle \( A_1 \) à un point quelconque \( A_1 \) et ensuite envelopper le plan de \( \Lambda_1 \) sur le cylindre \( K \) de façon, que \( A_1 \) soit sur le point \( A \) de \( L \) dans lequel \( r = 0 \), et la droite D soit sur la génératrice de \( K \) passant par \( A \).

Le problème: Sur un cylindre donné \( K \) décrire la ligne \( \Lambda \) dont le rayon de courbure \( r \) est une fonction donnée de l'arc \( \sigma \) peut être résolu théoriquement par deux méthodes différentes.

1) On peut déterminer la transformée plane \( \Lambda_1 \) de \( \Lambda \), en ayant recours à la deuxième équation (8), qui conduit évidemment à une équation différentielle du troisième ordre en \( F(s) \).
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 14

2) On peut déterminer l'inclinaison \( \theta \) de L sur les génératrices du cylindre K, en fonction de \( \sigma \) ou de \( s \); et pour atteindre ce but on a respectivement les relations;

\[
\left( \frac{d \theta}{d \sigma} \right)^2 + \frac{\sin^4 \theta}{r^3 (\int \sin \theta \cdot d \sigma)} = \frac{1}{\varphi^3 (\sigma)}
\]

\[
\sin^2 \theta \left( \frac{d \theta}{d s} \right)^2 + \frac{\sin^4 \theta}{r^3 (s)} = \frac{1}{\varphi^3 \left( \int \frac{d s}{\sin \theta} \right)}
\]

conduisant à deux équations différentielles du deuxième ordre en \( \theta \).

Exemple.—On veut tracer une ligne à courbure constante sur un cylindre circulaire.

Dans ce cas on a:

\[
\rho = a, \quad r = b;
\]

la détermination de \( \theta \) se fait donc au moyen de l'équation différentielle:

\[
\sin^2 \theta \left( \frac{d \theta}{d s} \right)^2 + \frac{\sin^4 \theta}{b^3} = \frac{1}{a^3}
\]

Et puisqu'on dérive d'ici:

\[
\int \frac{\sin \theta \; d \theta}{\sqrt{1 - \frac{a^3}{b^3} \sin^4 \theta}} = \frac{1}{a} s + \text{cont.},
\]

on voit qu'on tombe sur une intégrale elliptique; le problème peut être donc résolu complètement.

3

Si l'on a recours à l'équation (3) en se rappelant l'égalité (7), on trouve:

\[
\tang \alpha = \frac{\sqrt{1 + F''^2(s)}}{F'(s)} \cdot \frac{1}{r},
\]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 15

d'où il suit:

\[
\frac{1}{r} = \frac{F'(s)}{\sqrt{1 + F'^2(s)}} \cdot \text{tang } s
\]

On conclut que l'on peut toujours déterminer le cylindre K sur lequel on doit plier le plan d'une ligne plane donnée \( \Lambda_1 \), pour que les plans osculateurs de la ligne gauche à laquelle se réduit \( \Lambda_1 \) soient inclinés d'un angle \( \epsilon \) constant, ou fonction donnée de l'arc s, sur la surface du cylindre.

Exemple.—Si la ligne plane donnée \( \Lambda_1 \) est la parabole

\[
z_1 = \frac{s^2}{a},
\]

on trouve:

\[
r = \cot \epsilon \sqrt{\frac{a^2}{4} + s^2}
\]

et la section droite L du cylindre K est déterminée.
Pour \( \epsilon \) constante, on tombe sur une courbe trocoïdale.
On dérive de la formule (3):

\[
\frac{d \theta}{\sin \theta} = \frac{\cot \epsilon}{r} ds,
\]

d'où par intégration:

(9)

\[
\tan \frac{1}{2} \theta = c e^{\int \frac{\cot \epsilon}{r} ds}
\]

c étant une constante arbitraire.
On voit d'ici que quand on donne arbitrairement le cylindre K, on peut décrire, sur la surface, une infinité de lignes \( \Lambda \) jouissant de la propriété que leurs plans osculateurs coupent la surface sous un angle \( \epsilon \) constant ou fonction donnée de s.
La construction de ces lignes \( \Lambda \) peut être effectuée à l'aide de la relation (9) donnant l'inclinaison de la ligne à construire sur les génératrices du cylindre.
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 16

Dans ce cas on peut trouver sans peine la ligne \( \Lambda_1 \) transformée de \( \Lambda \). En effet, on a (à cause de l'égalité (2)):

\[
\frac{1}{r_g} = - \frac{d \cos \theta}{d s};
\]

et puisque le rayon de courbure \( r_1 \) de \( \Lambda_1 \) est égal à \( r_g \), on a que la relation entre \( r_1 \) et \( r \) définissant la courbe \( \Lambda_1 \) s'obtient en éliminant \( s \) entre les équations:

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{r_1} = \frac{d \cos \theta}{d s} \\
\sigma = \int \frac{d s}{\sin \theta} + \text{const.}
\end{array}
\right.
\]

\( \theta \) étant donnée par l'égalité (9)).

En supposant que angle \( \epsilon \) soit une fonction connue de l'arc \( \sigma \) de la ligne \( \Lambda \) qu'on veut tracer sur le cylindre donné K, l'angle \( \theta \) est défini par la condition:

\[
\frac{d \theta}{\sin \theta} = \frac{\cot \epsilon \cdot d \sigma}{r / |\sin \theta \cdot d \sigma|},
\]

conduisant à une équation différentielle du deuxième ordre en \( \theta \).

Le problème est ramené aux quadratures, quand \( r \) est une constante.

En remarquant que

\[
\frac{r_1}{r_g} = \frac{r_1}{r_g} = \cos \epsilon,
\]

on a: Les équations (10) dans lesquelles on suppose \( \epsilon \) constante, définissent la ligne plane \( \Lambda \), dont le rayon de courbure est proportionnel au rayon de courbure de la ligne gauche \( \Lambda \) à laquelle se réduit \( \Lambda_1 \) en pliant son plan sur la surface d'un cylindre K donné d'avance.

Nous terminons ce paragraphe en énonçant la propriété suivante, qu'on démontre en appliquant les formules du §. 1 et l'équation:

\[
\frac{1}{r} = \frac{d \epsilon}{d s} + \frac{\sin \epsilon}{r} \cot \theta,
\]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 17

donnant le rayon de torsion \( \tau \) d'une ligne \( \Lambda \) tracée sur le cylindre K (ou, avec plus de généralité, sur une surface développable quelconque):

(Concluira.)

TEORÍA FORMAL DE LAS PROGRESIONES
POR D. LUIS OCTAVIO DE TOLEDO
Catedrático de la Universidad de Madrid

Nos proponemos en este artículo exponer la teoría de las progresiones según su aspecto puramente formal, presentando bajo una forma general y uniforme las propiedades de este algoritmo tan poderoso y admirable del Análisis numérico.

1.—Algoritmo empleado.—Designemos por el símbolo \( \sim \), que leeremos combinado con, el signo de una operación aritmética directa, que goce de las propiedades de ser asociativa y conmutativa, es decir, que si \( a, b \) y \( c \) son tres números cualesquiera, se verifiquen las propiedades que expresan las igualdades siguientes:

\[
a \sim b = b \sim a \\
(a \sim b) \sim c = (a \sim c) \sim b = a \sim (b \sim c) = a \sim bc
\]

(1)

La operación inversa de la expresada por el símbolo \( \sim \), la designaremos con el \( \sim \), que leeremos inversamente combinado con, de manera que se tendrá, por ser conmutativa la operación \( \sim \), de

\[
a \sim b = c \left\{ \begin{array}{l} c \sim a = b \\ c \sim b = a \end{array} \right.
\]

Designemos, de modo análogo, por el símbolo \( \approx \), que leeremos doblemente combinado con, el signo de una nueva operación aritmética directa, de categoría inmediatamente superior á la designada por el símbolo \( \sim \), operación que podrá ser, ó no ser, asoci-
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 18

tiva y conmutativa, pero que supondremos es distributiva respecto á la operación \( \sim \), al menos cuando el elemento compuesto ocupa el primer lugar, es decir, que si \( a, b \) y \( c \) son tres números cualesquiera, la nueva operación gozará de las propiedades expresadas en las igualdades siguientes:

\[
a \sim a \sim a \ldots \sim a^b = a \simeq b \\
(a \sim b) \simeq c = (a \simeq c) \sim (b \simeq c)
\]

pudiendo gozar, ó no gozar, de las expresadas por las igualdades (1).

Como la operación \( \simeq \) puede no ser conmutativa podrán corresponderle dos operaciones inversas diferentes; estas dos operaciones las designaremos por los símbolos \( \simeq \) y \( \perp \), que leeremos *inversa* y *doblemente combinado con*; de manera que se tendrá, de

\[
a \simeq b = c \quad |c \simeq b = a| \\
c \perp a = b
\]

Es evidente que si la operación \( \simeq \) fuese conmutativa, las dos operaciones \( \simeq \) y \( \perp \) serían idénticas.

Recordados estos símbolos, notaciones y propiedades pasemos á exponer la teoría de las progresiones.

2.—Definiciones.—Se llama progresión una sucesión de números tales, que cada uno se deduce del que le precede operando sobre éste por la operación \( \sim \) con un número constante, que recibe el nombre de *razón* de la progresión.

Los diversos números que constituyen una progresión se llaman sus *términos*, y pueden ser en número limitado ó ilimitado. Señalados ó fijados dos términos de una progresión, los comprendidos entre ellos reciben el nombre de *medios*.

De la definición dada se deduce inmediatamente que cada término de una progresión es también igual al resultado de operar sobre el término que le sigue, por la operación inversa \( \sim \), con el número constante que hemos llamado razón. Aunque podría tomarse esta propiedad como definición de las progresiones, es más lógico aceptar la primera por apoyarse en las operaciones aritméticas directas.

Las progresiones se dividen en *crecientes* y *decrecientes*, según
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 19

que la razón sea mayor o menor que el módulo (1) de la operación \( \sim \). La causa de estas denominaciones es la siguiente; designemos por \( a \) un término de la progresión, por \( r \) la razón y por \( m \) el módulo de la operación \( \sim \), y tendremos, si

\[
r > m, \qquad a - r > a,
\]

los términos de la progresión irán aumentando y la progresión se llamará *creciente*, pero si por el contrario

\[
r < m, \qquad a - r < a,
\]

los términos de la progresión irán decreciendo, y la progresión se denominará *decreciente*.

3. *Fórmulas generales.* - Sea la progresión

\[
a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots, a_{n+p}, \ldots, a_m, p, \ldots a_m, \ldots,
\]

cuya razón designaremos por \( r \); y tratemos de hallar el valor de un término cualquiera en función de otro que le preceda o siga en un cierto número de lugares, la razón de la progresión y el número de términos intermedios.

De la definición de progresión, de la propiedad enunciada en el párrafo anterior y de las conocidas propiedades de las operaciones \( \sim \) y \( \approx \) y de sus inversas, se deducen las dos series de igualdades

\[
\begin{align*}
a_{n+1} &= a_n - r, & a_{m-1} &= a_m - r, \\
a_{n+2} &= a_{n+1} - r = a_n - r - r &= a_n - (r \approx 2), & a_{m-2} &= a_{m-1} - r = a_m - r - r &= a_m - (r \approx 2), \\
a_{n+3} &= a_{n+2} - r &= a_n - (r \approx 2) - r = a_n - (r \approx 3), & a_{m-3} &= a_{m-2} - r &= a_m - (r \approx 2) - r = a_m - (r \approx 3), \\
& & & \\
a_{n+p} &= a_{n+p-1} - r &= a_n - (r \approx p-1) - r = a_n - (r \approx p); & a_{m-p} &= a_{m-p-1} - r &= a_m - (r \approx p-1) - r = a_m - (r \approx p);
\end{align*}
\]

(1). Recordemos que se llama *módulo de una operación* \( \sim \): al número \( m \) que combinado por la operación \( \sim \) con un número cualquiera \( a \), reproduce el número \( a \), es decir, al número que tiene la propiedad que expresa la siguiente igualdad

\[
a - m = a
\]
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 2

otra recta A H, la perpendicular D I H sobre A H daría \( \angle D H A = 1^{recto} \) y \( DA > DH \) ó \( DI > DH \) (lib. III, prop. VII).

Apolonio, después de haber demostrado (lib. I, prop. XVI) que las cuerdas perpendiculares al eje de una cónica quedan cortadas por éste en dos partes iguales, demuestra (prop. XVII) que la paralela á estas cuerdas, trazada por el extremo del eje es tangente á la curva, pues si la cortase en otro punto, el medio de la cuerda estaría sobre el eje, lo que sería absurdo.

Después (prop. XXXIII) hace ver que el vértice A de la parábola AC (fig. 2) corta á la subtangente ED en dos partes iguales. En efecto, tomemos AE=AD, tracemos la secante ECF y una ordenada cualquiera BGF, se tendrá:

\[
\frac{EB^2}{ED^2} = \frac{FB^2}{CD^2} < \frac{BG^2}{CD^2} = \frac{BA}{DA} = \frac{BA \cdot AE}{DA \cdot AE} = \frac{4BA \cdot AE}{ED^2}
\]

lo que daría \( EB^2 < 4BA \cdot AE \), contrario al teorema de Euclides:
Si una recta AB está dividida igualmente en C y desigualmente en K, el cuadrado construido sobre AC es mayor que el rectángulo de AK y KR.

Apolonio demuestra enseguida que ninguna recta puede trazarse entre la curva y la tangente, y trata las mismas cuestiones para la elipse y la hipérbola.

Demuestra la propiedad característica de las asíntotas de la hipérbola: la recta trazada desde el centro C (fig. 3) por el extremo de una ordenada en el vértice, igual al parámetro, no corta á la curva. En efecto, si la encontrase, por ejemplo en G, se tendría:

\[
\frac{AH \cdot HB}{HG^2} = \frac{AB}{BD} = \frac{AB^2}{AB \cdot BD} = \frac{BC^2}{BD^2} = \frac{CH^2}{GH^2}
\]

de donde \( AH \cdot HB = CH^2 \), conclusión absurda, puesto que \( AH \cdot HB = CH^2 - BC^2 \).
El Progreso matemático (1899-09-01 00:00:00), página 20

de donde se derivan las dos fórmulas

\[
a_{n+1} \cdot p = a_n \cdot (r \simeq p), \tag{3}
\]
\[
a_m \cdot p = a_m \cdot (r \simeq p), \tag{4}
\]

que deseábamos hallar; estas fórmulas traducidas al lenguaje vulgar nos dicen que:

Un término cualquiera de una progresión es igual á otro que le precede en p lugares, combinado por la operación directa de categoría inferior, con el resultado de combinar la razón r con el número p por la operación directa de categoría superior.

La fórmula (4) puede fácilmente deducirse de la (3), del modo que ahora indicaremos, pero es preferible obtenerla directamente cual nosotros lo hemos hecho. Operando sobre los dos miembros de la igualdad (3) con el número \( r \simeq p \) por la operación inversa, tendremos

\[
a_{n+p} \cdot (r \simeq p) = a_n \cdot (r \simeq p) \cdot (r \simeq p) = a_n,
\]

y haciendo

\[
n + p = m, \quad \text{de donde} \quad n = m - p,
\]

se obtiene la fórmula (4); de un modo análogo se podría derivar la fórmula (3) de la (4).

4.—Combinando por medio de la operación \( \sim \) las dos igualdades (3) y (4), se obtiene

\[
a_{n+p} \sim a_{m-p} = a_n \sim a_m, \tag{5}
\]

igualdad que expresa una propiedad muy importante de las progresiones, que posteriormente utilizaremos, y que traducida al lenguaje vulgar nos dice que:

La combinación por medio de la operación \( \sim \) de dos términos de una progresión equidistantes de dos fijos, y situados entre ambos, ó uno á la izquierda del primero y otro á la derecha del segundo, es constantemente igual al resultado de combinar por la misma operación los términos fijos.

5.—De la fórmula (3), ó de la (4), pueden deducirse los valores de la razón de la progresión, \( r \), y del lugar, \( p \), que en la misma