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El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 12

Expresando que estos valores verifican la ecuación de una circunferencia:
\[
a^2 \beta \gamma + b^2 \gamma a + c^2 \alpha \beta + (\alpha + \beta + \gamma) (A \alpha + B \beta + C \gamma) = 0
\]
se obtiene
\[
B = -c^2 a \lambda (1 - \lambda b^2) \quad C = -a^2 b \lambda (1 - \lambda c^2)
\]
La forma de estas igualdades manifiesta que si se hace
\[
A = -b^2 c^2 \lambda (1 - \lambda a^2)
\]
la circunferencia pasa por los seis puntos de intersección D, E, F, M, N, P de los lados no homólogos de los triángulos ABC, \(a_3 \gamma\).

Luego la ecuación de un círculo de Tucker es:
\[
\sum \frac{\beta \gamma}{b^2 c^2} - \lambda \sum a \sum \left( \frac{1}{a^2} - \lambda \right) x = 0 \tag{12}
\]

El eje radical de este círculo con el círculo ABC tiene por ecuación:
\[
\sum \frac{\alpha}{a^2} - \lambda \Sigma x = 0 \tag{18}
\]
es paralelo á la recta de Lemoine y los centros de los círculos de Tucker están en la recta OK (diámetro de Brocard).

La ecuación (12) puede escribirse como sigue:
\[
\lambda^2 \Sigma^2 a - \lambda \Sigma x \sum \frac{\alpha}{a^2} + \sum \frac{\beta \gamma}{b^2 c^2} = 0 \tag{14}
\]
de la que se deduce la ecuación de la envolvente de los círculos de Tucker, á saber:
\[
\sum \frac{\alpha^2}{a^2} - 4 \sum \frac{\beta \gamma}{b^2 c^2} = 0 \tag{15}
\]
\[
\sum \frac{\alpha^2}{a^2} - 2 \sum \frac{\alpha \beta}{a^2 b^2} = 0 \tag{16}
\]

Esta envolvente es, pues, una elipse que toca á los lados de ABO en los pies de las simedianas y tiene, con el círculo ABC, un doble contacto sobre la recta de Lemoine: es la elipse de Brocard.

Luego:
La envolvente de los círculos de Tucker es la elipse de Brocard (M. Taylor. 10).
Se puede llegar más fácilmente á la ecuación (12).

(Se continuará).
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 13

BREVE RESEÑA HISTÓRICA
DE LA GEOMETRÍA NO-EUCLÍDEA, ESPECIALMENTE DE DOS Y TRES DIMENSIONES

«Apenas transcurre año sin nuevas tentativas para demostrar el Postulado de Euclides»: de este modo comenzaba Gauss la crítica de uno de los innumerables ensayos desgraciados hechos por diferentes geómetras con objeto de demostrar lo indemostrable; es, á saber: por un punto se puede trazar una paralela y una sola á cualquier recta dada. Los matemáticos dedicados á tan ingrata tarea han sido muchos, y algunos de ellos, por desgracia, de época reciente. Merecen citarse Matías Meternich ¹, Schwab ², Schumacher ³, Bertrán de Ginebra ¹, Cartón y, como el más ilustre de todos ellos, Legendre ³. Gauss comprendió, según se cree, á primera vista, que el postulado en cuestión ni puede demostrarse ni lo podrá ser nunca por el razonamiento, sino, en todo caso, experimentalmente, y aun esto, si el hombre poseyese medios de observación que jamás poseerá. Que esta convicción fué adquirida por el inmortal sabio de Göttingen desde fines del pasado siglo, reposa sólo sobre su dicho y la tradición, pues no llegó á publicar nada referente á esto. Lo que sí se ha conservado en sus obras ⁶ y en su correspondencia ⁷ son las acertadas críticas de muchas de las pretendidas demostraciones, probando él hasta la sociedad que los autores, al querer resolver una dificultad, la sustituían con otra equivalente, aunque de forma distinta, de modo que el nudo gordiano quedaba siempre sin desatar.

Lobachevski, profesor de la Universidad Imperial de Kasan, dió algunas conferencias en 1826 ante su Facultad, en que expresaba claramente sus ideas sobre el asunto. Tanto los trabajos de Legendre como los que perseguían la demostración del postulado Euclideo iban según el matemático eslavo tras un fantasma, puesto que no pudiendo ser probada tal proposición, puede ser falsa quizás y es preciso investigar las leyes del espacio bajo este último supuesto. Mejor aún, con independencia de una opinión ó de otra y en un caso general que pueda abarcar ambas como casos particulares. Esto es lo que Lobachevski hizo en la que denominó Pangeometría, Geometría imaginaria y que se ha llamado también después Geometría astral y Geometría No-Euclídea. Sus obras en este sentido ⁸ comenzaron á publicarse en el año de 1829 y terminaron en 1855 con su «Pangeometría».
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 14

Sin tener noticia de estas investigaciones que se difundieron entonces poquísimo, comenzaron sus trabajos independientemente dos geómetras húngaros, Wolfsagy y Juan Bolyai, padre é hijo. Sus principales obras fueron desatendidas por el vulgo durante mucho tiempo. Las conclusiones á que éstos tan modestos cuanto esclarecidos y desgraciados sabios llegaron, fueron los mismas á que habían conducido sus estudios á Lobachevski. Gauss, amigo de Bolyai padre, aprobó los trabajos de Juan Bolyai, del mismo modo que aprobó también los del astrónomo ruso en cuanto conoció alguna de sus publicaciones.

Por espacio de mucho tiempo permanecieron insfructuosas tan profundas investigaciones, pero Bernardo Riemann, célebre profesor de Göttingen publicó en 1867 una Memoria original e importantísima en que descubría otra nueva fase de la cuestión y sostenía que los axiomas y postulados de Euclides no son una necesidad lógica, de ningún modo. Su trabajo coincide en parte con otro del egregio físico Hermann Helmholtz casi simultáneamente publicado. El primero de los dos trabajos citados es sumamente conciso y hecho sólo para ser leído por sabios, el segundo adolece de igual defecto, pero Helmholtz ha continuado después el camino haciendo popular la Geometría No-Euclidea en Alemania. Lo que principalmente ha dado el triunfo á esta ciencia es quizás el haber demostrado el eminente geómetra italiano Beltrami que aun dentro de las ideas antiguas cabía dar una interpretación de la Geometría Lobachevskiana y que sus teoremas son aplicables á las superficies de curvatura constante negativa, de modo que este estudio no queda nunca estéril.

Félix Klein, profesor primero en Erlangen y luego en Leipzig y Göttingen dió á luz en los Mathematische Annalen de Leipzig notabilísimas y capitales Memorias. En éstas, valiéndose de los trabajos de Cayley sobre propiedades proyectivas, llega á establecer y distinguir, estudiándolas sólidamente, las tres clases de geometrías posibles con respecto al postulado Euclideo: Geometría parabólica ó Euclidea, Geometría hiperbólica ó Lobachevskiana y Geometría elíptica ó de Riemann. El raciocinio no puede decidirse por alguna de ellas con preferencia. La observación parece que, hoy por hoy, da crédito á la geometría parabólica en que se supone que la suma de los ángulos de un triángulo es igual á dos rectos; pero nuestros medios de observación son muy limitados y no aprecian cantidades de cierto grado de pequeña. La Geometría hiperbólica admite que la suma de que tratamos es menor que dos rectos, y la geometría clíptica, que mayor.
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 15

En otras palabras, Euclides supone que por un punto se puede tirar á una recta una paralela y sólo una, Lobachevski y Bolyai que dos, y Riemann que ninguna. De estas tres hipótesis es independiente la Geometría proyectiva, cierta en todo caso.

Además de los trabajos de Félix Klein, de este genio matemático, gloria de Alemania, debemos mencionar los de muchos geómetras eminentísimos. De Tilly se ha distinguido en estos estudios, publicando una obra 11 muy notable, cuya lectura debí ha muchos años á su bondad. Pasch 15, profesor de Giessen, Killing 16, Schlegel, discípulo de Grassmann (quien ya había iniciado también el estudio de los espacios de más de tres dimensiones), Schur, Frischauft 17 y Erdmann han difundido la Pangeometría en Alemania, al paso que Battaglini, Genocchi 18, Paolis, D'Ovidio y otros han hecho lo propio en Italia.

Poincaré, el eminente profesor de París, la ha aclimatado definitivamente en Francia, donde ya se había ocupado el capitán Flye S." Marie 19, y en donde la última edición del tratado de Rouché y Comberousse contiene un resumen de las doctrinas lobachevskianas como apéndice. Hoiiel, por otra parte, había traducido al francés algunas obras de Bolyai y Lobachevski, de cuyas traducciones unas publicó y otras han quedado inéditas. Clifford las introdujo en Inglaterra y Bruce Halstedt ha dado á la ciencia una bibliografía completa de la Geometría No-Euclidica 20, que en unión con él divultan en los Estados Unidos Story, Stringham y otros insignes matemáticos. Rusia 21, la cuna de Lobachevski, continúa también por la senda que éste trazó. Por mi parte hago votos porque esta disciplina que me es tan querida y que desde hace mucho tiempo me interesa, prospere y se difunda. Todo parece augurarle hoy un brillante porvenir, y después de haber ganado las Universidades, promete hoy invadir los gimnasios e institutos. Ojalá su enseñanza arraigue y florezca en nuestra patria.

Prof. Dr. Ventura Reyes.

Cuones, 8 de Diciembre de 1868.

LISTA DE LAS OBRAS CITADAS

1. Vollständige Theorie des Parallellinien.—Mainz, 1815.
2. Commentatio in primum Euclidis Elementorum librum.—Stuttgart, 1814.
3. Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, herausgegeben von Peters.—Altona, 1860-1865.
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 16

1. Développement nouveau de la partie élémentaire des mathématiques.—Genève, 1774.

5. Géométrie.—Notes.—Muchas ediciones.

6. Werke.—Band IV.—Gottingen, 1877.

7. Briefwechsel zwischen Gauss un Schumacher.

8. Los principios de la Geometría (en ruso).—Kasan, 1829-30.
   Geometría imaginaria (ruso).—Kasan, 1835.
   Géométrie imaginaire.—Berlin, 1837.
   Nuevos principios de Geometría, con una teoría completa de las paralelas (ruso).—1836-1838.
   Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.—Berlin, 1840.
   Pangeometría (ruso).—Kasan, 1855.

9. Tentamen juventutem studios am in elementa Mathesecos introducendi. Appendix, Scientiam spatii absolute veram exhibens; a veritate aut falsitate Axiomatia XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica.—Auctore Johanne Bolyai.—Maros Vasarhely, 1832.
   Kurzer Grundriss eines Versuches... Maros Vasarhely, 1851.

10. Ueber die Hypothesen welche der geometrie zu grunde liegen. Gotting. Abh. 1867.

11. Ueber die Thatsache welche der geometrie zu grunde liegen. Gott. Nachr. 1868.

12. Saggio di interpretazione della geometria Non-Euclidea.—Napoli, 1868.

13. Ueber die Sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.—Math. Ann. Ban IV y siguientes.

14. Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la mécanique.—Bordeaux, 1879.

15. Vorlesungen über neuere geometrie.—Leipzig, 1882.

16. Killing.—Die Nicht.—Euklidische Raumformen.—Leipzig, 1885.

17. Absolute Geometrie (Elemente der).—Leipzig, 1876.

18. Dei primi principi della Meccanica e della Geometria.—Firenze, 1869.

19. Etudes analytiques sur la théorie des Paralleles.—Paris, 1871.

20. American Journal of Mathematics. Vol. I y II.

21. Entre los pangómetras rusos citaremos á Vassilief, Smirnoff, Souvoroff, Sanichevski, etc.
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 17

SOPRA ALCUNI GRUPPI DI CONICHE

NOTA DEL DR. V. RETALI, a Milano

1. Nel piano del triangolo fondamentale XYZ (xyz) prendiamo un punto arbitrario U — che assumeremo come punto — unità — e conduciamo le rette

| UX | : a ,   | UY | : b ,   | UZ | : c ,

le cui equazioni rispettive sono

(1)
\[
\begin{cases}
a) & z - y - z = 0 \\
b) & z - x = 0 \\
c) & x - y = 0 .
\end{cases}
\]

Denotiamo con A, B, C rispettivamente i punti (ax), (by), (cz), e con \( r_1, r_2, r_3 \) rispettivamente le rette |BC|, |CA|, |AB|: i tre punti (\( r_1x \)), (\( r_2y \)), (\( r_3z \)) che denoteremo con A', B', C', giacciono come è noto sopra una retta \( r_0 \), polare di U rispetto al triangolo fondamentale e le 4 rette \( r_0, r_1, r_2, r_3 \) formano un quadrilatero completo avente xyz per trilatero diagonale: le equazioni di queste 4 rette sono:

(2)
\[
\begin{cases}
r_0 & \rho_0 : x + y + z = 0 \\
r_1 & \rho_1 : -x + y + z = 0 \\
r_2 & \rho_2 : x - y + z = 0 \\
r_3 & \rho_3 : x + y - z = 0 ;
\end{cases}
\]

o quelle dei raggi

| XA' | : a',   | YB' | : b',   | ZC' | : c',

ordinatamente conjugati armonici di a, b, c rispetto á y, z; z, x; x, y

(3)
\[
\begin{cases}
a') & x' - y + z = 0 \\
b') & z' - z + x = 0 \\
c') & x' - x + y = 0 .
\end{cases}
\]

Indichiamo ora i punti d'intersezione delle sei rette a, b, c, a', b', c con le quattro \( r_0, r_1, r_2, r_3 \) come risulta dagli schemi seguenti
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 18



    r_0
    r_1
    r_2
    r_3

    r_0
    r_1
    r_2
    r_3

    a
    A_0
    A_1
    A
    A
    a'
    A'
    A'
    A_2
    A_3

    b
    B_0
    B_1
    B
    B
    b'
    B'
    B_1
    B'
    B_3

    c
    C_0
    C_1
    C
    C_3
    c'
    C'
    C_1
    C_3
    C'

le equazioni delle rette

\[
|A_0A_2| \equiv a_{02}, \quad |A_1A_3| \equiv a_{13}, \quad |A_0A_3| \equiv a_{03}, \quad |A_1A_2| \equiv a_{12}
\]

sono:

\[
\begin{cases}
a_{02}) & x_{02} \equiv x + 2z = 0 \\
a_{13}) & x_{13} \equiv x - 2z = 0 \\
a_{03}) & x_{03} \equiv x + 2y = 0 \\
a_{12}) & x_{12} \equiv x - 2y = 0,
\end{cases}
\]

e, avuto riguardo alle (1), (2), (3), si ha identicamente

\[
\begin{align*}
\rho_0 \rho_1 + \rho_2 \rho_3 &= x'^2 - x^2 \\
\rho_0 \rho_2 + \rho_3 \rho_1 &= y'^2 - y^2 \\
\rho_0 \rho_3 + \rho_1 \rho_4 &= z'^2 - z^2.
\end{align*}
\]

Cioè premesso, le tre coniche

\[
\begin{align*}
C_0^2) & \quad x^2 + \rho_0 \rho_1 = x'^2 - \rho_2 \rho_3 = 0 \\
C_1^2) & \quad y^2 + \rho_0 \rho_2 = y'^2 - \rho_3 \rho_1 = 0 \\
C_2^2) & \quad z^2 + \rho_0 \rho_3 = z'^2 - \rho_1 \rho_4 = 0
\end{align*}
\]

sono inscritte armonicamente nel quadrilatero \( r_0r_1r_2r_3 \), toccano ordinatamente le rette \( r_0, r_1, r_2, r_3 \) nei punti \( A_0, A_1, A_4, A_3; B_0, B_1, B_2, B_3; C_0, C_1, C_2, C_3 \); e cioè per \( C_0^2 \) le due tangenti \( r_0, r_1 \) sono armonicamente separate mediante \( r_3, r_4 \); per \( C_1^2, r_0 \) e \( r_1 \) sono armonicamente separate da \( r_3, r_4 \); per \( C_2^2, r_0 \) e \( r_3 \) sono conjugate armoniche rispetto a \( r_1 \) e \( r_4 \). Avuto riguardo alle (1), (2), (3) le equazioni di \( C_0^2, C_1^2, C_2^2 \) possono scriverse nella forma seguente

\[
\begin{cases}
C_0^2) & -x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 0 \\
C_1^2) & 2x^2 - y^2 + 2z^2 = 0 \\
C_2^2) & 2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0.
\end{cases}
\]

Si riconosce pur facilmente che le equazioni
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 19

\[
\begin{align*}
\rho_2 \rho_3 + \rho_3 \rho_1 + \rho_1 \rho_2 &= 0 \\
\rho_3 \rho_0 + \rho_0 \rho_2 - \rho_2 \rho_3 &= 0 \\
\rho_0 \rho_1 - \rho_1 \rho_3 + \rho_3 \rho_0 &= 0 \\
- \rho_1 \rho_2 + \rho_2 \rho_3 + \rho_0 \rho_1 &= 0
\end{align*}
\]

rappresentano quattro coniche, che denoterò con \( k_0^2, k_1^2, k_2^2, k_3^2 \), tutte inscritte nel trilatero diagonale \( xyz \) e ordinatamente circoscritte ai triangoli \( r_1 r_2 r_3, r_2 r_3 r_0, r_3 r_0 r_1, r_0 r_1 r_2 \): avuto riguardo alle (2) le equazioni di queste 4 coniche sono:

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
k_0^2) & x^2 + y^2 + z^2 - 2yz - 2zx - 2xy = 0 \\
k_1^2) & x^2 + y^2 + z^2 - 2yz + 2zx + 2xy = 0 \\
k_2^2) & x^2 + y^2 + z^2 + 2yz - 2zx + 2xy = 0 \\
k_3^2) & x^2 + y^2 + z^2 + 2yz + 2zx - 2xy = 0 .
\end{array}
\right.
\]

Avuto riguardo alle (1), (3), (4) si ha identicamente

\[
\begin{align*}
x' (x_{03} - x_{02}) &= 2 (y^2 - z^2) \\
x' (x_{13} - x_{12}) &= 2 (y^2 - z^2) \\
x (x_{03} - x_{13}) &= 2 (y^2 - z^2) \\
x (x_{03} - x_{13}) &= 2 (y^2 - z^2) ,
\end{align*}
\]

e le quattro coniche.

\[
\begin{align*}
x' x_{03} - 2y^2 &\equiv x' x_{02} - 2z^2 = 0 \\
x x_{03} - 2y^2 &\equiv x x_{13} - 2z^2 = 0 \\
x x_{13} + 2y^2 &\equiv x x_{02} + 2z^2 = 0 \\
x' x_{13} + 2y^2 &\equiv x' x_{13} + 2z^2 = 0
\end{align*}
\]

che, denoteremo ordinatamente con \( k_{10}^2, k_{20}^2, k_{30}^2, k_{00}^2 \), son tutte circoscritte nei 4 triangoli \( A_0 A_2 A_3, A_0 A_1 A_3, A_0 A_1 A_2, A_1 A_2 A_3 \); in altre parole, questa quaderna di coniche è la polare reciproca della quaderna (6) rispetto alla conica \( C_0^2 \) della terna (5). Avuto riguardo alle (1), (3), (4) le equazioni delle coniche \( k_{00}^2, k_{10}^2, k_{30}^2, k_{20}^2 \) sono:

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
k_{00}^2) & -2yz + zx + xy = 0 \\
k_{10}^2) & 2yz + zx + xy = 0 \\
k_{20}^2) & 2yz + zx - xy = 0 \\
k_{30}^2) & 2yz + zx + xy = 0 ,
\end{array}
\right.
\]

e analogamente potrebbero scriveresi le equazioni dei sistemi polari reciproci del sistema (6) rispetto alle altre due coniche della terna (5).
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 2

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO IV.--AÑO 1894

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, núm. 100, bajos
1894
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 20

2. Le coniche (6) godono di varie proprietà rimarchevoli: intanto la semplice ispezione delle loro equazioni ci mostra che se di una qualunque di esse formiamo le omologiche armoniche, assumendo i vertici del triangolo fondamentale per centri di omologia e i lati rispettivamente opposti per assi, si ottengono le altre tre. Inoltre se poniamo

\[
\begin{align*}
\rho_2 \rho_1 + \rho_3 \rho_4 + \rho_1 \rho_2 &= \omega_3 \\
\rho_1 \rho_3 + \rho_0 \rho_4 - \rho_2 \rho_3 &= \omega_1 \\
\rho_0 \rho_1 - \rho_1 \rho_4 + \rho_3 \rho_0 &= \omega_2 \\
- \rho_1 \rho_2 + \rho_2 \rho_0 + \rho_0 \rho_1 &= \omega_j
\end{align*}
\]

si ha:

\[
\begin{align*}
\omega_0 + \omega_1 &= (\rho_0 + \rho_1) \cdot (\rho_2 + \rho_3), & \omega_1 - \omega_2 = (\rho_1 - \rho_2) \cdot (\rho_3 - \rho_0) \\
\omega_0 + \omega_2 &= (\rho_0 + \rho_2) \cdot (\rho_3 + \rho_1), & \omega_2 - \omega_3 = (\rho_2 - \rho_3) \cdot (\rho_1 - \rho_0) \\
\omega_0 + \omega_3 &= (\rho_0 + \rho_3) \cdot (\rho_1 + \rho_2), & \omega_3 - \omega_1 = (\rho_3 - \rho_1) \cdot (\rho_2 - \rho_0)
\end{align*}
\]

e, ponendo mente alle (2),

\[
\begin{align*}
\omega_0 + \omega_1 &= 4x (y + z), & \omega_1 - \omega_3 = 4z (x - y) \\
\omega_0 + \omega_2 &= 4y (z + x), & \omega_2 - \omega_3 = 4x (y - z) \\
\omega_0 + \omega_3 &= 4z (x + y), & \omega_3 - \omega_1 = 4y (z - x):
\end{align*}
\]

le rette che, oltre i lati del triangolo fondamentale xyz, son corde comuni delle coniche (6) prese due a due, son dunque le due terne \(a, b, c\) e \(a', b', c'\). Se osserviamo ora che \(a, b, c\) sono ordinatamente conjugate armoniche a \(x, y, z\) rispetto a \(r_2, r_3; r_3, r_1; r_1, r_4\), ne segue che i raggi conjugati armonici delle diagonali, rispetto ai lati del quadrilatero, son corde comuni per quelle coniche che sono circoscritte ai triangoli che possono formarsi coi rimanenti tre lati del quadrilatero ed inscritte nel trilatero diagonale: per es., la c conjugata armonica di z rispetto a \(r_1, r_2\) è corda comune delle due coniche inscritte nel trilatero xyz e rispettivamente circoscritte ai due triangoli \(r_1 r_0 r_3, r_2 r_0 r_3\).

Siccome le corde comuni alle coniche (6) prese due a due sono oltre \(x, y, z\) le sei rette \(a, b, c; a', b', c'\), ne segue che le corde suddette si segano tre a tre in quattro punti \(U_0, U_1, U_2, U_3\), ognuno dei quali è il polo di un lato del quadrilatero, rispetto al triangolo formato dagli altri tre lati. Per es: le rette \(a, b, c\), che sono ordinatamente corde comuni per le coppie di coniche \(k_2^2, k_3^2; k_3^2, k_1^2; k_1^2, k_2^2\) concorrono nel polo \(U_0\) di \(r_0\) rispetto al triangolo \(r_1 r_2 r_3\) (e rispetto alla conica \(k_0^2\)) ecc. Nei punti \(U_1, U_2, U_3\) concorrono rispettivamente le terne di corde comuni \(ab'c', a'b'c', a'b'c\); e i punti stessi sono ordinatamente separati
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 21

armonicamente di U₀ mediante X, x; Y, y; Z, z: il quadrangolo completo U₀U₁U₃U₄ ha dunque XYZ per triangolo diagonale; il quadrilatero semplice U₀U₁U₄U₃ è circoscritto al quadrilatero semplice AC'A'C', ecc.

3. Consideriamo ora i sistemi costituiti da una delle 4 coniche (6) e da una delle 3 coniche (5): si verifica facilmente che i due invarianti simultani di un sistema C²K² sono entrambi identicamente nulli e perciò (*) a ognuna delle due coniche C²K² può inscriversi e circoscriversi una infinità di triangoli conjugati rispetto all'altra. Le polari reciproche delle K² rispetto a una C² sono, come già vedesumo lo quattro coniche circoscritte tutto al triangolo diagonale XYZ e separatamente inscritte nei 4 triangoli che possono formarsi p. es coi 4 punti; e ognuna di esse forma pure con C² una coppia i cui invarianti simultanei sono entrambi nulli; abbiamo pertanto il teorema seguente: Se r₀r₁r₂r₃ sono 4 tangenti armoniche di una conica C² e A₀A₁A₂A₃ i rispettivi punti di contatto vi sono 4 coniche inscritte nel trilatero diagonale xyz del quadrilatero completo r₀r₁r₂r₃ e ordinatamente circoscritte ai triangoli r₁r₂r₃, r₂r₃r₀, r₃r₀r₁, r₀r₁r₃: ognuna di queste coniche e ognuna delle polari reciproche di esse rispetto a C², forma con quest'ultima una coppia di coniche tali che ad ognuna di esse può inscriversi e circoscriversi un triangolo conjugato rispetto all'altra.

4. Consideriamo ora due coniche

\[
S': \quad a'x^2 + b'y^2 + c'z^2 + 2f'yz + 2g'zx + 2h'xy = 0 \\
S: \quad ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0
\]

e sieno Δ e Δ' i rispettivi discriminanti, Θ e Θ' gli invarianti simultanei: la prima delle due relazioni seguenti

\[
(9)\quad \left\{ \begin{array}{l}
\Theta^2 - 4\Delta \Theta = 0 \\
\Theta'^2 - 4\Delta'\Theta' = 0
\end{array} \right.
\]

esprime, come è noto che vi sono infiniti triangoli circoscritti ad S ed inscritti in S', la seconda che esistono infiniti triangoli circoscritti a S' ed inscritti a S (**), quando le due relazioni (8) sono simultaneamente verificate dai coefficienti di S e S', queste ultime saranno in posizione tale che ad ognuna di esse può inscriversi una infinità di triangoli circoscritti all'altra. Un caso particolare in cui le (8) sono entrambe soddisfatte è quello in cui \( \Theta = \Theta' = 0 \) e perciò i sistemi forma-

(*) Salmon-Fiedler, Kegelschritte S. 635.
(**) Salmon-Fiedler. loc. cit. S. 642.
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 22

ti da una conica (5) e da una (6) o (7) son tali che a ognuna delle due coniche può inscriversi un triangolo circoscritto all'altra.

5. La conica polare reciproca di S rispetto a S', e la polare reciproca di S' rispetto ad S sono ordinatamente rappresentate dalle equazioni (*)

\[
\Theta S' - T = 0 \\
\Theta'S - T = 0,
\]

dove T denota il covariante fondamentale del sistema SS': se dunque \( \Theta = \Theta' = 0 \) le due coniche saranno tali che la polare reciproca della prima rispetto alla seconda coincide con la polare reciproca della seconda rispetto alla prima, e questa polare reciproca è il luogo dei punti donde le tangenti condotte alle due coniche date SS' formano un fascio armonico.

Data una conica

\[
x^2 + y^2 + z^2 = 0,
\]

riferita ad un suo triangolo conjugato, proponiamoci di trovare le coniche conjugate al medesimo triangolo e tali che con la data formino sistemi per quali \( \Theta = \Theta' = 0 \): se rappresentiamo la conica cercata con

\[
ax^3 + by^3 + cz^3 = 0,
\]

dovremo avere

\[
\Theta = a + b + c = 0 \\
\Theta' = ab + ca + ab = 0
\]

e perciò i rapporti di due coefficienti \( a, b, c \) al terzo, sono le radici cubiche complesse della unità positiva; posto

\[
r = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2},
\]

le coniche godenti della proprietà accennata sono dunque rappresentate dalle equazioni seguenti

\[
r x^3 + r^2 y^3 + z^3 = 0 \\
r^3 x^3 + r y^3 + z^3 = 0.
\]

(*) Salmon-Fiedler. B. C., pag. 810 della trad. italiana (1.a edic.)