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El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 27

Después de reducir el juicio \( a < b \) á la forma \( ab_1 = 0 \) (pues multiplicando por \( b_1 \) se tiene \( ab_1 < bb_1, ab_1 < 0 \), y en virtud de la definición del cero, \( ab_1 > 0 = 0 \)), y el juicio elemental entre varios conceptos.

\[
f(a, b, c, ... n) < \varphi(a, b, c, ... n) \quad \text{á} \quad f(a, b, c, ...) \geq (a, b, c, ...), = 0
\]

ó

\[
F(a, b, c, ...) = 0 \quad \text{ó su negación á} \quad F(a, b, c, ...) > 0,
\]

trata del problema que consiste en obtener el número de juicios elementales universales y particulares correspondiente á \( n \) conceptos, y termina el capítulo III con una colección muy nutrida de ejercicios muy adecuados para dar á conocer este cálculo aplicado á las diferentes clases de juicios.

El capítulo IV está destinado á exponer la doctrina del silogismo, que comprende: Definición.—Distinción del silogismo.—Transformación y resolución de las relaciones elementales (inversiones, silogismos inmediatos).—Eliminación de las relaciones elementales (silogismos mediados).—La figura silogística.—Trasformacion, resolución y eliminaciones de las relaciones compuestas (silogismos compuestos).

No vamos á seguir paso á paso el desarrollo de la doctrina del silogismo que hace el autor con claridad y sensillez y en conformidad el orden de ideas de que ya estará el lector suficientemente enterado por nuestra reseña, pues, además, ya acerca de la notación que se sigue por el Sr. Nagy hemos hecho también indicaciones pertinentes al objeto.

Nos bastará citar, por ejemplo, de entre todos los modos y figuras del silogismo que examina con arreglo al algoritmo de la Lógica exacta, el siguiente:

Sean las premisas \( x < b \) y \( a < x \)

que se pueden escribir así: \( xb_1 = 0, ax_1 = 0 \).
Multiplicando la primera por \( a \) y la segunda por \( b_1 \), y sumando, se tiene

\[
abx_1 + ab_1x_1 = 0 \quad \text{ó} \quad ab_1(x + x_1) = 0.
\]

De esto resulta

\[
ab_1 = 0 \quad \text{ó} \quad a < b.
\]

El capítulo V trata de la doctrina de las leyes del pensamiento, ocupándose de las leyes de la cantidad lógica, principios de identidad, contradicción, etc.

La parte 2.a de la obra trata de las formas sistemáticas, que comprende: 1.o La teoría general, en la cual se trata de la definición y división en general. 2.o La doctrina sistemática del concepto, en que explana la teoría de la definición y de la división á que corresponden respectivamente las fórmulas

\[
x = abc... \qquad x = a + b + c + ...
\]
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 28

siendo juicios de identidad conjuntivo y disyuntivo. O también.

\[
x = \prod_{i=1}^n a_i \qquad x = \sum_{k=1}^m b_k
\]

extendiéndose en varias particularidades, entre ellas el que sean las definiciones analíticas ó sistemáticas, nominales, reales, etc., terminando con la clasificación.

3.º Doctrina sistemática del juicio. En este capítulo trata de la argumentación que es sintética (ó progresiva y analítica (ó regresiva), siendo sus esquemas respectivamente:

(directa) \[
\begin{array}{l}
\alpha > 0 \\
\alpha < \beta \\
\beta > 0
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
\beta_1 < \gamma \\
\gamma = 0 \\
\beta_1 = 0
\end{array}
\]
(indirecta) \[
\begin{array}{l}
\beta > \alpha \\
\alpha > 0 \\
\beta > 0
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
\beta_1 < \gamma \\
\gamma < 1 \\
\beta_1 < 1
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\beta = 1 \\
\beta > 0
\end{array}
\]

Por último, la doctrina sistemática del silogismo conduce al autor á tratar del método en general, del método inventivo, coordinativo y expositivo.

Z. G. de G.

QUESTIONES RESUELTAS

Cuestión núm. 62 (véase t. II, página 129 y 184).

Resolver el sistema de ecuaciones
\[
\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} = a, \qquad \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} = b
\]
(R. Guimaraes).

Otra solución de M. H. Brocard (véase t. II, pág. 184).

Haciendo
\[
a = 2\alpha, \qquad b = 2\beta, \qquad x + y = t, \qquad x - y = z
\]
se obtienen las ecuaciones
\[
t^3 - 6xt^2 + 3(\beta^2 + 3x^2)t - 8x\beta^2 = 0
\]
\[
z^3 - 6\beta x^2 + 3(\alpha^2 + 3\beta^2)z - 8\beta x^2 = 0
\]
que por las sustituciones
\[
t = u - 2\alpha, \qquad z = v - 2\beta
\]
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 29

se reducen á

\[
u^3 + 3 (\beta^3 - \alpha^3) u + 2\alpha (\alpha^3 - \beta^3) = 0
\]
\[
v^3 + 3 (\beta^3 - \alpha^3) v + 2\beta (\alpha^3 - \beta^3) = 0
\]

á las que es aplicable la fórmula de Cardan, y da para los valores de \(u\) y de \(v\) las expresiones:

\[
u = AB (A + B), \qquad v = AB (A + B)
\]

donde se ha puesto, para abreviar,

\[
A = \sqrt[3]{a + \beta}, \qquad B = \sqrt[3]{a - \beta}.
\]

Solución por el Sr. SCHIAPPA MONTEIRO.

De las ecuaciones propuestas se deduce la ecuación homogénea

\[
b (x - y) (x^2 + y^2 + xy) = a (x + y) (x^2 + y^2 - xy)
\] (1)

en la que se hace \(x\) igual á \(zy\), y resulta,

\[
b (z^3 - 1) = a (z^3 + 1)
\] (2)

y por consiguiente,

\[
z^6 = \frac{a + b}{b - a}
\] (3)

Sustituyendo ahora \(x\) por \(zy\) en la primera ecuación propuesta, se tendrá

\[
y = a \frac{z + 1}{z^3 + z + 1} \tag{4} \qquad ó \qquad y = a \frac{z^3 - 1}{z^3 - 1} \tag{5}
\]

de donde

\[
x = az \frac{z + 1}{z^3 + z + 1} \tag{6} \qquad ó \qquad x = az \frac{z^3 - 1}{z^3 - 1} \tag{7}
\]

Sólo falta reemplazar en estas ecuaciones el valor de \(z\) de la ecuación binomia (3).

Observación: En el caso particular en que \(a = b\) se tiene \(y = \infty\) y \(x = a\).

Solución del Sr. SOLLERTINSKY.

Dividiendo

\[
\frac{x^3 + xy + y^3}{x + y} = a \tag{1} \qquad \text{por} \qquad \frac{x^3 - xy + y^3}{x - y} = b \tag{2}
\]
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 3

Pero
\[(a + \beta + \gamma)^3 = a^3 + \beta^3 + \gamma^3 + 2(a \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times a)\]
De estas dos igualdades se deduce
\[(F)\] \[(a\beta)^2 + (\beta\gamma)^2 + (\gamma a)^2 = 91(a^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 10(a + \beta + \gamma)^2\]
Según esto, si las series (3) forman una igualdad de dos grados, lo mismo sucede con las series (4).
EJEMPLO (*).—Las cifras
\[
\begin{array}{cc}
1, 6, 8 & 2, 4, 9 \\
\end{array}
\]
forman una igualdad de dos grados, puesto que se tiene
\[
\begin{array}{ll}
1 + 6 + 8 = 15 & 1^2 + 6^2 + 8^2 = 101 \\
2 + 4 + 9 = 15 & 2^2 + 4^2 + 9^2 = 101
\end{array}
\]
Los números
\[
\begin{array}{cc}
16, 68, 81; & 24, 49, 92;
\end{array}
\]
forman también una igualdad de dos grados, se tiene, en efecto:
\[
\begin{array}{ll}
16 + 68 + 81 = 165, & 16^2 + 68^2 + 81^2 = 17441, \\
24 + 49 + 92 = 165, & 24^2 + 49^2 + 92^2 = 11441.
\end{array}
\]
3. TEOREMA.—Si las dos series
\[
\begin{array}{c}
a\beta + \beta\gamma + \gamma a \\
ab + bc + ca
\end{array}
\]
forman una igualdad de dos grados, las series
\[
\begin{array}{c}
\beta x, \gamma \beta, a \gamma; \\
ba, cb, ac;
\end{array}
\]
forman también una igualdad de dos grados.
1.º Se tiene
\[a\beta + \beta\gamma + \gamma a = 11(a + \beta + \gamma)\]
y así mismo
\[\beta x + \gamma \beta + a \gamma = 11(a + \beta + \gamma)\]
de donde
\[a\beta + \beta\gamma + \gamma a = \beta x + \gamma \beta + a \gamma.\]
De esta observación se concluye
\[\beta x + \gamma \beta + a \gamma = ba + cb + ac.\]

(*) Este ejemplo está tomado de la Memoria del general Frolov (Bulletin de la Société mathématique, 1869, p. 78).
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 30

se obtiene (*)

\[
\frac{x^3 - y^3}{x^3 + y^3} = \frac{a}{b}
\]
de donde
\[
\frac{x^3}{y^3} = \frac{b + a}{b - a}
\] (3)

En fin, restando (2) de (1), después de haber quitado los denominadores, se tendrá:

\[
2xy = (b + a)y - (b - a)x
\]
de donde

\[
x = \frac{1}{2} \left[ b + a - (b - a) \frac{x}{y} \right] \quad y \quad \frac{1}{2} \left[ (b + a): \frac{x}{y} - (b - a) \right]
\]

Cuestión núm. 12 (Véase t. I, pág. 239).

Sean AB la tangente en A á una circunferencia O; DE la polar del punto A con relación á otra circunferencia O'. Hallar el lugar geométrico de la intersección M de las rectas AB, DE cuando el punto A describe la circunferencia O.—Zahradnik.

Solución por el Sr. V. Retali, profesor en el R. Liceo Beccaria de Milán.

Resolvamos el problema general para dos cónicas C², K². Sea a la tangente en A á la cónica C²; a' la polar de A respecto á K². Determinese el lugar geométrico del punto (aa') cuando A describe la cónica C². En tanto resulta manifiesto que el lugar buscado pasa por los cuatro puntos comunes á las dos cónicas C², K² y por los cuatro puntos en que la cónica K² toca á las tangentes comunes á C², K².

Cuando A recorre K², la tangente a describe un haz de segunda clase y a' otro haz de segunda clase proyectivo con el primero. El lugar del punto (aa'), intersección de los pares de radios homólogos de los dos haces, es, pues, una curva de cuarto orden.

Es fácil ver en seguida que esta curva tiene un punto doble en cada uno de los vértices del triángulo conjugado común á C² y K².

En efecto, las tangentes á C² en los dos puntos x₁, x₂, en los que ésta se halla cortada por un lado x de dicho triángulo, encuentran á las polares de x₁ y x₂ respecto á K², en el vértice X opuesto á x; por consiguiente X es un punto doble del lugar. Podemos, pues, concluir que el lugar buscado es una curva de cuarto orden y de sexta clase, y que tiene sus tres puntos dobles en los vértices del triángulo conjugado común á las dos cónicas dadas, que pasan por los cuatro pun-

(*) Se sabe que \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \); \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \).
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 31

tos comunes á las cónicas supuestas y por los cuatro puntos de contacto de K² con las tangentes comunes á C² y K².

Cuestión 72 (Véase t. II, pág. 216).

Sean A', B' los vértices de los triángulos equiláteros construidos exterior ó interiormente sobre los lados AB, BC de un triángulo ABC. Si sobre B'A se construye el triángulo equilátero B'KA, el cuadrilátero A'CKA será un paralelogramo.

Solución por D. RICARDO CARO, alumno de la Universidad de Zaragoza.

Primer caso.—Supongamos que los triángulos equiláteros ABA, y BCB', son exteriores al triángulo dado ABC.

Los triángulos B'CK y B'AB son iguales, por tener B'A = B'K y B'B = B'C por lados de triángulos equiláteros, siendo el valor de los ángulos comprendidos

\[
\angle BB'A = \angle AB'C - \angle AB'C = 60^\circ - AB'C
\]
y
\[
\angle CB'K = \angle AB'K - \angle AB'C = 60^\circ - AB'C
\]

Resulta, por lo tanto,

\[
KC = AB = AA'
\] (1)

También son iguales los triángulos B'BA y CBA', por tener CB = B'B y BA' = BA por lados de triángulos equiláteros, siendo el valor de los ángulos comprendidos

\[
\angle CBA' = \angle A'BA + \angle ABC = 60^\circ + ABC
\]
y
\[
\angle ABB' - \angle B'BC + \angle ABC = 60^\circ + ABC
\]
luego
\[
CA' = AB' = AK
\] (2)

Las igualdades (1) y (2) nos dicen que el cuadrilátero A'CKA, tiene sus lados opuestos iguales; luego es un paralelogramo.

Segundo caso.—Cuando los triángulos equiláteros ABA' y BCB' son interiores al triángulo dado ABC, basta aplicar los razonamientos anteriores á la figura adjunta, para llegar á la demostración.

Cuestión núm. 398 (Véase tít. I, pág. 184). (*)

Desde un punto M se trazan á una parábola tangentes MA, MB que

(*) Este número es el de la cuestión en el Journal de Math. elem. de M. de Longchamps.
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 32

cortan al eje de ésta respectivamente en los puntos A', B'. Demostrar que

\[
\frac{MA}{MB} = \frac{MA'}{MB'}
\]

Solución por el Sr. Retali, profesor del Liceo Beccaria de Milán.

De este problema se dió ya una solución analítica en la pág. 208, t. I. También puede darse otra solución geométrica sencillísima:

Trácese la cuerda AB (**), y unamos el punto medio C con M. Enseguida trácese por B la paralela al eje de la parábola hasta encontrar á MA en D.

Siendo MC paralela al eje de la parábola, y por consiguiente á la BD, será AM = MD; pero MA': MA = MB': MB; luego MA': AM = MB': MB

CUESTIONES PROPUESTAS

93. Hallar el lugar de las proyecciones del centro de una elipse sobre las cuerdas comunes á esta elipse y á sus círculos osculadores.

94. Si en un triángulo ABC se tiene: \(1 + 256 \cos A \cos B \cos C = 3 \tg^2 \omega\) (siendo \( \omega \) el ángulo de Brocard de ABC), el círculo de Brocard y el círculo de Longchamps tienen el mismo radio.—(E. Lemoine).

95. Entre los números enteros de cuatro cifras sólo hay uno tal, que si se escribe á su derecha el número inmediatamente superior, se obtiene un número de ocho cifras, cuadrado perfecto. Hallar este número.—(H. Van Aubel).

96. Supuesto inscripto un triángulo A'B'C' en otro triángulo ABC, se unen los vértices B y C del segundo á un punto cualquiera O del lado B'C' del primero. La recta OC encuentra á A'C' y AB en E y F. OB encuentra á A'B' en D y AC á A'C' en F. Demostrar: 1.º que los tres puntos A, D, E se hallan en línea recta; 2.º que las tres rectas BB', FG, OA' pasan por un mismo punto.—(H. Van Aubel).

97. Se propone establecer de una manera elemental la identidad \( \tgnA + \tgnB + \tgnC = \tgnA. \tgnB. \tgnC \), para \( n = 2^t \) (H. Brocard).

98. Un círculo vertical de radio dado se mueve rodando sobre un círculo horizontal fijo de igual radio.

Se propone estudiar la superficie reglada engendrada por un diámetro del círculo móvil, (secciones planas, línea de estricción, contorno aparente, pares de generatrices opuestas, etc.—(H. Brocard).

(*) La figura adjunta es la publicada para la solución citada que dió D. Nicolás Ugarte, á la que debe agregarse la cuerda AH y la recta MC, y la paralela á MC trazada por el punto B y prolongada hasta encontrar á MA en el punto D.
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 4

2.º La fórmula (F), arriba establecida, prueba que se tiene

\[(x^a)^2 + (\beta y)^2 + (\gamma x)^2 = (\beta x)^2 + (\gamma \beta)^2 + (\alpha \gamma)^2,\]

luego, etc.

Ejemplo.— Hemos hallado que las series

16, 68, 81
24, 49, 92

constituyen una igualdad de dos grados. Según el teorema precedente, las series

61, 86, 18;
42, 94, 29;

gozan de la misma propiedad.

Se tiene, en efecto,

\[
\begin{array}{ll}
61 + 86 + 18 = 165 & 61^2 + 86^2 + 18^2 = 11441 \\
42 + 94 + 29 = 165 & 24^2 + 49^2 + 92^2 = 11441
\end{array}
\]

4. Teorema.—Sean

\(a, \beta, \gamma, \quad a, b, c\)

cifras que forman una igualdad de dos grados; los números

\(aa, \beta b, \gamma c, \quad ax, b \beta, c \gamma\)

forman también una igualdad de dos grados.

En efecto, haciendo

\[
\begin{align*}
a + \beta + \gamma &= a + b + c = S, \\
a^2 + \beta^2 + \gamma^2 &= a^2 + b^2 + c^2 = T, \\
a \times a + b \times \beta + c \times \gamma &= P,
\end{align*}
\]

se tiene

\[
aa + \beta b + \gamma c = aa + b \beta + c \gamma = 11S
\]
\[(aa)^2 + (\beta b)^2 + (\gamma c)^2 = (ax)^2 + (b \beta)^2 + (c \gamma)^2 = 101T + 20P\]

Ejemplo.— Con las cifras ya empleadas se obtienen, por aplicación del teorema precedente, las series

12, 64, 89;
21, 46, 98;

que constituyen una igualdad de dos grados. Se puede verificar, en efecto, que

\[
\begin{array}{ll}
12 + 64 + 89 = 21 + 46 + 98 = 165 \\
12^2 + 64^2 + 89^2 = 21^2 + 46^2 + 98^2 = 12161
\end{array}
\]
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 5

5. Se generalizarán sin dificultad las propiedades precedentes de las que se pueden deducir varios corolarios. Por otra parte, por aplicación del método indicado, se establecen fácilmente otras proposiciones análogas. Véase, para cada ejemplo, la marcha que debe seguirse.

Llamemos características de una serie dada A, B, C,... las cantidades \( \rho, \sigma \).

\[
\rho = A + B + C + \ldots \qquad \sigma = A^2 + B^2 + C^2 + \ldots
\]

y hagamos

\[
\tau = \frac{1}{2} (\rho^2 - \sigma) = \Sigma AB
\]

A esta serie se puede agregar, de una infinidad de maneras, otra serie

A', B', C', ...

cuyos diferentes términos son funciones de las cantidades dadas A, B, C,...

Suponiendo que dos series formen una igualdad de dos grados; para ver si las series agregadas gozan de la misma propiedad, se debe verificar que sus características son iguales.

Así, para citar el caso más evidente, siendo de dos grados las series

\[
\begin{array}{ccc}
a, & \beta, & \gamma; \\
a, & b, & c;
\end{array}
\]

siendo de dos grados las series

\[
\begin{array}{ccc}
\beta + \gamma, & \gamma + a, & a + \beta; \\
b + c, & c + a, & a + b;
\end{array}
\]

son también de dos grados; y sus características son

\[
2\rho \qquad 2\sigma + 2\tau
\]

EJEMPLO.— Las series arriba consideradas dan

14, 9, 7; \qquad 13, 11, 6;

Igualmente las series

\[
a\beta\gamma, \ \beta\gamma a, \ \gamma a\beta; \qquad abc, \ bca, \ cab;
\]

dan las igualdades de dos grados, cuyas características son

\[
111\rho, \ 10101\sigma + 2220\tau.
\]
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 6

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase págs. 196-207)

24. PROPOSICIONES CONTRARIAS.—Hay teoremas contrarios de otros que se forman negando la hipótesis y la tesis de éstos.

Ejemplos: Los teoremas. Todo punto situado en la perpendicular levantada á una recta en su punto medio, equidista de sus extremos: Si dos rectas forman con una secante ÁNGULOS ALTERNOS ó CORRESPONDIENTES IGUALES, serán paralelas, tienen por contrarios los siguientes; Todo punto situado FUERA de la perpendicular levantada á una recta en su punto medio DISTA DESIGUALMENTE de los extremos de ésta. Si dos rectas forman con una secante ÁNGULOS ALTERNOS ó CORRESPONDIENTES DESIGUALES, no serán paralelas.

25. Hay muchas cuestiones que tienen cuatro partes ó que están expresadas completamente por cuatro teoremas: dos directos, contrarios entre sí, y sus dos recíprocos.

Ejemplos: A la cuestión de la posición de un punto respecto á los extremos de una recta, se refieren los teoremas:

    1.º — (Directo afirmativo).
    2.º — (Directo negativo).

    Todo punto situado en la perpendicular trazada á una recta en su punto medio, equidista de sus extremos.
    Todo punto situado fuera de perpendicular trazada á una recta en su punto medio, dista desigualmente de sus extremos.

    3.º — (Recíproco afirmativo).
    4.º — (Recíproco negativo).

    Todo punto que equidista de los extremos de una recta, se halla en la perpendicular trazada á ésta en su punto medio.
    Todo punto que dista desigualmente de los extremos de una recta, está fuera de la perpendicular trazada en su punto medio.

A la cuestión de una recta que corta á otras dos, se refieren los teoremas;

    1.º — (Directo afirmativo).
    2.º — (Directo negativo).

    Si á dos rectas paralelas se corta por una secante, formarán con ésta ángulos alternos-internos iguales.
    Si á dos rectas no paralelas se corta por una secante, formarán con esta ángulos alternos-internos desiguales.

    3.º — (Recíproco afirmativo).
    3.º — (Recíproco negativo).

    Si dos rectas forman con otra ángulos alternos-internos iguales, serán paralelas.
    Si dos rectas forman con otra ángulos alternos-internos desiguales, no serán paralelas.
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 7

CAPITULO II

Análisis geométrico

15. El análisis geométrico, generalmente atribuído á Platon(1), consiste en suponer lo que se busca como obtenido, y caminar de consecuencia en consecuencia hasta llegar á reconocer como cierto ú obtenido lo que se trata de demostrar ú obtener. Así Euclides en el libro trece de sus Elementos lo define diciendo que «El Análisis es la admisión de la cosa buscada como obtenida para deducir de ella consecuencias que conducen á alguna verdad admitida». Pappo (Pappus) de Alejandría, que admite dos géneros de análisis, el teorético cuyo objeto es la demostración de la verdad y el problemático cuyo objeto es la ejecución de algo propuesto, dice; «En el género teorético, suponemos cierto aquéllo de que se trata, y considerando como verdaderas las consecuencias que se deducen, como lo son en efecto según la hipótesis, avanzamos hasta que llegamos á algo conocido. Si esto es cierto, la proposición lo será también, y la demostración se verificará en sentido inverso al del análisis. Pero si hemos llegado á algo falso, la proposición será por sí falsa. En el género problemático, consideramos como ejecutado lo que se ha propuesto; y según las consecuencias que resultan, tratamos de llegar á algo conocido. Si esto es posible y factible, lo que los geómetras llaman dada, la propuesta lo será también, y la demostración se hará en sentido inverso al del análisis. Pero si aquéllo á que hemos llegado se reconoce que es imposible, el problema también lo será. La determinación en la discusión que enseña cuando, cómo y de cuántas maneras el problema es posible.

Siguiendo á Duhamel (1) diremos que; «Cuando se busca la demos-

(1) El Sr. Giac Loria, profesor de la Universidad de Génova, en su obra Nicola Fergola e la Scuola di matematici che lo ebbe a duce rivindica para la escuela pitagórica, no sólo la invención del análisis geométrico atribuido á Platon, sino que también la de las secciones cónicas y la de los lugares geométricos (§ 8.° Una rivendicazione).

«Recorriendo, en efecto, á la obra magistral de Allmann (Greek Geometry from Thales to Euclid) sabremos que la elaboración gradual del método de análisis geométrico, mediante el que la matemática se elevó sobre los elementos, es debida á los filósofos pitagóricos, desde el fundador de la escuela hasta Teodoro Cirene y Archita de Tarento, que fueron maestros de Platon en la matemática, y fué practicado por Hipócrates de Chio y transmitido solamente de Platon á Leodamas de Taoo; así como las secciones cónicas fueron inventadas por Menechmo... y en fin, los lugares geométricos fueron conocidos y empleados anteriormente á Platon.»

(2) Des Méthodes dans les sciences de raisonnement.
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 8

»tración de una proposición enunciada, se buscará primeramente si puede deducirse como consecuencia necesaria de proposiciones admitidas, en cuyo caso deberá ella ser admitida, y quedará demostrada. Si no se ve de qué proposiciones conocidas puede ser deducida, se buscará de qué proposiciones no admitida podría serlo, y entonces la cuestión se reducirá á admitir la verdad de esta última. Si ésta puede deducirse de proposiciones admitidas, quedará reconocida como verdadera, y por consiguiente la propuesta: sino se buscará de qué proposición no admitida podrá deducirse, y la cuestión quedará reducida á demostrar la verdad de esta última. Y se continuará así hasta llegar á una proposición reconocida como cierta; y entonces la verdad propuesta quedará demostrada.»

Así, pues, el método que se llama análisis consiste en establecer una cadena de proposiciones que comienza por la que se quiere demostrar, acabando por una proposición conocida, y tales, que partiendo de la primera, cada una sea una consecuencia de la que le sigue; resultando que la primera es una consecuencia de la última, y por consiguiente verdadera como ella(1).

16. Caso en que puede invertirse la dependencia de las proposiciones. Si dos proposiciones son recíprocas, puede considerarse la segunda como deducida de la primera en lugar de considerar que tiene á la primera por consecuencia. Así, pues, cuando se trata de proposiciones ciertas con reciprocidad, la cuestión se reducirá á establecer el encadenamiento de manera que cada proposición sea consecuencia de la que le antecede hasta llegar á una reconocida como verdadera.

17. Método analítico en la resolución de los problemas.—El método analítico en la resolución de los problemas consiste en reducir el propuesto á otro en que se trate de hallar nuevas relaciones entre los objetos de que se trata que tengan como consecuencia las correspondientes al primer problema, y así sucesivamente hasta llegar á un problema inmediatamente resoluble. En seguida se retrocederá por un encadenamiento inverso desde el último problema hasta el primero que se encontrará resuelto.

Observación.—Cuando las relaciones sustituidas á las supuestas en el problema primero, no les son recíprocas, toda solución del segundo problema será solución de aquél; pero podría haber resoluciones del primero que no lo fueran del segundo.

En el caso de ser recíprocas las condiciones de los dos problemas, también las soluciones del primero lo serán del segundo, de manera

(1) Idem pág. 41.