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para mi tan querida. El autor copia al principio algo de la escasa literatura entonces existente. Prescinde en ella de los números Boolianos (que aparte de la teoría de las probabilidades pueden en la Lógica ser suprimidos), y adopta la adición lógica en el sentido hoy ya corriente. Los métodos que para resolver los problemas lógicos propone son elegantes y sencillos á la par. Tiene cuidado de escribir á dos columnas mostrando la dualidad lógica que tiene cierta semejanza con la geometría, aunque no en el fondo.

Posteriormente llegaron á sus manos los meritísimos trabajos de Peirce, y entonces tuvo Schroeder la ocasión de hacer. ¿Hizo en efecto, un hermoso descubrimiento. Muchos se fijaron sin duda, aunque sin comprender la trascendencia, en que la demostración de una de las partes de la ley distributiva de la multiplicación lógica que Peirce decía no explanar por ser pesada (too tedious to give) no podía en modo alguno obtenerse siguiendo el camino indicado por el eminente lógico americano. En general debieron cansarse del poco éxito de sus tentativas de reconstrucción de tal prueba. Lo que aquí estaba oculto, lo vió la perspicacia de Schroeder. Con las leyes que en el escrito de Peirce precedían á la conclusión de que tratamos, era imposible absolutamente el deducirse ésta. Para hallarla hay que introducir la idea de individuo, esto es, si se parte de tal base puede legitimarse la segunda parte de la ley distributiva de la multiplicación. Esto es lo que Peirce denominó una demostración dilemática. Y la prueba mejor de que para evidenciar completamente la ley distributiva hacen falta otros principios que los antepuestos por Peirce, es que existen relaciones en que no se cumple una de las partes de la ley distributiva, á pesar de que tales relaciones satisfacen á todas las otras fórmulas de la cópula implicativa. Peirce lo reconoce así en su último trabajo (que yo conozca) inserto en el "American Journal of Mathematics", On the Algebra of Logic, a contribution to the Philosophy of notation. En este dá una demostración rigurosa de la ley distributiva, pero referente sólo al cálculo de las proposiciones de donde por la consideración del individuo se aplica á las clases (1). Pero queda en pié la afirmación de Schroeder y como una de sus más bellas aplicaciones se presenta el cálculo lógico con los grupos.

A la verdad, Peirce ya había demostrado por completo la ley distributiva en uno de sus antiguos trabajos publicados en los proceedings de la Academia Americana de Ciencias y Artes, pero introduciendo la idea de individuo; su demostración no puede ni podrá nunca obtenerse de otro modo.

(1) En el antiguo sentido.
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varemos para mayor variedad y por analogía con la forma común de expresar el pensamiento.

Si \( a, b, \ldots \) representan clases, á los signos \( - \), \( \cup \), \( \Lambda \) atribuiremos las significaciones siguientes:

\[
- a = «\text{los no } a»
\]

\[
a \cup b = «\text{al conjunto de los individuos que son ó } a \text{ ó } b.»
\]

\[
\Lambda = «\text{nada.}» \text{ De aquí } a \cap b = \Lambda \text{ significa } «\text{ninguna es } b»
\]

De aquí que el signo \( \Lambda \) se se leerá \( absurdo \) ó \( ninguno \), según que se trate de proposiciones ó de clases; en los dos casos tiene la misma propiedad, como el signo \( \cup \).

Respecto al signo de la deducción (\( \supset \)) entre dos proposiciones, observaremos aún lo que sigue: cuando \( a \) y \( b \) son proposiciones que contienen letras variables \( x, y, \ldots \) con \( a \supset b \) entendemos que «cualquiera que sean \( x, y \ldots \), siempre que satisfagan á la \( a \) será cierta la \( b \).»

Así la

\[
x, y \in Q : x - : \cup . x + y > 2 \sqrt{xy}
\]

significa que: «cualquiera que sean las dos cantidades positivas \( x \) é \( y \), con tal que no sean iguales, será etc. Pero alguna vez se quiere afirmar la deducción sólo respecto de alguna ó algunas de las letras variables; para indicar esto, escribiremos como índice de \( \supset \) la letra respecto á la que se quiere hacer la deducción. Así, siendo \( a \) y \( b \) proposiciones que contienen la letra \( x \) además de otra letra, la expresión \( a \supset_x b \) significa «cualquiera que sea \( x \), de \( a \) se deduce \( b \).» Esta proposición cesa de ser una proposición absoluta, pero es una condición entre las letras restantes. Así, se tiene:

\[
a, b, c \in q : x \in q. \cup_x ax^2 + bx + c = 0 \therefore \cup : a = 0. b = 0. c = 0
\]

Si \( a, b, c \) son tres números, y si cualquiera que sea el número \( x \), se tiene \( ax^2 + \ldots = 0 \), los tres números dados son nulos.»

Análogamente \( a =_x b \) indica que, cualquiera que sea \( x \), las proposiciones \( a \) y \( b \) son equivalentes, ó sea \( a \cup_x b. b \cup_x a \).

\( a =_x \Lambda \) significa que, cualquiera que sea el valor de \( x \), la \( a \) es absurda» ó sea «no existen de las \( x \) que satisfagan á la condición \( a \).» \( a =_x \Lambda \) significa «existen de las \( x \) que satisfacen á la condición \( a \).»

Conclusión

Los signos
\( \in (es) = (es \ igual) \), \( \supset \) (se deduce, ó está contenido), \( \cap \) (es en general sobrentendido), \( \bar{\cup} \) (ó), \( - \) (no), \( \Lambda \) (absurdo ó ninguno), permiten expresar cualquier relación lógica.
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Conviene dar un nombre á dichos signos. Pero estos nombres, tomados en lenguaje común, los representan solo aproximadamente; porque los signos tienen siempre el mismo significado, mientras que las palabras no los tienen iguales. Para traducir en símbolo una proposición ordinaria, ocurre analizarla, ver el significado que tienen las diversas palabras y representar estos significados con símbolos equivalentes; pero sería erróneo el sustituir desde luego los símbolos \( \varepsilon, \neg, \cup, \ldots \) en lugar de las palabras es, y, ó.

En las páginas precedentes se enunciaron algunas propiedades de estos símbolos. Pero existen otras muchísimas: es de notar el principio de dualidad, por el que de toda identidad lógica se pasa á otra, cambiando los signos \( \neg \) y \( \cup \); se recordará solo que ya Boole llegó á resolver cualquier sistema de ecuaciones con una ó varias incógnitas, ligadas á clases conocidas con las operaciones \( \neg, \cup, - \), repetidas un número arbitrario de veces.

DETERMINACIÓN DEL LADO DEL PENTEDECÁGONO REGULAR CONVEXO INSCRIPTO y de los lados de los Pentedecágonos regulares inscriptos estrellados
POR D. FÉLIX ESEVERRI CATEDRÁTICO DEL INSTITUTO DE VITORIA

Trazo el diámetro AI, y tomo desde los extremos A, I, los arcos simétricos AB y AS iguales á \( \frac{1}{10} \) de la circunferencia, y los arcos IH, IM, iguales á \( \frac{1}{5} \) de la circunferencia. Señalo el arco ABC, igual á \( \frac{1}{6} \) de la circunferencia y trazo las cuerdas CB, CH, CS y CM, que serán los lados pedidos.

En efecto, según el teorema de Poinsot, hay cuatro pentedecáganos regulares inscriptos; uno, uniendo los 15 puntos de división de uno en uno, que es el convexo y tres estrellados uniendo los puntos de división de 2 en 2, de 4 en 4 y de 7 en 7.

Tenemos:
\[
\begin{cases}
\text{Arco } ABC = \frac{1}{6} \\
\text{Arco } AB = \frac{1}{10}
\end{cases}
\]
luego arco BC = \( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \),
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lo que nos dice que la cuerda BC es el lado del pentedecágono regular convexo inscripto.

\[
\begin{aligned}
\text{Arco CHI} &= \frac{1}{3} \\
\text{Arco HI} &= \frac{1}{5}
\end{aligned}
\]
luego arco CH = \( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15} \),

lo que nos dice que la cuerda CH es el lado del pentedecágono estrellado que se forma reuniendo los vértices de 2 en 2.

\[
\begin{aligned}
\text{Arco ABC} &= \frac{1}{6} \\
\text{Arco AS} &= \frac{1}{10}
\end{aligned}
\]
luego arco CAS = \( \frac{1}{6} + \frac{1}{10} = \frac{5}{30} + \frac{3}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \),

lo que nos dice que la cuerda CS es el lado del pentedecágono estrellado que se forma uniendo los vértices de 4 en 4.

\[
\begin{aligned}
\text{Arco SABC} &= \frac{4}{15} \\
\text{Arco SM} &= \frac{1}{5}
\end{aligned}
\]
luego arco CASM = \( \frac{4}{15} + \frac{1}{5} = \frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15} \),

lo que nos dice que la cuerda CM es el lado del pentedecágono estrellado que se forma uniendo los puntos de división de 7 en 7.

Para determinar los valores numéricos de estos lados, uno sus extremos con los extremos del diámetro AI por medio de las cuerdas (AB, AC, IB, IC) (AII, IC, III; (AS, IS) (AM, IM). Por esta construcción se forman los cuadriláteros inscriptos

ABCI, ACHI, SACI, ACIM,

y aplicándoles el teorema de Ptolomeo, resulta:

\[
\begin{cases}
\text{AC.BI} = \text{AI.BC} + \text{AB.CI}, \\
\text{AH.CI} = \text{AI.CH} + \text{AC.III}, \\
\text{CS.AI} = \text{AC.IS} + \text{AS.CI}, \\
\text{AI.CM} = \text{AC.IM} + \text{AM.CI}.
\end{cases}
\]

(1)

Suponiendo el radio unidad, y habida cuenta de los valores numéricos de las líneas que entran en las igualdades precedentes y que son:

AC = lado del exágono regular inscripto = 1
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BI = lado del pentágono estrellado \(= \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}\)

AI = 2,   BC = \(x_{16}^4\)

AB = lado del decágono regular convexo inscripto \(= \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

CI = lado del triángulo equilátero inscripto \(= \sqrt{3}\)

AH = lado del decágono estrellado \(= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)

CH = \(x_{16}^2\)

HI = lado del pentágono regular convexo inscripto \(= \frac{1}{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{2}}\)

CS = \(x_{16}^4\),   IS = BI,   AS = AB

CM = \(x_{16}^7\),   IM = HI,   AM = AH,

tendremos, sustituyendo en las igualdades (1)

\[
\frac{1}{2} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} = 2x_{16}^1 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{3}
\]

\[
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{3} = 2x_{16}^2 + \frac{1}{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}
\]

\[
2.x_{16}^4 = \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{3}
\]

\[
2.x_{16}^7 = \frac{1}{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{3}
\]

y finalmente:

\[
x_{16}^1 = \frac{1}{4} (\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{3} - \sqrt{15})
\]

\[
x_{16}^2 = \frac{1}{4} (\sqrt{3} + \sqrt{15} - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})
\]

\[
x_{16}^4 = \frac{1}{4} (\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{3} + \sqrt{15})
\]

\[
x_{16}^7 = \frac{1}{4} (\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}} + \sqrt{3} + \sqrt{15})
\]
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FONDAMENTI DI GEOMETRIE
a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee, esposti in forma elementare,
LEZIONI DI
GIUSEPPE VERONESE
Professore nella R. Università di Padova.

(continuación)

El capítulo III está destinado al número en su primera formación y á los números naturales.

El capítulo IV trata de los sistemas de elementos, y, en particular de los de una dimensión. Principia por «consideraciones empíricas sobre el continuo intuitivo rectilíneo». Define enseguida el elemento fundamental, ocupándose además de los elementos y formas diferentes en posición, coincidentes en sentido absoluto ó relativo, de la ley de existencia ó construcción de las formas, de su determinación de su correspondencia de identidad, de los conceptos de mayor y de menor—Sistema de una dimensión — Segmentos del sistema — Segmento indivisible — Direcciones del sistema — Sistema simple de una dimensión, cerrado ó abierto.

El capítulo V trata de la forma fundamental. En él se define el sistema de una dimensión, homogéneo en un sentido dado, y se exponen las primeras propiedades del sistema idéntico por la posición de sus partes, de la identidad de dos formas, de las operaciones de unir y quitar en la forma fundamental, de las relaciones entre tres elementos cualesquiera de la forma, de los segmentos múltiplos y submúltiples de un segmento dado de la forma fundamental, de la escala, unidad, origen y campo de la misma.

El capítulo VI trata con gran extensión de los segmentos finitos, infinitos, infinitesimales, indefinidamente pequeños é indefinidamente grandes y de los números infinitos. En este capítulo, el autor, al presentar la exposición de su doctrina, hace frecuentes é interesantes referencias á las doctrinas de los eminentes matemáticos Bois-Reymond, Cantor, Dedekin, á las obras de Grassmann, Stolz, Killing, Peano, etc.

Comienza con la hipótesis (III) sobre la existencia de elementos exteriores al campo de una escala, hipótesis que no está en contradicción con la definición y propiedades del sistema idéntico en la posición de sus partes. Trata de los segmentos finitos, infinitos ó infinitesimales respecto de otros. Sigue la exposición de la hipótesis IV que llama hipótesis de construcción ó de determinación de los segmentos infinitos de la forma fundamental. Define el elemento límite en el infi-
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nito, el campo en el infinito de orden m respecto á la unidad AA₁, el campo en el infinito de orden cero, etc., y se ocupa enseguida de los números infinitos é infinitesimales de los diferentes órdenes, de sus propiedades y de sus símbolos. Así: un número finito es nulo respecto á un número infinito, aunque no en sentido absoluto, dos números infinitos son iguales respecto á un número finito. Los números correspondientes á segmentos infinitos de un orden dado m se llaman infinitesimales de orden m respecto al primero. El campo infinito ó infinitesimal de orden dado respecto á un número a es infinito ó infinitesimal respecto á todos los números de la especie a. A estas nociones sigue la exposición de los números transfinitos de Cantor, comenzando con hipótesis de la existencia de un sistema \( \Sigma \) de una dimensión en el que hay siempre un segmento idéntico á un segmento cualquiera (AB) en un sentido dado cuyo primer extremo es un segmento X cualquiera del sistema \( \Sigma \), y con la hipótesis II: el campo de una escala en el sistema \( \Sigma \) determina un primer elemento exterior en el sentido de la escala, lo cual le conduce á la definición del número infinito ó transfinito de Cantor.

La detallada exposición del Sr. Veronese relativa al infinito y á lo infinitesimal adquiere mayor importancia por las referencias que hace, como hemos indicado, á las doctrinas de los matemáticos alemanes é italianos que han contribuido al desarrollo de esta difícil cuestión de la ciencia, y en las numerosas y detalladas citas y discusiones que hace de estas modernas investigaciones relativas á los infinitos é infinitamente pequeños, puede el lector enterarse del estado general en que se halla tan importante rama de la ciencia, sobre todo de la evolución sufrida en estos últimos años.

Termina esta importante introducción á la obra ocupándose de la división de segmentos en partes finitas, la hipótesis sobre la continuidad relativa á una unidad, los elementos límites de un grupo de elementos respecto á una unidad de la forma fundamental, los elementos límites de un grupo de elementos obtenido mediante la división sucesiva de un segmento en partes iguales, los elementos límites absolutos de un grupo de elementos en la forma fundamental, la división absoluta de un segmento en \( n \) partes iguales, la determinación de la escala respecto á un segmento dado como unidad fundamental, la correspondencia de proporcionalidad entre los segmentos de una ó varias formas fundamentales. Del campo finito, infinito é infinitesimal, al rededor de un elemento de la forma elemental abierta ó cerrada, respecto á una unidad. El capítulo VII tiene por objeto la forma de varias dimensiones, definiéndose la magnitud extensiva de una forma en la cual se considera la relación de posición prescindiéndose
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de la de igualdad ó desigualdad, y la magnitud intensiva ó cantidad, en la que se prescinde de dicha relación de posición.

En fin el capítulo VIII trata de los números reales, relativos y absolutos, positivos y negativos y en el IX se resumen algunas consideraciones sobre la forma fundamental.

La Geometría del Sr. Veronese consta de dos partes: La primera trata de la recta, el plano y el espacio de tres dimensiones en el espacio general, que consta de tres libros: 1.º La recta y las figuras rectilíneas en general. 2.º El plano. 3.º El espacio de tres dimensiones. La parte segunda trata del espacio de cuatro y de n dimensiones en el espacio general, completando la obra un Apéndice que constituye un interesantísimo estudio histórico y crítico de los principios de la geometría.

Comienza la obra con los enunciados de los axiomas relativos á la existencia de puntos distintos, la identidad de todos los puntos, á la existencia de un sistema de puntos de una dimensión idéntica en la posición de sus partes, determinado por dos de sus puntos y continuo, considerando la recta simplemente cerrada ó abierta, y varias propiedades de ésta enunciadas en algunos teoremas y corolarios, como por ejemplo, que si la recta es abierta cualquiera de sus puntos la divide en dos partes iguales, y que dado un punto cualquiera sobre la recta, existen á lo menos dos puntos que con él determinan la recta, y á partir de un punto, en uno y otro sentido, infinitos segmentos iguales consecutivos cuyos extremos determinan la recta.

Después de enunciar en el axioma II, b que: existen puntos exteriores á la recta, que todo punto no perteneciente á la recta, determina con cada punto de ella otra recta, define el segmento de dos puntos sobre la recta abierta y cerrada, definiendo enseguida los puntos opuestos de la recta cerrada ó que la dividen por mitad, y denominando rayo (raggio) á la recta recorrida en un sentido, de manera que una recta tiene dos rayos, según los dos sentidos en que puede recorrerse. Define asimismo el punto límite L de un grupo de puntos (X) ó de una serie de puntos (X_r) aquél tal, que en toda su contigüidad (intorno), de amplitud arbitrariamente pequeña, hay siempre un punto del grupo, entendiéndolo por contigüidad (intorno) de un punto A el campo de todos los segmentos rectilíneos que parten de A, iguales á un segmento cualquiera tan pequeño como se quiera y designando la distancia 2: con la palabra amplitud de la contigüidad de A.

(Se continuará).

Z. G. de G.
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VARIEDADES

BIBLIOGRAFÍA

SYNOPSIS DER HOEHEREN MATHEMATIK, von J. Hagen, S. J., director der Sternwarte des Georgetown College, Washington. — Erster band. Arithemische und algebraische Analyse, grand in-4º de 400 páginas. Berlin. L. Dames. 47. Tauben-Strasse. 1891. Precio 37 fr. 50.

Admiro que un sólo hombre haya tenido el valor de emprender un trabajo tan considerable. No se trataba evidentemente de escribir una obra desarrollada sobre el conjunto de las matemáticas superiores, Esto sería imposible; el campo es demasiado vasto y se dilata aún continuamente. Ya es mucho el ofrecernos un mapa detallado del país, con la guía completa del viajero.

El autor no da las demostraciones, sino tan sólo los enunciados y la forma de su encadenamiento. Es sumamente cómodo encontrar así reunidos todos los resultados. De esta manera los investigadores no se hallan expuestos á reinventar los antiguos descubrimientos, como ocurre incesantemente, y se enteran al mismo tiempo del sitio en que deben encontrar las minas no explotadas; porque el P. Hagen ha tenido la feliz idea de señalar los desiderata de cada teoría. En fin, el autor da sus numerosas noticias bibliográficas; habiéndose consagrado á verificar la exactitud de los textos originales.

La obra constará probablemente de cuatro tomos, que aparecerán anualmente. El tomo ya publicado contiene cinco divisiones principales: 1.º Teoría de los números (con las magnitudes complejas); 2.º Las series (con los productos infinitos y las fracciones continuas); 3.º Las funciones; 4.º Los determinantes (con los invariantes y las sustituciones); 5.º Teoría de las ecuaciones.

El tomo siguiente tratará de la Geometría analítica y sintética.

Las bibliotecas importantes tienen interés en procurarse un repertorio tan completo.—A. Poulain.

CÁLCULO DE LOS NÚMEROS APROXIMADOS Y OPERACIONES ABREVIADAS, por G. Fernandez de Prado y R. Alvarez Sereix.—Uno de los asuntos que más dificultades ofrece á los aspirantes al ingreso en las Escuelas y Academias especiales, es, sin duda alguna, el que trata la nueva obra de los Sres. Fernandez de Prado y Alvarez Sereix, pues, aparte del esfuerzo individual que exige el dominar la materia en su conjunto, con perfecta distinción de los varios detalles que deben tenerse presentes, no siempre en los libros de texto se atenúa, con la acertada disposición y fácil enunciado de las proposiciones, algo de lo abstruso del asunto.
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El principal objeto de dichos señores ha sido el allanar en cierto modo los obstáculos, reduciendo el número de enunciados á los más precisos, procurando facilitar un trabajo de concentración en vez de dispersar las fuerzas del lector en multitud de proposiciones incidentales. Así es que se formula, para cada una de las operaciones fundamentales, un solo enunciado ó dos á lo más, que abarcando todos los casos particulares dignos de tomarse en consideración, permitan resolver inmediatamente una y otra de las dos cuestiones llamadas directa é inversa, y excepción hecha de los dos teoremas que sirven para pasar de un límite del error absoluto á otro del error relativo, y recíprocamente, han omitido, por considerarlos innecesarios, todos aquéllos en que entran explícitamente dichos errores relativos. La obra consta de dos capítulos. El primero trata de errores absolutos y relativos; el segundo de las operaciones abreviadas.

NECROLOGIA

L. Kronecker.—Recientemente la ciencia matemática ha perdido uno de sus grandes maestros.

El ilustre profesor de la Universidad de Berlín, miembro de la Academia de Ciencias de esta capital y del Instituto de Francia, falleció el día 29 de Diciembre de 1891, á la edad de 68 años.

En el periódico belga Mathesis, los Sres. Mansion y Neuberg publican la siguiente reseña necrológica:

"L. Kronecker era sin duda alguna el más eminente representante de los métodos aritméticos puros en el dominio del análisis algebraico é infinitesimal.

Su Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, sus escritos sobre los principios fundamentales de la aritmética y del análisis superiores, y, en particular, sus investigaciones sobre la multiplicación compleja de las funciones elípticas, tendrán, sin duda alguna, una influencia siempre creciente en el dominio de las matemáticas.

Las principales memorias de L. Kronecker se han publicado en en Journal de Crelle, en los Bulletins de la Academia de Berlín y los Comptes rendus de la Academia de Ciencias de París. El número 28 de Diciembre de 1891 de esta última colección contiene una importante nota del mismo sobre una cuestión difícil. Nuestros lectores han podido formarse una idea del rigor que exigía en las demostraciones matemáticas, leyendo sus observaciones sobre el segundo principio de la media, que se dignó insertar en Mathesis (1885, t. V, pp. 97-102).,