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El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 17

de donde

\[
\frac{d \frac{x}{y}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}} = \frac{dy}{y}
\] (25)

ecuación cuya forma desde luego es conocida, y, por consiguiente, integrando, da

\[
-\log \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}}{\frac{x}{y}} + C = \log y
\] (26)

Representando por \(a\) el número del cual la constante \(C\) es el logaritmo, y pasando á los números, se tiene la ecuación

\[
\frac{a \frac{x}{y}}{1 + \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}} = y
\] (27)

de la cual, después de efectuar las operaciones indicadas, se deduce la ecuación (3) de la cúbica unicursal (F).

TANGENTES, NORMALES Y DIVERSAS PROPIEDADES DE LA CURVA (F)

Según lo que precede, se puede obtener con mucha facilidad la tangente en un punto cualquiera M de la curva.

Para esto, tomemos sobre el eje de las ordenadas YAY' el segmento positivo Av', igual al radio vector correspondiente AM, y por el punto v tracemos paralelamente á ésto la recta v'T, que cortará al eje de las abscisas XAX' en el punto T, por el cual pasa la tangente pedida MT.

Para el punto M' se marcará sobre el eje de las ordenadas el segmento Av', igual al radio vector AM', y tracemos la recta v'g'T' paralela á éste, que cortará al eje de las abscisas en el punto T, que determinará la tangente pedida M''T'.

Tracemos en el punto M la perpendicular dMD al radio vector AM, la cual corta á gT y AX en los puntos d y D, y se tendrá el triángulo TDg.

Ahora, siendo las rectas gP y Dd las alturas de este triángulo con
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relación á los lados TD y g'T, resulta de esto que la tangente TM't será la tercera altura con relación al lado Dg, puesto que pasa por el vértice T y por el punto de intersección M de aquellas dos alturas.

Luego, para obtener directamente la normal MnD₀ en el punto M de la curva, se prolonga la ordenada PM en una magnitud Mg igual al radio vector AM, y se traza en M la perpendicular MD á éste. La recta MnD₀ equipolente á gD será la normal pedida; ó lo que es lo mismo, se traza en D la perpendicular DD₀ á AX cuya magnitud sea igual al radio vector AM, y se tendrá la normal MD₀.

Para el punto M', se trazará igualmente en éste la perpendicular M'D' al radio vector AM', y por su punto de intersección D' con el eje AX la perpendicular D'D'_0 á éste, de longitud igual á la de dicho radio vector, y la recta M'D'_0 será la normal pedida.

Es esta última construcción, para determinar la normal en los puntos M y M' la que el Sr. Brocard ha presentado en su Nota sobre esta cuestión, en la que presenta así mismo la ecuación diferencial.

\[
y - \frac{dx}{dy} \cdot \frac{y^2}{x^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

(28)

para representar las curvas que satisfacen á esta condición.

Sean \( \lambda, \lambda_1, \lambda_4, i_1 \) los puntos de intersección de MM₀ con gT, Bβ, g'T', M'T'.

Siendo el segmento βO evidentemente igual á las sub-tangentes TP y T'P', se tendrán también los segmentos \( \lambda M, \lambda_1 m, \lambda_4 M_0 \) iguales al segmento TA, y por consiguiente, la perpendicular \( \lambda_4 k \) al eje OX cortará á éste en el punto k tal, que se tenga

\[
T'k = AP = P'A' \quad y \quad kP' = \lambda_4 M_0 = TA
\]

Esto sentado, el segmento kA' será igual á las sub-tangentes T'P' y TP, y, por consiguiente, se tendrá

\[
kO = βA \quad ó \quad kβ = OA = a
\]

de lo que resulta que la tangente M'T' se hallará cortada por las rectas \( \lambda_4 k, Bβ, Cγ^0 \) en un mismo punto, que designaremos por \( Θ_0 \); y puesto que esta última recta pasa por el punto medio C de MM' paralelamente á OX, se sigue que este punto de intersección \( Θ_0 \) es el medio del segmento M'i₁, y el punto de intersección \( λ_1 \) de Bβ con el segmento Mi₁ es también el medio de éste.

Ahora, siendo el punto β evidentemente el medio del segmento TT' = g'g, resulta que dicho punto de intersección \( Θ_0 \) coincidirá con el
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punto de intersección \( \Theta \) de las tangentes MT y M'T' en los extremos de la cuerda giratoria MAM' cuyo medio C se halla en su diametral OB.

Sean z, z', o los puntos de intersección de la asíntota s_1s'_1 con las tangentes M\Theta, M'\Theta y la perpendicular C\Theta trazada por C á esta asíntota.

Siendo el triángulo z\Theta z' evidentemente igual al triángulo M_0L'M', resulta que:

Cuando la cuerda giratoria ó generatriz MAM' de la cúbica (F) gira alrededor del origen A de las coordenadas, el punto de intersección \( \Theta \) de las tangentes M\Theta y M'\Theta en los extremos de esta cuerda, se hallará en la recta C\Theta trazada por el medio C de esta cuerda perpendicularmente á la asíntota s_1 s'_1, paralela al eje de las y, ó alejada de ésta en una magnitud \( \Theta \) igual á las sub-tangentes correspondientes TP, T'P'.

Siendo el punto \( \varphi \) el cruce de las diagonales BC, Aa del rectángulo ABaC, y, por consiguiente, el punto medio del segmento CB, será asimismo el cruzamiento de las rectas \( \Theta \gamma^0 \) y \( \Theta' \gamma' \); puesto que son las diagonales de los paralelogramos Cy^0BH y Cy^nBH' que tienen por diagonal común este segmento.

(Se concluirá).

BIBLIOGRAFÍA

L'INTERMÉDIAIRE DES MATHEMATICIENS. Con este título preparan los Sres. Laisant y Lemoine para el año próximo una publicación de carácter original, y que por las indicaciones acerca de la misma expuestas en la Circular y el Prefacio que la anuncian, promete ser un acontecimiento muy importante para los aficionados á la ciencia matemática.

El objeto del Intermédiaire des mathématiciens es poner en comunicación á los matemáticos de todos los países, sabios ó aficionados á este orden de conocimientos. Esta publicación contendrá exclusivamente cuestiones y contestaciones á las mismas. Unas y otras podrán ir firmadas ó permanecer anónimas para los lectores, siendo los autores completamente libres de emplear un pseudónimo si así lo prefieren.

Las cuestiones versarán sobre los objetos más variados, de los elementos, así como de las matemáticas superiores, la astronomía, la mecánica racional, los métodos de enseñanza, etc.

Así un corresponsal podrá preguntar si tal cuestion se conoce ó si ha sido tratada y dónde se halla expuesta ó desarrollada, etc., dar el
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En ocasión oportuna se dará cuenta de los trabajos realizados por la Asociación francesa durante el año corriente en la sección de ciencias matemáticas.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

(Continuación)

35. Caso en que la base de referencia es un ángulo. —a) En esta base se funda el sistema de coordenadas cartesianas, en el que cada punto se determina por su abscisa y su ordenada.
   b) En el caso de una recta se hallará ésta determinada por sus intersecciones con los lados del ángulo ó ejes de coordenadas (coordenadas de la recta).
   c) También una recta se determina por su distancia al origen y el ángulo que ésta forma con uno de los ejes (*) (en este sistema de coordenadas, normal de Hesse, se dan la distancia al origen y el ángulo que ésta forma con uno de los ejes coordenados).

36. Triángulo de referencia.—Ocurre en el importantísimo sistema de coordenadas baricéntricas ó trilineales el referir los puntos de un plano á un triángulo llamado de referencia, es decir, á tres puntos ó á tres rectas, determinándose un punto por las áreas de los tres triángulos que se forman, uniéndolo con rectas á los tres vértices (ó por cantidades proporcionales á éstas) ó por sus distancias á los tres lados (ó cantidades proporcionales á éstas).

Teniéndose un elemento de más para la determinación de un punto, las condiciones que lo determinan con relación ó los tres puntos P, P', P'' han de satisfacer á una relación particular.

En efecto; sean E, E', E'' los pies de las tres perpendiculares bajadas á la recta desde P, P' P'' y M, M', M'' las intersecciones con P'P'', PP'', PP', tendremos que

\[
\frac{PE}{P'E'} = \frac{M'P'}{M'P'}, \quad \frac{P'E'}{PE} = \frac{M'P'}{M'P'}, \quad \frac{P'E''}{P'E''} = \frac{MP'}{MP'};
\]

luego

\[
\frac{M'P'.M'P''.MP'}{M'P.M'P'.MP'} = 1 \tag{x}
\]

(*) Que se reduce al problema de trazar á una circunferencia una tangente paralela á una recta dada.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 20

resultado de un cálculo propuesto, si cierto resultado puede ponerse bajo tal forma, si tal ecuación es resoluble, ó tal integración puede hacerse, ó un teorema dado demostrarse, etc.

Puede ocurrir también el caso de que en una Memoria, cierto resultado ó cierta cuestión no haya sido continuada ó desarrollada, la cual se expondría á los correspondientes del Intermediario, etc., etc.

Se vé, pues, que este periódico tiende á la realización de una idea nueva y fecunda en resultados y de utilidad general que, poniendo en relación á los profesores entre sí y con los estudiantes, ahorrará esfuerzos á veces demasiado intensos, ó tal vez tentativas infructuosas, y, sobre todo, porque siendo tan vasto el campo de la Matemática, muchas veces acontece que tal senda recorrida y muy familiar para cierto investigador, es nueva ó hasta cierto punto extraña para otro que siguió direcciones distintas en estos dilatados dominios que hoy, una inteligencia, por privilegiada que sea, no puede abarcar totalmente; y también que con frecuencia una cuestión incidental en cierta investigación detiene al que la emprende obligándole á distraerse de su principal objeto, cuando dicho conocimiento le podría ser comunicado desde el momento en que le fuera fácil ponerse en relación con quien lo posea, quien á su ver podría disfrutar de igual ventaja en otra cuestión por él ignorada ó desconocida en determinados detalles.

Creemos que las anteriores consideraciones son suficientes para hacer ver las inapreciables facilidades que ha de proporcionar el Intermediario entre los investigadores matemáticos.

Como que ya se ha comenzado á preparar labor para que el nuevo periódico tenga desde el año próximo una amplia base sobre qué desarrollarse, en cuanto concierne á las cuestiones que ya desde la fecha puedan proponerse para ser publicadas á su debido tiempo, la dirección en cuanto concierne á la parte científica es á M. Laisant, Avenue Victor Hugo, 162, ó á M. E. Lemoine, rue Littré, 5, en París, y en lo que concierne á la suscripción al Periódico (cuyo coste será 5 francos por año en París y 6 francos para los países de la unión postal), al editor M. Gauthier Villars quai des grands Augustins, 55.

Saggio d'introduzione alla Teoria delle quantità complesse geometricamente rappresentate per B. Carrara.—Cremona 1893, precio 2 L, 50

Esta es una obra que, escrita con unidad de plan y de método, constituye un resumen de tan vasta doctrina, dispuesto para la enseñanza de la misma.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 21

La introducción forma una compendiosa relación histórica tomada desde la memoria del prusiano Kühn, comprendiendo el desenvolvimiento de la teoría en sus varias fases por Bueé, Argand, François, Mourey, Riemann y sus continuadores: Hamilton, Cauchy, Bellavitis, Moebius, Grassmann, Hoiel, Laisant, Casorati, Dini y Beltrami.

La obra se halla dividida en dos partes.

La primera parte, de carácter elemental, contiene las nociones fundamentales y las operaciones sobre las cantidades geométricas.

La exposición preliminar acerca de las cantidades positivas, negativas é imaginarias, lleva al autor á la consideración de la cantidad puramente geométrica, por la cual desaparece la imposibilidad que implica la cantidad imaginaria, de manera que

\[
\sqrt{-1}, \quad b\sqrt{-1}, \quad a! \quad b\sqrt{-1}
\]

permaneciendo imaginarios como entes algébricos serán reales como entes geométricos, y á continuación se demuestra el teorema fundamental, ó sea que el símbolo \( \sqrt{-1} \), geométricamente considerado, es el signo de la perpendicularidad de una recta, siguiendo la representación de todas las formas de las expresiones imaginarias, la de nuevas medias geométricas y segmentos equipolentes, hasta explicar y adoptar preferentemente la notación \( r_p \) empleada desde la suma, lo que le permite dar unidad á toda la metódica exposición que hace de esta teoría geométrica, así como á las aplicaciones, tales como la deducción de las principales fórmulas de la trigonometría.

Termina la primera parte con la elevación á potencias, extracción de raíces, ecuaciones binomias y raíces de la unidad.

El primer capítulo de la segunda parte trata de algunas series, empleando las cantidades geométricas bajo la forma \( e^{i\theta} \) para deducir varias fórmulas trigonométricas, y para concluir la relación entre los logaritmos y los arcos de círculo expresada por

\[
\frac{\pi}{2}\sqrt{-1} = i\sqrt{-1}.
\]

El § tercero tiene por objeto deducir varias fórmulas de trigonometría y de geometría analítica, basándose en el doble concepto de magnitud y dirección de las rectas que entran en las figuras correspondientes.

Las series que expresan el seno y el coseno, el arco en función de la tangente, la serie logarítmica y una fórmula especial logarítmico-trigonométrica, dan fin al primer capítulo.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 22

En el capítulo segundo, destinado á las funciones de las variables complejas, el autor hace detallada exposición relativa á la infinidad de caminos ó contornos que puede recorrer una variable compleja en su plano para pasar de un valor á otro, exposición que completa enseñada al ocuparse de las funciones de variables geométricas ó complejas, estableciendo desde luego la condición necesaria y suficiente para que una expresión sea función de la variable compleja \( x + iy \), siguiendo principalmente á Cauchy y haciendo indicaciones sobre la teoría de Riemann.

Al tratar de las ecuaciones algébricas, basándose en la representación geométrica de las cantidades complejas, presenta tres demostraciones del teorema fundamental acerca de la existencia de las raíces, y á continuación la del teorema relativo al número de raíces de una ecuación de grado \( m \) y el de Cauchy respecto al número de raíces contenidas en un contorno.

Con el capítulo IV: Integrales de las funciones sinécticas, termina la obra que, como ha podido verse, contiene lo fundamental de la teoría de las cantidades complejas en forma muy accesible para las intenciones de los alumnos.

NOTA ACERCA DE LA CUESTION 119
POR D. CECILIO JIMÉNEZ RUEZA

Las soluciones presentadas por los Sres. Varela, Sollertinsky, Retali y la dada por nosotros (pág. 152) son aplicables sin modificación al caso en que se dan las proyecciones del vértice A sobre las bisectrices interiores de los ángulos B y C; y para conocer si dos puntos arbitrarios b y c pueden mirarse como proyecciones de A sobre las bisectrices exteriores ó sobre las interiores de B y C, basta observar si es obtuso ó agudo respectivamente el ángulo bAc. En el caso de ser recto este ángulo el problema no tiene solución.

NOTA ACERCA DE LA CUESTION 101 (t. III, pág. 40)
POR M. H. BROCARD.

Se dan dos rectas rectangulares que se cortan en O. El punto A está sobre la una, el punto B sobre la otra. Se tiene:

\[
OA' - OB' = L'
\]
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 23

La envolvente de AB es

\[
\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3} = 1^3
\]

OA es eje de las x, OB el de las y. Estudio de la curva.

(E. Lemoine).

Se tiene, pues, que buscar la envolvente de la recta AB representada por la ecuación

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \tag{1}
\]

bajo la condición

\[
a^2 - b^2 = t^2 \tag{2}
\]

ó que el eliminar \(a\) y \(b\) entre la ecuación

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{a^2 - t^2} = 1 \tag{3}
\]

y su derivada con relación á \(a\).

Como es preciso previamente reducir la ecuación (3) á una forma entera, se ve que se tendría que eliminar \(a\) entre una ecuación do 4.º grado y una de 3.º

Pero es posible evitar esta investigación que sería muy laboriosa, y por un medio muy sencillo, se llegará á una generalización sobre la que será interesante llamar la atención de nuestros lectores.

La ecuación

\[
p^p + q^p = t^p
\]

representa una familia de curvas que deben poseer propiedades especiales.

Para reconocer una de ellas, por ejemplo, consideremos la tangente en un punto \((x, y)\).

Esta recta tiene por ecuación

\[
Y - y = \left( \frac{x}{y} \right)^t (X - x) \tag{5}
\]

Haciendo sucesivamente \(Y = 0\), \(X = 0\), se obtienen los segment-
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 24

tos \( OA = a \), \( OB = b \), que tienen por expresiones, considerando la ecuación (4),

\[
a = \frac{l^p}{x^{p-1}}, \quad b = \frac{l^p}{y^{p-1}}
\]

(6)

Para eliminar \( x \) é \( y \) y obtener una relación independiente de \( x \) y de \( y \), es preciso formar la ecuación (4) ó escribir

\[
\left( \frac{x}{l} \right)^p + \left( \frac{y}{l} \right)^p = 1 = \left( \frac{l}{a} \right)^{\frac{p}{p-1}} + \left( \frac{l}{b} \right)^{\frac{p-1}{p}}
\]

(7)

é en definitiva

\[
a^{\frac{1-p}{p}} + b^{\frac{1-p}{p}} = l^{\frac{1-p}{p}}
\]

(8)

de lo que resulta la proposición general:

La tangente á la curva (4), determinando sobre los ejes de coordenadas rectangulares segmentos \( a \) y \( b \), á partir del origen, se tiene entre estos segmentos, la relación (8).

Y recíprocamente:
La envolvente de una recta representada por la ecuación (1), bajo la condición (8), está representada por la ecuación (4).

La misma observación si \( b \) se halla afectada del signo — .
Como comprobaciones tomaremos algunos valores sencillos.

1.º \( b \) positivo, \( \frac{1-p}{p} = 1 \), \( p = \frac{1}{2} \), \( a + b = l \).
La envolvente es una parábola

\[
x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = l^{\frac{1}{2}}
\]

(9)

2.º \( b \) positivo, \( \frac{1-p}{p} = 2 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( a^2 + b^2 = l^2 \).
La envolvente es una hipocicloide de cuatro retrocesos

\[
x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = l^{\frac{2}{3}}
\]

(10)

3.º \( b \) negativo, \( \frac{1-p}{p} = 1 \), \( p = \frac{1}{2} \), \( a - b = l \).
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 25

La envolvente es una parábola

\[
\frac{1}{x^3} - \frac{1}{y^3} = l^2
\] (9)

idéntica á la del número (1), porque en realidad es preciso tomar \( x^{\frac{1}{3}} \) é \( y^{\frac{1}{3}} \) con el signo \( \pm \) y escribir

\[
\pm x^{\frac{1}{2}} \pm y^{\frac{1}{2}} = \pm l^{\frac{1}{2}}
\] (9)

4.º \( b \) negativo \( \frac{1-p}{p} = 2 \quad p = \frac{1}{3}, \quad a^3 - b^3 = l^3 \).

La envolvente es la curva de 6.º grado

\[
x^{\frac{3}{8}} - y^{\frac{3}{8}} = l^{\frac{3}{8}}
\] (11)

indicada por el Sr. Lemoine.

Esta curva admite por ejes de simetría OX y OY. Es tangente á OX en los puntos \( y = 0, \ x = \pm l \) donde forma dos retrocesos; es asíntota á las dos bisectrices de YOX, y, por consiguiente, tiene cuatro puntos de inflexión.

Si se desarrolla la ecuación (11), se obtiene

\[
(x^2 - y^2 - l^2)^3 = 27 \ l^4 x^2 y^2
\] (12)

Ahora, bajo esta forma se halla una curva ya considerada por los geómetras, respondiendo á la cuestión número 198, propuesta en 1848 en N. A. M. por M. W. Roberts:

Hallar la envolvente de las hipérbolas equiláteras concéntricas, cortadas ortogonalmente por una recta fija.

Aquí, el eje de las \( x \) se supone paralelo á la recta dada, á la distancia \( l \).

Dos soluciones se han expuesto (loc. cit. 1848, pág. 376, y 1851, pág. 314); pero sin indicar el trazado de la curva ni la forma reducida (11) de la ecuación (12).

La presente discusión proporciona hoy una importante contribución al estudio de esta curva notable y podrá ser de interés el insistir en ella.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 26

Representemos los datos de la cuestión 198 (N. A. M.)

Sea \( \Delta\Delta \) la recta fija que encuentra á OY en I.

Para determinar una de las hipérbolas equiláteras, por ejemplo la que encuentra á \( \Delta \) según un ángulo recto en un punto D, basta unir OD, y desde el punto D, como centro trazar una circunferencia que encuentra en E y E' á una recta EDE' trazada por el punto D paralelamente á OY.

OE y OE' son las asíntotas de la hipérbola equilátera.

La construcción de los puntos E, E' no es otra que el modo de transformación que ha sido expuesto en el estudio del trifolium, del que se dió un resumen en este periódico (t. II, pág. 271).

Esta construcción trasforma pues la recta \( \Delta\Delta \) en una hipérbola equilátera que tiene I por centro y O por uno de sus vértices, y cuyas asíntotas se hallan á 45° con los ejes de coordenadas (Véase la Memoria sobre el Trifolium, J. S. 1891).

Por otra parte, si la curva dada tiene por ecuación

\[
f(x, y) = 0,
\]
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 27

la transformada tendrá evidentemente por ecuación

\[
f(x, y \pm \sqrt{x^2 + y^2}) = 0,
\]

lo que en el caso de la recta \( \Delta \) ó \( y = h \) dará la hipérbola equilátera

\[
y^2 - X^2 - 2hy = 0 \tag{13}
\]

Por otra parte, si se quisiese construir una de las rectas AB de la cuestión 101, sería útil trazar previamente la hipérbola equilátera

\[
x^2 - y^2 - l^2 = 0 \tag{14}
\]

que tiene sus vértices en OX, á las distancias \( OS = OS' = l \). Entonces, proyectando un punto M de la curva en A, B, sobre los ejes OX, OY, se tendrá \( OA^2 - OB^2 = l^2 \), y, por consiguiente, AB será una de las rectas buscadas.

En cuanto á las hipérbolas equiláteras consideradas en la cuestión 198 (loc. cit), tienen por ecuación general

\[
x^2 - y^2 + \frac{2l}{m} xy - l^2 - m^2 = 0 \tag{15}
\]

y eliminando \( m \) entre esta ecuación y su derivada, se obtiene la ecuación (12).

Desde otro punto de vista, así como he tenido ocasión de consignar varias veces, se tiene generalmente interés en hacer intervenir, en toda cuestión de envolvente de rectas móviles, la noción de podar.

Aquí, estando la tangente propuesta representada por la ecuación

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{\sqrt{a^2 - l^2}} = 1, \tag{3}
\]

la perpendicular trazada desde el origen tiene por ecuación

\[
y = \frac{a}{\sqrt{a^2 - l^2}} x, \tag{16}
\]

y la eliminación de \( a \) da para la podar la ecuación

\[
(x^2 + y^2) \sqrt{y^2 - x^2} = lay \tag{17}
\]

Así la envolvente buscada tiene por podar del origen la curva (17)

Para mostrar que esta envolvente es precisamente la curva (11), quedaría por verificar que la podar del origen es aun la curva (17).

Ahora, la tangente á la curva (11) tiene por ecuación

\[
Y - y = \left( \frac{x}{y} \right)^{-\frac{1}{3}} (X - x) \tag{18}
\]
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 28

La perpendicular bajada desde el origen tiene por ecuación

\[
Y = - \left( \frac{y}{x} \right)^{-\frac{1}{3}} X
\]

(19)

De las ecuaciones (11), (18), (19) se deduce

\[
X x^{-\frac{1}{3}} + Y y^{-\frac{1}{3}} = l^{\frac{2}{3}}
\]
(20)

\[
Y x^{-\frac{1}{3}} X y^{-\frac{1}{3}} = 0
\]
(21)

de donde

\[
x^{-\frac{1}{3}} = \frac{l^{\frac{1}{3}} X}{X^2 + Y^2}, \quad y^{-\frac{1}{3}} = - \frac{l^{\frac{2}{3}} Y}{X^2 + Y^2}
\]

y, por consiguiente, el resultado de la eliminación de \(x\) é \(y\) es

\[
\frac{1}{l^{\frac{4}{3}}} (X^2 + Y^2)^2 \left( \frac{1}{X^2} - \frac{1}{Y^2} \right) = l^{\frac{2}{3}}
\]

(22)

es decir, la ecuación (17) ya obtenida.

Estos desarrollos pueden pues servir de nueva justificación á la proposición general arriba enunciada, y se deducirá de ellos igualmente la extensión á las curvas

\[
x^p \pm y^p = l^p.
\]

En fin, otro artículo de N. A. M. (1857. 380—384) contiene la exposición de diversas propiedades geométricas que ofrecen cierta correlación con la cuestión 101.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 125 (Véase tft. III, pág. 112).

En un triédro SABC la cara BSC vale 90º y cada una de las demás 60º. Se toma sobre SA una longitud arbitraria y sobre las otras, longitudes SB, SC iguales al mayor segmento de SA dividido en media y extrema razón.

Demostrar que el triángulo ABC es rectángulo.

Solución por el Sr. Brocard.

De los datos del enunciado BSC = 90º, BSA = ASC = 60º, 2 cos60º = 1,

\[
SA = 1, \quad SB = SC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}
\]