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la Filosofía matemática que cuentan ya obras destinadas á su constitución como cuerpo de doctrina y rama que concierne al desenvolvimiento formal de la ciencia matemática; y con este carácter publiqué en 1888 la Crítica y síntesis del Álgebra y en 1885 los Problemas de Aritmética y Algebra con las nociones correspondientes de crítica algorítmica, donde se contiene un somero estudio sintético de las ramas elementales de la Matemática, y por último los dos primeros cuadernos de los Estudios críticos sobre la generación de los conceptos matemáticos, y aún he publicado ya en El Progreso Matemático algunos artículos de la obra que puede corresponder á la asignatura denominada Geometría general, que debiera comprender el estudio comparado de las diversas geometrías conocidas con nombres especiales, cada una de las que dependen de un método, ó que más bien es un método aplicado á la Teoría de la extensión.

Si á estas consideraciones añadimos el hecho de existir en algunas universidades, ya de América ó de Europa, la asignatura de Historia de las matemáticas y el carácter filosófico que reviste el estudio de las matemáticas en Alemania cuyas universidades tienen reunidas las Facultades de Filosofía y de Ciencias, llegaremos á la conclusión de que se impone, sobre todo en nuestras facultades de Ciencias no sólo la creación de alguna asignatura de Matemática superior, sino de una asignatura de estudios críticos e históricos de la ciencia matemática.

Y en efecto, si por razón de nuestras vicisitudes históricas, ni tenemos escuela científica, ni hemos llegado especialmente, en la ciencia matemática al nivel medio de otras naciones; si ya que hemos de depolar el hecho, debemos dirigir nuestros esfuerzos á evitar su continuación en el porvenir, urge que en nuestros procedimientos educativos de la juventud, en vez de malgastar nuestros esfuerzos en pueriles detalles de ninguna importancia, nos dirijamos á las grandes síntesis, á introducir en nuestras prácticas en la enseñanza aquellas ideas generales y fecundas que llevan en sí el germen de otras muchas ideas; más con el fin de que las inteligencias no adquieran una falsa dirección exclusivamente teórica, que puede contribuir al extravío, que nos fijemos también en los grandes repertorios de ejercicios prácticos que ponen á prueba el poder inventivo de los alumnos en que se encierra el porvenir de la Patria.
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Así podremos alcanzar á marchas forzadas el nivel científico que nos corresponde en la culta Europa, y al mismo tiempo la intensidad de nuestro esfuerzo propio, por ejercicios que lo pongan á prueba y mantengan su virtualidad ó capacidad para producir.

Que se deroguen aquellas costumbres perniciosas de hacer malgastar el esfuerzo intelectual de la juventud en cuestiones tan banales como las que suelen proponerse á manera de lazos matemáticos en las oposiciones ó exámenes de ingreso, eligiéndose en cambio otras de alguna transcendencia y susceptibles de ser útiles en estudios ulteriores, que, en fin, al crearse cátedras de Análisis superior correspondientes al período último de su desarrollo, también se creen, como ya se dijo, asignaturas de crítica histórica, prudencialmente distribuida entre el primero y el último grupo de asignaturas, y hasta si es preciso, suprimiendo en ellas la obligación del examen, con lo que se facilitaría á los alumnos de verdadera vocación científica el simultanear con los estudios hechos bajo forma dogmática de cada asignatura, otro estudio de su conjunto, ó Matemática general, desde el punto de vista de la generación de los conceptos matemáticos, de sus dependencias y correlaciones mutuas, etc., lo que en conjunto constituye la metafísica de la Matemática, cuya exposición pudiera hacerse, no sólo en el orden lógico, sino también en el orden cronológico é histórico.

Y antes de terminar diré, que las desventuras del pasado, no influirán en nada para disminuir nuestra confianza en el porvenir. Que si nuestro estado científico no es tan brillante como el actual de otras naciones, en la nuestra no han faltado los destellos del genio ni los esplendores de épocas de grandeza para las ciencias y las letras. Ni el clima ni la raza limitan la potencia intelectual de los pueblos. El Egipto, colocado en una de las regiones más ardorosas del viejo continente, tuvo su espléndida civilización inmortalizada por Euclides, Apolonio y Tolomeo, como la tuvieron los antiguos imperios del Asia, como la ha tenido la India, región donde también se ha conocido un periodo de desenvolvimiento matemático. Pero si aquellas regiones, emporio de la civilización del pasado, hoy no sienten las palpitaciones del espíritu científico, esto es debido á que las épocas las separaron de las evoluciones sucesivas por que pasó el espíritu humano; y es imposible el genio allá donde el te-
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rreno quedó estéril é inerte y donde la Naturaleza vuelve á recobrar su imperio y sobreponerse á la obra de la Humanidad.

Pero nosotros que hoy seguimos el movimiento de las ciencias, que les erigimos templos para implantar en ellos sus últimos progresos, si por un momento de nuestra vida nos apartamos del gran foco, en alas de nuestro espíritu generoso que nos devolvió después de largas guerras á nuestra querida patria, es indudable que nos apercibimos para conquistar el puesto que nos corresponde en la ciencia, lo que se logrará cuando las iniciativas de los altos poderes, fijándose preferentemente en estas ramas del saber, enaltezcan sus enseñanzas según hemos manifestado, presentando los ideales de la ciencia á la juventud, y ésta responda con entusiasmo á las esperanzas que en ella tenemos todos los que hemos de procurar con nuestro esfuerzo individual á que las logre y realice, con el enaltecimiento de las ciencias, la prosperidad de la Patria.

Z. G. de G

OMISIÓN.—En la página 90, línea 25, después de «Comberouse», agréguese lo siguiente, que se omitió por una inadvertencia: así como en la del Sr. Longchamps se exponen nociones sobre las integrales y los infinitésimos que los Sres. Rouché y Comberouse.
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de todos modos es importantísimo este estudio, porque pone de manifiesto la mútua dependencia de las proposiciones y las muchas formas que cabe dar á una misma hipótesis.

Como apéndice á la obra capital de Wolfgang, está colocada la de su hijo Juan. Con un genio extraordinario expone éste los fundamentos de la Geometría con independencia de la verdad ó falsedad del axioma XI de Euclídes. Aún cuando coincide con Lobachevski, se diferencian, sin embargo, sus demostraciones y procedimientos. Por otra parte, aparece como indudable que hizo su trabajo con completa independencia de los del sabio ruso.

Wolfgang remitió á Gauss su obra y la de su hijo, habiendo alcanzado por completo la aprobación del Profesor de Göttingen.

Los ejemplares que se conservan de las ediciones originales de las obras de los dos Bolyai, han alcanzado grandes precios en el comercio, y aún así, solo las he visto anunciadas en los catálogos de Friedländer, librero de Berlín, y de Leo Revai, librero de Buda. Pest, figurando alguna con el precio de 25 florines,

He aquí ahora la lista de lo que han publicado los geómetras de que me ocupo:

I. Bolyai Farkas (1).

Tentamen juventutem studiosam in elementa Mathematicos purae elementariae ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentique huic propria, introducendi. Auctore Professore Matheseos et Physices, Chemicque Publ. ordinario, Tomus primus Maros Vasarhelyni 1832 Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens; a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (á priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica. Auctore Joanne Bolyai de eadem, geometrarum in exercitu Cesareo regio Austriaco, castrensiun capitaneo. Tomus secundu. Maros Vasarhely, 1833.

II. Kurzer grundriss eines versuches. 1) die Arithmetik, durch zweckmässig construirte Begriffe, von eingebildeten und unendlichkleiner grössen gereinigt, anschaulich und logischstreng darzustellen. 2) in der geometrie die Begriffe der geraden Linie, der Ebene, des winckels allgemein, der winkellosen Formen und der Krummen der verschiedenen Arten der gleichheit n. dgl. nicht

(1) Farkas equivale á Wolfgang.
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nur scharf zu bestimmen sondern auch ihr Sein im Raume zu beweisen; und da die Frage, ob zwei von der dritten geschnittene geraden, wenn die Summa der inneren Winkel nicht = 2 R, sich schneiden oder nicht? Niemand auf der Erde ohne ein Axiom, wie Euclid das XI aufzustellen beantworten wird, die davon unabhängige Geometrie abzusondern, und eine auf die Ja-Antwort, andere auf dans Neinso zu bauen, dass die Formeln der letzten auf einen wink auch in der ersten gültig seien.

Nach einem lateinischen werke von 1929. Maros Vasarhely und eben daselbst gedruckten ungarischen, Maros Vasarhely 1851.

(Por no alargar más estas noticias lo traduzco los titulos arriba citados que son extraordinariamente largos).

III. Bolyai Farkas (1). A Maros Vasarhelyt 1820 —te nyomtatott arithmetika llejenek ressint rividitett, reszint bövitett, általán jobbitott etisztáltabb kiadása. Maros Vasarhely 1843.

Al terminar, manifiesto mi deseo de que la nación húngara haga con los Bolyai lo que Rusia acaba de hacer con Lobachevski, honrar de una manera permanente su memoria.

Prof. Dr. Ventura Reyes Prósper.

Cuenca 8 Diciembre 98.

Sur certaines généralisations de l'équation de Pell (1)

PAR M. G. DE LONGCHAMPS (2)
Professeur au Lycee Saint-Louis.

On sait que le problème de Pell a pour but la résolution, en nombres entiers, de l'équation

\[
2x^2 = y^2 + z^2.
\]

Parmi les équations qui renferment celle-ci comme cas particulier, on peut citer la suivante

(1)
\[
nx^2 = y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2,
\]
relation renfermant \( n + 1 \) inconnues \( x, y_1, y_2, \ldots y_n \). Nous nous pro-

(1) Nous avons donné (Journal, 1864, pages 15 et 19) une notice bibliographique sur cette équation.

(2) Este artículo, que seguramente interesará a los lectores de EL PROGRESO MATEMÁTICO, por ser el primero de Análisis indeterminado que en él se publica, nos fue remitido por el Br. Longchamps que también lo publica en Le Journal de mathém élémentaire.—Z. G. ug G
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proposons de montrer qu'elle admet une infinité de solutions entières, quel que soit n.

1.—Considérons, à cet effet, l'identité

\[
(x-y_1)^2 + (x-y_2)^2 + \ldots + (x-y_n)^2 = nx^2 + y_1^2 + \ldots + y_n^2 - 2x(y_1 + y_2 + \ldots + y_n).
\]

En tenant compte de (1), on a

\[
(x-y_1)^2 + (x-y_2)^2 + \ldots + (x-y_n)^2 = 2nx^2 - 2x(y_1 + \ldots + y_n) \\
= 2x(nx - y_1 - y_2 \ldots - y_n).
\]

Lisons alors

\[
x - y_1 = x_1, \quad x - y_2 = x_2, \quad \ldots \quad x - y_n = x_n,
\]

l'égalité précédente devient:

\[
x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 2x(x_1 + x_2 + \ldots + x_n).
\]

D'après ce résultat, s'il existe une solution, en nombres entiers, de l'équation (1), cette égalité devra être résolue pour des valeurs entières, positives ou négatives, des inconnues \( x_1, x_2, \ldots x_n, x \).

Réciproquement, à toute solution entière de (5) correspond une solution entière de (1).

En effet, imaginons une solution entière de (5); les égalités (4) permettront de trouver pour \( y_1, y_2, \ldots y_n \) des valeurs entières. Portons ces valeurs dans l'identité (2); celle-ci est vérifiée, quelles que soient les quantités \( x, y_1, y_2 \ldots y_n \); en outre, l'égalité (3) étant accordée, il en résulte que les nombres considérés vérifient l'équation (1).

En résumé, toute solution de (1) vérifie (5), et réciproquement.

2.—Parmi les solutions entières, en nombre infini, qui satisfont à l'égalité (5), nous signalerons les suivantes.

Si l'on considère toutes les solutions entières, en nombres positifs ou négatifs, de l'équation

\[
x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 2^{(*)},
\]

(*) On ne peut pas, évidemment, supposer

\[
x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,
\]

puisque l'égalité (5) donnerait alors

\[
x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 0.
\]

Mais on serait tenté de poser, d'abord,

(A)

\[
x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 1.
\]

L'égalité (5) devient, dans cette hypothèse,

(B)

\[
x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 2x.
\]
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Nuevo medio de obtener fórmulas en la Geometría del triángulo
POR EL SR. LEMOINE (E.)

He dado en diversas Memorias numerosas fórmulas referentes á la Geometría del triángulo (véase Association Française pour l'avancement des Sciences, Congrès de Toulouse 1887, d'Orán 1888, de Limoges 1890, de Marseille 1891, de Pau; Nouvelles annales, 1893, pág. 20, Mathesis, 1892, etc., etc.) Muchas de estas fórmulas eran nuevas, pero como su investigación no constituía el objeto principal de cada una de las Memorias en que se encontraban, las había dado sin demostración y aun sin indicar el método que conducía á ellas. Como este método es muy fecundo y además porque cada nueva fórmula obtenida, todavía da otras aplicándole la transformación continua (véase PROGRESO MATEMÁTICO, 1892, pág. 272), creo útil dar aquí algunas fórmulas fundamentales (de las que se deducen las que he obtenido) y su demostración, así como algunos ejemplos de su empleo.

Notaciones.—Los lados BC, CA, AB del triángulo ABC serán a, b, c.
p, p—a, p—b, p—c designan las cantidades

\[
\frac{1}{2}(a+b+c), \quad \frac{1}{2}(b+c-a), \quad \frac{1}{2}(c+a-b), \quad \frac{1}{2}(a+b-c).
\]

R, S el radio del círculo circunscripto y el área, r, \(r_a\), \(r_b\), \(r_c\) los radios de los círculos tangentes á los tres lados.
\(δ\), \(δ_a\), \(δ_b\), \(δ_c\), las cantidades \(4R+r\), \(4R-r_a\), \(4R-r_b\), \(4R-r_c\)

Admitiré como conocidas las fórmulas corrientes

\[
S = pr = (p-a)r_a = \text{etc}
\]
\[
r_a + r_b + r_c = 4R + r
\]
\[
R = \frac{abc}{4S} \text{ etc, etc.}
\]
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 10

(10) \[ u - my = \frac{p + q}{n} \]

On obtient de (9) et (10):

(11) \[ u = \frac{n^2(p - q) + (p + q)}{2n} \]

(12) \[ y = \frac{n^2(p - q) - (p + q)}{2mn} \]

En multipliant les équations (9) et (10), on trouve:

\[ n^2 - m^2y^2 = p^3 - q^3. \]

Et en substituant cette valeur en (8):

\[ m^2x^2 - v^2 + (p^2 - q^2) = 3(p^2 - q^2). \]

ou

\[ \frac{mx + v}{3(p + q)} = \frac{p - q}{mx - v}. \]

Soit

\[ mx + v = (p - q)r; \]

donc

\[ mx - v = \frac{3(p + q)}{r}. \]

On obtient de ces équations:

(13) \[ x = -\frac{(p - q)r^2 + 3(p + q)}{2mr} \]

(14) \[ v = \frac{(p - q)r^2 - 3(p + q)}{2r} \]

En substituant ces valeurs en (7), on trouve:

\[ \frac{(p - q)r^2 + 3(p + q)}{2mr} = \frac{m^2[(p - q)r^3 - 3(p - q)]}{2r}, \]

d'où il s'ensuit enfin:

(5) \[ r = \sqrt{\frac{3(p + q)(m^3 + 1)}{(p - q)(m^3 - 1)}}. \]

2. Application.—D'abord il faut déterminer \( r \) au moyen de l'équation (15) en valeur rationnelle. Pour cela on prend la valeur de \( m \) à volonté, on ajoute au produit \( 3(m^3 + 1) \) un facteur complétant un nom-
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bre carré, et on égale ce facteur à \( (p + q) \). De même on ajoute à la quantité \( (m^3 - 1) \) un facteur complétant un nombre carré, et on égale ce facteur à \( (p - q) \).—On détermine \( p \) et \( q \) au moyen de ces dernières équations, et \( r \) de (15); puis \( x \) et \( v \) de (13) et (14), \( u \) et \( y \) de (11) et (12), après avoir donné à \( n \) une valeur arbitraire; enfin \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) des équations (6).

3. *Exemples.*—Soit \( m = 2 \). On trouve que les moindres facteurs complétants sont

\[
p + q = 3;\quad p - q = 7,
\]

d'où l'on tire:

\[
p = 5,\quad q = -2.
\]

De suite on trouve:

\[
r = \frac{9}{7};\quad x = 4;\quad v = 1.
\]

Enfin, pour

    n
    1.
    2.
    3.
    5
    7
    9

    u
    5.
    31
    11.
    23
    17
    3

    y
    1.
    25
    5.
    1
    5
    3

Donc, après avoir écarté les dénominateurs:

    a_1
    a_2
    a_3
    a_4

    5.
    57.
    9
    21.
    17

    3.
    7.
    -1
    19.
    7

    4.
    54.
    10
    18.
    14

    6.
    70.
    12
    28.
    20

d'où:

\[
5^3 + 3^3 + 4^3 = 6^3;
\]
\[
57^3 + 7^3 + 54^3 = 70^3;
\]
\[
21^3 + 19^3 + 18^3 = 28^3;
\]
\[
9^3 - 1^3 + 10^3 = 12^3;
\]
\[
17^3 + 7^3 + 14^3 = 20^3.
\]

2. *Séries de Lamé supérieures*

1 La série de Lamé

(1) 1. 1. 2. 3. 5. 8. 13...
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 12

dont chaque terme est la somme des deux précédents, est remarquable par quelques propriétés bien connues. Ainsi elle est une série arithmétique de l'ordre \( \infty \), parceque les séries, formées successivement des différences de ses termes, sont égales à elle-même.—On peut résoudre l'équation

\[
5x^2 - 4 = y^2
\]

en nombres entiers, en substituant à \( x \) les termes de la série (1), et posant alternativement les signes + et -. Alors les valeurs de \( y \) sont les termes de la série

\[
1, \quad 3, \quad 4, \quad 7, \quad 11, \ldots
\]

formée analogiquement à (1).—Si \( a_1 \) et \( a_2 \) sont deux termes successifs de la série (1), les nombres, dont la forme est \( 4a_1a_2 \), se décomposent en trois nombres carrés suivant la formule:

\[
\pm 4a_1a_2 = (a_1^2 + a_2^2)^2 + 2a_1a_2)^2 - (3a_1a_2 \pm 1)^2.
\]

Le \( p \)ième terme de la série (1) n'est pas divisible par un autre terme de la même série, si \( p \) est nombre premier.—Les fractions \( a_1 : a_1 \) sont les valeurs approximatives de la fraction continue

\[
\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{1}{1 + ...}
\]

Soit \( n_k \) la k-ème valeur approximative de \( \sqrt{5} \): alors on a:

\[
\frac{a_{3k+1}}{a_{3k}} = \frac{n_{k+1}}{n_k}; \quad \frac{a_{3k}}{a_{3k-1}} = \frac{n_{k-1}}{2}; \quad \frac{a_{3k-1}}{a_{3k-2}} = \frac{2}{n_{k-1}}
\]

Si l'on pose \( n_k = \frac{p_k}{q_k} \), alors les termes de la série (1) sont déterminés indépendamment par les formules:

\[
a_{3k} = p_k + q_k; \quad a_{3k-1} = 2q_k; \quad a_{3k-2} = p_k + 3q_k.
\]

La valeur de la fraction \( a_p : a_{p+1} \), formée de deux termes successifs de la série (1), s'approche au rapport de la «Sectio aurea», si l'on fait croître \( p \) infiniment.—La même fraction comprend tous les rapports existants de position des feuilles en botanique (*).

(*) Pour la plupart de ces propriétés on trouve les démonstrations dans mon mémoire: «Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons» Schlüchth Zeitfchr. XXIV, 128 (1878).
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 13

2. En effectuant la division on obtient:

(8) \( \frac{1}{1 - x - x^2} = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 + ... \),

Les coefficients du second membre son évidemment les termes de la série (1). On trouve par une opération analogue la «deuxième série de Lamé»:

(9) \( \frac{1}{1 - x - x^2 - x^3} = 1 + x + 2x^2 + 4x^3 + 7x^4 + 13x^5 + ... \),

où chaque coefficient est la somme des trois précédents, et la «troisième série de Lamé»:

(10) \( \frac{1}{1 - x - x^2 - x^3 - x^4} = 1 + x + 2x^2 + 4x^3 + 8x^4 + 15x^5 + ... \),

où chaque coefficient es la somme des quatre précédents.

En continuant ce procédé on parvient à la conception de la «n-ième série de Lamé», dont chaque terme est la somme des \((n+1)\) précédents.

Évidemment dans les séries de l'ordre \(n\) et \((n+1)\) les \((n+2)\) termes initiaux sont les mêmes. En outre on trouve aisément des relations simples entre les séries et celles de leurs différences.

On peut simplifier le calcul de la n-ième série en observant que

\[
1 - x - x^2 - x^3 - \ldots - x^r = 2 - 1 - x^2 - x^3 - \ldots - x^r
\]
\[
= 2 - (1 + x + x^2 + \ldots + x^r) = 2 - \frac{x^{r+1} - 1}{x - 1}
\]

Au moyen de cette valeur on trouve:

\[
\frac{1}{1 - x - x^2 - \ldots - x^r} = \frac{1}{2 - \frac{x^{r+1} - 1}{x - 1}},
\]

ou

(11) \( \frac{1}{1 - x - x^2 - \ldots - x^r} = \frac{1 - x}{1 - 2x + x^{r+1}} \),

ce qui donne la \((r-1)\) ième série de Lamé.—L'expression de la n-ième série est:

(12) \( 1 + x + 2x^2 + 4x^3 + 8x^4 + \ldots + 2^n x^{n+1} + \ldots \)
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 14

Si l'on suppose \( x < 1 \) et \( n = \infty \), on obtient:

\[
\frac{1-x}{1-2x} = 1 + x + 2x^2 + 4x^3 + 8x^4 + \ldots
\]

C'est la série de Lamé de l'ordre infini. En effet tout coefficient du second membre est la somme de tous les précédents.

3. Demonstration d'un théorème de Steiner

1. Soit donné un point variable P, dérivé de trois points fixes d'un plan au moyen des nombres \( z_1, z_2, z_3 \), de sorte qu'on aie:

(1) \( P = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3; \quad x_1 + x_2 + x_3 = 1; \quad (e_1 e_2 e_3) = 1. \)

Alors on obtient par multiplication extérieure:

(2) \( (P e_i) = x_2 (e_2 e_1) + x_3 (e_3 e_1), \)

et, en formant le carré intérieur de cette expression:

(3) \( (P e_i)^2 = x_2^2 (e_2 e_1)^2 + 2x_2 x_3 |(e_2 e_1)| \cdot e_3 e_1| + x_3^2 (e_3 e_1)^2. \)

Cette équation exprimant une relation entre les segments de droite \( (P e_i), (e_2 e_1), (e_3 e_1) \), vaut encore pour les distances \( (P - e_i), (e_2 - e_1), (e_3 - e_1) \). Posons, pour abréger:

(4)
\[
\begin{cases}
(P - e_i) = p_i, \quad (P - e_2) = p_2, \quad (P - e_3) = p_3; \\
(e_1 - e_2) = c, \quad (e_2 - e_3) = a, \quad (e_3 - e_1) = b.
\end{cases}
\]

Alors il s'ensuit de (3):

(5)
\[
\begin{cases}
p_1^2 = x_2^2 c^2 - 2x_2 x_3 (c|b|) + x_3^2 b^2. & \text{De même} \\
p_2^2 = x_3^2 a^2 - 2x_3 x_1 (a|c|) + x_1^2 c^2, \\
p_3^2 = x_1^2 b^2 - 2x_1 x_2 (b|a|) + x_2^2 a^2.
\end{cases}
\]

Prenons \( x_1 \) et \( x_2 \) comme variables indépendantes; nous aurons:

(6)
\[
x_3 = 1 - x_1 - x_2; \quad \frac{dx_3}{dx_1} = -1; \quad \frac{dx_2}{dx_1} = 0,
\]

(*) Voir El Progreso Matemático, tomo II, pág. 281.—Dans les errata de ce tome, concernant les pages 281-288, 388, 396, il faut changer les deux colonnes, titrées « Dice » et « Debe decir ».
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 15

et, en différenciant les équations (5) par rapport à \( x_1 \)

\[
\begin{cases}
\frac{d(p_1^2)}{dx_1} = 2x_2 (c|b) - 2x_3 b^2, \\
\frac{d(p_2^2)}{dx_1} = -2x_3 a^2 - 2x_3 (a|c) + 2x_1 (a|c) + 2x_1 c^2 \\
\frac{d(p_3^2)}{dx_1} = 2x_1 b^2 - 2x_2 (b|a).
\end{cases}
\]

(7)

Multiplions ces équations resp. par \( x_1, x_2, x_3 \). En additionant nous trouverons que la somme peut être écrite sous la forme:

\[ 2x_1 x_2 [(c|c) + (a|c) + (b|c)] - 2x_2 x_3 [(b|a) + (a|a) + (c|a)], \]
ou bien: \( 2x_1 x_2 [(b + a + c)|c] - 2x_2 x_3 [(b + a + c)|a] \).

Or il s'ensuit des équations (4):

(8)
\[
c + a + b = 0.
\]

Donc la somme susdite s'évanouit, et on obtient:

(9)
\[
x_1 \frac{d(p_1^2)}{dx_1} + x_2 \frac{d(p_2^2)}{dx_1} + x_3 \frac{d(p_3^2)}{dx_1} = 0.
\]

Or on a (voir Progreso Mat., tome II, page 287, form. (22))

\[
z_1 = \frac{(P e_2 e_3)}{(e_1 e_2 e_3)},
\]

ou, en regardant (1);

(10)
\[
z_1 = (l^1 e_2 e_3).
\]

Donc \( z_1 \) est la double aire du triangle \( (P e_2 e_3) \), ou

\[
\begin{cases}
x_1 = p_2 p_3 \cdot \sin (p_2 p_3). \\
x_2 = p_3 p_1 \cdot \sin (p_3 p_1). \\
x_3 = p_1 p_2 \cdot \sin (p_1 p_2).
\end{cases}
\]

De même:

(11)

En achevant les différenciations indiquées dans la formule (9) et y substituant les valeurs (11), on trouve qu'il reste:

(12)
\[
\sin (p_2 p_3) \frac{dp_1}{dx_1} + \sin (p_3 p_1) \frac{dp_2}{dx_1} + \sin (p_1 p_2) \frac{dp_3}{dx_1} = 0.
\]

La variable \( x_1 \) peut être remplacée par \( x_2, x_3 \), ou par toute autre variable de laquelle dépend la position du point P.

2. Après ces préparatifs envisageons le problème de déterminer