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El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 9

entre estas dos paredes una sola molécula animada de la velocidad \( v \) que forma el ángulo \( \theta \) con la normal á la pared en el punto en que se supone ha de chocar. Como la experiencia demuestra que la presión es siempre normal á la superficie de la vasija, deberemos tomar la componente \( v \cos \theta \) de la velocidad, según la normal antes referida. Ahora bien, la fuerza normal con que la molécula choca se mide por el producto de su masa por su aceleración, esto es:

\[
F = m \cos \theta \frac{dv}{dt}; \text{ de donde } F dt = m \cos \theta dv.
\]

(1)

Un momento infinitamente pequeño antes del choque la velocidad normal era \( v \cos \theta \); un momento infinitamente pequeño después del choque dicha velocidad es \( -v \cos \theta \).

Veamos cual ha sido y de qué manera la reacción de la superficie para producir este cambio de dirección.

Sea \( t' - t'' \) el tiempo infinitamente pequeño que dura el choque, esto es, el tiempo que media entre el momento en que se ponen en contacto la superficie de la molécula y la de la pared y el momento en que se separan dichas superficies. Durante todo el tiempo \( t'' - t' \) la acción elástica de la pared, esto es, la tendencia á volver á su primitiva posición después que la sacó de ella el empuje de la molécula al chocar ha cambiado de valor, pues debió empezar por cero, adquirir un máximo y acabar después por cero; y como todos estos estados elásticos de la pared, en unión con los originados por otros choques, constituirán la presión permanente que á una temperatura dada, la pared experimenta, por eso debemos tenerlos en cuenta y sumarlos para apreciar el efecto total del choque de una sola molécula. Dividamos el tiempo \( t' - t'' \) en \( n \) partes iguales (lo de iguales es sólo por simplificar, pues lo mismo sería si fuesen desiguales), y llamemos \( \Delta t \) á una de estas partes, y sean \( 0, F', F'', F'''..... F^{(n)}, 0 \), los valores que toma la fuerza \( F \) (1) al fin de cada división del tiempo \( t' - t'' \); la suma total de las acciones así desarrolladas sobre la superficie será

\[
F' \Delta t + F'' \Delta t + F''' \Delta t + ..... + F^{(n)} \Delta t = \sum F \Delta t.
\]

Si hacemos \( \Delta t \) infinitamente pequeño para que los valores \( F', F'', F'''... \) de la fuerza se sucedan de un modo continuo, la suma anterior se convertirá en la integral definida:

\[
\int_{t'}^{t''} F dt,
\]
El Progreso matemático (1893-04-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOBRE LA CONSTITUCIÓN MOLECULAR DE LOS CUERPOS GASEOSOS

(CONCLUSIÓN)

Hemos obtenido en el núm. 19 para velocidad de las moléculas gaseosas la expresión

\[
v = \sqrt{3 \times 9,809 \times 0,00366 \ V_o P_o T}
\]

que vamos á aplicar al aire atmosférico. Para éste se sabe por experiencia que \( V_o = 0,7733 \) y \( P_o = 10334 \), y tomando la temperatura al 0º ordinario, que, según lo dicho al fin del núm. 17, es

\[
T = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{0,00366}
\]

tendremos:

\[
v = \sqrt{3 \times 9,809 \times 0,00366 \times 0,7733 \times 10334 \times \frac{1}{0,00366}} = 485.
\]

Por otra parte, se sabe por mecánica que la velocidad debida á una altura viene dada por la fórmula \( v = \sqrt{2gh} \); de donde \( h = \frac{v^2}{2g} \); que cuando \( v \) es la velocidad que adquiriría una molécula cayendo desde el límite de la atmósfera, ó la que en la superficie terrestre le haría subir á ese límite, \( h \) es la altura de la atmósfera en función de la velocidad \( v \) y de la gravedad \( g \); de modo que:

Altura de la atmósfera \( = h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(485)^2}{2 \times 9,808} = \frac{235225}{19,618} = 11,989 \) metros

ó 12,000 metros en números redondos. M. Hirn, en una Memoria titulada Fenómenos debidos á la acción de la atmósfera sobre las estrellas
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>de A y de B y lo que hace tender A hacia B. Si nosotros llamamos >Materia á lo que constituye las masas A y B, tenemos pleno derecho >en llamar Fuerza á lo que pone estas masas en una cierta relación >especial, y afirmar que la Fuerza tiene una existencia distinta y real >fuera de la Materia.» Nosotros no decimos que la fuerza tenga ó no una existencia independiente de la materia; lo que afirmamos es que en la naturaleza que nos rodea, y está á nuestro alcance en las condiciones actuales de existencia, es un hecho bien observado y que se repite sin cesar el de que no hay un punto material que deje de oponer una resistencia ó de ejercer una acción á distancia, ni fuerza que deje de estar aplicada á un punto material; y ya se sabe que un hecho bien observado vale más que toda una serie de argumentos sin fundamento. La escuela positivista sostiene que no puede existir la fuerza sin la materia ni ésta sin aquélla; que son, por tanto, ó sustancia y accidente, ó manifestaciones distintas de un mismo ser; que no se concibe la electricidad, por ejemplo, sin cuerpo electrizado. Dubois-Reymond dice que la materia no es un coche al que se pueden enganchar y desenganchar las fuerzas como caballos, sino que es el coche y los caballos todo junto. Nosotros no vamos tan lejos, nos contentamos con sentar el hecho de la coexistencia actual de la materia y de la fuerza como un hecho natural y nada más.

Hemos dicho que la facilidad con que el calor se transforma en movimiento y éste en aquél nos autoriza para mirar el calor como un modo de movimiento. Para Hirn la existencia de un equivalente mecánico del calor, de la electricidad, etc., no autoriza á sacar más que esta conclusión: que todas las fuerzas del Universo se pueden equilibrar y sustituir mutuamente; ésta es, en efecto, la conclusión inmediata que se deduce en buena lógica; pero como nosotros no tenemos más medio para establecer la igualdad de dos fuerzas que comparar sus efectos, y como, por otra parte, en el terreno científico importa poco la igualdad de naturaleza, que no podemos conocer, como se tenga la igualdad de efectos mecánicos, por eso miramos como iguales las fuerzas que producen el mismo efecto. Pero hay más: podrá dudarse de que la equivalencia mecánica del calor y del movimiento signifique igualdad de naturaleza de ambos; pero que de esa equivalencia no se deduce de ningún modo que sean diferentes, nadie lo pone en duda.

Finalmente, que el retardo observado de dos cometas periódicos está en contradicción con lo que sería dicho retardo cuando realmente existiera en el espacio una resistencia cualquiera, es el argumento que cita Hirn en contra de la hipótesis de la materia interestelar y en
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apoyo de su teoría del elemento dinámico inmaterial sustancial y extenso; pero si se fija un poco la atención, este argumento, á poco que se analiza, se vuelve contra la misma hipótesis de Hirn, porque si aquel retardo es contradictorio con todo medio resistente, lo es con el referido elemento dinámico, que, ó no puede obrar sobre la materia, ó es un medio resistente; y si no, no hay más que fijarse en lo que ocurre para mover un cuerpo metálico en un campo magnético ó eléctrico, por ejemplo, en el aparato de Foucault la resistencia al movimiento de un disco metálico que se mueve entre los polos de un poderoso electro-inán produce cantidades enormes de calor que se han utilizado por M. Viole para determinar el equivalente mecánico del calor.

En resumen: de toda esta larga discusión se saca el convencimiento de que la Materia se nos revela siempre como extensa y resistente; de que cada elemento material es el asiento de una fuerza que se hace sensible tan luego como se presenta otro punto material á distancia conveniente y en cualquiera dirección respecto del primero; que esta acción se ejerce á todas las distancias por grandes que sean, aunque con intensidades cada vez más imperceptibles; que cuando en un lugar del espacio se acumula un gran número de puntos materiales, las acciones individuales se suman y hacen que la acción total se mantenga finita aún á distancias muy grandes; que las moléculas y átomos de los cuerpos están mantenidas á distancias en una especie de equilibrio móvil, es decir, moviéndose alrededor de sus posiciones medias por el juego de fuerzas atractivas y repulsivas; que estas fuerzas atractivas y repulsivas pueden variar en intensidad y posiciones relativas, originando los diversos estados agregatorios de un mismo cuerpo, y comunicarse á un medio material también, aunque infinitamente sutil y elástico, dando lugar á los fenómenos dichos de los imponderables.

34.—Veamos si, en consonancia con estos hechos, podemos idear una de tantas hipótesis como se han inventado, que, sin pretensiones de que sea expresión fiel de los hechos, pueda por lo menos darnos cuenta racional de éstos, sin contradicciones lógicas ni naturales, y reuna al mismo tiempo las condiciones de sencillez y rigor apetecidas.

Suponemos todos los cuerpos simples y compuestos formados por agrupaciones de moléculas; las moléculas por agrupaciones de elementos cósmicos; y éstos formados por un núcleo ó átomo central de una de las setenta y tres clases de materia conocidas, y por una envolvente etérea, condensación sobre el núcleo, de una materia sutil-
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sima y eminentemente elástica que llena el espacio y que se ha convenido en denominar éter. Las fuerzas de que son asiento los núcleos y átomos etéreos se hacen sensibles desde el momento en que se ponen en presencia unos y otros.

Cada núcleo atrae á los de otros elementos cósmicos en razón directa de las masas é inversa de una cierta función de cuatro variables, la distancia y las tres cantidades que fijan la dirección de ésta, relativamente, á tres ejes invariablemente unidos á cada núcleo. La forma de esta función depende á su vez de la naturaleza de los núcleos entre quienes se supone la acción; pero es tal que, para una sola dirección dada en unos átomos centrales, para dos direcciones en otros, para tres en muchos, para cuatro y hasta para cinco direcciones fijas en algunos, aquella función toma valores mínimos muy pequeños que rápidamente crecen y se hacen infinitamente grandes á poco que la dirección en que la acción tiene lugar sale de las direcciones en que aquélla es mínima. Esto equivale á suponer cada átomo central, á la manera que una piedra imán, con varios polos de atracción.

Todo átomo central atrae á los átomos etéreos en razón directa de las masas é inversa de otra función de la distancia; y los átomos etéreos repelen á los átomos etéreos de otros elementos cósmicos en razón directa también de las masas é inversa de otra cierta función de la distancia, repulsión que no se hace sensible entre los átomos etéreos de un mismo elemento cósmico á causa de la mayor intensidad con que obra la fuerza atractiva del átomo central, del mismo modo que los cuerpos terrestres no acusan su atracción mutua por el gran valor relativo de la gravedad. Por otra parte, que un mismo átomo etéreo atraiga á los centrales y rechace á los de su misma naturaleza no implica contradicción desde el momento en que tenemos una imagen de eso mismo en las atracciones y repulsiones eléctricas.

Conformes con estas bases, supongamos dos elementos cósmicos A y B, cuyas masas centrales son \( m \) y \( m' \), las de sus envolventes etéreas \( n \) y \( n' \), y \( r \) la distancia que las separa. La acción entre estos dos puntos materiales se compondrá de una fuerza atractiva:

\[
k \frac{m \cdot m'}{\varphi(r, x, b, \gamma)}
\]

en que \( k \) es el valor de dicha acción cuando \( m \) y \( m' \) son iguales á la unidad y obran á una distancia y en una dirección, para las cuales la función \( \varphi \) es igual á 1.; de otra fuerza atractiva

\[
k_1 \frac{mn' + m'n}{\psi(r)}
\]
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en que \( k_1 \) tiene significación idéntica á \( k \), no entrando en la función \( \psi \) los ángulos de dirección \( \alpha, \beta, \gamma \), porque esta segunda fuerza se supone que obra del mismo modo en todos sentidos; y, por último, de una fuerza repulsiva

\[
k_2 \frac{nn'}{\xi (r)},
\]

con análogo significado.

Por manera que, llamando F á la acción total, tendremos:

\[
F = k \frac{m.m'}{\varphi (r, \alpha, \beta, \gamma)} + k_1 \frac{mn' + m'n}{\psi (r)} - k_2 \frac{nn'}{\xi (r)}.
\]

Las funciones \( \psi \) y \( \xi \) se supone que crecen rápidamente con la distancia; por tanto, á distancias apreciables y en direcciones en que \( \varphi \) no es mínimo la fuerza F tiene un valor muy pequeño; mas en aquellas direcciones en que \( \varphi \) es mínimo y un mínimo de valor muy pequeño, el primer término de F es muy grande, y esta fuerza determina la aproximación de los elementos cósmicos cuya naturaleza da á F el mayor valor posible; iniciada la aproximación, los dos segundos términos de F crecen y contribuyen á consolidar un estado de equilibrio estable entre los elementos cósmicos que se han reunido bajo su acción, constituyendo una molécula. En ésta los átomos centrales no llegan á tocarse por efecto de las atmósferas etéreas, las cuales, en unión con el éter interceptado, que también ha debido condensarse algo por la acción atractiva combinada de todos los átomos centrales reunidos, forman una atmósfera continua de éter envolvente del sistema de átomos centrales que forma dicha molécula. Como cada átomo central tiene uno, dos, tres, cuatro ó cinco direcciones en que ejercer su acción, no podrá equilibrarse más que con un número determinado de otros átomos, y, una vez constituido el equilibrio atómico interno de una molécula, sus átomos centrales no podrán ya ejercer acción ninguna sobre los átomos centrales de otras moléculas, porque sus únicas acciones posibles están neutralizadas mutuamente por el equilibrio, y si algún átomo central tiene todavía alguna dirección activa libre, ésta, por las condiciones naturales de los átomos combinados, tiene que ser insignificante, pues si hubiera tenido valor apreciable se hubiera saturado (empleando el tecnicismo químico correspondiente). Por otra parte, la concentración en moléculas llevada á cabo en toda la masa más ó menos homogénea de los elementos puestos para su combinación ha debido producir una distanciación mucho mayor entre las moléculas que la que existía entre los átomos; pero como las acciones individuales atractivas y repulsivas de los
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átomos centrales sobre los de éter, y las de éstos entre sí, se suman, sus resultantes alcanzan, pues, á las otras moléculas, haciéndolas á todas solidarias en un mismo cuerpo.

La acción por consiguiente entre cada dos moléculas se compone: 1.º de una fuerza atractiva

\[
A. \frac{MN' + NM'}{\varphi(r)};
\]

en que M y M' representan la suma de las masas de los átomos centrales de cada molécula; N y N' las masas de las atmósferas etéreas de las mismas, que no son iguales á las sumas de las envolventes etéreas de los elementos componentes, sino algo mayor; \( \varphi(r) \) una función de la distancia eminentemente positiva que crece con r, y que depende del estado físico (sólido, líquido ó gas) en que el cuerpo se encuentre, pudiendo considerarse \( \varphi(r) = r^n \), para los sólidos y líquidos por lo menos en las condiciones ordinarias en que se verifican todos los fenómenos que á nuestra investigación se ofrecen; A es un coeficiente que expresa el valor de la acción que consideramos ejercida entre M y N' ó entre M' y N cuando estas masas son la unidad y á una distancia para lo cual \( \varphi(r) = 1 \). Además esta fuerza se ejerce en la dirección de los centros de gravedad de las dos moléculas entre quienes se supone la acción; y la distancia r se supone ser la de dichos centros de gravedad.—2.º De una fuerza repulsiva B \( \frac{NN'}{\psi(r)} \), en que N y N' son las mismas que figuran en la expresión de la fuerza anterior, y B y \( \psi \) tienen significación análoga á la de A y \( \varphi \).

Mas como los átomos de las envolventes etéreas no están libres, sino condicionados por los átomos centrales, el coeficiente B (acción de la unidad de masa sobre la unidad de masa, á distancia para la que \( \psi(r) = 1 \), del eter así condicionado) cambiará de valor cada vez que cambien aquellas condiciones; esto es, cada vez que el cuerpo pase de un estado físico á otro; estados para los cuales son distintos los movimientos vibratorios interiores de cada molécula, las distancias mútuas de sus átomos centrales, y la cantidad por consiguiente y condensación del eter envolvente.

Por otra parte es necesario admitir que en el estado neutro ó de equilibrio estable, la razón \( \frac{A}{B} \) es igual á cualquiera de las razones \( \frac{N}{M} \) ó \( \frac{N'}{M'} \) de las dos moléculas entre que se supone la acción, y por tanto que dicha razón es constante, para cada dos moléculas de un
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cuerpo, mientras no cambie de estado físico; y como el estado neutro lo definimos por la condición de que \( \frac{N}{M} \) sea constante por todo el cuerpo, aquella otra razón también lo será; y designándola por C, servirá para especificar cada clase de cuerpos, y para definir si es sólido, líquido ó gas; designaremos con C', C", C"', los valores de C correspondientes á un mismo cuerpo en cada uno de sus tres estados físicos.

Además de estas tres formas de equilibrio estable, pueden existir otras de equilibrio inestable, variables hasta lo infinito, por aditamento ó supresión de parte de la envuelta etérea de cada molécula, á causa de acciones exteriores; lo cual originará los diversos estados de electrización.

Según estos principios, la fuerza que solicita á cada dos moléculas será:

\[
F = A \frac{MN' + NM'}{\varphi(r)} - B \frac{NN'}{\psi(r)}
\]

\[
= MM'. B \left[ \frac{A}{B} \left( \frac{N}{M} + \frac{N'}{M'} \right) \frac{1}{\varphi(r)} - \frac{N}{M} \cdot \frac{N'}{M'} \frac{1}{\psi(r)} \right]
\]

Y como por hipótesis es:

\[
\frac{N}{M} = \frac{N'}{M'} = \frac{A}{B} = C,
\]

tendremos:

\[
F = C'. BMM' \left[ \frac{2}{\varphi(r)} - \frac{1}{\psi(r)} \right]
\]

Para un cuerpo en estado sólido, los átomos centrales de cada molécula están lo más íntimamente unidos que es posible, su acción combinada sobre los átomos etéreos que los envuelven es lo más enérgica posible, y por consiguiente la acción de las envolventes etéreas unas sobre otras lo más pequeño posible, \( \frac{1}{\psi(r)} \) es en este caso mayor que \( \frac{2}{\varphi(r)} \). Pero si por causas externas, las distancias mutuas de los átomos centrales aumentan, su acción combinada sobre los átomos etéreos se debilita, estos quedan, por decirlo así, más libres para ejercer sobre otras moléculas una acción más enérgica; \( \frac{1}{\psi(r)} \) habrá aumentado re-
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lativamente á \( \frac{2}{\varphi(r)} \); y si se tiene en cuenta que al aumentar de extensión una molécula, la atmósfera etérea envolvente aumenta también, tendremos un doble motivo por el cual aumente relativamente el sumando sustractivo de la fuerza F; cuando el primer sumando exceda muy poco al segundo, tendremos el cuerpo en estado líquido. Y si continúa la causa modificadora obrando en el mismo sentido, y el líquido entra en ebullición, durante este fenómeno, pasando por cero, \( \left( \frac{2}{\varphi(r)} - \frac{1}{\psi(r)} \right) \) se hace negativo cualquiera que sea r, y el cuerpo toma el estado gaseoso. En este estado, la atracción molecular pasa á ser repulsión, y además las moléculas se encuentran en un estado más favorable para producir su descomposición química, si eran compuestas ó la disociación completa de los elementos cósmicos, si eran simples, en lo cual consistirá el estado hipotético de gases perfectos.

Como las acciones individuales moleculares se suman, la acción entre dos cuerpos será de la misma forma:

\[
F = C^4 . B M M' \left[ \frac{2}{\varphi(r)} - \frac{1}{\psi(r)} \right]
\]

en que M y M' son las masas de los cuerpos, iguales á las sumas de las masas de todas las moléculas de cada uno. Los coeficientes C, B, y las funciones \( \varphi, \psi \) tienen valores distintos de los que tenían en las acciones moleculares, porque ahora las moléculas de un cuerpo no son libres para ejercer su acción sobre las de otro cuerpo; y como, por otra parte, las modificaciones interiores que pueden sufrir los cuerpos en cuestión, como las dilataciones de sus moléculas y aumentos ó disminuciones totales del éter, son muy pequeñas respecto de la gran distancia á que ahora se ejerce la acción y del valor de ésta, aquellas modificaciones no la alteran sensiblemente, y será siempre atractiva. Por experiencia, para dos cuerpos finitos se ha determinado \( \varphi(r) \) y \( \psi(r) \), y visto que son iguales á \( r^4 \), y designado por G el producto \( C^4 B \), tendremos:

\[
F = G \frac{M M'}{r^3} \ldots \text{(a)}
\]

que es la ley de la gravitación universal. Cuando uno ó los dos cuerpos entre quienes se supone la acción, por circunstancias muy especiales, aumentan ó disminuyen en términos finitos, la masa total etérea envolvente ó interpuesta entre sus moléculas, podrá variar, como en las acciones intermoleculares, la acción total y hasta hacerse, como
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allí, negativa, lo cual explicaría la acción del sol sobre las colas de los cometas, que es evidentemente repulsiva, y las acciones eléctricas.

Sea, en efecto, F la acción total entre los dos cuerpos, y pongamos de manifiesto todas las cantidades que en su expresión intervienen, será:

\[
F = MM'B \left[ \frac{A}{B} \left( \frac{N}{M} + \frac{N'}{M'} \right) \frac{1}{\varphi(r)} - \frac{N}{M} \cdot \frac{N'}{M'} \frac{1}{\psi(r)} \right].
\]

Para dos cuerpos finitos hemos dicho que \( \varphi(r) = \psi(r) = r^2 \), por lo tanto:

\[
F = B \frac{MM'}{r^3} \left[ \frac{A}{B} \left( \frac{N}{M} + \frac{N'}{M'} \right) - \frac{N}{M} \cdot \frac{N'}{M'} \right].
\]

Si el cuerpo está en estado neutro,

\[
\frac{N}{M} = \frac{N'}{M'} = \frac{A}{B} = C.
\]

Mas si por una acción física cualquiera ó química se altera la cantidad de éter, de modo que ya no exista equilibrio estable entre las acciones interiores de cada molécula ó de algunas moléculas solamente, no se verificará tampoco entre las nuevas masas la serie anterior de razones iguales. Supongamos que \( \frac{N}{M} \) sufre la variación \( p \) y \( \frac{N'}{M'} \) la variación \( q \), la fuerza F en las nuevas condiciones será:

\[
F = B \frac{MM'}{r^3} \left[ \frac{A}{B} \left( \frac{N}{M} + p + \frac{N'}{M'} + q \right) - \left( \frac{N}{M} + p \right) \left( \frac{N'}{M'} + q \right) \right];
\]

ó teniendo en cuenta la anterior serie de razones iguales, y simplificando, tendremos:

\[
F = B \frac{MM'}{r^3} \left[ 2C^4 - C^8 \right] + B \frac{MM'}{r^3} \left[ Cp + Cq - Cp - Cq - pq \right]
\]

\[
= BC^4 \frac{MM'}{r^3} - B \frac{Mp \cdot M'q}{r^3}
\]

Por consiguiente, la fuerza atractiva (a) que entre los dos cuerpos tenía lugar en estado normal, ha experimentado la variación

\[
- B \frac{Mp \cdot M'q}{r^3}.
\]