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ventaja darle base todavía más elemental que permitiese exponer esta teoría desde las primeras páginas de la Geometría, para lo cual pudiera adoptarse el siguiente sencillo plan.

Tras de las primeras definiciones relativas á la recta y al plano y á los ángulos, no solo rectilíneos sino también diedros, se definen las rectas y también los planos perpendiculares por la condición de formar entre sí dos ángulos adyacentes iguales, los cuales se llaman rectos.

Enseguida se demuestra que por un punto de una recta, en un plano que pasa por ella, se puede trazar una sola recta perpendicular á la misma.

De aquí se deduce: 1.º Que dos ángulos rectos cualesquiera, ya sean los dos rectilíneos ó ambos diedros, son iguales entre sí;
2.º Que la suma de dos ángulos adyacentes es constante é igual á dos ángulos rectos, es decir, que dichos ángulos son suplementarios:
y, por último,
3.º Que dos ángulos rectilíneos opuestos por el vértice, y también dos diedros opuestos por la arista son iguales entre sí, por tener el mismo suplemento.

Sin más antecedentes, puede demostrarse el teorema fundamental, base de los relativos á la perpendicularidad de rectas y planos en la siguiente forma:

Si una recta OR es perpendicular á otras OA y OB, que la cortan en un mismo punto O, lo será también á otra cualquiera OC situada en el plano AOB que aquéllas determinan.

Consideremos, en efecto, que el conjunto de este plano AOB y los ROA, ROB y ROC determinados por la recta OR y cada una de las tres OA, OB y OC gira al rededor de la recta OR hasta que el ángulo ROA se coloque sobre su igual ROA', con lo cual los planos ROB y ROC se colocarán sobre sus prolongaciones ROB' y ROC' por la igualdad de los ángulos diedros opuestos por la arista AORB = A'ORB' y AORC = A'ORC'.

Además, por ser iguales los ángulos rectilíneos ROB y ROB', la recta OB se confundirá con su prolongación OB' y, por tanto, el plano AOB no habrá cambiado de posición, y la recta OC, intersección de los
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planos AOB y ROC se habrá colocado sobre su prolongación OC', intersección de los mismos planos: lo cual prueba que los ángulos rectilíneos ROC y ROC' son iguales, ó sea, que la recta OR es perpendicular á la COC', como pretendía demostrarse.

Demostrando este teorema, se pasa á definir lo que se entiende por recta perpendicular á un plano y por ángulo rectilíneo correspondiente á un ángulo diedro, demostrando enseguida: 1.º Que los rectilíneos correspondientes á un mismo diedro ó á diedros iguales son iguales, y recíprocamente (lo cual se prueba por superposición);
2.º Que el rectilíneo correspondiente á la suma de dos ángulos diedros es la suma de los rectilíneos correspondientes á los sumandos;
3.º Que los ángulos diedros son proporcionales á los rectilíneos correspondientes;
4.º Que el rectilíneo correspondiente á un diedro recto es también recto y recíprocamente:
5.º Que todo plano que pasa por una recta perpendicular á otro es perpendicular á éste.
6.º Que si dos planos son perpendiculares, la perpendicular á la intersección situada en uno de ellos es perpendicular al otro; y, recíprocamente, la perpendicular á uno de ellos en un punto de la intersección está situada en el otro plano.

Madrid 1.º Marzo 1892.

EDUARDO TORROJA.

FONDAMENTI DI GEOMETRIE
a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee, esposti in forma elementare,
LEZIONI DI
GIUSEPPE VERONESE
Professore nella R. Università di Padova.

(continuación)

Considerando la recta como la figura fundamental de la Geometría, se ocupa de la correspondencia de identidad de dos figuras basándose en la correspondencia unívoca. Así, por ejemplo, el teorema III se enuncia: Dos figuras rectilíneas ...ABCD...M..., ...A'B'C'D'...M'... determinadas por otras figuras iguales son iguales, si se puede establecer entre sus puntos una correspondencia unívoca tal, que los segmentos rectilíneos (y por consiguiente también las distancias) de los puntos correspondientes sean ordenadamente iguales.
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Define enseguida la figura rectilínea determinada por dos rectas, es decir, el par de rectas concluyendo enseguida que «dos triángulos ABC, A'B'C' son iguales, si dos lados y el par determinado por ellos son respectivamente iguales».

Después de establecer el axioma V que da una relación entre dos formas fundamentales, continúa con una serie de teoremas relativos á la igualdad de triángulos á la de figuras formadas por dos grupos de m puntos, en el caso de ser ordenadamente iguales los segmentos rectilíneos que tienen por exioma los m puntos dados. Trata del triángulo con un lado infinitesimal, del «campo finito, infinito é infinitesimal al rededor de un punto respecto á una unidad, de la validez de algunos axiomas en el campo finito absoluto al rededor de un punto S, ó figura determinada por las rectas que pasan por dicho punto, de las rectas que unen un punto del campo finito con puntos en el infinito, y en fin, de los rayos ó rectas paralelos», dando la definición siguiente: «Un rayo del campo finito dícese paralelo á otro rayo en este campo, cuando un punto en el infinito de primer orden del segundo rayo se halla situado en el primero, admitiendo que el punto en el infinito determina la recta con todo punto del campo finito en el caso de la recta cerrada, cuando la unidad del campo finito es infinitesimal de primer orden respecto á toda recta», observando, al terminar una serie de teoremas y corolarios respecto á las rectas y rayos paralelos, que «si la recta es cerrada, por un punto del campo finito al rededor de un punto A, que tiene por unidad toda la recta, no pasa ninguna paralela á una recta dada, pues entonces no tiene razón la definición de rectas y rayos paralelos, porque no hay, respecto á la unidad dada ningún punto en el infinito».

Además, según el teorema IV: «Si la recta es abierta, cualquiera que sea la unidad del campo finito, desde el punto S se pueden conducir dos rectas paralelas á una recta dada que coinciden respecto á la unidad finita, pero no en sentido absoluto».

Con estos precedentes pasa el Sr. Veronese á tratar de los dos sistemas generales de Geometría, de Euclides y de Riemann.

«Limitando nuestra observación á un objeto rectilíneo, dice, á primera vista el objeto correspondiente á la recta se obtiene imaginando prolongado indefinidamente en uno ú otro sentido un hilo tenso, el cual parece abierto, de modo que partiendo un punto de una posición inicial A en un sentido dado, no vuelva más á la posición primitiva». Continúa manifestando que esta propiedad tiene lugar realmente dentro del campo de nuestra observación, correspondiente á una parte del campo finito alrededor del punto en que se halla el observador;
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pero, añade, esto no significa que tal propiedad deba tener lugar para la recta entera.

Para exponer esta parte difícil de la ciencia el Sr. Veronese hace uso de representaciones gráficas, ofreciendo desde luego una representación de la línea, simplemente cerrada, suponiendo que el observador no puede explorar más que una parte de ella, de manera que éste puede suponerla abierta cuando realmente sea cerrada, siendo además finita en el caso de no admitir éste la realidad del infinito respecto á su unidad sensible. Pero si admite abstractamente el infinito, abstracción hecha de la realidad del mundo externo, puede imaginarse sin contradecirse, que construído todo el campo finito sobre el objeto, á partir del punto C, el objeto en este campo sea abierto, aunque abstractamente la línea correspondiente sea cerrada, en cuyo caso la unidad sensible será infinitesimal respecto á la recta entera y de un orden cualquiera dado respecto de ella.....

De estos razonamientos y los que expone el Sr. Veronese considerando la figura formada por las rectas que unen los puntos de una recta r con un punto R, exterior á ella, pasa á enunciar las tres hipótesis que corresponden, respectivamente, á los sistemas de geometría de Euclides, Lobatschewsky y Riemann, ocupándose á continuación del primero y del último, correspondientes á los casos de la recta abierta y cerrada, llamando sistema absoluto riemannno al sistema absoluto que resulta considerar la recta cerrada, y sistema absoluto euclídeo al que resulta de considerar la recta abierta en sentido absoluto.

Respecto á este sistema, enuncia el siguiente axioma práctico: En el campo de nuestras actuales observaciones se verifica con grande aproximación la propiedad de que por un punto sólo puede trazarse una paralela á una recta dada.

Luego trata de la recta completa, de sus segmentos y puntos opuestos, segmentos complementarios y suplementarios, uniendo á sus razonamientos representaciones gráficas, de las rectas y rayos paralelos absolutos y relativos, de los rayos y segmentos paralelos en el mismo sentido y en sentido opuesto, de las figuras iguales en sentido absoluto y relativo, sistemas continuos de figuras cualesquiera invariables (en el espacio general), etc.

El libro II tiene por objeto el plano.

Lo divide en dos capítulos destinados respectivamente al haz de rayos y al plano euclídeo y el plano completo (ó de Riemann).

Si se prescinde de las consideraciones abstractas sobre el infinito y lo infinitesimal que juegan en el vasto plan trazado por el Sr. Veronese, quedan en el texto las cuestiones que constituyen un curso de
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Geometría elemental, que se desprende del fondo de grandiosa generalidad sobre que el distinguido profesor de la Universidad de Padua ha edificado su obra.

Comienza por los sectores angulares y ángulo de un haz de rayos; considera el haz (Rr∞) demostrando varias propiedades de éste que le conducen á las proposiciones relativas á la igualdad de triángulos; demuestra que: los puntos que se hallan en rayos de un haz (Rr) respectivamente á igual distancia de R de los puntos de la directriz r de R, se hallan situados en otra recta r' paralela á la primera, desenvolviendo enseguida las propiedades del paralelógramo, las propiedades fundamentales del plano, la de la perpendicular á éste. Siguen en el § 9 consideraciones sobre el sistema de los puntos límites absolutos en el infinito de los rayos de un haz (Rr) respecto al centro R, ángulos formados por dos rectas paralelas con una transversal común, otras propiedades de los triángulos, figuras simétricas, circunferencia, puntos comunes de dos circunferencias en el plano, figuras congruentes, etc.; concluyendo con la exposición de sistemas continuos de una dimensión de figuras invariables en un plano y movimiento real de las figuras en el plano, acompañando al texto notas que expresan el modo de proceder en el campo finito, la manera de hacer independientes ciertas demostraciones de los puntos en el infinito, y multitud de consideraciones críticas interesantísimas para el conocimiento filosófico de la ciencia.

No nos extenderemos en seguir la exposición que en el capítulo II hace considerando el plano completo ó de Riemann, en el que trata de los elementos polares y perpendiculares de la identidad del plano al rededor de sus puntos, de la parte del plano respecto á una de sus rectas. Parte externa é interna de un triángulo, segmentos y distancias normales, etc., é indicaremos, para no dar excesiva extensión á nuestro trabajo, que el capítulo III expone otras consideraciones sobre los sistemas de Euclides, de Lobatschewsky y de Riemann, comenzando con el axioma de las paralelas en el sistema de Lobatschewsky y terminado con la suma de los ángulos del triángulo en este sistema.

Después de exponer en el libro III la teoría de el espacio de tres dimensiones en forma análoga á la del plano, terminando con el cono, cilindro, superficie esférica, movimiento real de las figuras en el espacio, trata de las mismas cuestiones en el espacio completo de tres dimensiones para llevar sus últimas generalizaciones al espacio de cuatro y de n dimensiones, objeto de la parte segunda de la obra del Sr. Veronese de que nos ocuparemos más adelante.

(Se concluirá)

Z. G. G.
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 18

SUR UNE QUESTION D'ARITHMÉTIQUE
PAR M. H. BROCARD

(Voir EL PROGRESO MATEMÁTICO, T. I, pp. 814-817, T. II, pp. 26-27, 88-93)

Le quotient est donc ..... 93114241, dont le produit par 7 est bien égal à ... 517999687.

En réalité, la division de (n), est l'opération fondamentale; elle se présente au début de l'examen des propriétés des fractions périodiques, et tout ce que nous venons de dire confirme, vérifie ou établit le théorème de J. PLATEAU.

Les opérations qui précèdent nous ont progressivement amené à reconnaître la possibilité d'effectuer la division de deux nombres premiers entre eux, pourvu que les chiffres du quotient soient déterminés à partir de la droite. Le nombre ainsi obtenu offre une certaine analogie avec les fractions décimales.

L'essai entrepris d'abord sur les nombres (n)_u, étendu ensuite à tous les nombres (n)_p, nous montre qu'il doit pouvoir s'appliquer à des nombres quelconques.

Voici donc le problème que nous allons traiter.

Soient donnés deux nombres M, N (M > N et N impair, non multiple de 5) premiers entre eux. On propose de calculer un multiple de N exactement terminé par les p mêmes chiffres du nombre M ou par un groupe désigné de ses derniers chiffres.

Pour fixer les idées et pour montrer la filière des operations, soient les deux nombres

\[
M = 158060898 \qquad N = 647.
\]

Formons les 9 premiers multiples de 647

    1	2	3	4	5	6	7	8	9

    647	1294	1941	2588	3235	3882	4529	5176	5823

Le nombre donné se terminant par 8, il faut prendre le multiple 2588 correspondant au chiffre 4. Le chiffre des dizaines doit être 9; il faut donc au chiffre 8 des dizaines de 2588, ajouter 1, qui se présente au multiple 1941 correspondant à 3. On aura donc

\[
\begin{array}{r}
2588 \\
1941 \\
\hline
\text{somme} & 21998 \\
\text{puis} & 4529
\end{array}
\]

ainsi d'avoir 8 comme chiffre des centaines, etc., etc,
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 19

La suite des opérations ayant été, croyons-nous, suffisamment expliquée dans ce qui précède, nous la transcrivons ci-après

158060898
2588. . . . 4 chiffre terminal
1941 . . . 3
21998
4529 . . . 7
474898
5176 . . . 8
5650898
1941 . . . 3
25060898
58230. . . . 0 puis 9
5848060898
1941 . . . . 3
25258060898
4529 7 chiffre initial
478158060898

Ainsi G = 478158060898 est divisible par 647 et le quotient F' est égal à 739088734.

En essayant cette méthode sur le nombre G, la division se terminerait; ce serait la règle classique, appliquée au rebours.

Maintenant, on peut se demander si l’opération pourrait être continuée au-delà des chiffres déjà obtenus au quotient F. Evidemment oui; il suffirait d’écrire des chiffres quelconques à la gauche du nombre donné M.

Par exemple, soient les nombres M = 587, N = 19. On aura

    587
    19

    57
    3

    133
    7

    1387

    152
    8

    16587
    = 873 × 19
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 2

pero:

\[(CA, CP) + (BP, BA) = (PB, PC) - (AB, AC)\]

de lo que resulta la fórmula general buscada:

\[(A_0B_0, A_0C_0) + (AB, AC) = (PB, PC)\]

En los casos particulares en que las rectas \(PA_0\), \(PB_0\), \(PC_0\) son perpendiculares á BC, CA, AB, el triángulo \(A_0 B_c C_0\) es el triángulo podar ortogonal de P.

Cuando el punto P se halla en la circunferencia ABC, todos los triángulos podares se reducen á rectas (rectas de Simson).

2 Evaluemos los lados y el área del triángulo \(A'B'C'\) podar del punto P.

Los triángulos ABC, \(A'B'C'\) dan

\[\frac{BC}{B'C'} = \frac{2R}{AP}\]

designando \(2R\) el diámetro del círculo ABC.

Hagamos:

\[AP = \lambda, \quad BP = \mu, \quad CP = \nu\]

tendremos

\[(1)\]
\[
\begin{cases}
B'C' = a' = \frac{\lambda a}{2R} \\
C'A' = b' = \frac{\mu b}{2R} \\
A'B' = c' = \frac{\nu c}{2R}
\end{cases}
\]

ó bien:

\[a': b': c' = \lambda a : \mu b : \nu c\]

luego:

Los lados del triángulo podar de un triángulo P son proporcionales á los productos de los lados opuestos del cuadrángulo completo ABCP.

Corolario.— Los triángulos podares de cada uno de los puntos A, B, C, P con relación al triángulo formado por los tres son semejantes entre sí.

Evaluemos la superficie S' de \(A'B'C'\).

Sea E el punto en que AP encuentra al círculo ABC. Bajemos desde P la perpendicular PF sobre BE y tracemos A'M perpendicular á B'C'.
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 20

Ecrivons à la gauche de M, des chiffres quelconques, 8, 7, 3, 0.... Nous aurons \( M' = 190378587 \), \( N = 19 \), et \( F' = 641598873 \), dont le produit par 19 est également terminé par 587.

Si on avait écrit, à la gauche de M, uniquement des zéros, on aurait obtenu pour F, les chiffres 3, 7, 8, puis, 6, 3, 7, 4, 9, 8, 7, 5,... Ce serait donc, pour ainsi dire, l’opération correspondant à celle de la réduction en fractions décimales; mais il est intéressant d’observer, à ce sujet, que l’analogie est plus complète qu’elle ne le paraîtrait de prime abord. En effet, dans l’exemple proposé, on aurait

\[
\frac{587}{19} = 30, 894736842105......
\]

où l’on reconnait l’identité d’un groupe de chiffres, car en définitive, la communauté d’origine des opérations doit entraîner logiquement l’identité des résultats.

Cette identité apparaîtra encore mieux si nous prenons les nombres M précédés ou suivis d’une suite indéfinie de zéros; et si, en particulier, on suppose \( M = 1 \), l’induction amène à conclure à l’identité, à l’ordre près, des chiffres obtenus dans la division ordinaire de \( \frac{1000...}{N} \)

ou dans la division, inverse, de \( \frac{....0001}{N} \).

Enfin, pour les raisons déjà exposées, il est évident que l’opération faite sur des séries de zéros à la gauche ou à la droite d’un chiffre autre que l’unité donnera, à l’ordre près, des résultats du même genre que ceux qui ont été obtenus précédemment sur des nombres \( (n)_p \).

Ainsi, en faisant l’opération \( \frac{....0001}{19} \), on obtiendra, successivement, les chiffres suivants:

9, 8, 7, 5, 1, 3, 6, 2, 5, 0, 1, 2, 4, 8, 6, 3, 7, 4, 9, 8, 7, 5, 1, 3....

qui forment une suite périodique, composée des mêmes chiffres que la période de \( \frac{1}{19} \) (Progreso, t. I, p. 315),

\[
\frac{1}{19} = 0, 052\ 631\ 578\ 947\ 368\ 421\ 052\ 6....
\]

Au cours de ces remarques, nous avons rencontré naturellement toutes les particularités de la division ordinaire effectuée en partant de la droite du dividendé. Il nous suffira donc de les résumer sur une dernière application numérique.
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 21

Soient par exemple les deux nombres.

M = 803707594131,      N = 749.

La division ordinaire donne pour quotient 1073040846 et pour reste 477.

On peut donc essayer la division de \( 803707593654 = M - 477 \) par 749.

On aura la suite des opérations que voici:

\[
\begin{array}{r|l}
803707593654 & 749 \\
4494 & . . . . 6 \\
2996 & . . . . 4 \\
34454 & \\
5992 & . . . . 8 \\
633654 & \\
0 & . . . . . 0 \\
2996 & . . . . . 4 \\
30593654 & \\
0 & . . . . . 0 \\
2247 & . . . . . 3 \\
2277593654 & \\
5243 & . . . . . 7 \\
54707593654 & \\
0 & . . . . . . 0 \\
749 & . . . . . . 1 \\
803707593654 & 1073040846
\end{array}
\]

Nous avons reproduit chaque fois les chiffres déjà obtenus aux dividendes partiels pour faciliter la vérification des résultats.

On pourrait penser que le quotient obtenu dans l'opération ainsi modifiée de la division de deux nombres quelconques ne doit pas beaucoup différer de celui que donne la règle ordinaire; mais il n'en est rien; l'identité se retrouve seulement dans les chiffres des produits du diviseur par les quotients, mais les chiffres des deux quotients sont complètement différents.

On ne pourra donc tenter la nouvelle division que si l'on est assuré d'avance de sa possibilité, qui naturellement aura exigé un essai préalable au moyen de la règle classique.

La question de la division par la droite ne semble donc pas abou-
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 22

tir à un résultat pratique, mais elle fournit du moins la détermination du second facteur d’un produit dont on connait les derniers chiffres.

Ainsi, en reprenant les nombres donnés, on aura les opérations suivantes:

803707594131    : 749 ______
    6741           9
    749 . . . . 1
   14231
   749 . . . . 1
   89131
  3745 . . . . 5
  3834131
  2996 . . . . 4
 33794131
 1498 . . . . 2
183594131
 4494 . . . . 6
4677594131
 5243 . . . . 7
57107594131
 2996 . . . . 4
358707594131
 2247 . . . . . 3
2803707594131
 5992 . . . . . . 0 puis 8
601803707594131    803476245119

Il reste donc, comme vérification, à faire le produit du diviseur par le quotient:

803476245119
  749
__________
7231286206071
3213904980476
5624833715833
_____________________
601803707594131
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 23

On voit que le produit n’est pas égal à M, mais qu’il se termine exactement par les mêmes chiffres.

On pourra traiter et résoudre pareillement la question suivante qui est, en réalité, une variante de celle qui vient d’être étudiée:

Quels doivent être les chiffres des dizaines B et des unités A d’un nombre pour que le produit de celui-ci par un nombre 10 d + u soit également terminé par 10 d + u ? (on écartera la solution évidente A = 0, A = 1.).

Ainsi se trouvent confirmés, pas une méthode absolument spéciale, tous les résultats obtenus en Arithmétique dans la théorie de la division ordinaire et dans l’étude des propriétés des fractions périodiques.

Ce moyen, un peu indirect, ne sera sans doute pas appelé à prendre place dans l’enseignement classique; mais il aura fourni du moins le sujet d’une Récréation arithmétique probablement nouvelle et qui nous a semblé digne de l’attention de nos lecteurs.

NOTA SOBRE LA CONSTRUCCION DE UNA NORMAL Á LA ELIPSE
por el oficial de ingenieros
D. RODOLPHO GUIMARARS

Demostramos en la página 19 de t. II de este periódico que es siempre posible trazar una normal á la elipse por los puntos que se hallan en las circunferencias de radios \( a - b \) y \( a + b \).

Debemos ahora observar que existe un punto en la circunferencia de radio \( a - b \) tal, que la normal trazada por él pasa por el punto de desviación máxima(1).

En efecto, estando definido este punto por la coordenada(2)

\[
x = a \sqrt{\frac{a}{a + b}}, \qquad y = b \sqrt{\frac{b}{a + b}}
\]

la normal en este punto será

\[
x \sqrt{a} - y \sqrt{b} = \frac{c^3}{\sqrt{a + b}}
\]

(1) Denominación dada por nuestro ilustrado amigo M. Maurice d’Ocagne.
(2) Véase M. d’Ocagne, Quelques propriétés de l’ellipse; déviation, écart normal (Nouv. Ann. de Mathém 8.a serie 1888, y De la déviation dans l’ellipse (idem T. V, 1886).
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 24

y los segmentos que esta normal intercepta sobre los ejes de la elipse tienen por valores

\[
ON = \frac{c^2}{\sqrt{a(a+b)}}, \qquad ON' = \frac{c^2}{\sqrt{b(a+b)}}
\]

y por consiguiente

\[
NN' = \frac{c^2}{\sqrt{ab}}
\]

Si unimos el centro O de la elipse á un punto cualquiera D de NN', tenemos que del teorema de Stewart resulta

\[
\overline{ON}^2 \cdot DN^2 + \overline{ON'}^2 \cdot DN'^2 = NN'^2 \cdot \overline{OD}^2
\]

y si OD es perpendicular á NN', tenemos

\[
\overline{ON}^2 \cdot \overline{ON'}^2 = 2 \overline{OD}^2 \cdot \overline{NN'}^2
\]

por consiguiente

\[
OD = a - b \quad y \quad tg \angle DOA = tg \angle NON' = \sqrt{\frac{b}{a}}
\]

expresión que fija la posición del punto considerado D con respecto á los ejes.

UN TEOREMA DE GEOMETRÍA ESFÉRICA
POR D. ATANASIO LASALA
Catedrático del Instituto de Bilbao

1. Si tres arcos de círculo máximo concurrentes en P (fig. 1.a) se cortan por otro arco de círculo máximo en tres puntos a, b, c, se verifican las relaciones

\[
\frac{\text{sen } ba}{\text{sen } bc} : \frac{\text{sen } Pa}{\text{sen } Pc} = \frac{\text{sen } BA}{\text{sen } BC}
\]
\[
\frac{\text{sen } ca}{\text{sen } cb} : \frac{\text{sen } Pa}{\text{sen } Pb} = \frac{\text{sen } CA}{\text{sen } CB} \tag{a}
\]
\[
\frac{\text{sen } ac}{\text{sen } ab} : \frac{\text{sen } Pc}{\text{sen } Pb} = \frac{\text{sen } AC}{\text{sen } AB}.
\]