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cuentra textos de todos los grandes matemáticos que de diverso modo han contribuido á establecer esta importantísima rama de la ciencia.

Con esta división general de su obra, el Sr. Vivanti consigue, además de presentar con unidad su texto en el que examina las varias maneras de haberse establecido el concepto del infinitésimo, el ofrecer aparte todas las instrucciones necesarias para seguir el desenvolvimiento histórico de esta capital doctrina científica, con la ventaja de ofrecer hasta el mismo texto extractado de las obras ó escritos de cada autor.

Se ocupa, al comenzar, de las dificultades que ofrece el fundar el concepto de lo infinitesimal, ya en el punto geométrico, ya en el segmento rectilíneo tan pequeño como se quiera, examinando enseguida lo infinitesimal como elemento generador de las grandezas finitas, como un ente cuya magnitud es nula, pero que posee, en cierto modo y grado, la aptitud, la tendencia á engendrar la magnitud; ó sea lo que los filósofos llaman magnitud intensiva.

Los cuatro capítulos de que consta la primera parte de la obra, tratan, pues: 1.º del infinitésimo nulo, ocupándose especialmente del cálculo leibniziano y del modo de ver de Euler; 2.º, del infinitésimo actual, haciendo referencia, entre otros, á L'Hospital, Varignon, Fontenelle y Poisson; 3.º, del ángulo de contacto que, teniendo como base la proposición XVI del libro III de Euclides, en que se demuestra que no puede existir ninguna recta, á partir del punto de contacto, entre la tangente y la circunferencia, suscitó durante el siglo XVII tantas polémicas entre diversos matemáticos, como Campano, Cardano, Peletier, Clavio, Commandino, Galileo, Vieta, Vallis, del Monte, Leibnitz, Newton; 4.º, del infinitésimo intensivo, que admite ser el elemento de la línea, el punto inextenso, pero dotado de la tendencia de engendrar la extensión mediante el movimiento, ora bajo la forma cinemática, que se limita á condensar el hecho de la generación del continuo mediante el movimiento del punto, ora bajo la forma dinámica que se preocupa de la tendencia (conatus, momentum, etc.), que posee el punto generador, ocupándose de Nicolás Cusano, Bruno, Cavalieri, Guldin, Barrow, Ceva, etc.

La segunda parte de la obra trata del método de exhaución, del de los indivisibles, del de los infinitésimos y del de los límites, que termina con los modos de ver de Carnot y Cauchy.

En resumen, la obra del Sr. Vivanti, que á la exposición doctrinal une las citas históricas más oportunas para ilustrar cada modo de ver adoptado en la solución de tan fundamental cuestión matemática cual
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es la de la generación de la cantidad, tiene un gran valor para quien desee enterarse de la misma bajo todos sus aspectos desde Euclides y Arquímedes hasta nuestros días.

Notations de Logique mathématique par G. Peano, 1894, Turín. Introduction au formulaire de mathématique, publié par la Rivista di Matematica.—Ya en el tomo II, páginas 20-24 y 49-53, publicamos la Nota del profesor de la Universidad de Turín, Sr. Peano, titulada Principios de lógica matemática, que también por entonces apareció en la Rivista di Matematica, y posteriormente en la página 276, anunciábamos el proyecto, continuado hasta la fecha, de coleccionar las fórmulas y teoremas de la ciencia matemática expresados por el lenguaje que los propagandistas y cultivadores del Algebra de la Lógica perfeccionan cada día, realizando la difícil empresa de dar un nuevo lenguaje á la ciencia matemática.

El nuevo opúsculo de 52 páginas que acaba de publicar, es un resumen de este género de notación que, como indica el Sr. Peano en su Nota, á que hemos hecho referencia, comenzó en las analogías descubiertas por Leibnitz entre las operaciones del Algebra y de la Lógica, y que desde Boole han llegado á aplicarse sistemáticamente en el cálculo de las operaciones.

Sin hacer un examen detenido de este trabajo, ya que alguna noticia sobre el mismo nos dan los escritos citados en varias ocasiones del Sr. Peano, haremos constar una vez más este progreso que se revela en la ciencia matemática hacia la armonización subjetivo-objetiva y que la conduce á constituirse como un organismo, cada vez más perfecto por la forma, ya que por la materia siempre fué el sistema científico más riguroso y firme.

Hasta mediados de este siglo, el análisis había sido un lenguaje que reunía en sus fórmulas las relaciones más variadas y complicadas, pero separadas del lenguaje ordinario, referentes al objeto de la matemática exclusivamente; desde mediados de este siglo y á contar desde las investigaciones de Boole, á los signos puramente matemáticos se han agregado los signos lógicos que expresan relaciones entre proposiciones, clases, etc., y que traducen no sólo proposiciones gramaticales, sino los conceptos de nuestra inteligencia y los relaciona con los objetos matemáticos, dando como hemos dicho un carácter más subjetivo á la ciencia.

Las materias contenidas en el trabajo del Sr. Peano son: Clases.—Relaciones y operaciones sobre las clases.—Propiedades de las operaciones de lógica.—Proposiciones.—Letras variables.—Funciones.—
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Signos de función, f y j.—Funciones semejantes, crecientes, continuas.—Inversión de las funciones.—Relaciones.—Reducción de una teoría en símbolos.—Definición.—Demostraciones.

Ofrece gran novedad é interés, sobre todo la segunda parte de la obra, por los conceptos filosóficos á que dan lugar las cuestiones cuyos enunciados hemos transcrito.

Revue semestrielle des publications mathématiques redigée sous les auspices de la Société mathématique d'Amsterdam, par P. H. Schoute, (Groningue, D. J. Korteweg (Amsterdam), y los Sres. J. C. Kluyver, W. Kapteyn, I'. Zecmann y otros distinguidos colaboradores.

El objeto de este periódico es publicar el título y contenido principal de las memorias matemáticas publicadas en los principales periódicos científicos. Es, pues, una importante guía para el que desee tener noticia del estado general de las matemáticas, cuya norma dan los periódicos de los diversos países.

Se publica dos veces al año y su coste anual es de 8\( \frac{1}{4} \) francos.

La suscripción se hace por una letra postal al Secretario de la Sociedad, Dr. G. Schouten, Amsterdam, Prinsengracht, 264.

American Journal of Mathematics, vol. XVI, núm. 1, 1894, Sumario: Zur Kettenbruchentwicklung hyperelliptischer und ähnlicher Integrale. Von Edward B. Van Vleck.—Waves and Jets in a Viscous Liquid, by A. B. Basset.—Sur l'inversion des intégrales de fonctions à multiplicateurs, par M. Emile Picard,—On Orthogonal Substitutions that can be expressed as a Function of a Single Alternate, (or Skew Symmetric) Linear Substitution, by Henry Taber.

Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales de Madrid

PROGRAMA DE PREMIOS PARA EL CONCURSO DEL AÑO 1895

Artículo 1.º La Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid, abre concurso público para adjudicar tres premios á los autores de las Memorias que desempeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Corporación los temas siguientes:

1.º «Exposición didáctica de las modernas teorías geométricas no euclídeas, ó análisis razonado de los principales trabajos sobre esta parte de la ciencia matemática, á contar de la época de Gauss, hasta nuestros días.»
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2.º «Estudio comparativo de las principales materias explosivas, expresando la fuerza que desarrollan, y cuáles son preferibles por ofrecer menos peligros en su fabricación, manejo, transporte, y condiciones de explosión.»

3.º «Descripción geológica-agronómica de una región vitícola de nuestra península.»

Art. Los premios que se ofrecen y adjudicarán conforme lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accésit y mención honorífica.

Art. 3.º El premio consistirá en un diploma especial, en que conste su adjudicación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Corporación á quien le hubiese merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria al mismo autor ó concurrente premiado de 1.500 pesetas; impresión, por cuenta de la Academia, en la colección de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada; y entrega, cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor.

Art. 4.º El premio se adjudicará á las Memorias que no sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el orden y método de exposición de materias, y redacción bastante esmerada, para que desde luego pueda procederse á su publicación.

Art. 5.º El accésit consistirá en diploma y medalla iguales á los del premio, y adjudicados del mismo modo; y en la impresión de la Memoria, coleccionada con las de la Academia, y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor.

Art. 6.º El accésit se adjudicará á las Memorias poco inferiores en mérito á las premiadas, y que versen sobre los mismos temas: ó, á falta de término superior con que compararlas, á las que reúnan condiciones científicas y literarias aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la adjudicación ó obtención del premio.

Art. 7.º La mención honorífica se hará en un diploma especial, análogo á los de premio y accésit, que se entregará también en sesión pública al autor ó concurrente agraciado, ó á persona que le represente.

Art. 8.º La mención honorífica se hará de aquellas Memorias verdaderamente notables por algún concepto; pero que, por no estar exentas de lunares ó imperfecciones, ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la responsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de premio ni de accésit.
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Art. 9.º El concurso quedará abierto desde el día de la publicación de este Programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de Diciembre de 1895, hasta cuyo día se recibirán en la Secretaría de la Academia cuantas Memorias se presenten.

Art. 10. Podrán optar al concurso todos los que presenten Memorias que satisfagan á las condiciones aquí establecidas, sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos numerarios de esta Corporación.

Art. 11. Las Memorias habrán de estar escritas en castellano ó latín.

Art. 17. Las memorias originales, premiadas ó no premiadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación, podrá devolverseles, con las formalidades necesarias, serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias tratado, como modelos de construcción, atlas ó dibujos complicados de reproducción difícil, colección de objetos naturales, etcétera. Presentando en Secretaría el resguardo que de la misma dependencia recibieron al depositar en ella sus trabajos como concurrentes al certamen, obtendrán permiso los autores para sacar una copia de las Memorias que respectivamente les correspondan.

Madrid 31 de Diciembre de 1893.—El Secretario, MIGUEL MERINO.

NOTA.—El tema anunciado en Diciembre de 1892 para el concurso cuyo plazo termina en 31 de Diciembre de este año, y que corresponde á la sección de Matemáticas, es el siguiente:

«Catálogo ordenado de todas las curvas de cualquier clase que han recibido nombre especial, acompañado de una idea sucinta de la forma, ecuaciones y propiedades generales de cada una, añadiendo la noticia de los libros ó autores que primeramente las han dado á conocer.»

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 155.
(Véase tomo III, página 296).

Siendo C' el punto medio del lado AB de un triángulo ABC, si se prolonga el lado BC una longitud CA'=BC y el lado CA una longitud AB'=2CA, el triángulo MNP que tiene por vértices los medios de AA', BB', CC', será equivalente al triángulo ABC.

(H. Van Aubel).
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Solución por D. ÁNGEL BOZAL, Licenciado en Ciencias.

Construída la figura adjunta conforme se pide en el enunciado de la cuestión, consideremos el sistema de puntos N, A, A' que principiaremos por demostrar están en línea recta. Para ello, aplicando al triángulo BB'C y á los puntos N, A, A' de sus lados el teorema recíproco de Menelao, se obtiene:

\[
\frac{NB}{NB'} \cdot \frac{AB'}{AC} \cdot \frac{A'C}{A'B} = 1 \cdot \frac{2AC}{AC} \cdot \frac{BC}{2BC} = +1
\]

lo cual nos demuestra que NAMA' es una línea recta.

Esto sentado, siendo paralelas las rectas NK, AC', MC é iguales entre sí y además la AK igual á AC, resulta que los triángulos ANK y MAC son iguales; luego NA=MA. Pero, siendo iguales y paralelas las NK, AC', MC, se deduce que las figuras AC'CM y AKNC' son paralelogramos; luego tendremos la siguiente igualdad de triángulos:

\[
\Delta AKN = \Delta NAC' = \Delta C'AC = \Delta ACM.
\] (1)

Además; por ser CC' y NC' medianas respectivamente de los triángulos ABC y ABN, se tiene

\[
\Delta AC'C = \Delta BC'C \quad \text{y} \quad \Delta AC'N = \Delta NC'B.
\] (2)

Siendo AP mediana del triángulo MNP, se halla:

\[
\Delta APM = \Delta ACM = \Delta ANP = \Delta ANC'.
\] (3)

Pero es evidente que se tiene:

\[
\begin{align*}
\Delta ABC &= \Delta AC'C + \Delta BC'C \\
\Delta MNP &= \Delta APM + \Delta ANP
\end{align*}
\]

expresiones que teniendo presente las equivalencias (1), (2) y (3) se pueden escribir así:
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 3

Al expresar las diferenciales elementales en términos de sus módulos y argumentos, se tiene

\[
dz = \sigma e^{\theta i}, \quad dw = \eta e^{\Phi i}
\]
\[
\delta z = \sigma' e^{\theta' i}, \quad \delta w = \eta' e^{\Phi' i};
\]

así, pues,
\[
\frac{\eta'}{\eta} = \frac{\sigma'}{\sigma}, \quad \Phi' - \Phi = \theta' - \theta.
\]

La última igualdad es general, y comprende por consiguiente el caso de ser la función lineal, tal como corresponde en las sustituciones supuestas.

Además, uniendo los puntos hallados anteriormente, resultan dos triángulos semejantes, que procuran lo que se llama relación funcional entre las dos variables complejas, ó sea la razón de semejanza entre dos elementos indefinidamente pequeños correspondientes, ó sea, \( \frac{\eta'}{\eta} \); esta relación constituye el módulo de \( \frac{dw}{dz} \), expresado por \( m \).

Como la función que se considera debe satisfacer á las condiciones siguientes:

\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial w}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y},
\] (1)

\[
\frac{dw}{dz} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial v}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y},
\]

se deduce fácilmente:

\[
m^2 = \left| \frac{dw}{dz} \right|^2 = \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial v}{\partial x} \right)^2 = \left( \frac{\partial w}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2
\]

Y en virtud de (1) aun puede escribirse

\[
m^2 = \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial v}{\partial x} \right)^2 = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}.
\]

La función \( t = \frac{az + b}{cz + d} \) es monógena.

En efecto, desarrollando la derivada de \( t \) respecto á \( z \), se tiene:

\[
\frac{dt}{dz} = \frac{1}{(cz + d)^2}
\]

y como este valor es único para un valor cualquiera de \( z \), con ello queda demostrado el principio.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 30

\[
\begin{align*}
\triangle ABC &= \triangle AC'C + \triangle BC'C \\
\triangle MNP &= \triangle ANO' + \triangle NC'B'
\end{align*}
\]
(4)

pero como las rectas AC' y BC' son iguales, las bases de los triángulos sumandos de las (4) son iguales; además, por ser paralelas las tres rectas KN, AB, MC, las alturas de dichos triángulos serán iguales considerando como bases de ellos AC' y BC', toda vez que KA = AC y AN = AM; luego los segundos miembros de las (4) son equivalentes; luego \( \triangle ABC = \triangle MNP \).

Solución por el Sr. Sollertinsky (B.)

Según la construcción, el punto A es el centro de gravedad del triángulo B'BA. Por consiguiente, la recta A'A pasa por el medio N de BB', y se tiene

\[
NM = \left( \frac{2}{3} NA' \right) = AA'
\]

Luego, las rectas CC', A'N siendo paralelas, los triángulos MNP y A'AC son equivalentes; pero el área de A'AC es igual á la de ABC.

Solución por el alumno D. Ricardo Caro

BC' es mediana del triángulo B'BA', y AC es el tercio de su longitud. resultando: A el punto de concurso de las tres medianas, AA' mediana, y por ser N medio de BB', será NA prolongación de AA', es decir, los puntos N, A, y M, en línea recta.

CC' es paralela á AM, y MC lo es á AC'. El paralelogramo AC'CM, es doble del triángulo AC'C, y como éste es la mitad de ABC, resultan las áreas

\[
\triangle ABC = AC'CM = AM.PQ
\]
(1)

También es paralelogramo NACC' luego

\[
NA = CC' = AM, \text{ es decir, } AM = \frac{1}{2} MN
\]

El area del triángulo MNP es

\[
AMNP = \frac{1}{2} MN.PQ = AM.PQ
\]
(2)
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 31

y de las igualdades (1) y (2) se deduce

triáng.º ABC = triáng.º MNP

CUESTIÓN 153

Sean A, B, C tres puntos en línea recta, B entre A y C. Se trazan sobre AC, á un mismo lado, perpendiculares AA' = BC, CC' = AB y al otro lado de AC la perpendicular BB' = AC. Demostrar que el ángulo de Brocard del triángulo A'B'C' es constante.

(J. Neuberg).

Solución por el Sr Gillet

Hagamos

A B = c , B C = a , C A = b
A'B' = c', B'C' = a', C'A' = b'

y tomemos B' como origen de ejes rectangulares, de los que BB' es el eje de las y.

Si se designa por S' el área del triángulo A'B'C', el ángulo de Brocard de este triángulo está dado por la fórmula:

\[
\cotg V = \frac{a'^2 + b'^2 + c'^2}{4S'}
\] (1)

Ahora los puntos B'(0, 0), C'(a, b+c), A'(-c, a+b) dan:
\[
a'^2 = a^2 + (b + c)^2 \\
b'^2 = (a + c)^2 + (a - c)^2 \\
c'^2 = c^2 + (a + b)^2
\]
de donde
\[
a'^2 + b'^2 + c'^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 2b(a - b + c) \\
= 4(a^2 + b^2 + c^2)
\] (2)

Por otra parte
\[
2S' - \begin{vmatrix}
1 & a & 0 \\
1 & c & b+c \\
1 & -c & a+b
\end{vmatrix}
= a^2 + ab + bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2
\] (3)

por medio de los valores (2) y (3) la relación (1) se reduce á
\[
\cotg V = 2 \\
V = 26°33'54'',19
\]

lo que demuestra el teorema enunciado.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 32

Solución por el Sr. Sollertinsky. (B).

Se sabe que la cotangente del ángulo de Brocard \( \omega \) de un triángulo es igual á la suma de los cuadrados de los lados del triángulo, dividida por el cuádruplo de su área.

Sean \( \alpha \) y \( \gamma \) las intersecciones de AA' y CC' con la paralela á AC trazada por B'; \( \beta \) la intersección de A'C' y BB'.

Haciendo AB = m, BC = n, resultará de los triángulos A'xB' y C'\(\gamma\)B'

\[
A'B'^2 = (m + 2n)^2 + m^2 = 2m^2 + 4mn + 4n^2 \\
B'C'^2 = (2m + n)^2 + n^2 = 4m^2 + 4mn + 2n^2
\]

y evidentemente

\[
A'C'^2 = (m + n)^2 + (m - n)^2 = 2m^2 + 2n^2
\]

Luego

\[
A'B'^2 + B'C'^2 + A'C'^2 = 8(m^2 + mn + n^2)
\]

En el trapecio A'\(\alpha\)\(\gamma\)C' se tiene

\[
B'\beta(m + n) = m . C'\gamma + nA'\alpha = 2(m^2 + mn + n^2)
\]

pero el área

\[
A'B'C' = \frac{B'\beta(m + n)}{2}
\]

de donde

\[
4A'B'C' = 4(m^2 + mn + n^2)
\]

y por consiguiente \( \cot \omega = 2 \).

CUESTIONES PROPUESTAS

164. Sea un tetraedro ABCD, F_a, F_b, F_c, F_d las caras opuestas respectivamente á A, B, C, D; llamemos \( a, b, c, a', b', c' \) á las aristas BC, CA, AB, DA, DB, DC.

Sea A_1 el punto en que el plano bisector del ángulo diedro que tiene por arista DA corta á BC.
Sea A_1' el punto en que el plano bisector del ángulo diedro que tiene por arista BC corta á DA.

Se tiene:

\[
\frac{(F_b + F_c)(F_a + F_d)[F_a(c^2F_b + b^2F_c) + F_d(a^2F_b + b'^2F_c)]}{-a^2F_bF_c(F_a + F_d)^2 - a'^2F_aF_d(F_b + F_c)^2} = \frac{(F_a + F_d)^4 (F_b + F_c)^2}{A_1A_1'^2}
\]

(E. Lemoine.)

Errata.—En la cuestión 157 léase, «Demostrar que los triángulos A_1C_1B_3, B_1A_2B_3, I_1i_2I_3, b_2b_3C_3, B_1c_1c_2, I_1i_1c_2, C_1b_1c_2, b_2i_3I_3 tienen el mismo centro de gravedad.»
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 4

Si z describe una circunferencia, t describe otra, de modo que la sustitución \( \left( z, \frac{az + b}{cz + d} \right) \) cambia las circunferencias en circunferencias.

Esta propiedad puede demostrarse de una manera general por medio de una representación geométrica dada á las cantidades complejas.

En este concepto, la ecuación de la circunferencia es:
\[
z - x - 6i, \quad z_n - x + 6i = r^2,
\]
y esto en el supuesto de que el centro sea \( (x, 6i) \) y el radio de la circunferencia, \( r \).

La precedente igualdad puede reducirse á la forma:
\[
zz_0 + 0z + 0_0z_0 + \gamma = 0 \tag{2}
\]
siendo
\[
-0 - x - 6i, \quad -0_0 - x + 6i, \quad \gamma - 99_0 = r^2.
\]

De este resultado se infiere que la ecuación (2) representa una circunferencia, si 0 y 0_0 son dos imaginarias conjugadas y \( \gamma \) real.

Cuando la circunferencia se halla sujeta á la transformación lineal
\[
t = \frac{az + b}{cz + d}, \quad \text{resulta} \quad z = -\frac{dt + b}{ct - a},
\]
y en su virtud \( z_0 = \frac{-d_0 t_0 + b_0}{c_0 t_0 - a_0} \)

Procediendo á la sustitución correspondiente en la ecuación de la circunferencia
\[
zz_0 + 0z + 0_0z_0 + \gamma = 0, \tag{A}
\]
se obtiene fácilmente la nueva expresión
\[
\gamma'tt_0 + 6't + 9_0't_0 + \gamma' = 0 \tag{A'}
\]
en el supuesto de que se tenga:
\[
\begin{align*}
\gamma' &= dd_0 - 6dc_0 - 0_0cd_0 + \gamma c_0c_0 \\
6' &= -b_0d + b_0d + 0_0cb_0 - \gamma c_0a_0 \\
0_0' &= -bd_0 + 0_0ad_0 + 0c_0b - \gamma c_0a \\
\gamma' &= bb_0 - 9_0a_0 - 0_0ab_0 + \gamma a_0a_0
\end{align*} \tag{3}
\]

Ahora bien, según las fórmulas de 6 y 0_0 ya halladas, y suponiendo \( a = a_1 + a_2 i, \quad a_0 = a_1 - a_2 i, \ldots \), después de las respectivas sustituciones en (3), queda justificado que 6' y 0_0' son cantidades imaginarias conjugadas; y \( \gamma' \) y \( \gamma' \), cantidades reales.

¡Se concluirá!
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 5

SOPRA ALCUNI GRUPPI DI CONICHE
NOTA DEL DR. V. RETALI, A MILANO

(CONCLUSION)

Il triangolo ABC è inscritto in S e conjugato a S' e il triangolo A'B'C' è inscritto in S' e conjugato a S: se denotiamo con B_0 e C_0 i poli di AC, BA rispetto ad S e con B'_0 e C'_0 i poli di A'C', B'A' rispetto ad S', il triangolo AB'_0C'_0 sarà inscritto in S e circoscritto a S', mentre A'B_0C_0 è inscritto in S' e circoscritto ad S, in oltre A'B_0C_0 è evidentemente conjugato a S_0, dunque S_0 sarà, per un noto teorema(*), circoscritta a un triangolo conjugato a S.

La S_0 è inscritta in un triangolo A'B'C' conjugato a S dunque S è circoscritta a un triangolo conjugato a S_0 e percio' S e S_0 formano una coppia equianarmonica; e così pure S' e S_0 formano una coppia equianarmonica.

9 Esaminiamo ora alcuni casi particolari notevoli.

E data una conica S, dotata di centro, la cui equazione, riferita a un sistema didiametri conjugati Ox, Oy, sia

\[
S \equiv b^4 x^4 + a^2 y^2 - a^4 b^2 = 0:
\]

pel punto arbitrario O' dell'asse Ox conducasì la parallela O'y' a Oy e proponiamoci di determinare le coniche S' di centro O', aventi O'x, O'y' per una coppia di diametri conjugati e tali che con S formano un sistema pel quale \( \Theta = \Theta' = 0 \):

Se poniamo O'O' = d e denotiamo con \( \alpha, \beta \) i semidiametri di S' che hanno le direzioni O'x, O'y', la equazione di S' sarà

\[
S' \equiv 3! x^4 + \alpha^2 y^2 + \beta^2 (d^2 - \alpha^2) - 2d \beta^2 x = 0;
\]

pel valori degli invarianti simultanei troviamo

\[
\begin{align*}
\Theta &= -a^2 b^2 [a^2 \beta^2 + \alpha^2 b^2 + \beta^2 (\alpha^1 - d^2)] \\
\Theta' &= -a^2 \beta^2 [a^2 b^2 + a^2 \beta^2 + b^2 (\alpha^1 - d^2)]
\end{align*}
\]

i quali eguagliati a zero danno

\[
\left\{
\begin{array}{l}
2 \alpha^2 = 2 d^2 - a^2 \pm a \sqrt{4 d^4 - 3 a^4} \\
\beta^2 = \frac{b^2 a^2}{d^2 - a^2 - \alpha^2},
\end{array}
\right.
\]

e queste espressioni di \( \alpha \) e \( \beta \) determinano, completamente le coniche

(*) Cit. Cremona, Curve piano, n.º 116 (d).