ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 29

SOLUCIONES Á LAS CUESTIONES PROPUESTAS

Cuestión núm. 34 (Véase t. I, pág. 295)

Sobre los tres lados de un triángulo ABC, se construyen exterior ó interiormente los triángulos equiláteros BA'C', CB'A, AC'B; además, sobre los tres lados del triángulo A'B'C' se construyen, exterior ó interiormente, los triángulos equiláteros B'A"C', C'B"A', A'C'B".

Demostrar que los puntos A, B, C son respectivamente los medios de las rectas A'A", B'B", C'C".

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

Solución por D. Angel Bozal, alumno de la Universidad de Zaragoza.

Dos casos ocurren, según que los triángulos equiláteros del enunciado se construyen exterior ó interiormente con respecto á los lados del triángulo ABC y A'B'C' que les sirven de base.

PRIMER CASO. Sea el triángulo ABC y los triángulos equiláteros BA'C, CB'A, AC'B construídos exteriormente sobre cada uno de sus lados.

Tracemos las rectas BB' y CC' que se cortan en un punto M, y unamos A y A' con M. Vamos á demostrar que los tres puntos A, M, A' están en línea recta.

En efecto, los triángulos BAB' y CAC' son iguales, porque tienen dos lados iguales comprendidos entre los ángulos iguales BAB' y CAC'; luego

\[
\angle AC'C = \angle ABB' \quad \text{y} \quad \angle AB'B = \angle ACC';
\]

por consiguiente los cuadriláteros B'AMC y C'AMB son inscriptibles; luego

\[
\begin{align*}
\angle C'MB &= \angle C'AB = 60^\circ & \angle B'MC &= \angle B'AC = 60^\circ \\
\angle AMC' &= \angle ABC' = 60^\circ, & \angle AMB' &= ACB' = 60^\circ.
\end{align*}
\]

Por consiguiente, el ángulo BMC vale \(120^\circ\), y por ser suplemento del ángulo BA'C, el cuadrilátero MBA'C es inscriptible; luego los ángulos BMA' y CMA' son tambien de \(60^\circ\); luego MA es prolongación de MA'.

Además, por iguales los triángulos BAB' y CAC', resulta que BB' = CC'; y por ser iguales tambien los triángulos ACA' y BCB', resulta que AA' = BB'; luego AA' = BB' = CC'.
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 3

Nos hallamos aquí en presencia de un caso parecido (parecido solo) al de los postulados de Euclides y Arquímedes en la Geometría. Así, pues, hoy se ha ercado una Geometría no Euclidica por Gauss, Lobachevski y Bolyai, en que para nada se tiene en cuenta el axioma Euclideo (yo sigo la opinión de los que creen que quizás sea falso); Du Bois Reymond, Stolz y Thome han estudiado el concepto de continuo en unión de Veronese y Betazzi, y hoy se sabe que existen entes análogos á las cantidades y que no satisfacen al postulado de Arquímedes.

La cópula implicativa de los silogismos se nos presenta como un caso particular de relaciones más generales á las que no se aplica más que una parte de las leyes relativas á la suma y multiplicación propias de la primera. Creo que, aunque no explane más el asunto, se comprenderá perfectamente la inmensa trascendencia del descubrimiento de Schroeder. Las partes de la ciencia que menos postulados oxigen, son frecuentemente, sin embargo, pobres, pues á medida que las hipótesis se van introduciendo, el rigor y la generalidad perdidos se transforman en numerosas proposiciones nuevas, á la manera como las fuerzas de la naturaleza se cambian entre sí. ¡Nuestra pobre ciencia humana ha de ser limitada si ha de ser sólida!

Schroeder publicó su descubrimiento en una concisa nota titulada Exposition of a Logical principle, as disclosed by the Algebra of Logic, but overlooked by the Ancient Logicians, inserta en el "Report of the British Association de 1884. Después ha detallado completamente sus ideas sobre el asunto en sus admirables Vorlesungen über die Algebra der Logik, en el primer tomo y en la parte primera del segundo (1). Hay pues una diferencia esencial de tratamiento de la lógica entre Mac Coll y Peirce de un lado y Schroeder de otro. Los primeros basan el cálculo de identidades sobre el cálculo de proposiciones. El método de Schroeder es más general.

Muchas reseñas hay de las obras de Schroeder y todas las hechas por matemáticos no pueden serle más favorables. Yo creo que la Lógica simbólica solo encontrará alguna oposición de parte de filósofos más amigos de charla que de estudio, ó de personas que acostumbradas á ser los solos sabios, nunca miran con buenos ojos aquéllo que ignoran.

Un espíritu de justicia diferente anima al Sr. Schroeder, cuidadoso de dar siempre á cada cual lo suyo. Últimamente publicaba en los Matematische Annalen una nota satisfactoria para la Sra. Ladd y re-

(1) Con especialidad las lecciones 6 y 7 de del primer tomo, algunas del segundo y en los apéndices interesantísimos p. e. el del cálculo lógico de los grupos.
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 30

Construyamos ahora, exteriormente sobre A'B', B'C', C'A; otros tres triángulos equiláteros.

Se ve inmediatamente que, por ser los tres ángulos A'MB', B'MC', C'MA' de 120°, los cuadriláteros MA'C'B', MB'A'C', MC'B'A' son inscriptibles; luego los ángulos A'MC', B'MA', C'MB' son de 60°, luego las direcciones de las rectas MA* y MA, MB* y MB, MC* y MC son las mismas, es decir que A', A y A*; B', B y B*; C', C y C* están en línea recta.

Por último, los triángulos A'AB' y C'B'C son iguales, pues tienen

A'B'=C'B', AB'=B'C, \( \angle A'B'A = \angle C'B'C \)

Luego A'A=CC', y como CC'=AA', resulta finalmente que A'A=AA', según se deseaba demostrar.

SEGUNDO CASO. Aplicando el mismo razonamiento á la figura adjunta, resulta demostrada la misma propiedad del enunciado para el segundo caso.

Cuestión núm. 47 (Véase t. II, pág. 32)

Sean a una de las alturas iguales de un triángulo isósceles, l, l₁ los dos segmentos aditivos ó sustractivos en que la perpendicular considerada divide al lado correspondiente (siendo l el contado á partir de la base); demostrar que se verifica la relación.

\[
l^2 \pm 2ll_1 = a^2
\]

(J. J. Durán Loriga).

Solución por D. Angel Bozal, alumno de la Universidad de Zaragoza

Dos casos hay que distinguir en la cuestión, según que los segmentos l y l₁ sean aditivos ó sustractivos.

PRIMER CASO. Sea DBC el triángulo dado. Se tiene que \( BC = BM + MC \), y elevando al cuadrado, resulta

\[
\overline{BC}^2 = (BM + MC)^2 = \overline{BM}^2 + 2 BM \cdot MC + \overline{MC}^2,
\]
ó sea
\[
\overline{BC}^2 - \overline{BM} = \overline{MC}^2 + 2 BM \cdot MC,
\]
y como, por ser isósceles el triángulo, se tiene que \( \overline{BC}^2 = \overline{DC}^2 \), resulta
\[
\overline{DC}^2 - \overline{BM}^2 = \overline{MC}^2 + 2 BM \cdot MC
\]
Pero siendo DCM un triángulo rectángulo, se tiene
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 31

\[
\overline{DC}^2 - \overline{CM}^2 = \overline{DM}^2,\quad \text{luego}\quad \overline{DM}^2 = \overline{BM}^2 + 2\ BM\cdot MC
\]

SEGUNDO CASO. Si la altura DM cae en la prolongación de BC(1), se partirá de la relación, \(BC = MB - MC\), y se llegará, empleando el mismo razonamiento, á la fórmula del enunciado (2).

Solución á la Cuestión núm. 47, por D. JOVINO LÓPEZ Y RUA, aspirante al ingreso en la Academia general militar

Se tiene que demostrar que \(a^2 = l^2 \pm 2l.l_1\), para lo cual consideraremos los dos casos siguientes:

CASO EN EL QUE EL ÁNGULO EN EL VÉRTICE ES AGUDO. En el triángulo rectángulo BMD se verifica \(a^2 = BD^2 - l^2\); pero \(BD^2\), en el triángulo BCD, es \((l + l_1)^2 + (l + l_1)^2 - 2(l + l_1).l_1 = l^2 + 2l.l_1 + l_1^2 + l^2 + 2l.l_1 + l_1^2 - 2l.l_1 - 2l_1^2 = 2l^2 + 2l.l_1\); luego si sustituimos en la primera igualdad, en vez de \(BD^2\) su valor, tendremos \(a^2 = 2l^2 + 2l.l_1 - l^2 = l^2 + 2l.l_1\).

CASO EN EL QUE EL ÁNGULO EN EL VÉRTICE ES OBTUSO. En el triángulo rectángulo CMD se verifica
\[
a = (l - l_1)^2 - l_1^2 = l^2 - 2l.l_1 + l_1^2 - l_1^2 = l^2 - 2l.l_1.
\]

Solución por D. RODOLPHO GUIMARAES, oficial de ingenieros (3)

Sea \(a = MC = BN,\ BM = l,\ AM = l_1\).
Aplicando el teorema de Stewart (4) al triángulo ABC, tenemos
\[
\overline{AC}^2 . l + \overline{BC}^2 . l_1 = (l + l_1)(a^2 + l.l_1)
\]
ó
\[
(l + l_1)^2 . l + \overline{BC}^2 . l_1 = (l + l_1)(a^2 + l.l_1),
\]
por consiguiente,
\[
\overline{BC}^2 = \frac{l + l_1}{l_1}(a^2 - l^2)
\] (1)

(1) El lector puede representarse un triángulo isósceles cuyo ángulo C sea obtuso
(2) La solución que nos remitió el Sr. Durán Loriga es la siguiente:
Tomando, á partir de C, una longitud CE = BC; considerando la circunferencia cuyo diámetro es BE, resulta inmediatamente
\[
a^2 = l(l + l_1 + l_1) = l(l + 2l_1) = l^2 + 2l.l_1
\]
(3) El lector puede considerar trazado un triángulo isósceles cuyo vértice es A, y cuyas tres alturas son AD, BN, CM, designando con \(l\) y \(l_1\) los segmentos BN y AM determinados en AB por la altura CM.
(4) Teorema de Stewart. Si se divide la base de un triángulo en dos segmentos por una recta cualquiera trazada por el vértice, la suma de los dos lados multiplicados respectivamente por el segmento no adyacente, es igual á la base multiplicada por el cuadrado de la recta aumentada en el rectángulo de los dos segmentos.
Por ejemplo, en el triángulo BCD cuyo vértice es D y la recta trazada por D es DE, se tiene
\[
\overline{DB}^2 . EC + \overline{DC}^2 . EB = BC(\overline{AM}^2 + \overline{BM} . MC).
\]
Lo que se demuestra trazando la altura DM y sumando las expresiones de \(\overline{DB}^2\) y \(\overline{DC}^2\) en los triángulos DEB, DEC.-(Z. G. DE G.)
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 32

Pero los triángulos CMB y BDA son semejantes; luego

\[
\frac{\text{BD} \div \frac{1}{2} \text{BC}}{l + l_1} = \frac{l}{\text{BC}};
\]

luego

\[
\overline{BC}^2 = 2l(l + l_1),
\]

y sustituyendo en (1), resulta

\[
a^2 = l^2 + 2ll_1
\]

Si \(a\), altura BN=CM cae fuera de los lados AB=AC, tenemos que AB=AC=l-l_1, y aplicando el teorema de Stewart al triángulo BCM, y siguiendo el mismo método, resulta \(a^2 = l^2 - 2ll_1\).

Solución al Problema num. 48, por D. CARLOS DE CODES É ILLESCAS, aspirante al ingreso en la Academia general militar

En el triángulo ABC (*) se verifica,

\[
b^2 = 2a^2 - 2a \times \text{BE}
\] (1)

Tracemos la perpendicular CE. Se tendrá: ángulo BCE = ángulo EBC, por tanto, BE = CE.

Sustituyendo en (1) se tendrá \(b^2 = 2a^2 - 2a \times \text{CE}\) y \(2a \times \text{CE} = 2a^2 - b^2\) ó \(a \times \text{CE} = a^2 - \frac{b^2}{2}\)

\[
= a^2 - 2 \cdot \frac{b^2}{4} = a^2 - \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4};
\]

ahora bien, \(a \times \text{CE}\) es el doble del área del triángulo ABC, pero como \(h \times b\) indica lo mismo, puedo sustituir una por otra, y en vez de \(a^2 - \frac{b^2}{4}\) también puedo poner \(h^2\), y tendré, en resumen, \(hb = h^2 - \frac{b^2}{4}\), de donde

\(4hb = 4h^2 - b^2\), \(b^2 = 4h^2 - 4hb = 4h(h - b)\), que es lo que debía demostrarse.

NOTA.—En el número próximo se publicarán las soluciones remitidas por los Sres. Roca y Caro á la cuestión 48 y algunas de las anunciadas en el número 1.

(*) O theorema de Stewart é susceptivel de muitas aplicações e d'elle tireu M. Thiry um grande partido, publicando um importante fascículo Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre. (Gand, 1891) (nota del Sr. Guimaraes).

(**) El triángulo considerado es el ABC cuyo vértice es B, siendo BA=BC=a y AC=b, suponiéndose trazadas las alturas BD y CE.
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 4

cientemente me escribe para indicarme los derechos de esta señora en otro punto distinto. Este se refiere al número de proposiciones que pueden formarse con respecto á —a clases. Christine Ladd cuenta el número de las que pueden formarse absurdas ó falsas, y Peano y Schroeder el número de las que pueden formarse que sean verdaderas. De ahí la diferencia de resultados obtenidos.

He aquí ahora una lista de los escritos matemáticos que conozco de Schroeder:

1. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
2. Der operationskreis des Logikkalkuls.
3. Note über den operations kreis des Logikkalkuls. (Math. ann. 1877).
4. Critica de la memoria de Gottlob Frege, titulada: "Begriffschrift" (Gaceta de matemáticas de Schloemilch).
5. Exposition of a logical principle (ya citada antes).
6. Über das Eliminationsproblem im identischen kalkul.
7. Tafeln der eindeutig umkehrbaren Funktionen zweier Variabeln auf den einfachsten Zahlengebieten. Math. ann. 1887.
8. Über Algorithmen und kalkulrn (Archivos de Matemáticas Grunert Hoppe. 1887).
9. Über die Anzahl der Urteile etc. (62.a Reunión de médicos y naturalistas(1) alemanes en Heilderberg).
10. Vorlesungen über die Algebra der Logik. (Exakte Logik) I Band 1890.
11. Über das Zeichnen 1890. (Discurso).
12. Vorlesungen über die Algebra der Logik. II Band. Erste Abtheilung, 1891.

Después de esta lista poco habré de añadir yo.

La Lógica simbólica se impone cada día más y con su difusión crecerá la fama del Sr. Schroeder. No en vano termina su discurso Uber das Zeichnen con las palabras del Lábaro imperial que Constantino, vencedor de Magencio, vió escritas en el cielo: ¡In hoc signo vinces!

En otro escrito daría las gracias al Sr. Schroeder por sus bondades continuadas para conmigo, en este no lo hago por no mezclar las ideas de justicia con las de gratitud.

Prof. Dr. Ventura Reyes y Prósper.

(1) Naturforscher, investigadores de la naturaleza, en sentido general.
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 5

LE CALCUL DES SÉRIES CONVERGENTES

PAR M. G. DE LONGCHAMPS
professeur au Lycée Saint Louis

(CONCLUSION)

6. Considérons les deux séries :

U = \( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} + \ldots \),

V = \( \frac{1}{1.2^2} + \frac{1}{2.3^2} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)^2} + \ldots \);

et posons

\( \varepsilon_n = \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \ldots \),

\( \varepsilon'_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)^2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)^2} + \ldots \).

Il existe une relation entre \( \varepsilon_n \), \( \varepsilon'_n \) que l'on peut établir, comme il suit.

A cet effet, observons que

\[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{n(n+1)^2}.
\]

Dans cette identité, changeons \( n \) en \( n+1, n+2, \ldots \); puis, ajoutons les résultats. Nous avons

\[
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} = \varepsilon_n + \varepsilon'_n,
\]

ou

\[
\varepsilon_n + \varepsilon'_n = \frac{n+2}{(n+1)^2}.
\]

Par conséquent, si l'on suppose \( x < \varepsilon_n < 6 \)

on aura

\[
\frac{n+2}{(n+1)^2} - 6 < \varepsilon'_n < \frac{n+2}{(n+1)^2} - x.
\]

7. On a vu comment le calcul d'une série convergente, avec une approximation donnée, revient à la résolution d'une inégalité telle que

\[
\varphi(n) > x,
\]

pour une valeur entière de \( n \). La méthode consiste, nous l'avons fait
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 6

observer, à substituer à la fonction \( \varphi(n) \) une autre fonction \( \psi(n) \), telle que l'on ait
\[
\psi(n) > \varphi(n);
\]
et à résoudre l'inegalité
\[
\psi(n) < x.
\]
Le choix de la fonction \( \psi(n) \) peut être fait de diverses façons; et, parmi celles-ci, quelques unes sont particulièrement avantageuses.

Pour montrer ceci sur un exemple, reprenons la série
\[
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} + \ldots
\]
envisagée plus haut. Nous avons montré que, pour obtenir cette série à 0,1 près, il fallait prendre 31 termes. Mais ce nombre 31, fourni par la méthode que nous avons suivie, est trop élevé; il est facile de s'en assurer, en raisonnant comme il suit:

Si l'on pose
\[
\varphi(n) = \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \ldots,
\]
et
\[
\psi(n) = \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \ldots,
\]
on a
\[
\psi(n) > \varphi(n).
\]

Posons donc
\[
\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \ldots < 0.1
\]
ou,
\[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \ldots < 0.1
\]
finalement
\[
n > 10.
\]

Ainsi, il suffit de prendre les dix premiers termes de la série, pour avoir sa valeur à 0,1 près. Le nombre 31 fourni par la première méthode était donc sensiblement trop considérable.

8. Prenons encore la série, déjà considérée
\[
\frac{1}{1.2^2} + \frac{1}{2.3^2} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)^2} + \ldots
\]
et posons
\[
\frac{1}{n(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)(n+2)^2} + \ldots < 0.01. \tag{1}
\]
Si nous déterminons \( n \), de telle sorte que
\[
\frac{1}{(n-1)n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} + \ldots < 0.01,
\]
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 7

cette valeur de \( n \) vérifiera, a fortiori, l'inégalité (1). Cette dernière inégalité s'écrit

\[
\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(n-1)n} - \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \ldots \right] < 0,01
\]

ou

\[
n(n-1) > 50.
\]

En supposant \( n \geq 8 \) cette dernière inégalité est vérifiée. Ainsi, on calculera la valeur de la série, à 0,01 près, en prenant pour dernier terme de la partie conservée \( \frac{1}{7.8^3} \).

Il faut donc prendre les 7 premiers termes; l'autre méthode indiquait le calcul des 15 premiers termes.

9. Voici un dernier exemple portant sur une série plus compliquée.

Soit la série

\[
\frac{1}{2L2L3} + \frac{1}{3L3L4} + \ldots + \frac{1}{nLnL(n+1)}
\]

que l'on veut calculer à 0,1 près, par exemple.

Il faut résoudre l'inégalité

\[
\frac{1}{nLnL(n+1)} + \frac{1}{(n+1)L(n+1)L(n+2)} + \ldots < 0,1.
\]

En observant que

\[
L\left(1 + \frac{1}{n}\right) > \frac{1}{2n} (*)
\]

on voit qu'il suffira de résoudre l'inégalité

\[
\frac{2L\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{LnL(n+1)} + \ldots < 0,1
\]

ou

\[
2 \frac{L(n+1) - Ln}{LnL(n+1)} + \ldots < 0,1
\]

(*) Cette inégalité est manifeste, L représentant le symbole des logarithmes népériens. En effet, on a

\[
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2, \quad \text{ou} \quad \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} > 4, \quad \text{ou} \quad 2nL\left(1 + \frac{1}{n}\right) > L4
\]

et, a fortiori,

\[
L\left(1 + \frac{1}{n}\right) > \frac{1}{2n}
\]
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 8

ou, enfin

\[
2 \left| \frac{1}{L_n} - \frac{1}{L_{n+1}} + \frac{1}{L_{n+1}} - \frac{1}{L_{n+2}} \ldots \right| < 0,1.
\]

Ainsi, on doit avoir

\[
L_n > 20, \qquad \text{ou} \qquad n > e^{20}.
\]

On voit que \( n \) est très grand 7388099000 environ!

C'est que, en effet, la série considérée est très lentement convergente.

10. Pour citer maintenant un exemple de série rapidement convergente, prenons la série

\[
\frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots + \frac{1}{n^n} < \ldots .
\]

et cherchons sa valeur à 0,001 près.

L'inégalité

\[
\frac{1}{x^x} + \frac{1}{(x+1)^{x+1}} + \ldots < 0,001
\]

sera vérifiée, si l'on peut trouver le nombre entier \( x \) qui donne

\[
\frac{1}{x^x} + \frac{1}{x^{x+1}} + \ldots < 0,001,
\]

ou

\[
\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} < 0,001
\]

ou

\[
(x-1)x^{x-1} > 1000.
\]

Le nombre \( x = 5 \) donne \( 4,5^4 = 4 \times 625 = 2500 \).

Il suffit de prendre les quatre premiers termes pour avoir la valeur de la série à 0,001 près.

11. Parmi les procédés de calcul que l'on peut indiquer pour trouver avec une approximation déterminée, la valeur d'une série convergente, il y en a un que nous voulons encore signaler en terminant cette petite Note.

Lorqu'on peut trouver une relation entre deux séries U et V; si l'une d'elles est connue avec une certaine approximation (telle la série \( e \), par exemple) on pourra déduire, de cette relation, avec une approximation correspondante, la valeur de la seconde série.
El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 9

L’un des exemples les plus remarquables que l’on puisse citer, à ce propos, est celui des séries dont le terme général est

\[
u_n = \frac{f(n)}{n!}
\]

\( f(n) \) désignant une fonction entière de \( n \).

Toutes ces séries sont convergentes et peuvent être rattachées à la série \( e \).

Prenons, pour fixer les idées, le cas où \( f(n) \) est du second degré et posons

\[
f(n) = \alpha n^2 + \beta n + \gamma .
\]

L’identité

\[
\alpha n^2 + \beta n + \gamma \equiv \alpha n (n-1) + (\beta + \alpha) n + \gamma
\]

prouve que

\[
u_n = \frac{\alpha}{(n-2)!} + \frac{\alpha + \beta}{(n-1)!} + \frac{\gamma}{n!}.
\]

De là, on déduit

\[
S - u_1 - u_0 = z e + (\alpha + \beta)(e-1) + \gamma(e-2).
\]

On, finalement,

\[
S = e(2z + \beta + \gamma).
\]

ESTUDIO DEL TRIÁNGULO INFINITESIMAL
POR D. GABRIEL GALAN

I.—Introducción

En las aplicaciones del Cálculo infinitesimal á la Geometría, ya tiendan á la investigación, ya entrañen sólo carácter representativo de los conceptos analíticos, ocurre con frecuencia, tener que fijar las relaciones infinitesimales existentes entre los diversos elementos de las figuras.

Por el conocimiento de las relaciones finitas que los enlazan, es como se llega de ordinario al de las infinitesimales. Así, cuando de un triángulo se conoce el orden infinitesimal de un cateto y el de un ángulo agudo (el opuesto al cateto, por ejemplo), y se desea conocer el de la hipotenusa, se aplica la ley trigonométrica que los liga: un cateto es igual á la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto al cateto, é
El Progreso matemático (1891-12-20 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

CRISTINA LADD FRANKLIN
MATEMÁTICA AMERICANA Y SU INFLUENCIA EN LA LÓGICA SIMBOLICA

Cristina Ladd (ahora la esposa del señor Franklin, profesor de Matemáticas en la Johns Hopkins University, de Baltimore) que hoy accidentalmente se encuentra en Europa, es uno de los más distinguidos discípulos del célebre lógico Charles Santiago Peirce, lector que fué de la mencionada Universidad.

Desde hace algunos años viene esta señora ocupándose mucho y brillantemente de Geometría, Algebra, Lógica, Fisiología e Instrucción. Vamos á reseñar muy lijeramente las meritísimas obras de tan distinguida autora.

En una hermosa memoria destinada á dilucidar ciertos puntos de vista del gran lógico y matemático inglés Augustus De Morgan, ya inicia sus preferencias por los estudios lógicos, tanto, que al indicar que el sentido de la palabra función, es en su escrito mucho más lato que el vulgarmente adoptado, introduce como ejemplo los relativos. Tan bello trabajo fué incluido en el American Journal of pure and applied Mathematics, vol. III, págs. 209 á 226, y se encuentran análisis de él, en varios periódicos y revistas matemáticas, como por ejemplo en el Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, que Darboux publica en París. Las originales notaciones que Cristina propone en su memoria, han sido adoptadas después en la que Peirce publicó posteriormente con el título de Algebra of Relatives.

Durante el año 1883, editó Santiago Peirce la obra de sus alumnos y la suya propia en un pequeño pero hermoso libro titulado Studies in Logic by members of the Johns Hopkins University, y desde entonces ha venido dedicándose Cristina Ladd, sin interrupción á lo que parece, al calculus ratiocinator. Uno de los artículos comprendido en