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El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 37

únase D con E y C con F, y obtendremos el punto t, después D con F y C con E, y hallaremos el punto h; la recta ht es la polar de A en la circunferencia CDB. Unase D con q y C con m, y obtendremos g: el punto a es el conjugado armónico de A respecto de C y D, y por él han de pasar las polares de A tomadas en ambas circunferencias; luego la recta ga es la polar de A en la circunferencia CDH. Se sabe que dos cónicas son siempre homológicas respecto de su cuerda común como eje de homología, y las polares ht y ga de un mismo punto del eje son rectas homólogas; luego cortarán á las circunferencias respectivas en puntos homólogos Suponiendo que sean homólogos B con H y J con e, las rectas que unen estos dos pares de puntos homólogos concurrirán en uno de los centros S' de homología; y si tomamos como homólogos B con J y H con e, las rectas de unión se cortarán en el otro centro S de homología. Pero como dos circunferencias tienen siempre otra secante común en el infinito, dichas curvas son siempre homotéticas; por lo tanto los puntos S y S' que para dos cónicas arbitrarias no
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pasarían de ser centros de homología, son en este caso particular centros de semejanza; la recta SS' que pasa por ellos es la línea de los centros, y el punto O en que corta á la circunferencia DCB será por hipótesis el centro de la DCH. Para determinar el centro O' de DCB bastaría construir con un cuadrilátero completo el conjugado armónico de O, respecto de S y S', para lo cual solo se necesitaría el empleo de la regla; pero también se puede construir, como veremos luego, valiéndose de la relación de homotecia de las dos curvas.

Para determinar las tangentes comunes á las dos circunferencias, basta hallar las polares de S' respecto de ambas; en la figura se ha determinado la polar pp' respecto de la circunferencia mayor valiéndose del cuadrilátero completo iedB del que dos lados ie y dB pasan por S'; los puntos u y u' en que dicha polar corta á la circunferencia, son los de contacto de las tangentes comunes, de modo que uniéndolos con S', tendremos estas tangentes; de una manera idéntica se suponen hallados los otros dos puntos de contacto m y m'.

Tracemos ahora el diámetro mor; uniendo S' con r hallaremos el r' homotético de este, el de m lo es u; luego uniendo u con r' tendremos el diámetro homotético del mr, el cuál nos determinará el centro O' por su intersección con la línea de los centros SS'.—(Puede consultarse sobre esta cuestión á Poncelet, Propriétés projectives des figures; part. I, section III, pág. 150 y siguientes).

Cuestión núm. 79 (Véase tomo II. pág. 279).

Construir un triángulo conociendo los vértices A, B, C de los triángulos equiláteros construídos exterior é interiormente sobre sus lados.—(H. Van Aubel.)

Solución por D. Ricardo Caro, alumno de la Universidad de Zaragoza

Esta cuestión es un corolario de la núm. 34, demostrada en la página 61 de este tomo.

Únanse los puntos dados A', B' y C' formando sobre las rectas trazadas los triángulos equiláteros A'B'C' B'A'C' y C'A'B' (fig. de la página 61) (*) Trácense las rectas A'A*, B'B* y C'C* y los puntos medios de ellas, nos darán los vértices del triángulo pedido. (Véase la demostración de D. Ángel Bozal de la citada cuestión 34).

(*) Para comodidad del lector reproducimos la figura á que alude el texto.
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Si los puntos dados A', B' y C' fueran vértices de triángulos equiláteros construídos interiormente, la construcción y demostración serían las mismas, pero aplicadas á la figura de la página 62, (tomo II).

Cuestión 61. (Véase t. II, pág. 128).

Hallar el lugar de los focos M de las hipérbolas que tienen un vértice A y una asintota CB fijos (problema clásico). Dar una construcción gráfica de la tangente en el punto M.

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY.

Siendo el punto M el foco de una de las hipérbolas, la recta MA encontrará á CB en el centro O de la curva; y el simétrico M' del punto M, con relación á O, será el otro foco.

Sean AD = a la distancia de A á BC, E el punto en que la perpendicular en A, sobre MM' encuentra á BC, F la proyección de A sobre EN.

Siendo el segmento AE igual al semi-eje imaginario de la hipérbola, se tiene OE = OM. De esto resulta una construcción por puntos de la curva U, lugar de M.

Se trazan por A dos rectas rectangulares AO, AE, y se toma en estas rectas, á partir de los puntos O, E, á una y otra parte de estos puntos, la longitud OE.

En el triángulo rectángulo OEN se tiene

\[
\overline{OM}^2 = \overline{OE}^2 = OA \cdot ON
\]

[1]
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Á NUESTROS LECTORES

Al publicar el primer número del año pasado, segundo de la existencia de este periódico, prometíamos llenos de esperanza, confiando en la generosidad de los amantes de la ciencia, en el reconocido saber de los profesores que nos habían prometido su apoyo y su colaboración, realizar un programa vasto de propaganda, si bien ceñido á la corta extensión que podíamos dar á nuestra empresa naciente, en un terreno poco preparado, pues, como por excepción, en España la Matemática no ha tenido tantos adeptos como en otras naciones, donde una tradición científica más arraigada ha facilitado los prodigiosos adelantos que las colocan al frente del movimiento científico. Y que se ha realizado nuestro propósito de una manera que supera á cuanto podíamos imaginar, lo demuestran las varias memorias, notas, artículos, etc., suscriptos por nombres tan respetables y conocidos como los de los colaboradores extranjeros señores Battaglini, Brocard, Cesàro, Gomes Teixeira, Guimaraes, Lampe, Lemoine, Longchamps, Peano, Pirondini, Poulain, Retali, Schiappa Monteiro, Schlegel y Vigarié, así como por nuestros muy distinguidos colegas nacionales señores Bentabol, Clariana, Durán Loriga, Eseverri, Lasala, Torroja y Reyes Prósper, quienes han mostrado á su vez que nuestra actividad sólo necesita un estímulo para dirigirse á la realización de las nobles empresas.

Un nuevo á la par que fausto acontecimiento se ha verificado durante el año pasado, á saber: el haberse propuesto cuestiones hasta la 98, algunas de la N. C. M. que dejaron de resolverse al coser esta publi-
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Luego, siendo P, Q las proyecciones de M y N sobre DA,
\[
\overline{DP}^2 = DA \cdot DQ
\]
ó haciendo
\[
AP = x,\quad MP = y,
\]
\[
(a + x)^2 = a^2 + a \cdot AQ.
\]
Pero en el triángulo rectángulo EAN se tiene
\[
\frac{EF}{FN} = \frac{EA^2}{AN^2},
\]
ó, á causa de los triángulos semejantes EAN y MPA
\[
\frac{a}{AQ} = \frac{y^2}{x^2}
\]
La eliminación de AQ dará la ecuación de U:
\[
y^2(2a + x) - a^2x = 0.
\]
Sean: \( \mu \mu' \) otra posición de MM'; \( \sigma \) la intersección de las rectas \( M\mu, M\mu' \).
De la igualdad [1] resulta que N es conjugado armónico de A con relación á MM'. Luego, la tercera diagonal \( \sigma \sigma' \) del cuadrilátero \( M\mu'M'\mu \) pasa siempre por los puntos N, v.
Cuando el punto \( \mu \) llega coincidir con M, las rectas \( M\mu, M'\mu' \) llegan á ser las tangentes á las curvas descritas por los puntos M, M', N, y concurren en la posición límite S del punto \( \sigma \).
Del triángulo rectángulo EAN resulta \( \overline{AF}^2 = EF \cdot FN \), ó haciendo \( AQ = x', \ NQ = y' \),
\[
y'^2 = ax'
\]
Luego el punto N describe una parábola cuyo vértice es A, DA el eje, y \( a \) el parámetro. La tangente en el punto N, pasa, pues, por el medio de F'A, y por consiguiente, por el medio de EO.
Además, NS como el límite de la diagonal \( \sigma \sigma' \), tiene su medio en EO. Luego, para obtener la interseccion S de las tangentes en M y M' á la curva U, se levanta en O la perpendicular á EO hasta la intersección con la paralela á MA trazada por E.
Observación. Designando por X, Y las coordenadas de S, se tiene
\[
X = -(2a + x'),\qquad \frac{-Y}{y} = \frac{2a}{2x}
\]
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 41

y la eliminación de \( x' \) é \( y' \) da

\[
Y^2(2a + X) + a^3 = 0.
\]

CUESTIONES PROPUESTAS

99. Sean \( F_m, U_n; V_{m-n}, R_{n-1} \) cuatro polinomios algébricos enteros, de grados \( m, n, m-n, n-1 \) tales, que

\[
F_m = U_n V_{m-n} + R_{n-1}
\]

Para cierto valor \( a \) de \( x \), se tiene

\[
F_m(a) = V_n(a) \cdot V_{m-n}(a).
\]

¿Se puede concluir necesariamente que \( x = a \) es raíz de la ecuación

\[
R_{n-1}(x) = 0?
\]

(H. Brocard).

100. Ejercicio numérico. Dada la ecuación

\[
12\, x^5 - 7x^4 + x^3 - 300 = 0,
\]

se pide establecer que no admite más que una sola raíz real, y determinar el valor de esta raíz con seis decimales exactas.

(H. Brocard).

101. Se dan dos rectas rectangulares que se cortan en O. El punto A está sobre la una, el punto B sobre la otra. Se tiene \( \overline{OA}^2 - \overline{OB}^2 = L^2 \). La envolvente de AB es

\[
x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = L^{\frac{2}{3}}
\]

OA es eje de las \( x \), OB el de las \( y \). Estudio de la curva.

(E. Lemoine).

102. Se suponen dos pentágonos regulares, el uno inscrito y el otro circunscrito á un mismo círculo, se pide el radio de este círculo, sabiéndose que la diferencia entre los perímetros de los dos polígonos es igual á A, ó que la diferencia entre sus áreas es igual á B².

Aplicaciones numéricas: \( A = o^m, 1 \); \( B^3 = o, m^o 1 \).

(J. M.) (*)

(Chellier)

(*) Habídasenos autorizado nuestro sabio colaborador y amigo M. G. de Longchamps á reproducir algunas cuestiones no resueltas en los periódicos de que es director, tenemos la satisfacción de publicarlas aquí, con textualmente, sea con ligeras variaciones acompañándolas con la indicación (J. M.) para señalar su origen.—Z. G. de G.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 5

cación, otras remitidas directamente por los señores Brocard, Cesàro, Durán Loriga, Guimaraes, Laisant, Lemoine, Neuberg, Pirondini y Van Aubel, habiendo sido resueltas las 2, 3, 4, 5, 12, 27, 28, 33, 34, 36, 38, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 72, 73, 79 y otras aún no publicadas, tales son las 32, 53, 58, 63, 64, 65, 66, 67, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 91, 93, 94, 405, 407, algunas de las que aparecen en este número, hallándose entre los que han favorecido esta sección, los señores Brocard, Guimaraes, Jiménez Rueda, Lemoine, Retali, Schiappa Monteiro, Sollertinsky y Vivanti y los alumnos señores Bozal, Caro, Galán y otros.

Así, pues, en resumen, se han publicado diversas memorias originales sobre muy variadas teorías de la ciencia matemática, se ha conseguido que el periódico resultase en extremo instructivo con la publicación y resolución de cuestiones, se han expuesto también algunos puntos de vista doctrinales de carácter elemental, y además se han dado á conocer en las reseñas bibliográficas algunas de las obras recientemente publicadas.

Todos los amantes de la ciencia matemática debemos mostrarnos pues, profundamente agradecidos hacia cuantos se han dignado favorecer é impulsar la propaganda científica en España, abrigando al mismo tiempo la confianza de que estos esfuerzos no serán ineficaces en lo porvenir. Al efecto, se continuará dando impulso á la sección de cuestiones, que tanta importancia ha comenzado á tener desde el año pasado; y en ellas se combinarán las proporcionadas á las fuerzas de los alumnos con otras que no desdeñen resolver ó ilustrar con su ciencia notables profesores, como se ha hecho hasta ahora. Además, si las circunstancias lo permiten, se procurará dar impulso á la publicación de memorias originales por medio de una reforma que se hará en breve; y no se descuidará el dar cuenta en los artículos bibliográficos de cuantas novedades vayan apareciendo, así como de exponer en forma elemental algunas teorías necesarias para el conocimiento de trabajos más superiores que se vayan publicando y que exijan alguna noticia ó aclaración preliminar.

Z. G. de G.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 6

ESTUDIOS SOBRE LA ENSEÑANZA
Y EL ORGANISMO DE LA CIENCIA MATEMÁTICA

I. - CONSIDERACIONES GENERALES

La enseñanza y el organismo de la Matemática se hallan en una relación íntima y recíproca que merece consignarse sobre todo en España, donde el desconocimiento general de esta ciencia, el menosprecio con que se la mira, el aislamiento en que se trata de abandonarla y el falso juicio que de su importancia se tiene, hace urgente llamar la atención sobre la misma, que sintetiza las más preciosas conquistas de la inteligencia humana, aquello que permanece fijo en medio de la mutabilidad aneja á otros órdenes de conocimientos.

No es resultado á que se haya llegado ni á que pueda llegar hoy por hoy el de una organización completa de la ciencia matemática, á pesar de sus prodigiosos adelantos, especialmente en este siglo, pues tan vasta es su extensión, tan variadas sus ramificaciones, tan multiplicadas y enlazadas las inagotables armonías de sus verdades, que el entendimiento humano, á pesar de la luz de la evidencia que lo lleva en todas direcciones con seguro paso, se encuentra como perdido entre las irradiaciones de ésta que le ofusca, no permitiéndole distinguir el orden que rige á tanta multiplicidad, la ley que abarca totalmente el conjunto; y á lo sumo, de una manera transitoria se forja un orden ó una unidad ficticia, que le lleva á un ascender continuado, mediante síntesis y armonías parciales, hacia la armonía total, siempre perdida en las inaccesibles alturas donde se desvanecen los ideales que la humanidad ha perseguido en todas las épocas, como su aspiración permanente.

La Matemática no ha seguido un orden determinado en sus progresos, pudiéndose decir que ha avanzado, sobre todo en las épocas primeras de su evolución, con una dependencia inmediata de las necesidades del momento. Así cuentan los historiadores que nació la Geometría. Así la Trigonometría se va formando como un auxiliar imprescindible de la Astronomía, y análogo origen tienen problemas como el de la cuadratura del círculo, el de la trisección del arco, y otros varios, que llegaron á ser la preocupación dominante de los geómetras de la antigüedad.

Y todos estos resultados nacidos de fines prácticos, resumidos en las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto, etc., presentaron las primeras síntesis, de tal ó cual rama de la Ciencia matemática.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 7

Después del período de gestación de la Edad Media, en el Renacimiento, las superiores generalizaciones de Descartes, Desargues, Pascal, etc., prepararon la época de Newton y de Leibnitz y el Algebra, la Geometría analítica, los Cálculos diferencial e integral son nuevas síntesis de la ciencia en la época moderna, síntesis acrecentadas con los nuevos descubrimientos aportados por multitud de ilustres talentos matemáticos cuyos nombres, por ser universalmente conocidos, es innecesario que citemos.

La Matemática se constituía, pues, á la manera que, en una reacción química, después de combinarse los átomos según sus afinidades y de formar las moléculas, éstas, agrupándose luego, se depositan distribuidas en diversos cristales.

Pero, siendo el desenvolvimiento matemático una parte del desenvolvimiento intelectual, forzoso nos es, antes de seguir en nuestra exposición, hacer algunas digresiones, que luego nos permitirán tratar de una manera más completa nuestro asunto.

Observaremos ante todo que la Pedagogía y el espíritu de asociación han sido las bases sobre las cuales se han formado las edificaciones intelectuales de la época moderna.

Ya en el siglo xvii Comenius estableció un sistema pedagógico, formando la base de la organización de los estudios, según su modo de ver, la escuela materna, la escuela popular (escuela primaria), la escuela latina (el Gimnasio el Colegio, el Liceo) y, en fin, la Academia (Universidad); y más tarde, en Port Royal, se fundaron establecimientos de educación, y Rollin, Montaigne y otros reconocen que el fin de los maestros no es solamente enseñar á sus discípulos el latín y el griego, el componer temas, versos y amplificaciones, el sobrecargar su memoria con hechos y fechas históricas, el construir silogismos en forma, etc.; sino que además deben acostumbrar á sus alumnos á un trabajo serio, á hacerles estimar las ciencias, mostrarles su camino y hacerles apreciar su empleo y su valor. Y el momento culminante en que el exclusivo fin de comunicar los conocimientos queda moderado por la nueva aspiración á desenvolver armónicamente las diversas aptitudes del individuo, á fortificarlas y hacerlas cada vez más eficaces para realizar su fin, en una palabra, por la ciencia de la educación, ó la Pedagogía, que invade de lleno el mundo social, lo hallamos cuando Pestalozzi, con justicia llamado el padre de la Pedagogía, terminado su penoso calvario, convirtió su residencia de Iverdon en el foco de las doctrinas pedagógicas que habían de regenerar, primero á la Alemania, y después difundirse por todo el mundo, ya como emanación de este centro, al que fueron á estudiar la nueva creación de-
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bida á su constancia, vocación y amor á la humanidad, lo mismo los principios que los legisladores y los sabios, ya como desenvolvimientos independientes que brotaron en Inglaterra promovidos por Bell y Lancaster, en Francia por Jacotot, Girard y Naville, y que luego se han diluido en ese movimiento general de la sociedad contemporánea, bajo la influencia de las leyes de Instrucción pública que han promulgado los legisladores de cada nación, y cuya realización hoy se halla en el organismo que forman las diversas gerarquías de Establecimientos de enseñanza, desde la Universidad hasta los Gimnasios, Liceos, Institutos, Escuelas reales y, en fin, hasta las Escuelas de Instrucción primaria más elementales.

Simultáneamente con el desarrollo y aplicaciones de la pedagogía hallamos otro elemento eminentemente impulsivo del progreso intelectual en el espíritu de asociación, como hemos dicho, predominante en la época actual; y después de las Universidades, las Academias creadas sucesivamente en diversas naciones, las publicaciones periódicas como órganos de las mismas ó de otras sociedades instituidas con fines de propaganda científica, los congresos nacionales y aun internacionales han llevado, por fin, á cierto cosmopolitismo que afirma cada vez con más sólidos lazos la unidad de la familia humana, y mediante el cual se borra en ciertos momentos el sello característico de cada nacionalidad.

Pero en medio de este amplísimo organismo del mundo intelectual vemos surgir una lucha entre dos tendencias opuestas, el clasicismo y el realismo ó positivismo; entre la cultura literaria y la cultura científica, entre la instrucción que eleva el alma hacia lo ideal, que tiende á ennoblecer los sentimientos fundamentándolos en la vida de la humanidad, en sus creencias, en las expansiones de su espíritu que han caracterizado las diversas épocas del pasado puestas de relieve por sus monumentos, su historia, su literatura y las diversas fluctuaciones del pensamiento filosófico, y entre la instrucción que ha nacido durante los últimos siglos cimentada en un más perfecto conocimiento del Universo en que vivimos, de la Naturaleza que se nos ofrece rica y variada y sometida á los poderosos y eficaces medios de observación y experimentación de que hoy disponemos; y de este estudio surgen ideales desconocidos para los pueblos de la antigüedad, patrimonio exclusivo de la época moderna, que ha creado nuevas teorías hoy enclavadas en los dominios de las ciencias positivas, teorías en las que la Matemática puede fijar los puntos fundamentales por medio de sus fórmulas, y que además tienen el raro privilegio de trascender á multitud de aplicaciones materiales que cada nación convierte en me-
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dios de acrecentar su riqueza, su fuerza, su dominio y su influencia entre todas las demás.

Esta eficacia material de los estudios positivos ó de aplicación, y aquella fuerza moral que comunican los estudios conocidos desde antiguo con el nombre de humanidades, son los dos polos entre que se mueve el organismo de la enseñanza en cada nación, influyendo en el estado de su cultura; y es por esto cuestión capital la del modo de disponer unos y otros estudios en el plan enseñanza, y la forma de crearso establecimientos tales, como Gimnasios Escuelas reales (real chulen), Institutos técnicos, etc., y además el multiplicar los medios materiales de favorecer la cultura mediante la formación ó enriquecimiento de las bibliotecas, museos de toda clase, verdaderos palacios que reflejan la magnificencia del objeto á que están consagrados y á la vez la grandeza del pueblo capaz de elevarlos y apto para aprovecharse de los inagotables beneficios que brotan de ellos como por irradiación cada vez más expléndida.

No insistiremos en la exposición de hechos tan conocidos como el de la admirable organización universitaria de la sabia Alemania, tan adecuada á favorecer el espíritu de investigación, auxiliado con prodigalidad por cuantiosos recursos, ni diremos nada desconocido á los lectores, de las casi fabulosas cantidades que en los Estados Unidos se destinan á la Instrucción pública que se propaga por todas las clases sociales en muchos miles de establecimientos á ella destinados, ni de los notables sacrificios hechos por Francia desde 1871 para mejorar las instalaciones de sus Facultades de Ciencias, que aun hoy, sin embargo, reconoce es necesario llevar más adelante guiada por su patriotismo, ni de ese renacimiento de la Italia, que cuenta numerosas Facultades completas de Ciencias y que ha creado muchas Escuelas é Institutos técnicos para el fomento de cuanto puede contribuir á acrecentar su riqueza y producciones de toda clase, ni de ese estado floreciente en Bélgica y en Suiza, y en fin, para abreviar, diremos que en Europa como en los Estados Unidos y en las repúblicas del Sud de América se observa una tendencia universal á dar impulso á los estudios científicos, tanto en el dominio de lo especulativo, de lo ideal y de lo abstracto, en que se halla latente y como condensado el espíritu de progreso, que de la potencialidad ó de la idea desciende al hecho, como en el de las aplicaciones y consecuencias de aquél.

Creemos que basta para nuestro propósito haber demostrado, con la simple enumeración de los hechos, cuán importante es favorecer el desarrollo de las ciencias positivas que se impone en todas las naciones como consecuencia inmediata de la vida moderna, so pena de