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El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 13

V. Schlegel, Theorie der homogen zusammengesetzten Raumbilde. (Nova. acta d. Kst. Leop. Carol. deutsch. Akad. d. Naturforscher. XLIV. Halle 1883).

A. Puchta, Analytische Bestimmung der regelmässigen convexen Körper im Raume von vier Dimensionen (Wiener Sitzungsberichte LXXXIX, 1884).

V. Schlegel, Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vierdimensionalen Körper (Darmstadt, Brill 1885).

Heise, Reiträge zur Theorie der mersach perspectiven Dreiecke und Tetraeder (Math. Annalen XXVIII, 1886).

V. Biermann, Ueber die regelmässigen Punktgruppen in Räumen höherer Dimension und die zugehörigen linearen Substitutionen mehrerer Variablen (Wiener Sitzungsberichte XCV. 1887).

Goursat, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l' espace. (Annales de l' Ecole Norm. (3) VI. 1889).

W. I. C. Sharp On the properties of simplicissima (London Math. Soc. Proceed. XVIII, 1888, XIX. 1890).

G. Loria Sul concetto di volume in uno spazio lineare quelunque (Battaglini Giorn. XVI. 1887).

P. H. Schoute Voordracht over de regelmatige lichamen in ruimte van meer dimensies (Natuur-en scheikundig congress te Utrecht, 1891).

V. Schlegel. Sur une méthode pour représenter dans le plan les solides homogènes à n dimensions (Rendiconti del circ. mat di Palermo V, 1891).

V. Schlegel. Ueber congruente Raumtheilungen. (Grunert's Archiv (2) X, 1891).

V. Schlegel. Sur un théorème de géométrie à quatre dimensions (Comptes rendus de l'Assoc, franc, pour l'avancement des sciences. Congrès de Toulouse. 1887.)

Z. G. de G.

PROYECTO DE CLASIFICACIÓN DE LOS ESCRITOS LÓGICO-SÍMBOlicos ESPECIALMENTE DE LOS POST-BOOLIANOS POR DON VENTURA REYES PRÓSPER

Mi afición á los estudios lógicos me ha hecho reunir cierto número de escritos referentes al Álgebra de la Lógica, habiendo además consultado algunos otros, pocos, que existen en nuestras bibliotecas. Yo
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me complazco en dar desde aquí las gracias á los señores Christine Ladd, Ernest Schröder, Charles Santiago Peirce, John Venn, Joseph Murphy, Bray Kempe, Andreas Voigt, Johnson, Hugh Mac-Coll, Albino Wagy y Peano, que me han auxiliado grandemente remitiéndome publicaciones suyas ó ilustrándome con sus consejos. Ha venido á mi mente la idea de preparar una historia de la lógica simbólica, y á este fin clasificar primero los escritos lógico-simbólicos.

La sola clasificación sería que conozco es la del señor Venn, publicada en su Symbolic Logic. Á pesar del mérito de su autor, yo adopto una clasificación diferente, y que me parece ser más natural.

Voy, pues, ligeramente á indicarla.

Ante todo dividiré los escritos de lógica simbólica en grupos principales. Son éstos: el ante-booliano, el booliano, el peiroeano, el de Delboeuf, el de la lógica de los relativos, el mitcheliano y el de la lógica aplicada. Varios autores tienen escritos que corresponden á grupos diferentes, y por otra parte á estos grupos no es posible asignarles límites fijos de tiempo.

I.—Grupo ante-booliano.

Está caracterizado por la anarquía grande de notaciones y poca fecundidad de éstas. Los resultados prácticos son insignificantes y nulas las aplicaciones á otras ciencias.

Pertenecen é este grupo los escritos de Leibniz, Bernoulli, Maimon, Plouquet, Holland, Darjes, Segner, Lambert, Dalgarno y otros. Aunque hechos en época moderna los unos y reciente los otros, deben corresponder, sin embargo, á este grupo, con el que tienen muchas afinidades, los trabajos de Hamilton y Frege, sobre todo si se tiene en cuenta su ineficacidad y lo extraño de sus notaciones. No están con todo exentos de mérito ambos autores.

En el período ante-booliano se habían ya ideado representaciones esquemáticas ingeniosas (Euler, Bolzano, etc.); pero no existen aún las máquinas lógicas.

II.—Grupo booliano.

A éste corresponden escritos lógicos de muy diversas épocas, unos que datan de Boole mismo y otros recientes. Tales son las obras de George Boole, las de Stanley Jevons, John Venn, Bruce, Halsteadt, Artur Cayley, W. Clifford, Alexander Mac-Farlane, Bray Kempe, Al-
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bino Nagy (1) y los primeros escritos de Peirce y Schröder, todos los cuales forman un grupo bastante natural, difiriendo sólo en algunas mejoras sucesivamente aportadas al sistema booliano. Es de advertir que los trabajos del señor Kempe comprenden una rama especial, muy notable por cierto.

III.—GRUPO PEIRCEANO.

Lo constituyen las publicaciones de Grassmann, de Hugh Mac-Coll, parte de las modernas de Peirce y de sus discípulos de la escuela de Baltimore (excepto Mitchell), las del sabio profesor de Karlsruhe señor Schröder, posteriores á su operationenkreis des Logikkalkuls, y los escritos de Giuseppe Peano.

IV.

Los trabajos del señor Delbaeuf y algunos del señor Murphy forman un grupo bien caracterizado y diferente de los anteriores.

V.—GRUPO DE LOS RELATIVOS.

Dentro de este grupo se comprende la mayor parte de las memorias del inmortal De Morgan, las más hermosas de las de Pierce y algunas de Murphy, Mac-Farlane, Christine Ladd, J. Ellis, etc.

VI.—GRUPO DE ENLACE ENTRE LA LÓGICA DE LO ABSOLUTO Y LA DE LOS RELATIVOS.

Es del período actual y fué iniciado por Oscar Howard Mitchell, habiendo sido seguido por su maestro Santiago Peirce, por Christine Ladd, por Andreas Voigt y por todos los lógicos modernos.

VII.—LÓGICA APLICADA.

La Aritmética ha llegado á ser, merced á los trabajos de Grassmann, Peirce, Dedekind y Peano, una rama de la lógica. Los escritos de Mac-Coll comprenden además curiosas aplicaciones al estudio de las integrales.

Es de advertir que de algunos autores no conozco todas las obras

(1) Aún no se ha publicado su anunciada última obra que publicará Loesche en Turín.
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(de los citados conozco alguna por lo menos de cada uno) y que los que no cito me son desconocidos por completo. Sólo son estos últimos Elizabeth Blackwood y Poretzki, que ha introducido en Rusia estos estudios.

Los escritos referentes á máquinas y diagramas lógicos podrían formar un nuevo grupo. Además el día en que la Historia de la Lógica simbólica haya tomado incremento deberá crearse otro para los trabajos históricos.

TEOREMA

remitido por el Sr. BATTAGLINI, profesor de la Universidad de Nápoles. (1)

Consideremos en un plano un cuadrilátero completo Q:
Designaremos sus lados con a, b, c, d, sus vértices (puntos de intersección de dos lados) con bc, ca, ab, ad, bd, cd; las rectas que unen los pares de vértices opuestos son las tres diagonales del cuadrilátero \((bc, ad), (ca, bd), (ab, cd)\).

Sobre cada lado del cuadrilátero, por ejemplo d, sean los conjugados armónicos de cada uno de los puntos ad, bd, cd, respecto á los otros dos, \(a'd', b'd', c'd'\).

Los tres pares de puntos \((ad, a'd'), (bd, b'd'), (cd, c'd')\) están en involución. Designaremos por \((D_1, D_2)\) el par de los puntos dobles de esta involución. De igual manera, sobre los otros lados c, b, a del cuadrilátero se tienen los pares de puntos dobles de las involuciones \((C_1, C_2), (B_1, B_2), (A_1, A_2)\).

Sobre cada una de las diagonales del cuadrilátero, el par de vértices de éste pertenecientes á aquélla y el par de puntos de intersección de dicha diagonal con las otras dos, son dos pares que determinan una involución; indicaremos con \((E_1, E_2)\) el par de puntos dobles de esta involución.

Análogamente en las otras dos diagonales se tienen los pares de puntos dobles de las involuciones \((F_1, F_2), (G_1, G_2)\). Los catorce puntos \((A_1, A_2), (B_1, B_2), (C_1, C_2), (D_1, D_2), (E_1, E_2), (F_1, F_2), (G_1, G_2)\) pertenecen á una línea de segundo orden S, que se llama la cónica de los catorce puntos respecto al cuadrilátero Q.

Mediante el principio de dualidad se tiene el teorema recíproco, relativo á una línea de segunda clase ó cónica de las catorce rectas respecto á un cuadrilátero.

(1) Tenemos el gusto de ofrecer á los lectores de EL PROGRESO MATEMÁTICO el precedente teorema, que se ha dignado remitirnos el ilustre geómetra Sr. Battaglini, en la seguridad de que ha de llamar poderosamente su atención.
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CUESTIONES RESUELTA

Cuestión núm. 52 (véase t. II pág. 27). (1)

Se dan dos rectas rectangulares OA, OB y un punto C, por el que se hace pasar una secante variable ACB. Se describe la circunferencia que tiene AB por diámetro.

1.º Se traza la cuerda MCN perpendicular á AB. Hallar el lugar de los puntos M, N.

2.º Se traza en B la tangente sobre la que se proyectan los puntos M, N en S, T. Hallar el lugar de los puntos S, T.

(H. Brovard).

Solución por el Sr. A. Schiappa Monteiro, profesor de la Escuela politécnica de Lisboa.

Primer lugar geométrico,

1.º Se ve por el enunciado de esta cuestión que la solución buscada se refiere solamente al caso en que el punto C se encuentra en el ángulo AOB, lo que se reduce á suponer que la cuerda MN es real.

Según esto, teniendo esta cuerda por medio el punto fijo C, el lugar buscado tendrá por centro dicho punto, que tomaremos por origen de coordenadas, eligiendo por ejes de la x, y las rectas CX, CY perpendiculares á las rectas dadas OA, OB que las cortan en los puntos K y H.

Consideremos el punto M cuyas coordenadas son Cp = x, pM = y; y hagamos OH = h, OK = k, CM = ρ, AC = γ, CB = δ.

Los triángulos semejantes CpM, CHB, AKC originan las relaciones

\[
\frac{x}{\rho} = \frac{k}{\delta} \quad \text{y} \quad \frac{y}{\rho} = \frac{h}{\gamma}
\]

(1)

que multiplicadas, miembro á miembro, darán

\[
\frac{xy}{\rho^2} = \frac{hk}{\gamma \delta};
\]

(2)

pero se tiene

\[
\rho^2 = \gamma \delta;
\]

(3)

luego

\[
xy = hk,
\]

(4)

que es la ecuación del lugar de los puntos M y N en coordenadas rectangulares.

(1) Para que el lector se entere con más facilidad de esta notable solución, con que ha favorecido á EL PROGRESO MATEMÁTICO el Sr. Schiappa Monteiro, daremos otra lámina de mayores dimensiones.
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Como se ve, este lugar es, pues, una hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) que tiene por asíntotas las rectas CX, CY y por eje transverso \( 2 \sqrt{2hk} \).

2.º Si se quiere hallar directamente la ecuación de este lugar en coordenadas polares, tomemos el punto C como polo y CX por eje polar, haciendo el ángulo XCM igual á \( \omega \).

Los triángulos rectángulos AKC, CHB dan

\[
\gamma = \frac{h}{\operatorname{sen} \omega}, \qquad \delta = \frac{k}{\cos \omega}
\]

y en virtud de la ecuación (3) resulta

\[
\rho' = 2 \frac{hk}{\operatorname{sen} 2 \omega}
\]

ecuación polar del lugar buscado (\( \Sigma \)).

Segundo lugar geométrico.

Para hallar el lugar de los puntos S, T, tomemos por ejes de las abscisas y de las ordenadas las rectas HB, HC. Consideremos el punto S cuyas coordenadas son \( H p_1 = x', \ p_1 S = y' \), y hagamos \( HB = x_0 \).
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Siendo iguales entre sí los triángulos rectángulos CpM, Bp,S y semejantes al CHB, dan

\[
Bp_1, p_1S = (Hp_1 - HB)p_1S = h.k \quad \delta (x' - x_0) \quad y' = h.k \tag{8}
\]

y
\[
\frac{x'_c}{k} = \frac{y'}{x' - x_0} \tag{8}
\]

Eliminando \( x_0 \) entre estas dos relaciones, y suprimiendo los acentos, el resultado

\[
y^3 - h.x.y + h^3 k = 0 \tag{9}
\]

es la ecuación del lugar geométrico pedido (\( \Omega \)), que representa una verdadera transformada de la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)).

Discusión.—El examen de esta ecuación conduce á establecer que:
Los puntos de intersección reales de este lugar (\( \Omega \)) con las asíntotas CX y CY de la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) tienen respectivamente por coordenadas

\[
x = \frac{h^3 + k^3}{h} = H p_4, \quad y = k = p_2 S_4 \tag{10}
\]

y
\[
x = o, \qquad y = - \sqrt[3]{h^2 k} = T_1 H \tag{11}
\]

Esta curva tiene por asíntota el eje de las \( x \), y otra llevada al infinito, paralela á este eje, puesto que se tiene

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{hy}{3y^2 - hx} = \frac{h}{3y - h \frac{x}{y}} = 0 \tag{12}
\]

para
\[
x = \infty \quad \text{é} \quad y = 0
\]
así como para
\[
x = \infty \quad \text{é} \quad y = \infty
\]

Para \( \frac{dy}{dx} = \infty \), resulta

\[
y^3 = \frac{h}{3} x \tag{13}
\]

y, según la ecuación (9) se obtiene la ecuación

\[
x = 3 \sqrt[3]{\frac{hk^2}{4}} = H p_0 \tag{14}
\]

que representa la tangente real \( p_0 S_0 \), paralela al eje de las \( y \) en el minimum de \( x \), para los valores positivos de \( y \).

Se llegaría al mismo resultado, estableciendo la condición necesa-
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gran perspicacia la trascendental importancia de este estudio, y los hechos han confirmado sus palabras (N. C. M. 1879, pág. 446) «El problema de que M. Brocard ha obtenido una multitud de resultados interesantes, parece ser una mina inagotable de deducciones matemáticas. En efecto, véanse algunos desarrollos nuevos que me contento con bosquejar» y partiendo de ciertas fórmulas obtenidas por M. Chadu (N. A. M. 1875, p. 286), agregó á ellas las proposiciones siguientes:

1.º El punto \( \Omega \) es el baricentro de tres masas \( \frac{1}{a^2}, \frac{1}{b^2}, \frac{1}{c^2} \) aplicadas respectivamente á los puntos C, A, B.

2.º El ángulo \( \omega \) satisface á las relaciones

\[
\sum \frac{\sin (B - \omega) \sin (C - \omega)}{\sin B \sin C} = 1
\]

y \( \operatorname{cosec}^2 \omega = \operatorname{cosec}^2 A + \operatorname{cosec}^2 B + \operatorname{cosec}^2 C \).

3.º Las rectas A\( \Omega \), B\( \Omega \), C\( \Omega \) dividen los lados del triángulo en segmentos proporcionales á los cuadrados de dos lados (observación hecha ya por M. Catalán).

Pero cuando aparecían estas líneas, M. H. Brocard, justificando las previsiones de M. J. Neuberg, dirigía á M. E. Catalán la conclusión de sus estudios, estableciendo que los siete puntos O, centro del círculo ABC; \( \Omega, \Omega', A_1, B_1, C_1 \) y K, punto de intersección de las paralelas A\( _1 \)K, B\( _1 \)K, C\( _1 \)K, á los lados del triángulo ABC, se encuentran en una misma circunferencia de diámetro OK y circunscripta á los triángulos isósceles \( \Omega O \Omega', \Omega K \Omega' \). (N. C. M. 1880, pags. 21-23 y 98-100).

El punto K así definido, tiene pues, por coordenadas normales \( \frac{a}{2} \tg \omega, \frac{b}{2} \tg \omega, \frac{c}{2} \tg \omega \), es decir, cantidades proporcionales á las longitudes de los lados \( a, b, c \), siendo por tanto, en definitiva, el punto correspondiente al centro de gravedad en la transformación por rectas simétricas, ó de otro modo, es el centro de las medianas antiparalelas, cuyo importantísimo estudio había proseguido con tan fecundos resultados M. Lemoine, desde 1873. Uno de los más notables entre estos, era la noción de la circunferencia que pasa por los seis extremos de las paralelas á los lados del triángulo, trazadas por el punto K, y á la que se ha dado el nombre de círculo de Lemoine (PROG. MAT. I, p. 80).

Pero el interés de esta nueva teoría ha estribado en correlación íntima que existe, por una parte entre los puntos K, \( \Omega, \Omega' \) y por otra entre los dos círculos precitados.

1.º Todo punto M de un triángulo da origen á dos puntos conju-
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ría y suficiente para que la ecuación (9) tenga dos valores iguales para \( y \).

Se ve pues, que á todo valor positivo de \( x \) menor que \( H p_0 \), así como á todo valor negativo, corresponde para \( y \) un valor real negativo y dos imaginarios; y que para los valores positivos mayores y crecientes, \( y \) tiene tres valores reales, dos positivos y uno negativo.

*Esta cúbica, teniendo un punto doble en el infinito, en la dirección asinsíática del eje de las x, es unicursal y se llama el tridente*, pudiendo, como todas las cúbicas unicursales, ser engendrada á la manera de las conoidales.

Satisfaciendo las coordenadas de los puntos de inflexión ó los pares de valores reales de \( x \) é \( y \) á la vez á la ecuación de la curva y á una de las siguientes

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = 0 \quad \text{o} \quad \frac{d^2 y}{dx^2} = x,
\]

están dadas por las fórmulas (11).

La inclinación de la tangente respectiva será

\[
\frac{dy}{dx} = - \frac{h}{3 \sqrt[3]{h^2 k}} \tag{15}
\]

Cuando el punto generador T de la cúbica coincida con el punto de inflexión \( T_1 \), el segmento TS tocará á la rama S'S'S'..., en \( S_1 \); y la inclinación de este segmento será

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2k} = \frac{h}{y} = \frac{h}{\sqrt[3]{h^2 k}} \tag{16}
\]

Se ve, pues, que la relación entre las subtangentes \( B_1 h \) y \( b_1 H \), correspondientes á los puntos \( S_1 \) y \( T_1 \), es igual á \( - \frac{1}{3} \), y por consiguiente, se tendrá

\[
HB_1 = \frac{1}{3} b_1 H.
\]

De la tangente. Se reconoce á priori, que la envolvente de las posiciones sucesivas del segmento variable ST es una parábola (\( \pi \)), que tiene por foco el punto C y por podar, ó tangente en el vértice II la recta III que representa la diametral del tridente.

Según esto, cortando en en el punto \( S_t \) la recta ST á HC, estará dado, como se sabe, su punto de contacto I con la envolvente (\( \pi \)), tomando sobre esta recta el segmento BI igual á BS_t.
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Esto sentado, se puede considerar este punto de contacto I como un punto fijo por el que está sujeta á pasar la recta CD durante un tiempo infinitamente pequeño, y entonces se puede determinar la tangente en los puntos S y T á la cúbica engendrada, empleando el principio de las transversales recíprocas.

En efecto, si se toma á partir del punto I, en la dirección IB, una longitud \( l_n = SB \) igual al semi-diámetro transverso CN de la hipérbola (\( \Sigma \)), cuando se considera una posición infinitamente próxima I'S_2B_3 del vector IB, siendo los segmentos I'_{n_2} y S_2B_3 equipolentes al semi-diámetro transverso infinitamente próximo de CN, las rectas \( n_{n_2} \) y SS_3 serán dos transversales recíprocas en el triángulo BITB_3 y sus puntos de intersección con la directriz III serán, pues, simétricos con relación al medio de BB_3.

Si se supone ahora que el vector IB_3 llega á confundirse con el vector IB, la recta SS_1 tiene por posición límite la tangente S0 en el punto S á la cúbica, y por otra parte, \( n_{n_1} \) se reduce, en el límite, á la recta \( n_{\theta_0} \), paralela á la tangente á la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) en el punto N.

Resulta de aquí una construcción que se halla indicada en la figura. Para obtener la tangente S0 se ha tomado \( \theta_0 B = B0 \).

Puesto que las normales en los extremos S, T de la cuerda ST del tridente deben cortar á la normal IN' á la parábola (\( \pi \)) en dos puntos simétricos v, v' con relación á N', se puede obtener enseguida y con facilidad la tangente en el otro extremo T de esta cuerda.

Observación. Es fácil reconocer que el punto I se halla también en la circunferencia (C_0) que pasa por C y tangente en B á la diametral III, siendo entonces el extremo N' del diámetro de contacto BC_0N el centro instantáneo de rotación del segmento ST.

La perpendicular bajada desde el punto I, cortando en Q y C_1 á las rectas IIIBQ y CB, determina el triángulo BQI semejante al triángulo CHB y cuyos lados HB y BQ son evidentemente iguales. La comparación de estos triángulos da

\[
II B^2 = HC \cdot QI
\]

ó, haciendo

\[
HQ = x ; \quad QI = y
\]

\[
x^2 = 4ky
\]

(17)

ecuación de la parábola (\( \pi \)), envolvente de las diversas posiciones de ST, la que tocará al tridente en el punto S_1.

El lugar geométrico del centro instantáneo de rotación N del segmento variable ST es también otra parábola (\( \tilde{\omega} \)) que tiene por vértice el punto C y por foco el punto F, cuyo parámetro es k.
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En efecto, en el triángulo rectángulo BCN', en el que CQ' es la perpendicular bajada desde el vértice C del ángulo recto á la hipotenusa BN', se tiene

\[
CQ'^2 = Q'B \cdot Q'N' = HC \cdot Q'N'
\]

y haciendo \( CQ' = x , \quad Q'N' = y \), resulta

\[
x^2 = ky \tag{18}
\]

Esta parábola (\( \sigma_5 \)) es pues, una de las que representan los lugares geométricos de los puntos desde los que se puede trazar geométricamente normales á la parábola (\( \pi_1 \)).

El lugar geométrico del centro \( C_n \) de la circunferencia \( C_0 \) será también una parábola (\( \pi_{1n} \)), homofocal de (\( \pi_1 \)), y cuyo vértice es el punto medio del segmento HC, ó que tiene por parámetro \( 2k \).

Observación general.

Si se supone que el segmento AB de la transversal trazada por el punto C se halla en alguno de los ángulos X_nOY_n ó Y_nOX_n adyacentes al ángulo X_nOY_n donde se encuentra dicho punto, la cuerda MN se convertirá en ideal, y el lugar geométrico de los puntos M, N será una hipérbola equilátera (\( \Sigma_1 \)), á la cual corresponderá, como lugar de los puntos respectivos S, T una cúbica (\( \Omega_4 \)) simétrica de (\( \Omega \)) con relación al eje Y'U'Y''.

Si el segmento ST, en vez de variar con la magnitud de los diámetros equipolentes de la hipérbola (\( \Sigma \)), permaneciese siempre igual al radio \( \sqrt{2hk} \) del círculo (C'), cónica suplementaria de la hipérbola (\( \Sigma \)), los puntos S, T engendrarían una cuártica, transformada de este círculo, la cual podría considerarse análogamente como suplementaria de la cúbica (\( \Omega \)), transformada de aquella hipérbola.

El centro \( E \) del círculo (\( \Sigma \)), descrito sobre el segmento variable AB como diámetro, se halla siempre sobre una hipérbola equilátera (E) que tiene por centro el punto medio E de OC, que por consiguiente, será uno de sus diámetros transversos y cuyas asíntotas son paralelas á las de las hipérbolas equiláteras (\( \Sigma \)) y (\( \Sigma' \)).

Cuando del punto O como centro, con el radio OC se describe una circunferencia (C), quedará cortada por la hipérbola (E) en los puntos e_1, e_2, e_3, y estos puntos, así como el punto C, serán los centros de cuatro círculos iguales al círculo (1), cuyos diámetros serán los segmentos a_1b_0, a_1b_1 y a_2b_2, a_3b_3, iguales á 2 OC, de las transversales Cb_0, ce_1 y ce_2, ce_3; correspondiendo el primer par de estos círculos á la generatriz de la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) y el último á la hipérbola conjugada (\( \Sigma' \)).

Por otra parte, la transversal Cb_0, tangente á la hipérbola (E) deter-