ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 23

arc BE = arc EB' = \Delta = \frac{\text{arc PB} - \text{arc PB'}}{2}

Sean F, F' las proyecciones de BB' sobre AP. Se tendrá

\[
\frac{OC}{FB} = \frac{OA}{AF}, \qquad \frac{OC'}{B'F'} = \frac{OA}{AF'},
\]

ú

\[
OC = \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} = tg \frac{\varphi}{2}, \qquad OC' = \frac{\sin \psi}{1 + \cos \psi} = tg \frac{\psi}{2},
\]

y

\[
\frac{OM}{MC} = \frac{\alpha}{\rho} = \frac{\frac{\sin \frac{\varphi + \psi}{2}}{\sin \frac{\varphi - \psi}{2}}}{\frac{\sin D}{\sin \Delta}} = \frac{\sin D}{\sin \Delta}.
\]

Véase una demostración aún más sencilla que ha tenido la atención de darme á conocer M. G. TARRY.

Por definición, M está en la línea que une el punto A al punto de intersección de las tangentes en los puntos B y B'.

Sean L y L' las proyecciones de E sobre OP y sobre OB, N la proyección de I sobre OP, V la intersección de IN con la prolongación de AB.

Tendremos

\[
\frac{EL}{EL'} = \frac{IN}{IB}
\]

Pero los ángulos IBV, IVB son iguales por tener igual medida,

Así

\[
IB = IV.
\]

Luego

\[
\frac{EL}{EL'} = \frac{\sin D}{\sin \Delta} = \frac{IN}{IV} = \frac{IN}{IB}
\]

y

\[
\frac{IN}{IV} = \frac{OM}{MC} = \frac{\alpha}{\rho} = \frac{\sin D}{\sin \Delta}
\]

En fin, M. G. TARRY observa que la propiedad del triángulo IVB de ser isósceles, resulta también de que este triángulo es semejante al triángulo formado por AB y por las tangentes en A y B.
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 24

La demostración precedente permite también establecer la igualdad de los segmentos MC, MC' determinados por la línea IMA, independientemente de toda propiedad de las proyecciones estereográficas.

(Septiembre 1881).

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión núm. 62 (véase t. II pág. 128).

Resolver el sistema de ecuaciones

(A) \( \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} = a \),      (B) \( \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y} = b \)

(R. Guimaraes).

Solución por M. H. Brocard.

Las dos curvas (A), (B) son elipses cuyo radio vector común MO corresponde al ángulo \( \omega \) dado por la condición

\[
\frac{a (\cos \omega + \sen \omega)}{1 + \sen \omega \cos \omega} = \frac{b (\cos \omega - \sen \omega)}{1 - \sen \omega \cos \omega}
\]

de donde

\[
\tg \omega = \sqrt[3]{\frac{b - a}{b + a}} = m.
\]

Se tiene pues,

\[
OM = \frac{a (1 + m)}{\cos \omega (1 + m^2 + m)}
\]

\[
x = \text{MO} \cos \omega = \frac{a (1 + m)}{1 + m^2 + m} = \frac{a (1 - m^2)}{1 - m^3}
\]

\[
x = \frac{(b + a)^{\frac{1}{3}}}{2} \left[ (b + a)^{\frac{2}{3}} - (b - a)^{\frac{2}{3}} \right], \text{ etc., etc.}
\]

Se vuelven á hallar estos resultados tomando como incógnitas auxiliares \( x + y \) y \( x - y \).
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 3

CAS PARTICULIER DE L'ÉQUATION (19).—Supposons que la transformée plane A, considérée dans sa position, coïncide avec la ligne méridienne L. On aura:

\[
p = q = \varepsilon = 0
\]

et l'équation (19) se réduit à la suivante:

\[
f \left[ \Psi (\sigma) \right] = f (\sigma)
\]

La seccion droite du cylindre soit, par exemple, l'épicicloïde représentée par l'équation (§. 1.)

\[
\Psi (\sigma) = \sqrt{a^2 - \sigma^2}
\]

La condition précédente devient:

\[
f(\sqrt{a^2 - \sigma^2}) = f(\sigma),
\]

ce qui donne:

\[
f(\sigma) = k \left( \sigma^1 - a^2 \sigma^2 \right),
\]

\(k\) étant une constante. La surface de révolution a donc pour ligne méridienne la courbe de quatrième ordre représentée par l'équation:

\[
z = k \ R^2 (R^2 - a^2)
\]

6. On dit que deux surfaces de révolution S, S₁ du même axe sont conjuguées, lorsqu'on peut les couper par un cylindre ayant les génératrices parallèles à l'axe de façon, que la ligne méridienne d'une des surfaces soit égale à la transformée plane de l'intersection de l'autre, quand on déroule le cylindre sur un plan.

Si les équations (11), (12) sont celles de la ligne méridienne L et de la transformée plane A de l'intersection de la surface S, l'équation de la section droite du cylindre est (§. 3.)

\[
f(R) = \varphi (\sigma)
\]

Que l'on remplace les coordonnées \( \zeta, \sigma \), dans l'équation (12), par les quantités:

\[
h + \zeta \cos 0 - \sigma \sin 0 ; \quad k + \zeta \sin 0 + \sigma \cos 0
\]

(h, k, θ étant des constantes) ce qui correspond à un changement quelconque des axes coordonnés. On obtient:

\[
h + \zeta \cos 0 - \sigma \sin 0 = \varphi (k + \zeta \sin 0 + \sigma \cos 0)
\]
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 4

Soit S₁ la surface de révolution ayant pour ligne méridienne L₁ la courbe dont l'équation est:

(21) \( h + z \cos \theta - R \sin \theta = \varphi (k + z \sin \theta + R \cos \theta) \)

et supposons que la transformée plane Λ, de l'intersection soit représentée par l'équation:

\[
m + \zeta \cos \omega - \sigma \sin \omega = f(n + \zeta \sin \omega + \sigma \cos \omega)
\]

que l'on déduit de l'équation (11), en remplaçant les coordonnées z, R par les autres ζ, σ, à l'aide d'une transformation analogue à celle indiquée par les équations (16).

La section droite du cylindre coupant la surface S₁ est alors représentée par l'équation qu'on obtient en éliminant ζ entre les deux équations suivantes:

(22) \( \left\{ \begin{array}{l}
h + \zeta \cos \theta - R \sin \theta = \varphi (k + \zeta \sin \theta + R \cos \theta) \\
m + \zeta \cos \omega - \sigma \sin \omega = f(n + \zeta \sin \omega + \sigma \cos \omega)
\end{array} \right. \)

On peut donc énoncer le théorème: Pour que les surfaces de révolution S, S₁, dont les lignes méridiennes sont représentées par les équations (11) et (21) soient conjuguées, il faut et suffit que les fonctions f et φ jouissent de la propriété que l'équation (20) et celle que l'on obtient en éliminant ζ entre les équations (22) reviennent l'une à l'autre.

Cas particuliers.—On peut effectuer l'élimination de ζ entre les équations (22) lorsqu'on a θ = 0, ou bien ω = 0.

Si à la fois \( h = k = m = n = \theta = \omega = 0 \), on obtient:

(23) \( \varphi(R) = f(\sigma) \)

Cette équation doit coïncider avec l'équation (20).

7. La coïncidence des équations (20), (23) a lieu, par exemple, lorsqu'on prend

\[
f(R) = \left( h + a_1 R + a_2 R^2 + \ldots + a_{m-1} R^{m-1} + a_m R^m \right)^n
\]
\[
\varphi(\sigma) = \left( k - a_1 \sigma - a_2 \sigma^2 - \ldots - a_{m-1} \sigma^{m-1} - a_m \sigma^m \right)^n
\]

\( h, k, a_1, a_2, \ldots, a_{m-1}, a_m, n \) étant des constantes quelconques.

Donc «Les surfaces de révolution, ayant pour lignes méridiennes les courbes représentées par les équations:
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 5

z = f (R) = \left( h + a_1 R + a_2 R^2 + \ldots + a_{m-1} R^{m-1} + a_m R^m \right)^n

z = \varphi (R) = \left( k - a_1 R - a_2 R^2 - \ldots - a_{m-1} R^{m-1} - a_m R^m \right),

sont conjuguées entre elles; le cylindre coupant ces deux surfaces a pour section droite la courbe représentée par l'équation:

h + a_1 R + a_2 R^2 + \ldots + a_{m-1} R^{m-1} + a_m R^m = k - a_1 s - a_2 s^2 - \ldots - a_{m-1} s^{m-1} - a_m s^m

Exemple.—La surface de révolution donnée soit de deuxième ordre ayant le centre à distance finie; si l'équation de la ligne méridienne est:

\[
\frac{z^2}{m} + \frac{R^2}{n} = 1,
\]

on a:

\[
z = f (R) = \sqrt{m - \frac{m}{n} R^2}
\]

et conséquemment:

\[
\varphi (R) = \sqrt{p + \frac{m}{n} R^2},
\]

p étant une constante.

La ligne méridienne de la surface conjugée est donc représentée par l'équation:

\[
\frac{z^2}{p} - \frac{R^2}{\left( \frac{np}{m} \right)} = 1
\]

Une surface de révolution de deuxième ordre ayant le centre à distance finie a donc pour surface conjugée une autre surface de la même nature. Pour équation de la section droite du cylindre nous avons:

\[
\sqrt{m - \frac{m}{n} R^2} = \sqrt{p + \frac{m}{n} s^2},
\]

c'est-à-dire:

\[
R = \sqrt{\frac{n(m-p)}{m}} s^2
\]
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 6

Cette courbe est donc une épicycloïde (§. 1).
Si \( m = n = a^2; p = b^2 \), on a:

\[
f(R) = \sqrt{a^4 - R^4}, \quad \varphi(R) = \sqrt{b^4 + R^4}
\]

Une sphère a donc pour surface conjuguée un hyperboïde à deux nappes dont la ligne méridienne est une hyperbole équilatère.

Lorsque le théorème, que l’on vient de démontrer dans ce numéro, n’offre pas d’utilité pour la détermination de la surface conjuguée à une surface de révolution donnée, on peut appliquer les considérations développées au §. 7.

Exemples.—1°) Si la surface donnée est un cône de rotation, on a:

\[
z = f(R) = k\,R
\]

Soit

\[
\zeta = \varphi(\sigma)
\]

l’équation inconnue de la transformée plane \( \Lambda \); les équations (20), (23) deviennent:

\[
k\,R = \varphi(\sigma), \quad k\,\sigma = \varphi(R).
\]

d’où, en éliminant \( R \):

\[
\varphi\left[\frac{\varphi(\sigma)}{k}\right] = k\,\sigma
\]

Cette relation donne:

\[
\varphi(\sigma) = k\,\sigma, \quad \text{ou bien} \quad \varphi(\tau) = \frac{a^2}{\sigma},
\]

\( a \) étant une constante.

La première solution donne \( R = \sigma \), équation d’une droite passant par le pôle; le cylindre se réduit à un plan passant par l’axe de rotation de la surface. Ce résultat n’a évidemment aucune importance. La deuxième solution donne:

\[
(24) \qquad R = \frac{a^2}{k\,\sigma}, \quad z = \sigma(R) = \frac{a^2}{R};
\]

la surface de révolution conjuguée au cône est donc engendrée par la rotation d’une hyperbole équilatère autour d’une de ses asymptotes.

L’analyse précédente démontre que: Le cylindre, dont de la section droite est la courbe représentée par l’équation (24), coupe la surface, engendrée par la rotation d’une hyperbole équilatère tournant autour d’une de ses asymptotes, suivant une hélice.
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 7

2°) Si la surface donnée est une paraboloïde, on a:

\[
z = f(R) = \frac{R^2}{a}
\]

Un procédé analogue au précédent nous conduit à la équation:

\[
\varphi \left[ \sqrt{a \varphi(\sigma)} \right] = \frac{\sigma^2}{a}
\]

ayant pour solution:

\[
\sigma(\sigma) = \frac{\sigma^3}{a}, \quad \text{ou bien} \quad \varphi(\sigma) = \frac{(b^2 - \sigma^2)^{8/3}}{a^{4/3}},
\]

\( b \) étant une constante.

La première solution, donnant \( R = \sigma \), n’a pas d’importance; la deuxième donne pour équation de la ligne méridienne de la surface inconnue:

\[
z = \varphi(R) = \frac{(b^2 - \sigma^2)^{8/3}}{a},
\]

c’est-à-dire:

\[
\left[ (R^3 - b^3)^2 - a^3 z^2 \right]^3 = 16 a^3 b^3 R^3 z^3
\]

La ligne méridienne est donc une courbe algébrique de 12ème ordre. La section droite du cylindre coupant les surfaces conjuguées est représentée par l’équation:

\[
R = \sqrt{a \varphi(\sigma)} = (b^2 - \sigma^2)^{2/3}
\]

8. Je vais indiquer le procédé à suivre pour déterminer des couples de surfaces de révolution conjuguées, lorsqu’on donne le cylindre coupant.

Soient (11) et (13) les équations de la ligne méridienne L d’une surface de révolution inconnue S et de la section droite donnée Γ du cylindre. La transformée plane A de l’intersection de S avec le cylindre est représentée par l’équation (§. 3).

\[
\zeta = f[\psi(\sigma)],
\]

qui, par un changement d’axes coordonnés, devient:

\[
h + \zeta \cos \theta - \sin \theta = f[\psi(k + \zeta \sin \theta + \sigma \cos \theta)]
\]
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 8

Que l’on prenne pour ligne méridienne de une surface de révolution S, la courbe A représentée par l’équation:

(25) \( h + z \cos \theta - R \sin \theta = f [ \psi (k + z \sin \theta + R \cos \theta) ] \)

On conclut alors que l’équation de la transformée plane A, de l’intersection de S, avec le même cylindre est:

(26) \( h + \zeta \cos \theta - \psi (\sigma) \sin \theta = f \left\{ \psi \left[ k + \zeta \sin \theta + \psi (\sigma) \cos \theta \right] \right\} \)

Les lignes représentées par les équations (11), (26) doivent être égales entre elles. Or si dans l’équation (11) on fait la substitution déterminée par les équations (16) (ce qui correspond à un changement quelconque d’axes coordonnés), l’équation (11) se réduit à l’autre (17).

La fonction \( f \) doit donc vérifier la condition exprimée par l’équation que l’on obtient en éliminant \( \zeta \) entre les équations (17), (26).

Les deux surfaces de révolution conjuguées ont pour lignes méridiennes les courbes représentées par les équations (11) et (25).

9. Cas particuliers.—L’élimination de \( \zeta \) entre les équations (17), (26) peut être effectuée lorsqu’on \( a \theta = 0 \), ou bien \( \epsilon = 0 \). Si à la fois on a \( h = k = 0 = 0 \), l’élimination de \( \zeta \) entre les équations (17), (26) donne:

(27)
\[
p + f \left\{ \psi [\psi (\sigma)] \right\} \cos \epsilon - \sigma \sin \epsilon = f \left[ q + f \left\{ \psi [\psi (\sigma)] \right\} \sin \epsilon + \sigma \cos \epsilon \right]
\]

Exemple.—La section droite du cylindre soit la spirale logarithmique;

\[
R = \psi (\sigma) = \sigma \cdot \cos i
\]

Puisque

\[
\psi [\psi (\sigma)] = \sigma \cdot \cos^3 i,
\]

la condition (27) devient:
(28) \( p + f (\sigma \cos^3 i) \cos \epsilon - \sigma \sin \epsilon = f [q + f (\sigma \cos^3 i) \sin \epsilon + \sigma \cos \epsilon] \)

La surface de révolution soit un cône; puisque, dans ce cas, on a:

\[
z = f (R) = a R,
\]

si l’on applique l’équation (28), on obtient:

\[
p - a q = [(1 + a^2 \cos^4 i) \sin \epsilon + a \sin^4 i \cdot \cos \epsilon] \sigma
\]

Cette condition est vérifiée par identité, si l’on prend les quantités \( p, q, \epsilon \) de façon, qu’il résulte:

\[
\frac{p}{q} = a, \quad tg \epsilon = - \frac{a \sin^4 i}{1 + a^2 \cos^4 i}
\]
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 9

L'équation (25), dans ce cas, se réduit à l'autre

\[
z = a \cos i \cdot R
\]

Conséquemment un cône de révolution, coupé par un cylindre dont la section droite est une spirale logarithmique, ayant le pôle sur l'axe de rotation, a pour surface conjuguée un autre cône de révolution. Ceci est un résultat connu.

AUTRE CAS PARTICULIER.—Que l'on suppose:

\[
h = k = p = q = 0 \quad \varepsilon = 0
\]

En éliminant \( \zeta \) entre les équations (17), (26), on conclut que la fonction \( f \) doit vérifier la condition suivante.

(29)

\[
f \left| \Psi \mid \Psi (\sigma) \right| = f (\sigma)
\]

Les lignes méridiennes des surfaces de révolution conjuguées sont représentées par les équations.

\[
z = f (R) \quad , \quad z = f \mid \Psi (R) \mid
\]

EXEMPLES.—1.º) Lorsque la section droite du cylindre est une spirale logarithmique ayant le pôle sur l'axe, on a:

\[
R = \Psi (\sigma) = z \cdot \cos i
\]

et l'équation (29) devient:

\[
f (\sigma \cos^2 i) = f (\sigma)
\]

Cette équation, si \( \cos i \) n'est pas égal à l'unité, n'est jamais vérifiée.

On conclut qu'il n'y a aucune couple de surfaces conjuguées par rapport à un cylindre dont la section droite est une spirale logarithmique, ayant le pôle sur l'axe.

2.º) Si l'on suppose:

(30)

\[
R = \Psi (\sigma) = \frac{a^2}{\sigma}
\]

ou bien

(31)

\[
R - \Psi (\sigma) = (a^m - \sigma^m)^{\frac{1}{m}},
\]

\( a \) et \( m \) étant des constantes, on trouve

\[
\Psi \mid \Psi (\sigma) \mid = \sigma
\]

et l'équation (29) se réduit à une identité, quelle que soit la fonction \( f \).

Donc «Lorsque le cylindre a pour section droite une ligne représentée par une des équations (30), (31), à chaque surface de révolution correspond toujours une surface conjuguée».
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

A NUESTROS LECTORES

El hecho de la supresión de las Facultades de Ciencias en las Universidades de Granada, Sevilla, Valencia y Zaragoza y de la reducción de la enseñanza matemática en los Institutos con motivo de economías es ya sobradamente conocido de nuestros lectores.

No creyéndonos en el caso de insistir sobre este suceso, de que ya han tratado varios periódicos de índole distinta que el nuestro, nos limitamos á consignarlo, puesto que además de que el tal hecho no puede ser más que pasajero, en nuestro artículo, hace tiempo anunciado, Estudios sobre la enseñanza y el organismo de la ciencia matemática, nos ocuparemos detenidamente de este menosprecio y abandono con que en España se ha tratado á las ciencias matemáticas y del contraste que el cultivo de las mismas en nuestro país forma con el floreciente estado de las mismas en las naciones más adelantadas y más prósperas.

Nos basta, al par que lamentamos tan infausto acontecimiento, manifestar por ahora que El Progreso matemático proseguirá, como desde el comienzo de su publicación, su obra de propaganda de esta ciencia cuya importancia es innecesario encarecer.

Z. G. de G.

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
(Véase t. I, págs. 293, 269 y 317)

(CONCLUSIÓN)

Habiéndose llegado á estas alturas, M. Neuberg, volviendo á considerar la cuestión 1166 y la resolución de M. Chadu, presintió con
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 10

damenti di Geometría, etc., del Sr. Veronese, dimos alguna idea del carácter geométrico que caracteriza la exposición de esta doctrina que conduce de unos á otros espacios por proyecciones sucesivas, á la manera que se procede en el espacio de tres dimensiones, en la Geometría proyectiva ordinaria; y, reservándonos el hacer nuevas indicaciones acerca de la obra del Sr. Veronese, de cuya parte concerniente á los espacios de 4 y de n dimensiones, nos ocuparemos en breve, para terminar nuestra comenzada reseña bibliográfica, hoy vamos á dedicarnos á ultimar las indicaciones contenidas en los prospectos relativos á los modelos del Sr. Schlegel con algunas consideraciones aclinatorias sobre esta teoría, basada en la proyección de los sólidos en el espacio de cuatro dimensiones.

El Dr. Schlegel en su memoria Sur une méthode pour représenter dans le plan les solides homogènes à n dimensions (1), dice:

«Un sólido homogéneo de n dimensiones es regular, si las figuras de \((n-1)\) dimensiones que lo limitan son regulares.)

De aquí se sigue que hay (como se sabe) un número infinito de figuras homogéneas (ó regulares) en el plano, cinco en el espacio ordinario, seis en el espacio de cuatro dimensiones, tres en otro cualquiera espacio (2).»

Supongamos que se propone el siguiente problema: Descomponer un polígono (regular) en figuras análogas (á saber, que tienen el mismo número de aristas que el polígono dado), de manera que en cada vértice se encuentra el mismo número de aristas y de figuras (incluida la figura dada). Entonces, no hay más que las cinco soluciones esencialmente distintas de este problema representadas por las figuras siguientes:

Fig. 1.*

Fig. 3.*

Fig. 2.*

En efecto: Un triángulo puede descomponerse en 3, 7, 19 triángulos, un cuadrilátero en 5 cuadriláteros, un pentágono en 11 pentágo-

(1) Rendiconti del circolo matematico di Palermo (t. V, 1891, p. 1).
(2) Véase su memoria: Quelques théorèmes de Géom. à n dimensions. Bull. Soc. math. de France, vol. X,
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 11

nos, observándose que el número de aristas que concurren en cada vértice es de tres en las figuras 1, 2, 4, cuatro en la 3 y cinco en la 5.

Supongamos ahora uno de los seis poliedros regulares, huecos, cuyas caras sean transparentes.

Fig. 4.ª

Fig. 5.ª

Si quitamos una de las caras y consideramos el punto de vista (centro de perspectiva) frente al punto medio de esta abertura, para ver el interior de todas las caras, tendremos el mismo aspecto que nos ofrecen las adjuntas figuras, que pueden considerarse como las proyecciones planas de los sólidos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro é icosaedro, y para completar el número de caras del poliedro, basta añadir la figura dada, que puede imaginarse superpuesta al conjunto de las demás.

Debe observarse que estas figuras, así como toda proyección plana de un sólido, ofrecen el aspecto de una figura plana; pero nuestra imaginación nos permite ver tres dimensiones donde á simple vista sólo percibimos dos.

Si extendemos el problema al espacio de tres dimensiones, hallamos la cuestión análoga: Descomponer un poliedro regular en sólidos análogos, es decir, con el mismo número de vértices de aristas y de caras que el polígono dado, de manera que en cada vértice se encuentran el mismo número de aristas de caras y de poliedros (incluído el poliedro dado).

Las soluciones al problema, en este caso, son las seis representadas por los modelos de que estamos tratando.

En efecto, según las investigaciones del Dr. Schlegel, resulta que un tetraedro se puede descomponer en 4, 15, 599 tetraedros, un exaedro en 7 exaedros, un octaedro en 23 octaedros, un dodecaedro en 119
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 12

dodecaedros, no siendo el icosaedro susceptible de tal descomposición.

Análogamente se pueden considerar estas figuras como las proyecciones de tres dimensiones de las seis figuras que es preciso distinguir con la denominación de sólidos regulares de cuatro dimensiones, con la sola diferencia ineludible e inherente á nuestra naturaleza, de que no disponemos de una imaginación susceptible de suplir y de representarnos, al percibir por nuestros órganos visuales las proyecciones de tres dimensiones, hecho después de todo sin importancia ó indiferente para los efectos de nuestras deducciones.

Los caracteres de dichos poliedros pueden resumirse en el siguiente cuadro:

    NOMBRES
    P
    C
    A
    V
    A<sub>e</sub>
    F<sub>e</sub>
    P<sub>e</sub>
    F<sub>a</sub>
    P<sub>a</sub>

    Pentaédroide (Fünfzelt)
    5
    10
    10
    5
    4
    6
    4
    3
    3

    Ocháedroide (Achtzell)
    8
    24
    24
    16
    4
    6
    4
    3
    3

    Hexadécaédroide (Sechzehnzell)
    16
    32
    24
    8
    6
    12
    8
    4
    4

    Icosatétraédroide (Vierundzwanzigzell)
    24
    96
    96
    24
    8
    12
    6
    3
    3

    Hekatonikasaédroide (Hundertzwanzigzell)
    120
    720
    1200
    600
    4
    6
    4
    3
    3

    Hexakosioédroide (Schlundertzell)
    600
    1200
    720
    120
    12
    30
    30
    5
    5

A<sub>e</sub> indica el número de aristas, F<sub>e</sub> el de caras, P<sub>e</sub> el de los poliedros que se encuentran en un vértice, F<sub>a</sub> el de las caras, P<sub>a</sub> el de los poliedros que se encuentran en una arista.

IV.—LITERATURA DE LOS SÓLIDOS DE MÁS DE TRES DIMENSIONES

W. L. Stringham, Regular figures in n-dimensional space (American Journ. of Math. III. 1888).

H. Scheffler, Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen (Braunschweig, Vieweg 1880).

R. Hoppe, Regelmaessige linear begrenzte Figuren von vier Dimensionen (Grunert's Archiv, LXVII, 1881).

V. Schlegel, Quelques théoremes de géométrie à n dimensions (Bulles. de la Soc. math. de France X, 1882).

K. Rudel, Vom Körper höherer Dimension (Kaiserslautern, 1882).