ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 3

étant respectivement perpendiculaires aux côtés de ABC passent nécessairement par les points \( \alpha, \beta, \gamma \) pôles de ces côtés et sommets du triangle polaire \( \alpha \beta \gamma \); on a donc:

\[
I\alpha = I\beta = I\gamma = \frac{\pi}{2} - r;
\]

ce qui nous apprend que le centre I du cercle inscrit au triangle ABC est aussi le centre du cercle circonscrit à son triangle polaire \( \alpha \beta \gamma \); et que les rayons de ces deux cercles sont complémentaires.

7. En conséquence, I, I_1, I_2, I_3 désignant les centres et \( r, r_1, r_2, r_3 \) les rayons des cercles inscrits au triangle ABC et à ses complémentaires, les cercles concentriques et de rayons

\[
\frac{\pi}{2} - r, \quad \frac{\pi}{2} - r_1, \quad \frac{\pi}{2} - r_2, \quad \frac{\pi}{2} - r_3
\]

sont circonscrits respectivement au triangle \( \alpha \beta \gamma \) et à ses complémentaires.

De même, O, O_1, O_2, O_3 désignant les centres et R, R_1, R_2, R_3 les rayons des cercles circonscrits au triangle ABC et à ses complémentaires, les cercles concentriques et de rayons

\[
\frac{\pi}{2} - R, \quad \frac{\pi}{2} - R_1, \quad \frac{\pi}{2} - R_2, \quad \frac{\pi}{2} - R_3
\]

sont inscrits respectivement au triangle \( \alpha \beta \gamma \) et à ses complémentaires.

8. Si l'on pose selon l'usage:

\[
\varepsilon = \sqrt{\sin p \sin (p - a) \sin (p - b) \sin (p - c)}, \tag{4}
\]
\[
\Delta = \sqrt{\sin \varepsilon \sin (A - \varepsilon) \sin (B - \varepsilon) \sin (C - \varepsilon)}, \tag{5}
\]
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 4

on sait que le rayon \( r \) du cercle inscrit est donné par l'une des formules (1):

\[
\cotg r = \frac{\sin p}{\delta} = \frac{2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{\Delta} =
\]

\[
= \frac{\cotg \frac{A}{2} \cotg \frac{B}{2} \cotg \frac{C}{2}}{\sin p}
\]; (6)

d'où par transformation complémentaire en A:

\[
\cotg r_1 = \frac{\sin (p - a)}{\delta} = \frac{2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}}{\Delta} =
\]

\[
= \frac{\cotg \frac{A}{2} \tg \frac{B}{2} \tg \frac{C}{2}}{\sin (p - a)}
\], (7)

puis, par transformation supplémentaire, et eu égard au théorème précédent:

\[
\tg R = \frac{\sin \varepsilon}{\Delta} = \frac{2 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}}{\delta} = \frac{\tg \frac{a}{2} \tg \frac{b}{2} \tg \frac{c}{2}}{\sin \varepsilon}
\], (8)

\[
\tg R_1 = \frac{\sin (A - \varepsilon)}{\Delta} = \frac{2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{b}{2} \cos \frac{c}{2}}{\delta} = \frac{\tg \frac{a}{2} \cotg \frac{b}{2} \cotg \frac{c}{2}}{\sin (A - \varepsilon)}
\]. (9)

9. Les triangles rectangles IAP, IBM, ICN nous donnent immédiatement les formules:

\[
\tg IA = \frac{\tg (p - a)}{\cos \frac{A}{2}}, \quad \tg IB = \frac{\tg (p - b)}{\cos \frac{B}{2}}, \quad \tg IC = \frac{\tg (p - c)}{\cos \frac{C}{2}}
\], (10)

qui expriment les distances de I aux sommets du triangle ABC.

(1) Les démonstrations directes des formules (6) à (9) ne présentent aucune difficulté; elles reposent toutes sur des transformations très simples. En combinant judicieusement ces formules, ont obtient un grand nombre de relations intéressantes; quelques-unes d'entre elles nous seront utiles dans la suite de ce petit travail.
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 5

Par transformation complémentaire, on obtient:

\[
\tg I_1 A = \frac{\tg p}{\cos \frac{A}{2}}, \quad \tg I_1 B = \frac{\tg (p-c)}{\sin \frac{B}{2}}, \quad \tg I_1 C = \frac{\tg (p-b)}{\sin \frac{C}{2}}.
\] (11)

10. La transformation supplémentaire appliquée aux formules (10) et (11) nous donnera les distances des centres des cercles circoncrits, aux côtés de ABC au moyen des formules:

\[
\begin{aligned}
\tg OD &= \sin \frac{a}{2} \cotg (A-\varepsilon) \\
\tg OE &= \sin \frac{b}{2} \cotg (B-\varepsilon) \\
\tg OF &= \sin \frac{c}{2} \cotg (C-\varepsilon)
\end{aligned}
\] (12)

\[
\begin{aligned}
\tg O_1 D &= \sin \frac{a}{2} \cotg \varepsilon \\
\tg O_1 E_1 &= \cos \frac{b}{2} \cotg (B-\varepsilon) \\
\tg O_1 F_1 &= \cos \frac{c}{2} \cotg (B-\varepsilon)
\end{aligned}
\] (13)

dans les quelles D, E, F, E_1, F_1 designent les projections de O et de O_1 sur les côtés du triangle ABC.

III. — Distances mutuelles des centres des cercles inscrite.

11. Les angles I_1 II_2 et AIB étant égaux (fig. 3), on a:

\[
\cos I_1 II_2 = \cos AIB
= - \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos c;
\]
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 6

et comme

\[
\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} = \frac{\sin p}{\sin c} \sqrt{\frac{\sin (p-a) \sin (p-b)}{\sin a \sin b}} = \frac{\sin p}{\sin c} \sin \frac{C}{2},
\]

\[
\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} = \frac{\sin (p-c)}{\sin c} \sqrt{\frac{\sin (p-a) \sin (p-b)}{\sin a \sin b}} = \frac{\sin (p-c)}{\sin c} \sin \frac{C}{2},
\]

on obtient finalement la première des formules (14); les autres s'en déduisent par permutation tournante:

\[
\begin{cases}
\cos I_1 II_2 = - \cos (p-c) \sin \frac{C}{2} \\
\cos I_2 II_3 = - \cos (p-a) \sin \frac{A}{2} \\
\cos I_3 II_1 = - \cos (p-b) \sin \frac{B}{2}
\end{cases}
\] (14)

puis par transformation complémentaire en A:

\[
\begin{cases}
\cos II_1 I_3 = \cos (p-b) \cos \frac{C}{2} \\
\cos I_2 I_1 I_3 = \cos p \sin \frac{A}{2} \\
\cos II_1 I_2 = \cos (p-c) \cos \frac{B}{2}
\end{cases}
\] (15)

12. Le triangle II_1 B donne

\[
\tg II_1 = \frac{\tg I_1 B}{\cos II_1 I_3} = \frac{\tg (p-c)}{\sin \frac{B}{2}} \cdot \frac{1}{\cos (p-b) \cos \frac{C}{2}};
\]

remplaçant \( \sin \frac{B}{2} \) et \( \cos \frac{C}{2} \) par leurs valeurs en fonction des côtés, et simplifiant, on obtient

\[
\tg II_1 = \frac{\sin a}{\cos \frac{A}{2}} \cdot \frac{1}{\cos (p-b) \cos (p-c)},
\] (16)

et deux formules analogues pour \( II_2 \) et \( II_3 \). Un calcul en tout sem-
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 7

blable, ou l'emploi de la transformation complémentaire conduit à

\[
\tg I_2 I_3 = \frac{\sin a}{\sin \frac{A}{2}} \cdot \frac{1}{\cos p \cos (p - a)},
\]

et à deux formules analogues pour \( I_1 I_3 \) et \( I_1 I_2 \).

IV. — Distances mutuelles des centres des cercles circonscrits.

13. En appliquant la transformation supplémentaire aux formules précédentes, on trouve immédiatement:

\[
\begin{cases}
\cos O_1 OO_2 = - \cos (C - \varepsilon) \cos \frac{c}{2} \\
\cos O_2 OO_3 = - \cos (A - \varepsilon) \cos \frac{a}{2} \\
\cos O_3 OO_1 = - \cos (B - \varepsilon) \cos \frac{b}{2} \\
\cos OO_1 O_3 = \cos (B - \varepsilon) \sin \frac{c}{2} \\
\cos O_2 O_1 O_3 = - \cos \varepsilon \cos \frac{a}{2} \\
\cos OO_1 O_2 = \cos (C - \varepsilon) \sin \frac{b}{2}
\end{cases}
\]

\[
\tg OO_1 = \frac{\sin A}{\sin \frac{a}{2}} \cdot \frac{1}{\cos (B - \varepsilon) \cos (C - \varepsilon)},
\]

\[
\tg O_2 O_3 = - \frac{\sin A}{\sin \frac{a}{2}} \cdot \frac{1}{\cos \varepsilon \cos (A - \varepsilon)}.
\]

V. — Distances des centres des cercles inscrits aux centres des cercles circonscrits.

14. Ces distances au nombre de seize sont toutes réunies dans le tableau:

    IO	IO_1	IO_2	IO_3

    I_O	I_{1O}	I_{1O_2}	I_{1O_3}

    I_2O	I_{2O_1}	I_{2O_2}	I_{2O_3}

    I_3O	I_{3O_1}	I_{3O_2}	I_{3O_3}
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 8

Pour obtenir une expression de IO, considérons le triangle IBO (fig. 4), dans lequel

\[
IBO = \frac{1}{2} (C - A), \quad OB = R;
\]

nous aurons

\[
\cos IO = \cos IB \cos R + \sin IB \sin R \cos \frac{1}{2} (C - A).
\]

Mais dans le triangle rectangle IBM, on a

\[
IM = r, \quad BM = p - b,
\]
\[
\cos IB = r \cos (p - b), \qquad \sin IB = \frac{\sin r}{\sin \frac{B}{2}};
\]

la relation ci-dessus devient donc

\[
\cos IO = \cos r \cos R \cos (p - b) + \sin r \sin R \frac{\cos \frac{1}{2} (C - A)}{\sin \frac{B}{2}}.
\]

Divisant les deux membres de cette égalité par \( \sin r \sin R \), et ayant égard à la formule de Delambre

\[
\frac{\cos \frac{1}{2} (C - A)}{\sin \frac{B}{2}} = \frac{\sin \frac{1}{2} (c + a)}{\sin \frac{b}{2}},
\]

on obtient:

\[
\frac{\cos IO}{\sin r \sin R} = \frac{\cos (p - b)}{\tg r \tg R} + \frac{\sin \frac{1}{2} (c + a)}{\sin \frac{b}{2}}.
\]

Mais d'après les formules (7) et (9), rappelées ci-dessus, on a

\[
\tg r \tg R = \frac{2 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}}{\sin p}
\]
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 9

par suite:

\[
\frac{\cos \mathrm{IO}}{\sin r \sin R} = \frac{2 \sin p \cos (p-b) + 4 \sin \frac{c}{2} \sin \frac{a}{2} \sin \frac{c+a}{2}}{4 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}};
\]

le numérateur du second membre devient successivement

\[
\sin (c+a) + \sin b + 4 \sin \frac{c}{2} \sin \frac{a}{2} \sin \frac{c+a}{3}
\]
\[
= 2 \sin \frac{c+a}{2} \left[ \cos \frac{c+a}{2} + 2 \sin \frac{c}{2} \sin \frac{a}{2} \right] + \sin b
\]
\[
= 2 \sin \frac{c+a}{2} \cos \frac{c-a}{2} + \sin b
\]
\[
= \sin a + \sin b + \sin c;
\]

d'où l'on déduit enfin

\[
\frac{\cos \mathrm{IO}}{\sin r \sin R} = \frac{\sin a + \sin b + \sin c}{4 \sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}}
\]

(Se concluirá.)

Principios fundamentales referentes á los grupos de Fuchs
POR D. LAURO CLARIANA
Catedrático de la Universidad de Barcelona

(CONTINUACIÓN)

Si \( z_1 \) y \( z_2 \) son dos cantidades imaginarias conjugadas, los valores correspondientes de \( t_1 \) y \( t_2 \) darán también cantidades imaginarias conjugadas.

Todas estas consecuencias se deducen de la fórmula

\[
t = \frac{az + b}{cz + d}.
\]

Según la relación (B) hallada, resulta

\[
\frac{x - x'}{x - \delta'} = \frac{\delta - \delta'}{\delta - x'}, \quad \frac{\gamma - \gamma'}{\gamma - \delta'} = \frac{\delta - \delta'}{\delta - \gamma'}
\]

en el supuesto que \( x \) y \( \delta \) sean valores de \( z \); \( \gamma \) y \( \delta \) los correspondientes á \( t \); y además \( x', \delta', \gamma', \delta' \), los conjugados \( x, \delta, \gamma, \delta \).
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

Sur les distances mutuelles des centres des cercles inscrits et des cercles circonscrits à un triangle sphérique et à ses complémentaires,
PAR M. JOSEPH GILLET
Professeur à l’Ecole Abbatiale de Maradsons.

(conclusion)

15. En appliquant cette formule à la figure supplémentaire, le numérateur du premier membre reste inaltéré, et l’on obtient:

\[
\frac{\cos I \alpha}{\cos r \cos R} = \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}
\] (24)

On peut obtenir la formule (24) par un calcul direct analogue au précédent. Elle se déduit aussi de (23) en multipliant celle-ci, membre à membre, avec la relation

\[
\tg r \tg R = \frac{\Delta}{\delta} \cdot \frac{\sin \frac{a}{2} \sin \frac{b}{2} \sin \frac{c}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}
\] (25)

conséquence des égalités (6) et (8), et en se rappelant que

\[
\frac{\Delta}{\delta} = \frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}
\]
\[
= \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\sin a + \sin b + \sin c}
\]
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 10

por las ecuaciones \( m = 0, n = 0 \), la equipolencia (3) que implica la relación de posición de tres puntos en línea recta, es decir, que determina uno de ellos por medio de los otros dos.

Estas tres relaciones fundamentales conciernen á la determinación ó relación fija de los elementos geométricos; pero sobre esta determinación encontramos una segunda que da relaciones en el estado de variaciones de las figuras, esta relación variable se halla expresada por el elemento definido mediante la equipolencia

\[
e = i^{\frac{2}{\pi}} \quad (4) \quad \text{o más generalmente} \quad e^{x} = \cos x + i \sin x \quad (5)
\]

de manera que el símbolo \( e \) es el \( e^{i} \).

Este nuevo elemento que expresa dirección ó rotación juntamente con los coeficientes numéricos correspondientes á movimiento de puntos en una dirección dada, ó sea traslación, permiten establecer referencias y transformaciones de unas figuras en otras del plano. Por la rotación unida á la traslación un punto puede, pues, determinar lugares geométricos planos, movimiento expresado por la fórmula

\[
OM = r (\cos x + i \sin x)
\]

Esto, como se ve, aproxima las equipolencias á la teoría de coordenadas polares; pero, aparte de esta afirmación, muy conforme con la naturaleza de este algoritmo, que reúne la magnitud con la dirección en las ecuaciones de equipolencia, que por esto son dobles ecuaciones ó se desdoblan en una concerniente á la magnitud y otra concerniente á la inclinación, el método de Bellavitis tiene carácter propio y exclusivo, fundado en una especie de cálculo geométrico. La suma de rectas hemos visto que corresponde á la determinación del triángulo; la multiplicación y división conciernen á la semejanza directa é inversa, llevan sobre las operaciones del Algebra, que sólo conciernen al valor cuantitativo, la ventaja de estimar también los resultados según la situación. Así el producto y el multiplicando ó multiplicador determinan un triángulo semejante con el multiplicador ó el multiplicando y la unidad, representada por un segmento rectilíneo,

y una equipolencia

\[
\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}
\]

que implica las dos igualdades

\[
\frac{mg\ OA}{mg\ OD} = \frac{mg\ OC}{mg\ OD} \quad \angle BOA = \angle DOC
\]

lleva consigo la semejanza directa de los \( \Delta^{\prime} AOB \) y \( COD \).

(Se continuará).

Z. G. de Galdeano.
El Progreso matemático (1894-07-01 00:00:00), página 11

PETITES OBSERVATIONS MATHÉMATIQUES
Par Prof. Dr. V. Schlegel

(Conclusion.—Véase t. IV, p. 169-77).

2. Le déterminant

\[
\begin{vmatrix}
x^2 & (x+1)^2 & (x+2)^2 & (x+3)^2 \\
\beta^2 & (\beta+1)^2 & (\beta+2)^2 & (\beta+3)^2 \\
\gamma^2 & (\gamma+1)^2 & (\gamma+2)^2 & (\gamma+3)^2 \\
\delta^2 & (\delta+1)^2 & (\delta+2)^2 & (\delta+3)^2
\end{vmatrix}
\]

s'évanouit, quelles que soient les valeurs de \( x, \beta, \gamma, \delta \).
Si l'on pose

(1) \[ x_1 = x^2 e_1 + (x+1)^2 e_2 + (x+2)^2 e_3 + (x+3)^2 e_4, \]
on obtient, en développant les puissances:

(2) \[ x_1 = x^2 (e_1 + e_2 + e_3 + e_4) + 2x(e_2 + 2e_3 + 3e_4) + (e_2 + 4e_3 + 9e_4), \]
ou, en posant

(3) \[ e_1 + e_2 + e_3 + e_4 = \varepsilon_1,\quad e_2 + 2e_3 + 3e_4 = \varepsilon_2,\quad e_2 + 4e_3 + 9e_4 = \varepsilon_3. \]
De même:

(4)

\[
\begin{array}{l}
x_1 = x^2 \varepsilon_1 + 2x \varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
x_2 = \beta^2 \varepsilon_1 + 2\beta \varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
x_3 = \gamma^2 \varepsilon_1 + 2\gamma \varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
x_4 = \delta^2 \varepsilon_1 + 2\delta \varepsilon_2 + \varepsilon_3.
\end{array}
\]

En formant le produit extérieur \((x_1 x_2 x_3 x_4)\) on trouve que tous les produits d'unités prenant origine du second membre contiennent deux facteurs égaux. Donc tous ces produits s'évanouissent, de même le produit \((x_1 x_2 x_3 x_4)\) et le déterminant équivalent à ce produit, ce qu'il fallait démontrer.

3. On voit immédiatement que le dernier théorème est susceptible d'être généralisé. En effet on trouve que, par des raisons analogues, le déterminant suivant est égal à zéro

\[
\begin{vmatrix}
x_1'' & (x_1+1)'' & (x_1+2)'' & \ldots & (x_1+n+1)''
\\
x_2'' & (x_2+1)'' & (x_2+2)'' & \ldots & (x_2+n+1)''
\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots
\\
a_{n+2}'' & (x_{n+2}+1)'' & (x_{n+2}+2)'' & \ldots & (x_{n+2}+n+1)''
\end{vmatrix}.
\]