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El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 35

LOS CENTROS DE LAS PARALELAS IGUALES
POR M. BASILE SOLLERTINSKY

Definición.—El centro de las paralelas iguales es un punto tal, que las paralelas á los lados del triángulo de referencia, trazadas por este punto y limitadas en los lados son iguales entre sí.

Lema.—El lugar geométrico del punto M tal, que las paralelas á los lados del ángulo A del triángulo ABC, trazadas por este punto y comprendidas entre los lados de los ángulos B y C sean iguales entre sí, consiste en dos rectas que unen los pies \( \alpha, \alpha' \) de las bisectrices del ángulo A al punto A' simétrico del A con relación al medio de BC (M. Neuberg, Mathesis, t. I, pág. 158).

Figura 1.*

Sean EF, GH (fig. 1.*) las paralelas á BA, CA, trazadas por un punto M de A'\( \alpha \); ay, az las paralelas á los mismos lados trazadas por \( \alpha \).

Se tiene
\[
\frac{EF}{ay} = \frac{EC}{\alpha C}; \quad \frac{GH}{az} = \frac{GB}{\alpha B};
\]
pero
\[
\frac{EC}{\alpha C} = \left( \frac{MA'}{\alpha A'} \right) = \frac{GB}{\alpha B}
\]
luego
\[
\frac{EF}{ay} = \frac{GH}{az}
\]
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 36

Y, siendo iguales los segmentos \( \overline{zy} \), \( \overline{zz} \), resulta que
\[
EF = GH
\]
El razonamiento análogo probaría que la recta A'z' pertenece también al lugar.

En fin, la suposición de que las paralelas iguales EF, GH se encuentran en un punto M, no situado en A'z ó A'z' es inadmisible, porque siendo \( \mu \) y \( \mu' \) los puntos en que EF se encuentra á A'a, A'a', las dos paralelas á CA, trazadas por \( \mu \) y \( \mu' \), serían iguales á la tercera GH, lo que es imposible.

Teorema.—Los centros de las paralelas iguales son anticomplementarios de los recíprocos de los centros de los círculos inscriptos (ídem).

Sea A'B'C' el triángulo formado por las paralelas á los lados de ABC trazadas por los vértices opuestos, que es el triángulo anticomplementario, y todo punto de este triángulo es el anticomplementario de su homólogo en el triángulo ABC.

Siendo los triángulos A'BC' y ABC simétricos con relación al medio de BC, los puntos z y z' considerados en el triángulo A'BC, son los isotómicos de los pies de las bisectrices del ángulo A'.

Por consiguiente, las rectas A'z, A'z' pasan por los recíprocos de los centros de los círculos inscriptos al triángulo A'B'C'.

Lo mismo sucede á las rectas B'β, B'β' que unen B' á los pies β y β' de las bisectrices del ángulo B.

Las intersecciones D, D_a, D_b, D_c de estas cuatro rectas son los recíprocos de los centros de los círculos inscriptos á A'B'C'; pero, según el lema, son también los centros de las paralelas iguales.

Longitud común de las paralelas (*).—Sean: KL, MN, RS (fig. 2.a) las paralelas á los lados del triángulo ABC trazadas por un punto P del plano; A_1, B_1, C_1 los pies de las rectas AP, BP, CP.

Se tiene, en magnitud y en signo,
\[
\frac{KL}{BC} = \frac{AP}{AA_1}, \quad \frac{MN}{CA} = \frac{BP}{BB_1}, \quad \frac{RS}{AB} = \frac{CP}{CC_1}
\]
Pero se sabe que
\[
\frac{AP}{AA_1} + \frac{BP}{BB_1} + \frac{CP}{CC_1} = 2
\]
luego
\[
\frac{KL}{BC} + \frac{MN}{CA} + \frac{RS}{AB} = 2
\]

(*) Mathesis, t. I, pág. 150.
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 37

Así, designando la longitud de los lados de ABC por a, b, c y la de las paralelas correspondientes á D, Da, Db, Dc por l, la, lb, lc se tendrá

\[
l \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 2 \\
l_b \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 2 \\
l_a \left( -\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 2 (*) \\
l_c \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) = 2 \tag{1}
\]

de donde \( l = \frac{2abc}{bc + ca + ab} \)

\[
l_a = \frac{2abc}{-bc + ca + ab}, \text{ etc.}
\]

COROLARIO.

\[
\frac{1}{l_a} + \frac{1}{l_b} + \frac{1}{l_c} = \frac{1}{l}
\]

Cuestión núm. 27 (Véase t. I, pág. 164).

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO CONOCIDO: 1.º La base. 2.º El ángulo opuesto. 3.º La longitud común l de los segmentos determinados por los lados del triángulo sobre tres paralelas á estos lados que pasan por un mismo punto (***) (E. Lemoine).

Tenemos que considerar dos casos:
1.º Se da l ó la. Entonces se obtiene de (1)

\[
x = \frac{bc}{b+c} = \frac{al}{2a-l} = \frac{al_a}{2a+l_a}
\]

las expresiones fáciles de construir.

Tracemos, por el pie x de la bisectriz interior del ángulo A, la paralela αE á CM (fig. 3.a). Se tendrá

\[
\frac{\alpha E}{CA} = \frac{Bx}{BC},
\]

de donde

\[
\alpha E = \frac{bc}{b+c} = x.
\]

Se podrá, pues, construir Az. Después, siendo D la intersec-

Fig. 8.a

(*) Cuando el punto P está en Da (fig. 1.s), las rectas KL y BC tienen direcciones contrarias.
(**) La solución no difiere esencialmente de la indicada por M. Lemoine (J. M. E., 1895, p. 211).
NOTA. Se ve BC = Bz + αC y αE = Bz + αC = \frac{b \cdot αB}{1 + \frac{αC}{αB}} = \frac{b}{1 + \frac{b}{c}}, etc.

Z. G. DE G.
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 38

ción de Aα con la circunferencia ABC, se tiene (á causa de las antiparalelas Bz, AB)

\[
DB^2 = D_\alpha \cdot DA
\]

Pero hallándose dadas la diferencia Aα y el producto \( DB^2 \) de los segmentos Dα, DA, se pueden construir estos segmentos.

2.º Dados \( l_b \) ó \( l_c \), se construye desde luego

\[
\alpha' E' = \frac{bc}{b-c} = \frac{al_b}{2a-l_b} = \frac{al_c}{l_c-2a}
\]

Se halla después Aα' y (siendo BA y α'B antiparalelas), se tiene

\[
D'B'^2 = D'A' \cdot D'\alpha'
\]

Cuestión núm. 36 (Véase t. I, pág. 295).

Construir un triángulo, dados los puntos que dividen (seguido el perímetro en el mismo sentido) los tres lados en media y extrema razón N. C. M.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Sollertinsky (B) (de Gastchina, Rusia).

Sean A', B', C' los puntos de división; A' el punto en que B'C' encuentra á BC.

Evidentemente la paralela á CB, trazada por B', dividirá á BA en MER (*).

Sea C' este nuevo punto. Se tiene así: BC' = C'A

(*) MER es abreviación de media y extrema razón.
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 39

De la proporción \( \frac{BA}{BC'} = \frac{BC'}{C'A} \) resulta

\[
\frac{BC'}{C'A} = \frac{BA - BC'}{BC' - C'A} \quad \text{o} \quad \frac{BC'}{BC''} = \frac{BC'}{C'C'}
\]

Por consiguiente, el segmento BC' queda dividido, en C', en MER, y á causa de las paralelas, lo mismo se verifica en el segmento A'C' que está dividido en B'.

Se puede, pues, construir el punto A*, á saber: Si se describe, con el radio \( \frac{B'C'}{2} \), la circunferencia tangente en C' á B'C', la distancia máxima B'D del punto B' á esta circunferencia será igual á B'A*.

Además, estando los segmentos AC, AC" divididos en MER en los puntos B', C', las rectas C'B', C'C son paralelas, de donde CA*=C"B'.

De igual manera, siendo C'A' paralela á AC, se tiene C'B'=A'C.

Así, pues, el punto C es el punto medio de A'A*

En fin, las paralelas á CB y CA trazadas por B' y A' se encontrarán en C', y la recta C'C' encontrará á CB' y á CA' en los puntos A y B.

Observación.—El problema admite dos soluciones. Los triángulos obtenidos ABC, A,B,C, son equivalentes, tienen el mismo centro de gravedad con el triángulo A'B'C', se hallan inscriptos al triángulo αβγ, que es homotético de A'B'C', y sus vértices dividen los lados de αβγ en MER, se hallan inscriptos y circunscriptos á dos elipses concéntricas y homotéticas, etc.

Cuestión núm. 45 (Véase t. II, pág. 128).

Tres rectas trazadas desde los tres vértices de un triángulo determinan sobre los lados opuestos seis segmentos tales, que la diferencia entre el producto de los tres segmentos no consecutivos y el producto de los otros tres, es

\[
\frac{abc}{a'b'c'} \left( \frac{\Delta}{\Delta'} \right)^2 lmn
\]

En esta expresión Δ, a, b, c designan el área y los lados triángulo dado; Δ', a', b', c' el área y los lados del triángulo formado por las tres rectas; l, m, n los segmentos de estas rectas comprendidos entre los vértices y los lados del primer triángulo.

(N. C. M.) (E. Cesdro).

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY.

Sea A'B'C' el triángulo formado por las tres rectas Az, Bβ, Cγ trazadas por los vértices del triángulo ABC.
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 4

recta OK (Brocard, J. S., 1885. M'Cay, Mathesis, 1887, Prog. Mat. I, 193).

3.º El estudio de la hipérbola l' de Jerabek, transformada de la recta de Euler OGH (Jerabek. Mathesis, 1888).

4.º El estudio, por M. R. Tucker, de la agrupación muy variada de triángulos definidos por varias propiedades comunes que poseen, por ejemplo, el mismo ángulo \( \omega \), etc., etc.

Este asunto ha sido tratado también por M. J. Neuberg.

Proponiéndonos abreviar nuestra exposición, hemos de concretarnos á indicando algunas de las contribuciones publicadas hasta la actualidad sobre la Geometría del triángulo, que han influido para orientar en cierta dirección las investigaciones de los geómetras.

Así, se ha ofrecido la idea de hallar en el tetraedro propiedades análogas á las del triángulo.

Es sabido cuán engañosas son dichas analogías, habiéndose considerado, con razón, no un tetraedro cualquiera, sino cierto tetraedro particular del que M. Neuberg hace un estudio muy detallado en su importante Mémoire sur le tétraèdre, 1884, que señala el punto de partida de una nueva evolución en la Geometría del tetraedro, así como expusimos anteriormente (Prog. Mat. I, pág. 135).

Como testimonio de que se han realizado durante estos últimos años loables tentativas para establecer teorías generales sobre la base que ofrecían los resultados particulares á que en su principio se había llegado, citaremos que:

1.º M. G. Tarry, por una concepción atrevida, dilató los dominios de la Geometría del triángulo, considerando á éste como ligado á figuras semejantemente variables; y entonces el círculo de Brocard es el círculo de semejanza que pasa por los tres puntos dobles A', B', C', vértices del segundo triángulo de Brocard (Prog. Mat. I, 81).

Estos puntos A', B', C', se encuentran en la intersección del círculo con las simedianas AK, BK, CK.

Este asunto, expuesto en la Memoria de M. Brocard (Congrès d'Alger, 1881), ha obtenido nuevos desarrollos en Mathesis (1882, pág. 78) en la obra de J. Casey A treatise on conic sections (1885) y en la 5.ª edición de A Sequel to Euclid, del mismo autor (1888), traducida y publicada poco há en Mathesis (1889) por M. Falisse (Prog. Mat. I, 72).

2.º M. R. Tucker ha extendido ingeniosamente las propiedades del triángulo al cuadrilátero inscriptible tal, que uno de sus puntos se halle á distancias proporcionales de los lados, es decir, lo que más generalmente se ha llamado un polígono armónico, habiéndose hecho la generalización completa por MM. G. Tarry y Casey (idem idem y Prog. Mat. I, p. 81, 191).
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 40

Se tiene (siempre en magnitud y en signo)

\[
\frac{A'B'C'}{C'Bz} = \frac{B'C'. C'A'}{BC'. C'z}; \quad \frac{C'Bz}{ABz} = \frac{C'z}{Az}; \quad \frac{ABz}{ABC} = \frac{Bz}{BC}
\]

Después de multiplicar estas proporciones, resulta

\[
\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{a'b'}{al} \cdot \frac{Bz}{BC'}
\]

Se obtiene de la misma manera:

\[
\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{b'c'}{bm} \cdot \frac{C\beta}{CA'}; \quad \frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{c'a'}{cn} \cdot \frac{A\gamma}{AB'}
\]

Por consiguiente

\[
\left( \frac{\Delta'}{\Delta} \right)^3 = \frac{(a'b'c')^3}{abc.lmn} \cdot \frac{Bz.C\beta.A\gamma}{BC'.CA'.AB'}
\]

De donde

\[
Bz.C\beta.A\gamma = \left( \frac{\Delta'}{\Delta} \right)^3 \frac{abc.lmn}{a'b'c'} \cdot \frac{BC'.CA'.AB'}{a'b'c'}
\] (1)

Igualmente

\[
\frac{A'B'C'}{CB'z} = \frac{B'C'. A'B'}{CB'. B'z}; \quad \frac{CB'z}{CAz} = \frac{B'z}{Az}; \quad \frac{CAz}{ABC} = \frac{zC}{BC}
\]

de lo que

\[
\frac{\Delta'}{\Delta} = \frac{a'c'}{al} \cdot \frac{zC}{CB'}
\]

Luego

\[
zC.\beta A.\gamma B = \left( \frac{\Delta'}{\Delta} \right)^3 \frac{abc.lmn}{a'b'c'} \cdot \frac{CB'. AC'. BA'}{a'b'c'}
\]

Pero si se toman en los lados de un triángulo A'B'C' tres puntos cualesquiera A, B, C, se tiene

\[
\frac{ABC}{A'B'C'} = \frac{BA'. CB'. AC'+B'A'. C'B'. A'C}{a'. b'. c'}
\]

Por consiguiente

\[
zC.\beta A.\gamma B - Bz.C\beta.A\gamma = \frac{abc}{a'b'c'} \left( \frac{\Delta'}{\Delta} \right)^3 lmn.
\]
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 41

Solución por el Sr. Cesáro (Ernest).

Tres rectas trazadas por los vértices de un ángulo ABC, determinan, sobre los lados opuestos, los segmentos

BL = \( a_1 \),   CM = \( b_1 \),   AN = \( c_1 \),
LC = \( a_2 \),   MA = \( b_2 \),   NB = \( c_2 \).

Sean T, \( a \), \( b \), \( c \) los números que miden el área y los lados de ABC y T', \( a' \), \( b' \), \( c' \) los números análogos relativos al triángulo A'B'C', formado por las rectas consideradas. Hagamos todavía

\[
AB' = u_1, \quad BC' = v_1, \quad CA' = w_1 \\
AC' = u_2, \quad BA' = v_2, \quad CB' = w_2
\]

de modo que

\[
u_1 - u_2 = a', \quad v_1 - v_2 = b', \quad w_1 - w_2 = c'
\]

Hagamos en fin, para abreviar,

\[
b_1 c_1 + bc_2 = b_2 c_2 + cb_1 = x, \\
c_1 a_1 + ca_2 = c_2 a_2 + ac_1 = \beta, \\
a_1 b_1 + ab_2 = a_2 b_2 + ba_1 = \gamma,
\]

y observemos que, si se representa por \( \Delta \) la diferencia \( a_1 b_1 c_1 - a_2 b_2 c_2 \), se tiene

\[
\gamma c_1 - \beta b_2 = x a_1 - \gamma c_2 = \beta b_1 - x a_2 = \Delta
\]

Esto sentado, propongámonos calcular \( \Delta \) en función de T, T', \( a \), \( b \), \( c \), \( a' \), \( b' \), \( c' \) y de las longitudes \( l, m, n \) de las rectas AL, BM, CN.

Los triángulos ALB, ALC cortados por las transversales CN, BM dan

\[
\frac{AB'}{B'L} = \frac{ac}{a_2 c_2}, \quad \frac{AC'}{C'L} = \frac{ab_2}{a_1 b_1}
\]

de lo que se deduce

\[
\frac{u_1}{l} = \frac{ac_1}{\beta}, \quad \frac{v_1}{m} = \frac{ba_1}{\gamma}, \quad \frac{w_1}{n} = \frac{cb_1}{\alpha},
\]
\[
\frac{u_2}{l} = \frac{ab_2}{\gamma}, \quad \frac{v_2}{m} = \frac{bc_2}{\alpha}, \quad \frac{w_2}{n} = \frac{ca_2}{\beta};
\]
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 42

después, en virtud de (1),

\[
\frac{a'}{l} = \frac{aA}{\gamma b'}, \quad \frac{b'}{m} = \frac{bA}{\gamma c'}, \quad \frac{c'}{n} = \frac{cA}{\alpha \beta},
\]

y

\[
\frac{u_1 v_1 w_1}{lmn} = \frac{abc}{\alpha \beta \gamma} a_1 b_1 c_1, \quad \frac{u_2 v_2 w_2}{lmn} = \frac{abc}{\alpha \beta \gamma} a_2 b_2 c_2 \tag{2}
\]

\[
\frac{a'b'c'}{lmn} = \frac{abc A^s}{(\alpha \beta \gamma)^s} \tag{3}
\]

Esto sentado, observamos que

\[
T = T' + BCA' + CAB' + ABC'
\]

y, por consiguiente,

\[
\frac{T}{T'} = 1 + \frac{v_1 w_1}{b' c'} + \frac{w_1 u_1}{c' a'} + \frac{u_1 v_1}{a' b'}
\]

Se puede dar sucesivamente al segundo miembro las formas siguientes:

\[
1 + \frac{v_1 (w_1 + c')}{b' c'} + \frac{w_1 (u_1 + a')}{c' a'} + \frac{u_1 (v_1 + b')}{a' b'}
= 1 + \frac{u_1}{a'} + \frac{v_1}{b'} + \frac{w_1}{c'} + \frac{v_1 w_1}{b' c'} + \frac{w_1 u_1}{c' a'} + \frac{u_1 v_1}{a' b'}
= \left(1 + \frac{u_1}{a'}\right) \left(1 + \frac{v_1}{b'}\right) \left(1 + \frac{w_1}{c'}\right) - \frac{u_1 v_1 w_1}{a' b' c'}
\]

luego

\[
\frac{T}{T'} = \frac{u_1 v_1 w_1 - u_2 v_2 w_2}{a' b' c'}
\]

o bien, en virtud de las fórmulas (2)

\[
\frac{T'}{T} = \frac{abc lmn}{a' b' c' \alpha \beta \gamma} A^s;
\]

después, utilizando (3),

\[
\frac{T'}{T} = \frac{\alpha \beta \gamma}{A^s}
\]

Esta igualdad notable se debe á Steiner. La eliminación de \( \alpha \beta \gamma \) entre (4) y (5) da la fórmula

\[
\frac{lmn}{A} = \frac{abc}{T^s} : \frac{a'b'c'}{T'^s}
\]

que se deseaba obtener.
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 5

3.º M. M'Cay ha mostrado la conexión de ciertos círculos con tres nuevos puntos A", B", C", vértices del tercer triángulo de Brocard (J. Casey. Conic sections, pág. 253).
Estos nuevos puntos de vista han sido también explorados por otros geómetras, especialmente los señores Schoute, Neuberg, Tucker, H. Taylor, que se han dedicado á investigar á qué redes ó grupos de círculos debían pertenecer los de Lemoine y Brocard.

Z. G. DE G.

NOTA MATEMATICA
Sobre las funciones simétricas simples (sumas de potencias) de las raíces de una ecuación.
POR D. JUAN J. DURAN LORIGA
Capitán de Artillería.

Es bien sabido que el procedimiento clásico para la determinación de la suma de potencias semejantes de las raíces de una ecuación es el llamado método de Newton. En la presente nota nos proponemos llegar á las expresiones á que dicho método conduce, más rápidamente que por el procedimiento usual, y sin necesidad de recurrir á la teoría de derivadas.

Sentemos como preliminar que, cuando se conoce la suma de varias cantidades y la de sus productos binarios, se puede determinar la suma de sus cuadrados como diferencia entre el cuadrado de la suma y el doble de dichos productos; el conocimiento de la suma de las cantidades, la de los productos binarios y la de los ternarios permite encontrar la suma de cubos, y en general, la suma de cantidades, suma de productos binarios, ternarios, etc., hasta los de \( k \) en \( k \), proporciona el conocimiento de la suma de potencias del grado \( k \). La forma que afecta la potencia \( k \) de un polinomio, hace ver claramente este hecho.

Resulta, por consiguiente, que si dos ecuaciones tienen iguales los dos, tres, cuatro, etc., primeros coeficientes, las sumas de raíces, las de productos binarios, ternarios, etc., tendrán que ser iguales, y que la determinación en una ecuación del grado \( n \) de la suma de potencias \( k \) (siendo \( k < n \)) de sus raíces, equivale á la misma obtención en una ecuación del grado \( k \) que tenga sus \((k + 1)\) coeficientes idénticos á los del mismo lugar en la propuesta. La investigación, pues, de las funciones simétricas simples de las raíces de una ecuación, hasta un grado igual al de ésta, queda reducida en todos los casos á la siguiente:
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 7

bian los coeficientes equidistantes, habrá que efectuar igual cambio en la citada expresión, con lo que se obtendrá

\[
a_n S_{-n} + a_{n-1} S_{-(n-1)} + a_{n-2} S_{-(n-2)} \ldots \ldots + a_1 S_{-1} + S_0 = 0 \tag{2}
\]

teniendo en cuenta, al dar valores á \( n \), que éstos deben referirse á los subíndices de \( S \) y no á los de \( a_n, a_{n-1}, a_{n-2} \) etc., que representan sencillamente el último, penúltimo, etc., coeficientes de la ecuación dada.

Debe también observarse que el último sumando en cada caso es el que tenga á \( S \) con el subíndice cero. Así, para \( n = 1, 2, 3 \), etc., se obtiene

\[
a_n S_{-1} + a_{n-1} = 0 \\
a_n S_{-2} + a_{n-1} S_{-1} + 2 a_{n-2} = 0 \\
a_n S_{-3} + a_{n-1} S_{-3} + a_{n-2} S_{-1} + 3 a_{n-3} = 0
\]
puesto que \( S_0 \) recibe los valores 1, 2, 3, etc., en las distintas hipótesis que hemos sentado.

Finalmente, para obtener la suma de potencias negativas de raíces de grado superior en valor absoluto de la ecuación, se procede con la relación (2) de un modo análogo á lo indicado respecto á la (1) al tratar de potencias positivas.

La Coruña, Mayo de 1892.

NOTA ACERCA DE LOS POLIEDROS DE CUATRO DIMENSIONES

I.—MODELO EN PROYECCIÓN

del prisma de cuatro caras y dimensiones y su descomposición en cuatro pentacélulas (Pünfcelle) de igual capacidad.

Correspondiendo al paralelógramo de dos dimensiones (prisma plano de dos caras) y al prisma de tres caras y tres dimensiones, existe, en el espacio de cuatro dimensiones, un prisma de cuatro caras y cuatro dimensiones, limitado por dos tetraedros, congruentes en espacios paralelos de tres dimensiones, y por cuatro prismas de tres caras.—De igual manera que el paralelógramo puede descomponerse mediante una sección diagonal (línea) en dos triángulos de igual área,
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 8

y el prisma triangular en tres tetraedros de igual volumen, por medio de dos secciones diagonales (triángulos), así el prisma de cuatro caras y cuatro dimensiones puede descomponerse en cuatro células pentádricas (Fünzelle) de igual capacidad por medio de tres secciones diagonales (tetraedros).—Y, precisamente, de la misma manera que en un plano dos triángulos congruentes cuyos lados son dos á dos paralelos, cuyos lados homólogos se hallan unidos, representan la proyección plana del prisma triangular, también puede obtenerse por una construcción análoga la proyección en el espacio de tres dimensiones, de un prisma de cuatro caras y cuatro dimensiones. Lo mismo puede decirse de la descomposición antes mencionada.

El modelo aquí descrito de esta proyección del prima de cuatro caras y cuatro dimensiones y su descomposición en cuatro células pentádricas de igual capacidad, en que las aristas del prisma están representadas, por alambres de latón y las nuevas aristas de los tetraedros sectores, por hilos de seda.

Este modelo tiene por objeto, primeramente, dar ocasión al alumno para ejercitarse en la deducción de analogías rigurosas que conducen de la Geometría de tres dimensiones á la de cuatro, mediante un ejemplo complejo, por la multiplicidad de las figuras que se presentan en él. Por otra parte, puede servir para ejercitarse en el proceso intelectual, por medio del cual deben considerarse las figuras de tres dimensiones, como proyecciones de las de cuatro dimensiones.

II.—MODELOS EN PROYECCIÓN DE LOS DOS ÚLTIMOS CUERPOS REGULARES DE CUATRO DIMENSIONES

Núm. 5.—(Sechshundertzell), de 600 celdas, representado por un tetraedro regular descompuesto en 599 tetraedros. El cuerpo contiene 1200 caras, 720 aristas y 120 vértices.

Núm. 6.—(Hundertwanzigzell), de 120 celdas, representado por un dodecaedro descompuesto en 519 dodecaedros.—El cuerpo contiene 720 caras, 1200 aristas y 600 vértices.

En el espacio de cuatro dimensiones existen, en correspondencia con los cinco cuerpos regulares del espacio ordinario, seis figuras regulares limitadas por tetraedros, exaedros, octaedros ó dodecaedros, de tal manera, que en cada vértice concurren igual número de aristas, caras y cuerpos, y en cada arista igual número de caras y de cuerpos.
El Progreso matemático (1892-08-15 00:00:00), página 9

Estas figuras son: 1.a La de cinco células (Fünfzell) limitada por 5 tetraedros.—2.a La de 8 (Achtzell), limitada por 8 exaedros.—3.a La de 16 (Sechzehnzell), limitada por 16 tetraedros.—4.a La de 24 (Vierundzwanzigzell), limitada por 24 octaedros.—5.a La de 120 (Einhundertzwanzigzell), limitada por 120 dodecaedros.—6.a La de 600 (Sechs-hundertzell), limitada por 600 tetraedros.

Aunque estas figuras son inaccesibles á nuestra percepción, se puede construir proyecciones de ellas en el espacio de 3 dimensiones, que conducen á la representación de los vértices, aristas, caras y cuerpos contenidos en las mismas, de igual manera que una proyección plana puede conducir á la obtención de los vértices, aristas y caras de los poliedros regulares. Estos cuerpos en proyección contienen al mismo tiempo la solución de un problema de Estereometría pura, á saber: Descomponer un tetraedro, exaedro, octaedro ó dodecaedro en cuerpos de igual clase, de manera que en cada vértice concurran igual número de aristas, caras y cuerpos, y en cada arista igual número de caras y cuerpos.

Completando la serie de los modelos que representan los cuatro primeros cuerpos de cuatro dimensiones, los modelos arriba descritos corresponden á los dos últimos cuerpos de este género representados en proyección central, en la que el centro de proyección está concebido también de manera que ninguno de los cuerpos limitantes se componen entre sí y que uno sólo comprenda, como todo, á todos los demás, como sus partes.

También en estos modelos están los cuerpos representados por sus aristas construidas en alambre y seda, de manera que, en general, las aristas límites de cada capa poliédrica son de alambre y de seda de distintos colores las que separan cada una de las capas sucesivas.

Los modelos de los 6 cuerpos regulares fueron presentados por primera vez en el 57º congreso de los naturalistas y médicos alemanes (1884) en Magdeburgo, así como en Darmstadt en la solemnidad de la Escuela superior de esta ciudad.

III

Hemos creído preferible á otras indicaciones que pudiéramos hacer, el traducir literalmente los prospectos en que se anuncian los admirables modelos en proyección de los 6 sólidos de cuatro dimensiones con que el Dr. Schlegel ha enriquecido la Geometría del hiper-espacio.

Ya en otra ocasión (t. I, págs. 38-29) al ocuparnos de la obra Fon-