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El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 22

común divisor \( \delta \) de dos números \( a \) y \( b \) puede ponerse bajo la forma

\[
\pm \delta = bu - av,
\]

y, por consiguiente, que la condición necesaria y suficiente para que \( a \) y \( b \) sean primos es que \( bu - av = \pm 1 \); terminando con la aplicación de dicha igualdad para demostrar varios teoremas y con la resolución de la ecuación \( ax + by = c \) en números enteros.

Al tratar de la descomposición de los números enteros en factores primos trata el autor del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números, continuando con los números congruos ó equivalentes, congruencias enteras, caracteres de divisibilidad, teorema de Fermat, números asociados. Teorema de Wilson y número de números primos con un número dado, no superiores á éste.

La teoría de los números fraccionarios está tratada de una manera especialísima y notable, acompañando á las consideraciones teóricas las operaciones hechas sobre una longitud, y establece después de las propiedades fundamentales el criterio de igualdad de los números fraccionarios dado por la igualdad \( ab' = ba' \).

También establece el Sr. Humbert de una manera original e intuitiva la teoría de la multiplicación, tomando partes iguales en la base y la altura de un rectángulo, concluyendo que la multiplicación es commutativa, asociativa, distributiva con respecto á la adición, uniforme, y tal, que \( A \times O = 0 \), \( A \times 1 = A \). Concluye tratando de los números fraccionarios negativos y del conjunto de los números racionales.

La obtención de los valores aproximados de la raíz cuadrada está acompañada de un detallado razonamiento sobre los valores aproximados por defecto y por exceso en que se emplea la consideración del punto-límite acompañada de una representación gráfica; y la parte complementaria trata bastante detalladamente de los residuos y no residuos cuadráticos, residuos de módulos primos, residuos mínimos, criterios de Euler y de Gauss, y teorema de Bachet.

Las teorías de la raíz cuadrada y cúbica sirven al Sr. Humbert de preparación para el importantísimo capítulo III, destinado á los números incommensurables é irracionales, que expone con gran detalle y cuidado, empleando representaciones gráficas y la consideración de series infinitas y convergentes de números racionales; y deduce que la adición y sustracción de los números racionales é irracionales son operaciones uniformes, que la adición es commutativa, la multiplicación uniforme, commutativa, distributiva respecto á la adición, tratando de los radicales aritméticos en la división; y en la parte complementaria, entre otras cuestiones, se ocupa de la «diferencia fundamental
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que existe entre el conjunto de los números racionales y el conjunto total de los números.»

Termina la obra del Sr. Humbert, tan interesante, según puedo haberse notado por la variedad y elección de materias, así como lo advertirá el lector, por la elegancia, claridad y método seguido en las demostraciones y en la exposición, por las razones, proporciones, magnitudes proporcionales, reglas de interés, etc. y errores.

JAHRBUCH UBER DIE FORTSCHRITTE DER MATHEMATIK begründet von Carl Ohrtmann. Band XXI. Jahrgang 1890, Berlín. 1892.—Este Anuario, que se publica en Berlín bajo la dirección del Dr. E. Lampe, hoy rector de la Escuela técnica superior de aquella capital, es un Repertorio de Literatura matemática, el más completo que pueda desear el aficionado á estos estudios más exigente.

No es obra de un solo individuo, ni aun de pocos, la de resumir cuanto de alguna notoriedad se publica acerca de esta vastísima región del humano saber; y únicamente con una colaboración tan numerosa y tan selecta, constituida por cincuenta y cuatro matemáticos distinguidísimos, en gran parte alemanes, siendo hasta el número de quince, de diversas nacionalidades, es como ha podido llevarse á feliz término esta empresa.

El Jahrbuch es una obra indispensable para todo el que se dedica seriamente á los estudios matemáticos y para las bibliotecas científicas, pues contiene indicaciones preciosas acerca de cualquier rama de este género de conocimientos, sirven de guía á todo el que aspira á estudiar tal ó cual materia, pues seguramente que hallará noticia precisa de cuanto se ha publicado concerniente á la misma. La Historia, la Pedagogía y Filosofía matemáticas, el Álgebra, las Aritméticas elemental y superior, la combinatoria, el cálculo de probabilidades, los cálculos diferencial é integral, la teoría de las funciones, las Geometrías elemental y sintética, el Analysis Litus, las Geometrías elemental y proyectiva, la nueva Geometría sintética, las Geometrías analítica en el plano y en el espacio, la Mecánica en general, la Cinemática, Estática, Dinámica, Teoría del potencial, la Física molecular, la Elasticidad, la Capilaridad, Acústica, Óptica, Electricidad y Magnetismo, la Geodesia, la Astronomía y la Meteorología se hallan distribuidas en secciones, donde el lector encuentra la bibliografía referente á las más diversas y modernas teorías, como las del Algebra de la lógica, la Geometría del hiperespacio, la Geometría no-euclídea, la Geometría elemental reciente, etc.
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 24

En 1309 páginas de que consta el tomo XXI (publicado en 1892) se contienen reseñas de infinidad de obras y memorias, que en general dan idea del contenido de las mismas, suficientes para dirigir y orientar al que desea conocer determinadas cuestiones ó teorías de la ciencia, que luego puede conocer detalladamente en las obras originales; y si algunas reseñas están hechas con cierta generalidad, en otras, cuando el caso lo requiere, se ilustra al lector con la exposición de algunas fórmulas y desarrollos fundamentales, y hasta con razonamientos concienzudos y de alguna extensión que en algunos casos exigen doctrinas ó investigaciones muy recientes y originales ó poco divulgadas; y en pocas palabras diremos que cada tomo de tal publicación, además de ser de utilidad inapreciable, resulta sumamente instructivo, lo mismo respecto al detalle que al sistema de las verdades matemáticas.

Recientemente se ha publicado el primer cuaderno del tomo XXII (1893), que trata de: Historia y Filosofía.—Historia y Doctrinas.—Filosofía y Pedagogía.—Álgebra.—Aritmética elemental y superior.—Combinatoria y Cálculo de variaciones.—Cálculo diferencial é integral y Teoría de las funciones.

Die Entwickelung der Mathematik im Zusammenhange mit der Ausbreitung der Kultur.—En este discurso, leído por el Dr. Lampe el 28 de Enero de 1893 con motivo del cumpleaños del emperador de Alemania, hace una detallada é interesante reseña del brillante estado del desenvolvimiento que hoy ha alcanzado la ciencia matemática en todas las naciones cultas de Europa y América, no omitiendo la importación que los ingleses han hecho de estos estudios en la Colonia del Cabo, Nueva Holanda y la India Oriental, siendo curioso el hecho que consigna de publicarse en el Japón un periódico de matemáticas.

American Journal of Mathematics.—Simon Newcomb, editor. Baltimore.

El número 4 del tomo XIV (1892) contiene las siguientes materias

Note on the use of Supplementary Curves in Isogonal Transformation, by Rollin A. Harris.—On the Higher Singularities of Plane Curves, by Charlotte Angas Scott.—On the Roots of Matrices, by W. H. Metzler.—Simple Groups from Order 201 to Order 500, by F. N. Cole.—Extrait d'une lettre d'Ocagne à M. Craig.
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Mathesis.—Director M. P. Mansion, profesor de la Universidad de Gante.

Los sumarios de los números correspondientes á Enero y Febrero (1893), contienen entre otros trabajos, revistas bibliográficas, y cuestiones resueltas, etc., los siguientes:

Sur certaines courbes de quatrième ordre, par M. Balitrand.—Sur un nouveau groupe de trois paraboles, par M. Mandart.—Sur une propriété des quadriques, par M. Cl. Servais.
Sur le centre orthocentroidal, par Madame Prime.—Sur la formule de Leibnitz, par M. Mansion.

Journal de Mathématiques élémentaires.—Los números de Enero y Febrero (1893), contienen entre otros, los siguientes artículos:

Transformation par inversion symétrique, par M. Bernés.—Théorème sur l'ellipse, par M. Vazou.—Sur le cercle de Monge, par Ch. Michel.—Sur la transformation continue, par Ch. Michel.

Journal de Mathématiques spéciales.—Essai d'une démonstration de la formule de Laplace, par Madame V. F. Prime.—Sur la somme des carrés des coefficients binomiaux, par M. G. Longchamps.—Sur la construction des tangentes aux courbes, por el mismo.—Sur les cycliques planes, par M. Michel. Note sur l'ellipse de Longchamps, par M. E. Catalan.—Sur le déplacement d'une figure plane, par M. Balitrand.—Sur les triangles autopolaire, par M. A. Noyer.

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión 66 (Véase t. II, pág. 215).

En todo cuadrilátero inscripto, los centros de los diecisiete círculos inscriptos ó ex-inscriptos á los triángulos formados por una diagonal y dos lados consecutivos, son las intersecciones de cuatro rectas paralelas á la bisectriz del ángulo agudo de las diagonales del cuadrilátero y de cuatro rectas paralelas á la bisectriz del ángulo suplementario.

(N. C. M.) (E. Lemoine).

Solución por el Sr. Solmartinsky

Sean P, Q, R, S los medios de los arcos subtendidos por los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilátero dado.
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 26

Evidentemente cada una de las rectas PR, QS forma ángulos iguales con las diagonales AC, BD (*); PR y QS son pues, paralelas á las bisectrices del ángulo de las diagonales.

Designaremos los centros de los círculos inscriptos en los triángulos BCD, CDA, DAB, ABC por las letras \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) y los de los círculos ex-inscriptos por las mismas letras con índices.

Los puntos \( x \) y \( x_b \) son las intersecciones de la recta BR con la circunferencia descripta desde R con el radio RC. Igualmente B y \( B_a \) son las intersecciones de AR con la misma circunferencia.

El cuadrilátero \( x \beta \ x_b \beta_a \) es pues un rectángulo, y sus lados son pa-

(*) Por ejemplo, los ángulos de PR con AC y BD son \( \frac{AP + CR}{2} \) y \( \frac{BP + DR}{2} \)
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 27

ralelos á las bisectrices del ángulo \( \alpha R \beta \). Una de estas bisectrices es RP; luego la otra es paratela á SQ.

Los lados del rectángulo \( \beta \gamma \beta_c \gamma_b \) siendo paralelas á las mismas rectas PR y QS, los puntos \( \gamma \) y \( \gamma_b \) están respectivamente sobre las rectas \( \alpha_b \beta, \alpha \beta \), y así sucesivamente.

En fin, siendo R' el punto diametralmente opuesto á R, los puntos \( \alpha_c \) y \( \alpha_d \), \( \beta_c \) y \( \beta_d \) son las intersecciones de las rectas R'B y R'A con la circunferencia descripta desde R' con el radio R'C.

Siendo la recta R'P la bisectriz del ángulo BR'A, los lados del rectángulo \( \alpha_c \beta_d \alpha_d \beta_c \) son paralelas á R'P y PR ó á QS y PR. Por consiguiente los puntos \( \alpha_c \), \( \beta_d \) están respectivamente sobre las rectas \( \gamma_b \beta_c, \delta_a \alpha_d \), y así sucesivamente.

Cuestión 76 (véase t. II, pág. 311).

Si O es el punto de encuentro de las rectas que unen los vértices de un triángulo ABC á los centros A', B', C' de los cuadrados construídos respectivamente sobre los lados BC, CA, AB, se tiene:

\[
1.\text{o} \quad \frac{BO}{BB'} + \frac{CO}{CC'} = 1; \quad 2.\text{o} \quad \frac{BO}{BB'} = \frac{AO}{AA'}; \quad 3.\text{o} \quad \frac{BO}{BB'} : \frac{CO}{CC'} = \frac{AB}{AC}
\]

(H. Van Aubel)

Solución por D. Ricardo Caro.

1.\text{o} El ángulo A'AC vale 45º por estar inscripto en A'C, que es su cuadrante, y el CAB' vale también 45º, luego el A'AC valdrá 90º, es decir que, A'A es perpendicular á C'B', y paralela á las BC' y CB'.

Resultan semejantes los triángulos BOD y BB'C, que nos dan,

\[
\frac{BO}{BB'} = \frac{BD}{BC} \tag{1}
\]

y los COD y CC'B, que dan también

\[
\frac{CO}{CC'} = \frac{CD}{CB} \tag{2}
\]

Sumando miembro á miembro las igualdades (1) y (2), resulta

\[
\frac{BO}{BB'} + \frac{CO}{CC'} = \frac{BD + DC}{BC} = 1
\]
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 28

2.º Es fácil ver que \( DO = OA \), considerando la homotecia de las rectas \( AD \) y \( CP \), con relación al centro \( B \).
Los triángulos considerados en el número anterior, nos dan también las proporciones

\[
\frac{BO}{BB'} = \frac{OD}{B'C} \quad \text{y} \quad \frac{CO}{CC'} = \frac{OD}{BC'}
\]

cuyo producto miembro á miembro es

\[
\frac{BO}{BB'} \cdot \frac{CO}{CC'} = \frac{OD^2}{B'C \cdot BC'} = \frac{AO^2}{AB' \cdot AC'} \tag{3}
\]

También son semejantes los triángulos rectángulos \( AA'C' \) y \( AOB' \), por tener los lados del uno perpendiculares á los del otro, y nos darán

\[
\frac{AB'}{AA'} = \frac{AO}{AC'} \quad \text{o} \quad AB' \cdot AC' = AO \cdot AA'
\]

Sustituyendo este valor en la ecuación (3), resulta

\[
\frac{BO}{BB'} \cdot \frac{CO}{CC'} = \frac{AO^2}{AO \cdot AA'} = \frac{AO}{AA'}
\]

3.º Dividiendo miembro á miembro las igualdades (1) y (2), tendremos

\[
\frac{|BO|}{BB'} : \frac{CO}{CC'} = \frac{BD}{BC} : \frac{CD}{BC} = \frac{BD \cdot BC}{BC \cdot CD} = \frac{BD}{CD}
\]

Pero siendo \( AA' \) bisectriz del ángulo \( BAC \) por ser los arcos

\[
BA' = A'C = \frac{1}{2} \text{ circunf.a}, \text{ sabemos que } \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC};
\]

luego finalmente

\[
\frac{BO}{BB'} : \frac{CO}{CC'} = \frac{AB}{AC}
\]

Solución por el Sr. Sollemtinsky

1.º Siendo \( BC' \) y \( CB' \) paralelas, se tiene

\[
\frac{BO}{BB'} = \frac{OC'}{CC'};
\]
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 29

pero
\[
\frac{OC'}{CC'} + \frac{CO}{CC'} = 1
\]
luego
\[
\frac{BO}{BB'} + \frac{CO}{CC'} = 1
\]

2.º La recta AA', como bisectriz del ángulo BAC, es paralela á BC' y CB', y por consiguiente, divide á cada una de las rectas BB', C'C en la relación
\[
\frac{C'A}{AB'} = \frac{BC'}{CB'}
\]
Pasa pues, por O.

Sea \( \alpha \) la intersección de AA' y BC. Se tiene pues, AO = Ox y por consiguiente
\[
\frac{BO}{BB'} = \frac{AO}{CB'}, \quad \frac{CO}{CC'} = \frac{AO}{BC'} \tag{1}
\]
de donde
\[
\frac{BO}{BB'} \cdot \frac{CO}{CC'} = \frac{AO^2}{CB' \cdot BC'}
\]
Pero, según una propiedad conocida de la bisectriz, se tiene
\[
Ax \cdot AA' = AB \cdot AC \quad ó \quad 2 AO \cdot AA' = 2 BC' \cdot CB'
\]
Por consiguiente
\[
\frac{BO}{BB'} \cdot \frac{CO}{CC'} = \frac{AO}{AA'}
\]

3.º Dividiendo las proporciones (1) se obtiene
\[
\frac{BO}{BB'} : \frac{CO}{CC'} = \left( \frac{BC'}{CB'} \right) = \frac{AB}{AC}
\]

Cuestión 94 (Véase t. II, núm. 344).

Si en un triángulo ABC se tiene
\[
1 + 256 \cos A \cos B \cos C = 3 \tg^2 \omega,
\]
(siendo \( \omega \) el ángulo de Brocard de ABC), el círculo de Brocard y el círculo de Longchamps tienen el mismo radio.

(E. Lemoine).
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 3

se coloque resueltamente la opinión ilustrada de su país, y que la obra de los sabios ingleses y alemanes, la Lógica Baltimoreana, arraigue en la patria de los césares y de los mártires.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase págs. 195-207)

Respecto á los lemas y porismas dependientes de la involución en el cuadrilátero (cuyo caso más general está expresado en el lema IV), basta ver cómo se pasa de unos á otros, haciendo pasar por todas las posiciones posibles la transversal, ya llegando á ser paralela á uno de sus lados ó diagonales del cuadrilátero, ya pasando por uno ó dos de sus vértices etc.

Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14

Así, de la figura 12 se pasa á las siguientes. En la 13 los puntos S, m están en línea recta con el R llevado al infinito. En la 14 la transversal coincide con una de las diagonales del cuadrilátero, reduciéndose la relación anarmónica al caso de la armónica en el cuadrilátero completo. La figura 15 es el caso de la anterior en que el punto ρ está en el infinito, y por consiguiente R en el punto medio de AB. (En estos dos últimos casos los vértices ρ y A, ó A y B de cada figura son dos puntos dobles de la involución) (**).

Fig. 15

Fig. 16

Además una simple alteración en la forma del enunciado de los

(**) Siendo \( a = a', \) y \( b = b' \), la relación de involución
\[
ab \cdot a'c \cdot b'c' + a'b' \cdot ac' \cdot bc = 0
\]
se reduce á la armónica
\[
ac \cdot bc' + ac' \cdot bc = 0 \quad \text{ó} \quad \frac{ac}{ac'} : \frac{bc}{bc'} = -1
\]
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 30

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Designando R, r, r₁ respectivamente los radios del círculo ABC, del círculo de Brocard y del de Longchamps, se tiene por fórmulas conocidas (J. S. 1886, pág. 59 y A Sequel to Euclid):

\[
r = \frac{R}{4} \sqrt{1 - 3 \tg^2 \omega} \qquad r_1^2 = -16 R^2 \cos A \cos B \cos C.
\]

Luego la condición pedida es

\[
\frac{1}{16} (1 - 3 \tg^2 \omega) = -16 \cos A \cos B \cos C
\]

o

(E) \quad \(1 + 256 \cos A \cos B \cos C = 3 \tg^2 \omega.\)

NOTA.—Como el círculo de Brocard es siempre real, y el círculo de Longchamps no es real más que cuando el triángulo dado ABC es obtusángulo, se ve que la condición de igualdad de los radios de estos dos círculos debe poder expresar al mismo tiempo que uno de los ángulos A, B, C es obtuso.

Por otra parte \(3 \tg^2 \omega < 1\), y, por consiguiente, si se tiene la igualdad (E) es preciso que \(1 + 256 \cos A \cos B \cos C\) sea \(< 1\), lo que exige que uno de los cosenos sea negativo.

Cuestión núm. 81 (véase t. II, pág. 812).

Resolver las ecuaciones

\[
(y - z)^4 + l^4 = 2l(y + x)
\]
\[
(z - x)^4 + m^4 = 2m(z + x)
\]
\[
(x - y)^4 + n^4 = 2n(x + y)
\]

(E. Lemoine).

Solución por el Sr. Brocard (H)

De la primera ecuación se deduce

\[
l = y + z \pm \sqrt{yz}, \quad \text{etc.}
\]

Y se obtiene

\[
\sqrt{l} = \sqrt{y} \pm \sqrt{z}, \quad \sqrt{m} = \sqrt{z} \pm \sqrt{x}, \quad \sqrt{n} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}
\]

de donde, tomando los signos superiores,

\[
2\sqrt{x} = \sqrt{m} + \sqrt{n} - \sqrt{l}
\]
\[
2\sqrt{y} = \sqrt{l} + \sqrt{n} - \sqrt{m}
\]
\[
2\sqrt{z} = \sqrt{l} + \sqrt{m} - \sqrt{n}
\]

Falta establecer los otros sistemas de soluciones que resultan de la combinación de los signos de los radicales.

NOTA.—Se ve que para proponer una aplicación numérica que dé soluciones enteras, es preciso tomar para l, m, n tres números cuadrados afectados del signo +.

Por ejemplo, para \(l = 16, m = 36, n = 324\), se obtiene \(x = 100, y = 64, z = 16\).
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 31

CUESTIONES PROPUESTAS

103. Hallar los lados del ángulo recto de un triángulo, conociéndose la hipotenusa \(a\) y la suma de los cuadrados de las bisectrices de los ángulos agudos.

(J. M.)

104. En cada punto M de la evoluta de una elipse se traza la tangente AMB que encuentra á los ejes de la curva en los puntos A y B. Hallar el lugar del punto D de esta tangente tal, que BD = AB.

(H. Brocard).

105. Se dan tres ejes rectangulares, y se pide estudiar la superficie reglada que admite por plano director el plano xoy y por directrices dos parábolas situadas la una en el plano xoy y cuyo eje es oz, la otra en el plano yoz, siendo oz su eje y o su vértice.

(H. Brocard).

106. Se dan en un plano dos círculos C, C' y un punto P. Trazar por este punto dos circunferencias T, T' tangentes entre sí, respectivamente tangentes á los círculos dados, esto es, á T ó C y á T' ó C', y cuyos radios se hallen en una razón dada.

(A. Laisant).

107. Se dan en el espacio tres esferas S, S', S'' y un punto P. Trazar á estas esferas tres planos tangentes paralelos, tales, que las distancias PD, PD', PD'' del punto P á estos tres planos sean entre sí como los tres números dados m, m', m''.

(A. Laisant).

108. El cociente de \((2m-1)!\) por \(m!\ (m-1)!\) es siempre un número par, excepto cuando \(m\) es una potencia de 2.

(J. M.) (Wolstenholme).

109. Hallar la suma de los productos tres á tres de los términos consecutivos de la progresión aritmética

\[
+a . a + r . a + 2r . a + 3r \ldots . a + (n-1) r.
\]

(J. M.)
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 32

110. Si desde un punto M de una circunferencia se trazan tres cuerdas cualesquiera MA, MB, MC, el producto del cuadrado de la cuerda media MB por el área del triángulo MAC es igual á la suma de los productos de los cuadrados de las cuerdas extremas MA, MC por las áreas de los triángulos MBC, MAB.

(H. Van Aubel).

111. Sin escribir la ecuación ni trazar más que el cuarto de un dodecágono regular inscripto á un círculo, demostrar que el área de este polígono es igual á tres veces el cuadrado construído sobre el radio.

(H. Brocard).

112. Dados en dirección los ejes \( xCx' \), \( yCy' \) de una cónica \( \Sigma \) (figura 1.a) y la normal MNN' á esta curva en un punto dado M, así como los puntos de intersección N, N' de esta normal con los ejes, determinar el centro \( \varphi \) ó el radio de curvatura \( \varphi M \) en este punto M, no empleando más que dos rectas en la construcción.

Resolver asimismo este problema en el caso particular en que el eje \( yCy' \) (fig. 2.a) y, por consiguiente, el punto N' se halle en el infinito, es decir, cuando la cónica (\( \Sigma \)) se convierte en una parábola.

(A. Schiappa Monteiro).

113. Estudio de las curvas representadas por las ecuaciones

\[
x + y = 3 \sqrt[3]{x - 1}
\]

\[
x^3 + y^3 = \frac{2y}{x + y}
\]

(J. M.) (Edmunds).

ERRATAS

En la cuestión núm. 99 léase V en vez de U.
En la cuestión núm. 100. La ecuación de que se trata es

\[
12\,x^5 - 7\,x^4 + x^2 - 3000 = 0.
\]
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 4

lemas conduce fácilmente á concluir y enunciar los diez casos de la proposición de las cuatro rectas, pues en las figuras 13, 14, 16 pueden considerarse las tres rectas, aA, aP, aP concurrentes en a, y el triángulo bmS móvil de manera que los vértices S, m, b recorran aquellas

Fig. 17

rectas, respectivamente, mientras sus lados Sb y bm giran alrededor de los polos B y Q. Entonces (tesis) Sm girará alrededor de R (que es lo mismo que decir: estarán en línea recta).

Hecha esta modificación en los enunciados, se ve como los porismas III, IV, IX, X (*) y más generalmente, la proposición: Si alrededor de un punto \( \varphi \) se hace girar una transversal \( \varphi \)ab que encuentra á dos rectas fijas SA, SB en dos puntos a, b, y desde dos puntos fijos P, Q, en línea recta con \( \varphi \) se trazan las rectas Pa, Qb á aquéllos; el punto de intersección de éstas describirá una recta que pasa por el punto de encuentro S de las rectas fijas (teorema que se extiende á n rectas concurrentes en un punto y á un polígono de n lados, cuyo n simo vértice

Fig. 18

recorrerá una \( n \) sima recta concurrente con aquéllas), dependen del concepto de la relación anarmónica.

Fig. 19

Fig. 20

Fig. 21

Fig. 22

Fig. 23

(*) Véase Les trois livres etc., (pág. 101 á 110).