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El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOPRA UN PROBLEMA DI GEOMETRIA
NOTA DI V. RETALI

Nel núm. 17 del periodico El Progreso Matemático (*) il Sigre Reyes y Prósper ha data una elegante soluzione del problema: Dati una circonferenza e un triangolo inscritto in essa, determinare sulla circonferenza un punto tale, che i piedi delle perpendicolari condotte sui tre lati del triangolo, cadano in una retta parallela ad un’altra retta data; nel successivo núm. 18 dello stesso giornale (pag. 177) il Sigre E. Lemoine, per dare un esempio del come possa misurarsi la semplicità delle costruzioni geometriche confronta la soluzione sopra accennata con altra ch’egli stesso aveva dato, per lo stesso problema, fin dall’anno 1883 (**). Ora io voglio indicare altre tre soluzioni del problema accennato, fra le quali parmi che la prima sia notevole per la sua grande semplicità.

Tutte e tre le mie soluzioni derivano semplicemente da due proprietà elementari della parabola, cioè dal teorema di Lambert (***) e dall’altro che dice essere la tangente nel vertice, pedale della curva rispetto al fuoco; nella prima soluzione interviene, oltre i due indicati, anche il teorema di Poncelet (****), nella 2.a il teorema di

Fig. 1.

(*) T. II, pag. 147.
(**) Journal de math. elem. de M. de Longchamps, pag. 267.
(***) Il cerchio circoscritto a ogni triangolo circoscritto ad una parabola passa per il fuoco.
(****) Le tangenti che arrivano a una conica da un punto sono isogonali con le rette che proiettano dal punto stesso i due fuochi.
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repetición de enunciados y demostraciones, pues toda propiedad independiente del valor numérico es aplicable lo mismo á la una que á la otra. 2.a Establecida la propiedad proyectiva de dichas relaciones así como de las series homográficas de puntos y en involución, y también la posibilidad de formar con ellas sistemas perspectivos, hoy se pueden abarcar, desde puntos de vista comunes, multitud de lemas de Pappus y de porismas de Euclides, que según el estilo antiguo se enunciaban y demostraban separada é independientemente(*).

(Se continuará).

Z. G. de G.

REVISTA BIBLIOGRÁFICA

Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik) von Ernst Schröder.—Zweiter Band, erste Abteilung (1891).—Ya en el tomo I de esta Revista (págs. 139-142, 195-203), dimos cuenta detallada, si bien no tanto cual merecía, del primer tomo de esta obra magistral en que el sabio profesor de la Escuela Técnica superior de Karlsruhe in Baden ha sintetizado esta nueva rama científica, hoy objeto de insistente estudio en los Estados Unidos, Inglaterra, Alemania y también en Italia, que cuenta al Sr. Peano como uno de los más asiduos representantes de este linaje de conocimientos. Hoy vamos á insistir en nuestra tarea, con motivo de haber aparecido el primer cuaderno correspondiente al tomo II de la obra del Sr. Schröder; pero antes de entrar en materia haremos la siguiente

ACLARACIÓN.—Ya hace tiempo que el sabio autor de la obra en cuestión, nos dirigió algunas oportunas reflexiones con motivo de que en las páginas 140 y 141 del tomo I de este periódico, al ocuparnos de su excelente obra, tradujimos Einordnung por coordinación y Subsumtionsurteile por juicio coordinatorio “Coordinados entre sí se llaman los diferentes individuos que pertenecen á una misma especie, ó las especies que pertenecen á un mismo género; pero aquí, añade

(*) Ciertamente que ya en el texto de Pappus acerca de los porismas se manifiesta que los diez porismas colocados al principio de su primer libro pueden contenerse en un solo enunciado: Dadas cuatro rectas que se cortan dos á dos, si tres de los puntos de intersección situados en una de ellas, ó dos solamente en el caso del paralelismo, están dados (es decir permanecen fijos) y los otros dos se hallan sujetos á permanecer sobre una recta dada, el último estará también situado sobre una recta dada en posición, convenciéndolo que extiende á un número cualquiera de rectas, si bien reconoce dicho geómetra la dificultad de reunir varios porismas en un solo enunciado.
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el Sr. Schröder, lo que se había de expresar era la relación de una especie á su género. El problema es difícil, siendo la palabra alemana Einordnung de fecha reciente; y á no ser posible traducirla por una palabra nueva, acaso implicación (1), correspondiente á la voz inglesa implication podría ser preferible...

Al hacer esta rectificación importante, cuyo origen ha sido la dificultad de emplear nuevos vocablos, aprovechamos esta ocasión para manifestar que la introducción de las palabras subsumpción y juicios subsumptivos que sabemos emplea nuestro ilustrado amigo y colaborador de El Progreso Matemático D. Ventura Reyes Prósper en la traducción compendiada que prepara de El Algebra de la Lógica, resolvería satisfactoriamente esta dificultad y evitaría todo equivoco.

* * *

Principia el tomo II de la obra del Sr. Schröder considerando la variedad de una dimensión, que es el tiempo, ofreciendo la representación de la subsumpción \( a \mathbin{\&} b \) (**) por la recta, cuyos puntos son los elementos del tiempo, de manera que corresponde á cada punto un momento. El uno representa la totalidad del tiempo en sus dos sentidos el pasado y el futuro, el cero se expresa por el abverbio, jamás, distinguiéndolos el autor del 0 y 1 de los cálculos de las clases y de los dominios con un punto sobrepuesto.

Si \( a \) representa la proposición «2 × 2 es 4, y \( b \) que «2 × 2 es 5 las expresiones

\[
a = 1 \quad y \quad b = 0
\]

indicarán su realidad respectivamente, la existencia ó no existencia de tales relaciones. O por ejemplo, si \( a \) representa que «la masa del mundo es constante» y \( d \) que «la materia es percedera, tendremos \( a = 1 \) y \( d = 0 \).

Una subsumpción:

\[
a \mathbin{\&} b
\]

entre dos expresiones, significa: El tiempo durante el que la expresión \( a \) es cierta, se halla contenido en el tiempo durante el que \( b \) es cierta, es decir, siempre que \( a \) subsiste, subsiste también \( b \), ó cuando \( a \) subsiste ó es, también \( b \) es ó subsiste, «de \( a \) se sigue (folgt) \( b \)» y dos expresiones serán entre sí equivalentes cuando tanto, como \( a \mathbin{\&} b \), también

(1) En español implicación ó implicancia expresa oposición de términos entre sí.
(2) Por carecer de los signos tipográficos empleados en la obra del Sr. Schröder, se han tenido que suplir con otros distintos.
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es \( b \uparrow a \), es decir, cuando siempre que al realizarse la una, la otra también se realiza, y recíprocamente.

Siendo cierto que \( 2 \times 2 = 4 \), \( 0 = 0 \) y no siéndolo que \( 2 \times 2 = 5 \) ó que \( 1 = 0 \), se tendrá por ejemplo, que

\[
(0 = 0) = i \quad \text{y} \quad (1 = 0) = 0
\]

como expresión de la validez ó no validez de las proposiciones.

También citaremos entre otras las subsumpciones \( a \uparrow i \), \( i \uparrow i \) que \( a \) corresponden á proposiciones como estas: Mientras el sol brilla, es \( 2 \times 2 = 4 \), mientras la masa del mundo es constante es \( 2 \times 2 = 4 \), etc.

Después de razonar el Sr Schröder detenidamente estos puntos fundamentales, trata del producto y de la suma de las expresiones, que como ya se indicó al ocuparnos del tomo I de su obra, corresponden respectivamente á las conjunciones copulativa y disyuntiva: \( y \), \( o \). Así: no solo (\( a = \)) «la materia es imperecedera,» sino que además (\( b = \)) la fuerza no puede crearse ni aniquilarse <es una expresión producto (Aussagenprodukt) \( ab \).

Respecto á los juicios ocasionales, cuando \( a \) y \( b \) representan expresiones ocasionales enlazadas por la subsumpción \( a \uparrow b \), se entiende que la expresión \( a \) se halla contenida ó subordinada á la clase de las ocasiones en la que la expresión \( b \) es verdadera. Así por ejemplo si \( a \) significa: El cuadrilátero ABCD es un rombo, y \( b \) que «en el cuadrilátero ABCD» las diagonales son perpendiculares, se tendrá que \( a \uparrow b \), es decir; cuando un cuadrilátero es un rombo, sus diagonales son perpendiculares.

En el artículo 29 de la obra de que tratamos, dos nuevos signos se ofrecen á la consideración del lector, signos de producto y de suma (Produktenzeichens, Summenzeichens): \( \Pi, \Sigma, \Pi_x, \Sigma_x, \Pi_{x,y}, \Sigma_{x,y} \)

refieren á uno ó á varios dominios \( x; x, y \), etc. de la variedad (Mannigfaltigkeit) 1, que además de servirle para la exposición de 51 teoremas acompañados de corolarios y definiciones, le sirven en el artículo 30 para establecer algunas consideraciones acerca de la teoría del dualismo á que corresponden dichos dos signos.

Citaremos de entre dichas proposiciones las siguientes:

I Princípio de la identidad \((a \uparrow a) = 1\) ó más breve \(a \uparrow a\).

II Princípio del bilogismo (Barbara).

\[(a \uparrow b) \uparrow (b \uparrow c) \uparrow (a \uparrow c)\]

Definición de la igualdad \((a \uparrow b) \uparrow (b \uparrow a) = (a = b)\)

2) Teorema \((a \uparrow b) \uparrow (b = c) \uparrow (a \uparrow c)\)
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Definición del nulo y del uno idénticos (1)

2×) \( 0 \leq a \)   |   2+) \( a \leq 1 \)

Definición de producto y de suma
\[(c \cdot a) (c \cdot b) = (c \cdot ab)\]   |   \[(a \cdot c) (b \cdot c) \leq (a + b \cdot c)\]

En el § 31 expone y desenvuelve los principios del cálculo de las expresiones y trata de la inconsistencia, cuyos dos símbolos capitales son 0 y i.

Trata de las expresiones producto y suma, que como se ha dicho corresponden á las conjunciones copulativa y disyuntiva.

Así el principio expresado en la fórmula

\[(A + B = i) = (A = i) + (B = i)\]

significa. Si A es ó es B también es A ó B.

La expresión

\[(A+B) C \leq AC + BC\]

se lee: Es A ó B y además C; luego es A con C ó B con C.

Trata asimismo de la negación de la expresión A que se designa por \(A_1\).

Así las negaciones de

\[A = (a \cdot b) \text{ y } A = (a = b)\]

son \((a \cdot b)_1 = A_1\) y \((a = b)_1 = A_1\)

empleando también para la negación de una expresión los signos de la subordinación supraordinación é igualdad combinados con una raya vertical, etc.

\[a \neq b = (a = b)_1\]

Los principios de contradicción, de exclusión y de la doble negación se expresan por

\[AA_1 = o,\quad A + A_1 = I,\quad A \leq (A_1)_1\text{ y } (A_1)_1 \leq A.\]

Esta última por ejemplo, expresa que quando A es, la negación do A debe ser falsa.

La expresión

\[(A \leq B) = (B_1 \leq A_1)\]

expresa la conversión del juicio hipotético por contraposición.

En ella pueden sustituirse A con \(A_1\) y B con \(B_1\) resultando

\[(A_1 \leq B) = (B_1 \leq A),\quad (A \leq B_1) = (B \leq A_1)\]

es decir, que: Es B cuando A no es, así como es también A cuando B no

(1) La expresión nula es una hipótesis admisible para toda conclusión, y una expresión i es una conclusión admisible para toda hipótesis.
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es, de igual modo que no es B cuando A es, así como no es A cuando es B.

Además los juicios

A \( \subseteq B_1 \) y \( B \subseteq A_1 \)

son equivalentes y pueden representarse por la igualdad \( AB = o \) ó inconsistencia (de inconsistency). Y una inconsistencia, por ejemplo, \( ABC = o \) equivale á cada una de las subsumpciones

\( AB \subseteq C_1 \), \( AC \subseteq B_1 \), \( BC \subseteq A_1 \),

correspondiendo la inconsistencia al juicio disyuntivo ó juicio alternativo que se representa por la forma \( A + B = i \) (A es ó bien es A ó es B). Y también citaremos la igualdad

\[(A = i) + (A = o) = i\]

Pasa el autor á tratar del peso de las expresiones, y á hacer numerosas verificaciones de los teoremas del cálculo de éstas.

Basta transcribir las siguientes expresiones:

\[(A = o) = (A_1 = i) = A_1 , \quad (A \neq o) = (A = o)_1 = (A_1)_1 = A , \quad (A \neq o) = (A = i)\] etc.

para comprender los diversos modos de expresarse la negación en este cálculo; de manera que una desigualdad con su segundo miembro cero equivale á una igualdad con el segundo miembro i, etc.

Además una subsumpción \( A \subseteq B \) admite la forma de igualdad \( A_1 + B \).

\[(A \subseteq B) = (AB_1 = o) = \frac{1}{i} (AB_1)_1 = i^1 = (A_1 + B = i) = A_1 + B\]

Con estos preliminares y la consideración del peso \( A_1 B \) de la subsumpción \( A_1 \subseteq B \), observándose además que: cuando el peso de una subsumpción es igual á 0 puede reducirse á una igualdad, y recíprocamente puede el Sr. Schröder entrar de lleno en el cálculo de las expresiones de las que ofrece una larga serie de ejemplos correspondientes á teoremas de esta nueva rama de la ciencia.

El § 38 de la obra, tiene por objeto tratar del silogismo en sus formas conocidas universales y particulares, afirmativo y negativo que como se sabe, se representan por las letras a, e, i, o. Y solo diremos que la igualdad \( wA = wB \) corresponde á los juicios particulares y aun las expresiones

\[ AB \perp o , \quad AB_1 \perp o , \]

traducen los juicios i, o, es decir, que algunos A son B, algunos A son no B.

Las cinco relaciones elementales posibles de Gergonne y las catorce relaciones fundamentales, son el punto de partida de los ulterio-
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res y amplios desarrollos con que el Sr. Schröder continúa dando á conocer el Algebra de la Lógica.

Distingue los dos casos \( a \) y \( a_1 \), el primero correspondiente á la exclusión (representado en las figuras geométricas que acompañan al texto con dos círculos exteriores), y el segundo á que corresponden los otros cuatro casos: el de la identidad \( a = b \), los dos de la inclusión total de A en B ó de B en A y en fin, la parcial de uno en otro, ó sea \( a_{1}^{00} = \delta \), \( a_{1}^{01} = \gamma \), \( a_{1}^{10} = \beta \), \( a_{1}^{11} = x \).

Las tres relaciones elementales \( \alpha, \beta, \gamma \), difieren de las

\[
d = (A ... B) \quad (\text{todo } A \text{ es todo } B), \quad f = A (B; \text{(todo } A \text{ es sólo algún } B))
\]
\[
e = A ) B; \quad (\text{sólo algún } A \text{ es todo } B)
\]

porque en aquéllas A y B son siempre distintas de 0, mientras que en éstas, (\( d, f, e \)) se admiten los casos \( A = o, B = o \).

En fin, la relación \( \alpha = g \) correspondiente á sólo algún \( A \) es sólo algún \( B \).

Estas relaciones con sus respectivas negaciones (por ejemplo \( d_1 = \{ A \vdash B \} = \{ A = B \} \), etc.) forman los siete pares de relaciones fundamentales en que estriban los ulteriores desarrollos, á saber: la reducción mutua de las relaciones elementales y fundamentales, objeto del § 35.

Así, cuando
\[
i = a + x + \beta + \gamma + \delta,
\]
será
\[
a_1 = x + \beta + \gamma + \delta.
\]

Será además
\[
b = k + \beta + \delta \quad (\text{se tiene } k = \{ B = o \}) \text{ etc.}
\]

La reducción de todas las relaciones á tipos de igualdades y sus negaciones es objeto del § 36 en que se expresan estas reducciones mediante cuadros sinópticos, así como el desarrollo de los productos y sumas de las relaciones fundamentales.

El § 39 tiene por objeto la representación de las relaciones por medio de las series imaginables de relación por medio de las cuatro relaciones primitivas, según Morgan:
\[
a = \{ AB = o \}, \quad c = \{ AB_1 = o \}, \quad b = \{ A_1 B = o \}, \quad l = \{ A_1 B_1 = o \}
\]
y sus negaciones \( a_1 = \{ AB \vdash o \} \) etc. expuestas en varios cuadros sinópticos, terminando con la enumeración de Peano de las expresiones posibles con respecto á n clases.

Trata el § 40 del problema de Mitchel sobre las expresiones simultáneas, compuestas de sumas y productos; en el 41 de la eliminación resuelto para un par de casos especiales típicos, y el § 42 está desti-
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nado al silogismo, aplicando en el estudio de sus modos y sus figuras las modernas notaciones; el § 43 tiene por objeto los resultados obtenidos por Miss Ladd Franklin acerca de los quince modos admisibles en el cálculo, luego de los silogismos incompletos de los antiguos y de su representación en la Lógica exacta, estableciendo diferencia que existe entre esta lógica y la de los antiguos en el problema de la conversión silogística.

Detalladamente da á conocer enseguida el Sr. Schröder las particularidades del cálculo de las expresiones con relación al de los dominios del que difiere en el empleo de los valores 0 y 1, separándose de éste por la adición de la hipótesis \((a = i) = a\).

No permitiéndonos nuestra reseña bibliográfica el extendernos tanto como fuera nuestro deseo, nos limitaremos á citar de entre las numerosas proposiciones las siguientes:

\[
\begin{array}{ll}
\delta x) & a \subseteq (a \subseteq b) \subseteq b \\
\epsilon x) & (a \subseteq b) a \not\subseteq b
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\delta +) & b_1 \subseteq (a \subseteq b) \subseteq a_1 \\
\epsilon +) & (a \subseteq b) b_1 \not\subseteq a_1
\end{array}
\]

ó traducidas al lenguaje común: Si a es, también debe ser b, cuando b resulta de a. Si b no es, también debe no ser a, cuando b resulta de a.

Si a es, también b. Pero a es, luego b es. Si a es, también b. Pero b no es; luego a no es.

Citaremos también el dilema

\[(s \subseteq (a + b + c + ....)) (a \not\subseteq p) (b \not\subseteq p)..... \subseteq (s \subseteq p)\]

Si s es, y es también ó a, ó b, ó c,.... Si ahora es a, también p, cuando b es también p,.....; luego, cuando s es, también es p.

Sólo diremos del § 46 que contiene una serie de teoremas y métodos de Hauber, Mitchell, McColl, Peirce, etc., concernientes á esta novísima teoría.

El § 47 trata de las definiciones de los individuos, puntos y sus correspondencias, de los teoremas referentes á los individuos, así como de la dualidad.

El punto se toma como individuo de la variedad de puntos, representándose diversos individuos con las notaciones \(i^1, f^1, f^2\).....

Si un dominio a entra parcialmente en un dominio x, se tiene la desigualdad \(ax \not\subseteq o\); y si a representa un punto ó un individuo i, tendremos

\[(xy = o) \subseteq ((ix \not\subseteq o) (iy \not\subseteq o) = o)\]

Esta fórmula nos basta para hacer notar como este cálculo referente al dominio de puntos, y que lleve al autor á la consideración de

(*) Por carencia del signo de la negación de la igualdad, se ha empleado otro parecido.
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las formas geométricas, línea, superficie, volumen y aun al espacio en general, se efectúa según las reglas y transformaciones de que ya hemos ofrecido algunos ejemplos. Citaremos aún, para terminar, las siguientes:

\[(i \underline{a})(i \underline{a}_1) = 0,\qquad (i \underline{a}) + (i \underline{a}_1) = i\]

y

\[(i \underline{a} + b) = (i \underline{a}) + i \underline{b}),\]

esto es: cuando un individuo es a ó b, debe ó ser a ó ser b.

Termina el cuaderno de que nos ocupamos con ampliaciones sobre el silogismo y sobre las cláusulas.

A sequel to the first six books of the Elements of Euclid by John Casey (1892). Esta notabilísima obra es ya conocida por los aficionados á los estudios geométricos, la cual, como se sabe, constituye una colección de teoremas y cuestiones de las teorías más modernas, completada por el tratado Recent elementary Geometry (Geometría elemental reciente), de que se dio cuenta en el tomo 1.º de El Progreso Matemático.

Sólo vamos á indicar alguna de las adiciones que han hecho los editores en esta edición (que es la 6.a), á la anterior, después de enunciar las materias contenidas en las ocho primeras secciones, que no difieren de las de la edición anterior.

En el 1.er libro se contienen, entre multitud de teoremas, los que conocemos en la teoría del centro de las distancias proporcionales y algunos relativos á máximos y mínimos. El libro 2.º teoremas relativos á relaciones métricas, los libros 3.º, 4.º y 5.º tratan de propiedades del círculo. El libro 6.º contiene proposiciones correspondientes á las teorías de transversales y de los triángulos perspectivos, los centros de semejanza, teoría de la relación armónica, teoría de la inversión, círculos coaxiales, teoría de la razón anarmónica, ídem de los polos y polares, acompañando á cada libro multitud de cuestiones interesantes.

En el capítulo suplementario que comprende la Geometría elemental reciente es donde se notan considerables adiciones.

La sección 1.ª se halla aumentada con una serie de problemas nuevos, algunos acerca del centroide (centro de gravedad del triángulo). Así, siendo M, N, P tres puntos de los lados BC, CA, AB tales que BM : MC :: CN : NA :: AP : PB; demostrar que ABC y MNP tienen el mismo centroide (Pappus).

Sobre los lados BC, CA, AB se construyen los triángulos semejantes
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A'BC, B'CA, C'AB; demostrar que los triángulos ABC, A'B'C' tienen el mismo centroide (Laisant).

En fin, hay varios problemas nuevos de los señores Boutin, Martin, Brocard, Neuberg, Lemoine, etc.

También se nota en la sección 1.a el aumento de las definiciones de los puntos complementarios y anticomplementarios, y de la figura complementaria de una figura dada.

Supuesto que se han trazado las rectas AM, BM, CM prolongadas hasta encontrar al lado opuesto del triángulo ABC en M₁, M₂, M₃ y los conjugados armónicos m₁, m₂, m₃ de éstos con relación á los lados respectivos del triángulo, se demuestra que m₁, m₄, m₃ son colineales, hallándose en la polar de M respecto al triángulo, ó polar trilineal de M, que es á su vez su polo trilineal. Se deduce además, entre otros resultados especiales, que el polo trilineal del ortocentro es la línea h₁ h₄ h₃, ó eje órtico de H₁ H₂ H₃ (siendo H₁, H₂, H₃ los pies de las tres alturas).

En la sección 2.a se halla aumentado el artículo relativo á dos figuras inversamente semejantes, principiando por demostrar la existencia del punto y de la línea dobles.

Después de tratarse de los círculos de Lemoine, Tucker y Taylor, ya expuestos en las ediciones anteriores, y del sistema de tres figuras semejantes, además de algunos ejercicios nuevos, se da á conocer el punto director respecto á una triada de puntos P₁, P₂, P₃ de F₁, F₂, F₃.

Se encuentra en la edición de que se trata definido también el círculo ortocentroidal, es decir, cuyo diámetro es la recta que une el ortocentro H y el centroide G; y considerándose las proyecciones a, b, c de G sobre las alturas, así como las de H sobre las medianas, y supuestas sobre las alturas tres figuras semejantes, se demuestra que a, b₁, c₁ es el triángulo de semejanza de Tₐ, T₉, Tₑ, que a, b, c son puntos invariables, etc., y se deducen varias propiedades del punto simediano (de Lemoine) del círculo de Apolonio, etc.

A continuación de los polígonos armónicos y de la teoría general de las figuras asociadas se advierte, en fin, un considerable aumento, que constituye toda la sección 8.a; y sin entrar en detalles, citaremos los epígrafes de las varias cuestiones tratadas, á saber: Metapolos de dos triángulos.—Triángulos pedales y antipedales.—Triángulos ortológicos.—Cuadrángulos metapolares.—Par tripolar.—Centros isogono é isodinámico de un triángulo.—Trasformación armónica de un triángulo.—Círculos adjuntos.—Triángulos quibrocardianos.—Inversión simétrica.—Círculos tritangentes, terminando la obra con una colección aumentada de ejercicios.