ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 13

mo plano, sin tener ningún elemento común, y los tres puntos, intersecciones de dos lados homólogos, se hallan en una recta s, que no es lado de ninguno de los dos triángulos, los dos triángulos serán perspectivos entre sí; y por consiguiente las tres rectas que unen dos vértices homólogos, se cortarán en un punto, basta, siguiendo el método de Standt, proyectar desde un punto arbitrario S, el triángulo ABC sobre otro plano cualquiera que pase por la recta s, obteniéndose así un tercer triángulo A2B3C2 del que también el triángulo A1B1C1 es una proyección.

Establecida esta proposición fundamental concerniente al triángulo, se extiende enseguida al cuadrángulo, demostrándose que: Si dos cuadrángulos completos ABCD y A'B'C'D' (fig. 59), referidos uno á otro y situados en planos diferentes, cuya línea de intersección s no pasa por ninguno de los ocho puntos, y si cinco lados AB, BC, CA, AD y BD del uno cortan en s á los lados correspondientes A'B', B'C', C'A', A'D', B'D' del otro, los dos cuadrángulos son secciones de un solo cuadriarista completo, y por consiguiente, los otros dos lados restantes CD y C'D' se cortan también en s.

Esta cuestión se reduce á la anterior, deduciéndose que la recta DD' pasa por el punto de intersección S de AA' y BB', al considerarse los triángulos ABD y A'B'D', de igual manera que la recta CC', al considerarse los triángulos ABC y A'B'C'; concluyéndose de esto que BCD y B'C'D' son perspectivos y, en fin, que CD y C'D' se cortan en la recta s determinada por las intersecciones de BC y B'C', BD y B'D', ó sea la recta en que se hallan los cinco puntos del enunciado. Y en la proposición correlativa, á saber, que:

Si en dos cuadriláteros completos los cinco vértices ab, bc, ca, ad, bd, se hallan respectivamente con los correspondientes a'b', b'c', c'a', a'd', b'd' en cinco rectas concurrentes en el punto S (figura 60), los dos vértices restantes cd y c'd' también se hallan alineados con S, igualmente se demuestra, al considerarse los dos triláteros abc y a'b'c', que cc' se halla en la misma recta que bb' y aa', de igual manera que dd', al considerarse los triláteros abd y a'b'd'; concluyéndose de esto que bcd y b'c'd' son perspectivos y, en fin, que cd y c'd' se hallan en línea recta con el punto S determinado por las rectas (bc) (b'c') y (bd) (b'd') (*).

(*) Véase Cremona, Elements de Géométrie projective (pág. 25).
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 14

Consecuencia de las proposiciones anteriores es el teorema que permite relacionar sistemas de puntos en línea recta ó de rectas concurrentes, ó sea punteadas ó haces de rayos, unos con otros, mediante las formas armónicas (que pueden ser puntos ó rayos armónicos), es decir, que: dados tres puntos A, B, C en una línea recta s ó tres rectas a, b, c concurrentes en el punto S, si se construyen el cuadrángulo (KLMN) ó el cuadrilátero (klmn) completos, de manera que los dos pares de lados opuestos concurren en A y B y el quinto lado pase por C, ó que los dos pares de vértices opuestos se hallen en a y b y el quinto en c, el sexto lado KM del cuadrángulo (fig. 61) ó el sexto vértice km del cuadrilátero (fig. 62) se hallarán respectivamente en un punto D de la recta s ó en una recta d del haz S, determinados por los tres elementos dados (A, B, C ó a, b, c), es decir, que no cambiarán de cualquiera manera que se hagan variar los elementos arbitrarios del cuadrángulo ó del cuadrilátero (*).

Fig. 62

Fig. 61

Estas proposiciones son los fundamentos del método geométrico de Staudt, y que, aplicados constantemente, establecen los enlaces entre los elementos que forman las hipótesis y las tesis de los diversos teoremas con auxilio de formas armónicas intermedias y que permiten formular la definición siguiente, en la cual dichos principios fundamentales se condensan:

Se dice que dos formas fundamentales se hallan ligadas proyectivamente entre sí, cuando están referidas mutuamente de tal manera, que cuatro elementos armónicos de la una corresponden siempre á cuatro elementos armónicos de la otra (**), de la que se desprende como corolario la proposición auxiliar:

Si dos formas son proyectivas á una tercera, son proyectivas entre sí.

Para terminar estas generalidades acerca del método de Staudt citaremos el teorema siguiente en que se funda la construcción de las curvas y haces de segundo orden.

Dos formas fundamentales elementales pueden siempre referirse pro-

(*) Idem pág. 33.
(**) Rey Leçons sur la géométrie de position (t. I, pág. 51).
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 15

yectivamente entre sí, de manera que á tres elementos cualesquiera de la una se hagan corresponder tres elementos elegidos arbitrariamente en la otra; se puede entonces construir, sin ambigüedad, el elemento de una de estas formas que corresponde á un elemento arbitrariamente elegido en la otra (*).

Y, en fin, el teorema siguiente: Dos formas fundamentales proyectivas pueden siempre ser consideradas como la primera y la última de una serie de formas de las que cada una es perspectiva á la que la precede y á la que la sigue, que expresa gráficamente el enlace por el cual el método de Staudt conduce á establecer las propiedades de las formas geométricas extendidas hasta la generación de las superficies de tercer y cuarto orden.

CAPITULO IV
Los métodos analítico-geométricos.

§ 1.º—GENERALIDADES

53. Al hacer un examen del contenido de la ciencia matemática, descubrimos sobre el número y la extensión que son sus dos ejes fundamentales, sus dos objetos distintos á que se refieren todas sus proposiciones, algo que pone nuestra inteligencia para realizar el amplio y variado desarrollo de aquellos conceptos, en multitud de objetos que han de constituir el fondo substancial de dicha ciencia de carácter predominantemente subjetivo. Este elemento superior puesto por la inteligencia y aplicado al doble objeto de la matemática es el sistema de las leyes combinatorias, sistema puramente abstracto y de generalidad absoluta que prescinde del objeto á que deba aplicarse y que obliga á sustituir á la palabra cantidad, empleada ordinariamente en esta ciencia, otra palabra más general, ya sea la de objeto(**), ya el de entidad ú otro análogo empleado en varias obras recientes. Y como correspondiendo á esta generalización de los conceptos de cantidad y de operación, vemos empleado en el Ausdehnungslehre de Grassmann, otros signos de operación distintos de los de las operaciones ordinarias, y en el Algebra de la lógica cuyos fundamentos dió Boole(***) se es-

(*) Idem, pág. 59.
(**) Véase Houël. Théorie élémentaire des quantités complexes, pág. '93.
(***) The mathematical analysis of Logic, etc., Cambridge 1847. An investigation of the Laws of Thought, etc. London '854.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 16

tablecen las leyes de una teoría combinatoria à priori que prescinde de las propiedades ó modos de ser del objeto á que se haya de aplicar, y que expresa diciendo: «la validez del análisis algébrico depende, no de la interpretación de los símbolos empleados, sino únicamente de las leyes de su combinación. Dada una fórmula analítica, todo sistema de interpretación que no afecte á la verdad de las relaciones supuestas, es igualmente admisible, y esta fórmula puede representar con una interpretación la solución de una cuestión relativa á las propiedades de los números, con otra, la de un problema geométrico, con una tercera, la de una cuestión de dinámica ó de óptica (*)».

La teoría combinatoria es, pues, la rama fundamental ó el tronco destinado á sostener el engranaje de las infinitas relaciones que constituyen el desenvolvimiento ó contenido de la ciencia matemática, que en la región del análisis conduce á sistemas múltiples de Algebra(**) y, en general, á la teoría de las cantidades complejas(***) y en los dominios de la Geometría, á la extensión á los espacios de n dimensiones, que partiendo de una memoria de Riemann, hoy es asunto de numerosas obras que explanan y perfeccionan esta singular teoría, emanada de la virtualidad contenida en la teoría combinatoria ó en los conceptos primordiales de orden y de combinación que resultan de superior jerarquía que los de número y extensión, y que se corresponden á éstos como la forma á la materia.

Z. G. DE GALDEANO.

(Se continuará).

La geometría del triángulo, los círculos de Tucker y sus casos particulares
POR M. EMILE VIGARIE

(Conclusión.—V. t. IV, p. 4-12).

Si se hace \( I = x + \beta + \gamma \), los lados del triángulo \( x\beta\gamma \) tienen por ecuación

(*) The mathematical analysis. Introd.
(**) Véase Linear Associative Algebra by Benjamín Peirce.
(***) Théorie des quantités complexes á n unités principales par l'abbé B. Berloty. On the calcul of Simbol by Mr Russell ('861), y otros trabajos de Mr. Spottiswoode publicados en Philosophical Transactions, etc.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 17

\[
\frac{x}{a^2} - \lambda I = 0, \quad \frac{\beta}{b^2} - \lambda I = 0, \quad \frac{\gamma}{c^2} - \lambda I = 0
\]
y toda cúbica que pasa por las nueve intersecciones de los lados de los triángulos ABC y \( x'\beta'\gamma' \) está representada por
\[
\left( \frac{x}{a^2} - \lambda I \right) \left( \frac{\beta}{b^2} - \lambda I \right) \left( \frac{\gamma}{c^2} - \lambda I \right) - m x \beta \gamma = 0 \tag{17}
\]
Se obtiene la cúbica formada por la recta I que pasa por las intersecciones de los lados homólogos y la cónica que pasa por los seis puntos D, E, F, M, N, P. Si se hace
\[
m = \frac{1}{a^2 b^2 c^2}
\]
el factor I se separa entonces de la ecuación (17) y queda la ecuación (12) anteriormente obtenida.

El mismo método sirve para demostrar analíticamente la segunda definición que hemos dado de los círculos de Tucker.

Las ecuaciones de los lados del triángulo \( x'\beta'\gamma' \) homotético al A'B'C' con relación á K son:
\[
\frac{\beta}{b^2} - \frac{\gamma}{c^2} = 0, \qquad \frac{\gamma}{c^2} - \frac{x}{a^2} = 0, \qquad \frac{x}{a^2} - \frac{\beta}{b^2} = 0
\]
\[
\frac{\beta}{b^2} - \frac{\gamma}{c^2} - \mu = 0, \quad \frac{\gamma}{c^2} - \frac{x}{a^2} - \mu_1 = 0, \quad \frac{x}{a^2} - \frac{\beta}{b^2} - \mu_2 = 0
\]
siendo \( \mu, \mu_1, \mu_2 \) constantes. Si se restan entre sí dos de las últimas ecuaciones, se debe obtener la ecuación de las simedianas; luego
\[
\mu = \mu_1 = \mu_2
\]
Se ve fácilmente que el eje de homología de los triángulos ABC y \( x'\beta'\gamma' \) tiene por ecuación:
\[
H = \frac{x}{a^2} + \frac{\beta}{b^2} + \frac{\gamma}{c^2} - \mu = 0 \tag{18}
\]
es una paralela á la recta de Lemoine. Las ecuaciones de los lados de \( x'\beta'\gamma' \) escritas bajo la forma
\[
H - \frac{x}{a^2} = 0, \quad H - \frac{\beta}{b^2} = 0, \quad H - \frac{\gamma}{c^2} = 0,
\]
la ecuación de una cúbica que pasa por los nueve puntos de intersección de los lados de ABC y \( x'\beta'\gamma' \) es:
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 18

\[
\left( H - \frac{x}{a^2} \right) \left( H - \frac{y}{b^2} \right) \left( H - \frac{\gamma}{c^2} \right) + m x_3^2 \gamma = 0 \tag{19}
\]

Esta curva se descompone en una recta H y una cónica, si se hace

\[
m = \frac{1}{a^2 b^2 c^2}
\]

se vuelve á hallar así la ecuación (12).

*Observación I.* La recta H es el eje del círculo (12) y del círculo ABC.

*Observación II.* Las potencias de los vértices del triángulo ABC con relación á un círculo de Tucker tienen respectivamente por valores

\[
\begin{aligned}
A &= - b^2 c^2 \lambda (1 - \lambda a^2) \\
B &= - c^2 a^2 \lambda (1 - \lambda b^2) \\
C &= - a^2 b^2 \lambda (1 - \lambda c^2)
\end{aligned}
\] (20)

*Observación III.* En el segundo modo de generación de los círculos de Tucker, el valor de \( \lambda \) que le corresponde es

\[
\lambda = \frac{2AA'}{(a^2 + b^2 + c^2) AK} \tag{21}
\]

**20. Triángulos DFN, EMP.—Los triángulos DFN y EMP son iguales entre sí y semejantes á ABC (Tucker. 11).**

Tienen los tres lados iguales por ser, dos á dos, las diagonales de trapecios isósceles. Luego:

\[
DN = PE,\quad DF = EM,\quad FN = MP
\]

son semejantes á ABC, porque

\[
\begin{aligned}
\angle NDF &= \angle NEF = A = \angle PEM \\
\angle DNF &= \angle DPF = B = \angle EPM \\
\angle DFN &= \angle DMN = C = \angle EMP
\end{aligned}
\]

Los lados de los dos triángulos DFN y EMP forman con los lados homólogos de ABC un mismo ángulo \( \theta \), porque forman ángulos que están inscriptos en una misma circunferencia (círculo de Tucker) é interceptan arcos iguales (las cuerdas son iguales), se tiene, pues:

\[
\angle FMN = \angle DFE = \angle NDP = \angle PMN = \angle EPD = \angle MEF = \theta
\]

Se puede, pues, decir que:

*Si en un mismo triángulo ABC se inscriben dos triángulos DFN y EMP semejantes á ABC, tales que los lados formen con los lados homólogos de ABC el mismo ángulo \( \theta \), los vértices de los dos triángulos inscritos pertenecen á un círculo de Tucker* (H. M. Taylor. 10).
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 19

Es la tercera definición que hemos dado de los círculos de Tucker.

21. Si comparamos estos resultados á los que se han dado en la teoría de las figuras semejantemente variables, vemos que los círculos de Tucker forman un caso particular de esta teoría, el en que el triángulo móvil es semejante á ABC.

Observemos que los círculos APE, APM, CME se cortan en un mismo punto \( \Omega \) tal que (fig. 6)

\[
\angle P\Omega M = \angle A\Omega B = \pi - B \\
\angle M\Omega E = \angle B\Omega C = \pi - C
\]

Fig. 6.

\( \Omega \) es entonces el primer punto de Brocard, luego:

Los triángulos ABC y MEP tienen el mismo primer punto de Brocard (Neuberg. 14).

Igualmente:
Los triángulos ABC y DFN tienen el mismo segundo punto de Brocard \( \Omega' \) (Neuberg. 14).

Los centros permanentes de semejanza son, pues, aquí los puntos de Brocard.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 2

Estas sustituciones se van repitiendo, modificándose sucesivamente los valores \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Cuando la repetición se ha realizado \(n\) veces, se expresa la forma simbólica correspondiente por

\[
\left( z, \frac{a_n z + b_n}{c_n z + d_n} \right),
\]

ó también de un modo más breve por \(f_n(z)\).

De otro modo, si \(z_n\) representa la variable: después de haber aplicado \(n\) veces la sustitución, y en el supuesto de que \(z_0 = z\), \(z_1 = t\), se tiene

\[
\frac{z_n - x}{z_n - \epsilon} = K^n \frac{z - x}{z - \epsilon}
\]

La condición para que la transformación sea periódica y del orden enésimo, es que \(z_n = z\), lo cual exige que \(K^n = 1\), siendo \(k\) el multiplicador de la sustitución, y \(x\) y \(\epsilon\) los puntos comunes á \(t\) y \(z\) conforme determinaremos luego.

La sustitución

\[
\left( z, \frac{az + b}{cz + d} \right)
\]

goza de la propiedad muy notable de la igualdad de ángulos.

Para demostrar este principio recordemos á Forsyth y á Riemann al suponer que una variable compleja \(u\) es función de otra, tal como \(z\), siendo \(\frac{du}{dz}\) independiente del movimiento de la diferencial elemental \(dz\).

De esta suerte se llega á las condiciones siguientes:

\[
\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy}, \quad \frac{dv}{dx} = -\frac{du}{dy},
\]

en el supuesto de que sea \(w = u + iv\), y \(z = x + iy\).

Ahora bien, sean P y p dos puntos en diferentes planos ó en diferentes partes de uno mismo, conforme á las variables \(w\) y \(z\), y á distancia finita. Sean q y r otros dos puntos, tales como \(z + dz\) y \(z + \delta z\), cerca de \(p\); y sean, por fin, Q y R los puntos \(w + dw\) y \(w + \delta w\), correspondientes á los primeros. Fácilmente se concibe que puede escribirse:

\[
dw = \frac{dw}{dz} dz, \quad \delta w = \frac{dw}{dz} \delta z; \quad \text{de donde} \quad \frac{\delta w}{dw} = \frac{\delta z}{dz}
\]

esta igualdad se obtiene en el supuesto de que \(\left( \frac{dw}{dz} \right)\) se resuelva en la finitud.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 20

22. Aplicando la teoría de las figuras semejantemente variables podemos decir que:
Si se hacen girar dos haces de Brocard alrededor de sus centros en un mismo ángulo \( \theta \) y en sentido contrario, los rayos encuentran á los lados correspondientes de ABC en seis puntos de un círculo de Tucker (J. Neuberg. 14).
Esta es nuestra cuarta definición de los círculos de Tucker.
Observemos que el cuadrilátero BDQN es inscriptible porque se tiene (fig. 6):
\[
\angle BDO = \angle DAO + \angle AOD,\quad \angle BNO = \pi - \angle NBA - \angle BON
\]
de donde
\[
\angle BDO + \angle BNO = \pi
\]
porque \( \angle AOD \) y \( \angle BON \) son iguales, puesto que son los ángulos en que ha girado el primer haz de Brocard y;
\[
\angle NBA = \angle DAO = \omega \text{ (ángulo de Brocard)}
\]
Luego: Los triángulos DNF y PEM forman con los lados homólogos de ABC el mismo ángulo. Este ángulo es igual al en que ha girado el haz de Brocard.
Observación. El valor de \( \lambda \) que entra en la ecuación de los círculos de Tucker tiene aquí por valor
\[
\lambda = \frac{1}{2S (\cot \theta + \cot \omega)} \tag{22}
\]

23. Nos hallamos en el caso de la teoría de las figuras semejantemente variables, caso en que
\[
\beta = A = \gamma',\quad \gamma = B = x',\quad x = C = \beta'
\] (23)
De ellas deduciremos algunas fórmulas.
1.º Lugar de los centros de los círculos de Tucker.—La ecuación (10) se reduce aquí á:
\[
x \sen (B - C) + y \sen (C - A) + z \sen (A - B) = 0 \quad \text{(Tucker. 11)}
\]
ecuación que evidentemente queda satisfecha por las coordenadas del centro O del círculo circunscripto y por las del punto de Lemoine K.
2.º Radio.—La ecuación (1) da:
\[
\frac{R}{\rho} = \frac{\sen (A + C - \theta)}{\sen B} = \frac{\sen B \sen \theta}{\sen A \sen C}
\]
\[
= \cos \theta + \sen \theta (\cot. B + \frac{\sen B}{\sen A \sen C})
\]
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 21

Hagamos

\[
\cot \varphi = \cot B + \frac{\sin B}{\sin A \sin C}
\]

se tiene

\[
\cot \varphi = \frac{1 + \cos A \cos B \cos C}{\sin A \sin B \sin C} = \cot A + \cot B + \cot C = \cot \omega
\]

siendo \( \omega \) el ángulo de Brocard. Luego:

\[
(24) \quad \frac{R}{\rho} = \cos \theta + \sin \theta \cot \omega = \frac{\sin (\theta + \omega)}{\sin \omega}
\]

\( \delta \) en función de \( \lambda \)

\[
(25) \quad \frac{R}{\rho} = \left[ \lambda^2 (a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2) - \lambda (a^2 + b^2 + c^2) + 1 \right]^{\frac{1}{2}} \text{ (Tucker. 11)}
\]

Estas fórmulas permiten dar el valor de los diversos elementos de los triángulos DNF y PEM (Tucker. 11).

\[
\begin{align*}
DE &= PN = MF = \lambda abc \\
DN^2 = PE^2 &= c^2 \left[ \lambda^2 (a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2) - \lambda (a^2 + b^2 + c^2) + 1 \right] = c^2 p \\
NF^2 = PM^2 &= a^2 p \qquad tM^2 = tM^2 = b^2 p
\end{align*}
\]

3.º Coordenadas del centro.—Las fórmulas (7) dan

\[
(26) \quad \left\{ \begin{array}{l}
x = \rho \cos (A - 0) \\
y = \rho \cos (B - 0) \\
z = \rho \cos (C - 0)
\end{array} \right. \quad \text{(Taylor. 10)}
\]

Es por otra parte fácil ver que:

El centro de un círculo de Tucker está en el medio de la recta que une el centro del círculo circunscrito á ABC con el centro del círculo circunscrito á \( x_3^2 \) (Tucker. 11).

4.º Triángulo \( x_3^2 \).—Las coordenadas del punto \( x \) son

\[
x = \frac{2S (1 - \lambda b^2 - \lambda c^2)}{a} \qquad y = 2S \lambda b \qquad z = 2S \lambda c \tag{27}
\]

representando S el área de ABC. Lo mismo para \( \beta \) y para \( \gamma \).

El área del triángulo \( x_3^2 \) será

\[
(28) \quad S | 1 - \lambda (a^2 + b^2 + c^2) |^3 \quad \text{(Tucker. 11)}
\]

5.º Círculo \( x_3^2 \).—Este círculo tiene por ecuación:

\[
(29) \quad ayz + bzx + cxy + (ax + by + cz) \{ \lambda a (by + cz) - x (1 - \lambda a^2) \} = 0
\]

o más simétricamente

\[
(30) \quad 3 \Sigma a y_z + \Sigma a x (\lambda \Sigma a \Sigma a x - \Sigma x) = 0 \quad \text{(Tucker. 8).}
\]
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 22

24. Sean X, Y, Z los puntos en que las rectas \( \beta'\gamma', \gamma'\alpha', \alpha'\beta' \) cortan respectivamente á los lados BC, CA, AB.

Los triángulos ABC y \( \alpha'\beta'\gamma' \) siendo homológicos, los puntos de intersecciones de los lados homólogos están en línea recta, luego:
Los tres puntos X, Y, Z están en línea recta (Lemoine).
Siendo semejantes los triángulos ZAF y ZMB, se tiene:

\[
\frac{ZA}{ZM} = \frac{ZF}{ZB} \quad \text{o} \quad ZA \cdot ZB = ZM \cdot ZF
\]

Luego: Un círculo de Tucker y la circunferencia circunscrita á ABC tienen la recta XYZ por eje radical (Lemoine).

25. Los círculos CBDE, BAFM, ACPN tienen por centro radical el punto K de Lemoine (Lemoine).
En efecto, siendo isósceles el triángulo \( E\beta'F, \beta'E = \beta'F \), ahora, como DE = FM se tiene:

\[
\beta'E \cdot DE = \beta'F \cdot FM
\]

Hallándose el punto \( \beta' \) sobre la simediana \( B\beta' \), es un punto del eje radical de las dos circunferencias CBDE y BAFM que pasan por el punto B, la simediana \( B\beta' \) es un eje radical. Las circunferencias tomadas dos á dos, admitiendo una simediana por eje radical, su centro radical es el punto de Lemoine.
De esto resulta el teorema:
Si dos círculos que pasan por A, B y A, C se cortan en un punto de la simediana AK, los ángulos ACB y ABC interceptan cuerdas iguales (Lemoine).
Existe todavía un gran número de proposiciones que se refieren á los círculos de Tucker, y que se han dado bajo la forma de cuestiones en varias publicaciones matemáticas, y que no reproducimos por no prolongar demasiado esta Nota.

CASOS PARTICULARES

26. Los principales casos particulares de los círculos de Tucker son:
1.º El círculo mínimo de Tucker, que corresponde al caso (§ 17, 4.º) en que los rayos de los haces de Brocard son perpendiculares á los lados del triángulo de referencia ABC.
2.º El primer círculo de Lemoine que pasa por los seis puntos de intersecciones de los lados de ABC con las paralelas á estos lados trazadas por el punto de Lemoine. Es el caso en que el triángulo
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 23

A'B'C' (§ 17, 1.º) se reduce al punto de Lemoine. Entonces

\[
\lambda = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2}
\]

y la ecuación barioéntrica de este círculo es

\[
\sum \frac{\beta^2}{b^2 c^2} - \frac{x + \beta + \gamma}{(a^2 + b^2 + c^2)^2} \sum \frac{b^2 + c^2}{a^2} x = 0
\]

3.º El segundo círculo de Lemoine que pasa por los puntos en que las antiparalelas á los lados de ABC trazadas por el punto K de Lemoine encuentran á los lados de ABC. Es el caso en que el triángulo A''B''C'' (§ 17, 2.º) se reduce al punto K. Entonces

\[
\lambda = \frac{2}{a^2 + b^2 + c^2}
\]

y la ecuación de este círculo se reduce á

\[
\sum \frac{\beta^2}{b^2 c^2} - 2 \frac{x + \beta + \gamma}{(a^2 + b^2 + c^2)^2} \sum \frac{b^2 + c^2 - a^2}{a^2} x = 0
\]

4.º En fin, el círculo de Taylor que corresponde á la hipótesis

\[
\lambda = \frac{1}{4R^2}
\]

pasa por las proyecciones de los pies de las alturas de ABC sobre los lados de este triángulo. Tiene por ecuación:

\[
\sum \frac{\beta \gamma}{b^2 c^2} - \frac{1}{16R^4} \sum x \sum x \cot^2 A = 0
\]

Ya estudiaremos estos círculos más adelante.

BIBLIOGRAFÍA

GIULIO VIVANTI. —Il concetto d'infinitesimo e la sua applicazione alla Matematica.—Mantova, 1894, prezzo 3 lire.

La nueva obra del Sr. Viventi, consta de 134 páginas y una lámina que contiene 9 figuras.

La obra consta de dos secciones: la primera compuesta de dos partes, y la segunda, Note, contiene 205 notas en las que el lector en-