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posee este precioso instrumento para la investigación de una manera libre y siempre dirigido por la iniciativa personal.

Mucho más eficaz será, sin duda, el sembrar ideas en el campo fértil de las inteligencias de los alumnos para que las semillas fructifiquen, y que la garantía de no ser atormentados en una prueba temida les priven de la libertad en desplegar sus recursos dentro del amplio plan de la investigación científica y del palenque siempre variado en el que pueden servirle los ejercicios y trabajos hechos en la cátedra, donde el profesor puede poner á prueba su idoneidad, al mismo tiempo que no cercena sus facultades, ejercidas con toda la libertad posible.

Y para no prolongar más este trabajo, diré concluyendo: ¡Cuántas inteligencias malogradas, cuánto tiempo perdido por la numerosa juventud dedicada, aunque no sea más que durante una treintena de años á este tejer y destejer en el telar de su inteligencia! Si en este caso hubiera sido posible, á la manera que cierto número de kilógrametros se transforman en calorías, sustituir la suma del trabajo intelectual que derrochó y que se disipó después de un resultado favorable ó no, por un resultado intelectual equivalente y útil ¿se habría siquiera dado algunos pasos hacia nuestra rehabilitación científica? Es probable que sí, aun cuando en esta contienda general sólo se hubieran salvado las inteligencias útiles.

Z. G. de G.

NECROLOGÍA

EUGENE CHARLES CATALAN

El día 14 de Febrero fué arrebatado á los numerosos amigos y discípulos y á la ciencia, el venerable profesor emérito de la Universidad de Lieja, Eugenio Carlos Catalán, después de una brillantísima historia que le dejan grabada para la posteridad sus innumerables trabajos matemáticos, y para su patria el éxito de su profesorado que le ha permitido contar numerosos discípulos, hoy maestros distinguidísimos, que continúan el honroso legado de contribuir á mantener á gran altura el cultivo de las ciencias en Bélgica.

Nació Catalán en Bruges el 30 de Mayo de 1814. Ya siendo alumno en la Escuela politécnica de París, obtuvo el premio de honor en un
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gran concurso de Matemáticas: fundó con Abel Pagós, Sturm y Liouville, la célebre Escuela preparatoria de Sainte-Barbe en 1838; á los veinticinco años de edad fué nombrado examinador suplente de la Escuela politécnica y comenzó á colaborar con Herono y Terquem en el Journal de Mathématiques purs et appliqués y en los Nouvelles Annales de Mathématiques y haremos constar de paso que en este periódico publicó un método especial de determinación de las integrales que llegó á ser clásico bajo la denominación de Método de Catalan.

Cuando ya era profesor de matemáticas en el Liceo de Saint-Louis y repetidor en la Escuela politécnica, la firmeza en sus creencias políticas le impidió, á consecuencia del golpe de Estado de 1851, ocupar una cátedra en la Escuela politécnica de París, y esto sin duda facilitó para ventura de su patria el que en 1.º de Marzo de 1865 fuese nombrado profesor de cálculo diferencial é integral, de análisis superior y de cálculo de probabilidades en la Universidad de Lieja.

El hacer siquiera una enumeración de sus muchos escritos, es labor por demás extensa y difícil. Bastará decir para que el lector forme una idea, que los publicó en casi todos los periódicos matemáticos de Francia y Bélgica y de algunas otras naciones. En Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Journal de l'Ecole polytechnique, Memoires de l'Academie royal de Belgique, Nouvelle Correspondance mathématique y otros varios, y finalmente en el periódico belga Mathesis y en el Journal de mathématiques de M. de Longchamps, y aún hemos de consignar, con inextinguible reconocimiento, que honró á EL PROGRESO MATEMÁTICO, remitiendo algunas cuestiones propuestas.

Varias obras destinadas á la enseñanza publicó, todas ellas con gran originalidad, en sus conceptos y su plan, de Aritmética, Álgebra, Geometría elemental, analítica y descriptiva, etc., y su notable y muy conocido tratado de las Series, en que era un reputado maestro, y entre ellas citaremos su tan divulgado y precioso tratado de Teoremas y problemas de Geometría, tan necesario para el que quiera avanzar con éxito en esta parte de la ciencia.

En cuanto á los demás trabajos que conciernen á los más variados puntos de las matemáticas, ya á las probabilidades, á la teoría de los números, á la de las funciones ó análisis en general, ya á las teorías de superficies, poliedros, etc., se hallan coleccionadas en los tres tomos de su obra Mélanges mathématiques 1885-88, precedida de un prólogo escrito por su discípulo el hoy sabio profesor de la Universidad de Lieja y director de Mathesis, Sr. Mansión, que aquilata detenidamente el mérito de muchos de los descubrimientos que debe á Eugenio
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Carlos Catalán la ciencia, como sus trabajos sobre los elasoides, las superficies mínimas (*) los poliedros semi-regulares (**) las series, las funciones elípticas, etc.

Y en tanto que otros más autorizados hagan justicia á los méritos y honren la memoria de tan venerable y esclarecido y sabio profesor, al dedicarle este humilde recuerdo, expresamos el profundo sentimiento que nos ha causado su irreparable pérdida.

Z. G. de G.

BIBLIOGRAFÍA

The Elements of Euclid by John Sturgeon Mackay matematical Master in the Elinburgh Academy. 1892.—Seguramente que causará asombro á quien no conozca la obra célebre de Euclides, que á pesar de tantos siglos transcurridos, todavía sea un precioso modelo, un gimnasio de la inteligencia, un fondo inagotable del que ésta saca constantemente nuevos frutos que saborear, un estimulante sobre el que ejercer su actividad en deducciones rigurosas que irradian desde un corto número de proposiciones, ricos filones en que se halla condensada la ciencia toda.

Siendo esto así, no es de extrañar que en algunas naciones, especialmente en Inglaterra, sigan siendo los geómetras fieles conservadores y partidarios de la obra griega; y los profesores dejando siempre intacto el tejido rígido de las proposiciones, cuya numeración es la misma que la que tuvo en su origen, se limitan á dar ilustraciones oportunas, á complementarla con ejercicios referentes á cada proposición, y agregar en apéndices ó notas algo de lo moderno que puede completar, sin fundirse en el molde primitivo, consiguiendo, sin abandonar la escuela de lógica, tan indeleblemente fundada por el maestro griego, instruir á los alumnos en las riquezas que han acumulado sobre el núcleo permanente los geómetras modernos.

Esto se observa en la elegante obra publicada por Mr. Mackay.

Después de exponer en caracteres más gruesos las proposiciones y demostraciones del texto griego simplificadas por las notaciones abreviadas que usan corrientemente los escritores ingleses, agrega numerosos ejercicios, que son variantes útiles para el desarrollo in-

(*) De esta superficie hay un modelo en la notable colección de L. Brill, en Darmstadt.
(**) De estos poliedros hay colecciones de modelos en la casa del editor Delagrave de París.
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telectual de los alumnos acerca de la proposición principal; y acostumbra así, de un modo insensible, al rigor lógico y al arte de aumentar los recursos en la demostración de los teoremas y en la resolución de los problemas.

L'Intermédiaire des Mathématiciens. —Ya en el tomo III de esta revista augurábamos un gran éxito á la realización de la felicísima idea que tuvieron los Sres. Lemoine y Laisant al proyectar una revista tan original y sin precedente como El Intermediario de los Matemáticos.

Hoy que tenemos á la vista los dos números publicados, al leer las variadísimas y profundas cuestiones propuestas por notables matemáticos de diversa nacionalidad y que á esta sección corresponde la de Réponses, como su complemento necesario, las cuales no sólo interesan á los que propusieron las cuestiones, sino á los lectores que se encuentran en posesión de resultados que si ellos no buscaron, no por ello deja de servirles de útil enseñanza, nos confirmamos en la exactitud de nuestra modesta apreciación; y nos congratulamos de poder disfrutar de las ventajas que nos ofrece, como á todos los que se interesan por las ciencias matemáticas, esta correspondencia universalmente extendida sin otra nacionalidad que la de la ciencia pura; pues no sólo han aparecido firmas de matemáticos europeos, sino que también responden á este concurso general los matemáticos de la América del Norte.

Deseamos la prosperidad que se merece la grande empresa científica iniciada por los Sres. Lemoine y Laisant, que ya es un medio de comunicación entre todos los matemáticos, ó un órgano general de todos ellos, y á quienes conviene indudablemente sostenerla.

QUESTIONES RESUELTA
Remitidas por el señor RETALI (V.)

CUESTIÓN 490 (LAISANT) (*)

Si desde un punto P se trazan tangentes á círculos que tienen el mismo eje radical, se sabe que el lugar de los puntos de contacto es una cúbica

(*) Estas cuestiones forman parte de las colecciones que el sabio colaborador Sr. Laisant está publicando (Recueil de problèmes de mathématiques) (Géométrie analytique à deux, à trois dimensions et Géométrie supérieure. 1896 Gauthier-Villars, Paris.) La colección hecha por el Sr. Laisant comprende, ya cuestiones resueltas en alguna Revista, en cuyo caso presenta el nombre del autor y la indicación de donde y cuando se publicó la solución, y a cuestiones aún
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y se tendrá, por lo tanto,

\[
s = \frac{r'^n - r'}{r' - 1} + \frac{r'^n - r'^2}{r' - 1} + \ldots + r'^{n-1} = \frac{(n-1)r'^{n+1} - nr'^n + r'}{(r' - 1)^2}
\]

Finalmente sustituyendo este valor de \( s \) en el de \( S_n \), resulta

\[
S_n = -\frac{a_1 b_1 (r'^n - 1)}{r' - 1} + \frac{b_1 r r'}{(r' - 1)^2} \left[ (n-1) r'^n - n r'^{n-1} + 1 \right]
\]

Esta fórmula permitirá sumar varias series, ya sin cambiar su estructura, ya descomponiéndola en otras; por ejemplo, las formadas por términos fraccionarios cuyos numeradores formen progresión por diferencia, y por cociente los denominadores, constituirán una aplicación directa de la fórmula. Así el ejercicio que hemos puesto en un número anterior de este periódico consistente en calcular la expresión

\[
\frac{Y}{1+a} + \frac{Y+a}{(1+a)^2} + \frac{Y+2a}{(1+a)^3} + \ldots + \frac{Y+(n-1)a}{(1+a)^n}
\]

no es otra cosa que multiplicar término término las dos progresiones

\[
\begin{array}{cccc}
Y & Y+a & Y+2a & \ldots & Y+(n-1)a \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
\end{array}
\]

Como es natural, la fórmula (1) encierra á la vez las correspondientes á la suma de términos de las progresiones aritméticas y geométricas; para deducir la primera, basta hacer \( b_1 = 1, r' = 1 \), con lo que se obtiene

\[
S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}
\]

y las correspondientes á las progresiones geométricas se derivará de la hipótesis \( a_1 = 1, r = 0 \), y en efecto, se deduce

\[
S_n = \frac{b_1 r'^n - b_1}{r' - 1}
\]

Tratemos ahora de encontrar la suma de productos término á término de tres progresiones aritméticas, pero encerrándonos en el caso particular de tener las tres igual razón. Sean las progresiones

\[
\begin{array}{cccc}
a_1 \cdot a_1 + r & a_1 + 2r & \ldots & a_1 + (n-1) \cdot r \\
b_1 \cdot b_1 + r & b_1 + 2r & \ldots & b_1 + (n-1) \cdot r \\
c_1 \cdot c_1 + r & c_1 + 2r & \ldots & c_1 + (n-1) \cdot r
\end{array}
\]
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circular. Hacer ver que la condición necesaria y suficiente para que una cúbica circular pueda ser engendrada así, es que las asintotas imaginarias se encuentren en la curva.

(Cretín.—J. S. 152).

Solución.—En general la condición necesaria y suficiente para que una cúbica pueda ser engendrada como lugar de los puntos de contacto de las tangentes trazadas por un punto P á las cónicas de un haz que tiene dos de sus puntos-base en I, J, es que las tangentes á la cúbica en estos dos puntos se encuentren sobre la curva en el punto P; en otras palabras, los dos puntos I, J deben formar en la curva un par de puntos correspondientes.

La condición es necesaria; porque, llamando A y B los otros dos puntos-bases del haz de cónicas, los puntos de contacto de las tangentes, distintas de la tangente en P, trazadas por el punto P á la cúbica, son A, B, I, J.

La condición es también suficiente; porque llamando A y B los puntos de contacto de las otras dos tangentes que se pueden trazar por el punto P á la cúbica (además de PP, PI y PJ), esta curva es el lugar de los puntos de contacto que pasan por los cuatro puntos A, B, I y J.

CUESTIÓN 403

Por un punto P tomado en el plano de una cónica S se trazan cuatro secantes cualesquiera que encuentran á esta curva en los puntos (A, A'), (B, B'), (C, C'), (D, D'). Las dos cónicas PABCD, PA'B'C'D' se tocan en el punto P y se encuentran en otros dos puntos situados en la polar de P respecto á S.

(Neuberg.—N. C. M. 425).

Solución.—Los dos haces A(BCD), A'(B'C'D') son perspectivos. Sean 'z', 'z', 'δ' los puntos de la polar P del punto p con relación á S, donde van á cortarse los pares de rayos AB, A'B'; AC, A'C'; AD, A'D'. Sean además x, 3, γ, δ los puntos de intersección de la recta p con los rayos PA, PB, PC, PD. Consideremos ahora los dos haces proyectivos A(BCD), P(BCD) cuyo producto es la cónica PABCD. Las intersec-
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ciones de esta cónica con la recta \( p \), son los puntos unidos de la proyectividad (\( \beta, \beta'; \gamma, \gamma'; \delta, \delta' \)) y la tangente á la cónica PABCD en el punto P es el rayo del haz P correspondiente al rayo AP del haz proyectivo A; se le obtiene, pues, uniendo P con el punto \( \alpha' \), correspondiente á \( \alpha \) en la proyectividad (\( \beta, \beta'; \gamma, \gamma'; \delta, \delta' \)).

Los puntos de intersección de la recta \( p \) con la cónica PA'B'C'D' engendrada por las intersecciones de los pares de rayos homólogos de los dos haces proyectivos A'(B'C'D') y P'(B'C'D'), son también los puntos unidos de la proyectividad (\( \beta, \beta'; \gamma, \gamma'; \delta, \delta' \)); y la tangente en el punto P á la cónica PA'B'C'D' es también la recta Px', lo que demuestra el teorema.

QUESTIONES PROPUESTAS

157. Sobre los tres lados de un triángulo \( A_1, A_2, A_3 \) se han construido exteriormente los cuadrados \( A_1B_1C_1A_2, A_2B_2C_2A_3, A_3B_3C_3A_1 \), ó interiormente los cuadrados \( A_1b_1c_1A_2, A_2b_2c_2A_3, A_3b_3c_3A_1 \); sean \( I_1, I_2, I_3 \) é \( i_1, i_2, i_3 \), los centros de estos cuadrados. Demostrar que los ocho triángulos \( I_1B_2I_3, i_1A_2i_3, c_1i_4c_3, A_1A_2i_3, b_1C_1i_1, c_1B_1i_2, A_1B_2i_2, I_1i_1I_2 \) tienen el mismo centro de gravedad.

(H. Van Aubel).

158. Sean \( I_1, I_2, \ldots, I_n, i_1, i_2, \ldots, i_n \), los centros de los cuadrados construídos exteriormente ó interiormente sobre los seis lados de un exágono:
1.º Si se construye el paralelogramo \( I_3i_3i_6E \), la recta \( I_1E \) será perpendicular é igual á \( I_4i_4 \),
2.º Si se construye el paralelogramo \( I_3i_4i_6F \), la recta \( I_1F \) será perpendicular é igual á \( I_2i_5 \);
3.º Si se construye el paralelogramo \( i_4I_3i_6H \), la recta \( I_1H \) será perpendicular é igual á \( I_3i_9 \);
4.º Si se construye el paralelogramo \( i_3I_3i_4K \), la recta \( I_1K \) será igual y paralela á \( i_6I_3 \).

(H. Van Aubel).

159. Dos vasos A y A' cuyas capacidades respectivas son V y V' contienen: el primero una mezcla de \( a \) litros de vino y de \( b \) litros de agua; el segundo una mezcla de \( a' \) litros de vino y de \( b' \) litros de agua. Se trasvasa de A' al A una cantidad de líquido suficiente para
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llenar este último; luego se llena A' por medio de A; y en fin, se llena A por medio de A'. Hallar las fórmulas que expresan entonces las cantidades de vino y de agua contenidas en cada vaso.

(J. Gillet).

I R(*) Hallar grupos de tres números enteros primos entre sí dos á dos, tales, que la suma de dos cualesquiera de entre ellos no admita otros factores primos que los contenidos en el tercero. Ejemplo: 3, 5, 22.

(Ernest Quetelet)

6. R. Dada una parábola y un círculo de radio R, descrito desde el foco como centro, se traza á este círculo una tangente cualquiera; hallar el lugar de las intersecciones de las normales á la parábola, trazadas por los puntos de intersección de la curva con esta tangente.
Discutir el lugar en el caso particular en que el círculo es tangente á la parábola.

(Lille Concours académique, 1874).

160. Dado un exágono alabeado y una recta, trazar por ésta un plano que corte á los lados de aquél en seis puntos de una misma sección cónica.

(E. Torroja).

161. Se dan un plano P y una recta Δ que le corta en A. Hallar la superficie que tiene por generatrices rectilíneas las más cortas distancias de la recta Δ á las rectas que giran en el plano P alrededor del punto B de este plano (problema clásico).
¿Cuál es la traza de esta superficie sobre el plano M que pasa por B y perpendicular á la distancia de B á Δ?

(H. Brocard).

162. Se dan dos círculos en magnitud y posición, lugar de los puntos tales, que las tangentes á los círculos estén en una razón constante. Determinar las condiciones necesarias y suficientes para que dicho lugar sea una línea real.

(G. Pirondini).

163. Dadas las longitudes de las tres diagonales de un cuadrilátero, inscribirlo en un círculo dado.

(J. Gillet).

(*) Las cuestiones que se publicaron en el tomo I y cuyos anunciados se repiten, con el objeto de que no queden olvidadas ó desconocidas á los nuevos lectores del P. M. llevan el número con que se publicaron con una lt.
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LA ENSEÑANZA DE LA CIENCIA MATEMÁTICA
EN LA UNIVERSIDAD (1)

I

Voy á comenzar este trabajo cumpliendo con el deber moral, aunque este sea poco grato, de consignar un hecho que se viene repitiendo como por excepción lamentable en nuestra España, patria de tantos talentos ilustres, de tantos eximios oradores, de tantos preclaros genios artísticos, que han mantenido á gran altura nuestro nombre en Europa durante algunos siglos, hecho que repito es un deber de todo aquel que se interese por la prosperidad y enaltecimiento de nuestra querida patria el consignarlo. Este hecho es el abandono en que se encuentra la instrucción científica en España, y especialmente la enseñanza de las ciencias matemáticas, hecho que debiera llamar con urgencia suma la atención de los jefes de Instrucción pública y aun también de los que estamos obligados por nuestra profesión á elevar la cultura de la juventud de hoy, que ha de sucedernos mañana en el legado que les dejamos para continuar su misión en esta vida.

Que nuestra instrucción en la ciencia matemática es inferior á la de las demás naciones de la Europa es un hecho, y los hechos son indiscutibles; pero si son indiscutibles, son al menos explicables, y este es uno de los objetos de mi actual trabajo; y no solo voy á limitarme á consignar y explicar el hecho; sino que voy á hacer algunas indicaciones acerca del modo de remediarlo, siquiera como

(1) El interés de actualidad que tiene el discurso del Sr. Vallin, del que hemos dado una noticia bibliográfica, así como el importante artículo publicado por el Sr. Menéndez Pelayo de que también hemos transcrito algunos párrafos nos obliga á publicar la conferencia que preparábamos sobre análogo asunto en el salón de la Facultad de Ciencias y que será sustituida por otra sobre El imaginariismo en la ciencia matemática.
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precedente para que otros de mayor competencia, puedan completar la obra, que realizada solo por mí sería por necesidad deficiente.

Pero colaboremos varios en esta grande obra; reunamos nuestros esfuerzos; conduzca mos nuestras actividades, no en direcciones divergentes, sino hacia un mismo fin; y veremos nuestras energías no sólo sumarse, sino multiplicarse y centuplicarse y aun aumentar según otras funciones matemáticas más rápidamente crecientes.

Para demostrar que nuestro nivel científico es por desgracia inferior al nivel científico medio de otras naciones basta preguntar por la escuela científica española, ó concretándome, por la escuela matemática española, y aun extremando más el caso, por un solo nombre de matemático español cuyo eco resuene en el mundo como resuenan los nombres de Arquímedes, de Euclides, de Vieta, de Descartes, de Newton, de Leibnitz, de Abel, de Wronsky, de Lobatesky, por citar uno solo de cada nación y de las más variadas latitudes, y por no seguir haciendo una enumeración de otros muchos talentos matemáticos de diversas gerarquías que llenan uno de los cuadros de honor de la inteligencia humana en una de las direcciones á que ésta ha llevado su actividad para complementar el gran cuadro de la ciencia universal

Pero hay más; no solo no existe escuela matemática española, ó sea un núcleo de doctrina original y exclusiva que engrane con las doctrinas cultivadas siempre con afán y entusiasmo creciente en otras naciones, que se funda en la ciencia general, y nos permita ocupar un lugar, aunque sea modesto, dentro del vasto plan de la arquitectónica matemática, sino que á manera de contrapeso, pero de contrapeso negativo, vemos por todas partes el indiferentismo por la ciencia, un utilitarismo siempre dispuesto á preguntar por el fin útil de tal ó cual acción ó esfuerzo, antes de haberse hecho uno digno de tal fin. Unas tendencias hoy caracterizadas con una palabra, lo práctico, repetida hasta inconscientemente y por costumbre, y que pugna con el nobilísimo abolengo de nuestra inteligencia, que ella sola nos hace superiores á todos los demás seres de nuestro planeta, y ella sola nos ha creado nuestra fuerza material y nuestras comodidades y nuestras riquezas; esas comodidades y riquezas que buscan aquéllos que ni aun tienen una palabra de gratitud hacia el manantial benéfico que las han procurado y que se