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para establecer coordinaciones y subordinaciones dentro del plan general ó del sistema.

Pero la marcha seguida por nuestra actividad intelectual en la constitución de la ciencia, obedece á una ley necesaria. La de proceder del individuo al género. Del estudio de aquéllos al de sus relaciones y dependencias. Lo primero es la determinación individual del objeto geométrico, después sigue la de las correlaciones de unos individuos, ó agrupaciones de los mismos.

Tomando como tipo los elementos de Euclides, vemos cómo en orden serial ó sucesivo se va construyendo el objeto geométrico, desde el triángulo que es la figura elemental.

El triángulo equilátero, figura la más fácilmente determinable, es en rigor el primer eslabón de la cadena, y después de establecer la determinación del triángulo por tres elementos, á saber, un ángulo y los lados que lo forman, sigue la operación constructiva por el triángulo isósceles, que permite el ir sucesivamente construyendo la bisectriz de un ángulo, la perpendicular á una recta, etc., é ir al mismo tiempo fijando las propiedades de las figuras, como por ejemplo, que un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cual-

casemos por alto las particularidades que puedan observarse en cualquier tratado, sea el de Euclides, el de Legendre ú otro, pues nos basta saber para nuestro propósito que en estas obras resultan determinadas las figuras geométricas hasta los poliedros regulares y los tres cuerpos redondos y hasta obtenida la expresión de su medida, y ascendamos á otro grado superior de este estudio, cuyo primer desarrollo aparece para nosotros en los lemas de Pappus y en los porismas de Euclides, y cuyo perfeccionamiento ó sistematización vemos en la Geometría superior de Chasles, por no citar otros desarrollos parciales de este orden de conceptos geométricos que la historia nos revela, bastándonos citar las obras de Pascal, Brianchon y Poncelet, para no alejarnos por ahora de nuestro objeto actual.

Ya en esta nueva etapa el sistema predomina sobre el individuo. Las series y los haces homográficos nos manifiestan correlaciones de puntos con puntos y de rectas con rectas, así como las figuras homográficas y homológicas, el polo y la polar, las figuras polares recíprocas, ó en general, las correlativas nos indican correspondencias entre rectas y puntos. Las figuras homotéticas y las inversas nos manifiestan otras diversas, etc., y estas relaciones pueden multiplicarse indefinidamente á medida que la inteligencia prosigue su acción com-
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binatoria, fijando otras nuevas relaciones que dilatan continuamente el horizonte científico.

Después de haber diseñado estas generalidades, vamos á fijarnos en el modo de ejercerse dicha acción de la inteligencia sobre el objeto.

Este hemos dicho existe en toda la plenitud de su esencia en el espacio como fondo indeterminado mientras sobre él no se ejerza la acción del sujeto, que sólo puede ejercerse de una manera gradual y sucesiva por efecto de la limitación de la inteligencia humana, que si la supusiésemos por un momento suficientemente apta y eficaz para envolver con una sola mirada la totalidad del objeto, vería á la par que todas las relaciones que constituyen la parte teórica de la ciencia, todos los problemas resueltos; vería no sólo las entidades dadas en cada uno simultáneamente con las buscadas en éstos, la hipótesis y la tesis de todos los teoremas, sino que además no se le ocultaría ese andamiaje de la geometría que constituyen las construcciones auxiliares, los términos medios que sirven para enlazar ambos extremos.

Desde esta hipótesis que nos ha conducido al caso de la inteligencia Suprema ó absoluta, descendamos á la realidad de la inteligencia humana, imperfecta, limitada en sus funciones y necesitada por lo tanto de un instrumento que supla su debilidad y le haga asequible el recorrer los dominios de la ciencia, y sujetar á su acción el enca- denamiento de verdades que constituyen ésta.

Dicho instrumento es el método ó el camino que en cada caso le permite llegar desde su punto de partida hasta el fin que se propone.

Así como el espacio real está poblado de cuerpos que forman los sistemas estelares y planetarios cuyos elementos tienen entre sí relaciones fijadas en el vasto plan que rige el Universo, de manera que las combinaciones de masas y energías determinan la infinidad de acciones y reacciones, de movimientos, de conflictos y de armonías que constituyen tan vasto organismo, de modo que una ley suprema aplicada á dichos elementos primordiales han bastado para la determi- nación de la vida del mismo, en nuestra inteligencia se desenvuelve un organismo ideal. Los puntos de partida, los fundamentos sobre que ha de estribar todo el edificio son aquellas entidades simples, que formando los géneros supremos no tienen género superior á que referirse y que son indefinibles y sólo tienen su acceso á nosotros por efecto de una intuición inmediata, tales son el punto, la recta, el ángulo, y además aquellas relaciones elementalísimas que se escapan al raciocinio y que forman como parte de nuestra esencia intelectual y que se llaman axiomas.
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A la manera que si al pretender ir más allá de la realidad del Universo en que vivimos, lo absoluto nos ofrece una solución de continuidad una barrera infranqueable, la falta de un camino que nos pueda dirigir por región inaccesible á nosotros, los axiomas y los conceptos primitivos ó objetos simples e indefinibles se nos ofrecen como lo excepcional en los umbrales de la ciencia; y si procedemos en orden regresivo, ó descendente desde aquellos límites hacia el interior, hacia la región en que puede desenvolverse nuestra actividad dentro de los dominios de nuestra realidad, entonces nuestra marcha es en extremo expedita y fácil; ya nos es posible caminar en cualquiera dirección, porque la trama de las verdades es continua y á nuestro albedrío podemos elegir direcciones que nos conduzcan, bien á un mismo resultado, bien á resultados indeliniadamente variados y distintos.

Los diferentes tratados de Geometría que se han escrito, ya sean los Elementos de Euclides, ó los de Legendre, ó los que posteriormente se han publicado alterando más ó menos el encadenamiento científico, nos ofrecen un primer ejemplo de la diversidad de caminos que pueden seguirse para establecer el organismo de la ciencia geométrica, y eso que tales elementos, como su nombre indica, ofrecen el conjunto de las verdades más fundamentales de tan vastísima ciencia, pues en efecto, dichos elementos son los organismos en que se resume cuanto concierne á la determinación de las figuras más simples que pueden concebirse en el total conjunto de la ciencia, el ángulo, el triángulo, el cuadrilátero, el círculo, el plano, los ángulos diedros y poliedros, los poliedros y los cuerpos redondos. Hay en esta primera etapa de la ciencia un predominio de lo individual sobre lo sistemático, además los caracteres determinativos de cada individualidad son los más inmediatos ó simples.

El paralelismo, la perpendicularidad y el segmento circular son los solos medios de referir unos ángulos á otros iguales, ó mejor, de transportar un ángulo de una posición á otra. Los triángulos iguales llevan uniformemente á determinar también igualdad de ángulos y segmentos, facilitando el constituir el encadenamiento que conduce á la determinación de dichos elementos. La igualdad de razones ó de productos de segmentos determinan paralelismo ó antiparalelismo y recíprocamente. El teorema de Pitágoras es la base fundamental de relaciones de magnitud entre segmentos, y las líneas trigonométricas ligan entre sí los elementos distintos de un triángulo, lados y ángulos.

Pero sentados estos fundamentos de la ciencia, caben infinidad de combinaciones ulteriores por las que se determinan unas figuras mediante otras ó por las que unas propiedades surgen de otras, llegán-
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dose en suma á reducirse la ciencia á la transformación de unas propiedades ó de unas figuras en otras.

Los 220 porismas que restableció Chasles en su obra Les trois livres de porismes d'Euclide, los 38 lemas de Pappus, la multitud de obras que forman agrupaciones de teoremas y problemas, como por ejemplo, los de Ritt, Catalán, Desboves, Amiot, Petersen, Echegaray; las preciosas colecciones que constituyen A sequel to Euclid de Casey y A treatise on the Geometry of the Circle, publicado recientemente por Mr. William J. M. Celland, que á parte de cuestiones referentes á teorías geométricas modernas, ofrecen el rico filón de cuestiones que acrecientan y desenvuelven como organismo admirable la novísima Geometría, cuyos fundadores son MM. Lemoine y Brocard, todo esto con sólo presentar á nuestra imaginación una pequeña región del dominio de la Geometría, nos revela de un modo elocuentísimo la infinita variedad de modos de que dispone para determinar relaciones y transformar un corto número de entidades, ya sean puntos, rectas, ángulos, tangentes, triángulos, cuadriláteros, círculos, etc.

Tres cosas deberemos distinguir desde luego para que surja la luz de este caos de relaciones entre las entidades geométricas: la existencia de estas relaciones, su traducción en las relaciones de ideas, y los medios de pasar de unas relaciones á otras ó de unos conceptos á otros.

En el espacio existen en potencia ó virtualmente todas las relaciones geométricas que la inteligencia humana pueda concebir, y aún muchas más. Estas relaciones son inmutables, necesarias y conformes con la esencia de la extensión donde se hallan como en la cantera la estatua que ha de vaciar el cincel de un artista, y no de otra manera la inteligencia ha de diseñar las entidades que deben pasar de la potencialidad al acto, para constituir el organismo geométrico,

¿Cuál es la forma bajo la cual se han de manifestar estas realidades subjetivas correlativas é inseparables de realidades objetivas en el espacio? Esta forma es las de nuestros actos intelectuales cuyos enunciados ó traducción verbal conocemos con el nombre de teoremas, corolarios, porismas, lemas, etc. Y en este punto ya notamos un principio de variedad. Tal proposición, que en un plan expositivo es teorema, pasa á ser corolario ó lema en otro; tal proposición, que aparece unas veces como un problema, otras reviste la forma del teorema, notándose en esta disposición una influencia de la acción intelectual sobre el objeto que ésta modela según sus propósitos ó según la capacidad peculiar á cada individuo.

Chasles en la obra arriba citada y M. P. Bretón (de Champ) en sus
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Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide hacen detallados análisis de estos varios géneros de proposiciones en sus trabajos encaminados á dilucidar el concepto de porisma, labor en que intervinieron muchos é ilustres geómetras, desde Pappus y Proclus en época remota hasta Girard, Fermat, Halley, Simson y Playfair, por los siglos xvii y xviii y aún últimamente Wronski, Poncelet, etc.

En su obra Les trois livres de porismes d'Euclide, Chasles, además de ilustrar al lector sobre las varias acepciones en que se ha tomado la palabra porisma, trata de otras varias proposiciones como los lugares, el teorema y el problema local, el corolario, la dada, las conocidas que forman el asunto de obras debidas á Euclides, Apolonio y Hassan Ben Haithem.

Que si el lugar, difiere del teorema local y del problema local, aunque participa de uno y otro, como manifiesta Chasles; que si los corolarios son proposiciones que se concluyen inmediatamente, sea del enunciado de un teorema, sea de su demostración, sin ser su reproducción en otra forma; que si las dadas, especies de teoremas incompletos en los que faltaba determinación, en magnitud ó en posición de ciertas cosas anunciadas como consecuencia de la hipótesis, tenían como las anteriores proposiciones sus analogías con el porisma, proposición que varios geómetras, entre ellos Chasles, conceptúan como participando de los caracteres del teorema y del problema; que si estas mismas proposiciones, objeto de la obra citada de Chasles, suplían en la antigüedad el moderno análisis de Descartes, buscando el multiplicar las expresiones diferentes de cada lugar, es decir de cada curva, que les permitieran pasar de unas á otra (1), maneras entonces conocidas, ó inventadas por Euclides, para expresar por dos coordenadas ligadas entre sí por cierta relación, las descripciones diversas de los tres lugares, recta, punto y círculo, y para pasar de una de estas descripciones á otras (2).

Estas consideraciones críticas, como las muchas de análogo carácter y concernientes al mismo asunto, expuestas en la obra de M. Bretton, manifiestan cuán señalada es la influencia subjetiva en el modo de ser de las proposiciones, en la forma de ofrecérsenos las verdades dentro del encadenamiento sistemático, contribuyendo esta causa de variación á dar al organismo científico cierta flexibilidad independiente del rigor lógico que aumenta el poder de atracción que la ciencia ejerce sobre nuestro espíritu.

(1) Les trois livres de Porismes d'Euclide, pág. 60.
(2) Aperçu historique, pág. 277.
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Después de haber contemplado someramente el objeto en su estado de posibilidad, es decir, en el caso de poder tener una realidad conforme con su esencia en el momento que sobre él obra como causa creadora nuestra inteligencia (motor que de aquella potencialidad la conduce al acto, expresado bajo la sola forma positiva que le es adecuada en la ciencia, es decir, la verdad, ó relación de conveniencia ó conformidad), y de haber hecho indicaciones sobre las divaeadades en la forma que introduce nuestra actividad en la constitución del organismo científico, que si bien es inalterable en el fondo, admite variedades, motivadas por las condiciones personales del que lo construye, por la correlativa importancia y subordinación que pueden tener entre sí las verdades en el conjunto, corresponde tratar del modo de ejercerse esta acción del sugeto sobre el objeto, ya para allegar nuevas verdades ó relaciones que aumenten el contenido científico y hagan más espeso el tejido de las mismas, ya para coordinarlas y subordinarlas entre sí al formar el organismo de la ciencia; este modo de ejercicio es el método ó camino, según su etimología, que sigue la inteligencia en la invención ó en la exposición; este camino ó marcha que, según las dos direcciones opuestas de que es susceptible, se llama análisis ó síntesis, en la acepción más general, es decir, prescindiendo de ciertas condiciones que exigen la consideración, al lado de estos procesos generales de la inteligencia, de otros particulares que estriban en circunstancias especiales, motivadas y ocasionadas por el objeto ó por el sujeto.

El análisis y la síntesis que forman dos encadenamientos inversos de teoremas ó de problemas tan notablemente expuestos en la obra de Duhamel Des méthodes dans les sciences de raisonnement, ese procedimiento de investigación que se remonta hasta la época de Platón, según el testimonio de Pappus, y se basa en suponer cierto lo que se trata de demostrar, ó hallado lo que se pretende obtener; es una forma general de actuar la inteligencia sobre el objeto, que por eso mismo lleva en sí una indeterminación absoluta. La inteligencia puede sustituir unos problemas ó teoremas á otros por encadenamientos variables cuyos extremos han de ser lo desconocido con algo conocido que comunique á lo primero su verdad ó realidad, mediante los eslabones intermedios. Nada afecta á lo esencial del procedimiento que el camino elegido sea más ó menos directo ó accidentado, que los rodeos para llegar al fin se haya multiplicado con exceso, esta circunstancia depende de la ilustración del que proceda, de sus condiciones intelectuales, de lo oportuno ó feliz de la elección del andamiaje que le ha de servir para construir y completar su edificación.
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Así como en el mundo físico, y según la hipótesis á que se subordina hoy la explicación de los fenómenos materiales, el éter en todas direcciones trasmite las energías sometidas á una transformación perpetua á través de los sistemas de mundos; y filtrado, por los espacios que dejan entre sí los átomos materiales, es el intermediario siempre entre dos acciones que podemos concebir en dos momentos dados de ese flujo continuo de fenómenos, de igual manera en la trama infinita de relaciones geométricas pueden elegirse dos extremos que es necesario enlazar por el intermediario común, que aquí son las *construcciones auxiliares*. Desde una figura hemos de llegar hasta otra, y esto se realiza agregando á la primera otras figuras, todas las que sean necesarias para completar la red de relaciones de la que al fin sólo deben destacarse, como las líneas principales de un dibujo, aquéllas que constituyen los dos extremos del encadenamiento que han de servir para enunciar el teorema demostrado ó el problema resuelto, como el sorites en la lógica enlaza los extremos que han de constituir una proposición con el auxilio de una serie de medios destinados á desaparecer.

Los Elementos de Euclides son un modelo acabado de este encadenamiento de verdades que forma una síntesis ó organismo. Establecidos los axiomas y postulados necesarios para la edificación, comienza el encadenamiento por la figura más regular, el triángulo equilátero, encadenamiento en que, indistintamente, los teoremas y los problemas se suceden en esta obra de *determinación* geométrica, en la cual se emplea casi continuamente el método *ad absurdum*, que es propiamente, como dice Lacroix (1), un procedimiento analítico, ¿porque en él se supone que la proposición enunciada es cierta, y se buscan consecuencias tales que, siendo absurdas, hagan ver que la hipótesis considerada, lo es también?, método introducido en los Elementos, según manifiesta Chasles (2), por Euclides.

Pero no basta considerar esta admirable síntesis realizada por Euclides de los conocimientos geométricos acumulados hasta aquella época, debemos considerar el análisis y la síntesis como complementándose en la evolución de la Geometría. El primero, instrumento de invención, tiene por resultado el acrecentamiento del número de verdades, como el segundo el formar agrupaciones y encadenamientos que incluyen en cada etapa los nuevos materiales aportados. Aquél procede con cierta irregularidad, señalando cada vez dos puntos extremos en el vasto substratum de la extensión que deben unirse por

(1) Essais sur l'Enseignement, pp. 210-211.
(2) Aperçu historique, p. 9.
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la continuidad del razonamiento aplicado á los términos medios que proporcionan las construcciones auxiliares; y después de haber ofrecido su resultado bajo la forma de nuevos teoremas, la síntesis lo coloca en el orden que debe corresponderle en el organismo total, designándole su categoría propia entre las demás verdades, como lema, teorema, corolario, porisma, etc.

Además, la síntesis geométrica que constituye un tratado no puede admitir la totalidad de las proposiciones que resultan de la invención por el análisis. En el organismo de la ciencia engranan perfectamente entre sí los principios fundamentales de cada teoría con sus consecuencias inmediatas, mas no el infinito número de verdades complejas que se resuelven en aquellos elementos del organismo.

Cada teoría con el conjunto de sus teoremas es como un foco luminoso de verdades que irradian para multiplicarse indefinidamente en la combinación inagotable de aplicaciones á casos concretos. Esto explica en primer término la necesidad de los porismas en aquella época en que no se había llegado á la variedad de teorías que caracteriza la Geometría de la época presente. La obra de los porismas, como dice Pappus, «era una vasta colección de proposiciones de una concepción ingeniosa y de útil auxilio para la resolución de los problemas más difíciles», y como dice Chasles: «Los antiguos no tenían, como nosotros desde Descartes, términos de comparación entre los lugares á los que llegaban en sus investigaciones geométricas. Para nosotros basta expresar un lugar en coordenadas ordinarias para conocer su naturaleza: la discusión de su ecuación nos enseña inmediatamente las afeccciones y circunstancias singulares de este lugar...». «Los antiguos no poseían tal procedimiento general y uniforme de investigación: no disponiendo de un término de comparación, debieron inventar medios auxiliares para llegar á reconocer las relaciones de un lugar que se ofrecía por primera vez con otros lugares ya conocidos. Estos medios no podían consistir más que en cambios de descripción, ó de coordenadas del lugar, para obtener algunas relaciones simples, y aun de identidad con modos de descripción de los lugares conocidos».

«Tal es el origen de sus porismas, que tenían por objeto sustituir á una expresión geométrica ó analítica de un lugar, otra expresión geométrica ó analítica del mismo lugar...» Así estos porismas suplían, entre los antiguos, á nuestro Análisis moderno, que ha llegado á reemplazarlos á pesar nuestro.

Establecidos los fundamentos de la ciencia en la obra de Euclides, es decir, los puntos fijos de referencia de otras verdades más comple-
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Cuando se establece de este modo la teoría de las funciones elípticas, se hace necesario deducir de las propiedades de la función \( p(u) \) las propiedades de las funciones \( \mathrm{sn}\ u \), en \( u \) y \( \ln u \). Aquí vamos á considerar una de estas propiedades, que se refiere al desarrollo de estas funciones en serie de fracciones simples, para ofrecer un modo de obtenerla por el desarrollo anterior de \( p(u) \) (*).

Partiremos de la fórmula

\[
\mathrm{sn}\ u = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{H(u)}{\Theta(u)}
\]

Esta fórmula manifiesta, atendiendo á las propiedades de las funciones \( H(u) \) y \( \Theta(u) \) de Jacobi, que la función \( \mathrm{sn}\ u \) admite por polos los puntos
\[
2nK + (2m+1)iK',
\]
representando \( n \) y \( m \) números enteros positivos, negativos ó nulos y \( K, K' \) las integrales

\[
K = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k'^2x^2)}}, \quad K' = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}
\]

donde \( k'^2 = 1 - k^2 \).

Estos polos son simples, y, como los períodos de la función \( \mathrm{sn}\ u \) son \( 4K \) y \( 2iK' \), en los paralelogramos de los períodos contendrán los polos \( iK' \) e \( 2K' + iK' \).

Para hallar el residuo de \( \mathrm{sn}\ u \) relativamente al primero de estos polos, puede recurrirse á un teorema muy conocido que da, representando este residuo por \( A_1 \),

\[
A_1 = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{H(iK')}{\Theta(iK')}
\]

ó, atendiendo á las propiedades de las funciones de Jacobi,

\[
A_1 \approx \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{\Theta(0)}{H(0)} = \frac{1}{k}.
\]

Del mismo modo se halla, representando por \( A_2 \) el residuo de \( \mathrm{sn}\ u \) relativamente al polo \( 2K + iK' \),

\[
A_2 = - \frac{1}{k}
\]

(*) En los capítulos, que en el tomo III (actualmente en prensa) de nuestro Curso de Análisis dedicamos á la teoría de las funciones elípticas, seguiremos el camino que acabamos de indicar para establecer la teoría de estas funciones.