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El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 35

rencia, sobre el diámetro simétrico de OM respecto á OX, está representado por la ecuación

\[(x^2 + y^2)^3 = a^6 (x^2 - y^2),\]

y por esto la curva hallada anteriormente se reduce á la estudiada por Plücker, en la pág. 105-106 de su célebre obra Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der Geraden Linie als raumelement.

Cuestión 81. (Véase t. II, pág. 279).

Suponiendo que m y n enteros y positivos, demostrar que

\[\frac{1}{m+1} + \frac{n}{m+2} + \frac{n(n+1)}{1.2(m+3)} + \ldots =\]
\[- \frac{2^n}{m+1} - \frac{u.2^{s-1}}{(m+1)(m+2)} + \frac{n(n-1)2^{n-2}}{(m+1)(m+2)(m+3)}\]

(J. J. Durán Loriga).

Solución por el Sr. Vivanti, ingeniero.

Se puede escribir el primer miembro así:
\[\frac{m+1}{1} F(m+1, -n, m+2, -1)\] donde F designa la serie hipergeométrica), más brevemente: \(\frac{m+1}{1} \Phi(-1)\). Ahora:

\[x \frac{dF(a, \beta, \gamma, x)}{dx} = x \left\{ F(x+1, \beta, \gamma, x) - F(x, \beta, \gamma, x) \right\}\]

y

\[F(x, \beta, x, x) = (1-x)^{-\beta};\]

luego

\[x \frac{d\Phi(x)}{dx} = (m+1) \left\{ (1-x)^n - \Phi(x) \right\}\]

é integrando, se obtiene

\[x^{m+1} \Phi(x) = \text{const.} + (m+1) \int x^m (1-x)^n dx,\]

de donde:

\[(-1)^{m+1} \Phi(-1) = (m+1) \int_0^{-1} x^m (1-x)^n dx =\]
\[(m+1) (-1)^{m+1} \int_0^1 x^m (1+x)^n dx\]
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 36

ó bien:

\[
\frac{1}{m+1} \Phi(-1) = \int_0^1 x^m (1+x)^n dx.
\]

Integremos por partes y tendremos:

\[
\int x^m (1+x)^n dx = \frac{(1+x^n)x^{m+1}}{m+1} - \frac{n}{m+1} \int (1+x)^{n-1} x^{m+1} dx = \ldots .
\]
\[
= \frac{(1+x)^n x^{m+1}}{m+1} - \frac{n}{m+1} \frac{(1+x)^{n-1} x^{m+2}}{m+2} +
\]
\[
+ \frac{n(n-1)}{(m+1)(m+2)} + \frac{(1+x)^{n-2} x^{m+3}}{m+3}
\]
\[
- \ldots \pm \frac{n(n-1) \ldots 2.1}{(m+1)(m+2) \ldots (m+n-1)(m+n)} \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1},
\]
y en fin:
\[
\int_0^1 x^m (1+x)^n dx = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n.2^{n-1}}{(m+1)(m+2)} + \frac{n(n-1)2^{n-2}}{(m+1)(m+2)(m+3)} \ldots,
\]
que es el segundo miembro de la ecuación propuesta.

Solución por el Sr. Sollertinsky

Se tiene
\[
\frac{1}{m+1} + \frac{n}{m+2} + \frac{n(n-1)}{1.2(m+3)} + \ldots
\]
\[
= \int_0^1 x^m + n x^{m+1} + \frac{n(n-1)}{1.2} x^{m+2} + \ldots dx = \int_0^1 x^m (1+x)^n dx
\]
Pero
\[
\int_0^1 x^m (1+x)^n dx = \left( \frac{x^{m+1}(1+x)^n}{m+1} \right)_0^1 - \frac{n}{m+1} \int_0^1 x^{m+1}(1+x)^{n-1} dx
\]
\[
= \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} \int_0^1 x^{m+1}(1+x)^{n-1} dx
\]
Así
\[
\int_0^1 x^m (1+x)^n dx = \frac{2^n}{m+1} - \frac{n}{m+1} \cdot \frac{2^{n-1}}{m+2} + \frac{n(n-1)}{(m+1)(m+2)} \frac{2^{n-2}}{m+3}
\]
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 37

Cuestión 112 (Véase t. III, pág. 72.)

Dados en dirección los ejes xCx', yCy' de una cónica \( \Sigma \) (fig. 1.a) y la normal MNN' á esta curva en un punto dado M, así como los puntos de intersección N, N' de esta normal con los ejes, determinar el centro \( \rho \) ó el radio de curvatura \( \rho M \) en este punto M, no empleando más que dos rectas en la construcción:

Resolver asimismo este problema en el caso particular en que el eje yCy' (fig. 2.a) y, por consiguiente, el punto N se halle en el infinito, es decir, cuando la cónica (\( \Sigma \)) se convierte en una parábola.

(A. Schiappa Monteiro.)

Solución por el Sr. BROCARD (H.)

La construcción pedida nos parece ser la que M. Mannheim ha dado á conocer como simplificación de los trazados expuestos en su artículo de los N. A. M. (1857, páginas 322-332).

1.º Unir OM.
2.º Trazar NI perpendicular á MNN' hasta su encuentro en I con OM.
El centro de curvatura \( \rho \) está en la intersección de MNN' con la paralela Ip á Oy. (Véase también Mannheim Géométrie descriptive, pág. 175).
En el caso de la parábola, OM pasa á ser paralela á Ox. La misma construcción subsiste aparte de esta modificación.

Cuestión 95 (Véase t. II, pág. 344.)

Entre los números enteros de cuatro cifras sólo hay uno tal, que si se escribe á su derecha el número inmediatamente superior, se obtiene un número de ocho cifras, cuadrado perfecto. Hallar este número.

(H. Van Aubel.)

Solución por el Sr. VIVANTI.

Designando por N el número buscado, debe ser: \( 10001N + 1 = x^2 \).

Las soluciones de la congruencia \( x^2 \equiv 1 \) (mód. 10001) son 1, 2191, 7810, 10.000; y el único de estos números cuyo cuadrado tenga 8 cifras es 7810. Su cuadrado es 60996100. Luego el número buscado es 6099.
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Cuestión 111 (Véase t. III, pág. 73).

Sin escribir ecuación alguna ni trazar más que el cuarto de un dodecágono regular inscripto en un círculo, demostrar que el área de este polígono es igual á tres veces el cuadrado construido sobre el radio.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. Vivanti (*)

Puesto que \( \angle AOC = 60^\circ \), se tiene \( AC = R \),
\[
AE = \frac{1}{2} R, \quad \Delta AOB = \frac{1}{2} AE \cdot OB = \frac{1}{4} R^2;
\]
uego el área del dodecágono es \( = 12 \cdot \frac{1}{4} R^2 = 3R^2 \).

Nota.—La misma solución ha sido remitida por D. Cecilio Jiménez Rueda.

QUESTIONES PROFESIONALES

114. Se dan tres ejes rectangulares y tres rectas fijas A, B, C. Un plano móvil P paralelo á xOy corta á las tres rectas en los puntos A', B', C'.

Se pide estudiar la superficie lugar de las circunferencias A' B' C'.

Se supondrán las rectas A, B situadas en planos paralelos á zOx, O, medio de la más corta distancia yOy' de estas rectas; Oz paralela á la bisectriz del ángulo AB de las dos rectas igual y simétricamente inclinadas sobre xOy. C en el plano zOx y paralelo á Oz.

Casos particulares y verificaciones.

(H. Brocard).

115. Sobre los tres lados de un triángulo \( A_1 A_3 A_4 \) se construyen exteriormente los triángulos equiláteros \( A_1 B_1 A_2, \ A_2 B_3 A_3, \ A_3 B_4 A_1 \) é interiormente los triángulos equiláteros \( A_1 b_1 A_2, \ A_2 b_2 A_3, \ A_3 b_3 A_1 \); sean \( I_1, I_2, I_3, i_1, i_2, i_3 \) los centros de estos triángulos y \( a, b, c, S \) los tres lados y el área del triángulo \( A_1 A_4 A_3 \) (**). Demostrar que

\[
I_1 I_2 I_3 = \frac{1}{2} S + \frac{a^2 + b^2 + c^2}{24} \sqrt{3}; \quad i_1 i_2 i_3 = \frac{1}{2} S - \frac{a^2 + b^2 + c^2}{24} \sqrt{3};
\]

(*) La figura, que el lector puede suplir fácilmente, se reduce á un cuadrante AOD dividido en tres partes iguales por los radios OB, OC y la cuerda AC que corta perpendicularmente en E al radio OB.

(**) Se supone que las letras \( A_1, A_2 \), etc., vértices del triángulo \( A_1 A_2 A_3 \) y del cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) se suceden en el sentido del movimiento de las agujas de un reloj.
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 39

B_1 B_2 B_3 = \frac{5}{2} S + \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8} \sqrt{3}; \quad b_1 b_2 b_3 = \frac{5}{2} S - \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8} \sqrt{3};

(H. Van Aubel.)

116. Sobre los cuatro lados de un cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) se construyen exteriormente los triángulos equiláteros \( A_1 B_1 A_2, A_2 B_2 A_3, A_3 B_3 A_4, A_4 B_4 A_1 \), é interiormente los triángulos equiláteros \( A_1 b_1 A_2, A_2 b_2 A_3, A_3 b_3 A_4, A_4 b_4 A_1 \). Sean \( I_1, I_2, I_3, I_4, i_1, i_2, i_3, i_4 \) los centros de estos triángulos y \( f, g, S \) las diagonales y el área del cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \):

1.º a) Si sobre \( B_4 I_1, I_4 B_3 \) se construyen los triángulos equiláteros \( B_4 MI_1, I_4 NB_3 \), la figura \( I_4 I_1 NM \) será un paralelogramo.—b) Construir el cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) conociéndose los puntos \( I_1, B_2, B_3, b_4 \).

2.º a) Los puntos \( B_2, i_1, I_4 \) y el centro \( P \) del triángulo equilátero construido sobre \( B_3 b_4 \) son los vértices de un paralelogramo.—b) Construir el cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) conociéndose los puntos \( i_1, B_2, b_3, 2_4 \).

3.º La recta \( B_3 b_4 \) es paralela á la altura \( i_2 Q \) del triángulo equilátero construido sobre \( I_1 i_2 \) é igual al doble de esta altura.—b) Construir el cuadrilátero \( A_1 A_2 A_3 A_4 \) conociéndose los puntos \( B_1, i_1, B_3, b_4 \).

4.º Se tiene

\[
I_1 I_2 i_3 i_4 = \frac{1}{3} S + \frac{f^2 + g^2}{12} \sqrt{3}; \quad i_1 i_2 i_3 i_4 = \frac{1}{3} S + S - \frac{f^2 + g^2}{12} \sqrt{3};
\]

\[
B_1 B_2 B_3 B_4 = 2S + \frac{f^2 + g^2}{4} \sqrt{3}; \quad b_1 b_2 b_3 b_4 = 2S - \frac{f^2 + g^2}{4} \sqrt{3}.
\]

(H. Van Aubel.)

117. Sean \( I_1, I_2, i_1 i_2 \) los centros de los cuadrados construidos exterior é interiormente sobre los lados \( A_1 A_2, A_2 A_3 \) de un triángulo \( A_1 A_4 A_3 \) y \( p_1, p_1 \) los centros de los cuadrados construidos sobre \( I_1 I_4, i_1 i_4 \). Demostrar que la recta \( p_1 P_1 \) es igual y perpendicular á \( A_1 A_3 \), que pasa por el vértice \( A_2 \) y que se halla dividida en dos partes iguales.

Si se unen los cuatro vértices de un trapecio inscripto ABCD á un punto cualquiera M de la circunferencia, se tiene la relación

\[
\frac{MA' - MB'}{MD' - MC'} = \frac{AB}{CD}
\]

(H. Van Aubel.)

118. Envolvente de la recta que une un punto A de una circunferencia á la proyección sobre un diámetro fijo, del punto A' diametralmente opuesto al primero.

(H. Brocard.)
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 4

Astronomía, la ciencia cosmológica más perfecta que hoy se conoce ¿No es una serie continuada de aplicaciones del método de las aproximaciones sucesivas? — Y si tan fecundos resultados ha dado este método en Astronomía, ¿porqué hemos de desterrarlo de la Física?— Es singular la facilidad con la cual espíritus superficiales se escandalizan de ese continuo crear hipótesis¹ de verlas tomar vuelo, acreditarse más ó menos, y caer por último en el más completo abandono, para dejar su puesto á otras, y éstas á otras, que siguen la misma suerte; por lo cual califican de arbitraria á la Física; sin tener en cuenta que las hipótesis no son la ciencia, y que en medio de ese surgir y caer hipótesis va avanzando siempre el edificio científico sobre bases tan sólidas que nunca podrá ser destruído.— Las hipótesis son como los andamios, que se quitan una vez terminada la obra.— Es cierto que algunas desdichadas hipótesis han entorpecido, paralizado y hasta hecho retroceder á la ciencia en su carrera; pero es porque no eran otra cosa que simples tanteos empíricos, que por añadidura versaban sobre modos de lo Incognoscible. No ocurre lo mismo con los conceptos generales y culminantes que resultan de la síntesis de un número inmenso de hechos, y cuya verdad subjetiva tiene el valor de la realidad objetiva de los hechos que ellos sintetizan.— ¿Quién no ve una diferencia grandísima entre la hipótesis de los alquimistas y la teoría de los átomos?—¿O entre la hipótesis de los fluidos imponderables y la eminentemente racional de que el calor es un modo del movimiento?—Tenemos en resumen que las hipótesis científicas han de ser la síntesis de un gran número de hechos de un orden dado; no han de versar sino sobre lo cognoscible y han de ser tales que puedan modificarse en el sentido de irse acercando á la verdad determinada.

En el trabajo que vamos á emprender pensamos hacer una aplicación de todos estos principios generales.

6.— Tratándose de la constitución molecular de los cuerpos gaseosos nada más natural que decir algunas palabras sobre la constitución de los cuerpos en sus estados.

Qué sea la esencia íntima de la materia nos es tan desconocido como la esencia de todas las cosas; ella se nos revela por experiencias de fuerza; lo primero que notamos es la propiedad que tiene la materia de resistir á nuestra acción muscular; y como distintas adaptaciones musculares indican distintas coexistencias, esto nos obliga á conocer cada porción de materia como conteniendo más de una porción resistente; es decir, como ocupando espacio. La resistencia y la extensión son, pues, las dos cualidades bajo que la materia se nos revela; así es
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119. Construir un triángulo, dado un vértice A y las proyecciones de este vértice sobre las bisectrices exteriores de los ángulos B y C.
(Juan J. Durán Lorija.)

120. Demostrar que para valores enteros cualesquiera de m y n, el número
\[
N = 2^n \cdot 10^{6m+n} (44^n \cdot 10^{6m+n} - 2^n - 11^n \cdot 10^{2m}) + 1
\]
es divisible por 949.
(Juan J. Durán Lorija).

121. ¿A qué es igual la suma de las progresiones
\[
1+2,\ 2+3+4,\ 3+4+5+6,\ldots\ n+\overline{n+1+(n+2)}+\ldots+2n?
\]
(E. Catalán.)

122. Hallar las soluciones enteras de la ecuación
\[
x^3 + y^3 = z^{2n}
\]
(E. Catalán.)

123. Se da un curva (C) referida á dos ejes rectangulares OX, OY. Se traza la tangente en un punto A de la curva, que encuentra á OY en B, después se toma sobre la tangente un segmento AM=AB.
Hallar la ecuación de la curva M derivada de la curva (C).
(H. Brocard.)

124. Si se prolongan los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC en longitudes CA_1, AB_1, BC_1, iguales á estos lados, y sobre las rectas AA_1, BB_1, CC_1 se toman los puntos M, N, P tales que
\[
\frac{AM}{AA_1} = \frac{BN}{BB_1} = \frac{CP}{CC_1} = \frac{1}{3},
\]
los triángulos MNP y ABC serán iguales y tendrán el mismo centro de gravedad.
(H. Van Aubel.)

125. En un triedro SABC la cara BSC vale 90° y cada una de las demás 60°. Se toma sobre SA una longitud arbitraria, y sobre las otras longitudec SB, SC iguales al mayor segmento de SA dividido en media y extrema razón.
Demostrar que el triángulo ABC es rectángulo.
(J. M.)

ERRATAS.—Pág. 66, línea 8, léase \( \beta \) y \( \beta_0 \) por B y B_0; en la pág. 70, línea 24, \( \pm 2 \sqrt{yz} \) por \( \sqrt{yz} \). En la cuestión 103 léase: triángulo rectángulo.
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 5

que en buena lógica la palabra materia no puede significar para nosotros más que esas dos cosas juntas: extensión resistente.

Cuanto se suele decir acerca de la esencia, unidad, origen y finitud ó infinitud de la materia está fuera de la esfera de nuestros conocimientos.

Las porciones limitadas de materia, esto es, los cuerpos se nos ofrecen bajo un número inagotable de formas, propiedades, accidentes y relaciones; debiéndose citar aquí la propiedad que tienen todos los cuerpos de aumentar ó disminuir de volumen sin aumento ni pérdida de materia, propiedad que basta por sí sola para poder afirmar que la materia que constituye un cuerpo no es continua en toda la extensión de éste. Pero esta falta de continuidad podemos concebirla de dos modos: 1.º De manera que se pueda pasar de un punto del cuerpo á otro, arbitrariamente elegidos, sin atravesar ninguna solución de continuidad; esto es, siendo continua la parte de extensión ocupada por la materia del cuerpo. 2.º De modo que no se pueda pasar de un punto á otro, por próximos que se hallen, sin atravesar las soluciones de continuidad, para lo cual es preciso que la extensión no ocupada por la materia sea continua.

El primer modo, así como la continuidad de la materia en toda la extensión del cuerpo, es inadmisible, por estar en contradicción con la misma propiedad de las dilataciones y contracciones; con la divisibilidad de los cuerpos; con sus cambios de estado, principalmente con el estado gaseoso; y sobre todo con las combinaciones químicas. ¿Cómo se han de penetrar tan íntimamente como en las combinaciones químicas, dos porciones de materia, continuas en toda su extensión, aunque las superficies presenten tantos poros, arrugas, pliegues ó resquebrajaduras como se quiera?

7.—Tenemos, por tanto, que la materia de los cuerpos es discontinua de la segunda manera; esto es, está formada por multitud de pequeñísimas porciones llamadas átomos, separadas unas de otras por intervalos más ó menos grandes, según el estado físico del cuerpo. Estos átomos, como la palabra lo indica, son indivisibles por medio de las fuerzas naturales. Y no decimos que sean macizos, ni que, por el contrario, estén compuestos de otras porciones mucho más pequeñas de una sustancia única, con diversos movimientos rotatorios, lo que caracterizaría las diversas clases de materia que se conocen, porque esto ose fuera de nuestro alcance en el estado actual de la ciencia.

8.—Mucho se ha discutido sobre la indivisibilidad del átomo; nosotros apoyándonos en las leyes químicas de las proporciones definidas, y de las proporciones múltiples, en la de Gay-Lussac, relativa á
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los volúmenes de dos gases que se combinan, etc., etc., afirmamos esa indivisibilidad sólo como un hecho resultante del juego de las fuerzas naturales. Que la materia, bajo el concepto de su extensión, se conciba divisible indefinidamente, no dice nada en apoyo de que lo sea. La indivisibilidad del átomo es, como la atracción universal, una ley que podría no existir sin que se siguiera absurdo ninguno; lo único que ocurriría es que la Naturaleza sería de distinto modo de como es, y la materia misma ofrecería otros atributos que hoy no tiene.

9. — La química nos enseña, por otra parte, que hay cuerpos de los cuales se puede separar más de una clase de materia, llamados compuestos; y que en la más pequeña porción de cuerpo, á la que se puede llegar por procedimientos mecánicos ó físicos, existen los mismos elementos materiales, y en la misma proporción, que en el cuerpo entero. También sabemos que la más pequeña porción que puede concebirse de un cuerpo compuesto, sin que deje de ser homogénea con el todo, se denomina molécula, y que la fuerza que mantiene unidos los átomos componentes de una molécula se llama afinidad, fuerza que no puede vencerse por procedimientos mecánicos, por lo cual el estudio de cuanto de ella depende está fuera del objeto de este trabajo.

10. — Veamos ahora qué acciones se ejercen entre las moléculas de un mismo cuerpo. Desde luego, todos los cuerpos sólidos y líquidos oponen una cierta resistencia á ser partidos y una tendencia á recobrar la forma primitiva cuando han sido deformados, sin exceder cierto límite; lo que prueba que hay atracción entre sus moléculas; fuerza atractiva que se designa, como sabemos, con el nombre de cohesión. Por otra parte, el frotamiento, el choque, y, en general, todo movimiento que al parecer se destruye, produce calor; y viceversa, toda cantidad de calor puede producir un trabajo, existiendo una relación constante entre el calor gastado y el trabajo producido, ó entre el trabajo realizado y el calor obtenido. Esto nos prueba que el calor es un modo del movimiento, y como este movimiento no es del conjunto, es claro que es un movimiento de los elementos de la materia; el movimiento destruido por el frotamiento, el choque, etc., se transmite á los elementos materiales, según el principio de la conservación de la energía, con una velocidad grandísima y con desplazamientos tan diminutos, que deja de ser perceptible al sentido de la vista, haciéndose sensible al sentido del tacto bajo forma de calor.

Y como el calor puede producir la descomposición química, esto es, la disociación de los átomos componentes de las moléculas, es claro que el movimiento que constituye el calor, afecta también á los
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átomos, independientemente del movimiento común que á estos comunica la molécula á que pertenecen.

Nada más podemos añadir, en buena lógica, acerca de este movimiento, sino que es de tal naturaleza, que cuando aumenta se separan más cada vez los centros de las moléculas, originando los aumentos de volumen que hemos llamado dilataciones por el calor. Que las moléculas giran unas al rededor de otras, siendo el calor su fuerza centrifuga; que ellas oscilan al rededor de sus posiciones de equilibrio, siendo el calor la fuerza viva de este movimiento vibratorio; que estas vibraciones son rectilíneas ó curvilíneas, etc., todo esto es imposible hoy afirmarlo ni negarlo por pertenecer al campo de las hipótesis. Impórtanos, sin embargo, dejar bien sentado que el calor es un movimiento de cierta especie, y que variaciones ocasionadas en este movimiento, originan las variaciones que nosotros podemos observar en los cuerpos que sufren una transformación termológica cualquiera. Tenemos, pues, entre la cohesión por un lado y el calor por otro, los dos principios antagonistas de los que dependen casi todos los fenómenos que presentan los cuerpos relativamente á su estado de agregación molecular.

II.—Sentado esto, supongamos un cuerpo sólido al que comunicamos calor de un modo continuo. ¿Cuál será el efecto de semejante operación? Sigamos á Tyndall que lo describe del siguiente modo: «cada crecimiento de calor, dice, pone á las moléculas más distantes unas de otras; pero la fuerza de cohesión, como todas las fuerzas conocidas, obra siempre más débilmente á medida que crece la distancia entre las moléculas que son el asiento de la cohesión. Cuando el calor aumenta, su opuesta se debilita, hasta que, finalmente, las moléculas llegan á estar tan desligadas de la rígida esclavitud de la cohesión, que quedan libres no sólo para afectar la clase de movimientos que llamamos calor, sino también para deslizarse las unas sobre las otras, de tal modo, que si bien oponen todavía alguna resistencia á su separación absoluta, su movilidad tangencial no ofrece ya ningún obstáculo. Este segundo estado es el estado líquido de la materia.»

«Supongamos que desarrollamos en el seno de la masa líquida una nueva cantidad de calor suficientemente intensa. ¿Qué sucederá? Sucedrá que las moléculas romperán las últimas trabas de la cohesión, se aislarán y se escaparán para formar burbujas de vapor. Si el líquido está libre por alguna parte, es fácil concebir que algunas moléculas de la superficie libre saldrán de hecho del líquido lanzándose en el espacio con cierta velocidad. Desligada así de la influencia de la cohesión, la materia se nos presenta bajo la forma de vapor ó de gas.»
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 8

Tal como hemos considerado los conceptos de materia, átomo, molécula, calor, sólido, líquido y gas, nada tienen de hipotéticos: son las nociones resultantes de aplicar nuestros medios de conocer á hechos naturales como los que hemos acompañado á las afirmaciones sentadas y muchos más que hubiera sido prolijo enumerar. No tienen esas afirmaciones la certeza de las conclusiones matemáticas, pero tienen la evidencia de las ideas que emanan del mundo corpóreo.

12.—Para continuar este trabajo nos vemos obligados á entrar ya en el terreno de las hipótesis, y como nuestro objeto es el estado gaseoso de la materia, nada diremos de los otros dos estados. Acabamos de ver que el carácter distintivo de la materia en estado gaseoso es la falta absoluta de cohesión entre sus moléculas, y si bien este carácter, por su generalidad, conviene á todos los fenómenos que en los gases podemos observar, no basta por sí solo para explicar aquellos, y de aquí la necesidad de las hipótesis.

El Materialismo respecto del mundo físico, esto es, la llamada Teoría Cinética del Universo, que parte del principio de que éste está sólo constituido por materia en movimiento, y que las manifestaciones de fuerza no son otra cosa que comunicaciones ó transmisiones del movimiento, imagina, consecuente con este principio, á los gases formados por infinitud de moléculas infinitamente pequeñas respecto del valor medio de la distancia que las separa, y animadas de velocidades de traslación considerables y de direcciones cualesquiera, variables de una molécula á otra, de tal modo, que en un gas que se dice en equilibrio (aparente) no hay dirección favorecida. No hay entre estas moléculas acción recíproca ninguna; son completamente independientes, y para los efectos de los fenómenos de los gases, como si estuvieran formadas por un sólo átomo perfectamente elástico; de modo que á pesar de los incesantes choques que entre molécula y molécula tiene lugar, se conserva fija la velocidad media molecular de traslación y el volumen específico correspondientes á una temperatura y presión determinadas. (Conviene advertir aquí que la falta de cohesión de que hablamos en el párrafo anterior no significa, fuera de esta hipótesis, una absoluta independencia entre las moléculas gaseosas).

En esta teoría, cuyo valor científico después analizaremos, la presión de un gas sobre las paredes de la vasija que lo contiene, resulta de los choques de las moléculas sobre estas paredes, y para determinarla se procede del modo siguiente:

13.—Supóngase una vasija que tenga dos paredes planas paralelas y de una grande extensión respecto del resto de la superficie; y