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El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 19

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
PROPUESTO POR JACOBO STEINER.

El egregio geómetra Steiner, tan notable por la pasmosa serie de sus descubrimientos y problemas ingeniosos, propuso uno de que voy á ocuparme y que es susceptible de una sencilla resolución geométrico-sintética. Yo no sé que se haya publicado alguna vez la solución de este problema, que se halla en la colección de las obras compuestas de Jacobo Steiner, publicadas bajo los auspicios de la Real Academia de Ciencias de Berlin, en el año 1881. Se refiere á un lindo teorema correspondiente á la circunferencia y atribuido universalmente á Roberto Simson, profesor de matemáticas en la Universidad de Glasgow y que falleció en dicha ciudad el año 1768.

Este teorema es: Si desde un punto o situado sobre una circunferencia de círculo, se trazan perpendiculares á los tres lados de un triángulo inscripto, los tres pies de dichas perpendiculares están en línea recta.

Suponemos conocido este teorema y su demostración.

El problema de Steiner es como sigue: Dados una circunferencia y un triángulo inscripto en la misma, hallar sobre la circunferencia un punto tal, que los tres pies de las perpendiculares trazadas á los tres lados del triángulo, estén sobre una recta paralela á otra recta dada de antemano.

He aquí ahora la solución. Sobre uno de los lados, AC, por ejemplo, tomemos un punto \( \epsilon \) y levantemos en \( \epsilon \) una perpendicular á AC. Tracemos por \( \epsilon \) una recta paralela á la dirección dada LM y esta recta cortará á la AB en un punto \( \gamma \). Levantemos en \( \gamma \) una perpendicular á AB; las dos perpendiculares se cortarán en \( z \). Unamos el vértice A del triángulo con el punto \( \alpha \), y la recta \( Az \) cortará á la circunferencia en un \( \alpha' \), que es precisamente el punto buscado. En efecto, trazando desde \( z' \) las perpendiculares \( x' \epsilon' \) y \( x' \gamma' \) á los lados AC y AB, los triángulos \( x \epsilon \gamma \) y \( x' \epsilon' \gamma' \), que tienen dos pares de lados paralelos y además sus vértices alineados dos á dos sobre tres rectas concurrentes en un punto, deberán también te-
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une relation analytique entre R et σ et

(3) \[ R = φ (σ) \]

l'égalité que l'on dérive de l'équation (2) en la résolvant par rapport à R.

Puisque l'élimination de R entre les équations (1), (3) donne lieu à une relation entre ρ et σ (ce qui suffit pour la détermination de la courbe), on a le théorème:

Une ligne plane est connue complètement lorsqu'on a l'expression du rayon vecteur en fonction de l'arc ou, plus généralement, lorsqu'on a une relation finie entre ce rayon vecteur et l'arc.

La forme de l'équation (2) d'une ligne déterminée est dépendante de la position du pôle d'où l'on compte les rayons vecteurs; conséquemment une ligne plane peut être représentée par une infinité d'équations entre les variables R, σ.

Il peut arriver au contraire, qu'une équation \( R = φ(σ) \) ne représente aucune ligne. En effet, le cosinus de l'inclinaison du rayon vecteur sur la courbe est exprimé par \( \frac{dR}{dσ} \); si donc la fonction \( φ(σ) \) est telle que l'on ait:

\[
\frac{dφ}{dσ} > 1 ,
\]

l'équation que l'on vient d'écrire ne peut représenter aucune ligne.

Si par exemple

\[
φ(σ) = \frac{1}{2m} \left( m^2 e^{\frac{σ}{n}} - n^2 e^{-\frac{σ}{n}} \right),
\]

m et n étant des constantes, on a:

\[
1 - \left( \frac{dφ}{dσ} \right)^2 = - \frac{\left( m^2 e^{\frac{σ}{n}} - n^2 e^{-\frac{σ}{n}} \right)^2}{4 m^2 n^2} < 0
\]

et conséquemment:

\[
\frac{dφ}{dσ} > 1
\]

Il n'y a donc aucune ligne plane représentée par l'équation:

\[
R = \frac{1}{2m} \left( m^2 e^{\frac{σ}{n}} - n^2 e^{-\frac{σ}{n}} \right).
\]
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ner paralelos sus otros dos lados. Esto indica que \( \delta' \gamma' \) debe ser paralelo á \( \delta \gamma \), y en consecuencia á L M.

Hubiésemos podido utilizar en vez del punto \( \gamma \), intersección de la paralela á L M trazada por \( \delta \) con el lado AB, el punto \( a_1 \), en que dicha paralela corta á BC. En tal caso hubiésemos levantado en \( a_1 \) una perpendicular á BC, y hubiésemos hallado su intersección \( \gamma_1 \), con la perpendicular \( 6 a_1 \), y uniendo el punto \( \gamma_1 \), con el c hallaríamos la intersección de \( \gamma_1 \), c con la circunferencia.

Pero es fácil probar que la solución sería la misma. En efecto, supongamos ya resuelto el problema por el primer modo, los triángulos \( a_1 \gamma_1 6 \) y \( \delta a' 6' \) que tienen sus lados paralelos dos á dos, tendrán sus vértices alineados dos á dos sobre tres rectas concurrentes en un punto. Así es, que la recta \( \gamma_1 C \) debe pasar por el punto \( a' \) antes hallado.

Es sencillo además el convencerse de que solo hay una solución al problema, para cada dirección dada, de lo contrario la recta A z, tendría con la circunferencia un tercer punto \( a'' \) común, lo que es absurdo.

De las propiedades de los triángulos homotéticos se deduce fácilmente que la solución obtenida es idéntica, aunque operemos sobre los lados del ángulo en A, en B ó en C. Véanse simplemente en la figura los dos triángulos, \( \gamma' \delta' a' \) hallado según las instrucciones dadas y el \( \gamma \delta a \) de lados paralelos. B, \( a' \) y \( x' \) son tres puntos que han de estar en línea recta. El triángulo \( \gamma' \delta' x' \) conduciría pues á igual solución que el \( a \delta \gamma \), primeramente considerado.

PROF. DR. VENTURA REYES PRÓSPER.

Madrid 10 de Abril de 1892.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
PAR M. G. DE LONGCHAMPS

(BIBLIOGRAFÍA)

Los desarrollos que durante el siglo actual han alcanzado todas las teorías matemáticas, por efecto de esa labor continuada que prosiguen las diversas instituciones científicas, las numerosas publicaciones periódicas y los esfuerzos individuales de cuantos se han interesado por llevarlas á un grado superior de perfeccionamiento, han influido en la modificación de los libros destinados á la preparación de la juventud para los estudios superiores.

Muchas teorías habían permanecido durante algunos años esta-
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cionadas en las más altas esferas de las especulaciones científicas sin poder ser trasplantadas por entonces á los dominios de lo elemental, y formaban como cuerpo aparte de todo lo que se consideraba dentro de la enseñanza clásica. En geometría proyectiva, las teorías de la homografía y correlación, en Algebra la constitución de la teoría de las formas debida á los matemáticos ingleses, en geometría analítica las coordenadas homogéneas y las tangenciales y además de los progresos, que han ido realizando la teoría de los números y de las funciones, la geometría cinemática y la geometría infinitesimal han contribuido á dar nuevas y amplísimas proporciones al organismo de la matemática, exigiendo tan considerable progreso en el orden científico, un progreso correlativo en el orden pedagógico.

Ha sido preciso alterar especialmente los libros destinados á la educación científica, para armonizar las aptitudes del alumno con el número y calidad de teorías de que se le debiera poner en posesión, ligar con íntimo enlace teorías recientemente creadas, con las que desde épocas más ó menos remotas habían sido el fundamento de todo el edificio, y especialmente, ha sido necesario evitar muchas repeticiones innecesarias que todavía retardan y entorpecen la marcha de las inteligencias de los alumnos hacia la posesión de la verdad. Y ciertamente que entre las obras destinadas á la enseñanza de la geometría analítica en las Universidades, Liceos, etc., que se prestan á evocar reflexiones de carácter pedagógico, por la feliz disposición de las materias, por la sencillez y elegancia en el modo de exponer, salvando dificultades, llamando la atención hacia las ideas fundamentales, la obra de M. G. de Longehamps Géométrie analytique á deux et á trois dimensions, merece ocupar un lugar preeminente, por el arte admirable que su autor posee para hacer descender al dominio de lo elemental, muchas teorías generalmente destinadas á figurar en las obras magistrales ó de consulta.

La obra de M. de Longchamps no se limita á ser un tratado de las secciones cónicas y de las superficies inmediatamente derivadas de éstas ó sus representantes en el espacio de tres dimensiones, pues á pesar de no ser su extensión excesiva, y sí proporcionada á lo que los alumnos pueden aprender en un curso, prepara las inteligencias de éstos á la posesión de conceptos de orden más elevado.

Al tratar de las curvas no se limita á las de segundo orden, pues desde el principio familiariza al lector con otras de tercero ó cuarto orden: la cisoide y la estrofoide, rectas y oblicuas, las concoides, los óvalos de Cassini, la lemminoata de Bernoulli, las podares, etc., aplicando las transversales reciprocas al trazado de la tangente.
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Al exponer la construcción de las expresiones homogéneas, da construcciones gráficas elegantes de la media armónica y de la media armónica de cuadrados, y con objeto de aplicar la teoría de las formas, de entre las que frecuentemente emplea en las discusiones el resultante, el discriminante y además el hessiano, etc., hace uso continuado de la forma homogénea, á partir de la teoría de la línea recta, cuyas diversas maneras de representación, pone en conocimiento del lector, ocupándose de los haces armónicos, puntos y rectas imaginarios y en el infinito, de los que ha de valerse en lo sucesivo.

En la lección dedicada al círculo deduce la fórmula \( A^3 R^2 \sin^2 \theta + A_0 = 0 \), que determina el radio, la cual le es de gran utilidad más adelante, tratando á continuación de la potencia de un punto con relación á un círculo, de los ejes radicales, centro radical, círculos ortogonales y círculo ortotónico.

En el libro 2.º comienza á exponer las teorías generales relativas á las curvas planas, ocupándose de las tangentes de una manera general, pues aplica los razonamientos á una curva algébrica del grado \( m \) representada por la ecuación homogénea \( f(x, y, z;) = 0 \), hallando la condición para que dos curvas sean tangentes, y llegando á la idea de las coordenadas tangenciales para tratar enseguida de las envolventes, demostrando que la envolvente es tangente á las envueltas en los puntos que tiene comunes con éstas, presentando varios ejemplos de envolventes y un método geométrico para obtenerlas.

Siguiendo su plan general de exposición, M. de Logchamps principia la teoría de las polares por la definición del conjugado armónico respecto á los \( m \) puntos \( A_1, A_2, \ldots, A_m \), ocupándose de las polares de los diversos órdenes y de las polares recíprocas y del método de transformación por polares recíprocas.

La teoría de las asíntotas, muy detallada, es objeto de tres lecciones, á las que sigue otra destinada á los puntos singulares, dando idea de los puntos de inflexión, concavidad y convexidad, hessiano de los puntos de inflexión, puntos de retroceso, oscuración, punto de parada, anguloso, etc.

Los centros, diámetros y ejes, son tratados con análoga generalidad que las anteriores cuestiones, considerando la ecuación general de las curvas algébricas, haciendo después aplicación á las cónicas, y ocupándose primero del centro y después de los diámetros y curvas diametales, diámetros singulares, conjugados, etc.

En la lección dedicada á la homotecia y semejanza se ocupa también de la homografía, de su interpretación geométrica y de la transformación homológica.
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El tercer libro comienza con la clasificación de las cónicas siendo notable el extenso y detallado razonamiento por lo original y metódico, lo que conduce al autor á la reducción de la ecuación general de segundo grado y á los invariantes, haciendo de estos aplicaciones importantes.

Después de hacer un resumen de las fórmulas y resultados hallados que termina con la ecuación del círculo de Monge, trata de los focos y de las directrices desde el punto de vista general hoy adaptado en los mejores tratados de geometría analítica, exponiendo varios métodos para la determinación de los focos y las directrices de las curvas de segundo orden, terminando con algunas propiedades notables de estos puntos y rectas.

Es notable é interesantísima la lección, cuyo objeto es: teoremas generales sobre las cónicas, en la cual, además de una proposición, se considera su correlativa, enumerándose y demostrándose los teoremas de Desargues, Mac-Laurin y Braikenridge, de Chasles, Pappus, Pascal, Brianchon, Newton, Carnot, siguiendo numerosos teoremas relativos á cónicas inscriptas y circunscriptas, y si interesante en alto grado es esta lección, no lo son menos las dos siguientes que tratan de la intersección de dos cónicas que terminan estableciéndose la existencia de un triángulo autopolar común á dos cónicas.

El cuarto libro tiene por objeto el estudio de las cónicas representadas por sus ecuaciones reducidas. Trata de los polos tangencial y normal, se demuestra el teorema de Joachimsthal; concerniente al cuadrilátero inscriptible formado por los pies de tres de las normales y el punto diametralmente opuesto al cuarto pie, deduciéndose la ecuación del círculo de Joachimsthal: Trátase asimismo de la evoluta círculo osculador, de las transformaciones homográficas de la elipse y la hipérbola, de la aplicación del teorema de Joachimsthal á la parábola, de los centros de curvatura, etc.

Por último, el quinto libro, con que termina la geometría de dos dimensiones, está destinado á la construcción de las curvas. Después de enumerar y distinguir las condiciones simples y las dobles, se resuelve una serie de problemas en los que dichas condiciones se combinan variadamente, considerándose las cónicas, después se trata sucesivamente de la construcción de las curvas expresadas, por ecuaciones resolubles, por ecuaciones no resolubles, la construcción de una curva correspondiente á una ecuación irracional, curvas trascendentes, las unicurales las coordenadas polares, diversas espirales, la construcción de las curvas en coordenadas polares y, en fin, las secciones planas del cilindro y del cono circular recto.
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Las indicaciones hechas sobre la geometría analítica de dos dimensiones de M. de Longchamps son suficientes para formarse idea del segundo tomo que corresponde á la de tres, y se halla expuesta según el mismo grandioso y elegante plan, según el que se expuso aquella y sólo diremos para terminar nuestra reseña, que el Supplement, precioso libro de 240 páginas, es digno coronamiento de la obra constituida por los dos primeros tomos, pues impone fácilmente al lector en todo lo más fundamental de la geometría cinemática é infinitesimal: círculo de curvatura, trazado de las tangentes, puntos múltiples, las cuadraturas, coordenadas trilineales y baricéntricas, coordenadas tangenciales, intersección de dos cuadricas, etc.

Los numerosos problemas intercalados entre las diversas lecciones en que está dividida la obra, forman una colección interesantísima por la importancia, calidad y acierto esquisito que ha presidido á su elección.

Z. G. de G.

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestion num. 44, (véase t. II pág. 82)

En cada punto P de una cónica se traza un diámetro PP' y la normal PA. Determinar la intersección D de este diámetro y de la tangente en el otro extremo de la normal.

Fig. 1.
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Solución por el Sr. Schiappa Monteiro, profesor de la Escuela Politécnica de Lisboa

I

Por la intersección A de la cuerda normal tracemos la perpendicular AM' que corta el diámetro PP' en el punto M' en la que se toma el segmento M'B igual á AM' (fig. 1.a y 2.a).

Es claro que la diagonal A'B' del cuadrilátero completo APBP', A'B' cortará al diámetro dado en el punto buscado M.

En efecto, siendo la diagonal AB en la cónica, una cuerda conjugada del diámetro PP', será la polar del punto M con relación á esta curva, conjugado armónico de M' con relación á P y P'.

II

Trazando la tangente PT en el punto P de la cónica (figs. 1.a y 2.a) así como el diámetro paT conjugado de la cuerda normal PA, su punto de intersección T será el polo de esta cuerda, y por consiguiente, la recta TA será la tangente en A, que cortará también al diámetro dado PP' en el punto buscado M.

Observación. — En el caso en que el vértice P' del cuadrilátero inscrito al generador se halla en el infinito (figura 3.a), la cónica con-
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siderada será una parábola, y por consiguiente, el vértice P será el punto medio del segmento MM', y las construcciones se simplifican.

Cuestión núm. 28 (véase t. I, pág. 294)

28. Dar la serie de Sturm para las ecuaciones

\[
x^m \pm 1 = 0,
\]
\[
x^m + x^{m-1} + x^{m-2} + \ldots + x + 1 = 0,
\]
\[
x^m + px + q = 0, \quad x^m - x - a = 0, \quad x^m - x^{m-1} - a = 0.
\]
(N. C. M.)
(H. Brocard.)

Solución por D. Angel Bozal, alumno de la Universidad de Zaragoza

1.º Para la ecuación \( x^m \pm 1 = 0 \) la serie de Sturm es
\[
X_1 = x^m \pm 1, \quad X_2 = mx^{m-1}, \quad X_3 = \mp m,
\]

2.º Para la ecuación
\[
x^m + x^{m-1} + \ldots + x + 1 = 0,
\]
\[
\begin{cases}
X_1 = x^m + x^{m-1} + \ldots + x + 1 \\
X_2 = mx^{m-1} + (m-1)x^{m-2} + \ldots + 2x + 1 \\
X_3 = -x^{m-2} - 2x^{m-3} - \ldots - (m-2)x - (m-1) \\
X_4 = -m^2
\end{cases}
\]

3.º Para la ecuación
\[
x^m + px + q = 0
\]
\[
\begin{cases}
X_1 = x^{m} + px + q \\
X_2 = mx^{m-1} + p \\
X_3 = -(m-1)px - mq \\
X_4 = \pm m^mq^{m-1} - (m-1)^{m-1}p^m
\end{cases}
\]

4.º Para la ecuación \( x^m - x - a = 0 \) se tiene
\[
X_1 = x^m - x - a, \quad X_2 = mx^{m-1}, \quad X_3 = (m-1)x + ma,
\]
\[
X_4 = \pm m^ma^{m-1} + (m-1)^{m-1}
\]

5.º Para la ecuación \( x^m - x^{m-1} - a = 0 \), se tiene
\[
\begin{cases}
X_1 = x^m - x^{m-1} - a, \\
X_2 = mx^{m-1} - (m-1)x^{m-2} \\
X_3 = (m-1)x^{m-2} + m^2a \\
X_4 = mx - (m-1) \\
X_5 = -(m-1)^{m-1} - m^ma.
\end{cases}
\]
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 27

Cuestión núm. 46 (véase t. II pág. 32).

Dada una perpendicular PQ al diámetro AB de una circunferencia y M un punto cualquiera de esta perpendicular.
1.º Demostrar que PQ es bisectriz del ángulo CPD.
2.º Determinar la posición de M con la condición de que CP haya de ser paralela á MB (se supone á P situado entre A y B).
3.º Caso en que P se halle en la prolongación de A B.

(J. J. Durán Loriga).

Solución por D. A. Schiappa Monteiro, profesor de la Escuela Politécnica de Lisboa.

Tracemos las rectas AD y BC, así como la recta CD, cuyo punto de intersección con el diámetro AB es R (figs. 1 y 2).

Fig. 1.*

Suponiendo que el punto M recorra la perpendicular PQ, la recta CD girará, como se sabe, al rededor de este punto R, y las rectas AD y BC al rededor de A y de B, cortándose en M₀, sobre esta perpendicular; y se tendrá el cuadrilátero completo MCM₀DAB.
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 28

(1.º y 3.º) Según esto, las rectas CP y DP serán conjugadas armónicas con relación á las rectas MP y RP, que al ser rectangulares,

Fig. 2.a

serán las bisectrices del ángulo CPD y de su suplemento. Se ha demostrado así este principio de una manera general.

Observación.—Se llega al mismo resultado en el caso en que el punto P se halla situado entre A y B (fig. 1.a) del círculo O, considerando los arcos del círculo (O) que son la medida de los ángulos CPM y MPD, y de sus ángulos opuestos por el vértice C'PQ y QPD'.

(2.º y 3.º) Por el punto P tracemos cP paralela á BD (figs. 1.a y 2.a), y sea c su punto de intersección con CD.
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Tracemos también el radio OD así como su paralela cO' que corta AB en O'.

Cuando la recta BD gire al rededor de B, la recta RDc girará al rededor de R, y se tendrá siempre

\[
\frac{DB}{cP} = \frac{RB}{RP}, \quad \text{y por consiguiente} \quad \frac{OD}{O'c} = \frac{RB}{RP}.
\]

Pero siendo OD constante, también lo será O'c. Luego el lugar geométrico de c es una circunferencia (O') cuyos radio y centro son O'c y O' (figs. 1.a y 2.a).

Esta circunferencia y la circunferencia (O) tendrán pues, por centro de homotecia directa el punto R, pudiendo ser reales sus puntos de intersección C₁ y C', (fig. 1.a) ó ideales (fig. 2.a).

Esto sentado, la recta AC₁ (figs. 1.a y 2.a) cortará á la perpendicular PQ en el punto pedido M₁, y las rectas M₁D y C₁P serán paralelas.

Como se ve, la determinación del centro O' y del radio O'P de la circunferencia (O') es muy fácil.

Observación.—Hallándose el punto P en la prolongación del diámetro AB, los puntos C y D estarán situados á distinto lado de este diámetro (fig. 2.a), y la perpendicular PQ será bisectriz del ángulo suplementario de CPD.

La recta C₁P será la dirección ideal, correspondiente al punto buscado M₁, y el punto de intersección D₁ de RC₁ y C₁P se hallará situado en la hipérbola equilátera (C₁BC₁',...) suplementaria de la circunferencia (O), con relación á su diámetro AB; y la cuerda ideal comun C₁C₁', de los círculos (O) y (O') será la cuerda real comun de esta hipérbola y de la hipérbola suplementaria (C₁PC₁',...) de este último círculo, con relación al diámetro O'P, las que tendrán el punto R por centro de homotecia directa.

La cuerda C₁C₁' será igualmente el diámetro del círculo (S) que corta ortogonalmente á los círculos (O) y (O').

Se ve, pues, que el tercer caso de la cuestión propuesta puede hallarse incluido en el 1.º y 2.º de una manera general, reemplazando el círculo (O) por su hipérbola suplementaria, con relación á su diámetro AB, y haciendo sobre estos nuevos datos consideraciones análogas á las del caso en que el punto P es interior al círculo (O).

Nota del Sr. Solertinsky sobre la cuestión 2.

Hallar el lugar del punto de contacto de las tangentes paralelas á una dirección dada, á una serie de elipses ó de hipérbolas homofocales.

(Nicolaides)(1).

(1) Nos limitamos por ahora á insertar las breves indicaciones que hemos creído oportuno
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 3

Le procédé le plus naturel pour déterminer l'équation d'une ligne en coordonnées R, σ est le suivant. Soit

(4) \[ R = f(\theta) \]

l'équation de la ligne en coordonnées polaires; on a

\[ \sigma + \text{const.}^e = \int \sqrt{f^2(\theta) + f'^2(\theta)} \cdot d\theta \]

Si l'on suppose que la quadrature ait été effectuée, on aura:

(5) \[ \sigma + \text{const.}^e = \varphi(0), \]

\( \varphi(0) \) étant une certaine fonction de \( \theta \); l'élimination de \( \theta \) entre les équations (4), (5) donne la relation cherchée entre les variables R, \( \sigma \).

En appliquant ce procédé à la spirale d'Archimède \( R = a\theta \), ou bien à la spirale hyperbolique \( R = \frac{a}{\theta} \), on trouve respectivement les équations:

\[ R \sqrt{R^2 + a^2} + a^2 \log \left( R + \sqrt{R^2 + a^2} \right) = 2a\sigma + \text{const.}^e \]

\[ a \log \left( \frac{a + \sqrt{R^2 + a^2}}{R} \right) - \sqrt{R^2 + a^2} = \sigma + \text{const.}^e \]

Lorsque le procédé que l'on vient d'exposer n'est pas applicable, on a recours à d'autres méthodes plus convenables. C'est ce que j'ai fait dans mes mémoires Sur la conique osculatrice des lignes planes(1) et Sur les lignes sphériques(2). Dans le premier mémoire j'ai établi l'équation des coniques et dans le deuxième j'ai démontré que l'équation:

\[ R = \sqrt{a\sigma^2 + 2b\sigma + c} \]

représente une spirale logarithmique si \( b^2 - ac = 0 \); une développante de cercle si \( a = 0 \); une droite si \( a = 1 \), une épicycloïde si \( a < 0 \); une hypocycloïde si \( a > 1 \).

On peut quelquefois résoudre la question en appliquant la transformation par rayons vecteurs réciproques. Soient en effet R et R₁ les rayons vecteurs correspondants des lignes planes L, L₁, inverses par rapport à un cercle de rayon k et \( \tau \), \( \sigma \), les arcs de ces lignes.

Si pour la ligne L on a:

\[ R = f(\sigma), \]

(1) Ce Mémoire va paraître dans le Journal de M. Teixeira.
(2) Journal de M. Teixeira, 1889.