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mas propiedades, y en su virtud puede escribirse

\[
\frac{1}{\varphi(z)} = A_0 + A_1 (z-a) + .....
\]

Combinando debidamente las igualdades anteriores, se obtiene

\[
f(z) = \frac{1}{(z-a)^m \varphi(z)} = \frac{A_0 + A_1 (z-a) + ....}{(z-a)^m}
\]
\[
= \frac{A_0}{(z-a)^m} + \frac{A_1}{(z-a)^{m-1}} + ..... + \frac{A_{m-1}}{z-a} + \psi(z)
\]

En esta expresión debe considerarse la función \( \psi(z) \) continua y monodroma á los alrededores del punto \( a \), siendo \( m \) el grado de multiplicidad de lo que se llama el polo \( a \).

6.º Una función que no ofrezca más que ceros y polos, puede tomar la forma siguiente:

(1)

\[
f(z) = \varphi(z) + \psi(z),
\]

en que

\[
\varphi(z) = \frac{A_0}{(z-a)^m} + \frac{A_1}{(z-a)^{m-1}} + ..... + \frac{A_{m-1}}{z-a}.
\]

Integrando (1), después de multiplicar ambos miembros por \( dz \) y de haber hecho las sustituciones debidas de valores, resulta:

\[
\int f(z) \, dz = \int \psi(z) \, dz + A_{m-1} \log |z-a| + ..... + \frac{A_0}{(-m+1)(z-a)^m}
\]

Cuando \( z \) describe, por ejemplo, una pequeña circunferencia al rededor del punto \( a \), los términos que se hallan integrados toman el mismo valor en los dos límites de \( 0 \) y \( 2\pi \); empero la expresión logarítmica, según lo explicado anteriormente, debe aumentar de \( 2\pi i \), suponiendo la integración efectuada en sentido directo, ó sea, dejando siempre á la izquierda la región del plano que se considera. En cuanto á \( \psi(z) \), como esta función permanece finita y monodroma en el círculo supuesto, resulta también por los principios que anteceden

\[
\int_C \psi(z) \, dz = 0.
\]

Si luego hiciéramos lo propio con respecto á los demás puntos \( a', a''..... \), resultaría definitivamente

\[
\int_k + \int_r + \int_c + ..... = 2\pi i (A_1 + A_2 + ....)
\]
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Los coeficientes \( A_1, A_2, \ldots \) se llaman residuos de la función \( f(z) \) respecto á los puntos críticos \( a, a', \ldots \); luego la integral \( \int f(z)\,dz \) tomada en sentido directo de la longitud de un contorno cerrado \( R \), en cuyo interior la función \( f(z) \) no tiene sino puntos críticos aislados, es igual á la suma de los residuos relativos á estos puntos críticos, multiplicados por \( 2\pi i \).

7.º La integral \( \int f(z)\,dz \), tomada según una circunferencia indefinidamente pequeña \( e \) que tenga su centro en \( a \), tiende hacia cero al mismo tiempo que el radio \( r \) del círculo, cualquiera que sea la función \( f(z) \), cuando se cumple la condición \( \lim (z-a)f(z)=0 \), para \( z=a \).

En efecto; si \( M \) es el máximo del módulo \( (z-a)f(z) \) del círculo \( e \), se tendrá

\[
\text{módulo } f(z) < \frac{M}{\text{módulo } (z-a)} < \frac{M}{r}
\]

Empero, si \( z = x + y i \), resulta \( dz = dx + i\,dy \); de donde

\[
\text{mód. } dz = \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds; \quad \text{luego}
\]
\[
\text{mód. } \int_e f(z)\,dz < \int_e \frac{M}{r}\,ds < \frac{M}{r} \cdot 2\pi r < 2\pi M;
\]

y como \( M \) tiende hacia cero, el límite de \( \int_e f(z)\,dz \) es cero.

8.º La integral \( \int f(z)\,dz \), tomada según un círculo \( e \) que tiene su centro en el origen, tenderá hacia cero, si el radio \( R \) del círculo crece indefinidamente, cumpliéndose la condición: \( \lim z\,f(z)=0 \), para \( z=\infty \).

En efecto: si \( M \) es el máximo del módulo de \( zf(z) \) en el círculo supuesto, resulta:

\[
\text{mód } f(z) < \frac{M}{R};
\]

luego

\[
\text{mód } \int_e f(z)\,dz < \int_e \frac{M}{R}\,ds = \frac{M}{R} \cdot 2\pi R = 2\pi M,
\]

cuyo resultado confirma el teorema, por consideraciones análogas al caso anterior.

(Se continuará)
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INVESTIGACIONES FILOSÓFICO-MATEMÁTICAS SOBRE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS por D. APOLINAR FOLA, Oficial del cuerpo de Carabineros.

(Conclusion)

Hicimos preceder el examen de la obra cuya segunda parte acababa de publicar el Sr. Fola, después de haber trascurrido diez años desde que publicó la primera, de unas indicaciones generales acerca de la obra de Rey y Heredia, porque en las investigaciones del ilustre profesor del Instituto del Noviciado, halló aquél la base sobre que ha constituido su nuevo trabajo escrito con marcada originalidad, con un estilo propio que deja ver la personalidad del autor, á pesar de seguir en las líneas generales las huellas de su modelo.

El Sr. Fola, como dice el dictamen de la Academia de Ciencias refiriéndose á la primera parte de su obra, "expone en términos verdaderamente filosóficos y matemáticos la naturaleza é interpretación de las cantidades llamadas imaginarias; corrige atinadamente algunas de las conclusiones á que nuestro malogrado, y en vida casi desconocido matemático, Sr. Rey y Heredia. Llegó en su notable «Teoría trascendental de las mismas cantidades»: y desvanece y explica dudas, contradicciones y paralogismos á que inevitablemente conduce la teoría vulgar, hasta hoy admitida como buena y racional en las escuelas."

La Introducción á la obra está destinada al desenvolvimiento de algunos conceptos filosóficos, principalmente de las categorías matemáticas y la idea de argumento, siguiendo la exposición de los algoritmos en que predomina la influencia de las ideas de Wronski, llegando enseguida al concepto matemático de las cantidades imaginarias, conforme al modo de ver de Rey y Heredia.

Establece cuidadosamente, para sus desenvolvimientos ulteriores el Sr. Fola, en conformidad con Rey y Heredia, la distinción entre la unidad positiva evoluble \(1^1\) ó \(+1\) y la inevoluble \(1^n\) ó simplemente \(1\), considerando la primera como fuente originaria de toda cantidad cualitativa.

Llega á la idea de argumento que tiene origen en la relación cualitativa de dos tesis potenciales, resultando lo que llama unidad argumental específica de relacionar la unidad positiva evoluble con la inmóvil 1, ó sea, la serie indefinida de transiciones ó momentos efectivos por que pasa la función potencial, cuando se somete la base +1
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á un exponente cualitativo que varía de un modo continuo desde 0 á 1.

Trata seguidamente el Sr. Fola de la imaginaria típica \( \sqrt{-1} \) como base de la generación potencial, de la expresión de las raíces absolutas de cualquier grado \( +1 \) y \( -1 \), de cantidades imaginarias puras y afectas de los signos algebraicos \( +, -, \sqrt{-1} \), de la modulación factorial de las cantidades imaginarias, de su interpretación geométrica, de su logística geométrica, y llegando en el capítulo IV á ocuparse de la graduación infinita de las mismas, reproduce algunos conceptos de Rey acerca de los números e y E. Este consideró en su teoría trascendental de las cantidades imaginarias la propiedad singularísima del número e «Potencia finita, dice (pág. 261), obtenida por la evolución infinita de la unidad estéril, fecundada por la adición de un elemento infinitesimal, expresa el máximo desarrollo á que puede aspirar la unidad con el mínimo de aptitud evolutiva, con una evolubilidad cuantitativa infinitamente pequeña. Aunque encerrado en el abismo infinitesimal que media entre los números 2 y 3, en los primeros grados de la escala natural numérica, sin que fuera posible adivinar á priori que en ese punto singularísimo había de parar la evolución infinita del binomio radical \( 1 + \frac{1}{\infty} \), el cálculo revela su existencia, dando al propio tiempo una prueba patente de cuanto se mezcla la noción del infinito en las someras aplicaciones acerca de la cantidad.»

«Tiene el número e la notable propiedad de ser el punto de partida y la base natural, desde la cual se pueden determinar todos los números como potencias suyas por una evolución finita cuyo exponente es el mismo número \( \mu \) que, adicionado como infinitesimal con la unidad, produciría esta misma potencia por la evolución infinita que antes he explicado.»

De suerte que un número cualquiera \( a \) puede tener dos generaciones conceptuales expresadas por los dos primeros miembros de la siguiente igualdad:

\[
\left( 1 + \frac{\mu}{\infty} \right)^{\infty} = e^{\mu} = a,
\]

(1) En estos desarrollos hace Rey referencia al Cours de Mathém de Montferrier, que también se hallan en (Wronski. Introd. á la Philosophie des mathéme. 1811, pp. 18, etc.), entre ellas

\[
L.x = \infty \left( x^{-1} \right), \quad u = \left( n^{-1} \right)^{\infty} = \left( 1 + (n^{-1}) \right)^{\infty}.
\]
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Estas consideraciones acerca de la graduación infinita llevaron á Rey á concebir la posibilidad de un número e cualitativo.

»El símbolo típico \( \sqrt{-1} \), dice (pág. 264), en cuyo seno va encerrada la evolubilidad por esencia, es el germen elemental que unido á la unidad real positiva por la síntesis \( 1 + \frac{\sqrt{-1}}{x} \), considerada como raíz de una evolución infinita, puede darle la movilidad giratoria de que es incapaz. Si este elemento evolutivo es además infinitesimal, se concibe que la unidad positiva se hará evoluble, sin alteración cuantitativa. Si es una recta positiva, unidad ó radio real, el que recibe en su extremidad este elemento infinitesimal, no ya en su misma dirección, sino perpendicularmente, la resultante binomial infinitamente próxima al radio y cuya proyección es el radio, en nada cambiará el valor cuantitativo del radio y constituirá una moción elemental infinitamente pequeña, que sometida á una evolución infinita será origen de alguna tesis ó potencia cualitativa singular análoga (aunque bajo otro concepto) á la tesis cualitativa expresada por el número e.»

El Sr. Fola, en su obra, rectifica el valor que determinó Rey para este nuevo número, más singular que el primero, por cuanto posee la propiedad de engendrar por sus potencias finitas cualquiera de las tesis ó direcciones circulares, así ascendentes como descendentes, y á esta rectificación dedica el §II del capítulo IV, determinando la posición del radio que corresponde á \( \frac{1}{E}, -E, -\frac{1}{E} \) respectivamente, y análoga determinación obtiene para el número v que corresponde á la agregación la unidad 1, un elemento imaginario mixto, que se somete al efecto de un exponente infinito, resultando un desarrollo que participa del cuantitativo de e y del cualitativo de E, terminando la primera parte de su obra con las teorías de las imaginarias exponenciales y los logaritmos imaginarios, donde desenvuelve multitud de interesantes cálculos, y hace una exposición geométrica completa, no sin haber rectificado algunos cálculos de Rey.

La segunda sección de la obra del Sr. Fola, publicada en este año, tiene por objeto principal las imaginarias trinomias ó esféricas.

Principia por ocuparse del concepto cualitativo del argumento. Los símbolos \( \pm II \) y \( \pm \sqrt{-1} II \) representan respectivamente una circunferencia en el plano de base ó ecuatorial, y una circunferencia en el plano meridiano, ya consideradas descritas en sentido directo ó inverso, ascendente ó descendente, así como el binomio imagina-
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rio \( \rho + \sigma \sqrt{-1} \) indica los diferentes órdenes comprendidos entre el real y el imaginario puro, de manera que la unidad argumental imaginaria mixta (\( \rho + \sigma \sqrt{-1} \)) corresponderá á una circunferencia trazada en un plano eclíptico (tomando esta voz en una acepción más amplia que la propiamente geográfica) y tal, que forme con el ecuatorial un ángulo diedro dado por el valor \( \frac{\sigma}{\rho} \) de la tangente.

Trata en seguida de las operaciones de las cantidades argumentales que siguen las reglas de la Aritmética y el Algebra, de manera que la extracción de raíces, por ejemplo, de los valores argumentales positivos y negativos, da origen á argumentos negativos é imaginarios. Así, \( \sqrt{+11} = -II, \quad \sqrt{+11} = \sqrt{-1}. II, \) etc.

Observa el Sr. Fola en el § IV que, pudiéndose considerar el argumento bajo un orden opuesto é indirecto, las cantidades cualitativas cuyos argumentos tengan el carácter negativo ó imaginario, carecen de medios de expresión en el Algebra ordinaria, observando además que en el dominio de la Geometría no todos los fenómenos se hallan simbolizados en el binomio \( A + B \sqrt{-1} \), y llega á obtener, como expresión analítica que simboliza el concepto de cualidad bajo todos los aspectos que se ofrecen al espíritu, no solo en las especulaciones del Álgebra sino también las concretas de la Geometría, las siguientes:

\[
M_{(\rho + \sigma \sqrt{-1} \varphi II)},
\]

en que \( \rho + \sigma \sqrt{-1} \varphi II \) es el índice de cualidad que afecta á la cantidad modular M, distinguiendo los diferentes casos particulares y sus correspondencias geométricas. Así, cuando \( \rho p = o \) y \( \sigma p = o \), M expresa el valor lineal de una recta considerada aisladamente en cuanto á su posición, \( M_{RII} \) indica una recta en el plano ecuatorial, que para los casos especiales \( M_{II} \) y \( M_{\frac{II}{4}} \) es el eje de las x ó de las y.

\( S \sqrt{-1} II \) designa una recta en el plano meridiano principal dada por su longitud M y la inclinación que tiene con el de la base, simbolizando el valor

\[
M_{\sqrt{-1} \frac{II}{4}}
\]
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el eje de la z, y en fin la fórmula total

\[
M \frac{(\rho + s \sqrt{-1}) p}{II}
\]

representa la recta en el espacio, definida en magnitud por el módulo y en dirección por el ángulo \( p \) respecto al eje primitivo, designando la tangente \( \frac{\sigma}{\rho} \) el diedro del plano correspondiente con el plano fundamental.

No seguiremos al Sr. Fola en la exposición que hace del cálculo de las cantidades cualitativas conforme á los principios fundamentales que acabamos de diseñar, en el desenvolvimiento detallado que hace respecto al coeficiente de dirección ó vector unitario, de la manera de corresponder la unidad imaginaria en el infinito número de sus fases con las infinitas posiciones de que es susceptible aquél en cada uno de los innumerables planos que pasan por el eje fundamental, ni tampoco haremos más que citar los nuevos números cualitativos II y III análogos al E y n considerados en la primera sección de la obra, pero ahora envolviendo una nueva generalidad, y teniendo su representación geométrica en los planos meridiano y eclíptico; pues creemos que nos basta con señalarlos someramente, para hacer resaltar la unidad de plan y de concepto que domina en toda la obra del señor Fola.

Después de terminar el capítulo IX con las exponenciales imaginarias puras de segundo y tercer orden y de los logaritmos naturales de las cantidades cualitativas, comienza en el X la interpretación de las imaginarias trinomias ó esféricas con el exámen de la forma sintética ó proyectiva de éstas.

De las cuatro combinaciones sintéticas á que conducen las notaciones elementales

\[
A, B \sqrt{-1}, C \sqrt{-1} \frac{II}{4},
\]

las dos primeras son las en que entra el elemento A con las complejas de primero y segundo orden ecuatorial y meridiano respectivamente, las otras dos

\[
B \sqrt{-1} + C \sqrt{-1} \frac{II}{4} \quad \text{y} \quad A + B \sqrt{-1} + C \sqrt{-1} \frac{II}{4},
\]

ó de tercer orden, son objeto preferente que desenvuelve el Sr. Fola en el capítulo X de su obra, correspondiendo la primera de ellas á
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rectas en el plano de las \( yz \) y abarcando la tercera todas las rectas cuyas proyecciones sobre los ejes fundamentales son A, B, C.

Después de terminar el producto

\[
\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\Pi}{8},
\]

de los ejes

\[
\frac{1}{4} \cdot \frac{\Pi}{4} \quad \text{y} \quad \frac{1}{\sqrt{-1}} \cdot \frac{\Pi}{4},
\]

que es un vector unitario situado en el plano eclíptico, determinado por el eje real positivo y la bisectriz del ángulo recto que forman los dos factores y de discutir el resultado obtenido, trata de la expresión sintética de las imaginarias puras de tercer orden

\[
B \sqrt{-1} + C \sqrt{-1} \cdot \frac{\Pi}{4} \quad \delta \quad M (\varphi + \sigma \sqrt{-1}) \cdot \frac{\Pi}{2}
\]

demostrando analíticamente y geométricamente que, estas cantidades, como las de primer orden \( A + B \sqrt{-1} \) se ajustan á las leyes del algoritmo sumatorio, no sucediendo lo mismo cuando se las somete á la producción y graduación, y llama la atención de los lectores al terminar el párrafo, consignando la perfecta congruencia que existe entre la Geometría y el Algebra en el punto concreto de la multiplicación de la cantidades imaginarias.

Respecto á las imaginarias trinomias

\[
A + B \sqrt{-1} + C \sqrt{-1} \cdot \frac{\Pi}{4},
\]

indica desde luego la conveniencia de modularlas argumentalmente antes de someterlas á los algoritmos productivo y potencial, cuestión que resuelve en el párrafo V, haciendo ver que el módulo ó valor aritmético del coeficiente cualitativo

\[
x + 6 \sqrt{-1} + \gamma \sqrt{-1} \cdot \frac{\Pi}{4},
\]

es igual á la unidad, y expone la manera de pasar de la forma sintética ó trinomia, á la monomía ó argumental y viceversa, terminando el capítulo X con las interpretaciones geométricas correspondientes. Continúa el Sr. Fola en el capítulo XI y último de su obra sus originales desenvolvimientos que le conducen á una superior generalización, pues su objeto es obtener el desarrollo cuantitativo y cualitativo de la unidad positiva I, estéril por su naturaleza para toda generación potencial, sumada con un germen imaginario de la forma

\[
\frac{z + y \sqrt{-1} + z \sqrt{-1} \cdot \frac{\Pi}{2}}{x}.
\]
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para constituir la base que se eleve á un exponente infinito, como hizo al tratar del número cualitativo E, de manera que este elemento infinitesimal referido á los tres ejes del espacio ha de comunicar al vector unitario la movilidad longitudinal y giratoria en todos los sentidos.

No seguiremos al Sr. Fola en los cálculos que le conducen á un resultado que designa con la letra \( \Pi (hhe) \) del alfabeto hebreo, limitándonos á manifestar los resultados geométricos á que llega, á saber, que: las varias potencias de dicho número son radios vectores de la espiral ó curva sincategoremática que se desenvuelve en el plano eclíptico correspondiente, describiendo respectivamente las positivas y las negativas las partes de espiral exterior ó interior á la esfera. No nos detendremos en otras muchas interpretaciones geométricas que siguen como para apurar en todos sus detalles la cuestión, ni en sus últimas investigaciones acerca de los logaritmos de las cantidades imaginarias trinomias, acerca de los exponentes imaginarios y sobre las funciones circulares: bastándonos decir que termina la segunda sección de su obra el Sr. Fola, llegando á concluir que no hay en Algebra cantidades imaginarias de más de tres dimensiones, conclusión á que llega por el razonamiento que constituye el § VI.

Pocas palabras dedicaremos al interesantísimo apéndice de la obra de que nos estamos ocupando y que se titula «Reseña histórico-crítica de las cantidades imaginarias».

Desde Juan Bernoulli y Moivre á quienes, según Lagrange, debemos las primicias de nuestro conocimiento de estas fórmulas, entonces misteriosas é incomprensibles, comienza el Sr. Fola su estudio histórico-crítico, ofreciendo al lector un cuadro completo y razonado de todas las fases y accidentes más notables porque ha pasado esta importante teoría analítico-geométrica. Da cuenta detallada de las discusiones que motivaron las memorias de Buée, Argand y François en que intervinieron Gergonne y Servois, y llega al momento culminante en que Cauchy perfeccionó la doctrina de la interpretación geométrica de estas cantidades. Examina las conclusiones á que llegó M. Cournot, los importantes resultados de MM. Vallés y Maximilien Marie, dando perfecta idea de los mismos, y aclarando los conceptos con atinadas observaciones que le sugiere su propio criterio, fijando su atención en el punto cuestionable de si la exponencial doblemente imaginaria \( \sqrt{-1}^{\sqrt{-1}} \) representa una cantidad real ó el tercer eje del espacio, y exponiendo su opinión y modo de ver en el
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asunto después de detenido examen, en el que revela sus profundos estudios sobre esta teoría y la lectura meditada que he hecho de todas las obras más importantes de la misma, sin omitir á Grassmann, á Bellavitis y á Hamilton, así como á los propagandistas Tait, Dominguez Hervella y Balbín, que creando los unos, coordinando y divulgando los otros, han contribuido á esclarecer la teoría geométrica de estas formas algébricas en un principio rechazadas como incomprensibles y que últimamente han servido de motivo al señor Fola para escribir un libro en extremo comprensible ó interesante, por el que el lector puede, no solo iniciarse, sino adquirir un concepto claro y acabado de una teoría que por su mismo nombre se ha presentado generalmente con cierto aspecto repulsivo á muchas inteligencias.

Z. G. de G.

CUESTIÓN DE ARITMÉTICA
POR M. E. VIGARIE.

1. Con el título de «Curiosa propiedad de un número» La Nature del 30 de Julio ha publicado la siguiente indicación de uno de sus abonados:

«Encuentro en un pequeño opúsculo titulado «Schort Cuts in Arithmetic and curious calculations» un número cuyas interesantes propiedades están en él consignadas, pero sin explicación alguna. Véase cual es dicho número:

\[
N = 052.631.578.947.368.421
\]

Pueden practicarse con este número las cuatro operaciones, obteniendo de siempre en el total, resto, producto ó cociente las mismas cifras que se suceden en el mismo orden».

En esta nota nos proponemos la explicación de tan curiosa propiedad de dicho número.

Observemos desde luego de que manera está formado el número de que se trata.

Si tomamos una cifra cualquiera, 9 por ejemplo, y obtenemos su mitad, hallaremos la cifra siguiente 4, quedando de resto 1, que tomado como decenas y agregado á la cifra ya obtenida da 14. La mitad de 14 es 7, que es la cifra siguiente del número..... y así sucesivamente. Teniendo el número propuesto 18 cifras, cada una de éstas se reproduce de 19 en 19 lugares.

El número de que se trata puede pues, considerarse como un pe-