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cunferencia. Todos los círculos que se obtienen así, haciendo variar el ángulo de las rotaciones forman un grupo.

Estos círculos se llaman círculos de Tucker del cuadrilátero ABCD. Sus centros están en la recta OK, y tienen por envolvente la elipse de Brocard.

8. Como para el caso del triángulo, existen en el cuadrilátero armónico casos particulares de los círculos de Tucker.

Si por el punto de Lemoine K de un cuadrilátero armónico ABCD se trazan paralelas á los lados, los ocho puntos en que estas paralelas encuentran á los lados adyacentes de ABCD se hallan en el mismo círculo (primer círculo de Lemoine del cuadrilátero) cuyo centro se halla en el punto medio de la recta que une K con el centro del círculo ABCD.

Si se trazan por el punto de Lemoine K paralelas á las tangentes trazadas por A, B, C, D al círculo circunscrito ABCD, y se limitan estas paralelas en los lados de los ángulos A, B, C, D, se obtienen ocho puntos de un mismo círculo (segundo círculo de Lemoine del cuadrilátero) cuyo centro se halla en K.

Se obtendría de una manera análoga el círculo de Taylor.

La analogía entre el triángulo y el cuadrilátero podría continuar- se indefinidamente; pero nos detendremos aquí. Nos hemos contentado con dar definiciones; los lectores hallarán fácilmente la aplicación al cuadrilátero armónico de las propiedades enunciadas para el triángulo.

Exágono armónico.

9. Si ABC es un triángulo cualquiera, sus simedianas AK, BC, CK encuentran al círculo circunscrito en puntos A', B', C', y la figura ABCA'B'C' es un exágono que M. Casey ha propuesto llamar exágono armónico. Las rectas AA', BB', CC' son las simedianas de este exágono. Dos triángulos como ABC, A'B'C' que admiten las mismas simedianas, se llamarán triángulos cosimedianos.

10. Estos triángulos poseen numerosas propiedades, de las que presentaremos las principales:

1. Si dos triángulos son cosimedianos, los lados del uno son proporcionales á las medianas del otro.
2. Dos triángulos cosimedianos tienen el mismo primer círculo de Lemoine y el mismo segundo círculo de Lemoine.
3. Los ángulos de Brocard de dos triángulos cosimedianos son iguales.
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4. Los puntos de Brocard de un triángulo son también los puntos de Brocard de su triángulo cosimedianos.

5. Si se toma la figura inversa del círculo circunscrito á dos triángulos cosimedianos, siendo el polo de inversión un punto cualquiera, los inversos de los seis vértices de los triángulos, son los vértices de dos nuevos triángulos cosimedianos.

6. La relación anarmónica de cuatro vértices consecutivos de un exágono armónico es constante.

7. Si los puntos de intersección de los lados de dos triángulos cosimedianos ABC, A'B'C' están designados por L, M, N, P, Q, R, los puntos de Brocard de los triángulos son puntos inversos (conjugados isogonales) con relación á los ángulos cuyas intersecciones son L, M, N, P, Q, R.

8. Si en un triángulo cualquiera se inscribe un triángulo semejante y cosimiano con él, el centro de semejanza de los triángulos inscritos es el punto de Lemoine del triángulo primitivo.

9. Si K es el centro de semejanza de un triángulo ABC de un triángulo homotético \( z\beta\gamma \), el círculo circunscrito al triángulo \( z\beta\gamma \) corta á las simedianas AA', BB', CC' en tres nuevos puntos \( x', \beta', \gamma' \) que son los vértices de un triángulo homotético con el triángulo simiano de ABC.

Los triángulos \( z\beta\gamma, z'\beta'\gamma' \) son cosimedianos.

11. Si los lados del triángulo \( z\beta\gamma \) cortan á los lados de ABC en D, D'; E, E'; F, F'; los tres triángulos AFE', DF'B, D'CE son directamente semejantes. Sus puntos invariables son los centros de gravedad de estos triángulos, y sus puntos dobles son los otros puntos de intersección del círculo que pasa por los puntos invariables con las simedianas del triángulo ABC.

12. Si por el punto de Lemoine de un exágono armónico se trazan por sus vértices paralelas á las tangentes al círculo circunscrito, y se consideran las intersecciones de estas rectas con los lados del exágono que pasan por el vértice correspondiente, los doce puntos así obtenidos se hallan en un mismo círculo.

Este círculo, por analogía con lo que se verifica en el caso del triángulo y del cuadrilátero armónico, se ha llamado el segundo círculo de Lemoine del exágono armónico.

13. Las perpendiculares bajadas desde el punto de Lemoine de un exágono armónico sobre los lados de este exágono, son proporcionales á estos lados.

Si K es el punto de Lemoine y O el centro del círculo circunscrito
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del exágono, el círculo que tiene KO por diámetro se llama el círculo de Brocard del exágono armónico.

Si se designan por \( x, y, z, u, v, w \) las perpendiculares bajadas desde K sobre los lados \( a, b, c, d, e, f \), del exágono armónico, el ángulo auxiliar \( \omega \) determinado por las igualdades

\[
x = \frac{1}{2} a \tg \omega, \quad y = \frac{1}{2} b \tg \omega
\]

se llama ángulo de Brocard del exágono armónico.

Designémos por L, M, N, P, Q, R los puntos de intersección del círculo de Brocard con las perpendiculares bajadas desde el centro del círculo circunscrito á los lados del exágono. El exágono LMNPQR se llama el primer exágono de Brocard.

Las rectas A'L, CM, B'N, AP, C'Q, BR concurren en un mismo punto \( \Omega' \); igualmente las rectas A'M, BL, C'R, AQ, B'P, CN concurren en un segundo punto \( \Omega \). Los dos puntos \( \Omega, \Omega' \), que se hallan en el círculo de Brocard, son los puntos de Brocard del exágono armónico.

Los puntos \( \Omega, \Omega' \) son los puntos inversos con relación á cada ángulo del exágono A B' C A'B' C'.

Las perpendiculares bajadas desde los puntos de Brocard \( \Omega, \Omega' \), sobre los lados del exágono armónico son doce puntos de una misma circunferencia.

Se ha visto hasta ahora que todas las propiedades y todas las definiciones dadas para el triángulo se vuelven á encontrar en los casos del cuadrilátero y del exágono armónicos; nos parece inútil llevar más adelante la analogía, dejando esta tarea á nuestros lectores, y vamos á ocuparnos de una generalización más extensa: la de los polígonos armónicos.

(Se concluirá.)

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS INTEGRALES EULERIANAS
por
D. LAURO CLARIANA Y RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona

(CONTINUACION)

5.—Funciones monotropas y politropas.
Se denomina función monodroma ó monstropa en una porción de
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plano, aquella en que la variable, después de recorrer cierta parte del mismo, al llegar al punto de partida, reproduce para la función el mismo valor.

Las funciones bien definidas, tales como, las racionales, exponenciales y circulares, son monodromas en toda la extensión del plano. No sucede lo propio con las funciones irracionales.

Sea \( \sqrt{z - a} \)

Esta función deja de ser monodrónica en toda porción de plano que contenga el punto \( a \). En efecto, si \( z \) describe una circunferencia de radio \( r \) cuyo centro sea \( a \), el valor de la circunferencia \( re^{i\theta} \), representa \( z - a \), siendo \( r \) la recta que une los dos puntos \( a \) y \( z \); luego

\[
\sqrt{z - a} = r^{\frac{1}{2}} e^{\frac{\theta}{2} i}
\]

Al describir la variable la circunferencia en sentido de los arcos positivos, resulta después de una vuelta

\[
\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} e^{\frac{0 + 2\pi}{2} i} = r^{\frac{1}{2}} e^{\frac{\theta}{2} i} (\cos \pi + i \sin \pi) = -r^{\frac{1}{2}} e^{\frac{\theta}{2} i}
\]

la función, pues, cambia cuando la variable independiente llega á la posición primera.

La función que adquiere diferentes valores, cuando la variable pasa por ciertos puntos, se llama polítopa en la porción de plano que comprende dichos puntos. En este caso la función presenta diferentes ramas.

6.—FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

El conocimiento de la función logarítmica, tomada en su mayor grado de generalidad, es de importancia para esta clase de estudios.

Sea; \( e^{\log z} = z; \quad z = \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi); \quad \log z = x + y i; \)

luego: \( \log z = x + y i = \log \{ \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi) \} \)

ó sea, \( \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi) = e^{x + y i} = e^x ( \cos y + i \sin y ) \)

Al separar los respectivos términos reales é imaginarios, resulta:

\[
\rho \cos \varphi = e^x \cos y , \quad \rho \sin \varphi = e^x \sin y
\]

de cuyas igualdades se deduce fácilmente

\[
\rho = e^x , \quad \cos \varphi = \cos y , \quad \sin \varphi = \sin y ,
\]
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de donde \( x = \log \rho \), \( y = \varphi + 2 k \pi \), siendo K un número entero.

Así tendremos en definitiva

\[
\log z = \log \rho + i (\varphi + 2 k \pi)
\]

Si se toman los diferentes valores que van sucediéndose para la función, según valores próximos de \( z \) y en el concepto de que exista la ley de continuidad, se alcanza, por ejemplo, el valor inicial \( u_0 \) que debe corresponder á \( z = z_0 \).

La función logarítmica ofrece, pues, una infinidad de ramas que se distinguen unas de otras por los diferentes valores que se atribuyen á \( k \), siendo notable que las condiciones de continuidad desaparecen, si \( z \) pasa por cero, razón por la cual conviene que la variable no pase por el origen de coordenadas.

7.—PUNTOS SINGULARES EN FUNCIONES EXPLÍCITAS DE UNA VARIABLE.

Consideremos una función racional, siendo la variable compleja y bajo la forma: \( u = \frac{f(z)}{\varphi(z)} \), y en el concepto de que \( f(z) \) y \( \varphi(z) \) sean funciones racionales y enteras. A la vista de dicha fórmula, se deduce que todos los valores de \( u \) son finitos, excepto aquéllos que correspondan á las raíces de \( \varphi(z) = 0 \), en cuyo caso resultan los polos de la función \( u \).

Los valores de los puntos respectivos á dichas raíces suelen llamarse los infinitos de la función, así como los que corresponden á las raíces de \( f(z) = 0 \), constituyen los ceros de la misma. Todos estos puntos suelen llamarse singulares y son los más sencillos.

8.—PUNTOS CRÍTICOS Y SINGULARES EN GENERAL.

Sea una función algebraica \( u \) definida por la ecuación:

\[
0 = A u^m + B u^{m-1} + C u^{m-2} + \ldots = F(z, u)
\]

siendo A, B, C, ... funciones de \( z \).

Esta función produce diferentes ramas representantes de los diferentes valores de \( u \), correspondientes á cada uno de los de \( z \); puede seguirse el movimiento de cada rama, según el valor de partida de la variable \( z \) y en el concepto de sujetarse á la ley de continuidad. Sin embargo, este procedimiento caerá en defecto cuando la variable pase por puntos en número finito que reduzcan el coeficiente del primer término á cero; ó también en el caso de que los valores de \( z \), satisfagan á las dos ecuaciones \( F(z, u) = 0, \frac{dF}{du} = 0 \), correspondientes á las raíces iguales.

Toda esta clase de puntos forman los llamados puntos singulares
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El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO II -- AÑO 1892

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, núm. 100, bajos
1892
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determinado, podríamos trazar por el punto o' una recta nueva o'c'c que sustituiríamos á la o'c'c, empleando las ao'a', o'b'b' y o'c'c').

Entonces las rectas
    ab y a'b' se cortarán forzosamente en C,
    bc y b'c'. . . . . . . . . . . . . . . en A,
    ac y a'c' . . . . . . . . . . . . . . . en B,
y según la situación perspectiva de los triángulos abc y a'b'c' (que no caen sobre un mismo plano) los puntos A, B y C estarán en una misma recta y las rectas oA, oB, oC caerán sobre un mismo plano, y como estas rectas son las intersecciones de que hablamos en el enunciado, esto demuestra el teorema.

Resumen de lo expuesto:
La esfera, superficie que tiene en campo finito sus puntos, no exige consideraciones de puntos en el infinito para establecer su geometría proyectiva, tampoco exige relaciones métricas y, por último, no hace falta para ello más que echar mano de las más elementales proposiciones referentes á rectas y planos (1).

Madrid Diciembre 1891.

LE CALCUL DES SÉRIES CONVERGENTES
par M. G. de Longchamps
professeur au Lycée Saint Louis

I. Lorqu'une série convergente

\[
U = u_1 + u_2 + \ldots + u_n + \ldots ,
\]

n'est pas sommatoire, le calcul de cette série conduit au problème suivant: Combien faut-il prendre de termes pour avoir U avec une approximation déterminée \( \frac{1}{\alpha} \)?

Il faut, pour répondre à cette question, résoudre l'inégalité

\[
u_{n+1} + u_{n+2} + \ldots < \frac{1}{\alpha}.
\]

Si l'on pose

\[
\varphi(n) = u_{n+1} + u_{n+2} + \ldots .
\]

(1) Para no hacer confusa la figura, se han suprimido en ella algunas líneas y los puntos A, B, C.
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 11

et si l’on détermine une fonction de \( n, \psi(n) \), telle que

\[
\varphi(n) < \psi(n) < \frac{1}{a},
\]

la valeur de \( n \) qui résout l’inégalité

\[
\psi(n) < \frac{1}{a}, \text{ donnera } \varphi(n) < \frac{1}{a};
\]

par conséquent, pour cette valeur de \( n \) et \( a \) fortiori pour toutes les valeurs supérieures, la quantité

\[
u = u_1 + u_2 + \ldots + u_n
\]

représente la valeur de U, avec l’approximation supposée.

En faisant pour \( \psi(n) \) un choix qui permette une résolution simple et rapide de l’inégalité

\[
\psi(n) < \frac{1}{a},
\]

le problème en question se trouvera donc résolu.

Dans certains cas (1), on se borne à remplacer les termes \( u_{n+1}, u_{n+2} \ldots \) par ceux d’une progression géométrique décroissante \( V_{n+1}, V_{n+2}, \ldots \) tels que l’on ait:

\[
V_{n+1} > u_{n+1}, \quad V_{n+2} > u_{n+2}, \ldots
\]

Alors, \( \psi(n) \) s’obtient par la sommation de cette progression géométrique.

Dans d’autres circonstances, la détermination de \( \psi(n) \) peut offrir un peu plus de difficulté. Nous allons en donner ici quelques exemples.

2. Considérons la série:

\[
U = \frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \ldots + \frac{1}{n^p} + \ldots
\]

qui est convergente, en supposant \( p > 1 \).

Nous nous proposons d’abord le calcul de cette série avec l’approximation \( \frac{1}{a} \).

(1) Voyez notre Algèbre 2e édition, pp. 792 et 794.
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Le tableau des inégalités:

\[
\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} < \frac{1}{2^{p-1}}, \quad \frac{1}{4^p} + \ldots + \frac{1}{7^p} < \frac{1}{(2^{p-1})^2},
\]

\[
\frac{1}{(2^n-1)^p} + \ldots + \frac{1}{(2^n-1)^p} < \frac{1}{(2^{p-1})^{n-1}},
\]

tableau classique, au moyen du quel on établit la convergence de la série U, prouve que, en s'arrêtant au terme \( n_{2^n-1} \), la partie négligée \( \psi(n) \) est inférieure à

\[
\frac{1}{(2^{p-1})^n} + \frac{1}{(2^{p-1})^{n+1}} + \ldots
\]

Posons donc

\[
\psi(n) = \frac{1}{(2^{p-1})^n} + \frac{1}{(2^{p-1})^{n+1}} + \ldots
\]

ou

\[
\psi(n) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2^{p-1}}}
\]

ou encore,

\[
\psi(n) = \frac{1}{(2^{p-1}-1) \cdot 2^{(p-1)(n-1)}}
\]

Alors, on peut énoncer la proposition suivante:
Pour calculer la série

\[
U = \frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \ldots + \frac{1}{n^p} + \ldots \quad (p > 1)
\]

avec une approximation donnée \( \frac{1}{a} \), il suffit de prendre, dans la série, un nombre \( 2^{n'} - 1 \) de termes; n'érifiant l'inégalité.

\[
(2^{p-1}-1) \cdot 2^{(p-1)(n'-1)} > 2 \tag{1}
\]

3. Remarque. On observera que le premier terme négligé, dans U, a un indice égal à \( 2^{n'} \). Si l'on a pris, dans U, un nombre N de termes, N étant quelconque, pour avoir la valeur de l'approximation correspondante il suffira de chercher les deux nombres \( 2^{n'}, 2^{n'+1} \) entre lesquels N est compris. Alors, l'erreur commise en s'arrêtant à N
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est plus faible que celle qui correspond au terme de rang \(2^{n'+1}\); or, celle-ci se calcule comme nous venons de le voir.

4. On peut appliquer le résultat précédent à de nombreuses séries. Nous montrerons par quelques exemples, comment on doit faire cette application.

1° Calculer, à 0,1 près, la série

\[
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} + \ldots
\]

Dans cet exemple, on a \(p = 2\). L'inégalité (1) devient

\[
2^{n'-1} > 10.
\]

Elle est vérifiée pour \(n' = 5\). Le dernier terme qu'il faudra prendre est donc

\[
\frac{1}{(2^5 - 1)^2} \text{ ou } \frac{1}{31^2}.
\]

Ainsi, il y a certitude, en prenant 31 termes, que la partie négligée est plus faible que \(\frac{1}{10}\).

2° Calculer à 0,01 près la valeur de la série

\[
\frac{1}{1 \cdot 2^2} + \frac{1}{2 \cdot 3^2} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)^2} + \ldots
\]

Soit \(-\frac{1}{n(n+1)^2}\) le dernier terme conservé.

La suite

\[
\frac{1}{(n+1)(n+2)^2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)^2} + \ldots
\]

sera plus faible que

\[
\frac{1}{(n+1)^3} + \frac{1}{(n+2)^3} + \ldots
\]

Résolvons donc l'inégalité (1), en supposant \(p = 3\), \(x = 100\). Elle devient

\[
3.4^{n'-1} > 100,
\]

qui est vérifiée pour \(n' = 4\). Le nombre des termes correspondant est \(2^4 - 1 = 15\).
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 14

3.º Proposons nous encore de calculer

\[
\frac{1}{2 \cdot 3^2 \cdot 4^3} + \frac{2}{3 \cdot 4^2 \cdot 5^3} + \ldots + \frac{n}{(n+1)(n+2)^2(n+3)^3} + \ldots
\]

à 0,001 près.

En prenant les \( n \) premiers termes, la partie négligée

\[
\frac{n+1}{(n+2)(n+3)^2(n+4)^3} + \ldots
\]

est, manifestement plus faible que

\[
\frac{1}{(n+3)^5} + \ldots
\]

Reportons nous à l’inégalité (1) et supposons \( p = 5, x = 1000 \); nous aurons

\[
15 \cdot 2^{4(n'-1)} > 1000, \quad \text{ou} \quad 3 \cdot 2^{4n'-7} > 25;
\]

inégalité vérifiée pour \( n' = 3 \). Il faudra prendre \( 2^n - 1 = 7 \) termes.

4.º En prenant, comme dernier exemple, la série

\[
\frac{1}{1} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{n \sqrt{n}} \ldots,
\]

qu’on se propose de calculer à 0, 1 près, on devra faire \( p = \frac{3}{2} \) dans l’inégalité (1).

Il reste à résoudre alors l’inégalité

\[
(\sqrt{2} - 1) 2^{\frac{n'-1}{2}} > x
\]

Pour \( x = 10 \), on doit déterminer \( n' \) par la condition

\[
2^{\frac{n'-1}{2}} > 10 (\sqrt{2} + 1).
\]

En remplaçant \( \sqrt{2} \) par 1, 5, il suffira de vérifier l’inégalité

\[
2^{\frac{n'-1}{2}} > 25
\]

Celle-ci a lieu pour \( n' > 11 \). Ainsi, ou devra prendre \( 2^{11} - 1 = 2047 \) termes. La série est lentement convergente.
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La Geometría del triángulo, desconocida hace veinte años, constituye ahora una rama determinada de las ciencias matemáticas. Los numerosos desarrollos de que ha sido objeto la han conducido rápidamente á formar un todo completo. Las proposiciones que se ofrecieron en su origen y que parecían aisladas se han encadenado entre sí por sabios métodos, interesantes teorías é ingeniosos procedimientos de transformación ó de conjugación. La Geometría reciente constituye en la actualidad una cadena cuyos anillos se hallan firmemente unidos, y sería imposible el aspirar á conocer esta nueva ciencia sin poseer sus nociones preliminares y fundamentales. Era pues necesario que los matemáticos, conocedores á fondo de estas cuestiones se propusieran vulgarizar los elementos. Tal ha sido el fin á que se ha dirigido Mr Poulain.

El folleto de que tratamos no contiene más que el estudio de los puntos y de las rectas notables del plano del triángulo y algunas nociones sobre el círculo de Brocard. El autor se ha propuesto, en efecto, dar á conocer los principios que permitan á los lectores, poco al corriente de esta nueva ciencia, iniciarse rápidamente en su estudio, y su éxito ha sido completo.

Si la lectura del trabajo de M. Poulain se impone á los principiantes, no es por esto menos útil á los que se hallan ya familiarizados con el estudio de la Geometría del triángulo: los nuevos puntos de vista en los que el autor se ha colocado, la diversidad de los enunciados, las numerosas fórmulas dadas, les facilitarán el hacer una abundante recolección y aumentar sus conocimientos en grandes proporciones.

M. Poulain no se ha contentado con tratar las cuestiones que constituyen el fondo de su obra por el método puramente geométrico; se ha servido además de nociones elementales de la Geometría analítica que frecuentemente simplifica en alto grado las demostraciones y arrojan una viva luz sobre el conjunto de las propiedades del triángulo. Las coordenadas normales, baricéntricas, sobrelaterales y angulares desempeñan á su vez un papel importante, y M. Poulain ha mostrado claramente todas las ventajas que de ellas pueden obtenerse en pró de la elegancia de la demostración y de la sencillez de los cálculos, mediante el empleo de tal ó cual sistema de coordenadas.

El folleto de M. Poulain contiene numerosas fórmulas, y en este concepto tiene su lugar señalado en el estudio de un matemático, como la tabla de logaritmos en el de un calculador. El orden de los teoremas, detenidamente estudiado, se ha coordinado en forma de hacer las demostraciones tan sencillas como es posible. Aquí, como en su tra-
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tado de Geometría elemental (1) M. Poulain ha puesto toda su atención en allanar dificultades, y lo ha conseguido con excepcional éxito.

La terminología del triángulo no se ha descuidado, introduciéndose algunas palabras nuevas de una utilidad incontestable. «Los puntos notables que actualmente se pueden nombrar, dice el autor, son en número ilimitado. Limitándose á los que pueden serlo, sin complicación de lenguaje, se obtienen muchos millares. A cada uno corresponden varias rectas ó curvas notables. Y para esto basta con una treintena de palabras!» Una treintena de palabras, esto es poco; pero todavía es preciso conocerlos y poseer las leyes que presiden á la formación de esta eficacísima nomenclatura. Todo esto, en la obra de M. Poulain se aprende en algunos minutos! El conocimiento de este pequeño vocabulario es por otra parte indispensable para todos los que deseen leer las publicaciones recientes ó los periódicos científicos.

La Geometría del triángulo posee una belleza y fecundidad inconcebibles; todo el que se aproxima á ella se siente irresistiblemente atraído, y todos los que en ella han trabajado no han tardado en amarla. No tan solo desde el punto de vista de los placeres y de las especulaciones intelectuales que procura la geometría brocardiense, es como me permito recomendar á mis lectores el estudio del hermoso trabajo de M. Poulain, sino también desde su aspecto clásico. Los métodos de la Geometría del triángulo han penetrado, en efecto, en la enseñanza, tanto en Francia, como en el extranjero. En Inglaterra sobre todo, las propiedades del triángulo han llegado á ser elementales. Es cierto que con frecuencia los teoremas no se exigen directamente en los exámenes; pero los examinadores se han inspirado en ellos, algunas veces, para las composiciones del bachillerato y también en los concursos de agregación. Con mayor motivo los periódicos de matemáticas no han dejado de tomar en estas fuentes ejercicios inéditos, por más que disimulen más ó menos su origen. Existe allí una clave que ninguno debe ignorar y que todos los profesores deben poseer.

Les principes de la nouvelle Géométrie du triangle, están divididos en diez capítulos, cuyo contenido citaremos, indicando con letra cursiva los pasajes especialmente notables y sobre los que descamos llamar la atención.

Chapitre I.—Objet de cette géométrie. Quelques définitions (pp. 1-6).
Chapitre II.—Des Coordonnées Trilinéaires et barycentriques (pági-

(1) Editor: Descée en Lille y 39 rue Saint-Sulpice, Paris.