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El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 21

ÍNDICE DEL TOMO III

Artículos bibliográficos.

Laisant y G. de Galdeano (Z.), Notas que pueden servir para un artículo bibliográfico acerca de Gerono. .................................................. 28
G. de Galdeano (Z.), La Géométrographie de M. Lemoine, The principles of Algebra of Physics, The imaginary of Algebra, The fundamental théorème of Analysis generalized for space by Macfarlane ................................................................. 141
G. de Galdeano (Z.), L'intermédiaire des mathématiciens.—Saggio d'introduzione alla teoria delle quantità complesse geometricamente rappresentate ..................................................... 209
G. de Galdeano (Z.), Las fiestas universitarias de Zaragoza, el aniversario de Cerbuna y la inauguración del edificio de Medicina y Ciencias. ................................................................. 273

Artículos y Memorias.

G. de Galdeano (Z.), A nuestros lectores .................................................... 3
G. de Longchamps, Sur l'infiniutde des séries divergentes . 17 y 131
G. de Galdeano (Z.), El 70mo aniversario de M. Ch. Hermite . 26
Schlegel (V.), Introduction aux méthodes géométriques de H. Grassmann. ................................................................. 48
Jiménez Rueda (C.), Sobre la constitución molecular de los cuerpos gaseosos ................................................................. 73 y 113
Lemoine (E.), Comparaison des solutions géométriques d'un même problème ................................................................. 97
Gillet (G.), Sur les fonctions à spaces lacunaires ........................................ 139
Caro (R.), Una solución al problema del círculo tangente á otros tres. ................................................................. 169
G. de Galdeano (Z.), Teoremas, problemas y métodos geométricos ................................................................. 45, 171, 194 y 250
Gillet (G.), Deux problèmes sur les progressions ........................................ 282
Reyes Prósper (V.), Nicolás Ivanovich Lobachevski. ........................................ 321
Lasala (A.) Un teorema geométrico. ................................................................. 324

Filosofía y Pedagogía matemática.

G. de Galdeano (Z.), Estudios sobre la enseñanza y el organismo de la ciencia matemática .................................................... 5 y 163
Reyes Prósper (V.), Nuevo modo de considerar la Aritmética. ........................................ 23
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 23



    Pág.
    Líneas
    Dice
    Debe decir

    10
    11
    imperceptible
    perceptible

    31
    1
    tildado
    atildado

    40
    4
    U<sub>n</sub>
    V<sub>n</sub>

    6
    U
    V

    12
    300
    3000

    26
    0<sup>m</sup>,1 y 0, m<sup>2</sup>01
    0<sup>m</sup>,1 y 0,01m<sup>3</sup>

    63
    30
    <i>Litus</i>
    <i>Silus</i>

    66
    8
    B y Ba
    β y β<sub>a</sub>

    70
    26
    \( \sqrt{yz} \)
    2\( \sqrt{yz} \)

    71
    2
    triángulo
    triángulo rectángulo

    16
    a'To'C y a'T'o'C'
    Tá C y T' á C'

    72
    7
    la ecuación
    e cuación alguna

    112
    31
    rectángulo
    equilátero

    145
    20
    i<sup>2</sup>=1
    i<sup>2</sup>=−1

    26
    \( ^\wedge \frac{\pi}{2} \)
    A<sup>2</sup>

    168
    12
    −
    +

    191
    penúltima
    a<1
    x<1

    265
    20 y 23
    \( \sqrt{r^2 x^1 - x^2} \)
    \( \sqrt{r^2 x^1 - x^2} \)

    272
    14
    PN
    PM

    18
    exteriores
    interiores

    294
    19
    (n−1)<sup>n−2</sup>
    (n−1)b<sup>n−2</sup>

    21
    B<sub>3</sub>
    A<sub>4</sub>

    295
    6
    <i>Vecchio</i>
    (N. C. M.) (<i>Vecchio</i>)

    297
    18
    en un
    en un punto

    299
    10
    'lado
    haz

    302
    34
    armónica
    anarmónica

    última
    armónica
    anarmónica
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 25

El Progreso Matemático
PERIODICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRATICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO III.--AÑO 1893

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, núm. 100, bajos
1893
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 26

Precio de cada tomo **10 pesetas**.

El primer tomo está agotado.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 3

Wolfgang Bolyai le llamaba) estuvo con anterioridad en posesión de alguna de estas verdades, aunque nunca publicó los resultados de sus estudios. La correspondencia de Gauss con Schumacher parece así indicarlo.

Muchos sabios eminentes de todos los países han proseguido después por este camino. Entre ellos se encuentran los Riemann, Klein, Cayley, Genocchi, Beltrami, Hôuel, De Tilly, Fly S'te Marie, Pasch, Schur, Killing, Poincaré, Bruce Halsted, Stringham y otros, pero la mayor gloria pertenece siempre de derecho al que primeramente abre el camino.

Las obras de Lobachevski han sido poco difundidas. Las principales, las más completas están en ruso, y nunca ha sido publicada su traducción. Una versión al francés, inédita, parece que poseía el difunto profesor de Bordeaux señor Hôuel. No sé lo que á su muerte habrá sido de ella, pero creo que en vida la comunicó á algunos sabios.

Una nueva edición de las obras geométricas apareció en Kasan el año 1883 por los cuidados del profesor Janichevsk. Sólo poseo el primer tomo, y creo que nunca se haya publicado más. El volumen publicado sólo contiene memorias en lengua rusa.

En alemán se publicaron en Berlín sus investigaciones sobre las paralelas, y en francés, en el Journal Crelle, algún artículo. Hôuel tradujo las Geometrische Untersuchungen, poniendo sabias notas á este trabajo (correspondencia de Gauss con Schumacher). En italiano se han traducido también, y además hay una edición de Nápoles de su Pangeometría.

De desear sería que se publicase una edición completa en francés, inglés ó alemán, lenguas más difundidas y fáciles que la rusa.

Las más importantes obras de Lobachevski son:

I Los principios de Geometría (en ruso, presentados el 12 de Febrero de 1826, Kasan).

II Geometría imaginaria (Kasan, en ruso, 1835).

III Geometrie imaginaire (Berlin, Journal de Crelle, 1837).

IV Nuevos principios de la Geometría con una teoría completa de las paralelas (Kasan, 1836-38. Obra importantísima).

V Geometrische Untersuchungen sur theorie der Parallellinien. Berlin, 1840).

VI Pangeometría (en ruso, Kasan, 1855). Esta fué su última obra.

Algunos filósofos (así se llaman), tan enemigos de todo estudio serio como amigos de charla fácil, han declarado guerra á la Pan-
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 4

geometría. A ellos se han agregado como auxiliares algunos matemáticos utilitarios, que no ven qué provecho reporte una ciencia que no sirve para hacer caminos ni edificios ni aun fortuna. Felizmente su número va siendo muy escaso. Sic transit stultitia mundi. A los filósofos es inútil tratar de convencerles, pues para esto habrían de estudiar. A los utilitarios se les puede contestar con estas palabras de la Eterna Sabiduría: No sólo de pan vive el hombre.

PROF. DR. VENTURA REYES PRÓSPER.

Cuenca, 16 Noviembre, 93.

UN TEOREMA GEOMÉTRICO
POR D. ATANASIO LASALA
Catedrático del Instituto de Bilbao.

CONTINUACIONES (Véase t. II, pág. 282)

12. 8.a—Teorema de Menelao: Si los lados de un triángulo esférico ABC se cortan por un arco de círculo máximo en tres puntos a, b, c se verifica la relación

\[
\frac{\operatorname{sen} bC}{\operatorname{sen} bA} : \frac{\operatorname{sen} cB}{\operatorname{sen} cA} = \frac{\operatorname{sen} aC}{\operatorname{sen} aB} \quad [c].
\]

Basta, para demostrarla, suponer unidos los puntos A y a por un arco de círculo máximo.

Es evidente que la relación se verifica en cuanto á los signos, ya corte el arco transversal á dos lados y la prolongación del tercero, ó bien á las prolongaciones de los tres.

13. 9.a—Recíprocamente: Si en los lados de un triángulo esférico se marcan tres puntos a, b, c, de modo que se verifique la relación [c], estos puntos se hallarán en una misma circunferencia máxima.

Sea a' el punto en que el arco bc encuentra al lado BC.

De la hipótesis y del teorema directo se deduce

\[
\frac{\operatorname{sen} a' C}{\operatorname{sen} a' B} = \frac{\operatorname{sen} a' C}{\operatorname{sen} a' B};
\]

para que esta condición se verifique es necesario que a y a' coincidan ó que sean extremos de un diámetro del círculo BC, y en cualquiera de estos casos a, b y c pertenecen á una misma circunferencia.

14. 10.a—Marcando en un lado de un triángulo un punto á 90° del medio, todo arco de círculo máximo que parta de dicho punto, dividirá á los otros dos lados en segmentos cuyos senos son proporcionales.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 5

Si \( a \) dista \( 90^{\circ} \) del medio de \( BC \), será \( \frac{\operatorname{sen}\,a\,C}{\operatorname{sen}\,a\,B} = 1 \), luego

\[
\frac{\operatorname{sen}\,b\,C}{\operatorname{sen}\,b\,A} = \frac{\operatorname{sen}\,c\,B}{\operatorname{sen}\,c\,A}.
\]

**15.** 11.a—Recíprocamente: *Si dos lados de un triángulo se dividen por medio de un arco de manera que los senos de los segmentos sean proporcionales, el arco pasará por un punto del tercer lado á \( 90^{\circ} \) del punto medio*.

**16.** 12.a—*Todo arco de círculo máximo que pasa por el medio de un lado de un triángulo, divide á los otros dos lados en segmentos tales, que la razón de los senos de los segmentos de un lado es igual y de signo contrario á la de los senos de los otros dos segmentos*.

Siendo \( a \) el punto medio de \( BC \), resulta que \( \frac{\operatorname{sen}\,AC}{\operatorname{sen}\,AB} = -1 \), luego

\[
\frac{\operatorname{sen}\,b\,C}{\operatorname{sen}\,b\,A} = -\frac{\operatorname{sen}\,c\,B}{\operatorname{sen}\,c\,A}.
\]

**17.** 13.a—Recíprocamente: *Si dos lados de un triángulo se dividen por medio de un arco en dos segmentos, de manera que la razón de los senos de los segmentos de un lado sea igual y de signo contrario á la razón de los senos de los segmentos del otro lado, aquel arco pasará por el punto medio del tercer lado*.

**18.** 14.a—*Los puntos marcados en los tres lados de un triángulo esférico á \( 90^{\circ} \) de los puntos medios, estarán en una misma circunferencia máxima*.

Puesto que se verifica la relación [c].

**19.** 15.a—*Si los lados de un ángulo esférico O (fig. 2.a) se cortan por un arco fijo \( Pa'a' \), y por otro \( Pb'b' \), móvil al rededor del punto P, la razón*

\[
\frac{\operatorname{sen}\,ba'a}{\operatorname{sen}\,ba'O} : \frac{\operatorname{sen}\,b'a'a'}{\operatorname{sen}\,b'a'O}
\]

*es constante é igual á* \( \frac{\operatorname{sen}\,POa}{\operatorname{sen}\,POa'} : \)

En efecto,

\[
\frac{\operatorname{sen}\,ba'a}{\operatorname{sen}\,ba'O} = \frac{\operatorname{sen}\,ba}{\operatorname{sen}\,bO} : \frac{\operatorname{sen}\,a'a}{\operatorname{sen}\,a'O},
\]
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 6

\[
\frac{\operatorname{sen} b'a a'}{\operatorname{sen} b'a O} = \frac{\operatorname{sen} b'a'}{\operatorname{sen} b'O} : \frac{\operatorname{sen} a a'}{\operatorname{sen} a O};
\]
luego \( \frac{\operatorname{sen} b'a}{\operatorname{sen} b'a'O} : \frac{\operatorname{sen} b'a a'}{\operatorname{sen} b'a'O} = \frac{\operatorname{sen} Pa}{\operatorname{sen} Pa'} : \frac{\operatorname{sen} Oa}{\operatorname{sen} Oa'} = \frac{\operatorname{sen} POa}{\operatorname{sen} POa'} \).

20. 16.a—Si un triángulo esférico ABC se corta por un arco transversal abc, se verifica la relación

\[
\frac{\operatorname{sen} bBC}{\operatorname{sen} bBA} : \frac{\operatorname{sen} cCB}{\operatorname{sen} cCA} = \frac{\operatorname{sen} aAC}{\operatorname{sen} aAB} \tag{c'}
\]

Es la proposición anterior bajo otra forma.

21. 17.a—Recíprocamente: Si en los lados de un triángulo esférico ABC se marcan tres puntos a, b, c, de modo que se verifique la relación [c'], los puntos a, b, c estarán en una misma circunferencia máxima.

22. 18.a—Los puntos b, c, a, en que los arcos bisectores de dos ángulos B y C de un triángulo esférico y el del suplementario del A encuentran á los lados opuestos, están en una misma circunferencia máxima.

Las dos primeras razones de la relación [c'] valen -1 y la tercera +1, luego la relación se verifica, y los puntos a, b, c están, por consiguiente en una circunferencia máxima.

23. 19.a—Los puntos en que los arcos bisectores de los tres ángulos externos de un triángulo esférico encuentran á los lados opuestos pertenecen á una misma circunferencia máxima.

Sean a y b los puntos en que el primer arco corta á los lados AB y BC; c y d los en que el segundo arco corta á CD y DA.

El teorema de Menelao [12], aplicado sucesivamente á los triángulos ABC y ADC, nos da

(*) Empleamos la palabra cuadrilátero en su acepción más lata, de manera que las dos diagonales podrán ser interiores, las dos exteriores, ó una interior y otra exterior.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 7

sen aA. sen bB. sen PC = sen aB. sen bC. sen PA
sen cC. sen dD. sen PA = sen cD. sen dA. sen PC,
de donde
sen aA. sen bB. sen cC. sen dD = sen aB. sen bC. sen cD. sen dA [d].

25. 21.a.—Recíprocamente: Si en los lados de un cuadrilátero esférico se marcan cuatro puntos a, b, c, d, tales que se verifique la relación [d], los arcos que unen a con b y c con d se cortan en un punto del diagonal AC; y los que unen a con d y b con c se cortan en un punto del diagonal BD.

En efecto, la relación [d] puede escribirse así:

\[
\frac{\text{sen } aA}{\text{sen } aB} : \frac{\text{sen } bC}{\text{sen } bB} = \frac{\text{sen } dA}{\text{sen } dD} : \frac{\text{sen } cC}{\text{sen } cD}
\]

llamando P al punto en que el arco ab corta á la diagonal AC, será [12]

\[
\frac{\text{sen } aA}{\text{sen } aB} : \frac{\text{sen } bC}{\text{sen } bB} = \frac{\text{sen } PA}{\text{sen } PC},
\]

luego

\[
\frac{\text{sen } dA}{\text{sen } dD} : \frac{\text{sen } cC}{\text{sen } cD} = \frac{\text{sen } PA}{\text{sen } PC},
\]

lo que exige que el arco cd pase por P [13].

Lo mismo puede demostrarse la segunda parte.

26. 22.a.—Si desde un punto tomado en el arco diagonal AC de un cuadrilátero esférico se trazan dos arcos, cortando el primero en a y b á los lados AB y BC y el segundo en c y d á los CD y DA, los arcos que unan a con d y b con c se cortan en un punto del otro arco diagonal BD.

Es consecuencia inmediata de las dos proposiciones anteriores.

27. 23.a.—Si desde el punto de concurso E (fig. 5.a) de dos lados opuestos AB y CD de un cuadrilátero esférico se traza un arco que corte á los otros dos lados, y se hace lo mismo desde el punto F en que concurren los AD y BC, los senos de los ocho segmentos que resultan satisfacen á la relación [d].

Tenemos [4]

\[
\frac{\text{sen } aB}{\text{sen } aA} : \frac{\text{sen } cC}{\text{sen } cD} = \frac{\text{sen } FB}{\text{sen } FA} : \frac{\text{sen } FC}{\text{sen } FD}
\]
\[
\frac{\text{sen } bB}{\text{sen } bC} : \frac{\text{sen } dA}{\text{sen } dD} = \frac{\text{sen } EB}{\text{sen } EC} : \frac{\text{sen } EA}{\text{sen } ED};
\]
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 8

considerando los tres arcos concurrentes EA, ED y EF cortados por los transversales FC y FD, se ve que los segundos miembros de las anteriores igualdades son iguales, luego deberán serlo también los primeros: de la igualdad de éstos se deduce la relación [d].

28. 24.a — En la misma hipótesis de la proposición anterior: los arcos que unen a con b y c con d se cortan en un punto del diagonal AC, y los que unen a con d y b con c se cortan en el diagonal BD.

29. 25.a — Cortando todos los lados de un polígono esférico por un arco de círculo máximo, éste determina en cada lado dos segmentos, y el producto de los senos de todos los segmentos sin extremidad común es igual al producto de los senos de todos los demás.

Se demuestra como su análoga en los polígonos planos.

30. 26.a — Si en los lados de un ángulo esférico O (fig. 6.a) marcamos los puntos A y A', y desde cada uno trazamos hasta el otro lado arcos Aa' y A'a, Ab' y A'b... cortándose dos á dos en puntos α, β... de un arco que pase por O, y suponemos fijos los Aa' y A'a, tendremos

\[
\frac{\operatorname{sen} ba}{\operatorname{sen} bO} : \frac{\operatorname{sen} b'a'}{\operatorname{sen} b'O} = \text{constante}.
\]

En efecto, si atendemos al cuadrilátero Oaza' y á los arcos A'b y Ab', trazados desde un punto β de la diagonal Ox, tendremos [24]

\[
\operatorname{sen} ba \cdot \operatorname{sen} A'a' \cdot \operatorname{sen} b'O = \operatorname{sen} bO \cdot \operatorname{sen} A'a \cdot \operatorname{sen} Az \cdot \operatorname{sen} b'a'
\]
ó sea
\[
\frac{\operatorname{sen} ba}{\operatorname{sen} bO} : \frac{\operatorname{sen} b'a'}{\operatorname{sen} b'O} = \frac{\operatorname{sen} A'a}{\operatorname{sen} A'a} : \frac{\operatorname{sen} Aa'}{\operatorname{sen} Az}
\]
[c]

cuyo segundo miembro es contante.

31. 27.a — Si desde los puntos A y A' se trazan pares de arcos Ab' y A'b, Ac' y A'c... cuyas intersecciones β, γ... estén en un arco que pase por O, la razón

\[
\frac{\operatorname{sen} bA}{\operatorname{sen} bO} : \frac{\operatorname{sen} b'A'}{\operatorname{sen} b'O}
\]

es constante é igual á \( -\frac{\operatorname{sen} aA}{\operatorname{sen} aA'} \), llamando a al punto en que el arco Oβγ... corta al que une los puntos A y A'.

Toda vez que haciendo coincidir los arcos fijos Aa' y A'a de la proposición anterior, los numeradores A'a y Aa' del segundo miembro la relación [e] serán iguales y de signos contrarios.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 9

32. 28.a—Recíprocamente: Si desde los puntos A y A' se trazan pares de arcos, de manera que la razón

\[
\frac{\operatorname{sen} bA}{\operatorname{sen} bO} : \frac{\operatorname{sen} b'A'}{\operatorname{sen} b'O}
\]

sea constante, las intersecciones \( \beta, \gamma ... \) de cada par de arcos están en otro arco que pasa por O, y que divide á AA' en los segmentos tales que la razón de sus senos es igual y de signo contrario á dicha constante.

33. 29.a—Si desde un punto P (fig. 2.a) se trazan varios arcos, transversales Paa', Pbb'... que corten á los lados del ángulo O, los arcos que unen los puntos de intersección a y a' de cualquier arco transversal con los respectivamente opuestos b' y b, c' y c... de los demás, se cortan en puntos de una circunferencia máxima que pasa por O.

Sabemos [10] que

\[
\frac{\operatorname{sen} bA}{\operatorname{sen} bO} : \frac{\operatorname{sen} b'a'}{\operatorname{sen} b'O} = \text{constante},
\]

luego [32] los puntos \( \beta, \gamma ... \) están en una circunferencia máxima que pasa por O.

34. 3.a—Si desde dos puntos fijos a y a' (fig. 2.a) tomados en los lados del ángulo O, se trazan pares de arcos ab' y a'b, ac' y a'c... que se corten en otro pasando por O, los que unan a con a', b con b'... concurrirán en un mismo punto P. [31 y 11]

35. 31.a—Teorema de Céva: Dado un triángulo esférico ABC, si desde un punto de la superficie esférica se trazan arcos á los tres vértices, que encuentran á los lados opuestos en los puntos a, b, c, se verifica la relación

\[
\frac{\operatorname{sen} bC}{\operatorname{sen} bC} : \frac{\operatorname{sen} cB}{\operatorname{sen} cA} = - \frac{\operatorname{sen} aC}{\operatorname{sen} aB} \tag{f}
\]

Es la proposición del número 31, enunciada en otra forma.

36. 32.a—Recíprocamente: Si desde los vértices de un triángulo esférico se trazan arcos á los lados opuestos, de modo que se verifique la relación [f], los tres arcos concurrirán en un mismo punto [32].

37. 33.a—Los arcos que partiendo de dos vértices de un triángulo esférico se cruzan en el arco que une el tercer vértice con el punto medio del lado opuesto, dividen á los otros dos lados en segmentos cuyos senos son proporcionales.

Pues si a es el punto medio de BC, será \( - \frac{\operatorname{sen} aC}{\operatorname{sen} AB} = 1 \), luego
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
D. Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO IV. * AÑO 1894

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARÍÑO, Coso, 100, bajos
1894
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 10

Fig. 6.a

seis puntos D, E, F, M, N, P pertenecientes á una misma circunferencia T, cuyo centro \( \omega' \) está en la recta que une el punto K al centro O de la circunferencia circunscripta á ABC (J. Neuberg. 4).

En efecto, siendo las figuras ADxE, BN3P, CFγM paralelogramos, las rectas DE, PN, MF son antiparalelas á los lados de ABC, y por consiguiente paralelas á las tangentes B'C', C'A', A'B' trazadas por A, B, C al círculo circunscripto; son también iguales por ser dos á dos los lados no paralelos de los trapecios isósceles DENP, NPFM, FMDE.
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 11

Como además dividen á las simedianas AK, BK, CK en partes proporcionales, forman un triángulo \( \alpha'\beta'\gamma' \) homotético del ABC con relación á K.

Los puntos \( \alpha'', \beta'', \gamma'' \) del triángulo \( \alpha'\beta'\gamma' \) homólogos de A, B, C en el triángulo A'B'C' son los puntos de contacto del círculo inscripto á \( \alpha'\beta'\gamma' \) y el centro \( \omega' \) de este círculo se halla en la recta KO.

Como DE = MG = PO, se tiene:

\[
\omega'D = \omega'E = \omega'F = \omega'M = \omega'N = \omega'P = p.
\]

Luego:
Los círculos T de Tucker tienen su centro sobre la recta KO; ó de otro modo: El diámetro de Brocard es el lugar de los centros de los círculos de Tucker.

Los resultados precedentes pueden enunciarse todavía de la manera siguiente:
Los extremos de tres rectas iguales, trazadas entre los ángulos de un triángulo ABC paralelamente á los lados correspondientes del triángulo ortocéntrico, se hallan situados sobre un mismo círculo de Tucker (J. Neuberg. 4).

Se tiene todavía:
Si los lados de un triángulo \( \alpha'\beta'\gamma' \) se cortan sobre las simedianas de otro triángulo ABC, y sus lados son paralelos á las rectas que unen los pies de las alturas de ABC, los lados de estos ángulos se cortan mutuamente en seis puntos de un círculo de Tucker (J. Neuberg. 4).

19. Ecuación de los círculos de Tucker.—M. J. Neuberg ha dado (Neuberg, 21) las ecuaciones de los círculos de Tucker de una manera elegante que vamos á dar á conocer.

Los lados del triángulo \( \alpha\beta\gamma \) homotético á ABC con relación al punto K de Lemoine pueden presentarse en coordenadas baricéntricas por las ecuaciones

\[
\alpha = \lambda a^2,\quad \beta = \lambda b^2,\quad \gamma = \lambda c^2
\]

designando \( \lambda \) la relación

\[
B\beta : (a^2 + b^2 + c^2) Bk
\]

La suma de las tres coordenadas absolutas de un punto siendo igual á la unidad, se obtiene fácilmente para las coordenadas de los puntos M y N:

\[
\begin{array}{ll}
M & \left\{\begin{array}{l}
\alpha = 0 \\
\beta = \lambda b^2 \\
\gamma = 1 - \lambda b^2
\end{array}\right. \\
N & \left\{\begin{array}{l}
\alpha = 0 \\
\beta = 1 - \lambda c^2 \\
\gamma = \lambda c^2
\end{array}\right.
\end{array}
\]