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jas, y por consiguiente reducibles á aquéllos, la Geometría, al dilatar sus dominios, había de necesitar nuevos puntos de apoyo para, desde ellos, continuar sus progresos; y hemos visto que la obra de los porismas debió contribuir á este fin al mismo tiempo que llevaba consigo el germen de nuevos desenvolvimientos que se han verificado en los tiempos modernos; y en efecto. Chasles, al encontrar en los lemas de Pappus señales tan marcadas de las relaciones anarmonía y armónica de las divisiones homográficas, etc., expresa su opinión de que, si la obra de los porismas se hubiese conservado, desde hace largo tiempo se habría llegado á estos conceptos de la Geometría moderna, y aun declara explícitamente, que para llevar á cabo su obra de adivinación y restablecimiento de los mismos, le fue preciso antes dar el desarrollo conveniente á estas teorías en su Tratado de Geometría superior, que forman la base de la misma.

Habiendo llegado á estas alturas en nuestra excursión por el dominio de la Geometría, nos es forzoso antes de pasar adelante, señalar una distinción entre los métodos que esta ciencia ha empleado.

El análisis y la síntesis, procedimientos los más generales del espíritu en la investigación científica, constituyen el método universal que domina el conjunto de la ciencia humana, si bien al aplicarse á la Geometría, su acepción es otra de la acepción general, pero dejando huella de su origen.

Después del análisis y la síntesis, que forman el método universal en sus dos fases ó direcciones opuestas, otros métodos conocemos en Geometría á que debemos dar la denominación de generales, tales son: el método cartesiano, el método trigonométrico, el de las equipotencias, el de los cuaternios, etc.

Estos métodos tienen un carácter formal, que se refieren á modos de actuar la inteligencia en general, prescindiendo de las particularidades del objeto, pues son aplicables á la variedad de objetos de una manera uniforme.

La Geometría analítica de Descartes refiere á un sistema fijo de líneas, coordenadas, los sistemas de puntos que entran en la definición de cada entidad geométrica: es un instrumento universal que se adapta á todas las concepciones geométricas. Sometidas las entidades geométricas al cálculo, éste realiza transformaciones en cierto modo misteriosas en las que desaparece á nuestra intuición el objeto, y presenta sus maravillosos resultados á nuestro espíritu. Al desprender los enlaces ó las proposiciones intermedias, nos deja en la ignorancia del modo por el que se ha realizado el acceso desde el punto de partida hasta el resultado: se sabe que una cosa es cierta porque el
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razonamiento ha sido riguroso; pero ignorándose el cómo y por qué lo es. Algo análogo puede afirmarse respecto á los métodos de las equipolencias y de los cuaternos, cálculos de los hechos geométricos en el plano y en el espacio respectivamente, como manifiesta M. Laisant(1). El primero, método uniforme por el que, basándose en unas cuantas reglas generales, se hace una extensión de relaciones de puntos en línea recta á otras de puntos en el plano; el segundo que, con sus vectores, traslaciones y rotaciones forma la base de un nuevo sistema de Geometría analítica, y ambos, ocultando bajo un simbolismo sistemático la prodigiosa eficacia que poseen para llegar á demostrar teoremas y resolver los más variados problemas. En fin, el método trigonométrico, que tiende su red indefinida de triángulos entre los puntos que resultan determinados, mediante su enlace más ó menos mediato, con los tres vértices del primer triángulo de aquélla.

Después de estos métodos generales que indirectamente llevan á la verdad ocultando las relaciones de los objetos bajo el simbolismo formal que los constituye, llegamos á los métodos de la Geometría pura, á aquéllos por los que la inteligencia procede directamente sobre el objeto y en los que la intuición acompaña á las varias transformaciones que conducen al resultado final. Estos métodos de transformación de las figuras tienen su origen en las obras de Pascal y Desargues, y se han ido continuando por La Hire y Le Poivre, hasta que en el siglo actual la nueva evolución realizada por la escuela de Monge ha dado á los métodos puramente geométricos el impulso que llevó hasta el sistema gráfico de Staudt, y que hoy continúa su incesante progreso, expresado en la infinitud de métodos de transformaciones que han convertido á la Geometría con un dominio ilimitado de formas que se derivan unas de otras por procedimientos cada vez más diversos.

Pascal con su célebre teorema sobre el hexagrammum mysticum estableció la base de un tratado completo de cónicas, siendo el fundamento de su obra Essai pour les coniques, como dice Leibnitz, el empleo de la perspectiva para engendrar las cónicas por el círculo «después de haber explicado la generación del cono, hecha ópticamente por la proyección de un círculo, sobre un plano que corta el cono de los rayos, explica las notables propiedades de cierta figura compuesta de seis rectas, que llama exágrama místico» (2).

(1) Introduction à la méthode des quaternions.
(2) Como un ejemplo de la fecundidad del teorema de Pascal podemos citar la memoria del Sr. Veronese Nuovi teoremi sull'exagrammum mysticum (Roma 1877), donde el autor expone sus resultados partiendo de los obtenidos ya por los geómetras Steiner, Plücker, Cayley, Salmon y Kirkman.
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Desargues, cuyo método, como el de Pascal, se fundaba en la perspectiva, enriqueció la Geometría con su teorema fundamental referente á la involución de seis puntos, generalización de la proposición 130 de Pappus en la que á las dos diagonales del cuadrilátero se sustituye una cónica que pasa por los cuatro vértices de éste, teorema central, como dice Chasles, en la teoría de las cónicas, porque de él se derivan, naturalmente, infinidad de propiedades diversas de estas curvas como de un centro único; y también se le debe la notable propiedad de los triángulos: si dos triángulos situados en el espacio ó en un plano, tienen sus vértices situados dos á dos en tres rectas concurrentes en un punto, sus lados se encuentran dos á dos en tres puntos situados en línea recta, teorema á que dijo más tarde Poncelet una gran generalización en su teoría de las figuras homológicas.

En el tratado de las cónicas de La Hire se halla la teoría de los polos, demostrándose sintéticamente los teoremas siguientes:

1.º - Si alrededor de un punto fijo se hace girar una transversal que corta á una cónica en dos puntos, las tangentes en estos puntos se encuentran en una recta, y reciprocamente «si desde cada punto de una recta se trazan dos tangentes á una cónica, la recta que une los dos puntos de contacto, pasará por un punto fijo».

2.º - Si por un punto fijo se trazan varias transversales que encuentran á una cónica, las rectas que unan dos á dos los puntos de dos cualesquiera de las transversales se encontrarán sobre la polar del punto fijo.

3.º - El punto en que cada transversal encuentra á la polar del punto fijo, es el conjugado armónico de este punto fijo con relación á los dos puntos en que la transversal encuentra á la curva. Proposición esta última conocida ya por Apolonio14, así como la primera y su recíproca fueron demostradas más tarde por Monge de una manera intuitiva y elegante y extendidas á las superficies de segundo grado.

Además de esta importante teoría debe citarse el método de transformación de las figuras en otras figuras del mismo género, expuesto en la obra titulada Platoniconiques, de la cual nos ofrece algunas noticias y desarrollos Chasles en su Aperçu historique, método que tiene por base la consideración en un plano de dos rectas paralelas, la formatriz y la directriz y un punto llamado polo. Por cada punto M de una curva dada en un plano se traza, en una dirección arbitraria, una transversal que encuentra á la directriz en un punto, el cual se une

14 Aperçu historique p. 624.
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al polo por una recta, y á la formatriz en un segundo punto, por el cual se traza una paralela á esta recta. Dicha paralela encuentra á la recta que une el punto M con el polo en un punto M' que se dice formado por el punto M».

Al lado de este descubrimiento de La Hire hay que citar el de Le Poivre, que inventó de nuevo el método del primero, teniendo uno y otro métodos de generación de las cónicas por medio del círculo por propiedad característica que: á cada punto y á cada recta considerados como pertenecientes al círculo generador, corresponden un punto y una recta pertenecientes á la cónica, siendo la relación de posición de las dos figuras tal, que dos puntos correspondientes se hallan en línea recta con un punto fijo S y dos rectas correspondientes concurren en un eje fijo, pudiéndose reconocer en estas relaciones las propiedades de las figuras homológicas, expuestas más tarde por Poncet en su Traité del Propriétés projectives des figures, siendo el polo y la formatriz respectivamente el centro y el eje de homología.

En fin, Newton, cuya inteligencia superior penetró todas las más capitales cuestiones que la ciencia ofrecía en su época, también imaginó un medio general de transformación de figuras en las que á puntos corresponden puntos y á rectas, rectas; dando una construcción geométrica y una expresión analítica, sencillas una y otra, pero como dice Chasles en su obra, ya varias veces citada, sin dar á conocer el camino que le había conducido á este modo de transformación.

Este notable período de transición entre la geometría antigua y la geometría sintética moderna, que ofrece el germen de las doctrinas que adquieren un considerable desarrollo á partir del descubrimiento de la Geometría descriptiva por Monge, se cierra con los resultados debidos á dos geómetras tan notables como Simson y Stewart.

El primero además de emplear preferentemente sus esfuerzos de restituir la obra perdida de los porismas de Euclides, escribió sus Sectionum Conicarum, obra que contiene, además del teorema ad quator lineas de Pappus, los de Pascal y Desargues, haciendo ver que toda la teoría de los polos se deduce de uno de éstos.

Y no sería justo terminar este período de la historia de la Geometría sin citar las obras notabilísimas de Stewart tituladas: Propositione geometrice, more Veterum demonstratur ad Geometriam antiquam illustrandum, etc. y Some General Theorems, hallándose en ésta sus célebres teoremas(1) que expresan propiedades generales de cuatro

(1) Recientemente (1891) ha publicado M. C. Thiry una obra titulada Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre.
(Varios geómetras, como son R. Simson, Thomas Simpson, Euler y John Leslie, dicen el an-
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puntos, de los que tres están en línea recta formada por la relación

\[
\overline{DA}^2 \overline{BC} + \overline{DB}^2 \overline{AC} - \overline{DC}^2 \overline{AB} = \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BC}
\]

Chasles, en su Aperçu historique, observa que los cincuenta teoremas de Stewart pueden reducirse á cuatro, cuyos enunciados da, refiriéndose los dos primeros de éstos á los polígonos regulares inscriptos y circunscriptos en el círculo, que considera como casos particulares de teoremas comprendidos en la teoría de las cónicas.

En cuanto á las Propositiones geometricae, las referentes á la única recta se refieren casi todas á una propiedad general del cuadrilátero, que se reduce al lema demostrado por Pappus, que enuncia así: Toda transversal encuentra los cuatro lados de un cuadrilátero y las dos diagonales de un cuadrilátero, en seis puntos que tienen entre sí la relación de involución, menciona las que se refieren al teorema que Pappus cita como formando parte de los porismas, á saber: Cuando los tres lados de un triángulo, de forma variable, giran alrededor de tres polos fijos, situados en línea recta, y dos de los vértices del triángulo recorren dos rectas fijas dadas, el tercer vértice engendra una tercera recta que pasa por el punto de intersección de las dos primeras. En cuanto á las proposiciones referentes al círculo, observa el autor de la Geometría superior que pueden considerarse como concernientes á la descripción de esta curva por la intersección de dos rectas que giran alrededor de dos polos fijos, formando sobre una transversal segmentos que tienen entre sí ciertas relaciones, siendo una relación de segundo grado en el caso de recorrer el punto de intersección de las dos rectas móviles una cónica.

Monge creando la Geometría descriptiva dió un nuevo y colosal impulso á los estudios geométricos inaugurando una nueva época para la ciencia de la extensión.

Z. G. DE GALDEANO.

(Se continuará).

tor en el Prefacio, han utilizado el teorema de Stewart en sus escritos matemáticos.- Esta proposición es, como se ve, de una gran importancia, y sin embargo, es desconocida por la mayor parte de los alumnos de instrucción media.

En 1887, Chasles escribía acerca de esta proposición: «Esta propiedad casi desconocida en nuestra época, merecería tener cabida en los elementos, o al menos en los complementos de Geometría».

La obra de M. Thiry contiene numerosas aplicaciones á la Geometría del triángulo, como los puntos y el ángulo de Brocard, el teorema de Feuerbach, el recto de Lemoine, etc.

(1) Chasles deduce el teorema de Stewart de una relación de cinco puntos en línea recta.
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SUR UNE QUESTION D'ARITHMÉTIQUE
PAR M. H. BROCARD

(Voir El Progreso Matemático, T. I, pp. 314-317, T. II, 25-27).

Les propriétés des fractions périodiques, signalées dernièrement dans les articles cités du Journal, nous ont paru motiver les remarques suivantes, qui cependant n'ont peut être pas le mérite de la nouveauté. Elles conduisent, toutefois, à une détermination des chiffres de la période, mais en partant des derniers chiffres, et non des premiers comme les donnerait l'opération directe de la division.

A ce titre, elles offrent le sujet d'une Récration arithmétique, qui pourra intéresser nos lecteurs.

A notre connaissance, le seul exemple de question présentant une certaine analogie avec l'objet de cette notice, se trouve dans les N. A. M. où Terquem avait proposé, en 1846, d'effectuer une division, en opérant par la droite, mais en donnant au préalable le reste de l'opération faite suivant la règle classique (question 139).

L'intervalle de 26 années entre l'énoncé et la solution (J. de Vireau. 1872, pp. 129-131) montre que ce problème paraît avoir présenté quelque difficulté.

Nous en exposerons ici une solution, mais nous comptons lui donner quelque extension et l'appliquer à d'autres problèmes qui nous semblent n'avoir pas encore été l'objet d'une étude systématique.

Désignons par \((n)_a\) un nombre formé de \(n\) chiffres \(a\).

D'après le théorème de J. Plateau (loc. cit II. 26) tout nombre impair \(A\) non terminé par 5 a un nombre \((n)_1\) parmi ses multiples.

Supposons le nombre \(A\) terminé par 1, 3, 7 ou 9.

Pour que son produit par un nombre quelconque \(B\) se termine par 9, il faut que le multiplicateur \(B\) se termine par 9.

Comme le dénominateur de la fraction génératrice de la période \(P\) est de la forme \((n)_9\), on se trouve amené à traiter la question suivante:

Déterminer les autres chiffres du multiplicateur \(B\) de façon que tous les autres chiffres du produit \(AB\) soient également des chiffres 9.

Pour obtenir ce résultat, observons d'abord que les dix premiers multiples du nombre \(A\) se terminent une fois par chacun des dix premiers chiffres. Si donc on a écrit le multiple terminé par 9, il suffira de prendre le multiple terminé par le chiffre, complémentaire à 9, de celui des dizaines du premier, et ainsi de suite, et d'écrire en regard le numero du multiple correspondant.

Pour fixer les idées, soit, par exemple, \(A = 17\) (Loc. cit. I. p. 316).
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Formons ses 9 premiers multiples:
1   2   3   4   5   6   7   8   9
17  34  51  68  85  102  119  136  153

Le multiple terminé par 9 est 119, correspondant à 7. Aux dizaines, 1, il faut, pour avoir 9, ajouter 8; donc le multiple à prendre est 68, correspondant à 4. On a ainsi;

    119
    68
    ______
    799

Aux nouvelles dizaines, 1, 6, dont le total est 7, il faut, pour avoir 9, ajouter 2; c'est-à-dire le multiple 102, correspondant à 6; etc. etc, on aura, en définitive, la suite

    119 correspondant à 7
    68 . . . . . . . . . . 4
    102 . . . . . . . . . . 6
    119 . . . . . . . . . . 7
    17 . . . . . . . . . . 1
    17 . . . . . . . . . . 1
    68 . . . . . . . . . . 4
    153 . . . . . . . . . . 9
    34 . . . . . . . . . . 2
    85 . . . . . . . . . . 5
    51 . . . . . . . . . . 3
    34 . . . . . . . . . . 2
    136 . . . . . . . . . . 8
    136 . . . . . . . . . . 8
    85 . . . . . . . . . . 5
    0 . . . . . . . . . . . 0

L'opération s'arrête d'elle même et on reprendrait ensuite les nombres précédents. On en conclut la période
    0588235294117647
dont les chiffres ont été, comme on le voit, obtenus dans l'ordre inverse de celui des opérations de la division de 1 par 17.

Il est à observer que, dans cet exemple, les sommes à compléter à 9 ont toujours été inférieures ou au plus égales à 9. Mais elles pourraient fort aussi bien lui être supérieures, et dans ce cas, on les additionnerait comme d'habitude pour augmenter seulement le chiffre des unités de façon à obtenir le chiffre 9.

Cette particularité se présentera d'autant mieux que le diviseur adopté sera plus grand.
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fres 1, 2, 3...8, et en opérant par exemple, sur les nombres \((n)_1\), on aurait immédiatement reconnu la nécessité de reporter les dizaines. C'est ainsi que la division de \((n)_1\) par 7 aurait donné

\[
\begin{array}{cccccc}
(1) & (1) & 2 & 1 & . . . . . & 3 \\
   &     & 4 & 9 & . . . . . & 7 \\
(1) &     & 5 & 6 & . . . . . & 8 \\
   &     & 3 & 5 & . . . . . & 5 \\
   &     & 7 &   & . . . . . & 1 \\
2 & 1 & 0 &   & . . . . . & 0 puis 3, etc.
\end{array}
\]

et en effet \(15873\) est le quotient de la période de \(\frac{1}{7}\) par 9. (II. p. 25).

On aurait de même, pour le nombre \((n)_3\),

\[
\begin{array}{cccccc}
(1) & (1) & 6 & 3 & . . . . . & 9 \\
   &     & 7 &   & . . . . . & 1 \\
(1) &     & 4 & 2 & . . . . . & 6 \\
   &     & 4 & 9 & . . . . . & 7 \\
2 & 8 &   &   & . . . . . & 4 \\
   &   & 0 &   & . . . . . & 0
\end{array}
\]

et en effet on a

\[
47619 = 3 \times 15873
\]

Observons, incidemment, que si le dénominateur A de la fraction se terminait par 1, ses divers multiples par 1, 2, 3, .. 9 se termineraient respectivement par les mêmes chiffres. Les chiffres de la période seraient donc ceux des unités des multiples successivement employés:

Exemple: \(A = 71\).
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
71 & 142 & 213 & 284 & 355 & 426 & 497 & 568 & 639
\end{array}
\]
on aura, pour déterminer la période, à essayer la division de ..... 9999 par 71.

\[
\begin{array}{cccccc}
(1) & 6 & 3 & 9 \\
    & 4 & 2 & 6 \\
    &   & 7 & 1 \\
    &   & 5 & 6 & 8 \\
    &   & 1 & 4 & 2 \\
    &   & 5 & 6 & 8 & 0 \\
    &   & 2 & 1 & 3 \\
    &   & . . . .
\end{array}
\]
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La période se termine donc par .... 38028169.
De même, la division de \( (n)_7 \) par 71 donnerait

\[
\begin{array}{r}
4\ 9\ 7 \\
5\ 6\ 8 \\
4\ 2\ 6 \\
6\ 3\ 9 \\
6\ 3\ 9 \\
4\ 9\ 7 \\
7\ 1 \\
3\ 5\ 5
\end{array}
\]

c'est à dire ....51799687, et comme vérification on doit avoir

\[
... 51799687 = ... 38028169 \times \frac{7}{9}.
\]

et en effet, on a bien

\[
... 51799687 \times 9 = ... 38028169 \times 7,
\]

mais on remarquera que, dans le cas présent, le groupe .. 38028169 n'est pas divisible par 9. La vérification devra pourtant se faire, mais à la condition de déterminer les chiffres du quotient à partir de la droite, opération qui, après les explications données, ne présente plus de difficulté:

\[
\begin{array}{r}
38028169 | 9 \\
9\ 1 \\
(1) 3\ 6\ 4 \\
1\ 8\ 2 \\
3\ 6\ 4 \\
(1) 9\ 1 \\
(1) 9\ 1 \\
2\ 7\ 3 \\
8\ 1\ 9 \\
...
\end{array}
\]

(La suite incessamment).
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2. Sentados estos principios generales, para hallar el desarrollo de sn \( u \) en serie de fracciones simples, aplíquese á la función sn \( u \) el teorema de descomposición de M. Hermite (*).

Tenemos, tomando como elemento simple la función \( \zeta(u) \) de Weierstrass,

\[
\text{sn}\,u = A_1\,\zeta(u - iK') + A_2\,\zeta(u - 2K - iK') + C,
\]

y, derivando dos veces,

\[
\frac{d^2 \text{sn}\,u}{du^2} = -A_1\,p'(u - iK') - A_2\,p'(u - 2K - 2iK')
\]

puesto que

\[
\frac{d\zeta(u)}{du} = -p(u).
\]

Sustituyendo \( A_1 \) y \( A_2 \) por sus valores hallados anteriormente, tenemos

\[
\frac{d^2 \text{sn}\,u}{du^2} = \frac{1}{k} \left[ p'(u - 2K - iK') - p'(u - iK') \right],
\]

y, sustituyendo ahora las dos funciones

\[
p'(u - iK') \quad \text{y} \quad p'(u - 2K - iK')
\]

por los desarrollos que se obtienen aplicando á estas funciones la fórmula siguiente que resulta de derivar dos veces la fórmula (1):

\[
p'(u) = -\sum \frac{2}{(u - a)^3},
\]

\[
\frac{d^2 \text{sn}\,u}{du^2} = \frac{2}{k} \left[ \sum \frac{1}{|u - 2nK - (2m+1)iK'|^3} - \sum \frac{1}{|u - 2(2n+1)K - (2m+1)iK'|^3} \right],
\]

\[
\frac{d\text{sn}\,u}{du^2} = \sum \frac{2(-1)^s}{k\,|u - 2sK - (2ns+1)iK'|^3},
\]

donde el sumatorio \( \Sigma \) se refiere á todos los valores enteros de \( s \) y \( m \).

Obtenido así el desarrollo de la derivada segunda de sn \( u \) pásase, para el desarrollo de la derivada primera, por una integración entre

(*) Hermite: Cours de la Faculté des sciences de Paris, p. 326.
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 30

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión número 48. (Véase t. II pág. 64).

Demostrar que si un triángulo isósceles tiene el ángulo en el vértice de 45°, la base es media proporcional entre el cuádruplo de la altura y el exceso de la altura sobre la base.

Solución por D. ADOLPHO GUIMARAES, oficial de ingenieros.

En la cuestión 47 (véase en la página 63) se demostró que

\[
\overline{BM}^2 = \overline{CM}^2 + 2 \overline{AM} \cdot \overline{CM}
\] (1)

Siendo el ángulo del vértice de 45°, tenemos:

\[
AB = AC = \frac{2 \overline{AD}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}
\]

\[
AM = BM = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{2 \overline{AD}}{\sqrt{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \quad CM = \frac{BC}{2} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}
\]

Sustituyendo en la expresión (1), resulta

\[
\frac{2 \overline{AD}^2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{\overline{BC}^2}{4} (2 - \sqrt{2}) + \frac{2 \overline{AD} \cdot \overline{BC}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}},
\]

y dividiendo ambos miembros por \( \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \), se obtiene

\[
4 \overline{AD}^2 = \overline{BC}^2 + 4 \overline{AD} \cdot \overline{BC}, \quad ó \quad \overline{BC}^2 = 4 \overline{AD} (\overline{AD} - \overline{BC}),
\]

como se quería demostrar.

Solución por D. ALFREDO ROCA Y CANCELLO.

Representamos por \( a \) y \( h \) la base BC y la altura AD, y por \( b \) los lados \( AB = AC \).

Del triángulo ABD resulta:

\[
b^2 = h^2 - \frac{a^2}{4}, \quad (1) \qquad 4b^2 = 4h^2 - a^2, \qquad a^2 = 4b^2 - 4h^2.
\]

Hay pues que demostrar la identidad

\[
4b^2 - 4h^2 = 4h (h - a), \quad ó \text{sea}, \quad b^2 = 2h^2 - ah.
\]