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El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 25

VARIEDADES

PROGRAMA DEL CURSO DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA UNIVERSIDAD DE MOSCOW. Creemos de gran utilidad para los interesados en seguir los programas y planes de enseñanza adoptados en algunas Universidades ó Escuelas técnicas, el dar un resumen del programa publicado en la Bibliotheca mathematica que dirige en Stokolmo el Sr. Eneström, haciendo un extracto de algunas de las 59 lecciones que constituyen el curso de Historia de las matemáticas explicado en la Universidad de Moscow, é instituido desde el año 1882.

1. Introducción. (Objeto de la historia de las matemáticas y su fin; a) filosófico; b) científico; c) pedagógico; d) generalmente instructivo. Principio de las investigaciones sobre la historia de las matemáticas. Resumen del estado literario de la historia de las matemáticas en la antigüedad, en la edad media y en los tiempos modernos. Las lecciones 2.a y 3.a están dedicadas al origen y primeros desarrollos del cálculo verbal y al origen de los sistemas de numeración. La 4.a trata del origen y desarrollo primitivo del cálculo gráfico. Cálculo del nudo entre los chinos y los peruanos. Tabla de Lochon; los quipos. Formas figurativas del cálculo, etc. La lección 5.a continúa los desarrollos del cálculo gráfico. La 6.a, 7.a y 8.a trata de las matemáticas entre los egipcios. La escuela jónica y la pitagórica son objeto de las lecciones 9, 10 y 11; con la 12 comienza la historia de las matemáticas griegas, tratándose en la 13 de Platón y su escuela. En la lección 14 se trata de Euclides y sus trabajos, haciendo una relación general de sus «Elementa» de las «Falsas conclusiones» los «Porismas» las «Dadas», el libro de la división de las figuras» las «secciones cónicas» etc.

Eratóstenes y Apolonio, los matemáticos italianos y la última época de los progresos de la geometría griega son el objeto respectivo de las lecciones 14, 16 y 17. De las investigaciones de Herón y Sixto Julio Africano en mecánica y geodesia y de las de trigonometría de Geminos, Theodosios, Menelao; Ptolomeo etc., tratan la 19 y la 20, dedicándose las 20 y 21 al análisis indeterminado y á la decadencia de las matemáticas en Grecia. De la 22 á la 25 sirven para hacer la exposición del desenvolvimiento matemático en la India, debiéndose citar entre los varios asuntos los trabajos de el Aryabatha Brahmagupta y Baskara Acayra, la Aritmética teórica, el Álgebra, las ecuaciones, el análisis indeterminado los rasgos característicos de la geometría india, la aproximación de \( \pi \), la trigonometría,
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los senos y los senos versos y sus tablas. La lección 25 comienza con la literatura matemática de los árabes, hasta la 28. En esta se trata de las matemáticas en los pueblos que importaron las matemáticas griegas en la Europa Occidental. La 29 trata de los estudios en los conventos, Casiodoro, Boecio, Isidoro de España, Alcuino, y la obra civilizadora de Carlomagno. Gerbert y obras de los matemáticos árabes traducidas en latín son objeto de las lecciones 30 y 31. Sucesivamente las lecciones 32, 33, 34 y 35 tratan de Leonardo de Pisa, apropiación por la Europa Occidental de los conocimientos científicos transmitidos por los árabes, y del movimiento matemático realizado en Italia por Ferro Tartaglia, Cardan, Ferrari y Bombelli.

A Vieta cuya importante y decisiva influencia en el progreso de la matemática se da a conocer, con la exposición de sus trabajos, en las lecciones 36 y 37, siguen el examen del Álgebra en Alemania, Inglaterra y Holanda y el descubrimiento de los logaritmos. Las lecciones 40 y 41 tratan respectivamente de Descartes y de los progresos del análisis indeterminado y origen de la teoría de las probabilidades, Bachet de Meziriac, Pascal y Fermat.

En fin, el desarrollo del cálculo infinitesimal, cuyos primeros principios sentó Kepler, el método de los indivisibles de Cavalieri, otros métodos debidos a Fermat, Roberval, Wallis, Mercator Gregorio de St Vincent, el método de las fluxiones de Newton y el análisis infinitesimal de Leibnitz. El análisis infinitesimal entre los matemáticos ingleses Taylor y Maclaurin entre los matemáticos del continente los Bernoulli y por último el Marqués de l'Hôpital, Cates y Moivre constituyen los asuntos correspondientes á las lecciones del programa hasta la 51, terminando el curso con Euler, Lagrange, los geómetras del siglo xvii y xvm, y en fin, Monge con la importancia de sus trabajos en el desarrollo de la Geometría sintética y Carnot y Poncelet que influyen en la emancipación de la Geometría del Análisis para su futuro progreso.

Estas indicaciones del interesante curso de Historia de la matemática profesada en la Universidad de Moscow, así como las que hicimos en el núm. 7.º de este periódico al tratar de la enseñanza de esta asignatura en la Universidad de Texas ponen en evidencia la que van adquiriendo los estudios matemáticos desde el punto de vista crítico y filosófico y señalan la necesidad de completar los estudios del profesorado en ciencias con una síntesis general que reuna estos modos superiores de considerar la ciencia.
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PROGRAMA PARA LA ASIGNATURA DE CÁLCULO INFINITESIMAL destinado al curso de 1890 á 1891 en la Escuela preparatoria de Ingenieros y Arquitectos.

El programa que acaba de publicar el profesor de la Escuela Preparatoria de Ingenieros y Arquitectos Sr. Bentabol, conforme al curso explicado por el mismo en dicha Escuela, ofrece algunas particularidades que su autor consigna en un breve razonamiento preliminar.

Se fija ante todo en algunos puntos oscuros ó discutibles, que en ésta, como en las demás ciencias, aparecen al tratarse de sus conceptos primitivos, y que en algunos tratados se exponen demasiado someramente, por lo cual dicho señor reunió estas principales cuestiones en su folleto titulado La introducción al estudio del cálculo infinitesimal, de que ya se dió cuenta en la pág. 44 de este periódico. La explicación de estas cuestiones fundamentales constituyó la introducción al curso del Sr. Bentabol. Cierta involucración de teorías que se observan en algunos tratados en los cuales no se hallan separada la parte doctrinal del cálculo de sus explicaciones geométricas son muy tenidas en cuenta por el Sr. Bentabol, creyendo lógico el reunir éstas en cuerpo de doctrina en la última parte de su curso, que forma la Geometría infinitesimal. Además observa que la teoría de las series, verdaderos límites de sumas en número infinitamente creciente de sumandos, que constituyen una especie de cálculo integral más elemental que el así llamado, y al cual pueden servir de preparación, no pueden estudiarse debidamente sin el conocimiento del cálculo diferencial, siendo expuestas á continuación de éste, evitando así el interrumpir este estudio, como se hace en algunos tratados, para reanudarlo, con pérdida de tiempo y unidad en el plan. También insiste el Sr. Bentabol en la inexactitud ó poca conveniencia de algunas denominaciones unánimemente empleadas como la palabra diferencial, que conceptúa como una imperfecta traducción de la palabra différentielle y las denominaciones de envolventes y envuelta, que se presentan en muchos casos en contradicción con los hechos, por hallarse envuelta la envolvente, y á las cuales sustituye las de curvas tangentes y tangenciales, así como emplea además las denominaciones de cantidades infinitamente crecientes, etc. Y ciertamente que convendría algunas veces alterar denominaciones defectuosas comunmente empleadas; pero en nuestra humilde opinión, si esto pudiera convenir en un prudentísimo límite, la aspiración á reformar el lenguaje matemático, por más que tendiera á su perfeccionamiento, conduciría
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á la larga á discrepancias que es de todo punto preciso evitar, siendo preferible salvar este inconveniente en la definición más bien que en la palabra, signo de la noción ó concepto, pues sabido es que en las definiciones matemáticas el signo es lo accesorio, siendo lo esencial el significado que constituye el objeto definido.

Este es el resumen del Programa publicado en la Crónica Científica, donde con más detalles se expresó el concepto y extensión de la asignatura explicada por el distinguido profesor de la Escuela preparatoria de ingenieros y arquitectos, que procura con éxito ajustar su plan de enseñanza á los últimos adelantos de la ciencia.

COMPLEMENTO ELEMENTAL Á LA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA DE LA SEGUNDA ENSEÑANZA por D. Manuel Salavera.

Es un motivo de satisfacción para los que se interesan por los adelantos de las ciencias en España, el hecho de aparecer obras que se salen del molde permanente según el cual por desgracia muchas se han ido sucediendo, sin ofrecer siquiera novedad en la forma, y la nueva obra del distinguido profesor del Instituto de Tarragona se encuentra entre las que pueden citarse como ejemplo de que vamos encaminándonos hacia un período de iniciativa individual, muy distinto del de la prolongada tutela en que vivimos sometidos á los restringidos límites de los programas oficiales, que no siempre pueden prever todas las contingencias ni eventualidades del progreso científico.

El Sr. Salavera ha creído necesario, sin salirse de los conceptos elementales, el presentar en su nueva obra otros que ya van incluyéndose en los libros destinados á los estudiantes (1), de manera que les sirvan de base para los estudios de Facultad y para el ingreso en carreras especiales, con señalada ventaja de su cultura científica, si bien es cierto que para esperar tales frutos en la segunda enseñanza se impone, como indica dicho señor profesor un examen de ingreso más riguroso y completo que el que por desgracia hoy se exige, y

(1) Desde hace años entran en plan de exposición de mis tratados elementales la teoría de las congruencias en Aritmética, como base de la teoría divisibilidad; en Álgebra no sólo las teorías de determinantes, teoría general de las operaciones, etc., ya universalmente expuestas, sino la de las sustituciones, la teoría geométrica de las imaginarias, de las ecuaciones de congruencia, etc., en Geometría la de la homotetía, la de correlación, etc., muy útiles para que los alumnos se formen conceptos generales.—Z. G. de G.
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reduce nuestros centros de segunda enseñanza á escuelas de instrucción primaria un poco ampliadas.

Las materias tratadas en la obra del Sr. Salavera son las siguientes:

Algoritmia y Algoritmos. Módulo, indicando algunas de las varias acepciones que tiene esta palabra. Congruencias, exponiendo los principios fundamentales de esta teoría, seguidos de algunas aplicaciones, principalmente á la determinación de los caracteres de divisibilidad y á la comprobación de algunas operaciones numéricas. Proporciones armónicas. En las progresiones, algunos problemas como, por ejemplo, la fórmula general de la suma de potencias de los términos de un mismo grado de una progresión por diferencia é indicaciones sobre las factoriales. Constantes, variables, función, series, finito, indefinido, límites, teoremas y aplicaciones. Magnitudes commensurables é incommensurables. Errores, fracciones continuas. Imaginarismo y su representación geométrica. Combinatoria, probabilidades, sucesión, inversión y sustitución. Matrices y determinantes, tratando hasta los de cuarto orden y de la aplicación á resolver sistemas de ecuaciones. Ecuaciones de segundo grado. Máximos y mínimos. Ecuaciones trinomias y biquadradas, transformación de las expresiones de la forma \( \sqrt{A} + \sqrt{B} \). Ecuaciones recíprocas de cuarto grado. Ecuaciones binomias. Ecuaciones exponenciales. Anualidad, imposición y amortización. Rentas perpétuas, vitalicias y seguros. Involución.

ARITMETICA PARA USO DOS LYCEUS E ESCOLAS NORMALES por B. V. Moreira de Sá professor da escola normal do Porto. La obra del señor Moreira de Sá contiene las teorías que se exigen en los cursos de los Liceos de Portugal, observándose en toda ella un rigor lógico que da cierta unidad en la forma de la exposición, nunca interrumpida; y á ello contribuyó ciertamente la forma esquemática empleada en las demostraciones, donde se nota un predominio de los conceptos combinatorios.

Antes de entrar en la exposición de la Aritmética, presenta unas nociones preliminares que le permiten elevarse gradualmente desde el número abstracto y entero hasta los números fraccionarios é irracionales, terminando con una indicación de los conceptos lógicos que deben conocerse para hacer el estudio de la Aritmética con rigor y aprovechamiento.
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 3

De ces égalités, on conclut

\[
AF \sin A = \frac{aR}{m} \sin B \sin C,
\]

ou

(2)

\[
AF = \frac{2R^2}{m} \sin B \sin C.
\]

Menons FI parallèle à AM : FI est l’axe de \( P_a \); la projection de FH sur FI donne le sommet S de la parabole. On a donc

\[
FS = \frac{p}{2}.
\]

Il est facile d’obtenir, d’après cela, la valeur de \( p \).
Le triangle AFI donne

\[
FI = AF \frac{\sin \alpha}{\sin \beta},
\]

ou, en tenant compte des égalités (1), (2),

\[
FI = \frac{2R^2}{m} \sin^2 C = \frac{c^2}{2m}.
\]

Mais

\[
FS = FH \sin \beta = FI \sin^2 \beta;
\]

donc

\[
\frac{p}{2} = \frac{c^2 \sin \beta}{2m} = \frac{c^2}{2m} \cdot \frac{a^2 \sin^2 B}{4m^2} = \frac{S^2}{2m^3};
\]

d’où, finalement,

\[
p = \frac{S^2}{m^3}.
\]

2.—Un triangle ABC étant considéré, il existe une parabole \( P_a \) passant par les points B, C tangentiellellement aux droites AB, AC. Soient \( P_b, P_c \) les deux paraboles analogues (fig. 2.*) (1).

(1) À propos de ces paraboles outre les sources citées plus haut le lecteur pourra consulter:
Mathesis, 1884 (questions 241, 250); résolues 1886, p. 168 (avec une rectification, portant sur la seconde partie de la question 250).
Mémoires de l’Académie de Montpellier, 1886.
Nouvelles Annales, 1886, p. 311, § 4.
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 30

En la exposición del texto comienza al tratar cada materia por la definición, siguiendo sus consecuencias inmediatas, después los teoremas relativos á la cuestión considerada, y en fin, las reglas y principios prácticos; y la forma esquemática de las demostraciones permite el tratar sin confusión, y antes bien con gran sencillez la gran variedad de casos que en cada cuestión ocurren como consecuencias rigurosas de cada definición. Así, por ejemplo en la suma y resta, como en la multiplicación y división enuncia la totalidad de proposiciones concernientes á los resultados de combinaciones cualesquiera de la operación directa con su inversa, y para ultimar estos desarrollos termina con la exposición de las leyes de asociación, de conmutación y de distribución. Además trátase de las operaciones con polinomios, hallándose representado cada término de éstos por una sola letra.

El libro 1.º termina con las propiedades de los números enteros expuestas con el rigor en el orden y la brevedad en la forma que permite el predominio de la forma esquemática de las demostraciones. Esta facilita el demostrar en la teoría de las fracciones las propiedades que otros autores dan á conocer en la teoría de la proporcionabilidad, y el plan general permite tratar siempre las potencias y raíces inmediatamente después de las demás operaciones.

No dejarémos de citar, por último la manera notable de establecer en el libro 3.º que trata de los números irracionales, las nociones de número incommensurable y de límite, presentadas con rigor y claridad.

En fin á la teoría de las progresiones sigue la de los logaritmos, ya derivados del concepto de función exponencial, ya de la simultánea consideración de dos progresiones.

Z. G. de Galdeano.

Enunciados de las cuestiones de la «Nueva Correspondencia Matemática»

7. Una elipse cuyos ejes se conocen, gira en su plano alrededor de su centro. En cada una de sus posiciones se le trazan tangentes en los puntos, en que se halla cortada por dos rectas rectangulares

(1) Esta figura corresponde á la solución del problema núm. 398 dada en el núm. 8.º, página 208.
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fijas, trazadas por dicho centro. Hallar el lugar de los puntos de intersección de las tangentes. Se consideran además las cuerdas de contacto así determinadas, en la elipse, y se trata de hallar el lugar de sus intersecciones sucesivas.

(Lille. Concours académique. 1875).

8. Siendo A, B dos puntos de una elipse, P el punto de encuentro de las normales á la curva en estos dos puntos; C, D los pies de las otras dos normales que se pueden trazar por el punto P:

1.º Hallar el lugar que describe el centro de la hipérbola equilátera que pasa por los cuatro puntos A, B, C, D cuando la secante AB se mueve paralelamente á sí misma.

2.º Demostrar que el punto D', diametralmente opuesto al punto D, se halla con A, B, C, en una misma circunferencia; y hallar el lugar de los centros de esta circunferencia, cuando la recta AB se mueve como en el primer caso.

(Lille. Concours académique. 1876).

9. Se dá una circunferencia, referida á dos ejes rectangulares OX, OY y un punto A sobre OX. Desde el punto A se trazan secantes ABC, después se construyen en los puntos de intersección B, C, y se proyecta sobre estas tangentes el punto de intersección D, de ABC con OY. Hallar el lugar de los puntos M así obtenidos.

Indicar todas las formas de la curva.

(H. Brocard).

10. Dado un producto de n factores lineales con dos variables de la forma

\[(x+y)\ (x+y-1)\ (x+y-2)\ \ldots\ (x+y-n+1),\]

se trata de descomponerlo en una suma de productos cuyas variables queden separadas.

(H. Brocard).

11. Integrar la ecuación

\[xy\ dy^2 - 2(ax^2 + by^2)\ dx\ dy + xy\ dx^2 = 0\]

(E. Catalan).

12. Sean AB la tangente en A á una circunferencia O; DE la polar del punto A con relación á otra circunferencia O'. Hallar el lugar geométrico de la intersección M de las rectas AB, DE cuando el punto A describe la circunferencia O.

(Zahradnik).
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 32

Cuestiones propuestas por M. Lemoine:

13. Bajo qué condición pueden las longitudes \(2p\), R, r representan respectivamente el perímetro, el radio del círculo circunscrito y el radio del círculo inscrito de un triángulo.

14. En un triángulo rectángulo el semi-perímetro es igual á la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito (esto es evidente). Demostrar que recíprocamente: si en un triángulo el semi-perímetro es igual á la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito, el triángulo es rectángulo.

15. Sea un triángulo ABC del que se da la base BC. Hallar el lugar de A, sabiendo que los lados se hallan en progresión aritmética; caso en que la base no es ni el lado mayor ni el menor.

16. Hallar la condición para que el círculo conjugado sea tangente al círculo de Brocard, y demostrar que hay triángulos reales que la satisfacen.

17. Si se designan por \( \delta, \delta_n \) ... las cantidades \(4R + r, 4R - r_n, ...\), siendo \(r_n\) el radio del círculo ex-inscrito tangente al lado BC, demostrar que si se tiene: \( \delta^2 = p^2 (16R - r) \), el punto de Gergonne del círculo inscrito se halla en el círculo conjugado, y que si se tiene \( \delta_n^2 = (p - a)^2 (16R - r_n) \), el punto de Gergonne del círculo ex-inscrito que tiene por radio \(r_n\) se halla en el círculo conjugado, hacer ver que existen triángulos reales que satisfacen estas condiciones.

El centro del círculo circunscrito no se halla nunca en el círculo conjugado.

18. El ortocentro, el baricentro, el centro del círculo inscrito no se hallan nunca en el círculo de Brocard (prescindiéndose del caso del triángulo equilátero). Los centros de los círculos ex-inscritos tampoco se hallan en él.

19. Si el círculo de Brocard toca á la bisectriz del ángulo A, se tiene: \(2a = b = c\).

Si toca á la bisectriz exterior del ángulo A, se tiene

\[
4a^4 bc + 8a^2 b^2 c^2 = (b^3 - c^3)^2.
\]

20. Si se tiene

\[
p^2 (4R^2 + 20Rr - 2r^2 - p^2) = rd^4,
\]

el triángulo es isósceles.
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 4

Les équations des paraboles \( P_b, P_c \) (coordonnées barycentriques) sont:

\[
\beta^2 - 4x\gamma = 0, \qquad \gamma^2 - 4x\beta = 0.
\]

Abstraction faite du point A, elles admettent un autre point réel \( A' \); nous allons montrer que les tangentes, en \( A' \), aux courbes \( P_b, P_c \) sont, respectivement parallèles aux medianes \( CM', BM' \). De cette remarque, nous déduirons les aires des triangles curvilignes formés par les paraboles considérées.

Les coordonnées \( x_0, \beta_0, \gamma_0 \) du point \( A' \), vérifient les égalités

\[
4x_0 = \beta_0 = \gamma_0.
\]

La tangente à \( P_b \), en \( A' \), a pour équation

\[
\beta\beta_0 - 2x\gamma_0 - 2\gamma x_0 = 0,
\]
ou
\[
2x - \beta + \frac{\gamma}{2} = 0.
\]

Fig. 2

On voit, sans peine (1), que la droite correspondante est parallèle à \( CM' \), droite qui est représentée par l'équation

\[
x - \beta = 0.
\]

Cette remarque conduit au théorème suivant:

Théorème.—Les paraboles de M. Artzt se coupant deux à deux aux points A', B', C', les aires des triangles curvilignes qu'elles déterminent sont données par les formules:

\[
AC'B' = CA'B' = BA'C' = \frac{17}{81} ABC,
\]
\[
AC'B = BA'C = CB'A = \frac{5}{81} ABC.
\]

(1) En coordonnées barycentriques, les équations
\[
mx + n\beta + p\gamma = 0, \qquad m'x + n'\beta + p'\gamma = 0,
\]
représentent deux droites parallèles, si l'on a
\[
\frac{m - n}{m' - n'} = \frac{n - p}{n' - p'}.
\]
(Voyez, par exemple, le Supplément à notre Cours de mathématiques spéciales, 2e édition, p. 168).
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 5

On sait que l’aire d’un segment parabolique est les \( \frac{4}{3} \) de celle du triangle qui a pour base la corde du segment et pour sommet le point de l’arc le plus éloigné de cette corde.

Or, sur l’arc AC'B', le point C', comme nous venons de le voir, est tel que la tangente en ce point est parallèle à AA'. On a donc

\[
\text{aire du segment } AC'A' = \frac{4}{3} AC'A'.
\]

On sait d’ailleurs, ou l’on vérifie sans peine, que

\[
CC' = 8 M'C'.
\]

D’après cela:

\[
AC'G = \frac{1}{9} ABC, \qquad A'C'G = \frac{1}{27} ABC;
\]

et, par suite,

\[
A'C'A' = \frac{4}{27} ABC.
\]

On voit aussi que

\[
\text{aire du segment } AC'A' = \frac{16}{81} ABC.
\]

De même, aire du segment \( AB'A' = \frac{16}{81} ABC \)

Ces égalités donnent

(1) \[ \text{aire } AC'A'B' = \frac{32}{81} ABC. \]

Mais on sait (1) que

(2) \[ \text{aire } A'C'B' = \frac{5}{27} ABC. \]

(1) Voyez Mathesis (loc. cit.) La proposition en question se démontre très simplement en observant que la parabole de M. Artzt, correspondant au côté BG, passe par le point \( \mu \), milieu de AM et que la tangente en ce point est parallèle à BC et, par suite, à B'C'.
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 6

Les égalités (1) et (2) donnent

\[
aire\ AC'B' = \frac{17}{81}\ ABC.
\]

Enfin, les trois triangles formés par les côtés de ABC et par les arcs de parabole étant équivalents (1), on a

3 fois aire AC'B + 3 fois aire AC'B' + aire A'B'C' = ABC;

ou, finalement,

\[
aire\ AC'B = \frac{5}{81}\ ABC.
\]

Fig. 1.*

3.—Les paraboles de M. Artzt mettent en lumière une certaine ellipse U, du plan du triangle; cette ellipse passe par les points réels communs à ces trois paraboles; en outre, son centre coïncide avec le centre de gravité G du triangle. Les dimensions de cette ellipse peuvent être déterminées comme nous allons l’indiquer.

Si, par C', on mène une parallèle à la médiane BB', cette droite coupe AA' en un point A*, symétrique de A' par rapport à G (2). L’ellipse que nous considérons est donc, d’après cette remarque, circonscrite à un hexagone H (A'B'C' A*B*C*), dont les côtés sont parallèles aux diagonales (fig. 3.a).

En considérant ABC comme la projection orthogonale d’un triangle équilatéral, on voit que U est la projection d’une circonférence U’ circonscrite à un hexagone régulier H’, correspondant à H.

(1) Pour le montrer, il suffit de considérer le triangle proposé comme la projection orthogonale d’un triangle équilatéral convenablement choisi.

(2) On vérifie facilement cette propriété en observant que (C' étant le centre de gravité de AGB) BC' passé par le milieu de AG.