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ta por los puntos z y r' que tiene el punto A por foco y por directriz la asíntota s_1A's_1' de la cúbica, se tiene el segmento l'B' determinado siempre por estas normales sobre el AX igual á \( \gamma_0^2 \) ó \( \frac{1}{2} \beta_0^2 \); y, por consiguiente la perpendicular B'G en el punto B' á este eje cortará á la normal z'1' en un punto (i tal, que se tenga B'G = \( \gamma_0^1 \)).

Siendo r y r' los pies de las ordenadas de los puntos \( \gamma^0 \) y \( \gamma^0' \) de la parábola (\( \omega \)), los segmentos rB' y r'1' serán iguales á a; puesto que los triángulos rectángulos \( \gamma^0B'B_1 \) y \( A\gamma^0'\Gamma \) son directamente iguales á los triángulos CAB y \( \beta BA \).

Las rectas \( \beta B \) y B'B'_1 cortan á ss' en un mismo punto B_0 porque se tiene \( :B_0 = a\beta^2 = aB' \).

El lado Dg del triángulo TDg pasa por el punto de intersección G_0 de la normal z'1' á la parábola (\( \pi \)).

En efecto, siendo semejantes los triángulos AMD y A\( \gamma^0'1' \) dan

\[
\frac{AM}{A\gamma^0'} = \frac{AD}{A1'}
\] (31)

y por la semejanza de los triángulos Amv_0 y A\( \gamma^0'g_0 \), se tiene

\[
\frac{AM}{A\gamma^0'} = \frac{r_uM}{g_{u^*}} \cdot \frac{g_{u^*}g}{g_{u^*}g^*}
\] (32)

de donde

\[
\frac{AD}{A1'} = \frac{g_{u^*}g}{g_{u^*}g^*}
\] (33)

luego, etc.

De una manera análoga se reconocerá que el lado D'g' del triángulo T'g'1' pasa por este mismo punto G_0.

Es fácil ver que las bisectrices del ángulo MCB y de su suplemento BCM' cortan á la recta aB en los mismos puntos \( z_r, z_s^- \) en que ésta se halla cortada por las ordenadas PM y P'M' de los extremos de la cuerda giratoria MAM'. Estas mismas bisectrices determinan en el eje OX los segmentos O_i, O_i' iguales á los segmentos PD, P'T' formados sobre este mismo eje por las perpendiculares MD, M'T' en los extremos de la cuerda giratoria MAM' y por las ordenadas MP, M'P' de estas mismas extremidades.

Por otra parte el triángulo rectángulo AMD da

\[
PD = \frac{PM^2}{PA} = \frac{y^2}{c}
\] (34)
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de donde

\[
PD = \frac{a^2}{x + 2a}
\] (35)

Así el punto \( \sigma_a \) será el vértice de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es A'D.

Lo mismo sucederá al punto \( \sigma'_a \) con relación al segmento A'D'.

La ecuación (21) da

\[
(S_t - x) a = x (x + a)
\] (36)

y, por consiguiente, para la tangente TM á la cúbica (F') se tiene la ecuación

\[
TA_a = x (x + a)
\] (37)

por medio de la que se puede determinar esta tangente, dado el punto de contacto ó su punto de intersección T con el eje OX.

En el primer caso, se conoce la abscisa AP = x del punto M; y entonces se hará centro en el punto medio \( \psi \) del segmento OA = a, y con el radio \( \psi P \) se describirá un arco de círculo que cortará á As en un punto j tal, que la circunferencia que tenga el centro en OX y pase por dicho punto y por el punto fijo A_1, cortará á este eje en el punto T por el que debe pasar la tangente pedida, así como su simétrico en la rama FMAF".

En el segundo caso, ó cuando se dá el punto T del eje OX desde el que se deben trazar las tangentes á la cúbica (F'), se describirá sobre el segmento TA_1 como diámetro un círculo, y por su intersección j con la recta As se hará pasar una circunferencia con el centro en \( \psi \), que cortará al eje OX en dos puntos P', P, que determinarán las abscisas PA, AP; de los puntos de contacto de los dos pares de tangentes simétricas con relación á este eje.

En este caso, como se tiene

\[
\psi P = \psi P_i < \psi A'
\]

y por consiguiente

\[
AP_i < AA'
\]

solo en la abscisa AP tendremos ordenadas reales, ó no se tendrá más que un par de tangentes reales simétricas con relación al eje OX.

Suponiendo que la curva no está trazada, podemos determinar los puntos de contacto ó las ordenadas respectivas, levantando en P la perpendicular \( \perp \sigma_a \) al eje OX, trazando la recta \( A'\sigma_a \) y en el extre-
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mo \( \sigma_a \) de ésta trazándole la perpendicular \( \sigma_a D \); después describiendo sobre AD como diámetro una circunferencia cuyos puntos de intersección M, \( M_s \) con \( P_{\sigma_a} \) darán las ordenadas PM, \( PM_s \), ó el par de tangentes simétricas TM, \( TM_s \).

Como se sabe, se tiene

\[
\overline{A g'}_0 = 1'g' = AP \cdot AP' \tag{38}
\]
ó
\[
(AM + MP)^2 = AP \cdot AP' \tag{39}
\]

y por consiguiente se puede obtener también el punto \( \varphi^{0'} \) de la parábola (\( \omega \)) en vez del punto D del eje OX para determinar así las tangentes pedidas.

Para esto, describiremos una circunferencia desde O como centro y con el radio OP, y por sus puntos de intersección \( g_0, g'_0 \) con A, \( A'_s \), tracemos la recta \( g'_0 g_0 \gamma^{0'} \) en la que tomaremos el segmento \( g_0 \gamma^{0'} = TP \). La recta \( A \gamma^{0'} \) cortará, pues, á \( P_{\sigma_a} \) en el punto de contacto M de una de las tangentes buscadas TM, y por consiguiente, la otra tangente simétrica \( TM_s \) estará determinada inmediatamente.

Según se vé se puede igualmente tomar el segmento \( \gamma^{0'} = TA \) para obtener la cuerda MAM'.

Si el punto T' fuese aquél desde el cual se deberían trazar las tangentes, la circunferencia descripta sobre el segmento T'A, como diámetro, cortaría á A, en un punto \( j' \), tal que se tendría

\[
\psi j' = \psi P_r = \psi P' > \psi A
\]
ó
\[
AP' > AA'.
\]

Y se obtendrían entonces dos pares de tangentes reales correspondiendo á las dos abscisas AP, AP', con relación á las que se aplicarían los procedimientos indicados anteriormente para la abscisa AP.

Observación. Ahora vamos á estudiar los lugares de ciertos puntos notables de la figura, pero de una manera muy sucinta para no hacer esta Nota más larga y fatigosa, bien que por este motivo hemos ya dejado de presentar otras propiedades que pueden fácilmente reconocerse sobre la figura, y, por consiguiente, otros procedimientos para la construcción de las tangentes y normales á la cúbica (F), aún bajo el punto de vista cinemático.

Por otra parte, no podemos tener la pretensión de hacer un estudio completo de esta curva cuyas propiedades son muy numerosas.

LUGARES GEOMÉTRICOS DE ALGUNOS PUNTOS NOTABLES DE LA FIGURA
Consideremos desde luego el lugar de la intersección \( \Theta \) de las
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tangentes MΘ y M'Θ en los extremos de la cuerda giratoria MAM' de la cúbica (F).

Para obtener la ecuación cartesiana de este lugar, tomemos los mismos ejes OX, OY que hemos adoptado para obtener la ecuación de esta cúbica.

Esto sentado, se tiene

\[
AK = AA' + A'K
\]

pero

\[
A'K = PT \cdot O\beta;
\]

luego la abscisa del punto Θ será

\[
AK = AA' + O\beta \tag{40}
\]

Ahora, los triángulos ABC y BβA dan

\[
OB = \frac{\overline{OA}^2}{\overline{OC}} \tag{41} \quad \text{y} \quad O\beta = \frac{\overline{OB}^2}{\overline{OA}} \tag{42}
\]

de donde

\[
O\beta = \frac{\overline{OA}^3}{\overline{OC}^2} \tag{43}
\]

Reemplazando este valor en (40) y haciendo

\[
AK = -x_1, \quad K\Theta = -y_1 \tag{44}
\]

resulta

\[
y_1^2 = -\frac{a^3}{x_1 + 2a} \tag{45}
\]

Tal es la ecuación del lugar buscado (Θ) y que el Sr. Sollertinsky ha presentado también en su solución (*).

Esta cúbica, como se ve, tiene por asíntota el eje AX' de la cúbica (F) y la asíntota s₁A's₁ de esta misma curva.

Esta cúbica cuspidal (Θ) puede considerarse como deducida de la cúbica (F) imaginando que sus asíntotas paralelas se han reunido, y que la rama que contienen se haya suprimido ó reducido á un segmento rectilíneo doble.

Propongámonos en segundo lugar obtener la ecuación del lugar del punto de encuentro Γ₀ de las normales en las extremidades de esta misma cuerda MAM'.

Adoptando los mismos ejes, se tiene para abscisa del punto Γ₀.

\[
Ar = \gamma(0) \quad \text{y para ordenada} \quad r\gamma_0 = r\gamma + \gamma^0r_0 = OC + \beta\theta.
\]

(*) Véase El Progreso Matemático, t III, pág. 88.
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Ahora, los triángulos rectángulos semejantes \( \gamma\beta O \) y \( \gamma OC \) dan

\[
\beta O = \frac{OC}{\gamma O}, \quad \gamma^2 = \frac{OC}{\gamma O} (\gamma O - \beta O) \tag{46}
\]

\[
\beta^2 = OC' - \frac{OC'}{\gamma O} \cdot \beta O \tag{47}
\]

de donde

\[
r\Gamma_0 = OC \left( 2 - \frac{BO}{\gamma O} \right) \tag{48}
\]

pero en el triángulo \( AC\gamma \) se tiene

\[
\overline{OC}^2 = \gamma O \cdot OA \tag{49}
\]

y en virtud de (43), se tiene también

\[
\beta O = \frac{\overline{OA}^2}{\gamma O} \tag{50}
\]

y reemplazando estos valores en (48), resulta

\[
r\Gamma_0 = \pm \sqrt{OA \cdot \gamma O} \left( 2 - \frac{\overline{OA}^2}{\gamma O^2} \right) \tag{51}
\]

En fin, haciendo

\[
r\Gamma_0 = -y_1 \quad \text{y} \quad Or = \gamma O - x_1
\]

la curva (\(\Theta\)) tendrá pues, por ecuación

\[
y_1 = \mp \sqrt{a \cdot x_1} \left( 2 - \frac{a^2}{x_1^2} \right) \tag{52}
\]

y se hallará compuesta de dos ramas que se cruzan sobre el eje de las \( x \) en el punto \( x_1 = \frac{a}{2} \sqrt{2} \) y teniendo el eje de las \( y \) por asíntota.

Considerando el conjunto de las dos ramas, la ecuación de la curva crunodal (\( \Gamma_0 \)) será

\[
y_1^2 = 4ax_1 - 4 \frac{a^3}{x_1} + \frac{a^4}{x_1^3} \tag{52}
\]

\[
y_1^2 x_1^3 - 4ax_1^2 + 4a^2 x_1^2 + a^3 = 0 \tag{53}
\]

Consideremos todavía el lugar del punto de intersección V del ra-
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dio vector AM de la cúbica (F) con la recta \( r\Gamma_0 \). El triángulo rectángulo VA\( \gamma^6 \) da

\[
\overrightarrow{Ar}^2 = r\gamma^6 . rV
\] (54)

y en el triángulo Ay\( B' \) se tiene también

\[
r\gamma^6 = rB'. Ar
\] (55)

de donde

\[
\overrightarrow{ar}^8 = rB'. \overrightarrow{rV}^3
\] (56)

y, puesto que Ar y rV son las coordenadas del punto V que designaremos por \( x_s \) é \( y_s \), resulta

\[
ay_s^2 = x_s^3
\] (57)

ecuación de la curva pedida (V) que es una cuspidal ó parábola semi-cúbica que tiene el punto de retroceso de primer género en el origen, cuya tangente común es el eje de la cúbica (F).

Por otra parte, como se sabe, esta curva (V) corresponde á la evoluta de una parábola ordinaria cuyo parámetro es igual á \( \frac{8}{27} a \).

En fin, haciendo \( S_n = \rho' \) en las ecuaciones (11) de nuestra solución, la ecuación polar de los lugares de los puntos \( \beta \), \( \beta' \) será

\[
\rho' = \pm a \left( \frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta} \right) - a \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}
\] (58)

Observación Acerca de las curvas, nos parece inútil entrar en una discusión más profunda ó detallada. Se obtendrían también muy fácilmente los lugares de los puntos \( \Delta \) y \( \Delta' \), así como la envolvente de las directrices \( \Delta m \) y \( \Delta'm' \) de la hipérbola focogena (H) de la cúbica (F), etcétera.

RAYO DE CURVATURA DE LA CÚBICA (F)

Designando por N la magnitud de la normal de esta cúbica y por \( s_n \) la sub-normal correspondiente, se obtiene de la ecuación (3) de esta misma curva

\[
S_n = y \frac{dy}{dx} = \frac{a^3}{(x+2a)^2}
\] (59)

\[
N = y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \frac{a}{(x+2a)^2} \sqrt{x(x+2a)^3 + a^4}
\] (60)
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El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

REPARACIÓN JUSTÍSIMA

Las sucesivas disposiciones y decretos publicados en la Gaceta durante el mes de Septiembre, reponiendo á todos los profesores excedentes de Universidades é Institutos, y organizando algunos estudios, ha puesto fin al estado anormal en que dejó á la enseñanza, así como al profesorado, el decreto de 26 de Junio del año anterior, cuyos resultados contraproducentes ó nulos pronto se dejaron sentir.

Merece mencionarse con preferencia, entre las reformas acordadas por el actual ministro, el Exemo. Sr. D. Segismundo Moret, la consistente en haber creado la sección de ciencias físico-matemáticas en la Universidad de Zaragoza, al mismo tiempo que restablecía la de ciencias físico-químicas suprimida, por ser un acontecimiento favorable para los adelantos científicos cuya promoción nos es tan necesaria.

Plácemos entusiastas y profunda gratitud merece el señor Moret por los actuales beneficios, no sólo de los profesores restablecidos en sus cátedras, sino del país, que podrá disfrutar de estas nuevas facilidades que se le dan para proseguir en la senda de nuestro enaltecimiento moral é intelectual.

El Progreso Matemático, grandemente interesado en estos adelantos de las enseñanzas, se felicita de las iniciativas y excelentes deseos del señor ministro de Fomento y de cuantos á la obra de restaurar en nuestra Universidad la facultad de ciencias han contribuído, y á todos eleva la expresión de su gratitud, al par que les envía sus plácemes sinceros.
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sus prolongaciones, encuentran, respectivamente, en P y P', Q y Q', R y R' á esta curva, se verificará dicha relación.

Esta relación que se verifica en el caso del círculo, en virtud de la propiedad de las secantes trazadas al mismo desde un punto, tiene también lugar para una sección cónica cuya proyección puede considerarse ser un círculo.

Cuando los lados AB y AC son paralelos, el vértice pasa al infinito y la relación anterior se simplifica resultando que:

\[
\frac{BQ \cdot BQ' \cdot CR \cdot CR'}{BQ \cdot BQ'} = \frac{BP \cdot BP' \cdot CQ \cdot CQ'}{CQ \cdot CQ'}
\]

es decir, que: el producto de las ordenadas BP y BP' está en una relación constante con el de las abscisas correspondientes BQ y BQ', para todas las paralelas á AB.

Aplicando la fórmula obtenida á la fig. 46. se reduce á

\[
\frac{\overline{OM}^2}{OA \cdot OB} = \frac{\overline{PQ}^2}{QA \cdot QB} \quad \text{ ó } \quad \overline{OM}^2 = p \cdot OA \cdot OB,
\]

siendo \( p \) una cantidad constante que sólo varía con la dirección del diámetro AB.

48. CÓNICAS SUPLEMENTARIAS.—Ya se expuso en la Introducción (t. II, pág. 85), como se inició una nueva evolución de la Geometría en la época de Pascal y Desargues con el empleo de la perspectiva para la generación de las cónicas y métodos de transformación de las figuras en que se distinguieron La Hire y Le Poivre y también Newton, evolución que vemos presentarse de una manera brillante y vigorosa cuando Monge dió á conocer la Geometría descriptiva por la cual sintetizó en un reducido número de principios abstractos y generales multitud de relaciones, por los que se enlazaban de una manera sistemática las figuras de tres dimensiones con las figuras planas, transformándose unas en otras con auxilio de la proyección, y también se hizo especial mención del nuevo método de demostración, por el que rompe completamente con las prácticas de los geómetras griegos, introduciendo el concepto del imaginari smo en la Geometría, mediante el cual da unidad á los razonamientos así como á multitud de relaciones que de otro modo sería preciso considerar como aisladas ó distintas, cuando sólo difieren por alguna modificación ó restricción in-
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cidental, que no las impiden hallarse sometidas á una ley general común. Y por esta nueva vía se encaminaron Carnot con su Geometría de posición y teoría de la correlación de las figuras y Poncelet con el principio de continuidad á cuya admisión en la Geometría enca- minó sus esfuerzos, siendo uno de los resultados obtenidos con este propósito el que constituye su teoría de las cónicas suplementarias y de las secantes y cuerdas ideales, las cuales le conducen á establecer definitivamente la grandiosa generalización y unidad con que hoy se nos presenta la Geometría, pues distinguiendo entre lo imaginario que implica lo enteramente imposible ó inconstructible en la figura corre- lativa de otra dada, de lo ideal que designa un modo particular de existencia de un objeto, el cual, permaneciendo real en la transformación de la figura primitiva, cesa de depender de una manera absoluta y real de otros objetos que lo definen gráficamente, porque estos objetos han pasado á ser imaginarios, aplica este nuevo concepto á las figuras que pasan por todos sus estados ó modos de ser mediante una transfor- mación continua.

Así, estando los puntos O y O' ligados en la fig. 46 por la relación armónica

\[
\frac{O'A}{O'B} = \frac{OA}{OB}
\]

mediante la cual pueden construirse independiente de los de intersección M y N de la cónica y la secante mn, de manera que al estar determinada cualquiera de las entida- des mn, m'n', O, O' quedan determinadas las otras tres, pues dado, por ejemplo, el punto O' quedan determina- das las dos tangentes O'M, O'N que á su vez determinan la secante mn y el punto O de intersección con el diámetro AB, siendo O' el polo de MN.

Pero permaneciendo la misma la relación entre los puntos O, O' y las rectas mn, m'n', independiente de la existencia de los puntos M y N (que desaparecen cuando mn se transforma en m'n'), no hay nin- guna razón para prescindir de ellos; y así como en Geometría hay pa- labras tales como las de infinitamente pequeños, infinitamente grandes para expresar diversos modos de existencia, debe haberlos para ex- presar los de la no existencia, con objeto de conservar la analogía entre las ideas y el lenguaje al persistir en considerarla como secante, Poncelet adopta la denominación de secante ideal de dicha curva, dis-
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tinguiéndola de la que es absolutamente inconstructible, que se denomina á su vez recta imaginaria. Además O' será el centro ideal de la cuerda imaginaria que determina \( m'n' \), O el concurso ideal de las tangentes imaginarias que corresponden á los extremos de esta cuerda, ó cuerda de contacto relativa á O.

Si habiéndose determinado el diámetro AB (fig. 46) de la sección cónica conjugado á la dirección la secante ideal \( m'n' \) que divide, por consiguiente, en dos partes iguales todas las cuerdas que le son paralelas, se toman sobre \( m'n' \) dos puntos M' y N' que satisfagan á la relación.

\[
\overline{O'M'}^2 = p.\ O'A.\ O'B,
\]

idéntica con lo que define los puntos M y N, según los que la secante \( mn \) paralela á la primera encuentra realmente á la sección cónica, se obtendrá una longitud \( M'N' \) dividida en dos partes iguales por el punto O', y continuado así la construcción llega Poncelet á construir la cónica suplementaria de la primera que es una hipérbola si ésta es una elipse y viceversa, hallando también que cada cónica tiene infinidad de cónicas suplementarias correspondientes á la infinidad de sistemas de diámetros conjugados.

Con estos preliminares, Poncelet lleva la Geometría á un alto grado de generalización característico de la ciencia moderna, emancipada por completo de las trabas que la restringían en la época griega, que ya hemos visto está caracterizada por el empleo de las proporciones y por el espíritu de individualización.

Al aplicar Poncelet su nueva teoría á los sistemas de cónicas ó de círculos que tienen una cuerda real ó ideal común (*), distingue desde luego en la serie de círculos que tienen una secante ideal común, los dos de dimensiones infinitamente pequeñas que llama puntos ó círculos límites, de capital importancia en las cuestiones que trata, puntos reales cuando la cuerda común es ideal, é imaginarios cuando ésta es real; y puede con auxilio de los nuevos principios tener en cuenta los puntos reales ó ideales de las cónicas en el infinito al estudiar la sección cónica que contiene todos los puntos recíprocos de los de una recta dada en el plano de una serie de círculos que tienen una secante común. Así, dicha sección cónica, además de pasar por los dos puntos límites del sistema de círculos (C), (C'),... pasa por dos puntos en el infinito pertenecientes á la secante común \( mn \) y á una perpendicular á la recta dada ó directriz, pudiendo deducir que dos hipérbolas semejantes

(*) Traité des Propriétés projectives (t. I, págs. 35-50).
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y semejantemente colocadas tienen una secante común en el infinito, y si dos elipses son semejantes y están semejantemente situadas en un plano, existe una infinidad de sistemas de hipérbolas suplementarias á ellas, relativamente á direcciones dadas cualesquiera, cuyos diámetros de contacto son paralelos ó concurren en el infinito, de manera que, para cada uno de estos sistemas, las hipérbolas suplementarias son todas semejantes y están semejantemente colocadas, teniendo una cuerda ó secante real común en el infinito, que puede suponerse paralela á la dirección dada, y por consiguiente las elipses propuestas tienen una secante ideal común en el infinito ó en otros términos, dos puntos imaginarios comunes en el infinito. Por último, si además de ser semejantes las hipérbolas y estar semejantemente situadas, son concéntricas, serán tangentes en los dos puntos comunes del infinito, y por consiguiente las elipses tendrán una secante ideal de contacto en el infinito, ó un doble contacto imaginario en el infinito. Y como dos círculos situados arbitrariamente en un plano, son siempre homotéticos, tienen una secante ideal en el infinito, y en el caso de ser concéntricos, esta recta será la sola secante ideal de contacto común á dichos círculos; y como dos círculos cualesquiera situados en un plano tienen otra secante común real ó ideal, á distancia dada ó finita, salvo el caso de ser concéntricos en el que esta secante se confunda en el infinito con la primera, se pueden considerar como dos secciones cónicas que tienen cuatro puntos comunes, de los que dos son necesariamente imaginarios en el infinito, mientras que los otros dos á la vez reales ó imaginarios están en general situados á distancia dada y finita.

Estas conclusiones que hemos expuesto constituyen el resumen de los resultados á que se elevó Poncelet introduciendo las entidades imaginarias en la Geometría, para dar una nueva generalidad á los enunciados, á los conceptos y á las propiedades de las figuras, y que tanto en el Traité des propriétés projectives como en sus Applications d'Analyse et de Géométrie desenvuelve con gran detalle y suma de razonamientos.

(Se continuará).

Z. G. DE G.

CUESTIONES RESUELTA

CUESTIÓN 32 (Véase t. III, p. 241).

Un hilo de longitud d está fijo á un punto A de una circunferencia de radio a, y lleva en su otro extremo un peso M que lo tiende. El hilo
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pasa por un pequeño anillo B que se mueve á lo largo de la circunferencia OA. Hallar el lugar de los puntos M.

(H. Brocard.)

Solución por el Sr. Brocard.

Sean C el círculo dado de radio r, D el punto fijo de la circunferencia DγA la vertical del punto D, DA la longitud d del hilo; P'S'PS una vertical que encuentra á la circunferencia C en P' y S'

Transportemos la figura C á una distancia d sobre la vertical en O; después efectuemos en la circunferencia O la transformación siguiente:

Rebatir sobre la vertical de los puntos P, S de la circunferencia, los radiosvectores trazados desde estos puntos variables al punto fijo A.

Se tendrán así puntos E, G de cierta curva (M), que no es otra que el trifolium estudiado en una memoria publicada en J.S. (1891) y resumida en El Progreso Matemático (t. II, pág. 271.)

Digo que este trifolium (M) 'es también la curva destrita en las condiciones del enunciado 32.

Para demostrarlo, bas-

ta establecer la igualdad de los perímetros

\[
DA = DP' + P'E = DS' + S'G
\]

Ahora,

\[
DP' = AP.
\]

\[
P'E = P'P - PE = AD - PE = AD - PA;
\]