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interpretan las cantidades imaginarias, etc.; y en cuanto á la indiferencia que muestran muchos por determinadas especulaciones científicas, mucho podría haber añadido, para hacer visible lo ilógico y anticientífico de la pregunta eterna ¿para qué sirve eso?, verdadera rémora á todo progreso, dirigida ciertamente por quienes no han de contribuir al mismo.

Después de precisar los conceptos de homogeneidad y heterogeneidad, magnitud, unidad, pluralidad, cualidad y modalidad en las magnitudes, cantidad y número, igualdad y desigualdad, pasa á exponer en el capítulo primero los sistemas de magnitudes y números, que los divide en seis: el primero llamado natural, que comprende las magnitudes en que se comprende un solo carácter común, cuya determinación se efectúa, contando las veces que en cada una de ellas entra la unidad ó elemento generador, siendo sus signos los números naturales. El segundo sistema parte de considerar una unidad ficticia M susceptible de dividirse en sub-unidades que forman el de los números racionales absolutos; el tercero se funda en la consideración de magnitudes lineales que comprende las magnitudes incommensurables respecto de su unidad y los números irracionales; estos sistemas continuos le llevan á las ideas de función y de límite. En fin, los últimos sistemas son los de las cantidades reales, los de las cantidades complejas y los números complejos de tres unidades de la forma au₁ + bu₂ + cu₃, terminando en la consideración del cuaternio.

El capítulo segundo se halla destinado á las combinaciones ó operaciones fundamentales del cálculo aritmético destinado á tratar de las relaciones formales, donde con sencillez y orden expone la teoría de las operaciones seguidas según los principios de Grassmann y conforme al perfeccionamiento dado á la exposición por el profesor Stolz, saturado todo de importantes notas y consideraciones, donde recorre el señor Giménez Rueda la serie de formas actuales que comprenden las operaciones fundamentales de la Aritmética, para que al entrar de lleno en el estudio de las relaciones formales puedan ser presentadas parelelamente á ellas la serie de las formas actuales que comprenden.

En el capítulo tercero, destinado á las combinaciones formales de la teoría analítica de los números, abandona la notación del cálculo ordinario para adoptar los símbolos generales del cálculo combinatorio, exponiendo en su generalidad las leyes asociativa, conmutativa y distributiva, el principio de la permanencia de las leyes formales y los teoremas
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El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRATICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO I -- AÑO 1891

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, núm. 100, bajos
1891
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principales, aproximándose al plan del profesor últimamente citado, sin dejar de guiarse por su iniciativa propia. Así, pues, distinguiendo las varias categorías de cantidades por símbolos especiales O, ⊕, y designando con las palabras tesis y análisis las operaciones directa e inversa de cada categoría, extiende el caso de ser asociativa una combinación sintética para tres números cualesquiera, al caso de ser más de tres; demuestra que si una tesis asociativa es conmutativa para dos números, también lo es para más de dos, etc.

Como ejemplo de la claridad con que procede el Sr. Giménez Rueda en sus demostraciones, nos bastará indicar cómo llega á establecer que: para hacer una combinación sintética entre dos combinaciones analíticas, se combinan sintéticamente sus dos primeros términos entre sí, luego los segundos, y por último, se asocia analíticamente al primer resultado.

Supongamos (a↔b) O (a'↔b')=x.
Asociando (b O b') á sus dos miembros, resulta:
    x O (b O b')=(a↔b) O (a'↔b') O b O b'=
    =(a↔b) O b O (a'↔b') O b'=a O a':
luego x=(a O a') ↔ (b O b'),
de manera que
    (a↔b) O (a'↔b')=(a O a') ↔ (b O b')

Como aplicaciones enuncia las siguientes: La suma de dos diferencias indicadas se obtienen sumando los minuendos y de esta suma restando la de los sustraendos.

El producto de dos cocientes es igual al producto de sus dividendos partido por el de sus divisores.

Pero en el capítulo 3.º solo trató de sistemas restringidos por la condición de que los símbolos analíticos empleados sean posibles y de una sola significación. En el capítulo 4.º hace una ampliación del sistema de números, y da una nueva extensión de las leyes formales á las relaciones con números del nuevo sistema.

Presenta nuevas cantidades que satisfagan á la igualdad b O x=a (1) y con las cuales se pueda calcular conforme á las mismas reglas que con las magnitudes primitivas. Para ello admite que, cuando la referida igualdad no se verifica por ninguna de las cantidades de aquel

(1) En un caso particular sería: substrayendo mas resto igual á minuendo, ó divisor por cociente igual á dividendo.
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sistema, existe un nuevo objeto, siquiera sea la relación mental \( a \bowtie b \) que la verifica, lo cual es posible, puesto que
\( b \circ (a \bowtie b) = (a \bowtie b) \circ b = a; \)
y de esta entidad \((a \bowtie b)\), como objeto mental, que en un principio no posee más propiedad que su existencia racional parte, para atribuir á los nuevos objetos las relaciones analíticas antes consideradas, y para llegar á obtener como comprendidas en el concepto general de magnitud las nuevas entidades.

No nos detendremos en seguir la manera de establecer las relaciones entre las antiguas y las nuevas magnitudes hasta el punto de resultar como homogéneas y de no presentar ya ninguna imposibilidad en las combinaciones analíticas, ni trataremos de reproducir el modo de extender las leyes formales en el sistema amplificado. Todo esto puede quedar para el que desee conocer los principios fundamentales de la Aritmética universal en la obra del Sr. Giménez Rueda, que en pocas páginas facilita la adquisición de los conocimientos fundamentales de la Teoría de los números, y permite el dominar sin trabajo las dificultades de otras obras más extensas.

Y ¡cuántos más frutos que los que actualmente consigue la enseñanza no obtendría, si se adoptara ese proceso generalizador que busca lo esencial de cada conocimiento en la teoría y se aleja de esas manipulaciones estériles de reglas particulares y circunscritas á objetos especialísimos con que se abruma á las inteligencias y se las acostumbre al espíritu de detalle que tanto se aleja del espíritu de universalidad propio de la verdadera ciencia!

ZOEL G. DE GALDEANO.

VARIEDADES

Sophus Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter abschnitt, Leipzig—1890—1 v. 1.º, 554 páginas. Esta segunda parte de la obra que publica el profesor de la Universidad de Leipzig Herr Sophus Lie, de la cual la primera parte se publicó hace dos años, aún tendrá una tercera y última, según está anunciado.

Dicha obra tiene por objeto hacer un desarrollo especial del concepto de los grupos con que se ha enriquecido la Matemática moderna,
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á partir de los trabajos de Galois y del profesor de la Escuela politécnica de París M. Camille Jordan.

La teoría de las sustituciones, ampliamente desarrollada en la obra magistral de este matemático, es una síntesis de cuanto constituye esencialmente la teoría algébrica de las ecuaciones, que han contribuido á organizar, después de Lagrange, Cauchy, Abel, Galois, Hermite y el citado M. Camille Jordan, a quien se deben importantes descubrimientos en esta rama del Álgebra. Pero la teoría en cuestión se ha extendido en los últimos años considerablemente, saliendo de los dominios del análisis puro y aplicándose á las teorías geométricas, así es que la obra del profesor Herr Sophus Lie tiene un determinado carácter, y los conceptos en ella contenidos están relacionados con los trabajos del profesor Klein, que ha desenvuelto, entre otras, la teoría de las transformaciones en el espacio en su correspondencia con las propiedades proyectivas de las figuras, así como los matemáticos franceses Poincaré y Picard, que han tratado de los grupos discontinuos finitos e infinitos, á quienes se debe importantes resultados en la teoría de las funciones; pero el profesor Herr Sophus Lie se propone dar á conocer una teoría general de los grupos continuos finitos. La primera parte de su obra está dedicada á establecer las propiedades generales de los mismos. La segunda parte, publicada poco há, comprende la teoría general de las transformaciones de contacto de los grupos finitos y de los grupos de tales transformaciones.

Las cinco subdivisiones de que consta, tratan de: El concepto de las transformaciones de contacto, la teoría-invariante de las transformaciones de contacto, las transformaciones de contacto infinitesimales, los grupos de transformaciones de contacto e investigaciones especiales sobre estos grupos, y en todo ello se contienen nuevos métodos de integración y el desarrollo de las correspondencias geométricas en el plano y en el espacio ordinario ó de tres dimensiones con el concepto de los grupos.

* * *

Sulle corrispondenze (m₁ m₂ ... m₇ ) continue che si possono stabilire tra i punti dir gruppi (di Ricardo de Paolis á Pisa).—Esta Memoria, publicada en los Annali di Matematica pura ed applicata, dirigida por el profesor Brioschi, se refiere, como la obra anteriormente citada, á la teoría de los grupos continuos, y permite al lector adquirir con faci-
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lidad las ideas capitales de esta nueva teoría, especialmente desde el punto de vista geométrico.

Desiniéndose la variedad (correspondiente á la Mannigfaltigkeit de los matemáticos alemanes) como los diferentes modos de determinación que puede admitir un concepto geométrico, de la cual aquéllos son los elementos, y el grupo, como un conjunto de elementos, después de considerar el elemento r—plo ó múltiplo según r, es decir, que deba considerarse como perteneciente á un grupo r veces y no más que r, el grado del grupo expresado por el número de sus elementos, el grupo de grupos ó agrupamiento, determinando el grado de éste el número de grupos en él contenido, pasa á examinar el Sr. de Paolis el espacio y sus elementos geométricos, puntos, líneas, superficies y sólidos, cuyos grupos son las figuras ó formas geométricas, y después de tratar de los grupos geométricos continuos, llega al asunto principal de su trabajo, comenzando por la correspondencia (m,n) continua entre los puntos de dos grupos.

Sean dos grupos G^m y G^n de elementos M y N, y supongamos que todo elemento M determina n elementos correspondientes N, y solo n, mientras que todo elemento N corresponda á m elementos de M, y solo á m, entonces quedará establecida una correspondencia (m,n) entre los dos grupos, y para distinguir entre sí las leyes por las que se pasa de los elementos M á los N y de éstos á aquéllos, la llama correspondencia directa e inversa, y cada uno de dos elementos correspondientes se dice polo del otro. Además, si g' y g'' son dos grupos respectivos de G^m y de G^n, hallándose g'' constituido por todos los polos de todos los elementos de g', se dice que g'' es el grupo polar de g', ó también el grupo correspondiente á g'.

De igual manera, si se trata de r grupos, cuyos elementos respectivos son M^1 , M^2 , …., M^r , y todo grupo G_{r-1} (M^1 , M^2 , …., M^{r-1}) determina m_r elementos correspondientes M_1^r , M_2^r , …., y solamente m_r , mientras que cada uno de ellos corresponda también á r—2 elementos M^1 , M^2 , …., M^{i-1} , M^{i+1} , …., M^{r-1}, tomados de cualquier modo en los respectivos grupos, juntamente con cada uno de los m_i elementos M_i^i , y solo juntamente con cada uno de ellos, entonces se dirá que se halla establecida una correspondencia (m_1 , m_2 , …., m_r ) de clase \( \rho = r - 1 \) entre los r grupos G^m_i , y para distinguir la ley por la que de los grupos:

\[
G_{r-1} (M^1 , M^2 , \ldots, M^{r-1}),
\]
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se pasa á los elementos correspondientes \( M^r \), de aquella por la cual de los grupos:

\[
G_{r-1} (M^1, ..., Mi-1, Mi+1, ..., Mr ),
\]

se pasa á los elementos correspondientes \( M^r \). se llama la primera correspondencia directa y correspondencia inversa cada una de las otras \( r-1 \).

Respecto á una correspondencia (\( m_1, m_2, ..., m_r \)) se llama polo de un grupo \( G_{r-1} (M^1, ..., Mi-1, Mi+1, ..., Mr ) \) cada uno de los \( m_i \) elementos correspondientes á él.

De los conceptos indicados se pasa, en la Memoria de que se da aquí una breve reseña, á los de grupo polar y grupo autopolar respecto á la correspondencia dada que es el polar de sí mismo, la agrupación polar constituida por grupos, y en fin, se trata de la correspondencia involutiva, la involución polar, la correspondencia continua, etc.

Felice Casorati.—En el último tercio del año pasado, las ciencias matemáticas han perdido en Italia uno de sus más distinguidos propagandistas, con la muerte del profesor de la Universidad de Pavia, Felice Casorati.

Figuraba entre los notables matemáticos Brioschi, Cremona, Betti y Beltrami, tan conocidos en el mundo científico, como redactor del periódico Annali di Matematica pura ed applicata, donde puso a prueba las excepcionales condiciones de su talento con la publicación de numerosas é interesantes Memorias, cuyo examen exigiría mucho espacio; pero entre todas sus obras hay una que debe ser citada, porque en ella el lector puede admirar las dotes de expositor y propagandista que poseía, así como el completo dominio de una doctrina nueva á la par que profunda, y á cuya vulgarización en Italia contribuyó de una manera eficaz.

Las Memorias de Cauchy contenidas en los tomos 3.º y 4.º de sus Nouveaux Exercices d'Analyse et de Physique mathématique (de 1840 á 1847), sur les fonctions des variables imaginaires et sur la théorie des quantités géométriques et sur leurs applications, dieron principio á una nueva evolución del Análisis, en que tomaron parte muy principal los matemáticos franceses Puiseux, Liouville y Hermite, y que dió origen en Alemania á una nueva dirección seguida por Riemann, y con esto á dos maneras de exponer y desenvolver la teoría de las funciones de variables imaginarias ó complejas.
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Casorati, para exponer su teoría, tuvo en cuenta la evolución realizada en uno y otro sentido, y con el fin de preparar su trabajo, basado todo él en los descubrimientos y puntos de vista de los matemáticos de Francia y Alemania, comienza á referir el progreso que hizo la teoría de las funciones trascendentales desde los trabajos de Fagnani y Euler hasta los propagandistas de las ideas de Riemann, y en el resumen histórico que hace, á la profundidad de juicio y á una vasta crudición se ve unido un completo dominio del asunto, y como resultado de todo esto, el hallarse sintetizado en un corto número de páginas cuanto de esencial hay en la evolución de esta rama del Análisis.

La idea capital do la obra es que el concepto de función no implica necesariamente la hipótesis de un modo de expresarse con los símbolos del Análisis, adoptando la moderna tendencia de ésta, por la cual las propiedades de las funciones constituyen lo esencial de cada entidad, así como las expresiones analíticas los accidentes de la misma; y cuando una función está dada por una expresión analítica, reconoce la conveniencia de establecer un criterio analítico con el objeto de decidir, si para un valor c de la variable de una función f (x) es continua y finita, lo que se expresa por la fórmula

\[
f(c+\eta) - f(c-\epsilon) < \epsilon.
\]

El modo de tratar Cauchy los números complejos como cantidades geométricas, y de aquí el considerar como función de una variable compleja z una cantidad geométrica w cuyo valor resulta determinado por el de la primera, es decir, el admitir que w sea función de z siempre que una posición del punto z determine la posición del punto w, y la definición de Riemann: Una variable w se dirá función de otra variable compleja z, cuando varía con ésta de modo, que el valor de la derivada \( \frac{dw}{dz} \) sea independiente del de la diferencial dz, constituyen el punto de partida para la exposición que hace Casorati en su obra, conciliando estos puntos de vista fundamentales en el desenvolvimiento de la teoría, por más que, en general, tiene preferencia el método de exposición de Riemann. Así, por ejemplo, al tratar el caso de la función \( w = z^2 \), considera las variaciones simultáneas de w y de z en dos planos distintos, sometidas á las relaciones

\[
\arg w = 2 \arg z, \quad \text{mod } w = (\text{mod } z)^2,
\]

sensibilizando el modo de hallarse situados los puntos correspondientes á las rectas móviles \( R_z, R_w \) de los dos planos, mediante la conside-
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ración de dos sistemas de hilos, rectilíneo indefinido el uno y circular el otro, cuyas intersecciones son aquéllos, y la circunstancia de recorrer \( R_w \) su plano con velocidad dupla, ó en general n—upla, en el caso de la relación \( w = z^n \), le lleva á considerar una red de dos ó de n hojas en el plano de las w formada por los puntos correspondientes á los diversos valores de \( R_z \) en el plano z, y á obtener, conforme á la idea de Riemann, una región continua constituida por las hojas sobrepuestas que contiene la totalidad de los valores de la función, resultando dos redes ó tejidos que comprenderán, respectivamente una vez el plano de las z y dos el de las w, y tales, que á un punto de la una corresponda siempre uno, y solo uno de la otra, siendo la red ó tejido w la deformación de la z prescrita por la función \( w = z^2 \), como la z puede indicar la deformación de la función \( w = z^{1/2} \) de la variable independiente, todo lo que se aplica análogamente al caso de la función \( w = z^n \). En fin, z, que tiene n valores con respecto á w resulta de un solo valor, ó totalmente representada, respecto al correspondiente de la red ó superficie de n hojas.

La Teorica delle funzioni de variabili complesse es, en resumen, una obra que presenta enlazados y conciliados los más importantes resultados obtenidos por Cauchy, Puiseux, Riemann y Newmann, y en esta obra de unificación se distingue el claro talento del expositor de tan varias doctrinas, á las que ha agregado algo propio, según puede observarse examinando el desarrollo que da á cuestiones tan importantes como la clasificación de las funciones, las series y productos infinitos y el importante capítulo dedicado á las integrales.

Schroeder. Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik).
—Esta nueva obra del autor de Operationskreis des Logikkalkuls, próxima á aparecer, según hace tiempo está anunciando, promete ser un acontecimiento altamente satisfactorio para los que siguen la evolución de esta Álgebra especial, cuyo origen se halla en los trabajos de Boole y de Jevons, y con mayor motivo por manifestar previamente su autor que ha de constituir una exposición y desenvolvimiento de los últimos progresos debidos en esta teoría al matemático norteamericano Sir Charles Peirce, cuyos trabajos son de reconocida importancia en este género de investigaciones.
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El Progreso matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
Director: D. Zoel G. de Galdeano
Año I. Zaragoza 20 de Enero de 1891. Núm. 1.º

El objeto y los propósitos de la actual publicación

Es un hecho sorprendente que en España, donde tantos periódicos se publican, destinados á los fines más diversos, no exista uno cuyo objeto exclusivo sea la propaganda y desenvolvimiento de las ciencias matemáticas. Este hecho no debe atribuirse en absoluto á desconocimiento en dicho ramo del saber, ni á que tales ciencias repugnen á la mayoría de las inteligencias, cuyos esfuerzos se emplean en otros géneros de investigaciones, de igual manera que se aplicarian á las ciencias exactas, si estas ofrecieran en nuestra patria mayor estímulo y más ancho campo donde espaciarse; pues siendo la ciencia una, existiendo entre sus diversas ramas tan solo variedad en el objeto, conservando la inteligencia algo de permanente en la forma de los procedimientos que la conducen á la verdad, no existe razón alguna para que tal ó cual de estas especiales manifestaciones de su actividad permanezcan cristalizadas, cuando al mismo tiempo otras siguen su curso natural; y semejante desequilibrio solo puede existir de una manera accidental pronta á desaparecer con ocasión á veces del más leve impulso que conduzca á armonizar las varias categorias de verdades dentro del conjunto general que constituye la ciencia humana.

Existen aficionados á la ciencia de la cantidad como existen entusiastas de las artes y las letras, pues todas tienen sus ideales, seguidos preferentemente por quien posee tal ó cual vocación en el culto de la verdad; y hoy en España se sigue la corriente de la Matemática moderna, que iniciada por los Lagrange, Monge, Cauchy y otros muchos eximios talentos de este siglo, en la actualidad se mueve bajo la influencia predominante de los Cayley, Sylvester y Hamilton, que han
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organizado y desenvuelto las teorías de las formas y de los cuaternios en Inglaterra; de los Poncelet y Chasles, que en Francia han edificado la Geometría moderna sobre la base de la proyección central y la relación anarmónica; de los alemanes Moebius, Plücker y Clebsch, y del matemático francés Bobillier, que han dado impulso a la Geometría analítica, llevándola más alla del reducido campo señalado por las coordenadas cartesianas con otros nuevos modos de representación; de los Staudt, que han dado un carácter eminente gráfico a la Geometría, de los Hermite, Weierstrass, Bois-Reymond y Cantor, que en el Análisis han hecho amplificarse las creaciones de los Legendre, Abel y Jacobi en la teoría de las funciones elípticas; de los Cremona, Brianchi, Battaglini y Beltrami, que mantienen el progreso de la Geometría y el Análisis en Italia.

Todo este movimiento general se sigue en España, si bien reducido á aquello de más esencial que contiene cuanto ofrece inmediata aplicación, ó que es un elemento indispensable para llegar al nivel de lo que hoy constituye la cultura matemática; pero esto que se circunscribe á un reducido número de personas dedicadas por su profesión á tal género de lucubraciones, no trasciende á otro público mas numeroso que podría aprovechar las ventajas de estos conocimientos, y aun llegar á contribuir al adelantamiento general, si se le facilitara el acceso á ideas que parecen más difíciles de adquirir al parecer de lo que son en realidad. Estas dificultades aparentes son consecuencia de ignorarse los fundamentos de las varias teorías ó ramas que constituyen las ciencias matemáticas.

La propaganda de las ideas es el remedio más eficaz para la desaparición de este mal.

Además de la Escuela politécnica de Francia fundada por Monge, la creación de periódicos como el Journal de l'École polytechnique, la Correspondance sur l'École polytechnique, los Annales Mathématiques de Montpellier, etc., contribuyeron al progreso de la Matemática en esta nación, como en Alemania el Crelle's Journal en Inglaterra Philosophical transactions y en Italia también multitud de periódicos, cuyo número é importancia aumenta de día en día.

Estas publicaciones periódicas, no solo han dado a conocer los descubrimientos de la actualidad y el verdadero estado de la ciencia, sino que han estimulado siempre para alcanzar nuevos progresos y desarrollos de lo ya conocido; y así se observa cómo todas caminan con