ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 7

Appelons \( \rho \) le rayon de cette circonférence.
Soient \( \alpha, \beta \) les demi-axes de U; on a

\[
\frac{\pi \alpha \beta}{\pi \rho^2} = \frac{aire\ H'}{6\rho^3 \frac{\sqrt{3}}{4}}
\]

ou

\[
\alpha \beta = \frac{2}{3 \sqrt{3}} aire\ H'.
\]

En observant que

\[
aire\ H' = 6\ fois\ aire\ C'GA' = 6.\ \frac{2}{27}\ ABC = \frac{4}{9}\ ABC,
\]

on a

(1)

\[
\alpha \beta = \frac{8}{27 \sqrt{3}}.\ ABC.
\]

Pour déterminer \( \alpha, \beta \), cherchons maintenant l’expression de \( \alpha^2 + \beta^2 \).

Soit K le milieu de A'B'; GK rencontre U en N, et l’on a

\[
\alpha^2 + \beta^2 = C'G^2 + GN^2.
\]

Mais, en se reportant à la circonférence U', envisagée ci-dessus, on voit que

\[
\frac{GN}{GK} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
\]

On a donc

\[
\alpha^2 + \beta^2 = C'G^2 + \frac{4}{3}\ GK^2.
\]

Un calcul facile donne, finalement,

(2)

\[
\alpha^2 + \beta^2 = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{81}.
\]

Les formules (1) et (2) font connaître les dimensions de l’ellipse U (1); ellipse déterminée par son centre qui, comme on l’a vu,

(1) Sauf erreur dans le calcul que nous avons fait, l’équation de cette ellipse remarquable, en coordonnées barycentriques, est

\[
8(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) = 11 (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha).
\]
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 8

coïncide avec le centre de gravité G du triangle ABC et par trois points, centres de gravité des triangles GAB, GBC, GCA.

4 — L'étude que l'on peut faire des paraboles de M. Artzt porte sur d'autres parties que celles que nous avons signalées jusqu'ici. C'est ainsi, pour ne citer que les éléments les plus essentiels à cette étude, qu'on peut demander les coordonnés du foyer, l'équation de l'axe, celle de la tangente au sommet, etc.... Nous nous proposons de déterminer, en finissant cette Note, ces diverses relations: il sera facile ensuite d'en déduire de nombreuses conséquences: nous laissons ce soin aux lecteurs que ce sujet pourra intéresser.

5.—Coordonnées barycentriques du foyer de la parabole \( P_a \).

Nous avons observé plus haut (fig 1) que le foyer F de \( P_a \) était situé sur la circonférence \( ABC' \) et sur la symédiane AF.

Cherchons d'abord l'équation de la circonférence \( ABC' \) (1). Nous avons indiqué (Supplément 2e ed° p. 170) pour l'équation générale des cercles en coordonnées barycentriques, la formule (2):

\[
(u x + v \beta + w \gamma)(x + \beta + \gamma) - a^2 \delta \gamma - b^2 x \gamma - c^2 x \delta = 0.
\]

En exprimant que la circonférence correspondante passe par le sommet A et par les milieux des cotés AB, AC, on a

\[
\frac{1}{2} (c^2 \delta + b^2 \gamma)(x + \delta + \gamma) - a^2 \delta \gamma - b^2 x \gamma - b^2 x \beta = 0. \tag{1}
\]

D'autre part, la symédiane correspondant au sommet A a pour équation

\[
\frac{x}{b^2} = \frac{\beta}{c^2} \tag{2}
\]

Les équations (1) (2) font connaître les coordonnées du foyer de \( P_a \) et l'on trouve, par un calcul facile,

(A)

\[
\frac{x}{b^2 + c^2 - a^2} = \frac{\delta}{b^2} = \frac{\gamma}{c^2} \tag{Foyer de P_a}
\]

(Se continuera)

(1) Le lecteur pou au courant des coordonnées barycentriques, coordonnées si particulièrement utiles dans l'étude de la Géométrie du triangle, trouveront (loc cit) les développements nécessaires concernant ces coordonnées.

(2) Dans cette équation, \( x, \beta, \gamma \) sont les coordonnées barycentriques courantes, \( u, v, w \) désignent trois paramètres arbitraires (puissances des sommets du triangle de référence par rapport à la circonférence considérée; \( a, b, c \) sont les longueurs des cotés du triangle de référence.
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 9

EL RACIOCINIO A MAQUINA
POR
D. VENTURA REYES PRÓSPER
CATEDRÁTICO DEL INSTITUTO DE TERUEL

La rica herencia de Aristóteles se halla hoy en poder de los que un tiempo llamó con desdén el pueblo latino bárbaros del septentrón. A los hombres de raza anglo-sajona se deben los nuevos y secundos derroteros que en nuestro siglo ha tomado la Lógica deductiva é inductiva, que dejando bajo su impulso, de ser un estudio soporífero, promete dar en breve al mundo la Pasigrafía Universal.

La Lógica simbólica, á pesar de los trabajos de Bernouilli, Lambert, Holland, Darjes, Plouquet Semler, Segner y otros, no puede decirse que ha nacido hasta los días de George Boole, el ilustre Profesor de la Universidad de Dublin. En su obra gigantesca le han auxiliado en Inglaterra; Agustus de Morgan, Stanley Jevons; Mac-Coll, Venn, Murphy, Mac-Farlane, Kempe, Elizabeth Blacwood y otros. En Alemania se han distinguido, sobre todo en este estudio, Robert Grassmann, hermano del insigne geómetra Hermann Grassmann, Ernst Schröder, el sapientísimo Profesor de Karlsruhe, autor de una monumental obra que traduzco, con su benévola autorización al castellano, cuyos méritos ante la Ciencia son inmensos, y Andreas Voigt de Freiburg. En los Estados Unidos del Norte de América se nos presenta la escuela americana de tan utilísimas é ingeniosas iniciativas, constituida por Charles Santiago Peirce, Maestro venerable á cuyo alrededor se agrupaban el difunto Howard Mitchell, la simpática figura de Christine Ladd Franklin, Gilman y Allan Marquand, habiéndose también distinguido George Bruce Halsted, el bibliógrafo de la Geometría No-Euclídea, Profesor de la Universidad del Estado de Texas.

En lenguas neolatinas solo existen, á lo que creo, los trabajos del Sr. Delboeuf, los muy notables del Sr. Peano y los que en la actualidad publica un sabio Profesor, italiano también, el Sr. Nagy, á cuya exquisita amabilidad debo la lectura de sus muy interesantes publicaciones que promete continuar. Espero que los trabajos de Poretzki difundan entre las razas eslavas el gusto por estos estudios.

Mas no solo la Ciencia ha hallado el modo de seguir mediante ecuaciones, subsumciones, exclusiones etc. el raciocinio, llegando por medio del cálculo á sacar todas las posibles conclusiones de un sis-
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

LAS GENERALIZACIONES DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
por M. EMILE VIGARIÉ

Esta nota tiene por objeto dar á conocer á los lectores de El Progreso Matemático las notables generalizaciones de que ha sido objeto la Geometría del triángulo.

Para no dar á este trabajo una extensión demasiado considerable, indicaremos sencillamente, sin ninguna demostración, los resultados obtenidos.

Histórico.

Las propiedades del triángulo se han extendido sucesivamente al cuadrilátero, al evágono y además á los polígonos, y en el espacio, al tetraedro y á los poliedros.

En 1874, M. Piequet (Sur le centre des médianes antiparallèles, Congrès de Lille) había mostrado que, de una manera general, no existe punto que en el tetraedro posea propiedades análogas á las que posee el punto de Lemoine en el triángulo.

Diez años después, M. J. Neuberg, en una admirable Mémoire sur le tétraèdre (Mémoires couronnés de l'Acad. royale de Belgique, 1884), generalizó en el tetraedro la noción del punto de Lemoine y de los puntos de Brocard; sus estudios le condujeron á dar á conocer nuevas propiedades y á estudiar varios puntos notables. Esta primera tentativa no quedó aislada.

El año siguiente, M. Tucker (some properties of a quadrilateral in a circle under rectangle, whose opposite sides are equal. Educat. Times, 1885) hizo ver que, si se toma un cuadrilátero sujeto á ciertas condiciones (la de tener un punto de Lemoine), las propiedades conocidas del punto de Lemoine, de los puntos y del círculo de Brocard se encontraban inmediatamente. Este estudio fue tratado de
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 10

algebráicos de la función \( u \), designándose en particular á los que satisfacen á la segunda condición, puntos críticos algebráicos.

Se conocen aún otra clase de puntos singulares correspondientes á las funciones trascendentes, tales como, por ejemplo, los pertenecientes á las funciones logarítmicas; más esta clase de puntos singulares se distinguen de los primeros, por llevar el sello de la indeterminación, ó sea por salirse de la finitud. Hay autores que llaman indistintamente puntos críticos á todos cuantos acabamos de indicar; de todos modos interesa que la variable independiente no pase jamás por dichos puntos críticos.

(Se continuará)

DÉVELOPPEMENTS SUR LES PARABOLES DE M. ARTZT
PAR M. G. DE LONGCHAMPS
Professeur de mathématiques spéciales au Lycée Saint-Louis.

6.—Equation de l’axe de \( P_a \). L’axe de \( P_a \) passe par le foyer, parallèlement à la médiane AM.
L’équation de AM est

\[
\beta - \gamma = 0;
\]

Une parallèle sera donc représentée par

\[
\beta - \gamma + \lambda (x + \beta - \gamma) = 0.
\]

Disposons du paramètre \( \lambda \) de façon á la faire passer par le foyer de \( P_a \) et nous avons

\[
b^2 - c^2 + \lambda (2 b^2 + 2 c^2 - a^2) = 0.
\]

Finalement,

(B) \[ \alpha (c^2 - b^2) + \beta (3 c^2 + b^2 - a^2) - \gamma (3 b^2 + c^2 - a^2) = 0. \]

représente l’axe de la parabole \( P_a \).

En posant

(b) \[ 3 b^2 + c^2 - a^2 = u, \qquad 3 c^2 + b^2 - a^2 = u', \]

on peut observer que l’équation précédente peut se mettre sous la forme

(B') \[ \alpha \frac{u' - u}{2} + \beta u' - \gamma u = 0. \]
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 11

7.—Equation de la tangente au sommet de \( P_a \).

Abaissions de F les perpendiculaires FH, FH' sur les côtés AB, AC; HH' sera la tangente au sommet de \( P_a \). Proposons-nous de déterminer AH et BH.

A cet effet, abaissons MR perpendiculaire à AC; les triangles semblables AFH, AMR donnent

\[
\frac{AH}{AF} = \frac{AR}{AM}.
\] (1)

Calculons d'abord AF. Si, par B, on mène BD parallèle à l'axe FZ, le théorème de Ptolémée montre que les droites BF, BD sont isogonales sur AB; par suite l'angle FBA est égal à l'angle DBx, c'est à dire MAB. D'après cette remarque, si l'on prolonge AM, jusqu'en A', d'une longueur égale à elle même, les triangles AFB, ACA' sont semblables et donnent: (1):

\[
\frac{AF}{b} = \frac{FB}{c} = \frac{c}{2m'}
\] (2)

où l'on a posé \( AM = m \).

Calculons AR; le triangle CAM, donne

\[
\overline{CM^2} = \frac{a^2}{4} = b^2 + m^2 - 2b\cdot AR;
\]

et comme

\[
b^2 + c^2 = 2m^2 + \frac{a^2}{2},
\]

nous avons, finalement,

\[
4b\cdot AR = 3b^2 + c^2 - a^2 = K.
\] (3)

Des égalités (1), (2), (3) on tire alors.

(1) On observera que ces égalités donnent les coordonnées tripolaires absolues du point F. On a, d'après elles,

\[
AE = \frac{bc}{2m},\ BF = \frac{c^2}{2m}.
\]

On a, de même,

\[
CF = \frac{b^3}{2m}.
\]

La relation \( \overline{AF^t} = BF\cdot CF \), que l'on peut déduire de ces formules, donne la démonstration d'un théorème connu: la distance du foyer d'une parabole au pôle A d'une corde BC est moyenne géométrique entre les distances de ce foyer aux extrémités B, C de cette corde.
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 12

AH = K \cdot \frac{c}{8m^2}. \tag{4}

Il est facile d'avoir BHI puisque

BHI = c - K \cdot \frac{c}{8m^2} = \frac{c}{8m^2} [8m^2 - K].

ou

BH = K' \cdot \frac{c}{8m^2}. \tag{5}

Les égalités (4), (5) donnent enfin

\[
\frac{AH}{BH} = \frac{u}{u'}
\] \tag{6}

Un Calcul analogue prouve que

\[
\frac{AH'}{CH'} = \frac{u'}{u}.
\] \tag{7}

égalité qui résulte d'ailleurs de la précédente, par application d'une propriété connue (1).

Cela posé ; l'équation de III' en coordonnés barycentriques étant

\[
a = m \beta + n \gamma
\]

on a , pour \( \beta = 0 \), \( a = n \gamma \); d'où

\[
n = \frac{CH'}{AH'} = \frac{u}{u'}.
\]

De même, pour \( \gamma = 0 \), \( a = m \beta \); d'où

\[
m = \frac{BH}{AH} = \frac{u'}{u}
\]

L'équation de la tangente au sommet de la parabole \( P_a \) est donc

\[
a = \frac{u'}{u} \beta + \frac{u}{u'} \gamma, \quad (\text{TANGENTE AU SOMMET de } P_a)
\]

dans laquelle \( u, u' \) sont données par les formules (b), posées plus haut.

8.—Coordonnées du sommet de \( P_a \). Le point S sommet de \( P_a \) peut être obtenu soit en cherchant le point de contact de III' avec \( P_a \), soit

(1) Une tangente HH' à une parabole rencontre les tangentes AB, AC en deux points H, H' tels que \( AH.AH' = BH.CH' \).
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 13

en calculant les coordonnées du point commun à HII' et à l’axe de Pa. Ces deux voies conduisent très simplement, l’une et l’autre, au résultat cherché et l’on trouve

\[
\frac{\alpha}{2uu'} = \frac{\beta}{u^2} = \frac{\gamma}{u'^2}
\] (SOMMET de Pa)

9.—Directrice de Pa. On peut l’obtenir en déterminant la droite symétrique de la corde focale principale, par rapport au sommet. Mais il est plus simple de la considérer comme la polaire du foyer.

On sait que la polaire d’un point \( x_0, \beta_0, \gamma_0 \) relativement à la conique qui correspond à l’équation

\[
f(x, \delta, \gamma) = 0,
\]

est

\[
a \frac{\partial f}{\partial x_0} + b \frac{\partial f}{\partial \delta_0} + \gamma \frac{\partial f}{\partial \gamma_0} = 0.
\]

En appliquant cette relation à la parabole \( P_a (x^2 - 4\beta\gamma = 0) \) et au foyer

\[
\frac{x_0}{b^2 + c^2 - a^2} = \frac{\delta_0}{b^2} = \frac{\gamma_0}{c^2},
\]

on a

\[
\frac{1}{2} (b^2 + c^2 - a^2) = b^2 \gamma + b c^2. \quad (\text{DIRECTRICE de } P_a)
\]

10.—Les formules diverses que nous avons établies plus haut trouveront de nombreuses applications que le lecteur imaginera facilement.

Nous voulons seulement, en terminant, signaler l’une des plus intéressantes.

Prenons deux droites ox, oy faisant un angle quelconque et considérons une parabole \( \Sigma \) touchant ces axes aux points P, Q.

En posant OP = c, OQ = b, PQ = a on obtiendra les éléments de \( \Sigma \) en appliquant les formules données plus haut; il ne restera plus qu’à effectuer dans ces résultats un changement de coordonnées, ce qui est la chose la plus simple (Supplément p. 164), et l’on obtiendra les éléments en question dans le système considéré yox.
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 14

UN TEOREMA GEOMÉTRICO
POR D. ATANASIO LASALA
Catedrático del Instituto de Bilbao.

Consideramos un deber el difundir y hasta vulgarizar entre los hombres de ciencia el conocimiento de la proposición que va á ser objeto del presente artículo, porque merece, á nuestro juicio, ocupar lugar preeminente entre los fundamentos de la Geometría superior, toda vez que en ella se encuentran refundidos, además de los teoremas sobre las líneas proporcionales que contiene la Geometría elemental, los fecundos principios de la relación anarmónica y de la división homográfica y el teorema de Menelao, que han servido de base á los notabilísimos trabajos de Carnot, Chasles y otros célebres geómetras.

Como los ilustrados lectores de El Progreso Matemático han de juzgar por sí mismos, pasamos sin más preámbulo á exponer y demostrar el siguiente

TEOREMA FUNDAMENTAL. (Fig. 1.a)

1. Si tres rectas PA, PB, PC concurrentes en un punto P cortan á dos transversales abc, a'b'c', se verifica la relación (1)

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pc} = \frac{b'a'}{b'c'} : \frac{Pa'}{Pc'}
\]
[a]

ó bien \( (a\ c\ b\ P) = (a'\ c'\ b'\ P) \)

Por el origen b común á los segmentos ba y bc tracemos una paralela a" e" á la transversal a' b' c', y por a y a" otras dos paralelas á la concurrente P C.

(1) Este teorema, cuyas importantes consecuencias desenvuelve el Sr. Lasala en el presente artículo, se halla enunciado en la obra de M. Catalan Théorèmes et problèmes de Géométrie élémentaire (livr III theor XII), bajo la forma siguiente: Si trois droites, issues d'un même point O rencontrent, en A, B, C, et A', B', C', deux transversales, on a

\[
\frac{BC}{B'C'} \cdot \frac{AO}{A'O} = \frac{CA}{C'A'} \cdot \frac{BO}{B'O} = \frac{AB}{A'B'} \cdot \frac{CO}{C'O}.
\]
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 15

Los triángulos semejantes bam, bce' y los bna', bce' nos dan

\[
\frac{ba}{bc} = \frac{am}{c'e'} \quad [1] \qquad \frac{ba'}{bc'} = \frac{a'n}{c'e'} \quad [2]
\]

Los triángulos semejantes P a c, a'an y los P a'e', a'a'm dan

\[
\frac{Pa}{Pc} = \frac{a'a}{a'n} \quad [3] \qquad \frac{Pa'}{Pc'} = \frac{a'a'}{a'm} \quad [4]
\]

Dividiendo la igualdad [1] por la [3] y la [2] por la [4] será

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pc} = \frac{am.a'n}{c'e'.a'a'}, \qquad \frac{ba'}{bc'} : \frac{Pa'}{Pc'} = \frac{a'n.am}{c'e'.a'a'}
\]

de donde

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pc} = \frac{ba'}{bc'} : \frac{Pa'}{Pc'}
\]

Sustituyendo \( \frac{ba'}{bc'} \) por su igual \( \frac{b'a'}{b'c'} \), y \( \frac{Pa'}{Pc'} \) por \( \frac{Pa'}{Pc'} \)

será finalmente

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pc} = \frac{b'a'}{b'c'} : \frac{Pa'}{Pc'}
\]

De igual manera se demostrarían las relaciones

\[
\frac{ca}{cb} : \frac{Pa}{Pb} = \frac{c'a'}{c'b'} : \frac{Pa'}{Pb'} \quad ó \quad (abcp) = (a'b'c'p)
\]

\[
\frac{ab}{ac} : \frac{Pb}{Pc} = \frac{a'b'}{a'c'} : \frac{Pb'}{Pc'} \quad ó \quad (bcap) = (b'c'a'p).
\]

Este teorema se verifica en todos los casos particulares que pueden ocurrir, ya se supongan una ó las dos transversales paralelas á alguna de las concurrentes en P, ó bien las transversales sean paralelas entre sí, ó bien el punto de concurso P se aleje al infinito.

Dejamos al cuidado del lector la comprobación de este aserto.

2. Están comprendidas en el teorema fundamental, como casos particulares del mismo, las siguientes proposiciones de la Geometría ordinaria:

Primera. Tres rectas paralelas dividen á dos transversales en partes proporcionales.

En efecto: la relación [a] puede escribirse así:

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pa'} = \frac{b'a'}{b'c'} : \frac{Pc}{Pc'}
\]
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 16

si P se aleja al infinito, las razones \( \frac{P\ a}{P'\ a'} \) y \( \frac{P\ c}{P'\ c'} \) entre cantidades infinitamente grandes, cuyas diferencias \( a - a' \) y \( c - c' \) son finitas, son iguales á la unidad; luego

\[
\frac{b\ a}{b'\ c} = \frac{b'\ a'}{b'\ c'}
\]

(Se continuará).

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

(CONTINUACIÓN)

Observa Poncelet que la proyección central ó cónica no altera ni la correlación ni el grado ó orden de la figura primitiva ni, en general, toda especie de dependencia gráfica entre las partes de esta figura que sólo se refiere á la dirección indefinida de las líneas, su intersección mútua, su contacto, etc.; pero podrá hacer variar solamente la forma, la especie particular de estas líneas, y, en general, todas las propiedades concernientes á propiedades absolutas y determinadas, tales como las aberturas de ángulos, los parámetros constantes, etcétera. Así por ejemplo, de que una recta es perpendicular á otra en la figura primitiva, no se puede inferir que lo sea en la proyección de esta figura sobre un nuevo plano.

Esto sentado, define Poncelet las figuras proyectivas como aquéllas cuyas dependencias son indestructibles por el efecto de la proyección, llamando relaciones ó propiedades proyectivas, todas aquéllas que subsisten á la vez en las figuras dadas y en sus proyecciones.

Distingue entre las propiedades las gráficas, que son independientes de toda magnitud ó medida determinada, como por ejemplo, una propiedad relativa á puntos de intersección de ciertas líneas rectas que pasan por puntos de posición asignada ó que tocan líneas dadas de segundo grado, y las propiedades métricas que conciernen á relaciones de magnitudes en las que nada indica á priori si subsisten en las proyecciones. En cuanto á las primeras, de las cuales se ocupa exclusivamente, ó propiedades de posición, bastará establecerlas y demostrarlas en una posición cualquiera de la figura, para que sean aplicables, en general, á esta figura y á todas sus proyecciones posibles. En cuanto á las segundas, no se podrá afirmar á priori sin un exámen previo, ni que estas propiedades subsisten ni que dejan de subsistir en la figura primitiva.
El Progreso matemático (1891-10-20 00:00:00), página 17

Para establecer el criterio que deba seguirse al examinar si una relación subsiste ó no en las figuras que son proyecciones de otra dada, observa que al proyectarse desde un punto S los diferentes puntos A, B, C, ... de una figura, cuyas proyecciones son los nuevos puntos A', B', C'..., como las áreas de los triángulos SAB, SA'B' que tienen un ángulo común se hallan entre sí en la razón de los productos SA. SB, SA'. SB' de los lados que los comprenden, llamando \( \frac{1}{2} m \) esta razón, tan sólo dependerán de la mayor ó menor abertura de dicho ángulo, se tendrá, representado por \( a, b \) las longitudes de las proyectantes SA, SB, y \( p \) la de la perpendicular bajada desde S al lado AB: Área SAB = \( \frac{1}{2} p \cdot AB = \frac{1}{2} m \cdot a \cdot b \), de donde resulta

\[
AB = m \frac{ab}{p},
\]

y para otra recta CD se tendrá CD, = \( m' \frac{cd}{p'} \), etc., etc.

Ahora bien, para que esta relación subsista, cualquiera que sea la posición particular de los puntos A, B, C... ó A', B', C'... sobre las proyectantes SA, SB, ..., al sustituir en lugar de las cantidades que entran en la relación de que se trata sus valores obtenidos, deberá quedar satisfecha, independientemente de toda magnitud particular atribuida á las rectas SA, SB, .... ó \( a, b, p \)...... que fijan la posición de los puntos correspondientes A, B, C....; luego estas rectas ó distancias deben desaparecer por sí en el resultado de la sustitución, como factores de todos sus términos; de modo que sólo quedará una relación entre las cantidades m, m', m"..... si se reemplazan al mismo tiempo las perpendiculares p, p', p".... por los valores que representan en cada triángulo parcial SAD, SA'D'.... y recíprocamente, si esto se verifica, la relación mencionada será necesariamente proyectiva. Además, existe una clase de relaciones, muy extensa, para las que las perpendiculares \( p, p', p'' \).... desaparecen á la vez con \( a, b, c, ... \) del resultado de la sustitución, sin que sea preciso reemplazarlas, cómo en la hipótesis anterior, por los valores que representan en los triángulos correspondientes; y como no se ha hecho ninguna hipótesis particular sobre la situación de los puntos A', B', C'... en el espacio, lo mismo que respecto á los puntos A, B, C... de que son las proyecciones, resulta que toda relación que satisfaga á las condiciones precedentes, tendrá lugar, no sólo para las proyecciones ordinarias de esta figura sobre un plano, sino para todas las figuras rectilíneas y alabeadas que podrían concebirse como resultantes de la primera por la especie de proyecciones consideradas. Además, para cualquiera especie de proyección, ya sea la perspectiva ó proyección sobre un plano, ó sobre