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El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 5

PS = \frac{Nn}{r} = \operatorname{sen} c \cos d + \cos c \operatorname{sen} d \tag{1}

OS = \frac{OS}{r} = \cos c \cos d - \operatorname{sen} c \operatorname{sen} d \tag{2}

Pero Nn = Mm = \cos a, Nn' = r \operatorname{sen} d = Mm' = \cos b, hallándose Mm, Nn', Mm' respectivamente en los planos ZOm, ZOX, Z'Om', que contienen cada uno de los arcos, a, d, b, cuyos radios correspondientes son r para el segundo y la unidad para los otros dos.

Además On y On son catetos de los triángulos rectangulares Omn y Om'n'; luego

On = Om \cos B = -\operatorname{sen} a \cos B

On' = Om' \cos A = \operatorname{sen} b \cos A,\quad On' = r \cos d = \operatorname{sen} b \cos A;

luego sustituyendo en las fórmulas [1] y [2] resulta

\[
\frac{\cos a}{r} = \operatorname{sen} c \frac{\operatorname{sen} b \cos A}{r} + \cos c \frac{\cos b}{r}
\]

\[
\frac{\operatorname{sen} a \cos B}{r} = \cos c \frac{\operatorname{sen} b \cos A}{r} - \operatorname{sen} c \frac{\cos b}{r}
\]

que son las fórmulas de la trigonometría esférica.

\[
\cos a = \cos b \cos c + \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c \cos A \tag{α}
\]
\[
\operatorname{sen} a \cos B = \operatorname{sen} c \cos b - \cos c \operatorname{sen} b \cos A \tag{β}
\]

y, en fin, siendo

Ot = mn = Om. \operatorname{sen} B,\quad Ot = Om'. \operatorname{sen} A,

por ser Ot la proyección de Om y Om' sobre Oy, resulta la fórmula

\[
\operatorname{sen} a \operatorname{sen} B = \operatorname{sen} b \operatorname{sen} A \tag{γ}
\]

Las funciones circulares originan una especie de cálculo que se complica cuando se refiere á las funciones secundarias tangente y cotangente; y si al principio, como hemos visto, el cálculo y las operaciones gráficas se corresponden, más adelante llega á ser imposible la representación geométrica directa de muchas relaciones. Sin embargo algunas de éstas se han obtenido. Así, para demostrar geométricamente la fórmula

\[
\frac{\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q}{\operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q} = \frac{\operatorname{tg} \frac{1}{2}(p+q)}{\operatorname{tg} \frac{1}{2}(p-q)} \tag{δ}
\]

(*) Geom. elemental (p. 2.*, págs. 339 y 340) y Revista de los profesores de Ciencias. (1876 año III, núm. 3).

Fig. 41.
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 6

tómense los arcos \( AM = a \), \( AN = b \) (fig. 41). Trácense MPM' y NQ perpendiculares á OA y NLS paralela á OA. Desde el punto S como centro, con OS por radio, describamos un arco de circunferencia que corte á SN en I, y por este punto tracemos la tangente TIT' terminada en las rectas SM, SM'.

Se tiene

\[
\frac{IT}{IT'} = \frac{LM}{LM'}
\]

Pero

\[
IT = \tg \MSN = \tg \frac{1}{2}(a - b), \quad IT' = \tg M'SN = \tg \frac{1}{2}(a + b)
\]

\[
LM = \sen a - \sen b, \quad LM' = \sen a + \sen b
\]

y sustituyendo resulta demostrada la fórmula (\( \gamma \)) (*)

También podremos demostrar geométricamente la fórmula

\[
\tg \frac{1}{2} a = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{1 + \cos a}}
\]

En efecto, los triángulos OAT y BPM y los OAT y APM son semejantes (fig. 42); luego

\[
\frac{\tg \frac{1}{2} a}{1} = \frac{\sen a}{1 + \cos a}, \quad \frac{\tg \frac{1}{2} a}{1} = \frac{PA}{PM} = \frac{1 - \cos a}{\sen a}
\]

y multiplicando estas fórmulas resulta

\[
\tg^2 \frac{1}{2} a = \frac{1 - \cos a}{1 + \cos a}.
\]

Sea, por último, la fórmula (**)

\[
\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tg \frac{1}{2}(A + B)}{\tg \frac{1}{2}(A - B)}
\]

que expresa una relación entre los lados y ángulos de un triángulo ABC (fig. 43).

Trazando la semicircunferencia DAE con CA como radio, des-

(*) Véase Eléments de Trigonométrie, par l'Abbé E. Gelin (1888), pág. 41.
(**) Idem idem.
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 7

de el centro C, las cuerdas AD, AE y la paralela DF á EA, se tiene

\[
\frac{a+b}{a-b} = \frac{BE}{BD} = \frac{AE}{DF} = \frac{AD \cot \frac{1}{2} C}{AD \cot (B + \frac{1}{2} C)} = \frac{\tg \frac{1}{2} (A+B)}{\tg \frac{1}{2} (A-B)}
\]

44. Los métodos geométrico y trigonométrico.—La geometría hemos visto que funda sus demostraciones acerca de relaciones métricas, en general, en la semejanza de triángulos, y particularmente en el teorema de Pitágoras, que es un principio fundamental de relaciones métricas en el triángulo. Pero, á su vez, el método trigonométrico no es más que un sistema especial de relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo, derivado de las relaciones geométricas, siendo el empleo de las líneas trigonométricas un medio indirecto de aplicar las relaciones más simples y primitivas de la Geometría. Los dos métodos no son más que uno solo empleado á distancia distinta del punto de partida. Las relaciones que expresan el uno y el otro son entre sí como las relaciones de una figura expresadas por dos sistemas distintos de coordenadas, puesto que los diversos encadenamientos lógicos mediante los cuales la ciencia se sirve para llegar á la demostración de la verdad ó á fijar los conceptos de un razonamiento en una forma determinada que se llama teorema, son como los encadenamientos de líneas que determinan una figura referida, bien á uno, bien á otro sistema de coordenadas, de igual manera que los encadenamientos lógicos se refieren, bien á uno, bien á otro sistema de principios fundamentales, verdaderos ejes de coordenadas en el razonamiento ó en la concatenación de las ideas.

En cuanto se ha llegado á establecer las fórmulas que enlazan cada línea trigonométrica con los lados del triángulo

\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \ldots, \quad \sen \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}},
\]
\[
\tg \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}, \text{ etc.}
\]

se ha llegado á la posesión de un instrumento precioso para establecer relaciones métricas y obtener por un procedimiento analítico los enlaces que la Geometría obtiene por medio de construcciones de líneas, y par asustituir uno á otro procedimiento con el fin de alcanzar un mismo resultado.
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 8

45. Simetría de las relaciones y sus aplicaciones.—La consideración del triángulo tiene la preciosa ventaja de que pudiéndose expresar cada uno de sus lados ó de sus ángulos bajo la misma forma que los otros dos, dichas relaciones triplicadas conducen por combinaciones sucesivas á multitud de expresiones analíticas de numerosas aplicaciones.

Una de estas aplicaciones es la del sistema de coordenadas bari-céntricas que permite representar las figuras por medio de expresiones homogéneas que las hace en muchas ocasiones preferibles á las coordenadas cartesianas.

46. Relaciones entre los diversos sistemas de coordenadas.—La trigonometría, además del sistema de coordenadas baricéntricas, ha dado origen al sistema ae coordenadas polares, y aun la consideración simultánea del módulo y el factor binomio que corresponde á la dirección para determinar un punto, le permite representar las expresiones imaginarias y particularmente las raíces de las ecuaciones binomias, estableciendo un enlace entre la Geometría y el Álgebra.

El método trigonométrico, como dice Cournot(*), es un medio indirecto y simulado de aplicar la Geometría analítica que consiste generalmente en sustituir, sea á las coordenadas, sea á los parámetros que entran en las ecuaciones de la Geometría analítica, funciones de estas coordenadas ó de estos parámetros, y en plantear el problema con auxilio de ciertas relaciones derivadas y secundarias.

CAPITULO III

Los métodos de la Geometría proyectiva.

§ 1.º—Métodos generalizados de Poncelet

47. Generalidades a).—Define Poncelet las figuras proyectivas como aquéllas cuyas dependencias son indestructibles por efecto de la proyección, llamando relaciones ó propiedades proyectivas todas aquéllas que subsisten en las figuras dadas y en sus proyecciones.

Supuesto proyectado desde S un sistema de puntos A, B, C,..... en A', B', C',..... las áreas de cada par de triángulos correspondientes SAB, SA'B' son como los rectángulos SA.SB y SA'.SB', de manera

(*) De l'origine et des limites de la correspondence entre l'Algèbre et la Géométrie, pág. 282.
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 9

que la relación del área de cada uno de estos triángulos al rectángulo que le corresponde es constante, si se llama \( \frac{1}{2} m \) á esta relación y \( p \) á la altura del triángulo, se tiene

\[
\text{Area de SAB} = \frac{1}{2} p . AB = \frac{1}{2} m . a . b \quad \text{de donde } AB = m . \frac{a . b}{p}
\]

Análogamente para otra recta CD se tendrá \( CD = m' \frac{c . d}{p} \)

Dada una relación entre las partes de una figura dada ABCD..., observa Poncelet que, para que subsista, cualquiera que sea la posición de los puntos A, B, C, ... ó A', B', C', ... sobre las proyectantes SA, SB, ...; si se reemplazan en vez de las cantidades que entran en dicha relación sus valores arriba obtenidos, deberá ésta satisfacerse independientemente de toda magnitud particular atribuída á las rectas SA, SB, ... ó \( a, b, p, ... \) que fijan la posición de los puntos correspondientes A, B, ... y por consiguiente, deberán desaparecer estas rectas ó distancias del resultado de la sustitución, sea por reducciones parciales, sea como factores comunes á todos sus términos.

Entre las relaciones proyectivas son dignas de especial consideración las expresadas por ecuaciones de dos términos, sin denominador, compuestas cada una de un mismo número de factores, que representan simples distancias entre los diversos puntos de una figura dada, y tales que: 1.º *Se hallen las mismas letras en los factores lineales que componen los dos miembros*. 2.º *Que á cada distancia perteneciente á uno de los dos miembros corresponde otra en el segundo que esté en la misma recta que la primera*, tal es, por ejemplo, la relación

\[
CA . DB = DA . CB
\]

que constituye la relación armónica

\[
\frac{CA}{CB} = \frac{DA}{DB}
\]

Así mismo la relación

\[
AP . AP'. BQ . BQ'. CR . CR' = BP . BP'. CQ . CQ'. AR . AR'
\]

que traduce el teorema de Carnot.

*Si un triángulo ABC cualquiera situado en el plano de una sección cónica, cuyos lados AB, BC, AC, ó*

(*) Traité des propriétés projectives, pág. 7.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

EL CONGRESO DE BESANZON

L'Association française pour l'avancement des sciences publiques, como se dijo ya en este periódico al tratar del Congreso de Marsella (t. I, pág. 291), un tomo anual, en el cual se contienen los trabajos correspondientes á sus cuatro grupos: 1.º, ciencias matemáticas; 2.º, ciencias físicas y químicas; 3.º, ciencias naturales; 4.º, ciencias económicas, subdividiéndose en 17 secciones, á saber: 1.ª, de matemáticas, astronomía y geodesia; 2.ª, de mecánica; 3.ª, de navegación; 4.ª, de ingeniería civil y militar; 5.ª, de física; 6.ª, de química; 7.ª, de meteorología y física del globo; 8.ª, de geología y mineralogía; 9.ª, de botánica 10, de zoología, anatomía y fisiología; 11, de antropología; 12, de ciencias médicas; 13, de agronomía; 14, de geografía; 15, de economía política y estadística; 16, de pedagogía; 17, de higiene y medicina pública.

Otro de los medios adoptados para realizar sus fines es la celebración anual de congresos científicos en ciudades distintas de Francia, designadas previamente por la Asociación.

Este año se ha fijado la ciudad de Besanzon como punto donde ha de celebrarse la sesión general, que durará ocho días, bajo la presidencia de M. Ch. Bouchard, miembro del Instituto y de la Academia de Medicina; siendo también presidente de las dos secciones primeras que comprenden las Matemáticas, la Astronomía, Geodesia y Mecánica M. G. de Longchamps, profesor de matemáticas especiales en el Liceo Saint-Louis de París.

El Congreso se inaugurará el jueves 3 de Agosto próximo, y terminará el 10 del mismo mes.

Independientemente de las sesiones de las secciones y de las conferencias el Congreso comprenderá visitas científicas é industriales y excursiones. Una excursión de tres días, 11, 12 y 13 de Agosto, tendrá lugar en el Jura después de cerrarse la sesión.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 11

que hemos estudiado en los Elementos, á saber: las relaciones anar-mónica, armónica y de involución, etc., y que generalizándose y modificándose llegan hasta las teorías superiores de las curvas y de las superficies.

(Se continuará.)

NOTA SOBRE LA CUESTIÓN PROPUESTA NÚMERO 61 (°)

POR

el Sr. D. Alfredo Schiappa Monteiro.

Después de publicada la interesante nota por el sabio matemático M. H. Brocard (*) sobre esta cuestión, que propuso, y cuya restricción nos ha hecho limitar su estudio, no podemos ahora dejar de ocuparnos de las propiedades que habíamos omitido entonces en nuestra solución, así como de entrar en ciertos desarrollos y de presentar simplificaciones en las construcciones que hemos hallado después de a publicación de la solución, como sucede ordinariamente en trabajos de esta naturaleza.

Al mismo tiempo no podemos tampoco dejar de agradecer la benevolencia que M. Brocard nos ha dispensado y que nos anima á ocuparnos nuevamente de este asunto, á pesar de nuestros débiles recursos.

Generación de la curva.

Como se sabe, esta cúbica clásica unicursal (F), de la que el doctor Julius Plücker se ha ocupado también de paso en su estudio general sobre las curvas de tercer orden (**), puede engendrarse de diversas maneras, de las cuales vamos á considerar algunas.

Por el punto M tracemos paralelamente á AA' la recta MM₀ que corta á YY', AB, BC, A's₁, M'T' en los puntos v₀, i, m, u₀, M₀, y sean g, g₀, g'₀, g' los puntos de intersección de PM, YY', A's₁, P'M' con B't'. perpendicular á BC.

Según esto, siendo los triángulos rectángulos AMi, mB'i evidentemente iguales, se tendrá MA = mB = Mg. Para el punto M' se tendrá análogamente M'A = M'g', y los dos círculos (M) y (M') de radios respectivamente iguales á MA, M'A cortarán ortogonalmente en los pun-

(*) Véase El Progreso Matemático, t. II, págs. 128, 300.
(**) Véase el mismo periódico, t. III, pág. 82.
(***) Véase System des analitischen Geometrie, von Dr. Julius Plücker (1835). S. 138, N. 200.
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 12

tos g y g' al círculo (B) de radio BA, de la serie de círculos que tienen por cuerda real común segmento AA' = 2a. Luego

La cúbica (F) puede ser engendrada por el centro de un círculo variable (M), que pasando por uno de los puntos límites A de una serie de círculos (B), (O), (C),..., que tienen por cuerda real común el segmento AA' = 2a, corta ortogonal á uno de los círculos (B) de esta serie.

Es fácil ver que los puntos M y M' pertenecen á una parábola (\( \mu \)) que tiene respectivamente por foco y directriz el punto A y la recta Bg_0gB_1, y por consiguiente, por vértice el punto medio del segmento Ag_0.

Es fácil deducir la ecuación de la curva partiendo de esta generación

En efecto, se tiene

\[
\overline{MA}^2 = \overline{MB}^2 - \overline{AB}^2;
\]

pero los triángulos rectángulos semejantes BAM y AOm dan

\[
\overline{MB} = \frac{mA}{OA} \cdot \overline{AB}
\]

y reemplazando este valor en (1), resulta

\[
\overline{MA}^2 = \overline{AB}^2 \left( \frac{mA^2}{OA^2} - 1 \right)
\]

ó bien

\[
\overline{MA}^2 = \frac{Om^2}{OA^2} \cdot mM^3
\]

Pero como se tiene

\[
MA = \rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad mM = x + a, \quad Om = y
\]

se obtiene

\[
y^2 = \frac{a^2 x}{a + 2x}
\]

ecuación cartesiana de la cúbica (F).

Siendo las rectas Mv_jm, M'm'v'_0'i' tangentes al círculo (C), de diámetro \( r_0A = 2AC \) de esta serie, resulta que:

Cuando una circunferencia variable (C) pasa por dos mismos puntos A, A', sus tangentes Mm, M'm', paralelas á la cuerda AA' determinada por estos puntos, cortan al diámetro \( r_0A \) que pasa por uno de estos puntos A, en un par de puntos M y M', cuyo lugar geométrico es la cúbica (F).

Basándose en esta generación, se tiene para el punto M

\[
\overline{Mm}^2 = MA \cdot M_{r_0} = MA (MA + 2AC)
\]
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 13

\[
Mm^2 = MA^2 \left(1 + 2 \frac{AC}{MA}\right)
\]
expresión que, en virtud de la semejanza de los triángulos OAC y PMA, se reduce á
\[
Mm^2 = MA^2 \left(1 + 2 \frac{OA}{AP}\right)
\]
do la cual se deduce la ecuación (3), reemplazando los valores respectivos de estos segmentos.

Si se trazan las directrices mi_0Am_1, m'_1m'Δ'i'_0 de la hipérbola (H) que tiene el segmento τ_0A por eje transverso y los puntos M, M' por focos, estos puntos serán los polos de estas directrices con relación al círculo variable (C) de radio AC, b lo que es igual, los pares de puntos M, Δ; M', Δ' serán conjugados armónicos del par de puntos A, τ_0.

Considerando la hipérbola equilátera (He), cónica suplementaria del círculo (C) con relación á su diámetro τ_0A, los puntos Δ y Δ' serán los polos de las cuerdas principales de esta hipérbola, que pasan por los focos M, M', de la hipérbola (H). La longitud de estas cuerdas será igual á 2Mm ó á 2AB, y se tendrá CO = CA = Δ'C.

En virtud de la igualdad de los triángulos Om_i_0 y ΔΔi_0, se tendrá también ΔA = Om = Δv_0 = PM. Según esto, teniendo el círculo (m) el centro en m y el radio mv_0 = a, y siendo tangente á las rectas YAY', S_2A'S'_4 en los puntos v_0, u_0 también será tangente al radio vector AM en el punto Δ, y, por consiguiente, de esto se concluye que:

Dada una recta YAY' y un punto fijo Λ en ésta, si un círculo (m) de radio constante a se mueve en su plano teniendo siempre esta recta por tangente, su radio de contacto mv_0 cortará á la segunda tangente AA', trazada por este punto fijo en un punto M cuyo lugar es la cúbica (F).

De esta última propiedad se deduce fácilmente la ecuación de la curva, puesto que se tiene
\[
\overline{MΔ}^2 = Mv_0 \cdot Mu_0
\]
\[
(\sqrt{x^2 + y^2} + y)^2 = x(x + 2a)
\]
de lo que resulta la ecuación (3).

La ecuación polar deducida de (7) será
\[
\rho = \frac{a}{tg \theta (1 + \operatorname{sen} \theta)}
\]
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 14

El círculo m'ACA_0 ó (K) que tiene por diámetro el segmento Ci de la bisectriz del ángulo ACB, es decir, que está circunscripto al cuadrilátero Cm'A ó al triángulo isósceles CA'm, puede también ser el círculo generador de la curva considerada, y por consiguiente decirse que:

Cuando un círculo variable (K) pase constantemente por un punto fijo A, y corta á una recta también fija BC en dos puntos m, C, tales que la cuerda mc que éstos determinan sea igual á la cuerda AC determinada por uno de estos puntos C y por el punto fijo, el lugar del punto de intersección M de esta cuerda con la mi trazada por el otro punto m perpendicularmente á la primera cuerda mc es la cúbica (F).

Considerando las secantes Mm, MC á este círculo, se tiene

\[
Mm \ (Mm - im) = MA \ (MA + AC)
\] (10)

pero los triángulos rectángulos semejantes m'iB, OAB dan

\[
im = AO \frac{Bm}{BO} = AO \frac{MA}{MA + MP}
\] (11)

y por la comparación de los triángulos rectángulos AOC y APM resulta

\[
AC = MA \frac{AO}{AP}
\] (12)

de donde

\[
Mm \left( Mm - AO \frac{MA}{MA + MP} \right) = MA^2 \left( 1 + \frac{AO}{AP} \right)
\] (13)

expresión que nos conduce á la ecuación (3).

Es fácil ver que los arcos Ai, im, mA_0 del círculo (K) son iguales al tercio del arco AmA_0 de este círculo.

Lo mismo sucede á los arcos AC, Cm', m'A'_0 respecto al arco Am'A'_0 del círculo Am'i' ó (K') relativo al punto M'.

Las bisectrices Ci y Ci' del ángulo ACm y de su suplemento m'CA son las tangentes en los puntos i e i' de una parábola (i) que tiene respectivamente por foco y directriz el punto A y la recta OB, pasando, por consiguiente, por los puntos s y s', y cuyo vértice es el punto medio ψ del segmento OA.

Siendo los radios vectores Ai y Am de la parábola (i) y de la cúbica (F) los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa iM es perpendicular á la directriz, resulta que:

Cuando dos radios vectores ortogonales Ai y AM de una parábola (i) giran alrededor de su foco A, la recta mi trazada por el extremo i de uno de estos radios vectores Ai, perpendicularmente á la directriz BC, cortará al otro radio vector AM en un punto M cuyo lugar es la cúbica (F').
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 15

Como se vé, la cúbica (F) y la parábola (i) pueden considerarse respectivamente como las transformadas de la parábola (i) descripta por los puntos \( \gamma^0, \gamma^{0'} \), y de su directriz BOC, por el movimiento de las rectas C\( \gamma^0 \), B\( \gamma^{0'} \) hasta tomar las posiciones m'i, mi, de manera que se tiene

\[
Ai' = i'm', \qquad Ai = im, \quad \delta M'i' = i'B, \; mi = iB
\]

Se puede deducir fácilmente la ecuación de la cúbica (F) partiendo de esta generación.

En efecto, el triángulo rectángulo iAM da

\[
\overline{\Lambda v_0}^2 = \overline{v_0M} \cdot v_0i
\] (14)

Y si se designa por \( x_0 \) la abscisa del punto i de la parábola (i), su ecuación, referida á su foco A, será

\[
y^2 = a^2 - 2ax_0
\] (15)

de la que se deduce

\[
v_0i = x_0 = \frac{a^2 - y^2}{2a}
\] (16)

Según esto, la expresión (14) se reduce á

\[
y^2 = x \frac{a^2 - y^2}{2a}
\] (17)

de lo que resulta la ecuación (3)

Las sub-tangentes cartesianas TP y T'P' de la cúbica (F), relativas á los extremos M y M' de la cuerda giratoria MAM', ó de dos radios vectores AM, AM' de igual dirección, son iguales,

En efecto, en nuestra solución hemos mostrado que siendo la expresión de la sub-tangente cartesiana

\[
S_t = \frac{x(x + 2a)}{a}
\] (18)

se tenía para el punto M

\[
P_{\sigma_a} = a, \quad P_{\sigma_x} = \Lambda'P = x + 2a
\]

de donde resulta

\[
S_t = \frac{AP \cdot A'P}{a} = TP
\] (19)
El Progreso matemático (1893-07-15 00:00:00), página 16

Igualmente se tenía para el punto M'

\[
P'\sigma'_a = a, \quad P'\sigma'_x = A'P' = -x + 2a
\]

y por consiguiente,

\[
S'_t = \frac{A'P'A'T'}{a} = T'T'
\] (20)

Ahora, se tiene evidentemente

\[
A'P' = -A'T' \quad y \quad A'P' = -AP
\]

luego

\[
S_t = S'_t \quad ó \quad TP = T'T'
\] (L. Q. D. D.)

La expresión (18) da para el punto M

\[
\frac{S_t - x}{x} = \frac{x + a}{a} = \sqrt{1 + \frac{x + 2a}{a^2 x}} x
\] (21)

y en virtud de la ecuación (3) resulta

\[
\frac{S_t - x}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{y} \quad ó \quad \frac{S_t - x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{y}
\] (22)

Luego los triángulos rectángulos AMP y Tyg son semejantes, y el punto de intersección v de Ty con Ag_a determinará con los puntos g, M, A un rombo AMgv; y por consiguiente el triángulo rectángulo TvA será semejante á aquellos dos triángulos.

Así de esto se concluye que:

La cúbica (F') referida á coordenadas rectangulares es una curva tal que la sub-tangente TP de un punto M disminuida en la abscisa AP está siempre al radio vector AM de este punto que parte del origen A, en la misma razón que la abscisa AP á la ordenada PM.

Según esto, la ecuación diferencial de las curvas que tienen esta propiedad será:

\[
y \frac{dx}{dy} - x = \frac{x}{y} \sqrt{x^2 + y^2} = x \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}
\] (23)

cuya integración es muy fácil.

En efecto, multiplicando esta ecuación por dy y por \( \frac{1}{y^2} \), se obtiene

\[
\frac{y dx - x dy}{y^2} = \frac{dy}{y} \frac{x}{y} \sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}
\] (24)