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Haciendo \( \theta = \frac{\pi}{2} \), se ve que V ó cot \( \omega \) es la relación de semejanza de 2 triángulos que tienen sus lados perpendiculares entre sí circuns- erito el uno al otro.

El conjunto de estos triángulos se compone del triángulo ABC y de 2 triángulos A'B'C', A''B''C'' iguales entre sí y cuyos lados forman paralelógramos.

El centro de figura del sistema de los 2 triángulos iguales es el centro del círculo ABC.

Para otras propiedades estudiadas más recientemente, puede consultar el artículo de M. d' Ocagne (J. E. 1891 quest. 37).

La construcción del triángulo A'B'C', supuesto exterior al ABC no ofrece ninguna dificultad; pero el problema inverso de la determinación del triángulo A'B'C' ofrece un interés particular.

Si en efecto, se da un punto sobre el lado B'C', se proyecta enseguida M en N sobre A'C'; N en P sobre A'B', P en M_1 sobre B'C', etc., el límite de los puntos M, M_1, M_2,... será el pun- to C. Ahora, ensayando esta construcción, se hace evidente la notable rapidez del trazado MNPM_1N_1P,... á aproximarse á su límite ABC.

Esto se funda en la convergencia de la serie recurrente

\[
m_2 = a \ sen \ A \ sen \ C \ cos \ B - m_1 \ cos \ A \ cos \ B \ cos \ C
\]

que tiene por límite

\[
m = \frac{a \ sen \ A \ sen \ C \ cos \ B}{1 + \cos \ A \ cos \ B \ cos \ C} = \frac{a \ cot \ B}{\cot \ \omega}
\]

Tales son, aparte de otras, las observaciones de menor importancia, los principales resultados obtenidos y publicados en 1877.

(Se continuará)

Z. G. G.

LAS GENERALIZACIONES DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
POR M. EMILE VIGARIÉ

(CONCLUSIÓN)

POLÍGONOS ARMÓNICOS

14.—En la Geometría del triángulo, una de las teorías que han contribuido más eficazmente á facilitar las investigaciones es la teo-
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ría de tres figuras directamente semejantes. Las generalizaciones de que ha sido objeto el triángulo han conducido á M. Tarry á dar una teoría general de las figuras asociadas de que diremos algunas palabras (1):

1. Si se une un punto cualquiera X de una circunferencia Z á n puntos fijos I₁, I₂,... Iₙ de la misma circunferencia, y en el mismo sentido á partir de X, se toman sobre estas rectas segmentos I₁A₁, I₂A₂,... IₙAₙ proporcionales á números dados d₁, d₂,... dₙ, entonces se llamará sistema asociado á un sistema de n figuras semejantes, construidas sobre I₁A₁, I₂A₂,... IₙAₙ.

2. Los puntos I₁, I₂,... Iₙ se llaman puntos invariables del sistema.

3. Los centros de semejanza de un sistema de figuras asociadas se hallan en un mismo círculo. Este círculo, que pasa por los puntos invariables se llama círculo de semejanza del sistema.

4. La figura formada por n puntos homólogos se halla en perspectiva con la formada por los n puntos invariables.

5. Todo sistema de n rectas homólogas que pasan por los puntos invariables forman un haz de rectas concurrentes.

6. En un sistema de n figuras asociadas, los puntos de intersección de n rectas homólogas son perspectivos con los centros de semejanza de las figuras.

7. En un sistema de n figuras asociadas, el centro de semejanza de dos polígonos cualesquiera, formados cada uno por un sistema de n rectas homólogas, es un punto del círculo de semejanza.

8. Los seis centros de semejanza de un sistema de cuatro figuras asociadas se hallan en involución.

9. Si en un sistema de n figuras asociadas F₁, F₂,... Fₙ existen n + 1 puntos tales, que A₁A₂, A₂A₃,... AₙAₙ₊₁ sean rectas homólogas de estas figuras, entonces la línea quebrada A₁A₂,... Aₙ₊₁, se llama polígono de Tarry.

10. Si A₁A₂,... Aₙ₊₁ es una línea de Tarry é I₁, I₂,... Iₙ, los puntos invariables, se tiene:

ángulo I₁A₂A₃ = ∠ I₁A₂A₃ = ... = ∠ IₙAₙAₙ₊₁

ángulo I₁A₂A₁ = ∠ I₁A₃A₂ = ... = ∠ IₙAₙ₊₁Aₙ.

11. Sean A, C, C, D,... puntos situados sobre una misma circunferencia O, sus inversos A', B', C', D',... con relación á un polo de trans-

(1) Véase sobre este asunto: G. Tarry. Sur les figures semblablement associées (Mathesis. 1886. pp 97-100, 148-151.—J. Casey A Sequel to Euclid. 1889.
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formación S se hallan situados en una segunda circunferencia O'. Convengamos en mirar como elementos correspondientes de las dos figuras \( \varphi \) y \( \varphi' \) los puntos A y A', B y B',... Habiéndose tomado el punto S en el plano ABC, diremos con MM. Neuberg y Tarry que \( \varphi' \) es la proyección ó perspectiva antiparalela de \( \varphi \).

12. Si tomamos S en el plano ABC, y si la potencia de inversión es igual á la potencia del punto S con relación al círculo O, decimos que \( \varphi' \) es la proyección armónica de \( \varphi \). El círculo O se llamará círculo principal.

Después de las anteriores consideraciones pasemos á la teoría de los polígonos armónicos.

13. Se llama polígono armónico todo polígono inscriptible de un número cualquiera de lados que tiene en su plano un punto de Lemoine, es decir, un punto K tal, que las perpendiculares bajadas desde este punto á los lados son proporcionales á éstos.

14. Los inversos de los vértices de un polígono regular de un número cualquiera de lados, con relación á un punto cualquiera, son los vértices de un polígono armónico de un mismo número de lados.

15. Si O es el centro del círculo circunscrito al polígono armónico y K el punto de Lemoine de este polígono, el círculo descrito sobre KO como diámetro se llama círculo de Brocard del polígono armónico.

16. Si los vértices de un polígono armónico de n lados se designan por 1, 2, 3,... n, y si K es su punto de Lemoine, el polígono estrellado formado por las cuerdas (13), (24), (35)... es un polígono armónico que admite K por punto de Lemoine.

El polígono formado por las cuerdas (14), (25), (36)... es un polígono armónico que tiene también por punto de Lemoine á K.

Si 1, 2, 3,... 2n son los vértices de un polígono armónico de un número par de lados, el polígono formado por los vértices alternados 1, 3, 5,... 2n - 1 es un polígono armónico, así como el polígono formado por los vértices 2, 4, 6.... 2n, y estos tres polígonos tienen el mismo punto de Lemoine.

Si 1, 2, 3,... n son los vértices de un polígono armónico de n lados, las cuerdas (2n), (3n - 1)... son concurrentes. Los pares (2n) (3n - 1)... pertenecen á una involución que tiene por puntos dobles el punto 1 y el punto en que la recta que une el vértice 1 al punto de Lemoine corta al círculo circunscrito.

Las rectas que unen los vértices de un polígono armónico al punto de Lemoine son las simedianas del polígono.

Los vértices de un polígono armónico forman tantos sistemas en involución como simedianas.
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17. El punto de Lemoine K y su polar armónica con relación al círculo circunscrito son polo y polar armónicos con relación al polígono.

La recta de que se trata se llama recta de Lemoine del polígono.

Si un polígono armónico se transforma por polares recíprocas con relación á un círculo que tiene su centro en el punto de Lemoine del polígono, el polo de su recta de Lemoine es el centro de las distancias medias del polígono recíproco.

18. Si las longitudes de los lados de un polígono armónico son \( a, b, c, ... \) y si las perpendiculares bajadas á éstos desde un punto P de la recta de Lemoine son \( \alpha, \beta, \gamma, ... \) se tiene:

\[
\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} + ..... = 0
\]

Si se designan por \( p_1, p_2, ..., p_n \), n perpendiculares bajadas desde los vértices de un polígono armónico y de su punto de Lemoine sobre la recta de Lemoine, se tiene:

\[
\sum \frac{1}{p} = \frac{n}{n}.
\]

Si una transversal cualquiera trazada por el punto de Lemoine K corta los lados del polígono armónico de n en puntos R_1, R_2, ..., R_n y al círculo circunscrito en P, se tiene

\[
\frac{1}{R_1P} + \frac{1}{R_2P} + .... + \frac{1}{R_nP} = \frac{n}{KP}
\]

19 Si por el punto de Lemoine K de un polígono armónico se traza una paralela á la tangente al círculo circunscrito, en uno de los vértices, el segmento de la paralela comprendido entre el punto de Lemoine y el uno ó el otro de los lados del polígono que pasa por este vértice, es constante.

Si MN es la longitud del segundo, se tiene:

\[
MN = R \ tg \omega
\]

El ángulo \( \omega \) que fija el valor de esta constante es el ángulo de Brocard del polígono armónico.

20. Como en el caso del triángulo, es facil obtener los círculos de Tucker y sus numerosos casos particulares, que se deducen del teorema siguiente:
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 14

Si las simedianas AK, BK,... de un polígono armónico se hallan divididas en los puntos A', B',... en una razón dada, y por estos puntos se trazan paralelas á las tangentes en los vértices, cortando cada paralela los dos lados que pasan por el vértice correspondiente, todos los puntos de intersección se hallan en un mismo círculo, y tomados alternativamente, forman los vértices de dos polígonos armónicos.

Este grupo de círculos comprende todos los círculos de Tucker.

El segmento que un círculo de Tucker intercepta en el lado AB de un polígono armónico tiene por valor

\[
2 R \left( l \sin A - m \cos A \tan \omega \right) : (l + m)
\]

siendo \( l : m \) la relación en la que las simedianas se hallan divididas en los puntos A', B'.... (teorema precedente), y designando A el ángulo que forma el lado AB con el círculo circunscrito.

Dando diversos valores á la relación \( l : m \) se obtienen los casos particulares de que hemos tratado ya:

1.º Si \( l = m \), se tiene el primer círculo de Lemoine.
2.º Si \( l = 0 \), se tiene el segundo círculo de Lemoine.
3.º Si \( l = m \tan^2 \omega \), se tiene el Círculo de Tucker mínimo.
4.º Si el polígono se reduce á un triángulo, y si \( l : m \) es igual á

\[
-\cot A \cot B \cot C : \cot \omega,
\]

se obtiene el Círculo de Taylor.

Se puede dar, para los círculos de Tucker, una construcción análoga á la dada para el caso del triángulo. En efecto, si ABC..., A'B'C'..., son dos polígonos armónicos homotéticos, de un número cualquiera de lados, K su centro de homotecia, y si los pares de lados consecutivos de A'B'C'..., prolongados si es preciso, encuentran á los lados correspondientes de ABC.... en los pares de puntos \( xx' \), \( \beta \beta' \), \( \gamma \gamma' \),..., los puntos \( xx' \), \( \beta \beta' \), \( \gamma \gamma' \),..., se hallan en un mismo círculo.

Las rectas \( xx' \), \( \beta \beta' \), \( \gamma \gamma' \), son los lados de un polígono homotético con el que forman las tangentes trazadas en los vértices ABC....

Resulta de aquí que, si el polígono armónico ABC..., tiene un número par de lados, los puntos de intersección de las rectas \( xx' \), \( \beta \beta' \), \( \gamma \gamma' \),..., tomadas por pares opuestos, se hallan en línea recta.

Los desarrollos precedentes, aunque muy incompletos, bastarán para dar una idea de las generalizaciones de que ha sido objeto la Geometría del triángulo, y para estimular á los lectores á continuar estos interesantes estudios, que encontrarán en las memorias de
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MM. Tarry, Neuberg, Simmons y Casey que hemos citado al principio de esta Nota, todos los detalles que les puedan ser útiles. Y estos son los únicos trabajos, que al menos, según nuestras noticias, se han publicado sobre el asunto.

ÁLGEBRA
An elementary text-book by G. Chrystal prof. of the University of Edinburgh. (1)

(CONCLUSIÓN)

En particular, para el caso de la raíz cuadrada obtiene:

\[
\sqrt{(x + y i)} = \pm \left( \sqrt{\left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{2} \right)} \pm i \sqrt{\left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{2} \right)} \right)
\]

pero enseguida llega á establecer en general la existencia de las \( n \) raíces enésimas de \( +1 \) por medio de las potencias \( \omega^1, \omega^2, ..., \omega^n \) de una raíz imaginaria primitiva \( \omega \), la descomposición de una función entera \( x^n + A \) en \( n \) factores de primer grado y, por último, la proposición fundamental de la teoría de ecuaciones que expresa la descomposición de la función

\[
f(z) \equiv A_0 + A_1 z + A_2 z^2 + .... + A_n z^n
\]

cuyos coeficientes \( A_0, A_1, A_2, ..., A_n \) son números complejos en el producto de \( n \) factores \( z - z_1, z - z_2, z - z_3, ..., z - z_n \), cuyos términos en general, son números complejos.

La teoría de razones y proporciones lleva al autor á fijar el concepto de función en el caso sencillo de la proporcionalidad, ya simple, ya compuesta, pues en este caso, si

\[
y_1 \propto x_1, ..., y_n \propto x_n
\]

(siendo \( \propto \) el símbolo de la proporcionalidad), se tiene que

\[
y_1, y_2, y_3, ..., y_n \propto x_1, x_2, x_3, ..., x_n.
\]

Si \( y \propto x \), será \( z y \propto z x \), sea \( z \) constante ó variable; y este concepto de función se desenvuelve de una manera más detallada y general

(1) Véanse las Páginas 86 y 57 de este periódico.
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en el siguiente capítulo donde se establece la diferencia que existe entre la ecuación idéntica y la ecuación condicional; entre las ecuaciones algébricas y las transcendentas, entre la solución formal de un sistema de ecuaciones ó solución algébrica y su solución aproximada ó numérica, expone los principios fundamentales en la resolución de estos sistemas, y de una manera gradual lleva al lector á las proposiciones generales que expresan las circunstancias dignas de estudiarse en la variación de las funciones, como la discontinuidad los valores infinitos, que acompaña de representaciones gráficas, y especialmente el caso de la continuidad, demostrando que la suma algebraica ó el producto de un número finito de funciones enteras de x son funciones continuas, y que \( \frac{P}{Q} \) es finita y continua para todos los valores de x, exceptuados los que hacen Q = 0, que si f(x) es continua desde x = a hasta x = b y f(a) = p, f(b) = q, cuando x recorre los valores algebraicos contenidos entre a y b, f(x) pasa por lo menos una vez ó un número par de veces entre p y q, etc. Las numerosas representaciones gráficas que acompañan al texto hacen en extremo interesantes las proposiciones relativas á los valores máximos y mínimos de las funciones de una variable, á la continuidad de las funciones enteras de dos variables, representada como se sabe por una superficie, y á las funciones de una variable compleja, es decir, cuya variable x es de la forma \( \xi + \eta i \). Si por ejemplo, \( y = i x^2 + 8 \), y se hace \( x = \xi + \eta i \) é \( y = \xi' + \eta' i \), se tiene

\[
\xi' + \eta' i = i (\xi + \eta i)^2 + 8 = 2 (4 - \xi \eta) + (\xi^2 - \eta^2) i,
\]

de donde resulta

\[
\xi' = 2 (4 - \xi \eta), \quad \eta' = \xi^2 - \eta^2;
\]

y siendo \( \xi' \) y \( \eta' \) funciones continuas de \( \xi \) y \( \eta \), cuando éstas también lo son, los valores de éstas que anulan á \( \xi' \) y \( \eta' \) están representados por dos curvas, de manera que en el ejemplo de que se trata, dichas curvas \( 2 (4 - \xi \eta) = 0 \) ó \( 4 - \xi \eta = 0 \) y \( \xi^2 - \eta^2 = 0 \) se hallan representadas por una hipérbola equilátera y por las bisectrices de los ejes rectangulares.

También, después de una exposición elemental de los sistemas de ecuaciones lineales, la discusión gráfica de las funciones lineales de una y de dos variables conduce á la línea recta como representación correspondiente.

La raíz común de dos ecuaciones \( y = ax + b, \ y' = a' x + b' \) está representada por la intersección de las dos rectas correspondientes á
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á la ecuación \( z = ax + by + c \) corresponde una serie de rectas paralelas determinadas por la serie sucesiva de valores atribuidos á \( z \).

En las ecuaciones de 2.º grado se trata de algunos artificios empleados para reducir ecuaciones y para hacerlas racionales, de los casos en que ciertas ecuaciones dependen de otras de 2.º grado, de los sistemas homogéneos y simétricos, de las relaciones entre los coeficientes de una función y sus raíces. La variación de las funciones de 2.º grado para valores reales de la variable, los problemas de máximos y mínimos y la discusión de la función

\[
y = \frac{ax^2 + bx + c}{a'x^2 + b'x + c'}
\]

se hallan ilustrados por las correspondientes representaciones gráficas.

En fin, las series aritmético-geométricas, las progresiones armónicas y la función logarítmica terminan el primer tomo de la importante Algebra de Mr. Chrystal.

Respecto del 2.º, aunque su importancia es mayor si cabe que la del 1.º, por referirse á ideas teorías de mayor generalidad, cuyo desenvolvimiento se ha preparado en éste, bastará decir que, á las permutaciones y combinaciones siguen los teoremas del binomio y polinomio, á éstos los principios fundamentales de la teoría de las sustituciones referentes á su orden, sus grupos, sus ciclos y su descomposición en transposiciones, después la teoría de las desigualdades y sus aplicaciones á la de máximos y mínimos.

El capítulo en que se trata de los límites comienza un nuevo orden de teorías que conciernen, aunque de paso, al cálculo diferencial é integral, y es interesantísimo, tanto por la importancia de las cuestiones en él tratadas, como por la claridad de la exposición y los detalles de que abunda.

Mr. Chrystal cree necesario anteponer á los principios del cálculo infinitesimal el estudio de las formas indeterminadas

\[
\infty - \infty,\quad 0 \times \infty,\quad \frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},
\]

demuestra los teoremas relativos á los límites de sumas, etc., de funciones, teniendo en cuenta dichas formas, trata las funciones \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \) en conexión con las funciones racionales, el límite de la exponencial, é importantes teoremas de Cauchy concernientes á este asunto, para
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ocuparse después de la suma de un número infinito de términos infinitamente pequeños.

Las series y los productos infinitos ocupan una parte principal en el tomo 2.º La convergencia de las primeras, según Cauchy, la escala logarítmica de Morgan, el criterio de Bertrand, las series hipergeométricas, las que contienen factores periódicos, las series de términos complejos, la aplicación de las leyes fundamentales del Algebra asociativa, conmutativa y distributiva á las series infinitas, los teoremas de Bois-Reymond y de Abel sobre la continuidad, los productos infinitos, ya de factores reales, ya complejos, la convergencia de las series dobles, las series binomias y multinomias, las series deducidas por desarrollos de funciones racionales de \( x \), la serie logarítmica, son cuestiones tratadas sucesivamente; y después, partiendo de la consideración de variables complejas acompañada de su representación geométrica, es decir, la consideración de las curvas descritas simultáneamente por la función \( u + ei \) y la variable \( x + y i \), según la manera empleada por Argand ó el modo de proceder de Riemann, ó la representación círculo-espiral, trata de la inversión de \( w = z^n \) de las ramas de \( \sqrt[n]{i} \), de valor principal de la \( n \) raíz de \( w \), de la ecuación \( w^p = z^q \) que determina \( w \) como una función continua \( p \)-múltiple de \( z \), ó ésta como una función continua \( q \)-múltiple de aquélla.

Después de haber desarrollado las funciones \( \operatorname{sen}\theta \) y \( \cos\theta \), según la potencia de \( \theta \), considera la serie exponencial, cuando la variable es compleja

\[
Exp\ z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \ldots,
\]

deduce el teorema de la adición para la función exponencial,

\[
Exp\ z_1, Exp\ z_2, \ldots, z_m = Exp\ (z_1 + z_2 + \ldots + z_m),
\]

y en particular (\( Exp\ z \))^m = \( Exp\ (mz) \), y determina el modo de variar de la función y de la variable en los planos de las \( w \) y de las \( z \), representando las zonas correspondientes á los períodos de aquélla.

Análogamente trata de las funciones \( \operatorname{Cos}\ z \), \( \operatorname{Sen}\ z \), \( \operatorname{Tang}\ z \), etc., que son generalizaciones de las ordinarias \( \operatorname{sen}\ x \), \( \cos x \), etc., y deduce las fórmulas

\[
\operatorname{Cos}\ z = \frac{1}{2} \left\{ Exp\ (iz) + Exp\ (-iz) \right\},
\]
\[
\operatorname{Sen}\ z = \frac{1}{2i} \left\{ Exp\ (iz) - Exp\ (-iz) \right\}
\]
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y las relaciones algébricas de las nuevas funciones, análogas á las de las funciones circulares, sus períodos, idénticos á los de éstas, que le conducen á las funciones hiperbólicas, á sus variaciones para argumentos reales, á las propiedades análogas de las funciones circulares, á las analogías geométricas entre unas y otras y á la importante discusión gráfica de las funciones circulares generalizadas.

Sea \( u + vi = \cos (x + yi) \), \( u, v, x, y \) son reales.

Además se tiene que

\[
\cos (x + yi) = \cos x \cos yi - \operatorname{Sen} x \operatorname{Sen} yi = \cos x \cosh y - i \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y
\]
\[
y \quad u = \cos x \cosh y, \quad v = -\operatorname{sen} x \operatorname{senh} y,
\]

de lo cual resulta

\[
\frac{u^2}{\cos^2 x} - \frac{v^2}{\operatorname{sen}^2 x} = 1, \quad \frac{u^2}{\cosh^2 y} + \frac{v^2}{\operatorname{senh}^2 y} = 1.
\]

Si en el plano de la \( z \) se traza una recta paralela al eje de las \( y \) (lám. II, fig. 1), á una distancia de éste igual á \( \pi \), á cualquier paralela á \( y \) de esta faja del plano \( z \) corresponderá en el de las \( w \) una rama de hipérbola (lám. II, fig. 2) á la paralela que divide en dos partes iguales la faja corresponde en el plano \( w \) el eje \( v \) (que puede considerarse como la hipérbola del sistema confocal cuyo eje transverso es igual á 0), y á las paralelas que limitan la faja corresponde una doble recta en el eje de las \( u \) (\emph{flat hyperbola}) limitada en el foco F de la rama de la derecha (siendo OF=1). A dos paralelas al eje de las \( x \) corresponden las dos mitades de una clipse confocal con el sistema de hipérbolas. En particular, á FF' en el eje de las \( x \) corresponde la doble recta FOF' (\emph{flat ellipse}). En resumen, á la faja considerada anteriormente en el plano de la \( z \) corresponde una sola vez todo el plano de las \( w \), y lo mismo sucederá para cualquiera otra de las infinitas fajas iguales á la primera en que se divide el plano de las \( z \).

Si \( w = \tan z \) ó \( u + iv = \tan (x + yi) \), (1)
entonces \( u + iv \cos (x + yi) = \operatorname{Sen} (x + yi) \), (2)
es decir,

\[
(u \cos x \cosh y + v \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y) + i(-u \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y + v \cos x \cosh y)
\]
\[
= \operatorname{sen} x \cosh y + i \cos x \cosh y.
\]

Por consiguiente

\[
u \cos x \cosh y + v \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y = \operatorname{sen} x \cosh y
\]
\[
-u \operatorname{sen} x \operatorname{senh} y + v \cos x \cosh y = \cos x \operatorname{senh} y,
\]