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luego otros nombres se agrupan como esquemas de nuevos centros, nombres que en nuestra inteligencia evocan, por cierto poder asociativo de nuestras ideas, la síntesis científica parcial que cada uno representa; estos nuevos nombres son los de Desargues, Pascal, Fermat, Wallis, Huygens, Côtés, Moivre, Euler, Lagrange, Laplace, Legendre, Carnot, Poncelet Brianchon, Cauchy, Abel, Jacobi, Argand, Poinsot, Sturm, Riemann, Chasles, Boole, Cayley, Grassmann, Hamilton, Plücker, Standt, Steiner, Wronski, Lobatchefsky.

Reunid los primeros y tendréis los primitivos centros de luz en cada uno de los puntos fundamentales de la ciencia; sumad los segundos y tendréis nuevos centros que se asocian á los primeros como la luz de un sistema estelario es la resultante de las luces de todos los focos parciales desde los que se propaga. Y si hoy que la ciencia ha adquirido un carácter de universalidad y cosmopolitismo, merced á la obra de la Universidad que no sólo se ha limitado á instruir y educar á los discípulos, sino que ha transcendido hasta continuarse en las Revistas y publicaciones generales, que complementan la ciencia aprendida en las aulas, aún podríamos agregar á las dos series de nombres una tercera en donde se encontrarían, por derecho propio, matemáticos insignes de diversas nacionalidades que en esta segunda mitad del siglo xix han extendido en múltiples direcciones la ciencia, juntamente con otros de distintas épocas que también contribuyeron á establecer los engranajes parciales de unas teorías con otras, ó completar el contenido de cada rama general de la Matemática ó á perfeccionar la disposición de su organismo.

Si pues la ciencia matemática se nos ofrece actualmente con tan incomparable grandeza, tanto por la indefinida variedad de su contenido, como por la extensión de sus contornos que parecen apartarse cada vez más y más por una expansión continua de sus primitivos orígenes, por necesidad la enseñanza ha de amoldar sus procedimientos y métodos á la magnitud y naturaleza de su objeto, ha de seguir una marcha también progresiva, sino se quiere aspirar á un imposible.

La ciencia progresó constantemente pugnando por perderse á la mirada de la inteligencia; pero ésta á su vez posee medios cada vez más eficaces para acercarse á la verdad que se le aleja, y estos recursos intelectuales son los métodos. Cuando la ciencia era pobre y
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sencilla, el genio como ya se dijo, tenía que salvar las distancias considerables entre los elementos del naciente organismo cuyos contornos apenas se hallaban diseñados; luego el método evita los esfuerzos extraordinarios y regulariza la marcha de la inteligencia hacia el descubrimiento ó la posesión de la verdad. Si la Matemática se nos ofrece sucesivamente como un organismo cada vez más rico de verdades, á su vez se nos ofrece como un sistema sucesivamente más rico de métodos que se acumulan y acrecientan nuestra fortaleza. El Algebra, que es un sistema de verdades acerca de un objeto determinado, lleva en su esencia un nuevo método más fecundo y eficaz que la Aritmética. Los procedimientos aritméticos se hallan contenidos en los algebraicos á la manera que la especie en su género. Llega el Algebra á presentarse como conteniendo en sí un método universal, sobre todo cuando Descartes la dió colosal impulso aplicándola á la Geometría; y más tarde sobre el método algebráico se elevan los nuevos métodos que aportan Newton y Leibnitz y que extienden prodigiosamente los recursos de la inteligencia, apta ya para resolver problemas de nueva transcendencia y para reducir á un ejercicio de dialéctica lo que sin estos métodos debiera ser la obra del genio que adivina y atrae con su esfuerzo vigoroso aquello que apareciera bajo la acción de fuerzas repulsivas. A su vez aquella geometría de Euclides que podría llamarse la Geometría lógica ó dialéctica, porque tan sólo se basaba en el encadenamiento de proposiciones equivalentes por una deducción inmediata ó por el método ad absurdum, hoy aparece entre multitud de métodos que han aportado los Desargues, Pascal, Cavalieri, Roberval, y en nuestra época los Monge, Carnot, Poncelet, Chasles, Staudt, etcétera. Tenemos, pues, una ciencia vasta y rica, al lado de métodos numerosos y eficaces, y unos y otros son los objetos que acogidos en el seno de la ciencia, hoy en ella prosperan y se desenvuelven.

La Universidad que hoy es un organismo robusto y bien formado, puede decirse que en sus albores se fué componiendo de elementos dispersos. Euclides, Arquímedes y Apolonio como en otras ciencias varios de sus representantes, según pudiera decirse de Aristóteles en el Liceo y de Platón en la Academia, eran en la Universidad de hoy como las piedras fundamentales en un edificio. Ellos comenzaron el desenvolvimiento científico; luego el espíritu de asociación
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de la humanidad fué reuniendo tan dispersos esfuerzos y la Universidad apareció con un nombre que antes no tuviera, nombre que ya era un emblema bajo cuyo significado se contenía una institución dentro de la que entran por derecho propio aquellos que fueron en el aislamiento de sus lucubraciones sus predecesores, sus genuinos representantes, sus generadores en las épocas donde estaban por formar las instituciones sociales que han ido viniendo como consecuencia de las vicisitudes por que ha atravesado la humanidad en su vida social.

Esta movilidad de los conceptos en la ciencia, comparable á la movilidad de los átomos en los cuerpos, ya en sus modos de estar, ya en sus modos de alterarse que llamamos fenómenos físicos ó químicos, exige que el organismo de la enseñanza varíe armonizándose con las alteraciones de aquéllo en su contenido, y en la disposición de éste dentro de la totalidad. Y así como las condiciones de estabilidad de un cuerpo sobre su base de sustentación aumenta á medida que desciende su centro de gravedad, en la ciencia que se eleva constantemente sobre sus cimientos, debe buscarse el acumular su contenido desde la cúspide hacia éstos para mantener el equilibrio. Por tal razón nuestros planes de enseñanza debieran responder á esta ley á que obedecen algunos modernos programas y algunas obras recientes dedicadas á la enseñanza. Las teorías nuevas que se consideran de orden superior en el momento de su aparición, luego van descendiendo hacia el centro de gravedad de la ciencia para que ésta no resulte de cabeza grande y pies pequeños. Aquellos tratados de cálculo diferencial e integral que en el primer tercio y á la mitad de este siglo se limitaban á la simple exposición del algoritmo creado por Newton y Leibnitz, aquellos libros de Geometría analítica circunscritos á aplicar las coordenadas cartesianas á las secciones cónicas, aquellos tratados de álgebra que se reducían á presentar casi en orden cronológico algunos procedimientos felices ó algunos conceptos originales de Newton, Lagrange, Fourier, Rolle, Sturm y otros matemáticos que se han ido sumando para mostrar la manera de resolver las ecuaciones numéricas, no eran ni con mucho lo que debieran ser: verdaderos tratados de estas ramas de la Matemática. El Algebra no es tan sólo el conjunto de reglas para resolver un problema, es la teoría combinatoria aplicada á un sis-
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tema de Algoritmos y á la determinación de las relaciones de coexistencia entre los elementos dados y los desconocidos de las ecuaciones. La geometría analítica no es un tratado de las secciones cónicas expuesto según el método cartesiano, sino la Geometría toda desde el punto, la línea y el plano hasta las líneas y superficies de diversos órdenes y clases, y aún hasta las familias, sistemas y grupos de líneas y superficies, tratados mediante procedimientos analíticos que varían según los múltiples sistemas de coordenadas creadas, no sólo por Descartes, sino por Moebius, Plucker, Bobillier, Bellavitis, Grassmann, Hamilton, y aún por sistemas susceptibles de tanta variación como es posible establecer correspondencias entre sistemas variables y constantes dependientes de leyes múltiples y definidas, conforme á condiciones especiales. El cálculo infinitesimal no se reduce sólo al algoritmo de Leibnitz; éste consiste en un método fecundísimo, un nuevo elemento importado á la Matemática, ó sea el de lo infinitamente grande ó infinitamente pequeño relativos, ó si tomamos como punto de partida la cantidad finita, lo infinitesimal. Más los tratados hoy llamados de Análisis, tienen una superior transcendencia. Hoy el concepto de combinación y de orden se cierne sobre el de cantidad lo mismo en el análisis infinitesimal, que en el algebraico y geométrico, que en la Aritmética superior ó Teoría de los Números que en la Geometría sintética; y este concepto de combinación unido al de continuidad, aunque el primero dominando sobre el segundo, entran bajo el nombre, creo que poco adecuado, pero al menos debido á una convención tácita y universal, de Análisis infinitesimal; más no sólo para exponer el algoritmo de Leibnitz, sino para aplicar este instrumento poderoso á la teoría de las funciones analíticas, que dejando ya en una categoría inferior al grupo de las funciones continuas, se aproxima al concepto de combinación que resulta presidiendo el vasto conjunto de las entidades que constituyen el fondo substancial de la ciencia matemática.

Obedeciendo, sin duda, á esta expansión de los conceptos, á esta dilatación de los límites de cada rama matemática, se vienen publicando, en la última mitad de este siglo, obras dignas de consignarse; entre otras, algunas de las que me creo en el caso de citar. Además de los tratados de Salmon, que han sido el primer ensayo de
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llevar á la enseñanza clásica los nuevos conceptos del Algebra de las formas, apenas dados á la publicidad por los talentos creadores y organizadores á quienes son debidos, deben citarse muy preferentemente las Lecciones sobre la Geometría de Clebsch que expone esta ciencia desde el elevado punto de la dualidad, y que estudia, por consiguiente, primero las curvas, según su orden y su clase, llegando enseguida á la introducción de la teoría de las formas, y luego á las curvas en general, y especialmente las de tercer orden y tercera clase, concluyendo la geometría en el plano con la geometría sobre una curva algebraica y con la teoría, ya eminentemente combinatoria y sistemática de los conexos. Entre los tratados notables de Análisis, publicados en la época de que tratamos, y aparte del notable Curso del profesor de Burdeos M. Houël, que introdujo en él algunos de los resultados debidos á Cauchy y á Riemann, y del magistral Tratado debido á M. Laurent, citaremos el de M. C. Jordan, ya conocido por su importante obra sobre las Substituciones, y en cuya teoría se le deben importantes resultados, que en el t. III de su primera edición (1), dió amplio desarrollo á esta teoría combinatoria en la de las ecuaciones diferenciales, y que actualmente, en su segunda edición (2), da nueva amplitud á su plan incluyendo la noción de conjunto, debida al matemático alemán Cantor, y otras de Cremona, Halphen y Nüther. Y, en fin, como respondiendo al propósito que hoy se impone de hacer descender algunas teorías hacia los umbrales de la exposición en las obras de enseñanza, podemos ver cómo en el Algebra de los Sres. Rouché y Comberousse extienden en cada nueva edición de su Geometría los Apéndices que llevan á la instrucción elemental ó media los recientes adelantos cómo en su elegante Geometría analítica el Sr. Longchamps encierra en una extensión relativamente reducida, y adecuada también á la enseñanza, las antiguas teorías asimiladas con las modernas bajo unidad de plan (3); y mucho tendría que extenderme si fuera á citar al-

(1) Course d'Analyse de l'Ecole Polytechnique.
(2) Idem, t. I, 1888, París.
(3) Y en cuanto á este descenso de las teorías superiores hacia los elementos, mucho nos harían extender la obra Lehrbuch der Arithmetik und Algebra (!978) del Sr. Schröder, en que se hallan aplicados los conceptos combinatorios de las operaciones y del Algebra de la lógica á la Aritmética y el Algebra elemental, los Elemente der Arithmetik und Algebrec del Dr. Friedrich Meyer, Halle 1886, etc.
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gunos de los recientes tratados italianos cuyo acertado modo de exponer la ciencia dentro del plan que comprende los adelantos modernos realizan el propósito de simplificar y facilitar el acceso á la misma de la juventud, mediante los recursos de los métodos expositivos más sintéticos y comprensivos, pues la Ciencia, como nuestro planeta, tiene sus cumbres y llanuras; allá, los puntos de vista son más espléndidos, se abarcan de una mirada cientos y cientos de detalles, y tantos más cuanto más nos elevamos. Este es el efecto de la síntesis. Acá, el terreno poco accidentado permite que nos detengamos en cada detalle que nos impresiona sucesivamente á medida que con lentitud caminamos; nuestra marcha es ahora segura, no tememos tropezar con rocas abruptas, con simas y precipicios, si bien no podemos tampoco extender nuestra vista más allá del horizonte que nos cierran las vecinas eminencias ó los accidentes del terreno.

Estos son los dos métodos fundamentales de la Ciencia, y según ellos se debe guiar á las inteligencias de la juventud. El análisis las fortalece, les da seguridad en su acción, los ejercicios prácticos evitan la ligereza, dando solidez á los conocimientos adquiridos y facilitando su asimilación en la inteligencia; pero no debe olvidarse que también se necesita conducirlas á las cumbres para distinguir horizontes y caminar conscientemente hacia fines previamente determinados.

¿Por qué hay algunas obras que nos admiran y que admirarán á todas las edades futuras como nosotros las hemos admirado? ¿Por qué esas obras no perecen y se destacan siempre como piedras preciosas que centellean cor luz purísima e inextinguible? Porque han condensado miles de ideas en una síntesis fecunda, y son manantiales perennes de verdad; porque forman como los puntos de reposo del pensamiento humano en su trabajo incesante por alcanzar la ciencia; porque son garantía firme de que nuestros esfuerzos del presente y en el porvenir se encontrarán centuplicados por la eficacia de su poder fecundo y nos permitirán llegar á nuevas cumbres en los senderos de la verdad.

En esto se halla el secreto de que, á pesar de la continua expansión de la ciencia, la inteligencia puede seguirla y aun llevarla más adelante. Si en el siglo xix estas ideas fecundas y los métodos que
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= h_1, se tendrá la suma de las potencias semejantes de los términos de una progresión aritmética, que será:

\[
S_q = n a_1^q + q r a_1^{q-1} \sum_{i=1}^{n-1} i + \frac{q(q-1)}{1 \cdot 2} r^2 a_1^{q-2} \sum_{i=1}^{n-1} i^2 +
\]
\[
+ \frac{q(q-1)(q-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} r^3 a_1^{q-3} \sum_{i=1}^{n-1} i^3 + ... + q r^{q-1} a_1 \sum_{i=1}^{n-1} i^{q-1} + r^q \sum_{i=1}^{n-1} i^q
\]

Otras aplicaciones se ocurren de la sencillísima teoría que hemos desarrollado en la presente nota, pero hoy nos falta tiempo para ser más extensos.

Juan J. Durán Loriga.

Coruña, Diciembre de 1898.

Wolfgang y Juan Bolyai
RESEÑA BIO-BIBLIOGRÁFICA

Escasas son las noticias que hoy poseemos acerca de estos dos sabios que eran, no ha muchos años aún, desconocidos de la mayoría de los matemáticos, hasta el punto de no encontrarse ningún informe sobre ellos en el Diccionario de Historia de las Ciencias exactas, editado en 1863 por el sabio prusiano Poggendorf. Pero hoy comienza ya á cumplirse la predicción de Baltzer de que algún día sería pronunciado su nombre con respeto.

Los pocos antecedentes históricos que con respecto á ambos se han adquirido, se deben al sabio y diligente arquitecto Franz Schmidt que los publicó en los Archiv für Mathematik und Physik, editados en Greifswald por Grunert (véase la parte XLVIII).

Wolfgang Bolyai, nació en el año de 1775. En su juventud pasó á Alemania, donde tuvo amistad con muchos sabias distinguidos que le cobraron gran estima, y en particular con Gauss que siempre le conservó especial afecto y declaraba que este era el único que había comprendido claramente sus ideas metafísicas sobre las Matemáticas. No pudiendo por falta de medios sostenerse en Alemania, debió Wolfgang volver á su país desde donde mantuvo correspondencia seguida con sus amigos que le informaban de los Pro-
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envuelven no nos prestaran su poderoso concurso, la inteligencia no habría podido seguir á la ciencia, ó más exactamente, la una y la otra se habrían detenido en su marcha.

Pues si los métodos y las ideas sintéticas exigen reformas en los libros de texto destinados á la juventud, ¿cómo puede tolerarse, ni aun admitirse, que en España sigamos con obras hace treinta ó cuarenta años importantes en género, sin atender á las mejoras y alteraciones reclamadas por los modernos adelantos?

Hace doce ó catorce años aproximadamente que en la Escuela de Ingenieros de caminos de Madrid se exigieron las modernas teorías de las formas homogéneas para el ingreso en dicho centro; poco más ó menos desde esa época se introdujeron en España por el profesor de la Universidad Central Sr. Torroja las teorías de la Geometría proyectiva según el método de Staudt, y aun anteriormente, en 1867, el Sr. Echegaray publicó su introducción á la Geometría superior, y en los últimos años algunos tratados se han publicado en España sobre esta rama geométrica. Pero ¿y las otras numerosas ramas de que he expuesto algunas indicaciones y que figuran en los programas universitarios de las demás naciones? ¿Podremos esperar nunca llegar á su nivel descuidando la educación intelectual de nuestra juventud que mañana se encontrará sin medios de sostener esta competencia del trabajo, que hoy es factor necesario en la vida social? Lejos de esto, tendremos que confesar con rubor que en la Universidad Central, en vez de crearse alguna de las asignaturas superiores que tanta falta hacen en el plan de nuestra instrucción científica, se creó una cátedra de Análisis matemático, primer curso, en cuyo programa figuran las teorías de la Aritmética y del Álgebra elemental(1). Si en todas las naciones, como he dicho, lo mismo en los programas que en los libros de texto se

(1) El apoyar esta anomalía en que los alumnos se hallan poco preparados para los estudios superiores, es argumento que no merece los honores de la contestación. Bastará decir que esta deficiencia los inhabilita a priori para aspirar á ser de los elegidos ó de los selectos en la delicada labor de la ciencia pura.

Sólo en el caso probable de que en época más ó menos próxima nuestras Universidades, como acontece en las Universidades alemanas é italianas, furen en sus primeros cursos escuelas de preparación, en la parte teórica, para las escuelas de ingenieros, podrá sentirse la necesidad imperiosa de afianzar la enseñanza superior en una enseñanza media que los franceses denominan matemáticas especiales y que diera la solidez á los estudios matemáticos fundamentales que debe exigirse á los que han de abandonar el cultivo de la ciencia pura por el de sus aplicaciones.
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efectúa un trabajo de descenso desde las teorías superiores hacia las elementales, reforzando éstas y aliviando aquéllas para dar cabida á nuevas teorías superiores que engranan con las antiguas. ¿Cómo en España siquiera no se limita el descenso hasta el nivel de la antigua asignatura de Algebra superior que explicó el profesor don Juan Cortázar?

El sabio profesor Weierstrass, en la Universidad de Berlín, explica un curso de Análisis que comienza con la teoría de las integrales abelianas. El curso que explica en la de Pavía el profesor Ernesto Pascal, del cual ha publicado una relación, versa sobre las cuestiones mas capitales de la teoría de las funciones, y basta recordar las lecciones de Geometría de Alfredo Clebsch, ya citadas, que son traslado de lo que explicaba en sus cursos tan distinguido geómetra. Y creo que es innecesario continuar reuniendo datos en este sentido por ser asunto éste muy generalmente conocido, pues todos los días vemos libros importantes que expresan la extensión de los cursos dados por sus autores.

He desarrollado á grandes rasgos la parte primera de las que comprende mi trabajo. He tratado de la ciencia principalmente; he consignado la necesidad de ir modificando las síntesis parciales que la expresan y diseñan á medida que se modifican por los progresos en cada época ó en el transcurso de algunos años, y he hecho notar de paso lo deficientes que son nuestros programas, los libros empleados en nuestras Universidades y los planes que en su consecuencia desenvuelven los profesores en lo concerniente á la enseñanza de la Matemática. Ahora voy á tratar de la segunda parte complementaria de la primera, concerniente al carácter educativo que debe tener la obra de la Universidad para ser eficaz y para realizar cumplidamente su fin.

II

La ciencia es una, uno su proceso aunque con dos fases distintas que llamamos análisis y síntesis; y la inteligencia humana escala los dominios de los principios ó desciende al de las consecuencias mediante un cambio de dirección en su marcha.
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El objeto es múltiple, pues existe en la naturaleza con su inmensa variedad ó también en nuestra inteligencia que es á la vez sujeto y objeto de nuestras investigaciones. El matemático que analiza los elementos hipotéticos ó dados para la resolución de un problema, emplea el mismo procedimiento que el químico para explicar una reacción entre cuerpos dados sometidos á condiciones especiales; en el un caso el objeto serán los puntos, las líneas ó los números, en el otro son los átomos; y como el químico busca en el fondo del fenómeno los átomos actuando entre sí de tal ó cual manera, el metafísico á su vez indaga en el fondo de nuestra inteligencia el modo de colocarse entre sí y de relacionarse las ideas.

Cada individuo, dentro del dominio que abarcan los estudios universitarios, sigue una dirección especial por efecto de su idiosincracia ó idoneidad para aplicar sus aptitudes preferentemente á tal ó cual objeto, y en la esfera de acción que se ha trazado, en virtud de sus aficiones ó aptitudes especiales, será una medianía ó podrá ser un genio; que todas las categorías caben dentro de cada una de las direcciones de que es susceptible el humano saber; y en su labor habrá aplicado el método general á un objeto más ó menos abstracto, más ó menos complejo.

En toda ciencia existe un fondo de hechos ó de fenómenos y una superficie ó límite superior donde residen las leyes ó las causas de los mismos, y á esos dos extremos corresponden la técnica, ó la ideología ó la metafísica. Toda ciencia, además de una región en que se encuentran los hechos observables, sus relaciones y dependencias que la misma en su estado rudimentario principia por catalogar, tiene otra región altísima que á todos no es dado poder escalar, por ser la región de las causas y de los principios á que no siempre se llega con la certeza con que llegó Newton á establecer la gravedad universal ó Leverrier á determinar el lugar y tiempo en que debiera aparecer el planeta Neptuno. Estas breves consideraciones en que creo ya innecesario detenerme, bastan para establecer la universalidad de la ciencia que entra en el dominio de la Universidad, centro donde debe hallarse reunida en su unidad y en su totalidad.

Y si la Universidad tiene por objeto la ciencia, necesariamente ha de entrar de lleno en su dominio el arte de dirigir la inteligencia ó mejor, la ciencia de la educación, ciencia parcial cuyo objeto es