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El Progreso matemático (1893-05-15 00:00:00), página 22

Cálculo de \( \Delta_4 \).—Desarrollando por los elementos de su primera fila y teniendo en cuenta los signos de sus elementos. Desarrollando después cada uno de estos determinantes por los elementos de la primera fila resulta:

\[
\Delta_4 = \begin{vmatrix}
1 & -t \\
0 & -t
\end{vmatrix}
- (a+1) \begin{vmatrix}
-(a+3) & -t \\
1 & -t
\end{vmatrix}
+ a(a+2) \begin{vmatrix}
-(a+1) & -t \\
0 & -t
\end{vmatrix} - \text{etc.}
\]

de donde

\[
\Delta_4 = -t - t(a+1)(a+3) - t(a+3) + at(a+1)(a+2) - at(a+1)(a+3) - at(a+3) + at(a+2) + at(a+2)(a+3) - at(a+3) - t(a+1)(a+2)(a+3) - t(a+3).
\]

y finalmente

\[
\Delta_4 = -16 - 4a^2 t - 16at = -4t(4 + a^2 + 4a) = -4t(a+2)^2
\]

Así pues, como

\[
x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, \quad x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, \quad x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta}, \quad x_4 = \frac{\Delta_4}{\Delta},
\]

tendremos

\[
x_1 = -\frac{t}{a^2 + 3a + 1}, \quad x_2 = \frac{t(a+2)}{a^2 + 3a + 1},
\]
\[
x_3 = \frac{t}{a^2 + 3a + 1}, \quad x_4 = \frac{t(a+2)}{a^2 + 3a + 1}
\]

y haciendo \( t = a^2 + 3a + 1 \), resultan las soluciones

\[
x_1 = -1, \quad x_2 = a+2, \quad x_3 = +1, \quad x_4 = a+2
\]

Solución por el el Sr. GILLET profesor de la Escuela Abacial de Maredsous

Multipliquemos estas ecuaciones respectivamente por
\(+1,\ -1,\ +1,\ -1.\)
principiando por (1); después sumemos los resultados, tendremos
\[
x_1 + x_2 + x_3 = x_4 \tag{5}
\]
En (2) reemplacemos \( x_4 \) por el valor (5) y del resultado restemos (1); tendremos, después de las reducciones \((a+2)(x_1 + x_3) = 0\) lo que exige
\[
x_1 + x_3 = 0, \quad \text{o} \quad x_3 = -x_1; \tag{6}
\]
de donde, en virtud de (5)
\[
x_2 = x_4. \tag{7}
\]
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Por medio de estas últimas relaciones, las ecuaciones dadas se reducen á

\[
\begin{cases}
a x_4 - (a + 1) x_1 = t \\
(a + 2) x_4 + (a + 3) x_1 = t
\end{cases}
\]

de donde se deduce

\[
-x_1 = x_3 = \frac{t}{a^2 + 3a + 1}, \quad x_2 = x_4 = \frac{(a + 2)t}{a^2 + 3a + t}.
\]

Solución por el alumno D ENRIQUE MACK Y MONTEVERDE.

Pongamos la primera bajo la forma

\[
x_1 + x_2 + x_3 + t = (a + 1) (x_2 + x_3)
\]

y restemos de ella la segunda; se obtendrá la

\[
x_1 + x_3 = (a + 1) (x_3 - x_4) \tag{α}
\]

que puede sustituir á cualquiera de las dos en el sistema propuesto.

Si tomamos la tercera, escribiéndola de este modo

\[
x_1 + x_3 + x_4 + t = (a + 3) (x_4 + x_1) \tag{β}
\]

y restamos de esta la cuarta, se obtiene la siguiente, que puede sustituir á cualquiera de las dos:

\[
x_1 + x_3 = (a + 3) (x_4 - x_3). \tag{γ}
\]

Pero las [α] y [γ] no son compatibles sino cuando

\[
\frac{a + 1}{a + 3} = -1 \quad ó \quad a = -2.
\]

Poniendo este valor de \( a \) en las ecuaciones propuestas, se halla el sistema

\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 2x_3 = -t \\
x_2 + x_3 + x_4 = -t \\
x_2 = -t \\
x_1 + x_2 - x_4 = -t
\end{cases}
\]

que es, á su vez, indeterminado; pues si á la última de sus ecuaciones se añade la suma de las dos que le preceden, se encuentra la primera
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NOTA SOBRE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS

Mucho han preocupado á los matemáticos, especialmente desde Euler y D’Alembert, estas singulares expresiones que se han ido imponiendo de una manera necesaria en las investigaciones del Análisis, y su mismo nombre originario es indicio de la desconfianza que su intrusión produjo, temiéndose desde luego que fueran un elemento perturbador dentro del sistema de verdades evidentes, intuitivas y clarísimas que formaban la ciencia matemática. Lento y gradual ha sido el proceso que desde los trabajos de Argand hasta los de Grassmann y Hamilton ha conducido á descorrer el velo que ocultaba el misterio en que se hallaban envueltas estas entidades esencialísimas en la ciencia matemática, misterio que creemos se habría desvanecido más pronto, si desde luego se hubiera tratado la cuestión desde su fundamento natural. Y en efecto, ¿cuál ha sido la causa que ha detenido á los espíritus investigadores en el momento de la aparición de estas nuevas entidades que perturbaban la armonía en que se desenvolvían las demás, hasta entonces únicamente reconocidas y que se consideraban como reales?

Pues no ha sido otro que el del modo de progresar la ciencia humana por series sucesivas de perfeccionamientos y depuraciones graduales de las verdades y de los principios. La ciencia humana forma síntesis parciales á través de los tiempos, que no son lo que concebimos como el último perfeccionamiento á que llamamos la ciencia absoluta. La ciencia humana no es una intuición de toda la verdad, sino un conglomerado de sistemas parciales de éstas que cada vez se funden en organismos más amplios y más armónicos, y en cada una de sus etapas debe algunas veces prescindir de ciertos andamiajes que la han conducido á escalar nuevas cumbres, correspondientes á sucesivas generalizaciones de la idea que abarca cada vez nuevos y más extensos dominios.

En su origen ¿era el concepto de las operaciones del cálculo incapaz de perfecciones ulteriores? ¿Debía por siempre existir la relación y dependencia que la aritmética establece entre la suma, la multiplicación y la elevación á potencias? Los hechos han demostrado que no. Los progresos ulteriores de la ciencia han relegado á la categoría de hechos incidentales las tan docantadas dependencias de dichas opera-
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ciones, hasta el punto de que hoy la multiplicación y la potenciación tienen definiciones que solo vagamente recuerdan su primitivo origen, cuando nos ceñimos al caso de los números enteros; y aun si nos detenemos á considerar el único sistema matemático que ha aspirado á fundarlas en su origen metafísico, el sistema Wronskiano, vemos que ha considerado como elementos heterogéneos é irreductibles de la ciencia algorítmica, y como polos intelectuales del saber humano á la sumación y la graduación.

Las ciencias todas tienen dos fases: la síntesis, sistema organizado, en el cual la marcha es descendente desde las verdades colocadas en la cúspide, con el carácter de principios, hasta las consecuencias ó verdades subordinadas, y el análisis, proceso esencialmente ascendente desde los hechos hasta los principios y complementario de la síntesis, por el que se puede recorrer la ciencia por senderos tortuosos desde cada hecho que se toma como punto de partida; pero siempre en dirección ascendente.

Ahora bien, la Matemática, salvo alguno de los momentos de su historia, en que ha surgido algún nuevo sistema que ha modificado hondamente su constitución, tales como el cartesiano (geometría analítica) el newtoniano (cálculo de las fluxiones) etc., ha caminado guiada por el análisis, elevándose de una manera lenta, pero segura, desde los problemas más sencillos hasta las teorías que los han ido conteniendo como sus consecuencias. La Matemática se ha fundado sobre la resolución de unos cuantos problemas, algunos de ellos célebres; y en este hecho contingente de partir desde tal ó cual necesidad sentida de obtener algunos resultados especialísimos, individuales y aislados se han cimentado sistemas que debían adolecer de las deficiencias que les imponía tan modesto y limitado ó circunscripto origen.

¿Qué asombro puede producir ya que los matemáticos de la Edad Media se vieran en la necesidad de prescindir de los valores negativos que surgían en las soluciones de algunos de sus problemas y que los de la época de Vieta y Bombelli se encontrarán suspensos y perplejos ante un nuevo género de número cuya denominación misma indica la perturbación que llevaba á las hasta entonces clarísimas intuiciones que caracterizaban el dominio de las verdades matemáticas?

Esto que sorprendió á los matemáticos de épocas pasadas, cuando los puntos de mira estaban demasiado bajos para poder contemplar extensos horizontes, hoy que la ciencia se ha elevado á alturas desde las que se pueden dominar regiones más culminantes tiene una explicación satisfactoria. En un principio las operaciones se subordina-
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ban á un objeto individualizado y claramente determinado y percibido; la operación se conformaba y modelaba según el objeto. Hoy, por el contrario, la operación surge de la inteligencia como ley combinatoria, como producto subjetivo emanado de las leyes de nuestro entendimiento, independiente del objeto, y con aptitud de recibir ciertas determinaciones ó limitaciones de éste, que puede ser lo mismo número que símbolo general, ó forma ó entidad geométrica.

Para llegar á este momento, precisa ha sido una serie de generalizaciones y de extensiones del concepto de cantidad y del de operación, como nos describen entre otros autores Duhamel y Hoüel (*) y un trabajo de instauración que realizaron Argand, Bellavitis, Hamilton, Grassmann, etc., y especialmente una deducción á priori y eminentemente subjetiva debida al lógico y matemático inglés Boole que consiguió definir y hacer depender las operaciones, no del objeto á que se aplicaran, según la costumbre hasta entonces seguida, sino de sus propiedades establecidas á priori como deducción de las leyes combinatorias del entendimiento, según hemos dicho.

Y desde este momento el símbolo del imaginarismo no se impone á nosotros como una entidad inexplicable ó que á lo sumo expresa ó es signo de una incompatibilidad, de una incongruencia entre la naturaleza del objeto sometido á una operación y las condiciones impuestas por el entendimiento, sino que por el contrario, aparece como una realidad ó como signo de una operación sometida á las leyes combinatorias del entendimiento, no sólo armonizándose, sino incluyendo en sí como simples casos particulares lo que al principio y durante la época del proceso ascendente de la investigación científica se consideró como lo únicamente real, en sus dos fases (positivo y negativo).

En resumen, hoy las operaciones no tienen otra limitación que las que les dan las propiedades que las definen, y los signos \( +, -, \pm, \sqrt{-1} \) adheridos á los datos ó á los resultados, sólo expresan la variedad de estados en que unos y otros se pueden presentar, no de otra manera que en Geometría las rectas y los planos se hallan entre sí relacionados por las posiciones de perpendicularidad, oblicuidad y paralelismo.

Z. G. de G.

(*) Des méthodes dans les sciences etc. Théorie élémentaire des quantités complexes.
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ESTUDIOS SOBRE LA ENSEÑANZA
Y EL ORGANISMO DE LA CIENCIA MATEMÁTICA

III. — SOBRE LA ORGANIZACIÓN DE LA MATEMÁTICA

De temerario podría tacharse el propósito de llegar á algún resultado definitivo ó absoluto en lo que concierne al organismo de la ciencia matemática, si tales fueran nuestras aspiraciones. Mas no se trata de esto. No se busca decir la última palabra en punto, que no un solo individuo, por eminente que este fuere, sino épocas enteras podrían pronunciarla.

Y en efecto, después de asistir con el auxilio de la historia á las diferentes épocas del desenvolvimiento matemático, épocas señaladas cada una de ellas por un corto número de nombres ilustres que las han llenado con sus descubrimientos, ó sea con aquellos conceptos capitales en torno de los que se agrupan á veces teorías enteras ó ramas especiales de la ciencia, llegamos á la época actual caracterizada por el espíritu de publicidad, de propaganda y de asociación universal; y á pesar de los esfuerzos de esta época actual que á los descubrimientos de las pasadas acumula los suyos propios, á la manera de inundación sin límite, la inteligencia humana aparece como agobiada bajo la muchedumbre de ideas que no han encontrado aún su centro de gravedad en el sistema definitivo de la ciencia.

Las Academias, las Universidades, las Asociaciones matemáticas, las Revistas numerosísimas, los libros que expresan los resultados de la actividad intelectual y colectiva no han llegado á este resultado definitivo que consiste en la determinación del organismo matemático.

La ciencia matemática en épocas pasadas aislada, limitada y circunscrita á ciertos conceptos sobre los que se movía, de repente ha adquirido un poder expansivo, solo comparable al que ha tenido en todas épocas la Literatura con el fondo inagotable sobre que se ha manifestado la belleza. Y aún hay más. La ciencia matemática tiene en su esencia ese poder expansivo que surge de una combinación indefinida de conceptos; y como si no bastara un desenvolvimiento puramente intelectual y lógico, en aptitud de aplicarse al mundo físico, tanto en cuanto atañe á la materia como á las energías que sobre ésta ejercen sus acciones, tiene unos dominios sin límites en cuya vasta extensión
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se pierde la inteligencia ofuscada por tanto caudal de luz y de conceptos.

¿Qué conceptos son los que el análisis descubre desde luego en este caos de ideas? Los de número, cantidad, orden, combinación, extensión, fuerza, movimiento, y los sistemas que los comprenden respectivamente: la Aritmética, el Análisis, la Geometría, la Mecánica.

Pero estos conceptos se combinan entre sí de mil maneras, compe- netrándose confundiéndose muchas veces parcialmente, y entonces la inteligencia no encuentra terminante y definitiva aquella agrupación de ciencias parciales según la cual, la Matemática ha llegado hasta nosotros.

Tan solo un genio prodigioso ha presentado una síntesis matemá- tica, Wronski, y sin embargo ¿cuánto dista su obra colosal de la sín- tesis completa que hoy exigiría la suma de conceptos que en ella debieran coordinarse!

Veamos cómo estos conceptos han ido formando los varios siste- mas de la ciencia matemática que han llegado hasta nosotros, y cómo éstos se han ido perfeccionando los unos, y constituyendo sistemas de mayor amplitud, á la par que otros han ido desapareciendo para fun- dirse en los primeros.

La Geometría reducíase á los Elementos de Euclides. La Aritmé- tica y el Álgebra nacían envueltas en formas concretas, como adheri- das á las figuras geométricas, y conservaban estas adherencias en las transformaciones del cálculo.

La Geometría Cartesiana era una aplicación del álgebra á la geo- metría basada en un sistema especial de coordenadas.

El cálculo de las fluxiones y de los infinitesimales señalaban dos problemas inversos. En suma, nuevos algoritmos de un carácter su- perior.

Y si llegamos á nuestros días y recorremos las obras corrientes hace algunos años y aún algunas de la actualidad ¿qué vemos?

Una Trigonometría que aparece á los alumnos como si constituyese una sola ciencia; unos tratados de Álgebra reducidos á presentar esas hondas huellas que han dejado de sus pasos por la ciencia los gran- des talentos matemáticos.

Los métodos de Newton, Rolle, Lagrange Fourier, Sturm, las re- glas de Descartes, etc., etc., expresan resultados de afortunadas tenta- tivas para aproximarse á la resolución de un solo problema. Y los li- bros que solo han tratado esta parte de la ciencia, reducida á la reso- lución de las ecuaciones numéricas, no han llegado ciertamente á ex-
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poner un sistema científico, ni dar idea siquiera de lo que caracteriza al Álgebra; unas obras de cálculo diferencial é integral que, reducidas á la exposición de estos algoritmos superiores, no han mostrado á las inteligencias el admirable sistema que se edifica sobre los mismos. Y una Mecánica como ciencia á que se aplican inmediatamente dichos algoritmos, de igual modo que á la Geometría (en los tratados ordinarios de cálculo diferencial é integral) y finalmente á la Física.

Pero dichas ciencias ó ramas científicas así distribuidas en tratados, si han satisfecho cumplidamente las necesidades de las Escuelas de Aplicación, no pueden llenar las más generales y superiores de la Universidad.

La Trigonometría ha podido constituir un tratado extenso, en virtud de tener agrupados una multitud de resultados de grandes aplicaciones inmediatas; pero en rigor se reduce á un capítulo de la Geometría y á otro de la teoría de las funciones, por efecto del doble carácter de su objeto, como líneas ó como algoritmos. El Álgebra no se reduce á un conjunto de reglas y métodos más ó menos felices é ingeniosos para llegar después de penosísimo esfuerzo al valor numérico exacto ó aproximado de las raíces de una ecuación, como erróneamente pudiera creer quien haya estudiado esta ciencia en algunos tratados, sobre todo de los dos primeros tercios de este siglo, pues lo que caracteriza esta rama científica es precisamente la teoría algébrica de las ecuaciones basada en los conceptos de orden y de combinación, y no aquellas reglas arriba mencionadas, extraídas de la teoría de las funciones donde tienen su lugar gerárquico en la región de las ideas.

Los Cálculos diferencial é integral tal cual se han ofrecido al alumno en los libros publicados hasta poco ha, sólo constituyen el preliminar de la superior teoría de las funciones, á lo sumo esbozada en algunos de sus detalles.

Y en fin, los tratados de Geometría analítica, se han concentrado en el sistema cartesiano, sin extenderse, hasta el último tercio de este siglo, á las coordenadas trilineales, tangenciales, etc.; y aún la Geometría pura, bajo la denominación de descriptiva, resultaba limitada á la proyección ortogonal, y sólo así se la conocía en algunos centros de enseñanza.

En resumen: Todos estos tratados han podido formar, y aún pueden seguir formando agrupaciones cómodas para el estudio, y en cierto modo provisionales de las teorías que integran la ciencia matemática; pero no son las agrupaciones más perfectas que exigen el rigor lógico y los conceptos característicos de cada una de ellas.
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de naissance du grand mathématicien russe. La dite Société ayant L'AUGUSTE autorisation à la souscription qui a pour but de rassembler un fonds portant le nom de Lobatcheffsky, s'adresse maintenant aux savants de tous les pays, aux nombreux amis de la science en les priant de vouloir bien prendre part à cette souscription.

Conformément au montant de la somme rassemblée la dite société se propose de fonder un prix du nom de Lobatcheffsky pour les travaux mathématiques (spécialement pour ceux qui on trait aux investigations de Lobatcheffsky) ou bien de lui ériger un buste dans l'édifice de l'Université.

Si cette proposition trouve l'accueil qu'elle a le droit d'attendre, la société physico-mathématique tâchera de réaliser les deux buts et l'Université de Kasan sera embellie par l'image de l'homme qui l'a fait briller d'une gloire immortelle et les jeunes savants qui consacreront leurs labeurs à la science aimée de Lobatcheffsky trouveront dans le prix de son nom le secours et l'encouragement.

Président de la Société Phys.-mathématique A. Wassilieff. Vice-Président de la Société Phys.-mathém. T. Souvoroff. Professeurs de mathématiques à l'Université de Kasan.

On prie d'envoyer les souscriptions à l'adresse suivante: Kasan. Société Physico-mathématique.

SUR LES FONCTIONS À ESPACES LACUNAIRES
PAR M. J. GILLET
PROFESSEUR À L'ECOLE ABBATIALE DE MAREDSOUS

1. Considérons d'abord la fonction \( f(z) \) définie par la série
\[
f(z) = F(z) - \frac{1}{z-a} - \frac{1}{(z-a)^2} - \ldots - \frac{1}{(z-a)^p} + \left[ 1 - \frac{1}{(z-a)^p} \right] \varphi(z),
\]
où nous avons posé
\[
\varphi(z) = \frac{1}{z-a} + \frac{1}{(z-a)^2} + \frac{1}{(z-a)^3} + \ldots,
\]
et dans laquelle \( F(z) \) représente une fonction continue sur tout le plan. Si \( |z-a| > 1 \), on a également:
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Las ideas de orden y de combinación aparecen primeramente como dominando todo el conjunto de la Matemática, como lo que contribuye á dar forma á los diversos objetos, á la materia de cada rama de dicha ciencia.

En Aritmética dichas ideas se aplican á la pluralidad; y mediante esta aplicación el número se ofrece bajo las varias formas que le dan los diferentes sistemas de numeración.

En la Geometría es suficiente el indicar los innumerables teoremas que se enuncian como dependientes del modo de unir por rectas los diferentes puntos de una figura, hasta el extremo haber sido preciso emplear sistemas de notaciones (*), complicándose indefinidamente el número y forma de las relaciones á medida que se relacionan entre sí y se procede á la generación de figuras más complejas.

En Algebra basta ver cómo la teoría combinatoria de las sustituciones es la base de la teoría de ecuaciones. En ella, el objeto á que se aplican las combinaciones es la función, siendo fundamental el estudio de los valores diversos que toma una función de diversas variables por las sustituciones de éstas, en los resultados debidos á Lagrange, Abel, Galois, etc., sobre que está edificada la teoría de las ecuaciones algebraicas.

¿Y qué diremos de la teoría que se halla en la cumbre de la Matemática dominándola en su conjunto con su extensión sin límite, la teoría de las funciones, cuyo fondo es el concepto de infinito, distribuido en una gradación sin fin en la cual el concepto de cantidad aparece sólo con un modo de ser relativo?

La extensión de la teoría al caso de las funciones imaginarias, y la de su representación en el plano, lleva á una región superior cuanto se había estudiado para la función de variables reales y aparece en toda su amplitud la periodicidad, y el modo de agruparse y sucederse en períodos los puntos que representan, moviéndose en el plano, las variaciones de las funciones dependientes de los infinitamente pequeños de los diversos órdenes que las integran, como formando los matices por los cuales se distinguen en su constitución interna en su esencia, cual imitación de las armonías que el mundo de los átomos nos ofrece al presentarnos el universo con su magnificencia y su in-

(*) Basta citar como ejemplos el trabajo del Sr. Cremona: Theoremi estereometrici dei quali si deducono le proprietà dell'esagrammo di Pascal. Caporali, Sopra i piani ed i punti singolari della superficie di Kummer. Nuovi teoremi sull'hexagrammum mysticum di G. Veronese.—Configurazione delle 216 quintuple gobbie di 2.a specie formati colle 27 rette de la superficie di 3.a ordini. di Ernesto Pascal, etc.