ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 18

nas 6-11). Construction d'un point dont on donne les coordonnées \((x, y z)\) ou \((x, \beta, \gamma)\). Cinq méthodes pour calculer \(x, y, z, x, \beta, \gamma\). Applications Passage des coordonnées cartésiennes trilatérales aux coordonnées.

Chapitre III.—Quelques équations trilatères. (pp. 11-16). Equations et constructions de droites remarquables. Droite de l'infini. Equation générale des cercles et des coniques. Correspondance de points et de droites. Triangles homologues.

Chapitre IV.—Des points réciproques et des points inverses. (páginas 16-20). Théorèmes divers. Applications. Construction de la polaire trilineaire d'un point donné par les coordonnées.

Chapitre V.—Enumération des points dérivés d'un ou plusieurs autres à l'aide de leurs coordonnées trilatères. (pp. 20-29). Point factorien. Points dérivés d'un seul point M (points réciproques, inverses, algébriquement associés, isobariques, Brocadiens, permutations et semi-permutations, complémentaires...) Construction d'un point à l'infini.

Chapitre VI.—Des coordonnées tripolaires et angulaires. (pp. 29-33). Coordonnées cotripolaires. Avantages des coordonnées surlatérales. Démonstration géométrique de l'existence des points de Brocard. Formules nombreuses.

Chapitre VII.—Enumération des points dérivés de M à l'aide de ses coordonnées tripolaires ou angulaires. (pp. 33-36). Centres isologiques et isodynamiques. Points jumeaux. Formules.

Chapitre VIII.—Angles et distances (pp. 36-40). Distance de deux points. Formules générales de transformation permettant de changer de triangle de référence. Coordonnées tangentielles. Formules nombreuses.

Chapitre IX.—Méthodes pour démontrer les théorèmes. (pp. 40-43). Méthodes à suivre pour démontrer que 3 points sont en ligne droite et que trois droites sont concourantes.

Chapitre X.—Encore quelques points et quelques lignes remarquables (pp. 43-47). Cercle de Brocard, premier et second triangle de Brocard. Points cycliques. Droites isotropes.

Este último capítulo ofrece el hecho curioso de que todos los teoremas sobre el círculo de Brocard se hallan enunciados y demostrados en página y media.

Añadamos, en fin, que numerosas indicaciones bibliográficas permiten recurrir á las memorias originales.

Como lo manifiesta el rápido resumen que acabamos de hacer, la obra de M. Poulain contiene las partes más elementales y las más esenciales de la geometría del triángulo. Está redactada con suma claridad y sencillez, se halla muy bien impresa, facilitando su lectura numerosas figuras intercaladas en el texto. Y no vacilamos en asegur-
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 19

rar que, desde el punto de vista elemental y práctico, es una de las mejores obras sobre el triángulo que se han publicado, que será leída con fruto por cuantos se interesan por la geometría del triángulo. Con este motivo, no dejaremos de recomendarla á nuestros lectores.

EMILE VIGARIÉ.

NOTA SOBRE LA CONSTRUCCION DE UNA NORMAL A UNA ELIPSE (1)
por el oficial de ingenieros
D. RODOLPHO GUIMARAES

Se puede trazar muy facilmente una normal á una elipse cuyos ejes son \(a\) y \(b\), por puntos exteriores cuyas distancias al centro sean \(a + b\) y \(a - b\).

En efecto, sabemos que si CM y CM' son dos diámetros conjugados de una elipse, y tomamos sobre una normal á ésta, en el punto M las longitudes DM = D'M = CM', el semi-eje CA será bisectriz del ángulo DCD', y las longitudes CD y CD' tendrán respectivamente por valores \(a + b\) y \(a - b\).

Además, si se da un punto cualquiera D ó D' distante en \(a + b\) ó \(a - b\) del centro C; para trazar una normal DN á la elipse, bastará construir sobre AC, por la parte superior ó inferior, según el punto dado sea D' ó D, un ángulo ACD = ACD', y enseguida tomar sobre CD ó CD' las longitudes \(a + b\) ó \(a - b\), uniendo el punto así obtenido con el punto dado.

(1) El Sr. Guimaraes nos remitió esta solución concerniente al trazado de una normal, indicándonos en su comunicación que el distinguido ingeniero M. Maurice d'Ocagne había publicado en 1886, en la Revue Maritime et Coloniale, un procedimiento elegante para construir una normal á la elipse por un punto situado sobre cualquiera de los ejes.

A la par que publicamos el procedimiento del Sr. Guimaraes, aprovechamos la ocasión de publicar las indicaciones bibliográficas que nos ha remitido M. H. Brocard acerca de esta interesante cuestión:

D'OCAgNE. Méthode simple pour le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (J. E. 1887-29-31).
E. CATALAN. Lettre à ce sujet. (J. S. 1887. 82-83).
D'OJAGNE. Réponse (idem. 110-111).
E. CATALAN. Réplique. (idem. 133).
BIROT ET BOUQUET. Géom. analyt. (idem. 111).
Heilermann (N. A. M. I) XIX. 1860. questions 517 á 521, 95-96, 235-239 y (II) 1863. 326-328).
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 2

El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
D. Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO II.-AÑO 1892

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, 100, bajos
1892
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 21

En la presente Nota expongo sumariamente tales teorías, con el propósito de iniciar al lector en este género de estudios interesantes y de prepararme un instrumento casi indispensable en las investigaciones sucesivas.

§ 1. Deducción y conjunción.

En este § las letras a, b,... indican proposiciones cualesquiera.
La expresión a (b significa «de la a se deduce la b» y se puede leer; «si es cierta la a, es cierta la b» ó bien «si a entonces b» y también bajo otra forma (1).

La expresión a=b significa que las proposiciones a y b son equivalentes, ó sea que de la primera se deduce la segunda y viceversa.

La afirmación simultánea de varias proposiciones a, b, c,... se indicará escribiéndolas unas después de otras abc... Esta afirmación simultánea llámase conjunción ó multiplicación lógica. Se tiene:

1. ab=ba.        2. (ab) c=a (bc)=abc.

Estas identidades expresan las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación lógica, análogas á las de la multiplicación algebraica.

3. aa=a.

Esta propiedad no tiene su análoga en álgebra (2).

Para separar las varias proposiciones entre sí, podremos servirnos de los paréntesis, como en álgebra. Se llega al mismo resultado con más sencillez, y sin producir equívoco, con los paréntesis en las fórmulas algébricas, con una notación conveniente. Los signos de la notación son : : : ; : : : etc. Para leer una fórmula dividida con puntos, primero se unirán todos los signos no separados por puntos, después

(1) Para indicar que la proposición b es consecuencia de la a, se podrá escribir b C a, donde el signo C es la inicial de la palabra consecuencia. Y se puede además convenir en indicar la misma relación cambiando los dos miembros, e invirtiendo el signo C, análogamente ó como se hace con los signos > y <; de modo que la misma proposición se podrá escribir < a ) b, que significa siempre b es consecuencia de a) ó sea «a tiene por consecuencia b» ó bien «a se deduce b».

Al signo de deducción se han dado formas muy diversas.
Muchos autores ingleses escriben '.'

C. S. Peirce (On the Algebra of Logic, American Journal of Mathematics, III, p. 15) escribe — <— .

Schröder (Op. cit.) adopta un signo derivado de los dos = y <.

M. C. Coll The Calculus of Equivalent Statements, Proceedings of the London mathem. Society, vol. X, p. 16) escribe a : b, en.

(2) La ley representada por esta fórmula fué llamada por Jevons The law of simple principles of science, London 1883).
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 22

los separados por 1, después los separados por 2, y así sucesivamente (1).

Se tiene
4. \( a = b . = , b = a . \)
«La proposición \( a = b \) equivale á la \( b = a . \)»
5. \( a = b . = : a \cap b . b \cap a . \)
«Dos proposiciones \( a \) y \( b \) son equivalentes, cuando de la primera se deduce la segunda y viceversa.»

Las fórmulas siguientes representan varias especies de silogismos:
6. \( a \cap b . b \cap c : ; a \cap c . \)
7. \( a = b . b \cap c : ; a \cap c . \)
8. \( a \cap b . b = c : ; a \cap c . \)
9. \( a = b . b = c : ; a = c . \)

El sorites tiene la forma
10. \( a \cap b . b \cap c . c \cap d : ; a \cap d . \)

Se tiene
11. \( a \cap b . \cap ac : ; bc . \)
12. \( a - b . ; ac = bc . \)
13. \( a \cap b . c \cap d : ; ac \cap bd . \)
14. \( a - b . c = d : ; ac = bd . \)

Estas fórmulas indican que á los dos miembros de una deducción ó de una igualdad lógica se puede unir una misma proposición; y que dos deducciones ó dos igualdades, pueden unirse entre sí miembro á miembro.

§ 2. - Proposiciones singulares; Clases.

Los nombres que adoptaremos representan, ya individuos (nombres propios), como 1, 2, \( \frac{4}{3} \), \( \sqrt{2} \), ...; ya clases (nombres comunes ó adjetivos), como número, polígono, equilátero, etc.

La escritura \( a = b \) donde \( a \) y \( b \) son individuos, indica su identidad, ó bien que \( a \) y \( b \) son dos nombres dados á un mismo individuo. Si \( a \) y \( b \) son clases, aquella escritura indica que las dos clases coinciden, ó sea, que todo \( a \) es \( b \), y viceversa. Ya se ha explicado el significado de aquella escritura, si \( a \) y \( b \) son proposiciones.

Para indicar la proposición singular «\( x \) es un individuo de la clase \( s \)», escribiremos (2)

\[
x \in s .
\]

y el signo \( : \) se podrá leer es, ó es un, ó fué, ó será conforme con las reglas gramaticales; sin embargo, su significado es siempre el explicado.

(1) Así se escribe \( d.ar \) y \( du.v \) en lugar de \( d(ur) \) y \( (du)r \). Esta notación ofrece alguna analogía con las notaciones propuestas por Leibnitz (Math. Schriften, III, p. 286, y VII, p. 55).
(2) El signo \( \in \) es inicial de \( \in \tau \).
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 23

Por brevedad escribiremos \( x, y, z \in s \) para indicar que \( x, y, z \) son de las \( s \), ó sea

\[
x, y, z \in s =: x \in s, y \in s, z \in s.
\]

Para indicar la proposición universal «todo \( a \) es \( b \)», ó sea «la clase \( a \) está contenida en la \( b \)», escribiremos \( a \subset b \). De aquí el signo \( \subset \) se leerá diversamente (se deduce ó está contenido), según que esté entre las dos proposiciones ó entre las dos clases; sin embargo, sus propiedades son las mismas en ambos casos.

Siendo \( a \) y \( b \) dos clases, con \( ab \) indicaremos el conjunto de las entidades que son al mismo tiempo \( a \) y \( b \), esto es, la máxima clase contenida en \( a \) y en \( b \). Análogamente por \( abc \), etc. Sin embargo, si se corre riesgo de equívoco, se escribirá \( a \cap b \) y \( a \cap b \cap c \) en lugar de \( ab \) y de \( abc \).

Subsisten todas las fórmulas del § precedente cuando \( a, b, \ldots \) representan clases.

Como ejercicio pueden reducirse al lenguaje ordinario las proposiciones:

\( 5 - 2 + 3; 5 \) (número primo); \( 4 \) - (máximo común divisor de 8 y 12); \( 4 \) : (divisor de 12); (triángulo); (polígono); (triángulo equilátero); (triángulo equilátero); (múltiplo de 6); (múltiplo de 2); (múltiplo de 3);
y á símbolos las proposiciones:
Los múltiplos de 6 son números pares; el cubo de 2 es 8; los números pares son los múltiplos de 2; entre los números cúbicos está contenido el 27.

§ 3. — Aplicaciones.

Los signos introducidos \( \subset, \supset, \cap \) permiten ya expresar un gran número de relaciones lógicas. Así, introducidos los símbolos para indicar los individuos, las clases las operaciones y las relaciones de una ciencia, estamos en disposición de enunciar completamente las proposiciones. Tomaremos, por ejemplo, el álgebra donde ya existen los símbolos 1, 2, ... para representar los individuos, +, -, ×, etc. para las operaciones, >, <, =, ... para las relaciones, é introduciremos signos para representar las clases que más frecuentemente se presentan. Escribiremos:

N en vez de número entero positivo,
R \( \supset \) racional positivo,
Q \( \supset \) real positivo ó cantidad positiva.
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 24

n en vez de número entero.
r   >   >   racional.
q   .   .   ó cantidad real, que diremos número.

La ventaja de estos símbolos no estriba sólo en la brevedad, sino además en su significación exacta, y en poder introducirlos en las fórmulas. Se tiene:

1. \( a, b \in q; \). \( a + b \in q \).
«Si a y b son dos cantidades, también \( a + b \) es una cantidad determinada».

2. \( a, b \in q, b \geq 0 ; \). \( \frac{a}{b} \in q \)
«Siendo a y b dos cantidades, de las que la segunda no es cero, \( \frac{a}{b} \) representa una cantidad determinada y finita».

3. \( a, b \in q; \). \( a \times b = b \times a \)
«Indicando con a y b dos números, se tiene etc.»

4. \( m, n \in \mathbb{N}, a \in q; \). \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
«Representando m y n dos números enteros y positivos, y a un número real, se tiene etc.»

5. \( m, n \in q, a \in Q; \). \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
«Siendo m y n dos números reales, y a un número positivo, se tiene etc.»

De un modo análogo se enuncian todas las entidades del Algebra.

6. \( a, b, c \in q, a > b ; \). \( a + c > b + c \).

7. \( m, n \in Q, m > n ; \). \( (1 + \frac{1}{m})^m < 1 + \frac{1}{n} \)

Análogamente se enuncian las deducciones de una relación de otra.

8. \( a, b, x, y \in q; \). \( x + y = a, x - y = b \); \( : 2x = a + b, 2y = a - b \)
«Siendo a, b, x, y, números, el sistema de ecuaciones

\[
x + y = a \quad y \quad x - y = b.
\]

es equivalente al sistema

\[
2x = a + b, \quad 2y = a - b.
\]

9. \( x, y \in q; \). \( x^2 + y^2 = 0 \); \( x = 0, y = 0 \)
«Siendo x, y números (reales), \( x^2 + y^2 \) es nulo, cuando, y solo cuando se anulan al mismo tiempo x e y».

De un modo análogo se expresarán las relaciones entre ecuaciones y proposiciones.

(Se concluirá.)
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 25

SUR UNE QUESTION D'ARITHMÉTIQUE
PAR M. H. BROCARD
(Voir EL PROGRESO MATEMÁTICO, T. I, pp. 314-317)

Voici quelques remarques additionnelles au sujet de l’article du journal La Nature, rapporté par M. E. Vigarié et publié au T. I. pages 315-317.

Les observations relatives aux fractions périodiques sont pour la plupart, déjà anciennes. On trouve par exemple, dans les N. A. M. (1) III, 1844. p. 376, la question 87 proposée par E. Prochiet:
Si on multiplie 142857 (multiplicande) par 326451 (multiplicateur), tous les chiffres d'une même colonne verticale dans les produits partiels sont égaux; trouver d'autres nombres jouissant de la même propriété.
Voir (loc. cit. (1)) X. 1851. pp. 147-152, la solution complète, par J. Denis.

Depuis, cet exemple de multiplication a été donné, sans indication d’origine, comme curiosité arithmétique et récréation mathématique, dans des journaux ou des almanachs, etc.

Les six pages de développement de la solution (loc. cit.) renferment toutes les indications désirables au sujet de la généralisation des résultats.

Les neuf premiers multiples de 142857 (période de \( \frac{1}{7} \)), sont

    1
    142857
    6
    857142

    2
    285714
    7
    999999

    3
    428571
    8
    1142856

    4
    571428
    9
    1285713

    5
    714285

ce qui permet de reconstituer le multiplicateur. On a donc

\[
\begin{align*}
&142857 \\
&326451 \\
\hline
&142857 \\
&714285 \\
&571428 \\
&857142 \\
&285714 \\
&428571 \\
\hline
&46635810507
\end{align*}
\]
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 26

La même périodicité se retrouve dans la suite des multiples:

10   1428570
11   1571427
12   1714284

etc., à part les modifications qu'éprouvent les premiers et derniers chiffres, et dont la loi est facile à saisir. (El. Progreso, loc. cit.)

Les propriétés des périodes du développement des inverses des nombres premiers, se rattachent intimement à d'autres propriétés des nombres formés du seul chiffre 1, comme 11, 111, 1111, 11111, 111111, etc.

Cela tient à ce que les dénominateurs des fractions génératrices sont formés uniquement du chiffre 9.

Partant de cette remarque, J. Plateau a énoncé le théorème suivant:
Tout nombre impair non terminé par 5 a un multiple de la forme 1111 . . . . 1.

En essayant directement la division, on aura le nombre des 1 du dividende, la division devant nécessairement se terminer.

On obtiendra ainsi un tableau tel que le suivant. (n) désignant des nombres formés de n chiffres 1.

    Groupes
    Diviseurs
    Quotients

    (1)
    1
    1

    (3)
    3
    37

    (6)
    7
    15873

    (9)
    9
    12345679

    (2)
    11
    1

    (6)
    13
    8547

    (16)
    17
    65359477124183

    (13)
    19
    53216374269

    (6)
    21
    5291

    ......
    ....
    .....................

Ce tableau qu'il serait aisé de continuer, a été présenté sous la forme suivante par W. Loof dans les Arch. de Grunert. t. LIV. 1851. (voir N. A. M. 1855. p. 115):
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 27



    Groupes
    Dénominateurs

    (1)
    3ou9

    (2)
    11

    (3)
    37

    (4)
    101

    (5)
    41.271

    (6)
    7.13

    (7)
    239.4649

    (8)
    73.137

    (9)
    333.3667

    .....
    ...............

Dans le même ordre d'idées, le Dr. Crelle a énoncé en 1829 la proposition suivante: (Journ. V. 296 et Ann. de Gergonne XIX et XX):

Un nombre quelconque est toujours le diviseur d'un autre nombre formé par des périodes de chiffres donnés suivies d'un certain nombre de zéros.

M. J. W. Glaisher a donné de ce théorème une démonstration très simple (Mess. of. math., V).

Voir aussi N. C. M. I. 1874-75, 8-12, P. Mansion, sur quelq. propr. des fr. période., et Mathesis, III, 1883, 196-197; IV, 1884, 38, et VI, 1886, 153, où nous avons donné quelques indications bibliographiques dont voici, croyons-nous, les plus essentielle:

E. Muy. De quelq. propr. des nomb. et des fr. période. 1835.
N. A. M. I. (1) 1842. E. Catalan. Sur les fr. décim. période. 457-470.
N. C. M. IV. 1878. 61-63, quest. 307. J. Plateau. Décomposition des nombres (n), Remarques de M. E. Catalan. Mém. de la Soc. roy. de Liège. VI. 1877. Les nombres (m), (n) ont pour pl. gr. com. div. (p), p désign. le pl. gr. com. div. de m et n (E. Catalan).
N. C. M. V. 1879. 138-139. note de M. E. Lucas au sujet des nombres 10^n - 1.

Zeitschrift d' Hoffmann. XV. 1884. 29. F. Kessler. Déc. des nombres 10^{11} - 1, 10^{21} - 1.

Mais l'origine de toutes ces remarques paraît pouvoir être attribuée à un arithméticien arabe. Ibn-al-Barma de Maroc, comme l'a fait voir M. A. Marre, dans la traduction publiée en 1864 (Atti d. Acad. d. N. Lincei. XVII) et dans un article des N. A. M. (2) XVIII. 1879. 260-265.

Les procédés abréviatifs du calculateur arabe ont été signalés dans les derniers travaux d' Ed. Lucas.
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 28

FONDAMENTI DI GEOMETRIE
a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee, esposti in forma elementare,
LEZIONI DI
GIUSEPPE VERONESE
Professore nella R. Università di Padova.

Ya hace años que el concepto del espacio de n dimensiones ha puesto en actividad las superiores inteligencias matemáticas de este siglo. Grassmann en su obra Ausdehnungslehre (1844 y 1862) obtuvo por el movimiento de un elemento la generación de la variedad de n dimensiones (Mannigfaltigkeiten ner Stufe), y Riemann principalmente llamó la atención sobre este asunto con su célebre Memoria: Uber die Hypothesen die der Geometrie zu Grunde liegen, origen de muchas é importantes investigaciones acerca del mismo. Cauchy también trató de los espacios de varias dimensiones bajo la denominación de lugares analíticos, Cayley en el tomo IV de Cambridge and Dublin Mathematical Journal publicó una Nota sobre la Geometría analítica de n dimensiones, y emplea continuamente este concepto en su Memoria sobre las curvas sujetas á condiciones de las contenidas en Philosophical Transactions of London royal Society, y talentos matemáticos como Clifford, Jordan, Darboux, Helmholtz, Klein, Lie, Beltrami, etc., han tratado esta cuestión, ya en obras especiales, ya en las publicaciones periódicas, basándose principalmente en el concepto de la curvatura de los espacios, y desde el punto de vista del análisis. En 1880 el Dr. Hermann Scheffler en su obra «Die polydimensionalen Grössen» desenvolvió la teoría del espacio de cuatro dimensiones y más recientemente, en 1885 el Dr. Wilhelm Killing publicó su tratado Die Nicht-Euklidischen Raumformen, que constituye una teoría analítica del espacio de n dimensiones. Además M. Riquier, que publicó su Exention á l'hyperespace de la méthode de M. Carl Neumann pour la resolution de problèmes aux fonctions de variables réelles qui verifient l'équation différentielle \( \Delta F = 0 \), desenvolviendo nuevamente este concepto en su Memoria reciente Sur les principes de la Théorie générale des fonctions, el profesor Stringham en American Journal of Mathematics expuso geométricamente el asunto de su Memoria Regular Figures in n dimensional Space y el Dr. Schlegel en Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, restringiéndose á los trabajos citados de los Sres. Scheffler y Stringham ha publicado en este año su Memoria Sur une méthode pour représenter dans le plan les solides homogènes à n dimensions, de carácter eminentemente geométrico. Excepto, pues, estos últimos trabajos, las conside-
El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 29

raciones del análisis han prevalecido al tratar la cuestión del hiper-espacio, apareciendo éste como una especie de generalización de las teorías del análisis.

El profesor Veronese, al publicar su Geometría de varias dimensiones, escrita con carácter esencialmente geométrico, empleando representaciones gráficas, tratando la geometría del hiper-espacio de la misma manera que hoy se expone en los tratados destinados á la enseñanza oficial la Geometría de dos y tres dimensiones, ha introducido una innovación que desde luego obtuvo favorable acogida entre algunos ilustres geómetras, habiendo desarrollado el profesor Klein en su curso de lecciones sobre la teoría de las funciones algunos de los resultados obtenidos por el Sr. Veronese, y el profesor Fiedler, de la Universidad de Zurich, un curso de Geometría proyectiva de cuatro dimensiones, según el orden de ideas establecido por el profesor italiano, presintiendo que, así como de la consideración de la proyección central en el espacio ordinario se ha llegado á establecer una correspondencia entre puntos del espacio y círculos en el plano, que ha originado la teoría expuesta en su «Ciclografía», así mismo de la consideración de la proyección central en el espacio de cuatro dimensiones podrá deducirse una teoría análoga relativa á la esfera en el espacio ordinario, y también, en fin, el método del Sr. Veronese ha merecido elogios de la Comisión de la Real Academia del Lincei, compuesta por los Sres. Menabrea, Betti, Dimi y Battaglini, que juzgan los estudios del Sr. Veronese sobre los espacios de varias dimensiones como merecedores de toda la consideración de los geómetras, porque ofrecen un vasto campo de investigaciones, y es su método exclusivamente geométrico de la mayor eficacia, no existiendo propiedad ó teoría de la Geometría proyectiva ordinaria que no pueda ser generalizada y extendida á los espacios de varias dimensiones, con mayor riqueza de resultados, y viceversa.

La obra del Sr. Veronese no es tan solo un tratado de la Geometría en el hiper-espacio, puesto que en ella se encuentra contenida la exposición de la Geometría ordinaria, pero dentro del vasto plan que se trazó el autor, que considera además del plano y el espacio euclídeo, el plano y el espacio riemannio, incluyendo en su obra los sistemas geométricos de Euclides, de Lobatschewsky y de Riemann.

El tratado del Sr. Veronese se halla precedido de una introducción que desenvuelve los principios fundamentales de las formas matemáticas abstractas, y forma un conjunto de 208 páginas.

El capítulo I trata de las nociones y operaciones generales, ocupándose sucesivamente de la unidad y pluralidad del antes y después, de