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El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 4

Jiménez Rueda, Lemoine, Luzón de las Cuevas, Mackay Monteverde, Pirondini, Retali, Varela, Schiappa Monteiro y Sollertinsky. Mas al mismo tiempo que ha ofrecido un brillante desarrollo esta sección durante el año último, un hecho se ha notado, á saber: que de las 99 publicadas en los tomos I y II, 42 no han sido resueltas, especialmente de las más antiguas, sin duda por haberse perdido de vista, hecho muy explicable también por estar agotado el primer tomo de la publicación. Por esta razón, creemos oportuno volver á ofrecer á los lectores los enunciados de aquéllas intercalados con los de otras recibidas durante el año pasado.

No con menos entusiasmo y benevolencia se ofrecen á favorecer nuestra publicación notables profesores de España y de otras naciones, según manifiestan los interesantes trabajos de los señores Durán Loriga, de Logchamps, Retali, Reyes Prósper con que inaugura el cuarto año El Progreso Matemático, y otros también anunciados oportunamente y que se publicarán enseguida; y tan fausto comienzo lleva consigo halagüeñas esperanzas para el porvenir.

Otro suceso importantísimo tenemos que consignar, á saber: que en virtud del muy favorable informe de la Real Academia de Ciencias respecto á El Progreso Matemático. El Excmo. Sr. Ministro de Fomento, D. Segismundo Moret y Prendergast, ha acordado adquirir cincuenta ejemplares de todos los tomos hasta la fecha publicados, mereciendo también sincera gratitud la activa intervención del Excmo. Sr. D. Julián Calleja, senador de esta Universidad, que ha contribuido eficazmente á la realización de este acto de protección oficial con que se ha favorecido al primer periódico matemático publicado en España.

Reciban todos la expresión de la más sincera gratitud de cuantos se interesan por la prosperidad de las ciencias en nuestra patria, y muy especialmente de

La Redacción de El Progreso Matemático.

La geometría del triángulo, los círculos de Tucker y sus casos particulares
POR M. EMILE VIGARIÉ
(Continuación).

9. Sean \( \alpha', \beta', \gamma' \) los puntos en que el círculo \( z_3 \gamma \) corta á los lados de ABC. El triángulo \( \alpha'\beta'\gamma' \) permanece semejante á sí mismo, cuando \( \alpha_2^2 \gamma \) varía quedando de forma constante, porque se tiene entre los ángulos de este triángulo las relaciones

\[
\alpha + \alpha' = B + C, \quad \beta + \beta' = C + A, \quad \gamma + \gamma' = A + B
\]
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 5

Como se tiene también:

\( \angle BFC = x + A = \pi - x' \) \( \angle CFA = \pi - \beta' \) \( \angle AFB = \pi - \gamma' \)
\( \angle BF'C = x' + A = \pi - x \) \( \angle CF'A = \pi - \beta \) \( \angle AF'B = \pi - \gamma \)

El punto F' es el centro permanente de semejanza del triángulo \( x'\beta'\gamma' \) (Neuberg. 15).

10. El círculo \( \alpha_1\beta_1\gamma_1 \) es el lugar de las proyecciones de F y F' sobre las tangentes á la cónica que tiene por focos F y F', y que designaremos por U. Si se trazan por F rectas que formen en el mismo sentido con las tangentes á U el ángulo \( \frac{\pi}{2} - \varphi \), el lugar de los extremos de estas rectas será el círculo \( \alpha\beta\gamma \) cuyo centro está en el segundo eje de U; el áng.º \( \delta FO_1 = \varphi \), pero el áng.º \( \delta FO_1 = \text{áng.º} \delta F'O_1 \); luego el mismo círculo \( \alpha\beta\gamma x'\beta'\gamma' \) es también el lugar de las proyecciones de F' sobre las tangentes á U, formando las proyectantes con las tangentes el \( \angle \frac{\pi}{2} - \varphi \). Se pueden enunciar estos resultados diciendo que:

Si los triángulos \( x\beta\gamma \) y \( x'\beta'\gamma' \) giran respectivamente alrededor de F y

Fig. 4.a
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 6

F', con la misma velocidad angular, pero en sentido contrario, sus vértices están en una misma circunferencia (Neuberg. 15).

11. Consideremos (fig. 4.a) los dos triángulos \( \alpha \beta \gamma \) y \( x' \beta' \gamma' \) que acabamos de hallar.

Hemos visto que si los ángulos del triángulo \( \alpha \beta \gamma \) están dados, los de \( x' \beta' \gamma' \) estarán determinados. La simple consideración de la figura muestra que se tiene entre los ángulos las relaciones siguientes:

\[
\begin{cases}
Bx'\gamma = \beta; \quad \gamma x'\beta = \alpha; \quad \beta x'a = \gamma \\
C\beta'a = \gamma; \quad \alpha \beta'\gamma = \beta; \quad \gamma \beta'\beta = \alpha \\
A\gamma'\beta = x; \quad \beta \gamma'a = \gamma; \quad a \gamma'\gamma = \beta
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
Ca\beta' = \gamma'; \quad \beta' a \gamma' = \alpha'; \quad \gamma' a x' = \beta' \\
A\beta'\gamma' = x'; \quad \gamma' \beta' a = \beta'; \quad a \beta' \beta = \gamma' \\
B \gamma' a = \beta'; \quad a' \gamma' \beta' = \gamma'; \quad \beta' \gamma' = a'
\end{cases}
\]

La ley según la que estos ángulos se suceden es fácil de comprender.

Estas relaciones muestran que:
Las rectas \( \alpha \beta', \alpha \gamma', \beta a', \beta \gamma', \gamma a', \gamma \beta' \) tienen direcciones constantes (H. M. Taylor. 10).

12. Si las rectas \( \alpha \beta', \gamma x', \beta \gamma' \) forman un triángulo A'B'C', y si las rectas \( \gamma \beta', \alpha \gamma', \beta a' \) forman un segundo triángulo A''B''C'':

Los triángulos ABC, A'B'C', A''B''C'' son homológicos y tienen por centro de homología un punto fijo O (Taylor. 10).

En efecto, apliquemos el teorema de Pascal al exágono \( \alpha \beta' \beta \gamma' \gamma \); vemos que los pares de rectas (\( \alpha x', \beta \gamma' \)), (\( \beta' \beta, \gamma x' \)), (\( \gamma \gamma', \alpha \beta' \)), es decir, los lados (BC, B'C'), (CA, C'A'), (AB, A'B') de los triángulos ABC y A'B'C' se cortan en una misma recta; por consiguiente, estos triángulos son homológicos.

El mismo teorema aplicado al exágono \( \alpha x' \beta' \gamma' \gamma \) muestra que los triángulos ABC y A''B''C'' son homológicos.

El teorema de Pascal aplicado por tercera vez al exágono \( \beta' \beta a' \gamma' \) muestra que AA'A' es una recta, y lo mismo resulta para BB'B' y CC'C'; luego las tres rectas pasan por un mismo punto O.

Es evidente que las rectas \( \beta \gamma', \gamma x', \alpha \beta' \) permanecen paralelas a sí mismas cuando \( \alpha \beta \gamma \) permanece semejante á el mismo; igualmente para \( \beta \gamma', \gamma x', \alpha \beta' \); luego, puesto que las rectas \( \gamma \beta', \gamma A', \beta A' \) conservan la misma dirección, las rectas AA'A', BB'B', CC'C' son fijas, y el centro de homología, por consiguiente, es fijo.

13. Relaciones entre los radios de los círculos ABC y \( \alpha \beta \gamma \). — La
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figura, estando determinada cuando tres de los seis puntos están determinados, es claro que podremos expresar cada ángulo y cada línea de la figura en función de los ángulos del triángulo ABC, de los del triángulo αβγ y del ángulo que forma uno de los lados del triángulo αβγ con uno de los lados del triángulo ABC.

Hagamos, por ejemplo, β2γ=θ.

Los ángulos de los lados de αβγ con los lados de ABC serán los siguientes:

\[
\begin{align*}
B_{γz} &= A + C - θ \\
C_{αβ} &= B + γ - θ \\
A_{βγ} &= C + γ - θ \\
Aγβ &= B - γ + θ \\
Cγα &= α - C + θ \\
B1γ &= θ
\end{align*}
\]

Ahora podremos establecer la relación que existe entre el ángulo θ y el radio ρ del círculo circunscripto á αβγ cuyos ángulos son conocidos. Sea R el radio del círculo circunscripto á ABC; se tiene:

\[
\begin{align*}
βx = γz \quad &\frac{\text{sen } Bγz}{\text{sen } γBz} = αγ \quad \frac{\text{sen } (A+C-θ)}{\text{sen } B} \\
Cz = βz \quad &\frac{\text{sen } Cβz}{\text{sen } βCz} = βx \quad \frac{\text{sen } (α-C+θ)}{\text{sen } C}
\end{align*}
\]

y

\[
Bz + Cz = BC = 2R \text{ sen } A
\]

Si en esta última relación reemplazamos Bz y Cz por sus valores, teniendo cuenta de las relaciones:

\[
γz = 2ρ \text{ sen } β, \qquad βx = 2ρ \text{ sen } γ
\]

se tiene:

\[
2ρ \text{ sen } β \frac{\text{sen } (A+C-θ)}{\text{sen } B} + 2ρ \text{ sen } γ \frac{\text{sen } (α-C+θ)}{\text{sen } C} = 2R \text{ sen } A
\]

ó bien:

(1) \[
\frac{R}{ρ} = \frac{\text{sen } β \text{ sen } (A+C-θ)}{\text{sen } A \text{ sen } B} + \frac{\text{sen } γ \text{ sen } (α-C+θ)}{\text{sen } A \text{ sen } C}
\]

ó, más sencillamente:

(2) \[
\frac{R}{ρ} = L \text{ sen } (ψ+θ)
\]

fórmula en la que

(3) \[
L \text{ sen } ψ = \frac{\text{sen } β}{\text{sen } A} + \frac{\text{sen } γ \text{ sen } (α-C)}{\text{sen } A \text{ sen } C}
\]
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(4) \[ L \cos \psi = \frac{\sin \beta}{\sin A} \cot B + \frac{\sin \gamma \cos (\alpha - C)}{\sin A \sin C} \]

Se puede dar al valor de L una forma que contenga simétricamente A y \( \alpha \), B y \( \beta \), C y \( \gamma \). Este valor es el siguiente:

\[ L^2 \sin^2 A \sin^2 B \sin^2 C - \sin^2 x \cos A \sin B \sin C \]
\[ + \sin^2 \beta \sin A \cos B \sin C \]
\[ + \sin^2 \gamma \sin A \sin B \cos C \]
\[ + 2 \sin x \sin \beta \sin \gamma \sin A \sin B \sin C \]

Se puede, pues, decir que:
*La relación de los radios de los círculos ABC y \( x_1^2 \gamma_1^2 \) es proporcional al seno del ángulo que forma uno de los lados del triángulo \( x_1^2 \gamma_1^2 \) con una recta fija* (Taylor. 10).

En fin, si \( \rho_1 \) designa el radio del círculo mínimo \( x_1^2 \gamma_1^2 \), se tiene:

\[
\frac{R}{\rho_1} = L
\] (6)

**14. Coordenadas normales del centro del círculo \( x_1^2 \gamma_1^2 \)**. Se tiene:

\[
x = \rho \cos (\beta - \theta)
\]
\[
y = \rho \cos (\gamma - \alpha + C - \theta)
\]
\[
z = \rho \cos (\alpha + \gamma - B - \theta)
\] (7)

En el caso del círculo mínimo \( x_1^2 \gamma_1^2 \), se obtiene para las coordenadas del centro:

\[
x_1 = \frac{R}{L^2 \sin A} \left( \frac{\sin \beta \sin \beta'}{\sin B} + \frac{\sin \gamma \sin \gamma'}{\sin C} \right)
\]
\[
y_1 = \frac{R}{L^2 \sin B} \left( \frac{\sin \alpha \sin \alpha'}{\sin A} + \frac{\sin \gamma \sin \gamma'}{\sin C} \right)
\]
\[
z_1 = \frac{R}{L^2 \sin C} \left( \frac{\sin \alpha \sin \alpha'}{\sin A} + \frac{\sin \beta \sin \beta'}{\sin B} \right)
\] (8)

**15. Lugar del centro del círculo \( x_1^2 \gamma_1^2 \)**.—Hemos visto anteriormente (§ 6) que el lugar del centro del círculo \( x_1^2 \gamma_1^2 \) es una recta. Para tener la ecuación de esta recta, basta eliminar \( \rho \) y \( \theta \) entre las ecuaciones precedentes. Se obtendrá así:

\[
x \sin (A + 2z) + y \sin (B + 2\beta) + z \sin (C + 2\gamma) = 0
\] (9)

\[
x \sin (\alpha - \alpha') + y \sin (\beta - \beta') + z \sin (\gamma - \gamma') = 0
\] (10)
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16. Longitud de los ejes de la cónica U (§§ 8, 9 y 10).—Los ejes de esta cónica tienen por longitud

\[
\rho_1 \quad y \quad \rho_1 \sqrt{1 - \frac{\operatorname{sen} (\beta - \theta_1)}{\operatorname{sen} \varphi}}
\]

(11) (3)

siendo \( \theta_1 \) el valor de \( \theta \) en el caso del triángulo mínimo \( \alpha_1 \beta_1 \gamma_1 \) y \( \varphi \) el ángulo que forma con BC la recta lugar del centro del círculo \( \alpha \beta \gamma \).

La teoría de las figuras semejantemente variables de las que hemos hecho algunas indicaciones, es susceptible de numerosas aplicaciones. Vamos á aplicarla á los círculos de Tucker.

II

Círculos de Tucker.

17. Definiciones: Los círculos de Tucker son susceptibles de varias definiciones.

1.º Si un triángulo \( A'B'C' \) es homotético de \( ABC \) con relación al punto K de Lemoine, los lados de estos triángulos se cortan en seis puntos de una misma circunferencia llamada círculo de Tucker.

2.º Estos mismos seis puntos resultan de la intersección de los lados de \( ABC \) con los lados de un triángulo \( A''B''C'' \) cuyos vértices están sobre las simedianas AK, BK, CK y cuyos lados son paralelos á los lados del triángulo ortocéntrico.

3.º Estos puntos son también los vértices de dos triángulos \( \alpha \beta \gamma \) y \( \alpha' \beta' \gamma' \) semejantes á \( ABC \) y cuyos lados forman un mismo ángulo con los lados de \( ABC \).

4.º En fin, los círculos de Tucker pueden ser engendrados haciendo girar los haces de Brocard \( \Omega \) (ABC), \( \Omega' \) (ABC) alrededor de sus vértices \( \Omega \) y \( \Omega' \) en un mismo ángulo, pero en sentido contrario.

Hallaremos en lo sucesivo estas diversas definiciones:

18. Tracemos tres paralelas á los lados de \( ABC \), á distancias proporcionales á los lados; obtendremos así (fig. 5.a) un nuevo triángulo \( \alpha \beta \gamma \) que es homotético con \( ABC \) con relación al punto K de Lemoine.

Los lados de los triángulos \( ABC \) y \( \alpha \beta \gamma \) se cortan mutuamente en

(3) Las fórmulas contenidas en los párrafos 13 á 16 se deben á M. H. Taylor y están tomadas de la Memoria que lleva el número 110 en la lista bibliográfica que figure al principio de este artículo.—E. V.
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El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase t. II págs. 195-207, y t. III, 171-250).

49. PRINCIPIOS RELATIVOS Á LA PROYECCIÓN DE LAS FIGURAS.—Uno de los recursos de gran eficacia para facilitar las demostraciones de los teoremas ó la resolución de los problemas geométricos, que en manos de Poncelet se convierte en un método general, es el procedimiento de la proyección de las figuras sobre un plano situado de una manera conveniente, de modo que la proposición:

Una figura plana cualquiera que contiene un sistema de rectas ó de curvas que se cortan en un punto, puede siempre considerarse como la proyección de otra del mismo género á orden, en la cual el punto de intersección ha pasado al infinito y las rectas correspondientes han pasado á ser paralelas, y recíprocamente una figura que contiene un sistema de rectas ó curvas, paralelas ó concurrentes en el infinito tiene en general por proyección en un plano cualquiera una figura del mismo género en la que las líneas correspondientes concurren en un común á distancia finita, proyección del punto del primer sistema, constituye un principio fundamental de la teoría de Poncelet, principio cuya exactitud se reconoce en cuanto se elige como plano de proyección uno que sea paralelo á la recta que une el punto común del primer sistema con el centro de proyección, según se ve en la fig. 47.

Pero sobre todos tiene extraordinaria importancia y numerosísimas aplicaciones que Poncelet desarrolla en sus dos obras citadas, el siguiente: Una figura plana cualquiera en que hay una recta y una sección cónica, puede, en general, considerarse como la proyección de otra, en que
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rectilíneo \( i\mu_0 \) cortará al arco del segmento circular dado \( sv's' \) en este punto \( r \), y el rectángulo que se busca \( rr_1r_2r_3 \) quedará determinado.

Tomando el segmento \( m_1i' = -m_1i \) sobre \( m, v \), y trazando el segmento \( i'\mu_0 \), la intersección \( r' \) de éste con el arco del segmento \( sv's' \), suplementario del primero, se tendrá el rectángulo \( r'r'_1r'_2r'_3 \) inscrito en este segundo segmento circular.

Discusión.—Como se ve, solamente los puntos de intersección \( r \) y \( r' \) de la circunferencia (C) con los segmentos rectilíneos \( \mu_0i \) y \( \mu_0i' \) situados entre el punto \( \mu_0 \) y cada uno de los puntos \( i, i' \) ó situados sobre estos segmentos, dan las soluciones relativas á los segmentos circulares suplementarios \( srs' \) y \( sv's' \), puesto que si estos puntos de intersección \( r \) y \( r' \) se hallasen sobre la prolongación de estos segmentos rectilíneos, sucedería lo mismo á los puntos correspondientes \( n \) y \( n' \)
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sobre los segmentos rectilíneos \( p_0 i, p_0 i' \); y entonces se tendría la diferencia de las distancias de estos puntos á las rectas rectangulares \( vv' \) y \( ss' \) igual á \( p \), en vez de su suma, según los datos del problema.

Es claro que para cada uno de los segmentos circulares puede haber dos soluciones, una ó ninguna, según que cada uno de éstos corte á los segmentos rectilíneos correspondientes \( \mu_0 i \) y \( \mu_0 i' \) en dos, en un punto ó no les corten.

Como se sabe, uno de estos segmentos rectilíneos puede tocar al arco del segmento circular correspondiente; y á su punto de contacto corresponderá igualmente una sola solución, y este contacto tendrá lugar al mismo tiempo sobre estos dos segmentos circulares, cuando sean iguales ó se reduzcan á semicírculos.

Se pueden también determinar los límites de \( p \) entre los que el problema tiene solución para cada uno de los dos segmentos circulares.

En efecto, si se considera el segmento \( sv's' \) y se le traza la tangente \( l_0 t \) paralela á la mediana \( \mu_0 i \) del triángulo rectángulo \( im_1 p_0 \) que determina sobre la cuerda \( ss' \) del círculo (C) el segmento rectilíneo \( m_1 T \), se reconoce que para que haya solución, el semiperímetro deberá tener los valores de los segmentos \( m_1 v \) y \( 2m_1 T \) ó \( SS' \), según que el punto de contacto \( \theta \) se halle en el segmento \( IT \) ó en su prolongación, ó bien coincida con el punto \( s \).

Se llega á resultados análogos para las soluciones relativas al segmento \( sv's' \).

Caso del sector circular.

Supongamos asimismo el problema resuelto, y sea \( rr_1 r_2 r_3 \) (fig. 2) el rectángulo de perímetro \( 2p \) inscripto en el sector \( Osus' \) del círculo (C).

Por el vértice \( r \) tracemos \( pr_2 \), paralela al radio \( Cr \) y que corte en el punto \( p_2 \) al diámetro \( vv' \) perpendicular á la cuerda \( ss' \). Esto sentado, sobre las prolongaciones de los lados \( p_3 r \) y \( Cr_1 \) del paralelogramo \( rr_1 C_2 \), equivalente al rectángulo pedido \( rr_1 r_2 r_3 \), y trazándose desde los extremos del lado \( C_2 p_3 \) las perpendiculares \( p_3 q \) y \( Cq_1 \), se obtiene el rectángulo \( qq_1 C_2 p_3 \); y puesto que se tiene

\[
q_0 + qq_1 = p,
\]

el vértice se hallará en la hipotenusa \( p_0 i \) de un triángulo rectángulo isósceles \( p_0 Ci \) cuyos catetos son iguales á \( p \). Así, el punto medio \( t \) de \( q_2 \) se hallará al mismo tiempo en la mediana \( \mu_0 i \) de este triángulo y en el cateto \( rr_1 \) del triángulo rectángulo buscado.

Luego trazando en \( p_0 \) la perpendicular \( p_0 p \) á \( CD \) y que corte al ra-
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Fig. 2
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dio Cs en p, la recta ip pasará por ρ, y la recta trμ será la mediana del triángulo iCp.

Desde entonces, para obtener el vértice r del rectángulo pedido rr₁r₂r₃, situado sobre el arco sv's' del sector, se trazará el diámetro vCv' perpendicular á la cuerda ss', y el diámetro DCD' que le es paralelo, tomando sobre el primer diámetro el segmento Ci = p y sobre el segundo el segmento Cμ₀ = \( \frac{1}{2} \) p, y en el punto μ₀ de ésta levantando la perpendicular μ₀μ que corte al radio Cs, y en fin, trazando el segmento μi, su intersección r con el arco sv's' será el vértice del rectángulo pedido rr₁r₂r₃.

Si se considera el sector Csv's' suplementario del primero, se tomará el segmento Ci' = −Ci sobre Cv', y trazando el segmento μ₄i', la intersección r' de éste con el arco sv's' determinará el rectángulo r'r₁'r₂'r₃ inscripto en este segundo sector.

Discusión.—Considerando, como para el segmento circular, los puntos de intersección de los arcos de los dos sectores suplementarios Csv's' y Csv's' con los segmentos rectilíneos correspondientes μi y μi', se reconoce que se pueden tener dos soluciones, una ó ninguna, según que haya dos de estos puntos de intersección, uno ó ninguno. Es claro que estas líneas, pudiéndose tocar, el punto de contacto responderá también á una sola solución.

Se pueden también hallar los límites de p entre los que el problema es posible, siguiendo el mismo camino relativo á la inscripción de un rectángulo en el segmento circular.

Consideremos, pues, el sector Csv's', y sea IiT la tangente en el punto θ de su arco sv's' paralelo á la mediana μi del triángulo iCp, y que determine sobre el radio Cs el segmento CT, siendo los segmentos Cs₀ y CT₀ las proyecciones de este radio y de este segmento sobre el diámetro DCD'.

Según esto, para que haya solución, el semiperímetro p deberá tener respectivamente por límites las magnitudes de los segmentos Cv y 2CT₀, ó 2Cs₀, según que el punto de contacto θ se encuentre sobre el segmento IT ó sobre su prolongación, ó bien coincida con el punto s.

Para el otro sector Csv's' la discusión será en todo análoga.

Observación general.

Si se hace mover la recta DCD' paralelamente á la cuerda ss' del círculo (C), el punto C recorrerá el diámetro vCv' y las rectas sC y
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s'C girarán alrededor de s y s', de lo que resulta que el sector isósceles homocéntrico Csvs' se transformará en un sector isósceles excéntrico con relación al círculo (C), y en el que se puede también inscribir un rectángulo de perímetro dado 2p, empleando construcciones análogas á las precedentes.

Cuando el punto C se halle en línea recta con los puntos s y s', el sector isósceles circular se reduce á un segmento circular, y se volverá á las construcciones ya presentadas para este caso, que, como se ve, es un caso particular del que acabamos de considerar.

Como se sabe, la inscripción del rectángulo en un sector circular, y por consiguiente, como caso particular, en un segmento, puede hacerse con el empleo del álgebra, pero de una manera menos sencilla, y para esto juzgamos innecesario continuar.

Se puede todavía extender el problema y las construcciones respectivas á los casos de los sectores ó segmentos elípticos, hiperbólicos y parabólicos en que el diámetro vv' se convertiría en un diámetro conjugado á la cuerda ss', pudiendo el punto C tener una posición cualquiera sobre este diámetro.

En este caso, se tendría un paralelogramo de perímetro dado 2p inscripto en estos sectores ó segmentos, y cuyos lados serían paralelos á estas rectas conjugadas el cual llegaría á ser un rectángulo cuando vv' fuese un eje.

Desde entonces los triángulos auxiliares \( p_c m_1 i \) (fig. 1) y \( p_o Ci \) (fig. 2) rectángulos é isósceles cuando vv' es eje, serán solamente isósceles en el caso general.

Podríamos reducir mucho la solución de la cuestión propuesta por el sabio matemático Sr. Sollertinsky, considerando la inscripción del rectángulo en el segmento ó sector circular, como un caso particular de su inscripción en un sector isósceles circular excéntrico, presentando solamente la solución para este caso; pero no lo hemos hecho, teniendo presente la redacción de este problema que parece indicar que el ilustre autor deseaba que éste fuese el orden por seguirse en la solución.

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY (B.)

En la perpendicular en A á la cuerda AB se toma AC=AB, y en la perpendicular del centro O sobre AB se toma OO'=p, siendo 2p el perímetro dado.