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las cuatro caras de un tetraedro fundamental, si el punto se considera en el espacio, sistema de coordenadas superabundantes (puesto que una de ellas está incluida en las restantes ó determinada por una relación que las liga

\[
-aA - bB - cC = 2S \quad \text{o} \quad -aA - bB - cC - dD = 3V
\]

como las llama M. Paul Serret en su Géometrie de Direction, donde se halla ampliamente aplicado dicho sistema á multitud de cuestiones sobre curvas y superficies.

El sistema de Moebius tiene, como se sabe, por fundamento, la consideración del centro de gravedad de varios puntos ligados cada uno á un coeficiente, que hoy se llama el centro de las distancias proporcionales, el cual tiene la propiedad de que, cuando por A, B, C,... P se trazan rectas paralelas en cualquier dirección, y un plano cualquiera las corta en los puntos A', B', C',... los segmentos paralelos AA', BB', CC',... se hallan ligados por la relación

\[
\alpha.AA' + \beta.BB' + \gamma.CC' + ... = (\alpha + \beta + \gamma + ...) PP'
\]

(supuesto \( \alpha + \beta + \gamma + ... \) distinta de cero, pues si no el centro de gravedad no existiría ó estaría en el infinito), siendo, por consiguiente,

\[
\alpha A + \beta B + \gamma C + ...
\]

la expresión baricéntrica del punto P.

Esto conduce á demostrar que cuando

\[
\alpha A + \beta B \equiv 0,
\]

C (que es el centro de gravedad del sistema de puntos A y B) está en línea recta con A y B, teniéndose además la relación \( a : b = BC : CA \), ó lo que es igual, la expresión homogénea de la línea recta

\[
\alpha A + \beta B + cC = 0 \quad \text{con la relación} \quad a : b : c = BC : CA : AB,
\]

y continuando las deducciones, que cuando

\[
\alpha A + \beta B + cC \equiv D
\]

y A, B, C no están en línea recta, D se halla en el plano de los tres primeros puntos, teniéndose además la relación

\[
a : b : c = \Delta DBC : \Delta DCA : \Delta DAB
\]

(Pues si \( a + b \) se supone distinta de cero (*)), será

\[
\alpha A + \beta B = (a + b)Z \quad \text{y} \quad D \equiv (a + b)Z + cC
\]

(*) Una de las tres sumas \( a + b, b + c, a + c \) tiene por lo menos que ser nula, pues si no \( a + b + c \) sería = 0.
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y por estar en línea recta C, D y Z
\[
a+b:c=CD:DZ=BCD:BDZ=ACD:ADZ,
\]
luego
\[
DBZ:DZA=DBC:DCA,
\]
y por hallarse Z en la recta AB,
\[
a:b=BZ:ZA=DBZ:DZA,\quad y\quad a:b=DBC:DCA,
\]
también
\[
b:a+b=DZA:DBZ+DZA=ADZ:DBA;
\]
y de (a) y (b) resulta
\[
b:c=ACD:DBA=DCA:DAB)
\]
Ó expresándose más simétricamente: Si
\[
aA+bB+cC+dD=0,
\]
los puntos A, B, C, D se hallan en un plano y ligados por la relación:
\[
a:b:c:d=BOD:—CDA:DAB:—ABC^{(*)}
\]
En fin, para el caso más general del espacio, enuncia Moebius el teorema siguiente: Si
\[
aA+bB+cC+dD=E,
\]
y A, B, C, D no se hallan en un plano, existen las relaciones
\[
a:b:c:d=\text{las pirámides BCDE:CDEA:DEAB:EABC}
\]
O más simétricamente: Si
\[
aA+bB+cC+dC+eE=0,
\]
los puntos A, B, C, D, E se hallan ligados entre sí por la relación
\[
BCDE:CDEA:DEAB:EABC:ABCD=a:b:c:d:e
\]
Lo que acabamos de expresar constituye el fundamento del sistema de Geometría analítica que da á conocer Moebius en su obra Der Baricentrische Calcul. Así: 1.º Tomando A y B como puntos fundamentales, \(pA+qB\) es la expresión de todos los puntos de la recta que los une, correspondientes á los valores de la relación \(\frac{p}{q}\)

2.º Siendo ABC tres puntos fundamentales de un plano (á BC, CA, AB llama las rectas fundamentales y á ABC el triángulo fundamental), \(pA+qB+rC\) es la expresión de cada punto P del plano que corresponde á los valores de las relaciones \(p:q:r\).

3.º Siendo A, B, C, D cuatro puntos, no situados en un plano, los

(*) Tanto en los segmentos AB, BC, AC como en los triángulos ABC, etc. ó en los tetraedros ABCD, etc. Moebius considera las direcciones opuestas correspondientes á los signos + y -
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puntos fundamentales, AB, AC, etc., BCD, CDA, etc., y ABCD, etc. las líneas, planos y tetraedros fundamentales, \( pA + qB + rC + sD \) es la expresión de un punto en el espacio determinado por los valores de las relaciones entre los coeficientes, \( p, q, r, s \).

Las someras indicaciones que preceden son suficientes para conocer el sistema geométrico de Moebius que en la obra citada aplica á las teorías de las líneas, superficies, semejanza, afinidad, colineación, doble razón, etc.

§ 3.º—MÉTODO DE LA «RELACIÓN ANARMÓNICA» DE CHASLES

51. Ya se ha tratado varias veces de las investigaciones de Chasles sobre los porismas de Euclides, cuya adivinación obtuvo basándose en los lemas de Pappus, exponiéndose cómo este geómetra llevó á cabo su empresa tomando como guía las huellas que en dichos lemas se encuentran de las teorías de las transversales, las relaciones armónica, anarmónica, etc., hasta el punto que, como dice en su obra, Les trois livres de Porismes d'Euclide (pág. 13), «era preciso dar previamente á las tres teorías de la relación anarmónica, de las divisiones homográficas y de la involución los desarrollos de que son susceptibles los gérmenes que se encuentran de ellos en los lemas de Pappus, lo que ha pretendido hacer, añade, en el Traité de Géométrie supérieure, obra cuyas bases forman esta teoría.»

Antes de publicar esta obra, en que Chasles reunió bajo unidad de plan, no sólo los conceptos importados de la ciencia griega, sino de los geómetras del siglo xvii, con objeto de crear la cátedra de Geometría superior, fundada por el Ministro de Instrucción pública en Francia, ya este geómetra había expuesto en su Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie la importancia capital del concepto de la relación anarmónica, considerando como fundamental la proposición 129 de Pappus, ó sea que: cuando cuatro rectas parten de un punto, forman en una transversal, trazada arbitrariamente en su plano, cuatro segmentos que tienen entre sí cierta relación constante, es decir, que la relación \( \frac{ac}{ad} : \frac{bc}{bd} \) será constante cualquiera que sea la transversal, y á la cual Chasles dió el nombre de relación ó función armónica.

Además añade en la Nota IX de su Aperçu, destinada á dicha función, que ésta tiene otra propiedad capital, á saber, que: Si desde un punto tomado arbitrariamente, se trazan rectas á cuatro puntos en línea recta, la función armónica de estos cuatro puntos tendrá precisamente por
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valor el que adquirirá esta función cuando en ella se sustituyan á los cuatro segmentos que la componen, los senos de los ángulos que forman entre sí dichas rectas.

En su Géométrie supérieure, pues, para presentar en cuerpo de doctrina esta nueva ciencia, expone desde luego un conjunto de proposiciones sobre la relación anarmónica que dan origen á tres teorías que constituyen el desarrollo de un mismo teorema fundamental, ó sea las de la relación anarmónica, de las divisiones y haces homográficos y de la involución; dicho teorema fundamental es el arriba citado que establece la relación

\[
\frac{ac}{ad} : \frac{bc}{bd} = \frac{\operatorname{sen}(A, C)}{\operatorname{sen}(A, D)} : \frac{\operatorname{sen}(B, C)}{\operatorname{sen}(B, D)}
\]

entre cuatro rectas trazadas por un punto y los cuatro segmentos que forman con una transversal cualquiera, y que puede servir de enlace entre las partes de una figura para establecer las relaciones que constituyen sus propiedades; y así, por ejemplo, pueden pasarse de relaciones de sistemas de cuatro puntos á otros sistemas análogos por el intermedio de otros haces, etc.

Otros conceptos, como son los que conciernen á los signos de los ángulos y segmentos, á las entidades imaginarias y á la dualidad predominan en la sistematización que lleva á cabo Chasles en su tratado de Geometría.

Así, sus procedimientos de demostración se apoyan en proposiciones que implican el principio de los signos, que introduce sistemáticamente en la exposición de su obra, de manera que una sola proposición (la arriba citada) que expresa la igualdad de dos funciones anarmónicas de segmentos y de senos, forma la base de toda su obra y permite introducir el principio de los signos.

En cuanto á los objetos imaginarios, puntos, líneas ó cantidades, observa que no entran explícitamente en los razonamientos, hallándose representados por elementos siempre reales que pueden servir para determinarlos, de igual manera que en la Geometría analítica, las raíces de una ecuación no entran por sí en los cálculos, hallándose representadas colectivamente por los coeficientes, así la consideración de dos puntos imaginarios en una recta, equivale á admitir que los dos datos ó elementos que determinan á aquéllos, á saber, su punto medio y el rectángulo de sus distancias á un origen común, dan lugar á una expresión imaginaria de las distancias de estos puntos al origen, ó bien que la ecuación de segundo grado suficiente para representarlos
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tiene sus raíces imaginarias. De esta manera consigue Chasles introducir en su Geometría con la noción explícita de las imaginarias demostraciones tan rigurosas y tan generales como las de la Geometría analítica, empleando proposiciones que se refieren á propiedades absolutas ó permanentes de las figuras y no tan sólo á las propiedades contingentes.

Expuestas en la primera sección de la obra las teorías de la relación anarmónica, de las divisiones homográficas y de la involución, derivadas todas ellas de un solo teorema fundamental, como desenvolvimiento de un concepto que hace resaltar la unidad en el fondo variable constituido por dichas teorías, las demás secciones están destinadas á aplicaciones varias de esta doctrina de la relación anarmónica, al triángulo, cuadrilátero y en general á los polígonos, á la descripción de la recta por puntos, á los centros de las distancias medias y de las medias armónicas, etc., al establecimiento de sistemas de coordenadas que conducen á las transformaciones de las figuras que originan las figuras homográficas y correlativas.

Esta rigurosa unidad que se observa en la Geometría de Chasles, basada en el único concepto de la relación anarmónica referida á las figuras rectilíneas, se conserva aún, cuando se trata del círculo y de las secciones cónicas.

En cuanto al círculo, que es el objeto de la 4.a sección de la Geometría superior, le basta establecer los dos teoremas fundamentales sobre la relación anarmónica de cuatro puntos de una circunferencia y sobre la relación anarmónica de cuatro tangentes á la misma, de modo que: cuatro puntos de una circunferencia se unen á un quinto punto cualquiera de la misma por cuatro rectas que forman un haz cuya relación anarmónica es constante.

propiedades que permiten establecer, conforme al principio de la dualidad, las propiedades concernientes á la circunferencia como ya se establecieron las que se referían á puntos situados en línea recta á la par de las que se referían á rectas concurrentes en un punto.

Finalmente, en virtud de que la relación anarmónica, tanto de un haz de cuatro rectas como de cuatro puntos en línea recta, permanece invariable en las proyecciones, y de ser las secciones cónicas perspectivas ó proyecciones centrales del círculo base de un cono, los principios de la relación anarmónica de cuatro puntos ó de cuatro
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tangentes al círculo se extienden al caso en que éste se ha sustituido por una cónica, y así en su Traité des sections coniques, Chasles establece los dos principios fundamentales arriba citados para el caso del círculo, y con sólo ellos desenvuelve la teoría de estas curvas.

QUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 139.
(Véase t. III, pág. 191)

Inscribir en un segmento (ó sector) circular un rectángulo de perímetro dado.

(SOLLERTINSKY)

Solución por el Sr. SCHIAPPA MONTEIRO.

Consideremos desde luego la inscripción del rectángulo en un segmento, y enseguida en un sector circular.

Caso del segmento circular.

Supongamos el problema resuelto, y sea \( rr_1r_2r_3 \) (fig. 1) el rectángulo de perímetro dado \( 2p \) inscripto en el segmento \( svs' \) del círculo C también dado.

Sean \( m \) y \( m_1 \) los puntos medios de los lados \( rr_3 \) y \( r_1r_s \), de este rectángulo ó de sus intersecciones con el diámetro \( vv' \) del círculo C perpendicular á éstos; y sobre las prolongaciones de dichos lados tomemos los segmentos \( rn \) y \( r_1n_1 \) iguales á \( mr \), y se tendrá el rectángulo \( mnn_1m_1 \) igual al rectángulo inscripto pedido, ó tal que se tenga el semi-perímetro

\[
mn + nn_1 = p.
\]

Así el vértice \( n \) debe pertenecer al lugar de los puntos cuya suma de las distancias á las rectas rectangulares \( sm_1s' \) y \( vm_1v' \) sea igual á \( p \), es decir, á la hipotenusa \( p_0 \) i de un triángulo rectángulo isósceles \( p_0m_1 \), cuyos catetos \( m_1p_0 \) y \( m_1 \) son iguales á \( p \).

Luego el vértice \( r \) del rectángulo pedido \( rr_1r_2r_3 \) se encuentra también en la mediana \( ir_4 \) de este triángulo.

De esto resulta que para obtener uno de los vértices \( r \) del rectángulo buscado \( rr_1r_2r_3 \), se tomarán en la cuerda \( ss_1 \) y en el diámetro \( vv' \) del círculo (C), á partir de su intersección \( m_1 \), los segmentos \( m_1l_0 \) y \( m_1i \) respectivamente iguales á \( \frac{1}{2} p \) y á \( p \), de modo que el segmento
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El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Director: D. Zoel G. de Galdeano

LAS FIESTAS UNIVERSITARIAS DE ZARAGOZA
EL ANIVERSARIO DE CERBUNA
Y LA INAUGURACIÓN DEL EDIFICIO DE MEDICINA Y CIENCIAS

Por fin el memorable suceso con tanto interés esperado en toda la región por que se extiende el distrito universitario de Zaragoza, es una realidad.

Inaugurado el edificio destinado á Medicina y Ciencias en la tarde del 18 de este mes por el Excmo. Sr. Ministro de Fomento D. Segismundo Moret y Prendergast ya el día 21, y terminadas las fiestas que se celebran en esta capital aragonesa, se continuarán los estudios de estas Facultades en las nuevas aulas.

Además de la citada inauguración, otro acontecimiento unido por una feliz coincidencia al primero se había de celebrar en estas fiestas universitarias, á saber, el tercer centenario de la fundación de la universidad de Zaragoza por el prior de La Seo y más tarde obispo de Tarazona D. Pedro Cerbuna.

Celebradas en la mañana del día 17 en la catedral de La Seo, con asistencia de todo el Claustro universitario, presidido por el Sr. Ministro de Fomento, las honras fúnebres del ilustre fundador de la antigua universidad en
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sos donativos como arriba se expresó, los gabinetes y la biblioteca del nuevo establecimiento, la gran obra de la instalación definitiva de los estudios científicos ha arraigado profundamente en esta región aragonesa, con los caracteres de un hecho permanente, á contar desde el momento en que se inauguró solemnemente el suntuoso palacio destinado á aquéllos, y sólo nos queda, para terminar, dirigir á cuantos han contribuído á realizar la grande obra, recientemente inaugurada, la modesta felicitación nuestra á la que seguramente han de asociarse cuantos aman la prosperidad y el progreso de la Patria.

Z. G. DE G.

Deux problèmes sur les progressions
PAR M. G. GILLET
PROFESSEUR Á L'ECOLE ABBATIALE DE MAREDSOUS

1. Etant donnée une progression arithmétique indéfinie
\[
a_0 \ a_1 \ a_2 \ a_3 \ldots
\]
de raison \( r \), on forme la série
\[
u_0 \ u_1 \ u_2 \ u_3 \ldots
\]
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dont le terme général a pour valeur

\[
u_p = a_{k_p} + a_{k_p+1} + a_{k_p+2} + \ldots + a_{k'_p}
\]

\( k \) et \( k' \) étant des constantes. Calculer la somme \( S \) des \( n \) premiers termes de cette série.

Posons pour abréger
\[
k' + k = 2\lambda,
\]
\[
k' - k = 2\mu;
\]
nous aurons successivement

\[
u_p = \frac{1}{2} (a_{k_p} + a_{k'_p}) (2\mu p + 1),
\]
\[
\begin{aligned}
a_{k_p} &= a_0 + k_p r \\
a_{k'_p} &= a_0 + k'_p r
\end{aligned}
\]
\[
\frac{1}{2} (a_{k_p} + a_{k'_p}) = a_0 + \lambda p r,
\]
\[
u_p = (a_0 + \lambda p r) (2\mu p + 1) = (2\mu p + 1) a_0 + p (2\mu p + 1) \lambda r.
\]

Par suite,

\[
S = \sum_{o}^{n} u_p = a_0 \sum_{o}^{n} (2\mu p + 1) + \lambda r \sum_{o}^{n} p (2\mu p + 1).
\]

Mais

\[
\sum_{o}^{n} (2\mu p + 1) = 2\mu \sum_{o}^{n} p + (n + 1) = (n + 1) (\mu n + 1),
\]
\[
\sum_{o}^{n} p (2\mu p + 1) = 2\mu \sum_{o}^{n} p^2 + \sum_{o}^{n} p = \frac{1}{3} \mu n (n + 1) (2n + 1) + \frac{1}{2} n (n + 1)
\]
\[
= \frac{1}{6} n (n + 1) (4\mu n + 2\mu + 3);
\]

Conséquemment:

\[
S = (n + 1) (\mu n + 1) a_0 + \frac{1}{6} n (n + 1) (4\mu n + 2\mu + 3) \lambda r
\]

*Cas particuliers.*—Si \( k = 1, k' = 2 \), on a \( \lambda = \frac{3}{2}, \mu = \frac{1}{2} \); la série se réduit à
\[
a_0 + (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4 + a_5) + \ldots + (a_n + a_{n+1} + \ldots + a_{2n}).
\]
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Elle a pour somme

\[
\frac{1}{2} (n+1)(n+2)a_0 + \frac{1}{2} n(n+1)(n+2)r = \frac{1}{2} (n+1)(a+2)a_n
\]

Si de plus, les termes de la progression donnée se réduisent à leurs indices, on obtient:

\[
(1+2)+(2+3+4)+(3+4+5+6)+....+(n+n+1+n+2+....+2n) = \frac{1}{2} n(n+1)(n+2).
\]

Cette relation donne la solution de la QUESTION 121, proposée par Mr. CATALAN.

Si l’on prend \( a_p = 2p+1 \), on trouve:
\[
1+(3+5)+(5+7+9)+(7+9+11+13)+...+(2n+1+2n+2+...+4n+1) = \frac{1}{2} (n+1)(n+2)(2n+1).
\]

II. On peut se proposer de résoudre le problème précédent lorsque la progression arithmétique \( a_0, a_1, a_2, ... \) est remplacée par une progression géométrique \( b_0, b_1, b_2, ... \) de raison \( q \). Dans ce cas, et en conservant toutes les autres notations employées ci-dessus, on obtient:

\[
u_p = b_0 q^{kp} \left[ 1+q+q^2+....+q^{2\mu p} \right] = \frac{1-q^{2\mu p+1}}{1-q} b_0 q^{kp}.
\]

\[
S = \sum_{o}^{n} u_p = \frac{b_0}{1-q} \sum_{o}^{n} q^{kp} - \frac{b_0}{1-q} \sum_{o}^{n} q^{(2\mu+k)p+1}.
\]

D’ailleurs,

\[
\sum_{o}^{n} q^{kp} = \frac{1-q^{nk+1}}{1-q^k}
\]

\[
\sum_{o}^{n} q^{(2\mu+k)p+1} = \frac{1-q^{n(2\mu+k)+1}}{1-q^{2\mu+k}} \cdot q.
\]

Par suite

\[
(1-q) S = \frac{1-q^{nk+1}}{1-q^k} b_0 - \frac{1-q^{n(2\mu+k)+1}}{1-q^{2\mu+k}} b_1.
\]
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Cas particulier.—Lorsque \( k = 1, k' = 2 \), on obtient:

\[
b_0 + (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_n + b_{n+1} + \ldots + b_{2n})
= \frac{1 - q^{n+1}}{(1-q)^2} b_0 - \frac{1 - q^{2n+1}}{(1-q)(1-q^2)} b_1 .
\]

O CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 121.
(Véase t. III, pág. 112)

A qué es igual la suma de los progresiones

\[
1 + 2, 2 + 3 + 4, 3 + 4 + 5 + 6, \ldots n + (n+1) + (n+2) + \ldots + 2n
\]
(E. Catalán).

Solución por D. Cecilio Jiménez Rueda

Escribanse las progresiones sumandos, unas debajo de otras en esta forma; y súmense verticalmente:

\[
\begin{align*}
& n + (n+1) + (n+2) + \ldots \ldots (2n-2) + (2n-1) + 2n \\
+ & (n-1) + n + \ldots \ldots (2n-4) + (2n-3) + 2(n-1) \\
+ & (n-2) + \ldots \ldots (2n-6) + (2n-5) + 2(n-2) \\
+ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
+ & 3 + 4 + 5 + 6 \\
+ & 2 + 3 + 4 \\
+ & 1 + 2
\end{align*}
\]

\[
= n + 2n + 3n + \ldots \ldots + (n-1)n + n.n + (n+1)n =
= n(1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1) + n + (n+1)) = \frac{n(n+1)(n+2)}{2}
\]

Solución por el alumno D. Ricardo Caro

La suma de los \( n + 1 \) términos últimos es

\[
n + (n+1) + (n+2) + \ldots + 2n = \frac{3n(n+1)}{2} = \frac{3n^2 + 3n}{2} = \frac{3}{2}(n^2 + n)
\]

Si en esta igualdad damos á \( n \) los valores, 1, 2, ... \( n \), y sumamos las
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igualdades resultantes, tendremos la suma pedida igual á

\[
\frac{3}{2} (1 + 2 + 3 + \ldots + n + 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)
\]

Conocemos el valor de la suma de primeras y segundas potencias de los \( n \) primeros números, que es

\[
\frac{n(n+1)(n+2)}{3}
\]

luego la suma pedida es

\[
\frac{n(n+1)(n+2)}{2},
\]

siempre entero, pues uno ó dos factores del numerador, son pares.

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY

Se tiene

\[
n + (n+1) + (n+2) + \ldots + 2n = \frac{3n(n+1)}{2},
\]

y se sabe que

\[
\sum_1^n \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}.
\]

Luego la suma buscada es \( = \frac{1}{2} n(n+1)(n+2) \)

Solución por el Sr. Retali

La progresión propuesta es de segundo orden; las primeras diferencias forman una progresión aritmética cuyo primer término es 6 y cuya razón es 3. Haciendo en la fórmula conocida

\[
S = n a_0 + \binom{n}{2} d_1 + \binom{n}{3} d_2
\]

\( a_0 = 3,\ d_1 = 6,\ d_2 = 3,\ ) se obtiene para la fórmula buscada

\[
s = 3n^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{2}
\]

Solución por D. Jorge Luzón de las Cuevas

La progresión de lugar \( p \)

\[
p \cdot p + 1\ p + 2 \ldots 2p
\]
El Progreso matemático (1893-10-20 00:00:00), página 15

dá para la suma de sus términos

\[
\frac{3p(p+1)}{2}
\]

de donde la de las \( n \) progresiones será

\[
\sum_{p=1}^{p=n} \frac{3p(p+1)}{2} = \frac{3}{2} \sum_{p=1}^{p=n} p(p+1)
\]

La suma de los productos dos á dos de los términos consecutivos de una progresión de \((n+1)\) términos está representada por la fórmula

\[
\sum_{q=1}^{q=n} a_q a_{q+1} = \sum_{q=1}^{q=n} a_q^2 + r \sum_{q=1}^{q=n} a_q \quad (*)
\]

así

\[
\frac{3}{2} \sum_{p=1}^{p=n} p(p+1) = \frac{3}{2} \left[ 1^1 + 2^1 + \ldots + n^1 + 1 + 2 + \ldots + n \right]
\]
\[
= \frac{3}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]
\]

y efectuando simplificaciones

\[
\frac{3}{2} \sum_{p=1}^{p=n} p(p+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{2}
\]

que resuelve la cuestión.

Solución por el alumno D. Enrique Mackay Monteverde

Se tiene

\[
m + m+1 + m+2 + \ldots . 2m = \frac{3m(m+1)}{2}.
\]

Luego la suma pedida es

\[
S = \frac{3}{2} [1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + (n-1)n + n(n+1)]
\]

(*) Es muy fácil obtener esta fórmula. Basta, á partir del segundo término poner cada uno en función del anterior y multiplicar cada igualdad por el término anterior á su primer miembro.
El Progreso matemático (1893-10-20 00:00:00), página 16

pero

\[
\frac{1}{2} \left[ 1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + (n-1)n + n(n+1) \right] = \frac{n(n+1)(n+2)}{1.2.3}
\]

por ser el \( n \)ésimo número piramidal; luego, por último

\[
S = \frac{n(n+1)(n+2)}{2}.
\]

CUESTIÓN 101
(Véase t. III, pág. 40).

Se dan dos rectas rectangulares que se cortan en O. El punto A está sobre la una, el punto B sobre la otra. Se tiene \( \overline{OA}^2 - \overline{OB}^2 = L^2 \)

La envolvente de AB es

\[
\frac{x^2}{L^2} - y^2 = \frac{2}{L^2}
\]

OA es eje de las x, OB el de las y. Estudio de la curva.

(E. Lemoine.)

Solución por el Sr. Lemoine (E).

M. Brocard ha dado de esta cuestión una solución muy elegante que ha deducido de consideraciones generales, y nada hay que añadir á esto.

Yo deseo solamente dar aquí una solución especial que había encontrado.

La idea de buscar en esta envolvente no se me había ocurrido porque, si con los mismos datos se tiene \( \overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 = L^2 \), se halla una curva muy conocida y de numerosas propiedades. (Envolvente de una recta de longitud constante cuyos extremos describen dos rectas rectangulares).

Sea \( OA = \lambda \), \( OB = \mu \). Es preciso determinar la envolvente de la recta que tiene por ecuación

\[
\mu x + \lambda y = \lambda \mu \tag{1}
\]

con la condición

\[
\lambda^2 - \mu^2 = L^2 \tag{2}
\]

y de (1) y (2) se deduce respectivamente

\[
x \frac{d\mu}{d\lambda} + y = \lambda \frac{d\mu}{d\lambda} + \mu \tag{3}
\]
\[
\lambda - \mu \frac{d\mu}{d\lambda} = 0 \tag{4}
\]