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El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 24

133. Separar dos círculos iguales máximo de un rectángulo, en el cual la relación de los lados está comprendida entre 1 y 2.
(A. Dmitrieff).

134. Separar de un cuadrado tres círculos iguales máximo.
(A. Dmitrieff).

135. Dado el eje focal de una cónica, sólo en posición, un punto de la misma y el centro del círculo osculador en este punto, determinar los focos.
(C. Jimenez Rueda).

136. Sobre los tres lados de un triángulo ABC, en los que los pies de las alturas son D, E, F, se construyen los triángulos BA₁C, CB₁A, AB₁C directamente semejantes á ABC, BCA, CAB. Demostrar que, si el radio R del círculo circunscripto al triángulo ABC es cuádruplo del radio r' del círculo inscripto al triángulo DEF, las rectas AA₁, BB₁, CC₁ pasan por un mismo punto.
(H. Van Aubel).

137. La suma de los cuadrados de las rectas que unen entre sí los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre los tres lados de un triángulo es igual á la suma de los cuadrados de estos lados, más seis veces el área del triángulo.
(H. Van Aubel).

138. Demostrar que

\[
\frac{y}{1+a} + \frac{y+a}{(1+a)^2} + \frac{y+2a}{(1+a)^3} + \ldots + \frac{y+(n-1)a}{(1+a)^n} = \frac{y+1}{a} - \frac{y+1+na}{a(1+a)^n}
\]

deduciendo como inmediata consecuencia el conocido resultado

\[
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{2+n}{2^n}
\]

ó bien \( 1.2^{n-1} + 2.2^{n-2} + 3.2^{n-3} + \ldots + (n-1)2^1 + n.2^0 = 2(2^n - 1) - n \)

(Juan J. Durán Loriga).

139. La suma de los cuadrados de las rectas que unen los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre dos lados opuestos de un cuadrilátero y los centros de los cuadrados construidos interiormente sobre los mismos lados es igual á la suma de los cuadrados de las diagonales de este cuadrilátero.
(H. Van Aubel).
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 3

contradictorias, tal es, por ejemplo el punto K. Por estar en la rama AC, es centro de un círculo tangente á M y N envolviendo á M y *envolviendo á N*; y por estar en la rama DG, es centro de un círculo tangente á L y N envolviendo á L y *exterior á N*.

No pudiendo ser á la vez *envolvente y exterior* de N, no es centro de solución.

Para precisar los puntos soluciones, numérense las curvas como en la figura, y son centros las intersecciones de curvas cuyo número de orden es par en ambas, ó en ambas impar.

De este modo están tomados los puntos señalados en la figura, los cuales, empleando la notación de mi profesor Sr. Galdeano, (*) corresponden á las soluciones:

A.... \( L_e M_e N_e \)   C.... \( L_e M_i N_i \)   E.... \( M_e L_i N_i \)   G.... \( N_e L_i M_i \)
B.... \( L_i M_i N_i \)   D.... \( L_i M_e N_e \)   F.... \( M_i L_e N_e \)   H.... \( N_i L_e M_e \)

El método es aplicable cuando los tres centros están en línea recta, y cuando dos radios, ó los tres, son iguales. Téngase presente que cuando \( m = n \), la hipérbola AC, BD, se reduce á una perpendicular en el punto medio de MN; y al escoger los puntos soluciones, esta recta representa las ramas 2 y 3.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase págs. 195-207)

32. Con respecto á la calidad de las proposiciones, en la demostración *ad absurdum* hay que distinguir tres casos, como se dijo anteriormente:
1.º Cuando se trata de un teorema que es contradictorio respecto á una definición.
En matemáticas las definiciones son verdaderos principios fundamentales. Así, por ejemplo: la definición de la circunferencia, es el fundamento de todas las propiedades que hallamos en esta curva.
Además toda definición equivale á una proposición y su recíproca, porque, según la lógica, *toda definición es una proposición idéntica*, es una igualdad perfecta entre sus dos términos; esta es la razón á que

(*) Geom. Elem. 2.a parte pág. 302.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 4

obedece el verse frecuentemente, en la ciencia matemática, aislados algunos teoremas que se denominan ad absurdum.

2.º Hay numerosos teoremas recíprocos ó contrarios-recíprocos, que se demuestran ad absurdum, fundándose en otros tales como los siguientes: Por un punto sólo se puede trazar una perpendicular á una recta; por un punto no se puede trazar más que una paralela á una recta, los cuales expresan que solamente existe un caso para verificarse una propiedad.

Así, por ejemplo, admitido que:
1.º Si una recta A es perpendicular á otra C, y una tercera recta B es paralela á A, será además perpendicular á C.
2.º Por un punto sólo puede pasar una perpendicular á una recta.
Vamos á demostrar que:
Si A es perpendicular á C y B oblicua, B encuentra á A.
En efecto. Si toda paralela á A trazada por un punto es perpendicular á C, y además sólo pasa por dicho punto una perpendicular á C, toda paralela ó todas las paralelas á A, (ó que no encuentran á A) que pasan por dicho punto coinciden con la única perpendicular (1) que pasa por él mismo; luego las demás rectas (es decir, todas las oblicuas á C, juntamente con todas las paralelas que pudiera haber á C) que pasan por dicho punto no son paralelas á A. (2)

También, admitido:
1.º Que si A es perpendicular á C y B también, B es paralela á A.
2.º Que por un punto sólo puede pasar una paralela á una recta: para demostrar que: Si A es perpendicular á C y B paralela á A, B es perpendicular á C, se dirá:

Toda perpendicular trazada á C por un punto cualquiera, (que no ha de ser de A) es paralela á A (3); pero sólo existe una paralela á A que pasa por dicho punto; luego toda perpendicular es la única paralela; y toda paralela (la única existente) es perpendicular, ó mejor, coincide con la única perpendicular. (4)

(1) Con lo que queda demostrado que todas las paralelas se reducen á una sola.
(2) Este razonamiento equivale á decir: todos los individuos de la especie (a) (paralela á A), pertenecen al género (b) (perpendicular á C); y todos los que pertenecen á (b) pertenecen á (c) (única perpendicular); luego todos los individuos que no pertenecen al género (c), no pertenecen á la especie (a), es decir que no son paralelas á A.
(3) Hasta ahora, al invertir, sólo podrá afirmarse que: alguna paralela á A es perpendicular á C.
(4) Si en vez de la conclusión : B es perpendicular á C, hubiéramos puesto : B no es paralela á A, concluiríamos que B no es perpendicular á C calcando el razonamiento sobre el del ejemplo anterior.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 5

De otro modo: Supongamos que por un punto P pudiera haber \( n \) perpendiculares á C (las cuales todas serán paralelas á A).

En cuanto se establece que sólo existe una paralela á A trazada por P, las \( n \) perpendiculares se tienen que confundir con esta paralela. Es decir, que la paralela existente es perpendicular.

3.º La teoría de paralelas nos ofrece una aplicación que conduce á importantes consideraciones, y para indicarlas es necesario advertir que los teoremas: Por un punto fuera de una recta, no se le puede trazar más que una perpendicular, y dos rectas perpendiculares á una tercera, son paralelas entre sí, que corresponden á los números (1) y (4) (figura 24), enunciados en los tratados como proposiciones diferentes, (ó al menos enunciadas independientemente), no son más que una sola; el 2.º de estos dos teoremas es el contrario del reciproco del 1.º; razón por la que dicho segundo teorema se demuestra ad absurdum fundándose en el primero.

En cuanto á los números (2) y (3), representan respectivamente las proposiciones: Si dos rectas son paralelas, y una de ellas es perpendicular á una tercera recta, la otra también lo será, y si una recta es perpendicular á otra, y una tercera es oblicua respecto á ésta, encontrará á la primera, ó lo que es lo mismo, no le será paralela.

Este último enunciado se emplea por algunos autores como el del postulado de Euclides, del cual es una ligera modificación. El correspondiente al número (2) es la proposición: Por un punto no se puede trazar á una recta más que una paralela, expuesta con distinta forma. Pues equivale á la (3), esto es, á que: Todas las oblicuas, (es decir, todas las rectas, menos una) que pasan por un punto, encuentran á A; y es idéntico el admitir el postulado en esta forma, á admitirlo diciendo: las rectas que no encuentran á la A se reducen á dicha única recta (1).

Vemos, en resumen, que la proposición correspondiente á los números (1) y (4) se demuestra, y la correspondiente á los (2) y (3), que es el postulado de la teoría de paralelas, se admite sin demostración completándose así la proposición total, base de dicha teoría.

(Fig. 24.)

(1) Que tiene que ser necesariamente la perpendicular.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 6

Preferible es enunciar las cuatro proposiciones en la forma más general, como sigue:

(1) Si los ángulos correspondientes que A y B forman con C son desiguales, A y B no son paralelas.
(3) Si A y B no son paralelas, los ángulos correspondientes que forman con C no son iguales.
(2) Si los ángulos correspondientes que A y B forman con C son iguales, A y B son paralelas.
(4) Si A y B son paralelas, los ángulos correspondientes que forman con C son iguales.

La proposición (1) es el postulado de Euclides. La (2) se establece en muchos tratados, (Lacroix, etc.), mediante un giro de la mitad de la figura al rededor del punto medio del segmento de la secante comprendido entre A y B. La (3) es la proposición XVII del libro I de Euclides, á saber, que: Si se prolonga uno de los lados de un triángulo, el ángulo exterior es mayor que cualquiera de los interiores opuestos. La (4) equivale á enunciar el postulado bajo la forma: Por un punto sólo existe una paralela á una recta, conforme se razonó anteriormente, pues lo mismo es admitir que todas las rectas que forman ángulos correspondientes desiguales con la C se encuentran, que admitir que la única recta, en el caso de la igualdad de dichos ángulos, es la que no encuentra á la A.

Para terminar estas consideraciones, señalaremos un hecho digno de atención que puede ser observado en la teoría del paralelismo. Siendo así que para tener completamente probado en sus cuatro partes un teorema, hemos visto que se necesitaba conocer dos que no fueran las reconocidas como equivalentes, se observa que hay teoremas en los cuales, basta probar uno solo de sus casos, para quedar por completo demostrado.

Demostrado el teorema: Si un plano X corta á una de dos paralelas, cortará á la otra, queda probada la proposición: Si un plano es paralelo á una de dos paralelas ó la contiene, también contiene á la otra ó le es paralelo, que se demuestra ad absurdum fundándose en la anterior, é inversamente, admitida como demostrada ésta, quedaría probada ad absurdum aquélla.

La razón de esto se halla en que, por motivo de cierta simetría de posición, propia de las rectas paralelas, cada uno de estos teoremas es doble. Así, el primero de los dos equivale á decir: Si un plano X corta á una de dos paralelas A, cortará á la otra B, y recíprocamente, si corta á la B, cortará á la A. En cuanto al segundo, equivale á decir: Si un plano es paralelo ó contiene á una de dos paralelas A, es paralelo ó contiene á la otra B, y recíprocamente: Si es paralelo ó contiene á la B, será paralelo ó contendrá á la otra A.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 7

Observación 1.a  La proposición muy conocida y fundamental: Si hechas todas las hipótesis distintas posibles en un mismo enunciado, á cada una corresponde una tesis distinta, la proposición recíproca será cierta, admite la siguiente representación gráfica:

Sean A y A' dos superficies, por ejemplo, dos círculos divididos cada uno en n partes, de manera que á todos los puntos de la 1, 2, 3,...n correspondan respectivamente los de la 1', 2', 3',..... n' del segundo círculo. Es evidente que, á un punto cualquiera de la división k' de éste, corresponderá uno situado en la división k del primero, pues á un punto de otra división que no sea k corresponde un punto que no está en k'.

Observación 2.a  Cuando dos ó más divisiones de una de las superficies se reúnen en una sola que las comprende á todas, entonces las dos ó más correspondientes de la otra pasan á corresponderse con aquélla como la especie con el género. Entonces á dos ó más hipótesis distintas corresponde una misma tesis, dejando de ser cierta la recíproca.

Así, en los teoremas en que: á igual, mayor ó menor oblicua, de las trazadas por un punto á una recta corresponde igual, mayor ó menor distancia del pie de aquéllas al de la perpendicular; á las regiones 1, 2, 3 de una de las superficies corresponde respectivamente (fig. 25) cada una de las 1', 2', 3', de la otra. Pero siendo

distancia mayor + distancia menor = distancia desigual,

si por ejemplo las divisiones 2', 3' correspondientes al 1.º miembro de la igualdad se reemplazan por una sola división (2' 3') correspondiente al 2.º (borrándose los contornos de separación) todavía á las hipótesis 2 y 3 corresponderá la tesis (2' 3') distancia desigual); pero á distancia desigual, como hipótesis, no corresponde necesariamente una de las tesis 2 ó 3 elegidas arbitrariamente (corresponderá ó 2 ó 3), presentándose el teorema bajo la forma disyuntiva.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 8

LIBRO SEGUNDO
LOS SISTEMAS Ó MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CAPITULO PRIMERO
El método de la Geometría euclídea

33. Los principios fundamentales. Son dos: 1.º El axioma: Dos puntos determinan una recta.

2.º El postulado: Por un punto solo puede trazarse una paralela á una recta dada.

Este es un caso particular del anterior, á saber: cuando uno de los dos puntos está en el infinito (1).

No es extraño, pues, que para demostrarse la propiedad de identidad directiva de dos rectas paralelas con relación á una tercera recta, esto es: si dos rectas forman ángulos iguales (de igual orientación en el plano) con otra tomada como base de referencia, son paralelas (2), baste hacer girar la figura al rededor del punto medio O, para fundar la imposibilidad de encontrarse en la imposibilidad de que dos rectas tengan dos puntos comunes.

Este teorema conduce á otra determinación de la recta, equivalente á su determinación por dos puntos, á saber: su determinación por un punto y el ángulo que forma con otra recta.

Pues siendo H el punto por que pasa la recta EF (fig. 25), formará con la paralela á CD trazada por dicho punto el mismo ángulo que con la PQ. Pero EF está determinada con relación á la paralela PQ, por ser una de las infinitas posiciones que ésta toma al rededor del punto H, á partir de su posición primitiva PQ en que formaba con CD un ángulo nulo; luego estará también determinada

(1) En realidad este postulado constituye la definición de la recta paralela, esto es: la recta que une un punto del plano con el punto en el infinito de otra recta, que constituye su determinación, obteniéndose toda la variedad de rectas paralelas concibiendo unido el punto en el infinito con cada uno de los puntos del plano, que se encontrarán así agrupados en cada una de las infinitas paralelas.

(2) En el caso de ser nulo, se enuncia: Dos paralelas á una tercera, son paralelas entre sí; en el caso de ser recto: Dos perpendiculares á una recta son paralelas entre sí.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 9

con relación á la base de referencia CD y de igual modo que con PQ, es decir, formando el mismo ángulo, nueva condición que se ha sustituido al punto en el infinito, y que á su vez puede sustituirse por el punto G de intersección con CD (punto ahora preferible á todos los demás de sus puntos, cada uno de los que juntamente con el H determinan á EF).

Esta equivalencia de determinación por dos sistemas de condiciones distintas puede expresarse así:

Un punto H y un ángulo \( \equiv (*) \) un punto H + un punto G (vértice).

Caso particular. Este razonamiento se ha reducido á establecer que cuando el punto G está en el infinito, el ángulo de la recta EF, que pasa por el punto H se reduce á cero, constituyendo el caso del paralelismo con relación á la CD.

34. EQUIVALENCIAS EN LA DETERMINACIÓN CON RESPECTO A LOS PUNTOS DE BASE. Caso general. Cada uno de dos puntos M y M' está determinado respecto á dos puntos P y P' por las distancias ó radios R y R_1, R' y R'_1.

La recta L que determinan M y M' está pues determinada por cuatro condiciones.

Casos particulares. 1.º Si el punto M se sustituye por el V de intersección de MM' con PP', V está determinado por hallarse en PP' y por distar de P, por ejemplo, una longitud determinada. (**)

2.º Análogamente cada uno de los puntos M y M' puede suponerse determinado por hallarse en la recta dada MP, ó M'P' y en la circunferencia de radio P'M ó PM' (α) ó en la de radio PM ó P' M' (β).

3.º Los puntos M y M' supuestos arbitrariamente en la recta MM', es decir, como dos cualesquiera de éstos y por consiguiente, situados en los radios PM y P'M' generalmente oblicuos á dicha recta, pueden sustituirse por los dos puntos especiales de ésta situados en los radios perpendiculares PE,P'E' (determinados á su vez, pues están ligados por MP y M'P' mediante dos triángulos rectángulos determinados).

Estos modos de determinación corresponden á diversos teoremas que son sus enunciados.

(*) El signo \( \equiv \), léase equivale á

(**) Estando suficientemente determinado el punto V con respecto á uno de los dos P y P' en la recta PP', es evidente que la relación de las distancias de V á P y P' está determinada. Así la razón es igual á la de las áreas de los triángulos VMP, VMP' y su producto igual al del cuadrado de la tangente trazada por V á la circunferencia determinada por M, P, P'.
El Progreso matemático (1893-08-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

NOTA SOBRE LA CUESTIÓN PROPUESTA NÚMERO 61
POR
el Sr. D. Alfredo Schiappa Monteiro.

(Continuación)

Ahora, como se sabe, los puntos \( \gamma^0 \) y \( \gamma^{0'} \) describen una parábola (\( \omega \)), que tiene por vértice el punto A y por parámetro el segmento a; y, por consiguiente, las rectas \( \gamma^{0'}\Theta \) y \( \gamma^{0}\Theta' \) serán también las tangentes á esta parábola en los extremos de su cuerda giratoria \( \gamma^{0}\gamma^{0'} \).

Luego:
Cuando la cuerda giratoria \( \gamma^{0}A,\gamma^{0'} \) de la parábola \( \omega \) gire alrededor del punto fijo A, el polo \( \varphi \) de esta cuerda describirá la diametral b(oc) de la cúbica (F).
Según esto, si se considera la cuerda giratoria MAM' de la cúbica (F), se reconoce que las tangentes M\( \Theta \) y M'\( \Theta' \) en sus extremidades y la tangente correspondiente \( \gamma^{0'}\Theta \) á la parábola (\( \omega \)) concurren en un mismo punto \( \Theta \).

De esta propiedad resulta otra construcción de la tangente en un punto cualquiera de (F).

Así, para obtener las tangentes en los puntos M y M', se determinará desde luego su punto de intersección \( \Theta \) que estará dado por la intersección de las rectas Co y Ba respectivamente perpendiculares á la diametral bOc en el punto medio C de la cuerda MM' y á su perpendicular AB en su punto de intersección B con esta diametral.

Esta es la construcción que el sabio matemático Sr. Sollertinsky ha presentado en su solución de esta misma cuestión propuesta.

Como por construcción se tiene:
CA = zm = \( \tau_0 z = z'm' \) y Cm = m'C = \( \tau_0 z = z'\tau_0 \) si la diametral bOc y la asíntota s,s' paralela á ésta están trazadas, se pueden construir las tangentes en los extremos de la cuerda giratoria MAM' trazando
El Progreso matemático (1893-08-15 00:00:00), página 10

\[
\frac{d^2 y}{dx^2} = - \frac{a^3 (2x + a)}{xy(x+2a)}
\] (61)

Sustituyendo en la expresión del radio de curvatura \( \gamma \) de las curvas planas, en coordenadas cartesianas

\[
\gamma = \pm \frac{\left[ 1 + \left( \frac{dy}{dy} \right)^2 \right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^4 y}{dx^4}}
\] (62)

los valores de \( 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \) y \( \frac{d^2 y}{dx^2} \),

se obtiene
\[
\gamma = \frac{N^3}{y^2} \frac{(x+2a)^3}{a^3 (2x+a)} x
\] (63)

y, en virtud de las ecuaciones (3) y (59), resulta
\[
\gamma = \frac{N^3}{S_n^2} \frac{a}{2x + a}
\] (64)

expresión muy fácil de construir, puesto que aún en el caso en que la normal corte el eje OX más allá de los límites del dibujo, se suele recurrir á una reducción de escala.

En el caso muy particular en que se tenga
\[
x = 0 \quad \text{y por consiguiente} \quad N = S_n,
\]
se tiene
\[
\gamma_0 = N = S_n = \frac{1}{4} a
\] (65)

Tal es la magnitud del radio de curvatura \( \gamma_0 \) en el vértice A de la rama FAF' de la cúbica (F).

NECROLOGÍA

ERNESTO EDUARDO KUMMER

Este año Alemania ha perdido uno de sus más renombrados matemáticos, Ernesto Eduardo Kummer, que aun en 10 de Mayo último se contaba en el número de los vivientes.
El Progreso matemático (1893-08-15 00:00:00), página 12

de la teoría de los números, Kummer pudo inferir de la teoría de las superficies curvas las ideas fundamentales de una nueva serie de investigaciones geométricas. Estas investigaciones que se enlazan con otras de Hamilton sobre los sistemas de rayos, constituyen el último período del trabajo investigador de Kummer que en 1864 descubrió la superficie de cuarto orden que se conoce con su nombre, manifestándose la universalidad de su talento y de su fuerza inventiva en varias cuestiones de la física y de la balística y que forman la coronación de su brillante obra científica.

Por último, si como investigador ha obtenido merecido lugar entre los más notables matemáticos modernos, como profesor fué digno siempre de elogio por su arte en educar las inteligencias de los alumnos para el estudio de las matemáticas, en lo que no influyeron poco las elevadas dotes de su carácter que el Dr. Lampe, profesor de la Escuela politécnica de Berlín, ha descrito citando algunos rasgos y anécdotas referentes á tan egregio matemático, en un extenso artículo necrológico publicado en la revista alemana Naturwissenschaftliche Rundschau (VIII Jarg. no 28. Braunschweig. 15 Juli. 1893) y del que hemos extractado las noticias principales, suficientes por dar una ligera idea á los lectores de El Progreso Matemático del ilustre matemático que hace unos meses ha perdido Aleman y el mundo científico.

Z. G. de G.

NOTA SOBRE LA CUESTIÓN III
POR EL SR. BROCARD

Consideremos un cuadrante BOA dividido en tres sectores BOD, DOC, COA de 30° cada uno y completemos el cuadrado BEAO sobre los dos radios rectangulares. Unamos los extremos de los arcos de 30°. Obtendremos así tres triángulos iguales que representarán la cuarta parte del área del dodecágono.

Unamos DE, CE y tracemos las paralelas DI y CI á EC y á ED.

Los ángulos CEA y ODI son iguales á 15° como es fácil justificar.

Luego la figura BDCAE formada por dos triángulos iguales BDE, ECA y por el triángulo DCE es equivalente
El Progreso matemático (1893-08-15 00:00:00), página 13

al triángulo ODC formado por las mismas áreas parciales. Así el triángulo ODC es la cuarta parte del cuadrado OBEA. El área del do-decágono es, pues, 12 cuartos ó 3 veces la del cuadrado OBEA.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 124. (Véase t. III, pág. 112).

Si se prolongan los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC en longitudes CA₁, AB₁, BC₁, iguales á estos lados, y sobre las rectas AA₁, BB₁, CC₁ se toman los puntos M, N, P tales que

\[
\frac{AM}{AA_1} = \frac{BN}{BB_1} = \frac{CP}{CC_1} = \frac{1}{3},
\]

los triángulos MNP y ABC serán iguales y tendrán el mismo centro de gravedad.

(H. Van Aubel).

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Designemos con \( \alpha, \beta, \gamma \) respectivamente las intersecciones BB₁ con CC₁, de CC₁ con AA₁, de AA₁ con BB₁. Se tiene evidentemente

\[
A_1 \beta = \beta M = MA = A \gamma \\
\beta_1 \gamma = \gamma N = NB = B \alpha \\
C_1 \alpha = \alpha P = PC = C \beta
\]

Los puntos M y N son pues, respectivamente, los centros de los segmentos A₁γ y γB, y por esto MN = BC. Análogamente se demues-