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minará sobre el círculo (O) los arcos Ce₁D y Ce₂e₃D con relación á los cuales esta hipérbola será trisection.

Estas son las propiedades que se ofrecen desde luego, y que no hemos creído debíamos dispensarnos de estudiar, por más que sólo se pidan las ecuaciones de los lugares geométricos propuestos.

Por esta razón no nos extenderemos en otras investigaciones, como por ejemplo, las relativas á los lugares de los que se pueden deducir geométricamente normales á la parábola (\( \pi \)), sobre la determinación de las tangentes y del centro de curvatura del tridente etcétera, para no prolongar este estudio, y no hacerlo más fatigoso.

Cuestión núm. 55 (véase t. II pág. 127).

Se tiene una recta indefinida XY y una perpendicular AB (B el pie) á dicha recta. Por el punto A se trazan diversas oblicuas y en sus pies se levantan perpendiculares á ellas, tomando en uno y otro sentido longitudes iguales á AB. Hallar y discutir la ecuación del lugar geométrico de los extremos de estas perpendiculares.

(Juan J. Durán Loriga).

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro, profesor de la Escuela politécnica de Lisboa.

Según el enunciado de esta cuestión, se reconoce inmediatamente que el lugar geométrico pedido es simétrico con relación á AB.

Elijamos pues, por ejes de las x, y las rectas dadas XX', AB, y sea Aa una de las oblicuas trazadas por el punto A, y bab' la perpendicular trazada por su pie a, sobre la que se señalarán los segmentos ab, b'a iguales al segmento dado AB, que representaremos por R.

Consideremos el punto b cuyas coordenadas son

\[
Bp = x = Ba + ap \quad y \quad pb = y
\]

Siendo semejantes los triángulos rectángulos pha, BaA, resultará que

\[
Ba = \frac{R}{ap} y
\]

de donde

\[
x \cdot ap = R \cdot y + ap^2
\]

pero se tiene

\[
ap = \pm \sqrt{R^2 - y^2}
\]

luego la ecuación del lugar buscado será

\[
x \sqrt{R^2 - y^2} = R^2 + Ry - y^2
\]

\[
F = y^4 - 2 Ry^3 - (R^2 - x^2) y^2 + 2 R^3 y - R^2 x^2 + R^4 = 0
\]

Observación. Desde el punto B como centro, con el radio R, des-
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cribamos la circunferencia AβCDγC' δ (B) y tracemos el diámetro β1β', perpendicular á la oblicua Aα, que la corta en el punto P, y consideremos las coordenadas BP₁, P₁β del punto β de esta circunferencia.

Los triángulos rectángulos apb, BP₁β, APβ serán iguales y cuando la oblicua Aα gire al rededor del punto medio fijo A, ó los puntos b y b' describirán la cuártica propuesta (Δ), el punto P describirá el círculo APB ú (O) cuyo centro es el punto medio O de AB, y se tiene siempre

\[
PB = ph = y \quad \text{y} \quad Bp = Ba + AP = x
\] (6)

Discusión. Cuando la oblicua Aα gira al rededor de A, el punto b describe la rama CbEb₀C₁... de la cuártica (Δ), y el punto b' describe la otra rama c'b'E'b₀C'₁..., que se cortan evidentemente en el punto b₀, que será un punto doble ó nodo de esta curva, correspondiente á \( x = o \).

Para este valor de x la ecuación (4) se reduce á

\[
y^2 - Ry - R^2 = 0
\] (7)

de donde

\[
y = + \frac{R}{2} (\sqrt{5} + 1) = Bb₀', \quad y = - \frac{R}{2} (\sqrt{5} - 1) = Bb₀'
\] (8)

Estos dos valores de y serán, pues, los de los segmentos que dividen el radio R del círculo (B) en media y extrema razón, ó representan respectivamente las longitudes de los lados del decágono estrellado y del decágono convexo inscriptos en dicho círculo.

Se puede también obtener estos valores de y considerando la posición Aₙ₀ de la oblicua Aα para la que se tiene b₀Aₙ₀ = R, determinando el triángulo rectángulo b₀Aₙ₀A que da

\[
R^2 = Bb₀' (Rb₀' + R)
\] (9)

ó

\[
y^2 = R (R + y)
\] (10)

Correspondiendo el punto b₀' al primer valor de y, es un punto conjugado ó acnodal, que se puede considerar como el punto doble de dos ramas imaginarias de la curva (Δ) ó como su óvalo reducido á un punto, puesto que se ve claramente

1.º Que la ecuación (4) se halla satisfecha para

\[
x = o \text{ é } y = + \frac{R}{2} (\sqrt{5} + 1)
\]

2.º Que para los valores de y, mientras sean poco diferentes de

\[
+ \frac{R}{2} (\sqrt{5} + 1),
\]

los valores de x sean imaginarios.

Vamos todavía á obtener estos dos puntos singulares, sin conside-
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CUESTIÓN Núm. 45

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rar la generación de la cuártica (Δ), recurriendo tan sólo á su ecuación por la aplicación del método general para determinar estos puntos, y los coeficientes angulares de las tangentes respectivas.

Haciendo \( x = 0 \) en las derivadas primeras de la ecuación de (Δ), con relación á \( x \) é \( y \), se tiene

\[
x (y^2 - R^2) = 0 \tag{11}
\]
\[
2y^3 - 3Ry^2 - 3R^2y + R^3 = (2y - R)(y^2 - Ry - R^2) = 0 \tag{12}
\]

Ahora bien, quedando satisfechas esta ecuaciones por los valores de
\[
x = 0 \quad \text{é} \quad y = \frac{R}{2} (1 \pm \sqrt{5}) \tag{8}
\]
manifestan que los puntos \( b'_0 \) y \( b''_0 \) son dobles.

No siendo nulas para estos valores de \( x \) é \( y \) las derivadas segundas
\[
2(y^2 - R^2) \quad \text{y} \quad 2|6(y^2 - Ry) - R^3| \tag{13}
\]
ó bien,
\[
2Ry \quad \text{y} \quad 2.5R^2 \tag{14}
\]
de la ecuación de la curva, se tendrá, para determinar la inclinación de las tangentes en estos puntos, la ecuación
\[
5R^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + R.y = 0 \tag{15}
\]
que da
\[
\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{-\frac{y}{5R}} \tag{16}
\]

Se ve, pues, que para
\[
x = 0 \quad \text{é} \quad y = \frac{R}{2} (1 \pm \sqrt{5}) \tag{1}
\]
se tiene las dos ecuaciones
\[
\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{10}} \tag{17} \quad \text{y} \quad \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{10}} \tag{18}
\]
que dan respectivamente inclinaciones ideales y reales para los pares de tangentes en los puntos \( b'_0 \) y \( b''_0 \) de la cuártica (Δ).

Luego, para \( x = 0 \), resulta para \( y \) un valor positivo y el otro negativo, correspondiendo al primer valor de \( y \) un punto conjugado ó acnodal, y al segundo un punto doble ó bien acrínodal.

Para \( y = 0 \) resulta
\[
x = \pm R
\]
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lo que muestra que cada una de las ramas \( CEB'_0C_1 \ldots \) y \( C'_1E'b'_0C' \ldots \) de la cuártica corta al eje de las \( x \) en los extremos \( E \) y \( E' \) del diámetro \( EE' \) del círculo \( B \).

Haciendo \( x = \pm \infty \), se tiene la ecuación

\[
y = \pm R
\]

(19)

que representa las asíntotas SAS' y S'DS de estas dos ramas de la curva; puesto que, siendo el coeficiente angular de la tangente

\[
\frac{dy}{dx} = - \frac{(R^2 + R_y y - y^2)^2}{x|x^2 y + (R^2 + R_y y - y^2) (R^2 - 2y)|}
\]

(20)

llega á ser nulo para estos valores de \( x \) é \( y \).

Así la cuártica (\(\Delta\)) se compone de dos ramas hiperbólicas aplanadas de segundo género.

Tal sistema de asíntotas implica la existencia de dos puntos de inflexión reales. Para obtener estos puntos, veamos cómo varía la inclinación de la tangente con los valores de \( y \) comprendidos entre cero y \( \pm R \).

Para esto, eliminemos \( x \) en la ecuación (20), ó partamos de la ecuación (4), y tendremos

\[
\frac{dy}{dx} = \pm \frac{\sqrt{(R^2 - y^2)^3}}{R^3 - (R^2 - y^2)y}
\]

(21)

ó bien

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{R^2}{y^4}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{y^4}{R^4}}} \cdot \frac{y}{R}
\]

(22)

Se ve por esto, que para la rama \( CEB'_0C_1 \ldots \), los valores de \( y \) comprendidos entre cero y \( \pm R \), \( \frac{dy}{dx} \) varía entre \( +1 \) y cero; y que, para la otra rama \( C'_1E'b'_0C' \ldots \), \( \frac{dy}{dx} \) varía entre \( -1 \) y cero.

De aquí resulta que los puntos de intersección \( E, E' \) de la cuártica (\(\Delta\)) con la recta diametral \( XBX' \) son dos puntos de inflexión reales cuyas tangentes tienen la inclinación de \( 45^\circ \) con relación á esta diametral ó al eje YBY'.

Esto sentado, se reconoce que, en la rama \( CEB'_0C_1 \ldots \), cuando \( x \) crece de una manera continua desde \( +R \) hasta \( +\infty \), \( y \) crecerá desde
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cero hasta \(+R\); y que, cuando \(x\) decrece desde \(+R\) hasta cero, para crecer negativamente hasta \(-\infty\), \(y\) crecerá negativamente hasta \(-R\).

De donde resulta que esta rama, á partir del punto E, vuelve su concavidad con relación al eje de las \(x\).

De una manera análoga se reconocerá que la rama \(C',E'b'_0C'\ldots\), á partir del punto \(E'\) será cóncava hacia este mismo eje.

Luego, la ecuación de la curva para los valores de \(x\) desde cero hasta \(+R\) da, para \(y\), dos valores reales negativos y dos imaginarios, y para cualquier otro valor de \(x\) desde \(+R\) hasta \(-\infty\), resultan para \(y\) dos valores reales de signos contrarios y dos imaginarios.

Véase, pues, la discusión de la ordenada partiendo de la ecuación de la curva, y que podríamos desde luego reconocer considerando cinematográficamente esta curva.

La cuerda \(h_0^*a^*b\) que determina el punto doble \(b'_0\) de la cuártica y el punto correspondiente \(b_0\) de su rama \(CEb'_0C_1\ldots\), es tangente en este último punto.

En efecto, los triángulos semejantes \(a_0p_0b_0\) y \(ABa_0\) dan

\[
x^2 = 4Ry \quad ó \quad x = \pm 2\sqrt{Ry}
\]

(23)

de donde

\[
\tg b_0a_0p_0 = -\frac{2y}{x} = -\frac{x}{2R} = +\sqrt{\frac{y}{R}}
\]

(24)

Para la otra cuerda simétrica \(b'_0a^*b\) de esta, resulta análogamente

\[
\tg\ ^0b^0a^0p = \sqrt{\frac{y}{R}}
\]

(25)

Llamando \(\alpha\) la inclinación de estas cuerdas, se tendrá, en general,

\[
\tg\ \alpha = \pm \sqrt{\frac{y}{R}}
\]

(26)

La ecuación (4) para este valor de \(x\) da

\[
4By(R^2 - y^2) = (R^2 - y^2 + Ry)^2
\]

de la que

\[
R^2 - y^2 = Ry \quad ó \quad R^2 = Ry + y^2
\]

(27)

Se llega al mismo resultado considerando los triángulos semejantes \(ABP'\) y \(A'b'_0a_0\), y por consiguiente resulta

\[
\frac{BA}{BA + b'_0B} = \frac{P'B}{a_0b_0}
\]
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gados que M. Lemoine ha propuesto designar con las denominaciones de punto directo y de punto retrógrado.

La transformación que debe hacerse para llegar á este resultado es la siguiente (Congrès de Grenoble, 1885):

Sean \( \alpha, \beta, \gamma \) las intersecciones de AM, BM, CM con los lados opuestos.

Por los puntos \( \alpha, \beta, \gamma \) tracemos paralelas á los otros dos lados, que determinarán respectivamente sobre CA, AB, BC los puntos \( \mu, \nu, \lambda \); sobre BA, AC, BC puntos \( \nu', \mu', \lambda' \), según que se haya seguido el perímetro en el sentido ABC (directo) ó BA (retrógrado).

Esto sentado, las rectas A\( \lambda \), B\( \mu \), C\( \nu \) por una parte, A\( \lambda' \), B\( \mu' \), C\( \nu' \) por otra se encuentran en dos puntos M\(_1\), M\(_2\) que son los puntos directo y retrógrado derivados del punto M.

En el caso en que el punto inicial M es el punto K de Lemoine, los dos conjugados son los puntos de Brocard \( \Omega, \Omega' \).

2.o Los círculos de Lemoine y de Brocard tienen el mismo centro, el medio Z del segmento OK, diámetro del círculo de Brocard.

La transformación por rectas simétricas, estudiada más atentamente da á su vez origen á nuevas propiedades geométricas entre las que basta consignar:

1.o Las relaciones de situación entre los grupos de puntos conjugados (\( \Omega \Omega' \)) (GK) (OH) (DD') (ZZ') (SS') etc.; en los que debe notarse: el paralelismo de ciertas líneas HD, GZ', OZSKD'; la convergencia de algunas otras OD, GZ, Z'K, HD' que concurren en el punto N de Tarry, diametralmente opuesto al punto R de Steiner (Prog. mat. I; págs. 138 y 193) en la circunferencia ABC; la homología de los triángulos ABC, A'B'C'; la perpendicularidad de sus ejes de homología \( \Xi \) al diámetro RDON, etc.

En lo que precede, S es el medio de \( \Omega \Omega' \); H el ortocentro; D' el polo de \( \Omega \Omega' \) en el círculo OZK; D el centro de homología de los dos triángulos ABC, A\(_1\)B\(_1\)C\(_1\), S la intersección de GD' y de ZH, etc., etc. (Brocard. Congrès de Rouen, 1883).

2.o El estudio de la hipérbola \( \Gamma \) de Kiepert transformada de la
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y observando que se tiene \( b'B = p_0 b_0 = ^0p^0b \), resulta
\[
R^2 = Ry + y^2
\]
Llevando este valor de \( R^2 - y^2 \) á la ecuación (21), se tendrá
\[
\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{y}{R}}
\]
luego
\[
\frac{dy}{dx} = \operatorname{tg}\ z \tag{L. Q. D. D.}
\]
Se ve, comparando las expresiones (16) y (26), que la relación entre los coeficientes angulares de las tangentes á la cuártica (\( \Delta \)) trazadas á esta curva por su punto cruscual \( b'_0 \) y los coeficientes angulares de las tangentes en este punto es igual á \( \sqrt{5} \).

Normales y tangentes. Se sabe que, para una posición cualquiera de una figura plana que se mueve de una manera continua en su plano, las normales trazadas desde los puntos de la figura á las trayectorias de estos puntos, pasan por el centro instantáneo de rotación, y que los pies de las normales bajadas desde dicho centro sobre estas líneas son los puntos de contacto con sus envolventes.

Según esto, si se trazan las rectas AN y aN respectivamente perpendiculares á Aa y á la trayectoria Ba del punto a, su punto de intersección N será el centro instantáneo de rotación de las rectas rectangulares Aa y ba'.

Luego: las rectas Nb, Nb' serán normales á la cuártica en los puntos b, b', y la recta NI perpendicular á la recta bb' la normal á la envolvente de esta recta en el punto de intersección I de estas rectas.

Así, para tratar cinemáticamente la normal ó la tangente en un punto cualquiera b de la cuártica, basta trazar la cuerda bb' = R, conjugada con la recta diametral XBX', cuya construcción es fácil, para determinar enseguida el centro instantáneo de rotación N de esta cuerda, y por consiguiente la normal Nb ó la tangente bT.

Se llega igualmente á esta construcción, suponiendo el punto I como un punto fijo ó polo, por el que la cuerda bb' se halla sujeta á pasar durante un tiempo infinitamente corto, de manera que los puntos b y b' pueden considerarse como pertenecientes á una conoide de Arquímedes que tiene por directriz el diámetro XBX' de la cuártica (\( \Delta \)).

Esto sentado, los puntos generadores b y b' tiene la misma sub-normal IN en coordenadas polares que el punto a sujeto á describir la directriz XBX', puesto que esta sub-normal es igual á la relación entre la velocidad de resbalamiento y la velocidad angular, que en
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este caso, tienen los mismos valores para todos los puntos de la recta móvil \( lbb' \).

Si se prolonga la cuerda \( bb' \), y á partir de su punto de intersección \( a' \) con el eje \( AB \), se toman á una y otra parte los segmentos \( a'b'' \) y \( b''a' \) iguales á \( R \), se tendrá el triángulo \( Ab''b'' \) que, siendo directamente igual al triángulo \( Abb' \), tendrá los lados \( Ab' \), \( Ab'' \) respectivamente perpendiculares á las tangentes \( Tb \) y \( Tb' \) en los extremos \( b, b' \) de esta cuerda.

De aquí resulta otro procedimiento para obtener la tangente ó la normal en un punto cualquiera de la cuártica.

Como se reconoce á priori, la envolvente de la cuerda \( bb' \) es una parábola (\( \pi \)) que la toca en el punto I que tiene por foco el punto A, por podar ó tangente en el vértice B, la recta diametral de la cuártica, y por directriz la asíntota S,DS' de esta curva.

Se conoce igualmente que la circunferencia (m) que pasa por A y toca á Ba en a, pasará por el punto I y por el centro instantáneo de rotación N de la cuerda \( bb' \)

El centro m de esta circunferencia describirá pues, una parábola (\( \pi' \)) confocal de la parábola (\( \pi \)) que tiene por directriz la podar de ésta.

La circunferencia (I) que pasa por A y toca á DS' en el punto de intersección A, de esta recta con la oblicua \( AaA_1 \) es la circunferencia generatriz de la parábola (\( \pi \)).

El lugar geométrico del centro instantáneo de rotación N de la cuerda \( bb' \) es también otra parábola (\( \omega \)) que tiene por vértice el punto C y por foco el punto F y cuyo parámetro es R.

En efecto, en el triángulo rectángulo \( AaN \), en el que \( Aq \) es la perpendicular bajada desde el vértice A del ángulo recto sobre la hipotenusa \( aN \), se tiene

\[
Aq^2 = aq \cdot qN = BA \cdot qN
\]

y haciendo \( Aq = x,\ qN = y \), resulta

\[
x^2 = Ry
\]

según queríamos demostrar

Esta parábola es pues, el lugar desde donde se pueden trazar geométricamente pares de normales á la parábola (\( \pi \)) y á la cuártica (\( \Delta \)), teniendo por puntos de normalidad ó de incidencia los extremos de cuerdas de longitud constante \( 2R \).

Es claro que la circunferencia (M) que pasa por los extremos \( b, b' \) de una de estas cuerdas y por el punto de encuentro N de las normales respectivas \( bN \) y \( b'N \), pasará por el polo T de esta cuerda.
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CENTRO Y RADIO DE CURVATURA. Se sabe que: «cuando una figura plana invariable varía de posición en su plano, según un movimiento continuo cualquiera, y una recta ligada á esta figura queda constantemente tangente á una curva fija (que puede reducirse á un punto, si se une el centro de curvatura de esta curva, ó el punto que la reemplaza, con el centro instantáneo de rotación, y por el extremo de esta línea prolongada en una cantidad igual á la misma, se le traza una perpendicular, el centro instantáneo de rodación debe encontrarse en esta perpendicular.

En nuestra figura se tienen dos rectas rectangulares Aa y bb' moviéndose de una manera continua, pasando la primera por el punto fijo A, y la segunda rodando sobre la parábola igualmente fija (\( \pi \)).

Según esto, si se considera el punto b, extremo de la cuerda bb' de la cuártica, el centro instantáneo de rotación de esta cuerda será, como se acaba de ver, el punto de intersección N de las perpendiculares AN y aN á Aa y Ba, levantadas en los puntos A y a, al que corresponden la normal Nb á esta curva y la normal NI á la parábola (\( \pi \)).

Según el principio enunciado, prolongando primero AN una longitud NA' = AN, y trazando por el punto A' la paralela A'A',k á la recta Aa, el centro instantáneo de rodación k, se encontrará sobre esta paralela; pero, en segundo lugar, tomando sobre la normal NI á la parábola (\( \pi \)) desde N hacia I un segmento Ng' igual á su radio de curvatura \( r_{p_0} \), trazándose por el punto g' la paralela g'k á bb', el centro instantáneo k se hallará también sobre esta paralela: Luego el centro k será el punto de intersección de las rectas A'A', y g'k.

Sin embargo, se debe observar que la determinación del punto k se simplifica mucho en virtud de una propiedad muy conocida de los radios de curvatura de las parábolas, que conduce fácilmente á concluir que este punto se encuentra sobre la directriz DS' de la parábola (\( \pi \)).

Según esto, el punto instantáneo de rodación k relativo á la cuerda bb' será la intersección de la asíntota DS' de la cuártica (\( \Delta \), con la perpendicular A'A',k en el extremo del segmento AA' igual á 2AN.

Ahora sólo falta proyectar en j el punto k sobre la normal Nb, relativa al punto considerado b, y tomar

\[
b\varphi = \frac{bN^2}{bj}
\]

El punto \( \varphi \) será, pues, el centro de curvatura y \( b\varphi \) el rayo del círculo osculador en b.
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En la figura se ha determinado también este punto \( p \), levantando Nr perpendicular á Nb y trazando \( rp \) paralela á Nk.

Observaciones.—Como se ve, se podrá cinemáticamente apreciar la variación de la inclinación de la tangente y del radio de curvatura en los diferentes puntos de la cuártica (\( \Delta \)), para reconocer la existencia de los puntos dobles reales E, E'; de las asíntotas AS, AS', etc., etc. recurriendo al lugar geométrico (\( \Delta_n \)) de los puntos \( b' \) \( b'' \) de (\( \Delta \)), cuyos vectores \( Ab' \) \( Ab'' \) son equipolentes á las normales Nb Nb' en los extremos de la cuerda \( bb' \) igual á 2R, determinada en (\( \Delta \)) por la prolongación de la cuerda \( b'b'' \) de (\( \Delta_n \)), también igual á 2R.

Se observa que cada par de rectas M', M'', equipolentes á las normales Nb Nb' forman con el eje AlB y la paralela AN á la cuerda \( bb' \) de normalidad ó de incidencia un haz armónico.

Para determinar la ecuación de la curva de las normales (\( \Delta_n \)), elegimos aún por eje de las x, y las rectas dadas XX' y AB, y consideremos el punto \( b' \) cuyas coordenadas son

\[
x = p^*b^* \quad \text{é} \quad y = Bp^* - a'p^* - a'B
\]

De la semejanza de los triángulos \( a'aA \), \( a'aB \) y \( a'b^*p^* \) resulta

\[
\overline{Ba^2} = R \cdot a'B \quad \text{y} \quad \frac{\overline{Ba}}{a'B} = \frac{p^*b^*}{a'p^*} = \frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}
\]

\[
\frac{\overline{Ba^2}}{a'B} = \frac{x^2}{R^2 - x^2} \quad a'B \quad \text{de donde} \quad a'B = \frac{R}{x^2} (R^2 - x^2)
\]

luego la ecuación del lugar buscado (\( \Delta_n \)) será

\[
\therefore \sqrt{R^2 - x^2} = y + \frac{R}{x^2} (R^2 - x^2)
\] (30)

En esta ecuación se reconoce que y se hace nula ó imaginaria según que x es igual ó superior á \( \pm R \), lo que muestra que la curva (\( \Delta_n \)) tiene dos puntos estacionarios ó de retroceso que coinciden con los puntos de inflexión E, E' de la cuártica (\( \Delta \)).

Para \( x = 0 \), se tiene \( y = - \infty \)

No entraremos en más detalles ni indicaremos otras propiedades, por no prolongar demasiado este trabajo, manifestando al terminar, que no hemos pretendido ofrecer ninguna novedad al ilustrado matemático D. Juan J. Durán Loriga, autor de tan interesante cuestión que hemos tratado de resolver y analizar.
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Cuestión num. 57 (véase t. II pág. 128).

Se dan dos planos paralelos conteniendo, el uno una recta D, el otro una elipse E, cuyo uno de los ejes es paralelo á la recta D.

Se pide determinar la superficie de revolución engendrada por esta elipse al girar al rededor del eje D. Casos particulares y comprobaciones.

(H. Brocard).

Solución por el Sr. A. Schiappa Monteiro, profesor de la Escuela Politécnica de Lisboa.

Adoptemos por plano de las x, z el que contiene la recta D, por plano de las yz el plano perpendicular á este trazado por esta recta, y en fin, por el de las xy el plano perpendicular á éste trazado por el centro de la elipse (E).

Sean \( x = OA = l \quad y = OB = k \quad y \; z = 0 \)

las coordenadas del centro C de la elipse, cuyos semi-ejes son a y c, siendo este último paralelo á la recta D. Según esto, las ecuaciones de esta cónica serán

\[
\frac{(x - l)^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \tag{1}
\]

é

\[
y = k \tag{2}
\]

Si en vez de considerar la superficie de revolución pedida como engendrada por la revolución de la elipse (E) al rededor del eje D, se la considera como engendrada por un círculo (\( \Delta \)) cuyo centro se mueve sobre D, mientras que su plano permanece perpendicular á este eje, y cuyo radio crece y decrece de manera que la circunferencia encuentre siempre á la elipse, esta circunferencia móvil se convierte en una generatriz de esta superficie, y tendrá por ecuaciones

\[
x^2 + y^2 = \varrho^2 \tag{3}
\]

\[
z = \gamma \tag{4}
\]

en las que, como se sabe, \( \varrho \) y \( \gamma \) son constantes arbitrarias ó parámetros variables.

Ahora, para expresar que el círculo móvil (\( \Delta \)) tiene, en todas sus posiciones, un punto comun con la directriz (E), es preciso que sus cuatro ecuaciones queden satisfechas por un mismo sistema de valores atribuidos á \( x, y, z \), lo que exige la eliminación de estas tres coordenadas entre las cuatro ecuaciones, y se tendrá la ecuación final de la forma

\[
\frac{(l \pm \sqrt{\varrho^2 - k^2})^2}{a^2} + \frac{\gamma^2}{c^2} = 1 \tag{5}
\]

que establece ya entre los parámetros la dependencia necesaria para que la generatriz (\( \Delta \)) se apoye constantemente sobre la directriz (E).

(Se continuará).