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El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 4

\[
\frac{1}{r} \left[ p^2 \Sigma bc - p \Sigma bc (b+c) + \Sigma b^2 c^2 \right],
\]
\[
\frac{1}{r} \left[ p^2 \Sigma bc - p \Sigma bc (2p-r) + (p^2 - r^2)^2 + 4S^2 \right],
\]
\[
\frac{1}{r} \left| -p^2 \Sigma bc + 3p abc + p^2 - r^2 + 4S^2 \right|,
\]
ó, hechos todos los cálculos,
\[
\Sigma bc r_a = r \cdot p^2 + S^2,
\] (9)

8.º Hallar \( \Sigma r_a^2 \)
Esta suma puede escribirse sucesivamente:
\[
S \sum \frac{r_a}{p-a}, \quad \frac{1}{r} \sum r_a (p-b) (p-c)
\]
\[
\frac{1}{r} \left| p^2 \Sigma r_a - p \Sigma r_a (b+c) + \Sigma r_a bc \right|,
\]
\[
\frac{1}{r} \left| p^2 - 2p^2 + p \Sigma ar_a + \Sigma r_a bc \right|,
\]
ó, hechos todos los cálculos, \( S^2 - 2p^2 \)
Se tiene, pues
\[
\Sigma r_a^2 = S^2 - 2p^2
\] (10)

9.º Demostrar la fórmula \( \cos A = \frac{2R + r - r_a}{2R} \) (11)

Si \( x, y, z \) son las distancias del centro del círculo circunscripto () á los tres lados, se sabe que se tiene
\[
R + r - x + y + z
\]
Lo que significa que O pertenece á la recta cuya ecuación en coordenadas normales absolutas es
\[
x + y + z - R - r = 0
\]
El transformado continuo en A de O es O sin modificación.
Luego O está en la recta cuya ecuación es
\[
-x + y + z + R - r_a = 0
\]
transformada continua en A de la precedente.
Para el punto O se tiene, pues,
\[
r_a - R = y + z - x
\]
igualmente se tiene
\[
r_b - R = z + x - y
\]
y
\[
r_c - R = x + y - z
\]
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 5

se obtiene de estas relaciones

\[
x = \frac{2R + r - r_a}{2}
\]

pero

\[
x = R \cos A
\]

luego

\[
\cos A = \frac{2R + r - r_a}{2R}
\]

10.º Evaluar \( \Sigma r_a \cos A \).
Esta suma puede escribirse

\[
\frac{1}{2R} \sum_{r_a} (2R + r - r_a)
\]
ó
\[
\frac{1}{2R} | 2R \sum r_a + r \sum r_a - \sum r_a^2 |
\]
ó
\[
\frac{1}{2R} (2R \hat{r} + r \hat{r} - \hat{r}^2 + 2p^2)
\]
ó
\[
\Sigma r_a \cos A = \frac{p^2 - R \hat{r}}{R}
\] (12)

11.º Evaluar la suma \( \Sigma a^2 (a - b) (a - c) \).
Puede escribirse sucesivamente

\[
\Sigma a^2 | a^2 - a (c + b) + bc |
\]
\[
\Sigma a^4 - \Sigma a^3 (b + c) + \Sigma a^2 bc
\]
\[
2 \Sigma a^4 - 2p \Sigma a^3 + abc . 2p .
\]
pero como
\[
\Sigma a^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2 \Sigma b^2 c^2
\]
esto se reduce á
\[
4 (p^2 - r \hat{r})^2 - 16 S^2 - 2p \Sigma a^3 + 8p^2 r R
\]
ó
\[
4 (p^2 - r \hat{r})^2 - 16 S^2 - 2p [2p (p^2 - 6Rr - 3r^2)] + 8p^2 r R
\]
ó, hechos todos los cálculos,

\[
\Sigma a^2 (a - b) (a - c) = 4r^2 (\hat{r}^2 - 3p^2)
\] (13)

Aplicando la transformación continua á las fórmulas precedentes se obtienen con frecuencia nuevos resultados; así la fórmula (13) transformada continuamente en A, en B, y en C, da después de la agrupación de dos términos en el resultado de la transformación:

\[
a^2 (a + b) (a + c) + (b^2 + c^2 + \Sigma bc) (b - c)^2 = 4r^2_a | \hat{r}_a^2 - 3(p - a)^2 | \quad (14)
\]
\[
b^2 (b + c) (b + a) + (c^2 + a^2 + \Sigma bc) (c - a)^2 = 4r^2_b | \hat{r}_b^2 - 3(p - b)^2 | \quad (15)
\]
\[
c^2 (c + a) (c + b) + (a^2 + b^2 + \Sigma bc) (a - b)^2 = 4r^2_c | \hat{r}_c^2 - 3(p - c)^2 | \quad (16)
\]

No es fácil demostrar y, sobre todo, prever estas fórmulas por otro método.
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 6

Estudios sobre la enseñanza y el organismo de la ciencia matemática.

(cotinuación) (Véase t. III, pág. 169).

Tenemos, pues, que en la Geometría hay una primera rama (Geometría elemental) que tiene por objeto exclusivo la determinación, mediante cierto número de elementos dados, y después de realizarse este trabajo constructivo, por el que resulta el sistema de verdades geométricas tal cual como por ejemplo, se hallan en los elementos Euclides ó los de Legendre, etc., un procedimiento general, el análisis geométrico, es el instrumento de determinación que sin límites (pues el problema es una proposición susceptible de variedad infinita), realiza cuantas determinaciones puedan proponerse. Y ya dijimos que el análisis forma siempre un encadenamiento de problemas que enlaza el extremo desde donde partimos al extremo á que nos hemos propuesto llegar.

Pero sobre esta parte de carácter individual existe otra parte de carácter sistemático que, así como en la ecuación indeterminada fija sistemas de números en cierta dependencia ó correlación, actualmente determina sistemas de puntos. Así las igualdades entre relaciones anarmónicas fijan unos sistemas de puntos ó de rectas con relación á otros sistemas, y en general, las ecuaciones de dos, tres y cuatro términos, que son la base de las teorías de la homografía é involución de puntos y de rectas.

El Algebra, además de la parte de carácter práctico que constituye el cálculo de los algoritmos y la determinación numérica de las ecuaciones, tiene una parte superior que establece relaciones entre sistemas de raíces con otros sistemas enclavada, como hemos dicho en la teoría de las ecuaciones algebraicas.

La teoría de las funciones tiene también el cálculo directo é inverso, ó diferencial é integral, que sirve para pasar de lo finito á lo infinitesimal, ó inversamente; pero además tiene una parte superior de carácter sistemático que establece los más varios enlaces y dependencias entre unas funciones y otras.

En resumen; en cada rama de la ciencia pueden distinguirse dos partes, de las cuales la primera es esencialmente constructiva y determinativa, la otra sistemática, y tiende á establecer las correlaciones ó maneras de transformarse unos sistemas en otros sistemas.

Si seguimos el proceso histórico que ha seguido el desenvolvimiento científico, hallaremos predominante el trabajo constructivo y
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 7

determinativo del objeto matemático estudiado en su individualidad y diversidad, y aun este movimiento desde lo determinado é individual hacia el sistema y lo general es necesario en la acción educativa de la enseñanza universitaria, que corresponde al máximo desarrollo científico, de cuyo carácter eminentemente sintético vamos á tratar, si bien antes, á manera de preámbulo, haremos algunas indicaciones acerca de los conceptos de orden y de combinación, desde los que será fácil abarcar la síntesis de los conocimientos matemáticos.

IV.—Importancia capital de la teoría combinatoria en la Matemática.

Desde los tiempos más remotos, en la ciencia matemática, vemos predominar la magnitud, el número, la extensión como los objetos exclusivos de esta ciencia que por eso se denomina la ciencia de la cantidad. La cantidad aparecía sobre el fondo del espacio y el tiempo; sobre el concepto del espacio se elevaba la Geometría cual construcción rígida de puntos que contenía en sí figuras determinadas y distintas, como entidades especiales con propiedades características, expresadas por el encañenamiento de teoremas que formaban la arquitectónica del edificio. El número, la proporción eran conceptos que resultaban de la comparación de los objetos tomados del espacio ó del tiempo; eran los elementos de una determinación más abstracta que la determinación gráfica de las figuras que se encadenaban mediante los puntos ó vértices del triángulo, á su vez determinados en las primeras proposiciones del encañenamiento científico. El número estaba como incrustado en las figuras geométricas á la manera de de cualidad inherente á las mismas, y que aparecía al geómetra bajo las formas que le presentaban los signos de las operaciones aritméticas. El número tardaba en desprenderse de su objeto, y tardó hasta la época en que Descartes, por una abstracción que rechazaban los procedimientos anteriores á su época, logró hacer independiente el número de las magnitudes geométricas y hasta extender los dominios del Algebra de Vieta con el nuevo concepto de las cantidades negativas, de cuya teoría echó los sólidos cimientos. En fin, la Astronomía basada en el cálculo del triángulo, que llegó á ser objeto de una rama de la Matemática, de carácter eminentemente práctico y de aplicación, llamada trigonometría, así como la Mecánica, establecieron el enlace de los hechos del espacio, del tiempo y de las fuerzas bajo el predominio de los conceptos de número, proporción y medida.

Esta ha sido la Matemática durante muchos siglos. El número, la
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 8

proporción y la medida, ó más breve y compendiosamente, la cantidad, ha sido el objeto que ha fijado su carácter genuino.

Pero llegamos al siglo xix, y después de hacer sedimento, las ideas con que enriquecieron á la ciencia Descartes, Newton y Leibnitz, en la época gloriosa también de los Euler, Lagrange, Gauss y Laplace, es decir, entre el siglo xviii y comienzos del presente, surje una nueva evolución que inaugura Cauchy, el analista prodigioso que enriquece diariamente les Comptes rendus de la Academia de Ciencias de París y presenta un nuevo núcleo de doctrina amplísima por la fecundidad de los gérmenes que encierra: Cauchy todo lo invade con la profunda mirada de su inteligencia en los vastos dominios del Análisis metemático, para el que estaba conformado su inagotable talento. Investiga la hondísima región de las funciones, y entre otros muchos descubrimiento que le debe la ciencia moderna extiende la teoría de las integrales al caso del imaginario, y crea además el cálculo de los residuos, al dirigir su atención á los profundos dominios de la continuidad; llegan á su conocimiento las nuevas investigaciones de Argand, Buée, François, etc. sobre la representación geométrica de las cantidades imaginarias, y haciendo secunda tan feliz idea con la fuerza creadora de su espíritu, presenta una teoría original de las funciones de las cantidades geométricas, que luego se desenvuelven en Alemania por Riemann y otros matemáticos, hasta darle definitivamente la capital importancia que hoy tiene en la teoría de las funciones.

Se ve, pues, cómo la Matemática extiende sus límites para adquirir un nuevo carácter de generalidad: pero sobre todo, aparte de lo que acabamos de indicar, hallamos una dirección especial sobre la que vamos á insistir, por ser el objeto exclusivo de este artículo, á saber: la dirección y el carácter que imprime á la Matemática contemporánea el concepto de combinación.

Vandermonde y Lagrange siguen este nuevo rumbo hacia el establecimiento de la teoría de las sustituciones, especialmente el segundo, que llega á formular las proposiciones fundamentales de la teoría de las ecuaciones algebraicas, que impulsó Galois con importantes descubrimientos y que Abel completó con su teoría sobre las ecuaciones resolubles algebraicamente, hoy llamadas ecuaciones abelianas, á cuyos progresos contribuyó Cauchy, extendiendo y organizando la teoría de las sustituciones que enriqueció con los grupos de sustituciones transitivas.

Z. G. de Galdeano.

(Se continuará).
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 9

PETITES OBSERVATIONS MATHÉMATIQUES
Par Prof. Dr. V. Schlegel

1. Solution de l'équation \( a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 = a_4^3 \) en nombres entiers.—
On connaît une solution de ce problème, donnée par H. Grassmann (Grunert's Archiv, vol. 49, 1868). Toutefois la voie suivante, bien différente, paraît assez avantageuse, pour mériter une place auprès de l'autre.

1. Formules.— On peut écrire l'équation proposée de suite en ces formes:

\[
a_1^3 + a_2^3 = a_4^3 - a_3^3,
\]
\[
\frac{a_1 + a_2}{a_4 - a_3} = \frac{a_4^2 + a_4 a_3 + a_3^2}{a_1^2 - a_1 a_2 + a_2^2}.
\]

Si l'on pose:
(1) \( a_1 + a_2 = m^2(a_4 - a_3) \),
on aura:
\[
a_1^2 + a_4 a_3 + a_3^2 = m^2(a_1^2 - a_1 a_2 + a_2^2),
\]
ou
\[
(a_4 + a_3)^2 - |m(a_1 - a_3)|^2 = m^2 a_1 a_2 + a_1 a_3,
\]
ou
\[
|a_4 + a_3 + m(a_1 - a_3)| |a_4 + a_3 - m(a_1 - a_3)| = m^2 a_1 a_2 + a_1 a_3.
\]
Soit
(2) \( m^2 a_1 a_2 + a_1 a_3 = p^2 - q^2 \),
alors on peut écrire l'équation précédente sous cette forme:

\[
\frac{a_4 + a_3 + m(a_1 - a_2)}{p + q} = \frac{p - q}{a_4 + a_3 - m(a_1 - a_2)}
\]

Soit
(3) \( a_4 + a_3 + m(a_1 - a_2) = n(p - q) \);
donc:
(4) \( a_4 + a_3 - m(a_1 - a_2) = \frac{p + q}{n} \);

En outre:
(5) \( a_1 + a_3 = x; \quad a_1 - a_3 = y; \quad a_4 + a_2 = u; \quad a_4 - a_3 = v \);
donc:
(6) \( a_1 = \frac{x + y}{2}; \quad a_2 = \frac{x - y}{2}; \quad a_3 = \frac{u - v}{2}; \quad a_4 = \frac{u + v}{2} \).

Les équations (1) — (4), par ces substitutions, changent en
(7) \( x = m^2 v \)
(8) \( m^2(x^2 - y^2) + (u^2 - v^2) = 4(p^2 - q^2) \)
(9) \( u + m y = n(p - q) \);
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE
Sur les distances mutuelles des centres des cercles inscrits et des cercles circonscrits à un triangle sphérique et à ses complémentaires,
PAR M. JOSEPH GILLET
Professeur à l’Ecole Abbatiale de Maredsous.

I.—Définitions.

1. Etant donné un triangle sphérique ABC (fig. 1), si l’on prolonge ses côtés, ils se rencontrent de nouveau en des points A', B', C' symétriques des sommets A, B, C. Le triangle A'B'C' est le triangle symétrique de ABC; les triangles BCA', CAB', ABC' sont les triangles complémentaires de ABC, et les triangles B'C'A, C'A'B, A'B'C sont les triangles complémentaires de A'B'C'. D’après la manière même dont la figure est formée, on voit que les symétriques des complémentaires de ABC sont les complémentaires du symétrique du même triangle.

2. Si de chaque sommet du triangle ABC comme pôle on décrit un arc de grand cercle, ces trois arcs donnent par leurs intersections deux à deux: le triangle \( x \beta' \gamma' \) supplémentaire ou polaire de ABC, le triangle \( x' \beta'' \gamma'' \) symétrique de \( x \beta \gamma \) et les triangles \( \beta' \gamma' x', \gamma' x' \beta', x' \beta' \gamma' \),..., complémentaires de \( x \beta \gamma \) et de \( x' \beta' \gamma' \).

Fig. 1.
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 10

Adoptando la abreviación de Mr. Poincaré, se tiene:

\[
\frac{x \cdot x'}{\epsilon - \epsilon'} = (x, \epsilon)
\]

Ahora bien, sabiendo que dos figuras son congruentes cuando una de ellas es la transformada de la otra, mediante una sustitución real, ó sea cuando \(a, b, c, d\) son reales, conforme el caso que se estudia; si se supone que las sustituciones se van continuando, se forma lo que se llama un grupo

Los grupos pueden resultar de un número finito ó no de sustituciones; el caso más importante y que se refiere á los grupos de Fuchs es cuando el número de sustituciones es ilimitado: y aquí caben dos hipótesis, pues puede suponerse que en el grupo se escoja una sustitución \(\left( z; \frac{az_i + b}{cz_i + d} \right)\) que difiera indefinidamente poco de \(z_i\), cualquiera que sea el valor de esta variable, y en este caso la sustitución llámase infinitesimal, y luego cabe que esta condición no se realice á pesar de ser la sustitución ilimitada: los primeros grupos son continuos; los segundos, discontinuos.

Para los grupos Fuchsianos debe considerarse el grupo discontinuo; así, pues, bien puede afirmarse que la investigación de los grupos Fuchsianos se refiere, según Mr. Poincaré, al siguiente problema:

Subdividir de un modo regular el plano, ó una parte del plano en una infinitud de partes con la condición precisa de que sean congruentes entre sí.

Para dar fin á estos preliminares, creo del caso desarrollar alguna fórmula que, aparte de su importancia, sólo se encuentran indicadas en las obras de los grandes maestros.

Si en dos figuras congruentes, el punto \(y\) es homólogo ce \(x\), y á lo es de \(\epsilon\), se tiene:
\[(x \epsilon) = (\gamma \delta);\] en el concepto de considerar \(x', \epsilon', \gamma', \delta'\) como conjugados á los primeros, por lo que precede, puede escribirse:
\[(\epsilon) (x \epsilon) = \frac{x - x'}{x - \epsilon'} \frac{\epsilon - \epsilon'}{\epsilon - x'};\] fácilmente se comprende que los cuatro puntos \(x, \epsilon, x', \epsilon'\) son puntos de una circunferencia cuyo centro está en el eje real.

Supongamos además que \(x\) y \(\epsilon\) estén situados encima de dicho eje; esta circunferencia lo cortará en dos puntos \(h\) y \(k\), el comprendido en el arco \(xx'\).
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 11

De esta suerte, y en el supuesto de que se tenga

(a') \[ |z, \ell| = \frac{z-h}{x-k} \cdot \frac{\ell-k}{\ell-h} \]

puede deducirse la fórmula siguiente:

(b') \[ (z, \ell) = \frac{4 |z, \ell|}{(|z, \ell| + 1)^2} \]

Según la teoría de las cantidades imaginarias, \( a - h \) resulta ser la recta \( xk; \ell - k \), la \( \ell k; x - k \), la \( xk \); y \( \ell - h \), la \( \ell h \); así, pues, la representación geométrica de \( |z, \ell| \) es:

\[ \frac{\sqrt{hk}}{\sqrt{kb}} - \frac{\sqrt{kd}}{\sqrt{dh}} \]

(Se concluirá).

GIUSEPPE BATTAGLINI

El 29 de Abril último, á las diez de la mañana, falleció en Nápoles el ilustre geómetra italiano, Giuseppe Battaglini que durante un período de treinta años dió muestras brillantes de su actividad y de su excepcional talento, ya en su notable y conocidísimo periódico Giornale di Matematiche fundado en 1863, ya en otras publicaciones, especialmente en los rendiconti de la R. Academia del Lincei, de la que era uno de los distinguidos miembros.

Ya en el año 1892 tan clarísima inteligencia y tan poderosa actividad se extinguía lentamente víctima de implacable enfermedad que ha ido minando su existencia hasta motivar el fatal desenlace que arrebata á la ciencia italiana uno de sus más valiosos colaboradores.

Postrado durante estos dos últimos años en un sillón, continuó su triste existencia, alejado de sus estudios y privado de llevar más adelante sus investigaciones; y siempre recordaremos con indeleble gratitud su última expresión de simpatía hacia El Progreso Matemático, como nos lo manifestaba al remitirnos el teorema acerca de la cónica de los catorce puntos respecto á un cuadrilátero (*), en el momento de retirarse de la vida científica, que puede decirse terminó con su memoria Intorno ad una serie de linee di 2.º grado presentada en la sesión del 6 de Febrero de 1892 en la R. Academia del Lincei, y sin haber

(*) Véase t. III, pág. 232.
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 12

podido concluir de publicar su notable Introduzione alla Geometria analitica, de cuyos primeros capítulos se dió cuenta en el tomo I de El Progreso Matemático, págs. 112-115.

Pasan de cien las publicaciones de este distinguidísimo maestro, cuyas elevadas dotes intelectuales igualaron á la bondad de su carácter y á su entusiasmo por la ciencia, diseminadas entre los Rendiconti de la Academia de Nápoles, la del Lincei y en el Giornale di Matematiche, habiéndose ocupado en ellas principalmente de asuntos geométricos concernientes, ya á la Geometría proyectiva, ya á las aplicaciones de las teorías de las formas algébricas, ya á la Geometría No-Euclídea, de la que publicó algunos trabajos originales; hizo importantes investigaciones sobre la Geometría de Plücker, generalizó algunos teoremas de Clebsch acerca de los conexos, y también se ocupó de análisis pura como la partición de los números, cuestiones sobre determinantes, integraciones de la ecuación diferencial elíptica, etc.

Las primeras memorias referentes á problemas sobre polígonos suscriptos en una cónica, se publicaron en los Annali de Tortolini.

Como testimonio de la alta consideración que mereció como ilustre matemático, nos bastará decir que perteneció á las Academias del Lincei, á la Sociedad de los XL, á las RR. Academias de Nápoles, Turín, Bolonia, Venecia, Modena, Catania, de Praga, Burdeos, le fué conferido el título de Caballero del Mérito Civil de Saboya, y fué nombrado profesor honorario de la Universidad de Kasan.

En el artículo necrológico publicado en la Rivista di Matematica por el profesor E. Pascal, se describen las relevantes prendas que realizaban su personalidad y el entusiasmo con que, merced á su perseverancia y entusiasmo científico llegó á formar una generación de discípulos que continúan con gloria las enseñanzas del egregio maestro.

No teniendo los datos suficientes para hacer una exposición completa de los numerosos trabajos debidos á tan fecundo escritor y matemático, por hoy nos limitamos á publicar este triste suceso y á expresar nuestro profundo sentimiento.

Z. G. de Galdeano.

VARIEDADES

COMITÉ LOBATSCHESFSKY

En el tomo III, pág. 137, se publicó una circular del Comité Lobatschefsky organizado con motivo del centenario del célebre geó-
El Progreso matemático (1894-06-01 00:00:00), página 13

metra ruso creador de la Geometría No-Euclídea, y poco ha se han publicado los resultados obtenidos hasta la fecha con objeto de fundar premios dignos de su memoria y de perpetuarla con su efígie, que ha de ser colocada en la Universidad de Kasan, á la que consagró su noble existencia

Aunque los resultados de la suscripción internacional no son definitivos hasta la fecha, pues el plazo no termina hasta el 2 de Octubre próximo, pueden considerarse como altamente satisfactorios para la Comisión y para los admiradores del gran geómetra, ascendiendo el total en Febrero último á 6891 rublos, figurando 800 suscriptores, entre ellos la Real Sociedad de Londres, las Facultades de Ciencias de París y de Nancy, las sociedades matemáticas de Göttingen y Amsterdam, los miembros del Congreso matemático de Chicago, la dirección del Intermediaire des mathematiciens, etc., etc.

REPERTORIO BIBLIOGRÁFICO DE LAS CIENCIAS MATEMÁTICAS

En la pág. 91, tomo I de El Progreso Matemático se publicaron las conclusiones votadas por el Congreso internacional de bibliografía de las ciencias matemáticas que se celebró en París durante los días 16, 17, 18 y 19 de Julio de 1889. El objeto de esta vastísima obra internacional es reunir y clasificar los títulos de las memorias relativas á las matemáticas puras y aplicadas publicadas desde 1800 hasta 1889, excluyéndose del repertorio las obras que no contengan resultados originales y las destinadas á los alumnos de los diversos Establecimientos de instrucción, con objeto de evitar, á los que se consagran á estas ciencias, los largos y penosos trabajos que exigen el buscar los antecedentes ó escritos que se refieren á las teorías que les conviene conocer, y además con el de llegar á las generaciones venideras un índice de la ciencia matemática durante el siglo actual.

Los resultados de estas iniciativas han sido altamente satisfactorios; varios periódicos, entre ellos I rendiconti del Circolo matematico de Palermo, Nouvelles Annales de Mathématiques, Revue semestrielle des publications mathématiques acompañan á las memorias su clasificación abreviada conforme á las instrucciones contenidas en el Index du Répertoire (1), y la casa editorial de Gauthier-Villars ha comenzado á imprimir papeletas de varias colecciones remitidas por los numerosos co-

(1) Así, por ejemplo, á la memoria Sur la conservation du genre des courbes algébriques dans les transformations uniformes corresponde el índice 'M'2b'.