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El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 29

Ahora, se tiene, diferenciando esta igualdad con relación á \( \varepsilon \),

\[
m \cos \varphi = a - \frac{1}{m} \varepsilon + \frac{1}{m^2} - 1,
\]

siendo \( \varphi \) la inclinación de la tangente con el eje de las abscisas, después, por una nueva diferenciación,

\[
\rho = \frac{ms}{m-1} \cdot \tg \varphi .
\]

La eliminación de \( \varphi \) entre las dos últimas ecuaciones da

\[
\rho = \frac{ms}{m-1} \sqrt{\frac{2}{m^2 a} \frac{2}{m^2 \varepsilon} - \frac{2}{m}} - 1
\]

Para un valor conveniente de \( a \), esta ecuación puede coincidir con (2), siempre que se suponga

\[
k = 1 - \frac{1}{m}, \quad n = 2k .
\]

No existen, pues, más que las evolutas de las líneas de Ribaucour, cuya longitud pueda expresarse por una potencia de la abscisa. Si se observa que

\[
\frac{k+1}{k-1} = 1 - 2m ,
\]

se puede precisar más diciendo que la curva definida por la propiedad (3), para un valor dado de \( m \), es la evoluta de una línea de Ribaucour cuyo índice es \( 1 - 2m \), es decir, de una línea que posee en su plano una recta (\emph{directriz}) que intercepta sobre cada normal un segmento \( (1-m)\rho \). [La curva (3) es, pues, una \emph{cicloide} para \( m = \frac{1}{2} \), una \emph{hipocicloide con cuatro retrocesos} para \( m = \frac{2}{3} \), una \emph{evoluta de parábola} para \( m = \frac{3}{2} \), una \emph{evoluta de catenaria} para \( m = 2 \), etc. Es por otra parte fácil el hallar una propiedad geométrica de las líneas (3), que pueda servir de definición. Con relación á la tangente y á la normal en un punto cualquiera de la línea de Ribaucour, cuyo índice es \( 1 - 2m \), la ecuación de la directriz es

\[
(m-1)\rho_1 x + m \rho y + m(m-1) \rho^2 = 0 ,
\]

siendo \( \rho \), el radio de curvatura de la evoluta. La recta que encuentra ortogonalmente á la directriz sobre la normal á la curva intercepta,
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 3

\[
\rho^2 = R^2 \frac{\sin^2 \omega (1 - 4 \sin^2 \omega_1)}{\sin^2 (\omega + \omega_1)} \tag{4}
\]
\[
\rho^2 = 4R^2 \frac{\sin^2 \omega \sin (30 - \omega_1) \sin (30 + \omega_1)}{\sin^2 (\omega + \omega_1)} \tag{5}
\]
\[
\rho = \frac{R \sqrt{\lambda^2 - 3}}{\lambda + \cot \omega} \tag{6}
\]

designando \( R \) el radio del círculo ABC.

5. Caso particular.—Observemos desde luego que dos valores iguales y de signo contrario de \( \lambda \) dan dos círculos de Schoute tales, que los triángulos podares de sus puntos tienen el mismo ángulo de Brocard, y son el uno directo y el otro retrógrado.

La ecuación (2) contiene como casos particulares:
1.º El círculo de Brocard (\( \lambda = \cot \omega \));
2.º Un círculo imaginario (\( \lambda = 0 \));
3.º El círculo circunscrito á ABC (\( \lambda = \infty \));
4.º La recta de Lemoine (\( \lambda = - \cot \omega \));
5.º y 6.º Los centros isodinámicos (\( \lambda = \pm \sqrt{3} \)).

De estos seis casos particulares, los tres primeros resultan inmediatamente de la comparación de las ecuaciones de estos círculos con la ecuación (2). Los otros tres pueden obtenerse buscando los círculos cuyo centro se encuentra sobre el lugar.

Para que esta condición se halle satisfecha, es necesario que se tenga:

\[
\begin{vmatrix}
2 & \cos C - \lambda \sin C & \cos B - \lambda \sin B \\
\cos C - \lambda \sin C & 2 & \cos A - \lambda \sin A \\
\cos B - \lambda \sin B & \cos A - \lambda \sin A & 2
\end{vmatrix} = 0.
\]

ó bien

\[
(\lambda^2 - 3) (\lambda \sin A \sin B \sin C + 1 + \cos A \cos B \cos C) = 0 \tag{7}
\]

Esta ecuación se descompone en las dos siguientes:

1.º \[ \lambda^3 - 3 = 0 \]
que da \[ \lambda = \pm \sqrt{3} \]

Si llevamos estos valores de \( \lambda \) á las fórmulas (3), tendremos para las coordenadas del centro:
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 30

pues, sobre la normal á la evoluta un segmento igual á \( (1 - m) \varphi \). Por consiguiente las curvas (3) pueden definirse diciendo que su radio de curvatura es proporcional al segmento que la perpendicular trazada á una recta fija, por el pié de la tangente, intercepta sobre la normal. Si nuestros recuerdos son exactos, estas curvas han sido estudiadas hace mucho tiempo por M. Bassani (1). Es cierto que la última propiedad no pertenece exclusivamente á las curvas (3). Para mostrarlo, tomemos la recta fija por eje de ordenadas, y designemos por \( \varphi \) la inclinación de la tangente sobre el eje de abscisas, de manera que

\[
\frac{dx}{ds} = \cos \varphi, \quad \frac{d\varphi}{ds} = \frac{1}{\varphi}.
\]

Se pone el problema en ecuación escribiendo

\[
\frac{tg \varphi}{\rho} = (m - 1) \frac{\cos \varphi}{x},
\]

de la que se deduce por integración

\[
\cos \varphi = \left( \frac{x}{a} \right)^{1-m}, \quad \text{además} \quad s = \int \left( \frac{x}{a} \right)^{m-1} dx
\]

Mientras que \( m \) no es nulo, se reproducen las curvas (3); pero para \( m = 0 \) se obtiene

\[
s = a \log \frac{x}{a}, \quad \cos \varphi = \frac{a}{x} = e^{-\frac{s}{a}}
\]

y después

\[
\rho = a tg \varphi = a \sqrt{e^{\frac{2s}{a}} - 1}
\]

que es la ecuación de una tractriz. Más generalmente, toda línea cuyo centro de curvatura se proyecta sobre una recta fija, ortogonalmente ó oblicuamente, en el pié de la tangente, es una evolvente de catenaria.

CUESTIONES PROPUESTAS

64. Una elipse, cuyo centro es C gira en su plano al rededor de su foco F, y corta en P á una recta fija FX. Sobre la normal en P se

(1) Giornale de Battaglini.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 31

toma una longitud PN igual al semi-diámetro conjugado á CP. El lugar del punto N es una circunferencia.

(N. C. M.)

65. En toda cónica un punto cualquiera M, el centro de curvatura correspondiente y los puntos de intersección de la normal en M con las perpendiculares FG, fg trazadas desde los focos F, f á los radios vectores FM, fM son conjugados armónicos.

(N. C. M.)

66. En todo cuadrilátero inscrito, los centros de los dieciseis círculos inscritos ó ex-inscritos á los triángulos formados por una diagonal y dos lados consecutivos, son las intersecciones de cuatro rectas paralelas á la bisectriz del ángulo agudo de las diagonales del cuadrilátero y de cuatro rectas paralelas á la bisectriz del ángulo suplementario.

(N. C. M.) (E. Lemoine).

67. Si por el punto recíproco del centro del círculo inscrito á un triángulo se trazan paralelas á los tres lados, la diferencia entre un lado y la longitud de la paralela á este lado, comprendida entre los otros dos lados del triángulo, es la misma para los tres lados.

¿Cuál es la propiedad análoga para los puntos recíprocos de los centros de los círculos ex-inscritos?

(N. C. M.) (E. Lemoine).

El punto recíproco está definido por la construcción siguiente: AM corta á CB en A'. Sea A', simétrico de A' con relación al medio de BC. AA', contiene á M'

(E. Lemoine).

68. Los diversos círculos menores de sección de una esfera por planos paralelos se transportan en su plano de manera que su centro llegue á ocupar el punto en que una recta dada en el espacio corta á este plano. Se trata de determinar los planos cíclicos de la superficie lugar de estos círculos.

(Ph. Breton).

69. Dados los dos valores \( u_0 = 0,\ u_1 = 1 \), se pide la forma más sencilla de los números.

\[
u_{n+1} = 1 + u_n + 2u_{n-1}
\]

(H. Brocard).
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 32

70. Se da un círculo O de radio \( a \) y una recta fija FP á una distancia \( b \) del centro O. Se traza una tangente AB que corta á FP en B. Se proyecta el punto de contacto A en P sobre FP, y desde el punto A como centro, con AP como radio, se describe un arco de círculo que encuentra á AB en M, M'. Hallar el lugar de los puntos M, M'. Indicar las singularidades de la curva y los puntos particulares que resultan inmediatamente de los datos de la cuestión.

(H. Brocard).

71. Se dan una hipérbola equilátera y una circunferencia tangente á las dos asíntotas. Hallar el lugar del punto de intersección de las tangentes al círculo trazadas por las proyecciones de un punto A de la hipérbola sobre sus asíntotas.

(H. Brocard).

72. Sean A', B' los vértices de los triángulos equiláteros construidos exterior ó interiormente sobre los lados AB, BC de un triángulo ABC. Si sobre B'A se construye el triángulo equilátero B'KA, el cuadrilátero A'CKA será un paralelógramo.

(H. Van Aubel).

73. Si sobre tres lados AB, BC, CD de un cuadrilátero ABCD se construyen exterior ó interiormente los triángulos equiláteros AA'B, BB'C, CC'D, y sobre C'A' se construye el triángulo equilátero C'KA' ó A'KC', la figura KAB'D será un paralelógramo (1).

(H. Van Aubel).

74. Suponiendo que m y n sean enteros y positivos, demostrar que se verifica la igualdad

\[
(m+n+1)! = \frac{1}{m+1} + \frac{n}{m+2} + \frac{n(n-1)}{1.2(m+3)} - \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3(m+4)} + \ldots
\]

(Juan J. Durán Loriga).

75. Se dan dos segmentos situados en una recta. Hallar el lugar de los puntos en que los ángulos según los que se ven los dos segmentos forman una suma constante.

(N. C. M.) (H. Brocard).

(1) Para evitar todo equivoco, rogamos al lector que se fije en la convención siguiente: Cuando decimos que sobre una recta MN se ha construido un triángulo MPN, entenderemos que, si se hace girar la figura de modo que la línea MN esté dirigida de izquierda á derecha, el vértice P se halla sobre el lado MN.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 4

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \frac{R \sin A \pm \sqrt{3} \cos A}{\pm \sqrt{3} + \cot \omega} = \frac{2 R \cos (A \pm 60)}{\sqrt{3} + \cot \omega} \\
y = \frac{2 R \cos (B \pm 60)}{\sqrt{3} + \cot \omega} \\
z = \frac{2 R \cos (C \pm 60)}{\sqrt{3} + \cot \omega}
\end{array}
\right.
\]

estas son las coordenadas de los centros isodinámicos.

Luego: los centros isodinámicos son los puntos límites del haz de los círculos de Schoute.

2.º \( \lambda \sin A \sin B \sin C + 1 + \cos A \cos B \cos C = 0 \)

da

\[
\lambda = - \cot \omega
\]

El círculo correspondiente se reduce á la recta:

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0
\]

(9)

que es la ecuación de la recta de Lemoine, polar del punto de Lemoine con relación al círculo circunscrito. Luego:

La recta de Lemoine es el eje radical común de los círculos de Schoute.

De los resultados precedentes se deduce que:

El lugar de los centros de los círculos de Schoute es una recta perpendicular á la recta de Lemoine que pasa por el punto de Lemoine, por el centro O del círculo circunscrito y por los centros isodinámicos W, W': es el diámetro de Brocard.

6. Interpretaciones geométricas.—Dos interpretaciones geométricas de los círculos de Schoute se han dado. La una debida á M. Neuberg (loc., cit., p. 29), la otra á M. Gob (loc., cit., p. 7 y siguientes). Estas dos interpretaciones se apoyan en la teoría de las figuras semejantes construidas sobre los lados de un triángulo, y en ello insistiremos cuando tratemos de esta importante teoría.

7. Las propiedades que hemos indicado para los triángulos podares nos permiten enunciar inmediatamente algunas otras que se refieren á los círculos de Schoute.

1.º El círculo de Brocard es el lugar de un punto P' tal, que su triángulo podar es directo y de igual ángulo de Brocard que ABC (\( \omega_1 = \omega \)).
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 5

2.º La recta de Lemoine es el lugar de un punto P tal, que su triángulo es retrógrado y de igual ángulo Brocard que ABC (\( \omega_1 = -\omega \)).

3.º Los triángulos podares de los centros isodinámicos son equiláteros.

Llamamos triángulos conjugados á dos triángulos tales, que las medianas del uno son proporcionales á las medianas del otro, y puntos conjugados á dos puntos tales, que sus triángulos podares son conjugados, directos entre sí, y cuyos vértices homólogos se encuentran á un mismo lado de ABC.

1.º Dos triángulos conjugados tienen igual ángulo de Brocard.
2.º Dos puntos conjugados se hallan sobre un mismo círculo de Schoute.
3.º Dos puntos tripolarmente asociados se hallan en círculos diferentes.
4.º En la transformación por puntos tripolarmente asociados, los círculos de Schoute, con parámetros de valores absolutos iguales y de signo contrario, se corresponden entre sí. En particular al círculo de Brocard corresponde la recta de Lemoine.

Para completar el estudio de los círculos de Schoute señalaremos algunas proposiciones que nos contentaremos con enunciar y que se derivan del principio conocido siguiente:

8. PRINCIPIO.—La figura formada por un sistema de círculos que tienen el mismo eje radical, se transforma por inversión en una figura formada por círculos concéntricos, si se toma por centro de inversión uno de los puntos-límites del sistema (Poncelet, Traité des propriétés projectives. Tome I, n.º 76).

Las trayectorias octogonales del sistema son, en efecto, círculos que pasan por los puntos límites y cuyas transformadas se convierten en rectas concurrentes.

Resulta inmediatamente de este principio, que si un círculo corta á dos círculos fijos bajo ángulos constantes, corta también, bajo ángulos constantes, á todos los círculos que tienen el mismo eje radical y envuelve á dos círculos del sistema.

9. APLICACIONES.—Los círculos de Schoute se transforman por inversión en círculos concéntricos, cuando se toma por centro de inversión uno de los centros isodinámicos.

Los círculos de Schoute se hallan cortados bajo un ángulo constante por los círculos de W. W Taylor (loc. cit.), círculos que tienen por ecuaciones:
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 6

A_1 = x^2 - yz \cos A + zx \cos B + xy \cos C = 0
B_1 = y^2 + yz \cos A - zx \cos B + xy \cos C = 0
C_1 = z^2 + yz \cos A + zx \cos B - xy \cos C = 0

Estos círculos tienen respectivamente por centros los puntos asociados del punto de Lemoine \( K_a, K_b, K_c \) y son tangentes en los radios OB y OC, OC y OA, OA y OB.

Estos círculos de Taylor envuelven los dos círculos de Schoute que tienen por ecuación:

\[
\Sigma x^2 + \Sigma yz \cos A - 2 \Sigma yz \sin A = 0
\]

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS INTEGRALES EULERIANAS
POR D. LAURO CLARIANA Y RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona

(CONTINUACIÓN)
(Véase el tomo II, págs. 229, 247, 265 y 300).

14.—DETERMINACIÓN DE LA INTEGRAL \( \int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{1+x} dx \), SIENDO \( p < 1 \)

El primer procedimiento que podemos dar para demostrar esta integral, como el más elemental, está indicado en la obra de Cálculos de M. Serret.

Tomemos la expresión \( \frac{n z^{2n}}{1+z^n} \), siendo \( m < n \). Al considerar \( \varphi_k = \frac{(2k+1)\pi}{2n} \) pueden expresarse las raíces de la ecuación binomía

\( 1 + z^{2n} = 0 \) por \( e^{\pm \varphi_k \sqrt{-1}} \), dando á \( k \) los valores siguientes; 0, 1, 2, ... (n-1). Según la teoría de las fracciones simples, los coeficientes indeterminados de los numeradores, expresados por A, B, C ... vienen dados por

\[
A = \frac{F(a)}{f(a)}, \quad B = \frac{F(b)}{f(b)}, \quad C = \frac{F(c)}{f(c)}, \ldots
\]

en el supuesto de que las funciones F y f representen respectivamente el numerador y el denominador de la fracción dada que se descomponen en otras simples. Así, pues,
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 7

A = \frac{F(a)}{f'(a)} = \frac{n e^{2m \varphi_k \sqrt{-1}}}{2n e^{(2n-1)\varphi_k \sqrt{-1}}} = \frac{1}{2} \frac{e^{(2m+1)\varphi_k \sqrt{-1}}}{e^{2n \varphi_k \sqrt{-1}}}

Ahora bien, \( e^{2n \varphi_k \sqrt{-1}} = e^{(2k+1)\pi \sqrt{-1}} = -1 \)

luego

\[
A = -\frac{1}{2} e^{(2m+1) \varphi_k \sqrt{-1}}
\]

Las raíces de la ecuación binomia son todas imaginarias, y dos á dos conjugadas; podremos, pues, tomar el valor suma de las dos fracciones simples, que corresponde á dos raíces conjugadas, resultando:

\[
T = -\frac{1}{2} \left[ \frac{e^{(2m+1)\varphi_k \sqrt{-1}}}{z - e^{\varphi_k \sqrt{-1}}} + \frac{e^{-(2m+1)\varphi_k \sqrt{-1}}}{z - e^{-\varphi_k \sqrt{-1}}} \right] =
\]
\[
\sqrt{e^{-(2m+1)\varphi_k \sqrt{-1}}} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{\cos (2m+1)\varphi_k + \sin (2m+1)\varphi_k \sqrt{-1}}{z - \cos \varphi_k - \sin \varphi_k \sqrt{-1}} + \frac{\cos (2m+1)\varphi_k - \sin (2m+1)\varphi_k \sqrt{-1}}{z - \cos \varphi_k + \sin \varphi_k \sqrt{-1}} \right] =
\]
\[
= -\frac{1}{2} \frac{2(z-\cos \varphi_k) \cos (2m+1)\varphi_k - 2 \sin \varphi_k \sin (2m+1)\varphi_k}{(z-\cos \varphi_k)^2 + \sin^2 \varphi_k} =
\]
\[
= -\frac{(z-\cos \varphi_k) \cos (2m+1)\varphi_k + \sin \varphi_k \sin (2m+1)\varphi_k}{(z-\cos \varphi_k)^2 + \sin^2 \varphi_k}
\]

Multiplicando ambos miembros por \(dz\) é integrando desde \(-Z\) hasta \(+Z\), se tiene:

\[
\int_{-z}^{z} T \, dz = -\frac{1}{2} \cos (2m+1)\varphi_k \log \frac{(z-\cos \varphi_k)^2 + \sin^2 \varphi_k}{(z+\cos \varphi_k)^2 + \sin^2 \varphi_k} +
\]
\[
+ \sin (2m+1)\varphi_k \left[ \arctg \frac{z-\cos \varphi_k}{\sin \varphi_k} + \arctg \frac{z+\cos \varphi_k}{\sin \varphi_k} \right],
\]

de donde

\[
\lim_{z \to +\infty} \int_{-\infty}^{z} T_k \, dz = \pi \sin (2m+1)\varphi_k
\]

Si suponemos \( x = \frac{2m+1}{2n}\pi \), podemos escribir
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 8

\[(2m+1)\varphi_k = (2K+1)\pi;\] luego

\[\lim_{\int_{-\infty}^{+\infty}} T_h dz = \pi \sen (2K+1)\alpha.\]

Según los valores de T, se obtiene

\[\frac{uz^{2m}}{1+z^{2n}} = T_1 + T_1 + \ldots + T_{n-1}\] ó sea

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{uz^{2m}dz}{1+z^{2n}} = \pi \left[ \sen x + \sen 3x + \ldots + \sen (2n-1)x \right]\]

Si multiplicamos ambos miembros por \(2 \sen x\), atendiendo que:

\[2 \sen \frac{B-A}{2} \sen \frac{A+B}{2} = \cos A - \cos B,\] en el concepto de ser \(A < B\)

resulta

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sen x nz^{2m}}{1+z^{2n}} dz = \pi \left[ (1-\cos 2x) + \right.\]
\[\left. + (\cos 2x - \cos 4x) + \ldots + [\cos (2n-2)x - \cos 2nx] \right]\]

Ahora bien, el segundo miembro se reduce á \(= (1-\cos 2nx)=2\pi\) y según el valor \(x\), se halla

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{nz^{2m}dz}{1+z^{2n}} = \frac{\pi}{\sen \frac{2m+1}{2n}\pi},\]

Empero la integral \(\int_{-\infty}^{+\infty} = \int_{-\infty}^{0} + \int_{0}^{+\infty}\) produce dos integrales iguales por ser cuadrados los valores de \(z\); así, pues,

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{2nz^{2m}dz}{1+z^{2n}} = \frac{\pi}{\sen \frac{2m+1}{2n}\pi}\]

Supongamos ahora \(z = x^{\frac{1}{2n}}\) de donde
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 9

\[
\int_0^{\infty} \frac{2n z^{2m}}{1+z^{2n}} \, dz = \int_0^{\infty} \frac{2m}{x^{2n}} \times x^{\frac{1}{2n}-1} \frac{dx}{1+x},
\]
o sea
\[
\int_0^{\infty} \frac{x^{\frac{2m+1}{2n}-1}}{1+x} \, dx = \frac{\pi}{\operatorname{sen} \frac{2m+1}{2n} \pi};
\]
por fin, si aceptamos que \( \frac{2m+1}{2n} = p \), resulta la fórmula definitiva:
\[
\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1} dx}{1/x} = \frac{\pi}{\operatorname{sen} p \pi}
\]

OTRA DEMOSTRACIÓN NOTABLE DE M. BRIOT

La función \( \frac{z^{n-1}}{1+z} \) en que n designa un número positivo menor que la unidad, admite un polo que corresponde á \( z = -1 \) y además un punto crítico en el origen. Desde dicho origen como centro y con un radio indefinidamente grande podemos imaginar una semicircunferencia por la parte superior del eje x; luego otra semicircunferencia indefinidamente pequeña, y por fin, desde el polo otra también indefinidamente pequeña. Los radios vendrán designados respectivamente por R, E y E'.

La función propuesta, siendo holomorfa dentro de la línea cerrada supuesta, cumplirá con la condición de que la integral \( \int \frac{z^{n-1}}{1+z} \, dz \), según el contorno dado, sea nula. La parte de la integral relativa á la semicircunferencia de radio indefinidamente grande es nula; la del centro, indefinidamente pequeña, también lo es en virtud de las propiedades 7.a y 8.a del número precedente. Para la integral relativa á la semicircunferencia indefinidamente pequeña trazada desde el polo, puede suponerse \( z = -1 + E' e^{i \theta'} \) lo que da
\[
\int_{\pi}^0 \frac{z^{n-1} E' e^{i \theta'} i d\theta'}{E' e^{i \theta'}} = i \int_{\pi}^0 z^{n-1} d\theta' = -i \int_0^{\pi} z^{n-1} d\theta'
\]
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SUR UN THÉORÈME RELATIF A LA THÉORIE DES NOMBRES
PAR
M. A. SCHJAPPA MONTEIRO
PROFESSEUR À L'ECOLE POLYTECHNIQUE DE LISBONNE

THÉORÈME.—p désignant un nombre premier plus grand que 41, et r le nombre premier minimum, en faisant exception de l'unité, qui satisfait à la congruence

\[
p \equiv r \pmod{40}
\] (1)

démontrer que la congruence

\[
\frac{p-1}{10^2} \equiv 1 \pmod{p}
\] (2)

est vraie, quand

\[
\frac{r-1}{10^2} \equiv 1 \pmod{r}
\] (3)

DÉMONSTRATION.—Comme on sait, m étant un nombre positif pris pour module, ou pour terme de comparaison, on peut exprimer un nombre quelconque p sous la forme

\[
p = m \cdot q + c
\] (1)c

où c, quel que soit son signe, représente le résidu de p pour le module m.

Si l'on fait, donc, \( c = + r \), on a l'équation

\[
p = m \cdot q + r
\] (1)r

où r, étant inférieur à m, ou tombant entre 0 et m, représentera le résidu minimum positif de p pour le module m.

De même, en faisant \( c = - r' \), on a l'équation

\[
p = m \cdot q' - r'
\] (1)r'
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 10

tecería. La relación del área del tetrágono á la de su segmento iría disminuyendo indefinidamente también. Llegaría un momento en que el tetrágono sería menor que el segmento.

En la primera edición de su obra tomaba el autor como base el axioma: En todo círculo, el exágono regular inscripto es mayor que cualquiera de los segmentos que caen fuera de él.

Pero este axioma ofrece idénticos inconvenientes que el adoptado actualmente. Ya Gauss se había servido, me parece, de una imagen análoga á la de mi figura, á propósito de otra demostración falsa del postulado.

En apéndices coloca el autor algunas consideraciones acerca del postulado euclídeo y de los infinitamente pequeños y grandes. Con respecto á este punto diré que, en primer lugar, las ideas sobre los infinitamente pequeños actuales son diferentes entre los matemáticos, siendo este un punto sumamente delicado y espinoso que, á ser posible, debe siempre evitarse. En segundo lugar, ya Gauss ha indicado considerar al infinito como una cantidad determinada (vollendet), implica grandes riesgos, y esta idea ha sido puesta de relieve, desde Bolzano á Cantor, por muchos distinguidos matemáticos. A mi modo de ver, nada puede probarse de este apéndice. El mismo autor declara que su modo de ver es opinable.

Al final se añaden críticas justas de alguna de las demostraciones antes dadas del axioma euclídeo.

Es, en resumen, la obra en cuestión, un hermoso librito que hace desear la segunda parte, ya anunciada, de Curiosa mathematica. Su autor es harto ventajosamente conocido, por otra parte, del público matemático.

Pr. Dr. Ventura Reyes Prósper.

PREMIERS PRINCIPES D'ALGEBRE par C. A. Laisant et Elie Perrin, avec plus de 1200 exercices gradués, 1892, Delagrave, París.

El Algebra es un lenguaje de una precisión perfecta, cuyas reglas están ligadas entre sí con admirable rigor, y presentar los primeros elementos de la sintaxis de esta lengua del cálculo, con la mayor claridad y precisión, es el objeto que en esta nueva obra se han propuesto principalmente sus autores, y en verdad que lo han conseguido de una manera que nada deja desechar, pues en 336 páginas en 8.º, han hecho una síntesis rigurosa de esta colección de reglas y de principios del cálculo, que forman el hilo conductor del análisis en todas sus ramificaciones.