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El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 20

lectores y aficionados á estos estudios con objeto de llevar á la práctica la gran obra de coleccionar las fórmulas y teoremas de las ciencias matemáticas, al advertir cuán difícil es semejante colección, y cuánto se facilita mediante el empleo de las notaciones de la lógica matemática, y reconociendo que tan vasta empresa exige la colaboración de varios y es irrealizable para uno solo. Esta colección de fórmulas ha comenzado ya á publicarse (1).

QUESTIONES RESUELTA
Nota sobre la cuestión 52 por M. H. Brocard.

La muy elegante solución del Sr. Schiappa Monteiro me parece que puede completarse por algunas indicaciones que acaso tengan interés.

Supongamos trazada la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) MM'NN' (pág. 234). La circunferencia AMBN que pasa por los puntos M, N diametral-

(1) Tan notable para los progresos en el estudio hemos creído el empleo de notaciones simbólicas, que en nuestro Tratado de Aritmética (1884, pág. 40) declamamos:
49. Expresiones simbólicas en los razonamientos.—Conviniendo, para la claridad y comprensión sintética de los razonamientos matemáticos el empleo del menor número posible de palabras, ó sustituir al lenguaje ordinario la forma esquemática, es decir, simbólica, que brevemente condensa ó reduce á lo esencial los razonamientos, emplearemos las siguientes notaciones abreviadas.

    La expresión
    Léxico

    \( \frac{m}{mn} \cdot \frac{m}{m} \cdot \frac{n}{n} \)
    Múltiplo de \( m \), de \( m.n \), de \( m \) y \( n \).

    \( \frac{m}{mn} \cdots \cdots \cdots \)
    No es igual á múltiplo de \( m \).

    \( \frac{m}{mn} \cdot \frac{m}{m} \cdot \frac{n}{n} \)
    Divisor de \( m \), de \( m.n \), de \( m \) y \( n \).

    \( \frac{m}{mn} \cdots \cdots \cdots \)
    No es igual á divisor de \( m \).

50 TEOREMA.—Si un número primo absoluto no divide á otro, los dos son primos relativos

DEMOSTRACIÓN ESQUEMÁTICA:

Hipótesis: \( \left\{ \begin{array}{l}
p = p^1 \\
p \neq \frac{1}{n} ; \text{(tesis): } D(n, p) = 1 \\
1 = p
\end{array} \right. \)

En Geometría, el empleo de los signos \( \angle \), \( \parallel \), \( \perp \), \( \square \), y aun otros como \( \therefore \), porqué, \( \because \), luego, etc., empleados principalmente por los autores ingleses, y que adoptamos desde 1882 en nuestra Geometría elemental, permiten hacer simplicios los razonamientos, ayudando de una manera eficazísima á la inteligencia.

Z. G. de G.
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 21

Cuestión 52

© Biblioteca Nacional de España
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 23

mente opuestos en la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) corta á esta curva en otros dos puntos que designaremos por O, \( \Delta \). Permaneciendo fijos los puntos M, N, las cuerdas OA son paralelas á una dirección fija, simétrica de la de MN con respecto á las asíntotas, y los puntos medios Z de estas cuerdas se hallan en la mediatriz de MN, ó la perpendicular á MN en su medio C.

Á su vez, la recta CZ corta á la circunferencia en dos puntos V, V' que con O, \( \Delta \) determinan un rectángulo cuyos lados son paralelos á las asíntotas XCX', YCY'.

(Se halla, pues, aquí una aplicación muy curiosa de la noción rectángulo asíntótico empleada por vez primera por Bobillier (Ann. de Gergonne. XIX Juin, 1829. Mem. sur l'hyp. eq., p. 358) y cuya importancia y utilidad para el estudio de la hipérbola equilátera ha hecho resaltar M. P. H. Schoute (Ueber die Curv. 4° Ordn. mit 3 infl.—Arch. de Grunnert Hoppe. 1886 et Bulletin des Sc. math. 1884, pág. 278).

Este rectángulo asíntótico se obtiene trazando por dos puntos cualesquiera OA de la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) paralelas á las asíntotas. La segunda diagonal VV' pasa entonces por el centro C de la hipérbola.

De esto se deduce la proposición siguiente:

Se dan dos rectas rectangulares OA, OB y un punto C por el que se trazan secantes ACB. Se traza la circunferencia AOB que tiene AB por diámetro. El lugar de los puntos M, N de intersección de esta circunferencia con la cuerda MCN perpendicular á AB es la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) que pasa por los puntos M, N, O, \( \Delta \), cuyo centro es C y cuyas asíntotas son paralelas á las rectas OA, OB.

Así queda establecida la primera parte de la cuestión 52.

Es de igual modo interesante observar que OA es un diámetro y Z el centro de la circunferencia MNOA.

La segunda parte de la cuestión 52 se reduce á transformar la hipérbola equilátera (\( \Sigma \)) por la construcción siguiente:

Hallándose referida la hipérbola á uno de sus puntos O y á dos paralelas OA, OB á las asíntotas, por el centro C de la curva se traza la recta AB y el diámetro NCM, y se transporta éste paralelamente á sí mismo, de modo que sea en TBS, T_0AS_0.

Ahora, se obtienen para las coordenadas Op_1, Sp_1 del punto S los valores siguientes:

\[
x = h + k \tg \omega + \rho \cos \omega, \quad y = \rho \sen \omega, \quad \rho = \sqrt{hk \sen \omega \cos \omega}.
\]

Por consiguiente, falta eliminar tg \( \omega \) entre las ecuaciones
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 24

\[
x = h + k \tg \omega + \sqrt{\frac{hk}{\tg \omega}}, \quad y + \sqrt{hk \tg \omega}
\]
lo que da
\[
x - h = \frac{y^2}{h} + \frac{hk}{y}.
\]

El resultado de esta transformación es, pues, la cúbica unicursal (\( \Omega \)) designada con el nombre de tridente de Newton.

Los puntos \( S_0, T_0 \) correspondientes al otro extremo A de la cuerda A, B tienen por lugar geométrico un segundo tridente (\( \Omega \)) que admite por asíntota OA.

Según la discusión muy completa que se ha expuesto en este Periódico, nos bastará recordar que otras propiedades de estas curvas han sido consignadas por M. G. de Longchamps en su Etude des courbes parallèles, (J. S., 1885, 153-155), y también en la Géométrie de la règle (J. S., 1886, 222-226).

Sería, pues, de desear que se vuelva á insistir en la monografía de éstas cúbicas, con objeto de fusionarse los resultados obtenidos en diversas direcciones.

CUESTIONES PROPUESTAS

77. Teorema. Sea L una evolvente de un círculo cualquiera cuyo centro es O. Esto sentado, se tienen los teoremas siguientes:

1.º) Desde el centro O tracemos tres radios vectores; si el segundo es medio proporcional entre los otros dos, corta al arco comprendido entre el primero y el tercero en dos partes proporcionales á estos radios vectores.

2.º) Desde el centro O tracemos tres radios vectores cuyas longitudes sean proporcionales á los números 1, 5, 7; el segundo radio corta al arco comprendido entre los otros dos en dos partes iguales.

3.º) Desde el centro O tracemos dos radios vectores cuya diferencia sea igual al diámetro del círculo; el arco de L que cortan es igual á la suma de los radios vectores.

Desde el centro O tracemos dos radios vectores cualesquiera R, \( R_1 \) y los otros dos cuya longitud es respectivamente
\[
\sqrt{R^2 - RR_1 + R_1^2}, \quad \sqrt{R^2 + RR_1 + R_1^2};
\]
sus extremidades forman un conjunto armónico de cuatro puntos.

G. Pirondini.

78. Sea AEB un arco de círculo que tiene por centro el punto O,
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 25

por cuerda AB, por tangentes en sus extremos AT, BT. Prolónguese AB en una longitud \( BC = \frac{1}{2} AB \). Desde el punto C como centro, con un radio igual á CA, descríbase un arco de círculo AD que corta á BT en D. Tómese sobre el arco AEB un segmento AE igual á \( \frac{1}{4} AEB \).

Trácese OF que corta á AT en F; únanse los puntos F, B por la recta FB. Esto sentado, si \( \alpha \) es la longitud del arco, tomándose el radio por unidad:
    1.º AD difiere de \( \alpha \) en menos de un milésimo de la quinta potencia de \( \alpha \).
    2.º AF + FB difiere de \( \alpha \), en menos de un cuarto de milésima de la quinta potencia de \( \alpha \).
    3.º \( \frac{1}{5} (AD + 4AF + 4FB) \) difiere de \( \alpha \) en menos de una milésima de la séptima potencia de \( \alpha \).
    Se supone \( \alpha < 1 \).
    (N. C. M.) (Macgorn Ran Kine).

79. Construir un triángulo dados los vértices A', B', C' de los triángulos equiláteros construídos exterior ó interiormente sobre sus lados.

(H. Van Aubel).

80. Construir un cuadrilátero dados los vértices A', B', C', D' de los triángulos equiláteros construídos exterior ó interiormente sobre sus cuatro lados.

(H. Van Aubel).

81. Suponiendo m y n enteros y positivos, demostrar que

\[
\frac{1}{m+1} + \frac{n}{m+2} + \frac{n(n-1)}{1.2(m+3)} + \ldots =
\]

\[
= \frac{2^n}{m+1} - \frac{n.2^{n-1}}{(m+1)(m+2)} + \frac{n(n-1)2^{n-2}}{(m+1)(m+2)(m+3)}
\]

(Juan J. Durán Loriga).

82. Sean A_1, B_1, C_1 y A_2, B_2, C_2 las proyecciones de dos puntos M_1, M_2 sobre los lados de un triángulo ABC. Si estos puntos se hallan en una misma cónica y el punto M permanece fijo, ¿cuál es el lugar descrito por M_3?

(J. Neuberg).
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 26

83. Sobre los lados de un triángulo \( A_1A_2A_3 \) se construyen exteriormente los triángulos equiláteros \( A_1B_1A_2, A_2B_2A_3, A_3B_3A_1 \) é interiormente los triángulos equiláteros \( A_2b_1A_1, A_3b_2A_2, A_1b_3A_3 \). Sean \( I_1, I_2, I_3, i_1, i_2, i_3 \), los centros de estos triángulos:
  1.º a) Si se prolonga \( B_3i_3 \) en una longitud \( i_2N = B_3i_3 \), el triángulo \( B_1Ni_2 \) es equilátero. b) Construir el triángulo \( A_1A_2A_3 \) dados los puntos \( B_1, I_2, B_3 \).
  2.º a) El punto \( I_3 \) es el medio de las rectas \( A_1A_2 \) é \( I_3B_1 \) son los vértices de un triángulo equilátero. b) Construir el triángulo \( A_1A_2A_3 \), dados los puntos \( I_1, B_2, I_3 \).

(H. Van Aubel).

84. Sobre los cuatro lados de un cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \) se construyen exteriormente los triángulos equiláteros \( A_1B_1A_2, A_2B_2A_3, A_3B_3A_4, A_4B_4A_1 \) é interiormente los triángulos equiláteros \( A_3b_1A_1, A_2b_2A_3, A_4b_3A_2, A_1b_4A_4 \). Sean \( I_1, I_2, I_3, I_4, i_1, i_2, i_3, i_4 \) los centros de estos triángulos:
  1.º La recta \( I_2I_4 \) (ó \( i_4i_2 \)) es perpendicular á \( B_1B_3 \) (ó \( b_1b_3 \)) é igual al radio del círculo circunscrito al triángulo equilátero construído sobre \( B_3B_1 \) (ó \( b_3b_1 \)).
  2.º a) Si sobre \( I_3I_1 \) se construye el triángulo equilátero \( I_3MI_1 \) y se prolonga \( I_3M \) en una longitud \( MN = I_3M \), el cuadrilátero \( I_1B_2B_4N \) es un paralelógramo. b) Construir el cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \), dados los puntos \( I_1, I_2, I_3, B_4 \) ó los puntos \( I_1, B_2, B_3, B_4 \).

(H. Van Aubel).

85. Sean, A un punto luminoso, B un punto tomado, como el primero, en el plano de un círculo que tiene C por centro.
Se pide el lugar de los puntos M del círculo donde se refleja el rayo luminoso AM de manera que pase por el punto B, cuando el radio del círculo toma valores cualesquiera.
¿Cuál es el problema de máximo ó de mínimo que se encuentra en el estudio de esta cuestión?
Determinar directamente ciertos puntos particulares del lugar buscado.

(Ph. Breton).

86. Una elipse variable cuyo eje mayor se da, permanece tangente á una elipse dada, y tiene con esta un foco común. Demostrar que toca constantemente á una cónica homofocal con la elipse dada.

(J. Neuberg).
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 3

En effet, si a représente un nombre premier non divisible par le nombre premier p, on a, en vertu du théorème de Fermat:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod. } p),
\]
et comme
\[
a^{p-1} - 1 = \left( a^{\frac{p-1}{2}} - 1 \right) \left( a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \right),
\]
l'une des congruences
\[
a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 1 \ (\text{mod. } p)
\]
ou
\[
a^{\frac{p-1}{2}} - 1 \equiv 1 \ (\text{mod. } p)
\]
sera vraie.

En supposant a positif et inférieur à p, si parmi les restes des nombres
\[
a, 2a, 3a, ..., \frac{p-1}{2} a
\]
divisés par p, il y en a n, qui surpassent \( \frac{p-1}{2} \), on aura (*) :
\[
a^{\frac{p-1}{2}} (-1)^n \equiv 1 \ (\text{mod. } p).
\]

De plus, si le nombre positif a < p est égal à 2z + r, r étant 0 ou 1, selon que a est pair ou impair, la vraie valeur de n de la formule (1)_n sera donnée par la formule (**):
\[
n = -E\left( \frac{p}{2a} \right) + E\left( \frac{3p}{2a} \right) - E\left( \frac{3p}{2a} \right) + ..... + E\left( \frac{2zp}{2a} \right)
\]
Ainsi, pour démontrer que la congruence (2) est vraie, il suffit de prouver que, suivant les conditions établies, le nombre n est toujours pair.

Dans le cas considéré, soient a = 10, ou z = 5, r = 0, et 43 la moindre valeur du nombre premier p, donné par la congruence (1), et (1)_2, on a a < p et la formule (12) donne
\[
n = \left\{ \begin{array}{l}
E\left( \frac{p}{2} \right) + E\left( \frac{p}{5} \right) + E\left( \frac{2p}{5} \right) + E\left( \frac{p}{10} \right) + E\left( \frac{3p}{10} \right) \\
- \left[ E\left( \frac{r}{4} \right) + E\left( \frac{p}{20} \right) + E\left( \frac{3p}{20} \right) + E\left( \frac{7p}{20} \right) + E\left( \frac{9p}{20} \right) \right]
\end{array} \right\}
\]
Soient d'abord
\[
p = 40q + 3; \ 2p = 80q + 6; \ 3p = 120q + 9; \ 7p = 280q + 21; \ 9p = 360q + 27;
\]

(*) Voy. Cours d'Algèbre supérieure, par J. A. Serret, t. II; Essai sur la théorie des nombres par A. M. Legendre, etc.
(**) Voy. Ces mêmes ouvrages.
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 4

il vient
\( E\left( \frac{p}{2} \right) = 20q + 1; \quad E\left( \frac{p}{5} \right) = 8q, \quad E\left( \frac{3p}{5} \right) = 16q + 1; \quad E\left( \frac{p}{10} \right) = 4q; \quad E\left( \frac{8p}{10} \right) = 12q; \)
et
\( E\left( \frac{p}{4} \right) = 10q; \quad E\left( \frac{p}{20} \right) = 2q; \quad E\left( \frac{8p}{30} \right) = 6q; \quad E\left( \frac{7p}{20} \right) = 14q + 1; \quad E\left( \frac{9p}{20} \right) = 18q + 1; \)
donc, en substituant dans la formule (13) ces valeurs des quotients incomplets relatifs au résidu minimum positif 3, il vient
\[
n = 60q + 2 - (50q + 2) = 10q;
\]
(14)

Secondement, soient
\( p = 40q' - 37; \quad 2p = 80q' - 74; \quad 3p = 120q' - 111; \quad 7p = 280q' - 259; \quad 9p = 360q' - 333; \)
on aura
\[
E\left( \frac{p}{2} \right) = 20q' - 18; \quad E\left( \frac{p}{5} \right) = 8q' - 7; \quad E\left( \frac{2p}{5} \right) = 16q' - 14;
\]
\[
E\left( \frac{p}{10} \right) = 4q' - 3; \quad E\left( \frac{8p}{10} \right) = 12q' - 11;
\]
et
\[
E\left( \frac{p}{4} \right) = 10q' - 9; \quad E\left( \frac{p}{20} \right) = 2q' - 1; \quad E\left( \frac{8p}{30} \right) = 6q' - 5;
\]
\[
E\left( \frac{7p}{20} \right) = 14q' - 12; \quad E\left( \frac{9p}{20} \right) = 18q' - 16;
\]
et en substituant ces valeurs des quotients incomplets relatifs au résidu minimum négatif 37, on obtient
\[
n = 60q' - 53 - (50q' - 43) = 10q' - 10 = 10(q + 1) - 10 = 10q;
\]
(15)
d'où il suit que \( n \) est toujours pair, quand les conditions établies auront lieu.

Donc, etc., etc.

Autrement.— Les congruences (2) et (3) ou les équations équivalentes
\[
\frac{p-1}{10^s} = p.x + 1 \tag{2}' \\
\frac{r-1}{10^s} = r.y + 1 \tag{3}'
\]
et
\[
\frac{p.r}{10^s} = \frac{p.x + 1}{r.y + 1}. \tag{16}
\]
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 5

ou

\[
(r \cdot y + 1) 10^{\frac{p-r}{2}} = p \cdot x + 1
\] (17)

et eu égard à la congruence (1)', ou à l'équation équivalente

\[
p - r = 40 \cdot q,
\] (1)'_1

il vient

\[
\frac{p - r}{2} = 20 \cdot q
\] (18)

et, par suite,

\[
(r \cdot y + 1) 10^{20 \cdot q} = p \cdot x + 1,
\] (19)

donc

\[
10^{20 \cdot q + 1} = p \cdot x + 1
\] (20)

ou

\[
10^{20 \cdot q + 1} \equiv (mod.\ p).
\] (21)

En regardant à présent la congruence (2) et la congruence

\[
\frac{r' - 1}{10^{\frac{r'}{2}}} \equiv 1 \ (mod.\ r'),
\] (3)*

ou les équations équivalentes

\[
10^{\frac{r' - 1}{2}} = p \cdot x' + 1
\] (2)'_1

et

\[
10^{\frac{r' - 1}{2}} = r' \cdot y' + 1
\] (22)

on obtiendra

\[
10^{\frac{p + r'}{2}} = (p \cdot x' + 1) (r' \cdot y' + 1),
\] (22)

et étant

\[
r' \cdot y' + 1 = 10^{16}
\] (23)

on trouvera

\[
10^{\frac{p - 1}{2} - 19} = p \cdot x' + 1;
\] (24)

mais la congruence (1)', ou l'équation équivalente

\[
p + r' = 40 \cdot q'
\] (1)'_2

donnant

\[
\frac{p + r'}{2} = 20 \cdot q'
\] (25)
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 6

on aura

\[
10^{20} \cdot q' - 19 = p \cdot x' + 1 \tag{26}
\]

ou

\[
10^{20} \cdot q' - 19 = p \cdot x + 1 \tag{27}
\]

et en mettant au lieu de \( q' \) sa valeur \( q + 1 \), il vient encore

\[
10^{20} \cdot q' + 1 = p \cdot x + 1, \tag{9}
\]

\[
\frac{p-1}{r-1}
\]

Ainsi \( 20^{\frac{p}{2}} \) sera un multiple de \( 10^{\frac{r}{2}} \), et la congruence (2) sera vraie, lorsqu'il en sera de même de la congruence (3), toutes les fois que les relations considérées entre les quantités \( p, r, r' \), et 10 auront lieu

\[
q \cdot c \cdot d.
\]

Obs.— Comme on sait, le nombre \( p \cdot x + 1 \), par rapport à la base 10, a pour logarithme entier \( 20 \cdot q + 1 \).

Nous pourrions encore donner à cette étude une autre forme plus générale et pousser ainsi plus loin nos humbles recherches, mais nous avons cru devoir être préférable de présenter à la suite une telle étude tant à fait indépendante du cas spécial que nous venons de considérer.

UN TEOREMA GEOMÉTRICO
POR D. ATANASIO LASALA
Catedrático del Instituto de Bilbao.

8. 5.a—Si dos arcos de círculo máximo concurrentes en O se cortan por otros dos arcos fijos Paa' y Pbb', todo arco Pcc', móvil alrededor de P, determina en los primeros segmentos tales, que la razón

\[
\frac{\operatorname{sen} ca}{\operatorname{sen} cb} : \frac{\operatorname{sen} c'a'}{\operatorname{sen} c'b'}
\]

es constante.

Toda vez que esta razón equivale á

\[
\frac{\operatorname{sen} Pa}{\operatorname{sen} Pb} : \frac{\operatorname{sen} Pa'}{\operatorname{sen} Pb'}
\]
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 7

9. Observación.—Dados cuatro arcos de un haz de concurrentes en P, y considerando dos de ellos Paa' y Pbb' como fijos, y los otros Pcc' y Pdd' como dos posiciones de un arco móvil alrededor de P, tendremos

\[
\operatorname{sen} (abcd) = \operatorname{sen} (a'b'c'd');
\]

luego un haz de arcos concurrentes en P determina en dos arcos transversales dos divisiones homográficas.

Considerando como fijos los arcos Paa' y Pbb', y el Pcc' como móvil, puede hallarse una expresión sencilla de la razón constante

\[
\frac{\operatorname{sen} ca}{\operatorname{sen} cb} : \frac{\operatorname{sen} c'a'}{\operatorname{sen} c'b'} = \lambda.
\]

Sea PAm (Fig. 3.a) una posición del arco móvil determinada por un punto A situado á 90º del medio de ab (1); la razón \( \lambda \) será

\[
\frac{\operatorname{sen} Aa}{\operatorname{sen} Ab} : \frac{\operatorname{sen} ma'}{\operatorname{sen} mb'},
\]

pero

\[
\frac{\operatorname{sen} Aa}{\operatorname{sen} Ab} = 1; \quad \text{luego} \quad \lambda = \frac{\operatorname{sen} mb'}{\operatorname{sen} ma'}.
\]

Sea PBn otra posición del arco móvil determinada por un punto B situado á 90º del medio de a'b'; tendremos

\[
\lambda = \frac{\operatorname{sen} na}{\operatorname{sen} nb} : \frac{\operatorname{sen} Ba'}{\operatorname{sen} Bb'},
\]

pero

\[
\frac{\operatorname{sen} Ba'}{\operatorname{sen} Bb'} = 1; \quad \text{luego} \quad \lambda = \frac{\operatorname{sen} na}{\operatorname{sen} nb}.
\]

Igualando los valores de \( \lambda \), se tiene

\[
\frac{\operatorname{sen} mb'}{\operatorname{sen} ma'} = \frac{\operatorname{sen} na}{\operatorname{sen} nb},
\]

igualdad que está confirmada por esta otra

\[
\operatorname{sen} (b'a'mC) = \operatorname{sen} (baAn).
\]

Si suponemos el punto P á 90º del medio de aa', la razón

\[
\lambda = \frac{\operatorname{sen} Pa}{\operatorname{sen} Pb} : \frac{\operatorname{sen} Pa'}{\operatorname{sen} Pb'}
\]

(1) También pudiera ser A el punto medio de ab; \( \lambda \) que siempre es positiva, sería igual a \( -\frac{\operatorname{sen} mb'}{\operatorname{sen} ma'} \).
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 8

se reduce á

\[
\lambda = \frac{\operatorname{sen} P b'}{\operatorname{sen} P b}.
\]

Si P dista 90° del medio de \(aa'\) y del medio de \(bb'\), condiciones á las que siempre es preciso someter los arcos OM y ON, tendremos \( \lambda = 1 \), por tanto

\[
\frac{\operatorname{sen} ca}{\operatorname{sen} cb} = \frac{\operatorname{sen} c'a'}{\operatorname{sen} c'b'};
\]

luego, en este caso, los arcos que parten de P dividen á los arcos ab y a'b' en segmentos cuyos senos son proporcionales.

Además

\[
\frac{\operatorname{sen} mb'}{\operatorname{sen} ma'} = \frac{\operatorname{sen} na}{\operatorname{sen} nb} = \lambda = 1;
\]

luego los puntos m y n son homólogos, y los arcos PmA y PBn coinciden.

Si, en el mismo supuesto, el arco móvil pasa por O, será

\[
\frac{\operatorname{sen} Oa}{\operatorname{sen} Ob} = \frac{\operatorname{sen} Oa'}{\operatorname{sen} Ob'}.
\]

10. 6.a Si dos arcos de círculo máximo concurrentes en O se cortan por un arco fijo Paa', y por otro Pcc', móvil alrededor de un punto P del primero, la razón

\[
\frac{\operatorname{sen} ca}{\operatorname{sen} cO} : \frac{\operatorname{sen} c'a'}{\operatorname{sen} c'O}
\]

es constante é igual á

\[
\frac{\operatorname{sen} Pa}{\operatorname{sen} Pa'}
\]

Si P está á 90° del medio de \(aa'\), la constante \( \lambda \) vale 1, los puntos m y n son homólogos, el arco PmA coincide con el PBn, y todo arco que parte de P divide á los arcos Oa y Oa' en segmentos cuyos senos son proporcionales.

Si P estuviese entre a y b, la constante sería negativa; si fuese el medio de \(ab\), sería \( \lambda = -1 \). A y B, ó sea n y m podrían también ser los puntos medios de \(ab\) y \(a'b'\).

11. 7.a Recíprocamente: Si dos arcos concurrentes en O se cortan por otros varios, uno de ellos aa' considerado como fijo, de tal modo que la razón

\[
\frac{\operatorname{sen} ca}{\operatorname{sen} cO} : \frac{\operatorname{sen} c'a'}{\operatorname{sen} c'O}
\]

sea constante, todos los arcos concurren en un mismo punto tal, que la razón de los senos de sus distancias esféricas á a y a' es igual á dicha constante.
El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 9

Llamando P al punto en que el arco \( cc' \) corta al \( aa' \), será

\[
\frac{\operatorname{sen} ca}{\operatorname{sen} cO} : \frac{\operatorname{sen} c'a'}{\operatorname{sen} c'O} = \frac{\operatorname{sen} Pa}{\operatorname{sen} Pa'};
\]

y como sólo el punto P divide á \( aa' \) en esta razón, todos los arcos tales como \( cc' \) pasarán por P.

Si la anterior razón vale 1 ó -1, el punto P estará á 90° del medio de \( aa' \), ó será el medio de \( aa' \).

(Se continuará).

BIBLIOGRAFÍA

Dodgson.—Curiosa mathematica.—Parte I. A new theory of parallels.—London, 1890. Tercera edición.

Hace más de un año cayó en mis manos este librito, y desde luego se me ocurrió hacer sobre él algunas observaciones que hoy formulo. Es, en efecto, sumamente curioso, y su principal mérito estriba en hacer ver la mútua dependencia existente entre el postulado euclídeo referente á las parelalas y ciertas proposiciones sobre áreas. Mas estas proposiciones ofrecen, como aquí me propongo mostrar, las mismas dificultades para ser admitidas. He aquí el porqué:

Supone el autor, como base de su trabajito, que

En todo círculo, el tetrágono regular inscripto tiene área mayor que la de cualquier segmento de los del círculo, que cae fuera de él. Es decir, que el cuadrado ABCD es mayor que el segmento Aa'c'B.

Esta proposición es comprobable experimentalmente y de un modo sencillísimo para los círculos que en la práctica senos presentan. Pero prolonguemos indefinidamente el radio del círculo trazando siempre círculos concéntricos. Entonces, bajo el punto de vista No-Euclídeo, los ángulos de los tetrágonos regulares irían sucesivamente disminuyendo á medida que sus lados aumentasen, ofreciendo la figura una imagen de lo que entonces acon-