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El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 8

de donde

\[
\frac{C'P_1B'}{A'P_1B'} = \frac{P_1C'}{P_1A'} \times \frac{a}{c} = \frac{P_2A'_2}{P_2C'_2} \times \frac{a}{c}
\]

siendo \( A'_2B'_2C'_2 \) el triángulo podar de \( P_2 \) con relación á ABC.

Pero

\[
P_2A'_2 \times a = 2 \text{ área } BP_2C \qquad P_2C'_2 \times c = 2 \text{ área } AP_2B;
\]

luego

\[
\frac{C'P_1B'}{CP_2B} = \frac{C'P_1A'}{CP_2A} = \frac{A'P_1B'}{AP_2B} = \frac{S'}{S} \tag{7}
\]

Siendo iguales las relaciones de las áreas, los puntos \( P_1 \) y \( P_2 \) tienen la misma situación respectiva en \( A'B'C' \) y ABC. Se puede añadir también que \( P_1 \) tiene con respecto á \( A'B'C' \) las mismas coordenadas baricéntricas que \( P_2 \) con respecto á ABC.

Se demostraría de la misma manera que \( P_2 \) ocupa en \( A'_2B'_2C'_2 \) la misma posición que \( P_1 \) en ABC.

APLICACIONES.--Si \( P_1 \) es el centro de gravedad del área del triángulo ABC, \( P_2 \) es el punto de Lemoine, y se tiene la proposición conocida:

El punto de Lemoine de un triángulo es el centro de gravedad de su triángulo podar.

OBSERVACIÓN: No se debe creer que, recíprocamente el centro de gravedad es el punto de Lemoine de su triángulo podar, porque el punto de Lemoine K está definido por la condición de que AK divida á BC en la relación \( b^2 : c^2 \), relación que no es independiente de los lados que se consideran.

8. Sean \( S'_1 \) y \( S'_2 \) las áreas de los triángulos podares de los puntos \( P_1 \) y \( P_2 \), vamos á calcularlas. Siendo \( (x_1', y_1', z_1') \) y \( (x_2', y_2', z_2') \) las coordenadas normales de los puntos \( P_1 \) y \( P_2 \), se tiene:

\[
\frac{C'P_1B'}{S} = \frac{y_1'z_1'}{bc}, \qquad \text{área } BP_2C = \frac{ax_1}{2}
\]

Luego, teniendo presente la fórmula (7)

\[
\frac{C'P_1B'}{BP_2C} = \frac{S'_1}{S} = \frac{2Sx_1'y_1'z_1'}{abc\ x_1'x_2'}, \quad \text{igualmente} \quad \frac{S'_2}{S} = \frac{2S\ x_3'y_3'z_3'}{abc\ x_1'x_3'}
\]

por consiguiente:

\[
\frac{S'_1}{S'_2} = \frac{x_1'y_1'z_1'}{x_3'y_3'z_3'}
\]
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 9

es decir, que:
    Las áreas de los triángulos podares de dos puntos inversos son entre sí como los productos de las tres coordenadas normales de estos puntos.
    Si se hace
        \( x_1 x_2 = y_1 y_2 = z_1 z_2 = m^2 \)
    se tiene:
        \[
        \frac{S'_1 S'_2}{S^3} = \frac{4S x_1 x_2 \cdot y_1 y_2 \cdot z_1 z_2}{a^2 b^2 c^2 (x_1 x_2)^3} = \frac{4S^2 m^3}{a^2 b^2 c^2} = \frac{m^2}{4R^3}
        \]
    Pero según la fórmula (3), si \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \) designan las potencias de \( P_1 \) y \( P_2 \) con relación al círculo circunscrito:
        \[
        \frac{S'_1}{S} = \frac{\omega_1}{4R^2}, \qquad \frac{S'_2}{S} = -\frac{\omega_2}{4R^2}
        \]
    luego:
        \[
        \frac{S'_1 S'_2}{S^2} = \frac{\omega_1 \omega_2}{16R^4} = \frac{m^2}{4R^3}
        \]
    ó bien,
        \[
        \omega_1 \omega_2 = 4m^2 R^2
        \]
    Esta última fórmula permite reconocer fácilmente la posición relativa de dos puntos inversos en el plano del triángulo de referencia. Se reproducirán así los resultados obtenidos por Steiner (Gesammelte Werke, tomo I, pp. 189-210 y por el coronel Mathieu (loc cit).

    (Se continuará).

    TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

    (CONTINUACIÓN)

    Esta nueva geometría de carácter intuitivo, que ofrece á nuestra vista y á nuestra imaginación directamente el objeto, además de constituir un procedimiento gráfico que realiza lo que nuestra mente concibe, fotografiando los objetos y las relaciones que la inteligencia crea mediante su facultad constructiva y combinatoria, tiene el privilegio de ser fuente inagotable de nuevas creaciones, de poder multiplicar el objeto, por ser al mismo tiempo un método general de transformación de las figuras.

    Los procedimientos por los que Monge transforma las figuras del
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

LIGNE D'INTERSECTION
d'une surface de révolution avec un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe.
PAR
M. GEMINIANO PIRONDINI, à Parme

M. Ch. ROBERT, dans une Note insérée aux N. Annales de Mathématiques (année 1890) a démontré le théorème suivant: Étant donnée la courbe C, intersection d'une surface quelconque de révolution S autour d'un axe oz avec un cylindre droit S' ayant pour directrice une spirale logarithmique de pôle O, la transformée de la courbe C, quand on déroule le cylindre, est une courbe appartenant à la même famille que la méridienne C' de la surface de révolution S.

Dans cette Note j'étudie l'intersection d'une surface de révolution avec un cylindre quelconque ayant les génératrices parallèles à l'axe de la surface, et je donne la résolution de plusieurs problèmes importants.

1. Si l'on désigne par s l'arc d'une ligne plane L et par R (fonction de s) le rayon vecteur, joignant l'origine des axes coordonnés à un point quelconque P de L, les équations:

\[
x = R \cos \int \frac{\sqrt{1 - R'^2}}{R} d\sigma, \quad y = R \sin \int \frac{\sqrt{1 - R'^2}}{R} d\sigma
\]

donnent les coordonnées de P exprimées par l'arc s.

En désignant donc par ρ le rayon de courbure de L, on aura:

(1) \[
\rho = \frac{1}{\sqrt{x'^2 + y'^2}} = \frac{R \sqrt{1 - R'^2}}{1 - R'^2 - RR'}
\]

Soient
(2) \[
f(R, s) = o
\]
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tes en número infinitamente creciente en la cual el número de sumandos y la magnitud de cada uno de ellos son variables infinitesimales del mismo orden, cuyas circunstancias pueden expresarse simbólicamente escribiendo dicha suma bajo cualquiera de las dos formas siguientes:

\[
\rho = b \\
\lim_{\Delta x = 0} \sum_{\rho = a}^{\rho = b} \Delta x = b - a \quad \text{o} \quad \int_a^b dx = b - a
\]

de cuyas dos notaciones, la segunda es más usada por ser la más sencilla.

Al límite de una suma como la anterior se llama integral definida de \(dx\) entre \(a\) y \(b\), es decir, que:

Llamamos integral definida, al límite de una suma de sumandos infinitamente decrecientes en número infinitamente creciente, cuando los sumandos y su número son variables infinitesimales del mismo orden; contándose esta suma entre dos valores \(a\) y \(b\) de la variable (cuyas diferenciales sumamos), y que se llaman respectivamente LÍMITE INFERIOR Y LÍMITE SUPERIOR de la integral.

CONTINUIDAD, CON RESPECTO A LA VARIABLE INDEPENDIENTE,
DE LA FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN FINITA, CONTINUA Ó DISCONTINUA CON RESPECTO A LA MISMA VARIABLE.

Consideremos ahora una función cualquiera de \(x\), \(f(x)\), á cuya función primitiva desconocida llamaremos \(y = F(x)\), ó lo que es lo mismo, tal que su derivada sea precisamente \(f(x)\).

Por el teorema de Bonnet sabemos que, siendo \(y = F(x)\),

\[
\Delta y = F(x + \Delta x) - F(x) = F'(x + 0\Delta x). \Delta x = f(\rho + 0\Delta \rho). \Delta x
\]

ó simplemente

\[
\Delta y = f(x). \Delta x.
\]

puesto que \(x\) y \(\Delta x\) son indeterminadas.

Supongamos ahora que \(f(x)\) sea finita para todos los valores de \(x\) comprendidos en el intervalo \((b - a)\). Cuando supongamos que la diferencia de \(x\) pasa á ser infinitamente decreciente, lo que expresamos en la fórmula sustituyendo \(\Delta x\) por \(dx\) (1), el producto \(f(x) . dx = dy\)

(1) Véanse las consideraciones que proceden al Programa de la asignatura de Cálculo infinitesimal del autor.
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será infinitamente decreciente del mismo orden que \( dx \); es decir, que \( y = F(x) \) será función continua para todos los valores de \( x \) comprendidos entre \( a \) y \( b \), conforme al concepto de continuidad de variables.

Si además \( f(x) \) se conserva positiva en el intervalo \( (b - a) \), la \( F(x) \) será constantemente creciente en el mismo intervalo, y si \( f(x) \) es negativa \( F(x) \) será decreciente en dicho intervalo.

Condiciones de existencia del límite de \( \int_a^b f(x) \cdot d.x \)

Siempre que \( y = F(x) \) sea una variable creciente de un modo continuo entre \( y = F(a) \) e \( y = F(b) \), podrá decirse de \( \Delta y \) lo mismo que en un principio queda dicho de \( \Delta x \), y por lo tanto, siendo \( A = F(a) \) y \( B = F(b) \), los valores que la función \( F(x) \), primitiva de \( f(x) \), toma para \( x = a \) y \( x = b \) podrá escribirse como anteriormente

\[
\Delta A + \Delta y_1 + \ldots + \Delta y_n \sum_{x=a}^{x=b} \Delta y = B - A
\]

Supongamos que \( x \) crece á partir de \( x = a \) pasando por los valores \( a; x_1; x_2; \ldots; x_n \) á los cuales corresponden, para \( y \), los valores \( A; y_1; y_2; \ldots; y_n \).

A cada uno de los sumandos de

\[
\Delta a + \Delta x_1 + \ldots \Delta x_n
\]

corresponde igualmente otro determinado en

\[
\Delta A + \Delta y_1 + \ldots \Delta y_n \qquad \Delta y = f(x_n + 0.\Delta x_n) \cdot \Delta x_n
\]

enlazado con los primeros por la fórmula; luego, comparando las dos sumas y suponiendo que las diferencias pasan á ser diferenciales, observamos que el número de sumandos es idéntico en ambas y su orden infinitesimal también, á causa de la continuidad de \( y \) como queda demostrado.

Si \( f(x) \) conservase el signo negativo en todo el intervalo \( b - a \), \( y = F(x) \) sería decreciente en el mismo, ó lo que es lo mismo, la última suma tendría todos sus términos negativos lo cual equivaldría á darles el signo \( + \) y afectar á la suma entera del signo — que corresponde á todos ellos.

Por esta razón siempre que \( f(x) \) conserve un mismo signo (\(+\) ó \(-\))
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 12

en el intervalo \((b - a)\), se puede considerar á \(F(x)\) ó \(y\), como creciente para los efectos de estos razonamientos, sin más que dar á la suma el signo que le corresponda.

Por consiguiente, siempre que la primera suma tenga un límite finito y determinado, la segunda suma también tendrá un límite finito y determinado; puesto que ambas se compondrán de sumandos infinitamente decrecientes en número infinitamente creciente respectivamente del mismo orden infinitesimal, lo cual se verificará siempre que \(x\) sea continua y creciente, y que \(f(x)\) sea finita y conserve el mismo signo en el intervalo \((b - a)\), pudiéndose escribir, conforme á las notaciones convenidas,

\[
\lim_{\Delta y = 0} \sum_{x = a}^{x = b} \Delta y = B - A \quad \text{ó} \quad \int_a^b f(x) \cdot dx = F(b) - F(a)
\]

en cuyas sumas \(f(x)\) representa precisamente uno de los valores que corresponden á los de \(x\) comprendidos en la \(dx\) de cada uno de los sumandos.

El anterior razonamiento demuestra:

1.º Que cuando una función \(f(x)\) es finita y conserva el mismo signo en un intervalo \((b - a)\), la suma de productos \(f(x) \cdot dx\) tiene un límite finito y determinado, lo que se expresa diciendo que dicha función es integrable entre \(a\) y \(b\).

2.º Que el valor del límite de esta suma es igual á la diferencia entre el valor que la función primitiva \(F(x)\) de la propuesta \(f(x)\) tenía para el límite inferior de la variable independiente.

Resulta igualmente.

3.º Que no es indispensable que \(f(x)\) sea continua en el intervalo \((b a)\), como erróneamente se dice en tantos autores.

4.º Que el valor de la integral definida no depende inmediatamente de los valores que la función \(f(x)\) toma entre los límites de \(x\) y sí solamente de dichos límites, que son los que han de sustituirse en \(F(x)\) y

5.º Que tampoco depende de la constante que pudiera atribuirse á \(F(x)\), porque afectaría igualmente á los dos términos de la diferencia \(F(b) - F(a)\) y desaparecería cualquiera que fuese su valor.

Nota.—La \(y\) que figura en las fórmulas anteriores no es, como claramente se ha dicho, el valor de la \(f(x)\), colocada bajo el signo integral, sino su función primitiva.

Al desarrollar la \(F(x)\) puede suceder que sea algo complicada ó
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 13

larga de escribir, y en este caso resulta ventajoso escribir el segundo miembro de la integral definida del modo siguiente

\[
\int_a^b f(x) \cdot dx = \left[ F(x) \right]^b_a
\]

porque de este modo en vez de escribir la \( F(x) \), desarrollada dos veces, una para el valor \( x = a \) y la otra para \( x = b \), solamente se escribe una vez.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Siendo la función primitiva de \( f(x) \) continua con respecto á \( x \) para todos los valores de esta variable para los cuales \( f(x) \) se conserva finita, y verificándose que

\[
\int_{x_1}^{x_2} f(x) \cdot dx = F(x_2) - F(x_1),
\]

resulta con evidencia que la integral definida es función continua de los límites de la misma.

También es evidente que, si M es un factor constante que afecta á la función colocada bajo el signo integral, y teniendo en cuenta la definición de la integral definida, se tendrá

\[
\int_a^b M f(x) \cdot dx = M \int_a^b f(x) \cdot dx.
\]

Cuando \( F(x) \) es múltiple, podrían hallarse muy distintos valores para la integral, según los que tomamos para \( F(a) \) y \( F(b) \). Para evitar confusiones, se entiende que tomaremos para valores de \( F(x) \) los primeros que se encuentran, para los valores \( x = a \) y \( x = b \), cuando hacemos crecer á \( x \) á partir del valor cero.

Por ejemplo, en la integral

\[
\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = arc \cdot sen (1) - arc \cdot sen (0)
\]

se tomarán los arcos 0 y \( \frac{\pi}{2} \), que son los primeros que corresponden á los de \( sen = 0 \) y \( sen = 1 \).
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 14

Dependiendo el cálculo de una integral definida de la terminación de la función primitiva de la propuesta, es evidente que existe entre ambas integrales una relación íntima del mismo género (aunque inversa) que la que tienen entre sí la diferencia y la derivada de una función; porque al tratar de determinar la función primitiva no nos proponemos más que buscar una función de forma determinada y tal, que derivada reproduzca la propuesta, y al calcular una integral definida, tratamos de determinar el valor de la diferencia entre los que toma la función primitiva para los límites de la integral, que es una cantidad variable dependiente de la forma de la función bajo el signo \( \int \) y de los límites de la integral.

INVERSIÓN DE LOS LÍMITES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS.

Siendo como anteriormente P \( f(x) = F(x) \), se tendrá por definición y conforme á lo que la notación significa

\[
\begin{cases}
\int_a^b f(x) \cdot dx = F(b) - F(a) \\
\int_a^b f(x) \cdot dx = F(a) - F(b)
\end{cases}
\]

de donde resulta \( \int_a^b f(x) \cdot dx = - \int_b^a f(x) \cdot dx \);

luego el cambio de los límites de una integral definida equivale al cambio de signo de la misma.

DESCOMPOSICIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA EN SUMA DE OTRAS VARIAS

Siendo una integral definida el límite de una suma de productos de la forma \( f(x) \cdot dx \) para los valores de \( x \) comprendidos en el intervalo \( (b - a) \), claro es que podrá dividirse dicha suma en otras parciales cuyos límites sean dos á dos comunes y estén comprendidos entre los de la propuesta y escribir, siendo \( a < b < c < d \ldots \).

\[
\int_a^d f(x) \cdot dx = \int_a^b + \int_b^c + \int_c^d f(x) \cdot dx + \ldots
\]

Del mismo modo se podrá escribir

\[
\int_a^d f(x) \cdot dx = \int_a^c - \int_c^b + \int_b^d f(x) \cdot dx + \ldots
\]
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 15

en cuyas integrales corresponde el signo \( + \) á las que tienen los límites en su orden natural de magnitud y el signo \( - \) á aquéllas cuyos límites están escritos en orden inverso porque

\[
\int_b^d = \int_b^c + \int_c^d
\]

cuya integral sustituida en la anterior la reduce á la precedente.

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA INTEGRAL DIFINIDA.

Siendo AG la curva correspondiente á la función \( f(x) \), todos los productos \( f(x) \cdot \Delta x \) serán representables geométricamente por áreas de rectángulos que tendrán por base \( \Delta x \) y por altura una ordenada de la curva variable con el valor de \( x \), y comprendida entre \( f(a) \) y \( f(b) \).

En las aplicaciones geométricas se demostrará que el límite de la suma de estos rectángulos es el área de la porción de plano comprendido entre el eje, las ordenadas y la curva y por esta razón se dice que, geométricamente, la integral definida se puede representar por el área de una curva plana.

Esta observación justifica la denominación de cuadraturas dada á la resolución de las integrales definidas, viniendo á ser sinónimas las expresiones de resolver una integral definida ó efectuar una cuadratura.

No es esta, sin embargo, la única representación geométrica que las integrales definidas pueden recibir, puesto que también pueden representarse por la longitud de un arco de curva ó por el volumen comprendido entre una superficie y dos planos paralelos. Pero estas representaciones son menos expresivas y útiles que la relativa al área de una curva plana, y por lo tanto son menos usadas.

CASO EN QUE LA FUNCIÓN BAJO EL SIGNO \( \int \) CAMBIA DE SIGNO PARA VALORES DE \( x \) COMPRENDIDOS ENTRE LOS LÍMITES.

La demostración de que \( f(x) \cdot dx = dy \) es integrable entre los límites \( a \) y \( d \) de \( x \) supone que \( y \) es constantemente creciente desde \( y = F(a) \)
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 16

á \( y = F(b) \), lo que exige que \( dy \) (y por lo tanto \( f(x) \)) sea positiva para todos los valores de \( x \) comprendidos en el intervalo \((d - a)\).

Si \( f(x) \) cambiase de signo en el intervalo considerado, \( dy \) cambiaría en consecuencia de signo, y subdividiendo la suma representada por la integral total entre \( a \) y \( d \), en tantas como fuese necesario para que en cada una de ellas \( F(x) \) fuese constantemente creciente ó decreciente, es decir que \( dy \) (ó lo que es lo mismo \( f(x) \)) no cambie de signo, la integral total se desdoblaría en varias, en las cuales el signo de \( f(x) \) y por lo tanto de \( dy \) fuese constante, y calculando separadamente cada una de estas integrales, la integral será la suma algebraica de las integrales parciales.

La subdivisión de la integral total del modo dicho requiere la determinación previa de los valores de \( x \) comprendidos entre \( a \) y \( d \) para los cuales \( f(x) \) cambia de signo; es decir el conocimiento de las raíces de \( f(x) = 0 \) comprendidas entre \( a \) y \( d \).

Siendo estas, por ejemplo \( b \) y \( c \), se tendrá dividida la suma total en tres partes de las cuales la primera, entre \( a \) y \( b \) y la última entre \( c \) y \( d \), tendrán los sumandos positivos, y la intermedia, entre \( b \) y \( c \), los tendrá negativos, luego deberá escribirse

\[
\int_a^d f(x). dx = \int_a^b - \int_b^c + \int_c^d f(x). dx
\]

para la fórmula que ha de dar el valor de la integral definida en este caso.

Si no se hubiese tomado esta precaución, y se hubiese calculado la integral como si todos los sumandos, cuyo límite de suma representa fuesen positivos, se habría cometido el error que aparece como valor de la siguiente diferencia

\[
\left[ \int_a^b + \int_b^c + \int_c^d f(x). dx \right] - \left[ \int_a^b - \int_b^c + \int_c^d f(x). dx \right]
\]

\[
= 2 \int_b^c f(x) dx
\]

La representación geométrica da una idea perfectamente clara del valor de la integral en ambos casos y de la necesidad de precaverse contra la causa de error mencionada.
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 17

Una función positiva para \( x = a \) y \( x = d \) y que cambia de signo para \( x = b \) y \( x = c \) puede ser representada por la ordenada de la curva del margen. Siendo la ordenada negativa entre \( b \) y \( c \), la representación geométrica de la integral constará de tres partes, de las cuales la intermedia será un área negativa colocada por bajo del eje de las abscisas.

Si no se subdividiese la integral en dichas tres partes, es decir, si las tres se considerasen como positivas, la integral que se calcularía sería el área colocada por encima del eje que está limitada entre \( b \) y \( c \) por la línea de puntos, con lo cual se cometería un error igual al doble de la parte rayada.

TEOREMA DE LA MEDIA

El valor de una integral definida \( \int_a^b f(x).dx \) es igual al producto de la diferencia \( (b - a) \) de los valores de la variable correspondientes á los límites, multiplicada por un cierto valor de la función \( f(x) \), correspondiente á otro de \( x \) comprendido entre los límites.

En efecto, siendo la integral definida el límite de una suma de productos de la forma \( f(x).dx \), su valor será igual (1) al producto del límite de la suma de \( dx \) ó sea \( (b - a) \), multiplicada por un valor de \( f(x) \) comprendido entre el mayor \( M \) y el menor \( m \) de los que dicha función toma para las de \( x \) correspondientes al intervalo \( (b - a) \).

Es decir, que se tendrá

\[
\int_a^b f(x).dx = (b - a).f(\xi) \quad \text{siendo} \quad f(\xi) > m \\
\phantom{\int_a^b f(x).dx} < M
\]

como se quiera demostrar.

(1) Véase la pág. 88 de la Introducción al estudio del cálculo infinitesimal del autor.
El Progreso matemático (1892-05-15 00:00:00), página 18

El teorema anterior tiene una representación geométrica que consiste en observar que el área de la curva dada por la integral

\[
\int_a^b f(x) \, dx
\]

es igual á la de un rectángulo que tiene por base \((b-a)\) y por altura una ordenada comprendida entre la mayor y la menor de la porción de curva comprendida entre los límites \(a\) y \(b\) de la abcisa.

INTEGRACIÓN APROXIMADA DE \( \int_a^b f(x) \, dx \)

Cuando no se conoce la función primitiva de una función \(f(x)\), pero esta es tal que se encuentra comprendida entre los valores de otras dos \(\varphi(x)\) y \(\psi(x)\) para todos los valores de la variable correspondientes al intervalo \((b-a)\), y se pueden integrar \(\varphi(x)\) y \(\psi(x)\), es evidente dada la definición de la integral definida, y puesto que

\[
[\varphi(x) < f(x) < \psi(x)]_a^b,
\]

que \( \int_a^b f(x) \, dx \) estará comprendida entre \( \int_a^b \varphi(x) \, dx \) y \( \int_a^b \psi(x) \, dx \).

Por ejemplo, tratemos de calcular \( \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}} \)

Teniendo presente que para valores de \(x\) menores que 1 se verifica que \( \frac{1}{\sqrt{1-x^3}} \) está comprendida entre 1 y \( \frac{1}{\sqrt{1-x^3}} \), se tendrá

\[
\int_0^{1/2} dx < \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}} < \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},
\]

y puesto que la primera y tercera integral valen respectivamente \( \frac{1}{2} \) y arc. sen \( \frac{1}{2} = 0,5236... \), la propuesta estará comprendida entre 0,5 y 0,5236....