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dar mediante postulados el cálculo, y de él deducir como casos particulares los silogismos.

El eminente lógico alemán Schröder opina que los procedimientos de Peirce se asemejan quizás al de escribir una gramática en el idioma mismo que se pretende enseñar, pues la base de su edificio científico es precisamente el cálculo de proposiciones.

El trabajo de Peirce ocasionó una correspondencia científica con Schröder á propósito de la segunda ley distributiva de la multiplicación lógica, según queda ya relatado al ocuparme de este último lógico (Progreso Matemático núm. 14).

Está unánimemente reconocido por todos que la memoria de que nos ocupamos ha tenido el privilegio de marcar un nuevo camino dentro de la Lógica simbólica y que forma época en la historia de esta ciencia.

Entre tanto, Peirce, lector de Lógica en la Universidad de Johns Hopkins, de Baltimore (por muchos títulos ilustre) había reunido á su alrededor algunos notables discípulos. Gilman, Allan Marquand, Christine Ladd y Oscar Howard Mitchell, publicándose en el año 1883, en Boston por Little, Brown and. C.º, el hermoso librito Studies in Logic by members of the Johns Hopkins University, en el que se colecciona la obra común de maestro y discípulos. Peirce contribuyó á este libro con las siguientes notas.

A theory of probable inference (hermosa exposición de la lógica inductiva).

On a limited Universe of marks.

The logic of relatives (donde en parte se expone lo ya dicho en su otra memoria de igual título, y además se comentan los descubrimientos de Mitchell).

Mitchell por su parte contribuyó con su memoria: On a new Algebra of logic, que en extracto había sido ya publicada en las Johns Hopkins University Circulars. Las ideas de Mitchell, que al crear la teoría de las múltiples dimensiones en Lógica, llegaba á lo que hasta él había sido un imposible, esto es, á enlazar en un cuerpo común de doctrina la lógica de lo absoluto y la de lo relativo, fueron adoptadas inmediatamente con su maestro. Lástima grande que un sabio como Mitchell, de quien tanto podía esperarse, falleciese á los 38 años de edad en Marietta (Ohio) de donde era profesor de matemáticas. Yo no sé si desde 1883 volvió á publicar nada referente á Lógica; sólo conozco algunos trabajos referentes á la teoría de los números.

En el American Journal of Mathematics vol. 7, año 1884, publicó, en fin, Peirce, bajo el título de On the Algebra of Logic, a contribution
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to the Philosophy of notation un resumen completo de sus doctrinas, empleando el descubrimiento de Mitchell bajo una notación diferente de la usada por el inventor. En dicho resumen se señalan más y más las diferencias existentes entre la exposición de las cuestiones lógicas, adoptada por los lóxicos de Baltimore de la adoptada por los sabios alemanes. Los primeros reducen todo con preferencia al cálculo de las proposiciones, los segundos al cálculo de las clases, considerado desde un punto de vista diferente del adoptado por los americanos.

Posterior á lo citado, no conozco nada escrito sobre Lógica, excepto una pequeña nota incluida en el núm. I del American Journal of Psychology y titulada On the logical machines. Otros opúsculos hay anteriores á 1884 del Sr. Peirce, pero yo creo que los más importantes son los que llevo indicados.

Reciba el Sr. Peirce, con las excusas por los errores en que haya incurrido, un testimonio de admiración sincera que desde el otro lado de los mares le envía un extranjero.

Dios quiera que pronto amanezca el hermoso día en que alguien ilumine con un rayo de luz las múltiples cuestiones de la lógica de los relativos.

PROFESOR DR. VENTURA REYES PRÓSPER.

Madrid 3 de Junio 1892.

GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

Algunas propiedades de los triángulos podares y de los círculos de Schoute

POR M. EMILE VIGARIÉ

(CONTINUACIÓN)

9. Sean (X₁, Y₁, Z₁); (X₂, Y₂, Z₂) los ángulos según los que se ven los lados BC, CA, AB desde dos puntos inversos, P₁ y P₂. Se sabe que los ángulos X₁, X₂ satisfacen siempre á una de las cuatro ecuaciones

\[
\tg (X₁ + X₂) \cdot \tg A = 0
\]

Se tendrá, pues, salvo un múltiplo de \( \pi \):

(8)
\[
X₁ + X₂ = A, \quad Y₁ + Y₂ = B, \quad Z₁ + Z₂ = C
\]

Á estas relaciones corresponden otras relativas á los ángulos de los triángulos podares de P₁ y y P₂. En efecto, la comparación de las fórmulas (1) y (2) da:
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 14

\[
2A + A'_1 + A'_2 = X_1 + X_2 = \Lambda,
\]
(9) \(A + A' + A'' = o,\quad B + B' + B'' = o.\quad C + C' + C'' = o.\)

La suma de tres ángulos análogos \(A + A' + A''\), por ejemplo, es, pues, nula, igual á \(\pi\) ó á \(2\pi\), según la manera de contarse los ángulos.

10. La dirección de los lados del triángulo podar de un punto, \(P_1\), es fácil de obtener. Los lados \(B'C', C'A', A'B'\) son, en efecto, perpendiculares á las rectas que unen los vértices del triángulo \(ABC\) al punto \(P_2\) inverso de \(P_1\).

11. Triángulos podares de puntos tripolarmente asociados. - Definición.—M. J Neuberg ha propuesto llamar puntos tripolarmente asociados á dos puntos tales, que los cuadrados de sus distancias á los tres vértices del triángulo de referencia son proporcionales á tres cantidades dadas. Estos puntos, \(P\) y \(P'\) se hallan en línea recta con el centro \(O\) del círculo circunscripto, y son conjugados armónicos con relación á este círculo. Se tiene, pues,

\[
OP \cdot OP' = R^2
\]

Si \(\xi, n, \zeta\) son las coordenadas tripolares de estos puntos, es decir, los cuadrados de las distancias de estos puntos á los tres vértices de \(ABC\), la recta perpendicular al punto medio de \(PP'\) tiene por ecuación baricéntrica

\[
\xi x + n \beta + \zeta \gamma = n
\]

12. Teorema.—Los triángulos podares de dos puntos tripolarmente asociados son inversamente semejantes:

1.º Desde luego, si se consideran los dos ángulos según los que se ve el lado \(BC\) desde \(P\) y \(P'\), su suma algébrica es igual al doble del ángulo \(A\). En efecto, siendo \(OB\), según las fórmulas (10), media proporcional entre \(OP\) y \(OP'\), resulta que la circunferencia \(PBP'\) es tangente á \(OB\); luego

\[
\angle OBP = \angle BPP'
\]

Entonces \(\angle BPP' = \angle BOP + \angle BP'P\)

Igualmente, \(\angle CPP' = \angle COP + \angle CP'P\),

y sumando, \(\angle BPC = \angle BOC + \angle BP'C - 2\Lambda + \angle BP'C\)

Para poner los signos en evidencia, sería preciso escribir:

\[(PB, PC) + (P'B, P'C) = 2\Lambda.\]

Se demostraría fácilmente la generalidad de esta fórmula.
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 15

2.º Sean A'B'C' y A''B''C'' los triángulos podares de P y P''. Las fórmulas (1) dan:

\[
A + A' = BPC, \quad A + A'' = B'P'C.
\]

Y sumando:
\[
2A + A' + A'' = BPC + B'P'C;
\]
pero acabamos de ver que:
\[
BPC + B'P'C = 2A.
\]
Luego
\[
A' = -A''.
\]
Siendo los ángulos de uno de los triángulos podares iguales á los del otro y de signos contrarios, los triángulos son inversamente semejantes.

Se podría llegar á las mismas conclusiones evaluando los lados. Evaluemos las áreas S' y S''. Las fórmulas (3) y (10) dan:

\[
\frac{S'}{S} = \frac{R^2 - OP^2}{4R^2} = \frac{OP(OP' - OP)}{4R^2} = \frac{OP \cdot PP'}{4R^2} = \frac{PP'}{4OP'}
\]

Igualmente
\[
\frac{S''}{S} = \frac{OP' \cdot PP'}{4R^2} = -\frac{PP'}{4OP'}
\]
de donde:
\[
\frac{4}{S} (OP' - OP) = \frac{PP'}{S'} + \frac{PP'}{S''}
\]
De aquí la relación:
\[
\frac{4}{S} = \frac{1}{S'} + \frac{1}{S''}
\]
ó en valor absoluto
\[
\frac{4}{S} = \frac{1}{S'} - \frac{1}{S''}
\]
Esta fórmula permite calcular el área de los triángulos podares de dos puntos tripolarmente asociados.

13. TRIÁNGULOS PODARES DE LOS PUNTOS GEMELOS.—Definición.—
Dado un punto P, si se toman los simétricos de los tres círculos BPC, CPA, APB, con relación á los lados sobre los que se hallan descritos, estos nuevos círculos se cortan en un segundo punto, \( P_o \). Los puntos P, \( P_o \), son puntos gemelos (véase sobre este método de transformación la nota que hemos publicado en el Journal de mathématiques élémentaires, 1891).
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Según esta definición, desde dos puntos gemelos se ven los lados del triángulo de referencia, según ángulos iguales y de signos contrarios (salvo un múltiplo de \( \pi \)).

14. Teorema.- Los inversos de dos puntos gemelos son puntos tripolarmente asociados.

Sean \((X_1, P_1, Z_1)\) y \((-X_1, -Y_1, -Z_1)\) los ángulos, según los que se ven los lados del triángulo de referencia desde dos puntos gemelos. Según las fórmulas (8), desde los inversos de estos puntos se verán los lados de ABC, según ángulos

\[
\begin{cases}
X_2 = A - X_1 \\
Y_2 = B - Y_1 \\
Z_2 = C - Z_1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
X'_2 = A + X_1 \\
Y'_2 = B + Y_1 \\
Z'_2 = C + Z_1
\end{cases}
\]

Aplicando ahora las fórmulas (1) se halla que los ángulos \((A_0, B_0, C_0); (A'_0, B'_0, C'_0)\) de estos triángulos podares son:

\[
\begin{cases}
A_0 = A - X_1 - A = -X_1 \\
B_0 = -Y_1 \\
C_0 = -Z_1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
A'_0 = A + X_1 - A = X_1 \\
B'_0 = Y_1 \\
C'_0 = Z_1
\end{cases}
\]

Teniendo los triángulos \(A_0B_0C_0, A'_0B'_0C'_0\) iguales sus ángulos y de signos contrarios (salvo un múltiplo de \( \pi \)), son inversamente semejantes. Estos son los triángulos podares de dos puntos tripolarmente asociados.

En vez de construir el punto \(P_{n'}\) gemelo de \(P\), según la definición dada arriba, se podrá pues emplear el procedimiento siguiente, debido á M. Schoute (Bulletin de Sciences mathématiques, 1982):

Se toma el punto \(P_4\) inverso de \(P\), después el punto \(P'_2\), tripolarmente asociado á \(P_4\), en fin, el punto \(P_0\) inverso de \(P'_0\). \(P_n\) es el punto gemelo de \(P\).

La relación que liga los puntos gemelos á los puntos inversos y á los puntos tripolarmente asociados, permite hallar fácilmente las relaciones que ligan entre sí sus triángulos podares. No insistiremos más en esto.

Para completar este artículo, tendremos que ocuparnos de los triángulos antipodares, y mostrar cómo, de la teoría de las figuras semejantes, construidas sobre los lados de un triángulo, se puede deducir la teoría de los triángulos podares. Este asunto es demasiado largo para tener cabida aquí; nos ocuparemos de él en el próximo artículo.
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SOBRE UN MÉTODO DE COMPARACIÓN DE LAS RESOLUCIONES GEOMÉTRICAS
POR M. EMILE LEMOINE
ANTIGUO ALUMNO de la Escuela Politécnica.

En 1883 publiqué (Journ. de mathém. élém. de M. de Longohamps, pág. 267) una solución de la cuestión resuelta en EL PROGRESO MATEMÁTICO por D. Ventura Reyes y Prósper (t. II p. 147); y juzgo interesante el comparar aquí las dos soluciones para ofrecer un ejemplo de cómo se puede medir la sencillez de las construcciones geométricas.

Para los lectores que no tengan á su disposición la memoria que publiqué en 1888 en los Comptes rendus de los trabajos de l'Association française pour l'Avancement des Sciences en el Congreso de Oran, ó la que se encuentra en el periódico Mathesis (1888, págs. 217 y siguientes), voy á dar aquí algunas breves indicaciones suficientes para comprender el espíritu del método y para explicarlo. Se la encontrará también sumariamente expuesta en los Comptes rendus de l'Académie de Sciences de Paris, sesión del 16 de Julio de 1888.

Con un compás no se puede hacer mas que las tres operaciones siguientes:

1.ª Hacer coincidir una de las puntas con un punto señalado en el dibujo; yo la llamo operación C₁.

2.ª Colocar la punta en un punto determinado de una línea trazada, á la que llamo C₂.

3.ª Describir el círculo con el compás, á la que llamo C₃, supuesto el círculo trazado por completo, aun cuando solo se utilice una pequeña parte del mismo.

Con una regla se pueden hacer las dos operaciones siguientes:

1.ª Hacer coincidir el borde de la regla con un punto dado; yo la llamo R₁. Si hago pasar el borde de la regla por dos puntos dados, será 2R₁.

2.ª Trazar la recta haciendo resbalar el lápiz ó el tira-líneas á lo largo de la regla; yo la designo con R₂.

De esto se sigue que toda operación hecha con la regla y el compás tendrá por símbolo representativo de las operaciones hechas:

\[
n₁\,C₁ + n₂\,C₂ + n₃\,C₃ + m₁\,R₁ + m₂\,R₂
\]

Esto sentado, suponiendo equivalentes, para simplificar, las operaciones elementales C₁, C₂, C₃, R₁, R₂, llamo coeficiente de sencillez de una construcción al número:

\[
n₁ + n₂ + n₃ + m₁ + m₂
\]
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y coeficiente de exactitud al número \( n_1 + n_2 + m_1 \); porque la exactitud del resultado no depende realmente más que de la precisión de las operaciones preliminares \( C_1, C_2, R_i; n_3 \) y \( m_2 \) serán los números de círculos y el de rectas trazados.

A esto añado que, en cada construcción componente de una solución: trazar por un punto una paralela á una recta, bajar desde un punto una perpendicular á una recta, etc., que se hace para llegar á un resultado geométrico, débese trazar el menor número posible de líneas, y servirse, cuando se puede, de las ya empleadas.

Estudiando sistemáticamente, desde un punto de vista las construcciones elementales dadas desde Euclides en todas las geometrías, se nota con sorpresa que la mayor parte son demasiado complicadas. Véanse dos ejemplos.

I.º Por un punto A trazar una paralela á una recta dada BC.
Véase desde luego la construcción indicada siempre.

Desde A como centro (fig. 1.a), con un radio cualquiera, suficiente para cortar á BC, describo una circunferencia que corta á BC en C: Operación (\( C_1 + C_3 \)).

Desde C como centro, con el mismo radio describo una circunferencia que corta á BC en B: op. (\( C_1 + C_3 \)).

Coloco una punta del compás en B, la otra en A: op. (\( 2C_1 \)).

Describo desde C como centro con esta abertura de compás por radio una circunferencia que corta en D á la primera circunferencia descrita: op. (\( C_1 + C_3 \)).

Uno AD: op. (\( 2R_1 + R_2 \)).

En total: \( 5C_1 + 3C_3 + 2R_1 + R_2 \).

Sencillez: 11. — exactitud: 7. Tres circunferencias y una recta.
Véase ahora otra construcción un poco más sencilla:

Esto es verdaderamente extraordinario para el problema que, desde hace tantos siglos se halla en la base de los procedimientos de construcción.

Desde el punto de A como centro (fig. 2.a) con un radio cualquiera suficiente para pasar de BC, describo una circunferencia que corta á BC en B: op. (\( C_1 + C_3 \)).

Desde B con el mismo radio, describo una circunferencia que corta á BC en C: op. (\( C_1 + C_3 \)).

Desde C como centro con el mismo radio, describo una circunferencia que corta en D á la primera descrita: op. (\( C_1 + C_3 \))
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Uno AD: op. (2 R_1 + R_2).
En total: 3 C_1 + 3 C_3 + 2 R_1 + R_2.
Sencillez: 9, exactitud: 5. Tres circunferencias y una recta.
AD es paralela á BC, porque la figura ABCD es un rombo.
Gano sobre la primera construcción el tomar la distancia AB (figura 1.a) entre las piernas del compás.

2.o Construir una media proporcional entre dos longitudes dadas AB y CD.

Primer procedimiento clásico:

Trazo una recta cualquiera EF op. (R_2) (fig. 3.a). Entre las piernas del compás tomo la longitud AB: op.(2C_1), y llevo esta longitud desde E á G sobre EF, siendo E un punto arbitrario de EF: op. (C_2 + C_3); tomo CD que llevo á continuación de EG en GF sobre EF: op.(3C_1 + C_3).

Tomo el punto medio de EF. Para esto desde E y F como centros con radio suficiente, describo 2 circunferencias que se cortan en H y en I: operación (2C_1 + 2C_3). Uno HI que corta á EF en el punto medio J de EF: op. (2R_1 + R_2). Coloco una punta del compás en J, la otra en E, y describo la circunferencia EKF: op. (2C_1 + C_3).

En G levanto la perpendicular á EF que corta esta última circunferencia en K; para esto, desde G, como centro, describo una circunferencia que corta á EF en L y en M: op. (C_1 + C_3). Desde L y M, como centro, describo dos circunferencias de igual radio que se cortan en N: op. (2 C_1 + 2 C_3).

En fin, uno GK: op. (2 R_1 + R_2). GK es la media proporcional buscada.

En todo: 13 C_1 + 8 C_3 + 4 R_1 + 3 R_2.
Sencillez: 28.—Exactitud: 17.—8 círculos y 3 rectas.

Si se hubiese empleado el segundo procedimiento clásico, fundado en que la longitud de la tangente trazada desde un punto á un círculo es media proporcional entre toda la secante y su parte exterior, etc., se habría obtenido por adiciones análogas:

\[
6R_1 + 4R_2 + 11C_1 + C_2 + 8C_3
\]

Sencillez: 30.—Exactitud: 18.—8 círculos y 4 rectas.

Véase ahora una construcción mucho más sencilla:
Trazo una recta cualquiera GH: op. (R_2) (fig. 4.a).
Sobre GH tomo, á partir de un punto cualquiera E, la longitud EF
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 2

surface de révolution, dont la ligne méridienne est la courbe \( z = f(R) \), soit coupée par le cylindre susdit de manière, que la transformée plane de l’intersection soit égale à la ligne méridienne.

Exemple.—Lorsque la surface est une sphère, on a:

\[
f(R) = \sqrt{a^4 - R^4};
\]

en appliquant l’équation générale (18), on trouve que la sección droite du cylindre coupant la surface est représentée par l’équation:

\[
R^4 - 2 \left[ (p - \sigma \sin \varepsilon)^2 + (q + \sigma \cos \varepsilon)^2 - 2 (p \cos \varepsilon + q \sin \varepsilon)^2 \right] R^4 +
+ \left[ (p - \sigma \sin \varepsilon)^2 + (q + \sigma \cos \varepsilon)^2 \right]^2 - 4 a^2 (p \cos \varepsilon + q \sin \varepsilon)^2 = 0
\]

Le problème est donc résolu dans toute sa généralité.

Cas particulier de l’équation (18).—Supposons que l’on obtienne la transformée plane A dans sa position, en faisant tourner la ligne méridienne L d’un angle droit autour de l’origine des axes coordonnés. On aura:

\[
p = q = 0 \quad , \quad \varepsilon = \frac{\pi}{2}
\]

et l’équation (18) se réduit à l’autre:

\[
f |f(R)| = -z
\]

Si donc la surface de révolution a pour ligne méridienne la courbe représentée par l’équation:

\[
z = f(R) = \frac{R^m}{a^{m-1}},
\]

on obtient pour équation de la section droite du cylindre:

\[
R^{m^2} = -a^{m^2-1} \sigma
\]

Pour \( m = 2 \), la surface est un paraboloïde et la section droite est la courbe représentée par l’équation:

\[
R^4 = -a^3 z.
\]

Pour \( m = \frac{1}{2} \) on obtient la surface engendrée par la rotation d’une parabole autour de la tangente au sommet. La section droite du cylindre est représentée par l’équation:

\[
R = \frac{\sigma^4}{a^2}
\]
El Progreso matemático (1892-06-15 00:00:00), página 20

igual á la menor de las longitudes CD, AB: op. (2 C₁ + C₂ + C₃).

Sobre FG á partir de F y en el sentido EF tomo FG = AB, y sobre EH, á partir de E y en dirección EF tomo EH = AB:
op. (4 C₁ + 2 C₃).

Desde G y H como centros y todavía con el mismo radio AB describo circunferencias que se cortan en I: op. (2 C₁ + 2 C₃).

La distancia EI que no hay necesidad de trazar es la media proporcional buscada.

En efecto. Los dos triángulos isósceles EIF, EHI son semejantes, puesto que el ángulo de la base E le es común, luego:

\[
\frac{EF}{EI} = \frac{EI}{EH} \quad \text{o} \quad \frac{CD}{EI} = \frac{EI}{AB}
\]

(l. q. d. d.)

Se ha obtenido esta construcción por

\[
R_3 + 8 C_1 + C_2 + 5 C_3
\]

Sencillez: 15.—Exactitud: 9.—Una recta y cinco círculos.

Ahora me refiero, en fin, á la solución muy sencilla de expresar, que he dado (loc. cit.) del problema que ha ocupado á D. Ventura Reyes Prósper, y cuyo enunciado es el siguiente:

*Dado un triángulo inscrito en una circunferencia, hallar en ésta un punto tal, que los tres pies de las perpendiculares, bajadas desde este punto á los tres lados del triángulo, se hallen en una paralela á una dirección dada.*

Supongo que, como datos gráficos, no hay sobre el dibujo más que el círculo, el triángulo inscrito y una recta que representa la dirección dada.

Supongamos resuelto el problema (figura 5.a).

Sean A', B', C' los pies de las perpendiculares bajadas desde el punto buscado D á los tres lados BC, CA, AB del triángulo, II el punto de encuentro de las alturas, K la intersección de DH con la recta A'B'C'. Es fácil ver que K es el medio de HD. Luego K pertenece al lugar de los medios de las rectas HD que unen el punto H á un punto variable D de la circunferencia. Este lugar es el círculo de los nueve puntos del triángulo ABC.

Sea I la intersección de AH con A'B'C', K es evidentemente el me-
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dio de A'T; luego K pertenece también á la recta lugar del medio de los segmentos de las rectas paralelas á la dirección dada, segmentos comprendidos entre las rectas CB y AH. K está, pues, determinado por estos dos lugares.

Solución gráfica.
1.º Trazar el círculo de los nueve puntos.
2.º Tomar el medio K' del segmento de la recta que determina la dirección de A'B'C', segmento comprendido entre BC y AH.
3.º Unir K' al pie A₁ de la altura que parte de A; K'A₁ corta al círculo de los nueve puntos en K.
4.º Unir KH que corta al círculo circunscrito á ABC en el punto buscado D.

Para trazar el círculo de los nueve puntos, trazo las dos alturas que parten de B y de A, y que se cortan en H, y uno GH:
op. (6R₁ + 3R₂ + 6C₁ + 6C₃).

Uno CH y hago pasar un círculo por los pies de las tres alturas:
op. (6R₁ + 3R₂ + 5C₁ + 4C₃).

y determino K': op. (2R₁ + R₂ + 2C₁ + 2C₃)

Uno A₁K' que me da K, después HK, que me da D: op. (4R₁ + 2R₂).
En total: 18R₁ + 9R₂ + 13C₁ + 12C₃.
Sencillez: 52 — Exactitud: 31 — 9 rectas, 12 círculos.

Examinemos ahora la solución de D. Ventura Reyes Prósper.
Nos referimos á la figura de la página 147, referente á la misma.
En un punto β sobre AC levanto una perpendicular á AC:
op. (2R₁ + R₂ + 2C₁ + C₂ + 2C₃)

Por β trazo una paralela á la dirección dada y me sirvo del círculo ya trazado desde β como centro cuyo radio he tomado bastante grande para que encuentre á LM, lo que reduce la operación á:
op. (2R₁ + R₂ + 2C₁ + 2C₃).

Por γ levanto una perpendicular á AB: op. (2R₁ + R₂ + 3C₁ + 2C₃).
Uno Az: op. (2R₁ + R₂)
En total: 8R₁ + 4R₂ + 7C₁ + C₂ + 6C₃.
Sencillez: 26 — Exactitud: 16 — 4 rectas, 6 círculos.

Así, con el compás en la mano, esta solución es dos veces más sencilla que la mía; y, sin el análisis que acabamos de hacer de sus dos soluciones, hubiera sido difícil, puede ser, prever tal diferencia; porque en palabras mi solución no exige mayores desarrollos ni aún mayor elegancia. Si esto es así para cuestiones tan sencillas, se ve que la comparación llegaría á ser imposible para el caso de soluciones más complicadas.

Me parece pues indispensable hacer pasar toda solución geomé-
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trica que se desee comparar con otra por el tamiz de este método.

Por lo demás, se notará en seguida que hay dos modos de elegancia geométrica: la de la demostación y la del compás, que, muy frecuentemente no tienen ninguna relación entre sí.

Si no se hubiera tenido en cuenta mas que la primera. Las construcciones diversas por las que se puede determinar cada punto notable en la Geometría del triángulo me han mostrado todo el interés que tiene también el ocuparse sistemáticamente de la segunda. Son, por decirlo así, un nuevo orden de especulaciones geométricas modestas que deben tenerse en cuenta.

NOTA SOBRE LA PROYECCIÓN ESTEREGRÁFICA
POR M. H. BROCARD.

El Traité de Géodésie de FRANCEUR (edic. de 1879) contiene en el § 314 la indicación de una propiedad de la proyección estereográfica de un círculo, que se podrá enunciar así:

Sean D, la distancia del polo del hemisferio proyectado en el polo de un círculo menor de radio esférico \( \Delta \), \( x \) y \( \rho \) los mismos elementos rectilíneos para la proyección estereográfica de estos puntos y líneas. Se tiene la relación

\[
\frac{x}{\rho} = \frac{\operatorname{sen} D}{\operatorname{sen} \Delta}
\]

FRANCEUR llega á esta relación por una demostración bastante larga que me parece puede simplificarse.

Sean, en efecto, en el meridiano PB'BA, que tiene O por centro, BB' el círculo dado, OC'C el plano de la proyección estereográfica (ecuador), A el polo de la proyección, diametralmente opuesto al polo P, E el polo del círculo BB', M el medio de CC'; \( \varphi, \psi \) los ángulos POB, POB'.

\[
OM = x = \frac{OC + OC'}{2},
\]
\[
MC = MC' = \rho = \frac{OC - OC'}{2}
\]
\[
\operatorname{arc} PE = D = \frac{\operatorname{arc} PB + \operatorname{arc} PB'}{2}
\]