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como los concernientes á las superficies desarrollables, á las líneas de curvatura y á las aristas de retroceso, á los diferentes generos de inflexión de las curvas de doble curvatura, á las diferentes familias de superficies, y, por último, la aplicación de la teoría de la curvatura de las superficies á la investigación de las propiedades de la superficie envolvente de una serie de esferas de radio variable, cuyos centros se hallan distribuidos en una curva cualquiera, son nuevos puntos de doctrina que, expuestos en sus Développements de Géométrie, aumentan el caudal de la ciencia matemática, al mismo tiempo que Laplace y Lagrange la hacían extenderse.

La actividad infatigable de Monge, no solo produjo una nueva rama en la ciencia, sino que formó una pléyade de inteligencias matemáticas que habían de encauzarse por las nuevas corrientes, como de ello dieron pruebas sus discípulos Meusnier, Carnot, Poinsot, Dupin, Poncelet, Gergonne, Briot, Brisson y otros muchos que han contribuido á formar el nuevo edificio cuyas sólidas bases echó el gran geómetra.

(Se continuará).

Sobre la teoría de las formas algebraicas.—LEÇONS D'ALGEBRE SUPERIEUR, par G. Salmon

Después de haber transcurrido un largo intervalo de tiempo, desde que se publicó el primer fascículo de tan importante obra, traducido de la 4.a edición inglesa por M. O. Chemin, se han visto satisfechos los deseos de cuantos esperaban con impaciencia su terminación, al ser ya un hecho el haber aparecido el segundo y último fascículo.

Conocido es el éxito, tanto de las obras geométricas, como del notable tratado de Álgebra que la ciencia debe al ilustre profesor del Colegio de la Trinidad de Dublín, por haber contribuido de una manera eficaz á la difusión de las originalísimas teorías cuyo germén se halla en una notable Memoria de Boole (Cambridge Mathematical Journal, 1861), si bien, como dice Salmon en sus notas históricas, Lagrange dió la primera idea de invariación (Mémoires de Berlin 1773, p. 265) del discriminante de la forma cuadrática \( ax^2 + 2bxy + cy^2 \), cuando se reemplaza en ella x por \( x + \lambda y \), así como Gauss en sus Disquisitiones arithmeticae estudió la transformación lineal general en su aplicación á las formas cuadráticas binarias y ternarias, debiéndose el desarrollo
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de esta moderna teoría principalmente al matemático Cayley, de cuyas numerosas Memorias publicadas en Philosophical transactions tienen conocimiento cuantos se dedican á los estudios matemáticos.

Estas ideas, cuya propiedad pertenece á los matemáticos ingleses, por más que pueda llevarse su origen, como se ha indicado, á los trabajos de Gauss sobre las formas cuadráticas, hallaron eco entre los geómetras del continente, y gracias á la constancia y asiduidad de talentos matemáticos como Hermite, Aronhol, Clebsch, Brioschi y otros, han llegado á constituir un cuerpo de doctrina que ha aumentado el campo de la Geometría de igual modo que el del Análisis.

En pugna la nueva Geometría que fundaron y organizaron los Monge, Poncelet, Chasles y Staudt, según nuevos métodos, con el antiguo método cartesiano, parecía éste amenazado de quedar en lugar secundario ante el rápido progreso de aquélla, cuando hasta principios del siglo actual había tenido una preponderancia indiscutible.

La Geometría moderna poseía métodos propios que permitían acumular el número de sus verdades y de relaciones entre los elementos de la extensión. La dualidad, la correlación y la homografía dilataban de un modo asombroso sus horizontes, y el método cartesiano se iba reduciendo á ser un medio de verificar y generalizar los resultados de la primera. Era, pues, necesario que por un progreso correlativo llegase también á poseer, como la Geometría superior, métodos propios y eficaces para conducirla á teoremas nuevos, á verdades y relaciones geométricas, y este fin lo han realizado los descubrimientos de Boole, Cayley y Sylvester, cuya difusión es debida, muy principalmente, al talento propagandista del profesor Salmon.

El nuevo algoritmo, que pudo considerarse como constituido definitivamente con un carácter y circunscripción propios, desde el momento en que Cayley determinó la existencia de otras funciones, que además del discriminante poseían la propiedad de invariación, por efecto de una transformación lineal, se extiende lo mismo por los dominios del Análisis que por los de la Geometría, y no es de extrañar que la obra de que tratamos se refiera á estos dos puntos de vista relacionados también con las obras geométricas del mismo autor.

Ya se sabe que forma, en la nueva álgebra, es una expresión algébrica racional entera y homogénea, que toda función de los coeficientes de una forma que no cambia de valor, cuando los coeficientes varian por efecto de una sustitución lineal hecha en sus variables, es un inva-
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riante absoluto de dicha forma, siendo invariante relativo ó simplemente invariante, cuando el nuevo valor solo difiere del primitivo por una potencia del módulo de la sustitución. Así, por ejemplo, ac—b² es un invariante de la forma cuadrática binaria

ax² + 2bxy + cy²;

porque haciendo la sustitución lineal

x = pX + qY, y = p'X + q Y,

los nuevos coeficientes de la función de X e Y á que la propuesta se reduce, son:
A = ap² + 2bpp' + cp'², B = apq + b(pq' + p'q) + cp'q', C = aq² + 2bqq' + cq'²,
y la expresión AC — B², después de efectuadas todas las reducciones, resulta igual á (pq' — p'q)² (ac — b²)

Si la función arriba considerada es, no solo de los coeficientes, sino también de las variables de la forma, se llama covariante, cuando satisface á la relación

φ(A,B · X,Y, ) = ΔP φ(a,b x,y )

El contravariante es un covariante que, en lugar de las variables x, y, de la forma propuesta, contiene otras variables ξ,η, que se hallan transformadas al mismo tiempo que las propuestas, pero por sustitución inversa, es decir, que se hará

x = px' + qy' + ..., y = p'x' + q'y' + ...
y ξ' = pξ + qη + ..., η' = p'ξ + q'η +

No citaremos otro género de formas que además de éstas, como por ejemplo, los divariantes ó covariantes mixtos, el hessiano, etc., son objeto de la obra de Salmon.

Estas formas, como hemos dicho, tienen sus correspondencias geométricas. Así, un invariante de una forma ternaria ó cuaternaria es en geometría una función de los coeficientes, cuya reducción á cero expresa alguna propiedad de la curva ó de la superficie independiente de la elección de ejes, como por ejemplo, la existencia de un punto doble. Un covariante representa otra curva ó superficie cuyos puntos tienen con la curva ó superficie dada alguna relación independiente de la elección de ejes. El resultante de un sistema de ecuaciones, igualado á cero, indica que las curvas correspondientes deben pasar por un punto común.

La reducción á cero del discriminante de la ecuación de una curva ó de una superficie expresa la condición necesaria para que esta curva ó superficie tenga un punto doble en Geometría plana, si x, y, z
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representan las coordenadas trilineales de un punto, y x \( \xi + y \eta + z \zeta = 0 \) la ecuación de una recta, \( \xi, \eta, \zeta \) pueden llamarse las coordenadas tangenciales de ésta, y se observa que, cuando las coordenadas de un punto se transforman por una sustitución lineal, las coordenadas tangenciales de una recta se hallan transformadas por sustitución inversa, como en la Geometría del espacio las coordenadas tangenciales de un plano y las de un punto se transforman por sustituciones inversas.

También es ya muy conocido el empleo que la nueva Álgebra hace de los métodos simbólicos de tal modo, que se emplean los símbolos de operaciones como si fueran simplemente cantidades.

Ejemplo de ello es el método de Cayley para la formación de invariantes y de covariantes, reducido á que, si se dan varias formas U, V, W, ..., podemos escribir las variables x, y, ... de u con el indice 1, las de v con el índice 2, y efectuar en seguida en ellas la operación expresada por el símbolo

\[
\frac{d}{dx_1} \frac{d}{dy_2} - \frac{d}{dx_2} \frac{d}{dy_1},
\]

ó por una potencia de este símbolo, que representa Cayley por \( \overline{12} \), para el caso de dos variables, ó en general por \( \overline{12}^a, \overline{23}^b, \overline{31}^c \), si las funciones tienen dos, tres, ... variables.

Este procedimiento, modificado por Aronhold y Clebsch, se halla reducido á sustituir \( x_1, x_2, x_3 \) ... por x, y, z, ..., afectando los coeficientes con los índices correspondientes á las variables á que multiplican. Así, las formas ternarias de tercero y cuarto grado se hallarán designadas por las notaciones \( \Sigma_{i j k l} x_i x_k x_l \), \( \Sigma_{i j k l m} x_i x_k x_l x_m \), pudiendo recibir los números i, k, l, m los valores 1, 2, 3, 4, y debiendo verificarse en esta notación que \( a_{i j k l} = a_{i k j l} = a_{i j l k} = \ldots \), etc.

También, para obtener un invariante de un sistema de dos formas \( ax^n + \ldots, a' x^n + \ldots \), cuando se conoce un invariante de la primera, se efectúa sobre ésta la operación \( a' \frac{d}{da} + b' \frac{d}{db} + \ldots \), y para obtener el primero, segundo, tercero, ... emanante, se efectúa sobre ella la operación

\[
\left( x' \frac{d}{dx} + y' \frac{d}{dy} + \ldots \right)^p
\]

Estas indicaciones revelan suficientemente el carácter simbólico del Álgebra de las formas, hoy bastante conocida, para que esto nos evite el entrar en más detalles.
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Ahora vamos á indicar brevemente algunas de las mejoras de más importancia que se encuentran en la última edición de la obra en cuyo examen nos ocupamos.

Disfundidas hoy las ideas de esta nueva rama de la Matemática hasta el punto de haberse hecho generales aplicaciones, tanto al Análisis como á la Geometría, y de constituir uno de los asuntos más frecuentemente desenvueltos en libros y publicaciones, en la última edición ha creído el traductor indispensable dar á conocer muchas de las cuestiones suprimidas en la anterior y todo lo nuevo, que no es poco, agregado por el profesor Salmon, á quien se debe una vez más la vulgarización de los más notables resultados que han extendido los límites de la nueva Álgebra.

Entre las innovaciones más importantes se halla la exposición de los determinantes simétricos y gauchos simétricos, objeto de la Lección 5.ª, cuyos elementos conjugados son iguales dos á dos (\(a_{rs} = a_{sr}\)) ó iguales y de signo contrario, determinantes que tienen nulos los elementos de la diagonal principal, por ser ellos sus propios conjugados, demostrando que, un determinante simétrico gaucho es un cuadrado perfecto, refiriendo el cálculo de los determinantes simétricos gauchos al cálculo de las funciones llamadas por Cayley determinantes gauchos, en las que los términos principales \(a_{ii}, a_{kk}, \ldots\) no son nulos, exponiendo cómo este geómetra ha aplicado la teoría de los determinantes gauchos á la teoría de las sustituciones ortogonales, es decir, tales que se tenga

\[
x^2 + y^2 + z^2 + \ldots = X^2 + Y^2 + Z^2 + \ldots,
\]

y que se pueden obtener los coeficientes de una transformación ortogonal en función de \( \frac{1}{2} n(n-1) \) variables independientes.

Otra de las adiciones, verdaderamente importante, que se observa en la última edición de la de Salmon es la de la lección diez y seis, dedicada á los sistemas de funciones. En ella se trata del combinante de un sistema de formas ó sea, un invariante que no altera (salvo un factor), no solo cuando se verifica en las variables una transformación lineal, sino cuando se reemplaza una cualquiera de las formas por una función lineal de las mismas. Esto conduce á que, suponiendo dos funciones binarias \(u\) y \(v\) del mismo grado, la forma \(u + kv\), en la cual se da á \(x\) diferentes valores, representa un sistema de formas que constituye una involución con \(u\) y \(v\), y haciendo \(y = 1\) en una cualquiera de las formas, representará \(n\) puntos situados en el eje de la \(x\), y como en \(2(n-1)\) casos, dos de los puntos \(n\) representados por \(u + kv\) coinciden,
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resulta que la involución tiene 2 (n−1) puntos dobles, é igualando á cero el jacobiano de u y v, se obtienen los 2 (n−1) puntos de la involución determinada por u y v, así como para una forma cúbica ternaria el jacobiano de u, v, w es el lugar de los puntos dobles de todas las curvas del sistema u+kv+lw que tienen puntos dobles, sucediendo lo mismo para las formas de un número cualquiera de variables.

Cuando (x−α)^3 es factor de u+kv+lw, x−α será factor en las tres derivadas segundas

u_{11}+kv_{11}+lw_{11}=0,\quad u_{12}+kv_{12}+lw_{12}=0,\quad u_{22}+kv_{22}+lw_{22}=0,\quad y\ eliminando l y k, x=x satisfará á la ecuación

\[
\begin{vmatrix}
u_{11} & v_{11} & w_{11} \\
u_{12} & v_{12} & w_{12} \\
u_{22} & v_{22} & w_{22}
\end{vmatrix}=0
\]

que da los puntos simples del sistema u+kv+lw.

Otras importantes aplicaciones geométricas se encuentran en la misma lección. Investigando lo que corresponde á los resultados obtenidos en el caso de las formas binarias, á las formas ternarias y cuaternarias, se llega á establecer que el discriminante de u+kv contiene un factor elevado al cuadrado cuando las curvas representadas por u y v son tangentes entre sí, además el discriminante contendrá un factor elevado al cuadrado, si u tiene un retroceso ó dos puntos dobles.

Esto conduce á la consideración del tact-invariante ó condición para que dos curvas sean tangentes, cuestión expuesta en la Analytic Geometry of three dimensions y á la teoría general de la clase de invariantes llamada por Sylvester osculantes.

De dos formas ternarias que geométricamente representan dos curvas se obtiene, eliminando una variable, una forma binaria que corresponde á los puntos de intersección de aquéllas, y recíprocamente, podemos suponer una forma binaria deducida de un sistema de dos formas ternarias, haciendo

X=\varphi(xy),\quad Y=\psi(x,y),\quad Z=\chi(xy).

En el caso particular de ser la transformación lineal X=x^2,\quad Y=2xy,\quad Z=y^2, por la eliminación de x é y se obtiene la relación determinada 4XZ−Y^2=0, y operando esta transformación, por ejemplo, en la forma cuadrática binaria ax^2+2bxy+cx^2, ésta queda reemplazada por el sistema aX+bY+cZ y 4XZ−Y^2 que representa geométricamente los dos puntos de intersección de una recta y una cónica, y como el discriminante de una ecuación algebraica igualado á cero expresa la
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condición necesaria para que esta ecuación tenga raíces iguales, correspondiendo á un punto doble de una curva ó de una superficie, en este caso la recta será tangente á la cónica, y cuando se trate de un sistema de dos formas cuadráticas, el invariante del sistema binario ac' + ca' + 2bb', que es también un invariante del sistema ternario igualado á cero, expresa que las rectas son polares armónicas con respecto á la cónica.

También tiene considerable aumento la décima séptima lección, que trata de las Aplicaciones á las formas binarias.

La resolución de la ecuación de 4.º grado ofrece importantes simplificaciones tomadas de los últimos trabajos de Cayley y Burnside, hallándose desarrolladas las consideraciones de este último sobre la identidad de la teoría de la cuártica con la de dos secciones cónicas. En fin, los últimos resultados debidos al matemático Sylvester, acerca del criterio de las raíces reales de las ecuaciones de 5.º grado, á M. Hermite sobre las condiciones de realidad de las raíces por la aplicación del teorema de Sturm á una forma tipo á que es reducible la quintica, considerables desarrollos acerca de la forma de 6.º grado y los últimos capítulos destinados al orden de los sistemas de ecuaciones sometidas á restricciones y á la aplicación de los métodos simbólicos, constituyen un caudal de doctrina con que se ha enriquecido la última edición de la obra del profesor Salmon.

SOBRE LA TEORIA DE LOS NUMEROS

Prolegómenos de Aritmética universal, por D. Cecilio Giménez Rueda

Desde que en el año 1844 publicó Grassmann su célebre obra Die Ausdehnungslehre (tratado de la extensión), la teoría de los números, que sobre tan firme base estableció Gauss, se encaminó por nuevos derroteros que la habían de conducir á organizarse con caracteres especiales donde predominaran las leyes combinatorias del cálculo. Grassmann, considerando la Matematica como el tratado de las formas ideales producidas por la inteligencia, distinguió las formas algebraicas de las formas combinatorias, resultantes respectivamente de la igualdad y de la desigualdad, refiriéndose la primera á la forma y la última á los elementos de la generación. Así, pues, divide las formas
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discretas en número y combinación, siendo la forma discreta combinatoria la reunión de lo tomado como igual y la combinación el conjunto de lo tomado como diverso, de donde resulta la ciencia de lo discreto dividida en la ciencia del número y de la combinación. De igual manera la forma permanente, ó sea la magnitud, resulta dividida en forma permanente algebraica ó magnitud intensiva y forma permanente combinatoria, originadas respectivamente, como se dijo, por la igualdad y la desigualdad.

Considerando Grassmann las magnitudes de un modo muy general, ó las formas enlazadas, adopta como signos de enlace, no los de las operaciones conocidas, sino los siguientes \( \wedge, \vee \) que expresan dos modos de relacionarse inversos, y llega á un cálculo puramente formal de las magnitudes, á una ciencia que trata de un modo completamente general de magnitudes abstractas, cuyas imágenes concretas son las figuras del espacio (líneas, superficies, cuerpos), y que al considerarse geométricamente tienen una representación concreta.

Hankel, uno de los más caracterizados continuadores de este orden de ideas, estableció su principio de la permanencia de las leyes formales considerando objetos mentales ó relaciones de objetos que pueden imaginarse enlazados de una manera puramente conceptual ó formal, y á la vez, como resultado del enlace, una nueva relación que por poderse tomar en lugar de los anteriores, en cuanto se hallan relacionados para toda deducción ulterior, suele considerarse como idéntica al mismo.

Si dicho enlace se verifica de un modo ordenado ó regular y sometido á ciertas reglas, se comprende desde luego que, entre los resultados de los diferentes enlaces, pueden tener lugar nuevas relaciones, consecuencias de las primitivas, y pueden ser deducidas de éstas como consecuencias lógicas completamente independientes de la naturaleza de los objetos enlazados. Así, pues, al definir las reglas de los enlaces puramente formales, esto es, de las operaciones que se practican con los objetos mentales, queda á nuestro arbitrio la definición, con solo establecer una condición esencial, á saber, que no debe existir implícitamente ninguna contradicción lógica; y para quedar convencidos de que no puede existir ninguna contradicción lógica en cualquier conjunto, debemos formular las leyes tan independientes entre sí, que ninguna de ellas afecte á las otras. Además, añade Hankel, para no caer en lo abstruso al establecer tal sistema de operacio-
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nes, hay que someterlas á reglas formales tales, que en ellas se encuentren contenidas las operaciones actuales con objetos reales y con los números que expresan sus relaciones, pudiendo servir como base la Aritmética general, todo lo cual implica el principio de la permanencia de las leyes formales: si dos formas expresadas por signos generales de la Aritmética general son iguales entre sí, también seguirán siendo iguales cuando los signos cesan de representar magnitudes simples, y por tanto, también las operaciones llegan á referirse á otro contenido cualquiera.

No insistiremos en desarrollar los principios de esta rama especial de la Matemática, cuya importancia se ha elevado á alto grado por efecto de los trabajos de Boole en la lógica algébrica, los de Hamilton, Peirce y otros sobre el cálculo formal que divulgó el notable profesor Houël en su Théorie élémentaire des quantités complexes y hasta en su introducción á su Cours de calcul infinitésimal. Si hemos insistido acaso demasiado en las ideas fundamentales que se encuentran en las obras de Grassmann y Hankel, es porque hoy constituyen los fundamentos ó puntos de origen de cuantos tratados se escriban sobre la teoría de los números. Entre éstos, seguramente que la obra del matemático alemán Stolz es uno de los más apreciables y dignos de ser estudiados.

El doctor D. Cecilio Giménez Rueda ha acometido la loable empresa de ofrecer al público un resumen de la teoría de los números, con el título de Prolegómenos de Aritmética universal, y ha mostrado gran acierto en elegir, entre otras direcciones, como dice en su prólogo, el plan seguido por el sabio profesor de la Universidad de Innsbruck; pero no se ha limitado á seguir dicha obra en sus puntos capitales, sino que con propio criterio ha sabido dar unidad, claridad y sencillez á la exposición de la ciencia de los números, demostrando al propio tiempo que posee un recto criterio en el modo de apreciar muchas cuestiones concernientes á la enseñanza y exposición de la Matemática, y en particular relativas á conceptos erróneos ó mal definidos y que se han ido transmitiendo por costumbre inveterada, tanto en los libros como en las aulas.

En efecto, los conceptos de magnitud, de cantidad y de número se confunden con bastante frecuencia; y la definición de cantidad, lo que puede sufrir aumento ó disminución, se presta á una interpretación inexacta; se nota la falta de precisión en algunos tratados, cuando se