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El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 23

6. Le coniche della terna (*)

\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + z^3 = 0 \\
r x^2 + r^2 y^2 + z^3 = 0 \\
r^2 x^2 + r y^2 + z^3 = 0 .
\end{array} \right.
\]

(9)

sono tali, come è noto e può d'altronde verificarsi agevolmente, che polarizzandone una qualunque rispetto ad un'altra della terna medesima si ottiene la rimanente: ne segue che ognuna delle (9) è la conica covariante fondamentale del sistema formato dalle altre due. Si ricorda poi facilmente che ognuna delle (9) è anche la conica contravariante del sistema formato dalle altre due: infatti la conica contravariante del sistema formato dalle altre due: per es: dalle prime due è rappresentato, in coordinate tangenziali, dalla equazione

\[
r X^2 + r^2 Y^2 + Z^3 = 0
\]

ossia, in coordinate trilineari, da

\[
r^2 x^2 + r y^2 + z^2 = 0.
\]

Le (9) son dunque tali che ad ognuna di esse può inscriversi un triangolo circoscritto alle altre due; una qualunque di esse è il luogo dei punti d'onde le tangenti condotte alle due rimanenti formano un fascio armonico, ed è anche lo involuppo delle rette che segano le altre due in quattro punti armonici: in altre parole ognuna delle (9) è, pel sistema delle altre due conica dei quattordici elementi del Battaglini (**). Aggiungasi che le coniche della terna (9) segansi due a due in quattro punti di un gruppo equianarmonico sopra entrambe (**); le (9) sono dunque a due a due coniche equianarmoniche. Da quanto precede possiamo dunque concludere che una conica della terna (5) una della quaderna (6) e la polare reciproca dell'una rispetto all'altra, formano una terna (9).

7. Che i sistemi costituiti da una conica (5) e da una (6) sien tali che a ognuna delle due coniche può inscriversi un triangolo circoscritto all'altro, è facile il verificarlo anche con considerazioni di Geometrie pura assai semplici. Consideriamo per es: la coppia di coniche \( C_0^* K_0^* \): la \( K_0^* \) è per costruzione inscritta sul triangolo fondamentale

(*) Cfr. Rosanes. Dissertatio inaug. p. 12-18. e N. F. loc. cit. p. 737-748.
(**) Sulle forme termarie quadratiche. Mem. II. pag. 18.
(***) Salmon-Tiedler loc. cit. pag. 636.
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XYZ, conjugato á \( C_0^2 \), basta dunque dimostrare che havvi un triangolo circoscritto a \( C_0^2 \) e conjugato a \( K_0^2 \); a quest'oggetto osserviamo che le due tangenti condotte da X alla \( C_0^2 \) sono i raggi doppi della involuzione quadratica definita dalle due coppie di raggi conjugati y, z e \( a, a' \) e segando questa involuzione di raggi con la tangente \( r_1 \), abbiamo la involuzione definita dalle due coppie di punti conjugati B, C e \( A_1, A' \) i cui punti doppi, che denoteremo con (X), (X)* formano con X un triangolo circoscritto a \( C_0^2 \). Ma X è polo di \( r_1 \) rispetto a \( K_0^2 \) e i due punti doppi (X), (X)* conjugati armonici rispetto a B, C, son conjugati rispetto á \( K_0^2 \), dunque il triangolo X(X)(X)* è conjugato á \( K_0^2 \) e circoscritto a \( C_0^2 \). Da quanto precede e dalle (8) risulta subito che a ognuna delle due coniche \( C_0^2, K_0^2 \) può inscriversi un triangolo circoscritto all'altra, ma si verifica anche geometricamente così: il triangolo \( r_1 r_2 r_3 \) è per costruzione circoscritto a \( C_0^2 \) ed inscritto in \( K_0^2 \); basterà dimostrare che havvi un triangolo circoscritto a \( K_0^2 \) e inscritto a \( C_0^2 \): a quest'oggetto osserviamo che le due tangenti condotte a \( K_0^2 \) da \( A_1 \), punto di contatto della \( r_1 \) con \( K_0^2 \), sono i raggi doppi della involuzione definita dalle due coppie di raggi conjugati \( a, r_1 \) e \( a_{12}, a_{13} \) e segano percio il lato \( x \) del triangolo fondamentale nei punti doppi della involuzioni definita dalle due coppie di punti conjugati A, A' e Z, Y; se-indichiamo con (A) (A)* questi punti doppi, il triangolo \( A_1(A)(A)^* \) è dunque circoscritto a \( K_0^2 \); ma A ed A', Y e Z sono evidentemente coppie di punti conjugati rispetto a \( C_0^2 \) dunque i punti doppi (A)(A)* sono le intersezioni di \( C_0^2 \) con \( r_1 \) e il triangolo \( A_1(A)(A)^* \) è circoscritto a \( K_0^2 \) e inscritto in \( C_0^2 \).

8. Non sarà inutile il dimostrare con la pura Geometria la proprietà della terna (9) enunciate al § 6. Se le due conique S ed S' son tali che ad ognuna di esse può inscriversi un triangolo conjugato rispetto all'altra, ogni retta seguente S e S' in quattro punti armonici ha il suo polo, rispetto a una delle due coniche SS', situato sull'altra: sia \( r \) la retta e seghi S nei due punti BC' conjugati armonici rispetto ai due punti B'C' in cui sega S'; detto A il polo di \( r \) rispetto a S', il triangolo ABC è conjugato rispetto a S' e se PQR è un'altro triangolo inscritto in S e conjugato a S' i 6 punti ABCP'QR sono in una conica e percio A giace su S. Analogamente si vede che il polo A' di \( r \) rispetto a S, giace sopra S', e ne segue subito che la polare reciproca di S rispetto á S', che denoteremo con S_0, coincide con la polare reciproca di

(1) Altrimenti: poiché \( a' \) e \( x \) sono una coppia di rette reciproche rispetto á \( C_0^2 \), la conica conjugata a \( C_0^2 \) rispetto al punto (\( a'x \)) ... A' sega la \( x \) nei due punti Y e Z ecc.
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S' rispetto ad S, e che \( S_0 \) è lo involuppo delle rette seganti S ed S' in quattro punti armonici. Correlativamente: se dal polo di una tangente arbitraria di S (di S') rispetto a S' (ad S) si conducono le tangenti alle due coniche SS', queste tangenti formano un fascio armonico: la \( S_0 \) è dunque anche il luogo dei punti d'onde conducendo le tangenti a SS' si ha un fascio armonico.

(Se concluderà).

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase t. II págs. 195-207, y t. III, 171-210).

§ 4.º—MÉTODO DE LAS FORMAS ARMÓNICAS DE STAUDT.

52. Con la publicación de la Geometrie der Lage en 1847 el célebre geómetra Staudt, profesor de la Universidad de Erlangen, consiguió dar á la Geometría un método novísimo de exposición, el método más directo y natural que ha podido concebirse, aun en mayor grado que el de Euclides, puesto que prescindiendo de toda intervención del concepto de magnitud y de medida, las relaciones geométricas resultan de la inmediata consideración de los elementos geométricos punto, recta y plano, que combinándose sin necesidad de términos medios extraños (que hemos visto empleados con prodigalidad en el método de la Geometría euclídea), conducen por sí á la formación del organismo geométrico.

Este método es eminentemente intuitivo; en su desarrollo, la inteligencia se encuentra siempre en relación inmediata con el objeto que no se aparta un momento de su mirada, que es percibido tal cual es, sin quedar jamás representado por símbolo alguno correspondiente; y por efecto de esta relación íntima e inmediata, hasta se pueda prescindir, como lo hacía Staudt, del empleo incidental ó auxiliar de figuras, pues basta, en efecto, que nuestra imaginación, en conformidad con nuestro modo de pensar, según las leyes de nuestro organismo intelectual, represente directamente las relaciones que establece nuestro entendimiento, conduciéndonos así por una serie de intuiciones en las que el objeto de nuestro pensamiento se halla siempre presente mediante una determinación puramente racional.

Prescindiendo de la división tan universalmente seguida como injustificada de la Geometría en plana y del espacio, considera desde luego el objeto ó ente geométrico distribuído en tres especies de for-
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mas, de tal manera graduadas, que cada una contiene en su mayor extensión todas las de especie inferior. Así la forma de segunda especie ó sistema plano contiene dos elementos, el punto como centro ó sostén de haces de rayos y la recta como sostén de sistemas de puntos ó punteadas, presentando desde luego la dualidad en la generación de las entidades geométricas, forma á la que corresponde en el espacio la radiación llamada Gerbe por los alemanes y franceses, stella por los italianos, y que comprende en sí haces de rectas y de planos que tienen por apoyo un punto, como los sistemas de haces de rectas y punteadas tienen por apoyo un plano, presentándose así la dualidad en el espacio, entre el punto y el plano; y de esta manera se llega á la forma de tercera especie ó el espacio que además de contener las radiaciones (compuestas de rectas y de planos) y los sistemas planos compuestos de centros de rayos y de punteadas, contiene por consiguiente la infinidad de haces de rectas y la infinidad de punteadas que existen en cada una de las formas de segunda especie.

Para completar esta unidad, bajo la que se encuentran coordinados y subordinados los elementos geométricos, Staudt consideró los elementos en el infinito, consiguiendo así dejar aquélla completamente establecida, de manera que permitiera la enunciación de las proposiciones con una generalidad absoluta, sin dar lugar (como en el sistema euclídeo ocurre con el caso de las rectas paralelas), sin excepción alguna. Así, una recta tiene su dirección como un plano su orientación (*); y si todas las rectas de igual dirección tienen un punto impropio común (punto en el infinito), todos los planos de igual orientación tienen una recta impropia común (recta en el infinito); y todos los puntos y rectas impropios correspondientes á todas las direcciones y orientaciones posibles, se hallan en el elemento impropio del espacio, ó sea el plano en el infinito.

Presentado el objeto en toda su variedad y dependiente de la unidad que lo contiene, para establecerse las relaciones que enunciadas en proposiciones han de constituir la ciencia, emplea Staudt dos procedimientos recíprocos el uno del otro, á saber: la proyección y la sección que permiten pasar por orden ascendente ó descendente de unas formas á otras; y aplicado el procedimiento á cada caso particular se pasa de una figura á otra mediante un encadenamiento conveniente de proyecciones y de secciones intermedias, de manera que los elementos tengan entre sí una correspondencia unívoca mediante la cual pueda pasarse siempre de un elemento determinado á otro

(*) Conforme la traducción que da el Sr. Torroja á la palabra alemana. (Geom. descrip.)
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también determinado, y de éste á aquél por un orden progresivo ó regresivo. Así, por ejemplo, todos los semi-rayos de un haz determinan todas las direcciones posibles de una recta que pase por su centro, como todos los semi-planos de un haz de planos determinan todas las orientaciones de los planos que pasan por la recta común; y cada recta de aquél sobre una recta situada en su plano determina uno de sus puntos, incluso el impropio, que corresponde á la recta paralela, de igual modo que cada plano del haz de planos determinará sobre un plano no perteneciente al haz, un haz de rectas que se corresponden exactamente con cada plano.

Hay que observar en este sistema geométrico una circunstancia capital, y es que la admisión de la infinitud de la recta, postulado en virtud del que la visual de ésta resulta como correspondiendo á un ángulo plano, lleva á admitir la existencia de un rayo que no encuentra á dicha recta (ó lo que es igual, que la encuentra en el punto impropio) y, por consiguiente, á sustituir el postulado de Euclides con dicho otro postulado que le es equivalente; y esta circunstancia nos lleva á recordar lo que ya expusimos al tratar de la Geometría euclídea respecto á la equivalencia de los varios modos de enunciarse el postulado en los diversos tratados que se expresan por proposiciones recíproco-contrarias entre sí, y aun acerca de la equivalencia del axioma de la línea recta, que expresa su determinación por dos puntos, con el postulado de la única paralela (que equivale á su vez al enunciado del axioma XI de Euclides), y que en el sistema de Staudt se hace más ostensible, pues dicha paralela es la recta determinada por dos puntos, uno de los cuales es el del infinito. Así tendremos que:

Dos puntos determinan una recta :: Un punto PROPIO y otro IMPROPIO determinan una recta :: Por un punto sólo puede trazarse una paralela á una recta.

Para completar en sus puntos capitales la exposición del método geométrico de Staudt, ya sólo nos falta lo que concierne á la determinación de las entidades, cuyas transformaciones mutuas por orden progresivo ó regresivo, mediante la proyección y la sección, se ha establecido de una manera somera ó general.

Así como en el método euclídeo la determinación se obtiene mediante figuras auxiliares intermedias que enlazan dos figuras extremas, ya por las relaciones de posición de los elementos que las forman según las hipótesis establecidas, ya por las relaciones métricas que vienen á reducirse generalmente á proporciones ó combinaciones de éstas, y en el método de proyecciones de Poncelet á sustituciones
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de unas figuras por otras mediante enlaces gráficos, y en el método de Chasles mediante combinaciones de relaciones armónicas, en el método de Staudt el enlace se establece con el encadenamiento de las formas armónicas que están dadas por el cuadrángulo completo, mediante el cual, dados tres puntos de una recta se puede construir siempre su cuarto armónico; y establecido este medio elemental de determinación, quedamos en posesión de un método de generación geométrica que lleva la determinación á través de formas intermedias á las formas finales que han de constituir la variedad de entidades ó objetos geométricos.

Pero antes de pasar á otra cuestión, hemos de insistir en la naturaleza de estos enlaces intermedios empleados por Staudt en su sistema de Geometría, pues rompiendo, como se dijo ya, con la tradicional división de la Geometría en plana y del espacio, da una preferencia muy lógica á las formas de tres dimensiones que resultan de emplear la radiación compuesta de rectas y de planos; y en efecto, las formas planas siempre resultan comprendidas en aquéllas de especie superior, manera de proceder en Geometría que ya había señalado Poncelet en su teoría de las figuras homológicas en que se da la preferencia á las figuras de tres dimensiones para las determinaciones de éstas, y en ellas las de dos.

Antes, pues, de establecer Staudt los enlaces geométricos mediante series de formas armónicas, procede á establecer las relaciones de homología (según lo hizo Poncelet), de dos triángulos situados en dos planos distintos. Así dice: Si dos triángulos referidos entre sí se hallan en dos planos cuya intersección no coincide con ninguno de sus lados, y siempre dos lados homólogos se cortan (se hallan en un plano), los dos triángulos serán secciones de una misma tri-arista.

(Se continuará).

Z. G. de G.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 137.
(Véase tomo III, página 192).

La suma de los cuadrados de las rectas que unen entre sí los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre los tres lados de un triángulo, es igual á la suma de los cuadrados de estos lados, más seis veces el área del triángulo. (H. Van Aubel).

Solución por el Sr. SOLLENTINER

Sean A' B' C' los centros de los cuadrados. Del triángulo AB'C' se obtiene
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 29

\( \overline{BC}^2 = \overline{AB'}^2 + \overline{AC'}^2 - 2AB'.AC'\cos B'AC' = \frac{b^2 + c^2}{2} + bcsenA = \frac{b^2 + c^2}{2} + 2s \)

designando S el área de ABC.

Igualmente

\[
\overline{C'A'}^2 = \frac{c^2 + a^2}{2} + 2s, \quad \overline{A'B'}^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} + 2s
\]

y por consiguiente

\[
\mu^2 = \overline{B'C'}^2 + \overline{C'A'}^2 + \overline{A'B'}^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 6s \tag{1}
\]

Observación.—Siendo A', B', C' los centros de los cuadrados construidos interiormente, se tendrá

\[
\cos B'AC' = \operatorname{sen} A
\]

y por consiguiente

\[
\mu'^2 = \overline{B''C''}^2 + \overline{C''A''}^2 + \overline{A''B''}^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 6s \tag{2}
\]

La suma y la diferencia de las igualdades (1) y (2) nos darán

\[
a^2 + b^2 + c^2 = \frac{\mu^2 + \mu'^2}{2} \tag{3}
\]
\[
s = \frac{\mu^2 - \mu'^2}{12} \tag{4}
\]

SOLUCIÓN a la cuestión núm. 157 por D. RICARDO CARO

En el triángulo AQR tenemos

\[
QR^2 = AR^2 + AQ^2 - 2AR.AQ\cos QAR
\]

y siendo

\[
AR = \frac{AC}{\sqrt{2}} \quad AQ = \frac{AB}{\sqrt{2}} \quad \cos QAR = -\operatorname{sen} BAC
\]

la igualdad anterior se transforma en

\[
QR^2 = AR^2 + AQ^2 + 2 \frac{AC}{\sqrt{2}} \cdot \frac{AB}{\sqrt{2}} \operatorname{sen} BAC
= AR^2 + AQ^2 + AC.BA \operatorname{sen} BAC
\]

ó finalmente

\[
QR^2 = AR^2 + AQ^2 + 2 \text{ área } ABC \tag{1}
\]

Del mismo modo obtendríamos

\[
PQ^2 = BP^2 + BQ^2 + 2 \text{ área } ABC \tag{2}
\]
\[
RP^2 = CR^2 + CP^2 + 2 \text{ área } ABC \tag{3}
\]

Sumando las igualdades (1) (2) y (3) resulta la del enunciado, por ser \( AR^2 + RC^2 = AC^2 \) etc.
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 3

El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

El Progreso Matemático comienza el cuarto año de su existencia. La empresa, que pareció á algunos arriesgada, y no sin fundamento, ha seguido adelante; y lejos de mostrar decaimientos, de cejar en su marcha, se presenta hoy, lo mismo que durante los tres años pasados, apoyada por la simpatía y ayuda generosa de los amantes de la ciencia, que han procurado y procuran hacerla prosperar y llevarla á más altos grados de desenvolvimiento.

El conjunto de trabajos publicados durante el año 1893 ha satisfecho, bajo todos conceptos, el plan que desde su origen se ha propuesto realizar El Progreso Matemático. La sección de artículos y anuncios bibliográficos ha puesto al corriente al lector de algunas obras recientemente publicadas, ó le ha comunicado noticias generales acerca de las materias que comprenden ó de que tratan.

La sección de artículos y memorias sobre cuestiones especiales de la ciencia matemática, ha sido favorecida por trabajos de los señores Caro, Gillet, Jiménez Rueda, Lasala, Lemoine, Longchamps, Reyes Prósper y Schlegel; varias notas matemáticas se han publicado debidas á los Sres. Brocard, Jiménez Rueda, Lampe, Poulain, Sollertinsky, Schiappa Monteiro y Van Aubel, y la sección de Filosofía y Pedagogía matemática contiene también escritos acerca de la enseñanza y el organismo de la ciencia matemática, sobre la lógica simbólica en Italia, sobre las cantidades imaginaria, etc.

No menor importancia ha tenido la sección de cuestiones propuestas para El Progreso Matemático por los Sres. Brocard, Catalán, Dmitrieff, Durán Loriga, Luzón de las Cuevas, Laisant, Lemoine, Neuberg, Schiappa Monteiro, Sollertinsky y Van Aubel y otras tomadas del J. M. de M. de Longchamps debidas á los señores Cesàro, Chellier, Elmunds y Wolstenholm; y en cuanto á las 155 cuestiones propuestas desde el comienzo de la publicación, hasta la fecha, han sido resueltas 91, de las cuales 26 están por publicar, debiéndose las resueltas durante este año á los Sres. Bozal, Brocard, Caro, Gillet,
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 30

Solución por D. Ángel Bozal, Licenciado en Ciencias.

Llamemos \( O_1, O_2, O_3 \) los centros de los cuadrados construidos según el enunciado, sobre los lados BC, AC, AB de un triángulo ABC. Si unimos estos tres centros, resultarán los triángulos \( O_1BO_2, O_2AO_3, O_3BO_1 \). Pero si desde los centros \( O_1, O_2, O_3 \), bajamos á los lados del triángulo ABC las perpendiculares respectivas \( O_1n, O_2p, O_3m \), los triángulos rectángulos \( O_3mB, y\ O_1nB \), nos dan:

\[
\left\{ \begin{array}{l}
O_3B^2 = O_3m^2 + Bm^2 = (\frac{1}{2} AB)^2 + (\frac{1}{2} AB)^2 = \frac{1}{2} \overline{AB}^2, \\
O_1B^2 = O_1n^2 + Bn^2 = (\frac{1}{2} BC)^2 + (\frac{1}{2} BC)^2 = \frac{1}{2} \overline{BC}^2.
\end{array} \right.
\]

Razonando lo mismo sobre los triángulos rectángulos \( O_1nC, O_2pC, O_2pA, y\ O_3mA \), se tienen las igualdades:

[2] \( O_1C^2 = \frac{1}{2} \overline{BC}^2,\ O_2C^2 = \frac{1}{2} \overline{AC}^2,\ O_2A^2 = \frac{1}{2} \overline{AC},\ O_3A^2 = \frac{1}{2} \overline{AB} \)

Sumando miembro á miembro las [1] y [2], resulta:

[3] \( O_3B^2 + O_1B^2 + O_1C^2 + O_2C^2 + O_2A^2 + O_3A^2 = AB^2 + BC^2 + AC^2 \)

Pero en los triángulos BO_1O_3, CO_1O_2, AO_2O_3, se tiene:
\( O_1O_3^2 = O_3B^2 + O_1B^2 - 2.\ O_3B.\ O_1B.\ cos\ \angle O_1OO_3 \), etc.

Y análogamente para \( O_1O_2^2 \) y \( O_1O_2^2 \), de las cuales se deduce:
\[
\begin{align*}
O_3B^2 + O_1B^2 &= O_1O_3^2 + 2.\ O_3B.\ O_1B.\ cos\ \angle O_1OO_3 \\
O_1C^2 + O_2C^2 &= O_1O_2^2 + 2.\ O_1C.\ O_2C.\ cos\ \angle O_1OO_2 \\
O_2A^2 + O_3A^2 &= O_2O_3^2 + 2.\ O_2A.\ O_3A.\ cos\ \angle O_2OO_3
\end{align*}
\]
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 31

sumando estas igualdades miembro á miembro é igualando con la [3] se halla:

\[
O_1 O_2^2 + O_2 O_3^2 + O_3 O_1^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 - 2O_1B \cdot O_3B \cos \angle O_1OO_3 -
- 2.O_1C \cdot O_2C \cdot \cos \angle O_1O_2 - 2.O_2A \cdot O_3A \cdot \cos \angle O_2OO_3.
\]

Pero los cuadriláteros convexos \( OO_3BO_1, OO_1CO_2, OO_2AO_3 \), son inscriptibles lo mismo que los BmOn, CnOp, ApOm, siendo O el punto de concurso de \( O_3m, O_1n, O_2p \); y teniendo en cuenta la relación que guardan los cosenos de dos ángulos suplementarios, se obtendrá:

\[
-2.O_1B \cdot O_3B \cdot \cos \angle O_1OO_3 = AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC, \text{ etc.}
\]

Obteniéndose

\[
O_1O_2^2 + O_2O_3^2 + O_3O_1^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 + AB \cdot AC \cdot \cos \angle ABC +
+ BC \cdot CA \cdot \cos \angle ACB + AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC
\]

pero

\[
AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC = 2 \text{ área. ABC, etc.}
\]

luego llamando S dicha área del triángulo ABC, resulta:

\[
O_1O_2^2 + O_2O_3^2 + O_3O_1^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2 + 6.S.
\]

que es la relación de la cuestión.

CUESTIÓN 148
(Véase tomo III, página 294).

Dadas tres circunferencias (A), (B), (C), situadas de una manera cualquiera en un plano, construir un triángulo semejante á un triángulo dado T cuyos vértices \( a, b, c \) se hallan en estas circunferencias, no empleando más que los recursos de la Geometría elemental.

(A. Schiappa Monteiro)

Solución por el Sr. Sollertinsky (B.)

Sea \( a \) un punto cualquiera de la circunferencia A, \( aBO \) el triángulo semejante á T.

Desde el punto B' en que la recta Ba encuentra á la circunferencia B, se traza la paralela á BO que encuentra á Oa en O'; desde el punto O, con el radio OO' se describe la circunferencia que cortará á C en los puntos c y c'. Se trazan en seguida los radios Bb y Bb' de manera que \( \angle ABb = \angle aOc, \angle aBb' = \angle aOc' \). Los triángulos abc y ab'c' son los triángulos buscados.

En efecto, puesto que

\[
\frac{Oc}{Bb} = \left( \frac{OO'}{BB'} \right) = \frac{Oa}{Ba},
\]
El Progreso matemático (1894-01-15 00:00:00), página 32

los triángulos caO y baB son semejantes, de donde

\[
\frac{ac}{ab} = \frac{aO}{aB}, \quad \angle caO = \angle baB
\]

y por consiguiente \( \angle cab = \angle OaB \). Los triángulos abc y T son, pues, semejantes.

Observaciones. Cuando el punto a recorre la circunferencia A, 1.º El punto O se mueve en una circunferencia que tiene su centro C' en el vértice del triángulo ABC', semejante á T. 2.º El radio OO' es constante. 3.º Las rectas cc' y bb' envuelven dos cónicas.

CUESTIONES PROPUESTAS

156. Dado un triángulo esférico trirectángulo ABC, se traza un arco de círculo máximo que encuentra á los lados BC, CA, AB respectivamente en A', B', C'. Los arcos de círculo máximo AA', BB', CC', por sus intersecciones, dan lugar al triángulo MNP y á sus complementarios (1) MNP', NPM', PMN'. Demostrar que, según la disposición de los puntos A', B', C', sobre los lados del triángulo ABC, uno de estos cuatro triángulos MNP, MNP', NPM', PMN' tiene una área constante. Evaluar esta área en función del radio R de la esfera.

(J. Gillet).

(1) M', N', P', son los puntos de la esfera diametralmente opuestos á M, N, P.