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nuestro ser espiritual, y cuyo fin es la dirección en nuestro modo de actuar ó de desenvolvernos, la metodología aplicada á la regularización de nuestros actos.

El niño que en la escuela aprende á deletrear comienza á analizar y hacer pequeñas síntesis; al dirigir sus observaciones al mundo físico, principia á relacionar un objeto externo con un signo interno que es la idea; luego, al aprender la gramática principia á aprender á pensar, á componer y descomponer sus ideas ocultas bajo la apariencia de los objetos á que estas corresponden; y en esta primera fase de su existencia en que el objeto se impone al sujeto, que aun no se ha revelado en nuestro yo, almacena materiales en ese fondo que, aunque inextenso, parece superar en extensión al Universo, puesto que, sin agotarse ante la multiplicidad de este, aún hace surgir de su inagotable seno relaciones y entidades que transcienden más allá de cuanto puede ser objeto de nuestra observación sensible.

Estos múltiples objetos, cuyos signos se fijan en nuestra inteligencia ya desde que en la escuela de primeras letras se nos han ofrecido en la variedad que comprenden sus estudios elementales, y que continúa aumentando el caudal durante la segunda enseñanza, impresionan de muy diverso modo á cada individuo, según aquéllo que es propio de su personalidad, de su individualidad. Uno se ve atraído por las relaciones que distingue entre los fenómenos físicos, otro afanosco comienza á buscar el por qué oculto tras las apariencias de los hechos, aquél atraído por los afectos humanos se dibuja como el futuro sociólogo ó hombre de Estado. Pero unos y otros se mueven en una atmósfera común dentro de un solo dominio que luego recorren en distinta dirección, cuando revelándose el yo, cuando reaccionando su ser sobre las influencias exteriores, le marque su vocación en la vida social á la que se ha de preparar en la sección superior de los estudios que comprende tal ó cual Facultad de la Universidad, donde ha de poder realizar la aspiración sentida ó la vocación formada allá en los albores de su desenvolvimiento material y moral.

Tratado, aunque someramente lo que concierne al carácter educativo de la obra de la Universidad, voy, antes de ocuparme especialmente de la ciencia matemática, á señalar un punto intere-
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sante, cual es el de la relación general en que se hallan las Facultades que la constituyen, el modo de contribuir cada una á formar el conjunto comprendido en la palabra Universidad.

Desde luego observamos en ésta una aspiración que eleva hacia los ideales de la ciencia, otra que hace descender hacia las aplicaciones inmediatas de ésta. Las Facultades de Filosofía y Ciencias llevan hacia lo abstracto, hacia lo elemental; las de Derecho y Medicina hacia lo concreto y compuesto ó complejo, hacia aquéllo que tiene su explicación en alguna de las ramas de las primeras, el Derecho aplica los principios generales de la filosofía y de la historia al organismo social, como la Medicina los principios de las ciencias físicas y naturales al organismo de la ciencia humana: á su vez las Ciencias y las Letras tienden, aun dentro de su carácter ideológico, la una hacia el mundo de la experiencia física, la otra hacia los ideales del alma humana: la primera trata de sistematizar las leyes del Universo, la otra á legislar sobre las obras del arte humano, sobre el Universo que nos ofrece el alma humana, en ese organismo espiritual que también tiene sus leyes aparte de las del mundo físico; y entre unas y otras nos hallamos con la Matemática, ciencia que parece reunir á las dos Facultades en un estrecho abrazo, pues mientras por un lado aspira á medir con sus cálculos y sus fórmulas los hechos ó los fenómenos de la Naturaleza, á esquematizarlos en sus fórmulas, á idealizarlos en sus leyes, por otro lado se constituye como un organismo á priori que radica en el fondo de las ideas y que, conforme con nuestra organización espiritual se desenvuelve, con fecundidad inagotable, con fuerza deductiva incesante y siempre creciente en un mundo más rico y más variado que el Universo entero, puesto que además de la realidad de la existencia actual abarca la posibilidad, y cerniéndose sobre cuanto es como fenómeno y objeto real, se eleva sobre lo independiente de la existencia accidental por sí, y aun se mueve en el mundo de la pura relación de coexistencia á lo que le autoriza la natureza lógica de su objeto enclavado dentro de las leyes de la dialéctica por que se guía nuestro entendimiento, siendo de maravillar además que, á pesar de ese carácter eminentemente subjetivo, de esa generación á priori efectuada allá en el último y más escondido seno de nuestra razón, al descender en sus deducciones, llena de vida y de
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fuerza creadora hacia el Universo material, encuentra á éste subordinado á sus leyes. Ve que los astros realizan las curvas que sus fórmulas fijaron, que la gravitación universal materializa una expresión numérica, que algunas de sus funciones dislocadas para despreciar cantidades infinitesimales, que si no se pierden de vista á nuestra razón, son despreciables para nuestros sentidos, en la apreciación de los fenómenos materiales, consiguen en una de sus ramificaciones más concretas, la física matemática, subordinar y enclavar dentro de sus dominios las leyes por las que los átomos se relacionan y producen las apariencias que llamamos fenómenos físicos y químicos.

Expuestas estas consideraciones generales acerca de la relación en que se encuentran los organismos parciales de la Universidad dentro de ésta, y que nos han de facilitar el obtener conclusiones generales en lo que añade al carácter educativo de la enseñanza matemática, voy á hacer algunas observaciones previas, con objeto de desvanecer ciertos prejuicios, ciertos argumentos muy en boga repetidos con frecuencia, aún por aquéllos que por su profesión están obligados á combatirlos.

Se dice con frecuencia, y aun por profesores de tal ó cual asignatura, que los alumnos no se hallan suficientemente preparados para comprenderla; se pregonan por los mismos profesores la dificultad e incomprendibilidad de la misma; se dice que la ciencia es árida, se trata poco menos que de hacerse ver que la ciencia y la inteligencia son dos entes antagónicos, que en vez de tender por su naturaleza á fundirse el uno en el otro, se apartan y divergen cada vez más. Se descontía de que tal ó cual asignatura, según cierto grado de desenvolvimiento, pueda ser abarcada por la débil inteligencia del alumno, etc.

Ante todo principiaremos por combatir cierta tendencia, hoy muy en uso, de preseindir del carácter educativo de la ciencia dentro de la Universidad, siendo la creencia de algunos que la enseñanza tiene por único objeto el implantar en la inteligencia de los alumnos algunos teoremas y las reglas necesarias para resolver unos cuantos problemas.

La obra de la enseñanza es más vasta; si tiene por fin necesario el fijar en las inteligencias algunas verdades matemáticas, este he-
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cho debe considerarse, más que como fin, como medio de despertar la actividad intelectual. El principal objeto de la enseñanza en los Institutos y en las Universidades es el ejercicio intelectual; es el hacernos conocer y emplear bien los recursos que poseemos para vencer las dificultades que nos han de conducir á la verdad. El enseñar la verdad por la verdad tiene el inconveniente de no facilitar el camino para hallarla, único medio que tiene y puede emplear el genio, que allana obstáculos insuperables para una inteligencia vulgar, y que sabe salvar por su poder misterioso las distancias que separan dos extremos distantes.

La enseñanza debe saber graduar las dificultades en la medida de la inteligencia, en cada uno de los estados de su desenvolvimiento, sobre todo en la Matemática, que por su naturaleza es un tratado de lógica aplicado á la cantidad, al orden, á la combinación y al número.

El admirable tratado de Euclides, que no han podido derogar los progresos de la Geometría, es un conjunto graduado de dialéctica que fija más que ningún otro el proceso deductivo de nuestra inteligencia.

Poco importa que un alumno haya almacenado según cierto desorden en su inteligencia unas cuantas verdades. «El alumno que estudia matemáticas, decía yo en una obrita publicada el año 1877, las aprende (más exacto sería decir: aprende de memoria el libro) muchas veces y otras tantas las olvida. Las ideas adquiridas en su inteligencia no son como las sustancias que por combinación química se hallan infiltradas en el agua formando una sola esencia, sino como las arenas ó sedimentos que arrastra en su corriente y que después abandona quedando transparente y pura»(1).

El libro de texto ofrece un fondo inmóvil, invariable, donde se halla impresa la síntesis presentada por cada autor de la ciencia. El profesor debe dar movilidad y vida á ese fondo, debe hacer desprenderse aquellos caracteres impresos de la superficie del papel y convertirlas en ideas fecundas para el alumno, traducidas en lenguaje que sea fiel transmisor desde una inteligencia á la otra. Si este enlace está mal establecido; si el medio conductor no es adecuado, no

(1) Consideraciones sobre la conveniencia de un nuevo plan para la enseñanza de las matemáticas.
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se podrá decir que una inteligencia es inepta para comprender, sino que se ha encontrado en relación con signos cuyo significado ignora y que no puede traducir en sus ideas correlativas.

Déjese de presentar á la inteligencia del alumno esas ideas fecundas y generales que envuelven en sí cientos de ideas subalternas; háganse desfilar éstas en tropel como casos numerosos de divisiones y subdivisiones más ó menos artificiales, y la inteligencia quedará abrumada y ahogada bajo la multitud de los detalles. Procúrese por el contrario sintetizar y presentarlas en agrupaciones más ó menos generales. Hágase, por ejemplo, estribar la teoría de los números fraccionarios en el carácter inverso de la influencia del numerador y denominador en el modo de variar aquéllos. En vez de recorrer pausadamente los casos de la divisibilidad por 3, por 11, por 7, etcétera, preséntese el fecundo teorema de Fermat que señala períodos de restos de una, de dos y de 6 cifras respectivamente, como la ley á que se hallan sometidos los números bajo el punto de vista de su divisibilidad por otros. Hágase notar, como lo hizo Chasles en su obra de los porismas de Euclides, que aquellos lemas de Pappus presentados como proposiciones aisladas ó independientes sólo son casos particulares debidos á posiciones distintas de una misma figura, de la propiedad perspectiva de ciertos sistemas de puntos, ó del exágono inscripto en una cónica, admirable proposición de que Pascal hizo depender toda la teoría de estas curvas.

En vez de llevar al alumno por multitud de proposiciones que expresan tan sólo las vicisitudes por que pasó en el orden cronológico y bajo el esfuerzo prodigioso de los Newton, Lagrange, Rolle, Fourier, Sturm, Cauchy y otros, el problema de la resolución, de las ecuaciones numéricas, presentadles la clave de la cuestión en la teoría de las sustituciones, en el teorema de Lagrange y en las proposiciones fundamentales de Abel y Galois acerca de la resolución algebraica de las ecuaciones, y los alumnos verán, desde las cumbres á que se elevan estos teoremas, el conjunto del organismo del Álgebra.

¿Qué conseguiría el que buscase estudiar el vasto conjunto de la Naturaleza si se propusiese por sí elevarse desde los infinitos detalles que ofrece su examen hasta la totalidad de su plan? Pero si se le lleva por el estudio de sus múltiples ciclos en que se efectúan las
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acciones de las fuerzas, las transformaciones de sus energías, el fluir de los fenómenos periódicos, el sistema de los astros, la unidad de las fuerzas atractivas y repulsivas que actúan sobre los átomos como sobre los cuerpos celestes, la gravitación actuando universalmente, las energías transformándose á través del océano etéreo por el cual hoy la Física explica los fenómenos del mundo material, la unidad dominando á la variedad, las síntesis sucesivas abreviando el trabajo analítico de la inteligencia, harán más suave el acceso de ésta hacia la verdad. Y lo mismo en la naturaleza física que en las evoluciones del arte ó de la ciencia humana ó en la de los pueblos cuyas leyes explica la historia, veremos que esas síntesis son el fruto del trabajo incesante de la inteligencia humana en las diversas ramas del saber, trabajo que debemos considerar como hecho en el seno de la Universidad.

Y concretándonos á la Matemática: ¿Qué inteligencia podría seguir uno á uno los innumerables escritos que constantemente se publican en libros y revistas? Una pequeña parte de esta labor sería suficiente para anegarla en un océano de ideas. Pero supongamos que se hace un trabajo de condensación de las unas en las otras, de las consecuencias en sus principios, que restando lo accidental se hace permanecer lo esencial; tantos y tantos libros y producciones, resultado individual de multitud de inteligencias, se irán sintetizando, y al fin la ciencia matemática se reducirá á un sólo libro que contenga la esencia de tanta labor particular, de tanto detalle secundario que sólo era la expansión de un corto número de ideas. Pues de igual manera en las aulas el profesor debe aprovechar las síntesis, fruto de la labor de nuestros antecesores que nos las han legado para que nos sirvan de punto de partida, evitándonos el repetir las penosas investigaciones que les condujeron á ellas, son cimas conquistadas que no debe abandonar la Ciencia para poder contemplar la labor del pasado ó para continuar ascendiendo en un indefinido porvenir.

Pero no nos confiemos en absoluto á la síntesis, no creamos que el solo fin de la enseñanza se reduce á aprovechar las síntesis ya hechas en la ciencia para facilitar nuestro acceso hacia la verdad. Tal modo de proceder exclusivo conduce á una adquisición vaga y poco sólida de la verdad, á una ciencia efímera que no arraigará
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en nuestra inteligencia, que sólo pasajeramente resbalará como visión fugaz en la superficie, sin haber penetrado en el fondo. La afición exclusiva hacia las síntesis engendra la pereza del espíritu que se acostumbra á acoger el fruto de la labor extraña, mas á no producir jamás nada por efecto de sus propios esfuerzos. Es preciso para no habituarnos á una pasividad perjudicial, el reaccionar también sobre el objeto, el someterlo á nuestro esfuerzo personal, el clavar en él nuestra mirada para desenvolverlo, el analizar, en una palabra, y desmenuzar su contenido de una manera intelectual.

Pero notemos que en dos condiciones se efectúa el análisis. Cuando aspiramos á ejercitar nuestras fuerzas intelectuales por medio de cierta gimnasia del espíritu ó las de nuestros alumnos, al realizar nuestra misión educativa, ó cuando un talento superior salva por efecto de su energía excepcional algunas distancias que llevan á elevar el nivel científico de su época.

En el primer caso nos movemos en un terreno ya explorado, sino por nosotros, por otros; se trata solamente de hacer enlaces más ó menos ingeniosos ó felices entre los elementos conocidos y los desconocidos de un teorema ó de un problema con auxilio de términos medios que poseemos y á hacer acompañar á nuestras transformaciones sucesivas tales ó cuales encadenamientos de teoremas ya establecidos ó demostrados en la ciencia, y conseguir, por efecto de sustituciones oportunas, hechas de unas condiciones con otras ó por la feliz distribución de éstas en las hipótesis y tesis de los enunciados, llegar á ver colocados en la hipótesis los datos del teorema ó problema por demostrar ó resolver juntamente con algo dado ó determinado y conocido que hemos puesto en nuestras construcciones ó términos medios, y en la tesis aquello que buscábamos, que ahora se encuentra encadenado sólidamente con lo conocido mediante el enunciado de un teorema admitido.

Este ejercicio gimnástico que á nada nuevo nos conduce, si no es para nosotros, aviva y acrece nuestro esfuerzo intelectual, por más que sólo nos conduzca á inventar lo ya inventado, lo que está dentro del sistema que forma la parte teórica de la ciencia, y que se reduce á un trabajo combinatorio de nuestra inteligencia, á una distribución y á sustituciones de elementos en series de proposiciones que al fin de nuestro trabajo originará un encadenamiento
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gresos de la Ciencia. Al cabo obtuvo la Cátedra de Matemáticas, Física y Química del Colegio de Maros Vasarhely, cuyo puesto conservó hasta su muerte, ocurrida en el año 1856. Muy poco más de esto es lo que se sabe acerca de la vida de este eminente sabio. Su biógrafo lo pinta como hombre meditabundo, enemigo de diversiones, pero lleno de las esperanzas que le proporcionaba su fe en lo sobrenatural. A su muerte deseó de que tocasen las campanas del colegio en señal, decía, de que iba á oír la última lección.

De Juan Bolyai se hijo, se tienen aún menos noticias. Nacido en el año 1809, fué discípulo de su padre y sirvió en el ejército austriaco como capitán de ingenieros. Parece ser que fué de genio tétrico, sombrío y extravagante, según lo acredita el siguiente rasgo: En una ocasión le desafiaron á la vez varios compañeros y aceptó el reto con la condición de que entre duelo y duelo se le permitiese tocar una pieza en el violín, instrumento que tocaba con perfección y apasionamiento. Se admitió esta condición y dejó tendidos á todos sus rivales. Apenas se sabe más de sus hechos.

Las obras de Wolfgang fueron publicadas unas en húngaro, otras en alemán y alguna en lengua latina. Nunca han sido traducidas á otro idioma.

La obra de Juan Bolyai, que le acredita como un geómetra de extraordinario genio, fué publicada en latín como apéndice á una de las obras de su padre. Posteriormente ha sido traducida al francés por Hoiel, al italiano por Battaglini (Giorn. di Mat. tomo V, y al alemán por Frischanf.

La parte más interesante de los escritos de Wolfgang se refiere á los axiomas precisos para establecer las nociones de la línea recta y del plano. Coincidiendo con las ideas de Lobachevski, prueba el matemático húngaro que en lugar de las definiciones dadas por Euclides de estas dos entidades geométricas, pueden darse otras suponiéndolas engendradas por la intersección de círculos y esferas. En este caso pueden demostrarse todas las propiedades fundamentales de las rectas y planos, concibiéndose perfectamente su generación. Solo que entonces hay que admitir como axiomas evidentes teoremas concernientes al círculo y á la esfera que hoy se demuestran sirviéndonos de los axiomas euclídeos de la recta y del plano.

Al quitar pues una dificultad se produce otra equivalente. Pero
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desde la proposición, punto de partida, hasta la final que nos da la cuestión resuelta (análisis), y un encadenamiento inverso por el que ya se puede descender en forma deductiva, desde la proposición obtenida y considerada ahora como principio ó fundamento, hasta la proposición propuesta, convertida en última consecuencia (síntesis).

En el segundo caso, el análisis consiste, más que en un ejercicio regulado por la teoría, dentro de cuyos dominios se realiza, en un salto brusco desde un punto de éstos hasta un punto exterior que los ha de unir á nuevos dominios conquistados por el genio. El examen de las leyes de Kepler, es muy posible que elevara á Newton á la nueva síntesis expresada por su principio de la gravitación universal. Los trabajos rudimentarios de Vieta al aplicar el Algebra á la resolución de algunos problemas geométricos, acaso llevó á Descartes á su nuevo sistema de Geometría analítica, y tal vez ésta sirviera á Newton y á Leibnitz de punto de apoyo para alzar su vuelo hasta la nueva ciencia hoy llamada Cálculo infinitesimal; y la historia de la ciencia, nos hace notar este modo de apoyarse cada una de estas nuevas teorías en otras de las anteriormente establecidas, ó el descubrimiento importado por un talento superior en el de sus predecesores: y así como en Mecánica la antigua noción de fuerza instantánea ha hecho plaza á la de fuerza continua, en las evoluciones de la ciencia las transiciones, sobre todo en cada época sucesiva, parecen ser menos bruscas, si bien ha de notarse que así como en el cálculo integral lo finito se forma de lo infinitésimo, entre los individuos de la humanidad, á pesar de existir diferencias, al parecer imperceptibles, en la intensión de su esfuerzo intelectual, pueden entre ciertos extremos de la escala notarse esa incomparabilidad que da el cálculo infinitesimal entre cantidades que tienen distinta categoría en las varias regiones de los infinitos.

Y ahora que he explanado algo respecto al plan de la enseñanza de la ciencia matemática, antes de concluir voy á extractar el plan que he creído oportuno ir presentando, aunque paulatinamente, durante el transcurso de tiempo que he publicado algunas de mis obras.

Ya en la obra anteriormente citada expuse algunas detalladas consideraciones acerca del carácter educativo que debe tener la en-
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señanza de la Matemática y su modo de corresponder á las varias fases del desarrollo intelectual, y en 1881 hice seguir la exposición de la Geometría elemental de una segunda parte denominada Crítica geométrica, donde traté de la metodología geométrica, de la crítica de las verdades geométricas, haciendo destacarse los conceptos de la existencia y de la determinación geométricas muy afines con el carácter de las definiciones matemáticas, tan claramente expuesto en la lógica de Port-Royal, y también puse de relieve la relación de subordinación y coordinación de las verdades en la síntesis geométrica, señalando así los conceptos generales á que subordiné la exposición de la Geometría hecha en el cuerpo doctrinal de la obra.

Al escribir mi Tratado de Aritmética, en el que el número concreto se halla asimilado al abstracto por un enlace lógico y cuanto se refiere á la especulación se destaca sobre lo que se refiere á la acción, según el plan de Wronski, que estableció las dos ramas generales de la ciencia denominadas Algoritmia y Tecnía, decía: «Así, pues, necesitamos hoy para terminar esta contienda, en que las antiguas preocupaciones y rutinas se desmoronen al impulso de las modernas ideas, constituir una filosofía matemática que exponga el criterio de la verdad matemática, una literatura matemática que organice el mundo de lo bello matemático por la exposición de las infinitas armonías del número y del espacio, y una pedagogía matemática, que consagre las leyes de la exposición científica armonizándola con el modo de ser de nuestra inteligencia; y esto será el objeto de nuestras próximas publicaciones destinadas á consolidar nuestro modo de exposición didáctica.»

Ahora bien: esa literatura matemática existe de hecho en el inmenso caudal de obras publicadas durante este siglo según tan diversos objetivos como se sintetizan en la clasificación de materias hecha en el «Indice de la Comisión permanente de Bibliografía matemática»; pero falta, según el concepto arriba expresado, hacer una preceptiva para las matemáticas como existe para las obras literarias según los criterios por que se juzga de la verdad y de la belleza de los conceptos y de los sistemas matemáticos, obra cuya realización podrá esperarse, ya de algún talento superior, ya de la colaboración de varios. Lo mismo puede asentarse respecto á la Pedagogía y á