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El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 19

10. LA DEFINICIÓN.—Ya hemos tratado con alguna extensión en algunas de nuestras obras de la definición geométrica (1).

Las definiciones matemáticas tienen el carácter de principios fundamentales, los objetos definidos son tipos creados totalmente por la inteligencia, por esto es necesario establecer la existencia del objeto definido, es decir, que no implica contradicción ó absurdo, y que no son creaciones arbitrarias en oposición con la realidad, así pues son verdaderas construcciones del espíritu á las que se da una denominación. Por ejemplo, en Geometría se establece la existencia de la paralela á una recta, en cuanto se ha demostrado que: dos perpendiculares á una recta son paralelas, la existencia de la perpendicular á una recta trazada por un punto de ésta, se funda en la permanencia del valor angular á un lado de una recta y la variación continua de los dos ángulos adyacentes de los que el uno aumenta mientras el otro disminuye; y otro tanto se dirá de la perpendicular al plano, del triedro, del prisma, etc. (2)

11. TEOREMA Y PROBLEMA; SUS RELACIONES.—En varias ocasiones nos hemos ocupado de esta relación (3).

Definíamos el teorema (Observ. útiles etc. pág. 7) como: Una proposición que expresa una relación de coexistencia entre modos de ser de varias cosas, y considerábamos al teorema como una derivación y perfeccionamiento del problema, de manera que distinguíéndose tres fases en una cuestión que corresponden: 1.º al problema primitivo (dadas ciertas condiciones arbitrarias ¿qué relaciones hay entre los elementos que hemos puesto intencionadamente y los que aparecen íntimamente unidos á éstos sin que hayamos intervenido en su introducción?) 2.º á la expresión de la relación de coexistencia entre unos y otros elementos (teorema). 3.º al problema perfeccionado en su expresión (conocida la enunciación que se buscaba en el problema primitivo, hallar los medios de llegar á ella (Observ. pág. 8), el teorema puede considerarse como el enunciado del resultado obtenido al resolver un problema) de manera que, en el orden cronológico, el problema precede al teorema. Así, por ejemplo:

Suponiendo no descubierta la relación existente entre el lado del triángulo equilátero inscripto en la circunferencia y el radio, al problema siguiente:

(1) Estudios críticos sobre la generación de los conceptos matemáticos (cuaderno 2.v) 1890. Consideraciones sobre la conveniencia de un nuevo plan etc. (1877). Puede verse también Liard, Les définitions géométriques et empiriques y la Logique de Port Royal.
(2) Geom. elem. (parto I.a. págs. 19, 21, 49, 51, 54, 61, etc).
(3) Observaciones útiles en el estudio de las matemáticas (1874) y Complemento de Geometría (1891).
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 2

3. Ecuaciones de los círculos de Schoute.—Busquemos el lugar de los puntos M, cuyos triángulos podares, A₁, B₁, C₁, tienen un ángulo de Brocard dado \( \omega_1 \).

Se sabe que el valor del ángulo de Brocard \( \omega \) de un triángulo está dado por la fórmula

\[
\cot \omega = \cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}
\]

Busquemos el valor de \( \cot \omega_1 \) en un triángulo A₁, B₁, C₁ en función de los elementos del triángulo de referencia. Designemos por \( a_1, b_1, c_1, S_1 \) los lados y el área de A₁, B₁, C₁. Se tiene:

\[
2S_1 = yz \sen A + zx \sen B + xy \sen C
\]
\[
a_1^2 = y^2 + z^2 + 2yz \cos A
\]
\[
b_1^2 = z^2 + x^2 + 2zx \cos B
\]
\[
c_1^2 = x^2 + y^2 + 2xy \cos C
\]

luego

\[
\cot \omega_1 = \frac{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}{4S_1} = \frac{x^2 + y^2 + z^2 + yz \cos A + zx \cos B + xy \cos C}{yz \sen A + zx \sen B + xy \sen C}
\]

(1)

Esta relación muestra que el lugar de los puntos M tiene por ecuación:

\[
x^2 + y^2 + z^2 + yz \cos A + zx \cos B + xy \cos C -
- \cot \omega_1 (yz \sen A + zx \sen B + xy \sen C) = 0
\]

\[
\Sigma x^2 + \Sigma yz \cos A - \lambda \Sigma yz \sen A = 0
\]

(2)

Esta ecuación representa un haz de círculos. Es la ecuación general de los círculos de Schoute.

4. Centro y radio.—Las coordenadas \((x, y, z)\) del centro de un círculo están dadas por las fórmulas

\[
\begin{cases}
x = \frac{R (\sen A + \lambda \cos A)}{\lambda + \cot \omega} \\
y = \frac{R (\sen B + \lambda \cos B)}{\lambda + \cot \omega} \\
z = \frac{R (\sen C + \lambda \cos C)}{\lambda + \cot \omega}
\end{cases}
\]

(3)

En cuanto al radio está dado por una de las fórmulas
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 20

Hallar la relación que existe entre el lado del triángulo equilátero inscripto en una circunferencia y el radio de ésta, seguirá el teorema:

El valor del triángulo regular inscripto en una circunferencia, es igual al del radio multiplicado por \( \sqrt{3} \) (Complemento de la Geometría elemental, pág. 46).

De manera que, siendo en la matemática la definición una síntesis realizada á priori, el teorema es una síntesis fundada á posteriori.

El teorema constituye una síntesis, expresión del resultado de un problema que se propuso la inteligencia al examinar la realidad intelectual es decir, el conjunto de ideas abstractas que corresponden á las definiciones y son el fundamento de todas las relaciones matemáticas.)

12. LA DEMOSTRACIÓN.—M. Luis Liard que con sus obras Les logiciens anglais contemporains (1878) y Des definitions géométriques et des définitions empiriques ha contribuido á esclarecer y divulgar los conceptos filosóficos de estas ramas de la Matemática, explica entre otros puntos culminantes de esta ciencia, el mecanismo de la demostración (1): «Esta operación consiste en efectuar el enlace de las magnitudes dadas. Tan pronto esta síntesis se hace inmediatamente, es decir, sin término medio, y surge en cierto modo de la posición misma de los términos; tan pronto, y esto es lo más frecuente, requiere uno ó varios intermediarios. Estos intermediarios son siempre magnitudes iguales ó equivalentes á las magnitudes dadas, y que, en consecuencia, pueden ser sustituidas á éstas en las proposiciones ó ecuaciones matemáticas».

En este caso, la demostración es una serie de sustituciones; y sobre esta igualdad ó equivalencia de los términos medios que han de enlazar los términos extremos: hipótesis y tesis, es sobre lo que vamos á insistir ahora como ya lo hemos hecho en otras ocasiones.

Tanta importancia creemos que tiene esta equivalencia que, ya en nuestro Complemento de la Geometría elemental (1877), al tratar de las sustituciones geométricas, expusimos encadenamientos de problemas sobre triángulos y sobre la circunferencia con solo sustituir á cada enunciado una condición por otra equivalente, y en nuestra Geometría elemental (1.a edición 1882, 2.a 1888) procuramos hacer manifiesto este punto en los epígrafes: Transformación ó sustituciones de las relaciones angulares por relaciones de paralelismo, transformación de las relaciones angulares y de posición en relaciones de magnitud lineal, etc.

Es fácil explicar estas equivalencias.

(1) Logique, 1884, pág. 86.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 21

En efecto. Al suponerse dos rectas paralelas, se supone *implícitamente* la existencia de ángulos alternos-internos ó externos, ó correspondientes iguales, en cuanto se supone también trazada una transversal.

El razonamiento basado en la construcción de dos triángulos iguales, al trazarse la perpendicular á las dos rectas AB y CD por el punto medio O de la secante PQ (fig. 1.a) estriba en el principio de la determinación del triángulo, que implica la igualdad de los ángulos oblicuos en P y Q cuando son iguales los rectos en M y N.

La suposición de los ángulos que tienen paralelos sus lados lleva consigo la igualdad del ángulo A'NC con cada uno de ellos, y por consiguiente, la igualdad de aquéllos (fig. 2.a).

Lo mismo diríamos si se tratase del teorema:

*Si dos triángulos tienen desigual un ángulo comprendido entre dos lados respectivamente iguales, el tercer lado será mayor en el que tiene mayor ángulo,* que equivale á concluir que *si se deforma un triángulo de manera que permanezcan constantes dos de sus lados, la longitud del tercero aumentará ó disminuirá al mismo tiempo que el ángulo comprendido.*

13. LA RECIPROCIDAD DE LAS PROPOSICIONES.—Se llama teorema recíproco de otro, aquél cuya hipótesis es la tesis de éste, y cuya tesis es la hipótesis del mismo.

Para que dos teoremas ó problemas sean recíprocos, basta que algunas de sus condiciones esté invertida en ambos (es decir, en la hipótesis del uno y en la tesis del otro.

Así, son teoremas recíprocos los casos fundamentales de la igualdad del triángulo, en los que alguna de las condiciones de la hipótesis ha sido llevada á la tesis.

Hay proposiciones recíprocas que no son ciertas á la vez, como por ejemplo:

*Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, y, si dos ángulos son iguales, son opuestos por el vértice.*

La segunda es falsa, y esto depende de que la tesis, *opuestos por el vértice*, es menos extensa que la hipótesis pues, en efecto, hay muchos ángulos *iguales que no son opuestos por el vértice*, como también hay muchos ángulos *suplementarios, que no son adyacentes*, no pudiéndose decir que: *los ángulos suplementarios son adyacentes*, como se dice que *los ángulos adyacentes son suplementarios*.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 22

Serán ciertos los recíprocos en la forma siguiente: Si dos ángulos son suplementarios y tienen el vértice y un lado común, tendrán sus otros lados en prolongación; si dos ángulos son iguales y tienen dos lados en prolongación y los otros dos en distinta región de la recta formada por los primeros, serán opuestos por el vértice, que son los recíprocos de: si dos ángulos son adyacentes, serán suplementarios; y si dos ángulos son opuestos por el vértice, serán iguales.

Para que exista la reciprocidad, ha sido preciso añadir á uno y otro recíproco, respectivamente, las condiciones de tener el vértice y un lado común y de tener dos lados en prolongación y los otros dos en distinta región de la recta formada por los primeros.

La necesidad de restringir ó limitar las hipótesis de los teoremas, es debida á que éstas solas tienen mayor extensión que la tesis, por lo cual darían teoremas defectuosos, sin dichas limitaciones que, reduciendo á la igualdad la extensión de ambos términos, dan origen á la reciprocidad.

La proposición: Si la razón de las distancias de un punto á otro punto y una recta fijos no es mayor que 1, el lugar de dicho punto es una elipse es falsa, porque la condición, no es mayor, comprende los casos menor é igual, correspondientes á la elipse y á la parábola, y será cierto que, si una curva de segundo orden es elipse, la razón de sus distancias á un punto y á una recta no es mayor que 1. Para hacer cierta la recíproca, bastará restringir la condición, no es mayor, diciendo, es menor, (en cuyo caso se ha excluido el ser igual) y entonces la recíproca, será cierta en la forma: Si la razón de las distancias de un punto de una curva á un punto y á una recta es menor que la unidad, la curva será una elipse.

Regla. Para hacer recíprocas dos proposiciones relativas á una misma cuestión, se tiene que añadir á la condición más extensa alguna otra condición, que particularizándola, la haga idéntica á la que es menos extensa.

Hay también proposiciones cuyos términos no son en totalidad recíprocos de los de otras. Sin embargo, no dejan de ser recíprocas, pues constan de una parte comun y de otra completamente recíproca.

Esta circunstancia se observa en el teorema: Si dos planos son perpendiculares entre sí, y por un punto de su comun intersección se traza una recta perpendicular al uno, estará contenida en el otro, y recíprocamente: Si por un punto de su comun intersección se traza en uno de los planos una perpendicular á ésta, será perpendicular al otro, que aún puede modificarse para separar totalmente un término no recíproco que hay incluido en la doble condición de ser la recta perpendicular al plano, diciéndose: Si dos planos son perpendiculares entre sí, y por
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 23

un punto de su comun intersección se traza una recta perpendicular á ésta y á otra de uno de los planos, estará contenida en el otro: Si dos planos son perpendiculares entre sí, y por un punto de su comun intersección se traza una perpendicular á ésta, contenida en uno de los planos, será al mismo tiempo perpendicular á otra del otro plano.

También puede citarse el teorema: Si una recta y un plano son perpendiculares, toda recta perpendicular á la primera será paralela al segundo, ó estará contenida en él, y toda recta paralela al plano ó contenida en él, será perpendicular á la primera.

Dos problemas son recíprocos, cuando los datos y resultados del uno en totalidad ó parcialmente, son los resultados y los datos del otro.

Así, por ejemplo:
Construir un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido, es recíproco de construir un triángulo, cuando se dan un lado y los ángulos adyacentes, ó cuando se dan los tres lados.

(Se concluiría)

Z. G. G.

SOBRE EL DESARROLLO DE P (u) EN SERIE DE FRACCIONES SIMPLES
POR EL SR. GOMES TEIXEIRA
Director de la Academia politécnica de Oporto.

La fórmula que da el desarrollo de la función de Weierstrass \( p(u) \) en una serie de funciones simples puede obtenerse de una manera puramente elemental como hizo Halphen en su excelente Traité des fonctions elliptiques (pág. 364). Puede también obtenerse por medios menos elementales, pero más rápidamente, empleando algunos teoremas, hoy clásicos, de la teoría de las funciones analíticas, como vamos á ver.

Supongamos demostrando que \( p(u) \) es una función analítica uniforme, que es par, doblemente periódica y cuyos infinitos son los puntos

\[
m = 2n\omega_1 + 2m\omega_2
\]

representando \( n \) y \( m \) dos números enteros positivos ó negativos cualesquiera y \( 2\omega_1 \) y \( 2\omega_2 \) los períodos de \( p(u) \).

Demostremos en primer lugar la igualdad.

\[
\lim_{u \to w} (u - w)^2 p(u) = 1.
\]

Consideremos para ello la integral que sirve de definición á \( p(u) \)
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 24

u = \int_{p(u)}^{\infty} \frac{dx}{\Delta x} = \int_{p(u)}^{\infty} \frac{du}{2 \sqrt{(x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)}}
de donde
\[
\Delta x = \sqrt{4x^3 - g_2 x - g_3}
\]
Tenemos
\[
u = \frac{1}{2} \int_{p(u)}^{\infty} x^{-\frac{8}{3}} \left(1 - \frac{e_1}{x}\right)^{-\frac{1}{2}} \left(1 - \frac{e_2}{x}\right)^{-\frac{1}{2}} \left(1 - \frac{e_3}{x}\right)^{-\frac{1}{2}} dx,
\]
\[
u = \int_{p(u)}^{\infty} x^{-\frac{8}{3}} \left(1 - \frac{e_1}{x}\right)^{-\frac{1}{2}} \left(1 - \frac{e_2}{x}\right)^{-\frac{1}{2}} \left(1 - \frac{e_3}{x}\right)^{-\frac{1}{2}} dx,
\]
6, desarrollando en serie los binomios
\[
u = \frac{1}{2} \int_{p(u)}^{\infty} \left(x^{-\frac{8}{3}} + A x^{-\frac{5}{2}} + B x^{-\frac{7}{2}} + \ldots\right) dx
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{p(u)}} \left[1 + \frac{A}{3} p(u)^{-1} + \frac{B}{5} (p(u))^{-2} + \ldots\right]
\]
Esta igualdad da
\[
u^2 p(u) = 1 + \frac{2A}{3} \left(p(u)\right)^{-1} + \ldots,
\]
de la que resulta, por ser \( p(o) = \infty \),
\[
\lim_{u \to o} u^2 p(u) = 1
\]
Por ser \( w \) un período de \( p(u) \), tenemos además
\[
\lim_{u = w} (u - w)^2 p(u) = \lim_{u = o} u^2 p(u + w) = \lim_{u = o} u^2 p(u) = 1
\]
Esto sentado, por ser \( p(u) \) una función uniforme y \( w \) uno de sus infinitos, tenemos, en la proximidad del punto \( w \) (en virtud del teorema de Laurent),
\[
p(u) = \ldots + \frac{A_3}{(u - w)^3} + \frac{A_2}{(u - w)^2} + \frac{A_1}{u - w} + a_0 + a_1(u - w) + a_2(u - w)^2 + \ldots,
\]
representando \( A_1, A_2, A_3, \ldots \) cantidades constantes.
Pero, debiendo ser
\[
\lim_{u = w} (u - w)^2 p(u) = 1,
\]
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 25

tenemos

\[
\lim_{u \to w} \left[ A_2 + \frac{A_3}{u-w} + \frac{A_4}{(u-w)^2} + \ldots \right] = 1,
\]

lo que da

\[
A_2 = 1, \quad A_3 = 0, \quad A_4 = 0, \ldots
\]

Por otra parte, por ser \(w\) un período de \(p(u)\), tenemos, en la proximidad del punto \(u = 0\),

\[
p(u) = p(u + w) = \frac{1}{u^2} + \frac{A_1}{u} + a_0 + a_1 u + \ldots
\]

y esta igualdad muestra que (por ser \(p(u)\) una función par),

\[
A_1 = 0, \quad a_1 = 0, \quad a_3 = 0, \ldots
\]

Sustituyendo estos valores de \(A_1, A_2, \ldots\) en la representación anterior de \(p(u)\), resulta la igualdad

\[
p(u) = \frac{1}{(u-w)^2} + a_0 + a_2 u^2 + \ldots,
\]

que tiene lugar en la proximidad del punto \(u = w\), y que da

\[
p'(u) = \frac{2}{(u-w)^3} + 2 a_2 u^2 + \ldots
\]

Basados en esta igualdad, vamos á resolver la cuestión propuesta. Se sabe que la función \(\varphi(u)\), definida por la serie

\[
\varphi(u) = - \sum \frac{2}{(u-m)^3},
\]

en la que la suma representada por \(\Sigma\) se refiere á todos los valores enteros de los números \(n\) y \(m\) que entran en

\[
w = 2 n \omega_1 + 2 m \omega_2,
\]

es uniformemente convergente en cualquier área que no contenga punto alguno de los que fueron designados por \(w\). Es pues, natural comparar la función \(p'(u)\) con la función \(\varphi(u)\) definida por esta serie.

Para hacer esta comparación, notemos en primer lugar que \(\varphi(u)\) admite derivadas de todos los órdenes, finitas en todos los puntos de \(w\), y dadas por las relaciones

\[
\varphi'(u) = \sum \frac{2 \cdot 3}{(u-m)^4}, \qquad \varphi''(u) = \sum \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{(u-m)^5}; \ldots
\]

visto que estas series son todas uniformemente convergentes en la misma área en que lo es el desarrollo que define á \(\varphi(u)\).
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 26

En los puntos diferentes de \( w \), como las dos funciones \( \varphi (u) \) y \( p' (u) \) admiten derivadas finitas, la función \( p' (u) - \varphi (u) \) también admite derivadas finitas.

En la proximidad del punto \( w_1 \), representando por \( w_1 \) uno de los valores de \( w \), tenemos

\[
\varphi (u) + \sum \frac{2}{(u - w_j)^3} = - \sum \frac{2}{(u - w)^3},
\]

(debiendo en el segundo miembro de esta igualdad excluirse \( w_1 \) de los valores dados á \( w \)), y

\[
p' (u) = - \frac{2}{(u - w)^3} + 2a_2 (u - w_1) + \ldots,
\]

por tanto

\[
p' (u) - \varphi (u) = \sum \frac{2}{(u - w)^3} + 2a_2 (u - w_1) + \ldots,
\]

en la que el segundo miembro admite derivadas de todos los órdenes, finitas en el punto \( w_0 \).

Luego la función \( p' (u) - \varphi (u) \) admite derivadas de todos los órdenes finitas en todo el plano, y es por tanto una función holomorfa de \( u \), que representaremos por \( F (u) \).

Tenemos además

\[
p' (u) - F (u) - \sum \frac{2}{(u - w)^3}
\]

Queda por determinar la función \( F (u) \).

Observemos para ello que la función \( \varphi (u) \) es periódica y que sus períodos son los de \( p' (u) \). En efecto, cambiando en \( w = 2n \omega_1 + 2m \omega_2 \), \( n \) en \( m + n_1 \) y \( m \) en \( m + m_1 \), resulta

\[
\varphi (u) = - \sum \frac{2}{|u - 2(n + n_1)\omega_1 - 2(m + m_1)\omega_2|^3},
\]

y cambiando después \( u \) en \( u + 2n_1 \omega_1 + 2m_1 \omega_2 \),

\[
\varphi (u + 2n_1 \omega_1 + 2m_1 \omega_2) = - \sum \frac{2}{|u - 2n_1 \omega_1 - 2m_1 \omega_2|^3} = \varphi (u).
\]

Luego la función holomorfa \( F (u) \) es doblemente periódica y por tanto, en virtud de un teorema de la teoría de las funciones doblemente periódicas muy conocido, es igual á una constante \( c \).
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 27

Tenemos pues,

\[
p'(u) = c - \sum \frac{2}{(u - w)^3}
\]

Para determinar \(c\) basta hacer en esta igualdad \(u = \omega_1\), y en virtud de las igualdades

\[
p'(\omega_1) = 0, \quad \sum \left[ (2n-1)\omega_1 + 2m\omega_2 \right]^3 = 0,
\]

la segunda de las cuales resulta de hacer corresponder á cada término de la suma que representa otro igual y de signo contrario, que se obtiene cambiando \(2n-1\) en \(-(2n-1)\) y \(m\) en \(-m\). Tenemos de este modo \(c = 0\).

Tenemos además

\[
p'(u) = - \sum \frac{2}{(u - w)^3},
\]

de donde

\[
w = 2n\omega_1 + 2m\omega_2, \qquad m \left\{ \begin{array}{l} = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{array} \right.
\]

De estas igualdades resulta el desarrollo de \(p(u)\), integrando entre los límites 0 y \(u\) los dos miembros. Tenemos de este modo, separando el término correspondiente á \(m = 0,\ n = 0\),

\[
\int_0^u \left[ p'(u) + \frac{2}{u^3} \right] du = \sum \left[ \frac{1}{(u-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right],
\]

\[
p(u) - \frac{1}{u^2} - \lim_{u \to 0} \left[ p(u) - \frac{1}{u^2} \right] = \sum \left[ \frac{1}{(u-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right].
\]

Pero, por ser en la proximidad del punto \(u = 0\),

\[
p(u) = \frac{1}{u^2} + a_0 + a_2 u^2 + \ldots
\]

y

\[
p''(u) = 4 p^3(u) - g_1 p(u) - g_3,
\]

podemos sustituir en esta segunda igualdad \(p(u)\) y \(p'(u)\) por sus desarrollos dados para la primera é igualar después los coeficientes de las mismas potencias de \(u\) en los dos miembros del resultado. Hálase de este modo que es \(a_0 = 0\). Luego
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 28

\[
\lim_{n \to 0} \left[ p(n) - \frac{1}{n^2} \right] = a_n = 0.
\]

Tenemos enseguida

\[
p(n) = \frac{1}{n^2} + \sum \left[ \frac{1}{(n-n_i)^2} - \frac{1}{n^2} \right],
\]

que es la fórmula que nos proponíamos obtener.

SOBRE ALGUNAS NOTAS DE GEOMETRÍA INFINITESIMAL
POR EL SR. CESARO (E.).
Profesor de la Universidad de Nápoles.

Las curvas consideradas en un artículo (1) de M. Husquin de Rhéville no son otras que las espirales sinusoides, y la propiedad enunciada al fin del artículo se ha señalado ya por más de un autor (1). Las espirales sinusoides están caracterizadas por la ecuación intrínseca

\[
s = k \int \frac{d \varphi}{\sqrt{\left( \frac{\varphi}{a} \right)^n - 1}}
\]

(1)

para \( n = 1 + k \). La misma ecuación representa, para \( n = 2k \), las líneas de Ribaucour. También representa, cualquiera que sea \( k \), las líneas cicloidales para \( n = -2 \), los alisoides, para \( n = 1 \) los alisoides de igual resistencia, para \( x = 2 \), etc. Las evolutas de todas estas curvas tienen por ecuación intrínseca

\[
\varphi = \frac{s}{k} \sqrt{\left( \frac{s}{a} \right)^n - 1}
\]

(2)

Se las encuentra frecuentemente en las investigaciones de Geometría infinitesimal, pero rara vez se toma el cuidado de asegurarse, por decirlo así, de su identidad. Por ejemplo, las curvas estudiadas por MM. Nies y Müller en los Programas de los Gimnasios de Darmastadt y de Berlín (3) son las evolutas de las líneas de Ribaucour, que se hallan definidas en los trabajos ya citados por la siguiente propiedad:

\[
s = a \cdot x^m
\]

(3)

(1) Nouvelles Annales, 1890, p. 148.
(2) Nouvelles Annales, 1890, p. 185.
(3) Bulletin de Darboux, 1890, p. 58 (1er partie).