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El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 12

le produit extérieur (\( x e_1 \)) \( e_2 \) se compose du produit extérieur (\( x e_2 \)) et du facteur \( e_2 \).

Recherchons alors ce que représente l'expression \( xe_1 \).
On peut écrire l'équation (59)

\[
xe_1 e_2 = x_{12}
\]

sous la forme

\[
(xe_1) \cdot \frac{e_2}{x_{12}} = 1, \quad \text{ou} \quad xe_1 = \left| \begin{array}{cc} -c_2 & 1 \\ x_{12} & x_{12} \end{array} \right| e_2.
\]

Donc \( xe_1 \) est à moins d'un facteur numérique, le supplément d'un point, c'est-à-dire, un segment de droite [voir les équations (43)].

Alors l'équation (63), écrite sous la forme \( (xe_1)e_2 = 0 \), dit que le point \( e_2 \) est situé sur la droite \( xe_1 \).

De même, en général, l'équation

\[(64)\]
\[
xyz = 0.
\]

ou \( y \) et \( z \) sont deux points quelconques, donnés dans le plan \( e_1 e_1 e_3 \), dit 1) que la couple \( y, z \) est harmonique par rapport aux points d'intersection de la droite \( yz \) et de la conique \( x \), 2) que le point \( z \) est situé sur la droite \( xy \).

Or, si le point \( y \) est fixe, il en est de même à l'égard de \( xy \) qui ne dépend que de la conique \( x \) et du point \( y \). Et si, en outre, le point \( z \) est variable, la droite \( xy \) est son lieu géométrique, c'est-à-dire: la droite \( xy \) est la polaire du point \( y \) par rapport à la conique \( x \). De même l'équation (64) confirme le fait connu que le point \( y \) est situé sur la droite \( az \).

16. Si l'on remplace \( e_1 \) par \( y \), \( e_2 \) par \( z \), les équations (62) et (62a) changent en

\[(65)\]
\[
axy^2 + 2\lambda xyz + \lambda^2 zx^2 = 0.
\]

\[(65a)\]
\[
x^{(1)} = y + \lambda z, \quad x^{(2)} = y - \lambda z.
\]

Mais en vertu de (64) l'équation (65) devient:

\[(66)\]
\[
axy^2 + \lambda^2 zx^2 = 0.
\]

Or si l'on pose \( \lambda = 0 \), il résulte de (66) et (65a):

\[
axy^2 = 0; \quad x^{(1)} = x^{(2)} = y.
\]

c'est-à-dire: Les points d'intersection de la sécante \( x^{(1)}, x^{(2)} \), tournant de l'un ou de l'autre côté autour du point \( z \), coïncident avec le point \( y \) arrivé sur la courbe \( x \). La sécante est devenue tangente, et la polaire de \( z \) passe par les points de contact des deux tangentes \( xy \).
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D'autre part on peut écrire les équations (65a) sous la forme:
\[
(1 + \lambda)\ x^{(1)} = y + \lambda z; \quad (1 - \lambda)\ x^{(2)} = y - \lambda z,
\]
d'où il s'ensuit, en posant encore \( \lambda = 1 \):
\[
y' = z := x^{(1)};
\]
c'est-à-dire: Les points \( y \) et \( z \), avancés tous les deux sur la droite fixe \( x^{(1)}, x^{(2)} \) jusqu'à la rencontre du point \( x^{(1)} \), coïncident avec ce point, et leurs polaires avec la tangente à ce même point.

Donc, si le point \( x \) est situé sur la conique \( \alpha \), la tangente à ce point est \( \alpha x \).

17, Applications.—Retournons à l'exemple traité dans les numéros 8 y 9.—L'équation générale d'une conique \( \alpha x^2 = 0 \) change en (28), si l'on pose:

(67)
\[
\alpha_{11} = \alpha_{22} = \alpha_{33} = 0; \quad \alpha_{12} = x_3, \quad \alpha_{23} = x_1, \quad \alpha_{31} = x_2.
\]

La tangente au point \( e_i \) est \( xe_i \), et son équation: \( \alpha e_i x = 0 \), ou
\[
\alpha e_i^2 x_1 + \alpha e_i e_2 x_2 + \alpha e_i e_3 x_3 = 0,
\]
ou [(59) et (67)]

(68)
\[
\alpha_3 x_3 + \alpha_2 x_2 = 0, \quad \text{ou} \quad \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_2} = 0.
\]

D'autre part la même tangente, renfermant les points \( e_i \) et \( x \), est représentée par le produit

(69)
\[
(xe_i) \equiv x_2(e_2 e_1) + x_3(e_3 e_1) \equiv -\alpha_2(e_2 e_1) + \alpha_3(e_3 e_1).
\]

Mais il résulte de (9)

(70)
\[
(A_1 e_2) \equiv \alpha_3(e_3 e_1) - \alpha_2(e_2 e_1).
\]

Donc les droites \( (xe_i) \) et \( (A_1 e_i) \) coïncident, et on a le théorème:
Les droites \( A_1 e_1, \ A_2 e_2, \ A_3 e_3 \) sont tangentes de la conique (28) aux points correspondants \( e_1, e_2, e_3 \).

Le point \( P := \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 \) se nomme point caractéristique de la conique \( \alpha_1 x_1 x_3 + \alpha_2 x_2 x_3 + \alpha_3 x_1 x_2 = 0 \) (28).

Les tangentes \( A_1 e_1, \ A_2 e_2, \ A_3 e_3 \) forment un triangle dont on trouve les sommets \( M_1, M_2, M_3 \) en additionnant les formules (9) deux à deux. Ainsi on obtient:
\[
A_1 + A_2 := x_1 e_1 - x_2 e_2,
\]
d'où:
(71)
\[
M_3 := A_2 + x_2 e_2 = \alpha_1 e_1 - A_1 = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 - \alpha_3 e_3;
\]
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puis:

De même: (72) \( \left\{ \begin{array}{l} M_3 + 2x_3e_3 \equiv x_1e_1 + x_2e_2 + a_3e_3 \equiv P. \\ M_1 + 2x_1e_1 \equiv P; \quad M_2 + 2x_2e_2 \equiv P. \end{array} \right. \)

Donc on a le théorème:
Si P est le point caractéristique d'une conique par rapport à un triangle e_1e_2e_3, et M_1M_2M_3 le triangle formé par les tangentes aux points e_1, e_2, e_3, alors les droites joignant les sommets correspondants de ces deux triangles passent par le point P.

18. Si, dans l'équation

(25) \[ x \equiv x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3, \]

on pose

(73) \[ x_1 + x_2 + x_3 = 0, \quad \text{ou } x_3 = -x_1 - x_2, \]

alors, en substituant cette valeur dans (25) et posant

(74) \[ (e_1 - e_3) = e_2, \quad (e_2 - e_3) = e_1, \]

on obtient:

(75) \[ x \equiv x_1e_2 + x_2e_1. \]

Cela veut dire: x est une distance ou un point situé à l'infini, et (73) est l'équation de ce point.

Soit

(76) \[ \xi \equiv \xi_1 | e_1 + \xi_2 | e_2 + \xi_3 | e_3 \]

l'équation d'une droite quelconque. Elle passe par le point infini x, si l'on a

(77) \[ (x \xi) \equiv x_1\xi_1 + x_2\xi_2 + x_3\xi_3 = 0, \]

d'où, en regardant (73)

(78) \[ x_1 : x_2 : x_3 = (\xi_3 - \xi_1) : (\xi_3 - \xi_2) : (\xi_1 - \xi_2). \]

La droite \( \xi \) est le lieu géométrique du point x, si toutes les valeurs de \( x_1, x_2, x_3 \) satisfont à l'équation (78). Il faut donc qu'on aie

(79) \[ \xi_1 = \xi_2 = \xi_3. \]

Donc

(80) \[ \xi \equiv | e_1 + | e_2 + | e_3 \]

est l'expression de la droite infiniment éloignée, dont l'équation est:

(80a) \[ x_1 + x_2 + x_3 = 0. \]
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19. En vertu des résultats précédents nous parvenons à trouver le centre de la conique susdite. En effet, si

(81) \[ M \equiv \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + \mu_3 e_3 \]

est d'abord un point quelconque, l'équation de la polaire de M est (64):

(82) \[ \alpha M x = 0, \]

ou, en regardant (25) et (81):

\[ x (\mu_1 e_1 + \mu_2 e_2 + \mu_3 e_3) (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = 0, \]

ou

(83) \[ \alpha_{12} (\mu_1 x_2 + \mu_2 x_1) + \alpha_{23} (\mu_2 x_3 + \mu_3 x_2) + \alpha_{31} (\mu_3 x_1 + \mu_1 x_3) = 0, \]

ou, en faisant usage des abréviations (87):

(84) \[ (x_2 \mu_3 + x_3 \mu_2) x_1 + (x_3 \mu_1 + x_1 \mu_3) x_2 + (x_1 \mu_2 + x_2 \mu_1) x_3 = 0, \]

Alors, pour que M soit le centre de la conique, il faut que la polaire correspondante soit la droite infiniment éloignée. Donc il faut poser dans l'équation de cette polaire (84), selon les conditions (77) et (79):

(85) \[ \alpha_2 \mu_3 + \alpha_3 \mu_2 = x_3 \mu_1 + x_1 \mu_3 = \alpha_1 \mu_2 + \alpha_2 \mu_1. \]

En posant

86 \[ \alpha_2 + \alpha_3 - \alpha_1 = \lambda, \quad \alpha_3 + \alpha_1 - \alpha_2 = \mu, \quad \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 = \nu, \]

on déduit de ces équations les suivantes:

(87) \[ \mu_1 : \mu_2 : \mu_3 = x_1 \lambda : x_2 \mu : x_3 \nu \]

Donc, en substituant ces valeurs dans (81), on obtient pour le centre de la conique l'expression:

(88) \[ M \equiv x_1 \lambda e_1 + x_2 \mu e_2 + x_3 \nu e_3. \]

20. Pour dériver le même point M des points \( M_1, M_2, M_3 \), écrivons d'abord les équations (72) sous la forme:

\[ v M_3 + 2 x_2 e_3 = \lambda M_1 + 2 x_1 e_1 = \mu M_2 + 2 x_2 e_2 = P. \]

Alors on peut en déduire les équations suivantes:

(89) \[
\begin{cases}
\lambda M_1 + \mu M_2 = 2 x_3 e_3 \\
\mu M_3 + v M_3 = 2 x_1 e_1 \\
v M_3 + \lambda M_1 = 2 x_2 e_2.
\end{cases}
\]
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 16

Donc:
\[
M \equiv \lambda (\mu M_1 + v M_3) + \mu (v M_3 + \lambda M_1) + v (\lambda M_1 + \mu M_2),
\]
ou
(90) \( M \equiv \lambda \mu (M_1 + M_3) + \mu v (M_2 + M_3) + v \lambda (M_3 + M_1) \).

Soient alors \( U_1, U_2, U_3 \) les centres des distances \( M_2 - M_3, M_3 - M_1, M_1 - M_2 \), de sorte que
(91) \( M_1 + M_2 = 2U_3; \quad M_2 + M_3 = 2U_1; \quad M_3 + M_1 = 2U_2; \)
alors on a:
(92) \( M = \mu v U_1 + v \lambda U_2 + \lambda \mu U_3 \).

D'autre part, si \( V_1, V_2, V_3 \) sont les centres des distances \( M_1 - e_1, M_3 - e_3, M_3 - e_3 \), on a, en regardant (89):
\[
2V_1 = M_1 + e_1 = M_1 + \frac{\mu M_2 + v M_3}{2x_1}.
\]
Mais on tire de (86):
\[
2x_1 = \mu + v;
\]
donc
(93) \( 2(\mu + v)V_1 = (\mu + v) M_1 + \mu M_2 + v M_3 \)

Or on obtient de (91).
(94) \( M_1 = U_2 + U_3 - U_1, \quad M_2 = U_4 + U_1 - U_2; \quad M_3 = U_1 + U_2 - U_3. \)

Donc, en substituant ces valeurs dans (93):
\[
\begin{cases}
(\mu + v) V_1 = v U_3 + \mu U_3, \\
(v + \lambda) V_2 = \lambda U_3 + v U_1, \\
(\lambda + \mu) V_3 = \mu U_1 + \lambda U_2.
\end{cases}
\]
(95)

Multiplions ces équations resp. par \( \lambda, \mu, v \) et additionons aux deux membres resp.: \( \mu v U_1, v \lambda U_3, \lambda \mu U_3 \).
Si nous posons encore:
(96) \( U \equiv \mu v U_1 + \lambda v U_3 + \lambda \mu U_3, \)
nous aurons:
(97) \( U \equiv \mu v U_1 + \lambda (\mu + v) V_1 = v \lambda U_2 + \mu (v + \lambda) V_3 \)
\[
= \lambda \mu U_3 + v (\lambda + \mu) V_3,
\]
ce qui fait voir que les droites \( U_1 V_1, U_3 V_2, U_3 V_3 \) passent par le même point \( U \).
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 17

Enfin, en comparant les équations (92) et (96), on voit que les points U et M sont identiques. Donc on peut énoncer le théorème suivant.

Les droites que joignent, dans un triangle \((M_1, M_2, M_3)\), les milieux \((V_1, V_2, V_3)\) de trois transversales quelconques \((M_1e_1, M_2e_2, M_3e_3)\) passant par le même point (P) avec les milieux \((U_1, U_2, U_3)\) des arêtes correspondantes, passent par le centre de la conique qui a des points de contact avec les arêtes aux points extrêmes \((e_1, e_2, e_3)\) des transversales.

Les discussions précédentes n'embrassent qu'une partie des méthodes de Mr. Grassmann, toutes cohérentes entre elles et formant un système de recherche en géométrie et mécanique, joignant les avantages des méthodes analytiques et synthétiques.—Mais nous avons cru bon nous restreindre à ces discussions et applications, pour n'agrandir pas trop l'étendue de ce mémoire.

Extrait de Littérature.

1. H. Grassmann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre. Leipzig 1844, (2me édition 1873).
2. ———: Geometrische Analyse, geknüpfst an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik. Gekrönte Preisschrift. Leipzig 1847.
3. ———: Die Ausdehnungslehre, Vollständig und in strenger Form bearbeitet. Leipzig 1862. (Épuisé; 2me édition projetée).
4. ———: Divers mémoires dans «Crelle's Journal», Vol. 24, 25, 31, 36, 42, 44, 49, 52, 84.
5. ———: Mémoires dans les «Mathematische Annalen». Vol. 7, 12.
6. ———: Mémoires dans les «Nachrichten der Kgl. Gesellschaft d. Wissenschaften in Göttingen» 1872.

7. V. Schlegel: Hermann Grassmann, sein Leben und seine Werke. Leipzig 1878.
8. Favaro: Della vita e degli scritti fisico-matematici di Ermanno Grassmann (Bulletino di Bibliogr. e di storia d. scienze mat. Tom. XI).
9. (Plusieurs auteurs): Hermann Grassmann. Sein Leben und seine mathemat.—Physik. Arbeiten. (Math. Ann. Vol XIV).
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 18

10. Schlegel: Untersuchungen über eine Fläche 3° Ordnung. Berlin, Calvary 1871. (Programme d'école).
11. ————: System der Raumlehre, 2 vol. Leipzig 1872 et 1875.
12. ————: Ueber die mechanische Erzeugung von Curven. (Math. Ann. Vol. VI).
13. Clifford: Applications of Grassmann's extension Algebra. (American Journ. of Math. Vol. I).
14. Mehmke: Anwendung der Grasman'schen Ausdehnungslehre auf die Geometrie der Kreise in der Ebene. Dissertation Tübingen 1880.
15. Noth: Die Arithmetik der Lage. Leipzig 1892.
16. Lüroth: Grundriss der Mechanik. München 1881.
17. Schlegel: Quelques théorèmes de géométrie à n dimensions. (Bull. Soc. math. de France. X).
18. Hyde: Calculus of direction and position. Americ. Journ. VI).
19. Gibbs: Elements of vector analysis. New-Haven 1881-84.
20. Schlegel: Ueber neuere geometrische Methoden u. ihre Verwandtschaft mit der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. (Schloemilch Ztscher. Vol, XXIV).
21. Peano: Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann. Turin 1888.
22. Beman: A brief account of the essentiel features of Grassmann's extension Algebra (Anal. VIII).
23. Mahler: Einleitung in die Grassmann'sche Ausdehnungslehre 1884. Ulm. (Programme d'école).
24. Schendel: Grundzüge der Algebra nach Grassmann'schen Prinzipien. Halle 1885.
25. Caspary: Ueber die Umformung gewisser Determinanten, welche in der Lehre von den Kegelschnitten vorkommen. (Crelle Journal Vol XCII).
26. Carvallo: Exposition d'une méthode de M. Caspary, pour l'étude des courbes gauches. (Bull. Soc. math de France. Vol XV).

En outre nombreux mémoires dont les auteurs font usage des méthodes de H. Grassmann, surtout des Messieurs: Caspary, Mehmke, Roth, Sturm, Scott, Cox, Hyde, Buchheim, Gibbs, Schendel, Dingeldey, Fine, Study, H. Grassmann (cadet), Koelmel, Waelsch, Fritz, etc.
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 19

REVISTA BIBLIOGRÁFICA

CURSO DE ANALYSE INFINITESIMAL, por F. Gomes Teixeira (cálculo integral, 2.a parte. Porto 1892).

Ya en el tomo I, páginas 115-119 de esta periódico se publicó una reseña sobre el Cálculo diferencial á que el Sr. Gomes Teixeira destina el primer tomo de su excelente obra, y el no haberse hecho lo mismo respecto al tomo II (Cálculo integral, 1.a parte) dependió de que, agotada rápidamente la primera edición de éste, esperábamos la segunda, así como la segunda parte del cálculo integral, que se publicó el año pasado.

En toda la obra se conoce el dominio que su autor tiene de esta parte de la ciencia á que dedica constantemente su actividad en numerosas publicaciones de diversos países, y muchos puntos de vista y desarrollos originales, fruto de su investigación individual, como vimos ya al tratar del primer tomo, según hemos manifestado.

Los ocho capítulos de la 1.a parte tratan sucesivamente de:—I. Las integrales indefinidas (funciones racionales, irracionales, integrales elípticas é hiperelípticas é integración de algunas funciones trascendentales).—II. Integrales definidas (métodos generales, valores medios, extensión al caso de las funciones discontinuas y de los límites infinitos, integración por series, diferenciación é integración de funciones definidas por integrales, integración de las diferenciales totales).—III. Aplicaciones geométricas (áreas de las figuras planas, cálculo aproximado de las integrales definidas, rectificación de las curvas, integrales duplas y volúmenes, áreas de las superficies curvas).—IV. Aplicaciones analíticas de las integrales definidas (aplicaciones al Algebra, aplicación á la teoría del número \( \pi \), ídem al desarrollo de las funciones en serie.

En fin, los restantes capítulos tratan respectivamente de las integraciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, de las de órdenes superiores al primero, de las de derivadas parciales, terminando con las aplicaciones geométricas á las curvas planas, en el espacio y á las superficies.

El tomo III (2.a parte del cálculo integral) contiene las materias siguientes: Capítulo I. Integración de las funciones de variables imaginarias.—Capítulo II. Integrales eulerianas; función \( \Gamma \) (a).—Capítulo III. Funciones elípticas.—Capítulo IV. Aplicaciones de la teoría de las funciones elípticas.—Capítulo V. Funciones multiformes.—Capítulo VI. Método de las variaciones.
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 2

se llaman filósofos. Tales gentes necesitan que se les conquiste poco á poco para las nuevas doctrinas por las cuales hoy no pueden sentir ningún amor. Parte de ellos se dedica á la Psicología experimental, parte á la Metafísica más abstracta y laberíntica. Es, pues, lo más probable que poquísimos de ellos estén contentos de sujetarse al férreo yugo de una ciencia tan encadenada y rigurosa como la de las matemáticas, donde queda poco espacio para las suposiciones, divergencias y espíritu de partido. Creo que el reconciliar á este público con la Lógica simbólica, será obra principalmente de mi sabio amigo el Dr. Nagy profesor en el Liceo Mancinelli de Velletri (Roma), y ventajosamente conocido en la ciencia. Aunque de procedencia húngara, como indica su apellido, es, sin embargo, un italiano bien amante de su nación. Me parece que es el primer matemático de Italia que se haya ocupado de Lógica exacta, ya que desde muy temprano se empezó á apasionar por ella con ocasión de estudiar en el gimnasio de Zara, continuando luego su carrera en la Universidad de Viena, donde escogió como tema de su tesis doctoral el siguiente: Ueber Anwendungen der Mathematik auf die Logik.

Los principales resultados consignados en esta hermosa é interesantísima memoria en que se ponen de manifiesto los grandes conocimientos matemáticos y filosóficos de su autor, no menos que su profunda erudición, han sido después consignados también en sus Fondamenti del calcolo logico, publicados en el Giornale di Matematiche del Sr. Battaglini. Curiosas son en extremo también dos notas suyas, publicadas en las actas de la Academia dei Lincei y referentes á las representaciones gráficas en la Lógica, asunto que había sido poco estudiado aún. El Sr. Nagy no posee solamente las matemáticas y la Lógica, conoce perfectamente además la Historia de la Filosofía, y esperamos como un acontecimiento la publicación de sus trabajos acerca de la Filosofía entre los orientales. Varios artículos lleva también publicados en la Rivista di Filosofia Italiana, uno de ellos referente á la Geometría Euclídea. Pero especialmente es de notar su última obra que la casa editorial Loescher ha publicado en Turín. Me refiero á sus Principi di Logica esposti secondo le dottrina moderne, de que ya se ha ocupado en este periódico mi ilustrado y querido amigo el Sr. Galdeano. Sólo diré que el autor procurará hacerse perdonar de los filósofos de su país el haber introducido en su libro la Lógica matemática, dando en cambio cierta extensión á la historia de la Lógica entre los griegos y latinos, y haciendo alarde de sus envidiables conocimientos y aptitudes.

Deseamos, para terminar, que al lado de los Sres. Nagy y Peano
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 20

Entre los resultados propios del Sr. Gomes Teixeira citaremos Una demostración nuova de un importante teorema sobre la integral \( \int f(x, \sqrt{y}) dx \), una descomposición de la integral \( \int e^{mx} f(x) dx \), una simplificación notable del método de Imschenetsky, de que se ocupó también el sabio director de la Academia Politécnica de Oporto en el Bulletin de la Société mathématique de France, la generalización de un resultado de M. Apell acerca de la ecuación diferencial

\[
(x - y) s - a' p + a q = 0
\]

Esto en el tomo II; y en el III la reproducción de un trabajo publicado en los Nouvelles Annales sobre la integral \( \int_0^{\pi} \cot (x - a - ib) dx \)

que toma el valor \( i\pi \), si \( b > 0 \) y \( -i\pi \), si \( b < 0 \), la demostración de un teorema del Sr. Hermite sobre la interpolación, además una expresión de \( \log \Gamma(a) \) por medio de una integral definida, etc., etc.

Pero sobre todo lo que constituye en un precioso auxiliar la obra del Sr. Gomes Teixeira, es que, como conocedor experto de esta elevada rama de la ciencia matemática, ilumina los puntos difíciles con indicaciones ó ejemplos oportunos que á veces sólo se suplen á expensas de mucho trabajo y tiempo, ó de una prolongada experiencia.

TRAITE D'ARITHMETIQUE AVEC DES COMPLEMENTS, par E. Humbert: París. Librairie Nony, 1893.

Esta obra, notable bajo muchos conceptos, como podrá convenecerse el lector sólo con la enumeración de las materias que contiene, se divide en seis libros.

Libro primero. Números enteros.—Primeras operaciones.—Capítulo I. Numeración.—Capítulo II. Adición.—Capítulo III. Sustracción. Capítulo IV. Multiplicación.—Capítulo V. División.—Capítulo VI. Divisibilidad.

Libro segundo. Propiedades de los números.—Capítulo I. Números primos.—Capítulo II. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.—Capítulo III. Descomposición de los números en factores primos.

Libro tercero. Números fraccionarios.—Números decimales.—Capítulo I. Números fraccionarios.—Capítulo II. Operaciones sobre los números fraccionarios.—Capítulo III. Números decimales.

Libro cuarto. Raíces.—Números incommensurables.—Capítulo I. Raíz cuadrada.—Capítulo II. Raíz cúbica.—Capítulo III. Números incommensurables ó irracionales.
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 21

Libro quinto. Razones y proporciones.—Reglas de tres, de interés, etc.—Capítulo I. Razones y proporciones.—Capítulo II. Magnitudes proporcionales.—Reglas de tres, etc.

Libro sexto. Capítulo I. Errores.—Capítulo II. Problemas y teoremas.—Capítulo III. Sistema métrico decimal.

La obra del Sr. Humbert, además de ser una Aritmética completa, es una preparación para la teoría de los números, pues aparte del texto, y en caracteres más pequeños, contiene las proposiciones fundamentales de esta teoría. Las demostraciones tienen el carácter intuitivo que corresponde á las proposiciones de esta rama elemental, y al mismo tiempo tiene algo de esquemático que tanto facilita al alumno la adquisición del espíritu matemático, pues con mucho acierto se emplea la doble notación del número por medio de letras y de guarismos.

En la parte complementaria de la sustracción trata de los números enteros negativos, cuyo concepto desenvuelve fundándose en la igualdad \( B + C = A \), considerando sucesivamente los casos de ser \( A > B \) y \( B > A \), y extiende á las propiedades de los números negativos y de las sumas algebraicas.

En la multiplicación parte de la definición particular é intuitiva, que le permite demostrar con elegancia, y elevándose gradualmente y con predominio del carácter intuitivo, las propiedades commutativa y distributiva, llegando al cálculo relativo á los exponentes, extendiéndose en la parte complementaria á los números positivos y negativos.

Análogamente desenvuelve la teoría de la división partiendo de la igualdad \( B = AQ + R \) que la define, demostrando con rigor, elegancia y de una manera sistemática las propiedades fundamentales, terminando con las de cocientes de potencias y con la extensión á los números negativos, tratando también de los sistemas de numeración.

En el capítulo destinado á la divisibilidad es de notar los restos negativos, los caracteres de divisibilidad por un número cualquiera positivo y en un sistema de numeración cualquiera.

En la parte complementaria de los números primos trata de los restos de las potencias de un número relativo á un módulo primo dado, períodos de restos de las diversas potencias de 10, exponente á que pertenece un número, teorema de Fermat.

Siguen las teorías del máximo común divisor y mínimo común múltiplo, expuestas con el mismo buen orden y claridad que todo el resto de la obra, que terminan con la fórmula de Gauss para la obtención del mínimo común múltiplo, del cálculo de los restos, demostrándose la notable propiedad, por sus aplicaciones, de que el máximo