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El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 2

9.—Resumen.

Una función es monodroma ó monotropa, cuando adquiere un valor único y determinado para otro también determinado de la variable independiente.

Llámase la función politropa cuando adquiere diferentes valores para uno dado á la variable independiente, es decir, que mientras

\( z_0 MNN'z_0 \) es equivalente al elemental \( z_0 CDECz_0 \); el \( z_0 N'NPQQ'z_0 \) al mismo elemental anterior si bien en sentido contrario; además \( z_0 QZ \) equivale á \( L \) según el mismo principio de Cauchy; luego el camino

\[
z_0 MNN'z_0 N'NPQQ'z_0 Q'Qz
\]

es equivalente á KK\(^{-1}\)L. Ahora sea:

\[
u = \log_z \varphi_0 + i (\varphi_0 + 2K_0 \pi)
\]

el valor inicial de \( \log_z \) al punto \( z_0 \); U su valor final en Z, cuando siga el camino \( L \). El argumento \( z \) aumenta \( 2\pi \) cuando describe el contorno elemental; luego \( \log_z \) volverá al punto de partida \( z_0 \) con el valor inicial \( u_0 + 2\pi i \). Si \( z \) describe luego el camino expresado por K\(^{-1}\), el argumento disminuye de \( 2\pi \) y en su virtud \( \log_z \) de \( 2\pi i \), alcanzando la función el mismo valor primitivo \( u_0 \); siguiendo, por fin, la línea \( L \) adquiere el valor \( u \). En general, el valor final de \( \log_z \) correspondiente á un camino cualquiera \( L' \) será: \( u + \delta 2\pi i \), siendo \( \delta \) la diferencia entre el número de veces que el camino \( L' \) corta á la línea \( OI \) de derecha á izquierda y de izquierda á derecha.

Sí consideramos ahora la función algebraica

\[
o = A u^m + B u^{m-1} + ... = F(z, u);
\]

A, B..., siendo polinomios de \( z \). Si la variable se mueve por todo el plano (excepto por los puntos críticos), se puede en este caso también reducir los diferentes caminos que van de \( z_0 \) á \( Z \) á una serie de caminos elementales.

Sea \( L \) un camino fijo escogido á voluntad de \( z_0 \) á \( Z \). Juntemos \( z_0 \) con los puntos críticos \( a, b, c,... \) por medio de contornos elementales. Sean A, B, C,... los valores de estos contornos en sentido directo; A\(^{-1}\), B\(^{-1}\), C\(^{-1}\)... los mismos contornos en sentido inverso. Consideremos una serie de cortantes \( az, b\bar{c}, c\gamma... \) bajo condiciones análogas á las del caso anterior. Tomemos el camino \( z_0 MNPQRSZ = L' \), y en virtud de las líneas de descomposición ZZ\(_0\), NZ\(_0\), S\(_0\)z, se tendrá:

1.º—contorno \( z_0 MNz_0 \) equivalente á A.
2.º—\( z_0 NPQz_0 \) á B\(^{-1}\).
3.a—\( z_0 QRSz_0 \) á A\(^{-1}\).
4.º—\( z_0 SZ \) á L.

En resumen el camino \( L' \) es equivalente al camino \( A\ B^{-1}\ A^{-1}\ L \).
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 20

de las que se deduce

\[
u = \frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 2x + \cosh 2y}, \quad v = \frac{\operatorname{sen} h 2y}{\cos 2x + \cos h 2y}
\] (3)

\[
u^2 + v^2 + 2u \cot 2x - 1 = 0 \quad (4), \qquad u^2 + v^2 - 2v \coth h 2y + 1 = 0 \quad (5)
\]

Cuando \( x \) es constante, la ecuación del camino de \( w \) está dada por la (4), que representa una serie de circunferencias (lam. II fig. 3) que pasan por los puntos \((a+1), (a-1)\).

Cuando \( y \) es constante, la ecuación del camino es la (5), que representa una circunferencia cuyo centro se halla en el eje de las \( v \), y es fácil verificar que el cuadrado de la distancia entre los centros de las circunferencias (4) y (5) es igual á la suma de los cuadrados de sus radios, por lo que resultan ortohónicas.

A una faja del plano : limitada por \( x = - \frac{1}{2} \pi, x = + \frac{1}{2} \pi \), corresponde totalmente el plano \( w \) una vez. Los valores correspondientes de \( z \) pertenecen á la rama principal de la función arc tg \( w \).

A las paralelas verticales del plano de las : corresponden circunferencias que pasan por I y T en el plano \( w \), y á las horizontales, circunferencias en éste que cortan á las primeras ortogonalmente.

No insistiremos en los desarrollos de las series infinitas, de la expresión de ciertas funciones bajo la forma de productos finitos é infinitos, de las expresiones de Bernoulli y de Euler, del teorema de Stirling, de la definición de las funciones algébricas, de los puntos singulares, de los polos, los polos dobles, del empleo del paralelogramo de Newton para determinar en cada punto (singular ó no singular) expresiones convergentes para cada rama de una función algebraica en series, según las potencias ascendentes ó descendentes, de las teorías de las diferencias finitas, de las series recurrentes, del extenso desarrollo dado á las fracciones continuas en la que se estudian diversas especies de ciclos, de la teoría de los continuantes y, en fin, de las propiedades generales de los mismos enteros, y de la teoría de probabilidades con que termina la obra de Mr. Chrystal, pues la sola enumeración de tan variadas materias da idea del vasto plan en que su autor se ha basado para componer esta obra curiosa é interesante por el caudal de doctrinas encerradas en ella.

Z. G. G.
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UN TEOREMA GEOMÉTRICO
POR D. ATANASIO LASALA
Catedrático del Instituto de Bilbao.

(CONTINUACIÓN)

SEGUNDA.—Una paralela á un lado de un triángulo divide á los otros dos en partes proporcionales.

Supongamos dos rectas concurrentes en un punto O y por un punto P exterior al ángulo formado, otras dos rectas que cortan en a, a' y en b, b' á los lados de dicho ángulo.

Imaginando el punto O unido al P por una recta, y considerando las tres concurrentes en P, PO, Pa'a, Pb'b y las transversales Oab y Oa'b', tendremos [1]

\[
\frac{Ob}{Oa} : \frac{Pb}{Pa} = \frac{Ob'}{Oa'} : \frac{Pb'}{Pa'}
\]

que se puede escribir

\[
\frac{Ob}{Oa} : \frac{Pb}{Pb'} = \frac{Ob'}{Oa'} : \frac{Pa}{Pa'}
\]

si P se aleja al infinito, las razones \( \frac{Pb}{Pb'} \) y \( \frac{Pa}{Pa'} \) son iguales á la unidad; luego

\[
\frac{Ob}{Oa} = \frac{Ob'}{Oa'}
\]

TERCERA.—Tres rectas concurrentes en un mismo punto dividen á dos paralelas en partes proporcionales.

Tenemos (fig. 1.a)

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pe} = \frac{b'a'}{b'e'} : \frac{Pa'}{Pe'}
\]

si las transversales abc, a'b'c' son paralelas, será, según hemos visto,

\[
\frac{Pa}{Pe} = \frac{Pa'}{Pe'}
\]

por lo tanto

\[
\frac{ba}{bc} = \frac{b'a'}{b'e'}
\]
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 22

3. Se deducen del teorema fundamental, como inmediatas consecuencias, los siguientes principios de la Geometría superior:

PRIMERO.—Si dos rectas se cortan por otras varias que concurren en un mismo punto, quedan aquéllas divididas homográficamente.

Sean \(a, b, c, d, e\) y \(a', b', c', d', e'\) los puntos de intersección de las rectas del haz (P. ABCDE) con las transversales.

Tenemos [1]

\[
\frac{ca}{cb} : \frac{c'a'}{c'b'} = \frac{Pa}{Pb} : \frac{Pa'}{Pb'}
\]

\[
\frac{da}{db} : \frac{d'a'}{d'b'} = \frac{Pa}{Pb} : \frac{Pa'}{Pb'}
\]

\[
\frac{ea}{eb} : \frac{e'a'}{e'b'} = \frac{Pa}{Pb} : \frac{Pa'}{Pb'}
\]

luego

\[
\frac{ca}{cb} : \frac{c'a'}{c'b'} = \frac{da}{db} : \frac{d'a'}{d'b'} = \frac{ea}{eb} : \frac{e'a'}{e'b'}
\]

SEGUNDO.—Si dos rectas se cortan por cuatro concurrentes en un punto P, la relación anarmónica de los cuatro puntos de intersección a, b, c, d es igual á la de los otros cuatro a', b', c', d'.

De las dos primeras igualdades del teorema anterior se deduce

\[
\frac{ca}{cb} : \frac{c'a'}{c'b'} = \frac{da}{db} : \frac{d'a'}{d'b'}
\]

ó sea

\[
\frac{ca}{cb} : \frac{da}{db} = \frac{c'a'}{c'b'} : \frac{d'a'}{d'b'},
\]

as decir

\[(abcd)=(a'b'c'd').\]

TERCERO.—(Teorema de Menelao). Si los tres lados de un triángulo BBC se cortan por una transversal en los puntos a, b, c, se verifica la relación

\[
\frac{bC}{bA} : \frac{cB}{cA} = \frac{aC}{aB}.
\]
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 23

Suponiendo unidos los puntos A y a por una línea recta, tendremos [1]

\[
\frac{bC}{bA} : \frac{aC}{aA} = \frac{cB}{cA} : \frac{aB}{aA},
\]

fácil de transformar en la igualdad [b].

4. La relación (acbP), constante para cualquiera transversal [1], es igual á la relación \( \frac{bz}{b\gamma} \) entre las distancias del origen común b de los segmentos á las concurrentes PA y PC que pasan por los extremos de los mismos, es decir

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pc} = \frac{bz}{b\gamma}.
\] [c]

Prolongando bz hasta c' (fig. 2.a), tendremos [1]

\[
\frac{ba}{bc} : \frac{Pa}{Pc} = \frac{bz}{bc'} : \frac{Pz}{Pc'} = bz : \frac{Pz.bc'}{Pc'},
\]

los triángulos semejantes Pac' y b\gamma c' nos dan

\[
\frac{Pa}{b\gamma} = \frac{Pc'}{bc'},
\]

de donde \( b\gamma = \frac{Pz.bc'}{Pc'} \);

sustituyendo la fracción \( \frac{Pz.bc'}{Pc'} \) por su igual \( b\gamma \), la primera igualdad se convierte en la relación [c] que debíamos demostrar.

5. La relación [c] puede considerarse bajo otro punto de vista, que no carece de interés.

Trazando un triángulo ABC (fig. 3.a) y una recta AD, interior ó exterior, que partiendo de un vértice A encuentre al lado opuesto, tendremos

\[
\frac{DB}{DC} : \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF},
\]

es decir:

Si desde el vértice de un triángulo se traza una recta que encuentre al lado opuesto, la razón entre los segmentos de éste y la de los lados del ángulo forman proporción con las distancias del pie de dicha recta á los mismos lados.
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 24

En el caso particular de que AD sea bisectriz del ángulo BAC ó del adyacente externo, será \( \frac{DE}{DF} = 1 \), y por lo tanto

\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC},
\]

es decir: la bisectriz de un ángulo interior ó exterior de un triángulo divide al lado opuesto en partes proporcionales á los lados del ángulo.

6. La relación \( \frac{bx}{by} \) (fig. 5.a), entre las distancias del origen b de los segmentos de una transversal abc á las concurrentes PA y PC, es igual á la relación \( \frac{\operatorname{sen}\ BPA}{\operatorname{sen}\ BPC} \) entre los senos de los ángulos que la concurrente PB forma con las otras dos, toda vez que estos senos son las razones \( \frac{bx}{Pb} \) y \( \frac{by}{Pb} \) de las ordenadas bx y by al radio Pb.

Así como la igualdad \( |a| \) del núm. I sirve para establecer relaciones entre segmentos de rectas concurrentes cortadas por concurrentes, la igualdad \( |c| \) del núm. 4 sirve para hallar relaciones entre los senos de los ángulos que forman aquellas rectas, mediante la eliminación de los segmentos rectilíneos, y también para descubrir ó demostrar relaciones entre rectas y senos.

Estas investigaciones nos llevarían muy lejos y podrían dar lugar á trabajos extensos; más como nuestro actual objeto es únicamente poner de relieve la importancia del teorema fundamental, nos limitaremos á exponer algunas aplicaciones de la relación \( |c| \), complementaria de la \( |a| \).

7. Las relaciones anarmónicas de un haz de cuatro rectas son iguales á las relaciones anarmónicas de los cuatro puntos en que una transversal es cortada por dichas rectas.

Tenemos (fig. 3), omitiendo por abreviar la letra P del vértice al designar los ángulos,

\[
\frac{\operatorname{sen}\ CA}{\operatorname{sen}\ CB} = \frac{ca}{cb} : \frac{Pa}{Pb}, \quad \frac{\operatorname{sen}\ DA}{\operatorname{sen}\ DB} = \frac{da}{db} : \frac{Pa}{Pb},
\]

de donde, por división,

\[
\frac{\operatorname{sen}\ CA}{\operatorname{sen}\ CB} : \frac{\operatorname{sen}\ DA}{\operatorname{sen}\ DB} = \frac{ca}{cb} : \frac{da}{db}.
\]
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 25

8. Si un triángulo ABC se corta por una transversal abc, se verifica la relación

\[
\frac{\operatorname{sen} bBC}{\operatorname{sen} bBA} : \frac{\operatorname{sen} cCB}{\operatorname{sen} cCA} = \frac{\operatorname{sen} aAC}{\operatorname{sen} aAB}.
\]

Tenemos

\[
\frac{\operatorname{sen} bBC}{\operatorname{sen} bBA} = \frac{bC}{bA} : \frac{BC}{BA},
\]
\[
\frac{\operatorname{sen} cCB}{\operatorname{sen} cCA} = \frac{cB}{cA} : \frac{CB}{CA};
\]

dividiendo y teniendo presente (Teorema de Menelao) que

\[
\frac{bC}{bA} : \frac{cB}{cA} = \frac{aC}{aB},
\]

resulta

\[
\frac{\operatorname{sen} bBC}{\operatorname{sen} bBA} : \frac{\operatorname{sen} cCB}{\operatorname{sen} cCA} = \frac{aC}{aB} : \frac{AC}{AB} = \frac{\operatorname{sen} aAC}{\operatorname{sen} aAB}.
\]

Se observará sin duda la analogía que guarda esta proposición con el teorema de Menelao.

9. Los lados de un triángulo son proporcionales á los senos de los ángulos opuestos.

Tracemos por un vértice C la paralela CD al lado opuesto, y considerando las concurrentes CA, CB y CD cortadas por la transversal AB, tendremos, llamando M al punto en el infinito en que la AB encuentra á la concurrente CD,

\[
\frac{MA}{MB} : \frac{CA}{CB} = \frac{\operatorname{sen} DCA}{\operatorname{sen} DCB}
\]

pero \( \frac{MA}{MB} = 1 \), \( \operatorname{sen} DCA = \operatorname{sen} BAC \), \( \operatorname{sen} DCB = \operatorname{sen} ABC \), luego

\[
\frac{CB}{CA} = \frac{\operatorname{sen} BAC}{\operatorname{sen} ABC}.
\]

10. Si tres concurrentes en P se cortan por una transversal en tres puntos a, b, c, se verifica la relación

\[
\operatorname{sen} AC \operatorname{sen} b = \operatorname{sen} AB \operatorname{sen} c + \operatorname{sen} BC \operatorname{sen} a \quad [d].
\]

Tenemos

\[
ac = ab + bc,
\]

de donde

\[
1 = \frac{ab}{ac} + \frac{bc}{ac}.
\]
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 26

pero

\[
\frac{ab}{ac} = \frac{Pb}{Pc} \cdot \frac{\sen AB}{\sen AC} = \frac{\sen c}{\sen b} \cdot \frac{\sen AB}{\sen AC},
\]

\[
\frac{bc}{ac} = \frac{Pb}{Pa} \cdot \frac{\sen CB}{\sen CA} = \frac{\sen t}{\sen b} \cdot \frac{\sen CB}{\sen CA};
\]

luego

\[
1 = \frac{\sen c}{\sen b} \cdot \frac{\sen AB}{\sen AC} + \frac{\sen a}{\sen b} \cdot \frac{\sen CB}{\sen CA},
\]

de donde sale la relación \( [d] \).

Para recordarla se sustituyen los segmentos rectilíneos de la igualdad \( ac = ab + bc \) por \( \sen AC, \sen AB, \sen BC \) multiplicados respectivamente por \( \sen b, \sen c, \sen a \).

11. Considerando los radios PB,PC (fig. 9) y otro PA' perpendicular al PA, será

\[
\begin{align*}
\sen AB' \sen c &= \sen BC \sen a + \sen CA' \sen b \\
\sen CA' \sen b &= \sen BA' \sen c - \sen BC \sen a;
\end{align*}
\]

cambiando ahora la PA' por PA, será

\[
\cos CA \sen b = \cos BA \sen c - \sen BC \cos Pac. \tag{e}
\]

12. Suponiendo que la transversal \( abc \) sea sucesivamente perpendicular á las rectas PB y PC, las relaciones \( [d] \) y \( [e] \) darán

\[
\begin{align*}
[d]: \quad &\{\sen AC = \sen AB \cos BC + \sen BC \cos AB \\ &\sen AB = \sen AC \cos BC - \sen BC \cos AC\} \\
[e]: \quad &\{\cos AC = \cos AB \cos BC - \sen BC \sen AB \\ &\cos AB = \cos AC \cos BC + \sen BC \sen AC\}
\end{align*}
\]

Llamando \( a \) al ángulo AB, \( b \) al BC y \( a + b \) al AC, las fórmulas [1] y [3] serán

\[
\begin{align*}
\sen (a + b) &= \sen a \cos b + \sen b \cos a \\
\cos (a + b) &= \cos a \cos b - \sen b \sen a.
\end{align*}
\]

Llamando \( a \) al ángulo AC, \( b \) al BC y \( a - b \) al AB, las fórmulas [2] y [4] serán

\[
\begin{align*}
\sen (a - b) &= \sen a \cos b - \sen b \cos a. \\
\cos (a - b) &= \cos a \cos b + \sen b \sen a.
\end{align*}
\]
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 27

VARIEDADES

EDOUARD LUCAS.—Pérdida inmensa para la ciencia matemática es la que ha tenido tenido lugar con la inesperada muerte del matemático francés Edouard Lucas, cuando, después de presidir el último congreso de Marsella y de publicar el primer tomo de su nueva obra Théorie des nombres, prometía aun dar abundantes frutos de su actividad y de su talento.

Muy conocida es por los aficionados á los ejercicios combinatorios su interesante obra en dos tomos, titulada Recreations mathématiques en la que se desenvuelven las teorías en multitud de juegos como el del gana pierde, de los dominós, los rompe cabezas, el de los puentes y las islas, el de las ocho reinas, el del solitario, el del laberinto, el de las sortijas, el de los 15, etc., donde aparte de interesantes noticias históricas, encuentra el lector alicientes para entregarse á un ejercicio útil al mismo tiempo que agradable, y que ha sido en todas épocas asunto en que se han ejercitado los más notables talentos matemáticos.

Pero donde mostró su talento inventivo y sus prodigiosas facultades para las cuestiones más árduas, fué en los trabajos publicados en los principales periódicos de Europa y de los Estados Unidos. En el difícil arte de resolver y de proponer las cuestiones más complicadas y originales era uno de los primeros maestros, especialmente las de Aritmética superior, asunto en el que más especialmente desplegó sus aptitudes.

En la Théorie des nombres, que por su importancia exige un análisis detallado, unió M. Lucas á los resultados de los talentos que han constituido esta rama de la ciencia muchos propios de gran importancia. Además, recordando el pensamiento de Pascal de que «Las materias de la Geometría son tan serias en sí, que es ventajoso á veces aprovechar la ocasión de hacerlas agradables», se prometía incluir algunas aplicaciones de la Aritmética en una nueva edición de sus Recreations mathématiques.

CONGRESO CIENTÍFICO DE MARSELLA.—L'Association française pour l'avancement des sciences, que prosigue con insistente esfuerzo su obra por medio del Bulletin del cual se publica anualmente un tomo dando cuenta de los resultados habidos en los diferentes congresos celebrados periódicamente en diferentes ciudades de Francia, ha dado su última prueba de actividad en el Congreso de Marsella que
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 28

ha tenido lugar durante la segunda quincena del mes de Septiembre de este año, siendo Presidente en las 1.a y 2.a secciones: Matemáticas Astronomía, Mecánica y Geodesia M. Ed. Lucas, Presidentes de honor MM. Oltramare y Cailler; Vicepresidente M. Tarry y Secretario M. D'Ocagne.

Las comunicaciones presentadas en la sesión del 18 de Septiembre han sido: M. Laisant.—1.o Propriétés du triangle arithmétique. 2.o Sur le cube arithmétique.—M. de Longchamps. Sur le rayon de courbure des coniques inscrites à un triangle..

Communications faites dans la séance du 19 de Septembre 1891

MM. Tarry.—Le cercle et la trigonométrie dans la géométrie générale.
Lemoine.—1.o Sur la transformation systématique des formules relatives au triangle.
2.o Divers résultats concernant la Géométrie du triangle.
Ed. Lucas.—Nouvelle méthode de correspondance secrète mathématiquement indéchiffrable.—Traduction du chiffre de Louis XIV.
Le masque de fer.—Cryptographe cylindrique du capitaine Bazeries.
d'Ocagne.—Sur la nomographie.—Représentation graphique des lois á un nombre quelconque de variables.

(Communications par correspondance)

MM. Neuberg et Schoute.—Extension d'un problème connu.
Berdellé.—Sur le calcul directif.
Matrot.—Note sur le théorème de Bachet.
Guillemot.—Mire indépendante de la température.
Catalan.—Diverses notes d'arithmétique.
Escary.—Mémoire sur le problème des trois corps.

Communications faites dans la séance du 21 Septembre 1891

MM. le général Parnmentier.—Le problème du cavalier des échecs.
Collignon.—Sur les moteurs.
Ed. Lucas.—Rappel des méthodes servant à vérifier si un nombre est premier.
Genaille.—1.o Piano arithmétique pour la vérification de la primarité de nombres de 100 chiffres. 2.o Calculateur arithmétique.
Laisant.—Nouvelles remarques sur le problème de l'interpolation.

TRES CAPITULOS DE GEOMETRIA SUPERIOR, por D. Juan J. Durán Loriga.—En tres capítulos, como dice el título de esta obra, y dentro de la extensión de 46 páginas, expone su autor con suma cla-
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 29

ridad y sencillez lo fundamental de esta rama de la Geometría, facilitando á los alumnos, con muy poco trabajo y tiempo, el poseerse de estos conocimientos sobre que se edifica la moderna geometría.

Establece primeramente el principio de los signos deduciendo las tres ecuaciones.

\[
pq = rq - rp, \quad pr = qr - qp, \quad qr = pr - pq
\]

que se refieren á tres puntos \( p, q, r \) en línea recta.

Partiendo de las seis combinaciones binarias de cuatro letras, deduce fácilmente los tres valores distintos \( m, n, p \) de la relación anarmónica y sus tres inversos á que se reducen los correspondientes á las 24 permutaciones. Refiere enseguida á un origen común los segmentos, obteniendo con brevedad suma las tres relaciones que enlazan \( m, n \) y \( p \), así como el signo y valor que les corresponden. Por medio de construcciones semejantes á las empleadas por los alumnos en los elementos, obtiene el punto \( a \), ó el \( b \), ó el \( c \), ó el \( d \), conocidos los otros tres y llama la atención acerca de la disposición relativa correspondiente al signo de la relación anarmónica dada. Otro tanto puede decirse del modo elegante de demostrar la propiedad proyectiva de la relación anarmónica considerada como caso particular de aquélla.

El capítulo 3.º, dedicado á la involución y homografía, comienza por considerar tres pares de puntos correspondientes, estableciendo con claridad suma, después de hacer coincidir dos puntos correspondientes de las dos rectas, cómo cada cuatro puntos de una recta y los correspondientes de la otra representan divisiones obtenidas cortando un mismo haz por dos transversales.

Refiriendo los segmentos de cada recta á un origen, deduce inmediatamente la ecuación de homografía y la significación geométrica de los coeficientes de ésta, y termina esta cuestión determinando gráficamente los puntos límites, deduciendo la propiedad de ser constante el producto de sus distancias á dos puntos conjugados cualesquiera, y llega al caso particular de ser las divisiones remejan tes é iguales, determinando, en fin, por procedimientos numérico y geométrico los puntos dobles.

A la sencillez de todo lo anterior corresponde el modo de tratar la involución que termina por las construcciones geométricas de los puntos en involución, contribuyendo á la fácil comprensión del trabajo, la corrección y claridad de las figuras que acompañan al texto.