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cierto paralelismo, dentro de la variedad que les imprimen los escritores dedicados á cada una de ellas con la variedad de asuntos en ellas desenvueltos, y facilitan además el cambio de ideas en beneficio de un general perfeccionamiento en las múltiples teorías.

Convencidos de que ya se impone la existencia en España de publicaciones periódicas consagradas á la divulgación de los progresos continuados que se verifican en la ciencia matemática, acometemos la empresa de ofrecer el primer número que se publica de nuestro periódico, destinado exclusivamente á tal objeto.

Buscando un término medio entre las publicaciones que existen, nuestro periódico se referirá lo mismo á las cuestiones más elementales que á otras de índole superior, procurando presentar estas últimas en su mayor sencillez, con la más fácil exposición de que sean susceptibles.

Proponiéndonos dar á conocer la Matemática, según las múltiples fases que presenta, en correspondencia con la variedad de sus objetos especiales, daremos á conocer las teorías ó obras notables, ya de los grandes maestros que brillaron en otras épocas, ya de los talentos contemporáneos: ya se tratará de las novedades que en el día mantienen viva la atención de los maestros de la actualidad, ya de ideas ó de conceptos que, sin ser nuevos, tengan alguna importancia ó sean los antecedentes necesarios de alguna nueva teoría.

En una palabra; se atenderá por igual á lo que afecta á la organización científica ó dependencia lógica y á lo que concierne al orden histórico. Se darán á conocer los más importantes descubrimientos ó nuevos desarrollos que adquieran las teorías matemáticas, y se harán las indicaciones precisas que pongan en conocimiento de los lectores las obras útiles ya para el perfeccionamiento de la enseñanza como para la fácil comprensión de la Ciencia.

ZOEL G. DE GALDEANO.

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

La importante evolución que realizó Descartes sometiendo la Geometría al análisis algebraico, llevada á más vastos desarrollos por los nuevos métodos de Newton y de Leibnitz, fueron aminorando la importancia de la Geometría, que llegó á permanecer oculta bajo las for-
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mas de inagotable variedad debidas á los nuevos algoritmos, desenvueltos y amplificados por los Bernuilli, Euler y otros muchos analistas, cuyos nombres van unidos constantemente á detalles ó resultados diversos.

A principio de este siglo, la Geometría de Euclides de Pascal y Desasgues aparecía como estacionada ó reducida á estrechos límites, mientras que el análisis parecía desbordarse en todas direcciones, produciendo cierto desequilibrio entre las dos ramas fundamentales de la Matemática. La Geometría, si avanzaba era merced a recursos extraños, y su objeto, envuelto bajo las formas del análisis, no se ofrecía de una manera directa á las investigaciones de los matemáticos

Era necesario, para el desenvolvimiento armónico de la Matemática una reacción que tendiese á equilibrar estos dos aspectos generales de la cantidad, que siendo distintos han de compenetrarse y fundirse aún conservando sus leyes propias y características; y esta evolución que había de hacer posible un desenvolvimiento paralelo de una y otra fué realizado por Monge.

Si la inteligencia, partiendo de los algoritmos por una intuición continuada lleva gradualmente á los más complicados del análisis, por su aplicación inmediata al objeto que ve desenvolverse, alterarse y multiplicarse bajo su dirección, acumulando sistemas de verdades y de relaciones á otros sistemas, también, desde el momento en que Monge creó la Geometría descriptiva, la inteligencia había de contemplar directamente la extensión bajo sus formas, punto, línea y superficies para llegar por combinaciones inmediatas á otro sistema de verdades y relaciones. La nueva Geometría, representando clara y fielmente el objeto, tiene como auxiliar la imaginación y se presta á favorecer el desarrollo de las artes, teniendo como base el dibujo ó la representación efectiva de los objetos.

Si la Geometría descriptiva inauguró una época de progreso material por sus aplicaciones benéficas para el artista y para el ingeniero, no lo fué menos en el orden especulativo, pues la ciencia pudo crearse una amplia base sobre la cual realizar sus progresos futuros; la representación gráfica de los objetos permitió ayudar á las inteligencias en sus investigaciones. Como dice Dupin, la Geometría descriptiva es una lengua imitativa que tiene la doble ventaja de dibujar y hablar á la vista. «Esta Geometría fortalece eminentemente la imaginación, enseña á abarcar rápidamente y con gran precisión un vasto conjunto de formas, á juzgar de sus analogías y diferencias, de sus re-
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laciones de posición y magnitud. El espíritu aprende á ver interiormente, y con una perfecta claridad, líneas y superficies individuales, familias de líneas y superficies; adquiere el sentimiento del carácter de estas familias e individuos, y no solo aprende á verlos aisladamente ó por grupos análogos, sino que los aproxima, los combina y prevee los resultados de sus intersecciones, de sus contactos más ó menos íntimos, etc.» (1)

Las Leçons de Géométrie descriptive, de que se hizo una traducción española en el año 1803, además de ser una de las obras que forman época en el progreso científico, es un libro que ofrece la belleza de la sencillez y claridad de estilo, unida á la brevedad que lleva al lector, sin esfuerzo, al conocimiento de todo el sistema de verdades reunidas en un reducido número de páginas. Principia Monge por establecer que los elementos más sencillos, el punto y la recta, no son los más adecuados para la representación sencilla de las figuras, y su razonamiento le lleva á adoptar un sistema de planos rectangulares que reduce á dos, como es sabido. Reproducir el modo de representar un punto, una recta ó un plano, una paralela á una recta, una perpendicular á un plano con la determinación de su distancia, las intersecciones de dos planos, etc., sería exponer lo que hoy se encuentra en todos los tratados destinados á la enseñanza, en los que nada se ha podido modificar de lo que salió perfecto desde su origen. Para la representación de las superficies, observa que no hay ninguna superficie que no pueda considerarse como engendrada por el movimiento de una línea curva, ya de forma constante, cuando muda de posición, ya variable al mismo tiempo, de forma y de posición en el espacio. Además, no es dando las proyecciones de algunos puntos particulares por los que pasa una superficie curva, como se determina su forma y su posición, sino haciendo de modo que para un punto cualquiera se pueda construir la curva generatriz, según la forma y posición que deba tener al pasar por este punto, lo cual depende de la destreza y sagacidad del geómetra y expresa Monge la conveniencia, para la sencillez, de considerar simultáneamente dos generaciones diferentes, é indicar, para cada punto, la construcción de las curvas generatrices, de manera que en la Geometría descriptiva, para expresar la forma y posición de una superficie curva baste dar, para un punto de ésta, del cual una de las

(1) Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge, pág. 177.
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proyecciones pueda tomarse á voluntad, el modo de construir las proyecciones horizontales y verticales de dos generatrices que pasan por este punto.

Esta consideración de poder ser engendrada una superficie curva por dos generatrices distintas, le lleva á la determinación del plano tangente por medio de las tangentes á éstas en cada punto, y nada hay que decir del modo de resolver el problema, no solo para las superficies cilíndrica y cónica, sino para la determinación del plano tangente á una, dos y tres esferas dadas, problemas que envuelven, según observa Monge, propiedades notables del círculo, de la esfera, de las secciones cónicas y de las superficies del segundo grado, pues de la resolución de estos problemas, empleando las superficies cónicas circunscritas, deduce desde luego la importante conclusión, fundamental para los ulteriores progresos de la Geometría, más recientemente desenvuelta por Carnot, Poncelet, Chasles y los geómetras de la actualidad, de que si se concibe circunscrita á una esfera una superficie cónica, cuyo vértice se mueve según una línea recta, todas las circunferencias de contacto pasarán por dos puntos fijos que serán los de contacto de los planos tangentes trazados por dicha recta, así como reciprocamente, si después de trazar por dicha recta cuantos planos secantes se quiera, se construye para cada sección la superficie cónica circunscrita, los vértices de todas éstas se hallarán en una misma recta; y si en un plano donde se suponen trazadas una circunferencia y una recta, se trazan desde un punto de esta las dos tangentes á aquélla, y se concibe que el punto se mueve en la recta llevándose consigo las dos tangentes, sin que cesen de tocar al círculo, la recta que une los dos puntos de contacto siempre pasará por un punto fijo, verificándose, reciprocamente, que las intersecciones de cada par de tangentes trazadas en los extremos de rectas que pasan por un mismo punto, se hallan en línea recta, y más generalmente si, dada en el espacio una superficie curva cualquiera de segundo grado y una superficie cónica circunscrita que la toca, ésta se mueve sin cesar de ser circunscrita y de tocarla, de modo que su vértice recorra una recta cualquiera: el plano de la curva de contacto de las dos superficies siempre pasará por una misma línea recta (determinada por los puntos de contacto de la superficie de segundo grado con los dos planos tangentes que pasan por la recta de los vértices), y si la superficie cónica se mueve de modo que su vértice esté siempre en un mismo
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plano, el plano de la curva de contacto pasará siempre por un mismo punto. En fin, la consideración de las seis superficies cónicas circunscritas á tres esferas, la distribución de sus vértices de tres en tres sobre cuatro rectas, por las cuales pueden trazarse ocho planos tangentes, y en el caso de darse en magnitud y posición cuatro esferas, la importante conclusión de que las seis superficies cónicas circunscritas exteriormente á las mismas deban tener sus vértices en un mismo plano y en las intersecciones de cuatro rectas, así como los de las seis circunscritas interiormente deban estar de tres en tres en un mismo plano con tres de los primeros, son manifestaciones elocuentes de lo espléndida en resultados, de trascendencia suma, que nació la nueva Geometría, y de la fecundidad de la idea que la hizo surgir en la inteligencia del gran geómetra de los tiempos modernos. En todas las cuestiones, citadas como en las que terminan esta obra admirable, á saber, las intersecciones de las superficies, la curvatura y las evolutas de las curvas de doble curvatura, siempre la intuición inmediata del objeto es el fundamento que lleva directamente á la solución de las mismas. Aquellos resultados obtenidos por el razonamiento, ocultos bajo el simbolismo del cálculo, propios de la Geometría cartesiana, se desenvuelven ante la vista bajo el procedimiento gráfico de Monge, que se somete al rigorismo de la Geometría de Euclides, llevada á un grado de pureza tal, que solo aprovecha de la misma cuanto es en absoluto independiente de toda intervención del número ó la medida, de que no se halla en absoluto exento el tratado del geómetra griego.

Pero la obra de Monge no constituye un divorcio entre lo hasta entonces constituido en la ciencia, y este nuevo modo de investigación, que debiera llevarse por nuevos horizontes, consiste en aumentar las direcciones de la inteligencia dentro del plan general con una nueva y sumarla á las demás, para hacer un grandioso conjunto, apoyar la marcha del espíritu investigador en una nueva á la par que sólida base para sus ulteriores progresos. Y, en efecto, donde se detiene esta Geometría representativa avanza el análisis con la eficacia inagotable de sus recursos, y prueba de ello dió Monge en su exposición de la Geometría analítica, á la que imprimió el carácter de su Geometría descriptiva, dando una elegancia hasta entonces desconocida á las formas de sus cálculos y á la marcha de sus operaciones, haciendo destacarse la sencillez del método, no sin agregar nuevos resultados,
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALREANO

DÉVELOPPEMENTS SUR LES PARABOLES DE M. ARTZT (1)
PAR M. G. DE LONGCHAMPS

Dans deux articles publiés dans le Journal de Mathématiques élémentaires (2) et dans le Journal de Mathématiques Spéciales (3) nous avons mis en évidence quelques propriétés des paraboles sur lesquelles M. Artzt a, il y a quelques années, appelé l'attention des amis de la Géométrie du triangle; paraboles qu'on désigne maintenant sous le nom de ce Géomètre.

Nous rappellerons d'abord leur définition.

Un triangle ABC étant donné, il existe une parabole \( P_a \), bien déterminée, passant par les sommets B, C, tangentiellellement aux côtés AB, AC. On peut ainsi, au triangle ABC, faire correspondre trois paraboles \( P_a, P_b, P_c \); ce sont les paraboles de M. Artzt. Ces paraboles, ainsi associées au triangle ABC, jouissent de propriétés intéressantes et, en revenant ici sur l'étude à laquelle nous avons fait tout à l'heure allusion, nous nous proposons d'en signaler quelques unes. Mais pour donner à la Note présente tout son intérêt et surtout pour en faciliter la lecture, nous devons reproduire d'abord les résultats aux quels nous sommes arrivé dans les articles cités.

1. — Établissons d'abord élémentairement l'expression du paramètre de la parabole \( P_a \):

Théorème. Pour tout triangle ABC, il existe une parabole \( P_a \) tangente,

(1) L'article que M Artzt a fait paraître sur les paraboles remarquables du plan d'un triangle ne nous est pas connu.
Il est donc très possible que certains résultats énoncés dans cette Note et même certaines démonstrations aient été déjà rencontrés par ce Géomètre.
(2) Loc cit; année 1890; p. 149.
(3) Loc cit; année 1890; p. 140.
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tema dado de premisas; aun ha hecho algo que siendo de secundaria importancia, aparece á primera vista como mucho más sorprendente.

Cuenta el Deán Swift en sus viajes de Gulliver á países remotos, que los sabios de Laputa poseían una máquina con la que el más inepto podía discurrir sobre todas las Ciencias, en lo que se cree aludía con su habitual malicia á las obras de Aristóteles ó del Canoiller Bacon llamadas Organum, si ya no es que indicaba burlescamente las máquinas calculadoras de Pascal y Leibnitz.

Pues bien, el sueño de Swift ha sido una profecía, y la Lógica posee hoy una serie de aparatitos desde los sencillos cartones de Cunninghame hasta la ingeniosa y complicada máquina de Allan-Marquand, que permiten raciocinar á máquina tan correctamente como el más privilegiado cerebro lo hiciera. Es posible tocando un teclado hacer silogismos, por más extraño que esto parezca. Los trabajos hechos hasta la actualidad se limitan á problemas lógicos en que solo entran á lo más seis ó ocho letras, mas posible es que algún día se encuentre el Jacquard lógico de que habla Peirce, y resolviendo el problema de que tratamos, admire al mundo con asombroso mecanismo en que rápidamente se resuelvan las más complicadas cuestiones de la Dialéctica.

Vamos á pasar una ligérísima revista á los mecanismos ideados, empezando por el más simple y sencillo de todos, que sólo como una curiosidad (no siendo propiamente máquina) puede citarse, los cartones silogísticos de Henry Cunninghame. La descripción detallada de ellos la encontrará el lector en la obra de Jevons que al final se cita. Como su nombre suficientemente indica, consisten en una colección de cartones que permiten obtener la conclusión de dos premisas dadas. Esto se consigue mediante superposición de unos cartones sobre otros, con lo que por una abertura rectangular del cartón que se coloca encima, aparece en el de abajo la conclusión deseada. Adaptando los cartones sobre un cilindro, se obtiene el cilindro lógico, que solo es una modificación insignificante del anterior sistema.

La primera descripción de una verdadera máquina lógica es la del difunto profesor Stanley Jevons. Esta máquina recibe las premisas en forma de ecuaciones lógicas ó igualdades, y moliéndolas por decí-lo así lo mismo que el trigo en el molino, produce, mediante su manejo, las conclusiones pedidas. Pero solo se limita á cuatro letras y su generalización para un número mayor sería muy difícil.

De igual defecto adolece el ingenioso mecanismo descrito en 1880 por el profesor Venn del colegio Caius en Cambridge, pues que descansando sobre la presentación diagramática de las proposiciones
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ideada por él, la cual no puede extenderse á más de cuatro clases (que se representan por elipses), tampoco puede ir más allá.

La pequeña máquina ideada por el Sr. Allan Marquand para producir variaciones silogísticas, aunque ingeniosa, solo sirve para el limitado objeto que entonces se propuso su autor.

Más duranse el invierno de 1881-82 había ideado el Sr. Marquand una lindísima máquina que fué construida con auxilio de los grandes talentos mecánicos del Profesor C. J. Rockivood. Lo notable de este mecanismo es que fácilmente podrá extenderse á más de cuatro letras, lo que le da una gran superioridad sobre sus similares. Está fundada en la teorías de Howard Mitchell y Christini Ladd Franklin. Las premisas se escriben en forma de subsumciones en que el predicado es 0, lo que fácilmente se consigue con los métodos de Peirce y su escuela.

La máquina, construida de un poste de cedro, mido 32 cm. de alto, 21 de largo y 15 de ancho. Tal como está construida, sirve solo para cuatro letras á las que en unión de sus negativas, designadas por las minúsculas respectivas, corresponden ocho teclitas, una para cada una.

Hay además otras dos teclas que llevan escrito encima la una la unidad y la otra el 0. La primera de éstas se denomina tecla regenerativa, pues sirve para poner el aparato en disposición de funcionar de modo que indique que ninguna premisa se halla aún establecida. La segunda se denomina tecla destructiva, pues sirve para ir expresando las diferentes premisas introducidas en forma de imposibilidades lógicas.

En el frente de la máquina hay diez y seis manecillas dispuestas en cuadro, que cuando el aparato no ha funcionado aún, deben estar horizontales y que van cayendo á la posición vertical á medida que se introducen premisas. A cada una de las manecillas corresponde una de las diez y seis agrupaciones lógicas que con las cuatro letras y sus negativas se pueden formar, y puede saberse con ahorro de letras á cuál corresponde, por un ingenioso arteficio.

Supongamos ahora que se quiere hacer funcionar el aparato. Lo primero es poner todas las manecillas horizontales, para lo que se bajan las teclas 0 y 1. Para expresar luego las diferentes subsumiciones, se van tocando las teclas correspondientes á las letras de cada agrupación de las que hay que destruir, y luego la tecla destructiva. La conclusión final puede ser expresada por la suma lógica de las agrupaciones representadas por las manecillas que al final de la operación han quedado horizontales.
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Tal es el estado actual de las cosas con respecto á los mecanismos raciocinadores. Pueda pronto la Ciencia simplificar y generalizar los aparatos de que hoy dispone, lo que no podrá menos de dar atractivo á sus admirables progresos y vulgarizar sus inesperados resultados. ¡Ojalá este artículo despierte la curiosidad de nuestro público científico hacia una disciplina matemática tan hermosa como el Álgebra de la Lógica!

Madrid y Agosto 1891.

SOBRE UNA ESCUADRA CICLOIDAL PROPIA PARA EFECTUAR LA RECTIFICACIÓN DE LOS ARCOS DE CÍRCULO POR D RODOLPHO GUIMARAES (1)

Fig. 4.

Sea AMB un arco cicloide (figura 10). Si PMP' es una posición de su círculo generador, se sabe que el arco PM = PA. Supongamos pues, que se haya cortado en una materia cualquiera la escuadra ACB que tenga por lado AB la plantilla de la cicloide. Colocada una regla á lo largo de la tangente xy trazada al círculo O por el punto P, bastará con hacer resbalar el borde AC de la escuadra á lo largo de esta regla, hasta que el lado curvilíneo AB pase por el punto M, para tener AP = arc. MP.

Si el arco que se ha de rectificar M₁P₁ tiene un radio diferente de OP, basta trazar el arco concéntrico MP de igual abertura y, después de haberlo rectificado en PA, tomar el punto de intersección A₁ de OA y de la tangente su P₁, al arco primitivo.

La escuadra cicloidal ABC permite pues, permite reducir los diversos problemas que puedan proponerse sobre la evaluación de las longitudes y la división de los arcos á los mismos problemas efectuados sobre segmentos de rectas.

(1) Tenemos la satisfacción de reproducir, traduciendo del Bulletin de la Société mathématique de France t. XIX; 1891, el procedimiento, debido al ilustrado oficial de ingenieros portugués Sr. Guimaraes.
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En particular, la inscripción de los polígonos regulares en el círculo es muy sencilla por este medio.

El problema de la división de los ángulos, reduciéndose al de la división de los arcos, obtiene al mismo tiempo una solución.

NOTA SOBRE UN LUGAR GEOMÉTRICO

En el número 4.º de este periódico, páginas 86-88, se publicó una interesante nota referente á una Memoria que con el título de Estudio de un lugar geométrico de cuarto orden, publicó el ilustrado doctor Sr. Ruiz-Castizo Ariza. Este trabajo y la nota que de él da cuenta tiene por principal objeto discutir la forma y particularidades que ofrece el lugar geométrico engendrado por el punto medio de una recta de longitud constante \( p \) que se apoya por uno de sus extremos sobre una recta y por otra sobre una circunferencia de radio \( r \), de tal modo, que la longitud \( p \) sea igual á la mayor distancia entre la circunferencia y la recta fija, medida sobre la normal á ésta que pasa por el centro de la circunferencia.

Hoy tenemos la satisfacción de ofrecer á los lectores de El Progreso Matemático otra importante Nota que acerca de un asunto muy semejante nos ha sido remitida, y que fué publicada por su autor el año 1870 en el Journal de mathématiques spéciales de Montpellier, pues para mostrar la gran generalidad de los resultados á que conduce esta cuestión, de la cual ha hecho á su vez el Sr. Castizo Ariza un estudio profundo y detallado, hace además referencia á la idea de combinar las ordenadas de dos elipses para representar el lugar geométrico de un punto cualquiera de una biela que se apoya en una circunferencia y en una recta cualquiera, que ya aplicó el comunicante, en su curso de mecánica práctica.

En fin, reproducimos unas cuantas figuras presentadas por el autor del artículo como una mera indicación de tipos de curvas correspondientes á la cuestión, haciendo una rectificación en una de ellas, á instancias del autor, que observa se halla perfectamente representada en el artículo referente á la Memoria del Sr. Castizo Ariza.

QUESTION NUM. 58 PAR UN ABONNÉ

Une droite de longueur constante \( l \) s'appuie par ses extrémités A et B sur une circonférence OA et sur une droite BD données de