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El Progreso matemático (1892-10-15 00:00:00), página 34

tro y sea M el punto de la perpendicular.

La unión de M con los extremos A y B del diámetro determinará los puntos D y C', que unidos con P, dan el ángulo CPD, debiéndose demostrar que

\[
\angle CPM = \angle MPD
\]

Unamos B con C' prolongando la recta hasta Q, y los puntos Q, A y D resultan en línea recta. En efecto; BP y MC' son dos alturas del triángulo MQB; luego el vértice Q, el punto A de encuentro de las alturas, y el D, pie de la perpendicular á MB desde A son tres puntos de la tercera altura QD.

Consideremos ahora el cuadrilátero completo DAC'BMQ y trazando la diagonal DC'H será armónica la relación de los puntos MPQH, y por lo tanto, la de los MIAC', puesto que MH y MC' son trasversales del haz D. MIAC'.

Resulta también armónico el haz P. MIAC', y en tal caso la trasversal FGC, paralela al rayo PA, nos da FG = GC.

Los triángulos rectángulos PFG y PGC son iguales, y tenemos finalmente

\[
\angle CPG = \angle GPF.
\]

Supongamos ahora que sea M el punto que cumple las condiciones del enunciado, es decir, que determina CP paralela á MB.

Siendo MP bisectriz del ángulo CPD, la AP lo será del \( \angle DPC' \), adyacente del primero, resultando

arco FDB = arco C'C'B

cuya igualdad hemos de emplear luego.

Ahora bien;

áng.º MBP = áng.º BPC' = áng.º BPD

pero el BPD tiene por medida el arco

\[
\frac{DB - FA}{2} \tag{a}
\]

El ángulo AMB tiene por medida

\[
\frac{C'C'B - AD}{2} \tag{b}
\]
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Pero las expresiones (a) y (b) son iguales, porque si sumamos á las dos, la cantidad \( \frac{FA}{2} \), nos dan respectivamente:

\[
\frac{DB}{2} = \frac{FDB - FD}{2},
\]
\[
\frac{C'C'B - AD + FA}{2} = \frac{C'C'B - (AD - FA)}{2} = \frac{C'C'B - FD}{2};
\]

luego, en virtud de la igualdad deducida antes,

áng.º MBP = áng.º AMB

Es isósceles el triángulo AMB, y el punto M quedará determinado gráficamente, haciendo centro en A y cortando la perpendicular por un arco MB, de radio AB.

Estando dado el punto P, el M quedará también determinado por la fórmula

\[
PM = \pm \sqrt{4R^2 - AP^2}
\]

deducida del triángulo rectángulo AMP (llamando R al radio del círculo), y por ella podremos determinar dos puntos á distinto lado del diámetro, según se tome uno ú otro signo, que cumplirán con las condiciones del enunciado.

Cuando la distancia dada AP es igual á \( AB = 2R \), resultará \( AP^2 = 4R^2 \), y la fórmula da para PM un valor cero, y cuando AP sea mayor que 2R, tendremos \( 4R^2 - AP^2 < 0 \) y la fórmula da valores imaginarios.

Concuerdan perfectamente estos resultados con la construcción gráfica, porque en el primer caso, el arco MB será tangente en P á la perpendicular PQ, y en el segundo caso no la cortará.

CUESTIONES PROPUESTAS

76. (*) Si O es el punto de encuentro de las rectas que unen los vértices de un triángulo ABC á los centros A', B', C' de los cuadrados construídos respectivamente sobre los lados BC, CA, AB, se tiene:

1. \( \frac{BB'}{BO} + \frac{CO}{CC'} = 1; \)
2. \( \frac{BO}{BB'} : \frac{CO}{CC'} = \frac{AO}{AA'}; \)
3. \( \frac{BO}{BB'} : \frac{CO}{CC'} = \frac{AB}{AC} \)

(H. Van Aubel)

(*) Por un error material dejó de publicarse en el número anterior la cuestión núm. 76
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87. Sean \( A_1B_1C_1A_2, A_2B_2C_2A_3, A_3B_3C_3A_1 \), los cuadrados construidos exteriormente sobre los lados de un triángulo \( A_1A_3A_3 \) y E el medio de \( B_1B_2 \): a) Demostrar que, si sobre EB_1 se construye el triángulo EDB_1 rectángulo en D y tal, que \( B_1D = 2\,ED \), el triángulo \( A_1DA_3 \) será directamente semejante al triángulo EDB_1 (*) (b). Construir el triángulo \( A_1A_2A_3 \), dados los vértices \( B_1, B_2, B_3 \) de los cuadrados construidos sobre sus lados.

(H. Van Aubel).

88. Discutir completamente en coordenadas rectangulares ó en coordenadas polares la curva representada por la ecuación polar

\[
\rho = a \cos \omega \pm a \sqrt{12 - 15 \cos^2 \omega}.
\]

89. Se da una circunferencia, una tangente AE, un diámetro ACB. Desde un punto D de la curva, con DB por radio, se traza un arco de círculo que encuentra AE en los puntos E, F que se proyectan en M, M' sobre la tangente en D. Determinar todas las particularidades del lugar de los puntos M, M'.

(H. Brocard).

90. Se da una circunferencia tangente á los lados de un ángulo recto. Hallar el lugar del punto de intersección de las tangentes á la circunferencia trazadas por las proyecciones de uno de sus puntos sobre las dos tangentes rectangulares dadas.

(H. Brocard).

91. Resolver las ecuaciones

\[
(y-z)^2 + t^2 = 2t(y+z), \quad (z-x)^2 + m^2 = 2m(z+x), \quad (x-y)^2 + n^2 = 2n(x+y)
\]

(E. Lemoine)

92. Si O es el centro del círculo inscripto á un triángulo de referencia ABC; M' el punto cuyas coordenadas normales son: \( \frac{1}{a(b+c)} \), etc, M'' el punto cuyas coordenadas normales son: \( \frac{1}{a^2} \), etc., se tendrá en magnitud y signo

\[
\frac{OM'}{M'M''} = \frac{bc+ca+ab}{4p^2}
\]

La recta OM'M'' contiene el punto \( \frac{b^2+c^2}{a} \), etc.

Aplicar la transformación continua á estos resultados.

(E. Lemoine).

(*) Se entiende por polígonos directamente semejantes, polígonos que pueden convertirse en homotéticos por una simple traslación, sin giro, de uno de ellos en el plano.
El Progreso matemático (1892-10-15 00:00:00), página 4

obtient trois équations correspondantes (7'), (8'), (9'), attachées au point P'.

Or, en éliminant par exemple \( e_3 \) entre les équations

\[
P_3 = x_1 e_1 + x_2 e_2 \text{ et } P_1' = x_2' e_2 + x_3' e_3,
\]

on obtient, après avoir introduit le point B_2:

(11) \[
B_4 \equiv x_2' P_3 - x_1 P_1' \equiv x_1 x_2' e_1 - x_1 x_3' e_3.
\]

En éliminant de même \( e_2 \) entre

\[
A_3 \equiv x_2 e_2 - x_1 e_1 \text{ et } A_1' \equiv x_3' e_3 - x_3 e_2,
\]

on trouve:

(12) \[
x_2' A_3 + x_2 A_1' \equiv x_2 x_3' e_3 - x_1 x_2' e_1,
\]

et en additionant (11) et (12):

(13) \[
B_4 + x_2' A_3 + x_2 A_1' \equiv 0,
\]

ce qui veut dire que les points B_2, A_3, A_1' sont situés sur la même droite.

On a donc le théorème: Si l'on construit dans un triangle (e_1, e_2, e_3) les triangles basaux par rapport à deux points (P et P'), alors sont situés sur une droite: 1) le point d'intersection (A_1) d'une arête (e_1 e_2) et de l'arête correspondante (P_1 P_2) du premier triangle basal (P_1 P_2 P_3); 2) le point d'intersection (A_1') d'une autre arête (e_2 e_3) et de l'arête correspondante (P_2' P_3') de l'autre triangle basal (P_1' P_3' P_4'); 3) le point d'intersection (B_2) de la troisième arête (e_3 e_1) et de la ligne joignant les deux sommets restants (P_3 P_1') des triangles basaux.

Or, coïncident les droites: e_1 e_2 et P_3 P_3'; e_2 e_3 et P_1 P_1'; e_3 e_1 et P_2 P_2'. Donc il suit du théorème précédent que les points d'intersection de

\[
P_1 P_2 \text{ et } P_3 P_3'; \quad P_1' P_3' \text{ et } P_1' P_1; \quad P_3 P_1' \text{ et } P_2 P_3'
\]

sont situés sur la même droite. Par conséquent les triangles (P_1 P_2 P_3) et (P_1' P_3' P_3') font ensemble un hexagone de Pascal (P_1 P_2 P_3' P_3 P_1'), et on a le théorème:

Les six sommets de deux triangles basaux inscrits au même triangle donné sont situés sur une conique.

II. — Multiplication extérieure.

5. Soient e_1 et e_2 deux points quelconques d'une droite, alors le segment de droite (Liniontheil), compris entre e_1 et e_2, est représenté
El Progreso matemático (1892-10-15 00:00:00), página 5

par le produit extérieur \((e_1\ e_2)\), mis en parenthèses, pour le distinguer du produit algébrique.

Alors on a évidemment

(14) \[(e_1\ e_1)=(e_2\ e_2)=0.\]

Soient \(a\) et \(b\) deux points dérivés de \(e_1\) et \(e_2\) au moyen des équations

(15) \[a\equiv\alpha_1\ e_1+\alpha_2\ e_2;\quad b\equiv\beta_1\ e_1+\beta_2\ e_2.\]

Formons le produit extérieur de ces équations, en supposant seulement que la multiplication extérieure suive la loi distributive. Alors il vient:

\[(ab)\equiv x_1\ \beta_1\ (e_1\ e_1)+x_1\ \beta_2\ (e_1\ e_2)+x_2\ \beta_1\ (e_2\ e_1)+x_2\ \beta_2\ (e_2\ e_1)\]

ou, en regardant (14)

(16) \[(ab)\equiv x_1\ \beta_2\ (e_1\ e_2)+x_2\ \beta_1\ (e_2\ e_1).\]

Alors il faut distinguer deux cas.
1) Si \(a\) et \(b\) sont des points coïncidants, il faut qu'on aie:

\[a=\lambda b,\]

où \(\lambda\) est un facteur numérique.

Donc en regardant (15):

\[\alpha_1\ e_1+\alpha_2\ e_2=\lambda\ \beta_1\ e_1+\lambda\ \beta_2\ e_2,\]

ou

\[(\alpha_1-\lambda\ \beta_1)\ e_1=(\lambda\ \beta_2-\alpha_2)\ e_2.\]

Mais, comme les points \(e_1\) et \(e_2\) ne coïncident pas, il faut qu'on aie

\[\alpha_1=\lambda\ \beta_1;\quad \alpha_2=\lambda\ \beta_2,\]

donc d'après (16)

\[(ab)\equiv\lambda\ \beta_1\ \beta_2\ [(e_1\ e_2)+(e_2\ e_1)].\]

ou, suivant la relation (14):

\[0=(e_1\ e_2)+(e_2\ e_1),\]

ou

(17) \[(e_1\ e_2)=-(e_2\ e_1).\]

Par cela on voit que la multiplication extérieure ne suit pas la loi commutative, ce qui est caractéristique pour ce genre de multiplication.
El Progreso matemático (1892-10-15 00:00:00), página 6

2) Si \(a\) et \(b\) ne coïncident pas, on déduit de (16) et (17),

\[(ab) = (x_1 b_2 - x_2 b_1)\ (e_1 e_4).\]

Donc le produit extérieur de deux points quelconques, dérivé de \(e_1\) et \(e_3\), est un multiple du segment \((e_1 e_3)\).

6. Soient \((e_1 e_4)\) et \((e_3 e_4)\) deux segments quelconques, égaux et parallèles, alors l'aire du parallélégramme \(e_1 e_2 e_3 e_4\) est représentée par la différence \((e_1 e_4) - (e_3 e_4)\) ou \((e_3 e_1) - (e_1 e_4)\), selon que le parallélégramme tire son origine du mouvement de \((e_3 e_4)\) ou de \((e_1 e_4)\).—Le parallélégramme est déterminé à l'égard de grandeur et de "côté" (Seite) (1), mais non pas à l'égard de position.

Soit

\[a = (e_1 - e_2), \quad b = (e_3 - e_4);\]

alors on obtient en multipliant:

\[(ab) = (e_1 e_4) - (e_1 - e_4)\ e_4,\]

ou, comme

\[(e_1 - e_2) = (e_3 - e_4),\]

\[(ab) = (e_1 e_2) - (e_3 e_4).\]

Donc le produit extérieur de deux distances contigües est égal à l'aire du parallélégramme que l'on en peut former.

Cette aire s'évanouit, si les deux distances sont situées dans la même droite. Donc:

*Le produit extérieur de deux distances situées sur la même droite est égal à zéro.*

Pour que deux *distances* soient égales, il suffit qu'elles soient égales en longueur et direction; quant aux *segments de droite*, il faut encore qu'ils soient situés sur la même droite.—Donc on voit que la notion de "segment de droite" est attachée à la position de l'un de ses sommets, tandis que la notion de "distance" en est indépendante.

7. Soient \(e_1\), \(e_3\), \(e_4\) trois points quelconques d'un plan, et soit

\[(e_1 - e_2) = (e_3 - e_4),\]

(1) Il faut distinguer les deux côtés d'un plan de même que les deux directions d'une droite.
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alors le segment de plan, formé par un parallélégramme compris entre les segments \((e_1\ e_4)\) et \((e_3\ e_4)\) est représenté par le produit extérieur \((e_1\ e_2\ e_3)\).

Si les points \(e_1\ e_2\ e_3\) sont situés sur la même droite, on a évidemment

\[(20)\]
\[(e_1\ e_2\ e_3) = 0.\]

Supposons encore que la multiplication extérieure soit soumise à la loi associative.

\[(21)\]
\[[e_1\ (e_2\ e_3)] = [(e_1\ e_2)\ e_3] = (e_1\ e_2\ e_3).\]

Alors on peut dire: Le produit d'un point et d'un segment de droite est égal au segment de plan, formé à l'aide du point et du segment de droite. Ce produit s'évanouit, si le point est situé sur la droite.

Pour que deux paralléléogrammes soient égaux, il suffit qu'ils soient égaux en grandeur et côté; quant aux segments de plan, il faut encore qu'ils soient situés dans le même plan.

Si l'on multiplie l'équation (7) \(P \equiv x_1\ e_1 + x_2\ e_2 + x_3\ e_3\) par \((e_3\ e_3)\) on trouve:

\[(P\ e_3\ e_3) \equiv x_1\ (e_1\ e_2\ e_3),\]

ou, en posant \(x_1 + x_2 + x_3 = 1\):

\[(P\ e_3\ e_3) = x_1\ (e_1\ e_2\ e_3),\]

ou

\[(22)\]
\[x_1 = \frac{(P\ e_3\ e_3)}{(e_1\ e_2\ e_3)}.\]

Donc on voit que la coordonnée \(x_1\) du point P n'est autre chose que le rapport des aires des triangles \((P\ e_3\ e_3)\) et \((e_1\ e_2\ e_3)\), et qu'il en est de même à l'égard des autres coordonnées.

Ajoutons encore ce fait remarquable. Si

\[
a \equiv x_1\ e_1 + x_2\ e_2 + x_3\ e_3,
b \equiv \beta_1\ e_1 + \beta_2\ e_2 + \beta_3\ e_3,
c \equiv \gamma_1\ e_1 + \gamma_2\ e_2 + \gamma_3\ e_3,
\]

et

\[(e_1\ e_2\ e_3) = 1,\]

alors on a

\[(a\ b\ c) = \begin{vmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\
\gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3
\end{vmatrix}.\]
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En formant le produit (abc) il faut encore remarquer que des équations (17) et (21) découlent les suivantes:

\[
(22a)\quad + (e_1 e_2 e_3) = - (e_2 e_1 e_3) = - (e_3 e_1 e_2)
= - (e_1 e_3 e_2) = + (e_2 e_3 e_1) = - (e_3 e_2 e_1).
\]

Généralement on peut dire: Si les n quantités \( a_1, a_2, ... a_n \) sont dérivées des unités \( e_1, e_2, ... e_n \) au moyen des facteurs: \( x_{11}, x_{12}, ... x_{1n}, x_{21}, a_{22}, ... a_{2n}; ...; a_{n1}, a_{n2}, ..., a_{nn} \), et si l'on pose \( (e_1 e_2 ... e_n) = 1 \), alors le produit extérieur \( (a_1 a_2 ... a_n) \) équivaut, au déterminant formé des n° facteurs \( a_{11}; ... a_{nn} \).

8. Application.—Appliquons nos réflexions aux suppositions du n.º 4.—On trouve, par la multiplication extérieure, les lignes suivantes en forme de segments de droite.

1) Les arêtes du triangle donné: \( (e_1 e_3), (e_2 e_3), (e_3 e_1) \).
2) Les arêtes d'un triangle basal (P₁ P₂ P₃), par ex:
\[
(23)\quad (P_1 P_2) \equiv x_2 x_3 (e_2 e_3) + x_3 x_1 (e_3 e_1) - x_1 x_2 (e_1 e_2).
\]
3) La droite p conjuguée au point P, par exemple sous la forme
\[
(24)\quad p = (A_1 A_2) \equiv x_2 x_3 (e_2 e_3) - a_3 x_1 (e_3 e_1 - a_1 a_2) (e_1 e_2).
\]

Remarque.—On trouve sans difficulté les équations de ces droites en coordonnées homogènes.—En effet, soit \( x \) un point variable, dérivé de \( e_1 e_2 e_3 \) au moyen des variables \( x_1, x_2, x_3 \), de sorte que:
\[
(25)\quad x \equiv x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3.
\]
Alors on obtient l'équation d'une droite \( \xi \), en égalant à zéro le le produit extérieur \( (x \xi) \) ou \( (\xi x) \). Car l'équation
\[
(26)\quad (x \xi) = 0
\]
exprime le fait que le point variable \( x \) est situé toujours sur la droite \( \xi \) (voir n.º 7). Seulement il faut encore poser
\[
(27)\quad (e_1 e_2 e_3) = 1,
\]
pour obtenir une équation complètement numérique.

Ainsi l'équation de la droite \( e_1 e_3 \) est
\[
(x e_1 e_2) = 0,
\]
ou, eu regard à (25), (17) et (27):
\[
x_1 = 0.
\]

(Se continuará).
El Progreso matemático (1892-10-15 00:00:00), página 9

QUESTIONES RESUELTAS

Cuestión núm. 2 (Véase t. I, pág. 206).

Hallar el lugar del punto de contacto de las tangentes paralelas á una dirección dada, á una serie de elipses ó de hipérbolas homofocales.
(N. C. M.) (Nicolaides)

Solución por el Sr. SOLLERTINER.

El lugar buscado es una hipérbola equilátera. Esto es una consecuencia bastante conocida del teorema siguiente, debido á Newton (1).

Permaneciendo fijo el lado BC de un triángulo ABC, si las bisectrices del ángulo opuesto conservan sus direcciones, el vértice A del triángulo describe una hipérbola equilátera que tiene BC por diámetro. Las asíntotas de esta hipérbola son paralelas á las direcciones de las bisectrices del ángulo BAC.

Tracemos por B, C las paralelas BB', CC' á la bisectriz AD del ángulo BAC.

En cualquiera posición del punto A se debe tener \( \angle B'BA = \angle AOC' \). Siendo así los haces B(A), C(A) simétricamente iguales, el lugar del punto A es una cónica. Las rectas BB' y CC', así como sus perpendiculares, siendo los rayos homólogos de los haces, la cónica tiene dos puntos en el infinito, en direcciones perpendiculares. Es, por consiguiente, una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son paralelas á dichas direcciones.

Sea A' el simétrico de A con relación al medio M de BC. Siendo el cuadrilátero ABAC' un paralelógramo, las bisectrices de los ángulos A, A' son respectivamente paralelas; el punto A' pertenece, pues, á la curva. Por consiguiente, el punto M es el centro de la hipérbola.

Observación.— En el triángulo BAC: 1.º Los lados BA, CA giran alrededor de los puntos B, C con la misma velocidad angular; pero en sentido contrario; de aquí: 2.º La diferencia de los ángulos B, C permanece invariable; luego: 3.º La tangente en A al círculo ABC conserva su dirección, resultando de aquí otros tres enunciados del teorema.

Cuestión núm. 3 (Véase t. I, pág. 207).

Sean ABC, A'B'C' dos triángulos situados de una manera cualquiera en el espacio. El lugar de un punto P tal, que las tres rectas trazadas por

(1) Según M. Ch. Taylor An introduction to the ancient and modern Geometry of Conics 1891, p. 173. El enunciado está alterado.
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

LA LÓGICA SIMBÓLICA EN ITALIA
POR D. VENTURA REYES PRÓSPER CATEDRÁTICO DEL INSTITUTO DE CUENCA

Dos tendencias bien manifiestas se observan en nuestra hermana nación Italia, á propósito de tan bella como importante ciencia.

Dos son también los matemáticos que sostienen estas diferentes direcciones. De una parte el Sr. Peano ilustre profesor en la Universidad de Turín, acepta sin pararse en discutirlos los principios fundamentales del calculus ratiocinator, poco más ó menos tal como Peirce ó Mac-Colt los exponen, apresurándose en seguida á aplicarlos al tecnicismo matemático, dando los medios de crear un lenguaje universal, expedito y racional, para uso de los matemáticos. No se para mucho en el examen del instrumento que emplea, sabe que es seguro y eficaz, y sólo se ocupa en utilizarlo. Dos áureos libritos han sido, especialmente, el fruto de sus profundos estudios: Arithmetices principia nova methodo exposita se titula el uno: Principi di geometria logicamente esposti, lleva el otro por encabezamiento, Ambos han sido publicados en Turín, 1889. Con auxilio tan poderoso como la Lógica exacta, desmenuza pacientemente las hipótesis y operaciones, llevando una luz vivísima á los fundamentos de la aritmética y de la geometría. Continúa sus sabias investigaciones con el mayor fruto en su preciosa Rivista di Matematica dedicada en especial al esclarecimiento de los principios de las Ciencias exactas.

Pero, por grande que sea el mérito de las publicaciones del señor Peano, tienen un inconveniente que no las hace adaptar para la completa difusión de la Lógica Baltimoreana. Se dirigen á un público acostumbrado de antemano al racioncino tranquilo y desapasionado, público entusiasta del lema de Gauss, paucă sed matura. Queremos indicar que se dirigen á los matemáticos. Pero existe otro público habituado á la pasión y al apresuramiento. Este es el de los que hoy
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 10

(54) \( \left\{ \begin{array}{l}
(x e_1^2) (x | e_1)^2 + (x e_2^2) (x | e_2)^2 + (x e_3^2) (x | e_3)^2 \\
+ 2(x e_1 e_2)(x | e_1)(x | e_2) + 2(x e_2 e_3)(x | e_2)(x | e_3) + 2(x e_3 e_1)(x | e_3)(x | e_1) = 0
\end{array} \right. \)

Alors soit \( a \) une quantité de 2ème degré (courbe de 2ème classe), dérivée des six quantités

\( e_1^2, \quad e_2^2, \quad e_3^2, \quad e_1 e_2, \quad e_2 e_3, \quad e_3 e_1 \)

au moyen de l'équation

(55) \( a = x_{11} e_1^2 + x_{22} e_2^2 + x_{33} e_3^2 + 2x_{12} e_1 e_2 + 2x_{23} e_2 e_3 + 2x_{31} e_3 e_1 \)

On en déduit, en posant \( |a = x\):

(56) \( a = |a = x_{11}|e_1|^2 + x_{22}|e_2|^2 + x_{33}|e_3|^2 + 2x_{12}|e_1 e_2| + 2x_{23}|e_2 e_3| + 2x_{31}|e_3 e_1| \)

Pour aller plus loin il faut établir, par définition, l'équation:

(57) \( |e_p \ e_q| = |e_p| \ e_q \),

et, par conséquence

\( |e_p|^2 = (|e_p|)^2 \),

ce qui veut dire que nous regardons comme supplément d'un produit algébrique le produit algébrique des suppléments de ses facteurs.

Alors le produit \( |e_p|\ e_q \) représente l'ensemble des deux segments de droite \( |e_p| \) et \( |e_q| \) (voir les formules (43)), ou, si l'on veut, une courbe spéciale de 2ème ordre. De même \( (|e_p|)^2 \) représente la double droite \( |e_p| \).

Donc \( a \), étant une somme des multiples de 6 coniques, représente de même une conique.

Puis, en formant le produit extérieur \( x e^2 \) et égalant ce produit à 0, et en regardant que (selon la formule 57)

\[
x^2 | e_p \ e_q = (x | e_p) (x | e_q)
\]

on trouve:

(58) \( \left\{ \begin{array}{l}
x x^2 = a_{11} (x | e_1)^2 + x_{22} (x | e_2)^2 + x_{33} (x | e_3)^2 \\
+ 2x_{12}(x | e_1)(x | e_2) + 2x_{23}(x | e_2)(x | e_3) \times 2x_{31}(x | e_3)(x | e_1)
\end{array} \right. \)

Enfin, en comparant (58) et (54), on obtient:

(59) \( \left\{ \begin{array}{l}
a e_1^2 = a_{11}, \quad a e_2^2 = a_{22}, \quad a e_3^2 = a_{33} \\
a e_1 e_2 = x_{12}, \quad a e_2 e_3 = x_{23}, \quad a e_3 e_1 = x_{31}.
\end{array} \right. \)

Substituons ces valeurs dans (53), alors nous aurons:

(60) \( a_{11} x_1^4 + a_{22} x_2^4 + a_{33} x_3^4 + 2x_{12} x_1 x_2 + 2x_{23} x_2 x_3 + 2x_{31} x_3 x_1 = 0, \)
El Progreso matemático (1893-02-15 00:00:00), página 11

ce qui est l'équation de la conique \( \alpha \) (courbe de 2\textsuperscript{me} ordre) en coordonnées homogènes.

On voit qu'étant donnée l'équation de la conique sous la forme (52) on en peut déduire l'équation (60) au moyen des substitutions (25) et (59).

En changeant partout, dans les numéros 13 et 14, les lettres grecques en lettres latines consonnantes et vice versa, on trouve les résultats correspondants aux précédents par dualisme. Quant aux courbes, il faut changer la notion de l'ordre en celle de classe et vice versa.

On voit aussi immédiatement que les réflexions précédentes sont susceptibles à être étendues aux courbes de degré supérieur à 2 et aux surfaces.

15. L'expression

(61) \[
x : e_1 \rightleftarrows \lambda e_2
\]

représente, comme nous savons, tous les points de la droite \( e_1 e_2 \). Et si l'on a simultanément

(52) \[
\alpha x^2 = 0,
\]

alors les équations (61) et (52) déterminent ensemble les deux points d'intersection de la conique \( \alpha \) et de la droite \( e_1 e_2 \). En substituant (61) dans (52) on obtient:

(62) \[
x e_1^2 + 2\lambda x e_1 e_2 + \lambda^2 x e_2^2 = 0.
\]

Cette équation détermine les deux valeurs de \( \lambda \) qu'il faut substituer dans (61) pour obtenir ces points d'intersection. Soient \( \lambda_1, \lambda_2 \) ces valeurs et \( x^{(1)}, x^{(2)} \) les points correspondants. Ces points sont harmoniques par rapport à \( e_1 \) et \( e_2 \), si l'on a [voir (2) et (4)]

(62a) \[
x^{(1)} = e_1 + \lambda e_2, \quad x^{(2)} = e_1 - \lambda e_2,
\]

c'est-à-dire, si

\[
\lambda_1 \rightleftarrows \lambda_2 = 0,
\]

d'où l'on tire, en regardant (62):

(63) \[
\alpha e_1 e_2 = 0, \text{ (ou } \alpha_{12} = 0).
\]

Donc l'équation (63) représente la condition sous laquelle la couple \( e_1 e_2 \) est harmonique par rapport à la couple \( x^{(1)}, x^{(2)} \).

Rappelons-nous la circonstance que le produit extérieur \( x e_1 e_2 \) se compose du facteur \( x \) et du produit algébrique \( e_1 e_2 \); en outre, que tous les deux produits ont la qualité associative. Alors nous pouvons écrire le produit \( x e_1 e_2 \) sous les formes \( (x e_1) e_2 \) ou \( (x e_2) e_1 \), où, par exemple