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El Progreso matemático (1893-05-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

N. I. LOBATCHEFFSKY

Le 10/22 octobre 1893 aura lieu le centenaire de la naissance de l’illustre géomètre russe Lobatcheffsky.

Nicolas Lobatcheffsky appartient incontestablement au nombre des savants du XIX.—ième siècle qui non seulement ont enrichi la science, mais lui ont même découvert de nouvelles voies.

Les hommes de génie qui découvrent à la science de nouvelles voies sont souvent obligés de refuter les propositions qu’on avait avant eux respectées comme une vérité incontestable.

Le même rôle honorable dans la science échut à Nicolas Ivano-witch Lobatcheffsky, «ce Copernic de la géométrie», comme l’a appelé Clifford.

Depuis qu’Euclide a fondé l’édifice immortel de sa géométrie sur un petit nombre de definitions, d’axiomes et des postulata admis sans démonstration, la vérité de ces fondements de la géométrie ne fut soumise à aucun doute; tous les efforts des savants de tous les pays et de toutes les époques ont été dirigés à la reduction du nombre de ces axiomes et postulata au minime; la science présente par exemple toute une série de tentatives pour la déduction du postulatum d’Euclide sur la rencontre de la perpendiculaire et de l’oblique comme un corollaire mathématique des autres definitions, axiomes et postulata; la vérité du postulatum lui même ne fut soumise à aucun doute.

Lobatcheffsky fut le premier, qui ait découvert là un problème qui ne peut être résolu qu’au moyen de l’expérience; arrivé à la conviction que l’admission du postulatum d’Euclide est équivalente à l’admission de certaines propriétés de notre espace, qui ne peuvent être contrôlées qu’au moyen de l’expérience ou de l’observation, il a montré la possibilité de la géométrie sans le postulatum d’Euclide. Lobatcheffsky a réalisé sa pensée dans une série de mémoires avec l’es-
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Principia por extender las fórmulas fundamentales

\[
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sen A \sen B,
\]
\[
\sen (A + B) = \sen A \cos B + \cos A \sen B, \text{ etc.}
\]

entre otros resultados que contiene el escrito, citaremos la generalización del teorema de Moivre, el producto de dos ángulos en el espacio, cuando están expresados por componentes oblicuas, y las generalizaciones de los teoremas exponencial, binomial, multinomial y logarítmico: terminando con la generalización de la trigonometría hiperbólica y de la diferenciación.

AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS, v. XV, número 2, contiene Hyperelliptische Schnittsysteme und Zusammenordnung der algebraischen und trascendentalen Thetacharacteristiken, von Henry Dallas Thompson.—On the Determination of Groups whose is a Power of a Prime, by J. W. A. Young.—The Projection of Fourfold Figures upon a Three-Flat, by T. Proctor Hall.—Note on a Geometrical Theorem, by C. N. Little.

Z. C. de G.

NOTA MATEMÁTICA
del Dr. Lampe, Rector de la R. Escuela técnica superior de Berlín.

Dada la progresión aritmética

\[
a, a + r, a + 2r, a + 3r, \ldots, a + (n-1)r
\]

formemos los productos de los términos de esta progresión combinados dos á dos, tres á tres, cuatro á cuatro, y formemos las sumas \(C_1, C_2, C_3, C_4\) de todas estas combinaciones. Entonces se tendrá

\[
C_1 = n \left[ a + \frac{1}{2} r (n-1) \right],
\]
\[
C_2 = \frac{n(n-1)}{2} \left[ a^2 + ar(n-1) + \frac{1}{12} r^2 (n-2)(3n-1) \right],
\]
\[
C_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \left[ a^3 + \frac{3}{2} a^2 r (n-1) + \frac{1}{4} a r^2 (n-2)(3n-1) + \frac{1}{8} r^3 n (n-1)(n-3) \right],
\]
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\[
C_4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \left[ a^4 + 2a^3r(n-1) + \frac{1}{2}a^2r^2(n-2)(3n-1) \right. \\
\left. + \frac{1}{2}ar^3n(n-1)(n-3) + \frac{1}{240}r^4(n-4)(15n^3 - 15n^2 + 5n + 2) \right].
\]

Haciendo \( a = 1, r = 1 \), la serie se transforma en la de los números naturales 1, 2, 3, ..., n, de los cuales se forman todos los productos por uno, dos, tres, etc. Designemos por \( \binom{n}{k} \) la expresión

\[
\frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{1.2.3\ldots k}
\]

se tendrá en este caso

\[
C_1 = \binom{n+1}{2},
\]
\[
C_2 = \frac{1}{4}\binom{n+1}{3}(3n+2),
\]
\[
C_3 = \binom{n+1}{4}\binom{n+1}{2},
\]
\[
C_4 = \frac{1}{48}\binom{n+1}{5}(15n^3 + 15n^2 - 10n - 8),
\]
\[
C_5 = \frac{1}{8}\binom{n+1}{6}\binom{n+1}{2}(3n^2 - n - 6),
\]
\[
C_6 = \frac{1}{576}\binom{n+1}{7}(63n^3 - 315n^2 - 224n^2 + 140n + 96),
\]
\[
C_7 = \frac{1}{504}\binom{n+1}{8}\binom{n+1}{2}(63n^4 - 126n^3 - 399n^2 + 238n + 560),
\]
\[
C_8 = \frac{1}{26880}\binom{n+1}{9}(945n^7 - 2205n^6 - 11025n^5 + 5145n^4 + 37220n^3 \\
\quad + 19740n^2 - 13552n - 8064).
\]

Para obtener una demostración fácil, concibamos la ecuación

\[
x^n - C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} - C_3 x^{n-3} + \ldots + (-1)^{n-1} C_{n-1} x + (-1)^n C_n = 0
\]

cuyas raíces son los números

\[
a, \ a + r, \ a + 2r, \ldots, \ a + (n-1)r.
\]
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Sea además

\[
S_k = a^k + (a+r)^k + (a+2r)^k + \ldots + [a+(n-1)r]^k
\]

Se tendrá evidentemente

\[
\begin{cases}
S_1 = n \left[ a + \frac{1}{2} r (n-1) \right], \\
S_2 = n \left[ a^2 + ar(n-1) + \frac{1}{6} r^2 (n-1)(2n-1) \right], \\
S_3 = n \left[ a^3 + \frac{3}{2} a^2 r (n-1) + \frac{1}{2} a r^2 (n-1)(2n-1) + \frac{1}{4} r^3 n(n-1)^2 \right], \\
S_4 = n \left[ a^4 + 2a^3 r (n-1) + a^2 r^2 (n-1)(2n-1) + a r^3 n(n-1)^2 \right. \\
\phantom{S_4 = n \left[ a^4 + 2a^3 r (n-1) + a^2 r^2 (n-1)(2n-1) + a r^3 n(n-1)^2 } \left. + \frac{1}{30} r^4 (n-1)(2n-1)(3n^2-n-1) \right],
\end{cases}
\]

donde es preciso servirse de las sumas conocidas de las potencias

\[
1^k + 2^k + 3^k + \ldots + (n-1)^k.
\]

Escribamos todavía las fórmulas de Waring

\[
\begin{cases}
S_1 - C_1 = 0, \\
S_2 - C_1 S_1 + 2C_2 = 0, \\
S_3 - C_1 S_2 + C_2 S_1 - 3C_3 = 0, \\
S_4 - C_1 S_3 + C_2 S_2 - C_3 S_1 + 4C_4 = 0,
\end{cases}
\]

y la relación de nuestro problema se reduce á calcular \( C_1, C_2, C_3, \ldots \) de las ecuaciones II con auxilio de las expresiones I (*).

(*) La solución de la cuestión 109 (véase pág. 149) extendida á la suma de los productos de K términos sucesivos de la progresión aritmética

\[
a, a+r, a+2r, a+3r, \ldots, a+(n-1)r
\]

puede enunciarse como sigue:

Formemos el producto de los K últimos términos de la serie y agreguemos como factor el término \((a+nr)\) que seguirá al último término; formemos además el producto de los K primeros términos de la serie, y agreguemos el término \((a-r)\) que precederá al primer término; la diferencia de estos dos términos será la suma buscada.

Así, para \(K=8\), se tendrá

\[
4S_3 r = \{a+(n-3)r\}; \{a+(n-2)r\}; \{a+(n-1)r\}; \{a+nr\} \\
\phantom{4S_3 r =} - \{a-r\}; \{a\}; \{a+r\}; \{a+2r\}.
\]
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CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión núm. 109. (Véase tomo III, pág. 71).

Hallar la suma de los productos tres á tres de los términos consecutivos de la progresión aritmética
\( \div a, a + r, a + 2r, a + 3r, \ldots, a + (n-1) r \) (J.M)

Solución por el Sr. VIVANTI (G)

\[
S = \sum_{i=1}^{n-2} \left[ (a + (i-1) r) (a + ir) (a + (i+1) r) \right]
\]

\[
= \sum_{i=1}^{n-2} \left[ a (a^2 - r^2) + (3a^2 r - r^3)i + 3a r^2 i^2 + r^3 i^3 \right]
\]

\[
= a (a^2 - r^2) \sum_{i=1}^{n-2} i^0 + (3a^2 r - r^3) \sum_{i=1}^{n-2} i + 3a r^2 \sum_{i=1}^{n-2} i^2 + r^3 \sum_{i=1}^{n-2} i^3 \ldots
\]

pero \( \sum_{i=1}^{n-2} i^0 = n-2, \sum_{i=1}^{n-2} i = \frac{(n-1)(n-2)}{2}, \sum_{i=1}^{n-2} i^2 = \frac{(2n-3)(n-1)(n-2)}{6} \)

\[
\sum_{i=1}^{n-2} i^3 = \frac{(n-1)^2 (n-2)^2}{4}
\]

Introduciendo estos valores en la expresión de S y ordenando se obtiene:

\[
S = (n-2) \left\{ a^3 + \frac{3}{2}(n-1)a^2 r + \frac{1}{2}(2n^2 - 5n + 1)ar^2 + \frac{1}{4}n(n-1)(n-3)r^3 \right\}
\]

\[
= (n-2) \left( a + \frac{(n-1)}{2} r \right) \left( a^2 + (n-1)ar + \frac{n(n-3)}{2} r^2 \right).
\]

Observación: Es útil conocer, con motivo de la cuestión 109, las siguientes líneas del Cours d'Algèbre, par Niewenglowsky (2.ª edición, pp. 120, 121).

Sea la progresión aritmética

\[
a, b, c, d, \ldots, f, k, l
\]
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de razón r, y suponiendo se haya de calcular la suma

\[
abc + bcd + \ldots + jkl
\]

Haciendo:

\[
a - r = a' \quad y \quad l + r = l'
\]

se tiene

\[
abcd + a'abc = abc (d - a') = abc . 4r
\]

igualmente

\[
bcde - abcd = bcd (e - a) = bcd . 4r
\]

Sumando miembro á miembro y simplificando, se halla

\[
jkll' - a'abc = 4rS
\]

siendo S la suma pedida. Se calcularía igualmente

\[
\frac{1}{abc} + \frac{1}{bcd} + \ldots + \frac{1}{jkl}
\]

considerándose diferencias tales como \( \frac{1}{ab} - \frac{1}{bc} , \ldots \).

(Noticia comunicada por el Sr. Sollertinsky).

Cuestión 79 (Véase t. II, pág. 279 y t. III págs. 34 y 37.)

Construir un triángulo, conociéndose los vértices A, B, C de los triángulos equiláteros construídos exterior e interiormente sobre sus lados.

(H. Van Aubel.)

Otras soluciones por el Sr. Sollertinsky.

1.º Siendo A', B', C' los vértices de los triángulos equiláteros construídos exteriormente, sean A₁, B₁, C₁ los vértices de los triángulos equiláteros construídos interiormente sobre los lados de A'B'C'. El triángulo A₁B₁C₁ es anticomplementario del triángulo buscado.

2.º Siendo A", B", C" los vértices de los triángulos equiláteros construídos exteriormente sobre los lados de A'B'C', los vértices del triángulo ABC son los medios de las rectas A'A", B'B", C'C". (Véase tomo II. p. 61.)

Cuestión 106. (Véase t. III, pág. 71.)

Se dan en un plano dos círculos C, C' y un punto P. Trazar por este punto dos circunferencias T, T' tangentes entre sí, respectivamente tangentes á los círculos dados, esto es, á T ó C y á T' ó C'; y cuyos radios se hallen en una razón dada.

(A. Laisant.)
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Solución por el Sr. Sollerstinsky (B).

Supongamos, para fijar las ideas, que las circunferencias T y T' se tocan exteriormente y que la razón de sus radios es \( \frac{m}{n} \). Entonces, si se construye el círculo C' tal, que el punto P sea el centro de semejanza inversa de los círculos C, C' y que la razón de sus radios sea igual á \( \frac{m}{n} \), el círculo C' tocará á T'. La cuestión se reduce, pues, á la de hacer pasar por el punto P una circunferencia T' tangente á dos circunferencias dadas C y C'.

Cuestión 119. (Véase t. III, pág. 112.)

Construir un triángulo conociendo un vértice A, y las proyecciones de este vértice sobre las bisectrices de los ángulos exteriores B y C.

(Juan J. Durán Loriga.)

Solución por el alumno D. Lorenzo Varela.

Sean A el vértice y P y Q las proyecciones dadas. Se trazan las rectas PR y QR perpendiculares á las AP y AQ; estas serán las bisectrices de los ángulos exteriores en B y C.—La recta PQ es paralela á la base BC del triángulo, y pasa por los puntos medios de los lados AB y AC.—Es paralela, porque trazando las CH y BH perpendiculares á QR y PR, estas rectas serán paralelas á AQ y á AP; y se cortan en un mismo punto de la AR. Por ser bisectrices de los ángulos en B y C del triángulo, y ser la AR bisectriz del ángulo en A del mismo; se tendrá en los triángulos AQR y APR

\[
\frac{RC}{RQ} = \frac{RH}{RA} \quad \text{y} \quad \frac{RH}{RA} = \frac{RB}{RP}
\]

y de estas dos se deduce

\[
\frac{RC}{RQ} = \frac{RB}{RP}
\]
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luego PQ paralela á BC. Pasa por los puntos medios de los lados, porque se tiene

\[
\frac{AQ}{QE} = \frac{AP}{PD} = \frac{AG}{GB}
\]

y como \( AQ = QE \) por ser iguales los triángulos ACQ y CQE se tendrá \( AP = PC \) y \( AG = GB \).

Las perpendiculares en los puntos medios de AP y AQ pasan también por los puntos medios de los lados AB y AC; porque la MN en el triángulo APB es paralela al lado PR y pasa por el punto medio del lado AP; luego pasará también por el punto medio del otro lado AB; y la KL en el triángulo ACQ es paralela al lado CQ y pasa por el punto medio de AQ, luego pasará también por el punto medio de AC.

Construcción.—Únase P con Q trácense KL y MN perpendiculares en los puntos medios de AQ y AP, únase A con los puntos F y G en que estas perpendiculares cortan á la PQ, y los puntos B y C en que estas rectas corten á las QR y PR, serán los otros dos vértices.

Solución por el Sr. Sollertinsky.(B)

Se sabe que las proyecciones de A sobre las cuatro bisectrices de los ángulos B y C están situadas sobre la recta que pasa por los medios de AB y AC. Conocida esta recta, se obtienen sin trabajo las proyecciones de A sobre las bisectrices interiores, y enseguida los puntos B y C.

Solución por el Sr. Retall.(V)

Uno A con las proyecciones dadas \( \beta \) y \( \gamma \), y trazo las perpendiculares en \( \beta \) y \( \gamma \) á dichas rectas.

Sea O' el punto comun á estas perpendiculares, y sean O' y O'' las intersecciones de \( \beta O' \) y \( \gamma O' \) con la perpendicular trazada por A á la recta OA'. Los puntos O'O'O'' son los centros de los tres círculos exinscriptos al triángulo hallado, y por esto los pies de las perpendiculares bajadas desde O' y O'' respectivamente sobre O'O'' y O''O' son los restantes dos vértices del triángulo buscado.

Solución por D. Cecilio Jiménez Recio.

Sean A, b y c tres puntos no situados en línea recta, de los cuales b y c suponemos ser las proyecciones de A sobre las bisectrices exteriores de los ángulos B y C del triángulo ABC. Para construir éste, únase A con b y con c; sobre estas rectas, á partir de b y de c, y en
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sentido opuesto á A llévense segmentos bA₁, cA₂, respectivamente iguales á bA y cA; trácese la recta A₁A₂, y en b y c levántense perpendiculares á AA₁ y AA₂, y donde estas perpendiculares corten á la A₁A₂ están los vértices B y C respectivamente del triángulo pedido. La demostración va en la construcción misma.

Cuestión 25 (Véase tomo I, pág. 262)

Resolver las ecuaciones

\[
x₁ + t = a(x₃ + x₄) \\
x₂ + t = (a + 1)(x₃ + x₄) \\
x₃ + t = (a + 2)(x₄ + x₁) \\
x₄ + t = (a + 3)(x₁ + x₂)
\]

(Leonardo de Pisa).

Solución por por el licenciado en Ciencias D. Ángel Bozal.

Efectuando la transposición de términos para tener en el primer miembro los dependientes de las x y en el segundo los independientes, tendremos:

\[
x₁ - ax₁ - ax₃ + 0x₄ = -t \\
0x₁ + x₃ - (a + 1)x₃ - (a + 1)x₄ = -t \\
-(a + 2)x₁ + 0x₃ + x₈ - (a + 2)x₄ = -t \\
-(a + 3)x₁ - (a + 3)x₂ + 0x₃ + x₄ = -t
\]

Llamando Δ al determinante de los coeficientes de las x, se tiene:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & -a & -a & 0 \\
0 & 1 & -(a+1) & -(a+1) \\
-(a+2) & 0 & 1 & -(a+2) \\
-(a+3) & -(a+3) & 0 & 1
\end{vmatrix}
\]

Desarrollando este determinante por los elementos de su primera fila, se tiene:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & -(a+1) & -(a+1) \\
0 & 1 & -(a+2) \\
-(a+3) & 0 & 1
\end{vmatrix} + a \begin{vmatrix}
0 & -(a+1) & -(a+1) \\
-(a+2) & 1 & -(a+2) \\
-(a+3) & 0 & 1
\end{vmatrix}
- a \begin{vmatrix}
0 & 1 & -(a+1) \\
-(a+2) & 0 & -(a+2) \\
-(a+3) & -(a+3) & 1
\end{vmatrix}
\]
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Desarrollando cada uno de estos determinantes por los elementos de sus primeras columnas tendremos:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & -(a+2) \\
0 & 1
\end{vmatrix}
-(a+3)
\begin{vmatrix}
-(a+1) & -(a+1) \\
1 & -(a+2)
\end{vmatrix}
+ a(a+2)
\begin{vmatrix}
-(a+1) & -(a+1) \\
0 & 1
\end{vmatrix}
-a(a+3)
\begin{vmatrix}
-(a+1) & -(a+1) \\
1 & -(a+2)
\end{vmatrix}
-a(a+2)
\begin{vmatrix}
1 & -(a+1) \\
-(a+3) & 1
\end{vmatrix}
+a(a+3)
\begin{vmatrix}
1 & -(a+1) \\
0 & -(a+2)
\end{vmatrix}.
\]

Desarrollando cada uno de estos determinantes, se tiene:

\[
\Delta = 1 - (a+3) \left[ (a+1)(a+2) + (a+1) \right] - a(a+1)(a+2)
- a(a+1)(a+2)(a+3) - a(a+1)(a+3) - a(a+2)
+ a(a+1)(a+2)(a+3) - a(a+2)(a+3) = 1 - (a+1)(a+2)(a+3)
- (a+1)(a+3) - a(a+1)(a+2) - a(a+1)(a+3) - a(a+2)
= 1 - a^3 - 6a^2 - 11a - 6 - a^3 - 4a - 3 - a^3 - 3a^2 - 2a - a^3 - 4a^2 - 3a - a^2
- 2a - a^3 - 5a^2 - 6a = -8 - 4a^3 - 20a^2 - 28a
\]

y separando á -4 por factor común, tendremos:

\[
\Delta = -4(5a^2 + a^3 + 7a + 2)
\]
ó sea

\[
\Delta = -(a+2)(a^3 + 3a + 1)
\]

Conociendo el denominador de los coeficientes, obtendremos los valores de \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) dividiendo por dicho denominador el determinante que resulta de sustituir en \( \Delta \) los coeficientes de la que se considere por los segundos miembros del sistema [1]; llamando \( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 \) á los respectivos determinantes así formados, tendremos que serán:

\[
\Delta_1 = \begin{vmatrix}
-t & -a & 0 \\
-t & 1 & -(a+1) \\
-t & 0 & 1 \\
-t & -(a+3) & 0
\end{vmatrix}
\quad
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
1 & -t & -a & 0 \\
0 & -t & -(a+1) & -(a+1) \\
-(a+2) & -t & 1 & -(a+2) \\
-(a+3) & -t & 0 & 1
\end{vmatrix}
\]
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\[
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
1 & -a & -t & 0 \\
0 & 1 & -t-(a+1) & -(a+2) \\
-(a+2) & 0 & -t-(a+2) & 1 \\
-(a+3) & -(a+3) & -t & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
\Delta_4 = \begin{vmatrix}
1 & -a & -a & -t \\
0 & 1 & -(a+1) & -t \\
-(a+2) & 0 & 1 & -t \\
-(a+3) & -(a+3) & 0 & -t
\end{vmatrix}
\]

Desarrollemos cada uno de estos determinantes:

Cálculo de \( \Delta_1 \). Desarrollando este determinante por los elementos de la primera fila teniendo en cuenta los signos de sus elementos, tendremos:
\[
\Delta_1 = -t \begin{vmatrix}
1 & -a+1 & -(a+1) \\
0 & 1 & -(a+2) \\
-(a+3) & 0 & 1
\end{vmatrix}
+ a \begin{vmatrix}
-t & -(a+1) & -(a+1) \\
-t & 1 & -(a+2) \\
-t & 0 & 1
\end{vmatrix}
- a \begin{vmatrix}
-t & 1 & -(a+1) \\
-t & 0 & -(a+2) \\
-t & -(a+3) & 1
\end{vmatrix}
\]

Desarrollando á su vez cada uno de estos sumandos por los elementos de sus primeras columnas, se tiene:
\[
\Delta_1 = -t \begin{vmatrix}
1 & -(a+2) \\
0 & 1
\end{vmatrix}
+ t(a+3) \begin{vmatrix}
-(a+1) & -(a+1) \\
1 & -(a+2)
\end{vmatrix}
- at \begin{vmatrix}
1 & -(a+2) \\
0 & 1
\end{vmatrix}
+ at \begin{vmatrix}
-(a+1) & -(a+1) \\
0 & 1
\end{vmatrix}
- at \begin{vmatrix}
-(a+1) & -(a+1) \\
1 & -(a+2)
\end{vmatrix}
+ at \begin{vmatrix}
0 & (a+2) \\
-(a+3) & 1
\end{vmatrix}
- at \begin{vmatrix}
1 & -(a-1) \\
-(a+3) & 1
\end{vmatrix}
+ at \begin{vmatrix}
-(a-1) & -(a+1) \\
0 & -(a+2)
\end{vmatrix}
\]

Desarrollando cada uno de estos determinantes de segundo orden, tendremos:
\[
\Delta_1 = -t + t(a+3) \left[ (a+1)(a+2) + (a+1) \right]
- at - at (a+1) - at \left[ (a+1)(a+2) + (a+1) \right]
- at(a+2)(a+3) - at \left[ 1 - (a+1)(a+3) \right] - at(a+2).
\]
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prit de suite et l'exactitude «d'un vrai géomètre», comme l'a qualifié Gauss.

Ce «princps mathematicorum» a fait honneur aux travaux de Lobatcheffsky encore en 1846; mais cette approbation a passé inaperçue dans le monde mathématique et il a fallu encore un quart de siècle pour que le grand mérite scientifique et philosophique des travaux de Lobatcheffsky fût unanimement reconnu. Cet aveu fut le fruit des travaux de plusieurs géomètres éminents de notre époque qui ont éclairci que la géométrie de Lobatcheffsky pour les deux dimensions est équivalente à la géométrie sur une surface ayant la courbure constante et negative et que la géométrie pour les trois dimensions introduit dans la science la notion d'une nouvelle variété, l'espace ayant une courbure.

L'étude de la géométrie de Lobatcheffsky ou de la géométrie non euclidéenne forme une nouvelle branche de la science mathématique ayant une grande littérature.

A ces études se rattachent, en formant leur continuation immédiate, les recherches dans la géométrie des hyperespaces; ces travaux en jetant une vive lumière sur plusieurs questions de la géométrie sont en même temps un auxiliaire qu'on ne saurait remplacer dans l'étude de plusieurs questions difficiles de l'analyse.

A une haute valeur scientifique des découvertes de Lobatcheffsky correspond une valeur philosophique tout aussi importante; d'un côté elles offrent à speculation une nouvelle question de l'étude des propriétés de l'espace; de l'autre elles jettent une vive lumière sur la question de l'origine de nos axiomes géométriques et ont en conséquence une haute valeur pour la théorie de la connaissance.

L'Université Impériale de Kasan a en la gloire d'avoir Lobatcheffsky au nombre de ses élèves et de ses membres; ici Lobatcheffsky a rempli les fonctions de professeur de 1812 à 1846 et celles de recteur de 1827 à 1846. Ce n'est pas seulement à cause de ses mérites de savant et de professeur que Lobatcheffsky est cher à l'Université de Kasan. L'histoire de la vie et des travaux de Lobatcheffsky, dit son biographe, est inséparablement liée à celle de notre Université, il a été le premier de ses élèves qui devint professeur. L'Université de Kasan lui doit une dette de reconnaissance pour la construction de ses meilleurs édifices et pour l'organisation de la bibliothèque.

En vue de ces mérites la société physico-mathématique de Kasan ne pouvait se dispenser de célébrer dignement l'anniversaire du jour
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Efectuando las multiplicaciones indicadas por los corchetes, se tiene:

\[
\Delta_1 = -t + t(a+1) (a+2) (a+3) + t(a+1) (a+3) - at - at(a+1) - at(a+1) (a+2) - at(a+1) - at(a+2) (a+3) - at + at(a+1) (a+3) + at(a+2).
\]

Efectuando las multiplicaciones indicadas, tendremos:

\[
(a+1)(a+2) = a^2 + 3a + 2,\quad (a^2 + 3a + 2)(a+3) = a^3 + 6a^2 + 11a + 6,
\]
\[
(a+2)(a+3) = a^2 + 5a + 6,\quad (a+1)(a+3) = a^2 + 4a^2 + 3
\]
\[
\Delta_1 = -t + a^2t + 6a^2t + 11at + 6t + a^2t + 4at + 3t - at - a^2t - at - a^2t - 3a^2t - 2at - a^2t - at - a^3t - 5a^2t - 6at - at + a^2t + 4a^2t + 3at - a^2t - 2at.
\]

Reduciendo términos semejantes, resulta:

\[
\Delta_1 = 8t + 4at = 4t(a+2)
\]

de donde

\[
\Delta_1 = 4t(a+2)
\]

Calculo de \( \Delta_2 \): Desarrollando este determinante por los elementos de su primera columna

\[
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
-t & -(a+1) & -(a+1) \\
-t & 1 & -(a+2) \\
-t & 0 & 1
\end{vmatrix}
- \begin{vmatrix}
-t & -a & 0 \\
-(a+2) & -t & -(a+1) \\
-(a+1) & -t & 0
\end{vmatrix}
\]
\[
+(a+3) \begin{vmatrix}
-t & -a & 0 \\
-t & -(a+1) & -(a+1) \\
-t & 1 & -(a+2)
\end{vmatrix}
\]

Desarrollando el primero por los elementos de su tercera fila, el segundo por la de su tercera fila y el tercero por los de su primera fila, y haciendo á continuación el desarrollo de los obtenidos, resulta:

\[
\Delta_2 = -t \left[ (a+1)(a+2) + (a+1) \right] - t - t(a+1) + at(a+1)(a+2)
- t(a+1)(a+2) + at(a+2) - t(a+1)(a+2)(a+3)
- t(a+1)(a+3) + at(a+2)(a+3) = -2t(a+1)(a+2)
- 2t(a+1) - t + at(a+1)(a+2) + at(a+2) - t(a+1)(a+2)(a+3)
- t(a+1)(a+3) + at(a+2)(a+3) - at(a+1)(a+3);
\]
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y efectuando operaciones y reduciendo después términos semejantes tendremos sucesivamente:

\[
\Delta_2 = -2a^2t - 6at - 4t - 2at - 2t - t + a^3t + 3a^2t + 2at + a^2t + 2at \\
- a^3t - 6a^2t - 11at - 6t - a^2t - 4at - 3t + a^3t + 5a^2t + 6at - a^3t - 4a^2t - 3at \\
= -4a^2t - 16at - 16t
\]

Luego

\[
\Delta_2 = -4t(a^2 + 4a + 4)
\]

ó sea

\[
\Delta_1 = -4t(a + 2)^2
\]

CALCULO DE \( \Delta_3 \). Desarrollando este determinante por los elementos de su primera columna, y efectuando los desarrollos de estos determinantes por los elementos de sus primeras columnas, se tiene:

\[
\Delta_3 = \begin{vmatrix}
-t & -(a+2) \\
-i & 1
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
-t & -(a+1) \\
-i & -(a+2)
\end{vmatrix}
+
a(a+2)
\begin{vmatrix}
-t & -(a+1) \\
-t & 1
\end{vmatrix}
+ \text{etc.}
\]

y desarrollando nuevamente

\[
\Delta_3 = -t - t(a+2) - t(a-2)(a+3) - t(a+1)(a+3) - at(a+2) \\
- at(a+1)(a+2) - t(a+2) + t(a+1)(a+2)(a+3) \\
- at(a+1)(a+2) + at(a+1)(a+3) - t(a+2)(a+3).
\]

y desarrollando nuevamente

\[
\Delta_3 = -t - t(a+2) - t(a+2)(a+3) + t(a+1)(a+3) - at(a+2) \\
- at(a+1)(a+2) - t(a+2) + t(a+1)(a+2)(a+3) \\
- at(a+1)(a+2) + at(a+1)(a+3) - t(a+2)(a+3).
\]

Efectuando las multiplicaciones indicadas se tiene, después de reducir á uno solo el 2.º y 7.º términos, como igualmente el 3.º y último:

\[
\Delta_3 = -t - 2at - 4t - 2a^2t - 10at - 12t + a^3t + 4at + 3t - a^2t - 2at \\
- a^3t - 3a^2t - 2at + a^2t + 6a^2t + 11at + 6t - a^3t - 5a^2t \\
- 6at + a^3t + 4a^2t + 3at,
\]

y reduciendo términos semejantes

\[
\Delta_3 = -8t - 4at = -4t(a+2).
\]