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El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 19

Leçons de Cinématique et de Dinamique suivies de la détermination des centres de gravité, par X. Antomare.—Librairie Nony, 1892. Consta esta obra de tres libros: I Cinemática.—II Dinámica.—III Estática.

El libro I se divide en cinco capítulos: 1.º Velocidad y aceleración consideradas como magnitudes numéricas.—2.º Velocidad y aceleración consideradas como vectores.—3.º Movimientos proyectados y empleo de las coordenadas rectilíneas para el estudio del movimiento de un punto.—4.º De los movimientos relativos y de la composición de los movimientos.—5.º Estudio de algunos movimientos y aplicaciones.—Ejercicios.

El libro II se divide en ocho capítulos á saber: 1.º Los principios generales de la dinámica.—2.º Movimiento de los proyectiles en el vacío.—3.º Proporcionalidad de las fuerzas y de las aceleraciones; masa.—4.º Valor de una fuerza; definición de una resultante; composición y descomposición de las fuerzas.—5.º Ecuaciones del movimiento de un punto material sometido á fuerzas conocidas; aplicaciones.—6.º Trabajo y fuerza viva.—7.º Fuerzas centrales y movimiento de los planetas.—8.º Movimiento de un punto sobre una curva ó sobre una superficie fijas.—Ejercicios.

El libro III cuyo objeto es la determinación de los centros de gravedad trata sucesivamente de: Nociones preliminares; teoremas generales; centros de gravedad de las líneas; centros de gravedad de superficies; centros de gravedad de volúmenes; aplicaciones de los centros de gravedad; teoremas de Guldin; ejercicioios.

La obra consta de 320 páginas en 4.º, y si el autor ha expuesto con claridad y sencillez los principios fundamentales de la mecánica, no poco contribuye también lo esmerado de la parte tipográfica á hacer en extremo fácil la lectura y comprensión de la obra escrita con arreglo al programa de admisión de la Escuela Politécnica de París, y con excelente método.

Complemento elemental de Geometría y Trigonometría rectilínea, por D. Manuel Salavera, catedrático de Matemáticas.—Tarragona, 1892.

Ya en el tomo I de este periódico, al ocuparnos de El complemento elemental de Aritmética y Algebra, publicado también por el Sr. Salavera, manifestamos cuán grato es para todo el que se interesa por los adelantos de las ciencias en España el hecho de aparecer obras distintas de aquéllas que, al parecer fundidas en un mismo molde, nos agobian por su muchedumbre, y sólo difieren entre sí esencialmente por el nombre que llevan en la portada.

El Sr. Salavera ha hecho una recopilación en extremo útil de todas
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 2

Brianchon e nella 3.a, oltre questo, il teorema di Steiner (1); ma questa terza soluzione, apparentemente più complicata delle altre due ha il vantaggio di non esigere che il cerchio circoscritto al triangolo sia tracciato.

1.a soluzione.—Per un vertice qualunque A del triangolo ABC, (v. fig. 1) conduco alla retta data r la perpendicolare, che incontrerà ulteriormente la circonferenza in E: la parallela condotta pel punto E al lato BC sega la circonferenza nel punto D, che è il cercato.

Dim. Dalla eguaglianza degli angoli BAE, DAC, segue che il punto D è il fuoco (proprio) della parabola inscritta nel triangolo ABC e avente i diametri paralleli alla retta AE; dunque la retta di Simpson corrispondente a D, ossia la tangente al vertice di questa parabola, è perpendicolare alla retta AE.

2.a soluzione.—Pel vertice (qualunque) A conduco la parallela AO al lato BC, e per un punto arbitrario Q del lato AC la perpendicolare QO alla retta data r: del punto O, comune a queste due rette, traccio un segmento OP equipollente ("") ad AB e finalmente unisco P e Q mediante una retta che segherà il lato AB nel punto R. I tre circoli circoscritti ai triangoli AQR, BRP, CPQ segano il cerchio dato nel punto cercato D. (v. fig. 2).

Dim. La retta PQ è tangente alla parabola inscritta nel triangolo ABC e avente i diametri perpendicolari alla retta data r (""); dunque il punto D comune ai quattro circoli ABC, AQR, BRP, CPQ è il fuoco di questa parabola: la retta di Simpson relativa a D, che è tangente al vertice della parabola è dunque "parallela alla retta data.

3.a soluzione.—Sieno (v. fig. 3) P₁, Q i punti in cui i lati BC, AC

(1) Le tre altezze del triangolo formato da tre tangenti di una parabola s'incontrano sulla direttrice.—Una dimostrazione elementare di questo teorema può leggersi a pag. 124-26 delle Vorlesungen di Steiner. (Parte I, 2.a ediz.)
(") Parallelo, eguale o del medesimo senso.
("*) Questo, per un noto corollario del teorema di Brianchon (v. per es. Cremona, Géométrie Projective § 14).
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 20

aquellas teorías y conceptos que, presentándose como difíciles y elevadas para el principiante, se hallan á su vez en los umbrales de nuevos dominios, cuya superioridad exigen cierto momento de reposo y de reconcentración con objeto de adquirir las fuerzas impulsivas suficientes para continuar la inteligencia su ascendente proceso. El espíritu que informa las dos obras del Sr. Salavera tiene algo de lo que caracteriza á la sección media, que en Francia se denomina matemáticas especiales, preparación muy conveniente para poder después dirigirse de modo expedito por cualquier región de dicha ciencia.

De cuatro partes consta la obra, desenvuelta en la extensión de 185 páginas en 4.º En la primera hallamos un capítulo destinado á los métodos generales de resolución y demostración, que comprenden los de intersección, por simetría, de equivalencias, proporciones y analogías. En seguida los métodos clásicos, que reduce á un corto número de procedimientos generales de que hace uso la Geometría moderna para demostrar y resolver muchas cuestiones, tratando de los de relaciones métricas, de las medidas, analítico, con la interpretación de las soluciones. El capítulo III, con que termina la primera parte, tiene por objeto los lugares geométricos.

La 2.ª parte comienza exponiendo la utilidad de la consideración de los signos, que justifica mediante algunos ejemplos. Siguen las primeras nociones de geometría infinitesimal con la exposición de los teoremas fundamentales relativos á la sustitución de variables en relaciones y sumas. En el capítulo 2.º que trata de la división segmentaria, se ocupa el autor de los primeros teoremas en que interviene la relación armónica y el haz armónico, así como á continuación lo hace del polo y la polar; luego de la división anarmónica. En el capítulo IV el objeto es las antiparalelas en el plano y en el espacio. En el capítulo V se trata del eje y centro radical y circunferencias ortogonales.

La 3.ª parte consta de cinco capítulos. En el 1.º, teoría de las transversales se demuestran los teoremas de Menelao, Ceva, de Gergonne y Chasles, tratándose del baricentro, el exágono de Pascal, el cuadrilátero completo. En fin, continuando la reseña del contenido de la obra tenemos: Capítulo II. Homología; Homotecia directa ó inversa.—Capítulo III. Proyecciones; Perspectiva; Punto y recta en el infinito; Construcción de las figuras perspectivas.—Cap. IV. Propiedades proyectivas; Propiedades proyectivas aplicables á las cónicas.—Capítulo V. Correlación; Dualidad de las figuras planas; Dualidad en el espacio.

La 4.ª parte trata de la inversión en el plano y en el espacio, concluyendo la obra con unas nociones de la Geometría elemental reciente.
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 21

INDICE

ARTICULOS BIBLIOGRÁFICOS

    Artículo
    Páginas

    G. de Galdeano.—Fondamenti di Geometrie à più dimensioni di G. Veronese,
    28, 56 y 110

    Reyes y Prósper.—Ernesto Schröder, sus merecimientos ante la lógica, etc., etc.
    33

    G. de Galdeano.—Géométrie analytique par M. G. de Longchamps.
    148

    Reyes y Prósper.—Charles Santiago Peirce y Oscar Howard Mitchell
    170

    Id. Dogson.—Curiosa mathematica
    265

    G. de Galdeano.—Revista bibliográfica
    270

    Id. Principi di logica esposti secondo le doctrine moderne
    387

ARTICULOS Y MEMORIAS

    Artículo
    Páginas

    G. de Longchamps.—Le calcul des séries convergentes,
    10 y 87

    Guimaraes—Nota sobre la construcción de una normal á una elipse,
    19 y 119

    Brocard.—Sur une question d' Arithmétique,
    25, 89 y 114

    Galán.—Estudio del triángulo infinitesimal.
    41

    Escarri.—Determinación del lado del pentadecágono regular convexo inscripto, etc.
    53

    G. Teixeira.—Sobre la descomposición de las funciones elípticas en u, en u, etc., en fracciones simples.
    65

    Marchand.—Sur le rectification des arcs de courbes dites Limagons Pascal.
    68

    G. de Galdeano.—Teoremas, problemas y métodos geométricos,
    75, 105, 195, 318 y 851

    Vigarié.—Geometría del triángulo, algunas propiedades de los triángulos podares, etc.
    97, 173 y 187

    Torroja.—Nota relativa á la perpendicularidad de rectas y planos.
    108

    Lassala.—Un teorema de Geometría esférica.
    120 y 262

    Pirondini.—Ligne d'intersection d'une surface de revolution avec un cilindre, etc.
    129 y 161

    Bantabot.—Integrales definidas
    187

    Lemoine.—Sobre un método de comparación de las resoluciones geométricas
    177

    Brocard.—Nota sobre la proyección estereográfica
    182

    Clarianu.—Introducción al estudio de las integrales eulerianas.
    190
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 22

Gomes Teixeira.—Sobre el desarrollo de \( p(u) \) en serie de fracciones simples .................................................. 207
Cesário.—Sobre algunas notas de Geometría infinitesimal ............. 212
G. de Galdeano.—La evolución de la Geometría del triángulo ....... 217
Id. Nota acerca de los poliedros de cuatro dimensiones ............... 223
Schiappa Monteiro—Sur un théorème relatif à la théorie des nombres. 257
Lampe.—Nota matemática .................................................... 269
Brocard.—Nota sobre la cuestión 52 ........................................ 278
Schlegel.—Introduction aux méthodes géométriques de H. Grassmann, ................................................................. 281 y 332
G. de Longchamps—Sobre las igualdades de dos grados ............... 318
Clariana.—Nuevos puntos de vista en Matemáticas .................... 328
Retali.—Sopra un problema di Geometria ................................. 345
Teixeira (J. Pedro).—Una demostración del teorema de adición de argumentos de las funciones angulares ................................. 348
Guimaraes.—Sobre una fórmula geométrica. ............................. 349

ANUNCIOS BIBLIOGRÁFICOS
Poulain.—Synopsis der Hochren Mathematik, von J. Hagen .......... 59
G. de Galdeano.—Cálculo de los números aproximados, etc., por Fernández de Prado y Alvarez Sereix ................................. 59
Id. Problemas de Geom. analy. par E. Mosnat ......................... 123
Id. Premiers principes d’Algebrec por C. A. Laisant ................. 206
Id. Gino Loria, Nicola Fergola, etc. ...................................... 267
Id. Jornal de ciencias matematicas ....................................... 275
Id. Rivista di Matematica .................................................... 275

FILOSOFÍA MATEMÁTICA
Reyes y Prósper.—Nota acerca de la Geometría proyectiva sobre la superficie esférica, ......................................................... 7 y 10
Peano.—Principios de lógica matemática ................................. 20 y 49
Reyes y Prósper.—Proyecto de calificación de los escritos lógico-simbólicos, etc. ............................................................. 229

VARIEDADES
G. de Galdeano.—A nuestros lectores ....................................... 3
Id. Necrología .................................................................. 60
Id. A nuestros lectores ....................................................... 217
Battaglini.—Teorema remitido por el señor ............................. 232

CUESTIONES PROPUESTAS
Desde la 44 hasta la 98.

CUESTIONES RESUELTAS
2, 3, 4, 5, 12, 27, 28, 30, 34, 36, 38, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 56, 57, 59, 61, 62, 69, 72, 77, 79, 393.
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 23



    Pág.
    Línea
    Dice
    Debe decir

    119
    7
    A = o
    B = o

    121
    11
    áng. los diedros
    ángulos planos y los remos de los ángulos estéricos por remos de ángulos diedros

    137
    24
    a = b
    b - a

    137
    24
    v - a
    v = a

    138
    6 y 8
    ρ
    x

    138
    25
    ρ
    x

    140
    23
    límite inferior
    límite superior y el que corresponde á la misma para el límite inferior

    142
    1
    terminación
    determinación

    142
    25 y 27
    +.....
    +

    143
    13
    f(a) y f(b)
    el mayor y menor valor de f(x) toma en el intervalo (b - a)

    144
    1
    T(b)
    T(d)

    146
    7
    de la
    de las que corres ponden á la

    146
    9
    integración
    cálculo

    146
    16
    Ψ(a) dx
    fΨ(x) dx

    146
    17, 19, 20
    x³
    x²

    160
    3
    suprimase
    «El punto S es el punto doble etc.»

    160
    6
    G
    Cγ

    240
    1
    AβCDβ'C'
    AβEDβ'E'

    240
    7
    O
    o

    240
    25
    Rb'₀
    Bb'₀

    240
    35
    x
    x

    242
    20

    quitar el radical entre paréntesis

    243
    26
    4By
    4Ry

    247
    16
    Bp'—
    Bp' =

    247
    8
    ±
    ±

    261
    11
    = (mód. p)
    = ± 1 (mód. p)

    261
    15
    r' - 1
    p - 1

    261
    17
    \( \frac{p + r'}{2} \)
    \( \frac{p + r'}{2} \)

    261
    17
    10 \( \frac{r}{2} \) =
    10 \( \frac{r}{2} \) - 1 =

    262
    7
    20
    10

    262
    17
    tant
    tout

    281
    fór.1º (1)
    \( a_2 \)
    \( a_1 \)

    282
    4
    (e₁, e₂)
    (e₁, e₂)

    282
    6
    Q
    Q₄

    283
    11
    Pe₃
    P₃

    284
    8
    a₃' e₃ - a₃ e₃
    a₃' e₃ - a₃ e₃

    285
    11
    a₂ β₃ (e₃ e₂)
    a₂ β₃ (e₂ e₁)

    287
    15
    (e₃ e₃)
    (e₃ e₃)

    288
    9
    a₁₁, aₙₙ
    a₁₁, aₙₙ

    288
    17
    (e₃ e₁) - a₁ x₃
    (e₃ e₁ - x₁ a₃)

    297
    4
    x¹
    \( \frac{x^8}{c^8} \)

    298
    última
    A₀A
    A₀₀A
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 24



    Pág.
    Línea
    Dice
    Debe decir

    299
    14
    H'm
    Hm

    299
    18
    H y K<sub>0</sub>
    H' y K

    299
    20
    K'
    K'<sub>n</sub>

    301
    1
    x
    x

    301
    3
    \( x \ldots \)
    \( x \ldots \)

    301
    4
    (x + 2a)<sup>n</sup>
    (x + 2a)

    302
    20
    S<sub>r</sub>
    S<sub>n</sub>

    311
    28
    BB'
    BO

    311
    28
    BO
    BB'

    312
    11

    <i>(H. Brocard).</i>

    328
    5
    AT
    AS

    333
    fórm.(27)
    \( x_2 \cdot x_3 \)
    \( x_3 \cdot x_3 \)

    335

    En las fórmulas (39) y (39a) el exponente 2 debe estar sublineado.

    336
    4
    extérieur
    intérieur

    336
    fórm.(43)
    \( e_1 = (e_2 e_3) \)
    \( e_1' = (e_2 e_3) \)

    340
    17
    + xy
    - xy (en la 2.a fórmula)

    340
    17
    x + y
    x - y

    341
    6
    v = AB (A + B)
    v = AB - A - B
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 3

son segati dalla retta data d, parallela alla retta data r e passante per l'ortocentro \( \Omega \) del triangolo ABC: costruisco la retta PQ come nella soluzione 2.*, poscia prendo AO\(_1\) equipollente a BP\(_1\) e conduco da O\(_1\)

la perpendicolare alla d, che incontrerà il lato AC nel punto Q\(_1\); sia E il punto comune alle rette PQ, P\(_1\)Q\(_1\): le due rette CE, PQ\(_1\) si segano nel punto cercato D.

*Dim.* Poiché l'ortocentro di un triangolo circoscritto a una parabola giace sulla direttrice, la retta d sarà la direttrice della parabola inscritta nel triangolo ABC ed avente i diametri perpendicolari alla retta d; il punto cercato sarà dunque il fuoco di questa parabola ossia il polo di d rispetto ad essa. Ciò posto, siccome le rette PQ, P\(_1\)Q\(_1\) sono tangenti della parabola, il punto D sarà il polo della retta P\(_1\)Q. (*)

Milano 9 Novembre 1891.

(*) V. Cremona, loc. cit. § 101. a destra. Se invece del teorema di Brianchon si adopera il teorema di Desargues, si hanno due altri modi di risolvere il problema in discorso.
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 4

UNA DEMOSTRACIÓN
DEL TEOREMA DE ADICIÓN DE ARGUMENTOS DE LAS FUNCIONES ANGULARES

Sean \( x \) y \( \beta \) dos ángulos positivos y \( x + \beta < \pi \).
Tomando \( ab \) para origen de \( x \) y \( ba \) para origen de \( \beta \), trácense estos ángulos (*). Siendo \( x + \beta < \pi \), los lados \( ac \) y \( bc \) se encuentran en un punto \( c \), y forman un ángulo \( \gamma \) suplemento de \( x + \beta \).
Tomando \( cb \) por origen de \( \gamma \), y trazando \( ae \) y \( cd \) perpendiculares á \( cb \) y á \( ab \), tenemos

\[
\operatorname{sen} \gamma = \frac{ae}{ac} = \frac{ae \times bc}{ae \times bc} = \frac{cd \times ab}{ac \times bc},
\]

ó

\[
\operatorname{sen} \gamma = \frac{cd}{ac} \cdot \frac{bd}{bc} + \frac{cd}{be} + \frac{ad}{ac}.
\]

De lo que resulta

\[
\operatorname{sen}(x + \beta) = \operatorname{sen} x \cos \beta + \operatorname{sen} \beta \cos x
\]

Esta fórmula es evidente cuando \( x + \beta = \pi \).
Multiplicando ambos miembros por \( (-1)^m + n \), se obtiene

\[
(-1)^m + n \operatorname{sen}(x + \beta)
= (-1)^m \operatorname{sen} x \cdot (-1)^n \operatorname{sen} \beta + (-1)^n \operatorname{sen} \beta \cdot (-1)^m \cos x
\]

ó, haciendo \( a = m \pi + x, \quad b = n \pi + \beta \),

\[
\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a \cos b + \operatorname{sen} b \cos a,
\]

que tiene lugar, cualesquiera que sean los ángulos \( a \) y \( b \).
Las fórmulas de adición, relativas á las otras funciones son consecuencias de ésta.

J. PEDRO TEIXEIRA.

Porto, Desembre de 1892.

(*) La figura, que puede trazar fácilmente el lector, se reduce á un triángulo de base \( ab \) y vértice \( c \), y además las perpendiculares \( ae \) y \( cd \) trazadas respectivamente por \( a \) y \( c \) á los lados \( bc \) y \( ab \).
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 5

SOBRE UNA FÓRMULA GEOMÉTRICA
por D. RODOLPHO GUIMARÃES, oficial de ingenieros.

Se sabe que desarrollando un cono recto de base elíptica, la curva de la base del cono se transforma en otra, llamada transformada, con el mismo perímetro que la primera.

A cada arco, pues, \( ds_1 \) de la elipse de la base, corresponde otro arco \( ds \) de la transformada tal, que

\[
ds_1 = ds \quad \text{o} \quad \rho_1 d\theta_1 = \rho \cdot d\theta
\]

siendo \( (\rho_1, \theta_1) \) y \( (\rho, \theta) \) respectivamente las coordenadas de cualquier punto de la curva de la base y de su transformada.

Como \( \theta_1 \) y \( \rho_1 \) son conocidas, y \( \rho \) se puede expresar fácilmente en función de \( \theta_1 \), resultando la expresión anterior con una incógnita \( \theta \), que vamos á determinar.

En efecto

\[
d\theta = \frac{\rho_1}{\rho} \, d\theta_1
\]

Pero el vector \( \rho_1 \) trazado desde el extremo del arco \( ds_1 \) de la curva de base, al centro de ésta tiene por expresión

\[
\rho_1 = \frac{b}{\sqrt{1 - k^2 \cos^2 \theta_1}},
\]

en la que \( b \) y \( k \) representan el semi-eje y la excentricidad de la elipse; y el vector \( \rho \), trazado desde el extremo del arco \( ds \) de la transformada al centro del sector y que es igual á la generatriz del cono correspondiente al extremo del arco \( ds_1 \), tiene por expresión

\[
\rho = \sqrt{h^2 + \frac{b^2}{1 - k^2 \cos^2 \theta_1}},
\]

en lo que \( h \) representa la altura del cono recto.

Tenemos enseguida por sustitución

\[
d\theta = \frac{b \cdot d\theta_1}{\sqrt{b^2 + h^2 (1 - k^2 \cos^2 \theta_1)}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} \cdot \frac{d\theta_1}{\sqrt{1 - k^2 \cos^2 \theta_1}}
\]

(1)

Si hacemos

\[
\theta_1 = \theta_2 - \frac{\pi}{2}
\]
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 6

resulta \( d\theta_1 = d\theta_2 \) y \( \cos \theta_1 = + \sin \theta_2 \),
y por consiguiente la expresión (1) se reduce á

\[
d\theta_1 = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} \cdot \frac{d\theta_2}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta_2}}
\]

(2)

Ahora, para \( \theta_1 = 0 \) ó \( \theta_2 = \frac{\pi}{2} \), es \( \theta_2 = 0 \) y además \( \theta_1 = 2\pi \) ó \( \theta_2 = \frac{5}{2}\pi \),
representado \( \theta \) el ángulo formado por las generatrices extremas del sector en que se transforma el cono desarrollado, ángulo que designaremos por \( \theta_p \).

Integrando después el 2.º miembro de la fórmula (2) entre \( \frac{\pi}{2} \) y \( \frac{5\pi}{2} \) resulta

\[
\theta_p = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} \frac{d\theta_2}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta_2}},
\]

y procediendo á su determinación, se ve que depende de una integral elíptica de 1.ª especie.

Desarrollando, se obtiene

\[
\theta_p = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} \left[ 2\pi + \frac{1}{2}k^2 \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} \sin^2 \theta_2 \, d\theta_2 + \frac{1.3}{2.4}k^4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} \sin^4 \theta_2 \, d\theta_2 + ... \right]
\]

Sustituyendo el paréntesis de la fórmula anterior por la integral completa \( F_1 \) de 1.ª especie de Legendre, resulta

\[
\theta_p = \frac{4b F_1}{\sqrt{b^2 + h^2}}
\]

La fórmula conocida

\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} \sin^m \theta_2 \, d\theta_2 = 2\pi \frac{1.3.5.... (m-1)}{2.4.6...m}
\]

da, para \( m = 2, m = 4, m = 6, ... \) respectivamente
El Progreso matemático (1892-12-15 00:00:00), página 7

\[
\frac{1}{2}, \frac{1.3}{2.4}, \frac{1.3.5}{2.4.6}, \ldots
\]

de lo que resulta la fórmula buscada

\[
\theta_p = \frac{2 \pi b}{\sqrt{b^2 + h^2}} \left[ 1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 k^2 + \left( \frac{1.3}{2.4} \right) k^4 + \left( \frac{1.3.5}{2.4.6} k^6 + \ldots \right) \right]
\]

Si el cono fuese de revolución, tendríamos \( k = 0 \) y \( b = R \), de donde

\[
\theta_p = \frac{2 \pi R}{\sqrt{R^2 + h^2}}
\]

y la fórmula conocida

\[
l. \theta_p = 2 \pi R,
\]

siendo \( l \) la generatriz del cono.

Aplicando el mismo procedimiento de cálculo á un cono de 2.º grado en que la proyección del vértice no coincide con el centro de la elipse de la base, llegase á un resultado más complicado para el valor del ángulo \( \theta_p \).

Si hacemos un estudio idéntico sobre los conos de 2.º grado de base parabólica ó hiperbólica, se obtienen también fórmulas bastante complicadas, dejando por tanto de ser de gran aplicación. Por esto, pues, nos abstenemos de presentar este estudio, para no prolongar demasiado este artículo.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

continuación (Véase página 196-207)

Respecto al lema II, en las igualdades (b) y (c) los términos medios que se eliminan sucesivamente son \( \frac{mP}{ma} \) y \( \frac{aS}{ab} \), eliminación que conduce á la (e); otra eliminación del término medio \( \frac{QP}{HA} \) entre (d) y la igualdad de la hipótesis conduce á la final (e) de la que se deduce inmediatamente la tesis.

El lema III de Pappus que hoy se ha transformado en un teorema fundamental de la Geometría proyectiva, reducido á establecer la pro-