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El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 31

Para ello observemos que de los triángulos ABD y BMC semejantes resulta:

\[
\frac{MC}{\frac{a}{2}} = \frac{a}{b} \quad MC = \frac{a^2}{2b}; \text{ luego } AM = b - \frac{a^2}{2b} = \frac{2b^2 - a^2}{2b}.
\]

También resulta de dichos triángulos que

\[
\frac{BM}{h} = \frac{AM}{h} = \frac{a}{b}, \quad ah = b. AM = b \times \frac{2b^2 - a^2}{2b} = \frac{2b^2 - a^2}{2}
\]

Pero de la fórmula (1) resulta que \(2h^2 = 2b^2 - \frac{a^2}{2}\);

luego
\[
2h^2 - ah = 2b^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{2b^2 - a^2}{2} = b^2,
\]
que es lo que se quería demostrar.

Solución por D. Ricardo C. Ro, alumno de la Universidad de Zaragoza.

Construcción.—Tómese OH = BH = \( \frac{1}{2}a \).

Desde O como centro trácese una circunferencia tangente á la base. Unase O con B, y bájese la perpendicular OI á AB.

Siendo OH = HB, el triángulo OBH es isósceles; luego el ángulo OBH = 45°.

Por hipótesis tenemos \(A = 45^\circ\), luego \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67^\circ 30' \), y por tanto \( \angle DBO = \angle DBH - \angle OBH = 67.30' - 45^\circ = 22.0 30' \) y además \( \angle EAO = \frac{45^\circ}{2} = 22.0 30' \).

Resulta pues, \( \angle DBO = \angle EAO \), es decir, que el triángulo ABO es isósceles; luego IA = IB. Además IE = ID. Restando miembro á miembro resulta IA — IE = IB — ID, ó sea EA = DB cuya igualdad hemos de emplear en la

Demostración.—Considerando la tangente BH y la secante BE, tenemos

\[
BH^2 = BD \cdot BE = BD (BD + DE) = AE \cdot AD, \tag{1}
\]
valiéndonos de la igualdad deducida en la construcción.

Considerando las secantes AD y AH, tenemos

\[
AE \cdot AD = AH \cdot AF \tag{2}
\]
De las igualdades (1) y (2) deducimos

\[
BH^2 = AH \cdot AF \tag{3}
\]
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 32

Pero \( BH = \frac{a}{2} \), \( AH = H \) y \( AF = H - a \); luego sustituyendo en la igualdad (3) resulta

\[
\left( \frac{a}{2} \right)^2 = h (h - a)
\]

ó sea

\[
\frac{a^2}{4} = h (h - a) \quad \text{ó} \quad a^2 = 4h (h - a).
\]

Solución á la cuestión 48, remitida por el Sr. Durán y Loriga.

Sea el triángulo ABC. Llamemos \( l \) á la base y \( h \) á la altura. Se trata de demostrar la igualdad.

\[
l^2 = 4h (h - l).
\]

Tracemos la perpendicular AD á AB. Siendo semejantes los triángulos ABD y ABM, resulta que:

\[
\frac{l}{AD} = \frac{2}{AB}, \quad \text{ó bien,} \quad \frac{h}{l} = \frac{AD}{2AB}.
\]

Pero, por ser AC bisectriz del ángulo BAD, se tiene

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{CD}{CB}; \quad \text{luego} \quad \frac{h}{l} = \frac{CD}{2l} \quad \text{ó} \quad h = \frac{CD}{2} \tag{1}
\]

Se tiene además:

\[
\overline{AB}^2 = BD \cdot BM, \quad BD = \overline{AB}^2 \frac{l}{2} = \frac{4h^2 + l^2}{2l}
\]

y \( CD = BD - BC = \frac{4h^2 + l^2}{2l} - l = \frac{4h^2 - l^2}{2l} \);

y sustituyendo en (1), resulta

\[
h = \frac{4h^2 - l^2}{4l}, \quad \text{ó bien} \quad l^2 = 4h (h - l).
\]

Aclaración al enunciado de la cuestión 46.

Téngase presente que el ángulo CPD del enunciado es el formado uniendo el pie de la perpendicular PQ con los puntos C, D en que las dos rectas trazadas desde un punto cualquiera M de dicha perpendicular á los extremos A y B del diámetro, cortan á la circunferencia.
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 4

los límites 0 y u, y para el desarrollo de sn u por una segunda integración entre los mismos límites. Tenemos así, haciendo

\[
2sK + (2m+1) iK' = a,
\]

y notando que la derivada de sn u es igual á la unidad, cuando \(u=0\), primeramente

\[
\frac{d\operatorname{sn} u}{du} = 1 - \frac{1}{k} \sum (-1)^j \left[ \frac{1}{(u-a)^j} - \frac{1}{a^j} \right],
\]

y después

\[
\operatorname{sn} u = u + \frac{1}{k} \sum (-1)^j \left[ \frac{1}{u-a} + \frac{1}{a} + \frac{u}{a^2} \right].
\]

Y esta es la fórmula conocida, que pretendíamos demostrar, hallándose del mismo modo los desarrollos de en u y dn u en serie de fracciones simples:

\[
\operatorname{en} u = 1 + \frac{1}{i} \sum (-1)^{m+1} \left[ \frac{1}{u-a} + \frac{1}{a^2} + \frac{u}{a^2} \right],
\]
\[
\operatorname{dn} u = 1 + \frac{1}{ik^2} \sum (-1)^m \left[ \frac{1}{u-a} + \frac{1}{a} + \frac{u}{a^2} \right].
\]

SUR LA RECTIFICATION DES ARCS DES COURBES DITES LIMAÇONS DE PASCAL
PAR M. JOSEPH MARCHAND
ancien élève de l’Ecole Polytechnique

§ 1°. A côté des ovales de Cassini et de la lemniscate, rectifiables par les fonctions elliptiques on peut ranger les Limaçons de Pascal qui jouissent d’une propriété analogue. À ce titre cette classe de lignes, déjà remarquable à tant d’égards, mériterait de prendre place dans l’enseignement classique. Notre but ici serait de l’établir.

§ 2°. En coordonnées polaires les Limaçons de Pascal peuvent se ramener, on le sait, à l’équation simple:
\[(1)\]
\[
r = p + q \cos \omega
\]
où p et q représentent des quantités positives.
Suivant que l’on a
\[
p > q \\
p \leq q
\]
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 5

on obtient trois variétés distinctes: et nous rappelant la liaison des limaçons aux, coniques, chacune d'elles sera bien définie par les noms d'elliptique, hyperbolique et parabolique.

A la limite d'ailleurs si l'on fait:

\[
p = 0 \text{ ou } q = 0
\]

l'équation (1) donnera évidemment des cercles.

§ 3°. Ces préliminaires posés, d'après la formule

\[
ds = d\omega \left[ r^2 + \left( \frac{dr}{d\omega} \right)^2 \right]^{1/2},
\]

il vient, par la substitution à \( r \) et à \( \left( \frac{dr}{d\omega} \right) \) de leurs valeurs actuelles

\[
ds = d\omega [ p^2 + q^2 + 2pq \cos \omega ]^{1/2};
\]

et si nous posons \( \omega = 2 \varphi \), prenant \( \varphi \) pour nouvelle variable, et remarquant que

\[
\cos \omega = 1 - 2 \sin^2 \varphi
\]

d'où notamment

\[
\frac{ds}{2(p+q)} = d\varphi [1 - k^2 \sin^2 \varphi]^{1/2}
\]

en représentant par \( k^2 \) la fraction \( \frac{4pq}{(p+q)^2} \), dont la valeur est toujours inférieure à l'unité.

Prenons maintenant pour origine des arcs l'origine des coordonnées où \( \varphi \) est nul en même temps que \( \omega \), on obtiendra la relation

\[
\frac{1}{2(p+q)} \int_0^\varphi \left[ 1 - k^2 \sin^2 \varphi \right]^{1/2} d\varphi
\]

dans laquelle la quantité sous le signe \( \int \) représente l'intégrale elliptique de 2° espèce de Legendre.

D'ailleurs \( k \) est la valeur de l'excentricité commune aux ellipses, ayant pour demi axes des quantités telles que

\[
m (p+q) \quad m (p-q)
\]

dans lesquelles, \( m \) prend une valeur positive arbitraire, donc:
l'arc de Limaçon a pour expression:
1°. Soit l'arc de l'ellipse ayant \( 2(p+q) \), \( 2(p-q) \) pour demi axes;
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 6

2°. Soit le double de l'arc d'ellipse avant (p+q) et (p-q) pour demi axes;
et ainsi, en désignant toujours avec Legendre l'intégrale elliptique de deuxième espèce par le symbole E(ε k), on écrira à volonté

\[
\int_{0}^{\omega} [2(p+q)] E(\varepsilon k) \quad (3) \text{ ou } \int_{0}^{\omega} 2(p+q) E(\varepsilon k) \quad (4)
\]

Remarquons maintenant, que si ε devient égal à \( \frac{\pi}{2} \), ω prend π comme valeur correspondante; nous savons d'ailleurs que cette valeur \( \frac{\pi}{2} \) de ε donne l'intégrale complète de 2e espèce de Legendre et par suite dans les formules précédentes un quadrant ou demi quadrant., suivant que l'on considère (3) ou (4); d'autre part ω étant devenu égal à π, c'est le demi Limaçon qui sera simultanément décrit, donc si nous doublons en raison de la symétrie de forme et des limaçons et des ellipses, il viendra. dans (3) et (4)

\[
\int_{0}^{2\pi} = 2\left[(p+q)\right] E\left(\frac{\pi}{2}k\right) \quad (3') \quad \int_{0}^{2\pi} = 4(p+q) E\left(\frac{\pi}{2}k\right) \quad (4')
\]

ainsi la longueur totale d'un limaçon est égale: soit au demi périmètre de l'ellipse figurant dans le deuxième membre de (3'), soit au périmètre entier de celle figurant dans (4'). à la quelle nous donnerons le nom d'isopérimétrique.

§ 4°. Legendre a donné pour E(ε k) le développement en série suivant:

\[
E(\varepsilon k) = \varepsilon - \frac{1}{2} k^2 \int_{0}^{\varphi} \sin^2 \varepsilon d\varepsilon - \frac{1}{2.4} k^4 \int_{0}^{\varphi} \sin^4 \varepsilon d\varepsilon - \frac{1.3}{2.4.6} \int_{0}^{\varphi} \sin^6 \varepsilon d\varepsilon ...
\]

qui devient pour \( \varepsilon = \frac{\pi}{2} \),

\[
E\left(\frac{\pi}{2} k\right) = \frac{\pi}{2} \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 k^2 - \left( \frac{1}{3.4} \right)^2 3 k^4 - \left( \frac{1.3}{2.4.6} \right)^2 5 k^6 - ...... \right]
\]

par conséquent en remplaçant dans (4) et (4') les intégrales par leurs développements, on obtiendra

\[
(5) \quad \int_{0}^{\omega} = 2(p+q) \left[ \varepsilon - \frac{1}{2} k^2 \int_{0}^{\varphi} \sin^2 \varepsilon d\varepsilon - ...... \right]
\]

\[
(5') \quad \int_{0}^{2\pi} = 2\pi(p+q) \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) k^2 - ...... \right]
\]
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 7

k n'entre dans ces formules qu'à des puissances paires; or pour passer d'un limaçon elliptique à un limaçon hyperbolique, sans altérer la valeur de k, il suffit de changer p en q et q en p.

Donc, deux valeurs de p et q étant données, suivant la place qu'ils occupent dans (1), les paramètres définissent un couple et un seul que nous pouvons nommer conjugué de deux courbes, qui par cela même qu'elles ont mêmes paramètres, ont leurs arcs constamment égaux pour même valeur de la variable et conséquemment aussi sont isopérimétriques.

§ 5°. Supposons maintenant qu'ayant posé p + q = constante = 2C nous fassions varier dans la différence p - q., q, de 0 à 2C. D'après ce qui précède, lorsque q variera de 0 à C, on obtiendra les limaçons elliptiques, de C à 2C les limaçons hyperboliques conjugués des premiers, enfin pour q = C, un limaçon parabolique, les ellipses isopérimétriques de ces limaçons auront leur grand axe constant; mais leur petit axe partant de la valeur 2C ira en diminuant au fur et à mesure que q augmentera de valeur, en sorte que leur périmètre confondu à l'origine, avec le cercle de rayon 2C, ira en diminuant d'une manière continue, pour se réduire comme valeur minima au double du grand axe. Les mêmes faits se reproduiront en sens inverse quand q continuera à croître de C à 2C.

§ 6°. L'unique limaçon parabolique contenu dans la famille définie par l'équation de condition

\[
p + q = 2C;
\]

est caractérisé par ce périmètre minimum, et qui est ainsi égal à 8C.

D'ailleurs on doit alors écrire

\[
k = 1,
\]

par conséquent la relation (5') devient

\[
8C = 4C \pi \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2 \cdot 4} \right)^2 \cdot 3 - \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \cdot 5 - \ldots \right]
\]

c. à. d. en supprimant 4C aux deux membres

\[
(6) \frac{2}{\pi} = 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2 \cdot 4} \right)^2 \cdot 3 - \left( \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \cdot 5 - \ldots,
\]

or la somme de la série du deuxième membre peut aisément être mise sous forme d'un produit de facteurs en nombre illimité; en effet, faisons les sommes successives des 2 3, ... etc. premiers termes il viendra
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 8

\( S_1 = 1 \),
\( S_3 = \frac{1^2}{2^2 4^2} \cdot 3 \),
\( S_5 = \frac{1^2 \cdot 3^2}{2^2 4^2} \cdot 5 \),
\( S_7 = \frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 4^2 6^2} \cdot 7 \);

où la loi de formation se manifeste bien nettement; et si cette loi se continue, ou pourra écrire généralement

\[
(a) \quad S_{2n+1} = \frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2n)^2} (2n+1);
\]

pour montrer qu’on en a le droit, il suffit d’établir qu’elle sera encore vraie en prenant un terme de plus. Or ce terme est

\[
\frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2n-1)^2 \cdot (2n+1)}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2n)^2} \frac{(2n+1)}{(2(n+1))^2}
\]

et l’on pourra écrire

\[
S_{2n+3} = S_{2n+1} \left[ 1 - \frac{1}{4(n+1)^2} \right] = S_{2n+1} \times \frac{(2n+1)(2n+3)}{(2(n+1))^2}
\]
\[
= \frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2n+1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2(n+1))} (2n+3) \text{ c. q. f. d.}
\]

l’égalité (6) devient ainsi

\[
\frac{2}{\pi} = \text{Lim.} \frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2n)^2} (2n+1)
\]

qui peut s’écrire aussi

\[
\frac{2}{\pi} = \lim. \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \ldots \frac{2n-1}{(2n)} \cdot \frac{2n+1}{2n} \ldots
\]

prenant maintenant les inverses des deux membres il viendra

\[
\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \ldots \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \ldots
\]

c’est la formule célèbre de Wallis.
On aurait pu donner à ce produit une autre forme. En effet, écrivons
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 9

la suite des égalités qu’on peut tirer de (a) sous ces nouveaux symboles,

\[
S_3 = \left[ 1 - \frac{1}{2^2} \right]
\]

\[
S_5 = S_3 \left[ 1 - \frac{1}{2^2 \cdot 2^2} \right]
\]

\[
S_7 = S_7 \left[ 1 - \frac{1}{2^2 \cdot 3^2} \right]
\]

\[
\ldots \quad \ldots \quad \ldots \ldots
\]

\[
S_{n+1} = S_{n-1} \left[ 1 - \frac{1}{2^2 n^2} \right],
\]

et si nous les multiplions membre à membre, on aura après avoir supprimé tous les facteurs communs:

\[
S_{n+1} = \left( 1 - \frac{1}{2^2 \cdot 1^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{2^2 \cdot 2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{2^2 \cdot 3^2} \right) \ldots \ldots \left( 1 - \frac{1}{2^2 \cdot n^2} \right)
\]

\[
= \frac{1}{2^{2n}} \left( 2^2 - \frac{1}{1^2} \right) \left( 2^2 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 2^2 - \frac{1}{3^2} \right) \ldots \ldots \left( 2^2 - \frac{1}{n^2} \right)
\]

et par suite on pourra écrire finalement

\[
\pi = \operatorname{Lim.} \frac{2^{2n+1}}{\left( 2^2 - \frac{1}{1^2} \right) \left( 2^2 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 2^2 - \frac{1}{3^2} \right) \ldots \ldots \left( 2^2 - \frac{1}{n^2} \right)}
\]

§ 7°. Nous donnerons pour finir cette note le moyen graphique de déterminer sur une figure tracée les extrémités des arcs correspondants sur l’ellipse et les 2 limacons isopérimétriques. L’exemple choisi dans la figure ci contre est un limacon elliptique ayant pour paramètres p = CD, q = DO: Sur AO = p + q et OB = p – q comme axes nous avons décrit l’ellipse AB A’B’ isopérimétrique. Enfin nous avons décrit le cercle OAM, la droite OBCX représente l’axe polaire, et nous supposons que les angles varient dans le sens CA’. Ceci posé traçons un rayon vecteur quelconque, avec un angle \( \varphi = \mathrm{COM} \): Si du point M nous abaissons une perpendiculaire sur AA’ le point P où elle coupe
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

GEOMETRÍA DEL TRIANGULO
Algunas propiedades de los triángulos podares y de los círculos de Schoute
POR M. EMILE VIGARIÉ

I
Triángulos podares

I Dados un triángulo ABC, se trazan por un punto P, tomado en un plano, tres rectas PA₀, PB₀, PC₀ que formen con los tres lados BC, CA, AB y en el mismo sentido, un mismo ángulo θ.

El triángulo A₀B₀C₀ así formado se llama el triángulo podar oblicuo θ de P. Cuando el ángulo θ varía, el triángulo A₀B₀C₀ permanece semejante á sí mismo. Los ángulos de este triángulo se hallan definidos en magnitud y en signo por las relaciones

\[
\begin{cases}
A + A_0 = \angle BPC \\
B + B_0 = \angle CPA \\
C + C_0 = \angle APB
\end{cases}
\]

(1)

Para poner más en evidencia el sentido de los ángulos, convendría escribir:

\[(A_0B_0, A_0C_0) + (AB, AC) = (PB, PC)\]

y análogamente para los otros dos.

En la figura adjunta las relaciones son evidentes.
Vamos á demostrarlas de una manera general.
Evaluemos \((A_0B_0, A_0C_0)\). Se tiene:

\[(A_0B_0, A_0C_0) = (A_0B_0, A_0P) + (A_0P, A_0C_0)\]

Siendo inscriptibles los cuadriláteros \(A_0P\ B_0C,\ A_0P\ C_0B\), tendremos:

\[(A_0B_0, A_0C_0) = (CB_0, CP) + (BP, BC_0) = (CA, CP) + (BP, BA)\]
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 10

espacio en figuras planas, mediante las proyecciones ortogonales sobre dos planos rectangulares, proporciona diseños de Geometría descriptiva que pueden traducirse en multitud de teoremas. Y estas figuras, que en general contienen rectas perpendiculares ó paralelas entre sí, pueden por la perspectiva ser transformadas en otras en las cuales dichas rectas son concurrentes y afectan posiciones relativas distintas, permitiendo transformar sus teoremas en otros más generales. Además, en muchos casos esta consideración de las figuras en el espacio facilita la demostración de los teoremas, como sucede, por ejemplo, en el caso de la homología en el espacio cuyo conocimiento se adquiere más fácilmente que si se considera en un plano, y según hace ver Chasles en su Aperçu historique, ofreciendo varios ejemplos de este método que llama de Transmutación de las figuras.

Continuando la Geometría su marcha progresiva, nuevos métodos y conceptos fundamentales se agregan, dilatando en modo considerable sus dominios.

El método de demostrar de Monge, que Chasles define haciéndolo consistir en «considerar la figura sobre la que se ha de demostrar alguna propiedad general en circunstancias de construcción general, en la que la presencia de ciertos punto, planos ó líneas, que en otras circunstancias serían imaginarios, facilita la demostración. En seguida, se aplica el teorema que se ha demostrado así, á los casos de la figura en que estos puntos, planos ó rectas son imaginarios, es decir, que se considera como verdadero en todas las circunstancias de construcción general que puede presentar la figura á la cual se refle- re» inaugura una nueva fase de generalización, en la Geometría, que contrasta con los procedimientos restringidos y de carácter individual de la Geometría antigua. Chasles halla el fundamento de este método en los dos casos que puede ofrecer una figura en su construcción, á saber, «que ciertas partes, (puntos, planos, líneas ó superficies) de las que no depende necesariamente la construcción general de la figura, pero que son consecuencias contingentíes ó accidentales de la misma, son reales ó palpables; ó bien, que estas mismas partes no aparezcan, por haber llegado á ser imaginarias, sin dejar de subsistir las mismas condiciones generales de las figuras». (1)

Este mismo orden de ideas predomina en la Geometría de posición de Carnot, que considera las figuras en un estado de variación indefinida y continua, al pretender explicar los casos de la correlación directa, inversa y compleja, dedicándole también Poncelet extensas

(1) Aperçu historique, p. 198.
El Progreso matemático (1892-04-15 00:00:00), página 11

consideraciones en sus Applications d' Analyse et de Géométrie y en su Traité des propriétés projectives que le conducen á su teoría de las secantes ideales y de las cónicas suplementarias y á su principal objetivo; el establecimiento del principio de continuidad, al que Chasles prefiere la denominación de método ó principio de las relaciones contingentíes, esperando que en lo futuro este principio justificado por los procedimientos del Análisis pueda algún día demostrarse á priori sobre la base de la consideración de lo permanente y lo variable ó accidental que dicho geómetra distingue en los varios ejemplos á que aplica sus investigaciones.

La multitud de propiedades proyectivas que constituyen el objeto de la gran obra de Poncelet, como son las relaciones que definen el centro de las medias armónicas, cuyas analogías y correspondencias con el centro de las distancias medidas expresó Mac-Laurin, la extensión al espacio de la relación de homología, la teoría de las polares recíprocas, bella y fecunda creación de aquel geómetra que le permite desenvolver ampliamente el concepto de la reciprocidad polar, al que dieron nuevo impulso bajo la denominación de principio dé la dualidad los escritos Gergonne en Nouv. Ann. de Mathém, la obra de Steiner Systemmatische Entwicklung des Abhängigkeit geometrischer Gestalten, y por último las obras recientes expuestas según el método de Staudt, independiente de toda expresión ó relación numérica, contienen el conjunto de teorías y métodos que constituyen el fondo del vasto organismo de la Geometría.

La escursión que acabamos de hacer por la historia de la Geometría, desviándonos por un momento de nuestro propósito, nos ha suministrado materiales utilizables para abreviar y esclarecer las nociones preliminares que anteponemos á la exposición de nuestra obra sobre los teoremas, los problemas y los métodos geométricos.

Hemos señalado primero la amplísima generalidad ó universalidad de los métodos analítico y sintético, después hemos hallado la generalidad que revisten los métodos cartesiano, trigonométrico, etc., luego hemos pasado á otros conceptos, si bien generales, de una generalidad concretada ó subordinada á la naturaleza del objeto; y estos conceptos, como son los de polo y polar, de progresión armónica, de homología, de relaciones armónica y anarmónica, implican teorías ó métodos que constituyen sus desarrollos ó son sus aplicaciones diversas. Estos métodos y estas teorías de la ciencia son la expresión que traduce aquellos conceptos que brotan de la inteligencia y adquieren forma en la exposición didáctica, en el organismo que cada escritor construye agrupado de tal ó cual manera, conforme á uno ó otro plan
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los materiales aquí y allá dispersos, en el inagotable dominio de las ideas. Dichas síntesis en diversas épocas han correspondido á los conceptos intelectuales, señalando su grado de generalidad y el estado especial de la ciencia, que en sus momentos progresivos va disponiendo de procedimientos más fecundos que habilitan á la inteligencia para proceder cada vez con mayor facilidad y rapidez, conservándose siempre la ley de proporcionalidad entre la extensión de aquélla y la eficacia de los instrumentos de que ésta dispone para equilibrar la intensidad de su acción con la resistencia que el objeto le presenta y para ser asimilado bajo la forma de conocimiento.

En la antigüedad, el mecanismo de las proporciones basta á los geómetras para ir acumulando verdades sobre verdades y llegar hasta proposiciones como los lemas de Pappus y los porismas de Euclides. El procedimiento tiene el carácter de la uniformidad, y se concibe perfectamente que sería suficiente para llevar á la ciencia á la altura á que la han colocado los Poncelet, Moebius, Chasles y Steiner. Acumulándose proporciones sobre proporciones, extendiéndose indefinidamente la red de construcciones auxiliares, siempre es posible recorrer en cualquier dirección el encadenamiento de la Geometría, y por tanto llegar desde los elementos de Euclides hasta las más complejas cuestiones de esta ciencia. Pero esta marcha natural de la inteligencia es susceptible de alteraciones ventajosas que abrevien su acceso hacia su objeto final, pues como en la accidentada superficie de nuestro planeta las altas cumbres permiten distinguir vastos territorios con multitud de detalles enlazados entre sí en el fondo que los contiene, hay en la ciencia algunas verdades fundamentales comparables á esos elevados puntos de vista de nuestro ejemplo que permiten dominar agrupaciones más ó menos considerables de otras verdades á ellas subordinadas y en ellas contenidas, como en los dominios de los seres orgánicos, multitud de individuos proceden de un germen en que previamente se halla contenida la posibilidad de su existencia.

Estos principios fecundos de la ciencia, poco numerosos, aparecen espaciados en la historia de la misma, y son como puntos de parada en los cuales la inteligencia reposa realizando un trabajo de gestación que la disponga para conquistar nuevas alturas.

(Se continuará)

Z. G. DE G.

NOTA RELATIVA Á LA PERPENDICULAR DE RECTAS Y PLANOS

El teorema fundamental relativo á esta perpendicularidad suele fundarse en la igualdad de triángulos. Paréceme que podría tener