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piedad de ser perspectivos los puntos correspondientes de dos series cuyas relaciones anarmónicas son iguales, se expone y demuestra como sigue:

Si tres rectas AB, AC, AD se hallan cortadas por otras dos, HE, HD; el rectángulo construido sobre HE y GF es al rectángulo construido sobre HG y FE como el rectángulo sobre HB y DC es al rectángulo sobre HD y BC.

Demostración. — Trazando LHK // á CAF y LM // á AK, se obtienen las proporciones

\[
\frac{EF}{FA} = \frac{EH}{HL} \quad \text{y} \quad \frac{AF}{FG} = \frac{HL}{HM}; \tag{a}
\]

luego

\[
\frac{EF}{FG} = \frac{EH}{HM} \quad \text{o} \quad FG \cdot EH = EF \cdot HM.
\]

Pero se tiene la identidad

\[
\frac{GF \cdot EH}{EF \cdot GH} = \frac{EF \cdot MH}{EF \cdot GH} \quad \text{o} \quad \frac{GF \cdot EH}{EF \cdot GH} = \frac{MH}{GH}. \tag{b}
\]

Además

[c] \( \frac{HM}{HG} = \frac{HL}{HK} \); luego \( \frac{GF \cdot EH}{EF \cdot GH} = \frac{HL}{HK} \). [1]

Trazándose la KN // á AB y considerando ahora los Δ* DAC y DKH, ACB y KHN, se tiene

\[
\frac{DC}{CA} = \frac{DH}{HK} \quad \text{y} \quad \frac{CA}{CB} = \frac{HK}{HN}; \quad \text{luego} \ DC \cdot HN = CB \cdot DH.
\]

Pero se tiene la identidad

\[
\frac{DC \cdot BH}{BC \cdot DH} = \frac{DC \cdot HB}{DC \cdot HN} = \frac{HB}{HN}.
\]

Además, en los Δ* HNK y HLB se tiene

\[
\frac{HL}{HK} = \frac{HB}{HN}; \quad \text{luego} \ \frac{DC \cdot HB}{CB \cdot DH} = \frac{HL}{HK}; \tag{2}
\]

y de las relaciones [1] y [2] resulta la del enunciado.

Trazadas las paralelas LHK y LM á CAF y DA, la eliminación de los segmentos auxiliares AF y LH por medio de las igualdades [a] y la de HM y HG por la [b] y [c] conduce á la expresión [1] de \( \frac{HL}{HK} \) lo mismo que, después de trazarse KN paralela á AB, análogas eliminaciones
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deCA, HK, etc., conducen á la otra expresión [2] de \( \frac{HL}{HK} \), y de la eliminación final de esta razón común resulta el enunciado del lema.

31. Hemos dicho (pág. 82) que los teoremas resultan de las construcciones auxiliares que enlazan una figura con otra, hasta el momento en que deban destacarse como las líneas principales de un dibujo aquellos elementos que constituyen el teorema constituído por la hipótesis y la tesis, resultado que se obtiene, según acabamos de observar en los ejemplos anteriores, por una eliminación de términos medios. Y como la red de relaciones intermedias puede tener una variación indefinida, y como además en el proceso inventivo se puede cambiar también el orden de los elementos enlazados y cambiar á voluntad de términos extremos, cabe alterar el caudal de teoremas en la expresión ó síntesis científica, puede darse formas distintas á este organismo, bajo la influencia subjetiva de cada autor, ó bajo el predominio del grado de progreso á que la generalización de las ideas en cada época ha llegado.

Así, por ejemplo, las diversas proposiciones que anunció Pappus con el nombre de lemas y que demostró empleando razonamientos particulares y distintos para cada uno, según hemos visto, y según damos á conocer detalladamente en nuestra Geometría elemental (páginas 190-195, 228-234, parte 2.a), hoy se condensan ó incluyen en proposiciones más generales de las que resultan particularizando alguno de elementos que entran en su enunciado. Así es como los lemas X, XI, XIV XVI y XIX están incluidos en el III y los I, II, V, VI y VII en el IV, expresando éste, según el modo de ver actual, la relación general de involución de seis puntos y el III la propiedad fundamental de las figuras perspectivas. Y no solo hemos de notar esta diferencia en los enunciados, sino además en los procedimientos demonstrativos; pues mientras el procedimiento de los geómetras griegos, como hemos visto por los ejemplos citados, consistía en la acumulación de proporciones dependientes del trazado de paralelas oportunamente elegidas, hoy sin dejar de emplear este procedimiento en un principio, el enunciado sucesivo de proposiciones cada vez más generales que sintetizan toda una teoría, hace mas fácil y breve la marcha de la inteligencia que pasa fácilmente de uno á otro de estos puntos culminantes que son en la región de las ideas lo que los vértices de primer orden de una triangulación geodésica, á los cuales quedan referidos luego todos los detalles secundarios.

En efecto. Primeramente hemos de observar que en la época moderna se considera la relación anarmónica, por lo cual se evita una
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOBRE LAS IGUALDADES DE DOS GRADOS*
POR EL SR. G. DE LONGCHAMPS
Profesor en el Liceo de San Luis de París.

1. DEFINICIONES PRELIMINARES.—El general Frolov ha presentado accidentalmente á la Academia de Ciencias (*) una Memoria sobre lo que ha propuesto llamar las igualdades de varios grados.
Recordaré desde luego la definición que sirve de base á la Memoria citada, y, para limitarme, consideraré solamente en esta Nota las igualdades de dos grados.
Cuando dos series de números
\[
a_1,\ a_2,\ \ldots\ a_p,\qquad a_1,\ a_2,\ ... a_p
\]
satisfacen simultáneamente á las dos igualdades
\[
a_1 + a_2 + \ldots + a_p = x_1 + x_2 + \ldots + x_p \\
a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_p^2 = a_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_p^2
\]
que se pueden escribir más sencillamente
\[
\Sigma a = \Sigma x,\qquad \Sigma a^2 = \Sigma x^2,
\]
diremos con el general Frolov, que estos números verifican una igualdad de dos grados (**).

(*) A pesar de que este artículo se publicó en el año 1888 en Journ. de Math. élémentaires del Sr. Longchamps, creemos que será oportuno el ofrecer á los lectores de El Progreso Matemático su traducción, por las curiosas y poco divulgadas propiedades que en él se desenvuelven por su autor.

(**) Comptes-rendus, séance du 19 noviembre 1888. Véase también el Bulletin de la Société mathématique de France, 1889, p. 69.

(*) Para demostrar, por un ejemplo evidente, la existencia de estas igualdades, basta tomar la serie
\[
ab,\ bc,\ ca;
ba,\ cb,\ ac;
\]
designando \( a, b, c \) cifras cualesquiera (\( ab = 10a + b; \ldots \))
Igualmente
\[
abc,\ bca,\ cab;
acb,\ bac,\ cba;\ \text{etc.}
\]
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Construcciones auxiliares ó intermedias:
radios OT y O'T' que son perpendiculares á TT' y O'M paralela á TT'

Solución final:
Luego: O'M es tangente á la circunferencia auxiliar.

Realización de las construcciones auxiliares, antes hipotéticas.

Realización de la hipótesis primera.

OT y O'T' perpendiculares á MO', que son radios, y TT' paralelas á MO'

TT' es también tangente á la circunferencia O'

hace ver más claramente que el anterior, la perfecta reciprocidad é inversión del problema en su fase HIPOTÉTICA (análisis), y en su fase REAL (síntesis ó construcción final).

2.º Sea demostrar que:

Si dado un punto M de una circunferencia se trazan perpendiculares á cada uno de los lados de un triángulo ABC inscripto en la misma, sus PIÉS SE HALLARÁN EN LÍNEA RECTA.

Supongamos los puntos D, E y F en línea recta, lo cual equivale á suponer,

áng. FEA = áng. BED

De esta hipótesis, unida á las perpendiculares del enunciado y á la construcción de las líneas auxiliares MA, MB, resulta;

áng. AMF = áng. BMD,

pues áng. AMF = áng. FEA y áng. BMD = áng. BED,

en los cuadriláteros inscriptibles AMEF y MEBD, en virtud de los ángulos rectos en T, E y D.

Añadiendo á ambos ángulos el ángulo FMB, resulta:

áng. FMD = áng. BMA;

pero áng. FMD es suplemento de áng. C; luego el áng. AMB también lo será: luego el punto M pertenece á la circunferencia.

SIENDO ESTO CIERTO, también SERÁ CIERTA la relación supuesta

áng. DEA = áng. BEF,

y el teorema queda demostrado.

18. El análisis geométrico lleva consigo la necesidad de SUSTITUIR unas cuestiones á otras, y por esta razón puede muy bien llamarse MÉTODO DE SUSTITUCIONES SUCESIVAS.
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CAPÍTULO III

El método sintético

20. La síntesis ya se sabe que es el encadenamiento inverso al obtenido en el análisis geométrico desde que se ha llegado á una proposición admitida ó á un problema inmediatamente resoluble. Solo en este caso el encadenamiento está regulado, ó mejor, calcado sobre el que sirvió en el análisis.

En otro caso, la síntesis no se somete á ninguna regla, pues su éxito depende tan sólo del caudal de conocimientos que posee el que resuelve una cuestión y de la oportunidad con que vienen á su memoria aquellas proposiciones más adecuadas ó más conducentes para llegar al resultado.

Esta indeterminación ó falta de reglas fijas en sus procesos que caracteriza al método sintético está suplida en parte: 1.º por multitud de métodos particulares ó procedimientos. 2.º Por el empleo de ciertos teoremas capitales, que por efecto de sus múltiples consecuencias se constituyen en el hilo conductor de la inteligencia hacia su fin.

21. Estos procedimientos lo mismo se emplean en el método de invención, que contribuyen é formar la síntesis ó el organismo científico, y son: 1.º La duplicación de los datos mediante las figuras simétricas. 2.º El giro al rededor de un punto. 3.º El rebatimiento al rededor de una recta. 4.º El movimiento sin deformación de una figura para pasar de una posición á otra, etc.

Todos estos procedimientos corresponden ó son formas diversas del método de superposición, que más bien pudiera llamarse de identificación, porque lo esencial no es que se haya llegado á la superposición efectiva, sino que se haya demostrado que existen las condiciones necesarias y suficientes para dicha superposición, lo cual depende de los teoremas que tratan de los casos fundamentales en la igualdad de triángulos.

La parte de la Geometría que trata de la igualdad se halla constituida por el empleo de estos procedimientos(1).

Otro procedimiento que es el de la demostración ad absurdum, aunque, como dice Lacroix(2), es análisis, no siendo método inventivo. Por él no se halla ú obtiene ninguna nueva verdad, pues sólo consiste

(1) Por esta razón hemos dividido nuestra Geometría elemental, 2.ª edición (1888) en dos partes: Teoría de la igualdad y desigualdad y Teoría de la proporcionalidad.

(2) Essais sur l'enseignement, etc. (págs. 210-211).
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en hacer explícitos dos casos de una proposición implícitamente contenidos en los otros dos que ya se demostraron (directo y recíproco, ó directo y contrario, etc. Véase Complemento de Geometría, 1881, ó Consideraciones sobre la conveniencia de un nuevo plan para la enseñanza de las matemáticas, 1877).

Otros métodos particulares son los que sirven para constituir la segunda parte de la Geometría (que en mi Geometría elemental he llamado Teoría de la proporcionalidad geométrica) y estriban en el empleo de razón y la doble razón ó relación anarmónica. Mediante el primero se determina un punto ó una recta, y de ello tenemos numerosos ejemplos en los tratados elementales, y también sistemas de puntos con relación á otros sistemas (figuras homotéticas). Mediante el segundo, se determinan inmediatamente sistemas de puntos en una recta (series homográficas y en involución) ó de rectas al rededor de un punto (sistemas de haces homográficos y en involución).

El empleo de productos conduce á las figuras inversas, etc.

Ejemplos: La teoría de igualdad de triángulos y polígonos se basa, ya en la superposición, ya de una manera más breve en los casos fundamentales de la igualdad de triángulos. La teoría de las perpendiculares y oblicuas se halla en el mismo caso. La de paralelas se establece haciendo la superposición mediante un giro. Así al demostrar Lacroix en su Geometría elemental, que si dos rectas forman con una secante ángulos alternos internos iguales, son paralelas; hace girar la figura al rededor del punto medio del segmento de secante comprendido entre las dos rectas, para concluir, que, si estas se encontrasen á un lado se encontrarían al otro, y entonces dos rectas tendrían dos puntos comunes sin coincidir; y otros autores, trazando por dicho punto una perpendicular á una de las rectas forman dos triángulos, que al superponerse, mediante el giro, conducen á que también dicha perpendicular lo será á la otra; y por consiguiente serán paralelas.

Las propiedades del paralelogramo se establecen enseguida, como consecuencia de los casos elementales de igualdad ó desigualdad de triángulos, transformando además la condición de paralelismo en igualdad angular ó recíprocamente.

La determinación del punto ó de la recta por medio de una razón constituye una generalización del método de superposición ó de igualdad de triángulos, pues en la primera parte de la Geometría en que se emplean, sólo se trata del caso de la igualdad, ó sea el en que la razón de segmentos ó angular es igual á la unidad. En este primer
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caso entra la consideración de rectas especiales, como las bisectrices, las medianas y las alturas. En el segundo caso se puede tratar de puntos y de rectas cualesquiera, pues una razón numérica, entera fraccionada ó aun incomensurable determinan un punto ó una recta correspondientes al valor de la misma.

El principio fundamental de la determinación del punto, se enuncia diciendo que: En la recta que une dos puntos existen dos y solamente dos tales, que la razón de sus distancias á aquéllos es una cantidad dada (1). Este principio implica ya el concepto de continuidad.

El teorema recíproco del siguiente: Toda paralela ca á la base AC de un triángulo BAC, divide á los otros dos lados en partes proporcionales, ó sea que: si \( \frac{cB}{cA} = \frac{aB}{aC} \) (1) la recta ab será paralela á la base AB,

es un caso particular del teorema de Menelao, el en que la transversal ca (figura 8.a) es paralela á la base, es decir, en que el punto b está en el infinito, pues entonces en la relación

\[
\frac{Ba}{Ca} \cdot \frac{Cb}{Ab} \cdot \frac{Ac}{Bc} = 1,
\]

\( \frac{Cb}{Ab} \) tiene que ser igual á 1.

Así, pues, el teorema de Menelao debe seguir á dicho teorema; como el teorema que determina la paralela por medio de ángulos alternos internos iguales sigue al principio de la existencia de la paralela (3).

Observaremos, además, que con dichos teoremas se ha hecho un empleo tácito en todos los tratados de Geometría del triángulo de referencia, en la Geometría del plano y de los puntos bases en la Geometría de la recta.

Además puede observarse que en el caso de la transversal ca, paralela á la base AC del triángulo, el cuadrilátero completo ACacBb, tiene el vértice b en el infinito, y el lugar geométrico del punto móvil m es la mediana BM, lugar de los conjugados armónicos del punto b respecto á los lados del ángulo B, lo cual puede demostrarse directamente diciendo que por los triángulos semejantes mcm' y mMC, mm'a y mMA, m' es la intersección de la mediana BM con la paralela ca á la base m, es la de las diagonales Aa y Ce, resulta

(1) Teniendo en cuenta el signo como se debe, existe uno solo.
(2) En el caso de ser la igualdad de productos, queda determinada la recta antiparalela
(3) Véase mi Geometría Elemental, 1.a parte, pág. 21 (2.a edición, 1888).
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\[
\frac{mm'}{mM} = \frac{cm'}{CM}, \quad \frac{mm'}{mM} = \frac{m'a}{MA}; \text{ luego } \frac{cm'}{CM} = \frac{am'}{AM}
\]

También por los triángulos Bcm' y BAM, Bm'a y BMC,

\[
\frac{cm'}{AM} = \frac{am'}{CM}; \text{ luego } \frac{AM}{CM} = \frac{CM}{AM}; \text{ luego } AM = CM.
\]

Después que la razón simple determina un punto en una recta dada por los dos puntos de referencia (los infinitos puntos de la recta están determinados por la serie de valores de esta razón comprendidos entre \(-\infty\) y \(+\infty\)), se determina un punto con relación á otro mediante la doble razón ó relación anarmónica; y desde este momento queda establecida la teoría del punto en la recta, ó la Geometría de una dimensión.

El primer caso que se presenta en la Geometría de la determinación de un punto con relación á otro es el de los conjugados armónicos en un triángulo, mediante las bisectrices de uno de sus ángulos (Geom. Elem., p. 2.* pág. 130); y es claro que esto es independiente de la dirección de la base del triángulo, resultando de aquí determinados el polo y la polar, con respecto á un ángulo, pues cada bisectriz es la polar del punto de intersección de la otra con la base del triángulo.

22. Nos hallamos ya en la línea divisoria de las dos regiones de la Geometría, es decir, la Geometría elemental y la Geometría llamada superior, moderna, proyectiva, etc. La primera está caracterizada por el predominio de la idea de igualdad, de la que se destaca la de la proporcionalidad. La segunda toma como punto de partida este superior concepto de la proporcionalidad, que la permite extenderse indefinidamente mediante nuevas relaciones que se derivan por combinaciones ulteriores de este concepto.

En la segunda rama de la Geometría, el empleo de las proporciones resultaría demasiado prolíjo y dificultoso; por esto toma como puntos de partida nuevos elementos que condensan en sí ya proporciones, ya otras relaciones más complejas diversamente combinadas.

23. No es posible en la exposición de la ciencia proceder por síntesis rigurosa de lo general á lo particular. Así es que en dicha exposición el análisis suele combinarse con la síntesis, por más que haya predominio de ésta sobre aquél.

Por ejemplo: en la teoría de paralelas se demuestra ante todo que dos perpendiculares á una recta son paralelas, y de este teorema se deduce el más general, que dos rectas que forman con otra ángulos alternos internos iguales, son paralelas.

En cambio la igualdad de los triángulos rectángulos se establece
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como un caso particular de la igualdad de los triángulos cualesquiera.

El fin esencial de la Geometría es la determinación, y éste se obtiene encadenando unas figuras con otras por medio de las construcciones auxiliares, que son en el razonamiento geométrico lo que los términos medios en el razonamiento silogístico, términos medios que deben ser eliminados, reduciéndose la demostración á la eliminación de los elementos introducidos en las construcciones, unida á la legitimación de relaciones que los ligan con los extremos.

24. La Geometría elemental se limita á emplear el paralelismo, la perpendicularidad y la bisección como procedimientos fundamentales que la conducen en su último grado, según ya se ha dicho, al empleo de las proporciones como su instrumento de mayor eficacia y de superior generalización.

Aquí de detuvo la Geometría elemental y aquí comienza una nueva rama ó un desarrollo de esta ciencia más amplio, que tiene por punto de partida la relación anarmónica (ó en un caso particular la armónica), conforme hemos también manifestado; y nuestra insistencia en este punto tiene por objeto el presentar algunos ejemplos de eliminación mediante la cual los geómetras de la antigüedad, basándose en el paralelismo de rectas y en la igualdad de razones llegaban á proposiciones de orden superior al de los elementos.

En efecto, los enunciados de los lemas I y II de Pappus son:

I. Sea la figura \( \rho bBQpA \), sea \( \frac{\rho A}{\rho B} = \frac{\rho P}{\rho Q} \), únase ms Se tendrá que mS es paralela á \( \rho B \) (fig. 9).

II. Sea la figura BbQaARPS. Si BR es paralela á ab y se tiene además que \( \frac{BA}{AR} = \frac{QP}{PR} \); los tres puntos S, m, R están en línea recta.

Demostración.—Para el lema I, trácese por el [...] P la \( \parallel^* \) PL á Qb, y únase L con A. Se tendrá

\[
\begin{cases}
\frac{\rho A}{\rho B} = \frac{\rho P}{\rho Q} & (\text{hipót.})^{(1)} \\
\frac{\rho P}{\rho Q} = \frac{\rho L}{\rho b} & (\text{constr.})
\end{cases}
\]

luego \( \frac{\rho A}{\rho B} = \frac{\rho L}{\rho b} \); luego LA es \( \parallel^* \) á bB;

luego \( \frac{ab}{Lb} = \frac{aS}{AS} \);

además \( \frac{ab}{Lb} = \frac{am}{Pm} \) (constr.)

luego \( \frac{aS}{AS} = \frac{am}{Pm} \);

luego PA es \( \parallel^* \) á mS.

(1) Esta hipótesis equivale en el lenguaje moderno á suponer una involución entre los puntos A, B; P, Q y el punto central \( \rho \) (éste corresponde al punto en el infinito R).
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Para el lema II (fig. 10), trácese LP \( \parallel^n \) á aA, y únase L con Q. Se tendrá

\[
\frac{QP}{BA} = \frac{RP}{RA} \quad (\text{hipót.}), \\
LP \parallel^n \text{ á } aA \quad (\text{constr.})
\]

luego

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{LP}{aS} = \frac{mP}{ma} = \frac{PQ}{ab} \quad (b), \\
\frac{LP}{QP} = \frac{aS}{ab} = \frac{AS}{AB} \quad (c).
\end{array}
\right.
\]

Siendo, pues (d)

\[
\frac{LP}{AT} = \frac{QP}{AB}
\]

y además

\[
\frac{QP}{BA} = \frac{RP}{RA} \quad (\text{hipót.});
\]

será

\[
\frac{LP}{AS} = \frac{RP}{RA} \quad (e);
\]

luego los [.]\(^n\) R, m, S están en línea \(|^{n}\) (13, constr.)

En la demostración del primer lema, la hipótesis unida á la construcción, permite eliminar el término medio \( \frac{\rho P}{\rho Q} \); y la igualdad resultante produce la determinación de la recta LA como paralela á bB. Este paralelismo permite á su vez continuar el encadenamiento de nuevos segmentos en proporción, y la eliminación de la razón común \( \frac{ab}{Lb} \) entre las relaciones (a), conduciendo la igualdad final \( \frac{aS}{AS} = \frac{am}{Pm} \) al paralelismo de PA y mS.

(Se continuará).

Z. G. de G.

NUEVOS PUNTOS DE VISTA EN MATEMÁTICAS
POR D. LAURO CLARIANA
Catedrático de la Universidad de Barcelona

Obsérvense en la inteligencia humana ciertas irregularidades que desdicen del noble fin á que debe dirigirse, y que se acentúan cuando se trata de que dicha inteligencia siente sus reales en el terreno de la Matemática.

Desde los prístinos tiempos descúbrese en dicha ciencia una como tendencia hacia lo abstracto é indeterminado; empero esta tendencia