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investigaciones matemáticas, por efecto de su intervención inmediata en este trabajo, que es como complementario del anterior, por el que viene en conocimiento de lo que otros han hecho al dilatar el horizonte científico.

Con el propósito, pues, de atender á este segundo fin, se establece desde luego en El Progreso Matemático una sección destinada á enunciar cuestiones y publicar las resoluciones á las mismas que resulten ser las más interesantes para los lectores.

Con objeto de inaugurar esta nueva sección, creemos oportuno comenzar desde luego, sin perjuicio de intercalar cuestiones importantes que se nos vayan remitiendo, por reproducir una serie de cuestiones que, propuestas en la Nouvelle Correspondence Mathématique, periódico fundado por M. Catalán en 1874, quedaron pendientes de resolución cuando á este periódico sucedió en 1881 el nuevo periódico Mathesis, pues creemos que será un motivo de satisfacción para los aficionados á estas investigaciones, que tales problemas no se echen al olvido, siendo, como son, en extremo interesantes. Así pues, ofreceremos desde luego á nuestros lectores diez y siete de éstas, cuyos enunciados podemos transcribir; pero como no es conveniente extra-limitarnos por ahora en este sentido, no excederá el número total de cuestiones al de cuarenta, durante el año actual.

También creemos oportuno manifestar actualmente que, proponiéndonos dar á conocer la evolución de la Geometría del triángulo, haciendo referencia á las memorias y obras que de este asunto tratan, para formar una especie de resumen histórico de esta rama geométrica que hoy ha alcanzado tan considerable desarrollo, á la par que vayamos realizando este propósito, principiaremos la publicación de algunas definiciones correspondientes á los textos con objeto de ir formando un vocabulario que evite en lo posible el encontrar términos de significación desconocida para quien fuere nuevo este interesante estudio, y esto se hará extensivo á otras diversas teorías.

* * *

Enunciados de las cuestiones de la «Nueva Correspondencia Matemática»:

1. Hallar grupos de tres números enteros, primos entre sí dos á dos, tales, que la suma de dos cualesquiera de entre ellos no admita otros factores primos que los contenidos en el tercero. Ejemplo: 3, 5, 22. (Ernest Quetelet).

2. Hallar el lugar del punto de contacto de las tangentes parale-
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las á una dirección dada, á una serie de elipses ó de hipérbolas homofocales. (Nicolaides).

3. Sean ABC, A'B'C' dos triángulos situados de una manera cualquiera en el espacio. El lugar de un punto P tal, que las tres rectas trazadas por P, apoyándose respectivamente en los pares de rectas (AB, A'B'), (BC, B'C'), (CA, C'A') se hallan situados en un mismo plano, es el hiperboloide que pasa por las rectas AA', BB', CC'. (J. Neuberg).

4. Si por un punto fijo P, tomado en un hiperboloide reglado, se trazan rectas que se apoyan en los diagonales de los cuadriláteros que forman dos generatrices fijas del primer sistema con dos generatrices variables del segundo, estas rectas se hallan situadas en un mismo plano. (J. Neuberg).

5. Sean A, B, C tres generatrices de un mismo sistema del hiperboloide H; A', B', C' tres generatrices de un mismo sistema, del hiperboloide H'; P un punto cualquiera de la intersección de las superficies H, H'. Por P', se trazan las dos rectas que se apoyan respectivamente en pares de rectas (A, B'), (A', B): sea γ el plano que pasa por estas rectas. Se obtienen, de una manera análoga, otros dos planos α, β, combinando por una parte los pares (B, C'), (B', C), y por otra, los pares (A, B'), (A' B). Los planos α, β, γ pasan por una misma recta. (J. Neuberg).

6. Dada una parábola y un círculo de radio R, descrito desde el foco como centro, se traza á este círculo una tangente cualquiera; hallar el lugar de las intersecciones de las normales á la parábola, trazadas por los puntos de intersección de la curva con esta tangente.

Discutir el lugar en el caso particular en que el círculo es tangente á la parábola.

(Lille. Concours académique, 1874).

* * *

405 (1). Dadas dos circunferencias, de las que una pasa por el centro de la otra, construir con el solo empleo de la regla:
1.º Los centros de dichas circunferencias. 2.º sus centros de semejanza. 3.º las tangentes comunes y sus puntos de contacto. (Solterinsky).

(1) Estos dos últimos problemas han sido propuestos en el número del Journ. de mathém élém, correspondiente al mes de Agosto.
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407 Dos elipses iguales tienen el mismo centro y sus sus ejes mayores perpendiculares; P es un punto cualquiera de la primera, Q y Q' los puntos de la segunda en que las tangentes son perpendiculares á OP, y M, M' los puntos medios de PQ, PQ'.

Siendo a y b los semi-ejes de las elipses, demostrar que OMPM' es un paralelógramo cuyos lados son

\[
\frac{a+b}{2} \quad \text{y} \quad \frac{a-b}{2},
\]

y en el que las bisectrices de los ángulos tienen las direcciones de los ejes de las curvas. (Laisant).

***

Resolución del problema número 398 (1)

Sean las ecuaciones

(1) \( y^2 = 2px \), \hspace{2cm} (2) \( y - b = \frac{dy}{dx} (Y - a) \)

de la parábola referida á la tangente en su vértice y á su eje, y la de la tangente que pasa por el punto M, cuyas coordenadas son a y b.

Poniendo por \( \frac{dy}{dx} \) su valor sacado de (1), igualando las coordenadas para hallar los puntos de tangencia, y eliminando x entre ambas, resulta

\[
y^2 - 2by + 2ap = 0 \tag{3}
\]

que dará las dos soluciones; y examinando esta atentamente, obtendremos la solución buscada.

En efecto, la suma de las dos raíces es 2b, las cuales por ser la (3) una ecuación de 2.º grado, serán de la forma \( b + x, b - x \).

La figura manifiesta ahora que las dos raíces serán Am y Bm', así como los valores de x embidos en ellas An = x, n' B = -x.

Siendo estos valores absolutos iguales, es evidente que si trazamos AB' paralela á MB hasta cortar á MB', paralela al eje X, AB' = MB.

Finalmente, de los dos triángulos semejantes A'MB', MAB' resulta

\[
\frac{MA'}{MB'} = \frac{MA}{AB' MB} \quad \text{L. q. q. d} \quad (\text{N. U.})
\]

(1) Véase el número anterior.
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ou

\[
\log \Gamma(x) = \int_0^1 \left| \frac{1-t^{x-1}}{1-t} - x + 1 \right| \frac{dt}{\log t}
\]
\[
+ \lim_{n=\infty} \int_0^1 t^{n-1} \frac{t^{x+1} - (x+1)t + x}{(t-1)\log t} dt.
\]

O ultimo integral que entra n' esta formula dá, attendendo ao primeiro theorem da media,

\[
\int_0^1 t^{n-1} \frac{t^{x+1} - (x+1)t + x}{(t-1)\log t} dt = K \int_0^1 t^{n-1} dt = K \frac{t}{n},
\]

K representando um numero que nao é superior ao maior nem inferior ao menor dos valores que toma a funçao

\[
\frac{t^{x+1} - (x+1)t + x}{(t-1)\log t}
\]

quando t varia desde 0 até 1. Como esta funçao é finita neste intervallo e \( \frac{1}{n} \) tende para zero quando n tende para o infinito, temos

\[
\lim_{n=\infty} \int_0^1 t^{n-1} \frac{t^{x+1} - (x+1)t + x}{(t-1)\log t} = 0,
\]

e portanto

\[
\log \Gamma(x) = \int_0^1 \left[ \frac{1-t^{x-1}}{1-t} - x + 1 \right] \frac{dt}{\log t}
\]

que é o resultado que pretendíamos demonstrar.

LOS PROGRESOS DE LA GEOMETRIA DEL TRIANGULO EN 1890
POR M. E. VIGARIÉ

(Conclusión)

10. Parábolas de Mandart.—Sean ABC un triángulo cualquiera, A', B', C' los puntos medios de los lados, I, I_a, I_b, I_c los centros de los círculos tangentes á los tres lados del triángulo.
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Tomemos en BC, CA, á un mismo lado de BC, los segmentos BM = CN = \( \lambda_1 \); sobre BC, AB á un mismo lado de CA los segmentos CM₁ = AN₁ = \( \lambda_2 \); sobre AC, BC, á un mismo lado de AB, los segmentos AM₂ = CN₂ = \( \lambda_3 \).

Llamemos dₐ, d₈, d₉ las tres transversales MN, M₁N₁, M₂N₂.

Las transversales dₐ, d₈, d₉ envuelven parábolas Mₐ, M₈, M₉. Estas son las estudiadas por M. Mandart. (Sur un groupe de trois paraboles, Math. pp. 30-33).

1. La parábola Mₐ toca á AB, AC en puntos m, n. La recta mn es paralela á la bisectriz AI. El vértice Sₐ se halla en el medio p de mn.

2. Se halla inscrita al triángulo ABC; su foco es el punto de intersección del círculo circunscrito y del eje ASₐ. La directriz es paralela á AI y pasa por el ortocentro H.

3. La parábola Mₐ tiene por ecuación baricéntrica:

\[
a^2(b-c)^2 + b^2c^2 + c^2\gamma^2 + 2b(b-c)x\beta - 2c(b-c)x\gamma + 2bc\beta\gamma = 0.
\]

4. Si I' y O' son los centros del círculo inscrito y de los círculos circunscritos al triángulo Iₐ I₈ I₉, la tangente en el vértice Sₐ es la recta A'I'. Los puntos H, I', O' son tres puntos en línea recta; I' se halla en el punto medio de HO'. Las cuerdas de contacto mn, m₁n₁, m₂n₂, concurren en el punto simétrico de I con relación á I'.

M. Mandart dá varias propiedades de las transversales dₐ, d₈, d₉ y de un segundo grupo de tres parábolas que ofrecen muchas analogías con las precedentes.

11. CÓNICAS NOTABLES.—M. Boutin ha estudiado un grupo de cuatro cónicas, son las transformadas por puntos inversos de las rectas que unen el centro del círculo circunscrito () á los centros de los círculos tangentes á los lados del triángulo. (Sur un groupe de quatre coniques remarquables du plan d'un triangle. Journ. de mathém. Spéc. pp. 104-107, 124-127). Estas cuatro cónicas, designadas por (B), (Bₐ), (B₈), (B₉) dan origen á las proposiciones siguientes:

1. Siendo A₁, B₁, C₁ los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados de ABC, si se toman en el mismo sentido, sobre IA₁, IB₁, IC₁ las longitudes IA₂ = IB₂ = IC₂ = t; las rectas AA₂, BB₂, CC₂ son concurrentes. El lugar de su punto de intersección es la cónica (B).

Se tienen teoremas análogos cuando se reemplaza el centro del círculo inscrito por uno de los centros de los círculos ex-inscritos.

2. Si un triángulo se deforma de modo que resulte á la vez inscrito y circunscrito á dos círculos fijos, la recta que une su punto de Nagel á su punto de Gergonne gira al rededor de un punto fijo de la línea de los centros. En el mismo movimiento el primer recíproco del punto de Nagel de todos estos triángulos es fijo.
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12. Cúbicas.—En 1889, M. Boutin había escrito una Nota sur les cubiques remarquables du plan du triangle. (Journ. de math. Spéciales p. 265).

Nosotros hemos completado este artículo por la indicación (Note bibliographique sur les cubiques J. S 1890, pp. 63-69) de algunas noticias bibliográficas. Nuestra nota se continúa por una comunicación de M. Boutin (pp. 67-69) sobre las cúbicas estudiadas en el año anterior.

En los Problèmes sur le triangle (J. S. 1890, pp. 265-269) M. Boutin ha vuelto sobre el asunto, dando las proposiciones siguientes:

1. Supóngase en el plano del triángulo ABC un punto M cuyas coordenadas normales son: x', y', z'. Sobre las proyectantes ortogonales de M, y en un mismo sentido, llévense las longitudes MA' = Kx', MB' = Ky', MC'' = Kz'. Determinar K de manera que las rectas AA', BB', CC' sean concurrentes. Determinar los puntos M tales, que estas rectas concurran, cualquiera que sea K. El lugar del punto de concurso, cuando M coincide con el centro del círculo circunscrito O es la cónica de las inversas relativa al ortocentro.

2. Considérese un punto M en el plano de un triángulo; desde este punto, sobre perpendiculares á los lados, y en un mismo sentido, se toman longitudes MA' = Kx', MB' = Ky', MC' = Kz', siendo (x', y', z') las coordenadas de un punto cualquiera P. Determinar K de manera que las rectas AA', BB', CC' sean concurrentes.

3. Una recta cualquiera corta á la recta de Euler en un punto cuyo parámetro es K, y á la hipérbola de Jerabek en dos puntos cuyos parámetros son: K_1, K_3. Existe entre K_1, K_2, K_3 la relación

\[
1 + K_1 K_2 K_3 \cos A \cos B \cos C = 0.
\]

Como casos particulares se tienen las proposiciones siguientes:
4. La recta que une dos puntos de la hipérbola de Jerabek, cuyos parámetros tienen un producto constante, encuentra á la recta de Euler en un punto fijo P.
5. La recta que une un punto cualquiera de la recta de Euler á un punto de la hipérbola de Jerabek, elegido de manera que el producto de los parámetros sea constante, encuentra á la curva en un segundo punto fijo P_2.

Al artículo de M. Boutin sigue una interesante Nota de M. Neuberg (pp. 260-270).

La multiplicidad de los trabajos promovidos por la geometría del triángulo, y la falta de espacio, nos obligan á señalar solamente las Propriétés du triangle (Journ. élém 1890, pp. 73-77, 97-99) de M. Bénézech y la Théorie des triangles caractérisés (J. E. 1890, pp. 203-206, 234-237, 252-256) de M. de Longchamps. El autor llama así á los trián-
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gulos en los cuales los lados \(a, b, c\), verifican una relación tal como la siguiente:

\[
\alpha a^2 + \beta b^2 + \gamma c^2 = 0.
\]

13. Generalidades.—Varios esfuerzos se han hecho para generalizar la geometría del triángulo, y aplicarla, por transformaciones convenientes, á los polígonos planos y á las figuras de tres dimensiones. Citaremos con este objeto dos Memorias publicadas en Mathesis:

1.* Complément à la théorie des polygones harmoniques, par M. J. Casey (M. pp. 96-104).
2.* Sur le tétraèdre orthocentrique, par M. de Longchamps (Mathesis pp.49-53, 77-82).

Recordaremos también que hemos publicado, en los Comptes-rendus de l'Association française pour l'avancement des Sciences (Congrés de París) una Esquisse historique sur la marche des développements de la Géométrie du triangle en la cual nos hemos propuesto resumir los progresos de esta ciencia desde su origen:

Citemos para terminar las dos obras publicadas recientemente:
1.* Géométrie élémentaire récente, por M. J. Casey, 80 páginas en 8.º Es la traducción, por M. Falisse, del capítulo suplementario de A sequel to Euclid, publicado en Mathesis (Enero, 1889). La obra contiene el complemento á la teoría de los polígonos armónicos (Mathesis Abril, 1890). En el prefacio, debido á M. Neuberg, se citan los principales promovedores de la Geometría del triángulo.
2.* Synthetische Beweise planimetrischer Sätze, por M. W. Fuhrmann, 150 páginas y 14 láminas, libro analizado en este periódico. (Journ. de mathém. élém.)

ALGUNOS TRABAJOS DE M. NEUBERG SOBRE LA GEOMETRIA DEL TRIANGULO

Vamos á completar la reseña de las obras de M. Neuberg, que comenzamos en el número anterior, haciendo algunas indicaciones acerca de sus Memorias Sur le quadrilatère harmonique, Sur les axes de Steiner et l' hyperbole de Kiepert y Sur les joyers d' Steiner d' un triangle, con objeto de facilitar para lo sucesivo nuestro propósito de dar á conocer de una manera general el alcance que en la actualidad tie-
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no la Geometría del triángulo, tan considerablemente enriquecida en estos últimos años.

Para establecer de la manera más completa la analogía entre el triángulo y el cuadrilátero, considera M. Neuberg en su Memoria citada Sur le quadrilatère harmonique, el cuadrilátero inscriptible ABCD (lám. III. fig. 9.a), en cuyo plano existe un punto E, cuyas distancias á los lados sean proporcionales á éstos.

Ahora, si B' es el punto de intersección de las tangentes trazadas por A y C al círculo ABCD y B' el de las tangentes trazadas por B y D, las simedianas B'B, B'D, B'A, B'C de los triángulos ABC, ADC, BAD, BCD son, respectivamente, los lugares de los puntos cuyas distancias á los lados de los ángulos B, D, A, C del cuadrilátero son proporcionales á éstos. Por consiguiente, la existencia del punto E exige que B' esté en BD y B' en AC, condiciones que se reducen á una sola. Entonces E se confunde con el punto de intersección de las diagonales AC, BD. Pero las perpendiculares bajadas desde D á AB y BC, á causa de dos triángulos semejantes, son entre sí como AD y CD; se tiene pues la condición

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} \quad \delta \quad AB \cdot DC = AD \cdot BC.
\]

Este cuadrilátero se ha llamado cuadrilátero armónico (1). El punto E puede llamarse punto de Lemoine.

Varias propiedades expone á continuación M. Neuberg del cuadrilátero armónico. Así, á un círculo dado puede inscribirse una infinidad de cuadriláteros armónicos que tienen por punto de Lemoine un punto interior dado E, lo que se establece trazando por E una cuerda cualquiera AC, y uniendo el punto E al polo B' de AC (M' Cay). Además, todo triángulo ABC da lugar á tres cuadriláteros armónicos, pues siendo A'B'C' el triángulo formado por las tangentes en A, B, C al círculo circunscrito O, las simedianas AA', BB', CC' concurren en el punto de Lemoine K del triángulo ABC, que cortan al círculo en puntos Da, Db, Dc, y á los lados BC, CA, AB en puntos Ea, Eb, Ec, tales que los cuadriláteros ABDa C, ABCDb, ACBDc son armónicos y tienen por puntos de Lemoine á Ea, Eb, Ec respectivamente.

Siendo EX = x, EY = y, EZ = z, EU = u las perpendiculares trazadas desde E á a, b, c, d, se tiene que

\[
\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{u}{d},
\]

(1) Mém. Journal de Crelle, t. LII. p. 288.
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y, representando estas relaciones iguales por la expresión \( \frac{1}{4} t g \varphi \), este ángulo \( \varphi \) es el ángulo de Brocard del cuadrilátero.

También define M. Neuberg el círculo de Brocard del cuadrilátero armónico ABCD, que es el descrito sobre la recta OE como diámetro, y el primer cuadrilátero de Brocard, que es el que tiene por vértices los puntos M, N, P, Z en que el círculo de Brocard encuentra á las perpendiculares trazadas desde O á los lados \( a, b, c, d \).

De las propiedades de los dos cuadriláteros de Brocard pasa el señor Neuberg á desarrollar las que se deducen respecto á un sistema de figuras semejantes. También deduce que los puntos de Brocard son los focos de una elipse inscrita al cuadrilátero armónico (elipse de Brocard), y llega, en fin, á los círculos de Tucker del cuadrilátero ABCD.

Sur les axes de Steiner et l' hyperbole de Kiepert y Sur les foyer de Steiner d'un triangle son otros dos trabajos presentados por MM. Neuberg y Gob (séance du 12 août 1889. Assoc. Franc).

Siendo ABC el triángulo fundamental, G, O, H, K el centro de gravedad, el centro del círculo circunscrito, el ortocentro y el punto de Lemoine de ABC; A'B'C' el triángulo complementario de ABC (1), A''B''C'' el triángulo anticomplementario; E la elipse circunscrita á ABC que tiene su centro en G; GX, GY las rectas según las cuales se hallan dirigidos los ejes principales de las elipses E y E'.

La cónica E ha recibido el nombre de elipse de Steiner de ABC.

M. Neuberg propone llamar á las rectas GX, GY ejes de Steiner de ABC, y en este trabajo dá á conocer un gran número de propiedades del eje de Steiner, cuyo estudio se halla íntimamente ligado con el de la hipérbola de Kiepert.

Para hallar las direcciones de GX y GY, observa que basta conocer el cuarto punto R común á la elipse E y á la circunferencia ABC; porque las cuerdas comunes BC, AR tienen direcciones antiparalelas (simétricas) con relación á GX.

Ahora, si A_s, B_s, C_s son simétricos de A, B, C' con respecto á O, las cuerdas B_s C_s, AR de E son todavía antiparalelas, y, por consiguiente, sus extremidades pertenecen á una misma circunferencia. Luego: las circunferencias ABC, A_s B_s C_s, A_s B_s C_s, AB_r C_s se cortan en un mismo punto R de E, y dos lados opuestos del cuadrángulo completo ABCR son antiparalelos con respecto á un eje de Steiner.

(1) Si dos puntos M y M' se hallan en línea recta con G y MG = 2 GM', M' se llama el complementario de M'. Véase el estudio Sur les points complémentaires, por M. Vigarié (Mathesis t. VII).

En cuanto á la terminología, admitimos la del Premier inventaire de la géométrie du triangle, par M. Vigarié (Congrés de Toulouse p. 27).
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Además, los círculos de los nueve puntos de los triángulos ABC, GBC, GCA, GAB se cortan en un mismo punto Q de la elipse E; Q es el complementario de R.

Siendo cada una de estas circunferencias el lugar de los centros de las hipérbolas equiláteras circunscritas al triángulo correspondiente, Q es el centro de la hipérbola equilátera Γ (hipérbola de Kiepert) que pasa por los puntos A, B, C, G.

Prolonguemos HQ en QN = HQ (lám. III, fig. 10); el punto N, que pertenece á la vez á la hipérbola Kiepert y á la circunferencia ABC (H es un centro de semejanza de las circunferencias ABC, A'B'C') se ha llamado el punto de Terry.

Las relaciones HQ = QN, RG = 2 GQ manifiestan que G es el centro de gravedad del triángulo RNIN (Césaro Remarques sur la Géométrie du triangle, Nouv. Ann. 1887); de aquí resulta que el complementario de H coincide con el punto medio de RN. Luego R y N son los extremos de un mismo diámetro de la circunferencia ABC.

Este resultado tiene una consecuencia importante: los ejes principales de E son paralelos á las bisectrices del ángulo (BC, AR), los de Γ son paralelos á las del ángulo (BC, AN), y las rectas AR, IN son perpendiculares. Por consiguiente, los ejes de Steiner son paralelos á las asíntotas de la hipérbola de Kiepert.

Una secante cualquiera trazada por el punto Q encuentra á los ejes de Steiner en dos puntos, por los cuales se trazan paralelas á estos ejes. El punto de intersección describe la hipérbola de Kiepert.

Además, M. Neuberg indica una nueva generación de Γ.

Siendo P un punto móvil de Γ (lám. III, fig. 11), las rectas AP, BP, CP encuentran á BC, CA, AB en puntos Pa, Pb, Pc que se corresponden en tres puntuales homográficas. Siendo C un elemento unido de las puntuales (Pa) y (Pb), la recta Pa Pb pasa por un punto fijo m. Si ha, hb, hc son los pies de las alturas de ABC, las rectas ha hb, A'B' y las tangentes trazadas en los puntos A, B de Γ son posiciones particulares de pa pb; pasan pues, por m. Por consiguiente:

Sean ma, mb, mc las intersecciones de los lados homólogos del triángulo complementario A'B'C' y del triángulo órtico ha hb hc de un triángulo dado ABC. Por estos puntos se pueden hacer pasar los lados de una infinidad de triángulos pa pb pc inscritos á ABC y perspectivos con ABC; el lugar de los centros de perspectiva es la hipérbola de Kiepert de ABC. Los lados del triángulo ma, mb, mc tocan á esta curva en los puntos A, B, C.

Las importantes Notas de MM. Neuberg y Gob, de que hacemos estas indicaciones, terminan tratando de los metapolos y centros meta-armónicos y de algunas propiedades de los focos de Steiner.
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El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO I -- AÑO 1891

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, núm. 100, bajos
1891