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agotable variedad, dependiente tan sólo de su movimiento, su choque, su fuerza viva, su masa..

Observemos además que todas estas gradaciones de la ciencia matemática pueden contemplarse bajo dos aspectos.

La Aritmética primero agrupa unidades, bajo la ley que designa el sistema de numeración. Y la inteligencia sigue esta generación numérica, á través de los diversos algoritmos fundamentales, y aun hace algunas clasificaciones primordiales de los números como primos ó compuestos, como divisiones, como restos, etc. Y no contenta con extenderse ascendiendo por agrupaciones, por pluralidades cada vez superiores que siempre forman las operaciones directas; al verse detenida en su movimiento descendente, agrega al concepto de unidad un elemento extenso, y, por consiguiente, susceptible de división indefinida en partes; y esto le permite seguir su proceso descendente en la región de las unidades fraccionarias, que reproducen, aunque de una manera inversa, las relaciones de los números enteros, y completan el sistema de los números.

En segundo término la teoría de los números, fundándose en la consideración simultánea ó sistemática, los sujeta con el lazo que forma una igualdad ó ecuación indeterminada. Cada una de estas contiene un sistema de números. El estudio de estos sistemas es el objeto de la rama de la Algoritmia llamada Teoría de los números.

Así como la Aritmética, que definió Wronski como la ciencia de los hechos de los números, es un instrumento de determinación numérica, hasta el punto de que al hacer corresponder los signos generales de la algoritmia con la unidad de medida, ó mejor de la pluralidad ó del contar, todas las formas de ésta se reducen á valores numéricos (y entonces hemos llegado al dominio de las aplicaciones), de manera que, como dice también Wronski en su Philosophie de la Technie Algorithmique, constituye el objeto de la técnica algorítmica la evaluación ó medida de las cantidades.

(Se continuará).

Z. G. de G.

CUESTIONES PROPUESTAS

126. Se da una esfera y una circunferencia, de igual radio, tangente á la esfera y cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Esto sentado, se pide el lugar de los puntos de la superficie de la es-
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fera en que el plano tangente se apoya también sobre la circunferencia dada.

(H. Brocard).

127. (*) Si se unen los cuatro vértices de un trapecio inscripto ABCD á un punto cualquiera de la circunferencia, se tiene la relación

\[
\frac{\overline{MA}^2 - \overline{MB}^2}{\overline{MD}^2 - \overline{MC}^2} = \frac{AB}{CD}
\]

(H. Van Aubel)

128. Teorema. La suma de los cuadrados de tres números es siempre igual á la suma de los cuadrados de cuatro números fraccionarios (Baschwitz de Berlín).

Ejemplo: \( 15^2 + 13^2 + 11^2 = \left( 18 + \frac{3}{2} \right)^2 + \left( 4 + \frac{1}{2} \right)^2 \)
\[
+ \left( 6 + \frac{1}{2} \right)^2 - \left( 8 + \frac{1}{2} \right)^2
\]

(E. Catalán).

Observación acerca de la cuestión núm. 111.—Aunque en la pág. 110 se ha publicado la solución á la misma remitida por los Sres. Vivanti y Jiménez Rueda, debe advertirse que no se ha tenido en cuenta una circunstancia, á saber: que ha de ser una solución en que no se emplee igualdad alguna, una solución en cierto modo intuitiva ó á la vista, análoga á la del conocido teorema relativo á los cuadrados construídos sobre la hipotenusa y los catetos que se demuestra relacionando, algunas figuras auxiliares. Así, pues, esta cuestión debe considerarse como no resuelta en la forma que exige el Sr. Brocard en su enunciado.

Idem acerca de la cuestión 112.—Igualmente el haberse publicado en la página 109 la elegante solución que este sabio colaborador ha remitido, empleando tres rectas, no significa que la cuestión se halle resuelta por completo, conforme al enunciado de la misma expuesto en la página 72.

(*) Esta cuestión, por un error material, se unió en la página 111 á la que constituye el número 117.
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\[
\varphi(z) = \frac{1}{z-a-1},
\] (3)

\[
\left[ 1 - \frac{1}{(z-a)^p} \right] \varphi(z) = \frac{(z-a)^p-1}{(z-a)^p} \cdot \frac{1}{z-a-1} = \frac{1}{(z-a)^p} \cdot \frac{(z-a)^p-1}{(z-a)-1}
\]
\[
= \frac{1}{(z-a)^p} \left[ (z-a)^{p-1} + (z-a)^{p-2} + \ldots + 1 \right]
\]
\[
= \frac{1}{z-a} + \frac{1}{(z-a)^2} + \frac{1}{(z-a)^3} + \ldots + \frac{1}{(z-a)^p}.
\] (4)

Par suite, dans la relation (1), les termes qui suivent \( F(z) \) se détruisent deux à deux, et il reste

\[
f(z) = F(z)
\] (5)

Lorsque \( |z-a| < 1 \), la valeur de \( \varphi(z) \) est infinie, et l'on a

\[
f(z) = \infty.
\] (6)

Conséquemment, la série (1) représente une fonction continue sur tout le plan, mais admettant comme espace lacunaire le cercle dont le centre est, le point d'abscisse \( a \) et dont le rayon est égal à l'unité.

2. Plus généralement, si l'on pose

\[
V_n = F_n(z) - \frac{1}{z-a_n} - \frac{1}{(z-a_n)^2} - \ldots - \frac{1}{(z-a_n)^p}
\]
\[
+ \left[ 1 - \frac{1}{(z-a_n)^p} \right] \varphi(z-a_n),
\] (7)

\[
\varphi(z-a_n) = \frac{1}{z-a_n} + \frac{1}{(z-a_n)^2} + \frac{1}{(z-a_n)^3} + \ldots,
\] (8)

et si \( F_n(z) \) est une fonction continue sur tout le plan, la somme

\[
f(z) = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots + V_n
\] (9)

aura pour valeur

\[
F_1(z) + F_2(z) + F_3(z) + \ldots + F_n(z)
\] (10)

si les conditions

\[
|z-a_n| > 1 \qquad n = 1, 2, 3, \ldots, n
\] (11)

son vérifiées. Cette même somme sera infinie, si pour

\[
n = i, k, l \ldots
\]

on a

\[
|z-a_n| > 1.
\] (12)

Donc, la fonction définie par l'égalité
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\( f(z) = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots + V_n \)

est continue sur tout le plan, et elle admet comme espaces lacunaires les cercles de rayons égaux à l'unité des points d'afixes \( a_1, a_k, a_l, \ldots \) comme centres.

3. Si \( n = \infty \), et que la série

\[
V_1 + V_2 + V_3 + \ldots
\]

soit convergente, on obtient une fonction continue avec un nombre infini d'espaces lacunaires.

En particulier, si dans tout ce qui précède on fait \( p = 1 \), on retrouve des résultats indiqués par M. Gomes Teixeira.

Maredsous, 24 avril 1893.

REVISTA BIBLIOGRÁFICA

LA GÉOMÉTROGRAPHIE OU L'ART DES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES, par M. E. Lemoine. En diferentes ocasiones este sabio y activo colaborador, en la obra del enaltecimiento de la Geometría moderna, ha expuesto sus nuevas investigaciones de carácter práctico que tienden á determinar las ventajas ó desventajas relativas que ofrecen las construcciones correspondientes á un mismo problema. En el Bulletin de l'Association Française, en Nouvelles Annales de Mathém, y aún en El Progreso matemático, ha expuesto M. Lemoine sus nuevos puntos de vista que hoy ofrece en un trabajo de 66 páginas.

Indica algunos perfeccionamientos alcanzados por la práctica adquirida en el empleo del método, y el importantísimo resultado de que las construcciones fundamentales, comunmente empleadas, exigen todas reforma, siendo susceptibles de simplificación, porque los geómetras, no teniendo criterio acerca de este punto de vista, sólo se han ocupado de la simplificación de la expresión (que es independiente de la de ejecución), del enlace evidente de un teorema con una construcción, que indicaban sin fijar su atención sistemáticamente en la parte práctica de la ejecución, y sobre las condiciones razonadas de su sencillez.

Contiene este trabajo numerosísimos problemas, á partir de los más elementales, acompañando á las construcciones clásicas otras más ventajosas. Además presenta el autor numerosas construcciones de pro-
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blemas relativos á la geometría reciente, á las teorías de transversales, semejanza, etc., que hacen sumamente instructiva é interesante la obra.

Un hermoso libro acaba de agregar el docto profesor Sr. Bettazzi con su obra La risoluzione dei problemi numerici e geometrici á la serie de obras publicadas sobre este asunto, algunas muy notables y generalmente conocidas; y el Sr. Bettazzi, en 100 páginas, en 4.º menor, ha sabido sintetizar cuanto de fundamental se conoce en esta rama complementaria ó inversa de la ciencia, que trata de resolver problemas.

Con suma claridad y sóbrio razonamiento trata del modo de encadenarse una serie de proposiciones, cada una equivalente á la anterior, que caracteriza el análisis puro, en que se advierte una reciprocidad completa desde el punto de partida hasta el fin del encadenamiento expresado por un problema conocido, ó bien en el caso de ser consecuencia cada uno de la anterior, de modo que el problema final llegue á contener todas y aún más de las soluciones del propuesto; y examina el método mixto que es una síntesis por la que se retrocede, no paso á paso, sino de una sola vez, del problema final al problema primitivo ó propuesto.

Con este preliminar aborda brevemente el caso de los problemas aritméticos y con alguna más extensión el de los algébricos, deteniéndose aquí en varios puntos importantes, sobre todo en esa traducción del lenguaje ordinario, imperfecto, inexacto de sí, al lenguaje correctísimo y preciso del Álgebra, en las operaciones que á veces hacen desaparecer la equivalencia para conducir al caso del método mixto, como la multiplicación por una expresión entera respecto á la incógnita, elevación á una misma potencia entera de los dos miembros, etc., que exige una discusión para establecer las soluciones que se corresponden ó son las mismas en el problema inicial y en el final; y bastará decir que á esta parte que trata de la discusión dedica muy oportunas y útiles reflexiones.

Pero donde se detiene en mayores y más detallados desarrollos, es en la parte de la obra concerniente á los problemas geométricos.

Después de insistir de una manera general en el análisis efectuado sobre el diseño de la figura que corresponde á las condiciones del problema, en las dos partes que se distinguen en la síntesis con los nombres de construcción y demostración, y de hacer algunas observaciones sobre los problemas fundamentales de la geometría plana y sólida, comienza á tratar los problemas geométricos indeterminados por los luga-
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res geométricos á que siguen las envolventes, acompañando á la exposición de los conceptos fundamentales sobre unos y otros la enumeración de los lugares geométricos y de las envolventes (reducidas estas al círculo, y el punto propio ó impropio, correspondiente este último al caso del paralelismo).

El capítulo III de la obra tiene por objeto los métodos especiales geométricos para la resolución de los problemas de Geometría que divide en dos partes: Métodos de separación de las condiciones y métodos de la transformación de las condiciones.

Como métodos correspondientes á la primera de estas dos secciones, en los que las condiciones del enunciado pueden distribuirse en grupos que permiten reducir cada problema á otros en que aquéllas se consideren parcialmente, buscándose entidades que satisfagan simultáneamente á dos ó varios grupos, según la división hecha, examina el Sr. Bettazzi: primero, el método de los lugares geométricos, el de las envolventes, el de multiplicación; segundo, el de inversión y el de la semejanza, que se refieren á las figuras homotéticas ó á las inversas.

Los métodos de transformación de las condiciones que consisten en ciertas modificaciones impuestas en el problema dado y de que trata el autor, son: Reducción de la incógnita, ó sustitución de ésta por otra más fácil de obtener, y el movimiento (traslación y rotación).

En cuanto al método algébrico para la resolución de los problemas de Geometría, bastará consignar que además de tratar del planteo del problema, de la homogeneidad de las fórmulas de la discusión, y, con motivo de ésta, de los máximos y mínimos, tiene una gran importancia el párrafo último dedicado á la interpretación geométrica de las fórmulas, ocupándose de numerosas construcciones desde las que expresan líneas hasta las que expresan volúmenes.

Termina la obra dedicando una nota á los métodos de demostración, analítico, sintético y de reducción al absurdo, y otra destinada á hacer patente la inexactitud del lenguaje ordinario para expresar condiciones, para lo cual examina el autor la multitud de combinaciones de estas que determinan las entidades geométricas punto, recta plano, circunferencia y esfera.

En resumen, la nueva obra del Sr. Bettazzi, es un libro escrito con sencillez de estilo, claridad en la exposición y acierto en los puntos que desenvuelve con preferencia, siendo muy útil para los estudiantes que aspiren á imponerse en el arte de resolver problemas.
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FOR SPACE (1892) by Alexander Macfarlane prof. in the University of Texas. En los tres folletos que forman un total de 107 páginas, el autor, además de presentar un cuerpo de doctrina que contiene todo lo fundamental de la teoría de los cuaternios, hace un estudio crítico de alguno de los puntos difíciles, y por consiguiente dignos de concienzudo exámen, y presenta multitud de desarrollos y extensiones de fórmulas, resultado de propia investigación.

Comienza el autor manifestando que si bien Hamilton y su discípulo Tait, son acreedores al más profundo agradecimiento por su obra de crear el primero y de divulgar y simplificar el segundo la teoría de los cuaternios, reconoce al mismo tiempo que las notaciones deben perfeccionarse y los principios extenderse, siendo el propósito culminante de estos trabajos la generalización de esta rama científica directamente aplicable á las cantidades físicas que unifica diversas ramas del Análisis, y que cuando se particulariza se reduce al Álgebra ordinaria.

Que al estudiarse física se halla una primera dificultad en el principio de los cuaternios que hace negativo el cuadrado de un vector, mientras que un físico se halla acostumbrado á considerar el cuadrado de un vector como cantidad esencialmente positiva, como por ejemplo \( \frac{1}{2} m v^2 \). — que si es necesario tomar como en cuaternios la parte escalar del producto de dos vectores negativamente, son los primeros objetos de la investigación del Sr. Macfarlane, con cuyo motivo hace una sucinta exposición de algunos puntos fundamentales de la teoría, presentando las relaciones:

\[
jk = i, \ ki = j, \text{ etc.} \quad \text{o} \quad k^2 j^2 = -i^2, \quad i^2 k^2 = -j^2, \text{ etc.}
\]

llegando á demostrar que la expresión \( xx' + yy' + zz' \) es el área formada por el vector R y la proyección del R' sobre R, pasando á examinar la cuestión de tomarse como negativa la expresión \( xx' + yy' + zz' \) en el caso del producto de dos vectores.

Están conformes los principios del método de los cuaternios con la teoría de las dimensiones que ha adquirido tanta importancia en la física desde la época de Fourier? Esta cuestión conduce á una breve comparación con el método de Grassmann, y enseguida comienza una exposición doctrinal que trata de: Definición y notación.—Adición y sustracción de vectores.—Producto de dos vectores.—Idem de tres vectores y de cuatro.—Ejes compuestos.—Producto de dos cuaternios y de tres.—Teorema de Moivre.—Diferenciación de escalares y de vectores.
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The imaginary of Algebra es una continuación del opúsculo anterior que comienza con una reseña histórico-crítica de las teorías del imaginario, distinguiéndose tres clases de analistas bajo el punto de vista de considerar el símbolo \( \sqrt{-1} \), como no definido ni interpretado, como indefinible y no interpretable y como capaz de definición, al fundar ésta en las ideas geométricas.

Entre los de segunda clase cita á Boole que admite como un principio fundamental que la validez del análisis algebraico depende, no de la interpretación de los símbolos empleados, sino de las leyes de su combinación, conduciéndonos el encadenamiento de la demostración por términos medios no interpretables á un final interpretable. Así se emplea el signo \( \sqrt{-1} \) en los procedimientos de la trigonometría.

Cita los modos de ver de Peacock, Morgan, Cayley y Carnot en esta cuestión y las controversias de Leibnitz y Bernoulli, Euler y Dalembert, explana algo las teorías de Buée y Argand, llegando á Hamilton, que halló la raíz de la dificultad en el hecho de haberse admitido la línea inicial como real, siendo imaginarias las dos perpendiculares, y que admitió, fundándose en la simetría del espacio, cada uno de los tres ejes perpendiculares como imaginarios, de manera que

\[
i^2 = 1,\ j^2 = -1,\ k^2 = -1,
\]

y entonces \((Va)^2 = -1\), siendo Va un vector de longitud igual á la unidad.

Con estos preliminares, Mr. Macfarlane pasa á hacer desarrollos sobre la Trigonometría esférica, y las espirales circulares, obteniendo el significado de la ecuación

\[
a^\lambda = \cos \Lambda + \sin \Lambda . a^\pi, \text{ que } a^\lambda = e^{\Lambda x \frac{\pi}{2}}
\]

los desarrollos de

\[
a^\alpha \beta, \ \text{sen}\ x\ \alpha^\beta, \text{ etc.}
\]

terminando, después de interesantes desarrollos con la fórmula

\[
\cos h \ x\ \alpha^\beta = \cos h\ A \cos h\ B + \sin h\ A \sin h\ B \cos \alpha \beta
\]

teorema fundamental en la Geometría hiperbólica no euclídea, y con otros desarrollos acerca de la trigonometría hiperbólica y de las espirales hiperbólicas.

El tercer folleto del Sr. Maofarlane continúa, como dice su título, numerosos desarrollos de fórmulas extendidas al espacio de tres dimensiones.
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El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

UNA SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL CÍRCULO TANGENTE Á OTROS TRES
POR EL ALUMNO D. RICARDO CARO

Consideremos dos círculos, M y N (figura 1.a) de radios \( m \) y \( n \); un tercero podrá ser tangente á los dos de cuatro maneras: 1.a exterior á M y N, 2.a interior á ambos; 3.a envolviendo á N y siendo exterior á M, y 4.a envolviendo á M y exterior á N. Veamos qué condición debe tener en cada caso un punto para ser centro del círculo tangente.

1.º Sea A el centro de un círculo tangente exteriormente á los M y N; sus distancias á los centros serán

\[
AM = AA' + m \qquad AN = AA'' + n
\]

y restando,

\[
AM - AN = AA' - AA'' = m - n,
\]

condición independiente de \( AA' = AA'' \), que nos dice que A, está en la rama de una hipérbola que tiene por focos M y N, y por diferencia de vectores, \( m - n \).

2.º Construída la hipérbola, tomemos un punto B en la otra rama, que por estar en ella, nos da

\[
BN - BM = m - n \qquad ó \qquad BN + n = BM + m
\]

ó según la figura

\[
BB' = BB'';
\]
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Así en el caso general, cada punto M, M' está determinado por un triángulo en que se dan los tres lados.

En el caso particular 1.º uno de los puntos está determinado por la relación de sus distancias á P y P' y la recta por un punto y un ángulo. (Este caso tiene su fundamento en el teorema: Por un punto solo puede trazarse una recta que forme con otra un ángulo dado en magnitud y orientación.

Observación. El segmento MV está determinado cuando lo está el ángulo, pues: por un punto y á un mismo lado de la perpendicular solo puede trazarse á una recta otra que entre ésta y el punto tenga un segmento de longitud dada.

En el caso 2.º (α) Cada punto está determinado por un lado PP', un ángulo y el lado opuesto á éste.

En el caso 2.º (β) Cada punto está determinado por un lado PP', un ángulo y el otro lado PM ó P'M'.

Observación general. Vemos, pues, que la proposición relativa á la determinación del triángulo en todos sus casos es el fundamento de la determinación del punto, y también de la recta pues, por ejemplo, en el caso 2.º (α) el lado P'M dado en magnitud, queda también determinado en posición al formarse el triángulo PMP', y este mismo lado en el caso 2.º (β) queda también determinado, ó la recta que determina, al estar determinados sus puntos P' y M en los lados PP' y PM del triángulo PP'M).

En el caso 3.º Cada punto E y E' está determinado por un triángulo rectángulo en que se dan un cateto (radio PE ó P' E' de la circunferencia tangente á MM') y la hipotenusa (determinada por cada punto de la base P ó P' y un centro de homotecia de las dos circunferencias tangentes á MM') ó en vez de éste el ángulo MVP.

(Se continuará).

Z. G. DE G.

BIBLIOGRAFÍA

Mathématiques et mathématiciens, pensées et curiosités recueillies par A. Rebière, 2ª édition revue et augmentée, 1898. París. Lib. Nony. et cie.

Esta curiosa y amenísima obra contiene numerosas frases y pensamientos tomados de los mas notables filósofos y matemáticos, que constituyen la primera parte, así como la segunda multitud de anéc-
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dotas, paradojas, singularidades y problemas curiosos, siendo esta segunda edición el doble en extensión de la primera.

Las materias se hallan distribuïdas en la forma siguiente: Morceaux choisis et pensées.—Variétés et anecdotes, mœurs, opinions, distractions des savants, professeurs et étudiants, enfants et ignorants, philosophic, méthodes, histoire, langue et littérature, résultats, fantaisies. Paradoxes et singularités, Philosophie, histoire, méthodes, etc.—Problèmes curieux et humoristiques.

Para que el lector se forme idea de esta obra, nos bastará citar algunos pensamientos esparcidos en toda ella, ó fragmentos entresacados de los mismos.

—¿De qué se ocupan las matemáticas, sino es de la proporción y del orden?

Aristóteles.

—.....Reflexionando en esto, descubro en fin, que sólo se deberían referir á las matemáticas las cosas en las que se examina el orden ó la medida, y que importa poco que esto se halle en los números, las figuras, los astros.....

Descartes.

—Las especulaciones matemáticas tienen por carácter común y esencial el referirse á dos ideas ó categorías fundamentales: la idea de orden, bajo la que es permitido colocar... las ideas de situación, de configuración, de forma y de combinación; y la idea de magnitud que implica las de cantidad, de proporción y de medida.

Cournot.

—La validez del análisis algébrico depende, no de la interpretación de los símbolos empleados, sino de las leyes de sus combinaciones.... La matemática abstracta y general trata de las operaciones en sí, independientemente de las materias diversas á que pueden aplicarse.

Liard (*)

—.....La ciencia matemática..... se propone constantemente determinar las magnitudes, unas por otras, según las relaciones precisas que existen entre sí. Este enunciado, en vez de dar idea de un arte, caracteriza una verdadera ciencia, y la muestra como un inmenso encadenamiento de operaciones intelectuales.....

A. Comte.

(*) Este pensamiento, que pertenece á Boole, lo cita M. Liard en su obra Les longiciens anglais contemporains, pág. 108.—Z. G. de G