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El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 15

Sea D el punto en que la circunferencia descrita desde O' con el radio OA encuentra á la recta CM que une C al medio M de AB.

La perpendicular del punto D sobre AB encuentra á la cuerda y al arco del segmento en los vértices P y Q del rectángulo buscado, y su tercer vértice R será el simétrico de P relativamente á M.

Se tiene, en efecto,

DP = 2PM = PR

Luego

QP + PR = QP + DP = OD = OO' = p

CUESTIÓN 131.
(Véase tomo III, página 191).

Establecer la siguiente identidad

\[
(x^2 + y^2 + z^2) (y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2)
= (x^2y - az^2)^2 + (xy^2 - yz^2)^2 + (xyz - x^2z - y^2z)^2
\]

en donde los signos se corresponden.

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro A.

Consideremos la fórmula

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(A^2 + B^2 + C^2)
= (aA + bB + cC)^2 + (aB - bA)^2 + (aC - cA)^2 + (bC - cB)^2 ...
\]

que muestra que una suma de tres cuadrados multiplicada por otra da, en general, una suma de cuatro cuadrados.

Esta fórmula se deduce de la siguiente dada por Euler:

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(A^2 + B^2 + C^2 + D^2) =
\begin{cases}
(aA + bB + cC + dD)^2 \\
+ (aB - bA + cD - dC)^2 \\
+ (aC - bB - cA + dB)^2 \\
+ (aD + bC - cB - dA)^2
\end{cases}
\]

para mostrar que una suma de cuatro cuadrados da una suma de cuatro cuadrados, y haciendo \( d = 0 \) y \( D = 0 \).

Como se sabe, esta fórmula de Euler es un caso particular de otra dada por Lagrange y otras fórmulas análogas para grados superiores.
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 16

Esto sentado, podemos transformar fácilmente la (1) en la siguiente:

\[(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)\]
\[=(aC+cB)^2+(bC+cA)^2+(cC+bA+aB)^2+(aA-bB)^2...\]   (3)

de la que resulta la identidad buscada, haciendo

\[a=x,\ b=y,\ c=z\ \text{y}\ A=yz,\ B=zx,\ C=xy.\]

En este caso, se tendrá \(aA-bB=0\), y por consiguiente la (3) muestra que para estos valores de \(a, b, c\); \(A, B, C\) la suma de tres cuadrados, multiplicada por una suma de tres cuadrados, será igual á la suma de tres cuadrados.

CUESTIÓN 139
(Véase tomo III, página 199).

La suma de los cuadrados de las rectas que unen los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre los lados opuestos de un cuadrilátero y los centros de los cuadrados construidos interiormente, sobre éstos mismos lados es igual á la suma de los cuadrados de las diagonales del cuadrilátero.

(H. VAN AUBEL).

Solución por el Sr. D. A. SCHAPPA MONTEIRO.

Sean \(ABA'B'\) el cuadrilátero dado, y \(E, E'\) los centros de los cuadrados \(ABB_1A_1, A'B'B_1'A_1'\), construídos exteriormente sobre los lados opuestos \(AB\) y \(A'B'\); y sean \(I, I'\) los centros de los cuadrados \(ABB_2A_2, A'B'A_2'A_2'\) construídos interiormente sobre estos mismos lados.

Es evidente que los puntos \(A, E, B, I\) y \(A', E', B', I'\) determinan dos cuadrados que tienen por centro los puntos \(M, M'\) medios de \(AB, A'B'\), lo que nos conduce á demostrar que

\[\overline{EE'}^2 + \overline{II'}^2 = \overline{AA'}^2 + \overline{BB'}^2...\]   (1)

es decir que: dados dos cuadrados cualesquiera, la suma de los cuadrados de las distancias \(EE', II'\) de dos pares de vértices opuestos, es igual á la suma de los cuadrados de las distancias \(AA'\) y \(BB'\) de los otros pares de vértices opuestos \(A, A'\) y \(B, B'\) tomados de una manera análoga al primer par.

Luego si por los vértices del cuadrado \(A'E'B'I'\) se trazan las rectas \(A'a', E'e', B'b', I'i'\), respectivamente equivalentes á las semidiagonales \(AM, EM, BM, IM\) del cuadrado \(AEBI\), se tendrá el cuadrado
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 17

a'e'b'i', determinado igualmente por las rectas Ma', Me', Mb', Mi' trazadas por el centro M de este último cuadrado, y respectivamente equipolentes á las rectas AA', EE', BB', II'. Según esto, nos vemos en el caso de considerar solamente el cuadrado a'e'b'i' y el punto M, y demostrar que: \( \overline{Me'}^2 + \overline{Mi'}^2 = \overline{Ma'}^2 + \overline{Mb'}^2 \), es decir, que dado un cuadrado a'e'b'i' y un punto M, la suma de los cuadrados de las distancias Ma', Mb' de este mismo punto á dos vértices opuestos e', i' es igual á la suma de los cuadrados de las distancias á los otros vértices a', b' (*).

Ahora, los triángulos e'Mi' y a'Mb', teniendo común la mediana MM', dan:

\[
\overline{Me'}^2 + \overline{Mi'}^2 = 2 \overline{MM'}^2 - 2 \overline{M'i'}^2 \tag{3}
\]

y

\[
\overline{Ma'}^2 + \overline{Mb'}^2 = 2 \overline{MM'}^2 + 2 \overline{M'a'}^2 \tag{4}
\]

pero se tiene \( Me' = M'a' \); luego

\[
\overline{Me'}^2 + \overline{Mi'}^2 = \overline{Ma'}^2 + \overline{Mb'}^2 \tag{2}
\]

ó.

\[
\overline{EE'}^2 + \overline{II'}^2 = \overline{AA'}^2 + \overline{BB'}^2 \tag{1}
\]

OBSERVACIÓN.—Asimismo se reconoce que: La suma de los cuadrados de las rectas que unen los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre los lados opuestos de un cuadrilátero, á los centros de los construidos interiormente sobre los mismos, es igual á la suma de los cuadrados de los otros dos lados del cuadrilátero.

Igualmente se vé que la cuestión propuesta puede extenderse á la geometría del espacio, considerando un cuadrilátero alabeado ABA'B' y los dos planos paralelos trazados por dos lados opuestos AB y A'B', y construyendo en estos planos y sobre cada lado, un par de cuadrados ABB_1A_1, ABB_2A_2 y A'B'B_1'A_1', A'B'B_2'A_2'.

CUESTIÓN 186
(Véase tomo II, página 109).

Demostrar que

\[
\frac{y}{1+a} + \frac{y+a}{(1+a)^2} + \frac{y+2a}{(1+a)^3} + ... + \frac{y+(n-1)a}{(1+a)^n} = \frac{y+1}{a} - \frac{y+1+na}{a(1+a)^n}
\]

deduciendo como inmediata consecuencia el conocido resultado

\[
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + ... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{2+n}{2^n}
\]

(*) Es claro que este teorema tendrá también lugar cuando el punto M se halle fuera del plano del cuadrado, es decir, cuando sea el vértice de una pirámide que tenga por base este cuadrado.
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 18

ó bien
\( 1 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + .... + (n-1)2^1 + n \cdot 2^0 = 2(2^n - 1) - 1 \)
(Juan J. Duran Loriga)

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

Poniendo la expresión dada bajo la forma
\[
\frac{y}{1+a} \left[ 1 + \frac{1}{1+a} + \frac{1}{(1+a)^2} + .... + \frac{1}{(1+a)^{n-1}} \right]
+ \frac{a}{(1+a)^2} \left[ 1 + \frac{2}{1+a} + \frac{1}{(1+a)^2} + .... + \frac{n-1}{(1+a)^{n-2}} \right]
\]
(1)
y observando que, como se sabe, se tiene
\[
1 + \frac{1}{1+a} + \frac{1}{(1+a)^2} + .... + \frac{1}{(1+a)^{n-1}} = \frac{1+a}{a} - \frac{1}{a(1+a)^{n-1}}
\]
(2)
\[
1 + \frac{1}{1+a} + \frac{1}{(1+a)^2} + .... + \frac{1}{(1+a)^{n-2}}
= \frac{(1+a)^{n-1} - 1}{a^2(1+a)^{n-2}} - \frac{n-1}{a(1+a)^{n-2}} = \frac{(1+a)^2}{a^3} - \frac{1+na}{a^2(1+a)^{n-2}}
\]
(3)
resulta que la expresión (1) se reduce á
\[
y \left[ \frac{1}{a} - \frac{1}{a(1+a)^n} \right] + \frac{1}{a} - \frac{1+na}{a(1+a)^n}
\]
luego
\[
\frac{y}{1+a} + \frac{y+a}{(y+a)^2} + \frac{y+2a}{(1+a)^3} + .... + \frac{y+n-1)a}{(1+a)^n} = \frac{y+1}{a} - \frac{y+1+na}{a(1+a)^n}
\]
(4)
Haciendo \( y = a = 1 \), se tendrá
\[
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + .... + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{2+n}{2^n}
\]
(5)
\[
1 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + .... + (n-1)2^1 + n2^0 = 2(2^n - 1) - n
\]
(6)

CUESTIÓN 135
(Véase tomo III, página 192).

Dado el eje focal de una cónica, solamente en posición, un punto de ésta y el centro del círculo osculador en este punto, determinar los focos.
(C. Jiménez Rueda).
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 19

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro (A).

Designemos M y γ el punto dado y el centro de curvatura correspondiente, y sea N la intersección del radio de curvatura Mγ=ρ con la dirección indefinida XX' del eje focal.

Representando por R la proyección de la normal MN=N sobre uno de los radios vectores desconocidos, ó el radio de curvatura en los vértices focales igualmente desconocidos, la expresión del radio de curvatura es

\[
\rho = \frac{N^3}{R^2}
\]

(1)

Según esto, si en el punto N se levanta la perpendicular RNR' á la normal, y sobre el radio de curvatura Mγ como diámetro se describe, una circunferencia (C), ésta cortará dicha perpendicular en los puntos R y R' tales, que las rectas MR y MR' cortarán á XX' en los puntos f y f' que serán los focos buscados.

En efecto, se tiene

\[
MR^2 = \rho \cdot N \quad \text{y} \quad MR = \frac{N^2}{R}
\]

de lo que resulta la expresión (1)

Observación.—Se obtiene también directamente el centro de la cónica (Σ), si lo tiene.

Para esto, se traza la perpendicular γr á XX', que cortará á RR' en el punto r, de modo que Mr cortará á XX' en un punto O, que será el centro buscado.

Podríamos entrar en ciertas investigaciones sobre esta cuestión propuesta y su recíproca, pero hemos creído preferible reservarlo para una Nota sobre la solución de la cuestión 65, que presentaremos bien pronto.

CUESTIÓN 137
(Véase tomo III, página 192).

La suma de los cuadrados de las rectas que unen entre sí los centros de los cuadrados construidos exteriormente sobre los tres lados de un triángulo, es igual á la suma de los cuadrados de estos lados más seis veces el área de este triángulo.

(H. Van Aubel).

Solución por el Schiappa Monteiro (A.)

Sean AA₁B,B, BR₁C₂C y CC₁A,A los tres cuadrados construidos exteriormente sobre los tres lados AB, BC y CA del triángulo ABC y
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 2

la recta ha pasado totalmente al infinito y la sección cónica se ha reducido á un círculo.

Tratando, por ejemplo, del teorema de Carnot concerniente á los segmentos que los lados de un polígono ó sus prolongaciones forman en una transversal, Poncelet observa que, siendo la relación por demostrar por su naturaleza proyectiva, basta establecerla para el caso en que la transversal pasa al infinito, lo que se consigue mediante la proyección de la figura sobre un nuevo plano, pues haciéndose todos los segmentos infinitos, la relación de dos cualquiera de ellos es igual á la unidad.

Para demostrar que los lados correspondientes de un triánglo circunscripto á una cónica, y el inscripto formado uniendo con rectas los puntos de contacto del primero, se encuentran en tres puntos de una recta KL considera la curva como proyección de un círculo y KL como la proyección de una recta situada en el infinito; y como entonces la figura se reduce á la 48, en la que los lados ab y AB, ac y AC, bc y BC se encuentran en la recta en el infinito, esto se verificará también para su proyección que es la figura propuesta.

También considerando la fig. 49, en la que evidentemente las diagonales del triángulo inscripto y del paralelogramo circunscripto se encuentran en el mismo punto O medio de todas ellas como proyección de la figura formada por un cuadrilátero inscripto en una cónica y la recta que une los puntos de intersección de los lados opuestos, concluye que, para la figura general 50: 1.º Las cuatro diagonales de los dos cuadriláteros se encuentran en un punto P. 2.º Que los puntos de intersección de los lados opuestos del cuadrilátero inscripto y del circunscripto se encuentran en la polar de dicho punto P, etc.

Asimismo, para demostrar que en la figura 51 los puntos O, O',... se hallan en línea recta, suponiendo la cónica y el punto a, reducidos respectivamente á ser un círculo y un punto en el infinito, que reduce aquella figura á la 52, deduce de esta pro-
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 20

cuyas diagonales se cortan respectivamente en los puntos M, N y P, desde los cuales se bajan, sobre estos tres lados, las perpendiculares MuO, NuO, PtO que las encuentran en u, v, t y se cortan en O, centro del círculo circunscripto (O) á este triángulo.

Esto sentado, consideremos los triángulos AMP, BMN y CNP que dan

\[
\overline{MN^2} = \overline{BM^2} + \overline{BN^2} - 2 \cdot BM \cdot BN \cdot \cos MBN
\]
\[
\overline{NP^2} = \overline{CN^2} + \overline{CP^2} - 2 \cdot CN \cdot CP \cdot \cos NCP
\]
\[
\overline{PM^2} = \overline{AP^2} + \overline{AM^2} - 2 \cdot AP \cdot AM \cdot \cos PAM
\]

de donde

\[
\overline{MN^2} = \frac{\overline{AB^2}}{2} + \frac{\overline{BC^2}}{2} + AB \cdot BC \cdot \cos ABC
\]
\[
\overline{NP^2} = \frac{\overline{BC^2}}{2} + \frac{\overline{CA^2}}{2} + BC \cdot CA \cdot \cos BCA
\]
\[
\overline{PM^2} = \frac{\overline{CA^2}}{2} + \frac{\overline{AB^2}}{2} + CA \cdot AB \cdot \cos CBA
\]

y por consiguiente

\[
\overline{MN^2} + \overline{NP^2} + \overline{PM^2} = \overline{AB^2} + \overline{BC^2} + \overline{CA^2} + 6 \text{ área } ABC
\]

CUESTIÓN 60
(Véase tomo III, página 128).

Un círculo de radio constante tiene siempre su centro en una elipse, y desde el centro de ésta se trazan tangentes. Hallar el lugar de los puntos de contacto. Casos particulares.

(H. Brocard.)

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro.

Sea O el centro y OA=a, OB=b los semiejes de la elipse dada (E) sobre la que se considera un punto cualquiera C como centro del círculo móvil (C) de radio constante r, cuyas tangentes trazadas por O son Ot, Ot'.

Elijamos este punto por polo y la recta OA por eje polar, haciendo

OC=δ, OtOt'=ρ, ∠COA=ω, ∠COT=∠t'OC=θ, ∠t'OA=α

Esto sentado, para un punto cualquiera t del lugar pedido se tiene

\[
ρ^2 = δ^2 - r^2
\]
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 21

Pero para el punto C de la elipse se tiene

\[
\delta^2 = a^2 b^2 \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \omega}{b^2 + a^2 \operatorname{tg}^2 \omega}
\] (2)

luego

\[
\rho^2 = \frac{\delta^2 (a^2 - r^2) + a^2 (b^2 - r^2) \operatorname{tg}^2 \omega}{b^2 + a^2 \operatorname{tg}^2 \omega}
\] (3)

Siendo el ángulo \( \omega \) igual al \( \alpha \pm \theta \), se tendrá

\[
\operatorname{tg} \omega = \frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \theta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \theta}
\] (3)

y observando que \( \operatorname{tg} \theta = \frac{r}{\rho} \), resulta

\[
\operatorname{tg} \omega = \frac{\rho \operatorname{tg} \alpha \pm r}{\rho \mp r \operatorname{tg} \alpha}
\]

Reemplazando este valor de \( \operatorname{tg} \omega \) en (3) y reduciendo, se tendrá para la ecuación polar del lugar buscado (T)

\[
\rho^4 \pm 2z \frac{(a^2 - b^2) \operatorname{tg} \alpha}{b^2 + a^2 \operatorname{tg}^2 \alpha} \rho^3 + \frac{(a^2 + b^2) r^2 - a^2 b^2}{b^2 + a^2 \operatorname{tg}^2 \alpha} (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) \rho^2
+ 2r^3 \frac{(a^2 - b^2) \operatorname{tg} \alpha}{b^2 + a^2 \operatorname{tg}^2 \alpha} \rho + r^2 \frac{a^2 (a^2 + b^2 \operatorname{tg}^2 \alpha) - a^2 b^2 (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)}{b^2 + a^2 \operatorname{tg}^2 \alpha} = 0
\] (6)

Para obtener los puntos de intersección de la curva con el eje polar haremos \( \operatorname{tg} \alpha = 0 \), y resulta

\[
\rho^4 + \frac{(a^2 + b^2) r^2 - a^2 b^2}{b^2} \rho^2 + a^2 r^2 \frac{r^2 - b^2}{b^2} = 0
\] (7)

de lo que se obtiene

\[
\rho^2 = \frac{1}{2} \left[ a^2 - \frac{a^2 + b^2}{b^2} r^2 \pm (a^2 - \frac{a^2 - b^2}{b^2} r^2 ) \right]
\] (8)

\[
\rho = \pm \frac{a}{b} \sqrt{b^2 - r^2}
\] (9)

y

\[
\rho = \mp r \sqrt{-i}
\] (10)

Estos son los dos pares de valores de \( \rho \) que dan dichos puntos de intersección.

La expresión (9) manifiesta que habrá dos puntos de intersección ó puntos dobles \( \beta, \beta' \) siempre que se tenga \( b > r \).

Para \( \operatorname{tg} \alpha = \infty \) la ecuación (6) se reduce á
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 22

Si se hace \( r = 0 \), resulta

\[
\rho^4 + \frac{(a^2 + b^2)r^2 - a^2b^2}{a^2} \rho^2 + b^2r^2 \frac{r^2 - a^2}{a^2} = 0 \tag{11}
\]

y por consiguiente

\[
\rho^3 = \frac{1}{2} \left[ b^2 - \frac{a^2 + b^2}{a^2} r^2 \pm \sqrt{\frac{a^2 - r^2}{a^2} b^4 + \left( \frac{a^2 + 6b^2}{a^2} r^2 + 6b^2 \right) r^2} \right] \tag{12}
\]

correspondiendo al signo \( + \) del radical dos puntos dobles reales \( x, z \), para los valores de \( r \) menores que \( a \), los cuales son los puntos de intersección de la curva (T) con el eje menor de la elipse (E)

Dejando la discusión de la ecuación de la curva, atendida la restricción de la cuestión propuesta, podemos considerar ya la segunda parte de dicha cuestión.

**Casos particulares.**

Cuando se tiene \( a = b = R \), la elipse (E) se convierte en un círculo, y la ecuación (6) da

\[
r^2 = R^2 - x^2 \tag{13}
\]

Si se hace \( r = 0 \), resulta

\[
\rho^2 = \delta^2 = a^2b^2 \frac{b^2 + a^2 \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \tag{2}
\]

ecuación polar de la elipse dada.

Para \( r = b \) resulta

\[
\rho^4 \pm 2b \frac{(a^2 - b^2)\tan x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} \rho^3 + b^4 \frac{1 + \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \rho^2
\]
\[
\pm 2b^3 \frac{(a^2 - b^2)\tan x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} \rho - b^4 \frac{(a^2 - b^2)\tan^3 a}{b^2 + a^2 \tan^2 x} = 0 \tag{14}
\]

y en este caso las expresiones (9) y (10 correspondientes á \( \tan x = 0 \), se convertirán en

\[
\rho^2 = 0 \tag{9}'
\]
\[
\rho^3 + b^2 = 0 \quad \delta \quad \rho = \pm b \sqrt{-1} \tag{10}'
\]

Se ve que en este caso los puntos dobles reales \( \beta \) y \( \beta' \) coincidirán con el polo O ó centro de la elipse (E) y del círculo imaginario (10)'.

En el caso en que se tenga \( r = a \), resulta

\[
\rho^4 \pm 2a \frac{(a^2 - b^2)\tan x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} \rho^3 + a^4 \frac{1 + \tan^2 x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} \rho^2
\]
\[
\pm a^3 \frac{(a^2 - b^2)\tan x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} \rho + a^4 \frac{a^2 - b^2}{b^2 + a^2 \tan^2 x} = 0 \tag{15}
\]
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 23

y la expresión (12) correspondiente á \( \tg x = \infty \) dará

\[
\rho^2 = 0 \tag{12}'
\]

y

\[
\rho^2 + a^2 = 0 \quad \text{o} \quad \rho = \pm a \sqrt{-1} \tag{12}''
\]

lo que manifiesta que los dos puntos dobles reales \( \alpha \) y \( \alpha' \) coinciden con el polo 0; y por otra parte se reconoce que la curva expresada por la ecuación (15) no tiene de real más que este punto cuádruplo, teniendo sus ramas imaginarias.

Suponiendo \( r = a = b = R \), resulta

\[
\rho^2 = 0 \tag{16} \quad \text{y} \quad \rho^2 + R^2 = 0 \quad \text{o} \quad \rho = \pm R \sqrt{-1} \tag{17}
\]

Para \( r \), igual al semiparámetro \( \frac{b^2}{a} \) de la elipse (E), se tiene

\[
\rho^4 \pm 2 \frac{b^4}{a^2} \frac{(a^2 - b^2) \tg x}{b^2 + a^2 \tg^2 x} \rho^3 + \frac{b^4}{a^2} \frac{(a^2 + b^2) b^2 - a^4}{b^2 + a^2 \tg^2 x}
\]
\[
\mp 1 \frac{b^6}{a^3} \frac{(a^2 - b^2) \tg x}{b^2 + a^2 \tg^2 x} \rho + \frac{b^6}{a^3} \frac{b^2 (a^2 + b^2) \tg^2 x - a^4}{b^2 + a^2 \tg^2 x} = 0 \tag{18}
\]

y en este caso la expresión (9), reduciéndose á

\[
\rho = \pm \sqrt{a^2 - b^2} \tag{10}
\]

manifiesta que los puntos dobles \( \beta \) y \( \beta' \) coinciden con los focos F y F' de esta elipse.

Observación.—La ecuación de la curva (T) en coordenadas rectangulares, tomando por ejes de las \( x \) é \( y \) las rectas OA y OB, será

\[
[b^2 x^2 + a^2 y^2 - a^2 b^2 + (a^2 + b^2) r^2] (x^2 + y^2) - r^2 [a^2 (b^2 - r^2) x^2 - b^2 (a^2 - r^2) y^2]
\]
\[
\pm 2r (a^2 - b^2) (x^2 + y^2 + r^2) xy \sqrt{x^2 + y^2} = 0 \tag{20}
\]

REVISTA BIBLIOGRÁFICA

LEZIONI DI ANALISI INFINITESIMALE, del profesor G. Peano. v. I y II. Torino. 1893.—La obra del director de la Rivista di Matematica ofrece, tanto en su estructura general como en el modo de tratar diversas materias, indiscutible originalidad.

Ya en la Nota con que concluye su tomo II expresa que algunas cuestiones se exponen conforme á desarrollos publicados de las mismas en diferentes Revistas y Periódicos; de estas referencias citaremos la que concierne al artículo Sulla Formula di Taylor (Atti R. Accademia delle Scienze di Torino, 1891), á la nota: Generalizzazione della formula di Simpson (Atti Acc. Scienza, Torino, 1892) y á la nota Sur
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 24

une formule d'approximation pour la rectification de l'ellipse comptes-rendus des séances de l'Academie des Sciences de Paris, 1889).

El tomo I contiene cinco capítulos en que se trata de las Derivadas.—Derivadas sucesivas.—Integrales.—Métodos de integración.—Series, que terminan con el artículo sobre los productos infinitos, observándose en toda la obra con frecuencia el empleo de notaciones abreviadas y simbólicas que se notan también en otras obras del mismo autor.

El tomo II lo comienza el Sr. Peano con la definición del número complejo de orden n, tratando de los vectores, de su reducción á la forma U=xI+yI+zK, de su producto de los números imaginarios de las formas geométricas, que principia por la definición de los tetraedros destrorreo y sinistrorreo para los que se verifica la relación.

ABCD = -BACD = -ACBD = -ABDC,

haciendo un desenvolvimiento de la teoría geométrica de Grassmann (*). Así, pues, trata de las reducciones de las formas geométricas de 1.*, 2.*, 3.* y 4.* especie, de sus operaciones, de los bivectores, que representan pares de fuerzas, de los trivectores. Al artículo destinado á las formas geométricas, siguen los que tratan de sistemas de complejos, límites, series de términos complejos y función exponencial de variable imaginaria.

El capítulo siguiente trata de las derivaciones e integraciones de los complejos, comprendiendo las materias siguientes: Tangente á una curva, diferencial del arco, fórmula de Taylór, plano osculador, curvatura de las líneas, círculo osculador, esfera osculatriz e integración de complejos.

Sigue el capítulo titulado Funciones de varias variables, que comprende: Derivadas parciales y sucesivas, funciones implícitas, funciones homogéneas, máximos y mínimos, plano tangente á una superficie, parámetro diferencial, envolventes, curvatura de una superficie, parámetro diferencial, envolventes, curvatura de las superficies, integrales múltiples y fórmulas para las áreas planas. El capítulo IX y último está destinado á las ecuaciones diferenciales.

La enumeración que acabamos de hacer sobre las materias que trata el Sr. Peano en su nueva obra bastan, creemos, para que el lector se forme idea de las novedades interesantes que contiene y á la que se recomienda, desde luego, la competencia reconocida de su ilustrado autor.

(Z. G. de G.)

(*) De esta teoría tiene publicada el mismo autor la obra Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre, di H. Grassmann.
El Progreso matemático (1893-11-15 00:00:00), página 3

piedad, evidente en el caso actual, la misma propiedad para su proyección, ó sea la figura del enunciado.

Por último, las figuras 53, 54, 55 y 56 indican al lector otros dos casos en que Poncelet emplea su método de demostración, esto es, al demostrar la propiedad de las transversales \( ab' \) y \( a'b \), \( bc' \) y \( b'c \), etc., que unen inversamente los puntos de intersección de los rayos de un lado con dos rectas fijas (figs. 53 y 54), consistente en que estos se hallan en línea recta, y y al demostrar (figs. 55 y 56) la propiedad de los triángulos homológicos.

Además del principio de continuidad, de que tan importantes aplicaciones hace Poncelet con auxilio de los elementos ideales y en el infinito, objeto de la breve exposición que precede, ocupa un lugar importantísimo el principio de reciprocidad geométrica hoy llamado de dualidad á que se refieren sus teorías de las figuras homológicas y polares recíprocas, las cuales basta que eitemos ahora.

§ 2.º — El cálculo baricéntrico de Moebius

50. El cálculo barioóntrico de Moebius es un sistema de Geometría analítica que este eminente geómetra dió á conocer en 1827 (*), y constituye el primer sistema de coordenadas homogéneas que apareció en Alemania casi al mismo tiempo que Bobillier en Francia exponia su sistema fundado en la determinación de un punto de un plano por sus distancias á los tres lados de un triángulo fundamental, ó á

(*) Darstellung des barycentrischen Calculs und einer darauf gegründeten analytischen Geometrie (Erster Abschnitt).