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tes, y por todas partes en actividad de una manera continua. Pocos ponen en duda esta afirmación. Los grandes matemáticos como Clausius, Maxiwell, Saint-Venant y otros muchos, admiten, ya entre los átomos, ya entre las moléculas ó entre los cuerpos, acciones á distancia; todos comprenden que el sólo hecho de las vibraciones implica entre los átomos, que alternativamente se acercan ó se alejan uno á otro, alguna cosa específica que determine estos movimientos; pero la especie de los fenómenos llamados caloríficos, eléctricos, magnéticos, etcétera, no se debe, según estos matemáticos, á la acción directa de la Fuerza, sino á la especie del movimiento por ésta producido en los últimos elementos materiales.

32.—«Desde luego, limitando así el papel de la fuerza, dice Hirn, estamos obligados, para darnos cuenta bien de los hechos; á admitir diferentes especies de estos mismos agentes dinámicos, mientras que con la interpretación que, me parece ser la expresión fiel de los hechos, el movimiento de los átomos, el de los cuerpos, no es más que el hecho secundario; la consecuencia de una acción dinámica específica. La Fuerza, susceptible de aumento y de disminución en intensidad, susceptible de un modo de movimiento propio, es la causa exclusiva y determinante del movimiento de la Materia bajo todas sus formas. Las manifestaciones de calor libre, de electricidad, etc., son el resultado, no de movimientos del átomo material, sino de un movimiento propio del elemento dinámico mismo.»

Y más adelante añade: «el espacio estelar está lleno hasta lo infinito de un medio capaz de movimiento que se manifiesta bajo forma de luz, de calor radiante; este medio está repartido, uniformemente por todas partes, puesto que la luz estelar llega hasta nosotros sin sufrir en su camino ninguna refracción, ninguna desviación, comprobable experimentalmente.

Acerca de la naturaleza de este medio, los materialistas forzosamente y los físicos modernos sin necesidad, dice Hirn, afirman que está constituido por materia diluída. De la necesidad de estar extremadamente diluída esta materia, deduce después su negación; porque ningún físico, dice, ni matemático puede construir una onda luminosa sin recurrir á un medio elástico, á un medio perfectamente elástico hasta en sus subdivisiones infinitesimales.

«El pretendido gas interstelar, termina diciendo, se ha enraecido tanto más cuantos más progresos ha hecho la mecánica celeste. El retardo de dos cometas periódicos, en que se había buscado la prueba positiva de la existencia de una resistencia material, se explica
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perfectamente sin recurrir á esta última; pero hay más: la marcha misma de este retardo está en contradicción absoluta con los fenómenos que realmente originaría una resistencia cualquiera. ¿No es, desde luego infinitamente más lógico atribuir los fenómenos dichos de los imponderables en conjunto, el elemento dinámico mismo, puesto que á él hay que recurrir en último término para constituir un medio capaz, por ejemplo, de vibraciones luminosas? ¿No es infinitamente más lógico buscar la causa de la elasticidad de los gases y la de todos los cuerpos en este elemento?

33.—Véase, pues, cómo un talento tan hecho á la discusión científica, tan acostumbrado á ver en el hecho experimental las contradicciones de tal ó cual hipótesis, pero preocupado en una idea, puede huyendo de unos escollos caer en otros; un medio eminentemente elástico hasta en sus subdivisiones infinitesimales, es decir, elástico y continuo, que llena el espacio entero, ó lo que es lo mismo, que es extenso, que es susceptible de aumento y de disminución en intensidad (en extensión no, puesto que lo llena todo), que se move á su manera y que no es materia, ¿qué es?, ó mejor dicho, ¿á qué representación intelectual nuestra corresponde? Puesto que la materia en último análisis se nos resuelve en extensión y resistencia, y ese medio ha de ser resistente, porque siendo causa de movimiento ha de producir estados de equilibrio también, ¿en qué se diferencia para nuestra inteligencia de la materia misma sino en que ésta es discontinua y aquél continuo? Y lleno el espacio de una sustancia continua, ¿cómo se explican sus incrementos y decrecimientos de intensidad, esto es, sus condensaciones en unos puntos y debilitaciones en otros sin romperse dicha continuidad? Que no puede existir la materia diluida, porque no es posible concebir una onda luminosa sino en un medio elástico hasta en sus subdivisiones infinitesimales. ¿Y qué inconveniente hay en concebirla en un medio material discontinuo, cuyos átomos se hallen separados por distancias grandes ó pequeñas, con tal de que estén hechos solidarios por el elemento dinámico ó fuerza, que no necesita llenar de una manera continua el espacio, sino que basta imaginarlo entre cada dos átomos? Que no es posible que la materia, tan excesivamente diseminada, esté repartida uniformemente por todo el espacio. Si los átomos que forman esta materia son independientes unos de otros, evidentemente no hay razón para que se distribuyan con cierta uniformidad; pero si todos están ligados por una fuerza repulsiva, ésta misma explica que para el equilibrio de ese medio es necesario la equidistancia próximamente de sus elementos, y que
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cualquier causa que produzca alteración de sus condiciones de equilibrio originará una onda.

Podrá argumentarse que si al fin se admite entre los elementos de esa materia la fuerza á distancia, podía aumentarse más esa distancia y suponer obrando directamente la fuerza entre los cuerpos naturales, lo cual es más sencillo. Así se admite hoy por todo el mundo en la ley de la gravitación universal, por cuya acción á tan grandes distancias se conocen ondas vibratorias entre los cuerpos, lo cual nada tiene de particular, pues los movimientos planetarios mismos constituyen inmensas vibraciones, cuya forma es la de las órbitas, dentro de las cuales se verifican otras, llamadas perturbaciones, que hacen que aquellas órbitas sean en realidad sinuosas ó ondulantes, todo debido á la acción á distancia, y en conjunto, de unos planetas sobre otros. Mas todas esas mil y mil manifestaciones de fuerza que llegan desde el sol á los diferentes puntos de nuestro planeta, y que aquí se transforman hasta lo infinito, originando una riqueza inmensa de movimientos, algunos imperceptibles, muchos, como el de la renovación de las capas inferiores del aire atmosférico al contacto con la superficie terrestre caldeada por los rayos solares del estío, cuyas ondulaciones se perciben á la simple vista; todos estos movimientos, en suma, no pueden proceder de la acción gravitatoria entre el sol y la tierra, sino de acciones parciales que tienen su origen en la superficie solar y se trasmiten hasta nosotros por el intermedio de una materia eminentemente clástica y sutil, por cuyo medio llegan á la tierra tan excesivamente divididas y especificadas. El calificativo de clástica significa para nosotros que toda perturbación sufrida por una molécula en sus condiciones actuales de equilibrio es transmitida instantáneamente á las moléculas inmediatas.

Para Hirn las manifestaciones del calor libre, de la electricidad, etcétera, son el resultado, no de movimientos del átomo material, sino de un movimiento propio del elemento dinámico mismo, con lo cual parece sostener la existencia del elemento dinámico con entera independencia de la materia; mas si sobre esta creencia pudiera caber duda, veamos lo que dice en otra parte: «Entre dos cuerpos A y B que tienden uno hacia otro hay algo que determina esta tendencia.» (Con la misma propiedad podemos afirmar nosotros que entre dos amigos que al verse se dirigen uno á otro hay algo también que los aproxima.) «Este algo escapa sin duda á nuestros sentidos, pero no escapa de ninguna manera á la investigación científica. Esta investigación nos enseña de la manera más perentoria que no hay ninguna semejanza de naturaleza admisible entre lo que constituye las masas
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EL PROGRESO MATEMÁTICO
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO EXCEDENTE
DE LA
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

COLABORADORES

Dr. G. Battaglini, de la R. A. del Liceo, de Turín, etc., profesor de la Universidad de Nápoles.
D. Manuel Benítes, coronel de Estado Mayor del Ejército.
Dr. Luigi Bianchi, de la R. A. del Liceo, profesor de la Universidad de Pisa.
D. Horacio Bautabel y Ureta, profesor de la Escuela preparatoria de ingenieros.
M. E. Brocard, antiguo alumno de la Escuela politécnica de París.
D. Lauro Clariana, Catedrático de la Universidad de Barcelona.
D. Daniel Corteser, de la R. A. de C., ingeniero de minas.
Excmo. Sr. L. Cremona, de la RR. del Liceo Turin, etc. Director de la R. Escuela de A. para los ingenieros de Hueso.
D. Juan J. Durán Leriga, capitán de Artillería.
Excmo. Sr. D. José Mchagaray, de la R. A. de C., ingeniero de caminos.
Excmo. Sr. Gomes Teixeira, de las RR. AA. de C. de Lisboa y Madrid, Director de la Academia politécnica de Oporto.
M. C. A. Laisant, doctor en ciencias, antiguo alumno de la E. politécnica de París.
M. E. Lumeine, ingeniero, antiguo alumno de la Escuela politécnica de París.

M. G. de Longchamps, profesor de matemáticas en el Liceo de San Luis, Paris.
D. Miguel Marsal, Catedrático de la Universidad de Barcelona.
M. J. Neuberg, profesor de la Universidad de Lieja.
D. Diego Gilero, Coronel de Artillería.
Dr. G. Peano, profesor en la Universidad de Turín.
D. Gemiliano Pirondini, profesor en el R. Instituto técnico de Parma.
D. Ventura Reyes y Prósper, catedrático del Instituto de Albacete.
Excmo. Sr. D. Máximo Saavedra, de la R. A. de C., ingeniero de caminos.
M. Emile Vigarié, antiguo alumno de la Escuela de Minas.
D. Eduardo Torreja, Catedrático de la Universidad Central.
D. A. Schliapka Monteiro, profesor de la Escuela politécnica de Lisboa.
Marr Dr. Victor Schlegel, profesor en la Escuela Técnica de Hagen i/w.
Marr Dr. Schröder, profesor de la Escuela Técnica Superior de Karlsruhe in-Baden.
D. Z. Sellertinsky, profesor en el Gimnasio de Gatchina.
D. Nicolás de Ugarte, profesor de la Academia de Ingenieros del Ejército.

PRECIOS DE SUSCRIPCION
En toda España, un año, 10 pts. Países de la unión postal, 11 fr.
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condenarse á la muerte, después de haber arrastado vida lánguida; y si no es este el caso de España, hoy decaída ciertamente por reveses del pasado, que no es de esta ocasión relatar; si aún podemos decir que la vitalidad de nuestra raza nos sostiene y anima á avanzar, aunque lontanamente; si aún nuestro brillante siglo xvi, y nuestro desenvolvimiento filosófico que ha existido, aunque aislado del movimiento general de Europa desde el Renacimiento(1) nos sostienen con sus resplandores en la esfera de la vida intelectual, es cierto que nuestro ánimo, preocupado por necesidades apremiantes de la actualidad, nos ha ido separando del mundo del pensamiento, hasta llegar á desconocernos á nosotros mismos.

No es pertinente ahora tampoco el buscar la causa del raro fenómeno de que España no cuente esa tradición científica que cuentan la mayor parte de las naciones de Europa y que ha favorecido su adelantamiento en esta región del saber; pero también es cierto que naciones nuevas, como los Estados Unidos y algunas de las repúblicas del Sud de América, tampoco la cuentan, y, sin embargo, hoy se han asimilado ya ese espíritu científico que todo lo invade y que también todo lo dirige. Nos contentamos con consignar el hecho.

Y esto admitido, porque es indiscutible, ¿qué podremos hacer, si todavía seguimos en nuestro quietismo y no nos encauzamos en la corriente general?

Es cierto que en los últimos años se han creado Escuelas de Artes y Oficios, Escuelas de Comercio y la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza (suprimida en 26 de Junio último por el ministro de Fomento Sr. Linares Rivas, hecho que, como decíamos(2), no puede ser más que pasajero), y construido un magnífico edificio destinado á esta Facultad y á la de Medicina; pero esto, con ser indicio de que algo caminamos, no es bastante, cuando todas las naciones han creado con rapidez numerosísimos centros destinados á los estudios modernos, ó cuya índole responde perfectamente á las exigencias de la vida actual.

Seis Facultades de Ciencias había antes del malhadado decreto que las ha reducido á dos, de las cuales tres eran incompletas, y todas languidecían en medio de las escaseces de material y del olvido en que los altos poderes las habían relegado: porque en España hoy todo ha cedido plaza á la política, que devora un tiempo precioso para nuestro enaltecimiento, para nuestro despertar á la vida de la producción y de la prosperidad material é intelectual. Los programas yacen

(1) Véase Menéndez Pelayo, Ensayos de crítica filosófica.
(2) En el tomo II. pág. 217.
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olvidados, el número y clase de enseñanzas que hoy se imponen para seguir siquiera el rumbo general de las naciones cultas no ha preocupado á los legisladores ni á los gobernantes, en la sección de Ciencias Físicas y Matemáticas, y aun ha habido ministro, el Sr. Linares Rivas, que ha creído oportuno, además de suprimir las Ciencias en cuatro Universidades, el encomendar los dos cursos de los Institutos que abarcan la Aritmética, el Álgebra, la Geometría y la Trigonometría ¡¡¡un solo profesor!!

Que las Facultades de Ciencias en España tenían escasa concurrencia de alumnos por efecto del poco halagüeño porvenir que ofrecían á la juventud. Que su influencia era apenas imperceptible por razón del abandono y el olvido á que se las había condenado, por causa de apreciarse hoy en España más los rápidos y deslumbradores efectos de las elegancias oratorias que los lentos, aunque permanentes resultados que los investigadores científicos pueden aportar á su patria; y también porque, viniendo el mal desde los grados inferiores de la enseñanza, en las esferas superiores tenía que ser irremediable. Esto nunca ha podido ser razón suficiente para condenarlas á muerte, para extinguir los gérmenes que, con el tiempo y los cuidados precisos podían llegar á convertirse en abundantes cosechas.

Y si el edificio levantado en 1857 por el ilustre legislador D. Claudio Moyano hoy estaba ruinoso por no haberse reparado á tiempo, conformándolo á las actuales exigencias, ¿por qué se destruye sin antes tener el plano de una nueva edificación?

No basta para nuestra cultura científica que nos queden como centros donde se refugie el culto de las ciencias matemáticas, físicas y químicas las varias Academias y Escuelas de ingenieros, arquitectos, etc., puesto que en toda nación deben existir con absoluta independencia, como respondiendo á ideales diametralmente opuestos, la enseñanza científica de las Universidades y la de los Centros técnicos.

La Universidad se eleva á la idea, á lo abstracto, á la investigación que perfecciona y acrece el caudal de verdades para organizarlas en sistema. Las Escuelas y Academias técnicas se apoderan de todo lo más importante para las aplicaciones inmediatas. Aquélla aspira á lo fundamental, éstas á lo útil, y con arreglo á estas diferencias deben elevarse armónicamente en la nación los dos focos del saber científico, para atender á una necesidad doble, realizada con arreglo á la ley de la distribución del trabajo, según la cual cada producto debe depender de aquellas fuerzas ó causas más adecuadas y eficaces para su obtención.
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II.—SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

La ciencia matemática puede considerarse bajo dos puntos de vista: como un desenvolvimiento lógico de unos cuantos principios fundamentales y postulados, y como un instrumento precioso para aplicar los conocimientos abstractos, de aquéllos emanados, á inmensa variedad de objetos. Estos dos modos de considerarse la Matemática corresponden á los modos de enseñarse esta ciencia en la Universidad ó en los centros técnicos (Academias de ingenieros, arquitectos, etc).

Los centros técnicos de todas clases tienen por objeto llevar las verdades del dominio de lo abstracto al de las aplicaciones y de la práctica, y como otro ha de ser su camino, y como éste resultaría demasiado largo si tuviera su punto de partida allá donde se forjan las ideas en su origen metafísico, en el crisol de nuestras facultades intelectuales, donde toman diversas formas para organizarse en sistema, basta que los principios desde los que han de estribar las aplicaciones propias de cada profesion sean los más inmediatos á éstas, es decir, que constituyan el por qué ó la razón en que éstos se apoyan, mas no otro por qué allá apartado en el fondo filosófico de la ciencia, porque es ley necesaria que rige á la inteligencia la de su limitación, que exige la distribución del trabajo mediante el cual, no los individuos, sino la humanidad se constituye á la manera de fuerza integral, y éstos, como sus elementos que se aunan en el esfuerzo común.

Claro es que considerándose en los centros técnicos la Matemática principalmente como medio útil, tendremos que limitarnos á examinar lo que la enseñanza de la Matemática debe ser en la Universidad, donde ha de ser tratada de una manera absoluta, como desenvolvimiento intelectual en lo que de esencial tiene y en su forma (Arquitectónica).

Bajo el punto de vista intelectual hallamos desde luego dos aspectos: el uno como un organismo ideal, el otro como un instrumento ó medio educativo y de desenvolvimiento intelectual.

Esta distinción conduce inmediatamente á que la enseñanza matemática, desde sus grados inferiores, tenga por objeto, más que el instruir, que enriquecer la inteligencia con verdades, el despertar la actividad de ésta y darle aptitud para la investigación.

En un folleto que publiqué el año 1877 (Consideraciones sobre la conveniencia de un nuevo plan para la enseñanza de las matemáticas), página 25, decía: «Lo primero debe ser adquirir las aptitudes. El alumno que estudia matemáticas las aprende (más exacto sería decir: aprende de memoria el libro) varias veces y otras tantas las olvida. Las
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ideas adquiridas no son en su inteligencia como las sustancias que por combinación química se hallan infiltradas en el agua formando una sola esencia, sino como las arenas ó sedimentos que arrastra en su corriente y después abandona, quedando trasparente y pura.

La Matemática es ciencia que puede ir edificando el alumno si á ello le ayuda la intervención del profesor, cuya misión puede reducirse á armonizar las dificultades que aquél tiene que vencer con el grado de desenvolvimiento de su inteligencia. La Matemática, por lo general, se hace; y un ejemplo notable que nos ofrece la historia es el de Pascal reconstruyendo por sí las primeras proposiciones de Euclides, si bien en casos no excepcionales como éste la intervención del profesor suplirá la diferencia de intensión intelectual, según se dijo. Es cierto también que si la Matemática se hace, muchas veces el genio adivina, es decir, fija las piedras fundamentales de la edificación, que otras inteligencias, según sus gerarquías, pueden completar y extender. Y los nombres inmortales de todos conocidos van unidos, como se sabe, á esos conceptos creados, que, cual nuevos centros de atracción, luego se relacionan con los otros centros previamente existentes en el sistema científico, que así cada vez se amplifica y varía en su contenido y en su forma.

Los elementos de Geometría nos ofrecen el primer ejemplar de este medio educativo de la inteligencia; y por su naturaleza no es extraño que, en la parte que contienen los seis libros primeros de la obra de Euclides, sean los indicados para preceder hasta á la noción de número; pues el carácter intuitivo de las nociones geométricas, que las relaciona inmediatamente con nuestra percepción externa y con las representaciones de nuestra imaginación, las hace más directamente asimilables á la débil inteligencia del alumno de primera y segunda enseñanza, que cuanto se refiere al concepto más abstracto del número.

Además, antes de dejar este asunto, podremos observar que es una preocupación infundada é hija sólo de la costumbre la de aislar cuanto se refiere á la Geometría en el plano de lo que concierne á la Geometría en el espacio, hasta haberse separado en dos partes que sucesivamente estudian todos los alumnos.

Pues, por ejemplo, ¿qué diferencia esencial existe entre el razonamiento generalmente empleado para demostrar el teorema fundamental de la perpendicularidad de la recta con el plano, en que se establecen igualdades de triángulos no situados en un plano, y cualquiera otra proposición de la Geometría en el plano?

Y por otra parte, ningún fundamento puede tener la dificultad re-
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lativa de ambos estudios, al menos en los elementos, pues nuestra facultad perceptiva se halla tan dispuesta para ver las figuras en un plano como en el espacio, siempre que en la enseñanza se utilicen las colecciones de figuras de tres dimensiones construidas al efecto, y preceda el estudio directo de éstas al de su representación en la pizarra. Siendo únicamente reprochable el que, á partir de esta representación, como se hace en algunos Establecimientos desprovistos de colecciones, se pretenda que el alumno reconstruya la figura exacta, lo que exige mucha práctica y gran intensión intelectual. Asimismo pueden citarse ejemplos en Geometría proyectiva de lo ventajoso que es á veces proceder desde las figuras en relieve hasta las figuras planas.

No sólo el carácter intuitivo de la Geometría le da gran importancia en la educación intelectual de los alumnos, sino que también el encadenamiento lógico de sus numerosos teoremas, las correlaciones y conexiones entre las formas del razonamiento, los varios métodos ó procedimientos que se emplean en la demostración de los teoremas y en la resolución de los problemas constituyen una gimnasia que desenvuelve las aptitudes y funciones intelectuales del alumno.

Pero estas relaciones y conexiones, este sistema admirablemente organizado pasaría desapercibido ante la inteligencia del alumno, si el profesor no aprovechase todas las circunstancias oportunas que se ofrecen para ponerlas de relieve. La ciencia en la época de ser estudiada difiere de la ciencia ya adquirida. En la época de la adquisición las ideas se diseminan de modo que se adapten al desenvolvimiento natural y progresivo de las funciones intelectuales, permitiendo cierto desorden convencional en la correlación y disposición sistemática de los conceptos. La ciencia ya aprendida es el conjunto de verdades sistematizado, de manera que éstas se hallen coordinadas y subordinadas entre sí, como en un sistema de clasificación zoológica los animales se encuentran incluídos en sus grupos, órdenes, clases, etc. Este resultado creemos que debe pertenecer á la rama superior de carácter filosófico que denominamos crítica matemática, y de la cual el profesor debe aprovechar en cada momento oportuno el hacer una aplicación, que desde aquel foco superior lleve luz al trabajo del alumno, que sin darse cuenta de ello caminará á sus resplandores de una manera fácil y expedita.

La Aritmética es otra rama de la ciencia, que unida á la Geometría, debe fortalecer la actividad intelectual del alumno con el análisis sucesivo de las diversas operaciones, sus propiedades y las propiedades fundamentales de los números, y especialmente el análisis llevado á los números fraccionarios y complejos que exigen una doble