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reduce, en última síntesis, á la condensación del trabajo intelectual de la humanidad durante muchos siglos.

Muy cargado de tonos obscuros se encontrará el cuadro que he principiado á diseñar, y que no me creo en la precisión de concluir, puesto que mi objeto no es este, sino el de presentar los perfiles que otros podrán completar trayendo á vuestro espíritu la perspectiva deplorable que hoy se ofrece como conjunto de hechos permanentes en España, para enseguida pretender disculpar esta decadencia en que nos hallamos, este desnivel intelectual que hoy nos agobia, y aun detiene y hace ineficaces nuestros esfuerzos para la lucha de la competencia que también, como se sabe, transcende á la esfera de lo material y que á su vez, por esa reciprocidad tan propia de los teoremas geométricos, de la esfera de nuestra penuria material se eleva á la deficiencia de nuestras energías intelectuales.

Basta para explicar y disculpar el hecho excepcional que ofrece España y que hace poco he consignado, de su aislamiento científico, el recordar la vida toda de nuestra nación que constituye su historia, y que se resume en una guerra de raza sostenida con perseverancia incansable por espacio de ocho siglos que ha concentrado allí todo el esfuerzo patrio, y que no le han permitido distraerse hacia otros fines que no fueran cantar las glorias de nuestra raza en tan tenaz contienda, de idealizar las proezas de nuestros héroes, de ensalzar el amor patrio, y de conservar y sostener y afianzar nuestras creencias frente á las del invasor, lanzado al fin por siempre de nuestro suelo regado por la sangre de los que nos lo restituyeron y que más tarde, á través de nuevas guerras y disturbios necesarios para la constitución de la nacionalidad española, no pudieron vivir en la paz del hogar desde donde, en la época del triunfo, el esfuerzo material cede su plaza á otra energía que se enseñorea de su ser, y que además de contribuir á afianzar sus conquistas materiales, llévale á otra etapa de la vida de la humanidad, que los que vivimos al acercarnos al siglo XX podemos consignar diciendo que hemos llegado al siglo de las ciencias.

Pero si hemos llegado á sincerarnos del hecho al parecer inexplicable de no tener hoy escuela científica española, ni de haberla tenido cuando Italia, Francia, Alemania e Inglaterra renacían y
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fundaban las suyas, bajo los resplandores del genio que á intervalos surgía y concentraba en sí los adelantos de las ciencias, ¿podremos hoy que la paz se ha restablecido después de nuestras guerras extranjeras é intestinas, después que la experiencia nos ha mostrado que el desequilibrio de una nación con respecto á las demás, la precipita hacia su ruina y decadencia material y moral, cejar en nuestra empresa de enaltecernos y esforzarnos por ofrecer nuestro óbolo en esa obra del progreso á que todas las naciones concurren, en las que todas tienen una parte como fruto de su individualidad y de su energía propia? Y no basta que para destruir este cargo aleguemos que España debe considerarse como una nación poco ha reintegrada en su vida, después del periodo de sus guerras y de su reconstitución; porque los Estados Unidos y las repúblicas del Sud de América son naciones ayer nacidas y hoy cuentan ya en su seno, no sólo los más variados organismos de producción material y de enaltecimiento intelectual, sino los alientos propios para llevarlos más adelante en virtud de sus energías individuales, de cierta autonomía moral ó espiritual que han sabido crearse. La Universidad, el Libro y la Revista Científica, hoy en estas naciones compiten con las de la vieja Europa, sobre todo en la primera de las citadas, hasta el punto de amenazar con llevarse, acaso en épocas no remotas, el centro de gravedad de la ciencia y de la civilización, desde el centro del mundo que hoy oscila entre las Universidades de la sabia Alemania á las aún casi vírgenes regiones del Occidente.

Establecidos estos preliminares necesarios para servir de trazón en el conjunto de ideas que voy á exponer concernientes á la enseñanza de las ciencias matemáticas, voy á comenzar á llenar mi cometido.

Existen en las naciones, como en el organismo humano, dos entidades que, aun con fines opuestos, al parecer, engranan perfectamente, se armonizan, y dan una resultante, expresión de esta correspondencia armónica; y de igual modo que el sol dibuja con anchas zonas de fuego los surcos que abre en el espacio al impulso de su veloz carrera, y en nuestra inteligencia, al traducirse en idea este hecho, se reduce á una simple línea inmaterial que el centro de gravedad describe y que una fórmula matemática encierra como esquema y ley del fenómeno físico: también en el organismo social
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aparecen dos hechos correlativos, dos entidades complementarias, dos tendencias distintas pero armónicas, algo que es como el alma al cuerpo, como el espíritu á la materia. Estas entidades son las que corresponden á las dos palabras ideología y técnica: los organismos que las encierran son la Universidad y las Escuelas ó Academias técnicas.

La Universidad es la síntesis de la vida intelectual de la Humanidad en cada época; recoge la herencia del pasado, la acumula y organiza y la conserva para ofrecer una más ancha base al porvenir que ha de continuar extendiendo la obra en nuevas síntesis cada vez más amplias y complejas. Este trabajo de asimilación y de síntesis va unido á un trabajo correlativo de perfeccionamiento de los métodos que acrecen las energías intelectuales á medida que son más dilatados los horizontes científicos; y esta correlación es tan necesaria, que sin ella no sería posible á la inteligencia el abarcar la ciencia en su conjunto. Por tal motivo, la misión de la Universidad, además de ser instructiva, debe ser educativa.

Las Escuelas ó Academias técnicas realizan una obra paralela á la de la Universidad; si ésta cultiva la ciencia por la ciencia, aquéllas la cultivan por sus aplicaciones. La Universidad tiene por fin el dilatar el mundo de la inteligencia, en el cual permanece; el pretentarlo como un encadenamiento ó organismo de ideas y de métodos. La Técnica tiene por fin el llevar á la realidad material los principios abstractos de la ciencia y llegar á encadenamientos materiales, que son los canales, los puentes, el telégrafo, el teléfono, las transformaciones varias de la Industria, todo lo que tiende á presentar ante la obra de la Naturaleza la obra del Arte humana. No necesita saber los procesos varios de la inteligencia en conexión con la verdad; le basta poseer ésta en la medida conveniente para lanzarse á las aplicaciones y transformar la obra de la Naturaleza en la obra del Arte, como se acaba de indicar.

Prescindiendo, pues, de la Técnica que no es actualmente el asunto de este trabajo, y volviendo á la obra de la Universidad, que resulta debe ser esencialmente educativa, ya podemos abordar la cuestión de la enseñanza matemática que debe hallarse indisolublemente unida al desenvolvimiento científico.

Y si existe este enlace indisoluble, variando la ciencia, correlati-
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vamente ha de variar la obra de la enseñanza y de la educación intelectual.

La ciencia es el encadenamiento convertido en organismo: y es claro que siendo en sus albores el encadenamiento más sencillo y los espacios que separan las verdades más amplios, también la energía del esfuerzo intelectual que las encierra había de ser proporcionalmente más intensa. Los descubrimientos de Euclides y de Arquímedes en la ciencia naciente de la antigüedad no son menos admirables que los de Descartes, de Newton y de Leibnitz y que los maravillosos inventos de la ciencia contemporánea. Aquéllos necesitaban el esfuerzo prodigioso del genio que adivina y que enlaza de un modo misterioso los extremos distantes de un encadenamiento lógico: nosotros poseemos el prodigioso recurso de los métodos que suple al genio, y que hace fácil el esfuerzo intelectual y naturales las deducciones más remotas. Aquéllos avanzaban lentamente; cada paso era el paso de un gigante por exiguo que hoy lo consideremos, bajo el prisma amplificador de los métodos modernos. Por esta razón no es extraño que en la antigüedad y aun en los siglos anteriores al nuestro la enseñanza matemática tuviera un campo muy circunscripto, y que la inteligencia llegase abrumada á poseer un corto número de verdades enlazadas por el esfuerzo del genio, por un procedimiento inventivo más que por un procedimiento lógico y deductivo.

Y siendo esto así ¿podemos tolerar, sin perjuicio grave, que en España los libros y los programas que sirvieron en el primer tercio ó aun en la mitad de este siglo continúen siendo los mismos que al finalizar éste, cuando en el espacio de cincuenta años la ciencia matemática ha sufrido las más radicales transformaciones? ¿Podemos seguir estudiando autores como Legendre, Lacroix, Cirodde y otros que si fueron notables y aptos para sus fines en la época en que se escribieron con sumo acierto y llenaron cumplidamente su misión ya no responden á las necesidades de la actualidad?

La ciencia que heredó este siglo de los Euler, Laplace, Legendre y Gauss, se extendió de una manera que causa asombro á contar desde que reveló Cauchy su inagotable poder inventivo en el análisis, á cuyo nombre une luego la historia de la Ciencia los de Jacobi, Abel y de los egregios matemáticos Cayley y Weierstrass,
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que aún hoy por fortuna pueden seguir enriqueciéndola; y á estos nombres otros hay que agregar ilustres, ya en las teorías combinatorias, ya en el desenvolvimiento del Algebra de la lógica, ya en las múltiples ramas de la Geometría; y si de aplicaciones se trata, ya en la hoy expléndida ramificación que ofrece la física matemática. ¡Cuantos nombres ilustres hay que citar actualmente como esquemas de cada uno de los descubrimientos efectuados en las múltiples irradaciones según las que se descompone la ciencia matemática! En la teoría de las cantidades imaginarias Argand, Buée, François, Warren, Saint Venant, Cauchy. En la combinatoria de las sustituciones que se enlaza con la de las ecuaciones algebraicas, Cauchy, Abel, Galois, Jordan Kronecker, Kummer y Sophus Lie.

En la teoría de las formas algebraicas homogéneas Boole, Cayley, Sylvester, Salmon, Aronhold, Hermite, Clebsch. En la de los números después de Gauss y Legendre: Dirichlet, Dedekind, Kummer, Kronecker. En la de las funciones, Riemann, Durège, Newmann, Hermite, Halphen, Weierstrass, Bois-Reymond y Cantor. En las de la Geometría algebraica, cimentada sobre los conceptos combinatorios, las equipolencias de Bellavitis en Italia, la teoría de la extensión de Grassmann en Alemania y la teoría de los cuaternios de Hamilton en Inglaterra, y la fundada en el concepto del movimiento y de continuidad, la Geometría cinemática, cuyos cursos ha unido M. Mannhein á su curso de Geometría descriptiva en la Escuela Politécnica de París. En las del Algebra de la lógica Boole, Jevons, Peirce, Schroeder. En sus múltiples ramificaciones la Geometría se inaugura en este siglo con Monge y Carnot, á que siguen Poncet con su teoría de las propiedades proyectivas, Chasles con la de la relación anarmónica bajo las que se unifican todas las propiedades proyectivas de las figuras, el original, fecundo y elegante geómetra alemán Steiner, el rígido Staudt que hizo independiente la geometría proyectiva de toda noción numérica, el francés Bobillier que creó las coordenadas homogéneas, el insigne geómetra alemán Plücker que agregó las coordenadas tangenciales, y por último, hay que citar la geometría no-euclídea que crearon Lobalchesfí y Bolyai y la que inició Riemann, el creador del concepto del hiper-espacio en dicha ciencia, que han extendido Schlegel, Scheffler, Strigham y otros, á la teoría de los poliedros; habiéndose publicado sobre es-
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Los productos término á término serán

\( a_1 b_1 c_1 \)
\( a_1 b_1 c_1 + (a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1) r + (a_1 + b_1 + c_1) r^2 + r^3 \)
\( a_1 b_1 c_1 + (a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1) 2r + (a_1 + b_1 + c_1) 4r^2 + 8r^3 \)
\[
\vdots
\]
\( a_1 b_1 c_1 + (a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1) (n-1)r + (a_1 + b_1 + c_1) (n-1)^2 r^2 + (n-1)^3 r^3 \)

y por lo tanto

\[
S_n = n a_1 b_1 c_1 + (a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1) (1+2+...+(n-1)) r
+ (a_1 + b_1 + c_1) (1+2^2+...+(n-1)^2) r^2 + (1^3+2^3+...+(n-1)^3) r^3
\]

y finalmente

\[
S_n = n a_1 b_1 c_1 + \frac{n(n-1)}{2} r \left[ a_1 b_1 + a_1 c_1 + b_1 c_1 \right.
\]
\[
\left. + \frac{2n-1}{3} (a_1 + b_1 + c_1) + \frac{n(n-1)}{2} r^2 \right]
\]

Aplicación. Si en particular se supone \( b_1 = a_1 + r \) y \( c_1 = a_1 + 2r \) en la fórmula anterior, se tendrá la suma de los productos tres á tres de los términos consecutivos de una progresión aritmética, compuesta de \((n+2)\) términos, dando solución á la cuestión núm. 109, tomo III, página 71 de este periódico.

Generalizando, se puede deducir fácilmente la suma de los productos término á término de \( q \) progresiones aritméticas de igual razón, llegando al siguiente resultado:

\[
S_n = n a_1 b_1 c_1 ... h_1 + r \left( \sum_{q}^{q-1} \right) \sum_{i=1}^{n} i + r^2 \left( \sum_{q}^{q-2} \right) \sum_{i=1}^{n-1} i^2
+ r^3 \left( \sum_{q}^{q-3} \right) \sum_{i=1}^{n-1} i^3 + ... + r^{q-1} \left( \sum_{q}^{1} \right) \sum_{i=1}^{n-1} i^{q-1} + r^q \sum_{i=1}^{n-1} i^q
\]

en el cual \( \left( \sum_{q}^{h} \right) \) representa, no número de combinaciones, sino suma de valores de los términos combinados.

1.a aplicación.—La hipótesis \( b_1 = a_1 + r \), \( c_1 = a_1 + 2r \) ... \( h_1 = a_1 + (q-1)r \) conducirá á la resolución del problema de encontrar la suma de los productos \( q \) á \( q \) de los términos consecutivos de una progresión aritmética.

2.a aplicación.—Si suponemos en el valor de \( S_n \) que \( a_1 = b_1 = c_1 = ... \)
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tos singulares conceptos numerosos escritos y obras que constituyen una nueva era en el pensamiento humano, como expresa una obra reciente del autor inglés C. Howard Hinton, 'A New era of Thought, 1888,' acerca de la noción del hiperespacio, conceptos novísimos que han dado origen á la clasificación de las geometrías que hoy se estudian con los nombres de parabólicas, hiperbólicas y elípticas.

Este es el resumen del cuadro brillantísimo en que hemos reseñado á grandes rasgos la ciencia matemática del siglo diez y nueve, limitándonos á citar en cada rama los nombres más importantes ó los primeros, ya que citarlos todos sería tarea más complicada y extensa, puesto que bien las Philosophical Transactions of Londres, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Proceedings of the London, Mathematical Society, Quarterly Journal of Mathematics y otros varios periódicos matemáticos de Inglaterra, los Journal de Mathématiques pures et appliquées, de L'Ecole Polytechnique, los Comptes rendus, y otros muchísimos periódicos de Francia. El Journal de Crelle, el Matematische Annalen y otros varios de Alemania, los que publican en Italia Brioschi, Battaglini y el Círculo matemático Palermo; las Acta Matemática de Stokolmo. El Journal of Mathematics of Baltimore y otros periódicos de varias nacionalidades, ofrecen constantemente desarrollos diversos de aquellas teorías someramente indicadas, que forman el resumen de la Matemática contemporánea. Y hecho este resumen cabe ahora continuar preguntando: ¿Es posible que en España se continúe adoptando y siniendo teorías deficientes que los adelantos de la ciencia durante este siglo han abolido ó reformado? ¿No nos indican las obras que se publican en otras naciones y los cursos que se dan en las Universidades, la conveniencia de que cambiamos nosotros también de planes y de procedimientos?

La ciencia tal cual existe hoy, es la cantera inmensa y ríquisima en mármoles y jaspes, los más variados que cada cual debe utilizar en la medida de sus necesidades ó con arreglo á los fines que se proponga. Los programas de las Universidades dan los cánones que determinan en cantidad y calidad la manera de la distribución entre los consumidores; los libros fijan la posición de cada sillar en la edificación formada por cada autor, donde el organismo científico se
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halla determinado de una manera más ó menos perfecta según el arte empleado en su determinación.

A medida que la ciencia se enriquece con nuevos descubrimientos, que su esfera se dilata, que sus teorías se multiplican, la edificación ó el organismo que la expresan dándole forma en el libro, deben ser más ricos, no sólo en detalles, sino en el engranaje armónico de éstos dentro del conjunto que determina su unidad.

Véanse sino las obras notables que en las diversas naciones han ido condensando las teorías recientes, que al principio expuestas aisladamente luego, se han ido amalgamando con otras en el núcleo común para ofrecer nuevas unidades sistemáticas.

Ya en 1835, Plücker expuso en su sistema de geometría analítica su nuevo sistema de coordenadas-líneas. En 1847, Staudt publicaba su Geometría de situación conforme á su método esencialmente gráfico, que luego han divulgado los profesores Reye y Cremona, haciéndolo más fácil é inteligible por la forma de exposición adoptada, y en 1852, encargado Chasles por el Ministro de Instrucción pública de Francia de crear una cátedra de Geometría superior, escribió su magistral tratado tan conocido en el mundo científico, que hizo depender del concepto de la relación anarmónica; y además, acrecentado el caudal de las teorías geométricas por Steiner, numerosos tratados de esta nueva geometría han circulado en Alemania, entre ellos la teoría de las secciones cónicas, según la Geometría sintética de este matemático, publicada por los Dres. Geiser y Schröter, como también la teoría de las funciones, según el método de Riemann fueron divulgadas en Alemania por los discípulos de éste, Durège y Newmann, y luego generalizadas en múltiples tratados por todas sus Universidades. En Francia Serret publicó bajo forma doctrinal y didáctica, en su Tratado de Algebra superior, las teorías de las congruencias y de las sustituciones para ofrecer como natural corolamiento las teorías de Lagrange, Abel y Galois sobre las ecuaciones algebraicas. El profesor de la Universidad de Dublin, Mr. G. Salmon, en su Algebra superior y sus tratados de geometría, organizó para la enseñanza las recientes teorías de las formas á que principalmente hoy ha dado tan considerable impulso, y más tarde los profesores Faá de Bruno y Rubini las adaptaron para la enseñanza en los establecimientos docentes de Italia. Baltzer en Alemania
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reunió en sus tratados de matemáticas, de gran originalidad por la forma, á la parte doctrinal antigua, las teorías recientes, de los Números, del Algebra y de la Geometría, dando al conjunto una elegancia y unidad admirables. Houël en Francia, que intentó aclimatar algunas teorías extranjeras, en sus tratados de las cantidades complejas y del cálculo infinitesimal, reunió también en cuerpo de doctrina multitud de teorías de diversa nacionalidad, que todas ellas contribuyen al engrandecimiento de la Matemática bajo diversos puntos de vista.

No citaré de obras magistrales más que las recientes del Algebra de la lógica del profesor de la Escuela Técnica superior de Karlsruhe Sr. Ernest Schroeder y la monumental del profesor de Berlín Sophus Lie, hoy apenas acabadas de publicar, pues no me propongo más que citar las más principales y generalmente conocidas, terminando con el importante tratado de Algebra de G. Chrystal de la Universidad de Edimburgo, de cuyo vasto é importante contenido ya me ocupé en otra ocasión y las notables Lecciones de Geometría superior dadas por el Dr. G. B. Guccia en la Universidad de Palermo; ni tampoco me detendré en citar la excelente y riquísima colección de Tesis presentadas para la obtención del grado de Doctor en la Facultad de Ciencias de París, ni las variadas producciones de las universidades alemanas con que sus profesores coronan la obra de esta institución social, que representa en todas épocas á la inteligencia humana, pues habría material para llenar numerosas páginas; y aún, si con lo citado acaso he sido demasiado prolíjo, no me he propuesto otro objeto que venir con esta base á algunas conclusiones.

Si pues tal es el conjunto de doctrina matemática que cabe en los programas universitarios como determinan las obras citadas, si la suma científica resultante es la que habilite para obtener sus grados superiores, y agregando aún otras asignaturas que he creído innecesario citar por ser las menos abstractas, habiéndome limitado á enumerar las que constituyen la Matemática pura, ya tenemos una norma que nos ha de guiar en la determinación del problema de la enseñanza.

Esas diversas teorías modeladas según el plan de cada libro de texto y que parecen trozos informes y dispersos más bien que ele-
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mentos de un todo uno y armónico, responden tan solamente á un modo artificial y un tanto arbitrario, si bien lo menos posible y lo más conforme con la naturaleza del todo, la Ciencia, que se ha descompuesto en sus ramas para facilitar el trabajo de su adquisición por el alumno.

Más no por esto la Ciencia ha de resultar mutilada en nuestra inteligencia que aspira á poseerla. Las ideas tienen una movilidad indefinida, como los átomos de los gases, que encerrados en recipientes, rebotan contra las paredes de éstos y se atraen ó se repelen según las influencias varias á que están sometidos, y así aquéllas se chocan, se cruzan, convergen ó se separar en el fondo de la inteligencia humana.

Una verdad puede estar colocada antes ó después de otra en su encadenamiento deductivo, según el plan que forma cada libro, donde sin embargo todas forman un sistema perfecto bajo el punto de vista dialéctico. El orden de las proposiciones de la geometría de Euclides y Legendre no es el mismo, y los dos libros son sustituibles en la enseñanza, salvo algunas ventajas ó inconvenientes que cada uno pueda presentar respecto al otro, y que no es de este lugar esclarecer; y ascendiendo á considerar las diversas ramas de la ciencia dentro de su totalidad, iguales relaciones encontraremos de estas entre sí que las de las verdades y razonamientos dentro de cada rama.

Cada ciencia particular en que se halla actualmente dividida la ciencia matemática, ha perdido algo del carácter que ofreció en sus orígenes. Esas joyas del entendimiento humano que son centros de irradiación de luz en forma de ideas, tales como los elementos de Euclides, las Cónicas de Apolonio, la Aritmética de Diofanto, el Álgebra de Vieta, las geometrías de Descartes y Monge, el tratado de las fluxiones de Newton y de los infinitos de Leibnitz, son centros de irradiación distintos que se difunden en esferas cada vez más amplias, que se encuentran reforzándose y sumándose en ciertos puntos de su curso, en los que se ofrecen nuevos centros brillantes que irradian á su vez de nuevo en sistemas de luz cada vez más expléndidos y ofrecen á la inteligencia raudales de ideas, veneros de verdades de fecundidad creciente y los nombres de Euclides, Arquímedes, Diofanto, Vieta, Descartes, Newton, Leibnitz y Monge aparecen como esquemas de aquellos primitivos focos de luz intelectual;