ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

GEOMETRÍA DEL TRIANGULO
Algunas propiedades de los triángulos podares y de los círculos de Schoute
POR M. EMILE VIGARIÉ

II
Círculos de Schoute.

1. Definición.—Se llaman círculos de Schoute del nombre del geómetra holandés que los ha estudiado primeramente, los círculos lugares de los puntos M tales, que sus triángulos podares tengan un ángulo de Brocard \( \omega_1 \).

2. Histórico.—M. P. H. Schoute ha dado á conocer los círculos que llevan su nombre en un trabajo publicado en 1886 y titulado Ovez een nauwez verband tusschen Hock en Cirkel van Brocard (Bulletin de l'Académie d'Amsterdam pp. 39-40). M. Neuberg los ha hallado de nuevo y generalizado en su nota Sur les triangles équibrocadiens (Congrès d'Oran, 1888, pp. 135-144) y en su memoria Sur les projections et les contre-projections d'un triangle fixe (Memoires couronées de l'Académie royale de Belgique, t. XLIV, 1890). M. Boutin s'en est servi dans son étude Sur les centres isodynamiques et sur les centres isogones (Journal de Mathématiques élémentaires, 1889, pp. 101-102), y M. Gob ha señalado nuevas propiedades en su nota Sur quelques transformation de figures, Congrès de Limoges, 1890). En fin, M. W. W. Taylor, en una comunicación, On some rings of circles connected with a triangle, and the circles which cut them at equal angles (Proceedings of the London mathematical Society, vol. XX, 1889, pp. 397-416) ha mostrado las relaciones que existen entre los círculos de Schoute y un nuevo grupo de círculos que ha estudiado.

Vamos ahora á dar á conocer las principales propiedades de los círculos de Schoute.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 10

Debe advertirse que el movimiento de la variable se realiza en sentido de la flecha, según indica la adjunta figura 2.a y respecto á la primera integral.

Cuando E' sea indefinidamente pequeña, \( z^n \) tiene por valor \( e^{n\pi i} \), puesto que \( z = -1 = e^{\pi i} \).

Así, pues, la integral anterior se transforma en:

\[
-i \int_0^{\pi} e^{n\pi i - \pi i} d\theta' = -i \int_0^{\pi} \frac{e^{n\pi i}}{e^{\pi i}} d\theta' =
\]
\[
= -i \int_0^{\pi} \frac{e^{n\pi i}}{-1} d\theta' = i e^{n\pi i} \int_0^{\pi} d\theta' = i \pi e^{n\pi i}
\]

La recta BA da una integral que tiene un límite determinado, expresado por: \( \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1+x} dx \); en cuanto á las rectas A, C, y C, B, se tiene \( b = \pi \), \( z^n = r^n e^{n\pi i} \) (1), \( z = -r \); si tomamos la diferencial de (1) \( n z^{n-1} dz = n r^{n-1} e^{n\pi i} dr \) y sustituimos valores en la integral primera, se obtiene:

\[
e^{n\pi i} \int_{R}^{1+E'} \frac{r^{n-1}}{1-r} dr + \int_{1-E'}^{E} \frac{r^{n-1}}{1-r} dr =
\]
\[
= -e^{n\pi i} \left( \int_{E}^{1-E'} \frac{r^{n-1}}{1-r} dr + \int_{1+E'}^{R} \frac{r^{n-1}}{1-r} dr \right)
\]

Advirtiendo ahora que la suma de las integrales relativas á las diversas partes del contorno cerrado debe ser nula, sabiendo además que las cuatro primeras partes tienden hácía límites determinados, resulta que la suma de las dos últimas integrales debe tener también su límite.

Este límite es lo que Cauchy llama el valor principal de la integral \( \int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1+x} dx \), y que puede expresarse por K.

En totalidad pues, podemos escribir

\[
\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1+x} dx + \pi i e^{n\pi i} - K e^{n\pi i} = 0,
\]
de donde:
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 11

\[
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1+x} dx = (K - \pi i) (\cos n \pi + i \sen n \pi) =
\]
\[
= (K \cos n \pi + \pi \sen n \pi) + i (K \sen n \pi - \pi \cos n \pi)
\]
Empero, atendiendo á que el primer miembro hace referencia á cantidades reales, se deduce:
\[
K \sen n \pi - \pi \cos n \pi = 0 \quad \text{o sea} \quad K = \pi \cos n \pi
\]
De suerte que en definitiva se obtiene:
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1+x} dx = \pi \cos n \pi \cos n \pi + \pi \sen n \pi = \frac{\pi}{\sen n \pi}
\]
fórmula exactamente igual á la anterior, según el método elemental de M. Serret.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

(CONTINUACIÓN)

El teorema de Menelao que establece la situación de tres puntos en línea recta, por efecto de la relación que tienen con respecto á un triángulo, así como algunos siglos mas tarde el de Juan de Ceva determina la concurrencia de tres rectas en un punto; el célebre porisma de Pappus por el que, mediante la deformación de un polígono cuyos lados giran al rededor de ciertos puntos y cuyos vértices, excepto uno, recorren otras tantas rectas, el último vértice debe describir una recta; el Hexagrammum mysticum de Pascal, el teorema de Desargues, los de Newton y Carnot, fundamentales en la teoría de las cónicas, son como focos de luz que irradian á gran distancia por los horizontes científicos, como núcleos que contienen virtualmente multitud de verdades, y sobre los que se desenvuelven teorías completas, ó como instrumentos que multiplican las proposiciones de la ciencia.

El teorema de Pascal, por sí solo es la base sobre que se ha edificado la teoría de las cónicas; el teorema que establece la relación entre el polo y la polar es el gérmen de la dualidad, que hace surgir para cada propiedad descriptiva de las figuras su correlativa, duplicando así el campo de la Geometría. El concepto de la relación anarmónica ha servido á Chasles para establecer con sólido encadenamiento todas las proposiciones de la Geometría moderna en su Traité
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 12

de Géométrie supérieure, el concepto de las formas armónicas ha permitido á Staudt desenvolver este organismo independientemente de toda relación numérica.

Hay teoremas fundamentales que parece penetran por todo el andamiaje de la edificación científica. El teorema de Pitágoras, de una manera uniforme lleva á la obtención de las ecuaciones que representan los lugares geométricos en la geometría cartesiana. El teorema de Stewart, que como dice Chasles «merecería tener cabida en los elementos ó al menos en los complementos de Geometría» es un precioso medio de deducir numerosísimas relaciones métricas (1), pues además de conducir á las expresiones de las medianas, las bisectrices, las simedianas, las distancias entre el centro de gravedad de un triángulo y del círculo inscrito ó circunscrito ó el ortocentro, etc., etc., llega á ser un auxiliar eficacísimo para continuar estas determinaciones en la Geometría reciente, fijando con suma facilidad las relaciones entre los numerosos puntos y líneas con que los geómetras modernos han matizado el plano del triángulo, y que dispersas en diversas memorias, á partir desde el año 1874 en que M. Lemoine en una breve memoria enunció algunos principios fundamentales, hoy comienzan á ser expuestas en forma de Tratados (2).

Esta nueva Geometría del triángulo ha llegado, en efecto, á constituir una rama especial de la Geometría, por el inagotable conjunto de propiedades que ha hecho descubrir y que continúa agrupando en su reciente organismo; y aunque ciertamente en todas épocas los geómetras han llegado á encontrar alguno de sus elementos primordiales de una manera aislada, y hasta según se ha hecho ver, del porisma 176 de Euclides es fácil deducir toda la teoría del círculo, de los puntos y del ángulo Brocard (3); sólo ha formado cuerpo de doctrina desde los numerosos trabajos que han suscitado las memorias de M. Lemoine sobre el punto al que los geómetras conocen con su nombre, desde que M. Neuberg lo propuso, punto, que después del centro de gravedad del triángulo es el que han encontrado con más frecuencia los geómetras aisladamente en diversas épocas y mediante alguna de sus propiedades, cabiendo á M. Lemoine la gloria de haber mostrado en sus numerosos escritos, que todas estas propiedades y otras muchas pertenecían á un mismo punto que tenía un lugar importante en el trián-

(1) Véase Applications remarquables du théorème de Stewart et théorie du barycentre par C. Thiry.
(2) Véase Casey. Géométrie élémentaire récente. Poulain Principes de la nouvelle Géométrie. M. Clelland. A treatise on the Geometry of the circle.
(3) Vigarié, Le 176°porisme d'Euclide et ses consequences (Journ. de math. élém. 1890).
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 13

gulo, mereciendo un estudio especial. Al punto y al círculo de Lemoiné se agregaron en breve otros elementos aportados por M. Brocard, y que enlazándose con aquéllos han formado el núcleo de la nueva rama geométrica.

La perpendicular, la paralela, las bisectrices, las medianas, las alturas, estos primeros elementos de la Geometría, basados en el concepto de igualdad, fueron seguidos por el de la proporcionalidad que permite más numerosos y amplios enlaces entre los puntos, las líneas las superficies; y de este concepto surgieron los de la relación armónica y anarmónica que forman la esencia de la doctrina de los porismas y por consiguiente de la rama superior de la Geometría, de cuya evolución hemos hecho ya algunas indicaciones. Pero no bastando enlazar puntos aislados con puntos, se enlazan figuras con figuras. La perspectiva unió primeramente las tres secciones cónicas entre sí y con el círculo. Los medios de transformación de las figuras se multiplicaron: las figuras homotéticas, homológicas, homográficas, correlativas, inversas, etc.; las figuras transformándose, no sólo en el plano sino que también en general en el espacio, y particularmente no sólo en la superficie esférica á la manera que en el plano, sino hasta en otras superficies dadas.

No solo se emplearon leyes especiales por las que una primera figura de las comprendidas en ellas sirviera de base para la formación de todas las demás, como por ejemplo, se observa en la homotecia y en la homología, en cuanto se dan el centro y el eje de homología y se establecen sistemas de dos puntos correspondientes; sino que además los varios sistemas de coordenadas han formado la base inmóvil sobre que se han construido toda suerte de figuras y se han enlazado entre sí, mediante el término medio que constituía la relación de cada una con el sistema fijo; y los sistemas polar, cartesiano, hamiltoniano y el cálculo baricéntrico han sido andamiajes distintos para la edificación geométrica.

En una palabra, el Análisis interviniendo en las relaciones geométricas, creando algoritmos nuevos que correspondieran á las transformaciones de las figuras, á sus múltiples propiedades, de manera que la inteligencia pudiera de las unas pasar inmediatamente á las otras, ó recorrer indistintamente ambos dominios enlazados de una manera permanente, ha contribuido á dar mayores proporciones al edificio geométrico; y el Análisis en su más elevada fase, sirviendo de base á la Geometría infinitesimal, ha llevado el estudio al grado supremo, en que además de estudiarse las curvas y superficies de grados superiores con sus inflexiones, sus multiplicidades, sus retrocesos, en una
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 14

palabra, sus singularidades y más diversos accidentes, ha llegado al estudio sistemático de las variedades de géneros, órdenes, clases, familias y agrupaciones, hasta el punto de aspirar por último á clasificaciones que, conduciendo á la síntesis total, sirvan de coronamiento al grandioso edificio de la Geometría.

LIBRO PRIMERO
GENERALIDADES SOBRE LAS PROPOSICIONES Y LOS MÉTODOS

CAPITULO PRIMERO
Las proposiciones.

1. Clases de proposiciones.—Las proposiciones matemáticas se reducen en los tratados modernos á la definición, el axioma, el teorema y el problema, el lema y el corolario.

En la antigüedad se empleaban otras varias proposiciones como nos manifiestan los tratados de los porismas y de las dadas de Euclides, de los lugares de Apolonio, etc., que son variantes ó casos especiales del teorema y del problema.

El axioma es una verdad evidente ó que no necesita demostración. Los axiomas sirven de fundamento á las demás proposiciones de la ciencia.

El teorema es el enunciado de una verdad no evidente, ó que necesita demostración; indica una relación de coexistencia entre modos de ser de varias cosas, expresados por sus dos partes, hipótesis y tesis.

Hipótesis es lo que se supone en un teorema: constituye sus datos. Tesis es lo que se afirma y trata de establecer como coexistiendo con la hipótesis: constituye la consecuencia necesaria de ésta.

Ejemplos: Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido, serán iguales. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, serán iguales.

Demostración es el razonamiento que hace evidente una verdad que no lo es por sí.

El problema es una proposición que tiene por objeto determinar una ó varias cosas de especies dadas ligadas por relaciones determinadas con otras dadas (Duhamel. Des méthodes, pág. 42).

En el problema hay que considerar los datos ó cantidades conocidas y las cantidades desconocidas ó incógnitas que se buscan. Los
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 15

datos corresponden á la hipótesis de los teoremas y las incógnitas á las tesis.

2. ANÁLISIS DE LAS PROPOSICIONES.—Generalmente en las cuestiones matemáticas hay que considerar cuatro cosas: 1.º Ciertas entidades cuya existencia es hipotética ó está dada (hipótesis ó datos). 2.º Otras unidas á las primeras por la condición de la coexistencia (tesis ó resultados que deben obtenerse). 3.º Ciertas construcciones con las que unimos nuevos elementos á los supuestos dados (construcciones ó líneas auxiliares). 4.º Teoremas que expresan las relaciones entre las cantidades auxiliares y las dadas; por las que se deducen las buscadas en el teorema ó en el problema propuesto.

En el teorema: En todo triángulo á lados iguales se oponen ángulos iguales (fig. 1.a).

Fig. 1.a.

Lo hipotético es el triángulo y los lados iguales AB y AC, lo coexistente, la igualdad de \( \angle B \) y \( \angle C \).

Las entidades auxiliares introducidas (construcciones) el nuevo triángulo A'C'B' obtenido por la inversión del dado ABC. El teorema:
Dos triángulos que tienen dos lados iguales é igual el ángulo comprendido son iguales, establece la relación entre los elementos de la hipótesis y los de la tesis.

En el teorema: Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales dos á dos, éste es un paralelogramo (fig. 2.a), lo hipotético es el cuadrilátero y las igualdades AB=CD, AD=BC de los lados opuestos. Lo coexistente es el paralelismo de AB con CD y de AD con BC. Las construcciones auxiliares se reducen á la de la diagonal BD. Los teoremas que relacionan las entidades de la hipótesis con las de la tesis son: Dos triángulos ABD y BCD que tienen sus tres lados respectivamente iguales. Si los ángulos alternos internos que dos rectas AB y CD ó AD y BC forman con una secante son iguales, dichas rectas serán paralelas.

Fig. 2.a.

Sea el teorema: La razón entre dos lados de un triángulo ABC es la misma que la de los segmentos aditivos ó sustractivos que la bisectriz del ángulo comprendido ó de su adyacente, forma con el tercer lado (fig. 3.a).

Lo hipotético es el triángulo y las dos bisectrices. Las entidades auxiliares son las paralelas AE y AE' á las bisectrices. Los teoremas que enlazan la
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 16

hipótesis con la tesis son: Los ángulos alternos y correspondientes que dos rectas paralelas forman con una secante, son iguales. En un triángulo á ángulos iguales se oponen lados iguales. Si una recta corta á dos lados paralelamente al tercero, dividirá á aquéllos en partes proporcionales.

Sea el problema: Construir un triángulo ABC, dados los lados AC, BC y la mediana Cc.

Las construcciones auxiliares son: la prolongación de Cc en cC' = cC y el trazar la recta C'B. Los teoremas auxiliares son: Si las rectas CC' y AB se cortan en partes iguales, ACBC' es un paralelogramo. Los lados opuestos AC y BC' de un paralelogramo son iguales, que enlazan el problema propuesto con el nuevo problema: Construir el triángulo CBC' en el que se dan los tres lados BC' = AC, BC y CC' = 2Cc.

3. EJEMPLOS DE PROPOSICIONES.—Porisma. El porisma que enuncia Pappus en sus Colecciones matemáticas libro VII, como comprensivo de diez porismas (1) análogos entre sí, pertenecientes á la especie de los lugares, y que se hallan, según manifiesta dicho geómetra, en el primer libro de los porismas, es el siguiente: Dadas cuatro rectas que se cortan dos á dos, si se dan (es decir permanecen fijos) tres de los puntos de intersección situados en una de ellas, ó dos solamente en el caso del paralelismo, y de los otros tres, dos se hallan sujetos á quedar cada uno sobre una recta dada, el último permanecerá sobre una recta dada en posición y la generalización de este porisma ó su extensión á un número cualquiera de rectas (2).

Además cita dicho geómetra este otro: Si desde dos puntos dados se trazan dos rectas que se cortan en otra dada en posición, de las que la una intercepta sobre una recta dada en posición un segmento Am á partir de un punto dado A, la segunda formará también sobre otra recta un segmento Am', que estará con el primero en una razón dada (3).

Además de estos porismas, se hallan demostrados y resueltos en nuestra Geometría elemental otros concernientes á la relación anarmónica y á las divisiones homográficas entresacadas de la colección que Chasles restableció en su obra Les trois livres de porismes d'Euclide.

(1) Véase nuestra Geometría elemental parte segunda pág. 235.
(2) Véase nuestra Geometría elemental pág. 247.
(3) Chasles Les trois livres des porismes, págs. 18 y 114.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 17

4. DADAS.—Euclides llama dadas á lo que resulta inmediatamente, en virtud de las proposiciones comprendidas en los Elementos, de las condiciones de una cuestión.

Ejemplos: Si por un punto dado se traza una recta que toca á un círculo dado en posición, la recta trazada está dada en posición.

Si dos magnitudes a y b tienen entre sí una razón dada \( \lambda \), la magnitud compuesta de las dos tendrá con cada una de ellas una razón dada.

Observa Chasles que si se hubiera querido hacer de esta proposición un teorema propiamente dicho, se habría indicado en el enunciado el valor de la razón de la suma \((a + b)\) á cada una de las magnitudes \(a\) y \(b\), á saber:

\[
\frac{\lambda + 1}{\lambda} \text{ para } \frac{a + b}{a} \quad \text{y} \quad (\lambda + 1) \text{ para } \frac{a + b}{b}
\]

De manera, añade, «que las proposiciones llamadas dadas por Euclides eran teoremas no completos, por cuanto faltaba la determinación, en magnitud y posición, de ciertas cosas enunciadas como consecuencia de la hipótesis».

Observa también que el objeto enunciado debe entenderse que está dado virtualmente, es decir, incluído implícitamente en la hipótesis, pudiéndose deducir de ella.

5. TEOREMA LOCAL.—El teorema local es una proposición que expresa una propiedad común á todos los puntos de una misma línea, recta ó curva, completamente definida.

Ejemplo: Dados sobre un punto del diámetro AB de un círculo dos puntos C, D tales, que se tenga \( \frac{AC}{CB} = \frac{DA}{BD} \), las distancias de cada punto m de la circunferencia á estos dos puntos se hallan entre sí en la razón constante \( \frac{CA}{DA} \).

6. LUGAR.—El lugar es una proposición en la que se dice que tales puntos sometidos á una misma ley conocida, se hallan en una línea (recta, circular ú otra) de la que se enuncia la naturaleza, faltando enunciar la magnitud y la posición.

Ejemplo: Dados dos puntos, así como una razón, el lugar de un punto cuyas distancias á estos dos puntos están entre sí en esta razón, es una circunferencia de círculo dada en magnitud y en posición (1).

7. PROBLEMA LOCAL.—En el problema local ó cuestión de lugar, se pide hallar la naturaleza, la magnitud y la posición de un lugar, es

(1) Chasles Les trois livres etc., págs. 42, 83.
El Progreso matemático (1892-07-15 00:00:00), página 18

decir, la curva lugar común de una infinidad de puntos sometidos á una ley común.

Ejemplo: Dados los dos puntos, así como una razón \( \lambda \), ¿cuál es el lugar de un punto cuyas distancias á estos dos puntos están entre sí en la razón \( \lambda \)?

8. LAS CONOCIDAS GEOMÉTRICAS. — Las matemáticas árabes nos ofrecen con este motivo un documento de gran interés, que prueba que, en efecto, en cierta época se han considerado las Dadas, los Lugares y los Porismas como constituyendo un mismo género de proporciones, que podrán reunirse bajo un título común. Al menos existe una obra árabe titulada: Tratado de las conocidas geométricas, que es una colección de proposiciones, todas con la misma forma de enunciado, y que son Dadas propiamente dichas, Lugares ó Porismas. Solamente el término dado empleado por los griegos en estos tres géneros de proposiciones se halla reemplazado en dicha obra por el de conocido (1).

Ejemplo: Proposición XVIII. Cuando dos círculos conocidos en magnitud y en posición son tangentes, hallándose el uno en el interior del otro; si se traza una recta que corte á los dos círculos de una manera cualquiera, el producto de los segmentos formados por un punto del círculo menor sobre la parte de esta recta comprendida en el círculo mayor se halla con el cuadrado de la recta trazada desde el punto del círculo menor al punto de contacto de los dos círculos en una relación conocida.

9. EL LEMA.—Las proposiciones tienen un carácter variable en el organismo científico, según el plan que ha seguido tal ó cual autor. Así una proposición que es teorema en un tratado puede ser lema ó corolario en otro, y aún esto acontece con las definiciones, pues, por ejemplo, si se definen las cónicas por la relación de sus distancias al foco y á la directriz, resultarán como corolarios las definiciones de la elipse y de la hipérbola como lugares de los puntos tales, que la suma ó diferencia de sus distancias á los focos sea una cantidad constante, etc., etc.

Aquí nos limitaremos á citar los célebres lemas de Pappus que han servido para llevar á cabo la adivinación de los porismas de Euclides (2), pues para más detalles basta leer esta cuestión en nuestra Geometría elemental, parte segunda.

(1) Les trois livres, etc. (pág. 44).
(2) La mayor parte de estos lemas los citamos en nuestra Geometría elemental (págs. 150 y 126) que se refieren á la relación acarmónica, á las divisiones homográficas y á la involución. De éstos últimos damos una demostración general y uniforme que hace ver la conexión de unos con otros, pues estas proposiciones sólo difieren en alguna circunstancia accidental de las figuras á que se refieren.