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dicho librito, con el nombre de On the Algebra of Logic es debido á ella. Las obras de George Boole estaban agotadas en el comercio y habían quedado un tanto antiguas, haciendo falta al lector no impuesto en la materia, una brevisima exposición de teorías boolianas modificadas (1), á ejemplo de lo que en Alemania había hecho el esclarecido profesor Schroeder, sabio de quien detenidamente pensamos también ocuparnos; más no es sólo una exposición de hechos ya conocidos la obra de la Sra. Ladd, también en ella introduce interesantísimas novedades debidas á su inventiva. Boole había tratado la Lógica, abordando sus problemas mediante ecuaciones, lo que aparte de ser compleja la cópula «igual», presentaba otros varios inconvenientes, cosa que hubo de decidir á Santiago Peirce á valerse de implicaciones ó sea subsumciones. Pues bien. Cristina Ladd trata los problemas mediante «exclusiones». adoptando una cópula diferente de las ya usadas. entre las que De Morgan había indicado, lo que tiene en determinados casos sus ventajas sobre los otros métodos usados.

Y á propósito de esto, he de decir que cualquier tratamiento matemático de un problema lógico dado. no hará más que repetir en un lenguaje simbólico diferente de los otros, hechos que para un mismo problema son siempre los mismos. Al variar de método se cambia el idioma simbólico, se traduce simplemente á él, lo ya escrito de otro modo, mas á semejanza de un libro poliglota, el contenido es siempre el mismo. La Lógica de Boole, la de Ladd, Mitchell. Peirce ó Schroeder es por completo la misma, solo cambian los signos empleados y la gramática de los signos. Y es, que el origen de estas leyes es el indicado por Benjamín Peirce, en una de sus obras, con las palabras >divine source of all geometry«, inmutable, inflexible, eterno.

A la cópula de exclusión, corresponde también su cópula negativa, y es interesante en alto grado ver cómo mediante las dos combinadas, se tratan con pasmosa facilidad los antiguos silogismos, considerados como casos particulares de más amplios problemas.

No se ocupa Cristina Ladd en su obrita ya citada de ciertas cuestiones más delicadas y enojosas, debatidas hoy, considerando al contrario como evidentes por sí, según se trasluce por el contexto, las bases en que apoya su desarrollo. Así por ejemplo, no examina la parte fundamental de las leyes distributivas de la multiplicación

(1) Esto es, prescindiendo de los números, y entendiéndolo la adición lógica al modo de Stanley Jevons y Peirce, lo que es hoy general, con la sola excepción de un distinguido sabio inglés, el Sr. John Venn.
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riodo de una fracción periódica pura cuya fracción generatriz es:
\[
\frac{052.631.378.947.368.421}{999.999.999.999.999.999}
\]

Observemos finalmente, que si multiplicamos N por 19 obtendremos por producto un número formado por 18 cifras 9. La fracción generatriz que constituye el número completo será pues igual á
\[
\frac{052 \ldots .421}{999 \ldots .999} = \frac{999.999.999.999.999.999}{999.999.999.999.999.999} \times \frac{1}{19} = \frac{1}{19}.
\]
Así, el número dado, proviene de la división de 1 por 19.
Bajo esta forma, es fácil explicarse las propiedades enunciadas.

La multiplicación de \( \frac{1}{19} \) por un número cualquiera \( n \) dará para el producto las mismas cifras que las contenidas en N, y se hallarán en el mismo orden, mientras \( n \) y 19 sean primos entre sí.

En el caso de la división, no se obtendrán las mismas cifras en el mismo orden más que en los casos de ser el divisor 2 ó 5; para cualquiera otro divisor la propiedad no se verifica.

2. El número de que acabamos de tratar no es el único de su especie.

Si dividimos la unidad por un número primo cualquiera, distinto de 2 y 5, obtendremos un número periódico, y se sabe que el número de las cifras del periodo es siempre un sub-múltiplo del divisor disminuido en una unidad. Sucede algunas veces que el número de las cifras del periodo es exactamente igual al divisor menos 1. *Todos los periodos que se hallan en este último caso poseen las propiedades enunciadas en el opúsculo inglés*.

Obtendremos pues, los números siguientes:
\[
\frac{1}{7} = 142.857, \quad \frac{1}{17} = 0.588.235.294.117.647
\]
\[
\frac{1}{19} = 052.631.578.947.368.421, \quad \frac{1}{23} = 0.434.782.608.695.652.173.913, \text{ etc.}
\]

Todos estos números tienen un número par de cifras, y es de observar que, si se considera el número como formado por dos partes, las cifras de la primera mitad aumentadas con las cifras correspondientes de la segunda mitad dan por suma 9.

Si se multiplica uno de los números precedentes por otro, si el número multiplicador es superior al número de cifras del multiplicando, no se reproducen exactamente en el producto las cifras del número dado.

Tomemos como ejemplo el número de 18 cifras de que se ha tra-
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tado al principio, y multipliquemosle por 1234, por ejemplo, se obtendrá

\[
052 \ldots 421 \times 1234 = 64.947.368.421.052.631.514
\]

Como se ve, las cifras escritas con caracteres gruesos no se hallan en el número dado; pero, sin embargo, en suma

\[
514 + 64 = 578
\]

responde á la cuestión. Este hecho puede, por otra parte, verificarse para un multiplicado cualquiera.

Se puede pues, formular la regla general siguiente:

Regla: Cuando en la multiplicación de uno de los números considerados por un número cualquiera, el multiplicador forma un número superior al número de cifras del número dado, para reproducir exactamente las cifras del multiplicando en el producto, será preciso separar este último, principiando por la derecha, en secciones de tantas cifras como tenga el multiplicando y hacer la suma de estas diferentes secciones.

Ejemplos: \(052 \ldots 421 \times 1234 = 64.947368421052631514\)

\[
947.368.421.052.631.514 + 64 = 947 \ldots \ldots .052.631.578.
\]

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO (1)

(CONTINUACIÓN)

M. H. Brocard continuó sus investigaciones y dió á conocer en 1879 algunas nuevas propiedades entre las que indicaremos las siguientes:

1.º Las identidades

\[
\frac{\operatorname{sen} 2\Lambda}{\operatorname{tg} B + \operatorname{tg} C} = \frac{\operatorname{sen} 2B}{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} C} = \frac{\operatorname{sen} 2C}{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}
\]

de que trató en 1880 M. Dostor (N. A. M. p. 364).

(1) En una nota de la pág. 270 hicimos ver que cada rectángulo inscrito en el triángulo tiene su centro en la diagonal PM de un rectángulo auxiliar correspondiente. También en la figura adjunta puede verse que los centros de los rectángulos inscritos se hallan en la recta EM, trazándose la mediana AM, pues todas las alturas tales como LI, quedan divididas en dos partes iguales, por ser \(Am = mH\). Se ve también que, si se traza EF paralela á BC y se une M con F, el ángulo EFM es recto, pues los triángulos EKL, IKM, LKF son iguales, luego KE = KM = KF; luego el \( \angle EFM \) es recto.

La falta de espacio nos impide presentar las demostraciones de otros teoremas de mayor importancia, lo que nos reservamos hacer más adelante.
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2.º La evaluación directa de cot \( \omega \) por medio de la ecuación
\[
\text{sen} (B - \omega) \text{ sen } A \text{ sen } C = \text{sen}^2 B \text{ sen } \omega
\]
3.º La relación muy interesante
\[
\cos \omega \sum \frac{a^2 \text{sen} (C - \omega)}{\text{sen } C} = \text{sen } \omega \sum \frac{a^2 \cos (C - \omega)}{\text{sen } C}
\]
de la que se deduce
\[
\cot 2\omega = \frac{\Sigma \text{sen}^3 A \cos B \text{ sen } C}{\text{sen } A \text{ sen } B \text{ sen } C \Sigma \text{sen}^2 A}
\]
y varias relaciones de identidad tales como las siguientes:
\[
\Sigma \text{sen}^3 A \text{ sen } (B - C) = 0, \quad \tg 2\omega = \frac{2 \text{sen } A \text{ sen } B \text{ sen } C \Sigma \text{sen}^2 A}{\Sigma \text{sen}^4 A}
\]
4.º Los valores particulares de cot\( \omega \), cuando el triángulo es isósceles, rectángulo ó equilátero.
5.º La ecuación
\[
\text{sen}^3 A \text{ sen } (B - \omega) = \text{sen}^3 B \text{ sen } (A - \omega)
\]
que da cot\( \omega \) bajo la forma ya indicada.
6.º La primera relación métrica relativa á los puntos \( \Omega, \Omega' \), esto es:
\[
\frac{a}{\text{sen } A} = \frac{b}{\text{sen } B} = \frac{c}{\text{sen } C} = \frac{\delta}{\text{sen } \omega \sqrt{1 - 4 \text{sen}^2 \omega}} = D,
\]
\( \delta \) designando \( \Omega \Omega' \), y D el diámetro del círculo ABC.
7.º La noción de cierto ángulo \( \varphi \) que desempeña un papel importante en la Geometría del triángulo, y que corresponde á una propiedad muy curiosa de un grupo de parábolas de M. A. Artzt, de admitir dos tangentes rectangulares.
El ángulo \( \varphi \) está definido por la condición siguiente:
Se construyen interiormente á un triángulo ABC, los triángulos isósceles semejantes AB₁C₁, AC₁B, BA₁C; el triángulo A₁B₁C₁ no es semejante (inversamente) al triángulo ABC mas que cuando el ángulo \( \varphi \) de la base es igual á \( \omega \) ó á O. Además se tiene
\[
\text{sen} (2\varphi + \omega) = 2 \text{sen } \omega.
\]
Para \( \varphi = \omega \), se tiene el primer triángulo de Brocard A₁B₁C₁.

(Se continuará)

Z. G. G.
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1669

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lógica, asunto que después ha dado margen á discusión sostenida entre Santiago Peirce y Schroeder. Verdad es, que cuando se publicó el libro, tratábase más bien de encontrar métodos que reemplazasen á los poco prácticos de Boole, que no de dilucidar ciertos puntos críticos de la Lógica formal.

Es también interesante la parte del trabajo que examinamos, referente al universo del discurso. Una errata deslizada ha hecho que Schroeder no fijase su atención sobre importantes resultados allí obtenidos, como puede verse en una nota publicada en los Mathematische Annalen.

Problemas de los enunciados en la parte matemática del periódico inglés The Educational Times, son varios los propuestos ó resueltos por nuestra autora, y no hemos de fijarnos detenidamente en ellos.

Las últimas publicaciones lógicas que conozco de Cristina Ladd, han visto la luz pública en el American Journal of Psychology y en Mind revista inglesa de Psicología.

En el primero intitulado On some characteristics of symbolic Logic (Am J. of Psychology, 1889) y que debo á su bondad el haber leído, lo mismo que el segundo, indica ideas generales acerca de las cópulas, y recaba para su malogrado colega Oscar Howard Mitchell (1) una gloria que difícilmente puede ser apreciada en justicia, por los lógicos que no sean matemáticos al mismo tiempo.

El trabajo contenido en «Mind» (vol. XV, núm. 57) es harto notable. En él propone su autora nuevas notaciones ingeniosamente ideadas, comprendiendo todas las cópulas De Morgan. Si algún día se generalizasen las notaciones de esta memoria y los métodos que Santiago Peirce propone en su escrito On the Algebra of Logic, a contribution to the Philosophy of notation, podría desaparecer entonces toda analogía entre los símbolos lógicos y los que se usan en las otras disciplinas matemáticas. En efecto, los signos + y × sería posible sustituirlos por los que la señora Ladd usa como signos de las cópulas complement y partient.

Sé que quizás con el tiempo publiquen los esposos Franklin un tratado de Lógica, que abarque á la vez la deductiva y la inductiva, y solo deseará que esto se verifique pronto, pues del claro talento de sus autores, mucho y bueno podríamos prometernos.

Trabajos de Cristina Ladd sobre asuntos de índole diferente son sus investigaciones sobre el exágrama místico, su A method for the

(1) A quien son aplicables las palabras de Newton referentes al profesor Cotes: «Si Al hubiese vivido, sabríamos cosas nuevas».
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experimental determination of the horopter y su The education of woman in the Southern states, que forma parte de una obra editada por Annie Nathan Meyer.

Ahora únicamente me resta, terminando, dirigir mis saludos á la dama y pedir mis escusas á la investigadora científica, por los errores en que al ocuparme de ella haya podido incurrir.

Prof. Dr. Ventura Reyes y Prósper.

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS INTEGRALES EULERIANAS

POR
D. LAURO CLARIANA Y RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona

(CONTINUACIÓN)

12 Teorema de Cauchy.
Suficientes son estos preliminares para conocer el célebre teorema de Cauchy, y daremos la demostración que se considera clásica en Alemania, y que se apoya en el teorema de Riemann.

Llámase contorno cerrado una línea continua cerrada que se corta por ejemplo, la circunferencia, elipse, un rectángulo, etc.

Un contorno simple, al limitar una área, jamás la cubre en parte ó en totalidad.

El teorema de Riemann puede enunciarse del modo siguiente:
La integral doble

\[
\iint \left( \frac{dX}{dx} - \frac{dY}{dy} \right) dx \, dy,
\]

considerada en puntos de una área limitada por un contorno cerrado simple C, es igual á la integral

\[
\int (X \, dy + Y \, dx)
\]

tomada á lo largo del contorno C, descrito por un observador que tenga el área limitada á su izquierda, es decir, marchando en el sentido directo.
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En efecto, al integrar de momento el término

\[
\iint \frac{dX}{dx} dx dy
\]

con relación á \( x \), dejando \( y \) constante, resulta para la expresión de la integral indefinida

\[
\int X dy.
\]

Sea OP el valor constante dado á \( y \) en la integración parcial efectuada con relación á \( x \); así pues, la integral anterior podrá expresarse por

\[
\int (X_M - X_{M_1} + X_{M_2} - X_{M_3} + \ldots ) dy,
\]

ó sea, en general,

\[
\int X dy.
\]

esto es, en el concepto de hacer variar \( X \) sobre el contorno C y en sentido directo; luego para calcular \( \int (X_M + \ldots ) dy \) basta considerar los valores extremos de \( y \) para tener la integral \( \int X dy \), pues mientras el punto M se mueve en sentido directo al trasladarse de E á C, lo contrario tiene lugar respecto á la rama DC correspondiente al movimiento, del punto \( M_i \); pero como esta integral \( \int_{-M_i} dy \) es negativa, puede hacerse positiva cambiando la dirección del movimiento; resultando entonces el movimiento directo CD; una cosa análoga se deduce para las otras dos ramas DF y FE.

Así probaríamos también que la integral

\[
\iint \frac{dY}{dy} dx dy,
\]

extendida á todos los puntos del área comprendida en el interior del contorno C, es igual á la integral simple \( \int Y dx \) tomada á lo largo del contorno C, pero en sentido retrógrado, ó sea á la integral \( \int -Y dx \) tomada en sentido directo: luego

\[
\iint \left( \frac{dX}{dx} - \frac{dY}{dy} \right) dx dy = \int (X dy + Y dx)
\]
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La integral del segundo miembro está tomada en sentido directo y á lo largo del contorno.

Como consecuencia de este principio ó como segundo teorema, podríamos admitir que la integral doble

\[
\iiint \left( \frac{dY}{dx} + \frac{dX}{dy} \right) dx\, dy
\]

según todos los puntos de una área limitada por el contorno cerrado C, sea igual á la integral simple \( \int (Y\, dy - X\, dx) \) tomada á lo largo del contorno C, en sentido directo.

Este teorema ó proposición segunda, se demuestra del mismo modo que la primera.

Los dos teoremas precedentes, debidos á Riemann, caen en defecto si en el interior de C ó sobre el contorno, las funciones X, Y, ó sus derivadas parciales resultan indefinidamente grandes, discontinuas ó mal determinadas, porque entonces las integraciones que hemos efectuado no pueden aceptarse.

Si la expresión \( X\, dy + Y\, dx \) es una diferencial exacta, según las condiciones de integrabilidad, se tiene:

\[
\frac{dX}{dx} = \frac{dY}{dy} \quad \text{o sea} \quad \frac{dX}{dx} - \frac{dY}{dy} = 0.
\]

Así, pues, según el teorema de Riemann, la integral tomada á lo largo de un contorno cerrado C de una diferencial exacta es nula, ó lo que es lo mismo, las integrales de una diferencial exacta tomadas á lo largo de dos contornos que tengan las mismas extremidades son iguales, con tal que entre estos dos contornos la diferencial en cuestión sea finita, bien determinada y continua, así como sus derivadas parciales.

Este teorema de Riemann conduce de una manera fácil y sorprendente al bello teorema de Cauchy. Tómense las fórmulas halladas

\[
\iiint \left( \frac{dX}{dx} - \frac{dY}{dy} \right) dx\, dy = \int (X\, dy + Y\, dx)
\]
\[
\iiint \left( \frac{dX}{dy} + \frac{dY}{dx} \right) dx\, dy = \int (Y\, dy - X\, dx)
\]

Supongamos que \( X + Y \sqrt{-1} \) sea una función holomorfa de
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x + y \sqrt{-1} en el interior del contorno C, ó también sobre el contorno: en virtud de las ecuaciones de monogeneidad

\[
\frac{dX}{dx} = \frac{dY}{dy}, \quad \frac{dX}{dy} = -\frac{dY}{dx},
\]

las fórmulas anteriores se transforman en

\[
0 = \int (X dy + Y dx); \qquad 0 = \int (X dx - Y dy)
\]

Al sumar estas dos ecuaciones, después de haber multiplicado la primera por \( \nu - 1 \), se halla:

\[
0 = \int (X + Y \nu - 1) (dx + dy \nu - 1), \text{ ó sea } 0 = \int f(z) \, dz.
\]

Con esto queda demostrado que la integral \( \int f(z) \, dz \) tomada á lo largo del contorno cerrado simple C, en el interior del cual \( f(z) \) permanece holomorfa, es nula.

Luego, si dos contornos \( z_0 : Z \) y \( z_n : Z \), terminados en los mismos extremos, forman por su unión un contorno cerrado simple, sin haber punto por el cual la función deje de ser holomorfa, las integrales \( f(z) \) tomadas entre los mismos límites \( z_0 \) y \( Z \) á lo largo de los contornos \( z_0 : Z \) y \( z_n : Z \), serán iguales.

Después de estas consideraciones, podemos enunciar el teorema de Cauchy: El valor de la integral \( \int f(z) \, dz \) no cambia si se deforma el contorno de integración de una manera continua, aunque arbitraria, con tal que no se atraviese ningún punto en que \( f(z) \) cese de ser holomorfa, y en el supuesto de conservarse las mismas extremidades \( z_0 \) y \( Z \) como límites de la integral.

En efecto; considérese un contorno de integración A, teniendo por extremidades \( z_a \) y \( Z \); otro B que termine en los mismos extremos y bajo las condiciones precisadas. Si estos contornos A,B forman por su unión un contorno simple cerrado, el teorema queda ya resuelto. Si los contornos A,B se cortan en los puntos \( x_1, x_2, ..., x_n \), sabemos que las integrales de \( f(z) \) tomadas entre \( z \) y \( x_1, x_2, ..., x_n \) y \( Z \) son iguales: luego las integrales tomadas á lo largo de los caminos A y B darán los mismos valores.

13 PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS.
1.º El valor de la integral \( \int_k f(z) \, dz \) tomada á lo largo de un
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contorno cerrado K, en el interior del cual la función \( f(z) \) permanece holomorfa, es cero.

En efecto; al tomar dos puntos cualesquiera \( z_0 \) y \( Z \) en el contorno, se tiene:

\[
\int_K = \int_{z_0}^Z + \int_Z^{z_0} = \int_{z_0}^Z - \int_{z_0}^Z
\]

Según el teorema de Cauchy, este segundo miembro es cero; luego \( \int_K = 0 \)

2.º En el concepto de ser C, C',..., etc., varios contornos cerrados interiores á otro K, si la función \( f(z) \) permanece holomorfa en el intervalo comprendido entre el contorno exterior K y los interiores C, C',..., etc., se tendrá \( \int_K = \int_C + \int_{C'} + ... \) tomándose las integrales todas en el mismo sentido respecto á las líneas de integración. En efecto, júntese el contorno exterior con los interiores, tal como lo manifiesta la adjunta figura: luégo

\[
\int_{ab} + \int_c + \int_{ba} + \int_{aue} + \int_{ed} + \int_{c'} + \int_{de} + \int_{ema} = 0,
\]

empero

\[
\int_{ab} = -\int_{ba} \quad \text{y} \quad \int_{ed} = -\int_{de}
\]

así pues,

\[
\int_{auema} + \int_c + \int_{c'} = 0.
\]

Tomando las circunferencias en sentido contrario del indicado por las flechas, resulta:

\[
\int_{auema} = \int_c + \int_{c'}
\]

3.º Si en el interior del contorno K, la función \( f(z) \) presenta puntos críticos aislados a a'...... etc., se tendrá:

\[
\int_K = \int_c + \int_{c'} + ......
\]
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en el concepto de ser c, c'..... círculos indifinidamente pequeños que envuelvan á los puntos críticos a, a'....

Este principio no es más que una consecuencia inmediata del anterior, y por consiguiente no necesita demostración.

4.º Si una función \( f(z) \) se anula cuando \( z = a \), permaneciendo además contínua y monodroma en los alrededores de este punto, podrá escribirse

\[
f(z) = (z - a)^m \varphi(z),
\]

en el concepto de ser m un número entero, y \( \varphi(z) \) una función contínua y monodroma en los alrededores del punto a, sin que se anule en dicho punto.

Para demostrar este principio tan importante, bastará suponer el desarrollo general, según la fórmula de Taylor para un punto próximo al a:

\[
f(a + t) = f(a) + f'(a)t + \ldots.,
\]

si \( a + t = z \), resulta

\[
f(z) = f(a) + (z - a)f'(a) + \ldots..
\]

Sea ahora \( f^{(m)}(a) \) la primera de las derivadas sucesivas de \( f \) que no se anula para \( z = a \), luego:

\[
f(z) = (z - a)^m \left[ \frac{f^{(m)}(a)}{1.2.3...m} + \frac{f^{(m+1)}(a)}{1.2.3...(m+1)} (z - a) + \ldots. \right];
\]

designando la cantidad que está dentro del paréntesis por \( \varphi(z) \), y en el concepto de que \( z = a \), queda con ello evidenciada la fórmula primera. La cantidad a, se llama un cero de la función \( f(z) \), y m es su grado de multiplicidad.

5.º Todo punto crítico a de \( f(z) \), que es punto ordinario de \( \frac{1}{f(z)} \), es un polo.

En efecto; la función \( \frac{1}{f(z)} \) siendo contínua y monodroma á los alrededores del punto a, se tendrá: \( \frac{1}{f(z)} = (z - a)^m \varphi(z) \), siendo \( \varphi(z) \) también contínua y monodroma en los alrededores de a, y sin que se anule en dicho punto, según lo demostrado anteriormente.

Ahora bien, la función \( \frac{1}{\varphi(z)} \) gozará evidentemente de las mis-
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS INTEGRALES EULERIANAS
POR
D. LAURO CLARIANA Y RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona

(Continuación)

Así pues, si \( z \) se mueve por todo un plano, excepto por los puntos singulares, un camino cualquiera de \( z_0 \) á \( z \), podrá reducirse á una combinación de caminos bien determinados, conforme á los contornos que se llaman elementales. (a)

(a) Consideremos un camino determinado \( L \) escogido á voluntad entre los varios que podrían escogerse que van de \( z_0 \) á \( z \). Al describir un círculo indefinidamente pequeño al rededor de \( O \), juntando \( z_0 \) á \( C \) se obtiene el contorno formado por la línea \( z_0C \), el círculo \( CDE \) y la línea \( Cz_0 \), el cual todo forma lo que se llama un contorno elemental, referido á la función logarítmica \( \log z \). Supondremos \( K \) ó \( K^{-1} \) el contorno del círculo descrito en sentido directo ó contrario, esto es, según se marche de derecha á izquierda ó de izquierda á derecha, junto con los caminos \( z_0C \) y \( Cz_0 \) del contorno elemental.

Al trazar por el punto \( O \) una línea cualquiera \( OI \) que se prolonga indefinidamente tan sólo por un lado y con la condición de no encontrar á la línea \( Cz_0 \) se forma la línea cortante. Ahora bien, sea \( z_0MNPQZ=L' \) un nuevo camino que conduce de \( z_0 \) á \( Z \), y sean \( M \) y \( P \) los puntos donde atraviesa la cortante. Tómense dos puntos \( N \) y \( Q \) situados á ambos lados de \( OI \), uniéndolos con \( z_0 \) por medio de dos nuevos contornos, pero con la condición de no cortar á dicha línea \( OI \). Así, pues, el camino \( z_0MNPQZ \) debe ser lo mismo que el

\[
z_0MNN'z_0N'NPQQ'z_0Q'QZ.
\]

Empero, según el principio de Cauchy, que pronto veremos, el camino