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El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 6

cercate S'. Ponendo in esse \( d = a \), troviamo \( x^2 = a^2, y^2 = -b^2 \) e possiamo enunciare il teorema *usc a una conica S dotata di centro facciamo subire una traslazione O'OV' eguale al semidiametro OO', e poi ne costruiamo la supplementare, conjugata rispetto all'asse; O'O': otteniamo una seconda conica S' che con S forma una coppia equianarmonica.

a) In particolare se S è un cerchio di raggio r la S' è una iperbole equilatera col centro su S ed avente il semiasse trasverso eguale ad r.

b) Se assumiamo per S una iperbole equilatera col semi-asse trasverso r, troviamo per S' una ellisse col centro O', sulla iperbole, ed avente gli assi paralleli agli assintoti: denotando con a il semiasse di S' che biseca l'angolo acuto \( \omega \) degli assi coordinati O'x, O'y, e con b l'altro semiasse, si trova facilmente

\[
a = r \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\omega}{2}
\]

\[
b = r \sqrt{2} \cdot \sin \frac{\omega}{2}.
\]

Per \( \omega = 90^\circ \) si \( a = b = r \) si ricade sul sistema cerchio - iperbole equilatera, considerato precedentemente.

c) Vogliansi ora determinare i circoli S' i quali con una conica data S dotata di centro e supposta fissa formano sistemi equianarmnici: riferiamo la S a un sistema di diametri conjugati facenti fra loro l'angolo \( \omega \) e cerchiamo i cerchi S' che soddisfano al problema e hanno il centro sull'asse delle x; avremo:

\[
S := b^2 x^2 + a^2 y^2 - a^4 b^2 = 0
\]
\[
S' = x^2 + y^2 + (d^2 - r^2) - 2 d \cos \omega y - 2 dx + 2 \cos \omega xy = 0;
\]
per gl'invarianti simultanei troviamo:
\[
\Theta = -a^4 b^2 (a^2 + b^2 + r^2 - d^2)
\]
\[
\Theta' = b^2 (d^2 - a^2) \sin^2 \omega - r^2 (a^2 + b^2),
\]
i quali uguagliati a zero danno
\[
r^2 = \frac{b^4 \sin^2 \omega}{a^2 + b^2 \cos^2 \omega},
\]
\[
d^2 = \frac{a^4 + a^2 b^4 (1 + \cos^2 \omega) + b^4}{a^2 + b^2 \cos^2 \omega},
\]
formole che determinano i raggi e i centri dei circoli cercati. Se in queste poniamo \( \omega = 90^\circ \) avremo, per determinare i circoli S' coi centri sugli assi di S,
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 7

\[
r^2 = \frac{b^4}{a^2}
\]
\[
d^2 = \frac{a^4 + a^2 b^2 + b^4}{a^2}
\]

Ponendo nelle ultime due \( b = a \sqrt{v} - 1 \) si trova \( r^2 = a^2, d^2 = a^2 \), e si ricade sul sistema formato da una iperbole equilatera e un cerchio; \( d \). Ponendovi \( a = b \), otteniamo
\[
r^2 = a^2 \\
d^2 = 3a^2
\]
le quali ci dicono che *due circoli eguali segantisi sotto un'angolo di 60°*, e perciò coi centri che distano di \( r \sqrt{3} \), *formano una coppia equianarmonica*.

**10.** Esaminiamo ora il caso in cui S è parabola: riferendola á un diametro Ov e alla tangente Oy in O, avremo:
\[
S: y^2 = 4mx \\
S': x^2 + a^2 y^2 + b^2 (d^2 - x^2) - 2d b^2 x = 0,
\]
gli invarianti sono
\[
\Theta = -4m(m x^2 + d b^2) \\
\Theta' = -x^2 b^2 (4dm + b^2)
\]
che, uguagliati á zero, danno
\[
(10)\quad \left\{\begin{array}{l}
x^2 = 4d^2 \\
b^2 = -4dm.
\end{array}\right.
\]
\( m \) è il parametro della parabola, corrispondente al diametro Ox, \( d \) è la distanza \( (v') \) fra il punto O della parabola e il centro \( O' \) della conica S': rammentando che \( m \) è anche la distanza di \( O' \) dal fuoco della parabola, i semidiametri conjugati \( x \) e \( b \) di S' si ottengono subito.

*a)* Per \( d = m \) si ha
\[
x^2 = 4m^2 \\
b^2 = -4m^2,
\]
e la S' diviene la iperbole equilatera di centro O avente per assintoti le parallele alle bisettrici degli assi coordinati: il semi-asse trasverso \( r \) è dato dalla formula
\[
r^2 = 4m^2 \operatorname{sen} \omega,
\]
dove \( \omega \) è l'angolo acuto formato dagli assi Ox, Oy, o anche, chiamando \( p \) il *parametro principale* della parabola, dalla
\[
r^2 = \frac{4p^2}{\operatorname{sen}^2 \omega}.
\]
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 8

b). Se \( \omega = 90^\circ \) si ha \( r = 2p \): la iperbole equilatera ha per centro il fuoco della parabola e il suo semi-asse trasverso, uguale all'ordinata focale \( 2p \), coincide in direzione con l'asse della parabola.

c). Per \( d = -m \) le (10) danno:
\[
x^2 = \beta^2 = 4m^2
\]
e la S' è una ellisse col centro O' sulla direttrice della parabola data S, e i cui assi sono diretti secondo le tangenti che arrivano alla parabola dal punto O'; se \( a \) è la lunghezza del semi-asse diretto secondo la bisettrice dell'angolo acuto \( y'O'x \), si trova facilmente
\[
a = 2m \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\omega}{2} = \frac{p \sqrt{2}}{\sin \omega} \cdot \cosec \frac{\omega}{2}
\]
\[
b = 2m \sqrt{2} \cdot \sen \frac{\omega}{2} = \frac{p \sqrt{2}}{\sin \omega} \cdot \sec \frac{\omega}{2}.
\]

d). Ponendo in queste ultime \( \omega = 90^\circ \) si ha
\[
a = b = 2p
\]
e la S' diviene il cerchio che passa pel fuoco della parabola, ha il centro sulla direttrice e per raggio l'ordinata focale \( 2p \).

e). Supposta la parabola S riferita al solito sistema di assi obliqui, determiniamo i circoli S' aventi il centro O' sul diametro Ox e che formano con S coppie equianarmoniche; si ha
\[
S' \equiv y^2 - 4mx = 0
\]
\[
S' \equiv x^2 + y^2 + (d^2 - r^2) - 2d \cos \omega y - 2dx + 2 \cos \omega xy = 0,
\]
e siccome
\[
\Theta = -4m(m + d)
\]
\[
\Theta' = -r^2 - 4md \sen^2 \omega
\]
uguagliando a zero gli invarianti, troviamo
\[
d = -m = -\frac{p}{\sen^2 \omega}
\]
\[
r^2 = 4m^2 \sen^2 \omega = \frac{4p^2}{\sen^2 \omega},
\]
e possiamo enunciare il teorema: ogni circoli avente il centro sulla direttrice di una parabola, e passante pel fuoco, forma con la parabola un sistema di due coniche tali che ad ognuna di esse può inscriversi e circoscriverci un triangolo conjugato rispetto all'altra. Per \( \omega = 90^\circ \) si ricade sul sistema parabola-cerchio accennati precedentemente.

II. Vogliamo ora con opportune trasformazioni omografiche
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 9

della configurazione considerata sul § 1, ritrovare alcuni dei casi particolari esaminati nei due n° precedenti. Se assumiamo per a' la retta all'infinito, poiché i poli di a' rispetto a C_0^2 e K_0^2 sono rispettivamente A e A_1, le coniche C_0^2 K_0^2 hanno a per diametro comune e passano ognuna pel centro dell'altra ecc: siamo nel primo caso particolare considerato al n.º 9, (z^2 = a^2, z'^2 = - b^2).

Se, oltre ad assumere per a' la retta all'infinito, prendiamo per A_2A_3 i due punti ciclici, la C_0^2 diviene il cerchio di centro A descritto sopra A_0A_1 come diametro, la K_0^2 si muta nella iperbole equilatera di centro A_1, passante per A e avente per assi a, r ecc. Siamo nel caso particolare considerato nel n.º 9 a).

Assumendo per retta all'infinito la r_1, o per punti ciclici B, C, la C_0^3 diviene la parabola avente A per fuoco, A_0 per vertice; K_0^3 è un cerchio passante per A_0, col centro sull'asse a della parabola, nel punto X (conjugato armonico di A rispetto ad A_0 e al punto all'infinito A_1 della parabola) della direttrice: si ritrova così la coppia di coniche del n.º 10 d).

Se per la retta all'infinito assumiamo il lato x del triangolo fondamentale, e pei punti ciclici i vertici Y, Z; la K_0^2 è una parabola avente X per fuoco, a per asse ed r_1 per direttrice: C_0^2 è una iperbole equilatera col centro in X, i cui assi sono, in direzione, a e a' e passante pel punto A_1 d'intersezione delle rette a e r_1. Siamo nel caso considerato nel n.º 10 b).

12. Ritornando ora al sistema parabola-cerchio considerato nel n.º 10 c), osserviamo che la polare reciproca del cerchio S' rispetto alla parabola S coincide con la polare reciproca della parabola rispetto al cerchio, e siccome il centro del cerchio è sulla direttrice, questa polare reciproca è una iperbole equilatera (*) col centro nel fuoco della parabola ed avente gli assintoti paralleli alle tangenti condotte alla parabola dal centro del cerchio. Il cerchio, la parabola e la hiperbole equilatera in discorso, costituiscono una terna di coniche (9). In particolare se per centro del cerchio assumiamo il punto d'incontro dell'asse della parabola con la direttrice, la terna ultimamente considerata è costituita dalla parabola S, dalla iperbole equilatera considerata nel n.º 10 b) e del cerchio considerato nel n.º 10 d); il cerchio e la iperbole equilatera formano la coppia di coniche esaminata nel n.º 9 a). Le tre coppie di coniche considerate nei n.º 9 a), 10 b), 10 d) non sono altro che le tre coppie di una particolarissima terna di coniche (9).

13. Abbiamo visto nel n.º 9 d) che due circoli di raggio r i oui

(*) S.F. loc. cit. pag. 749.
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 1

El Progreso Matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

NOTA MATEMÁTICA SOBRE LAS PROGRESIONES

Consideremos las progresiones aritméticas:

\[
\div a_1 \cdot a_1 + r \cdot a_1 + 2r \ldots a_1 + (n-1)r
\]
\[
\div b_1 \cdot b_1 + r' \cdot b_1 + 2r' \ldots b_1 + (n-1)r'
\]

y propongámonos encontrar la suma de los productos término á término de dichas progresiones. Se tendrá evidentemente:

\[
S_n = a_1 b_1 + [a_1 b_1 + a_1 r' + b_1 r + rr'] + [a_1 b_1 + 2(a_1 r' + b_1 r) + 4rr'] + \ldots
\]
\[
+ [a_1 b_1 + (n-1)(a_1 r' + b_1 r) + (n-1)^2 rr']
\]
\[
= n a_1 b_1 + \sum_{i=1}^{i=n-1} i(a_1 r' + b_1 r) + ri \sum_{i=1}^{i=n-1} i^2
\]

y por consiguiente

\[
S_n = n a_1 b_1 + \frac{n(n-1)}{2} \left[ a_1 r' + b_1 r + \frac{2n-1}{3} rr' \right]
\]

1.a aplicación.—Si suponemos \( \begin{cases} a_1 = b_1 \\ r = r' \end{cases} \) resulta:

\[
S_n = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \ldots + a_n^2 = n a_1^2 + n(n-1) \cdot r \left( a_1 + \frac{2n-1}{6} r \right)
\]

esto es, la conocida fórmula de la suma de los cuadrados de los términos de una progresión por diferencia.

2.a aplicación.—La suma de los \( n \) números figurados de 2.o orden (triangulares) es:

\[
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + \ldots + \frac{n(n+1)}{2} = \left( 1 + 6 + 15 + \ldots + \frac{n(n-1)}{2} \right)
\]
\[
+ \left( 3 + 10 + 21 + \ldots + \frac{n(n+1)}{2} \right)
\]
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 10

en prenant pour \( x_1, x_2, \ldots x_{n-1} \) des nombres pairs arbitraires et en déterminant \( x_n \) d'après (6), ces valeurs, transportées dans (5), donnent pour \( x \) une valeur entière. Les équations (4) permettent ensuite de calculer \( y_1, y_2, \ldots y_n \).

Application.—Par exemple, on propose de résoudre en nombres entiers l'équation

\[
3x^2 = y^2 + z^2 + t^2.
\]

D'après la méthode indiquée, on doit d'abord résoudre l'équation

\[
x^2 + z^2 + t^2 = 2(x + z + t).
\]

En prenant

\[
x = 10,\quad z = -6,\quad t = -2,
\]

on a une solution, en nombres pairs, de l'équation

\[
x + z + t = 2.
\]

Donc

\[
100 + 36 + 4 = 4x.
\]

ou

\[
x = 35.
\]

Puis \( y, z, t \) se déterminent par les égalités

\[
x - y = x,\quad x - z = 3,\quad x - t = 7.
\]

On trouve

\[
y = 25,\quad z = 41,\quad t = 37.
\]

Comme vérification, on doit avoir

\[
3(35)^2 = 25^2 + 41^2 + (37)^2.
\]

Remarque.—Dans le calcul précédent, \( x_1 \ldots x_{n-1} \) sont des nombres pairs arbitraires; il y a donc une infinité de solutions.

Il est facile d'observer que (A), (B) sont incompatibles, car elles donnent, par combinaison,

\[
2x + 2z_1z_2 = 1;
\]

égalité manifestement impossible à vérifier par des nombres entiers, positifs ou négatifs.

On pourrait poser

\[
x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 20.
\]

Mais on ne généralise pas, en agissant ainsi, les solutions qui correspondent au cas où \( b = 1 \). Il est bien évident, en effet, que si

\[
x, y_1, y_2 \ldots y_n
\]

constituent une solution entière de l'équation proposée, les quantités

\[
\theta x, \theta y_1, \theta y_2, \ldots \theta y_n
\]

quel que soit l'entier \( \theta \), donnent une solution entière de cette même équation.
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 11

3.—Je dois dire, avant d’aller plus loin, que l’idée de généraliser l’équation de Pell m’a été inspirée par une question que M. Émile Lemoine m’avait adressée pour être proposée aux lecteurs du Journal de Mathématiques.

Voici quelle était cette question:
Si entre trois nombres entiers différents x, y, z, on a la relation

\[
2x^2 = y^2 + z^2,
\]

le nombre \(2x(2x - y - z)\) sera la somme de deux carrés entiers.

Cette question, comme l’indiquait la lettre d’envoi, se résout bien simplement en observant que

\[(x - y)^2 + (x - z)^2 = y^2 + z^2 + 2x^2 - 2x(y + z).\]

En tenant compte de l’hypothèse, on a

\[(x - y)^2 + (x - z)^2 = 2x(2x - y - z),\]

et la proposition se trouve établie.

On voit comment cette remarque nous a conduit bien naturellement à généraliser l’équation de Pell, comme nous venons de le montrer.

4.—Parmi les équations de Pell généralisées, on peut encore citer la suivante

\[nx^2 = y^2 + (n - 1)x^2,\]

laquelle, pour \(n = 2\), donne l’équation de Pell.

Le calcul précédent donne une infinité de solutions de cette équation en prenant:

1.º Pour \(x_1\) un nombre pair arbitraire;
2.º Pour \(x_2, x_3, \ldots x_n\), des nombres pairs, arbitraires, égaux.

Application.—Prenons, par exemple, l’équation

\[3x^2 = y^2 + 2z^2.\]

Nous lui substituons, en conservant les notations employées au § 2, conformément à la marche que nous avons donnée, l’équation

\[x^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 2x(\beta + \gamma).\]

Avec les équations auxiliaires

\[x + \beta + \gamma = 2,\quad x - y = x,\quad x - z = \beta,\quad x - t = \gamma.\]

On a donc, dans ce cas, \(\beta = \gamma\).
et les équations simplifiées sont

\[x^2 + 2\beta^2 = 2x(x + 2\beta),\]
\[x + 2\beta = 2,\quad x - y = x,\quad x - z = \beta.\]
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 12

Prenons, arbitrairement, pour x un nombre pair; par exemple, faisons \( x = 6 \). Alors, on a \( \beta = -2 \); puis \( x = 11, \ y = 5, \ z = 13 \).
Comme vérification, on doit avoir
\[
3(11)^2 = (5)^2 + 2(13)^2.
\]
5.—Les questions envisagées plus haut rentrent toutes dans le type
\[
Mx^2 = Ay^2 + Bz^2 + ... + Kt^2,
\]
lorsqu'on suppose
\[
M = A + B + ... + K.
\]
La méthode que nous avons suivie jusqu'ici s'applique, pour des raisons évidentes; à l'équation (7)
1.º Proposons-nous, par exemple, de résoudre l'équation
\[
5x^2 = 2y^2 + 3z^2.
\]
Le tableau des équations auxiliaires, dressé conformément aux principes que nous avons exposés, est, dans cet exemple, constitué de la manière suivante:
\[
2x^2 + 3z^2 = 2x(2x + 3z),
\]
\[
2x + 3z = 2.
\]
\[
x - y = z, \quad x - z = \frac{2}{3}.
\]
En prenant pour \( \beta \) un nombre pair arbitraire, par exemple, \( \beta = 6 \), on a, successivement,
\[
x = -8, \quad x = 59, \quad y = 67, \quad z = 53.
\]
Comme vérification, on doit avoir
\[
5(59)^2 = 2(67)^2 + 3(53)^2.
\]
2.º Soit encore à résoudre
\[
7x^2 = 2y^2 + 5z^2.
\]
on posera
\[
2x + 5z = 2,
\]
et, en prenant \( \beta = 2 \), on trouve immédiatement
\[
x = 13, \quad y = 17, \quad z = 11.
\]
On a bien, comme vérification,
\[
7(13)^2 = 2(16)^2 + 5(11)^2.
\]
6.—Dans le cas le plus général, on opérera comme nous allons l'indiquer.
L'identité
\[
\lambda_1(x - y_1)^2 + \lambda_2(x - y_2)^2 + ... + \lambda_n(x - y_n)^2
\]
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 13

si l'on suppose

\[
x^2 \sum \lambda_i - 2x \sum \lambda_i y_i + \sum \lambda_i y_i^2,
\]

donne

\[
\sum \lambda_i (x - y_i)^2 = 2x \left| x(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n) - (\lambda_1 y_1 + \ldots + \lambda_n y_n) \right|.
\]

En posant, comme nous l'avons déjà fait,

\[
x - y_1 = x_1, \ldots x - y_n = x_n
\]

l'équation précédente devient

\[
\sum \lambda_i x_i^2 = 2x \sum \lambda_i x_i.
\]

Pour résoudre l'équation proposée, il suffira de poser

\[
\sum \lambda_i x_i = 2,
\]

et de prendre pour \( x_1, x_2, \ldots x_{n-2} \) des entiers pairs, arbitraires; puis, on choisira \( x_{n-1} \) de façon que

\[
\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \ldots + \lambda_{n-1} x_{n-1} = 2,
\]

soit divisible par \( \lambda_n \). Ceci peut être réalisé d'une infinité de manières, en résolvant une équation indéterminée, du premier degré, à deux inconnues.

7.—On peut observer que de nombreuses équations indéterminées se rattachent à l'équation de Pell généralisée.

Prenons, pour en citer un exemple, l'équation

(8)

\[
x^2 + y^2 - xy = z^2. (*)
\]

Pour résoudre cette équation, observons qu'en la considérant comme une équation du second degré on \( x \), son discriminant

\[
y^2 - 4(y^4 - z^2)
\]

doit être un carré parfait. En effet, s'il en était autrement, les racines seraient incommensurables.

(*) Comme on le voit, cette équation correspond au problème suivant: Trouver deux nombres entiers tels que la somme des carrés de ces nombres, diminuée de leur produit, soit un carré.
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 14

Posons donc \( 4z^2 - 3y^2 = K^2 \).

Cette équation résolue par la méthode indiquée dans cette Note donne, par exemple,

\[
z = 6,\quad y = 5,\quad K = 11.
\]

On trouve ensuite \( x = 8 \).

Comme vérification, on doit avoir

\[
(8)^2 + (5)^2 - (8 \times 5) = (7)^2.
\]

L'équation en \( x \) qui a donné la solution précédente et qui est obtenue en faisant, dans (8),

\[
y = 5,\quad z = 7
\]

admet une seconde racine \( x = -3 \). En la changeant de signe, on obtient une solution \((x = 3, y = 5, z = 7)\) de l'équation

\[
x^2 + y^2 + xy = z^2.
\]

8.—En terminant, nous signalerons encore une généralisation de l'équation de Pell, en indiquant une solution de l'équation

\[
x^2 = y^2 + p z^2,
\]

dans laquelle \( p \) désigne un nombre entier, quelconque.

Cette équation peut se mettre sous la forme suivante:

\[
\frac{x + y}{p z} = \frac{z}{x - y} = t.
\]

On en déduit

\[
x + y = pzt,\quad t(x - y) = z,
\]

et, par conséquent

\[
2x = \frac{z(p t^2 + 1)}{t},\quad 2y = \frac{z(p t^2 - 1)}{t}.
\]

Le nombre \( t \), que nous supposons entier, doit donc diviser le produit \( z(p t^2 + 1) \); or, il est premier avec \( p t^2 + 1 \); donc, il divise \( z \).

Posons donc \( z = 2 \lambda t \),
et nous avons

\[
x = \lambda(p t^2 + 1),\quad y = \lambda(p t^2 - 1).
\]

Dans ces formules on peut donner aux paramètres \( \lambda, t \), des valeurs entières, quelconques d'ailleurs.

Remarque.—Si l'on suppose \( y = 1 \), l'équation

\[
x^2 = 1 + p z^2
\]
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 15

admet toujours une solution entière si \( p \) est égal à \( 4n(n-2) \), \( n \) désignant un nombre entier.

En posant \[ x = 2n^2 - 4n + 1,\quad z = n - 1, \] on a, en effet,
\[ 4n(n-2)(n-1)^2 + 1 : (2n^2 - 4n + 1)^2. \]

RECEPCIONES EN LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

RESEÑA DE LOS MEDIOS EMPLEADOS POR LA GEOMETRÍA PURA ACTUAL PARA ALCANZAR EL GRADO DE GENERALIDAD Y DE SIMPLIFICACIÓN QUE LA DISTINGUE DE LA GEOMETRÍA ANTIGUA (*).—Este es el tema que el ilustradísimo catedrático de Geometría descriptiva de la Universidad Central, doctor y arquitecto D. Eduardo Torroja, desarrolló en su discurso de recepción en la Real Academia de Ciencias de Madrid.

Con profundo conocimiento del asunto, que no podía faltar al que desde que ocupó su cátedra en la Universidad Central, ha dedicado con éxito sus esfuerzos á crear la nueva asignatura de la Geometría proyectiva, especialmente desde el punto de vista de Staudt, el Sr. Torroja hizo una síntesis que abarca la extensión actual de la Geometría pura.

Observa que después de pasada la primera época en que la Geometría analítica se sobrepuso á la Geometría antigua por efecto del prodigioso auxilio que le prestara el Álgebra, los geómetras volvieron la vista hacia los antiguos métodos, aspirando y consiguiendo el llevar á la Geometría pura el grado de generalidad á que llegara la analítica, hasta el punto de que reaccionando á su vez sobre ésta, haya llegado á imprimirle en estos últimos años grandes adelantos con el uso de los sistemas de coordenadas proyectivas, ensanchando su campo en términos que no hubiera conseguido probablemente sin el eficaz auxilio de las teorías nacidas en el campo de la Geometría pura.

La división del trabajo del Sr. Torroja se basa en los tres casos que pueden ocurrir en las diversas disposiciones de una figura, según que sus elementos cambien de posición relativa, se alejen indefinida-

(*) Deseando poner al corriente á los lectores de El Progreso Matemático de algunos actos oficiales que conciernen á las ciencias matemáticas en España, creemos de gran interés el comenzar por la reseña del trabajo leído por el catedrático de la Universidad Central, don Eduardo Torroja, en su recepción pública en la Real Academia de Ciencias verificada el 29 de Junio del año pasado.

Z. G. de Q.
El Progreso matemático (1894-02-15 00:00:00), página 16

mente, ó que en una disposición contenga la figura elementos de que no se encuentra vestigio en la otra.

Después de hacer referencia á los trabajos de Carnot, Moebius y Poncelet en lo que concierne á la introducción de los signos en la Geometría pura, y aun de Staudt, que llegó al extremo de razonar, no sobre la figura que en nuestra imaginación formemos, sino sobre los elementos que en ella considera puestos nuestra razón, se ocupa el Sr. Torroja de otro de los medios que contribuyen á generalizar las propiedades de la extensión, á saber, la introducción de los elementos del infinito ó elementos impropios, sobre todo en cuanto concierne á las propiedades descriptivas de carácter proyectivo, cuya aplicación á éstas permite además extender los conceptos geométricos; y al tratar de la ley de dualidad, se detiene en investigaciones sobre los sistemas de coordenadas proyectivas, y en los resultados que debe la ciencia á Poncelet, Moebius, Steiner y Chasles sobre la correlación, la reciprocidad, la homografía ó colineación, y de los teoremas fundamentales en que Staudt hizo estribar su sistema de las formas armónicas.

La última parte del discurso del Sr. Torroja está dedicada al examen de los elementos imaginarios conjugados, cuya definición y concepto se hallan basados en el de la involución, explicando de una manera detallada y completa cómo la reunión de los conceptos de involución y de sentido, desempeña el papel de elemento, análogo al de los reales, y la manera de representarlos.

Concluye observando que la misión de la Geometría pura no ha terminado, «pues el que mirado aisladamente parece edificio completo, es de esperar que en porvenir no lejano se convierta, en simple basamento de otro mucho más vasto, y abrigando la esperanza fundada en la experiencia de lo pasado, de que pronto se encuentren á igual altura las dos teorías analítica y geométrica de las líneas y de las superficies, sin que debamos limitarnos exclusivamente á uno de los dos métodos de investigación, y sí al contrario aplicarlos simultáneamente en todas las cuestiones.

En la erudita contestación del Excmo. Sr. D. Francisco de Paula Arrillaga, Director del Instituto geográfico y estadístico hizo constar que al establecer el Sr. Torroja en la Universidad Central un curso completo de la moderna Geometría, y que es sabido se debe á su iniciativa personal, no existía otro precedente en España que la muy estimable Introducción á la Geometría superior escrita en 1867 por el señor Echegaray.