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position dans un plan. Trouver le lieu d’un point M de la droite mobile. Montrer qu’il est possible de transformer ce mode de génération en un autre qui indique, d’une manière immédiate et très simple, toutes les formes que la courbe peut affecter (n.º 9. p. 14).

Prenons pour origine le centre O du cercle, pour axe des x la perpendiculaire O.D à BD. Posons AM = b, OD = d, OA = a, ∠AOP = u, ∠MAH = θ. Nous aurons à éliminer u et θ entre les 3 équations

\[
x = a \cos u + b \cos \theta, \quad y = a \sin u + b \sin \theta, \quad d = a \cos u + l \cos \theta.
\]

Cette élimination conduit à l’équation

\[
y = \frac{\sqrt{a^2(l-b)^2 - (db-lx)^2}}{l-b} = \frac{b}{l-b} \sqrt{(l-b)^2 + (x-d)^2}
\]

On voit que l’ordonnée d’un point quelconque du lieu est la somme algébrique des ordonnées de 2 ellipses qui ont pour équations

\[
y = \frac{1}{l-b} \sqrt{d^2(l-b)^2 - (db-lx)^2}
\]
\[
y = \frac{b}{l-b} \sqrt{(l-b)^2 - (x-d)^2}
\]

Ces ellipses ont leur grand axe sur Ox. Leurs centres ont pour abscisses

\[
x = \frac{db}{l} \quad \text{et} \quad x = d.
\]

Les cercles qui leur ont donné naissance ont respectivement pour équations

\[
l^2 y^2 = a^2 (l-b)^2 - (db-lx)^2
\]
\[
y^2 = (l-b)^2 - (x-d)^2.
\]

Vérifications. Pour \( l = d - a \), on a \( x = b + a \). Si \( b = 0 \), \( y = \sqrt{a^2 - x^2} \): c’est le cercle donné. Si \( b = l \), \( x = d \). Si \( d = o \), BD se confond avec
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Oy. On sait que dans ce cas le lieu du point M est une ellipse, car \( OA + AB = cte = l + a \). L'équation du lieu devient en effet

\[
y = \frac{a + b}{l - b} \sqrt{(l - b)^2 - x^2}.
\]

On peut construire la normale à la courbe au point M par la considération des centres instantanés. Cette normale passe par l'intersection I de OA prolongé et de BI perpendiculaire à BD.

Fig. 7.        Fig. 8.

De ce qui précède résulte une discussion très simple de toutes les formes que le lieu du point M peut affecter. Nous nous contentons de les figurer ci-après, en même temps que les ellipses auxiliaires.

Fig. 9.

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

Desde hace pocos años una nueva rama ha principiado á desarrollarse con vigoroso impulso entre las múltiples ramificaciones de la Geometría. Un nuevo y al parecer inagotable filón por esplotar se ofrece á las inteligencias, que seguramente ha de enriquecer los ya vastísimos dominios de la ciencia de la extensión.
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Difícil es hacer un trabajo completo y sistemático de lo que ha sido y está siendo resultado de numerosos esfuerzos realizados por asociaciones como la Société mathématique de France y después por la actual Association française pour l'avancement des sciences fusionada á la anterior, que anualmente sigue publicando en su Bulletin los resultados de los varios Congresos habidos en diversas ciudades de Francia, esfuerzos proseguídos con loable insistencia por periódicos como Mathesis, el Journal de mathématiques élémentaires et spéciales, The Educational Times, Archives der Physik und Mathematik de Grunert-Hoppe, etc., por individualidades tan notoriamente conocidas como los fundadores de este nuevo desenvolvimiento científico, señores Lemoine y Brocard. El Sr. Neuberg á quien cabe la gloria de haberles dado señalado impulso con otros importantes descubrimientos, el ilustre profesor de la Universidad de Dublin Dr. Casey con cuya muerte acontecida al comenzar este año, ha perdido la Geometría reciente, uno de los más distinguidos propagandistas, habiendo publicado en su obra A sequel to Euclid un Tratado de Geometría elemental reciente (1), que forma un capítulo suplementario de dicha obra, y en sus tratados de Geometría analítica y de trigonometría numerosas cuestiones de dicha nueva rama geométrica, habiéndose comenzado á formar así con estos preciosos materiales esparcidos en innumerables memorias un cuerpo de doctrina ó organismo didáctico.

Citar nombres como los de los Sres. Mathieu, Tucker, Artzt, Lanchamps, etc., que van frecuentemente unidos á los variadísimos y múltiples elementos que constituyen por su sólido engranaje esta nueva Geometría, fuera adelantar por el momento lo que iremos haciendo más pausada y detalladamente en nuestra escursión por estos dominios cuyas ramificaciones son tantas, que á los nombres de los ilustres geómetras consagrados á hacer fructificar directamente tan fecundos conceptos como los en que estriba la Geometría del triángulo, y que se irán citando en el curso de este trabajo, hay que agregar los de otras celebridades de la ciencia como el Sr. Cayley por su escrito A memoir on the rational transformation between two spaces, el Sr. Cremona por su Mota intorno ad alcuni teoremi di Geometria segmentaria y Sulle transformationi razionali nello spazio, etc., y anteriormente Simson, Crelle y Steiner han señalado de una manera incidental algunos puntos capitales ó de cierta importancia que hoy

(1) En el n.º 4 de este periódico se hicieron indicaciones de la traducción hecha al francés por M. Falisse.
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se hallan incluidos en este nuevo dominio de la Geometría, ó se refieren en cierto modo al mismo.

Comenzando á entrar en materia, observaremos desde luego que los primeros vestigios de este especial conjunto de proposiciones geométricas, hoy agrupadas bajo las denominaciones de Geometría del triángulo ó Geometría reciente se encuentran, como indica el ilustrado cronista de esta Geometría, M. Vigarié: 1.º en un escrito de Simon Lhuilier (Éléments d'Analyse géométrique et d'Analyse algébrique 1809, p. 296), donde trata del punto tal, que la suma de los cuadrados de las distancias á los lados del triángulo y á las caras del tetraedro sea mínima (punto de Lemoine). 2.º En una obra de Crellé donde se estudia cierto punto del plano de un triángulo (punto de Brocard), y se exponen las fundamentales fórmulas

\[
\cot \omega = \cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}
\]

\[
\cosec^2 \omega = \cosec^2 A + \cosec^2 B + \cosec^2 C;
\]

3.º en un trabajo de E. W. Grebe (Arch. de Grunert, 1847) donde se da la expresión

\[
m = \frac{2S}{\cot A + \cot B + \cot C}
\]

para las coordenadas normales de cierto punto. 4.º en la obra de M. Catalan (Théorèmes et problèmes de Géométrie élémentaire) donde se resuelve el problema: Hallar un punto M tal, que la suma de los cuadrados de sus distancias á los tres lados de un triángulo sea un mínimo, punto que es el centro de las distancias medias del triángulo PQR cuyos vértices son los pies de las perpendiculares bajadas desde dicho punto á los lados del ABC, ó sea el triángulo podar, no siendo ésta la única cuestión que se trata en dicha obra concerniente á la Geometría del triángulo. 5.º En un trabajo de Hoffmann (Arch. de Grunert, 1847) en el cual se propone hallar dos puntos \( \Omega, \Omega' \) (puntos de Brocard) tales que

\[
\angle \Omega AC = \angle \Omega BA = \angle \Omega CA = \omega = \angle \Omega' AB = \angle \Omega' BC = \angle \Omega' CA.
\]

Pero, como manifiesta M. Vigarié (Esquisse historique sur la marche du développement de la Géométrie du triangle, - Assoc. franç. - 1889), hasta el año 1873 sólo se encontraba una multitud de propiedades aisladas, poco conocidas ó olvidadas, y el punto de partida de esta nueva evolución de la Geometría, que ha excitado el interés y la ac-
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tividad de los geómetras de diversos países, se halla en los descubrimientos de MM. Lemoine y Brocard.

Las dos primeras memorias de M. Lemoine donde se encuentra la amplia base sobre la que después se ha desarrollado la Geometría del triángulo son: Sur quelques propriétés d’un point remarquable d’un triangle (Assoc. franç.—Congrès de Lyon. 1873), Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle (Assoc. franç.- Congrès de Lille. 1874).

En la primera define lo que llama mediana antiparalela, es decir, la recta que une el vértice de un ángulo del triángulo con los puntos medios de las antiparalelas respecto á dicho ángulo, así como el centro de las medianas antiparalelas (después llamado punto de Lemoine, según propuso M. Neuberg que es el punto \( \omega \) de intersección de las tres medianas antiparalelas de un triángulo):

Considera enseguida en el plano de un triángulo un punto O por el que se trazan paralelas á los lados de aquél y que los cortan en seis puntos 1, 4; 2, 5; 3, 6, vértices de un exágono inscriptible en una cónica

Después de indicar á qué posición del punto O corresponde una elipse, una hipérbola ó una parábola, observa que en el caso de confundirse con el punto \( \omega \), los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 pertenecen á una circunferencia (que después se llamó primer círculo de Lemoine), siendo las cuerdas que los lados determinan en ésta proporcionales á los cubos de los lados del triángulo á que pertenecen dichas cuerdas, y hallándose el centro de la circunferencia en el punto medio de la recta que une el centro de las medianas antiparalelas con el centro de la circunferencia circunscrita.

Pero además, cuando el punto O se confunde con el \( \omega \), las longitudes 12, 34, 56 son iguales, y las rectas 12, 34, 56 son antiparalelas á las BC, CA, AB, con respecto á los ángulos CAB, CBA, ACB (1); y si por el punto \( \omega \) se trazan antiparalelas á los tres lados, los segmentos de estas rectas comprendidos entre los lados del triángulo son iguales, y se hallan divididos en dos partes iguales por el punto \( \omega \) (2), estando expresada la longitud común de las tres por

\[
2 \frac{abc}{a^2 + b^2 + c^2} \tag{3}
\]

(1) Véase en la pág. 80 de este periódico.
(2) En este caso resulta otro círculo que se denomina segundo círculo de Lemoine.
(3) Esta fórmula es la deducida en el corolario de la pág. 78, pues si en fig. 5.a de la lámina 8.a se traza por K la paralela MN á EF, evidentemente dividida en dos partes iguales por K, se tiene KN = \( z \): sen ANM = \( z \): sen C, y además 2S = ab sen C.
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Siendo \( l_a \) longitud de la recta que une el punto A al medio de BC; si \( a, b, c \) son las longitudes de los tres lados BC, AC, AB del triángulo y \( z \) el punto de intersección de la recta \( A\omega \) con BC, se tiene.

\[
Az = \frac{bc}{b^2 + c^2} l_a.
\]

Además el punto \( z \) es tal, que:

\[
\frac{Cz}{zB} = \frac{CA^2}{BA^2}
\]

De esto concluye M. Lemoine que según un teorema de M. Hossard el punto \( \omega \) es el punto estudiado por un gran número de geómetras para el que la suma de los cuadrados de las perpendiculares bajadas sobre los tres lados del triángulo es un mínimo.

Después de exponer un procedimiento para determinar dicho punto, expone M. Lemoine nuevas propiedades en la 1.a de las Memorias arriba citadas de la que nos estamos ocupando.

Si por por A, B, C se trazan las perpendiculares \( x'\gamma', x''\beta', \gamma'\beta' \) á AC, AB, BC, y las perpendiculares \( x''\beta'', \beta''\gamma'', x''\gamma'' \) á AB, CB, AC, las rectas \( x'x'', \beta''\beta'', \gamma''\gamma'' \) pasan por el centro del círculo circunscrito de ABC, los tres puntos \( A_1, B_1, C_1 \) en que estas rectas cortan á BC, AC y AB se hallan en línea recta, y si \( x, \beta, \gamma \) son los conjugados armónicos de \( A_1, B_1, C_1 \) con relación á BC, AC, AB, las tres rectas Az, B\(\beta\), C\(\gamma\) se cortan en el punto \( \omega \), centro de las medianas antiparalelas (que como se dijo ya se llama punto de Lemoine).

Antes de tratar de la segunda memoria arriba citada, presentaremos algunas demostraciones que, si bien son demasiado sencillas y podríamos omitir, no dejan de tener importancia, tratándose de ir fijando las proposiciones fundamentales de la Geometría del triángulo.

- Principiaremos por indicar la demostración del problema:

XLIX (livr. III) (1): Hallar un punto M tal, que la suma de sus distancias á tres puntos dados A, B, C sea un mínimo.

Suponiendo que sea M dicho punto, para otro punto cualquiera se tendrá

\[
MP^2 + MQ^2 + MN^2 < M'P'^2 + M'Q'^2 + M'N'^2 < M'P^2 + M'Q^2 + M'N^2.
\]

(1) Théorèmes et problèmes de Géom. élém. par E. Catalan, dixième edition, 1879.
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aux points B, C, aux côtés AB, AC; le demi-paramètre P de cette courbe est donné par la formule

\[
P = \frac{S^2}{m^3};
\]

dans laquelle S désigne l'aire de ABC; m la longueur de la médiane AM qui correspond au sommet A (1) (fig. 1.a).

Des propriétés connues prouvent que : 1° \( P_a \) passe par le milieu de AM 2° la tangente en ce point est la droite B'C' obtenue en joignant le milieu de AB, au milieu de AC; 3° le foyer F appartient au cercle circonscrit au triangle AB'C' (théorème de Lambert (2)); 4° F appartient aussi à la symédiane du sommet A (théorème de Poncelet (3)); 5° En projetant F sur les côtés AB, AC, on obtient deux points H, H'; HH' est la tangente au sommet.

Nous poserons

\[
CAM = \alpha, \quad MAB = \beta,
\]

et nous désignerons par R le rayon du cercle circonscrit à ABC; R sera donc le diamètre du cercle circonscrit à AB'C'.

Le quadrilatère inscrit C'AB'F donne

\[
B'C'.AF = B'F.AC' + C'F.AB',
\]
ou \( AF \sin A = B'F \sin B + C'F \sin C \).

On a, d'ailleurs \( B'F = R \sin \alpha, \ C'F = R \sin \beta \);

et

(1)

\[
\frac{m}{\sin C} = \frac{a}{2 \sin \alpha}, \quad \frac{m}{\sin B} = \frac{a}{2 \sin \beta}.
\]

(1) Ce théorème a été énoncé par M. Artzt en 1884, dans le Programme scolaire du Gymnasium de Recklinghausen. Une démonstration en a été donnée par M. Brocard, dans le Journal de Mathématiques spéciales; 1885, p. 124. Les formules indiquées (loc. cit.) sont inexactes. Elles ont été corrigées à la p. 240 du volume cité, mais incomplètement. Le facteur numérique de S2 est égal à 1, et non à 8.

Pour éviter toute confusion, il faut convenir que le paramètre d'une conique est la longueur de la demi corde focale qui est perpendiculaire à l'axe focal.

(2) Le cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à une parabole passe par le foyer de cette courbe.

(3) Les tangentes issues d'un point, à une conique, sont isogonales avec les droites qui vont du point considéré, aux deux foyers.
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Por consiguiente, el punto M es tal, que la suma de los cuadrados de sus distancias á los puntos P, Q, R es un mínimo, y por consiguiente, el centro de las distancias medias del triángulo PQR (1).

Además; si se trata CM, siendo C' su intersección con AC y las distancias C'D y C'E á AC y BC, así como la altura CI del triángulo y las perpendiculares QF y PG á MR prolongadas, de los triángulos semejantes que se forman, resulta:

\[
\frac{AC'}{BC'} = \frac{AC}{BC} \cdot \frac{C'D}{C'E}, \quad \frac{QM}{PM} = \frac{AC}{BC}, \text{ y en fin, } \frac{AC'}{BC'} = \frac{AC^2}{BC^2}
\]

por ser C'D, C'E proporcionales á MQ, MP, quedando demostrado que: las distancias del punto M á los lados del triángulo son proporcionales á estos lados (2), y que la recta trazada por el punto M y uno de los vértices divide al lado opuesto en segmentos proporcionales á los cuadrados de los lados adyacentes.

Vamos á demostrar ahora que: La recta DO que une un vértice del triángulo ABC al centro O del círculo circunscrito es perpendicular á las antiparalelas con la base BC respecto al ángulo A.

Siendo isósceles los tres triángulos formados en O, los \( \angle ADC' \) y \( \angle ADB' \) serán iguales como suplementos de \( \angle OAC + OC'A = \angle OAC + \angle ABO + \angle OBC \) y de \( \angle OAB + \angle AB'O = \angle OAB + \angle ACO + \angle ACB \).

También se puede probar fácilmente que: El punto medio de la recta KO (lám. 3.a fig. 6.a) que une el punto de Lemoine con el centro del círculo que pasa por los puntos D, D', E, E', F, F', pues si se une el punto medio de EF, por ejemplo, al punto medio de KO, la recta que los una será paralela á la AO, y por consiguiente perpendicular á EF en su punto medio, y lo mismo podrá deducirse para la ED', etc.

(Se continuará)

Z. G. de Galdeano.

(1) Esto resulta del teorema: La suma de los cuadrados de las distancias de n puntos A, B, C,... á un punto cualquiera S, es igual á la suma de los cuadrados de las distancias de estos mismos puntos á su centro O de las distancias medias, aumentando en n veces el cuadrado de SO. (Véase A sequel to Euclid, pág. 25).

(2) En la pág. 78 se expuso la demostración tomada de la obra del profesor Casey A sequel to Euclid ó de la traducción de M. Falisse de que se dio cuenta en el núm. 4º de este periódico.
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INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS INTEGRALES EULERIANAS
POR
D. LAURO CLARIANA Y RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona

1.—OBJETO DE ESTA MEMORIA.
Siendo las integrales eulerianas una de las ramas del análisis que más ha llamado la atención de los matemáticos modernos; y ya que estos conocimientos se encuentran por separado en diferentes obras, revistas, folletos, etc., esperamos que la idea de procurar, con la mayor claridad posible, un resumen de esta bella teoría, será aceptada con gusto por nuestros lectores.

Antes de dar comienzo á dicho estudio, presentaremos algunos principios y fórmulas que han de sermos útiles en la teoría que tratamos de exponer.

2.—Gauss llama cantidad compleja á la que se halla expresada por \( x + yi \), siendo \( x \) é \( y \) cantidades reales; y da el nombre de imaginaria á la cantidad \( x + yi \). Esta última expresión es la más general de la cantidad, y de ella se deduce la cantidad real, suponiendo \( y = 0 \). Si \( x \) é \( y \) son variables, la expresión \( x + yi \) constituye una variable imaginaria; la representación gráfica de la imaginaria corresponde al punto cuyas coordenadas son \( x \) é \( y \). Así pueden obtenerse tantos valores como se quieran bajo la forma \( x + yi \) correspondientes á los diferentes puntos de un plano.

La forma de las cantidades imaginarias puede modificarse al referirse á ejes polares. Así resulta:

\[
z = \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi), \quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},
\]

en el concepto de ser \( \rho \) la distancia del punto imaginario al polo, cuya distancia se llama módulo; \( \varphi \) el argumento que mide el ángulo del módulo con el eje polar, y \( \cos \varphi + i \sin \varphi \) el coeficiente de inclinación.

Por fin, se dice que una variable imaginaria ó compleja es continua, cuando \( x \) é \( y \) varían de una manera continua.

3.—CONDICIONES Á QUE DEBE SUJETARSE UNA FUNCIÓN COMPLEJA PARA ADMITIR UNA DERIVADA ÚNICA Y DETERMINADA.

Cuando \( x + yi \) describe una curva, debe entenderse que el punto cuyas coordenadas son \( x \) é \( y \) traza dicha curva. Ahora bien, si \( X + Yi \) es función de \( x + yi \), esta expresión admitirá una derivada única y
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bien determinada, é independiente de los valores arbitrarios que van tomando x é y al acercarse á un punto dado, si se sujeta á las condiciones que vamos á determinar

Según los principios generales del análisis, puede escribirse como expresión de la derivada

\[
\frac{dX + i dY}{dx + idy} = \left( \frac{dX}{dx} - dx + \frac{dX}{dy} - dy \right) + \left( \frac{dY}{dx} - dx + \frac{dY}{dy} - dy \right)i
\]

\[
= \left( \frac{dX}{dx} + i \frac{dY}{dx} \right) + \left( \frac{dX}{dy} + i \frac{dY}{dy} \right) \frac{dy}{dx}
\]

Para que esta derivada resulte independiente de los valores que que va tomando \( \frac{dy}{dx} \), ó sea de la dirección que toma la variable al acercarse al punto considerado, basta suponer

\[
\frac{dX}{dx} + i \frac{dY}{dx} = \frac{dX}{dx} + i \frac{dY}{dy} = 1,
\]
de donde

\[
\frac{dX}{dx} = \frac{dY}{dx}; \quad \frac{dY}{dx} = - \frac{dX}{dy}.
\]

Estas son las ecuaciones de condición que deben realizarse para que la función admita una sola derivada expresada por \( \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dx} \), ó también por \( \frac{dY}{dy} - i \frac{dX}{dy} \), cualquiera que sea el camino que siga la variable para alcanzar el punto supuesto. En este caso la función es monógena.

Las derivadas de las ecuaciones de condición procuran además las igualdades siguientes:

\[
\frac{d^2 X}{dx^2} = \frac{d^2 Y}{dx dy}, \quad \frac{d^2 Y}{dx dy} = - \frac{d^2 X}{dy^2}
\]
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\[
\frac{d^2 X}{dx^2} = \frac{d^2 Y}{dy^2}, \quad \frac{d^2 Y}{dx^2} = -\frac{d^2 X}{dy^2},
\]
de donde
\[
\frac{d^2 Y}{dx^2} + \frac{d^2 X}{dy^2} = 0, \quad \frac{d^2 Y}{dy^2} + \frac{d^2 X}{dx^2} = 0.
\]
Esto nos dice que solo deben admitirse para X e Y aquellos valores que se sujeten á las condiciones que anteceden.

En el concepto de referirse á coordenadas polares, se tendrá:
\[
z = \rho (\cos \omega + i \sen \omega),
\]
\[
dz = (\cos \omega + i \sen \omega) d\varphi + \rho (-\sen \omega + i \cos \omega) d\omega;
\]
de donde, si la función es \(u + v i\), resulta:
\[
\begin{align*}
d(u + v i) &= \left( \frac{du}{d\varphi} d\varphi + \frac{dv}{d\varphi} d\varphi \right) + \left( \frac{du}{d\omega} d\omega + \frac{dv}{d\omega} d\omega \right) i \\
&= (\cos \omega + i \sen \omega) d\varphi + \rho (-\sen \omega + i \cos \omega) d\omega \\
&= \frac{du}{d\varphi} \left( \frac{d\varphi}{d\omega} + i \frac{d\varphi}{d\omega} \right) + \left( \frac{du}{d\omega} + i \frac{dv}{d\omega} \right) \\
&= \frac{du}{d\omega} (\cos \omega + i \sen \omega) + \rho (-\sen \omega + i \cos \omega)
\end{align*}
\]
Este resultado será independiente de la relación \( \frac{d\varphi}{d\omega} \), si la sujetamos á las condiciones siguientes
\[
\frac{du}{d\varphi} + \frac{dv}{d\varphi} i = \frac{du}{d\omega} + \frac{dv}{d\omega} i,
\]
\[
\cos \omega + \sen \omega = \rho (-\sen \omega + i \cos \omega),
\]
igualdad que puede tomar la forma:
\[
\frac{\rho i}{1 - \sen \omega + i \cos \omega} \frac{du}{dx} - \frac{\rho}{1 - \sen \omega + i \cos \omega} \frac{dv}{dx} = \frac{du}{d\omega} + \frac{dv}{d\omega}
\]
de donde resultan las ecuaciones de condición.
El Progreso matemático (1891-09-20 00:00:00), página 24

\[
\frac{dv}{dw} = \frac{du}{dz}, \quad \frac{du}{dw} = -\frac{dv}{dz}
\]

4.—Probar que las funciones ordinarias son monógenas.

Las funciones ordinarias se hacen dependientes de la función exponencial, puesto que las expresiones

\[
y = x^m, \quad y = l.x, \quad y = \operatorname{sen} x, ... \text{etc.}
\]

pueden adquirir las formas siguientes:

\[
y = e^{u + iz}, \quad y.x = e^x, \quad y = \frac{e^x - 1}{2}, \quad -\frac{e^x - 1}{2}, \quad ... \text{etc.}
\]

Además, la exponencial es monógena; en efecto, sea

\[
e^{x + y i} = e^x (\cos y + i \sin y)
\]

al comparar este resultado con \( X + Y i \), se obtiene;

\[
X = e^x \cos y, \quad I = e^x \sin y
\]

ó sea

\[
\frac{dX}{dz} = e^x \cos y, \quad \frac{dI}{dy} = e^x \cos y,
\]
\[
\frac{dY}{dx} = e^x \sin y, \quad \frac{dX}{dy} = -e^x \sin y;
\]

luego la función exponencial es monógena, puesto que se verifican las ecuaciones de condición

\[
\frac{dX}{dx} = \frac{dY}{dy}; \quad \frac{dY}{dx} = -\frac{dX}{dy}.
\]

Ahora bien, como las otras funciones ordinarias dependen de ésta, de ahí resulta que las funciones ordinarias pueden considerarse todas monógenas.

¡Se continuará!