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El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 12

—...Las matemáticas tienen pues, por objeto, referir las magnitudes no inmediatamente mensurables á magnitudes inmediatamente mensurables. Por esto son una ciencia.... De aquí una serie de reducciones desde la magnitud más alejada á la más próxima; y es la reducción de unas magnitudes las unas á las otras lo que constituye la ciencia.....
Paul Janet.

—Las matemáticas forman, por así decirlo, un puente entre la metafísica y la física.
Kant.

—Las verdades geométricas son, en cierto modo, la asintota de las verdades físicas, es decir, el término á que éstas pueden aproximarse indefinidamente, sin llegar jamás con exactitud.
D'Alembert.

—Los enemigos de la geometría, los que no la conocen más que imperfectamente miran los problemas técnicos que constituyen su parte más difícil, como juegos del espíritu que absorven un tiempo y meditaciones que se pudieran emplear mejor; opinión falsa y nociva al progreso de la ciencia, si se pudiera acreditar. Pero además de que las proposiciones especulativas, estériles en apariencia, acaban frecuentemente por aplicarse á objetos de utilidad pública, ellas subsistirán siempre como uno de los medios más adecuados para desarrollar y dar á conocer todas las fuerzas de la inteligencia humana.
Bossut.

—El origen de las nociones matemáticas ha dado lugar á controversias todavía pendientes entre los filósofos. Para unos los números y figuras son tipos creados totalmente por el espíritu.... para otros no constituyen una excepción á esta ley general según la que, todo conocimiento derivaría de la experiencia sensible. En un caso, las nociones matemáticas serían los modelos, en el otro las copias.
....En primer lugar no se negará que no son representaciones absolutamente exactas de las realidades exteriores..... El círculo de los geómetras tiene radios absolutamente iguales; jamás sucederá esto con un círculo real..... Igualmente, por variadas que sean las formas realizadas en la naturaleza, existen otras de que el geómetra estudia las propiedades, sin verlas jamás realizadas en el mundo exterior......
Liard.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 13

De la hermosa colección de pensamientos de Pascal, Duhamel, Vieta, Tanneri, Poncelet, Rabier, Delambre, Poinsot, etc., acerca del Método, que se suman para formar en la mente del lector una idea clara y precisa de éste, una síntesis completa de lo más fundamental que en este punto pueda conocer, sólo citaremos los siguientes:

—Las definiciones geométricas no preceden jamás á la aparición de las figuras que se trata de estudiar; por el contrario, las siguen y las fijan. Y sólo cuando se ha demostrado que una figura es posible y única, es permitido resumir por una palabra el resultado de esta demostración, y mirar convencionalmente esta palabra como equivalente, ó como la definición de la figura.

J. F. Bonnel,

Aceroa de la Geometría y el análisis ¡qué notables pensamientos no encontraremos en la magnífica colección de que nos estamos ocupando! Ya acerca de la geometría y el álgebra de Sofía Germain y Poncelet, ya sobre la homogeneidad de Augusto Comte sobre las fórmulas de Lagrange y Condorcet; entre ellos citaremos el siguiente pensamiento de Arago: Se dice que el análisis matemático es un instrumento. Esta comparación puede admitirse, con tal que se admita que este instrumento, como el Proteo de la fábula, debe cambiar sin cesar de forma. Esta sección termina con notables pensamientos de Taine, Condillac, Charpentier, Poinsot, Chasles, D'Alembert y Mouchot.

Bajo los epígrafes: Los números, los símbolos y las funciones, el límite, lo infinitamente grande e infinitamente pequeño, se contienen numerosas frases que hacen referencia á las claves, las imaginarias, los cuaternios, las equipolencias, etc.

Sigue la sección de matemáticas aplicadas con frases de Arago, Fourier, Fontenelle, Euler y una reseña de las diferentes ramas de esta ciencia.

Muy provechosos resultados puede esperar el lector de las descripciones, disertaciones, breves definiciones y trozos selectos entresacados de las obras de los grandes maestros y pensadores matemáticos y filósofos como Delambre, Galileo, Herbert, Spencer, Bossuet, Pascal, Laplace, y otros, acerca de la geometría descriptiva, la mecánica y las probabilidades. Y como si no fuera suficiente tanta variedad de máximas instructivas, siguen las dos secciones que tratan de la enseñanza y de la historia, constituyendo esta última una breve reseña de los períodos en que se divide, así como de los más célebres matemáticos, los genios creadores, que se hallan perfectamente caracterizados
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 14

por sus descubrimientos, así Arquímedes por la Geometría infinitesimal, Tolomeo por la Astronomía, Galileo por la mecánica, etc. En fin la primera parte de la obra, destinada á los trozos escogidos y pensamientos, termina con la interesante sección de filosofía moral y variedades, que comienza con las frases:

Vos habeis dispuesto todas las cosas con número, peso y medida (Biblia).

Los números rigen el mundo (Pitágoras), etc., y termina desarrollando el tema de que: Las matemáticas son una escuela de Lógica aplicada que nos forman indirectamente para razonar bien sobre otros asuntos distintos de los números y de las líneas, que según la expresión de Descartes nos enseñan á conducir por orden nuestros pensamientos.

La parte de la obra destinada á variedades y anécdotas, como su epígrafe indica, es amena y de carácter literario, conteniendo multitud de anécdotas concernientes ya á los sabios, á los profesores y estudiantes, frases acerca de las matemáticas, tanto de sus admiradores y defensores como de sus detractores, hechos y dichos célebres, todo lo cual ilustra en muchos detalles interesantes recreando, y se advierte además que multitud de asuntos especiales sirven de ocasión para frases y pensamientos profundos e instructivos.

La sección que trata de Paradojas y singularidades difiere poco de la anterior, y bajo los epígrafes de: filosofía, historia, método, objeciones, desiderata, lengua, literatura y bellas artes, curiosidades y rarezas, fantasías, contiene ya pensamientos serios y profundos debidos á los más célebres filósofos, científicos y literatos, ya noticias y relaciones amenas y delectables.

No hay para que insistir en la última sección destinada á problemas curtosos y humorísticos, pues su epígrafe es suficiente para revelar las variedades y singularidades en él contenidas.

En suma, la obra de que hemos hecho una descripción ligera, si se atiende á la vastísima extensión de su contenido, un arsenal de pensamientos, frases, noticias y curiosidades que deleitando ilustran más que otras muchas obras magistrales, por ser una compilación de cuanto de más notable se ha escrito ó se ha dicho con referencia á las ciencias matemáticas, de cuyo espíritu, concepto y contenido general queda en posesión el lector.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 15

NOTA acerca de la cuestión 25 (t I p. 268) por M. H. Brocard

Resolver las ecuaciones:

\[
x_1 + t = a (x_3 + x_3)
\]
\[
x_2 + t = (a + 1) (x_3 + x_4)
\]
\[
x_3 + t = (a + 2) (x_4 + x_1)
\]
\[
x_4 + t = (a + 3) (x_1 + x_2)
\]

Esta cuestión está tomada de una colección de tres escritos de León Fibonacci, más conocido por Leonardo de Pisa, publicadas en 1854 por el príncipe B. Boncompagni.

En la cuenta de ella publicada en los N. A. M. (1856), se dió á conocer la solución siguiente de Leonardo:

\[
x_1 = -1, \qquad x_3 = +1
\]
\[
x_2 = x_4 = a + 2, \qquad t = a^2 + 3a + 1
\]

Estos son, en efecto, como lo ha establecido M. Fauquembergue (Mathesis, 1888) los valores que pueden deducirse de las ecuaciones dadas, designándolas por abreviar, por (1), (2), (3) y (4), y formando la cantidad

\[
(1) + (3) - (2) - (4), \text{ que se reduce á}
\]
\[
x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0
\]

teniendo en cuenta este resultado, se halla para (1) — (2) la relación

\[
a (x_4 - x_4) = 0 \text{ de donde } x_2 = x_4, \text{ y por consiguiente } x_1 = -x_3
\]

Reemplazando \(x_4\) por \(x_4\) y \(x_3\) por \(-x_1\), se tiene para determinar \(x_1\) y \(x_2\) las ecuaciones (2) y (2) — (4) ó

\[
(a + 1) x_1 - a x_2 + t = 0
\]
\[
(a + 2) x_1 + x_2 = 0
\]

de las que se obtiene

\[
x_1 = -\frac{t}{a^2 + 3a + 1}, \qquad x_2 = \frac{(a + 2)t}{a^2 + 3a + 1},
\]

y como el sistema es indeterminado, se puede disponer de \(t\) y de \(a\)
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 16

para escribir \( t = a^2 + 3a + 1 \), lo que da las soluciones del sistema en números enteros.

Véase también Annales de Tortolini (t. VII. 1856.)

Cuestión 53 (véase t. II, pág. 127)

"Demostrar que si se une un punto cualquiera C de una circunferencia O con los extremos de un diámetro AB, y se trazan las bisectrices interiores de los ángulos ACO y BCO, obtenidos los cuatro segmentos p, q, r, s del diámetro, se verifica la relación,"

\[
\frac{p^2}{q^2} + \frac{s^2}{r^2} = 4
\]

(J. J. Durán Loriga)

Solución por D. Ángel Bozal

En el triángulo ACO se verifica, que la bisectriz aC divide al lado AO en dos segmentos p y q proporcionales á los lados AC y OC adyacentes; luego

\[
\frac{AC}{p} = \frac{CO}{q}
\] (1).

Por idéntica propiedad se verifica en el triángulo BCO que

\[
\frac{RC}{s} = \frac{OC}{r}
\] (2).

Además, siendo O el punto medio de AB, la recta CO es mediana del triángulo ACB; luego el doble del cuadrado de esa mediana, más el doble del cuadrado de la mitad de AB, será igual á la suma de los cuadrados de los otros dos lados AC y BC del referido triángulo; luego \( 2CO^2 + 2AO^2 = AC^2 + BC^2 \) y como \( CO = AO = p + q \), resulta

\[
2(p + q)^2 + 2(p + q^2) = AC^2 + BC^2
\]
ó sea
\[
4(p + q)^2 = AC^2 + BC^2
\] (3).

Pero de las (1) y (2) resulta sucesivamente

\[
AC^2 = \frac{p^2}{q^2} CO^2,
\]
\[
BC^2 = \frac{s^2}{r^2} OC^2
\]
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 17

ó sea, según lo dicho,

\[
\overline{AC}^2 = \frac{p^2}{q^2} (p + q)^2 \qquad \overline{BC}^2 = \frac{s^2}{r^2} (p + q)^2
\]

valores que llevados á la (3) dan

\[
4 (p + q)^2 = (p + q)^2 \left[ \frac{p^2}{q^2} + \frac{s^2}{r^2} \right]
\]

ó dividiendo por \((p + q)^2\), resulta

\[
\frac{p^2}{q^2} + \frac{s^2}{r^2} = 4
\]

Solucion por el Sr. Schiappa Monteiro

Como se sabe, en los triángulos ACO y OCB se tienen las relaciones

\[
\frac{p}{q} = \frac{CA}{CO} \quad y \quad \frac{s}{r} = \frac{CB}{CO}
\]

que elevadas al cuadrado y sumadas, miembro á miembro, dan

\[
\frac{p^2}{q^2} + \frac{s^2}{r^2} = \frac{CA^2 + CB^2}{CO^2}
\]

pero

\[
CA^2 + CB^2 = AB^2 = 4 OC^2
\]

luego

\[
\frac{p^2}{q^2} + \frac{s^2}{r^2} = 4
\]

NOTA. La solución remitida por D. Ricardo Caro está expresada en los mismos términos; por eso creemos innecesario reproducirla.

Cuestión núm. 58. (Véase tomo II, pág. 128).

Se dan dos planos paralelos que contienen, el uno una recta D, el otro una parábola P cuyo eje es paralelo á la recta D. Se pide determinar la superficie de revolución engendrada por esta parábola al girar alrededor del eje D. Casos particulares y comprobaciones.

(H. Brocard.)

Solución por el Sr. Schiappa Monteiro

Tomemos por plano de las \(x, z\) el que contiene la recta D; por plano de las \(y, z\) el plano perpendicular á éste trazado por dicha recta; y en fin, por plano de las \(x, y\) el plano perpendicular á éstos trazado por el vértice S de la parábola.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 18

Teniendo esta cónica \( p \) por parámetro, y siendo las coordenadas de S

\[
x = OA = l,\ y = OB = k\ y\ z = o,
\]

sus ecuaciones serán

\[
(x - l)^2 = pz\quad (1)\qquad\text{é}\qquad y = k\qquad (2)
\]

Considerando la superficie pedida como engendrada por un círculo (\( \Delta \)) cuyo centro recorre la recta D, mientras que su plano permanece perpendicular á este eje y cuya circunferencia encuentra constantemente á la parábola P; este círculo móvil pasa á ser una generatriz de la superficie cuyas ecuaciones son

\[
x^2 + y^2 = p^2\quad (3)\qquad y\qquad z = \gamma,\qquad (4)
\]

siendo el radio \( p \) de este círculo y su distancia al plano de las \( x, y \) constantes arbitrarias ó parámetros variables.

Esto sentado, es preciso expresar que esta generatriz (\( \Delta \)) tiene siempre un punto común de su circunferencia con esta parábola, eliminando \( x, y, z \) entre las ecuaciones precedentes, y obtendremos la relación

\[
(l \pm \sqrt{p^2 - k^2})^2 = p \cdot \gamma\qquad (5)
\]

Eliminemos enseguida \( p \) y \( \gamma \) entre las tres ecuaciones últimas, y tendremos para la superficie anular propuesta

\[
(l \pm \sqrt{x^2 + y^2 - k^2})^2 = p \cdot z\qquad (6)
\]

Esta ecuación, después de haber desaparecido los radicales, será de cuarto grado; pero puede discutirse fácilmente bajo su forma actual.

Representa un núcleo vacío (noyau vide) alrededor del eje de las \( z \), ó de la recta D.

CASOS PARTICULARES Y SUS CONFIRMACIONES

Cuando se tiene \( l = o \), la ecuación (6) de la superficie se reduce á

\[
x^2 + y^2 = pz + k^2\qquad (7)
\]

que representa un parabolóide de revolución, cuya traza sobre el plano de las \( xy \) es el círculo

\[
x^2 + y^2 = k^2,\qquad z = o
\]
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 19

y, según los datos del problema, no debemos considerar en esta superficie más que la zona comprendida entre este círculo ó paralelo y el llevado al infinito, la cual será, ciertamente, una zona doble, debiéndose considerar como parásita la otra parte de esta superficie, es decir, la comprendida entre los planos

\[
z = 0 \quad \text{y} \quad z = - \frac{k^2}{p}
\]

La parábola P será, pues, igual al meridiano cuyas ecuaciones son

\[
x^3 = pz + k^2 \quad \text{y} \quad y = 0
\]

el cual, por consiguiente, tiene el vértice á la distancia \( - \frac{k^2}{p} \) del origen O de los ejes coordenados.

Si el plano de la parábola coincide con el plano \( xz \), se tiene \( k = 0 \) y la ecuación de la superficie engendrada, será

\[
l \perp \left( \sqrt{x^3 + y^3} \right)^3 = pz \tag{8}
\]

que representará entonces un toro parabólico.

Cuando se tiene simultáneamente \( l = 0 \) y \( k = 0 \), resultará

\[
x^3 + y^3 = pz \tag{9}
\]

ecuación de un paraboloide de revolución cuyo meridiano será la parábola dada P..

Cuestión 7.1 (véase t. II pág. 216)

Se dan dos segmentos situados en una recta. Hallar el lugar de los puntos en que los ángulos según los que se ven los dos segmentos forman una suma constante.

Solución por el Sr. Retali, profesor en el R. Liceo Beccaria de Milán

Sean \( A_1B_1, A_2B_2 \) los dos segmentos dados; \( s_1, s_2 \) sus longitudes; \( M_1, M_2 \) sus puntos medios. Tomemos por eje de las \( x \) la recta que contiene los dos segmentos y por eje de las \( y \) la perpendicular levantada por el punto medio del segmento \( M_1M_2 \).

Indicando con \( C_1 D_1 \) y con \( C_2 D_2 \) los dos pares de puntos (*) asociados,

(*) Decimos con Darboux, que dos pares de puntos \( A B, C D \) son asociados, cuando los dos restantes vértices opuestos del cuadrilátero completo \( A_1 B_1 C_1 D_1 \) son los dos puntos cíclicos.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 2

luego B es centro de un círculo tangente á M y N, envolviendo á ambos.

3.º Sea C el centro de un círculo tangente á los dados, siendo exterior á M y envolviendo á N.

Sus distancias á los centros son

\[
CM = CC' + m \qquad CN = CC' - n
\]

y restando,

\[
CM - CN = CC' - CC' + m + n = m + n
\]

condición independiente de \(CC' = CC''\), que nos dice que C está sobre la rama de una hipérbola que tiene por focos M y N y por diferencia de vectores \(m + n\).

4.º Construída la hipérbola, tomemos un punto cualquiera D, sobre la otra rama y tendremos

\[
DN - DM = m + n \qquad \text{o} \qquad DN - n = DM + m,
\]

ó según la figura,

\[
DD' = DD'';
\]

luego D es centro de un círculo tangente á los dados, exterior á N y envolviendo á M.

De todo lo anterior resulta, que el lugar geométrico de centros, de circunferencias tangentes á las M y N, son dos hipérbolas que tienen por focos los puntos M y N, y por diferencia de vectores, \(m + n\) y \(m - n\).

Según esto, es fácil trazar un círculo tangente á os L, M, N (figura 2.a) cuyos radios sean \(l, m\) y \(n\), por la siguiente regla.

Tomando M y N como focos, constrúyanse las hipérbolas, cuya diferencia de vectores sea \(m + n\) y \(m - n\). Tomando L y N como focos, constrúyanse las hipérbolas, cuya diferencia de vectores sea \(l + n\) y \(l - n\). Las intersecciones de las cuatro curvas nos dan los centros de las ocho soluciones.

Obsérvese que las curvas se cortan en 16 puntos, entre los cuales hay ocho que no son centros de soluciones, por estar en condiciones
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 20

dos respectivamente á los pares {A₁, B₁ y A₂, B₂}. Las coordenadas de estos puntos son evidentemente

\[(a₁, s₁i), \quad (a₁, -s₁i)\] para los dos puntos C₁, D₁,
\[(−a₁, s₁i), \quad (−a₁, −s₁i)\] para los dos puntos C₂, D₂

donde \(i = \sqrt{-1}\) y \(a₁\) denota la semi-longitud del segmento \(M₁M₂\).

Esto sentado, como el ángulo V₁, bajo el cual se vé el segmento \(A₁B₁\) desde un punto M, se expresa en función de las distancias MC₁, MD₁ á los puntos asociados del segmento, mediante la fórmula

\[\epsilon^{iV₁} = \frac{MC₁}{MD₁},\]

para un punto cualquiera del plano de las coordenadas x, y tendremos

\[\frac{(x - a)² + (y^² - s₁i)²}{(x - a₁)² + (y + s₁i)²} = \epsilon^{iV₁}, \quad \frac{(x + a₁)² + (y - s₂i)²}{(x + a₁)² + (y + s₂i)²} = \epsilon^{iV₂}\]

Multiplicando estas ecuaciones miembro á miembro, y llamando k á la suma constante de los dos ángulos V₁ + V₂, y haciendo, por brevedad

\[C₁ = x² + y² - 2ax + a₁² - s₁², \quad C₄ = x² + y² + 2a₁x + a₁² - s₂²,\]

se obtiene por ecuación del lugar buscado,

\[(1) \quad \frac{A + B₁}{A - B₁} = \epsilon^{ik}\]

donde \(A = C₁C₄ - 4s₁s₂y², \quad B = -2y(C₁s₂ + C₄s₁)\)

La (1) podrá escribirse bajo la forma

\[\frac{A}{B} = \cot K,\]

que no contiene imaginarias, y la ecuación del lugar, por consiguiente, es

\[(2) \quad C₁C₄ - 4s₁s₂y² + 2y(C₁s₂ + C₄s₁)\cot K = 0.\]

El lugar hallado, es, pues, una curva de 4.º orden que tiene un eje de simetría y tiene dos puntos dobles en los puntos cíclicos, esto es, una curva espiralica (*), según la denominación adoptada por el señor

(*) Mémoire sur les lignes spiriques, pág. 8-64, 103-128.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 21

De la Gournerie, que ha tratado extensamente estas curvas en el tomo XIV, serie 2.a de Journal de Liouville (*). La curva considerada, que pasa evidentemente por los puntos extremos de los dos segmentos dados, es, pues, caso particularísimo de los estudiados por el señor Darboux en la Parte III de su obra Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques y el procedimiento que hemos seguido para determinar el lugar buscado se aplica también al caso más general en que, en vez de dos segmentos en línea recta, se den cuantos segmentos se quiera situados en un plano.

Debe notarse también que, si permaneciendo fijos los segmentos dados \( \overline{A_1B_1} \), \( \overline{A_2B_2} \), se hace variar la suma K de los dos ángulos \( V_1, V_2 \), obtendremos un sistema de ófolicas homofocales, y el sistema que le es ortogonal se halla constituido por las curvas, lugares de los puntos tales, que el producto de sus distancias á los extremos \( A_1, A_2 \) de los segmentos está con el producto \( MB_1 . MB_2 \) en una razón constante, según un teorema general demostrado por el Sr. Darboux en la obra citada (v. págs. 18 y 22).

Cuestión núm. 77 (**)

Teorema. Sea L una evolvente de un círculo cualquiera cuyo centro es O. Esto sentado, se tienen los teoremas siguientes:
1.) Desde el centro O tracemos tres radios vectores; si el segundo es medio proporcional entre los otros dos, corta al arco comprendido entre el primero y el tercero en dos partes proporcionales á estos radios vectores.
2.) Desde el centro O tracemos tres radios vectores cuyas longitudes sean proporcionales á los números 1, 5, 7; el segundo radio corta al arco comprendido entre los otros dos en dos partes iguales.
3.) Desde el centro O tracemos dos radios vectores cuya diferencia sea igual al diámetro del círculo; el arco de L que cortan es igual á la suma de los radios vectores.
Desde el centro O tracemos dos radios vectores cualesquiera R, \( R_1 \) y los otros dos cuya longitud es respectivamente

\[
\sqrt{R^2 - RR_1 + R_1^2}, \quad \sqrt{R^2 + RR_1 + R_1^2};
\]

sus extremidades forman un conjunto armónico de cuatro puntos.

G. Pirondini.

(*) Mem. de la Soc. des Sciences de Bordeaux, t. IX.
(**) Véase tomo II páginas 276 y 907.
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 22

Demostración por el Sr. Pirondini.

Si \( \frac{a}{2} \) es el radio del círculo, s el arco de L, á partir del origen M de la evolvente y R el radio vector que parte del centro O del círculo, se tiene:

\[
R = \sqrt{as + \frac{a^2}{4}}
\]

Si, pues, A y B son dos puntos de L, se tiene

\[
R = OA = \sqrt{a \cdot MA + \frac{a^2}{4}}, \quad R_1 = OB = \sqrt{a \cdot MB + \frac{a^2}{4}}
\]

de donde

\[
R_1^2 - R^2 = a (MB - MA), \quad \text{arc AB} = \frac{R_1^2 - R^2}{a}
\]

Esto sentado, se tiene:

1.o) Si \( OC = \sqrt{RR_1} \), resulta

\[
\text{arc AC} = \frac{RR_1 - R^2}{a} = \frac{R (R_1 - R)}{a}
\]
\[
\text{arc CB} = \frac{R_1^2 - RR_1}{a} = \frac{R_1 (R_1 - R)}{a}
\]

de lo que resulta:

\[
\text{arc AC} : \text{arc CB} = R : R_1
\]

2.o) Si \( OA = R, \ OC = 5R, \ OB = 7R \), se tiene:

\[
\text{arc AC} = \frac{25\ R^2 - R^2}{a} = \frac{24R^2}{a}, \quad \text{arc CB} = \frac{49R^2 - 25R^2}{a} = \frac{24R^2}{a},
\]

de lo que resulta:

\[
\text{arc AC} = \text{arc CB}.
\]

3.o) Si \( OA = R, \ OB = R + a \), se tiene:

\[
\text{arc AB} = \frac{(R + a)^2 - R^2}{a} = \frac{a^2 + 2Ra}{a} = 2R + a = R + (R + a) = OA + OB
\]
El Progreso matemático (1893-06-15 00:00:00), página 23

4.º) Sean
OA = R, OB = R₁, OC = \( \sqrt{R^2 - RR_1 + R_1^2} \), OD = \( \sqrt{R^2 + RR_1 + R_1^2} \).
Resulta
\[
\begin{align*}
\text{arc } AC &= R^2 - RR_1 + R_1^2 - R^2 = R_1^2 - RR_1 = R_1 (R_1 - R) \\
\text{arc } BC &= R^2 - RR_1 + R_1^2 - R_1^2 = R^2 - RR_1 = -R(R_1 - R) \\
\text{arc } AD &= R^2 + RR_1 + R_1^2 - R^2 = RR_1 + R_1^2 = R_1 (R_1 + R) \\
\text{arc } BD &= R^2 + RR_1 + R_1^2 - R_1^2 = R^2 + RR_1 = R (R_1 + R)
\end{align*}
\]
y por consiguiente
\[
(ABCD) = \frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD} = -1
\]

CUESTIONES PROPUESTAS

129. Inscribir en un segmento (ó sector) circular un rectángulo de perímetro dado.

(B. Sollertinsky).

130. Trazada una circunferencia desde el foco F de una parábola, encuentra su eje en O y á una tangente cualquiera en M y N. Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias OM y ON es constante.

(B. Sollertinsky).

131. Establecer la siguiente identidad
\[
(x^2 + y^2 + z^2) (y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) = (x^2y^2 \mp xz^2)^2 \\
+ (xy^2 \mp yz^2)^2 + (xyz \pm x^2z \pm y^2z)^2
\]
correspondiéndose los signos.

(A. Laisant).

132. Poner el producto
\[
(1 + x \sqrt{-1}) (1 + x^2 \sqrt{-1}) (1 + x^4 \sqrt{-1}) (1 + x^8 \sqrt{-1}) \ldots .
\]
bajo la forma
\[
P + Q \sqrt{-1}
\]
Observación. Si el número de los factores llega á ser infinito
\[
P^2 + Q^2 = 1 - x^?
\]
\((a < 1)\)

(E. Catalán).