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El Progreso matemático (1894-04-01 00:00:00), página 32

189. Complemento al enunciado 108. Cuando el cociente de \((2m-1)!\) por \(m!(m-1)!\) es un número par, el exponente de la potencia de 2 que entra como factor en el cociente es \((q-p-1)\), siendo \(q\) la suma de las cifras de \((2m-1)\) escritas en el sistema binario y \(p\) el exponente de la mayor potencia de 2 que entra como factor en \(m\).
(J. M.)
(Wolstenholme.)

190. Si se prolonga el lado BC de un triángulo ABC una longitud \(CA_1 = \frac{1}{3}BC\) y el lado CA otra \(AB_1 = 2CA\), los puntos medios del lado BC y de las rectas AA_1, BB son los vértices de un triángulo equivalente al ABC.
(H. Van Aubel.)

191. Siendo D_1, D_1, B_3, b_4 los medios de los lados A_1A_2, A_2A_3, y los vértices de los triángulos equiláteros construidos exteriormente sobre el lado A_3A_4 e interiormente sobre el A_1A_1 de un cuadrilátero A_1A_2A_3A_4, demostrar que la recta B_3b_4 es paralela al lado D_1M del triángulo equilátero D_1MD_2 construido sobre D_1D_2 que vale el doble.
(H. Van Aubel.)

192. Siendo ABC un triángulo dado, sea D el punto de contacto con BC del círculo inscripto O. Se proyectan los vértices B y C en E y F sobre la bisectriz AO; después se construyen los paralelogramos DEBG y DFCH.
Esto sentado: 1.º Los puntos B, G, C, H pertenecen á una circunferencia; 2.º El centro de esta circunferencia y el centro O del círculo inscripto se hallan igualmente distantes del lado BC.
(J. M.)
(E. Catalan).

193. Si sobre cuatro lados alternativos de un octógono A_1A_2A_3... se construyen exteriormente los triángulos A_1B_1A_2, A_3B_2A_4, A_5B_3A_6, A_7B_4A_8, y, sobre los cuatro lados, interiormente los triángulos A_3b_2A_4, A_5b_4A_6, A_7b_6A_8, A_1b_8A_2, directamente semejantes á un triángulo dado, y se forman los paralelogramos b_3B_3b_4K y B_1KB_2L, la figura b_6B_7b_8I, es también un paralelogramo.
(H. Van Aubel.)

ERRATAS.—En la pág. 128, cuestión 164, ciérrese el paréntesis cuadrado en la primera línea del numerador, y el exponente 4 del denominador cámbiese en 2.
En la pág. 142, «OI=» debe estar fuera de la raya del quebrado.
El Progreso matemático (1894-04-01 00:00:00), página 4

Para el segundo caso, se tiene:

\[
K = \frac{c^6 + d}{cz + d},
\]

y como \(z\) y \(c\) son reales, y además se supone \(c > z\), inmediatamente dedúcese que el multiplicador \(K\) es real y mayor que la unidad.

En el caso de que la sustitución sea parabólica, según las consideraciones que preceden, fácilmente comprenderse que puede expresarse por la fórmula sencilla que á continuación se indica:

\[
\frac{1}{t - z} = \frac{1}{z - x} + c.
\]

Por fin, si designamos por \(M\) la cantidad \((a - d)^2 - 4bc\), resulta:

\[
K = \frac{a + d - M^2}{a + d + M^2};
\]

de donde se deduce la fórmula siguiente muy importante;

\[
\left( \sqrt{K} + \frac{1}{\sqrt{K}} \right)^2 = \frac{(a + d)^2}{ad - bc}.
\]

Con estos preliminares puede extenderse un poco más el círculo de acción respecto á las sustituciones homográficas, empero antes de pasar adelante, débese advertir que la parte imaginaria de \(t\) es positiva, nula ó negativa, según que la imaginaria de \(z\) sea también positiva, nula ó negativa; es decir, que la sustitución

\[
\left( z, \frac{az + b}{cz + d} \right)
\]

conserva la parte real, así como la imaginaria por el mismo lado del eje referente á las cantidades reales.

En su virtud, si \(z\) describe una circunferencia cuyo centro esté en el eje real, \(t\) describirá también una circunferencia, hallándose su centro en el mismo eje.

(Se continuará).

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase t. IV, pág. 106).

Pasando á las relaciones entre el número y la extensión, habremos de distinguir dos relaciones recíprocas que resultan de la aplicación
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del primero á la segunda, ó de ésta á aquél, y que originan el predominio de la una ó del otro, siendo en el primer caso el análisis el instrumento que se aplica á las entidades geométricas, y en el segundo estas entidades las que deben fijar con su carácter intuitivo las relaciones más abstractas de los algoritmos ó formas analíticas que así adquieren cierta materialidad ó perceptibilidad, algo como una huella que le da estabilidad en el móvil dominio de la pura relación numérica y que facilita en extremo el trabajo intelectual necesario para retenerlas y aun para seguir sus combinaciones, que de otro modo podrían escaparse á nuestras percepciones.

Respecto á este segundo punto de vista, notaremos desde luego que el método descubierto por Argand y Buée para representar las cantidades imaginarias y sus operaciones, que luego extendió considerablemente Cauchy en su Mémoire sur les quantités géométriques y más tarde Riemann en su representación de las cantidades complejas, y Liouville representando gráficamente la doble periodicidad de las funciones elípticas, y aún, por último, esta correspondencia establecida modernamente entre las propiedades de las funciones y los espacios de n dimensiones ó del hiper-espacio, todos estos modos de proceder, constituyen una aplicación de la Geometría á la Algoritmia, en la que ésta predomina como la entidad de que se trata, y aquélla, tan sólo á la manera de ropaje con que hace intuitivo lo que en sí es abstracto y de difícil percepción, sólo ejerce las funciones de auxiliar útil para fijar lo que desaparecería á la mirada de la inteligencia, aunque en sí no es esencial para que las relaciones algorítmicas subsistan como sistema de verdades dependientes de las leyes del número y de la cantidad.

En cuanto al primer punto de vista ó de la aplicación del número á la extensión, hallamos también que aquél sólo aparece como un término medio útil para relacionar entre sí unas propiedades de las figuras con otras, intermediario útil y que abrevia muchas veces la consecución del fin que nos proponemos, como vemos resulta en la Geometría elemental con el empleo de las proporciones, en el método de Chasles con el de la relación anarmónica, y en el cálculo baricéntrico de Moebius; pero que no es necesario según hizo ver Staudt con su método eminentemente geométrico.

Este doble punto de vista de la aplicación del Algebra á la Geometría ó de la Geometría al Algebra, lo vemos subsistente en el método cartesiano que tan eminentemente lugar ocupa en el dominio de la Matemática, pues por un lado cualquier figura geométrica traducida en ecua-
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ción correspondiente, aparece como entidad subsistente por sí é independiente del análisis, instrumento que empleamos para estudiar sus propiedades; y por otro, la representación gráfica de las funciones, ya en la teoría de las ecuaciones, ya en la rama superior llamada análisis infinitesimal, nos da la traducción, bajo anariencia geométrica, del modo de variar de las funciones y de todas las singularidades que ofrecen en su variación simultánea con las variables, ya en la representación mediante los dos ó los tres ejes de coordenadas, ya mediante la variación simultánea en todo el plano de unas y de otras en los sistemas de representación arriba citados y que se deben á Cauchy y á Riemann.

Vemos, en suma, que así como en Geometría pura, las figuras se transforman unas en otras según métodos generales como la homología, la polaridad, etc., y según multitud de métodos particulares que han enriquecido la historia de la Matemática y cuya enumeración sería muy extensa, al enlazarse el número con la extensión ó la Algoritmia con la Geometría, estos procedimientos se multiplican de nuevo en una armonía superior que unifica el sistema de dicha ciencia, estudiada y desenvuelta según un doble aspecto.

Para terminar estas generalidades y pasar á una exposición más concreta de los métodos analítico-geométricos, citaremos los principales de que vamos á tratar, á saber: el de las equipolencias de Bellavitis, el de Grassmann y el de los cuaternios de Hamilton: pero antes haremos una reseña de la evolución por que ha pasado la teoría geométrica de las cantidades imaginarias ó de las cantidades geométricas, según la denominación de Cauchy, desde las investigaciones de Argand, que constituyen el primer ensayo de estos nuevos métodos.

§ 2º.—Métodos analítico-geométricos anteriores á los de las equipolencias y cuaternios

54. Método de Argand.—El método de Argand para representar las cantidades imaginarias en las construcciones geométricas estriba, como se sabe, en la determinación de una media proporcional geométrica entre dos cantidades de signos diferentes, que es la perpendicular, representante de \( \pm \sqrt{-1} \).

De esta idea fundamental, pasa á determinar sucesivamente nuevas medias geométricas, no sólo entre las direcciones perpendiculares correspondientes á \( \pm 1 \) y á \( \pm \sqrt{-1} \), sino entre dos líneas dirigidas cualesquiera, que conduce á la multiplicación y división de
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factores-unidades dirigidos de cualquier manera, operaciones que corresponden á las sumas y diferencias de los arcos interceptados entre los lados de los ángulos, llegando por consiguiente á obtener potencias y raíces de radios ó líneas dirigidas.

Y por otra parte, la composición y descomposición de las líneas á la manera que en Mecánica se descomponen las fuerzas, constituyen los fundamentos esenciales de la teoría de Argand, que como dice Hoüel en el Prefacio á la obra de este geómetra «contiene los primeros ensayos de un método muy general de Geometría analítica para las figuras planas, que Bellavitis desarrolló más tarde con éxito tan notable, y que permite tratar, por procedimientos uniformes, las cuestiones de Geometría elemental y las partes más elevadas de la teoría de las curvas, teniendo este método la ventaja de introducir en los cálculos los puntos mismos, en vez de sus coordenadas, y de permitir así elegir, en el último momento, el sistema de coordenadas que se presente como más ventajoso(*)».

Obtenida, pues, la representación general \( \pm a \pm b \sqrt{-1} \) de las cantidades mediante la combinación de la idea de dirección con la de magnitud, pasa Argand á aplicar estos resultados á la Trigonometría y al Algebra, demostrando en ésta, de una manera geométrica, el teorema fundamental de la teoría de las ecuaciones algebraicas.

Notación de Français.—La felicísima representación \( a_x = a . 1_x \) debida al profesor de la Escuela imperial de Artillería y de Ingenieros, J. F. Français, que sostuvo con Argand una interesante polémica en los Annales de Mathématiques de Gergonne, representación que adoptó más tarde Cauchy en su Théorie des quantités géométriques y que han adoptado después muchos autores, y por consiguiente, que

\[
a_x = a . e^{\alpha \sqrt{-1}}
\]

fué un progreso importante, mediante el cual se presentan ya separados los dos elementos de una cantidad.

Investigaciones de Mourey.—En su opúsculo La vraie Théorie des quantités negatives et des quantités préfendues imaginaires, Mourey señala el camino para ulteriores progresos, no sólo por los conceptos expuestos en su interesante trabajo, sino hasta por el tecnicismo empleado. El número directivo, el ángulo directivo, el versor \( a_r \), el multiplicador directivo, la formación de un número directivo, por ejemplo \( \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{3}{2}} \), mediante multiplicación, división y versión, y la manera de

(*) Avertissement de l'Editeur, p. XIV.
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efectuar la multiplicación de dos números directivos, conforme á este procedimiento, así como la obtención de las potencias y raíces y la obtención del período formado por los valores de las raíces de la ecuación \( x^n = 1 \), indican un análisis, una separación de conceptos que aproxima hacia los ulteriores progresos, que hemos visto ha realizado la teoría hasta llegar á los métodos de Bellavitis, Hamilton y Grassmann.

Investigaciones de Faure.—En su Essai sur la théorie et l'interprétation des quantités dites imaginaires, este propagandista de la nueva teoría dirige principalmente sus esfuerzos hacia las funciones y las ecuaciones. Estudia la «variación de las funciones algebráicas dependiente de la de la longitud é inclinación de la variable, como varía el ángulo de inclinación de una potencia respecto al de la raíz, la multiplicidad de las raíces, considera los polinomios para buscar su resultante final, y su variación en el plano de una manera continua, principiando por examinar las variaciones simultáneas ó giros de la unidad raíz y de la unidad potencia, y especialmente en las circunstancias notables ó especiales que presenta este hecho, estudiando el modo de colocación de las raíces de la unidad real, respecto al diámetro que representa la dirección de las cantidades reales. Explica como mientras la extremidad de la variable recorre el plano de las xy, la extremidad de la función ó potencia lo recorre también, recorriéndolo ésta varias veces, mientras que aquélla lo recorre una sola. Estudia la influencia del coeficiente, y de igual modo da á conocer la variación correspondiente á los polinomios, que la extremidad de la resultante se moverá según curvas que tendrán mutaciones correspondientes á las de la variable, y basado en estos fundamentos, obtiene diversos resultados en el examen de ciertas ecuaciones que toma como objeto de su estudio.

En esta obra hallamos también la representación gráfica de la periodicidad, que hoy vemos expuesta en los tratados de análisis. Así, tratándose de la función

\[
e^u + x^{4\sqrt{-1}} = e^u \times e^{x^{4\sqrt{-1}}}
\]

se consigna en ella que mientras la extremidad del exponente recorra una banda horizontal cuya base se extiende al infinito, á derecha é izquierda, y por altura la longitud de la circunferencia \(2\pi\), la extremidad de la exponencial recorre todo el plano de las xy. Y á cada banda que recorre la extremidad de aquél, corresponde un nuevo recorrido de todo el plano por ésta.
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Además, cuando el extremo del exponente engendra la parte de la derecha de la banda, la extremidad de la exponencial engendra la parte exterior del círculo, cuyo radio es 1, correspondiendo á la parte izquierda de aquélla el interior de éste, por ser en uno ú otro caso el módulo respectivamente mayor ó menor que la unidad.

Esto lleva como consecuencia inmediata á los logaritmos de las cantidades negativas e imaginarias que se hallan distribuidos en cada una de las bandas de período \(2\pi\) en que se divide todo el plano, y además resulta que una cantidad no sólo tiene siempre un logaritmo, sino que tiene infinidad de ellos, cada uno en una banda. Y describiendo la extremidad del exponente ó del logaritmo una horizontal mientras la extremidad de la exponencial ó de la cantidad describe un radio indefinido, cuya inclinación está dada por la altura de la horizontal, el logaritmo se hallará en el eje de las \(x\), cuando la exponencial recorra la región de las \(x\) positivas, y para las alturas \(2\pi\), \(4\pi\), etc., se obtendrá la serie indefinida de logaritmos imaginarios, que, con el logaritmo real, nos dan todos los logaritmos de una cantidad real, ó en el eje de las \(x\), de manera que la indeterminación circular origina esta multiplicidad de logaritmo.

Estudios filosóficos sobre la ciencia del edénlo por M. F. Vallés en esta obra y aún en otras posteriormente publicadas por el mismo autor, se encuentran algunos conceptos interesantes para el desenvolvimiento de la teoría de las cantidades imaginarias que se resumen en considerar reducida la expresión de una cantidad á dos cosas: un número y una cantidad de igual especie que la que se toma como término de comparación á la que llama, para distinguirla del primero, módulo. Siendo los números, bajo el punto de vista abstracto, esencialmente enteros, las expresiones número negativo, fraccionario, irracional e imaginario corresponden á imposibilidades; pero estas expresiones incomprendibles en el dominio abstracto, son comprensibles en el concreto, y los diversos estados de una cantidad \(z_{\mu}\) expresada un número abstracto \(z\) y el módulo \(\mu\), se explican efectuando sobre el módulo las modificaciones correspondientes á los diferentes estados de negativa, fraccionaria, irracional e imaginaria, bajo los que se nos ofrecen las cantidades, modificaciones que se expresan mediante los signos de las operaciones algebraicas; y cuando á esta expresión se ha llegado, entonces es lícito hacer abstracción del módulo \(\mu\) y transportar al número que le acompaña el signo de las operaciones do que éste se halla afectado.

Después de explicar con detalle y riqueza de reflexiones filosóficas
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El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

Principios fundamentales referentes á los grupos de Fuchs

POR D. LAURO CLARIANA
Catedrático de la Universidad de Barcelona

Justa es la importancia que se concede hoy á los grupos de Fuchs, pues ellos constituyen la base de las funciones fuchsianas, tetrafuchsianas, kleinianas y zetafuchsianas, que sin duda señalan los últimos adelantamientos en la ciencia matemática moderna, y cuyo objetivo principal es la resolución de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. La teoría de los grupos de Fuchs consiste simplemente en una serie de sustituciones lineales: de esta suerte extiéndese el concepto de las funciones periódicas bajo un punto de vista más general que las ordinarias, amén de las clípticas.

Los distinguidos Poincaré, Klein, Forsyth, etc., ocupanse con predilección de esta clase de funciones, cuyos principios tratamos de aclarar en beneficio de todos aquellos que pretendan conocer las investigaciones más atrevidas dentro del campo de la matemática.

La expresión de transformación en las sustituciones consecutivas, considérase siempre lineal y bajo la forma siguiente:

\[
t \quad a : + b \\
ez + d
\]

\( t \) y \( z \) son variables imaginarias.

\( a, b, c, d \) son cantidades reales, con la condición de satisfacer siempre á la igualdad que á continuación se expresa: \( ad - bc = 1 \).

La sustitución precedente suele darse bajo la forma simbólica siguiente:

\[
\left( z, \frac{az + b}{cz + d} \right)
\]
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centri distano fra loro di \( r \sqrt{3} \) formano una coppia di coniche equianarmoniche: polarizzando uno dei due circoli rispetto all’altro troviamo una terza conica \( S_0 \) che insieme ai due cerchi forma una terna (9). Questa terza conica \( S_0 \) è una iperbole avente per fuochi i centri O, O' dei due cerchi e per assintoti le perpendicolari abbassate dal punto medio del segmento OO' sulle tangenti condotte a uno dei due cerchi dal centro dell’altro; passa per i punti di contatto delle tangenti comuni ai due circoli e in questi punti è toccata dalle tangenti condotte ai cerchi nei loro punti comuni; l’asse trasverso è \( r \) e il non trasverso \( \frac{r \sqrt{2}}{2} \).

14. E anche facile determinare i triangoli conjugati comuni per le ultime due terna (9) considerate nei due n° precedenti. Nella seconda terna del n. 12 la tangente nel vertice della parabola sega il cerchio in due punti reali, ognuno dei quali considerato come punto-circolo segna sul comune asse delle tre coniche, due punti imaginari conjugati, distanti dal vertice della parabola di \( \pm p \sqrt{-3} \), i quali insieme al punto all’infinito della direttrice formano il triangolo conjugato comune.

Per la terna del n. 13 i vertici del triangolo conjugato comune sono manifestamente: il punto all’infinito dell’asse radicale dei duo cerchi, e la coppia di punti imaginari conjugati che uno dei due punti reali comuni ai due cerchi, considerato come punto-circolo, segna sulla linea dei centri.

Per quanto concerne la prima terna (9) considerato nel n.º 12 fa remo le osservazioni seguenti, che valgono anche nel caso di una terna (9) qualunque, le cui coniche sieno reali. Denotiamo con

\( x, x_0 \) i due punti reali comuni a \( S' \) e \( S_0 \)
\( \beta, \beta_0 \) i due punti reali comuni a \( S \) e \( S' \)
\( \gamma, \gamma_0 \) i due punti reali comuni a \( S_0 \) e \( S \):

scegliendo opportunamente le notazioni,

\[
\begin{array}{l}
\text{la retta } | x \beta | \text{ tocca } S_0 \text{ in } x \text{ ed } S \text{ in } \beta , \\
\gg | x_0 \beta_0 | > S_0 > x_0 > S > \beta_0 , \\
\gg | \beta \gamma | > S' > \beta > S_0 > \gamma , \\
\gg | \beta_0 \gamma_0 | > S' > \beta_0 > S_0 > \gamma_0 , \\
\gg | \gamma x | > S > \gamma > S' > x , \\
\gg | \gamma_0 x_0 | > S > \gamma_0 > S' > x_0 ,
\end{array}
\]

sieno in oltre
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A' il punto comune alle rette \( \beta_1 \) e \( \beta_0 \gamma_0 \),
B' » » » » \( \gamma_2 \) e \( \gamma_0 \alpha_0 \),
C' » » » » \( x_3 \) e \( \alpha_0 \beta_0 \);
i punti A', B', C' saranno sopra una retta, che indicheremo con z, le cui intersezioni con le rette
\[
| \alpha x_0 | = a,\quad | \beta_0 | = b,\quad | \gamma_0 | = c
\]
denoteremo ordinatamente con A, B, C. Le tre rette a, b, c concorrono in un medesimo punto Z, polo di z rispetto ad ognuna delle tre coniche S, S', S_0; le altre tre corde reali comuni alle tre coniche, considerate due a due, sono le rette
\[
ZA' = a',\quad ZB' = b',\quad ZC' = c',
\]
e precisamente a' è la corda ideale di S' e S_0 associata ad a, b' la corda ideale comune di S e S' associata a b, c' la corda ideale comune di S_0 ed S associata a c. I punti A', B', C' sono ordinatamente i quarti armonici dopo le terne
\[
BCA,\ CAB,\ ABC;
\]
in altre parole, i punti A'B'C' costituiscono il covariante cubico della forma binaria cubica ABC. Osserviamo ora che i poli delle rette a, b, c rispetto alle coniche S, S', S_0 sono quali risultano dallo schema seguente

    a
    b
    c

    S
    A'
    C'
    B'

    S'
    B'
    A'
    C'

    S_0
    C'
    B'
    A'

ne segue che le coppie comuni alla retta z e alle coniche S, S', S_0 sono rispettivamente i punti doppi delle tre involuzioni quadratiche
\[
A, A';\ B, C';\ B', C;
\]
\[
C, C';\ A, B';\ A', B;
\]
\[
B, B';\ C, A';\ A', C;
\]
e siccome queste tre coppie di punti doppi appartengono alla involuzione
\[
A, A';\ B, B';\ C, C',
\]
i punti doppi di quest'ultima involuzione, che sono anche come è noto i punti uniti della proiettività ciclica definita dalla terna ABC, sono dunque separati armonicamente mediante ognuna delle tre coniche S, S', S_0 e formano insieme a Z i vertici del triangolo conjugato comune rispetto a S, S', S_0.
El Progreso matemático (1894-03-01 00:00:00), página 12

I punti uniti della proiettività ciclica definita dalla terna ABC (covariante Hessiano della cubica ABC) sono ancora, come è noto, i punti uniti della ciclo-proiettività definita dalla terna A'B'C', possiamo dunque anche dire che: se A'B'C' sono i punti d'intersezione delle coppie di tangenti reali comuni alle tre coniche S, S', S₀ prese due a due, i vertici del triangolo conjugato comune alle tre coniche, sono: il polo della retta A'B'C' e i due punti, imaginari conjugati, che con la terna A'B'C' formano un gruppo equianarmonico.

TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase t. IV, pág. 35).

En la figura 57 que expresa este enunciado, se ve que los puntos de intersección α, β, γ de cada par de lados homólogos de los triángulos son los vértices de los triedros determinados por los dos planos de los triángulos con cada plano que contiene cada par de lados homólogos, vértices que se hallan en la intersección de los planos de los dos triángulos, y á su vez dichos planos: AB, A'B'; AC, A'C'; BC, B'C', determinan necesariamente un triedro en cuyo vértice S concurren las rectas AA', BB', CC' que unen los pares de vértices homólogos.

Esto sentado, para establecer la proposición análoga en el plano:
Si dos triángulos CBC, A₁ B₁ C₁ referidos entre sí se hallan en un mis-

Fig. 57.

Fig. 58