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á la generalización dista mucho de haber adquirido todo su apogeo en la actualidad; aun nos molestan los moldes estrechos entre los cuales nos movemos, no siendo fácil encontrar la línea media que nos debe facilitar el avance en nuestra marcha; por eso, unas veces nos estacionamos, y otras, cansados de buscar el sendero que nos interesa sin hallarlo jamás, en medio de nuestra desesperación tomamos el hacha con la mano para destruir todo lo que se nos presente al paso. Estos dos escollos se manifiestan de una manera muy visible en dos cuestiones fundamentales: en el desenvolvimiento de una función y en el concepto verdadero de cantidad; no parece sino que las neblinas de la Gran Bretaña vengan á empañar el cielo azul y transparente de las naciones del mediodía de Europa.

Vamos, pues, á manifestar en este trabajillo y á grandes rasgos:
1.º Que los conceptos de Taylor procuran un cierto estacionamiento para la ciencia. 2.º Que la teoría de los límites de Newton destruye ciertas cantidades importantes, que no deben confundirse, ni mucho menos despreciarse cuando se trata de ensanchar los conceptos hasta lo último.

Respecto al primer punto, puede decirse que las tentativas de Wronski, Fus, etc. acerca de los desarrollos de funciones en Facultades, factoriales, grupos, etc. demuestran de un modo fehaciente el deseo que se tiene de salirse del estacionamiento en que nos ha colocado Taylor.

Ciertamente que podrá objetarse que esas investigaciones aun no han dado los resultados que fueran de apetecer; pero no por eso debemos desmayar en nuestra empresa; esto es, no debemos cejar en procurar nuevos puntos de vista para el desenvolvimiento de las funciones; véase, si no, el impulso que ha tomado la matemática por la idea feliz de Cauchy al suponer que la variable independiente de una función, en vez de moverse por una sola recta, tome movimientos cualesquiera sin sujetarse á raíl alguno.

Sin embargo, fuerza es confesar que el espíritu de Taylor y Newton hállese tan arraigado entre muchos matemáticos, que, con razón, tememos haya quien encuentre algo exageradas las ideas que apuntamos aquí, si bien tenemos la seguridad de que ellas pueden servir para promover el desenvolvimiento de ciertas inteligencias aletargadas ó demasiado confiadas en sus maestros.

En verdad que cabe preguntarnos: ¿Qué queda de la Matemática si quitamos el teorema de Taylor?

Ciertamente que nadie ignora que, tal como está constituida hoy la ciencia, poco se salva de su influencia; empero ¿es esto razón sufi-
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ciente para que no procuremos salir de este círculo de hierro en que nos hallamos aherrojados?

¿Las reglas de derivación son las únicas que pueden proporcionarnos funciones que estén enlazadas con las primeras? ¿No hay otras leyes que puedan proporcionar nuevas funciones secundarias? ¿No descubrimos en la teoría de las formas nuevos puntos de vista de más alcance y más complejos? La Jacobiana, por ejemplo, no es un nuevo elemento analítico, que guarda íntimo parentesco con las derivadas, bien que con un carácter más general? ¿No podríamos entrelazar entre sí nuevos determinantes funcionales que guarden conexión con las funciones primitivas, sin necesidad de que apareciera en los términos del desarrollo la marcha pesada y constante de las potencias crecientes y enteras de la variable independiente, origen de las series, elementos sospechosos y expuestos á mil errores, de los cuales van siendo víctimas distinguidos matemáticos?

Ahora bien, si de la primera cuestión pasamos á la segunda, suben de punto nuestras observaciones, pues tenemos la convicción de que el método de los límites debe quedar relegado á la historia como el célebre método de las fluxiones.

En la primera cuestión hemos visto los perjuicios que pueden resultar para la ciencia matemática el ser demasiado esclavos del teorema de Taylor; empero como no se hayan encontrado aún nuevas leyes que puedan venir á sustituirle con ventaja, no estamos en el caso de abandonarlo del todo, si bien estamos en el deber de trabajar para poderlo dar al olvido. No sucede respecto al segundo punto lo propio, pues las discusiones de á últimos del siglo pasado, amén de algunos estudios metafísicos del cálculo hechos por insignes matemáticos en el siglo que se nos va, es suficiente para sentar bases sólidas y exactas sobre la verdadera noción de cantidad, manifestándonos al propio tiempo la pobreza del método de los límites.

En una memoria que tuvimos el gusto de remitir en el último Congreso internacional científico celebrado en París y que mereció la distinción de insertarse en el Compte rendu del mismo, dimos á comprender la necesidad que existe de introducir en Matemáticas la cantidad indefinida, como elemento fundamental, lógico y verdadero de la cantidad, extirpando así de una vez el infinito y el cero, como algoritmos matemáticos. La idea de la variabilidad, siendo la única que nos puede quedar de la cantidad cuando se llega al fin de su generalización, no permite conceder carta de naturaleza á lo que le falte esta nota precisa, como así sucede con el cero y el infinito.

Verdaderamente que en lo indefinido no se encuentra el valor
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cuantitativo; pero presenta la inmensa ventaja de que la relación por cociente de dos indefinidos puede resolverse dentro de la finitud, sin determinativo de todo problema matemático; además, en la cantidad indefinida pueden establecerse diferentes órdenes, constituyendo esta condición la esencia del cálculo llamado infinitesimal, condición que dentro de la buena lógica no puede concederse ni al cero ni al infinito.

Así, entre lo finito y lo indefinido, dividido en órdenes y referido respectivamente á lo grande y pequeño, establecemos una escala indefinida que, cual notas de la gamma musical, se pasa de lo más grave á lo más agudo, aunque dichas notas estén escritas muy lejos del pentagrama, y aunque nuestro oído sea incapaz de apreciar su tono. ¿Llemos de creer, por ventura, que no existe sino lo que pueden apreciar nuestros sentidos? ¿Puede, en ninguna ocasión, todo buen matemático dejar de aunar el mundo de la materia con el mundo de las ideas, siendo la ciencia de que se trata la condensación de dichos dos mundos como reflejo del yo personal? ¿Podemos negar la existencia de la belleza absoluta, porque no llegue á dibujarse en el espacio, ó porque no la alcance la punta del pincel ó la pluma del literato?

Séanos, pues, permitido, en virtud de las razones aducidas, que demos solución á la segunda parte que hemos presentado en este artículo, admitiendo los indefinidamente grandes y los indefinidamente pequeños como únicos elementos para constituir la base de la cantidad en Matemáticas, sintetizados en lo finito, únicos y verdaderos conceptos de cantidad que se enlazan directamente con la diferencial de Leibnitz.

Nadie debe ignorar que en la teoría de los límites se prescinde por completo de esa infinidad de mundos que constituyen los diferentes órdenes de los indefinidamente pequeños, así como de los indefinidamente grandes; el partidario de la escuela de los límites cubre con velo tupido todo aquello que podría mortificarle; podríamos decir que, cual tenedor de libros perezoso, se propone de un solo hachazo destruir todos los edificios comerciales, donde se halla hacinada la riqueza, á fin de evitarse el trabajo improbo á que le sujeta el debe y el haber, con que juega constantemente el capital.

Además, para que desaparezcan de nuestros cálculos en cuanto sea posible el 0, y en particular el signo \( \infty \), podríamos designar los indefinidamente grandes por I y los indefinidamente pequeños por i, de esta suerte evitaríamos que los citados símbolos, desprovistos de variabilidad, vengan á expresar de una manera impropia todos los diferentes órdenes de los indefinidos, resultando, por ende, confusiones sin cuento dentro del análisis, como se puede apreciar cuando se
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Si N es un número, y v una cifra en el sistema de numeración que adoptamos, de base θ; entonces el símbolo Nv representa, en la convención ordinaria, el número obtenido escribiendo v á la derecha de N.

Según esto, se tiene

\[
N_v = N \times \theta + v
\]

Para más sencillez en la redacción que sigue, supondremos \( \theta = 10 \), y tendremos

(1)

\[
N_v = N \times 10 + v.
\]

Esta igualdad prueba que se tiene

(2)

\[
(Nv)^2 = N^4 \times 100 + 20N \times v + v^2 \tag{*}
\]

identidad evidente que utilizaremos en los desarrollos que siguen.

Para evitar repeticiones se sobreentenderá que las letras

\[
\alpha, \beta, \gamma, \ldots \quad a, b, c, \ldots
\]

representan cifras.

2. Teorema.—Si

(3)

\[
\alpha, \beta, \gamma, \ldots \quad a, b, c, \ldots
\]

constituyen una igualdad de dos grados; los números

(4)

\[
\alpha \beta, \beta \gamma, \gamma \alpha, \ldots \quad ab, bc, ca, \ldots
\]

poseen la misma propiedad.

Razonemos con tres cifras.
1.º Tenemos

\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 11(\alpha + \beta + \gamma)
\]
\[
ab + bc + ca = 11(a + b + c)
\]

Por consiguiente, la igualdad

\[
\alpha + \beta + \gamma = a + b + c,
\]

conduce á la siguiente

\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = ab + bc + ca.
\]

2.º Falta verificar que

\[
(\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2
\]

Ahora

\[
(\alpha \beta)^2 = 100 \cdot \alpha^2 + \beta^2 + 20 \alpha \times \beta
\]

y por consiguiente

\[
(\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 = 101(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 20(\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha)
\]

(*) Conviene notar aquí, con cuidado, la diferencia que existe entre las dos escrituras \( N_v \) y \( N \times v \).
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trata de las formas indeterminadas expresadas por \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( \infty - \infty \), &.

En verdad que es difícil averiguar lo que representan estas expresiones según la buena lógica, mientras que si se escribiera

\[
\frac{i^m}{i^n}, \quad \frac{1^m}{1^n}, \quad 1^m - 1^n &
\]

en el concepto de que \( m \) y \( n \) representaran diferentes órdenes de los indefinidos, podríamos fácilmente según fuese

\[
< \\
m = n \\
<
\]

darnos cuenta de cómo se viene á parar á una cualquiera de las tres categorías que hemos señalado para la cantidad.

Hay que advertir, no obstante, que dichas tres categorías de cantidad no deben tomarse de una manera absoluta, pues cabe situarnos en un mundo cualquiera de los muchos indefinidos que existen para colegir inmediatamente cuáles estarán por encima y debajo de nosotros, recabando así las últimas trincheras por donde la inteligencia humana puede extender su vuelo.

Antes de dar término á nuestro reducido trabajo, debemos manifestar que fuera de utilidad que se estudiasse desde la geometría elemental la cantidad en sus tres categorías, para que muchas demostraciones no fuesen tan laboriosas y, sobre todo, para que se presentaran más francas, olvidando un poco á los griegos para recordar más á Leibnitz.

De esta suerte, aunando lo moderno con lo antiguo, obrando con libertad de acción, sin irregularidades y con la lógica en la mano se podrá algún día manifestar de una manera clara y evidente de lo que es capaz la ciencia Matemática.

INTRODUCTION AUX MÉTHODES GÉOMÉTRIQUES DE H. GRASSMANN

PAR M. VICTOR SCHLEGEL
Professeur à l'École Technique de Hagen i.W

(CONTINUACIÓN)

L'équation de (P₁ P₂) est:

\[(P₁ P₂ x) = 0,\]
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ou
\[
a_3 a_3 x_1 + x_3 x_1 x_2 - a_1 a_3 x_3 = 0,
\]
ou
\[
\frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} - \frac{x_3}{a_3} = 0.
\]

Et l'équation de (A_1 A_3):
\[(A_1 A_3 x) = 0,\]
ou
\[
\frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} + \frac{x_3}{a_3} = 0.
\]

En comparant les équations (7) et (24) on reconnait aussitôt la solution du problème: Trouver la droite p conjuguée à un point donné P. — Étant donné, au contraire, une droite
\[
p \equiv \beta_1 (e_2 e_3) + \beta_2 (e_3 e_1) + \beta_3 (e_1 e_2),
\]
on trouve les coordonnées du point conjugué P, en résolvant les équations
\[
a_3 x_3 = \beta_1, \quad a_3 x_1 = \beta_2, \quad a_1 x_3 = \beta_3.
\]

9. Soit P un point fixe, P' un point variable. Alors (PP') est un rayon quelconque du faisceau (P), et, en multipliant les équations
(7) \[P \equiv a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3,\]
(7') \[P' \equiv a_1' e_1 + a_2' e_2 + a_3' e_3,\]
on obtient
(25) \[\xi = (\mathrm{PP'}) \equiv (a_1 a_2' - a_2 a_1') (e_1 e_2)\]
\[+ (x_2 a_3' - a_3 x_2') (e_3 e_3) + (a_3 a_1' - a_1 a_3') (e_3 e_1)\]
Soit
(26) \[x \equiv x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3\]
le point conjugué au rayon \( \xi \). Alors, en remplaçant dans l'équation (24) les \( a \) par les \( x \), on trouve:
(27) \[\xi \equiv x_3 x_3 (e_2 e_3) + x_3 x_1 (e_3 e_1) + x_1 x_2 (e_1 e_3)\]
donc, en comparant (25) et (27):
\[
x_1 x_3 = a_1 a_2' - a_2 a_1', \quad x_2 x_3 = a_3 x_2' - a_3 x_2', \quad x_3 x_1 = a_3 a_1' - a_1 a_3'.
\]
En éliminant les coordonnées variables \( a_1', a_2', a_3' \), on obtient:
(28) \[x_3 x_1 x_2 + x_1 x_3 x_2 + x_2 x_3 x_1 = 0.\]
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Cette équation représentant le lieu géométrique du point x, on peut énoncer le théorème:
Si une droite k tourne autour d'un de ses points P, le point conjugué x décrit une conique passant par les sommets du triangle donné (e₁, e₂, e₃), et vice versa.

III. — Multiplication interieure.

10. Si l'on égale le segment de droite (e₁, e₂) à l'unité, on obtient:
(29) \[(e₁, e₂) = 1.\]
Alors on peut déterminer chacun des points e₁ et e₂ par l'autre. Pour ce but nous posons
(30) \[e₂ = | e₁,\]
et nous appelons e₂ le supplément de e₁.
Comme
\[-(e₂ e₁) = 1,\] ou \[| e₂ (-e₁)| = 1,\]
on a, selon la définition (30):
(31) \[-e₁ = | e₂.\]
On déduit encore de (30) et (31):
(32) \[| e₁ = | e₂ = -e₁,\]
(33) \[\begin{cases}
(e₁ | e₁) = (e₁ e₂) = 1; & (e₁ | e₂) = -(e₂ e₁) = (e₁ e₂) = 1, \\
(e₁ | e₂) = -(e₁ e₁) = 0; & (e₂ | e₁) = (e₁ e₂) = 0.
\end{cases}\]
Si
(34) \[a ≡ x₁ e₁ + x₂ e₂,\]
la grandeur | a est définie par l'équation:
(34a) \[| a ≡ x₁ | e₁ + x₂ | e₂ ≡ x₁ e₂ - x₂ e₁.\]
De même, si
(35) \[b ≡ β₁ e₁ + β₂ e₂;\]
on a:
(36a) \[| b ≡ β₁ | e₁ + β₂ | e₂ ≡ β₁ e₂ - β₂ e₁.\]
Puis:
\[(a | b) = x₁ β₁ + x₂ β₂,\quad (b | a) = β₁ x₁ + β₂ x₂.\]
Donc:
(36) \[(a | b) = (b | a)\]
Si deux grandeurs (points) a et b sont dérivées des mêmes points e₁ et e₃, alors le produit interieur de a et b est le produit de l'une gran-
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deur par le supplément de l'autre. On voit de (36) que la multiplication intérieure est commutative, et que le trait | peut être regardé comme signe de cette multiplication.

Si l'on pose \( b = a \), on a: \( \beta_1 = x_1, \beta_2 = x_2 \), et

\[
(a \mid a) = a_1^2 + a_2^2.
\]

La grandeur

\[
\cdot (a \mid a) = a^2
\]

se nomme carré intérieur, et la grandeur

\[
+ \sqrt{(a \mid a)} = + \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

valeur numérique de \( a \).

II. Les équations du numéro précédent admettent une autre interprétation, si l'on suppose que \( e_1 \) et \( e_2 \) soient deux distances égales et normales entre elles, sortant du même point (O). Alors, le signe | peut être identifié avec l'unité imaginaire \( i = \sqrt{-1} \). Le produit \( (e_1 e_2) \) est l'unité plane (carré, dont l'arête est égale à 1), \( a \) et \( b \) son deux distances sortant du même point O (\( a = OA,\ b = OB \)), et \( a_1 \) y \( a_2 \) sont les coordonnées rectangulaires du point A; \( \beta_1, \beta_2 \) celles du point B.

Supposons, pour simplifier le calcul suivant, que \( a \) et \( b \) aient la même longueur 1 que \( e_1 \) et \( e_2 \). Soit en outre

\[
\varphi_1 = \angle (ae_1),\ \varphi_2 = \angle (be_1),\ \varphi_1 - \varphi_2 = \varphi;
\]

alors on a

\[
a_1 = \cos \varphi_1,\ a_2 = \sin \varphi_1,\ \beta_1 = \cos \varphi_2,\ \beta_2 = \sin \varphi_2.
\]

Puis (34 y 35):

\[
(ab) \equiv (x_1 \beta_2 - x_2 \beta_1)\ (e_1 e_2) = - \sin \varphi,
\]

ou

\[
+ \sqrt{(ab)^2} = \sin \varphi.
\]

De même (34 et 35a):

\[
(a \mid b) = x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 = \cos \varphi.
\]

Si l'on multiplie encore la distance \( a \) par un facteur numérique \( m \), et de même \( b \) par \( n \), en posant

\[
ma = a_1,\ nb = b_1,
\]

on obtient:

\[
\sqrt{(a_1 b_1)^2} = mn \sin \varphi
\]
\[
(a_1 \mid b_1) = mn \cos \varphi.
\]
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Donc on a le théorème suivant:
La valeur numérique du produit extérieur de deux distances (ma et nb) est égal au produit (mn) de leurs valeurs numériques et du sinus de l'angle formé par elle; le produit extérieur de deux distances est égal au produit de leurs valeurs numériques et le cosinus de l'angle formé par elles

Ainsi l'aire d'un parallélégramme formé par les arêtes \(a_1\) et \(b_1\) est représentée également par les deux membres de (39a). (Voir (19)).—Et si \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) sont les arêtes d'un triangle quelconque, et \(m\), \(n\), \(p\) leurs valeurs numériques, on obtient, en élévant l'équation

\[
a_1 + b_1 = c_1
\]

(voir n° 1) au carré intérieur

\[
a_1^2 + 2(a_1 \mid b_1) + b_1^2 = c_1^2
\]
(41)

ou en regardant (40a) et observant que

\[
a_1^2 = m^2,\ b_1^2 = n^2,\ c_1^2 = p^2;
\]
\[
m^2 + 2mn \cos \varphi + n^2 = p^2,
\]
(42)

ce qui est le théorème généralisé de Pythagoras.

12. Si l'on égale le segment de plan \((e_1 e_3 e_3)\) à l'unité, on peut tirer des équations (22a) les suivantes:

\[
\left\{ \begin{array}{l}
(e_2 e_3) = |e_1,\ (e_2 e_1) = |e_2,\ (e_1 e_2) = |e_3, \\
e_1 = (e_2 e_3),\ e_2 = |(e_3 e_1),\ e_3 = |(e_1 e_3).
\end{array} \right.
\]
(43)

Los développements suivants s'effectuent analoguement comme au n° 10. De même on donne à ces formules une interprétation relative à l'espace, en supposant que \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) soient trois distances égales et normales entre elles, sortant du même point.

IV.—Multiplication algébrique.—Équation d'une courbe.—Pole et polaire.

13. Soit \(a\) une droite quelconque et \(x\) un point variable, alors l'équation

\[
(ax) = 0,\ \text{ou bien}\ ax = 0
\]
(44)

dit que le point \(x\) est situé sur la droite \(a\) (20). Donc (44) est l'équation de cette droite. En remplaçant \(x\) par sa valeur (26) on trouve:
\[
(x e_1)x_1 + (x e_2)x_2 + (x e_3)x_3 = 0.
\]
(45)

(Se continuará).
El Progreso matemático (1892-11-15 00:00:00), página 25

BIBLIOGRAFÍA

Principi di Logica esposti secondo le doctrine moderne di Dr. Albino Nagy. Torino, 1891.—La obra que publicó poco ha el profesor de filosofía del Liceo de Velletri Sr. Nagy resume en un tomo de 214 páginas en 4.º menor los resultados de las investigaciones que en estos últimos años se deben principalmente á los filósofos y matemáticos ingleses y norteamericanos, y que ahora está exponiendo en su obra magistral, de que ya me he ocupado (y aun voy á ocuparme en el número próximo), el sabio matemático y filósofo Sr. Schröder. De manera que la obrita del Sr. Nagy forma una preciosa síntesis de la lógica exacta, ó del Álgebra de Lógica, muy útil para los principiantes, y que debía de corresponder á una asignatura de la 2.ª enseñanza, adecuada para desenvolver el hábito del razonamiento, y de carácter educativo conforme con las tendencias de la época actual.

Distingue el Sr. Nagy la parte de la lógica que considera la forma y no se ocupa del contenido, que deja indeterminado, y que se llama doctrina de las formas elementales, de la que se llama doctrina de las formas sistemáticas ó metodología, que además de la forma tiene en cuenta el contenido (siempre indeterminado), las cuales constituyen la lógica pura teórica ó formal (en un sentido más estricto) en cuanto estudia la forma del pensamiento dejando, como se ha dicho, indeterminado el contenido, y que tiene un carácter universal como el álgebra, que represente con símbolos cantidades cualesquiera.

La parte primera trata de las formas elementales: el concepto, el juicio y el silogismo á que corresponden la palabra, la proposición y el razonamiento; formas independientes entre sí. Define el concepto psicológica, metafísica y lingüísticamente, y sus distinciones absolutas por las que son individuales concretos ó abstractos y generales concretos ó abstractos, así como las relativas, considerando las relaciones fundamentales entre los conceptos, á saber: la subordinación (*) (inclusión), la interferencia (inclusión ó exclusión parcial) y la disyunción (exclusión total), llegando después de muchos ejemplos y consideraciones á definir la suma de dos conceptos \( a \) y \( b \) como el mínimo concepto que contiene á \( a \) y \( b \), y su producto como el máximo concepto contenido en ambos (**).

(*) Tiene cuidado de distinguir la subordinación de la subunción, teniendo éste lugar entre el concepto (concreto) de un objeto y el (abstracto) de una cualidad, pudiéndose la subunción convertir en subordinación. Así: Rosa blanca es una subunción que se convertirá en subordinación cuando la rosa se considere como objeto blanco.

(**) El Sr. Peano, en su obra Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Gras-
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Pass á examinar la suma de todos los elementos de un concepto ó su esfera (extensión) y el producto de todos los conceptos del que es parte (comprensión), la negación de un concepto y modo de representarse, así como su representación gráfica mediante las figuras geométricas llamadas símbolos eulerianos, las dos operaciones inversas: determinación y generalización, mediante la agregación ó supresión de factores, acompañando como complemento una extensa colección de ejercicios y de problemas.

Expone varias acepciones relativas al juicio de algunos filósofos, distinguiendo de la subordinación la subunción. Trata del caso de la subordinación recíproca ó igualdad, y de los juicios existenciales cuyos símbolos son: \( 0 < A, A = 0 \), que expresan: A es, ó A no es, ó no existe. Además, no siendo siempre los términos del juicio (\( a, b \)) idénticos á los conceptos por él expresados, presenta dichos términos \( a \) y \( b \) como funciones de los conceptos A y B

\[
a = \varphi(A), \quad b = \psi(B),
\]

siendo A y B la materia y \( \varphi, \psi \) la forma. Esto le conduce á considerar la cantidad y la calidad, la suma y el producto de juicios y sus relaciones sintetizadas en el cuadrado lógico, que expresa las relaciones en que se hallan las proposiciones como contrarias, contradictorias, etc. reduciéndolo todo al algoritmo de la Lógica exacta.

Así, representando como es costumbre por \( a \) y por \( e \) las proposiciones universales afirmativa y negativa, por \( i \) y por \( o \) las particulares afirmativa y negativa, de

\[
a = 1, \text{ se deduce } i = 1, \text{ de } i = 0 \text{ se deduce } a = 0, \text{ etc.}
\]

De \( a = 1 \) se deduce \( e_1 = 1 \) y \( e = 0 \), de \( e = 1, a_1 = 1, a = 0 \), etc.

Trata enseguida de los juicios disyuntivo y conjuntivo, divísivo y definitivo ó definitorio, teniendo éste lugar cuando son válidos simultáneamente los juicios.

\[
a < bd, \quad bd < a, \text{ por lo que } a = bd
\]

masa, que aplica á las formaciones geométricas, las operaciones de la lógica deductiva designa con la notación \( A \sim B \sim C \ldots \) ó \( ABC \ldots \) la máxima clase contenida en las clases A, B, C, ... ó sea la clase formada por todos los entes que son simultáneamente A, B y C, ... ó conjunción de la lógica y con \( A \sim B \sim C \) la mínima clase que contiene á las clases A, B, C, ... ó sea la clase de los entes, que son ó A, ó B, ... riendo el signo \( \sim \) el de la disyunción de la lógica.

Aprovechamos esta ocasión para consignar que el señor Peano ha realizado en varios de sus trabajos esta representación mediante el nuevo algoritmo de las proposiciones geométricas. Véase I.—Principi di Geometria logicamente esposti (1890), Les propositions du cinquième livre d'Euclide réduit en formules, etc.—(Z. Q. de G.)