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El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 15

luego P'E+PA=AD; pero PA=DP', luego P'E+DP'=AD

Lo mismo para la otra igualdad.

El trifolium tiene, pues, en general, un punto triple en A; una de las tangentes AX es horizontal, y las otras dos se cortarán según un ángulo recto (J. S. loc. cit. p. 38).

La parte del trifolium situada sobre la tangente horizontal en A es la sola que está recorrida por el lápiz; pero el lugar comprende también el arco de curva situado debajo del punto A, y que comprende al punto D' diametralmente opuesto á D sobre la circunferencia C.

La tangente al trifolium (M) en el punto E transformada del punto P de la circunferencia O pasa por el punto H de intersección de la tangente PH á la circunferencia y de la perpendicular AH trazada á AP por el punto A (J. S., loc. cit. p. 124.)

Según esto, la ecuación más sencilla del lugar (M) se obtendrá refiriéndolo á los ejes AX, AY, y se tendrá entonces, designando EA, EAX, OAX, PAX por \( \rho, \omega, \theta, u \),

\[
\rho = 2AP \cdot \cos (\omega + u), \quad AP = 2r \cos (\theta - u), \quad \omega + u = 90 - \omega
\]

Luego
\[
\rho = 4r \sen \omega \sen (\theta + 2\omega)
\]

El trifolium recto corresponderá á \( \theta = 90^\circ \), y el folium doble á \( \theta = 0 \).

CUESTIÓN 118 (Véase t. III, pág. 111).

Envolvente de la recta que une un punto A de una circunferencia á la proyección sobre un diámetro fijo, del punto A diametralmente opuesto al primero.

(H. Brocard).

Solución por el Sr Retali (V).

Llamemos B á la proyección del punto A' sobre el diámetro fijo, r al radio del círculo, y sean \( \alpha, \beta \) las coordenadas del punto A.

Tomando por ejes el diámetro fijo y el diámetro perpendicular, la ecuación de la recta AB es

(1)
\[
-\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1
\]

cuyos parámetros \( \alpha \) y \( \beta \) están ligados por la relación.
(1)
\[
\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2
\]

Diferenciando las (1) y (2), consi-
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derando \( \alpha \) y \( \beta \) como funciones de una misma variable independiente, se tienen las

\[
(3)\quad -\frac{x}{\alpha} \cdot d\alpha + \frac{2y}{\beta^2} \cdot d\beta = 0; \qquad (4)\quad \alpha \cdot d\alpha + \beta \cdot d\beta = 0;
\]

de las cuales, multiplicando la (4) por un factor indeterminado K, sumando con (3) é igualando á cero los coeficientes de \( d\alpha \) y \( d\beta \);

\[
(5)\quad \frac{x}{\alpha^2} + kx = 0, \qquad (6)\quad \frac{2y}{\beta^2} + k\beta = 0
\]

Sumando miembro á miembro las dos últimas ecuaciones después de haberlas multiplicado respectivamente por \( \alpha \) y \( \beta \), y teniendo presentes las (1) y (2), se obtiene

\[
1 + kr^2 = 0, \qquad k = -\frac{1}{r^2},
\]

y por esto, de las (5) y (6), tenemos

\[
\alpha = -\sqrt[3]{r^2 x}, \qquad \beta = \sqrt[3]{2r^2 y},
\]

valores que sustituidos en la (1) dan para las ecuaciones de la envolvente buscada

\[
x^{\frac{2}{3}} + (2y)^{\frac{2}{3}} = r^{\frac{2}{3}}
\]

Una curva simétrica respecto á los ejes coordenados que tiene una cúspide en cada extremo del diámetro fijo y en cada uno de los dos puntos \((0, \pm \frac{r}{2})\), los ejes son tangentes cuspidades.

Otra solución por el Sr. Estall.

Sea \( a \) el punto de intersección de la recta AB con el eje Oy; y trásemos por \( a \) la paralela al diámetro fijo, hasta encontrar á la A'B en el punto M. Designado con \( \theta \) el ángulo AOx, se tiene:

\[
OB = MQ = -r \cos \theta, \quad OQ = MB = \frac{1}{2} A'B = \frac{r}{2} \sin \theta,
\]

y por consiguiente

\[
\frac{OB^2}{r} + \frac{MB^2}{\left(\frac{r}{2}\right)^2} = 1
\]

El lugar del punto M es, pues, una elipse que tiene los ejes iguales á \( r/2 \) y \( r \), y la envolvente de la recta AB coincide con la envolvente de las rectas que unen los pies de las perpendiculares bajadas á los
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ejes desde un punto variable de la elipse mencionada; la ecuación de esta envolvente, que en el caso general de la elipse

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{es} \quad \left( \frac{x}{a} \right)^2 + \left( \frac{y}{b} \right)^2 = 1,
\]

se reduce en el caso actual á

\[
x^3 + (2y)^3 = r^3
\]

Solución por el Sr. Luzón de las Cuevas.

La recta variable depende del punto paramétrico A sujeto á moverse sobre la circunferencia paramétrica cuyo radio suponemos sea \( r \).

Las coordenadas de A y A', considerando como ejes el diámetro fijo y el perpendicular á éste y expresándolas en función de la anomalía \( \varphi \), son

\[
A \begin{cases}
r \cos \varphi \\
r \cos \varphi
\end{cases} \qquad A' \begin{cases}
-r \cos \varphi \\
0
\end{cases}
\]

La recta móvil tiene, pues, por ecuación

\[
2y - r \sin \varphi - x \tan \varphi = 0 \tag{1}
\]

y derivando con respecto á \( \varphi \),

\[
r \cos \varphi + \frac{\cos^2 \varphi}{\varphi} = 0. \tag{2}
\]

Eliminando \( \varphi \) entre las dos ecuaciones anteriores, se obtiene para la envolvente la ecuación

\[
2y \mp r \sqrt{1 - \sqrt{\frac{x^3}{r^3}}} \mp x \frac{\sqrt{1 - \sqrt{\frac{x^3}{r^3}}}}{\sqrt{\frac{x^3}{r^3}}}
\]

en la que los signos se corresponden.

Simplificando llegamos á

\[
y = \pm \frac{1}{2} \left( \sqrt{r^2 - \sqrt{r^4 x^3}} + \sqrt{r^2 x^3 - x^4} \right)
\]

Curva simétrica con relación á los dos ejes coordenados que toca al de las X en los puntos \( \pm r \) y al de las y en los \( \pm \frac{1}{2} r \) y que vuel-
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ve su convexidad hacia el centro, y que está encerrada en un rectángulo concéntrico con la circunferencia paramétrica cuya dimensión es r y la horizontal 2r.

Solución por el Sr. Sollertinski (B).

Sean: P' la proyección de A' sobre el diámetro fijo OX, Q' la intersección de AP' con el diámetro OY perpendicular á OX, Q la proyección de A sobre OY.

Se tiene evidentemente \( P'Q = OA = \text{const} \).
Luego la recta envuelve una hipocicloide de cuatro retrocesos.
Pero, porque se tiene siempre \( OQ' = \frac{OQ}{2} \), se puede mirar P'Q' como la proyección de OQ. Por consiguiente, AP' envuelve á la evoluta de una elipse.

Siendo la ecuación de la hipocicloide

\[
\frac{x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} = R^{\frac{2}{3}},
\]

la de la evoluta será

\[
X^{\frac{2}{3}} + (2Y)^{\frac{2}{3}} = R^{\frac{2}{3}}
\]

designando R el radio del círculo dado.

CUESTIÓN 407 (*)
(Véase t. I, página 288).

Dos elipses iguales tienen el mismo centro y sus ejes mayores perpendiculares: P es un punto cualquiera de la primera, Q y Q' los puntos de la segunda en que las tangentes son perpendiculares á OP y M, M' los puntos medios de PQ, P'Q'.

Siendo a y b los semi-ejes de las elipses demostrar que OMPM' es un paralelogramo cuyos lados son

\[
\frac{a + b}{2} \quad y \quad \frac{a - b}{2}
\]

y en que las bisectrices de los ángulos tienen las direcciones de los ejes de las curvas.

(C. Laisant).

(*) Este número es del Jour. de math. dûm. de M. Longchamps.
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Solución por el Sr. Retai (V.)

Si la ecuación de la primera elipse es

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

la de la segunda será

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

y las rectas OP, QQ' tendrán respectivamente por ecuaciones

(1) \( y = x \tg \theta \)

(2) \( y = x \frac{a^2}{b^2} \tg \theta \)

Si hacemos, pues, por brevedad

\[
\lambda = \frac{a \sen \theta}{\sqrt{a^2 \sen^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}, \quad \mu = \frac{b \sen \theta}{\sqrt{a^2 \sen^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}},
\]

de las que se obtiene elevando al cuadrado y sumando.

(3) \( \lambda^2 + \mu^2 = 1 \)

las ordenadas del punto P' estarán expresadas por \( a \mu \) y \( b \lambda \), las de los puntos P', Q' por \( \pm b \mu \) y \( \pm a \lambda \). De esto se sigue que las coordenadas del punto M

son \( \left( \frac{a+b}{2} \right) \mu, \left( \frac{a-b}{2} \right) \lambda \)

y las de M'

son \( \left( \frac{a+b}{2} \right) \mu, \left( \frac{a-b}{2} \right) \lambda \)

y por esto, teniendo presente la (3), se tiene

\[
OM = \frac{a+b}{2}, \quad OM' = \frac{a-b}{2}
\]

Las dos rectas tienen respectivamente por ecuaciones

\[
y = \frac{\lambda}{\mu} x, \quad y = -\frac{\lambda}{\mu} x
\]

que se hallan por consiguiente igualmente inclinadas sobre los ejes

CUESTIÓN 67
(Véase tomo 11, páginas 215).

Si por el punto recíproco del centro del círculo inscripto a un triángulo se trazan paralelas á los tres lados, la diferencia entre un lado y
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TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS

CONTINUACIÓN (Véase t. II pág. 195-207, y t. III, 174).

CAPITULO II
El método trigonométrico.

41. Concepto general — La trigonometría se puede considerar:
1.º Como un método geométrico, como un capítulo de la Geometría.
2.º Como un algoritmo constituido por las funciones circulares.

En la primera acepción, única de que se va á tratar aquí, hallamos que éste método es una aplicación de la teoría de las proyecciones. Así, el coseno y el seno son las proyecciones del radio de una circunferencia sobre una dirección ó sobre su perpendicular.

La cuestión fundamental de la trigonometría es la determinación de ángulos ó de direcciones; y si bien se trata en ella inmediatamente, como se acaba de decir, en el caso particular de ser los ejes de proyección rectangulares, el principio general se refiere á ejes cualesquiera.

Observaremos desde luego que: un sistema de proyecciones está definido por una recta ilimitada sobre la que se fija una dirección positiva y un plano no paralelo á la recta; que existe una relación constante entre la proyección de un segmento, variable en magnitud, pero de dirección constante, y dicho segmento.

Ciñéndonos al caso de estar los segmentos y sus proyecciones en un plano, la fig. 36 manifiesta que los segmentos AB, AC,... sus proyecciones A'B', A'C'... y sus proyectantes (ó direcciones, según las en que se efectúa la proyección) determinan triángulos semejantes MA'B', etc., y en éstos, A'B', A'C'... se hallan determinadas con respecto á AB, AC..

(multiplicándolas por el factor \( \frac{\operatorname{sen} A'MB'}{\operatorname{sen} MB'A'} \) que llamaremos \( \lambda \)), pues, como cantidades proporcionales, de las unas se pasa á sus correspondientes multiplicándolas por un factor \( \lambda \) (en el caso de ser el eje de proyección PG' y la dirección proyectante perpendiculares se tiene que \( \operatorname{sen} MB'A' = 1, \lambda = \operatorname{sen} A'MB' = \cos MA'B', \) y \( A'B' = AB \cos MA'B' \)). Resulta, pues, como proposición fundamental de la trigonometría, que:

En un triángulo rectángulo un cateto es igual á la hipotenusa por el
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la longitud de la paralela á este lado, comprendida entre los otros dos lados del triángulo es la misma para los tres lados. ¿Cuál es la propiedad análoga para los puntos recíprocos de los centros de los círculos ex-inscriptos.

(N. C. M.) (E. Lemoine).

Solución por el Sr. Sollertin-Ky.

Sean: M un punto del plano ABC; D y E los puntos en que la paralela á BC, trazada por M, encuentra á BA y CA; A' el punto de intersección de AM y BC.

Se tiene, en magnitud y signo,

\[
\frac{DE}{BC} = \frac{AM}{AA'}, \quad \text{de donde} \quad \frac{BC-DE}{BC'} = \left( \frac{MA'}{AA'} \right) = \frac{MBC}{ABC}
\]

Por consiguiente, designando \( x, \beta, \gamma \) las coordenadas baricéntricas de M, y \( a', b', c' \) las longitudes de las paralelas, trazadas por M, afectadas de los signos convenientes (*), se tendrá

\[
(a-a') : (b-b') : (c-c') = ax : b\beta : \gamma c
\]

se sabe que las coordenadas baricéntricas de los recíprocos de los centros de los círculos inscriptos, son

\[
\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right), \left( -\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right), \left( \frac{1}{a}, -\frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right), \left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, -\frac{1}{c} \right)
\]

Luego, para el primer punto se tiene

\[
a - a' = b - b' = c - c',
\]

donde \( a', b', c' \) son siempre positivos; y, para el segundo punto

\[
\mp (a - a') = \pm (b - b') = \pm (c - c')
\]

donde algunas de las cantidades pueden ser negativas.

CUESTIONES 35 y 37 (V. t. I, pág. 295).

35. Construir un triángulo conociéndose los puntos que dividen (seguido el perímetro en el mismo sentido) sus tres lados en la razón de 1 á 2.

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

37. Sean A', B', C', D' los puntos que dividen á los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrilátero en la razón de 1 á 2. Si se prolonga A'B' en

(*) BC y DE tienen las direcciones contrarias cuando los puntos D, E están en las prolongaciones de los lados más allá de A; el valor de \( a' \) es entonces negativo.
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una longitud B'M=A'B', y se traza enseguida la recta MN=2C'B', paralela á C'B' y dirigida en el mismo sentido, después NP igual y paralela á AD y dirigida en el mismo sentido, los puntos A, A', P estarán en línea recta, y el punto A' dividirá á la recta AP en la relación de 1 á 5. (esta propiedad permite construir el cuadrilátero cuando se conocen los puntos A', B', C', D').

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

Solución por el Sr. Sollertinski.

Sean A', β, D' los puntos que dividen los lados del triángulo ABD, en la razón 1 : 2; E la intersección de A'D' y BD.

Si A'B' paralela á AD encuentra á BD en β', se tendrá

\[
A'\beta' = \left( \frac{2}{3} AD \right) = 2D'D,
\]

\[
\beta'D = \frac{1}{3} BD.
\]

Por consiguiente, en el triángulo A'EQ' se tendrá

\[
D'E = A'D', DE = (D\beta') = \frac{1}{3} EB
\]

De aquí la construcción siguiente: Se prolonga A'D' en una longitud

\[
D'E = A'D',
\]

se divide Eβ por el punto D en la razón 1 : 2, y se trazan las rectas DD' y BA'.

2.º Según esto, para construir el cuadrilátero ABCD, dados A', B', C', D', se prolongan A'D' y C'B' de manera que D'E = A'D', B'N' = C'B'. Dividiendo los puntos D y B á EN' en la razón 1 : 4 son los vértices del cuadrilátero.

Los otros dos vértices son las intersecciones de DD' y DC con BA' y BB'.

Sea P' el punto en que la paralela N'P' á A'D' encuentra á AB, se tendrá

\[
\frac{N'P'}{A'E} = \frac{BP'}{BA'} = \frac{NB}{BE} = \frac{1}{4}
\]
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 22

de donde \[ N'P' = \left( \frac{1}{4} A'E \right) = \frac{1}{2} A'D'; \quad BP' = \frac{1}{4} A'B, \]

y por consiguiente \[ A'P' = \left( \frac{5}{4} A'B \right) = \frac{5}{2} AA' \]

Luego si se toma

\[ AM = 2A'B', \quad \Lambda'N = 2\Lambda'N', \quad A'P = 2A'P', \]

se tendrá

\[ MN = (2N'B') = 2C'B', \quad NP = (2N'P') = A'D', \quad \Lambda'P = 5AA' \]

lo que debía demostrarse.

CUESTIÓN 112 (Véase t. III, págs. 72, 109 y 168).

Dados en dirección los ejes xCx', yCy' de una cónica \( \Sigma \) (fig. 1.a) y la normal MNN' á esta curva en un punto dado M, así como los puntos de intersección N, N' de esta normal con los ejes, determinar el centro \( \rho \) ó el radio de curvatura \( \rho M \) en este punto M, no empleando más que dos rectas en la construcción.

Resolver asimismo este problema en el caso particular en que el eje yCy' (fig. 2.a) y, por consiguiente, el punto N se halle en el infinito, es decir, cuando la cónica (\( \Sigma \)) se convierte en una parábola.

(A. Schiappa Monteiro).

Solución por M. H. Bbocard.

Volvamos á tomar la fig. 1.a de la pág. 109; pero por el punto O tracemos á OIM la perpendicular O\( \rho' \) que encuentra á MNN' en el punto \( \rho' \).

Digo que \( N'\rho' = N\rho \). En efecto, designando por \( \alpha, \theta, \varphi \) los ángulos OMN, MON, MNx, por \( n, r \) las longitudes MN y OM, se tendrá fácilmente

\[ N\rho = n \tg \alpha \tg \varphi, \quad N'\rho' = r \frac{\tg \alpha \sen \theta}{\cos \varphi} \]

Pero se tiene \( r \sen \theta = n \sen \varphi \)

De esto resulta \( N'\rho' = N\rho \).

Habiéndose determinado \( N'\rho' \) por la construcción anterior, falta tomar el segmento \( N\rho \) igual á \( N'\rho' \) para tener el centro de curvatura de la elipse en el punto M.

En el caso de la parábola esta propiedad no se presenta, y creo que es preciso adoptarse la construcción dada en la figura 2 (loc. cit.)
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 23

CUESTIÓN 84 (Véase t. II, pág. 280).

Sobre los cuatro lados de un cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \) se construyen exteriormente los triángulos equiláteros \( A_1B_1A_2, A_2B_2A_3, A_3B_3A_4, A_4B_4A_1 \) e interiormente los triángulos equiláteros \( A_3b_1A_1, A_3b_2A_2, A_4b_3A_3, A_1b_4A_4 \). Sean \( I_1, I_2, I_3, I_4, i_1, i_2, i_3, i_4 \) los centros de estos triángulos:

1.º La recta \( I_2I_4 \) (ó \( i_4i_2 \)) es perpendicular á \( B_1B_3 \) (ó \( b_1b_3 \)) é igual al radio del círculo circunscrito al triángulo equilátero construído sobre \( B_3B_1 \) (ó \( b_3b_1 \)).

2.º a) Si sobre \( I_3I_1 \) se construye el triángulo equilátero \( I_3MI_1 \), y se prolonga \( I_3M \) en una longitud \( MN = I_3M \), el cuadrilátero \( I_1B_2B_4N \) es un paralelogramo. b) Construir el cuadrilátero \( A_1A_2A_3A_4 \), dados los puntos \( I_1, I_2, I_3, B_4 \) ó los puntos \( I_1, B_2, B_3, B_4 \).

(H. VAN AUBEL).

Solución por el Sr. SOLLERTINSKY

1.º Sea \( M_1 \) el medio de \( A_1A_3 \). En los triángulos \( M_1J_2J_4, M_1B_1B_3 \), siendo los lados homólogos \( M_1J_2 \) y \( M_1B_1, M_1J_4 \) y \( M_1B_3 \) perpendicula-
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 24

res y tales, que el primero es igual al radio del triángulo equilátero construido sobre el segundo (véase cuest. 83, 2.º a); lo mismo sucede con los terceros lados \( J_2J_4 \) y \( B_1B_3 \).

2.º La primera parte es una consecuencia inmediata de 1.º

Según esto, al estar dados los puntos \( J_1, J_3, B_1 \), se puede construir \( B_3 \), é inversamente, dados \( B_2, B_1, J_1 \) se obtendrá \( J_3 \).

Después, siendo conocidos \( B_1 \) y \( J_2 \), se construyen fácilmente \( A_3 \) y \( A_3 \), y los puntos \( A_3 \) y \( J_1 \), \( A_3 \) y \( J_3 \) determinan respectivamente \( A_1 \) y \( A_4 \).

CUESTIONES PROPUESTAS

143. Sea G el centro de gravedad del segmento formado por una curva ABC y un radio vector AP, sea ABC' el lugar del punto G. La tangente en G pasa por el punto M que se obtiene tomando, en PA,
\[
PN = \frac{1}{3} PA.
\]
(N. C. M.) (E. Catalán).

144. Sea \( A_1A_2A_3 \) un triángulo. Si representamos por D, la distancia entre las proyecciones del vértice A, sobre las bisectrices exteriores de \( A_4 \) y \( A_5 \); por \( d_1, d_4, d_3 \), las distancias entre las proyecciones de cada vértice sobre las bisectrices exteriores de los otros dos, el área del triángulo está dada por la fórmula
\[
T = \sqrt{D_1d_1d_4d_3}
\]
(Jorge Lusón de las Ovejas).

145. Siendo A, B, C, D cantidades imaginarias dadas, y x una cantidad imaginaria variable, formemos el determinante
\[
\begin{vmatrix}
A + x & B + x \\
C + x & D + x
\end{vmatrix} = \Delta,
\]
Demostrar
1.º Que si el módulo de \( \Delta \) permanece constante, la extremidad de x recorre una circunferencia cuyo centro se pide determinar.
2.º Que si el argumento de \( \Delta \) permanece constante, la extremidad de x recorre una recta. Determinar la dirección de ésta cuando el argumento de \( \Delta \) es nulo.

(C. A. Laisant.)
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 3

seno del ángulo opuesto ó por el coseno del ángulo adyacente, ó más generalmente: Un lado de un triángulo es igual á otro de ellos por la razón entre el seno del ángulo opuesto al primero y el del opuesto al segundo.

Siendo \( \frac{A'B'}{AB} = \lambda \), si \( AB = 1 \), resulta \( A'B' = \lambda \), es decir, que cuando el segmento proyectado es igual á la unidad, \( \lambda \) es el número que mide la proyección.

42. Definición de las líneas trigonométricas y sus relaciones.
Si \( OM = 1 \), entonces \( \lambda = \frac{OP}{OM} = OP = \cos MOP \).

El coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el radio. De esta línea trigonométrica se derivan el seno, la tangente y cotangente que se expresan por las relaciones entre otro cateto y la hipotenusa, entre el cateto opuesto y el adyacente y entre éste y aquél. Así

\[
\frac{OP}{OM}, \quad \frac{MP}{OM}, \quad \frac{MP}{OP}, \quad \frac{OP}{MP}
\]

Vemos que si \( OM \) representa la unidad de longitud, al darse la longitud \( OP \) que debe ser su proyección, resulta determinada la dirección de \( OM \) en el cuadrante AOD (*) ; y si hacemos variar \( OP \) desde cero hasta OA, á la serie sucesiva de sus valores corresponderán todas las posiciones de \( OM \) en el cuadrante AOD; y lo mismo se verá para los otros. Repitiendo estas consideraciones para la proyección según la dirección perpendicular (que corresponde á los senos), también resultará determinada la dirección de \( OM \) en cada cuadrante; y si se da simultáneamente una proyección en cada uno de los ejes, la dirección de \( OM \) quedará determinada sin ambigüedad.

En resumen: cada triángulo rectángulo de los formados por el giro de \( OM \) podrá considerarse como tipo de una especie de triángulo, y cualquier punto B estará determinado por su triángulo homotético correspondiente OMP, de manera que las longitudes en el triángulo OBC estarán determinadas por las correspondientes del OMP multiplicadas por la razón \( \frac{OB}{OM} \), es decir, por el valor numérico de OB (ya que \( OM = 1 \)).

(*) Si no se especifica el cuadrante, es decir, en general hay ambigüedad pues á OP (ó á OQ corresponden dos puntos). Es decir, que se necesita efectuar dos proyecciones, ó dar, por ejemplo, además del coseno el seno, etc., para que desaparezca la ambigüedad.
El Progreso matemático (1893-09-15 00:00:00), página 4

Ó de otro modo, estando determinada la dirección OM por el factor directivo \( \cos \alpha + i \sin \alpha \), todos los puntos del plano quedarán determinados por la expresión \( \lambda (\cos \alpha + i \sin \alpha) \).

43. RELACIONES ENTRE LAS LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS.—La conocidísima fig. 38 hace ver cómo se establecen las fórmulas que determinan

\[
\text{sen } (a+b), \text{ cos } (a+b), \text{ sen } (a-b), \text{ cos } (a-b),
\]

proyectando el contorno ON+NC, ó ON+NS, ya sobre OA ya sobre el eje perpendicular á éste, ó también observando que el radio OC es el producto de los radios OB=\( \cos a + i \sin a \) y el que corresponde á \( \cos b + i \sin b \).

Las fórmulas que determinan sumas ó diferencias de senos y cosenos se deducen, como se sabe aplicando el teorema fundamental á los triángulos BRC' y BFR', cuyos catetos BR, RC',... son respectivamente

\[
\text{sen } a + \text{sen } b, \text{ cos } a - \text{cos } b, \text{ etc.}
\]

Si se considera una dirección OM en e espacio, para que la unidad OM quede determinada sin ambigüedad se necesita y es suficiente que OM sea la proyección de tres longitudes tomadas sobre tres ejes tales que ninguno sea paralelo al plano de los otros dos(*), que para mayor facilidad se suponen rectangulares como indica la fig. 40.

Proyectando ortogonalmente el vértice M sobre el plano de la cara AB correspondiente al lado AB del triángulo esférico ABM (fig. 40), ó plano XZ; si por la proyección N se traza una circunferencia de radio ON, que llamaremos r, y suponemos que el radio OA ú OP es la unidad, se tendrá (para los arcos c y d).

(*) Las constantes que determinan la relación de cada segmento con su proyección serán en este caso \( \lambda, \mu, v \) que cuando los tres ejes sean rectangulares, como en la figura ocurre, serán \( \cos a, \cos b, \cos c \), siendo \( OM = 1 \).