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El Progreso matemático (1892-02-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

ERNESTO SCHROEDER
Sus merecimientos ante la Lógica, su propaganda lógico-matemática, sus obras.

En tanto que una ciencia cualquiera no traspasa los límites de las revistas destinadas á las investigaciones de los sabios, no puede decirse que ha logrado carta de naturaleza; en efecto, la gran masa del público científico no cobra afición por aquéllo que ha de rebuscar con el fin de aprender en actas de Academias, Memorias de sociedades, reseñas de sesiones, etc., cosa que exige pérdida grande de tiempo y dinero ó oportunidad de buenas Bibliotecas públicas.

Además, en estas publicaciones se suele remitir muy frecuentemente á otras de análoga índole y que para mejor inteligencia del texto se hace preciso consultar, suponiendo generalmente por de contado, que el lector ya conoce algo la materia. Tales sacrificios sólo puede imponérselos el hombre apasionado por el estudio y á él decididamente consagrado.

La difusión de las diferentes disciplinas científicas, exige libros de conjunto en donde el autor, reuniendo los pequeños trabajos diseminados de sus predecesores, sean ilustres ó obscuros, de todos los que han aportado materiales al edificio y agregando su obra propia, construya el monumento.

El haber hecho esto con respecto á la Lógica simbólica es, aparte del mérito que le dan sus propios descubrimientos, una de las glorias del Sr. D. Ernesto Schroeder, profesor de la Escuela técnica de Karlsruhe y uno de los más simpáticos investigadores lógicos del día.

La primera publicación que leí del Sr. Schroeder fué su Operations Kreis des Logikkalküls. Sin ser esta obratán profunda ni detallada como la última del mismo autor, produjo en mi una grandísima impresión. Desde entonces he venido dedicándome asiduamente á esta ciencia
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inmediatamente los principios del cálculo diferencial, relativos al orden del resultado de las operaciones en función de los órdenes de los datos.

En el ejemplo citado, bastará recordar la proposición que dice: el orden infinitesimal de un producto es igual á la suma de los órdenes infinitesimales de los factores, para llegar al enunciado siguiente: el orden infinitesimal de un cateto es igual al de la hipotenusa, más el del seno del ángulo opuesto al cateto.

Este procedimiento es necesario repetirlo á cada nueva investigación; pero si previamente conociésemos, no la ley trigonométrica finita, sino la relación infinitesimal entre los órdenes de datos é incógnitas, llegaríamos á definir el del resultado sin necesidad de atender á aquélla.

Por esto, juzgamos conveniente y nos proponemos establecer fórmulas que definan el orden infinitesimal de los elementos desconocidos de un triángulo en función de los órdenes de los conocidos; ó de otro modo: resolver sobre los triángulos infinitesimales, los mismos problemas que la Trigonometría ordinaria resuelve sobre los finitos.

Además, como en toda forma, puede efectuarse una verdadera triangulación, es suficiente tener hecho el estudio del triángulo para poder verificar el referente á las demás figuras.

Realizado que sea el primero, efectuaremos un ensayo de aplicación á los principios más conocidos de la Geometría infinitesimal.

II.- Preliminares

Nada hay grande ni pequeño en absoluto: la idea de cantidad es relativa, y el número que nos expresa el resultado de su comparación con la unidad, será tanto mayor ó menor, cuanto menor ó mayor sea ésta. Una cantidad puede ser infinitamente pequeña respecto de otra, y al propio tiempo infinitamente grande en relación con una tercera.

Apoyados en este criterio de subordinación, se definen en el análisis infinitesimal los diversos órdenes de la cantidad, relacionándolos todos, con un infinitamente pequeño ó infinitamente grande, que se adoptan como fundamentales.

Se establecen también teoremas que dan á conocer el orden infinitesimal del resultado de las operaciones. De ellos vamos á enunciar los que han de servir á nuestro fin, refiriéndonos para su estudio al Tratado de cálculo diferencial de nuestro maestro Sr. Archilla:

«I.—El orden infinitesimal de una suma de un número finito de sumandos, del mismo signo, es igual al del sumando de menor orden.
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»Corolario.—Si los sumandos son todos del mismo orden, el de la suma será igual al de cada uno de ellos.

»Escolio.—Si los sumandos son de distinto signo y del mismo orden, el orden infinitesimal del resultado, puede ser superior al de cada uno de los sumandos.

»II.—El orden infinitesimal de la diferencia de dos cantidades de distinto orden, es igual al orden de la del menor.

»III.—El orden infinitesimal de un producto, es igual á la suma de los órdenes infinitesimales de los factores.

»IV.—El orden infinitesimal de un cociente, es igual á la diferencia de los órdenes del dividendo y divisor.

»V.—Si dos cantidades difieren en un infinitamente pequeño, de orden superior al de cada una de ellas, son del mismo orden infinitesimal y recíprocamente.»

En todos estos teoremas, como en las sucesivas aplicaciones, la cantidad finita debe considerarse de orden cero, y las infinitamente grandes de órdenes negativos; suponiendo positivos, según de ordinario se hace, los órdenes de las infinitamente pequeñas.

III.—Naturaleza de los elementos

I.—Son elementos principales de un triángulo los tres lados y los tres ángulos.

Un triángulo se dice finito, si lo son todos sus elementos; infinitesimal si alguno de ellos es infinitamente pequeño ó infinitamente grande.

Un triángulo infinitesimal, puede tener lados infinitamente pequeños ó infinitamente grandes, porque estos dos estados de la magnitud puede alcanzar un segmento rectilíneo; y ángulos de la primera especie, pero no de la segunda, puesto que la suma de los tres ha de ser finita, y si alguno de los sumandos fuese infinitamente grande, aquélla lo sería en virtud del teorema I del capítulo II.

Resumiendo:
Un triángulo puede tener:
Lados infinitamente pequeños, finitos ó infinitamente grandes y ángulos finitos ó infinitamente pequeños.

IV.—Relaciones entre los órdenes infinitesimales de los lados

2.—TEOREMA FUNDAMENTAL.—Un triángulo no puede tener los tres lados de distinto orden infinitesimal.
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Sean \(a\), \(b\), \(c\), los lados, cuyos órdenes infinitesimales designaremos por \(m\), \(m'\), \(m''\), siendo \(m > m' > m''\).

Si expresamos por la notación

\[
|a|_m
\]

la frase: lado a cuyo orden infinitesimal es \(m\). tendremos aplicando el conocido principio de Geometría que dice: un lado cualquiera de un triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos, la siguiente expresión:

(1)

\[
|a|_m > |b|_{m'} - |c|_{m''}:
\]

el orden infinitesimal del primer miembro es \(m\); el del segundo \(m''\) (II de preliminares); es decir, el orden infinitesimal de

\[
|a|_m \text{ es mayor que el de } |b|_{m'} - |c|_{m''}:
\]

luego el valor absoluto de \(|a|_m\) ha de ser menor que el de la diferencia, \(|b|_{m'} - |c|_{m''}\).

Son absurdas, por tanto, la expresión (1) y la hipótesis de que los tres lados sean de distinto orden.

Escolio.—No son admisibles respecto de los órdenes de los lados de un triángulo, más que las dos siguientes combinaciones:

I.—Tres lados del mismo orden.

II.—Dos lados del mismo orden y el tercero de orden distinto.

3.—Teorema II.—Si un triángulo tiene dos lados infinitesimales del mismo orden, el tercero debe ser de orden superior.

Sean: \(a\), \(b\), \(c\), los lados: \(m\), \(m\), \(m'\), sus órdenes infinitesimales respectivos y \(m > m'\).

En virtud del teorema de Geometría que dice: un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, debe verificarse la relación:

\[
|c|_{m'} < |a|_m + |b|_m:
\]

el orden infinitesimal del primer miembro es \(m'\); el del segundo \(m\) (Corolario de Preliminaires); y puesto que el valor absoluto de

\[
|c|_{m'}
\]

ha de ser menor que el de la suma \(|a|_m + |b|_m\),

deberá verificarse

\[
m' > m
\]

Resumiendo.

Un triángulo puede tener:
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I.—Tres lados infinitesimales del mismo orden.

II.—Dos lados infinitesimales del mismo orden y el tercero de orden superior.

4.—COROLARIOS.

I.—Si conocemos sólo el orden infinitesimal de un lado de un triángulo, no podemos afirmar nada de la naturaleza de los otros dos.

II.—Si conocemos dos y son del mismo orden, el tercero podrá ser del mismo ó de orden superior.

III.—Si conocemos dos, y son de distinto orden, el tercero será del orden del que le tenga menor.

V.—Existencia ó imposibilidad de los diversos casos que pueden presentarse

5.—Propongamos los diversos casos que pueden presentarse, según la naturaleza de los lados; y teniendo en cuenta los principios establecidos en los capítulos anteriores, examinemos cuáles son admisibles y cuáles no.

Todos están comprendidos en el siguiente cuadro:

Casos que pueden imaginarse en el estudio del triángulo infinitesimal, atendiendo á la naturaleza y orden de los lados:

    Tres lados infinitesimales
    A. Tres infinitamente pequeños
    1.º Del mismo orden.
    1.º Dos del mismo orden.
    2.º Los tres de distinto orden.

    B. Dos infinitamente grandes y uno infinitamente pequeño
    1.º Los infinitamente grandes del mismo orden.
    2.º Los infinitamente grandes de distinto orden.

    C. Dos infinitamente pequeños y uno infinitamente grande
    1.º Los infinitamente pequeños del mismo orden.
    2.º Los infinitamente pequeños de distinto orden.

    D. Tres infinitamente grandes
    1.º Del mismo orden.
    2.º Dos del mismo orden.
    3.º Los tres de distinto orden.

    A. Dos infinitamente pequeños y uno finito
    1.º Los infinitamente pequeños del mismo orden.
    2.º Los infinitamente pequeños de distinto orden.

    B. Dos infinitamente grandes y uno finito
    1.º Los infinitamente grandes del mismo orden.
    2.º Los infinitamente grandes de distinto orden.

    C. Uno infinitamente pequeño, uno finito y uno infinitamente grande.

    III. Dos finitos y uno infinito
    A. Dos finitos y uno infinitamente pequeño.
    B. Dos finitos y uno infinitamente grande.

    IV. Los tres finitos.
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6.—Estudiemos en detalle los diversos casos presentados en el cuadro anterior.

(I.-A.).—Tres lados infinitamente pequeños.
Es evidente la posibilidad de este caso (fig. 1).

Podemos imaginar el triángulo construyendo un ángulo A, que podrá ser finito, ó infinitamente pequeño: si trazamos la recta BC, determinará un triángulo ABC, que tendrá nulos sus tres lados, en el caso de pasar por A la recta auxiliar; luego en una posición infinitamente próxima á ésta considerada como límite (no estando el vértice A, sobre BC), los tres lados serán infinitamente pequeños.

Atendiendo á los órdenes de estos infinitamente pequeños, pueden presentarse tres casos distintos:
1.º—Tres lados infinitamente pequeños del mismo orden.
2.º—Dos lados infinitamente pequeños del mismo orden, y el tercero de orden distinto.
3.º Los tres de distinto orden.
El primero es evidente.
El segundo es posible, si el tercer lado es de orden superior al de los dos primeros.
El tercero es absurdo (Cap. IV.—Teorema fundamental).
Resulta, pues, ser sólo admisibles las dos hipótesis siguientes:
I.—Tres lados infinitamente pequeños del mismo orden.
II.—Dos lados infinitamente pequeños del mismo orden, y el tercero de orden superior.

(I.-D.).—Tres lados infinitamente grandes.
Este caso como el anterior, es también posible.
Si suponemos la recta auxiliar BC (fig. 1), en la posición representada en la figura, y hacemos que se mueva paralelamente á sí misma, cuando los puntos B y C se hayan alejado indefinidamente sobre AB y AC, los tres lados del triángulo ABC, habrán llegado á adquirir el estado de magnitudes infinitamente grandes (ó de cantidades), puesto que aquí la idea de infinitamente grande es relativa.

Atendiendo á los órdenes, se presentan tres casos análogos á los anteriores:
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1.º—Tres lados infinitesimales grandes del mismo orden.
2.º—Dos lados infinitamente grandes del mismo orden, y el tercero de orden distinto.
3.º—Los tres infinitamente grandes de distinto orden.

Razonando como anteriormente, llegamos á la conclusión de que sólo son admisibles los dos primeros, es decir, en un triángulo cuyos tres lados sean infinitamente grandes podrá admitirse:

I.—Que los tres sean del mismo orden.
II.—Que dos sean del mismo orden y el tercero de orden superior.
Conviene hacer una advertencia que aclarará este segundo enunciado.

Al decir que un lado de un triángulo es infinitamente grande de un orden superior al de otro, debemos entender que el valor absoluto del número que indica el orden del primero, es menor que el del segundo; pues hemos dicho, que eligiendo un infinitamente pequeño como fundamental y considerándole de orden positivo, los infinitamente grandes serán de órdenes negativos, y sabido es que un número negativo vale en el orden natural de la ley de formación de la cantidad, tanto menos cuanto mayor es su valor absoluto.

Para hacer más comprensible el segundo enunciado, convendría decir: Que dos lados, sean infinitamente grandes del mismo orden y el tercer lado más pequeño que los dos primeros.

(I-C.).—Dos lados infinitamente grandes y uno infinitamente pequeño.
Es posible en virtud de la proposición II del número 3.
Su construcción:

Fig. 2.

Fig. 3.

Tomemos un lado, AB, infinitamente pequeño (fig. 2); y con una abertura de compás infinitamente grande (relativa), tracemos dos ar-
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cos de círculo, haciendo centros en A y en B; su intersección determina el tercer vértice C', del triángulo pedido.

De otra manera puede imaginarse construido el triángulo. Trácese una dirección cualquiera distinta de AB (fig. 3): y por A y B dos rectas paralelas á dicha dirección; el tercer vértice C', será el punto al infinito de las rectas AB y BC.

Atendiendo á los órdenes de los lados pueden presentarse dos casos:
1.º—Los dos lados infinitamente grandes del mismo orden.
2.º—Los dos lados infinitamente grandes de distinto orden.
El primero es posible, pues resulta un triángulo con dos lados infinitesimales del mismo orden y el tercero de orden superior (N.º 3-II).
El segundo es absurdo, por resultar un triángulo con tres lados de distinto orden (Cap. IV.—Teor. fund.).

Resulta ser sólo admisible el primero; á saber:
Dos lados infinitamente grandes del mismo orden y el tercero infinitamente pequeño.

(I.—C).—Dos lados infinitamente pequeños y uno infinitamente grande.
Es absurdo.
En efecto: si los infinitamente pequeños son del mismo orden, el tercero debe ser de orden superior; y si son de distinto orden resulta un triángulo con tres lados de órdenes distintos.

(II.—A).—Dos lados infinitamente pequeños y uno finito.
Absurdo; pues teniendo dos lados infinitamente pequeños, si son del mismo orden, el tercero deberá ser de orden superior, y si son de distinto orden resultan tres lados con órdenes diferentes.

(II.—B).—Dos lados infinitamente grandes y uno finito.
Es posible.

Atendiendo á los órdenes pueden ocurrir dos casos:
1.º—Los dos lados infinitamente grandes del mismo orden.
2.º—Los dos lados infinitamente grandes de órdenes distintos.
El segundo evidentemente es absurdo.
El primero es admisible y su construcción idéntica á la representada en las figuras 2.a y 3.a, con la sola variante de suponer finito el lado AB.
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El segundo evidentemente es absurdo.

El primero es admisible y su construcción idéntica á la representada en las figuras 2.a y 3.a, con la sola variante de suponer finito el lado AB.

El caso admisible es:
Dos lados infinitamente grandes del mismo orden y el tercero finito.
(II.—C).—Un lado infinitamente pequeño, otro finito y el tercero infinitamente grande.

Absurdo. (Cap. IV, Teor. fund.).

(III.—A).—Dos lados finitos y uno infinitesimal.
Es posible, si el infinitesimal es infinitamente pequeño.
Su construcción en la fig. 2.a, suponiendo AB infinitamente pequeño y los AC y BC finitos.

Hipótesis admisible:
Dos lados finitos y uno infinitamente pequeño.
(III.—B).—Dos lados finitos y uno infinitamente grande.

Absurdo.

(IV).—Los tres finitos.

Evidente.

7.—Reuniendo todos los casos posibles, podemos presentarlos en el cuadro siguiente:
(Las líneas de puntos corresponden á los casos absurdos).

(Se continuará).

PRINCIPIOS DE LÓGICA MATEMÁTICA

NOTA DEL SR. G. PEANO
profesor de la Universidad de Turín

(CONCLUSIÓN)

§ 4 signos —, ⊂, Λ (1)

Siendo a una proposición, con —a designamos su negación.
Si a, b, c representan proposiciones, se tiene:
1. —(—a) = a «Dos negaciones constituyen una afirmación.»

(1) El signo de negación —, en la forma empleada se debe en rigor á Boole.
En vez de —a, Schroeder escr.bo a₁; Jevons A; McColl a¹.
En vez de a ⊂ b escribió Leibnitz a n b (donde n es la inicial de nel), Jevons a .|. b y el mayor número de autores a + b.
Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen, I 83) en vez de a ⊂ b y a ⊂ b escribe
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2. \( a = b : \vdash -a \vdash -b. \)

3. \( a \cup b = . -b \cup -a \)

«La proposición: de \( a \) se deduce \( b \), es equivalente á: de no \( b \) se deduce no \( a \).

Por comodidad, en la escritura alguna vez en lugar de escribir el signo — delante de toda la proposición, lo escribiremos delante del signo de relación \( \varepsilon \), \( = \), etc.:

4. \( -(x \varepsilon s) = x - \varepsilon s \)

5. \( -(x = y) = x - = y. \)

Siendo \( a, b \) proporciones, con \( a \cup b \) indicaremos la afirmación de la verdad de una al menos de la \( a \) y de \( b \); esto es, ó es cierta la \( a \), ó es cierta la \( b \). La operación \( \cup \) llámase también adición lógica. Se tiene:

6. \( -(ab) = (-a) \cup (-b) \)

«Negar que sean ciertas á un tiempo la \( a \) y la \( b \) es afirmar que, ó no es cierta la \( a \) ó no es cierta la \( b \)» ó sea «la negación de un producto es la suma de las negaciones de los factores.»

7. \( -(a \cup b) = (-a) \cap (-b) \)

«Negar que una al menos de las \( a \) y \( b \) sea cierta, equivale á afirmar que la \( a \) y la \( b \) son ambas falsas.» ó sea «la negación de una suma es el producto de las negaciones de los términos.»

Se tiene.

8 \( a \cup b = b \cup a; \ a \cup (b \cup c) = (a \cup b) \cup c = a \cup b \cup c; \ a \cup a = a, \)

fórmulas que expresan la propiedad conmutativa y asociativa de la adición lógica, análoga á la indicada en el § 1.

9. \( a(b \cup c) = ab \cup ac, \)

que expresa la propiedad distributiva de la multiplicación lógica respecto á la adición, análoga á la algébrica \( a(b + c) = ab + ac. \)

\( G(a, b) \) y \( M(a, b) \) notaciones poco diferentes de las empleadas por Cantor en sus estudios sobre Mannichfaltigkeiten (Math. Ann t. XV y siguientes).

Se podrá emplear el signo \( V \) inicial de ver (verdadero), para indicar una proposición idénticamente cierta, y tratándose de clases, para indicar la clase tutto (todo). Ese signo fue usado por Peirce; es el módulo de la multiplicación lógica. Para indicar lo absurdo, ó el nulo, usaremos el signo \( A \), ó sea la letra anterior invertida. No introduciremos el signo \( V \) que corresponde por dualidad á \( A \), porque no tendremos necesidad.

En vez de los signos \( A \) y \( V \), la mayor parte de los autores escriben \( 0 \) y \( 1 \), ó signos derivados. Sin embargo, es muy útil distinguir bien los módulos de las operaciones algebraicas de los de las operaciones lógicas.
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Ejemplos: Se tiene:

\( x, y \in q. O \therefore xy = 0. = : x = 0. \cup . y = 0 \)

«Siendo \( x \) é \( y \) dos números, decir que su producto es nulo, significa decir que se anula uno de los factores.» Tomando los negativos de los dos miembros de la igualdad, según las reglas 2 y 7, se puede escribir:

\( x, y \in q. O \therefore xy - = 0 = : x - = 0. y - = 0 \)

«Si el producto de dos números no es nulo, son ambos al mismo tiempo diversos de cero, y viceversa.»

Emplearemos, en fin, el signo \( \Lambda \) para indicar lo absurdo.

De aquí \( ab = \Lambda \), dice que las proposiciones \( a \) y \( b \) son contradictorias. Se tiene:

10. \( a - a = \Lambda; a\Lambda = \Lambda; a \cup \Lambda = a \)

«afirmar y negar una misma proposición es un absurdo» «si en un sistema de ecuaciones algunas son contradictorias, el sistema es absurdo.....» Se nota la analogía entre la \( \Lambda \) y el 0, cuales son los módulos de las adiciones lógica y algébrica.

11. \( a \cup b. = . a - b = \Lambda \)

«En vez de decir que de \( a \) se deduce \( b \), se puede decir que la afirmación de \( a \) y la negación de \( b \) es un absurdo.» Por esto en toda deducción, \( a \cup b \), se puede transportar el segundo miembro al primero, haciéndole preceder del signo \( - \) y escribiendo en el segundo \( \Lambda \), y viceversa. Así, por ejemplo, la proposición 9 del § 1:

\[
a = b . b = c : O . a = c
\]

puede escribirse, transportando la \( a = c \) al primer miembro:

\[
a = b . b = c . a - = c : = \Lambda
\]

«El sistema de las proposiciones \( a \) es igual á \( b \), \( b \) es igual á \( c \), y \( a \) no es igual á \( c \), es absurdo;» y transportando la \( b = c \) al segundo miembro, se podrá reducir á la forma:

\[
a = b . a - = c : O , b - = c .
\]

Resulta de aquí que se puede prescindir del signo \( O \), reduciendo siempre el segundo miembro á la \( \Lambda \). Sin embargo, nosotros lo conser-