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El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 15

men \( v' \) y su temperatura \( t' \) será: \( v' - v_0 = a v_0 (t' - t) \); restando ésta de la anterior sale \( v - v' = a v_0 (t - t') \) que expresa la ley de Gay-Lussac bajo esta otra forma: los incrementos de volumen de los gases son proporcionales á los incrementos de temperatura, independientemente de la presión.

En la hipótesis cinética que venimos considerando se puede definir la temperatura diciendo que es una función lineal de la fuerza viva del movimiento de traslación de las moléculas gaseosas, por manera que \( t = q (mv^2) - p \); en donde \( p \) es una constante dependiente sólo de la escala termométrica que se emplee, y \( q \) es otra constante dependiente de la naturaleza del cuerpo con que se ha construído el termómetro. En un termómetro cuya escala se construya en la hipótesis de \( p = 0 \), la temperatura se llama absoluta, y se designa por T.

Si en la ecuación anterior damos á \( mv^2 \) un incremento \( \Delta mv^2 \), la temperatura recibirá el incremento correspondiente \( \Delta t \), de modo que

\[
t + \Delta t = q \left( mv^2 + \Delta mv^2 \right) - p,
\]

y restando de esta la anterior, sale

\[
\Delta t = q \Delta mv^2
\]

Por otra parte, llamando \( n \) el número de moléculas de un gas, la ecuación (6) nos da:

\[
PV = \frac{1}{3} Mv^2 = \frac{1}{3} nm v^2;
\]

de esta igualdad, suponiendo P constante, dando el incremento \( \Delta mv^2 \) á la fuerza viva, y llamando \( \Delta V \) el correspondiente del volumen, resulta:

\[
P(V + \Delta V) = \frac{1}{3} n(mv^2 + \Delta mv^2)
\]

de la que restando la anterior se obtiene

\[
P \Delta V = \frac{1}{3} n \Delta mv^2.
\]

Eliminando \( \Delta mv^2 \) entre ésta y la que da el valor de \( \Delta t \), sale:

\[
\Delta t = \Delta V \cdot \frac{3Pq}{n};
\]

y repitiendo todo lo que precede, en las mismas condiciones de pre-
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sión, para un nuevo incremento de la fuerza viva y llamando \( \Delta't \) y \( \Delta'V \) los incrementos correspondientes de la temperatura y del volumen, tendremos análogamente

\[
\Delta't = \Delta V \cdot \frac{3Pq}{n};
\]

de donde

\[
\frac{\Delta t}{\Delta't} = \frac{\Delta V}{\Delta'V}
\]

que nos da la proporcionalidad entre los incrementos del volumen y de la temperatura, independientemente de la presión, con tal de que ésta sea la misma en los dos estados termológicos que se comparan. Tenemos, pues, la ley de Gay-Lussac, deducida también como la de Mariotte de la hipótesis sentada.

17. Relación termológica fundamental en los gases.—Hemos visto que para una temperatura definida se verifica en los gases la ley de Mariotte \( PV = const. \); así como para una presión dada la de Gay-Lussac \( V = V_0 (1 + at) \). Veamos la manera de relacionar por medio de una sola ley á P, V y t.—Sean P', V' y t'... P*, V* y t* los valores de las tres variables correspondientes á dos estados distintos. Por la segunda ley se saca

\[
(V_0 á la presión P') = \frac{V'}{1 + at'}; \quad (V_0 á la presión P*) = \frac{V^*}{1 + at^*};
\]

pero, según la primera ley, los productos de estos volúmenes por sus respectivas presiones son iguales; luego

\[
\frac{P'V'}{1 + at'} = \frac{P^*V^*}{1 + at^*}
\]

y si \( P^* = P_0, \ V^* = V_0 \) y \( t^* = 0 \), será \( \frac{P'V'}{1 + at'} = P_0 V_0 \);

de donde se deduce en general

\[
PV = P_0 V_0 (1 + at)
\]

que es la relación pedida.

Sacando \( a \) fuera del paréntesis, será

\[
PV = P_0 V_0 a \left( t + \frac{1}{a} \right);
\]
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y refiriéndose á un termómetro cuyo cero se halle \( \left( \frac{1}{\alpha} \right)^{\circ} \) más bajo, y llamando R al producto \( P_0 V_0 \alpha \), tendremos

\[
PV = P_0 V_0 \alpha T \quad \text{o} \quad PV = RT
\]

siendo T la temperatura en el nuevo termómetro, la cual es la temperatura absoluta, porque de

\[
RT = PV = \frac{1}{3} n m v^2, \quad \text{sale} \quad T = \frac{n}{3R} (mv^2)
\]

que es la condición bajo la que la temperatura llamada así por ser cero cuando el movimiento de traslación de las moléculas es nulo.

18.—Constancia de los calores específicos.—Llámase calor específico á presión constante de un cuerpo la cantidad de calor necesaria para elevar un grado la temperatura de un kilogramo del mismo cuerpo, cuando no se tiene en cuenta su volumen, y la presión se mantiene constante. Calor específico á volumen constante es la cantidad de calor necesaria para elevar un grado la temperatura de un kilogramo de masa, cuando no se tiene en cuenta la presión y el volumen permanece constante. Pero nosotros hemos definido la temperatura como una función de primer grado de la fuerza viva del movimiento de traslación; luego la cantidad de calor necesaria para producir un aumento cualquiera de temperatura, equivale á la cantidad de energía necesaria para producir el incremento correspondiente en la fuerza viva de traslación.

Ahora bien, nosotros hemos visto al final del número 16 que

\[
P \Delta V = \frac{1}{3} n \Delta m v^2,
\]

lo que nos dice que, bajo presión constante, los incrementos de fuerza viva son proporcionales á los incrementos de volumen, éstos lo son á los de temperatura, según la ley de Gay-Lussac; luego los incrementos de fuerza viva son proporcionales á los incrementos de temperatura bajo presión constante; pero el primer calor específico se refiere siempre á un grado de incremento en la temperatura; luego también será constante el incremento correspondiente de fuerza viva, esto es, el calor específico á presión constante.—Por otra parte, de la ecuación (6)

\[
PV = \frac{1}{3} n m v^2,
\]
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suponiendo constante el volumen, incrementando la fuerza viva y la presión, y restando luego la anterior, se obtiene:

\[
\Delta P \cdot V = \frac{1}{3} n \Delta m \cdot v^3,
\]

y si entre ésta y la ya obtenida \( \Delta t = q \Delta m v^2 \) se elimina \( \Delta m v^3 \), resultará

\[
\Delta t = \frac{3Vq}{n} \Delta P,
\]

que bajo volumen constante, nos dice que los incrementos de presión y de temperatura son proporcionales; lo cual constituye otra consecuencia ú otra forma de la ley de Gay-Lussac; luego en todos los casos en que \( \Delta t \) valga un grado, \( \Delta p \) permanecerá constante, y según:

\[
\Delta P \cdot V = \frac{1}{3} n \Delta m v^3,
\]

también permanecerá constante el incremento de fuerza viva, esto es, el calor específico bajo volumen constante.

19. Velocidad de las moléculas.— De las ecuaciones (6) y (9) se deduce inmediatamente

\[
\frac{1}{3} M v^3 = a V_0 P_c T
\]

Sabemos que el peso de los cuerpos es el producto de su masa por la gravedad; tomando, pues, un kilogramo de gas, tendremos

\[
1 \text{ kg.} = Mg;
\]

de donde

\[
M = \frac{1}{g} = \frac{1}{9^*809}; \quad a = 0,00366
\]

según el primer enunciado de la ley de Gay Lussac. Sustituyendo, pues, estos valores en la anterior y despejando el valor de \( v \), tendremos:

\[
v = \sqrt{3 \times 9,809 \times 0,00366 \cdot V_0 P_0 T} = 0,32818.. \sqrt{V_0 P_0 T}
\]

20. También se explica bien con la hipótesis que examinamos el aumento ó descenso de la temperatura de un gas siempre que éste sufre ó ejecuta un trabajo externo cualquiera, porque, no existiendo fuerza alguna en las moléculas, cualquier trabajo ejecutado por una
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fuerza externa, ó mejor dicho, conforme con la presente hipótesis: cualquier trabajo realizado por un cuerpo externo en movimiento que el gas consume se traduce inmediatamente en fuerza viva del movimiento de transporte de sus moléculas, y viceversa; pues ya digimos que se consideraba fija la velocidad media molecular de transporte y lo mismo el volumen que corresponde á cada temperatura y presión.

21. Pocas más propiedades de los gases se explican ya satisfactoriamente con esta hipótesis, y algunos hechos se encuentran en palmaria contradicción con ella, como pronto tendremos ocasión de ver; pero, lejos de combatir esta hipótesis en sus detalles y paso á paso, vamos sólo á indicar la falsedad del principio que le sirve de fundamento, porque á seguida expondremos la crítica de otras hipótesis cuyos pormenores coinciden exactamente con los de ésta, no difiriendo de ella más que por las bases; y cuanto de éstas digamos será aplicable á la que ahora nos ocupa.

Hemos dicho que la Teoría Cinética del Universo es el fundamento de esta hipótesis. La Materia, dicen sus partidarios, es la sola que tiene existencia real en el Universo; las propiedades de la Materia no se extienden fuera de ella ni se pueden transportar á otras Materias; sólo el movimiento puede transmitirse á otras Materias, y esto sólo por contacto. En estas pocas palabras está condensado, por decirlo así, todo el Materialismo, en cuanto hace referencia al mundo físico. A cualquiera se le ocurrirá seguramente, y con razón, preguntar: si la Materia no obra más que por contacto, ¿cómo se explican la gravitación universal, la gravedad, la cohesión, la afinidad química y las acciones eléctricas?; á lo que responden inmediatamente los Cinéticos: todas esas son palabras sin sentido; existe una materia sustancial que llena el Universo entero, el éter imponderable, que es el encargado de impulsar unas contra otras las porciones de materia ponderable llamadas astros, cuerpos terrestres, moléculas y átomos; y si bien es verdad que las últimas divisiones de aquella materia original son infinitamente pequeñas respecto de las últimas porciones de la materia ponderable, también lo es el que están dotadas de velocidades infinitamente grandes, y que, por consiguiente, sus cantidades de movimiento, productos de masas por velocidades, son cantidades finitas capaces, por lo tanto, al comunicarse por contacto á la materia ponderable, de producir los efectos que nosotros distinguimos bajo las apariencias de la atracción de la Materia.

22. La elasticidad, esto es, la facultad de volver á adquirir la
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mente sometidos á varias leyes geométricas ó mecánicas, y luego se ha aplicado el cálculo á las relaciones de posición ó á las de movimiento compatibles con aquellas leyes. Como ejemplos de esta manera de proceder tenemos: la teoría analítica de las superficies cáusticas, partiendo de las leyes geométricas de Descartes relativas á la reflexión y refracción, y en general todas las teorías que comprende la Óptica geométrica; el estudio de la atracción de dos esferas electrizadas homogéneamente, fundado en que la electricidad se reparte sobre las superficies de las esferas sin penetrar en el interior, y en el caso actual con uniformidad sobre cada una, de modo que pueden asimilarse á capas esféricas homogéneas de materia ponderable, de espesor muy pequeño y densidad conveniente, etc., etc.

3.— En estos últimos casos el análisis matemático no es realmente á la Física á la que se aplica, sino á la Geometría ó á la mecánica. Así es que el problema de las cáusticas por reflexión puede enunciarse, plantearse y resolverse sin recurrir en absoluto á ningún concepto físico, quedando reducido á la siguiente cuestión de Geometría: Dada una superficie y un punto fuera de ella, trazar desde este punto un haz de rectas que vengan á tocar á la superficie; trazar un segundo sistema de rectas, cada una de las cuales parte de un punto de la superficie, de tal manera que la normal en dicho punto esté en un mismo plano y forme ángulos iguales con las dos rectas de ambos sistemas que tocan en aquel punto; y por último hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de cada dos rectas del segundo sistema infinitamente próximas. De análogo modo se podrá enunciar el de las cáusticas por refracción. El problema de las esferas eléctricas homogéneas queda reducido á la cuestión puramente de Mecánica racional de la atracción de dos esferas de materia ponderable, etc.

4.— Vemos en suma que la aplicación del análisis matemático á las cuestiones de Física no siempre engendra Física-matemática; pues es necesario que esta aplicación sea inmediata. Demostrar, por ejemplo, analíticamente las leyes geométricas de Descartes relativas á la reflexión y refracción, es propio de la Física-matemática: estudiar ciertas superficies, aunque presidan á su formación las relaciones geométricas que constituyen aquellas leyes, es Geometría pura.

Sabido ya que la aplicación del análisis matemático ha de ser inmediata, conviene emplearlo con extrema circunspección, depurando con severidad suma la realidad del punto de partida; esto es, la certeza de la ley que ha de servir de apoyo á la serie de los cálculos; ó no dando, en caso contrario, á los resultados de éstos más valor que el que les corresponde conforme al grado de certeza con que la ley
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forma y volumen primitivo, después que cesó la causa que deformó ó comprimió un cuerpo cualquiera, es ya más difícil de explicar por la Cinética. Nosotros distinguimos en el choque de los cuerpos elásticos dos momentos bien distintos; durante el primero la velocidad de traslación de los dos cuerpos se comunica á sus elementos materiales; éstos salen de las posiciones en que se encontraban, y comienzan una gran oscilación en sentido contrario del movimiento de arrastre anterior al choque, lo que origina una deformación más ó menos profunda el cuerpo. Pero como las moléculas no son independientes, sino solidarias; como existen fuerzas entre ellas que las mantienen en sus posiciones medias, estas fuerzas, ó mejor, su resultante obrará como fuerza retardatriz en el movimiento de aquella gran oscilación, ésta alcanzará su máxima amplitud, y desde este instante las moléculas retrocederán hacia sus posiciones primitivas; en este segundo momento, y por virtud de la inercia, las moléculas pasan de sus posiciones medias, pero no pueden completar sus oscilaciones en este segundo sentido por impedirlo las moléculas del otro cuerpo, que vienen también de regreso á sus primitivas posiciones en sentido contrario; y así como antes la imposibilidad de seguir moviéndose ambos cuerpos originó los movimientos vibratorios de sus moléculas, así ahora la imposibilidad de continuar éstas los movimientos vibratorios que originó el choque engendra el movimiento de cada uno de los dos cuerpos en sentido contrario al que traía antes de chocar. Resulta, pues, de este minucioso examen, que lo que llamamos reacción elástica es absolutamente imposible de comprender si las moléculas son independientes unas de otras, si no existe entre ellas ninguna fuerza que las obligue á volver al punto de partida. No sabemos cómo salvan los materialistas esta dificultad, pero suponemos lo que sobre poco más ó menos pueden contestar; el hecho que refleja más ó menos fielmente lo que ellos suponen es sin duda el de los cuerpos flotantes en un líquido que los moja ó no á todos; éstos, desde que alcanzan una distancia conveniente, se les ve precipitarse unos sobre otros y agruparse, formando un conjunto estable; tal, dirán, es la imagen de lo que ocurre con las moléculas sólidas y líquidas mojadas, es decir, chocadas por el éter; y así como en el agregado de corpúsculos flotantes en un líquido se nota que tienden á agruparse de nuevo cada vez que se les separa (no excediendo cierto límite) impulsados por el líquido, así también las moléculas integrantes de un sólido vuelven á sus posiciones medias, impulsadas por el éter, cada vez que de ellas se les saca; el fenómeno de la elasticidad está, pues, explicado. Pero si nos fijamos bien, esto que nos parece explicarlo todo no explica nada;
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precisamente la acción capilar entre los sólidos y líquidos reconoce como causa el juego entre las acciones recíprocas de las moléculas sólidas y líquidas y de las fuerzas que existen entre las moléculas sólidas por una parte y entre las líquidas por otra, y esto es justamente lo que no reconoce ningún materialista: la existencia de fuerzas; y para que se vea que aquella imagen es ficticia, apliquémonosla al caso del choque entre dos cuerpos. Supongamos dos agregados de corpúsculos flotantes en un mismo líquido, é impulsemos el uno contra el otro (imagen de dos cuerpos que se dirigen para chocar), ¿qué sucederá desde el momento, no de ponerse en contacto, sino de acercarse lo suficiente para que la acción capilar pueda obrar? ¿Se tocarán y se repelerán como dos cuerpos elásticos? De ningún modo: el líquido, juntando uno contra otro ambos agregados, formará con los dos un conjunto estable, es decir, se habrán soldado. ¿Dónde está aquí la analogía con el fenómeno del choque de los cuerpos elásticos?

23. Pero admitamos todavía que todo eso tuviera explicación. Compuesto el éter de átomos infinitamente pequeños, aislados e independientes, ¿en virtud de qué causa se mueven para producir la tendencia de la materia ponderable hacia su concentración en cuerpos sólidos, líquidos y gaseosos? ¿Cómo se ponen de acuerdo los átomos de éter para contribuir á un mismo fin, cuando toda idea de solidaridad entre los mismos es contraria á la hipótesis cinética? Tenemos, pues, otro hecho sin explicación. Pero donde la tal hipótesis está abiertamente en oposición con los hechos es en el fenómeno de las vibraciones, ya del éter, ya de los átomos ponderables ó de las moléculas. Todos sabemos que los movimientos vibratorios no conducen materia en su propagación, sino que cada molécula oscila alrededor de su posición media, y sus aproximaciones y desviaciones alternativas, respecto de las moléculas próximas, produciendo incrementos y decrementos en las fuerzas atractivas ó repulsivas que las mantenían solidariamente en equilibrio, hacen que éstas entren en vibración; las cuales comunicarán el movimiento del mismo modo á las inmediatas, y así sucesivamente. Mas suprimid la fuerza; suponed que las moléculas son completamente independientes, y que una cualquiera de ellas, por causas exteriores, por un choque, entra en vibración (admitamos esta incomprensible vibración): ¿se propagará este movimiento á las moléculas inmediatas? ¿Cómo ni por qué este movimiento ha de producir el de la molécula próxima, que nada tiene que ver con aquélla ni ningún lazo de unión las liga? ¿Cómo se propagan el sonido, la luz, el calor radiante, ó en más grande esfera, las ondas circulares produci-
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das en la superficie tranquila de un líquido cuando se percute uno de sus puntos? Aun podría contestarse que no hay vibraciones trasversales, que todas se verifican en el sentido mismo de la propagación, y que ésta tiene lugar por contacto; la primera molécula choca con la segunda, ésta con la tercera, y así sucesivamente; por efecto del choque retroceden hasta que chocan otra vez con las inmediatas que ya vuelven, y así sucesivamente. Aparte lo inexplicable de que por el choque retrocedan las moléculas, puesto que hemos visto que no puede haber elasticidad, un movimiento de esa especie en una fila de moléculas constituidas cinéticamente no puede acabar nunca. Pero hay más; concretándonos á los gases, que es nuestro objeto, es evidente que la velocidad de propagación en esa forma depende exclusivamente de la velocidad inicial. Cuanto mayor sea la velocidad con que la primera molécula se dirige á chocar con la segunda más pronto la alcanza y mayor velocidad comunicará á ésta, y así sucesivamente; de donde se deduce inmediatamente que en la propagación del sonido en el aire, por ejemplo, los sonidos agudos, como procedentes de vibraciones más rápidas se propagarán también con más rapidez, debiendo existir enormes diferencias entre las velocidades de propagación de los sonidos más graves y las de los más agudos, cosas todas que la experiencia de todos los días nos enseña que no se verifican.

Mucho más podría decirse contra una teoría que ha sido combatida en todos los terrenos, y en todos derrotada, á pesar del gran talento de algunos de sus mantenedores; lo cual nos apartaría de nuestro objeto, y por esto vamos á indicar las modificaciones introducidas por Clausius en esta teoría.

24. Hipótesis de Clausius.—Este célebre matemático, en una serie de memorias interesantísimas, ha desenvuelto la teoría de los gases; suponiendo las moléculas independientes como en la hipótesis anterior; pero admitiendo la fuerza para mantener unidos los átomos de una misma molécula, por manera que puede sin inconveniente suponer á éstas perfectamente elásticas; admite en las moléculas el movimiento de traslación rectilíneo y uniforme; un movimiento de rotación alrededor de ejes que pasan por el centro de gravedad, y un movimiento vibratorio interior ó sea de los átomos componentes de cada molécula; sostiene como antes que la temperatura depende exclusivamente de la mayor ó menor velocidad de traslación, y demuestra por el mismo cálculo que en la hipótesis precedente, que la presión se debe á los choques de las moléculas sobre las paredes de la vasija, las leyes de Mariotte y de Gay-Lussac, etc., etc. Para salvar algunos inconvenientes
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admite que el volumen ocupado por las moléculas gaseosas es despreciable al lado del volumen aparente del gas; que la duración del contacto de las moléculas en el choque es también despreciable respecto del tiempo que separa dos choques consecutivos de una misma molécula, y por último, que cuando la temperatura se mantiene estacionaria, los choques de molécula á molécula, según el principio de la conservación de la energía, establecen una incesante transformación de fuerza viva de traslación en fuerza viva vibratoria é inversamente; pero que á causa del número inmenso de moléculas comprendidas en la más insignificante cantidad de un gas, debe haber siempre una compensación exacta entre las dos especies de trasformaciones inversas; por manera que cada una de las dos partes de que se compone la fuerza viva de un gas en equilibrio, puede considerarse separadamente como constante. Con esta última observación se explica, como en la hipótesis anterior, el aumento ó descenso de temperatura por el trabajo sufrido ó ejecutado por un gas. Los cálculos y consecuencias á que llega Clau-sias son los que anteriormente hemos expuesto y muchos otros que prolijo sería enumerar, los cuales tienen por objeto dar explicación de todos los fenómenos que en los gases tienen lugar; pero ya veremos después, que también esta hipótesis es contradictoria con muchos hechos. Por de pronto cabe esta objeción que es de Maxwel: Si las moléculas se mueven en diferentes direcciones siendo independientes las unas de las otras, no hay razón para que la presión sea necesariamente la misma en todas direcciones; pues aquello de que el número de moléculas que choca según cada dirección es siempre el mismo, no es admisible; porque supongamos que por una causa cualquiera se orientan la mayor parte de las moléculas entre direcciones determinadas; siendo aquellas independientes ¿en virtud de qué causa habían de pasar á moverse en todas direcciones? Por consiguiente, la presión producida por dos partes de un mismo gas separadas por un plano, no sería necesariamente normal á este plano, ni tampoco sería normal á las paredes de la vasija, la presión contra éstas.

25. Hipótesis de Maxwel.—Para salvar este inconveniente admite Maxwel que las moléculas de un gas no son independientes, sino que ellas se repelen con una fuerza cuya dirección pasa muy próximamente por sus centros de gravedad y cuya intensidad varía inversamente proporcional á la quinta potencia de la distancia; por manera que cuando las moléculas se aproximan unas á otras, aunque sus trayectorias no se corten, sufren desviaciones en su marcha, que van produciendo poco á poco la igualación del número de moléculas que se