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mueve en cada dirección; y como esta igualación no es instantánea, la presión en todos sentidos no es perfectamente igual hasta que el gas está en equilibrio (aparente). En los gases en movimiento, esa misma falta de igualdad de presión en todos sentidos explica el fenómeno de la viscosidad ó frotamiento interno. En esta hipótesis no hay realmente choques, pues las moléculas se repelen antes de ponerse en contacto; pero pueden establecer los mismos cálculos que en las hipótesis anteriores con sólo suponer que el radio de cada molécula, no es la distancia de su centro de gravedad á su superficie, sino la distancia de su centro de gravedad á la superficie de su esfera de actividad sensible; y debe admitirse enseguida que los radios de estas esferas de actividad son todavía infinitamente pequeños respecto de la distancia media que separa los centros de cada dos moléculas.

Habiendo llamado en el núm. 13, \( t' - t \) al tiempo que media entre ponerse en contacto y separarse la superficie de la molécula chocante y la pared; ahora sólo hay que modificar esto: el tiempo \( t' - t \) será el que media entre el momento en que la molécula se acerca lo bastante á la pared para que la repulsión comience á hacerse sensible, y el momento en que dicha fuerza repulsiva deja de tener lugar.

Por lo demás, y antes de analizar otros detalles, diremos que hay inconsecuencia en esta teoría en admitir que los átomos se atraen para formar las moléculas, y una vez formadas éstas repelen á las otras.

Otras muchísimas teorías se han inventado para explicar los fenómenos que los gases presentan, las cuales no ofrecen novedad ni tienen importancia, aunque vienen á probar que la teoría de los gases es sin disputa el punto más vulnerable para penetrar en el gran secreto de la-constitución interna de todos los cuerpos y de sus acciones moleculares, fin principal de la Física-Matemática, acerca de la cual tanto se ha escrito y de la cual tan poco se sabe.

26. M. G. A. Hirn viene desde hace años consagrado á grandes y delicados trabajos de comprobación experimental de todos los resultados analíticos de las teorías cinéticas, y dando cuenta de sus investigaciones á la Academia Real de Ciencias de Bélgica, en una serie de memorias interesantísimas (*) que no dudamos en recomendar á los

(*) Recherches sur les Lois de l'Écoulement et du Choc des Gaz.—1866.
L'Avenir du Dynamisme dans les Sciences Physiques.—1866.
Recherches sur la Limite de la Vitesse que prend un Gaz, quand il passe d'une pression á une autre plus faible.—1865.
La notion de Force dans les Sciences Physiques, 1866.
Analyse Élémentaire de l'Univers.—1866; y otras muchas.
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aficionados, y de las cuales vamos á entresacar aquellos principales hechos que se hallan en contradicción con los resultados analíticos de las teorías cinéticas, exponiéndolos de modo que, sin grandes esfuerzos, puedan ser comprendidos por los jóvenes amantes de estos estudios para quienes escribimos estos apuntes. Conviene advertir, ante todo, que M. Hirn considera como rindicas todas aquellas teorías que, aun admitiendo la fuerza entre los átomos y moléculas gaseosas, suponen, que éstas quedan libres é independientes á poco que aumente la distancia de sus centros de gravedad. A todas estas hipótesis se les puede aplicar la objeción sentada más arriba respecto á la propagación de los movimientos vibratorios, principalmente la tocante á la velocidad del sonido, y á todas ellas hace referencia cuanto vamos á decir.

Cecilio Jiménez Rueda.

(Se concluird.)

COMPARAISON DES SOLUTIONS GÉOMÉTRIQUES D'UN MÊME PROBLÈME
PAR M. E. LEMOINE

Dans ce Journal (1892 page 177) j'ai donné la comparaison de la simplicité de deux solutions d'un même problème de Steiner, l'une d'elles donnée par M. Ventura Reyes Prósper (voir, 1892, p. 147), l'autre par moi (Journ. de Mathém. élém., de M. de Longchamps, 1883, page 267). J'avais trouvé pour la 1.º le symbole:

op.: \((8R_1 + 4R_2 + 7C_1 + C_3 + 6C_3)\)

simplicité: 26; exactitude: 16; 4 droites, 6 cercles.

Pour la seconde

op.: \((18R_1 + 9R_2 + 13C_1 + 12C_3)\)

simplicité: 52; exactitude: 31; 0 droites, 12 cercles.

Dans le numéro de Décembre 1892, p. 345, M. Retali indique trois autres solutions du même problème.

Je vais aussi établir les symboles de ces nouvelles solutions en me reportant aux notations et aux figures de l'article de M. Retali.

1.º solution. De A (fig. 1) j'abaisse sur la droite \(r\) une perpendiculaire qui coupe en E la circonférence ABC

op.: \((2R_1 + R_2 + 3C_1 + 3C_3)\)
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je prends sur la circonférence ABC, arc AE = arc CD, EAD étant du même coté de BC
op.: (3C₁ + C₃)
D est le point cherché obtenu par op.: (2R₁ + R₂ + 6C₁ + 4C₂)
 simplicité: 13; exactitude: 8; 1 droite, 4 cercles.

2ème solution. Je mène par A (fig. 2) une parallèle AMO à BC en prenant sur le cercle ABC, arc CA = arc BA, A et M étant du même coté de CB
op.: (2R₁ + R₂ + 3C₁ + C₃).
Je mène une perpendiculaire quelconque à la droite donnée r. Pour cela je décris un cercle quelconque op.: (C₃) qui coupe cette droite donnée en deux points, et j’élève une perpendiculaire au milieu de la droite qui joint ces deux points op.: (2R₁ + R₂ + 2C₁ + 2C₃).
Cette perpendiculaire QO coupe CA en Q.
Je prends sur CB, le point P tel que AO et BP soient équipollents op.: (3C₁ + C₃). Je joins PQ, op.: (2R₁ + R₂), qui coupe AB en R.
Le tracé d’un seul, des cercles circonscrits AQR, BRP, CPQ est nécessaire, soit BPR, je le trace par le symbole (*) op.: (4R₁ + 2R₂ + 5C₁ + 4C₃)
de sorte que D se trouve placé par:
op.: (10R₁ + 5R₂ + 13C₁ + 9C₃)
simplicité: 37; exactitude: 23; 5 droites, 9 cercles.

3.ème solution. Je construis (fig. 3) l’orthocentre Ω de ABC
op.: (4R₁ + 2R₂ + 6C₁ + 3C₃)
par Ω je mène une parallèle à la droite r en faisant passer par Ω un cercle quelconque qui coupe la droite r etc. (Voir Congrès de Pau loco citato) op.: (2R₁ + R₂ + 4C₁ + 2C₃).
Je mène par Q, la droite QO perpendiculaire à r
op.: (2R₁ + R₂ + 4C₁ + 2C₃)
et par A, AO parallèle à CB op.: (2R₁ + R₂ + 4C₁ + 2C₃)
Je prends P tel que BP soit équipollent à AO op.: (3C₁ + C₃); je joins PQ op.: (2R₁ + R₂); je prends O₁ tel que AO₁ soit équipollent à BP₁ op.: (3C₁ + C₃).
Par O₁ je mène la perpendiculaire à r op.: (2R₁ + R₂ + 3C₁ + 3C₃)
je trace P₁Q₁ op.: (2R₁ + R₂)
je trace CE et PQ₁ op.: (4R₁ + 2R₂) qui se coupent en D que j’obtiens

(*) Voir Mémoire du Congrès de Pau, 1892. Association française pour l’avancement des sciences.
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ainsi par le symbole
simplicité: 71; exactitude: 46; 10 droites, 15 cercles.

Résumé: La plus simple de beaucoup est la 1." solution de monsieur Retali
simplicité: 13; exactitude: 8; 1 droite, 4 cercles.
Ensuite celle de M. Ventura Reyes Prósper

op.: (8R_1 + 4R_2 + 7C_1 + C_2 + 6C_3)

Simplicité: 26; exactitude: 16; 4 droites, 6 cercles.
Ensuite la seconde de M. Retali op.: (10R_1 + 5R_2 + 13C_1 + 9C_3):
Simplicité: 37; exactitude: 23; 5 droites, 9 cercles.
Puis la mienne
simplicité: 52; exactitude: 31; 9 droites, 12 cercles.
Enfin, la plus compliquée est la 3." de M. Retali,

op.: (20R_1 + 10R_2 + 26C_1 + 15C_3)

Simplicité: 71; exactitude, 46; 10 droites, 15 cercles.

Cette dernière solution ne suppose pas que le cercle ABC soit tracé sur la figure donnée, mais en le traçant s'il ne l'était pas et employant, même la plus compliquée des premières solutions, le résultat serait plus simple qu'en exécutant cette dernière.

REVISTA BIBLIOGRÁFICA

Cours de Mathématiques spéciales.—Supplément comprenant la Trigonométrie et la mécanique, par M. G. de Longchamps. 3." edition, 1893.

Al dar cuenta de la Géométrie analytique del mismo autor en el tomo 2." de El Progreso Matemático terminábamos haciendo breves indicaciones sobre la segunda edición del suplemento que contenía algunas teorías complementarias del Tratado de Algebra, y que en la edición tercera han sido sustituidas por otras concernientes á la Trigonometría y la Mecánica.

Este último tomo del curso de Matemáticas, que el Sr. de Longchamps acaba de publicar, es un resumen de los conceptos más capitales y de mayor aplicación que constituyen cada una de las teorías en él expuestas.

En la Trigonometría hay que notar desde luego el modo general de establecer las proposiciones fundamentales, fundado en los princí-
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pios de las proyecciones, cuya fórmula general expresa en la forma simbólica siguiente:

\[
\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (\overline{a}_1 + \overline{a}_2 + .. + \overline{a}_n) (\overline{p}_1 + \overline{p}_2 + .. + \overline{p}_p)
\]

que se refiere á las proyecciones de dos contornos y sus resultantes respectivas OA y OB sobre dos ejes OY y OX, siendo un caso particular el de la fórmula fundamental para la adición de arcos que se establece inmediatamente, así como más adelante la fórmula fundamental de la trigonometría esférica.

A continuación de la división de arcos y el uso de las tablas trigonométricas trata el autor de las ecuaciones binomias y de la trigonometría esférica.

Bajo el epígrafe general de Los infinitamente pequeños se exponen las nociones de Geometría cinemática, partiendo del teorema de Chasles que indica el modo de hacer coincidir dos figuras iguales situadas en un plano, mediante un giro alrededor del centro instantáneo de rotación, pasando enseguida al método de las normales.

Los infinitamente pequeños geométricos. - El círculo de curvatura.—El trazado de las tangentes.—Las curvas paralelas.—Las conoidales.—Las diametrales.—Las cúbicas unicursales.—La trisectriz de Mac-Laurin.—El tridente de Newton.—Los puntos múltiples, son las materias tratadas en esta parte de la obra, á las que siguen: la noción de la integral definida y las cuadraturas.

Las coordenadas trilineales y coordenadas baricéntricas, de las que hace algunas aplicaciones al establecimiento de varias fórmulas de la Geometría reciente (puntos de Gergonne, Lemoine, Brocard, rectas y círculos notables, etc.), las coordenadas tangenciales y la intersección de dos cuádricas, son capítulos que constituyen un importante complemento á la Geometría analítica del mismo autor, de que ya se dió cuenta en este periódico.

La última parte de la obra (de la página 237 á la 457) está destinada á la mecánica, que comprende:

Cinemática del punto.—Fórmulas preliminares.—Las primeras definiciones; el movimiento uniforme.—Movimiento uniformemente variado, movimiento variado cualquiera, aceleración.—Aplicación de la cinemática; el trazado de las tangentes; el método de Roberval.

Dinámica del punto material.—Las fuerzas.—La masa.—Composición y descomposición de fuerzas.—El trabajo y la fuerza viva.

Estática del sólido invariable libre.—Composición y equilibrio de las fuerzas; momentos con relación á un plano.—El centro de gravedad.—Los momentos.—Los pares.—La reducción de fuerzas.—Ho-
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mogeneidad de las fórmulas.—Ejercicios diversos.—Cuestiones propuestas en diversos concursos.

Nada diremos nuevo á nuestros lectores al consignar que una vez más ha dado M. Longchamps muestra de su talento y profundo saber, así como de su buen gusto y acierto al exponer en la breve extensión de 457 páginas tan variados asuntos, de manera que no dejen por un momento de tener grandes atractivos para el lector, ya en cuanto á la materia, ya en cuanto á la forma original de ser desarrollados, en conformidad con el carácter dominante en el conjunto de sus numerosos tratados didácticos.

Periodico di Matematica.—Esta revista de que es director el profesor del R. Instituto Técnico de Roma Sr. Lugli, ha publicado durante este año, entre otros, los siguientes artículos:

Besso. Sopra un opúsculo de Michelangelo Ricci.—Betazzi. Sulla definizione della linea retta.—Bellacchi. A proposito di un lavoro sulla storia delle matematiche.—Giudice. Una formola di trasformazione per arc. tg.—Ferrari. Distanze di punti notevoli del triangolo; y además varias cuestiones resueltas.

Rivista di Matematica.—Además de una extensa colección de fórmulas, según el simbolismo de la lógica matemática, se publican en esta Revista, entre otros, los siguientes artículos:

Peano. Formule di quadratura.—Porta. Sulle equazioni di Lagrange per il moto di un punto.—Castellano. Alcuna proprietà delle accelerazioni d'ordine qualunque nel moto di una figura piana nel suo piano.—Pirondini. In torno alle indicatrici sferiche delle linee dello spazio.—Pietri. Sui sistemi lineari di coni.

Bibliotheca mathematica.—Zur Geschichte der Trigonometrie, von H. Suter.—Sur les découvertes mathématiques de Wronski, par S. Dickstein.—Intorno ad una pretesa seconda edizione dell’Algebra di Rafael Bombelli, nota di Antonio Favaro.—Über den von Gerbert angeführten Joseph Sapiens oder Joseph Ispanus, von H. Weisenborn.

American Journal of Mathematics, núm. I. 1893.—Sumario: On Symmetric Functions and Seminvariant, by prof. Cayley.—Tables on
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fuera establecida; pero, más que todo, importa todavía no dejarse arrastrar por el encadenamiento de las fórmulas, sino que el genio de la Física dirija sin cesar el uso racional de ese poderoso instrumento de investigación que llamamos Análisis matemático.

De este modo la Física-matemática responderá á su fin, que, como dijimos en la definición, no es otro que el conocimiento a priori de los fenómenos naturales. Porque es necesario no perder vista que las ciencias que versan sobre fenómenos del mundo material, no alcanzan su mayor perfeccionamiento sino después que se han hecho matemáticas, y entonces su fin es la previsión; en lo cual se distingue la verdadera ciencia de la simple erudición, limitada al conocimiento de los hechos realizados, sin otra hilación que la de su número de orden en la serie de los adquiridos.

5.— Desgraciadamente la Física, á pesar de las importantes conquistas realizadas desde los trabajos del gran Fourier hasta nuestros días, dista mucho de estar completamente constituida en ciencia matemática, porque son muy contados los casos en que la ley numérica, base de los desarrollos analíticos, aparece real y efectiva después de un número más ó menos grande de observaciones. Lo frecuente es que la ley no se conozca á pesar de haber multiplicado las experiencias, y entonces no queda otro recurso que la hipótesis; pero es necesario que ésta no verse nunca sobre lo que está por encima de nuestros conocimientos; sobre los diversos modos de lo Incognoscible.— Las hipótesis en Física son utilísimas cuando constituyen una aplicación del método eminentemente racional, de las aproximaciones sucesivas. ¿Qué ha hecho la Geodesia para determinar la forma de la Tierra? — Sabíase por observaciones directas que la línea de contacto del cono circunscripto á la superficie terrestre, desde un punto cualquiera más ó menos elevado, es siempre un círculo; de aquí y del conocimiento previo de algunas verdades matemáticas relativas á la esfera, dedujo que si la superficie de la Tierra no era esférica, poco se apartaría de esa forma; supuso, por tanto (tal es la hipótesis), como una primera aproximación, que la Tierra era esférica. ¿Cuántos fenómenos, cuántas leyes naturales y cuántas verdades no ha descubierto el hombre con sólo hacer esa primera hipótesis? — ¿Se podrá decir que perdió el tiempo suponiendo lo que después se ha visto que no era cierto? — De ningún modo; porque los mismos cálculos que arrancaban de esa hipótesis, sirvieron no sólo para advertir de que no se estaba en lo cierto, sino también para corregir los errores y hacer sucesivamente nuevas hipótesis que han conducido paso á paso al conocimiento de la forma exacta de la superficie de la Tierra.— Toda la
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pure Reciprocants to the Weight 8, by prof. Cayley.—On the Differential Equation \( \Delta u + K^2 u = 0 \), by Maxime Bôcher.—Geometrical Illustrations of some Theorems in Number, by Ellery W. Davis.

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión 65 (Véase t. II, pág. 215).

En toda cónica, un punto cualquiera M, el centro de curvatura correspondiente y los puntos de intersección de la normal en M, con las perpendiculares FG, fg trazadas desde los focos F, f á los radios vectores FM, fM son conjugados armónicos.

(N. C. M.)

Solución por el Sr. RETALI (V.)

Designemos con H y h los pies de las perpendiculares bajadas sobre la tangente á la elipse en M, desde los focos F y f; con r y r' los radios vectores focales MF y Mf; con C el centro del círculo osculador en M.
Siendo semejantes los triángulos MFG y Mfg, se tiene
\[
\frac{MG}{Mg} = \frac{r}{r'}
\]
(1)

y de los otros dos pares de triángulos semejantes MFH, MFG y Mfh, Mfg se deduce
\[
r^2 = MG \cdot FH, \quad r'^2 = Mg \cdot /h
\]

Multiplicando éstas, miembro á miembro, y observando que por un teorema conocido se tiene FH . fh = b^2, tenemos
\[
MG \cdot Mg = \frac{r^2 \cdot r'^2}{b^2}
\]
(2)

De esta ecuación y la (1) resulta
\[
\overline{MG^2} = \frac{r^2 \cdot r'}{b^2}, \qquad \overline{Mg^2} = \frac{r \cdot r'^2}{b^2},
\]
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 31

Y por consiguiente:

\[
\frac{1}{MG} + \frac{1}{Mg} = \frac{b}{\sqrt{rr'}} \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{r'} \right)
\]

ó sea, porque \( r + r' = 2a \),

\[
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{MG} + \frac{1}{Mg} \right) = \frac{ab}{(rr')^{\frac{3}{2}}}
\]

El radio de curvatura de la elipse en el punto M tiene por expresión

\[
MC = \frac{(rr')^{\frac{3}{2}}}{ab}
\]

de donde

\[
\frac{1}{MC} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{MG} + \frac{1}{Mg} \right),
\]

ó sea, el punto C es conjugado armónico de M respecto á los dos puntos G y g.

La fórmula (3) está dada sin demostración en el Calcolo differenziale de Todhunter-Battaglini (pág. 349. Es. 33) y se puede obtener del modo siguiente:
De la conocida relación

\[
rr' = a^2 - e^2 x^2 = \frac{a^2}{b^2} y^2 + \frac{b^2}{a^2} x^2
\]

se deduce sucesivamente

\[
a^2 b^2 \cdot rr' = a^4 y^2 + b^4 x^2,
\]

\[
\frac{(rr')^{\frac{3}{2}}}{ab} = \frac{(a^4 y^2 + b^4 x^2)^{\frac{3}{2}}}{a^4 b^4} = MC,
\]

siendo el segundo miembro una expresión conocida del radio de curvatura de la elipse en el punto \((x, y)\).

Solución á la Cuestión 65, por el Sr. Sollertinsky (B).

Sea J la intersección de las tangentes á la cónica en los puntos M, M'.

Se puede demostrar elementalmente que la cuerda común JJ' de
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las circunferencias JMM' y JF/ es la simediana común de los triángulos JMM', JF/, y que, por consiguiente, la intersección N de las normales en M y M' se halla en la perpendicular levantada en J' á JJ'.

En el límite, cuando M' se aproxima indefinidamente á M, el punto N se reduce al centro de curvatura en M, y la cuerda JJ' se convierte en la simediana MS del triángulo FMf.

Las rectas FG y fg concurren en el punto P, diametralmente opuesto á M en la circunferencia MF/, y siendo la recta SN perpendicular á MS, pasa también por P. Pero el haz P (MSF/) que se apoya en los vértices del cuadrángulo armónico, es también armónico; luego los puntos M, N y g, C son conjugados armónicos.

Cuestión 93 (Véase t. II, pág. 344)

Hallar el lugar de las proyecciones del centro de una elipse sobre las cuerdas comunes á esta elipse y á sus círculos osculadores.

(E. Lemoine).

Solución por el Sr. Brocard (H.)

Esta cuestión se puede tratar de diversas maneras, según el sistema de coordenadas que se quiera emplear.

La más sencilla es, creemos, la que consiste en recurrir á la anomalía excéntrica \( \varphi \).

Sea, pues, \( \varphi \) un ángulo tal, que el punto M de la elipse tenga por coordenadas

\[
x = a \cos \varphi, \quad y = b \sin \varphi
\]

El círculo osculator pasa por dos puntos infinitamente próximos á M, á una y otra parte de este punto en la elipse, y encuentra á la elipse en un cuarto punto N.

En virtud de propiedades muy conocidas, la cuerda MN es simétrica de la tangente MT con respecto á una paralela á OX.

Pero la tangente en M tiene por coeficiente angular

\[
-\frac{b^2 x}{a^2 y} \quad ó \quad -\frac{b}{a} \cot \varphi.
\]
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 33

Luego la inclinación de MN es \( \frac{b}{a} \cot \varphi \), y, por consiguiente, esta cuerda tiene por ecuación

\[
y - b \sen \varphi = \frac{b}{a} \cot \varphi [x - a \cos \varphi]
\]

\[
\frac{x}{a} \cos \varphi - \frac{y}{b} \sen \varphi = \cos 2 \varphi.
\]

La proyección del centro O tiene por ecuación

\[
y = - x \frac{a}{b} \tg \varphi.
\]

De esto se deduce

\[
\sen \varphi = - \frac{by}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2 y^2}}, \quad \cos \varphi = \frac{ax}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2 y^2}};
\]

y, por consiguiente, el lugar (M) está representado por la ecuación de 6º grado

\[
(x^2 + y^2)(a^2 x^2 + b^2 y^2) = (a^2 x^2 - b^2 y^2)^2,
\]

ó en coordenadas polares

\[
\rho^2 = \frac{(a^2 \cos^2 \omega - b^2 \sen^2 \omega)^2}{a^2 \cos^2 \omega + b^2 \sen^2 \omega}
\]

El lugar (M) es, pues, una especie de rosácea de cuatro ramas.

NOTA. En el mismo orden de ideas entran otras cuestiones tratadas en los N. A. M. 1873. pp. 29-41.

Solución por el Sr. Retali (V).

Sea M un punto cualquiera de la elipse, MT su tangente en M, Mx la simétrica de MT respecto á la ordenada Mx (v. Chastles, Sec. coniques, p. 246).

Se trata, pues, de obtener el lugar de las proyecciones x del centro O sobre la recta Mx. La ecuación de la elipse en coordenadas polares es

(1) \[ \rho^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 \sen^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta} \]

Llamando \( \theta' \) el ángulo formado por la tangente MT con el eje
El Progreso matemático (1893-03-15 00:00:00), página 34

polar, y haciéndose \( \angle T O x = \varphi \), se tiene

\[
\theta' = \varphi + \frac{\pi}{2}, \qquad \tan \theta \tan \theta' = - \frac{b^2}{a^2}
\]

y por consiguiente,

(2) \[
\tan \theta = \frac{b^2 \sin \varphi}{a^2 \cos \varphi};
\]

Tenemos también por la figura

(3) \[
OX = r = \rho \cos (\theta + \varphi)
\]

y eliminando \( \rho \) y \( \theta \) entre las tres ecuaciones (1), (2) y (3), resultará la ecuación polar del lugar buscado. Si hacemos por brevedad

\[
\Delta = \sqrt{a^4 \cos^2 \varphi + b^4 \sin^2 \varphi}
\]

se tiene, de la (2)

\[
\sin \theta = \frac{b^2 \sin \varphi}{\Delta}, \qquad \cos \theta = \frac{a^2 \cos \varphi}{\Delta}
\]

de donde

\[
\cos (\varphi + \theta) = \frac{a^2 \cos^2 \varphi - b^2 \sin^2 \varphi}{\Delta}
\]

\[
\rho = \frac{\Delta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \varphi + b^2 \sin^2 \varphi}}
\]

y finalmente

(4) \[
r = \frac{a^2 \cos^2 \varphi - b^2 \sin^2 \varphi}{\sqrt{a^2 \cos^2 \varphi + b^2 \sin^2 \varphi}}
\]

que es la ecuación polar del lugar buscado.

Escribiendo la (4) bajo la forma

\[
r^t = \frac{a^2 r^t \cos^2 \varphi - b^2 r^t \sin^2 \varphi}{\sqrt{a^2 r^t \cos^2 \varphi + b^2 r^t \sin^2 \varphi}},
\]

se obtiene la ecuación en coordenadas rectangulares

\[
(x^t + y^t)^2 (a^2 x^t + b^2 y^t) = (a^2 x^t - b^2 y^t)^2.
\]

El lugar buscado es, pues, una curva de sexto orden, simétrica respecto á los ejes de la elipse que tenía en el centro un punto cuádruplo, etc.

Si \( a = b \), y \( OX \) es un diámetro arbitrario, se tiene que el lugar de las proyecciones (ortogonales) de un punto variable \( M \) de la circunfe-