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un plano, ó sobre una recta, dichas condiciones deben subsistir también entre las constantes \( m, m', m'' \ldots \) solo dependientes de la abertura de los ángulos ASB, CSD, ... ó ángulos proyectantes de las rectas \( AB, CD, \ldots \), y, como son las cantidades \( m, m' \), los senos de los ángulos proyectantes resulta que: si á partir de un punto cualquiera tomado como centro de proyección un haz de rectas proyectantes hácía los diferentes puntos de una figura dada arbitrariamente en el espacio ó en un plano, y las partes de una figura tienen una ó varias relaciones métricas proyectivas que satisfacen á las condiciones precitadas, las mismas relaciones tendrán lugar entre los senos de los ángulos proyectantes que les corresponden respectivamente. Además, un teorema análogo resulta para el caso de coincidir el centro de proyección con el de una superficie esférica y al efectuarse la proyección sobre ésta.

(Se continuará)

Z. G. G.

INVESTIGACIONES FILOSÓFICO-MATEMÁTICAS SOBRE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS por D. APOLINAR FOLA, Oficial del cuerpo de Carabineros.

Antes de exponer el objeto principal de este artículo, que es dar noticia á nuestros lectores de la «segunda seccion de la obra» Investigaciones filosófico-matemáticas sobre las cantidades imaginarias, que acaba de publicar el ilustrado oficial del Cuerpo de Carabineros don Apolinar Fola, nos es indispensable, para tomar la cuestión desde su origen en nuestra patria, por desgracia tan poco pródiga actualmente en lucubraciones de esta índole, remontarnos hácía los años de 1850 hasta 1861 en que era profesor del Instituto del Noviciado (hoy del Cardenal Cisneros) el ilustre pensador y filósofo profundo D. José M. Rey y Heredia.

Lamentábase este exímio catedrático de Lógica entre sus compañeros y amigos íntimos de que, la Matemática con ser ciencia de tan frecuentes y portentosas aplicaciones, rara vez sea considerada bajo su aspecto metafísico y trascendental, doliéndose, como de una profanación, al ver que son tantos los que operan sobre la cantidad, el número, el espacio, etc., y tan pocos los que comprenden estas nociones fundamentales, ó saben darse razon adecuada de las mismas teorías que rutinariamente han aprendido y por rutina aplican».
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Una parte muy importante de la gloria que alcanzó Rey y Heredia al escribir su notabilísima obra Teoría trascendental de las cantidades imaginarias, cuando ya por desgracia estaba próxima á extinguirse en la edad que constituye el apogeo de la vida, aquella luz tan espléndida que brotaba de su poderosa inteligencia, corresponde sin género de duda, al benemérito y respetable profesor del mismo Instituto D. Acisclo F. Vallin y Bustillo, que adivinando las dotes excepcionales de aquel peregrido ingenio, algo del espíritu matemático que bullía en tan privilegiado cerebro, le impulsó, asediándole continuamente para que hiciera brotar la claridad desde las tenebrosas regiones del imaginarismo matemático, y así en efecto se hizo.

Poco diremos actualmente acerca de la Teoría transcendental de las cantidades imaginarias que se publicó en 1865 bajo los auspicios del Gobierno, porque es obra muy conocida entre los aficionados á la matemática.

Nos limitaremos á manifestar que, esta obra, bajo su aspecto matemático se funda en los escritos de Argand, Buée, François, Warren, Peacock, Vallés, Mourey, Faure, Renouvier, Cournot, etc. Bajo su aspecto filosófico, evoca las doctrinas de la filosofía kantiana, en cuyo cuadro de las categorías halla Rey y Heredia el punto de partida en que ha de afianzar su doctrina filosófica del imaginarismo.

«Las categorías de la cantidad intervienen en la formación de todas las nociones del número, de la unidad, de la pluralidad, de la medida, del múltiplo, de la totalidad, de la fracción ó parcialidad.»

«Las de la cualidad dan un sentido y una afección, á las cantidades, y juegan en todas las teorías acerca de números positivos, negativos e imaginarios.»

Esta última categoría de la cualidad en la que los juicios existen en sus tres estados de positivos, negativos y limitativos, en los que, respectivamente, un concepto se halla incluído en la esfera de otro concepto (predicado), fuera de ella, ó en una esfera que se halla fuera del predicado, forman la base de la doctrina de Rey y Heredia, estableciéndose en ella que el concepto matemático de las cantidades positivas, negativas e imaginarias deriva naturalmente de las funciones que ejerce el entendimiento en dichos tres estados del juicio, y representa el esquema que contiene todo el cuadro de las oposiciones lógicas de la cualidad matemática, por dos rectas perpendiculares correspondientes á los juicios: A es B, A no es B, A es no B, A no es no B, respectivamente, observando que, no es precisamente la posición perpendicular de las cantidades indirectas la que se infiere de la teoría lógica, sino la exterioridad de su cualidad, con cuya condi-
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nuevo en Mathesis, y M. Neuberg (Sur le quadrilatère harmonique, 1885) dió á conocer que todas las propiedades demostradas para el triángulo se verificaban en este cuadrilátero particular, que llamó armónico. Las mismas generalizaciones se extendieron al exágono por M. Casey (On the Harmonic Hexagon of a triangle, Royal Irish Academy, 1886), y en fin, á los polígonos y á los poliedros por MM. Neuberg y Tarry (Sur les polygones et les polyèdres harmoniques, Nancy, 1886). Más recientemente M. T. C. Simmons (Proceedings of the Lond. Math. Soc. 1887) ha indicado un nuevo método para el estudio de los polígonos armónicos (A new method for the investigation of Harmonic polygons).

Desde hace algunos años, estas generalizaciones se han introducido en las obras clásicas inglesas (véase J. Casey: A sequel to Euclid, a Treatise on Conics Sections). Nosotros, no poseemos en francés, más que las traducciones en el periódico belga Mathesis (1889) del capítulo que, en la última edición de A Sequel to Euclid (1888) de M. Casey, se refiere al triángulo. Además de las memorias arriba citadas, indicarémos las siguientes:

1.º C. Thiry.—Note sur le quadrilatère harmonique (Journ. de math. Élém 1887 pp. 222—225).
2.º J. Casey.—A treatise on plane trigonometric. (Dublin et Londres 1888, 1 vol.)
3.º S. Roberts.—On the analogous of the nine-points circle in space of three dimensions, and connected theorems (Proceedings of the London math. Society. 1888, pp. 152—161).
4.º J. Casey.—Complément à la théorie des polygones harmoniques (Mathesis 1890, pp. 96—104).
5.º G. de Longchamps.—Sur le tétraèdre orthocentrique (Mathesis 1890, pp. 49—53, 77—82).
6.º Sollertinsky.—Propriétés des coniques (Mathesis 1891, pp. 177—182).

Vamos á dar á conocer las generalizaciones de que acabamos de tratar, siguiendo el orden histórico de sus descubrimientos.

Cuadrilátero armónico.

I. Para hacer la analogía entre el triángulo y el cuadrilátero tan completa como sea posible, es necesario considerar un cuadrilátero inscriptible ABCD que posea un punto de Lemoine, es decir, un punto cuyas distancias á los lados sean proporcionales á estos lados. Es preciso para esto que se tenga entre los lados las relaciones

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} \quad \text{y} \quad AB \cdot CD = BC \cdot AD.
\]
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ción cumplen también las infinitas oblicuas que pueden referirse al eje fijo de las positivas y negativas, expresando la perpendicularidad un grado máximo de indirección muy propio para realizar el esquema geométrico en toda su perfección ideal.

En el dominio puramente matemático Rey y Heredia no ha creado, ni ha sido su propósito el de acumular nuevos hechos á los ya presentados en las obras de los matemáticos que contribuyeron á aumentar las proporciones de su admirable edificación; pero ha dado solidez al conjunto, ha eslabonado los detalles entre sí, realizando una grandiosa síntesis, ha unido sólidamente por el razonamiento lógico las dades acá y allá esparcidas y no asentadas sobre una base común, de verlos descubrimientos matemáticos.

En su sistema desarrollado con rigurosa unidad de plan y de concepto se hallan: el importante concepto de la cualidad desenvuelto por Vallés en sus Etudes philosophiques sur la science du calcul, 1841), las rotaciones de la unidad que permiten representar por radios igualmente espaciados las raíces de la unidad, conforme aparece en el Essai sur la théorie et l'interprétation des quantités dites imaginaires de Faure 1845, el concepto de la suma dinámica y del paralelógramo sumatorio, por el que se refiere la teoría de las imaginarias á la mecánica, como hizo ver Saint-Venant, en fin, la interpretación del imaginarismo en las secciones cónicas, conforme á la teoría de las cónicas suplementarias de Poncelet, y otros varios de los conceptos que fueron allegando los geómetras, á partir de los trabajos de Argand y Buée, se encuentran en la obra de Rey y Heredia como materiales que emplea en su grandiosa edificación.

No vamos á insistir en el análisis de obra tan importante, ni á detallar los grandes pensamientos que encierra, ni á poner de relieve la gran síntesis, con unidad de plan, llevada á feliz término sobre la base de la categoría de la cualidad y los tres estados del juicio; porque el evocar el recuerdo de esta obra notable sólo tiene por objeto el sentar los preliminares necesarios para ofrecer á la consideración de los lectores otra nueva obra, que, con singular acierto ha desarrollado en sus dos secciones el distinguido oficial de Carabineros señor Fola, y además porque de esta manera rendimos un justo tributo de admiración al iniciador en España de este desenvolvimiento filosófico-matemático que ha continuado y completado el Sr. Fola.

Rey y Heredia, tomando el asunto de su obra desde sus verdaderos cimientos, parte del concepto de la Aritmética, la Geometría y el Algebra en sí, y más principalmente en la relación que las une en el plan de la ciencia matemática. Respecto del Algebra observa: «que
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sin ser más universales sus conclusiones respecto de los números que los de la Aritmética, desenvuelve un nuevo y sorprendente poder de análisis, en virtud del cual ninguna de las relaciones derivadas de una relación principal se obscurece ni se borra por el cálculo, como sucede en la combinación de las cifras» «como lengua, alcanza el Algebra esa superioridad á que no tiene derecho como ciencia limitada á número» «Pero el Algebra es más que un lenguaje universal de las relaciones y propiedades de los números.... La universalidad, que sin duda le compete, no es meramente filológica, sino objetiva, y debe de consistir en que realmente trata de cosas que no pueden ser objeto de la Aritmética ni de la Geometría, ni de ambas reunidas, ni separadas». «Es posible, dice después, una especulación suprema acerca de esa conceptualidad pura é independiente de toda materia intuitiva, libre de toda determinación numérica ó extensiva, pero siempre superior á ella y aplicable á ella con perfecta indiferencia respecto á la clase de intuición que se le subordina. Cuando la ciencia matemática llega á tal grado de evolución, que por la aplicación reflexiva del espíritu pueden ser distinguidos en la extensión y en el número los conceptos que el entendimiento puso en ellos espontáneamente, hasta es natural que estos conceptos así reparados se conviertan en una nueva especulación más abstracta y universal, y por lo tanto más elevada y más culminante.... Entonces es cuando brota y crece el Algebra como un nuevo ramo del árbol matemático. Sobre la Geometría y la Aritmética, más humildes y bajas, porque se hallan más cerca del empirismo, se levanta y desarrolla floreciente esa rama de Algebra que las cobija á ambas por igual, y las guarece con su universalidad, y las fomenta y extiende con sus aplicaciones... La Geometría y la Aritmética hermanaban por instinto y no por reflexión, veíase el hecho de la congruencia y esto causaba grande admiración, pero se ocultaba la ley ó concepto á priori... Esta armonización suprema estaba, empero reservada al Algebra... Es cierto que si hoy vemos tan adelantada la ciencia algebráica en esa vida de imitación armónica, sólo porque ha realizado en las direcciones opuestas de las rectas la antítesis de lo positivo y lo negativo de los números, sus progresos futuros serán incalculables cuando la veamos expresar, como si se tratase de números, las afecciones cualitativas correspondientes á las direcciones perpendiculares, paralelas y oblicuas, que son propias de las líneas... Lo imaginario, tan injustamente calificado hoy, servirá en los tiempos venideros para armonizar la Aritmética y la Geometría, y dar al Algebra toda la altura é independencia que la crítica le promete, y hacer de la Matemáticas
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una gran totalidad, un organismo inmenso... El Algebra ordinaria tendrá que luchar todavía por algún tiempo con el misterio del imaginario, y que prodigar sus calificaciones de absurdidad, hasta que ulteriores desarrollos de la ciencia matemática reproduzcan por do quiera el simbolismo imaginario, y hagan de él la trama general del cálculo algebráico».

No continuaremos citando los importantes pensamientos que se encierran en la obra porque á seguir nuestro impulso los citaríamos todos. Vamos á terminar reproduciendo lo que con una modestia que se hermana con la superioridad de su talento, sólo citaremos el breve cuanto elocuente resumen de toda la obra que hace.

«Helo aquí presentado en los tres pensamientos que reinan en toda ella.

1.º El símbolo \( \sqrt{-1} \) es un signo de perpendicularidad.—Buée (1).

2.º Los números imitan el espacio, aunque son de naturaleza tan diferente.—Pascal.

3.º El cuadro de las categorías del entendimiento indica todos los momentos de una ciencia especulativa proyectada, y da hasta su ordenación y régimen.—Kant.

El primero es un pensamiento puramente matemático.—El segundo es de la filosofía matemática.—El tercero de filosofía trascendental».

(Se concluirá).

Z. G. de Galdeano.

VARIEDADES

Enunciados de las cuestiones de la «Nueva Correspondencia Matemática»

21. Se dan en un mismo plano una elipse y otra cónica que pasa por el centro de la primera. Se trazan en la elipse dos diámetros conjugados que la cortan en los puntos A,B,A',B' y que cortan la cónica en los puntos C, D:

1.º Demostrar que la cuerda CD pasa por un punto fijo F, cualquiera que sea el sistema de diámetros conjugados que se haya elegido.

2.º Hallar el lugar que describe el punto F, cuando se supone

(1) Parece que ignorará la simultaneidad del descubrimiento de este matemático [uglós con el del matemático francés Argand en 1806.
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que la cónica gira al rededor del centro de la elipse, permaneciendo esta fija.

3.º Construir los dos lugares precedentes, en el caso particular en que la cónica es una hipérbola equilátera cuyo eje transverso es igual al eje mayor de la elipse y en la que un vértice real coincide con el centro de esta elipse.

(Lille. Concours académique. 1877).

22. Desde un punto A tomado sobre un diámetro de una circunferencia se trazan diversas rectas AB. Se proyecta el punto B de la curva en C, sobre el diámetro OA; después desde el punto B como centro, con BC por radio, se describe un arco de círculo. Hallar el lugar de los puntos D de intersección de este arco con AB.

(H. Brocard).

23. Una parábola MN, variable en magnitud y en posición, toca en su vértice P á una parábola ABC dada. La directriz de la parábola móvil es á cada instante, la recta DE, perpendicular en el extremo de la cuerda PQ. ¿Cuál es el lugar del foco F?

(E. Catalan).

24. En la brújula de inclinación el lugar de las posiciones de equilibrio de la aguja es un cono oblicuo de base circular.

(E. Cesáro).

25 Resolver las ecuaciones

\[
x_1 + t = a (x_2 + x_3) \\
x_2 + t = (a + 1) (x_3 + x_4) \\
x_3 + t = (a + 2) (x_4 + x_1) \\
x_4 + t = (a + 3) (x_1 + x_2)
\]

26. Construir la curva que tiene por ecuación, en coordenadas rectangulares

\[
(4 a - y)^3 = 27 a (x^2 + y^2)
\]

Si se hace rodar esta curva sobre un eje fijo \( y = a \) suponiéndose ligado el origen de las coordenadas á esta curva, vendrá á un punto M: Se trata de expresar la distancia P al eje fijo, así como su distancia r al punto de contacto, en función del ángulo en que la curva haya girado.

Si, á partir del punto fijo O, se lleva sobre la perpendicular al eje fijo una longitud OA = p, y se traza por A una recta AB paralela
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á r (MR), de manera que se tenga OA = OB, el punto B describirá una curva cuya ecuación se pide.

(Grenoble, Concours académique. 1878).

27. Construir un triángulo conociendo: 1.º la base. 2.º el ángulo opuesto. 3.º la longitud común l de los segmentos determinados por los lados del triángulo, sobre tres paralelas á estos lados que pasan por un mismo punto

(E. Lemoine).

Advertencia importante respecto á las cuestiones propuestas.

Habiéndonos propuesto, como ya dijimos en el núm. 8.º de este periódico, inaugurar una época de actividad para los aficionados á estos ejercicios del espíritu que constituyen las cuestiones de la ciencia matemática, que tienen el privilegio de unir lo útil á lo agradable, puesto que nada hay de más útil que las aplicaciones á que ha llevado y lleva constantemente la ciencia de la cantidad, y nada es tan agradable para la inteligencia como llegar á esa posesión plena de la verdad que se llama evidencia, hoy nos proponemos, antes de llevar más adelante nuestro propósito en el que comienzan á favorecernos y honrarnos algunos de nuestros colaboradores (y confiamos en que á su iniciativa ha de seguir la generosa cooperación de otros muchos aficionados á este género de investigaciones), regularizar en cuanto nos sea posible, la publicación de cuestiones, y con este objeto hacemos las advertencias oportunas en la cubierta de este periódico.

Además, con objeto de abreviar el lenguaje, adoptaremos en lo sucesivo, conforme ya hemos comenzado á hacerlo, las anotaciones siguientes:
N. C. M.—Nouvelle Correspondence Mathématique.
J. S. y J. E.—Journal de Malthématiques élémentaires ó spéciales de M. G. de Longchamps.
N. A. M.—Nouvelles Annales de Mathématiques.
A. F.—Association Française,
é iremos agregando á éstas otras abreviaturas, cuando se presente la ocasión de referirnos á otras revistas ó colecciones matemáticas.
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Esta relación es necesaria y suficiente: Tal cuadrilátero se ha llamado por M. Neuberg cuadrilátero armónico (*).

El punto de Lemoine K se halla en las intersecciones de las diagonales AC, BD del cuadrilátero.

A un círculo dado se puede inscribir una infinidad de cuadriláteros armónicos que tengan por punto de Lemoine un punto interior dado K; se traza por K una cuerda cualquiera AC y se une el punto K al polo de AC.

En el cuadrilátero armónico, como en el triángulo, las simedianas son las rectas que unen el punto de Lemoine á los vértices A, B, C, D de la figura.

2. Las simedianas del triángulo ABC, ó las segundas diagonales del cuadrilátero armónico ABCD son las cuerdas comunes al círculo ABC y á uno de los círculos de Apolonio (**).

3. Hagamos en el cuadrilátero armónico

\[
AB = a,\ RC = b,\ CD = c,\ DA = d,\ AC = f,\ DB = g.
\]

Si \( x, y, z, u \) son las longitudes de las perpendiculares bajadas desde K sobre los lados del cuadrilátero armónico, se tiene por hipótesis:

\[
\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{u}{d}
\]

Si \( \frac{1}{2} \tg \varphi \) es el valor común de estas relaciones iguales, \( \varphi \) es un ángulo auxiliar, llamado ángulo de Brocard del cuadrilátero, y se tiene, designando por \( \omega \) el ángulo de Brocard del triángulo ABC:

\[
\cot \varphi = \frac{1}{2} (\cot B + \cot \omega)
\]
\[
\cot^2 \varphi = 1 + \cot^2 B + \cot^2 A
\]
\[
\cosec^2 \varphi = \cosec^2 A + \cosec^2 B.
\]

4. Hagamos OK = \( \rho \), siendo O el centro del círculo ABCD y R el radio:

\[
\rho^2 = R^2 \cos^2 B + R^2 \sen^2 B \left[ 1 - \frac{4 a^2 b^2}{(a^2 + b^2)^2} \right] = R^2 (1 - \tg^2 \omega)
\]

Esta fórmula muestra que el ángulo de Brocard es constante en

(*) Esto que se refiere al cuadrilátero armónico, ha sido tomado de las dos memorias acriba citadas de M. Neuberg y de M. Tucker. La memoria de este último autor se halla seguida por proposiciones debidas á M. M. Cay.

(**) Se llaman círculos de Apolonio los círculos cuyo diámetro es el segmento de un lado que las bisectrices trazadas por el vértice opuesto determinan sobre este lado.
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todos los cuadriláteros armónicos inscritos al mismo círculo O y que tienen el mismo punto de Lemoine.

El círculo que tiene OK por diámetro es el círculo de Brocard del cuadrilátero, ¿es la expresión de su diámetro. El primer cuadrilátero de Brocard es el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos M, N, P, Q en que el círculo de Brocard encuentra á las perpendiculares bajadas desde O sobre a, b, c, d.

5. Las rectas AM, BN, CP, DQ se encuentran en un mismo punto \( \Omega \) del círculo de Brocard; igualmente, las rectas BM, CN, DP, DQ concurren en un mismo punto \( \Omega' \) de este círculo.

Los puntos \( \Omega, \Omega' \) son los puntos de Brocard del cuadrilátero armónico, y se hallan caracterizados por las igualdades de ángulos:

\[
\begin{align*}
\Omega AB &= \Omega BC = \Omega CD = \Omega DA \\
\Omega' BA &= \Omega' CB = \Omega' DC = \Omega' AD
\end{align*}
\]

\( \Omega' \) es el punto directo de Brocard, \( \Omega \) es el punto retrógrado de Brocard. Se llama segundo cuadrilátero de Brocard el cuadrilátero que tiene por vértices los pies F, G, H, I de las perpendiculares bajadas desde O sobre las simedianas del cuadrilátero armónico. Este cuadrilátero, que es armónico, se halla inscrito al círculo de Brocard.

Se obtienen facilmente las siguientes fórmulas:

\[
\begin{align*}
A \Omega &= d \sin \varphi \cos \varepsilon A \\
B \Omega &= a \sin \varphi \cos \varepsilon B \\
C \Omega &= b \sin \varphi \cos \varepsilon A \\
D \Omega &= c \sin \varphi \cos \varepsilon B
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
A \Omega' &= a \sin \varphi \cos \varepsilon A \\
B \Omega' &= b \sin \varphi \cos \varepsilon B \\
C \Omega' &= c \sin \varphi \cos \varepsilon A \\
D \Omega' &= d \sin \varphi \cos \varepsilon B
\end{align*}
\]

y otras muchas que es fácil deducir de las precedentes.

La potencia del vértice A con respecto al círculo de Brocard es igual á:

\[
\frac{1}{2} ad \tan \varphi \cos \varepsilon A.
\]

6. Los puntos de Brocard son los focos de una elipse inscrita al cuadrilátero armónico, que es la elipse de Brocard del cuadrilátero. Las proyecciones de dichos puntos sobre los lados del cuadrilátero ABCD se hallan situadas en una misma circunferencia que tiene por diámetro el eje mayor de la elipse de Brocard del cuadrilátero.

7. Unamos los puntos de Brocard á los vértices del cuadrilátero ABCD. Si hacemos girar los haces (\( \Omega, ABCD \)) en un ángulo cualquiera al rededor de \( \Omega \) y el haz (\( \Omega', ABCD \)) en el mismo ángulo, pero en sentido contrario al rededor de \( \Omega' \), los rayos de estos haces encontrarán á los lados a, b, c, d en ocho puntos de una misma cir-