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El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 16

le point P de sorte que la fonction
(13) \[ s = \lambda p_1^u + \mu p_2^u + \nu p_3^u , \]
où \( \lambda, \mu, \nu, u \) sont des nombres quelconques, soit minimum.
Alors il faut qu'on aie
(14) \[ \frac{ds}{dx_1} = \frac{ds}{dx_2} = 0 . \]
ou
(15) \[ \lambda u p_1^{u-1} \frac{dp_1}{dx_r} + \mu u p_2^{u-1} \frac{dp_2}{dx_r} + \nu u p_3^{u-1} \frac{dp_3}{dx_r} = 0 ; \quad r = 1, 2. \]

Or, comme les variables \( x_1 \) et \( x_2 \) peuvent être choisies à volonté, il faut que les équations (12) et (15) existent ensemble, soit que les différentiations soient effectuées par rapport à \( x_1 \) ou \( x_2 \).
Et il faut en outre qu'elles existent ensemble, quelles que soient les valeurs des quotients différentiels. Cette condition entraîne la relation
(16)
\[
\begin{cases}
\lambda p_1^{u-1} = \frac{\sin (p_2 p_3)}{\sin (p_3 p_1)} \\
\mu p_2^{u-1} = \frac{\sin (p_3 p_1)}{\sin (p_1 p_2)} \\
\nu p_3^{u-1} = \frac{\sin (p_1 p_2)}{\sin (p_2 p_3)}
\end{cases}
\]
donnée par Steiner dans Crelle Journ., t. XIII. p. 362. Oeuvres complètes, t. II, p. 17). Une autre démonstration de cette formule a été donnée par Dippe. (Crelle Journ., t. XVI).

4. Théorèmes relatifs aux déterminants.

1. Un déterminant s'évanouit, si les termes de trois lignes forment des séries arithmétiques de l'ordre 1.>

Si les quantités \( x_1, x_2, x_3, \ldots x_n \) sont dérivées des unités \( e_1, e_2, \ldots e_n \) au moyen de \( n^2 \) facteurs numériques, et si l'on pose \( (e_1 e_2 \ldots e_n) = 1 \), alors le produit extérieur \( (x_1 x_2 \ldots x_n) \) équivaut au déterminant formé de ces \( n^2 \) facteurs. (Voir Progreso Matemático, t. II, p. 288).

Or soit
\[
\begin{cases}
x_1 = a_1 e_1 + (a_1 + d_1) e_2 + (a_1 + 2d_1) e_3 + (a_1 + 3d_1) e_4 + \ldots \\
x_2 = a_2 e_1 + (a_2 + d_2) e_2 + (a_2 + 2d_2) e_3 + (a_2 + 3d_2) e_4 + \ldots \\
x_3 = a_3 e_1 + (a_3 + d_3) e_2 + (a_3 + 2d_3) e_3 + (a_3 + 3d_3) e_4 + \ldots
\end{cases}
\]
Alors on peut écrire:
(2) \[ x_1 = a_1 (e_1 + e_2 + e_3 + e_4 + ...) + d_1 (e_2 + 2e_3 + 3e_4 + ...), \]
ou, en posant
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 17

(3) \( e_1 + e_2 + e_3 + ... = \epsilon_1; e_2 + 2e_3 + 3e_4 + ... = \epsilon_2; \)

\[
\begin{cases}
x_1 = a_1 \epsilon_1 + d_1 \epsilon_2, \\
x_2 = a_2 \epsilon_1 + d_2 \epsilon_2, \\
x_3 = a_3 \epsilon_1 + d_3 \epsilon_2,
\end{cases}
\]

De même:

On peut regarder les quantités \( \epsilon_1 \) et \( \epsilon_2 \) comme nouvelles unités.

Or, en formant le produit extérieur (\( x_1 x_2 x_3 \)) on voit que le second membre de l'équation ne contient que des produits d'unités ayant deux facteurs égaux. Donc tous ces produits s'évanouissent, de même le produit (\( x_1 x_2 x_3 \)) et le déterminant entier (\( x_1 x_2 ... x_n \)), ce qu'il fallait démontrer.

(Se continuará).

CURVATURA DE LAS LÍNEAS EN SUS PUNTOS DEL INFINITO

POR D. EDUARDO TORROJA
Catedrático de la Universidad Central.

La noción de curvatura, tal como se expone de ordinario, no tiene significación alguna aplicada á los puntos del infinito de las curvas; pero, así como el estudio de las propiedades íntimas de una curva, en uno de sus puntos ordinarios propiamente tales, se lleva á cabo por la comparación con otra curva más sencilla y conocida que tenga con ella en dicho punto un contacto de un orden determinado; así también parece natural seguir idéntico procedimiento cuando se trata de estudiar las propiedades de las curvas en sus puntos del infinito. Y si en el primer caso se llega á la conclusión de que dos curvas que tienen en un punto propiamente tal un contacto de segundo orden, por lo menos, tienen una misma curvatura en dicho punto, no creo ofrezca inconveniente alguno el admitir que dos curvas que tienen en uno de sus puntos comunes en el infinito un contacto de segundo orden, por lo menos, tienen en él la misma curvatura á condición de no dar á esta denominación el valor que tiene para las ramas finitas de las curvas y de considerarla sólo como una expresión convencional abreviada, según la cual se dice que: dos curvas tienen una misma curvatura en dos puntos en el infinito cuando pueden colocarse sin deformación en una posición tal que, confundiéndose dichos puntos y las tangentes que les corresponden, tienen un contacto de segundo orden, por lo menos en este punto común.

Que la definición geométrica de contacto de orden \( n \) de dos curvas en un punto común A es de carácter proyectivo y aplicable, por tanto, indistintamente á los puntos propiamente tales ó á los del infinito
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cosa es que parece evidente, ya se considere el punto A como la reunión de \( n + 1 \) puntos comunes á dichas curvas, ó á éstas como límite de otras dos que tenían comunes aquel número de puntos, por lo menos, cuando por deformación de una de ellas han venido \( n \) de dichos puntos á confundirse con el otro considerado fijo. Y á la misma conclusión se llegaría también partiendo de la definición analítica del contacto de orden \( n \), según la cual los coeficientes diferenciales de las coordenadas de los \( n \) primeros órdenes con respecto á una de ellas se hacen iguales entre sí para los valores particulares de las coordenadas del punto común A, á condición tan sólo de considerar un sistema de coordenadas de carácter proyectivo, á fin de que permita estudiar á la par y de una manera enteramente análoga los puntos propiamente tales y los del infinito.

Pero la cuestión pudiera acaso parecer aun más clara diciendo que dos curvas situadas en un plano \( \pi \) tienen en un punto del infinito común A un contacto de orden \( n \), si sus proyecciones desde un punto O exterior al plano \( \pi \) sobre otro plano \( \pi_1 \), no paralelo á la proyectante OA de aquel punto, tienen un contacto de dicho orden en el punto propiamente tal, \( A_1 \), proyección de aquel punto A.

En cuyo caso diríamos que dos curvas de un plano tienen en un punto común A del infinito una misma curvatura, cuando cumplen esta condición sus proyecciones cónicas sobre otro plano no paralelo á la proyectante de dicho punto.

Así como para determinar la curvatura de una línea en un punto propiamente tal se emplea el círculo osculador como la línea más sencilla que tiene con ella un contacto de segundo orden; así también, para estudiar la curvatura de una línea en un punto del infinito, se empleará la línea de segundo orden que parezca más sencilla, que será una parábola ó una hiperbola, según se trate de una rama parabólica (tangente á la recta del infinito), ó una hiperbólica (con una asíntota propiamente tal).

Conviene, por tanto, examinar las condiciones á que deben satisfacer dos parábolas ó dos hiperbolas para que tengan en sus puntos del infinito una misma curvatura. Este será el objeto único del presente artículo, tomando como fundamento de su exposición el siguiente principio de la geometría pura ó de la posición, cuyo carácter proyectivo es indudable y que, por tanto, se aplica indistintamente á los puntos propiamente tales y á los del infinito.

Dos curvas de segundo orden \( \varphi \) y \( \varphi_1 \) situadas en un plano y tangentes en un punto común A son homológicas entre sí respecto de
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 19

este punto común como centro y de un eje e que las corta en dos puntos comunes reales ó imaginarios ó las toca en uno mismo.

la tangente a en este punto como eje y de un centro en el cual se cortan dos tangentes comunes reales ó imaginarias ó tienen las dos una misma tangente.

Las dos curvas \( \varphi \) y \( \varphi_1 \) tienen en el punto común A un contacto de primero, de segundo ó de tercer orden, según que el eje de homología e no pase por dicho punto A, corte en él á la tangente común a, ó se confunda con esta tangente.

De ellos se deduce inmediatamente que dos parábolas que tienen en el infinito un contacto de segundo orden son homológicas respecto de la recta del infinito de su plano común como eje y de un centro situado en el infinito, es decir, que son homotéticas y afines á la par y, por tanto, iguales entre sí.

Y recíprocamente, dos parábolas iguales entre sí tendrán un contacto de segundo orden, si se colocan en un plano consus ejes paralelos y dirigidos en el mismo sentido; pues en ellas no sólo son paralelas entre sí las tangentes en los puntos homólogos, sino también las rectas que unen dos á dos estos puntos y, por tanto, son afines y homotéticas.

Y si dos parábolas iguales tuviesen sus ejes sobre una misma recta y en igual sentido, estando situadas en el mismo plano, tendrían en su punto del infinito un contacto de tercer orden, por ser este punto del infinito del eje el centro de homotecia de las dos curvas.

Por el contrario, dos parábolas con distintos parámetros no pueden tener en el infinito un contacto superior al primero.

De aquí que todas las parábolas que pueden tener con una curva dada en el punto del infinito de una rama parabólica un contacto de segundo orden, tienen un mismo parámetro, de modo que éste determina la curvatura de dicha rama en aquel punto. Y parece excesado advertir que para que exista semejante parábola es indispensable que el punto considerado sea ordinario; pues si fuese de retroceso, anguloso ó de inflexión, no existiría, por lo general, observación que es también aplicable á las ramas hiperbólicas de las curvas; así como en los puntos singulares propiamente tales no siempre tienen las curvas círculo osculador.

Dos hipérbolas con una asíntota m común son tangentes en su punto del infinito y, por tanto, afines respecto de este punto como centro de afinidad, siendo en ellas homólogas las otras dos asíntotas n y \( n_1 \).
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1.º Se tiene:
\[
\Sigma bc = p^2 + r \hat{d}
\] (1)

Sean O, O_a, O_b, O_c los centros de los círculos que tienen por radios \( r, r_a, r_b, r_c, BC, CA, AB \) están tocados respectivamente por O en A', B', C' por O_a en A'_a, A'_b, A'_c, por O_b en A'_b, B'_b, C'_b por O_c en A'_c, B'_c, C'_c.

Los dos triángulos semejantes OCB', O_a CB'_a dan
\[
\frac{OB'}{CB'_a} = \frac{CB'}{O_a B'_a}
\]
de donde
\[
rr_a = (p - b)(p - c)
\] (2)

Se obtendría también del mismo modo
\[
r_b r_c = p(p - a)
\] (3)

Sumando miembro á miembro la fórmula (2) y las otras dos fórmulas análogas, se obtiene:
\[
r(r_a + r_b + r_c) = \Sigma (p - b)(p - c)
\]
de donde
\[
r \hat{d} = \Sigma [p^2 - p(b + c) + bc]
\]
ó
\[
r \hat{d} = 3p^2 - p \Sigma (b + c) + \Sigma bc
\]
ó
\[
r \hat{d} = -p^3 + \Sigma bc
\]
de donde
\[
\Sigma bc = p^3 + r \hat{d}.
\]

2.º
\[
\Sigma a^2 = 2(p^2 - r \hat{d})
\] (4)

Se tiene
\[
(a + b + c)^3 = \Sigma a^2 + 2 \Sigma bc
\]
de donde
\[
4p^2 = \Sigma a^2 + 2p^2 + 2r \hat{d}
\]
de donde
\[
\Sigma a^2 = 2(p^2 - r \hat{d})
\]

3.º
\[
c^2 = (r_c - r)(r_a + r_b)
\] (5)

Los dos triángulos semejantes OA'C y O_c A'_c C dan:
\[
\frac{r_c}{r} = \frac{p}{p - c} \quad \text{de donde} \quad \frac{r}{r_c - r} = \frac{p - c}{c}
\] (α)

Los dos triángulos semejantes O_a B'_a C y O_b B'_b C dan:
\[
\frac{r_a}{r_b} = \frac{p - b}{p - a} \quad \text{de donde} \quad \frac{r_b}{r_a + r_b} = \frac{p - a}{c}
\] (β)

Multiplicando (α) y (β) miembro á miembro, se tiene:
\[
\frac{rr_b}{(r_c - r)(r_a + r_b)} = \frac{(p - c)(p - a)}{c^2}
\]
y como, según la fórmula análoga á la (2) los numeradores son igua-
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 20

Según que el eje de afinidad e corte á la asíntota \( m \), le sea paralela ó se confunda con ella, así tendrán las dos hipérbolas, según lo dicho en un principio, un contacto de primero, de segundo ó de tercer orden. En el último caso, las dos hipérbolas deben ser concéntricas, puesto que, siendo homólogas las asíntotas \( n \) y \( n_1 \), deben cortarse en un punto del eje \( m \).

Dos hipérbolas iguales con una asíntota común \( m \), á la cual se acercan del mismo lado y en igual sentido, tienen en su punto del infinito un contacto de segundo orden; pues siendo afines respecto de este punto como centro, y teniendo sus puntos homólogos las tangentes paralelas entre sí, el eje de afinidad es la recta del infinito, y éste pasa por el punto de contacto.

Si dos hipérbolas \( \varphi \) y \( \varphi_1 \) tienen un contacto de segundo orden en el punto del infinito de una asíntota común \( m \), y se traslada una de ellas \( \varphi_2 \) paralelamente á esta asíntota hasta que su centro se confunda con el de la otra \( \varphi \), la nueva posición \( \varphi_1 \) tiene con la \( \varphi \) un contacto de tercer orden. En efecto, las hipérbolas iguales \( \varphi_1 \) y \( \varphi_2 \) tienen un contacto de segundo orden, luego las \( \varphi \) y \( \varphi_1 \) tendrán, por lo menos, el mismo orden de contacto y, por tanto, su eje de afinidad es paralelo á la asíntota \( m \), pero como debe además pasar por el punto de intersección de las otras dos asíntotas \( n \) y \( n_1 \), por ser éstas homólogas, dicho eje se confunde con la tangente común \( m \) y las curvas tienen, por tanto, un contacto de tercer orden.

De lo anterior se deduce que dos hipérbolas que tienen la misma curvatura en el infinito pueden siempre colocarse de manera que tengan en un punto común del infinito un contacto de tercer orden. Colocadas en esta posición especial (véase la figura) se observa que las tangentes CD y CD₁, en dos puntos homólogos B y B₁ interceptan con las asíntotas correspondientes dos triángulos OCD y OCD₁ que tienen la misma base OC sobre la asíntota común \( m \) y los vértices opuestos D y D₁ sobre una paralela á ella y, por tanto, tienen la misma área.

Recíprocamente, si dos hipérbolas \( \varphi \) y \( \varphi_1 \) tienen equivalentes los triángulos interceptados por las asíntotas y las tangentes respectivas, tienen la misma curvatura en el infinito, y si se colocan de manera que se confundan sus centros y una asíntota y estén las dos de un
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mismo lado de ésta, tendrán en su punto del infinito un contacto de tercer orden, pues las tangentes á ellas trazadas por un punto C de la asíntota común m cortan á las otras n y n₁ en puntos D y D₁ de una paralela á ella, por la equivalencia de los triángulos OCD y OCD₁, y por tanto, la recta BB₁ que une los puntos de contacto de dichas tangentes es también paralela á m; de donde se deduce que las dos hipérbolas son afines respecto de la asíntota m como eje y de su punto del infinito como centro; luego tienen en él un contacto de tercer orden.

De aquí que todas las hipérbolas que tienen con una curva dada en el punto del infinito de una de sus ramas hiperbólicas un contacto de segundo orden, interceptan áreas equivalentes entre las asíntotas y las tangentes, es decir, tienen constante el producto ab de sus semi-ejes. Entre ellas las equiláteras serán todas iguales entre sí, y la magnitud r de su semieje puede servir, por tanto, para determinar la curvatura de la rama hiperbólica en su punto del infinito.

En otro artículo nos ocuparemos, Dios mediante, en estudiar la relación que enlaza las curvaturas de las diferentes líneas trazadas sobre una superficie y que pasan por uno de sus puntos ordinarios del infinito.

Sobre las rectas imaginarias contenidas en toda ecuación de primer grado con dos variables
POR D. CECILIO JIMÉNEZ RUEDA

Suele decirse que una recta real contiene muchos puntos imaginarios y se demuestra en todos lo libros de Analítica, poco más ó menos como sigue: Para que el punto imaginario \( x = x + \delta \sqrt{-1} \) y \( y = \gamma + \hat{\delta} \sqrt{-1} \), pudiera pertenecer á la recta
\[
Ax + By + C = 0 \tag{1}
\]
sería necesario que se verificara:
\[
A(x + \delta \sqrt{-1}) + B(\gamma + \hat{\delta} \sqrt{-1}) + C = 0;
\]
ó lo que es lo mismo:
\[
\begin{cases}
Ax + By + C = 0 \\
A\delta + B\hat{\delta} = 0 \tag{2}
\end{cases}
\]

Pero estas dos ecuaciones se verifican siempre y para muchos sistemas distintos de valores de \( a, \delta, \gamma, \hat{\delta} \); luego hay muchos puntos imaginarios sobre la recta [1]. Ya sé que con esta última afirmación se da á entender tan solo que las coordenadas de multitud de puntos ima-
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ginarios satisfacen á la ecuación [1], y que esa generalización de lenguaje es utilísima y fecunda, pues permite extender las propiedades geométricas de las figuras, sin excepciones, paralelamente á las propiedades analíticas correspondientes de sus ecuaciones, cuando estas pasan de un modo continuo por todas sus formas y valores reales ó imaginarios. Mas para que esta generalización resulte todo lo más fecunda posible, es necesario que la forma de su enunciado esté de acuerdo con las consecuencias que en el terreno imaginario lógicamente de él se deduzcan, y con los principios universalmente admitidos y demostrados entre cantidades reales. Puede observarse que las ecuaciones [2] contienen una doble indeterminación entre las variables \( x, \varepsilon, \gamma, \delta \), que no se aviene con la sucesión serial de los puntos de una línea plana. Para ver esto más claro establezcamos una nueva y arbitraria relación entre dichas cuatro variables, y sea por ejemplo \( x = k \varepsilon \). Todavía quedan \( x, \varepsilon, \gamma, \delta \), indeterminadas, y habrá infinidad de valores de estas cantidades que verifiquen las relaciones

\[
\begin{cases}
A x + B \gamma + C = 0 \\
A \varepsilon + B \delta = 0 \\
y \ldots \ldots \ldots \quad x = k \varepsilon
\end{cases}
\]

[3]

Pero ahora se puede hacer que tres de ellas dependan sola y exclusivamente de la cuarta; de \( x \), por ejemplo; y la doble indeterminación se habrá hecho sencilla como conviene á toda serie de puntos sucesivos que corresponden á una sola línea plena; pues dando á \( x \) todos los valores sucesivos entre \( -\infty \) y \( +\infty \), variarán de una manera continua también \( \varepsilon, \gamma, \delta \), entre \( -\infty \) y \( +\infty \); y lo mismo sucederá á los puntos imaginarios \( x + \varepsilon \sqrt{-1} \) y \( \gamma + \delta \sqrt{-1} \); luego si estas coordenadas imaginarias han pasado de un modo continuo por todos esos valores sin dejar de verificar la ecuación [1] hay que convenir en que han descripto esta recta [1] ó un segmento de la misma por lo menos. Si ahora damos á K un nuevo valor \( k' \) obtendremos por medio del sistema [3] otra serie continua de puntos imaginarios que también verificará la recta [1]; pero como todos los pares de valores de \( (x + \varepsilon \sqrt{-1}) \) y \( (\gamma + \delta \sqrt{-1}) \) correspondientes al valor \( k \), son distintos de los dependientes de \( k' \), no puede suponerse que el lugar geométrico descrito por la serie K sea el mismo que el descrito por la serie \( k' \), y siendo esto así, no hay más hipótesis posibles que estas dos: O esos diferentes lugares geométricos son segmentos distintos de la recta [1] ó son rectas distintas imaginarias comprendidas implícitamente en la ecuación [1]. Veamos cual de las dos hipótesis es pre-
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 23

ferible: Si consideramos los valores \( \alpha = 0, \varepsilon = 0, \gamma = -\frac{C}{B}, \delta = 0 \), vemos que satisfacen las ecuaciones [3] independientemente de \( k \), y por consiguiente que todos aquellos lugares geométricos imaginarios de que hablábamos pasan por el punto

\[
x = x + \varepsilon \sqrt{-1} = 0 \quad y = \gamma + \delta \sqrt{-1} = -\frac{C}{B},
\]

que es real; luego no pueden ser segmentos distintos de una misma recta no teniendo puntos comunes; porque estos no pueden pasar por un mismo punto. Luego no queda más que la segunda hipótesis. Y como lo mismo puede decirse de una ecuación de primer grado con coeficientes imaginarios, pues solo varía del razonamiento anterior algún pequeño detalle, se concluye, que el teorema que dice que toda recta real contiene muchos puntos imaginarios, deberá modificarse diciendo: que toda la ecuación de primer grado con dos variables representa una recta real é infinitas imaginarias. Que estas últimas figuran solo cuando se dan á \( x \) é \( y \) valores imaginarias, pasan por un punto real.

CUESTIONES RESUELTAS

CUESTIÓN 172
(Véase tomo IV, página 172).

Construir un triángulo ABC, dado el lado BC, el radio r del círculo inscripto y el radio \( r'' \) del círculo ex-inscripto en el ángulo B.
(J. Gillet.)

Solución por D. Cecilio Jiménez Rueda

Supongamos el problema resuelto con el triángulo ABC, y sean O' el círculo inscrito, y O el exinscrito en el ángulo B; OD\( = r'' \) y O'E\( = r \), y llamemos \( a \) al lado conocido BC. Determinemos en función de los datos una cantidad auxiliar tal como CD. Para esto tenemos en los triángulos BO'E y BOD

\[
\frac{BE}{BD} = \frac{r'}{r''}, \text{ ó sea } BE \cdot r'' = BD \cdot r
\]
(1)

los triángulos rectángulos semejantes OCD y O'CE dan á su vez:

\[
\frac{CD}{r} = \frac{r''}{CE}, \text{ ó sea } CD \cdot EC = r'' \cdot r
\]
(2)

y la figura da finalmente: \( BE + CE = a \) y \( BD - CD = a \),
(3)
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 24

Eliminando entre las relaciones (1), (2) y (3) las cantidades BE, BD y CE se obtiene fácilmente la ecuación:

\[
CD^2 - a \frac{r'' - r}{r} CD + r''^2 = 0
\]

(4)

Esta ecuación nos dice que en general habrá dos valores para CD

y por tanto dos soluciones para el problema propuesto. Para construir geométricamente las raíces de (4), hay que construir antes la expresión \( \frac{a(r'' - r)}{r} \), que, como se ve, es una cuarta proporcional á \( ra \) y \( r'' - r \). En la figura se ha obtenido llevando sobre DB la cantidad Dd=\( a \), y sobre la perpendicular en D, las cantidades DO=\( r'' \) y DF=\( r \), de manera que OF=\( r'' - r \); trazando la recta dF y á ésta una paralela por O, se tiene la cantidad \( dG = \frac{a(r'' - r)}{r} \) que es, según (4), la suma de los dos valores incógnitos de CD, cuyo producto es \( r''^2 \). Para construirlos se ha trazado la circunferencia GKJd; en d una tangente \( dH = r'' \), y por H la paralela HJK, que da las raíces proyectadas en dB y dB'. Consideremos uno de estos valores, el dB, por ejemplo, para construir con él el triángulo, llévese á la izquierda de D, con lo que quedará determinado el punto C; BO será =\( a \); uniendo B con O, y por F trazando una paralela á DB, se determina el punto O' que se unirá con B y con C; y ya no hay más que trazar las rectas BA y CA que formen con BO' y CO' los mismos ángulos que éstas con BC. Otro tanto se repite con el otro valor dB' y se tendrá el triángulo A'B'C'. Puede, pues, haber dos, una ó ninguna soluciones.
El Progreso matemático (1894-05-01 00:00:00), página 3

les, los denominadores lo serán igualmente y la fórmula (5) queda demostrada.

4.º Propongámonos valuar \( \Sigma a r_a \)

Se tiene
\[
\Sigma a r_a = S \Sigma \frac{a}{p-a}
\]

6
\[
\Sigma a r_a = \frac{S}{(p-a)(p-b)(p-c)} \cdot \Sigma a (p-b)(p-c)
\]
\[
\Sigma a r_a = \frac{1}{r} \left[ p^2 \Sigma a - p \Sigma a (b+c) + 3abc \right]
\]
\[
= \frac{1}{r} \left[ 2p^3 - p \cdot 2 \Sigma bc + 12 \text{RS} \right]
\]
\[
= \frac{1}{r} \left[ 2p^3 - p (2p^2 + 2r \delta) + 12 \text{RS} \right]
\]
\[
= \frac{1}{r} \left[ 12 \text{RS} - 2pr \delta \right]
\]
\[
= p (4R - 2r)
\]
de donde, en fin,
\[
\Sigma a r_a = 2p (2R - r) \tag{6}
\]

5.º Propongámonos valuar \( a^3 + b^3 + c^3 \)

se tiene
\[
(a^3 + b^3 + c^3)(a+b+c) = \Sigma a^3 + \Sigma a(b^2 + c^2) =
= \Sigma a^3 + \Sigma bc (b+c) = \Sigma a^3 + \Sigma bc (2p - a) =
= \Sigma a^3 + 2p \Sigma bc - 3abc
\]
luego
\[
(a^3 + b^3 + c^3)(a+b+c) = \Sigma a^3 + 2p (p^3 + r \delta) - 12 \text{RS}
\]
6, según la fórmula (4),
\[
2(p^3 - r \delta) \cdot 2p = \Sigma a^3 + 2p^3 + 2pr \delta - 12 \text{RS}
\]
\[
2p^3 - 4pr \delta = \Sigma a^3 + 2pr \delta - 12 \text{RS}
\]
de donde, reemplazando \( \delta \) por \( 4R + r \)
\[
\Sigma a^3 = 2p (p^3 - 6Rr + 3r^3) \tag{7}
\]

6.º Se obtendría de una manera análoga
\[
\Sigma b^3 c^3 = (p^3 - r \delta)^2 + 4S^3 \tag{8}
\]

7.º Hallar \( \Sigma bc r_a \)

Esta suma puede escribirse sucesivamente
\[
S \Sigma \frac{bc}{p-a}, \quad \frac{S}{(p-a)(p-b)(p-c)} \times \Sigma bc (p-b)(p-c),
\]