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El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 3

ésta describe una línea, aquélla traza otras varias formando un haz de ramas.

Punto ordinario es todo punto en que la función se conserva monodroma y además finita y determinada, lo propio que su derivada, en un círculo de radio indefinidamente pequeño que tenga por centro el punto dado.

Cuando todos los puntos que corresponden á la función, se hallan bajo las condiciones precedentes, dicha función se llama holomorfa.

Cuando se trata de una función que es holomorfa en toda la extensión del plano, excepto para una cierta región que contiene los puntos correspondientes á sus polos, se dice que es meromorfa en la porción de este plano.

10.—PRINCIPIOS GENERALES ACERCA DE LA VARIABILIDAD DEL ARGUMENTO DE UNA FUNCIÓN.

Después de las consideraciones precedentes, podemos ya dar el principio siguiente: Si una función es meromorfa y la variable describe cierta línea limitada, la cual se subdivide en partes, y en el concepto de que dicha variable no pase por los ceros é infinitos que dicha función puede contener, cabe decir que el argumento de dicha función experimenta una variación que es igual á la suma de las variaciones que corresponden á las partes en que se ha subdividido la línea total descrita por la variable independiente.

De este principio, evidente por sí mismo, se deduce que, si una función es meromorfa en cierta extensión del plano, y dividimos el área respectiva en varias partes por medio de transversales bajo las condiciones del caso anterior, la variación que sufre el argumento de la función cuando la variable describe el contorno del área total en sentido directo, es igual á la suma de las variaciones sufridas por la misma función después de haber recorrido la variable los contornos parciales contados siempre en sentido directo, ó sea dejando á la porción de plano que se considera.

En efecto, las líneas interiores al contorno total serán recorridas por la variable independiente dos veces y en sentido contrario el uno del otro. Así, pues, según lo que precede, el argumento de la función no habrá alterado, no existiendo más variabilidad que la correspondiente al contorno total.

Después de lo dicho se deduce la consecuencia siguiente: Si una función es holomorfa en cierta parte de un plano que no contiene raíz alguna, la variación del argumento de la función sobre el contorno es nula. Ahora bien, si suponemos un polinomio entero en el supuesto de que la variable recorra un contorno que encierre varias
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 30

correspondiente al mes de Octubre contiene las materias siguientes:
Sur un Problème relatif à la déformation des surfaces, par E. Goursat.—Sur une expresion nouvelle des fonctions elliptiques par le quotient de deux séries, par P. Appell.—Fourth Memoir on a New Theory of Symmetric Functions, by Major P. A. Mac-Mahon. R. A. F. R. S.—Multivalent and Univalent Involutory, Correspondances in a Plane determined by a Net of Curves of n-th Order.—On the Algebraic Group of a certain Series by Emooy Mc Clintock. On a Independent Definitions of the Functions log (x) and e.x by Emoory Mc Clintock.—A Pair of Curves of the Fourth Degree and their Application in the Theory of Quadrics by H. B. Newson.—A Note on Linear Transformation, by H. P. Manning.

Cuestiones propuestas.

28. Dar la serie de Sturm para las ecuaciones:

\[
x^m \pm 1 = 0,
\]
\[
x^m + x^{m-1} + x^{m-2} + \ldots + x + 1 = 0,
\]
\[
x^m + p x + q = 0,\quad x^m - x - a = 0,\quad x^m - x^{m-1} - a = 0.
\]
(N. C. M.) \hspace{5cm} (H. Brocard).

29. Hallar el lugar de las proyecciones de un punto dado sobre las generatrices de un hiperboloide de una hoja. Casos particulares.
(H. Brocard).

30. Hallar el lugar de las proyecciones de un punto dado sobre las generatrices de un paraboloide hiperbólico. Casos particulares.
(H. Brocard).

31. Hallar el lugar de las proyecciones de un punto dado sobre las generatrices de un conoide. Casos particulares.
(H. Brocard).

32. Un hilo de longitud d está fijo á un punto A de una circunferencia de radio a, y lleva en su otro extremo un peso M que lo tiende. El hilo pasa por un pequeño anillo B que se mueve á lo largo de la circunferencia OA. Hallar el lugar de los puntos M.
(H. Brocard)
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 31

33. Los centros de los triángulos equiláteros construidos, ya exterior, ya interiormente sobre los tres lados de un triángulo, son los vértices de un nuevo triángulo equilátero.

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

34. Sobre los tres lados de un triángulo ABC, se construyen exterior ó interiormente los triángulos equiláteros BA'C, CB'A, AC'B; además, sobre los tres lados del triángulo A'B'C' se construyen, exterioró interiormente, los triángulos equiláteros B'A'C', C'B'A', A'C'B'.

Demostrar que los puntos A, B, C son respectivamente los medios de las rectas A'A', B'B', C'C'.

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

35. Construir un triángulo, conociéndose los puntos que dividen (siguiendo el perímetro en el mismo sentido) sus tres lados en la razón de 1 á 2.

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

36. Construir un triángulo, dados los puntos que dividen (seguido el perímetro en el mismo sentido) los tres lados en media y extrema razón.

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

37. Sean A', B', C', D' los puntos que dividen los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrilátero en la razón de 1 á 2. Si se prolonga A'B' en una longitud B'M=A'B', y se traza enseguida la recta MF=2C'B', paralela á C'B' y dirigida en el mismo sentido, después NP igual y paralela á A'D' y dirigida en el mismo sentido, los puntos A, A', P estarán en línea recta, y el punto A' dividirá la recta AP en la relación de 1 á 5 (esta propiedad permite construir el cuadrilátero cuando se conocen los puntos A', B', C', D').

(N. C. M.) (H. Van Aubel).

38. Sobre la hipotenusa BC de un triángulo rectángulo ABC, ó en su prolongación se toma un punto cualquiera D. Demostrar la relación

\[
\overline{AB}^2 \cdot \overline{DC}' + \overline{AC}^2 \cdot \overline{DB}' = \overline{BC}^2 \cdot \overline{AD}'
\]

(N. C. M.) (H. Van Aubel).
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 32

39. Se da un círculo O de radio \( a \), un diámetro AOB y la perpendicular OD á OA. Se une un punto C de la circunferencia á los puntos A, B, después, desde el punto C, con CB por radio, se describe un arco de círculo que encuentra OD en dos puntos D, D'. Se unen BD, BD' que encuentran á AC en M y M'. Hallar el lugar de los puntos M y M'.

(H. Brocard).

40. Sean, A un punto de una circunferencia, BE un diámetro fijo, D el medio del arco AE, I la proyección de A sobre BD, M la intersección de BA con IE, P la proyección de M sobre BE.
Establecer la relación \( BP + BA = 2 BM \).
Discusión de la curva (M).

(H. Brocard).

41. Sean, O un círculo tangente en A y C á dos rectas rectangulares AF, CF, AODE, COBH los dos diámetros correspondientes, AB una secante, BD la perpendicular á AB.
Se pide el lugar geométrico del punto M de intersección de AB con CD. Deducir también, ya el cuadrado, ya la raíz cuadrada de la tangente de otro ángulo.

(H. Brocard).

42. Sobre los lados AB, BC, CA de un triángulo se toman tres puntos variables M, N, P, tales, que se tenga

\[
AB \cdot AM = BC \cdot BN = CA \cdot CP.
\]

Estudiar la variación del triángulo MNP.

(J. Neuberg).

43. Supóngase las cónicas circunscritas á un triángulo dado ABC que encuentran á una recta en dos puntos dados P, Q que dividen armónicamente un segmento fijo MN de esta recta.
Demostrar que estas curvas pasan por un cuarto punto fijo D y que las tangentes en los puntos P, Q envuelven una curva de la tercera clase.

(J. Neuberg).
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 4

raíces, la variación que sufre el argumento es igual á \(2\pi\) multiplicado por el número de raíces comprendidas dentro del contorno descrito por la variable. Este teorema queda evidentemente demostrado, sabiendo que si la variable describe una curva cerrada que contenga una raíz, el argumento de la función altera en \(2\pi\).

11.—INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES MONODROMAS.

Cuando la variable \(z\) de una función \(u = f(z)\) recorre una cierta línea \(L\) dividida en los arcos parciales \(z_0, z_1, z_2, \ldots, z_n\); los cuales contienen respectivamente los puntos \(\xi_0, \xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\), basta tomar el límite de la suma \(\Sigma (z_k - z_{k-1}) / (\xi_{k-1})\) para tener la integral definida de la función \(f(z)\).

Esta integral suele escribirse bajo la forma siguiente:

\[
\int_L f(z) \, dz.
\]

Hay que advertir que esta integral es una generalización de las integrales definidas correspondientes á la variable real, pues en éstas, por ser la línea de integración una línea recta situada en uno de los ejes, basta fijar sus extremos para determinarla.

En muchos casos conviene referir la integral \(\int_L f(z) \, dz\) á otras de variable real, para lo que debe atenderse al desarrollo siguiente:

Sea \[ z = x + y i \] \[ f(z) = P + Q i \]
luego: \[ \int_L f(z) \, dz = \lim \sum f(z) \Delta z = \lim \sum (P + Q i)(\Delta x + i \Delta y) = \]
\[ \lim \sum \left[ \left( P - Q \frac{\Delta y}{\Delta x} \right) \Delta x + i \left( P \frac{\Delta y}{\Delta x} + Q \right) \Delta x \right] \]

Considerando \(y\) y \(\left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)\) funciones de \(x\) siendo \(y(x, y) = o\) la ecuación de la línea de integración, y \(\left( \frac{d u}{d x} \right)\) el límite de \(\left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)\), podremos escribir

\[
\int_L f(z) \, dz = \int_{x_o}^X \left( P - Q \frac{d y}{d x} \right) d x + i \int_{x_o}^X \left( Q + P \frac{d y}{d x} \right) d x.
\]

En esta expresión \(x_o\) y \(X\) representan los valores en las extremidades del camino \(L\).
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 5

También podrían darse \( x \) é \( y \) en función de una misma variable \( t \), resultando los límites de la nueva integral dependientes de esta última variable; así pues

\[
\int_{t_0}^T f(z) \left( \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} i \right) dt.
\]

Aun podría representarse la integral anterior por

\[
\int_z^Z f(z) \, dz,
\]

forma indeterminada, si no se indican las relaciones que enlazan \( x \) é \( y \) entre sí.

(Se continuará).

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

(CONTINUACIÓN) (1)

La segunda de las notas anteriormente citadas de M. Lemoine contiene también varias proposiciones fundamentales de la Geometría del triángulo.

Enuncia primeramente que, si por un punto \( P \) del plano de un triángulo ABC se traza una recta que corta á CA en K, CB en H y después se trazan las rectas AH, BK, el lugar de la intersección M de las rectas, cuando KH gira alrededor de P, es una cónica circunscrita al triángulo ABC, y que para cierto punto (2) \( P_c \) del plano, esta cónica se reduce al círculo circunscrito, existiendo otros dos puntos \( P_a, P_b \) para los que el lugar del punto M es el círculo circunscrito á ABC. Además, las tres rectas AP_a, BP_b, CP_c se cortan en el centro \( \omega \) de la medianas antiparalelas del triángulo ABC, y si A\( \omega \) y AP_c cortan á BC respectivamente en A' y A", estos dos puntos son conjugados armónicos de B y C (3).

(1) El último teorema enunciado en la página 228 debe leerse así: El punto medio de la recta KO (lám. III, fig. 6.a) que une el punto de Lemoine con el centro del círculo circunscrito, es el centro del círculo que pasa por los puntos DD'EE'FF'.

(2) Este punto es aquél para el cual \( x^2 + y^2 - z^2 \) es un mínimo, y entonces el punto \( P_c \) es el polo de AB con relación al círculo ABC.

(3) Los puntos A', B', C' de la fig. 3.a (lám. III) son los puntos \( P_a, P_b, P_c \) en cuestión y el punto K el punto \( \omega \).
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 6

Otra propiedad enuncia á continuación M. Lemoine del centro de las medianas antiparalelas (hoy llamado punto de Lemoine, según ya se indicó): y para ello considera todos los rectángulos inscritos en un triángulo ABC, cuyo uno de los lados BC se halla en el lado BC del mismo, observando que el lugar del centro de estos rectángulos es la recta que une el punto medio de BC al punto medio de la altura correspondiente á BC(1); y considerando los tres sistemas de rectángulos, añade que: las tres rectas que en un triángulo unen el punto medio de un lado al punto medio de la altura correspondiente, se cortan en el mismo punto ω, centro de las medianas antiparalelas de dicho triángulo.

Considera enseguida la cónica inscrita en un triángulo que tiene por centro ó por foco dicho punto ω, la cual, en el primer caso, es tangente á los lados en los pies de las alturas, y en el segundo, tiene también por foco el centro de gravedad del triángulo, añadiendo que este último teorema puede enunciarse de otro modo, diciendo que:
En un triángulo ABC la mediana y la mediana antiparalela que pasan por el mismo vértice A, son simétricas con relación á la bisectriz del ángulo A.

Da las expresiones

\[
\frac{4}{3} \frac{S^2}{a^2 + b^2 + c^2}, \quad \frac{l_a l_b l_c}{l_a^2 + l_b^2 + l_c^2}
\]

del cuadrado del semi-eje menor inscrito al triángulo ABC, cuyo uno de los focos es el centro de las medianas antiparalelas y del semi-eje mayor.

Siguen á estas las proposiciones:

«IV. Si por los vértices de un triángulo ABC se trazan tangentes al círculo circunscrito á este triángulo, se forma con las tangentes un triángulo A'B'C' tal, que las rectas AA', BB', CC' se cortan en el centro de las medianas antiparalelas del triángulo ABC (2).

(1) Por medio de la figura adjunta hacemos ver cómo cada rectángulo abcd, a'b'c'd' inscrito en el triángulo tiene el punto medio de su diagonal, en la diagonal PM de un rectángulo auxiliar correspondiente. (Z. G. de G.)
(2) Véase la figura 3.ª (lám. III).
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 7

V.—1.º Si se toman CB y CA por ejes de las x y de la y, las coordenadas del centro de las medianas antiparalelas del triángulo ABC son:

\[
x = \frac{a b^2}{a^2 + b^2 + c^2}, \qquad y = \frac{a^2 b}{a^2 + b^2 + c^2}
\] (1)

2.º Lo que muestra que las distancias de este punto á los tres lados son proporcionales á estos lados.

En fin, la Nota de M. Lemoine termina con el enunciado de las siguientes propiedades del centro de las medianas antiparalelas: que sus coordenadas son sen A, sen B, sen C; que si desde dicho punto se trazan perpendiculares á BC, AC, AB, cuyos pies son respectivamente A₁, B₁, C₁, el punto ω es el centro de gravedad del triángulo A₁B₁C₁; y que, el lugar de los puntos tales, que la suma de los cuadrados de sus distancias á los tres lados del triángulo sea constante, es una elipse cuyo centro es el centro de las medianas antiparalelas de dicho triángulo.

Antes de insistir en los escritos de M. Lemoine en los que ha continuado sus investigaciones sobre la Geometría del triángulo, corresponde en el orden cronológico, tratar de las investigaciones que, independientemente de las de M. Lemoine, condujeron á M. Brocard á enriquecer el naciente desenvolvimiento geométrico con nuevos elementos que posteriormente enlazados con los anteriores han formado el núcleo sobre que hoy se ha acrecentado la rama geométrica, objeto del presente artículo.

Las primeras investigaciones sistemáticas de M. H. Brocard sobre la Geometría del triángulo se publicaron en el tomo III (1877) de la N. Corresp. mathém. editada en Bruselas por M. E. Catalán, que se fundió en 1881 en el nuevo periódico Mathesis, hoy dirigido por MM. Mansion y Neuberg.

(1) Es fácil ver que las fórmulas expuestas en la página 78 de este periódico son las de M. Lemoine, pues trazando por K las perpendiculares KE, KG á AC, BC y las paralelas KH y KF á estos mismos lados, la abscisa KF y la ordenada KH son iguales á \( \frac{KE}{\operatorname{sen} C} \) y \( \frac{KG}{\operatorname{sen} C} \), y por ejemplo:

\[
KG = \frac{2 S a}{a^2 + b^2 + c^2}, \quad KH = \frac{1}{\operatorname{sen} C}
\]

\[
\frac{a \cdot ab \operatorname{sen} C}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2 b}{a^2 + b^2 + c^2}, \text{ etc.}
\]

Z. G. de G.
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 8

Anteriormente á esta época, M. Brocard se había limitado á proponer en N. A. M: como resumen de sus propias investigaciones, la cuestión siguiente: (2) t. XIV, 1875 (Abril) p. 192, n.º 1166: Hallar en el interior de un triángulo rectilíneo ABC un punto O tal, que los ángulos OAB, OBC, OCA sean iguales.

La cuestión resuelta por M. Chadu se publicó en el número de Junio 1875, p. 286; pero de las varias soluciones dirigidas á la Redacción, en ninguna se citaba la relación

\[
cot \omega = cot A + cot B + cot C,
\]

habiéndose preferido por la Redacción publicar la solución que daba el ángulo buscado bajo la forma

\[
tg \omega = \frac{4 S}{a^2 + b^2 + c^2}
\]

lo que disminuyó por entonces el interés de la cuestión, que más adelante puso de manifiesto M. Brocard, volviendo á insistir en la misma de la manera siguiente:

Supóngase circunscrito á un triángulo ABC otro semejante A'B'C'.

Los vértices A', B', C' describen circunferencias, ó bien, los arcos de los segmentos descritos sobre los lados a, b, c, y capaces de los ángulos π—B ó π—C, π—C ó π—A, π—A ó π—B.

Estas circunferencias se cortan en dos puntos Ω, Ω' situados el interior del triángulo ABC (1).

El ángulo ω (ó x) que define la posición del punto Ω está dado por la ecuación (2).

\[
sen (A-\omega) sen (B-\omega) sen (C-\omega) = sen^3 \omega,
\]
[1]

que, haciendo \( cot \omega = V \), se reduce á

\[
V^3 sen A sen B sen C
- V^2 cos A cos B cos C (tg A tg B + tg B tg C + tg A tg C)
+ V sen A sen B sen C - (1 + cos A cos B cos C) = 0,
\]
[2]

deduciéndose de ésta las identidades

\[
sen^2 A + sen B sen C cos A = sen^2 B + sen C sen A cos B =
sen^2 C + sen A sen B cos C,
\]

(1) Véase la pág. 79 de este periódico.
(2) Id. página 79.
El Progreso matemático (1891-11-20 00:00:00), página 9

ó también

\[
sen^2 \Lambda + sen B \ sen C \ cos \Lambda = \frac{sen^3 \Lambda \ cos C - sen^3 C \ cos \Lambda}{sen (\Lambda - C)}
\]

ya indicadas por el autor (N. C. M. 1876, questions 130 et 131).

Dividiendo la ecuación [2] por \( sen \Lambda \ sen B \ sen C \), se hace visible el factor \( 1 + V^2 \), y queda

\[
cot \omega = cot \Lambda + cot B + cot C
\]

Todas estas fórmulas son el origen de una multitud de identidades trigonométricas, expuestas la mayor parte en la trigonometría del abate M. E. Gelin (1888).

La ecuación [1] puede escribirse todavía así:

\[
sen^2 B \ sen (\Lambda - \omega) \ sen (C - \omega) = sen^2 \omega \ sen \Lambda \ sen C \tag{3}
\]

ó \( V^2 sen \Lambda \ sen C \ sen^2 B - V \ sen^3 B - cos B (1 + cos \Lambda \ cos B \ cos C) = 0 \),

ó por comparación con la ecuación [1]

\[
\frac{sen \omega}{sen \Lambda \ sen C} = \frac{sen (B - \omega)}{sen^2 B}
\]

de la que resulta

\[
cot \omega = \frac{1 + cos \Lambda \ cos B \ cos C}{sen \Lambda \ sen B \ sen C}
\]

Siendo simétrica en A, B, C la expresión de \( cot \omega \), se deduce que es la misma para el punto \( \Omega' \), y que las rectas \( A \Omega, A \Omega' \), por ejemplo, son simétricas con relación á la bisectriz del ángulo A.

La propiedad de los puntos \( \Omega, \Omega' \), de hallarse en la intersección común de 6 segmentos, decidió á M. Brocard á designarlos con el nombre de puntos segmentarios, denominación que, adoptada al principio en Alemania, fué abandonada en 1881, desde que M. J. Neuberg hizo prevalecer la de puntos de Brocard.

La determinación gráfica de estos puntos se simplifica por medio de la siguiente observación:
Si los lados del triángulo \( A', B', C' \) forman con los del triángulo ABC el ángulo \( \theta \), la relación de semejanza es

\[
\frac{sen^2 A \ sen \theta + sen B \ sen C \ sen (A + \theta)}{sen A \ sen B \ sen C}
\]
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOBRE LA DESCOMPOSICIÓN
DE LAS
FUNCIONES ELÍPTICAS SIN \( u \), EN \( u \), DN \( u \) EN SERIE DE FRACCIONES SIMPLES
POR F. GOMES TEIXEIRA

1. Se sabe que cuando se toma por punto de partida de la teoría de las funciones elípticas la integral
\[
u = \int_z^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{4x^3 - g_2 x - g_3}}
\]
nos vemos conducidos á considerar una función, estudiada por vez primera por Weierstrass que la representó mediante la notación \( p(u) \), la cual resulta de la inversión de la integral precedente.

La función \( p(u) \) es susceptible de un desarrollo en serie de fracciones simples por medio de la fórmula
\[
p(u) = \frac{1}{u^2} + \sum_a \left[ \frac{1}{(u-a)^2} - \frac{1}{a^2} \right],
\]
en la que \( a \) representa los valores que resultan de sustituir en la cantidad
\[
2n \omega_1 + 2m \omega_2
\]
\[
n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .
\]
excluyendo la combinación \( n = 0, m = 0 \), y en la que \( 2\omega_1 \) y \( 2\omega_2 \) representan los períodos de la función \( p(u) \).

Se sabe también que esta igualdad puede servir de base á una teoría de las funciones elípticas. En un artículo nuestro, publicado en el Bulletin des Sciences mathématiques, hacemos ver como de esta fórmula se obtienen con facilidad las propiedades de la función \( p(u) \).
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 10

l'ellipse, déterminera d'après une construction bien connue, l'extrémité de l'arc BP, déterminé par cette valeur de \( \varphi \); d'ailleurs son symétrique P' déterminera un arc B'P' égal à BP. En sorte que si nous doublons \( \varphi \), comme \( \omega = 2\varphi \), le rayon vecteur correspondant du limaçon passera en un point R de cette courbe, tel qu'on pourra constamment écrire

\[
\text{arc limaçon CR} = (\text{arc BP} + \text{arc B'P'}) \text{ ou } 2 \text{ arc BP}.
\]

Il est facile de suivre sur les 2 courbes les mouvements corrélatifs de 2 mobiles dont les trajectoires satisferont constamment à l'égalité ci-dessus; on voit ainsi en particulier que tandis que le mobile de l'ellipse parcourt BPA'B', celui du limaçon décrit le limaçon entier.

Remarques-Lorsque l'arc GRG' est décrit, \( \omega = \frac{\pi}{4} \) et conséquemment \( \varphi = \frac{\pi}{4} \); donc

\[
\text{arc GRG'} = \text{arc BP}_1 + \text{arc B'P'}_1.
\]

et par suite

\[
\text{arc G'B'} = \text{arc P}_1A'P'_1,
\]

Si en particulier le limaçon considéré est parabolique, comme l'ellipse isopérimétrique se réduit au double de son grand axe, et que la construction s'applique encore dans ce cas limite on voit que

\[
\text{arc CRG'} = 2OQ_1 = 2p \cos 45 = 2p \sqrt{2}.
\]

et

\[
\text{arc G'B'} = 2p (2 - \sqrt{2})
\]

Remarquons enfin que si deux limaçons, elliptique et hyperbolique ont été déduits l'un de l'autre par échange de paramètres, le même rayon vecteur détermine constamment sur chacun d'eux l'extrémité d'arcs égaux. Beaucoup de points intéressants pourraient encore être relevés; mais le lecteur suppléera aisément à notre silence.
El Progreso matemático (1892-03-15 00:00:00), página 11

TEOREMAS, PROBLEMAS

Y

MÉTODOS GEOMÉTRICOS

I

INTRODUCCIÓN

En la Geometría hay que distinguir desde luego dos cosas: el objeto y el sujeto.

El objeto existe necesariamente en un fondo ilimitado y continuo que es el espacio. Todos los puntos que la Geometría estudia, ya aisladamente, ya en sistemas que constituyen las líneas, las superficies, ó, en general, las formas geométricas, existen independientemente de la inteligencia que de ellas ha de tener conocimiento; y las leyes á que se hallan sujetas y que constituyen su esencia, son necesarias é inmutables.

Pero estas figuras y sus condiciones de existencia quedarían perdidas en el fondo del espacio como en una especie de caos, si el sujeto, ó la inteligencia humana no las hiciese brotar del mismo, dándoles la determinación que les corresponde según su naturaleza individual.

De esta acción del sujeto sobre el objeto surge el organismo de la ciencia geométrica, organismo invariable en cuanto á la materia ó objeto, pero susceptible de infinidad de formas. Estas formas del organismo sufren una alteración ó perfeccionamiento sucesivo, por efecto del mayor conocimiento del objeto que resulta de facilidades cada vez mayores en el sujeto para generalizar los resultados obtenidos en épocas anteriores, para incluir unas leyes en otras superiores,