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que \( 0 \leq ab \) y \( a + b \leq 1 \), siguiendo el tecnicismo empleado por Boole.

También citaremos el teorema (6) expuesto en doble columna por el Sr. Schröder, según la manera de exposición adoptada en toda la obra:

\[
\begin{array}{ll}
6_x) & ab \leq a, \ ab \leq b \\
& || \quad 6_+ ) \quad a \leq a + b, \ b \leq a \times b,
\end{array}
\]

cuya demostración depende del principio I y de la definición (3), y que corresponde á las identidades parciales de Jevons (1).

Al establecer los postulados referentes á la significación de 0, 1, ab, \( a + b \) como dominios, ofrece representaciones gráficas para aquellos dos extremos de valores existentes entre los dominios concebibles de la variedad, fuera de los cuales es imposible el suponerse ninguna clase de variedad, y también, tanto para los dominios que contienen puntos comunes, á otros dos dados, como los que contienen los puntos pertenecientes ya al uno, ya al otro de éstos.

Trata en seguida de la traducción al lenguaje ordinario de las operaciones idénticas aplicables á las clases.

La multiplicación idéntica se reduce á la separación ó selección, la adición idéntica á reunión ó colección; la primera separa de una clase dada individuos que pertenecen á otra clase, la segunda reúne dos clases supuestas en otra que contenga simultáneamente los individuos de ambas.

En cuanto al producto idéntico \( ab \), si las clases \( a \) y \( b \) están designadas con nombres sustantivos, aquél se designará mediante una palabra formada por la unión de éstos, ó también uno de los factores del producto se representará con un sustantivo y el otro con un adjetivo. Ejemplos: esclavo negro, caballo blanco.

También se emplea, con el mismo objeto, un pronombre relativo. Así, \( ab \) significa "las a que son b."

Esto conduce á la determinación que disminuye la extensión de los conceptos y aumenta su comprensión, efectuándose esta determinación de las clases por medio de cada factor. Así, en el producto \( bc \), por ejemplo, el factor \( b \) produce una determinación de \( c \).

La distinción entre las conjunciones copulativa y disyuntiva es capital en esta teoría después de tratar de la conjunción, y, correspondiente á la multiplicación, se ocupa de la disyuntiva, o, adecuada al concepto de la adición, y la analiza en sus varias acepciones, ya como significando "esto es", ya en su acepción exclusivamente disyuntiva "ó sino," (oder aber), ya en su acepción inclusiva ó conjuntiva "ó tam-

(1) The principles of Science, págs. 40-41.
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bién (oder auch), debiéndose expresar la suma idéntica mediante la locución en este último sentido, cuando se halla como sujeto. En fin, la partícula, y, tiene un significado absolutamente distinto en el sujeto y en el predicado.

Para discutir las consecuencias que resultan de agregar una clase nula, parte el Sr. Schröder de la proposición (6x) expresada por ab ' a, para examinar el caso ab = 0.

La proposición: Todos los triángulos rectángulos equiláteros son equiláteros, que corresponde al caso general (6x), cuando se trata de triángulos esféricos, corresponde al caso ab = 0, cuando los triángulos son rectilíneos, no existiendo ningún individuo en la clase representada.

La nada es sujeto de todo predicado, hallándose la clase nula contenida en toda clase. El caso a = 0 es el en que la clase no contiene ningún individuo, y la expresión a ' b deberá traducirse: "ó no existe a, ó si existe, todo a es b."

Trata también el Sr. Schröder del juicio correspondiente á a ' 1, que puede expresar, por ejemplo, "oro es algo," "cosa negra es algo, etc.;" representando el pronombre "algo., (etwas) la clase que comprende en sí todo lo imaginable, clase designada por Boole con el 1 y por Peirce con \( \infty \).

Después de demostrar que las leyes conmutativa y asociativa se aplican al cálculo idéntico, establece relaciones fundamentales y exclusivas de este cálculo, como son que: aa = a y a + a = a ó, en general,

\[
aaa \ldots = a \qquad || \qquad a + a + a + \ldots = a
\]
de manera que
\[
abcabdaedc \qquad a + b + c + a + a + b + d + a + e + d + c
\]
se reducen á abcd y á a + b + c + d.

Así, por ejemplo: hombre y hombre es hombre, oro ú oro es oro.
También si \( a = b, ac = bc \) y \( a + c = b + c \).
Si \( a ' b \) y \( a' ' b', aa' ' bb' y \( a + a' ' b + b' \)

Cualquiera de las igualdades \( a = ab, a = a + b \) es una perifrasis de la relación \( a ' b \).

En fin, como en las operaciones aritméticas análogas,

\[
a. 1 = a, \ a. 0 = 0, \ a + 0 = a,
\]

y además \( a + 1 = 1 \), siendo 1 y 0 los módulos respectivos de la multiplicación y la adición.
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El teorema 23, á saber:

23x) Se tiene que \( a(a + b) = a \) || 23+) \( a + ab = a \)

conduce á la ley de absorción que permite la simplificación de las expresiones.

Así; \( ab(a + b), a + b + c + ab + ac + bc \times abc \)
se reducen á \( ab \) y \( a + b + c \).

El teorema

25x) \( ab + ac \leq a(b + c) \) || 25+) \( a + bc \leq (a + b)(a + c) \)

expresa la ley distributiva.

La multiplicación, la adición y la negación se consideran en el Algebra de la lógica como tres especies del cálculo idéntico. Con objeto de esclarecer el concepto de negación, antepone el siguiente teorema fundamental:

Si \( ab = 0 \) y \( a + b = 1 \), al mismo tiempo que \( ac = 0 \) y \( a + c = 0 \), resultará \( b = c \).

Para expresar la negación adopta el sub-índice 1, aplicado á la letra que designa el objeto de que se trata, y la define diciendo:

Negación de un dominio \( a \) es cierto dominio \( a_1 \), relacionado con el primero de manera que

\[
aa_1 \leq 0 \text{ y } 1 \leq a + 0,
\]

Pero, además, como \( 0 \leq aa_1 \) y \( a + a_1 \leq 1 \), según el teorema (5); en virtud de la definición (1) (es decir, por ser recíprocas dichas relaciones resulta el teorema:

30x) \( aa_1 = 0 \) || 30+) \( a + a_1 = 1 \)

Así pues; negación de un dominio es cierto dominio que con aquél es disyuntivo y suplementario.

También se obtiene como consecuencia inmediata que: \( 0_1 = 1 \) y \( 1_1 = 0 \), de manera que la negación del 0 es 1, é inversamente.

Consecuencia del último teorema es que:

Un producto se anula, cuando entre los factores hay algunos que son la negación de otros.

Si se hallan en una suma términos que son la negación de otros, la suma tiene el valor 1.

abc, ab_1, cd_1 = 0 || a + b + c_1 + a + c + d_1 + 1.
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El teorema (31), \( (a_1)_1 = a \), indica que: la negación de la negación de un dominio es este mismo dominio, pues siendo, según el teorema (30)

\[
a_1 \cdot a = 0,\quad a_1 + a = 1,\quad a_1 \cdot (a_1)_1 = 0,\quad a_1 + (a_1)_1 = 1,
\]

resulta, según la proposición fundamental (29), que \( a = (a_1)_1 \).

Es digna de citarse la notable relación

\[
1 = ab + ab_1 + a_1 b + a_1 b_1,
\]

cuya demostración se obtiene con el siguiente desarrollo:

\[
1 = a + a_1 = a \cdot 1 + a_1, \quad 1 = a (b + b_1) + a_1 (b + b_1) = ab \\
+ ab_1 + a_1 b + a_1 b_1,
\]

y que representa el Sr. Schröder mediante una figura formada por dos circunferencias secantes \( a \) y \( b \) en las que señala la parte común \( a b \), etc., siendo \( a_1 b_1 \) la parte externa á ambas.

Después de tratar la teoría del dualismo, basada en la permutabilidad de los signos de la sub y supraordinación, el 0 y el 1 los signos \( \times \) y \( \rightarrow \), hace una exposición extensa acerca de los juicios negativos y limitativos, distinguiendo las dos formas

\[
(\beta)\quad A \text{ no es } \langle B, \qquad (\gamma)\quad A \text{ es } \langle \text{ no } B \langle
\]

Observa que \( \text{no } B \langle \) ó \( B_1 \), se ofrece como un dominio de la variedad á que pertenecen \( A \) y \( B \), pudiéndose sostener que: «El dominio \( A \) se halla contenido en el dominio \( -B \), es decir, en el dominio que queda cuando se prescinde de los elementos de \( B \), y solo de éstos.»

Examina las teorías de Lotze, Sigwart y Kant acerca del juicio limitativo de éste, y en general, sobre el concepto de negación, ocupándose además el Sr. Schröder de los juicios disyuntivos.

\( A \text{ es } B \) ó \( C \), \( A \text{ es } B \) ó \( A \text{ es } C \), ó también, \( A \text{ es } \langle B \) ó \( C \rangle \) siendo catégorico el juicio, en este caso, y correspondiéndole el predicado \( \text{B} \) ó \( \text{C} \).

Trata enseguida del significado de la negación de las clases, partiendo de las igualdades

\[
30_x) \quad a \bar{a} = 0,\quad 30_+) \quad a + \bar{a} = 1,\quad 31) \quad \bar{a} = a,
\]

de las que la última expresa la proposición: no-nada es algo.

La proposición (30_x) significa: no existe lo que al mismo tiempo es a
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y no es a, que es el principio de contradicción de la antigua lógica. La (304) indica que todo es a ó no — a.

Llega enseguida al problema de la clasificación, que debe ser completa, así como sus términos disyuntivos, excluyéndose mutuamente, de modo que su producto sea cero.

Como ejemplo, siendo a la especie por clasificar y b un género tal, que b ' a, ó b = ab, se puede hacer la división \( a = ab + ab_1 \); y si c es una división de ab, d una de \( ab_1 \), se tendrá

\[
ab = abc + abc_1, \quad ab_1 = ab_1 d + ab_1 d,
\]
y \( a = abc + abc_1 + ab_1 d + ab_1 d_1 \).

No se deben omitir al exponer esta teoría, siquiera los enunciados de los siguientes teoremas:

36.) \( (ab)_1 = a_1 + b_1 \) \hspace{2cm} \((a + b_1) = a_1 b_1\)

La negación de un producto es la suma de las negaciones de los factores.
Una suma de negaciones es la negación de sus productos.

La negación de una suma es el producto de las negaciones de los términos.
Un producto de negaciones es la negación de la suma.

37) Si a ' b también b_1 ' a_1 y recíprocamente.

Ejemplo: El oro es metal, por consiguiente, lo que no es metal no es oro. De manera que cuando una clase se halla contenida como sujeto en una clase predicado, la negación del predicado se halla contenida en la negación del sujeto.

Llega así el Sr. Schröder á la conversión por contraposición, demostrando que:

Si a ' b y al mismo tiempo a_1 ' b_1, resultará a = b

En fin entre los muchos teoremas, que aún pudieran citarse para dar idea del amplio desarrollo que da el Sr. Schröder á la doctrina del Algebra de la lógica en el primer tomo del que nos estamos ocupando, nos bastará añadir el siguiente:

38) La relación a ' b expresa lo mismo que cada una de estas

38.) ab_1 = 0 \hspace{2cm} 38.) a_1 + b = 1

De manera que, por ejemplo, de que todo oro es metal, resulta que no puede verificarse el que lo que es oro no sea al mismo tiempo
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metal, y toda sustancia concebible en la clase metal es, ó metal ó no oro.

Omitiendo el citar otros teoremas que siguen, indicaremos brevemente que la lección novena tiene por objeto diversas aplicaciones de la anterior doctrina, entre ellas la depuración del significado de las partículas y, ó y no en la descripción de las clases.

Así, por ejemplo, respecto á la partícula, ó, en su significado inclusivo, la suma idéntica

\[
a + b \text{ que } = ab_1 + ab + a_1 b,
\]

significa lo que es igual ya á a y no-b, ó b á y no-a, ó en fin, á a y b.

La proposición : Sales que no son coloreadas, son sales no orgánicas ó cuerpos orgánicos, se representará de la manera siguiente:

\[
ac_1 + ab_1 + bc_1
\]

ó según el teorema \(38_{<})\) por la igualdad

\[
ac_1 (ab_1 + bc_1) = 0, \text{ ó } ac_1 (a_1 + b) (b_1 + c) = 0.
\]

Hace referencia el Sr. Schröder en esta lección á varios resultados de Peirce, Jevons, Morgan, Venn, Grove, etc., de las que solo citaremos la siguiente conclusión de Jevons relativa al sorites:

Si

\[
a \cdot b, \quad b \cdot c, \quad c \cdot d, \quad d \cdot e \quad y \quad e \cdot u,
\]

resulta

\[
a = b = c = d = e
\]

Llega en la lección 10.a al punto culminante del cálculo, tratando de las funciones y de sus desarrollos, principiando por establecer que cada dominio y puede expresarse por otro dominio x y su negación \(x_1\) mediante la forma lineal y homogénea

\[
y = ax + b.x_1
\]

que hace evidente con auxilio de dos círculos x, y secantes en uno de los cuales, el y, las dos partes en que resulta dividido por un arco del otro, son \(a.x\) y \(b.x_1\).

Define después la función de x, ó en general, de x, y, z; etc., formadas por medio de las tres operaciones idénticas: multiplicación, adición y negación, distinguiendo los argumentos de los parámetros, los dominios variables y los constantes, pasando después á la representación simbólica de las funciones y á demostrar la relación

\[
f(x) = f(1).x + f(0).x_1
\]
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que es el desarrollo de la función por medio de sus constituyentes \( x \) y \( x_1 \), y su extensión á más variables, de modo que por ejemplo

\[
f(xyz) = f(1,1,1).xyz + f(1,1,0).xyz_1 + f(1,0,1).xy_1z + \ldots .
\]

La lección 11.a trata de las proposiciones especiales, generales, sintéticas y analíticas, de las relaciones y de las formas, ocupándose entre profundas consideraciones filosóficas de los sistemas de raíces de las proposiciones, ó valores que las satisfacen, de las proposiciones ciertas, falsas, absurdas, solubles, absolutamente falsas ó ciertas, etc., y, en fin, de la eliminación de \( x, y, ... \) en cada sistema de proposiciones.

Por ejemplo, la ecuación

\[
axy + bxy_1 + cx_1y + dx_1y_1 = 0
\]

ordenada respecto á \( x \) ó \( y \) es

\[
(a y + b y_1)x + (c y + d y_1) = 0,
\]
ó
\[
(a x + c x_1)y + (b x + d x_1)y_1 = 0,
\]

y eliminando, resulta, en fin, \( abcd = 0 \).

La lección 12.a está destinada á las operaciones inversas del cálculo, que ofrecen muy notables particularidades, las cuales exigirían entrar en extensas consideraciones.

En la lección 13 expone numerosas aplicaciones y problemas, ofreciendo una colección de cuestiones, entresacadas de los escritos debidos á los principales iniciadores y propagandistas de esta rama de la ciencia.

Después de indicar el Sr. Schröder su modificación del método de Boole en la lección 14.a y última del tomo 1.º, se ocupa, antes de entrar en más ámplios desarrollos que promete dar á conocer en el tomo 2.º, de la reforma del procedimiento de Jevons, hace referencia á las observaciones de Lotze en su Anmerkung über logischen Calcul y dá á conocer la modificación gráfica debida á Herr Venn, terminando con los métodos de Herr Mc Coll y Peirce.

No prolongaremos esta reseña, que no poco pudiera estenderse, con sólo pretender explanar la abundante doctrina expuesta por el Sr. Schröder en los Apéndices del 1.º tomo. En el 3.º extiende el concepto y las proposiciones acerca del producto y suma de dos términos al caso de ser éstos en mayor número. En el 4.º aplica el cálculo lógico á los grupos y á los algoritmos de ecuaciones funcionales, y
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termina con el importantísimo apéndice 6.º, destinado á la teoría de los grupos en el cálculo idéntico, seguida del problema geométrico-lógico-combinatorio de Jevons y Clifford.

Lo que acabamos de exponer acerca del 1.º tomo del Algebra de la lógica del Sr. Schröder es una breve reseña de lo mucho que se halla contenido en el tratado magistral destinado á la enseñanza de lo que hoy constituye una rama digna de ser estudiada por todo el que aspire á tener idea acabada del organismo de la ciencia matemática.

Z. G. de G.

IMPORTANCIA DE LAS FORMAS CONGÉNERES EN LA MATEMÁTICA
POR
D. LAURO CLARIANA Y RICART
Catedrático de la Universidad de Barcelona

Suponiendo sencillamente un polígono regular y el homotético cuyos lados disten una cantidad indefinidamente pequeña de los primeros, nos dará el área diferencial congénere del área total del polígono, considerando el área comprendida entre dichos dos polígonos, la cual, integrada entre los límites de la apotema, debe procurar el resultado apetecido.

En efecto, sean \( l \) y \( l' \) los lados respectivos de los dos polígonos; \( a \) su apotema: el área diferencial será

\[
\frac{nl + nl'}{2} da,
\]

representando \( n \) el número de lados de cada polígono. De un modo análogo al del triángulo podríamos transformar esta fórmula en la siguiente:

\[
\frac{nl + n(l - dl)}{2} da, \text{ de donde:}
\]

\[
\int_0^a nl \cdot da - \frac{n}{2} \int_0^l dl \int_0^a da = nla - \frac{nla}{2} = \frac{nl}{2} a,
\]

fórmula bien conocida del área de un polígono regular.
El Progreso matemático (1891-08-20 00:00:00), página 2

\[
\log \Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \left[ x \log \frac{2}{1} + x \log \frac{3}{2} + \ldots + x \log \frac{n}{n-1} \right. \\
\left. + \log \frac{1}{x} + \log \frac{1}{x+1} + \ldots + \log \frac{n}{x+n} \right].
\]

Temos porém:

\[
\log \frac{\beta}{\alpha} = \int_0^1 \frac{t^{\beta-1} - t^{\alpha-1}}{\log t} dt.
\]

Logo

\[
\log \Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \left| x \int_0^1 \frac{t-1}{\log t} dt + x \int_0^1 \frac{t-1}{\log t} dt + \ldots \right. \\
\left. + x \int_0^1 t^{n-2} \frac{t-1}{\log t} dt + \int_0^1 \frac{1-t^{x-1}}{\log t} dt + \int_0^1 \frac{1-t^x}{\log t} dt \right. \\
\left. + \int_0^1 t \frac{1-t^x}{\log t} dt + \ldots + \int_0^1 t^{n-1} \frac{1-t^x}{\log t} dt \right|
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \left| x \int_0^1 \frac{t-1}{\log t} (1+t+t^2+\ldots+t^{n-2}) dt + \int_0^1 \frac{1-t^{x-1}}{\log t} dt \right. \\
\left. + \int_0^1 \frac{1-t^x}{\log t} (1+t+\ldots+t^{n-1}) dt \right|
\]

Mas

\[
1+t+t^2+\ldots+t^{n-2} = \frac{1}{1-t} - \frac{t^{n-1}}{1-t},
\]
\[
1+t+t^2+\ldots+t^{n-1} = \frac{1}{1-t} - \frac{t^n}{1-t}.
\]

Será pois

\[
\log \Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \left| x \int_0^1 \frac{-1}{\log t} dt + \int_0^1 \frac{1-t^{x-1}}{\log t} dt + \int_0^1 \frac{1-t^x}{(1-t)\log t} dt \right. \\
\left. - x \int_0^1 \frac{(t-1)t^{n-1} dt}{(1-t)\log t} - \int_0^1 \frac{(1-t^x)t^n dt}{(1-t)\log t} \right|
\]
El Progreso matemático (1891-08-20 00:00:00), página 20

En el caso de ser un polígono cualquiera, podría descomponerse dicho polígono en triángulos, hallando luego los centros de simetría en cada uno de ellos, los cuales podríamos considerar ser los centros respectivos de las circunferencias inscritas á los mismos, como resultado de la intersección de las bisectrices, pues de este modo se tiene regularidad; por cuyo motivo podrían llamarse centros propios do homotecia, los cuales, combinándose luego entre sí por procedimientos análogos á los anteriores, sería posible alcanzar uno definitivo, como centro propio y único del polígono.

La existencia de un centro de figura, así como la constancia de valor asignable ó no sobre la perpendicular al elemento rectilíneo ó curvilíneo de la figura, simplifica las consideraciones de las formas congéneres, pues existe entonces regularidad en el sistema homotético que se desarrolla; en cambio la cuestión se complica si falta alguna de las consideraciones anteriores, pues en este caso es necesario averiguar las leyes que rigen á los diferentes centros homotéticos, á la par que las pertenecientes á la variabilidad de los radios vectores, á fin de enlazarlo todo con algo constante y uniforme.

Estas ligeras consideraciones resumen todo cuanto pudiéramos decir respecto á formas geométricas congéneres.

En el análisis cabe también llamar la atención respecto á formas congéneres.

Vamos á concretarnos ligeramente á los números incomensurables, por ser esta parte una de las más interesantes del análisis.

La asociación de los números incomensurables con los comensurables, no es la más propia, pues siendo el principio de éstos la discontinuidad, no procede tomar esta cantidad como la más atiné á la que debe considerarse dentro de la continuidad. Tanto es así, que con sorpresa desde tiempos antiguos, viése que algunos números incomensurables tenían su representación geométrica exacta, mientras que la aritmética no puede expresarlos sino de una manera aproximada.

Esto nos demuestra que la idea congénere al número incomensurable debe ser algo que se apoye en la ley de continuidad. Así, la raíz cuadrada de un número cualquiera puede representar la longitud de una recta que sale del origen, formando diferentes ángulos con el eje x y correspondientes á los límites o y t de esta variable en el concepto de que dicha recta sea la expresión de una integral, esto es, el límite de suma de elementos indefinidamente pequeños. De esta suerte se explica perfectamente cómo la diagonal de un cuadrado que tiene por lado la unidad, representa exactamente el valor de \( \sqrt{2} \).

En efecto, la longitud de una línea, se expresa por
El Progreso matemático (1891-08-20 00:00:00), página 21

\[
s = \int_0^1 dx \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dx} \right)^2}
\]

Ahora bien, si la línea es una recta que sale del origen, formando con el eje \( x \) un ángulo de \( 45^\circ \), tiene por ecuación \( y = x \) de donde

\[
\frac{dy}{dx} = 1 ; \text{ luego } s = 1) = \int_0^1 dx \sqrt{2} = \sqrt{2}
\]

en el supuesto de representar \( D \) la diagonal del cuadrado que tiene por lado la unidad.

Creamos suficientes estos ligeros apuntes para dar á comprender la utilidad del estudio de las formas congénereces, esperando que otros mejor que nosotros sabrán realizar nuevas investigaciones acerca del mismo punto, á fin de aportar nuevos materiales al vasto campo de la ciencia matemática.

VARIEDADES

ADVERTENCIA IMPORTANTE

Hasta el momento actual El Progreso Matemático ha tenido como uno de sus principales objetos las resúmenes bibliográficos, con las cuales fácilmente llega al lector la noticia de las obras más notables y que ofrecen nuevos asuntos dignos de ser conocidos por el que sigue el desenvolvimiento siempre creciente de la ciencia matemática. Estos artículos exponen en forma abreviada las ideas culminantes sobre que cada autor aplica sus investigaciones, facilitándose de este modo que luego el lector pueda, para mayores detalles y más exacto conocimiento, acudir directamente á los trabajos originales.

Sin abandonar estos propósitos, que ponen al corriente de lo que hoy constituye la literatura matemática, cuyo conocimiento en España se impone de una manera necesaria, también es de suma importancia no descuidar otros puntos de vista. Uno de estos es el que originan las cuestiones por resolver, que generalmente forma una sección en las publicaciones periódicas, como aliciente que ponga en juego la actividad de los lectores, aumentando así el interés hacia las