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El Progreso matemático (1892-01-15 00:00:00), página 3

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

A NUESTROS LECTORES

Hace un año nos propusimos fundar un periódico que, destinado exclusivamente á la ciencia matemática, fuera un eco fiel, un transmisor de los descubrimientos más recientes, de las teorías más notables, tanto de las que tienen su origen y desarrollo en la época actual, como de otras de antigüedad más ó menos remota, pero cuyas ideas ó principios generadores se enlazan con los modernos, ó bien por sí constituyen el núcleo sobre que se ha acrecentado el admirable organismo de esta ciencia, cuyos progresos hoy dan la medida del grado de cultura y poder de las naciones, siendo como el barómetro que señala el nivel intelectual de las mismas, la presión que cada una determina en la combinación de energías que producen las resultantes de la vida social contemporánea.

La realización de nuestro propósito ofrecía serias dificultades. Por un fenómeno cuya explicación no es de este lugar, nos encontramos actualmente en España, que tuvo sus épocas de iniciativas y éxitos brillantes merced á sus preclaros ingenios, con un acentuado indiferentismo por cierto género de estudios e investigaciones que se imponen en la vida intelectual moderna; y uno de estos ha sido la Matemática, habiéndonos limitado á seguir, en medio de cierta pasividad, aquéllo más indispensable, de más inmediatas aplicaciones para nuestras necesidades del momento, sin comprender, que sobre lo inmediatamente útil se encuentra á una considerable altura, lo ideal que forma como un ambiente donde se desarrollan nuevas energías, fuentes de muchísimas otras aplicaciones, no siempre inmediatas, pero que encierran en estado potencial inmensidad de efectos útiles para el porvenir.

Apesar de este indiferentismo con que nos proponíamos luchar, y que sabíamos había de ser una rémora para la realización de nues-
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los conceptos y signos de cosas, de las operaciones de poner, separar ó abstraer y quitar, de la operación de comparar, de los principios necesarios, de las condiciones de determinación de una cosa, de los grupos de objetos, su orden, su sucesión ó serie, del grupo ordenado, de la operación de unir y de los principios de esta operación. De la operación de descomponer, de la serie limitada de primera especie y de la serie de serie.

El capítulo II trata de la primera propiedad de las formas matemáticas abstractas, principiando por dar á conocer los caracteres de las formas ó magnitudes matemáticas abstractas y concretas, designando por formas ó magnitudes matemáticas abstractas las cosas cuyas características (contrassegni) (1) son todo, parte, orden y modo de posición ó que pueden compararse por medio de estas características, siendo formas matemáticas concretas las que corresponden á un objeto real existente fuera de la inteligencia.

Son objeto de los artículos siguientes: las series limitada é ilimitada—la ley asociativa de un grupo ordenado—La correspondencia unívoca entre varios grupos, es decir, aquélla en que á todo elemento A del primer grupo corresponde un solo elemento A' del segundo y á todo elemento A' de éste corresponde el mismo elemento A del primero y éste sólo, distinguiendo los casos en que esta correspondencia sea en el mismo orden ó en orden inverso.

(Se concluirá)

SOLUCIONES Á LAS CUESTIONES PROPUESTAS

Cuestión n.º 38 (véase t. I, pág. 295).

Sobre la hipotenusa BC de un triángulo rectángulo ABC; ó en su prolongación, se toma un punto cualquiera D. Demostrar la relación

\[
\overline{AB}^2 \cdot \overline{DC}^2 + \overline{AC}^2 \cdot \overline{DB}^2 = \overline{BC}^2 \cdot \overline{AD}^2
\]

(N. C. M.) (H. Van Aubel).
Solución por D. Angel Bozal, alumno de la Universidad de Zaragoza (1).

(1) El Sr. Veronese define el contrassego de una cosa (que hemos traducido con la palabra característica) aquéllo por lo que podemos compararla con otra.
(2) También se nos han remitido por el mismo las soluciones á las cuestiones 25, 28, 33 y 34, que publicaremos en el número próximo. (Z. G. de G.).
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Dos casos hay que distinguir en la demostración de la citada relación, según que el punto arbitrario D esté en la hipotenusa misma BC, ó en su prolongación.

Primer caso: Consideremos el punto D en la hipotenusa, y por ese punto trácese la recta DE paralela á AB; entonces, por la proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes que así resultan, se tiene

\[
\frac{\overline{DC}^2}{\overline{BC}^2} = \frac{\overline{DE}^2}{\overline{AB}^2} \quad \text{y} \quad \frac{\overline{AC}^2}{\overline{AE}^2} = \frac{\overline{BC}^2}{\overline{BD}^2}
\]

de las cuales se deduce;

\[
\overline{DC}^2 \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 \overline{DE}^2, \quad \overline{AC}^2 \overline{BD}^2 = \overline{AE}^3 \overline{BC}^2,
\]

las que sumadas ordenadamente, dan lugar á la siguiente:

\[
\overline{AB}^2 \overline{DC}^2 + \overline{AC}^2 \overline{BD}^2 = \overline{BC}^2 (\overline{DE}^2 + \overline{AE}^2) \tag{z}
\]

Pero trazando la recta AD, se vé que también es cierta esta otra:

\[
\overline{DE}^2 + \overline{AE}^2 = \overline{AD}^2,
\]

cuyo valor sustituido en el segundo miembro de la ecuación (z) nos dá:

\[
\overline{AB}^2 \overline{DC}^2 + \overline{AC}^2 \overline{BD}^2 = \overline{BC}^2 \overline{AD}^2
\]

que es la relación que se trataba de demostrar.

Segundo caso: Sea el punto D en la prolongación de la hipotenusa, y tracemos por él la recta DE paralela á BA; entonces se tiene:

\[
\frac{\overline{DC}^2}{\overline{BC}^2} = \frac{\overline{DE}^2}{\overline{AB}^2} \quad \text{y} \quad \frac{\overline{AC}^2}{\overline{AE}^2} = \frac{\overline{BC}^2}{\overline{BD}^2},
\]

de las cuales se deduce

\[
\overline{DC}^2 \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 \overline{DE}^2, \quad \overline{AC}^2 \overline{AB}^2 = \overline{AE}^2 \overline{BC}^2, \text{ etc.}
\]

Cuestiones propuestas

44. En cada punto P de una cónica se traza un diámetro y la normal PA. Hallar la intersección M de este diámetro y de la tangente en el otro extremo A de la cuerda normal.

(N. C. M.) (H. Brocard).

45. Tres rectas trazadas desde los tres vértices de un triángulo determinan sobre los lados opuestos seis segmentos tales, que la di-
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ferencia entre el producto de tres segmentos no consecutivos y el producto de los otros tres es

\[
\frac{abc}{a'b'c'} \left( \frac{\Delta'}{\Delta} \right)^2 l m n.
\]

En esta expresión, \( \Delta, a, b, c \) designan el área y los lados del triángulo dado; \( \Delta', a', b', c' \) el área y los lados del triángulo formado por las tres rectas; \( l, m, n \), los segmentos de estas rectas comprendidos entre los vértices y los lados del primer triángulo.

(N. C. M.) (E. Cesáro).

46. Dada una perpendicular PQ al diámetro AB de una circunferencia y M un punto cualquiera de esta perpendicular.
1.º Demostrar que PQ es bisectriz del ángulo CPD.
2.º Determinar la posición de M con la condición de que CP haya de ser paralela á MB (se supone á P situado entre A y B).
3.º Caso en que P se halle en la prolongación de AB. (J. J. Durán Loriga).

47. Sean a una de las alturas iguales de un triángulo isósceles, \( l, l_1 \) los dos segmentos aditivos ó sustractivos en que la perpendicular considerada divide al lado correspondiente (siendo \( l \) el contado á partir de la base); demostrar que se verifica la relación

\[
l^2 : 2ll_1 = a^2
\] (J. J. Durán Loriga).

48. Demostrar que si un triángulo isósceles tiene el ángulo en el vértice de 45°, la base es media proporcional entre el cuádruplo de la altura y el exceso de la altura sobre la base. (J. J. Durán Loriga).

RECTIFICACIONES

Complacemos con mucho gusto á nuestro distinguido colaborador M. Lemoine, consignando, según nos ha manifestado, la aclaración y errata siguientes:
1.º Que la cuestión 13 (pág. 240, 1891) coincide con la 3.a de la cuestión 1593 propuesta (en los Nouvelles Annales de Mathématiques, 1890, p. 49) por M. Sondat.
2.º Que en la cuestión 20, pág. 240el segundo miembro de la igualdad es: \( r^3 \) y no \( rd^3 \).

Erratas: En la pág. 16, línea 9, de este número léase «ciencia» en vez de «conciencia».
En la pág. 133 (t. I), línea 28, léase «Mandart» en vez de «Mansion».
En la pág) 184 (t. I), léase \( \frac{1}{2} \) en vez de \( \frac{2}{2} \).
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tros propósitos, nuestra constancia y nuestra fé en lo elevado de la empresa que acometíamos han tenido un éxito que ha superado á nuestras esperanzas, pues nunca faltan almas nobles, espíritus generosos que se asocian á la realización de los grandes fines, y con este motivo tenemos ante todo que manifestar nuestra profunda gratitud hacia los distinguidos colaboradores nacionales y extranjeros, cuyos nombres han honrado nuestro modesto periódico y cuyos notables escritos han contribuido á darle interés y vida durante el primer año de su existencia.

No necesitamos exponer nombres propios ni los títulos de las cuestiones que se han tratado durante el año 1891, pues consignados se hallan en el índice de materias, y aún los hemos reproducido en las páginas 2 y 3 de la cubierta de este primer número. Unicamente vamos á ofrecer á la consideración del lector el resumen de lo que contiene, de la idea predominante que lleva impresa el primer tomo, y que será precedente para lo que ha de constituir nuestro programa para el año 1892.

Creimos lo más apropiado para nuestros fines de propaganda el ofrecer un cuadro general del desarrollo matemático contemporáneo, sin olvidar las doctrinas fundamentales que establecieron los grandes maestros, los creadores de la ciencia en épocas anteriores; y si en esto último no hemos insistido lo que deseáramos, la causa de ello ha sido la atención que debíamos prestar á las múltiples direcciones seguidas por los investigadores actuales en los espaciosos horizontes que ofrece la Matemática á las inteligencias desde los más diversos puntos de vista.

Nuestro estudio histórico sobre la evolución de la Geometría proyectiva prepara para este año una reseña de los brillantes resultados que han seguido en esta rama geométrica á los trabajos de Monge y Poncelet. Los varios trabajos publicados sobre la Geometría del triángulo, en que insistiremos, despertarán en la juventud la afición á las investigaciones geométricas, constituyendo ese encadenamiento continuado de figuras un objeto agradable, un atractivo que ponga en ejercicio continuado la imaginación, y que despierta de una manera insensible la aptitud para resolver los más variados y difíciles problemas, cuando se procede por la graduación lenta que sigue esta Geometría, en cierto modo análoga por sus efectos á aquella geometría que adivinó Chasles en los porismas de Euclides, que debió formar el arsenal en que los geómetras griegos hallaran recursos para resolver problemas y para inventar nuevas proposiciones. El plano del triángulo está matizado por infinidad de puntos ó líneas
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notables por sus propiedades y por sus relaciones sencillas y simétricas que los refieren á aquel elemento fundamental y contienen en sí la clave que lleva á resolver innumerables problemas, dependientes de tales propiedades, siendo como centros luminosos que guían á la inteligencia directa y fácilmente al objeto de sus investigaciones en este arte que es complemento de la teoría.

Los más importantes resultados de esta Geometría, tanto en el orden lógico como en el orden histórico, serán objeto de algunos escritos y memorias que se publicarán durante el año entrante, en el Progreso Matemático.

Hay otras investigaciones de carácter filosófico que hoy atraen la atención de los aficionados á la ciencia matemática y que van ocupando un lugar en las obras de enseñanza, como son las teorías del Algebra de la lógica, el simbolismo del cálculo moderno, y aun otras incubaciones superiores que extienden las ramas de dicha ciencia y de las cuales es preciso dar algunas noticias, señalar siquiera las líneas generales, para que el lector de El Progreso Matemático pueda encaminarse á adquirir en las obras más adecuadas estos varios conocimientos; á este fin se atenderá en la sección bibliográfica.

No se omitirá el publicar algunos artículos que tengan por objeto fijar la atención del lector sobre algunos puntos concretos de la matemática, ni tampoco se dejará de tratar la ciencia desde el punto de vista pedagógico, porque es necesario destruir muchos errores, arraigadas preocupaciones respecto al profesorado en esta ciencia, que tiene más exigencias que otras muchas, por cuanto constituye una gimnasia intelectual, cuyos resultados deben atemperarse con los preceptos de la lógica y de la psicología.

Por último, siendo muy conveniente que al precepto lógico, que á la teoría pedagógica acompañe la realización en el dominio de la práctica, se estimulará el ejercicio intelectual de la juventud con colecciones graduales de problemas, se ofrecerán otros de superior dificultad con objeto de llamar la atención de los profesores, de demandar el concurso de su ilustración para que sus luminosas observaciones sobre la resolución y la discusión de tal ó cual problema contribuyan á fomentar la afición hácía estos ejercicios intelectuales que caben dentro de una extensa escala, tanto, que si en los primeros peldaños solo pueden servir para ejercitar los débiles esfuerzos del alumno de segunda enseñanza, del aspirante á ingresar en las Academias ó Escuelas especiales, en los superiores pueden ser digno estímulo para que los profesores, los sabios, los investigadores de alto renombre contribuyan á elevar nuestro nivel científico con sus enseñanzas y su ejemplo.
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Es un hecho que se observa en todas las naciones donde se cultivan con éxito las ciencias matemáticas, que lo mismo los alumnos que los sabios de nombradía, que las celebridades universalmente reconocidas, intervienen según el grado de sus fuerzas en este palenque de la inteligencia; y al lado de la firma de un alumno que venció algunas dificultades adecuadas á sus aptitudes, aparece la solución dada por uno de los maestros de la ciencia á cuestiones más capitales ó sus acertadas observaciones á otras, y este es el fin que deseamos obtener durante el segundo año de publicación de El Progreso Matemático, pues no es suficiente que los profesores en los diferentes centros de enseñanza consuman todo su esfuerzo en disertaciones teóricas, en trasmitir preceptos, reglas generales, encadenamientos de teoremas, cuando se impone con necesidad imperiosa el despertar las fuerzas intelectuales de los alumnos de hoy, destinados á ser los maestros de mañana, con ejercicios prácticos, el excitar su actividad intelectual para habituarlos á saber vencer dificultades y caminar con iniciativa propia.

Estas consideraciones nos llevan á terminar con una súplica que dirigimos á los ilustrados colaboradores que han honrado con su nombre y con sus escritos á El Progreso Matemático y han contribuido á que terminara felizmente el primer año de su existencia, á los profesores de todos los Centros de enseñanza matemática de España, á todos los amantes de esta ciencia, con objeto de que nos favorezcan con cuantas cuestiones, problemas ó teoremas crean útiles para aumentar la colección que durante el año 1892 se ofrecerá á los lectores. Así mismo les agradeceríamos que no sólo invitaran á sus discípulos más aventajados á resolver las cuestiones que juzgaran proporcionadas á sus fuerzas, sino que ellos mismos concurren á la realización de nuestros propósitos ofreciéndonos algunas soluciones que tuvieran á bien remitirnos por juzgarlas interesantes ó originales, ó ya porque desde algunos puntos de vista pudieran contribuir al progreso de las ciencias matemáticas ó al bien de la enseñanza, en la seguridad de que hallarán la recompensa á sus nobles esfuerzos en la satisfacción que les produzca el haber contribuido á elevar el nivel científico de su patria, obra á la cual debemos concurrir todos los que nos interesamos por su prosperidad en la medida de nuestras fuerzas y en la esfera de acción en la que cada uno se mueve.

Z. G. de Galdeano
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NOTA ACERCA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA

POR D. VENTURA REYES PRÓSPER
Catedrático en el Instituto de Teruel

Uno de los mayores progresos que los Monge, Poncelet, Steiner, Staudt y tantos otros ilustres geómetras, han hecho experimentar en este siglo á la Geometría, es no ya solo el descubrimiento de nuevas verdades, sino la simplificación de los métodos geométricos, que ha hecho asequibles á personas de escasa instrucción matemática, teorías antes difíciles y que exigían para aprenderse un extenso caudal de conocimientos. Así, que demostraciones á la vez rigurosas, elegantes y sencillas, han ido sustituyendo á otras menos directas y plagadas de larguísimas fórmulas, innecesarias muchas veces, dado lo trivial del asunto.

Dos métodos hay, dice un eminente geómetra francés, para el adelanto de la ciencia: consiste el uno en descubrir nuevas verdades, y el otro en facilitar cada vez más el acceso á las ya descubiertas: si algún medio hubiese de hacerla retroceder, este consistiría en suprimir verdades conocidas ó en embrollar y hacer dificultosa su enseñanza.

Quien lea las colecciones matemáticas de Pappus, las obras de Chasles, contemporáneo maestro, puede observar con facilidad, como á menudo, demostraciones largas, penosas y fundadas en relaciones métricas, pueden sustituirse con grandísima ventaja por otras que Cristian Von Staudt emplea en su áureo libro Die Geometrie der Lage.

Ciertamente, que al matemático de profesión, le es indispensable de todo punto el poseer á la vez los métodos algébricos y los sintéticos, más no lo es menos que también pertenece á la ciencia el deslindar unas teorías de otras, si hay determinada independencia entre ellas. De este modo la disciplina que menos postulados necesita, viene á tener prelación sobre las otras. Aparte de que, tratar doctrinas que son consecuencia inmediata y rigurosa de proposiciones elementales, mediante poderosos instrumentos analíticos, es asemejarse á aquel buen hombre que pedía prestada su maza á Hércules tebano y á Zeus olímpico sus rayos, para acabar con los insectos que le molestaban. Además, al que solo busca verdades para aplicarlas enseguida á una profesión determinada, lo que le importa es tener un camino breve y seguro de llegar á ellas, y los nuevos procedimientos son como Hankel dice la ría real que Ptolomeo pedía á Euclides.
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La obra de separación y simplificación, ha sido recientemente continuada por un sabio profesor alemán, el Sr. Pasch de la Universidad de Giessen (1) quien siguiendo las trazas del esclarecido Félix Klein, ha puesto en claro de qué modo la geometría de posición ó proyectiva, no tan solo es por completo independiente de consideraciones métricas, según Staudt ya probó, sino que también puede en ella prescindirse absolutamente de toda hipótesis sobre paralelismo. No necesitamos pues saber cual es el lugar de los puntos en el infinito, sobre un plano ó en el espacio; ni aun siquiera ocuparnos de los puntos de dicho lugar. ¡Y que simplicidad y rigor tan admirables los de sus razonamientos! Una persona de escasa cultura científica, podría comprender la obra de Pasch. Quizás no habría inconveniente de introducirla en la enseñanza secundaria.

Como me he ocupado de este asunto en dos notas publicadas en los Mathematische annalen que dirige el eminente Klein, voy á exponer aquí algunas consideraciones adicionales referentes á la geometría proyectiva sobre la superficie esférica.

No conozco ninguna obra que se ocupe exclusivamente de esta parte de la Geometría (2). El ilustre Gudemann consagra parte de su bellísima obra Lehrbuch der niederen Spärk á la exposición de estas teorías, más como su desarrollo lo funda en fórmulas trigonométricas, es penoso y árido el camino seguido. Se puede poner de todos modos en evidencia, que los resultados obtenidos allí, son independientes de la teoría de las paralelas, dado que hoy sabemos la independencia establecida desde tiempos de Bolyai y Lobachevski (3) entre la Trigonometría esférica y el postulado Euclídeo.

Jacobo Steiner, uno de los mayores génios geométricos que hayan nunca existido, observa á propósito de nuestra cuestión (Jacobo Steiner's Werke I Band, p.a 323. Zweite Anmerkung): «....... Como se ve, no encierran nada nuevo las consideraciones sobre la superficie esférica, sino que son una limitación particular de las consideraciones refentes al manojo de rayos. Las investigaciones sobre la superficie esférica, tiene la importancia de permitir una vista de conjunto sobre una superficie.....» Hallamos, pues, que como aquí se observa, para establecer las proposiciones referentes á la Geometría proyectiva sobre la esfera, basta fundar primero las correspondientes á las figuras radiadas ó céntricas

(1) Véase su hermosísima obra: «Vorlesungen über neuere Geometrie. Leipzig».
(2) La Geometría proyectiva sobre el plano (prescindiendo de la Geometría del espacio) forma el objeto de una buena obra: Die projekion in-der Ebene, de Weissborn.
(3) Así debemos escribir y leer nosotros el nombre de esta geómetra, que los franceses escriben Lobatchevsky.
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como Pasch las llama, y luego cortar la figura en cuestión por una esfera cuyo centro coincida con el del manojo (1).

Ahora bien, así como toda la geometría proyectiva del plano se deduce de la proposición referente á diez rectas, conocida vulgarmente por Teorema de Desargues, del mismo modo la de las figuras radiadas es consecuencia del teorema correspondiente al anterior y relativo á diez planos que desde un punto común proyectan el mencionado sistema de rectas.

Queda reducida pues, la cuestión á demostrar este teorema. Yo lo demostré en 1887, independientemente de ideas métricas y de consideraciones referentes al infinito.

Mi demostración pareció al Sr. Pasch la más sencilla posible (...Auf denkbar einfachste Art..., Pasch in litt). Voy á reproducirla aquí:

Sean \( o\alpha, \; o\alpha' \)
\( o\beta, \; o\beta' \)
\( o\gamma, \; o\gamma' \)

tres pares de rectas, estando cada par situado en un mismo plano con la recta \( o\omega \). Supongo que las rectas \( o\alpha, o\beta, o\gamma \), lo mismo que las \( o\alpha', o\beta', o\gamma' \) no caen en un mismo plano. Probaremos que las rectas de intersección de los planos determinados por \( o\alpha, o\beta \) y \( o\alpha', o\beta' \); \( o\alpha, o\gamma \) y \( o\alpha', o\gamma' \); \( o\beta, o\gamma \) y \( o\beta', o\gamma' \), caen las tres sobre un mismo plano.

Tomemos en efecto
sobre \( o\alpha \) el punto \( a \),
sobre \( o\alpha' \) el punto \( a' \)

de tal modo que la recta \( aa' \) corte á la \( o\omega \) en \( o' \), de manera que los puntos \( o', a \) y \( a' \) estén dispuestos en el orden \( ao'a' \) (lo que siempre es posible).

Por el punto \( o' \) tracemos una recta tal que cortando á \( o\beta \) y \( o\beta' \) en \( b \) y \( b' \), los puntos \( o', b \) y \( b' \) estén arreglados en el orden \( o'bb' \) (lo que bien es siempre factible).

Finalmente, tracemos por \( o' \) una recta tal que cortando á \( o\gamma \) y \( o\gamma' \) en \( c \) y \( c' \), estén dispuestos los puntos \( o', c, c' \) en el orden \( o'cc' \) (lo que podemos siempre hacer).

Observemos que siempre podemos suponer que las rectas \( ao'a' \), \( o'bb' \) y \( o'cc' \) no estén sobre un mismo plano (porque si cayesen en uno

(1) Strahlbüschel.