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El Progreso matemático (1892-09-15 00:00:00), página 11

De tres partes destinadas respectivamente al cálculo literal, al cálculo por ecuaciones, á las progresiones, logaritmos y aplicaciones, seguidas de un Apéndice, consta la obra.

Los autores con una concisión que da cierta elegancia y sencillez á su obra, enuncian las definiciones, los teoremas y las reglas, seguidas de sus demostraciones hechas con una sobriedad que nada quita al rigor, sin digresiones, rodeos ni incidentes que distraigan en lo más mínimo la atención del encadenamiento que conduce á la inteligencia en línea recta hacia su objeto, presentando la gramática de esta lengua del análisis.

Pero si la sencillez es el carácter dominante de la obra que la hace muy adaptable para el principiante, no deja de ser también útil á alumnos que se preparan para ciertas carreras especiales, pues se hallan también algunas discusiones llevadas hasta los menores detalles muy propias para ejercitar y educar á las inteligencias de estos alumnos en el arte de vencer las resistencias del análisis matemático.

Entre estos ejercicios citaremos los que tratan de estudiar las variaciones del binomio \( ax + b \), y del trinomio de 2.º grado, muy notable esta última por el detalle como por la preparación que da para otras teorías superiores, las consecuencias que deduce sobre la sustitución por \( x \) de ciertos números \( \alpha \) y \( \beta \) etc., la determinación de los límites entre los que ha de variar el parámetro, para que la ecuación de segundo grado con respecto á éste tenga raíces imaginarias, ó iguales ó reales y distintas.

La divisibilidad por \( (x - a)(x - b) \), la continuidad de la función \( ax^4 + bx + c \). La representación gráfica de las funciones y aplicación al 1.º y 2.º grado. Las potencias de \( x + 1 \). El triángulo aritmético de Pascal, las potencias de \( x + a \), permutaciones, coordinaciones y combinaciones son cuestiones que reservan los autores para el Apéndice.

Antes de terminar diremos, que los numerosos ejercicios graduados, muchos de ellos nuevos, otros elegidos entre los grandes talentos matemáticos y los ejercicios diversos propuestos con que termina la obra, con objeto de familiarizar al lector con ciertos artificios y desarrollar la sagacidad del espíritu para vencer dificultades, constituyen una riquísima colección que por sí sola haría recomendable la obra.

Gino Loria.—Nicola Fergola è la scuola di matematici che lo ebbe á duce, Génova, 1892.

Esta nueva obra del profesor de la Universidad de Génova, señor Gino Loria, tiene por objeto evocar el recuerdo entre los aficionados
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á los estudios matemáticos de la parte activa que Italia tomó en el renacimiento de los estudios geométricos á principios de este siglo, y cuyos resultados se deben á la escuela napolitana representada hasta el año 1822 por Nicolás Fergola y que se continuaron por sus discípulos Annibale Giordano, Vincenzo Flauti, Felice Giannattasio, Giuseppe Scorza, Francesco Bruno, etc., citando el autor en el Prefacio las siguientes frases de Chasles: «El fervor por esta geometría que tanto brillo ha dado á las ciencias matemáticas hasta hace cerca de un siglo, sobre todo en la patria de Newton, se había debilitado después, y habría casi desaparecido, si los geómetras italianos no le hubiesen quedado fieles. Se debe en nuestra época al célebre Fergola, y á sus discípulos Bruno, Flauti, Scorza, varios escritos importantes sobre el análisis geométrico de los antiguos, que en ellos se encuentra restablecido en su pureza original» (1).

La obra del Sr. Gino Loria tiene por objeto describir con interesantes desarrollos este brillante episodio de la historia de las matemáticas en Italia; y el lector puede compenetrarse de aquel estilo especial que acompañó á los más fundamentales descubrimientos geométricos y que hoy se recuerdan con los nombres de Newton, Cramer, Côtes, Moivre, etc., á que van unidos.

Se ocupa el Sr. Gino Loria; 1.º de la teoría geométrica de las secciones cónicas, formadas con los materiales en que basaba Fergola sus lecciones de Geometría superior, publicadas por Flauti e ilustrada por Ginnattasio con la historia de las secciones cónicas, de manera que puede considerarse esta obra como el fruto de los tres más ilustres partidarios de la idea fergoliana; 2.º sobre la cuadratura de la hiperbola; 3.º una reivindicación en que se atribuye el análisis geométrico á la escuela pitagórica; 4.º Teoría analítica de las secciones cónicas; 5.º El tratado analítico de los lugares sólidos.

El capítulo II tiene por objeto: Aplicaciones del teorema de Tolomeo.

El capítulo III trata de los métodos recomendados por Fergola para resolver las cuestiones geométricas, de los problemas de las inclinaciones generalizadas, problemas que tenían gran importancia en la antigüedad y del método de conversión.

Capítulo IV. Problemas particulares resueltos por Fergola y sus discípulos, que comprende: cuadratura y cubatura de ciertas superficies, el problema de Cramer. Un problema sobre el hiperboloide de rotación de una hoja. Los contactos circulares y esféricos. Problemas sobre la pirámide triangular. Solución de problemas de Geometría dedicados á

(1) Aperçu historique, etc., pág. 66.
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F. Bruno. Solución geométrica del problema de las tres ó de las cuatro rectas.

Capítulo V. Algunos puntos de análisis infinitesimal tratados por Fergola y Flauti.

Capítulo VI. Breves indicaciones de los resultados debidos á la escuela napolitana sobre el estudio matemático de los fenómenos naturales.

Capítulo VII. El curso de matemáticas proyectado y en parte llevado á la práctica por Flauti.

Termina la obra con el capítulo IX, destinado á designar el lugar que en la historia de las matemáticas en Italia corresponde á la escuela de Nicolás Fergola.

Z. G. de G.

NOTA MATEMÁTICA

Tenemos la satisfacción de publicar las siguientes observaciones con que se ha dignado favorecernos el sabio director del Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, Dr. E. Lampe, concernientes al artículo de M. Marchand, publicado en este periódico, Sur la rectification des arcs des courbes dites Limaçons de Pascal, trabajo que dejó entre sus papeles inéditos el malogrado escritor y antiguo alumno de la Escuela Politécnica de Paris, acaso sin completar su pensamiento y sin intención de publicarlo.

«....La propiedad indicada por M. Marchand pertenece á todas las curvas de la clase de epicicloides y forma uno de sus caracteres muy conocidos.

Sean r el radio del círculo base de la rotación, ρ el del círculo que rueda, \( r : \rho = m \), δ la distancia del punto generador al centro de la circunferencia en movimiento, φ el ángulo comprendido en el centro del círculo fijo por los puntos de contacto. Se sabe que se tendrá entonces

\[
x = \rho (m + 1) \cos \varphi - \delta \cos (m + 1) \varphi,
\]
\[
y = \rho (m + 1) \sen \varphi - \delta \sen (m + 1) \varphi,
\]

de donde se obtiene fácilmente

\[
ds = (m + 1)(\rho + \delta) \, d\varphi \sqrt{1 - \frac{4 \rho \delta}{(\rho + \delta)^2} \cos^2 \frac{m \varphi}{2}}
\]
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haciendo

\[
\frac{m \varphi}{2} = \frac{\pi}{2} - x,
\]
se obtiene, integrando de \( \varphi = 0 \) á \( \varphi = \varphi \)

\[
s = \frac{2 (m + 1)}{m} (\rho + \delta) \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} dx \sqrt{1 - k^2 \sen^2 x}
\]

donde se ha hecho
\[
k^2 = \frac{4 \rho \delta}{(\rho + \delta)^2}.
\]

Este módulo \( k^2 \) no cambia cuando se hace \( \delta = n \rho \) ó bien \( \delta = \frac{1}{n} \).

La misma integral elíptica de segunda especie pertenece, pues, á dos epicicloides distintas, y es fácil ver que todas las reflexiones del señor Marchand conciernen también á este género, más general, de curvas que contienen á los caracoles de Pascal como un caso muy especial. (Véase con este motivo las colecciones de problemas publicados en Inglaterra).»

E. LAMPE.

REVISTA BIBLIOGRAFICA

La necesidad imperiosa de que no sufrieran retraso importantes escritos con que han favorecido á El Progreso Matemático algunos de sus distinguidos colaboradores, han hecho aplazar indefinidamente el dar cuenta de las novedades que han aparecido, ya en publicaciones periódicas, ya en obras especiales; y en este número procuramos suplir en parte esta falta, haciendo indicaciones, aunque no tan amplias y detalladas con fuera nuestro propósito de algunos trabajos sobre que deseamos llamar la atención de los lectores de nuestro periódico.

Dejamos interrumpidas las noticias referentes al Journal de mathém élém et spéciales de M. de Longchamps en la página 184 del tomo I, y terminamos dicha reseña citando los artículos: Transformation par inversion symétrique de M. Bernés, Sur la méthode de transformation de M. Schoute por M. Vigarié y Sur la perspective d'une figure plane por M. E. Laisant, que se han continuado durante el año de 1891.

Le TRIFOLIUM, par M. H. Brocard. Entre los notables trabajos pu-
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blicados en el tomo de Math. spéciales, es digna de interés bajo muchos conceptos la citada memoria.

Muchos é importantes resultados sobre el trifolium recto y oblicuo se deben á M. de Longchamps, que los ha publicado, ya en Journ de mathém spéciales, ya en su Géometrie analytique y en su Essai sur la Géométrie de la regle, obras de que se ha dado noticia á los lectores de EL PROGRESO MATEMÁTICO (t. I pág. 60, t. II pág. 148).

M. de Longchamps ha estudiado el trifolium oblicuo definiéndolo como la podar (g) del hipocicloide de tres retrocesos con relación á un punto de la circunferencia tritangente. M. Brocard, en su notable memoria, además de numerosas propiedades nuevas que da á conocer, se propone estudiar el trifolium independientemente de la noción de podar. Construye el trifolium oblicuo de la manera siguiente:

Por un punto P de una circunferencia (v) se traza una cuerda cualquiera PR. Desde el punto R como centro, con RP como radio, se describe un arco de círculo. Hallar el lugar de sus intersecciones M,M' con una paralela MRM' á una dirección fija f.

El lugar (M) es un trifolium oblicuo.

Trata sucesivamente de:—Puntos notables del trifolium oblicuo—el trifolium regular—tangente y normal al trifolium oblicuo—el trifolium oblicuo y el hipocicloide triangular—una cuártica trinodal.

Al ocuparse de triángulos asociados al trifolium oblicuo, establece la siguiente propiedad, probablemente nueva, del triángulo equilátero:

Se da un triángulo equilátero A'B'C', la circunferencia circunscrita D y un punto P de la circunferencia concéntrica (K) de radio tres veces menor; se trazan las rectas DA*, DB*, DC* que determinan en la circunferencia descrita sobre PD como diámetro los vértices A, B, C, de un triángulo equilátero. Las rectas que unen los puntos A, B, C á los medios A', B', C' de los segmentos PA*, PB*, PC* concurren en un mismo punto Z.

Presenta M. Brocard varias modificaciones á las construcciones del trifolium recto y el folium doble que M. de Longchamps ha publicado en las obras arriba citadas y añade otras construcciones. Por ejemplo: Supongamos en una circunferencia triángulos inscriptos PAB, en los que un vértice P es fijo, y un lado AB paralelo á una dirección dada (f); el lugar de las proyecciones de cada uno de los vértices A ó B sobre una paralela trazada por el punto B ó A, á una de las cuerdas PA, PB, es un trifolium oblicuo.

Hace enseguida M. Brocard muy interesantes desarrollos sobre un modo de transformación geométrica que representa la construcción del trifolium, partiendo del círculo que de que también trató M. de Longchamps en su Geometría analítica, señalando finalmente la necesidad
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de que el hipocicloide triangular y el trifolium tengan un lugar en la enseñanza clásica con igual título que lo tienen ya las podares del círculo y de la parábola y en los programas de Geometría analítica.

El método de transformación continua por M. Lemoine. Este sabio creador y organizador de la Geometría del triángulo, que cada año contribuye á sus progresos con nuevos descubrimientos, presentó en el Congreso de Marsella celebrado en el mes de Septiembre del año pasado (véase t. I pág. 291) sus memorias: Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangle.—Transformation continue.—Divers résultats concernant á la Géométrie du triangle, y también ha publicado en el J. N. S. y en Mathesis desarrollos sobre dicho método de transformación durante el transcurso de este año.

«En el Congreso de Limoges, dice M. Lemoine (1), hemos dado numerosas fórmulas relativas al triángulo de las que muchas eran nuevas, y hemos tratado de mostrar la ventaja de su empleo en la Geometría del triángulo; entre estas fórmulas, varias tenían entre sí íntimas analogías, y me había preguntado si existía una ley por medio de la cual, dada una fórmula se pudiesen deducir sus análogas.»

Ya había hallado dicha ley, pero mi demostración, invocando el principio de Carnot en la deformación del triángulo, dejaba alguna indecisión, respecto á múltiplos de \( \pi \), en el valor de los ángulos, después del paso por el infinito de las rectas que los formaban, y buscaba otro medio, cuando M. Laisant, á quien había hablado de mis investigaciones, me dió la solución siguiente muy sencilla y rigurosa.»

Un triángulo ABC está determinado por un lado BC = \( a \), siendo la dirección BC la elegida como positiva, y por los ángulos \( \beta \) y \( \gamma \) que forma la dirección BC con las direcciones BA y CA.

Si se designan con A, B, C los ángulos del triángulo, con su significación ordinaria, con \( b \) y \( c \) los lados, los elementos se hallan determinados por las relaciones:

\[
A = \gamma - \beta \quad (1) \qquad B = \beta \quad (2) \qquad C = \pi - \gamma \quad (3)
\]

\[
b = \frac{a \sen \beta}{\sen (\gamma - \beta)} \quad (4) \qquad C = \frac{a \sen \gamma}{\sen (\gamma - \beta)} \quad (5)
\]

Los demás elementos del triángulo se expresan por medio de éstos; luego toda relación que expresa una propiedad general, tal como

(1) Association française pour l'avancement des Sciences, (1881).
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\( f(a, b, c, A, B, C) = o \), se convierte, reemplazando en ella \( b, c, A, B, C \) por sus valores en la identidad: \( \varphi(x, \beta, \gamma) = o \).

Esta identidad es cierta para todos los valores de \( x, \beta, \gamma \); reemplazemos sin cambiar \( x, \beta \) por \( \pi - \beta \), \( \gamma \) por \( \pi - \gamma \), entonces, en virtud de las fórmulas (1), (2), (3), (4), (5), se tendrá:

\[
A_1 = \pi - \gamma - \pi + \beta = \beta - \gamma = -\Lambda
\]
\[
B_1 = \pi - \beta = \pi - B
\]
\[
C_1 = \pi - \pi + \gamma = \gamma = \pi - C
\]
\[
b_1 = \frac{a \sen(\pi - \beta)}{\sen(\beta - \gamma)} = \frac{a \sen \beta}{\sen(\beta - \gamma)} = -b
\]
\[
c_1 = \frac{a \sen(\pi - \gamma)}{\sen(\beta - \gamma)} = \frac{a \sen \gamma}{\sen(\beta - \gamma)} = -c
\]

por consiguiente, la identidad

\[
\varphi(a, \pi - \beta, \pi - \gamma) = o \quad \delta \quad \varphi(x, \beta, \gamma) = o
\]

que corresponde á \( f(a, b_1, c_1, A_1, B_1, C_1) = o \), nos dará:

\[
f(a, -b, -c, -A, \pi - B, \pi - C) = o.
\]

Luego en una fórmula cualquiera relativa al triángulo y que contiene los elementos \( a, b, c, A, B, C \), se pueden reemplazar estas cantidades, respectivamente, por \( a, -b, -c, -A, \pi - B, \pi - c \), y la nueva fórmula es exacta.

Si en la fórmula dada entran nuevos elementos, como \( R_1, r_1, r_n, r_b ... \) es preciso hacerles sufrir la transformación resultante de las precedentes; \( p, (p-a), (p-b) .... \) se transforman en \( -(p-a), -(p-b), -p, (p-c) .... \)

Dicha transformación no origina siempre una nueva fórmula.

Así, de

\[
a = b \cos C + c \cos B,
\]
resulta
\[
a = -b \cos (\pi - c) - c \cos (\pi - B)
\]

Pero lo más frecuente es que las dé nuevas; así:
\[
a(p-a) + b(p-b) + c(p-c) = 2r \delta
\]
da
\[
ap + b(p-c) + c(p-b) = 2r_a \delta_a
\]
\[
a(p-a) = r(\delta - r_a) \quad \text{da} \quad ap = r_a(\delta_a + 1).
\]

A esta transformación la llama M. Lemoine la transformación continua en A, obteniendo análogamente la en B, etc.

Además de permitir esta transformación deducir de una fórmula establecida otra ú otras varias, un teorema origina frecuentemente
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otro ú otros nuevos teoremas, y numerosos ejemplos ofrece M. Lemoine como confirmación de su aserto, advirtiendo de paso que su principio de transformación continua se hallaba contenido implícitamente en un trabajo del malogrado matemático E. Lucas (véase P. M. t. I, pág. 291), y que no llamó la atención de los geómetras por ser un poco abstracto.

Entre los varios ejemplos de transformación que cita se hallan que:
La recta del infinito se transforma en ella misma.
Los puntos circulares en el infinito se transforman entre sí.
Si n puntos se hallan en línea recta L, sus transformados se hallan en \( L_a \) transformada de L, etc., y como aplicación de esta teoría M. Lemoine ha publicado en el número de Abril último de Mathesis (pág. 81-91) 142 fórmulas relativas al triángulo.

También debemos citar con este motivo que M. Aug. Poulain ha principiado á publicar nuevos desarrollos sobre la transformación de M. Lemoine (Transformation des formules des triangles. J. M. S. 1892, Mai, Juin), partiendo del teorema fundamental. Dada una relación algebraica y racional entre los lados a, b, c de un triángulo cualquiera y las líneas trigonométricas de los ángulos A, B, C ó de sus múltiplos algebraicos, la relación queda exacta si se sustituyen los ángulos A, B, y por otros ángulos, aun negativos, cuya suma sea todavía igual á \( \pi \), y a, b, c por cantidades proporcionales á los senos de los nuevos ángulos, y presentando con generalidad el nuevo método mediante el concepto del conexo baricéntrico de un punto M, cuyas coordenadas baricéntricas son:

\[
a : \beta : \gamma = f_1 (A, B, C) : f_2 (A, B, C) : f_3 (A, B, C),
\]

con relación á los ángulos A', B', C' cuya suma es igual á \( \pi \), es decir, el punto M' obtenido acentuando las letras \( a, \beta, \gamma \), y haciendo la transformación conexa sobre sus valores \( f(A, B, C), ... \) lo que da

\[
a' : \beta' : \gamma' = f_1 (A', B', C') : f_2 (A', B', C') : f_3 (A', B', C')
\]

y llega á definir la línea conexa baricéntrica de una línea \( f(x, \beta, \gamma) = 0 \), y á deducir entre otros corolarios que:
La intersección de dos líneas tiene por conexa la intersección de las líneas conexas.
Si tres rectas son concurrentes también lo son sus conexas.
Dos figuras homológicas se transforman en líneas homológicas, etc.
Es digna también de especial mención la importante y extensa memoria de M. Bernés, titulada Transformation par inversion symétrique, que continúa publicándose en el periódico de M. Longchamps
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JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS E ASTRONÓMICAS. El periódico que publica en Oporto el Sr. Gomes Teixeira contiene en sus últimos cuadernos los artículos siguientes:

Remarque sur certaines équations différentielles, par M. A. Gutzmer.
Sobre o resto da formula de Taylor, por J. Bruno de Cabedo.
Sobre o teorema d'Euler-Lambert, por Duarte Leite.
Sobre o desenvolvimento das funções em serie ordenada segundo as potencias dos senos e cosenos, por F. Gomes Teixeira.
Nouvelles remarques sur divers articles concernant la théorie des séries, par M. E. Cesáro.
Sur l'application d'un developpement des fonctions implicites a une extension du problème universel de Wronski, par M. A. Bassani.

Y otros interesantes trabajos de los señores Laisant, Lerch, Pi- rondini, juntamente con Notas sobre las funciones elípticas, del Sr. Gomes Teixeira, y numerosas reseñas bibliográficas.

RIVISTA DI MATEMATICA diretta da G. Peano. La Revista ha publicado en el corriente año, entre otros, los siguientes artículos:

Alcune applicazione cinematiche della teoria dei vettori, di F. Castellano.—Construzioni baricentriche, per E. Cesáro.—Sopra la compatibilità o incompatibilità di più equazioni di primo grado fra più incognite, per A. Capelli.—Sopra un metodo generale di costruzioni in geometria descrittiva, per A. del Re.—Sulla impossibile coesistenza della univocità e della continuità nella corrispondenza che si può stabilire fra due spazi continui ad un numero differente di dimensioni, per Luigi Milesi.—Sulla teoria della curvatura delle superficie, nota di Gino Loria.

El Sr. Peano ha continuado trabajando en su empresa de hacer prosperar el empleo de las notaciones simbólicas, especialmente las del álgebra de la lógica, y aplica sus notaciones (de las que ya nos hemos ocupado, P. M., tít. II, págs. 26-23, 49-53), en su artículo Sommario del libro X d'Euclide. También emplea estas notaciones en su nota: Dimostrazione dell'impossibilità di segmenti infinitesimiconstanti. Así

\[
p \in P . Q . op \in S
\]

expresa que: Si \( p \) es un punto de la semirecta, \( op \) es un segmento limitado.

\[
u, v \in S . Q , u + v = o (ou + ov)
\]

significa que: Siendo \( u \) y \( v \) dos segmentos limitados (terminados), el segmento \( u + v \) es el lugar de los términos de los varios segmentos que se obtienen sumando un segmento cualquiera terminado en un punto de \( u \) con un segmento cualquiera terminado en un punto de \( v \).

Además, en su Revista la Redacción hace un llamamiento á los
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où \( r' \) tombe entre 0 et \( m \), \( -r' \) étant alors le résidu minimum négatif de \( p \) pour le module \( m \).

Le résidu étant \( r \), comme l'équation (1)_r peut avoir la forme

\[
p = m (q + 1) - (m - r),
\]

le résidu minimum négatif sera

\[
-r' = -(m - r),
\]

d'où

\[
r + r' = m;
\]

ce qui donne le moyeu de passer immédiatement de l'un des résidus à l'autre, ou de calculer le module, les résidus minima étant connus.

Les équations (1)_r et (1)'_r donnant

\[
q < \frac{p}{m} < q + 1,
\]

on a l'habitude de représenter \( q \) par \( E \left( \frac{p}{m} \right) \), pour dire l'entier de \( \frac{p}{m} \).

Quand \( p \) est multiple de \( m \), on a \( E \left( \frac{p}{m} \right) = \frac{p}{m} \).

Gauss et les autres mathématiciens allemands emploient le signe \( \left[ \frac{p}{m} \right] \).

Ces notions étant données, voyons comment (selon nous) l'illustre mathématicien danois Mr. Birger Hansted, qui a proposé cette question, déterminerait le module de la congruence (1).

Soient donc, 3 et 37 les deux moindres nombres premiers, qui satisfont à la congruence (3), on aura

\[
r = 3 \quad \text{et} \quad r' = 37
\]

et par suite

\[
r + r' = 40.
\]

D'après cela, les formules (1)_r et (1)'_r, deviendront

\[
p \equiv + r \ (\text{mod .} 40) \tag{(1)_1}
\]
et
\[
p \equiv - r' \ (\text{mod .} 40), \tag{(1)_2}
\]
ou
\[
p - r \equiv 0 \ (\text{mod .} 40) \tag{(1)'_1}
\]
et
\[
p + r' \equiv 0 \ (\text{mod .} 40). \tag{(1)'_2}
\]

Telles sont, par suite, les congruences qui répondent à la congruence donnée (1), quand on considère séparément les deux résidus minima.

En partant maintenant de ces relations entre les nombres \( p, r, r' \) et 10, on va voir que la congruence (2) est vraie.