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operación que se combina de diversos modos, ya en el número, ya en la cantidad, ó sea en las alteraciones de la pluralidad simultáneamente con las denominaciones de la cantidad concreta.

No es inoportuno, como algunos profesores creen, en esta primera época de la asimilación científica el realzar esta rama elemental con algunos de los luminosos principios de la teoría de los números, tales como los teoremas de Fermat y de Euler, y conceptos como el de congruencia, que son motivos de enaltecimiento intelectual. Pues la idea de los periodos de restos permite abarcar de una sola ojeada toda la divisibilidad, y el concepto de congruencia lleva á la idea de clasificación de los números. Y el argumento basado en la debilidad intelectual del alumno carece de valor, ya que hoy los prodigiosos adelantos de la ciencia matemática facilitan al profesor el acumular, con cierta discreción y tacto, á los materiales que formaban el contingente usual en épocas anteriores otros que corresponden á la época actual, debiendo ser la enseñanza una combinación armónica de lo expresado en el libro con los conceptos complementarios aportados por el maestro, que no debe ser un mero repetidor del libro, sino la inteligencia que ilumina los puntos culminantes ó fundamentales, desde los que se facilita al alumno el distinguir las consecuencias en ellos condensadas. De esta manera se evitará que las inteligencias de éstos se ofusquen y se extravíen entre la muchedumbre de los detalles. Además de esta luz proyectada por el profesor sobre las cuestiones fundamentales de la ciencia, es necesario el trasmitir cierta fuerza impulsiva á la actividad naciente del alumno, efecto realizable mediante colecciones graduadas de problemas, base de la iniciativa individual y del espíritu investigador que haya de adquirir aquél. Y de esta manera la enseñanza será el perfecto reflejo de la ciencia considerada bajo su doble aspecto: mediante la síntesis por la cual se nos ofrece como un sistema en que se hallan coordinadas y subordinadas las verdades, y mediante el análisis, por el cual se construye el edificio, partiendo desde sus materiales acá y allá dispersos.

Hoy que la Matemática ha llegado á tan superior estado de desenvolvimiento, debe observarse que, á la vez ha alcanzado tan alto perfeccionamiento el arte y la ciencia de la enseñanza, que establece una completa armonía entre el número de dificultades crecientes y los medios de que se dispone para vencerlas.

Hace algunos siglos podría ser un trabajo abrumador para una inteligencia el llegar á los resultados de la Geometría cartesiana y de los métodos de Newton y Leibnitz; y esto era así porque los caminos reales de la ciencia no se hallaban trazados; porque, á la verdad, se lle-
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gaba por sendas tortuosas y escondidas, de tal modo, que el encontrarlas y seguirlas estaba reservado á los genios, que poseían en sí el germen de las ideas y el arte divino de desenvolverlas y de hacer brotar la armonía allí donde otras inteligencias sólo percibieran la confusión y el caos.

La ciencia es el encadenamiento, es el tejido en que las verdades se hallan sujetas entre sí, y la rigidez de sus tramas asegura la marcha de la inteligencia á través de ellas; y aunque hoy este tejido se ha extendido considerablemente, también se han reforzado los múltiples enlaces que las hacen depender unas de otras, efectuando un trabajo reductor, como se ha dicho, á los nudos más salientes de la trama.

Establecidos estos precedentes, que bosquejan la importancia de la ciencia matemática, no sólo como instrumento precioso para las más varias aplicaciones á las ciencias de la naturaleza y multitud de artes e industrias, sino como medio de enaltecimiento intelectual, cabe preguntar: ¿es justo y admisible que cuando tan indiscutible preeminencia ha obtenido en las naciones más cultas y que parece miden su importancia y su poder por el aprecio en que tienen las riquezas atesoradas en estas conquistas, las más legítimas e incuestionables de la razón humana, España aparezca como una excepción respecto al culto debido á esta rama del saber, que los Poderes públicos no fijen su atención en este desequilibrio científico, llevando á la práctica las reformas hoy exigidas dentro de un plan completo de enseñanza?

Algo hacen esperar en sentido afirmativo las noticias recientes acerca de los planes que el actual ministro de Fomento medita, y muchopodemos prometernos de su reconocida ilustración, de sus elevados ideales y de su amor á la ciencia; y sobre todo, de que hoy se impone con la inexorable ley de la necesidad el crear una escuela científica nacional con iniciativas, con impulso propio, no como reflejo ó simple imitación, como producto exótico importado de otras regiones, sino como fruto de la meditación propia, de la actividad moviéndose libremente para crear en la región de las ideas, ó para expresar con estilo propio aquello que la inteligencia elaboró y asimiló á su esencia, para presentarlo con el sello de la personalidad. Y si esto así no fuere, tanto peor; porque de igual manera que en el Universo los fenómenos se reducen á un cambio de intensión en las energías físicas que actúan sobre la materia, en el mundo social existe la fuerza intensiva de las inteligencias que producen por su combinación la resultante expresada en cada nación por su estado de prosperidad ó decadencia.

Nada se consigue con esa marcha rutinaria que caracteriza la enseñanza en nuestros Establecimientos docentes, cuya defectuosa or-
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ganización hace irútiles las más entusiastas iniciativas de los profesores que intentaran corregirla con sus esfuerzos individuales, porque la enseñanza es un sistema en que debe predominar la armonía de todos sus elementos; porque en los diversos grados que abarca el organismos universitario debe ser esencialmente educativa, debe propender á formar la inteligencia, á ponerla en plena posesión de sus medios naturales de investigar, á convertirla en legítima propietaria de sus conocimientos, evitando este vivir continuado del préstamo, de la accidental y momentánea adquisición de resultados por otros elaborados y retenidos á la manera de inventario ó de catálogo, y que convierte á las inteligencias en especies de encerados sólo susceptibles de contener cuanto sucesivamente en ellos fijan, para después ser borrados, actividades extrañas.

Obsérvese que la ciencia tiene algo fijo y permanente que es como su cuerpo, fruto del trabajo acumulado por las generaciones de actividades intelectuales que se han sucedido, su arquitectónica, por la cual se nos manifiesta la construcción de su organismo, y además algo movible, que es como su espíritu por el cual aquél se vivifica y se hace apto para recorrer los ciclos según los que se manifiesta su existencia; esta alma de la ciencia cuyos efectos más inmediatos se sintetizan en su metodología, por la que, no sólo se nos revela su forma, sino que se hace susceptible de nueva extensión y desarrollo, y en s.: metafísica, que nos lleva á sus fundamentos, y nos permite vislumbrar algo de su contenido ó de su esencia.

Y si esto se observa, si dichos dos elementos constituyen la ciencia en su integridad, si además su adquisición en los centros de enseñanza debe corresponder á los tres grados, elemental, secundario y superior en la Escuela, en el Instituto de 2.a enseñanza y en la Universidad, ¿cómo sucede que las enseñanzas de las ciencias en nuestras Universidades sean casi la repetición de lo que fueron en los Centros de 2.a enseñanza? ¿Cómo se tolera que en los programas de la mal llamada asignatura de Análisis matemático figuren la numeración, las fracciones ordinarias y decimales, la extracción de raíces, etcétera, haciendo perder al alumno que esto estudió en segunda enseñanza un tiempo precioso, cuando hoy en todos los grados de la ciencia se nota un movimiento de concentración, que partiendo de sus ramas superiores desciende hacia las inferiores para enaltecer éstas y aliviar aquéllas de la muchedumbre de nuevos conceptos y teorías artificio sin el cual sería actualmente imposible á las inteligencias el abarcar siquiera la extensión del actual horizonte científico?

¿Cómo, en cambio, las Facultades de Ciencias se ven privadas de
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asignaturas superiores correspondientes á sus fines; cuando éstos se reducen al estudio de la ciencia en sí, de una manera general?

No es suficiente para realizar el alto fin de la enseñanza universitaria que figuren en el cuadro de las asignaturas el Álgebra, las Geometrías, el Cálculo infinitesimal, la Mecánica racional, la Astronomía, la Física matemática, etc. Estas materias dan á conocer el objeto de la Matemática en su variedad; pero realizando de una manera parcial el fin de las Universidades. Es cierto que en cada asignatura cabe el hacer exposiciones históricas y críticas, y esto se ha realizado algunas veces por ciertos autores; pero tales tentativas sólo pueden conducir al fin de una manera parcial e incompleta. Los estudios históricos y críticos deben ser objeto de asignaturas especiales que permitan su desenvolvimiento completo y sistemático y que sean la coronación del edificio que la Universidad debe levantar á la Ciencia como resultado integral de todas sus enseñanzas.

(Se continuará).

Z. G. DE G.

SUR L'INFINITUDE DES SERIES DIVERGENTES

PAR M. G. DE LONGCHAMPS
professeur au Lycée Saint Louis

L'étude des fonctions élémentaires conduit à distinguer immédiatement, parmi les infiniment grands, quatre infinitudes principales.
Elles correspondent, ou se rattachent,
1.º à la suite naturelle des nombres,
2.º à la fonction exponentielle,
3.º à la fonction logarithmique,
4.º à la fonction factorielle.
Les séries divergentes, représentent des insiniment grands; il n'est pas sans intérêt, dans certaines questions, de savoir à quel genre d'infinitude elles appartiennent.
Et nous nous proposons dans cette Note de rechercher, sur quelques séries divergentes, à laquelle des infinitudes signalées elles appartiennent.
Nous montrerons aussi, pour mettre en lumière l'intérêt que comporte cette étude, quelques applications des résultats que nous allons obtenir, applications que le lecteur pourra poursuivre facilement.
Le sujet que nous développons ici, comme celui que nous avons
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récemment exposé dans ce Journal (*) est des plus élémentaires. Mais il peut donner lieu à divers exercices intéressants.

1. M. Catalan dans son Manuel des candidats à l’Ecole Polytechnique, parlant de la série harmonique, dit : la série dont nous nous occupons est excessivement peu divergente; c’est à dire que la somme \( S_n \) croit très lentement avec \( n \). On peut donner des séries lentement divergentes une définition qui précise le sens de ce terme en disant qu’on apelle ainsi des séries telles que le nombre des termes, le nombre \( n \), est infiniment grand par rapport à la somme \( S_n \) de ces termes.

La série harmonique est un exemple de série lentement divergente; le calcul qui suit va démontrer cette propriété.

Nous utiliserons dans les démonstrations que nous allons aborder une propriété que nous établirons d’abord.

2. PRINCIPE. La série dont le terme général \( \varepsilon_n \) est égal à

\[
\frac{1 - L \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}{n}
\]

est une série convergente.

En effet; on a

\[
L \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n} - \frac{\theta}{n^2} \quad (0 < \theta < 1)
\]

et, par conséquent,

\[
L \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 - \frac{\theta}{n}.
\]

D’après cette remarque,

\[
\varepsilon_n = \frac{0}{n^2}.
\]

La quantité \( n^2 \varepsilon_n \) ne croissant pas indéfiniment avec \( n \), on sait que la série correspondante est convergente.

3. THEORÈME. L’infinitude de la série harmonique est égale à celle de \( Ln \).

Posons

\[
S_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}.
\]

et

\[
U_n = S_n - Ln.
\]

(*) Le calcul des séries convergentes (t. II, pages 16 y 31).
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 2

MODELOS EN PROYECCION
DE LOS SEIS SÓLIDOS REGULARES DE CUATRO DIMENSIONES
POR
DR. V. SCHLEGEL
en Hagen (Alemania).
(EDITOR: L. BRILL, DARMSTADT)

N.º 1. Pentaédroïde (Fünfzell), representado por un tetraedro regular descompuesto en 4 tetraedros (1,20 marcos).
N.º 2. Octaédroïde (Achtzell), cubo descompuesto en 7 hexaedros (4,50 marcos).
N.º 3. Hexadécacaedroïde (Sechzehnzell), tetraedro regular descompuesto en 15 tetraedros (4 marcos).
N.º 4. Ikosatétraédroïde (Vierundzwanzigzell), octaedro regular descompuesto en 25 octaedros (18 marcos).
N.º 5. Hexakosioédroïde (Sechohundertzell), tetraedro regular descompuesto en 599 tetraedros (120 marcos).
N.º 6. Hekatonikosaédroïde (Hundertzwanzigzell), dodecaedro descompuesto en 119 dodecaedros (120 marcos).

MODELO EN PROYECCIÓN
DEL PRISMA CUADRILÁTERO DE CUATRO DIMENSIONES
descompuesto en cuatro pentaédroïdes de igual volumen (4 marcos).

Acompaña una memoria explicativa.—Todos los sólidos están representados por sus aristas hechas en hilo de latón y de seda. Precio de los modelos, 1—4; juntos 26 marcos. Precio de los 7 modelos juntos, 260 marcos.

Los precios se entienden aparte del embalaje (1—4: 1 marcos. 1—7: 10 marcos) de expedición.

Longchamps.—Cours de mathématiques spéciales. Supplément comprenant la Trigonometrie et la Mécanique.—Delagrave, Paris.
E. Humbert.—Traité d’Arithmetique, avec des complements.—Librairie Nony, Paris.
G. Veronese.—Fondamenti di Geometria a più dimensioni e a più specie di unità rettilinee. 20 L’ Padova
A. Fola Igurbide.—Investigaciones filosófico-matemáticas sobre las cantidades imaginarias.—1.ª sección 1881.—2.ª 1891, precio 12 pesetas, Alicante.
Fitz-Patrick, G. Cheevel.—Exercices d’Arithmétique, enonces et solutions.—10 fr. A. Hermann, Paris.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 20

La relation

\[
S_{n+1} = S_n + \frac{1}{n+1},
\]

donne

\[
S_{n+1} - L(n+1) = S_n - Ln + \frac{1}{n+1} - L\left(1 + \frac{1}{n}\right),
\]

et, par suite,

\[
U_{n+1} = U_n + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} + \frac{1 - L\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{n};
\]

ou

\[
U_{n+1} = U_n + \varepsilon'_n, \tag{H}
\]

en posant

\[
\varepsilon'_n = - \frac{1}{n(n+1)} + \frac{0}{n^2} \tag{*}
\]

\( \varepsilon'_n \) est un infiniment petit du second ordre au moins; car \( n^2 \varepsilon'_n \) ne croît pas indéfiniment, avec \( n \). Cela posé, (H) donne

\[
\begin{align*}
U_{n+1} &= U_n + \varepsilon'_n, \\
U_n &= U_{n-1} + \varepsilon'_{n-1}, \\
&\ldots \\
U_2 &= U_1 + \varepsilon'_1, \\
U_1 &= 1,
\end{align*}
\]

et, par conséquent,

\[
U_{n+1} = \varepsilon'_1 + \varepsilon'_2 + \ldots + \varepsilon'_n
\]

La série \( \varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \ldots, \varepsilon'_n \) est une série convergente puisque, comme nous venons de l'observer \( n^2 \varepsilon'_n \) ne croît pas indéfiniment avec \( n \). Alors on peut dire que \( U_{n+1} \) a une limite, pour \( n = \infty \). Ainsi, en posant,

\[
S_n = L(n) + K_n \tag{E}
\]

on voit que \( K_n \) représente une quantité ayant, pour \( n = \infty \), une limite \( K^{(*)} \).

(*) Nous appliquons ici la formule démontrée au paragraphe précédent

\[
\frac{1 - L\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{n} = \frac{0}{n^2}, \quad (0 < 0 < 1)
\]

(*) K s'appelle la constante d'Euler. Le théorème que nous venons d'établir est, comme on sait, ordinairement démontré en empruntant le calcul des dérivées ou les propriétés qui s'y rattachent. Il nous a paru utile de dégager la démonstration des considérations de cette nature.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 21

Dans cette formule, nous rappelons que \( S_n \) représente la somme des \( n \) premiers termes de la série harmonique et que le logarithme qui y figure est un logarithme népérien.

4. Corollaire. Pour \( n = \infty \), on a

\[
\frac{S_n}{L_n} = \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} + \ldots}{L_n} = 1
\]

En effet, l'égalité d'Euler donne

\[
\frac{S_n}{L_n} = 1 + \frac{K_n}{L_n},
\]

avec la condition

\[
\lim K_n = K
\]

\( K \) étant la constante d'Euler (*)

On a donc

\[
\lim \frac{S_n}{L_n} = 1
\]

Voici, maintenant, ce qu'on pourrait appeler le théorème général des séries lentement divergentes.

5. Théorème. Si, dans une série, \( u_n \) a pour limite un nombre \( K' \); ou, si \( u_n \) sans avoir de limite, reste toujours compris entre deux nombres fixes \( K', K'' \); cette série est LENTEMENT DIVERGENTE.

En effet, dans l'une ou l'autre des deux hypothèses qui viennent d'être faites, on peut trouver deux nombres \( K', K'' \) tels que, à partir d'un certain rang, qu'on peut toujours, pour le besoin de la démonstration, considérer comme le premier terme de cette série, on ait

\[
K' < 1.u_1 < K'',
\]
\[
K' < 2.u_2 < K'',
\]
\[
\ldots \ldots \ldots
\]
\[
K' < n u_n < K''
\]

En posant

\[
\Sigma_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n,
\]

on a donc

\[
K' S_n < \Sigma_n < K'' S_n,
\]

(*) D'après un renseignement que m'a donné M. Catalan, mais que je n'ai pu contrôler, le théorème en question se trouverait dans les Institutiones calculi differentialis, tome I, p. 856-1787. Le lecteur trouvera quelques détails sur la constante d'Euler dans les Mélanges Mathématiques de M. Catalan et, notamment, dans son Mémoire sur la constante d'Euler et la fonction de Binet.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 22

ou

\[
K' \frac{S_n}{L_n} < \frac{\Sigma_n}{L_n} < K'' \frac{S_n}{L_n}.
\]

Mais nous avons vu (§ 4) que

\[
\lim \frac{S_n}{L_n} = 1, \quad \text{(pour } n = \infty \text{)}
\]

donc, dans cette hypothèse,

\[
K' < \lim \frac{\Sigma_n}{L_n} < K''
\]

La série considérée est donc lentement divergente, puisqu'elle est de l'infinitude \( L_n \).

6. Remarque. Il n'est pas sans intérêt d'observer que dans les séries que nous venons de considérer, et qui sont lentement divergentes on a, pour toutes les valeurs positives de \( x \),

\[
\lim \frac{\Sigma_n}{n^x} = 0.
\]

En effet, l'identité

\[
\frac{\Sigma_n}{n^x} = \frac{\Sigma_n}{L_n} \cdot \frac{L_n}{n^x}
\]

montre que, \( \frac{L_n}{n^a} \) ayant, comme l'on sait, pour limite zéro, la limite cherchée est nulle.

7. Théorème. 1° Si, dans une série, le terme général \( u_n \) ne tend pas vers zéro, la somme de ses \( n \) premiers termes a une infinitude égale à celle de \( n \).

Si nous supposons que \( u_n \) ait une limite \( K' \), différente de zéro, on pourra déterminer deux nombres \( K', K'' \) tels que l'on ait, à partir d'un terme déterminé

\[
K' < u_{p+1} < K'', \\
K' < u_{p+2} < K'', \\
\ldots \ldots \ldots \\
K' < u_n < K'';
\]

et, par conséquent,

\[
(n - p) K' < \Sigma_n - \Sigma_p < (n - p) K''
\]
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 23

On a donc

\[
\frac{\Sigma_p}{n} + \frac{n-p}{n} K' < \frac{\Sigma_n}{n} < K'' \frac{(n-p)}{n} + \frac{\Sigma_p}{n}.
\]

Le rapport \( \frac{\Sigma_n}{n} \) étant, si grand que soit \( n \), compris entre deux limites fixes \( K', K'' \), on voit que l'infinitude de \( \Sigma_n \) est égale à celle de \( n \).

8. Remarque. Si \( u_n \) grandit au-delà de toute limite, la démonstration précédente est en défaut et la conclusion à laquelle nous avons abouti est, d'ailleurs, inexacte.

En effet, dans cette hypothèse, qui ne se présente du reste que bien rarement, on peut poser la suite d'inégalités

\[
u_1 > K', \quad u_2 > K', \ldots \ldots u_n > K'
\]

\( K' \) désignant un nombre aussi grand que l'on voudra. On a donc

\[
\frac{\Sigma_n}{n} > K'
\]

Ainsi \( \frac{\Sigma_n}{n} \) croît au-delà de toute limite; l'infinitude de \( \Sigma_n \) est supérieure à celle de \( n \).

9. Autre démonstration du théorème relatif à l'infinitude de la série harmonique. On peut rattacher \( S_n \) à la fonction \( Ln \) par une autre formule que nous allons faire connaître.

Le tableau des inégalités évidentes:

\[
\begin{align*}
1 &= 1, \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} &< 1, \\
\frac{1}{4} + \ldots \ldots + \frac{1}{7} &< 1, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \\
\frac{1}{2^{p-1}} + \ldots \ldots + \frac{1}{2^p - 1} &< 1,
\end{align*}
\]

donne

\[
S_{2^p - 1} < p \tag{1}
\]

D'autre part, le groupement qui sert à démontrer que la série
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 24

harmonique est divergente, donne

\[
S_{2^p-1} + \frac{1}{2^p} - 1 > \frac{p}{2},
\] (2)

Posons

\[
2^p - 1 = n,
\]

d'où

\[
pL2 = L(n+1).
\]

Avec cette notation, les inégalités (1), (2) prennent la forme:

\[
S_n < \frac{L(n+1)}{L2}, \tag{1'}
\]

\[
S_n > \frac{L(n+1)}{2L2} + \frac{n}{n+1}. \tag{2'}
\]

Cette dernière donne à fortiori

\[
S_n > \frac{L(n+1)}{2L2}. \tag{2''}
\]

Des inégalités (1'), (2') on déduit

\[
S_n = \theta_n \frac{L(n+1)}{L2}, \tag{G}
\]

\( \theta_n \) désignant un nombre, variable avec \( n \), mais toujours compris entre 1 et \( \frac{1}{2} \) (*)

(Se continuera)

NUEVO MODO DE CONSIDERAR LA ARITMÉTICA

Las matemáticas llamadas por los antiguos puras, tienden hoy día á dividirse en dos grupos, uno de los cuales se agrega á las Ciencias de observación. Si consideramos por ejemplo la Geometría, vemos

(*) La fórmula (G) n'est établie que pour des valeurs de \( n \) qui affectent la forme arithmétique \( 2^{2^x}-1 \). Il est facile de reconnaître qu'elle subsiste quel que soit \( n \).
En effet: un nombre entier \( N+1 \) qui n'est pas une puissance exacte de 2 est compris entre deux puissances consécutives de 2 et l'on peut poser

\[
2^{n'} < N + 1 < 2^{n''}, \qquad (n' = n'' + 1).
\]
Par suite, on a
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que está basada en multitud de hipótesis que la observación únicamente puede comprobar, no siendo capaz de ello el raciocinio. El número de estas hipótesis se reconoce hoy que es mucho mayor de lo que primeramente se creía. Afirmando ó negando determinados axiomas se obtienen sistemas diferentes de geometría. Muchas de tales hipótesis se hallan expuestas en los escritos del célebre físico Helmholtz (Ueber die Thatsachen welche der geometrie zu grunde liegen, Göttinger Nachr, 1868, y Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome, Braunschweig, 1876), así como en los de Bernard Riemann Ueber die Hypothesen welche der geometrie zu grunde liegen, Göttinger Abh. 1867). Ahora bien, del mismo modo que Gauss, Bolyai y Lobachevsky han construido sistemas geométricos negando el postulado Euclides de las paralelas; así, más recientemente se crean disciplinas en que se niegan otros. Es muy curioso por los datos que á este respecto contiene un artículo del eminente matemático francés

\[
S_{2^{n'}-1} < S_N < S_{2^{n'}-1},
\]

et, à plus forte raison,

\[
\frac{S_{2^{n'}-2}}{L(2^{n'}-1)} < \frac{S_N}{LN} < \frac{S_{2^{n'}-1}}{L(2^{n'}-1)},
\]

ou

\[(a) \quad \frac{L(2^{n'}-1)}{L(2^{n'}-1)} \left[ \frac{S_{2^{n'}-1}}{L(2^{n'}-1)} \right] < \frac{S_N}{LN} < \frac{L(2^{n'}-1)}{L(2^{n'}-1)} \left[ \frac{S_{2^{n'}-1}}{L(2^{n'}-1)} \right].\]

Le rapport

\[
\frac{L(2^{n'}-1)}{L(2^{n'}-1)},
\]

ou posant

\[
2^{n'}-1 = x,
\]

est égal à

\[
\frac{L(2x+1)}{Lx} = \frac{Lx + L\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{Lx} = 1 + \frac{L\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{Lx},
\]

il a donc pour limite l'unité, pour \(x\) infiniment grand. De cette remarque et de l'inégalité (a) résulte la généralisation de la formule (6) qui a lieu pour toutes les valeurs entières, positives, de \(n\).