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El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 10

\[
\frac{\operatorname{sen} bC}{\operatorname{sen} bA} = \frac{\operatorname{sen} cB}{\operatorname{sen} cA}.
\]

Según esto, todos los arcos tales como el \( bc \) encontrarán al lado BC á 90° de su punto medio [15].

38. 34.a.—Si desde un punto á 90° del medio de BC se trazan arcos que corten á los lados BC y AC, y se unen los puntos de intersección de cada arco transversal con los vértices opuestos, las intersecciones de cada par de arcos están en el que une el vértice A con el punto medio de BC.

39. 35.a.—Los arcos que unen los tres vértices de un triángulo esférico con los punios medios de los lados opuestos concurren en un mismo punto.

40. 36.a.—Los arcos que unen dos vértices de un triángulo con los puntos marcados en los lados opuestos á 90° de sus medios, y el arco que une el tercer vértice con el medio del lado opuesto, concurren en un mismo punto.

41. 37.a.—Si desde dos puntos A y A', tomados en los lados de un ángulo O, se trazan pares de arcos Ab' y A'b, Ac' y A'c... cuyas intersecciones \( \beta, \gamma ... \) estén en otra arco que pase por O, la razón

\[
\frac{\operatorname{sen} bA'A}{\operatorname{sen} bA'O} : \frac{\operatorname{sen} b'AA'}{\operatorname{sen} b'AO}
\]

es constante e igual á \( - \frac{\operatorname{sen} xOA}{\operatorname{sen} xOA'} \), siendo \( x \) el punto en que el arco Oβγ... encuentra al AA'.

En efecto:

\[
\frac{\operatorname{sen} bA'A}{\operatorname{sen} bA'O} = \frac{\operatorname{sen} bA}{\operatorname{sen} bO} : \frac{\operatorname{sen} A'A}{\operatorname{sen} A'O}
\]
\[
\frac{\operatorname{sen} b'AA'}{\operatorname{sen} b'AO} = \frac{\operatorname{sen} b'A'}{\operatorname{sen} b'O} : \frac{\operatorname{sen} AA'}{\operatorname{sen} AO},
\]

de donde

\[
\frac{\operatorname{sen} bA'A}{\operatorname{sen} bA'O} : \frac{\operatorname{sen} b'AA'}{\operatorname{sen} b'AO} = \frac{\operatorname{sen} xA}{\operatorname{sen} xA'} : \frac{\operatorname{sen} OA}{\operatorname{sen} OA'} = \frac{\operatorname{sen} xOA}{\operatorname{sen} xOA'}.
\]

42. 38.a.—Dado un triángulo esférico ABC, si desde un punto de la superficie esférica se trazan arcos á los tres vértices, que encuentran á los lados opuestos en los puntos a, b, c, se verifica la relación

\[
\frac{\operatorname{sen} bRC}{\operatorname{sen} bBA} : \frac{\operatorname{sen} cCB}{\operatorname{sen} cCA} = \frac{\operatorname{sen} aAC}{\operatorname{sen} aAB} \quad [f']
\]

43. 39.a.—Recíprocamente: Si la relación [f'] se verifica, los tres arcos Aa, Bb, Co, concurren en un mismo punto.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 11

44. 40.* — Los arcos que partiendo de dos vértices de un triángulo esférico se cruzan en la bisectriz del tercero, dividen á los dos primeros arcos en segmentos cuyos senos son proporcionales.

Pues si Aa es el arco bisector del ángulo A, será \( \frac{\operatorname{sen} aAC}{\operatorname{sen} aAB} = 1 \),
luego \( \frac{\operatorname{sen} bBC}{\operatorname{sen} bBA} = \frac{\operatorname{sen} cCB}{\operatorname{sen} cCA} \).

45. 41.* — Los tres arcos bisectores de los ángulos de un triángulo esférico concurren en un mismo punto.

46. 42.* — Los arcos bisectores de dos ángulos externos de un triángulo interno, concurren en un mismo punto.

NOTA CON MOTIVO DE LA CUESTIÓN 95

(Véase tomo II, página 344 y tomo III, página 109).
por M. H. BROCARD

Se ha dado un número de ocho cifras cuadrado, formado de dos números consecutivos \( p \) y \( p + 1 \) de cuatro cifras.
Véanse dos ejemplos del sistema inverso, de dos números \( p \) y \( p - 1 \), de cuatro cifras.
Véanse dos ejemplos del sistema inverso, de dos números \( p \) y \( p - 1 \), de cuatro cifras:

8242 8241 cuadrado de 9079;
9802 9801 cuadrado de 9901

Por otra parte, se han indicado los dos cuadrados de diez cifras que forman dos grupos de cinco que representan dos números consecutivos:
11224 13225 cuadrado de 36365
40945 40946 cuadrado de 63636

BIBLIOGRAFÍA

AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS, published under the Auspices of the Johns Hopkins University of Baltimore.—Se ha recibido en esta
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 12

Redacción el número 4 del tomo XV de esta notable publicación. Entre otros muy interesantes trabajos, se hallan contenidos en este tomo los siguientes:

Basset: On Toroidal Functions.—Brown, E.: The Elliptic Irregularities in the Lunar Theory, The elliptic Inequalities in the Lunar Theory.—Cajori, Florian: On the multiplication of semi-convergent Series.—Cayley: On Symmetric Functions and Siminvariants, Tables of Pure Reciprocants to the Weight 8. Note on the so-cal'd Quotient G/H in the Theory of Groups.—Cole, F. N., Simple Groups as far as Orden 660.—Davis, Ellery: Geometrical Illustration of Some Theorems in Number.—Glover, J. W. and Cole E. N, On Groups whose Orders are Products of Three prime factors.—Holgate, T. F. On Certain Ruled Surfaces of the Fourth Orders.—Metzler, W. H, On Certain Properties of Symmetric, Skew Symmetric and Orthogonal Matrices.—Scott, Charlotte Angas. The nature and Effect of Singularities of Plane Algebraic Curves.

Entre estos se hallan otros notables trabajos de los matemáticos Thompson, Young, etc.

Se han recibido, además:
Bulletin scientifique redigé, par M. Ernest Lebon. París.
Journal de Mathematiques élém. et spéciales publié sous la direction de M de Longchamps. Novembre 1893. París.
Mathesis publié par P. Mansion et J. Neuberg. Gand. El último cuaderno publicado contiene una original memoria titulada Essai de Géométrie Général, par le colonel J. de Tilly,
Periodico di Matematica pubblicato per cura di Aurelio Lugli. Roma.
Bibliotheca mathematica, publié par Gustaf Eneström. Stockholm.
El cuaderno 3.º contiene: Die Mathematik bei den Juden. von Moritz Steinschneider.—Nota storica sul'a variazione delle latitudini, di Ottavio Zonotti Bianco.—Un nuovo documento relativo alla logistica greco-egiziana di Gino Loria.—Recensionen—Publications récentes.
Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas publicado pelo Dr. F. Gomes Teixeira, director de la Academia Politécnica de Oporto. El número 5 del tomo XI (1893) contiene: Sur les séries de Fonctions, par S. Pincherle.—Sobre a adição e as diferenciações nas funções ellipticas, por J. Pedro Teixeira.—Sur les lignes géodésiques des paraboloïdes, par R. Marcolongo.—Bibliografia.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 13

LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
LOS CÍRCULOS DE TUCKER Y SUS CASOS PARTICULARES
POR M. EMILE VIGARIÉ

1. Histórico y Bibliografía.—Los círculos de Tucker han sido señalados por vez primera por M. Lemoine (Association française 1873) y hallados por M. Neuberg (Mathesis 1881). Han sido hallados de nuevo por Mr. R. Tucker (Quarterly Journal 1883) de los que ha presentado muchas propiedades, y por esta razón M. Neuberg ha propuesto (Reprint Educational Times 1885) llamarlos círculos de Tucker.

Estos círculos importantes han sido estudiados por muchos geómetras, y los trabajos á los que han dado origen son muy numerosos.

Véase la lista de las principales memorias que se han publicado referentes á los círculos de Tucker propiamente dichos, á sus casos particulares y á sus generalizaciones.

1 E. Lemoine.... Sur quelques propriétés d’un point remarquable du plan d’un triangle. (Association française pour l’avancement des sciences. Lyon. 1873, pp. 90-95).
2 Eutaris......... Question proposée (Journal de Vuibert. 1877. p. 43).
3 E. Catalan....... Théorèmes et problèmes de Géométrie. 1 vol. 6mo edition. Paris. 1879.
4 J. Neuberg.... Sur le Centre des Médianes antiparallèles. (Mathesis. 1881. pp. 153, 173, 185).
5 H. M. Taylor.. On a Six point circle connected with a triangle (Messenger of Mathematics. 1882. pp. 177-179).
6 R. C. Rowe..... Note on M. H. M. Taylor’s Circle (Messenger of Math. 1883. p. 36).
7 R. Tucker...... Note on M. H. M. Taylor’s six points Circle (Messenger of Math. 1883. pp. 181-182).
8 R. Tucker...... The triplicate-ratio-circle (Proceedings of the London Mathematical Society. 1883. pp. 316-321).
9 R. Tucker...... The triplicate ratio-circle. (Quarterly Journal. 1883 pp. 342-348).
10 H. M. Taylor... On the relations of the intersections of a circle with a triangle (Proceedings Lond. Math. Society. 1884. pp. 122).
11 R. Tucker...... On a group of circles. (Quarterly Journal 1884. pp. 57-59).
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 14

12 E. Lemoine.... Quelques propriétés des parallèles et des antiparallèles aux côtés d'un triangle (Bulletin de la Société Mathématique de France. 1884. pp. 72-78).
13 R. Tucker...... Symmedian and T. R. circle (Reprint of the Educational Times. 1884. pp. 26-28).
14 J. Neuberg..... Sur les cercles de Tucker. (Reprint Educat. Times. 1885. pp. 71-74).
15 J. Neuberg.... Sur les figures Semblablement variables. (Proceedings of the London Math. Soc. 1885. pp. 186-189).
16 E. Vigarié...... Théorèmes sur les intersections d'un cercle et d'un triangle d'après M. H. M. Taylor (Journal de Longchamps. 1886. pp. 106-109, 151-153).
17 E. Vigarié...... Propriétés générales des cercles de Tucker (Journal de Longchamps. 1885. pp. 195-198, 222-227).
18 E. Vigarié...... Sur la question 5 de M. Neuberg (Journal de Longchamps. 1886. pp. 180-181).
19 R. Tucker...... Geometrical Notes. Conjugate Tucker circles. (Proceedinys Lond. Math Soc. 1886 p. 420-431).
20 E. Lemoine.... Quelques questions de rapportant à l'étude des antiparallèles aux côtés d'un triangle. (Bulletin des Sciences Mathématiques. 1886. pp. 107-128).
31 J. Neuberg.... Equation générale des cercles de Tucker. (Journal de Math. Spéciales de Longchamps. 1886. pp. 241-245).
22 T. C. Simmons An introduction of the recent geometry (Chapitre du Companion of the weekly problems papers. par M. J. J. Milne. 1 vol. 1888).
23 E. Lemoine.... Théorèmes divers sur les antiparallèles aux côtés d'un triangle (Mathesis. 1884. pp. 201-204).
24 E. Vigarié...... Sur le premier Cercle de Lemoine. (Journal de Longchamps. 1888. pp. 244-251).
25 R. F. Davis.... The recent geometry of triangle (Association for the improvement of Geometrical Teaching. 1888. pp. 35-46).
26 E. Vigarié...... Note sur la question 269. (Journal de Longchamps. 1888. pp. 115-116).
27 A. Emmerich. Die Brocardschen Gebilde. 1 vol. Berlin. 1891.
28 E. Lemoine.... Résultats et théorèmes divers concernant la Géométrie du triangle. (Association française, Congrès de Pau. 1892
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 15

I

Figuras semejantemente variables.

2. Dos figuras semejantes, semejantemente dispuestas y situadas en un mismo plano pueden hacerse homotéticas por una rotación alrededor de un punto S en su plano.

Supongamos conocido un punto S, y sean ABC..., A'B'C'.... las dos figuras semejantes tales, que:

\[
\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = .... = k
\]

Sobre los radios vectores SA, SB, SC,... determinemos los puntos A", B", C"..., tales que

\[
\frac{A"C"}{AB} = \frac{B"C"}{BC} = .... = k
\]

Las dos figuras ABC..., A"B"C"... son homotéticas, y las rectas que unen dos puntos homólogos son paralelas, y están entre sí en la relación \(1 : k\).

Si se hace girar (fig. 1) el sistema A"B"C"... alrededor del punto S en un ángulo A'SA'=\(z\), llega á colocarse en A'B'C'... Los dos sistemas ABC..... y A'B'C'.... se corresponden punto por punto, los segmentos homólogos se hallan entre sí en la relación \(k\) y forman entre sí el ángulo \(\alpha\).

Recíprocamente: Si ABC..., A'B'C'.... gozan de esta propiedad, se puede hallar un punto S tal, que una rotación alrededor de este punto haga á los dos sistemas homotéticos. Este punto es la intersección de las dos circunferencias A'EA" y B'EB".

El punto S, que es su propio homólogo en las dos figuras, se llama centro de semejanza ó punto doble.

Fig. 1
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 16

Podemos enunciar estos resultados bajo la forma siguiente:

1.º Cuando una figura plana se mueve de una manera cualquiera en el plano permaneciendo semejante á sí misma, existe siempre en este plano un punto que, considerado como perteneciente á la figura móvil, queda fijo.

2.º Toda mutación de una figura semejantemente variable en su plano, es equivalente á una rotación de la misma alrededor de un punto fijo del plano y á una deformación (contracción ó dilatación) simultánea de la figura, efectuada según la ley de semejanza.

3. Acabamos de ver que, si por un punto A' se traza una recta cualquiera A'B', corta á su homóloga A"B" en un punto E y forma con ella un ángulo igual al ángulo de rotación α. Luego:

Si se toman dos puntos homólogos cualesquiera en dos posiciones determinadas de una figura semejante variable en un plano, el lugar geométrico de los puntos de intersección respectivos de todas las rectas que pasan por uno de estos puntos, con las rectas homólogas que pasan por el segundo punto, será un círculo que pasa por los dos puntos dados y por el centro de semejanza de las dos figuras.

4. Consideremos la recta A'A" como una recta de la figura Σ'(A'B'C'...): Ella forma con A'C' un ángulo igual á α (ángulo de rotación). Su homóloga en Σ'(A'B"C"...), debe, pues, formar también con A"C", un ángulo igual á α. Es, pues, tangente en A" á la circunferencia A'A'S. Luego:

El círculo A'A"S del lugar geométrico precedente es tangente á la recta homóloga á la que une los dos puntos elegidos A' y A"

Este resultado puede enunciarse todavía como sigue:

Cuando una recta gira alrededor de un punto A', su homólogo envuelve una circunferencia que pasa por el centro de semejanza, el punto A' y el punto A", homólogo de A'.

O todavía: Dos rectas homólogas en dos posiciones diferentes de la figura móvil se cortan bajo un ángulo constante

Se ve entonces inmediatamente que:

Las rectas que unen dos á dos los puntos homólogos tomados sobre dos rectas cualesquiera en dos posiciones de la figura variable, envuelven una parábola que es tangente á las dos rectas.

5. Supongamos que tres puntos de la figura móvil se hallan sujetos á describir rectas. Los tres puntos dados α, β, γ forman un triángulo xyz inscripto en el triángulo ABC formado por las tres rectas trayectorias.

No hallamos, pues, en este caso, reducidos al estudio de un trián-
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 17

gulo \( \alpha \beta \gamma \) que se mueve en un triángulo fijo ABC permaneciendo semejante á sí mismo.

Las circunferencias \( A\beta \gamma, B\gamma \) se cortan en un punto F tal, que
\[
BF\gamma = \pi - A,\quad aF\gamma = \pi - B
\]
de donde
\[
aF\beta = \pi - C
\]
y la circunferencia \( C\beta z \) pasa igualmente por el punto F.

Como desde el punto F se ven siempre los lados de \( \alpha \beta \gamma \) bajo ángulos constantes, este punto es siempre su propio homólogo con relación á \( \alpha \beta \gamma \).

El punto F es fijo con relación á ABC. En efecto, porque en los cuadriláteros \( BzF\gamma, zFC\beta \), se tiene:
\[
FBC = F\gamma z\quad FCB = F\beta z
\]
Es bueno observar que:
\[
\angle BFC = \text{áng. } B\gamma z + \text{áng. } CFA = \text{áng. } B\gamma z + \text{áng. } C\beta z = 2\pi - (B + C) - (\pi - a) = A + z
\]
Luego:
Desde el punto F se ven los lados de \( z\beta \gamma \) bajo los ángs. \( \pi - A, \pi - B, \pi - C \), \( F, \gamma, z, ABC, A + z, B + \beta, C + \gamma \)

Se puede enunciar este resultado diciendo que:
Cuando un triángulo móvil \( \alpha \beta \gamma \) permanece semejante á sí mismo é inscrito en un triángulo fijo ABC, existe un triángulo móvil que es fijo; este punto es aquél desde el cual se ven los lados de \( \alpha \beta \gamma \) bajo ángulos suplementarios de los de ABC, y los lados de ABC bajo ángulos respectivamente iguales á las sumas de los ángulos correspondientes en los dos triángulos (Neuberg)(*)。

6. Observemos que:
\[
\text{áng. } FzC = \text{áng. } zFB = \text{áng. } zBF
\]
ahora, en el cuadrilátero inscriptible \( BzF\gamma \).
\[
\text{áng. } zFB + \text{áng. } aBF = \text{áng. } z\gamma B + \text{áng. } a\gamma F = \text{áng. } F\gamma B
\]
luego
\[
\text{áng. } F\gamma B = \text{áng. } FzC = \text{áng. } F\beta A
\]

La generación del triángulo \( \alpha \beta \gamma \) es ahora más fácil. Para tener una posición cualquiera de este triángulo, basta hacer girar el haz \( F(x\beta \gamma) \) que tiene por vértice el punto F y por rayos \( Fa, F\beta, F\gamma \), alrededor del punto F en un ángulo cualquiera, y tomar las intersecciones de los rayos con los lados de ABC.

(*) La notación (Neuberg, 15) indica que la proposición citada ha sido enunciada en la Memoria que figura con el número 15 en la lista precedentemente dada, y que es devida á M. Neuberg. Emplearemos frecuentemente esta notación en lo sucesivo. E.V.
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 18

El triángulo podar \( \alpha_1 \beta_1 \gamma_1 \) del punto F es, pues, una posición particular del triángulo \( x \beta \gamma \); corresponde al mínimo del área de \( x \beta \gamma \).

7. Sea \( \omega_1 \) un punto de la figura \( \alpha_1 \beta_1 \gamma_1 \) y \( \omega \) su homólogo (fig. 2) en \( x \beta \gamma \). Los triángulos \( F_{\alpha_1} z, F_{\omega_1} \omega \) son semejantes, luego el punto \( \omega \) describe una recta perpendicular á \( F_{\omega_1} \). Por consiguiente:

Un punto cualquiera de la figura móvil describe una recta perpendicular á la recta que une el punto doble al punto homólogo del punto dado M el triángulo mínimo (Neuberg, 15).

Fig. 2.

Sea \( \delta \) (fig. 2) una recta cualquiera de la figura móvil y \( \delta_1 \) su homóloga en el triángulo mínimo \( x_1 \beta_1 \gamma_1 \). Desde F tracemos una recta \( F_{\varepsilon_1} \), perpendicular á \( \delta_1 \). Según lo que precede \( \varepsilon_1 \) describe \( \delta_1 \). Cuando \( \varepsilon_1 \) viene á \( \delta \), \( \delta_1 \) viene á \( \delta \), y \( \delta \) es perpendicular á FE; por consiguiente \( \delta_1 \) es la tangente en el vértice de una parábola de foco F. Luego:

Una recta cualquiera de la figura móvil envuelve una parábola que tiene por foco el punto doble y cuya tangente en el vértice es la posición correspondiente de la recta dada en el triángulo mínimo. En particular; los lados \( \beta_1 \gamma_1, \gamma_1 x, x \beta \) del triángulo móvil \( x \beta \gamma \) envuelven tres parábolas
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 19

que tocan á dos lados del triángulo ABC y tienen por foco común el punto F. Los vértices de estas curvas son las proyecciones del punto F sobre los lados del triángulo mínimo \( x_1 \beta_1 \gamma_1 \) (Neuberg. 15).

8. Consideremos (fig. 3) una circunferencia de la figura móvil; sea O su centro y AA' su diámetro que pasa por F. Sean A_1, O_1, A'_1 los homólogos de estos puntos en el triángulo mínimo \( x_1 \beta_1 \gamma_1 \). Cuando la circunferencia móvil se mueva, el punto O describirá la recta OO_1 perpendicular á O_1F; igualmente los puntos A, A' describirán las rectas AA_1, A'A'_1 perpendiculares á O_1F. La investigación de la envolvente de la circunferencia O se reduce, pues, á la cuestión siguiente:

Sobre las rectas trazadas por un punto fijo F y comprendidas en-

tre dos paralelas fijas AA_1, A'A'_1 como diámetros se describen circunferencias: ¿cuál es la envolvente de estas curvas?
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 2

despedirse, entregó algunas monedas al cicerone.... que no era otro que el propio Lobachevski, director del Observatorio, en persona. ¡A la tarde se reunieron ambos en la mesa del gobernador!

Como modelo de su sabia administración rectoral se refiere otro rasgo notable:—Cuando el cólera asolaba á Rusia, Lobachevski aisló enérgicamente á la Universidad, en cuyo recinto encerró á los alumnos, á los profesores y á sus familias, logrando así que se salvaran milagrosamente del contagio.

En el año de 1856, 12 de Febrero (estilo antiguo), terminó su vida empleada en provecho de la Ciencia. Los disgustos producidos por la ingratitud de los hombres y la muerte prematura de su único hijo arruinaron su salud y precipitaron su fin. Un año antes de morir, en 1855, se celebraba un aniversario de la fundación de su querida Universidad; el sabio inmortal se sentía morir, y reuniendo todas sus fuerzas escribió su Pangeometría, resumen y corona de sus anteriores trabajos, que dedicó á su amada Alma Mater. Luego languideció de tristeza hasta su muerte. Su memoria será honrada siempre al par de la de los más grandes geómetras y pensadores del mundo. Justo es añadir que su gloria geométrica, al crear la geometría No-Euclídea, la comparte con dos sabios tan modestos cuanto esclarecidos y desgraciados. Nos referimos á Wolfgang y Juan Bolyai, que independientemente llegaron á muchos de sus resultados, y con quienes la Ciencia tiene una deuda grande de gratitud.

Desde que en mal hora se hizo de la Filosofía una Ciencia especial, en vez de considerarla como el resumen de todas, muchos hombres osados se han ocupado de ella y con frecuencia en una jerga pedante é ininteligible. El espacio y el tiempo fueron á menudo el objeto de sus disparatadas luoubraciones. Lobachevski abrió una nueva era en estos estudios, mostrando el verdadero camino que, para conocer su naturaleza, debe emprenderse. Emprendió la investigación escrupulosa de los axiomas (así llamados) geométricos y halló que su verdad es sólo producto de la experiencia, mejor aún, la experiencia indica hoy que son ciertos, quizá cuando nuestros medios de observación sean más perfectos podrá descubrirse su falsedad. La razón, con sus solos recursos no puede pronunciarse por él pro ni el contra. La ciencia ha adquirido así las geometrías No-Euclídeas en que se suponen falsos determinados axiomas. Gauss el príncipe de los matemáticos, sancionó la obra comenzada por el astrónomo ruso y por los dos Bolyai sus amigos.

Quizás el ilustre profesor alemán (el águila de Gottingen, como
El Progreso matemático (1893-12-15 00:00:00), página 20

Si se consideran dos posiciones infinitamente próximas de la circunferencia móvil, que O y \( \omega \) sean sus centros y M uno de los puntos de intersección, los radios MO y \( M\omega \) son proporcionales á FO y F\( \omega \); se tiene, pues:

\[
\frac{MO}{M\omega} = \frac{FO}{F\omega}
\]

es decir, que las bisectrices interiores y exteriores de los ángulos \( OM\omega \) y \( OF\omega \) encuentran á OO\(_1\) en los dos mismos puntos. Pasando al límite, se ve que la tangente en M, punto en que la circunferencia móvil O toca á su envolvente y la perpendicular en F á FO, encuentran á OO en un mismo punto T; ó de otro modo, T, M, F, O se hallan en una misma circunferencia que pasa también por el simético F' de F con relación á O\(_1\). Los ángulos OMF y OMF' tienen, pues, la misma medida; por consiguiente la tangente á la envolvente forma ángulos iguales con las rectas MF y MF'. *La envolvente de la circunferencia móvil es, pues, una cónica* (Neuberg 15).

Sea N el punto en que M corta á O\(_1\)F, se tiene:

\[
\frac{NF'}{MF'} = \frac{NF}{MF} = \frac{NF'+NF}{MF+MF'} = \frac{FF'}{MF+MF'}
\]

pero los triángulos semejantes OMF y NF'M dan

\[
\frac{NF'}{MF'} = \frac{OF}{OM} = \frac{OF}{OA} = \frac{O_1F}{O_1A_1} = \frac{FF'}{A_1A_1'}
\]

de donde

\[
MF + MF' = A_1A_1'
\]

Luego: *La envolvente de una circunferencia de la figura móvil es una elipse inscripta al triángulo formado por las tres rectas fijas y cuyo punto doble es un foco. El eje mayor de esta elipse es igual al diámetro de la circunferencia mínimo* (Neuberg. 15).

*Observaciones.—* 1.º El punto F', segundo foco de la elipse, es el punto inverso (conjugado isogonal de F).
2.º El círculo \( \alpha, \beta, \gamma \) encuentra á los lados de ABC en tres nuevos puntos \( \alpha_1', \beta_1', \gamma_1' \) que son las proyecciones de F' sobre los lados de ABC.

*(Se continuará).*