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El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 26

Mr. Poincaré, referente á la geometría No-Euclidea. La ciencia del espacio, pues, del mismo modo que la del movimiento, depende muy esencialmente de la observación y del experimento, ya que el raciocinio no puede decidir en cuanto á la verdad ó falsedad de sus hipótesis fundamentales. Suponiendo que las consideradas hoy como ciertas fuesen todas falsas, podríamos, sin embargo, formar un cuerpo de doctrina libre de contradicción.

Más, según muy bien dice el Sr. Poincaré, si deseamos un sistema de verdades aritméticas, en oposición del que hoy existe y exento de contradicciones, vemos que es imposible.

La Aritmética es tan invariable como las leyes del juicio; es en una palabra, una rama de la Lógica pura. Siguiendo varios sabios modernamente este criterio, se ha conseguido que á muchas demostraciones empíricas expuestas antes en los autores (1), han sucedido otras llenas de rigor. El concepto fundamental de número entero ha sido perfectamente esclarecido. La marcha indicada, que felizmente inició H. Grassmann (Lehrbuch der Arithmetik, Berlín 1861), fué seguida luego por el insigne Santiago Peirce, que además consideró la Aritmética como una rama de la lógica de los relativos. Dedekind y Cantor, dos egregios matemáticos alemanes, han dado definición exacta y rigurosa de lo que debe entenderse por número finito ó infinito de elementos de un sistema, indicando curiosísimas propiedades de la enumeración, antes ignorada ó demostradas insuficientemente.

Mientras que así se establecen con solidez las bases fundamentales de la Aritmética de los enteros, también adelanta el estudio racional de los números fraccionarios y de los incomensurables. Tannery y Meray en Francia (Tannery, Introduction á la théorie des fonctions d'une variable, París, 1886. Meray, Théorie élémentaire des fractions dégagée de toute consideration impliquant, etc. París, 1889). Stolz en Austria (Vorlesungen über Arithmetik 1885, Leipzig) y Peano en Italia (sul concetto di numero II), definen perfectamente á los quebrados, con independencia de toda interpretación concreta.

Lo propio han hecho respecto á los números incomensurables Tannery en su obra ya citada, Dedekind en su folleto célebre: Stetigkeit und irrationale Zahlen, y el ilustre profesor berlines Weierstrass en sus lecciones.

El Análisis necesita sólo para sus magníficas y abstractas creaciones del concepto de número entero positivo, y con esta noción hay bastante para reconstituirlo todo entero. Así lo muestra también entre

(1) Por ejemplo, la referente á que el orden de factores no altera el producto.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 27

otros Leopoldo Kronecker, recientemente fallecido, en un hermoso artículo publicado en el Journal für Mathematik, fundado por Crelle, artículo bellísimo en forma y fondo.

El Álgebra ordinaria tiende hoy, pues, á aritmétizarse. Los analistas son cada vez más partidarios del dicho de Gauss: Las matemáticas son las reinas de las ciencias y la Aritmética es la reina de las matemáticas.

Y como en suma, la Aritmética es según ya he indicado una rama de la Lógica de los relativos, se comprende bien cuán exacta es la antigua sentencia: Logica est Ars artium et Scientia scientiarum. Conforme Peano expone en sus aureos folletos, las leyes que regulan los números son derivación directa de las que rigen el pensamiento humano.

Y si alguno pregunta qué utilidad inmediata pueden tener para la vida práctica actual tales innovaciones, contestaré con Schiller, el inmortal poeta alemán, en su apólogo Arquímedes y el joven:

Wer um die Göttin freit
suche in ihr nicht das Weib.

El adorador de la diosa no debe buscar en ella á la mujer.

PROFESOR DR. VENTURA REYES PRÓSPER.

EL 70.º ANIVERSARIO DE M. CH. HERMITE

24 Diciembre de 1892.

I.—Circular del 19 de Octubre de 1892 (*)

Muy señor mio: Dentro de algunos meses (**), uno de los más eminentes geómetras de nuestro siglo, M. Hermite, va á cumplir 70 años. Su vida entera se ha consagrado á la ciencia. Desde aquellos precoces trabajos que atraían la atención de Jacobi sobre un joven alumno, hasta su reciente Memoria Sur les applications des fonctions elliptiques, ha caminado sin cesar de descubrimiento en descubrimiento. De todos estos esfuerzos se ha creído siempre bastante recompensado por los progresos de sus dos ciencias predilectas, la Aritmética y el Análisis, y no ha buscado ni los honores, ni la gloria.

(*) Traducida.
(**) El retraso sufrido por la publicación de EL PROGRESO MATEMÁTICO desde el mes de Octubre, en que se inauguró el Congreso Pedagógico celebrado en Madrid, ha sido causa involuntaria del retraso en dar á conocer este documento que hoy anteponemos á la relación de la solemnidad científica con que los matemáticos de todo el mundo han honrado al egregio matemático gloria de Francia.

Z. G. de G.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 28

Pero si huye de una notoriedad, no rechazará sin duda un testimonio sincero de reconocimiento y de respeto. Por esto es por lo que una multitud de discípulos y admiradores de M. Hermite, cree deber convocar á aquéllos que han seguido sus lecciones, como á aquéllos que las han aprovechado ó que han experimentado de una manera cualquiera su influencia.

Todos, en efecto, le debemos mucho; no solamente su palabra, sus obras y sus consejos han guiado nuestros primeros pasos, pero su vida nos ha dado un gran ejemplo. Nos ha enseñado á amar la ciencia con un amor desinteresado.

Pueda nuestro concurso probarle que esta lección no se haya malogrado y colmar uno de sus deseos más caros dándole la esperanza de que otros recogerán un día la cosecha que tan liberalmente ha sembrado.

Esperamos, señor, que participareis de los mismos sentimientos y juzgareis como medio más adecuado de probar á M. Hermite nuestra admiración el de ofrecerle, con motivo de su 70.º aniversario, una medalla en que se halle reproducida su efígie, y que confiamos ejecutará uno de los más ilustres grabadores, con una dedicatoria acompañada de las firmas de numerosos amigos de la ciencia.

II. — La ceremonia del 24 de Diciembre de 1892.

El 24 de Diciembre de 1892, á la una de la tarde, una conmovedora ceremonia reunía, en las nuevas salas de la Sorbonne, á los amigos, á los discípulos y á los admiradores de M. Hermite. Tenía por objeto el celebrar el acto de cumplir 70 años el ilustre geómetra, entregándole una medalla grabada por M. Chapelain.

El señor Ministro de Instrucción pública presidia; á sus lados se hallaban los señores Ministro de Suecia y Noruega, el Director de Enseñanza superior, el general comandante de la Escuela Politécnica y el Director de la Escuela Normal superior. M. d'Abbadie, presidente de la Academia de Ciencias (delegado de la Academia pontificia del Lincei) y M. Bichat, decano de la Facultad de Ciencias de Nancy se hallaban al lado de M. Hermite. En frente se hallaban M. Darboux, decano de la Sorbonne, los miembros de la sección de geometría de la Academia de Ciencias, los Sres. Schwarz y Greenhill, representantes respectivamente de la Facultad de Ciencias de Berlín, de la Sociedad Matemática de Londres, los Sres Vicaire, presidente de la Sociedad Matemática de Francia, Camille Jordán, delegado del Círculo Matemático de Palermo y Lapparent, delegado de la Sociedad Científica de Bruselas.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 29

En la compacta concurrencia se confundían los miembros del Instituto, profesores de la Sorbonne y de los principales establecimientos científicos de París, las diputaciones enviadas por los alumnos de las Escuelas Normal y Politécnica y los estudiantes de la Sorbonne.

Después del discurso de apertura, pronunciado por el decano de la Facultad de Ciencias, M. Poincaré, tomando la palabra en nombre del Comité, consignó algunas páginas de la gloriosa carrera de monsieur Hermite.

El Sr. Schwarz le presentó las felicitaciones del Sr. Weierstrass su ilustre maestro, y de los Sres. Fuchs y Frobenius sus colegas, entregándole, al terminar, el primer ejemplar de la edición francesa de su obra sobre las funciones elípticas.

M. Jordán presentó enseguida las felicitaciones y telegramas recibidos en esta ocasión de todos los puntos de Europa.

M. Vicaire tomó enseguida la palabra en nombre de la Sociedad Matemática de Francia; M. Bichat en nombre de la villa de Nancy; M. Abbadie en nombre del Instituto de Francia.

M. Hermite contestó á todas estas felicitaciones lleno de emoción,

En fin, el señor Ministro de Instrucción Pública, cerró la sesión con un elocuenteísimo discurso, entregando acto continuo á M. Hermite, en medio de los aplausos entusiastas de la concurrencia, las insignias de oficial superior de la Legión de honor.

Notas que pueden servir para un artículo biográfico acerca de Gerono

Nació Gerono el 29 de Diciembre de 1799 en París, y cuando faltaban unos días para cumplir los 93 años de edad, la muerte le sorprendió el 5 de Noviembre último.

Alumno distinguido en el Liceo de Louis le Grand, donde fué premiado en el concurso general de 1815, Gerono se dedicó á la enseñanza de las ciencias matemáticas en la que ocupó el lugar que justificaba ampliamente su talento.

Sus relaciones con varios geómetras ilustres le designaban para proseguir con algunos años de intervalo la obra tan útil de Gergonne, el fundador de los Annales de Mathématiques, y tuvo la gloria de inaugurar la publicación de los Nouvelles Annales de Mathématiques en 1842 con un estudio sobre las fracciones continuas, asociado á Terquem, su activo y notable colaborador que dió la medida de su infatigable entusiasmo en una multitud de artículos y de notas originales:
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 3

El Progreso Matemático

PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR
Don Zoel G. de Galdeano
CATEDRÁTICO
DE
GEOMETRÍA ANALÍTICA
en la
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

TOMO III -- AÑO 1893

ZARAGOZA
Imprenta de C. ARINO, Coso, núm. 100, bajos
1893
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 30

Sería injusto dudar de la influencia decisiva que ha ejercido sobre la evolución de las ciencias matemáticas en Francia y en Europa esta publicación que hoy ha llegado al 51." año de su existencia, dirigida por Gerono desde su fundación en 1842 hasta Octubre de 1886, en que á los 87 años de edad tenía derecho al descanso. Sin embargo, en realidad, fué en el mes de Mayo siguiente cuando se despidió definitivamente de sus numerosos colaboradores.

Gerono era de hecho el decano de los profesores de matemáticas, y de los matemáticos contemporáneos el único que haya escrito en los Annales de Gergonne.

Uno de sus discípulos, nuestro sabio amigo Mr. Laisant, ha consignado en una improvisación muy sentida, los títulos de su venerable maestro á la estimación de la posteridad.

Lamentamos que el orador no haya conservado el texto de su discurso; pero éste nos ha ofrecido un testimonio no menos precioso que tenemos la inmensa satisfacción de poner en conocimiento de nuestros lectores, á saber, la carta que Mr. Laisant se ha dignado remitirnos, cuyo contenido es el siguiente:

MONSIEUR ET CHER DIRECTEUR.

Vous me demandez de vous donner un résumé des paroles que j'ai été appelé, sur la demande de quelques amis, à prononcer sur la tombe de M. Gerono. C'est une infirmité de mon esprit, lorsque je suis obligé de parler sans préparation, que de ne pouvoir me rappeler en rien ce que j'ai pu improviser, ni dans le fond, ni dans la forme.

Quant au sens général, je le vois parfaitement, car les pensées qui m'animaient en ce moment sont celles qui m'animent encore aujourd'hui. J'ai rendu hommage au savant qui poussait jusqu'au génie les qualités du bon sens et de la logique, au professeur méthodique, scrupuleux et dévoué dont je m'honore d'avoir été l'élève, et surtout à l'homme de bien dont je suis resté l'ami.

Je crois avoir signalé aussi le grand servicio rendu par Gerono par la création, en 1842, des Nouvelles Annales de mathématiques, qui ont été si précieuses pour l'enseignement et pour la science. Me permetrez vous d'insister sur ce point, alors que je m'adresse au fondateur du Progreso Matemático, c'est á dire, á celui qui entreprend faire pour l'Espagne ce que mon vénéré maître a fait pour la France?

Ces publications, et sourtout celles qui par leur nature même semblent plus particulièrement s'adresser aux élèves, sont un grand bienfait. Soit par les articles ou mémoires, soit simplement par les questions proposées, les journaux de cette nature attirent l'attention sur des points auxquels on n'avait pas réfléchi, provoquent des échanges
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d'observations, conduisent à la découverte de vérités nouvelles et à un continuel perfectionnement des méthodes.

Et puis, si je peux ainsi parler, ce sont des moyens de recrutement pour la science. Tel élève, qui tout d'abord s'est borné à publier quelques solutions de questions, s'attache graduellement de plus en plus par la lecture du journal à la culture des mathématiques, fait part aux lecteurs de ses découvertes, et devient plus tard un des hommes qui honorent le plus la science.

Pour s'en convaincre en ce qui concerne mon pays, il suffirait de parcourir les tables des matières des Nouvelles Annales pendant les premières années.

C'est donc encore une manière de rendre justice à la mémoire de Gerono et à son œuvre, que de souhaiter à votre œuvre tout le succès qu'elle mérite et que vous méritez; et c'est ce que je fais de grand cœur, Monsieur et cher Directeur, en vous envoyant l'assurance nouvelle de mes sentiments les plus sympathiques.

A. LAISANT.

***

Nada podemos añadir á las interesantes y luminosas observaciones que Mr. Laissant expone con respecto á los periódicos que, como EL PROGRESO MATEMÁTICO tienen entre sus varios fines el de estimular á la juventud hacia los trabajos de investigación que tanto vigorizan las inteligencias y las hacen útiles lo mismo en la ciencia que en sus aplicaciones. Solo nos queda hacer constar, al mismo tiempo que le expresamos nuestra sincera gratitud por sus frases de simpatía respecto de nuestra publicación, que ésta ha podido vencer hasta ahora los naturales obstáculos anexos á toda empresa naciente por efecto del valiosísimo concurso de cuantos la han honrado con su colaboración, y de cuyos importantes resultados hemos hecho al principio de este número un ligero resumen.

Z. G. DE G.

ENRIQUE BETTI

La pérdida del ilustre profesor Enrique Betti, arrebatado á la vida en este año, muy nefasto á las ciencias matemáticas en Italia, es un verdadero luto para los estudios y para los estudiosos. Para los primeros, que le eran ya deudores de tantos y tan originales incrementos y de otros que aun podían esperarse, para los segundos que se habían desde largo tiempo acostumbrado á reverenciar y á amar en él al
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maestro eficacísimo, al escritor límpido y tildado, al hombre recto, afable con todos, nacido para la pureza del corazón, de la palabra y del pensamiento.

Su egregio discípulo el profesor Volterra, terminaba hace poco una breve pero sustanciosa Conmemoración del Nuovo Cimento (*) expresando el deseo de que las «Memorias escritas por Betti y esparcidas en Periódicos y Actos académicos, difíciles de encontrarse, pudieran reunirse en un tomo, que constituiría el más hermoso monumento levantado á un hombre que, esquivo á toda vanidad vulgar, colocaba al frente de sus pensamientos, el amor sincero y desinteresado de la ciencia.» Este elevado deseo puede considerarse satisfecho. La Academia del Lincei, en una reciente sesión, asumió voluntariamente por sí el proyecto de realizar tal publicación, que su ilustre Presidente, el profesor Briosehi, ornará con una biografía del lamentado colega y amigo. Así la gloriosa obra de éste, tendrá un comentador como no puede esperarse mejor, tanto por su incomparable competencia, como por su continuado afecto hacia el difunto.

Pero sería inoportuna toda nota anticipada á los tesoros de eximia investigación que se hallarán acumulados en el escogido tomo que á los jóvenes estudiosos y á los habituados á altos estudios darán motivo de secunda admiración y nuevas excitaciones al impulso del ingenio italiano. Aunque me sea permitido desde ahora llamar la atención sobre la importantísima serie de trabajos físico-matemáticos de Betti, que habiendo sucedido á Mossoti en la enseñanza tan gloriosamente inaugurada por éste en la Universidad de Pisa, se envanezca ampliamente por aquellas hermosas investigaciones, á que dedicó enteramente la segunda parte de su vida científica, y de mantener, casi solo entre nosotros, la representación (y qué representación!) de un orden de estudios demasiado descuidados en Italia, si bien tan dignos cual otros de culto asiduo en el país en que nació Galileo.

Verán los extranjeros, á quienes en gran parte pasaron inadvertidos estos magníficos trabajos cuan profundamente veía Betti en la más nutrida doctrina de todo orden hechos mecánicos y físicos, cuánta delicadeza de análisis derrrochó por doquiera, cuánta lucidez y elegancia supo aportar á la solución de difíciles problemas, de cuánta originalidad y potencia estaban dotados los métodos por él elegidos para hacer accesible á la teoría racional muchas nuevas clases de cuestiones.

Estas excelsas dotes de la mente de Betti fueron las mismas que,

(*) Torna serie, tomo XXXII, fasc. luglio-agosto 1892 (publicato il 20 Octobre 1892).
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ejercidas en el más modesto campo de la escuela, hicieron tan eficaz la obra de él como maestro, para esperarse con seguridad que hallarán entre sus discípulos más de un valioso continuador. Estas eran el reflejo intelectual de aquella amable sencillez de corazón, de aquél cuyos amigos y colegas guardarán siempre un triste pero dulce y caro recuerdo (*).
    Roma 9 de Enero de 1893.
    G. BELTRAMI.

NOTAS MATEMÁTICAS

NOTA acerca de la cuestión 69 (t. II, p. 123, 3/0), por M. H. Brocard.
Habiendo sido la cuestión 61 objeto de muy interesantes desarrollos por parte del Sr. Schiappa-Monteiro, véase una construcción de

(*) Traducido de Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1 VI. 1892. Nov.-Dicemb.)
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 34

la normal á la curva, puede ser que más sencilla, sino más directa.

Sean MD, M'D' perpendiculares á MAM' terminadas en la intersección con AX.

Tracemos por los puntos D, D' paralelas á AY, y tomemos los segmentos DG, DL iguales á AM; D'G', D'L' iguales á AM'.

Las rectas MG, ML, M'G', M'L' son paralelas dos á dos, y una de ellas es la normal en M ó en M', y la otra es paralela á la normal en M' ó en M.

Si, en efecto, se obtiene la ecuación diferencial de las curvas que satisfacen á esta condición, se halla la ecuación

\[
y - \frac{dx}{dy} \cdot \frac{y^2}{x^2} = \sqrt{x^2 + y^2},
\]

que se integra facilmente por la sustitución \( y = ux \), y se reduce entonces á

\[
\frac{du}{\sqrt{1 + u^2}} - \frac{du}{u} = \frac{dx}{x}
\]

de donde

\[
u + \sqrt{1 + u^2} = \frac{ux}{a}
\]

que representa la curva (F) de la cuestión 61.

La curva considerada deducida de círculos variables, puede deducirse también de círculos de magnitud constante.

En efecto, si un círculo de radio \( a \) se mueve rodando sobre una recta fija AX, se puede proponer trazarle una tangente por un punto A de esta recta, y cortar esta tangente por el diámetro del círculo que pasa por el punto de contacto en la recta fija.

El lugar de las intersecciones tiene por ecuación polar

\[
\tg \frac{\theta}{2} = \frac{a}{\rho \cos \theta}
\]

\[
x(1 - \cos \theta) = a \sen \theta
\]

y

\[
x^2 = \frac{a^2 y}{y - 2a}
\]

NOTA acerca de la cuestión 69 (t. II, pág. 215 y 308) por M. H. Brocard

Si se forman los primeros valores de \( u_n \) se obtiene
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 35

\( u_0 = 0,\quad u_1 = 1,\quad u_2 = 2,\quad u_3 = 5,\quad u_4 = 10,\quad u_5 = 21,\)
\( u_6 = 42,\quad u_7 = 85,\quad u_8 = 170,\quad u_9 = 341,\quad u_{10} = 682,\) etc.

Estos números pueden repartirse en grupos de 2 en 2, en los cuales el segundo es doble del primero:

\[
\begin{array}{ll}
u_1 = 1, & u_2 = 2 \\
u_3 = 5, & u_4 = 10 \\
u_5 = 21, & u_6 = 42 \\
u_7 = 85, & u_8 = 170 \\
\ldots \ldots & \ldots \ldots
\end{array}
\]

se obtienen además las relaciones

\[
u_5 = 2u_4 + 1,\quad u_7 = 2u_6 + 1,\quad u_9 = 2u_8 + 1, \ldots \ldots
\]
y
\[
u_3 - u_1 = 4,\quad u_5 - u_3 = 16,\quad u_7 - u_5 = 64, \ldots \ldots
\]

Se obtienen, pues, definitivamente las expresiones

\[
u_{2n+2} = \frac{2^{2n+3} - 2}{3},\qquad u_{2n+3} = \frac{2^{2n+4} - 1}{3}
\]

NOTA sobre la fórmula \( \operatorname{sen} (\alpha + \beta) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta + \operatorname{sen} \beta \cos \alpha \).
por M. Aug. Poulaïn, profesor en Angers.

El Sr. D. Pedro Teixeira ha dado (1892, p. 328) una demostración elegante de esta fórmula, para \( \alpha + \beta < \pi \). Se puede abreviar todavía esta demostración.

Construyamos de nuevo el triángulo \( abc \), cuyos ángulos son \( \alpha, \beta \) y \( \gamma = \pi - (\alpha + \beta) \), y cuya altura es \( cd \). Escribamos que su área es igual á la suma de los triángulos \( cda, cdb \).

Resulta, doblando las áreas

\[
ca.cb \operatorname{sen} (\alpha + \beta) = cd.db + cd.da = ca \operatorname{sen} \alpha . cb \cos \beta + cb \operatorname{sen} \beta . ca \cos \alpha
\]

NOTA del Sr. Van Aubel acerca de la cuestión 79.

«Acerca de la cuestión 79, ignoraba que hubiese sido propuesta por el Sr. Lemoine hace bastantes años (N.A. 1868), de la que El Progreso Matemático da dos elegantes soluciones; y debo manifestar que la había remitido tan sólo como una consecuencia de la cuestión número 34 (t. II, pág. 61).

Véase, sin embargo, otras dos soluciones que no necesitan la construcción del punto O en que se encuentran las rectas AA', BB', CC'.
El Progreso matemático (1893-01-15 00:00:00), página 36

1.a solución. Si sobre los tres lados del triángulo A'B'C' se construyen los triángulos equiláteros B'A'C', C'B'A', A'C'B', los vértices A, B, C del triángulo que se busca serán los medios de las rectas A'A", B'B", C'C" (Cuestión número 34, pág. 61, t. II).

2.a solución. Se demuestra facilmente que el centro i del triángulo equilátero construído interiormente sobre el lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con el centro del triángulo equilátero construído interiormente sobre el lado CB del triángulo ABC. De esto se sigue que, siendo I el medio de A'i, B y C serán los vértices de los dos triángulos equiláteros construidos sobre iI, y A el vértice del triángulo equilátero construído sobre BC' ó sobre B'C.

Nota del Sr. Sollertinsky

A propósito de un problema (T. II, págs. 116 y 180), puede notarse una solución sumamente sencilla:

Si la paralela á la recta dada, trazada por un vértice A del triángulo dado, encuentra al círculo circunscripto en A', la perpendicular de A' sobre BC encontrará á este círculo en el punto M buscado.

Esta solución es una consecuencia inmediata de una propiedad conocida de la recta de Simson. (Véase Catalan, Theór et problèmes, página 36).

CUESTIONES RESUELTAS

Cuestión núm. 405 (*) (Véase tomo I pág. 207)

Dadas dos circunferencias de las que una pasa por el centro de la otra, construir, con el solo empleo de la regla: Los centros de semejanza y de figura de ambas, las tangentes comunes y los puntos de contacto.

(B. Sollertinsky).

Solución por D. Cecilio Jimenez Rueda, profesor auxiliar, de la Universidad de Madrid

Sean las dos circunferencias CDB y CDH, de las cuales la primera pasa por el centro de figura de la segunda.—Trácese la cuerda común CD y tómese en ella un punto arbitrario A; trácese desde A á cada circunferencia una secante arbitraria AEF y Amq;

(*) Este número corresponde al J. de M. S. de Longchamps.