El Progreso matemático (1891-05-20 00:00:00), página 2

Prenons maintenant la formule (2); le chemin enregistré par la roulette se compose de deux parties : l'une, est la somme des chemins tels que NH, c'est à dire Z; l'autre, qui est constituée par la somme des termes tels que \( \rho \cdot \varphi \) est nulle; puisque, comme nous venons de l'observer, la somme des variations de \( \varphi \) est nulle. Si nous désignons par \( \gamma \) le chemin enregistré par la roulette, nous pouvons écrire

\[
\gamma = Z
\]

(B)

5. Des formules (A) et (B) nous déduisons le théorème suivant.

Théorème I. Lorsque la courbe considérée \( f \) est complètement extérieure au cercle polaire, l'aire de \( f \) s'obtient en multipliant le chemin enregistré par la roulette par le rayon r de la tige AS.

6. Il nous reste à examiner deux autres cas; la circonférence polaire peut couper la courbe \( f \) et même lui être complètement extérieure.

Les raisonnements qui précèdent diffèrent de ceux qu'on trouve dans la brochure (*) qu'a publiée Armster et qui traitent le cas que nous venons d'examiner; mais l'exposition que nous allons donner et que nous avons imaginée pour ramener les deux autres cas au premier, simplifie notablement la théorie du planimètre.

7. Deuxième cas. Le cercle polaire coupe la courbe considérée. Soit X l'aire cherchée (lám. IV, fig. 4.*); on a

\[
X = U + V \quad \text{et} \quad \pi R^2 = V + W,
\]

(*) Uber die mechanische Bestimmung des Flächeninhaltes, der statischen momente und der Erdg Leitsmomente ebenen Figuren insbesondere über einen neuen planimeter von von Jakob Armster professor am Gymnasium in Schaffhausen 1856.

L'exemplaire que nous avons consulté appartient à la bibliothèque du dépôt général des Fortifications. Cet exemplaire que le colonel de la Noë avait bien voulu mettre à notre disposition renferme une traduction française qui nous a été fort utile, traduction faite en 1869 par le capitaine du génie P. Nassoy, attaché à l'état major de l'École d'application de Metz. Nous croisons devoir donner ici ce renseignement pour les personnes qui voudraient pénétrer plus profondément dans l'étude des planimètres. Elles trouveront, dans la brochure citée, outre de nombreux détails sur la pratique planimètre d'Armster, l'exposition du planimètre d'Oppi-Kofer (ou planimètre d'Ernst, comme on l'appelle en France) de celui de Weili et enfin de celui de Decher.

Pour compléter ces renseignements sur les planimètres, nous devons dire que c'est à Oppi-Kofer que semble revenir le mérite de la découverte du principe mathématique de ces instruments. Ernst était, d'après Armster du moins, un simple mécanicien qui a seulement perfectionné le mécanisme de l'instrument.

Depuis lors, on a imaginé beaucoup d'autres planimètres. Outre ceux déjà cités, nous signalerons encore le planimètre de précision de Hohmane-Coradi, celui de Gunther, celui de Klacht sans compter le planimètre suspendu, le planimètre roulant, etc.

La théorie du planimètre roulant a été exposée dans le Journal de l'Arpentage 1844 (vol XIII, no 30), et reproduite dans une brochure ayant pour titre : Planimètre de précision de Hohman et Cozadi par Luckhardt et Alton (Francfort, 1864).

Enfin, on pourra consulter encore un article de M. A. Thiré Sur la théorie du planimètre d'Armster (Nouvelles annales, 1886; p 353).