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profesor de la Universidad de Lieja, M. Neuberg, y que se hallan expuestos en sus diversos trabajos Sur le point de Steiner, Sur le quadrilatère harmonique, Sur les axes de Steiner et l'hyperbole de Kiepert y su Mémoire sur le tetracédre y otros varios.

Z. G. de Galdeano

LEÇONS SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES
PAR G. DARBOUX

Acaba de aparecer el segundo fascículo de la tercera parte, que tiene por objeto: Las líneas geodésicas y curvatura geodésica, los parámetros diferenciales y la deformación de las superficies.

Al final del primer fascículo, el libro VII está destinado á desenvolver principalmente las investigaciones debidas al profesor de la Universidad de Pavía Sr. Beltrami, que principió á exponer en el Giornale di Matematiche (1865) en Annali di Matematica y en Mathematische Annalen, sobre las aplicaciones del Análisis á la Geometría.

El capítulo II tiene por objeto reconocer si dos superficies son aplicables la una á la otra, llegando á la conclusión de que sólo hay dos clases de superficies cuya aplicación puede efectuarse de infinidad de maneras: las superficies de curvatura constante y las aplicables sobre las superficies de revolución, examinando los casos de las superficies alabeadas y regladas, y dedicándose después á la determinación de las superficies aplicables á una superficie dada y al estudio del problema de la deformación de las superficies, examinando multitud de casos del mismo, llegando entre otras conclusiones á que si dos superficies son aplicables entre sí de tal manera que todas las líneas asintóticas de la una correspondan á las líneas asintóticas de la otra, las dos superficies son iguales ó simétricas.

Con el estudio de la deformación de las superficies, alabeadas y los resultados debidos al Sr. Beltrami (1) comienza el segundo fascículo recientemente publicado de la obra de M. Darboux, tratándose de la deformación de una superficie reglada, de manera que una de sus curvas se convierta en plana ó una de sus líneas se reduzca á recta y de la de una superficie alabeada, de manera que una línea dada se convierta en asintótica.

(1) Ricerche di Analisi applicata alla Geometria (Giornale di matematiche, vol. II, 1864).
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El capítulo VII está destinado á los notables teoremas de Weingarten referentes á las superficies cuyos radios de curvatura se hallan ligados por una ecuación dada \(á\) priori, que se relacionan con la teoría de la deformación de las superficies, resultados que conducen al sabio geómetra alemán á una nueva clase de superficies definidas por una relación entre sus radios de curvatura, las superficies W, caracterizadas por ser los radios de curvatura función el uno del otro, y en las cuales las dos ramas de la evoluta son aplicables sobre una superficie de revolución cuyo elemento lineal depende sólomente de la relación entre los radios de curvatura.

Después de desarrollar en el capítulo VIII los resultados debidos á los matemáticos Sres. Beltrami, Laguerre y Ribaucour sobre las propiedades generales de la superficie de los centros de curvatura, expone las investigaciones de los Sres. Sophus Lie y Bonnet referente á determinación de las superficies, para las que ya la curvatura, media, ya la total sean constantes, problemas que según una observación ingeniosa del último ofrecen en uno u otro caso la misma dificultad; y no dejan de citarse y desenvolverse los importantes resultados debidos al Sr. Bianchi, ya en sus Lezioni di Geometria differenziale fatte nella università di Pisa, donde se encuentran también expuestos los resultados debidos á los Sres. Weingarten, Ribaucour y Beltrami, ya en sus diversas Memorias Sui sistemi di Weingarten negli spazi di curvatura costante, 1887, (donde se extienden los sistemas de Weingarten al espacio de Riemann, de curvatura constante negativa), sulle superficie fuchsiiane, sulle superficie le cui linee sono curve a torsione costante, todas ellas concernientes á la importante rama de la ciencia geométrica, objeto de la obra de M. Darboux.

Para poder abarcar este nuevo punto de vista desde el que considera el Sr. Bianchi los resultados de M. Weingarten, se hace preciso partir de las consideraciones expuestas por M. Darboux en la primera parte de sus Leçons sur la théorie générale des surfaces(1), donde se estudia la superficie engendrada por la revolución de una catenaria alrededor de su base, llamada aliseide ó catenoide que es la única superficie mínima de revolución, la tractriz ó curva de las tangentes iguales, que engendra la superficie de revolución pseudoesférica.

El Sr. Bianchi examina las tres formas distintas que se obtienen para el elemento lineal de una superficie de revolución con curvatura constante negativa, llega á lo que denomina superficie complementaria de la superficie \(Σ\) de curvatura constante negativa y una trac-

(1) «Ricerche di Analisi», etc. Pág. 77.
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triz en la que se han aumentado ó disminuido en una razón constante las ordenadas perpendiculares á la base que llama tráctrices prolongadas ó acortadas, y en fin, á su método de transformación de las superficies de curvatura constante, objeto del capítulo XII y último contenido en el último fascículo de la obra de M. Darboux, al que este eminente geómetra cree necesario anteponer el XI destinado á una exposición de la superficie pseudoesférica, asunto de sumo interés, por lo cual creemos muy oportuno terminar esta reseña del trabajo que nos ocupa, apuntando algunos de los conceptos en dicho capítulo contenidos.

Elije M. Darboux entre todas las superficies de curvatura constante \( -\frac{1}{a^2} \) aquélla cuyo elemento lineal está definido por la fórmula

\[
ds^2 = a^2 (du^2 + e^{2u} dv^2),
\]

engendrada por la revolución de la tráctriz

\[
r = a \sen x, \quad z = a (\log \tang \frac{\varphi}{2} + \cos \varphi)
\]

y haciendo \( v = x, \quad e^{-u} = y \), el elemento lineal se reduce á

\[
ds^2 = a^2 \frac{dx^2 + dy^2}{y^2},
\]

de manera que, si se consideran \( x \) é \( y \) como las coordenadas rectangulares de un punto de un plano, se obtendrá una carta geográfica en la cual toda la parte real de la superficie estará representada en la parte superior del plano con semejanza de los elementos infinitamente pequeños.

A todo punto real \( M \) de la superficie corresponde un punto \( m \) del plano, que es real y se halla situado sobre el eje de las \( x \).

Tratando de obtener todas las transformaciones que no alteran el elemento lineal, la introducción de las coordenadas simétricas

\[
\alpha = x + iy, \quad \beta = x - iy,
\]

permite expresar el elemento lineal bajo la forma

\[
ds^2 = -4a^2 \frac{d\alpha d\beta}{(\alpha - \beta)^2}.
\]

y definir, no sólo una transformación plana con conservación de los ángulos, sino que, si se consideran \( x \) y \( \beta \) como coordenadas simétricas de un punto de la pseudo esfera, la transformación conserva los arcos, y por consiguiente los ángulos y las áreas, llegándose á una defor-
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mación continua por la que la superficie no deja de coincidir consigo misma, quedando sometida toda figura trazada en dicha superficie á una deformación análoga al movimiento de una figura esférica en la esfera que la contiene.

Después de establecer que las diferentes geodésicas de la superficie admiten por imágenes círculos cuyos centros se hallan en el eje de las x, pasa M. Darboux á dar la clasificación de las transformaciones que conservan el elemento lineal, investigando si existen puntos invariables por la transformación, examina los casos de la sustitución elíptica según Herr Klein, por la cual un solo punto real de la superficie queda inmóvil, la hiperbólica por la que permanecen invariables dos puntos reales en el infinito, y la transformación parabólica que deja invariable uno solo también en el infinito, de manera que los tres tipos de transformación considerados, están representados por rotaciones de tres superficies distintas de revolución con curvatura constante negativa.

Antes de terminar M. Darboux el interesante capítulo preparatorio para los métodos de transformación de los Sres. Bianchi y Lie, aplica las consideraciones expuestas á los problemas fundamentales de la geometría, concernientes á la perpendicularidad y al paralelismo. Así, observa que dos geodésicas perpendiculares á una tercera se encuentran siempre, si la curvatura es positiva, y no se encuentran si es nula ó negativa. De manera, que para las superficies de curvatura negativa como para el plano, no se puede trazar por un punto más que una geodésica perpendicular á una geodésica dada. Además, según lo expuesto anteriormente se puede trazar siempre una.

En cuanto al paralelismo, en el caso de la esfera es imposible el trazado de una geodésica paralela á otra (g); en el plano, cuando admitimos el postulado de Euclides, existe una sola que pase por un punto M, que es la paralela trazada por este punto. Y en cuanto á las superficies de curvatura negativa, aplicando la transformación empleada y admitiendo, como puede hacerse sin perjudicar á la generalidad, que (g) se halla representada por el eje de las y, entonces habrá dos geodésicas trazadas por M que encuentran á (g) en el infinito. La una representada por la paralela MP al eje de las y, la otra representada por el ejeulo OMQ tangente á éste en el origen.

En resumen: Puede considerarse que una geodésica tiene 0, 1 ó 2 puntos en el infinito, según que pertenezca á superficies de curvatura positiva, nula ó negativa.

Suponiendo, en fin, trazada la circunferencia de centro O y que pasa por M, que representa la geodésica trazada por el punto M per-
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pendicularmente á (g) y la igualdad de los ángulos SMO, SMP, llega la definición del ángulo de paralelismo y á su expresión

\[
\tan g II (p) = \frac{2 e^{\frac{x}{z}}}{1 - e^{\frac{x}{z}}}
\]

haciendo referencia, para terminar estas consideraciones relativas á las geometrías de Gauss, Lobatschewsky y Bolyai, á la importante Memoria del Sr. Beltrami, raggio di interpretazione della Geometria non euclidea. (1)

Z. G. de Galdeano.

ESTUDIO ANALÍTICO
DE UN LUGAR GEOMÉTRICO DE CUARTO ORDEN
por
DON JOSÉ RUIZ-CASTIZO ARIZA

Ha dicho bien el autor del detenido y sencillo estudio que motiva esta reseña, distinguido Doctor en Ciencias y Ayudante de la Escuela G. P de I. y A. de Madrid, en publicar este interesante trabajo que puede tomarse como modelo para otros muchos casos análogos, porque de un modo fácil y completo discute la forma y particularidades que ofrece el lugar geométrico engendrado por el punto medio de una recta de longitud constante \( p \) que se apoya por uno de sus extremos sobre una recta y por el otro sobre una circunferencia de radio \( r \), de tal modo que la longitud \( p \) sea mayor distancia entre la circunferencia y la recta fija, medida sobre la normal á ésta que pasa por el centro de la circunferencia.

Empieza el estudio formando la ecuación del lugar geométrico, cuando el punto generador es cualquiera de los de la recta móvil, y fijándose después en el supuesto de que dicho punto divida á la recta en dos partes iguales, obtiene la ecuación

\[
y = +2 \sqrt{rx} - x^2 + \sqrt{px} - x^2
\]

(1) Giornale di Matematiche vol VI 1868. Annuaie de l'École Normal. Théorie fondamentale des espaces de courbure constante.
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cuya representación geométrica está dada por la figura adjunta, en la cual se ha tomado para el eje OX la perpendicular á la recta fija trazada por el centro de la circunferencia y para el OY la perpendicular levantada á OX en el punto medio de la mayor distancia entre la recta fija y la circunferencia medida sobre el eje OX.

Hace notar el señor Castizo que en estas condiciones la curva pasa por el origen y está comprendida entre el eje OY y su paralela trazada del lado positivo de xx á una distancia \( x = p \) ó \( x = r \), según que \( p < r \) ó \( p > r \)

Después observa que siendo los valores de y finitos para todos los puntos de x, la curva está limitada en el sentido de las yy positivas y negativas.

Componiéndose el segundo miembro de la ecuación de dos términos precedidos del doble signo +, habrá generalmente cuatro puntos del lugar geométrico sobre una misma ordenada, excepto para \( x = 0 \), que da \( y = 0 \).

También existe otro punto sobre el eje OX, cuya abscisa *satisface á la ecuación*,

\[
2 \sqrt{rx_0} - x_0^2 = \sqrt{px_0} - x_0^2
\]

que da

\[
x = \frac{1}{3}(4r - p)
\]

Calculando después el coeficiente angular de la tangente

\[
\frac{dy}{dx} = + \frac{r - 2x}{\sqrt{rx - x^2}} + \frac{p - 2x}{2 \sqrt{px - x^2}},
\]

se ve que tiene cuatro valores correspondientes á los cuatro puntos de la curva que se encuentran sobre una misma ordenada, y de cuya discusión resulta que en el origen la curva es tangente al eje OY, y que el punto situado sobre el eje OX á la distancia

\[
x = \frac{1}{3}(4r - p)
\]

es doble.

Determina después los puntos de ordenada y abscisa máxima y mínima, continuando el estudio del lugar geométrico que presenta
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particularidades notables como es la de que el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas al eje OY está formado por el eje de simetría OX, una circunferencia y una elipse, tangentes estas últimas al eje OY en el origen de coordenadas.

Por último, discute el autor las diferentes formas que puede afectar el lugar geométrico, según que \( p > r; \quad p = 2r; \quad p < 2r \) dividiendo este último en tres casos, según que \( p \) esté comprendido entre \( r \) y \( 2r \), sea \( p = r \) ó \( p < r \), terminando con el cálculo del área, en todo lo cual, aunque rápidamente expuesto, da al estudio una extensión de 92 páginas en cuarto.

II. B

SOFÍA DE KOWALEVSKI

Sofía de Kowalevski, cuya muerte acoccedida en 10 de Febrero último, ha privado á la ciencia matemática de una colaboradora insigne y á su sexo de una de sus más gloriosas representantes, ofrece un raro ejemplar de talento femenino que con legítimo derecho figurará en la historia del desenvolvimiento de la ciencia humana, no tanto por el número de sus obras, que fatalmente ha limitado lo prematuro de su muerte, á la temprana edad de 37 años, como por la suma del esfuerzo intelectual que supone cuanto realizó durante su corta existencia.

Descendiente ilustre del rey de Hungría Matías Corvin, é hija del general de artillería Basilio Corvin-Krukowski, aunque dotada de extraordinaria capacidad literaria desde su infancia, reveló su vocación por las ciencias matemáticas á la edad de catorce años, por más que su profesor Malevitsch vislumbrara para ella la gloria literaria.

Estudió en Berlín las matemáticas bajo la dirección del célebre matemático Sr. Weierstrass, y á los veintiún años obtenía el grado de doctor en Filosofía y Bellas Artes en la Universidad de Göttinga, aceptando más tarde la cátedra de Matemáticas superiores de la Universidad de Stokolmo, creada para ella, mereció al eficaz apoyo del doctor Mittag-Leffler, y que desempeñó desde 1884.

Uno de los hechos más gloriosos que pueden citarse en la vida científica de Sofía Kowalevski fué el que realizó al obtener el premio Bordín en 1888 de la Academia de Ciencias de París por su "Mémoi-
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re sur un cas particulier du problème de la rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe, où l'intégration s'effectue à l'aide de fonctions ultraelliptiques du temps", siendo ponente M. Darboux y vocales los señores Maurice Lévy, Phillips, Resal y Sarrau, que por unanimidad lo adjudicaron á la Memoria presentada bajo el lema: Dis ce que tu sais, fais ce que dois, advienne que pourra, é impresa después en la colección de las Mémoires de Savants étrangers. (1)

En fin, el ilustre geómetra Herr L. Kronecker, de la universidad de Berlín, diez días después de la muerte de Sofía Kowalevski se expresaba en estos términos:

"Sophia de Kowalevski reunía á una perseverancia infatigable un talento excepcional para las especulaciones matemáticas generales y los conocimientos técnicos necesarios para las investigaciones especiales: había sabido siempre ser mujer y conservar no obstante una actividad especial intensa, un vivo interés por los objetos del espíritu, lo que la hizo conquistarse y cautivar la general simpatía, aun de los que se hallaban fuera de su círculo de acción.

La historia de las matemáticas la citará ciertamente como uno de los fenómenos más maravillosos y de una de las más excepcionales investigadoras. Y á la par que sus algunas obras, poco numerosas, pero muy importantes, que nos deja, harán durar su memoria en el mundo matemático, el recuerdo de su notable y simpática personalidad vivirá siempre en los corazones de todos los que tuvieron la dicha de conocerla." (1)

En el artículo necrológico publicado por el Sr. E de Kerbedz en los Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, del cual hemos extractado las noticias arriba expuestas, se citan además las ilustres antecesoras de Sofía Kowalevski, Emilia Le Tonnelier de Breteuil, marquesa del Chatelet, á quien entre otras obras se debe un Analyse de la philosophie de Leibnitz; María Gaetana Agnesi, que publicó en latín sus Institutions analytiques, impresas por Bossut con el título: Traites élémentaires du calcul différentiel et du calcul intégral (1775), y en fin, María Sophie Germain, á quien la Academia de Ciencias de París adjudicó un premio por una de las cuestiones de física matemática más nuevas y más arduas: la teoría de las superficies elásticas.

También acompaña la lista de las obras matemáticas y literarias de Sofía Kowalevski, de las que citaremos las siguientes:

(1) Comptes Rendus, t. CVII, p. 1042.
(1) Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. CVIII Heft (18 Marz 1861).
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les architectes, les ingénieurs, les géomètres arpenteurs, etc. ... ont secours à ces instruments pour résoudre ce problème si délicat de la détermination des aires planes à contours curvilignes.

En Allemagne, à ce qu'on m'a dit, on possède un planimètre, comme on a une boîte de compas, et si, en France, l'usage en est encore peu répandu, il n'est pas douteux que cet instrument, quand il sera plus connu, jouira de la même faveur. Les personnes qui font usage du planimètre, les professeurs qui pourront être consultés à son propos, seront peut-être bien aises de connaître une théorie de cet instrument; c'est cette théorie, absolument géométrique et tout à fait élémentaire, que nous allons exposer ici.

2. Reduit à son expression théorique, le planimètre d'Amsler se compose de deux tiges rigides articulées en C; la première AP pivote autour d'un point fixe P, de telle sorte que l'articulation A décrit toujours un cercle de centre P et de rayon PA; nous l'appellerons le cercle polaire et nous désignerons son rayon par R.

L'autre tige AS porte : 1° à son extrémité une pointe ou style S; 2°, en un point R, une roue qui est mobile dans un plan perpendiculaire à la tige. D'après cela on comprend déjà que si la tige AS est mobile sur son prolongement, la roue R éprouve un mouvement de glissement, sans aucun effet sur la rotation.

En d'autres termes, ce mouvement ne produit aucun effet; la roue n'enregistre rien. Au contraire, lorsque AS éprouve une rotation autour du point A, R décrit un arc de cercle, de centre A; et, dans ce mouvement, qu'on peut nommer mouvement de roulement, pour le distinguer du premier, la roue enregistre complètement le chemin parcouru par le point de contact de la roue. Cette remarque s'applique encore au cas où la tige AS se transporte parallèlement à elle-même dans une direction perpendiculaire à AS et, généralement on peut dire que la roue enregistre complètement le chemin parcouru sur le plan par son point de contact, lorsque la roue se déplace dans une direction normale à la tige.

Telle est l'idée bien simple sur laquelle repose la théorie du planimètre polaire; celle des autres planimètres prend pour base des principes analogues et l'on passe assez facilement de la théorie connue d'un planimètre à celle d'un autre planimètre.

3. Théorie géométrique du planimètre d'Amsler. — Soit f la courbe que nous avons à considérer; imaginons deux positions infiniment voisines S, S' du style sur f; soient PARS, PAR'S' les deux positions correspondantes de l'instrument. Par le point A', menons AM égal et parallèle à AS; on observera : 1° que AS'AM est un pa-
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Zur Theorie der partiellen Differential gleichungen (1874). — Ueber die Reduction einer bestimmten Klasse Abel'scher Integrale 3. Ranges auf elliptische Integrale (1884). — Sur la propagation de la lumière dans un milieu cristallisé (1884). — Zusätze und Bemerkungen zu Laplace's Untersuchung über die Gestalt der Saturnringe (1885).
Z. G. de Galdeano.

IMPORTANCIA DE LAS FORMAS CONGÉNERES EN LA MATEMÁTICA
por
D. LAURO CLARIANA Y RICART

Fenómeno raro es el que ofrece el estudio de la Matemática en nuestros tiempos modernos. Pudiera decirse que la cantidad pugna con la cantidad; la aritmética con el número; el álgebra con los algoritmos; la geometría con el espacio. La inteligencia humana, cual mar embravecida, no cesa en su oleaje continuado, sustituyendo al suave rielar de otros tiempos, la gigantesca ola como anuncio de desecho temporal. El movimiento vertiginoso que se opera entre los elementos de la inteligencia no supone peligro alguno para el hombre; muy al contrario: el grande oleaje deja siempre algo en la orilla que no debe despreciarse. El vaivén entre lo general y particular; entre el análisis y la síntesis; entre lo que es y lo que no es; se acrecienta cada día más, cual onda cuya amplitud aumenta rápidamente. Comenzóse el estudio de la Matemática por el simple número real, positivo y entero, y andando siglos llegóse á la cantidad directiva sin valor asignable; en el álgebra los símbolos operativos condensan ya una infinidad de algoritmos particulares; el cálculo integral sintetiza el Universo en una simple fórmula, que tiene por origen el indefinidamente pequeño; en la discontinuidad preténdese hallar las fuentes de la continuidad; y por fin, sintiéndose a herrojado el matemático dentro del espacio de Euclides, supone el hiper-espacio, para que la Geometría pueda satisfacer todas las exigencias del análisis, á pesar de que en dicho hiper-espacio se pierda toda idea de realidad.

Sensible es que, en medio de ese desenvolvimiento tan portentoso bajo direcciones tan varias exista todavía alguno que otro importante punto que no hayan procurado estudiar como debieran los verdaderos genios, al objeto de formar un todo más armónico entre los di-