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Además de notables trabajos geométricos, el lector aficionado á las investigaciones del Análisis, encuentra también asuntos nuevos y variados.

El notable talento matemático Sr. Martins da Silva, alferez de artillería, ha mostrado desde el comienzo de su brillante carrera científica, en numerosos trabajos, sus excepcionales aptitudes para esta rama de la Matemática, ya tratando de la transformación de las funciones \( X_n \) de Legendre en integral definida, ya en la reducción directa de una clase de integrales definidas múltiples, ya al dirigir sus investigaciones hacia la resolución de las ecuaciones algébricas, obteniendo una fórmula integral relativa á una de las raíces imaginarias de estas ecuaciones, seguida de la obtención de las demás; después llega á nuevos resultados sobre los que obtuvo Jacobi acerca de las sumas de las potencias semejantes de las raíces, y respecto al logaritmo de la raíz imaginaria de una ecuación algebraica; y por último, su trabajo sobre las tres relaciones diferenciales dadas por M Lipschitz en la teoría de las funciones elípticas, sirven para mostrar cómo ha contribuido el notable colaborador del Jornal de ciencias mathematicas á favorecer el desenvolvimiento científico de su patria.

También el alferez de artillería Sr. J. M. Rodríguez, se distingue por sus notables producciones acerca del Análisis. Sus escritos sobre el algoritmo de las facultades de Wronski, sobre las integrales eulérianas, y otros trabajos relativos á la expresión analítica deducida por M. Hermite, de la serie de Lagrange, á la rotación, etc.

Por último, exige especial mención el activo director del periódico Sr. Gomes Teixeira, conocido ya en numerosas revistas científicas por la variedad de sus originales trabajos, bastándonos citar su método para la integración de las ecuaciones de derivadas parciales lineales de segundo orden, que le sirve de base para sus ulteriores investigaciones; sus aplicaciones de una fórmula que da las derivadas de orden cualquiera de las funciones de funciones, aparte de otras publicadas en el Giornale di Matematiche, de Battaglini; su escrito dirigido á M. Lerch sobre la reducción de las integrales hiperelípticas; sus trabajos de divulgación ó de índole didáctica respecto al cálculo, á las funciones y á las teorías de las cantidades imaginarias, de que ha dado más tarde una muy notable muestra con la publicación en 1890 de su «Curso de Analyse infinitesimal», donde se admira, además del método, la feliz agrupación de los conceptos más modernos con que se ha
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enriquecido el Análisis en estos últimos años. Y para terminar, manifestaremos que la colaboración de escritores tan conocidos como M. Maurice d'Ocagne, que se distingue por sus trabajos geométricos; M. de Lerch (de Praga), que ha modificado la tercera demostración dada por Gauss de la ley de reciprocidad de Legendre, y el Dr. Le Paige, de la Universidad de Liega, que ha desenvuelto las homografías e involuciones de órdenes superiores en las páginas del Jornal de ciencias mathematicas, expresan suficientemente cómo contribuyen al progreso matemático nuestros ilustrados vecinos de Portugal, y cómo concurren á esta obra general que en el concierto científico prosiguen las naciones más cultas.

Zoel G. de Galdeano.

LAS EQUIVALENCIAS Y SUSTITUCIONES EN LOS TEOREMAS Y EN LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

(Continuación)

Existiendo cierta vaguedad en el método de invención, cuyos éxitos dependen con frecuencia del talento individual empeñado en descubrir nuevas verdades ó relaciones geométricas: influyendo principalmente en tales éxitos la oportunidad de los medios elegidos para llegar á un fin determinado ó la sugestión de alguna idea feliz, claro es que la ciencia había de prevenir estas deficiencias y buscar el modo de suplirlas; y ciertamente que los geómetras antiguos trabajaron en este sentido, como lo manifiestan la colección de los lemas de Pappus y la obra de los porismas de Euclides, que si no ha llegado hasta los tiempos modernos, al menos deja vislumbrarse á través de la adivinación de los mismos llevada á cabo por el geómetra Chasles.

Seguramente que los elementos de Euclides no bastaban para satisfacer las exigencias de los geómetras que debían encontrarse á cada paso con nuevas dificultades en sus investigaciones, cuando éstas los llevaban á cuestiones complejas, y era precisa la existencia de obras complementarias que proveyeran á las necesidades de los investigadores; y esto venia á ser el tratado de los porismas de Euclides, que según Pappus, era una colección de proposiciones de una concepción ingeniosa, de útil auxilio para la resolución de las mas difíciles problemas, e indispensable para los que deseen dedicarse á las investigaciones matemáticas. Los porismas contenian, según afirma el géome-
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tra alejandrino, una doctrina sutil, pero natural y necesaria, y sobre todo un estudio muy agradable para los que saben ver y encontrar.

Después de haberse determinado la recta y el círculo con auxilio de los principios generales de la ciencia, según sus propiedades más simples, se llega al caso de obtenerse estos mismos elementos geométricos como resultados de combinaciones más ó menos complicadas de figuras. En estas combinaciones cierto número de elementos queda al arbitrio del geómetra, que en los problemas constituyen los datos y en los teoremas las hipótesis; los elementos restantes son los resultados del problema ó la tesis del teorema. En esta coexistencia de relaciones cabe el hacer pasar las unas de la hipótesis á la tesis, ó de los datos al resultado; y de aquí surgen las variantes indefinidas que ofrecen las cuestiones.

Así, refiriéndonos á la obra de los porismas, vemos que éstos se hallaban clasificados según las cosas buscadas, que caracterizan los géneros.

Por ejemplo, que tal punto se halla situado sobre una recta dada en posición, que tal recta pasa por un punto dado, que tal recta está dada en posición, etc., son las conclusiones características de otros tantos géneros de porismas.

No habiendo llegado la geometría de los griegos al grado de generalización que tiene en la época actual, las proposiciones empleadas por éstos debían ser muy numerosas, refiriéndose varias de ellas á una misma cuestión, de la cual fueran casos particulares, como observó Chasles, y como se observa al comparar nuestras teorías de la relación anarmónica, de las series homográficas, de la involución, etc., con las proposiciones que nos ha transmitido Pappus.

fig. 1.*    fig. 2.*    fig. 3.*    fig. 4.*

Así, por ejemplo, los porismas I, III, IX. (figs. 1.*, 2.* y 3.*) corresponden á la determinación de la recta Sm perteneciente al cuadrilátero Sabm, cuando se dan la recta ab, que gira alrededor del punto p y los demás elementos de la figura supuestos fijos.
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Nada menos que diez porismas necesitó Euclides para esta determinación de la recta, que según manifiesta Chasles se hallan contenidos en este solo enunciado: Dadas cuatro rectas que se cortan dos á dos, si se dan tres de los puntos de intersección situados en una de ellas, ó solamente dos, en el caso del paralelismo (es decir, si permanecen fijos), y de los otros tres dos se sujetan i hallarse en una recta dada, el tercero se hallará situado también en una recta dada en posición.

Consideremos ahora los dos porismas xi y xii, correspondientes al género caracterizado por la relación \( \frac{Am}{A'm'} = \lambda \).

En el porisma xi dos rectas giran alrededor de los puntos P y Q, teniendo su punto de intersección M (fig. 5.*) en una recta fija LM, y se establece la posibilidad de hallar una recta A'X'. y en ésta un punto A' tal, que el segmento Am determinado en una recta fija Am dada, y á contar de un punto A fijo en ésta se halle con A'm' en una razón dada.

El porisma xii (fig. 4.*) es una variante del anterior, que resulta de suponerse el punto P en el infinito según las ideas modernas; por esto en la hipótesis se considera la oblicua Mm formando un ángulo dado con la LM (lo que equivale á decir que es paralela en todas sus posiciones sucesivas). Y de igual manera que, por ejemplo, en la geometría elemental el teorema: Si dos rectas forman con otra ángulos alternos internos iguales, son paralelas, se demuestra fundándose en el caso expresado por el siguiente: Dos perpendiculares á una recta son paralelas, para establecer dichos porismas, es preciso hacer depender la posición variable de las rectas de la posición particular PcQ (fig. 5.*) ó AaQ (fig. 4.*) de que se parte en el razonamiento.

Para establecer el porisma xi esta posición permite aplicar los lemas iii y xi (1).

(Se continuará).

(1) Les trois livres de porismes.—Chasles, (págs. 144 y 151).
Los lemas III, X, XI, XIV, XVI y XIX, establecen la igualdad de las relaciones anarmónicas que cuatro rectas trazadas desde un punto determinan en dos transversales. El lema III expresa el caso general, el XI el en que una de las transversales es paralela á una de dichas rectas.
Estas consideraciones se hallan indicadas en nuestra Geometría elemental.
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ce qui démontre, dans le cas général, le théorème de M. Zahradnik.

2. Supposons, maintenant, que \( \theta \) soit racine de l'équation (2): deux cas sont à distinguer dans cette hypothèse, parce que \( \theta \) peut être racine simple ou racine double.

Si \( \theta \) est racine simple, on peut poser

\[
\varphi_3(t) = (t - \theta)^2 (At + B),
\]

et, par suite,

\[
\frac{\varphi_3(t)}{\varphi_3(\theta)} = \frac{mt + n}{(t - \theta)^2} - \frac{p}{At + B}.
\]

Le raisonnement que nous avons fait précédemment s'applique encore à ce cas particulier, avec cette circonstance, que la conique, qui sert à engendrer la cubique, à la façon des conchoïdales est une parabole.

Mais il n'en est plus de même dans la seconde hypothèse. On a, dans, ce cas,

\[
\varphi_3(t) = A(t - \theta)^3;
\]

et, par suite,

\[
\frac{\varphi_3(t)}{\varphi_3(\theta)} = \frac{m}{(t - \theta)^3} + \frac{n}{(t - \theta)^2} - \frac{p}{(t - \theta)};
\]

\( m \) étant, comme on le sait, différent de zéro. Il est donc impossible de mettre, dans ce cas singulier, la valeur de \( x \) sous la forme (1), condition nécessaire pour qu'on puisse conclure le théorème qui nous occupe.

3. D'après cela: toutes les cubiques unicursales sont des conchoïdales de coniques, excepté celles qui admettent la droite de l'infini pour asymptote triple. En se reportant à l'analyse de M. Zahradnik, il est facile de reconnaître qu'elle est en défaut dans le cas particulier signalé, Pour identifier, en effet, comme le veut cette démonstration (*), les deux équations

(*) Loc. cit.
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\[(ax^2 + bxy + cy^2)(mx + ny + p) - (mx + ny)(dx + ey) = 0,\] (A)

\[a_1 x^3 + b_1 x^2 y + c_1 xy^2 + d_1 y^3 + e_1 x^2 + f_1 xy + g_1 y^2 = 0.\] (B)

dans le cas où (B) est de la forme

\[(ax + \beta y)^3 + \varphi_2(xy) = 0,\]

on devrait avoir,

\[(ax^2 + bxy + cy^2)(mx + ny) = (ax + \beta y)^3;\]

par conséquent

\[\frac{m}{n} = \frac{\alpha}{6};\]

et l'équation (A) serait décomposable, l'un des facteurs étant

\[mx + ny = 0.\]

Il est donc impossible d'identifier la cubique donnée (B) avec (A).

4. Nous avons indiqué, dans l'article cité, une construction qui permet de tracer la tangente en un point quelconque d'une conchoïdale. Il résulte, de cette remarque et de ce qui précède, qu'on pourra, par une règle très-simple, construire la tangente en un point pris sur une cubique unicursale.

*Ayant pris le point double O, pour origine des coordonnées, on construit la droite M et la conique M', déduites de l'équation proposée, comme il a été dit plus haut. Par O, on fait passer une droite rencontrant la droite M et la conique M', respectivement aux points A et B; on prend OC = AB: le point C est un point de la cubique.

Pour avoir la tangente en ce point, on mène la tangente à l'ellipse, au point B, jusqu'à sa rencontre en M avec la droite M; on prend BN = BM: NC est la tangente cherchée (lám. II, fig. 1.*).

Les tangentes au point double s'obtiennent d'ailleurs en joignant cc-
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lui-ci aux points de rencontre de M et de M'. Les points de contact des tangentes parallèles à l'asymptote s'obtiennent en joignant le point double aux points de contact des tangentes à M', parallèles à M, et prenant, sur ces rayons vecteurs, par la construction ordinaire, les points de la cubique.

5. La construction des cubiques unicursales, point par point, et celle de la tangente en un point pris sur la courbe, dépendent de la connaissance d'une droite et d'une conique, préalablement déterminées. Il est facile de voir qu'elles sont indépendantes du choix des axes (lamine II, fig. 2.4).

Soient : O le point double de la cubique proposée, C la conique, AB la droite que l'on déduit de l'équation de celle-là, comme nous l'avons expliqué. Menons, en O, la tangente à C, et prenons OE = OD : E est un point de la cubique. Menons, par le point E, une parallèle A'B' à AB. Nous allons montrer que A'B' est une des asymptotes de la courbe : il n'y a pas d'autre asymptote réelle si, comme nous le supposons pour fixer les idées, la conique C est une ellipse.

Ayant mené, par le point O, une droite quelconque; ayant pris, comme l'indique la figure, OG = FB, le point G est sur la cubique; abaissons les perpendiculaires GA, OO', FF' sur AB; GA' sur A'B'. Nous aurons

\[
GA' = OO' - FF'.
\]

Si le point B s'éloigne à l'infini sur AB, FF' a pour limite OO'; donc

\[
\lim GA' = O :
\]

A'B' est une asymptote. Ainsi, la droite AB est parallèle à l'asymptote A'B', et le point double de la cubique est à égale distance de ces deux droites.

La droite AB étant ainsi déterminée et la cubique étant donnée, on pourra construire, point par point, la conique C, laquelle est donc elle-même déterminée.

Nous ferons observer, en terminant, que ces considérations s'appli-
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quent généralement aux courbes unicursales de degré quelconque, courbes de degré \( m \), ayant un point multiple d'ordre \((m - 1)\). Par exemple les quartiques unicursales peuvent, en général, et sauf des exceptions faciles à formuler, se déduire de deux coniques, à la manière des conchoïdales.

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

(CONTINUACIÓN)

En estas consideraciones fundó Brianchon la teoría de los polos, que desarrolló (según indica en una nota de la memoria que estamos diseñando) en el cuaderno 13 del Journal de l'Ecole Polytechnique, 1806. Suponiendo dos triángulos \( abc \) y \( ABC \) tales, que uniendo los vértices \( a \) y \( A \), \( b \) y \( B \), \( c \) y \( C \) sus intersecciones concurren en un punto \( S \); para demostrar que las intersecciones de \( ab \) y \( AB \), \( bc \) y \( BC \), \( ac \) y \( AC \) concurren en los puntos \( P \), \( R \), \( Q \), situados en línea recta (lám. I, fig. 2), le basta la consideración del exágono \( MbBNcCM \) (\( M \) y \( N \) son las intersecciones de \( AC \) y \( ab \), de \( AB \) y \( ac \) prolongadas) (*) pues encontrándose \( Mb \) y \( Nc \), \( bB \) y \( cC \), \( BN \) y \( CM \) en los puntos \( x \), \( S \), \( A \), que por hipótesis están en línea recta, también el exágono \( MbcNBCM \") tendrá la misma propiedad, es decir, que las intersecciones \( P \), \( R \) y \( Q \) de los lados \( Mb \) y \( NB \), \( bc \) y \( BC \); \( cN \) y \( CM \) también estarán en línea recta, y la correlación de los dos exágonos establece la propiedad reciproca, de manera que: cuando dos triángulos se hallan colocados de modo que combinando cada lado del primero con los del segundo para obtener sus puntos de intersección, éstos se encuentran en una alineación, si se unen con rectas, dos á dos, los vértices opuestos á los lados así combinados, y en el mismo orden, dichas rectas, en número de tres, concurrirán en un punto.

También, como observa Brianchón, las rectas trazadas desde un punto á los vértices de un triángulo situado en el mismo plano per-

(*) Para sencillez, siguiendo el orden de las letras, podemos llamar á los lados \( Mb \), \( bB \), etcétera, 1, 2, etc., y los lados \( Mb \) y \( Nc \) serán 1 y 4, etc.
(**) En este caso \( Mb \) y \( NB \) que se encuentran en \( P \) son los lados 1 y 4, \( bB \) y \( BC \) son 2 y 5, \( cN \) y \( CM \) son 3 y 6.
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miten representar un cuadrilátero con sus diagonales, determinando este sistema sobre una transversal arbitraria seis puntos ligados por las siete relaciones fundamentales, y al deformarse el triángulo de modo que cinco de estos puntos queden fijos, el sexto no cambiará de situación.

Cuando los puntos \( X \) é \( Y \), así como los \( U \) y \( Z \) del cuadrilátero arriba considerado se reúnen en uno solo, (lám. I, figs. 1 y 5) las siete relaciones se reducen á cuatro, coincidiendo los puntos \( C \) y \( D \) de la figura primitiva, en la que el cuadrilátero \( UZYX \) ha desaparecido, obteniéndose un triángulo circunscrito \( THE \) tangente en \( U \) y \( X \), y resulta que: *si se deforma una cónica sujeta á pasar por dos puntos conocidos (\( A, B \))* (lám. I, fig. 5) y á *tocar á las dos rectas (\( TU, TX \)) dadas en posición, la cuerda de contacto (\( UX \)) girará sobre un punto fijo \( C \)*.

Además, (lám. I, fig. 5) este punto fijo se halla determinado por dichas ecuaciones, que son de segundo grado y dan dos puntos \( C, K \), ligados por la proporción \( \frac{EC}{EK} = \frac{FC}{FK} \) ó \( \frac{AC}{AK} = \frac{BC}{BK} \) (cuando el punto \( K \) se halla en el interior de la cuerda \( AB \), se obtiene por la intersección de ésta con la cuerda \( UV \) que une el punto de contacto \( U \) al \( V \) del triángulo circunscrito \( THE \)). Pero si se hace ahora variar las dos tangentes que pasan por los puntos \( E \) y \( F \), girando alrededor de éstos, las ecuaciones no variarán, ni por consiguiente los puntos \( C \) y \( K \), y entonces todas las cónicas obtenidas sobre la cuerda \( AB \) forman dos sistemas distintos, de modo que en el primero, las cuerdas de los contactos oscilan alrededor del punto \( C \) y en el segundo, alrededor del punto \( K \) (figs. 5 y 6). Teniendo, pues, en una recta los cuatro puntos \( A, B, E, F \), (figs. 6 y 7) y los dos puntos de construcción \( C, K \) determinados por las fórmulas fundamentales, si se trazan desde los puntos \( E, F \) pares de tangentes que tocan á la curva en pares de puntos \( X \) y \( V, U \) y \( W \), las cuerdas de contacto \( UX \) y \( VW \) se cruzarán en uno de los puntos \( C, K \) y las otras dos \( UV \) y \( XW \) en el otro. Estos dos pares de tangentes forman un cuadrilátero completo cuyas tres diagonales se cortan en \( C, K, c \), puntos de los cuales sólo el \( c \) varía con la curva, y se encuentra en la intersección de las cuerdas de contacto \( UW \) y \( XV \). Si ahora suponemos fijos los dos pares de tangentes, (figuras 6 y 7) y deformamos la curva de manera que permanezca tangente á aquéllas, los dos puntos \( A, B \), variarán conservando la relación
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\[
\frac{AC}{AK} = \frac{BC}{BK}
\]
anteriormente establecida, y las seis cuerdas de contacto \( UX, VW, \) etc., girarán dos á dos alrededor de los tres puntos fijos \( C, K, c \) determinados por las tres diagonales del cuadrilátero circunscrito. Pero en virtud de la teoría de los polos, en un cuadrilátero inscrito \( UXVW \) cada uno de los puntos \( C, K, c \), es el polo de la recta que une los otros dos; luego en todo cuadrilátero completo circunscrito á una cónica, cada una de las tres diagonales, es la polar del punto de intersección de las otras.

Esto conduce inmediatamente á la determinación de las cónicas por medio de la regla ó alineaciones, según el propósito de Brianchón, en su célebre Memoria, que es un hermoso ejemplar de la geometría de la regla, pues si las tres diagonales del cuadrilátero circunscrito se encuentran en \( C, K \) y \( c \) (fig. 8), y se traza una cuerda \( ux \) que tienda hacia uno de éstos \( C \), y por los extremos \( u, x \) se trazan á uno de los polos \( x \), por ejemplo, rectas, que encontrarán á la curva en los puntos \( u, w \) respectivamente, los tres puntos \( C, V, W \) se hallarán alineados, y las rectas \( uw, xu \) concurrirán en el tercer polo \( c \).

Ahora, determinando los cuatro puntos \( u, x, r, w \) seis cuerdas que tienden, dos á dos, hacia uno de los tres puntos fijos \( C, K, c \), en virtud de la propiedad de los polos, cada una, \( ux \), de estas cuerdas se hallará dividida armónicamente por su punto \( C \) y por la polar \( Kc \), de manera que las dos rectas trazadas desde los puntos \( u, x \) á los extremos de una de las diagonales que concurren en \( C \), se cortaran en \( Kc \), y conociendo uno solo de los cuatro puntos \( u, x, r, w \), se determinarán los otros tres por simples intersecciones de líneas rectas.

Por otra parte, si por ejemplo \( u \) coincide con uno de los puntos \( B \) en que la curva está cortada por una de los tres diagonales del cuadrilátero completo, el punto \( w \) concurrirá también con \( B \), y \( x, r \) se confundirán con el segundo punto \( A \) en que ésta diagonal corta á la sección cónica, cruzándose las tangentes en \( B \) y \( A \) en el punto \( c \) de intersección de las otras diagonales. En fin, si se deforma una cónica sujeta á tocar cuatro rectas cualesquiera, las seis cuerdas de contacto, varían girando dos á dos sobre los tres puntos fijos determinados por las intersecciones de las diagonales del cuadrilátero completo que forman los cuatro tangentes dadas; luego, si por una condición cualquiera, una sola de estas seis cuerdas se hubiese fijado, las demás también lo estarían, obteniéndose los cuatro puntos de contacto por simples in-
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tersecciones de líneas rectas, como sucedería en el problema: inscribir en un cuadrilátero dado una cónica tal, que la cuerda de contacto de dos lados determinados, pase por un punto conocido, problema que se construye con la regla solamente.

No vamos á enunciar la serie de problemas que se resuelven en la Memoria de Brianchón, como por ejemplo, describir una cónica de la que se conocen cinco puntos, cuya solución se halla basada en las ecuaciones fundamentales; circunscribir á un pentágono dado una cónica, cuya solución se funda en determinar un sexto punto por medio del exágono inscrito. Lo indicado basta para formarse idea de la importancia que tiene esta breve síntesis hecha con elegancia y unidad de método de la doctrina desenvuelta hoy en los tratados llamados de Geometría moderna, proyectiva ó superior, y tendrá mayor importancia para nosotros por cuanto esta Memoria va á presentársenos como el germen sobre el que se han desenvuelto los trabajos más importantes de los geómetras á quienes se debe la evolución realizada en esta rama de la Matemática, durante la primera mitad de este siglo. Y con frecuencia será necesario el recordar algunas de estas páginas, al dar idea de vastísimos desarrollos fundados en los solos principios que guiraron á Brianchón, no sin manifestar que además de esta célebre Memoria, debe citarse como otro timbre de gloria para este esclarecido geómetra, á saber, su importante trabajo insertado en el cuaderno XII del Journal de l'Ecole Polytechnique, donde estableció, basándose en el principio de Pascal, toda la teoría de los polos y de las polares de las secciones cónicas.

(Se continuará).

ALGEBRA AN ELEMENTARY TEXT-BOOK

by G. Chrystal, profesor in the University of Edinburgh

(CONTINUACIÓN)

Después de exponer las transformaciones fundamentales de las funciones enteras, para llevar más adelante los procedimientos com-