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El Progreso matemático (1891-06-20 00:00:00), página 19

Sin embargo, diremos únicamente que, siendo \( A_1A_2A_3 \) un triángulo cualquiera, O el centro del círculo circunscrito, G el centro de gravedad, H el punto de intersección de las alturas, E la elipse circunscrita, cuyo centro es \( \Omega \), el círculo O y la elipse E tienen un cuarto punto común R, del cual Steiner ha consignado las propiedades siguientes:

Los círculos osculadores á la elipse en los puntos \( A_1, A_2, A_3 \) se cortan en R.

La normal trazada por R á la elipse pasa por el simétrico de H con relación á \( \Omega \).

El punto R pertenece á las tres circunferencias que pasan por un vértice del triángulo \( A_1A_2A_3 \) y por el simétrico de los otros vértices tomados con relación á G.

Este punto es idéntico al que M. Tarry ha designado por la letra R, para el cual propone M. Neuberg la denominación de punto de Steiner.

Para obtener algunas propiedades del punto de Steiner hace uso M. Neuberg de la transformación por polaridad trilineal.

Si \( u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0 \) es la ecuación de una recta n que encuentra á los lados del triángulo fundamental \( A_1A_2A_3 \) en \( N_1, N_2, N_3 \), los conjugados armónicos de las rectas \( A_1N_1, A_2N_2, A_3N_3 \) con relación á los ángulos \( A_1, A_2, A_3 \) del triángulo, tienen por ecuaciones \( u_2 x_2 - u_3 x_3 = 0, ... \) y concurren en un punto N cuyas coordenadas son \( \frac{1}{u_1}, \frac{1}{u_2}, \frac{1}{u_3} \), estableciendo M. Neuberg con M. Mathieu (Nouv. Annales 1865) que N es el polo trilineal de n y que n es la polar trilineal de N.

Considerando enseguida M. Neuberg la ecuación de una cónica U circunscrita al triángulo de referencia \( A_1A_2A_3 \):

\[
\frac{L_1}{x_1} + \frac{L_2}{x_2} + \frac{L_3}{x_3} = 0,
\]

observa que la polar trilineal de un punto cualquiera (\( x_1, x_2, x_3 \)) de esta curva pasa por un punto fijo cuyas coordenadas son \( L_1, L_2, L_3 \); este punto fijo, al que llama polo de homología de U, es el centro de homología de \( A_1A_2A_3 \) y del triángulo \( T_1T_2T_3 \) formado por las tangentes en los puntos \( A_1, A_2, A_3 \) á la cónica.

Aplicando M. Neuberg las nociones establecidas al círculo O y á la elipse E, y suponiendo que K, K_1K_3, G_1G_2G_3 son los triángulos polares de \( A_1A_2A_3 \) con relación á estas curvas, de que el polo de homología del círculo es el punto de Lemoine K, el de la elipse es el centro de gravedad G y los ejes de homología son, respectivamente, la
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pongamos que las funciones \( y_1, y_2, \ldots, y_n \) admiten derivadas parciales relativas á \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) y que estas derivadas son funciones continuas de \( x_1, x_2, \ldots, x_n \):

1.º Si una de las funciones \( y_1, y_2, \ldots, y_n \) (\( y_1 \) por ejemplo), es función de las demás (\( y_2, y_3, \ldots, y_n \)), y esta función admite derivadas parciales relativas á \( y_2, y_3, \ldots, y_n \) continuas en las proximidades del punto \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \), el determinante (2) es nulo en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \).

2.º Si el determinante (2) es nulo en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \), y si uno de los determinantes menores de primer orden no es nulo en este punto, una de las funciones \( y_1, y_2, \ldots, y_n \) (\( y_1 \) por ejemplo) es una función de las demás en las proximidades del punto \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \), y esta función es continua y admite derivadas parciales relativas á \( y_2, y_3, \ldots, y_n \) en el punto \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \).

3.º Si el determinante (2) y los determinantes menores de primer orden son nulos en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \), y si uno de los determinantes menores de segundo orden no es nulo en este punto, dos de las funciones \( y_1, y_2, \ldots, y_n \) son funciones de las demás en las proximidades del punto \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \), y estas funciones son continuas y admiten derivadas parciales en este punto.

4.º En general, si el determinante (2) y los determinantes menores de orden igual ó inferior á \( i \) son nulos en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \), y si uno de los determinantes menores de de orden \( i+1 \) no es nulo en este punto, \( i \) de las funciones \( (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) son funciones de las demás en las proximidades del punto \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \), y estas funciones son continuas y admiten derivadas parciales en el punto \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \).

Para demostrar esta proposición, voy á considerar solamente las tres ecuaciones:

\[
\begin{cases}
y_1 = f_1(x_1, x_2, x_3, \ldots) \\
y_2 = f_2(x_1, x_2, x_3, \ldots) \\
y_3 = f_3(x_1, x_2, x_3, \ldots)
\end{cases}
\]

(3)

Es fácil ver que, en el caso general, se demuestra el teorema de la misma manera.

Usted bien sabe que, para establecer la primera parte del teorema mencionado se hace \( y_1 = ? (y_2, y_3) \), se deriva relativamente á \( x_1, x_2, x_3 \) esta ecuación y se elimina \( \frac{\partial y_2}{\partial y_2} \) y \( \frac{\partial y_3}{\partial y_3} \) entre las tres ecuaciones resultantes.
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polar \( k \) de \( K \) con relación al círculo y la recta en el infinito \( g \), deduce que: 1.º el punto de Steiner es el polo trilíneaal de la recta que une el punto de Lemoine al centro de gravedad; 2.º las rectas \( K_1G_1, K_2G_2, K_3G_3 \) se confunden con los lados del triángulo \( R_1R_2R_3 \).

Finalmente, de las muchas propiedades deducidas por M. Neuberg, sólo citaremos que: el punto de Steiner es el conjugado isogonal con el punto situado en el infinito sobre \( K \), que: Toda cónica \( U \) circunscrita al triángulo fundamental \( \Lambda_1\Lambda_2\Lambda_3 \) tiene por transformada por puntos recíprocos la polar trilíneaal del recíproco de su polo de homología.

En particular, la elipse \( E \) es la transformada isotómica de la recta en el infinito, etc.

Z. G. DE GALDEANO

VORLESUNGEN ÜBER DI ALGEBRA DER LOGIK (EXACTE LOGIK)
VON DR. ERNST SCHÖDER

La Introducción á la obra consta de 125 páginas en las que expone el Dr. Schröder extensas consideraciones sobre el carácter y límites propios del problema del Álgebra de la lógica ó lógica matemática (exacte logik) tratando de la inducción, deducción y el juicio inductivo y contradictorio, del sujeto pensante de sus representaciones y del objeto.

La introducción, en suma, es un estudio crítico del problema que constituye la obra, no sólo examinado en sí y conforme al criterio personal del Dr. Schröder, sino basado también en cuanto se ha edificado en este género de investigaciones por los filósofos y matemáticos, partiendo del sistema de Boole.

Sería prolíjo enumerar los escritores á que ha consultado y á que hace referencia el Sr. Schröder, exponiendo además una larga lista obras al final del primer tomo que hasta ahora ha aparecido.

Nos limitaremos á citar á Bain, Boole, Cayley, (Note on the calculus of logic "The Quaterly Journal of pure and applied mathematics), Clifford (on the types of compound statement involving four classes, etc.), Dedekind (Was sind und was sollen die Zahlen?) Delboeuf, Logique algorithmique, Morgan (Formal logic, etc.), los escritos relacionados con el asunto de M. Drobisch, Euler, Grassmann, W y William Rowan Hamilton, Jevons, Kant, Lambert, Liard, Lipschitz, Peano, Peirce, Schfler, Spottiswoode, Stolz, Ueberweg Wundt, con lo cual se
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formará el lector idea de la amplia base sobre que descansa la obra del Dr. Schröder, reservándonos el tratar de las importantes ideas desenvueltas por estos y otros escritores para nuestro artículo próximo á aparecer sobre el simbolismo del Algebra moderna.

Principia á entrar en materia estudiando el juicio categórico que presenta bajo la forma de teorema que une á un sujeto un predicado, expresándose esta unión por medio de la cópula "es".

Para expresar esta relación emplea el Sr. Schröder un signo especial C además del signo = tomado de la Matemática. Así

"(todo) oro es metal"—,"(toda) sal común es cloruro de sodio" se expresará como sigue

oro C metal, sal común = cloruro de sodio;

y cuando empleamos una igualdad tal como \( a = b \), expresamos que sus dos miembros son únicamente nombres distintos de uno y un mismo objeto del pensamiento.

El otro signo (, léase subordinado (subordinirt), y la relación \( a (b \) se llama una subordinación, así como el signo ) se lee supraordinado (übergordnet, superordinirt).

La relación existente, en el ejemplo arriba puesto, entre "oro" y "metal" es esencialmente la misma que existe entre una especie y el género á que está subordinada, ó bien entre un individuo y una especie á que este individuo pertenece en unión con otros. En general: especie (á su género.

La cópula "es" expresará ya la una, ya la otra de ambas relaciones representadas por los signos ( é =, mediante un signo compuesto de ambos "(, )" para hacer por sí solo más comprensible el pensamiento. Este signo se leerá subordinado ó igual, pudiéndose decir que:

El juicio categórico expresa siempre que el sujeto (el concepto-sujeto) se halla subordinado al predicado (concepto-predicado) ó es idéntico con el mismo, siendo

sujeto ( predicado

la forma común de todos los juicios categóricos.

Una afirmación de la forma

\( a \mid b \)

es una subsumpción (subsumption) ó coordinación (einordnung), siendo dicho signo el signo de subsumpción (subsumtionszeichen).

(*) En la imposibilidad de emplear el signo tipográfico de que se sirve el Sr. Schröder, usamos el más aproximado que le podemos sustituir.
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Pero la subsumpción da lugar á la relación inversa en que \( b \) y \( a \) se substituyen entre sí. El contenido de las proposiciones envueltas en las fórmulas

\[
a ( b, \quad a \sim b,
\]

puede reproducirse exactamente por medio de las siguientes proposiciones:

Todo \( a \) es \( b \), pero no todo \( a \) es \( b \),
Todo \( a \) es \( b \), y además todo \( b \) es \( a \).

Evidentemente estos dos conceptos se excluyen. Nunca pueden ser los dos ciertos al mismo tiempo, puesto que el segundo contradice al primero.

Desarrollando esta cuestión capital de la subordinación, pasa el Sr. Schröder á examinar las expresiones numéricas de varios significados. Observa que la raíz cuadrada es una operación, en general, de dos significados, y escribiéndose \( \sqrt{9} = 3, \sqrt{9} = -3 \), se llega á la conclusión errónea \( -3 = +3 \), paradoja que depende del empleo poco preciso del signo de igualdad.

Para tratar esta cuestión correctamente es preciso distinguir desde luego cuidadosamente en la representación, la raíz cuadrada considerada como de múltiple significación, y distinguir el valor general del principal, siendo aquel, no un valor propiamente dicho, sino una clase completa de valores. Así, entre la raíz cuadrada múltiple y cualquiera de sus valores existe realmente la relación de subordinación del individuo dentro de la clase que lo comprende, lo cual indujo á Cauchy á emplear un paréntesis para designar el valor principal.

En las consideraciones preliminares que desarrolla el Sr. Schödersobre la representabilidad del juicio como juicio coordinatorio (subsumtionsurteil,) trata de los juicios no categóricos expresados mediante conjunciones como: si,..., así,..., ó bien,... etc., manifiesta que solo tratará, en cuanto por su contenido lógico sean representables mediante el signo de subsumpción. Observa que la relación entre el concepto del sujeto y el del predicado significa una relación de circunscripción (Umfangsverhältnisse) representable por la expresión \( a ( b \). La clase del sujeto se halla totalmente comprendida en la clase del predicado.

Después de tratar de la inclusión de los objetos del pensamiento como individuos de una clase, pasa á exponer la teoría del círculo idéntico con dominios de una variedad, principiando por recordar el empleo del diagrama de Euler, mediante el cual, ya esferas ó ya cir-
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cunferencias en un plano sirven para representar la circunscripción ó cierta clase de un dominio en el espacio.

Para ello, parte del supuesto por el que se dá una variedad de elementos, ya sea la variedad de puntos en la superficie de una pizarra ó de un papel, variedad que retenemos en el campo de nuestra atención de una manera permanente, sin preocuparnos de los objetos exteriores á la misma. La naturaleza de esta variedad, así como la especie de sus elementos se halla representada á discreción nuestra, debiendo ser las consideraciones universales, y exigiéndose la condición de la realidad para cada variedad imaginada de cualquier clase de elementos, pudiéndose admitir: sobre todo, la variedad de los puntos del espacio, además la variedad de todas las rectas imaginadas en el espacio, ó también los puntos de una recta determinada y ulteriormente la variedad del punto-tiempo (Zeitpunkte) de espacio-tiempo (Zeitraum), etc., etc.

A cualquier agrupación de elementos el Sr. Schöder la llama dominio. Estos dominios pueden consistir en: puntos aislados, líneas y superficies ó en una figura cualquiera dibujada en la pizarra. Y con objeto de esclarecer los teoremas generales del cálculo en cuestión acude á la representación de sus leyes por medio de superficies relacionadas entre sí, ó la manera que se hace por medio de superficies circulares, en el diagrama de Enler.

Empieza el Sr. Schröder las letras a, b, c,... para designar los dominios, y funda las leyes de este cálculo en las formas generales del razonamiento matemático por las que la geometría de Euclides ha servido de modelo, para reconocer después que en las conclusiones de estas demostraciones se han empleado solamente los principios de este cálculo; y trata de los diversos empleos de las letras empleadas como signos generales, así como de los signos de operaciones y relaciones. Observa además que los elementos de la variedad que considera, pueden llamarse también individuos, pudiéndose ofrecer asimismo los "dominios" de esta variedad como sistemas y como clases de tales individuos, y llegarse á considerar como tales individuos objetos cualesquiera del pensamiento, hasta el punto de que resulten contenidos en una clase general supraordinada (übergeordnete).

Respecto al dualismo ó reciprocidad que se observa en la adición ó multiplicación, de modo que los teoremas correspondientes se ofrecen con cierta simetría, adopta el empleo del sufixo ó subíndice + ó x al enunciar dichos teoremas en toda la exposición de la obra.

(Se concluirá).

Z. G. de G.
El Progreso matemático (1891-06-20 00:00:00), página 24

VARIEDADES

Rivista di matematica diretta da G. Peano.—Entre las muchas publicaciones periódicas por medio de las que en Italia se difunden las teorías matemáticas, conservándose el interés por este género de estudios, hoy tenemos que señalar á los lectores de EL PROGRESO MATEMÁTICO la notable revista dirigida por el profesor de la Universidad de Turín Sr. G. Peano.

El Sr. Peano sigue con especial afición y asiduidad, aparte de otros muchos trabajos por que es conocido entre los aficionados á la ciencia matemática, este género de investigaciones que, partiendo del cálculo baricéntrico de Möbius, del Ausdehnungslehre de Grassmann y de la lógica algebraica de Boole, van haciéndose lugar hasta en los tratados que se destinan hoy á la enseñanza.

En su obra Calcolo geometrico secondo l' Ausdehnungslehre de Grassmann (1888) partió de las operaciones de la lógica deductiva para aplicarlas á los entes geométricos incluídos por el Sr. Peano en formaciones (formazioni) de cuatro especies, y estas aplicaciones de las teorías de Möbius, Grassmann, Bellavitis, Hamilton, etc., también se encuentran en su obra Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale.

Consecuente en la idea de llevar hasta ulteriores aplicaciones este orden de conceptos, el Sr. Peano publica en la Rivista di Matematica correspondiente al año de 1891 sus interesantes artículos titulados Principii de Logica matematica, Formula di Logica matematica y Sul concetto di numero; y ciertamente que el ilustrado profesor de la Universidad de Turin conseguirá como fruto de su trabajo obtener un libro destinado á la enseñanza de teorías que van pasando al dominio general mediante la fácil y correcta exposición de sus puntos más abstrusos, hasta poco hace envueltos en cierta oscuridad por efecto de su carácter abstracto y metafísico.

Otro de los trabajos publicados en la Rivista di Matematica y que expresan su tendencia educativa, el propósito de llamar la atención de la juventud hacia los ideales de la ciencia grabados de una manera permanente en las obras de los grandes maestros, es el artículo del Sr. Segre Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche. Después de aconsejar á la juventud el abandono de cierto género de investigaciones que cautivan por su sencillez, pero que bajo un falaz aspecto de originalidad conducen á resultados ineficaces y efímeros, lamentándose del exclusivismo con que se sigue por algunos, ya los
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estudios puramente geométricos, ya las teorías del Análisis, recomienda, apoyándose en varias citas de eminentes matemáticos, así como en el individual proceder de cada uno, la necesidad de unir ambos desarrollos de la Matemática, que en determinadas circunstancias por sus conexiones favorecen el general progreso.

Entre los ejemplos que cita de este auxilio mutuo que se prestan las dos ramas principales de la Matemática, se halla el que ofrece la geometría sobre una curva algebraica cuyo concepto se halla por vez primera en un trabajo analítico de Riemann, los resultados obtenidos por el Sr. Weierstrass sobre las funciones abelianas, los recientemente dados á conocer por M. Poincaré al presentar las expresiones de ciertas funciones analíticas de una variable, que denominó funciones Fuchianas, etc.; y en fin, después de consideraciones luminosas sobre los métodos sintéticos de los Poncelet, Staudt, etc. y los procedimientos analíticos de Sylvester y Clebsch, y en fin de la geometría enumerativa (1), se eleva al concepto de la rama superior constituida por la Geometría del hiper-espacio, haciendo indicaciones sobre los tres modos de presentarse el hiperespacio á los geómetras, y haciendo ver cómo la geometría en el espacio de n dimensiones es una generalización de la Geometría en el espacio ordinario.

Dimostrazioni di un teorema sulla trasformazione delle curve algebriche di E. Bertini.—Sopra la parte fatta alla storia in un disegno di Bibliografia delle Matematiche nota di Favaro, son otros trabajos contenidos en la Rivista di Matematiche.

Journal de Matématiques élémentaires de M. Longchamps—Los números correspondientes á los meses de Abril y Mayo contienen notables artículos en los cuales se desarrollan nuevas cuestiones sobre la geometría del triángulo.

El artículo de M. Poulain Des coordonnées angulaires, contiene:
I. Propiedades de los círculos laterales de M.—II. Triángulos deducidos de M.—Triángulo podar en M, y termina con los triángulos anexos de M los puntos anexos de M, la utilidad de los triángulos anexos etc. Concluye el trabajo de M. Vigarié: Les progrès de la Gométrie du triangle en 1890.

Sur la méthode de transformation de M. Schoute es otro artículo de M. Vigarié, que hace un estudio analítico de dicho método expuesto por M. Schoute desde el punto de vista sintético. En fin, M. de Longchamps expone una nota Sur les points et les droites de Feuerbach.

(1) Schnebert. Kalkül der abzählenden Geometrie (Leipzig, 1879).
El Progreso matemático (1891-06-20 00:00:00), página 3

Figura 1.
A --- O --- S --- F
P

Figura 2.
A --- P --- N --- M --- S --- F
R

Figura 3.
D --- E --- V --- G
P

Figura 4.
W --- R --- M --- N
P

Figura 5.
U
L
V
1
2
3
4
5
6
El Progreso matemático (1891-06-20 00:00:00), página 4

Ahora paso á las otras partes del teorema.
Supongamos que el determinante

\[
\begin{vmatrix}
\mathcal{M}_1 & \mathcal{M}_1 & \mathcal{M}_1 \\
\lambda x_1 & \lambda x_2 & \lambda x_3 \\
\mathcal{M}_2 & \mathcal{M}_2 & \mathcal{M}_2 \\
\lambda x_1 & \lambda x_2 & \lambda x_3 \\
\mathcal{M}_3 & \mathcal{M}_3 & \mathcal{M}_3 \\
\lambda x_1 & \lambda x_2 & \lambda x_3
\end{vmatrix}
\]

(4)

es nulo en las proximidades del punto \((a_1, a_2, a_3)\), y que uno de los determinantes menores de primer orden no es nulo en el punto \((a_1, a_2, a_3)\), por ejemplo, el determinante

\[
\begin{vmatrix}
\mathcal{M}_2 & \mathcal{M}_2 \\
\lambda x_2 & \lambda x_3 \\
\mathcal{M}_3 & \mathcal{M}_3 \\
\lambda x_2 & \lambda x_3
\end{vmatrix}
\]

(5)

En virtud de un teorema muy conocido (Jordan, Cours d'Analyse, tomo III, pág. 585), la segunda y la tercera de las ecuaciones (3) determinan \(x_2\) y \(x_3\) como funciones de \(x_1, y_2\) é \(y_3\) en las proximidades del punto \((a_1, a_2, a_3, b_2, b_3)\), y estas funciones admiten en este punto derivadas parciales relativas á \(x_1, y_2, y_3\) dadas por las ecuaciones

\[
\frac{\mathcal{M}_2}{\lambda x_1} + \frac{\mathcal{M}_2}{\lambda x_2} + \frac{\mathcal{M}_2}{\lambda x_3} = 0
\]
\[
\frac{\mathcal{M}_3}{\lambda x_1} + \frac{\mathcal{M}_3}{\lambda x_2} + \frac{\mathcal{M}_3}{\lambda x_3} = 0
\]

Si se sustituyen ahora los valores de \(x_2\) y de \(x_3\) en la primera de las ecuaciones (3), se obtiene el resultado

\[
y_1 = f(x_1, y_2, y_3),
\]

que tiene lugar en las proximidades del punto \((a_1, b_1, b_2, b_3)\).

Observando ahora que el teorema relativo á la derivación de las funciones compuestas es aplicable á la primera de las ecuaciones (3) se ve que \(y_1\) admite derivadas parciales relativas á \(x_1, y_2\) é \(y_3\).

La derivada relativa á \(x_1\) está dada por la ecuación

\[
\frac{\partial y_1}{\partial x_1} = \frac{\mathcal{M}_1}{\lambda x_1} + \frac{\mathcal{M}_1}{\lambda x_2} \frac{\partial x_2}{\partial x_1} + \frac{\mathcal{M}_1}{\lambda x_3} \frac{\partial x_3}{\partial x_1},
\]
El Progreso matemático (1891-06-20 00:00:00), página 5

que, sustituyendo \( \frac{\lambda x_2}{\lambda x_1} \) y \( \frac{\lambda x_3}{\lambda x_1} \) por sus valores obtenidos de las ecuaciones anteriores, da

\[
\frac{\lambda x_2}{\lambda x_1} = \frac{D}{D_1},
\]

representando por D el determinante (4) y por D_1 el determinante (5).

Como el segundo miembro de esta ecuación es nulo en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, a_3) \), tenemos

\[
\frac{\lambda x_2}{\lambda x_1} = 0,
\]

y por consiguiente, en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, a_3) \), la función \( \varphi \) no depende de \( x_1 \). Tenemos, pues,

\[
y_1 = \varphi (y_2, y_3),
\]

y la segunda parte del teorema queda demostrada.

Supongamos ahora que todos los determinantes menores de primer orden sean nulos en las proximidades del punto \( (a_1, a_2, a_3) \); y sea \( \gamma_3 \) uno de los determinantes menores de tercer orden que no es nulo en el punto considerado.

En virtud del teorema ya empleado en el caso anterior, la tercera de las ecuaciones (3) determina \( x_3 \) en función de \( x_1, x_2, x_3 \), y las derivadas parciales de \( x_n \) relativamente á \( x_1 \) y \( x_2 \) se hallan dadas por las ecuaciones

\[
\frac{\gamma_3}{\lambda x_1} + \frac{\gamma_3}{\lambda x_3} \frac{\lambda x_3}{\lambda x_1} = 0, \quad \frac{\gamma_3}{\lambda x_2} + \frac{\gamma_3}{\lambda x_3} \frac{\lambda x_3}{\lambda x_2} = 0.
\]

Si se sustituye ahora el valor de \( x_3 \) en la primera de las ecuaciones (3), se obtiene el resultado

\[
y_1 = \varphi (x_1, x_2, y_3),
\]

y tenemos, como en el caso anterior,

\[
\frac{\lambda \varphi}{\lambda x_1} = \frac{\gamma_1}{\lambda x_1} + \frac{\gamma_1}{\lambda x_3} \frac{\lambda x_3}{\lambda x_1}, \quad \frac{\lambda \varphi}{\lambda x_2} = \frac{\gamma_1}{\lambda x_2} + \frac{\gamma_1}{\lambda x_3} \frac{\lambda x_3}{\lambda x_2},
\]

ó, eliminando

\[
\frac{\lambda x_3}{\lambda x_1} \text{ y } \frac{\lambda x_3}{\lambda x_2}
\]