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El Progreso matemático (1891-07-20 00:00:00), página 33

Mr. Boussinesq contesta afirmativamente, y empieza á surgir una lucha, una discusión científica, que no dejará de dar óptimos frutos por ser el asunto de trascendencia suma. Algunos, y entre ellos el Padre Carbonnelle presentan objeciones (1) á que responde aquél en otro escrito, pero nos parece que el profesor de Lille es el único que con su opinión compagina extremos incompatibles antes, deja incólume la libertad, y hace científicas las condiciones precisas de su existencia y de la vida, y está de acuerdo en muchos puntos con lo que presenta la experiencia.

En efecto, si ese poder por virtud de su voluntad en los seres racionales es capaz de dirigir los átomos de las regiones convenientes cerebrales donde quizá reinan más la instabilidad de combinación y las circunstancias de indeterminación, y de anular ésta haciendo que el móvil siga la solución singular ó la particular, que convenga en el momento y punto preciso en que las bifurcaciones se presentan, tendremos resuelta la cuestión en contra del determinismo, en favor de la libertad moral, sin alteración de las leyes que rigen la materia y arrojando al materialismo de sus últimas trincheras.

Hay en el Universo dos clases de fenómenos de movimiento: unos, y parecen los más, que no se prestan á soluciones singulares, y basta en ellos el determinismo mecánico para conocerlos por completo, otros en que existiendo tales soluciones, precisa un principio suprafísico, inmedible estáticamente por fenómenos de equilibrio, ni dinámicamente por aceleraciones. Los primeros son fenómenos del mundo inorgánico, inanimado, los segundos corresponderán al orgánico al animado.

Analizando los problemas mecánicos, se encuentra, en los casos sencillos que podemos resolver, la posibilidad de tales soluciones singulares, y se conciben en los conjuntos materiales complicados, variantes infinitas, que darán lugar á ellas en combinaciones que no podemos penetrar, siendo propicias las circunstancias iniciales de cada caso.

Los modos de ser iniciales serán quizá las condiciones materiales de vida, las condiciones vitales, y la vida existirá allí donde un poder director presida esos movimientos para encaminarlos á creaciones morfológicas, que rudimentarias en los casos elementales y persistentes, como por herencia, podrán ser la base de formas cada vez más complicadas, compuestas quizá de esas mismas elementales, porque como decía Leibnitz, cada ser vivo está compuesto de infinidad de

(1) Revue des questions scientifiques (Bruxelles, 1879).
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séres vivos, ó como dijo Perrier: los organismos superiores son todos el resultado de la asociación de un numero variable de organismos más sencillos. ¡No parece sino que esos organismos elementales son una combinación especial de la materia con el principio ó elemento suprafísico!

¿Qué enlace habrá, qué serie reunirá ese poder elemental, con el que constituye nuestro espíritu? ¡Quién lo sabe! ¡si estamos viendo y tocando los organismos elementales y los superiores y la inmensa cadena que con ellos forma naturaleza y aun no sabemos como se enlazan esos eslabones!

Hace tiempo que pensamos en la existencia de otra mecánica más elevada que la correspondiente á la materia, Mr. Boussinesq viene á corroborar nuestra idea diciendo, que estas cuestiones abren la puería á otra mecánica superior, tomando en cuenta el principio director, y que tal ciencia servirá de intermedio entre la mecánica material y la social. Quizá sus fórmulas serán la expresión de leyes concernientes á la producción de formas orgánicas, y aunque no lo veamos inminente, no nos parece imposible que pueda alguna vez resolverse este problema, que indica aquél profesor; dada la configuración actual de un sistema orgánico en que puedan definirse perfectamente sus condiciones físico-químicas, hallar el verdadero camino seguido en cada bifurcación de las integrales de movimiento.

Más tarde llegará la que podremos llamar psicodinámica y conoceremos quizá las leyes del espíritu, aunque nunca pueda someterse á fórmulas la voluntad.

Esta impotencia, tomada como defecto, la arroja alguna vez el metafísico al rostro del matemático, pero el defecto, si acaso existe, estará en aquél, que pretende penetrarla, no en éste que confiesa, en todo lo que no comprende, su ignorancia, porque solo vive de evidencias mediáticas ó inmediatas. Ideas vagas, explicaciones confusas, opiniones contradictorias reinan en ese y otros mil conceptos en la ciencia metafísica, definida por Voltaire: "campo de la duda y novela del alma."

Aparte de todo, si en los fenómenos del espíritu ha de haber funciones matemáticas, preciso será también que haya alguna variable independiente. Tomad, pues, como tal la voluntad y cuando por ella misma, ó por influencias morales, quede trazado el derrotero que aquélla debe seguir y se conozcan bien las leyes del espíritu, es muy probable, que la matemática hará la mayor parte del resto.

Libres y por tanto responsables, pero entre límites, somos, quizá, menos autónomos de lo que nos figuramos. No hay razón para que las series generales del Universo, se detengan bruscamente en un
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punto determinado, es acaso, una ilusión de la ignorancia y de la soberbia humanas, juzgar al hombre rey de la creación, cúspide intelectual, libérrimo absoluto.

¡Quién sabe, si guiados por hilos invisibles, queda muy poco que hacer á nuestro pobre albedrío!

No tendrá razón Spinoza cuando sienta que "creernos libres es soñar con los ojos abiertos";; no estará en lo cierto Leibnitz llamando á el alma "autómata espiritual"; quizás exagera Malabranche asegurando que "el hombre no actúa, sino que es actuado"; pero la mayor parte de los filósofos andan conformes en que "sub lege libertas", nuestra libertad, sometida á ley, es una libertad relativa.

Sin embargo, un átomo que nos quede de libertad, ese átomo se traducirá en mérito ó demérito y en función del tiempo podrá integrarse, aunque para definir por completo la integral, necesitemos quizá asignarla por límites cero é infinito.

Restringida y todo la libertad hasta ese punto, puede ser, y lo es, base de infinitos fenómenos y grandes transformaciones en el conjunto universal, á la manera que esas pequeñísimas oscilaciones, que concede el físico al átomo, á los centros de fuerza ó á la entidad misteriosa, invisible pero efectiva, que constituye los cuerpos materiales, es base de energías capaces de cambiar lentamente la faz del Universo.

Dejemos ya estos campos imaginarios y virtuales aplicaciones de la matemática y á fin de pasar resueltamente al epílogo de nuestro discurso, permitidme antes unas pocas consideraciones en que de un modo especial están revueltas la matemática y la filosofía.

En la función total de la creación, en que todo está arreglado en peso, número y medida ¿habrá posibilidad de más variable independiente absoluta que la voluntad suprema?..... ¿Las voluntades relativas van de cero á infinito sin tocar nunca esos límites ó tienen otros límites distintos? ¿Son independientes solo entre los que les consienten variables superiores? ¿habrá una función de todas ellas una sustancia que de todas dependa?

Si la voluntad absoluta, infinita, del único Ser que es, como tal no es variable, la creación toda ¿no será un conjunto, aunque incomprensible para nosotros, perfectamente definido? ¿Cuál será el nudo de enlace del Universo material y el moral ó no existe y resultan dos creaciones paralelas, independientes? ¿Serán sus magnitudes fijas ó podrán crecer como las ondulaciones de un modo indefinido? ¿La voluntad propia de cada esfera, puede hacer que esta mengüe ó quede invariable, ó solo crecer sin medida?
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En resumen: La matemática es hoy la ciencia mejor constituida, por su exactitud al definir, por su infalibilidad al probar, por su caudal de verdades necesarias, universales permanentes. Es el lazo de unión entre las ciencias puramente objetivas y las subjetivas y otro sentido especial que armoniza los externos y el íntimo, teniendo la ventaja de ambos y aminorando sus inconvenientes; porque los sentidos externos son toscos y muy falaces fuera de ciertas realidades perfectamente manifestas, y el Yo es también, por sí solo, una piedra de toque variable de un individuo á otro (y aun dentro de uno mismo, según las circunstancias), sacándole de ciertas esferas muy restringidas.

La matemática tiene una ingerencia necesaria en todas las demás ciencias, ya en forma de sencilla lógica, ya funcionando figurada ó cifrada y constituyendo una continuación de aquélla como lógica superior.

Sin ella el hombre estaría hoy en un lamentable atraso material y moral. El espíritu es sin duda de mayor importancia que la materia, que, áor ahora, cac, más directamente bajo el dominio de la ciencia exacta, pero la ciencia del espíritu, por alto que sea su objeto, y por mucho que se preconice, es preciso confesar que está aún sin hacer. Ciencia que no puede prever y predecir de un modo fijo, salvando tiempos y espacios, ciencia que con sus principios y verdades se presta á consecuencias perfectamente antitéticas, ó está sin constituir ó muy cerca de no ser lo que pretende.

Si Lavoisier pesando compuestos dejó sentada la conservación de la materia y Mayer con su principio de equivalencia, hizo ver que en lo invisible y para conservarse, continúa el movimiento, nadie mas que la mecánica poniendo á su servicio la matemática, puede penetrar en la conservación total de la energía, y poner de manifiesto las maravillas sin cuento del universo material y allanar muchas dificultades, que las mismas ciencias positivas pudieran presentar en las elevadas regiones del Universo moral.

Aunque el procedimiento inductivo tenga, en cierto modo, aplicación en la ciencia matemática, su método esencial es el deductivo, único que partiendo de bases firmes es capaz de poner al descubierto las verdades, levantando con segura mano los pliegues de la naturaleza que las ocultan y aunque se opongan á ello fuertes voluntades.

Ese método sería absurdo para las ciencias que no tienen puntos fijos en que apoyar sus consecuencias, y aún teniéndolos será inútil ó poco fecundo, si los medios ó enlaces con que se pretende sacar de ellos otras verdades, son caprichosos, ficticios ó nulos.
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Cada ciencia necesita un método especial adecuado á su objeto, no hay duda, pero es evidente que, como dice Bourdeau (1), tiene la inducción temeridades, la percepción desprecios, la concepción lagunas, la observación errores, la opinión disidencias, la experiencia extravíos.

Solo la deducción arrancando de bases inquebrantables y siguiendo el procedimiento matemático, eminentemente lógico, es capaz de llegar directamente á infalibles consecuencias.

Merecedora es pues esa ciencia deductiva del glorioso título de exacta, cuyo concepto confunden, á veces, lastimosamente sus detractores.

Digna de respeto es, más que otra alguna, esa ciencia, llave del aula de Platon, base de conocimientos desde remota antigüedad; ciencia que adivina y predice, ciencia que está en el fondo de todo lo verdadero y por tanto de todo lo bueno y todo lo bello, ciencia que todo lo ennoblece, que enlaza lo finito con lo infinito, que es la clave de miles de secretos y enigmas del Universo, ciencia en fin, que abre al hombre comunicaciones directas con lo absoluto, porque como dice nuestro sabio Echegaray (2) "si lo absoluto existe y algunos de sus divinos reflejos llegan á nosotros, entre ellos están los que con sus maravillosas combinaciones inundan de luz los espacios ideales del álgebra y la geometría."

VARIEDADES

POJECIA I METODY MATEMATYKY NAPISAL S. DICKSTEIN WARSZAWA 1891.—Conceptos y métodos de la matemática.—El primer tomo de esta obra, publicado por el matemático polaco Sr. Dickstein ofrece un nuevo testimonio de la importancia que van adquiriendo dentro del plan de la ciencia matemática teorías hasta hace poco relegadas á los dominios superiores, donde solo era permitido llegar á muy contado número de espíritus investigadores. Dicha obra, destinada á una exposición general de todos los métodos modernos, es notable también por las interesantes notas en que, además de aclaraciones del texto se dan noticias de las obras que han promovido el desenvolvimiento de cada teoría.

(1) Théorie des sciences.... T. I, pág. 333.
(2) Teorías modernas de la Física, 2.a serie.
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Hoy estas teorías abstractas se van haciendo accesibles á la generalidad de los que se dedican á los estudios matemáticos, gracias á los continuados esfuerzos de algunos profesores que han hecho descender tan elevados conceptos hasta las regiones de la enseñanza, facilitando su comprensión. Uno de los primeros que siguieron esta nueva dirección fué el profesor de la facultad de ciencias de Burdeos M. Hoiuel con su obra Théorie des quantités complexes, quien insistió en otras de sus obras sobre este punto.

Actualmente el ilustrado profesor de la Universidad de Turin señor Peano, que, en su Rivista de Matemática publica artículos sobre cuanto concierne á la teoría general de las operaciones, ha publicado una obrita, titulada Arithmetices principia nova methodo exposita y en otra titulada Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles funda sus desenvolvimientos en el nuevo simbolismo y modo de razonamiento, característico del Algebra de la lógica.

El Sr. Dickstein en sus obras expone los modernos desarrollos del análisis siguiendo, las doctrinas de los matemáticos más ilustres de nuestros tiempos.

Comienza la exposición de la teoría de los números examinando las leyes conmutativa, asociativa y distributiva, haciendo referencias á los trabajos de Kronecker, Wronski y Cantor.

Expone después las teorías del cálculo de Grassmann y Hankel, y después la de Dedekind, haciendo indicaciones interesantes sobre las obras recientes de los Sres Schröder (1) y Betazzi (2) y acerca de la teoría del Sr. Weierstrass de las cantidades complejas.

Sigue el proceso gradual de la teoría de las cantidades negativas donde expone razonamientos y conceptos sobre esta cuestión de D'Alembert, Carnot, Kronecker, Wronski, Duhamel, etc.

La teoría de las cantidades imaginarias considerada desde las fórmulas con que Euler expresó el seno y el coseno por medio de exponentiales imaginarias, y los ideales de Wronski, se eleva en el artículo siguiente hasta la teoría de Weierstrass (3) y su notable concepción de los divisores de cero. Continúa con la teoría de Grassmann hasta llegar á la de los cuaternios de Hamilton.

La última parte del tomo publicado está destinada á los métodos de eliminación, exponiéndose los de Sylvester y Euler, así como la

(1) Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
(2) Teoria delle grandezze.
(3) La tesis presentada por M. Barloty á la Facultad de Ciencias de Paris Théorie des quantités complexes a n unités principales (1896) expone con notable claridad los fundamentos de los métodos de los Sres. Dedekind y Weierstrass.
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teoría de las funciones simétricas, teniendo presente los resultados de Meyer-Hirsch, Cayley, Faa de Bruno, etc.

También en esta parte se trata de algunos resultados debidos á Wronski, dándose á conocer además del jacobiano y del hessiano, el wronskiano. (4)

BIBLIOTHECA MATHEMATICA. JOURNAL D' HISTORIE DES MATHÉMATIQUES PUBLIÉ PAR G. ENESTRÖM.—El inmenso caudal formado por los descubrimientos incesantes, por los vastos desarrollos que van adquiriendo todas las teorías matemáticas durante el siglo actual, ha dado importancia creciente á los trabajos bibliográficos e históricos, hasta el punto de promover el congreso internacional de 1889, de cuyas decisiones se dió cuenta á los lectores de EL PROGRESO MATEMÁTICO.

Los periódicos como el Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik dirigido por el profesor Dr. Lampe de Berlin y la Bibliotheca mathematica del Sr. Eneström, están destinados por su índole especial á realizar estos importantes fines. Las materias contenidas en los dos primeros números de la Bibliotheca mathematica son las siguientes: Cenni intorno a la vita e le opere di Felice Casorati di Gino Loria. Bibliographie de l' histoire dessciences mathematiques aux Pays-Bas por Bierens de Haan. Notizia storica sulle applicazioni della spiralelogoritmica cenno di Antonio Favaro. The teaching and history of mathematics in the United States. Gumersindo Viciña por G. Eneström. Newton's classification of cubic curves by W. W. Rouse Ball, etc.

Ocupándose el Sr. Hallsted de la enseñanza de la historia de la matemática en la universidad de Texas, manifiesta el gran desarrollo que en ella se dan á la cuestión del hiper-espacio y de la geometría no euclídea (1) y añade: "En conexión con los cuaternios de Hamilton y el Ausdehnungslehre de Grassmann la atención se dirige especialmente al Algebra de la lógica, particularmente las de Boole, Macfarlano y Schröder. Este expléndido asunto cuyo origen y desarrollo es inglés, parece destinado á dar el lenguaje científico del mundo.

El Sr. Eneström, ocupándose de la obra The number system of algebra de Mr. H. B. Fine, observa que hoy las investigaciones científicas en el dominio de las matemáticas se hallan precedidas frecuentemente por una introducción histórica relativa á la cuestión de que se trata, y que esto prueba que la importancia del estudio de la historia de las matemáticas se reconoce cada vez más.

(4) Según manifiesta M. Mausson en su Résumé du cours d' Analyse infinitesimal (página 100), M. Muir llama wronskiano de varias funciones r, s, t, u, de una variable real ó imaginaria á un determinante cuyos elementos son éstas y sus derivadas.

(1) Estas investigaciones se han publicado en The American Journal of Mathematics, volúmen 1—2.—Baltimore.
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Con tal exactitud, es evidente que ni hay, ni puede haber definición de las cosas ni de las ideas. Si así fuera ¡cuántas discusiones interminables estarían pronto terminadas!

También Kant (1) (y la mayor parte de los que se ocupan en este asunto) repite: que "solamente los conceptos matemáticos tienen definición segura y justa, porque la definición se confunde con la idea y no contiene ni más ni menos que ella."

Si definir con precisión es difícil en las demás ciencias, mayor dificultad es para las mismas, probar todas sus proposiciones, de tal modo, que la evidencia ó categoría, aunque mediata, lo sea como la de los axiomas ó principios fundamentales.

La verdad matemática no es discutible, ó no existe ó brilla como la luz del sol, y lo mismo penetra la evidencia en el teorema de Pitágoras, en el de Ptolomeo, en el de Menelao..... que es obvia en cualquier axioma y como la de éste, las verdades que aquéllos encierran son necesarias, universales, permanentes, y la ciencia que las contiene superior sin duda, ó de orden más elevado, que las que solo cobijan verdades contingentes, particulares, variables.

No hay duda..., todo en el universo es medible en algún sentido, aunque no sepamos hacerlo, ó está sujeto á leyes numéricas aunque no las conocamos, ó entra en alguna función, ó obedece á algún concepto de orden, de combinación de posición..... aunque lo ignoremos. Nada puede haber casual, caprichoso, y podríamos decir con el libro de la sabiduría "sed omnia in mensura et numero et ponderc dispositi," (2), y añadir que la cantidad, por lo mucho que á ella se reduce, es la categoría principal de cuanto existe.

En el mundo material, quizá puede asegurarse, que es supremo el concepto de cantidad y que los modernos adelantos van reduciendo á ésta la cualidad y otros conceptos como color, temperatura, posición, etc.

El dolor, el sentimiento, la alegría..... pueden tenerse por cantidades, cabiendo la posibilidad de compararlas, de igualarlas y medirlas, y si en todas las ciencias entra algo real ó imaginario, medible de algún modo directo ó indirecto, allí estará implícitamente la matemática dándole vida, aunque desconozcamos la fórmula.

Esta ciencia que lleva con razón el glorioso título de exacta, sin ser experimental, marcha de acuerdo con la experiencia, y el mundo

(1) Crítica de la razón pura.
(2) Sapæ—Cap. XI - v. 21.
El Progreso matemático (1891-07-20 00:00:00), página 40

Pero añade "para que se admita definitivamente esta necesidad, es preciso que la historia de las diferentes ramas de las matemáticas forme parte integrante de los tratados que se destinan á la juventud, no debiendo preceder, por razones pedagógicas, la parte histórica á la parte matemática, sino hallarse repartida en las diferentes partes de ésta."

Journal de mathématiques élémentaires.—Los artículos publicados en los números correspondientes á los meses de Junio y Julio son: Transformation par inversion symétrique, par M. Bernés; Coordonnées quadripolaires, par M. L. Bénézech; Sur la méthode de transformation de M. Schoute, par M. E. Vigarié; Sur la perspective d'une figure plane, par M. E. Laisant.

MM. Lemoine et Boutin, refiriéndose al artículo de M. de Longchamps Sur les points et les droites de Feuerbach, añaden interesantes noticias acerca de los escritos en que se trata de estos elementos notables del triángulo, completadas por la siguiente cuestión que propone M. Lemoine (la 349 de la colección del J. E.):

Sean T, Ta, Tb, Te los cuatro puntos de contacto del círculo de Feuerbach con el círculo inscrito y los círculos ex-inscritos á un triángulo ABC; se sabe que las tangentes al círculo de Feuerbach tocan á la elipse de área máxima inscrita al triángulo; Sean F', Fa', Fb', Fc', puntos de contacto.

Demostrar las fórmulas:

\[
F F' = - \frac{1}{2} \frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab} = - \frac{1}{2} \frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{p^2 - 3 r \delta},
\]

\[
F_a F_{a'} = - \frac{2}{2} \frac{(b-c)(a+c)(a+b)}{a^2 + b^2 + c^2 - bc + ac + ab} = - \frac{1}{2} \frac{(b-c)(a+c)(a+b)}{(p-a)^2 + 3 r_a \delta_a}
\]

en las que \( \delta = 4 R + r \) y \( \delta_a = 4 R - r_a \).

También transcribimos para su solución la siguiente cuestión propuesta por M. de Longchamps.

398. Desde un punto M se trazan á una parábola tangentes M A, M B, que cortan al eje de ésta respectivamente en los puntos A', B'.

Demostrar que

\[
\frac{MA}{MB} = \frac{MA'}{MB'}
\]

(2) Esto puede observarse en los excelentes tratados de matemáticas del Sr. Baltzer, y también en las obras del Sr. Favaro, Leçons de Statique graphique, sobre todo en la segunda parte Le calcul graphique.