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operación —b anule el efecto de +b, y viceversa, el signo — se define respecto al signo + por las ecuaciones
\[
+a-b+b=+a,\quad (1)\ \text{o}\ x+b-b=+a,\quad (2)
\]
que pueden también escribirse así:
\[
+(+a-b)+b=+a\quad (1')\quad +(+a+b)-b=+a\quad (2')
\]
Y puesto que por la definición de la relación mutua entre la adición y la substracción tenemos
\[
+a+b-c=+a-c+c+b-c=+a-c+b+c-c\ (\text{por la ley conmutativa de la adición}),\ =+a-c+b\ (\text{por la definición de la substracción}).
\]
También \(+a-b-c=-a-c+c-b-c\) (por definición) \(=-a-c-b+c-c\) (por el caso anterior) \(=-a-c-b\) (por definición), resultando que en un encadenamiento de adiciones y de substracciones, los diferentes términos pueden escribirse en cualquier orden unidos á sus signos propios, apareciendo con esto plenamente el significado atribuido al operando y al operador.

Además, por la definición de las relaciones mutuas entre la adición y la substracción, tenemos
\[
+a+(+b-c)=+x+(+b-c)+c-c=+x+b-c,\quad (1)
\]
y por definición
\[
+p+b-c+c-b=+p+b-b=+p,
\]
resultando de esto que
\[
a-(+b-c)=a-(+b-c)+b-c+c-b=x-(+b-c)+(+b-c)+c-b\ (\text{por el caso (1)},\ =-a+c-b\ (\text{por la definición}),\ =x+b-c\ (\text{por la ley conmutativa ya establecida}).
\]
De todos los resultados anteriores se desprende la ley asociativa para la adición y la substracción, simbolizada como sigue:
\[
+(+a+b+c+etc.)=+(+a)+(+b)+(+c)+etc.
\]
con la siguiente ley de signos:
\[
+(+a)=+a,\ -(+a)=-a,\ +(--a)=--a,\ -(--a)=+a,
\]
cuya expresión verbal es la siguiente: si cualquier número de cantidades afectadas con los signos + ó — se halla en un paréntesis, éste puede suprimirse, permaneciendo lo mismo todos los signos si + precede al paréntesis, cambiando + en — y — en +, si precede al paréntesis el signo —.

En la multiplicación establece análogamente las leyes conmutativa y asociativa
\[
\times a\times b\times c=\times a\times c\times b=\times b\times c\times a,\ \text{etc.}\ \text{y}\ \times a\times(\times b\times c)=\times a\times b\times c,
\]
llevándole la consideración del multiplicando y multiplicador compuestos á expresar la tercera de las grandes leyes del Álgebra, la ley distributiva:
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+c×(+b+c)=+a×b+a×c, etc.
cuya expresión simbólica es
\[(±a±b)×(±c±d)=(±a)×(±c)+(±a)×(±d)+(±b)×(±c)+(±b)×(±d),\]
con la siguiente ley de signos:
\[(+x)×(+c)=+ac.\ (+x)×(−c)=−ac,\ \text{etc.}\]
principiando en la división por definir la relación mutua de los signos \(×\) y : mediante las expresiones
\[\times a:b×b=\times a,\ (1)\ \ \times a×b:b=\times a,\ (2)\]
y siendo inversa la división de la multiplicación, se tiene
\[\times a×b:c=\times a:c×c×b:c\ (\text{por definición})=\times a:c×b×c:c\ (\text{por la ley conmutativa en la multiplicación})=\times a:c×b\ (\text{por definición}).\]
Además, \(\times a:b:c=\times a:c×e:b:c\) (por definición) \(=\times a:c:b×c:c\) (por el caso anterior) \(=\times a:c:b\) (por definición).
La ley conmutativa así establecida, puede enumerarse como sigue:
En un encadenamiento de multiplicaciones y de divisiones es indiferente el orden siempre que se conserve el signo propio á cada constituyente, ó en símbolos, para dos constituyentes:
\[\frac{\times a}{:} \frac{\times b}{:} = \frac{\times b}{:} \frac{\times a}{:},\]
expresión que incluye cuatro casos.
La ley asociativa, para dos constituyentes, será en símbolos:
\[\left( \frac{\times a}{:} \frac{\times b}{:} \right) = \left( \frac{\times a}{:} \right) \left( \frac{\times b}{:} \right),\]
con la siguiente ley de signos:
\[\times(\times a)=\times a,\ :(\times a)=:a,\ :(:a)=\times a,\]
incluyendo dicha ecuación ocho casos:
\[\times(:a×b)=:a×b,\ :(:a×b)=\times a:b,\ \text{etc.}\]
No difieren, pues, la adición y la substracción de la multiplicación y división en cuanto concierne á las leyes conmutativa y asociativa; pero esta dualidad desaparece, en cuanto concierne á la ley distributiva.
En la división, el dividendo puede ser distribuido, aplicándose á los signos de los cocientes parciales la misma ley que en la multiplicación. Así:
\[(+a−b):(−c)=−a:c+b:c.\]
Pero la ley distributiva no es aplicable al divisor, no siendo cierto que \(a:(b+c)=a:b+a:c\).
Estas indicaciones revelan el carácter del Álgebra de Mr. Chrystal, en conformidad con el de los matemáticos ingleses, á quienes se debe
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principalmente los progresos de los métodos simbólicos. Y numerosos ejemplos pueden citarse que confirman este aserto. Así en la división de monomios, se tiene

\[
\frac{a^m}{a^n} = (a \times a \times \ldots m \text{ fact.}) : (a \times a \times \ldots n \text{ fact.}) \quad \text{(por la definición del exponente } = a \times a \times \ldots m \text{ fact.} : a : a : \ldots n \text{ divisores (por la ley asociativa).}}
\]

Ahora, si \( m > n \), resulta

\[
\frac{a^m}{a^n} = (a \times a \times \ldots \overline{m-n} \text{ fact.}) \times (a : a) \times (a : a) \ldots n \text{ fact.} \quad \text{(por las leyes conmutativa y asociativa)} = a \times a \times \ldots \overline{m-n} \text{ fact.}, \text{ por las propiedades de la división } = a^{m-n}.
\]

Si \( m < n \), \( \frac{a^m}{a^n} = (a \times a \ldots \overline{n-m} \text{ factores}) \times (a : a) \times (a : a) \ldots m \text{ factores} = : a^{n-m} = \frac{1}{a^{n-m}}. \)

\[
\left( \frac{a}{b} \right)^m = (a : b) \times (a : b) \times \ldots m \text{ factores (por definición)} = (a \times a \times \ldots m \text{ factores}) : (b \times b \times \ldots m \text{ factores}) \text{ (por conmutación y asociación)} = a^m : b^m = \frac{a^m}{b^m}.
\]

En las operaciones con fracciones, se tiene

\[
\frac{pa}{pb} = (pa) : (pb) = p \times a : p : b = a : b : p \times p = a : b, \text{ es decir, } \frac{pa}{pb} = \frac{a}{b}
\]

En la multiplicación:

\[
\left( \frac{a}{b} \right) \times \left( \frac{c}{d} \right) = (a : b) \times (c : d) = a : b \times c : d = a \times c : b : d = (ac) : (bd) = \frac{ac}{bd}.
\]

Para exponer el caso general de la ley distributiva, principia por el caso de tres factores

\[
(a + b + c + \ldots) \quad (a' + b' + c' + \ldots) \quad (x'' + b'' + c'' + \ldots)
\]

que conduce á

\[
(aa' + ab' + \ldots + ba' + bb' + \ldots) \quad (a'' + b'' + \ldots), \text{ y á } aa'a'' + aa'b'' + \ldots, \text{ etc.,}
\]

y, en particular, á las expresiones

\[
(a + b)^3 = \Sigma a^3 + 3 \Sigma a^2 b, \quad (a + b + c)^3 = \Sigma x^3 + 3 \Sigma x^2 b + 6abc, \text{ etc.}
\]

y en el caso de un producto

\[
\Pi(b + c) = \Sigma b^2 c + 2abc.
\]

Las teorías de las funciones enteras, de la homogeneidad y de la simetría, tienen el mismo carácter que lo expuesto, y en las diferentes proposiciones predomina la idea de combinación sobre la de magnitud, y conserva el autor el mismo carácter en las teorías que hace seguir á éstas, de modo que el Álgebra aparece como la ciencia de las
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transformaciones de la cantidad, ó de las reducciones unas á otras de las diferentes formas de ésta. Así dedica el capítulo V á las transformaciones de los cocientes, cuyo teorema fundamental se expresa en la fórmula

\[
\frac{A_m}{D_n} = P_{m-n} + \frac{R}{D_n}
\]

en la cual los subíndices representan los grados de las funciones enteras á que afectan y \( R \) indica una función, á lo más del grado \( n-1 \).

En esta cuestión es de gran importancia el caso en que el divisor es un binomio \( x-a \), puesto que la ley de la formación del resto es el fundamento de la descomposición de una función entera en factores lineales, y el modo gradual de elevarse en la ciencia, seguido por Mr Chrystal, permite que el alumno se vaya enterando de las limitaciones y dificultades que ofrece la resolución de ciertos problemas y los artificios mediante los cuales van desapareciendo á medida que se emplean nuevos procedimientos. Así, después de haber examinado las funciones enteras como múltiplos ó divisores de otras al tratar del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo, insiste en la descomposición de una función entera en factores, dando la solución general para el caso de la de 2.º grado.

(Se concluirá).

LA INTRODUCCION AL ESTUDIO DEL CALCULO INFINITESIMAL
POR
D. HORACIO BENTABOL
profesor de la Escuela general preparatoria de ingenieros y arquitectos

Para los adelantos de la ciencia, como para la transmisión de la misma, siempre son de importancia capital los conceptos generales que constituyen puntos de vista más ó menos elevados desde los cuales se dominan las regiones inferiores de las verdades particulares y de las aplicaciones. Cuando la inteligencia se poseiona de estos dominios, su marcha es expedita y franca, no encuentra obstáculos serios que la resistan, y lo mismo invade nuevos dominios sobre los que se poseiona después de fácil conquista, que desmenuza los detalles y los hace servir como comprobación de aquello que adivinó en sus primeras intuiciones.
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Para verificar la unión de las triangulaciones española y argelina, se eligieron como vértices de un gran cuadrilátero los picos de Mulhacen y Tética en la Sierra Nevada y de Filabres y los picos de Filhous-sen y M'Sabihá, estos dos últimos del continente africano, é intervinieron en los trabajos geodésicos colaboradores tan distinguidos, de tan reconocida ilustración y competencia como los coroneltes Perrier, Barraquer, los comandantes López Puigcerver, Borres, Bassot, etc., y el actual director del Observatorio astronómico de Madrid, D. Miguel Merino, con el ingeniero Sr. Esteban, para la unión astronómica.

Además de esta empresa gloriosa para los dos países que se concertaron para su realización, encomendándola a sabios tan respetables, y que forma una hermosa página en la historia científica del general Ibáñez, se le debe otro descubrimiento de gran trascendencia, recibido con universal aplauso; el aparato para medir bases geodésicas, que ofrece la notable circunstancia de permitir que á la rapidez en la ejecución de las operaciones acompañe la precisión en las mismas.

No nos detendremos en lo mucho que pueden decir personas más competentes acerca de los méritos del ilustre sabio que España ha perdido para la ciencia, correspondiendo á otros autorizados críticos el dar razón circunstanciada de cuanto tiene que agradecer la patria á quien dirigió con tan brillante acierto por tantos años sus trabajos geodésicos y estadísticos, y ya que no llegue á más nuestra competencia, hemos de limitarnos á rendirle nuestro insignificante tributo de admiración, evocando el recuerdo de algo entre lo mucho que hizo en su vida científica.

Z. G. de G.

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

(CONTINUACIÓN)

Múltiples fueron las direcciones de la Geometría bajo el impulso que le dieron los talentos que honraron la institución fundada por Monge, y que ha contribuido á dar un período de gloria científica á la Francia.

Si Monge creó la nueva Geometría que refiere las figuras del espa-
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La ciencia es una síntesis tanto más grandiosa cuanto mayores han sido sus progresos, y esta síntesis ayuda á las inteligencias haciéndolas cada vez más aptas, para con menor esfuerzo obtener mayor suma de resultados. Por esto los libros u obras destinados á fijar los puntos de vista generales son de utilidad grande, porque llevan algo de ese espíritu sintético al que desea iniciarse ó profundizar en los secretos de la ciencia, que dejan de ser tales cuando se ataca directamente en las cuestiones los puntos de verdadera dificultad.

Algo de esto es aplicable al trabajo publicado por el ilustrado profesor de la Escuela preparatoria de ingenieros Sr. Bentabol, que en pocas páginas ha hecho un resumen útil para los que deseen estudiar con fruto esta rama superior del Análisis, que se llama cálculo infinitesimal. Fíjense y definanse con claridad los conceptos que juegan en una teoría ó en una ciencia, y con esto se habrá conseguido salvar gran número de obstáculos que de otro modo entorpecerían ó dificultarían el acceso hacia la verdad.

El opúsculo de que tratamos comienza por fijar el concepto de cantidad definido como la cualidad de las cosas ó de sus propiedades, en virtud de la cual estas cosas ó sus propiedades son susceptibles de aumento ó disminución. Se hace después la distinción entre el número y la cantidad, entre el modo continuo y discontinuo de variar ésta, sus afec- ciones opuestas, su representación simbólica ó por medio de números y definiendo después las infinitamente crecientes y las infinitamente decrecientes.

El capítulo II trata de los límites de las cantidades variables y los III, IV y V respectivamente de las relaciones entre las cantidades finitas, de las funciones en general y del límite de las funciones.

Las cantidades cuyas leyes de variación son objeto ya de la Aritmética, en reducido dominio, ya del Álgebra de un modo más extenso, ya de la teoría de las funciones en su acepción más general, se presentan en muy distintas circunstancias. Las fracciones \( \frac{n}{n+N} \) ó \( \frac{n+N}{n} \) en las que \( n \) es una cantidad constantemente creciente, convergen, como es sabido, hacia ese límite finito. Hay funciones, como

\[
x = x + \frac{1}{2^n} \cos \frac{n \pi}{2}
\]

que para \( n = 0, 1, 2, ... \) crecen ó decrecen alternativamente. Y en este caso se obtiene
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Fig 1
Fig 2
Fig 3
Fig 4
Fig 5
Fig 6
Fig 7
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\[
a+1,\ a,\ a-\frac{1}{4},\ a,\ a+\frac{1}{16},\ a,...
\]

Es de suma importancia la distinción entre las cantidades que crecen ó decrecen constantemente hacia un límite finito, y las infinitamente crecientes que no tienen límite, así como las infinitamente decrecientes, cuyo límite es cero.

La clasificación de las funciones, su representación geométrica, las indicaciones relativas al intervalo y la oscilación, al contorno y á la región, al concepto de parámetro á la periodicidad, las circunstancias especiales que ofrece en ciertos casos el límite, los principios fundamentales del cálculo infinitesimal acerca de la sustitución de variables infinitesimales en las relaciones y en las sumas, son las cuestiones tratadas en sus puntos esenciales por el Sr. Bentabol, que ha reunido en pocas páginas cuanto puede servir al alumno como de preparación para después de iniciarse en estos conceptos capitales, poder abordar de un modo ventajoso el estudio de la ciencia de los infinitos.

Z. G. de G.

La Biblioteca del Instituto y observatorio de Marina de San Fernando

El Arte y la Ciencia son dos poderes que de muy diverso modo, en circunstancias muy variables y con ciertas alternativas, han ejercido su influencia avasalladora sobre la humanidad. El primero tiene su origen en el sentimiento y modela el mundo, según él mismo, iluminado por el genio. La Ciencia, más tardía en sus procesos, más oculta á las intuiciones del espíritu, solo se revela al hombre después de penosos esfuerzos, de multiplicadas tentativas, y como el Arte nace en espontaneidad, la Ciencia tiene su origen en la reflexión.

El Arte brilla en un momento y esparce su luz vivísima por todo el mundo, y sus resplandores bastan para iluminar épocas enteras de la vida de la humanidad. La Ciencia, oculta en un principio á las miradas de la inteligencia, tarda en aparecer, pero cuando ha surgido del caos que la contenía informe, se fija de una manera permanente, sus verdades dejan honda é indestructible huella, y solo consiente que sobre aquellos primeros surcos de las ideas que fijan las primeras etapas de su existencia, se tracen otros nuevos, que determinen el tejido cada vez más compacto de la verdad en sus diversas manifestaciones,
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en toda la serie infinita de sus accidentes, que ofrecen su variedad distribuida bajo las dos formas generales de principios y consecuencias, constitutivas del encadenamiento científico.

En el cielo del Arte, como en el de la Ciencia, hay astros de diversas magnitudes que iluminan la vida del sentimiento ó de la idea. El Arte cuenta con genios que han idealizado e idealizarán siempre la belleza en sus múltiples manifestaciones, poesía, música, pintura, escultura, etc. La Ciencia ha encontrado y encontrará genios que descubran sus secretos.

Pero no tratamos ahora de citar estas evoluciones progresivas que la Ciencia y el Arte cuentan en su desarrollo á través del tiempo y del espacio, pues fuera de que este asunto se presta á vastísimo desarrollo que nos alejaría de nuestro propósito, las ligeras consideraciones que preceden bastan por sí solas para formar en el espíritu la noción de los inmensos tesoros que el pensamiento humano ha depositado en sus obras, que reunidas por la asiduidad y el cuidado de generaciones varias, forman esos elementos de la educación nacional que se llaman bibliotecas.

Y no vamos á recorrer algunas de justa fama, de universal renombre, donde la inteligencia, ávida de conocer, encuentra material abundante en que saciar sus legítimas aspiraciones; vamos únicamente á citar la biblioteca del Instituto y Observatorio de Marina de San Fernando, que puede ofrecerse como testimonio eloquente de que en España se sigue la corriente del progreso matemático con noble entusiasmo y constancia meritoria, de que hay quien la sigue con interés y prepara los medios necesarios para que un día no sea difícil ver en este país clásico de la literatura equilibrado el progreso literario con el progreso científico, tan esencial en la vida moderna.

Causa verdadero placer á todo entusiasta por los adelantos de la ciencia, el ver reunidas las obras de los grandes maestros, de los genios innovadores, con las de los que han contribuido á explanar, esclarecer y desarrollar los pensamientos originales de aquellos, con las obras de propaganda ó destinadas á la divulgación de las ideas por medio de la enseñanza.

El contemplar las cónicas de Apolonio, hoy espaciadas en el vasto plan que comprende el estudio de estas curvas y otras muchas junto á la obra magistral de Descartes, que produjo una verdadera revolución en la ciencia, á las célebres colecciones matemáticas de Pappus,
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que sirven de enlace entre la antigüedad y los tiempos modernos. El poder cotejar las obras de Arquímedes y Diofanto y Euclides, expresión de la cultura científica de los griegos con las obras geométricas de Gregorius á St Vincentio, Simson y Clairaut, el resultar fácil la investigación de la historia de la Matemática en los modelos que ofrecen las obras clásicas de las mas variadas épocas, y descubrir el sello característico que han impreso en esta ciencia los matemáticos de las diversas naciones, además de ser tarea grata para quien se interesa por conocer esta rama del saber, es ciertamente factible para quien puede explorar las riquezas atesoradas en la biblioteca del Instituto y Observatorio de Marina de San Fernando.

Las obras de Argand, Warren, Mourey, Faure y Scheffler, expresan lo fundamental que hay en las representaciones gráficas hoy empleadas universalmente por los expositores del Algebra ó del Análisis matemático. Las obras de Gauss, de Legendre y Lejeune Dirichlet, los tratados de Barlow y Le Besgue sobre la teoría de los números, el original tratado de Grassmann, las obras de Hamilton y los propagandistas de su nueva teoría de los cuaternios Tait y Kelland, las de Clifford, tan entusiasta por esta nueva Geometría como por las singulares concepciones del hiper-espacio y del Algebra simbólica, ó en fin, por cuantos problemas hoy estimulan la actividad de los que cultivan la ciencia contemporánea. Carnot, que sigue una especial dirección en los dominios del Análisis geométrico, los clásicos libros de Newton, L'Hospital, Mac-Laurin y Euler sobre el cálculo infinitesimal, contiguos á los importantes tratados de Jacobi y Riemann. Las lecciones de cálculo diferencial e integral del abate Moignó, propagandista de las teorías de Cauchy, la «Theorie der Potenzial order cyklisch-hyperbolischen Functionen» y «Theorie der modular Functionen und der Modular Integrale de Gudermann», las obras de Boole, Lamé, Hermite, Briot, Bertrand, Cayley, Jordan y otras que sintetizan los últimos adelantos del Análisis; las numerosas obras que expresan la evolución de la ciencia astronómica desde Aristarco, Firmicus y Ptolomeo, desde Cassini, Galileo, Huyghens y Kepler hasta Laplace, y cuanto de reciente expresa esa grandiosa extensión que ha alcanzado en nuestros tiempos la idea del universo.

Todo esto y mucho que pudiera agregarse á lo expuesto, si á detallar se fuera lo mucho y bueno que el aficionado á los estudios matemáticos encuentra reunido en la Biblioteca de San Fernando; y al
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meditar acerca de estos y otros esfuerzos aislados que realizan en España los entusiastas por estas ciencias, hoy con tanto éxito cultivadas en las naciones más privilegiadas, cabe el abrigar la esperanza de que algún día, cuando una iniciativa superior encauce por su verdadero camino las ciencias positivas, sea posible á los talentos que hoy siguen otras direcciones contribuir al progreso de aquéllas, á explotar las riquezas científicas, que hoy permanecen latentes, sin hacer efectiva la virtualidad que poseen.

VARIEDADES

Essai sur la Géométrie de la règle et de l'équerre, par G. de Longchamps. Paris-Libr. de Delagrave, 1890.—Esta obra, debida á la secunda pluma de Mr. Longchamps, se halla destinada, sin género de duda, á tener un éxito completo entre los aficionados á la Geometría pura que cultivaron Euclides, Apolonio, Pascal y Desargues, y que se revela por la elegante sencillez de sus construcciones, efectuadas tan solo con el auxilio de la regla y de la escuadra; y hallándose inspirada en los notables trabajos del sabio geómetra y oficial de artillería Servois, además de ser útil para el agrimensor, es indispensable para el que sigue los progresos del arte de la guerra, por cuanto da soluciones sencillísimas y rápidas de muchos problemas practicables sobre el terreno.

Mereciendo esta obra un examen detenido que ponga de relieve algo de lo mucho notable en ella contenido, tanto desde el punto de vista de los conceptos teóricos sobre que se funda, como de las múltiples aplicaciones, será necesario insistir más adelante en un análisis que siquiera sirva al lector para formarse una idea aproximada de tan interesante trabajo.

Bastará indicar por ahora que, partiendo de la teoría de las transversales, llega el autor al trazado de las cónicas mediante la regla y la escuadra, así como al de la cisoide, la estrofoide, etc.

En la 2.ª parte se resuelven multitud de problemas sobre figuras inaccesibles, otros, como el establecimiento del fuerte y del tiro central, de un camino de seguridad, etc.