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El Progreso matemático (1891-07-20 00:00:00), página 15

Bien sabeis, cómo la matemática se ha ingerido en multitud de problemas sociales por el cálculo de probabilidades, y cómo es una necesidad en todas las ciencias de observación, bajo la forma de teoría de errores probables, rectificando fórmulas con el método de mínimos cuadrados, que tantos beneficios reporta á dichas ciencias.

Es obvio también, el cómo los adelantos matemáticos influyen en la ciencia de la Guerra, que necesita el auxilio de todas por ser, según dijo nuestro ya citado compañero (1) «el conjunto de las leyes, que rigen á la creación, sostenimiento y manejo de los ejércitos de mar y tierra,» y por entrar en ella el hombre con su inteligencia y su corazón, la industria con todos sus adelantos, el terreno con todas sus circunstancias y hasta el cielo con sus rigores.

Aun estamos en el tristísimo período de nuestra evolución, en que la efusión de preciosa sangre es á veces irremediable, preciso es, en contraposición, poner en juego todo nuestro saber para economizarla y anularla si es posible. La victoria debe ganarla el espíritu, no la materia..... debe ser patrimonio de la razón, no de la fuerza.

¡Lloro á los que, en todo género de conquistas, imitan el ejemplo de Vauban, escogitando un medio, un trazado, una regla matemática, que sin perder gente, decida de la suerte de las plazas! Locos ó mal avisados son los que juzgan del mérito do una idea, de un adelanto de una conquista moral ó material, por el número total de víctimas, sin restar las inútiles, que cuesta á la humanidad.

El precio de lo que hoy poseemos es, en junto, lo que nos precede, pero hay que conceder poquísmo valor y asignarlo á veces negativo, en ese coste total, á las hecatombes originadas por la maldad ó por la soberbia humana, manteniendo ideas y sistemas inútiles ó perjudiciales y sacrificando á la conveniencia de unos cuantos, la vida de los demás.

Con tales antecedentes el desastre se hace matemáticamente preciso, para volver al hombre al sendero de la verdad y del progreso. La ciencia exacta, que es la verdad y el progreso mismo, no puede ser causa directa de tales colisiones, y este es un lauro más, nunca una mengua, que solo un cerebro mal organizado puede echarle en cara.

Nadie puede negar que la matemática es el alma de la astronomía y lo es hoy también de la física y la química. Los sabios están de acuerdo en admitir que las leyes físicas y químicas son, en último análisis, reductibles á ecuaciones diferenciales, que unen unas á otras las transformaciones sucesivas de la materia.

(1) Sr. Vila.—Discurso citado, pág. 13.
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punto de darse un cariñoso abrazo el Atlántico y el Pacífico. No tuviéramos siquiera vestidos, ni alimentos, ni viviendas cómodas y saludables, ni supiéramos si la tierra se mueve ó el sol anda, y seguirían mudos esos rayos de luz que hoy nos cuentan los secretos del firmamento. El trueno y el relámpago continuarían siendo causa de nuestra adoración y nuestro espanto, y la lucha y destrucción sería quizás nuestra enseña, en vez de ese lábaro precioso de caridad que se vislumbra en lontananza..... Sería, en fin, mezquino todavía nuestro ser, y veríamos aun pequeño al mismo Dios, siendo infinito.

También la metafísica paga á la ciencia exacta su tributo. Lamartine define el sentido común: media rigurosa de la opinión en el Universo y en todos tiempos.

La matemática está implícitamente en todo lo bello, porque como tal es verdadero y es la verdad una ecuación; y tened en cuenta que lo verdadero, como dice Boileau, es lo único digno de ser amado. (Rien n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable.)

El fondo de lo verdadero, lo bueno y lo bello es el orden (1) y este es un concepto que á la matemática corresponde.

El hombre ama naturalmente la belleza, porque, como repite Malebranche, al menos la belleza que es objeto del espíritu, es visiblemente una imitación del orden.

El poeta, el pintor, el músico, hacen matemática casi siempre de un modo instintivo, sin que por eso sea menos real; también existe aquélla, como vimos, en el panal de las abejas sin que el insecto se de cuenta de ello.

Leibnitz dice de la música «operación aritmética que ejecuta el alma sin saberlo» y el P. Niceron llamaba á la perspectiva «fabricadora de milagros» que no son sino triunfos conseguidos por notables artistas con el auxilio de la geometría, llevada en alas de su genio.

Algo que con lo dicho se relaciona, pudiéramos decir de lo que puede comprenderse en los escritos del matemático Hoëne Wronski (2)

(1) Tisandier.—Traducción española.—(Madrid 1860) pág. 49....> Se podría pues decir, en último análisis, que lo verdadero, lo bueno y lo bello, considerados en su modo de realizarse en el mundo, no son sino la representación del orden absoluto, por la idea pura, por el signo plástico ó el lenguaje ó por el acto de la voluntad humana.

(2) Polaco nacido en Possen, Teniente Coronel que fué de Artillería al servicio de Rusia. Se hizo ciudadano francés y murió en Neuilly el año 1853. Escribió una porción de obras notables; nos parece la más principal la que lleva su fecha de impresión, 15 de Agosto de 1847 en Paris y cuyo título es: Messianisme ou réforme absolue du savoir humain, notamment réforme des Mathématiques comme prototype de l'accomplissement des sciences et réforme de la Philosophie, comme base de l'accomplissement de la religion.

Su notable portada indica aquella cabeza de imaginación fogosa; dentro de un gran zodiaco
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que á la vez que trata de dar un impulso grande á la matemática, pretendiendo resolver de un modo general toda clase de ecuaciones, y dar solución también á todos los grandes problemas de matemática y física, se remonta al descubrimiento de leyes nuevas y á explicar con ellas los problemas científicos y filosóficos más intrincados, las realidades supremas del hombre, el génesis de todas sus facultades hiperfísicas, los problemas de religión absoluta y hasta el origen celeste del bien y el infernal del mal. En resumen, á caballo sobre el mismo infinito, como diría Fleury (1) acomete, con terrible empuje, cuanto hay de absoluto en filosofía, religión, física, matemáticas, en el hombre, en el universo, llegando hasta el mismo Dios.

Dejó, sin duda, tarea para el siglo XX... ¿Hubo acaso algun extravío en su razón? no lo sé. Es triste ley de la humanidad tener como dementes á los que por cualquier concepto se remontan sobre las demás inteligencias. Mirémonos sin embargo, con muchísimo respeto, porque estos locos son, de ordinario, los que hacen marchar al mundo.

A cada adelanto material corresponde otro en el orden moral. La matemática que es según A. Comte (2) «más bien la base verdadera y fundamental de la filosofía, que una parte constituyente de la filosofía natural» los enlaza, los hermana y en sus alas los lleva muy allá, donde el astro de verdad derrama en todos sentidos destellos admirables.

Cuando la astronomía, auxiliada de su nuevo sentido, el telescopio, sondeó el macrocosmos y la matemática le prestó su ayuda midiendo distancias, superficies, volúmenes, densidades... en el fondo de la inmensidad, se atrevió el hombre á formular la idea trascendental de que cada estrella pudiera ser un sol con su cortejo planetario y cada planeta un mundo como el nuestro con todos sus corolarios, y á inducir la pluralidad de mundos y de existencias. Hizo de la tierra, antes Señora, una tierra vasallo miserable; pero al menguar ésta por la ciencia, se agrandó al infinito la idea del Creador.

A la vez el microscopio descendió al micrócosmos, y la matemática dedujo y confirmó leyes de analogía, que enlazan lo grande lo inmensurable del firmamento, con lo pequeño con lo inmedible ató-

envuelto en nubes, se ven sus fórmulas más preciosas, unas debajo de otras, las tres siguientes:

Lex suprema = Fx = A_0 Q_0 + A_1 Q_1 + ...: ειςωσις: : x^m ≡ a. (mod. M);

Problema universale: o = /x + x_1/x_1 + x_2/x_2 + ....

(1) Le calcul infinitesimal fondé sur des principes rationnels... Pag. 10.
(2) A. Comte.—Cours de Philosophie positive. - T. I. pág. 86. (2.a edición, París 1864.)
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mico, y viendo en todo solidaridad, unidad, vida y movimiento.... quedó el hombre confundido con su ignorancia y pequeña, pero agrandó su ser moral al confesarla, al comprenderla.

¡Os fatigo sin duda!... ¡hay que condensartanto lo que dá de sí para muchos libros!

Con lo que voy á decirlos, quisiera que los que, por sus aficiones especiales, no han tenido precisión de ciertos estudios, pudieran columbrar alguna de las bellezas que se ciernen en las elevadas regiones de la ciencia, y que vienen en apoyo de mi tesis, á la vez que pueden servirme de auxilio para penetrar más tarde en el tenebroso problema de la libertad moral.

El que pasa los umbrales del cálculo transcendente y del hiper-transcendente, llamados de ordinario, diferencial, integral y de variaciones, comprende pronto sus defectos, que nada sin ellos existe; pero queda sorprendido ante esas maravillas á que se remonta el hombre por el más grande, por el más noble, por el más sublime esfuerzo de ese quid divinum, que en él se esconde.

Podemos añadir con Humbold (1) que: «el trabajo del espíritu se manifiesta con toda elevación y grandeza allí donde, sin tener necesidad de medios exteriores y materiales, toma todo su brillo del desarrollo matemático del pensamiento y de la pura abstracción. Hay un encanto que cautiva, y que ha sido celebrado por toda la antigüedad, en la contemplación de las verdades matemáticas, en las eternas relaciones del tiempo y del espacio, que se manifiestan en los sonidos, en los números, en las líneas...

Perfeccionándose el instrumento, puramente intelectual, del análisis ha desarrollado á su vez, una fecundidad no menos preciosa por sí misma, que por las riquezas que engendra. Gracias á este instrumento, la contemplación física del mundo ha podido denunciar, lo mismo las causas de fluctuación periódica, que se producen en la superficie de los mares, que las perturbaciones planetarias, y descubrir en las esferas de la tierra y del cielo nuevos horizontes sin límites ni medida.»

Nada surge de repente, todo precisa una larga y misteriosa gestación, pasando á veces siglos y siglos, sin llegar á las ideas el instante de su alumbramiento.

No pudo ser una excepción ese análisis sublime infinitesimal. Arquímedes en su método de extinción (exhaustion), con que dedujo aproximadamente muchas áreas y cuadró exactamente la parábola,

(1) Cosmos. T. I., pág. 496. (París. 1847).
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menor aniquilamiento traería también un disturbio completo en ese amor, en esa atracción recíproca de las verdades, producida, acaso como ellas mismas, por otra Verdad inmensa en que todas viven sumergidas.

Pero ni todos los cuerpos que flotan en aquel fluido gravífico tienen el mismo volumen, ni la misma masa, ni el mismo desarrollo, ni la misma trayectoria y velocidad, ni la misma importancia relativa..... sin que por eso deje de haber igualdad absoluta en las acciones y reacciones y en la ley (newtoniana ó no) que en función de las distancias rige aquellas atracciones.(1)

Lo mismo sucede, quizá, en el universo de las verdades y de las ciencias. Todas tienen el mismo origen y son como átomos y moléculas de la ciencia integral; pero ni pueden ser iguales en su desarrollo, ni en aplicaciones, ni en importancia.....

En la desigualdad aparente está, sin duda, el equilibrio real dinámico en todas las esferas. Verdad es ésta, que cuando penetre en todas las inteligencias de cada mundo, hará de éste un paraíso, como hace de los mundos materiales un armonioso conjunto donde impera la justicia absoluta escrita en leyes mecánicas.

Pero descendamos de esas alturas á nuestras realidades, y veamos qué es la ciencia en general, qué una particular, y empecemos á sacar consecuencias.

La ciencia, dicen unos, es el conocimiento de las leyes que rigen el universo; es, según otros, el conocimiento de la realidad tal cual es; la sabiduría de las cosas por principios; el conocimiento de las cosas por sus causas; el conocimiento de la verdad; el saber ordenado; un sistema de verdades dependientes unas de otras y todas de alguna fundamental evidente ó demostrada.....

De estas definiciones y otras análogas, podemos sacar, como Huxley, una representación genérica, aprovechando la ingeniosa idea de Galton, á saber: con muchas negativas de retratos individuales (del mismo tamaño y posición) superpuestas, se obtiene una positiva en que, desapareciendo los rasgos individuales, aparecen solo los característicos de la familia.

Hagamos una cosa parecida con esas definiciones; superpongámoslas y fácilmente se verá que solo quedan, como rasgos caracte-

(1) M. Boussinesq (Paris 1890.—Leçons synthétiques de Mécanique général-4.º leçon), indica la gran probabilidad de que la ley de Newton no rija en las distancias interatómicas. Quizá tiene la ley general una fórmula más compleja en que los valores de las acciones mutuas pueden ser positivos ó negativos y pasar por cero varias veces según las distancias.
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tuvo una especie de presentimiento, que se continuó, muchos siglos mas tarde, en el triángulo infinitesimal de Fermat, en los métodos de tangentes de éste y de Barrow, en los indivisibles de Cavallieri, en las últimas razones y en las fluxiones y fluentes de Newton, que le dan verdadero nacimiento y en los infinitamente pequeños de Leibnitz, con que toma forma práctica su empleo.

Con ese nuevo instrumento de análisis se alcanza lo que no es posible lograr con otro alguno. Se hace en cierto modo el milagro de integrar y desintegrar la cantidad variable, cualquiera que sea su expresión cifrada. Se reducen sus elementos á fórmula conocida y se juntan ó se integran, sumándolos por infinitos. Pareciendo que se juega con puros ceros, con idealidades despreciables, se manejan indirectamente, las funciones con que de un modo especial se enlazan, y se hallan éstas como totales de asombrosa realidad, que resuelven con facilidad suma cuestiones muy complicadas.

Compréndese el entusiasmo de Huyghens cuando en 1692 escribía el marqués de L’Hôpital: «veo con sorpresa y admiración el alcance y fecundidad de este arte; á cualquier lado que vuelva la vista contemplo nuevas aplicaciones, y concibo con él una especulación y un progreso infinitos.» (1)

Se hace entrar en el cálculo un nuevo signo, representante fiel de la variabilidad de la cantidad, aun antes de que varíe, pudiendo distinguirla por esa especie de propensión á variar, que es su coeficiente diferencial, que es su derivada, capaz de determinarla, como carácter único y peculiar suyo, que puede distinguirla entre todas las funciones de la misma variable.

Esa derivada, ese coeficiente diferencial, con relación al tiempo, cociente de misteriosos ideales que no por eso dejan de dar un resultado real, cuando son homogéneos ó del mismo orden ideal, es una función determinada del estado actual mismo, y como diría Boussinesq (2) «la expresión de esta verdad de sentido común: el presente engendra el porvenir, y hay una estrecha relación entre lo que es y lo que será.» Tiene por tanto altísima importancia, en filosofía, en historia natural y social, en física, en química, en economía política y financiera... y debiera por lo mismo, serles familiar á los demás sabios como á los geómetras y físicos.

Con ese prodigioso cálculo se penetra, con seguro paso, en las

(1) A. Comte, curso citado. t. I, pág. 178. [Nota.
(2) Conciliation du véritable déterminisme mécanique, avec l’existence de la vie et la liberté morale (par M. J. Boussinesq professeur de la Faculté des Sciences de Lille. - Gauthier-Villars, Paris 1870.) Pág. 36.
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leyes de la cantidad, que varía por incrementos positivos ó negativos, en relación con los de la variable ó variables de que depende y le están sometidos todos los problemas, que atañen á la forma general de las cantidades, á sus simplificaciones, á sus desarrollos en serie..... todos los de máximos y mínimos absolutos y relativos, todos los de tangentes, normales, curvaturas, envolventes, evolutas... todos los de rectificaciones de líneas, cuadratura de superficies, cubaturas de volúmenes y millares de ellos más, que con los mismos se relacionan y otros imposibles de enumerar.

Entra con pié firme en multitud de cuestiones físicas, químicas mecánicas.... simplificando relaciones de partida, porque se establecen entre cantidades que hacen el papel de elementales; y explica el porqué de superposiciones de efectos, y de las reflexiones y refracciones, las formas de las superficies originadas por rayos reflejos y refractados, y marca direcciones, y determina velocidades y magnitudes de ondas, fluidas ó etéreas..... y montones de verdades y hechos brotan al contacto de esa vara mágica, que forman firmísima escollera, cimiento de múltiples ciencias, de que arrancan frondosas ramas, á quienes enlaza, sostiene y vivifica el alma de todas ellas: la matemática.

Ese precioso análisis penetra también en las honduras del tiempo y del espacio, de las fuerzas y las masas, y después de animar una geometría especial de cuatro dimensiones, cifrada en la Cinemática pura, fuente de todo mecanismo, y de dar vida á la estática, base de construcciones y estabilidades, crea casi de golpe la dinámica, resumen de todo lo material existente, que despierta en Galileo 18 siglos después de la estática de Arquímedes, y toma forma definitiva á impulso del sabio de Pisa y de tantos otros talentos, que en los siglos XVII y XVIII le imprimen impulsos gigantescos.

Con oportunidad misteriosa, muerto Kepler, corcano á la tumba Descartes y al morir Galileo (1), que nos lega constituida la ley de independencia de movimientos, presentida quizá por Aristóteles, nace el inmortal Newton, que define la de acción y reacción. Con estas leyes y la que poseíamos de Inercia, no sé si precisada, como dice alguno, por Descartes, (2) tenemos los cimientos de la nueva ciencia, de

(1) Kepler murió el año 1630, Descartes en el 1650. Galileo murió el 8 de Enero de 1642 y Newton vino al mundo el día de Navidad de este mismo año. (Dictionnaire historique ou histoire abrégée &c... par une société de gens-de-lettres.—Septième édition, 1789.)

(2) Hay algunos pasajes en Descartes, como el suponer en el alma un poder director, capaz de cambiar de cualquier modo la dirección del movimiento, sin modificar la cantidad de éste y sin crear fuerza, que indican, quizá, alguna obscuridad en su mente respecto al concepto verdadero de la ley de Inercia.
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la mecánica general, puesta en acción mediante la palanca poderosa del análisis infinitesimal, por esos genios, cuyos nombres pronuncia con veneración el matemático y por otros mil no menos insignes, como los Mersenne, Roberval, Huyghens, Leibnitz, Varignon, Bernoullis, Maclaurin, Euler, Laplace, D'Alembert, Lagrange, Poinsot, Poisson, Poncelet, Coriolis.... á quienes rindo con este recuerdo un pequeño tributo de mi profundo respeto.

Esa es la ciencia que entusiasma á Arquímedes hasta gritar, ante el Rey de Siracusa: «dadme un punto de apoyo fuera de la tierra y lamoveré á mi antojo.» Esa también la que hace exclamation á Descartes: dadme materia y movimiento y yo haré el mundo.

Esa es en fin la que A. Comte llama en su filosofía: ciencia inmensa y admirable, base necesaria de la filosofía positiva entera, testimonio irrecusable del alcance del espíritu humano.(1)

No hay ciencia más convencida de su poder que la mecánica; pero poder que es nulo, entiédase bien, nulo, sin la matemática, que inunda de luz todos los rincones del mundo material y comienza á invadir los del espíritu, que, sin duda, está sometido á leyes y como tales, ellas ó sus consecuencias, tendrán expresión sintética en la matemática actual ó en la ultra-matemática venidera.

Ninguna como ella es capaz de echar en fórmula más sencilla, la síntesis más grandiosa que acaso dieron los siglos:

\[
\Sigma F \delta k = 0
\]

encerrando en sí quizá, todos los fenómenos del universo material, que en resumen habrán de ser constituidos (cuando solo impera en ellos el determinismo mecánico) por masas y fuerzas en equilibrio ó en movimiento, sea ó no efectiva la realidad de éstas, ó vaya contenida su expresión en masas y aceleraciones, que á su vez llevan implícitos el tiempo y el espacio.

Σ (sigma) es indicadora de una ó de muchas sumas, de número finito ó infinito de términos (verdaderas integrales) análogos á \( F \delta k \), representantes de trabajos virtuales, en que F es el símbolo general de cada una de las fuerzas, (perfectamente definidas, según las reglas de la mecánica) que intervengan en la cuestión y cualquiera que sea su naturaleza, incluidas las de inercia, que son productos de masas por aceleraciones, cuya dirección y sentido fijan éstas. La va-

(1) Je regrette vivement que les limites dans les quelles j'ai du me renfermer, vu la destination de cet ouvrage, ne m'aient point permis de faire passer, autant que je l'aurais désiré dans l'esprit du lecteur, mon sentiment profond de la nature de cette immense et admirable science, qui, base nécessaire de la philosophie positive toute entière, constitue d'ailleurs évidemment, en elle même, le témoignage le plus irrecusable de la portée du génie humain.
A. Comte.—Cours de philosophie positive, t. I, pág. 583.
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riación de k, que hemos representado por \( \delta k \) es, como se sabe, una diferencial tomada en concepto indefinido, y representa aquí la proyección sobre la fuerza ó su dirección, del camino virtual del punto geométrico á que se considera aplicada, entendiéndolo por camino virtual, cualquiera de los infinitos diferenciales, que podría tomar ese punto, y para mayor sencillez y grandes simplificaciones el camino definido, que propenda á tomar el mismo al romperse el equilibrio ó que á partir de un instante crítico, vaya á tener en el tiempo diferencial \( = (dt) \) siguiente.

De tal síntesis, incomprensible para el que es ageno á la matemática, inutil para el que no es mecánico, arrancan verdades y consecuencias asombrosas, que resuelven muchos y puede quizá decirse que plantea todos los problemas, dominados por el puro determinismo, en el universo material, y allana dificultades y acaso tiene algún porvenir en muchos de otros mundos de la inteligencia.

Esa ecuación misteriosa da todas las leyes del equilibrio y de la composición y descomposición de fuerzas, ya considerados como seres, que influyen unos sobre otros por intermedio de puntos materiales, superficies ó cuerpos reales, ya como magnitudes en general, como entidades puramente geométricas, reobrando sobre la ciencia de la extensión que la sirvió de base y devolviéndola en cambio bellezas sin cuento.

En ella está cifrado el equilibrio de todas las máquinas y la estabilidad de todas las construcciones, y empiezan á salir de su fondo los enigmas de la combinación química, con la ley de los calores de Berthelot y el teorema de la necesidad de combinación, según las energías caloríficas que tienden á producirse, leyes y teoremas que no son en el fondo más que problemas de equilibrio ó de máximos y mínimos relativos.

Tomada en la forma que le dió D'Alembert, plantea los problemas de movimiento, formulando las ecuaciones diferenciales del mismo en cada caso, y deduciendo algunas integrales generales, algunas propiedades particulares, como la de fuerzas vivas, que á la par que rige á todas las máquinas en movimiento, abre las puertas á estudios notables sobre superficies de nivel teorías de potenciales, etcétera, llegando también á formular con ella la conservación de la energía total del Universo.

Hace una rama suya la Hidráulica y Pneumática, basadas antes en principios independientes, y convierte en vasallos á la Electricidad y la Termodinámica que casi campaban por su respeto.

Aquel enigma cifrado, lleva en su seno todas las propiedades de