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material está como sometido á sus leyes y sin ser puramente subjetiva, se abisma tambien en las abstracciones más puras del alma.

Hay en ella algo superior á todas, porque en todas tiene ingeniería, es además la ciencia que las enlaza.

No es un simple artificio, un método, es la misma lógica en acción, sin que pueda siempre decirse que solo es una lógica cifrada ó figura da (1), porque tiene una materia especial de su conocimiento. Es algo así como la doble entidad del ser animado: ésto no existe si en él no se reunen materia y alma. Una y otra son precisas, pero el alma es superior, como principio supra-físico, que concebimos capaz de existir por sí solo ó actuando sobre cuerpos diferentes.

La ciencia necesita una materia, un cuerpo, un objeto de conocimiento, pero también un alma que la dé vida, que la dirija..., y esa alma es cuando menos la lógica, matemática del espíritu, como la llaman algunos filósofos, y esa lógica no es sino el comienzo de otra superior en cierto modo, que encierra un poder oculto en su mágico simbolismo, y que sin los trámites lentos del silogismo y sorites..... lleva á veces, á los rincones más apartados del universo, sus certeza consecuencias.

Ella puede existir por sí sola, porque nacida de la pura actividad del espíritu, éste se ha creado en sus conceptos una materia ideal, un cuerpo, digámoslo así, semi-espiritual, en que no ha intervenido el mundo material sino como causa determinante.

Donde no penetran sus benéficos resplandores, casi todo es incierto, vago, confuso..., y por eso todas las ciencias la reclaman á porfía y es feliz la que en todo ó en parte logra ser secundada por ella, encontrando algun resquicio por donde entre su divina claridad.

No por eso penséis que es para mí la matemática actual una ciencia perfecta, no. Si tal creyera, habría de suponer terminada, en ese sentido, nuestra evolución y harto sé, que somos pobres pigmios, que apenas levantamos unos cuantos milímetros del polvo de la ignorancia. Pero todo en el mundo es relativo, y es obvio que las demás ciencias, con el mismo abolengo, igualmente dignas y respetables, alguna quizá más importante por su objeto, están en un estado más embrionario aun ¡Al César lo que es del César y á Dios lo que es de Dios!

No se eche en cara al matemático que no sabe definir el tiempo y el espacio, conceptos primordiales, que tampoco define el metafísico, pero que sin definirlos, tiene aquél la clara evidencia íntima que de los mismos necesita para su empleo en la ciencia exaceta.

(1) Así la llama Bourdeau. Théorie des Sciences.—T. I. pág. 326 (Paris 1882), y aunque lo hace en su alabanza, convenientemente será no confundirlo con los artificios de Raimundo Lulio.
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No hay que excitar el sentimentalismo con frases rebuscadas y períodos ampulosos, para poner de manifiesto la superioridad del espíritu, que nadie niega, y deducir consecuencias baladíes sobre las piedras de un arco, por ejemplo, en que todo obedece á leyes de materia bruta... porque es más fácil pasar y reir, que detenerse y pensar.

¡Antes de llegar ese tosco material á ser dovela, han tenido que ponerse en tensión todas las facultades del espíritu y recorrer extensos campos de ciencia, que no puede comprender el que solo es metafísico!

No hay en fin, que acudirá las palabras del autor del "Genio del Cristianismo" (1) para ridiculizar aquella ciencia, ni á otras frases más ó menos ingeniosas, contra la misma ó los que la profesan, porque la risa ó el ridículo que se quiere producir, recae sobre el mismo que pretende empañar reputaciones tan bien sentadas como las de Arquímedes, Descartes, Newton... ni sé logra otra cosa que perder el tiempo y extraviar la razón de los que desconocen la matemática, con los sofismas de Hobbes (2) ó afirmando con Gibbon, que es enemiga de la evidencia moral, ó segurando que conduce al abismo y luego al crimen, ó torciendo quizá el sentido de las palabras de San Pablo, condenando de una vez á todas, al sentar que "las ciencias hinchan engracia y solo producen orgullo", cuando el matemático huye del sofisma busca con afán la evidencia, y sabe también (añadía un malogrado y querido compañero, (3)) para los que como Chateaubriand se precian de ortodoxos) "que si todo eso no fuera ridículo, sería anticatólico, y que entre los dones del Espíritu-Santo está justamente la Sabiduría."

Toman otros como ataque algunos artículos escritos por Krause (4) al comenzar el siglo, dirigidos á reformar la matemática. El gran talento de este filósofo actuó como potente microscopio para

(1) Su libro décimo -Filosofía=Cap. I." Astronomía y Matemáticas, es un ataque á éstas unas veces violento, columnioso otras, pueril las más y hasta contradictorio, porque hay párrafos que tomados solos serían su apología. El autor desconoce indudablemente esas ciencias, y sin reparar en los medios, se le ve marchar directamente al objeto que se propuso y que consiguió, en parte, con su talento nada vulgar, puesto de manifestó en su célebre obra citada escrita á raíz de los terribles sucesos de la Revolución francesa.

(2) Todas las biografías de este filósofo, que hemos consultado, están conformes en que era muy dado á la paradoja y al sofisma.

(3) Supremacía de la matemática.—Discurso leído por su autor (el entonces Teniente Coronel Comandante de Ingenieros D. Carlos Vila) al inaugurarse las conferencias militares de Aragón (1880).

(4) Traducción de los mismos por los Sres. Rute y Giner de los Ríos, insertos en una obra de este, titulada Estudios filosóficos y religiosos, (1876); véase pág. 169. En la 175 advierte Krause que todo aquel estudio es incompleto, y más adelante, que sólo á los que están familiarizados con estudios filosóficos puede esperar ser completamente inteligible.
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abultar en su imaginación verdaderas nimiedades. No se comprede de otro modo que pudiera tomar por defectos graves de aquella ciencia el tener entre sus nombres, los de matemática, aritmética, geometría... razones aritmética y geométrica... proporción, cantidades positivas y negativas (éstas, según él, deben ser opositivas). Nada significa que no le plazcan los signos (+) más, (−) menos é (∞) infinito, ó que no tenga signo especial el límite: y no hay tampoco en nuestro concepto motivo de tantas exclamaciones porque se diera á la matemática la sintética definición de Ciencia de la Cantidad....

Nuestro filósofo deduce, después de pasar revista á varias definiciones ininteligibles y llenar muchas páginas en explicar sus indagaciones, que la matemática debe definirse: Doctrina de la toteidad, en la que (según la parte misma se contiene en el todo) se encuentra comprendida la de la parteidad.

No quiero abusar de la paciencia del lector (si alguno hubiere) contestando esos extremos; verdaderamente no merecen una detención formal y puede el matemático quedar tranquilo, porque el mismo Krause le hace justicia, en medio de ese ataque (mal entendido por muchos de los que le toman por suyo) llamando á la matemática como lo hace más tarde Eugenio Pelletán, ciencia de las ciencias, por su evidencia, y confesando que "no ha hecho caso de su escrito el mundo inteligente."

No es la vez primera que sabios de tanta altura, caen en pequeñeces análogas después de trabajos considerables. Del insigne Ampère decía nuestro filósofo don Meliton Martín (1), refiriéndose á la clasificación que aquél intentó hacer de los conocimientos humanos: "no conocemos una suma de esfuerzos más gigantescos que haya dado resultado más ruin y contraproducente."

Permitidme sin embargo una ligera digresión en favor del nombre de nuestra ciencia.

Los idiomas cambian como todo, y es natural que muchas palabras no tengan hoy ni el significado, ni la comprensión, ni el aspecto siquiera que tuvieron en su origen. No hay más que registrar los diccionarios etimológicos para convencerse de tales transformaciones y del origen común que tuvieron palabras hoy antitéticas ó de muy diversa significación. ¿Quién diría por ejemplo que príncipe y cabo tienen el mismo origen, caput? que rey y corrección nacen de régula? babor y exordio de oriri; pulgada y pollino de pusillum, pulex? (2) etc.

(1) Consejo de clasificación de los conocimientos humanos.—pág. 11.
(2) Roque-Barcia.—Formación de la lengua española (1872).
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Otras hay cuyo origen sería imposible descifrar á no estar en el secreto, como cadáver y cábala, tomada la primera como reunión de tres palabras latinas (1) y refiriéndonos en la segunda á la palabra inglesa cabal que puede representar, por la reunión de sus iniciales, los apellidos de los que formaron la camarilla que un tiempo rigió los destinos de la gran Bretaña, en tiempos de Carlos II (2)

¡Matemática!... palabra es ésta que podrá rechazar, como Krausse, un alemán, aficionado, como todos, á sacar los términos técnicos de su propio idioma, que se presta á la aglutinación, pero nunca un español, sino es enemigo de esa ciencia, porque se encierra en ese vocablo un precioso abolengo.

Μαθηματική, ciencia; τὰ μαθήματα, las ciencias. Su raíz sanscrita Man es según Curcio pensar; recordar (3). Quizás tienen el mismo origen las voces Man, Mann (hombre en lenguas anglo germanas) que según el filólogo Max-Müller, significa el medidor (4), y esto me trae á la mente la definición del hombre dada por Protágoras: el hombre es la medida de todas las cosas (5).

Todo prueba que ha sido tenida la matemática desde muy antiguo como la ciencia por excelencia, y si su nombre no indica su objeto, lo que pasa en la mayoría de las palabras, es al menos, por las noblezas que sintetiza, un escudo digno de tal señora.

Menos conformidad con su origen tiene el de otras ciencias que tanto se preconizan, sin que esto signifique nada en contra suya.

Filosofía era en tiempo de Aristóteles “el sistema general de concepciones humanas. Así lo indica en cierto modo su origen griego (amor á la sabiduría) pero hoy se usa ya en sentido mucho más restringido por la imposibilidad de que sea, como era entonces, el hombre enciclopédico, y casi ha quedado reducida á la metafísica.

Hé aquí otra palabra de más pobre origen y menos relación con su contenido, φυσικὴ ἠπίστημα, ó post-physica, como podría decirse en latín, cuyo significado es: después de las cosas naturales, nombre dado, según unos, por el mismo Aristóteles, puesto según otros, por Andró-

(1) Diccionario de Roque-Barcia.—ca-ra, da-ta, ter-mibus. etimología que, como el autor citado, nos parece tan ingeniosa como poco exacta.

(2) Cábala.—Diccionario Hispano-Americano. La palabra cábala del hebreo Kabalah significa cosa recibida por tradición. No es ésta á la que nos referimos, sino á la indicada en el mismo diccionario juntando las iniciales de Clifford, Arlington, Buckingham, Asbley y Landerbal que formaron la camarilla dicha arriba, y en este concepto la palabra inglesa cabal (Diccionario de Newman y Barrett) significa junta de personas reunidas para alguna intriga.

(3) Diccionario de Larouse.—Mathématique.

(4) Bourdieu.—Théorie des Sciences.—T. I.º, metrologie, pág. 197.

(5) Balmes.—Historia de la Filosofía.—pág. 89 (8.ª edición, Barcelona, 1863).
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nico el Ródio al clasificar las obras de aquel filósofo y colocar esa ciencia, después de las naturales. (1)

Pero dejemos ya todas estas disquisiciones, que si tienen para algunos mucho atractivo, no encierran para el matemático más que sutilezas de valor dudoso.

La Matemática, apenas constituida, recogió tantos afluentes, que pronto formaron caudaloso río, y desde muy antiguo, nadie que anhelara ser filósofo hubiera podido prescindir de su estudio tomado como base de conocimientos ulteriores.

Las verdades de las otras ciencias forman, no hay duda, un hermoso conjunto de perlas de rocío, que se van fundiendo acá y allá, en algunos lugares, pero permanecen aún en muchos separadas y hasta temerosas de que algún descubrimiento, cual imprudente contacto, las deshaga y evapore.

Solo allí, donde el astro divino de la matemática les dá vida, forman ya pequeños lagos, origen de algunos arroyuelos, y es de esperar, por las leyes y relaciones que cada día se descubren, que los albores de la misma luzcan pronto en todas ellas.

Recorramos rápidamente las principales, y nos daremos cuenta de la verdad de nuestro aserto.

Las ciencias naturales, en la parte que domina la materia inerte, deben estar altamente influídas por las leyes que rigen ésta, en las cuales toma preponderancia la matemática.

Haüy ha hecho ver en la mineralogía, que no es posible comprender los sistemas cristalinos sin previo estudio, no ya de la geometría elemental, sino de sus más preciosos teoremas superiores.

Nada hay en la geología que, aunque apoyándose en hipótesis, no saque partido de la matemática y ciencias que en ésta descansan, ya para indagar la aparición de la tierra en el sistema planetario y seguirla en su condensación, formación del núcleo y costra, explicando de un modo verosímil el número y coordinación de capas que forman ésta, ya siguiendo otras mil vicisitudes hasta la aparición de la vida sobre ella y el reparto y circulación de los gases y líquidos que animan los organismos y hasta la dependencia casi absoluta del sol, en que nacen todas sus energías materiales.

Sin ese enlace matemático, sin leyes que rigieran las formaciones geológicas, no hubiera podido el Abate Paramell (2) ejercer la cari-

(1) Balmes. -Metafísica.-Adverlencia primera y Larouse Diccionario.-Métaphysique.
(2) Este abate, como os sabido, por un método elemental geométrico y conocedor profundo
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

SOBRE A REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO
LOG \( \Gamma (x) \) POR UM INTEGRAL DEFINIDO
por F. Gomes Teixeira, director da Academia Polytechnica do Porto.

Serret no seu Cálculo integral (p 172 - 176) deduz do integral de Cauchy:

\[
\log \Gamma (x) = \int_0^{\infty} \left| (x-1) e^{-x} - \frac{e^{-x} - e^{-ax}}{1-e^{-x}} \right| \frac{dx}{x},
\]

ou, pondo \( x = -\log t \),

\[
(1) \quad \log \Gamma (x) = \int_0^1 \left| \frac{1-t^x}{1-t} - x+1 \right| \frac{dt}{\log t}
\]

a igualdade de Gauss

\[
(2) \quad \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1.2...n}{x(x+1)...(x+n)} n^x
\]

Como porém esta igualdade se demonstra de um modo muito simples sem a consideração do integral de Cauchy, julgamos preferível deduzir d' ella este integral, como vamos ver.

A igualdade (2) dá

\[
\log \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} \left[ x \lg n + \lg (1.2...n) - \lg x - \lg (x+1) - ... - \lg (x+n) \right]
\]

ou por ser

\[
\log n = \log \frac{2}{1} + \log \frac{3}{2} + ... + \log \frac{n}{n-1},
\]
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Para no prolongar demasiado esta reseña nos limitaremos á citar, entre los varios escritos de M. Neuberg sobre la Geometría del triángulo, sus Memorias Sur les triangles equibrocadiens, Sur les polygones et les polyèdres harmoniques, y muy especialmente su notable Memoria Sur les projections et contre-projections d'un triangle fixe (1), presentada á la Real Academia de Ciencias de Bélgica, y publicada en sus Memorias, pues tan importantes trabajos, del cual hace algunas indicaciones M. Vigarié en su escrito, cuya traducción hemos dado á conocer en este periódico, Les progrès de la Géométrie du triangle, exigiría mucho espacio y entrar en considerables desarrollos.

Z. G. de G.

VORLESUNGEN ÜBER DI ALGEBRA DER LOGIK (EXACTE LOGIK)
VON DR. ENRST SCHRÖDER

(CONCLUSION)

Dos principios fundamentales establece desde luego el señor Schröder:
1.º El principio de la identidad a \( \subseteq \) a que se expresa en palabras "a es a".
   Si pues a representa un dominio de puntos (por ejemplo, una superficie), dicho principio, designado por teorema ó principio I, se reduce á decir: a se halla contenido en sí, es una parte de a; a se halla subordinado ó es idénticamente igual á a.
2.º (Teorema ó principio II). Si a \( \subseteq \) b, y al mismo tiempo b \( \subseteq \) c, también a \( \subseteq \) c.
   Este principio es el silogismo de la antigua lógica que ofrece el esquema, según el cual de dos verdades conocidas se deduce una tercera, siendo a \( \subseteq \) b y b \( \subseteq \) c las premisas y a \( \subseteq \) c la conclusión.
   Como consecuencia inmediata resulta que: se puede en un juicio sustituir el sujeto por un sujeto del mismo, y en vez del predicado un predicado de éste.
   Una definición fundamental (la definición (1)) en la obra del doctor Schröder es la de la igualdad idéntica (identidad).
   (1') Si a \( \subseteq \) b y al mismo tiempo b \( \subseteq \) a se puede establecer que a = b.
   (1'') Si a = b resulta que a \( \subseteq \) b y b \( \subseteq \) c.

(1) Bruxelles. F. Haye. 1900.
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De manera que toda igualdad puede invertirse, siendo una relación simétrica.

Citaremos únicamente los siguientes teoremas, cuyas demostraciones hace depender el Sr. Schröder de los anteriores fundamentos:
1.º Cada dominio es idéntico á sí mismo, a = a. 2.º Si a \( \leq b \) y b = c, resulta a \( \leq c \). 3.º Si a = b y b \( \leq \) c también a \( \leq \) c.

Define enseguida dos dominios especiales que deben considerarse en el Algebra de la lógica; lo idéntico nulo y lo idéntico uno, expresados por 0 \( \leq \) a y a \( \leq \) 1, siendo 0 un dominio que se halla subordinado á todo dominio a, es decir, contenido en todos los dominios de la variedad, y el 1 un dominio al que se halla subordinado todo dominio a, en el cual se halla contenido todo dominio de la variedad. (Estas son las definiciones (2\(_X\)) y (2\(_+\)) de dicha obra.

Citaremos, en fin, el teorema 5 en sus dos casos:

\( 5_X \) Si a \( \leq 0 \), se tiene que a = 0. || \( 5_+ \) Si 1 \( \leq \) a, se tiene que 1 = a.

ó expresado verbalmente:

La subordinación de un dominio respecto á 0, lleva consigo la anulación de dicho dominio. || La supraordinación de un dominio respecto al 1, lleva consigo la identificación del mismo con 1.

La tercera lección de la obra está destinada á la multiplicación y la adición idénticas, operaciones las más importantes del cálculo de los dominios.

Observa, al compararlas con las de igual nombre de la Aritmética, que así como en ésta son dos grados distintos, de los que la adición es el segundo, en el cálculo de los dominios la sucesión ó prioridad de una con respecto á la otra es arbitraria, siendo independientes entre sí, y en cierto modo de igual condición ó preeminencia, obteniéndose sus definiciones separadamente con respecto al sujeto ó al predicado. Así:

Definición (3\(_X\))
Si para dominios dados a, b, c se tiene simultáneamente
c \( \leq \) a y c \( \leq \) b
también se obtendrá
c \( \leq \) ab

Definición (3\(_+\))
a \( \leq \) c y b \( \leq \) c
a + b \( \leq \) c,

definiéndose así el producto idéntico como predicado y la suma idéntica como sujeto. Además existe, por lo menos, un dominio c que satisface á la definición (3), cuando respectivamente c es 0 ó 1, de manera