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El Progreso matemático (1891-06-20 00:00:00), página 1

El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

EXTENSIÓN DE UN TEOREMA DE JACOBI
POR EL SR. GOMES TEIXEIRA, DE OPORTO

(Extracto de una carta dirigida á M. Lerch)

Supónganse dadas las funciones

\[
\begin{cases}
y_1 = f_1 (x_1, x_2, \ldots, x_n) \\
y_2 = f_2 (x_1, x_2, \ldots, x_n) \\
\ldots \\
y_n = f_n (x_1, x_2, \ldots, x_n)
\end{cases}
\]

Usted conoce bien este importante teorema de Jacobi:
Si las funciones \( y_1, y_2, \ldots, y_n \) admiten derivadas parciales, relativas á \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) que sean funciones continuas de \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), es condición necesaria y suficiente para que una de ellas sea función de las demás que sea idénticamente nulo el determinante:

\[
\begin{vmatrix}
y_1 & y_1 & \ldots & y_1 \\
\lambda x_1 & \lambda x_2 & \ldots & \lambda x_n \\
y_2 & y_2 & \ldots & y_2 \\
\lambda x_1 & \lambda x_2 & \ldots & \lambda x_n \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
y_n & y_n & \ldots & y_n \\
\lambda x_1 & \lambda x_2 & \ldots & \lambda x_n
\end{vmatrix}
\]

Mi objeto es hacer ver que puede enunciarse este teorema de la manera más completa siguiente:
Sea \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) un sistema de valores de \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), y \( b_1, b_2, \ldots, b_n \) los valores correspondientes de \( y_1, y_2, \ldots, y_n \), y su-
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1.º Ueber den Brocard'schen Kreis als geometrischen Ort und die dunselben verwandten Kegelschnittschaaren (26 páginas).
2.º Ueber Kegelschnitte die zu dem verallgemeinerten Brocard'schen Dreiecke in Beziehung stehen (44 páginas).

4. Focos de Steiner. MM. Neuberg y Tiob (sur les foyers de Steiner d'un triangle, A. F., París, 1889, pp. 179-196) llaman focos de Steiner, en un triángulo, á los focos de la elipse que toca á los lados en sus puntos medios. Han expuesto de estos puntos un considerable número de propiedades, de las cuales las principales son las siguientes:

1.º Si se transforma un triángulo por polares recíprocas, tomando como centro del círculo director el punto de Lemoine K, este punto será un foco del triángulo transformado (proposición debida á M. Hadamard. Journal de math. spéciales, 1885, pág. 41).

2.º Si F es un foco de una cónica que toca á los lados del triángulo ABC en los puntos A', B', C' las rectas FA', FB', FC' serán las isogonales de las rectas FA, FB, FC con relación á los ángulos BFC, CFA, AFB. Luego, si F es un foco de Steiner del triángulo ABC, las rectas AF, BF, CF serán las simedianas de los triángulos BFC, CFA, AFB.

3.º Los focos de Steiner de un triángulo son los puntos de Lemoine de sus triángulos podares.

4.º El centro de gravedad G de un triángulo es un foco de Steiner de su triángulo podar.

5.º Las rectas que unen los vértices de un triángulo á un foco de Steiner son inversamente proporcionales á los senos de los ángulos bajo los cuales se ven desde este foco los lados opuestos de ABC.

6.º Siendo K el punto de Lemoine de un triángulo ABC y O, O_a, O_b, O_c, los centros de los círculos circunscritos á los triángulos ABC, KBC, KCA, KAB, los puntos O y K son los focos de Steiner del triángulo O_aO_bO_c. Los cuadriláteros OBO_aO_b, OCOC_bA, OAO_cB son equivalentes.

7.º Sean K_1, A' los puntos de intersección de la simediana AK con las circunferencias ABB', KBC; K_1 es un foco de Steiner del triángulo A'B'C'.

8.º Siendo H el ortocentro del triángulo ABC, tómense sobre HA, HB, HC las longitudes HA', HB', HC' iguales á las alturas correspondientes: H es un foco de Steiner del triángulo A'B'C'.

9.º Sea Ω el punto de Brocard de ABC tal, que ΩAB = ΩBC = ΩCA. Trácense las rectas ΩM, ΩN, ΩP paralelas á BC, CA, AB y terminadas en M, N, P, en CA, AB, BC. Ω es un foco de Steiner de MNP.
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10. El centro de gravedad de un triángulo ABC es un foco de Steiner del segundo triángulo de Brocard A_2B_2C_2.

11. Sean A'B'C' el triángulo podar de ABC con relación al punto de Lemoine K, \( \omega \) y \( \omega' \) los ángulos de Brocard de los triángulos ABC, A'B'C'. El ángulo \( \omega' \) depende únicamente de \( \omega \).

Los Sres. Neuberg y Gob han dado también varias proposiciones que se refieren á los ángulos de Steiner. Llaman así á las mitades de los ángulos, en los vértices, de dos triángulos isósceles equibrocardienses con el triángulo dado. El menor de estos ángulos es el primer ángulo de Steiner, el otro es el segundo ángulo de Steiner.

5. Ejes de Steiner é hipérbola de Kiepert. La recta que une los focos de Steiner y la que es perpendicular en el punto medio de la recta que une estos dos puntos, son los ejes de la elipse máxima inscrita al triángulo y también los de su anticomplementaria: la elipse de Steiner. Por este motivo los Sres. Neuberg y Gob (Sur les axes de Steiner et l’hyperbole de Kiepert. Asoc. Franç., París 1889, páginas 166-179), han llamado á estas rectas ejes de Steiner. Siendo los ejes de la hipérbola de Kiepert paralelos á los de Steiner, el estudio de estos últimos debía conducir á un estudio de la cónica de Kiepert; esto es lo que han hecho los Sres. Neuberg y Gob. Después de haber dado, para más claridad, nuevas demostraciones de proposiciones ya conocidas, los Sres. Neuberg y Gob han dado á conocer numerosas propiedades de los ejes de Steiner y de la hipérbola de Kiepert. Véanse las más importantes:

1.* Los ejes de Steiner son las rectas que unen el centro de gravedad G á los puntos de intersección de la circunferencia que tiene por diámetro GH (siendo H el ortocentro) con la recta que une el punto de Lemoine K al punto medio de GH.

Si se reemplaza H por otro punto de la hipérbola de Kiepert, se tiene el teorema siguiente:

2.* Una secante cualquiera, trazada por el centro Q, de la hipérbola de Kiepert, encuentra á los ejes de Steiner en dos puntos por los cuales se trazan paralelas á estos ejes; el punto de intersección de estas paralelas describe la hipérbola de Kiepert.

3.* Sean \( m_a, m_b, m_c \) las intersecciones de los lados homólogos del triángulo complementario A'B'C' y del triángulo ortocéntrico \( h_a h_b h_c \) de un triángulo dado ABC. Por estos puntos se puede hacer pasar una infinidad de triángulos \( p_a p_b p_c \) inscritos á ABC y perspectivos con ABC. El lugar de los centros de perspectiva es la hipérbola de Kiepert.

4.* Los lados del triángulo \( m_a m_b m_c \) tocan á la hipérbola de Ki-
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pert en A, B, C; el ortocentro de \( m_a m_b m_c \) coincide con el centro del círculo de los nueve puntos de ABC; las rectas \( A m_n, B m_b, C m_c \), son perpendiculares á GII.

5.a Los ejes de Steiner son paralelos á las rectas de Simson de los extremos del diámetro OK de la circunferencia ABC.

6.a Dadas dos elipses concéntricas y homotéticas, la normal en un punto M de la elipse interior corta á los ejes en los puntos P, Q, y la tangente en M encuentra á la elipse exterior en R, S. Los ángulos RPS, RQS son constantes.

7.a El lugar de los centros de las cónicas circunscritas á un triángulo dado, y cuyos ejes tienen direcciones dadas, es una hipérbola equilátera transformada por puntos inversos y por puntos anticomplementarios, de un diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

La proposición (6) da la noción generalizada del ángulo de Steiner.

6. SERIES DE PUNTOS NOTABLES. Si se combinan entre sí las coordenadas de uno ó de varios puntos del plano de un triángulo, se da origen á otros puntos que en general, poseen, con relación á los primeros, propiedades notables. Partiendo de aquí, M. Poulain (Sur quelques series de points remarquables dans le plan du triangle Mathesis, pp. 246-251) ha resuelto los problemas siguientes:

1.o Dados dos puntos \( M_1 \) y \( M_2 \) en el plano del triángulo ABC, construir un tercer punto \( M_3 \) cuyas coordenadas baricéntricas sean iguales á los productos \( x_1 x_2, \beta_1 \beta_2, \gamma_1 \gamma_2 \) de las coordenadas (\( x_1, \beta_1, \gamma_1 \), \( x_2, \beta_2, \gamma_2 \)) de \( M_1 \) y \( M_2 \).

2.o Dados dos puntos en el plano de un triángulo ABC, construir un tercer punto cuyas coordenadas baricéntricas sean iguales á los cocientes de las coordenadas baricéntricas homólogas de los puntos dados.

Después de haber dado diversas construcciones de estos puntos y estudiado ciertos casos particulares, M. Poulain indica algunos puntos notables.

El punto cuyas coordenadas baricéntricas son (\( xa^n, \beta b^n, \gamma c^n \)) ó (\( x \) sen "A, \( \beta \) sen "B, \( \gamma \) sen "C ), siendo \( x, \beta, \gamma \) las de un punto dado M, es el sinusien de orden \( n \) de M. Inversamente, este último es el anti-sinusien del primero, ó su sinusien de orden \((-n)\). Si el seno se halla reemplazado por el coseno ó por la tangente, se tiene el cosinusien ó el tangentien (1) M da origen á tres series de puntos.

(1) Transcribimos sin variar estas nuevas denominaciones. N. del T.
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Si se multiplican los ángulos por 2 ó \( \frac{1}{2} \), 4 ó \( \frac{1}{4} \), etc..., se tienen nuevas series que en el caso de los senos pueden llamarse doble sinusien y el semi-sinusien, etc.

Terminando, M. Poulain da una construcción de estos puntos; después indica ciertas particularidades que se presentan en este trazado.

7. Círculo de los nueve puntos. Dos demostraciones (*) del teorema de Feuerbach se han dado. La una, debida á M. Milne, fué comunicada por M. Lalbalettrier (J. E. 1890, pp. 3-5); M. Lauvernay indicó la otra (J. E. 1890, pp. 193-195). Estas demostraciones son notables por su gran sencillez.

8. Círculo de Fuhrmann. Este círculo es el que tiene por diámetro la recta que une el ortocentro H al punto de Nagel v. Ha sido estudiado por M. Fuhrmann (Sur un nouveau cercle associé à un triangle M. 1890, pp. 105-111).

Si A'B'C' y A''B''C'' son triángulos complementarios y anticomplementarios de ABC: A₁, B₁, C₁, A₃, B₃, C₃, los puntos en que el círculo circunscrito ABC corta á las bisectrices AI, BI, CI, y á las rectas que unen entre sí los centros Iₐ, Iₖ, Iₑ de los círculos ex inscritos, se tengan las propiedades siguientes:

1.a Sean A₂, B₂, C₂, los simétricos de A₁, B₁, C₁ con relación á BC, CA, AB. El triángulo A₂B₂C₂ se halla inscrito al círculo de Fuhrmann y es simétricamente semejante á los triángulos ABC e IₐIₖIₑ.

2.a Se toman sobre las alturas AH, BH, CH del triángulo ABC los segmentos AA₁, BB₁, CC₁ iguales al diámetro 2r del círculo inscrito. El triángulo A₁B₁C₁ se halla inscrito al círculo de Fuhrmann; además es simétricamente semejante á ABC.

3.a I es el centro de perspectiva de los triángulos A₂B₂C₂ y A₁B₁C₁.

4.a I es el punto doble de los triángulos simétricamente semejantes ABC, A₁B₁C₁ y también el de los triángulos A₂B₂C₂, A₁B₁C₁.

5.a Sean Iₐ', Iₖ', Iₑ' los simétricos de Iₐ, Iₖ, Iₑ, respectivamente con relación á las rectas BC', CA', AB'. Las circunferencias circunscritas á los triángulos BCIₐ', CAIₖ', ABIₑ' y las rectas AIₐ',
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BI', CI', pasan por un mismo punto R. Los lados del triángulo A_2B_2C_2 son perpendiculares en los puntos medios de las rectas AR, BR, CR. I y R son puntos gemelos.

6.a El eje de homología de los triángulos A_1B_1C_1 y A_2B_2C_2 es perpendicular en el punto medio de la recta IR y toca, en este punto, al círculo inscrito á ABC.

7.a El círculo inscrito á ABC y el círculo de los nueve puntos se tocan en el punto medio de la recta IR.

8.a Las rectas A_1A_1, B_2B_1, C_2C_1 encuentran respectivamente á BC, CA, AB en tres puntos V_a, V_b, V_c situados en la tangente común al círculo inscrito y al círculo de los nueve puntos.

9.a Las perpendiculares bajadas desde A_1, B_1, C_1 sobre los lados opuestos del triángulo A_2B_2C_2 concurren en un punto S de la circunferencia O. Este punto se halla situado en la recta Ov y es, en el triángulo ABC, la homóloga del punto v considerado en el triángulo A_1B_1C_1.

10. Las perpendiculares bajadas desde A, B, C sobre los lados opuestos del triángulo A_1B_1C_1 concurren en un mismo punto T de la circunferencia O; T y H son puntos homólogos de los triángulos ABC, A_1B_1C_1.

11. El eje de homología de los triángulos ABC, A_1B_1C_1 es perpendicular á HT.

12. Las rectas dobles de los triángulos inversamente semejantes ABC, A_1B_1C_1 encuentran á las alturas AH, BH, CH de ABC en puntos (X_a, X_b, X_c), (X'_a, X'_b, X'_c), tales, que se tenga

AX_a = BX_b = CX_c = R - d, \quad AX'_a = BX'_b = CX'_c = R + d,

siendo d la distancia OI.

Mathesis publicará ulteriormente, investigaciones de M. Mansion que forman un complemento al artículo de M. Fuhrmann.

9. Parábolas de Artzt. Estas parábolas forman dos grupos: son confocales dos á dos, y tienen por focos los vértices A_2, B_2, C_2 del segundo triángulo de Brocard.

El primer grupo (P) contiene las parábolas P_a, P_b, P_c tangentes á los lados del triángulo en los extremos del tercero.

El segundo grupo (Q) contiene las parábolas tangentes á las dos bisectrices de un ángulo y á las medianas correspondientes.

Las parábolas (P) han sido consideradas recientemente por M. de Longchamps.

Después de haber dado una demostración elemental (J. E. 159-151)
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de la fórmula que da el parámetro de estas curvas M. de Longchamps ha dado á conocer, (Sur les paraboles de Artzt, J. S, 1890, pp. 149-153) propiedad siguiente:

Si A', B', C' son los puntos comunes á P_b y P_c , P_c y P_a , P_a y P_b , las tangentes en A' á P_b y P_c son respectivamente paralelas á las medianas trazadas por C y B. De lo que resulta este teorema: Las parábolas (P) se cortan en los puntos A', B', C'; las áreas de los triángulos curvilíneos que determinan están dadas por las fórmulas:

\[
AC'B' = CA'B' = BA'C' = \frac{17}{81}ABC,\quad AC'B = BA'C = CBA = \frac{5}{81}ABC.
\]

En esta nota M. de Longchamps da á conocer también cierta elipse U cuya ecuación baricéntrica es:

\[
8\Sigma z^2 = 11\Sigma x^2,
\]

y enuncia con este motivo el teorema siguiente:

1.º La elipse U tiene por centro el centro de gravedad G del triángulo. 2.º Pasa por los puntos A', B', C' (centros de gravedad de los triángulos AGB, BGC, CGA) comunes á las parábolas (P). 3.º Los semi-ejes \( x, \beta \) de esta elipse se hallan dados por las fórmulas

\[
\alpha \beta = \frac{8 \text{ área } ABC}{27 \sqrt{3}},\quad x^2 + \beta^2 = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{81}.
\]

(Se concluirá)

MÉMOIRE SUR LE TÉTRAEDRE, SUR LE POINT DE STEINER
PAR M. NEUBERG

Ya en el número 4.º expusimos algunas nociones sobre la Geometría reciente, extractadas de la obra que publicó el profesor Casey, con objeto de poner al corriente á nuestros lectores en lo que se continúa haciendo concerniente á este género de investigaciones.

Basta recorrer el artículo que acaba de publicar M. Vigarié en el Journal de Mathématiques élémentaires sobre los progresos de la Geometría del triángulo en 1890 (del cual continuamos publicando una traducción en este número del periódico), para convencerse de cuán vasto es ya el campo por el que se extiende esta rama geométrica, y cuán necesario es reunir todo lo ya establecido en una obra comple-
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ta, y de una manera sistemática. Efectivamente, en este trabajo que enumera y resume lo más reciente de tales investigaciones, se trata de los puntos asociados tripolarmente, de los puntos gemelos, de las coordenadas de inercia de M. Cesáro y del trabajo del mismo sobre las coordenadas baricéntricas. Acerca de las figuras semejantes, del círculo de Fuhrmann, de las parábolas de Artzt y de Mandart, etc., todo lo cual exigiría recorrer las páginas de los periódicos matemáticos de MM. Longchamps y Mansion, donde se hallan diseminados estos resultados que constituyen la Geometría reciente.

Con objeto de facilitar este estudio, hoy hemos de limitarnos á extractar algunas ideas de M. Neuberg que encaminadas á este fin, permiten ilustrar al lector en lo más esencial de tales investigaciones. En su Mémoire sur le tétraèdre (*) se propone extender al espacio las proposiciones concernientes á los puntos de Lemoine y de Brocard.

Como preliminar necesario enuncia desde luego las proposiciones capitales de la nueva Geometría, de las cuales algunas hemos publicado en el anterior número de este periódico, y que M. Neuberg comprende bajo el epígrafe de puntos y círculos de Lemoine y de Bro card.

Después pasa á exponer las transformaciones arguesianas. Con este objeto pasa del examen de las coordenadas normales y baricéntricas de un punto M con relación á un triángulo, á las mismas con relación á un tetraedro.

Definidas las coordenadas baricéntricas de un punto M con relación al tetraedro A₁A₂A₃A₄ por la proporción

\[
\mu_1 : \mu_2 : \mu_3 : \mu_4 = T_1 \delta_1 : T_2 \delta_2 : T_3 \delta_3 : T_4 \delta_4,
\]

en la que \( \mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4 \) son proporcionales á los volúmenes \( MA_4A_3A_1, MA_3A_4A_1, \) etc. \( \delta_1, \delta_2, \delta_3, \delta_4 \) son proporcionales á las distancias de M á las caras del tetraedro, y \( T_1, T_2, T_3, T_4 \) son las áreas de las caras de éste, define el plano de homología de los tetraedros \( A_1A_2A_3A_4 \) y el \( M_1M_2M_3M_4 \), de los cuales el último está determinado por los puntos de encuentro de la intersección con cada cara de la recta trazada por M y por el vértice opuesto del primero y el plano polar de M con relación al tetraedro T.

Define dos puntos M y N como conjugados isogonales con relación á un triángulo cuando las coordenadas normales del uno son inversamente proporcionales á las del otro y lo son con relación al ángulo AOB, cuando éste y el ángulo MON tienen la misma bisectriz;

(*) Bruxelles. Mayer, imprimeur Rue de Louvain, 72 pág. 1884.
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siendo ON la polar isogonal de M y formando los rayos OA, OB, OM, ON un haz isogonal.

Si \( M_a, M_b, N_a, N_b \) son las proyecciones de M y N sobre los lados del ángulo AOB, se tiene, como se vio en la página 77 de este periódico, que MM_a . NN_a y MM_b . NN_b son iguales, que M y N son los focos de una cónica tangente á OA y OB, que en un triángulo las proyecciones de dichos puntos sobre los lados son seis puntos de una circunferencia, etc. Y las mismas propiedades se verificarán para el tetraedro. Así, por ejemplo, las proyecciones de M y N sobre las tres caras de un tetraedro se hallan en una superficie esférica cuyo centro se encuentra en la recta MN, etc.

En cuanto al tetraedro, los planos polares isogonales de M con relación á los seis diedros concurren en un mismo punto N, las distancias de M á las caras del sólido son inversamente proporcionales á las de N á los mismos planos, las proyecciones de M y N sobre estos planos se hallan situadas en una superficie esférica cuyo centro está en el punto medio de MN y los puntos M, N son los focos de una superficie de segundo orden inscrita al tetraedro.

Además, la consideración de las proyecciones \( M_1, M_2, M_3, M_4 \) de M sobre las caras del tetraedro conduce al teorema de Steiner:

Si las perpendiculares trazadas por los vértices de un tetraedro \( M_1M_2M_3M_4 \) sobre las caras homólogas de otro tetraedro \( A_1A_2A_3A_4 \) concurren en un punto, las perpendiculares trazadas desde los vértices de \( A_1A_2A_3A_4 \) sobre las caras de \( M_1M_2M_3M_4 \) también concurrirán en un punto, teorema del que da M. Neuberg una generalización en su teoría de las cuádruples hiperboloidicas ó sistemas de cuatro rectas tales, que cualquiera otra recta que encuentra tres rectas del sistema se apoya también en la cuarta, siendo estas rectas las generatrices de un mismo sistema de un hiperboloide.

Pasa M. Neuberg á examinar las superficies de segundo orden circunscritas al triángulo de referencia que permanecen invariables por una transformación isogonal, presentando las ecuaciones de las analagmáticas isogonales e isotómicas, lo que le permite enunciar la existencia de tres hiperboloídes analagmáticos representados por tres ecuaciones

\[
\hat{\delta}_1 \hat{\delta}_1 + \hat{\delta}_2 \hat{\delta}_3 = 0, \quad \hat{\delta}_1 \hat{\delta}_2 + \hat{\delta}_1 \hat{\delta}_3 = 0, \quad \hat{\delta}_1 \hat{\delta}_3 + \hat{\delta}_2 \hat{\delta}_2 = 0.
\]

En el artículo dedicado al punto del mínimo de la suma de los cuadrados de las distancias á planos dados se hallan extendidos varios teoremas relativos al caso del triángulo al caso del tetraedro, el punto L tal, que la suma de los cuadrados de sus distancias á las caras
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del tetraedro es un mínimo, es el punto K de Lemoine en el triángulo. El punto L y el G de gravedad del tetraedro son, como en la Geometría del triángulo, conjugados isogonales, y el L es el centro de gravedad del tetraedro \( L_1L_2L_3L_4 \) formado por sus proyecciones sobre las caras del tetraedro T.

Además, los planos trazados por L paralelamente á las caras \( A_1A_2A_3, A_1A_3A_4, A_1A_1A_2 \) determinan un paralelepípedo, cuya diagonal \( A_1L \) pasa por el centro de gravedad N del triángulo \( N_1N_2N_3 \) determinado por las intersecciones de cada uno de dichos planos paralelos con las aristas \( A_1A_1, A_1A_2, A_1A_3 \), y considerando las tres expresiones distintas del volumen del paralelepípedo, obtiene M. Neuberg las igualdades

\[
A_1N_2N_3 \cdot T_1 = A_1N_3N_1 \cdot T_2 = A_1N_1N_2 \cdot T_3,
\]

que, á causa de la analogía con la relación (de igualdad de productos) que determinan dos rectas antiparalelas en un ángulo, le permiten dar á conocer los triángulos \( A_1A_2A_3 \) y \( N_1N_2N_3 \) bajo la denominación de secciones antiparalelas de segunda especie en el triédro \( A_1 \).

De análoga manera que para el triángulo, una esfera que pase por los tres puntos \( A_1, A_2, A_3 \) encuentra á las aristas \( A_1A_1, A_1A_2, A_1A_3 \) del tetraedro T en tres puntos \( N_1, N_2, N_3 \) tales que \( N_2N_3 \) y \( A_2A_3 \) etc. son antiparalelas, de manera que la sección \( N_1N_2N_3 \) es antiparalela á la \( A_1A_2A_3 \) con respecto al triédro \( A_1 \).

No seguiremos á M. Neuberg en la multitud de proposiciones que establece al tratar de las cuádruples hiperboloidicas que le permiten generalizar el teorema de Steiner arriba citado, ni en las teorías de las rectas concurrentes, del tetraedro isodinámico (aquél en el cual los productos de las aristas opuestas son iguales), del cuadrángulo isodinámico, del tetraedro isógoño y del tetraedro involutivo que constituyen su interesante trabajo sobre el tetraedro, pues el entrar en estos desarrollos nos llevaría más allá de nuestro propósito, limitado á indicar los puntos capitales de esta extensión que hace M. Neuberg al tetraedro de la Geometría del triángulo.

Poco diremos de la nota Sur le point de Steiner que fué publicada anteriormente en el Journal de Mathématiques spéciales (1886) pues, tanta es la doctrina contenida en un corto número de páginas, que sólo puede formarse idea de tan interesante trabajo, leyéndolo por completo.

(*) Las áreas \( T_1, T_2, T_3 \) de las caras \( A_2A_3A_4, A_1A_3A_4, A_1A_2A_4 \) son proporcionales, como en la Geometría del triángulo, á las distancias del punto L á las caras del tetraedro.