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cio á figuras planas por combinaciones de planos auxiliares, y prescindiendo en absoluto de toda consideración numérica, Carnot, al proponerse fundar un nuevo algoritmo geométrico en su Géométrie de position y en su Correlation des figures en Géométrie, donde se fundieran la magnitud y la posición de tal manera, que las variaciones de la una fueran traducidas inmediatamente por las variaciones de la otra, mediante lo que llamó correlaciones directa, inversa y compleja, también contribuyó al progreso de la Geometría de Pascal y Desargues en su Essai sur la Théorie des transversales que aportó un considerable material para proseguir la organización de este cuerpo de doctrina, legando á la posteridad sus célebres teoremas; el uno, generalización del de Ptolomeo, ó extensión á un polígono cualquiera del hasta entonces solamente aplicado al triángulo; el otro, de mayor importancia, es un teorema fundamental en la teoría de las cónicas, á saber: si todos los lados de un polígono plano cualquiera ABCDE, ó sus prolongaciones, se hallan cortados por una sección cónica cualquiera, y se designa por (Am) (Bm) los productos de los segmentos interceptados sobre AB entre cada uno de los vértices A y B respectivamente, y las dos ramas de la curva, por (Bn) y (Cn), los productos semejantes relativos al lado BC, etcétera, se tendrá

\[(Am)\ (Bm)\ (Cp)\ (Dq)\ (Er) = (Ar)\ (Bm)\ (Cn)\ (Dp)\ (Eq),\]

teorema que, según hizo ver Carnot, se extiende á todas las curvas geométricas tomadas como transversales, cuando el polígono es plano, y á todas las superficies cuyas secciones hechas por planos cualesquiera, son curvas geométricas, cuando el polígono es alabead.

Otro de los talentos matemáticos que contribuyeron al renacimiento científico de la Francia, impulsada por los éxitos de Monge, Laplace, Lavoisier y Lagrange, fué Brianchón, cuya Mémoire sur les lignes du second ordre, aunque reducida á 65 páginas, es uno de los trabajos fundamentales que dejan huella en el progreso científico, y no es de extrañar que haya bastado para inspirar al geómetra Poncelet su notable obra Traité de propriétés projectives des figures, fundada como él mismo expone en su prólogo, sobre algunos de los secundos conceptos expuestos en la obra de Brianchón.

Es materialmente imposible condensar en menor extensión cuanto de más esencial constituye la teoría de las cónicas, y sobre todo con mayor elegancia y sencillez.

Definido el polo de una recta como el punto alrededor del que gi-
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ran las cuerdas de los contactos de los pares de tangentes trazadas desde diferentes puntos de aquélla, en conformidad con la exposición hecha por Monge en su geometría descriptiva, pasa inmediatamente á definir la relación \( \frac{AC}{AS} : \frac{BC}{BS} = \) constante, á que conducen tres rectas trazadas por un punto S y cortadas por una transversal arbitraria, de la que resulta la siguiente \( \frac{AC}{AD} : \frac{BC}{BD} = \) constante, correspondiente al caso de ser cuatro las rectas. La proporción armónica \( \frac{AD-CD}{AD} = \frac{CD-BD}{BD} \) ó \( \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD} \) subsiste, según un teorema, de la obra Opus geometricum, de Gregoire de Saint-Vincent, Una recta está dividida armónicamente por dos puntos, cuando éstos la dividen en segmentos proporcionales. Si una recta AB está dividida armónicamente por dos puntos C y D, la recta CD también lo estará por los dos puntos A y B; y originando cuatro puntos armónicos un haz armónico, el teorema de Saint-Vincent puede traducirse diciendo que: Toda transversal trazada en el plano de un haz armónico da por sus intersecciones, cuatro puntos armónicos.

Pero según la geometría de posición de Carnot, cada una de las diagonales de un cuadrilátero está cortada armónicamente por las otras dos, y esto basta para que con la regla solamente pueda obtenerse en la misma dirección de tres puntos el cuarto armónico D, propiedad conocida en las secciones cónicas de La Hire. La consideración de un paralelogramo con sus dos diagonales permite deducir, valiéndose de los triángulos semejantes formados en las figuras, las relaciones

\[
\frac{EA.EB}{EC.ED} = \frac{FA.FB}{FC.FD}, \quad \frac{CA.CB}{CE.CF} = \frac{DA.DE}{DF.DF}
\]

que, según Brianchón, tienen lugar para todas las proyecciones de las figuras, como arriba se indicó, de manera que subsistirán todavía, si en lugar de un paralelogramo se considera un cuadrilátero cualquiera cortado por una transversal arbitraria, y como aquí no se trata más que de la dirección de las líneas, y cada par de lados opuestos pueden representar el sistema de diagonales de un nuevo cuadrilátero, de las relaciones anteriores se deducen todas las restantes que forman en los tratados modernos las siete relaciones fundamentales de la involución, que unen los doce segmentos formados sobre los lados de un cuadrilátero completo, cuyas tres diagonales son AB, CD, EF, y que son las traduccio-
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nes diferentes de una misma propiedad, de manera que, para seis puntos situados en línea recta, cada una de dichas siete condiciones lleva consigo las otras seis. Y cuando aquéllos se hallan ligados por éstas, sus proyecciones gozan de la misma propiedad.

Con estos preliminares Brianchón principia la exposición de las propiedades de las cónicas (lám. I, fig. 1.).

Suponiendo trazada en el plano de un cuadrilátero UXYZ inscrito á una cónica, una recta en la cual AB, CD, EF son los segmentos producidos por la curva y los dos pares de lados opuestos XU y ZY, ZU y YX de aquél, ante todo demuestra que los seis puntos A, B, C, D, E, F se hallan ligados entre sí por las siete relaciones arriba deducidas, y puesto que basta deducir y establecer la proposición para una de las perspectivas de la figura, lo hace así para el caso de ser un círculo, fundándose sencillamente en la propiedad que tiene el producto de los segmentos trazados desde un punto cualquiera, que es constante. Además, la aplicación del teorema de Ptolomeo al triángulo FTE formado con el segmento EF de la transversal y dos lados opuestos ZU y XY del cuadrilátero, con cada una de las transversales UX y ZY le conducen á la relación \( \frac{EA.EB}{EC.ED} = \frac{FA.FB}{FC.FD} \), y por consiguiente á concluir, que las siete ecuaciones fundamentales quedan satisfechas, y resulta que: dado un cuadrilátero cualquiera inscrito en una cónica y una recta indefinida trazada arbitrariamente, la cuerda interceptada en ésta entre las ramas de la curva, se hallará cortada en dos segmentos por cada uno de los lados del cuadrilátero prolongados á discreción; y si en el mismo orden se formara la razón de los dos segmentos que corresponden á cada lado, el producto de las razones correspondientes á dos lados opuestos será igual al producto de las razones correspondientes á los otros lados.

Después de señalar como consecuencias inmediatas de estas conclusiones, que en las curvas de segundo orden las cuerdas paralelas tienen sus puntos medios distribuidos en una recta que se llama diámetro, así como las propiedades concernientes á los centros, didmetros conjugados, etc., llega al célebre teorema de Pascal solamente con aplicar el teorema de Ptolomeo al triángulo ETF de la figura empleada anteriormente, en la que D, H, I son las intersecciones de los lados opuestos del exágono ABUZXY cortado sucesivamente por las transversales UX, YZ, UB, AX y multiplicando por la que arriba se deduce,
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ó sea \( FA.FB.ECED = EA.EB.FC.FD \), las \( EC.FC.ZU = EC.FU.ZX \) y \( EU.FD.FZ = ED.FE.EU \) se obtiene

\[
EX.EY.EA.FB.TU.TI = EA.EB.FU.FE.TX.TY. \quad (γ)
\]

y multiplicando la \( EY.FD.EF = ED.FZ.ZX \) y las \( EI.FD.FU = EB.FU.TI \), \( EX.FA.FU = EA.FU.EX \) dividiendo después por la fórmula \( (γ) \) obtiene fácilmente \( EI.FD.TU = ED.FU.ZY \), que según el teorema de Ptolomeo exige se hallen los tres puntos \( I, II, D \) en línea recta, determinando una transversal en el plano del triángulo \( ETF \).

(Se continuará).

LEITFADEN DER EBENEN GEOMETRIE

(GUÍA DE LA GEOMETRÍA)

Bearbeitet von Dr. Hubert Müller

Una obra que reuna á la brevedad y sencillez la condición de poner en conocimiento de los lectores cuestiones generalmente juzgadas como de un orden superior á las propias de los elementos, constituye un verdadero triunfo para el autor, y esto puede aplicarse á la obra del Dr. Hubert Müller, constituida por tres reducidos cuadernos: el 1.º (cuya 3.ª edición apareció en 1889) trata de las figuras rectilíneas y del círculo; el 2.º es un desarrollo del primero, al mismo tiempo que una introducción á la «Geometría moderna», y el 3.º se halla destinado á las secciones cónicas y á los elementos de esta geometría.

Esta obra, como su título indica, no es un tratado completo de Geometría; su autor se ha propuesto iniciar al alumno mediante una breve exposición, en las cuestiones más varias, en los conceptos más capitales de la ciencia de la extensión. El molde de la geometría euclidiana ha quedado profundamente alterado bajo la multiplicidad de las modernas teorías, que se imponen con imperiosa necesidad y que se hallan combinadas con el dogmatismo característico de la geometría tradicional.

No es la obra de que tratamos la única en su género, pues en la docta Alemania se intenta constantemente por los escritores matemáticos, exponer la geometría proyectiva, la geometría de la relación
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anarmónica, de la dualidad y de la polaridad, etc., ya sola, ya combinada con la geometría elemental; y uno de los más notables ejemplos que pueden ser citados, justificando nuestro aserto, es el ofrecido por la ya vulgarizada geometría del ilustre profesor Baltzer.

Acaso esta nueva evolución de la enseñanza no hubiera tardado tanto en ser un hecho, si, como dice Chasles en su obra Los trois livres de porismes d'Euclide, la obra del geómetra griego, solo conocida por los vestigios que de ella se conservan en las obras de Pappus, se hubiera transmitido hasta nosotros bajo la influencia decisiva de tan respetable autoridad.

La variedad de teorías con que se ha enriquecido la geometría, exige una alteración en el plan de exponerla y de enseñarla. El riguroso dogmatismo de los elementos de Euclides siempre es admirable, siempre ofrece un modelo de lógica que lleva á las inteligencias por un encadenamiento de consecuencias de solidez inquebrantable; pero las verdades en él relacionadas que se refieren exclusivamente á la perpendicularidad, al paralelismo, á la igualdad ó la desigualdad y á la proporcionalidad, han hecho sitio á otras proposiciones, en las cuales se prescinde de estos modos especiales de la posición y de la magnitud.

La geometría de Euclides, ya cual salió del pensamiento de este geómetra, ya según la han presentado modificada autores como Legendre, Lacroix, etc., favorece el desarrollo intelectual, por cuanto exige del espíritu fijeza y una fuerza suficiente para ahondar en los elementos de cada cuestión, para analizarla en sus más mínimos detalles; pero no es tan eficaz para educar los espíritus en el modo de producir grandes síntesis y llevarlos á esferas más amplias, donde las ideas se hallan enaltecidas por su generalidad, esto es propio y exclusivo de los métodos modernos.

En la obra del Dr. Müller se halla expuesta la geometría elemental, revestida de ese carácter generalizador propio de la geometría moderna, que debe al predominio de la idea de situación ó disposición de los elementos de las figuras, así como al concepto de correlación, que permite duplicar las proposiciones bajo la forma simétrica impresa por la constante aplicación del principio de la dualidad.

Según este principio, al considerarse en un plano infinitud de rectas que pasan por un punto, se considerarán los infinitos puntos que se hallan en línea recta, y el conjunto de aquéllas conducirá al haz de rayos como el de éstos á la serie de puntos. Al ángulo, figura compuesta
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por dos rectas concurrentes en un punto, corresponde el segmento rectilíneo formado por dos puntos situados en línea recta.

Además, el movimiento y por consiguiente su dirección o sentido (lo que implica la consideración del signo), son otros dos conceptos capitales en la exposición moderna, generalmente adoptados en las obras de los geómetras alemanes, y así a la rotación alrededor de un punto, se hace corresponder la traslación según una recta.

Claro es que, siendo la simetría el caso más sencillo de disposición que pueda considerarse en las figuras geométricas, tiene que ser empleado desde luego en la exposición elemental. Esto se observa en la Guía de Geometría de que se trata. La simetría con respecto a un eje es de suma importancia, porque en ella estriba uno de los procedimientos de la Geometría elemental, el rebalimiento.

La simetría con relación á un punto, permite el empleo de otro procedimiento, el giro, conduciendo uno y otro á la superposición de las figuras, que lleva á la demostración de los teoremas. Así, la simetría de las rectas que forman con otra dos ángulos alternos internos iguales conduce á demostrar que estas dos rectas no se encuentran, ó que son paralelas. Después, en la obra del Dr. Müller la consideración de la simetría está enlazada con la de la perpendicular en el punto medio de la recta que une dos puntos \( B \) y \( B' \) ó con la bisectriz del ángulo de dos rectas \( b \) y \( b' \) correspondientes, y en cuanto á la teoría de las paralelas, después de haber deducido el paralelismo de la igualdad de los ángulos alternos internos, admite como postulado la contraria de esta proposición, subordinando así, hasta la coordinación de los teoremas al espíritu de simetría.

El cuadrivértice y el cuadrángulo correspondientes al elemento punto ó recta y la correlación entre los vértices del uno y los lados del otro, las variedades de ellos que resultan del modo de coordinarse entre sí los puntos ó las rectas, las diversas relaciones de simetría que resultan en el círculo, familiarizan al lector en este arte de ordenar y combinar característico de la Matemática más que de ninguna otra ciencia.

La exposición en doble columna de los teoremas que expresan correlaciones deja profundamente grabadas las propiedades que por efecto de esta asociación natural, facilitan el recordar las unas por medio de las otras y hacerlas depender por medio de otras verdades y procedimientos demostrativos sujetos á su vez á la ley de la dualidad.
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Como ejemplos de esta disposición pueden citarse los siguientes:
El lugar geométrico de los puntos que distan igualmente de dos puntos dados, es la perpendicular en el punto medio de la recta que los une.

Existe solamente un punto que equidista de los vértices de un triángulo, que es el centro del círculo circunscrito, en el cual se cortan las perpendiculares en los puntos medios de los lados de aquél.

En un cuadrilátero inscrito en un círculo, la suma de los ángulos es 180°.

Ciertamente que estas proposiciones perfecta que es objeto de la Geometría moderna; pero ofrece ventajas para la asimilación de las ideas este primer paso dado en la ciencia, que debe disponer al principiante para lanzarse á otras regiones superiores, donde las verdades se unen y armonizan de una manera más compleja en los conceptos cada vez más generales que las contienen.

Nada añadiremos á lo dicho sobre otras muchas particularidades dignas de observarse en la obra del Dr. Müller, entre ellas cuanto podría decirse respecto al gran número de problemas que completan la parte teórica, pues con lo indicado basta para formarse una idea del plan seguido por su autor.

El lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados de un ángulo es la bisectriz de los lados de éste.

Existe solamente un punto que equidista de los lados de un triángulo, que es el centro del círculo inscrito, en el cual se cortan las bisectrices de los ángulos de aquél.

En un cuadrilátero circunscrito, las sumas de los lados opuestos son cantidades iguales.

GENERALIDADES SOBRE LAS PUBLICACIONES PERIODICAS

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
publié sous la direction de M. de Longchamps.

Cuando nos detenemos á considerar ese inagotable caudal formado por conceptos, teorías y doctrinas de variedad tanta que se pierde
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

EXPOSITION DE LA THÉORIE DES INTÉGRATEURS
PAR M. G. DE LONGCHAMPS
PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES AU LYCÉE SAINT LOUIS, A PARIS

1. On sait que l'on nomme : Intégraphes, planimètres, sommateurs ou intégrateurs des instruments dont le but principal est l'évaluation des aires des surfaces planes.

D'après ces instruments, en assez grand nombre (*), le planimètre polaire de Amsler est celui qui, pour plusieurs raisons (**), semble appelé à l'emploi le plus fréquent. Les applications des planimètres sont nombreuses; les contributions directes, les administrations du cadastre et des forêts, le service topographique du génie.

(*) Nous citerons notamment les intégraphes de M. M. Napoli et Abank-Abakanowicz. Dans la séance du 13 Décembre 1885, à l'Institut de France, ont peut lire un rapport de M. M. Bertrand et Jordan sur une question de priorité soulevée par M. Mesire relativement à cet intégraphe.

(**) Dans l'article intitulé Note sur l'emploi du planimètre polaire de M. Amsler dans le dessin de la Fortification, note écrite en Avril 1883 et publiée dans le Mémorial de l'officier du génie 1874 (Gauthier-Villars) par le général Peauc-Blier, alors capitaine, l'auteur dit, en forme de conclusion : « En terminant ces considérations nous ferons remarquer encore une fois combien le planimètre polaire est bien approprié à notre mode de représentation graphique et au dessin de la fortification. Il est précis et d'un maniement extrêmement facile; son volume n'est guère supérieur à celui d'un compas de réduction et le prix en est peu élevé. En résumé, cet instrument réunit tous les avantages et semble destiné à rendre de véritables services aux officiers du génie, en leur épargnant une des parties les plus ardues et cependant des plus essentielles, de l'étude d'un projet de fortification. »

Une note sur le planimètre polaire de Amsler, due à M Laisant (Note qui nous a été signalée par M Neuberg) a paru dans les Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux (2e série, t. I, p. 965, 1876.)

Elle a été reproduite dans la Nouvelle correspondance (t V, 1879; pp 39, 71 et 117) (Dans cette Note, la valeur de la constante est exactement exprimée étant donné que la roulette est placée entre le style et le point d'articulation, comme le veut l'auteur (pp 40, 41); mais elle serait en contradiction avec l'instrument, tel qu'il est figuré (loc, cit; p. 72.)
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portancia en la Geometría reciente los círculos de Lemoine, de Tucker y de Taylor.

Si por el punto de Lemoine K del triángulo ABC (lám. III, fig. 5.a) se trazan las paralelas DE', EF', FD' á los lados de éste, se formarán tres paralelogramos AE'FK, BF'KD, CD'KE, en los que EF, FD', DE' son las diagonales, así como KA, KB, KC, resultando que EF es antiparalela de BC, F'D' de AC, D'E' de AB, y además FE' = ED' = DF'. Si, en fin, el punto O es el centro del círculo circunscrito al triángulo ABC, se deduce que el punto medio de KO equidista de los puntos F, E', E, D', D, F'.

El círculo que pasa por estos seis puntos es el círculo de Lemoine, y el exágono del cual son los vértices el exágono de Lemoine.

Si un triángulo \( \alpha \beta \gamma \) es el homotético del A B C (lám. III, fig. 6.a), siendo el centro de homotecia el punto de Lemoine K del triángulo ABC, y si D y E', E y F', F y D' son las intersecciones de los lados de ABC con los lados correspondientes de \( \alpha \beta \gamma \), prolongados si es preciso, estos seis puntos son concíclicos, pues siendo K el punto de Lemoine, las rectas AK, BK, CK son las medianas de FE', DF', E'D', y por consiguiente FE', DF', ED' son antiparalelas á los lados del triángulo ABC, y los seis puntos se hallarán en el mismo círculo.

Si el triángulo \( \alpha \beta \gamma \) varía, el lugar del centro del círculo circunscrito al exágono es la recta OK.

M. Neuberg ha llamado círculos de Tucker á los círculos circunscritos al exágono, cuando varía el triángulo \( \alpha \beta \gamma \).

Cuando el triángulo \( \alpha \beta \gamma \) se reduce al punto K, el círculo de Tucker tiene su centro en el punto medio de OK y se reduce al círculo de Lemoine.

Si A', B', C' son los vértices del triángulo órtico de ABC(4) y K, N; K', N'; K'', N'' son sus proyecciones sobre los lados, estas proyecciones son concíclicas, pues siendo H el ortocentro(5), las figuras AKA'N, AC'H'B' son homotéticas, siendo A el centro de homotecia; luego KN es paralela á C'B' y K'K'' antiparalela á C'B', porque K' y K'' pasan por los pies de las alturas B'K', C'K'' del triángulo AB'C'; luego los puntos K, N, K', K'' son concíclicos y lo mismo K, N, K', N'. Este círculo estudiado por Mr. Taylor se llama círculo de Taylor.

En fin, si O es el centro del círculo circunscrito (lám. III, fig. 8.a) y K el centro de las simedianas del triángulo ABC, el círculo descrito sobre OK como diámetro se llama el círculo de Brocard.

Si desde O se bajan las tres perpendiculares á los lados del trián-

(4) El triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas del ABC.
(5) Punto de intersección de las tres alturas.
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gulo ABC, éstas cortarán el círculo de Brocard en otros tres puntos A' B' C' que determinan un triángulo llamado el primer triángulo de Brocard, el cual es inversamente semejante al triángulo ABC, puesto que siendo OA' perpendicular á BC y OB' á AC, el ángulo A'OB', es igual al ACB, además A'OB' es igual á A'C'B'; luego A'C'B' es igual á ACB.

De igual manera se deduce la igualdad de los otros ángulos que se hallan inversamente orientados.

Si el círculo de Brocard del triángulo ABC corta á las simedianas en tres puntos A*, B*, C*, el triángulo A*B*C* se llama el segundo triángulo de Brocard.

No nos detendremos en indicar las numerosas propiedades demostradas en la Géométrie élémentaire récente, publicada por el geómetra Casey, sólo citaremos para terminar, las teorías de los polígonos armónicos; y si los lados del polígono se designan por a, b, c,... y las perpendiculares trazadas desde K sobre éstos por x, y, z,... el ángulo ω determinado por una de las ecuaciones

\[
x = \frac{1}{2} a \tg \omega, \quad y = \frac{1}{2} b \tg \omega,
\]

se llama ángulo Brocard del polígono.

En cuanto á las figuras asociadas, si se une un punto cualquiera X de una circunferencia Z á n puntos fijos l₁, l₂,... lₙ de la misma circunferencia, y en el mismo sentido á partir de x, se toman sobre estas rectas los segmentos I₁ A₁, I₂ A₂, I₃ A₃,... Aₙ Aₙ proporcionales á los números dados d₁, d₂,..., dₙ, entonces un sistema de figuras directamente semejantes construidas sobre I₁ A₁, I₂ A₂,... Iₙ Aₙ se llama sistema asociado.

Creamos con estas definiciones haber dado una idea de este género de investigaciones geométricas, á cuyo desarrollo han contribuido geómetras de diversas naciones, y que especialmente han sido asunto de varios artículos publicados en los periódicos Mathesis y Journal de mathématiques élémentaires, donde el alicionado á esta clase de investigaciones puede encontrar detalles que no pueden tener cabida en esta somera relación.

Pero tanto interés ha despertado este género de cuestiones tratadas en los periódicos arriba citados como en Quarterly Journal, Appendix to the Proceedings of the London Mathematical Society y otros, que no dejaremos de insistir en algunas ocasiones sobre puntos concernientes á esta Geometría del triángulo, y terminaremos prometiendo poner al corriente á nuestros lectores de los resultados debidos al