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modo de relación del que expresa la simple relación de igualdad, llegando como incidentalmente á algunas identidades importantes de la teoría de los números, así como el primer caso de la ley de recurrencia, que le ofrece el análisis combinatorio, le conduce no sólo á las fórmulas del binomio y del polinomio, sino que además de esta última deduce los teoremas de Euler y de Fermat, terminando con las propiedades del triángulo aritmético de Pascal y la suma de pilas de balas, etc.

Sigue empleando el método de las identidades, como en la división, en la extracción de las raíces, determinando los coeficientes sucesivos y llegando á la ley de la sucesión de los restos.

Después de la teoría de los determinantes, donde expone los teoremas de Vandermonde y de M. Rouché, relativo este último á las ecuaciones lineales, hace seguir á los números incommensurables y al cálculo de los radicales la teoría de las expresiones imaginarias, con las indicaciones más precisas respecto á su representación geométrica, que lleva inmediatamente al teorema de Moivre, á los teoremas relativos al método y á la condición de divisibilidad de una función entera por el factor ( \( x-a-bi \) ).

A la teoría de las series hace preceder los principios fundamentales de las series recurrentes, y entre los criterios para la convergencia de las series presenta el teorema de Raabe, conocido también con el nombre de criterio de Duhamel expresado por la fórmula

\[
\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{1}{1+z},
\]

así como el teorema de Gauss.

En la notable lección dedicada á la transformación de las expresiones irracionales, que ofrece más desarrollos que los expuestos en la generalidad de los tratados de Álgebra, resuelve el problema general consistente en hacer racional el denominador de una fracción, cuando éste es la suma algébrica de radicales cuadrados, en número cualquiera, concluyendo por mostrar cómo, en algunos casos sencillos, pueden transformarse expresiones que contienen radicales de tercer grado. Así de

\[
x = \frac{P}{\sqrt{z} + \sqrt{\beta}}
\]
llega á
\[
x = \frac{P(\sqrt{\alpha^2 - \sqrt{\alpha \beta} + \sqrt{\beta^2}})}{x + \beta}.
\]

En la teoría de las fracciones continuas se halla incluído el análisis indeterminado.
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Al tratar del número e, M. de Longchamps hace una nueva deducción de la serie que lo determina, dando al término complementario la forma

\[
Ep = \frac{1}{(p+1)!} \cdot \frac{p+2}{p+1} \theta_p .
\]

A la teoría de las funciones sigue la de las formas cuadráticas, donde se trata de la descomposición en sumas de cuadrados de funciones lineales, homogéneas e independientes, teoría enlazada con las del discriminante y de los invariantes algébricos.

En la teoría de las ecuaciones expone la nueva demostración de M. Walecki concerniente al número de raíces que admite una ecuación entera de grado m, haciendo seguir á los teoremas generales sobre las ecuaciones la teoría de las funciones, é incluyendo en ésta el principio de continuidad: Sea

\[
f(x) = A_0 x^m + A_1 x^{m-1} + \ldots + A_m = 0
\]

una ecuación que admite cierta raíz a con un grado de multiplicidad α; supongamos que sus coeficientes sean funciones de parámetros variables t, θ, ...

Si se da á estos parámetros otros valores

\[
t + \delta t, \quad \theta + \delta \theta, \ldots
\]

los coeficientes se reducen á

\[
A_0 + \delta A_0, \quad A_1 + \delta A_1, \ldots, \quad A_m + \delta A_m ;
\]

la ecuación

\[
F(x) = (A_0 + \delta A_0) x^m + (A_1 + \delta A_1) x^{m-1} + \ldots + A_m + \delta A_m = 0 ,
\]

admite a raíces que tienden hacia a cuando δt, δθ, ... tienden hacia cero.

Termina la teoría de las ecuaciones en la lección 40ª que trata de la resolución algebraica de las ecuaciones de 3.º y 4.º grado, así como las nociones sobre las diferenciales y las integrales definidas terminan á su vez con la teoría de las diferencias y de la interpolación.

Pero no solamente encontrará el lector en el álgebra de M. Longchamps una obra, donde las teorías estén tratadas con igual rigor y de una manera completa al mismo tiempo que con cierta originalidad característica, sino que hallándose una gran parte de la misma destinada á ejercicios y problemas entresacados, ya de obras notables, ya de publicaciones periódicas y académicas, encontrará también incluido en el tratado teórico un nuevo tratado práctico á la manera de complemento del primero, como puede verse examinando además
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de los ejercicios expuestos y desarrollados al fin de cada lección los agregados al final de la obra, con el propósito de identificarse en lo posible con las exigencias del programa oficial para el ingreso en la Escuela Politécnica de París.

***

INTRODUZIONI ALLA GEOMETRIA ANALITICA
POR EL SR. G. BATTAGLINI, PROFESSORE NELLA UNIVERSITA DI NAPOLI

La Geometría analítica de igual manera que las demás ramas de la ciencia matemática, ha experimentado desde algún tiempo una radical transformación en su organismo. El perfeccionamiento de éste se impone por efecto del progreso continuado en todas direcciones, y el molde antiguo que reducía esta parte de la Matemática al estudio de las secciones cónicas y de las superficies de segundo orden, mediante el empleo de las coordenadas cartesianas y polares, resulta ya demasiado estrecho para contener el nuevo y abundante material que se desborda.

La teoría de las formas, los nuevos sistemas de coordenadas, los métodos de la Geometría moderna y sus fecundos principios han entrado de lleno en el nuevo plan. Y esto se observa ya desde las primeras páginas de la nueva obra que ha comenzado á publicar el célebre geómetra italiano Sr. Battaglini en el Giornale di Matematiche ad uno degli studenti delle Università italiane.

Por ahora se limita el Sr. Battaglini á exponer una Introducción á la Geometría analítica que se hallará dividida en tres partes, siguiendo el desarrollo histórico de la ciencia; la primera contendrá la Geometría analítica cartesianas, dividida á su vez en tres secciones, tratando la primera de los puntos, de las rectas, de los planos, de los círculos y de las esferas; la segunda de las cónicas, ó líneas de 2.º grado, y la tercera de los conicoides, ó superficies de 2.º grado, con un apéndice que tratará de la Geometría analítica sobre la superficie esférica.

La segunda parte de la Introducción contendrá la Geometría analítica proyectiva, en la cual se desarrollará el admirable organismo de la Geometría moderna con el método analítico y el empleo de las coordenadas proyectivas, desenvolviendo los principios de la dualidad y de la homografía, tomando en consideración los elementos en el infinito del espacio. Finalmente, en la tercera parte de la Introducción se desarrollará la teoría de la Representación geométrica de las
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formas algebraicas, en la cual se relacionarán las diversas teorías geométricas con las modernas y secundas teorías de los invariantes, de los covariantes y de los contravariantes de las formas algebraicas.

Al exponer las nociones preliminares acerca del punto y de la recta en el plano, principia el Sr. Battaglini distinguiendo las relaciones métricas de las de posición, y tratando, tanto del sistema de puntos en línea recta, determinados por sus abscisas, á partir del origen, como del sistema de rectas perteneciente á un punto de un plano y determinadas por su ángulo de dirección relativamente á una recta tomada como origen.

Definidas las coordenadas cartesianas y las polares, y expuesto el problema de su transformación, entra de lleno á establecer las relaciones fundamentales entre los puntos y las rectas en el plano.

Partiendo de que por tres puntos \( p, p_1, p_2 \) de un plano se tenga la relación

\[
p_1 p : p p_2 = k_1 : k_2,
\]

llega á la división armónica de dos segmentos \( p_1 p_2, p' p' \) y á la definición de los conjuga los armónicos, y haciendo coincidir sucesivamente el origen con el punto medio de uno de los segmentos ó con uno de los cuatro puntos, obtiene los segmentos en progresión armónica y la fórmula

\[
\frac{1}{p_1 p_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{p_1 p'} + \frac{1}{p_1 p''} \right)
\]

que determina el medio armónico \( p_1 p', p_1 p'' \) y \( p_1 p' \), así como la propiedad de que, en una progresión armónica, el producto de los extremos es igual al producto de su medio aritmético por su medio armónico. Y análogas conclusiones deduce al considerar un sistema de cuatro rectas concurrentes en un punto de un plano obteniendo, que

\[
\frac{1}{\tan \theta_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \theta'} + \frac{1}{\tan \theta''} \right),
\]

ó bien

\[
\frac{1}{\tan r_1 r_2} = \left( \frac{1}{2 \tan r_1 r'} + \frac{1}{\tan r_1 r''} \right).
\]

Obtiene enseguida el Sr. Battaglini las fórmulas que expresan las coordenadas de un punto de la recta \( p_1 p_2 \) para el que las distancias á \( p_1 \) y \( p_2 \) se hallan en la razón \( k_1 : k_2 \) y las que corresponden á los dos pares \( (p_1, p_2), (p', p'') \) de conjugados armónicos.
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De una manera sencillísima llega á la ecuación

\[
x(y_1 - y_2) - y(x_1 - x_2) + x_1 y_1 - y_1 x_2 = \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0
\]

de la recta que pasa por los puntos \( p_1 \) y \( p_2 \), así como á las otras expresiones de la misma, y como á las expresiones de las rectas \( R', R'' \) conjugadas armónicas de las \( R_1, R_2 \), concluyendo el artículo 3.º con la expresión del área de un polígono por medio de las coordenadas de sus vértices.

El artículo 4.º, titulado Questioni diversi sui punti, e sulle rette nel piano, no terminado en las primeras páginas hasta ahora dadas á la publicidad por el Sr. Battaglini, reviste excepcional importancia.

Suponiendo una recta \( R \) expresada bajo la forma normal y un sistema de puntos \( p_1, p_2, \ldots p_i, \ldots \) situados en el plano de aquélla, cada uno con un coeficiente adjunto \( k_i \) determina el centro de las distancias medias, y enuncia el teorema relativo á la sumat de los momentos de un sistema de puntos respecto á una recta; y enseguida, atento por lo que se ve á seguir desenvolviendo por todo el concepto de la dualidad, considera también varias rectas \( R_1, R_2, \ldots R_i, \ldots \) y un punto \( p \) en un plano, delimitando análogamente el eje de las distancias medias, y anunciando la proposición concerniente á la suma de los momentos de un sistema de coeficientes adjuntos á las rectas \( R_i \) de un plano respecto del punto \( p \).

Considerando enseguida los segmentos \( (a_i, b_i) \) y \( (a, b) \) interceptados por las rectas \( R_i \) y la recta \( R \) en los ejes de coordenadas, llega á las ecuaciones que determinan los centros de las medias armónicas de los sistemas de puntos de intersección con dichos ejes, respecto al origen \( O \), centros que se transforman en los de las distancias medias cuando el punto \( O \) se halla en el infinito.

Partiendo, en fin, de la ecuación que expresa el eje de las medias armónicas, y suponiendo que todas las rectas \( R_i \) concurren en un punto \( p_o \), en cada una de las cuales se fija, á su vez, un punto \( p_i \), deduce que al girar las rectas alrededor de los puntos fijos \( p_i \), cuando el punto \( p_o \) recorre una recta trazada por el origen, el eje de las medias armónicas del sistema, respecto al origen, girará alrededor del punto fijo, y pasará también por \( p_o \).

Considera después tres pares de rectas, y deduce, haciendo corresponder los lados de los dos triángulos que determinan que "si los puntos de encuentro de los pares de lados correspondientes se hallan en línea recta, las que unen los tres pares de vértices \( (p'_1, p'_i) \),
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\((p_2', p_2'), (p_3', p_3')\) concurren en un punto \(p\), siendo aquella recta R y este punto \(p\) el eje y el centro de homología de los dos triángulos.

Además, si los puntos de intersección de los pares de los lados correspondientes de un polígono se hallan en línea recta, y las rectas que unen los pares de sus puntos correspondientes, excepto una, concurren en un punto, también la recta que une el par restante de vértices, pasará por el mismo punto, y viceversa.

Estas indicaciones sobre lo publicado de la obra del Sr. Battaglini, son más que suficientes para dejar establecida la importancia y la novedad que ha de tener para los aficionados á la Geometría el tratado destinado á la enseñanza de esta ciencia por el ilustre director del Giornale di Matematiche que, tanto en las páginas de éste, desde el año 1863, como en otras publicaciones ó revistas ha contribuido al progreso de la enseñanza y de la ciencia geométrica desde todos sus puntos de vista, según los que pueda ser considerada.

* * *

CURSO DE Analyse infinitesimal.
POR F. GOMES TEIXEIRA, DIRECTOR DA ACADEMIA POLYTECHNICA DO PORTO
(2.ª edição, 1890. 1 tomo en 4.º 356 páginas)

Nada dico al lector el título de una obra destinada á la enseñanza cuando éste es común al de las que incesantemente aparecen con el mismo fin, y sobre todo cuando muchas de ellas son frecuentemente sustituíbles entre sí por la semejanza en el plan y en el modo de ser éste desarrollado.

No pertenece á este género la obra del Sr. Gomes Teixeira, ya conocido en el mundo científico por sus numerosos trabajos sobre el análisis matemático, pues al escribir un libro para la enseñanza, lo ha hecho transmitiendo al mismo su criterio personal, ideas propias que ha elaborado dándolas á conocer en diversas ocasiones. De manera que, además de lo que aprenda el alumno en un curso ordinario de Análisis infinitesimal, puede adquirir en el libro del Sr. Gomes Teixeira muchas ideas de detalle acerca del sutilísimo concepto de la continuidad y de los infinitos, omitidos ó incompletamente expuestos en otros libros.

Precede á la obra una Introducción donde se trata de los números irracionales, negativos ó imaginarios y de las reglas para su cálculo, así como se exponen después los principios generales de la teoría de las funciones.

Siendo imposible, ó al menos muy difícil, discernir actualmente lo que hay exclusivamente propio en cada autor y lo que pertenece
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á esta acción continua y general que prosigue la Humanidad en su progreso, y que se suma constantemente formando síntesis cada vez más vastas y perfectas, el mérito de un autor de cualquier obra destinada á la enseñanza, estriba en el talento con que ha elegido lo más notable, tanto en conceptos como en procedimientos y en el modo de unir estos materiales extraños á aquéllo que es fruto de sus propias investigaciones y caracteriza su individualidad científica.

Esto se observa en la obra del Sr. Gomes Teixeira.

Al principiar su obra por la exposición de las operaciones de la Aritmética y del Álgebra, enumera las leyes fundamentales de cada una, según costumbre ya corriente en las obras más correctas.

Al tratar de los números irracionales, lleva á la exposición que hace algo de lo que con más detalle y con distinto propósito se halla en las obras de Dedekind y Tannery.

Al ocuparse de la noción de límite, reduce la cuestión de la existencia de límite para una cantidad variable á averiguar si cierta cantidad tiende ó no hacia cero, según un teorema importante de Cauchy.

En la exposición de las series hace referencia á importantes observaciones publicadas en el Journal de Sciences mathématiques debidas á los Sres. Lerch, Cesàro, Gützmer y Weyr, dando á conocer un teorema debido á M. Jensen (1), terminando con las consideraciones más precisas relativas al círculo de convergencia, á las series uniformemente convergentes en una área ó en un intervalo dado y á la serie hipergeométrica, y completando estas nociones con las correspondientes á los productos infinitos y á las fracciones continuas.

Para el estudio general de las funciones hace preceder el teorema del Sr. Weierstrass acerca de los valores de una función correspondientes á los de la variable comprendidos entre dos números A y B, desarrollando con especial cuidado lo concerniente á la continuidad de la función, quo extiende al caso de ser ésta continua en el punto (a, b, c, . . . ), y termina la Introducción con las funciones exponencial, logarítmica, circulares directas é inversas é hiperbólicas.

El capítulo I del cálculo diferencial está dedicado á las nociones de infinitamente pequeño y de derivada, fijándose tanto en el caso en que ésta es determinada como en el caso contrario y en la importante circunstancia de que una función continua pueda no tener derivada, pasando á su expresión mediante la relación de dos infinitamente pequeños.

Los artículos dedicados á las relaciones entre las funciones y sus

(1) Comptes rendus de l' Academie de Sciences de Paris, 1889.
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derivadas, á las funciones de muchas variables y al de las derivadas de las funciones de variables imaginarias y el de las funciones implícitas son notables por la claridad y sencillez con que al alumno se ofrecen estos difíciles puntos de la asignatura, y especialmente el último en que se trata de las ecuaciones de derivadas parciales, y que termina con los teoremas que establecen las condiciones generales para la existencia de la derivada de las funciones implícitas, conduciendo en fin, á las derivadas de determinantes y á los determinantes funcionales.

Después de exponer en el capítulo III las aplicaciones geométricas que llegan al estudio de las curvas en el espacio, las superficies, las curvas y superficies envolventes, en el capítulo IV encuentra el lector un importante cuerpo de doctrina que se refiere á multitud de trabajos recientes de diversos matemáticos de la actualidad, sobre las derivadas y diferenciales de orden cualquiera.

Comienza este capítulo por la deducción de la fórmula de Leibnitz, extendida al caso de la función \( y = u_1 u_2 \ldots u_m \).

El caso de ser \( y = f(u) \), \( u = \varphi(x) \), lleva al Sr. Gomes Teixeira á desarrollos entrelazados con sus notables artículos Sur les dérivées d'ordre quelconque (1) Uber einen Satz der Zahlentheorie (2) y á importantes observaciones dependientes de la teoría de las combinaciones.

Para el caso en que

\[
y = f(u_1, u_2, \ldots, u_r), \quad u_1 = x_1(x), \quad u_2 = x_2(x), \ldots, \quad u_r = x_r(x).
\]

sigue el procedimiento empleado en un artículo publicado en el tomo XVIII del Giornale di Matematiche, y hace referencias al artículo publicado por el Sr. Oliveira Ramos en el Jornal de Ciencias Matemáticas e Astronômicas (tomo VII).

Al tratar de los números de Bernoulli también hace referencia el Sr. Gomes Teixeira á otro artículo publicado en American Journal of Mathematics (Baltimore, tomo VIII), y obtiene además una nueva fórmula para calcular estos números. Demuestra asimismo la fórmula de Waring, según lo hizo en el tomo VII de los Nouvelles Annales des mathématiques (3.ª serie), y también reproduce otro artículo suyo publicado en este periódico concerniente á las relaciones entre las funciones y sus derivadas.

Sin detenernos en estos puntos que revelan la novedad de los

(1) Giornale di Matematiche de Battaglini, vol. XIII.
(2) Archie der Mathematik und Physik (1885) Leipzig.
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desarrollos debidos al Sr. Gomes Teixeira, como demostración del teorema de Eisenstein, el análisis que hace del problema de la interpolación y otros asuntos presentados con la originalidad que predomina en toda la obra, haremos especial mención de las materias contenidas en los últimos capítulos de ésta, dedicados á las funciones definidas por series, á las singularidades de las funciones y á las funciones de variables imaginarias.

Después de tratar de las funciones discontinuas en puntos aislados expone el principio fundamental del método de la condensación de las singularidades debido á Hankel, según exposición hecha por el señor Dini en sus Fundamenti per la teoria delle funzione di variabili reali, es decir, el método por el que, partiendo de una función con un número limitado de singularidades se forma una función con infinitas singularidades. Presenta un ejemplo debido al Sr. Weierstrass de una función continua que no tiene derivada, haciendo también referencia á otros ejemplos contenidos en la Mémoire sus les fonctions discontinues de M. Darboux.

En cuanto á las funciones de variables imaginarias, principia por definir la función monogena ó analítica de z en todo el plano, donde hace referencia el Sr. Gomes Teixeira á su artículo sobre las funciones con espacios lagunares y á resultados debidos á los Sres. Lerch, Tannery y Schröder. Expone una importante fórmula debida á M. Darboux, en el caso de extenderse la fórmula de Taylor á las funciones de variables imaginarias y la demostración que de ella dió M. Mansion en el Bulletin de l'Academie de Belgique. Dá á conocer otra demostración del matemático aleman Sr. Weierstrass sobre el desarrollo de las funciones en series. Pasa después á tratar de las funciones regulares en un punto \( z_0 \) y en todo el plano. Para desarrollar esta cuestión hace notar que Euler, Cauchy, Gauss, etc., obtuvieron en ciertos casos particulares la expresión de las funciones trascendentales enteras por un producto de factores que hacen explícitas sus raíces, y observa que este notable resultado ha sido completamente establecido por el eminente geómetra de Berlin Sr. Weierstrass en el teorema siguiente:

Dada una serie de cantidades \( o, a_1, a_2, \ldots, a_c, \ldots \) colocadas según el orden creciente de sus módulos y que satisfacen á la condición

\[
\lim_{c \to \infty} |a_c| = \infty,
\]

se puede construir una función trascendente entera por medio de la fórmula

\[
f(z) = z^{n_0} \prod_{c=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z}{a_c} \right)^{n_c e^{n_c S_r}}, \quad S_r = \sum_{k=1}^{m_r} \frac{1}{k} \left( \frac{z}{a_c} \right)^k,
\]
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cuyas raíces son \( o \), \( a_1 \), \( a_2 \), ..., \( a_c \), ..., y cuyos grados respectivos de multiplicidad son \( n_0 \), \( n_1 \), ..., \( n_c \), ...

Recíprocamente, si \( f_1 (z) \) representa una función entera cuyas raíces son \( o \), \( a_1 \), \( a_2 \), ..., \( a_c \), ... y los grados respectivos de multiplicidad \( n_0 \), \( n_1 \), ..., \( n_c \), ..., esta función puede descomponerse en factores que hacen explícitas estas raíces, por medio de la fórmula

\[
f_1 (z) = e^{\varphi(z)} z^{n_0} \prod_{c=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z}{a_c} \right)^{n_c} e^{n_c S_c},
\]

en la que \( \varphi (z) \) representa una función entera,
y á continuación de este teorema expone el Sr. Gómez Teixeira la demostración debida al profesor de la Universidad de Stokolmo señor Mittag-Leffler.

Después de tratar de las funciones uniformes regulares enteras, examina el Sr. Gómes Teixeira las no enteras que son regulares en todos los puntos del plano, excepto en los puntos aislados \( a_1 \), \( a_2 \), ..., \( a_c \), ..., llamados por el Sr. Weirstrass polos cuando \( m \) es finito y puntos singulares esenciales, cuando \( m \) es infinito. Y termina su tratado de cálculo diferencial con el teorema del Sr. Mittag-Leffler, por el que este matemático extendió al caso de tener una función infinitos polos y puntos singulares esenciales, la descomposición establecida por el Sr. Weierstrass en el caso de ser finito este número.

Tal es el resumen de lo contenido en la obra del Sr. Gomes Teixeira, obra á la par que elemental y rigurosa muy adecuada para iniciar á cuantos la estudien en los progresos más recientes del análisis, y en las más variadas cuestiones tratadas en la actualidad por los más distinguidos analistas contemporáneos, de cuyos trabajos é intervención en los últimos perfeccionamientos de este ramo de la Matemática pone al corriente la portentosa erudicion del Sr. Gomes Teixeira.

Z. G. de Galdeano

VARIEDADES

El círculo matemático de Palermo. En todas las naciones cultas van multiplicándose y adquiriendo importancia las asociaciones científicas cuyo principal objeto es el desarrollo é incremento de tal