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las cantidades de movimiento y de los momentos de las mismas, dando la clave de la mecánica celeste con la deducción sencilla de algunas leyes, que tanto trabajo costaron á Kepler por el procedimiento empírico, y más aun influído por aquella preocupación de su época, á que llamó con razón el ladrón de su tiempo.(1) De ella nacen los planos máximos de áreas y el especial é invariable de Laplace, que puede patentizar si hay ó no ingerencias extrañas en nuestro sistema planetario, y de ella en fin puede sacarse la ley Newtoniana de gravitación y toda la ciencia del movimiento, como lo hiciera Lagrange en su mecánica analítica.

Lleva consigo íntimamente unidos la mecánica y por ende la matemática, triunfos positivos del orden moral, que no debemos omitir.

Uno y grande es el emancipar lentamente al hombre de todo trabajo bruto, elevándole al puesto de director, que le corresponde por su inteligencia, por esa chispa divina que arde en su cerebro.

La misma continuidad matemática prueba, en cierto modo, que no puede aniquilarse (aunque se disuelva, sin desaparecer, el cuerpo que le sirvió de instrumento) ese destello, que la mecánica dice ser distinto de la materia sobre que actúa, porque su actividad voluntaria, haría cambiar en cada instante la constante energía del Universo.

En cada máquina, en cada invento, en cada adelanto, quedan impresos de un modo indeleble, y á veces con letras de gigantes mecanismos, los esfuerzos combinados de tanto obrero de la inteligencia, que dejaron, integradas, poderosas energías potenciales, acumuladas por virtud especial y voluntaria de aquella chispa divina, gastándose en cambio parte de sus energías corporales; que no hay trabajo material que se cumpla, sin trabajo material que se gaste, como demuestra también la fórmula sintética citada.

¡Quién sabe si (á la manera que sencillas y toscas máquinas sirven de base á otras más perfeccionadas) con el auxilio de una mecánica especial del espíritu, que acaso está cercana, demostrarán nuestros sucesores que los axiomas, las verdades evidentes para un ser, no son más que integrales formadas por la actividad de todos sus predecesores! ¡Si los más complicados teoremas de hoy serán, por integraciones análogas, los axiomas de mañana!

Dejemos estas honduras de que me sería difícil salir airosa, y voy á salvar tan rápidamente como pueda, otras en que el matemático, el

(1) Aun duraba en la época de Kepler la notable preocupación á que llamó este astrónomo gran ladrón de su tiempo de que, cada planeta era el asiento de un principio inteligente, y de la incorruptibilidad de los cuerpos celestes, que hizo adoptar la consecuencia aristotélica de las órbitas circulares como más perfectas.
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mando lo que se llama un sistema) de posición y velocidad conocidas en un instante dado, de masa determinada, y sometido á fuerzas ó acciones perfectamente definidas en cada instante, puede la mecánica escribir las ecuaciones diferenciales de su movimiento. Sépanse ó no integrar éstas, las integrales existen, y en estas ecuaciones finitas estarán implícita ó explícitamente, la trayectoría y la ley del movimiento, es decir: donde se mueve y como se mueve; ó bien queda escrito de un modo fatal qué línea recorrerá cada punto, y cuál será sobre la misma su situación precisa y su velocidad en un instante cualquiera.

Las ecuaciones diferenciales para un punto ó sistemas de puntos (cuerpos) abandonados á sus acciones mútuas, son en resumen las leyes á las cuales obedece la materia bruta. Esas ecuaciones no son sino derivadas, propensiones á variar con relación al tiempo de cada una de las cantidades de que depende el estado de un punto ó de un sistema, y tales propensiones son funciones perfectamente determinadas de los valores actuales de esas mismas cantidades.

Ley es ésta, como dice Boussinesq, que representa el coronamiento natural de las conquistas científicas de tres siglos de estudios perseguidos. (1)

Los átomos y moléculas que constituyen el mundo orgánico y el inorgánico son puntos y cuerpos materiales, sometidos á sus acciones mútuas en el sistema total del Universo, y sus circunstancias de movimiento definidas han de ser en cada instante, aunque no las conozcamos. Su modo de ser actual será pues, consecuencia matemática del anterior y á la vez causa, antecedente preciso del que será. El que como el Ser Supremo, conozca la ley precisa de sus acciones mútuas, puede leer en cada punto material de circunstancias actuales conocidas, toda su historia desde el infinito negativo al positivo de los tiempos. Forman sus posiciones una cadena, de que no hay sino seguir con la velocidad, que en cada uno corresponda, sus infinitos eslabones. No parece sino que la fatalidad más absoluta empuja á cada punto material y rije todos sus modos de ser en el tiempo y el espacio.

Si esto es cierto, todos nuestros movimientos son resultantes de ese determinismo fatal, no los que ordena nuestra voluntad, y entonces ¿qué es de nuestro libre albedrío, base de responsabilidades, cimiento de leyes, fundamento de sociedades.... enlace de nuestra vida con ese más allá que aparece en lontananza?

El materialismo más absoluto puede arraigar en la mente del que

(1) Obra citada, pág. 57.
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vé convertido en ilusión engañosa eso que piensa, que siente, que quiere y que no traspasa la tumba.

A Descartes primero y á Leibnitz después, filósofos y mecánicos ambos, hubo de asaltarles ese árduo problema, que juzgó resuelto el primero, pensando que algo, como reflejo de Dios, hay invariable en el Universo y ese algo es para él la suma total de las cantidades de movimiento; es el \( \Sigma mv \), que corresponde en cada instante, á todo lo material existente. Bastóle pues suponer en el alma un poder director, capaz tan solo de cambiar la dirección del movimiento, dejando siempre constante aquella suma, y entonces, el ser que puede escoger libremente movimientos y apropiarse el que convenga, responsable resulta de todas sus acciones voluntarias.

Pero desde Huyghens quedó establecido el notable teorema de fuerzas vivas, y esclarecidas las ideas sobre trabajos, equivalentes de aquéllas y proporcionales, como es sabido al cuadrado de las velocidades y Leibnitz, su contemporáneo estaba en posesión de este corolario (cualquiera que fuese entonces la expresión que se le diera): en un sistema aislado en que no actúan fuerzas exteriores y por tanto en el sistema íntegro del Universo, en que está la materia sometida solo á sus acciones mutuas "la suma total de sus energías materiales es una constante ó como se proclama hoy por todas partes: la energía total del Universo es constante."(1)

Aun era oscura en el comienzo del pasado siglo lo que llamaban "fuerza de un cuerpo en movimiento," y no se había deslindado con claridad el verdadero valor mecánico de las cantidades de movimiento y las fuerzas vivas, entre los productos \( mv \) y \( mv^2 \), como lo prueba la notable contienda, de más de 30 años, entre Cartesiano y Leibnitziacos, (2) terminada al fin por D' Alembert, dando la razón á todos, según el punto de vista desde el cual la cuestión se contemplara; pero el claro talento de Leibnitz penetró con mucha anticipación, lo que no tenía sino por una ley de la naturaleza: "que hay siempre una perfecta igualdad entre la causa pleine y el efecto entero," (..... qu' il ya toujours une parfaite équation entre la cause pleine et l' effet

(1) Ese total se compone de dos sumandos, uno de energía actual encerrada en las fuerzas vivas que tengan en el momento considerado las masas y otro la energía potencial ó de posición que será una función de todas las distancias; así pues la fórmula será

\[
\Sigma \frac{1}{2}mv^2 + \varphi(r, r', r'', ...) = \text{Constante}.
\]

(2) Puede verse á propósito de esta lucha el Diálogo di Vicenzo Riccati della compagnia de Jesus—dove ni Congressi di più giornate delle forze vive e dell'azioni delle forze morte si tiene discorso.—Bologna.—1749.
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entier) (1), y no podía por lo tanto quedar satisfecho con las explicaciones de la libertad dadas por Descartes.

Y en efecto, si el alma actuase sobre un punto material, siquiera fuese para cambiar la dirección del movimiento, habría un trabajo, una energía creada, distinta de la energía actual, del \( \frac{1}{2} m v^2 \) que el punto material ya lleva. La suma total de energías materiales, cambiaría cada vez que un poder director, consciente ó no, entrara en ejercicio.

Para evitar contradicciones y ponerse de acuerdo con la ciencia, ideó Leibnitz aquella "armonía preestablecida.. á la que, como él mismo dice, quizás hubiera tenido que acogerse Descartes, si viviera.

Además por la ley de Newton, es evidente que si un punto material recibe una acción y toma un movimiento determinado, es precisamente porque un segundo punto recibe de aquél otra acción idéntica de sentido inverso, una reacción que origina en él un movimiento opuesto. Si el alma accionó, ó el punto accionado no se mueve, resultando nulo el poder de aquélla, ó se mueve en ella, en sentido inverso, algo, que debe estar muy cercano de ser materia.

Los grandes talentos, la mayoría de los sabios más prácticos en las diversas ciencias, de acuerdo con el mismo sentido común, dictan: que no pueden explicarse con la materia sola y con las leyes físico-químicas y mecánicas, todos los fenómenos de la materia organizada. Humbold, Berzelius, C. Bernad, Berthelot.... están conformes en que las fuerzas físico-químicas actúan, sin romper sus leyes, lo mismo en los cuerpos inorgánicos que en los orgánicos; pero, á la vez, se ven forzados á concluir también, otra especial directiva, que les dá forma.

¿Será posible, que una entidad tal pueda actuar sobre la materia sin ejercer esfuerzo alguno, grande ni pequeño, estática ó dinámicamente medible?

Cierto que á el alma pudiera bastarle uno pequeñísimo, tan pequeño como se quisiera, para producir los movimientos voluntarios, sin más que manejar ese misterioso teclado de células grises y enlaces de sustancia blanca, que forman el complicado tejido cerebral, y ser por su libre albedrío, la causa determinante de un movimiento que empezando casi en cero, puede acrecentarse lo que sea necesario, sin sacar algo de la nada, si nó por gastos sucesivos y crecientes de energías potenciales, energías de posición, parecidas á las de las sustancias explosivas, convenientemente repartidas y encerradas en

(1) Leibniti opera omnia - Tomo tercero, opera matemática, página 197.—Réplique de Mr. Leibnitz á Mr. L' Abbé Comti (q. Enero 1697).
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nuestro organismo; cierto que podría llegarse á producir así una corriente nerviosa, capaz de inflamar el cebo celular, si se permite el simul, en que termine el filete nervioso centrífugo portador de la orden emanada de la voluntad, y hacer explotar el músculo que traduce aquel mandato; pero esa solución, que es la de Cournot y la de Saint--Venant, que atribuye á el alma una especie de poder disparador (décrochant), sentada también por nuestro eminente Echegaray, y que será quizá, la de la mayor parte de los que se apoderan con alguna profundidad de los conceptos metafísicos, matemáticos y mecánicos, no puede, á los mismos que la exponen, satisfacerles por completo.

Si es cero aquel esfuerzo, de la nada..... nada sale.

Si es algo, siquiera sea tan pequeño como la diferencia existente entre una fracción decimal 0.3333.... y su generatriz = \( \frac{1}{3} \) correspondiente, se integrará por los infinitos instantes, de infinitos seres, de mundos infinitos, y alterará continuamente la energía total. Es además magnífico asidero de la teoría sensualista, que solo habrían menester, en todo, del pequeñísimo esfuerzo producido, en las misteriosas regiones cerebrales, por los nervios centrípetos portadores de sensaciones, recayendo así en un verdadero determinismo.

Basta ya de reflexiones que nos llevarían muy lejos y veamos el dilema que de lo expuesto se desprende.

O nos acogemos á la insostenible armonía preestablecida de Leibnitz, y entonces podemos decir con el poeta: «ó sobra la materia ó sobra el alma», porque en efecto suprimid ésta y toda la historia del mundo sería la misma, ejecutada en un sonambulismo universal, como diría Mr. Janet, (pasamos por alto otras teorías ideales, como la de los fenómenos y noumenos de Kant, que enlacen, de algun modo, movimientos materiales y voliciones del alma), ó venimos á parar al determinismo mecánico con sus consecuencias de pura fatalidad, porque las ecuaciones diferenciales del movimiento no dejen lugar á duda sobre trayectorias de puntos y sistemas, con sus situaciones precisas en cada instante y todo cuando ataña á circunstancias del movimiento. (1)

Suponemos que se pueden escribir las tres ecuaciones diferenciales del movimiento para un punto de masa m, dependiendo su aceleración, de su situación en el sistema.

\[
\begin{align*}
m \frac{d^2 x}{dt^2} &= f(x, y, z) \\
m \frac{d^2 y}{dt^2} &= f_y(x, y, z) \\
m \frac{d^2 z}{dt^2} &= f_z(x, y, z)
\end{align*}
\]

Pudiendo integrar dos veces y ejecutar todas las transformaciones que sean precisas, es indudable que podremos también escribir las seis siguientes en que entran, seis constantes \( x_0, y_0, z_0, \dot{x}_0, \dot{y}_0, \dot{z}_0 \) que serán conocidas en el momento que se nos den la velocidad y posición del punto en un instante cualquiera, pues sustituidas estas circunstancias en las ecuaciones, no habrá en ellas más incógnitas que aquellas constantes,
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rísticos de la ciencia, estos dos: Verdades y enlace ó bien proposiciones á demostrar y método, sistema.

Conocimientos falsos no forman ciencia, verdades aisladas tampoco.

¿Qué es la verdad? La ocuacion entre el pensamiento y la cosa pensada, la conformidad entre la idea y el objeto.

¿Cuál es el mejor método científico?.. Cada ciencia tendrá el más adecuado; pero no hay duda que, según dice Pascal: el mejor consiste en definir con precisión todos los términos y demostrar todas las proposiciones.

En el cumplimiento de tales condiciones no tiene rival la matemática pura, y hasta de sus términos echan mano las otras ciencias, cuando desean expresarse con exactitud, como habeís oído y cómo vais á oír.

¿Qué es definir? Asignar la diferencia de algo dentro de su género; marcar su género próximo y última diferencia, como dice la lógica... ó hablando vulgarmente: definir es asignar límites precisos á las ideas, fijar el valor exacto de las palabras. En la verdadera definición no cabe más ni menos que el objeto definido, es el marco exacto que la contiene; si éste es grande la definición es mala, por entrar en él algo que sobra, si pequeño, también, porque no puede contener el objeto definido.

Ahora bien, todo lo que existe se reduce á espíritu y materia; sujeto y objeto; el yo y el no yo; llamadlo como querais. Las ciencias que á esos extremos se refieran podrán dividirse en dos grandes grupos: uno de las puramente subjetivas, otro de las objetivas. Todas tendrán por base la observación y la experiencia. El entendimiento encuentra ya hechos, formados, los seres que pretende conocer; pero ni la esencia de la materia, ni la del espíritu nos es dado, hasta ahora, penetrar. Es evidente, pues, que tropezarán esas ciencias con términos que no podrán definir, con proposiciones que no podrán demostrar.

La matemática se construye el camino antes de marchar por él, se forma el objeto mismo de su conocimiento, y, como ciencia de la Cantidad y del orden; como ciencia de la magnitud medible; como ciencia de lo continuo y de lo discontínuo; del número del tiempo y del espacio; de lo concreto y de lo abstracto; de lo ideal e imaginario, y hasta de lo finito y de lo infinito..... en el modo y forma que ella misma se lo forja, ha de tener forzosamente exactas sus definiciones, porque según dice el mismo Pascal, respecto de los números "el espíritu abraza por entero y limita con precisión los conceptos de que es autor."
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\[
\begin{aligned}
Vx &= \frac{dx}{dt} = \varphi(t,x,\delta,\gamma...) \\
Vy &= \frac{dy}{dt} = \varphi_1(t,x,\delta,\gamma...) \\
Vz &= \frac{dz}{dt} = \varphi_2(t,x,\delta,\gamma...)
\end{aligned}
\]

Leyes del movimiento proyección, ecuaciones fuentes del movimiento

\[
\begin{aligned}
x &= F(t,x,\delta,\gamma...) \\
y &= F_1(t,x,\delta,\gamma...) \\
z &= F_2(t,x,\delta,\gamma...)
\end{aligned}
\]

Estas darán evidentemente la trayectoria por eliminación de t; la posición precisa del punto en cada instante; y con las anteriores, todo cuanto se refiere á velocidades. Por tanto ninguna ambigüedad parece quedar en el movimiento de un punto, conocidas sus circunstancias iniciales, ó otras de un instante dado.

Ya está el problema planteado, veamos si hay solución.

Ni aquellas armonías, un tiempo precisas, hoy quizá pueriles, ni este fatal determinismo. Mr. Boussinesq, guiado sin duda por observaciones de sabios anteriores, da una solución notable y profunda que, á nuestro modo, vamos á explicar.

Consideremos un caso sencillo: una ecuación diferencial de primer orden, \( f(x,t,dx,dt) = 0 \), entre dos variables: una coordenada x de un punto que se mueve y el tiempo t, que podemos tomar por variable independiente.

Sabe perfectamente el matemático, que á tal ecuación diferencial, corresponde otra integral general: \( F(x,t,C) = 0 \), dentro de la cual están contenidas muchas integrales particulares, que resultarán de dar valores á la constante arbitraria C.

Esta sin embargo queda precisada en cada problema, por las condiciones especiales embebidas en la misma cuestión. En el caso presente esas condiciones son circunstancias iniciales del movimiento, es decir: el valor \( x = a \), que tenga el móvil para un valor de t, para \( t = 0 \), por ejemplo: Sustituidos ambos en la integral general, harán conocer C.

Sabe también, que puede haber en este sencillo caso, una integral única, especial, una solución singular \( \varphi(x,t) = 0 \), en que no existe constante, ni proviene de dar á ésta un valor particular en la integral general; es una función distinta y que sin embargo resuelve también el problema, satisface á la ecuación diferencial.

Tomemos el problema en sentido inverso, para darnos mejor á entender, aunque caminemos dentro de casos menos generales.

Si tenemos una función primitiva \( F(x,t,C) = 0 \) y su ecuación diferencial es \( f(x,t,dx,dt) = 0 \), esta misma diferencial corresponde ó es satisfecha por otra primitiva \( \varphi(x,t) \), que proviene de eliminar la constance C entre aquélla y su derivada \( \left( \frac{dF}{dC} = 0 \right) \), con relación á la constante. (1)

(1) Se ocurrirá desde luego al lector que podrá entrar C en su primera potencia y desaparecer en la diferenciación; por eso decimos que ponemos casos particulares para darnos á enten-
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Este, como es sabido, es el procedimiento del cálculo diferencial, para hallar, (cuando es posible de este modo) la envolvente de todas las primitivas, \( F(x,t,C)=o, F(x,t,C')=o, F(x,t,C'')=o \)... que solo se diferencian unas de otras por el valor de la constante C, que suponemos varía de una manera continua.

En el caso particular que consideramos, la envolvente es una curva plana, tangente á todas las posiciones de la primitiva ó envuelta, que también es otra curva contenida en el mismo plano. Si se nos diera la ecuación diferencial de esta última, es evidente que su primitiva ó integral será, mientras no se fije la constante, cualquiera de las posiciones de la envuelta; pero esa misma ecuación diferencial tiene por primitiva singular aquella envolvente, que refunde, en cierto modo, todas las integrales particulares, las cuales en un problema de movimiento provienen del cambio de las circunstancias iniciales, que son, como dijimos, las que influyen en el valor de la constante.

Se comprende bien que esta teoría, aunque complicándose proporcionalmente, será aplicable á funciones de dos ó más variables y de órdenes superiores de diferenciación, resultando siempre las integrales singulares, cuando existen, con menos constantes que la integral general, que satisfaga á la cuestión.

También se comprende que aunque se llamen envolventes, no siempre envuelven, ni es condición precisa que envuelvan, sino que sea tangente á todas las posiciones de su envuelta en el caso de una curva plana de que hemos partido.

A veces la solución singular se reduce á un punto, que en las cuestiones de movimiento suele ser uno especial á donde el móvil llega con velocidad nula.

Mientras se trata de un problema cualquiera no causan tanta sorpresa las soluciones singulares, como cuando se hallan al integrar ecuaciones diferenciales del movimiento, porque parece que éste debe resultar siempre determinado, sin ambigüedades de ninguna especie.

El notable matemático Mr. Poisson tropezó con una sola ecuación diferencial en un problema de movimiento, en que, según las circunstancias iniciales, puede resultar una solución singular, que conceptuó como una verdadera paradoja, digna, como él dice, de ejercitar la sagacidad de los geómetras (1) No encuentra otra explicación plausible

der, pero no es difícil ver que, en ese caso \( \frac{dC}{dx} \) y \( \frac{dC}{dt} \) deben resultar=\( \infty \), y con estas condiciones se pueden indagar las soluciones singulares.

(1) La ecuación á que se refiere Poisson es ésta: \( \frac{d^2 x}{dt^2} = a x^n \) en la que resulta como
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sino creer, que las fuerzas naturales deben tener forma incompatible con esas soluciones.

Sigue Cournot pensando en ella sin resolverla, é insiste Duhamel en que deben despreciarse tales soluciones en los problemas de Dinámica, y viene Boussinesq á cimentar precisamente sobre las mismas, la conciliación del determinismo mecánico con la existencia de la vida y la libertad moral.

Acude en este momento á nuestra mente un dicho de Pascal: antes se cansará la imaginación de concebir, que la naturaleza de suministrar, y en efecto, por mucho que discurremos por campos imaginarios, jamás podremos agotar las maravillas que encierra la naturaleza. Es cierto que las verdades puras del alma, como las de la matemática, que forman el alimento más preciado del espíritu, no precisan tener una realidad objetiva á que aplicarlas; pero también es cierto que dice la práctica de muchos siglos, que toda verdad encerrada en una fórmula de aquella ciencia, se vé pronto ó tarde realizada en algún fenómeno de la naturaleza.

Ha llegado pues el momento de dar explicación á la paradoja citada, y de que vea el hombre hasta en el mundo moral, aplicaciones prácticas de aquellas soluciones singulares, campo de la indeterminación mecánica, todavía inexplorado.

Si en esos puntos en que se tocan, en que confluyen, se juntan ó se detienen y forman bifurcaciones especiales las soluciones particulares y la singular, el móvil puede seguir esas distintas trayectorias, sin faltar á las leyes naturales, sin que cambien las energías totales del universo, satisfaciendo á las ecuaciones diferenciales, cumpliéndose en fin todas las condiciones del problema, ¿quién resolverá en la materia inerte esa especie de perplejidad? Habremos de abandonarnos al caprichoso azar, á la casualidad pura; habremos de esperar esfuerzos fortuitos y extraños, cuando las fuerzas que intervienen en la cuestión no basten para hacer perfectamente determinado el problema?

¿No podrá entonces sin gasto material, sin esfuerzo físico medible, un principio director, un poder supra-físico, ejercer su acción misteriosa y decidir en el ser libre, con solo su querer, el camino que el móvil habría de tomar?

como solución singular un punto de detención en el origen para \( V_0 = 0 \); pero según demuestra Boussinesq, pueden existir multitud de casos en que se presenten esas soluciones singulares, como en el movimiento de un punto material pesado sobre una curva (sin rozamiento); en el de uno que se move sobre una recta sometido á atracciones ó repulsiones de puntos fijos simétricos y de igual intensidad dos á dos, respecto á esa trayectoria; en el movimiento de dos puntos sometidos á su acción mutua etc., etc.