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ó cual ciencia. El círculo matemático de Palermo, que cuenta ya más de cuatro años de existencia, teniendo entre sus socios las celebridades matemáticas de Italia y algunas del extranjero, llena estos fines del progreso con respecto á las ciencias matemáticas, principalmente por medio de sesiones quincenales, por la publicación del periódico Rendiconti del circolo matematico di Palermo, donde se dan á conocer los extractos verbales de las sesiones, las Notas ó Memorias originales comunicadas por los socios y aprobadas por la Comisión de redacción y el boletín bibliográfico de producciones nacionales y extranjeras, y en fin, por medio de su biblioteca constantemente acrecentada, ya mediante el cambio con otras publicaciones científicas nacionales y del extranjero, ya con obras adquiridas ó recibidas como donativo.

En los dos primeros fascículos correspondientes á este año se hallan publicados los siguientes artículos: Sur une méthode pour représenter dans le plan les solides homogènes á n dimensions par M. le Dr. V. Schlegel. — Intorno alla rappresentazione delle forme binarie cubiche e biquadratiche sulla cubica goba, nota 1.a di L. Berzolari, in Pavia. — Sull'estensione della legge di Newton ai sistemi stellari binarii, nota di Francesco Porro, in Torino. — Sul moto brachistocrono, nota di G. Pennachielli, in Catania. — Revue annuelle d'Analyse, par M. Emile Picard, á Paris.

* * *

D. Cecilio Pujazón. Hace poco más de un mes falleció víctima de una pulmonía el ilustrado marino, director del Observatorio astronómico de San Fernando, socio correspondal de la Academia de ciencias de Madrid, D. Cecilio Pujazon, que con su actividad y trabajos de varia índole, contribuyó á acreditar tan renombrado Establecimiento, ocupándose últimamente en la colossal empresa que prosiguen hoy todos los observatorios, á saber, la obtención de la carta fotográfica del cielo, como monumento científico que el siglo XIX legará á las generaciones venideras.

Sentimos, por falta de noticias detalladas, no poder actualmente unir al recuerdo del ilustre marino y colaborador de El Progreso Matemático, la relación de los trabajos que se deben á su asiduidad y talento.
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observons que \( z_1 + z_2 \) représente le chemin enregistré quand le style décrit le cercle polaire L dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est une constante d'une valeur négative que nous représenterons par \(-K\).

\[
X = rZ + \pi R^2 - Kr = rZ + II.
\]

II, dans cette formule, désigne une constante que nous déterminerons tout à l'heure; mais nous envisagerons d'abord le troisième cas, pour montrer qu'il conduit à la même formule.

8. Troisième cas. Le cercle polaire enveloppe complètement la courbe donnée. Imaginons deux circuits arbitraires ML, NR permettant de passer du cercle polaire au périmètre de la courbe et observons, avant d'aller plus loin, que ces circuits étant parcourus par le style, successivement, dans un sens et dans l'autre, comme nous allons l'expliquer, le chemin enregistré par la roulette, par le fait de ces circuits, est nécessairement nulle (lám. IV, fig. 5.a).

Cette remarque étant faite, écrivons

\[
X = \pi R^2 - U - V
\]

Les aires U et V peuvent être calculées d'après la règle donnée pour le premier cas, le style suivant, pour U, le chemin 1, 2, 3, 4; et, pour V, le chemin 5, 6, 7, 8.

Abstraction faite des chemins 2, 5; 4, 7 qui donnent, comme nous l'avons observé dans le calcul final un résultat nul, il reste pour évaluer U + V : 1° le nombre enregistré par le style parcourant le cercle polaire dans le sens des aiguilles d'une montre, le nombre K comme nous l'avons appelé plus haut, multiplié par \( r \). 2° le chemin enregistré par la roulette quand le style parcourt, comme l'indiquent les flèches 3 et 8 le périmètre de la courbe donnée; ce chemin est égal et de signe contraire à celui que nous désignerons par Z, et qui représente le nombre enregistré par la roulette, quand le style parcourt le périmètre dans le sens des aiguilles d'une montre. Nous avons donc

aire U + aire V = Kr - Zr

et par suite

\[
X = rZ + \pi R^2 - Kr = rZ + II.
\]

Ainsi se trouve expliqué, et, nous l'espérons, d'une façon claire, ce fait que la constante II a la même valeur dans les deux cas et, en effet, la théorie que nous exposons, pour être à l'abri de toute équivoque, doit les examiner successivement.
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Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Figura 4.

Figura 5.
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9. Calcul de la constante H. Puisque H a la même valeur, quelle que soit l'aire considérée pourvu que sa disposition soit celle que nous avons envisagée au deuxième ou au troisième cas, il est naturel pour déterminer H, de choisir une aire particulière, très simple.

Imaginons par exemple que l'on fasse décrire au style un cercle ayant pour centre le pole P et pour rayon R+r. Dans ce cas, les deux tiges sont dans le prolongement l'une de l'autre et la roulette décrit une circonférence concentrique au cercle polaire et de rayon R+2r. Le chemin parcouru par la roulette est, dans cette disposition, complètement enregistré; il est égal à \( 2\pi (R+2r) \) et nous pouvons écrire

\[
\pi (R+r)^2 = 2\pi r (R+2r) + H,
\]

d'où

\[
H = \pi (R^2 + r^2 - 2r_\rho).
\]

10. Nous retrouvons ainsi la valeur de la constante, telle que l'a donnée Amsler dans le mémoire cité et nous pouvons, finalement énoncer le théorème suivant qui complète celui que nous avions donné plus haut et, avec lui, fait connaître toute la théorie des planimètres.

Théorème II. Lorsque le cercle polaire ne laisse pas la courbe donnée complètement en dehors de lui, l'aire s'obtient en multipliant le chemin enregistré par la roulette par r et en ajoutant à ce produit la constante H.

La valeur de cette constante se trouve d'ailleurs inscrite sur l'instrument même, pour éviter tout calcul.

LOS PROGRESOS DE LA GEOMETRIA DEL TRIÁNGULO EN 1890
POR M. E. VIGARIÉ (1)

Desde hace algunos años hemos tratado de vulgarizar el estudio de la Geometría del triángulo, y de dar á conocer á los lectores del

(1) La mémoire du général Peaucellier (loc cit p. 129) renferme, croyons nous une légère erreur. Dans les figures qui accompagnent ce mémoire la roulette est disposée sur le prolongement de la tige SA et les raisonnements sont faits dans cette hypothèse. La valeur H' de la constante est alors égale á \( \pi (R^2 + r^2 + 2r_\rho) \) et relatif á ce que dans l'égalité (1) il faut écrire alors \( 2\pi r (R+2r) \); beefil faut changer \( \rho \) en \( -\rho \).

(M. Thiré, dans son mémoire, cité plus haut, suppose, aussi que la roulette est placée sur le prolongement de SA; mais il donne, pour la constante la quantité H').

(1) Para poner al corriente á nuestros lectores en estos modernos descubrimientos geo-
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Journal de Mathématiques, los puntos más interesantes de esta parte nueva de la ciencia geométrica. Hemos creído que la indicación sucinta de los progresos realizados por la misma, durante el año transcurrido, presentaría algún interés. Este es el objeto de la presente Nota.

1. SISTEMAS DE COORDENADAS. Desde el origen de la geometría del triángulo se han empleado casi exclusivamente coordenadas normales y baricéntricas. Los notables estudios de M. Lucas (Mathesis 1889) y de M. Poulain (Journal de mathématiques spéciales, 1889), sobre las coordenadas tripolares, han dado á este sistema, poco conocido, una gran importancia. M. Lemoine se ha servido notablemente de ellas (Contributions à la géométrie du triangle (Association française, 1889 pp 197-222)) en varias cuestiones relativas á los puntos tripolarmente asociados, á los puntos gemelos, etc.

Asociando de cierta manera las coordenadas cartesianas á las coordenadas baricéntricas, se obtiene un nuevo sistema en el cual las coordenadas están tomadas con relación á ejes móviles y que M. Cesáro llama coordenadas de inercia. El sabio profesor de la Universidad de Palermo había mostrado ya (Remarques sur la Géométrie du triangle (Nouvelles annales de Mathématiques, 1887, pp 215-242; sur la potentielle triangulaire, N. A. M. 1888) todas las ventajas que se pueden obtener de la consideración de tal sistema de coordenadas, en el estudio particular del triángulo. En un trabajo reciente (Sur l'emploi des coordonnées baricentriques, Mathesis, 1890, pp 170-190), M. Cesáro hizo de ellas una nueva aplicación, que le ha permitido enunciar una multitud de proposiciones interesantes. Sentimos que la falta de espacio no nos permita extendernos más sobre el asunto.

A estos sistemas es preciso agregar el de las coordenadas angulares, propuesto por M. Poulain (J. de M. S., 1890 Question, 282).

2. FIGURAS SEMEJANTES. La teoría de las figuras directa é inversamente semejantes, que ha servido tan frecuentemente para obtener nuevas proposiciones y para dar elegantes demostraciones de otras muchas (círculos de Brocard, de Neuberg, de M'Cay..., por ejemplo) acaba de completarse. M. Schoute ha enunciado (Sur les figures planes directement semblables, Comptes rendus des sciences de l'Académie des sciences de París, 6 octobre 1890) los teoremas siguientes:

métricos, ofrecemos en este número la traducción del importante artículo de M. Vigarié publicado en el Journal de mathématiques élémentaires.

(1) Los comptes rendus de las sesiones de la Asociación francesa sólo aparecen al año siguiente de tener lugar el Congreso; aquí analizamos las comunicaciones hechas en el Congreso de París en 1890.
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

LA MATEMATICA

SU IMPORTANCIA Y PREEMINENCIA ACTUALES (1)

¿Qué será la ciencia integral?... Os lo habréis preguntado, quizá como yo, muchas veces y acaso también como yo, os habéis contestado: no lo sé.

Pero tomando por guía una especie de postulado que tiene algo de verdadero, por ser uno el origen de todo: en todos los órdenes de existencias hay fenómenos análogos, busco en el mundo espiritual analogías con el material, que nos es más conocido. No debemos dejarnos arrebatar ciegamente por ellas, es cierto, porque llevan muchas veces á graves desvaríos, pero el símil es luz que aclara los conceptos, y en este sentido permitidme el siguiente:

La materia cósmica espaciada por la creación, está repartida en átomos, moléculas, cuerpos, asteroides, satélites, planetas, soles, sistemas.... y todos sostienen á todos, y nada hay, ni el menor corpusculo quizá, que pueda aniquilarse sin turbar el equilibrio entero por faltar esa parte necesaria en la atracción universal, en ese amor inconsciente y especial de la materia, producido acaso como ella misma, por el fluido gravifico en que se halla sumergida. (2)

Así las ideas, las verdades, las ciencias.... forman, quizá, un conjunto integral, un todo solidario, en que nada puede suprimirse; el

(1) Este escrito es el fondo de un discurso pronunciado en la noche del 8 de Mayo de 1891 por el comandante profesor de la Academia de Ingenieros D. Nicolás Ugarte, en el Ateneo de Guadalajara, con motivo de una interesante discusión sobre Utilidad e importancia relativa de las Ciencias, planteadas por el jefe del Distrito Forestal D. Benito Angel.
Para su publicación ha sido convenientemente modificado y anotado por su autor.

(2) Le P. Loray.—(Constitution de la matière et ses mouvements, nature et cause de la pesanteur).—Art. 8.a pág. 128, explica el cómo tomando por base las corrientes eléctricas en todos sentidos puede explicarse la ley general de Newton.
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dad, sacando de la miseria las comarcas del Lot, áridas y mortíferas y dotarlas de centenares de manantiales, que ese sabio cuanto modesto sacerdote descubrió, marchando con seguridad asombrosa por encima de su oculto cauce y aforándolos con precisión, aún antes de su alumbramiento

Si pasamos á las ciencias que podemos llamar biológicas, observamos ya dentro de la botánica, que la matemática preside en cierto modo al número y forma de los estambres y pistilos, su situación y demás circunstancias para la mejor fecundación. En los tallos y troncos macizos ó huecos reina la economía de la materia compaginada con máximas resistencias, según la teoría matemática de la elasticidad. La vida de los árboles se mide por el número de sus capas anuales, y hasta la orientación puede deducirse por la forma y desarrollo de éstas en los distintos puntos de su perímetro en casos determinados.

Cuando han de cumplirse condiciones contradictorias como el vivir dentro del agua y no poderse fecundar sumergidas, una irritabilidad, especie de poder director, guía la planta para hacer compatibles tales extremos, y el tallo ó los estambres y estigmas toman el movimiento ó la forma geométrica que más á ello se presta. La Valieneria spiralis que vive bajo las aguas del Ródano y del Ebro, en la época de sus amores desarrolla su tallo cuya forma indica el nombre, y cumplidos sus deberes, vuelve á dormir tranquila en el fondo de las aguas(1).

La Zoología hace comprender maravillas análogas, recorriendo sus escalas desde los seres más inferiores á los organismos más complicados.

En los más próximos al mineral, reinan como en éste, las formas geométricas; pueden en cierto modo estudiarse como los cristales por sus ejes dispuestos de un modo regular; un poco más elevados llevan en su esqueleto ese conjunto de ejes regulares, y no parece sino que la simetría respecto á ejes determinados es la ley de los seres animados de toda la escala zoológica.

Dignos de hacerse son los estudios sobre la forma y disposición

(1) Galdo—Historia natural.—(1865) pág. 402: trozo de un poema de Castell.
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matemática de las espirales y valvas de muchos moluscos, las maravillosas construcciones suspendidas ó no ó subterráneas, de las distintas clases de hormigas, y otra multitud de insectos, sobre la disposición, forma y suspensión de nidos de muchas aves, sobre las construcciones hidráulicas del castor y fortificaciones complicadas del topo, etc., etc.; pero no podemos detenernos en sus detalles, y solo para fijarnos en un ejemplo bien conocido de todos, vamos á ocuparnos un instante de un himenóptero notable y útil por multitud de conceptos: la abeja.

Este insecto resuelve de un modo admirable el problema del gasto mínimo de cera en la construcción de sus panales, sin que por eso disminuya el contenido de la miel.

Para que los alvéolos puedan-justa ponerse, sin dejar huecos inútiles, dice el matemático que si aquéllos han de ser prismáticos de sección recta regular, solamente los triángulos, cuadrados y exágonos pueden cumplir aquella condición, y este último polígono es el que debe elegirse para economía de líneas y por tanto de tabiques, porque á igualdad de perímetros es el que mayor superficie encierra, como más cercana al círculo; ese es precisamente el que la abeja emplea para sus prismas alveolares.

Cada panal no es un grupo solo de celdillas, sino dos grupos dispuestos simétricamente respecto á un plano medio, y con relación á éste, uno tiene las entradas de las celdillas á un lado y el otro al opuesto. Los prismas exagonales que forman éstas, no son dos á dos prolongación uno de otro en ambos conjuntos, sino que el eje de cada prisma ó celdilla de un sistema es, prolongado, una arista de unión de tres del opuesto. Tal disposición es necesaria para la 3.* parte del problema, tan fácil quizá como las otras para el insecto, pero más difícil y admirable para el hombre que sobre ello reflexiona.

El fondo de dichas cavidades ó prismas exagonales, parece á primera vista que debiera ser plano, pero no hay tal, es un tetraedro de caras laterales idénticas, diferentes de la base, que es el triángulo equilátero inscrito en cada exágono y cuyo vértice es un punto especial del eje, que distaría del fondo si fuera plano, la cantidad representada por \( \frac{r}{4} \sqrt{2} \), siendo \( r \) el lado del exágono dicho. Las caras de aquel tetraedro, se prolongan chaslanando ó sustituyendo cada una á un vértice del prisma exagonal, tomando (por sus intersecciones con las caras del prisma) la forma de rombos iguales (1) y tales, que la

(1) Los ángulos obtusos de estos rombos concurrentes en el vértice de la pirámide son de 109° 28', según Oenan (Récérations mathématiques et physiques ---Paris---1776. Tomo I.
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superficie total del alvéolo así formado, no solo es menor que si el fondo fuera plano, sino que resulta ser un mínimo matemático, respecto á todas las figuras análogas, que puedan construirse, variando la posición del vértice del tetraedro. Fácilmente puede verse, que el volumen de esas figuras no altera, cualquiera que sea el vértice escogido, porque en este caso particular de base exagonal, los tres pequeños tetraedros suprimidos en los chaflanes, son iguales á otros tres, de que puede considerarse compuesta la pirámide triangular, que se añade.

Cuanto más avanza el conocimiento de las cosas, mayor y más sublimes son las relaciones matemáticas, que en ellas se descubren y aunque no las conozcamos, nunca hay razón para negar su existencia ó por lo menos su posibilidad.

La actividad, el instinto, la inteligencia, la razón... son términos quizá de la misma serie, y si nuestro ser se da cuenta, antes de su estado que de sus actos, es preciso, para su progreso, que luego se dé cuenta de su objeto y conozca después las leyes, y éstas no son sino fórmulas que sintetizan hechos.

Tratamos de concordar lo divergente, y vamos tras de lo inmutable de que debe ser un reflejo ó una expresión lo matemático.

La anatomía, la fisiología, la patología que se apoyan en otras ciencias, que con la matemática se entlanzan, sacan de ésta muy preciosas explicaciones, adelantos notables y aplicaciones sin cuento.

Con su auxilio explicase el por qué de ciertas cavidades y bóvedas óseas admirablemente dispuestas; la disposición y forma de los huesos y estuches medulares; la inserción y el empleo mecánico de los músculos; las envolventes vasculares, los engrases sinoviales.... No hay posibilidad de penetrar en la óptica fisiológica de Helmholtz sin conocer las matemáticas superiores, y el patólogo y el terapéutico le pagan tributo en tantos aparatos de que disponen, como sfimógrafos, miógrafos, cardiógrafos... estetócospos, laringoscopos, oftalmoscopos.. raquígrafos, espirómetros, toracómetros... etc., etc., que con sus trazados gráficos ó con mil otras indicaciones, les sirven de poderosos
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auxiliares en su afán muy laudable y filantrópico. La sencilla higiene sería un mito sin el concurso de la matemática para resolver interesantísimos problemas de construcciones, calefacción, ventilación, etc.

Las cifras y la geometría aplicada á los geroglíficos han influido mucho en el descubrimiento de rasgos característicos para la historia de algunos pueblos.

Ahí está el poema Mahabharata (1) en que se descubren las diversas civilizaciones que en él han intervenido, por los sistemas decimal y el sexdecimal sin valor relativo de posición, que en él se observan. Ahí también la gran pirámide Cheops (2) que habla al mundo inteligente con su forma, sus dimensiones, su orientación, sus detalles en magnitudes y figuras geométricas, dando mil noticias del saber de sus constructores y de la civilización de su tiempo en el único lenguaje que puede hablar la matemática.

Ahí, en fin, están todas las disposiciones y construcciones arquitectónicas antiguas y modernas, que obedecieron á esa ciencia y son lenguas, que aclaran de mil modos diversos la historia de los pueblos.

La Hacienda, el seguro, la estadística (3) han hecho progresos grandes en manos de hábiles matemáticos como Moivre, Baily, Simpson.

Gossen, Menges, Stanley, Walras, notables profesores de economía política y de distintas nacionalidades, hicieron participar á esta ciencia del influjo matemático.

Fórmulas hay con que se presiente una solución justa para el problema favoroso de la asociación y el trabajo, interviniendo en ellas el cálculo infinitesimal con sus cuestiones de máximos y mínimos.

Mr. Gross con sus fórmulas, que deslindan los derechos sucesivos de los hijos naturales, indica la ingenericia de la matemática en el derecho civil, y es necesario su auxilio en todas las tasaciones, particiones, deslindes, etc.

El sufragio en cuyo fondo, como dice el Sr. Bosch (memoria citada) "le descubre el problema de la soberanía, en que descansa el derecho público," empieza á recibir también sus benéficos esfuvios, gracias al sabio Ministro dinamarqués Mr. André, que inventó el

(1) Poema indio, anterior quizás al Ramayana. Se dice que el autor es Vyāsa á que otros tienen por simple compilador.—Todo el poema versa sobre la guerra entre las familias de dos hermanos: Pandú y Dhitarāṣṭra; el primero tuvo cinco hijos de encarnación divina, el segundo tuvo ciento.

(2) Pizzl Smith—1875—Traducción del inglés por el abate Moigno.

(3) Discurso de recepción del Sr. Bosch y Fustigueras en la Academia de Ciencias (28 de Marzo 1890). De él tomamos este pequeño resumen de aplicaciones al Derecho
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cociente electoral, que podemos representar por \( \frac{\Sigma (\text{votantes})}{\Sigma (\text{candidatos})} \), desarrollado luego con maestría por M. Thomas Hare.

Para que veais como el matemático, sin más que ligeras nociones puede á veces dirimir contiendas de otras ciencias, perdonad que me detenga un momento en un problema curioso de economía política (1), que ha de dar una norma de la luz, que difunde la matemática, en todas las cuestiones en que puede ingerirse por cualquier concepto.

¿Es el libre cambio ó el proteccionismo absoluto el que produce mayor ingreso en las Aduanas?

Los defensores de cada extremo se van ciegos con su sistema, y el matemático, juez imparcial, ni con unos ni con otros. Puede hacer evidente que ambos se equivocan en general, y hasta fijar, si tuviéra datos estadísticos bastantes, á qué distancia de esos extremos está en cada caso el mayor beneficio para el fisco.

Concebid dos ejes coordenados rectangulares. Sobre el de las \( Y \) contemos (en sus unidades propias representadas por una magnitud lineal) la importación total de una mercancía dada; sobre el de las \( X \) tomemos el derecho arancelario que á cada unidad corresponde. Así fijaríamos un punto; pero, si tuviéramos datos suficientes, podríamos construir toda la curva \( f(xy)=0 \) de importaciones y derechos. A pesar de no conocer ésta, tenemos lo bastante para terminar la discusión.

Es evidente que el área del rectángulo formado por una ordenada y una abscisa, es decir, el producto \( xy \), representa, para un derecho dado \( x \), el ingreso total. A medida que bajan los derechos, la importación será mayor, pero no crece, ni puede crecer, de un modo ilimitado hasta infinito, y por tanto, para derecho = cero, habrá un valor límite de importación = a, por ejemplo. De un modo análogo, creciendo los derechos, llegará un momento en que será forzosamente nula la importación, esto es: para \( x = b, y = o \).

Esta curva, cualquiera que sea, cortapues á los dos ejes en los puntos \( (x = o, y = a), (x = b, y = o) \), y por tanto el producto \( xy \), representante del ingreso, es cero para ambos. Necesariamente habrá en su trayecto un punto fácilmente determinable, si se conoce aquéllo, para el cual el producto dicho sea un máximo, y por ello el más conveniente para el fisco. Como se vé, no estará ni con el libre cambio ni con el proteccionismo absoluto. Si \( f(xy) \) fuera una línea recta estaría en su punto medio (2)

(1) Echegaray.—Contestación al discurso citado del Sr. Bosch.
(2) Si la recta \( \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1 \) fuera la \( f(xy) \) de importaciones y derechos,
\[
xy = c = - \frac{a}{b} x^2 + ax; \quad \frac{dx}{ds} = \frac{2ax}{b} + a = 0, \quad \Rightarrow x = \frac{b}{2}.
\]