El Progreso matemático (1891-05-20 00:00:00), página 9

Teorema I. En un plano que contiene dos figuras directamente semejantes \( F_1 \) y \( F_2 \), se construye, sobre el segmento \( A_1A_2 \) (\( O A_1 A_1 A_3 \) es un cuadrángulo de forma invariable cuyo vértice \( O \) es fijo) de la recta que une dos puntos homólogos \( A_1 \) y \( A_3 \) de \( F_1 \) y \( F_2 \), como base, un triángulo \( A_1 A_2 A_3 \) directamente semejante á otro triángulo \( B_1 B_2 B_3 \) dado. Si los puntos \( A_1 \) y \( A_2 \) recorren las figuras \( F_1 \) y \( F_2 \), el tercer vértice \( A_3 \) describe una tercera figura \( F_3 \) directamente semejante á \( F_1 \) y á \( F_2 \). Y las tres figuras admiten, dos á dos, el mismo punto doble \( O \).

De este teorema intuitivo y muy general se desprenden, como casos particulares, los siguientes, en apariencia más complicados:

Teorema II. En el plano de las figuras \( F_1 \) y \( F_2 \) existe una tercera figura \( F_3 \) directamente semejante á \( F_1 \) y \( F_2 \), de manera que el lugar del punto de intersección \( P \) de las tangentes homólogas \( t_1 \) y \( t_2 \) de dos curvas homólogas \( C_1 \) y \( C_2 \) de \( F_1 \) y \( F_2 \) sea la podar de la curva homóloga \( C_3 \) de \( F_3 \), con respecto á un punto determinado, el punto doble \( O \) de \( F_1 \) y \( F_2 \), que es al mismo tiempo el punto común de \( F_1, F_2, F_3 \).

Teorema III. Además, existe en el mismo plano una figura \( F_a \) directamente semejante á \( F_1 \) y \( F_2 \), de manera que la envolvente de la recta \( t_a \) trazada por el punto de intersección \( P \) de \( t_1 \) y \( t_2 \), para la cual el ángulo \( (t_1, t_a) \) es igual á un ángulo dado \( \alpha \), sea la curva homóloga \( C_a \) de \( F_a \). Si \( \alpha \) varía, las figuras \( F_a \) forman un haz tangencial (lugar de los puntos correspondientes \( P_a = \) un círculo envolvente de las rectas correspondientes \( d_a = \) un punto) que comprende \( F_1 \) y \( F_2 \) y en el cual el punto doble \( O \) de \( F_1 \) y \( F_2 \) es el punto doble común.

Teorema IV. En el plano de las dos figuras \( F_1 \) y \( F_2 \), donde se han fijado dos puntos homólogos cualesquiera \( A_1 \) y \( A_4 \), existe una figura \( F_m \) directamente semejante á \( F_1 \) y \( F_2 \) y un punto \( A_m \), de manera que el lugar del punto \( P_m \) que divide en una razón dada \( m \) al segmento \( P_1P_2 \) de la recta que une la proyección \( P_1 \) de \( A_1 \) sobre la tangente \( t_1 \) de la curva \( C_1 \) de \( F_1 \) á la proyección \( P_3 \) de \( A_2 \) sobre la recta homóloga \( t_2 \) de \( F_2 \) sea la podar de la curva homóloga \( C_m \) de \( F_m \) con relación á \( A_m \). El punto \( A_m \) se halla en \( A_1A_3 \) y divide este segmento en la relación dada \( m \). Si \( m \) varía, las figuras \( F_m \) forman un haz puntual (lugar de los puntos correspondientes \( P_m = \) una recta, envolvente de las rectas correspondientes \( d_m = \) una parábola) que comprende á \( F_1 \) y \( F_2 \), y en el que el punto doble \( O \) de \( F_1 \) y \( F_2 \) es el punto doble común.

Si se reemplazan, en este último enunciado, los dos puntos homólogos \( A_1 \) y \( A_2 \), que en él se consideran, por el punto \( Q_1 \) de \( F_1 \) y el