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binatorios del cálculo algébrico, tiene que establecer nuevos conceptos, que definir nuevas entidades, como son los números negativos, irracionales e imaginarios. Los primeros son múltiplos positivos ó negativos de 1; los segundos, que poseen una existencia actual no siendo susceptibles de representarse exactamente por ninguna expresión aritmética, y en cuanto á los últimos, para que subsista la generalidad de las operaciones algébricas, es preciso introducir una unidad ideal i definida por la expresión \( i^2 = -1 \), y estas nuevas cantidades, añade, como las demás deben sujetarse á todas las leyes ordinarias del Álgebra, ya combinadas entre sí ó con cantidades reales.

En la teoría de las expresiones irracionales es de gran importancia la determinación de los factores que las hacen racionales, y éstos (rationalising factors) son objeto de un capítulo á ellos exclusivamente destinado.

En el caso de la expresión binomia

\[
a p^{\alpha/\gamma} \pm b q^{\beta/\delta},
\]

si m es el mínimo común múltipo de \( \gamma \) y \( \delta \), el factor que la hace racional es

\[
x^{m-1} + x^{m-2} y + ... + xy^{m-1} + y^m \quad (\text{siendo } x = a p^{\frac{\alpha}{\gamma}}, \quad y = b q^{\frac{\beta}{\delta}})
\]

Si la expresión irracional es \( 1 = \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r} \), el factor que la hace racional es

\[
\left| p + q - r - 2 \sqrt{pq} \right| (\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r})
\]

En cuanto á la forma de las funciones enteras, puede ser expresada por la suma de un término racional y múltiplos racionales de \( \sqrt{p} \), \( \sqrt{q} \), \( \sqrt{r} \), y por sus productos \( \sqrt{(pq)} \), \( \sqrt{(pr)} \), \( \sqrt{(pqr)} \), etc.

En general: Toda función entera de \( p^{1/n} \) puede reducirse á la forma

\[
A_0 + A_1 p^{1/n} + A_2 p^{2/n} + ... + A_{n-1} p^{(n-1)/n},
\]

en la que \( A_0, A_1, ..., A_{n-1} \) son racionales.
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Toda función entera de \( p^{1/n} \), puede reducirse á la forma

\[
A_0 + A_1 p^{1/n} + A_2 p^{2/n} + \ldots + A_{n-1} p^{(n-1)/n},
\]

en la que \( A_0, A_1, \ldots A_{n-1} \) son racionales respecto á \( p^{1/n} \).

Toda función entera de \( p^{1/l}, q^{1/m}, r^{1/n} \), puede expresarse como una función lineal de

\( p^{1/l}, p^{2/l}, \ldots, p^{(l-1)/l}; q^{1/m}, q^{2/m}, \ldots, q^{(m-1)/m}; r^{1/n}, r^{2/n}, \ldots, r^{(n-1)/n} \), etc.

y de los productos de estas cantidades, siendo racionales los coeficientes respecto de \( p^{1/l}, q^{1/m}, r^{1/n} \), etc.

Además, siempre puede obtenerse un factor que haga racional la expresión

\[
A_0 + A_1 p^{1/n} + A_2 p^{2/n} + \ldots + A_{n-1} p^{(n-1)/n},
\]

Así, para el caso \( n = 3 \), ó \( P = A_0 + A_1 p^{1/3} + A_2 p^{2/3} \), se tiene

\[
p^{1/3} P = pA_2 + A_0 p^{1/3} + A_1 p^{2/3} \quad \text{y} \quad p^{2/3} P = pA_1 + pA_2 p^{1/3} + A_0 p^{2/3},
\]

sustituyendo en los segundos miembros x por \( p^{1/3} \), y por \( p^{2/3} \), eliminando después x é y en las tres ecuaciones obtenidas, y después sacando P como factor de los términos que multiplica, el cual es el factor buscado,

\[
(A_1^2 - pA_1 A_2) + (pA_2^2 - A_0 A_1) p^{1/3} + (A_1^2 - A_0 A_2) p^{2/3},
\]

y la expresión hecha racional.

\[
A_0^3 + pA_1^3 + p^2 A_2^3 - 3pA_0 A_1 A_2.
\]

En cuanto á los números complejos cuya representación gráfica,
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según el procedimiento de Árgand se emplea en la obra de Mr. Chrystal, los problemas fundamentales son los concernientes á los números complejos, á sus módulos, y sobre todo el que establece que los resultados de las operaciones algébricas efectuadas con los números complejos, son números también de esta forma.

(Se concluirá).

ESSAI SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE ET DE L’EQUERRE
par M. G. de Longchamps

En el número anterior de este periódico hicimos una breve indicación sobre la importantísima obra que acaba de publicar el profesor M. de Longchamps, y prometimos dar cuenta mas detallada de este nuevo libro, útil bajo muchos conceptos, lo que vamos á hacer, de manera que siquiera queden señalados algunos de los puntos capitales, y los más indispensables para dar á conocer el carácter y alcance de esta Geometría práctica.

El ensayo sobre la geometría de la regla y de la escuadra tiene ese carácter eminentemente gráfico de la geometría pura que fijaron los geómetras griegos, y que ha ido progresando en los tiempos modernos, alguna vez eclipsada por las brillantes aplicaciones del análisis á esta rama de la matemática.

Hoy, que merced á la adivinación de los porismas de Euclides, llevada á feliz término por Chasles, ha llamado preferentemente la atención de los geómetras esta rama de la geometría, sirviendo las obras de problemas, así como las revistas ó periódicos matemáticos de ocasión favorable para hacer excursiones fructuosas por tales dominios de la ciencia, es de gran oportunidad y provecho para el aficionado á estos estudios, el publicar una obra que dé á conocer las aplicaciones útiles e inmediatas de aquellas teorías. Y esto es lo que se advierte en la obra de M. de Longchamps.

El teorema de Gergonne acerca de la relación de segmentos formados en los lados de un triángulo por tres rectas concurrentes en un punto y que parten de los tres vértices; el teorema de Menelaus, de constante aplicación, como se sabe, en la Geometría llamada moderna ó proyectiva, caracterizada por la relación anarmónica, que establece
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Fig 1.
Fig 2.
Fig 3.
Fig 4.
Fig 5.
Fig 6.
Fig 7.
Fig 8.
Fig 9.
Fig 10.
Fig 11.
Fig 12.
Fig 13.
Fig 14.
Fig 15.
Fig 16.

© Biblioteca Nacional de España
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también una relación entre los segmentos que forma una transversal en los lados de un triángulo; el teorema de Desargues, acerca de los dos triángulos cuyos lados correspondientes se encuentran en línea recta, y en el cual Poncelet fundó su teoría de las figuras homológicas; en fin, el lema XII de la colección de Pappus, son las proposiciones fundamentales en la obra de M. de Longchamps, á las que agrega su teoría de los puntos y de los triángulos reciprocos.

Veamos cómo estas diversas proposiciones se enlazan para constituir los fundamentos de la Geometría de la regla y de la escuadra.

Por el teorema de Juan de Ceva se sabe que: si las rectas AA', BB', CC' (lám. II, fig. 3) concurren en un punto O', se tiene la relación de segmentos

\[
\frac{A'B}{A'C} \cdot \frac{B'C}{B'A} \cdot \frac{C'A}{C'B} = -1.
\]

Si ahora consideramos en el triángulo ABC el punto A'' simétrico del punto A con relación al punto medio de BC. La recta AA'' y las análogas BB'', CC'' concurrirán, según el teorema recíproco del citado, en un punto O''. Estos dos puntos asociados entre sí de manera que por el uno resulta determinado el otro son los puntos llamados reciprocos por M. Longchamps. (1)

Si ahora se considera una transversal Δ' (lám. II, fig. .i) en el plano de un triángulo ABC que corta á los lados de éste en los puntos A', B', C', determinando sus puntos simétricos A'', B'', C'' con respecto á los lados BC, CA, AB, por satisfacer la relación

\[
\frac{A''B}{A''C} \cdot \frac{B''C}{B''A} \cdot \frac{C''A}{C''B} = -1,
\]

determinarán la recta Δ'' reciproca de la Δ'.

Además, las coordenadas (α', β', γ'), (x'', β'', γ'') de dos puntos (2) reciprocos O' y O'' (lám. II, fig. 3) satisfacen á la relación

\[
\alpha'\alpha'' = \beta'\beta'' = \gamma'\gamma'',
\]

(1) Annales scientifiques de l'École Normal supérieure, t. III; Mémoire sur une nouvelle méthode de transformation en géométrie.
(2) Entiéndese aquí por coordenadas los números que miden las áreas de los triángulos BO'C, AO'C, AO'B.
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pues en los dos triángulos BO'A, CO'A se verifica

\[
\frac{BO'A}{CO'A} = \frac{\gamma'}{\beta'} = \frac{BM}{CN} = \frac{BA'}{CA'}
\]

y para el punto O",

\[
\frac{BO''A}{CO''A} = \frac{\gamma''}{\beta''} = \frac{BA''}{CA''}
\]

Además, BA''=CA'' y BA''=CA',

por consiguiente \( \frac{\gamma'}{\beta'} = \frac{\beta''}{\gamma''} \) y \( \beta'\beta''=\gamma'\gamma'' \), etc.

En fin, el porisma iv de Euclides (1) y el porisma xxix (2), el primero que, en los tratados de Geometría moderna suele enunciarse, considerándose un triángulo cuyos tres lados giran alrededor de tres polos en línea recta, mientras dos de sus vértices recorren dos rectas; el segundo que es uno de los casos del exágono inscrito dos rectas, respecto al cual Pappus dió los enunciados de los lemas xii, xiii, xv y xvii (3).

Todas estas proposiciones sirven de fundamento á la obra de M. Longchamps, de la cual vamos ahora á citar algunos de los problemas que en ella se resuelven empleando la regla y la escuadra solamente.

Para trazar por un punto A (lám. II, fig. 5) una paralela á una recta \( \Delta \), basta colocar la regla plana en las posiciones sucesivas 1, 2, 3, 4.

El trazado de las rectas BAC y CD determina la paralela buscada AD.

Para dividir un segmento AB en dos partes iguales, con la regla y la escuadra (4) se trazan paralelas que forman un paralelogramo, en el

(1) Chasles.—Les trois livres de porismes, pág. 102.
(2) Idem, pág. 180.
(3) De estas cuestiones nos ocupamos en nuestra Geometría y en nuestros Estudios críticos sobre la generación de los conceptos matemáticos, cuaderno 2.*
(4) Servois empleaba la fausse équerre, figura formada por dos rectas que forman un ángulo fijo diferente del ángulo recto.
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que AB es una diagonal (lám. II, fig. 6). La otra diagonal CD divide á AB en dos partes iguales.

Para transportar un segmento AB á partir desde un punto O de la recta en que se halla (lám. II, fig. 7), basta trazar una recta \( \Delta' \) paralela á \( \Delta \) formando los paralelogramos ABCO, CDOM, resultando OM=AB.

El punto simétrico de un punto A con relación á otro punto B, se obtendrá (lám. II, fig. 8) construyendo los paralelogramos ABDC y CDBA'.

La bisectriz de dos direcciones dadas se obtiene colocando la regla plana en dos posiciones (lám. II, fig. 9), siendo OM dicha bisectriz.

Para unir un punto P (lám. II, fig. 10) al punto de intersección de dos rectas \( \Delta \) y \( \Delta' \), el trazado que se indica en la figura indica suficientemente el procedimiento, fundado como se ve en las proposiciones de Pappus ó en las modernas teorías del polo y la polar, ó de la relación armónica en el cuadrilátero completo, etc.

Continuando este procedimiento se halla igualmente, con el solo empleo de la regla, el conjugado armónico \( \omega \) de otro punto \( \omega' \) con relación á un segmento OO', y el sexto punto de una involución en la que están dados los otros cinco, haciendo aplicación del cuadrilátero completo y el teorema de Desargues.

Para dividir una recta en partes iguales, expone M. Longchamps las soluciones debidas á Servois y á MM. Cremona y Bachr, para las cuales observa se necesitan la regla y la escuadra ó la regla plana. De éstas indicaremos algo de la del Sr. Cremona.

Este notable geómetra supone conocido el punto C simétrico del A con respecto al B (lám. II, fig. 11), como la de Servois exige la existencia de una paralela á la recta que debe ser dividida.

Esto supuesto, uniendo un punto cualquiera M, á los puntos A, B y C, la construcción indicada en la figura hace ver que se tiene \( O_1O_4 = O_2O_3 \).

Las rectas CO_4 y BO_3 determinan otro punto M_; éste permite obtener otro O_4, y así sucesivamente.

Respecto al trazado de las cónicas, solo indicaremos el relativo á la elipse que se funda en el siguiente teorema:

•Sean AA' un eje de una elipse \( \Gamma \); tómese en \( \Gamma \) un punto M, y únase este punto á los extremos A, A' del eje así considerado: la perpendicular á AM, en el punto A encuentra á A'M en \( \mu \); el lugar de \( \mu \) es una recta \( \Delta \) perpendicular á AA'.
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Para demostrar esta proposición obtenida por M. Longchamps en un estudio de geometría comparada, á que llamó transformación recíproca (1) considera un punto M en una elipse cuyos ejes tienen por longitud respectiva \( a \) y \( b \), obteniendo que

\[
\frac{MII^2}{AIH.ATH} = \frac{b^2}{a^2},
\]

y además por los triángulos semejantes de la figura:

\[
\frac{MII}{A'II} = \frac{\mu D}{A'D} \quad \text{y} \quad \frac{MII}{AIH} = \frac{AD}{\mu D};
\]

por consiguiente

\[
\frac{MII^2}{AIH.ATH} = \frac{AD}{A'D}; \quad \text{luego} \quad \frac{AD}{A'D} = \frac{b^2}{a^2}.
\]

De esto resulta que el lugar descrito por el punto \( \mu \) es una recta \( \Delta \) perpendicular á \( A'A \) en un punto D que divide exteriormente el segmento AA' en la relación de los cuadrados de los ejes de la elipse propuesta.

Para construir, pues, la elipse, punto por punto, con ayuda de la regla y de la escuadra, cuando se dan tres vértices A, A', B (lám. II, figura 13), aplíquese al punto B la construcción efectuada en el punto M con las cuerdas AM, A'M; se obtendrá un punto C (siendo recto el ángulo BAC) que pertenece á \( \Delta \). Esta recta se obtiene, pues, bajando desde C una perpendicular á AA'.

En fin, si se toma arbitrariamente un punto \( \mu \) sobre \( \Delta \), con la regla y la escuadra, tendremos el punto correspondiente M, y podremos en estas condiciones construir la elipse, punto por punto.

Después de resolver multitud de problemas relativos á la elipse, á la parábola y la hiperbola, prescindiendo de los métodos de Pascal y Brianchón, obtiene M. Longchamps el trazado de las cónicas aplicando las propiedades de los puntos y transversales recíprocos que arriba hemos citado.

Así, cuando un punto O se mueve en una recta \( \Delta \), el punto recíproco \( O' \) se mueve en una cónica \( \Gamma \) circunscrita al triángulo, pues la ecuación de \( \Delta \) en las coordenadas adoptadas (trilateras ó triangulares) es

\[
mx + n\beta + p\gamma = 0,
\]

(1) Journal de Mathématiques spéciales, 1882.
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y siendo \( (\alpha, \beta, \gamma) \) las coordenadas de O y \( (\alpha', \beta', \gamma') \) las de O', se tiene

\[
\alpha \alpha' = \beta \beta' = \gamma \gamma'.
\]

Por consiguiente, se obtendrá el lugar descrito por un punto O', recíproco del O, cambiando \( \alpha, \beta, \gamma \) por

\[
\frac{1}{\alpha}, \quad \frac{1}{\beta}, \quad \frac{1}{\gamma}
\]

en la ecuación del lugar, y á la recta \( \Delta \) corresponde la curva cuya ecuación es

\[
\frac{m}{\alpha} + \frac{n}{\beta} + \frac{p}{\gamma} = 0,
\]

cónica circunscrita al triángulo de referencia.

Además, encontrando á AB en un punto C'; la tangente en C á la cónica \( \Gamma \), los puntos A', B', C' se hallan, según expresa la ecuación deducida, en la recta cuya ecuación es

\[
\frac{\alpha}{m} + \frac{\beta}{n} + \frac{\gamma}{p} = 0,
\]

y para construir una cónica, conociendo cinco puntos A, B, C, D, E, bastará tomar los puntos recíprocos D', E' de D, E, con relación al triángulo ABC; y como á todo punto M', tomado en D'E' corresponde un punto recíproco M perteneciente á la cónica buscada, ésta puede construirse punto por punto.

Tomando la transversal recíproca de D'E' que corta al triángulo ABC en los puntos \( \alpha, \beta, \gamma \), se obtendrán las tangentes en los puntos A, B, C.

Nada diremos después de esta escursión por la obra de M. Longchamps acerca de las nuevas construcciones que ofrece á los lectores de su obra, aplicadas al trazado de la cisoide de Diocles, á la curva duplicatriz, á la duplicación del cubo por medio de arcos de parábolas á la estrofoide, á la trisectriz de Mac-Laurin, á las cúbicas circulares unicursales, al folium de Descartes, la serpentina, el tridente de New-
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tón, la curva de Agnesi, las cubicas diversas, la concóidal circular y las diferentes especies de cuárticas, que son asunto desenvuelto en la primera parte de su obra, como en la segunda trata de la aplicación á los problemas de la agrimensura y al arte de la guerra. Los numerosos é importantes detalles desenvueltos en obra tan original como útil, no pueden ser conocidos por una mera reseña, sino por un estudio directo en el libro de M. Longchamps.

Z. G. DE GALDEANO.

JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS E ASTRONOMICAS

publicado pelo Dr. Francisco Gomes Teixeira

Uno de los hechos que en la actualidad se presentan como testimonio de cultura y progreso de las diversas naciones, como prueba inconclusa de su actividad científica, es la existencia de publicaciones consagradas á la Matematica, ya en sus desarrollos puramente teóricos, ya en la infinitud de sus aplicaciones; y esta prueba, y este indiscutible testimonio de los hechos no podía faltar á nuestros ilustrados vecinos los portugueses, que se hallan en ese concierto universal de la ciencia, especie de lazo intelectual que hoy une á los pueblos de más diverso origen, acaso más estrechamente que los vínculos creados por la fuerza, también atractiva de los intereses materiales.

No hay más que dirigir la vista por los diversos tomos publicados desde el año 1879 bajo la ilustrada dirección del antiguo profesor de la Universidad de Coimbra, hoy director de la Academia politécnica de Oporto, para dejar confirmado nuestro aserto.

La inspección de los varios trabajos insertados en esta importante revista, hacen ver cómo concurren á la obra de la ilustración nacional, desde el alumno aventajado, cuya actividad y amor al estudio hace fructificar la enseñanza de sus profesores por medio de originales desarrollos debidos á su individual iniciativa, hasta los profesores, y los individuos de la Real Academia de Ciencias de Lisboa: y el resultado de esta acción común se traduce en importantes investigaciones, don-
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de también colaboran nobles matemáticos extranjeros, por efecto de esta universalidad de la ciencia, que hoy no reconoce más patria que allí donde se piensa y donde se rinde culto á la verdad.

La tesitura en que se han colocado los colaboradores de esta importante publicación, á pesar de ofrecer los más diversos matices, desde el dominio de lo elemental hasta las lucubraciones de orden superior, tienen gran importancia para quien desee, después de poseer los conocimientos generales de las teorías de la Matemática moderna, amplificar éstos con nuevas aplicaciones y desarrollos, que muchas veces en los diversos trabajos ofrecen cierta ilación, en medio de su variedad, que permite llegar á poseer su admirable conjunto y constituir una obra de ilustración nacional.

Entre los geómetras podremos citar los notables matemáticos señores Schiappa Monteiro, Marrecas Ferreira, Craveiro Lopes, tan hábiles en el arte de proponer problemas que excitan la actividad y el interés del público matemático, como en dar las más variadas y elegantes soluciones á los propuestos en este palenque sin fin de las inteligencias.

Difícil en extremo sería dar una idea cabal de lo que exige mucho tiempo y mucho estudio, entre las variadísimas cuestiones resueltas en los tomos de esta revista; sin embargo, citaremos algunas cuestiones, tales son: el determinar los lugares geométricos de los centros de los círculos que cortan á otros dos círculos dados según ángulos dados, que da origen á una interesante discusión desarrollada en varios artículos por el geómetra Sr. La Ponte Horta.

El problema: Dadas tres circunferencias de centros A, B, C de las que las dos primeras tienen una cuerda común IJ, trazar por I una transversal que las encuentre en los puntos X, Y, Z, de manera que XZ y XY se hallen en una razón dada, del cual da una elegante solución el Sr. Craveiro Lopes, fundándose en que: dadas dos circunferencias que se cortan, si se trazan rectas por uno de sus puntos de intersección, el lugar geométrico de los puntos que dividen en una razón dada los segmentos de éstas determinados por las circunferencias, es otra circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las primeras y cuyo centro divide en la misma razón la distancia de los centros dados, problema del que dió una solución el célebre geómetra italiano G. Bellavitis por su método de las equipolencias, lo cual, según éste mismo expresa en una carta dirigida al Sr. Gomes Teixeira, no disminuye el mérito del Sr. Cra-
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veiro Lopes (1). También el Sr. Schiappa Monteiro insiste en este problema, del cual da una solución empleando el método de las equipolencias, otra sintética elemental, así como desenvuelve notables investigaciones sintéticas y analíticas respecto al círculo variable sujeto á cortar continuamente á dos círculos dados, según ángulos igualmente dados. En el segundo caso, de los círculos no concéntricos, demuestra que: Una sección cónica cualquiera \( \Sigma \) puede considerarse como la curva recorrida por el centro o de un círculo (x) variable en magnitud, sujeto á cortar constantemente según ángulos dados e, i, dos círculos igualmente dados (E), (I); ó á pasar por un punto dado \( C_0 \), y á cortar, según un ángulo dado e un círculo igualmente dado (E).

Además de establecerse en estas interesantes investigaciones que una sección cónica cualquiera (\( \Sigma \)) puede considerarse como la curva recorrida por el punto de intersección o de dos cuerdas ba', y b'b''', pertenecientes respectivamente á dos círculos dados (E), (I), á los cuales cortan constantemente según ángulos dados e', i', de manera que el punto de intersección considerado equidisté de los extremos b y b' de estas cuerdas, se resuelve el caso en que dos tangentes de dos círculos (E') (I') se muevan de manera que la suma algebraica de las distancias \( \tau \) y \( \tau' \) de los puntos de contacto á los de intersección o de estas tangentes sea constante, que engendran dos cónicas, lo que le conduce á consideraciones sobre los círculos envolventes, que llama círculos focales ó focos tangenciales y sus tangentes \( \tau \) y \( \tau' \) ó vectores tangenciales, ó también, cuando aquéllos se reducen á puntos, los puntos focales ó focos radiantes y los vectores correspondientes ó vectores giratorios ó radiantes, empleando un tecnicismo especial en sus investigaciones, como el de cónicas monocicloconfocales y monostigmoconfocales, ó que tienen el mismo círculo focal, etc., investigaciones basadas en los resultados más importantes acerca de estas teorías, obtenidos por los geómetras Poncelet, Clebsch, Hamilton, Grassmann, etc.; y entre otros trabajos del Sr. Schiappa Monteiro, publicados en el Jornal de ciencias mathematicas, citaremos por último su original manera de proceder al dividir en partes iguales la distancia entre dos puntos de la circunferencia, empleando el compás ordinario, método que, como se sabe, sirvió á Mascheroni para escribir su célebre obra La geometría del compasso.

(1) La solución dada por Bellavitis se encuentra en la Exposition de la méthode des équipollences, traducida al francés por M. C. A. Laisant, num. 88.