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por medio de las ecuaciones anteriores,

\[
\frac{\gamma_2}{\lambda x_1} = \begin{vmatrix}
\gamma_1 & \gamma_1 \\
\lambda x_1 & \lambda x_3 \\
\gamma_3 & \gamma_3 \\
\lambda x_1 & \lambda x_3
\end{vmatrix},
\quad
\frac{\gamma_2}{\lambda x_2} = \begin{vmatrix}
\gamma_1 & \gamma_1 \\
\gamma_1 & \lambda x_3 \\
\gamma_3 & \gamma_3 \\
\lambda x_1 & \lambda x_3
\end{vmatrix}.
\]

Como los segundos miembros de estas igualdades son nulos en las proximidades del punto \((a_1, a_2, a_3)\), la función \(q\) no contiene ni \(x_1\) ni \(x_2\), y tenemos

\[
y_1 = q(y_3).
\]

La segunda de las ecuaciones (3) da de igual manera

\[
y_2 = \psi(y_3).
\]

El teorema queda, pues, demostrado.

IMPORTANCIA DE LAS FORMAS CONGÉNERES EN LA MATEMÁTICA
POR
D. LAURO CLARIANA Y RICART

(continuación)

"Seámos permitido apuntar algunas ideas."
Con dificultad podemos estudiar directamente una forma matemática, sea en sentido analítico ó geométrico, si no asociamos á la idea primitiva otra congénere, la cual si bien nos favorece por un lado, en muchos casos dicha asociación no es bastante estrecha para que dejemos de quedar perjudicados en la consecución del fin.
De la ligereza de ésto procedimiento responde la voz de algun matemático autorizado, cuando manifiesta que no siempre se estudian las figuras referidas al sistema de coordenadas que pudiéramos llamar naturales. Estos descuidos son más notables cuando se eleva la ciencia á la altura del cálculo infinitesimal.
En la diferencial de un área correspondiente á una figura geométrica cualquiera, se prescinde generalmente del modo de ser de dicha figura, asociándola á ejes cartesianos ó polares, como si éstos en
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todos los casos fuesen los seres mas afines á la forma primitiva considerada.

Nos concretaremos á simples ejemplos para dar á comprender la fuerza de nuestros argumentos.

Al considerar el círculo relacionado á ejes rectangulares, hay necesidad de desarrollar la integral

\[
\int \sqrt{r^2 - x^2} \, dx
\]

á fin de determinar su área; esta integral sin duda no debe considerarse como la más natural, porque la faja formada por dos paralelas al eje y de las indefinidamente próximas, y que expresan la diferencial del círculo, es una forma que no es congénere con la primitiva. Si tomamos luego coordenadas polares en el supuesto de que el centro del círculo sea el polo, entonces dicho círculo se halla expresado por la integral

\[
\frac{1}{2} \int r^2 d\theta
\]

correspondiente al límite de una suma de sectores, siendo estos elementos ya más afines á la figura de que se trata. Cabe, no obstante, afirmar, que aun existe otra figura que lo es más; ésto es, el círculo concéntrico al primero y cuya distancia al mismo es una cantidad indefinidamente pequeña. En éste caso la diferencial debe expresarse por \( 2 \pi r \cdot dr \), y la integral resulta ser

\[
\int_a^r 2 \pi r \cdot dr = \pi r^2
\]

Este cálculo es más sencillo y natural por haber asociado á la primera figura la más congénere.

Dichas consideraciones facilitan el paso á la Geometría del espacio, pues tomando la esfera, por razones análogas á las que preceden, podremos sentar como principio que la forma natural ó congénere para expresar la diferencial de su volumen será el volumen comprendido entre dos, esferas concéntricas indefinidamente próximas, cuya expresión es \( 4 \pi r^2 \cdot dr \); de suerte que integrando entre los límites \( o \) y \( r \), nos dará el volumen de la esfera; en efecto

\[
\int_0^r 4 \pi r^2 \cdot dr = \frac{4 \pi r^3}{3}
\]

Ahora bien, cuando se pierde la curvatura regular y uniforme que caracteriza á la circunferencia y á la esfera, se aumenta la dificultad, empero facilmente se concibe por lo que precede, que la forma con-
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género á la dada debe ser homotética á ésta, tanto si la figura primitiva es poligonal como curvilínea, pues para este último caso basta considerar el límite de una figura poligonal.

Concretándonos pues á la figura poligonal, debemos recordar que la proyección perspectiva puede responder de la teoría de homotecia, comprendiendo dicha proyección como caso particular el caso de ser los rayos paralelos, base de la igualdad de figuras. Estas dos proyecciones son suficientes para formar la base segura y única de toda la geometría, y por ende el zócalo de las cuestiones más árduas del cálculo infinitesimal.

En suma, las consideraciones anteriores, nos permiten considerar tan solo un elemento rectilíneo de polígono referido á su centro de homotecia, según que dicho punto sea propio ó impropio, resultando un triángulo ó un rectángulo, si limitamos, en este segundo caso, la faja en la forma más conveniente, cuando el vértice del primer triángulo se aleja indefinidamente de la base. De esta suerte las figuras congéneres á las primeras deben ser fajitas paralelas á bases respectivas del triángulo ó rectángulo, y en el supuesto de expresar sus diferenciales.

La forma rectangular no es indispensable en la teoría de figuras congéneres, pues bastará considerar el triángulo para la determinación de un área cualquiera. No obstante la tenemos en cuenta, como tránsito para la forma triangular, pues mientras en el rectángulo deben suponerse variables los dos constitutivos del área diferencial, en el triángulo deben imponerse variables los dos constitutivos del área diferencial.

Las diferenciales de áreas, en los dos casos supuestos, estarán expresadas respectivamente por:

\[
\frac{b + b'}{3} \cdot da, \quad b_1 da_1;
\]

llamando \( b \) y \( b' \) las dos bases de la fajita correspondiente al triángulo, y \( a \) su altura, \( b_1 \) y \( a_1 \) la base y altura del rectángulo. La primera diferencial puede expresarse por

\[
\frac{b + b - db}{2} da = b da - \frac{db \cdot da}{2}.
\]

Así pues, el área total del triángulo será:

\[
b \int_{0}^{a} da - \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} \frac{db \cdot da}{2} = ba - \frac{ba}{2} = \frac{ba}{2}.
\]
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En cuanto á la segunda diferencial; \( b_1 d a_1 \), nos dá:

\[
\int_{0}^{a} b_1 d a_1 = b_1 a_1;
\]

área del rectángulo.

Estas consideraciones son suficientes para llevarlas al área de un polígono cualquiera, empero si se trata de una figura regular, entonces puede tomarse como centro de homotecia el mismo centro de figura, apareciendo mejor en este caso la analogía con las figuras congéneres del círculo, pudiendo continuar aún dicha semejanza para los poliedros regulares.

(Se concluirá)

LOS PROGRESOS DE LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO EN 1890
POR M. E. VIGARIÉ

(Continuación)

En fin, M. Catalán resuelve el problema siguiente:
Las rectas AM, BM, CM encuentran en U, V, W á los lados BC, CA, AB del triángulo ABC. Determinar: 1.º las longitudes x, y, z de las rectas AU, BV, CW; 2.º las distancias AM = u, BM = v, CM = w.

M. Catalán, después de haber hecho BU = a', CU = a'', ... obtiene

\[
x^3 = \frac{c^2 a'' + b^2 a' - aa'a''}{a},
\]

con expresiones análogas para \( y^3 \) y \( z^3 \); además

\[
\frac{u}{\operatorname{sen} \beta'} = \frac{v}{\operatorname{sen} x'} = \frac{w}{\operatorname{sen} (\alpha + \beta')},
\]
\[
v = \frac{ab'x}{a'b' + a'b}, \quad v = \frac{bc'y}{bc' + b'c}, \quad w = \frac{ca'z}{ca' + c'a'},
\]

designando \( x', x'', \beta', \beta'', \gamma', \gamma'' \) respectivamente las longitudes AW, AV, BU, BW, CV, CU.

Debemos también consignar otras Memorias, debidas á M. A. Müller, é insertas en los Archivos de Grunert-Hoppe (1890):
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El Progreso matemático
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

DIRECTOR: D. ZOEL G. DE GALDEANO

EXPOSITION DE LA THÉORIE DES INTÉGRATEURS
PAR M. G. DE LONGCHAMPS
PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES AU LYCÉE SAINT LOUIS, A PARIS

(Conclusion)

4. PREMIER CAS. L'aire de \( f \) est complètement extérieure au cercle polaire (lám. IV, fig. 3.a).

Si l'on suit par la pensée, les variations, tantôt positives, tantôt négatives de \( \varphi \), on voit que la somme algébrique de ces variations est égal à l'angle que font les positions initiale et finale de la tige AS. Si la courbe \( f \) est fermée, si, de plus, elle est complètement extérieure au cercle polaire, il est clair qu'en revenant au point de départ la somme de ces variations est égale à zéro. Le style ayant parcouru la courbe \( f \), la somme des aires des quadrilatères curvilignes telles que AA'SS', somme algébrique bien entendu, représente en définitive l'aire balayée par la tige AS, quand le style parcourt l'arc FUGI, diminuée de l'aire balayée par cette même tige quand le style décrit l'arc UVF.

En représentant par \( x \) et \( b \), sur la figure, les positions extrêmes de la tige, l'aire obtenue par le mouvement continu de cette tige est donc égale à la différence des aires

DFUGED et DFVGED;

c'est donc l'aire \( \Sigma \) cherchée, celle de la courbe \( f \).

D'après (1) la somme des termes tels que \( \frac{1}{2} r^2 q \) est égale à zéro, puisque la somme des valeurs de \( \varphi \) est nulle; en désignant par \( Z \) la somme des chemins tels que NH, nous avons

\[
\Sigma = r \cdot Z.
\]
(A)
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punto R_2 de F_2, que no se corresponden, siendo Q_2 el punto homólogo del Q_1 de F_1 en F_2 y R_1 el homólogo del R_2 de F_2 en F_1 se obtiene:

Teorema V. En el plano de las dos figuras directamente semejantes F_1 y F_2 y de los puntos Q_1 y R_2, existe todavía una figura F_m directamente semejante á F_1 y F_2 en un punto S_m, de manera que el lugar del punto P_m que divide en la razón dada m el segmento P_1 P_2 de la recta que une la proyección P_1 de Q_1 sobre la tangente t_1 de la curva C_1 de F_1 á la proyección P_2 de R_2 sobre la recta homóloga t_2 de F_2 sea la podar de la curva homóloga C_m de F_m con relación á S_m. Si m varía, el punto S_m describe una cónica circular y unicursal. Y los puntos F_1 y F_2, homólogos á los puntos S_m de las figuras F_m, recorren las circunferencias de círculo descritas sobre Q_1 R_1 y Q_2 R_2 como cuerdas y capaces del ángulo de las figuras F_1 y F_2, formado por Q_1 R_1 y Q_2 R_2.

M. Shoute termina su comunicación por el enunciado de dos problemas que se resuelven fácilmente por el empleo del último teorema.

Debemos mencionar aquí una Memoria muy extensa (86 páginas) y especialmente importante, debida á M. Neuberg. La abundancia y la diversidad de las materias tratadas, el número considerable de teoremas enunciados en este trabajo no nos permite, con gran sentimiento, hacer de él un análisis suficientemente completo para dar del mismo una idea, siquiera aproximada.

No podemos hacer cosa mejor que recomendar su lectura.

Todos los que conocen á M. Neuberg saben con qué rigor y precisión se hallan escritas sus Memorias, y todo el fruto que puede sacarse de su estudio.

En la primera parte de su obra (Sur les projections et contre projections d'un triangle fixe, et sur le système de trois figures directement semblables. Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie de Belgique, t. XLIV, 1890), M. Neuberg estudia varias series de triángulos (series afijas, ortológicas, axiales, modulares, podares y antipodares) que le permiten dar soluciones elegantes de cuestiones incompletamente resueltas en varias publicaciones matemáticas. Presenta asimismo numerosas proposiciones sobre los puntos tripolarmente asociados, los puntos gemelos, los círculos de Schoute, etc. Estos diversos estudios geométricos se hallan seguidos por desarrollos analíticos. En la segunda parte (pp. 40-84), que es en cierto modo una aplicación de las ideas generales contenidas en la primera, M. Neuberg estudia y completa la teoría de las figuras directamente semejantes. Termina aplicando esta teoría á varios casos particulares.
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3. Elementos de Brocard. En este año, como en los precedentes, las cuestiones que se refieren á los elementos de Brocard han sido muy estudiadas.

La genialidad de M. Schlomilch (Journal d'Hoffmann, 1889), que llevó al geómetra alemán á declararse contra las denominaciones de punto y ángulo de Brocard, está aún presente en el ánimo de todos, y nuestros lectores recuerdan también la oportuna contestación de M. Morel (J. E., nov. 1889). M. Mansión ha resumido (Crelle ou Brocard, Math. 1890, pp. 28-30) los dos artículos de que acabamos de ocuparnos. Su nota termina así:

«No debe insistirse sobre estas denominaciones empleadas demasiado universalmente para que se las pueda cambiar útilmente. Antes más bien sería preferible no hacerlo. Crelle, en su larga carrera, ha olvidado él mismo su memoria de 1816 y abandonado la Geometría. M. Brocard, por el contrario, como M. Lemoine, no ha cesado de trabajar por el progreso de la geometría reciente en los raros ocios que le dejan sus trabajos profesionales. Y es justo que los nombres de ambos permanezcan indisolublemente unidos á la terminología de esta parte de la ciencia, como ha propuesto M. Neuberg.»

Hemos hecho un análisis de la obra que Crelle publicó en 1816 (Sur un ouvrage de Crelle, J. E., 1890, pp. 32-35) y hemos mostrado (Le 176º porisme d'Euclide et ses conséquences, J. E., 1890, pp. 83-86) cómo, del conocimiento del porisma 176º de Euclides, se pueden deducir las propiedades más elementales del círculo, de los puntos y del ángulo de Brocard. Una demostración de este porisma, más sencilla que la de Chasles, ha sido dada por M. A. C. (Sur le 176º porisme d'Euclide, M. 1890, p. 115). M. Lauvenay ha indicado también otra demostración (J. E. 1890, p. 151).

Entre los teoremas, muy numerosos, que se refieren á los elementos de Brocard, debemos indicar el siguiente (Lemoine, loc. cit.)

Si se unen los tres vértices de un triángulo ABC á dos puntos inversos cualesquiera \( \omega_1, \omega_2 \); y por \( \omega_1, \omega_2 \) se trazan las perpendiculares respectivamente

\[
\begin{array}{ll}
á \; \Lambda \omega_1 , \; \Lambda \omega_2 \; \text{cortándose en} \; I_n , \\
á \; B \omega_1 , \; B \omega_2 \; \text{—} \; I_b , \\
á \; C \omega_1 , \; C \omega_2 \; \text{—} \; I_c ;
\end{array}
\]

las rectas \( A I_a , B I_b , C I_c \) se cortan en I sobre la circunferencia circunsrita y la recta de Simpson de I es perpendicular á la recta \( \omega_1 \omega_2 \). Si \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \) son los puntos de Brocard, I es el punto de Turry.
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Esta proposición se nos ha comunicado simultáneamente por MM. Lemoine y Tarry.

En una Nota reciente (Quelques formules relatives aux triangles rectilignes; mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie royale de Belgique, 1890, tome XLIV), M. Catalan ha considerado los puntos y el ángulo de Brocard y ha evaluado algunas distancias. Consideremos el ángulo \( \omega \) y los puntos \( \Omega_1 \Omega_2 \) de Brocard, y sea I el centro del círculo inscrito; se hallarán en esta memoria las fórmulas siguientes:

\[
\Omega \Omega^2 = \frac{R^2}{n^4} (a^4 + b^4 + c^4 - n^4) = R^2 - B \Omega_1 . C \Omega_2 .
\]

\[
\Omega_1 \Omega_2 = \frac{abc}{n^4} \sqrt{a^4 + b^4 + c^4 - n^4} = \Omega \Omega_1 \cdot \frac{4m^2}{n^2}
\]

\[
I \Omega_1^2 = \frac{2Rr}{n^4} |a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a)|
\]

\[
|\Omega_1^2 + I \Omega_2^2| = 8 \frac{Rr^2}{n^4} [(2R-r)p^2 - r(4R+r)^2];
\]

haciendo

\[
m^4 = a^2 + b^2 + c^2, \quad n^4 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2, \quad 2p = a + b + c .
\]

(Se concluirá)

LA EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

(CONTINUACIÓN)

La institución de la Escuela politécnica favoreció el espíritu de propaganda, y por consiguiente era natural que además del célebre Journal de la misma aparecieran otros periódicos científicos, entre los cuales deben citarse la Correspondance sur l'École polytechnique y Les Annales de Mathématiques que en Montpellier fundó el distinguido matemático Gergonne, favoreciendo de una manera notable el desenvolvimiento de la Geometría.

En esta época los descubrimientos se suceden sin interrupción, progresando la ciencia por efecto de la suma de conocimientos aportada á la misma por cada individualidad, entre las que se podrían citar muchas de gran valía en esta época, excepcional por lo pródiga en talentos matemáticos, llegando en verdad á ser imposible muchas
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veces deslindar el campo, hallar el verdadero inventor de tal ó cual idea en cuya manifestación han intervenido varios, por efecto de haberlos impulsado á todos su actividad intelectual, solicitada en muy diversos sentidos y bajo distintas influencias, á explorar el abundante filón de verdades. No es de extrañar, pues, esas polémicas que llenan muchas páginas en las obras de Poncelet, donde se trata de vindicar sus derechos de propiedad en determinadas teorías que fueron objeto predilecto de sus investigaciones, tales son, entre otras, las de la dualidad, polares recíprocas, y homología. Y ciertamente que es cuestión árdua el deslindar esta cuestión, por cuanto las mismas ideas pueden ser patrimonio de muchos, y como dice Gergonne en una de sus réplicas á Poncelet, sería preciso antes de publicar una idea leer cuantos autores han escrito, lo cual es más embarazoso que el buscarlas directamente dejando su curso natural á la inteligencia, cuyo trabajo, lento sin embargo, es preferible al de seguir el intrincado tejido de investigaciones realizadas por todos los exploradores del mundo científico.

Las obras de Poncelet constituyen un conjunto de teorías todas referentes al nuevo desenvolvimiento de la Geometría, y aunque no forman un cuerpo de doctrina donde se hallen encadenadas bajo un plan que las incluya bajo cierta unidad, ofrecen un abundante material á quien desee conocer cuanto de esencial constituye este especial orden de conceptos, no todos nuevos, pues radican muchos de ellos en la época de la civilización alejandrina y en los tiempos de Pascal y Desargues, si bien lo principal es resultado de las investigaciones de los geómetras modernos.

Los resultados que la Geometría debe á las investigaciones de Poncelet se hallan contenidos en sus dos obras Traité des propriétés projectives des figures, cuya publicación data del año 1822, y sus Applications d'analyse et de Géométrie, publicado en 1862. La primera forma la síntesis de sus descubrimientos ó de sus puntos de vista generales respecto á la moderna Geometría, la segunda contiene una serie de trabajos que aparecen como una sucesión de ensayos ó una preparación para analizar definitivamente su obra principal, que es la anterior.

"Un gran número de geómetras distinguidos, como dice Poncelet en su célebre obra, al frente de los que debe colocarse al ilustre Monge, han sentido toda la importancia de los recursos que podía ofrecer la doctrina de las proyecciones en la invención y la demostración de las propiedades de las figuras, Pascal, Lahire, Lambert y más recientemente Carnot en su Essai sur la Théorie des tranver-
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sales, Gergonne, Servois, Ferriot, Durrande, etc. en los Annales de Mathématiques han hecho sucesivamente con más ó menos restricción, consideraciones semejantes para extender el resultado de las primeras concepciones geométricas. En fin, Brianchon ha hecho insertar en el cuaderno Xº del Journal de l'École Polytechnique una Memoria que presenta sobre asunto, reflexiones á la vez nuevas y extensas. Pero todos estos geómetras, no teniendo como objetivo más que la demostración de algunas propiedades particulares de las figuras, no se han ocupado de una manera especial en buscar los diversos principios que la sola doctrina de las propiedades podría dar, la que hace que, para la mayor parte, estas propiedades habrían podido establecerse de una manera más general y más sencilla todavía, como nos podremos convencer en lo sucesivo ".

(Se continuará)

INDICACIONES GENERALES ACERCA DE ALGUNAS OBRAS

COURS DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES.
PREMIERE PARTIE, ALGÈBRE, PAR M. G. DE LONGCHAMPS

El progreso continuado de la Matemática exige más que en ninguna otra ciencia un progreso correlativo de los métodos, según los cuales deban exponerse, tanto las teorías conocidas desde épocas más ó menos remotas, como las que á ellas se van agrupando, merced al sucesivo incremento constantemente obtenido por esta rama del saber.

Además de las Universidades, donde enseñándose ó debiéndose enseñar la ciencia por la ciencia, atendiendo principal y casi exclusivamente al rigor dogmático y dialéctico, á la concatenación de las verdades dentro del plan general de conocimientos matemáticos, se multiplican las Escuelas técnicas, destinadas principalmente á los estudios de aplicación; y en éstas es forzoso suplir con la rapidez de los procedimientos el esfuerzo que luego ha de necesitar el espíritu para pasar al orden concreto, donde ha de ejercer su actividad muy principalmente.

Uno de los sucesos que han contribuido con gran eficacia á realizar este fin práctico de la ciencia, ha sido el desarrollo adquirido por este grado medio de la Matemática, que se conoce ya con la de-
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nominación de Matemáticas especiales; este grado colocado entre los de las elementales y superiores es susceptible de beneficiosas modificaciones y ha llegado á constituir una base desde la que, con segura marcha es luego muy fácil recorrer en cualquier sentido el vasto dominio de las ciencias matemáticas.

No hay para qué citar ahora los varios autores que se han ido sucediendo en los cursos de las Escuelas técnicas, con grandes resultados, abandonados más tarde por otros que han ido satisfaciendo las necesidades crecientes señaladas por la influencia cada vez mayor de las modernas teorías, por su invasión lenta desde las regiones del inventor y del sabio, á las regiones más modestas que les ha ido señalando su divulgación por medio de los propagandistas.

Hoy vamos á ocuparnos exclusivamente de un nuevo libro, debido al notable matemático y publicista M. de Longchamps, y que está destinado á cumplir muy principalmente con los fines de la enseñanza para las clases especiales de matemáticas. Esta obra que constituye la primera parte de su Cours de Mathématiques spéciales es la nueva adición de su Algèbre poco ha publicada.

En un tomo de 755 páginas M. Longchamps recorre el vasto dominio del Algebra, á partir desde la división y del análisis combinatorio, hasta terminar con una exposición sucinta, pero no por eso insuficiente de los infinitamente pequeños y de las integrales definidas, completada por el cálculo de las diferencias y la teoría de la interpolación, dando lugar adecuado en este vasto trayecto, no sólo á las teorías ya tan vulgarizadas que conducen á la resolución de las ecuaciones numéricas, y en que juegan combinados los nombres de Rolle, Descartes, Budan, Sturm, Newton y Lagrange, sino que además ocupan su lugar correspondiente los desarrollos necesarios sobre el cálculo de las expresiones imaginarias, la hoy indispensable teoría de los determinantes con su complemento preciso sobre la eliminación, las formas cuadráticas, el discriminante y nociones sobre los invariantes. Esto es lo que en general puede decirse sobre las materias contenidas en el Álgebra de M. de Lonchamps.

En cuanto al modo de hallarse desenvueltas estas varias teorías, mucho más explícito se debe ser al tratarse de la disposición de las mismas dentro de la unidad del plan.

M. Longchamps imprime desde el principio al Álgebra su carácter esencialmente combinatorio por el método de demostración adoptados desde la teoría de la división, haciendo aplicación preferente del concepto de identidad, llevando su rigor en este punto hasta distinguir en toda la extensión de su obra con un signo especial este